Текст
ЕФИЛИППОВ
Нелинейная
электротехника
Е. ФИЛИППОВ
Нелинейная
электротехника
Издание второе, переработанное
и дополненное
Перевод с немецкого канд. техн, наук
А. 3. КУЛЕБЯКИНА
Под редакцией канд. техн, наук
А. Б. ТИМОФЕЕВА
«Э Н Е Р Г И Я» МОСКВА 1?7Ф
Филиал
г У ypF и стр о м проект “
6П2.1
Ф53
УДК 621.3.018.783
EUGEN PHILIPPOW
Nichtlineare Elektrotechnik
Leipzig, 1971, Akademische Verlagsgeselschaft Gest und Portig
K-G.
E. ФИЛИППОВ
Нелинейная электротехника
Редактор издательства М. И. Николаева
Переплет художника Е. В. Никитина
Технический редактор М. П. Осипова
Корректор М. Г. Гулина
Сдано в набор 19/XI 1975 г. Подписано к печати 8/IV 1976 г.
Формат 84хЮ81/з2 Бумага типографская № 2 Усл. печ. л. 26,04
Уч.-изд. л. 27,19 Тираж 12 00Э экз. Зак. 447 Цена 1 р. 95 к.
Издательство «Энергия». Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
Филиппов Е.
Ф53 Нелинейная электротехника. Пер. с нем. Под ред.
А. Б. Тимофеева. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.,
«Энергия», 1976.
496 с. с ил.
В книге описаны современные методы расчета установившихся и
переходных процессов в нелинейных цепях Изложены аналитические
и численные методы решения нелинейных дифференциальных уравне-
ний. Даны рекомендации по методике использования ЭВМ. Изложена
общая теория параметрических цепей. Приведено исследование боль-
шого количества применяемых на практике преобразовательных схем,
а также рассмотрены вопросы синтеза нелинейных устройств. Первое
издание книги вышло в 1968 г.
Книга может быть использована в качестве учебного пособия
аспирантами и студентами вузов, а также справочного пособия науч-
ными и инженерно-техническими работниками.
30306-273
Ф 051(01)-76 74‘76 6П2.1
(§) Перевод на русский язык, издательство «Энергия», 1976 г.
Предисловие ко второму изданию
Автор данной книги, профессор Е. Филиппов, много
лет преподает в электротехническом институте в Иль-
менау и является одним из организаторов и активным
участником интернациональных коллоквиумов, перио-
дически проводимых в Ильменау. Название книги «Не-
линейная электротехника» отражает широту рассмот-
ренных в ней вопросов.
По сравнению с первым изданием, вышедшим на рус-
ском языке в 1968 г., во втором издании значительно
подробнее освещены особенности использования нели-
нейных элементов и устройств в современных вычисли-
тельных машинах. Включены некоторые вопросы ма-
шинного анализа и проектирования нелинейных
устройств. Более подробно изложены методы исследо-
вания дифференциальных уравнений второго порядка.
Рассмотрены энергетические соотношения в нелинейных
цепях. Введена новая глава «Параметрические систе-
мы», заменившая «Дополнение», написанное А. 3. Ку-
лебякиным для первого издания. Объем второго изда-
ния возрос на одну треть. Текст разбит на пять глав и
распределен иначе, чем в восьми главах первого изда-
ния.
Книга рассчитана на широкий круг читателей с раз-
личным уровнем подготовки. Часть материала дает воз-
можность получить общее представление о назначении
различных устройств и принципе их действия. Наряду
с этим имеется материал, требующий глубокого осмыс-
ливания, и рассчитан на подготовленного читателя.
В* русском издании набран петитом текст, содержа-
щий пояснения и некоторые сложные математические
выкладки. Компактность, обеспечиваемая петитом при
чтении материала, имеющего преемственность, облегча-
ет восприятие некоторых математических выкладок.
Значительно сокращено количество нумерованных ма-
тематических выражений за счет исключения тех, на
3
которые отсутствуют ссылки в тексте, а также за счёФ
устранения некоторых простых промежуточных выраже-
ний. Буквенные и условные графические обозначения,
а также термины и определения приведены в соответст-
вие с действующими ГОСТ и традициями отечественной
литературы. Указатель литературы изменен так, чтобы
читатель смог воспользоваться новейшей литературой на
русском языке, дополняющей текст данной книги.
Возможно, некоторым читателям покажется, что
автор слишком много места уделил исследованию не-
линейных дифференциальных уравнений второго поряд-
ка, в частности уравнениям Дуффинга. По-видимому,
здесь сказались научные интересы автора, и это, веро-
ятно, будет положительно оценено многими читателями.
Можно было бы упрекнуть автора в том, что ряд вопро-
сов он изложил весьма сжато, а кое-что и вовсе не
включил в текст. Но это объясняется тем, что заголовок
«Нелинейная электротехника» соответствует чрезвычай-
но широкому кругу понятий н идей, которым посвящена
весьма обширная литература. Осветить все это, даже
в сжатой форме, в одной книге просто невозможно.
•В целом книга профессора Е. Филиппова отражает
материал по нелинейной электротехнике, опубликован-
ный в последние годы во многих странах. Она является
результатом многолетней работы опытного педагога и
ученого, написана обстоятельно и методично и, сущест-
венно отличаясь от других аналогичных книг, несомнен-
но принесет пользу не только как справочное издание,
но и как учебное пособие для аспирантов и студентов
кузов.
Переводчик и редактор выражают признательность
кандидату технических наук Ю. Е. Нитусову и инженеру
В. В. Писклову за ценную помощь при подготовке рус-
ского перевода к печати.
А. Б. Тимофеев
Из предисловия автора к первому изданию
Как видно из названия, книга посвящена проблемам
нелинейной электротехники. Для решения различного
рода задач линейной электротехники существуют много-
численные методы, которые частично разработаны спе-
циально для электротехники, а частично заимствованы
из других областей техники. К таким методам относят-
ся операторное и матричное исчисления, векторное и
тензорное исчисления, корреляционное исчисление и т. п.
Они представляют собой весьма ценные средства, зна-
чительно расширяющие возможности специалиста при
решении многих практических задач. Преимущества
перечисленных методов достаточно хорошо известны.
Им посвящены многочисленные монографии и публика-
ции, которые следует рассматривать как необходимую
составную часть совершенствования образования совре-
менного инженера-электрика.
Однако применение указанных выше методов огра-
ничено областью решения линейных задач, поскольку
линеаризация некоторых практических задач не всегда
возможна. Многочисленные электротехнические задачи,
такие как выпрямление, модуляция и демодуляция,
умножение и деление частоты, генерирование колеба-
ний, функциональные преобразования, стабилизация на-
пряжения и тока и т. п., основаны на нелинейных зави-
симостях между определенными величинами и учет этих
зависимостей имеет решающее значение.
К настоящему времени разработано много методов
Для решения нелинейных задач электротехники, с кото-
рыми специалист встречается на каждом шагу. К со-
жалению, систематическое изложение этих методов от-
сутствует и в большинстве случаев они описаны в от-
дельных публикациях, которые известны весьма неболь-
шому кругу специалистов. Однако при современном раз-
витии электротехники знакомство с ними необходимо
Для успешной работы инженера-электрика. Цель данной
работы — ликвидировать пробел в существующей лите-
ратуре, и я очень буду счастлив, если это удалось.
Ильменау, лето 1962 г.
Е. Филиппов
Из предисловия автора ко второму изданию
Во второе издание книги внесены изменения. Так, не-
линейные элементы и их характеристики, которые в пер-
вом издании были распределены в первых трех главах,
в новом изданий объединены в одной ’(первой) главе и
значительно дополнены сведениями о новых элементах и
их характеристиках (туннельные диоды, тиристоры, три-
нисторы и т. п.). Также значительно претерпел изменения
и материал о гармоническом анализе при синусоидаль-
ной форме управления нелинейным элементом, введен
материал, затрагивающий вопросы энергетических соот-
ношений в нелинейной цепи. Рассмотрен ряд новых со-
временных методов расчета нелинейных цепей.
Вторая глава посвящена рассмотрению методов рас-
чета нелинейных цепей в установившемся режиме.
Изложение решения нелинейных дифференциальных
уравнений (переходные режимы) также объединено
в отдельную (третью) главу, в которой дополнительно
введено рассмотрение ряда новых аналитических и чис-
ленных методов решения нелинейных дифференциаль-
ных уравнений и прежде всего среди них следует отме-
тить методы, основанные на малом параметре. В этой
же главе введено рассмотрение основных положений
теории устойчивости.
Учитывая интенсивное использование при решении
нелинейных задач вычислительной техники, в книге
введены разделы об использовании вычислительных ма-
шин как для решения нелинейных дифференциальных
уравнений, так и выполнения гармонического анализа.
Написана новая, четвертая глава о параметрических
цепях, в которой рассмотрена внутренняя взаимосвязь
между нелинейными и параметрическими явлениями.
В пятой главе введен новый раздел об усилительных
устройствах. Одновременно значительно шире рассмот-
рены вопросы о стабилизации, возникновении колебаний
и регенерации, а также о магнитных усилителях. В за-
ключение главы рассмотрены вопросы синтеза.
Ильменау, лето 1969 г.
Е. Филиппов
Глава первая
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
1-1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
А Классификация нелинейных характеристик
Предметом нелинейной электротехники является ис-
следование явлений, у которых существует нелинейная
связь между электрическими, магнитными или электри-
ческими и магнитными величинами.
В общем случае нелинейная электрическая цепь мо-
жет содержать резистор с нелинейным активным сопро-
тивлением (элемент с потреблением энергии) и элемент
с нелинейной индуктивностью или
емкостью (элемент с накоплени- $ г?4!
ем энергии — индуктивную ка-
тушку или конденсатор). £
На рис. 1-1,а показаны изве-
стные графические изображения b(i)
линейных элементов — резистора ц
7?, конденсатора С и индуктивной а,) б)
катушки А, а на рис. 1-1,6 —
соответствующие изображения ис’ ’ ’
нелинейных элементов.
В отличие от линейной электротехники, где сущест-
вует пропорциональная связь между электрическими и
магнитными величинами
и=КЦ (1-1)
Q=CU-, (1-2)
V=LI, (1-3)
в нелинейной электротехнике эти зависимости достаточ-
но сложны и в общем случае могут быть представлены
в виде функциональных связей;
t/=A(/); (1-4)
^=/з(/); (1-5)
Q=f2<U). (1-6)
7
Эти зависимости представляют собой характеристи-
ки соответствующих элементов. Так, принято говорить
о вольт-амперной- характеристике- р-евистора-^М)” -о-ве.
беро-амперной характеристике катушки (1-5) ио кулон-
вольтной характеристике конденсатора (1-6). В соответ-
ствии с физическими явлениями, лежащими в основе
нелинейных элементов, их
характеристики имеют тот
или иной вид и могут быть
представлены в различных
формах. В общем случае ха-
рактеристики нелинейных
элементов могут быть зада-
ны в форме таблиц или кри-
вых, а также в виде прибли-
женных аналитических вы-
ражений.
Классификацию характеристик нелинейных элементов
У=Цх) можно провести по различным признакам в за-
висимости от условий исследования.
Так, в некоторых случаях нелинейные характеристи-
ки подразделяют на симметричные (приводимое условие
может быть достигнуто соответствующим выбором на-
чала отсчета абсцисс), если f(,v) =—f(—х), и несиммет-
ричные, если f(x)=t=—f(—х).
На рис. 1-2,а показана симметричная характеристи-
ка и на рис. 1-2,6 — несимметричная характеристика.
Симметрия или несимметрия характеристик имеет боль-
шое значение при решении многих технических задач,
например при выпрямлении.
Возможно также подразделение характеристик на
однозначные и многозначные. Характеристики, показан-
Ряс. 1-3.
8
ИЫе на рис. l-2,6z, б, являются однозначными. Примерь!
многозначных характеристик показаны на рис. 1-3 (а —
для динатронного эффекта, б — для феррорезонансной
цепи, в — для петли гистерезиса). Многозначность ха-
рактеристик играет существенную роль при стабилиза-
ции, в релейных схемах и в схемах с запоминающими и
логическими устройствами. В отдельных случаях харак-
теристики могут быть подразделены на монотонноизме-
няющиеся и немонотонноизменяющиеся. На рис. 1-4
показаны: монотонновозрастающая вольт-амперная ха-
рактеристика (а), у которой на всем протяжении
d!ldU>Q\ монотоннопадающая вольт-амперная характе-
ристика (б), у которой на всем протяжении dI!dU<S)\
немонотонноизменяющаяся вольт-амперная характери-
стика (в), у которой dI!dU=Q. Данное подразделение
имеет большое значение при исследовании вопросов ко-
лебаний.
Б. Временные характеристики физических величин
Статическая характеристика. Характеристика, у кото-
рой изменяющаяся физическая величина (ток или на-
пряжение) с течением времени остается постоянной или
ее изменение незначительно, называется характеристи-
кой постоянного тока или в общем случае статической
характеристикой. Подобная вольт-амперная характери-
стика вида Us==f(I=) показана на рис. 1-5.
Характеристика мгновенных значений. Если к нели-
нейному элементу приложено переменное напряжение,
то связь между мгновенными значениями тока и напря-
жения u=f(i) называется характеристикой мгновенных
значений или динамической характеристикой. Она так-
же может быть представлена в виде характеристики,
изображенной на рис. 1-5.
9
В тех случаях, когда статическая и динамическая
характеристики нелинейного элемента не совпадают,
последняя зависит от изменения величин во времени.
Поэтому, наряду с динамической характеристикой, дол-
жны быть оговорены условия, при которых она полу-
чена.
I Рис. 4-5.
Так как максимальные (амплитудные) значения
являются сами по себе мгновенными значениями, то за-
висимость может быть представлена той же
характеристикой.
Характеристика действующих значений. Если харак-
теристика u = f(i) линейна, как показано на рис. 1-6, то
при синусоидальном напряжении ток также синусоида-
лен и действующие значения напряжения и тока соот-
ветственно равны: U=Um/}^2; 1 = В этом слу-
чае линейная характеристика мгновенных значений так-
же выражает связь между действующими значениями
тока и напряжения, причем характеристика действую-
щих значений получается из характеристики мгновен-
ных значений с помощью простого масштабного преоб-
разования.
Если к нелинейному безынерционному1 элементу
(резистору) приложить синусоидальное напряжение, то
ток не будет синусоидальным (§ 1-2). Он содержит на-
ряду с основной частотой ряд высокочастотных гармо-
ник. В связи с тем, что действующее значение напря-
жения равно U—Um/]/'2t действующее значение тока
составляет:
/2 dt I макс//2.
Определение безынерционного сопротивления см. § '1-2.
Ю
Поэтому если значение ординат характеристики раз-
делить на V 2, чтобы таким образом перейти к дейст-
вующим значениям напряжения, то для действующих
значений тока это будет несправедливо. Ввиду отмечен-
ного обстоятельства характеристика действующих зна-
чений U=f(I) не может быть получена из характери-
стики мгновенных значений простым масштабным пре-
образованием.
Рис. 1-7.
Рассмотрим два типичных случая:
1. Характеристика мгновенных значений имеет вид
показанной на рис. 1-7.
При синусоидальном напряжении с действующим зна-
чением U = Um[]/r2 действующее значение тока будет
равно
Характеристика действующих значений U=f(I) про-
ходит ниже характеристики мгновенных значений.
2. Характеристика мгновенных значений имеет вид
показанной на рис. 1-8.
В этом случае при синусоидальном напряжении с дей-
ствующим значением U — действующее значение
тока равно / </т/)Л2.
Характеристика U=f(I) проходит выше характери-
стики мгновенных значений.
11
На рис. 1-9 представлена характеристика мгновен-
ных значений, которая имеет три характерные области.
Первая область 0—1 вогнутая, вторая область 1—2
практически линейная, третья область 2—3 выпуклая.
Для вышеприведенных случаев вольт-амперная ха-
рактерйстика действующих значений U=f(I) в области
О—1 проходит ниже кривой В области 1—2 обе
кривые практически совпадают и в области 2—3 харак-
теристика действующих значений проходит выше кри-
вой
Разница между кривыми практически незначительна,
так как при определении действующего значения неси-
нусоидального тока
высокочастотные гармонии складываются с основной
частотой в квадрате. А так как амплитуды высших гар-
моник значительно меньше амплитуды основной часто-
ты, то влияние их на действующее значение тока на-
столько мало, что в обоих случаях можно пользоваться
одними и теми же кривыми.
Аналогичные рассуждения можно провести и в слу-
чае воздействия синусоидального тока.
Определение характеристики действующих значений.
На рис. 1-10 показана динамическая характеристика
нелинейного элемента у(х) (это может быть вольт-ам-
перная, веберо-амперная или кулон-вольтная характе-
12
ристика), которая связывает воздействующую величину
х (напряжение, поток или заряд) и реакцию у (ток или
напряжение). При воздействии на нелинейный элемент
синусоидальной величины х в виде x=Xmcoscof реакция
цепи у несинусоидальная.
Для определения действующего значения у выпол-
няют следующее графическое построение: проводят
окружность с центром в начале координат радиусом,
равным амплитуде Хт.
Мгновенное значение х может быть получено с по-
мощью проекции вектора Xm=mxOS, вращающегося
относительно начала координат с угловой скоростью со,
на ось х. Мгновенное значение у определяется по ха-
рактеристике у(х) и соответствует точке Р.
В связи с этим для мгновенных значений можно за-
писать:
х — тхОА\ у = туОВ,
где тх и ту — масштабные коэффициенты величин х
и у. ___ ___________________________
Затем переносят ОВ на вращающийся вектор OS и
получают точку Р':
ОР' = ОВ-^—у.
ту
Эту операцию повторяют для других значений вре-
мени t или углов а = соЛ а затем соединяют все получив-
шиеся точки кривой ОР'С, охватывающей заштрихован-
ную область
7Е/2 я/2
А = Г • у2 da = -s-1 f у2 da,
2 J т?у 2т*у J ’
о о
ограниченную снизу осью абсцисс.
Так как
da — to dt — dt\
Т/4
А=-^- f y*dt
m^yl J
Л
ИЛИ
T
m^yT J 3
6
13
Из полученного выражения определяют действующее
значение
Это уравнение показывает, как с помощью известной
площади А можно найти действующее значение У.
Таким образом, зная характеристику мгновенных
значений, можно при заданных условиях определить ха-
рактеристику действующих значений.
Характеристика для первых гармоник. При воздей-
ствии на нелинейный элемент синусоидальной функции
в составе напряжения или тока, наряду с основной ча-
стотой, возникают и высокочастотные составляющие,
например
и — Uг ]/2 sin (<»/ -|- а,) -ф- U2 У 2 sin (2<о/ -р аг) +
—|— Uз У2 sin (Зсо/ —|— а3) —р ...;
i = Л J/2 sin (со/ + РО + /2 У2 sin (2а>/ + р2) +
+ /з /2 sin (3coZ 4- р3) -f-...
Зависимость между действующими значениями пер-
вых гармоник тока и напряжения /i = f([7i) в некоторых
случаях представляет интерес, так как эта характери-
стика не совпадает с характеристикой для действующих
значений.
На рис. 1-11 приведено графическое построение тока,
проходящего через инерционный нелинейный элемент
при воздействии на него синусоидального напряжения
с действующим значением U= и^У 2 = Ui. Как видно
14
(рис. 1-11), ток несинусоидален. Используя коэффициен-
ты разложения в ряд Фурье
т
А = ^ j i(t) sin с»/ dt;
о
т
B — cos со/ dt,
и
можно определить действующее значение тока первой
гармоники как
и, следовательно, получить характеристику для первых
гармоник тока и напряжения.
В, Существенные и несущественные нелинейности
Все элементы электрических цепей в силу физиче-
ских процессов, происходящих в них, обладают некото-
рой нелинейностью. В линейной электротехнике приме-
няют идеализацию электрических элементов, которая
допустима только тогда, когда в рассматриваемых слу-
чаях неучет нелинейности существенно не влияет на
исследование явлений. В качестве примера можно при-
вести теорию трансформаторов со стальным магнито-
проводом. Нелинейность в этом случае несущественна.
Однако во многих случаях нелинейность между дву-
мя величинами и является причиной появления принци-
пиально новых явлений, которые невозможны в линей-
ной цепи. В качестве примера можно привести схемы
выпрямления, преобразования постоянного тока в пере-
менный, схемы стабилизации тока и напряжения, деле-
ния и умножения частоты, бесконтактные реле, схемы
для выполнения математических операций (умножения,
деления, логарифмирования, возведения в степень, из-
влечения корней и т. п.).
Таким образом, под существенной нелинейностью
следует понимать такую нелинейность, которая является
причиной появления принципиально новых явлений, ко-
торые невозможны в линейной цепи. Под несуществен-
ной нелинейностью будем понимать такую нелинейность,
которая не является обязательной для функционирова-
ния того или иного устройства, однако такая нелиней-
15
ность может ухудшать свойства схемы. Несущественная
нелинейность всегда сказывается отрицательно и поэто-
му в конкретных условиях должна учитываться (напри-
мер, в усилительной технике).
1»2. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
А. Нелинейные резисторы
Параметры. На рис. 1-12 показана нелинейная вольт-
амперная характеристика снятая на постоян-
ном токе. Она может быть представлена в виде U=
=</? (/)/, что имеет некото-
рую аналогию с записью в
линейной электротехнике.
Величина
R(I)=U/I (1-7)
зависит от тока и называет-
ся статическим сопротивле-
нием. Ее обратное значение
G(I)=HU
также зависит от тока и на-
зывается нелинейной прово-
статической проводимостью.
димостью или нелинейной
Если при графическом изображении вольт-амперной
характеристики в качестве масштабов тока и напряже-
ния принять mt, см/А, и ти, см/В,
\ga = muUltniI
или
R(I) = U/I = tg а = tg а.
Аналогично
G{I) — IjU — ctg а = k2 ctg а,
где ki и k2— коэффициенты пропорциональности.
При достаточно малых отклонениях напряжения АГ/
или тока А/ от рассматриваемой точки характеристики
Г/о, /о поведение нелинейного элемента может быть оха-
рактеризовано условием
R^IQ)=dUldI, (1-8)
где /?д(/о)—дифференциальное сопротивление.
16
Дифференциальное сопротивление пропорционально
тангенсу угла -Р наклона касательной к вольт-амперной
характеристике в рассматриваемой (рабочей) точке
(рис. 1-12):
/?д(/) = (тг1ти) tg р = £1 tg р.
Обратная величина
GA (/) = dlf dU = (mu/mi) ctg £ = k2 ctg £
называется дифференциальной проводимостью.
В каждом случае справедливы условия:
Я (7) G (7) = 1; RA(I)GA(I)= 1,
причем для нелинейных элементов в общем случае
справедливы:
Л(7)^7?д(7); G(7)#=G»(7).
Оценка нелинейности. У линейного элемента стати-
ческое и дифференциальное сопротивления или статиче-
ская и дифференциальная проводимости равны, что
можно охарактеризовать соотношением ^=RjJR =
= GA/G=1.
У нелинейного элемента статические и дифференци-
альные параметры не равны между собой Z=RJR =
= С/ОД=£1.
Величина g безразмерна, и ее можно использовать
для оценки нелинейности. Чем больше ее значение от-
личается от единицы, тем больше выражена нелиней-
ность данного элемента. Это можно наглядно показать
следующим образом. Использовав (1-7) и (1-8), можно
получить:
dU/dl
U/1 '
(1-9)
Преобразуя это выражение, получаем:
dUldI=lUU- (ЫО)
dUIU^dlll. (1-11)
•В результате интегрирования получим:
lnG = Un74~lnc = ln(c7*), (1-12)
где Inc — постоянная интегрирования.
Из (1-11) следует:
t/=cA ,(1-13)
2“447 | | 17
| крвистромпроект" |
Это означает, что вольт-амперная характеристика
U=f (/) в области, в которой g приблизительно посто-
янна, представляет собой степенную функцию. Чем боль-
ше g отличается от единицы, тем больше характеристи-
ка отклоняется от прямой U — cl, т. е. тем более
ярко выражена ее нелинейность.
Аналогичные рассуждения можно провести, если для
оценки нелинейности использовать величину, обратную
6, т. е.
C = 7?/7?A = GA/G=1/L
В этом случае (1-13) примет вид:
I = c'U\
Инерционные и безынерционные нелинейные элемен-
ты. Решающим значением для оценки нелинейного эле-
мента является, наряду со статически измеренной ха-
рактеристикой, время-зависимая характеристика. Если,
рассматривая рабочую точку нелинейного элемента с ко-
ординатами Go и 70, изменить значение тока на Л/, то
появившееся новое значение напряжения G0+AG у не-
которых элементов может быть определено из статиче-
ской характеристики, а у некоторых в зависимости от
физического механизма нелинейного элемента — в об-
щем случае по сложным временным законам, например
по экспоненциальному закону с определенной постоян-
ной времени.
В зависимости от физических процессов, происходя-
щих в нелинейных элементах, они могут быть класси-
фицированы на инерционные и безынерционные нели-
нейные элементы.
Инерционными элементами обычно называют такие,
у которых нелинейность основана на температурной за-
висимости проводимости материала. Их сопротивления
зависят как от температуры окружающей среды, так и
от изменения температуры в результате нагрева при
прохождении по ним тока.
Безынерционные элементы обладают способностью
быстро изменять свое сопротивление и, таким образом,
практически мгновенно отзываться на быстрые измене-
ния тока. Причиной нелинейности может служить слож-
ный физический процесс при прохождении тока через
запирающий слой (полупроводниковые диоды, транзи-
сторы), присутствие пространственного заряда (элек-
18
тронные диоды, лампы) или сложный процесс иониза-
ции (тлеющий или дуговой разряд) и т. п.
Если нелинейным элементом управляют относитель-
но рабочей точки ((70, /о) достаточно небольшой перио-
дически изменяемой величиной, например током
/о~ЬА/ sin (о^,
то напряжение также изменяется периодически относи-
тельно своего начального значения £/():
£/= £7оЧ-АС7 sin со/.
Отношение между установившимися амплитудами
А £7 и AI
R^AU/AI
называют динамическим сопротивлением. Для опреде-
ления динамического сопротивления, которое зависит от
скорости его изменения во времени или продолжитель-
ности периода Т управляющей переменной величины,
различают следующие три случая:
1. Продолжительность периода очень велика по срав-
нению с постоянной времени нелинейного элемента Т^>
^>тэ. В этом случае нелинейный элемент безынерционен,
т. е. динамическая характеристика идентична статиче-
ской и вследствие этого динамическое сопротивление
равно дифференциальному сопротивлению в соответст-
вующей рабочей точке:
R^RA(Io) = dU/dI\J=lo.
2. Продолжительность периода очень мала по срав-
нению с постоянной времени нелинейного элемента
<Стэ: элемент инерционен, т. е. он практически не изме-
няет свое сопротивление, так что динамическая харак-
теристика является прямой, тангенс угла наклона кото-
рой может быть принят равным численному значению
статического сопротивления в рабочей точке:
/?д = /?(7о) = (7о/Л.
3. Продолжительность периода имеет тот же поря-
док, что и постоянная времени нелинейного элемента
в этом случае появляется замедленное изменение
сопротивления, т. е. гистерезис. Динамическая харак-
теристика и (Г) становится замкнутой кривой, которая
охватывает рабочую точку (£70, Л). Понятие динамиче-
2* 19
ского сопротивления становится весьма сложным, так
как переменное напряжение в этом случае по сравнению
с током сдвигается по фазе. Динамическое сопротивле-’
пие принимает комплексный характер, т. е. появляются
индуктивные и емкостные компоненты. Это наблюдает-
ся, например, у полупроводниковых диодов при работе
на высоких частотах. Появляющаяся при этом емкост-
ная компонента истолковывается как «емкость запираю-
щего слоя» и включается в эквивалентную схему заме-
щения.
Б. Катушка с нелинейной индуктивностью
Характеристика катушки с нелинейной индуктив-
ностью. Под нелинейными индуктивными сопротивления-
ми, или нелинейными индуктивностями, в цепи перемен-
ного тока понимают катушки индуктивности с ферро-
магнитными сердечниками. Нелинейная характеристика
индуктивного сопротивления обусловлена нелинейной
зависимостью магнитного материала. Исполь-
зуя соотношения
в которых потокосцепление пропорционально индук-
ции В, ток I пропорционален напряженности Н, а гео-
метрические размеры сердечника и число витков катуш-
ки являются постоянными, можно определить зависи-
мость магнитного потокосцепления от тока в катушке
из характеристики B = с помощью просто-
го масштабного преобразования. Потокосцепление Т не
пропорционально току i. Индуктивность такой катушки
зависит от тока.
Поэтому вводят понятия статической нелинейной ин-
дуктивности:
и дифференциальной индуктивности
ьД (о = dw[di = dw (i)fdi.
На основании закона электромагнитной индукции
напряжение на нелинейной индуктивности составляет:
и — dwjdt — (dW/di) di/dt = La’(i) dijdt. (1-14)
20
Это напряжение можно выразить и через статиче-
ский параметр индуктивности
di d г т ..... di { т ..... dL (i) ] di
il = -dT r dT lL ‘1 r [L V +1 Tj w
Уравнение (1-14) показывает, что, используя диф-
ференциальную индуктивность, можно получить простую
связь между мгновенными значениями напряжения и
тока. Однако зависимость между и и i имеет существен-
но другой характер, чем зависимость T=f('z). Если ка-
тушку с w витками включить на переменное напряже-
ние zz=/7mcosco£ и пренебречь рассеянием и сопротив-
лением катушки, то получим:
и = Um cos &t = dW)dt = wd$>ldt.
Отсюда
tp sin <0/ = sin <
CO
т. e. в случае гармонического изменения потока ампли-
тудные, а следовательно, и действующие значения на-
пряжения и потокосцепления пропорциональны
= и=«м.
Вольт-амперную характеристику для максимальных
значений или для действующих значений
U=f(I) можно получить из соответствующих характе-
ристик
с помощью простого масштабного преобразования. При
этом необходимо учитывать, что при синусоидальном
потоке из-за нелинейной характеристики lP=f(z) ток
будет несинусоидален.
Схема замещения катушки с нелинейной индуктив-
ностью. Гистерезисный характер кривой намагничива-
ния значительно усложняет определение параметров
схемы замещения катушки. На рис. 1-13 показана зави-
симость i = при синусоидальном потоке с учетом
петли гистерезиса. Из рис. 1-13 следует, что ток в ка-
тушке имеет несинусоидальную форму. Однако макси-
мум тока и потока по времени совпадают. Благодаря
21
наличию петли гистерезиса ток проходит через нуль
несколько раньше потока. Напряжение опережает поток
на л/2. Вследствие этого ток отстает от напряжения
меньше, чем на л/2. Это свидетельствует о том, что на-
ряду с реактивной энергией в катушке существуют по-
тери энергии в сердечнике, обусловленные потерями на
гистерезис и вихревые токи
В связи с этим индуктивную катушку можно пред-
ставить в виде схемы замещения, изображенной на
рис. 1-14,а. Схема замещения содержит идеальную не-
линейную индуктивность с однозначной характеристи-
кой и нелинейное сопротивление. Ток состоит из реак-
тивной iL и активной iR составляющих.
Переход от реальной катушки к схеме замещения
вызван стремлением облегчить расчет цепи посредством
использования двух простых нелинейных элементов
с однозначными характеристиками. Характеристики
этих элементов при заданной кривой намагничивания
в виде петли гистерезиса можно определить следующим
образом. Суммарный ток i можно представить в виде
i = iL (ЧГ) + iR («) = iL (Ф) + iR (dW/dt).
При заданном синусоидальном потоке W—Wmsinco/
напряжение на катушке:
и = dW/dt = cos Ы = __ (Ф/Ф//г)2-
С учетом этого выражения уравнение для суммар-
ного тока имеет вид:
i = iL (W) + iR (шфт ]/1 - (Ф/Ф,п)*).
22
При постоянной частоте и амплитуде характеристи-
ки ib(4r) и z’b(w) легко определить из заданной петли
гистерезиса графическим методом (рис. 1-14,6). Обо-
значая правую ветвь петли гистерезиса через fi(4r) и
левую через ^(Ч1*), получаем для каждого значения W
ток iL:
что представляет собой характеристику индуктивности
схемы замещения в соответствии с рис. 1-14,я. Ток Ir
получается из выражения
= х/2 bi (^) — ^ WL О-15)
Рис. 1-14.
Из взаимного сопоставления зависимости
(кривая построена во втором квадранте рис. 1-14,6) и
1^(40 можно непосредственно получить вольт-амперную
характеристику нелинейного активного сопротивления,
которая приведена на рис. 1-14,6 в четвертом квадран-
те. Из уравнения, связывающего напряжение на катуш-
ке и поток, следует:
’ Это соотношение представляет собой уравнение
эллипса. При соответствующем выборе масштаба на-
пряжения кривая и(Ч9 во втором квадранте рис. 1-14,6
представляет собой окружность. Это наблюдается при
условии
mu = mv/«>,
23
ГДё ти— масштаб нап-ряжейия, см/Ё, —Масштаб
потокосцепления, см/Вб.
В некоторых случаях характеристику нелинейного
активного сопротивления аппроксимируют прямой. При
этом в схеме замещения появляется параллельный ре-
зистор с сопротивлением Rv, которое при различных
материалах сердечника почти не зависит от управляю-
щего сигнала.
Зависимость параметров схемы
ности намагничивания и мощности
щения (рис. 1-14,а) позволя-
ет разделить ток на две со-
замещения от мощ-
потерь. Схема заме-
Рис. 1-16.
ставляющие: реактивную iL и активную iR. Характери-
стика, связывающая максимальные значения тока и на-
пряжения в нелинейной индуктивности, может быть по-
лучена из основной кривой намагничивания сердечника.
При синусоидальном напряжении ток будет несинусои-
дальным. Характеристика для действующих значений
U, I отличается от характеристики для максимальных
значений (рис. 1-9). В нижней области характеристика
U(I) проходит ниже кривой u(i), а в верхней области —
выше; эти различия незначительны, поэтому при расче-
тах можно пользоваться одной и той же кривой.
Характеристику нелинейного активного сопротивле-
ния можно получить, используя зависимость потерь на
гистерезис от максимального значения индукции или от
напряжения.
Отклонение мгновенного значения тока от синусои-
дальной формы не позволяет при расчете нелинейных
цепей применять комплексный метод расчета и вектор-
ные диаграммы, в связи с-чем во многих случаях заме-
24
няют несинусоидальный ток i эквивалентным синусои-
дальным гэ; при этом, во-первых, действующие значения
этих токов должны быть равны I_—1Q и, во-вторых,
активные и реактивные потери в обеих случаях должны
быть одинаковыми.
Соответствующие мгновенные значения показаны на
рис. 1-15.
На рис. 1-16 показана векторная диаграмма, соот-
ветствующая этому случаю. Применяемые для сердеч-
ников материалы в общем случае обладают удельными
потерями. На рис. 1-17 показаны изменения мощности Р
от максимального значения индукции для литой стали
IV (по сортаменту, применяемому в ГДР), где кривая
/ — для листовой стали толщиной 0,5 мм; кривая 2—
для стали толщиной 0,35 мм.
Для сердечника с массой G полные потери мощности
составят:
Р = UI9 cos с? = UIa = р (Вт) G. (1-16)
В результате подстановки
U = ^fV2)wABm, (1-17)
где А — активная площадь поперечного сечения сердеч-
ника; w — количество витков катушки, получаем:
Л = у%3р (1-18)
Теперь для каждого значения напряжения по (1-17)
можно вычислить максимальное значение индукции и,
используя рис. 1-17, определить удельные потери р. По
(1-18) можно определить ток /а. Если это проделать для
различных, значений напряжений, то можно построить
вольт-амперную характеристику = нелинейного
сопротивления по действующим значениям токов и на-
пряжений.
Аналогично поступают и со схемой замещения ка-
тушки с нелинейной индуктивностью. Мощность намаг-
ничивания составляет:
N = UI9 sin <? = UI^ = п (Вт) G,
где п— удельная мощность намагничивания.
Используя (1-17) и
?5
где I — средняя длина магнитопровода, получаем:
W = -j~ wAB„ ^=-^АВтН1 = B„HV.
Если объем сердечника V выразить через массу G
и удельную плотность материала сердечника через у, то
получим:
Удельная мощность намагничивания составляет:
К2у
(1-19)
где Н — действующее значение напряженности поля;
Вт — максимальное значение индукции.
Вт
кгс
Рис. 1-47.
На рис. 1-17 показана
удельная мощность перемаг-
ничивания для литой стали
IV (кривая 3). Теперь мож-
но определить ток намагни-
чивания для каждого значе-
ния напряжения. Из (1-17)
и (1-19) следует:
Д = У2п (Вт) G/wwABm.
(1-20)
Для каждого значения
напряжения из (1-17) вы-
числяют максимальное зна-
чение индукции. Затем по
рис. 1-17 (кривая 3) определяют удельную мощность
перемагничивания и по (1-20) находят соответствующее
значение намагничивающего тока. Так, можно опреде-
лить вольт-амперную характеристику I =f ([/) нели-
нейной индуктивности для действующих значений тока
и напряжения.
Таким образом, зависимость между напряжением и
током, усложненная явлением гистерезиса, упрощается
посредством применения схемы замещения, составлен-
ной из нелинейного сопротивления и идеальной нелиней-
ной индуктивности с однозначными характеристиками.
Ё. Конденсатор с нелинейной емкость^)
материалам,
Рис. 1-18.
Кулон-вольтная характеристика. Конденсатор с фер-
роэлектрическим диэлектриком (сегнето диэлектриком),
для которого электрическая индукция D нелинейно за-
висит от напряженности электрического поля Е (петля
гистерезиса подобна ферромагнитным
рис. 1-18), имеет нелинейную ем-
кость. Кулон-вольтная характери-
стика ее определяется нелинейной
связью между зарядом и напряже-
нием q=f(u).
По аналогии с индуктивным эле-
ментом следует различать статиче-
скую емкость C = q(u)lu и диффе-
ренциальную емкость CA = dqldu.
Мгновенные значения тока и напря-
жения связаны зависимостью
dq d i du / ч । dC (и) 1 du t
l = ^r = ^C^^-dr-[C^^u-^r\-dF'
i==d^Ju^CA(u)-^-.
du dt 1 dt
Связь между напряжением и и током i имеет прин-
ципиально иной характер, чем связь между q и и. Дру-
гие соотношения получаются также и для характери-
стики максимальных или действующих значений при
синусоидальном токе z = /mcos(of. Мгновенное значение
заряда в этом случае
/
i dt=z---sin^t— Qm sin
CO
т. e. максимальные, а также действующие значения
тока и заряда пропорциональны.
Вольт-амперная характеристика для максимальных
или действующих значений может быть получена из
соответствующей кулон-вольтной характеристики с по-
мощью масштабного преобразования. При многозначной
зависимости q(td) в виде петли гистерезиса (рис. 1-18)
получаются аналогичные соотношения, как и у индук-
тивных элементов.
На рис. 1-19 показано построение мгновенного зна-
чения напряжения для случая, когда заряд изменяется
27
fid синусоидальному закону. Максимальные значения
напряжения и заряда по времени совпадают. Но из-за
наличия петли гистерезиса напряжение проходит через
начало координат раньше, чем заряд. Ток опережает
заряд на эт/2, а напряжение — меньше, чем на л/2. Это
как бы соответствует присутствию активного сопротив-
ления в цепи, потери в котором и представляют собой
у Л.д.и.
Рис. 1-19.
потери на гистерезис. Для этого случая также можно
построить схему замещения (рис. 1-20), которая будет
состоять из параллельного соединения идеальной нели-
нейной емкости с однозначной характеристикой и не-
линейного сопротивления. Характеристики (рис. 1-19)
этих элементов можно определить графически тем же
методом, что и для индуктивных сопротивлений.
Характеристика, связывающая максимальные значе-
ния тока и напряжения на нелинейной емкости, может
быть получена из основной характеристики диэлектрика,
т. е. кривой, аналогичной кривой намагничивания. При
синусоидальном токе напряжение несинусоидально и
вольт-амперная характеристика действующих значений
отличается от характеристики максимальных значений.
В нижней области характеристик кривая I(U) проходит
ниже кривой в верхней области — выше. Вольт-
амперную характеристику действующих значений нели-
нейного сопротивления можно получить, используя за-
висимость потерь на гистерезис от максимального зна-
чения заряда или тока.
Чтобы иметь возможность применить комплексный
метод и векторные диаграммы, необходимо по аналогии
с катушкой индуктивности заменить несинусоидальное
напряжение и синусоидальным иэ, причем
U=ua-, P+jN=Pa+]Na.
28
При этом получают схему замещения, преДётавЛёй-
ную на рис. 1-20, и соответствующую ей векторную диа-
грамму (рис. 1-21).
Г. Дуальность катушки индуктивности и конденсатора
Зависимости В(Н) и D(E), лежащие в основе рас-
чета цепей с нелинейными индуктивностями и нелиней-
ными емкостями, аналогичны (рис. 1-22,а и б). В ниж-
Рис. 1,20.
ней области О А они вогнуты, в средней области АВ —
практически линейны и в верхней области ВС — выпук-
лы. С помощью простого масштабного преобразования
могут быть получены характеристики, связывающие
магнитный поток и ток или заряд и напряже-
ние также напряжение и ток у катуш-
ки индуктивности и ток и
сатора (рис. 1-22). Ха-
рактеристики, связываю-
щие действующие значе-
ния, различаются незна-
чительно (на рис. 1-22 они
обозначены пунктиром).
Основные особенности
изменения характеристик
нелинейных индуктивно-
сти и емкости могут быть
напряжение у конден-
Рис. 1-22.
представлены одной кри-
вой при соответствующем
обозначений. На рис. l-23,tz
изменении координатных
показана кривая тока для
случая, когда к катушке с нелинейной индуктив-
ностью приложено синусоидальное напряжение, или
кривая напряжения, когда через конденсатор с не-
линейной емкостью проходит синусоидальный ток. На
рис, 1-23,6 показана кривая напряжения для случая
прохождения через индуктивную катушку синусоидаль-
29
ЦОГо тока или кривая тока, если к электродам конденса-
тора приложено синусоидальное напряжение.
Если для различных схем существуют подобные за-
висимости между их электрическими величинами, кото-
рые могут переводиться с помощью простой замены тока
напряжением или наоборот, то такие зависимости назы-
вают дуальными. В этом смысле характеристики индук-
тивной катушки (рис. 1-22,я) конденсатора (рис. 1-22,6)
дуальны. На указанном свойстве основан метод, позво-
ляющий из известных цепей, содержащих индуктивные
катушки или конденсаторы, £
получать цепи с похожими Г |
или новыми свойствами. П л
На рис. 1-24,а показана Л
схема, состоящая из катуш- == |
ки с нелинейной индуктив- ------*---*
ностью конденсатора с ли- &) б) в)
нейной емкостью и резистора ри,с /Р24.
с линейным сопротивлением.
Эта схема обладает тем свойством, что может быть
использована в качестве стабилизатора напряжения
(§ 5-3). У катушки используется насыщенная область
характеристики (область ВС на рис. 1-22,а). Если хотят
получить схему с аналогичными свойствами с помощью
ферроэлектрического нелинейного элемента, то вместо
линейной емкости используют линейную индуктивность,
вместо нелинейной индуктивности нелинейную емкость,
30
у которой используется нижняя область характеристики
(ОЛ, рис. 1-22,6) и соответственно подбирается сопро-
тивление резистора (рис. 1-24,6). В том и другом случае
напряжение на нелинейном элементе стабилизируется.
Если для конденсатора используется верхняя область
характеристики (ВС. рис. 1-22,6), то ей соответствует
удельная схема, показанная на рис. 1-24,в. Она ведет
себя так же, как стабилизатор.
Однако, исходя из требований электрической устой-
чивости, в большинстве случаев не следует пользоваться
верхней областью характеристики конденсатора с нели-
нейной емкостью, в то время как в большинстве цепей
с индуктивной катушкой используют именно верхнюю
часть характеристики (область ВС. рис. 1-22,а).
Д. Нелинейные управляемые элементы
У большого числа нелинейных элементов искомая
величина х, которая в большинстве случаев является
выходной, может являться не только функцией другой
величины у. но также зависеть от одного или несколь-
ких параметров, которые могут быть электрическими,
магнитными или какими-либо другими физическими ве-
личинами. Такие элементы называются управляемыми
нелинейными элементами
Особое положение занимают элементы, у которых
нелинейная зависимость между величинами х и у явля-
ется функцией третьей z. Тогда нелинейная зависимость
между этими величинами может быть представлена
в форме
W(*/> z).
Очень удобно представить эту зависимость в парамет-
рическом виде: л = f («/)|2=const; х = f (?)^=const, которые
представляют собой семейство кривых в координатах
х—у с параметром z или семейство кривых в координа-
тах х—z с параметром у. В § 1-6 рассмотрены примеры
управляемых нелинейных элементов.
1-3. НЕКОТОРЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
А. Элементы, поглощающие энергию
Пусть рабочая точка нелинейного элемента имеет
координаты 1Д и Д. Тогда расходуемая мощность, ко-
31
торая превращается в тепло, равна:
р=ад.
Этой мощности Р соответствует площадь прямо-
угольника со сторонами UQ и /0 (рис. 1-25,а), В. Миллар
предложил ввести другие величины, которые имеют раз-
мерность мощности, но соответствуют различным за-
штрихованным площадям над или под вольт-амперной
характеристикой (рис. 1-25,а).
Величина
/о
G = ^udl (1-21)
О
носит название объема, а
и0
G'=\idu (1-22)
О
носит название кообъема активного элемента.
Из рис. 1-25,бх следует, что всегда выполняется ра-
венство
P=G+G'.
Особые случаи этого уравнения получаются для ли-
нейного резистора (рис. 1-25,6), когда
G=G'=P/2,
для идеального источника напряжения (рис. 1-25,в),
когда
G=P, G'=0,
и для идеального источника тока (рис. 1-25,а), когда
G=0, С'=Л
32
Для ряда энергетических исследований полезно вы-
ражение мощности с помощью соотношений (1-21) и
(1-22), что позволяет судить о поведении цепи, содер-
жащей нелинейные резисторы.
Б. Элементы, накапливающие энергию
К элементам, накапливающим энергию (накопите-
лям энергии), относятся такие, у которых имеется воз-
можность аккумулирования энергии в магнитных или
электрических полях, как, например, у катушек и кон-
денсаторов. Эти элементы описываются вебер-амперной
характеристикой T(f) или кулон-вольтной характери-
стикой q(u) (рис. 1-26).
Магнитная энергия, накапливаемая в рабочей точке
/о> Wo, составляет:
(1-23)
и соответствует горизонтально заштрихованной площади
над кривой W(f) (рис. 1-26,а).
Величина, которая соответствует площади под кри-
вой W(f) и дополняет магнитную энергию до площади
прямоугольника со сторо-
нами ЧА и /о, была введе-
на Е. С. Черри [134] как
магнитная коэнергия
Л)
W'm=^Wdi. (1-24)
О
Аналогично для кон-
денсатора (рис. 1-26,6)
энергия, запасенная в ем-
кости,
to t0
We = J ui dt = J и
о 0
Этой энергии соответствует коэнергия емкости кон-
денсатора
Но
W e = ^qdu. (1-26)
О
3—447
33
Для линейной индуктивности с учетом, что 4r=Li
из (1-23) и (1-24), получаем:
Гт= ^7^=W2L = L/2o/2 = Wo/2
и аналогично для линейной емкости с учетом, что 7=
Рис. 1-27.
. We=W/e=QM2C=CUM2 = QQU0/29
т. е. энергия и коэнергия у линейных элементов равны.
Для общего нелинейного случая Е. С. Черри [Л. 134]
были сформулированы теоремы о энергии и коэнергии
цепей, содержащих индуктивные и емкостные элементы,
которые позволяют судить об энер-
гетических соотношениях в цепях.
//. Поскольку предложенные теоремы
носят сугубо специальный характер,
здесь они подробно не рассматрива-
ются. Коэнергия имеет существенное
значение при определении электри-
ческого или магнитного поля. На-
пример, при возникновении электри-
ческого поля в конденсаторе посту-
пающая от источника энергия дол-
жна соответствовать сумме накоп-
ленной энергии в установившемся
состоянии и коэнергии. Следова-
тельно, энергия, превращенная в со-
противлении в тепло, равна коэнер-
Это нетрудно показать на примере
заряда конденсатора с нелиней-
резистор с линейным сопротив-
Переходный процесс в цепи опи-
составленным на основании вто-
гии конденсатора.
•переходного процесса
ной емкостью через
лением (рис. 1-27,а),
сывается уравнением,
рого закона Кирхгофа
E=uR+uc=Ri + uc,
(1-27)
где ток через конденсатор
i=dqldt. (1-28)
Пусть tic—Uc(q)—характеристика конденсатора
(рис. 1-27,6). В установившемся состоянии на конден-
саторе устанавливается напряжение Uc—E, которое
соответствует постоянному заряду Qe. Ток в установив-
шемся состоянии равен нулю,
34
Определим энергию WRl которая в резисторе во вре-
мя процесса заряда превращается в тепло, причем не
будем прибегать к точному решению исходного уравне-
ния, так как его определение будет рассмотрено ниже.
Известно, что энергия, расходуемая в сопротивлении,
равна:
со
W„ = [ i'Rdt,
К J
о
где вместо тока один раз подставим его значение из
(1-28), а другой раз из (1-27):
f (Е ис).
Тогда с учетом, что ^(0)=0 и q(oo)=Qe,
00
О
Qe
(Е — ис) dq — EQe — J tic dq.
о
Последний член этого уравнения является энергией
We, накопленной в электрическом поле конденсатора,
a EQe — площадью прямоугольника
EQc=We+W'e,
Е
WR = We + W'e - We = W'e = J (luc,
0
Следовательно, энергия, рассеянная в сопротивлении,
равна, как утверждалось ранее, электрической коэнер-
гии конденсатора.
Для линейной цепи энергия и коэнергия равны. От-
сюда следует известный факт, что энергия, превращен-
ная в сопротивлении во время переходного процесса
в тепло, имеет точно такое же значение, как и энергия,
накопленная в конденсаторе.
3* 35
1-4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
А. Аппроксимация характеристик с помощью
аналитического выражения
Аналитическое представление характеристик нели-
нейной цепи предполагает, что характеристика нелиней-
ного элемента в ее определенной области приблизитель-
но совпадает с графиком математической функции,
представленным в виде конечного математического вы-
ражения. При этом возможны следующие случаи:
1. Характеристика нелинейного элемента может быть
представлена аналитической функцией только в огра-
ниченной области. В качестве примера можно привести
электронные лампы, вольт-амперные характеристики
которых имеют три области (начальная область,
область пространственного заряда и область насыще-
ния). Каждая область может быть представлена своей
математической функцией, причем эти математические
функции могут существенно различаться.
2. Характеристика нелинейного элемента может быть
представлена в виде математической функции, которая
достаточно точно описывает всю исследуемую характе-
ристику, но является настолько сложной, что дальней-
шие затраты расчета неоправданны. В этом случае целе-
сообразнее использовать менее точное, зато более про-
стое выражение. Такие случаи встречаются при инте-
грировании дифференциальных уравнений.
3. Не существует математической функции, которая
с заданной точностью описывает исследуемую характе-
ристику, представленную в виде таблицы или экспери-
ментально снятой кривой.
При расчете нелинейных цепей в первую очередь не-
обходимо попытаться найти математическое описание
вольт-амперных характеристик нелинейных элементов.
При этом в зависимости от назначения нелинейного
элемента могут возникнуть различные требования.
Однако во всех случаях желательно, чтобы, с одной
стороны, аппроксимация была по возможности более
точной и всесторонне охватывала своеобразие характе-
ристики. С другой стороны, необходимо, чтобы аппро-
ксимирующее выражение было несложным, с тем чтобы
можно было разработать простые математические при-
емы. В некоторых случаях могут быть дополнительно
36
Поставлены особые условия, как, например, равенство
значений характеристики или ее производной соответ-
ствующим значениям аппроксимирующего выражения
в определенной точке. Аппроксимация характеристик
заключается в выборе типа аппроксимирующей функ-
ции и определении ее коэффициентов. Ниже приводятся
некоторые особенности обычно применяемых функций.
Степенной полином
= + ••• + С1пХп.
К этому виду аппроксимации относятся также ли-
нейная аппроксимация, кусочно-линейная аппроксима-
ция и аппроксимация с помощью неполного полинома.
Экспоненциальный полином
у = ... + апепХ .
Аппроксимация с помощью экспоненциального поли-
нома имеет определенные преимущества. Уже при не-
скольких членах выражения (двух или трех) может
быть достигнуто удовлетворительное соответствие. Кро-
ме тою, при разделении аргументов (например, при
действии нескольких частичных напряжений) возможно
разделение составляющих в виде
еЬ (хх4-х2) _ ьхг ьх2
Тригонометрический полином
у = Со 4~ С1 cos (х —^Pi) —С*2 cos (2х ^2) -ф" • • •
... 4" С/г COS (/ZX Ц-<Р/г)
ИЛИ
y = sinx-]~^2sin-j~an sin/zx-ф
4- bo 4“" bi cos x 4- b2 cos 2x 4-... 4- bn cos nx.
Тригонометрический полином применяется сравни-
тельно редко, так как удовлетворительное приближение
достигается только при большом количестве членов
(пять и более).
Трансцендентные функции
При некоторых условиях для аппроксимации харак-
теристики руководствуются признаками функции, общий
вид которых известен, как, например: а) степенной
функцией; б) элементарной трансцендентной функцией;
37
Таблица /-/
Возможность аппроксимации типичных характеристик
с помощью аналитических функций
Характеристика Возможные аппроксимации Замечания
У у = a th ах у = a arctg ах у — a arsh ах у = #(2л+1) УЬх 1 а>° ‘ п>0, Ь> 0 -л>0
У 1 у X у— a arth ах у = #tg ах у = a sh ах у = ЛХ2Л+ 1 у ==«1х+«зХЗ+Л5Х5+.. . V/ V И X а а о о о о о а а « с £ • «> 0
1
,У а у ~ (1 + Ьх2п)т у = аё~(Ьх^ п= 1, 2 ) ? ^>0 Ъпт > 2 1
у / у X у ~ axbec* Ь> 1, с>0
< <5* <5* II II II II 1 II во * 0-1a X § *i I S> 3 * С ++ + в * * Л* t * л>0, &>0 яс>0, hd>0 л>0, Ь>0 л>0, Ь<0, с<0 #>0, а>0 а > 0, а > 0 х>0
38
в) некоторыми вновь вводимыми трансцендентными
функциями.
В табл. 1-1 представлен ряд практически важных
характеристик и возможность их аппроксимации с по-
мощью трансцендентных функций.
Практически с помощью указанных функций может
быть аппроксимирована любая характеристика, если
при этом используется достаточное количество членов
аппроксимирующего выражения.
Для решения второй части задачи, т» е. определения
коэффициентов аппроксимирующей функции, могут
быть использованы метод выравнивания, метод выбран-
ных точек и метод наименьших квадратов. Наряду
с этим для аппроксимации с помощью степенного поли-
нома могут быть использованы известные из математи-
ки методы интерполяции.
Б. Определение коэффициентов аппроксимирующей
функции методом выравнивания
Основы метода. Нелинейная зависимость, описываю-
щая какой-либо физический процесс, может быть пред-
ставлена в виде математической функции:
W(*> ₽), (Ь29)
которая содержит, например, еще два неизвестных ко-
эффициента: аир.
Введя новые переменные X и У, которые функцио-
нально связаны с х и у
Х=щ(х, у); У=ср2(я, у) (1-30)
и не зависят от а и р, можно нелинейную зависимость
(1-29) преобразовать в линейную вида
Y=aX + b, (1-31)
где коэффициенты а и b — функции, зависящие от а и
Р: бг = срз(сс, р); & = ф4(а, Р)- Для определения значений
а и b подставляют в (1-30) две пары значений Х{ и Уг-,
которые определяются из (1-31) при конкретных зна-
чениях Х{ и yi. При этом получают два уравнения по
возрастающим значениям переменных Х{ и Уг-. Совмест-
ное решение этих уравнений позволяет определить зна-
чения а и Ь. Метод выравнивания имеет достоинство,
которое позволяет определить степень соответствия вы-
39
бранной аппроксимирующей функции. С этой целью
рассчитывают для заданных значений Xi и tji аппрокси-
мирующей кривой соответствующие значения Xi и Yt и
соединяют их. По тому,
отклоняется от прямой,
насколько построенная кривая
судят о точности аппроксима-
ции. К тому же размер откло-
нения определяет область зна-
чений аппроксимации. Этот ме-
тод носит название выравни-
вания.
Рис. 1-29.
Ниже приведены примеры применения метода вы-
равнивания для наиболее часто встречающихся
функций.
Метод выравнивания для функции с двумя коэффициентами. На
рис. 1-28 показана часто встречающаяся функция
y-=kxn
(1-32)
для различных значений п.
С помощью этой функции можно аппроксимировать ряд нели-
нейных характеристик.
В результате логарифмирования (1-32) получим:
In r/ = ln k-\-n In x.
Полагая У=1п//, X=lnx, а=п, b = lnk, получаем:
Y=aX+b.
На рис. 1-29 показана другая, часто встречающаяся функция
y=[kenx,
применяя к которой логарифмирование и вводя обозначения У=1пг/,
Х—х, а — п, 6 = 1п&, получаем (1-30).
Метод выравнивания для функций с тремя коэффициентами.
Функция вида y = kxn-}-l может быть получена смещением ордина-
ты на /. Выравнивание проводят, предварительно определив /. С этой
целью, например, требуют соответствия в точке пересечения кривой
с осью ординат
Z=^|x=o = ^o.
Затем проводят логарифмирование
In (у—l) =1п k-\-n In х3
40
кбтбрбё при введений новых перёменнда
Y = In (у — Z), X = In х, а — п, b = In k
приводит к выравниванию.
Кривая вида
y=ke™+l (1-33)
может быть получена параллельным смещением на I кривой, изобра-
женной на рис. 1-29. В этом случае для определения I выбирают две
произвольные точки %] и х2 и третью точку
1
*з =~2~ (X1 + -М
и определяют соответствующие им значения /л,'Jy2 и у3. С учетом
того, что //1 = kenX1 + Z, у2 — kenXi -К А определяют произведение
У1Уг = k^en{x'+x^ + klenx* + klenx' + Z2, а также y*3 = Z)2=
= tee2™* + 2klenx* +&.
Из совместного решения этих уравнений получаем:
I ~ (У1У2 — У2з)/(У1 + Уг — %Уз). (1 -34)
Проводя логарифмирование (1-33), получаем:
In (у—Z) = ln k+nx
и, вводя обозначения
У = In (у — I), X = х, а — п, 6 = 1п£,
производим выравнивание.
Кривая, описываемая функцией
y=^k{x2+k2x+k^ (1-35)
представляет собой параболу (рис. 1-30).
Выравнивание производят следующим образом: выбирают точку
на кривой с координатами Xi и у^ и получают:
Уг == kiX2i k2Xi k3. (1-36)
В результате вычитания (1-36) из (1-35)
(1-37)
41
Если к правой части (1-37) добавим:
kiXXi—6jXXi=0,
то получим:
У—У1= (&2+&1*1) (X—Xi) +kiX(X—Xi)
или
(// — У*)/(х — Xi) = (k2 + 61X1)'+ kiX. (1-38)
В результате подстановки
Y = (у—У1)/(х —Xi), Х = х, a = kit Ь = 62 +61X1
(1-38) приводим к (1-30).
Коэффициент 63 определяется из выражения
п п п
2 Z/Z = 61 2 х21 + 62 2 Xi + nk*>
1 1 1
где уг и Xi определяются в результате п измерений.
Функция ^=(61х)/(62х—63) представляет собой гиперболу
с асимптотами, параллельными осям координат (рис. 1-31). Для вы-
равнивания составляют выражение
1 !у = k2lkx—ksIk^x—A—В/х,
при этом
У=1///, А’ = 1/х, /2 = —63/61, b — k2/kh
Метод выравнивания для функции с четырьмя коэффициентами.
В качестве примера рассмотрим функцию вида
гу = те*х + пе$х.
В зависимости от значения коэффициентов эта функция сильно
изменяет свой вид (рис. 1-32). Это свойство весьма удобно для
42
аппроксимации 'различных характеристик. Для выравнивания рассма-
тривают, кроме изменяющейся абсциссы %, еще две абсциссы Xi =
=x+h и x2=x+2h и соответствующие им ординаты у, у\ и у2'.
у, = rneax+ah + пе^+У1-,
у г = meax+2ah + пе$х+2$н.
Составим выражение
+ = {me^h + ne^h){eah + ^h}
= mea,x+2ah + ne$x+2$h + eahe$h(menx + пе$х) =* уъ + enhe^hy,
из которого
Для выравнивания введем обозначения:
Y=yzly; Х=У1!у, (1-39)
a~eah+е&'-, (1-40)
b = — eahe?h. (1-41)
Из (1-41)
e?h~-b/eah.
Умножив (1-40) на ea>l = z, получим:
аеа1г = e2ah — b; zs — az — b = 0,
Таблица 1-2
Коэффициенты для кривых на рис. 1-32
Рисунок 1-32 а т р п Замечания
а >0 >0 >0 >0 а <₽. т <п
б >0 >0 <0 >0 а <1₽Ь т <^п
в >0 >0 <0 <0 а <|₽ь т < | п\
г >0 >0 <0 <0 а = 1М т = | п\
д >0 >0 >0 <0 а <₽. т = | п\
е >0 > 0 >0 <0 а т < | п\
ж <0 >0 <0 <0 а >₽, т = | п[
43
Из последнего -выражения определяем г, что в свою очередь
дает возможность определить (табл. 1-2):
1 1
а = In z\ f = -у- In (— b) — a.
Затем определяем -коэффициенты m и n путем подстановки двух
пар значений х и у в выражение
уё~$х — те^~~^х + п
и проводим выравнивание
У* = уе~X* — е(а—^х- а* — т- у* ~ п
В. Определение коэффициентов аппроксимирующих
функций методом выбранных точек
Метод выбранных точек заключается в рациональ-
ном выборе наиболее характерных точек, через которые
проходит аппроксимирующая кривая. Число выбранных
точек равно числу определяемых коэффициентов в ана-
литическом выражении. Если ввести координаты вы-
бранных точек в функцию, то получится система урав-
нений, решение которой определяет коэффициенты
аппроксимирующей функции. Само решение по виду
аппроксимирующей функции и количеству коэффициен-
тов является сложным. Выбор соответствующих точек
производится таким образом, чтобы все они лежали
в рабочей области и характеризовали основные особен-
ности аппроксимирующей кривой. Если, например, нуж-
но выбрать две точки (функция имеет два коэффициен-
та), то целесообразно, чтобы одна находилась в области
максимально ожидаемого аргумента, а другая — в об-
ласти наибольшего изгиба кривой.
Метод выбранных точек в большинстве случаев бо-
лее трудоемкий, чем метод выравнивания. Если, напри-
мер, аппроксимируют характеристику y = f(x) степен-
ным полиномом п-степени
y=aG + aix+а2х2+ ... +апхп,
то необходимо иметь (п+1) точку с координатами
(%1, Г/1), (%2, Уъ), •••> (*п-М, Уп+i), которые позволяют по-
лучить систему уравнений для определения коэффици-
ентов п0, «1, ..., ап:
^1 = По + П1Х1 + п2х21+ ... +anxni;
^/2“По+П1Х2 + П2Х22+ ... +anXn2i
У п+1 — #0 + ЩХп+1_ + П2Х2п+1 + ... + ЯпХПп+1>
44
Число уравнений равно числу искомых коэффициен-
тов. Коэффициенты полинома имеют следующие раз-
мерности: 6Z0 имеет размерность у\ ai— размерность у.
деленную на размерность х; а2— размерность у, делен-
ную на размерность %2, и т. д.
Наибольшую трудоемкость представляет определе-
ние коэффициентов при аппроксимации с помощью
трансцендентной функции. Если, например, характери-
стику у(х) аппроксимировать функцией 4/=ashp%, то
для определения коэффициентов аир нужно выбрать
две точки с коэффициентами 4/1 и Xi и у2 и х2. Тогда
получают уравнения для определения коэффициентов
z/i = ash р%г, z/2 = ash р%2, из которых
sh pxi/sh рх2=У1Л/2=^1.
Это трансцендентное уравнение относительно р мож-
но решить графически, построив зависимость
/(р) =sh p^i/sh р%2,
и определить соответствующее значение р и а:
а == 4/i/sb (5X1 = 4/2/sh (Зх2.
В этом случае, очевидно, а имеет размерность 4/, р —
обратную размерности х.
Достаточно часто для аппроксимации используется
функция вида
= 1).
Для определения двух неизвестных коэффициентов
аир произвольно выбирают две точки с координатами
Xi, 4/1 и х2, 4/2 и составляют систему двух уравнений
У г = a — 1);
у2 = а(е^-1).
Для определения р составляют трансцендентное
уравнение
которое затем решают графически.
45
Метод выбранных точек содержит геометрические
построения, допускающие известный произвол, и поэто-
му является грубым. К нему следует прибегать в тех
случаях, когда точность исходных данных невелика. До-
стоинство метода — простота применения и наглядность.
Г. Метод наименьших квадратов
Коэффициенты аппроксимирующей функции можно
определить по методу наименьших квадратов, который
основан на минимуме средней квадратичной ошибки.
Этот метод сложнее, чем метод выбранных точек, одна-
ко он дает более точное соответствие.
Если f(xn, а, Ь, с, d)—аппроксимирующая функция
относительно аргумента хп, а <р(хп) —экспериментально
снятая кривая, то коэффициенты a, b, с, d ... следует
выбрать таким образом, чтобы была минимальной
сумма
£ = 2 1НХп> а’ b> С, d...')— ? (Х,,)]2,
п=1
где Xi, %2, х3 ... являются произвольно выбранными
аргументами в области от пуля до максимального зна-
чения аргумента хт. Количество выбранных точек m
должно быть невелико, однако достаточно, для того
чтобы все особенности характеристики были учтены
в полной мере. При этом интервалы между отдельными
аргументами должны быть не равными. Приравнивание
нулю производной g по отдельным коэффициентам дает
необходимое число уравнений для определения коэффи-
циентов:
т'
2 ь> с> d-)~
п — \
— '?(xn)]-~^f(xn, а, Ь, с, d...) = 0-,
т
а, Ь, с, d —
п=1
— ? (Хп) f (хп, а, Ь, с, d ...) = 0;
46
Метод наименьших квадратов обладает тем преиму-
ществом, что если сумма квадратов отклонений мала,
то сами эти отклонения также малы по абсолютному
значению.
Недостатком метода наименьших квадратов являет-
ся громоздкость вычислений. Поэтому к нему прибегают
обычно при аппроксимации, если требуется высокая
точность.
Определим в качестве примера коэффициенты аппро-
ксимирующего выражения с помощью метода наимень-
ших квадратов, если для аппроксимации применен сте-
пенной полином второго порядка
у=f (%) = а0+aiX + а2я2,
причем выбраны четыре точки па кривой с аргументами
от Xi до х4:
4
-Д-=2 [(а0 4- а,Хп 4- (кхгп) — <? (хл)] 1 = 0;
п—1
4
2 [(а0 4- aiXn 4- а2хгп) — <р (х„)] хп — 0;
Л=1
4
~^~= 2 [(а» 4-«1-’^4-°г-к24 — Т (*«)] Л = 0.
п=1
Эти уравнения используются для определения трех
искомых коэффициентов.
Д. Аппроксимация с использованием первой
и высших производных
Иногда целесообразно аппроксимировать не задан-
ную функцию, а искать аппроксимирующее выражение
для ее производных. При этом абсолютная ошибка
аппроксимации для исходной нелинейной функции бу-
дет мала.
В качестве примера рассмотрим аппроксимацию не-
линейной характеристики (рис. 1-33), которая при боль-
ших отрицательных аргументах стремится к оси абс-
цисс, а при возрастающем аргументе переходит в ли-
нейную область, т. е. при х—>оо, у—>оо dyldx—xonst,
а при х——оо, у—>оо dyldx—>0.
47
На рис. 1-34 показано изменение первой производной
этой характеристики.
Подобрать аппроксимирующее выражение для нели-
нейной характеристики у(х) в общем случае трудно.
А производная от этой характеристики у'(х) хорошо
аппроксимируется с помощью выражения у'(х)=а +
+>b th ах, причем коэффициенты легко определяются
методами, описанными выше.
Аппроксимирующая функция заданной характери-
стики у(х) может быть определена как
X
= ^y'(x)dx.
Точность аппроксимации будет тем больше, чем выше
степень производной заданной нелинейной ^характери-
стики. Возьмем вторую производную от заданной ха-
рактеристики у(х). Она пред-
ставлена на рис. 1-35. Кри-
вая у"(х) может быть, на-
пример, аппроксимирована
выражением
у"(х) — а/ (l+bx2n)mf
где п=1, 2, 3 ... — произ-
Рис. 1-35. вольное число.
Тогда аппроксимирующее выражение искомой харак-
теристики у(х) определяется в результате двойного ин-
тегрирования
X X
у(х) = J dx j* у” (х) dx.
48
Этот двойной интеграл, если т — целое число илй
l/2n + m — также целое число, выражается через эле-
ментарные функции с помощью полиномов Чебышева.
Существование интеграла накладывает дополнитель-
ное условие 2ши>2.
Если принять, что и=1, а т—2, то
у"(х) =а(1+Ьх2)-2;
у'{х) т- [тг arc tg У~Ьх+;
у+ !]•
1-5. НОРМИРОВАНИЕ
Характеристики нелинейных элементов аппроксими-
руются теми или иными функциями, коэффициенты ко-
торых в общем случае имеют размерность, что вносит
дополнительные трудности при расчете. Можно добиться
значительных упрощений и даже определенных обоб-
щений, если представить аппроксимирующие выражения
в безразмерном виде. Этот процесс называют нормиро-
ванием.
А. Нормирование характеристик
Целью нормирования является создание безразмер-
ных уравнений. Это достигается тем, что все физические
величины: токи, напряжения, потокосцепление, заряды,
а также время — нормируются, т. е. делятся или умно-
жаются на такие коэффициенты или относительные ве-
личины, произведение (или частное) которых совместно
с физическими величинами дает безразмерные величи-
ны. В качестве относительных величин используются
такие значения физических величин, как, например, на-
чальные значения (при £=0), установившиеся значения
(при /=оо), максимально допустимые значения соот-
ветствующих величин и т. п.
Рассмотрим в качестве примера нормирование В(Н) характери-
стики катушки с ферромагнитным сердечником. В этом случае целе-
сообразно «выбрать характерные рабочие точки и произвести норми-
рование индукции и напряженности поля, поделив их соответственно
на индукцию Вп или напряженность поля Нп для этих точек. Таким
4—447 49
образом, для каждой точки характеристики получаются нбрмйроййй-
ные (относительные) величины
В'—В1Вп\ (1-42)
Н'=Н1Нп, (1-43)
и в результате безразмерная нормированная характеристика может
быть представлена в виде
Преимущество подобного способа заключается в том, что, не-
смотря на сравнительно 'большое отклонение кривых намагничивания
различных материалов (рис. l-36,4z), благодаря соответствующему
Рис. 1-36.
выбору точки нормирования (Вп, Нп) можно получить почти одина-
ковые нормированные характеристики (рис. 1-36,6). Это дает воз-
можность не производить каждый раз расчет вновь, а воспользовать-
ся соотношениями, полученными ранее для другого конкретного
случая.
Дополнительное преимущество нормирования характеристик
обнаруживается тогда, когда определенные параметры нелинейного
элемента, как, например, число витков или размеры сердечника нели-
нейной катушки, неизвестны. В этом случае известна только кривая
намагничивания материала. /Вебер-амперная характеристика катуш-
ки, от которой зависит работа схемы в целом, определяется числом
витков и размерами сердечника, которые подлежат определению. Это
затруднение можно обойти, если воспользоваться нормированием.
При равномерном распределении индукции через сечение сердеч-
ника потокосцепление равно ЧГ = ^ЛВ. Выберем соответствующую
особую точку, для которой Чгп = ^ЛВп.
Между током и магнитной напряженностью поля существует
пропорциональность I=Hl!w и соответствующая ей особая точка, для
которой In—Hnl/w.
Производя нормирование потокосцепления и тока 4r, = 4f/4fn =
=В/Вп—В'; Г—1/1п — Н/Нп=Н', получают соотношения, анало-
гичные (1-42) и (1-43).
Таким образом, нормированная вебер-амперная характеристика
4f/=f(//) идентична нормированной кривой намагничивания В'=
которую всегда можно получить. Благодаря соответствую-
щему выбору особых точек (соответствующих 1п и Ч^) получают
50
значительное уменьшение неизвестных -параметров нелинейного эле-
мента. В данном случае можно провести исследования цепи и без
предварительного определения числа витков и размеров нелинейной
катушки.
Рассмотрим еще в качестве примера характеристику нелинейного
элемента, которая аппроксимируется полиномом второго порядка
1= 6Zo“f-C!itZ“f-6Z2W2. (1-44)
Коэффициенты ао, и а2 имеют размерности, при этом еще и
различные: а0 — размерность тока, ах — размерность проводимости,
6Z2 — размерность проводимости, деленную на размерность напря-
жения.
Для получения безразмерного уравнения делят правую и левую
части (1-44) на а0
i й\ d2
у=~^ = 1 +‘^Г“ + Т’“2- П-45)
Коэффициент k = a,ilav имеет размерность, обратную напря-
жению.
Затем производят преобразование (1-45) следующим образом:
, . , , #2^0 «21 Л
y^\+ku+-^^^.
Если ввести обозначения: x—ku,
a==a0a2/a2lt (1-46)
то окончательно получим:
где %, у и а — безразмерные величины; х — нормированное (безраз-
мерное) напряжение; у — нормированный (безразмерный) ток.
Нормированное уравнение позволяет оценить безразмерные ко-
эффициенты и определить роль отдельных членов полинома. Если,
например, я<С1, то при малых значениях х третьим членом полинома
по сравнению с единицей можно пренебречь. Если же а^>1, а х имеет
значение порядка единицы, то можно пренебречь первым и вторым
членами полинома.
Б. Нормирование уравнений
Если в уравнениях для нелинейных цепей, которые
получают с помощью законов Кирхгофа, все члены —
относительные величины, как и при нормировании ха-
рактеристик, то можно получить уравнения цепей в без-
размерной (нормированной) форме. При этом время t,
входящее в уравнения, нормируется в виде x—tjT^
а в качестве То выбирается либо постоянная времени
соответствующей цепи, либо продолжительность перио-
да, если входящие в уравнения функции периодические.
Так как нелинейные (алгебраические или дифферен-
циальные) уравнения в общем случае не могут быть
4* 51
разрешены аналитически, то введение нормирования и
связанного с ним уменьшения числа неизвестных пара-
метров дает преимущество при получении общих зако-
номерностей. Например, очень большое число нелиней-
ных колебательных цепей описывается одним нормиро-
ванным дифференциальным уравнением, решение
которого обладает общей наглядностью.
В. Разнормирование
Если задача решена в нормированной форме и най-
дены нормированные решения х и у или в случае вре-
менной зависимости — x(t) и y(t), то для окончательно-
го решения задачи необходимо произвести разнормиро-
вание, т. е. осуществить переход к физическим исходным
величинам. Разнормирование является обратным про-
цессом нормированию. Так, в последнем примере (§1-5)
для определения исходных физических величин u(t) и
i(t) на основании (1-45) и (1-46) получим:
ф)==я0?/(/).
1-6. ТЕХНИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
А. Свойства резистивных нелинейных элементов
(элементов, не накапливающих энергию)
Резистивные нелинейные элементы можно подразде-
лить на: а) терморезисторы, нелинейность сопротивле-
ния которых основана на свойствах металлов (вольфра-
ма, железа в атмосфере водорода) или на свойствах
полупроводников (термисторы); б) резисторы с нели-
нейными сопротивлениями, не зависящими от темпера-
туры, к которым относятся резисторы с симметричной
вольт-амперной характеристикой (варисторы) и обла-
дающие несимметричной вольт-амперной характеристи-
кой полупроводниковые диоды (кремниевые, германие-
вые, селеновые и т. п.); в) вакуумные и газоразрядные
элементы.
Температурно-зависимые сопротивления (термосопро-
тивления). Свойства терморезисторов. Основ-
ной причиной нелинейности вольт-амперной характери-
стики терморезисторов является изменение удельного
52
электрического сопротивления под действием нагрева
при прохождении тока по терморезистору; так как со-
противление его зависит от температуры, то при экспе-
риментальном определении вольт-амперных характери-
стик необходимо указывать состояние окружающей сре-
ды (например, температура 20 °C). Типичным
Рис. 1-37. Рис. 1-38.
представителем металлических терморезисторов являет-
ся лампа с металлической нитью, характеристика кото-
рой показана на рис. 1-37. Наибольший интерес пред-
ставляет железоводородный резистор (бареттер), со-
стоящий из железной спирали,
помещенной в стеклянную колбу.
Стеклянная колба наполнена во-
дородом при давлении 50—
200 МПа. Вольт-амперная харак-
теристика бареттера изображена
на рис. 1-38. Особенностью этой
характеристики является наличие
большого почти горизонтального
участка. Кривая имеет симмет-
ричную форму. Ее вид обусловли-
вается изменением теплоотдачи
железной спирали в атмосферу
водорода (конвекцией и излуче-
нием).
Лампа с угольной нитью представляет собой нели-
нейный резистор с отрицательным температурным
коэффициентом. Ее вольт-амперная характеристика
представлена на рис. 1-39.
Термистор. Широко применяются температурно-
зависимые полупроводниковые резисторы — термисторы.
Сопротивление существенно зависит от температуры.
Терморезисторы состоят преимущественно из смеси двух
53
или нескольких компонентов, которые имеют большой
отрицательный температурный коэффициент. Основной
причиной нелинейности вольт-амперной характеристики
термисторов является увеличение числа носителей заря-
дов в полупроводнике при повышении температуры. При
малом токе, практически не вызывающем нагрева тер-
мистора, температура термистора равна температуре
окружающей среды и, если последняя неизменна, со-
противление его почти постоянно, что соответствует
линейному участку характеристики от нуля до точки Р
на рис. 1-40. При увеличении тока сопротивление за-
метно уменьшается и крутизна характеристики умень-
шается тоже. При определенном токе 1т падение на-
пряжения максимально Um. При повышении тока паде-
ние напряжения уменьшается, что соответствует резко-
му уменьшению статического сопротивления и отрица-
тельному дифференциальному сопротивлению.
Закономерность хода характеристики существенно
зависит от температуры окружающей среды и способно-
сти среды отводить тепло, выделяющееся в термисторе.
Вид вольт-амперной характеристики зависит также йот
состава полупроводника. На рис. 1-41 показаны харак-
теристики для трех различных соотношений смеси ком-
понентов полупроводника при неизменных условиях
теплоотвода.
Аппроксимация характеристик т е р м и с т о р а. Ха-
рактеристика термистора сильно изменяет свой вид (варьирует)
в зависимости от состава полупроводника и технологической обра-
ботки (рис. 1-41).
54
Для аппроксимации характеристики (рис. 1-40) можно восполь-
зоваться функцией
Для определения коэффициентов используют метод выравнива-
ния с введением новой переменной
G=I!U.
Тогда получают:
G =
что совпадает с (1-34) и позволяет применить метод выравнивания.
Температурно-независимые резисторы с симметрич-
ной характеристикой (варисторы). К температурно-неза-
висимым резисторам относят тиритовые и вилитовые
резисторы, которые имеют симме-
тричные характеристики, их называ-
ют варисторами. Тиритовые и вили-
товые резисторы изготавливаются из
смеси графитового и карборундово-
го порошка. После соответствующей
технологической обработки эта смесь
прессуется в виде дисков. Нелиней-
ность вольт-амперной характеристи-
ки тиритовых и вилитовых резисто-
ров объясняется тем, что частицы
проводника (графита) покрыты тончайшей пленкой окис-
ла кремния SiO2, являющегося полупроводником, сопро-
тивление которого зависит от напряжения. Их вольт-ам-
перная характеристика имеет симметричный вид и изо-
бражена на рис. 1-42.
Аппроксимация характеристики -в а р и с т о р а. Ха-
рактеристика варистора достаточно точно может быть аппроксими-
рована неполным полиномом пятой степени
I=aV+bU*+cU\
Целесообразно определить коэффициенты по методу выбранных
точек. Поскольку сопротивление варистора с увеличением температу-
ры уменьшается, а, следовательно, при одном и том же напряжении
ток возрастает, температурное влияние на характеристику можно
учесть следующим образом:
/ = ^ + ^ + ^/[1 _ а(В —а0)],
где б0— температура, при которой определялись коэффициенты а,
Ь, с\ б — существующая (текущая) температура; а — отрицательный
температурный коэффициент.
При определенных условиях характеристика варистора хорошо
аппроксимируется параболой /=А£/а, для которой коэффициенты А
и а могут быть определены либо методом выравнивания, либо мето-
дом выбранных точек.
55
Элементы с запирающим слоем. В первую очередь та-
кими элементами являются полупроводниковые
диоды (вентильные резисторы), обладающие несимме-
тричной характеристикой, изображенной на рис. 1-43,а.
К ним относят купроксные и селеновые выпрямители,
а также кремниевые и германиевые плоскостные диоды.
Несимметрия характеристики объясняется наличием
потенциального барьера на р-п-переходе. Значение по-
тенциального барьера зависит от полярности напряже-
ния на выпрямителе. Вольт-амперная характеристика,
т. е. зависимость тока через р-п-переход от приложенно-
го напряжения, выражается соотношением
I = I^>(eeU'kT- 1). (1-47)
где qe — заряд электрона 1,57 • 10~19 Кл; & —постоянная
Больцмана, равная 1,38-10-23 Дж/К; Г —абсолютная
температура, К; /обр — обратный ток р-м-перехода, кото-
рый зависит от размеров и характеристик материала,
примесей и температуры.
Коэффициенты в (1-47) определяются из эксперимен-
тальной характеристики.
В противоположность идеальной характеристике р-/г-
перехода по (1-47) на практике появляются отклонения,
которые вызваны сопротивлением кристалла в обеих зо-
Рис. 1-44.
нах (сопротивлением перехода 7?пер) и небольшим обрат-
ным током через зону перехода вследствие конечной
проводимости в зоне запирания Эти условия могут быть
учтены отдельными элементами эквивалентной схемы
замещения, представленной на рис. 1-43,6, где D — иде-
альный диод; /?пер — сопротивление перехода; /?ут— со-
противление утечки. Сопротивления 7?Пер или 7?ут вызы-
вают необходимость поправки характеристики как в зоне
пропускания, так и в зоне запирания идеальных диодов.
56
Опорные диоды (диоды 3 е н е р а). Дальней-
шим отклонением от идеальной характеристики полупро-
водникового диода является, при определенных условиях
(например, узкая зона перехода у кремниевых или гер-
маниевых точечных диодов), повышение тока в зоне за-
пирания (эффект Зенера). Вольт-амперная характери-
стика в этом случае принимает вид, представленный на
рис. 1-44. Это изменение характеристики обусловлено
Рис. 1-45.
Рис. 1-46.
двумя причинами: туннельным эффектом и лавинным
прорывом, который возникает вследствие ударной иони-
зации. Этот эффект резкого возрастания тока при об-
ратном напряжении может быть использован для ста-
билизации напряжения.
Туннельные диоды. Туннельный диод представ-
ляет собой полупроводниковый плоскостной диод, у ко-
торого в отличие от обычного полупроводникового диода
очень большая концентрация примесей в р-п-областях.
Большой процент примесей в диоде обусловливает
так называемый туннельный эффект, благодаря которо-
му наблюдается резкий пробой на определенном участ-
ке положительных напряжений, приложенных к диоду.
Физические явления, происходящие в туннельном дио-
де, определяют форму его вольт-амперной характеристи-
ки, изображенную на рис. 1-45. Как следует из харак-
теристики, которая является неоднозначной, при некото-
рых напряжениях диод обладает отрицательным диффе-
ренцйальным сопротивлением. Граничная частота рабо-
ты диода — тысячи мегагерц. Эти факторы определили
широкое применение туннельных диодов в логических и
управляющих схемах высокоскоростных счетно-решаю-
щих устройств.
В основе принципа действия туннельного диода, как
уже было отмечено, лежит так называемый туннельный
57
эффект. Явление это может быть объяснено только
с точки зрения квантовой физики.
Смысл этого явления заключается в том, что когда
толщина р-п-перехода очень мала, т. е. сравнима с дли-
ной волны электрона, имеет место определенная вероят-
ность того, что часть электронов преодолеет потенциаль-
ный барьер, хотя их энергия меньше, чем энергия потен-
циального барьера. Электрон как бы пользуется своеоб-
разным туннелем, чтобы преодолеть барьер, не подни-
маясь над его уровнем. При этом если число электронов
велико, то так называемый туннельный ток может быть
значительным.
Полупроводниковый кристалл у туннельных диодов
обладает очень большой проводимостью (большим чис-
лом доноров и акцепторов), мало зависящей от темпе-
ратуры. Такой полупроводник имеет большое число элек-
тронов или дефектных электронов или дырок, что пре-
вращает полупроводник в полуметалл. Из-за высокой
степени концентрации примесей в р- и n-областях р-п-
переход обладает очень малой шириной, что создает
условия для появления туннельного эффекта.
Если при таком переходе приложить небольшое пря-
мое или обратное напряжение, то начинает протекать
туннельный ток (область 1—2 кривой на рис. 1-45).
При дальнейшем увеличении прямого напряжения, на-
чиная с t/2, поток электронов из слоя п в слой р умень-
шается и соответственно уменьшается прямой ток. В ре-
зультате на вольт-амперной характеристике получается
участок с отрицательным сопротивлением (область
2—3). При еще большем напряжении поле в р-п-перехо-
де понижается и потенциальный барьер уменьшается.
При этом туннельный эффект исчезает и ток снова
увеличивается, но уже за счет обычного явления — прео-
доления электронами потенциального барьера (так на-
зываемый диффузионный ток). Диффузионный ток ста-
новится тем больше, чем меньше потенциальный барьер,
т. е. он возрастает с повышением напряжения по такому
же закону, как и при обычном р-п-первходе (область
3—4 на рис. 1-45). Таким образом, вольт-амперная ха-
рактеристика туннельного диода (рис. 1-45) складыва-
ется из двух частей: туннельной (левее точки 3) и диф-
фузионной (правее точки 3).
Статические свойства туннельного диода удобно ха-
рактеризовать координатами экстремальных точек (2 и
58
3 на рис. 1-45), а также напряжением в точке 4, соот-
ветствующим току /2}4.
Динамический режим туннельного диода может быть прибли-
женно описан эквивалентной схемой, представленной на рис. 1-46.
В .нее входят: С — емкость р-п-перехода; L — индуктивность -выво-
дов; Rn—• сопротивление перехода. Нелинейный элемент обладает
характеристикой i(w), которая соответствует статической характери-
стике туннельного диода.
В качестве аналитического описания характеристики туннельного
диода могут быть применены различные виды аппроксимирующих
функций, например кусочно-линейная аппроксимация (отрезками пря-
мых) или смещенные относительно начала координат неполные по-
линомы.
Тринистор. Тринистор представляет собой четы-
рехслойный кремниевый полупроводниковый диод,
принципиальная конструкция которого представлена на
рис. Г-47.
Принцип действия тринистора основан на использова-
нии лавинной ионизации, далеко проникающей в направ-
лении запирания р-п-перехода (эффектЗенера,рис.1-44).
Тринистор содержит три р-п-перехода, которые обо-
значены а, Ь, с. На рис. 1-48 показана вольт-амперная
характеристика запирающего слоя. Источник э. д. с. Е
включается так, чтобы проводящие направления для пе-
рехода а и с совпали с положительным направлением
э. д. с., а проводящее направление для перехода Ь было
бы встречно (рис. 1-47).
На рис. 1-49 представлена характеристика тринисто-
ра. Область этой характеристики 0—1 качественно соот-
ветствует участку О'—Г на рис. 1-48. Область 1—2 соот-
ветствует лавинной ионизации запирающего слоя Ь, ко-
торая при достижении обратным напряжением значения
U3 ведет к быстрому переходу (несколько микросекунд)
59
ЙЗ ёбСтбяййя Непроводимости в состояние проводимости
тринистора. Область 2—3 соответствует практически
вольт-амперной характеристике запирающих слоев а и с,
если запирающий слой b закоротить.
В области 0—1 тринистор не проводит ток. В области
2—3 он работает как обычный диод в области отпира-
ния.
Для использования тринистора в качестве переклю-
чателя, режим его работы выбирают таким образом,
чтобы нагрузочная прямая пересекала вольт-амперную
характеристику тринистора
Рис. [1-50.
в нескольких точках (рис.
1-49). Если при неизмен-
ном сопротивлении нагрузки
R плавно увеличивать
э. д. с. Е, то ток повышает-
ся и при напряжении на три-
нисторе, равном U3i произой-
дет резкое изменение тока
от /1 до /2.
При э. д. с. E=U3 при за-
данном сопротивлении R три-
нистор не включится. Если
же параллельно нагрузке
включить конденсатор с емкостью С (рис. 1-50), то даже
при E=U3 произойдет включение тринистора. Это объяс-
няется тем, что в первый момент за счет емкости С воз-
никает как бы короткое замыкание сопротивления R
и нагрузочная прямая займет положение, перпендику-
лярное оси U. Это приведет к включению тринистора.
При наличии емкости С изображающая точка при
включении тринистора движется по верхней кривой,
а при выключении — по нижней кривой (рис. 1-50).
При аналитическом описании характеристики трини-
стора в основном пользуются аппроксимацией в виде
отрезков прямых.
Вакуумные и газоразрядные элементы. Вакуумные
диоды. Из теории электронных ламп известно, что ха-
рактеристика вакуумных диодов содержит три участка
режима работы. В первом, диапазоне пускового тока,
при отрицательных напряжениях она имеет вид экспо-
ненциальной кривой
1^т,
(1-48)
60
Где ток насыщения 1s и температурное напряжение VT
являются постоянными; /а — анодный ток; £7а —анодное
напряжение.
Второй участок, диапазон пространственного заряда,
описывается по закону пространственного заряда
Ja = kU312 , (1-49)
где k — постоянная, определяемая конструкцией лампы.
В третьем диапазоне насыщения характеристика
представлена законом Ричардсона — Душмана
Is = AT*e~b/T = const, (1-50)
что в большинстве случаев нарушается из-за воздейст-
вия внешней напряженности поля на поверхность ка-
тода.
На рис. 1-51 показана характеристика вакуумного
диода с его тремя типичными режимами работы (диапа-
зон пускового тока /, диапазон пространственного заря-
да II, диапазон насыщения ///). Диапазон насыщения
выражается по-разному в зависимости от конструкции
катода.
Отклонение экспериментально полученных характе-
ристик теоретических зависимостей (1-48) — (1-50) воз-
никает из-за неучета некоторых предпосылок, которые
допускаются при выводах (например, конечные началь-
ные скорости электронов в случае закона пускового тока
или непрерывный переход из области пространственного
заряда в область насыщения вследствие различной тем-
пературы вдоль катода). В диапазоне пускового тока
характеристика приближается к квадратичному закону,
а в диапазоне пространственного заряда — к линейному.
Газоразрядные приборы. Наряду с элек-
тронными вакуумными приборами широкое применение
находят газонаполненные приборы. Существенную роль
в протекании через них тока играют ионы газа или пара,
находящегося в их колбе. Поэтому такие приборы часто
называют ионными или газоразрядными.
На рис. 1-52 показана характеристика газоразрядно-
го промежутка до начала дугового разряда. Для нагляд-
ного изображения такой характеристики обычно приме-
няют логарифмический масштаб. Участок А кривой соот-
ветствует несамостоятельному разряду, а участок В —
самостоятельному. Форма разряда, который устанавли-
61
Баемся при переходе от несамостоятельного к самостоя-
тельному разряду, в основном определяется процессами
на катоде разрядного промежутка. Если у катода не
поддерживается высокая температура, а в цепи питания
разрядного промежутка включен резистор с достаточно
большим сопротивлением, то устанавливается так назы-
ваемый тлеющий разряд. Второй вид возможного раз-
ряда в газонаполненных приборах — дуговой разряд.
Такой разряд легко может быть получен в широком ин-
тервале давления газа или пара, если у электрода, слу-
жащего катодом, поддерживается высокая температура.
Газоразрядный диод (газотрон). Газораз-
рядный диод представляет собой газонаполненную лам-
пу с катодом накаливания, которая использует свойства
несамостоятельного газового разряда. На рис. 1-53 пред-
ставлена конструкция такой лампы. Катоду К сообщает-
ся высокая эмиссионная способность для обеспечения
больших значений тока. Катод снабжается экраном S,
который служит для уменьшения тепловых потерь и пре-
пятствует отложению на аноде окисей, испаряющихся из
катода. Сосуд G изготовлен из стекла или металла и за-
полняется парами ртути или инертными газами.
На рис. 1-54 показана вольт-амперная характеристи-
ка газотрона. Электроны, испускаемые катодом, ускоря-
ются в положительном поле и образуют электронный
поток на участке ОА кривой. При достижении опреде-
ленного напряжения (напряжения зажигания) наступает
возбуждение и ионизация атомов газа. Возникают вто-
ричные электроны и положительные ионы. Последние
компенсируют отрицательный пространственный заряд
электронов, благодаря чему при более высоких токах не
происходит повышения напряжения. Соответствующий
62
участок BD кривой является нормальным рабочим диа-
пазоном. При еще большем токе разряд переходит в са-
мостоятельный разряд, который ведет к разрушению
катода.
Вольт-амперная характеристика зависит от вида
и плотности газа, от конфигурации электродов и от
окружающей температуры.
Рис. 1-55.
Преимущества газонаполненных диодов по сравнению
с вакуумными: а) меньшее падение напряжения в про-
водящем направлении; б) большие токи при одних и тех
же размерах; в) больший к. п. д.
Лампы тлеющего разряда. Лампа тлеющего
разряда представляет собой прибор, наполненный
инертным газом с холодным катодом, в котором исполь-
зуется тлеющий разряд. У таких ламп напряжение горе-
ния является почти постоянным и не зависит от тока
(почти вертикальный отрезок кривой вольт-амперной ха-
рактеристики на рис. 1-55,п), что позволяет их исполь-
зовать преимущественно для стабилизации напряжения
Рис. 1-56.
63
(стабилитроны). При этом в большинстве случаев кри-
вая может быть аппроксимирована прямой при диф-
ференциальном сопротивлении около 100—300 Ом (рис.
1-55,6): U=U3—IRA.
Электрическая дуга. Характеристики электри-
ческой дуги представлены на рис. 1-56. Нелинейность
в этом случае объясняется
сложным процессом ионизации
в разрядном пространстве. Ха-
рактеристика ее симметрична,
если электроды одинаковы
(рис. 1-56,а), или несимметрич-
на, если они различны (рис.
1-56,6). При низкой частоте
точки характеристики устанав-
ливаются практически безынер-
ционно, при более высокой ча-
стоте проводимость ионизиро-
ванного междуэлектродного пространства вследствие
теплового процесса начинает следовать с опозданием за
изменением напряжения. Поэтому характеристика полу-
чается в виде петли гистерезиса (рис. 1-56,в).
На рис. 1-57 показана вольт-амперная характеристи-
ка электрической дуги постоянного тока длиной I в ка-
честве параметра. При постоянной длине дуги вольт-ам-
перную характеристику можно аппроксимировать урав-
нением гиперболы
С7-Л+В/7.
