Похожие
Текст
УЧЕБНИКИ и УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I и II СТУПЕНИ
~~ Tat
Д. БЕМ, А. ВОЛКОВ, Р. СТРУВЕ Б~%
СОКРАЩЕННЫЙ СБОРНИК
УПРАЖНЕНИИ II ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОМУ КУРСУ
АЛГЕБРЫ
ЧАСТЬ III
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ
НАУЧНО - ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИЕЙ
ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧЕНОГО СОВЕТА
ДОПУЩЕНО ДЛЯ ШКОЛ II СТУПЕНИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
41—70 тыс.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА
Г v3. НАУЧЛА^
МЗЛИОТЬКА
-ИМ.
К. Д. Уижя»нвго
Гиз. Л» 5968. Главлит. Л» 18594. Москва. Напеч. 304)00 окз.
Госиздат. 1-ая Образцовая типография. Москва, Пятницкая, 71.
ПРЕ 1ИС ЛОВ ИЕ.
Выпуская «Сокращенный сборник упражнений и задач
по элементарному курсу алгебры» (дополнительные статьи),
составители имели в виду дать возможность пользоваться
«Сокращенным сборником» и в тех учебных заведениях,
программа которых выходит за пределы основной части
этого сборника. При разработке материала они руководи¬
лись тою же основной мыслью, что и при издании двух¬
томного «Сборника упражнений и задач», а именно, что
идеи функциональной зависимости и графического предста¬
вления функций должны быть, введены в изложение алгебры
с первых ступеней ее преподавания. Выпускаемый сбор¬
ник содержит разбор на задачах дополнительных статей
алгебры, обычно входящих в программу гимназий и реаль¬
ных училищ, включая сюда и элементы анализа.
Май, 1918 г.
Д. Бем, А. Волков, Р. Стрцв".
IV
ПРЕДИСЛОВИЕ
ко 2-му изданию.
Выпускаемое 2-е издание «Дополнительных статей» по¬
полнено значительным рядом задач, а также введен отдел
о пределах, и расширена статья о тригонометрических
функциях. В виду значительного изменения нумерацию
задач не удалось сохранить. -
Д. Бем, Р. Струве.
Москва, Апрель 1922 г.
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
ПЕРВАЯ ГЛАВА.
Комбинаторика (теория соединений).
§ 1- Соединения,
1. Соединением называется определенная группировка ве¬
щей; вещи, образующие соединение, называются его элемен¬
тами. Указать элементы, из которых составлены соединения:
1) абвг, 2) баба, 3) -1234, 4) -J К 5) a^abc, 6) av я2,... а„.
2. В соединениях могут приниматься во внимание:
1) состав соединения, 2) порядок элементов в соединении
и 3) число элементов. Образовать различные соединения
из элементов: 1) а, Ъ, с, d\ 2) х, у, з; 3) 1, 0, 3; 4) +, —;
5) из трех элементов 1, о, — 1; 6) из пяти элементов
J, Б, С, В, Б.
3. Даны 3 элемента а, Ъ и с. Написать все соединения,
которые могут быть образованы из этих элементов так,
чтобы в каждое соединение входило: 1) по 3, 2) по 2 и
3) по 1 элементу. При этом следует составить и такие со¬
единения, в которые один и тот же элемент входит по не¬
скольку раз. Соединения, отличающиеся порядком элемен¬
тов, следует считать при этом различными.
4. Даны четыре элемента а, Ъ, с, d. 1) Составить все со¬
единения из этих элементов по 2, не обращая при этом
внимания на порядок элементов и не вводя в каждое
соединение один и тот же элемент более одного раза.
2) Составить все соединения из этих элементов по 3, обращая
при этом внимание на порядок элементов, но не вводя в
каждое соединение одного и того же элемента более одного
раза. 3) Образовать все соединения по 4 элемента, не
обращая внимания на порядок элементов, и допуская повто¬
рение в одном и том же соединении одного и того же
элемента
§ 2. Перестановки
Перестановки без повторений
5. Под перестановками (перемещениями) разумеют такие
соединения, в состав каждого из которых входят все дан¬
ные элементы, а одно соединение от другого отличается
лишь последовательностью (порядком) элементов. Составить
таблицу перестановок: 1) из двух элементов а, Ъ\ 2) из трех
элементов а, Ь, с; з) из. четырех элементов а, Ь, с, d, рас¬
полагая эти перемещения, как слова в словаре.
6. Сколько различных перестановок можно образовать
из двух различных элементов?
7. 1) Даны 3 различных элемента а, Ъ, с. Образуя из
них перестановки, мы поступаем следующим образом: берем
один из элементов, напр., Ъ, и принимаем его за первый
элемент перестановки (занимаем им первое место), затем
берем один из оставшихся и занимаем им второе место;
последним оставшимся элементом занимаем третье место.
Сколькими Гразличными способами можно занять первое
место в перестановках, образуемых из этих элементов?
2) Сколькими различными способами можно занять второе
и третье место после того, как первое место занято опре¬
деленным элементом? 3) Сколько перестановок можно соста¬
вить из трех различных элементов?
8. 1) На сколько групп могут быть разделены все пере¬
становки из четырех элементов а, Ъ, с, d, в зависимости от
того, какой элемент помещен на первом месте? 2) Сколько
перестановок войдет в состав каждой группы, если в нее
включить все перемещения, отличающиеся порядком осталь¬
ных трех элементов?
9. Как получить число перестановок: 1) из 5 элементов,
зная число перестановок из 4; 2) из 7 элементов, зная число
перестановок из 6 элементов?
10. 1) Доказать формулу
4*п = П -i*-!,
где Р„ означает число перестановок из п элементов.
2) Определить значение Р», перемножая почленно равен¬
ства
Р п=п ■ Ря _ ■,,
— 1)‘Рп-2-
Р2 = 2-Рх
Л = 1.
11. Доказать формулу
Р„ = Ь2 3 4... (н — 1)м
следующим образом: 1) показать, что она справедлива при
п = 1; 2) доказать, что она имеет место при п = к-\-\, если
она верна при п — 7: (Способ полной индукции)
Выражение п!
12. 1) Для обозначения произведения » первых членов
натурального ряда введен символ:
к! = 1-2-3-4... (п — 1)-и.
Вычислить: а) 2! б) 3! в) 4! г) 5! д) б! е) 7!
2) Записать в раскрытой форме t
1) (и-|- 1)! 2) (»— 1)! 3) (п -f- 3)! 4) (2м)! ») (2м Д- 1)Г
3) Вычислить произведения: а) 2-и! и (2м)! 614 п\ и ■»)'.
в) я м! и (ап)', г) 2а — 2! и (2п—2)!
13. Написать значения следующих выражений сначала
в общем виде, а затем вычислить, полагая и = 4.
— 8 -
13* h! + ih + 1)!:
15* -t- (n + i)i5
1Г) (и—1)! и!’
18^ (и — 1)! (и + 1)Г
Перестановки с повторениями.
14. Допустим, что среди шести элементов а, Ъ, с, d, с, f
два элемента си f оказываются тождественными. 1) Какие
перестановки в этом случае придется считать за одну и ту
же перестановку (считать тождественными)? Сколько таких
различных раньше перестановок придется считать за одну?
2) Сколько и каких перестановок придется считать за одну
и ту же, если окажутся тождественными не два, а уже три
элемента d, е, ft
15. Сколько перестановок придется считать за одну и
ту же, если в числе элементов, из которых составляются
перестановки, р элементов будут одинаковыми? 2) На какое
число следует разделить «!, чтобы получить число пере¬
становок из и элементов, среди которых р элементов оди¬
наковы?
16. Показать, что число различных перестановок из п
элементов, среди которых оказываются группы 6, г, р и g
одинаковых элементов, выражается формулой
17. 1) Составить все перестановки из 3-х элементов
«, п, Ъ (среди которых два одинаковых).
2) Составить все перестановки из 4 элементов:
а) а, а, а, Ъ; б) а, а, Ь, с; в) о, п, ог Ь.
3) Составить все перестановки из 5 элементов:
а) а, а, о, Ь, Ь\ б) а, а, а, Ъ, г; в) а, а, ь, Ь, с.
4) Составить все перестановки из 6 элементов: а) а, я,
а, а, Ъ, с; б) а, а, а, Ъ, Ь, с; в) а, а, а, Ъ, с, <?;
Г) а, а, Ъ, Ъ, с, d\ д) а, а, Ь, с, d, с.
18. Указать число возможных перестановок, которые
можно образовать из сомножителей каждого из следующих
произведений:
а) о2 й5;
г) а3 Ъ3 с3;
ж) а3 Ь4 с5 d3\
i) ab2 с3 di с3;
М) а”1-1 Ъ;
п) аи,~4 й4;
б) а2 й2 с2;
д) mi гг* рл\
з) аЪ3 с5 d7;
к) а2 й2 с2 d2 с2;
н) а”*-2 й2;
р) а3 Ът~3\
в) ой3 с5;
е) хъ уъ £5;
и) а2 й4 с6 й3;
Л) а3 й3 с3 б?3 е3;
О) а,п_3 й3;
С) а2 й,и-2.
Приложения, (
19. Вычислить: 1) Р8, 2) Р10, 3) Р15 (при вычислении Р1Б
дать приблизительное значение результата, заменяя при
вычислении числа близкие к 10, напр., 8, 9, 12, 14...,
десятками).
20. Сколько различных чисел можно составить из
цифр: 1) 1, 4, 7,-9; 2) 1, 2, 5, 7, 9; 3) 2, 3, 4 (в ка¬
ждое число должны входить все данные цифры по одно¬
му разу)?
21. Сколькими различными способами можно пересадить
в классе 1) 10, 2) 15 учеников?
22. Английский замок содержит обыкновенно 3 или 4
сувальды. т.-е. предохранительные пластинки, мешающие
отпереть замок отмычкой; все сувальды имеют обычно раз¬
личную форму; каждому расположению сувальд соответ.
ствует свой ключ, отпирающий замок при данном их рас¬
положении. Сколько различных ключей следует иметь, чтобы
отпереть замок прй любом расположении сувальд, 1) если
число сувальд 3, 2) если число сувальд 4, 3) если число
сувальд 4 и две из них одинаковые, 4) если они образуют
две пары одинаковых?
Сколькими способами можно расположить в ряд пару
гривенников, пару пятиалтынных и пару двугривенных?
3 рубля и 5 полтинников?
23. Общество состоит из 6 пар. Сколькими различными
способами можно пересадить общество: 1) ^оставляя все
время каждую пару вместе, 2) разделяя пары?
V
-,10-
§ 3. Размещения.
Размещения без повтоюений.
24. Соединение, состоящее из 7с элементов, взятых из
числа данных » элементов (и>7с), называется размещением
из п элементов по /г, если, кроме состава, принимается во
внимание и порядок элементов в соединении; при этом оно
называется размещением без повторений, если ни один
элемент не встречается более одного раза в одном и том же
соединении. Как велико число размещений из п элементов
по одному?
25. 1) Составить все размещения (без повторений) по два
из элементов а) а, 6; б) а, Л, с; в) а, Ь, с, d; г) а, Ъ, с, d, е.
2) Составить все размещения по з (без повторений) из
элементов; а) а, Ъ, с; б) а, Ь, с, d-, в) а, Ъ, с, d, с.
26. з) Составить все размещения по 4; а) из элементов
а, Ъ, с, d; б) первые 20 размещений из элементов а, Ь, с, d, с
(если располагать их, как слова в словаре).
27. 1) Сколькими способами можно занять первое место
при составлении размещений без повторений из 7 элементов
по 2? 2) Сколькими способами можно занять второе место
после того, как первое место занято определенным элемен¬
том? 3) Каково число всех размещений из 7 элементов по 2?
28. Сколько размещений по 2 можно составить из-'
1) 3 элементов; 2) 8 элементов и 3) п элементов?
29. ГГри образовании размещений из 7 элементов по 3:
1) сколькими способами можно занять 3-е место (после
того, как будут заняты первое и второе места)? 2) Сколько
размещений можно образовать из 7 элементов по 3?
30. Как велико число размещений по з; а) из 3; б) из 8;
в) из и элементов?
31. Какое число размещений можно образовать (обобщить
результаты предыдущих задач): а) из 7 элементов по 4;
б) из 7 элементов по 6; в) из п элементов по 4?
32. 1) Доказать рекурсионную формулу
л,';=(н — fc+i) Ап-\
где А* означает число размещений из п элементов по 7с.
— 11 —
2) Доказать, перемножая почленно результаты подста¬
новки. в рекурсионную формулу А*={п — fc-f i) и т. д.
вместо к чисел 1, 2, 3... к, справедливость формулы (при¬
нимая Л°= 1):
А?. = н(н — 1) (н —2)... (н— />'+1),
in — /.):
33. Доказать ту же формулу, пользуясь методом полной
индукции.
34. Сколько размещений (без повторений) по п можно
составить из п элементов? Каким термином можно назвать
этот особый случай размещений?
Размещения с повторениями.
35. 1) Составить размещения по 2 с повторениями из
элементов: а) а, Ъ\ б) а, Ъ, с; в) а, Ъ, с; d\ Г) а, Ъ, с, cl, с.
2) Составить размещения по 3 с повторениями из эле¬
ментов: а) а, i; б) а, Ъ, с; в> а, Ъ, с, d.
3) Составить размещения по 4 с повторениями из эле¬
ментов: 1) о, 6; 2) а, Ъ, с.
36. При составлении размещений с повторениями из »
элементов по к (»5?&) 1) Сколькими способами может
быть занято первое место? 2) Сколькими способами может
быть занято 2-е место? 3) Сколькими 3-е? 4) Сколькими
способами р-е место
37. Сколько размещений с повторениями получится из и
элементов по 2? по 3? по 5?
38. 1) Доказать рекурсионную формулу:
ЛА^пАА^Г1
. где АА',[ обозначает число размещений с повторениями из
п элементов по к.
2) Перемножая почленно результаты подстановки в фор¬
мулу ААп = пАЛп~1 вместо к значений: к, к —\ к —2 й *
т. д. до 2, доказать справедливость формулы
— 12 —
Приложения.
39. Вычислить:
1) Al] 2) А*] 3) A1J;
4) -Л.52» 5) -432» 6) Aie,
7) AAl; 8) АА\\ 7) ЛЛ”
40. Сколько различных пятизначных чисел можно
составить из цифр (если предположить, что цифры могут
повторяться):
1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; 2) О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;
3) О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: 4) 0, 2, 4, 6, 8?
41. Сколько шестизначных чисел можно составить из
цифр (если каждая цифра в каждом числе встречается не
более одного раза):
1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; 2) 1, 2, 3, 5, 7, 9?
42. 1) Сколько различных группировок неодинаковых
фигур возможно при одновременном бросании а) двумя
костями: б) тремя костями? При этом кости считаются раз¬
личными (одна из них, напр., белая, другая красная, третья
синяя); кости имеют форму куба, на гранях ’ которого
имеются фигуры в 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.
2) Сколько вообще может быть группировок фигур при
одновременном бросании а) двумя, б) тремя костями (при
сохранении условий предыдущей задачи)?
3) Сколько группировок одинаковых фигур возможно
при бросании двумя костями? Как связаны между собою
это число и числа, полученные в задачах I) а и 2) а?
4) Сколько группировок, в которых совпадает, по край¬
ней мере, пара фигур, возможно при одновременном бро- ,
сашш тремя костями?
43. Сколько размещений с повторениями можно обра¬
зовать из знаков + и — 1) по 2, 2) по 3, 3) по 4?
§ 4. Сочетания.
Сочетания без повторений.
44. Соединение, состоящее из То элементов, взятых из
данных п элементов, называется сочетанием из п элементов по Тс,
если различными считаются только те соединения, которые
— 13 —
отличаются друг от друга только составом, а не порядком
элементов в соединении (порядок элементов в соединении
не имеет значения). Сочетания называются сочетаниями без
повторений, если в данной группе один и тот же элемент
встречается не более одного раза. Пользуясь этим определе¬
нием, составить сочетания без повторений: 1) по 1, 2) по 2,
3) по 3 из элементов а, Ь, с.
2) Составить сочетания без повторений из элементов а, Ъ,
с, d: а) по 2, б) по 3, в) по 4.
3) Составить все сочетания без повторений из элементов
а, Ъ, с, d, е, а) ПО 1, б) ПО 2, в) ПО 3, г) ПО 4.
45. Как велико число сочетаний без повторений из п эле¬
ментов: а) по 1; б) по и?
Сколько сочетаний без повторений по 2 элемента (пар)
можно составить из а) 3, б) 4, в) ь и г) 6 элементов?
3) Сколько сочетаний без повторений по 3 элемента
(терн) можно составить из: а) 3, б) 4, в) 5 и г) 6 элементов?
4) Сколько сочетаний без повторений по 4 элемента (ква¬
терн) можно составить из: а) 4, б) 5 и г) 6 элементов?
5) Вычислить число сочетаний из п элементов а) по 2,
зная число сочетаний по 1, б) по 3, зная число сочетаний
по 2, в) по 4, зная число сочетаний по 3.
46. 1) Доказать справедливость рекурсионной формулы.
4,1: п —к + I
К
где С'п есть число сочетаний из п элементов по
2) Перемножая по частям результаты подстановки в на¬
писанную рекурсионную формулу в место к чисел: к, к — 1,
к—2,... и т. д. до 2, показать, что
п(п — 1) (п — 2) . . . .(и — А+1) п!
к! ~ к! (м — А)!'
47. Доказать ту же формулу, пользуясь методом полной
индукции.
48. 1) Составлены сочетания из п элементов по к (без
повторений). Сколько размещений без повторений из п эле¬
ментов по к можно составить из каждого из этих сочетаний?
2) Доказать равенство:
л к /. t — р . рк.
Л» — I» • l//i — J- и
— 14 —
49. 1) При составлении сочетаний из п элементов по
к из имеющихся п элементов берется для образования со¬
четания к элементов; как можно назвать то соединение,
которое образуют остальные п — к элементов? Что можно
поэтому сказать относительно чисел С1* и CJT*?
2) Доказать, что Сп=СЦ~к на основании выражения С'й,
данного в задаче 4G, 2.
50. 1) Как образовать все сочетания из и-f-i элементов
по к, если все сочетания из я первых элементов уже обра¬
зованы? Какая зависимость существует между числами С:ю
Ск~1 и с';+1?
2) Доказать формулу Ск-f- С,*-1 = lt пользуясь значе¬
нием С'п, данным в задаче 4G, -2.
51. Какое определение следует дать не имеющему смысла
символу С,®, чтобы равенство с£ — С’п~к имело место н в
этом случае (принцип перманентности)?
Сочетания с повторениями.
52. 1) Составить сочетания с повторениями а) по 1 эле¬
менту, б) по 2, в) по 3 элемента из а, Ъ, с.
2) Составить сочетания с повторениями а) по 2, б) по 3, в)
по 4, г) по 5 из элементов о, Ь, с, d.
3) Составить сочетания с повторениями: а) по 1, б) по 2
в) по 3 из элементов ц, Ъ, с, d, е.
4) Определить число сочетаний с повторениями из п эле¬
ментов: а) по 1, б) по п.
5) Зная число сочетаний из п элементов по одному,
определить число сочетаний с повторениями по 2, б) зная
число сочетаний с повторениями по 2, определить число
сочетаний по 3, в) найдя выражение для числа сочетаний
с повторениями по 8, определить число подобных же соче¬
таний по 4.
6) Доказать следующую рекурсионную формулу:
п + к — 1 т
-fi-n = £ -Ин *
где Кк означает число сочетаний с повторениями из п эле¬
ментов по к.
— 15 -
7) Умножением результатов подстановки в данную ре¬
курсионную формулу вместо h чисел к, к - 1, к-2 и т. д.,
доказать формулу
7,-7: п(п + 1) (п -j- 2) . .
Ль £ - —
8) Показать, что ту же формулу можно написать так:
(п + к—1)!
'* — к!
9) Формулу, дающую выражение доказать методом
полной индукции.
Приложения.
53. Вычислить:
1J
С-
V- 1 у
2)
cl,
3) cl.
54. Вычислить:
1)
cl
2)
f, и-1
П !
, 3) A’"-2.
55. Вычислить:
1)
IQ,
2)
At
3) Kh.
56. Вычислить:
1)
I
2)
кГ
\ 3) Kn.
57. 1) Плоский треугольник, стороны которого а, о и е
и два угла аир, определяется тремя из этих элементов
(при чем не всегда получается одно решение). Сколько
можно составить различных задач на построение треуголь¬
ника по тем или иным из указанных элементов?
2) Сферический треугольник, элементы которого суть
а, Ь, с, a, р, Y, где а, Ъ и с суть стороны, а, р и Y — углы,
определяется тремя из них. Сколько можно составить раз¬
личных задач на решение такого треугольника?
3) В формулы, относящиеся к теории прогрессии с ко¬
нечным числом членов, входят пять величин: аг (и,), av
(и„)> п> г (й) и У,; тремя из этих величин прогрессия опре¬
деляется; сколько различных основных задач па прогрес¬
сию можно составить?
58. В азбуке для слепых для представления букв упо¬
требляются точки числом от 1 до 6, которые помещаются
в тех или других из 6 мест, указанных на прилагаемой
• • схеме. Сколько различных знаков можно составить
• « из: 1)1, 2) 2, 3) 3, 4) 4, 5) 5, G) 6 точек? Сколько
• о различных знаков можно составить в общем итоге?
— 16 —
§ 5. Смешанные задачи.
59. Десять лиц, которые ежедневно обедают и ужинают
в одной и тор! же столовой, просят содержателя подождать
с получением денег до тех пор, пока они не пересядут за
столом всеми возможными способами, если каждый день
за обедом они будут сидеть по-другому. Сколько лет при¬
шлось бы ждать содержателю столовой, еслибы он согла¬
сился на это предложение?
60. Сколько прямых можно провести через 1) 5, 2) 6,
3) п точек, из которых никакие три не лежат на одной
прямой?
61. Определить наибольшее возможное число точек пере¬
сечения: 1) 3, 2) 5, 3) я прямых.
62. Сколькими способами можно разделить 7 различных
карт между двумя лицами так, чтобы одно получило з карты,
а другое—4?
63. Сколькими способами можно разделить 9 карт между
3 лицами так, чтобы первое получило 2, второе—3, а третье
4 карты?
64. Сколькими способами можно: 1) разделить 6 карт
между тремя лицами так, чтобы каждое получило по
2 карты ? 2) разделить 12 карт между 4 лицами так, чтобы
каждое получило по 3 карты?
65. Сколькими способами можно разделить 32 карты
между четырьмя игроками так, чтобы каждый получил по
8 карт?
66. Сколькими способами можно разложить произведение
из 2„ сомножителей на я произведений, содержащих каждое
по 2 сомножителя?
67. Сколькими способами произведение из 2я сомножи¬
телей можно разложить на 2 произведения из я сомно¬
жителей каждое?
68. Сколькими способами можно произведение из Зя мно*
жителей представить в виде я произведений из трех сомно¬
жителей каждое?
69. Сколькими способами можно произведение из Зя мно¬
жителей представить в виде 3-х произведений по я сомно¬
жителей каждое?
70. ‘Сколько слов можно составить пз 20 соглас¬
ных и 8 гласных, если в каждое слово должно вхо¬
дить по 2 различных гласных и по 4 различных соглас¬
ных, и если гласные должны помещаться на 2-м и 5-м
местах?
71. Сколько односложных слов, состоящих из двух раз¬
личных согласных и помещенной между ними гласной,
можно составить из 20 согласных и 8 гласных?
72. 1) Сколько различных группировок неодинаковых
фигур возможно при одновременном бросании а) двумя
костями; б) тремя костями? При этом кости считаются раз¬
личными (одна пз них, напр., белая, другая красная, третья
синяя); кости имеют форму куба, на гранях которого име¬
ются фигуры в 1, 2, 3, 4, 5, 0 очков.
2) Сколько группировок одинаковых фигур возможно при
бросании двумя костями?
3) Сколько группировок, в которых совпадает, по край¬
ней мере, пара фигур, возможно при одновременном бросании
тремя костями?
4) Сколько вообще возможно группировок фигур при
одновременном бросании: а) двумя, б) тремя костями (при
сохранений условий предыдущей задачи)?
73. В прежнее время для сохранения приоритета на
изобретение или открытие составляли фразу, в которой
сообщалось о сделанном открытии, затем переставляли в
ней буквы таким образом, чтобы трудно было восстановить
ее смысл (анаграмма). Так, например, Рейта (Антон-Мотия
Ширлеус, 1597—1660) по поводу изобретения им четырех¬
линзовой трубы составил анаграмму «convexa quattor», и
придал ей формулу cqotunav-teuxoar. Сколько времени при¬
дется потратить на разгадывание анаграммы, если кто-нибудь
вздумает разгадать ее, составляя всевозможные переста¬
новки букв и, если в каждую минуту будет составлять
3 перестановки, а каждый день тратить на эту работу по
10 часов.
74. «Интернациональная сигнальная книга» состоит из
26 флажков. Сколько сигналов можно дать: 1) 2 раз¬
личными флажками, 2) 3 флажками, 3) 4 флажками;
а) если все флажки показывать одновременно, б) по¬
следовательно?
[Свк^ццец. сбчрни!. 1 ,11 задач. -I. III. 2
— 18 -
«
§ 6. Бином Ньютона для натурального показателя.
Вывод формулы бинома Ньютона.
75. Указать, члены скольких различных типов войдут в
произведения (в разложения в виде многочленов произведе¬
ний):
1) (а-\-Ъ).(а-\~Ь), 2) (а-\- I) (а + Ъ) (а-±Ъ)
и сколько раз встречается член каждого из типов.
76. Произведение
(а-\-Ь) (а-\-Ъ).. .(а -\-Ъ) (а-^-Ь),
состоящее из п сомножителей, преобразуется в многочлен
последовательным перемножением двучленов.
Определить число членов (до приведения) вида: 1) an~Jl,
2) ап~Ч3, 3) ап~Ч.
77. 1) Показать, что разложение (а-\-Ъ)п представляет
однородный многочлен, т.-е. сумма показателей при степе¬
нях а и Ъ у всех членов одинакова. 2) Составить ряд членов,
входящих в разложение бинома Ньютона, без их коэффици¬
ентов, начиная с ап, ап~лЪ и т. д.
78. Определить коэффициент, соответствующий члену:
1) ап~щ, 2) a3bn-sj 3) ап~':Ьк, 4) акЪп~к в разложении (a-f-b)".
79. Доказать справедливость следующего равенства при
натуральном значении показателя:
+ ... + nab'1-1 -|- ЬК.
Свойства коэффициентов разложения по биному Ньютона
(биномиальных коэффициентов).
80. Введем следующее обозначение для коэффициентов
разложения по биному Ньютона:
/«Л }цп—1)(н —2). ..(и —/.-+!) ✓
\к1 Id
1) Записать формулу бинома Ньютона (№ 99), пользуясь
этим обозначением. 2) Показать, что 3) Ка*
19
ким условиям должны удовлетворять числа п и 1; в равен¬
стве, определяющем биномиальный коэффициент (*£), чтобы
этот символ имел смысл?
81. Вычислить:
1)©•■
2) (а):
3) ©;
« О*
з) ©;
0) ©:
’> 0!
8> &
•» 0Й=
Ю) (Ч):
Ч) (У*
12) ft1))
13) (*);
И) «)>
13' й):
16) (У),
П) (1);
18) ©;
19) (”+');
20) (“7')
82. Из коэффициентов разложения бинома составить т. и.
треугольник Паскаля до п = 8:
1
1 1
12 1 «
13 3 1
83. На основании осевой симметрии треугольника Па¬
скаля указать необходимость существования равенства:
©=(»-*)
и доказать его: 1) сравнивая между собой дроби, выражаю¬
щие эти коэффициенты, 2) пользуясь соотношением
М- ,
U/ Щи — к).
3) пользуясь тем соображением, что (”) = £*'
84. Пользуясь только что выведенным свойством, (крат¬
чайшим способом) вычислить значения следующих биноми¬
альных коэффициентов:
1) (1);
2) ©)
з)
1) ©1
з) (1);
8) ©•:
7) ®‘);
8) (ш):
») (!i);
1») ©=
п) ©•■
12) ©;
18) (м — i);
14) ("И);
13) С + 1)!
I») G±I)
2*
— 20 —
85. Указать основания, в силу которых полезно ввести
определение:
86. Вывести значение символа = 1 на основании опре¬
деления
87. Составить выражение: 1) 7-го члена разложения
(а-{-У)10, 2) 2-го члена разложения (л-3) 8-го члена
разложения (/> -j- q)‘x.
88. Найти: 1) G-й и 10-й коэффициенты разложения 14-й
степени бинома, 2) 8-й и 18-й коэффициенты 20-й степени
бинома.
89. Определить коэффициент w-oro члена разложений:
1) (a-f ъу; 2) (я + 6)2"1; 3) (о4-Ь)®»-1.
90. Определить коэффициент при: 1) а4Ы>, 2) аЧ7 в разло¬
жении (о -j- Ъ)'\
91. Определить коэффициент при: 1) а10&5, 2) аЧ12 в
разложении (a-j-b)15.
92. Определить коэффициент при: 1) а7Ь3, аъЪ5, аЧs в раз¬
ложении (а + Ь)10; 2) при хъу6 и хйв разложении {х-\-у)п.
93. Какие члени разложения (ci-t-i)" имеют те же ко¬
эффициенты, что и 1) 5-й, 2) 7-й и 3) m-й член того же
разложения? Написать соответствующие члены.
94. Какие члены разложения 81-й степени бинома имеют
те же коэффициенты, как и 1) 7-й, 2) 12-й, 3) 27-й члены?
Указать их номера и вычислить эти коэффициенты.
95. Как выразится через Аа 10-й биномиальный коэффи¬
циент, если Аэ означает 9-й биномиальный коэффициент
разложения (a -ф ф"?
96. Определить наибольшие коэффициенты разложений:
1) («-Н)°, 2) (a + *013-
97. Определить наибольшие коэффициенты разложений:
1) (а + *07. 2) (a-f Ь)и, 3) (а+ 6)4
98. Доказать, что биномиальные коэффициенты, несмотря
на то, что они записываются в виде дробей, суть числа
целые.
99. Вывести формулу суммы всех коэффициентов бинома
и-ой степени: 1) положив в разложении (а+ 6)" а = Ь~ 1 или
2) из свойства треугольника Паскаля,
— 2i —
100. В разложении (я — I)" положить а — Ь — 1 и опре¬
делить значение суммы биномиальных коэффициентов: 1) сто¬
ящих н£ местах с четными номерами, 2) с нечетными номе¬
рами.
101. Пусть А есть сумма чисел сочетаний четных поряд¬
ков (с четным числом членов в сочетании), В—сумма чисел
сочетаний нечетных порядков из п элементов, включая и
«сочетания» из п элементов по о и по п. Чему тогда равно
А-УВ и А — В\
Примеры:
102. Разложить по формуле бинома Ньютона:
1) (х + о)6;
4) (г -f о5;
7) (я — ж)5;
10) (1+*)6;
13) (1 -f ху -f- (1 — ж)7;
15) (1+ж)8-{-(1—ж)8;
17) (1 + *)' — (1 — яг)в;
19) (1+ж)8—(1 —ж)8;
21) (я-{-&)"-{-(я — &)";
3) +
6) (м-{-«09;
9) (х— я)6;
12) (1- О8;
14) (*+1)7 +(я:—I)7;
16) (ж + 1)8 + 0г—I)8;
18) (tf-fl)9 — (х— I)9;
20) (ж + 1)10— (х— 1)1°;
22) (о -f Ь)п — (я — by.
2) (у-УЪ,»‘,
5) (* + УК
8) (t-\-x)"]
11) (J —ж)7;
Доказательство формулы бинома методом полной
индукции.
103. Так как (я + Ь)1 = (я -]- Ьу. (а Ь), то формула бинома
7-й степени может быть выведена из формулы бинома 6-й
степени умножением всех членов последнего разложения
сперва на я, а затем на Ъ и приведением подобных членов
этих произведений. 1) Как составляется при этом 3-й коэф¬
фициент разложения (а-\-Ъу из двух коэффициентов разло¬
жения (я -f- by и каких именно? Из каких двух коэффициен¬
тов разложения (a-j-б)6 составляется: 1) 4-й коэффициент
разложения (я+Ь)7! 2) 5-й, 3) предпоследний, 4) второй;
как составляется 5) последний, 6) первый коэффициент того
же разложения ?
104. Составить: 1) 4-й, 2) 6-й, 3) 9-й коэффициент раз¬
ложения (a-j-fe)12 из двух коэффициентов разложения
(я+ 6)».
— 22 —
105. Показать, пользуясь треугольником Паскаля, закон со¬
ставления любого биномиального коэффициента из двух коэф¬
фициентов разложения бинома степени на единицу низшей.
106. Доказать формулу:
1) записав эти символы в виде дробен, 2) принимая во
внимание формулу задачи 50,2.
107. Доказать формулу бинома методом полной индукции,
воспользовавшись равенством предыдущей задачи.
Задачи.
108. Разложить по формуле бинома и, если возможно,
упростить:
II (х — 2уУ\ 2) (з-с + >/У\ 3) (2x-\-3yf;
4) (1 + 5) (1 — х*)-; 6) (1 + *8)8;
7) ф + 2)8; 8) (\х - зу)с; о). (.V* - з3)п;
10) (5 — 2tf; 11) (* - !*)■; 12) (|* + 1У)*;
13) (aj+ i)'; ill (f - 1)г; 15> [ri)‘:
16) 0'a + /~b)6-H/a — /6)8; 17) (1_^/а;)7_(1_1/
109. Вычислить (с 3 или 4 десятичными знаками), поль¬
зуясь формулой бинома Ньютона, значения следующих
выражений:
1) 1,110; 2) 1,02го; 3) 1,00522; 4) 1.000727'
5) 0,9°; 6) 0,9813; 7) 0.99724; 8) 0,999530; *
9) Ш,0> Ю) В”: Ш (I)13.’ 12>
13) (Т> 14) 15) (|Ц)8; 15) (ШУ.
110. При введении коэффициента кубического расширения
полагают
(14-аОя=1 + 3<й,
где а есть коэффициент линейного расширения. *
Определить допускаемую при этом ошибку при i=io°
п среднем линейном коэффициенте расширения: 1) же¬
леза, а = 0,000012, 2) алюминия, а =0,000023, 3) цинка,
а = 0,000029.
Общий член разложения бинома.
111. Обозначая через Г,.+ , к -j- l-ый член разложения
(а -|- Ь)п по формуле Ньютона, написать его выражение при
1) А = 0; 2) й=1; 3) /; = 2; 4) к = п — 1; 5) к = п.
112. 1) Составить выражение Uk+2, заменяя в формуле
предыдущей задачи к через Zi-j-l. 2) Найти отношение
3) Написать выражение U,.+ 2 через Г*+
Uk + I
113. 1) В разложении + найти член, не содержа¬
щий а.
2) Найти рациональные члены разложения ((/з + р^2)5
(если такие существуют).
3) Выписать рациональные члены разложения (]/‘2 Кз)11
и найти их сумму.
4) Найти такой член разложения -М' > который
содержит а в первой степени.
114.1) При каком значепии п гс10 в разложении (а I +
содержит аи?
2) В разложении (ух—
жащий х.
3) Найти такой член разложения у5)5, который со¬
держит у в 9-ой степени.
4) При каком значении п щ в разложении (\Га-\-\га?)п
содержит я16?
115. 1) Отношение коэффициента и. к коэффициенту v3
разложения (У а — l -Y а1)" равно 2^. Найти третий член
этого разложения.
2) Коэффициент четвертого члена разложения
(/a2 + a+i+ j/a _ ijn равен 4. Найти третий член раз¬
ложения?
\f х)
8
найти член, не содер-
ВТОРАЯ ГЛАВА.
Приложения теории соединений и Фор¬
мулы Ньютона.
§ 7. Вычисление сложных процентов.
116. 1) Объяснить смысл выражения: «Капитал отдай из
4°/0? JI3 51/2%? из р°/0?»
2) Сколько процентных денег принесут в год а рублей,
отданные по /;%?
3) До какого размера возрастет в течение года капитал
а рублей, отданный по j«°/0? На какой множитель следует
умножить капитал, чтобы в произведении получить ту
сумму, до которой он возрастет в течение года?