(1-51)
Постоянные А и В могут быть определены с помощью метода
выравнивания. При У=С7; X—XfT получают уравнение Y—BXA-A,
из которого могут быть определены постоянные А и В.
Если затем определить коэффициенты А и В для различных
длин дуги I и представить их в виде зависимостей А(1) и В(/), то
при удовлетворительной степени точности их можно представить ли-
нейными соотношениями A(l) =a-\-bl, B(l) —cA-dl.
Если эти соотношения вводят в (1-51), то получают:
U=a+bl+(c+dl)/L
Это соотношение известно как уравнение Айртон.
Обобщенный экспоненциальный элемент (ОЭЭ). Ряд
нелинейных резисторов обладает экспоненциальной ха-
рактеристикой или характеристикой, которая может
быть приближенно аппроксимирована экспоненциальной
функцией,
64
Целесообразно для математического рассмотрения
данной группы резисторов введение обобщенного экспо-
ненциального элемента, который обладает универсаль-
ной нормированной характеристикой и способностью
согласования с реальными элементами с заданными ха-
рактеристиками.
t
Этот ОЭЭ может рассматриваться как реальный,
частотно-зависимый коммутирующий элемент с вольт-
амперной характеристикой вида
i = Is _ А) + (U _ z (1 -52)
Уравнение (1-52) неявное как в отношении напряже-
ния U, так и тока I. Этому уравнению соответствует
эквивалентная схема, представленная на рис. 1-58.
Идеальный экспоненциальный элемент обладает ха- _
рактеристикой типа
r = Iseu''v. (1-53)
Если коэффициенты (1-52) находятся в пределах
|Л[ < оо, 0</5<оо, 0<^7?р<оо,
О Rv < оо, 0 < V < оо,
то характеристика ОЭЭ хорошо согласуется с экспери-
ментальными кривыми. При этом в сопротивление Rv
могут быть включены все линейные сопротивления, на-
ходящиеся в последовательном соединении с нелиней-
ным элементом.
Уравнение (1-52) описывает характеристики следую-
щих нелинейных элементов при низких частотах.
5-W 65
Ламповые диоды. При малых токах они обла-
дают экспоненциальной характеристикой в соответствии
с (1-48) или (1-53). При больших токах вследствие про-
странственного заряда появляется отклонение (рис.
1-59), которое может быть учтено с помощью сдвига
характеристики на разность напряжений Д(/(/), которая
приближенно равна:
AU(I)=IRV,
где Rv — оптимальный (выбираемый) аппроксимирую-
щий параметр.
Благодаря этому в данной области характеристика
лампового диода
представляет собой особый случай ОЭЭ (Д=0, Rp = oo).
Полупров одни ков ые диоды. Полупроводни-
ковые диоды с р-переходом обладают экспоненциальной
характеристикой в соответствии с (1-47), которая сдви-
нута за счет сопротивления утечки (рис. 1-43) и может
иметь вид:
/ - Is (e(U-'Rv)IV - 1) + (U -
который также представляет собой особый случай ОЭЭ,
при А = 1, т. е. характеристика проходит через нулевую
точку.
Транзисторы. Входные характеристики транзит
торов в схеме с общим эмиттером или базой можно так-
же аппроксимировать с помощью особого случая ОЭЭ,
при котором Rp=oo, т. е.
Параметры в (1-52) определяются для заданного эле-
мента по статической характеристике. При этом могут
быть приняты следующие допущения. Для больших
отрицательных значений напряжений U параметры у вы-
шеуказанных элементов имеют значения такого же по-
рядка; поэтому справедливо соотношение
- Л/54- С7//?р. (1-55)
Это соответствует прямой с наклоном 1/7?р (рис.
1-60), по которой можно получить параметр Rv и произ-
ведение Д/g.
При малых напряжениях (U->0) можно пренебречь
влиянием добавочного резистора, и из (1-52) для (7=0
следует:
7-/6(1-Л).
Теперь можно определить по точке пересечения
вольт-амперной характеристики с ординатой и по пря-
мой в соответствии с (1-55) параметры Is, А и
Ри-с. 1-60. Рис. 1-61.
При больших положительных токах экспоненциаль-
ный член в (1-52) значительно больше других, поэтому
можно принять:
После введения двух соответствующих пар парамет-
ров (17, /) в этой области можно затем определить V
и R каким-либо способом, например методом выбранных
точек.
Нормирование уравнения характеристик ОЭЭ. Если ©вести в ка-
честве нормированного напряжения соотношение
и AIsRv isrv
x^V(\+Rv/RP)+V{\ + Rv/Rp)±ln V(\ + Rv/RP) 9
а в качестве нормированного тока
, AIs^v , Rv , Wv „
y-~ V + V + Rp n 1(1 + RV/RP) ' <b57)
то ‘из (1-52) после преобразования получим простое нормированное
уравнение характеристик ОЭЭ
у-рх = ех^+Р^, (1-58)
где p=Rv!Rp—единственный параметр, который присутствует
в (1-58).
Соотношения (1-56) и (1-57) показывают, как U и I связаны
с напряжением V-(l-h/?v/Rp) или с током V/Rv', остальные члены
есть постоянные смещения координат.
5* 67
После логарифмирования (1-58) преобразуется:
х=У—рх+ln у—рх. (1-59)
При введении переменной z=y—рх i(l-59) примет вид:
x(z) =z+ln z.
Для этого уравнения Призе определил и представил в виде таб-
лицы разрешающую функцию z(x) —D(x). С помощью этой функции
(1-59) можно решить в явном виде
y=D(x) +р(х).
Эта кривая получается непосредственно из функции D(x) благо-
даря введению косоугольных координат с наклоном, соответствую-
щим значению р (рис. 1-61).
Свойства функции y=D(x). Функция D(x) имеет производную
dD (х) Idx=D (х) /[ 1+D (х) ].
Для х—>оо производная функция стремится к единице, а для
х—)—оо — к нулю. Область наибольшего изгиба кривой находится
в области нулевой точки. В зависимости ®т выбора области аргумен-
та, т. е. в зависимости от нормированного отклонения х, получают
кривые с возрастающей кривизной при 'меньших или больших откло-
нениях (рис. 1-62,а—г). Это дает возможность определить, насколько
способна к согласованию характеристика ОЭЭ, начиная от слабо изо-
гнутых экспоненциальных функций до практически ломаных харак-
теристик выпрямителя.
Б. Управляемые нелинейные резистивные
элементы
Вакуумные электронные лампы с сетками. Существует
большое количество электронных ламп с сетками, обла-
дающих различными характеристиками.
Триоды. Простейшим представителем этой группы
является триод, анодный ток которого при постоянной
температуре катода является функцией двух перемен-
68
ёых: анодного напряжения t/a й напряжения на сет-
ке Uc:
Uc).
Статические характеристики триода сни-
маются без сопротивления нагрузки (рис. 1-63) и имеют
существенное значение для описания работы лампы.
Зависимость анодного тока от потенциала сетки при
постоянном напряжении на аноде
/а = f 1 (^c)l Ja==const
представляет собой семейство статических сеточных ха-
рактеристик, а зависимость анодного тока от потенциала
анода при постоянном напряжении на сетке
/а = f2 (^а)Ь_СОП8,
— семейство статических анодных характеристик лам-
пы (рис. 1-64). Располагая одним семейством характе-
ристик, легко строим второе.
Рис. 1-63.
Рис. 1-64.
Параметры ламп. Важнейшими параметрами ламп явля-
ются:
а) крутизна анодно-сеточной характеристики
S = Д7а/Д(7с It7a=const*
имеющая размерность проводимости;
б) проницаемость
Р = Д17с/ДУа|/-со^;
в) внутреннее сопротивление лампы
7?Z = A(/a/A/al[/c=const.
Их определение по кривым Za (Z7C) при = const показано на
рис. 1-65. Для крутизны характеристики
/a(i/c) lt/ast/a2
S=AZa/AtZc,
69
при
D = At/a/M/c j/a=/,a = (Ua2 -£/а1)/Д£/с |/a=/,j
внутреннее сопротивление
Rl — MJ a/ A/a — (^a2 —^ai)/A/a It7c=t7'c*
Параметры ламп не представляют собой постоянных величин
вследствие нелинейности характеристик ламп, а являются функциями
потенциалов анода и сетки.
На рис. 1-66 показаны типичные графики зависимости парамет-
ров от напряжения на сетке при постоянном анодном напряжении.
Существенное влияние на характер изменения параметров оказывает
как напряжение на электродах, так и конструкция ламп. При малых
анодных токах заметным становится ток сетки, кривая которого
в зависимости от напряжения на сетке показана на рис. 1-67; пред-
ставлена типичная кривая анодного трка, который появляется как
разность катодного тока и тока сетки. Пунктирные кривые показы-
вают влияние появляющегося вторичного электронного тока на аноде
на кривые I&(UC) и /с(^с).
70
На рис. 1-68 представлены зависимости анодного тока и тока
сетки от анодного напряжения при постоянном напряжении на сетке,
а на рис. 1-69 показано влияние материала катода на анодно-сеточ-
ную характеристику в области насыщения. Область тока насыщения
соответствует режиму, при котором электроны, эмиттированные ка-
тодом, удаляются от него, и объемный заряд около катода исчезает;
согласно рис. 1-69 насыщение наиболее ярко выражено у вольфра-
ма (1) и менее у торированных катодов (2); у оксидных (5) ток не
достигает насыщения.
Лампы с несколькими сетками. Введение новых элек-
тродов существенно влияет на вид характеристики ламп. Так, у че-
тырехэлектродной лампы (тетрода), у которой между анодом и
управляющей сеткой помещена дополнительная сетка, служащая для
экранирования электродов лампы от поля, создаваемого анодом, при
сильно положительной экранной сетке возникает вторичная электрон-
ная эмиссия, которая в определенной области анодного напряжения
снижает анодный ток (рис. 1-70). Экранная сетка, ослабляя поле-
около катода, связанное с потенциалом анода, приводит к увеличе-
нию внутреннего сопротивления лампы.
На рис. 147 показаны анодные характеристики пентода с напря-
жениями Uа или Uс в качестве параметра, у которого'помимо экран-
ной сетки имеется еще защитная сетка, расположенная между экран-
ной сеткой и анодом, соединенная с катодом внутри лампы или вне
ее. Поэтому характеристики пентодов не имеют провалов, и с воз-
растанием анодного напряжения анодный ток изменяется монотонно.
Методы аппроксимации характеристик трехэлектродной лампы
(триода). Эти методы могут быть распространены и на другие типы
электродных ламп.
На рис. 1-72 показана типичная анодно-сеточная характеристика
f (^с) const •
Важнейшими при аппроксимации являются:
а) значение анодного тока = которое определяется при
£/р=0, т. е. . •
/» = H0)lu,=const;
71
б) значение сеточного напряжения Uc — Uci, при котором анод-
ный ток принимает значение, равное нулю:
/a = 0 = f(yCI)|l/a=const;
в) крутизна So при Uc — О
s0 = dzawc hc=0.
Аппроксимация характеристики в начальной области и в области
пространственного заряда. Аппроксимация экспоненци-
альной функцией. Начальная область характеристики хорошо
описывается экспоненциальной функцией
/а = аеьис,
где коэффициенты имеют размерности: а — тока, b — обратную на-
пряжения, Uс — сеточного напряжения.
Эта аппроксимирующая фУнкДия представляет собой особый
случай обобщенного экспоненциального элемента. Коэффициенты
можно определить согласно § 1-6 или с помощью 'метода выравни-
вания.
В результате получим:
У = In -у = b 1Л = ЬХ. (1-60)
/о
При Uc — 0 ток /а —i’o (/о— ток покоя) и In — = 0. Отсюда сле-
дует, что а — 1$.
Коэффициент b характеризует наклон прямой (1-60).
Аппроксимация с помощью полинома второго
порядка. Начальная область характеристики (рис. 1-72) хорошо
аппроксимируется полиномом второго порядка. В этом случае
/а = Цо“Ь^1^с“Ь^2^2Сл
где коэффициенты «о, ал и а2 можно определить методом выбранных
точек. Для этого характеристика и аппроксимирующая функция
должны совпадать в точках Pi с координатами (—J7ci, 0) и Р2
с координатами 0, /0. Это приведет к двум уравнениям
0 = Ц] U с 14-6zi72c 1 j
i& = aQ.
Третье уравнение получают, приравнивая производную аппрокси-
мирующей функции и крутизну характеристики So в точке Р2 (0, /о):
<//а dZa I о
ИЛ = а' + W7c = ШЛ |i/c=0 = S°-
Для определения коэффициентов полинома могут быть использо-
ваны соотношения:
— a| = SQ; a^=(S0Uc\—h)lU2c^
7&
Аппроксимаций к а«р а к тер й «б t й к й с помощью
прямой. В области пространственного заряда характеристика «мо-
жет быть аппроксимирована прямой с наклоном, равным крутизне
в рабочей точке:
/а = /0+5(/с. (1-61)
Ток покоя Iq определяется выбранным анодным напряжением.
Линеаризованная характеристика пересекает ось абсцисс 7а=0 при
При анодном напряжении U&o линеаризованная характеристика
проходит через начало координат (рис. 1-73,a); Uci можно предста-
вить в виде
t/cl=-D(t/al-(/a0)=-D[/a. (1-63)
Учитывая (1-62) и (1-63), получаем из (1-61):
7а ^SDUa+SUc =3 (UC+DU&),
где анодное напряжение можно заменить напряжением U&q.
Опорное напряжение ii7ao в семействе линеаризованных характе-
ристик соответствует случаю отсутствия анодного тока при £/ci=0
(7а=0 при Z7c=0). Его легко определить, используя семейство
анодных характеристик (рис. 1-73,6).
Аппроксимация всей харак-
теристики электронной лампы
Характеристика электронной лампы (ваку-
умного триода) во всем диапазоне ее рабо-
ты может быть аппроксимирована в виде
ломаной прямой линии (рис. 1-74), которая
имеет три области:
1) Uc<Ucl, /а = 0;
2) 47ci < Uc<UcS, /а = /о + SUQ;
3) Uc>UcS, la = /s,
где /о — ток покоя при Z7c=0; Is — ток насыщения.
73
Ё случае симметрично^ характеристики при анодном напряже-
нии Uа8 прямая проходит через
I0=Isl2=—SUCi,
а учитывая (1-63), получаем:
IQ = I8/2=SD(UaS—tfao).
Анодное напряжение, которому соответствует симметричная ха-
рактеристика, ра-вно:
UaS==U ao4“-^s/2SZ).
Тогда уравнение линеаризованной симметричной характеристики
можно представить в виде
I о 1 о / 2S \
/а==~2~ "Ь SUc = "~2~ I 1 + Uc \ = ~2~ 0 4“ ^с) >
где X=f2S//s.
Перейдем от симметричной характеристики, соответствующей
t7a = i/as, к любой характеристике для произвольного напряжения
Uа. Сеточное напряжение UC2 при /а=0 и напряжении <Ua равно:
—^Uc2-mUa-^Ua0),
где D — проницаемость.
Разность иС2 и Uci составит:
Ai7 с = U с2—и С1=—D(Ua~~U as).
Тогда анодный ток
Is !s
/а = — + S(^S + Д</с) = — [1 + HUS +
Аппроксимация с помощью гиперболического
тангенса. Для математического описания всей характеристики
триода можно воспользоваться гиперболическим тангенсом
Ia=a+bth$Uc.
На рис. 1-75 показана симметричная вольт-амперная характери-
стика Ia=Is/2. Коэффициенты at b и р могут быть определены по
методу -выбранных точек из следующих условий:
Из первого условия
а=/з/2.
Так как при больших значениях аргумента (в данном случае
при больших значениях Uc)
th рг/с«1,
74
то из второго условия
/a=/s;
ls=a-\-b—I
откуда
b = Isf2.
Тогда анодный ток
/s
/а = — (1+thft/c),
(1-64)
а коэффициент р определится из третьего условия.
Крутизна
2 lch2₽:/c’
при Uc = О S = 30:
₽/5/2 = S0,
откуда следует, что
Несимметричную характеристику можно получить из симметрич-
ной с помощью координатного смещения (пунктирная кривая на
рис. 1-75). В этом случае анодный ток
7S
/a = -r[l+th₽(t7c + A[7c)J.
Аппроксимация характеристики триода с уче-
том сеточного тока. Катодный ток'(рис. 1-76) можно пред-
ставить в виде сеточного и анодного токов
1а = /к—Ze.
• Для определения анодного тока катодный и сеточный токи вы-
разим аналитически:
7К=А(£/С); Zc=f2(i/c).
Тогда ।
Za = fl(^c)-f2(i7c). .
Аппроксимация неполным по л ин о М*ом т р ет-ь е.гго
порядка. Можно непосредственно найти аппроксимирующее вы-
75
ражение для /а(£/с). С этой целью ’можно воспользоваться неполным
полиномом третьего порядка
/а = Йо+Л1^с4-Оз^3с. (1-65)
В этом случае исходим из симметрии характеристики (рис, 1-77),
для которой условие /о=/мак с/2 является необходимым.
Коэффициенты неполного полинома определяют с помощью ме-
тода выбранных точек из условий:
/, = /(^с)^с=0 = /о = 7м/2;
Sо*= diл/dUс _о;
Si = dl^/dUc /с7с=—£7С1 = 0;
откуда в соответствии с (1-65) для коэффициентов по, fli, 0з по-
лучаем:
Со=== 7макс/2; Oi=Soj —•So/3,i/2ci.
Таким образом,
/а = + $о^с — зу2(;1 t/’c-
Из симметрии кривой относительно точки 0, /о следует, что при
UC = UC] ток /а=/макс, ПОЭТОМУ
/макс= + SqUci —^’сь
откуда
г, 3 . ~
vei = /макс/^о
или
16 с
#з = — '27' о’о/1 макс*
Окончательно получаем:
Если кривая относительно точки пересечения с ординатой несим-
метрична (/а=/=.1/макс/2) И ОСЬ СИММеТрИИ СДВИНуТЗ НЗ Vс=ди
(рис. 1-78), то уравнение вольт-амперной характеристики принимает
вид:
/а=[j + ад {Uc+Д£0+а. ^ад»у (Uc+At/)3j.
Аппроксимация с помощью синусоидальной
функции. Характеристику (рис. 1-78) можно аппроксимировать
тригонометрическим полиномом вида:
= а + b sin n(Ut + At7),
76
где\ коэффициенты а и b имеют размерность тока, п — размерность,
обратную напряжению.
Для определения коэффициентов, используют метод выбранных
точек, исходя из условий, что при Uc=—AiU ток
/а == /(Ус) It7c=—ДС7 = Атаке/2;
/а = /(С/с) 1^=-^ - 0;
/а = /(Ус) 1с;с=и3 —
Из первого условия следует
Я=/макс/2,
из второго условия с учетом, что п(—Vi+AU)==—л/'2, получается:
Ь = ^ = /макс/2,
из третьего условия следует:
n=jr/2(t72+A^).
Определение параметров ламп. После аппроксимации
переходим к определению параметров ламп 5|(Ус) или Ri(\Uc). Из
(1-64) определяют крутизну
So
S = ch2 fZ7c = ~
Внутреннее сопротивление лампы
R 1 /SD = 1 /DS0 (1 —th21₽ U c),
если проницаемость лампы D принимается постоянной.
Тиратроны. Тиратрон представляет собой управляе-
мый газоразрядный элемент (рис. 1-79), который обычно
строится и работает как газонаполненный диод, так как
обладает односторонней проводимостью. Однако от по-
следнего он отличается тем, что одновременно обладает
одной или двумя управляющими сетками между разо-
греваемым катодом и анодом. У тиратронов давление
77
газа и допустимые анодные токи (до 10 А) того же
порядка, что и у газонаполненных выпрямителей. Дейст-
вие управляющей сетки тиратрона существенно отли-
чается от действия сетки вакуумного триода. В то время
как у триода путем изменения сеточного напряжения
можно управлять анодным током, у тиратрона сетка
регулирует только момент зажигания лампы. Соответст-
вующая анодно-сеточная характеристика показана на
рис. 1-80. Сеточное напряжение, при котором происхо-
дит зажигание, зависит от анодного напряжения С7а
и может быть получено из так называемой характерис-
тики зажигания (рис. 1-81). Верхняя половина анодно-
сеточных характеристик, которые зависят от газонапол-
нения и температуры, соответствует зажженному тират-
рону. После зажигания /а не зависит от Uc, а зависит
только от анодного напряжения. Характеристика после
зажигания представляет собой характеристику газона-
полненного выпрямителя (рис. 1-54).
Таким образом, тиратрон является ограниченно
управляемым нелинейным резистором, так как при изме-
нении потенциала сетки можно управлять моментом за-
жигания тиратрона, но нельзя прекратить уже начав-
шийся разряд между анодом и катодом.
Управляемые полупроводниковые сопротивления.
Транзистор имеет три области, которые образуют
два р-п-перехода. Средняя область является общей для
обоих р-/г-переходов, крайние области имеют одинако-
вый тип проводимости, а средняя — противоположный
им. На рис. 1-82 показано принципиальное расположе-
ние p-zz-переходов, а на рис. 1-83 — схема с обозначени-
ем токов и напряжений.
78
| Зависимость между токами и напряжениями транзистора при
медленном изменении приложенного напряжения и в предположении
большого отрицательного напряжения коллектора опи*
сывается следующими уравнениями:
/э = ls(l— а0ДГк/Г0)А/£;т ; (1 -66)
-1k = Is («о —^3lUr • (1 -67)
/б = (1 — “о)/к(1 + ДГк/Го)/(а<, — ДГк/Го). (1-68)
Здесь ит — температурное напряжение (напряжение на перехо-
де, приводящее к температурной неустойчивости); Is — постоянная
транзистора; а0 = /э/7к. Усиление тока короткого замыкания при низ-
ких частотах:
дгк = /2еа(/пРб(/(Д-- К(/д-Дк). (1-69)
В (1-69) еа—-диэлектрическая постоянная базисной области;
Un — подвижность электронов в базисной области;
электрическое сопротивление материала базы;
ид — диффузионная постоянная; UK — напряже-
ние на коллекторе (рис. 1-83).
Ток /б определяется из уравнения
^8=£4.б4-ЛЛб. (1-70)
По первому закону Кирхгофа
/э+/б+/к=0. (1-71)
Если с помощью этих уравнений графически пост
ристики, представляющие собой функциональную связь между двумя
переменными, например
—/к = /2(—/<>)»
то они выражают собой семейство характеристик транзистора для
данной схемы (схемы с общей базой), где I& или UK.& служат па-
раметром.
На рис. 1-84 приведена схема с общим эмиттером. Характери-
стика
— /к = /(— (Лс.э) |/e=const
может быть получена на основании выражений
—/к = /э(«0 — ДГк/Го)/(1 — <хоДГк/Го); (1-72)
UK — ик.д+иэ. (1-73)
• При подстановке (1-73) в (1-69) получается:
ДГс = V2е(/пРб(/(/д — V ил - ((/к.9 + иэу>. Если (1-74)
/б^б^^э.б, (1-75)
то (1-70) записывается в виде
я <ь л (1-76)
79
откуда
ДГК = I К(7д - 1/ иА — f ик.э 4- ит 1п-А
Если последнее уравнение подставить в (1-72), то получитсй:
Од — Ок.э+О71п-у|-) j
" " /Э 1 -(Ок.э+Ог1п-^)) ’
(1-77)
Выражение (1-77) представляет собой искомую характеристику
— /к = /(— t/к.э) |/6=const-
Характеристика
^б) 1—UK.9=const
из (1-68) получается:
/б = О ~ «о)/к(1 + ДВД/(«о ~ ДГк/Го) |„K<9==const.
Значение А№к определяется из (1-69). Из (1-74) с учетом (1-76)
в предположении, что «о~1,
получается:
£/к = £7к.э UT In -у— .
7s
Таким образом, принимая в качестве параметра 17к.э, можно
определять переменные /к, ^к, а также AU7H.
Характеристика
/б == f( ^б.э) |—17K 9=const
получается из (1-67) и (1-68):
— /б == /5(1 — «о) (1 + ДГк/^^^б.э+^б^/^Г.
С учетом (1-75)
— /б /5(1 - «о)(1 + ^WK/W0)e-u6.3/uT,
А№к определяется из (1-69) с учетом (1-73) и соотношения:
UK=UK.9+U9^UK.9+U6.9, (1-78)
При этом UK,Q — постоянный параметр, в то время как £7б.э —
переменный.
Характеристика
-t/6.9 = f(-t/K.9)|_,e=const
определяется из (1-78).
На рис. 1-85 представлены семейства характеристик транзистора
для схемы с общим эмиттером.
80
Тиристор. Тиристор является управляемым полу-
проводниковым элементом, созданным на основе четы-
рехслойной кремниевой структуры, в которой чередуются
слои с электронной и дырочной проводимостью. Обычно
он построен как тринистор. Принципиальное устройство
тиристора (рис. 1-86) показывает, что в отличие от три-
нистора он имеет управляющий электрод. К крайнему
слою pi с дырочной проводимостью подается плюс источ-
Рис. 1-86
ника питания, к крайнему слою п2 с электронной прово-
димостью — минус. Поэтому слой Pi называют анодом,
а слой п2— катодом. Прямым направлением для проте-
кания тока является направление от слоя pi к слою п2.
Между соседними слоями типа р и п образуются р-п-
переходы, обладающие различными сопротивлениями
в прямом и обратном направлениях. Сопротивление от-
дельно взятого перехода в прямом направлении состав-
ляет доли ома, а в обратном направлении — сотни
килоом.
К среднему слою р2 присоединяется управляющий
электрод. Источник управляющего напряжения Uy
включается между управляющим электродом и катодом.
Изменяя ток управляющего электрода, можно управлять
параметрами вольт-амперной характеристики тиристо-
ра. Вольт-амперная характеристика с управляющим то-
ком /у в качестве параметра представлена на рис. 1-87.
При отсутствии управляющего тока (7у=0) к тиристору
может быть приложено довольно большое напряжение
(^макс) при незначительном токе, протекающем через
него. При превышении напряжения 17макс сопротивление
6—447 81
Фйрйстора резко паДаеФ, происходит возрастание тока
с одновременным резким уменьшением напряжения на
структуре. Этот процесс называется переключением от
закрытого состояния в открытое или включением прибо-
ра. Этот процесс полностью
аналогичен процессам, про-
исходящим в тринисторе.
Управляющее напряже-
ние I/у, которое вызывает ток
/у, уменьшает приложенное
к тиристору напряжение до
Рис. 1-87.
Рис. 1-88.
f/максь ^макс2 и т. д. При определенном управляющем
токе (например, 17а) тиристор ведет себя как простой
неуправляемый выпрямитель. Область больших сопро-
тивлений в проводящем направлении при этом исчезает.
В запирающем направлении характеристика тиристора
соответствует неуправляемому выпрямителю.
Тиристор находит широкое при-
менение как управляемый выпрями-
тель, как переключатель или как
элемент управляющих и регулирую-
щих устройств, так как момент пе-
реключения легко управляется им-
пульсами. Переключение происходит
достаточно быстро (микросекунды),
а затраты на управляющую мощ-
ность малы.
Управляемые карборундовые со-
противления. Особые управляемые нелинейные резисто-
ры получают, если на поверхность или внутрь карборун-
довых резисторов вводят управляющие электроды. Прин-
ципиальное построение такого рода показано на рис. 1-88.
Ток /вх зависит от напряжений J7BX и (7У.
— } (Uy, UBX)-
82
На рис. 1-89 показана зависимость
Характеристики управляемых карборундовых резисторов
(рис. 1-89) целесообразно аппроксимировать функцией
/вх = CL -|“ bU^y ,
где /вх—входной ток; Uy— управляющее напряжение; коэффициен-
ты >р, а и b зависят от входного напряжения /7Вх (их также можно
аппроксимировать).
В результате характеристики управляемых карборундовых со-
противлений могут быть представлены в виде
/вх = «(t/вх) + b(UBX)UMu*x) .
Д. Сопротивления, управляемые неэлектрической
величиной
Температурно-зависимый резистор. Температура токо-
проводящего проводника зависит, с одной стороны, от
силы тока (количества теплоты), а с другой стороны, от
состояния (температуры, скорости и т. п.) или свойств
окружающей среды (теплопроводности, плотности
и т. п.). Таким образом, на ток оказывают влияние раз-
личные факторы. Основанные на температурном явле-
нии резисторы носят название терморезисторов. Они
находят применение для измерения температур, скорос-
ти газов, плотности, а также для измерений в вакууме
и других целей.
Фотоэлемент. На рис. 1-90 показана электрическая
цепь с вакуумным или газонаполненным фотоэлементом.
Ток через фотоэлемент, с одной стороны, зависит от
напряжения на фотоэлементе, а с другой стороны — от
силы светового потока Ф:
I=f(U, Ф).
6*
83
На рис. 1-91 показана зависимость I=fi(U) с пото-
ком Ф в качестве параметра для вакуумного фотоэле-
мента, а на рис. 1-92 —та же зависимость для газона-
полненного фотоэлемента. Крутизна характеристики
фотоэлемента составляет:
8 = д1/дФ,
а его внутреннее сопротивление равно:
R^dU/dl.
Светочувствительные полупроводниковые элементы.
Фоторезистор — это полупроводниковый прибор,
сопротивление которого зависит от воздействия света.
Он представляет собой слой фоточувствительного полу-
проводника п на изолирующей подложке, заключенного
между двумя токоведущими электродами (рис. 1-93).
Для изготовления фоторезисторов используются полу-
проводники, обычно имеющие электронную проводи-
мость.
Принцип действия фоторезисторов заключается
в следующем. В затемненном полупроводнике при неко-
торой температуре имеется некоторое число электронов,
находящихся в свободной зоне. Эти электроны обуслов-
ливают обычную (темновую) проводимость полупровод-
ника. Если к затемненному фоторезистору приложить
напряжение, то в цепи возникает темновой ток, значение
которого зависит от приложенного напряжения. При
освещении фоторезистора в слое полупроводника обра-
зуются дополнительные, или «световые», свободные
электроны п дырки. В связи с этим проводимость фото-
резистора увеличивается. Фоторезистор может также
управляться интенсивностью или длиной волны светд,
•84
Фотодиод — это фоточувствительный полупровод-
никовый элемент с электронно-дырочным переходом
с фотоэффектом в запирающем слое. На рис. 1-94 пока-
зан светочувствительный р-п-переход. Ток запирания
р-п-перехода определяется носителями заряда, создавае-
мыми в зоне пространственного заряда, генерация кото-
рых повышается от действия света. Ток запирания
может также управляться световым потоком Ф1. На рис.
Рис. 1-94.
Рис. 1-95.
р
1-95 показаны характеристики фотодиода в запирающем
направлении со световым потоком в качестве параметра.
Если фотодиод в запирающем направлении питается
постоянным напряжением, то значение тока зависит
только от падающего света.
Фототранзистор. Фотоэффект может быть уси-
лен путем применения транзисторного устройства, кото-
рое называется фототранзистором (рис.
1-96). Фототранзистор представляет со-
бой плоскостной полупроводниковый три-
од типа р-п-р с отключенной базой, меж-
ду эмиттером и коллектором которого
приложено напряжение питания. При
освещении фототранзистора через него
течет ток, во много раз превышающий
ток, текущий через фотодиод при тех же
условиях. Это объясняется тем, что фото-
транзистор соединяет в себе свойства фо-
тодиода и усилительные свойства тран-
зистора.
В Н елинейные емкостные элементы
Рис 1-96
Конденсатор с ферроэлектрическим диэлектриком (сег-
нетодиэлектриком). Свойства этого элемента основаны на
нелинейной зависимости между электрическим смеще-
.85
нием D и напряженностью электрического поля Н или
зарядом Q и напряжением U у так называемых ферро-
электрических материалов, применяемых между обклад-
ками конденсаторов в качестве диэлектрика. Для ап-
проксимации характеристик D = f(E) могут применяться
те же функции, что и при описании функции В (Н) ха-
рактеристик ферромагнитных материалов.
Имеется линейная аппроксимация отдельных областей (уча-
стков)
Q = a-\-bU\
аппроксимация с помощью арктангенсной функции
Q = a arctgat7+pt7;
аппроксимация с помощью гиперболического синуса
t/=ash PQ;
аппроксимация неполным степенным полиномом третьего по-
рядка
[/=a1Q+a3Q3.
Емкостный диод. Часто используемым нелинейным
емкостным элементом является диод, у которого измене-
ние пространственного заряда в запирающем слое плос-
кого р-п-перехода под действием напряжения может
восприниматься как наличие емкости. Схема замещения
такого диода показана на рис. 1-97, где C(U)—нели-
нейная емкость запирающего слоя, G(U)—нелинейная
проводимость запирающего слоя, /?к.с — суммарное со-
противление потерь в теле кристалла, контактах и выво-
дах диода, Lnp — индуктивность проводов, Спр — емкость
проводов.
86
Дифференциальная емкость C(U) запирающего СЛОЙ
определяется из кулон-вольтной характеристики Q(U)
зависимостью
C(U)=dQ(U)/dU.
Зависимость емкости от напряжения может быть аппроксимиро-
вана функцией
С (U) = CqU^d! (Vd-Uv) (1 -79)
где Ua—'падение напряжения на запирающем слое; Со — емкость
при £7=0; т —показатель степени, зависящий от концентрации при-
месей в р-п-переходе.
При скачкообразном изменении концентрации примесей в р-п-пе-
реходе т = 1/2; при распределении примесей, близких к линейным,
т=1/3.
Рассмотрим зависимость барьерной емкости от напряжения для
различных законов распределения концентрации примесей в р-п-пе-
реходе. Пусть мы имеем скачкообразный переход распределения про-
странственного заряда в зоне перехода (рис. d-98).
В первой области справедливо уравнение Пуассона.
Если задачу считать плоской и одномерной, то уравнение Пуассона
примет вид:
d2i<Pi/dx2=—р+/еа, (1-80)
где Ф1=ф1(х)—потенциал; р=р(х)—плотность объемного заряда
(ось х перпендикулярна плоскости р-п-перехода); еа — абсолютная
диэлектрическая проницаемость.
Полная разность потенциалов на р-п-переходе может быть полу-
чена путем двукратного интегрирования (1-80):
d<fi/dx = —хр+/еа + £г, (1-81)
= — Х2р_|_/2еа *4~- kiX -j~ kz*, (1-82)
с учетом граничных условий, что вне перехода и на его границах
электрическое поле равно нулю,
dfi/dx |х=ц = °; (1-83)
f.U+=0. (>-84)
Из (1-81) и i(il-83) следует, что
&i = /+p+/ea, (1-85)
а из (1-82) и (1-84)
Л2 = /2+р+/2ев — Л1/+ = — /2+р+/2еа. (1-86)
Зная коэффициенты ki и кг, из (1-82) определяют потенциал
в первой области
= - (*2 - 2/+х + Z»+)p+/2ea « - (X - /+)2Р+/2еа. (1-87)
Во второй области согласно уравнению Пуассона
имеем:
d^z/dx2——р_/еа;
dq>z!dx=— л?р_/еа+£3; (1 -88)
¥2 === — Х2р_/2еа kzX (1-89)
87
при 3foM (Гранитными ублбнйямй являются:
df2/dx|x=z_ = 0; (1-90)
?г|х=/о = <р1|л=/о=-^(/о~-/+?. (1-91)
Из (1-88) и (1-90) можно определить первую постоянную интег-
рирования
/г3=/_,р_/8а. (1-92)
При подстановке (1-92) и (1-89) в (1-91) получаем:
-fcZ2» + Vz-/o + A4 = -fe-(z°-z+)2 (1‘93>
или
= fc (/2“ - 2/- z«) - fc и° ~1+У- -94)
Потенциал во второй области
¥2 = [X2 - 21.х + 21.10 - /%] - (/о - /+)2 =
= “fc I*2 - /2« -21 - <* - Z»B -%; <z« - z+)2- <1’95)
В месте перехода х=1о напряженности поля должны быть рав-
dfi/dx |x=Zo = d^jdx (1-96)
Из (1-87) и (1-85) следует:
dfi/dx|x=Zo= —А)р+/еа+ Z+p4-/ea= G+ —Zo)p+/ea (1-97)
и аналогично из (1-88) и (1-92)
df2/dx|x=/o = —/Ор-Ла+ Z-P-/ea = (Z- ~ Z0)p_/ea. (1-98)
Из равенства (1-97) и (1-98) согласно (1-96) следует:
/о-/+=(/о-/-)р-/р+. (1-99)
Из (1-87) и (1-95) можно рассчитать напряжение
UD = ?S(Z_) -?I(Z+) = [/2„ - /2. _|_2/_ (Z_ - /.)] -
(/о - 1+У + U+ - М2 = IT Go -z-)2 -
—^(Z° — z+)2’
которое при отсутствии внешнего напряжения устанавливается меж-
ду точками х = 1+ и х=1-.
С учетом отрицательного внешнего напряжения U
UD-U = Ml.) - ¥>(/+) = (Zo - Z_)« - (Zo - Z+)2-
88
С учетом (1-99) это уравнение приобретает вид:
(Zo Г =
р2-
2еа
1
Р-
(/0-/-)2.
Из последнего уравнения для полосы правой зоны перехода
(рис. 1-99) в зависимости от приложенного напряжения справедливо
/о — Z-
2ea(Z/D-Z/)
1/Р--1/Р+ ’
Теперь определим заряд Q3.c, который накапливается в запираю-
щем слое:
<2з.с = РпА(/» — /_) = A /2еа(Сп — t/)p_p+/(p+ — Р-), т. е.
Q3.c = akVud-u.
(1-100)
кс.г
Рис. 1-99.
Дифференцируя (1-100) по (7, определяем дифференциальную
емкость
С = dQ3.c/dU =
Для U = 0
С = ДК'/К^ = С0. (1-101)
Из (1-101) определяется постоянная Кг:
К' = с» Vu^/a.
Тогда емкость с учетом (1-79) равна:
с = Со VиDlVиD - V = CdJD'!2HUD - С)1'2.
Эта зависимость соответствует принятой вначале аппроксимации
(1-79) для т—1/2.
Качественно вид кривой С (V) для ^-«-перехода представлена на
рис. 1-99; там же показана вольт-амперная характеристика нелиней-
ной проводимости диода, которая может быть аппроксимирована
выражением
/ =/5(Аь’/*7’—1), (1-102)
где Qe — элементарный заряд; k — постоянная Больцмана; Т — абсо-
лютная температура; Is — ток насыщения.
Р соответствии с (1-102) дифференциальная проводимость
^-^w^eQeu'kT- (1‘103)
89
Емкостные диоды работают в области запирания, т. е. с отрица-
тельным напряжением смещения С0<0. При этом проводимость
G(U), параллельная дифференциальной емкости, мала, что значи-
тельно повышает добротность емкости.
Исследуем закон изменения емкости при управлении напряже-
нием вида
U=UQ+u, (1-104)
где Uq — отрицательное напряжение смещения; и — переменное на-
пряжение.
Подставляя (1-104) в (1-79), получаем:
C<VmD C0UmD
где Uoo = UD—Uo', Coq — Co[UdKUd—t7o)]m; Coo — емкость при щ = 0.
Из (1-105) получаем выражение для заряда
Q(U)= ^c(U}du = -^^-^'~m + Kt.
Постоянную интегрирования Ki выбирают, исходя из условий:
,[/.= L/o+«=O; Q=0,
с учетом которых получаем:
; <?(“) = <?(« + Uo) - q(U0) = [ 1 - (1 -.
При т={2 из (1-105) имеем:
C(M)=Coo/(l-«/i7oo)2
и для случая «<[/оо
/ 1 и \ Г 1 “I
C(u)^Cw (J =Со° [* — 2((7D—С/о) “] ’
Если переменное напряжение синусоидально, например
и—Um cos (й)/+ф),
то закон изменения емкости будет:
С(и) = Coo [1 —Шх cos (со/ + у)],
где тх — коэффициент модуляции, равный mx=Vml^iUD—>Uo).
В связи с этим емкостные диоды можно применять в параметри-
ческих усилителях и схемах регулирования.
Управляемая нелинейная емкость. Рассмотрим конденсатор
с ферроэлектрическим диэлектриком, к которому наряду с перемен-
ным напряжением
Ю = £Лгп sin wt
90
приложено постоянное Напряжение UQ (рис. 1-100). Ё этом случае
напряжение на конденсаторе
и = Uo + Uim sin со/. (1-106)
Исследуем, каким образом зависит заряд конденсатора q или
связанный с ним ток i от постоянного напряжения UQ, т. е. как осу-
ществляется управление этими величинами посредством измене-
ния Uq.
Примем, что кулон-вольтную характеристику конденсатора
(рис. 1-101) можно аппроксимировать функцией
u=aq+bq3. (1-107)
Проведем нормирование (1-107) так, чтобы оно не содержало
параметра. Введем обозначения
y=ulUn-, (1-108)
x—q!Qn\ (Ы09)
определим относительные значения Un и Qn так, чтобы характери-
стику получить в виде
у=х+х3. (1-110)
С учетом (1-108) и (1-109) из (1-107) следует:
и _ aq b aQn q
y==Un ~Un +ип Un Qn
aQn bQ3n
ЬФп (_ч_\г =
Un J
Из сравнения последнего выражения с (1-110) для значений Un
и Qn получают две зависимости:
Un—aQn\ Un = bQ3n, из совместного решения которых определяем: (Ы11) (1-112)
q„ = /д/Ь; Un = а Vа/Ь. (1-113) (1-Н4)
Если на конденсатор с характеристикой (1-107) или в нормиро-
ванной форме (1-110) воздействует напряжение (1-106), то интере-
91
сукУгся соответствующим изменением заряда пли тока. Однако нё-
посредственное определение заряда или тока весьма сложно, так как
трудно решить (1-107) относительно заряда. Поэтому решим обрат-
ную задачу, которая отличается от поставленной, но приводит к по-
лезным результатам.
Будем считать, что заряд изменяется по закону
q = Qo + Qim sin co/; (1-115)
определим постоянную и переменную составляющие напряжения.
Пронормируем (1-115)
х = Ло + А'1/nsihco/, (1-116)
где XQ = Qn/Qn = Qo b/a\ X\m — Qim/Qn — Qim b/a.
В результате подстановки (1-116) в (1-110) получим нормиро-
ванное напряжение на конденсаторе
у — Xq Xim sin со/ -f- (Xq -p- Xim sin co/)3 =
= Xq -1— Xim sin со/ —Лз0 —ЗХ^оХщг sin co/ -}-
-f- ЗХоХ2^ sin2 co/ -f- X3itn sins co/. (1-117)
Используя известные тригонометрические преобразования:
1 1
sin2 со/ = ~2--2~ cos 2со/;
3 1
sin3 со/ — -j- sin со/ — -j- sin Зсо/;
получаем:
/ 3 \
у = X о (1 -f- Х2о 4- ~2~ j -f- Х\щ (1 -f- ЗА 20 -f-
3 \ 3 1
+ X2im । sin со/ — A oXim cos 2со/ — X3im sin Зсо/.
(1-118)
Следовательно, нормированное напряжение у состоит из постоян-
ной составляющей
( 3 \
У0==Х0 И + Л2о+-у Х^т }, (1-119)
основной гармоники с амплитудой
/ 3 \
Yim == Х^т ( 1 + ЗАГ20 -f- X2itn) (1-120)
и высших гармоник. В первом приближении будем считать, что выс-
шие гармоники отсутствуют.
Из (1-119) и (1-120) определим -искомую зависимость тока через
конденсатор от нормированного напряжения смещения Уо
92
Гок определяем из (1-115)
f=dqfdt — wQim cos со/
или после нормирования
Z i (nQim .
~Г^==177Г= "ТУ)— cos cos со/,
I п ^Чп coQ/z
где Xim — нормированная амплитуда тока, зависимость которой от
Уо и Ylm определена.
К тому же из (1-119) и (1-120) вычисляется Хо:
3
3zY20Xirn = Yim — Х\т — X^im\
Ло = / (Y,m — xlm — 3/4ЛЗ im) I ^Xim-
93
С учетом этого уравнения и (1-116) определяется искомая зави-
симость между Уо, У17Л и Xim:
Yim — — 8/4^3im
ЗАлт
Yim — ^im — z/^X^im . 3
--------oV------------rA2im
ол im
или
У0 = |ЛУ1т~^т~3/4Л31т (r.m+2?rlm + 4^m). (1-121)
F 27A3im \ /
Из (1-120) и (1-121) могут быть определены зависимости
которые характеризуют управляемую емкость и благодаря нормиро-
ванию обладают обобщающим характером.
Они представлены на рис. 1-102 и 1-103. Управляющее воздей-
ствие нормированного напряжения смещения Уо на конденсатор
хорошо видно из двух диаграмм по нормированному максимальному
значению основной гармоники тока.
Г. Нелинейные индуктивные элементы
Катушка с ферромагнитным сердечником. Простейшая
нелинейная индуктивность, состоящая из катушки с фер-
ромагнитным или ферритовым сердечником (§ 1-2).
Аппроксимация кривой намагничива-
ния. Для аппроксимации кривой намагничивания при-
94
J
меняется много различных функций. Ниже рассмотрены
только основные из них. При этом различают два основ-
ных случая, наиболее часто встречающихся на практике,
которые и являются определяющими
ксимирующей функции. Это,
во-первых, одностороннее уп-
равление (режим работы на
постоянном токе), при кото-
ром кривая намагничивания
находится в первом квадранте,
и, во-вторых, двустороннее уп-
равление (режим работы на
переменном токе), при кото-
ром используется вся кривая
при
выборе аппро-
Рис.
1-404.
намагничивания.
В первом случае при аппроксимации может быть
применена как четная, так и нечетная функция, во вто-
ром случае—только нечетная. Приведем некоторые воз-
можные пути аппроксимации кривой намагничивания.
Кусочно-линейная аппроксимация. При кусочно-
линейной аппроксимации кривую заменяют ломаной линией с одной
или несколькими точками излома. Количество аппроксимирующих
участков зависит от заданной точности и условий работы нелинейной
индуктивности. Если нелинейная индуктивность работает вблизи
области насыщения, то в большинстве случаев достаточно характе-
ристику аппроксимировать только двумя прямыми (рис. 1-104,а).
Тогда в области от 0 до Hs
B = psH,
а в области выше Hs
B = Bs+vs(H—Н8),
где \is=Bs!Hs\ vs= (Bs—BQ)/Hs.
Если нелинейный элемент работает на всем протяжении своей
характеристики, то ее следует аппроксимировать большим количест-
вом прямых (по крайней мере, тремя, как показано на рис. 1-104,6),
причем первый участок выбирается с наклоном, равным начальной
магнитной проницаемости. При двустороннем управлении (режим ра-
боты на переменном токе) поступают таким же образом с нижними
ветвями характеристики.
Аппроксимация гиперболой. Из группы гипербол для
аппроксимации кривой намагничивания в верхней области характери-
стики может быть использована функция вида (рве. 1-105)
В=Щ(а+ЬН).
Однако кривая, соответствующая этой функции, несимметрична
относительно начала координат и может быть использована только
При одностороннем управлении (режим работы на постоянном токе).
95
При определении коэффициентов можно воспользоваться методом
выравнивания. Обозначив Y—1/B и Х=1/Я, получим:
Y=\/B = b+a/H=b+aX.
Аппроксимация арктангенс ной функцией. В не-
которых случаях к-ривую намагничивания можно аппроксимировать
функцией, определяемой выражением
В=а arctg аЯ.
(1-122)
График этой функции изображен на рис. 1-106. Эта функция не-
четная и может 'быть использована в качестве аппроксимирующей
функции как при работе на постоянном, так и переменном токе.
Функция (1-122) асимптотически приближается к прямым, парал-
лельным абсциссе на расстоянии ±а. Для лучшего совпадения с кри-
вой намагничивания к (1-122) прибавляют линейный член
В = а arctg аЯ+рЯ.
Коэффициенты а, а, р можно определить с помощью трех вы-
бранных точек.
Аппроксимация экспоненциальной функцией.
Для аппроксимации кривой намагничивания при одностороннем
управления может быть использована функция вида
Н = а(^-1), (М23)
где а, Р — численные коэффициенты, которые могут быть определены
по методу выбранных точек.
Аппроксимация гиперболическим синусом. Функ-
ция
77=ashpB (1-124)
применима как для постоянного, так и переменного магнитного по-
тока. Определение коэффициентов для этого случая было приведено
выше.
Аппроксимация гиперболическим тангенсом.
В некоторых случаях удобна функция
В = аШрЯ. (1-125)
Ее коэффициенты определяются методом выбранных точек.
Аппроксимация степенным полиномом. Хорошие
результаты получаются при аппроксимации кривой намагничивания
нечетным степенным полиномом вида
Н=ахВ^В^а^+ ... (1-126)
96
В большинстве, случаев вполне достаточно ограничиться только
двумя членами
И=ахВ-\-агВг.
При определении коэффициентов целесообразно воспользоваться
методом выбранных точек.
Аппроксимация функций при малых управляю-
щих воздействиях. При малых управляющих воздействиях
вид кривой намагничивания про-
тивоположен виду при больших
управляющих воздействиях. По-
этому при малых управляющих
воздействиях для аппроксимации
применяются те же самые функ-
ции, однако при этом изменяют
оси их обозначений.
Аналитическое представление
петли гистерезиса. Для аналитиче-
ского представления петли гисте-
резиса могут быть использованы
различные функции. Ниже рас-
смотрен один из возможных слу-
чаев аппроксимации. На рис. 1-107
изображена петля гистерезиса, ко-
торая представляет собой зависи-
Рис. 1-107.
мость между величинами у и х.
Она может представлять, например В (Н)-характеристику или
Чг(/)-характеристику катушки с ферромагнитным сердечником;
D(E) -характеристику или Q(c7)-характеристику конденсатора с фер-
роэлектрическим диэлектриком.
С целью аппроксимации петли гистерезиса предварительно
строится кривая ОСС'. При этом каждому значению у, например
у = 0А, соответствует значение
ха = АС = \/2 (AB + AD).
Построенная кривая xa = f(y) может быть легко аппроксимиро-
вана аналитическим выражением. Для того чтобы перейти от этой
средней кривой к первоначальной петле гистерезиса, необходимо
к каждому значению ха прибавить значение хь:
xb — CD~ 42(AD — АВ)
для восходящей ветви петли гистерезиса и
— хъ = — СВ = —1/2 (AD — АВ)
для нисходящей ветви. Зависимость
Xi = ±fb(y)
97
также показана на рис. 1-107. Таким образом, петля гистерезиса мо-
жет быть представлена в виде
X = Ха ±ХЬ —fa (#) ±f Ь (у).
Зависимость Xb=fb(y) в большинстве случаев представляет со-
бой эллипс с осями Хи и Ут:
x*b/X*k+ У2/У2т =1; хь = Xk V1 — y2/Y2m-
При постоянном магнитном потоке
X = fa(y) ± Xk
Если значение у периодически переменно, то за каждый период
образуется эллипюооб|раэная петля потерь. Функции ха, хъ и х—
периодические функции. Из-за нелинейной зависимости между ха и
у ха(*/) несинусоидальна. Так как петля потерь представляет собой
не точный эллипс, функция хь (/) также несинусоидальна.
Рис. 1-108.
В большинстве случаев амплитуды высших гармоник при хь
очень малы, поэтому в первом приближении ими можно пренебречь
и ограничиться первой гармоникой.
Если
y=Ym sin со/,
то
xb=Xk cos со/;
х = fa(Ym sin со/) + Xk cos со/.
На практике Xk зависит от Ym, т. е.
Xk=fb(Ym), (1-127)
поэтому
х = fa (Ym sin со/) + fk(Ym) cos со/.
Зависимость (1-127) можно определить экспериментально. Осо-
бенность петли гистерезиса заключается еще и в том, что каждому
Значению Ym при возрастании и убывании соответствуют разные
значения Xh.
Управляемая нелинейная индуктивность. Аналогично тому, как
управление током нелинейной емкости конденсатора возможно осу-
ществить с помощью напряжения, так и управление током катушки
с нелинейной индуктивностью можно осуществить током, который про-
текает в специальной обмотке с числом витков Wo, называемой
обмоткой управления. Простейшая катушка с управляемой нелин?й-
98
Ной ийдуктивносФыо изооражена на рис. 1-108. Для исследований
процессов в катушке примем, что характеристика (рис. 1-109) может
быть аппроксимирована выражением
(1-128)
Пусть к обмотке переменного тока с числом витков прило-
жено синусоидальное напряжение
u=Uim cos со/.
Тогда с учетом
u=wid(&ldt
магнитный поток
Ф = f и dt— ~~ sin со/ + Фо
Wi J <OWi 1
или
Ф == Фо + Ф1/П sin со/, (1-129)
где Фо — постоянная составляющая магнитного потока; Ф1т —
амплитуда переменной составляющей магнитного потока (Ф1т =
== t/lm/’COWi).
Проведем нормирование (1-128) при условии:
X = Ф/ФЛ; у = F/Fn\
Фп=.У^ь-, (ызо)
Fn = aVa/b. (Ы31)
Тогда получим нормированное уравнение характеристики
г/=х+х3. (1-132)
Если затем проведем нормирование для (1-129), то получим:
Фо
х = ф^+"ф^"81п(й/ = А'оЧ- A’imsinctf, (1-133)
где Хо = Фо/Фд; Хцп = Ф1т/Фл-
Нормированные уравнения подмагниченной катушки полностью
идентичны таковым для управляемого нелинейного конденсатора.
Если подставить (1-ЧЗЗ) в (1-Г32) и рассчитать нормированную н. с.
y=F/Fni то по аналогии с (1-118) получим:
/ 3
У = 1 + «<V2o + ~2~* X2im) 4- Хмп(1 + ЗХ20 +
3 \ 3 1
. + ) sin со/ — Х0Хип cos 2со/ — -j- X*im sin Зсо/.
(1-134)
Кроме того, н. с. (рис. 1-104) равна:
F==F0+Fi^=lQW0+iwb (1-135)
а в нормированной форме, если учитывать только основнре колеба-
ние с частотой со (первую гармонику),
!/=Уо+У1т sin со/, (1-136)
7* 99
Где Уо — нормированный ток уйрйвлёнйя. Уо = /оа1п//7п=/о^о//г7^1=«
=)(ш0/оУ1)/о//п; yiw==/iwWi/Fn==Arn//n — нормированная амплитуда
основной гармоники переменного тока i.
Опорный ток при этом
In = Pn/wi = Va[ba[w\, (1-137)
Из сравнения (1-134) и (1-136) следуют две зависимости для
определения Уо и Y\m. Если исключим (§ 1-6) -неизвестную постоян-
ную Хо, то аналогично (1-121) получим искомую зависимость между
Уо, У17?г И Xim-
/7 3 \ 15
Уо = 1/ ( Yim — Х\т — X 3itn j/27 X3irn(Y\m -р %Xitn -р “4“ Х3ип)>
Оценка -этого уравнения содержится в диаграммах, приведенных
на рис. 1-101 и 1-103.
Если предположить, что
X itn — ^itn/^n ~Uim/<dWpY>n — 7/im/Un>
t. e. Xim отвечает нормированной амплитуде переменного напряже-
ния, то для подмагниченной катушки диаграмма -на рис. 1-102 пред-
ставляет зависимость нормированной амплитуды напряжения от нор-
мированного постоянного тока с амплитудой переменного тока в ка-
честве параметра, в то время как диаграмма на рис. 1-103 опреде-
ляет нормированную амплитуду напряжения в зависимости от нор-
мированной амплитуды тока для различных значений постоянного
тока.
Элементы вычислительных машин, основанные на маг-
нитных явлениях. Трансфлюксор представляет собой
магнитный элемент из материала с прямоугольной пет-
лей гистерезиса, который имеет два отверстия и более
Принцип действия трансфлюксора основан на перерас-
пределении магнитного потока в участках сложного
магнитопровода, образованного стержнем с многими
отверстиями. Управление распределением потока в та-
ком магнитопроводе возможно путем пропускания токов
по обмоткам, проходящим через отверстия трансфлюк-
сора.
Трансфлюксор может быть использован: а) как за-
поминающий элемент, который позволяет производить
считывание информации, записанной в сердечнике, без
разрушения записи; б) как магнитный усилитель с од-
норазовым (однотактным) управлением; в) для целей
коммутации в управляющих и регулирующих цепях; г)
для решения логических задач
Принцип действия рассмотрим на примере простей-
шего трансфлюксора (ри. 1-110,а), который представля-
ет собой магнитопровод, изготовленный из феррита
100
с прямоугольной петлей гистерезиса, и имеет два отвер-
стия неравных диаметров и три обмотки. Обмотка
управляющая, обмотка wz считывающая и обмотка wL
выходная. Магнитопровод делится отверстиями как бы
на три стержня (1—3), по которым могут ответвляться
магнитные потоки.
Рис. 1-110.
При подаче в обмотку Wi импульса тока 1в весь маг-
нитопровод намагничивается в одном направлении.
Вследствие прямоугольное™ петли гистерезиса материа-
ла магнитопровода это состояние насыщения сохраняет-
ся в стержнях и после прекращения импульса тока. Со-
стояние магнитопровода, когда все его участки намаг-
ничены до насыщения в одном направлении
(рис. 1-110,6), обозначают индексом 0.
Подадим теперь в обмотку трансформатора отри-
цательный импульс тока iE, создающий магнитное поле
противоположного направления. Под действием тока iE
изменяется на обратное направление намагниченности
участка магнитопровода, который охватывает стержень 2
и половину стержня 1 (рис. 1-110,в). Состояние, при
котором направления остаточной индукции вокруг мало-
го отверстия противоположны, обозначают индексом 1.
101
Допустим, что трансфлюксор находится в исходном
состоянии (индекс 0, рис. 1-110,а), и подадим теперь
в считывающую обмотку w2 знакопеременные импульсы
тока i2, но не очень большой амплитуды. Этот ток хотя
и создает магнитное поле, но существенного изменения
магнитных потоков в стержнях 2 и 3 вызвать не может,
так как эти стержни уже насыщены, а ток i2 за счет
ограничения его амплитуды недостаточен для изменения
потока в первом стержне. В выходной обмотке wL не
будет наводиться э. д. с.
Рис. 1-111.
Рассмотрим второй случай, когда трансфлюксор на-
ходится в состоянии 1 (рис. 1-110,в). Теперь импульсы
тока 1*2, подаваемые в обмотку w2 и имеющие прежнюю
амплитуду, способны вызвать изменение магнитного по-
тока в стержнях 2 и 3. Это приводит к перемагничива-
нию стержней 2 и 3, в выходной обмотке наведется
э. д. с. и по обмотке пойдут импульсы тока, являю-
щиеся сигналами считывания 1.
Таким образом, в трансфлюксоре можно считывать
зафиксированную информацию без ее разрушения.
Простейший трансфлюксор с двумя отверстиями яв-
ляется переключателем на два положения, и на его
основе можно строить схемы, реализующие различные
переключающие функции.
Биа кс является логическим элементом памяти, ко-
торый состоит из ферритового материала и имеет вид
показанного на рис. 1-111. Через верхнее отверстие про-
ходит провод записи и провод считывания 2, через ниж-
нее— провод первоначального намагничивания и провод
102
опроса 1. Действие этого логического элемента основа-
но на использовании вращения вектора намагниченнос-
ти в общей разделительной перегородке, между верхним
и нижним отверстиями, намагниченной до насыщения.
Предположим, что биакс находится в размагничен-
ном состоянии и по проводу записи и по проводу перво-
начального намагничивания проходят импульсы тока
такой полярности, что направления магнитного потока
вокруг верхнего и нижнего отверстий будут соответство-
вать показанным на рис. 1-111,а. При этом импульсы
тока записи, имея достаточную амплитуду, намагничи-
вают перемычку до насыщения. После прекращения
действия импульсов тока записи перемычка останется
намагниченной (направление магнитного потока в ней
соответствует рис. 1-111,6).
Если теперь в обмотку опроса подать импульс тока
такой полярности, что он создаст поток вокруг нижнего
отверстия того же направления,
что и ранее действовавший им- Js
пульс записи, то вектор намаг- г
ниченности в перемычке, намаг-
ниченной до насыщения, повер- J
нется в соответствии с направле-
нием действия поля опроса и
примет положение, изображенное S/r
на рис. 1-111,в. При этом умень- '' 3
шается поток, пронизывающий рис рцз.
обмотку считывания, в которой
возникнет э. д. с. Знак э. д. с. зависит от направления
потока вокруг верхнего отверстия до подачи импульса
опроса. Знак плюс соответствует записи 1, знак ми-
нус — записи 0.
Преимуществами биакса как элемента памяти явля-
ются надежность и низкая стоимость.
Тонкие магнитные пленки. Имеется большое
разнообразие в оформлении логических элементов этой
группы. Типичный элемент этого вида показан на рис.
1-Н2. На стеклянную пластину толщиной 0,1 мм,
используемую в качестве носителя, напыляется в посто-
янном магнитном поле железо-никелевый сплав. Толщи-
на слоя 10~5 мм, диаметр 0,125 мм. Пленка обладает
магнитной анизотропией. Направление оси слабого на-
магничивания совпадает в ней с направлением действия
постоянного магнитного поля, созданного при образова-
ЮЗ
нии пленки. Ось сильного намагничивания $. Пленку
охватывают три обмотки: 1 — подготовительная (веду-
щая) обмотка, которая создает магнитное поле, направ-
ленное по оси сильного намагничивания; 2 — входная
обмотка; 3— выходная обмотка. Обмотки 2 и 3 располо-
жены таким образом, что магнитное поле, создаваемое
ими, направлено по оси слабого намагничивания.
При подаче импульса тока в обмотку 1 пленка на-
магнитится по оси сильного намагничивания. Если в мо-
Рис. 1-113.
мент снятия импульса тока в подготовительной обмотке
подать импульс тока во входную обмотку, то вектор на-
магниченности пленки проверяется по направлению от
оси сильного намагничивания к оси слабого намагничи-
вания. При этом в выходной обмотке возникнет импульс
э. д. с., направление которой зависит от направления то-
ка в обмотке 2.
Обмотки изготавливаются по технологии печатных
схем и включают большое количество элементов памяти.
Ледд и к представляет собой магнитный контур
с большим количеством ветвей из магнитного материала
с прямоугольной петлей гистерезиса, предназначенный
для выполнения логических операций.
Пример для реализации логической операции И для
трех каналов показан на рис. 1-113, где представлена
магнитная система из восьми стержней и следующих
обмоток: wa — обмотки, устанавливающие начальное
распределение потоков 3', 5', 7'\ wBX — входная об-
мотка 7; wy — обмоткц управления 2, 7, 6; wEbix — вы-
ходная обмотка 8.
Напряжение на зажимах выходной обмотки появ-
ляется только тогда, когда на все обмотки управления
одновременно поступают управляющие импульсы опре-
деленной амплитуды,
.104
Т в и с т о р является запоминающим элементом, дей-
ствие которого основано на явлении магнитострикции и
эффекте Видемана.
Если никелевую проволоку закрутить вокруг ее оси.
то в проволоке возникнут напряжения сжатия по винто-
вой линии и напряжение растяжения в перпендикуляр-
ном ей е а правлении. Направление сжатия является на-
правлением наиболее слабой магнитной восприимчиво-
сти.
Рис. =1-114.
Рис. 1-115.
Если теперь закрученную никелевую проволоку
намагничивать, пропуская ток /у по намагничивающей
обмотке wy (рис. 1-114), то линии магнитной индукции
расположатся по винтовой линии, а на концах проволоки
возникнет разность потенциалов (прямой эффект Виде-
мана). Возникновение э. д. с. объясняется тем, что
кусок никелевой проволоки, составляющий как бы часть
витка, несколько раз пронизывается магнитным потоком,
направленным вдоль винтовой линии, который и наводит
в нем значительную э. д. с.
Если через никелевую проволоку, которая намагни-
чивается благодаря протекающему току по намагничи-
вающей обмотке, пропустить ток /0, то проволока, во-
первых, намагничивается по винтовой линии и, во-вто-
рых, вследствие явления магнитострикции несколько
закрутится вокруг своей оси.
Это явление носит название «обратный эффект Ви-
демана».
•Схематичное устройство твистора показано на
рис. 1-115. Вследствие совместного действия токов /0 и
7У возникает локальное намагничивание никелевой про-
волоки вдоль спирали. На проволоке оказывается запи-
санным сигнал L
Если теперь с помощью считывающей обмотки wL,
которая помещается рядом с wy, подать импульс тока,
105
ти происходит локальное перемагничивание никелевой
проволоки и на ее концах вследствие эффекта Видемана
появляется импульс напряжения U определенной дли-
тельности т.
Если к моменту считывания никелевая проволока не
была бы намагничена током /у, то импульс напряжения
на ее концах равнялся бы нулю.
Д. Нелинейные элементы с использованием эффектов
при низких температурах
Эффект сверхпроводимости. В последние годы наме-
тился значительный интерес к использованию эффектов
в области низких температур для реализации тех или
иных технических задач.
Возможность изменения сопротивления сверхпровод-
ника с помощью внешнего магнитного поля привела
к созданию магнитоуправляемых
вентильных элементов. В 1956 г.
Бук предложил управляемый ре-
зистор, названный им криотро-
ном. Принцип действия кри-
отрона основан на использова-
Р.ис. Г-116.
нии зависимости температуры, при
которой возникает явление сверхпроводимости, от на-
пряженности магнитного поля. Предложенное Буком
устройство (криотрон, рис. 1-116) состояло из управляе-
мого элемента (танталовая проволока диаметром
0,23 мм), на который, как на сердечник, была нанесена
обмотка управления (изолированная ниобиевая проволо-
ка диаметром 0,076 мм). На рис. 1-117,а показана зави-
симость падения напряжения t/вых в управляемом эле-
менте от управляющего тока /у, а на рис. 1-117,6— зави-
симость сопротивления 7?Вых управляемого элемента от
тока /у.
Другой разновидностью управляемого резистора
является тонкопленочный криотрон. Он состоит из двух
изолированных, наложенных друг на друга, управляемо-
го и управляющего элементов, находящихся в состоянии
сверхпроводимости. Когда ток управления /у достигает
критического значения, управля-
ющий элемент теряет свойство
сверхпроводимости. На рис. 1-118
показано принципиальное постро-
ение крестообразного криотрона,
а на рис. 1-119 — его характери-
стики. На рис. 1-120 и 1-121 пока-
заны построение и характеристи- Рис- Ы18.
ки параллельного криотрона.
Сверхпроводящий туннельный эффект. Если к двум
металлам, разделенным тонким (1—10 мкм) изолирую-
щим слоем (рис. 1-122), приложить напряжение, то че-
рез этот слой потечет ток вследствие квантовомеханиче-
ского туннельного эффекта. Вольт-амперная характери-
стика такого перехода линейна, если оба металла не
являются сверхпроводящими (рис. 1-123, кривая /).
Если переход образован двумя сверхпроводящими ме-
таллами (рис. 1-123, кривая 2) с различной энергией,
то в характеристике появляется область с отрицатель-
ным дифференциальным сопротивлением (рис. 1-124).
Рис. 1-121.
Рис. 1-120.
107
Сходство вольт-амперных характеристик сверхпрово-
дящих туннельных переходов с вольт-амперными харак-
теристиками полупроводниковых туннельных диодов
(рис. 1-45) показывает, что эти элементы могут приме-
няться как нормальные туннельные диоды в переклю-
чающих, резонансных и усилительных схемах.
На переходах с очень тонким изолирующим слоем
(около 1 мкм) возникает туннельный ток потерь (ток
Джосефсона), который появляется только при очень ма-
лых магнитных полях, а также только тогда, когда оба
элемента сверхпроводящие. На рис. 1-125 показана зави-
симость тока / сверхпроводящего туннельного перехода
-от магнитного поля Я, расположенного в плоскости пере-
хода; эта зависимость может быть использована для
применения в качестве переключателя.
Рис. 1-127. Рис. 1-128. Рис. 1-129.
Туннельный переход (переход Джосефсона) может
быть использован в качестве управляемого вентиля
(рис. 1-126). На рис. 1-127 показан характер зависимости
управляемого тока /Вых от управляющего тока /у этого
элемента.
108
Параметрический эффект. При температурах жидкого
гелия можно также получить управляемые нелинейные
реактивные элементы, например управляемую сверхпро-
водящую катушку — р иотрон (нелинейный четырехпо-
люсник). Важнейшим параметром для оценки -риотрона
являе гея отношение индуктивностей
Kl ~ -^минэ
где £Макс — максимально и минимально достижимые ин-
дуктивности.
На рис. 1-129 представлен вид характеристики L =
(Ту). Для различных типов риотронов значение Kl
может находиться в пределах г __
10—150.
Криактор. В рассмотренных
выше коммутационных элементах /
использован переход от сверхпро-
водящего к нормальному состоя- вп 77
нию и связанное с этим измене-
ние сопротивления или индуктив- ис*
ности.
В противоположность этому у криактор а
(рис. 1-130) изменяется индуктивность вентильного про-
водника ВП благодаря магнитной связи с ферромагнит-
ным тонким слоем Сл. С помощью тока управления мо-
гут устанавливаться различные рабочие точки и, таким
образом, различные значения магнитной проницаемости
магнитного слоя. Скорость коммутации значительно вы-
ше скорости криотрона, рассмотренного выше.
Низкотемпературный полупроводник. Скорость пере-
ключения транзисторов зависит от многих факторов,
в том числе от геометрических размеров, профиля, вида
примесей и свойств основного материала.
При большой подвижности носителя заряда (элек-
тронов проводимости и дырок) скорость коммутации при
прочих одинаковых условиях возрастает. Было замечено,
что некоторые полупроводниковые материалы, например
InSb в области низких температур, обладают транзи-
сторным эффектом. Частота переключения при этом до-
стигает до 100 кГц.
Элемент, обладающий подобными свойствами, изго-
тавливается из германия, легированного примесями, и
называется криосаром. Для пробоя при нескольких
вольтах на метр он обладает сопротивлением, большим
109
2 МОм, после пробоя — его сопротивление почти равно
нулю.
Криосар является управляемым активным сопротив-
лением, принцип действия которого основан на возник-
новении под действием электрического поля в условиях
глубокого охлаждения эффекта ударной ионизации ато-
Рис. 1-131.
моб примесей, введенных в р-гер-
маний. Конструктивно криосар
представляет собой прямоуголь-
ный объемный резонатор из р-германия, который поме-
щается в сосуд D с жидким гелием (рис. 1-131). Его
вольт-амперная характеристика показана на рис. 1-132.
При напряжениях 3—7 В (в зависимости от типа
примесей) возникает ударная ионизация атомов приме-
сей, введенных в германий. При возникновении ударной
ионизации ток через пластину германия скачкообразно
возрастает примерно в 107 раз. К преимуществам
устройств, которые основаны на применении криосара,
относят: а) большую скорость коммутации (время пол-
ного цикла скачка тока около (2ч-5)10~8 с); б) техноло-
гическую возможность повторного изготовления элемен-
тов с одинаковыми свойствами; в) способность пропу-
скать большие токи; г) большую надежность.
Недостатком является, как и у всех низкотемпера-
турных элементов, необходимость в обеспечении низко-
температурной среды.
Глава вторая
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА
2-1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЦЕПЕЙ
В общем случае электромагнитная цепь описывается
рядом контурных и узловых уравнений, число которых
определяется числом ветвей и узлов данной цепи и равно
числу искомых величин. Эти уравнения могут быть пред-
ставлены в дифференциальной или интегродифференци-
альной форме и путем преобразования переведены в си-
стему п дифференциальных уравнений первого порядка
dxjdt — f^xu х2>...» хП9 a, b, с), v=l, 2,..., п, (2-1)
где переменные являются электромагнитными искомыми
величинами; а, Ь, с — параметры цепи (сопротивления,
индуктивности, емкости).
В зависимости от вида функций fv и поведения пара-
метров цепи подразделяют: на линейные, нелинейные,
параметрические и нелинейно-параметрические.
Линейные цепи. В линейных электрических цепях па-
раметры a, b, с ... являются постоянными и, следова-
тельно, не зависят от xv, t и fv в (2-1). Линейные цепи
описываются линейным дифференциальным уравнением
вида
dxjdt = AvlXi “b* (2-2)
где коэффициенты Д зависят от параметров а, b, с... и
являются вследствие этого постоянными.
Нелинейные цепи. Если в цепи содержатся элементы,
параметры которых зависят от тока и напряжения, на-
пример
a = a(xk); b = b(xi) ..., (2-3)
то такие цепи называются нелинейными. Они описыва-
ются нелинейными дифференциальными уравнениями
111
вида
dxjdt = fv\xlt Хг,хп, a(xk)b(xi), с(Хт)...\. (2-4)
Параметрические цепи. Если характеристики всех эле-
ментов цепи линейные, а параметры а, Ь, с . . . зависят
от времени
a = a(t); b = b(t) ..., (2-5)
то функции fv в (2-1) линейные, но коэффициенты зависят
от времени
dxjdt — Avi (/) Xi5НД2 (О Л2 +... 4" (0 Xn- (2-6)
Цепи, которые описываются такими линейными диф-
ференциальными уравнениями с переменными коэффи-
циентами, называются параметрическими.
Нелинейно-параметрические цепи. В нелинейно-пара-
метрических цепях параметры а, <Ь, с... зависят не толь-
ко от времени, как в (2-5), но и от электрических ве-
личин х\
a—a(xk,t);b = b(xi,t) ... (2-7)
В этом случае уравнения, описывающие цепи, явля-
ются нелинейными дифференциальными уравнениями
с переменными коэффициентами:
dxjdt = fv[x19 х2,..., хп, a(xky t), b(xi, t)9 c(xm, /)].
(2-8)
Разделение цепей на цепи постоянного и переменного
тока. Независимо от приведенной выше классификации
можно произвести разделение цепей по поведению функ-
ций xv(t) во времени на цепи постоянного и переменного
тока.
В цепях постоянного тока в установившемся режиме
все функции xv(t) постоянны во времени, т. е. в этом
случае
dxJdt = Q для v=l, 2,..., п, (2-9)
и система (2-1) переходит в линейную или нелинейную
алгебраическую систему уравнений вида
fv(Xi, х2,..., хп, а, Ь, с) = 0.
Цепи, у которых в установившемся режиме условие
(2-9) не выполняется, т. е. функции ху и их производные
112
в Какой-либо форме зависят от времени, называют цепя-
ми переменного тока. Из приведенных выше рассужде-
ний следует, что параметрические или нелинейно-пара-
метрические цепи всегда являются цепями переменного
тока, в!которых зависящие от времени параметры всегда
вызывают определенную зависимость решений от вре-
мени.
Ниже рассмотрены сначала нелинейные цепи посто-
янного тока, затем нелинейные цепи переменного тока
и параметрические цепи.
2-2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
А. Общие положения
Для расчета нелинейных цепей постоянного тока при-
меняют графические, итерационные и аналитические ме-
тоды.
'Графические методы отличаются особой наглядно-
стью. Достигаемые при этом результаты обладают точ-
ностью, которая в большинстве случаев удовлетворяет
предъявляемым требованиям. Недостаток графических
методов заключается в том, что они обычно не дают
возможности решить задачу в общем виде.
Решение нелинейных задач с помощью последова-
тельных приближений (итерационные методы) состоит
в разумном выборе предположительного решения и по-
следующем постепенном улучшении результата. Правда,,
этот метод достаточно трудоемкий и в большинстве слу-
чаев не нагляден, но отличается большой точностью.
Аналитические методы также мало наглядны. Они
основаны на более или менее точной аппроксимации не-
линейной зависимости и отличаются большой трудоем-
костью, а точность в большинстве случаев может быть
не выше, чем при графических методах. Основным пре-
имуществом аналитических методов является то, что они
дают возможность получить решение в общем виде и
сравнительно легко позволяют исследовать влияние раз-
личных параметров на поведение электрической систе-
мы. Однако аналитические методы приводят к нелиней-
ным уравнениям или системам уравнений, которые ре-
шаются численными методами (ньютоновский метод при-
ближения, итерационный метод и т. п.), вследствие чего
во многих случаях теряется общность результатов..
8—447 113
На практике бывает очень полезным совместное ис-
пользование аналитических и графических методов.
Б. Законы Кирхгофа
Для нелинейных цепей постоянного тока справедли-
вы оба закона Кирхгофа:
SZ = O; StZ=O.
Затруднения при рассмотрении нелинейных цепей
с помощью законов Кирхгофа заключаются в том, что
в некоторых случаях сопротивления, а при определен-
ных условиях также и э. д. с. не задаются, а должны
определяться с помощью искомых токов. Кроме того,
между э. д. с., питающей цепь, и токами в ветвях нет
прямой пропорциональности.
В. Неприменимость принципа наложения
При рассмотрении линейных электрических цепей
принцип наложения является основой расчета, который
может быть представлен как
Т7 (Xi -(-Хг ... ХЛ) = F (Xi) -|- F (х2) ... F (Хп)
ИЛИ
(п \ п
ЗАНЕ
1=1 J 1=1
При равенстве
Х1=Х2=*з=. • .=хх=.. .=Хп, F (пХу) =[nF(xy).
Применимость принципа наложения служит крите-
рием линейности.
При расчете нелинейных цепей принцип наложения
не применим, так как сумма падений напряжений, вы-
званных частичными токами отдельно от каждой э. д.с.,
не равна сумме падений напряжений, вызванных общим
током. Падение напряжения на нелинейном элементе,
вызванное током 7, равно:
Ток / нельзя записать в виде частичных токов * как
/ = Л + /2+. . . + 7П,
* Однако если частичные токи определять последовательно от
каждой э. д. с., перенося при этом каждый раз начало координат
характеристики в новую рабочую точку, определяемую соответствую-
щей э. д. с., то сумма частичных токов 'будет равна общему току
[Л. 27]. (Прим, перев.)
114
так как
I/ (/)=/?(/)/=/?(/) 3 3
п п
и поскольку
/?(/) =#/?t(/i) =#Я2(/2) ф.
получаем:
п
Г. Теорема компенсации
Выделим из произвольной нелинейной цепи один не-
линейный элемент (рис. 2-1,а). Его сопротивление за-
висит от тока, проходящего через него. На выделенном
участке введем две одинаковые по значению, но проти-
воположные по направлению токозависимые э. д. с., при
этом состояние в цепи не изменится (рис. 2-1,6). Если
значение введенных э. д. с. выбрано таким образом, что
£(/)=//?(/)=(/(/),
(2-10)
то при прохождении участка с—b потенциал сначала
повышается на Е(1), затем понижается на U(I). С уче-
том (2-10) разность потенциалов
между точками с и b не возника-
ет и поэтому эти точки можно за-
коротить (рис. 2-1,в). Итак, в не-
линейной цепи, не изменяя ее со-
стояния, можно нелинейное сопро-
тивление заменить токозависимой
э. д. с. (рис. 2-1,г). Эта э. д. с.
равна падению напряжения на со-
противлении, а ее направление
противоположно падению напря- г)
жения в нелинейном сопротивле-
нии. Справедливость этого поло-
Рис. 2-1.
жения носит название теоремы компенсации.
Д. Линеаризация в ограниченной области
с применением дифференциального параметра
В многочисленных случаях при рассмотрении нели-
нейных цепей можно получить значительные упрощения,
если произвести линеаризацию характеристики нелиней-
8* 115
ного элемента в ограниченной области и если искать
грубое приближенное решение или влияние малых из-
менений воздействующей функции.
На рис. 2-2,а показана вольт-амперная характеристи-
ка нелинейного сопротивления, обращенная вогнутостью
к оси тока. Пусть рабочей точкой нелинейного элемента
является точка Р, в которой статическое сопротивление
равно:
R=UvIIv— (milmu') tg 6 (2-11)
и статическая проводимость
G = IPIUP= tg б. (2-12)
В этой точке дифференциальное сопротивление
равно:
7?д = б//7М|р= (/Wmjtgcp
и дифференциальная проводимость
G^=dIldU\p = (mulmi)tg ф.
Пз рис. 2-2,а следует, что
б + 0 = л/2; ф + ср = л/2.
Если характеристика обращена вогнутостью к оси
тока, то справедливы следующие соотношения:
е>?; 6<Ф; Р>Ед; G<Ga; <х = 7?д/7?< 1; ₽ = GA/G>1.
Касательная в точке Р пересекает абсциссу в точке
Ео и ординату в точке /0. Очевидно,
Ео>О; /о<О; Ер = /р7?д + Е0; (2-13)
1Р = ир0д+1ь (2-14)
116
Из (2-13) следует, что нелинейный элемент в окрест-
ности точки Р можно заменить последовательным соёди-
Из (2-14) следует, что не-
Рис.. 2-3.
пением э. д. с. и одним линейным элементом, сопротиВ’
ление которого равно дифференциальному сопротивле-
нию в рабочей точке Р,
линейный элемент в окре-
стности рабочей точки Р
можно заменить парал-
лельным соединением ис-
точника тока с током /0
и линейным элементом,
проводимость которого
равна дифференциальной
проводимости бд в точке
Р (рис. 2-2,а, б).
Напротив, если характеристика нелинейного элемен-
та обращена выпуклостью к оси тока (рис. 2-2,6), то
для нее справедливы следующие соотношения:
6<<р; б>ф; К<Яд; G>Ga; a = RA/R > 1; р = бд/б< 1
В этом случае £о<О; /0>0.
Последние уравнения приводят к изменению поляр-
ности источников тока и напряжения (рис. 2-3). Из
(2-13) или (2-14) и (2-11) или (2-12) следует:
Ео = IPR - IpRz = rp(R-R^ = Up{l~ а);
/0 = UpGa - UPG = Up (бд - О) = Ip (^ - 1);
£0/Zo = UP (1 - а)//р (₽ - 1) = R (1 - а)/(£ - 1) = 7?д.
Для линейного элемента а=1 и Р=1, так что £’о = О,
/о = О. Очевидно, о степени нелинейности можно также
судить и по Eq и Iq. Чем больше значения £0 или /о, тем
больше нелинейность.
Е. Простейшие схемы соединений нелинейных
элементов
Для расчета нелинейных электрических цепей про-
стой конфигурации целесообразно применение графиче-
ских методов.
Рассмотрим графический метод расчета простейшг1х
схем последовательного, параллельного и смешанного
соединений нелинейных элементов.. При расчете цепей
117
будем считать, что источники э. д. с. и вольт-амперные
характеристики нелинейных элементов известны, опре-
деляемыми являются токи и напряжения на отдельных
участках цепи.
Последовательное соединение. Построение характери-
стики участка цепи, который содержит последовательное
соединение нелинейных элементов, можно показать на
примере двух последовательно включенных резисторов
(рис. 2-4).
ис. 2-4.
Вольт-амперные характеристики сопротивлений этих
резисторов изображены на рис. 2-5. Применяя второй
закон Кирхгофа, имеем:
U=U, + С/2;
для каждого значения тока суммируют соответствующие
значения Ux и U2 каждой характеристики и получают
суммарное напряжение в функции тока
C7=£71+t72=/(Z).
Таким образом, последовательное соединение двух
резисторов с характеристиками СЛ=/(Л) и U2=f(Iz)
заменяют одним резистором с характеристикой
Для любого значения напряжения [7, приложенного к це-
пи, можно определить ток I и напряжение на нелиней-
ных элементах Ui и U2 (рис. 2-5). Аналогично решают
задачу, когда имеется несколько резисторов с нелиней-
ными сопротивлениями, соединенными последовательно.
Иное решение получаем, если представим нелиней-
ное сопротивление резистора 7?i(7) в виде внутреннего
118
сопротивления источника Напряжений с постоянной
э. д. с. E=U. Тогда, с одной стороны (рис. 2-4),
U2(I) =^1^(1),
где Ui(I)—падение напряжения на первом нелинейном
элементе.
С другой стороны, U2=f(I)—вольт-амперная харак-
теристика второго нелинейного сопротивления.
0-
Рис. 2-7.
Графическое решение уравнений позволяет опреде-
лить искомые величины. Для этого вольт-амперную ха-
рактеристику первого нелинейного элемента следует пе-
ренести параллельно самой себе вдоль оси ординат вверх
от начала координат на отрезок, равный приложенному
напряжению L/, и повернуть ее так, чтобы получить зер-
кальное изображение этой кривой относительно горизон-
тали. Тогда точка пересечения кривых определит иско-
мые значения тока I и напряжений U± и U2 (рис. 2-6).
Параллельное соединение. Расчет цепи, состоящей из
параллельного соединения резисторов с нелинейными
сопротивлениями, можно показать на примере парал-
лельного соединения двух резисторов (рис. 2-7). Их ха-
рактеристики изображены на рис. 2-8. Применяя первый
закон Кирхгофа, имеем:
/=Z1-+-Z2;
для каждого значения напряжения суммируют соответ-
ствующие значения токов Л и 12 каждой характеристики
и получают суммарное значение тока I в функции на-
пряжения
/ = I, + /, = f t (Ut) + ft (U.) = f (U),
119
т. ё. параллельное соединение двух резисторов можно
заменить одним резистором, характеристика которого
показана на рис. 2-8 пунктирной линией. По результи-
рующей характеристике можно для любого значения на-
пряжения U определить искомые значения токов /, Л
и Л-
Аналогично может быть построена результирующая
Характеристика цепи и при параллельном соединении
нескольких нелинейных элементов.
Рис. 2-8.
Рис. 2-9.
Смешанное соединение. Смешанное соединение трех
нелинейных элементов показано на рис. 2-9. Сначала
строится вольт-амперная характеристика цепи, состоя-
щая из параллельного соединения двух резисторов. Сум-
мируя токи /2 и /3 для определенных значений UPf полу-
чаем кривую:
Iр = f p(Up) — 12 -р I* “ /1.
Затем определяем для каждого тока сумму напряже-
ний
и=ир+и±
и получаем кривую:
C7=f(7i), (2-15)
которая и представляет собой суммарную вольт-ампер-
ную характеристику. На рис. 2-10 показан пример гра-
фического решения последовательно-параллельного со-
единения нелинейных элементов. По результирующей
кривой и вольт-амперным характеристикам отдельных
элементов легко определим все неизвестные токи и на-
пряжения. Таким образом, цепь, состоящая из смешан-
ного соединения элементов, может быть заменена одним
резистором с характеристикой, соответствующей (2-14).
120
Активный нелинейный двухполюсник. Построим вольт-
амперную характеристику участка цепи, состоящего из;
последовательного соединения резистора с нелинейным
сопротивлением и постоянной э. д. с. (рис. 2-11,а). Ха-
рактеристика нелинейного элемента и значение э. д. с..
Рис. 2-10.
известны (рис. 2-11,6). По второму закону Кирхгофа
имеем:
Uiz=E-U(I).
Это уравнение позволяет построить результирующую
характеристику рассматриваемого участка цепи. На
рис. 2-11,6 показаны: 1 — вольт-амперная характеристи-
ка нелинейного резистора; 2 — результирующая характе-
ристика участка цепи 1—2, которая получена переносом
кривой 1 вдоль оси ординат на значение э. д. с. и ее
зеркальным отображением относительно горизонтальной
оси.
Может быть поставлена и обратная задача. Пусть
имеется нелинейный двухполюсник с вольт-амперной ха-
рактеристикой, которая не проходит через начало коор-
динат .(рис. ,2-12). Это. значит, что данный двухполюсник
121
можно заменить электрической цепью, состоящей из по-
следовательного соединения постоянной э. д. с. и рези-
стора с нелинейным сопротивлением. Характеристика
сопротивления резистора получается смещением харак-
теристики двухполюсника до начала координат
(рис. 2-13). В соответствии со вторым законом Кирхго-
фа получаем:
(Д2-{/(/) = -£; 17 (Z) = L712 + £•;
откуда следует, что при /=0 Е=—7712(0).
Ж. Методы расчета нелинейных цепей
При расчете сложных цепей желательно произвести
их упрощение, которое иногда может быть выполнено
в несколько этапов. Это, например, относится к преоб-
разованию как последовательного, так и параллельного
соединения двух или более нелинейных элементов с из-
вестными характеристиками к одному нелинейному ак-
Рис. 2-14.
Рис. 245.
тивному двухполюснику (простой нелинейный резистор
и источник э. д. с.), преобразованию нескольких нели-
нейных активных двухполюсников, соединенных последо-
вательно или параллельно, и т. п., т. е. необходимо все
сложные цепи заменить более простыми (§ 2-1).
Цепь с двумя узлами. Цепь, состоящая из нескольких
параллельных ветвей, каждая из которых в общем слу-
чае, наряду с нелинейными элементами, содержит и
источники постоянной э. д. с., может быть заменена
эквивалентным нелинейным сопротивлением с результи-
рующей вольт-амперной характеристикой. Пример цепи
с двумя параллельными ветвями приведен на рис. 2-14.
На рис. 2-15а, б показаны вольт-амперные характеристи-
ки нелинейных сопротивлений. По первому закону Кирх-
гофа имеем:
Л+/?=/.
123
Поскольку цепь содержит Два узЛЙ, токи Л и /2 Мб-
гут быть представлены в виде функций напряжений Л=
Тогда
Uv 2=^1—(2-16)
t/i2=£2-[/2(Z2). (2-17)
Вольт-амперные характеристики отдельных нелиней-
ных сопротивлений представляют в виде функции напря-
жений 1/12, т. е. Iy=f(Uiz). Цля этого вольт-амперные
характеристики соответствующих элементов смещают на
значение заданной э. д. с.
характеристики первого нелинейного сопротивления это
выполнено на рис. 2-16. Увеличению напряжения Ui
(при £7i>0) соответствует уменьшение t/i2. При Л = 0
напряжение £7х = 0 и У\2=Е^ что соответствует .(2-16).
На рис. 2-17 аналогичное построение выполнено для
кривых 1 и 2. Сумма токов
2/=/i+/2==f((/12) (2-18)
дает .результирующую кривую 3, пересечение которой
с осью абсцисс определяет истинное значение напряже-
ния t/i2. Перпендикуляр к оси абсцисс в точке Р при
2/=0 (2-19)
пересекает кривые 1 и 2 в точках А, Р2, которыми опре-
деляются токи Л, /2 как по значению, так и по направ-
лению.
123
Уравнение (2-18) показывает, Пто параллельное со-
единение, состоящее из произвольного числа последова-
тельных ветвей с нелинейными сопротивлениями и
источниками напряжений, можно представить в виде
одного нелинейного сопротивления. Определение харак-
теристики сопротивления, эквивалентного участку цепи
с двумя узлами, показано на рис. 2-18,а. Результирую-
щая характеристика получается, если начало координат
Р.ис. 2-18.
сдвинуть в точку Р и кривую зеркально перевернуть.
Это показано на рис. 2-18,6. Источник замещения э. д. с.
имеет £=[/12 при 1—0.
Данный метод существенно упрощает расчет цепи
или части цепи, которая может быть приведена к схеме
с двумя узлами. Описанный метод применяется и для
расчета более сложных цепей. С этой целью любое па-
раллельное соединение приводится к эквивалентному
двухполюснику и сложная цепь сводится к простому по-
следовательному соединению двухполюсников. Пример
такого преобразования показан на рис. 2-19.
Этот способ находит широкое применение, если к ча-
сти цепи, составленной из линейных элементов, может
Рис. 2-19.
124
быть применено преобразование звезды в треугольник^
так как во многих случаях это приводит к схемам, ко-
торые можно рассчитывать методом двух узлов. Подоб-
ный пример приведен на рис. 2-20.
Применение теоремы компенсации В тех случаях,
когда схему нельзя свести к простому последовательно-
му или параллельному соединению нелинейных элемен-
тов, можно воспользоваться теоремой компенсации, ко-
Рис. 2-20.
торая приводит к значительным упрощениям. Это мож-
но показать на примере мостовой схемы с нелинейными
сопротивлениями (рис. 2-21). Применяя теорему компен-
сации к сопротивлению 7?6(Лз), заменяют его э. д. с.
E'6(h)=U6(IQ)=I6RG(I6).
Электродвижущие силы Е6 и Е'6 заменяют одной
э. д. с. £',=£'б—Е'в(1в)=Еб—Ue(Ie). Следовательно, Е'
является функцией /6 (рис. 2-22). Во всех ветвях цепи,
Рис. 2-21.
125
которые подходят к точке а, включают по э. Д. с. Ёп—
—Е', причем состояние в остальных участках цепи не
изменится, так как сумма э. д. с. в каждом контуре
остается при этом неизменной. Это приводит к тому, что
точки а и b становятся эквипотенциальными и их можно
закоротить. Так появляется цепь из трех последователь-
но соединенных активных двухполюсников (рис. 2-23),
причем средний является простым, состоящим из после-
довательно соединенных э. д. с. Е$ и резистора с сопро-
тивлением а каждый из двух остальных является
сложным, состоящим из параллельно соединенных про-
Рис. 2-22.
Рис. 2-23.
стых активных двухполюсников. В этой схеме значения
Е" зависят от токов Д и /2 (рис. 2-24).
Электродвижущая сила Е, необходимая для расчета,
определяется следующим образом: согласно рис. 2-21
h—h +'Д и, следовательно, в соответствии с рис. 2-24
строят зависимость h~h+l2=f(E"), которая изображе-
на на рис. 2-22. Рабочая точка Р и соответственно иско-
мое значение получаются пересечением кривых Е'(1&) и
^"(Д). Затем определяются токи Д, Л и Д. Вычисление
токов Д, Ц и Д не сложно, так как между ними сущест-
вуют зависимости:
Д+Д=Д; Д—h = h.
Таким образом определены все искомые величины.
Произвольная цепь с одним нелинейным резистором.
Метод эквивалентного источника. Если имеется сколь
угодно сложная электрическая цепь, состоящая из не-
скольких резисторов с линейными сопротивлениями
и э. д. с. и одного резистора с нелинейным сопротивле-
нием, то оказывается целесообразным выделить нели-
126
нейный резистор, а оставшуюся линейную цепь предста-
вить в виде активного двухполюсника (рис. 2-25,а—г).
В* выделенную ветвь вводят такую дополнительную
э. д. с. Е', чтобы при действии всех э. д. с., находящихся
в схеме, ток через резистор >с нелинейным сопротивлени-
ем был равен нулю. Это ’состояние соответствует холо-
стому ходу зажимов а—Ь. Поэтому, очевидно, что
х.х»
где i7abx.x — напряжение холостого хода между зажима-
ми а и Ь.
Рис. 2-24.
Рис 2-25.
Но для того, чтобы состояние в цепи осталось не-
изменным, в выделенную ветвь необходимо включить
вторую, равную по значению, но противоположную по
направлению э. д. с. Е". Так как Е' и остальные э. д. с.
активного двухполюсника не вызывают тока в нелиней-
ном резисторе, то их можно закоротить. Тогда рассма-
триваемая цепь будет представлять собой последова-
тельное соединение нелинейного резистора с нелинейным
сопротивлением, входного сопротивления линейного двух-
полюсника и э. д. е. Е". После определения тока I и на-
пряжения U нелинейное сопротивление в первоначаль-
ной цепи можно заменить постоянным сопротивлением
/? = [/// и полученную цепь рассчитать как линейную.
Возможность применения метода эквивалентного источ-
ника напряжения в данном случае обеспечивается вве-
дением дополнительных э. д. с., которые вызывают два
частных режима с токами Г и I" в нелинейном элемен-
те, причем выбор дополнительных э. д. е. производится
таким образом, что при одном из частных режимов ток
Zz=0 и, следовательно, общий ток 1=0+1". Поэтому на-
127
ложение двух частных режимов, один из которых дает
нулевое значение частного тока, в данном случае спра-
ведливо.