Множитель 1 -j- j5o называется коэффициентом роста
(наращения), (наращенным рублем) и обозначается
1+йб = «-
117. 1) Чему равен коэффициент роста, если р равно:
а) 4, б) 5, в) 3,6, г) 5,5, д) 4®, е) ъ\, ж) 4|-.
2) Чему равна такса р/0, если коэффициент роста равен:
а) 1,05, б) 1,04, в) 1,036, г) 1.0475, д) 1^, е) 1*. Ж) I?
118. Доказать, что капитал, отданный по р°/0°/0 (сложных
процентов) в течение п лет возрастет до
b = an = ttqn 1), где «2 = 1 + /0'0.
119. Составить таблицу множителей наращения при p—'i
для значений и от 1 до 10 с точностью до 0,0001 (пользуясь
приемами сокращенного умножения).
120. Составить выражения множителей наращения с точ¬
ностью до 0,00001, разлагая (l -j- щ)" по формуле Ньютона
и отбрасывал в разложении члены, которые меньше 0,000001.
' ' I
1) <?» называется множителем наращения.
— 25 —
1) 1,044; 2) 1,035; 3) 1,054; 4) 1,038;
5) 1,035е; 6) 1,03333.. .5; 7) 1,0(45)7; 8) 1,04666...10;
9) 1,0415; 10) 1,05го.
121. Вычислить те же множители наращения, пользуясь
таблицами логарифмов (для большей точности вычисления
воспользоваться семизначными таблицами (стр. 134).
122. На основании формулы задачи 98 1) выразить а
через ап и и г/, 2) q через ап, а и п, 3) п через ап, а и q.
123. В какую сумму обратится капитал в 100 руб.,
отданный на сложные %% через 1, 2, 3, 4... Ю лет, если
процентная такса равна: 1) 3°/0, 2) 31/2°/oi 3) 4%?
124. Вычертить графику возрастания наращенного капи¬
тала для значений предыдущей задачи, выбирая соответ¬
ственный масштаб и целесообразно выбранную систему
координат, напр., перемещая ось абсцисс на 100 единиц
кверху.
Примеры.
125. Капитал в 1500 руб. отдан по 4%. В какую сумму
он обратится через 30 лет, если считать проценты на про¬
центы?
126. В какую сумму обращается капитал в 3750 р.,
отданный на 20 лет по 5%?
127. Вычислить наращенный капитал в следующих
задачах:
а
Р
а
Р
п
1)
2500
•*>«
СО
20
2)
100
4,2
18
3)
10000
41-
15
4)
350
3,6
25
5)
6450
4
12
6)
20000
4,5
19
Ъ
95624
3^
11
8)
785 р. 96 К.
4
20
128. В каком случае иаращенпый капитал окажется
больше,—если отдать его на 10 лет из 4% сложных, или
на 4 года из 10% сложных?
129. В какую сумму обратится капитал в 25300 руб.
через Ю лет. по сложным процентам если проценты будут
— 26 —
присчитываться к капиталу по полугодиям, и если такса
равна 272°,'о в полугодие?
130. Как велик прирост капитала в 1000 рублей, от¬
данного в рост на Ю лет 1) по 6% годовых, 2) по 30/0 полу¬
годовых, 3) по 172% в четверть года; 4) по 72% в месяц,
если % присчитываются к капиталу: 1) через год, 2) че¬
рез полгода, 3) по четвертям, 4) ежемесячно?
131. Какой вид примет формула наращенного капитала,
если предположить, что капитал отдан по р сложных %%
на п лет и к месяцев, 1) если проценты присчитываются по
истечении каждого года, а в последний раз по истечении
к месяцев, 2) если проценты присчитываются по истечении
каждого месяца?
132. Какой вид примет формула наращенного капитала,
отданного на я лет и t дней, если предположить, что про¬
центы присчитываются по истечении каждого дня, и если
в году считать 360 дней?
133. Какой вид примет формула наращенного капитала,
если положить, что капитал лежит в банке 1 год, а
проценты присчитываются через каждую ^ долю года?
Преобразовать полученную формулу, принимая щ = г, и
V 1
—=—. К какому пределу стремится при неограниченном
возрастании п (непрерывном росте) выражение наращенного
капитала, если предел ^1 при п неограниченно воз¬
растающем равен числу е — 2,718281828459045... (е есть так
наз. основание Неперовых логарифмов — число ирраци¬
ональное)?
134. По обязательству следует уплатить через 5 лет сумму
в 1000 рублей. Сколько должно заплатить, если сейчас
же ликвидировать это обязательство и если заем сделан из
4s'0
* и .(И
135. Придать иную форму предшествующей задаче, поль¬
зуясь понятием о дисконте (учете). Обобщить результат,
называя дробь коэффициентом учета. N
136. Учесть на настоящий момент сумму в 13000 руб¬
лей, которая должна быть уплачена через 10 лет с учетом
по 5%.
— 27 —
137. Решить следующие задачи на дисконт (Ь—дискон¬
тируемый капитал):
6
V
»
*
п
1)
10000
-
5,5
12
2)
25000
4,75
5
3)
18750
5,23
4
4)
6200
3,6
16
5)
5600
6
2
6)
7500
5,2
9
138. Какой капитал, будучи отдан по 4%, через 22 года
обратится в 17000 руб.?
139. Какой капитал, будучи отдан по 4’/2%) обратится
через зо лет в зоооо руб.?
140. Какой капитал, будучи отдан по 41/2%, в 10 лет
обратится в ту же сумму, в какую обращаются 8549 руб
через 7 лет при процентной таксе в 5%?
141. Вычислить основной капитал в следующих задачах:
а»
р
11
•
(in
Р
п
1)
10727
р-
о
10
3)
303 р. 24 К.
5
19
2)
16265
р-
31
18
4)
29038 р.
5-
10
142. По скольку °/0 следует отдать капитал, чтобы он
утроился через 20 лет?
143. По скольку °/0 следует отдать капитал, чтобы он
через 30 лет увеличился в 5 раз?
144. Вычислить р в следующих задачах:
I Он | а
п
С1ц
а
п
1)
|
60443 p. j 10000
12
3)
38783.5 р.
25000 р.
9
2)
48381 р. | 36000
I
10
4)
5926,7 р.
. 5368 р.
5
145. В какой срок 8007 рублей при 4=°/0 обратятся в
21217,6 рублей?
146. В какое время удваивается капитал при трех¬
процентной таксе?
— гб¬
ит. Найти п, если
1 а
Ъ = ап
V
а
Ь=ап
1)
16400
30665
ч
2)
9560
31000
4
3)
25000
58914
3
4)
22500
59699
5
5)
9600
33607
ч
6)
6000
24623,5
4
148. Во сколько времени капитал, отданный: 1) по 3°/0
удвоится, 2) по 21/2% утроится, 3) по З1/^ увеличится в
в1/, раза.
Смешанные задачи.
149. 1) Во сколько раз увеличится капитал, отданный
а) на 100 лет по 2%, б) на 24 года по 31%. в) на 25 лет
по 4%?
2) В уставе сберегательной кассы, платящей 3,6°/0, имеется
параграф, что сумма, записанная на кпижку, может быть
переписана до истечения года в другую книжку вместе с
процентными деньгами за время обращения этой суммы
(без потери процентных денег). Человек, положивший в
сберегательную кассу 900 рублей, чтобы увеличить свой
доход, придумал такой маневр: по истечении полугода он
переменил книжку. Насколько больше он получит °;'0 денег
в этом случае по сравнению с тою прибылью, которую он
получил бы, если бы не менял книжки? Сколько бы оп
нажил лишнего, если бы проделывал этот маневр по исте¬
чении каждого месяца?
3) Сколько % прибыли принесет в год капитал, если в
конце каждого -месяца к нему присчитывается '%?
4) Л дает В 25 марок на 2 года с процентами и про¬
центами на проценты. Через 2 года В возвращает, кроме,
долга, еще 24 марки. По скольку % был сделан заем? (Из
задачника Видмана 1489 года).
5) Кредитное учреждение Л предлагает принять во вклад
300000 руб. наличными. Учреждение В предлагает 348000 р.
с уплатой через три года. С предлагает 364500 р. с уплатой
через 4 года. Какое из них предлагало более выгодные усло-
. вия, если произвести расчет из 5% сложных, и на сколько
— 29 —
А предлагало больше других? (Для решения вопроса учесть
платежи В и С ко дню покупки.)
6) В Госбанк внесен стипендиальный капитал в 7500 р.
с условием, чтобы выдача стипендий из °/0°/0 на капитал
начата была с того времени, когда завещанная сумма воз¬
растет до 10000 рублей при 4 сложных °*0. Когда окажется
возможным начать выдачу стипендий?
7) В городе 20000 жителей; сколько человек будет в этом
городе через 30 лет, если народонаселение этого города
возрастает ежегодно на 21/4%?
8) Народонаселение некоторого города, увеличиваясь
ежегодно на 3%, возросло в настоящее время до 155093
человек. Сколько жителей было в этом городе 25 лет тому
назад?
9) В кредитное учреждение следует внести 62500 руб. на
приращение сложными процентами по 5°/0 до тех пор, пока
образуется сумма, дающая ежегодно при 5°/0 не менее 7525 р.
процентных денег. Сколько лет должен оставаться непри¬
косновенным внесенный капитал?
150. 1) Во что обратится капитал а рублей, отданный в
рост по р сложных % в п лет, если в конце каждого года
прибавлять к капиталу или брать из него одну и ту же
сумму в г рублей. Накопленный капитал выражается сле¬
дующей формулой:
Л п 1 Чп 1
AH = agnzЫ*——,»
где у = 1 Вывести эту формулу
2) а) Выразить а, как функцию Ап, и, q, г,
б) » и » а, Ап, q, г,
В) » г » » а, Ап, и, q.
г) Почему, вообще говоря, является невозможным
определить q (и /О?
3) Во что обратится капитал в 100 рублей через 1, 2, 3,
4 года, отданный по 1) 3%» 2) S1/2Q/0, 3) 4%. если в конце
каждого года прибавлять по 1) 8 р., 2) 10 р., 3) 9 р.? Дать
графику роста капитала в подходящем масштабе.
— 30 —
4) К капиталу в 1000 руб., отданному в рост по 5%, в
конце каждого года прибавляют по 100 рублей. Какая сумма
получится через 10 лет?
5) Во что обратится через 20 лет капитал в4500 руб.,если
его в конце каждого года увеличивать на 150 р.', при 4|%?
€) Во что обратится капитал в 10000 руб., отданный в
рост по 5]% через 8 лет, если его в конце каждого года
увеличивать на 300 руб?
7) Какой долг от займа в 40000 руб., сделанного по 5°/0
останется через 10 лет, если ежегодно вносится на уплату
%% и погашение 5000 руб.?
8) Заем в 4000 руб. сделан по 4£%. Как велик будет
остаток этого долга через 8 лет, если ежегодно уплачивать
по 500 руб.?
9) Капитал в 8000 руб. внесен по 5>-%. Через сколько'
лет получится капитал не менее 50000 руб., если в конце
каждого года вносить еще по 400 руб.?
10) Арендатор ежегодно не доплачивает 300 руб. Как
велик будет его долг через 7 лет, если на недоплаченные
суммы насчитывается 4’%?
11) Из капитала в 50000 руб., помещенного по 4°/0, в те¬
чение 6 лет выдавалось ежегодно по 3000 руб. пяти учре¬
ждениям, после чего оставшаяся сумма была разделена
поровну между всеми .учреждениями. Сколько получило
каждое?
12. DTeu при рождении сына положил в сберегательную
кассу, платящую 3,0%, 200 р. и намерен в конце каждого
года вносить определенную сумму, чтобы накопить для
сына, когда последнему исполнится 21 год, 3000 руб.
а) Сколько должен отец вносить ежегодно?
6) На сколько меньше пришлось бы ему платить, если
бы касса давала 4%?
13) Заем в 3000 р., сделанный из 5%, уплачивается
ежегодными взносами по 100 руб. 1) Сколько долга оста¬
нется через 10 лет? 2) Как изменится результат, если заем
будет сделан из 3%?
151. 1) Чему следует принять равным Ап в формуле
= nq“^zi‘
n 1
ol ‘
если предположить, что ежегодные выдачи по г рублей в
конце каждого года исчерпают весь капитал в течение
и лет?
2) Выразить при указанном предположении г, а и п как
функции остальных величин.
3) Какую сумму можно проживать ежегодно, чтобы капи¬
тала в 30000 руб. хватило на 20 лет (р = 4)?
4) Капитал в 50000 руб. положен в банк по 4г%. На
сколько времени хватит этого капитала, если ежегодно рас¬
ходовать по 4000 руб.?
5) Через сколько лет будет израсходован капитал в
16000 руб., приносящий 4%, если в конце каждого года
брать по 1000 руб.?
61 Нужно уплатить долг в 50000 руб., сделанный по 4%.
Ежегодно уплачивается вместе с процентными деньгами по
10000 руб. в год. Через сколько лет долг будет уплачен и
сколько придется уплатить в последний год?
7) В течение 8 лет следует уплатить долг в 20000 руб.,
взятый по 41/2°/о- По скольку рублей надо уплачивать еже¬
годно?
8) Сколько следует уплачивать ежегодно, чтобы в течение
6 лет покрыть долг в 10000 руб. вместе с процентными
деньгами из 5%?
9) Заем в 250000 руб., сделанный из 31%, должен быть
исчерпан в 25 лет. а) Как велика ежегодная уплата?
б) Сколько долга останется через 12 лет? в) В какое время
заем уменьшится вдвое? г) Когда останется уплатить лишь
пятую долю займа?
10) а) Как велика ежегодная уплата займа в 1000000 р.,
заключенного по 3%, если долг должен быть погашен в 40
лет? б) Как должна быть изменена ежегодная уплата, если
в 20 лет должна быть уплачена половина всего займа?
в) Как изменится уплата, если в 40 лет должны быть
уплачены три четверти такого- же займа, заключенного
по 4%?
152. 1) Во что обратится капитал а, отданный в рост по
р% через п лет, если в конце каждого года процентные
деньги причисляются к капиталу и, кроме того, в начале
каждого года (начиная со второго) вносится или берется
— 32 —
некоторая постоянная сумма »\ Вывести формулу для этого
случая:
А'п=aq” ± г
а) из формулы Ап = аоп Ч- г , б) независимо от этой
формулы.
2) Если вносить некоторую сумму г в начале каждого
года (считая и первый), то накопленный капитал выразится
формулой (сберегательных касс)
Вывести эту формулу из предыдущей.
3) а) А вносит в начале каждого года, В — в конце года
по г рублей, оба в течение п лет по одинаковым процен¬
там. На сколько А накопил больше В в течение п лет?
б) Пример: а = 100, р = 4, п = 20. в) В каком отношении
увеличится разница в сбережениях, если взносы увеличить
в два раза (вообще в к раз). (Последний вопрос решить, не
вычисляя).
4) Сколько следует вносить а) в начале каждого года,
б) в конце каждого года, чтобы через 25 лет накопить
капитал в 25000 рублей {р — 4)?
5) Гражданин застраховал свою жизнь в возрасте 30 лет
в 40000 р. и с этой целью вносил в банк в начале каждого
года по 900 руб.; 56 лет он умер. Сколько прибыли или
сколько убытку получит банк, если расчет ведется из 4%?
6) Решить предыдущую задачу при следующих данных:
страхователь в возрасте 32 лет застраховал свою жизнь в
10000 руб.; ежегодная премия равна 400 руб.; страхователь
умер 49 лет, банк платит 4’°0.
7) Внесено в банк, платящий 4%, 5000 руб.; в начале
каждого года (начиная со 2-го) вносилось еще по 500 руб.
Сколько накопится по истечении 15 лет?
8) Решить ту же задачу при следующих условиях:
а) 10000 руб., 31%, 300 руб., 12 лет; б) 3000 руб., 31%,
400 руб., 20 лет.
9) Чем следует заменить q и п в задачах 150 1), 151
1), 152 1) и 2), если начисление процентов и взносы про-
— 33 —
изводятся не ежегодно, а а) по полугодиям, б) каждые з
месяца, в) каждый месяц?
10) Если проценты начисляются ежегодно, а взносы
производятся: а) по полугодиям, б) по четвертям, в) по¬
месячно, то q приходится заменить через a) q*, б)ql, в) ql?
и и через а) 2п, б) 4и, в) 12и. Объяснить, почему это так?
11) Указать, как изменятся выведенные формулы, если
проценты Начисляются ежегодно, а взносы производятся
через каждые 2, З...Л лет.
12) В банк положено 200000 руб. из 4%i при чем %°/
начисляются по полугодиям. Каждое полугодие тратится
из внесенной суммы по 5000 руб. (при чем в первый раз взяты
деньги через шесть месяцев после того, как капитал был
внесен в банк). Сколько денег останется через 20 лет?
§ 8. Элементы теории вероятностей.
Определение вероятности.
153. Математическая вероятность осуществления некото¬
рого события определяется равенством:
где т есть число благоприятных статочностей, а п—число
всех возможных статочностей. Выразить определение ве¬
роятности словами: 1) Какое значение принимает w, если
событие достоверно? 2) Какое значение получает w, если
событие невозможно? 3) Как велико ?<■, если осуществление
события столь же вероятно, как и его неосуществление?
154. Показать, что в силу произвольного, хотя и весьма
целесообразного, определения математической вероятности
значения ее заключены между 0 и 1.
Коли бы определение вероятности было дано в иной
форме, напр., «■ = где ш есть число благоприятных,
а т' — число неблагоприятных статочностей, то какое зна¬
чение имела бы вероятность: 1) в случае достоверности
события, 2) невозможности события, 3) в случае, если осу¬
ществление события столь же вероятно, как и его неосу¬
ществление?
Сокращен соорннк упра:кн. о задач. Ч. 1LI. 3
— 34 —
155. 1) Как велика математическая вероятность w' того,
что событие не осуществится, если w есть число статочностей,
благоприятствующих осуществлению события, а и—число
всех возможных статочностей? 2) Доказать справедливость
равенства w u>'= 1.