Произвольная цепь с двумя нелинейными сопротив-
лениями. Пусть имеется сложная электрическая цепь,
в которой наряду с произвольным числом э. д. с. и рези-
сторов с линейными сопротивлениями, содержится только
два резистора с нелинейными сопротивлениями, которые
с помощью простого преобразования не могут быть заме-
Рис. 2-26.
йены одним резистором. Тогда следует эти два резистора
выделить и всю оставшуюся цепь представить в виде
активного линейного четырехполюсника, у которого
к входу и выходу присоединено по одному резистору
с нелинейными сопротивлениями (рис. 2-26,а).
Пусть искомыми являются токи А и /2 в нелинейных
сопротивлениях. Введем две э. д. с. Е\ и Е\ в ветви
а — b и с — d (рис. 2-26,6) такие, чтобы при действии
в линейной цепи всех заданных э. д. с. токи в нелиней-
ных сопротивлениях были равными нулю
Zzi = 0; Г2=0,
что соответствует холостому ходу зажимов а — Ъ и с — d.
. Очевидно, что
Е'i= Uаъ x.xj Е 2— Vcd х.х>
где иаъх.х и t/cdx.x представляют собой напряжение хо-
лостого хода между зажимами а — b и с — d\ определе-
ние этих напряжений является линейной задачей.
128
Для того чтобы восстановить первоначальное состоя-
ние цепи, нужно в ветви а — b и с — d ввести э. д. с.
(рис. 2-26,в):
Е'\ = --Е\- E"z = —E\
которые вызовут токи
Электродвижущие силы
Е'2 = 12.
Е\ и £'2, а также э. д. с.
в активном четырехполюснике не вызывают токов через
нелинейные сопротивления. Токи г______________,
через нелинейные сопротивления —। ' г—|_Ц_
обусловлены действием э. д. с. Е'\ цХ"' А |
и Е"2. Это означает, что Е\, Е'2 и । U i
э. д. с. активного четырехполюсни- У—oj--1----н>—
ка можно закоротить и преобра-
зовать его в пассивный четырех- рис. 2-27.
полюсник (рис. 2-26,г). Но любой
пассивный четырехполюсник можно представить в виде
Т-образной схемы замещения, как показано на рис 2-27.
В результате получается цепь с двумя узлами 1 и 2,
Рис. 2-28.
которая может быть рассчитана ранее описанными ме-
тодами. После определения /71, Д и [/2, h нелинейные
сопротивления в первоначальной цепи можно заменить
двумя резисторами с линейными сопротивлениями Rr—
— Uxlh и R2=-E2)I2 и далее рассчитать оставшуюся цепь
как линейную.
Произвольная цепь с тремя нелинейными сопротивлениями. Пусть
произвольная электрическая цепь содержит три резистора с нелиней-
9—447 129
ними сопротивлениями. Их можно выделить, и оставшуюся линей-
ную цепь рассматривать так линейный активный шестиполюсник
(рис. 2-28,а).
В выделенных ветвях введем по одной э. д. с. Е'и Е'2 и Е'з, так
4тобы при действии всех заданных э. д. с. активного шестиполюсника
токи /1, /2 и /3 в нелинейных сопротивлениях 'были равны нулю
(рис.. 2-28,6). Эти э. д. с. равны и противоположно направлены на-
пряжениям холостого хода на соответствующих зажимах i/оь
Uq2 И t7o3‘
£’,i=—t/oi; Ef2=—Vq2\ Е\=—С^оз-
Если в выделенных ветвях ввести три другие э. д. с. (рис. 2-28,в)
E'\ = -E'^U^ E"2=-E\=U02i E"^-E'^UQ3f
то первоначальное состояние цепи не изменится и токи в нелинейных
сопротивлениях будут равны искомым токам /1, /2 и /3 в реальной
задаче. А E'i, Е'2 и Е'3 совместно с э. д. с. линейного активного ше-
стиполюсника токов в нелинейных сопротивлениях не вызывают, и
поэтому их можно закоротить. Таким образом активный линейный
шестиполюсник превращается в пассивный, причем в каждой ветви,
которая содержит нелинейное сопротивление, находятся э. д. с.
(рис. 2-28,г). Любой линейный пассивный шестиполюсник можно
представить в виде схемы замещения, которая содержит шесть со-
противлений (рис 2-29) и описывается уравнениями:
— /?и/14" ^12/2 4- W з j
U2 = 1 4- E2212 4~ -^2 3^3 j
U3 = Rsil 1 4~ ^32^2 4” ^33/3»
где 4" ^2 4“ ^22 = Ri 4~ ^3 + R33 —
= R2 4- R* 4" Rs» R12 = R21 = — Rr, R13 — R31 =
== — R2’, R23 = R32 = — Rs*
130
Эти сопротивления можно определить экспериментальным путем
или используя расчет для случая холостого хода и короткого замы-
кания. С помощью преобразования звезда — треугольник можно по-
лучить эквивалентную схему замещения, которая вместе с нелиней-
ными внешними цепями представлена на рис. 2-30. Используя
известные методы, например метод двух узлов, ее можно еще упрос-
тить *(рис. 2-31), а затем рас-
считать с помощью графиче-
ских построений.
Метод последовательных приближений. Метод расчета
нелинейных цепей, который базируется на последова-
тельном (шаг за шагом) определении искомых параме-
тров, называется методом последовательных приближе-
ний и представляет собой комбинацию аналитического
и графического методов расчета.
элемент
Пример. Произвольная цепь с одним нелинейным элементом.
Пусть вольт-амперная характеристика нелинейного элемента (рези-
стора I=f(U) известна (рис. 2-32). Заменим нелинейный
резистором с линейным сопротив-
лением которому соответствует
произвольно выбранная точка Pi
вольт-амперной характеристики.
Таким образом, мы получим ли-
нейную цепь, расчет которой позво-
лит получить значения для тока и
падения напряжения в сопротивле-
нии Pi, т. е. I'i и U'i, соответст-
ствующие некоторой точке P'i
(рис. 2-32). Точка P'i лежит на
прямой сопротивления 7?i и в общем
случае не будет принадлежать ха-
рактеристике I=f(U) Тогда за-
даются другим значением сопротив-
ленйя Р2, которому соответствует
точка Р2 характеристики, и вновь
рассчитывают цепь. В результате
получают новую точку Р'2 со значениями
в общем случае не будет находиться на
Рис. 2-32.
Г2 и U'2, которая также
___... характеристике I=f(U).
Затем процесс повторяют с другими значениями сопротивлений Р$,
Р^ и т. д. и определяют токи и напряжения, которые соответствуют
9* 131
точкам Р'з, Р'4 и т. д. Полученные точки Р\, P'2i Р'3 и т. д. соеди-
няют кривой, которая пересекает вольт-амперную характеристику не-
линейного элемента в точке Pq. Координаты этой точки определяют
искомые значения тока Zo и напряжения Uo в нелинейном элементе.
Заменяя теперь нелинейный элемент резистором с линейным сопро-
тивлением Rq — UqIIq, можно определить токи и напряжения в осталь-
ной линейной цепи.
Этот метод не ограничивается расчетом цепей с одним нелиней-
ным элементом, а может быть использован и для весьма сложных
схем, в том числе и в сочетании
с описанными выше методами.
Метод последовательных при-
ближений для расчета цепи с че-
тырьмя и более нелинейными эле-
ментами. Для цепи, содержащей
произвольное количество э. д. с.,
резисторов с линейными сопротив-
лениями и еще четыре резисто-
ра с нелинейными сопротивления-
ми, приведение указанным выше
способом к пассивному линейному
восьмиполюснику, на выходных за-
жимах которого включены резисто-
ры с нелинейными сопротивления-
ми последовательно с эквивалент-
ными э. д. с., не приводит к желае-
мым результатам. Правда, преобра-
зование пассивного восьмиполюсника принципиально возможно, одна-
ко в общем случае его довольно трудно привести к схеме, в которой
существовало бы только простое последовательное и параллельное
соединение нелинейных сопротивлений. Поэтому в этом случае лучше
воспользоваться методом последовательных приближений. С этой
целью заменяют одно нелинейное сопротивление (например, в вет-
ви X) на постоянное которому соответствует точка Р\ вольт-
амперной характеристики (рис. 2-33). Таким образом,
получается схема цепи с тремя нелинейными сопротивлениями, ко-
торая достаточно просто рассчитывается описанным выше способом.
Выполнив такое решение, определяют значения тока и напря-
жения (точка Р\ на рис. 2-33), которые имели <бы место, если
в качестве нелинейного сопротивления в ветви Л было бы линейное
сопротивление Если точка Р\ не попала на характеристику не-
линейного сопротивления, следовательно, найденные значения
/\1 и не являются истинными решениями данной задачи.
Повторяя данный процесс с несколько другими значениями
= const (например с точками Р2, Рз и т. д.), получают значения
токов и напряжений в сопротивлении ветви X, соответствующие точ-
кам РХ2, Р'3 и т. д.
Если соединить точки P'i, Р'2, Р'з и т. д., то получится кри-
вая, которая пересечет характеристику в истинной рабочей точке
/\0 с искомыми значениями тока /70 и напряжения с?хо. Затем чет-
132
вертое нелинейное сопротивление заменяют линейным == (7^0//^0
и рассчитывают цепь как цель с тремя резисторами с нелинейными
сопротивлениями, определяя токи и напряжения во всех остальных
участках данной цепи.
Если схема электрической цепи содержит пять нелинейных со-
противлений, то к ней также может быть применен метод последова-
тельных приближений. С этой целью дают одному нелинейному со-
противлению, например ^5(^5), значение, которое соответствует точ-
ке Р\ с координатами (U51, /51), лежащей на его характеристике.
Принимая сопротивление i/Д i как линейное, выполняют рас-
чет для ряда значений Р4, как только что было изложено выше, и
находят решение, удовлетворяющее характеристике h=f4(U4). По-
лученные при этом значения для тока /51 и напряжения U51 пятого
нелинейного сопротивления в общем случае не лежат на его харак-
теристике, например P'i (iU'mI'm). Тогда выбирают новую точку
^2(^52, /52) и опять повторяют процесс до получения соответствия
с характеристикой четвертого нелинейного сопротивления. Получен-
ные при этом значения Г5 2 и U'$ 2 соответствуют точке Р'2, которая
в общем случае опять может лежать вне характеристики. Тогда вы-
бирают третью точку Р3 и получают при повторении решения точ-
ку Р'3 и т. д. Если соединить точки' Р'\, Р\, Р'3, ...., то получится
кривая, которая пересечет характеристику в искомой ра-
бочей точке Po(ho, о)- Пятое нелинейное сопротивление заменяют
линейным сопротивлением 7?5о=^5о/Ло и оставшуюся цепь рассчиты-
вают как цепь с четырьмя резисторами с нелинейными сопротивле-
ниями.
В наиболее часто встречающихся на практике случаях количе-
ство нелинейных сопротивлений в общем не так велико, поэтому
описанными методами вполне можно обойтись.
Другие возможности применения метода последовательных при-
ближений. Если имеется произвольная нелинейная цепь, у которой
известны э. д. с. и вольт-амперные характеристики отдельных эле-
ментов, то возможен следующий способ применения метода после-
довательного приближения для определения токов, узловых напря-
жений и падения напряжения в ветвях. Зададим искомой величине х
произвольное значение х' и будем искать другую неизвестную вели-
чину у двумя способами. При этом мы получим два значения:
у'щ — первым способом и у'(з)— вторым способом, которые в общем
случае различаются. Затем зададим новое значение х" и опять по-
вторим расчет. Тогда получим два новых значения y"w и у"(2). По-
вторяя этот процесс многократно, получаем достаточное количество
точек, для того чтобы построить характеристики
пересечение которых дает точку с искомыми значениями х и у.
В качестве примера рассмотрим схему, изображенную на
рис. 2-34. Пусть э. д. с. и вольт-амперные характеристики отдельных
элементов известны. Выберем в качестве базисного узел 4, полагая
его потенциал ср4 = 0.
В качестве одной искомой величины х возьмем epi и зададимся
первым его значением cpi==<p,i. Тогда
i = cp4~(p,i = — яЛ.
133
В качестве другой неизвестной величины у выберем ток /в.
Решение заключается в следующем. По известным характеристикам
Л=Л(-74 1) и Л=Г4(^4 1) определяют значения Л и Ц.
По первому закону Кирхгофа имеем:
Л+Л = ^5 = ^,6(1).
По характеристикам h=fb(Uiz) и /б=/б(^з4) определяем зна-
чения U12 и £73 4. Тогда
^2 = ^1 --Ui 2j = ^3 4л ^23 — -^3-
Рис, 2-34.
По характеристикам h—fztUsz) и /3=^(^2 з) определяем то-
ки /2 и /3, а затем
/,6(2)==/2 + 7з.
В общем случае
I'6(1) 6(2).
Повторяя данный расчет, можно получить зависимости
^6(i)—fi (Ф1); 76(2)=/2(ф1).
Точка пересечения этих кривых определяет истинные значения
/б и ф1. Затем определяются все оставшиеся величины.
Данный способ можно также проиллюстрировать на примере
более сложной схемы (рис. 2-35), у которой известны вольт-ампер-
ные характеристики всех элементов (рис. 2-36,а).
В качестве первой искомой величины х выберем ф2, в качестве
величины сравнения — ток /б. Узел 3 возьмем в качестве базисного
и положим
Фз=0.
Предварительно определим зависимость
Ф^^б—Z76(Z6) =f(76).
Пусть эта зависимость представляет собой кривую, показанную
на рис. 2-36,6. Затем выберем значение ф'1, которое соответствует
току /'6, и зададим значение ф2. Тогда
Т/2 = ф'1—ф2; 774 = ф2—фз = ф2.
а 34
По .характеристикам /2=f(^2) и h=f (£Д) определим соответ-
ствующие токи /2 и Z4. По первому закону Кирхгофа имеем:
По характеристике Zs=f (^5) определяем U5 и
Z72 4 = ^5—‘^5,
а затем <р4. Тогда
£Л = фТ—Ф4; 17з='Ф4—!Фз='Ф4.
По характеристикам Л=Л(£Л) и /з=/з(^з) определяем Л и /з»
Затем получаем токи
/'б(1)=Л+Л; ^,6(2)=/з+/4.
Для различных значений ф2 можно построить зависимости
/Л6(1) = /б 1 (</2); ZZ6(2) = /б 2(^'2)»
которые графически изображены на рис. 2-37.
При ф1 = фТ и Iq—I'g получаем кривые, соответствующие
рис. 2-34. Значению Ц—I'q соответствуют потенциалы ф2=ф'г(1) и
Ф2=ФЛ2(2). Затем выбирают другую пару ф"1 и 1"6 соответственна
с рис. 2-36 и определяют новые зависимости (рис. 2-37):
^6(1) ^2 )» ^6(2) = А 2(?2 )•
Рис. 2-37.
Рис. 2-38.
135
Для /6==//,6 определяем значения cp"(2)i и <рх,2(2) Затем выбираем
<pz/,i и Г"ь и определяем (рис. 2-38):
?2(1) =Л[Д(1)]; ?2(2) =/2[/б(2)].
Точка пересечения кривых дает /6 и ср2. Хотя этот метод и ка-
жется сложным, затраты времени незначительны и при небольшом
навыке результат получается довольно быстро.
2-3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
А. Магнитная цепь
Магнитная цепь представляет собой устройство, в ко-
тором образуется магнитный ноток, сосредоточиваемый
в определенной части пространства. В общем случае
магнитный поток проходит через участки из ферромаг-
нитных материалов с различ-
ными магнитными свойства-
ми п различными геометри-
ческими формами и разме-
рами. В диамагнитных и па-
рамагнитных материалах
между магнитной индукцией
В и напряженностью маг-
нитного поля Н существует
прямая пропорциональность.
В ферромагнитных материа-
лах эта зависимость более
сложна, нелинейна и много-
значна. Характеристики
В(Н) отдельных материа-
лов, которые находят приме-
нение в магнитных цепях,многозначны, как показано
на рис. 2-39 для несколькихпределов измерения.
Б. Магнитная проницаемость
При расчете магнитных цепей в большинстве случаев
за основу берут кривую намагничивания, которую полу-
чают путем соединения вершин симметричных частных
петель гистерезиса (рис. 2-39). Па рис. 2-40 изображена
основная кривая намагничивания (показана сплошной).
Рассматривая эту кривую как функцию, связывающую
Н и В, можно найти статический параметр, который бу-
дет характеризовать ее магнитные свойства:
р=в!Н.
136
Этот параметр носит название статической маг-
нитной проницаемости. Зависимость ц от напря-
женности магнитного поля Н показана на рис. 2-40 пунк-
тиром. Если за масштаб индукции принять тв, а за
масштаб напряженности магнит-
ного поля тн, то
/Игг
(2-20)
Магнитная проницаемость име-
ет максимум в том месте, где пря-
мая, проходящая через нуль, ка-
сается кривой В(Н).
Большую роль при расчете не-
линейных магнитных цепей игра-
ет связь между потокосцеплением
и вызывающим его током. Если
катушка, насаженная на сердечш
нием А и длиной /, имеет w внтк(
равно:
Чг = w([) = wAl
При этом ток равен:
Вид характеристики Т(/) соответствует функции
В(Н) на рис. 2-40 при соответствующем изменении мас-
штаба.
Величина
Л (Л =W/I
зависит от тока и носит название нелинейной ин-
дуктивности.
Рис. 2-40.
с с поперечным сече-
., то потокосцепление
В. Аналогия с электрическими цепями
Основным законом при расчете' магнитных цепей
является закон полного тока
§ Н dl -= F 2 Н = 2 (2‘21)
X X
В неразветвленной магнитной цепи поток, проходя-
щий через все поперечные сечения, одинаков. Поэтому
можно вычислить индуктивное сопротивление и по (2-20)
напряженность магнитного поля на участке X.
13Т
Магнитодвижущая сила
X X
где
= V
— магнитное сопротивление участка Z, зависящее от на-
пряженности магнитного поля или от индуктивного со-
противления и потока.
Величину
называют магнитным напряжением на участке X*.
Между магнитным напряжением и потоком в общем
случае существует нелинейная зависимость.
Большое значение при расчете нелинейных магнитных
цепей имеет определение зависимости между магнитным
напряжением и магнитным потоком для определенного
участка цепи, магнитная характеристика которого из-
вестна. Она определяется с помощью масштабного изме-
нения кривой намагничивания соответствующе-
го участка (умножением значения индуктивности с по-
перечным сечением участка на значение напряженности
поля с длиной /х).
В каждой точке разветвления магнитной цепи сумма
всех потоков равна нулю:
3ФХ = °-
Это выражение аналогично первому закону Кирхгофа
для электрической цепи.
В разветвленной магнитной цепи можно так выбрать
контур, что если выйти из одной точки, то можно опять
возвратиться к ней, не проходя при этом ни один уча-
сток цепи дважды. В этом случае в соответствии с зако-
ном полного тока
f=X=S"» z>=s к^=ХФЛ>-(2~22)
V X XX
* В соответствии с рекомендацией Комитета технической терми-
нологии АН СССР в отечественной литературе применяют термин
«разность скалярных магнитных потенциалов».
138
т. е. сумма н. с. в любом контуре разветвленной магнит-
ной цепи равна сумме магнитных напряжений. Уравне-
ние (2-22) аналогично второму закону Кирхгофа для
электрической цепи.
Г. Схемы замещения магнитных цепей
Аналогия основных уравнений магнитных и электри-
ческих цепей дает возможность для любой магнитной
цепи установить электрическую схему замещения, из ко-
торой могут быть определены соответствующие величи-
Рис. 2-41.
ны. На рие. 2-41 показаны простая магнитная цепь и ее
электрическая схема замещения. Сопротивление за-
висит от магнитного потока, сопротивление /?м2 (путь
Рис. 2-42.
воздушного зазора) постоянно. На рис. 2-42 показаны
разветвленная магнитная цепь и аналогичная ей элек-
трическая схема.
Д, Расчет нелинейных магнитных цепей
Графический расчет магнитных цепей. Если имеется
магнитная цепь и ее электрическая схема замещения
с известными ^7м=/(Ф) характеристиками отдельных
участков, то для расчета магнитной цепи можно приме-
139
нить графо-аналитические методы, аналогичные методам
расчета нелинейных электрических цепей.
Рассмотрим магнитную цепь, представленную на
рис. 2-41. Пусть им==}(Ф)—характеристики магнитных
сопротивлений /?М1 и /?м2 Для двух участков цепи извест-
ны (рис. 2-43). Тогда в соответствии с (2-22)
S t/м — t/м! //м2 — lF-
Эта сумма соответствует определенному значению
потока Ф12 (рис. 2-43). Чтобы по заданному значению F
найти соответствующий магнитный поток, выполняется
графическое построение (рис. 2-44). Решение определя-
Рис. 2-43.
ется пересечением кривой Ф({/М1) с прямой Ф-з^/7, ко-
торую можно рассматривать как внешнюю характери-
стику источника э. д. с. F схемы замещения с внутрен-
ним сопротивлением /?М2.
Неразветвленная магнитная цепь с постоянным маг-
нитом. На рис. 2-45 показана подобная цепь. Участок
с постоянным магнитом имеет длину /1, два магнито-
мягких участка /2 и /3 и воздушный зазор /4. Целью рас-
чета является определение магнитного потока в воздуш-
ном зазоре. Рабочая точка, как известно, находится во
втором квадранте петли гистерезиса постоянного магни-
та (кривой размагничивания). По этому участку харак-
теристики В(Н) постоянного магнита строится характе-
ристика
Ф=Л((/м), (2-23)
которая представляет собой поток
Ф=ВИ1
140
в виде зависимости от магнитного напряжения между
точками а и b
и^=н^
где Л1 — площадь поперечного сечения участка с по-
стоянным магнитом.
Далее строится зависимость
(2-24)
которая представляет собой связь потока в магнитомяг-
ких участках и воздушном зазоре и магнитного напря-
Рис. 2 45.
о
Рис. 2-46.
жения между точками а и Ь. Магнитное напряжение на
магнитомягких участках и в воздушном зазоре равно:
— H2I2A- H3I3+//4/4-
(2-25)
При заданном значении Ф определяем индукцию. Во
многих случаях поперечные сечения магнитных участков
равны (А2=Аз=А^=А) . Поэтому
По характеристикам намагничивания участков 2 и 3,
зная магнитную индукцию, определяют Н2 и Н3. Напря-
женность магнитного поля в зазоре равна:
Н^Н^В!^.
Затем значения Н2, Н3 и Н4 подставляют в (2-25),
в результате чего определяют [7М. Точка пересечения
обеих кривых (2-23) и (2-24) дает -искомое значение
потока (рис. 2-46)
141
2-4. ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА С НЕЛИНЕЙНЫМИ
КОНДЕНСАТОРАМИ
Основные положения. У нелинейного конденсатора
между зарядом и напряжением существует нелинейная
зависимость
Q=f(U)-
В качестве диэлектрика используются материалы
ферроэлектрической группы. Такие материалы обладают
нелинейной зависимостью смещения D от напряженно-
сти электрического поля Е. Эта зависимость в большин-
стве случаев не только нелинейна, но и многозначна
(рис. 2-47). При расчете цепей с нелинейными конден-
саторами пользуются однозначной зависимостью, полу-
ченной, как и у ферромагнитных цепей, с помощью со-
единения вершин симметричных частных петель внутри
граничной кривой. Такая зависимость показана на
рис. 2-48. Отношение смещения к напряженности пред-
ставляет собой абсолютную диэлектрическую проницае-
мость
8а (£)=£/£,
которая также показана на рис. 2-48.
Если принять в качестве масштаба смещения
а в качестве масштаба напряженности те, то
еа(/7) = (me/md)tga;
еа(£) имеет максимум в том месте, где прямая, прохо-
дящая через начало координат, касается кривой D(E).
Связь между зарядом и напряжением получается из
кривой D(E) с помощью простого масштабного измене-
142
ния. Если конденсатор имеет плоскопараллельные об-
кладки, то
Q=DA- U=Ed,
где А — активная площадь электродов; d — расстояние
между ними.
Величина
C(t/) =Q/L7
не является постоянной и носит название нелинейной
емкости.
Основные законы и соотношения для расчета цепей
с нелинейными конденсаторами. Приведем основные за-
коны, которые позволяют рассчитывать цепи с нелиней-
ными конденсаторами:
Соотношение между зарядом и напря-
жением
Q=f([/)=C(t/)t7. (2-26)
Закон о сохранности зарядов при от-
сутствии токов утечки
3Qx = Qo- (2-27)
Этот закон означает, что сумма зарядов на обкладках
конденсаторов после их соединения сохраняется. Если
на обкладках нет зарядов, то
X
Закон о соотношении э. д. с. и напряже-
ний в контуре
2E = 2t7v(Qv) (2-28)
X X
означает, что алгебраическая сумма э. д. с. в контуре
равна алгебраической сумме напряжений на конденса-
торах.
‘Соотношение (2-26) аналогично зависимости между
током и напряжением в нелинейной цепи постоянного
тока. Соотношение (2-27) соответствует первому закону
Кирхгофа, а (2-28)—второму закону Кирхгофа.
Эти аналогии позволяют применять описанные выше
методы для расчета цепей, содержащих нелинейные кон-
143
денсаторы. Однако из-за токов утечки, обусловленных
несовершенством диэлектрика, напряжение определяется
не емкостью, а сопротивлением изоляции, вследствие
чего нелинейные конденсаторы в цепях постоянного тока
представляют только теоретический интерес.
2-5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНОМ
УПРАВЛЯЮЩЕМ НАПРЯЖЕНИИ
А. Линейные схемы замещения для малых
управляющих сигналов
Основные положения. Во многих практических случаях
в цепях переменного тока нелинейные элементы управ-
ляются переменным напряжением, которое действует
наряду с постоянным напряжением (рис. 2-49). При этом
амплитуда переменной составляющей тока, появляющая-
ся в цепи, определяется амплитудой переменного напря-
жения и динамическим сопротивлением, которое у инер-
ционных элементов равно статическому сопротивлению
Рис. 2-49.
в соответствующей рабочей
точке, а у безынерционных
элементов равно дифферен-
циальному сопротивлению
(§ 2-1).
Рис. 2-50.
Если амплитуда переменного напряжения, у безынер-
ционных элементов настолько мала, что дифференци-
альное сопротивление в области управления может рас-
сматриваться как постоянное или характеристики в этой
области могут рассматриваться как линейные, то говорят
об управлении малым сигналом. Из этого следует, что
при управлении малым сигналом зависимость между пе-
ременными величинами линейна и нелинейность элемента
оказывает только воздействие на установление рабочей
точки. Если интересоваться только отношениями между
144
переменными величинами, то все уравнения можно ли-
неаризовать и составить для них соответствующие линей-
ные схемы замещения.
Так как управление малым сигналом имеет достаточ-
но большое значение при расчете предварительных ка-
скадов усиления, генерато-
ров (осцилляторов) и т. п.,
рассмотрим в качестве при-
мера управление малым сиг-
налом электронной лампы и
транзистора.
Схема замещения элек-
тронной лампы. Рассмотрим
электрическую схему, пред-
ставленную на рис. 2-50, се-
мейство вольт-амперных ха-
рактеристик триода показано
на рис. 2-51. При малом управляющем воздействии
вблизи рабочей точки Р с координатами /а0 и (7ао эти
характеристики можно аппроксимировать прямыми
с крутизной наклона
\/a/At/a=
(2-29)
Кроме того, при постоянном анодном токе
-AUC/^U& = D.
Это говорит о том, что горизонтальное расстояние
прямой с параметром t7c<0 от прямой с Uc = 0 состав-
ляет
А/7а==_[/с/П.
Если обозначить через £а0 точку пересечения прямой
с параметром UC = Q с осью абсцисс, то получим уравне-
ние прямой для сеточного напряжения Uc о<О в виде
/ао=(^ао-£ао-С/со/П)/7?/.
При изменении £7со на А£7С изменяется анодный ток
на А/а и анодное напряжение на А£7а = —\IaRa. При
этом новое значение анодного тока составит:
((7а) + Д(/а) + 4" (-^со + — Аао
Таким образом, изменение анодного гока равно:
д/ Т J [ _ А(7с — ду Ra I ^(7д
A/а— /а-/ао — R. “1“ dR. — A/а R. "f
10—447
145
или
Д/а — Д17с/D (Ri
(2-30)
Если Д1/с представляет собой малое переменное на-
пряжение ис (4), которое действует наряду с постоянным
напряжением смещения сетки С/с о, то Д/а также пред-
ставляет собой переменный ток га(/), который наклады-
вается на постоянный ток /а0.
Тогда в соответствии с (2-30)
. _ пс/Р_________е
Ri Ri Т* R&
т. е. анодный ток следует безынерционно за изменением
•сеточного напряжения. Это положение справедливо, по-
ка продолжительность периода переменных величин ве-
лика по сравнению с временем пробега электронов
в лампе.
(2-31)
Рис. 2-52.
Рис. 2-53.
Анодный переменный ток fa вызывает в анодном со-
противлении 7?а падение напряжения
f/a — — taRa = — &Ra[ (Ri Ra)- (2-32)
По (2-31) и (2-32) можно составить схемы замеще-
ния, которые описывают поведение триода при перемен-
ном токе. На рис. 2-52,а представлена схема замещения
с источником напряжения
e(t) = rzc(/)/D
и на рис. 2-52,6 — схема замещения с источником тока
i (/) = е = ис (t)/DRi = Suc (/).
Внутреннее сопротивление Ri в обоих случаях опреде-
ляется по (2-29).
146
Схемы замещения, изображенные на рис. 2-52, пол-
ностью отражают все специфические особенности процес-
са усиления при малых управляющих воздействиях.
Для аналитического рассмотрения усилительных
свойств может быть полностью использована теория че-
тырехполюсников этих схем. На рис. 2-53 эти схемы
представлены в виде четырехполюсника, у которого
tl\ = tlo\ == О j tl2== 12== ^а-
Определение коэффициентов уравнений четырехполюс-
ника, представленных, например, в форме А
Ul == A11U2 "ф- Al 2 ?2 j G ==z A21U2 ^22^2,
не вызывает затруднений, а совместное решение (2-31}
и (2-32) при tittle дает:
Ui = Uc ’==z D (/a^?Z “ф“ ^a^?a) —2 DRda "ф" DiaRa —• — Dll 2 —
Из сравнения коэффициентов соответствующих урав-
нений определяются искомые параметры
A1 = -D; = = -1/S; Д21 = Л22 = 0.
Схема замещения транзистора. Транзистор описывает-
ся статическими характеристиками
1э :== f 1 (^э.б, i/к.б); Iкf 2 э>б> f/к.б).
Если напряжения С7э.б и С7к.б изменяются в области
небольших значений dU^ и dU^, то соответствующие
изменения тока составят:
dUK.e, (2-33)
ииэ.б OUk.6
dI*=^dU°-6+^dU*6-
ииэ.б Оик.б
Если эти изменения — малые переменные величины,
действующие совместно с какими-то постоянными, то
(2-33) и (2-34) видоизменяются:
/э :===z У1 1^э.б “ф" У1 2^K.6j (2-35)
/к = У2 1^э.б -ф“ У2 2^К.б, (2-36)
10* 147
где параметры z/ц, г/±2, */21, У22 зависят от рабочей точ-
ки на характеристике и представляют собой параметры
четырехполюсника в форме проводимости
z/i > = dhldU^u nst;
К о
Ух 2 = <?/э/<?С7к.б|^к б =const;
У21 = <?/к/^э.б|^к б =const;
у 2 2 = ^/к/^к.б!^ б =const-
Другие формы уравнений четырехполюсника, напри-
мер форма h
^э.б~ hi \1э "4“ hi г^к.б^ (2-37)
J*K —- Й2 1^э + 2^К-б, (2“38)
могут быть получены путем пересчета коэффициентов че-
тырехполюсника или непосредственно из характеристик
транзистора с использованием соотношений:
hi 1 = ^э.б^/э|^к 6=const;
Й] 2 = ^э.б/^к.б|/э=СОП51;
й2 1 — д1к!д1э\ик 6=const;
Й2 2 = ^/к/^К.б|/э=С0П5р
По (2-35) и (2-36) или (2-37) и (2-38) может быть
построена схема замещения транзистора для малых
управляющих воздействий.
Если исходить из смешанной й-формы уравнений
четырехполюсника
Рис. 2-54.
ZZ1 —- hi ii 1 - hi 2^25
/2 : Й2 ill "4“ h2 2^2»
то соответственно получает-
ся так называемая й-схема
замещения, которая пред-
ставлена на рис. 2-54.
Исходя из других форм
уравнений, получают другие
148
схемы замещения, которые совершенно эквивалентно
описывают поведение транзистора.
Б. Поведение нелинейного элемента при
больших сигналах
Инерционный нелинейный элемент при большом сиг-
нале управления. Инерционными резистивными элемента-
ми являются такие элементы, у которых нелинейность
основана на температурной зависимости материала. Со-
противление инерционного элемента зависит от темпера-
туры, которая определяется силой тока (количеством
теплоты), температурой окружающей среды и при пере-
менном токе — тепловым состоянием элемента, непосред-
ственно вызванным изменением тока. Тепловой процесс,
который обусловливает нелинейность вольт-амперной ха-
рактеристики, протекает относительно медленно. Посто-
янная времени нагрева так велика, что даже при сравни-
тельно низкой частоте (например, 50 Гц) температура
таких элементов и соответственно сопротивление их в те-
чение периода практически не изменяются. Поэтому
в общем случае сопротивления или проводимости таких
элементов можно принять постоянными. При управлении
большими сигналами переменного напряжения справед-
ливо выражение для тока
i=Gu. (2-39)
На рис. 2-55 показана нелинейная характеристика
инерционного элемента, снятая при постоянном токе. Как
следует из (2-39), в этом случае между мгновенными
значениями тока и напряжения существует пропорцио-
нальность. Коэффициент пропорциональности зависит от
действующего значения тока. Поэтому при синусоидаль-
ном напряжении ток также синусоидален.
Если теперь изменить действующее значение тока, го
после установления теплового равновесия изменится ко-
эффициент пропорциональности G, значение которого
равно, тангенсу угла наклона а. При этом зависимость
между мгновенными значениями тока и напряжения со-
хранится линейной, а действующие значения тока и на-
пряжения будут связаны нелинейной зависимостью.
К инерционным сопротивлениям относятся электриче-
ские лампы накаливания, бареттеры, полупроводниковые
термосопротивления (термисторы) и т. п.
149
Безынерционный нелинейный элемент при большом
сигнале управления. Если на безынерционный нелиней-
ный элемент с характеристикой
y=f(x)
воздействует величина x = x(t), то закон изменения функ-
ции у будет
г/=Лх(О1
В общем случае при синусоидальном управляющем
воздействии х(/;) функция y(t) несинусоидальная.
Основная задача при исследовании установившегося
процесса в нелинейной цепи с безынерционными элемен-
тами состоит в определенной временной зависимости то-
ка или напряжения на заданном участке цепи, если из-
вестен закон изменения всех действующих в цепи э. д. с.
Синусоидальная переменная функция считается из-
вестной, если известны ее амплитуда, частота и фаза.
Если flat) представляет собой исследуемую периодиче-
скую несинусоидальную функцию, то коэффициенты ря-
да Фурье могут быть определены следующим образом:
2тс
Во = -J- С f (<£>/) dwt;
zrc I
О
(2-40)
150
2тс
An = — J f (W) sin да t dsnt\
0
2tc
Bn = J f («)/) cos nwt d^t.
о
(2-41)
(2-42)
Несинусоидальная функция может быть представле-
на в виде ряда
оо
f (W) == Во + 2 И» s'n n<°i + cos пш^ —
Л2 = 1
= Во + 2 Рп sin
п=1
где' Fn = У А2 п + В2П; ?га = arctg (Ап]Вп).
Если в линейной цепи действуют э. д. с. синусоидаль-
ной формы, токи и напряжения, определяемые на отдель-
ных элементах, также являются синусоидальными. При
наличии в линейной цепи э. д. с. несинусоидальной фор-
Рис. 2-57.
мы применяют принцип наложения, который позволяет
производить расчет по отдельным гармоникам и опреде-
лять на основе разработанных методов расчета линей-
ных цепей токи и напряжения, вызванные каждой гармо-
никой, а затем просуммировать соответствующие функ-
ции. Полученные токи и напряжения представляют со-
бой также несинусоидальные функции, период которых
равен периоду действующей в цепи несинусоидальной
151
э. д. с. Таким образом, спектр частот в линейной цепи
не изменяется.
Совершенно иной характер процессов в цепях
с безынерционными нелинейными элементами. Их свое-
образие заключается в том, что реакция нелинейной це-
пи содержит частоты, отсутствующие в воздействующей
функции. Это можно проиллюстрировать на примере
простой цепи с одним нелинейным элементом с квадра-
тичной характеристикой
i=au2,
к которому приложено синусоидальное напряжение
u=Urn sin со/.
Ток в цепи
i — aU2m sin2 <о/ — aJU2m (1 /2 — 1/2 cos 2<o/) =
= (1/2)а(72^ - 1 l2aU2m cos 2<o/. (2-43)
Спектральный состав напряжения Su и тока Si пока-
зан на рис. 2-56, из которого видно, что частотные спек-
тры принципиально различны.
Наиболее отчетливо выражен этот процесс, когда на
нелинейный элемент воздействует сумма напряжений,
например два напряжения с разными частотами:
и = Uxm sin «ч/ ^2/71 sin ш2/.
Тогда
i = аи2 = a (Ultn sin iZ -j- sin (o2r)2 =
= (a '2) (U\,n + (722w) - (1 /2)aU2lm cos 2^t-
— (1 / 2)a(/22w cos 2co2r -j- aUunUnn cos («ч — co2) t —
— qD\rrJJ2m COS ((01 —|— (o2) t. (2-44)
Из рис. 2-57 следует, что частотные спектры прило-
женных напряжений и тока в цепи различны.
В составе тока образуются частоты, представляющие
собой сумму или разность частот, имеющихся в прило-
женном напряжении.
152
Сравнение (2-43) и (2-44) или рис. 2-56 и 2-57 еще
раз показывает недопустимость применения принципа
наложения, составляющего основу линейной теории.
В. Методы гармонического анализа
4) гармонический анализ
искажения.
Гармонический анализ нелинейных цепей может быть
выполнен как графическими, так и аналитическими ме-
тодами. В том и другом случае решение состоит из сле-
дующих пяти этапов: 1) определение зависимости между
.заданной и искомой величиной; 2) задание закона изме-
нения (временной зависимости) воздействующей величи-
ны; 3) определение закона изменения (временной зави-
симости) искомой величины;
искомой величины; 5) оценка
Графические и численные
методы гармонического ана-
лиза. Графические ме-
тоды. Графическое опреде-
ление частотного спектра
проводится в указанной вы-
ше последовательности.
Пусть зависимость между за-
данной и искомой величина-
ми задана в виде графика,
например в виде вольт-ам-
перной характеристики нели-
нейного безынерционного элемента (рис.
заданной величиной является напряжение, а искомой —
ток и его частотный спектр. Используя вольт-амперную
характеристику и закон изменения заданного напряжения,
можно графически построить временную зависимость тока
в цепи (рис. 2-58). Затем провести гармонический ана-
лиз полученной кривой i(t). Для этой цели можно вос-
пользоваться механическим анализатором, который не-
посредственно дает возможность определить коэффици-
енты ряда Фурье Ап и Вп. Кроме того, могут быть ис-
пользованы численные методы, применение которых по-
казано ниже.
Метод суммирования. Приближенный метод
определения коэффициентов ряда Фурье состоит в заме-
не в (2-40) — (2-42) интеграла суммой. Для этого период
Т делят на 2m равных частей
2-58). Пусть
mtr = ги>Т! 2m = rnfm.
153
Тогда коэффициенты:
2m—1
/ил
r=0
2/72—1
An=Z^ S H<B^)sin(№/r);
r=0
2/72—1
Bn=J] t cos (nwtr)’
r=0
(2-45)
(2-46)
(2-47)
где Bq — среднее значение 2m ординат; An — удвоенное
среднее арифметическое значение произведения значений
функций в точках 2т на соответствующее значение
sin(n(o/r); Вп — удвоенное среднее значение произведе-
ния значений функций в точках т на соответствующее*
значение cos (псо/г).
Графо-механический метод. Из (2-46) и
(2-47) следует, что для приближенного расчета коэффи-
циентов ряда Фурье необходимо знать времязависимое-
значение функции уг=ч(<&г),
Эти значения могут быть
определены по характеристи-
ке y—f(x) на рис. 2-59, если
эта характеристика управ-
ляется синусоидальной вели-
чиной
х = Х0 cos со/.
Для этой цели проводят
окружность с центром в на-
чале координат и радиусом,,
равным амплитуде Xq. За-
тем окружность разбивают
на 2m равных частей (на-
Рис. 2-59.
пример, 2т=12) и опускают перпендикуляры из точек
разбивки на ось X. Точки пересечения с характеристи-
кой дадут необходимые времязависимые значения функ-
ции. При косинусоидальном воздействии разбивку начи-
нают с со/о = 0 и в математическом смысле окружность
разбивается на положительные участки. Делению
окружности соответствует a)tr=a.r. Полученные таким
154
образом значения функции f(co^) проектируются на
ось у. Эта операция легко осуществляется, если в у =
=f(x) ввести подстановку x=X0cos(ot Тогда
y = f(Xo cos со/) = fl (со^).
Для аргументов X0cos co^=Xo cos аг функция f(x)
принимает точно значения функции (f(co/r). Но эти аргу-
менты являются точками пересечения перпендикуляров
из точек разбиения окружности с осью х.
Выражения cos (nco/r) или sin (nco/r) из (2-46) и
(2-47) также пропорциональны отрезкам на оси х, п-й
отрезок легко подсчитывается в уме.
Если провести нормирование величины X на ампли-
туду Хо, то окружность становится единственной при
любых управляющих величинах. Точки пересечения на
оси х становятся тоджественными тригонометрическим
функциям, необходимым для оп-
ределения (2-46) и (2-47). Если
нормирование не проводить, то
при определении Ап и Вп необхо-
димо учитывать масштабный ко-
эффициент. В первом и четвертом
квадратах располагаются поло-
жительные значения, во втором и
третьем квадратах — отрицатель-
ные.
Итак, значения f(atr) и
cos (naytr) или sin (псо^г), необ-
ходимые для (2-46) и (2-47), присутствуют в графиче-
ском построении и определяются как отрезки на соответ-
ствующих координатных осях (рис. 2-60). Произведение
этих величин по оси у и оси х представляет собой удво-
енную площадь треугольника ОАВ. Каждому произведе-
нию в (2-46) и (2-47) соответствует удвоенная площадь
образованных указанным способом треугольников. Пло-
щади этих треугольников можно определять планимет-
ром. При этом легко выполняется операция суммирова-
ния всех треугольников, так как определение площади
каждого треугольника начинается и заканчивается в на-
чале координат. При положительном произведении (по-
ложительный треугольник) направление поворота штиф-
та планиметра правое, при отрицательном произведе-
нии— левое. Отрицательное произведение соответствует
или отрицательным значениям функции, или отрицатель-
155
ным значениям функций угла. Правильно выбранные
обозначения внутри квадратов позволяют судить, идет
ли речь о положительном или отрицательном треуголь-
нике. Используя рассмотренный прием, который назван
как графо-механический способ, достаточно просто опре-
делить суммы в (2-46) и (2-47). Значения, определяю-
щие площади треугольников, связаны масштабным ко-
эффициентом Ifm.
Таким образом, получают:
2т— 1 2т— 1
Ап==1Г Yl ^ПГ'’ Вп=~т S В,гг’
/—О г=0
где Апг и Впг— площади треугольников для приближен-
ного расчета коэффициентов Фурье.
Описанный метод расчета может также быть исполь-
зован при многозначных характеристиках, например при
гистерезисных.
Аналитические методы гармонического анализа. При
использовании аналитических методов гармонического
анализа прежде всего определяют зависимость между
заданной х и искомой у величинами
У=/(х). (2-48)
Если заданная величина представляет собой извест-
ную функцию времени х(/), то, подставив ее в (2-48),
получим временную зависимость искомой величины
Если x{t) —периодическая функция, то y(t) —также
периодическая функция. При определении частотного
спектра пользуются разложением в ряд Фурье, коэффи-
циенты которого определяются из (2-40) — (2-42). Одна-
ко интегрирование в большинстве случаев связано
с большими трудностями.
Зависимость (2-48) чаще всего задается в виде гра-
фика, который может быть аппроксимирован с заданной
степенью точности аналитическим выражением.
Если заданная величина является гармонической
функцией времени, то она может быть записана в двух
вариантах:
х = X/72 sin «/;
х — Хт cos соЛ
156
Если эти зависимости ввести в выбранную аппрокси-
мирующую функцию y=f(x), то последняя примет вид::
y — f (Хт sin со/);
# = f(XmCOS(o/).
Для проведения гармонического анализа подобных:
функций должны быть разработаны специальные мето-
ды, с помощью которых можно получить решение более
простым путем, чем при использовании обычных мето-
дов определения коэффициентов ряда Фурье (2-40) —
(2-42). Неправильно полагать, что можно найти наилуч-
ший метод анализа для всех случаев. Поэтому в зави-
симости от вида аппроксимирующей функции эти мето-
ды могут быть различны. При анализе цепей будем счи-
тать, что вольт-амперные характеристики элементов
известны.
При кусочно-линейной аппроксимации для гармони-
ческого анализа можно рекомендовать метод угла от-
сечки. При аппроксимации степенным полиномом триго-
нометрическую функцию в степени целесообразно выра-
зить тригонометрической функцией кратного аргумента.
При* выборе тригонометрического полинома в качестве
аппроксимирующей функции удобно воспользоваться
функциями Бесселя с действительным аргументом. Если
для аппроксимации выбран экспоненциальный полином,
то следует применять функции Бесселя с мнимым аргу-
ментом. При использовании различных трансцендентных
функций удовлетворительные результаты получаются
157
в случае применения метода нескольких ординат (см.
.ниже).
Кусочно-линейная аппроксимация и
метод угла отсечки. На рис. 2-61 представлена
кусочно-линейная аппроксимация вольт-амперной ха-
рактеристики нелинейного элемента (например, анодно-
сеточная характеристика триода). К нелинейному эле-
менту приложено напряжение
и— — UQ-\~Um COS cot.
Требуется определить гармонический состав тока.
Ток (рис. 2-61) представляет собой косинусоидальные
импульсы. Если вольт-амперная характеристика имеет
крутизну S, то мгновенное значение тока равно:
i — /0 -|- Su = 10 S (Um cos (at — Uo\ (2-49)
Обозначим через 0 половину угла отсечки; 0 зависит
ст напряжения смещения Uq. Используя условие, что
при со£=0 ток i—О, получаем зависимость между 0
и Uo:
O = /o + S(t7™ cos 0—1/0),
откуда
t/o = (70+S(7mcos 6)/S;
cos 6 = (Ж - (2-50)
Подставив (2-50) в (2-49), получим:
I = /о + S [Um cos (at — (/0 + COS 6)/S] =
= SUm(COSwf — COS 6). (2-51)
Зная крутизну S, амплитуду переменного напряжения
и угол отсечки, можно определить ток.
Уравнение (2-51) можно выразить в безразмерной
форме, если мгновенное значение тока отнести к его ма-
ксимальному значению. Максимальное значение ток
будет иметь при со/, равном 0; 2л; 4л и т. д.:
Im = SUm(\ — COS0).
Тогда
а — ///т —(cosutf — cos 6)/(1 — cos 6),
158
т. е. нормированный ток зависит только от 0. Определим
амплитуду первой гармоники тока, используя преобра-
зование Фурье
I\т = — J f (<»/) COS (i)t d&t,
О
где
f (urf) = SUm (cos — cos 0).
Интеграл от 0 до 2л можно заменить удвоенным ин-
тегралом от 0 до 0. Тогда
е
9 ___ ^SUfn С / 1 Л\ 1 1 1
Iim = —-— | (cos О)/ — COS 0) COS со/ (Ы.
о
Учитывая, что
б
J cos2 со/ du>t = (0 -ф- sin 0 cos 6) (2-52)
о
и
б
J cos 0 cos со/ бЫ = sin 6 cos 0, (2-53)
о
окончательно получаем:
Цт = — sin 0 cos 0).
Если это значение отнести к максимальному значе-
нию всего тока, то получим:
1ип __ 1 0 — sin 6 cos 6
Й1 ' 1т К 1 — cos 6 ’
где ai — коэффициент разложения первой гармоники.
Аналогично могут быть получены коэффициенты раз-
ложения постоянной составляющей тока
IQ __ 1 sin 0 — 0 cos 0
a° ~~ hZ * i — cose ’
второй гармоники
/2m 2 Sin3 6
“ST i —cose
159»
и в общем случае n-й гармоники
2 (sin /гв cos 0 — п cos /гв sin А)
г/г (/г2 — 1) (1 — cos 0)
(2-51)
&п---
Зная коэффициенты разложения, определяем ампли-
туды соответствующих гармоник. Так, например, ампли-
туда второй гармоники равна:
^2т = = CL2SUm ( 1- COS 0) .
На рис. 2-62 показаны графики изменения коэффи-
циентов разложения ао, «1—as от 0.
Метод угла о т с е ч к и при
квадратичной характери-
стике. Приведенная линейная ха-
рактеристика на рис. 2-61 приближен-
но соответствует характеристике ре-
ального элемента Поэтому во многих
случаях приходится учитывать кри-
визну исходной характеристики и для
получения более точных результатов
целесообразно аппроксимировать ее
параболой. Без ущерба общности
результата будем считать, что пара-
бола начинается в центре коорди-
нат, т. е.
i = au2 при ц^О;
г = 0 при ц^О.
Воздействующее на характеристику напряжение представим
в виде
т COS to/.
Тогда ток, проходящий через нелинейный элемент с заданной
квадратичной характеристикой,
/(со/) = а(— Uo + Um cos со/)2 для 0 со/ 0, 2г — 0 со/ 2г;
/(со/) = 0 для 0 со/ 2г — 0.
Угол отсечки тока 0 может быть определен из формулы
ц(0) = 0 =—U0-\-Um cos 0,
где cos 0 = UUUm.
Тогда ток в моменты прохождения через нелинейный элемент
= aU2m(tQS tot — cos 0)2.
Максимальное значение тока 1т имеет место при со/ = 0:
(1—COS О)2.
Проведем нормирование тока
а(со/) = = (cos со/ — cos 0)2. (1 — cos 0)2.
160
При разложении в ряд Фурье для постоянной составляющей
получаем:
2к
«о = /о(6) = *2^" J a(o/)do/.
О
Подставляя (2-54) в интеграл, получаем:
6
— f /А' _ 2 Г(С05 <0/—COS 6)2
“° — /0(6) — 2гс J (! — cos9)2 d(dt —
о
0
— cos 9)2 У (cos2 tot — 2 cos 9 cos tot + cos2 9)do/.
0
В результате интегрирования и с учетом (2-52) и (2-53) по-
лучаем:
“° = п(1 — cos'6j2 ["Г 9 + 4~sin 9 cos 9 ~ 2 cos 9 sin 9 +
/ 1 \ 3
6 I cos2 9 + “2“ )--2”sin 9«cos 9
+ 9 cos2 9] = ^(1 _ cos 9)2 *
Так как i(t) представляет собой четную функцию (рис. 2-63),
то разложение в ряд Фурье содержит только косинусоидальные со-
ставляющие. Составляющая основной частоты
2тс
0Ц = (0) = -i- у a (о/) COS о/ do/ =
О
0
2 Г (cos о/— cos б)2
= —J ’ТГ^-с’оТб)2' ' cos о/do/=
о
6
2 С
~ гс (1 — cos2'9)2 j (cos3<°^ — 2 cos 9 cos2 о/ + cos2 9 cos о/) do/
b
или после преобразования
sin 9 — sin3 9 — 9 cos 9
2____________3__________________
— П (1 — cos в)2
Аналогично можно определить коэффициенты разложения для
второй и высших гармоник.
11—447 161
Рис. 2-63.
Степенной поли-
ном и разложение с
помощью перехода к
тригоно м етрической
функции кратного ар-
гумента. Пусть вольт-ам-
перная характеристика не-
линейного элемента пред-
ставлена степенным полино-
мом вида
i=t/o Н- 4“ -\~
4“ 0,4!^"4~ ..
и — синусоидальная функция времени zz=C7msincD/.
Тогда значительно упрощается определение коэффи-
циентов гармонического анализа при переходе от триго-
нометрической степенной функции к тригонометрической
функции кратного аргумента, если воспользоваться из-
вестными тригонометрическими зависимостями:
sin2 а ----cos 2а;
sm3a=: — sin a---------sm 3a;
3 1 nil A
sm4 a = -3--- -3- cos 2a —— cos 4a;
о z о
5 5 1
sin5 * * В a — — sin a-sin 3a -4- sin 5a;
8 16 1 16 ’
о 1.1 o
cos2 a = — 4“ “2“ cos 2a;
4 1
cos3 a = -3- cos a —— cos 3a;
cos4 a = -|—J- cos 2a -k -i- cos 4a;
о Z о
5 5 1
cos5 a = cos a -I—cos 3a -I—cos 5a.
О *1о ‘10
(2-55)
В общем случае
sin’»a = ^-4^(
'*=0
162
п—1
sin2"-1 а = 2гд1_- (— !)«+*-> (2,г ~1 ^sin (2/7 — 2k—1)а;
6=0
cos2Z2-1 а =
]
22П-2
cos(2/z — 2k — 1)а.
Пример. Рассмотрим полином третьего порядка, который
часто используется при аппроксимации анодно-сеточной характери-
стики триода:
Im f 4 \
г'а = ~2~ Н + aUс — 27" j ’
где a^VSblhn.
Пусть напряжение на сетке изменяется по синусоидальному
закону
Uс == Ucm sin (j)t.
Тогда
Im f 4 \
r'a = ~2“ ( 1 + aUcm sin со/ — rjy zz3/73cm sin3 со/ j
ли с учетом (2-55)
г а — £ 1 + (^aUcm — аЧЬспг^ sin со/ + a4J3cm sin Зсо/j .
Постоянная составляющая тока равна:
1&0 = 1 т/^-
Амплитуда первой гармоники
I aim = ~2“ ^CbUctn — ~g~ rz3(73cnzj •
Амплитуда третьей гармоники
I&Sm^2 (Дп/54) й3£/3сш.
Тригонометрический полином и разложение на
отдельные гармоники, амплитуды которых явля-
ются функциями Бесселя от действительного
аргумента. Если для аппроксимации используется тригонометри-
ческий полином и заданная входная величина изменяется по гармо-
ническому закону, то выходная величина примет вид:
у — a sinJBx = а sin (0Хт sin со/) = а sin (Am sin со/); (2-56)
у = а sin рх = а sin ($Хт cos со/) = а sin (Ат cos со/); (2-57)
у = acos р% = а cos ($Хт sin со/) = а cos (Ат sin со/); (2-58)
г/]= а cos = а cos (РХт cos со/) = а cos (Ат cos со/). (2-59)
Ц* 163
Тригонометрические функции могут быть выражены степенными
рядами
ха , Xs х1 х2«+1
sinx = x--3!-+-5i—тр + - + (-1)'г(2/г-+1)Г ±"*;
X2 , X* X6 , Х2Л
cosx = 1 —-2|-+4! 6! + ••• + (— 1)”(2„)! ± —
Тогда, например, для (2-56) можно записать:
, , л . f л . л Azm sin3 со/
У == asin (Ат sin со/) = a I Ат sm со/ —---gj--Г
, И5™ sins со/ t \
* 5! ± •")‘
Используя (2-55) и заменяя степень тригонометрической функ-
ции через тригонометрическую функцию с кратным аргументом и
группируя одинаковые аргументы, получаем:
/ я А3т j т45т / А3т
у = а ( Аи— -2!2Г+Т^--------) sin со/+ a —
----sin Зсо/+ a sin 5со/+ ... (2-60)
Функции Бесселя также выражаются рядами. Для функции
Бесселя n-го порядка общее выражение можно представить в виде
/ Ат \ п f Am \n4~2 / Ат \П"М
in (Ат) = —!!(« + 1)! + 2! (п + 2) !
/ Ат \»+6
I 2 )
3! (п + 3) ! + * ’ * <2’6 О
Сравнивая выражения (2-60) и (2-61), определяем:
у = a sin (Am sin co/) = 2a J i (Am) sin co/ + 2a J3 (Am) sin Зсо/ +
-j- 2aJ5 (Am) sin 5co/
Очевидно, что ряд состоит из нечетных гармоник, амплитуды
которых равны:
Aim — 2aJi (Am)*f Asm = 2aJ3 (Am)} Atm = 2aJ5 (Лт).
Аналогично для (2-57), (2-58) и (2-59) получим:
У = a sin (Am cos co/) =з 2aJj (Am) cos co/ — 2aJ3 (Am) cos Зсо/ +
+ 2aJ6 (Am) cos 5co/ + ...;
у = a cos (Am sin co/) = ajo (Am) + 2aJ2 (Am) cos 2co/ +
+ 2aJ4 (Am) cos 4co/ + ...;
y= acos (Am COS co/)=ajo (Am) —2aJ2 (Am) COS 2co/+ 2aJ4 (Am) COS 4co/ ...
Экспоненциальная функция и разложение на
отдельные гармоники, амплитуды которых явля-
ются функция <м и Бесселя от мнимого аргумента.
164
Если для аппроксимации применяют экспоненциальную функцию и
входная величина изменяется по гармоническому закону, то выход-
ная величина
$Хт sin <ot Ат sin <ot
у — ае т = ае ; (2-62)
ВХт cos Xmrcos wt
у = ае 1 =ае . (2-63)
Экспоненциальную функцию можно записать в виде степенно-
го ряда
X , X2 , X3 , X4 .
= 1 + и + “2г+"зГ'Ь 4! + *
Тогда (2-62) примет вид:
Лт sin <о/ . . о-А2т . п . , аА3т
у — ае = а + и.Am sin со/ + sin2 '—gf' sin3 <о/ .
Используя (2-55), можно выразить степень тригонометрической
функции с помощью функций Бесселя от мнимого аргумента:
т (1х}=1 , (x/2)6 ,
Jo \JX) == 1 -f- i|2 г 2i2 r 3|2 ।
. .. . ,x/2 , (x/2)»
Ji (/x) — ] и +1 ||2| + / 213! Ь/ 3!4! । ••••
т/;а_ (х/2)2 <*/2)4 <*/2)6
J2<W— о|2! 1!3! 2!4!
И окончательно
у = аеАт sin = ajo dAm) + 2а Jan (Mm) cos 2псо/ —
л=1
со
— 2/а 2 J(sn+1) (Mm) sin (2/z -f- 1) со/.
л=0
Аналогично для (2-63) получим:
I/= aZm C°S ajo (Мт)+2а /”nJn (Мт) cos/ко/. (2-64)
п=1
Трансцендентные функции с синусоидально
изменяющимся аргументом и их разложение. Если
для аппроксимации используется гиперболический синус, то гармони-
ческий анализ проводят для выражения
• у = a sh ($Хт sin со/) = a sh Am sin со/.
Выразив гиперболический синус степенным рядом
sh х=х+х3/3’+х5/5!+х7/7!+ ...,
получим:
^ = а
. А*т . , , . Ahn 1
An sin со/-]•- -g-p Sin3 со/+sins со/+ ... .
165
Заменяя степень тригонометрической функции тригонометриче-
ской функцией от кратного аргумента и группируя слагаемые с оди-
наковыми аргументами, получаем:
г/ ЗЛ3/п X . fАгт
У = ( Atn + ^4-3! 8-5! “* JJsin (4»3! "*
ЬА°т \ f A^tn X . г- j._____- 1
+ 16Т5Г+ ... ЫпЗсо/ + — + .. J sin -и ... I.
Выражения в скобках представляют собой амплитуды соответ-
ствующих гармоник. Сравнивая с общим выражением функции Бес-
селя м-го порядка (2-60) или (2-64), можно показать, что амплитуды
гармоник представляют собой функции Бесселя от мнимого аргумен-
та jA ТП> а именно
у = а 8Й(Лт sin со/) = — 2/aJi (jAm) sin со/ —
— 2/aJ3 (jAm) sin Зсо/ — 2/aJ5 (jAm) sin3co/ .
Если для аппроксимации применяется гиперболический косинус,
то получаем:
У = a ch (РХт sin со/) = a ch (Am sin co/).
Раскладывая гиперболический косинус в степенной ряд, по-
лучаем:
ch х=А +х2/2!+х4/4!+х6/6! + ...,
а затем, проделав аналогичные преобразования, получим:
У == a ch (Am sin co/) = ajo (jAm) +
+ 2a J2 (jAm^ cos 2co/ + 2a J4 (jAm) cos 4co/ ...
Путем разложения в степенные ряды можно легко проанализи-
ровать все трансцендентные функции.
На практике часто встречаются случаи, когда аргумент состоит
из двух частей: синусоидальной и постоянной величин (например,
напряжения смещения или подмагничивания):
х=Х0±Хт sin со/.
Тогда в случае аппроксимации экспоненциальным полиномом
функция у равна:
У = az?gx = aeP (Wm'sin <of) = ^Х^т sin = А^Ат sin <of
В случае аппроксимации тригонометрическим полиномом функ-
ция у равна:
у = a sin [Р (XQ + Хт sin со/)] = a sin РХО cos ($Хт sin со/) +
±a cos $X0 sin ($Xm sin co/)’= Aim cos (Am sin co/) + A2tn sin (Am sin co/);
y'=a cos лХт sin co/)] = a cos $XQ cos QXm sin co/) +
Ta sin $X0 sin ($Xm sin co/) = Aim cos (Am sin co/) + A2m sin (Am sin co/).
В случае аппроксимации гиперболическим синусом функция у
равна:
у — a ch Р (Хо+ Хт sin со/) = a sh рХ0 ch (pJVm sin co/) +
+ a ch pX0 sh ($Xm sin co/) = Aim ch (Am sin co/) + A2tn sh (Am sin'co/).
Слагаемые правых частей трех последних выражений могут быть
преобразованы известными способами к тому или иному виду в за-
висимости от особенностей дальнейших исследований.
166
Метод нескольких ординат. Если
характеристика у=f(x), которая
управляется синусоидальной величи-
ной х(/), представлена в форме гра-
фической кривой или в виде сложно-
го аналитического выражения, кото-
рое не допускает аналитического
проведения гармонического анализа,
то можно эту характеристику аппро-
ксимировать степенным полиномом
и затем определить составляющие
высших гармоник.
Метод трех ординат. Если
ристика с постоянным прогибом вниз
имеется характе-
(рис. 2-64), то ее
можно в определенной области аппроксимировать квад-
ратичной зависимостью. Пусть границы области управ-
ления заданы в пределах от +1 до —1.
у=aG + «1%+аг*2, (2-65)
где —1.
Коэффициенты могут быть определены с помощью
выбранных точек (рис. 2-64)
х — 0,
х = + 1,
х= — 1,
У = У^
У = У+ъ
У = У->,
У о => do \
y+i = d0 -^-di —d2;
У-.1~ do — di
Отсюда следует:
а0==у0; ai = (y+i — г/_1)/2; аа = (#+i + #_i)/2 — $/0.
Если управляющая величина в пределах —
имеет косинусоидальную форму
х= 1 cos со/,
то с учетом (2-65) выходная величина
у = aQ 4- di cos wt d2 cos2 co/ = aQ 4- fli cos co/
4"^“ cos 2co/ = Yq 4- Ylm COS co/ 4~ cos 2co/.
При этом амплитуды отдельных гармоник составят:
Yo —- do 4- d2] 2 — у о 4- (y+i 4~ У-У — Уо/2 —
= Уо/2 — (t/+1 4- y_i)/4; (2-66)
^„ = ^=(^-^0/2; (2-67)
= п2/2 = (г/+1 + у^)/4 - уо!2. (2-68)
167
В этом случае неизвестные Уо, У1т, Угт определяют
по трем ординатам характеристики.
Пример. Определим амплитуду основной гармоники аналити-
ческой функции вида (рис. 2-65):
у = аЛ*0"1’*'72 cos = ^х^Хт 008 = Y^Xm 005 **
В (2-67) у+1 есть максимальное, y_i минимальное значение у.
Максимальное значение у будет при coscof=l, минимальное — при
cos со/=—1.
Рис. 2-65.
Таким образом,
y+t = YjXm; y_t=Yae~9Xm.
Следовательно, амплитуда основной гармоники
Yim = Уо (е?Хт - е~?Хт)/2 = У„ sh f Хт.
Метод пяти ординат. Если характеристика имеет более
сложную форму (рис. 2-66), то ее можно аппроксимировать полино-
мом п-й степени.
Пример. Приведем аппроксимацию с использованием степен-
ного полинома четвертой степени
у=а0+aix+аъх2+а5х3+а4х4.
Коэффициенты определяются по методу выбранных точек:
х = 0; у = у0> Уо = ао;
Х==1, У == #4.1» У+* = #0 + #1 “|“ #2 4" 4"
х =— 1, # = #-i, #_i==#o— #14“ ^2—а* 4“
х = 0,5, # = #4-0,6 #4-о>5== #о4* #1/2-|" #2/44~ лз/84" Л4/16;
Х = — 0,5, #==#-о,б» #-о,5~ #0 — #1/2 4“ #а/4 — #а/8 4“ #4/16.
168
Таким образом, получается пять уравнений для определения
пяти неизвестных коэффициентов, которые равны:
= Уо»
4 1
— з (//+о,5— //-о,б) — -g~(//+i—i);
8 1
#2 = з (//+0,5 +//-0,5)— ~g“' (У+i + У-1) + 5(/0;
2 , 4
^3 — 3 (Z/4-1 --У-1) ---- 2 (//+0,5 -У-о,б)1
2 , 8
^4— з (//+i + ^/-i)— 3 (Z/4-0,5 + У-0,5) Ч~ 4yQ.
Аналогично, как при методе трех ординат, определяются ампли-
туды соответствующих гармоник
Y о —— (//4-1 + У-1)/6 + (//4-0,5 + //-о,б)/3;
Yun = (//+1 — //-i)/3 + (//+0,5 — i/_o,s)/3;
Уът = (//+1 + у -1)/4 —• г/о/2;
Yim = (//+1 —• У-1)/6 —• (Уо9 5 — //- о,б)/3;
Y<m = Z/o/2 —• (i/+i + i/_i)/12 — (//+0,5 + У-о,б)/3.
При этом в качестве управляющей величины x(t) рассматрива-
лась косинусоидальная функция, основное преимущество которой за-
ключается в том, что все гармоники содержат только косинусоидаль-
ные составляющие, так как при четной или нечетной степени cos ($t
возникают только четные функции.
Точность метода нескольких ординат. При методе
нескольких ординат управляемая характеристика нелинейного эле-
мента аппроксимируется степенным .полиномом второй, четвертой
и т. д. степени. Ограничение степени п полинома вызывает ошибки,
так как абсолютную точность можно получить при аппроксимации
полиномом, когда п стремится к бесконечности, т. е.
у = f (X) = рю (X) = Л + 2 . (2-69)
V=1
Если считать, что X — нормированная величина, x=lcosto/, то
У (t) = (cos со/) = Ao + cosvto/.
v=l
При разложении в ряд Фурье правая часть содержит только ко-
синусоидальные составляющие, т. е.
г/(/) = г*шо + 2 У*пт COS neat, (2-70)
л=1
169
где
оо Т
У*о = Ао + -у- J Av cosv со/ dt\
v=l о
(2-71)
cosv mt cos nmt dt.
(2-72)
Величины У*пт (n равно 0, 1, 2 ...) представляют собой точные
значения коэффициентов соответствующих гармоник. Оценка инте-
гралов (2-71) и (2-72) может быть проведена с учетом того, что
1 3
Y*nm — Ао 4“ ~~2~ Az 4“ —Ai 4~ • • •
... 4
1-3-5 ... (2v — 1)
2-4-6... (2v)
оо
Av 4- • • • = А 4~ Q (v) Av»
V=1
где
V I V
Q(v) = 1.3-5... (2v — l)/2-4-6... (2v) = (2s— 1) / JJ (2s);
5=1 / 5=1
3 , 5
Y*im — Л1 4~ 4 Аз 4~ 8 As 4--..
oo
1 -3-5 ... (2v — 1) VI
• • - + 2 2-4-6 ... (2v) Л2>-1 + • • = 2j 2(2 (v) ;
V—1
oo
S2v
vqnrQMAv;
V=1
V=1
oo
S2v (v — 1)
(v + 1) (v 4- 2) Q A2»
v=2
-и T. Д.
Применяя для Poo(x) методы трех и пяти ординат, можно полу-
чить приближенные значения для Уо, Yi, Yz.
170
При заданных значениях:
г/0 = Н0) = Роо(0) = Л;
оо
г/+1=/(1) = Роо(П = Л + 2 Д;
V=1
оо
У-> = / (- 1) = (- 1) = А + 2 (- 1)4-
V=1
Метод трех ординат позволяет определить приближенные зна-
чения амплитуд соответствующих гармоник:
оо
^0 = — Уо + — (У+ 1 + У- 1) = “2 ' 4 I 4~ А А
v=l
оо оо
+ “4"+"4~ l)v-^v = Ло+ — A2v;
v=l v=l
оо
Yim =~9~ (У+^ — У-i) = Av—1*»
V=1
00
1 1 1 VI
Yzm = —~2“ У о + “4“ (^+1 + У-1) = ~~2 КА-
v=l
Абсолютная ошибка составляет:
==: Ynm—Y*nm.
Для метода трех ординат ошибки равны:
оо
ду°=J][4"-q(v)]
v=2
оо
v=2
2v 1
у 16.Q (v) j Av
Аналогично можно получить
пяти ординат:
выражения ошибок для метода
ДУ о
0°
=s
22'-1
3«22v-1
Q (v) . Av— 32 A 128 A
(2-73)
v=3
171
ду1т = £
v=3
22'1-1 + 1
3-22v—2
-2Q(v)
A»-l = iff As + 8
(2-74)
v=3
ДУзт =
Q(v)
Av“32 + ]6 A+—J (2-75)
22v~2 —1 2 (у — 1)
v=5 L
3«22v—2
Q М Av-i =
v=3
256 7,9
22v-2 _ [
6-г2’-2
11
+ 1024 А11
2v (v — 1)
(2-76)
(у -|- 1) (v + 2) A2v —
1 А
32 Лб
7
128 7,8 — ••
(2-77)
если коэффициенты аппроксимирую-
Полученные ряды сходятся,
щего полинома Роо(х) и.ри v<oo удо(влетворяют условию
0<£<1.
Анализ полученных выражений для ошибок показывает, что при
использовании метода трех ординат члены с aQ—а2 или метода пяти
ординат члены с aG—а4 не оказывают влияния на ошибки. Частично
они не оказывают влияния и на высо-
кочастотные составляющие в ошибках.
Этим, например, объясняется .несуще-
ственная ошибка третьей гармоники
у метода пяти ординат, при котором
по (2-76) коэффициент ад входит как
первое действительное слагаемое.
Оценка характеристи-
ки. Оценка характеристики позволя-
ет выяснить целесообразность приме-
нения той или иной аппроксимации.
Например, на рис. 2-67 показана кри-
вая, которую можно аппроксимиро-
вать степенным полиномом второго
или четвертого порядка; имеем пять
ординат для определения пяти коэффициентов при аппроксимации
характеристики полиномом четвертой степени. Для того чтобы Узт==0,
необходимо условие:
— (//+1—У-1) /6+ (*/-ьо,5—У-о,б) /3=0
или
(/*4-0,5 — У — о,5)/3 = (//4.1 — У - 1)/6, //-}-о,5 — //—0,5 ~ (//4-1 — У - 1)/2»
Это означает, что ДА Ц ВгВ2.
172
Если это условие выполняется, то для определения второй гар-
моники можно воспользоваться квадратичной аппроксимацией и,
следовательно, применить более простой метод трех ординат.
Применение аналоговой вычислительной машины
(АВМ) для гармонического анализа. Для исследования
процессов в нелинейных цепях широкое распространение
получили АВМ, при использовании которых решение
получают в виде напряжения, переменного во времени.
Если в АВМ ввести несинусоидальное решение в виде
с периодом 2л, то можно непосредственно про-
вести гармонический анализ этой функции
00
у (т) == В„ 2 И" sin cos
n=l
Известны различные методы такого анализа. Для
примера рассмотрим способ; при котором резонансный
контур, настроенный на частоту выбранной (желаемой)
гармоники, возбуждается функцией z/(r), подлежащей
анализу.
Дифференциальное уравнение этого незатухающего,
принудительно возбуждаемого колебательного контура
имеет вид:
х Д- Q2jc = у (т). (2-78)
Учитывая начальные условия
х (0) == х (0) = О,
его решение можно представить в форме
X (т) = -Г J у (&) sin [Q (т - &) , (2-79)
О
в чем легко убедиться путем дифференцирования пара-
метрического интеграла и подстановкой его в диффе-
ренциальное уравнение.
Если нормированную собственную частоту в (2-78)
выбрать Q = n, то т=2л и решение (2-79) можно запи-
сать:
x(t = 21c)=-TJ z/(&)sin[/z(27t — =
О
2тс
=-----—С у (&) sin
" oJ
173
Для производной ,
X (г) = ° C0S Iй <т ~
и аналогично
2тс 2тс
х (у = 2-л) = J у (&) cos [п (2^ — &)] — J у (&) cos п& d&.
о о
Как следует из решения дифференциального уравне-
ния (2-79), сравнение позволяет определить коэффици-
енты Фурье:
Ап= ~^~х(х = 2т.); х(? = 2п).
Если для резонансного контура построить расчетную
модель согласно рис. 2-68, то коэффициенты Фурье
и Вп представляют собой выходные напряжения, сня-
тые с интеграторов, которые пропорциональны измене-
нию расчетного времени т = 2л.
Оценка отклонения периодической функции от сину-
соидальной формы. Отклонение периодической функции
f(Z) .от синусоидальной формы можно оценить коэффи-
циентом искажения
kv = Ft/F = Fi
который представляет собой отношение действующего
значения основной гармоники к действующему зна-
чению F несинусоидальной функции f(t).
Другим коэффициентом, который служит для оценки
отклонения функции f(t) от синусоидальной, являете®
коэффициент нелинейных искажений
174
где Fn — действующее значение соответствующей гар-
моники.
Кроме того, иногда для оценки применяют коэффи-
циент формы
/Т/2
9 f*
4] in/м
о
где Га —-среднее значение функции, взятой по абсолют-
ному значению, и коэффициент амплитуды
k&=F mIF,
где Fm — максимальное (амплитудное) значение.
Между коэффициентами Ли и kv имеется следующая
простая связь:
оо
^+^ = ^,/^+2 ^2«Д2 = 1*
п~2
Комбинационные колебания. Если на какой-либо эле-
мент цепи с нелинейной характеристикой воздействует
синусоидальная функция времени, то в цепи наряду
с колебанием основной частоты возникают колебания
с частотами, кратными основной частоте (высокочастот-
ные составляющие). Их амплитуды зависят от вида не-
линейной характеристики элемента. Принципиально
другие явления возникают в цепи, если воздействующая
функция содержит несколько гармоник. В этом случае
наряду с основной частотой и высокочастотными со-
ставляющими в цепи возникают колебания с частота-
ми, равными суммам и разностям частот, кратных ос-
новной частоте.
Если аргумент содержит колебания двух частот и аппроксими-
рующая функция представлена в виде степенного полинома n-го по-
рядка, то
00 ОО
г/=Ло+2» Яо+2 а\ (^rimsin<01/+ Az2m sinw2/)\
Х=1 Х=1
Применяя формулу бинома Ньютона
, (AAm sin gM + J’Gm sin <d2f)X ==»
X
= ay S (C) ) (A"lw sin си/) (X2m sin (o2/)r,
__________ r=0
* Наряду с названными применяются коэффициенты пульсации
[Л. 5] kn~ V'ZFIFq, причем для выпрямленного тока справедливо
^ф_^2п==Е
175
где С* — биномиальные коэффициенты, можно убедиться, что в со-
ставе выходной функции (реакции цепи) образуются как суммарные,
так и разностные частоты, так как каждый член суммы правой части
уравнения содержит произведение двух степеней синусоидальных
функций. В общем случае произведение этих двух членов может
иметь следующий вид:
Ai sin sin q (о2/ = [cos (/xoi — q^t — cos (/xoi -j- </(o2) /];
Л2
A2 sin pcoif cos qa>zt = -y- [sin (/xoi — g(o2)/ 4~ sin (/xoi + ^(02)/];
A
A cos /7(0i t cos qa>2t — -g- [cos (p<oi — ^2) / + cos (/»(0i A i/(o2)/J.
Вновь возникающие частоты определяются соотношением
O = /7Wi±^(D2,
где р и q — любые целые числа О, 1, 2, ..., X.
При р=0 получается последовательность гармоник <7(1)2, при
q—Q—«гармоник /хор Если р и q не равны нулю, то возникают так
называемые комбинационные колебания.
Величина N= |p| + |<?| определяет порядок комбинационных ко-
лебаний.
Если аргумент содержит три колебания
х == Xim sin (di/ + Xzm sin (о2/ + Xzm sin (03/,
то в составе выходной величины появляются следующие частоты:
(О = ±/7(01 — ^(02±ГО)3.
В этом случае порядок комбинационных колебаний составит:
' N== IpI+Ы+И-
Г. Энергетические соотношения при частотном
преобразовании
Для исследования энергетических соотношений при
воздействии на элемент с нелинейной характеристикой
нескольких колебаний с различными частотами в каче-
стве примера рассмотрим устройство, представленное на
рис. 2-69, которое состоит из ферромагнитного сердеч-
ника с несколькими индуктивно-связанными обмотками.
К двум обмоткам Wio и w20 через фильтры присоединены
источники э. д. с. и е2 с частотами он и со2.
. Пусть характеристика ферромагнитного сердечника
В(Н) нелинейна, но свободна от гистерезиса, т. е. одно-
значна. Вследствие нелинейности характеристики в це-
176
пи появляются составляющие переменных величин с ча-
стотами
Ш=ЛСО1+П®2>
где k равен 1,2, ц; п равно 1, 2, .у.
Обмотки Wkn (аУ11 до через фильтры, которые на-
строены на соответствующие частоты jfecoi + /гсо2, присое-
динены к потребителям (нагрузкам).
Рис. 2-69.
Энергия от источников с частотами cot и сог через об-
мотки Wi и w2 подводится к магнитной системе, а через:
обмотки Wii—w —к потребителям. Пусть ферромаг-
нитный сердечник свободен от потерь. Тогда сумма под-
водимой мощности, которая принимается положитель-
ной, должна быть равна сумме отводимой мощности,
которая принимается отрицательной.
Мощность, которая на частотах пссц + псог передается
потребителю, составляет:
Рkn ~2~ Eknmlknm COS 'fknt (2-80)*
где Eknm и Ihnm — амплитуды э. д. с. и тока с частотами
&(01+пс02; срлп — фазовый сдвиг между напряжением и
током.
Соответствующие значения э. д. с. и тока равны:
Eknm //^2) WknAEknm\ (2-81 у
Ik пт — Нknml{Wkn- (2-82)
12—447 177
Если (2-81) и (2-82) подставить в (2-80) для мощ-
ности, то
А1
Рkn = 2~“ (&°1 -р Дог) PknmHknm COS ^kn>
По закону сохранения энергии
Рkn = g (Л<01 —|— /ZCO2) BknrnH knm COS kn 0.
k, n k, n
Если значение частоты co4 изменится на dcoi, то пу-
тем подстройки первичной цепи (фильтра), для которой
добиваются того, что Втт или Нкпт остаются не-
изменными. Тогда останется неизменной также величи-
на Bhnm. В результате получается:
d Рkn?dw>i = kBknmHknm COS ^kn ’===- 0* (2-83)
k, n k,n
Если при тех же условиях изменится теперь со2 на
•d(02, то получится
d Рkn/ dw2 ~~^=- ftBknmHknm COS ^kn - 0. (2-84)
Из (2-81) и (2-82) определяют Bhnm и Hknm\
Bknm = Hknm/ (fah —|- /2(О2) №knA\
Hknm = Iknm^kn! I.
Подставляя эти соотношения в (2-83) и (2-84), по-
лучаем:
1 VI kHknmlknm COS ykn q.
2 Zxoi -p /20)2 1
k, n
1 VI nHknmlknm COS ykn q
2 Jj Zecoi 4“ /2O>2 '
k, n
ИЛИ
S 0; (2-85)
ktoi + /20)2 V 7
k, П
= 0. (2-86)
kiiil 4- /2(02 v 7
k, П
Уравнения (2-85) и (2-86) представляют собой из-
вестные уравнения Менли-Роу, которые устанавливают
связь между мощностями отдельных контуров и часто-
178
тами токов в этих контурах. Они представляют собой
уравнения сохранения энергии, в чем нетрудно убедить-
ся. Умножим (2-85) на wi9 а (2-86) на w2 и затем сло-
жим:
Sk^iPkn yi n^Pkn __________q
&CO1 ПСО2 Г Jj &COi + ЛСО2
k, n k, n
или
S(fe<o, + nto2) Pfai _ V P — П
feb>l 4- n<i>2 2j kn '
k, n k, n
что соответствует закону сохранения энергии.
2-6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Л. Обзор методов
Для исследования установившихся режимов в не-
линейных цепях переменного тока существует два прин-
ципиально различных пути. Если элементы цепи
инерционные, то при синусоидальной э. д. с. в устано-
вившемся состоянии токи и напряжения также синусо-
идальны. В этом случае при расчете цепей можно-
использовать методы комплексного исчисления и вектор-
ные диаграммы. Если, наоборот, элементы безынерци-
онные, то токи и напряжения в общем случае несину-
соидальны. Методы комплексного исчисления и вектор-
ные диаграммы в этом случае могут применяться
условно, если несинусоидальные величины можно за-
менить эквивалентными синусоидальными. Этот первый
путь решения, т. е. расчет с эквивалентными синусои-
дальными величинами, позволяет определить только
основные зависимости между составляющими основных
гармоник и не дает возможности оценить искажения,
которые возникают в нелинейных цепях. Этот путь воз-
можен только в том случае, если составляющие основ-
ных гармоник преобладают в цепи.
Вторая возможность для исследования нелинейных
цепей переменного тока состоит в составлении и непо-
средственном решении нелинейных дифференциальных
уравнений. Этот способ позволяет определять поведение
цепи как в установившемся, так и в переходном режи-
мах. Наибольшее распространение он получил, когда
в цепи действуют несинусоидальные э. д. с., например
импульсные.
12* 179
Так как решение нелинейных дифференциальных
уравнений представляет собой особую область нелиней-
ной электротехники, их рассмотрению посвящена сле-
дующая глава. Здесь рассмотрим методы, которые мо-
гут быть применены только к эквивалентным синусои-
дальным величинам.
Б. Упрощение сложных цепей переменного тока
В основу метода решения сложных нелинейных цепей
переменного тока положено их систематическое упроще-
ние, т. е. сведение сложных участков цепи к простейшим
последовательно и параллельно соединенным элемен-
там.
Рис. 2-70.
Рис. 2-71.
Последовательное соединение. На рис. 2-70 показано
последовательное соединение нелинейного активного и
нелинейного реактивного сопротивлений. Если через эту
:цепь проходит ток /, то можно определить напряжения:
Ur— на активном сопротивлении и Ох— на реактивном
сопротивлении. По второму закону Кирхгофа
О=и -[-й
1\ 1 Л
При этот действующие значения напряжений UR и Ux
«есть некоторые функции от действующего значения тока
J. Величины UR и I имеют одинаковую фазу, a Ux из-за
•характера реактивного сопротивления может или опере-
жать, или отставать на угол л/2.
Поэтому можно записать:
й (/)=UR (/)+jUx (I); и (/)=TOF'. (2-87)
Для того чтобы получить хотя бы формальное сход-
ство с линейной цепью, введем понятия о нелинейном
180
статическом активном сопротивлении
R(I)=Ur(I)/I
'И нелинейном статическом реактивном сопротивлении
Х(1) =их(Г)Ц.
В результате подстановки в (2-87) получаем:
t7(/) = /7?(7) + /ZX(/)=.7Z(/),
где Z(/) —нелинейное комплексное сопротивление, рав-
ное
Z(Z)=/?(Z)+jX(Z).
Тогда полное сопротивление цепи
Параллельное соединение. На рис. 2-71 показано па-
раллельное соединение нелинейного активного сопротив-
ления и нелинейного реактивного сопротивления. Если
к цепи приложено напряжение О, то через цепь пойдет
ток
Ток IR совпадает по фазе с О, В зависимости от вид i
реактивного сопротивления ток 1В может или опережать,
пли отставать от приложенного напряжения на угол к/2.
Действующие значения токов 1R и 1В являются более
или менее сложными функциями от действующего зна-
чения напряжения U:
В данном случае также можно найти формальное
сходство с линейной цепью, если ввести понятие о не-
линейной статической активной проводимости
G(U)=IR(U)/U
и нелинейной статической реактивной проводимости
B(U)=Ib(U)/U,
Тогда
/ (U) = UG (U) + jUB (U) = UY (t/),
где Y(U)—нелинейная комплексная проводимость,
равная
r(G) = G(t/)+/B(t/).
181
Полная нелинейная проводимость равна:
y(U)==yG(Uy+B(Uy.
Выше были рассмотрены случаи, когда сопротивле-
ния зависели от токов [/?(/), /(/)], а проводимо-
сти— от напряжений [G(U), B(U), У(Л7)]. Однако, если:
это нужно, можно, используя вольт-амперные характе-
ристики соответствующих элементов, довольно простым!
способом построить R(U), X(U) и Z(U) или G(/),.
в (I), Y(I).
Рис. 2-72.
Нелинейный пассивный двухполюсник. Любой нели-
нейный пассивный двухполюсник (НПД) (рис. 2-72), на
зажимах которого известны напряжение О и ток I,
можно представить в виде комплексного нелинейного^
сопротивления
Z (/) = (? (7)//= 7? (/) + /%(/)
или нелинейной комплексной проводимости
Y (U) = i(U)/U = G (U) + jB (U).
Сопротивление или проводимость зависят от тока или
напряжения. Нелинейный пассивный двухполюсник
можно также заменить последовательным или парал-
лельным соединением нелинейного активного и нелиней-
ного реактивного сопротивлений. При этом
У (U) = 1 lz (U) = 1 / [7? (U) 4- jX ({/)] =
= [7?(U) - jX(U)]/[R (Uy + Xm =
= 7? (7/)/г (77)2 - jX (U)/z (Uy = G(U)- jB (77),
где
G(77)=7?(77)/z(77)2; (2-88)
B(U)=X(U)/z(U)2. (2-89)
182
Уравнения (2-88) и (2-89) указывают на связь меж-
ду последовательной и параллельной схемами замеще-
ния. Аналогично можно записать:
Z(7) = l/r(7)=l/[G(7) + /B(/)] =
= [G (7) - /В (/)]/ [G (7)г + В (7)’] = G (/)/ У (7)2 -
-/В7/г/(7)2 = Я(/)-/Х(7),
где R(7) = G(7) 1у(7)\ Х(7) =В(Г)/у(Г)*.
Последовательное и параллельное соединение нели-
нейных. элементов. В нелинейных цепях, в которых пере-
менные величины являются синусоидальными функция-
ми или в которых несинусоидальные периодические
Рис. 2-73.
функции могут быть заменены эквивалентными синусои-
дальными, возможны и другие способы расчета, осно-
ванные на использовании характеристик сопротивлений.
На рис. 2-73 показано последовательное со-
единение двух нелинейных комплексных сопротив-
лений, каждое из которых состоит из нелинейной актив-
ной и реактивной частей. Пусть
Z, (7) = Ri (7) 4- jXt (7); Z2 (7) = Т?2 (7) + jX2 (7).
По второму закону Кирхгофа
О (7) = С. (7) 4- (7, (7) = 7 [Z. (7) 4- Z2 (7)] = 7Z(7),
Z (7) = Z. (7) 4- Z2 (7) = 7?t (7) 4- T?2 (7) 4- /X, (7) 4- jXt (I) =
=Я(Г) + 1Х(Г), (2-90)
где
7?(/)=7?1(7)+7?2(7); (2-91)
X(7)=X1(7)+X2(7); (2-92)
z (7) = /ОД+Ж- (2-93)
183
Построение активной и реактивной частей нелиней-
ного комплексного сопротивления показано на рис. 2-74.
На рис. 2-74,а показано построение /?(/) из 7?i(7) и
Rz(I) по (2-91), на рис. 2-74,6 — построение Х(1) из-
Рис. 2-74.
Xi(/) и Х2(1) по (2-92) и на
рис. 2-74,в — построение z (/)
из /?(/) и Х(7) по (2-93).
Затем можно определить-
вольт-амперную характери-
стику
^(/)+^(/)+£7х(/) =
= W)4-jTY(Z)
ИЛИ
Рис. 2-75.
Совершенно аналогично поступают при парал-
лельном соединении комплексных нелинейных
элементов (рис. 2-75). В этом случае
Y. (U) = G' (U) 4- jB1 (СТ); У2 (U) = Gz(U)-}~ jB. (U).
По первому закону Кирхгофа
1 (U) = Ц (U) + Ц (U) = UY, У) + С7У2 (СТ) = UY
откуда
У (СТ) = уj (U) + У2 ((7) = G, (U) + G2 (СТ) +
+ / [5. (Ц) + В2 (С/)] = G (W) + ]В (U),
где
G(U) = G1(t^ + Gg(U\, +
у(Ц)=ущиу+В(иу.
При заданных характеристиках Gi(G), G2(G), Bi(G)
и Вг(П) можно аналогично рис. 2-74 построить зависи-
мости G(U), B(U) и У(П).
184
Вольт-амперная характеристика всего параллельно-
го соединения определится как
i (t/)=iR (U)+ix (t/)=ug (U)+jUB (£/)
ШЛИ
1(U) = у (U)U.
В. Резонансные цепи с нелинейными элементами
Последовательная резонансная цепь с нелинейной
индуктивностью. На рис. 2-76 показано последовательное
соединение линейного сопротивления, линейной емкости
и нелинейной индуктивности. Вольт-амперные характе-
ристики отдельных элементов изображены на рис. 2-77.
Если возникающие при этом несинусоидальные перио-
дические переменные величины заменить эквивалентны-
ми синусоидальными, то по второму закону Кирхгофа
для напряжений можно за-
Ри-с. 2-76. Рис. 2-77.
Векторная диаграмма для этого случая представлена
на рис. 2-78. Каждому значению тока на рис. 2-77 соот-
ветствует сумма напряжений Uc, UL, UR. Это позволяет
построить характеристику U (/) всей схемы.
Напряжение состоит из активной части UR и реак-
тивной части Ux
Ux (/)=I (Г) - ис Ю1; и (')=/WW-
Построение показано на рис. 2-77. Теперь по харак-
теристике для любого приложенного напряжения можно
определить ток. Характеристика (рис. 2-77) имеет об-
ласть многозначности. Напряжению, которое лежит
между значениями U± и могут соответствовать три
значения тока, причем рабочая точка на повышающейся
части вольт-амперной характеристики стабильна, а на
падающем участке не стабильна.
185
Рабочие точки можно определить из следующего
уравнения:
= их + иR (/)*= [UL (/) - Uc (Z)P + U\ =
= Pl(7)-//<oCP + (Z7?)\
Решая относительно UL(J)f получаем:
UL (/) = ± f 'I/2 - (IR)2 + I^C = a + ₽. (2-94)
Выражение
можно преобразовать следующим образом:
a?/U*+Iz/(U/R)*=l.
Зависимость а(/) представляет собой эллипс с полу-
осями b = U и a=U!R (рис. 2-79).
Зависимость р = //юС пред-
ставляет собой прямую. За-
висимость UL(I) можно по-
лучить из (2-94) как сумму
Рис. 2-81.
186
<х и р и графически изобразить в виде наклонно рас-
положенного эллипса (рис. 2-79). Но, кроме того, UL(1)
представляет собой вольт-амперную характеристику не-
линейной индуктивности. Она также изображена на
рис. 2-79. Обе кривые пересекаются вверху в трех точ-
ках, которые соответствуют трем токам: Л, /2, h- На
А
Рис. 2-82.
рис. 2-80 показано построение характеристик для раз-
личных входных напряжений. При Ui возможна только
одна точка, при U2— три точки и при U3 опять только
одна рабочая точка.
Параллельная резонансная цепь с нелинейной индук-
тивностью. На рис. 2-81 показано параллельное соеди-
нение линейного активного сопротивления, линейной
емкости и нелинейной индуктивности. Если в этом слу-
чае также несинусоидальные периодические величины
заменить эквивалентными синусоидальными, то можно
воспользоваться векторной диаграммой и комплексным
методом расчета.
По первому закону Кирхгофа
/=4+4+4.
Векторная диаграмма показана на рис. 2-82, а вольт-
амперные характеристики Ir(U), Ic(U) и Il(U)—на
рис. 2-83.
Для каждого значения напряжения можно опреде-
лить сумму токов и построить характеристику I(U) для
всей цепи. Ток имеет активную часть Ir(U) и реактив-
ную часть + ((/), которая равна:
IX(U) = \IL(U)-IC(U)[.
187
Модуль полного тока
HU)=
Характеристика I(U), построенная на рис. 2-83, име-
ет также область многозначности. Токам, которые ле-
жат между значениями Ц и 7г, соответствуют сразу
три значения напряжений, причем два из них, которые
лежат на повышающемся участке характеристики, ста-
бильны, а то, которое лежит на падающем участке,, не-
стабильно.
Аналогично, как при последовательном соединении,
можно построить рабочие точки и при параллельном
соединении.
Для этой цели пользуются уравнением
/2 = ((/) - coCJ/p + (U/R)*,
откуда
IL (U) = ±^1*- (U/R)* + uCU = a 4- p.
Выражение
(2-95)
представляет собой эллипс вида
у которого полуосями являются I и RI.
Зависимость
Р = соСС7
188
представляет собой прямую. Зависимость Il(U) можно3
получить согласно (2-95), как сумму а и р, и графиче-
ски представить на рис. 2-84 в виде наклонного эллипса.
Но, кроме того, Il(U) представляет собой вольт-ампер-
ную характеристику нелинейной индуктивности, она так-
же изображена на рис. 2-84. Обе кривые пересекаются
в рабочих точках. В зависимости от значения тока Г
возможна одна точка (Pi или Р3) или три точки пере-
сечения Р'ъ, Pff2, P'"z (рис. 2-85). Если получаются три
точки пересечения, то две рабочие точки стабильны Р'ъ
и Pzzz2 и одна нестабильна Pz,2.
Г. Метод итераций
Метод итераций представляет собой численный ме-
тод расчета, дающий возможность уточнить решение,
если известно его первое приближение. Проиллюстри-
руем этот метод на примере,
схема которого изображена
на рис. 2-86, где R\ и 7?3—
линейные активные сопро-
тивления, X,i и Х3— линей-
ные индуктивные сопротив-
ления, P2<J) — нелинейное
активное сопротивление,
Х2(/) — нелинейное индук-
тивное сопротивление. Пусть
Рис. 2-86.
характеристики нелинейныхэлементов заданы в виде
/21 —• fi (f^ab)>
(2-95)
Z22 — /2 (Uab)*
(2-97)
Известно также напряжение на входе U. Требуется
определить все токи в ветвях и напряжения на отдель-
ных участках цепи.
Идея метода заключается в том, что для какой-либо
величины, например иаь, задают произвольное значе-
ние, НаПрИМер Uab=U'ab-
Обычно U'ab<U. Тогда можно определить ток
i^U’abllR't + iXj
189*
и по характеристикам (2-96) и (2-97) определить зна-
чения Г21 и Г22. Затем определим:
1*2 — I'l=zlr2z==z !'$•
Падение напряжения на сопротивлении Zi
(7'1==/'1Z1 = /'1(T?1 + /X1).