156. Как изменяется значение вероятности: 1) с увели¬
чением числа благоприятных статочностей, 2) с уменьше¬
нием числа возможных статочностей (при сохранении числа
благоприятных статочностей), 3) с увеличением числа воз¬
можных статочностей, 4) с увеличением числа неблаго¬
приятных статочностей, 5) с уменьшением числа неблаго¬
приятных статочностей?
Простейшие примеры.
157. Как велика вероятность того, что при бросании мо¬
неты выпадает орел?
158. Как велика вероятность того, что при бросании одной
кости (в виде куба с №№ на гранях 1, 2, 3, 4, 5, G) выпа¬
дает: 1) 6, 2) з или 4, 3) ни 3, ни 4?
159. В ящике лежит 4 красных, 8 черных и 12 белых
шаров. Как велика вероятность вынуть по первому разу:
1) красный шар, 2) белый шар. 3) пли белый, или черный,
4) не черный?
160. Как велика вероятность при одновременном бросании
двух костей выкинуть: 1) две четверки, 2) одну из пар: 1,1;
ИЛИ 2, 2; ИЛИ 3, 3, И Т. Д. 3) 4 И 5, 4) 1 II 6.
161. 1) Исследовать, как велика вероятность, при броса¬
нии двумя костями, выбросить сразу сумму очков в 2, з, 4,...
и т. д. до 12. 2) Представить значение графически, прини¬
мая значение суммы очков за абсциссу, а значение вероят¬
ности за ординату (масштаб ординаты взять крупнее мас¬
штаба абсциссы). 3) Выяснить симметричность полученной
графики.
162. 1) Исследовать вероятность того, что при одном
бросании трех костей, сумма очков окажется равной 3, 4,...
и т. д. до 18; воспользоваться при этом симметричностью
результатов. 2) Вычертить графику .значений.
163. Монету бросают два раза под ряд. Как велика веро¬
ятность, что 1) один и только один раз выпадет орел, 2) по
крайней мере, один раз выпадет орел, 3) два раза выпа¬
дет орел?
164. Кость бросают два раза под ряд. Как велика веро¬
ятность того, что выпадет: 1) один раз и только один,
2) по крайней мере, один раз, 3) оба раза по 6.
Опытная проверка результатов, даваемых теорией
вероятностей.
165. Следующая таблица дает результаты, полученные
Р. Вольфом при 20000-кратном бросании пары игральных
костей, красной и белой.
красная.
1
2 j 3
4
5
6
1
541
587
500
462
621
690
2
609
655
497
535
651
684
3
514
540
468
438
5S7
629
•
4
462
507
414
413
509
611
5
551
1
562 | 499
1
506 j 658
672
6
563
598
519
487
609
646
Седая.
1) Составить подобную таблицу на основании теоретического
расчета. 2) Составить таблицу отклонений. 3) Отметить тс
комбинации, которые отклоняются в ту или другую сторону
от ожидаемого числа; выделить те случаи, в которых откло¬
нение больше 50, а среди них выделить те, в которых
отклонение более 100. 4) Какая комбинация очков встре¬
чается всего чаще и какая всего реже при этих «плохих» J)
костях?
*) Плохими костями называются те, у которых центр тяжести рас¬
положен не в точке пересечения ее диагоналей, т.-е. в том случае, если
костя не однородны.
3*
— 30 —
166. О. Мейенер сделал 1800 бросаний с костями из рога
и получил следующие результаты:
1 2 3 4 5.6
299 295 303 307 289 307.
Составить таблицу отклонений, получаемых сравнительно
с числами, даваемыми теорией вероятности.
167. При только что указанных 1800 бросаниях полу¬
чено: 293 случая появления одного и того же числа два
раза под ряд, 50 случаев появления одного и того же числа
три раза под ряд, о случаев появления одного и того же
числа 4 раза под ряд. Как велики отклонения от вычи¬
сленных вероятностей?
Сложение и умножение вероятностей.
168. Показать, что если при наличности определенных
условий вероятность осуществления некоторого события есть
wlt вероятность осуществления некоторого другого—ге2, то
вероятность осуществления либо того, либо другого собы¬
тия iv выражается суммой:
tv = и\ + IV...
Доказательство основывается на установленном выше опре¬
делении вероятности.
169. Как велика вероятность бросить одной костью:
1) 1 или 3 очка, 2) 1, или 3, или 6 очков?
170. Как велика вероятность вынуть из урны с 7 белыми,
3 красными и 5 черными шарами: 1) один белый или один
красный, 2) один белый или один черный, з) один красный
пли один черный?
171. Выразить словами закон, записанный равенством:
«• = + »г„ + гг3 + ... + №..
172- Показать, что при сложении отдельных вероятно¬
стей сумма всегда 1. В каком случае сумма = 1?
173. Пусть вероятность осуществления одного события,
есть вероятность осуществления другого события, неза¬
висящего от первого, есть tv2. Доказать на основании опре¬
деления вероятности, что
№ =
— 37 —
где »• есть вероятность осуществления как первого, так
и второго события. •
174. Выразить словами законы, записанные в виде сле¬
дующих равенств:
1) U' = 1Г1 . ю2. . . №„, 2) И» =
175. Как велика вероятность бросить одной костью под
ряд: 1) сперва 1, а затем 5; 2) сперва 5, и затем опять 5;
3) сперва четное, а затем нечетное число?
176. Как велика вероятность вынуть из урны с 7 белыми,
3 красными и 5 черными шарами: 1) сперва красный, затем
черный; 2) сперва черный, затем красный; 3) сперва белый,
затем черный; 4) сперва белый и затем опять белый? В
каждом случае вынутый шар кладется обратно в урну.
177. Как велика вероятность вынуть из урны с 10 белыми,
6 красными и 4 черными шарами: 1) сперва один красный
затем один черный, 2) сперва один черный, затем один
красный, з) сперва один белый, затем один черный, 4) сперва
белый, а затем опять один белый? Во всех случаях шары
обратно в урну не кладутся.
178. Стрелок попадает в цель из 10 выстрелов 9 раз. Как
велика вероятность, что он попадает 10 раз под ряд?
179. Чтобы отличить те случаи, в которых вероятности
следует сложить, от тех, в которых вероятности следует умно¬
жить, можно руководствоваться следующим правилом: если
события осуществляются «как» (одно), «так и» (другое), то
следует вероятности умножить; если же события осуще¬
ствляются «либо» (одно), «либо» (другое), то вероятности
следует сложить. Пояснить это правило примерами из за¬
дач 149 — 158.
Смешанные задачи.
180. Как велика вероятность, при одновременном бро¬
сании тремя костями: 1) выбросить три различных фигуры,
2) выбросить три последовательные фигуры?
181. Монету бросают три раза. Как велика вероятность,
что вскроется орел: 1) один и только один раз, 2) по край¬
ней мере, один раз, 3) три раза, 4) по крайней мере, два
раза?
— 38 —
182. По расчету д’Аламбера, вероятность того, что при
• двукратном бросании монеты, по крайней мере, два раза
"появится орел, равна при этом он различает три следую¬
щих возможных случая: 1) при первом бросании орел, 2) при
первом бросании решка, при втором орел, з) при первом и
при втором бросании решка. Найти ошибку в заключении
и сравнить верное значение вероятности с значением, полу¬
ченным д’Аламбером (см. зад. 163).
183. Монету бросают п раз. Как велика вероятность того,
что 1) каждый раз будет вскрываться орел, 2) орел вскроется
только один раз, 3) орел вскроется, по крайней мере, только
один раз?
184. В урне находится 12 белых и 8 черных шаров;
какова вероятность того, что при одновременном вынима¬
нии двух шаров вынутся: 1) один белый и один черный,
2) два белых, 3) два черных? 4) Как велика вероятность
при одновременном вынимании 5 шаров, вынуть 3 белых
и 2 черных?
185. В урне находится 18 белых, 12 черных и 6 красных
шаров. Как велнка вероятность при одновременном выну-
тип 3 шаров вынуть: 1) только белые, 2) только черные,
3) три шара различной окраски.
186. А спорит с В на 10 копеек, что при бросании один
раз двумя костями выпадет или 5, или 6, или 7 очков.
Как велик риск В?
187. А спорит с В, что при одновременном бросании
двух кубиков не выпадет ни 2, ни 3, ни 4, ни м, ни lit
ни 12. У кого есть надежда выиграть пари?
ОТДЕЛ ВТОРОЙ.
ТРЕТЬЯ ГЛАВА.
Тригонометрические Функции.
§ 1, Синус и косинус дуги и угла.
188. Угол в а0 получается вращением луча, выходящего
из данной точки (вершины угла). Какой путь описывает
точка этого луча, находящаяся от вершины на расстоянии В?
на расстоянии 1?
189. 1) Выразить в радиальной мере (т.-е. найти Отношение
соответствующей дуги к радиусу круга) следующие дуги
(углы):
а) 360°; б) 180°; в) 270°; г) 90°;
Д) 45°; е) 60°; 3 0= , 3)10°;
И) — 45°; i) 1°; 60: Л) 540°;
м) а°; и) «.360°; о) п) и.90°.
2) Выразить в градусах дугу по ее выражению в радиаль¬
ной мере:
а) тт;
б)^;
в) — 2гг;
г)-^;
\ 11
д)-4;
л Згс
е) "4-;
ж) р
8)-v
и) 1;
0 2;
К) 0,1;
л) Ю;
/
м) s;
н) из;
0) пр
п) 2игс.
190. Написать уравнение окружности с центром в начале
координат и радпусом=1. Приняв за начало счета дуг
— 40 —
точку пересечения окружности с положительным направле¬
нием оси х и выбрав за положительное направление дуг
направление против часовой стрелки, найти абциссу и
ординату точки окружности, соответствующей дуге в:
1) 30°; 2) 60°; 3) 45°; 4) 0°; 5) 90°;
6) 150°; - 7) 120°: 8) 135°; 9) 180°; 10) 215°;
И) 270°; 12) —60°; 13) 360°; 14) 390°; 15) 480°;
В каждом случае выразить дугу в радиальной мере.
191. Ордината и абсцисса точки окружности радиуса
если их рассматривать, как функции дуги я этой окружности,
называются тригонометрическими функциями, при чем орди¬
ната точки окружности называется синусом я, и обозначается
sin я, а абсцисса называется косинусом я и обозначается
cos я. Каким соотношением связаны синус и косинус одной
и той же дуги 1на основании уравнения окружности)?
Примечание. Так как центральный угол содержит всегда столько угло¬
вых единиц, сколько его дуга соответствующих дуговых единиц, то я (отно¬
шение дуги к радиусу, равное прн окружности радиуса у ч к ело лому
значению дливы дуги) можно принять и за число угловых единиц в
центральном) угле, соответствующем этой дуге (в этом случае за угловую
единицу привпмается центральный угол, дуга которого равна радиусу).
В дальнейшем мы будем обозначать дугу через я, когда она должва быть
выражена в радиальной мере, и через у, когда за единицу измерения при¬
нят градус или же когда будет безразлично, в каких единицах измерена
дуга или соответствующий ей угол.
192. Как располагаются на окружности точки, соответ¬
ствующие дугам, s. s -f- 2тг, я 4тг,... s—2~, я— 4тт,.., я -j- 2кп
[(с, со -f- 360°, а -{- 720°...(о -f-£360°] (при любом целом отно¬
сительном значении А-)? Что можно поэтому сказать про
значение синуса и косинуса для указанных значений дуги?
Почему синус и косинус называются периодическими функ¬
циями дуги? Чему равен период sin я и cos я?
193. 1) На основании зависимости между координатами
точек окружности, симметричных относительно оси у, найти
выражение sin (тг — я) и cos (тт — я) через sin я и cos я [sin
(180°—<р) и cos (180° — а) через sin ср и cos а].
194. На основании зависимости между координатами то¬
чек окружности, симметричных относительно оси х, найти
— 41 —
выражение sin (—s) и cos (— s) через sin s и cos s [sin (— w)
и cos (— <f) через sin <p и cos <p].
195. На основании зависимости между координатами то¬
чек окружности, симметричных относительно начала, выра¬
зить sin <тт-[— s) и cos (n-)-s) через sins и cos s [sin (180°-J-а)
и cos (180°+ щ) через sin ш и cos и].
196. На основании зависимости между координатами то¬
чек окружности, симметричных относительно биссектрисы
нормального угла, выразить sin (~ — sj и cos ^ — sj через
sin я и cos s, [sin (90° — о) и cos (90°—■&) через sin а и cos <р].
197. В каких пределах достаточно (на основании резуль¬
татов задач 172—176) знать значение sin s и cos s, чтобы
иметь возможность вычислить sin s и cos я для любого зна¬
чения s?
198. Взять окружность произвольного радиуса В, в какой-
либо точке провести касательную к ней. Через точку каса¬
ния провести диаметр. Из центра окружности провести луч
под углом в 30° к диаметру, от точки пересечения луча
с касательной отложить по ней в направлении к точке
касания отрезок, равный 3 В. Конец полученного отрезка
соединить с другим концом диаметра, а) Вычислить, как
функцию радиуса, длину полученного отрезка, придав окон¬
чательному результату вид КВ, где Ъ есть некоторый коэф¬
фициент. б) Вычислить значение этого коэффициента с
точностью до, 0,1; до 0,01; и до 0,001. Сравнить значения,
полученные для коэффициента с приближенными значе¬
ниями и числа п. Каков геометрический смысл найденного
отрезка, в) Какоьа будет величина погрешности, если выпол¬
нить вышеуказанное построение для окружности ради¬
уса = 1 метру, и полученный тем построением отрезок
принять за длину полуокружности.
2) Принимая за единицу масштаба для числовой оси
радиусы: а) 5 см., б) 7 см. в) 10 см., построить на оси
отрезки, соответствующее числам 2тг, л, ^ -jj;
м Z 4 Ь
199. Принимая значение дуги (выраженной в радиаль¬
ной мере) за абсциссу точки, а значение функции за орди¬
нату, построить графику функции у = sin х (для упрощения
построение принять тгслЗ,2) (значение функции взять из
приложенной на стр. 144 таблицы). Указать точки, соответ■
ствующие 1) корням, 2) наибольшим и наименьшим значе¬
ниям функции. Чему равен отрезок оси х между двумя
последовательными корнями?
200. Сделать такое же построение и решить те же во¬
просы для функции y=cos х.
201. Представить функцию
у = а. siu Ьх
графически и определить: 1) точки, соответствующие кор¬
ням функции, 2) период, 3) точки, соответствующие наи¬
большим, 4) наименьшим значениям функции, если
1) а= 1, Ъ = 2, 3, 4; 3) 6 = 1, п = 2, 3, 4;
2) а = 1, 1-, 'г; 4) Ь = Ь « = Ь Г’ Г
202. Представить функцию у = а cos {Ьх-\-с) графически
и определить: 1) точки, соответствующие корням функции,
2 период, 3) точки, соответствующие наибольшим, 4) на¬
именьшим значениям функции, если
1)
а =
2,
С — 0;
2)
а =
2,
Ь = 2,
3)
а=
1
Г
6 = J-,
п
4)
а =
1
2 ’
II
ГО
£
II
203. Найти оси симметрии график: 1) функции у = sin х
2) функции у = cos х.
204. Найти центры симметрии график функции:
1) y = smax, 2) у —a. cos ж.
205. Кривая синусов может быть преобразована в кривую
косинусов путем зеркального отражения относительно неко¬
торой прямой. Написать уравнение этой прямой.
206. При простом колебании по закону синуса отклоне¬
ние точки в данный момент от среднего положения опре¬
деляется значением функции
s = asin Ы,
где а есть амплитуда колебания, а Ъ,—частное от деления
2тг на период колебания Т; t означает время и является
— 43 —
независимой переменной. Представить графически закон
колебания при 1) о=1, 6=1 и 2) а = ^>Ъ=2 и построить
новую кривую, складывая ординаты точек, соответствую¬
щих одному и тому же значению t.
207. Колебание s = asin6( при а— 1, 6 = 1, сложить гра¬
фически с колебанием, полученным из первого, сдвигом
на: 1) [-1 2) У 3) Зг периода.
208. Показать на графике, что наложением друг на друга
1) трех колебаний, смещенных последовательно друг отно¬
сительно друга на периода, 2) четырех колебаний, сме¬
щенных последовательно на ^ периода, колебания уничто¬
жаются, т. е. что:
1) a sin a-f-asln -[-asin (a4-yj = 0;
2) a sin a -j-a sin -f- -\- a sin (a -f- тг) -f- a sin (a -f- ^-)= 0.
§ 2. Проекции. Синус и косинус суммы двух дуг
(углов).
209. Как выразятся координаты точки окружности ра¬
диуса R через радиус и тригонометрические функции угла
(цуги), образуемого радиусом с осью х1
210. Как выразятся координаты х и у точки Q через
расстояние этой точки от начала координат г (радиус-вектор)
и угол а (амплитуда, аргумент), который образует этот отре¬
зок Г С ОСЬЮ х!
211. Показать, что проек¬
ция отрезка ОМ—х, лежа¬
щего на одной оси, на дру¬
гую ось, образующую с этой А
осью угол а, выражается
формулой р = х cos ip (х и
V в зависимости от напра¬
вления соответствующих от¬
резков могут иметь и поло¬
жительные и отрицательные ——77: ,п~—EL*.
значения) при любом поло- Фиг. 1.
А1
В
— 44 —
жении точки М относительно начала О и при любом угло
между осями.
212. Точки А и В соединены прямою АВ и ломаной
АМУРВ. Доказать, что проекция ломаной AMNPB (опре¬
деляя проекции не только по величине, но и по знаку)
равна проекции замыкающей АВ (фиг. 1).
213. Показать, пользуясь чертежем, что проекция
замкнутой ломаной линии на ось равна о (нулю)-
I Чертеж 1 а).
214. Рассматривая на чертеже (фиг. 2) РМ и ОР, как sin tp
(sin s) и cos tp (cos s)> a P'^B 11
OF, как sin tp' и cos w' (s'), по¬
казать, что В" Ж = sin (ts -j- tp’) =
sin (s -j- s’) и OP" = cos (tp -\- tp') =
cos (s -{- s'), как проекции на оси
Г и .X радиуса ОМ или ломаной
О'РМ’, для которой ОМ’ служит
замыкающей, выражаются через
функции tp и tp' следующим обра¬
зом:
sin (tp-|-tp') = sin to cos а' -}-cos to sin tp’
cos (to + tp') = cos <p cos 'A — sin tp sin tp'.
Примечание. Обратить внимание на то, какие углы
образуют оси х' и у’ (и параллельные им отрезки)
1) с осью х, 2) с осью у.
215. Полагая <р' = — tp показать справедливость формул:
sin (f — ф) = sin to cos ф— cos tp sin ф;
cos (a — ф) = cos to cos ф + sin tp sin ф.
216. Пусть дана точка Q с координатами х, у. Построить
новую систему координат так, чтобы начало новой системы
совпадало с началом старой системы, а ось х' (новой системы)
образовала с осью х (старой системы) угол ш (новая система
получается из старой поворотом на угол tp около начала).
Обозначая расстояние точки 0 от начала через г, а угол,
который образует это расстояние г (радиус — вектор) с осью х
через tp’ и пользуясь выведенными формулами
sin (tp+tp') и cos (tp -j- tp’) и соотношениями a;— r cos ('f + tp')
и у =r sin ('■? + »',) of = r cos tp' и у'= r sin tp', показать,
— 45 —
что при указанном
повороте осей коор¬
динат около начала
на угол и старые ко¬
ординаты точки II
(х, у) (т.-е. координа¬
ты точки по отноше¬
нию к прежней си-
стеле) выражаются
через новые коорди¬
наты х’, у'той же точ¬
ки (т.-е. относитель¬
но нового положения
осей') формулами
х—х cos <о — у' sin щ
• J I
у —rf sin ер -[— у' cos св.
217. Полагая а=х-\-у и р = х — у в выражениях sina.
cosa, smjj, cosp и определяя выражение х и у через а и р,
показать справедливость формул преобразования суши тригоно- .
метрических функций в произведения:
1) sina-j-sinp = 2sin^iJ cos
2) sina — sinp = 2cos^~" sin
3) cos a + cos P = 2 cos cos ;
j. В 1 • 0 ? r. ■ ■ 0 P
*) cosa — cosp =— 2sinsin = 2sin —sin ——4
■ ^ dt
218. При каких условиях формулы задачи 212 обратятся
в формулы для выражения тригонометрических функций
двойного угла. Вывести эти формулы.
219. Пользуясь формулой
cos 2 св = cos2 св — sin2 ср
получить формулы sinns’ и cosinus'a половинного угла?
§ 3. Функции тангенс и котангенс.
220. Построить окружность — 1. Провести к этой
окружности касательные в точках пересечения ее с поло¬
жительными направлениями осей х и у. Ордината точки,
в которой продолженный радиус встречает первую касатель-
— 46 —
ную, если эту ординату рассматривать, как функцию дуги
определяемой концом радиуса, называется тангенсом дуги
tg s, или tg tp (тангенсом угла <р, соответствующего этой
дуге); абсцисса той точки, в которой продолженный радиус
встречает вторую касательную, если эту абсциссу рассматри¬
вать как функцию дуги s, называется котангенсом s (ctg s),
или котангенсом угла <р (ctg tp). Показать, на основании
определения тангенса и котангенса, что при любом значении s
sin в j sin 9
tg Я = , tg !p = ,
® COS 9 COS 0
. cos S , COS Ф
cts»=snrv
tg*.ctg£=l. tgU.Ctg!f = l.
221. На основании соотношений между tg s, ctg s, sin s и
cos s показать, что:
tg (~ — s) = ctg s; ctg — s] = tg я;
ct (— = — tg s; ctg (— .s) = — ctif s;
tg (tt—.s) = —tg я; ctg (::—«) = — ctfy s;
tg (i:-f.s) = tg я; ctg (i: + 5) = ctfif s.
Чему раЕен период тангенса?
222. Деля выражение sin (a -f- Р) на выражение cos (а р)
[соответственно sin (а — Р) на cos (а — Р] на основании соот¬
ношений между тангенсом, синусом и косинусом одной
н той же дуги (одного и того же угла) показать, что:
223. При каких значениях аргумента формулы предыду¬
щей задачи обратятся в формулы для выражения +angenu »
двойного угла.
Пользуясь формулами, полученными в задаче 219, соста¬
вить формулы tangens’a половинного угла.
224. 1) Представить функцию y=tgx графически; указать
2) точки, соответствующие корням функции, 3) точки, со¬
ответствующие бесконечным значениям функции, 4) период
функции.
225. 1) Представить функцию v/ = cotg х графически;
2) определить точки, соответствующие корням функции,
3) точки, соответствующие бесконечным значениям функ¬
ции, 4) период функции.
— 47 —
226. Кривая тангенсов преобразуется в кривую котан¬
генсов путем зеркального отражения относительно некото¬
рой прямой. Написать уравнение такой прямой.
227. Выражая tg а и tg р через синусы и косинусы
соответствующих дуг и применяя теорему сложения, дока¬
зать справедливость равенств:
Графическое решение тригонометрических уравнений.
228. Решить графически следующие уравнения (пользуясь
графиками y = sin х, у— cos х, y = tgx, у — ctg х):
229. Решить графически и вычислением следующие ура¬
внения (Указание: положить cos а — х, sin а —у и принять
во внимание, что х2-]~у2 — 1.
Дуги круга измеряются двумя способами: 1) в первом из них за
очередь, разделяется ка 60 минут, а минута на 60 секунд; 2) во
втором — за единицу принимается дуга, длина которой равна радиусу.
Координаты точки окружности ас2 -J- */г = 1, если их рассматри¬
вать, как функции дуги s, называются тригонометрическими функциями
и обозначаются: абсцисса через cos», а ордината через sins. За
начало дуги в этом случае принимается точка пересечения окружно¬
1) sin х =
3) sin# =—0,4;
2) cos х = 0,6;
4) cosx = — 0,5;
6) ctg x = 4;
8) ctgx =— 0,75;
5) tg x = 2;
7) tg x = — 1;
9) tgx = x;
11) ctgx = x;
10) sin a; = я;
12) cos# — #.
1) 4 cos a = 3 sin a; 2) 6 cos a-j-4 sin a — 3;
3) 4 sin a = 6 -f- 7 cos a; 4) sin a -f- cos a — 1 r2<
5) cosa — 2sina = 0; 6) 3cosa— 2sina=l;
7) 2 cos a-}-3 sin a = 3; 8) sina.cosa = ^-;
9) sin a. cos я — 10) 2sina = cos2a.
единицу принимается градус, т.-е. ^ окружности; градус, в свою
— 48 —
сти oci-\-y1 = 1 с положительным направлением оси ос, а за поло¬
жительное направление дуг — направление движения по окружности
против часовой стрелки.
Если вместо окружности ос^-\-у- = \ взять окружность
jr2 + */2= К2, то синус и косинус дуги будут связаны с коорди¬
натами точки окружности следующими соотношениями:
у = 11 sin s.
ос = ft COS S.
При движении точки по окружности радиус круга, проходящий
через эту точку, опишет некоторый угол. Если принять за единицу
измерения углов центральный угол, опирающийся на дугу, равную
единице, и ввести такие же условия относительно начала счета и
положительного направления углов, то дуга и соответствующий ей цен¬
тральный угол будут всегда иметь одинаковые числовые значения.
Поэтому значение *, представляющее значение независимой перемен¬
ной для функций sins и coss, можно принимать не тольно за зна¬
чение дуги, но за значение некоторого центрального угла.
Углы измеряются либо в градусах, либо в радиальной мере:
1) угловым градусом называется центральный угол, опирающийся на
дугу, равную дуговому градусу: угловой градус делится на 60 угловых
минут, минута—на 60 секунд; 2) в случае измерения углов в ради¬
альной мере за угловую единицу принимается угол, опирающийся на
дугу, равную радиусу.
Если выбрано начало счета дуг, дано положительное направление
дуг, и установлена единица измерения, то каждому числу, если его
принять за значение s, соответствует вполне определенная точка
окружности и вполне определенный радиус круга, другими словами,
каждому числу соответствует единственная, вполне определенная дуга
и единственный вполне определенный центральный угол.
Но каждой точке на окружности соответствует бесчисленное
множество дуг, оканчивающихся в этой точке; общее выражение таких
дуг имеет вид:
в радиальной мере s + 21сп
в градусах a+ L3600,
где под /.' разумеется любое целое относительное число, a s и а
могут быть выбраны так. чтобы выполнялись неравенства
o^s<2tt, 0°^а<360°.
sins = £
JC
cos $ = —
Jt
— 49 —
Каждой точке окружности х2-\-у2 = 1 с;ответствуют вполне опре¬
деленные значения ас и 4/; следовательно, каждому значению я [и] соот¬
ветствуют вполне определенные значения sine и coss [sin tp и cos <f];
но заданным значениям sin s и cos s (удовлетворяющим условию
sin2s + cos2s = 1) соответствует бесчисленное множество дуг (углов),
для которых зти функции имеют заданное значение; эти дуги отли¬
чаются друг от друга на любое целое число окружностей.
Поэтому, если к дуге, которой соответствуют данные значения
sin s и cos s, прибавить (или от нее отнять) произвольное целое
число окружностей, то значения sin s и cos 8 останутся без пере¬
мены.
В силу сказанного, sin s и cos s называются периодическими
функциями дуги, а длина окружности называется периодом этих
функций; выражение периода, в зависимости отъ того, в каких еди¬
ницах измерялись дуги, будет или 2тт или 360°.
Числовое значение отрезка, отсекаемого продолженным радиусом
окружности х2-\-у2 = 1 на касательной ас=1, проведенной в точке
пересечения окружности с положительным направлением оси х, назы¬
вается, если его рассматривать, как функцию дуги я, тангенсом
дуги в (значение этого отрезка представляет ординату точки пересе¬
чения продолженного радиуса и касательной); если взять окружность
не радиуса = 1, а окружность х2 -}- у2 = В2, то тангенс будет пред¬
ставлять отношение отрезка касательной ж=Л к радиусу.
Числовое значение отрезка, отсекаемого продолженным радиусом
окружности ж2-\-у2 = \ на касательной у=1 (абсцисса точки пере¬
сечения этих линий), если его рассматривать, как функцию дуги s,
называется котангенсом дуги s (угла <р). В случае окружности
х2-\-у2 = В, ctg s равен отношению соответствующего отрезка
касательной к В.
Период тангенса и котангенса равен половине окружности.
Основные свойства тригонометрических функций выражаются сле¬
дующими равенствами:
sin2s + cos2s = 1
I
tgs.ctgs = 1
sin (s + 2йтг) = sin л
cos (s -J- 2ot) = cos s
tg(s + fcTi) = tgs
ctg (s -f- tin) = ctg s
II
Сокращен. сСбрппк упраэкп. в задач. Ч III.
4
— ьо —
sin ( — .s ) = — sin v cos ( — .s) = cos s
sin (n -f- .s) = — sin s cos (tt -|- s') = — cos я III
sin (it — s) = sin » cos (n —*s) = — cos я
(Для tg s и ctg s соответствующие соотношения даны в задаче
221.)
sin (jx?) = sin 2 cos ? 4- sin н cos a'
cos (a + 5) = cos 2 cos sin я sin j IV
. a ± U) P
tg (2 ± r>) j — /f/ a<f/ p
■о _ . я ± 8 3+ 8
Sin 2 X Sin ? == 2 Sin —COS -r - ~
I о n я— ? -If
COS 2 + c0s? = 2c0S —COS— Y1 V
- _ . a + В . a — В „ - a + P* - P — e
COS 2 — COS P = — 2 Sin —Sin —2— = 2 sin —^ sin - v—
Функции, показательная, логарифмическая и тригонометрические
называются трансцендентными функциями.
ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.
Комплексные числа.
§ 4. Мнимая единица. Комплексное число.
При решении квадратных уравнений нередко приходится
встречаться с задачей извлечения квадратного корня из
отрицательного числа; задача эта не может быть разрешена
в действительных числах, так как квадрат всякого действи¬
тельного числа есть число положительное. Чтобы сделать
извлечение квадратного корня из отрицательного числа воз¬
можным, область изучаемых чисел расширяется введением
мнимых чисел, образуемых из ново'! единицы, называемой
мнимой единицей (в отличие от действительной единицы, из
которой образованы действительные числа) и обозначаемой
буквой i; связь между мнимой единицей и действи¬
тельной единицей, из которой образованы все действитель¬
ные числа, определяется равенством гг = — 1.
Число, содержащее п мнимых единиц, обозначается че¬
рез nil
п раз
T+i+i+i +7ГТ+7=nL
— 51 —
230. Записать в более короткой форме: '
i) г —J— г —J— г-j- /'-j- i 2) 2i —J— 3/^ 3) 5i — 2*,
4) 5г — 3i; 5) 6i — 6i; 6) 3i -J- 21 — 4<;
7) 9i — 3i. f 4<; 8) li — 9i-J-2/; 9) ai-\-bi\
10) ai— ll) ai-\-U — ai; 12) at— at.
Комплексные числа.
Число, образованное соединением а действительных еди¬
ниц с Ъ мнимыми, называется комплексным числом и обозна¬
чается:
или короче: u-{-hi,
231а. Построить точку М, координаты которой суть:
1) (5, 3); 2) (•— 1, 2) 3) (а, 6); 4) (а, 0); 5) (0,i).
Точка М, координатами которой служат коэффициенты
а и Ь при действительной и мнимой единицах в выраже¬
нии a + Ы, принимается за геометрическое изображение
числа а-\-Ы.
2316. Построить точку, служащую изображением числа:
1) 5 + 3i; 2)7 — 2;; 3) — 5 + 4;; 4) — 2 — 2г;
5)3; 6) 4г; 7) 0,5 + 04;; 8)— 0,3+07г.
232. Написать комплексные числа, изображениями кото¬
рых являются точки А, .Б, С, В, Е. О, на фиг. 3.
233. Исследовать, устанавливается ли при введенном пред¬
ставлении комплексных чисел посредством точек однозначное
соответствие между комплексными числами и точками число¬
вой плоскости» и обратно.
234. Что можно ска-"
зать про числа а~\-Ы
и d если a=d и
Ъ=Ъ'Ч
235. При выполне¬
нии каких условий
+ иг=о, если ввести
определение, что
а + Ы = а' + Ъ'г тогда и
только тогда, когда от¬
дельно a = d и Ъ = Ь"1
4*
§ 5. Действия над комплексными числами.
236. Какое определение следует дать сумме двух
комплексных чисел а-\-Ы и a'-f-Vi, чтобы законы сложения,
имеющие место при сложении действительных чисел, сохра¬
няли свою силу и в случае сложения комплексных чисел.
237. Построить
числа: 1) 3 + 5г и 5 -f- 3/'; и их сумму.
2) 3 -j- 2/ и 3 — 2г; Соединить прямыми точки,
3)4 + Зги’ — 4 + Зг; изображающие слагаемые и
4) 2 + Зг и — 2 — Зг; сумму, с началом координат
5) — 2 + 4г И 2 — 41; И между собою.
6) 5 + Зг и 2-f 4г; Какая фигура образуется
7) а~\-Ы и d-\-Vi этими прямыми в случаях
1, 2, 3? 4 и 5? 6? В общем
случае (7-м)?
238. Построить и вычислить разности чисел:
1) 3 + 4г И 2 + г; 2) 7 —Зг И 7 + Зг;
3) 4 + 5г И — 4 + Зг; 4) 2 + 4г И — 2 — 4г;
5) — 7 —2г и 7 —|— 2г; 6) й ф Ы и Q “I- Ъ г.
239. Вычислить:
1) (3 + 4г) + (2 + Зг); 2) (2 - Зг) + (1 + г)'.
3) (—3+2г) + (2 —г); 4) (3,5-0,5г)+(1,5—2,5£);
5) (1+0 — (5 + 30;
7) п —О—Q + 0;
6) ( — 2 + 30 — (2 — г);
8) (-i— 2г)-(А—i0-
240. Даны комплексные числа: 1) 7—Зг, 2) 5—г, з) 2+5?,
4) —1 + 4г, 5) а + Ы. Ответить на следующие вопросы отно¬
сительно каждого из этих чисел: а) Какое число следует к
нему прибавить (из него вычесть), чтобы получить действи¬
тельное число? б) Какое число следует к нему приложить
(из него вычесть), чтобы получить мнимое число (т.-е. число,
состоящее только из мнимых единиц)?
241. В каком случае сумма двух комплексных чисел
1) есть действительное число? 2) мнимое? 3) К какой число¬
вой области принадлежит сумма двух комплексных чисел
вообще?
242. В задаче 235 было дано определение равенства
двух комплексных чисел, заключающееся в том, что два
комплексных числа равны, если отдельно равны их дей¬
ствительные и отдельно равны их мнимые части, т.-е.
а ы = с + <й, если а = с и Ъ = й. Показать, что это опре¬
деление совпадает с требованием (выполняющимся при ра¬
венстве двух действительных чисел), чтобы вазность их
была равна нулю.
243. Два комплексных числа, отличающиеся лишь зна¬
ками при мнимой части, называются сопряженными номпленсными
числами. Написать числа, сопряженные числам:
1) 2 + Зг; 2) 2 — Зг; 3) 2 + Ы; 4J—2+5i; 5)—7 —9/.
244. Написать числа, сопряженные числам:
1) т — т; 23) — а-\-Ьц 4) £—Зг; 5) —0,4+1,2г.
245. 1) Указать, как располагаются на числовой плоско¬
сти изображения двух сопряженных комплексных чисел.
2) Сложить каждое из данных в задачах 243 и 244
коплексных чисел с числом, ему сопряженным.
3) К какой числовой области принадлежит сумма двух со -
пряженных комплексных чисел?
246. Вычесть из каждого числа задач №№ 243 и 244
число, ему сопряженное. К какой чнсловой области принад¬
лежит разность двух сопряженных комплексных чисел?
247. Какое определение следует дать произведе¬
нию двух комплексных чисел а 4- Ы и а' + Vi, чтобы за¬
коны умножения, имеющие место прл умножении действи¬
тельных чисел, сохраняли свою силу и для комплексных
чисел, и чтобы, согласно введенному ранее определению,
гг = — 1?