Тогда входное напряжение равно:
Uf = U'^Uab.
Если Uf=^=U, то выбранное значение U'ab не соответ-
ствует верному решению задачи и следует задаться
другим значением Uab=U"ab. Для этого можно восполь-
зоваться пропорциональностью U"abIU'ab = lJIU', кото-
рая позволяет выбрать более точно новое значение Uab'-
U\b = U'abUIU'.
Затем вычисляют значение U", которое приближает-
ся к U. Процесс продолжают до тех пор, пока
kU=U—
не достигнет требуемого значения.
Д. Некоторые особые случаи расчета нелинейных цепей
переменного тока
Для расчета цепей .переменного тока любой сложности, в общем
случае содержащих наряду с любым числом линейных элементов и
э. д. с. еще и нелинейные элементы, можно воспользоваться теми же
Рис. 2-87.
методами, что и в цепях постоянного
тока.
Сложная цепь с одним нелинейным
сопрогивлением. Цепь переменного тока,
содержащую любое число линейных со-
противлений, источников э. д. с. и еще
одно нелинейное сопротивление, можно
рассматривать как активный двухполюс-
ник, на выходе которого присоединено
это нелинейное сопротивление (рис.
2-87,а). Используя метод эквивалентного
источника напряжения, активный двухпо-
люсник можно представить в виде пас-
сивного двухполюсника (рис. 2-87,6)
с источником э. д. с. Ё", равной, напря-
жению холостого хода Uo.
В результате преобразования пас-
сивного двухполюсника получаем цепь
(рис. 2-87,в), состоящую из сопротивле-
ния Zat, которое /представляет собой
190
входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно за-
жимов ab, и одной э. д. с., включенной последовательно с нелиней-
ным элементом E" = Uq.
Теперь определим ток I и напряжение (7. Для определения токов>
и напряжений в активном линейном двухполюснике сопротивление
Z(Z) заменяется линейным сопротивлением Z—VII и схема рассчи-
тывается известными методами линейных цепей.
Сложная цепь с двумя нелинейными сопротивлениями. Пусть
сколь угодно сложная цепь переменного тока содержит наряду
с произвольным числом линейных сопротивлений и э. д. с. еще два-
нелинейных сопротивления. Тогда эти нелинейные сопротивления
можно выделить и оставшуюся цепь представить в виде активного*
линейного четырехполюсника (рис. 2-88). Используя метод, изложен-
ный для цепи постоянного тока с двумя нелинейными элементами,..
Рис. 2-88.
Рис. 2-89.
можно прийти к схеме замещения, изображенной на рис. 2-89.
В общем случае нелинейные сопротивления Zni(Z) и Zn2(I) имеют
активные и реактивные составляющие
Z/и (/1) — Rm (Ii) + jXm (11); Zn2 (/2) = R2n (/2) + 1^2п (12).
Источники Ei и Ё2 равны напряжениям холостого хода между
зажимами 1—2 и 3—4. Сопротивления Zb Z2 и ZX2 получаются из
Т-образной схемы замещения пассивного четырехполюсника при ко-
ротком замыкании его э. д. с. (рис. 2-88). Цепь, представленная на
рис. 2-89, имеет два узла.
В левой части нелинейной ветви между точками а и b сопротив-
ление равно:
Zn (Z0 = Zi + Zni (70 = 4- /Xi + Rnx (/1) (/1) =
= /?и(Л) + 7Л„(Л).
Сопротивление правой ветви
Z22 (/2) = Z2 -Ц Z/22 (/2) = R2 -Ц / A 2 “J- Rrt2 (/2) -J-
-|- /АГп2 (/2) = R22 (I2) 1^22 (/2) •
В точках а и b имеем:
f1 + i2 = /12. (2-98)
Для контуров I и II имеем:
Ё± = Zn (/1) /1 Ц- Zi2Z 12; Ё2 = Z22 (Z2) /2 4~ Z12/12.
Напряжение между двумя узлами
(Jab = zn (Л) /1 = Ё2 — Z22 (/2) Л. (2-99):
В общем случае Ёх, Ё2, /1, 1Х2 и Оаъ имеют вещественные и
мнимые части. Их можно соответственно обозначить индексами г и х.
191.
Тогда (12-99) примет вид:
(Е1Г + }Е1Х) - [/?„ (Z,) + jXlx (Zi)] (hr + ihx) =
= (Е2Г + /Е2Х) - [/?22 (Z2) + jX22 (Z2)] (hr + /Z2X). (2-100)
Если объединить активные и реактивные части, то получится:
lEir — Rn (Zi) hr + An (h) Zix] + / [Яиг-Яи (Zi) hx —An (Л)Лг] =
= [E2r--------/?22 (Z2) hr + A22 (Z2) 12x] 4~ j [Z?2X — R22 (12) hx-
— A22 (h) hr\ = [R12112г — Xi2Ii2x] -J- HR12Ii2x + X\2h2r] —
= Uabr+jUabx. (2-101)
Аналогично преобразуется (2-98):
hr + /7 ix + hr + if 2x = Z 12г + /Z i2x. (2-102)
Уравнения (2-101) и (2-102) распадаются на новые уравнения,
состоящие из активных и реактивных частей:
Е1Г— Rn (Zj) Zir-J- Хи (h) hx — E2r— R22 (Z2) hr-]- X22 (I22) hx —
= Z?i2Zi2r—Xi2Ii2x — ^abr’t (2-103)
Eve— Ru(h) hx—Xn(h)hr — E2x — R22 (h) hx—X22 (Z2) hr —
— Ri2hzr 4" Xi2Ii2x = abx', (2-104)
hr 4“ hr — Zi2rJ (2-105)
Лх4*^2х—Лгх. (2-406)
В этих уравнениях Zi2r и Zj2x, hr и hx или hr и hx связаны
следующим образом:
Z12 = V1212Г 4- ^212Х *,
h = V Z2ir + Z2ix;
h = VI22Г 4" f22X-
С учетом (2-107) уравнения (2-103) и ('2-104) принимают вид:
Е1Г — Ru (Zi) hr 4- -^и (11) VZ2i — Z2ir —E2r — R22 (h) hr 4-
(2-107)
4~ X22 (Z2) Vf22 I22r == R12112Г A 12 VZ212 1212Г = Uabrt
Eve — R11 (Zi) hx — An (Zi) VZ2i — l2iX = E2x — R22 (Z2) hx —
-- X22 (Z2) VI22 -- 122X — R12112X 4“ A12 VZ212-l212X — Udbx*
Для определения составляющих токов используются зависимости:
hr = hr {Eir-R„ (Z1) hr 4- All (h) Vl22 — I2ir} = hr (Uabrh
(2-108)
hr — hr {^2f — R22 (Z2) hr + A22 (h) V^2i — I22r} — hr (Pabr)‘>
(2-109)
Zi2f = /12Г {R12112Г A12 V72i2 Z212f} = /12Г (РаЪг) • (2-110)
192
Функция, соответствующая (2-108), определяется следующим
образом: по кривым /?n(/i) и Хц(/1) определяют активное и реак-
тивное сопротивления для произвольного, но рационально выбранно-
го значения тока Г\. Затем задаются значением 1\г между значе-
ниями 0 и /'1, так чтобы
VI2\r ^2ix=== U \ = const.
Вычисляют:
Uabr = Eyr - /?„ (/,) Er + A'„ (A) T/A - Air
и определяют:
hr=flr(Uabr).
Аналогично поступают при определении зависимости
^2 г ==f2rUabr.
По этим зависимостям строят кривую
/ 12Г — Лг + Лг = fir (Uabr) + Дг (Uabr) = (JUabr)*
а затем прямую
Д2г = ф2 (Uabг)
для средней ветви (рис. 2-89). При пересечении кривой и прямой
получают истинные значения Ц2г и Uabr, а затем 1\г и /2г.
Аналогично строят:
Лх = fix (Uabx) ;
Лх = /гх (Uabx) ;
/ 12х — fix (Uabx) 4~ f2x (Uabx) ~ (Uabx)
и для средней ветви
12х = (Uabx) t
Таким образом, получают Л2х, Uabx и /2х- Затем определяют
токи:
Л = J\г + /Лх’, /2 = hr + /Лх’, /12—/12г + //12Х.
Напряжение между двумя узлами
Uab = U abr"{~j U abx-
Нелинейное сопротивление с постоянным фазовым сдвигом в ка-
честве нагрузки пассивного линейного четырехполюсника. Если пере-
менные величины синусоидальны или мо-
гут быть заменены синусоидами, то для
расчета нелинейной цепи применяют кру-
говые диаграммы Ниже рассмотрен по-
добный пример.
На рис. 2-90 показан пассивный ли-
нейный четырехполюсник, на входные за-
жимы которого подано напряжение I? ь
а выходные зажимы присоединены к комплексному нелинейному со-
противлению
Z2(/2)=/?2(/2)+/X2(/2),
где R2U2) и Х2(/2) зависят от тока, но их отношение при этом
остается неизменным т. е.
tg <f8 *= (/а) /?8 (Л) =*= COIlSt; «£2 == CODSt.
J,3—4Д7 VM
Рис. 2-90.
Для линейного пассивного четырехполюсника справедливы урав-
нения:
Л = Ai/72 +А2/2; Л = A21U2 + A22I2 (2-111)
Сопротивление нагрузки Z2(/2) можно представить следующим
образом:
Z2 (/2) = Z72 /2 =/iz20^2 =/zZ20, (2-112)
где Z20 — неизменное комплексное число; п — коэффициент, завися-
щий от тока /2.
В результате подстановки (2-112) в (2-111) получается:
Ui = [ A11/2Z20 ~i~ А12] /г', /1 — [H2i/2Z2o А22] 12- (2-113)
Из (2-113) можно определить ток Ц:
. /71Л21 . (А11А22 — А12А21)
1 Лц An [A11/2Z20 4- Д12]
U1A21____________U1_____________
Ди ДпЛ12[1 -р nZ20Hn/ Д12]
Известно, что для линейного четырехполюсника
Л цЛ22—А12А21 = 1.
При холостом ходе 72 = 0, что соответствует Z2 = oo или п — оо.
Ток холостого хода
/ю = U1A21/A11 = Ui/Zi0 = Z7i/Z10<?/t₽1°, (2-115)
где Zio = An/A2i.
При коротком замыкании (72 = 0. Этому соответствует Z2 = 0 или
п = 0. Ток короткого замыкания в этом случае равен:
71к~ Ли -л«+ Л11А2
r.r [ Л21 f 1 ___
= t/1 + )~
01
z>^1K
(2-116)
£Л/ЛцЛ12 - /1К - /10.
(2-117)
Из (2-111) следует, что входное сопротивление четырехполюсни-
ка со стороны вторичных зажимов при коротком замыкании его пер-
вичных зажимов равно:
Z2k — О2 (—-/2) = Л12/Ли = ^2к^ ^2к. (2-118
194
Подставляя (2-115), (2-117) и (2-118) в (2-114), получаем:
Л = /10;+(/1к-Л.) I (r+z!g у
Введем обозначение
R= (Лк— Ло) I ^l+n^e (lf2-lp2K> ) =К0,(1 +«£)), (2-119)
где
Л 0 - - /1К Л о •
^2К
Из (2-119) следует:
где L = nKD.
R+L = K^
(2-120)
Рис. 2-92.
При изменении коэффициента п от 0 до оо векторы R и L также
изменяются, но так что угол между ними остается неизменным и
равным
? = ф2-ф2к,
а сумма векторов остается постоянной и равной вектору Ro. Эти
условия выполняются, если при изменении коэффициента п вектор R
скользит по дуге окружности, а неизменный угол л.—g представляет
собой вписанный угол, опирающийся на дугу, стягиваемую хор-
дой Ro (рис. 2-91).
Для построения круговой диаграммы тока Ц предварительно
определяют и откладывают векторы /ю и Лк (рис. 2-92). Соединяя
их концы, получают вектор R0=AC. Затем к продолжению хорды Ro
под углом g проводят прямую, которая является касательной t
в точке С. Восстановив перпендикуляр к касательной и к середине
хорды, получают центр окружности, являющейся геометрическим ме-
стом концов вектора тока Л. Для любого значения Z2 можно отло-
жить отрезок СР под углом л—£ к вектору Ro, который численно
13* 195
равен сопротивлению г2, и на пёрёсечейии линии AR с круговой диа-
граммой в точке В найти положение конца вектора тока /ь По
круговой диаграмме можно также определить модуль тока Л и мо-
дуль напряжения на нагрузке (72=
Для этого решим (2 113) относительно тока /2, предварительно
умножив первое уравнение на Л2ь а второе на Ди.
Л —
ЛиЛ — Л2 i(7i
Л11Л21 — Л12Л21
= Лц/1 ----- Лг1(/1
= Ли 1 — Uij == Ли (/1 — /io) = AnR.
Если учесть, что коэффициент четырехполюсника Лц
постоянной величиной, то
|/»1 = |Лп||Л|.
Из (2-120) найдем:
|£| = |Я|п|£>| = |Й |nz20/z2K,
или, учитывая (2-122),
I I „ 220 х- 1^2 ।
’ I Ли I -2К I Ли I Z2K 9
(2-121)
является
(2-122)
(2-123)
| U2 | = const | L |,
т. е. модуль вектора | L | пропорционален модулю -напряжения |472|.
Рис. 2-94.
196
Йз (2-122) и (2-123)
| Zs | = t/2/Z2 = | L | z2K/| R |; | Z2 |,|;Z2K| = | L\/\ Z?|.
Но так как треугольники ABC и A PC подобны, то
|L|/|/?| = CPMC,
отсюда
|Z2| = ]Z2k \CP/AC.
Для решения задачи с нелинейным сопротивлением необходи
мо знать вольт-амперную характеристику (рис. 2-93,a) t/2=f(/2)
нелинейного элемента, которая переносится на круговую диаграмму
(рис. 2-93,6). Точка пересечения перенесенной характеристики с кру-
говой диаграммой дает рабочую точку Р, которая определяет ток,
напряжение и сопротивление.
Если задана характеристика z2(/2), показанная на рис. 2-94,а,
то точка пересечения В (рис. 2-94,6) перенесенной характеристики
z2(A0 с круговой диаграммой соответствует рабочей точке.
Глава третья
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
3-1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
А. Составление и нормирование дифференциальных
уравнений
При исследовании переходных процессов в цепях,
содержащих нелинейные элементы, нельзя восполь-
зоваться общепринятыми методами линейной электро-
техники, основанными на принципе наложения, который
позволяет построить сложное решение уравнений в виде
линейной комбинации более простых решений.
Для составления дифференциального уравнения не-
линейной цепи можно воспользоваться законами Кирх-
гофа. При исследовании нелинейных цепей, в общем
случае содержащих линейные, управляемые и нелиней-
ные элементы, источники напряжений и токов, считают,
что вольт-амперные характеристики элементов известны
и представлены либо в графическом, либо аналитиче-
ском виде. Искомыми в цепи являются токи и напряже-
ния в отдельных ветвях.
Задача исследования нелинейной цепи состоит из
двух этапов: 1) составление дифференциального урав-
нения цепи; 2) решение дифференциального уравнения.
При составлении дифференциального уравнения цепи
следует учитывать вид заданной характеристики нели-
нейного элемента. Если она задана в виде Z=f(tz), то
целесообразно составлять дифференциальное уравнение
относительно напряжения и, если — в виде u=f(i), то
наоборот, дифференциальное уравнение составляют от-
носительно тока i.
В общем случае решение нелинейного дифференци-
ального уравнения весьма сложно. Лишь для небольшо-
го числа уравнений решение может быть получено
в виде конечного математического выражения, в осталь-
ных случаях решение может быть представлено графи-
198
чески или численно. Поэтому для удобства решения
полученное дифференциальное уравнение следует нор-
мировать, т. е. приводить к безразмерному виду. Реше-
ние такого уравнения также будет безразмерным. В ка-
честве нормирующей величины можно использовать ка-
кой-либо характерный коэффициент цепи или прило-
женное к цепи напряжение. Для нормирования уравне-
ния относительно времени можно воспользоваться
постоянной времени цепи RC или L/R или периодом
приложенного напряжения 7 = 2л/со. Токи и напряжения
целесообразно относить к значению, соответствующему
или начальному времени /=0, или установившемуся
состоянию цепи t—*оо, или к значению действующего
напряжения и тока.
Задачу можно считать решенной, если искомое на-
пряжение получено в виде u(t) или /(&), а искомый
ток — в виде! ('О или t(i).
При решении нелинейной задачи возможны два пути
решения: а) приближенное решение точного дифферен-
циального уравнения; б) точное решение приближенно-
го дифференциального уравнения. Первый путь, как
правило, довольно сложен, но позволяет весьма точно
решить задачу. Второй путь проще, но в случае его
применения существенно снижается точность решения
задачи.
Б. Общая классификация дифференциальных уравнений
Основным признаком при классификации дифферен-
циальных уравнений электрической цепи является их
порядок, который зависит от числа неупрощаемых энер-
гоемких элементов (индуктивностей и емкостей) и кон-
фигурации цепи. Если порядок гц то цепь может быть
представлена в виде дифференциального уравнения п-го
порядка
dnxjdtn dx]dt, d'2x/dt2fdn~1x/dttl^1; f) — 0,
(3-1)
где x— нормированная зависимая переменная цепи и
t — время, либо в виде системы п дифференциальных
уравнений первого порядка
dxJdt — Fy (xi,x2, /), v= 1,2,(3-2)
Оба представления математически адекватны. Смот-
ря по тому, зависят функции f или в явном виде от
199
времени или нет, системы подразделяют на гетероном-
ные или автономные.
Автономная система отписывается системой диффе-
ренциальных уравнений, где время в явном виде отсут-
ствует, например:
dxJdt—F'(xu х2, ...,xrt), v = 1,2,л. (3-3)
Гетерономная система представляется уравнениями
(3-1) или (3-2), в которых функции / или зависят от
времени в явном виде.
Следующей отличительной чертой является линей-
ность или нелинейность системы (цепи). Система назы-
вается линейной, если функция Fv (или f) линейно за-
висит от переменных xv (или х и ее производных),
например:
dxjdt = a^Xi + av2x, + + l\ (/), v=l. 2.n.
(3-4)
Если коэффициенты avX в этом уравнении не зависят
от времени, то речь идет о линейной системе с постоян-
ными коэффициентами. Системы уравнений (3-4), в ко-
торой некоторые или все коэффициенты зависят от
времени, например называется реолинейной
или параметрической системой.
Далее классификация нелинейных систем (или це-
пей) зависит от вида нелинейных колебаний, которые
определяются видом решений нелинейных дифференци-
альных уравнений второго порядка.
3-2. ЧИСЛЕННЫЕ И МАШИННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В общем случае дифференциальные уравнения не-
линейных цепей аналитически неразрешимы. Лишь для
небольшого числа случаев, когда можно воспользовать-
ся простейшими аппроксимирующими выражениями,
целесообразно точное аналитическое решение. Поэтому
широкое развитие получил целый ряд специальных при-
ближенных аналитических и графических методов,
важнейшие из которых будут рассмотрены примени-
тельно к нелинейным дифференциальным уравнениям
200
Первого и второго порядков. Кроме Того, рассмотрим
некоторые численные и машинные методы, которые
в связи с развитием ЭВМ получают все более широкое
распространение и могут быть использованы практиче-
ски во всех случаях.
А. Численные методы решения дифференциальных
уравнений
Простейшие методы последовательных интервалов.
Идея численных методов решения дифференциальных
уравнений основана на временном разделении по интер-
валам с постоянной или с переменной шириной шага
\t=h, а затем постепенном (последовательном) опре-
делении решения по приближенным формулам. Резуль-
тат представляет собой таблицу соответствующих зна-
чений независимых и зависимых переменных. Теорети-
чески любое нелинейное уравнение может быть решено
численными методами. Однако при этом должны быть
известны конкретные значения всех параметров и чис-
ленно заданы начальные условия. Полученное решение
будет соответствовать именно этому конкретному слу-
чаю.
Метод Эйлера — Коши. Если дифференциаль-
ное уравнение имеет вид:
dxldt = x~f(x, /), (3-5)
где t — независимая переменная; х — зависимая пере-
менная; f(x, t) —известная функция этих переменных.
Принимая, что при t==tQ начальное условие x(lQ) =
=Xq, определяют производную
X. = f (Хо,/.).
Затем на малом интервале шириной h решение x(t)
заменяют прямой с наклоном, равным производной х0,
и для новых значений в конце интервала определяют:
ti = to + h; Xi = Xo+hxQ.
Эти величины представляют собой начальные зна-
чения для следующего интервала (шага). Таким обра-
зом могут быть определены значения для любого ин-
тервала tn—tn+u например:
Хп f (Xn9tri)t tn^.\ —- tn -ф* h\ Хп_|_i -— Хп —|— hXn (3-6)
и т. д. для следующих интервалов.
201
По всей видимости в этом случае было бы цёлёсо-
Ьбразно воспользоваться разложением в ряд Тейлора
функции х на (п+1) интервале, например:
Хп + 1—(3-7)
причем ряд (3-7) сходится достаточно быстро, если h
выбрано малым.
Однако определение х при каждом последующем
шаге, например, в сравнении с (3-6) дает ошибку, кото-
рая приближенно равна Я2. А так как при вычислении
значений на следующем отрезке исходные данные не
являются точными и содержат погрешности, зависящие
от неточности предшествующих вычислений, то получен-
ное приближенное решение может не удовлетворять
инстинному решению. Кроме того, этот метод требует
больших затрат. Поэтому разложение в ряд Тейлора
следует использовать в начале расчета, а в дальнейшем
решение вычислять каким-либо другим методом.
Улучшенный метод Эйлера. Повысить точ-
ность метода Эйлера без увеличения расчетных вычис-
лений можно следующим образом. Проведем разложе-
ние в ряд величины хп^, относительно хп:
1 ' । А2 *• А3 •• • ,
Хп _ 1 — Хп — hXn ~г ~2Г ^п — "зГ I * *4 — • • •
Если вычесть это выражение из (3-7), то приближен-
но получим:
-£«4-1 Хп- 1 ^hxn. (3*8)
Это выражение более точно, так как члены с h2 вза-
имно уничтожаются и ошибка становится равной по-
рядка /г3. Следовательно, при одинаковых расчетных
затратах использование соотношения (3-8) дает более
точные результаты. Однако в этом случае должны быть
известны решения в двух опорных точках — х0 и %i, т. е.
необходим предварительный расчет какими-либо други-
ми методами. Кроме того, ширина шага h должна оста-
ваться постоянной, если не предусматривается новый
предварительный расчет от каждого изменения ширины
шага. Хотя приближенное решение может быть получе-
но непосредственно из (3-8), можно повысить его точ-
202
ность, если в (3-7) вместо хп ввести среднее ее значение
между точками хп и xn+i-
Хп ~ — Хп))Н.
Тогда получим зависимость, ошибка в которой при-
близительно равна а именно
Xn+i = Хп 4“ (Хп “р -V/?+i)«
Это уравнение может использоваться для итерационного
улучшения значения xn+i=x^x по (3-8), тем, что, начи-
ная с рассчитываются одно за другим значения
<1=л.+-г<л"+^7‘|) <м>
до тех пор, пока два последовательных приближения
х^ и не совпадут между собой с заданной сте-
пенью точности. Это достигается расчетным путем после
одной — трех итераций Ч
Описанный метод, так же как и метод Эйлера —
Коши, может быть использован без особых затруднений
для решения системы дифференциальных уравнений
первого порядка. Например, для системы уравнений:
х = Л(х, у, /);
У = f2 (*, У, t)
параллельно по мере необходимости определяют зна-
чения Xn+i и уп+i- В соответствии с (3-8) имеем:
^£«4-1 = Хп- 1 4“ (X/z, уп, tn) :==- Xn-i 2hXn\
Уп^1 :==- Уп-Х -ф“ 2hf 2 (Хп> Уп9 tn) == Уп-1 4~ 2hyn*
Эти значения могут также быть подвергнуты итера-
ционному улучшению по (3-9) до перехода к следую-
щему шагу.
1 Улучшенный метод Эйлера с итерационной обработкой дает
на каждом шаге погрешность порядка h3 и нередко применяется
в вычислительной практике. {Прим, перев.)
203
Решение дифференциальных уравне-
ний второго и высших и о р я д к о в, Дифферен-
циальное уравнение второго порядка
У = (3-10)
может быть решено методом, аналогичным описанному
выше, если начальные условия при / = известны, т. е.
у=у^у = у^
По (3-10) определяют в начальной точке
Затем с учетом
у = у9, = const
переходят от /0 к /1=^0+Л.
Если решение в интервале между двумя точками
брать не в виде прямой, а, например, в виде параболы
'/(0 =//« + '/« Л
то в конце интервала получим:
z/i = у. + hy, + у,; yt = y»-\-hy,.
Эти значения уже являются начальными для следую-
щего интервала. При этом ошибка, соответствующая
опущенному первому слагаемому ряда Тейлора, для у
имеет порядок А3, а ошибка для у — порядок Л2.
Описанный метод может быть распространен на диф-
ференциальные уравнения высшего порядка.
Разностные методы. У описанных выше методов по-
следовательных интервалов, которые являются простей-
шими представителями разностных методов (шаговых
методов), интерполяцию производят от каждой преды-
дущей точки к последующей, исходя из предположения,
что решение в интервале между вычисленными точками
представляет собой прямую линию или в последнем
методе квадратичную параболу. Значительно более
высокую точность можно получить, если функцию реше
ния в малой области аппроксимировать интерполяцион-
ным полиномом высокого порядка.
204
Наиболее известным аналитическим методом инте-
грирования простейшего дифференциального уравнения
dxjdt — x—f (/) (ЗИ1)
является правило Симпсона. Оно основывается на ин-
терполяции хода решения параболой третьей степени, на
полосе шириной 2Л и благодаря симметрии построения
отличается большой точностью. Как известно, формула
Симпсона для двойного интервала имеет вид:
М*
Хп±\ = Хп^х + J f (/) dt = Хп1 + -у {Хп _ I 4Хл +
Ml
4--Кл+1)> (3-12)
при этом имеет место ошибка порядка Л5.
Если правая часть (3-11) является функцией от х
и t, то в (3-12) прежде всего неизвестным при решении
дифференциального уравнения шаг за шагом является
слагаемое xn+i, т. е. это уравнение не может применять-
ся для экстраполяции значения xn+t- Зато оно может
быть использовано для последующей итерации значения
х-п+х, найденного каким-либо другим способом.
Высокая точность разностного метода достигается,
с одной стороны, за счет использования точных формул
экстраполяции и, с другой стороны, за счет введения
итерационной обработки в каждом интервале.
Покажем вывод формул экстраполяции и итерационной обра'
ботки на примере аппроксимации решения на двойном интервале
квадратичной параболой формы
x=Xn+a(t-tn)+b(t-tn)\ (3-13)
где а и b — постоянные, которые определяются путем составления
производной
dxldt = a-\-2b(t—tn)
и .в точках tn и Mi сравниваются со значениями производной
Хп = f (Хпу tn)\ Хп-\ — f (Хп _ i, tn - i),
определяемыми из дифференциального уравнения.
Отсюда следует:
1 .
/7 — Хп\ Ь = (Хп — Хп - 1) *
205
На основе двух последних соотношений и t—fn-]-h=tn+i из
(3-13) получаем формулу экстраполяции:
Хп+1 = Хп -р h £Хп ~2~ (.Хп — Хп -1)
— Хп -р h Г Хп 4- —— &хп-1 ”1»
L 2 J
ошибка которой порядка /г3.
Для того чтобы рассчитанное таким образом значение xn+i
можно было .подвергнуть итерации, необходимо составить второе
уравнение для xn+i, которое использует первый результат. Его мож-
но получить, если постоянную b определить путем сравнения произ-
водных в точке + Это дает:
1
b = (%п+1 — Xri).
Затем получают формулу
Х/24-1 = Хп + h [Хп ~{“ ’/г (Хп±1 - Хп)] ~ Хп h [Хп “F */2&Хп\,
которая пригодна для итераций.
Для получения более точных результатов экстраполяции и ите-
рации, которые основываются на соответствии итерполяционного по-
линома с рядом Тейлора, необходимо пользоваться кривыми высших
степеней [Л. 64].
Шаг h обычно рекомендуется выбирать по условию:
0,05 </(/1< 0,2, (3-14)
где K^\df/dx\, т. е. верхним пределом частной производной от
f(x, t) по х. Эта частная производная должна быть ограниченной
(условие Липшица), чтобы вообще было возможным однозначное
интегрирование дифференциального уравнения.
Метод Рунге — Кутта. Метод Рунге — Кутта также
относится к численным методам решения дифференци-
альных уравнений при заданных начальных условиях.
Он является прямым методом без применения итераци-
онных шагов внутри интервала и обладает высокой точ-
ностью. Ошибка порядка /г5, где h — величина шага. Эта
точность достигается за счет того, что функция внутри
шага рассчитывается многократно.
Применение этого метода покажем на примере диф-
ференциального уравнения первого порядка
x = f (х,0, (3-15)
при этом начальные условия х0, io должны быть изве-
стны и значение шага h должно быть установлено.
Прежде всего определяют производные в четырех
различных точках.
206
1. В начале интервала
Xj = f (Xo,Zo)«
2. С найденным значением производной хт идут пря-^
молинейно до середины интервала и в этом месте опре-
деляют новое значение производной
„ / । h , h \
XII = f ~ Хр /о+ ”)'
3. С этим новым значением производной хц вновь
проходят прямолинейно от начальной точки до середины
шага и определяют производную
4. С этим значением производной хщ идут прямо-
линейно от начальной точки до конца интервала и опре-
деляют производную в конце интервала
xiv= f (*<>+ + л)-
Из полученных четырех производных xN так состав-
ляют среднее значение хт, чтобы решение в конце ин-
тервала, которое рассчитывается по соотношениям
tl --- to “4“ X] -------- Х°
(3-16)
совпадало с истинным решением x(fi), разложенным
при в ряд Тейлора по возможности многих степе-
ней h. Это среднее значение составляет:
Хщ — (Xj 2хп -J- 2хш "4" Xjy)/6.
(3-17)
Рассчитанное таким образом новое значение в соот-
ветствии с (3-16) представляет собой одновременно на-
чальную точку для следующего интервала. Таким спо-
собом можно шаг за шагом определить решение %(/).
Предпосылкой для применения метода, как впрочем
и других методов, является то, что функция f(x, t)
в (3-15) непрерывна и ограничена, как и дЦдх. Ширина
шага может выбираться в верхней области (3-14).
Метод Рунге — Кутта легко распространяется на
дифференциальные уравнения высших порядков и си-
207
стему из п дифференциальных уравнений первого и вто-
рого порядков.
Например, для системы из двух уравнений первого порядка;
X = /1 (х, У, t)'t 1
. ' (3-18)
У = /г (х, у> /) J
описанный выше расчет следует проводить параллельно для двух
производных х и у.
Обе производные рассчитывают в указанных четырех точках,
а затем получают средние значения хт и ут ® соответствии с (3-17),
на базе которых получают искомое приближенное значение на интер-
вале
/1 = to -р h't Xi = Хо 4~ hym- (3-19)
Так как любое дифференциальное уравнение л-го порядка может
быть приведено к системе п дифференциальных уравнений первого
порядка, то практически все встречающиеся дифференциальные
уравнения могут быть решены методохм Рунге — Кутта.
Вспомогательные средства для реализации числен-
ных методов. Простая и наглядная форма применения
описанных численных методов состоит из однообразно
повторяющихся циклов, каждый из которых обеспечива-
ет переход от значения на одном интервале к значению
на следующем интервале, начиная с начального. В связи
с этим может быть построена удобная расчетная схема,
которая содержит все необходимые вычисления. Она
может быть реализована с помощью электромеханиче-
ских и настольных ЭВМ.
Другая возможность состоит в том, чтобы передать
процесс вычислений программно-управляемой ЦВМ.
Для этого составляются универсальные программы. На-
пример, для п дифференциальных уравнений первого
порядка
dxjdt = f^xux2,...,xn,t), 1,2,3...,/г (3-20)
по методу Рунге — Кутта имеются стандартные про-
граммы практически для всех современных ЦВМ. Одна-
ко эти программы должны быть снабжены еще соответ-
ствующими специальными подпрограммами для учета
конкретных функций fv, начальных условий и требуемой
ширины шага, которые позволяют разрешать поставлен-
ную задачу в рамках обеспеченной численной устойчи-
вости точного решения.
208
Б. Решение нелинейных дифференциальных уравнений
на аналоговых вычислительных машинах
Основной принцип и расчетные элементы [Л. 33, 58,
128]. С помощью АВМ можно производить электриче-
ское моделирование математических задач, особенно
решение и исследование дифференциальных уравнений
или систем дифференциальных уравнений. Зависимые
переменные представляются при этом в виде электриче-
ских напряжений, а независимые переменные — в виде
времени. Расчетная схема, которая описывает структу-
ру модели представленной задачи, принципиально мо-
жет быть построена с помощью дифференцирующих или
интегрирующих элементов. Из технических соображе-
ний оказывается более выгодным интегрирование, так
что АВМ могут быть точнее названы как аналоговые
интегрирующие устройства.
Для того чтобы пояснить основной принцип построе-
ния электрической модели, рассмотрим в качестве при-
мера дифференциальное уравнение третьего порядка
d3xfdt3+a2 d2x!dt2+ai dxldt + a^x^ti (3-21)
с начальными условиями x(0)=Xo x(0)=Xi, х(0)=Х2.
Для составления расчетной схемы прежде всего не*
обходимо иметь высшую производную заданной функ-
ции, а затем с помощью интегрирующей цепи путем по-
следовательного интегрирования получать d2x/dt2, dxjdt
и х. Совокупность названных функций образует выс-
шую производную
d3x!dt3=—а2 d2x/dt—а^ dxfdt—аох. (3-22)
Эти функции, полученные соответствующими расчет-
ными элементами, суммируются на входе интегрирую-
щей цепи по принципу обратной связи. Наряду с инте-
грирующими элементами электрическая модель должна
иметь другие расчетные элементы для умножения по-
стоянных, суммирования и перемены знака. Если в диф-
ференциальном уравнении появляются времязависимые
коэффициенты или возмущающие функции, то становят-
ся необходимыми так называемые задатчики (задаю-
щие устройства) функций времени. Совокупность на-
званных линейных расчетных элементов достаточна для
исследования и расчета линейных дифференциальных
уравнений.
14—447 209
Таблица 3-1
Основные элементы аналоговых устройств
Наименование Обозначение Выполняемая математическая операция
Потенциометр для установки коэффи- циента (делитель на- пряжения) и 1 UQ — 1 (амин =С а =С 1)
Инвертор 7. "о U q — — U1
Сумматор 1/% — ^/7 и0 = - S г±=1
Сумматор- интегра- тор и1—@- U2 — <7 I Уц п t U0=— J Ubi /=±:1 0
Времязадающее устройство Е f( V —и о Uo = ^f(n | / (/) | , F — опорное напряжение
Функциональный преобразователь и,—к (и,) ^>- Uo UQ = F (£Л)
Множительно-дели- тельное устройство щ — -и, +Ui <’г 1 + / UQ = U\U2lEt Е — опор- ное напряжение
210
Для исследования нелинейных дифференциальных
уравнений, кроме того, необходимы нелинейные расчет-
ные элементы, среди которых важнейшими являются
умножитель (множительное устройство) и формирова-
тель функций (устройство, формирующее заданную
функцию). В табл. 3-1 приведены основные линейные и
нелинейные расчетные элементы и математические за-
висимости, которые они реализуют между выходными и
входными напряжениями. При этом особое значение
имеет требование односторонности действия схемы, т. е.
выходное напряжение зависит только от входных вели-
чин, а изменения выходного напряжения и тока (или
нагрузки) не влияют на входную цепь. Поэтому важ-
нейшим функциональным узлом большинства элементов
является усилитель постоянного тока, который вместе
с полным входным сопротивлением и полным сопротив-
лением обратной связи удовлетворяет требованию одно-
сторонности и используется для выполнения определен-
ных расчетных операций: суммирования, интегрирова-
ния, дифференцирования и т. п. Входное сопротивление
и сопротивление обратной связи называют расчетными
сопротивлениями операционного усилителя.
Для оценки функций искомых решений, появляющих-
ся как зависящие от времени напряжения, служат
осциллографы, координатные и временные самописцы,
а также цифровые вольтметры, соединенные в совре-
менных устройствах с буквопечатающим (телеграфным)
аппаратом для выдачи решения в табличной форме, как
у ЦВМ.
Построение расчетной схемы и программирование.
Важнейшие этапы построения расчетной схемы: 1) по-
строение интегрирующей цепи, при этом число инте-
граторов соответствует порядку дифференциального
х/цавнения; 2) применение принципа обратной связи
Томпсона. При этом прежде всего следует обратить вни-
мание на правильное распределение связей между от-
дельными величинами.
После выполнения этих этапов получают расчетную
схему, которая для дифференциального уравнения
(3-21) приведена на рис. 3-1.
Задача программирования состоит в том, чтобы так
определить коэффициенты со и рг- расчетной схемы,
масштабные коэффициенты между исследуемыми вели-
чинами и расчетными напряжениями, а также между
14* 211
•независимой переменной t и машинным временем т,
чтобы задача описывалась расчетной схемой эквива-
лентно.
Машинные переменные всегда лежат в области
—E^UX^E,
где Е — опорное напряжение (например, £=100 В).
Если связать напряжение с опорным значением £,
то получим:
-l<^Ux/E^ + \.
Относительная машинная переменная x—UxIE ле-
жит в пределах ±1. Если связать исследуемую перемен-
ную х с ее максимальным значением хмаКс, то может
быть получена пропорциональность между исследуемой
и машинной переменными:
X — х/Хмакс — U Х/Е.
Искомые коэффициенты сц и рг- могут быть получены
в результате сравнения нормированных исследуемых
уравнений с нормированными машинными.
В качестве примера определим искомые коэффици-
енты для (3-21), где выбраны зависимости Х=х/хмакс
в качестве нормированной зависимой переменной и т~
=М в качестве нормированной независимой перемен-
ной.
212
Подстановка их в (3-22) дает*
/72 /71 dX /7-0 yz" /О 0Q\
~dv___________________________________хГл- V3'2^
Расчетной схеме, представленной на рис. 3-1, соот-
ветствует машинное уравнение
1 d3X __ а2 d2X 31 dX ZQ_O/1\
TFT ~d^ ~ ~ 0 ’ 1 '
из сравнения (3-23) и (3-24) следует для коэффициент
тов:
*-=£|ЗД7; «• = >№- ’ = т?Г' <3'25>
Таким образом определяются коэффициенты а*. За-
тем выбирают масштабный коэффициент времени X, ко-
торый устанавливается расчетным временем машины.
Коэффициенты Pi и р2 устанавливаются произвольно и
служат для оптимизации расчетной схемы. Их следует
выбирать так, чтобы все выходы усилителя управля-
лись оптимально, т. е. чтобы в течение расчетного вре-
мени по меньшей мере только однажды достигались
значения +Е или —Е. Если максимальные значения
производной по х известны, то коэффициенты оптими-
зации рг- могут рассчитываться интегрирующей цепью.
В противном случае они оцениваются в ходе расчета,
наиболее удобным способом уточняются, а затем в них
вносятся поправки.
Предыдущие рассуждения были проведены на при-
мере линейного дифференциального уравнения. Однако
исследование нелинейных дифференциальных уравнений
или систем дифференциальных уравнений принципиаль-
но не вносит каких-либо затруднений, кроме дополни-
тельного использования нелинейных расчетных элемен-
тов.
Врпросы точности. Важным вопросом при использо-
вании АВМ является вопрос точности. Она зависит,
с одной стороны, от точности компонент машины (на-
пример, 0,1% У линейных, 1% или меньше у нелинейных
вычислительных элементов), а с другой стороны, от ха-
рактера рассматриваемой задачи (числа применяемых
линейных и нелинейных расчетных элементов и способа
осуществления связи между ними) и оценивается с боль-
213
шим трудом. Однако при исследовании задач нелиней-
ной электротехники удается получить точность 1—5%,
что в большинстве практических случаев является при-
емлемым.
Следует ожидать, что отмеченные недостатки АВМ
в будущем будут ликвидированы за счет создания гиб-
ридных вычислительных машин, которые соединят
в себе достоинства аналоговых машин (быстроту и на-
глядность решения) с преимуществами ЦВМ (высокую
точность, программированное управление). Они станут
существенным вспомогательным средством решения
сложных задач синтеза и оптимизации.
3-3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
А. Схемы, которые описываются нелинейными
дифференциальными уравнениями первого порядка
Дифференциальными уравнениями первого порядка
описываются электрические цепи, содержащие произ-
вольное количество активных сопротивлений и один
энергоемкий элемент (индуктив-
^"t=o ность или емкость). ’В качестве
_°. примера рассмотрим схему, пред-
©li ставленную на рис. 3-2. В момент
Зр времени / = 0 последовательное
t R I соединение линейного сопротивле-
*—1 ния 7? и линейной индуктивности
Рис. 3-2. с характеристикой под-
ключается к источнику напряже-
ния с э. д. с. e(t). По второму закону Кирхгофа
uL Д- uR — dty/ dt Д- iR = e (/). (3-26)
Учитывая характеристику нелинейной индуктивности
/(W), получаем дифференциальное уравнение первого
порядка:
(W 4- Ri (Чг) = е (t), (3-27)
которое в общем случае может быть представлено в виде
dxldt = f{x, t). (3-28)
Ниже приведены некоторые методы решения нели-
нейных дифференциальных уравнений первого порядка.
214
Б. Обзор методов решения нелинейных
дифференциальных уравнений первого порядка
Графические методы. Метод изоклин может быть
успешно применен для решения дифференциальных
уравнений первого порядка вида
dxldt=f(x, t). (3-29)
Решение получается в виде графического изображе-
ния зависимости x(t). Если производной dxldi в (3-29)
задать конкретные числовые значения, то полученные
кривые
m=f(xt t) = const
на плоскости х, t представляют собой геометрическое
место точек, через которые проходят кривые с выбран-
ным наклоном ш. Кривая, соответствующая определен-
ному значению пг и соединяющая все точки равного на-
клона, называется изоклиной. Задаваясь различными
значениями производной т, можно построить семейство
изоклин, достаточное для
Рис. 3-4.
Рис. 3-3.
Если известны начальные условия х=хс при / = 0, то
выбирают изоклину, проходящую через точку с этими
координатами — кривая т0 (рис. 3-3). Из точки, опреде-
ляемой начальными условиями, проводят прямые с на-
клоном, соответствующим этой изоклине, п с наклоном,
соответствующим следующей за ней изоклине.
Биссектриса угла, заключенная между этими пря-
мыми, соединяется со следующей изоклиной в точке Р\.
Аналогичным способом получают точки Р2, ^з, Р^ и т. д.
Через эти точки проводят кривую, которая проходит
с наклоном, равным наклону линейных отрезков от-
дельных изоклин.
215
Пример. Рассмотрим Цепь (рйс. 3-4), которая в Момент Вре-
мени t=0 подключается к э.д. с. синусоидальной формы
6, = £msincot (3-30)
На основании второго закона Кирхгофа
uL 4- и — Ldi dt 4- и = Em sin со/. (3-31)
Характеристика нелинейного сопротивления i = i(u) задана. Для
нормирования уравнения (3-31) разделим его на Ет и представим
следующим образом:
и получим нормированное дифференциальное уравнение в виде
d#/dx+x=sinT. (3-34)
Искомым является решение */=/(?) этого дифференциального
уравнения, причем зависимость между у и х известна. Эта норми-
рованная характеристика y—f(x) может быть получена с использо-
ванием (3-33) из заданной вольт-амперной характеристики нелиней-
ного сопротивления путем изменения масштаба. Она представлена
216
на рис. 3-5 для случая выпрямителя. На плоскости у, т каждой точ-
ке соответствует наклон
т = dy/dx. (3-35)
Из (3-34) получается уравнение изоклин, т. е. линий одинакового
подъема т; от уравнения
x = sin т—т
переходят к уравнению
У = Кх) = f (sin и — tn).
Это уравнение позволяет построить изоклины: нормированная
характеристика управляется величиной x = sin т—т и строится соот-
ветствующая функция у, которая и
ном т. Построения представлены
на рис. 3-5 для значений т=0,
/п=±0,5 и /п = ±1. Если таким
способом вычертить последующие
изоклины, то, исходя из начальной
точки Ро(«/о, А)=0), можно по-
строить кривую искомого решения
#(т), которая и показана в пра-
вой части рис. 3-5.
Метод Франка пред-
ставляет собой графический
метод интегрирования диф-
ференциального уравнения
первого порядка.
Пусть задано дифференциальное уравнение вида
dxldt=^(tY
Искомой является функция
х=<р(0.
На рис. 3-6 в качестве примера показана зависимость
/(/). Решение запишется в виде
fn
A- = Xo + f (3-36)
to
где Xo и to — значения, соответствухощие начальным
условиям.
В (3-36) вычисление интеграла можно заменить на-
хождением суммы конечного числа слагаемых:
х = Л-. +2 f('„„.)Д' = Л-. +2 Д*г (3-37)
).==! )
С этой цёлью интересующую область разбивают на
ц одинаковых участков, каждый из которых представ-
ит
Рис. 3-6.
ляет собой прямоугольник. Очевидно, соответствующее
приращение функции состарит:
(3-38)
где Д/ выбирается из условия
Д/ = 2Л tg-^-
(3-39)
[& — коэффициент масштаба, k = mjmf\ т — масштаб
времени /; т'— масштаб функции
Рис. 3-8.
На основании (3-39), подставив в (3-38), получим: \
A-4=f(CJ2Hg-J-. (3-40)
На вершине ординаты f(/mX) строим угол а таким об-
разом, чтобы биссектриса этого угла совпала с ордина-
той (рис. 3-7). Тогда отрезок абсциссы, заключенный
между двумя сторонами этого угла, будет равен иско-
мому приращению:
а = 2/(/„д)А1ё-^ = Дхг (3-41)
Задаваясь начальными условиями (х0, /о) и опреде-
ляя Axi, Дх2' и т. д., можно построить Х=’ф(/), что и
сделано на рис. 3-8.
Если дифференциальное уравнение имеет вид:
dxldt-f(x),
то изображают зависимость {(х)> как показано на рис. 3-9.
Очевидно, что
Дх =5= / (хтХ) Д/ = f (хтУ) 2k tg .
(3-42)
Затем строят на вершине ординаты угол а, определяемый по (3-39).
Левая сторона первого угла проводится через xq, соответствующее
218
значению to. Биссектриса этого угла образует перпендикуляр
с осью х. Тогда другая (правая) сторона пересекает ось х в Хр Ана-
логичным способом можно получить х2» х3, х4 и т. д., что дает
в итоге зависимость x=f(t).
Если дифференциальное уравнение записано в виде
dx)dt = f (%, /),
то изображают кривую f(x), a t принимают за параметр Прираще-
ние At остается все время неизменным (рис. 3-10). Пусть начальные
условия заданы, т. е. х — х0 при t = tQ. Значения параметров:
/1 = /о ti = to -р ts == to -J- 5/2^/; /4 = to 7/2.txt ...
Построение производят, как и .прежде (рис. 3-9), с той лишь
разницей, что вершины углов лежат на кривых, соответствующих
параметрам 6, /2, /з и т. д.
Метод фазовой плоскости применяется при
решении дифференциальных уравнений вида
Обозначая y = dxjdt дифференциальное уравнение
приводят к алгебраическому, а затем определяют зави-
симость Х = ф(/).
Использование метода фазовой плоскости и построе-
ние решения х=ф(/) более подробно будут описаны
в разделе о нелинейных дифференциальных уравнениях
второго порядка.
Метод графического интегрирования.
Дифференциальное уравнение
dxldt=f(x)
представим в виде
dt = -7/ л- dx — р- (х) dx
и отсюда определим время
X
t = J g (х) dx.
о
219
Задаваясь различными значениями и вычисляя пло-
щадь под кривой g(x) между 0 и л\ , можно определить
соответствующее этим значениям время и таким обра-
зом построить кривую x(t) (рис. 3-11).
Аналитические и графо-аналитические приближенные
методы. Важнейшими аналитическими методами при-
ближенного решения нелинейных дифференциальных
уравнений, которые часто применяются в электротехни-
ке, являются следующие.
Метод полной линеаризации. Метод состо-
ит в том, что дифференциальное уравнение, которое со-
держит нелинейную зависимость у =
=f(x), линеаризуют и решают ме-
тодами линейного анализа относи-
тельно одной величины, например х.
Затем из решения x(t) с помощью
нелинейной характеристики опреде-
ляют вторую величину y(t) =
=/[%(/)]. Метод используется толь-
ко для предварительных расчетов.
Метод кусочно-линейной
аппроксимации (метод линеа-
ризации ломаной линией). При
метода нелинейная характеристика
аппроксимируется большим числом отрезков прямых
линий. В областях действий отдельных уравнений пря-
мых решается дифференциальное уравнение линейными
методами. Начальные условия для следующего прямо-
линейного интервала получаются из требования непре-
рывности. Этот метод дает лучшие результаты, правда
при больших затратах. В основном он применяется при
решении задач переменного тока.
Метод дифференциального параметра.
Здесь в дифференциальное уравнение вместо нелиней-
ной характеристики y=f(x) подставляют функцию
у' (х) =dy/dx, которая затем аппроксимируется аналити-
ческим выражением. Например, при нелинейной индук-
тивности подставляется дифференциальная индуктив-
ность Ln(i) =dy¥jdt. Метод дифференциального парамет-
ра является весьма полезным, так как ошибка
аппроксимации при этом уменьшается.
Метод аналитической аппроксимации.
Метод заключается в том, что нелинейная зависимость,
220
использовании этого
входящая в дифференциальной уравнение, аппроксими-
руется известными простыми функциями, а затем опре-
деляется точное аналитическое решение путем интегри-
рования дифференциального уравнения. Применимость
этого метода зависит от вида нелинейной характеристи-
ки и точности ее аппроксимации.
Решение методом степенного ряда. Сущ-
ность метода заключается в том, что искомое решение
х(/) представляется в виде степенного ряда и вместе со
своей производной подставляется в нелинейное диффе-
ренциальное уравнение. Затем путем приравнивания:
отдельных коэффициентов определяются неизвестные.
Графо-аналитический метод Волынки-
н а. Метод используется для решения нелинейных диф-
ференциальных уравнений первого порядка при произ-
вольной форме возмущающей функции. Основан на
графическом определении инте рала. Особыми преиму-
ществами применения метода является наглядность и
его универсальность.
Выше приведена краткая характеристика методов,
которые затем будут более подробно пояснены при
исследовании переходных процессов в схемах с нелиней-
ными емкостями, нелинейными катушками и нелинейны-
ми сопротивлениями. Разумеется, что при этом могут
быть также использованы графические и численные
методы, изложенные в § 3-2.
В. Примеры решений дифференциальных уравнений
первого порядка
Цепь постоянного тока с нелинейной индуктивностью
и линейным сопротивлением. Составление и нор-
мирование дифференциального уравне-
н и я. Положим, что цепь, показанная на рис. 3-12, в мо-
мент времени / = 0 присоединяется к источнику э. д. с.,
обеспечивающей постоянное напряжение U на зажимах
Рис. 313.
Рис. 3-12.
221
цепи. На рис. 3-13 изображена вебер-амперпая харак-
теристика нелинейной индуктивности.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа
d^/dt + iR=U. (3-43)
В установившемся режиме (А—>оо)
i=Ie=UIR. (3-44)
Этому току на характеристике W=f(Z) соответствует
поток Уравнение (3-43) можно представить в виде
(£,^)/(т7л)+^=1' (3'45>
Если ввести обозначения нормированных величин
X = i/Ie; (3-46)
то (3-43) можно представить в нормированном виде
dy/dx+ х=1 (3-47)
с нормированной характеристикой y=f(x) на рис. 3-14.
Зависимость y=f(x) получается с помощью мас-
штабного преобразования зависимости W=f(i). При
этом установившемуся состоянию в точке Pe(t—>оо) со-
ответствуют координаты х=1 и у=1. Решим получен-
ное дифференциальное уравнение несколькими мето-
дами.
Решение методом Франка. Уравнение (3-47) представ-
ляем в виде
dy,rdz = 1 — х = 1 — g (у) = h (у). (3-48)
Функция h(y) .показана на рис. 3-15. Выбрав угол, например,
а—11,4°, т. е. tg (а/2) =0,1, определяем зависимость г/(т). Учитывая
222
масштабы «величин %, у и угла а, устанавливаем интервал относи-
тельного времени
Дт = 2& tg (ос/ 2) — 0,2 k,
где k = mxlmy удобно принять равным единице.
Из начальных условий t(0) =0 функция z/(0)=0 и первый угол
отсчитывается от начала координат. Первому интервалу Дт соответ-
ствует приращение функции Д/л, второму— приращение Лу2 и т. д.
На рис. 3-16 построена кривая #(т). Используя характеристику у —
= f(x) (рис. 3-14), строим зависимость х(т).
Решение методом фазовой плоскости. Уравнение
(3-47) представляют в виде
d(x)=dyf(l—x). (3-49)
В соответствии с (3-49) приращение
Дт = Ку/(1 — х)Ср = Ky/h (z/)cp.
(3-50)
Функция A(z/) = 1—х на рис 3-17 разбивается на п одинаковых
интервалов Ку и по (3-50) вычисляются соответствующие прираще-
ния Дт. Так получается зависимость г/(т), которая практически со-
впадает с кривой, вычисленной по методу Франка. Дальнейшее опре-
деление z/(t) и х(т) проводят аналогично указанному выше.
Рис. 3-17.
Решение методом линеаризации одной прямой.
Характеристику y = f(x) заменяют прямой линией у = х, как показа-
но на рис. 3-14. Тогда (3-47) представляет собой линейное дифферен-
циальное уравнение
dy!dt+y=A, (3-51)
которое можно решить разделением переменных
d(l-y)/(\-y)=-dx.
С учетом начальных условий т = 0, у = 0 решение (3-51) имеет
вид:
у = 1 —
Каждому значению у на рис. 3-14 соответствует значение х, сле-
довательно, можно построить зависимость х(т). Искомые зависимо-
сти гТ(/) и i(t) могут быть получены с помощью масштабного пре-
образования г/(т) и х(т) согласно (3-46). Вследствие нелинейности
223
Рис. 318.
линейную характеристику
характеристик ЧДх) (рис. 3-13) и у(х)
(рис. 3-14) наблюдается медленное на-
растание токов в области малых зна-
чений и быстрое нарастание токов в об-
ласти больших значений, как у линей-
ной катушки (экспоненциальная Зависи-
мость). Этим объясняется то, что при
малых токах dy!dx>\ и d^ldi—L^
>ЧГelle~Le, т. е. дифференциальная ин-
дуктивность больше, чем линейная.
При больших токах dyfdx<\ и
dWldi=^L^VeIIe=Le, т. е. дифферен-
циальная индуктивность в этой области
меньше, чем линейная.
Решение методом кусочно-
линейной аппроксимации Не-
заменяют ломаной линией (рис. 3-18) и
получают:
для первого участка 0<х<%1
для второго участка xj<x<x2
Z/ = //oi+a2*;
и для третьего участка х2<%<1
# = #02+^3*,
где ai = yl/xl; а2= (у2—У1)1(х2—*i); а3= (1— у2)1(1—х2).
Уравнение (3-47) распадается как бы на три линейных диффе-
ренциальных уравнения. Для первого участка (0<т<Т1 или 0<
<X<Xi)
aldx/dx-}-x= 1;
для второго участка (ti<t<t2 или х{<х<х2)
a2dx 'dz + х = 1
и для третьего участка (т2 < т < оо или х2 < х < 1)
a3dx/dx + х = 1.
Решения уравнений для отдельных участков имеют вид:
х = 1 — kie~x/ai; х = 1 — k2e~ ь)/^; % = 1 —kze~ {х~ х*Ма*.
Постоянные интегрирования k2 и k3 находятся из условия,
что ток в индуктивности не может изменяться скачком.
При т = 0 х = 0 и /?1 = 1.
При T=Ti X — Xi и Л2=1—
При T=T2 х=х2 и /г3 = 1—х2.
Окончательно
х == 1 — е~x,Ch; х — 1 — (1 — Xi) е~~(х—х^1а*;
X = 1 — (1 — Х2) с
22^
Нормированное (относительное) время Ti и т2 определяется из
уравнений:
х (xj) = хг = 1 —
х (т2) = х2 = 1 — (1 — %i) ь)/а3>
откуда
1 1 1 1 ,
На рис. 3-19 построена кривая х(х). Затем согласно (3-47) с по-
мощью масштабного преобразования можно построить i(t) или,
используя характеристику -Т(0, построить Ч*(0-
Решение методом последовательных интерва-
лов. Используя этот метод, (3-47) переписывают в виде
= 1 — х. (3-52)
Время переходного процесса разбивают на п одинаковых интерва-
лов, равных Дт. Каждому интервалу соответствует приращение_Дх\.
Если значения хх, Ат и являются известными, то определяют
Z/x4-i> а затем по характеристике Л/ (х) — соответствующее значение
Переходя от точки (М- 1) к точке (A-f-2) и т. д , постепенно
вычисляют значения, определяющие переходный процесс.
Будем исходить из точки Z=0. Пусть при т=0 значения уо=О
и хо=О. Тогда
у0 = 1 — Хо = 1; У1 = Уо + Ату0 = Ат.
Так как начальные условия нулевые, то в соответствии
с рис, 3-20 можно определить у\ и по кривой у (х) значение Xi для
точки Х = 1.
Далее
У\ = 1 — хг, у2 = yi + Ату1 = ~Ь (1 — Xi) Ат.
По кривой у(х) для значения у2 определяют х2 и т. д. На
рис. 3-21 построены кривые у(х) и х(т). Используя (3-46), с по-
мощью масштабного преобразования определяют ЧДО или i(0*
15—447 225
Для более точного численного решения рекомендуется примене-
ние разностного метода или метода Рунге — Кутта, § 3-2.
Решение методом дифференциального пара-
метр а. Представим (3-43) в виде
t/Ф di t f di
~di~dr = = (3-53)
На рис. 3-22 показаны характеристики T(f) и £д(/).
Вариант 1. Уравнение (3-53) можно решить в численном виде,
если его переписать относительно производной
di/dt = (U — Ri)/L^ (i) = f (Z), (3-54)
где функция f(i) легко может быть определена, так как каждому
конкретному значению тока i по кривой L^(i) на рис. 3-22 соответ-
ствует значение £д.
Вариант 2. Дифференциальное уравнение (3-53) можно решить
аналитически, если имеется возможность аналитической аппроксима-
ции характеристики дифференциальной индуктивности £д(0- Для
этого случая, например, удобна следующая функция:
£д=d^ldi=a/(b+i). (3-55)
Подставляя ее в уравнение и вводя нормированные величины,
получаем:
[’ / О+тгт-)]^/'*) / = (3'56)
где Ie=U!R.
С учетом обозначений
bU R
X-tHe, '-a/et-Lpo Z
(3-56) принимает вид:
1 dx
1+$^ + * = !’ (3-57)
где S^Ie/b.
Используя разделение переменных, получаем:
dt=dx/(l4-xS) (—х+1); (3-58)
f dx
J (14-Sx) ( — x+ 1) +K- (3’59>
226
Интеграл (3-59) является табличным
f dx
* = J (Ах + В) (Cx + D) +К (3’6О)
и имеет'решение
1 , Cx + D
’="Г1п <3'61)
где
\=ВС—XZ)=—(1+S) =/=0. (3-62)
Из сравнения (3-59) и (3-60) следует:
1 1 — х 1 1 + Sx
z — — I + S -In 14-Sx +K— 1 4-s ln 1 — X + ^’
x = (e(I+S) (T-/<) — l)/fc?(1+s) (T-X) + S). (3-63)
С учетом начальных условий, что х=0 при т=0, получаем:
=0> т. е ^- = о.
Тогда
х=(е(Н-5)*_1)/(<?(1-1-з)’+$). (3-64)
На рис. 3-23 показаны характеристики х(т), где величина S
выступает в качестве параметра. Кривая с параметром S = 0 соот-
ветствует линейной индуктивности, так как при этом
(0 == а/b = ^до
и, следовательно,
W/i=L=Lr=const.
Из рис. 3-23 следует, что процесс, соответствующий нелинейному
случаю для всех значений S>0, протекает быстрее, чем в линейном
случае. Решение, соответствующее линейному случаю, т. е. S=0,
имеет вид:
х = 1 — ё~~\
Решение методом аппроксимации с помощью инте-
грируемой функции. Ниже показано несколько примеров решения
(3-47), поясняющих сущность метода аналитической аппроксимации,
который заключается в том, что рассматриваемая характеристика
нелинейного элемента приближенно аппроксимируется аналитической
зависимостью, а затем интегрируется. В результате получается реше-
15* 227
ние дифференциального уравнения в аналитической форме. При этом
меньшее внимание следует уделять точности аппроксимации с тем,
чтобы расчетные затраты сделать по возможности незначительными.
Рассматриваемый метод обычно применяется при однонаправленной
работе нелинейного элемента. Поэтому следует использовать аппро-
ксимирующую функцию, которая приближенно описывает характе-
ристику нелинейного элемента только в первом квадранте.
Аппроксимация параболой второго порядка.
Если вебер-амперная характеристика (’рис. 3-13) аппроксимируется
параболой второго порядка
f=aT2, (3-65)
то (3-43) примет вид:
dW/dt+aRW2 == U. (3-66)
С учетом
1е = а^е\ а = Ie!^2e = U/R4^e
уравнение (3-66) может быть представлено в виде
а Фе / а^е * Ф2<?“ Ь
После введения нормированных величин у=Ч?р¥е, x = tU/vVe
уравнение (3-66) примет вид:
<Шг+</2==='1. (3-67)
В результате разделения переменных и интегрирования получим:
у
С йУ
т = | f _= arcth у, (3-68)
и
откуда
у = th т; (3-69)
U
Ф = (3-70)
В результате подстановки (3-70) в (3-65)
U
i = — t. (3-71)
Выражения (3-70) и (3-71) являются приближенными, так как
точность решения зависит ют аппроксимации вебер-амперной ха-
рактеристики (3-69). <
Аппроксимация параболой четвертого поряд-
ка. При аппроксимации характеристики (рис. 3-13) параболой чет- £
вертого порядка <
i=l№ (3-72)
уравнение (3-47) примет вид:
dW/dt + bRV* = U. (3-73)
С учетом 1е = ЬФ4<?; Ь == /е/Ф4^ = U//?Ф4<? получим:
Ф / U /Ф\4
d ф^ / d t + f J = 1 (3-74)
28
или в безразмерном виде
dy/dt + г/4 = 1,
откуда
у у
г dy_____!________4—5___Ъ -
J 1 — У* 2 J ^1-1/2^1 + уг)ау~
о о
1 Г 1 1 + У I
Р 1пГ=^ +arctgу I
или относительно времени t
t =
2D
Г 1 1 + Ф/Фе Ф
[ 2 lnl — Jp;4fe + arctS Фе
(3-75)
Непосредственно определить зависимость Ф(0 довольно трудно,
поэтому ее строят графически по (3-75), а затем, используя (3-72),
определяют i(t). Сравнивая результаты, полученные при использо-
вании (3-65) и (3-72) в качестве аппроксимирующей функции, ре-
шают вопрос о целесообразности выбранной аппроксимации. Хотя
решение при аппроксимации параболой четвертого порядка значи-
тельно сложнее, чем при аппроксимации параболой второго порядка,
точность решения повышается незначительно.
Аппроксимация экспоненциальной функцией.
Характеристика Ф(1) при одностороннем управлении хорошо описы-
вается функцией I
1 = а(е₽ф —1). (3-76)
Дифференциальное уравнение (3-47) с учетом (3-76) примет
вид:
dW/dt + aR (e₽v — 1) = U, (3-77)
обозначим
х = е^, (3-78)
тогда
dx dx dW о ^Ф n dW
dt 4Ф dt ~~ dt ~ dt ’
= J_ dx
Ldt fix \dt '
(3-79)
После введения обозначений
следует:
откуда
а=а7?/[7=а//е; (3-80)
т==₽Ш, (3-81)
dx/d'z + ах2 — (а + 1) х = 0, (3-82)
'с—J — ZZX2-J-(Л4- 1) х +/<1- <3‘83>
229
Это выражение представляет собой интеграл вида
С +
(3-84)
где А = — а-, В = а 4- 1; С = 0.
Его решение зависит от знака величины
Д=44С—В2=—В2.
При отрицательном значении Д, как в нашем случае, решение
имеет вид:
1 . 24x4- В— 1 Ах
К^"Д1п 2Лх + В += В-1п Их 4-В + К,;
(3-85)
2 24x4-В , г, 2 , 24x4-В
г = arcth + Ki = "в arcth --g----+ Ki.
Из (3-85) определим х
х — ВеВх/(К — АеВх),
где К — новая постоянная интегрирования, определяемая из
ных условий (при / = 0, Чг=0 = = 1)
1=В/(К-А); К=А+В.
началь-
Тогда
х== ™ (q-M)g(a+1)T
4 +В— АеВх 14-«е<“+1)т
или с учетом (3-81) и (3-82)
х = e?v = (aR 4- U) №№ 1 /[U,4- aReW^+U) *].
В результате решения относительно Т:
№__1_. (a7?4-L7)
* ₽ 1П U+aReWW * •
Зависимость i(t) получается после подстановки (3-86) в
Г (aB4-^)<?p(a;?+tzu ! 1
U 4- aRe^ (aR+u> ‘ -1]'
Связь между коэффициентами а и ₽ определяется следующим
образом.
При малых значениях fPP
^^14-^,
ВеВх
(3-86)
(3-87)
(3-76):
с учетом этого
откуда l/afitt'V/i—L.
230
— 1)ЧвсфФ,
I = а
Таким образом, величина 1/сф равна индуктивности катушки при
работе в начальной области кривой намагничивания.
Решение нелинейного дифференциального
уравнения с помощью степенного ряда. Сущность это-
го метода заключается в том, что полученное дифференциальное
уравнение решают относительно dyldt, а его правую часть заменяют
степенным рядом относительно т. Затем интегрируют и с помощью
сравнения определяют коэффициенты. Решение получают в виде
ряда. Уравнение (3-47) с использованием аппроксимации (3-65)
представляем в виде:
^T=l-z/2=f(T). (3-88)
Функцию /(т) раскладываем в ряд
оо
/(т)=2
п=0
и получаем:
V гл
п=0
Затем интегрируем:
оо
У ГО = У (0) + 2 ^+1. (3-89)
п=0
Подставляя (3-89) в (3-88), получаем:
СО ОО 12
7ГО = an^ = i —1/2 = ! _ у (0) + --q; j ' г«+1 .
n=0 L n=0 J
Полагая начальные условия нулевыми г/(0)=0, получаем:
[а\
йот:и+ т2 +
z j
03 ^4 ~| 2
+ — г’+ — ^+“5-1® + .. .1 [== 1’— «20т2 —
а\ /л21 , 2айа2 \F f2a^az . 2aia2 \
, - 2а. +—^—+ ~б~)*-
Сравниваем коэффиценты при одинаковых степенях т:
а0 = 1;
fli = 0;
а2 = — Л2о = — 1;
аз = — 2а0 -g- = 0;
231
f cfi 1 . 2^2 \
«4 = - 3~J
/2я0Л4 . \
«5 = -^— + —J=0;
M22 2яо04 Л1Яз \ 17
= “ 9 + 5 + 4 J ~ 45 *
Теперь функцию f(r) можно записать:
00
L. 2 17
аптл = 1 — та + — т* — -цг- те + ...
л=0
В результате интегрирования этого выражения получается:
1 2 17
(/(х)=т_—тз + —т5_ —х7±...,
т. е.
r/=th т,
что совпадает с (3-69).
Цепь переменного тока с нелинейной индуктивностью
и линейным сопротивлением. Составление и нор-
мирование дифференциального уравне-
ния. Если цепь, состоящая из последовательно соеди-
ненных нелинейной индуктивности и линейного сопро-
тивления в момент времени /—0 подключается к источ-
нику переменного напряжения
u(t) =Um sin (со/+ср),
то в соответствии со вторым законом Кирхгофа диффе-
ренциальное уравнение цепи имеет вид:
dWfdt -\-Rt = Um sin (arf + <p). (3-90)
Проведя нормирование (3-90), получим:
dy/dr+x—sin (т+ф), (3-91)
где
r=<j)Z; (3-92)
(3-93)
Wm = Um/<r, (3-94)
(3-95)
UrrilR* (3-96)
Наличие в правой части (3-91) гармонической функ-
ции значительно затрудняет применение изложенных
232
выше методов. Аналитическое представление зависимо-
сти y=f(x) приводит к нелинейному дифференциально-
му уравнению с гармонической функцией времени. Его
решение в общем случае затруднительно, так как на-
личие гармонической функции не позволяет провести
разделение переменных и в связи с этим не дает воз-
можности использовать графические методы.
Применение метода линеаризации ломаной линией
приводит к громоздкому решению.
Решение методом линеаризации одной прямой.
Применяя этот метод, предполагают, что между мгновенными зна-
чениями потока и тока имеется прямая пропорциональность. Тогда
Ф = Lei;
V _LeIm i
Ч?т 1т ~аХ'
& — Leltni^m = Le/Lq\
Lq = Im — R/ы,
(3-97)
где Lo — отношение амплитуды потока к току.
При выполнении (3-97) уравнение (3-91) приобретает вид:
dy[dx+yla~s\n (т+ф).
Решением этого уравнения является:
у = (а/V а2 + 1) [sin (т-|- у — 6) — ^"~T^sin (<р — 6)],
где 0 = arctg а.
Если d^> 1, то 6 ~тг/2 и
у = [ — cos (т + <р) + ^~T/acos <р].
Наибольшее значение у получается, если <р = 0. Тогда
У = — cos t 4- = Уе + yf.
График у(х) для этого случая показан на рис. 3-24. Там же
построена функция х(т) с использованием зависимости у(х). Со-
гласно (3-97) с помощью масштабного преобразования можно опре-
делить зависимости гТ(0 и i(t).
Для потока получим:
Ф = _ Ф„, cos at + ^me~tlLelR.
Решение методом последовательных интерва-
лов. Для применения этого метода представим (3-91) в виде
dy = sin (т + <р) dz — х dt.
В результате интегрирования получим:
•с
у (т) — у (0) = — cos GH-y) + cos <р — 1 х dvt (3-98)
о
233
интеграл в правой части (3-98) можно заменить суммой
п
у (иДт) у (0) — cos (пДт cos <р — 1Д<С-
Х=1
Величина г/(пДт) является суммой четырех составляющих:
п
Уп=У(0)'> У1 = — cos (пДт: 4-<р); t/a=cosv>; Уз = — .
Х=1
При однозначной зависимости у(х) уо равно нулю. Тогда у\ и
у2 легко могут быть определены; у$ может быть определен из у(х)
методом последовательных интервалов. Построение проведено на
рис. 3-25.
Цепь с нелинейной индуктивностью и линей-
ным сопротивлением при произвольной форме
воздействующего напряжения. Для расчета данной цепи
можно воспользоваться графическим методом Волынкина. На
рис. 3-26 изображена схема, для которой справедливо уравнение
u(t)=dWldt+Ri. (3-99)
В результате нормирования получим:
dy/dx + х = z (т), (3-100)
где
т — ^макс^/^максJ У = Ч?/Ч?макс1 X = ///макс; z(x) = и (т)/Г7макс —
нормированные величины, UMaKC — максимальная величина u(t),
причем /макс = £/макс//? — максимальная величина.
Уравнение (3-100) представим в виде
z (x)dx=dy+x dx
или
J z СО dz = J dy + J х d'z = у (т) — у (0) + J х dx.
0 0 0 о
234
Если у (0) = 0, то
(3-101)
Область времени от нуля до т разбиваем на п одинаковых
интервалов. Тогда текущее время будет:
где п=1, 2, 3 ...
Рис. 3-26.
Интеграл в правой части (3-101) можно заменить приближенной
суммой по формуле трапеций (рис. 3-27):
п Дт
Г Дт Дт Дт
I х dt = (%о -j- Xi) ’~2~ -J- (xi ^2) ~2~ (Хз *з) 4* .. .=
о
Дт
в~~2~ (Хо 4“ 2хг Ч~ • • • 2хд- 1 -|- Х/i). (3-102)
Тогда
п Дт
Р Дт
\ z (т) dt = у (п Дт) + (хо + 2X1 + 2х2 + ... + 2хЛ-1 + хп).
о
(3-103)
Так как при т=0 х0=0, то (3-103) приобретает вид:
п Дт
Р Дт Дт
\ z(t)c?t----2“ (2xi+ 2х2+ ... + 2xn.i) = у (п Дт) + -уХ/г.
о
(3-104)
Уравнение (3-104) позволяет рассчитать переходный процесс
в данной схеме. Сначала по заданной кривой z(t) строим кривую
п Дт
?= J z(-i)dx.
о
235
Эта кривая показана на рис. 3-28, а. Вычисление J z (т) dz можно
о
провести графически или аналитически. На рис. 3-28,6 показана ха-
рактеристика г/(х), проведена прямая О А под углом а к оси абсцисс,
для которого tga=Ar/2.
Для момента времени т=Ат, т. е. при п=1, имеем:
Этот отрезок A^Oi переносим на рис. 3-28,6 параллельно оси
ординат таким образом, чтобы один конец его находился на кривой
у(х)> а другой на прямой О А (на рис. 3-28,6 это соответствует
отрезку CijBj). Тогда
Дт ---------- --------------------- ------------
= у (xi) = г/i = £iCr, Xi = OElt
где у\ и Xi — нормированные значения потока и тока для момента
времени Ат. При п = 2, т. е. т=2Ат, в соответствии с (3-104)
хп=х2,
2Дт
f Ат
I z (т) dt— ДТХ1= у (2 Ат) + ‘-у х2. (3-106)
о
Левая часть (3-106) равна:
2Дт
J z (т) dt — Atxi = АОг — Atxi = В2С2.
о
Следовательно, из А2О2 необходимо вычесть Атхь а затем по-
лученный отрезок переместить параллельно оси ординат, так чтобы
С2 попала на кривую у(х), а В2 — на прямую О А. Тогда
Т^С2 +Д/?2;
^гС2 = «/2 = ^(2 Ат);
ОЕ2 = х2 = X (2 Ат);
В2Е2 — x2bt/2,
236
откуда определяем у2 и х2, соответствующие времени т—2 Дт. Ана-
логично определяем значения у$ и х3 для момента времени т=ЗДт:
ЗДт
Г Дт
I z (т) du — Дт (xi 4- х2) == У (3 Дт) + -ту- Хз
о
или
ЗДт
J z (т) dt — Дт (Х1 + х2) — АзОг — Дт (xi + *2) = С3В3.
о
Подобным же образом строим отрезок С3В3 на рис. 3-28, б и по-
лучаем:
В3С3 — Е3С3 В$Ез\ Е3С3 — Уз — У (ЗДт);
ОЕз — х3 = X (3 Дт); В3Е3 = Хз Дт/2.
Таким образом, продолжая этот расчет, определяем: х(т) и
у(х) или соответственно i(t) и ^(Z).
Рис. 3-29.
Рис. 3-30.
Короткое замыкание цепи с нелинейной индуктивностью и линей-
ным сопротивлением. Рассмотрим переходный процесс в цепи, состоя-
щей из нелинейной индуктивности и линейного сопротивления, кото-
рая при 1=0 замыкается накоротко (рис. 3-29). Процесс описывает-
ся дифференциальным уравнением
dW/dt+Ri=0. (3-107)
Если характеристику Чф) аппроксимировать согласно (3-76),то
или с учетом (3-107)
dx/dt+aPR (х2—х) =0.
Разделим это уравнение на ар/? и введем новую переменную
т = (3-108)
Тогда получим:
dx/dr+x2—х=0,
откуда
= J dx/(— х2 + х) + /Сь
Это выражение тождественно (3-84), если А =—1; В=«1; С=0.
237
После интегрирования
•c = ln [х/(х—1)] + /G,
откуда х = +
Постоянная К определяется из начальных условий (при /=0
или т=0 4f=4fe> х=Ле= е^е):
К= (1-Хе)1Хе.
Тогда
X = = А-^7[(1 — Хе) 4- Хее'’].
Учитывая (3-76) и (3-108), а также то, что при /=0 i—Ie, по-
лучаем:
Ie = U/Rl= а (Хе — 1); Хе = U^R + 1;
= Ж+1)^ _ (1 + g^/t/) .
Х е ~(Uio.R+\)e^Rt — U/aR~(\+aR/U)e^Rt — \
Ф=_11П_ (1+°^^ .
₽ (14-afl/t7)ea^—1
Подставив х = e?v в аппроксимирующую функцию, окончательно
получим:
. _ Г И + aR/U) 1.
“ (I 4- aR/U) e^Rt — 1 —1
Цепь постоянного тока с нелинейным сопротивлением и линей-
ной индуктивностью. Переходный процесс в цепи, представленной на
рис. 3-30, описывается дифференциальным уравнением
Ldildt+uR=dJ. (3-109)
На рис. 3-31 изображена вольт-амперная характеристика нели-
нейного- сопротивления. В установившемся состоянии (при t—
все приложенное напряжение падает на нелинейном элементе Ur = u.
238
Этому напряжению соответствует ток Ze. Приведем (3-109) к норми-
рованному (безразмерному) виду
d dt + UR/U = 1;
обозначим: у = i/Ie\ х — uR/U\ т = Ut/LIe.
Тогда получим:
d#/dT+x==l, (3-110)
где зависимость у(х) является нелинейной.
Уравнение (3-110) идентично с (3-47), и для его решения можно
воспользоваться методами, рассмотренными ранее.
Цепь постоянного тока с нелинейной емкостью и линейным со-
противлением. Для цепи, показанной на рис. 3-32, справедливы урав-
нения:
Rl-\-uc = U; i = dq/dt\ Rdq/dt + uc = U. (3-111)
Между зарядом q и напряжением ис существует '.нелинейная за-
висимость (рис. 3-33). В установившемся состоянии все приложенное
напряжение U падает на емкость. Этому напряжению соответствует
заряд Qe.
Уравнение (3-111) записываем в виде
d (q/Qe)/(U/QeR) dt + ac/U = 1. (3-112)
После введения обозначений:
y = q/Qe; x = uc/U; t^Ut/QeR (3-113)
(3-112) примет вид:
dy/dx+x=l,
которое совпадает с (3-47).
Величины у и х связаны нелинейной зависимостью, которая со-
ответствует кривой на рис. 3-33 при изменении масштаба согласно
(3-113). Решение (3-47) было уже приведено. На рис. 3-34 показаны
кривые q(t) и «с(0» которые определены с помощью метода графи-
ческого интегрирования. Зависимость тока может быть построена по
уравнению
z(0=[t/-«c(01/K.
239
Цепь постоянного тока с нелинейным сопротивлением и линей-
ной емкостью. Цепь показана на рис. 3-35, вольт-амперная характе-
ристика сопротивления — на рис. 3-36. В соответствии со вторым за-
коном Кирхгофа
ur+~£t f idt = U. (3-114)
В первый момент времени при /=0 емкость представляет собой
короткое замыкание и все напряжение приходится на нелинейное
сопротивление. Этому напряжению по характеристике Ir(Ur)
(рис. 3-36) соответствует ток /о- Дифференцируя (3-114) относитель-
но времени, получаем:
Рис. 3-36. Рис. 3-37.
Приведем это уравнение к нормированному виду
d (uR/U)/(I0 /CU) dt + i/IQ = 0.
Обозначая
y — u^/U\ x — i/I^ ht/CU, (3-115)
получаем (3-47).
Зависимость между у и х нелинейна и может быть построена
из рис. 3-36 с учетом (3-115). Она показана на рис. 3-37. Решение
можно получить, используя метод линеаризации ломаной линией.
Для этого у(х) можно аппроксимировать двумя прямыми. Тогда
в области Xi<x<l имеем:
У—
а в области 0<x<%i
у=К2х.
Учитывая это, для первой области получаем:
(dy/dx) dx/dx 4- х = Kidx/dz 4~ х = 0,
откуда
х = xQe~~idKi.
Из начальных условий (при т=0, х=1) следует, что х0=1 и
При т = xi х = xi и xi = /Ci In (1 /xi).
240
В области 0 < х < Xi
К2 dx/dz-}- х = О,
откуда
X =
На рис. 3-38 показана кривая х(%). Из
кривой у(х) можно определить у{х). Затем
по (3-114) можно построить uR(t) и i(t).
3-4. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
А. Общие положения о нелинейных колебаниях
Нелинейные дифференциальные уравнения второго и
более высоких порядков описывают поведение цепей,
содержащих как индуктивные, так и емкостные нели-
нейные элементы. Подобные электрические цепи имеют
широкое применение в различных областях техники.
Однако в литературе отсутствует единая терминоло-
гия, что затрудняет общее понимание процессов, про-
исходящих в таких цепях. Поэтому предварительно про-
ведем подразделение нелинейных колебаний.
В общем случае нелинейное дифференциальное урав-
нение второго порядка может быть представлено в виде
d*x/ dt2 4- g (х, dx/dt, t) dx/dt 4- f (x, t) = h (t). (3-116)
По аналогии с колебаниями в механике, из которой
заимствованы теоретические положения многих методов
для исследования нелинейных электрических колебаний,
левая часть этого уравнения состоит из инерцион-
ной силы, силы демпфирования (затуха-
ния) и восстанавливающей (противодей-
ствующей) силы. Правая часть уравнения пред-
ставляет собой возмущающую функцию, зависящую от
времени.
Решения рассматриваемого уравнения подразделяют
на автономные колебания (в дифференциальном урав-
нении время в явном виде отсутствует) и на гетеро-
номные колебания (если функции /, g или h зависят
в явном виде от времени /).
При автономных колебаниях различают консерва-
тивные колебания, при которых демпфирующий член от-
сутствует, и неконсервативные колебания с положитель-
ным (затухающие колебания) или отрицательным
16—447 241
демпфирующим членом (колебания самовозбуждения).
Гетерономные колебания подразделяются на вынуж-
денные колебания (возмущающая функция зависит от
времени) и параметрические возбуждаемые колебания
[по крайней мере одна из функций f или g в (3-116)
в явном виде зависит от времени].
Ниже рассмотрены специальные методы для решения
нелинейных дифференциальных уравнений второго по-
рядка, а также даны дополнения к графическим и чис-
ленным методам, изложенным в § 3-2, для исследования
нелинейных задач колебаний.
Б. Точные методы непосредственного интегрирования
нелинейных дифференциальных уравнений
второго порядка
Дифференциальные уравнения, приводимые к эллип-
тическому интегралу. Нелинейные свободные колебания
без демпфирования (автономные консервативные коле-
бания) могут быть представлены уравнением вида
4-aAj (x) = О, (3-117)
где coo — положительная вещественная постоянная.
Проведя нормирование относительно времени и обо-
значив т=сооЛ получим:
d2x/rfT2+f(*)=0- (3-118)
Функцию f(x) можно представить в виде степенного
ряда
г=о
(3-119)
Используя преобразование
dx d2x 1 d f dx \ 2
di di2 2 di у di )
Д dx
di
>=о
после интегрирования получаем:
oo oo у I
>=o >=0
242
Если п — 2, + 1 > то
ОО
п=1
где ап = а1+1 = 2aJ(X 1) (2 = 0, 1,2 ...).
Если ограничиться только одним или двумя членами
ряда, то решение выразится в виде известных элемен-
тарных функций. Если ограничиться тремя или четырьмя
членами ряда, то решение представится в виде эллип-
тического интеграла. Если число членов больше пяти,
то решение можно выразить через гиперболические
функции.
Такое решение показано ниже на конкретном при-
мере.
Решение дифференциального уравнения для f(x) =
= shx. Если функция f(x) является трансцендентной,
решение ее может быть получено в виде эллиптического
интеграла. При этом существенную роль играет симмет-
рия функции в начале координат. Пусть, например,
f (х) = sh х,
тогда (3-118) примет вид:
d2x/dz2=—shx. (3-120)
После преобразования и интегрирования получают:
(dx!d%) 2/2 = —ch х+К. (3-121)
Постоянная интегрирования определяется из началь-
ных условий. Решение является периодическим. Начало
отсчета выбирают таким образом, чтобы при т=0 была
максимальная амплитуда х=х0. Тогда при т=0 произ-
водная dx/di;=0 и
/C=chx0.
Подставив (3-122) в (3-121), получим:
(dxldifl2 — ch х0 — ch х;
- L й .
J K2(chx0 — chx)
*0
Используем подстановку
— cosy
sh^-,
(3-122)
(3-123)
(3-124)
16*
243
из которой следует:
Хо Хо
2 sh —у— sin у 2 sh —g— sin у
dx =--------------dy = ,... =- dy.
Obi
(3-125)
Учитывая (3-124), получаем:
cos2 у = 1 — sin? у —
sh2^-;
sh -^-sinr/ = j/sh2-^- — sh2-^- •
Но так как
sh2 (x0/2) = ch x0 — 1 /2;
sh2(x/2)—-^-chx— 1/2;
2 sh sin у == У 2 (ch x0 — ch x) . (3-126)
Затем
у = arccos
— те — arccos ^sh I sh •
F Подставив (3-124) — (3-126) в (3-123), получим:
у I _____________________
*с = J dy / у 1 -f- sh2 -у- cos2 у
I
или после преобразования
у I _____________________
/ V l-th2-^sin2y =
О /
У
244
Интеграл F(k, у) в (3-127) называется эллиптиче-
ским интегралом первого рода с модулем
£ = th (хо/2).
Для его определения существуют математические
таблицы.
В. Метод фазовой плоскости
Общие положения. Метод фазовой плоскости являет-
ся одним из эффективных графических методов иссле-
дования решений дифференциальных уравнений второго
порядка, представленных в обобщенной форме
d2xfd^2 + f (х, dx/dx, т) = 0, (3-128)
где х — нормированная переменная; т — нормированное
время.
С помощью введения новой переменной
y—dxfdx (3-129)
это уравнение можно свести к дифференциальному
уравнению первого порядка, которое графически мож-
но представить в виде кривой (фазовой траектории) на
плоскости х=у9 которая носит название фазовой пло-
скости.
Действительно,
d2xjd'z2 = dy/dx = (dy/ dx) dx/dx = у dy/dx.
Тогда, учитывая (3-129), из (3-128) получаем:
ydyldx+f(x, у, т)=0;
dyldx=—f(x9 у, х)!у. (3-130)
Уравнение (3-130) является дифференциальным урав-
нением для кривой, которую графически можно по-
строить на фазовой плоскости, если в качестве пара-
метра использовать время т. Таким образом, дифферен-
циальное уравнение второго порядка (3-128) заменяется
двумя дифференциальными уравнениями первого поряд-
ка (3-129) и (3-130). Переменную т — безразмерное вре-
мя можно определить путем интегрирования (3-129)
х
С dx
х0
245
Так как в общем случае аналитическое выражение
для фазовой траектории у=у(х) в явном виде отсутст-
вует, лучше исходить непосредственно из (3-129), кото-
рое можно записать в виде конечных приращений
Дт=Дх/уСр, (3-131)
Рис. 3-39.
где уСр — среднее значение у
в области малого приращения
Дх при соответствующем вре-
мени Дт. Это поясняется на
примере, представленном на
рис. 3-39, где показана часть
фазовой траектории. При этом
должны быть известны на-
чальные условия Х=Хо и у=у$
при т=0. В данном примере
приращения Дх отрицательны,
а также отрицательны и соот-
ветствующие им средние значе-
ния у. Поэтому соответствующие им приращения Дт
Дт = Дх
V у/ “cpv
(3-132)
всегда положительны.
Суммируя эти приращения, можно построить по точ-
кам зависимость х(т) (рис. 3-40).
Построение фазовой траектории. Метод изоклин.
В случае автономного дифференциального уравнения
(3-130) фазовые траектории строятся по уравнению:
dy!dx=—f(x, у)/у.
Это дифференциальное уравнение решается просто
с помощью построения на плоскости х—у для различ-
ных значений
m=dy!dx=—f(x, у) /у=const,
кривых с одинаковой крутизной, которые называются
изоклинами.
Если достаточно густо нанести на фазовой плоскости
изоклины, то нетрудно изобразить и фазовую траекто-
рию, проходящую через любую точку. Построение фазо-
246
вой траектории у=у(х) следует вести из начальной
точки Хо, уо соответственно начальным условиям
х (т = 0) = х0; у (т = 0)=dx/ dx |т=0 = у0
согласно § 3-3 для метода изоклин.
Построение Льенара. Метод Льенара также
может быть использован для построения фазовых тра-
екторий автономных дифференциальных уравнений вида
d2xldx2+f(dxldx) +х=0.
В это уравнение нормированное время х входит
в неявном виде, и в результате введения новой перемен-
ной y=dxldx получается уравнение первого порядка
вида
dy/dx=[—x+f (у) ]/у. (3-133)
С помощью построения Льенара можно графически
определить направление фазовой траектории в каждой
точке. Для этого на плоскости х—у (рис. 3-41) наносят
кривую
*=—№).
Тогда из точки Р(Хо, Уо) к оси ординат проводят пер-
пендикуляр, который пересекает ось ординат в точке
Рис. 3-40. Рис. 3-41.
Р'", а кривую х= —f(y) —в точке Р'. Затем из точки Р'
опускают перпендикуляр на ось абсцисс, который пере-
секает ее в точке Р". Соединяя точку Р" с Р и проводя
в точке Р отрезок, перпендикулярный РР", находят на-
правление касательной в фазовой траектории в точке Р.
Из построения на рис. 3-41 следует, что
РР’ = РР’" —РТ”' = Хо + f (l/о); р7?" = Уо.
247
Наклон прямой Р"Р составляет:
т' = г/0/[х0 + f («/„)].
Наклон фазовой траектории в точке Р, который опре-
деляет решение дифференциального уравнения, соглас-
но (3-133) равен:
i[x0+f(yo)]ly0.
Так как тг=—1/т, наклон фазовой траектории
в точке Р совпадает с перпендикуляром к РР".
Затем можно в этом направлении продолжить отре-
зок, повторить те же самые построения в точке Pi и
построить шаг за шагом фазовую траекторию.
Так как в I квадранте х>0 и y=dx!dx>Qi с возрас-
танием времени х увеличивается. Таким образом, можно
определить направление, продолжив фазовую кривую
до ближайшей точки Pt.
Дельта-метод. Дельта-метод представляет собой
еще один графический метод построения кривой на фа-
зовой плоскости, который применяется в том случае»
когда требуется найти лишь одну траекторию на фазо-
вой плоскости. Этот метод применим к гетерономным
уравнениям, соответствующим (3-128).
Уравнение фазовых кривых (3-130) записывается при
этом в форме
dyldx= — (х+б) /у, (3-134)
причем
6=f(x, у, х)—х. (3-135)
Параметр б является функцией х, у, т. Если измене-
ния х и у малы, то можно считать б приближенно по-
стоянной. При этом условии в (3-134) можно разделить
переменные и проинтегрировать
^ydy = -
i/2 4-х2 4-28x4-5= ==/<2 = г2; г/2 4~ (х 4~ 8)2 = г2.
При малых приращениях решение представляет со-
бой часть дуги окружности с центром в точке z/ = 0 и
х=—б.
Принимая, что при т=то и x=xQi у=уъ подставляя
эти значения в (3-135), можно вычислить бо. Значение
б определяет центр дуги окружности и ее радиус
Го (/о=Л1оЛ)) (рис. 3-42). Затем задаются двумя новыми
248
J(x4-8)dx4-^;
значениями x=Xi и y=yt. Записав в виде конечных при-
ращений
(3-136)
определяют ti=To+Ati.
Подставив значения Xi, у± и п в (3-135), определяют
новое значение и наносят новый отрезок дуги. Так
приходят к точке 2. При дель-
та-методе избегают длительно-
го построения изоклин, кото-
рые нужны только в ограни-
ченной области.
Метод угловых по-
строений. Метод угловых по-
строений также позволяет ре-
шать нелинейные гетерономные
дифференциальные уравнения
на фазовой плоскости, причем
основу построений составляет
метод изоклин. Уравнение фа-
зовой кривой (3-130) представ-
ляют в специальной форме
Рис. 3-42.
dy!dx = [-fi(x)y- f2 (х) + f, (у)]/у = F/y, (3-137)
где F=—fi (x)y—f2(x)+f3(?) .
В окрестности любой точки фазовой траектории, ко-
торая представляет собой определенный интеграл
(3-137), заменяют часть кривой касательной. Тогда
в соответствии с рис. 3-43 получается:
dS = /dx2 + dy* = dx /1 + (dy/ dx)*. (3-138)
Затем устанавливают связь между отрезком дуги
dS фазовой кривой и дифференциалом dx нормирован-
ного времени. На рис. 3-44 участок дуги заменяют от-
резком касательной и к исходной точке проводят пер-
пендикуляр длиной п. Таким образом,
dS!n=tg (de).
Для небольших углов (практически до 15°) можно
считать, что
tg (de) ^de.
249
Тогда с учетом рис. 3-44 получают:
dS — nde; п == ]//г*2-f-J/2; п*/у = dy/dx-, n*=ydy /dx.
Сравнение с (3-137) дает:
Рис. 3-43.
Рис. 3-44.
Отсюда следует:
/г = К«*2+у2 = К^2 + у2 = ]'/1/2 (dy/dxY-^y^
= у /1 + (dy/dx)2;
dS = nde — у jZ1 -J- (dy/ dx)2 de.
Сравнение c (3-138) дает:
dx У1 -|- (dy/ dx)2 = у У1 -j- (dy/dx)2 de\
de = dx/ у = (dx/ dx) dx — dx. (3-139)
Уравнение (3-139) устанавливает прямую зависи-
мость дифференциального угла d& фазовой траектории
и соответствующего ему дифференциального времени dx.
Теперь функцию /3(т) заменяют лестничной функцией
с размером шага dx=d&=const. Определяют исходную
точку фазовой траектории и лестничной функции с на-
чальными условиями (%о, Уо, То). Согласно (3-137) стро-
ится касательная, причем Р должно быть известно.
Р.ис. 3-45.
Длина отрезка касательной опреде-
ляется выбором d&. Для использова-
ния данного метода целесообразно
изготовить так называемый граф
(рис. 3-45), который определяет дли-
ны отрезков касательной соответст-
250
венно различным длинам перпендикуляра п. Направле-
ние касательной определяется знаками перед F и у.
Отметим специфический случай определения п, когда
у = 0, так как здесь фазовая кривая пересекает ось х
вертикально. При этом lim/z = f3('n) —f2(x).
&->0
Таким образом шаг за шагом выполняют построение
фазовой кривой, которая составляется из небольших
отрезков прямых с одинаковым временным расстоянием.
Связь дельта-метода с методом угло-
вых построений. Дельта-метод по сравнению
с методом угловых построений имеет преимущество луч-
шего приближения фазовой кривой отрезками дуг по
сравнению с приближением отрезками прямых. Недо-
статком является большая трудоемкость вычислений,
так как при каждом шаге необходимо рассчитывать
приращение времени Ат, которое в методе угловых по-
строений является постоянным. Оба метода связаны
друг с другом.