248. Вычислить:
D 3(2 + 0;
3) г(3 -|— 2г)>
5) (2 + 30(3 + 50;
7) (3+40(1—0;
2) —2(1+0,30;
4) - *(1+20;
6) (1 +0(2+0;
8) (0,2 + 0,50(5+20;
— 54 —
9) (0,6 0,50(0,7 — 0,6г); 10) (3 + i /2) (5 + Гг /2);
11) (5— 2г/7) (6 — 2г/7); 12) (/з'+г l/2)(/2+i/3};
13) (а + 6?)(с + йг); 14) (ж + tt/)(2a; + iy); ^
15) О — 2qi)(2j> + qi); 16) (а — г/&) (— а — 2i/«)•
Какой числовой области принадлежит обыкновенно про¬
изведение двух комплексных чисел?
249. Вычислить:
' 1) 2-Зг; 2) 4г-2; 3) — 5i-4;
4) 5г-7г; 5) — 2г-4*. 6) — 3г—4г;
7) mi-ni; 8) —pi-qi; 9) -vi-—qi.
Какой числовой области принадлежит произведение
двух чисто мнимых (без действительной части) чисел?
Почему?
250. Вычислить:
1) (з + 20 (з—20:' 2) (7 + о (7 - 0;
3) (I — 0(1+0; 4) (а+ 60 (« — ЫУ> _
5) (2 + г/з)(2 — г/з); 6) (3 + 2г\/~2) (3 — 2г/2).
7) (а + г JГ Ь) (а— Ь)\ 8) а + г++) (|^я — ij/Ъ).
Какой числовой области принадлежит произведение двух
сопряженных комплексных чисел? Почему?
251. Разложить на пары комплексных сомножителей:
1) а-2 + у2; 2) т2 + 4иг; 3) 9аг+16&2;
4) аг + б)р« + ^; 6)p + g;
7)q2+l; 8)16 + 1; 9)25 + 4;
10) 5; 11) 37; 12) 65.
252. Найти, пользуясь определением умножения и опре¬
делением равенства комплексных чисел, такое число
х + iy, чтобы (х + iy) (а + Ы) — а' + Ь'г. Показать, что то же
а' 4- T/i
выражение частного получится, если числитель и
„ а’ + b'i ,.
знаменатель дроби умножить на а — Ы.
253. Вычислить частные:
1) 15/:3; 2) 4г: 2г; 3) 6г: (— Зг);
4) ^р; 5) в)
254.7)^; 8)^; 9) }±j; 10)^?;
“Этот* 12)Щ^ 18>*Щг; 14>тЙ^
15>ттЬъ'> 16>dbr 17> 18> 3i
1 + г |/з’ 1 + Зг у17 ’ \/2—г i/З ’ 7 /2+*’
10) * 20» ^. 20) ^ — 29 г »/5 _ 1 + г /з . /З+г ^2
7-2» ^b’ 7 — 3t »/5 ’ 1 — £ »/§ ’ ' (/3-г»/2’
*»SS; 24)^ 25>^т|:
26^ 27^ 'TTi + t+i' 28> (1 + Г1 ~ (1 -:7р ’
«-Hrt-g зо) £x?+i—з--;
а; — * ^1 — жа с + & в —
Ql\“+S*_ « —Si- ОЛ\ (/® +*|/|/ ^+*1/4
dl'c + d» c_pi’ »/5-Vy“ 71^75’
яя) ^ + 0 + »/Г—a ^r^g + f/i + o
|/l + в — i /1 —a /1 — о — »Vl + о
255. Вычислить:
1) г2; 2) i3; 3) i4; 4) г5;
5) г®; 6) г7; 7) г®; 8) г®;
9) г4"; 10) г4^1; 11) г4п+2; 12) г4п+з;
13) (2г)2; 14) (5г)3; 15) (Зг)4; 16) (г/З)2;
17) (—г)10; 18) —г32; 19) (—г)1»; 20) —г”.
256. Вычислить (найти оба значения):
1) V=^\ 2) /—2?i; з) /—3; 4)
5) v/r=s; 6) j7—18; 7) / — 1б; 8) j/7—ei;
9) 10) J/~—ahc\ 11) jF—m~\ 12) \f—4a262.
К какой числовой области принадлежит квадратный
корень из отрицательного числа?
257. Упростить выражение (под какой буквой разумеется
положительное число):
1) /—ж2. /— 2/=; 2) 4 •
3) I/7—a-]/—а> 4)p^a-i/—а>
— 50 —
5) /з- /—12; 6) /Те • /—i;
7) /—15- /—i; g) /27. /ZI;
9) /oP • / —ab*> 10) / —ab j/" —db\
11) V—al* • /^5 12) i/a ■ /—63-
258. Упростить выражения.
1) /a— b ■ / b — a> |
2) у/ a — 6 • /(6— a)3» / при условии a>5.
3) /(a—ft)* • /(6^^)* ] *
Выяснить, в каких случаях наложенное условие влияет
и в каких не влияет на окончательное выражение резуль¬
тата.
259. К какой числовой области принадлежат степени
комплексного числа?
260. Вычислить:
1)(1+0г; , 2) (1-г)3;
3) (а + 5г)2|_ 4) (4 + Зг)2;
5) (2 +«УЗ)2; 6) (5 + Зг'/2)2;
7) (2 — г/2)2; 8) (|/o-+6)z,
9) (я+6г)2 + (в — 6г)2; Ю) (а + Ьг)2 — (я — &0г;
11) а) (1+г)3, б) (1-г)3; 12) а) (1+г)*, б) (l-i)<;
13) 14> [-1+¥ъТ>
15) (—1 +16) (—2—|/з)3-
17) |1+У7)4^(1-У7)* 18) ^1 + t-,/2j6 + (l— г/г)5
261. Раскрыть по формуле бинома Ньютона:
1) (14- г)8; 2) (1 - г)10; 3) (/з + *)«.
262. Вычислить:
1) (a + 6i)5 + (a— 6г)5; 2) (а + 6г)в — (а—&г)в»
3) (1 -Н)8+(1 - if; 4) (1+*)•+(1 — г)9
5) (1 + г)10 — (1 -— г)10, _ 6) (i + i)” —d —г)+
7) (3 + */Ь? + (3 — г/5)7; 8) (3 + г/5)7 — (3 — i/5)7;
9) (1 + W З)9 4- (1 — г/3)в; 10) (1 + г'/ З)9— (1 — г/з)9.
— 57 —
263. Найти, пользуясь формулой возведения в квадрат
комплексного числа и определением равенства комплексных
чисел, такое число чтобы (х + гу^= а -|- Ы- другими
словами, найти значение /а+ 5?. Показать на основании
теоремы Виета о выражении коэффициентов квадратного
уравнения через корни, что х2 и —у* являются корнями
уравнения ~2 — az — о. Почему это уравнение всегда имеет
действительные корни?
264. Вычислить указанным выше способом:
1) /<??\ 2) \Г^1\
3) /s'+lSJF, 4) 1/35—12?;
5) /21+20/, 6) /63—16?;
7) /пГ+8Г, 8) /9 + 40Г,
9) /—13 + 84?*, 10) /8 + 6i\
11) /—77 + 36?; 12) /—33—56?';
13) /3,75 + 2?; 14) /—0^5+i*,
15) /3+~4? + /3^-~4i.
265. Доказать возведением в квадраг справедливость
формул:
1) /+f 5г' + /а — &?•= [ 2(/а2+62 + а)
2) /а + Ы — /а — bi — i / 2 (/а2 + 5г — а)
266. Складывая (и вычитая) почленно написанные фор¬
мулы, показать, что:
1'Ла±Ы = у/Г К°2 + ь*+д+»^/~ £
о*+ 6*
267. Преобразовать по формулам: 1) и 2) задачи № 265а
выражения:
!) /8 + 6? + /8 — 6?; 2) /40 + 9? + /40 —9?',
3) /15 +81 ± /ЙГ— 8?4) /35 + 12? ± /35 — 12?*,
268. Преобразовать по формуле задачи 2665:
1) /2 + 2?/7ц 2) /7 + 30? j/ 2;
3) /1—6+К). 4) /—а.
58 —
§ 6. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Полярные ноординаты.
Положение точки на плоскости может быть определено
не только при помощи прямоугольных (т. н. декартовых)
координат, но и другим способом: при помощи полярных
координат. Назовем некоторую точку плоскости О полюсом
и некоторую прямую ОР, выходящую из точки О, полярной
осью. Тогда положение точки М может быть определено зада¬
нием числовых значений отрезка ОЖ (оно всегда считается
положительным) и угла, образуемого прямою ОМ с ОР
(или дугой, соответствующей этому углу); угол этот счи¬
тается положительным, если получается вращением луча
против часовой стрелки, и отрицательным, если он полу¬
чается вращением луча по часовой стрелке. Значение ОМ
обозначается посредством г и называется радиусом-
вектором, а угол обозначается посредством а и назы¬
вается амплитудой или аргументом (ср. § 2 гл. III).
269. Построить точки по их полярным координатам:
1) 1, J; 2) 1, тт; 3) I, |тг; 4) 1, 2я;
5) 1, 0; 6) 2, • 7) 2, 8) 2, |п;
9) 3, |тт; 10)2,—"; 11) 3,-"; 12) 3, — ?тг.
270. Показать, что при определении положения точки
при помощи ее полярных координат, всякое комплексное
число может быть представлено в т. и. тригонометрической
форме (принимая полюс лежащим в начале декартовой сис¬
темы координат и ось х совпадающей с полярной осью):
п -|- bi = v (cos о -J- i sin а),
r = а- + Ь2,
а . h
cos а = -» sin а= »
г г
где г называют модулем, а— аргументом комплексного числа.
271. Как велики аргумент и модуль чисел:
1) 1-Н; 2) —1+г; 3) г—1; 4) /з + i;
5) г—1/8; 6) — ~ — 7) —21; 8) З + Зг.
— 59 —
272. Представить в тригонометрической форме следую¬
щие комплексные числа:
1)8 + 15; 2) 12 —5i; 3) 6 —5г; 4) — 11 — Зг.
273. Вместо того, чтобы принимать за изображение ком¬
плексного числа а-\-Ы точку М (<а,Ь), оказывается выгодным
рассматривать как изображение этого числа вектор ОМ
(направленный отрезок), т.-е. отрезок, определяемый по в е л и-
чинеи по направлению; для определения величины
вектора может служить его значение г, а для определения
направления—аргумент а. Два вектора считаются равными,
если они имеют одинаковую величину и одинаковое направле¬
ние, другими словами, если один из них может быть получен
параллельным перенесением другого. Показать, что
сумма двух комплексных чисел определяется графически
таким перенесением вектора, представляющего одно из
слагаемых, чтобы его начало совместилось с концом вектора,
представляющего другое слагаемое. Построить вектор, пред¬
ставляющий сумму.
Сравнить сложение векторов с теоремой о параллелограмс
сил. Что в этом случае соответствует: 1) компонентам,
2) равнодействующей?
274. Выполнить вычитание двух комплексных чисел,
пользуясь параллельным перенесением векторов и сравнить
эту операцию с разложением силы на компоненты.
275. Построить йо правилу сложения векторов: а) суммы
l) 3-j-2i И 3 — 2?', 2) 4 -j- 2i и 4 “4 2?, 3) И а—fci,
б) разности тех же чисел.
276. На основании симметричности относительно оси х
изображений сопряженных комплексных чисел показать, что
сумма их — действительное число, а разность — число мнимое-
277. В каких случаях модуль суммы двух чисел равен
1) сумме модулей слагаемых, 2) их разности? Каким нера¬
венствам удовлетворяет модуль суммы в остальных случаях?
278. Построить сомножители и произведение:
1) 3 (2 + 0;
3) (а + 6г)+‘
5) 3(cos 30°—г sin 30°;;
2) (2-30-2;
4) 2 (cos 30° + г sin 30°);
6) ги-[г(сов (? + * sin <р)].
— 60 —
Какая из величин, определяющих комплексное число
в тригонометрической форме, не меняется при умножении
комплексного числа на действительное число? Что изме¬
няется в векторе, представляющем комплексное число, при
таком умножении? Что сохраняется без перемены?
279. .Построить сомножители и произведение:
1) 2 г; 2) i-i; 3) 2?'-?; 4) (1+0 +
5) 2 (COS 0° + i sin 0°) ■ г; . 6) 3 (cos 30° + i sin 30°)
7) 3(cos 60° — % sin 60°); 8) 3 (cos^+ i sin - i.
Что сохраняется неизменным в векторе при умножении
его на г? Что изменяется в определении вектора? Насколько
отличается аргумент произведения от аргумента множимого
при умножении его на г? Какой аргумент больше?
Каким движением может быть получено в этом слу¬
чае произведение из множимого?
[Принять во внимание формулы cos (а + ^) =—sin а>
sin (а + |-j = cos а].
280. Представить при помощи векторов сомножители и
произведения:
1) (3i-4iH4 + 3i); 2) (З-f 4г)-(24-3;); 3) (3+40(3 — 4г).
Измерить на чертеже аргументы сомножителей и про¬
изведения. Какой вывод можно сделать относительно аргу¬
ментов сомножителей и произведения?
281. Показать, выполнив умножение (и применяя теорему
сложения для sin и cos), что вообще:
гг (cos etj + i sin 04) ■ r2 (cos a2 + i sin a2) =
= ra [cos (;*! + a2) + i sin (ctj + a2)].
Формулировать эту теорему словами. Чему равен 1; мо¬
дуль, 2) аргумент произведения?
282. Рассматривая каждое из трех чисел (т.-е. сомножи¬
тели и произведение) как вектор, воспользоваться при выра¬
жении предыдущей теоремы понятиями вращения и растя¬
жения.
— 61 —
283. Составить произведения:
1; 2 (сов 30° + t sin 30°)-3(cos 45° + i siH 45°);
2) (cos 60°+: sin 60°)-2 (cos 135° + i sin 1350).
а) вычислением, с) построением.
284. Пусть некоторое комплексное число представляет
произведение двух других чисел. Показать что вектор, пред¬
ставляющий произведение, и вектор, представляющий один
пз сомножителей, определяют треугольник, подобный треу¬
гольнику, построенному на другом векторе и векторе 1.
285. Решить графически задачи, данные в N°№ 223 (5—16),
225, 250, пользуясь построением подобных треугольников.
286. Из теоремы, устанавливающей зависимость между
1) модулями, 2) аргументами сомножителей и произведения,
вывести правило деления одного комплексного числа на
другое.
287. Пользуясь выведенным правилом, выполнить гра¬
фически следующие деления-
1) 5 - 2) 4 Зг 3) Зг
V 1+2*’ 2) 2 + * 6) j/2 + i'
Проверить вычислением точность построення.
288. Возвести г (cos а + isin а) в квадрат (по форм, за¬
дачи 251); как велик 1) модуль, 2) аргумент полученного
результата?
289. Определить графически:
1)(1,5-Н)2, 2) g-f |/з)2.
290. Число а-\-Ы представлено в виде вектора; предста¬
вить графически / а + Ы (оба значения).
Пояснение. Модуль / a + fci представляет среднее гео¬
метрическое между 1 и модулем а-^Ъг, как велик аргумент
одного из значений (меньший) / а + Ы сравнительно с аргу¬
ментом а-\-Ы?
291. Найти построением значение выражений:
1) j/5-f 12Г, 2) /з + 4г; 3) /3,75 +2г.
Проверить вычислением точность результата, получен¬
ного построением.
— 62 —
292. Вычислять:
(cos ct -{— i sin a) (cos P -f- i sifl P) (cos у +г sin Y)>
сперва вычислив произведение двух сомножителей и умно¬
жая затем полученный результат на третий сомножитель.
293. 1) Пользуясь методом полной индукции, показать
что вообще
(cos аг + г sin а2) (cos a2 + i sin a2) (cos an -f- i sin a„) =
sscos(a1 + a>+ ■••• +<*«) + '* sintOj + Oj-i-.... aj.
2) Составить словесное выражение этой теоремы.
294. Вычислить возможно проще:
1) (cos 72° -f-г sin 72°) (cos 18°-f-i sin 18°);
2) (cos 15° —i sin 15°) (cos 30° —|— i sin 30°);
3) (cos 20° -j- г sin 20°) (cos 40° -f-г sin 40°);
4) (cos 15° -j-i sin 15°)s:
5) (cos 15° -f- i sin 15°) (cos 30° -f- i sin 30°) (cos 45° -f- i sin 45°);
6) (cos 30° -j- i sin 30°) (cos 45° -J- i sin 45°) (cos 60° -f- i sin 60°).
295. Доказать на основании формулы задачи 293, что
теорема Муавра (cos а + i siii а)" = cos па + t sin па спра¬
ведлива для целых значений п.
296. Пользуясь этой формулой, вычислить:
1) (cos 25° -f - г sin 250)9; 2) (cos 30° -j- i sin ЗО0)10;
3) (cos 45° -f-i sin 450)7; 4) (cos 40°-f-i sin 40°)6.
297. Доказать теорему: если два сопряженных комплекс¬
ных числа возвести в одну и ту же степень, то снова
получатся два сопряженных комплексных числа.
Пояснение. 1) Принять во внимание, что cosa—i sins
можно записать также в виде
cos( — я) + * sin ( — a);
2) применить теорему Муавра.
298. Вычислить:
1) (cos 36° — t sin 360)5; 2) (cos 60° — г sin 60°)4;
3) (cos 15° — i sin 15°)9.
299. l) Найти выражение [r (cos a-f-i sin a)]n. 2) Получен¬
ный результат сформулировать в виде теоремы.
G3 —
300. Вычислить:
1) (l + t)8; 2) (1 г)10;
3) (/з-Н)9
(сравнить задачу 235).
301. На основании теоремы Муавра найти выражение
(принимая формулу бинома Ньютона):
1) sin 2а и cos 2а. 2) sin За и cos За, 3) sin 4a и сое 4а,
4) sin 5а и cos 5a, 5) sin 7а и cos 7а, 6) sin Юа и cos 10а.
302. При действительном значении основания х под выра¬
жением а~п; разумеется число, обратное приняв это ра¬
венство за определение а—" 'и при комплексных значениях
основания х, преобразовать выражение
умножением числителя и знаменателя правой части на
(cosa—г sin а)” и показать таким образом, что теорема Муавра
справедлива и для целых отрицательных значений и.
303. Вычислить:
1) (cos 30° + г sin 30°)-®;
2) (cos 45°+ * sin З5°')~3;
3) (cos 30° + г sin 30°)-5.