Сравнение (3-134) и (3-137) дает:
dyjdx = — (х + 8)/у = [— Л (х) у - f2 (х) +f, (т)]/у =
= (3-140)
отсюда с учетом, что n*=F, следует:
F—n z= х 8, | (3-141)
— 8. J
Уравнение (3-141) указывает на связь между обоими
методами. Длины проекций перпендикуляра и коорди-
наты х соответствующей исходной точки х, у фазовой
кривой дают совместно координату х+n*, из которой
(рис. 3-44) проводится перпендикуляр в точку х, у. Но
эта координата соответствует согласно (3-141) одновре-
менно координате —б; 0 центра отрезка дуги, подле-
жащего разбиению по дельта-методу. При небольшом
угле отрезок дуги совпадает с касательной, длина кото-
рой «становится упомянутым выше графом (рис. 3-45).
Из новых координат с увеличением времени, определяе-
мого через постоянный угол, можно определить новые
координаты центра.
Таким образом, связь между двумя графическими
методами заключается в том, что определение коорди-
нат центра отрезка дуги —б, 0 проводится дельта-мето-
251
дом, в то время как граф устанавливает размер отрезка
дуги. Этим самым исключается затруднительное и об-
переменное большими ошибками определение прираще-
ния времени по (3-136) дельта-методом. Совместное
использование двух методов может дать экономию вре-
мени по сравнению с
Рис. 3-46.
дельта-методом приблизительно
50% и по сравнению с методом
угловых построений около 25%.
Сингулярные точки и пре-
дельные циклы на фазовой пло-
скости. Сингулярные точ-
ки. Уже из характера семей-
ства кривых на фазовой пло-
скости, которые получаются
при различных начальных усло-
виях, можно сделать выводы
о поведении колебательной си-
стемы. При этом большую роль
играют так называемые сингу-
лярные точки. В качестве примера рассмотрим фазовый
портрет колебательной системы, представленный на
рис. 3-46. Изображающая точка на фазовой плоскости,
выходя из произвольной начальной точки (%i, yi), делая
полный оборот, будет напоминать окружность, постепен-
но сжимающуюся, так что график представляет собой
кривую, спирально подходящую к точке с координатами
(х0; */о=0). Это значит, что после длительного времени
(/—>оо) устанавливается точка равновесия х==х0;
= dxldx—yQ=Q, которая обозначается как сингулярная
точка.
Предположим, что движение изображающей точки
описывается системой уравнений
dx]dx=P (х, у); (3-142)
dy]dx=Q(x, у), (3-143)
где х и у — координаты описываемой точки на фазовой
плоскости.
Скорость движения этой изображающей точки
v — У (dx/drf (dy! dx)2.
Равновесие устанавливается, если и = 0 или
Р(х, у)=0;
Q(x, у) =0.
252
Это означает, что в сингулярных точках дифферен-
циальное уравнение фазовой кривой имеет вид:
dyldx=Q(x, у)!Р(х, у). (3-144)
Пусть координаты сингулярной точки х0 и z/o- Свой-
ства сингулярной точки можно установить, если иссле-
довать движение в непосредственной окрестности этой
точки. С этой целью вводят новые переменные £ и гр
которые указывают отклонение изображающей точки от
состояния равновесия:
Х = Хо +
^ = Z/o+t1-
Раскладывая функции Р(х, у) и Q(x, у) в окрестно-
сти точки х0; Уо в степенной ряд по £ и ц, получаем:
Р (X, у) = Р (Хо, у o') + ЬР'х (Хо, У о) + if'у (Хо, Уо) + Р' &
Q (Х, у} = Q (Хо, Уо) + Щ'х (Хо, Уо) + т\0.'у (хо, Уо) 4- Qi (?, >]),
где Pi(§, т]) и Q±(g, т])—функции, у которых низшая!
степень по и т] равна двум.
Из (3-142) и (3-143) следует:
dtfdt = cfc 4“ Ьт\ 4- Pi (В, т]),
d^ijdt = с В -р 4" Q*
где a=P'x(xQ, уо); Ь=Р'у(хо, Уо); c=Q'x(xq, Уо); d=
= Q'y(xo, Уо).
Если пренебречь Pi(& т]) и Qi(g, т]), то получим ли-
нейные уравнения с постоянными коэффициентами
d^/dx = al+b^; (3-145)
dv\/dx—c^ + d^. (3-146}
Эти уравнения называют уравнениями первого при-
ближения. Они просто строятся и могут быть точно про-
интегрированы с решениями вида
В = (3-147}
= (3-148)
25»
После дифференцирования (3-147) и (3-148) и под-
становки в (3-145), (3-146), а также после деления на
следует:
(а—к)А + ЬВ = 0;
cA+(d—Х)В=0.
Из этой системы уравнений определяются коэффи-
циенты А и В; система обладает только тогда отличи-
тельными от нуля решениями, если определитель из ко-
эффициентов равен нулю, т. е.
а — Л Ъ ____q
с d—Л
Эта зависимость представляет собой характеристиче-
ское уравнение системы (3-145) и (3-146), из которой
определяются возможные для решений значения %:
Z2+рК+q=О,
где
p=_(a+d); (3-149)
q=ad—cb. (3-150)
Решение имеет вид:
Xi, j/> - )/2. (3-151)
В зависимости от вида этих решений (действитель-
ные положительные или отрицательные, положительные
или комплексно-сопряженные) получаются качественно
различные решения уравнений (3-147) и (3-148). Они
соответствуют различным видам сингулярных точек.
В табл. 3-2 приведены пять возможных различных
случаев с соответствующими фазовыми портретами. При
этом по знаку действительных частей корней (3-151)
можно делать вывод об устойчивости точки равновесия.
Если в уравнении
х=д+/5
действительная часть А>0, то в решении Цт) появляет-
ся член еА\ который с возрастанием времени все больше
растет, что означает, что изображающая точка удаляет-
ся все дальше от точки равновесия, которая в этом слу-
чае неустойчива.
При Л<0 член стремится к нулю с возрастанием
времени. Это означает, что изображающая точка воз-
вращается в точку равновесия, которая, следовательно,
устойчива.
254
Таблица 3-2
Обзор сингулярных точек на Ро (х0, у о) фазовой плоскости
Свойство корней X] 2 по уравнению (3-440) Вид сингулярной точки Область на рис. 3-47 Фазовая кривая и окрест- ность сингулярной точки (качественно)
Xi и Хг — действи- тельные и отрицатель- ные числа Устойчивый узел (узловая точка) / Г А * Л Жо 1 р0 /
Xi и Л2—-действи- тельные и положитель- ные числа Неустойчи- вая узловая точка II £ 1 t 1
Xi и Л2 — действи- тельные числа с раз- личными знаками Неустойчи- вая седловая точка III Л W
Xi и Лг — комп- лексно-сопряженные числа ReX>0 Неустойчи- вая вихревая (роторная) точ- ка IV Л J \ \
Xi и Л2 — комп- лексно-сопряженные числа ReX<0 Устойчивая роторная точка V £ £ fr\\ Y
255
Подробные сведения об устойчивости приведем ни-
же, где покажем, в каких случаях рассмотрение харак-
тера и устойчивости линейной системы в первом при-
ближении может быть перенесено на исследуемую не-
Рис. 3-47.
линейную систему»
Результаты, приведенные
в табл. 3-2, наглядно можно
представить в виде диаграм-
мы (рис. 3-47), из которой
при известных коэффициен-
тах в (3-145) и (3-146) пу-
тем расчета р и q по (3-149)
и (3-150) можно быстро по-
лучить сведения о свойстве
сингулярных точек.
Кривая
А=р2—4*7=0
представляет при этом границу между узловыми и ро-
торными точками.
Точкам положительной действительной оси с р=0,
А<0 соответствуют чисто мнимые корни %i,2 и соответ-
ствующие решения
£ = Л sin Лт; т] —BcosZt.
Они соответствуют на фазовой плоскости эллипсам
(£/Л)2+(ц/В)2=1,
полуоси которых зависят от начальных условий
(рис. 3-48). Соответствующая сингулярная точка распо-
лагается в центре начала координат.
Предельные циклы. Наряду с сингулярными
точками на фазовой плоскости иногда присутствуют за-
мкнутые кривые, которые с ростом времени приближа-
ются к фазовой траектории изнутри или снаружи в за-
висимости от начальных условий. Замкнутая фазовая
траектория называется предельным циклом, который во
временной области соответствует стационарным перио-
дическим, т. е. незатухающим, колебаниям. Если про-
цесс является непериодическим, то фазовая траектория
представляет собой незамкнутую кривую.
Пример устойчивого предельного цикла показан на
рис. 3-49. У неустойчивых предельных циклов фазовые
256
кривые с ростом времени удаляются от предельной кри-
вой. Из вида предельной кривой можно получить сведе-
ния о форме колебаний. При круговой или эллиптиче-
ской форме предельной кривой колебания синусоидаль-
ны. Чем больше отличается предельный цикл от формы
круга или эллипса, тем сильнее отличается колебание
от синусоидальной формы.
С наличием предельных циклов па фазовой плоско-
сти, т. е. с наличием периодических решений, связан
критерий Бендиксона.
Пусть подлежащая исследованию система описыва-
ется уравнениями:
dxld/t~P (х, у); dyj dz=Q (х, у), (3-152)
где Р(х, у) и Q(x, у) являются аналитическими функ-
циями.
Критерий Бендиксона гласит: если выражение
l = dP]dx + dQ]dy (3-153)
в плоскости х—у обладает постоянным знаком, то не
существует в этой области плоскости х—у замкнутых
кривых, которые целиком существуют в фазовой траек-
тории динамической системы (3-152). Доказательство
можно вести от противного, предположив, что такие
замкнутые кривые в области существуют. По формуле
Грина
П w) dxdtJ = §(Pdy-Q dx~)- (3-154)
Если криволинейный интеграл правой части (3-154)
вычисляется вдоль кривой, которая состоит полностью
из траекторий, то интеграл будет равен нулю. Двойной
17—447 257
интеграл тогда также равен нулю. Но в этом случае
выражение dPjdx+dQJdy должно поменять знак в об-
ласти, в которой расположена зависимая кривая.
Критерий Бендиксона является лишь достаточным
условием отсутствия замкнутых предельных циклов.
Критерий может быть сформулирован наоборот: мо-
жет существовать возможность образования замкнутых
предельных циклов, если (3-Г53) меняет знак.
Г. Методы, основанные на малом параметре
Метод возмущений. Метод возмущений (Пуанкаре)
представляет собой весьма распространенный метод ре-
шения нелинейных дифференциальных уравнений. Он
применяется к уравнениям, в которых нелинейные члены
связаны с малым параметром вида
с?2х/б/т2+26с?х/б/т + со2оХ—eF(x, dxjdx, т). (3-155)
Решение находится в виде ряда, члены которого со-
держат возрастающие степени малого параметра:
Х(т) =Хо(т) + 8X1 (т) +82Х2(т) + ... (3-156)
Коэффициенты ряда разложения являются функция-
ми независимого переменного т, которые определяются
методом постепенного приближения. Если параметр до-
статочно мал, то учет лишь нескольких первых членов
ряда дает возможность получить решение высокой сте-
пени точности.
Покажем применение метода возмущений на приме-
ре нормированного дифференциального уравнения вида
d^xfd^ 28rfx/ б/т х 4- ex’ — ат, (3-157)
которое представляет собой обобщенное уравнение Дуф-
финга.
Пусть (3-156) является решением данного уравнения.
Его подстановка в (3-157) дает:
(Хо —|- —р s2X2 4“ • • •) 28 (Хо 4- sXi 4- s2X2 4" • • •) 4“"
4“ (Хо 4“ sXi 4” ®2Хг 4“ •••) 4" s (Х8о 4” 3sX2oXi 4- 3s2XoX2i 4-
4“ 3s2x%x2 4" •••) — k sin ат.
Проведем сравнение коэффициентов при одинаковых
степенях е. При этом получим следующую .систему ли-
-258
нейных-дифференциальных уравнений
х04“ 28х0 4" х0 = k sin ат; (3-158)
Х\—26xi —|— Xi — — х3о, (3-159)
Хг 4" 2&Хг 4- ---' — 3x2®Xi j
(3-160)
Хз4~ 26хз —J— Хз — — 3xqX2i — 3x2qXz. (3*-161)
Затем решаем (3-158) с учетом заданных начальных
условий. Результатом является определение Хо(т),, кото-
рое затем подставляется в (3-159) и определяется %i(t).
Подставляя далее %о(т) и xi(r) в (3-160), определяют
.Х2(т) и т. д. Метод возмущений позволяет решение не-
линейного дифференциального уравнения заменить по-
следовательным решением линейных дифференциальных
уравнений с постепенно усложняющейся функцией воз-
мущения..
Метод возмущений сходится для значений е<С1 и
может применяться как для расчета установившегося
режима, так и для расчета переходных процессов.
Метод Ван дер Поля. Метод Ван дер Поля является
приближенным методом, основанным на вариации па-
раметров. Метод применяется следующим образом.
Пусть неавтономная система описывается дифференци-
альным уравнением
d2x/dt2 4- af (х) dx [dt-f- од20х = Am sin од/. (3-162)
Это уравнение можно привести к виду
d2x! dt2 4- ™2<>х — Am sin ю/ — а/ (х) dx/ dt = fty (х, dx/ dt, &t).
(3-163)
Если а мало, то уравнение сводится к линейному
.дифференциальному уравнению, решением которого
.является
x=a(t) sin (dt + b(t) cos со/. (3-164)
Амплитуды a(t) и b(t) представляют собой медлен-
шо меняющиеся функции времени. Возьмем первую и
.вторую производные по времени
dx . 1 ... da . , । db ,
—- = a)acosa)/ — сой sin од/ 4~~ту sin од/4-“зт- eosco/;
dt 1 dt 1 dt
(3-165)
iI7* 259
d2x n da , n db . , „ . ,
~di2~ “ ~dt~ COS “* ~ “U) ~di~ Sin — ® a Sln Ш ~
— ш2Ь COS mt -1- sin mt 4- COS mt. (3-166)
1 at2 1 at2 4 '
Так как амплитуды от времени изменяются относи-
тельно медленно, то
dafdt^iaa, dbfdt^^b\ 1
d2ajdt2 <^&daldt, d2bjdt2 <^&db[dt. j P’lbZ)
Тогда можно приближенно записать:
dxldt=®a cos со/—ab sin со/; (3-168)
— 2(0 COS со/ — 2со sin со/ — со2а sin со/ — со2/? COS со/.
at2 at dt
(3-169)
Подставив (3-168) и (3-169) в (3-163), получим:
da , db • . I со2о — со2 . , .
—г— cos со/--— sm со/ -4-------a sm со/ 4-
dt dt ‘ 2со 1
Ш ° X ° fe COS со/ = ср (a sin со/ 4- b COS со/, соц COS со/ —
1 2со 2со 4 4 1 ’
— co&sinco/, о?/). (3-170)
К правой части этого уравнения применим разложе-
ние Фурье, тогда получим:
cos со/-sin со/ = Во (а, Ь) 4~ Д (a, b) sin со/ -J-
dL dL £
А (а, Ъ) sin 2со/ -[-••• —- to2o^o<°2 ct sin со/ -|-
-f-Si (a, b) cos со/4~ В2 (a, b) cos 2со/4~...—° ° 2^" C0S(D^-
(3-171)
Сравнение коэффициентов при одинаковых тригоно-
метрических функциях дает:
4 b=^P(a,by, (3-172)
= - А (а,Ь) + А ^4=^ а = Q (а, Ь). (3-173)
Эту систему можно решить относительно a(t) и Ь(/),
а затем найти приближенное решение дифференциаль-
ного уравнения.
260
Правда в общем случае система из двух нелинейных
дифференциальных уравнений первого порядка может
быть аналитически не разрешима. Тогда пользуются
графическими, численными и машинными методами.
Непосредственное решение исходного дифференци-
ального уравнения этим методом дает определенную вы-
году при незначительных затратах, так как a(t) и b(t)—
медленно изменяющиеся функции времени.
Если интересуются только установившимся решени-
ем, при котором амплитуда и фаза постоянны
а = £1=const; b = bi—const, (3-174)
то
daldt=dbldt=Q (3-175)
и искомые амплитуды а± и bi могут быть определены из
системы нелинейных алгебраических уравнений
P(ai, bi) =0; Q(ai9 bi) =0. (3-176)
Метод амплитудной плоскости по Андронову и Витту. Метод
амплитудной плоскости основан на методе Ван-дер-Поля. Если раз-
делим (3-173) на (3-172), то получим:
db/da=Q(a, b)/P(a, b). (3-177)
Эта зависимость представляет собой нелинейное дифференциаль-
ное уравнение, которое характеризует вид кривой Ь(а) на плоско-
сти ab. Так как a(t) и b(t) являются амплитудами двух колебатель-
ных компонент в (3-164), эта плоскость обозначается как ампли-
тудная.
Дифференциальное уравнение семейства кривых на амплитудной
плоскости принципиально строится так же, как уравнение фазовых
кривых на фазовой плоскости согласно (3-130) или (3-144).
Однако определение характеристик из картины кривых на ам-
плитудной плоскости отличается от характеристик фазовой плоско-
сти. Так, например, периодические решения исходного дифференци-
ального уравнения по (3-174)—?(3-176) соответствуют сингулярным
точкам на амплитудной плоскости в противоположность фазовой
плоскости, где сингулярным точкам соответствуют состояния равно-
весия и покоя.
Устойчивость периодического решения (3-162) получается из
характера сингулярности, которая принадлежит этому периодиче-
скому решению. Так как (3-177) построено точно так же, как
(3-*144), принципиально могут появиться на амплитудной плоскости
сингулярные точки одинакового вида и их исследование может про-
водиться аналогично фазовой плоскости. Если, например, сингуляр-
ная точка на амплитудной плоскости является седловой точкой, то
соответствующее периодическое решение неустойчиво, так как не-
большое возмущение будет вызывать большие изменения ампли-
туд а и Ь.
В качестве примера на рис. 3-50 показано семейство кривых на
амплитудной плоскости, которые были получены для нелинейного
261
дифферейцйаЛьПого уравнения нелинейной колебательной цепи с ка-
тушкой подмагничивания путем решения дифференциальных урав-
нений (3-17'2) и (3-173) с помощью АВМ. На рис. 3-50 видны три
сингулярные то^и; двум устойчивым точкам 1 и 3 соответствуют
при этом устойчивые периодические решения, в то время как седло-
вая точка 2 представляет собой неустойчивое решение.
Рис. 3-50.
Если на амплитудной плоскости появляются замкнутые кривые
(граничные циклы), то им соответствуют периодически изменяющие-
ся амплитуды или амплитуда и фаза являются периодически изме-
няющими функциями:
хЩ) = а (0 sin + Ь (0 cos со/ = с (/) sin [со£+ <Р (01-
Так как (3-172) и (3-178) построены аналогично уравнениям
фазовых кривых, то можно воспользоваться критерием Бендиксона
для проверки возможности существования граничных циклов, т. е.
неустойчивости (модулированных по амплитуде и фазе) колебаний.
При этом
g=dPlda-\-dQldb.
Зависимости между амплитудой и фазовой
плоскостями. Рассмотрим дифференциальное уравнение
d2x/dx2 х = p*F(x, dx/dt). (3-178)
С помощью подстановки
y—dx/dx (3-179)
преобразуем (3-178) для фазовой плоскости х—у и получим из
(3-178) уравнение фазовых кривых
dy/d'z = — х + fxF (х, у),
где — малый параметр.
262
По методу Ван-дер-Поля решение (3-178) можно представить
в виде
Рис. 3-51.
х = а (т) sin т + b (т) cos т. (3-180)
Так как а(х) и Ь(х) —медленно изменяющиеся величины, в со-
ответствии с (3-168) имеем:
у а (т) cos т—^(T)sinT. (3-181)
Из последних двух уравнений получается следующая зависи-
мость: -координаты х и у точки движения на фазовой плоскости по-
лучают из проекций точек картины на ампли-
тудной плоскости на абсциссу х и ординату у,
если плоскость ab вращается против фазовой
плоскости с угловой скоростью, равной 1. Эти
соотношения представлены на рис. 3-51.
Приведем другую форму уравнений
(3-172) и (3-173) для определения решений
п(т) и Ь(х). Если (3-180) и (3-181) подставим
в (3-179) и (3-178), то получим:
a sin т-|-' b cost — 0,
a cos т — b sin т = |лЕ (a sin т + b cos т,
a cos т — b sin т).
Если первое уравнение умножить на sin т,
и оба уравнения сложить, то
а = pF (a sin т Ц- b cos т, a cos v— b sin т) cos т.
Аналогично
а второе — на cost
b = — pF (a sin т + b cos т, a cos т — b sin t) sin t.
Если ц мало, то а и б также малы, так как а(х) и Ь(х) —мед-
ленно изменяющиеся функции. Для определения а и й можно вместо
мгновенных значений F cos т или F sin т взять средние значения за
период
2тс
Г
= I F (a sin т -ф b cost, a cos т—b sin т) cos т б/т; (3-182)
о
2тс
Г
Ь = — I F (a sin т b cos т, a cos т — b sin т) sin т dx (3-183)
6
и рассматривать а(т) и Ь(х) на периоде как постоянные Соотноше-
ния (3-182) и (3-183) после интегрирования соответствуют (3-172)
и (3-173) для определения а(т) и Ь{х).
Метод Боголюбова и Крылова. Метод Боголюбова и
Крылова основан также на вариации параметров. Если
дифференциальное уравнение второго порядка имеет
РИД:
= 0 (3-184)
263
и е=0, то решение можно записать:
х = a (f) sin ф (/) — a (t) sin [<o0f -f- <p (/)]. (3-185)
Тогда
dx da . . . йф , da ..... .
_ = _sm^ + a_cos^—Sin(^ + <p) +
COS (<JOo/ + ?)•
(3-186)
Если теперь потребовать, чтобы это уравнение совпа-
дало с первой производной решения линейного диффе-
ренциального уравнения
dxfdt = аф0 cos ф = 6zco0 cos (<о0/ <p), (3-187)
то
(dajdt) sin ф 4- fl (d<f>/dt) cos ф = 0. (3-188)
Из (3-186) в случае пренебрежения величинами вто-
рого порядка малости
d2x/di2 = (da/dt) со0 cos ф — асо0 (<о0 4" dyjdf) sin ф. (3-189)
Подставив (3-187) и (3-189) в (3-184), получим:
cos ф — а sin ф = — f (fl sin ф, лсо0 cos ф). (3-190)
Уравнения (3-188) и (3-190) представляют собой си-
стему уравнений относительно daldt и dqjdt. Умножив
(3-188) на sin % а (3-190) на cos ср, а затем сложив их,
получим:
da[dt= — (s/w0)f (« sin ф, а<п0 cos ф) cos ф. (3-191)
Если, напротив, (3-188) умножим на cosip, а (3-190)
на sinчр, а затем вычтем их, то получим:
rfspfdt — (s[c№o) f (fl sin ф, «о)0 cos ф) sin ф. (3-192)
Правые части (3-191) и (3-192) представляют собой
периодические функции от ф. Их можно представить
в виде ряда Фурье. Если в ряде Фурье учтем только по-
264
стояпные члены, то получим приближенное решение.
Тогда
2«
W=J f (a sin ф, аш0 cos ф) cos ф Лф;
О
2к
5'==й^7<[ sin ф, аа>0 cos ф) sin ф ity.
и
Эти уравнения носят название эквивалентной систе-
мы Боголюбова и Крылова.
Асимптотический метод Боголюбова и Митрополь-
ского. Этот метод применяется для решения дифферен-
циальных уравнений вида
d2x/dt2 + со2л = sf (х, dx/dt, vf), (3-193)
где е— малый положительный параметр, который озна-
чает, что система ведет себя приближенно как линей-
ная, если е->0. Как нелинейные члены, так и внешнее
периодическое воздействие с частотой у представляют
собой малое возмущение линейной системы и сосредото-
чены в функции f(x, dx/dt, yt), а со — собственная часто-
та' линейной системы. При отсутствии функции возму-
щения, т. е. при е = 0, решение (3-193) выражает гармо-
ническое колебание
х = a cos (со/ 4" ?) — а cos Ф;
dx/dt — — а<о sin (arf -]-?)= — а<» sin ф,
где а и ср — постоянные интегрирования, а ф=со/+ф —
фаза колебания.
В случае е=т^0 благодаря нелинейной функции воз-
мущения в решении могут появиться, во-первых, высшие
гармоники и комбинационные колебания различного
порядка, так что решение для этого случая может быть
представлено в форме
х = d cos ф 4”£U1 ф, v£)4~s2&2(a, ф, v/)4--.- (3-194)
Во-вторых, амплитуда и скорость изменения фазы
Ф не останутся постоянными. Они могут быть определе-
ны из системы дифференциальных уравнений
da/dt = еД (cz) -|-е2Л2 (а) 4~
dty/dt — («4£^1 (а) + б2^2 (я)4— >
265
(3-195)
путем интегрирования этой системы, если функции Alf
Л2, ..Bi, В2 ... известны, Это справедливо для нере-
зонансных случаев, при которых все частоты nv + mco,
появляющиеся в решении, не равны собственной часто-
те (0.
Функции Ui, и2, ..., Л1, Л2, ..., Bi, В2 ..., неизвестные
в (3-194) и (3-195), могут быть определены, если (3-194)
с учетом (3-195) подставить в (3-193) и приравнять при
одинаковых степенях е коэффициенты при одинаковых
тригонометрических функциях. Ю. А. Боголюбовым и
Н. Н. Митропольским получены общие выражения для
второго приближения. Используя этот метод в решении,
можно учесть искажения от высших или низших ча-
стот.
Д. Методы, основанные на вариационном исчислении
Метод Ритца. Для определения приближенного реше-
ния дифференциального уравнения можно воспользо-
ваться методом Ритца, который относится к числу так
называемых вариационных методов. Пусть х — некото-
рая функция от t, х' — ее производная. Тогда функция
f(x, х', t), зависящая только от независимой перемен-
ной /, и интеграл вида
ц
J = х', t)dt, (3-196)
to
определяется в заданных пределах /0 и t± только функ-
цией x(t) и называется функционалом.
При решении вариационных задач задаются функци-
ей %!=%(/), при которой интеграл (3-196) имеет экс-
тремальное значение. При этом рассматривается только
та функция, которая на границах области интегрирова-
ния равна нулю:
x(/o)=x(/i)=0. (3-197)
Определяют условия, которые должны выполняться
функцией Xi = X(Z). Пусть —произвольная функция,
удовлетворяющая краевым условиям
v(/o)=v(/i)=O. (3-198)
Функция
X = %(0+gv(/)
вводится под интеграл, причем g— некоторый коэффи-
циент. После интегрирования значение интеграла зави-
266
сит только от 5
J=^f(x, x', f)di= f f W) +
-Av(/>], [r(n+*v'°(0], t}dt.
При условии dJld^=Q получаем значение g, при ко-
тором значение интеграла минимально. Цепное прави-
ло дает:
w4{^v(')+^rv'w}‘a=o- (з’|99)
Интегрируя вторую часть (3-199) по частям с уче-
том (3-198), получаем:
Это справедливо, так как частные производные
(3-199) при g=0 содержат только v(t) и v,(/)« Тогда
{₽-4(5р-)}л=°- <3-200>
1 I С/Д \ иЛ J I
t()
При этом условии интеграл от функции %(/)+5v(0
при 5=0 будет иметь минимальное значение. Чтобы это
выполнялось не только для определенной функции v(>/),
но и для любой произвольной функции, необходимо
чтобы
d f df \ df
dt J dx
(3-201)
Этому условию должна удовлетворять функция x(t)9
чтобы интеграл имел минимальное значение.
Частные производные содержат только х, х' и Л
Условие (3-201) является дифференциальным уравне-
нием второго порядка относительно функции х=%(/).
Из (3-197) видно, что решение вариационной задачи
сводится к решению краевой задачи. Уравнение (3-201)
представляет собой так называемое уравнение Эйлера.
267
Можно показать, что дифференциальное уравнение
второго порядка
х"—ф(х, х\ f)=0 (3-202)
с краевыми значениями
x(fo)=%(/1)=O (3-203)
можно рассматривать как уравнение Эйлера (3-201),
которое относится к вариационным задачам. При этом,
с одной стороны, искомая функция x(f) должна удов-
летворять краевым значениям (3-197), а с другой сто-
роны, интеграл функции f(x, Xх, /) должен иметь мини-
мальное значение.
Искомую функцию приближенно можно представить
в виде
a*fr(0-
i=l
Тогда ее производная
•*40 = 2
z=l
(3-204)
(3-205)
Подставим (3-204) и (3-205) в (3-196) и определим
минимум, приравнивая частные производные по соот-
ветствующим коэффициентам щ нулю. Получим п урав-
нений для определения п коэффициентов.
Основная трудность применения метода Ритца за-
ключается в том, что далеко не всегда можно составить
определенное дифференциальное уравнение для функ-
ции f(x, Xх, /), которое соответствовало бы уравнению
Эйлера.
Метод Галеркина. Метод Галеркина позволяет опре-
делить коэффициенты приближенного решения без пред-
варительного составления функционала вариационной
задачи. Согласно методу Галеркина заданное диффе-
ренциальное уравнение (3-202) можно рассматривать
как уравнение Эйлера. Предполагаемое решение
(3-204) и его производную (3-205) подставляют в функ-
цию f(x, х', t) уравнения (3-196). Затем дифференциру-
ют по коэффициентам ас
с
dJ Й г df дх' । df
dai 1 [dxf даi ’ дх dai\
to
268
Li
= [ [ £ f'i (t) + f i (0 ] dt = 0, (3-206)
^0
где x(6Zi) и x'{ai) соответствуют (3-204) и (3-205).
Интегрируя правую часть (3-206), получаем:
^-= (о Г - Г л ю Д (Д-) х
1№1 С/Л J fo J '
io
ii
xdt+ =
io
С учетом (3-203) первый член правой части равен
пулю, поэтому
~^-= [л(о ГД ГД')—Д1 dt=o.
\dai J ' v 7 [ dt ) dx J
io
Выражение в квадратных скобках под интегралом
представляет собой уравнение Эйлера (3-201), поэтому,
учитывая (3-202), получаем:
i,
(t) [X" - <р (х, х‘, /)] dt = 0. (3-207)
io
Это выражение представляет собой форму Валерки-
на уравнения Ритца. Для определения коэффициентов
приближенного решения подставляют предполагаемое
решение (3-204) и его производную (3-205) в (3-202) и
умножают его на функцию Д(^), соответствующую опре-
деляемому коэффициенту. Затем интегрируют в преде-
лах от /о до ti и приравнивают результат нулю.
Таким образом получают систему п уравнений для
определения коэффициентов ап*
Метод наименьших квадратов. При подстановке приближенного
р еш,е ни я (3-204) в (3-202) в общем случае для каждого момента
времени будет иметь место некоторая ошибка
%"—ср (%, х', /)=£(/), (3-208)
где е(/) —^отклонение предполагаемого решения от точного решения
уравнения; е(/) может быть как положительной, так и отрица-
тельной.
Если потребовать, чтобы коэффициенты приближенного решения
были выбраны таким образом, что сумма квадратов ошибок на всей
269
области интегрирования была бы минимальна, то предполагаемое
решение будет меньше всего отличаться от истинного. Для опреде-
ления п коэффициентов составляют п уравнений:
г,
д Г Г д де (t) С де (t)
J 62 W d( = ]dT Ь2 (01 j 2е (0 dt = 0.
to to to
(3-209)
Метод коллокации. Пусть требуется определить приближенное
решение (3-202) в виде комбинации функций (3-204), которая удо-
влетворяла бы краевым условиям. При использовании этого решения
(3-202) будет удовлетворяться не полностью, так как довольно труд-
но подобрать коэффициенты таким образом, чтобы правая часть
уравнения во всей области изменения независимой переменной была
равна нулю. Поэтому в общем случае правая часть уравнения будет
не равна нулю
п Г п п
)-i I y=i г=1
= Ф (#1, а2, ...» яЛ, t) zfr 0.
Однако довольно простым способом можно предполагаемое ре-
шение приблизить к истинному, если в исследуемой области от /о
до fn+i задаться конкретными точками th (точки коллокации), в ко-
торых решение точно удовлетворяло бы заданному уравнению;
п подстановок предполагаемого решения в заданное уравнение при
конкретных значениях п дает соответствующее количество уравнений;
Ф («1, а2, ...» ап, h) =0;
Ф’(Л1» ^2, •••, /2) =0;
Ф (ai9 а2, ...» ап, tn) =0.
Так как дифференциальное уравнение удовлетворяется и при
краевых условиях и при конкретных значениях tk, то можно ожи-
дать, что предполагаемое решение полностью соответствует истинно-
му решению дифференциального уравнения. В качестве точек колло-
кации (tk), например, можно выбрать точки, делящие область инте-
грирования на равные части.
Е. Другие методы исследования нелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка
Гармоническая линеаризация по Боголюбову и Кры-
лову. Метод гармонической линеаризации поясним на
примере дифференциального уравнения
f (х, dx/dt) = 0. (3-210)
270
Данное уравнение является нелинейным, причем от-
клонение от линейности определяется членом
у=/{х9 dx/dt). (3-211)
Пусть приближенное решение можно представить
в виде
х=Хт sin cot (3-212)
Тогда
dx/dt—coXw cos cot (3-213)
Подставив (3-212) и (3-213) в (3-211), получим:
[у — f (Хт sin &t9 &Xm cos co/).
Представим у в виде ряда Фурье
2 тс
у — -Д J f (Хт sin со/, &Xm COS со/) dco/
о
2тс
Д- J f (Хт sin со/, coXm cos со/) sin со/ dco/ X
2тс
0
X COS со/) COS со/ dco/ COS со/ -}-•••
(3-214)
Здесь нас интересует только основная гармоника, по-
этому высшими гармониками можно пренебречь. Из
(3-212) и (3-213) следует, что
sinco/ = л/Х^; cosco/ = (l/(oXw)dJc/d/.
Подставив эти выражения в (3-214) и сократив, по-
лучим:
2тс
фо (Хт9 со) = -Д J f (Хт sin со/, coXm cos со/) dco/;
• о
2тс
ф1 (Хт9 со) = Дг- J f (Хт sin со/, <»Хт cos со/) sin со/ dco/;
о
2 тс
ф2 (Хт9 со) = Дт- у f (Хт sin со/, соХш cos со/) cos со/ dco/.
о
271
Тогда
и дифференциальное уравнение (3-210) запишется
в виде
^+4-(ад(ад*.+ф«(ад=°- с3-215)
Таким образом, в случае приближенного решения
(3-212) дифференциальное уравнение (3-215) является
линейным. Его коэффициенты для постоянной амплиту-
ды и частоты являются постоянными величинами (ста-
ционарное периодическое решение).
Метод последовательных приближений. Метод последовательных
приближений позволяет получить относительно точное решение диф-
ференциального уравнения, если известно его приближенное решение.
Первое приближенное решение может быть получено, если на диф-
ференциальное уравнение наложить определенные ограничения.
Кратко поясним этот метод на примере уравнения вида
d2x/d/2+f W —Ат sin со/. (3-216)
Пусть %о(/)—приближенное решение этого дифференциального
уравнения. Если подставить Ло(/) в (3-216), то оно не будет точным:
d2x/dt2 = — f (хо) + Ат sin со/ = d2x0 'dt2 + г,
где г — корректирующий член.
После интегрирования получим:
х — х0 Ц- J J г dt dt. (3-217)
Если г мало, то полученное решение можно считать достаточно
точным.
3-5. ПРИМЕРЫ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
А. Свободные незатухающие колебания в нелинейной цепи
Незатухающие колебания в контуре с нелинейной индуктивно-
стью. На рис. 3-52 показан колебательный контур, состоящий из не-
линейной индуктивности и линейной емкости. В момент / = 0 ключ S
замыкается. Задача заключается в определении потока ^(Z) или то-
ка i(t) в виде функции времени. Пусть нелинейная вебер-амперная
характеристика Ч7^) аппроксимируется неполным полиномом третьей
степени
i=n4f+&4f3. (3-218)
По второму закону Кирхгофа
d& 1 С
~м+~с \г^-°
clt'1
+4* z=°-
272
Подставив (3-218) в это уравнение, получим:
^Ф
dt2
а b
— Ф + —ф3~0.
(3-219)
В момент t=Q поток имеет максимальное значение Тт. Урав-
нение (3-219) можно преобразовать следующим образом:
dtfa/Ct)2 т а \^т) ’
или, используя обозначения,
х = Ф/Фт, т = V'a/Ct = сооЛ X = Ч?2тЬ/а>
получим нормированное уравнение
d2 х • d^2 + х + Лх3 — 0.
(3-220)
Рис. 3-52.
Рис. 3-53.
При малых напряжениях кубическим членом в (3-218) можно
пренебречь (6~0). Тогда зависимость между Ф и i окажется ли-
нейной
Го = Ф/Z = 1/6Z.
Постоянная
со0 = К а/С = 1 /Y CLq
соответствует резонансной частоте при малых напряжениях (линей-
ный случай).
Незатухающие колебания в контуре с нелинейной емкостью. На
рис. 3-53 показан колебательный контур с нелинейной скоростью и
линейной индуктивностью. В момент времени /=0 контакт К замы-
кается. Задача состоит в том, что требуется определить зависимость
q(t) или u(t) в функции времени. Пусть кулон-вольтная характери-
стика аппроксимируется неполным полиномом
uc = mq+tiq3.
Тогда для данной цепи можно записать:
Ldildt+uc =0
(3-221)
или
18—447
Ldijdt + mq+nq3~Q.
(3-222)
273
Используя -соотйОше'ние i=dqldt, решим уравнение (3-5Й) отно-
сительно заряда:
№q
"di*
, tn п
^Т^ + ТЧ3-=О'
•Учитывая начальные условия q(fi)=Qm, это дифференциальное
уравнение можно представить в следующем виде:
d2(4~)/а(^~тчУ+1г+(&п-^ (4-)’-°-
\ Ч.пг JI \ г L J Цгп Ш \ Цпг /
Или с учетом того, что
х = qt Qm, т = Кm/Lt = со0/, А = Q2™ ft//ft,
получим нормированное уравнение
&х/№ + х +;U\= 0, (3-223)
которое идентично с (3-220).
При малых напряжениях в (3-221) также можно пренебречь ку-
бическим членом (/г~0). Тогда между q и ис будет линейная зави-
симость, так что
CQ = qluc = \lm.
Величина
со0 = / m/L = 1/К LCq
^.представляет собой резонансную частоту при малых напряжениях.
Точное решение дифференциального уравнения, опи-
сывающего свободные колебания в нелинейном контуре.
Уравнения (3-223) и (3-220) аналогичны и могут быть
«сведены к эллиптическому интегралу. Из (3-223) сле-
дует:
dz jd-c2 2 dz \ dz J ' dz
Интегрирование от т=0 (х=1) до т=т(х=х) дает:
(^J2=~2 J (* + te3)dx=l 4-2—л2 - 2_х*
1
или
= / (1 -л=)+4<1 -х-)=
После введения обозначений
Д=(1+Х/2), В=Х/(2+Х),
274
интегрирования
х
т_ Г 1 ________dx _
J / Л" V1 + Вх2 /1 — х2
1
и использования подстановки
х = cos у, (3-224)
dx/dy = — sin г/ = — У1 — cos2 у = — 1 — x2
получим:
У
х=__ L f - 1 х
VA J Kl+Bcos2# /Я(1+B)
о
У______________________.
xjtft//У 1 - -j^-gSin2# =
0
У
= D - f A ;-T-.= - DF (k, y). (3-225)
J VI — k2 sin2 у
0
Функция F(k, у) представляет собой эллиптический
интеграл первого рода с модулем
k = ]/В/(1-|-В)= JZZ/2 (1 4-Z).
Постоянная D равна:
1//Л + ЛВ = 1//Г+Л.
Аппроксимация характеристики Т(г) или характе-
ристики q(u) с помощью гиперболического синуса при-
вела бы к дифференциальному уравнению (3-120), ко-
торое как было показано ранее, можно также привести
к эллиптическому интегралу первого рода (3-127).
Нормированное (безразмерное) время для четверти
периода можно получить, если в качестве верхнего пре-
дела интегрирования, к которому относится х=0, под-
ставить у—п/2\
\T/4\ = DF(k, тг/2);
| Т | — 4DF (Л) = (4//T+I) F (Ух/2 (1 + Л)). (3-226)
При малых напряжениях (линейный случай, %=0),
Г0=2л. (3-227)
18* 275
Из (3-226) и (3-227) следует:
£ = Т/Т„ = (2/т; ]/T+7)F(/ Л/2 /(T+I)).
На рис. 3-54 показана зависимость £(Х). С ростом
напряжения период уменьшается.
С помощью (3-224) и (3-225) для различных значе-
ний % можно вычислить %(т) (рис. 3-55), а затем по-
строить зависимость 2=111™ из (3-218) или зависимость
z=UclUmc из (3-221), где 1т — амплитуда тока, отне-
сенная к Ym, и UmC — амплитуда напряжения на емко-
сти, отнесенная к Qm. График г(т) для Х,=3 и %=50
построен на рис. 3-55 пунктиром.
Рис. 3-55.
Приближенное решение дифференциального уравне-
ния, описывающего свободные колебания в нелинейном
контуре. Применение метода Ритца. В качест-
ве примера решим (3-219) методом Ритца. При нор-
мировании уравнения в окончательном решении может
быть не учтено влияние какого-либо параметра (напри-
мер, в решении может исчезнуть характерный пара-
метр — амплитуда, если относительно ее ведется норми-
рование). Поэтому не всегда целесообразно проводить
нормирование уравнения. Обозначив ^ = Ь1С,
4r^=dyV/dt, представим (3-219) в следующем виде:
^¥' + <^4-^ = 0. (3-228)
Уравнение (3-228) соответствует уравнению Эйлера
dF W7 ~ =0 (3-229)
для вариационной задачи
р(Ф, ЧТ, /)d/ = extr;
276
из сопоставления (3-228) и (3-229) имеем:
f (W, Ф', t) = — со%Ф2/2 - £Ф</4 + (Ф')2/2.
Тогда
т
J = -Ь J [(Ф')2 - ®2.Ф2 - ВФ*/2] dt = extr.
О
Решение является периодическим и поэтому
Чг(0)=Чг(Т)=0, (3-230)
где Т — период искомой функции.
Для g=0 решение получается в виде гармонической
функции. Если интересуются только основной гармони-
кой, то следует в качестве первого приближения задать-
ся
4ri=Gsin соЛ
Тогда
4f,i = Ci 0>C0S cof,
T=2ti:/co
J (f i) — -L J (co2f2! cos2 orf — O)2o£2i sin2 lot —
0
---Fj- sin4 соЛ dt — Г(<d2 — (o20) c\ Bc4il.
J | O l|
Экстремальное значение будет при
(3-231)
откуда
Ci = 0; Ci
О)2 --- (DS
Первому случаю соответствует тривиальное решение
ф = 0, что означает отсутствие колебаний. Во втором
случае
Ш=|Л (020 + _|_^1==f(G), (3-232)
т. е. частота контура является функцией амплитуды.
При g=0 получаем линейный случай со = соо. Вообще g>
>0 и поэтому с увеличением напряжения (большая
амплитуда Ci) частота со растет. При малых напряже-
ниях со приближается к соо-
277
Применение метода Галеркина Решим (3-228) с по-
мощью метода Галеркина. Решение Ф(/) должно удовлетворять гра-
ничным условиям (3-230). Уравнение (3-228) рассматривается как
уравнение Эйлера для определения вариационной задачи. Если огра-
ничиться только основной частотой, то приближенно можно записать:
4rI = c1 sin со/.
При подстановке этого решения в (3-207) получим:
Г/2 Г/2
Г fd*W \ С
I sin со/ Г +>20Ф+|Ф3 \ dt = \ ^sinco/ ( — co2Ci sin со/-|-
о о
+ со2оС1 sin со/ -|- £c3i sin3 со/) dt — 0;
ТС/<О 7с/<0
(со2о—со2) sin2 со/ dt + gc2i j* sin4co/d/ = O;
о 6
3
(со2© — со2) + -у £с21 = 0.
Это уравнение идентично (3-231) и приводит к тому же резуль-
тату. Если выразить потокосцепление более точно (например, Чг2=
= Ci sin со/4-с2 sin Зсо/), то, применяя указанный выше способ, резуль-
тат решения можно улучшить.
Б. Вынужденные колебания в нелинейной
колебательной цепи
Незатухающие колебания в контуре с нелинейной
индуктивностью. Для цепи с нелинейной индуктивностью
и линейной емкостью, соединенных последовательно
с источником синусоидального напряжения с частотой
со (рис. 3-56), дифференциальное уравнение имеет вид:
idt = Em sin со/ = kEmo sin со/, (3-233)
где Em=^EmQ; EmQ— опорная амплитуда; k — числовой
коэффициент. Если (3-233) продифференцировать по
времени и вебер-амперную характеристику аппроксими-
ровать неполным полиномом третьей степени (3-218), то
получим:
Ч** 4- Ф8 = <nEm cos Ы = MEто cos со/. (3-234)
После введения обозначений:
ю0 = ]/а/С; 1Fo = <o£’/no/<»1o; а = со/<о0 (3-235)
dw 1 г
dt с J
278
(3-234) примет вйд:
Q ^COotJ *0 \ •*-0 J
Рекомендуется в качестве
ный поток (точка в области
ки), которому соответствует
Wo выбирать максималь-
насыщения характеристи-
максимальная амплитуда
Рис. 3-56.
Рис. 3-57.
Emo. При этом коэффициент k может принимать значе-
ния от 0 до 1. Вводя нормированные величины:
’=»•' о-237»
получаем:
d2x/dz2 -j- х Лх3 = k cos ат.
(3-238)
Это уравнение представляет собой известное диффе-
ренциальное уравнение Дуффинга.
Незатухающие колебания в контуре с нелинейной
емкостью. Для цепи с нелинейной емкостью и линейной
индуктивностью, соединенных последовательно с источ-
ником синусоидального напряжения с частотой со
(рис. 3-57), дифференциальное уравнение имеет вид:
L di/dt Emsin(u>t -р ^/2) — Ет cos <*t = kEmQ cos со/.
(3-239)
Учитывая (3-221) и соотношение i=dq/dt, получаем:
После введения обозначений:
со0 = /77/L, Qo —- Ет0/т20Е
(3-239) примет вид:
d2 (q/Qo) \ д \ п П2 ( д \з_,
d "П Qo ’ т 4 0 ( Qo J
279
Введя нормированные величины:
q j.
Л = 75-; т = а)ог;
Чо
(3-241)
получим нормированное уравнение* которое является
идентичным с (3-238).
К дифференциальному уравнению Дуффинга (3-238)
в этой форме или в его расширенной форме с членом
затухания (§ 3-5) приводится достаточно большое ко-
личество различных колебательных схем, если характе-
ристика нелинейного элемента аппроксимируется с по-
мощью зависимости
Составленные в виде таблиц схемы с линейными и
нелинейными элементами, которые приводятся к урав-
нению Дуффинга, приведены в конце книги.
Исследования уравнения Дуффинга. Первое при-
ближение. Определение амплитуды основ-
ной частоты. Так как в описанных выше целях имеют
место незатухающие колебания, решение (3-238) можно
искать в виде
x=Aw cos ат.
Тогда
dx/dz =. — аХт sin ат; d2x<dz2 = — а2Хт cos ат.
Подставим эти соотношения в (3-238) и учтем, что
cos3 ат = 3/4 cos ат J/4 cos Зат,
тогда получим:
(—а2Хт -|~ Хт + 3/4ЛХ%) cos ат ikXzm cos Зат = k cos ат.
Сопоставление коэффициентов при пренебрежении
слагаемым, содержащим третью гармонику, дает:
(1—а2) X™+3XXW4 = k, (3-242)
Это уравнение третьего порядка относительно Хт, из
которого может быть определена искомая амплитуда
Хт. Сравнительно просто оно решается графически.
Введя обозначения:
(а2— 1)Хт+Л
Z/2-3WW4,
280
решим эту систему уравнений, как показано на рис. 3-58.
Первое уравнение представляет собой прямую, второе —
кубическую параболу. Для 0<а<а7 получается единст-
венное решение, при а=а'— два решения, а при а>
>а7— три. Кроме того, решение зависит от параметров,
определяющих вид параболы. На рис. 3-59 показаны
графики зависимости амплитуды ]XW| от а для % = 0 и
Х>0. В первом случае мы имеем хорошо известную ре-
зонансную кривую для линейной колебательной цепи,
а во втором — резонансную кривую, соответствующую
нелинейной колебательной цепи.
На рис. 3-60 показано семейство резонансных кривых
|^Gn|—/(а) для различных значений k. Все кривые рас-
полагаются вблизи кривой, соответствующей (3-242) при
k=0:
a2^1+3/4^w. (3-243)
При £>0 резонансные кривые расширяются, а пара-
бола, соответствующая (3-243), остается в качестве оси,
к которой стремятся резонансные кривые при а—>оо.
Применение метода последовательных
приближений для определения амплиту-
ды третьей гармоники. После определения
амплитуды основной частоты, используя метод последо-
вательных приближений, можно определить амплитуду
третьей гармоники. Подставляя
Xi=Xiwcosat
в уравнение Дуффинга, представленного в виде
d2xjdx2= — х—Кх3+к cos ат,
281
получаем:
d2x/dz2 = — Xlm cos ат — ЛХ*1гп cos3 ат k cos ат =
= — Xim cos ат — (3/4 cos ат -|- 7* cos Зат)
cos ат = [Л — (1 — a2)Xltn — 3/4Л%314 cos ат —
— a2Xlm cos ат — ’/^Xzlm cos Зат.
Согласно (3-242) выражение в квадратных скобках
равно нулю, поэтому:
d2x/dz2 — — а2Хгт cos ат---h-X91Jn cos Зат;
х = Xlm cos ат’-}-^^3!^/36а2) cos Зат.
Постоянная интегрирования равна нулю, так как
т
х0 =-у- Jxd/ = 0.
о
Отсюда следует, что
Х3 = (ZJV3lw/36a2) cos Зат ==Х^т cos Зат,
где
Х8т = XX^im/ 36а2.
Затухающие колебания в контуре с нелинейной ин-
дуктивностью. На рис. 3-61 показана цепь, содержащая
нелинейную индуктивность, линейную емкость и сопро-
тивление. Цепь подключена к источнику синусоидально-
го напряжения. Процесс в цепи описывается уравнением
= sin (со/ 4- <р) --- kEmo sin (со/ ?), ’
где ср — сдвиг фаз между приложенной к цепи э. д. с. и
потоком, который характеризуется наличием потерь,
282
Продифференцируем уравнение цепи по времени
d2W/di2 + R di/dt + i/ С = k^Em. cos (^ -ф- ?).
Из (3-218) имеем:
dt ~d4* dt ) dt
Учитывая это соотношение, получаем:
+Ra(\ 4-
а J dt С
ЦГз — kwEmz COS (со/ -ф- <?).
Используя принятые выше обозначения для (3-235),
находим:
d2x/ dt? —|— 26 (1 -ф- ЗЯ^;2) dx/ dt —ф* х -ф- Ях3 —
— k cos (ат -ф- <р) — ki cos ат — k2 sin ат,
где &i = &cos(p; kz=k sin tp; 2б = /?а/соо.
Для того чтобы получить общее
представление о решении этого урав-
нения, пренебрежем вторым слагаемым
в скобках при первой производной.
Тогда получим расширенное уравнение
Дуффинга (уравнение Дуффинга с чле-
ном затухания) Рис. 3-62.
Uc(q)
L
d2x/ dz2 -ф- 28 dx/ t/т —|— x -ф- = k cos (ат -ф- ?) =
= ki cos ат — k2 sin ат, (3-244),
которое решается относительно просто.
Затухающие колебания в контуре с нелинейной1
емкостью. На рис. 3-62 показана цепь, содержащая не-
линейную емкость, линейную индуктивность и сопротив-
ление, которая подключена к источнику синусоидально-
го напряжения.
По второму закону Кирхгофа
L di/dt -ф- Ri -Jruc = Efn cos (со/ ?).
Учитывая кулон-вольтную характеристику согласно
(3-221) и соотношение i = dq/dty получаем:
^+т-1+т’+^=т'“Н+«=
=^»COS(orf + ?).
283
Используя обозначения
28 = /?/Lo)o, k\-\-k22 = k\
получаем (3-244).
Решение расширенного уравнения Дуффинга. Пусть
решение расширенного уравнения Дуффинга имеет вид:
x=Xmcos ат.
Тогда
dx/dx = — аХт sin ат;
d2x/ dx2 = — а2Хт cos ат.
Подставим эти соотношения в (3-244)
— а2Хт cos ат — 2ЬаХт sin ат -ф- Хт cos ат -ф-
-ф- 1Х*т^4 cos ат -ф-х/4 cos Зат) = ki cos ат — k2 sin ат.
Если третьей гармоникой можно пренебречь, то,
группируя все члены, содержащие cos ат или sin ат, по-
лучаем два уравнения
—а2Хт—|— Хт3/4ZX3m—. ki*9 2ЪХта—k2. (3-245)
С учетом того, что k2i-\-k22==k2,
[(1 - а2)Хт + 3/ДХ3т]2 + [25аХ^2 = Л2. (3-246)
При 6=0 уравнение (3-246) превращается в (3-242).
На рис. 3-63 показаны графики зависимости амплитуды
от а, т. е. |Хгп|=/(а). На
Рис. 3-63.
рис. 3-63 представлены ли-
нейный случай (%=0), кото-
рому соответствует извест-
ная резонансная кривая, и
нелинейный случай (%>0),
причем построение выполне-
но для 7? = 0 (затухание от-
сутствует) и для Л>0.
Изгиб резонансной оси в
нелинейном случае можно
объяснить следующим образом. При частотах, меньших
резонансной, амплитуды колебаний малы. Это соответ-
ствует как бы большой эквивалентной индуктивности
(L = 4rm//m), для которой резонансная частота (соо=
— имеет малое значение. С увеличением ча-
2 84
стоты эквивалентная индуктивность уменьшается, а ре-
зонансная частота возрастает. В результате получаются
малые амплитуды, как в линейном случае. Наличие по-
терь (затухания) обусловливает аналогичные соотноше-
ния, как и в линейной цепи. Амплитуда колебаний не
может расти неограниченно, и поэтому частотная харак-
теристика не уходит в бесконечность.
285
ТЯа рис. .3-64 изображена номограмма, соответствую-
щая (3-246) для k=A. Номограммой пользуются следу-
ющим образом. Сначала задаются постоянными значе-
ниями Z и б. Затем, задаваясь некоторыми значениями
а (например, «2, аз и т. д.), составляют соответст-
вующие произведения аб. На номограмме построены
286
кривые, соответствующие разным значениям аб. Далее
соединяют заданное значение X с выбранным значением
а и, найдя точку пересечения этой прямой с кривой аб,
считывают соответствующее значение Хт. Таким обра-
зом, для заданных параметров X и б получают зависи-
мость нормированной амплитуды от нормированной ча-
стоты ] Хт | —f (а).
На рис. 3-65 представлена подобная номограмма»
для случая 6 = 0, т. е. незатухающего колебательного?
контура.
Явление скачка. На рис. 3-66 показана в общем слу-
чае резонансная кривая для нелинейной цепи с сопро-
тивлением. В этой цепи 'возможно
скачкообразное изменение ампли-
туды. Если, например, а увеличива-
ется, то значение амплитуды Р воз-
растает по мере движения по резо-
нансной кривой до тех пор, пока зна-
чение амплитуды не достигает точки
Рь Здесь произойдет скачок ампли-
141
Рис. 3-66.
туды до значения, соответствующего
точке Р2; при дальнейшем увеличении частоты происхо-
дит медленное уменьшение амплитуды по нижней резо-
нансной кривой.
Если теперь уменьшать а, то амплитуда медленно
будет возрастать до точки Р*. Здесь произойдет скачок
амплитуды до большого значения, соответствующего
точке Р4. При дальнейшем уменьшении а изменение
амплитуды соответствует верхней ветви резонансной
кривой.
Зависимость |XW| = f(k) при a=const также обна-
руживает известную область многозначности. Эта зави-
Рис. 3-67,
237
симость может быть получена из рис. 3-67, на котором
изображены резонансные кривые для различных значе-
ний коэффициентов амплитуды — от ki до kG, причем
^1<^2<^з<‘^4<^5<^6. Значение а, которому соответст-
вуют верхние точки скачка, обозначим через с/, а ниж-
ним точкам скачка — через а". При малых амплитудах
(кривая ki) а'<а", при определенной амплитуде (кри-
вая k2) az = a,z=uo и при больших амплитудах (кривые
k3—ke) Рабочая частота должна быть выбрана
таким образом, чтобы az=azz>la0.
Если теперь при постоянном зна-
чении a=icci величина k непрерыв-
но увеличивается от kx до fe6, то
амплитуда X™, непрерывно растет
до касания кривой в нижней точ-
ке скачка с перпендикуляром из
я* (кривая k$). Здесь происходит
скачок амплитуды Хт до значе-
ния, соответствующего верхней
части кривой k5. При дальнейшем увеличении k ампли-
туда непрерывно возрастает.
Если теперь уменьшать k, то сначала Хт непрерывно
падает до касания кривой в верхней точке скачка с пер-
пендикуляром из «1 (кривая k3). В этом месте произой-
дет скачок амплитуды Хт до значения, соответствующе-
го нижней части кривой k3. При дальнейшем уменьше-
нии k амплитуда Хт монотонно уменьшается.
На рис. 3-68 показан график изменения Xm=f(k) при
a=ai=const. При ai<ao многозначность характеристи-
ки отсутствует.
Часть характеристики с отрицательной крутизной,
показанная пунктиром на рис. 3-68, неустойчива (§ 3-6),
поэтому при расчетах эта часть характеристики может
быть исключена из рассмотрения.
Решение расширенного дифференциального уравне-
ния Дуффинга на амплитудной плоскости. Рассмотрим
полное решение расширенного уравнения Дуффинга,
представленного в виде:
d2x/dx2 Д- 2bdx/dz + + Лх* = k cos та (3-247)
методом Ван-дер-Поля и произведем оценку результа-
тов на амплитудной плоскости.
Пусть решение имеет вид:
х(т)=а(т) sincrc + &(T) cos ат. (3-248)
288
С учетом приближений, принятых в § 3-4 для про-
изводной %, получим:
ах у •
— = аа cos ат — ab sin ат;
dx
^== 2а 4^- cos ат — 2а ~ sin ат — а2 а sin ат — azb cos ат.
dx2 dx dx
Подставив эти соотношения в (3-247) получим:
2а .4— cos ат — 2а sin ат 4- а (1 — а2) sin ат 4-
fdx dx 1 7 *
-ф- b (1 — а2) cos ат -ф 2оаа cos ат — 28afe sin ат -ф
4- Я (а3 sin3 ат -J- За26 sin2 ат cos ат -ф
-ф 3ab2 sin ат cos2 ат -ф b3 cos3 ат) = k cos ат,
а после преобразования
[2а-^-4-6(1 - аг) + 28аа4-4Яа^ +
+ф Z&’] cos ат + J" - 2а ~-\-а (1 - а2) - 28а6 +
4—Яа3 4- 4 Яа&21 sin ат = k cos ат.
1 4 1 4 J
Приравнивание коэффициентов при одинаковых три-
гонометрических функциях дает систему уравнений:
Эти уравнения аналитически неразрешимы. Однако
для них может быть составлена программа на АВМ.
С помощью АВМ могут быть определены кривые на
амплитудной плоскости, если решение будет представ-
лено в координатах а—b для различных начальных
условий.
На рис. 3-69 показана расчетная схема, а на
рис. 3-70 — результаты: на амплитудной плоскости четко
видны три сингулярные точки, среди которых точки 1
и 2 соответствуют устойчивым стационарным колеба-
ниям, а седловая точка 3 — неустойчивым (пунктирная
область на рис. 3-68).
19—447 289
Рис. 3-69.
Рис. 3-70.
В. Дифференциальные уравнения Ван дер Поля
и Рэлея
Дифференциальное уравнение Ван дер Поля. Многие
устройства нелинейной электротехники (например, лам-
повый генератор, мультивибратор, устройства, содержа-
щие отрицательное сопротивление, колебательные цепи)
могут быть описаны дифференциальным уравнением
вида
d2x/dt2 — а (1 — х2) dx/сИл^- и>20х — О
или
d2x/dz2 — s (1 — л2) dx/ dz + х = 0, (3-249)
где 8=а/соо; т.= соо^-
Это уравнение известно под названием дифференци-
ального уравнения Ван дер Поля. Ниже проведено ис-
следование этого уравнения.
Решение уравнения Ван дер Поля с помощью мето-
да фазовой плоскости. Введем обозначение
y = dx/dx=^P (х, у) (3-250)
и подставим его в (3-249)
dz//6fc = s(l — х2)у — x = Q (xf у). (3-251)
Разделив (3-251) на (3-250), получим:
dy/dx = [е (1 — хг)у — х]/у = Q (х, у)/Р (х, у),
т. е. уравнение фазовой кривой.
Для применения метода изоклин положим, что
dy/dx=m—const. Разрешив уравнение относительно у,
получим уравнение изоклин:
у — х/[г (1 — х2) — т].
Затем, задаваясь различными значениями т, строят
изоклины, которые изображены на рис. 3-71 для кон-
кретного значения е=0,2. Все изоклины проходят через
начало координат. Характерной особенностью решения
уравнения Ван дер Поля является то, что существует
частное решение, которое на фазовой плоскости пред-
ставляет собой замкнутую кривую. Возможность суще-
ствования такого предельного цикла вытекает из кри-
терия Бендиксона. Учитывая (3-250) и (3-251), получаем
19* 291
Из (3-153):
5 = дР/дх + dQ/dy = е (1 - х*),
т. е. (3-153) меняет свой знак.
Поэтому предельный цикл существует в любом слу-
чае и не зависит от начальных условий. Характер этой
Рис. 3-71.
замкнутой кривой определяет-
ся лишь параметрами диффе-
ренциального уравнения (на
рис. 3-71 форма граничной кри-
вой похожа на окружность).
Эта кривая соответствует уста-
новившемуся периодическому
процессу. Если точка на фазо-
вой плоскости, соответствую-
щая начальным условиям, на-
ходится вне этой кривой (точка
Р2), то фазовая траектория ре-
шения свертывается внутрь.
Если же начальная точка рас-
положена внутри граничной кривой (точка Л), то фазо-
вая траектория представляет собой развертывающуюся
спираль. В любом случае в установившемся состоянии
достигается предельный цикл, который характеризуется
замкнутой кривой.
Амплитуда установившегося состояния соответствует
точке пересечения граничной кривой с абсциссой (х=2
при £ = 0,2).
Исследование колебаний методом Ван дер Поля.
Найдем решение (3-249), предположив, что 8<С1. Для
случая 8=0 решение имеет вид:
х=А Sint,
где амплитуда А — медленно изменяющаяся функция
времени а(х}:
х = а sin т.
Так как система автономная, не следует учитывать
фазу, отчего член с cos г отсутствует. Тогда
dx , da .
a cos т «4- — sm т;
dt 1 d't ’
d2x da . da । d2a .
— ==- asinT-b-T-cosT-f- -j-cosT-k -~r--sinx.
‘ат 1 dz ‘ dx2
292
Так как а(т)—медленно изменяющаяся функция
времени, имеем:
daldx<£.a\ d2aldx2<^idaldx. (3-252)
Поэтому приближенно можно считать:
dx/dt « a cos т; d2x/du2 2 (da/dz) cos т — a sin т.
С учетом этого уравнение Ван дер Поля принимает
вид:
cosт = (1 — a2 sin2t)ncost = -^- cost —
dx 2 v 7 2
ea3 I ea3 । ea3 o
—Г- COS T -4- — COS T 4- -Q- COS 3t =
4 1 о 1 о
ezz f * 1 । e q
=-?r 1----г я cos т 4--^- as cos 3t.
2 4 ] 1 о
Равенство коэффициентов при соответствующих три-
гонометрических функциях при пренебрежении третьей
гармоникой дает:
^- = ^(1-4-^). (3-253)
Уравнение (3-253) решают с помощью подстановки:
1 „ da da dz 2 dz
2 —= — a2 * — =---=------
4 ’ dx dz dx a dt ’
отсюда
1 fl2\ = sz(l-2);
dx 4 4 J 4 n
f //Z + Kl = In -^-r.
J z (1 —- z) 1 z — 1
В результате получим:
2==1/(1+ке-"),
откуда следует для амплитуды
а(т) = 2 Vz = 2 / 1+Де~" . (3-254)
Окончательное решение имеет вид:
х (т) = (2 / ]/ 1 4-/<e“6j sin Т. (3-255)
Постоянная интегрирования определяется из началь-
ных условий. Амплитуда в установившемся состоянии
при т=оо равна:
Хт=2.
293
Из (3-255) видно, что установившееся состояние на-
ступает тем. быстрее, чем больше е. Это также показано
на рис. 3-73.
Решение дифференциального уравнения Ван дер
Поля на амплитудной плоскости. Для решения (3-249)
на амплитудной плоскости для случая 8<С 1 воспользу-
емся полным решением:
х (т) = а (т) sim; -j- b (т) cos т.
С учетом приближений (3-252) для производных х
получим:
dx/d/t = a cos т — b sin т; (3-256)
d^x_____0 dd л db • • t 0 r“r-r\
— 2 cos т — 2 sin т — a sm т — b cos (3-257)
Подставив (3-256) и (3-257) в (3-249), получим:
(—2db[dz — a -}-a) sim;4“ (2dfl/dz — b4- ty cos г
— s (1 — a2 sin2 т — 2ab sin т cos т — b2 cos2 т) X
X (fl cos t—b sin t) = 0.
Разложение степеней и составляющих по sin г и
cost на функции многих аргументов относительно со-
ставляющей основной гармоники дает:
0 db • I о da f 1 1 у _ \.
— 2 -г- sm т 4- 2 -г- cos т — е а-^а3 — -т- а&2) X
dz 1 dz 14 4 у
Xcos т; 4~ s ---Ь3-----~ a2b^ sin т — 0.
Если в этом уравнении провести сравнение коэффи-
циентов, то получим:
^-=—|~(^ + ^-4)а = Р(а, &); (3-258)
-g-= - (а2 + Ь* - 4) b = Q (а, Ь). (3-259)
Разделим (3-259) на (3-258) и получим уравнение
кривых на амплитудной плоскости Ь(а):
db/da = (а2,+ & - 4) Ь/ (а* + Ь* - 4) а. (3-260)
Уравнение (3-260) обладает сингулярными точками
а2-}-&2=:4; г = l/a24-62 — 2.
294
т. е. сингулярные точки лежат на р
окружности с радиусом г=2, ко-
торый соответствует амплитуде \ ,, /
стационарного решения диффе-
ренциаль'ного уравнения Ван дер \ /
Поля для случая е<С1. Окруж- < *
ность с сингулярными точками на "Т /у
амплитудной плоскости показана / \/х
на рис. 3-72.
Вне сингулярных точек '(3-260) / \
переходит в простую форму *
dblda = bla
с решением
b=ka. (3-261)
Следовательно, кривые на амплитудной плоскости
являются прямыми с нулевой точкой, наклон которых k
зависит от начальных условий:
6 = 6(0)/а(0).
Окружность на рис. 3-72 не является кривой движе-
ния на амплитудной плоскости, и поэтому не следует
ее смешивать с предельным циклом.
Временная зависимость амплитуды а(х) может быть
определена из (3-258) и (3-259) с учетом (3-261). Из
(3-258) и (3-261) следует:
у (а* _ 4) а = [ 1 - -L (1 + Л2) а2 ].
Это уравнение для Л = 0, т. е. 6(0) =0, идентично
с (3-253) и имеет в этом случае решение (3-254).
Дифференциальное уравнение Рэлея. Дифференциальное урав-
нение Рэлея получается из уравнения Ван дер Поля путем соответ-
ствующей замены переменных. Пусть
Г dy dx d2y
y=\xdf, x=-^;
&y
di2 di? ’
(3-262)
тогда
d*y __ Г (dy У] d2y t dy___________
di? S L dx у J dr2 cfc *
d*y Vd2y _d2y) (dy V] , dy
di? ~e \j№ di2 \di J di
295
Интегрируя каждое слагаемое по т, получаем:
d2y
с№ е
\dy____1_ /dy VI
[ dz 3 ( dT) J + у + k = °-
(3-263)
Если постоянная интегрирования k равна нулю, то получают
дифференциальное уравнение Рэлея
d2y \dy 1 fdy\*}
—6 [дГ 3 \dz ) J + y = °-
Это уравнение по отношению к уравнению Ban дер Поля имеет
то преимущество, что нелинейное слагаемое содержит только произ-
водную, а не две переменные х и ее производную.
Решение уравнения Рэлея с помощью метода Льенара. С уче-
том соотношения
d2y dx _dx dy dx
dz* dz dy dz ~~ x dy
уравнение Рэлея примет вид:
dx Г 1 1 ,
х зу-е[х-_з_х3|+^=°;
или если введем обозначение
f (х) = —8 (х—х3/3),
получим:
dx/dy=-[y+f (х) ]Jx. (3-264)
На рис. 3-73 показан предельный цикл на фазовой плоскости
в соответствии с (3-264), построенный с помощью метода Льенара
для двух случаев: 8 = 0,2 и 8 = 5 при различных начальных условиях
(Pi для 8 = 0,2 и Р2, Рз и Р4 для 8 = 5). Функция —f(x) при х = 0
и х=±Кз проходит через нуль и при х=±1 имеет максимальное
значение
/макс — + 2/зе«
Чем больше 8, тем больше отклонение решения от линейного
случая,
296
Исследование дифференциальных уравнений Ван дер
Поля и Рэлея с помощью АВМ. Уравнения (3-249) и
(3-263) связаны между собой зависимостью из (3-262).
Если решение (3-249) х(т) известно, то с помощью про-
стого интегрирования
У (т) = / х (т)
(3-265)
можно получить решение уравнения Рэлея, и наоборот.
Исследование (3-249) целесообразно проводить на
ЛВМ следующим образом. Сначала один раз продиф-
ференцировать уравнение по т, в результате чего полу-
чится интегро-дифференциальное уравнение:
+ (3-266)
о
Если постоянную интегрирования положить равной
нулю (& = 0), то дифференциальное уравнение относи-
тельно старшей производной запишется в виде
(3-267)
и
Затем для (3-267) можно составить структурную
модель, построенную из отдельных решающих элемен-
тов’(рис. 3-74). Зависимая переменная х в АВМ соот-
ветствует напряжению и. независимая переменная —
времени т.
Построение структурной модели начинается с пер-
вой производной зависимой переменной (точка 1). За-
тем после интегрирующего звена Л получаем точку 2
с напряжением и, пропорциональным отрицательной
297
Рис. 3-75.
Рис. 3-76.
Функции х. После второго интегрирующего звена /2 по-
лучаем — J и dz. С помощью двух множительных
устройств Mi и М2 получаем третью степень зависимой
переменной. Эти два члена вместе с и поступают в сум-
матор S, причем предварительно каждый из них умно-
жается на соответствующий коэффициент си, а2 и аз.
Таким образом, данная структурная модель воспроиз-
водит заданное дифференциальное уравнение.
Если точку 2 подсоединить к осциллографу, то на
его экране получим зависящую от времени функцию
х(т), представляющую собой решение уравнения. При
^том следует учитывать масштабные коэффициенты.
Если точки 1 и 2 подать на осциллограф, то на его экра-
не получим кривую, представляющую собой решение
уравнения на фазовой плоскости.
Для решения (3-263) также можно воспользоваться
данной структурной моделью. Решение в виде фазовой
траектории получим, если точки 2 и 3 подать на вход
осциллографа.
• На рис. 3-75 показаны полученные с помощью АВМ
осциллограммы переходного процесса в виде фазовых
траекторий для уравнения Рэлея с нулевыми началь-
ными условиями z/(0)=0 для случаев 8 = 0,2, 8=1 и
298
Рис. 3-78.
8=5. На рис. 3-76 показан переходный процесс у(х) &ля.
8=0,2, 8=1 и 8=5 (точка 3 структурной модели на
рис. 3-74). Решение (3-249) на фазовой плоскости для
тех же значений 8 и начальных условий я(0)=0 пока-
зано на рис. 3-77,а—в. На рис. 3-78 показан переходный
процесс x=f(т) для тех же значений 8 (точка 2).
На АВМ можно просто и быстро получить решение
как уравнения Ван дер Поля, так и Рэлея.
3-6. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
А. Положения Ляпунова об устойчивости
линеаризованной системы
Введение. Анализ устойчивости связан с определе-
нйем условий равновесия. В линейных цепях (системах)
существует только одно состояние равновесия, в резуль-
тате которого токи и напряжения, изменяющиеся во
времени, приближаются к состоянию покоя или перио-
дическому движению с частотой источника периодиче-
ской э. д. с. или тока. В нелинейных цепях (системах)
может наблюдаться такое состояние цепи (системы),
при котором невозможен установившийся режим. Доста-
точно малого возмущения, чтобы начался переходный
процесс, который приведет цепь к новому состоянию рав-
299
новссия. Поэтому в нелинейной электротехнике при рас-
чете подобных цепей необходимо проводить исследова-
ние на устойчивость.
Если достаточно малое возмущение (независимо от
того, какими причинами оно вызвано) приводит к от-
клонению режима от исходного (установившегося) со-
стояния или от невозмущенного движения, то говорят
о нестабильности или неустойчивости положения равно-
весия или возмущенного движения.
Если режим цепи после прекращения возмущения
возвращается в свое исходное состояние, то такой ре-
жим называют устойчивым.
Исследованию вопросов устойчивости посвящено
много работ. Широко известны первые работы в этой
области Лагранжа, Рауса, Томсона, Тейта, Жуковского
и Пуанкаре. Значительным вкладом в теорию устойчи-
вости явилась работа выдающегося русского математи-
ка А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости дви-
жения» (1892 г.), которая еще и сегодня представляет
собой основу всех исследований в этой области. Иссле-
дуя нелинейные задачи небесной механики, А. М. Ляпу-
нов доказал несколько теорем, решающих в общем виде
задачу устойчивости. Он показал, что при малых откло-
нениях от состояния равновесия правильное суждение
об устойчивости можно получить, используя линеариза-
цию нелинейного уравнения, т. е. замену нелинейной
характеристики касательной в точке предполагаемого
решения.
Общие положения теории устойчивости по Ляпунову
с учетом новых достижений изложены в монографии
И. Г. Малкина «Теория устойчивости движения».
Определение устойчивости и асимптотической устой-
чивости. Поведение любой физической системы обычно
описывается дифференциальным уравнением n-го по-
рядка, которое всегда может быть преобразовано в си-
стему п дифференциальных уравнений первого порядка
в виде
dyv/dt=Yv(t, уи у2,..., yfl); v—1, 2, 3,..., п. (3-268)
В случае электрической цепи у^ являются какими-
либо переменными, связанными с движением, т. е.
с временным протеканием процесса, как, например, на-
пряжением, током, зарядом, потоком или производными
от этих величин.
300
Частному решению = уравнения (3-268) соот-
ветствует частотное движение системы, которое мы на-
зовем невозмущенным движением в противоположность
другому движению, которое обозначим как возмущен-
ное движение. Различие значений возмущенного и не-
возмущенного движений отметим как возмущение.
А. М. Ляпунов дал следующее определение устойчи-
вости: невозмущенное движение называется устойчивым
относительно величины у*, если для всякого небольшо-
го положительного числа 8 может быть найдено другое
такое число б (в), чтобы для всех возмущенных движе-
ний yv = yv (/) для начального момента времени
выполнялось неравенство
(З-269)
а при всех последующих моментах времени />А) было
действительно неравенство
\у^~Ш\<*-
(3-270)
В противном случае невозмущенное движение не-
устойчиво. Из данного определения устойчивости дви-
жения получается устойчивость точки равновесия для
частного случая, когда все — т. е. являются
постоянными величинами. Более жестким, чем только
что данное определение устойчивости, является опреде-
ление асимптотической устойчивости. Невозмущенное
движение обозначается как асимптотически устойчивое,
во-первых, если оно устойчиво в смысле вышеуказанно-
го определения и, во-вторых, если можно выбрать число
б такое, чтобы для всех возмущенных движений, кото-
рые удовлетворяют (3-270), дополнительно выполнялось
условие
Нт ^(/)- Ш = 0. (3-271)
>оо
Другими словами, это означает, что при возмущен-
ном в начальной точке времени t=t0 асимптотически
устойчивом движении возмущения не только остаются
внутри определенной границы е, как при нормальной
устойчивости, но и дополнительно с течением времени
затухают к нулю,
301
Итак, невозмущенное движение устойчиво, если воз-
мущенное в начальной точке времени движения прохо-
дит в его непосредственной окрестности и не покивает
определенную соседнюю область. Оно асимптотически
устойчиво, если возмущенное движение асимптотически
стремится к невозмущенному.
Наряду с приведенным определением устойчивости,
которое называется также «устойчивостью в малом»,
в последнее время пользуются понятиями «асимптотиче-
ской устойчивости в большом» и «асимптотической
устойчивости в целом», которые характеризуют поведе-
ние движения по отношению к большим начальным воз-
мущениям. В соответствии с этим движение называют
асимптотически устойчивым в большом (или в целом),
если оно устойчиво, и условие (3-270) выполняется для
всех начальных возмущений у (to)—f (to) из определен-
ной большой области G (или для произвольных началь-
ных возмущений). Устойчивость в большом имеет суще-
ственное значение в некоторых случаях нелинейной
электротехники (например, при исследовании поведения
многоустойчивых релаксационных схем при действии
триггерных импульсов). В большинстве практических
задач производится исследование устойчивости в малом.
Этот вопрос и рассматривается в дальнейшем.
Дифференциальные уравнения возмущенного движе-
ния. Для исследования устойчивости движения целесо-
образно ввести новые переменные:
= v=l, 2,..., zz, (3-272)
где fv (f) — частные решения (3-268); — возмущения.
Продифференцировав (3-272) по времени, и учтя
(3-268), получим:
dx)dt = Yv(tf -Х2Ч—[— fs, ... хп—fn) —
н -У (Л Л, fn) (3-273)
или сокращенно
dxjdt^X^t, xl9 x2,..., xn)\ v=l, 2,..., n. (3-274)
Полученные таким образом уравнения называются
дифференциальными уравнениями возмущенного движе-
ния. Каждому движению рассмотренной системы соот-
ветствует частное решение (3-274). В частности, невоз-
302
Мущенному движению соответствует тривиальное решё-
ние ^i=x2= ... =хп=0, при котором функции Х^ (t9
Xi, Хг\ ..хп} также становятся тождественными нулю
согласно (3-273).
Уравнения первого приближения. Для
большинства задач исследования устойчивости жела-
тельно правые части (3-274) разложить в ряд по степе-
ням xv. Так как Х(/, 0, 0, ..0) =0, в разложение не
попадают свободные члены и можно записать:
dt — + nv2x2... + (\пХп '
4”^У(Л ..., Хп}, (3-275)
где v=l, 2, 3, n; X — сокращенная запись для всех
членов, которые относительно возмущений имеют
порядок выше, чем единица.
Во многих случаях, если начальные значения возму-
щений малы, при исследовании устойчивости можно
пренебречь членами высшего порядка и рассматривать
линеаризованную систему уравнений
dxJdt = a^x1-\-av2x2-]-^^avnXn, v=l, 2,... , /z. (3-276)
Эту систему называют системой уравнений первого
приближения. Вопрос о возможности суждения об
устойчивости или неустойчивости первоначальной нели-
нейной системы из рассмотрения уравнений первого при-
ближения, т. е. линеаризованной системы уравнений
возмущенного движения, впервые был рассмотрен
А. М. Ляпуновым для всех случаев исследования
(3-275). При этом указанные и доказанные им положе-
ния об устойчивости линеаризованной системы получа-
ются из общей теоремы Ляпунова об устойчивости и
неустойчивости.
Теорема устойчивости на основе первого приближе-
ния. Методы исследования устойчивости были разделе-
ны Ляпуновым на две категории.
Первый метод. Устойчивость и неустойчивость
разрешается на основании непосредственного исследова-
ния уравнений возмущенного движения. При этом тре-
буется определение общего или частного решения
системы уравнений возмущенного движения. Однако это
удается в редких случаях.
303
_ Второй метод. Решение системы уравнений ;воз-
мущенного движения не требуется. Метод состоит р со-
ставлении определенной функции от t, х±, х2, . ,хп
с особыми свойствами (функции Ляпунова), из пове-
дения которой и поведения ее производной по времени
в окрестности нуля можно сделать вывод об устойчиво-
сти или неустойчивости движения [Л. 14].
Вытекающие из метода Ляпунова положения дейст-
вительны для стационарных, установившихся состояний
или движений, при которых функции в (3-274) или
функции в (3-275) не зависят от времени /. Коротко
поясним вопрос об устойчивости непосредственно линей-
ной системы, исследование которой возможно без второ-
го метода Ляпунова более простым способом.
Рассмотрим линейную систему дифференциальных
уравнений:
dxjdt == aAXi 4- av2x2’-]-... + а,пхп; v = 1,12,..., n(3-2 77)
с n дифференциальными уравнениями первого порядка
с постоянными коэффициентами.
Решение этой системы хорошо известно из общей
теории дифференциальных уравнений.
Введем подстановки:
Х=Сеи\v=l, 2,п (3-278)
и соответствующие им производные в (3-277) и после де-
ления на =£ 0 получим алгебраическую систему урав-
нений:
(#ц Л) Ci —j- П12С2 #1зСз —... —cL\nCn:==- 0;
#2iCi —(— (#22 ty С2 -р #2зСз *ф- •• • -f- а2ПСп = 0*, (3-279)
#/ziC*i -[—#/226/2 -ф- (insCs "ф~ ••• ~ф~ (#/ш — Я) Сп = 0.
. Эта система уравнений при определении нёизвестных
коэффициентов имеет нетривиальное, отличное от нуля
решение, если определитель, составленный из коэффи-
циентов, равен:
Ли— А Л12 Ли . . . Лщ
D(Z) = й2* «22 —Л «23 ... а2п _Q. (3.280)
Л/И Лл2 Лиз . . . Лил --- Л
304
Уравнение (3-280) представляет собой характеристи-
ческое уравнение системы (3-277) и является уравне-
нием n-й степени X. Оно имеет п различных корней
или Соответственно меньшее в случае кратных корней.
В услучае п различных корней общее решение систе-
мы (3-277) имеет вид:
-Ч = + ... + С /Ч... + С(3-281)
где v=l, 2, 3,... , п. Постоянные Cv. могут быть опре-
делены из (3-279) с учетом подстановки Из об-
щего решения (3-281) системы (3-277), которую можно
рассматривать как систему уравнений возмущенного
движения линейной системы, можно сделать следующие
выводы об устойчивости:
1. Если вещественные части всех корней X; характе-
ристического уравнения (3-280) отрицательны, то вы-
полняется условие
li тх =0,
/->оо V
т. е. в этом случае линейная система асимптотически
устойчива.
2. Если среди корней Хг- характеристического урав-
нения (3-280) найдется хотя бы один с положительной
вещественной частью, то в решении (3-281) будет при-
сутствовать член, который с течением времени будет
неограниченно расти. Система в этом случае неустой-
чива.
3. Если среди корней характеристического урав-
нения (3-280) нет корней с положительной вещественной
частью, но они с различными вещественными частями,
и если последние являются простыми корнями, система
устойчива, так как в решении нет члена, неограниченно
возрастающего. Однако такая система не асимптотиче-
ски устойчива.
•Случай кратных корней с различной вещественной
частью, который может привести к устойчивому или не-
устойчивому решению, здесь не будем затрагивать.
Обратимся теперь к нелинейной системе и ответим
на вопрос, в каком случае при условии устойчивости ли-
неаризованных уравнений можно сделать вывод об
устойчивости реальной нелинейной системы.
20—447 305
Приведем без доказательства следующие .основные
положения Ляпунова, относящиеся к этому случаю:,
1. Если все корни характеристического уравнения си-
стемы первого приближения имеют отрицательные ве-
щественные части, то невозмущенное движение системы
устойчиво независимо от членов разложения выше пер-
вого порядка малости.
2. Если среди корней характеристического уравне-
ния системы первого приближения найдется хотя бы
один с положительной вещественной частью, то невоз-
мущенное движение неустойчиво, как бы ни были вы-
браны члены высшего порядка в дифференциальных
уравнениях возмущенного движения.
3. Если характеристическое уравнение системы пер-
вого приближения не имеет корней с положительной
вещественной частью, однако имеет такие, у которых
вещественная часть равна нулю, то можно так выбрать
члены высшего порядка в дифференциальных уравне-
ниях возмущенного движения, что получим по желанию
устойчивость или неустойчивость.
Два первых положения описывают так называемые
«некритические случаи», в которых можно дать ясный
ответ из исследования системы первого приближения об
устойчивости нелинейной системы. Третье положение
указывает на «критические случаи», в которых опреде-
ленный вывод об устойчивости можно сделать только
при дополнительном выборе членов высшего порядка
в системе дифференциальных уравнений возмущенного
движения.
Б. Методы анализа устойчивости линейных
и линеаризованных систем
Критерий устойчивости. Для определения устойчиво-
сти линейной или линеаризованной системы необходимо
определение всех корней характеристического уравнения
системы (§ 3-5). Однако в системах высокого порядка
вычисление корней весьма затруднительно, так как при
этом вынуждены ограничиваться числовыми методами.
Чтобы не вычислять корни характеристического уравне-
ния, были разработаны критерии устойчивости, при по-
мощи которых можно исследовать устойчивость, не про-
изводя определения численных значений корней харак-
теристического уравнения.
306
К числу таких критериев в первую очередь относят-
ся алгебраический критерий Рауса (Routh), предложен-
ный ,в 1875 г., критерий, сформулированный в 1896 г.
швейцарским математиком Гурвицем, а также частот-
ный критерий устойчивости Найквиста с различными
дальнейшими разработками и прежде всего разработка-
ми А. В. Михайлова. Несмотря на различие перечис-
ленных выше критериев устойчивости, все они вытекают
из известной теоремы теории функций комплексного
переменного (теоремы Коши относительно числа нулей
и полюсов функции, аналитической в заданной области).
Критерии устойчивости подробно изложены в совре-
менной литературе, и поэтому мы ограничимся рассмот-
рением критерия Гурвица.
Критерий Гурвица. Пусть характеристическое урав-
нение линейной или линеаризованной системы уравне-
ний возмущенного движения представлено в виде
ctoKn + -Г ••• 4“&п—Q'n== 6, (3-282)
причем Яо>О, в противном случае уравнение умножают
на —1. Нетрудно доказать следующее необходимое усло-
вие устойчивости: для устойчивости линейной системы
любого порядка необходимо, но. не достаточно, чтобы
все коэффициенты характеристического уравнения были
положительными.
При доказательстве предположим, что все корни ха-
рактеристического уравнения системы имеют отрица-
тельные вещественные части:
11003—2з
Zl = |/1|, ^2,3 = |/2|±/т2, . . ., =— |/n|-
Подставим их в (3-282), которое можно также запи-
сать в виде
CIq (Z — Zj) (Z — Z2) ... (Z — Z;?) — 0.
В результате получим:
#о К11) *Ф" К21 "Ф"(Z -ф- | | — /^2)... (^ -ф-1 In |) —
= aQ (Z +1Ц I) [(Z +1 /21)2 + m\]... (Z +1 ltl I) = 0. (3-283)
При умножении могут появиться только положитель-
ные и отличные от нуля коэффициенты, так как нуле-
вые корни исключаются, т. е. предполагается
Тем самым доказано утверждение, что все коэффициен-
ты характеристического уравнения положительны, если
система устойчива.
20* 307
Гурвиц разработал критерий, который дает также
достаточные условия устойчивости. Приведем эту тео-
рему без доказательства.
Для устойчивости линейной системы n-го порядка не-
обходимо и достаточно, чтобы п определителей Гурвица
Av (v=l, 2, ..., п), получаемых из определителя
аз ач . . . 0 0 0
а2 ал . 0 0 0
0 ах аз ^5 • • • 0 0 0
0 а0 а2 а± . . . 0 0 0
0 0 0 0 . . . Ял-2 ап 0
0 0 0 0 . . . ап- з an-i 0
0 0 0 0 . . . ап-4 Оп-2 ап
составленного из коэффициентов а0, Я1> • • •, уравне-
ния (3-282), были положительны.
Для различных значений v определители Гурвица
имеют вид:
Ai = 6Zi>0;
__I ai
Ио
аз
а2
ал
Дз = а0
0
а2
а5
(14:
аз
0;
0
(3-284)
и т. д., последний определитель Ап может быть разло-
жен по последнему столбцу и составит:
An = 6ZnAn—i>0,
откуда из Ап-1>0 вытекает условие ап>0.
Для системы первого порядка с характеристическим
уравнением
(3-285)
(7о%Ч-б/1 = 0, б/о^>О
условием устойчивости будет:
Ai = 6Zi>0. (3-286)
Для системы второго порядка с характеристическим
уравнением:
0
условием устойчивости будет:
Ai=6Zi>0;
Д.= Г’ °
(3-287)
(3-288)
—aia2^> 0,
308
Йз (3-288), учитывая (3-287), получаем:
^>0.
Таким образом, для систем первого и второго поряд-
ка условие, что все коэффициенты характеристического
уравнения должны быть положительными, является
также достаточным для устойчивости.
Для системы третьего порядка условия устойчивости
определяются следующими неравенствами:
;Ai=: б/±>0;
<21 а3
а0 й2
= — а0а3 > 0;
Лз=^А2>0, а2>0,
откуда следует, что критерий Гурвица позволяет судить
об устойчивости систем первого и второго порядка не-
посредственно по виду характеристического уравнения
и проведения специального исследования не требуется.
Для систем же, описываемых уравнениями более высо-
ких порядков, исследование устойчивости является не-
обходимым.
В. Анализ режимов устойчивости нелинейных цепей
Устойчивость положения равновесия в цепях посто-
янного тока. Общие замечайия. При исследовании
устойчивости в цепях постоянного тока при малых воз-
мущениях характеристики всех нелинейных элементов
в рабочей точке аппроксимируются прямыми, которые
соответствуют динамическому (в случае безынерцион-
ных элементов — дифференциальному) сопротивлению.
При этом неустойчивость возмож- j
на только в цепях постоянного
тока с нелинейным элементом
с отрицательным дифференциаль-
ным сопротивлением. Элементы
с падающей вольт-амперной ха-
рактеристикой можно разделить
на две группы.
К первой группе относятся
элементы с S-образной вольт-ам-
перной характеристикой (напри- °
мер, электрическая дуга). У этих
309
элементов ток относительно напряжения имеет неодно-
значную характеристику (рис. 3-79), т. е. при определен-
ном напряжении возможен скачок тока. Опыт показы-
вает, что в такой цепи присутствует небольшая паразит-
ная индуктивность, которая не допускает скачкообраз-
ного изменения тока, так как невозможно скачкообраз-
ное изменение энергии в магнитном поле.
По этой причине при исследовании устойчивости в та-
ких цепях нелинейное сопротивление с S-образной ха-
рактеристикой представляют в виде последовательного
соединения нелинейного сопротивления и небольшой
индуктивности Lq.
Рис. 3-80.
У элементов с N-образной вольт-амперной характе-
ристикой (например, динатрон, лампы с вторичной эмис-
сией) напряжение относительно тока имеет неоднознач-
ную характеристику (рис. 3-80). Здесь при определен-
ном токе возможен скачок напря-
жения, который, однако, предотвра- I 71
щается наличием малой паразитной ЗДМ
емкости. I f У
При исследовании устойчиво- L——
сти в таких цепях нелинейное сопро- Рис 3_82
тивление с N-образной характери-
стикой заменяют на параллельное соединение нелинейно-
го сопротивления и малой паразитной емкости Со.
Устойчивость точки равновесия элек-
трической дуги. В качестве примера цепи постоян-
ного тока рассмотрим электрическую дугу с вольт-ам-
перной характеристикой, изображенной на рис. 3-81.
При заданной э. д. с. Е и известном добавочном сопро-
тивлении Rv резистора можно провести нагрузочную
310
прямую U=E~IRV, из точки пересечения которой с ха-
рактеристикой дуги получаются возможные рабочие
точки Pi и Р2. Исследуем устойчивость этих рабочих
точек.
С учетом индуктивности LQ цепь тока имеет эквива-
лентную схему согласно рис. 3-82. Уравнение, цепи со-
гласно закону Кирхгофа имеет вид:
Lq di/dtiRv 4" u(i) = E. (3-289)
В состоянии равновесия ток в цепи не должен из-
меняться, т. е. f = /o=const. Поэтому (3-289) примет
вид:
IvRv + u(1q)=E. (3-290)
Запишем уравнение возмущенного движения, пола-
гая при этом
f=/o4-i*,
где /*(0 —малое возмущение.
Тогда
di/dt = dh/dt 4- di*/dt == di*/dt.
Разлагая u(i) =w(/0+i*) в ряд по степеням и от-
брасывая в первом приближении члены с во второй
и более высоких степенях, получаем:
«(/) = « (/0 + г*) = и (/„) 4-i* = и (7„) + Rd (Л) I*.
CLI т
Если три последних уравнения подставим в основное
уравнение цепи, то получим:
Lo di*/ dt+ IORV + i*Rv + (Zo) + Rd (Л) /* = E.
Учитывая (3-290), получаем следующее линеаризо-
ванное дифференциальное уравнение возмущенного дви-
жения:
Lo d/7 dt + i*Rv + Rd (/0) /* = 0
или-
+ = (3-291)
где a='z47?v+7?d(/°)].
Из характеристического уравнения (3-291)
Z4~^"0
311
получим решение:
Х=—а.
Для устойчивого положения равновесия согласно
(3-286) достаточно, чтобы а>0. Следовательно, должно
выполняться условие:
Rv + Rd (/0) - Rv + du/di |/o > 0. (3-292)
Уравнение (3-292) представляет собой критерий Ка-
уфмана (Kauffmann) для устойчивой рабочей точки
дуги, согласно которому точка Pi является точкой не-
устойчивого равновесия, а точка Рг— точкой устойчи-
вого равновесия.
Устойчивость установившихся колебаний относитель-
но основной частоты. Общие замечания. Пусть
требуется исследовать устойчивость установившегося
периодического режима с доминирующей основной ча-
стотой. При этом целесообразно исходить из уравнений
для медленно изменяющихся амплитуд, которые получа-
ются по методу Ван дер Поля. Они могут быть пред-
ставлены в виде
da/dt=P(a, /?); (3-293)
db/dt—Q(a, ft), (3-294)
где a(i) и b(t) —амплитуды синусной и косинусной со-
ставляющих рассматриваемого колебания.
Уравнениями такого типа являются (3-172) и
(3-173).
Стационарные решения, в которых амплитуды боль-
ше не изменяются со временем, получаются из условий
da/dt=G и db/dt = Q. Если обозначим установившиеся
амплитуды через а0 и ft0, то получим решения в виде
уравнений:
Р(а0, fto)=O; (3-295)
Q(a0, fto)=O. (3-296)
Для исследования устойчивости установившихся ре-
шений принимают только малые возмущения g и т]
амплитуд, т. е.
a(t) = ao + g>(O; (3-297)
ft(O=^o + T](O. (3-298)
312
Если подставим (3-297) и (3-298) в (3-293) и (3-294),
то получим дифференциальные уравнения возмущенно-
го движения:
dt/dt = Р (а0"Ч~ ^о4-т)); d^Jdt — Q (а0+?> ^о+^).