304. 1) Пользуясь формулой Муавра, найти такое число
(с модулем 1) cos г sin ф, чтобы
2) Показать на основании периодичности функций sin а и
cos а, что общее выражение f имеет вид
a + fc. 36G«
гг, — Ё
где к может иметь любое целое значение (положительное,
отрицательное или равное нулю).
3) а) Какое значение принимает правая часть равенства
£=л, и-fi, я 4- 2,...? б) Сравнить эти значения с теми.
(cos a 4-i s*h а)п
l
(COS a + i sin a)n
(cos if -j- sin (f)n = cos a 4~ * sin a.
И что
• 1
Ycos a4~* sin a = (cos a-\-i sin a)” =
►
— 64 —
которые получаются при к—о, 1, 2... в) Показать таким
образом, что
(cos а + г sin а)"
имеет не более и не менее, как п различных значений.
4) а) Какую фигуру определяют геометрические предста¬
вления этих и значений? б) Выяснить свойства этой фигуры.
305. 1) Вычислить все значения:
а) У COS 60° -}- г sin 60°, б) У cos 135° +г sin 135°,
в) У cos 30° — г sin 30°, в г) У cos 72°—г sin 72°,
д) (/'cos 22° 30' + * sin 22° 30', е) У cos 69° — г sin 69°.
2) Проверить результаты решения этих задач построе¬
нием (выбирая для изображения единицы подходящий мас¬
штаб).
306. Решить двучленное уравнение х3—1 = 0 или х 3— 1,
принимая во внимание, что 1 = cos 0° + г sin 0° и применяя
формулу Муавра. Получить тот же результат, разлагая на
множители выражение х3—1. Поставить корни этого ура¬
внения.
307. Показать, что если корень двучленного уравнения
хп —1 = 0 равен а, то любая целая степень этого корня ah
является также корнем этого уравнения.
308. Решить уравнения:
2) х* —1 = 0, 2) х5 = 1, 3) Xе = 1, 4) а;12 = 1, 5) я10=1.
Возводя корни данных уравнений в последовательные
целые степени, выяснить, какие корни их являются перво¬
образными, какие нет (степени первообразного корня дают
полную систему решений уравнения).
309. Решить уравнения:
1) я3 =27, 2) ж4=16, 3) а;5 = 3125, 4) ж6=64,
5) х3 = 2, 6) х3=— 1, 7) ж5 = 5, 8) х* = —1.
310. Дать в общей форме решения уравнения хп = 1
(т.-е. дать все значения и-ого корня из единицы).
311. Решить уравнение хп—о=0 на основании того, что:
1
при а;> 0 х= У а-1 — У а =аи (cos 0°+t sin О0)'*,
— 65 —
при о<0 х=У — а—1 = У—a(cos 180°-{-г ISO0)”,
при а комплексном x = У \ a | • (cos a-\-i sin a) =
= i^|a|^cos a + * sin a,
где |a| означает модуль a.
312. Сколько ю-ых корней ш единицы (ср. задачу 278)
оказываются действительными числами, если 1) п четное
число, 2) п — нечетное?
313. Почему комплексные значения корней из единицы
оказываются действительными числами, если 1) и четное
число, 2) я— нечетное.
314. Выяснить на основании решения задачи 312, почему
корень четкой степени из отрицательного числа не может
иметь действительного значения.
315. Выяснить, указав соответствующее построение, по¬
чему задача о решении двучленного уравнения сводится
к делению окружности на равные части.
315а. С какой геометрической задачей связано последова¬
тельное построение корней уравнений:
1) Ж6=1; 2) 1; 3) x2i=l; 4) ж48=1 И т. д.
316. Найти графически все значения
1) |П; 2) У=1', 3) yri
4) УЪ\ 5) У' — 625', 0) У — 213',
317. Вычислить: у —11 — 2i (представляя подкоренное
число в тригонометрической форме и применяя таблицы
значений тригоном. функций (стр. 131).
318. Вычислить все значения
1) У — 1, 2) У it о) У
4) У 9 — 8Г, 5) У — 3 — 5;; 6) уГ — 3 + i 1^2-
319. Найти все корпи следующих двухчленных уравнений:
1) ж3 = 7; 2) ж3 —J— 10 = 0' 3) ж5 = 5;
4) ж6 =10; 5) ж3 = 2; 0) ж10 =10;
-— 1 -j- i ■/ ч
7) ж3 = г; 8) *4 = г; 9) *2 = ^— •
10) 1 -f i; 11) х* -= 1 4- г; 12) & = 1 — г.
Сокращ. сборавк упражн. а задач. Ч. III. 5
— 66 —
Область чисел, изучаемых в алгебре, может быть расширена введе¬
нием комплексных чисел.
Комплексное число представляет соединение двух чисел, образо¬
ванных при помощи двух различных единиц.
Одна из этих единиц отождествляется с действительной единицей,
из которой образованы все действительные числа. Другая единица
обозначается посредством буквы г и называется „мнимой** еди¬
ницей.
1) Число, образованное соединением п мнимых единиц, обозна¬
чается посредством н1:
п раз
i -f- I-f- / -{-.. . -|- / = ill
2) ai + Ы = (а + b)i
3) Связь мнимой единицы с действительной: г2 = —1.
4) Соединение а действительных единиц с Ъ мнимыми единицами
обозначается посредством а ■ 1 + Ы или короче а -f- bi и назы¬
вается комплексным числом:
5) Определение равенства двух комплексных чисел:
a-f- bi = a' -f- b'i лишь при а = а' и b = fr.
а-\-Ы = 0 лишь при а = О, Ь = О.
6) Определение суммы двух комплексных чисел:
(а + Ы) + (а' + b’i) = (а + o')+ (b + b')i.
7) Определение произведения двух комплексных чисел:
fa + bi) (и' + b'i) = (па' — Mi) + i (ah' + a’b).
Определения суммы и произведения двух комплексных чисел даются
в указанных выше формах в виду того, что при наличности первого
из зтих определений сумма двух комплексных чисел получается по
правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов для дей¬
ствительных чисел, если принимать г не за мнимую единицу, а за
некоторый числовой коэффициент, при наличности же второго опреде¬
ления произведение двух комплексных чисел получается по правилу
перемножения двучленов, образованных из действительных чисел
(как если бы г было некоторым числовым коэффициентом), при чем г2
заменяется через — 1.
Принцип, положенный в основу определения действий над комплек¬
сными числами (нетрудно видеть, что он применялся и раньше при
— 67 —
определении действий с нулем, отрицательными, дробными и ирраци¬
ональными числами) и заключающийся в том, что при определении
действий для новых чисел зти определения даются в такой форме,
что формулы преобразований алгебраических выражений, справедливые
при натуральных значениях входящих в них букв (выражающие так
наз. ааконы действий), остаются справедливыми и при значениях
букв, равных новым числам, называется принципом перманен¬
тности.
Область чисел, включающая числа действительные, мнимые и ком¬
плексные, называется замкнутой потому, что в ней все прямые и
обратные действия (за исключением не имеющих смысла деления
на О и извлечения О-го корня) приводят к числам той же числовой
области.
5*
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
ПЯТАЯ ГЛАВА.
Рациональные целые и дробные
Функции.
§ 1. Пределы.
320. Дан ряд чисел 1, ^ и т. д.
а) образовать суммы, пользуясь следующим обозначением:
®i = l; ®2=1+-§; s3==l + ^ + ^> si= 1 +-§ + '4 + '!
и т. д.
Вычислить значение этих сумм
б) Вычислить разности 2 — 2 —s2; 2 — s3 и т. д.
Дать общий вид выражения разности.
321. В выражении:
указать постоянное число и переменные числа.
Какая существенная разница между этими переменными?
322. Возможно указать число, меньше которого не может
быть при условии безграничного возрастания числа к
323. Может ли то же выражение при каком-либо из зна¬
чений к обратится в нуль?
324 Каким условиям должна удовлетворять велнчпна-
чтобы ее можно было назвать бесконечно-малой.
— 69 —
325. Дано выражение где х принимает значе¬
ния ^ и т. д. Можно ли- указать число, больше
которого не может сделаться это выражение?
Какая величина называется бесконечно-большой?
326. Может ли выражение Sk в задаче 2 при каких-либо
условиях достичь значения 2.
Что называется пределом?
327. Показать, что число, выражающее длину окружности,
можно рассматривать, как предел чисел, выражающих длины
переметров многоульников с одинаковым числом сторон—
одного вписанного, — другого описанного около данной окру¬
жности.
328. а) При каком значении х может иметь место нера¬
венство
X
У<п »
если у есть величина безконечно малая, а п некоторая
конечная величина.
б) Каким числом изобразится предел бесконечно малой
величины?
329. Показать, что сумма п бесконечно малых величин,
при конечном значении п, есть величина бесконечно малая,
330. Доказать, что разность бесконечно малых величин
есть величина бесконечно малая)-
331. Полагая в задаче 12 Е = Е, = Е2= ••• =ЕЛ_,, пока¬
зать, что произведение бесконечно малой величины на
конечную есть величина бесконечно малая.
На основании каких соображений произведение конечной
величины на бесконечно малую должно оказаться величи¬
ной бесконечно малой?
332. Основываясь на результате предшествующей задачи
и на основным соотношении между элементами деления
показать, что -^= бесконечно малой величине.
333. Что делается с частным, если при постоянном зна¬
чении делимого делитель убывает?
Что будет с частным, если при тех же условиях дели¬
тель безгранично убывает?
— 70 —
Какой величиной изобразится частное от деления конеч¬
ной величины на бесконечно малую?
К
Чему равно частное » где к есть величина постоянная?
334. 1) Если х = А -|- Е, где х переменная, А постоянная
и Е бесконечно малая величина, и у = В-\-¥ч, то показать,
что х-\-у={А-\-В)-{-\, где Е2 есть то же некоторая беско¬
нечно малая величина.
2) Доказать, что х — у = (А— 2?)-}-Е.
3) а) Доказать, что ху = АВ-\-Е.
б) Распространить задачу а, на любое конечное число
сомножителей.
в) Полагая х = у = г — и т. д. установить теорему о пре¬
деле степени.
4) Пользуясь равенством
х А , А + Е А
у~В~Т~ В + Б,-5
установить теорему о пределе частного.
§ 2. Функции первой и второй степени. Производная.
335. Построить графику функции у — кх + Ъ (напр., при
к = 2, 6 = 1); вычислить значение функции при х= 1, хг —2»
х2 = 3, х3 = 4. Вычислить приращения функции у: уг — у, уг — у,
Уз— У> соответствующие приращениям независимей переменной
хг — х— 1, х2 — х — 2, х3 — х = 3, если под у разуметь зна¬
чение, соответствующее значению независимой переменной
х — 1. Чему равны значения отношений: ;v?
X | ^ Я*2 X (Tj ~ SC
На основании графики функции объяснить тот факт, что
значения этих отношений одинаковы. Вычислить значение
этого отношения для произвольных значений хг и х (?л фх).
Какой геометрический смысл имеет найденное отношение
приращений?
336. Построить графику функции у = х~. Полагая х= 1,
хг = 2, х2 = 3, х3 = 4, вычислить значения отношений прира¬
щений: Уз ~у, -2—-, - построить на чертеже точки с
— х’ х2 — ® — х Г г
координатами (.г, у), (х1г уг), (.г2, у2), (х3 у3)-, соединить
точку (х, у) с остальными построенными точками прямыми
— 71 —
и указать геометрический смысл отношения приращений;
почему значение этих отношений оказываются различными?
Найти общее выражение ^ отношения приращения функ¬
ции у=х2 к приращению независимой переменной, сокращая
выражение на разность хг — х.
337. Подобным же образом найти выражение отношения
приращения функции к приращению независимой перемен-
Н0Й Для Функций:
1) у = х; 2) у = 2х; 3) j/ = 2.r -f 3; 4) у = 2х — 3;
5) у = 2пх; 6) у = 2х2; 7) у = 1~х2-, S) у—ж2-}-2.
338. Определить отношение приращений функции
/\ ^
у=х2 для точки, абсцисса которой х=з. Абсцисса другой
точки получает последовательно значения ^ = 0; 1; 2;
2, 9; 2, 99;... Вычислением и, насколько окажется возмож¬
ным, на чертеже выяснить, к какому ^пределу стремится
отношение , если расстояние подвижной точки от непо-
/\ Ж
движной неограниченно уменьшается. Вычислить отноше¬
ние приращений, принимая х = 3, a Xj = 5; 4; 3,5; 3,1; 3,01.
Показать, что и в этом случае отношение приращений
стремится к тому же пределу.
339. Вычислить предел отношения приращений lim ~ =
1Л &
= lim У{ ~-у- (производную) для следующих функций [произ-
ОС j -“ ОС
водная функции у обозначается посредством у'-, производная
функции f(x) обозначается посредством f(x)\:
1) у = х\ 2) у = 2х;
з) у —ах- 4) у = 2тта;
5) у = х-}-4; 6) у = — Зх-т-2;
7) » = f+ /2; 8) у = ах-\-Ъ;
9) у = 2х2; 10) у = — ~;
Ц) у—ах2; 12) у — 4-я2;
13) у = х°-4-2; 14) У = ~— 4;
— 72 —
339. 15) 2/ = ~ 16) у = х2-\-х;
17) y = x*-2x + S; 18) = +
19) y = ax2-\-lx\ 20) у — x-px
a-2
'W
21) y = ax2-\-bx-\rC\ 22) J/=^ + ?- + C.
340. Вычисляя значение производной, определить углы,
образованные при графическом изображении функций:
1) y = j7, 2) 2/=jq касательными, проведенными в точ¬
ках 0, +1, ±2, ±3, ±4) ±5. ±6 с осью х, если за
положительное направление касательной принять 1) напра¬
вление, в котором возрастают ординаты; 2) направление,
в котором возрастают абсциссы. Воспользоваться этими дан¬
ными для более точного построения график функций.
341. Определить для функций, данных в задаче 339,
тангенс угла, образованного при графическом изображении
функций касательными в точках: 1) а: = о, 2) ж = 4-1,
3) —з с осью а", если за положительное направление
на касательной и на оси х принять то, в котором возра¬
стают абсциссы.
Minimum и maximum целой функции второй степени.
342. Начертить графики следующих функций и их произ¬
водных:
1) у = х2;
3) у=х* — \',
5) у — х2—5лг —}— 6;
7) $ = х2 — х— 6;
9) у — х2 — 2х-\-1.
Как располагается графика производной в той обла¬
сти значений х, в которой с возростанием х функция у
а) убывает, б) возрастает? Какой знак имеет значение произ¬
водной в той области изменения х, в которой функция
а) убывает, б) возрастает? Почему? Где лежит точка графики
производной, соответствующая наименьшему значе¬
нию у1 Как располагается касательная к кривой y=f(x) в
2) у = х2 + 1;
4) у — х2-\-2x-fl;
6) у = х2^-5ж-}-6;
8) у = х2-\-х— 6;
эт\гй точке? Почему значение производной должно в этой
точке равняться О?
343. Проследить, как меняется с изменением (возраста¬
нием) х тангенс угла, который образует с осью абсцисс
касательная, проведенная к данной кривой у = х- — 2 в
точке с абсциссой х. 1) Указать наименьшее абсолютное
значение, которое получает при этом тангенс, а вместе с
ним и угол, и определить, при каком значении х получается
это наименьшее абсолютное значение. 2) Какое значение
принимает при этом сответствующее у? 3) К какому значе¬
нию стремится тангенс и к какому значению стремится
угол, если х стремится к а) -}-оо, б) — со? Все во¬
просы решить, как вычислением, так и из рассмотре¬
ния чертежа.
344. Определить minimum (значение переменного неза¬
висимого, которое соответствует наименьшему значению функ¬
ции и значение самой функции) следующих функций:
1) y = x2 + 2\
3) у = 3**—1;
5) У = ? + 2*;
7) у = х2 + 3д,--}-4;
9) у = + 4;
11) » = f+ *-17;
13) у = {а — ж2) + (6-J-tf5);
15) У = (а — х) (Ъ — х);
2) у^х2-3;
4) у — х2 + Зх;
6) у = 3х2— х\
8) у = х2—4ж + 2;
10) у + 2х2 — 8х + 1;
12) т/— \0х2-\- Юя + 7;
14) 2/= (9 — Щ2 — (1— 2а:)2;
16) у = (х-\-а) {х + &).
345. Какое соотношение имеется между коэффициентами
функции
y = x2-\-px-\-q
п значениями т и п координат точки, в которой функция
достигает своего minimum’a (вершина параболы)?
346. Какое соотношение имеется между коэффициентами
функции
у = ах2 -|-Ъх-\-с
— 74 —
нри в>Ои значениями тип координат точки, в которой
функция достигает своего наименьшего значения?
в 347. 1) В функции
• у = х2-\-рх-\-д
заменить независимую переменную х посредством х', где
х=х'-\-т. Какое значение следует придать т, чтобы полу¬
ченная функция переменной х не содержала члена с пер¬
вой степенью независимой переменной? 2) Какой геометри¬
ческий смысл имет такое параллельное перемещение си¬
стемы координат, соответствующее подстановке х=х' -\-т,
где т имеет найденное выше значение? Где лежит вершина
параболы в преобразованной системе координат? Как распо¬
лагаются относительно начала в этом случае точки пересе¬
чения кривой осью х'?
348. Какие значение должен иметь коэффициент р функ¬
ции второй степени y—x2-\-px-\-q, если minimum ее соот¬
ветствует значению х: 1) хт = 2, 2) хп = — 3, з)жт=о,
4) хт=а. Написать для каждого случая общее выражение
функции.
349. Какой вид (т.-е. каковы значения коэффициентов
р и q) имеет функция второй степени
y = x2+px-\-q,
minimum которой имеет место при
1) и ут — 3; 2) *„=0 и уп = — 2,5;
3) жт=+ Ь5 И 2/т = +2; 4) хт = р и ym = q?
350. Исследовать, какое соотношение имеет место между
дискриминантом уравнения х2 -\-рх + q = 0 и минимальным
значением функции
y = x2-\-px-\-q.
351. Чтобы определить minimum функции второй степени
У = * + рх + д,
поступают следующим образом: решают уравнение х2-\-рх-\-
-1-12—у=0 относительно х и приравнивают дискриминант
этого уравнения нулю. Обосновать правильность такого при¬
ема и показать на графике, какой геометрический смысл
имеет такое обращение дискриминанта в о.