Если эти соотношения разложим в ряд Тейлора
в окрестности а0, &о, то, учитывая (3-295) и (3-296),
получаем:
^/4// = с11$4-с1271Ц-Л(ао, Ьо, т]); (3-299)
d7]/rf/ = 6?21^-[-c227]4"Qi’(^o, &о, т]). (3-300)
Постоянные сц представляют собой при этом сокра-
щения для следующих выражений:
с„=дР(а, Ь)1да\^,
^ = дР(а, b)/db\aobo-
Cn — dQ(a, Ь)/да\аоЬв-,
c22 — dQ(a, b)fdb\aobo,
а функции А(ао, &о, ц) и Qi(n0, &о, ц) представляют
собой совокупность членов высшего порядка.
Пренебрегая членами высшего порядка, из (3-299)
и (3-300) получаем систему уравнений первого прибли-
жения с характеристическим уравнением
= 0 (3-301)
или
Л2 -|— (-Си - С22) Л "j” (pl 1^22 £12^21) 0.
По критерию Гурвица (ср. с (3-287) и (3-288)] доста-
точно для устойчивости рассмотренного установившегося
решения а0, Ьо выполнения условий
— (С11 + С22) >0; (3-302)
. ^11^22—£12с21>0. (3-303)
Устойчивость решений расширенного дифференциального урав-
нения Дуффинга. При нахождении установившегося решения рас-
ширенного дифференциального уравнения Дуффинга
+ 2S dx/dv + X + Лх3 — ki cos ат — k2 sin ат (3-304)
в § 3-5 была использована подстановка х=Хт cos ат с постоянной
амплитудой.
Си --- \ С12
С21 С22 ---
313
При исследовании устойчивости для описания поведения системы
при появлении малых возмущений можно применить полную подста-
новку Ван дер Поля
x—a(t) sin атф6(/) cos ат.
Если продифференцируем последнее уравнение, то получим:
dx
— аа cos ат — ab sin ат, (3-305)
dx2 da Л db .
= 2а COS ат — 2а sin ат — ala sin ат — a^b COS ат. (3-306)
Подставив (3-305) и (3-306) в (3-304), получим:
[2а daldz — а2 6 ф 23аа ф &] cos атф[ — 2а db/di — аЛа —
— 28ab ф- a} sin атфЛ[« sin ат ф b COS ат]з = fa cos ат — sin ат.
(3-307)
Тригонометрический двучлен третьей степени без учета высших
гармоник может быть представлен в следующем виде:
[a sin ат ф 6'cos атр =р/4« (а2 ф b2) sin ат ф 3/46 (а2 ф b2) cos ат.
(3-308)
Подставив (3-308) в (3-307) и сгруппировав коэффициенты при
одинаковых тригонометрических функциях, получим систему урав-
нений:
da 1
'ЗГ==2Г 1^ — f1 “ “2) b~ — 3/ДЬ(«2ф&2)]; (3-309)
2Г [fe ф (1 — а2) — 2М> — 3/Дя (а2 ф Ь2)}. (3-310)
Приравнивая правые части нулю, получаем стационарное реше-
ние, т. е.
(1 — а2) Ьо ф 2§аа0 ф 3/4М0 (я20 ф 6%) = (3-311)
— (1 — а2) а0 Ф 2§а60 Ф 3/Да0 (а2о ф 6%) = k2. (3-312)
Отсюда следует полученное в § 3-5 решение (3-246) с учетом
«о = О, Ьо=Хт. (3-313)
Тогда при подстановке решения (3-304) и его производной реше-
ние уравнения (3-312) примет вид:
[(1 — а2) Хт ф ШЯ2 ф (2даХт)2 = /?21 ф k22 = (3-314)
Для получения системы уравнений возмущенного движения под-
ставим (3-297) и (3-298) в (3-309) и (3-310) и, учтя (3-311) и
(3-312), получим:
S' =2Г - “2> (Ь<> -W - 2S“ fa + $ ~ 3М 7)) (а\ +
314
4- 2«ot +l2 + 620 + 2M + V)1 = 2^- [- (1 - «2) Т) - 28а| -
— 3/.Л (2a.6.g + 26%т) 4- 6.g2 barf + д%7] + Ь2<>т] 4- 2<я.£т) +
4-^7)+ 26.7)2 4-713)];
dri 1
аГ=2Г I*3 + - “г) -Н) - 2S“ (bo + v) + 3M («о 4- a (A +
+ 2«.g + §2 + 620 + 26. 7) + 7)2)] = [(1 - a2)g - 26aT) +
+ 3/4^- (2я2о£ -|- 2яоЬоу -f- tfo7]2 ~F -|- 62оь ~h 2tfc£2 4~ “h
+ 2Ш + ^2)Ь
Последние два уравнения представляют собой систему диффе-
ренциальных уравнений возмущенного движения. Пренебрегая чле-
нами высшего порядка и учитывая частное решение (3-313), полу-
чаем систему первого приближения:
d£ if 9 X
=— 5^“2оГ ( 1 ~a2 + “J’ т) = Си£ + ci2T];
d^i 1 ( 3 X
^=2^Г ( 1 — а2 + "4“ — бт] = C21g]+ с22Т].
Эта система имеет характеристическое уравнение вида (3-301),
так что условия устойчивости (3-302) и (3-303) для расширенного
дифференциального уравнения Дуффинга примут вид:
2б>0;
S2 + i (1-“2 + 4iWm) (i-«2 + -r ^)>°-
(3-315)
Первое из двух условий выполняется автоматически. Второе
условие (3-315) сравним с производной стационарной кривой реше-
ния k(Xm) уравнения (3-314) по Хт, т. е. с выражением
dk Xт Г f 3 X / 9 X 1
dX^T~^ 432a2 + (l-a2+— И _ a2 + — J I •
Если при этом обратить внимание на то, что Хт и k — положи-
тельные амплитуды, то станет ясно, что условие устойчивости иден-
тично с условием
dkjdXm>^
или, что то же самое, с условием
dXm[dk>0).
Таким образом, при представлении амплитуды Хт через норми-
рованную амплитуду возбуждения k (рис. 3-68) все точки с положи-
тельным наклоном этой характеристики соответствуют устойчивым
рабочим точкам, в то время как падающей части кривой (пунктир)
соответствуют неустойчивые точки равновесия. В переходной точке
dXm!dk —- оо, dkldXm — 0,
т. е. появляются нулевые корни характеристического уравнения и
в цепи наблюдается критический случай. Устойчивость или неустой-
чивость в этих точках определяют члены высшего порядка в системе
дифференциальных уравнений возмущенного движения.
315
Глава четвёртая
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
4-1. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ, ЗНАЧЕНИЕ
КОТОРОГО ЗАВИСИТ ОТ ВРЕМЕНИ
А. Связь между нелинейной и параметрической цепью
Электрическая цепь с нелинейным сопротивлением. На
рис. 4-1 показана одноконтурная цепь, состоящая из
источника напряжения e(t) и нелинейного сопротивления
>с заданной характеристикой i=f(u). При известной за-
висимости напряжения от времени u(t) ток определится
как
Ф) =/[u(0L
Если положить, что характери-
стика нелинейного элемента i = au2
и входное напряжение имеет сину-
соидальную форму
u(t) =-C7wsin
ток в цепи может быть определен как
i (/) = aU*m sin2 W = -ф? (1 - cos 2arf). (4-1)
Таким образом, выходной ток нелинейной цепи пред-
ставлен в виде спектра частот.
Теперь рассмотрим другую, параметрическую трак-
товку той же самой задачи. Ток в данной цепи может
быть представлен в виде
i=G(u)u, (4-2)
где б(ц)—статическая проводимость нелинейного эле-
мента, зависящая от приложенного напряжения.
Если напряжение является заданной функцией вре-
мени
316
тб проводимость
G(u)=G[f(01
(4-3)
также зависит от времени.
В соответствии с (4-2) ток в цепи
z = G[f(/)]u(/) = G[f(Olf(/). (4-4)
В соответствии с (4-4) ток в цепи представляет со-
бой произведение напряжения на проводимость, зави-
сящую от времени.
Цепи, у которых параметры зависят от времени, на-
зываются параметрическими цепями.
При параметрическом изложении рассмотренного
выше примера нелинейной цепи зависимость проводи-
мости от времени не может быть выбрана свободно,
а зависит от изменения во времени электромагнитных
величин.
С учетом заданной характеристики нелинейного эле-
мента в рассмотренном примере изменение проводимо-
сти имеет вид:
G (/) = G [и (/)] = au*lu = аи (t) = aUm sin ю/, (4-5)
а в соответствии с (4-2) ток
i (/) = G(t)u (/) = aUm sin (o/t7w sin — aU2m sin2
У подлинных параметрических систем задается при-
нудительное изменение параметров независимо от управ-
ляющих воздействий.
Преобразование нели-
нейной цепи в параметри-
ческую. Приведенные вы-
ше соображения дают воз-
можность преобразовать
нелинейную цепь в пара-
метрическую. В качестве
призера рассмотрим
вольт-амперную характе-
ристику представ-
ленную на рис. 4-2, на ко-
торую воздействует на-
пряжение Ц = ф(/).
Воспользовавшись со-
Рис. 4-2.
отношением (4-2), графи-
317
4ССкй можно получить статическую проводимость нели-
нейного элемента, зависящую от воздействующего на-
пряжения,
G(u) = i(u)/u
и статическую проводимость, зависящую от времени,
G(/) = G[<p(/)].
Это построение выполнено на рис. 4-2.
Так как в этом примере G(t) является периодической
функцией, то ее можно разложить в ряд Фурье
G (/) — Go -|- Gi cos G2 cos 2cd/ 44.• • >
G (/) — Gx cos W
, x=o
и получить искомый ток как
i(0=G(0 и.
Подобным способом- всегда возможно преобразовать
нелинейную цепь в параметрическую, что указывает на
тесную связь между двумя видами схем. Согласно этому
параметрические цепи должны обладать подобными
(или сходными) свойствами с нелинейными цепями, как,
например, изменением частотного спектра. Однако ис-
следования показывают, что обратное преобразование
параметрической системы в нелинейную в общем случае
невозможно, так как подлинные параметрические систе-
мы обладают большими возможностями для достижения
определенных свойств цепей, которые не всегда можно
получить в нелинейных'цепях.
Рассмотрим конкретно параметрические цепи.
Б. Практические примеры применения цепей
с переменными во времени параметрами
Синхронное детектирование амплитудно-модулированного сиг-
нала. Пусть амплитудно-модулированный сигнал
и = Um [1 + mf (/)] sin(o0/ (4-6)
воздействует на параметрическую цепь (рис. 4-3). Исследуем, при
каких условиях в этой цепи можно осуществить процесс демодуля-
ции, т. е. выделить сигнал /(/)• Будем считать, что проводимость
G(t) времязависимого элемента изменяется
с той же частотой соо, что и амплитудно-
—1 модулированный сигнал. Этим и объясняет-
! Ду ся термин «синхронное» детектирование.
u(t) > j (t) Если между амплитудно-модулирован-
тДр I ным напряжением и проводимостью имеет-
-------’ ся фазовый угол <р,
Рис. 4-3. G(Z) =G0[l+nsin (W+ф)].. (4-7)
318
Тогда ток в цепи
i = G (t) и (t) = UtnGQ [1 + n sin (co0/ + <p)] [1 + tnf (f)J sin co0/ =
== UmGb {[1 ~\~mf (01 sincoof+’п [1 + (/)] sin + <p) sinco0/}.
(4-8)
Используя тригонометрическое преобразование
sin (со0/ + <p) sinco0/ = i/2 cos у— J/2 cos (2со0/ + <p)»
получаем:
i — UmGQ {[1 + tnf (/)] sin co0Z + '/zn [1 + mf (/)] cos —
- i/2/2 [1 + tnf (/)] cos (2co0/ + fl}. (4-9)
Первый и третий члены этого соотношения представляют собой
модулированные колебания с несущей частотой соо и 2(о0 и двумя
боковыми полосами частот.
Вторая составляющая содержит модуляционный сигнал и по-
стоянную составляющую.
После отделения высокой частоты и постоянной составляющей
электрическим фильтром получим ток
l = ^l2ntnUmGQZGS^f (t), (4-10)
который и является искомым демодулированным сигналом.
Значение полученного сигнала зависит при этом от фазового
угла ср. Он имеет максимум при ф=0 или ф=л, а при кр=1±л/2
детектирование не имеет смысла. Такой возможностью регулирова-
ния пе обладают нелинейные цепи. Поэтому ни при каких условиях
параметрическая цепь в данном случае не может трактоваться как
нелинейная, поскольку возможности нелинейной цепи значительно
ограничены. Впрочем, регулирование фазовым сдвигом возможно
также у контактных .вибрационных выпрямителей, но их следует
отнести к параметрическим цепям (§ 5-2).
В случае, когда проводимость и колебание несущей частоты
изменяются с одинаковой частотой (Оо, по без фазового сдвига от-
носительно друг друга
G (/) = Go (1 + п sin (о0 /)>
ток в цепи
i (t) == G (t)u(t) = UmGQ (1 + /2 sin (д0/) [1 -\-mf (/)] sinco0/.
Преобразовав это уравнение, получим окончательное выражение
для тока
{п
[l-J-mf (/)] sijicooH- ~ёг[1 +mf (/)] —
---П + mf W] cos2co0/j- (4-11)
Интересующая нас составляющая, которая содержит демодули-
рованный сигнал, имеет вид:
i^l2nmUmGQf(t).
319
Несинхронные модуляции и демодуляции. Исследуем поведение
цепи, показанной на рис. 4-3, когда частота .изменения проводимо-
сти не равна частоте амплмтудно-модулированного сигнала. Пусть
на вход схемы подан сигнал
u=Um sin «о/,
а проводимость изменяется по закону
G(t) — Go(1 +п sin (о/),
причем co^i'wo-
Тогда ток 'В цепи
i — G (t) и (/) = UtnGQ (1 + п sin со/) sin со/ — UmGQ (sin со„/ -|-
[п
sin со0/ + ~2~ cos (со0 — со) / —
/2 1
-----cos (coj-j- со) / • (4-12)
Из (4-1'2) видно, что при <о<Ссоо цепь может -быть использована
для простой амплитудной модуляции. При этом G(t) может быть,
например, проводимостью угольного микрофона, управляемой зву-
ковым сигналом.
В случае, если приложенное напряжение промодулировано, т. е.
его амплитуда представлена в виде:
£Лп=Л0[1 W(0L
ток в цепи принимает вид:
[п
sin со0/ + cos (<0° “ w) / —
/2 1
----2^ cos (со-]-со0) /1 * (4-13)
Выражению (4-13) соответствуют три модулированных колеба-
ния с несущими частотами соо, соо—со и соо+со и двумя -боковыми
полосами, частотный спектр которых зависит от частотного спектра
функции f(/) (рис. 4-4).
При со—э-0 выражение (4-13) переходит в простую модуляцию,
а при со—>.(о0—-в (4-11), т. е. наряду с модуляцией получают также
и демодуляцию,
320
Фазовое детектирование и фазовое разделение. На рис. 4-5,6
показан про'модулированный по фазе сигнал u(t). Изменение фазы
сигнала u(t) происходит в соответствии с заданным законом изме-
нения ф(/) (рис. 4-5,а). Параметрическая цепь с периодической про-
водимостью G(t) (закон изменения проводимости показан на
рис. 4-5,в) обусловливает изменение тока в цепи (рис. 4-5,г), обес-
печивающего распознавание сигнала. Таким образом, параметриче-
ская цепь может применяться как фазовый детектор.
Рассмотрим теперь процесс фазового разделения в многоканаль-
ной системе. При передаче нескольких сигналов через канал связи
можно передавать сигналы или с различными несущими частотами,
а затем разделять посредством фильтра, или передавать сигналы
с одинаковой частотой, но различной фазой. Проведем исследование
разделения сигналов для двух случаев. Пусть передаваемые сигналы
5i=fi(0; s2=f2(0-
Они модулируются несущими с одинаковой частотой, но различ-
ной фазой:
Ui = Umi sincM; и2 = Umz sin (w07 + у).
Тогда по линии передается напряжение
и = Umi [ 1 -j- Wifi (/) ] sinco0^ Uт.2 [i Щ2/2 (^)] sin ((Оо/ -j- ?) (4-14)
или
и = a(f) sin соо^+ b (/) sin (соо t-\- 4). (4-15)
Разделение составляющих на выходе с помощью фильтра не-
возможно.
Рассмотрим параметрическую цепь, проводимость которой изме-
няется с той же частотой
G (t) = Gq (1 -f-n §in co0f).
21-447
321
Если к цепи приложить напряжение вида (4-15), то установив-
шееся значение тока в цепи будет
i = G (t) и (/) = Go (1 + п sin <W) [а (/) sin со0/ +
+ b (t) sin (соо/ + ?)]
или после преобразования
i = Go ja (/) sin"co0/+& (/) sin (сос<+ <?) + -тр а (/) —
п п п 1
---ср о (О cos 2со2^ + — Ь (/) cos <р — — Ь (/) cos (2со0/ + <f>) •
Наряду с высокочастотными составляющими с частотами (d0 и
2ci)o в токе содержатся составляющие, пропорциональные a(t) или
£(/), которые должны быть разделены. Если <р = эт/2, то после филь-
трации получают высокочастотную составляющую тока
п
i = Gofz (/).
Для того чтобы можно было провести разделение, необходимо
иметь:
Hi = Umi sin «о/; и2 = Um2 cos сооЛ
т. е. со стороны приемника должны располагаться два синхронных
детектора, проводимости которых должны изменяться по синусои-
дальной и косинусоидальной функциям с последовательно включен-
ными фильтрами. Только в этом случае становится возможным раз-
деление составляющих a(t) и b(t).
4-2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
А. Составление и решение дифференциального
уравнения
Если цепь с времязависимыми параметрами содержит
также накопители энергии, то ее математическое описа-
ние приводит к дифференциальным уравнениям с пере-
менными коэффицентами, которые мы будем называть
параметрическими дифференциальными уравнениями.
При наличии одного накопителя энергии (индуктивности
или емкости) получается дифференциальное уравнение
первого порядка.
В качестве примера рассмотрим цепь, приведенную
на рис. 4-6, которая описывается дифференциальным
уравнением
di ] R •
(4-16)
322
В том случае, если параметры /? и L изменяются во
времени, (4-16) принимает вид:
(4'В * * * * * * * * 17)
Оно является дифференциальным уравнением перво-
го порядка с переменными коэффициентами, которое
в общем случае может быть представлено как
dxldt-\-P(t)x= Q(/). (4-18)
Аналогичное уравнение получим и в том случае, если
рассмотрим цепь, состоящую из сопротивления и емко-
сти (рис. 4-7).
Рис. 4-6.
Рис. 4-7.
Действительно, используя уравнения
ис -\-iR=e (/); i = Cduc/dtf
получаем:
RCduJdt — (4-19)
Если R и С изменяются во времени, то (4-19) можно
записать следующим образом:
duc . 1 „ _ e(t)
dt ~ГЦ (t) С (/) c r (t) с (/)
(4-20)
В данном случае получим неоднородное линейное
дифференциальное уравнение с переменными коэффици-
ентами типа (4-18).
Общее решение (4-18) может быть представлено
в виде
x = Re J Д-e [Q(0^ ]dt, (4-21)
где К — произвольная постоянная, определяемая началь-
ными условиями.
В (4-21) первое слагаемое — общее решение соответ-
ствующего однородного уравнения (без правой части),
а второе — частное решение неоднородного уравнения.
21* 323
Поэтому можно добиться определённых упрощений,
если в (4-18) положить Q(/)=0. Это возможно в том
случае, если в цепи отсутствуют все э. д. с.
В качестве примера можно привести разряд конден-
сатора С на времязависимое сопротивление 7?(/)
Рис. 4-8.
Рис. 4-9.
(рис. 4-8). Для этой цепи справедливо уравнение
u-\-iR(t) = u-\-R(t)Cdu/dt = Q (4-22)
или
du/dt^ulCR(t) = O.
. Б. Цепь с микрофоном и трансформатором как
пример использования параметрической цепи
Цепь с микрофоном и источником постоянного напря-
жения, в которой сигнал проходит через трансформатор,
может быть представлена эквивалентной схемой
(рис. 4-9).
При гармоническом сигнале происходит синусоидаль-
ное изменение сопротивления микрофона. Для рассма-
триваемой цепи можно составить уравнение
L dildt Д- (7? + 7?о sin cd/) i = Ео
или
difdt-{-a(\ 4- m sin со/) i = ЕЦЦ (4-23)
где a = RIL.
Если ввести обозначения
х — i\ P(f) = a(\-\~m sin со/); Q (/) = ЕЦЦ
то получим (4-18).
Затем определим:
Р (/) dt — а I (1 + m sin со/) dt = a ( t
m Л
— cos со/ ;
р (/) at
е^ = eat е
324
Последнее выражений можно разложить согласно
(2-64) в ряд Фурье и получить:
ат
------cos wt
е “
ОО
/2=1
• _ „ г / • \ -L
1 п^п — 1 ------------ cos ДО/,
к /
где Jn — функция Бесселя 1-го рода n-го порядка мни-
мого аргумента.
Вторая составляющая частного решения (4-18)
4-2 j~nJn (— j —cos j dt.
/2=1
В это уравнение входит интеграл вида
J eat cos до/ dt = Aneat cos (до/ -|- <рЛ),
где
Ап — l/]//z2(D2-|-a2; <p„ = arctgw/a.
Окончательное решение (4-18) относительно тока по-
лучим:
i = ро (/ 4~2 J] i~P JP (/ ^г) СО8/2«^ X
/7=1
00
xX--+4[4J-(-'^)+2Sr"x
/2=1
X J/2 -/4/2 cos (до/ -}- <рл) J . (4-24)
Решение содержит свободную составляющую с беско-
нечным множеством частот и установившееся решение
с бесконечным множеством гармоник, амплитуды кото-
рых зависят от т. При малом т можно ряд в (4-24)
прервать на первых членах и таким образом рассчитать
приближенное значение тока.
Полученное решение (4-24) показывает, что иссле-
дуемая цепь с угольным микрофоном всегда имеет иска-
жения.
325
4-3. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
А. Параметрическое возбуждение в последовательном
колебательном контуре
Возможности параметрического возбуждения колеба-
ний. Рассмотрим процесс разряда конденсатора в линей-
ном последовательном колебательном контуре (рис. 4-10).*
Если все параметры неизменны и отсутствует приток
энергии извне, то в цепи возникают затухающие коле-
бания относительно напряжения на конденсаторе или
тока (рис. 4-11).
Из линейной теории колебательных процессов изве-
стно, что возникновение незатухающих колебаний воз-
можно в колебательном кон-
туре с потерями (т. е. при
наличии сопротивления /?)
в том случае, если в цепи
Рис. 4-10.
содержится источник питания, за счет которого осущест-
вляется покрытие потерь энергии в контуре. Однако
незатухающие колебания можно также возбудить в ко-
лебательном контуре с потерями и при отсутствии источ-
ника электрической энергии, если периодически изменять
один из параметров контура (индуктивность и емкость)
за счет внешних сил. При этом безусловно необходимо,
чтобы в контуре предварительно имелся некоторый за-
пас энергии.
Рассмотрим колебания в контуре (рис. 4-10), если
значение емкости С периодически изменяется. Пусть
изменение величины емкости С происходит за счет изме-
нения расстояния между пластинами. При уменьшении
расстояния между пластинами происходит увеличение
емкости на АС, а при увеличении расстояния соответст-
венно уменьшение на АС.
326
При увеличении расстояния необходимо затратить
энергию на преодоление сил притяжения. Энергия, за-
траченная на перемещение пластин, переходит в единст-
венную форму — энергию электрического поля конденса-
тора. Для того чтобы таким образом ввести наибольшую
энергию в контур, необходимо, во-первых, раздвигать
пластины, т. е. уменьшать емкость в моменты наиболь-
шего напряжения на пластинах, и во-вторых, делать это
дважды за период колебаний.
Тогда в каждом периоде дважды механическая энер-
гия (энергия, затраченная на перемещение пластин) пе-
реходит в форму электрической энергии
ди/ = И С^-Чс -4) ^-^-=2И7о^-. .(4-25)
За это время в сопротивлении расходуется энергия
HWr = 2^/^W09 (4-26)
где b~R]2L — затухание колебательного контура; WR—
начальный запас энергии.
Если поступающая в контур энергия (4-25) и энергия
потерь (4-26) будут равны, то в контуре устанавливают-
ся устойчивые колебания.
При увеличении подводимой механической энергии,
а следовательно, при выполнении неравенства
ЛС/С>л«/о), (4-27)
в цепи возникают нарастающие колебания до тех пор,
пока не достигнут пробивного напряжения на конденса-
торе. Если ввести коэффициент модуляции
т — (С макс — Смин)/ (Смаке ~j~ Смин) ДС/2С,
то (4-27) можно записать в виде
т>л;6/2.
Таким образом, рассмотренный пример показывает
возможность возникновения незатухающих колебаний не
за счет электрической энергии источника, содержащегося
в схеме, а исключительно за счет периодического измене-
ния одного из элементов контура.
Аналогичные выводы могут быть получены и в слу-
чае периодически изменяющейся индуктивности, однако
только не при изменении сопротивления, так как сопро-
тивление не обладает способностью запаса энергии.
327
Дифференциальное уравнение параметрического коле-
бательного контура. Пусть в цепи на рис. 4-10 емкость
изменяется по закону C=C(t). Для данной цепи спра-
ведливо уравнение
Lv+K‘+ck^d‘ = °
или с учетом / = dqf dt
L“^ + R>+cW’ = 0- (4-28)
Закон изменения емкости имеет вид:
=CQ+Cif (/) =Со[1 +nf (/)].
С целью упрощения (4-28) примем, что
гг = С1/С0<1.
Тогда приближенная зависимость изменения емкости
будет:
С(/) “ Со [1 +«/(/)! С? Ч ~ (4-29)
и соответственно (4-28) примет вид:
5-+4>+тк-11-'гн;’1’=°- <4-30>
Введя обозначения
(о2о-1/ЛС0; 26 = RIL,
получим:
d^qldt* 4- 25 dqfdt + [1 - nf (t)] q = 0. (4-31)
Для исследования (4-31) используем подстановку:
q^y{f)e-u, (4-32)
которая позволит исключить первую производную q.
Очевидно,
с~»< _ 9Se--; (4.33)
ее-"+уЛ-«. (4-34)
Заменяя далее q на у и подставляя (4-33) и (4-34)
в (4-31), получаем:
+ 28 e-u - Жуе~ы + [ 1 - nf (/)] ye~u = 0; (4-35)
d*y!dt* + [«A - <o%/zf (0] у = 0, (4-36)
32§
где (oi — резонансная частота колебательного контура
с постоянными параметрами,
со1 = - 82 = /1/ГСо -R^L2.
Если ,/(/) —гармоническая функция:
f (t) = cos coZ,
то с введением новой переменной:
ш/ = 2т; dt = 2dxfdt2 = 4(/t2/<d2
(4-36) приобретает вид:
Уравнение (4-37) относится к классу линейных диф-
ференциальных уравнений с переменными коэффициен-
тами и представляет собой так называемое уравнение
Матье в форме
d2y! dx2 [а + b cos 2т] у = 0. (4-38)
Уравнение (4-38) представляет собой частный случай
общего дифференциального уравнения Хилла
d2yldx2+\a + (т) ]у=0, (4-39)
где ср (г) —периодическая функция.
Б. Решение дифференциального уравнения Матье
и его устойчивость
Решение дифференциального уравнения Матье иссле-
довалось прежде всего самим Матье, затем его исследо-
ванием занимались Рэлей, Пуанкаре, Мандельштам и
Папалекси, Ван дер Поль, Струтт и Хая-си. К уравне-
ниям Матье сводятся многие физические и электротех-
нические задачи, поэтому его теория и методы решения
достаточно хорошо разработаны.
Частное решение уравнения Матье (4-28) имеет вид:
У1^^хФ(т), (4-40)
где ц— характеристический показатель, зависящий от
коэффициентов исходного уравнения а и Z?; Ф(т)—пе-
риодическая функция времени с периодом л или 2л.
Так как уравнение Матье останется неизменным,
если т заменить на —т, то можно воспользоваться дру-
гим независимым решением
у2 = е~*х Ф(-х). (4-41)
329
Тогда общее решение уравнения Матье можно пред-
ставить в виде двух независимых решений
у = Ае^х Ф (т) -р Ве~^ Ф (—т),
(4-42)
где А и В — постоянные, определяемые из начальных
условий.
Характеристический показатель р может быть дейст-
вительным числом или мнимым, но не комплексным.
Решение (4-42) устойчиво, если ц— мнимое число, и
неустойчиво, если ц— действительное.
В первую очередь рассмотрим решения в области
устойчивости. Эти решения носят названия функций
Матье. Для того чтобы такие решения существовали,
параметр а должен, в зависимости от другого параметра
Ь, принять значение, определяемое последовательностью
так называемых характеристических параметров. Если
6 = 0, решения имеют 1-, sinr-, cost-, sin2т-, cos2т-
и т. д., характеристические параметры которых а равны
О, 1, 4, 9 ... Для других значений решения являются
функциями Матье: се0(т, 6), сеп(х, 6), sen(x, b), где п =
= 1, 2, 3 ... Для этих функций составлены таблицы и
известны разложения в ряды. Например:
ceQ (т, b) = 1 -ф" 46 cos 2т -{- 262 cos 4т
_[_ &з (—28 cos 2т —|— 4/e cos 6т) 4-...;
ее^ (т, 6) — cos т b cos Зт 4- b2 (—cos Зт 4~ 7з cos 5т) 4~
4” 63 (у8 cos Зт — */9 cos 5т 4- 718 cos 7т) 4-
sei (т, 6) = sin т 4~ 6 sin Зт 4- 62 (sin Зт 4- Уз sin 5т) 4"
4- Ь3 (7з sin Зт 4- 4/э sin 5т 4- 7»s sl’n 7 т) 4-...;
Характеристические значения а, которым отвечают
решения сеп(х, Ь) и sen(x, b), обозначаются через асп
и asn. Они также протабулированы. Для малых значений
Ь получаются соответствующие разложения в ряд:
aCi — 1 — 86 — 862 4- 863 — 8/86* 4" •••»
asi 1 4- 86 - 862 - 863 -«/»64 4-...;
аС2 = 44"80/ зб2 — 6104/2764 4-
aSi = 4 - 16/362 + 40/2764 4-
ас. = 9 4- 46* - 86’ 4- >3/б64 +...;
as. = 9 4- 462 4- 863 4- ”/б64 4-...
(4-43)
330
Характеристические кривые, которые определяют за-
висимость между асп или asn и Ь, -представлены на
рис. 4-12 толстыми линиями для табулирования значе-
ний, тонкими—для вычисления по (4-43). Эти кривые
делят плоскость ab на две области: заштрихованную —
г, с
Рис. 4-12. Рис. 4-13.
ного уравнения (4-38) имеют значёйия, которые соответ-
ствуют точке в незаштрихованной области, то решение
устойчиво.
В неустойчивой области, решения уравнения Матье
имеют форму
' Ч ' 1‘ / • । ♦. • *11
y.z=ew(^{^, (т -•и
где Ф(т) —периодическая функция вида:
Ф (т) = sin (т — о) 4~ а3 cos (Зт — о) 4- Ь3 sin (Зт-— о) 11
ед ТС '
4- «s C0S (5т — о) 4- bt sin, (5т — а);4-...
Параметры р, ид определяются коэффициентами
63, ^5, ^5 • • • Зависимость значений ц и п от выходных
параметров а и b можно представить в форме кривых
|х=const и <у=const на плоскости ab. В качестве приме-
ра'на1 риск 4-13 показаны1 эти кривыедля 'первой'Обла-
сти значений р. 4
л. -331
В. Связь между нелинейными и параметрическими
дифференциальными уравнениями колебаний
На рис. 4-14 показан колебательный контур, содер-
жащий нелинейную индуктивность, линейную емкость,
сопротивление и синусоидальную э. д. с. Для данной це-
пи справедливо уравнение:
-^-4“//? Д- J i dt = Em sin
или
. D di г 1 . л
~dir + R ~dT+^1 = cos
Рис. 444.
С учетом нелинейной характеристики индуктивного
элемента f=-f(4r) это уравнение может быть представ-
лено:
~dp Ь R W ~dt С f 0^) — COS О)/. (4-44)
В общем случае оно соответствует уравнению вида:
d2x]dtf fi (х) dx]d^ 4~ f 2 (х) = A cos т. (4-45)
Пусть для этого уравнения известно приближенное -
решение х0(т). Улучшенное решение представляется
в виде:
Х(т) = Х0 ОО + хДт:),
причем |х$| < |х0|.
Тогда
f 1 (Хо Д" Xs) = f i (Хо) 4- Xsf'i (Хо);
fz (Хо 4" -^s) = f2 (*^0) + (Хо).
Подставим решение в исходное уравнение (4-45):
d2x0/dx2 4- d2xs/dz2 4- [ft (Хо) 4- xsf\ (х0)] (dx0/dz-]-dXs/di;) 4~
+ Л (*о) + -W'* (*о) = в cos т. (4-46)
332
Так как х0(т) является решением (4-45), имеем:
d2xjdz2 -|- fi (х0) dxQ/dz + f2 (х0) = В cos т. (4-47)
Вычитая (4-47) из (4-46) и пренебрегая членами вто-
рого порядка малости f/i(xo)xsdxs/dx, получаем:
d2Xsld^ -|- fi (х0) dxsf dx +
+ [f\ (Хо) dx0/dz + f'2 (xo)] xs = 0. (4-48)
В (4-48) Xo(t)—известная функция времени, таким
образом уравнение (4-48) представляет собой параме-
трическое дифференциальное уравнение вида
d2xsfdx2 g (т) dxs/dz f (т) xs = 0.
Следовательно, можно при определенных предпосыл-
ках и приближениях, привести нелинейное дифференци-
альное уравнение к параметрическому. Обратная поста-
новка задачи не представляет практического интереса,
так как технические задачи почти всегда описываются
нелинейными, а не параметрическими дифференциальны-
ми уравнениями.
Глава пятая
НЕЛИНЕЙНЫЕ УСТРОЙСТВА
5-1. УСИЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ
А. Динамические характеристики
На рис. 5-1 приведена принципиальная схема для
снятия характеристик вакуумного триода
Пересечения анодных характеристик
Za = f(С/с, Са)
с линией нагрузки
Са = Са /а^?а
определяют рабочие точки. Линия нагрузки проводится
из точки на оси абсцисс, соответствующей напряжению
питания Еа под углом а, тангенс которого пропорциона-
лен численному значению
Рис. 5-1.
Рис. 5-2.
При изменении сеточного напряжения Uc изменяются
координаты рабочей точки, т. е. значения /а и Ua. Рабо-
чая точка соответственно начинает перемещаться по на-
грузочной прямой. Поэтому линию нагрузки на семей-
стве анодных характеристик называют рабочей характе-
ристикой. Если точки пересечения нагрузочной прямой
с анодными характеристиками триода перенести в систе-
му координат /а—/7С, то получают анодно-сеточную ха-
334
рактеристику, которая представляет собой динамиче-
скую характеристику триода. Построение динамической
характеристики триода показано на рис. 5-2. На рис. 5-3
проведено построение динамической характеристики пен-
13 общем случае крутизна динамической характери-
стики меньше крутизны статической характеристики
триода.
Б. Усилитель с кусочно-линейной характеристикой
Линейный усилитель в режиме класса А. Рассмотрим
усилительный каскад, представленный на рис. 5-4, и бу-
дем считать, что анодно.-сеточная характеристика /а==
= f(t/c) лампы (рис. 5-5) в рабочей области представля-
ет собой практически прямолинейный участок, не завися-
щий от анодного напряжения.
Режим класса А характеризуется тем, что рабочая
точка с координатой /а0 на динамической анодно-сеточ-
ной характеристике располагается приблизительно по-
средине ее прямолинейного участка. В этом случае угол
отсечки тока составляет половину угла протекания тока,
т. е.
0=180°.
При синусоидальном напряжении на сетке
д/с =—£Ао+ /7с m sin со/
анодный ток также синусоидален (рис. 5-5) и имеет ам-
плитуду /alm.
335
Падение переменного напряжения на R& составляет:
alm ~ Ia 1m/? а-
Предполагаемая линейная анодно-сеточная характе-
ристика имеет крутизну S = dia]duc, так что
1alm— S L/Cm.
Ucmsinii)t
Рис. 5-4.
При этом коэффициент усиления схемы
и '==z UUст :==- /aimRaf Uст = S/?a» (5-1)
к. п. д. усилителя представляет собой отношение полез-
ной мощности
р __ /aim t/gim _/aimt/aim
ТГ VF 2
к потребляемой мощности
Pq = 1аО^аО,
т. е.
ГЛ
71=3 То
1 Uaimlavn
2 t/ao/ao ’
(5-2)
где /ао — среднее значение (постоянная составляющая)
анодного тока; t/am и /ат— амплитуды гармоник анод-
ного напряжения и тока.
Для режима класса А
t/am^t/aoj /aim^/ao,
поэтому к. п. д.
ц<Л/2,
т. е. в режиме класса А к. п. д. анодной цепи лампы
не превышает 50%. Это объясняется тем, что в анодной
336
цепи лампы протекает постоянная составляющая тока
/ао, которая имеет большое значение и не зависит от ам-
плитуды сечения тока Ucrrt,
ние значительной мощно-
сти от источника анодного
питания даже в случае,
если
Режим класса А ши-
роко используется в мало-
мощных схемах с целью
уменьшения нелинейных
искажений. В схемах
большой мощности этот
режим почти не применя-
ется вследствие малого
к. п. д.
Нелинейный усилитель
Это обусловливает потребле-
в режимах классов В и С. При работе лампы в режиме
класса В на сетку подается такое смещение, что рабочая
точка располагается в области сильно искривленного
участка динамической характеристики. При синусоидаль-
ном напряжении сетки
Ис z — Uсо Ucm COS
анодный ток представляет собой отрезки синусоидальной
функции (т. е. имеет пульсирующую форму) с углом
отсечки 0< 180° и может быть разложен в ряд Фурье по
методу угла отсечки.
При аппроксимации ломаными прямыми (рис. 5-6)
угол отсетчки можно определить из выражения
COS 6 ==|t/Co|— (5-3)
а амплитуду анодного тока
lam == SUcm(l — COS 6). (5-4)
Амплитуда n-й гармоники анодного тока равна:
1апт ,==’ ^nlam = CK,nSUст (1 — COS 6),
а мгновенные значения анодного тока и напряжения
равны:
00
ia(/) = 2 Аят COS/г<о0/;
п=0
оо
«а (0 = — 2 !»пт*п C0S
п=0
22—447
337
или в комплексной форме
ОО
Л(И)=£ 1&пте‘пш°*-,
п=0
оо
Ca(jW)=-£
n=0
где zne^n — сопротивление в анодной цепи для частоты
№0.
Этим соотношениям соответствует схема замещения
(рис. 5-7), где 4(0 представляет собой ток пульсирую-
щей формы, а Z(<o)—зависящее от частоты сопротив-
ление.
Рис. 5-7.
Р.ис. 5 8.
При работе в режиме класса С абсолютное значение
сеточного смещения выбирается большим, чем в режиме
класса В. Работа в этом режиме связана с еще больши-
ми нелинейными искажениями сигналов, так как угол
отсечки в этом случае 0<л/2.
Резонансный усилитель. Для того чтобы уменьшить
искажения выходного тока, которые возникают при
углах отсечки 0<18О°, в анодную цепь включают парал-
лельный резонансный контур, настроенный на частоту
сеточного напряжения (рис. 5-8). Сопротивление резо-
нансного контура зависит от частоты и настраивается
на основную гармонику Z(co0). Для постоянной состав-
ляющей и высших гармоник сопротивление контура зна-
чительно, так что в колебательном контуре выделяется
в основном напряжение только основной частоты
Па (0 = — /aimZ (о)0) COS =
— — SUcm (1 — cos 0) оиг (ш0) cos <not
338
с амплитудой
[7aim /ai/и^ (^о) —z SUcm (1 — COS 0) CLi,Z (a)o)-
За счет резонансных свойств контура, несмотря на
несинусоидальную форму анодного тока, напряжение на
нагрузочном сопротивлении синусоидально. В этом слу-
чае говорят о квазилинейном усилителе. При этом имеет
смысл введение понятия средней крутизны для основной
гармоники анодного тока:
Sm = IzimJUcm = S (1 — COS 0) (5-5)
Если формы напряжения и тока совпадают, то мож-
но учесть и реакцию анода. При амплитуде управляю-
и средней крутизне амплитуда основной гармоники
анодного тока составит:
/aim SmUsm '==: Sm (Ucm - DUaim) = SmUcm — SmDUaim\
I aim :==: SmUcm Uaim/R*i ,
где
/?*• = 1 /SmD = 1 /SDa. (1 - cos 0) = Rif a, (1 - cos 0) (5-6)
R*i— внутреннее сопротивление нелинейного элемента,
отнесенное к амплитуде основной гармоники. Схема
замещения представлена на рис. 5-9. Величины Sm и
R*i являются функциями 0 и, следовательно, функциями
амплитуды [7cm-
Отношение
ф--=а,(1 — cos 6) = -Ь(6 — sin6 cos9) = f (0) (5-7)
представлено на рис. 5-10.
При 0 = 0 лампа заперта (Sw=0), при 0 = л/2 Sm=
— ^IzS и при 0 = л 5^ = 5 (линейный случай, режим А).
22* 339
Из соотношения
Д1т — Uaim//?*/ Uaim]% ((и0)
следует:
t/aim(l/3((«o)+ 1т) = 5^.
Из последнего уравнения для коэффициента усиления
получают:
п___J^aim _ Sm /г m
UCm “ l/2((Oo) + V^ k >
ИЛИ
=____________SRi__________________SRi
° 1 + Rijz (<o0) (1 — cos 9) ai 1 -|- Ri/z (w0) f (6) ’
Для пентода при условии, что (со0), это соотно-
шение упрощается
» = Sz(^f(V) = Af (0),
т. е. коэффициент усиления пропорционален крутизне
Sm, как показано на рис. 5-10.
Принимая во внимание связь между Ucm и 0 при
заданных С7с0 и [7ci, можно построить амплитудную ха’
рактеристику v(Ucm) нелинейного усилителя с кусочно»
ломаной линейной характеристикой. Эта зависимость ка-
чественно изображена на рис. 5-11. Нелинейное усиление
как в режиме В, так и в режиме С имеет то преимуще-
ство, что к. п. д. схемы растет с уменьшением угла отсеч-
ки. Это следует из соотношений:
До == Я-оДт» Д1т “== ^1/amj ^ао £Д1т,
откуда
т)=4- --т^а1т =* 4-—. (5-9)
2 /аоС^ао ; 2 осо
Отношение коэффициентов разложения ai/ao может
быть рассчитано по кривым сц(0) и «о (6), представлен-
340
ним на рис. 2-62. Это отношение изображено на рис. 5-12,
из которого видно, что при 0->О, т. е. в граничном режи-
ме С, отношение ai/ao-^2, а т]->1. Однако при 0 = 0 аб-
солютное значение мощности значительно падает, что
заставляет выбирать как компромиссное решение режим
В, при котором 0 = л/2 и Ucq— Ucim.
Двухтактный усилитель. В режиме В при 0 = л/2
из (2-54) следует:
ai 0,5 п 1 г
и к. п. д. схемы в соответствии с (5-9)
0,5-1,5 = 0,75,
т. е. значительно выше, чем в режиме А.
Рис. 5-13.
Нелинейных искажений, обусловленных уменьшением
угла отсечки тока, можно избежать, если включить про-
тивофазно две лампы, работающие в режиме В, и вы-
честь их анодные токи в вы-
ходном трансформаторе. Ти-
пичная схема двухтактного
усилителя с трансформатор-
ной связью показана на
рис. 5-13. На рис. 5-14 пока-
заны кривые изменения пе-
ременного напряжения на
сетках обеих ламп г/С1,^с2, ко-
торые действуют в противо-
фазе, мгновенные значения
анодных токов iai и /а2 и их
разности, которые практиче-
ски не имеют искажений.
Рис. 5-;14.
341
В. Нелинейные искажения в усилителе
Нелинейные искажения в усилителе возникают вследствие нели-
нейности его динамической характеристики fa(wc). Выше мы рассма-
тривали идеализированный случай, когда законом изменения ia от
ис является прямая пропорциональность.
Для оценки нелинейных
искажений будем исходить из
семейства анодных характери-
стик fa=f(wa) с ис в качестве
параметра (рис. 5-15). На это
семейство характеристик нане-
сем линию нагрузки в соответ-
ствии с уравнением
Wa = U в—iaRa-
Для этого достаточно через
точку и& = 1] на оси напряже-
ний .(точка А) провести пря-
мую с наклоном
dia/dua=—\ 'Ra=—(mu/mi) tg у.
С помощью нагрузочной
прямой для каждого значения
ис можно определить ток /а
(точка пересечения линии на-
грузки с характеристикой, при-
надлежащей соответствующему
значению ис) и посредством
переноса точек С, F, О, G, D
в систему координат га—«с мо-
жет быть получена динамическая характеристика /а=/(«с).
/Если напряжение на сетке синусоидально и равно:
ис =—i/co+^cm sin со/, (5-10)
то анодные характеристики ia — f(ua) снимаются для следующих
значений сеточных напряжений:
WCO — -
Ucm\
— ^со — Ucm\
Ucp = — Z7co + Uст/ 2;
Ucq = — Uсо —• Ucm/^f
которым соответствуют точки пересечений О, С, Z), Г, G с линиец на-
грузки.
Если
0C=0D, (6-11)
то динамическая характеристика линейна и анодный ток /а и напря-
жение и& при синусоидальном напряжении сетки тоже синусоидаль-
342
йы. Ё этом случае из рис. 5-15 определяются:
На = —------2----Sln sin co/;
^aC — ^aD
z*a =---§---sin ~ ^am sin tot-
Расходуемая мощность при этом равна:
^Wam 1 UaD~~ “аС ZaC~z’aD
Ра — Uala — 2 — 2 2 2
ИЛИ
_____1_ Ё5ЁС_____1_
а— 8 ти mi ~ 4 тцпи
Следовательно, полезная мощность пропорциональна площади
треугольника, образованного точками С, D, Е.
Пусть теперь условие (5-11) не выполняется и динамическая ха-
рактеристика больше не является линейной. Предположим, что ха-
рактеристика приближенно может быть описана квадратичной па-
раболой
к = «о+^1^с+^2«2с. (5-12)
Подставим (5-10) в (5-12)
/а = 4“ ( —£/со sin со/) 4" #2 (—{^coj4~ Vcm sin со/)2
и после преобразования получим:
/"а = <70 — ciiUco 4“ ^2^/2со 4~ "~2\U2cm 4- (aiUon 2/2г^со^с/л) sin со/ —
—^2“ U2cm cos 2со/; (5-13)
z’aj— Io 4“ I мп sin + Am cos 2co/, (5-14)
где три неизвестные величины могут быть определены »из следующих
приближенных соотношений.
При (о/ = 0 из (5-14) и рис. 5-15 следует:
/а (0) = /о + 1%т ~ А(ь (^" 15)
при со/ = л/2 имеем:
/а (гс/2) = /0 4- 1\т — = l&q (5-16)
и при со/ = 3/2зг имеем:
ia (3/2^) =г/о—^1т—^2»n = laD« (5_17)
Из (5-15) —(5-17) следует:
iaQ = iao 4~ ^im — ът‘, /ар — /ао — Iim — Ыът*
Почленно складывая и вычитая эти уравнения, получаем:
/im = V2 — iaD>* ~ Va^’ao — V4 (^ас+ za£>)*
343
Подставляя 12т в (5-15), получаем:
/о = Vs^’ao + V* (*ас+ *а£))-
Нелинейные искажения проявляются тем заметнее, чем больше
будет относительное значение возникающих гармонических состав-
ляющих. Поэтому для оценки нелинейных искажений вводят коэффи-
циент, который носит название коэффициента гармоник.
Коэффициент второй гармоники
k2 = I2tn/Iмп = [2Zao — (z’ac+JZaD)]/2 (ZaC~“ *аО>J (5-18)
из рис. 5-15 определим
ОС = (iaC — iam)lmi sin у; OD — (Zao — iaD)Imt sin <p.
Тогда (5-18) можно переписать
ODmi sin — OCmi sin OD — ОС
k2 = . • . = ~ . *
2mi sin ? (ОС + OD) 2 (ОС + OD)
Аналогичные рассуждения могут быть проведены, если ток со-
держит также и третью гармонику, как это имеет место в случае
усилителя на пентоде или транзисторе. Тогда аппроксимирующее вы-
ражение для тока может быть представлено в виде
/а =/о +/пи sin со/+ /2т cos 2со/ + /Зт sin Зсо/. (5-19)
Из рис. 5-15 получают следующие значения тока и сравнивают
их с рассчитанными по (5-19)
/а (rc/6) = 10 -j- I\m/2 4- 12tn/2 -f- /зт = ZaF; (5-20)
Za (rc/2) = Io 4- Iitn — Izm — 1зт = iaQ\ (5-21)
ia (я) = Io 4“ ^2m = ZaoJ (5-22)
. . im , Iгиг ^a (7/6^) — '0— 2 "* 2 ——^aG» (5-23)
Za (3/2^) — Io — Iмп — Izm-}- 1зт = Zap. (5-24)
На основании (5-20) — (5-24) получаем:
iaC — iaD = 2/im — 2/зт;
iaF — = 1мп21 зт;
zaF + zaG“ 2/o + hm,
откуда следует
/ о == iaF+ iaQ — Zao;
1мл— 1 /з (iaC — iaD + iap — *aG);
/2m = 2Zao — (iaF + Za0);
1мл —(iaF — iaG) — Ve (ZaC — iaD).
344
Коэффициент второй гармоники
fe = /2т/lim-З [(/до — iao) — (jaF — г’ао)] СаС — iaD + ?aF — габ)•
Согласно рис. 5-15 это выражение можно представить в виде
&2 = 3 (ОСпц sin <р — OFmt sin <p)/(CDmfsin у -f- FGtni sin <p)
или
k2 = 3 (ОС— OF)/(CD + FG).
Аналогично для третьей гармоники
^з— IыпИмп — [2 (ZaF — iaG) — (laC г’а/))]/2(га(; iaD + iaF— iaG)
или согласно рис. 5-15
k3 = (2FG — CD)/(2CD + FG).
Таким образом, искомые гармоники и соответствующие коэффи-
циенты для нелинейного усилителя можно определять непосредствен-
но из построения (рис. 5-15).
5-2. ВЫПРЯМИТЕЛИ И СХЕМЫ ВЫПРЯМЛЕНИЯ
А. Основные схемы выпрямления
Общие положения. Схемы выпрямления предназначе-
ны для преобразования переменного тока в постоянный.
С этой целью применяют безынерционные нелинейные
элементы с несимметричной вольт-амперной характери-
стикой, которые проводят ток в одном направлении и
практически не проводят тока в обратном направлении.
Такие нелинейные элементы носят название электриче-
ских вентилей. Любой электрический вентиль состоит из
двух электродов (анода и катода), разделенных между-
электродным пространством. По характеру междуэлек-
тр одного пространства различают электронные, полупро-
водниковые и ионные вентили. На практике наибольшее
распространение получили электронно-вакуумные диоды,
полупроводниковые диоды и лампы с газоразрядным
промежутком (ртутный выпрямитель, тиратрон и т. п.).
Каждый вентиль характеризуется следующими пара-
метрами: током в проводящем направлении (прямым
током), сопротивлением вентиля в прямом направлении
(прямым сопротивлением 7?пр), падением напряжения
на вентиле в прямом направлении (прямым напряжени-
ем) и соответствующими параметрами в обратном на-
правлении (обратными током, сопротивлением и напря-
жением). Кроме того, любой вентиль обладает допусти-
345
мым обратным напряжением, т. е. таким наибольшим
напряжением, которое может быть приложено к вентилю
в непроводящем направлении без его пробоя. Достаточ-
но простые аналитические выражения, отображающие
вольт-амперные характеристики применяемых нелиней-
I ных элементов (вентилей), отсут-
ствуют.
Поэтому при расчете большин-
ства практических схем выпрямле-
Н ния применяют линейную аппрокси-
iu мацию характеристики нелинейного
------элемента. Линейная аппроксимация
характеристики позволяет составить
Рис. 5-<16. простую схему замещения, взяв за
основу идеальный вентиль с харак-
теристикой, изображенной на рис. 5-16.
На рис. 5-17 показаны вольт-амперная характеристи-
ка, линейная аппроксимация и схема замещения для
электронного диода, полупроводникового диода и газо-
наполненной лампы (/?Пр — сопротивление диода в пря-
мом направлении; 7?Обр — обратное сопротивление диода;
Рис. 5-17,
34Q
</?Обр для реальных диодов обычно во много раз больше,
чем 7?пр). При ^обр->°о схемы замещения электронного
диода и полупроводникового диода аналогичны. Напря-
жение U3 в схеме замещения с газонаполненной лампой
соответствует напряжению зажигания лампы.
Ниже рассмотрены основные схемы выпрямления.
О)
Рис. 5-18.
Однофазный однополупериодный выпрямитель. На
рис. 5-18,а изображена принципиальная схема однопо-
лупериодного выпрямителя, состоящая из источника
входного напряжения (в большинстве случаев — это вто-
ричная обмотка трансформатора), потребителя в виде
сопротивления нагрузки /?н и нелинейного элемента —
диода. Схема замещения показана на рис. 5-18,6 (Ri—
внутреннее сопротивление источника, /?Пр — сопротивле-
ние диода в прямом направлении). Пусть сопротивление
вентиля в обратном направлении будет /?Обр. Для этого
случая построение графика тока на выходе выпрямителя
при входном синусоидальном напряжении показано на
рис. 5-19.
347
При дальнейшем рассмотре-
нии обозначим ток через диод
1д, а ток через сопротивление
нагрузки — через fH. Для одно-
полупериодного выпрямителя
^н~ — ^2-
Если пренебречь обратным
током (т. е. положить7?обр= оо),
то характер прохождения тока
Рис 5-20 через выпрямитель будет иметь
вид показанного на рис. 5-20.
Коэффициент полезного действия схемы равен1:
pH ^Н^2
pH -|- Рд + pi ^Н^2 4~ Щг'2
_________Un__________________________Rn_______________Rn
Un -p 11д -j- Ui Rn -j- Rwp ~p Ri R '
(5-25)
где R— /?н-p Ri>
В один полупериод, когда диод открыт, ток представ-
ляет собой синусоидальные импульсы. В другой полупе-
1 Для оценки эффективности (выпрямительных схем нецелесооб-
разно .пользоваться понятием мгновенного значения к. п. д., которое
описывается уравнением (5-25), так как оно не отражает специфики
'выпрямительных свойств схемы. Как известно, большинство потреби-
телей постоянного тока (и именно те, для которых необходимо
выпрямлять ток), как, например, гальванические установки, аккуму-
ляторы, двигатели постоянного тока, могут использовать только по-
стоянную составляющую выпрямленной мощности. Поэтому для
оценки энергетических показателей схем выпрямления лучше поль-
зоваться усредненным к. п. д. (эффективностью, с которой перемен-
ный ток преобразуется в постоянный [Л 5]):
ц = (Упорно/— Л Н0Д2, (5-25а)
где Рпо — среднее значение мощности выпрямленного тока, равное
произведению постоянных составляющих выпрямленного тока и вы-
прямленного напряжения; Р2 — действующее значение мощности на
входе схемы.
Уравнение (5-25а) наиболее полно отражает энергетику схемы,
поскольку на стороне постоянного тока оно учитывает только по-
стоянную составляющую выпрямленной мощности, а на входе выпря-
мителя — всю подводимую полную мощность. (Прим, перевод.)
348
риод, когда диод закрыт, ток Отсутствует. Синусоидаль-
ные импульсы можно представить в виде ряда Фурье:
/11 2
«2 = Цт |----1--5—Sitl orf-COS 2<о/ —
\ гс 1 2л: Ззт
---т|— cos W ... Y (5-26)
Максимальное значение тока равно:
12т = Ij\m '==z I нт == U2т/(Rh ~р Rnp Ri) := Uwn/R* (5-27)
Как видно из (5-26), ток содержит постоянную со-
ставляющую
/20 ——- 7до =-- Iно == 12т]И '==- U2т!^R '• Uо/R>
где
Uq — 'U 2mlЗТ.
Максимальное значение тока через диод
7дт~ Izm — ЗГТнО. (5-28)
Оно в 3,14 раза больше, чем постоянная составляю-
щая. Постоянная составляющая напряжения на нагруз-
ке RH равна:
т т г Г) Rh Uът U2m т]
= IhoRh = -d-----= 7] -----—yUo.
J\ ГС ГС
В те полупериоды, когда диод открыт, падение на-
пряжения на нем небольшое и соответствует падению
напряжения на прямом сопротивлении Rnp. В те полупе-
риоды, когда диод закрыт, падение напряжения на нем
практически равно входному ?7Обр=^2, максимальное
значение которого составляет:
= t/2m = -^ = /?н/но
(5-29)
Выбор диода для конкретной схемы следует произво-
дить по значениям требуемого выпрямленного тока /но
(постоянной составляющей) с учетом максимального
значения тока 1дт (5-28) и максимального обратного на-
пряжения на диоде &дт (5-29).
Действующее значение напряжения на вторичной об-
мотке
Г 7 _ б72/П
^2— 2
, ~ —Rh/ho
K2vj V27)
349
Действующее значение-тока
Действующее значение гока, которое определяет на-
трансформатора, в 1,57 раза
грузку вторичной обмотки
больше, чем 'среднее значе-
ние выпрямленного тока.
Так как постоянная со-
ставляющая не может транс-
формироваться, то ток пер-
вичной обмотки составляет:
= (^2 - ^Но) ^Х.Х,
где ix.x — ток холостого хода
(практически ток намагничи-
вания) трансформатора.
Построение тока в первичной обмотке трансформато-
ра изображено на рис. 5-21
Если пренебречь током холостого хода, то действую-
щее значение первичного тока трансформатора будет:
___L I 1/~гс2____1 1>21 7
— п /но V 4 п Уно-
Действующее значение первичного напряжения
И2ч
350
Полная мощность во вторичной цепи трансформатора
Р2 = {72/2=--^-[/Н04-/Н0 =
V 2т] 2
. к2 и г __ 3’49 р
~ 2/2TJ Н° Н° Н°‘
Полная мощность в первичной цепи трансформатора
в случае пренебрежения током холостого тока
Л = UJ. = 1,21 f/но/но = Рно.
Полная мощность, по которой должен выбираться
трансформатор,
п Pi + Рг _____3,49 + 2,69 Рцо 3,09 р ? г огу\
рт __ - - — — Рно, (O-OU)
т. е. более чем в 3 раза превышает мощность на на-
грузке.
Однофазная двухполупериодная схема выпрямления.
На рис. 5-22 показана однофазная двухполупериодная
схема со средней точкой во вто-
ричной цепи трансформатора.
На рис. 5-23 показаны: токи
и напряжения во вторичной цепи
трансформатора (а); токи и на-
пряжения на нагрузке (б); токи и
напряжения на диоде (в); токи и
напряжения в первичной цепи
трансформатора (г). Схема рабо- ис* ’ *
тает таким образом, что в один полупериод работает
верхняя половина схемы, в другой — нижняя, а ток через
Рис. 5-23.
351
нагрузку протекает в неизменном направлении — как при
положительной, так и при отрицательной полуволне пи-
тающего напряжения.
Разложение периодического импульса тока )(рис.
5-23,6) совместно с уравнением
f н £*21 (^7) “^22 ((°7) —~ ^21 ((1)7) ^21 'я)
и уравнением (5-26) приведет к выражению
/24 4 \
1н = 1гт{-----cos ---------rg— COS 4о>/ — ... ] .
V п orc lore J
Постоянная составляющая тока на нагрузке
7но —• 27zm] — 27д.
Так как каждый диод работает одну половину пе-
риода, то постоянная составляющая тока, проходящая
через диод, равна половине тока нагрузки
7д = 7но/2.
Амплитуда тока через диод
7 2т ~ зт7но/2.
Постоянная составляющая напряжения на нагрузке
при пренебрежении сопротивлением диода в прямом на-
правлении (7?н=7?)
J7Ho IhoR == ЫътК]==: 2J72ml
Отсюда получается максимальное значение напряже-
ния вторичной обмотки
l^2m = л17но/2
и действующее значение напряжения вторичной обмотки
С/г={/гт/Г2 = ^н./2К2.
Максимальное значение обратного напряжения на
диоде составит:
f7o6pm — 2 )/* 2t72 ’==^ ^J7ho,
оно в 2 раза больше, чем максимальное значение напря-
жения вторичной обмотки,
352
Действующее значение тока вторичной обмотки
Через первичную обмотку проходит -синусоидальный
ток, действующее значение которого равно:
г 1 U2 1 ГС £7н0 1 ГС j
1 ~п R п 2^2 Я 1п 2/2" Н0‘
Полная мощность, на которую должна быть рассчи-
тана вторичная обмотка,
Рг = = 2 /но -^=- t/но =
—----Л—- Uно/НО = 1,74Рно.
4И2
Полная мощность, на которую должна быть рассчи-
тана первичная обмотка,
P^UJ^nU^
U2 *_ гс£7но rc j
я 2УТГЙГ но~
•——U I
---ино* но
= 1,23Рно.
Полная мощность, по которой должен выбираться
трансформатор,
Рт=;(Р1 + Р2)/2 = 1,48Рно. (5-31)
Однофазная мостовая схема. На рис. 5-24 показана
однофазная мостовая схема выпрямления. На рис. 5-25
приведены: графики токов и напряжений на сопротивле-
нии нагрузки (а)\ графики токов (б) через два проти-
воположных диода (гд1 и гД4 или /д2 и /д3) и падение на-
пряжения на них; графики тока и напряжения на вто-
447 353
ричной обмотке трансформатора (в). Для этой схемы
справедливы следующие соотношения:
в прямом направ-
Пренебрегая сопротивлением диода
лении (т. е. Rh=R), можно записать:
^обрт—U*m— --2~Uh9> (5-33)
Полная мощность, на которую должна быть рассчи-
тана вторичная обмотка,
= Ш=^=- I». и™ = = Ь23РН0. (5-34)
354
Полная мощность, но которой должен выбираться
трансформатор,
Рт = Р,=А. и2п = 1,иг = Рг = PHt = 1,23РНО. (5-35)
Б. Фазочувствительный выпрямитель
Контактный вибрационный выпрямитель. Контактный
вибрационный выпрямитель представляет собой параме-
трическую цепь, проводимость которой периодически из-
меняется. Контактный выпрямитель состоит из прерыва-
Ри-с. 5-27.
теля, который в определенные интервалы времени (пе-
риодически) подсоединяет цепь нагрузки к источнику
напряжения синусоидальной формы или отключает ее
(рис. 6-26). В течение времени включения t\—h—t4
и т. д. проходит ток i=u!R.
В течение времени выключения контактов ток равен
нулю /=0.
Средний ток через сопротивление R составит
(рис. 5-27):
^4-772 /14-772
J d (ш/) =cos S, (5-36)
с
где £=соЛ — угол включения.
Как видно из (5-36), среднее значение выпрямлен-
ного тока зависит не только от приложенного напряже-
ния, но и от фазового угла между напряжением включе-
23* 355
ния us и напряжением источника и. Оно имеет йаиболй^
шее значение, если
•cos£=l, т. е. £=0,
и равно нулю, если
cos£=0, т. е. £=л/2.
Таким образом, среднее значение выпрямленного
тока изменяется в пределах
О /н /н.макс (K2/«)t7/7?.
Бесконтактный фазочувствительный выпрямитель.
Однополупериодная схема. На рис. 5-28 пока-
зана схема бесконтактного фазочувствительного однопо-
лупериодного выпрямителя {и — выпрямленное напряже-
ние, — коммутирующее или управляющее напряже-
ние). Рассмотрим работу данной схемы при условии
Uy^U,
где Uy, U — действующие значения соответствующих на-
пряжений. В этой схеме Uy выполняет роль переключа-
теля, управляя электрическим состоянием нелинейных
элементов — диодов.
Принцип действия схемы можно объяснить, ис-
пользуя идеализированную характеристику вентиля
(рис. 5-29). При положительном значении Uy/2, которое
больше и, например Uyi/2, выпрямители смещены в поло-
жительном направлении (точка Pi) и ток в сопротивле-
нии 7?м может проходить в любом направлении в зави-
симости от приложенного напряжения и. Это аналогично
в некотором смысле выключателю, который находит-
356
ся в положении «включено». Если напряжение от-
рицательно и также больше и (точка Р2), то выпрямите-
ли смещены в обратном направлении и напряжение и
не может вызвать тока в нагрузке. Это аналогично
в некотором смысле выключателю, который находится
в положении «выключено».
При отсутствии напряжения и по диодам проходят
прямые токи
VzU'y .
ls ~~ 2 (Ro + Rnp) COStoZ’
где 7?Пр — сопротивление диода в прямом направлении;
— дополнительное сопротивление, ограничивающее
ток в цепи.
При появлении напряжения и ток через верхний диод
увеличится
i/=iy+'i/2, (5-38)
а через нижний диод соответственно уменьшится
i/2. (5-39)
Очевидно, в нагрузочной ветви (7?м) ток будет:
так как диоды по отношению к напряжению и включены
параллельно. В те полупериоды, когда диоды закрыты,
ток в нагрузочной цепи отсутствует. Диоды совместно
с источником напряжения иу аналогичны переключате-
лю, который при положительной полуволне управляю-
щего напряжения us включен, а при отрицательной —
отключен.
Таким образом, принцип действия аналогичен устрой-
ству, которое изображено на рис. 5-26. Среднее значение
выпрямленного тока зависит от фазового сдвига £ меж-
ду us и и в соответствии с (5-36).
Двухполупериодная схема. На рис. 5-30 изо-
бражена схема, позволяющая выполнить двухполупери-
одное фазочувствительное выпрямление. В контуре
ОасО' действует напряжение, равное
в контуре 00'db — напряжение
U2 = U\-~U'.
357
Ё общем случае между напряжениями 6*s и б можеФ
быть фазовый сдвиг, равный £. Исследование будем про-
водить при условии, что | | U'\. На рис. 5-31
показана векторная диаграмма напряжений [7'у, U',
Oi и U2.
ПриЗусловии |[7'у| > \й'\ можно приближенно записать:
КА| \U'y\ + \U'\ cos С; |t/2| ~ \U'y\ - \U'\ cos С
Измеритель напряжения показывает среднее напря-
жение между точками end (рис. 5-30).
Рис. 5-31.
Рис. 5-32.
Кольцевой модулятор в качестве фа-
зочувствительного выпрямителя. На рис. 5-32
показана схема кольцевого модулятора, который выпол-
няет роль фазочувствительного выпрямителя. Принцип
действия схемы будет понятен, если сопоставить рис. 5-29
и 5-32. С помощью коммутирующего напряжения U'y
в один полупериод открыты диоды а и Ь, а диоды с и d
закрыты, в другой полупериод — наоборот. Таким обра-
зом, осуществляется двухполупериодное фазочувстви-
тельное выпрямление.
В. Селективный выпрямитель
Аналитическое исследование. Селективный выпрямитель -пред-
ставляет собой устройство, на выходе которого возникает постоянная
составляющая напряжения или тока, если к устройству прило-
жено переменное напряжение, частота которого находится в опреде-
ленном соотношении с частотой опорного переменного напряжения.
Подобное устройство изображено на рис. 5-33 (w2 — опорное напря-
358
жение, щ — входное переменное напряжение). Нелинейные элементы
НЭ-1 и НЭ-2 одинаковы и имеют симметричную характеристику,
изображенную на рис. 5-34, которую можно аппроксимировать не-
четным степенным полиномом
<-2
х=о
(5-41)
Для пояснения принципа действия ограничимся двумя членами
выражения (5-41)
i=aiu+azu3.
Рис. 5-33. Рис. 5-34.
Если сопротивление R 'мало по сравнению со значениями для
НЭ-1 и НЭ-2, то для рис. 5-33,а имеем:
11 = <71 (ill -р U2) “р Яз (ill ~р U2)3 = CI1U1 -р CI1U2 ~р
-р a^U3! -р 3/2sW2ltt2 ~Р 3/2зИ1М22 -р 6ZsW32j
/2 = ai (ui — и2) + а3 (ui — u2)3 = aiUi— aiu2 +
-P язН31 — Зл3и21й2 + 3#3UiM22 — ЯзМ32’,
i = ii — 12 = 2#iU2 + 2(73u32 + 6fl3w2iu2.
Для схемы рис. 5-33, б имеем:
n = 6Z1 (— ui + и2) + а3 (— Ui -р м2)3 — — (Mi + tfiW2 — .
— zz3«3i -р Зя3а21И2 — 3tf3ui«22 + язй32;
— 12 — Ол (ill -р U2) -р <Тз (Wi -р W2)3 — Clitic -р CL1U2 ~р
-р CL3U3i -р 3/7зН21М2 “р 3z2sWjU22 ~р (l3U32
I == ii —• Z2 '== {2ctiUi -р 2tz3u3i -р 6zz3UiU22) •
(5-42)
(5-43)
Пусть напряжения Ui и и2 будут:
Ui Uim sin (01/; и2 = U2m sin ((о2/ + <p).
Тогда в первом случае (рис. 5-33,я) ток равен:
i =s2aiU2tn sin (со2/ -р <р) -р 2a3U32tn sin3 (со2/ + <р) +
~р Qa^U2itn sin2 WitUzm sin (со2/ -p у) — l~2zziL72/n ~p 2
359
-4~ 3#з£721/п£/2/и^ sin ((o2/-j— ?) —----2— sin (3(о2/ -f- 3<р) -—
Зя3^21/П^2/П
sin (со2/ + <р + 2coi/) —
2
--------2-----sin (°2^ + У 2a>i/) • (5-44)
Аналогично для второго случая (рис. 5-33,6) ток равен:
i == ^2&1£/i/п -|- 2 3^зС/22/п^/sin <01/ —
/7з ^U^mU itn
---2“ ^31/n sln 3c01^ —--2-----sin + ^c°2^ “b —
----2“ azU22tnUxm sin ((Oi/ — 2(o2/ — 2<p) j>. (5-45)
Если (в первом случае (рис. 5-33,а) принять: со± = 1/гС02, то все
члены (5-44), кроме последнего, будут представлять собой синусои-
дальные функции.
Последний член этого выражения будет:
h = —-------2------sin <р.
Он представляет собой постоянную составляющую тока, про-
ходящего через сопротивление R.
Если во втором случае (рис. 5-33,6) принять (0i=2cl>2, то все
члены (5-45), кроме последнего, остаются синусоидальными функ-
циями, а последний член будет:
/о = 3/2^з^/22/п^7im sin 2<р.
При наличии нелинейных элементов с кубической характери-
стикой на выходе схемы появляется постоянная составляющая тока
при условии, что coi = 2(o2 или (0i = (02/2 (селективный выпрямитель).
Если в общем случае вольт-амперная характеристика нелинейного
симметричного элемента аппроксимируется степенным полиномом,
у которого показатель более высокого порядка п = 2Х+1, то член
степенного ряда ап будет иметь вид:
ап [U\m sin coif -J- U2m sin ((о2/ + <р)]л = [Unim sin* (Oi/ +
+ sin^-^ (Oi/£/2W sin ((o2/ + <p) +
+ ~ ^im~2) sin(n“2) (Oi/(/22zn sin2 ((o2/ + <p) + ...
... +n(/iZnsin(0i/[7^~sin(rt~((o2/ + <p) +
-J- Un2tn sin^ ((o2/ <p)] Gn. (5-47)
Все члены, кроме первого и последнего, представляют собой
произведение тригонометрических функций различных аргументов.
При этом наивысшая степень у произведений равна (п—1). Тригоно-
метрическое преобразование дает тригонометрическую функцию
360
6 Йайвысшйм аргументом (и—который появляется в произ-
ведении
у = annU[^~^U2m sin(n — 1) toi/sin (<о2/+й?) =
пТ][п—1) т1
__ nuim u2m {cos „
— «Л 2
— cos [(и — 1) (Di/+ w2Z + <р]}. (5-48)
При
й)1 = й)2/(Я—1)
появляется постоянная составляющая
anU\n~^ U2m
Уо~ п----------------cos <р, (5-49)
где (п—1)—наименьшая часть опорной частоты, при которой воз-
никает постоянная составляющая тока на выходе схемы.
При аналогичном рассмотрении можно определить и наивысшую
частоту, при которой еще возникает постоянная составляющая
wi = (п—1) со2.
Графическое исследование селективного выпрямителя. Графиче-
ский метод. исследования эффекта выпрямления обладает тем пре-
имуществом, что он, с одной стороны, наглядно показывает причины
эффекта выпрямления, а с другой стороны, дает возможность быстро
произвести расчет.
На рис. 5-35 показан годограф суммы вращающихся комплекс-
ных амплитуд двух напряжений при отношении частот <02/(01=2.
361
Положительная вертикальная Ось соот-
ветствует моменту времени /=0. Вектор
суммы за период основной частоты имеет
как различные модули, так и различную
скорость вращения.
На рис. 5-36 показаны три годогра-
фа для значений ф, равных 0; 45 и 90°,
при одинаковых амплитудах напряжений.
На основе характеристики (рис. 5-34)
можно построить график изменения во
времени тока /, показанный на рис. 5-37.
Из рис. 5-37 следует, что постоянная со-
ставляющая тока получается вследствие
смещения центра тяжести годографа за
счет изменения фазового угла: при ф=0
/о=О; при ф=90° постоянная составляю-
щая /о максимальна. Отсюда принципи-
ально можно сделать -вывод, что каждая
периодическая во времени несимметрич-
ная величина х, которая влияет на ну-
левую точку симметрии нелинейной ха-
рактеристики #i(x) и для которой инте-
тральное среднее значение за период
равно нулю, при определенных условиях
может вызвать постоянную составляю-
щую в величине у.
Применение селективного выпрями-
теля для построения генератора низкой
частоты. Если выбрать частоты напря-
жений и\ и и2 таким образом, что
<о2 = 2(01 -|- Дсо,
где Дсо значительно меньше coi, то на
основе схемы рис. 5-33 можно построить
генератор низкой частоты по принципу
звукового генератора на биениях При
нелинейным элементом и с помощью
Рис. 5-36.
этом ток усиливается
фильтров низких частот отфильтровывается низкочастотная со-
ставляющая и согласно (5-46) появляется составляющая io =
=—3/2asU2imU2m 8ш(.А<о/+ф) частотой Дш.
362
Рис. 5-38.
5-3. СТАБИЛИЗАТОРЫ
А. Общие положения
Стабилизаторы — это устройства, которые служат
для поддержания в заданных пределах питающего на-
пряжения (стабилизатор напряжения) или тока (стаби-
лизатор тока) на выходе устройства, к которому под-
ключена нагрузка в виде сопротивления Z2. В зависимо-
сти от рода тока сети различа-
ют стабилизаторы переменных
и стабилизаторы постоянных
напряжений и токов. Послед-
ние получили более широкое
применение.
Стабилизатор представля-
ет собой четырехполюсник,
связывающий питающую сеть и сопротивление нагрузки
(рис. 5-38). При этом требования к устройству могут
быть различными, например: 1) при изменении сопро-
тивления Z2 и постоянном входном напряжении U± ток
/2 должен остаться неизменным; 2) при изменении вход-
ного напряжения Oi и постоянном сопротивлении Z2 ток
/2 должен остаться неизменным; 3) при изменении вход-
ного напряжения Ot и одновременном изменении сопро-
тивления нагрузки Z2 выходное напряжение U2 должно
остаться неизменным.
Выясним, можно ли обеспечить стабилизацию, ис-
пользуя линейный четырехполюсник. Первое уравнение
линейного четырехполюсника
^=АД+Л18/2, (5-50)
где Ли и Л12 — постоянные коэффициенты.
Используя уравнение, определяющее напряжение на
выходе схемы,
/2== U2IZ2
и (5-50), можно записать:
= UгЦАи -[-> Hi2/Z2);
/^^/(А^+Лп). (5-51)
Напряжение й2 и ток /2 пропорциональны входному
напряжению. Поэтому осуществить стабилизацию выход-
ного напряжения и тока при изменении входного напря-
363
i1 z ~ жения невозможно. Таким об-
0>l I—] ? 1 1 разом, второе и третье требо-
U Zq\\ z2ty вания. не могут быть разреше-
v 1 U ны с использованием линейно-
0---------i-—------1 го четырехполюсника. Однако
рис 5-39. первое требование может быть
обеспечено линейным четырех-
полюсником. Действительно, при постоянном входном на-
пряжении U\ ток /2 не зависит от сопротивления Z2 со-
гласно (5-51), если
24nZ2+4i2 = ccnst,
т. е.
Лц = 0. (5-52)
Рис. 5-40. Рис. 5-41.4
Простейшим четырехполюсником, у которого это
условие выполняется, является Г-образный четырехпо-
люсник (рис. 5-39). При этом
Ли = 1 -\-ZIZq.
Выполнение (5-52) приводит к соотношению
Z=—Zo. (5-53)
Схема такого четырехполюсника изображена на-
рис. 5-40, у которого
соА = 1/соС.
При постоянном входном напряжении ((Л = const) ток
/2 равен:
Л = - jU^VLiC. (5-54)
Из (5-54) следует, что ток 12 не зависит от сопротив-
ления Z2. Подобные свойства можно обнаружить и у мо-
стового четырехполюсника (рис. 5-41), если coL=l/coG
При этом
Л11= (ZG+Zb)/ (Za—Z&) = Ck
Й64
Б. Стабилизация с помощью нелинейных элементов
Стабилизация напряжения с помощью термистора.
При небольших мощностях и небольших колебаниях
входного напряжения для стабилизации выходного на-
пряжения можно использовать термисторы. В этом слу-
чае термисторы используются как инерционные нелиней-
ные элементы, обеспечи-
вающие стабилизацию
без искажений при посто-
янном и переменном на-
пряжениях. Схема стаби-
лизации для обоих видов
напряжения остается без
изменений.
о
Рис. 5-43.
Рис. 5-42.
Наибольшее распространение получили схемы в виде
делителей напряжения, одна из которых представлена
на рис. 5-42. Для использования термистора как стаби-
лизатора напряжения последовательно с ним включают
линейное сопротивление Если компенсирующее со-
противление Rh будет равно отрицательному дифферен-
циальному сопротивлению термистора на рабочем уча-
стке, то общая вольт-амперная характеристика для
термистора и сопротивления Rh будет иметь вид характе-
ристики Rh+Rt на рис. 5-43. Определить значение сопро-
тивления Rh можно, линеаризовав рабочий участок тер-
мистора. Для более жесткой стабилизации параллельно
участку с термистором подключают сопротивление Ra-
Это.приводит к тому, что характеристика параллельного
соединения (Rh+R^WRa* становится близкой к харак-
теристике стабилитрона (рис. 5-43). В области напря-
жений при относительно больших колебаниях
входного напряжения выходное напряжение имеет не-
значительные колебания.
См. примечание к рис. 5-84,
365
Использование схем стабилизаторов с термисторами
ограничено тепловой инерционностью, которая приводит
к тому, что при повышении входного напряжения перво-
начальное сопротивление термистора сохраняется, пока
не установится температурное равновесие. В результате
этого напряжения на выходе схемы увеличивается и
только постепенно с уста-
новлением температурно-
го равновесия снижается
до стабилизируемого зна-
Рис. 5-44.
чения. Другим недостатком стабилизаторов с термисто-
рами является зависимость их характеристик от темпе-
ратуры окружающей среды. Для уменьшения этого яв-
ления рабочую область термистора следует выбирать
возможно правее, где температура окружающей среды
меньше оказывает влияние на вольт-амперную характе-
ристику термистора.
Бареттер в качестве стабилизатора. Для использова-
ния бареттера в качестве стабилизатора тока его вклю-
чают последовательно с сопротивлением 7?, как показано
на рис. 5-44. Напряжение на бареттере определяется,
с одной стороны, зависимостью
U6=Ui—IR, (5-55)
я с другой стороны, вольт-амперной характеристикой ба-
реттера. Рабочая точка определяется точкой пересече-
ния вольт-амперной характеристики бареттера /=/(^б)
и нагрузочной прямой, соответствующей уравнению
(5-55) и рис. 5-45.
Если ти и rrii — масштабные коэффициенты напряжения и
тока, то
tg р » = kR\
tg «ст = — kRcr;
tg ад = mubJJe/inibI — Л/?д,
366
(5-56)
где $ст — статическое сопротивление; Рд— дифференциальное с blip О*
тивление бареттера.
Если входное напряжение Ui изменится на Д£Л, то ток I изме-
нится на А/ и коэффициент стабилизации определится как
МА . Д/ _ Д£А ф Ux
ket~ U1 ' 1 М * 1 • - (5‘57)
Но так как
ДС/х == ДС7б + Д/Я; W= U6 + 1R, (5-58)
коэффициент стабилизации
*ст = (Д(/б/Д/ + 7?): (t/б// + R)
или
*сг = (Яд. + Я)/(Яст + Я), (5-59)
откуда можно записать условие стабилизации
Яд>Яст« (5-60)
Как следует из рис. 5-46, при изменении сопротивления нагрузки,
что равносильно изменению угла наклона нагрузочной прямой 0,
также происходит стабилизация тока. Значение дифференциального
и статического сопротивлений бареттера за-
висит от положения рабочей точки Р, т. е.
от входного напряжения £Л, и сопротивле-
ния нагрузки R,
Номинальные значения токов различ-
ных типов бареттеров находятся в пределах
от долей ампера до нескольких ампер, а на-
пряжений — от нескольких вольт до не-
скольких сотен вольт. Значение дифферен-
циального сопротивления колеблется в пре-
делах нескольких тысяч ом. В общем случае
на бареттере падает 25—40% входного на-
пряжения. Коэффициент стабилизации схе-
мы находится в пределах 15—25.
Бареттер обладает большой тепловой
инерционностью. В обычных условиях изме-
нение сопротивления бареттера длится не-
сколько секунд. Поэтому бареттер в основ-
ном используется в схемах стабилизации
гока только при медленных изменениях
входного напряжения. Из-за тепловой инерционности бареттер в це-
пях переменного тока может рассматриваться как линейный элемент.
Сопротивление бареттера не может следовать за быстрым измене-
нием тока и принимает значения, зависящие от действующего значе-
ния тока. Нелинейность вольт-амперной характеристики бареттера
в этом случае не вызывает искажения формы тока. Однако из-за
тепловой инерционности бареттера внезапное изменение входного на-
пряжения может быть передано на выход схемы. Для подавления
скачка выходного тока можно использовать термистор описанного
выше вида (рис. 5-46,6).
При подаче скачком входного напряжения бареттер обладает
очень незначительным сопротивлением и поэтому в начальный мо-
мент по цепи будет проходить большой ток, который постепенно
367
с установлением температурного равновесия уменьшится до йомш
нального значения.
Если последовательно с бареттером включить термистор, сопро-
тивление которого в начальном состоянии большое, то скачок выход-
ного тока будет подавлен. С установлением температурного равно-
весия сопротивление бареттера будет расти, а сопротивление терми-
стора падать.
Газоразрядные лампы в качестве стабилизатора на-
пряжения. Схема включения газоразрядной лампы в ка-
честве стабилизатора напряжения выбирается так, чтобы
при колебаниях входного напряжения выходное напря-
жение практически не изме-
нялось. Схема делителя на-
пряжений с лампой тлеюще-
го разряда, которая может
Рис. 5-47.
быть использована в качестве стабилизатора напряже-
ния, приведена на рис. 5-47. Газоразрядный стабилитрон
работает при обратном -смещении (в области пробоя)
и включается параллельно нагрузочному сопротивлению
на котором необходимо поддерживать постоянное на-
пряжение. На рис. 5-48 изображена вольт-амперная ха-
рактеристика лампы тлеющего разряда. При напряжении
Ur наступает разряд, обеспечивающий стабилизацию.
Режим работы цепи с газоразрядной лампой может быть рас-
считан графически. Однако этот метод не единственный, так как
вольт-амперная характеристика лампы в рабочей области может
практически считаться линейной 7?д = const, что позволяет произве-
сти более простой аналитический расчет.
Напряжение на нагрузке
dU2
и2=и3--^ц~12 = иа-Ед.12,
где Vs — напряжение зажигания лампы.
Ток в сопротивлении будет:
Л=(У1-£72)/Л=/2+/з,
откуда ток в лампе
/2=
(5-61)
(5-62)
(5-63)
368
Из (5-61) и (5-63) следует:
р / р \
А так как R^ — dUzIdlz очень мало,
^2«ад/(7?-/?д),
(5-64)
т. е. напряжение Uz практически не зависит от входного напряжения
U{ и сопротивления нагрузки 7?2« Поэтому схема, показанная на
рис. 5-47, может быть использована для стабилизации напряжения
на сопротивлении R2 как при изменении сопротивления Т?2, так и при
изменении напряжения Uy
Для нормальной работы схемы необходимо, чтобы напряжение
на газоразрядной лампе было достаточным для возникновения газо-
вого разряда (зажигания) лампы при наихудших режимах ее ра-
боты.
Рис. 5-49.
Газоразрядный стабилизатор используется для стаби-
лизации от нескольких сотых долей до нескольких десят-
ков ампера и от нескольких десятков вольт до несколь-
ких сотен вольт. Дифференциальное сопротивление газо-
разрядной лампы составляет десятки ом,
а статическое сопротивление — несколько
килоом. В общем случае на дополнитель-
ном сопротивлении падает от 30 до 40%
входного напряжения. Коэффициент ста-
билизации схемы находится в пределах
25—40.
Газоразрядный стабилизатор безынер-
ционен и не может применяться в цепях
переменного тока, так как напряжение на сопротивлении
нагрузки представляет собой отсеченные полусинусоиды.
Это вызвано тем, что напряжение на выходе схемы мо-
жет появляться только в те моменты времени, когда
напряжение на входе превышает напряжение зажигания
газоразрядной лампы.
Стабилизация с помощью нелинейных мостовых схем.
Неполный нелинейный мост. На рис. 5-49 изо-
бражена мостовая схема, состоящая из двух одинаковых
нелинейных элементов НЭ, вольт-амперные характери-
стики которых аппроксимированы уравнением
U=kln. (5-65)
Рассмотрим случай холостого хода. Так как схема
симметрична, ток во всех элементах одинаков. Напря-
жение в диагональной ветви
ид^и0—2/J?,
24—447
369
отсюда следует, что
dU^dU^\—2Rdl!dUQ. (5-66)
Напряжение на выходе постоянно и не зависит от
входного напряжения, если
dUjJdU^Q. (5-67)
При выполнении (5-67) наблюдается эффект стаби-
лизации. Из (5-66) следует:
dUddI=2R.
Но так как
(5-68)
UQ=IR+kInf
d Uq/cII=R+nkln~l = 2R.
Из (5-70) можно вычислить ток /, подставить его
в (5-69) и определить напряжение Uq, при котором на-
пряжение в диагонали моста не зави-
сит от изменения входного напряже-
ния.
Другая схема стабилизации >в виде моста
с нелинейными элементами изображена на
рис. 5-50. Нелинейный мост и первичная об-
мотка трансформатора питаются от переменно-
го напряжения U\. Вторичная обмотка транс-
форматора включена последовательно с диа-
гональю моста таким образом, что выходное
напряжение О2 получается как разность на-
пряжения вторичной обмотки О" 2 и на-
Рис.
5-50.
пряжения
моста
#'2:
(5-69)
(5-70)
02^Urr2—Uf2'9
от £Д:
U"2^nUi. (5-72)
Если мост при #1 = С7ц уравновешен ((У'г^О), то напряжение
на выходе схемы
При входном напряжении
и1 = ии + Ы)11
® диагонали моста появится напряжение Af7'2 и напряжение на вы-
ходе составит:
0й2 линейно зависит
Если
#22 = п#и + пД£Л — Д£А.
Д£7'2 «= /2Д[7ц,
то
(5-71)
(5-73)
(5-74)
U22 = пйи.
(5-75)
370
Таким образом, напряжение при 0[ = 0и и t7i = t/n+A[7i
имеет одно и то же значение согласно (5-72) и (5-75).
В области входных напряжений
на выходе появляются незначительные отклонения, так что схема
находится в границах стабилизации.
Рассмотрим работу схемы, если характеристика нелинейного эле-
мента
U=kln. (5-76)
Исследование проведем для случая холостого хода. Учитывая
что схема симметрична и токи во всех ветвях моста одинаковы,
получаем:
1Л = kin + IR-
U^ = kln — IR-
dUi/dl = nkln-1 + R-9
dU'z/dl = nkln-i—R-9
dUi/dU'* = (nkln-i + R)/(nkIn~i — /?).
(5-77)
При номинальном напряжении Ui = Un напряжение U'2 должно
быть равно нулю, так что
kIn=IR- (5-78)
R=kln-^. (5-79)
С учетом (5-77)—<(5-79) получим:
dUll/dUf2==(nR + R)/(nR — R)^(n+ l)/(n— 1). (5-80)
В случае квадратичной характеристики, т. е. п=2, соотношение
(5-80) будет равно:
Д£/и/ДС/'2 dUn/dlPi = 3.
Согласно (5-74) коэффициент трансформации в данном случае
составит rt=V3-
Поскольку приведенные выше соотношения получены для слу-
чая холостого хода, ими можно пользоваться только для сравни-
тельно больших значений сопротивлений нагрузки.
Рис. 5-52.
24*
371
Пол ный нелинейный мост. На рис. 5-51 изображен
мост, состоящий из четырех нелинейных элементов. В каждой ветви,
кроме нелинейных элементов, включены дополнительные сопротивле-
ния B'i—В'4. Нелинейные элементы в противоположных ветвях оди-
наковы, и, кроме того, у нелинейного элемента НЭ-1
Яд>ЯСТ,
а у нелинейного элемента НЭ-2
/?д<^ст.
Вблизи рабочей точки нелинейный элемент можно заменить по-
следовательным соединением эквивалентной э. д. с. и сопротивлени-
ем, равным дифференциальному сопротивлению нелинейного элемен-
Рис. 5-53.
Рис. 5-54.
та (рис. 5-52). Таким образом можно получить эквивалентную схему
моста, состоящую для определенной области U\ из токозависимых
сопротивлений:
Bl = ^?Д1 4” ВГ В.2 ~ В&2 4" ВГ2> Вз = ЯдЗ 4" ВГз',
Вь = /?Д4 4- ВГ4.
(5-81)
С помощью переменных сопротивлений В\—В\ можно полу-
чить уравновешенный мост, при этом
Bi/Rb = Rz/Bz’)
(/?Д1 4- ^'1)/(^д4 4- Вг4) = (/?Д2 4- Я'2)/(Ядз 4- Вгз). (5-82)
При выполнении этого условия ток в диагонали моста не зави-
сит от напряжения и сопротивления в цепи С7], и поэтому ветвь
с напряжением U\ можно исключить.
Таким образом, ток в сопротивлении Во и напряжение на нем
не зависит от и от сопротивления во внешней диагональной
ветви, а также от их изменений. Ток и напряжение в сопротивлении
Во зависят только от Bi, В2, Вз, В4 и £ь £2, Ез, Е4. Мост уравнове-
шивается при
^14’^2=^з4_^4.
372
В результате применения теоремы об эквивалентном источнике
напряжения (рис. 5-53) получается:
SR(Ri + R2) __S^(Rx4-R2)_ .
75э“Я1 + Я2 + /?з + /?4 (2^ + %) 2 ’
„ R1 + R2 ____ R3 4~ R4 ,
/\э = 9 о ’
(5-83)
. Е3_______________^Е________.
0 Rs 4“ Ro Ri 4~ R2 4“ 2R0 9
R&E
U°- R1 + R2 + 2R0 •
Напряжение Ui определяет положение рабочей точки и, следо-
вательно, значения сопротивлений Rju, Т?д2, RH3, Rm и э. д. с. £ь
Е2, Е^ Ei, которые при небольших изменениях напряжения Ux мож-
но принимать в качестве постоянных. Улучшение стабилизации мож-
но получить, применяя двойную мостовую схему (рис. 5-54).
В. Феррорезонансный стабилизатор
Простейший феррорезонансный стабилизатор. Стаби-
лизацию напряжения можно получить, используя ферро-
резонансные цепи. В технике широкое применение нахо-
дят различные феррорезонансные стабилизаторы, в кото-
рых используются явления феррорезонанса токов или
напряжений, вследствие чего их называют феррорезо-
нансными.
Принцип действия феррорезонансных стабилизаторов
основан на том, что обмотка, в которой индуктируется
выходное напряжение стабилизатора, помещается на на-
сыщенном магнитопроводе или на насыщенной части бо-
лее сложной магнитной цепи. Так как магнитная индук-
373
ция в пределах режима насыщения изменяется незначи-
тельно, то и выходное напряжение будет изменяться
незначительно.
Поясним принцип действия и отдельные особенности ферроре-
зонансных стабилизаторов, используя схему замещения, приведен-
ную на рис. 5-55. Эта схема состоит как бы из двух частей: первая
представляет собой линейное реактивное сопротивление X в виде
катушки с ненасыщенным ферромагнитным сердечником, а вторая —
нелинейную цепь, состоящую из параллельно соединенных конденса-
Рис. 5-57.
Рис. 5-58.
тора С и катушки L с насыщенным ферромагнитным сердечником.
Используя схему замещения катушки, разделим ток катушки на ток
намагничивания II и ток потерь /у. При выводе основных расчет-
ных соотношений заменим несинусоидальные величины эквивалент-
ными синусоидальными. На рис. 5-56 показана векторная диаграмма,
соответствующая схеме замещения.
Определив для ряда значений входных напряжений соответ-
ствующие значения U2, можно построить зависимость
|й|=Д|й|).
Эта зависимость в общем случае представляет собой харак-
теристику стабилизации. Как известно, зависимости
141=fi (1й|); 141=4(1^1)
нелинейны и в большинстве случаев неизвестны.
Известными при расчете обычно являются кривая намагничива-
ния и кривая потерь мощности P=g(B).
Если приближенно считать, что несинусоидальные величины си-
нусоидальны, то
(О
°* = (5.84)
IL = Hml‘V"2w = k2H.
Характеристику IL=f(U2) можно получить из кривой намагни-
чивания В(Н) с помощью масштабного преобразования. На рис. 5-57
показаны кривые 1ь = {ь (£4), Ic=fc(U2), Ib = Ic—lL = fb(Uz)- При
Uz<Up ток Ic>Il и ток 1ъ имеет емкостный характер. При
374
Ток 1c<Jl и tb имеет индуктивный характер. При U2—Up (ферро*
резонанс) Il=Ic и /ь=0. Напряжению резонанса 7/р соответствуют
резонансная индукция Вр и резонансная напряженность Яр. Ниже
показано, что при сравнительно -больших колебаниях напряжения
U\ значение U2 изменяется незначительно. Соответственно незначи-
тельно изменяются В и Н. Чем выше лежит напряжение резонанса
Z7P, тем более выражено это явление и тем лучше эффект стаби-
лизации. Предельное значение J7P ограничивается магнитной нагру-
зочной способностью цепи. При применении листовой стали IV ре-
комендуется выбирать В?пР = 1,4 Т, что соответствует /ЛпР =
= 1300 А/м.
Нормированная кривая В(Н) получится по выражению
BfBp=f(H/Hp).
Учитывая (5-84), можно также получить нормированную кри-
вую
U't = UifUip = f (IL/ILp) = f (5-85)
Так как предварительно геометрические размеры магнитной
цепи неизвестны, то расчет целесообразно проводить с нормирован-
ными величинами, для чего все токи нужно отнести к /ьР, а все
напряжения—-к Up. На рис. 5-58 .показаны нормированные харак-
теристики
/'> = /С/^р - = ^/^р! } (5-86)
ITw = Iw/ILp = + I RpLv J
Учитывая, что Iw находится в фазе с t?2, записывают:
— j/b-t р = pw - ji'b- ux = ixp
откуда поручают:
йх 1 zlp . х .
t/л = и — jx у j — i iz — jxfp•
Учитывая сопротивление нелинейной катушки в случае резо-
нанса 2xp = t7P/ZbP, соотношение U\ — и\+ U'x, а также то, что [72
расположено по действительной оси, получаем:
и\ = и'2 + ix'p =U'2 + jxr (i’w - U’b) == U’z + x'i'b + jx'/'w.
(5-87)
При U2<Up ток 7'b>0; при U2>Up ток Гъ<$. Мнимая часть
будет равна нулю, если /'w = 0. Это справедливо для случая холо-
стого хода, если пренебречь потерями.
На рис. 5-59,а, б показаны построения для X'—Ч, X'=2 и X'—
=2,5. При увеличении X' точка А остается неизменной, точка
C(U'x+U'2=0) перемещается к точке £/,2=1. При увеличении X'
характеристика U'i=f(U'2) становится круче, т. е. стабилизация
улучшается. Увеличение
X' = X/zLp = X/zc = <&LC
375
Означает увеличение произведения LC, что повышает стоймостЬ
устройства. Для листовой стали IV рациональное значение X'=2,5.
Мощность намагничивания в случае резонанса составляет:
л; тт г Шрт
Л/р-^рЛр- АВрт
_ coZA &V
2 ВртН рт = ~~2 ВртН рт-
(5-88)
Отсюда можно вычислить объем стержня нелинейной катушки
и его массу
V = Шр/ыВртН рт
G =z у]/ = ^Np/(иВрщНpm.
Рис, 5-59.
Потери мощности в случае резонанса
Рур Рр == ррр/ыВртН pm = kNp. [(5-89)
Для листовой стали IV с индукцией Вр = 1,4 Т, Нр —1300 А/м,
у=7600 кг/м$, рр=2,66 Вт/кг коэффициент &=0,071.
Если приближенно принять сопротивление потерь постоян-
ным, то
IvU гр=|.£Л/£/р;
_______U2 ^Vp Uzp U2 •
fLp ” t/p V up '
I'v = kU'z.
Таким образом, ток потерь зависит от напряжения V'2. Ток
в нагрузке
и2 Up ^Lp иг Ur2
/Lp -RIl Up - r Up R> ’
где
Л' = «/г£р.
376
Нормированный активный ток составит:
I'w=I'V+I'R =U'2 (k +1 /R').
Из (5-97) для входного напряжения следует:
= UT2 — ХЧ’ь + jX (k + 1/R') Ur2i (5-90)
где Гь — функция от и\, которая для Xz=l может быть определена
с помощью рис. 5-59.
Уравнение (5-90) преобразуется следующим образом:
U'2 + / (X'k + X'R') Ur2 — ХЧ’ъ (U'2) =
~ U'2 [1 + / (X'k'+;X'/R')] - ХЧ’ъ (7'2). (5-91)
Рис. 5.-60.
При неизменных Xz = 2,5 и k = 0,071 X'& = 0,18. Построение кри-
вой Ur2=f(U'2}n показано на рис. 5-60. Первый член правой части
(5-91) представляет собой прямую с углом наклона
6 == arctg (Х^+ X'/Rr).
При изменении 0<Х/7?<1 эта прямая изменяет свой наклон
в пределах 01—0s- Каждое значение этой прямой
[1 + /(Х^+Х'//?')]^2
складывают с
-X7zb(t7z2).
Затем, используя зависимость, представленную на рис. 5-60, гра-
фически строят характеристику стабилизации (рис. 5-61)
К7'г| = /(|(Х|)
377'
для различных значений Х/R (1 — для холостого хода и без учета
потерь; 2 — для X/R = 0; 5 —для Х/7? = 0,5; 4 —для Х//? = 0,75;
5 — для Х//? = 1,0).
Чем меньше Х/R, тем лучше стабилизации. При больших зна-
чениях U'i кривые практически сходятся. Меньшему значению X/R
при заданном значении X требуются большие значения R, т. е. ма-
лые нагрузки. В кривой 4 (рис. 5-61) отсутствует неоднозначность
и она наилучшим образом удовлетворяет противоречивым требова-
Рис. 5-62.
ниям обеспечения хорошей стабилизации и по возможности наи-
большей мощности в нагрузке. Для стали IV (по сортаменту ГДР)
при X/zi,p = 2,5 и zl=Zc:
R/zl = R/zc = 3,35;
<&CR = 3,35.
Из рис. 5-61 видно, что схема обладает достаточно хорошими
характеристиками стабилизации. Однако выходное напряжение при
нарастании входного напряжения имеет небольшой, почти линейный
подъем.
Коэффициент нелинейных искажений феррорезонансного стаби-
лизатора. Дифференциальное уравнение. Нелинейная
катушка в схеме стабилизатора рис. 5-55 является безынерционным
элементом и приводит к искажениям тока намагничивания и вслед-
ствие этого к искажению стабилизированного выходного напряже-
ния. Для исследования коэффициента нелинейных искажений выход-
ного напряжения нельзя воспользоваться методом эквивалентных
синусоидальных величин. Поэтому необходимо исследовать диффе-
ренциальное уравнение рассматриваемой схемы.
Схема замещения простейшего феррорезонансного стабилизатора
представлена на рис. 5-62, где сопротивление потерь катушки вклю-
чено в сопротивление R. По законам Кирхгофа имеем:
U\ = L di\!dt+u2\ ij =
Учитывая, что
ic = С du2/dt = С d^/dt^
uf _ 1 dV
R R dt'
(5-92)
378
поЛуча^М!
т „ d39 , L d3% r diL (
M1 —LC dt3 + R dt3 +L dt + dt
и при входном напряжении
w1 = [/lmsin ((о^+ф)
после одноразового интегрирования
L dW Uim
LC -dfi~+-R ~dTMl + ^ = - — cos И + if).
Проведем нормирование этого уравнения по напряжению
U L~[>m ==z (dWpm
и току ILr в точке резонанса:
соГшСФрт +-£- Фрт + ЫLpmx +
. Uim /1ч
+ ФртУ = — COS (т + у),
где
х = 'L/tbem* У s т = <0^
После деления этого уравнения на
соЛсоСФрт = Фрт — Ll Lptn
оно запишется в виде
ГЛ2# , zLp dy , zLp
-d^+-R~-dT + x—X-y =
Uim x
= -u;-----jrcos (’ + *)
Lpm
или с учетом обозначений
= 1/«C; rm = (Utm/Ulpm) zLp/X;
8 = ZLp/^> “ = ZLp/X
и аппроксимирующей функции нелинейной катушки
x=ay+by9 (5-93)
окончательно получим дифференциальное уравнение схемы:
dty/dtf -«a dy/dz + ay + by* + ct.y = —• Vm cos (т + у). (5-94)
Приближенное решение дифференциального
уравнения. Для определения установившегося решения получен-
ного дифференциального уравнения в первом приближении введем
подстановку
t/i = yimsinx (5-95)
379
й с учётом, что
dyi/d'i = Yim cost; d^yi/dtf = — /im’sinj;
sin9 т = i/256 (126 sinT — 84 sin 3т 4~ 36 sin 5т — 9 sin 7т -|- sin 9т),
получим:
—Yim sin T 4- frYim cost 4- (а Ц- a) Yim sinT -f-
+ (бУ91т/256) (126 sin т — 84 sin 3т 4- 36 sin 5т— 9 sin 7т -f- sin 9т) =
= — Гт cos <p cos т -f- Гш sin cf> sin t.
Пренебрегая высшими гармониками при сравнении коэффици-
ентов, получаем:
—Yim + (a + a) Yim 4~ 126/25б6У91т == I'm sin y; (5-96)
_Sylzn==rmcos<p (5-97)
или после возведения в квадрат и сложения этих двух зависимо-
стей
rm = V+ [(а + « — 1) у1т + в8/1В8ЬГ»,т]г.
Нормированное выходное напряжение в соответствии с (5-92)
можно определить из выражения
U<> __ 1 d4? dy dy
(5’98)
Задаваясь Yim можно рассчитать нормированную амплитуду
Гт .входного напряжения .-и, таким образом, определить характери-
стику стабилизации:
У1т (f7ьрт) •
Она для параметров
«=0,25; 6 = 0,75; а=гЬр/Х=0,4; 6=гЬр/7?= 1/3,25 = 0,3
представлена на рис. 5-63 и похожа на соответствующую кривую
на рис. 5-61.
Получение улучшенного решения и определе-
ние коэффициента искажения. Запишем (5-94) в форме
d2y/dtf — — ddy/dz — (а ф- а) У — by9 — Гт cos (т 4- <р).
Подставим в правую часть этого уравнения приближенное ре-
шение (5-94) и, кроме того, прибавим:
d2yi/d^ — d^yi/di? = — Уim sin т + У1т sin т ~ 0.
Тогда получим:
d2y/d^ = — Yim sin т 4- Yim sinT — §Yim cost —
— (a 4- a) Yim sin т — (6У91?тг/256) (126 sin т —
— 84 sin Зт ф- 36 sin 5т — 9 sin 7т 4- sin 9т) —
— Г/тг cos<p cost 4-Г/и sin sin т. (5-99)
380
Ёсли исключить из этого уравнения решение первого прибли-
жения для основной гармоники в соответствии с (5-97), то полу-
чим:
d2y/(№ — — Yun sin’i: — (6Y9im/256) (—84 sin Зт -f-
+ 36 sin 5т — 9 sin 7т + sin 9т).
(5-100)
В результате двухразового интегрирования этого уравнения по
лучим улучшенное решение у(х) с основной и высшими гармони
ками.
Рис. 5-64.
В соответствии с (5-98) нормированное выходное напряжение
равно:
U2/ULpm = dy/dz-t (5-101)
интегрируя, получаем:
dy V 1 bY9im Г 84 Q t 36 е
= Y\т cos т + -§56“------з" cos Зт + cos 5т —
9 1 Я
—— cos 7т ~g~ cos 9т I, (5-102)
откуда коэффициент искажения
1/ (6У21т/256)2 [(84/3)2 + (36/5)2 + (9/7)2 + (1/9)2]
k “ V Y2im + (&У91?п/256)2 [(84/3)2 + (36/5)2 + (9/7)2 (1/9)2] ’
(5-103)
Полученное выражение показывает, что коэффициент искажений
зависит только от коэффициента b нелинейного члена характеристики
(5-93) и от управления (величины управляющего сигнала) У1т, т. е.
от нормированной амплитуды выходного напряжения. Для Ь — 0,75
коэффициент искажения составляет:
= 1/0,007177^/(1 4-0,00717У}®). (5-104)
Изменение коэффициента искажения в зависимости от входного
напряжения также изображено на рис. 5-63.
Феррорезонансный стабилизатор с обмоткой компен-
сации. Проведенное выше исследование феррорезонанс-
ного стабилизатора показало, что он обладает двумя
381
недостатками: i) схема Даже в зоне стабилизаций ймёёФ
небольшой приблизительно линейный подъем; 2) выход-
ное напряжение при больших управляющих сигналах
имеет существенный коэффициент искажения (до 30%).
Первый недостаток можно устранить введением так
называемой компенсирующей обмотки и благодаря это-
му улучшить значительно свойство стабилизации. Для
этого рассмотрим векторную диаграмму напряжений
(рис. 5-60), из которой следует, что при изменении вход-
ного напряжения Ui существует напряжение, которое
изменяется значительно меньше, чем U2. Это напряжение
которое соответствует точке А на рис. 5-60; и2к мож-
но получить, если напряжение 02 сложить с частью на-
пряжения Ох, причем с противоположным знаком. Схе-
ма, которая позволяет с помощью компенсирующей
обмотки получить напряжение О2к, приведена на
рис. 5-64.
Проведем анализ влияния компенсирующей обмотки на полу-
ченные ранее зависимости при соблюдении условий
--пОхк» 01К = 4“ бдж.
В схеме с компенсирующей обмоткой все величины снабжены
индексом «к». Из рис. 5-64 следует:
UxK = + /соМ/к = i^K ^ / + ~
= ]Хк (/ + л/к) = /А'к (/у 1ъ + /к + л/к) =
= \Jy + + (1 4- л) i/гк/^к]» (5-105)
где /& = /с+4.
Отсюда
Г71к = С/г —— A’jc/i 4“ 4г / (1 4“ л) — п (£ЛК — С72)]
(5-106)
или после преобразования
£Лк £ 1 4" j/^к (1 4* л) = С/2 — 4- jXKfy 4"
+ /-^-(l + npl/2. (5-107)
С учетом обозначений:
g == (XK/RK) (1 4- л) л; Y) = (Хк//?к) (1 4- л)2
382
2 =
переходим к нормированным величинам
ир С1 +~ ир Т7Г 7“ +
I , Хк . , ^2 •
+ / uP
и^к (I + /1) = 17'2 —~ 1'ь + / ~ I'v+frfJ'e,
£Lp
U'ik (i + 7g) = u\ - xrKpb + ixfKpv +
= U'2 - X'KPb + 7 (X'Kk + 7!) U'2.
Сравнивая (5-! 108) c (5-90) и учитывая
Х'к = X' = 2,5; X/R = 7) = (XK/RK) (1 + n)*t
убеждаемся, что правые части идентичны.
Очевидно, что
£/'iK (1 + /ё) = 0'г, i/'iK = i/'i/(i + 7ё).
Последнее уравнение показывает, что кривую можно по-
лучить, если вектор кривой умножить на лг=1/И 1+g2 повер-
нуть на угол cp = arctgg.
На рис. 5-65 показаны кривые для нескольких случаев. Наиболее
приемлемой является кривая 2, у которой прямолинейный участок
проходит параллельно вещественной оси, что обеспечивает наиболь-
шую эффективность стабилизации. В рассмотренном примере для
листовой стали IV коэффициенты равны:
g = (XK/RK) (1 + п) п = 0,03; т] = (Хк//?к) (1 + /2)2 = 0,75, (5-109)
где л = 0,042; XK/RK = 0,69; JrK/zIp = 2,5.
На рис. 5-65,б показана зависимость |J7'2k| = f (|£/'ik|)«
Для кривых 1—3 (рис. 5-65) имеем:
= С/1ки/^ьр =0,92; '(/'2к = t/2K/t/bP = 1,
т. е. при правильном выборе соотношения коэффициента передачи
компенсирующей обмотки можно значительно улучшить стабилиза-
цию выходного напряжения.
(5-108)
значительно улучшить стабилиза-
Недокомпенсировано
КУ
рис. 5-65.
383
Феррорезонансный стабилизатор с компенсацией не-
линейных искажений. Второй недостаток, а именно боль-
шой коэффициент нелинейных искажений выходного на-
пряжения феррорезонансного стабилизатора, в значи-
тельной мере ограничивает область его применения. Этот
недостаток может быть ликвидирован с помощью введе-
ния фильтров, которые включаются между стабилизато-
тором и потребителем, что,
однако, заметно увеличи-
вает мощность, потребляе-
мую всем устройством.
Одно из наиболее луч-
ших решений показано на
рис. 5-66. В данной схе-
ме резонансный конден-
сатор одновременно ис-
пользуется и как конден-
сатор фильтра. Посколь-
ку коэффициент искаже-
ния обусловлен в основ-
Рис. 5-66.
ном влиянием третьей и пятой гармоник в выходном
напряжении, то емкость С разделяется на две части: С3
и С5, последовательно с которыми включаются индуктив-
ности £з и L5 соответственно. При этом индуктивности
рассчитаны таким образом, чтобы ветвь Л3С3 была в ре-
зонансе с третьей гармоникой, L5C5— в резонансе с пя-
той гармоникой. Вследствие этого напряжения высших
гармоник с трехкратной и пятикратной частотами ока-
зываются на нелинейной катушке практически закоро-
ченными. При синусоидальном входном напряжении и
приблизительно синусоидальном напряжении на нели-
нейной катушке должны быть также синусоидальные
напряжения на Lo и LK, а также и на сопротивлении
нагрузки.
При этом режим стабилизатора несколько изменится,
так как для основной частоты на конденсаторах полу-
чится несколько большее напряжение. Для третьей и
пятой гармоник на конденсаторах получаются резонанс-
ные напряжения и, следовательно, результирующие на-
пряжения на конденсаторах получатся выше, чем в обыч-
ном стабилизаторе.
Теоретическое и практическое исследование предло-
женной схемы было рассмотрено автором и опубликова-
но в печати, где было показано, что коэффициент нели-
нейных искажений выходного напряжения в данной схе-
ме не превышает 5% при максимальном регулировании
входного напряжения.
,5-4. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ И ДЕМОДУЛЯЦИЯ
АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
А. Амплитудная модуляция
Теоретические положения. Процесс модуля-
ции заключается в преобразовании низкочастотного (мо-
дулирующего) сигнала в амплитудно-модулированное
колебание, огибающая которого воспроизводит низкоча-
стотный сигнал. Высокочастотное колебание как бы не-
сет в себе низкочастотный сигнал, сохраняя все его свой’
ства.
В общем виде амплитудно-модулированную величи-
ну а (ток или напряжение) можно представить в виде
а=А (f)sin со/, (5-100)
где A (/) — произвольный низкочастотный (модулирую-
щий) сигнал; sin со/ — периодическая функция, описы-
вающая закон изменения несущей (модулированное ко-
лебание) .
Если Л(/) изменяется по синусоидальному закону,
то в этом случае амплитудно-модулированная величина
а имеет вид:
sm Of) sm ад/ = ЛНт (1 + m sm Qf) sm mt,
(5-111)
где Лит—амплитуда немодулированной несущей часто-
ты; Лмт—амплитуда модулирующего колебания, a Q —
ее частота.
Выражение
т=Лмтп/Лн-т (^“112)
называют коэффициентом модуляции.
Обозначим
ан=Лнт sin cot (5-113)
— немодулированное несущее колебание, а
Лм=Лмтп sin Qt (5-114)
— модулированное колебание,
25—447
При этом си^>Й. На рис. 5-67 показано изменение
величины а со временем согласно (5-111). С помощью
простого тригонометрического преобразования (5-111)
можно представить в виде
а = АНт Sitl тАНт C0S (^ — ~
— тАИт cos (<о + й) I.
(5-115)
На рис. 5-68,б/ показан частотный спектр синусоидаль-
ного амплитудно-модулированного колебания, а на
Рис. 5-68.
рис. 5-68,6 для сравнения — спектры несущего и модули-
рующего колебания. Процесс модуляции связан с из-
менением (преобразованием) частоты и, следовательно,
возможен в цепях только с нелинейными
или параметрическими элементами.
Простая электрическая цепь, в которой воз-
можно подобное преобразование, изображена на
рис. 5-69, где Н. Э.—.нелинейный элемент; 7? —
линейное сопротивление; и-в. и им — два источни-
ка напряжения:
«н — напряжение несущей частоты
№ — U^m sin со/
и «м — модулирующее напряжение
Пусть (характеристика последовательного соединения линейного
и нелинейного элементов имеет вид:
i=ao-f-ai w-Hw2. (5-116)
Если линейное сопротивление ‘ ничтожно мало по сравнению
с сопротивлением нелинейного элемента, то на последнем практиче-
скй падает все напряжение
И = ин + “м = UHm sin wt + ly'lAm sin Qt> (5-117)
из (5-116) и (5-117) получаем:
i = «о + sin wZ + "lf4ta sin Qi + ’4~ aat/2Hm +
+ 4“ — 4“ cos 2o)Z —
---4- cos 2SZ +^ин,пиМ,п cos 2) a^UH,nUMm cos (w+2) *•
(5-118)
Предположим, что в качестве сопротивления R используется со-
противление параллельно-колебательного контура, настроенного на
резонансную частоту о. Тогда оно будет представлять собой боль-
шое сопротивление для частот со и смежных частот co + Q и со—Q,
а для постоянной составляющей и колебаний с частотами Q, 2Q и
2со сопротивление практически будет равно нулю. Падение напря-
жения на колебательном контуре будет вызвано следующими со-
ставляющими тока:
1 = a^\im sin “Z + cos (“ — 2) Z —
— cos (<o-f-2)(5-119)
Но так как
cos (co — 2) t — cos (co 4- 2) t = 2 sin 2/ sin co/»
(5-119) примет вид:
I == sin co/ + 2cz2t/H/72^Mm sin sin =
a^UHm f1 + 2 IT Sin sin
25*
387
Обозначив
a^ki 2 ^7"
окончательно получим:
i = /н (1 + т sin 2/) sin со/.
(В-120)
(5-121)
При сравнении (5-111) и (5-121) видно, что ток аналогичен
амплитудно-модулированной функции. При глубокой модуляции це-
лесообразно применить для характеристики нелинейного элемента
кусочно-линейную аппроксимацию. Последовательное соединение
нелинейного элемента и сопротивления нагрузки также представ-
ляет собой кусочно-линейную аппроксимацию (рис. 5-70). Для этого
случая в интервале пропускания тока
U== 1 (Яд+Я). (5-122)
Крутизна результирующей характеристии равна:
£ = //(/= 1/(Яд+Я). (5-123)
Если в такой схеме действует только высокочастотное напряже-
ние (напряжение несущей частоты), то ток в цепи представляет со-
бой полусинусоиды с углом отсечки л/2. Амплитуда тока основной
частоты составит:
Im ©—sin© COS 0 Im klm
hm- ^m = K ~ 2 “ 2
(5-124)
Кроме того, ток содержит постоянную составляющую и ряд
высокочастотных составляющих. Если в этом случае сопротивление
нагрузки также представляет собой резонансное сопротивление ко-
лебательного контура, настроенного на частоту со, то падение на-
пряжения практически будет (вызвано только током основной ча-
стоты
h hm sin со/
sin со/.
(5-125)
2
Если в схему включить источник напряжения модулирующей
частоты £2
= sin = ^НОт ( 1 + Г (5-126)
\ v HOm J
то выпрямленные синусоидальные импульсы тока будут изменяться
в такт низкочастотному колебанию.
Согласно (5-125) ток в цепи будет:
$иА SU^m
~~2 sm со/ =-о—
X
U Млн .
у-----sin 2/
sin со/ = /Нш (1 -f- т sin 2/) sin со/, (5-127)
что также соответствует амплитудно-модулированному току.
388
Принципиальная схема модуляторов. Для получения
амплитудной модуляции применяются в основном две
схемы: схема сеточной модуляции (рис. 5-71) и схема
анодной модуляции (рис. 5-72).
В первом случае напряжение несущей частоты и
модулирующее напряжение им. подаются на сетку лам-
Рис. 5-72.
пы. Во втором случае несущее напряжение ин приложе-
но непосредственно к сетке первой лампы, а модулирую-
щее напряжение подается в анодную цепь этой же
лампы. Но так как действие напряжения в анодной цепи
ti
Рис. 5-73. Рис. 5-74.
иа слабее действия такого же напряжения в цепи сетки
ис за счет усилительного свойства лампы
(5-128)
то модулирующее напряжение предварительно подают
на сетку второй лампы.
На рис. 5-73 представлены схемы замещения: для се-
точной (а) и для амплитудной модуляции (б). Сопостав-
389
Рис. 5-75.
лёнйё этих схем пдказквае1\
что с принципиальной точки
зрения действие этих схем оди-
наково, и поэтому они сводятся
к схеме, представленной на
рис. 5-69.
Схема с подавлением несущей ча-
стоты. Балансный модулятор.
На рис. 5-74 показана принципиаль-
ная схема балансного модулятора,
которая позволяет получить модули-
рованное колебание, не содержащее несущую частоту, на рис. 5-75 —
соответствующая ей схема замещения.
Если характеристики нелинейных элементов НЭ-1 и НЭ-2 оди-
наковы, то для первого контура справедливо уравнение
U\ = —£— sin + —р— sin 2/ = sin со/ 4~ ^2/n sin со/, (5-129)
для второго
Yim Mtn
и2 == —2)— since/ — —g— sin Qt — Uim sin co/ — U2m sin 2/. (5-130)
При аппроксимации вольт-амперных характеристик нелинейных
элементов степенным полиномом второго порядка
Zi = Ло -р (Uмп sin со/ 4- U2tn sin 2/) 4* сьч (U2im/2 4” ^2гт/2) —
— а2 (U2im cos 2со/ 4“ U22m cos 22/)/2 4* ci2UxrrJU2m X
x [CCS (co — 2) / — cos (co + 2) /]; (5-131)
i2 = cZo 4- zzj (Uim sin co/ — U2m sin 2/) 4~ ^2 ( 2
U22m \
2 J
— a2 {U2im COS 2co/ + U*2m cos 22/)/2 — a2UimU2m X
X [cos (co — 2)/ — cos (co 4-2)/]• (5-132)
Токи i\ и i2 проходят через первичную обмотку трансформатора
в анодной цепи навстречу друг другу. Наводимая э. д. с. пропорцио-
нальна разности токов
i = z’i — i2 = 2k {aiU2m sin 2/ 4- a2UimU2m [cos (co — 2) / —
— cos (co 4-2)/]}. (5-133)
Это выражение показывает, что напряжение на выходе содер-
жит частоты (co-j-Q), (w—й) и Й.
Кольцевой модулятор. На рис. 5-76 показана схема
кольцевого модулятора, который представляет собой совмещение
двух балансных схем, что позволяет избавиться на выходе не толь-
ко от составляющей несущей частоты, но и от составляющей частоты
модуляции. Амплитуда несущего напряжения (с частотой со) выби-
рается достаточно большой, для того чтобы выпрямители управля-
390
лись только этим напряжением. Поэтому в каждые полпериода не-
сущего напряжения выпрямители а и b или end открыты (или
соответственно закрыты). Несущее напряжение в данной схеме выпол-
няет роль переключателя, который с несущей частотой подключает
сигнальное напряжение к нагрузке. Форма напряжения на выходе
модулятора показана на рис. 5-77. Напряжение на выходе соот-
ветствует умножению входного сигнала
MM = tWinSZ
на переключающую функцию
f (/) = j^sin со/ + -g- sin Зсо/ + -g-[sin 5со/ + • • • »
которая представляет собой последовательность прямоугольных им-
пульсов.
В результате получим:
Г
ua — (/) = —“— sin 2/ sin со/ +
+ Tg- sin Qt sin Зсо/ 4~ —g- sin Qt sin 5co/ 4- ... J ==
M.m Г
—— cos (co — 2) / — cos (co 2) / +
+ -g- cos (Зсо — 2) / — -g- cos (Зсо + 2) t +
+ ~§" cos (5co — 2) / — -g— cos (5co -f- Я) /+...] • (5-134)
Частотный спектр не содержит несущей и сигнальной частот.
Основную часть составляют боковые колебания с частотами со±2.
391
Б. Детектирование амплитудно-модулированных
колебаний (диодные детекторы)
Детектирование представляет собой процесс выделе-
ния из модулированного колебания (5-115) низкоча-
стотного сигнала вида
&м sin со/,
т. е. процесс, обратный модуляции. Демодуляция также
сопровождается преобразованием спектра, которое за-
Рис. 5-78.
ключается в восстановлении низ-
кочастотных модулирующих сиг-
налов, присутствующих в процес-
се модуляции, но не содержащих-
ся в спектре входного модулиро-
ванного колебания.
Данная задача может быть ре-
шена только с помощью нелиней-
ных элементов.
Дифференциальное уравнение. В качестве детектора используют
две основные схемы, одна из которых показана на рис. 5-78. На
основании законов Кирхгофа
i =. ix -f- f2;
e = и + ис\
h = CdUc/dt = Cde/dt — Cdu/dt\
z2 e Uc/R = e/^ — u
(5-135)
Пусть i=f(u)—вольт-амперная характеристика нелинейного
элемента.
Тогда относительно u(t) получим:
е/СР — U/CP/+ de/dt — du/dt f [и)/С\
duldi + «Ж + f GO/С = e/RC + de/dt. (5-136)
Вторая схема детектора изображена на рис. 5-79. В этом случае
е == ис + ц;
h — Cduc/dt = i (и) -f- u/R.
(5-137)
Решая совместно систему (5-137), получаем:
d (е—и) ldt—ulRC+f(u) /С.
Преобразовав это уравнение относительно напряжения на не-
линейном элементе, получим дифференциальное уравнение схемы:
du/dl'1-}- u/RC 4-’f (и)/С — de/dt. (5-138)
39?
При синусоидальном входном напряжений
e=Em sin со/
(5-136) для первой схемы примет вид:
du/dt + u/RC + f (и)/С = (Em/RC) sin со/ -f’ co£m_cos со/ я
= Fim sin со/ -J- Fvn cos со/ = / sin (со/ -J- <p), (5-139)
где
Fm = + Л!т = (Em/RC) V1 + MC’p % <o£m; (5-140)
<p = arctg co/?C rc/2; (5-141)
так как /?С<2л/со [см. условие (5-163)].
Для второй схемы (5-138) приобретает вид:
dAifdt + u/RC + f (а)/С = <йЕт cos со/ = Fm cos со/. (5-142)
Сравнивая (5-139) и (5-142), приходим к выводу, что диффе-
ренциальные уравнения для обеих схем (рис. 5-78 и 5-79) при сину-
соидальном входное напряжении иден-
тичны и напряжение и не зависит от ви-
да нелинейности
Квадратичный детектор. Пусть ха-
рактеристика нелинейного элемента име-
ет вид:
i—aQ+aiu+a2U2, (5-143)
Рассмотрим работу детектора, для
простоты полагая, что емкость настолько
велика, что практически все входное на-
пряжение падает на нелинейном элемен-
те. Если на вход схемы подано синусои-
дальное напряжение
u=Um sin со/,
то ток в цепи
i = аа adJm sin со/ 4- OzU2m sin2 со/ = а0 4~ aJJm sin <о/ 4“
4- azU*m/% — (a2Uzm/2) cos 2co/. (5-144)
Так как конденсатор для переменных составляющих тока пред-
ставляет собой короткое замыкание, то падение напряжения на со-
противлении R вызвано постоянной составляющей тока
/pj = По4"П2^/2т/2.
Это выражение состоит из двух частей:
/о=«о, (5-145)
наличие которой не зависит от входного напряжения, и
/д =^2т/2, (5-146)
вызванной входным напряжением.
Зависимость (5446) можно рассматривать как характеристику
детектора /д=/(£Лп), которая .в данном 'Случае имеет квадратич-
393
йый характер. Йа рис. 5-8б
показан ток i(t), если на
вход поданы импульсы пере-
менного напряжения. Оче-
видно, что этим импульсам
соответствуют импульсы то-
ка или выходного напряже-
ния, причем нелинейность
данного устройства проявля-
ется в том, что амплитуда
импульсов тока пропорцио-
п , . нальна квадрату амплитуды
— ч импульсов входного напря-
р - жения. Совсем другие соот-
и>с. о-ои. ношения появляются, если
входное напряжение пред-
ставляет собой амплитудно-модулированную функцию. С учетом
(5-143) получим:
i = aQ + 0 + т sin ^0 s^n + ^2^2Hm 0 + m sin ^02 s^n2 =
= Яо + ^2Hm С1 + ^2/2)/2 + sin ~~
l^2^2Hm 0 + /п2/2)/2] cos 2со/ + а^птт lcos (<о — й) —
— cos (со + 2) /]/2 — ct2U2Hmm [sin (2со + 2) t + sin (2со—2) /]/2 +
+ ^2^2Hm^2 [cos (2со/ + 22/) cos (2со/ — 22/)]/8 +
-f- ma2U2Hm sin 2/ — (m2a2U2Hm cos 22/)/4. (5-147)
Конденсатор для высокочастотных составляющих равнозначен
короткому замыканию. Среди низкочастотных составляющих име-
ются два слагаемых. Однако- слагаемое
ia = ma2U‘nn sin Qt = ISm sin 2/ (5-148)
с амплитудой
(5-149)
соответствует модулированному колебанию.
Другое слагаемое с амплитудой
(5-150)
и удвоенной частотой модулированного сигнала вызывает искажение
формы сигнала.
Искажение формы сигнала можно оценить коэффициентом не-
линейных искажений
т2
4 a^U!Hm т
йт та2^2Нт
(5-151)
394
Кроме того, через сопротивление R проходит еще постоянная
составляющая тока
Лт = я0 + (^2Нт/2) (1 + ^2/2) — /0 + /д,
где /о — постоянный ток, который не зависит от входного сигнала
(^нт = 0) согласно (5-145); /д—приращение постоянного тока,
обусловленное приложенным переменным напряжением
/д = (^Нш/2)(1+^2/2).
(5-152)
В свою очередь /д зависит также от коэффициента модуля-
ции. Квадратичная зависимость характеристики детектора вызывает,
очевидно, нелинейные искажения.
и,1
Рис. 5-81.
Рис. 5-82.
Если модулирующее напряжение состоит из нескольких коле-
баний, вследствие чего
(1 + /721 sin + m2 sin 22? + ...) sin co?, (5-153)
то наряду с низкочастотными колебаниями 2Qi, 2Q2 появляются
также комбинационные колебания с частотами Q2—Qi, Q2+^i и т. д.
При квадратичном детекторе благодаря уменьшению коэффици-
ента модуляции можно уменьшить искажения формы сигнала со-
гласно (5-151).
Линейный детектор. Общие положения. При больших
входных напряжениях вольт-амперную характеристику диода можно
аппроксимировать ломаной прямой. Тогда получим случай, описан-
ный в гл. 2.
Постоянная составляющая тока, проходящая через диод, вы-
зывает падение напряжения на сопротивлении /?, которое при
сравнительно большой емкости практически постоянно (рис. 5-81).
Падение напряжения на диоде
а = Um cos со/ — Uq, (5-154)
где
U= Uт cos 9 = /qR = а0/rnR\ Im —(Um—U$)/Rnpt (5-155)
395
где /?Пр — сопротивление диода в прямом направлении; 1? — сопро-
тивление нагрузки.
Из (5-155)
1/cos 9 = (t70 + /макс/?пр) /V0 = 1 + /?пр/«о/?; (5-156)
/?//?пр = COS 0/ао (1 — о COS 9). (5-157)
Учитывая (2-54) и (5-156), получаем:
R/Rnp = к cos 9/(sin 9 — Geos 9) = rc/(tg 9 — 9). (5-158)
Из (5-158) следует, что угол 0 определяется сопротивлениями
диода и нагрузки. На рис. 5-82 показана зависимость 0=f (7?Пр//?),
построенная по (5-157). Если /?Пр<СЛ то 0^0 на основании (5-155)
Лиакс 0; (7^5—159)
Постоянная составляющая напряжения на выходе равна ампли-
туде несущего напряжения. Если то
6 ^src/2, cos 9 ^0 и I$ = сс0/макс = (sin 9—9 cos 9) (7га//?пртс=£Лп//?пртс
(5-160)
Постоянная составляющая тока пропорциональна амплитуде не-
сущего напряжения. Для того чтобы падение напряжения на со-
противлении R следовало за изменением амплитуды модулированного
несущего напряжения, нужно, чтобы постоянная времени RC была
значительно меньше периода низкочастотного колебания
т = RC < 2ти/9 = Т. (5-161)
Кроме того, необходимо, чтобы сопротивление R было значи-
тельно больше емкостного сопротивления при высокой (несущей)
частоте
/?>2л/соС. (5-162)
Оба эти условия должны быть соблюдены, поэтому
2тг/<дС < RC < 2тг /Q. (5-163)
Так как обычно co^>Q, выполнение этих требований не вызыва-
ет трудности.
Выходное сопротивление линейного детекто-
р а. Амплитуда тока несущей частоты
Ага == alAn = /0а1/аО- (5-164)
При входном напряжении Um мощность на входе
P=UmIi7nf2. (5-165)
Входное сопротивление
₽вх *= Um/Ivn « ((70/cos 9)”ao/«i/0 = R^/^x cos 6, (5-166)
или, применив метод угла отсечки, получим:
Rw/R = (tg 0 — 9V[0— sin 9 cos 9] (5-167)
396
На рис. 5-83 показан график зависимости /?вх/7?=/(6) Для
0<л/'6 имеем /?вх/^?~0,5.
Использование германиевых диодов в схемах детекторов. Схе-
ма замещения. Германиевый диод в рабочей области можно
представить схемой замещения (рис. 5-84,а). Вольт-амперная харак-
теристика диода может быть вы-
ражена уравнением
iD = 7S (e“DlV — I)”, (5-168)
где Is и V — аппроксимирующие
коэффициенты, которые для точеч-
ных германиевых диодов лежат
в пределах:
0,1 mkA<7s<10 мкА;
25 мВ<У<50 мВ.
Согласно схеме замещения
(рис. 5-84) вольт-амперная ха-
рактеристика будет иметь вид:
i = Is (еи ‘^P,V -!) + («- IRnp-j/Roep.
(5-169)
Для точечных германиевых диодов
50 Ом</?пР<200 Ом;
0,2 МОм<Яобр<2 МОм.
Дальнейший анализ проводится без учета /?Пр (т. е. при
^?пр = 0).
Гармонический состав тока. Пусть падение напряжС’
ния на идеальном диоде
и= 7/п +Uin cos со/,
тогда
i = /s (SUn+Um C°S at,V - 1) = //n/V e(Um C°b a!’/V - fs. (5-170)
Учитывая (2-64), получаем:
оо
i = lseUnlV Jo (iUm/V) —’Js + 2/seUn,V U^m/V) cos
n=l
(5-171)
где Jo, Ji, J2 и т. д. — функции Бесселя мнимого аргумента jUmIV\
.постоянная составляющая тока
/п = /^Уп/У Jo (iUm 'V) — Is\ (5-172)
* Уравнение (5-168) весьма приближенно выражает связь между
мгновенными значениями напряжения и тока диода и оказывается
далеко не точным при больших обратных напряжениях и при изме-
нении температуры окружающей среды. (Прим, перев.)
397
амплитуда основной частоты
Ilm = -2IseUnlV jJt (5-173)
амплитуда удвоенной частоты
I2m = - 2/s/n/l/ J2 (JUm, V). (5-174)
Семейство характеристик короткого замыка-
ния. Приведем (5-172) к нормированному виду
Рис. 5-84.
Детекторную характеристику получим из нормированной стати-
ческой характеристики идеального диода (рис. 5-84)*
ln/Is = e^V-l,
сдвигая ее влево от начала координат на отрезок
6 = 1П JoUUmlV).
Размер сдвига зависит от амплитуды 'воздействующего напря-
жения Г/m. Это семейство характеристик короткого замыкания, по-
зволяет определить при заданном значении Um!V нормированное
значение тока, соответствующее выбранному значению Un IV.
* На рис. 5-84 сопротивление, эквивалентное параллельному со-
единению сопротивлений R и 7?Обр, записано в виде /?||/?обр, что
представляет собой 7?/?обр/(/?+^обр).
398
C x e fc.bi детекторов. На рис. 5-85 показЗйа схема Детек-
тора с гераниевым диодом (а) и его схема замещения без учета
прямого сопротивления диода (б). Пусть на входе действует на-
пряжение
U = Um COS (Sit.
Обычно сопротивление нагрузки R порядка 10 кОм. Парал-
лельно сопротивлению присоединяется емкость С, которая удовлет-
воряет (5-163), что обеспечивает выделение постоянной составляю-
щей напряжения на нагрузке. При постоянной амплитуде напряже-
Рис. 5-85.
Рис,. 5-86.
ния и напряжение на нагрузке практически не изменяется, поэтому
его можно заменить источником напряжения (рис. 5-86) Un =
=—UL. Тогда
и = —£7Д + Um COS (dt. (5-176)
Для определения тока через диод можно воспользоваться
(5-175), которое соответствует семейству характеристик короткого
замыкания. На рис. 5-87 показана схема замещения. Выпрямленное
напряжение составит:
—= <4 ~ ^обр '(R 4“ ^обр) — 7п^д-
Приведем полученное выражение к нормированному виду:
/п/4 = - (Un/V) = - Д/. (5-177)
где
р-Р/У^д.
Систему уравнений (5-175) и (5-177) можно решить графическим
способом. Для этого на семейство характеристик короткого замыка-
ния (рис. 5-84) наносят нагрузочную прямую, соответствующую
(5-177). Это может быть проделано для различных значений р.
Точка пересечения прямой и вольт-амперной характеристики для
соответствующего значения амплитуды Um дает искомое значение
Un = — UL или /п. Используя рис. 5-84, можно определить:
£/д/р = 8_-е, (5-178)
где е получается из статической характеристики диода [см.
(5-168)].
399
С учетом
£ — — In (ftf/ls + 1) — In (pU^/V +
(5-178) примет вид:
{/д/у = а-1п (pUjV+1).
(5-179)
Для больших значений Um!V в соответствии С рйс. 5-84 при-
ближенно можно считать Тогда (5-179) запишем:
UJV In (бр+1)
На рис. 5-88 показана область, соответствующая ошибкам, не
превышающим 1%. Для t/w/V^>'l при
получим:
Jo (iUrn, V)^eUm'V/y2nUm/V
(5-180)
Коэффициент нелинейного искажения. Если
в выражении (5-180) пренебречь двумя последними слагаемыми,
стоящими в квадратных скобках, то
УД Um 1 , Сп Um\ , Um
V у ~~ 2 ln V2lt V J n Р V ~
=-^г-----------------g-ln2np2. (5-181)
Это приближенное выражение можно использовать для опре-
деления второй гармоники методом трех ординат:
, . Кгт ____(I/4-1 + #-i)/4— г/о/2 _ //4-1 + //-1—2//0
*2|=\Г1т ~ (У+1-//-1)/2 2(^+1-^^) ‘
400
k2 =
Подставив 6?m=6'Hm+b?MmCOS^, получим:
3 ^Нт ~Ь Мт 3 ^Нт Мт
—~2~1П.....V-------~2~ 1п-V
Г UHm + UMm UHm ““ U Мт
2 L v v ~
3 ^Нт I
+ 2 2 ln-“V~J
3 4" UМт . 3 Нт. &Мт
“ 2 1П 2 * ~2 2
U2Hm “ U2Mm
ln----ТВ-------
и Нт
4 VМт UНт + UMm '
3 У
1п(1 -—/П2)____
1 + tn 4 ^Нт 1 *
3 т V ]
2
(5-183)
2
— m
где т=£/м mlUнт — коэффициент модуляции.
Входное сопротивление детектора. Входное со-
противление согласно (5-173)
2вх= и ml Кт = Uml\— jJi (jUm/ V)J. (5-184)
Если то приближенно можно считать:
— j Ji (/Vm/V) Um/2V-9 Un 0.
Тогда
Zbx Um/2/se°Um/2V = V//St (5-185)
где V/Is—'Дифференциальное сопротивление, в начале характери-
стики составляет 2,5 кОм.
Если UmIV^l, то с учетом приближенного равенства
— Hi (Um/V) eUm'V
и выражения (5-181)
• (5-186)
получим:
, _________ Um______ ,
2ВХЯг 2Ise~UmlV (Um/V)312 Vr2^eJmlV/V'2M^/V
Л Л. ,8Л
2/sp 2 Я4-Я«бр ’ <5ш187>
401
26—447
где zBx находится в пределах 5 кОм—2 МОм (примерно) и всегДЙ
значительно больше 7?Пр.
Поэтому вышесделанное допущение, что значение^м /?пр можно
пренебречь, справедливо.
5-5. ГЕНЕРИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ И РЕГЕНЕРАЦИЯ
А. Ламповый генератор
Дифференциальное уравнение лампового генератора.
На рис. 5-89 и 5-90 показаны принципиальные схемы
построения ламповых генераторов с индуктивной связью.
В первом случае колебания возникают в цепи сетки лам-
пы, во втором случае — в аноде лампы. Сначала рас-
смотрим случай, соответствующий рис. 5-89. Для конту-
Рис. 5-89.
ра, содержащегося в цепи сетки, справедливо уравнение
<5-188>
Используя известные соотношения
получаем (5-188) в виде
LC d2uc]dt2 -р RC duddtA-~uc — М dia/dt. (5-189)
Вводя обозначение со2о=1/АС, представим это урав-
нение следующим образом:
-^+4 >+“*= <5-191»
402
Анодный ток зависит от анодного и сеточного напря>
жения. Так как обычно проницаемость лампы достаточ-
но мала, то анодной реакцией пренебрегают и*
для анодного переменного тока используют зависимость»
ia.=f Ы •
Если эту зависимость подставим в (5-190), то полу-
чим:
^+л<=0. (5-191))
Если рабочая точка находится в точке симметрии ха-
рактеристики лампы, которая может быть аппроксими-
рована неполным полиномом третьей степени, то соглас-
но (1-65) получаем:
1 а — f (ис) ~ — 27/2^ ^*с*
Отсюда
df (uc)/duc — S0 — ^cieS’o/O/2^. (5-192)
Если подставим (5-192) в (5-191), то получим:
Г1 - (-^-Y -
иг2 | I \ J J
}^Г‘Г'ОЛ:==0-
С учетом обозначений
cd207HS0 — R/L = a; 16co20ALS8o/9/2m = р
окончательно получим:
d2ucl dt2 — (а — pw2c) duj dt <п20ис = 0. (5-193)
Для схемы, представленной на рис. 5-90,
1 ir+Ri - f 'с Л=°; (5-194>
za = i-f-ic< (5-195)
В результате подстановки (5-195) в (5-194)
26*
403
Если последнее уравнение дважды продифференци-
ровать по времени t и умножить на значение емкости С,
то получим:
LC d'ljdt* + RC dtifctt* + difdt = dijdt. (5-196)
С учетом
di[dt = uJM; d4]dt* = (\!M}duJdt\
d4ldt*^(\IM)dHiddt*
уравнение (5-196) переходит в (5-190). Следовательно,
обе схемы описываются одним и тем же дифференци-
альным уравнением.
Линейная теория лампового генератора и ее недостатки. Если
пренебречь анодной реакцией и воспользоваться линейной аппрокси-
мацией анодно-сеточной характеристики
f’a — 1 7п/2-|-5оИСл
то с учетом обозначений
a = (o2oMSo—R/L=— 2d; ₽=0
(5-193) может быть представлено в виде
d*Uc/dt* + ^duc/di + toMc ="0. (5-197)
Это уравнение идентично дифференциальному уравнению про-
стейшего колебательного контура с индуктивностью L, емкостью С
и демпфирующим сопротивлением Re. Эквивалентное активное со-
противление, которое определяет демпфирование (затухание), состо-
ит из двух частей:
Re = = R — SGM/C =’R + Rn.
Оно содержит отрицательную часть, так называемое отрицатель-
ное сопротивление
Rn=—SGM/C,
которое уменьшает или компенсирует действие сопротивления по-
терь R.
Уравнение (5-197) линейно и имеет общее решение
«с = Л\е~ы sin (со/ -f- (pj),
где Ai и (pi — постоянные интегрирования, определяемые из началь-
ных условий.
Если д>0, то возникшие колебания являются затухающими
с коэффициентом затухания
5=(/?/2L)(l— MSofRC).
Коэффициент затухания зависит от параметра Л4. Если выпол-
няется условие
M>RC/S0,
то 3 < 0; ис = Л2е^5 sin (rof -f- <p2).
При
M = RC[S0 (5-198)
§ = 0; «с = Из sin (to/+ <p3).
404
Временное изменение процесса для этих трех случаев показано
на рис. 5-91—для затухающих колебаний (а), нарастающих коле-
баний (б) и колебаний с постоянной амплитудой (в).
Недостатки линейной теории лампового генератора очевидны.
При 6=0 получим решение, в котором амплитуда и фаза зависят
от начальных условий. При этом решение неоднозначно. Любое не-
большое отклонение от (5-198) приводит либо к затуханию колеба-
ний, либо к бесконечному нарастанию. Это полностью противоречит
экспериментальным исследованиям, которые показывают, что у лам-
повых генераторов (рис. 5-89 и рис. 5-90) в установившемся ре-
жиме амплитуда колебаний не зависит от начальных условий. В ре-
Рис. 5-91.
альных схемах возбуждение колебаний с 'бесконечно большой ампли-
тудой невозможно, так как при увеличении амплитуды колебаний
усилительные способности лампы ухудшаются (напряжение на сетке
заходит в область с малым значением крутизны) и нарастание коле-
баний в конце концов прекращается. Установившееся значение
амплитуды тока, очевидно, можно найти, если учесть нелинейность
характеристики нелинейного элемента. Именно эта нелинейность яв-
ляется причиной установления колебаний в генераторе.
Поэтому линейная теория не отражает в достаточной степени
сущности физических процессов в генераторе и не может ответить
на вопрос о стационарной амплитуде установившихся колебаний.
Исследование лампового генератора методом Ван дер Поля.
Проведем нормирование (5-193), для чего разделим его на соо2 и вве-
дем обозначение т=содЛ Тогда
d2uc а / р \ dtlc
dtf “ w2c ) dt °-
Учтя безразмерную переменную
х = ИТвдс = 4Sctzc/3/m Kl — ЯС/MS?
e = a/to0 = IOqMSo —\R/to0L ,
получим нормированное уравнение в виде
fax/dtf — е (1 — №) dx/dt 4- % = 0. (5-199)
Это уравнение является известным уравнением Ван дер Поля,
решение которого уже было исследовано как методом фазовой
405
плоскости (рис. 3-71), так и методом вариации параметров (3-255).
В соответствии с (3-255) уравнение (5-199) имеет решение
х (<М) = (2/1^ 1 + ) sin (5-200)
Постоянная интегрирования К может быть определена из на-
чальных условий. Если так выбрать начальные условия, что К=0,
то в цепи сразу устанавливается стационарный режим с амплитудой
Хтп=-2 (рис. 5-92,а).
Если начальные условия выбраны таким образом, что /С<0, то
в цепи возникают колебания с амплитудой Л’т>|2, которая с тече-
нием времени уменьшается по экспоненциальному закону до зна-
чения Хт=|2 (рис. 5-92,6).
Рис. 5-92.
Если начальные условия таковы, что /С>0, то вначале амплитуда
Xw<2, а затем она нарастает по экспоненциальному закону до зна-
чения Хтп=2 (рис. 5-92,в).
Между процессами, изображенными на рис. 5-92,а и 5-91,в для
линейного дифференциального уравнения, несмотря на кажущееся
сходство явлений, имеется существенное различие. Это различие
заключается в том, что амплитуда для случая, изображенного на
рис. 5-91,8, зависит от начальных условий, в то время как амплитуда
для случая, изображенного на рис. 5-92,а, не зависит от начальных
условий.
Разнормирование (5-200) дает для сеточного напряжения
“с- Г Р х - 2So У 1 — AfSo (5’201)
Исследование установившейся амплитуды колебаний методом
гармонической линеаризации. Будем исходить из ненормированного
дифференциального уравнения генератора
d2uc Г R М d'a\ duc
dt2 +(z, ~LC ~dt£) ~dT + ^"Uc = 0,
которое согласно методу Ван дер Поля при
t/с = a sin (Oof; da/dt duc/dt cos (o0f; 1
d2uc d2a da
-"др ~~dt2 'sin + 2<0° ~dt~~cos —
da
— £(0% Sin (Oof 2(O0 -^-COS (Oof — fl(02o sin (Oof,
J
(5-202)
406
принимает вид:
da ( R М dia \
dt ’"("2L- ~2LC~duTj й==°'
(S-203)
Если напряжение на сетке изменяется по синусоидальному за-
кону, то анодный ток вследствие нелинейной анодно-сеточной харак-
теристики будет представлять собой несинусоидальную периодиче-
скую функцию, содержащую наряду с основной частотой большое
число высших гармоник. Пренебрегая высшими гармониками, анод-
ный ток можно приближенно представить в виде
/а ~ /оЧ“^а1?п Sin С0(/«
Тогда имеем:
(Do cos соо/.
Учитывая (5-201), получаем:
S = dia/duc Iaim/CL = Si»
(5-204)
где Si представляет собой крутизну относительно первой гармо-
ники.
Подставляя (5-204) в (5-203), получаем линеаризованное диф-
ференциальное уравнение для амплитуды a(t)
da/dt + (7?/2L — MSr/2LC) a = 0. (5-205)
Если для аппроксимации анодно-сеточной характеристики ис-
пользовать неполный полином третьего порядка
1т 2S0 4 / 2S0 \3 1
Za = ;(«c)=~2- Н+-27 ( 1т ) “с ’
то, учтя (5-202), получим:
i - —114-
1а~ 2 |1 +
Г 2S0 3 / 2S0 \з 1
[ /т а~ 27 ( 1т ) а3 J
1 / 2S„ \з )
"оУ —j------) аг sin 3(DU/ >,
Sin Сй0/ +
откуда следует:
(5-206)
Если (5-206) учесть <в (5-205) и разрешить его относительно а.
с помощью разделения переменных, то получим аналогичный резуль-
тат, как и по методу Ван дер Поля.
Для определения установившейся амплитуды а(/=оо)=а0
daldt—Q.
А так как ао=АО, то имеем:
RIL—SiM/LC—Q. (5-207)
407
Учитывая (5-205), получаем:
1 fMS0 / 2S(T у__ MS0 КС
9 LC \ 1т а* ) LC LC '
Отсюда получаем амплитуду в установившемся состоянии
3 ,А КС
a0-Uon- 2 5о у 1— MSq
Это выражение можно было получить и из (5-201) при t—>оо.
Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Возбуждение коле-
баний, с одной стороны, определяется видом анодно-сеточной ха-
рактеристики, а с другой — выбором рабочей точки (рис. 5-93). При-
меняя, например, метод трех ординат, можно построить зависимость
Это выполнено на рис. 5-94 для трех отмеченных рабочих точек,
соответствующих сеточным напряжениям C70i, ^02 и t703. Эта харак-
теристика носит название колебательной характеристики генера-
тора.
На основании соотношения
= I С ст (5-208)
можно построить зависимость Si—f2{LJcm). Эта зависимость для
трех выбранных рабочих точек представлена на рис. 5-95.
В установившемся состоянии согласно (5-207)
S^KCjM. (5-209)
Проведя на графике S1=f([/Cm) прямую, параллельную оси
абсцисс с ординатой КС/M, получим точку пересечения, которая
определит установившееся значение амплитуды сеточного напря-
жения.
Существует и другой способ определения установившегося зна-
чения амплитуды. Используя (5-208) и (5-209), получаем для ампли-
туды тока
/
1цт — дд ист-
408
Это уравнение представляет собой прямую, точка пересечения
которой с кривой Iaim=f(Ucm) на рис. 5-96 дает соответствующую
установившуюся амплитуду. Тангенс угла наклона этой прямой со-
ставит:
т tg a=RC/M,
где т— коэффициент масштаба, который при постоянных R и С
зависит от взаимной индуктивности М,
Точка пересечения Р соответствует установившейся амплитуде
Uсет. Если уменьшить взаимную индуктивность, то а увеличится,
а амплитуда колебаний уменьшится. При критическом значении
взаимной индуктивности Л1кр=7?С/51 прямая не пересекает коле-
бательную характеристику и установившиеся колебания в системе
отсутствуют. Если М увеличивать, начиная с ЛТ>7Икр, то амплитуда
установившихся колебаний будет также непрерывно увеличиваться.
На рис. 5-97 выполнено построение для конкретного значения сеточ-
ного напряжения, например t/oi (Si постепенно уменьшается с уве-
личением Uст)- Точка пересечения Р прямой, соответствующей
(5-209), с кривой Si = f(Ucm) определяет значение установившейся
амплитуды Vcem. С уменьшением М точка пересечения передвигает-
ся влево, амплитуда уменьшается и при 7И=Л4кр становится
равной нулю. При Af<AfKp возникновение колебаний невозможно.
Если затем М медленно увеличивать, то при 7И=7Икр возникнут
колебания, амплитуда которых будет плавно увеличиваться
(рис. 5-98). Такой режим возникновения колебаний называют мяг-
ким возбуждением колебаний.
409
Совсем иначе протекает процесс, если рабочая точка не лежит
на середине прямолинейного участка характеристики (например,
Uq2 или/ £/03, рис. 5-93). На рис. 5-99 показано определение амплиту-
ды с помощью колебательной характеристики для этого случая. Так
как при бесконечно малых амплитудах колебаний характеристика
лампы практически есть прямая линия, то средняя крутизна равна
крутизне характеристики в начальной точке, т. е.
5ю=Sq.
Тогда для возбуждения колебаний должно соблюдаться усло-
вие
M'==RC/Sl0.
Взаимная индуктивность связана с тангенсом угла наклона
т tg a'=RC/M'=Sю.
(5-210)
Рис. 5-99.
Рис. 5-100.
Если взаимная индуктивность увеличивается, то прямая OS по-
ворачивается вправо относительно точки 0. При определенном зна-
чении М прямая 0S коснется колебательной характеристики в точ-
ке В. При дальнейшем повышении М она пересечет ее в двух точках
(например, Р и Q). Устойчивые колебания могут возникнуть только
в том случае, если выполняется (5-210), т. е. прямая достигает
положения О А. Тогда одновременно произойдет скачок амплитуды
до значения UCAm- При дальнейшем увеличении М точка пересече-
ния характеристики с прямой передвигается вправо и амплитуда
монотонно увеличивается.
Проследим, как будет изменяться амплитуда колебаний, если М
уменьшается. Тогда точка пересечения 'будет скользить влево, и
это приведет к уменьшению амплитуды. Наименьшего значения
амплитуда достигнет, когда прямая коснется колебательной харак-
теристики (Освт). Этому состоянию соответствует взаимная индук-
тивность М", причем
т tg a"—RC/М".
При дальнейшем уменьшении взаимной индуктивности колеба-
ния срываются. Колебания срываются не при а при Л4^Л1".
При Л4"<Л1<ЛГ у генератора два установившихся состояния, одно
из которых устойчиво (точка Q), а другое (точка Р) неустойчиво.
Поэтому малейшее отклонение амплитуды напряжения на сетке от
значения Ucpm приведет либо к срыву колебаний, либо к переходу
системы в новое установившееся состояние (Q).
4Ю
На рис. 5-100 показано Определение установившегося значения
амплитуды с помощью зависимости Si = cp(UCBm). В момент воз-
никновения колебаний крутизна Si и амплитуда малы. Если RC
(при заданном значении М) так велико, что Si = Si&, то в системе
сразу установится режим, соответствующий рабочей точке А
с амплитудой исАт. Если теперь М увеличить, то рабочая точка
будет скользить вправо, и амплитуда будет
увеличиваться. Если М уменьшается, то
точка А скользит вверх и амплитуда будет
уменьшаться до значения t/cbm, соответст-
вующего точке В. При дальнейшем умень-
шении М колебания В (будут .неустойчивыми
и могут сорваться. Если затем вновь увели-
чить М, то колебания возникнут при М =
—М', причем они возникнут мгновенно и
амплитуда колебаний скачкообразно увели-
чится до значения Uc ат. График измене-
ния Uст в зависимости от М представлен
на рис. 5-101. Рассмотренный режим в отличие от мягкого воз-
буждения называют жестким возбуждением колебаний.
Влияние нелинейности характеристики на частоту колебаний.
Уравнение Ван дер Поля (5-199) дает возможность судить о частоте
возникших колебаний. С этой целью (5-199) умножают на х и опре-
деляют среднее значение за период:
2тс 2тс 2тс
1 Г d2X е С dx t е Г dx
“аГ J ~d^~xdx~“аГ J ~аГхах + 2п j ~dTx3dz +
ООО
2тс
+ Г- хМх = 0. (5-211)
о
Применяя правило интегрирования по частям
J и dv = uv — J v du,
получаем для первого члена (5-211):
2тс
1 Г d*x
2гс J dtf
о
2тс
dx 2" 1 Г / dx У ,
Х о 2к J ( dt ) dz
и соответственно для второго и третьего члена
2к
0
dx , - .
dT= "4Г ।х2 I.
£ . 2it
'о
(5-212)
(5-213)
(5-214)
2тс
s f dX Ге
2Г J dt =
o
2tc
1*4
411
Так как решение является периодическим, то первый член правой
части (5-212) и интегралы (5-213) и (5-214) равны нулю. Поэтому
(5-211) видоизменяется:
2тс 2тс
1 р / dx \2 1
"аг j \~dr)dz=--^ у2 (б-215)
Это уравнение означает, что квадраты действующих значений
dxldx и х за период равны.
Если из-за нелинейности характеристики можно считать, что
решение существует в виде
х = Хпт sin nmtt (5-216)
/2=1
т. е. колебания имеют несинусоидальную форму, то квадрат дей-
ствующего значения равен:
т , j \ 2
х2 = -yr J Хпт sin nut J dt.
Под интегралом находится сумма членов, с одной стороны,
вида
t<= ХРт Х^п sin pud sin qu>t,
причем p^=q, а с другой стороны, вида
v=sX2Sm sin2 sco^
Подынтегральное выражение членов первого ряда, очевидно,
равно нулю:
т
~^XpmXqm sin pud sin qu>t dt == 0,
и
а интеграл с числами второго вида равен:
т
-f j sin2 dt=~2- X2sm •
О
Отсюда следует:
х2 = Х2пт>
п=1
из (5-216) получим:
г
dx _ 1 dx __ VI n(S> х
ST ~аГ“ cos
412
Точно так же можно получить и среднее значение за период
__________ 2те г
f dx \2 1 Г / dx \2 1 VI я2(о2
( dt J “ 2я J ("dT J dz = "Г /J Xinm'
и П=1
После преобразований получим:
г
Г г 2 2л/и
1 V П2С°2 У2 1 V У2 . °2 - n=l
2 2j w2o Л пт= 2 2^Л пт'^ г —•
п=1 п=1 П2Х2пт
/г=1
откуда следует:
г
2 (/22 — 1) (Адяг/А^)2
(О2 — С02о П—2
СО2 о “г
1+2 //2 С^шп/^пи)2
п—2
Если через Дсо обозначим отклонение угловой частоты (в от
собственной частоты колебательного контура <оо, то при Д<о<Ссоо
имеем:
(со2 — со20)/со2о = [(соо + Дсо)2 — со2о1/а>2о ^2лДсо/со0;
г
2 (^2 — О (Xnm/Xim)2
Дсо 1 п=2
со0 2 г •
1 +2 п2
/1=2
Таким образом, отклонение частоты генератора от частоты ко-
лебаний контура зависит от коэффициента нелинейных искажений
(коэффициента высших гармоник).
Б. Отрицательное сопротивление в качестве генератора колеба-
ний
Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 5-102, и составим для
нее дифференциальное уравнение, где N — нелинейный элемент, ха-
рактеристика которого (рис. 5-103) имеет падающий участок, т. е.
отрицательное дифференциальное сопротивление. Относительно точ-
ки 0 с координатами 12 и U2 этот участок можно аппроксимиро-
вать
Г=— aU'+bU'\
Тогда для характеристики можно записать:
i — lz = — а (и — Uz) + b (и — Uz)^
(5-217)
413
На осндйаййй законов Кирхгофа
* + + zc О’
ЕоУ= — RiL — иь-\-щ
и — ис= с~ 1с
Если (5-2118) .решить относительно i*l, а '(5-220)
ic и .подставить их в /(5-219), то получим:
LC + + « —£« + W
t -L
Рис. 5-102.
Рис. 5-103.
Обозначим:
£о0 = 1/КАС; т = (о0/,
тогда
, d2u
du2
/L ( RC , di \du_ ,
C \ L + du I + “ — £o + #' = °-
Из (5-217) следует:
di/du=—a+3b (u—Uz)2.
Подставив (5-222) в (5-221), получим:
(5-218)
(5-219)
(5-220)
относительно
= 0.
U
(5-221)
(5-222)
£o + flr=0.
(5-223)
d2u
dx2
3fc ,
— 1+ a (u
du
~dT +“
Введем обозначения:
x = (и - Cz)//^738 = (и - t/2)/g;
dx/dv = V^b/adu/d'z = (l/£) du/dz;
d2x/dz2 = V3b/a d2u/d^2 = (l/£) d2tz/dx2,
где £ = Кa/3b, s — КL/Ca.
414
Тогда (5-223) примет вид:
или с учетом (5-217) получим
+у- [и — aR (и - Vz) + bR (и — Uz)3 + IzR - £»] = «•
Это уравнение можно привести к виду
d2x Г f RC \ ] dx
Н-е |х2—(1 — aL +(1—ZZ/?)X +
+ х3 + у- {Uz - Ео + IzR) = 0. (5-224)
Если выберем в качестве рабочей точки точку Р(/о, Uo), tOj
получим:
Zo — Iz = — а (Uo - Uz) + b (Uo — Uzy.
Используя напряжение смещения (постоянный ток), можно вы-
брать рабочую точку
Uq = Eq—IqR.
Исключив напряжение Ео и ток I, последнее слагаемое (5-224)
приведем к виду:
Uz - Е. + IzR - - [(Uo - ад (1 - aR) + bR (Uo - адз].
Если обозначим a=(U0—Uz)/^ то окончательно получим!
(5-224) в безразмерном виде
d2x Г / *RC \1 dx
+ —ух3—а (1 — (?/?)——у а3 = 0. (5-225У
Если предположить, что а=0 (UO=UZ) и R = 0, то (5-225) зна-
чительно упростится:
d2x, dx2 — е (1 — х2) dx 'dz х = 0.
Это уравнение представляет собой уравнение Ван дер Поля, и
его решение было.уже определено. Максимальное значение ХМакс
в установившемся состоянии составляет:
^макс = (t/макс— Uz)/ Vа/ЗЬ — 2.
Следовательно,
Umqkc = 2 уГа/ЗЬ + Uz*
Амплитуда переменного напряжения
—_Uz Va/Qb.
,415
В. Мультивибратор
Мультивибратор представляет собой двухламповый
генератор и служит для получения периодических коле-
баний. При рассмотрении принципа действия ограни-
чимся принципиальной схемой, изображенной на
рис. 5-104. При включении анодного напряжения через
лампы и Л2 пойдут абсолютно одинаковые токи, на-
пряжение на сетках также установится одинаковым.
Если теперь предположить, что по какой-либо причине
ток fai, например, в лампе Л1 увеличится, то вслед за
этим увеличится и падение напряжения на нагрузке
/?аь а напряжение на аноде уменьшится. Тогда
емкость Ci начнет разряжаться через лампу Jli и
резистор Ri. В результате этого на сетке лампы Л2 по-
явится отрицательный потенциал относительно ее като-
да, что вызовет уменьшение тока /а2, что приведет
к уменьшению падения напряжения на сопротивлении
Т?а2 и увеличению напряжения иа2 на аноде лампы Л2.
Увеличение напряжения иа2 вызовет прохождение тока
и дополнительный заряд конденсатора С2. Ток заряда
конденсатора С2 создаст положительное падение напря-
жения сетка — катод лампы что приведет к увеличе-
нию анодного тока лампы Ль
Таким образом, увеличение анодного тока лампы Л1
вызывает уменьшение анодного тока лампы Л2, что
в свою очередь вызывает увеличение тока лампы Ль
Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока ток
в лампе Лi не достигнет наибольшего значения, а в лам-
пе Л2 не упадет до нуля. После этого процесс в схеме
повторится, но токи в лампах поменяются местами.
Будем считать, что схема симметрична, т. е.
416
Для первой лампы можно записать:
Ra i 1 Д- 1 — О J
ЯаЧ — Rit-L-^—ДргЛ = О. (5-226)
Обозначим:
ia — ЙД^2’, Rl2 —-WC2‘, Wci=^C2« (5-227)
Индуктивность L соединяет контур RC. Пренебрегая реакцией
анода, т. е. влиянием переменного напряжения на анодный ток,
имеем:
iA=f(uc). (5-228)
Аппроксимируем анодно-сеточную характеристику лампы степен-
ным полиномом третьего порядка
/а = / (цс) = /о Д- Sitic — 5зЦ3с. (5-229)
Из (5-226) и (5-228) следует:
/а = / (г/с) = /о Д' SiUc — S^u^c ~ й Д~ Д- (5-230)
Из (5-227) следует:
i2 = uCi/R- (5-231)
Решая (5-226) относительно 6 и учитывая (5-231), получаем:
._____R . , L dh ~1 Г .
Ла г2+ Ra dt + RaC y^dt-
_ Vcl I L I 1 Г Л /К OQO\
Ra RRa dt + CRRa J “C1 dt' (5-232)
Учитывая (5-231) и (5-232), уравнение (5-230) можно предста-
вить в следующем виде:
х ... “ci , L duex , 1 f
f (Uci) = и + 12 - Ra + RRa di + CRRa ]Uc'dt+ R"
После дифференцирования с учетом (5-229) получим:
df(ucl) _df(uCi) duCx duex .
~~dt 37-=(i»-3i8^c>) dt .
L — {R H- Ra) 35з/?/?а^2С1] I £ ^ci = 0-
(5-233)
Для упрощения введем новые переменные
т = /, KZC; dt = KZCdt; dt* = LC di?.
Тогда (5-233) примет вид:
^т2 “77 fWa^i — (Я Д- Яа) — 353ЯЯаи2с1] + ^ci = 0.
(5-234)
27—-447 417
Обозначив:
—• (/? 7?а) — ос j
ЗЗзЯЯа == Pl
е = VC/L а = V~CjL \RRaSi — (R + Ла)].
(5-235)
Подставив (5-235) в (5-234), получим:
d2«ci (, Р . \ d«ci ,
Л2 “ e(j — a “clj dt +«С1=О.
Если введем безразмерную величину х = Vf/awci, то получим из-
вестное уравнение Ван дер Поля
d2x/dx2 — е (1 — х2) dx/dx + х = 0.
Проделанные выше исследования свидетельствуют о том, что
процесс, который имеет место в мультивибраторе (рис. 5-104), опи-
сывается известным нелинейным уравнением 'Ван дер Поля.
Однако в этом случае в очень велико, так как L имеет малое
значение (5-235). Большое значение 8 '(гл. 3—5) вызывает колебания
(рис. 3-78) почти прямоугольной формы (релаксационные колеба-
ния). На практике часто £ = 0. При этом условии уравнение (5-233)
примет вид:
— (/? /?а) — 3«$з/?/?аЦ2с1] dtlc\/dt = Uci/C\
[/?aSi — (1 + Ra/R) — 35з7?а«2с1] dllci/dt = U^/CR.
Обозначив
a = tfaSx — (1 + R*!R}; b = 3S3/?a,
получим: [a — 6u2ci] du^/dt = UvjRC.
Если duci/dt = (l/2wCi) du^ci/dt,
то du^ci t 2 - ц2с1 (a-bu^)- RC dt-, t-., „ 2 a u2c] M«2Ci - RC dt- 2 a In u2Ci — bu2ci ~ •
Если принять, что «си — максимальное значение, a wci2— ми-
нимальное значение от tzCi, которые соответствуют временам ti и
/2, то получим:
2
a In tz2cn —’ bitten = ti
2
Cb In tz2ci2- ^W2C12 == RQ
418
сжкуда* период процесса»
Т = 2 (t2 — h) = RC р In — b (u«cl2 — U2C11)
T = KaRC = Roi,
где т = RC.
Г. Генераторы пилообразного напряжения
Генератор на газоразрядной лампе. На рис. 5-105
показан релаксационный генератор с газоразрядной
лампой. Принцип действия схемы следующий. При
включении источника постоянного напряжения конден-
сатор С начинает заряжаться через резистор R. В ис-
ходном положении внутреннее сопротивление газораз-
рядной лампы достаточно велико и она на процесс
Рис. 5-405.
к-1—Д
Рис. 5-106.
заряда емкости не оказывает никакого влияния. Заряд
емкости продолжается до тех пор, пока напряжение ис
не достигнет так называемого напряжения зажигания
лампы Uz. При достижении этого напряжения в лампе
происходит ионизация и сопротивление ее резко умень-
шается. В результате емкость разряжается через внут-
реннее сопротивление лампы Ri. Как только напряже-
ние ис упадет до значения Ut, при котором ионизация
прекращается, внутреннее сопротивление лампы вновь
становится большим и емкость снова получает возмож-
ность заряжаться. С течением времени процесс периоди-
чески повторяется. Напряжение на емкости по форме
приближается к пилообразному (рис. 5-106).
При заряде напряжение на емкости имеет вид:
UC=(U—U1) (1 —е-(1х) + и1=и — (U — Ut) е~‘С.
Напряжение зажигания
и 2 = и — (U —1/1) е~1'1КС,
27*
419
откуда
ti ^RC
В режиме разряда емкости
тт t/RfC —t%l R;C
uc = U2e 1 ; t/i = C2e 1 ,
откуда
/2 — RiC In [(£/2, £A).
Период колебаний в рассматриваемом случае составит:
T = t.+t2 = RC ^[(U-U^KU-U^+RiC In (W^).
Из последнего уравнения видно, что период колебаний Т суще-
ственно зависит от постоянной времени цепи заряда RC и цепи
разряда RiC. Период колебаний зависит также и от соотношения
между напряжениями U, Ui и U2. Чем 'больше разность U2—Ui, тем
больше Т, но чем выше напряжение источника U, тем меньше период
колебаний *.
Ламповый релаксационный генератор. На рис. 5-107
показан ламповый релаксационный генератор. В срав-
нении с предыдущей схемой вместо лампы тлеющего
разряда здесь электронная
лампа. Резисторы 7?i и ^одно-
временно стоят в цепи сетки
одной лампы и в цепи анода
другой. При выключенном клю-
че S анодное напряжение лам-
пы Л1 равно нулю. Анодный
ток также равен нулю, и сетка
лампы Л2 не получает отрица-
Рис. 5-107. тельного напряжения. Через
лампу Л2 проходит анодный ток
/2. На сетке лампы Л1 появляется отрицательное на-
пряжение. Лампа Л1 заперта, лампа Л2 открыта. Если
теперь включить ключ, то емкость С начнет заряжать-
ся. Одновременно с этим повышается анодное напряже-
ние лампы Л1. При напряжении —Uc=DUa лампа Л1
откроется и через нее пойдет ток. Тогда на сетке второй
лампы появится отрицательное напряжение, которое
вызовет уменьшение тока /2. Это повлечет за собой
уменьшение отрицательного напряжения первой лампы.
* Колебательный процесс в данной схеме может возникнуть
только в том случае, если напряжение источника питания U>U2.
Однако при очень большом напряжении источника колебания могут
и не возникнуть, так как лампа в течение всего времени будет оста-
ваться открытой. (Прим, перев.)
420
В результате этого анодный ток Л лавинообразно уве-
личится, лампа Л2 закроется, a Л1 откроется полностью.
Конденсатор С начнет разряжаться через лампу Лг до
тех пор, пока напряжение на резисторе Ri не уменьшит-
ся до значения, при котором лампа Л2 вновь откроется,
а лампа закроется. Затем процесс снова повторится.
Изменением сопротивлений Ri и R% можно влиять на
максимум и минимум заряда и разряда напряжения
емкости.
Линеаризация пилообразного напряжения.
В рассмотренных схемах напряжение на конденсаторе при его заря-
де изменяется по экспоненциальному закону. Скорость нарастания
напряжения изменяется с течением времени, так как ток заряда
не остается постоянным. В большинстве случаев желательно, чтобы
напряжение на конденсаторе нарастало по линейному закону. Это
возможно, если стабилизировать ток заряда (или разряда) емко-
сти.
Известно, что напряжение на конденсаторе, зарядный (или раз-
рядный) ток и значение емкости конденсатора связаны между собой
зависимостью
ис (/) = —------у~ I l dt.
6
Если стабилизировать ток заряда, сделав его постоянным и
равным /о, то
W = (Zo/C) t = Kt,
т. e. при постоянном зарядном токе напряжение на конденсаторе
изменяется по линейному закону пропорционально времени.-
Все сказанное справедливо также и для процесса разряда кон-
денсатора. Следовательно, для повышения линейности пилообраз-
ного напряжения необходимо использовать схемы, обеспечивающие
постоянство тока заряда и разряда конденсатора. К числу таких
схем можно отнести схемы с диодом и пентодом, которые исполь-
зуются в качестве разрядного сопротивления. Действительно, если
диод работает в режиме насыщения, то анодный ток в нем практи-
чески мало зависит от приложенного анодного напряжения. Пентод
имеет вольт-амперную характеристику, аналогичную диоду. Стабили-
зацию тока разряда осуществляют, или изменяя- ток накала диода,
или изменяя напряжение на управляющей сетке.
Д. Регенерация
На рис. 5-108 показан последовательный колебательный контур.
Действующее значение напряжения на емкости при резонансной ча-
стоте (0 = 0)о
UC — QE,
т. е. напряжение на емкости Uc пропорционально добротности
Q = (o0A//?.
421
При заданных (Оо и Л добротность Q может быть увеличена
только за счет уменьшения 7?, которое должно находиться в опре-
деленных пределах. Желательно иметь контур с добротностью не ме-
нее 250—600.
Теперь обратимся к схемам, которые представлены на рис. 5-89
и 5-90 и в дифференциальных уравнениях для которых появляются
отрицательные составляющие сопротивлений. Принципиально отри-
цательные составляющие могут -быть использованы, для того чтобы
Рис. 5-108.
скомпенсировать положительные сопротивления, а также чтобы улуч-
шить добротность колебательного контура. Представим первую схе-
му, как показано на рис. 5-109.
В предположении -возбуждения синусоидальной формы
е = sin (со/ + ¥)
для данной схемы в соответствии с законом Кирхгофа имеем:
di 1 f dia
L^dT + ^i + '-Q I I dt = M-^ + Em sin (co/-(-?). (5-236)
Учитывая, что
1 С
uc = -Q- \ i dt; i — C duc/dt; di/dt = C d2Ucidt2t
получаем из (5-236)
LCd2Uc/dt2 RC diic/dt -J- = M dia/dt -J- Em sin (co/ ?) •
Если
co20=l/LC; S = R/2L,
TO
' д;С + 23 ~/f~ + “2c«c = <o20Af 4- co0£m sin (co/ -f- <p). (5-237)
При малой проницаемости D ток ia является только функцией
ис и для малых управляющих сигналов
dia/dt = (dia/duc) duc/dt = S duc/dt.
В связи с этим следует:
d4ic/dt2 -f- (25 — со2оЛ4£) du^/dt -f- co2otZc = со2о£/п (со/ -{-?)•
422
Это дифференциальное уравнение эквивалентного колебатель-
ного контура, представленного на рис. 5-110, с коэффициентом за-
тухания
2де=2д—co2oMS = /?e/L
и эквивалентным сопротивлением
Rd = R-^oLMS = R—MS/C. (5-238)
Добротность этого колебательного контура равна:
со0£ со0£ ________ co0A 1
R — MS/C R~ l—MS/RC
или
Рис. 5-110,
Рис. 5-111.
Закон изменения эквивалентного сопротивления RQ от М пока-
зан на рис. 5-111.
Из (5-239) следует, что для значений Af<AfKp добротность ре-
зонансного контура значительно улучшается. Этот процесс называет-
ся регенерацией. При М=7Икр в соответствии с (5-238). /?э = 0,
а значение Q3 становится бесконечным. При
больших значениях М выполняются условия
возникновения колебаний и схема работает как
генератор.
Коэффициент регенерации равен:
р — Сс3 /Cq = QsEm/QE = Qs/Q
и составляет:
р=1/(1—m),
где т=М/Л4Кр.
Его изменение представлено на рис. 5-112.
Для нелинейного случая с характеристикой
£*а — Iо -р S\tlc, — Sstl^c]
dio./due — — 35з(/2р
423
уравнение лампового генератора (5-237) преобразуется
d2Uc/dt2 4~ (25 — co20MSi 4- Зсо20Л153ц2с) dtic. dt 4-
4~ co2tUc = co % 74? sin (со/ 4“ <p).
Если вводят обозначения:
a = 25 — coVWSr, у = co20MS3, (5-240)
то получают:
d2Uc dt2 + (a + Зуц2с) duc 'dt + co2ct/c = (о20Ет sin (co/ <p). (5-241)
При решении (5-241) используем подстановку
и с = Um sin со/
и ограничимся установившимся режимом dUm/dt = Q.
Тогда, подставляя соотношения
duc/dt = co(7m cos co/; d2uc ’dt2 = — m2Utn sin co/
в (5-241), получаем:
(co2o — co2) Um sin co/ 4- a®Um cos co/ 3yco73w sin2 co/ cos co/ —
= co2o£/n (cos (f> sin co/ 4- sin 7 cos co/). (5-242)
Учитывая, что
sin2 со/ cos со/ — cos со/ — cos3 со/ — (cos co/)/4 — (cos 3co/)/4,
проводим сравнение коэффициентов при синусоидальных и косину-
соидальных функциях (5-242) при пренебрежении высшими гармо-
никами:
(со2о — со2) Um = co20£m cos <f>;
oAtiUm 4- ЗусоПзт/4 = (О20Ет sin у.
Из двух последних уравнений определяем:
Um/Ет ~ со2 о/И"(со2о — со2)2 -J- (асо 4“ SycofJ2т 4)2-
Учитывая (5-240), получаем:
Um/ Ет со2о/ (со2о — со2)2 4“ (R/Е — co2oAiSi -j— 3co2o/W«S3(72/n/4)2 со2
(5-243)
Из (5-243) можно получить соответствующую зависимость для
резонансного контура без регенерации, если исключить из него
влияние лампы, т. е. положить, что Л4 = 0:
Um/Em ~ со2о/К(со2о — со2)2 4- (со/?/Л)2 . (5-244)
На рис. 5-113 показаны резонансные кривые с b = LR/2 в каче-
стве параметра, рассчитанные по (5-244) и отнесенные к макси-
мальному значению U^n = Um (со = соо)-
424
У контура с регенерацией, резонансные кривые которого опи-
сываются (5-243), эквивалентное затухание составляет:
2оэ — R/L — со2оЛ4»51 -J- Зсо2оAISg{72/n/4,
т. е. затухание зависит от напряжения Um и увеличивается с ростом
Um. При этом бэ растет только вблизи резонанса и резонансные
кривые получаются в виде сильно вытянутых кривых (рис. 5-114).
5-6. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ
А. Умножение частоты
Умножение частоты представляет собой преобразо-
вание частотного спектра и может быть осуществлено
с использованием нелинейных элементов. Задача умно-
жения частоты состоит в преобразовании частоты под-
водимого сигнала со в п раз большую частоту псо, где
п— целое число, превышающее единицу.
Умножение частоты с помощью цепи с множительной
характеристикой. Если на вход устройства подается
входная величина (ток или напряжение) вида
;v = Xmcos со^, (5-245)
то в результате умножения частоты на выходе
y=Xm cos псо/. (5-246)
Устройство, которое выполняет эту задачу, называ-
ют n-м множителем частоты. На самом деле практиче-
ски не существует такого реального устройства, которое
могло бы выполнить эту задачу полностью. Прежде все-
го потому, что наряду с требуемой частотой возникают
еще и другие частоты, которые в большинстве случаев
425
являются нежелательными. Основной вопрос, который
должен быть решен при реализации схем умножения
частоты, — это определение зависимости, которая долж-
на существовать между входной и выходной величина-
ми, чтобы схема работала нормально и на выходе по-
являлись только требуемые частоты псо. Для определе-
ния взаимосвязи между входной и выходной величина-
ми воспользуемся (5-245) и (5-246), представленными
в нормированном виде:
g=x/Xm=cos co^=cost; (5-247)
o'=y/yw = cos ftco/=cos nx. (5-248)
Найдя из (5-247)
т= arccos g
и подставив в (5-248), получим функцию, связывающую
входную и выходную величины:
o'= cos (n arccos £). (5-249)
Уравнение (5-249) представляет собой характеристи-
ку o(g) схемы умножения частоты, которая позволяет
осуществить n-е повышение частоты. Эта характеристи-
ка напоминает собой тригонометрическую форму поли-
нома Чебышева п-го порядка
Tn(^)^=cos nr=cos (п arccos g) = о. (5-250)
Функцию cos пх можно представить в виде степенно-
го ряда переменной g. Исходя из условия
elnx = cos пх Д- j sin пх, (5-251)
получаем:
cos пх — Re [elnx] — Re [e/T]rt = Re [cos т j sin т]Л. (5-252)
Отсюда можно получить полином для любого желае-
мого значения . Например, для значений ОТ п = 0 до
и=5:
Л® = 1; 1
- ~ cos т = 5;
Л® = COS 2т = 2$2 - 1; 1 • (5-253)
Л (5) = cos Зт = 4£3 — 35; ' 1
л© = cos 4х == 854 -8^4-1;
г. ® = cos 5т — 16$' !-2№-|-5£.
426
На рис. 5-115 показан характер рассматриваемой
функции для значений /г = 0 до п = 4. Таким образом,
схема умножения частоты представляет собой четырех-
полюсник, характеристика которого в зависимости от
порядка умножения имеет функцию связи между вход-
ной и выходной величинами описанного выше вида.
Основное внимание при реализации подобной функции
связи должно быть уделено определению положений
Рис. 5-116.
Рис. 5-117.
Рис. 5-115.
экстремальных значений и прохождения через нуль по-
линома Чебышева. Для этого на отрезке между £=—1
и £= + 1 вычерчивают дугу, которую делят на п частей,
в результате получают (п+1) экстремальных значений.
Затем каждый отрезок делят пополам, так чтобы абс-
цисса в средней точке совпала с прохождением через
нуль.
На рис. 5-116 выполнено построение для п=6. Функ-
ция о’(^) = Tn(t>) представляет собой сумму и разность
степеней переменной £. Сумму или разность можно по-
лучить в электрической цепи относительно токов или
напряжений. Наиболее простой реализацией является
мостовая схема. В качестве примера можно привести
емкостный мост, который выполняет функцию умножи-
теля частоты.
Умножение частоты с помощью нелинейных емкостных элемен-
тов. ‘Емкостный мост в качестве умножителя ча-
стоты. На рис. 5-117 показан мост, в противоположные ветви ко-
торого включены линейные и нелинейные конденсаторы. Рассмотрим
работу моста в режиме холостого хода. На рис. 5-118,а представле-
ны характеристики q(u) для линейной и нелинейной емкостей (при
небольших управляющих сигналах).
Напряжение на входе
= = Л (#)•
427
Напряжение на выходе
ы X-----^1-----U-2-----f2 (^) •
На рис 5-118,6 показаны зависимости uBX = g[(t) и u2 = g2(t).
Напряжение uBBlx = f2(q) можно аппроксимировать полиномом Че-
бышева третьего порядка и использовать для утроения частоты. Если
кривую uBX — fi(q) при определенных условиях аппроксимировать
Рис. 5-118.
прямой, то зависимость q(t) при синусоидальном напряжении цвх(0
также синусоидальна. На этом же рисунке показал закон изменения
выходного напряжения. При синусоидальном законе изменения вход-
ного напряжения напряжение на выходе также синусоидально, одна-
ко с утроенной частотой.
Умножение частоты с применением насыщенной магнитной цепи.
Утроение частоты. На рис. 5-119 показана схема утроителя
частоты, состоящая из двух трансформаторов. Первый трансформа-
тор из-за наличия воздушного зазора имеет линейную характери-
стику Ф(0, я характеристика второго трансформатора обладает
явно выраженной нелинейной зависимостью Ф(/). К входным об-
моткам трансформаторов, содержащих одинаковое число витков ie>i
и соединенных последовательно, приложено напряжение
щ = Uim cos со/.
Очевидно,
Uy = Wy с1Фу 'dt + Wy d<J>2/dt = Uym cos cd/.
Отсюда следует:
Ф = Фх + Ф2 = (Uym/wyw>) sin со/. (5-254)
В данном случае ради простоты предполагается, что выходные
обмотки также имеют одинаковое число витков w2 и включены вза-
имно противоположно, так что
и? = wz d^y/dt — dQz/dt — w^d (Ф1 — Ф2)/^/.
428
На рис. 5-120 показаны зависимости Ф1+Ф2 = НЛ) и
Ф1— Ф2=£(11). Характеристику Ф]—ф2=^(/1) можно аппроксими-
ровать полиномом Чебышева третьего порядка, что позволяет осу-
ществить умножение частоты. На рис. 5-Г20 представлены графики
изменения суммы потоков ф = ф14~ф2, ТОка /ь разности потоков
Рис. 5-120.
Рис. 5-119.
Ф1—ф2 и выходного напряжения от времени. График Ф1—Ф2 = £(*1)
в зависимости от соотношения витков вторичных обмоток может
принимать различный вид.
Удвоение частоты. На рис. 5-121 показана схема удвое-
ния частоты с насыщенной магнитной цепью. Она состоит из двух
одинаковых трансформаторов, каждый из которых содержит по три
обмотки (входную, выходную и обмотку подмагничивания). Входные
Рис. 5-121.
обмотки, содержащие по оц витков, соединены последовательно и
включены на синусоидальное напряжение. Тогда
«1 = Wi йФг/dt + wi &ФП/dt = W\ d (Ф' + Фгт)^ — Uun cos со/.
(5-255)
обмоткам подмагничивания, содержащим по w0 витков, при-
ложено постоянное напряжение и по ним прохоцит ток, создающий
в первом стержне м. д. с.
F1 = /q ССо “р/1 1 ==:^0“1“^ е
и во втором
/?2==—/о^о + h^l =—Fq-^-Fc.
В цепи подмагничивания наводится э. д. с., вызывающая ток
с частотой со. Для уменьшения этого тока предусмотрена индуктив-
429
ность L. На рис. &№% показана характеристика намагничивал™ для
случая, если, кроме М. $.• &• F®=1qWq, существует м. д. с. Fe~
Очевидно, одинаковые м. <& F* вызывают неравные изменении
потоков в обоих магнитопроводах.
Напряжение на вторичной обмотке'
и2 = w2 d$'Idt — w2 d$n/dt = w2d (Ф' -=Ф^)/^. (5-256)
Это напряжение пропорционально производной разйогти пото-
ков по времени. Для того чтобы для каждой м. д. с. Можно было
составить разность потоков, характеристики намагничивания обоих
магнитопроводо® сдвигают п© осн ординат на расстояние А'В' я
А" В" соответственно. Тогда каждому значению Fe непосредственно
соответствует разность Ф'—Ф". Это построение выполнено на
рис. 5-123.
Характеристику (Ф'—ф")—f(Fe) при малой амплитуде вход-
ного напряжения можно аппроксимировать полиномом Чебышева
второго порядка и доказать аналитически возможность удвоения
частоты. Если ток ц изменяется по синусоидальному закону с ча-
стотой оз, то Fe также синусоидальна и имеет ту же частоту. На
рис. 5-123 построена зависимость Ф'—Ф,,=[(со/). с использованием
430
Характеристики Ф'—^=f(Pe)t ебли известна зависимость Ф'—Ф"^±
=^(со/). По отношению к /е=/’(со/) зависимость Ф'—Ф,/=/(со/)
имеет удвоенную частоту. На рис. 5-123 построен график выходного
напряжения u2(t) согласно • (5-256). Из рис. 5-123 напряжение вто-
ричной обмотки имеет удвоенную частоту.
На рис. 5-Г24 показано аналогичное построение при синусои-
дальном входном напряжении.
Из (5-255) следует:
Ф'+Ф"= (1/Wi) i щ dt.
Так как входное напряжение
U1 = t/imCOS со/,
то
ф' 4- ф" = —S— С Uidt sin со/ = Фт sin со/.
1 Wi J (ОШ1
Таким образом, сумма потоков изменяется также по синусои-
дальному закону. Затем, используя характеристики Ее=/(Ф,+Ф'/)
и Ф'—Ф" — g{Fe)y строят зависимости Ф7—и u2=f(/).
Fe(/) в данном случае несинусоидальна.
Умножение частоты в трехфазных системах.
На рис. 5-125 изображены три одинаковых однофазных трансформа-
тора, первичные обмотки которых соединены в звезду и образуют
симметричную трехфазную систему. Вторичные обмотки образуют
незамкнутый треугольник. Магнитопроводы всех трансформаторов
насыщены. Нулевой провод отсутствует, и сумма токов, протекаю-
щих в каждой фазе в любой момент времени, равна нулю. Иссле-
дуем, какие .высшие гармоники присутствуют в фазовых токах.
Пусть
in\=Inm sin(nco/+(pn),
где п — гармоника тока в первичной обмотке первого трансформа-
тора;
in2 = Inm sin [/до (/ + 7уЗ)+<ро] = Inm sin (/до/ + 2гс/?/3 + ?л),
где п — гармоника тока в первичной обмотке второго трансформа-
тора;
inz = Intn sin [/до (/ + 2773) + ?n] = Inm sin (/до/ + 4*m/3 + <рл),
где n — гармоника тока в первичной обмотке третьего трансфор-
матора.
Если п — целое число, например 3, то фазовые углы токов крат-
ны 2л, т. е. все три тока (п—х) гармоник находятся в фазе. Но
их сумма должна быть равна трехкратному значению тока в одной
обмотке и не равна нулю. Это возможно, так как нулевой провод
отсутствует. Таким образом, ток третьей гармоники и гармоник,
кратных трем, очевидно, отсутствует. Ток содержит наряду с основ-
ной частотой прежде всего пятую и седьмую гармоники, которыми
по сравнению с основной частотой можно пренебречь. Поэтому ток
практически можно рассматривать как синусоидальную величину.
При синусоидальном токе и небольших управляющих напряжениях
отдельные фазовые потоки не синусоидальны и содержат третью
гармонику. Третья гармоника содержится также в э. д. с., которая
431
наводится во вторичных обмотках. Электродвижущие силы вторич-
ных обмоток складываются, и э. д. с. на «выходе равна утроенному
значению. Хотя первичные фазовые напряжения не синусоидальны,
их разность — линейные напряжения — синусоидальны.
Другая схема умножения частоты показана на рис. 5-126. Три
нелинейных элемента соединены звездой с выведенной нулевой точ-
кой. Так как токи в системе при отсутствии нулевого провода не
содержат гармоник, частоты которых кратны трем, и практически
синусоидальны, то напряжения на нелинейных элементах содержат
высшие гармоники, частоты которых кратны трем. При синусоидаль-
Рис. 5-127.
Р,ис. 5-126.
Рис. 5-428.
ной э. д. с. между точками 0 и О' возникает напряжение П2, которое
в основном содержит компоненту напряжения утроенной частоты.
В качестве нелинейных элементов могут быть использованы индук-
тивные, емкостные и активные сопротивления.
Умножение частоты с использованием фильт-
ров. На рис. 5-127 показано, как с помощью фильтрации из широ-
кого диапазона частот можно выделить
определенную гармонику. Входная цепь
схемы состоит из первичной обмотки
трансформатора, индуктивности Li и ем-
кости С\. Элементы цепи подобраны та-
ким образом, что вся цепь имеет емко-
стный характер и ток практически сину-
соидален. Напряжение на вторичной об-
мотке содержит большое число высших
гармоник. Если вторичную цепь настро-
ить на одну из них (соответствующим
подбором L2C2), то ее можно выделить.
Умножение частоты с помощью электронной
ламп ы. Для умножения частоты можно использовать усилитель,
в анодную цепь которого в качестве нагрузки включен колебатель-
ный контур (рис. 5-128). На сетку триода подается напряжение
uc — Ucm cos о)Л (5-257)
Колебательный контур настроен на n-ю частоту сеточного на-
пряжения. Пренебрегая анодной реакцией, будем считать, что при
изменении анодного тока анодное напряжение практически не из-
меняется. Если вольт-амперную характеристику ia=f(uc) аппрокси-
мировать полиномо«м третьей степени
= Г/о+^1^с4"л2^2с+^3^3с,
432
то с учетом (5-257) и на основании (2-54)
Za = (По + ^2^2с/п/2) + cm +
U*cm 1
+ Зя3£73с/п), 4 cos со/ а2 —2— cos + ~~4~ азУ3ст cos Зсо/.
Если контур в анодной цепи настроен на частоту по |(где п =
='2, Зит. д.), то гармоники анодного тока п—1 и более низкие
пройдут преимущественно через индуктивность контура, а гармоники
п+1 и более высокие — через емкость. Поэтому напряжение на кон-
туре от всех гармоник, за исключением n-й, очень мало.
При расчете очень удобно характеристику
Za(nc) аппроксимировать ломаной прямой. Ку-
сочно-линейная аппроксимация позволяет до-
статочно просто определить гармонические со-
ставляющие, используя (2-54) или кривые на
рис. 2-52. Из рис. 2-62 следует, что с целью
оптимального умножения частоты выгодно
использовать усилитель с отсечкой анодного
тока, причем угол отсечки выбирается из рас-
чета прохождения соответствующей гармоники
через максимум. Так, для получения удвоения
частоты угол отсечки должен быть близким
к 0 — л/3. В случае утроения частоты для пОлу-
Рис. 5-129.
чения максимальной амплитуды угол отсечки
должен быть близким к 0 = 2л/9. На рис. 2-62 изображены графики
для более высокочастотных гармоник, которые показывают, что при
0 = л/2 все нечетные гармоники анодного тока, за исключением пер-
вой, обращаются в нуль и с повышением порядка гармоник макси-
мумы коэффициентов аг, «з и т. д. перемещаются в область более
малых значений 0. Угол отсечки определяется выбором напряжения
смещения при определенной амплитуде сеточного напряжения со-
гласно (2-50).
Б. Деление частоты
Задача деления частоты заключается в получении на
выходе схемы синусоидального колебания с частотой,
в п раз меньшей, чем напряжение входного сигнала, где
п — целое число.
Деление частоты с помощью ламповой схемы. На
рис. 5-129 показана ламповая схема, генерирующая суб-
гармоники, в анодную цепь которой включен источник
переменного напряжения
и= (Ли cos nwt
последовательно с колебательным контуром, настроен-
ным на резонансную частоту 1/]/LC.
Пусть /г=2, тогда, если индуктивность £с в цепи
сетки лампы отсутствует, по анодной цепи проходят
28—447 433
ИМпулЬсы тока удвоенной частоты. Если есть индуктив-
ность Lc, то при наличии взаимной индуктивности М
напряжение на колебательном контуре
Uq= USm COS
Суммарное анодное напряжение
Z7a = Uт COS 2со/ — USm COS со/.
Тогда напряжение между сеткой и катодом лампы
Uc — Ucm, COS (i)t — Uсо«
Анодный ТОК
/а — f = f + Dua) = f [Uctn COS at —
— Uco DU tn COS 2(i)t — DUSm COS atf] =
= f [DUm cos 2atf — t/co + USm (n — D) cos co/],
где n=UcmlUSm.
Анодный ток будет проходить в те моменты, когда
— DUm cos 2се/ — Uc0 4- U (п — D) cos Ы > О/
О ъ • О’/t ' 7
Напряжение list содержит постоянную или две пере-
менные составляющие (рис. 5-130,а). Из рис. 5-130 сле-
Кольцевой модулятор
дует явное подавление каждой
второй положительной полу-
волны. Постоянное отрицатель-
ное напряжение на сетке сме-
щает ось абсцисс на t/c0. На
рис. 5-130,6 показаны импуль-
сы анодного тока, соответству-
ющие положительным значени-
ям управляющего напряжения.
Первая гармоника анодного
тока имеет частоту со, так что
в колебательном контуре LC
могут возбуждаться колебания.
в качестве делителя частоты.
На рис. 5-131 показана структурная схема кольцевого
модулятора, выполняющего роль делителя частоты. На
схеме введены следующие обозначения: КМ— кольце-
вой модулятор; Ф — фильтр для частоты Q и У — уси-
литель. Фильтр выбран таким образом, что Q = co/2.
434
Если на вход модулятора
поступает напряжение с часто-
той (о и на диагональную ветвь
напряжение с частотой й, то
согласно (5-144) на выходе
наряду с высокочастотными
составляющими появляется частота
Рис. 5431.
со—й = со/2 = й.
Затем этот сигнал фильтруется фильтром Ф, усили-
вается усилителем У и поступает на выход. Принципи-
альная схема описанного устройства изображена на
рис. 5-132. В качестве фильтра в этой схеме использует-
Рис. 5-132.
ся резонансный контур в анодной цепи лампы с частотой
Q=l/J/LC. Напряжение частоты Й, снимаемое с кон-
тура, подается непосредственно на кольцевой модуля-
тор, на выходе которого появляется напряжение, содер-
жащее две частоты: со—й и со + й. Суммарная частота
со + Й не проходит на выход схемы, так как контур на-
строен на частоту й, а разностная частота должна соот-
ветствовать условию, из которого следует, что й = со/2.
5-7. ИМПУЛЬСНЫЕ УСТРОЙСТВА
А. Импульсный трансформатор
Импульсный трансформатор при синусоидальном
токе. Если трансформатор имеет магнитопровод
(рис. 5-133), характеристика которого имеет резко вы-
раженную зону насыщения (рис. 5-134,а), то при сину’
соидальном токе в первичной обмотке поток изменяется
28* 435
по трапецеидальной форме (рис. 5-134,6). Во вторичной
обмотке наводится э. д. с.
е — ~w2 d®/dt = — dW2/dt,
которая имеет пикообразную (импульсную) форму.
Если входное сопротивление трансформатора прене-
брежимо мало по сравнению с полным сопротивлением
первичной цепи, то при синусоидальной э. д. с. ток в пер-
Рлс. 5'133.
вичной цепи также синусоидальный. Ниже приведено
исследование ненагруженного импульсного трансформа-
тора. Пусть характеристика В(Н) описывается выра-
жением
H=ash|3B. (5-258)
Тогда при синусоидальном первичном токе
i = Im sin at
мгновенное значение магнитной напряженности
Н = Нт sin со/ = (ImWiJl) sin со/, (5-259)
где I — средняя длина сердечника.
В результате подстановки (5-259) в (5-258) полу-
чим:
sinco/ = ash р£>,
откуда
В = (1/р) arcsh [(/wWi/a/) sin со/].
Напряжение на вторичной обмотке
= - costoZ _ . (5-260)
cup Kl + [(Лп^1/а/) sin co/]2
Максимального значения напряжение достигает при
со/=йл, где k равно 0, 1,2...
436
Из (5-260) следует, что
U 2tn —I fn<nAwiW2! (5-261)
Если напряжение, соответствующее (5-260), отнести
к его максимальному значению, то получим относитель-
ное (нормированное) напряжение .
х = \u2/Um\ = cos tot/V 1-Ц-у2 sin2
где
y = lmfl^ iQ — aljWx. (5-262)
На рис. 5-135 показаны графики зависимости х=
при различных значениях параметра у. Пусть
ширина импульса равна 26; если взять отношение к по-
ловине высоты импульса, то получим:
cos 8/]/* 1 -ф- у* sin2 5=1/2;
у = )73/sin2 8 - 4“ (5-263)
откуда
8 = arcsin УЗ/(у2 -|-4).
Уравнение (5-263) позво-
ляет определить у при за-
данной ширине импульса. Рис. 5-135.
Используя (5-262), можно
определить число витков первичной обмотки
Wi = yalllm.
Число витков вторичной обмотки согласно (5-261)
равно:
W2 U2/72р/<пАу.
Импульсный трансформатор при синусоидальном напряжении.
При синусоидальном входном напряжении желаемую трапецеидаль-
ную форму потока можно получить при соответствующей форме
магнитопровода импульсного трансформатора. Одна из возможных
форм магнитопровода показана на рис. 5-136. Если к первичной
обмотке трансформатора приложено синусоидальное напряжение
то поток Ф1 в среднем стержне магнитопровода / с площадью по-
перечного сечения Ai и длиной /1 почти синусоидальный. Пока уча-
сток стержня II с площадью поперечного сечения Л2 и длиной 12
(причем Ai значительно больше Л2) не насыщен, весь поток прак-
тически проходит через него, так как боковой путь через участок
стержня II содержит воздушный зазор, магнитное сопротивление
которого значительно. После насыщения участка II основная часть
потока будет проходить через участок III. В результате этого поток
Ф2, проходящий через вторичную обмотку трансформатора, будет
437
иметь трапецеидальную форму и наводить во вторичной обмотке
э. д. с. (рис. 5-137)
е2 =—w2 d<b2ldt,
имеющую импульсную форму.
Рассмотрим работу импульсного трансформатора при холостом
ходе и без учета потоков рассеивания.
Пусть характеристика В(Н) участка II магнитопровода аппрок-
симируется выражением
Н2 = а sh рВ2. (5-264)
Характеристика участка III с воздушным зазором имеет линей-
ную зависимость Нз = /гВ3. (5-265)
Очевидно, что H2l2=Hzh\ Ф1/2 = Ф2 + Фз, (5-266)
откуда А1ВI /2=А 2В2+Л 3В3. (5-267)
Учитывая (5-264) и (5-265), имеем из (5-267)
«В, = (Ь/₽) (₽В2) + sh fB2, (5-268)
где а = Ail з&/2Лз/2я; b — A2hk/ Лз/2сс. (5-269)
Если напряжение на первичной обмотке синусоидально, то ин-
дукция В{ также имеет синусоидальный характер
Bx — Bim sin cat
и выражение (5-268) принимает вид:
aBim sin со/ = (b/f) (рВ2) + sh [Ш2, (5-270)
откуда
dB2jdt — atbBim cos со/f(b + 0 ch fB2).
Напряжение на вторичной обмотке равно:
и? = 2^2 = — 2иу2Л2соВ1^я cos со//(& + [I ch В8).
438
Максимальное Значение и2 ймёе! при /=0, а также при j§2 = 0
^Лмакс == — (Ь 4~ Р)« (5-271)
Если выходное напряжение и2 отнести к его максимальному
значению, получим нормированное выходное напряжение
X = U2/Uгмакс = (Ь Р) COS (£>t/(b -j- Р ch Р/З2) •
В соответствии с рис. 5-135 можно определить ширину импульса
1/2 = (6 4-f) cos 5/(6 4-0 ch 0B2S
где В25—индукция, соответствующая участку III магнитопровода
при со/=б.
При узком импульсе б очень мало, так что cosd^l. Поэтому
ch = b/$ 2 = sh2 0В25 4~ 1 »
откуда
sh ₽В25 =/(6/g+ 2)2- 1. (5-272)
Подставив (5-272) в ,(5-268), получим:
1 Г ь ( ь \ , , /"Гь V 1
g^sinS =жг |rarcs4T+2;+J/ (т+2/ -1]’
(5-273)
Соотношение (5-271) определяет высоту импульса, а (5-273) —
его ширину.
Б. Формирование импульсов из напряжения синусоидальной формы
В качестве примера преобразования напряжения синусоидальной
формы в напряжение трапецеидальной формы рассмотрим схему
устройства, представленную на рис. 5-138. Принцип действия устрой-
ства ясен из рис. 5-139. К цепи приложено синусоидальное напря-
жение
При
а также при
ие = Utn sin со/.
I«e|< |l/2 I
439
диоды Д\ и Д2 заперты и напряжение на выходе совпадает с на-
пряжением на входе ие. При
а также при
\ие\^\и,\
диоды открыты и напряжение на выходе равно напряжению источ-
ника смещения. В моменты (времени /2—t\ (рис. 5-139) напряжение
на выходе равно в моменты времени /4—/3 оно равно /72- Вы-
бирая соответствующим образом U\ и [Д, можно в широких преде-
лах изменять характер импульсов па выходе схемы.
Если
Um
то кривая напряжения на выходе приближается к кривой прямо-
угольной формы. Половину времени нарастания импульса т (при
= которое характеризует отклонение формы выходного на-
пряжения от идеального напряжения прямоугольной формы, можно
определить из зависимости
U 1 'Um = sin to/ toT,
откуда
T^l7i/tol7m.
5-8. УПРАВЛЯЕМЫЕ ФЕРРОМАГНИТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И
МАГНИТНЫЕ УСИЛИТЕЛИ
А. Дроссель (катушка с магнитопроводом)
При синусоидальном токе. На рис. 5-140 изображен
замкнутый стальной магнитопровод, на который наса-
жены две обмотки с числом витков
w0 и Wi. По обмотке w0 проходит по-
стоянный ток /о, а по обмотке Wi
синусоидальный ток 0. Суммарная
м. д. с.
Рис. 5-140. F — Fо + F1 — I0W0 i iWi —-
= sin с»/. (5-274)
На рис. 5-141 выполнено построение зависимости
Ф(/) с использованием магнитной характеристики; по-
строена зависимость найденная с помощью соот-
ношения
Ui = Wi d&fdt.
Из рис. 5-141 следует, что Ф(/) и Wi(/) при синусои-
дальном токе содержат ряд нечетных гармоник; Ф(/)
440
содержит также и постоянную составляющую
т
ф«о=4-
о
Очевидно, что Фоо<Фо, где Фо — поток, вызванный
током /о при ii=0. Переменный ток оказывает размаг-
ничивающее влияние в результате несимметрии магнит-
ной характеристики по отношению к рабочей точке
ЛФ = Ф0—ф00.
Очевидно, что обмотка постоянного тока оказывает
влияние на действие обмотки переменного тока. На
рис. 5-141,6 выполнено построение для случая /о=О. Из
сопоставления рис. 5-141,(2 и б видно, что подмагничи-
вающий постоянный ток оказывает существенное влия-
ние на связь между переменным током it и напряже-
нием Ut.
При синусоидальном напряжении. Более сложная за-
висимость получается, если к обмотке переменного тока
приложено синусоидальное напряжение
dt~~ Ui?7i cos со/.
Если сопротивлением R в цепи обмотки переменного
тока пренебречь, то поток будет изменяться по синусои-
дальному закону
If if
Ф(/) = — I Ui dt=— I Utm cost»/ dt = Фо» 4-sin a?/,
4 7 W1 J Wi J 1
(5-275)
где
441
Изменение тока будет иметь несинусоидальную фор-
му; Фоо В (5-275) играет роль постоянной интегрирова-
ния, которую можно определить. При заданных значе-
ниях Uim или Ф17п Фоо может принимать различные зна-
чения. Функцию Ф(/) определяют с помощью зависимо-
сти Ф(Е) по зависимости F(t), которая содержит по-
стоянную составляющую
т
Fo = ~ ^F(t)dt.
О
Тогда
Io=Fg/wo.
Ток ii может не иметь постоянной составляющей,
если предположить, что Ui не содержит постоянного чле-
на. Это доказывается тем, что ток в обмотке Wi ра-
вен:
Л = (ui — Wi d®/dt)[R.
Напряжение th не содержит постоянной составляю-
щей; d<$ldi как производная от периодической величины
также не содержит постоянной составляющей. На
рис. 5-142,cz выполнено это построение. На рис. 5-142,6
показана зависимость fi(/) при напряжении Ui для слу-
чая /о=О. Постоянный ток /0 оказывает значительное
влияние на переменный ток в обмотке Wi. Если постоян-
ный ток увеличивается, то растет и переменный ток ii.
Способом, показанным на рис. 5-142,а, можно опре-
делить для постоянной амплитуды Uim, задаваясь раз-
личными значениями Фоо, зависимость
Fo — fi (®qo); 1$ — fz (фро)«
442
Зависимость между первой гармоникой тока и напряжением.
Пусть характеристика магнитопровода аппроксимируется функцией
Н=а sh рВ.
Тогда при синусоидальном изменении индукции
В = Во+В 1771 sin со/
напряженность магнитного поля равна:
Н = a sh р (Во + Bim sin со/). (5-276)
Напряженность содержит спектр частот. Для дальнейшего рас-
смотрения наибольшее значение имеют постоянная составляющая и
первая гармоника. В § 2-5 были получены выражения для амплиту-
ды первой гармоники
Him = 2а Ch (ЗВо [- /J1 (/pBim)] (5-277)
и постоянной составляющей
//о = a sh [Jo (5-278)
Определим связь между Him и В1т в зависимости от Но:
ch₽B0 = Kl+sh2fB0 = |/ l + [JoXm)'] ’ <5'279)
Подставив (5-279) в (5-276), получим:
Я.,« = 2ау 1 + [j0^5,J [-ПН/^т)]. (5-280)
Используя соотношения:
Bim = V’2Ui/wiaA-, Him = V2IiWi/l-, На = Iowa/l (5-281)
и подставляя и>х в (5-280), получаем 'выражение, связывающее пер-
вые гармоники тока и напряжения (действующие значения) .в об-
мотке переменного тока катушки >в зависимости от постоянного тока
в обмотке подмагничивания:
V2 hwi
1 ,==
2а
IqWo/u.1____
Jo (/р /2 Ui/uwiA
Это уравнение можно преобразовать
'+[тдач]! t-/j,
гдэ /'1 = Л&У1/К2 а/; £7'1 = К2 Р/содоМ; 1гъ — 1ьЮъ/аЛ.
443
На рис. 5-143 показаны зависимости нормированных первых
гармоник тока и напряжения в обмотке переменного тока при раз-
ных значениях подмагничивающего тока.
Индуктивное сопротивление. Индуктивное сопротивление под-
магниченной катушки равно:
Xi — Ui/Ii — ww2iAUr i/2a^lIriS
Нормированное индуктивное сопротивление
где Ц = wM/2ap/
— нормированная индуктивность.
Из рис. 5-142 следует, что с увеличением подмагни-
чивающего тока индуктивное сопротивление уменьша-
ется.
Примеры применения. Изменение индуктивного со-
противления катушки от подмагничивающего тока
может быть использовано в некоторых цепях регулиро-
вания. На рис. 5-144 показана последовательная схема,
состоящая из сопротивления нагрузки 7?i, через которое
Рис. 5-144.
Рис. 5-145.
444
должен проходить управляемый ток, и подмагниченной
катушки Xi. В цепи постоянного тока предусмотрена
индуктивность L для уменьшения наводимого в этой
цепи переменного тока. При изменении сопротивления
7?о будет изменяться ток i. На рис. 5-145 показана схема
плавного регулирования освещения, а на рис. 5-146 —
использование подмагниченной катушки в приборах ду-
говой сварки. При касании электродов подмагничивание
исчезает и индуктивность в рабочей цепи увеличивает-
ся. На рис. 5-147 показана схема для регулирования
Рис. 5-148.
фазы. Напряжения #2, UR и Ох образуют прямоуголь-
ный треугольник (рис. 5-148). При изменении отноше-
ния Xi к вектор 17а вращается относительно О2 и угол
ср между О2 и изменяется.
Б. Магнитный усилитель
Принцип действия и схемы магнитного усилителя.
Между принципом действия простого магнитного усили-
теля (МУ), изображенного на рис. 5-149, и катушки
с подмагничиванием нет принципиального различия.
Однако в катушке с подмагничиванием переменный
магнитный поток наводит в обмотке подмагничивания
переменную э. д. с., в результате чего в цепи управле-
ния возникает переменный ток, вызывающий дополни-
тельные потери мощности. Кроме того, переменная
составляющая магнитного потока в магнитопроводе неси-
нусоидальна, что вызывает появление нежелательных гар-
моник в нагрузке. Поэтому магнитный усилитель состо-
445
ит из двух одинаковых дросселей с замкнутыми м'агни-
топроводами, на каждом из которых насажены по две
обмотки: обмотка переменного тока (рабочая обмотка)
с числом витков Wi и обмотка постоянного тока (управ-
ляющая обмотка) с числом витков Wq. Обмотки посто-
янного тока включены встречно, так что э. д. с., индук-
тируемые в этих обмотках, взаимно компенсируются.
Рис. 5-149.
Из характеристик 17ц(Л) и t/i2(/i), связывающих
действующие значения первой гармоники тока и напря-
жения, можно построить характеристику последователь-
ного соединения обеих подмагниченных катушек. Обыч-
но катушки одинаковы, и характеристика последова-
тельного соединения получается удвоением характери-
стики одной катушки. Если значения абсциссы умно-
жить на сопротивление Д, то получится зависимость
действующего значения напряжения UR на нагрузке
в функции напряжения Ui на обмотке переменного тока
для различных конкретных значений подмагничивающе-
го (управляющего) тока /0 (Jo в данном случае являет-
ся параметром) (рис. 5-150). По кривой на рис. 5-150
при заданном входном напряжении U можно определить
напряжения UR и Ui в зависимости от тока подмагни-
чивания /о. Для этого проводят окружность радиусом U
с центром в начале координат; точка пересечения Р
окружности с кривой, соответствующей выбранному /0,
дает значения UiP и URP, которые связаны соотношени-
ем
Мощность в нагрузке P=U2r/R.
446
Чем меньше /о, тем меньше UR и, следовательно, Р.
Используя кривые на рис. 5-150, можно построить за-
висимость при заданном значении £Л, где Л=
= Ur/R. Зависимость h = f изображена на рис. 5-151.
Эта кривая представляет собой выходную характеристи-
ку МУ. Она имеет симметричный характер относительно
оси ординат.
Под коэффициентом усиления МУ понимают:
k=(P-P0)/PR,
где Р — мощность в нагрузке при соответствующем зна-
чении тока подмагничивания /0; Ро— мощность в на-
грузке при Pr — мощность в цепи постоянного
тока, равная Рл=/20/?0; — сопротивление цепи
управления.
При встречном соединении симметричных обмоток
подмагничивания все нечетные гармоники, индуктируе-
мые в этих обмотках, взаимно компенсируются. С целью
подавления четных гармоник в цепь подмагничивания
включают индуктивность L.
Два магнитопровода МУ могут быть заменены
одним трехстержневым (рис. 5-152). Обмотки перемен-
ного тока Wi и w2 в этом случае насажены на крайние
стержни и соединены таким образом, что переменный
поток в среднем стержне отсутствует. Поэтому в об-
мотке подмагничивания э. д. с. наводиться не будет.
Если* в качестве нагрузки используется приемник по-
стоянного тока, то необходимо нагрузку включить через
выпрямитель (рис. 5-153).
Магнитный усилитель с обратной связью. Коэффи-
циент усиления можно увеличить, если в МУ ввести
обратную связь (рис. 5-154), которую можно осущест-
вить путем подачи выпрямленного тока цепи нагрузки
447
в специальную обмотку wr (обмотка обратной связи)
для создания дополнительного подмагничивания. В ре-
зультате выходная характеристика изменится. Оценим
введение обратной связи. Постоянная составляющая на-
пряженности при заданной обратной связи
HQ = IiWr + I'qWo; (5-282)
отсюда можно вычислить для заданного значения тока
нагрузки ток подмагничивания До:
Го = Hollwo—hwylwo. (5-283)
Значение постоянного тока без обратной связи рав-
но:
Г'о = Holl wo. (5-284)
Подставляя (5-284) в (5-283), получаем:
Го = Г'о-1^г^о=Г'о-Г''о. (5-285)
Для построения выходной характеристики при на-
личии обратной связи нужно для каждого значения Г
из значения Г'о вычесть значение Iiwrlwo (рис. 5-155).
Через начало координат проводят прямую с углом на-
клона л/2—а, где tga=wr/wo.
Для каждого значения тока Л, которому соответст-
вует ток Г'о характеристики МУ без обратной связи, мо-
жет быть определен ток
/'"о — Л tg а = rwr{wQ.
Тогда кривая Л (До) рассчитывается согласно (5-285).
Построение различных выходных характеристик МУ
показано на рис. 5-156. При этом кривая 1 представляет
448
собой характеристику МУ без обратной связи, кривая 2,
полученная по (5-285), — характеристику МУ с положи-
тельной обратной связью.
Если изменить направление тока в обмотке поло-
жительной обратной связи (рис. 5-154), то изменится
знак при IiWr в (5-282) и (5-283) и условие (5-285) при-
мет вид:
I'o = I"o + hwr! Wq = I"q + I"'q.
В этом случае характеристикой МУ является кривая
3 (рис. 5-156), которая представляет собой характери-
стику МУ с отрицательной обратной связью.
Из рис. 5-156 следует, что при положительной обрат-
ной связи усиление значительно возрастает, в то время
как при отрицательной обратной связи —падает. Одна-
ко линейность характеристи-
ки в последнем случае зна-
чительно улучшается.
Если у МУ с положитель-
ной обратной связью повы-
сить коэффициент обратной
связи wr/w0 выше критиче-
ского значения, при котором
характеристика усилителя
будет иметь вертикально
спадающую часть, то полу- рис. 5.157.
чается многозначная харак-
теристика МУ (рис. 5-157). Она соответствует характе-
ристике реле, поэтому МУ с большой положительной об-
ратной связью может применяться в качестве бескон-
тактного реле.
29—447 449
5-9. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА НЕЛИНЕЙНЫХ УСТРОЙСТВ И
ФОРМИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
А. Постановка задач синтеза
При решении многих технических задач возникает
проблема реализации той или иной схемы (цепи) или
элемента с заданными свойствами, например проблема
умножения частоты (§ 5-6). При этом исходили из тре-
буемых свойств частотно-преобразовательной схемы,
когда входной функцией являлась гармоническая вели-
чина, а выходной — гармоническая с n-кратной часто-
той. Математически сформулировали требуемую функ-
цию связи между входной и выходной величинами и,
наконец, определили путь для технической реализации
этой функции. Перечисленные задачи и представляют
собой проблему синтеза устройств с заданными свойст-
вами.
Таким образом, синтез нелинейных устройств с за-
данными свойствами в общем случае состоит из следую-
щих этапов: 1) математический синтез, т. е. определе-
ние математической зависимости, которая наиболее
точно отражала бы заданные (требуемые) свойства;
2) схемный синтез, т. е. нахождение структуры схемы,
с помощью которой можно реализовать математическую
зависимость 1-го этапа; 3) реализация требуемых эле-
ментов найденной схемы, которые должны обладать
заданными характеристиками, полученными из сопо-
ставления математического описания устройства и ана-
лиза структурной схемы.
Каждый из перечисленных этапов принципиально об-
ладает множеством решений, и требуется не только
реализовать устройство, которое выполняло бы постав-
ленную задачу, но и выбрать при этом оптимальное
решение.
Поэтому проблема синтеза нелинейных оптимальных
систем (цепей) с заданными свойствами весьма сложна,
и общая теория ее пока еще не создана. Особенно труд-
но разрешимыми являются первые два этапа. Рассмот-
рим третий этап — формирование функций, т. е. реали-
зацию элементов с заданной функциональной зависимо-
стью между выходной (реакцией цепи) и входной
(воздействующей) величинами.
Подобные задачи часто встречаются при синтезе
схем нелинейных устройств в вычислительной и измери-
тельной технике.
450
Б. Формирование функций как средство синтеза
нелинейных устройств и элементов вычислительной
техники
Основная задача аппроксимации нелинейных харак-
теристик заключается в отыскании аналитического вы-
ражения для экспериментально снятой кривой между
двумя электрическими или магнитными величинами. При
формировании функции стоит прямо противоположная
задача. Она заключается в том, чтобы найти такую схе-
му (цепь), которая обеспечивала бы определенную
функциональную зависимость между двумя электриче-
скими или магнитными величинами, которая может быть
представлена в виде
где х — входная (воздействующая) функция; у — реак-
ция цепи.
Формирование функции с помощью элемента с пара-
болической характеристикой., Пусть заданная для фор-
мирования функция представлена в виде степенного по-
линома
у — f (х) = а0 aiX а2х2 -\-апхп.
Эта функция может быть реализована с помощью
нелинейного элемента, обладающего характеристикой
вида
I^a^. (5-286)
Подобной характеристикой обладают, например, по-
лупроводниковые сопротивления (тирит, вилит). Коэф-
фициент ау и степень X могут изменяться в зависимости
от изменения конструктивных и технологических фак-
торов.
Сравнивая заданную характеристику с характеристи-
ками различных нелинейных элементов, можно подо-
брать такое сочетание элементов, характеристика кото-
рого в заданном интервале будет наиболее близка к тре-
буемой зависимости. Наилучшее совпадение получается
при включении последовательно или параллельно нели-
нейному элементу линейных резисторов. С включением
линейных резисторов уменьшается степень X, что обу-
29* 451
словливает необходимость иметь нелинейные элементы
с возможно более высокой степенью X. Практически
самое большое значение находится в пределах 4—9. Та-
ким образом, выбирая степень %, можно сформировать
г функцию (5-285) с помощью
*---j---г---j---1 параллельного соединения от-
11 1 1 дельных элементов (рис.
v U Н Н R 5-158) согласно условию:
Рис. 5-158 /==2 •
Х=1
Так как Х^С9, то следует брать п^9. При этом ха-
рактеристика должна проходить через начало коорди-
нат.
Можно построить цепь с характеристикой в виде по-
линома n-го порядка из п+1 цепей, характеристика
•каждой из которых также представляет собой полином
n-го порядка, не предъявляя при этом каких-либо осо-
бых требований к коэффициентам отдельных характе-
ристик:
yi = fi(x) = ai0 +апх-|-... 4-ПшЛ";
У2 fz (Х) = #20 ~I- CI21X -+ ... -+ 0>2пХП\
Угг —- f п (х) dno 4“ ^niX 4" • • • ~~j~^nnXn*9
У(п + 1) — f (П4.1) (х) — о 4~ 1 X 4- ... 4"Я(я+1) п Хп.
Умножим уравнения этой системы на &i, &з, .. •
о.6(П+1) и затем сложим их. В результате получим:
/г-}"1
у= S у->ь S а^ь-Лх S схА+-
/2-Н
- +-*"2 ахЛ-
Х=1
Для того чтобы это выражение было идентично с ис-
комым
Г/ = По+П1Х + П2Л'2+ ... +ПяХп,
452
необходмо выполнение следующих равенств:
•2+1
2 '= Ч~ ^20^2 Ч" •” + + 0 &(«+!)—
Х=1
п+1
2 ^Xl^X = Ч" ^21^2 + ••• Ч" ^(«4-1) 1 ^(/г + 1)—^ь
x=i
(5-287)
/?+1
2 CLy J)^ = CL\nb\ -\-CL2nb2 —••• Ч-^(/г+1) п Ь(п-^1) ==г йп-
Из (5-287) могут быть определены zz-|— 1 неизвестных
множителей 6Х:
\ — дх/д>
(5-288)
где А — определитель системы; Дх— соответствующее
алгебраическое дополнение.
Высказанные соображения могут быть реализованы
с помощью схемы, представленной на рис. 5-159, кото-
рое. 5-'159.
Рис. 5-160.
рая воспроизводит заданную математическую зависи-
мость. Величина х воздействует на вход тг+1 простых
элементов /х. Их выходные величины умножаются
на Ьх, а затем складываются, образуя заданную функ-
цию. Коэффициенты bi—bn+i вычисляются по (5-288)
453
при условии, что определитель системы не равен нулю,
т. е.
#10 #11
#20 #21
#(/2-4-1) о #(«+!) 1
#1/2
#2П
#(«+!) П
Следовательно, не должно быть двух элементов с ха-
рактеристиками, одинаковыми или отличающимися
только масштабом.
В том случае, когда можно подобрать нелинейный
элемент, характеристика которого достаточно близка
к требуемой зависимости, реализация заданной харак-
теристики значительно упрощается.
Если элемент имеет характеристику
Уе=1е(х),
то ошибка несоответствия составит:
&У=У—Уе-
Эту разность разложим в ряд
Ау = а'о+а\х+ ... + а'пхп,
а затем представим в виде комбинации отдельных эле-
ментов по описанному выше способу. Подобная реали-
зация имеет то преимущество, что поскольку Ау пред-
ставляет в большинстве случаев незначительную по-
грешность, то при ее разложении в ряд не требуется
полинома высокого порядка.
Рис. 5-161.
Рис. 5-162.
Формирование заданной кривой смещением характе-
ристики вентиля. На рис. 5-160 изображена схема, со-
стоящая из вентиля с характеристикой (рис. 5-161,а)
и э. д. с., которая смещает характеристику вентиля
в обратном направлении. Характеристика всей цепи
454
представляет собой ломаную линию с одним изломом
(рис. 5-161,6). Сопротивление цепи R состоит из допол-
нительного сопротивления RL и прямого сопротивления
вентиля Rj. Обратное сопротивление вентиля равно бес-
конечности. При U<E ток в цепи равен нулю /=0.
При U>E в цепи появляется ток, равный:
/=([/—£)//?. (5-289)
Наклон прямолинейного участка характеристики
dIldU=G=\IR.
С изменением Е точка излома характеристики сме-
щается. С изменением R происходит изменение наклона
прямолинейного участка характеристики относительно
точки U=E.
Рис. 5-164.
На рис. 5-162 показана та же схема при включении
вентиля в прямом направлении. В этом случае при
U>E ток в цепи отсутствует, а при U<E он выражает-
ся согласно (5-289). Характеристика схемы показана на
рис. 5-163. Влияние Е и R на характеристику такое же,
как и на рис. 5-161,6.
Подобные схемы широко используются при формировании за-
данных функций, предварительно разбитых на линейные участки.
При этом встречаются следующие случаи.
1. Заданная кривая и ее производная монотонно увеличиваются.
Подобная функция реализуется параллельной схемой (рис. 5-164),
состоящей из нескольких элементов (рис. 5-160.). На рис. 5-165 по-
казаны характеристики отдельных участков и характеристика всей
схемы в целом. В области
0<^<Е!
ток проходит только через сопротивление /?0 В области
Ei<U<E2
455
через сопротивления Ro и В области
E2<Z U <^Ез
через сопротивления Ro, Ri и R2 и, наконец, в области U>E$ — че-
рез все сопротивления. В первой области ток равен:
I=GQU;
во второй области
1= GgU+ (U-E.) = (Go+GO U-E.G^
в третьей области
I = GoU+ (U-E.) Gi + (U—E2) G2 =
= (Go+G!^^) U-E^-E^.
В общем случае для n-й области
л—1 п—\
О 1
Наклон n-й области соответствует сумме проводимостей п—1
ветвей. Таким образом, с увеличением входного напряжения пооче-
редно отпираются вентили и проводимость цепи возрастает. На
рис. 5-166 показан пример реализации заданной характеристики, со-
стоящей из нескольких отдельных прямолинейных участков, наклон
которых зависит от соответствующих проводимостей:
mi = | Go |;
/и2 = | Go + Gj |;
^з= I Go+^i+Gsl;
m4= | G0+G1+G2+G3I.
2. Заданная характеристика монотонно повышается, а ее про-
изводная монотонно падает. Данная характеристика может быть по-
лучена с помощью параллельной схемы (рис. 5-167), состоящей из
нескольких элементов, включенных согласно рис. 5-162. Если в этой
цепи уменьшать входное напряжение, то -вентили будут поочередно
456
отпираться. Построение характеристики показано на рис. 5-168. При
отсутствии входного напряжения в цепи имеется выходной ток.
Если, необходимо, чтобы характеристика проходила через начало»
координат, должен быть предусмотрен источник смещающего на-
пряжения.
3. Заданная характеристика монотонно повышается, а ее произ-
водная немонотонна. Построение такой характеристики .может быть
осуществлено с помощью параллельной схемы, состоящей из не-
скольких звеньев, где диоды работают на отпирание и запирание.
Такая цепь показана на рис. 5-169, а ее характеристика — на
рис. 5-170.
Выше рассматривалось построение функций при определенном
знаке (полярности) входной величины. На рис. 5-171 показана схе-
ма для реализации симметричной характеристики с одним функцио-
нальным преобразованием FN, который включен в диагональ выпря-
мительного моста.
Рис. 5-170.
На рис. 5-172 показана схема с двумя функциональными пре-
образователями, включенными через вентили. При этом можно по-
лучить симметричную функцию, если функциональные преобразова-
тели одинаковы (FNt и FN2), или несимметричную, если функцио-
457
нальные преобразователи для обеих полярностей отличаются Аруг
от друга.
Реальные схемы кусочно-линейной аппроксимации обладают
тем недостатком, что требуют большого количества источников на-
пряжения. Однако приведенные характеристики могут быть получены
от одного источника. Для этой цели используют делители напряже-
ния (рис. 5-173). Изменяя направления -включения выпрямителей,
можно реализовать различные функции. Однако наклоны отрезков
характеристик в этом случае зависят не только от проводимостей
G2, (73, но и от проводимостей G'\, G'2, G'3. Если С'х <<с
то влиянием этих проводимостей можно пренебречь. В противном
случае они должны учитываться при реализации цепи для аппрок-
симации заданной функции.
Рис. 5-173.
Рис. 5-172.
Формирование обратной функции. В ряде практиче-
ских задач необходимо наряду с элементом с заданной
характеристикой создать элемент, характеристика кото-
рого являлась бы как раз обратной функцией характе-
ристики выходного элемента. Например, если при реа-
лизации заданной функции получили диодную схему
с характеристикой
у = ахп,
то можно получить схему для образования n-го корня:
х = V у!а-
Принципиальная схема для образования обратной
функции показана на рис. 5-174. Здесь И — усилитель
постоянного тока с высоким коэффициентом усиления К.
В цепи обратной связи используется функциональная
схема преобразования с характеристикой
(5-290)
458
Узловая точка Р (рис. 5-174) с потенциалом UJK
при высоком входном сопротивлении усилителя опреде-
ляется зависимостью
1е + Л = (~Ue - Ua/K)/R + (U* - ^а/К)/Я = 0;
-Ue-\-Ul~2Ua/K = 0.
При К—>оо имеем:
/7e=[y1=f([/a)
и на основании этого выходное напряжение
t7a=f-i([7e).
Это и есть желаемая обратная функция для харак-
теристики (5-290) применяемого нелинейного элемента.
Для устойчивости схемы должно предполагаться, что
нелинейный элемент с характеристикой f(U) не изменя-
ет свой знак. Следовательно, должно выполняться усло-
вие
sign f (С/) =sign U.
В. Примеры синтеза нелинейных устройств
Утроитель частоты. На примере утроителя частоты
покажем выполнение этапов синтеза (§ 5-6).
Математическая часть. В § 5-6,А при рас-
смотрении гармонического анализа устроения частоты
было. показано, что между выходной величиной о(т) и
входной величиной £(т) существует зависимость:
а = Гз(£) = 4£з-35 = Л(В)-/2(^). (5-291)
Схемный синтез. Сложность решения второго
этапа заключается в том, что отсутствуют какие-либо
общие предписания о построении реальной схемы с тре-
буемой переходной характеристикой, в данном случае
459
ние. 5-175.
соответствующей (5-29Г), так как эта задача не явля-
ется однозначной. Уравнение (5-291) представляет со-
бой рассогласование двух функций fi и f2. И если пред-
положить, что fi и /2 являются напряжениями, то иско-
мая схема должна давать возможность вычитания этих
напряжений. Это может быть
реализовано с помощью мо-
стовых схем или трансфор-
маторов с несколькими об-
мотками. Выбор той или
иной схемы может зависеть
от различных факторов..
Остановимся на мостовой
схеме.
Функции fi и f2 в (5-291)
зависят от одного и того
же аргумента £, и, следова-
тельно, представляющие их напряжения и и2 должны
быть созданы одним и тем же током. Схема, реализую-
щая это требование, является симметричной и представ-
лена на рис. 5-175. Для нее справедливо:
ц= ца = Ui—и2; (5-292)
l=kl. (5-293)
Реализация элементов. Сравнение (5-292) и
(5-293) с (5-291) дает:
= 32Лз(//2)з; u2 = 3ki=^6kif2.
Эти соотношения и являются характеристиками тре-
буемых элементов N± и N2. У второго элемента сущест-
вует пропорциональность между напряжением и и то-
ком i и, следовательно, его можно реализовать с по-
мощью линейного сопротивления R, у которого:
k=Rf&.
Тогда характеристика первого элемента N± выразит-
ся соотношением
U1 = (R*I9) 072)3 = ^3/9.
Этот элемент, например, можно реализовать с по-
мощью схемы диодной функции и, таким образом, най-
ти решение задачи утроения частоты.
Безусловно полученное решение не является опти-
мальным. Различные решения реализации данной зада-
чи приведены в § 5-6.
460
Синтез гармонических осцилляторов. Различные
схемы осцилляторов были рассмотрены в § 5-5. Их вы-
ходной сигнал наряду с основной гармоникой содержит
высшие частотные составляющие, т. е. искажения. За-
дача синтеза гармонических осцилляторов состоит в том,
‘чтобы спроектировать схему замещения электрического
осциллятора на переменном токе, которая имеет коле-
бания строго синусоидальной формы. Колебания долж-
ньЕ.сами возбуждаться и ограничиваться.
Математическая часть. Математическая
часть заключается в составлении дифференциального
уравнения, обладающего: а) частным решением в фор-
ме ;х(т) = a sin т; б) технической реализацией распола-
гаемыми элементами.
Последнее условие обеспечивают тем, что требуют,
'чтобы осциллятор был представлен дифференциальным
уравнением колебаний второго порядка. Дифференци-
альное уравнение имеет вид:
d2x/dz2 Д- f (х, dx/dz)dx/dz-^ g (х) — 0.
: Оно соответствует системе дифференциальных урав-
нений
dx/dz = у\ dy/dz — — g (х) — f (х, у) у. (5-294)
Дальнейшая задача состоит в приближенном опре-
делении функций g(x) и f(x, у). Они должны быть вы-
браны согласно составленному уравнению таким обра-
зом, чтобы колебания были периодическими, свободны-
ми от искажений и однозначными. Кроме того, они сами
должны возбуждаться и ограничиваться. Топологически
это означает, что фазовая кривая изолированного гра-
ничного цикла должна быть в виде эллипса, который
должен включать единственную сингулярную точку фа-
зовой плоскости.
Существование периодических решений в (5-294)
•обеспечивает закон Левинсона — Шмита и однознач-
ность периодического решения — закон Кастро.
Функции
g(x)=x;
f (х, у) = е (рх2 + qy2 — 1) (pq > 0, const)
461
выполняют предпосылки для существования и единст-
венности периодического решения.
Этим определено дифференциальное уравнение, ко-
торое обеспечивает периодическое решение желаемой
формы. Оно имеет вид:
d2xld^ + s [рх2 -1- q (dx/di)2 - 1 ] dx/dz -f- x = 0; (5-295)
d2x/ d'z2 -|- грх2 dx/dt + s<7 (dxf d^)3 — e dx/d^~y-x=0*, (5-296)
d2x/dz2 -j- (sp/3) dx'/di. 4" £<7 (dx/dz)3 — sdx/dz -f- x = 0.
(5-297)
Схемный синтез. Элек-
тротехническая часть состоит
в том, чтобы по меньшей
мере найти схему, которая мог-
ла бы быть описана дифферен-
циальным уравнением типа
(5-295).
Процесс разбивается на сле-
дующие подэтапы:
а) определение физической ве-
_ 6 личины через нормированную
величину х (например, норми-
рованный ток через индуктивность колебательного кон-
тура iL, время t):
х — т == сое/; <о0 = 1 /|/АС; (5-298)
б) нормирование дифференциального уравнения
(5-297) с учетом физических нормированных величин
(5-298):
• (Л (Л т)’; (5-299)
в) интерпретируют составляющие в (5-299), как
токи, и с помощью зависимостей:
462
ic = C dujdt',
ia = e /L/C (L dijdt) - eq Jls/C (L dijdt)3;
uc = Ldijdt -J(ep/3) /L/C i3L;
UN = (pS'3)^L/Ci\-,
u = Mdijdt;
ia = axu Ц- аш3 = ai/W dijdt Д- azM3 (diJdt)3
1
переходят к составлению искомой схемы. Для рассмот-
ренного примера эта схема представлена на рис. 5-176.
Затем переходят к реализации элементов с требуе-
мыми характеристиками. Сопротивление 7? вводят для
улучшенной реализации характеристики (5-300) путем
линеаризации характеристик имеющихся элементов.
Подобная схема и соответствующее ей дифференци-
альное уравнение подробно были исследованы Пайтц-
шем (Peitzsch).
СОСТАВЛЕНИЕ ICXEM ДВУХПОЛЮСНИКОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФ
ЗАТУХАНИЯ
Нормированное дифференциальное уравнение
d2y/(№ у + hy3 =k sin (от -|- т)> t — <W>
применяемая аппроксимация характеристик:
Элек грическая схема Нели- нейный элемент Уравнение цепи O)20
1с L г/2Ф 1 + С (аЦГ = UfnW cos.tof a C~
т
С ^_+>_(O9 + b93) = ^sinm/ a Г
L d2W 1 I (nW -|- MP*3) = J72- sin cot a C
д •
С С^Г -1- J- («<7 + bq*) = I m'o cos cot a T
тг . 1 1 (nW* 4- Z?'F3) =
i Д dt^ сг + c2 K ’ a
V 1 п L = C, + Ca um^^‘ Ci -J- с^
L* = 7ЧП— cos wz ccCL1 a + z~
c
г т т С 3- + 07 + ^'“’ + ‘"-
7 m sin co/ px
Lx ^ + ^[(а+2.).1 + ^ = 2 2 W — CD9 = Um z iCOS cot co
j c
464
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П-1
ФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ДУФФИНГА БЕЗ ЧЛЕНА
Дуффинга
а = со со о, k-~Um Uom~ImJIom
Ф (/); i = #Ф + 6Ф2; q (и) и = aq bq3
Нормированные величины <p Примечание
У h
шСТ7(т It г —
ад Uст и2 ь и^т^~ 0 —
с№ I от ;2 b ‘0т^- 0 —
ад ^LIom It Г —
^^от (<£С2исту — It F —
<о£1 U от Г- {"k'j 2 b Hi’ TC ~T —
[r~ + z4 aq Ъ2 ] 'l^rn ' i2 b 0 —
< L, ) f 1 , IV, (Гг+ег) a
J wkCUom ^k^om) "НУ TC 2,2 1 “*“2=7^-. 2 2 CO COQ CD
30—447
465
Электрическая схема s Нели- нейный лемент Уравнение цепи 2 0)Q
к 4 С dW + L +L 'M + W = = Li + l2 ’'J a +
L dW fl I \ 5F + (cr + ^) (аф+да,= = 5* sin mt c2 (r- + g-)a ^Ci Cu J
-:: : Сх 44 +r[(a+S’)‘71 + fi'7>]= I m = COS Wt a+4 c2 L
С2 <Pq, , 1 [7 , И i a 31 ~7/г + гЦа + c;)91 + 92J“ 2 2 0) 0)1 = Im COS cor 0) a+4 L
^2 сг" Cfz I l2 4-+4т’1Кг11',+ dt3 Ci -f- Ga I I Ci j A-, 2 2 -{- 6Ф2 = yi Urn costal J Ci 4- Ci co a+n Ci -|- c2
466
Продолжение табл. П-1
Нормированные величины <p Примечание
« 1 h
ад ^LrlQm (^г!от)^ rc —
Ci !om -j аФ ( 1 от V b 0 —
v с^ 7 । 3 1 Q8
(fl+i )” / I от | \ O)C2 J 2 b I + ch ) TC — T —
I от V
( с+гг) <72 ^k^om^ b (“+i, r It 2,211 “^а'=7сГ’ в '2 2 1 CD — <1 9 wk = <v
*f9 l»W- (“+^ Is TC F 2^ 2 1 w = LA' 2 2 CD <D| ^ = “F“
^kc^om
30*
467
Электрическая схема Нели- нейный элемент Уравнение цепи 2 a>0
Ф Cf сг~ Lrl с2 . i -г Ц + £2 Li “ Ll 4~ ^2 lu -• 4 1 3 l i 04 . r. 3 + bq% cos mt 1= a + ^r Li -}- Z<2
f т Сг м dt1 ‘ L [ ~ с (й+с3+с3) c, "m . :2+c2 l sin 3| Qi + bqi (£>t = C2 -J- C3 L
г-Ч^ 1 с “I : Lz Li'- С d*t dt + b ^4| ('+& K1 н II + I C! >IO Ы =3 “ I’3 )'+ 1 • 4. - Sin tot a ( -4 L
1 Li d^j , dt* + ’ c [l - L C + + LS) + Ls Jm. 2 + £з C " a + Л2 + L3
c
Т 6 2 {L 1 CjZ s ... у Т ' 1 L d*4 dt* +‘( r 1 1 -+H ,+&: [“(' 1 фз ] + — rc3 1 7 j w + a + (1 + \ bs )
= Ul sin wt 1 C C
468
Продолжение табл. П-1
Нормированные величины <p Примечание
« 1 h
(‘ <72 {wkL^m) / 1 \з (aM It F 2 2 1
^kLilom
(С3 -J- С3) (a C 4- C 2 b 0 —
у C2 -j- 'a . !_q ^3
с^от
( + Ci + CSJ
й| b 0 LiL24~ » + L1Ls4-LaLs “ L3
~vm 2 l /1Я
^от
(Li + La) (a. _J 'I Ф1 ( JomLs г b 0 —
1 l2 4- l8) ' L2 4“ L$j (a + 1_ )
от T
fl( fi. ь 0 CiC2+CA+ r +С2Сг C2
r 4)m 1 6kJ + j’ as
I от
46V
Составление схем двухполюсников, описываемых
ХАРАКТЕРИЗУЮЩИМ ЗАТУХАНИЕ
Нормированное дифференциальное уравнение Дуффинга d2y/d2r-f-
Электрическая схема Нелиней- ный элемент Уравнение цепи (O2o
? Lc 1 С d2q R dq 1 ~dk + T7t+T^ + b^ = -у— Sin co Г a ~T~
Ц d*W 1 cRL' 1 + RC dt + С ^ + ^») = = - sin co/ a ~C~
гр * д I т L TdiXP 1 dW 1 Д + RC dt + C ^+^) = Um . . = -R^Sln“Z a
м С d2q R dq 1 , ^+—-dF+T{a<l + b^ = R - L Imsinmt a
I1-, Е/. L 1 d4f . 1 <aW I- №») - dt* + RC dt + C {a4? + D4f 1 = t7wco"cOS co/ a ~C~
г-1- Ъ С\ L 7? А L d*W 1 б/Ф I w dt* + RC dt + C <^ + W3)~ um = Umf£> cos cof + sin cof a ~C~
470
Таблица П-2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ДУФФИНГА С ЧЛЕНОМ,
gdy/dt-}- y+hy3—Л sin (ат<f), г = <о0/, а -=ы/а>(,, k =Um/U от = 1т/1 от
Нормированные величины <? Примечание
У g h
\дду Uот R <d0L U2om 0 —
аЧГ 1 от 1 w0CR p — от аъ 0 —
аФ/? V от 1 <»0CR ( и от V±_ 0 —
ад 1от% R <o0L ^отЮ* 0 —
^C^om 1 CD0C/? (^отУ-^- тс У —
*°l£U от 1 wqCR ^om^ arctg <&CR 1 = =1Л+Ш’ r / !
471
Электрическая схема Нелиней- ный элемент Уравнение цепи O)20
ГЛ. С ^-+-т-> + 4г^+^ = = Im<£> COS wt a ~L
Пх7 Т /?: н— : С 71 + т1+7^+ь^ = g = Jm<o COS wt — Im sin wt a 17
У R2 с: L Г L d*W /_]_ 1 \ 1 d4t dt2 "Ц/?1 + Я2 } C dt + 1 um + — (пЧг _}_ ^3) = sin a ~C
в Z 5 j....? С ^+^^_+^(u9+w= R, , . = — Im smut a ~L
L d2^ . I dW 1 dt2 +^(С!4-С2) dt 1 Ci-J-Ca X X (а ЧЧ-№) и ш cos wt Cj -f- g2 a Ci -}“ c^
? d^t 1 -L-J-ffa 4--LW.+ a+'7 c
L CJ > L2 6 J £7^ L. dt2 RC 4-m dt С Ц + L. J 2 + 1 Ufn / ]= w£1C C0Sa>Z
472
Продолжение табл. П-2
Нормированные величины <p Примечание
У g h
о? aL‘vm R WqL 1C ~2 —
Qq wkL1от R o)0L (mkLIom^ , ooL ar ctg — ШЛ= =/-+(4)-
U от ^с(«Г + %) И 2 Ь «3 0 —
aq I от%1 + CD0^ Uomw^r 0 —
аТ от 1 (Ci-pCa) R TC T —
^(а+гг)^ от 1 w0C/? ( ^om \ wlj . («+- )* t)- TC w’ — <o22 <0 <0* (0*2 “’а = -Л- £-2'-*
473
Электрическая схема Нелиней- ный элемент Уравнение цепи <0%
d*4\ 1 dt* * RC 4-fe’F3! ]-ит ш (°+^)’г*+ COS wt a+ T~ ~~c~~
М d*4\ 1 d4\ 1 I dt* ' RC dt + C 1 Um + г”рЧ = -7ЙГ J A*-» sin wt j’p. + a+-L Li c
d*Wi , 1 dt* * RC -]-№3i ] = r^+-H(a+ Z") Ф* + СО» — to22 =ит cos 4- + ___sina,t a+ T~ | c
Л L2\ С d*q , R dq . 1 . . . dt* L^L2 dt 1 Li+Lz q J “ = L, + L, Im^cosmt U + L,
Cl d*qi , 1 dt* + L + ^°i dqx , 1 Г : dt L [ j <oLC% cos <ot 1 Qi + Cl L
[р и > L сл d*q. , / -dF'^-l 4-^32 j ? d<h , 1 [ 7 —+“[ _ / “ от ш (°+ёг)9u+ 0)21 4. COS wt °+гг L
Продолжение табл. П-2
Нормированные величины <p Примечание
У е
1 ^qCR (mkCU<,m^ X b TC <02?^<032= 7-7V
X / , IV co2—(jd22 1
(•M ^k— ш
a)3—aa2 1
1 ( U°m Vx 0 о» AC
от <о0СА I fi JX b или i
0)2= O)22 = ——
(“+19^ 1 (“Лсуот)а X b 0)2 U)2a arctg — 0)^==
от <»0CR
x I nJ- 1 V
I'M
0)22 = ~7^c
aq R к
от u>0 (^i“h^2) ~2~
(“+ й")91 R TC —
I от <o0L V b " T
(а+ 5г) v&'i? R om^^ v b TC 0)’^0)a1 =
от <O0L T CO2 CO2! R
475
Электрическая схема Нелиней- ный элемент Уравнение цепи w2o
с2 d*q2 R dq2 1 dt* *" L dt "г L + w]=4 < [h: m Sin (at <72 4- “+5T ~L
d*q2 R dt* + L + 0)2 ц) 2 j = 'tn m 4-4 rm sinmt 1^+ + 1 Q+cT L
йгН, р т у L ^+1_/±+±у dt* + с |я. + ) + №) =Uma 7W* 1 ?7+с<аФ + ) cos wt a
d*W 1 dt* + C + (i + i) №)=JS r sin mt a ~C
dV _!_ 1 dt* + c + bV3) = /±J-± ‘ + Hl ) Um(D cos wi . 1 . , ^r + -c(Q,ir + , , . . ;+^c sin“f a ~C
। С «+T4+.,.,W1_ = I m<£> COS wt a ~L
S- + ^g- + T»’+*' = = 4 /msin<oZ a T
d4_ j?,+% dq_ _1_ = dt* L dt L v 4 ' = lm<£> COS 1щ S*n Wt a L
476
Продолженис табл. П-2
Нормированные величины О Примечание
У g h
(°+ 5г) * R w0L <W>2 X у b x / 1 v 0 0)2 _ o)% R ak= ю « L
или ]
r+
\ C1) ш2=ю2>= __
(а+ гг)9а R a>0L ^kL'oiny X I 1 \3 (О2 W21 a r ctg X CD
wkL,om x (°+ cr) L X ~R
-' = 47
№ 44 (яТ+яг) (-Worn»2 7C T' ш»^с
Д ^от «oC Ri T R, ) lum\4 \-r7) 03 0 “«-^c
аФ ^kCfJotn Rz j (“A^om)2^- arctgi “*= ^ш2+(йс)2
aq Ri 4“ Rz (DqL TC T “»T
aq 1 om^1 Ri + Ri 0 “< T
aq ^kLlQtn 1 Ri + Ri <t)0L (<°ки,тУ <i)L arctg ~ -/-•+(%)
477
Электрическая схема Нелиней- ный элемент Уравнение цепи U)20
Н-i ГН 2т L ct = 1 L б/аТ 1 dW dt* + /? (Сх+С2) dt +№)=4с^ + сЛс2(й,г+ m<D COS (tit a Ci-f- C2
d*W 1 dW 1 dt* + ^(C,+C2) dt 1 С1+С3(а'1Г + vm ^-R{Cl+c^'nat a Сг-Ка
d*W , dt* ' 1 dW 1 a Ci-J-Ca
/?(CH-C2) dt с^сг^ = С,+Са и^ю cos wl +• + «(C1+C2)Sln“Z
Л S г 1 Lt 1 dt* RC + &Ф3! tPTj , 1 1 dt + C l_„ [(•+i <jD22 )v,+ lot a+г c
| — w
Z-a d*W> , 1 dt* ’H RC + №2 ^+^[1 __ ~ (оЦС • cos wt ^4- °+77 c
Х'Р d*4\ 1 1 Г dt* ' RC dt + C [ . t.r.o 1 — + №4-^c- Hi: • sin <ot l^ + g+Z7 c
dJ'P2 . ~Ы + + bn 1 d^ 1 г RC di + C [ 1 m u — - - Г*О<2 ffil (“+17)^4- + ЯС sin“< a+r c
“* coMC
478
Продолжение табл. П~-2~
Нормированные величины
4> Примечание]
У 1 ё h
1 1 Й 1 аф 1 n "2J ш»«к
'“Щт ШО R
! aWR j 1 (Uam VA 0 “«W
% R k“7FJa3
aW ^с>+с>) иот I wo R [шЛ(С,+Са) X x UonJ arctg cdC2R k C!4-c2 x x
(«* п) * 1 w0CR (wkcu<,mr x v b A / 148 1Z T CO2 0)22 =6 -I l2c ^k= (W24-<02a)/U)
wkClJQm (»+i-)
1 u>oCR fe)‘x X. b- 7C T 3
Uom
^(а+тг)^ 1 <»(£R m’x b 0 e
^om ‘W
(. И ur 1 (wCi70zn)2 x — arctg —~ шЬг 10 k =
ГМy> = tZ (^ТсГ+^
“Am <o0CR у (a+ 7“ Г < I <oLjG 1
+(жУ
475
Электрическая схема Нелиней- ный элемент Уравнение цепи <0%
гЧ их7 б’ф £Z7 L2 J ' I С d*q 1 # d4 . 1 , , dt* + Lj + L2 dt 1 ^+^2 (G<7 + + ^ys) = L1 _p £2 Im^cos,^t a Li 4“ ^2
d*q R dq | dt* "^Lx + Aa dt + Ll + L2<f’+6«3):= = £1 + L2 a Li ~h t-2
HL J -— iR— J ! (aq -4- dt* L, +U dt 1 Ц 4- L3 ' 4 4- bqz) = Л1 Л2 cos wt + + l1 + l2 /'"s,n“< a
Sjf r '(1 ct dt* +4- W.j: L dt [(a+4_)‘7i+ _ _ cos tot <£>LCz a+ 4" Ga L
1 [Л , J \ „ ,
dt* L c 4- bqh j It L |Д C2 ) 41 * Я r . , = — Ъп81П<0* a+ c, L
480
Продолжение табл. П-2
Нормированные величины Примечание
У е h <p
ад ш^от R тс V ,K R
ад R % И,тР 0 R
дд ^(M-W ;о/п R % (^1~}"^2) 4- > г toLj arctg “* = L1 + La X х^- + (!?)‘
“Са (а+ гг)’1 7? u>0L (4 X j 2Zlf X >c2) b fa+r] к Ca) г к ”1" “«i
(**• g)?1 R (ooL . <'om«)a X x L_ (”+^J г 0 w»-^r
31—447
481
Электрическая схема Нелиней- ный элемент Уравнение цепи1 (0%
с, Са + I1 + г-1- ей и J-, В3 ф 5? а *> h? о 3 ° । । 8 4-1 w ‘ + • Ы-Н. i ± Н’ 8--vM> н» : f и + 4. д' у + 2. г » э , ““ , а ‘ > II 2. И °+ 5Г L а+гг L
^2 J 1 г"± j с d^q , RxRi v dt^ “Г L (Z?x4-/?a) A x ^- + 4-(a« + W = = L + a ~L~
1 h *1 T H -н . L d2'1’ . 1 x dt* (/?i + /?2)C dW 1 x-^- + -^-(^+^) = - c 7^sintcZ a
-482
Продолжение табл. П~2
Нормированные величины <₽ Примечание
У g h
(°+ ёг)91 R (o0L ^klLotn>2 X -arct2^b? •»- (ж)" +
у b
+(Я
(а+ гг)91 R u)0L b тс «’^‘0,1 = ’47
wkLIom X 1 a (O (0^ = (со2
Ri 4- Ri aq 1 RiRi U+₽,x о
к Щт Я1+Я2 x^omy^-
(& x
Ri + R* 1 1^14-Яа
R* I от <o0C (Ri 4~ R2) x ’от} 0
31*
483
СОСТАВЛЕНИЕ СХЕМ ДВУХПОЛЮСНИКОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФ-
ЮЩЕЙ (ВНЕШНЕЙ) ФУНКЦИИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ИЗВЕСТНЫХ
Нормированное дифференциальное уравнение Дуффинга d2y/dv-\-
Электрическая схема Нелиней- ный элемент Уравнение цепи ®!o
л + 2Г) c K‘ Ф1 + &Ф31 1 + 1 =0 1 й + т2 c
F j 4 сг ^2_, J_ Ff dtz L Ц ‘ + сг) ?2 + И32 « + l=° 1 a+c, L
> /,, Cf: • и dt2 +zr 1 г ' Ci+ c2 [ \ Ф2 + &фз. f« + /j =0 1 a + z.t Cl -|- c2
-у? тС' Ч Р, L2 1 Сг d2<?2 , 1 v dt* 1 Li + L2 X Г/ 1 \ 1 X ( CL ~Ь Q J Q2 4~ bq32 1 = 0 1 a + ci Ai A2
• г' 'i 1 Ai ^Ф1 d/2 1 x + 1 1 RC dt + C 4r) ,₽«+^3> X l-° 1 a + l2 c
Г с, dt1 1 x[(«+ R dq2 1 . L dt^L ) <72 + bq32 J X = 0 1 a + c, L
484
Таблица П-3
ФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ДУФФИНГА БЕЗ ВОЗМУЩА-
УСЛОВИЙ РЕЗОНАНСА
gdy/dt + у + hy3 = 0, и = сМ
Нормированные величины Примечание
У е 1 h
Uот 0 bU2Qm Cco4o 1 CO2 — (i)22 -— J Q
сор ^2 I от 0 Ы2мп Lc&o 1 £Ci
со0Ф2 U от 0 bU2pm (C1 -j- C2)to40 1 “2 - “21 - LtCi
^0<?2 lorn 0 b I2om L\ -j- L2 co4o 1 <02 _ <021 _
СО0Ф1 Uот 1 <t>0RC b U2om C (0*0 1 <02 = <022 —
сор <712 lorn R w0L & I2om L w4o
485
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агаронянц Р. А. Динамика, синтез и расчет электромагни-
тов. М., «Наука», 1967. 269 с.
2. Агаронянц Р. А. Электромагниты технической кибернетики.
М., «Наука», 1972. 278 с.
3. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний.
М., Физматгиз, Г959. 278 с.
4. Асеев Б. П. Нелинейные основы радиотехники. М., Связьиз-
дат, 1943. 188 с.
5. Атабеков Г. И., Тимофеев А. Б., Хухриков С. С. Теорети-
ческие основы электротехники, ч. 2. М., «Энергия», 1970. 232 с.
6. Ахиезер Н. И. Лекции по теории 'аппроксимаций. М., «Нау-
ка», 1965. 407 -с.
7. Бамдас А. М. Управляемые дроссели радиоэлектронной
аппаратуры. М., «Советское радио», 1966. 344 с.
8. Бамдас А. М., Шапиро С. В. Мостовые статические удвои-
тели частоты.— «Известия вузов. Электромеханика», 1960, № 6,
с. 119—122.
9. Бардиж В. В. ^Магнитные элементы цифровых вычислитель-
ных машин. М., «Энергия», 1974. 488 с.
10. Батлук Ю. А. Об одном способе составления уравнений
нелинейных электрических схем. — «Теоретическая электротехника»,
Республиканский межведомственный сборник. Изд-во Львовского
университета, 1968, вып. 5, с. 89—98.
И. Башарин А. В. Расчет динамики и синтез нелинейных си-
стем управления. М., Госэнергоиздат, 1960. 298 с.
12. Башарин С. А. Переходные процессы в магнитных сердеч-
никах с прямоугольной петлей гистерезиса. — «Известия вузов.
Приборостроение», 1974, № 1, с. 54—59.
13. Белый М. И., Федоров А. В. Метод аналитического иссле-
дования нелинейных магнитных цепей с распределенными пара-
метрами.— «Электричество», 1973, № 1, с. 61—63.
14. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автомати-
ческого регулирования, М., «Наука», 1972. 767 с.
15. Бессонов Л. А. Анализ триггерного эффекта в утроителе
частоты. — «Известия вузов. Электромеханика», 1959, № 1,
с. 13—17.
16. Бессонов Л. А. Нелинейные электрические цепи. М., «Выс-
шая школа», 1964. 430 с.
17. Бладыко В. М., Розум Т. Т. Исследование переходных про-
цессов в ферромагнитном удвоителе частоты при помощи направ-
ленного графа. — «Известия вузов. Энергетика», 1970, № 12,
с. 38—42.
18. Богатырев О. М. Элементарная методика расчета электри-
ческих и магнитных нелинейных цепей. — «Электричество», 1954,
№ 1, с. 57—63.
486
19. Богачев В. М., Смольский С. М. Устойчивость колебаний
й переходные процессы в высокочастотных транзисторных генера-
торах с инерционным автосмещением.— «Известия вузов. Радио-
физика», 1974, № 2, с. 228—237.
20. Боголюбов В. Е., Гусев Г. Г. и др. О двойной модуляции
квазирелаксационных колебаний. — «Труды МЭИ», 1973, вып. 160,
с. 35—40.
21. Боголюбов В. Е., Гусев Г. Г., Немов Ю. Н. О синхронном
режиме квазирелаксационных колебаний в феррорезонансной цепи.—
В кн.: Доклады НТК МЭИ. Секции А и Т, 1969, с. 3—11.
22. Боголюбов В. Е. Графический метод расчета переходных
процессов в цепи со сталью с учетом гистерезиса. — «Электриче-
ство», 1950, № 9, с. 64—66.
23. Боголюбов В. Е. Квазирелаксационные колебания в ферро-
резонансных цепях с подмагничиванием. — «Электричество», № 6,
1949, с. 42—46.
24. Боголюбов В. Е., Паротокин В. И. О связи между поряд-
ком резонансного явления, степенью аппроксимирующего много-
члена и номером приближения асимптотического метода Крылова —
Боголюбова. — «Известия вузов. Радиофизика», 1969, № 3,
с. 471—473.
25. Боголюбов В. Е. Расчет квазирелаксационных колебаний
в феррорезонансных цепях с дросселями насыщения. — «Электриче-
ство», 1951, № 8, с. 64—68.
26. Боголюбов И. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1963. 410 с.
27. Бондаренко В. М. Вопросы анализа нелинейных электриче-
ских и электронных цепей. Киев, «Наукова думка», '1967. 159 с.
28. Боярченков М. А. Магнитные решающие элементы. М., «Со-
ветское радио», 1971. 279 с.
29. Боярченков М. А., Раев В. К., Розенталь Ю. Д. Магнитные
элементы на разветвленных сердечниках. М., «Энергия», 1969. 200 с.
30. Булгаков Б. В. Колебания. М., Гостехиздат, 1954. 892 с.
31. Булгаков Б. В. Применение метода Ван дер Поля к сво-
бодным псевдолинейным колебательным системам. — «Прикладная
математика и механика», 1942, т. 6, с. 395—410.
32. Бутенин Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний. Л.,
Судпромгиз, 1962. Г95 с.
33. Витенберг И. М. Быстродействующие аналоговые вычис-
лительные машины. М., «Энергия», 1970. 136 с.
34. Волошин И. Ф., Палагин В. А. Переходные процессы в це-
пях с термисторами. Минск, «Наука и техника», 1967. 243 с.
35. Воробьев Л. М., Воробьева Т. М. Нелинейные преобразова-
ния в прикладных вариационных задачах. М., «Энергия», 1972.
208 с.
36. Методы расчета электрических вентильных цепей. М.,
«Энергия», 1967. 152 с. Авт.: Р. А. Воронов, В. Н. Зажирко,
Е. А Карпов, Ю. Э. Ковалев.
37. Гаряинов С. А., Абезгауз И. Д. Полупроводниковые при-
боры с отрицательным сопротивлением. М., «Энергия», 1970. 319 с.
38. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М., «Нау-
ка», 1967. 375 с.
39. Генис А. А., Горнштейн А. Б., Пугач А. Б. Приборы тлею-
щего разряда. Киев, «Техшка», 1970. 404 с.
487.’
40. Гинзбург С. А. Нелинейные цепи И .Их функциональные ха-
рактеристики. М., Госэнергоиздат, 1958. 152 с.
41. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М,
«Советское радио», 1971. 671 с.
42. Гордон А. В., Сливинская А. Г. Электромагниты переменно-
го тока. М., «Энергия», 1968. 20'0 с.
43. I ордон А. В., Сливинская А. Г. Электромагниты со встро-
енными выпрямителями. М., «Энергия», 1970. 65 с.
44. Городецкий А. Я. Приближенный метод анализа некоторых
нелинейных систем при наличии случайного сигнала. — «Электриче-
ство», 1974, № 2, с. 65—69.
45. Данилов Л. В. Об одном методе анализа нелинейных це-
пей. — «Теоретическая электротехника». Республиканский межве-
домственный сборник. Изд-во Львовского университета, 1968,
вып. 5, с. 83—88.
46. Дехтяренко П. И. Синхронное детектирование в измери-
тельной технике и автоматике. Киев, «Техшка», 1965. 314 с.
47. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулиро-
вания. М., Физматгиз, 1963. 455 с.
48. Ефимов Ю. Н. К-исследованию индуктивного параметрона.—
«Автоматика и телемеханика», 1963, № 4, с. 563—572.
49. Жуховицкий Б. Я., Негневицкий И. Б. Теоретические осно-
вы электротехники, т. 2. М., «Энергия», 1972, с. 106—200.
50. Заездный А. М., Кушнир В. Ф., Ферсман Б. А. Теория не-
линейных электрических цепей. М., «Связь», 1968. 400 с.
51. Заездный А. М. Основы расчетов нелинейных и параметри-
ческих радиотехнических цепей. М., «Связь», 1973. 448 с.
52. Зернов Н. В., Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей.
Л., «Энергия», 1972. 816 с.
53. Ивашов В. Н., Парилис Н. И. Колебания в нелинейных
электрических системах. Ташкент, «Фан», 1967. 178 с.
54. Ильярский О. И., Удалов Н. П. Термоэлектрические элемен-
ты. М., «Энергия», 1970. 7.2 с.
55. Основы инженерной электрофизики, ч. 2. М., «Высшая шко-
ла», 1972. 636 с. Авт.: П. А. Нонкин, А. А. Соколов, Ф. Е. Пашу-
кайнис, В. Е. Боголюбов, А. С. Копорский, В. Г. Миронов.
56. Исмаилов Э. И., Рахимов Г. Р. Метод фазовой аппрокси-
мации. Ташкент, «Уктувчи», 1972. 172 с.
57. Ицхоки Я. С., Овчинников Н. И. Импульсные цифровые
устройства. М., «Советское радио», 1972. 591 с.
58. Кампе-Иемм А. А. Решение инженерных задач на электрон-
ных моделирующих машинах. Л., «Энергия», 1970. 96 с.
59. Каннингхэм. Введение в теорию нелинейных систем. М.,
Госэнергоиздат, 1962. 456 с.
60. Каплан А. Е., Кравцов Ю. А., Рылов В. А. Параметриче-
ские генераторы и делители частоты. М., «Советское радио», 1966. 334 с.
61. Карпов Е. А. Применение интегральных уравнений к расче-
ту периодических режимов в нелинейных цепях. — «Теоретическая
электротехника». Республиканский межведомственный сборник.
Изд-во Львовского университета, 1968, вып. 5, с. 108—112.
62. Кемниц Ю. В. Определение параметров электрических фор-
мул методом наименьших квадратов. М, «Недра», 1964. 196 с.
63. Климов В. П. Тиристорный электропривод с исполнитель-
ным двигателем последовательного возбуждения. М., «Энергия»,
1972. 87 с.
488
64. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных
уравнений. М., Изд-во иностр, лит., 19’53. 459 с.
65. Колосов С. П., Калмыков И. В., Нефедова В. И. Элементы
автоматики. М., «Машиностроение», 1970. 391 с.
66. Конев Ю. И. Полупроводниковые триоды в автоматике. М.,
«Советское радио», 1960. 447 с.
67. Конев Ю. И. (ред.). Транзисторные схемы автоматического
управления. М., «Советское радио», 1967. 280 с.
68. Кулебякин А. 3. Исследование переходных и установив-
шихся процессов в фазочувствительных схемах выпрямления.
Третья всесоюзная межвузовская конференция по теории и мето-
дам расчета нелинейных электрических цепей и систем. Ташкент,
«Фан», 1967, с. 125—126.
69. Лавриненко В. Ю. Справочник по полупроводниковым при-
борам. Киев, «Техника», 1973. 574 с.
70. Левин С. Н. Основы полупроводниковой микроэлектроники.
М., «Советское радио», 1966. 243 с.
71. Лисицкая И. Н., Синицкий Л. А., Шумков Ю. А. Анализ
электрических цепей с магнитными и полупроводниковыми эле-
ментами. Киев, «Наукова думка», 1969. 440 с.
72. Международная конференция по нелинейным колебаниям.—
«Труды института математики АН УССР», 1970, т. 4. 535 с.
73. Митропольский Ю. А. Асимптотические и качественные ме-
тоды в теории нелинейных колебаний. Киев, Изд-во АН УССР,
1971. 242 с.
74. Моргулин Л. А., Бартеньев Л. С., Кабанов Д. А. Вопросы
синтеза нелинейных импульсных устройств. М., «Советское радио»,
1972. 212 с.
75. Нанавати Р. П. Введение в полупроводниковую электрони-
ку. М., «Связь», 1965. 456 с.
76. Негоденко О. Н., Пономарев М. Ф., Хлебникова Т. П. Ана-
лиз вольт-амперных характеристик однопереходных транзисторов
на ЭВМ. — «Известия вузов СССР. Радиоэлектроника», 1974, № 2,
с. 95—100.
77. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы элек-
тротехники, т. 2. М., «Энергия», 1966. 407 с.
78. Неймарк Ю. Н. Методы точечных отображений в теории
нелинейных колебаний. М., «Наука», 1972. 471 с.
79. Нелинейные колебания в физических системах. Пер. с англ.
Под ред. В. Е. Боголюбова. М., «Мир», 1968. 432 с.
80. Обморшев А. Н. Введение в теорию колебаний. М., «Нау-
ка», 1965. 276 с.
81. Папалекси Н. Д. Собрание трудов. М., Изд-во АН СССР,
1948. 428 с.
82. Параметроны. Пер. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1962,
332 с.
83. Пасынков В. В., Савельев Г. А. Управляемые нелинейные
полупроводниковые сопротивления. — «Электричество», 1959, № 9,
с. 72—73.
84. Пасынков В. В., Чиркин Л. К., Шинков А. Д. Полупровод-
никовые приборы. М., «Высшая школа», 1973. 398 с.
85. Пауль Р. Транзисторы. М., «Советское радио», 1973. 504 с.
86. Пенфилд П., Спенс Р., Дюинкер С. Энергетическая теория
электрических цепей. М., «Энергия», 1974. 151 -с.
489
87. Петров Б. Н. Принципы построения и проектирования са-
монастраивающихся систем управления. М., «Машиностроение»,
1972. 259 с.
88. Петров В. В., Марчуков Б. А. Приборные сервомеханизмы
летательных аппаратов. М., «Машиностроение», 1973. 224 с.
89. Пикус Г. Е. Основы теории полупроводниковых приборов.
М., «Наука», 1965. 448 -с.
90. Пикус Г. Л., Пикус Г. Е. Симметрия и деформационные
эффекты в полупроводниках. М., «Наука», 1972. 584 с.
91. Пирогов А. И., Шамаев Ю. И. Магнитные сердечники для
устройств автоматики и вычислительной техники. М., «Энергия»,
1973. 263 с.
92. Поливанов К. М., Жарков Ф. П., Соколов В. А. Парамет-
рон с ферромагнитным сердечником. — «Известия вузов СССР. Ра-
диотехника», 1’962, № 4, с. 417—430, № 5, с. 543—551.
93. Полторапавлова Г. С., Удалов Н. П. Фототиристоры. М.,
«Энергия», 1971. 104 с.
94. Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы иссле-
дования нелинейных автоматических систем. М., Физматгиз, 1960.
792 с.
'95 . Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления
в нелинейных системах. М., «Наука», 1973. 583 с.
96. Пухов Г. Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых
электронных цепей. Киев, «Наукова думка», 1967. 568 с.
97. Райдер Дж. Техническая электроника. Л., «Судпромгиз»,
1961. 816 с.
98. Райдер Р. СВЧ полупроводниковые приборы и их приме-
нение. М., «Мир», 1972. 662 с.
99. Рахимов Г. Р. Нелинейные цепи, системы и поля. — Третья
всесоюзная межвузовская конференция по теории и методам рас-
чета нелинейных электрических цепей и систем. Ташкент, «Фан»,
1967, с. 3—4.
100. Рахимов Г. Р. Феррорезонанс. Ташкент, Изд-во АНУзССР,
1957. 144 с.
101. Рейтман Э. Я. Аппроксимация кривой размагничивания
рациональными функциями. — «Электричество», 1973, № 11,
с. 79—82.
102. Электронные и полупроводниковые устройства систем ав-
томатического управления. Под ред. Е. М. Решетникова. М.. «Ма-
шиностроение», 1966. 443 с.
103. Розенвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем. Метод
интегральных уравнений. М., «Наука», 1969. 576 с.
104. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости
М., «Наука», 1971. 288 с.
105. Руцкий А. И. Динамическая кривая намагничивания и
комплексная магнитная проницаемость стали. Белорусский поли-
технический институт. Сборник научных трудов. Минск, 1954,
вып. 46, с. 3—35.
106. Саломонович А. Е. Автомодуляция при феррорезонансе.—
ЖТФ, 1952, т. XXIII, вып. 2, с. 245—258.
107. Сигорский В. П., Синицкий Л. А. Определение постоянных
составляющих токов и напряжений в цепях с выпрямителями.—
«Электричество», 1959, № 1, с. 34—35.
108. Сливпнская А. Г., Гордон А. В. Постоянные магниты. М..
«Энергия», 1958. 200 с,
49Q
109. Совпёль В. Б. К расчету непериодических процессов в не-
линейных цепях методом точек. — «Теоретическая электротехника».
Республиканский межведомственный сборник. Изд-во Львовского
университета, 1969, вып. 8, с. 115—120.
НО. Сотсков Б. С. Основы расчета и проектирования элементов
автоматических и телемеханических устройств. М., «Энергия», 1965.
576 с.
ГН. Степаненко И. П. Основы теории транзисторов и транзи-
сторных схем. М., «Энергия». 1973. 608 с.
112. Сучилин А. М. Сравнительный анализ некоторых числен-
но-графических методов расчета переходных процессов. — «Элек-
тричество», 1959, № 11, с. 32—36.
113. Тафт В. А. Электрические цепи с переменными параметра-
ми. М., «Энергия», 1968. 327 с.
114. Трухачев Б. С., Удалов Н. П. Полупроводниковые тензо-
преобразователи. М., «Энергия». 79 с.
115. Туркулец В. И., Удалов Н. П. Фотодиоды и фототриоды.
М., Госэнергоиздат, 1962. 63 с.
116. Тхорик Ю. А. Переходные процессы в импульсных полу-
проводниковых диодах, Киев, «Техника», 1966. 243 с.
117. Удалов Н. П. Полупроводниковые датчики. М., «Энергия»,
1965. 239 с.
118. Фархи С. Л. Преобразование активного треугольника
с одним нелинейным элементом в трехлучёвую звезду и обратно.—
«Электричество», 1967, № 1, с. 82—84.
119. Фельдбаум А. А. Введение в теорию нелинейных цепей.
М.—Л., Госэнергоиздат, 1948. 324 с.
120. Харкевич А. А. Избранные труды. Т. 2. Линейные и нели-
нейные системы. М., «Наука», 1973. 566 с.
121. Харкевич А. А. Нелинейные параметрические явления
в электротехнике. М., Гостехиздат, 1956. 184 с.
122. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах.
М., «Мир», 1968. 432 с.
123. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М., «Мир»,
1966. 230 с.
124. Хьюз В. Нелинейные электрические цепи. М., «Энергия»,
1967. 336 с.
125. Цыпкин Я. 3., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульс-
ных систем. М., «Наука», 1973. 414 с.
126. Чернецкий В. И. Анализ точности нелинейных систем
управления. М., «Машиностроение», 1968. 247 с.
127. Шефтель И. Т. Терморезисторы. М., «Наука», 1973. ^415 с.
128. Шилейко А. В. Основы аналоговой вычислительной тех-
ники. М., «Энергия», 1971. 272 с.
129. Bohn Е. V. Demodulator lead networks. — «IRE Trans, on
Circ’ Theory», March 1960, vol. CT-7, № 1, p. 56—61.
130. Bohn E. V. A simple method for the analysis of demodulator
compensating networkd. — «IRE Trans, on Circ. Theory», Sept. 1961,
vol. CT-8, № 3, p. 306—311.
131. Boning W. Analitische Darstellung der Kennlinien nichtlinea-
rer Zweipole. — «AFE», 1960, Bd 45, H. 4, S. 265—278..
132. Boning W. Sc.haltvorgange in Gleichstromkreisen mit nicht-
linearem Widershind und Induktivitat. — «AFE», 1961, Bd 46,
S. 103—124.
491
133. Bruderlink M. Modellversuche an s-tatischen Frequenzvef
dreifachern mit verschiedenen Kcrnbauarten.— «ETZ-А», 19'62, Bd 83,
S. 12—15.
134. Cherry E. C. Some general theorems for поп-linear systems
possessing reactance. — «Phil. Mag.», 1951, vol. 42, p. 1161—1177.
135. Chua L. O. Introduction to non-linear network theory. New
York, 1969, p. 967.
. 136. Corning J. Transistor circuit analysis. New Jersey, 1965,
p. 466.
137. Jeckelius K. Untersucheung nichtlinearer System mit einem
oder zwei Energiespeichern. — «NTF», 1960, B'd 21, S. 93—98.
138. Linneman G. Elementare Synthes elektrischer und magnetis-
cher Energiewandler. Leipzig, 1967, Bd 1, S. 239.
139. Philippow E. Eine graphische Behandlung des nichtlinearen
Stromkreises beim Forroresonanzstabilisator. — «Hochsch. fiir Elek-
trotechn. Ilmenau, Wiss. Z.», 1956, Bd 2, H. 3, S. 163—168.
140. Philippow E. Die Bemessung bistabiler Kippschaltungen mit
Ferroresonanzkreisen. Hochsch. fiir Elektrotechn., Ilmenau, V Interna-
tionales Kolloquium, Teil 1, Tagungsberichte, 1960, S. 3.
141. Scanlau J. Analysis and synthesis of tunnel diode circuits.
London, 1966, p. 274.
142. Schreier D. Darstellung nichtlinearer Charakteristiken unter
Verwendung von Varistoren. — «Hochsch. fiir Elektrotechn. Ilmenau,
Wiss. Z.», 1961, Bd 7, H. 2, S. 105—124.
143. Stern T. E. Theory of non-linear networks and systems an
introduction. Massachusets, 1965, 594 p.
144. Symposium on non-linear estimation theory and its applica-
tion. New York, 1970, 297 p.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автономная система 200
Автономные колебания 241
Айртон уравнение 64
Амплитудная'модуляция 385
— плоскость 288
Аналитическое представление петли
гистерезиса 97
Аналогия между магнитными и
электрическими цепями 137
Аналоговая машина 173, 209, 289,
297
Андронова и Витта метод 261
Анодные характеристики 69, 145
Аппроксимация арктангенсной
функцией 96
— гиперболической функцией 74, 96,
165
— гиперболой 95
— интегрируемой функцией 227
— кривой намагничивания 95
— лестничной функцией 250
— ломаной линией 95, 220, 337
— параболой 160, 228
— прямой 73
— с использованием производных 47
— степенным полиномом 37, 72, 75,
97
— тригонометрическим полиномом
37, 76, 163
— экспоненциальным полиномом 37,
72, 96, 165, 229
Асимптотическая устойчивость 300,
301
Асимптотический метод 265
Балансный модулятор 290
Бареттер 53, 366
Барьерная емкость 87
Безразмерный вид 49
Безынерционные резисторы 10
— элементы 18, 144, 150, 179
Бен диксон а критерий 257, 262, 291
Биакс !102
Вариационные методы 266
Варисторы 55
Вибрационный выпрямитель 355,
Влияние нелинейности на колеба-
ния 411
Внутреннего сопротивление лампы
70
Газоразрядные приборы 61, 368
Гармоническая линеаризация 270
Генерирование колебаний 402, 413
Гетерономная система 200
Гетерономные колебания 241, 242
— уравнения 248, 249
Граничные циклы 262
Графический метод 153
Графическое интегрирование 219
Гурвица критерий 307
Двухполюсник нелинейный 122
Двухтактный усилитель 341
Деление частоты 433
Дельта метод 248, 251
Демодулированный сигнал 319
Демодуляция 320, 385
Детектирование 392
Джозефсона переход 108
Динамическая характеристика 9,
19, 334
Динамическое сопротивление 19, 20,
144
Диод 56, 62, 66, 86, 397
Дифференциальная емкость 27, 87
— индуктивность 20
— проводимость 17, 89
Дифференциального параметра ме-
тод 226
Дифференциальное сопротивление
16
— уравнение Ван дер Поля 291
---Дуффинга 279, 284
— — Матье 329
---Релея 297, 295
---Хилла 329
Дуальность 29
Дуга электрическая 64
Емкостный диод 86
Жесткое возбуждение колебаний
408
Закон пространственного заряда 61
— Ричардсона — Душмана 61
Запирающий слой 56
Затухание эквивалентное 425
Затухания коэффициент 404
— член 283
Зенера диоды 57
Зона запирания 56
Изгиб резонансной оси 284
Изображающая точка 252
Изоклины 215, 246
Импульсные устройства 435
Индуктивность нелинейная 20, 137,
232, 272
Инерционная сила 241
Инерционные элементы 18, 144, 149,
179
Итерационные методы Г13, 189, 203
Квадратичный детектор 393
Квазилинейный усилитель 339
Колебания нелинейные 241
Кольцевой модулятор 390, 434
Комбинационные колебания 175, 395
Компенсации теорема 115, 125
Консервативные колебания 241
Кообъем 32
Корректирующий член 272
493
Коэнергия 33, 35
Коэффициент амплитуды 175
— аппроксимации 40
— затухания 404
— искажения 380
— модуляции 395
— нелинейных искажений 174, 384,
394
— полезного действия выпрямите-
ля 348
— пульсации 175
— регенерации 423
— стабилизации 367
— усиления 447
— формы 4'75
Криактор — 109
Критерий Бендиксона 257, 262
— Гурвица 307
— Кауфмана 312
— устойчивости 306
Круговые диаграммы 193
Крутизна характеристики 69
Кусочно-линейная аппроксимация
95, 157, 220, 388
Лампа тлеющего разряда 63
Ламповый генератор 402
Ламповые диоды 66
Леддик 104
Линеаризация в ограниченной обла-
сти 115
— пилообразного напряжения 421
— характеристики 73, 323
Ляпунова положения 299
Льенара метод 247, 296
Магнитное сопротивление 138
Магнитные пленки 103
Масштабное преобразование 222
Масштабы тока и напряжения 16
Машинные методы 200
Метод аппроксимации 220
— Боголюбова и Крылова 263
---Митропольского 265
— Ван дер Поля 259, 292, 312
— возмущений 258
— Волынкина 221, 234
— выбранных точек 44
— выравнивания 39, 42
— Галеркина 278
— гармонической линеаризации 406
— графического интегрирования 219
— изоклин 2Г5, 246
— итераций Г13, 189
— коллокаций 270
— кусочно-линейной аппроксимации
37, 95, 158, 220, 224
•— Льенара 247, 296
— наименьших квадратов 46
— нескольких ординат 167, 169
— последовательных интервалов 220,
225, 233
---приближений 131, 272
Метод Ритца 266, 276
— Рунге—Кутта 206
— степенного ряда 221
— суммирования 153
— угла отсечки 158, 396
— угловых построений 249
— эквивалентного источника 126
— фазовой плоскости 219, 245
— Франка 217, 222
— Эйлера—Коши 201
Методы исследования устойчивости
303
Многозначность характеристик 9
494
Модуляция 320, 385
Мостовые схемы 369
Мощность намагничивания 24, 26,
376
Мультивибратор 416
Мягкое возбуждение колебаний 409
Найквиста критерий 307
Намагничивания кривая 20, 374
Напряжение анодное 69, 145
— зажигания 78, 368, 419
— коллектора 79
— модулирующее 386
— несущей частоты 386
Неконсервативные колебания 241
Нелинейная емкость 143, 239, 273
— индуктивность 20, 137, 232, 272
Нелинейности существенные и не-
существенные 15
Нелинейность характеристики 17
Нелинейные дифференциальные
уравнения 198
— искажения 342, 400
— колебания 241
Нелинейный мост 369
Несинхронные модуляция и демо-
дуляция 320
Неустойчивая точка 255
Неустойчивые колебания 241
Нормирование 49, 51, 198, 233, 375,
405
Область пространственного заряда
87
— тока насыщения 71
Обмотка подмагничивания 429, 441
Обобщенный экспоненциальный эле-
мент 64
Обратных функций формирование
458
Опорная частота 361
Опорное напряжение 73
Опорные диоды 57
Отсечки угол 158
Оценка нелинейности 17
— отклонения от синусоидальной
формы 174
— характеристики 172
Параметрические колебания 242,326
Параметры ламп 69
Петля гистерезиса 9, 22, 27, 28, 97,
136, 142
Пилообразное напряжение 419
Постоянный магнит 140
Предельный цикл 256
Преобразование нелинейной цепи
317
— частоты 386, 425
Призе функция 68
Проводимость дифференциальная 17
— нелинейная комплексная 181
Проницаемость лампы 69
Пространственный заряд 87
Разностные методы 204
Разность скалярных магнитных по-
тенциалов 138
Рауса критерий
Реализация характеристики (функ-
ции) 453
— элементов 460
Регенерация 421
Регулирование фазы 465
Резистор 7
Резонансный усилитель 338
Релаксационный генератор 419»
Реолинейная система 200
Риотрон 109
Роторная точка 255, 256
Сверхпроводящий туннельный пере-
ход '108
Сегнетодиэлектрик 27
Седловая точка 255, 289
Селективный выпрямитель 358
Симпсона формула 205
Сингулярные точки 252, 256, 261, 289х
294
Синтез осцилляторов 461
Синхронное детектирование 318
Скачок амплитуды 287
Статические характеристики 9, 69,
137
Субгармоники 433
Схема замещения емкостного дио-
да 86
---полупроводникового диода 56,
57, 397
--- транзистора 147
Твистор 105
Теорема компенсации 115, 125
Термистор 53
Терморезисторы 52, 83
Тиратрон 77
Тиристор 81
Тлеющий разряд 63
Тонкие магнитные пленки 103
Точки неустойчивого и устойчи-
вого равновесия 310
Точность АВМ 213
Транзистор 66, 78, 147
Трансфлюксор 100
Трапецеидальная форма нап-ряжл--
ния 439
Тринистор 59
Туннельные диоды 57, 108
Узловая точка 255, 256
Управляемые нелинейные элементы
68, 144
Уравнения Менли—Роу 178
Усилитель квазилинейный 339
— магнитный 445
— резонансный 338
Устойчивости определение 301
Устойчивость 261, 299, 332
Устойчивый узел 255
Фазовая плоскость 245, 291
— траектория 245 .
Фазовое детектирование 321
— разделение 321
Фазочувствительный выпрямитель,
355
Феррорезонансный стабилизатор 373:
Ферроэлектрический диэлектрик 27,.
Формирование импульсов 439
— обратных функций 458
—• функций 451
Фотодиод 85
Фоторезистор 84
Фототранзистор 85
Фотоэлемент 83
Франка метод 222
Функция Бесселя с действительным
аргументом 157, 164
---с мнимым аргументом 157
— Ляпунова 304
Характеристика безынерционного
элемента 10
— действующих значений 10, 11
— динамическая 9
— для первых гармоник 14
— мгновенных значений 9, И
— множительная 425
Цепи с переменными параметрами
1'12
Цепь с двумя нелинейными сопро-
тивлениями 1:18, 119, 128
---микрофоном 324
---тремя нелинейными сопротив-
лениями 129
---четырьмя и более нелинейны-
ми сопротивлениями 128, 130, 132
Частотные спектры 152
Численные методы 200
Эйлера уравнение 267
Эквивалентное затухание 425
Эквивалентный синусоидальный ток
25
Экстраполяции формула 206
Электронная вычислительная маши-
на 208
Элементы вычислительных машин-
210
Энергетические соотношения 31, 176;
Эффект Видемана 105
— Зенера 57
— сверхпроводимости 106
— туннельный 57, 107
Явление скачка 287
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию................................. 3
Из предисловия автора к первому изданию .... 5
Из предисловия автора ко второму изданию ..... 6
Глава первая. Нелинейные элементы и их характеристики 7
1-1. Основные определения............................. 7
1-2. Характеристики нелинейных элементов...............16
ЬЗ. Некоторые энергетические соотношения . .... 31
1-4. Аналитическое представление нелинейных характеристик 36
1-5. Нормирование......................................49
1-6. Техническое использование нелинейных элементов ... 52
Глава вторая. Нелинейные цепи и методы их расчета 111
2-1. Классификация цепей......................................111
2-2. Нелинейные цепи постоянного тока . ... 113
2-3. Нелинейные (магнитные цепи............... 136
2-4. Цепи постоянного тока с нелинейными конденсаторами 142
2-5. Нелинейные элементы при синусоидальном управляющем
напряжении ..........................................144
2-6. Нелинейные цепи переменного тока ....... 179
Глава третья. Дифференциальные уравнения нелинейной
электротехники ... ..... 198
3-1. Общие положения..........................................198
3-2. Численные и машинные методы решения нелинейных диф-
ференциальных уравнений..............................200
3-3. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка 214
3-4. Методы -исследования нелинейных дифференциальных
уравнений второго порядка .......................... 241
3-5. Примеры часто встречающихся дифференциальных урав-
нений второго порядка................................272
3-6. Основные положения теории устойчивости............... 299
Глава четвертая. Параметрические системы . 316
4-1. Электрическая цепь с сопротивлением, значение которого
зависит от времени...................................316
4-2. Параметрические дифференциальные уравнения первого
порядка...............................................322
4-3. Параметрические дифференциальные уравнения второго
порядка...............................................326
Глава пятая. Нелинейные устройства 334
5-1. Усилительные схемы...................................334
5-2. Выпрямители и схемы выпрямления ..... 345
5-3. Стабилизаторы ..................................... . 363
5-4. Амплитудная модуляция и демодуляция амплитудно-мо-
дулированных сигналов..............................- .
5-5. Генерирование колебаний и регенерация ............
5-6. Умножение и деление частоты.......................
5-7. Импульсные устройства.............................
5-8. Управляемые ферромагнитные элементы и магнитные уси-
лители ................................................
5-9. Проблема синтеза нелинейных устройств и формирования
функции .... . . . .
Приложение . . .............................
Список литературы .....................................
Алфавитный указатель ..................................