— 75 —
352. Уравнение x~-\-px-\-q — 0 можно решить графически,
пересекая параболу у=х* прямой у -\-px-{-q=zO. Какое не¬
равенство или равенство должно существовать между р и q,
чтобы парабола и прямая имели: 1) две общих точки.
2) одну, 3) не имели ни одной общей точки? Показать, что
в случае одной общей точки прямая является касательной
к данной параболе.
353. По графикам определить точки, в которых произ¬
водные следующих функций получают значение 0:
1) — 2) у = — 2*?4-3;
*
3) у — — хъ-\-2х—1; 4) у=—ахг -}- Ъх -f- с при «С>0;
5) у = (8 — 2х)ъ— (1—зя)2; 6) у = (х — а) (Ъ— х).
Как следует назвать в этом случае то значение функции,
которое соответствует обращению производной в о?
354. Во скольких точках ось х пересекает графику функ¬
ции
у = — ах2 -f- Ъх -J- с,
если а есть положительное число, и если значение maxi¬
mum’» ее: 1) положительно, 2) равно нулю, 3) отрицательно?
355. Какой вид имеет функция второй степени
у = — x*-\-px-\-q,
если она достигает своего maximum'a при значении:
!)*. = +!. 2)*п = -3?
356. При каких значениях и какого из коэффициентов
целая функция второй степени
у = ах2 -{- Ъх -f- с
1) имеет minimum, 2) имеет maximum?
357. Имеет ли линейная функция maximum или minimum
или нет? Почему?
358. В следующих задачах воспользоваться тем, что
производная пройденного пути по времени равна скорости.
При этом, конечно, путь рассматривается как функция вре¬
мени.
— 76 —
t) Путь, пройденный свободно падающим телом, опреде¬
ляется формулой
«=4<Л
Определить скорость падения: 1) по истечении 1, 2) 2,
3) 3,2 секунды после начала падения (<7 = 9,81, если s дано
в метрах, t — в секундах).
2) Путь, пройденный телом, брошенным вертикально вниз
с начальной скоростью с, определяется формулой
S = Ct-\-^Qt2.
Определить скорость, если с = 12,5 мр. в секунду: 1) че¬
рез 1, 2) через ^, 3) через 2,5 секунды.
3) Путь, пройденный телом, брошенным вертикально
вверх с начальной скоростью с, определяется формулой
s = ct — jjj- gt2.
Определить скорость тела: 1) через 3 секунды, 2) че¬
рез^-сек. 3) Сравнить скорости в момент^-— t -\-t.
Задачи на maxima и minima.
359. 1) Какой высоты достигает тело, брошенное вер¬
тикально вверх с начальной скоростью с, т.-е. при каком
значении t выражение пути s — ct—| Р, пройденного телом,
достигнет своего maximum’a? Определить значение этого
maximum’a.
2) Отрезок в 100 мр. длиною разделить на два таких
отрезка, чтобы площадь прямоугольника, построенного на
этих отрезках, была наибольшая.
8) Разделить отрезок, длиною в 24 мр. на такие две
части, чтобы сумма плошадей квадратов, построенных на
этих отрезках, была бы наименьшей.
4) На какие слагаемые следует разбить число а, чтобы
произведение их было наибольшее?
— 77 —
5) Какой из прямоугольников с одним и тем же пери¬
метром имеет наибольшую площадь?
6) Какой из всех треугольников, сумма основания и
высоты которых равна а, имеет наибольшую площадь? Как
велико это значение площади?
7) Насколько следует уменьшить большую сторону а пря¬
моугольника и увеличить м<5ныпую сторону Ь, не изменяя
при этом периметра, чтобы площадь прямоугольника дости¬
гла своего maximum’a? Определить площадь нового прямо¬
угольника, и узнать, насколько она больше площади перво¬
начального прямоугольника.
8) Узнать для какого треугольника ABC с основанием а
и с соответствующей высотой А выражение АВ2-\-АС2 дости¬
гает своего minimum’a (за независимое переменное принять
один из отрезков основания).
9) Сумма двух сторон треугольника, образующих постоян¬
ный угол а, равна s. Какие значения должны иметь эти
стороны, чтобы площадь треугольника достигла своего
mixiraum’a?
10) Квадрат стороны треугольника, лежащей против угла
а, имеет следующее выражение
«2 = J2_|_c2 — 2 Ъс cos а
где бис две другие стороны. Исследовать, при каком значе¬
нии Ъ г получает предельное (наибольшее или наименьшее)
значение, если а и с постоянны, а Ъ рассматривается, как
переменное.
Решить, будет ли это предельное значение maximum’oM
или minimum’OM, и указать геометрический смысл найден¬
ного решения.
11) Вписать в данный круг прямо¬
угольник с наибольшей площадью.
12) В данный круг вписать прямо¬
угольник с наибольшим периметром.
13) В данный треугольник вписать
прямоугольник с наибольшей площадью.
См. фиг. 4.
14) На сторонах прямоугольника, периметр которого
равен 2q, построены: а) квадраты, б) равносторонние треу¬
гольники. Определить, при каких значениях сторон прямо¬
угольника площадь всей фигуры достигнет своего maximum’a.
15. Дян центр круга с переменным радиусом. Вне круга
дана точка А, из которой проведены две касательные АН
и АС. При каком значении радиуса хорда ВС будет иметь
наибольшее значение?
§ 3. Целая рациональная функция третьей степени.
360. Построить графики следующих функций 3-ей сте¬
пени, построив предварительно возможно больше отдельных
точек кривой.
1) у = х3— 4; 2) у — (х— 2)3;
3) у = х3-\-2х2 — х — 2; 4) у — х3^- Зх2Зх1;
5) у == х3 -J- 2а;2 — Ъх — 6; 6) у = х3 — 2х2 — х -J- 2;
7) у — х3— a;2-f-l; 8) у — х3-\- 2х2-\-х-\-2.
361. Указать целые значения х, между которыми распо¬
ложены корни (нули) следующих функций:
1) у = х3—2х2 —10; 2) у — х3 — За;-}-7;
3) у — х3 — 17а;-[-100; ■ 4) у = х3—9а;-]-5;
5) у = 2х3 — Zx2— 7a;-f5; 0) у = Ъх3 — 1х3-fЗа;-}-9.
362. 1) Вычислить отношение приращения Д у функции
к приращению независимой переменной Д х для функции
у — х3, пользуясь формулой:
Су ?/) — у
А оо aci —х
и освобождаясь от знаменателя сокращением дроби на
a'j — х.
2. Составить выражение производной функции у=х3,
полагая
у' = Пт и.
А*
363. Определить значение производной: 1) функции у—х3,
2) функции У = ^ при: а) а; = о, б) а;=+1, в) а; = Д2,
г) а-=Ч=з и указать расположение касательной, проведен¬
ной к кривой в каждой из этих точек.
— 79 —
364. Найти производные следующих функций:
1) у = 2х3; 2) 2/ = ^;
3) у= з та;3; 4) у = 1^2.ж3;
5) у = ах3- 6) j/ = a~;'
7) у = а:3 ^}- а:2; 8) »/ = ах3 Ъх;
9) у=х3—12ж —5; 10) у = 2х3— 2х2-\-\2х— 2;
11) у = х3— х2—16ж -}- 10; 12) у = х3 — 13ж2 — 64ж-f 32;
13) у = xz—1 \х2—16ж-}-98; 14) у = х3 — 12я2-}-45ж—10;
15) у = х3— х2—4а:-}-4; 16) у — 2х3 -}- Зхг — Зх—2;
17) у = х3 -j- ах2 -}- Ьх -|- с; 18) у = ах3 -{- Ъх2 -}- сх -}- й.
365. Найти производные следующих функций:
1) у = х 3 -\-х
и
у = х3 — х;
2) у = х3 4-3
И
II
ч.
1
м
3) у = 2х3
и
во*
1
II
«*>
СО
II
»•>
и
2?3
у=т;
5) у = (х-\- I)3
и
со*
1
т
6) у = (х-\- I)3
и
У — (х~\- 2)3;
7) у — х3
и
у = {2х)3.
Maxima и minima функций.
366. 1) Как располагается касательная к кривой, пред¬
ставляющей функцию в той точке, в которой функция
(ордината кривой) имеет maximum или minimum? 2) Какое
уравнение придется составить, если воспользоваться выра¬
жением производной для отыскания тех значений независи¬
мой переменной, при которых функция третьей степени
достигает maximum'a или minimum’a? Какой степени это
уравнение? Сколько существует значений независимой пере¬
менной, при которых может быть maximum или minimum
функции 3-ей степени? Всегда ли обращение в 0 первой
производной соответствует наибольшему или наименьшему
значению функции? *
Чтобы ответить на поставленные вопросы, рассмотреть:
а) кривую у = х3, б) кривую у — х3-\-Зх в) у = х3— з.г;
2) имеет ли функция maximum или minimum, когда корни
— 80 —
уравнения, получаемого при обращении в 0 производной:
а) действительные и различные, б) действительные и рав¬
ные, в) мнимые?
367. Исследовать, имеют ли следующие функции maxi¬
mum или minimum; если имеют, то определить соответствую¬
щие значения независимой переменной и вычислить значения
функций. Выяснить, в каком промежутке при изменении
независимой переменной от — оо до оо производная положи¬
тельна? отрицательна? Как изменяется в каждом из этих
промежутков самая функция? В каких промежутках она
возрастает? убывает?
1) у = 2-г3 х2; 2) у = х3-\-х\
3} у = х3; 4) у = х2 -f-Зх2 -j- Зх — 7;
5) у={х—1) (а-—2) (ж—3); 6) у = (х— 1) (х -f 3);
7) у — х {х2 -}- х -j-1); 8) у = {х— 1) {х2-{-1);
9) У = {я— 1) (-с2 — 1); Ю) 2/=Ф+ 1) (а^-И);
11) у = х3-\-§х2-\-21х— 5, 12) у = х3— 6х2+12х-|-3;
13) у = х3 -{- ах -f- Ь\ 14) у = х3 ах2 -f- Ьх\
15) у = {х — а) (ж — Ь)2; 16) у — (х — а) (х — Ь) (х — с);
17) У = {х—а)3-\-(х — Ь)3;
18) у=(х — о)3-j-(х — Ь)3-}-(х — с)3.
368. Каким условиям должны удовлетворять коэффи¬
циенты р и q функции 3-й степени ,
y — x3-\-px-]rq,
если функция имеет один minimum п один maximum при:
1) *,„ = ±3, 2) = 3) zm = ±t.
(Почему положительные значения х соответствуют mini-
mum'y, а отрицательные — maximum’y?)
369. Каким условиям должны удовлетворять коэффи¬
циенты функции 3-й степени
у — х3 -f- ах2 -{- Ьх с,
1) если она имеет один minimum и один maximum соответ¬
ственно при х — 2 и при х = — 3; 2) один minimum при
« = +1 и один maximum при х — — 1: 3) один maximum
— 81 —
при хт=п и один minimum при хт=т. Какому соотноше¬
нию должны удовлетворять т и и, чтобы выполнилось
условие 3?
370. Какой вид должно иметь выражение функции
у — х3 -f- ах- -\-bx-\-c,
если 1) функция удовлетворяет условию 1 предыдущей
задачи и, кроме того, кривая, соответствующая функции,
проходит через начало? 2) выполнено условие 2 преды¬
дущей задачи и функции при 1 принимает значение
у— 1; 3) выполнено условие 1 и при этом значение mini-
mum’a=3; 4) выполнено условие 3 и при этом maximum
имеет значение М?
т
Вторая производная.
371. Представить графически функцию
у = х3 — 3# -J- 2
и ее производную относительно той же самой системы
координат. Ту часть график, где функции убывают с воз¬
растанием независимой переменной, вычертить черной крас¬
кой, а ту, где функции возрастают — красной. Исследовать,
возрастает ли или убывает производная функция при том
значении независимой переменной, при котором ее началь¬
ная функция имеет minimum. Исследовать то же самое
относительно maximum’a.
372. 1) Исследованием направления касательной по.
казать, что при том значении независимой переменной,
при котором функция третьей степени имеет minimum,
производная возрастает с возрастанием независимой пере¬
менной. 2) Исследованием направления касательной пока¬
зать, что при том значении независимой переменной, при
котором -функция третьей степени имеет maximum, про¬
изводная функция убывает при возрастании независимой
переменной.
373. 1) Составить для функции
у = .т3 — З.г 1-2
Сокращен, сборни* управа, и лэдач. Ч. КГ,
в
— 82 —
вторую производную (т.-е. производную от производной).
2) Вычертить также графику второй производной так, как
это указано в задаче 372. Какие части графики будут
изображены черным цветом и какие — красным?
374. Показать, что при том значении независимой пере¬
менной, при котором функция имеет minimum, вторая произ¬
водная—положительна, а при том значении х, при кото¬
ром функция имеет maximum, вторая производная — отрица¬
тельна.
375. Какими особенностями обладают графики функции
и ее первой производной в той точке, где вторая произ¬
водная обращается в нуль? Составить уравнение касатель¬
ной к кривой в этой точке и построить эту касательную.
Как располагается кривая в этой точке относительно каса¬
тельной? Почему эта точка называется точкой пере¬
гиба?
376. Для следующих функций вычертить их графики
и графики 1-й и 2-й производных и показать в каждом
случае, что по знаку второй производной можно решить,
будет ли кривая обращена своей выпуклостью вверх или
вниз (в направлении возрастания ординат и в направлении
их убывания). Что происходит с изгибом кривой в той
точке, для которой вторая производная обращается в нуль?
9) T/ = .r3-;-a/‘! + .r— 1; jO) у = х2 — х2 — 4.Z- + 4-,
11) у = ха-|— Зх2-|— Зх— 2; 12) у =xs—Зг 2;
13) у = х3 + Зх2 -|- 9.1-+ 2; 11) у - : (х — I)3;
15) у = (х — 2)2 (.с + 2); 16) (.«■ — 1) (г -f 2) (х — 3).
377. Для следующих функций, не пользуясь их гра¬
фиками, а исключительно с помощью исследования первой
и второй производной, найти их maxima и minima и
выяснить, при каком значении х функция имеет maximum
и при каком — minimum. Коэффициенты а, Ъ, с считаются
• положительными.
2) у =-2,-4
4) У ^ — ^4 2.С — Ч:
6) у = — ,-3;
— 83 —
1) у = ах*-\-Ъх;
3) у — ах2— Ъх;
5) у = ах2-\-Ъ;
7) у = ах2-\- Ъх2;
2) у = — ах2 -j- Ъх\-
4) у —ах2 — fcc-J-c;
6) у = — axs-\-bx)
8) у = ах3 — &.с.
Точки перегиба и касательные в точках перегиба.
378. Определить: 1) координаты точки перегиба и 2) по¬
ложение касательной в точке перегиба (указать угловой
коэффициент) для следующих кривых:
1) у = -Г3 — X2 -]- 2х -f- 1; 2) у = ^ — х2 -]- 4х -J- 1G;
3) у=2х2 — Sx + 25; 4) у=10.«-3—15г—11;
5) 2/= 0'— !)(■*• — 7) Or 4- 5): 6) г/ = (ж —6)(je-)-7>c;
7) У = ( г — 3) 2 (.г — 10); S) у — (х -]- 2)2х;
9) у=(-с И)3+<^—D3: Ю) у =-(аг+1)3—Сг-2)я.
379. Для следующих кривых (кубических парабол) опре¬
делить: 1) положение точки перегиба, 2) угловой коэф¬
фициент касательной в точке перегиба:
1) у = х*-\ ах2 -j- Ъх -]- с;
2) у - - ах2 Ъх2 -|- сх -|- й,
3) у = хз-1 +
3S0. ‘функции третьей степени могут быть разделены
на 2 типа, при чем функции одного типа не имеют maxi-
muin’a и minimum’a. а другие имеют один maximum н один
minimum. Каким неравенствам удовлетворяют коэффициенты
функции
у —.г3 ах3 j- Ъх -j- с
в том и другом случае?
Какими свойствами будет обладать функция, если нера¬
венства, характеризующие каждый тип, перейдут в равенство?
381. Каким условиям должны удовлетворять коэффици¬
енты функции 3-й степени
2/-} ах2 - j ■ Ъх с,
— 84 —
если эта функция должна иметь точку перегиба ири1) х = 1,
2) 3) а* = — •§, 4) x = w.
382. Каким условиям должны удовлетворять коэффи¬
циенты функции 3-й степени
у=х3 -f- ах2 -j- Ъх -f - с,
если эта функция
1) имеет точку перегиба при х=—1, а касательная в
точке перегиба параллельна оси х?
2) если функция имеет точку перегиба при х= — а
касательная в этой точке образует с осью х угол в 45°?
383. Каким условиям должны удовлетворять коэффи¬
циенты функции третьей степени
у = х3-\- ах3 Ъх -j- с,
если 1) точка перегиба и касательная в этой точке удовле¬
творяют первому условию предыдущей задачи, и при этом
функция в точке перегиба получает значение -|-2; 2) точка
перегиба и касательная в этой точке удовлетворяют второму
условию той же задачи, и при этом кривая проходит
через начало?
Геометрические приложения.
384-. 1) Из всех конусов, для которых сумма радиуса
основания и высоты есть величина постоянная, какой будет
иметь наибольший объем.
2) В данный шар вписать прямой цилиндр с возможно
большим объемом.
3) В данный шар вписать конус с возможно большим
объемом.
4) В полусферу данного радиуса вписать конус так,
чтобы объем его был наибольший, а вершина располага¬
лась в центре основания.
5) Вписать в шар конус с наибольшим объемом и с
вершиной, лежащей внутри шара в точке Р. (Положение
точки Р определяется расстоянием а ее от центра шара).
Изменяя в окончательном результате расстояние а от 0 до г,
рассмотреть связь полученного решения с решениями
задач з) и 4).
— 85 —
•
6) Имеется прямоугольный кусок картона длиною в 2а
см. и шириною в Ь см. Из его углов следует вырезать квад¬
раты так, чтобы из оставшейся части картона можно было
сделать открытый ящик наибольшей вместимости. (Для
вычислений а =25. 6 = 17). Определить размер этих квад¬
ратов.
Если от значения независимой переменной х мы переходим к зна¬
чению Я], то разность ог3—х называется приращением независимой
переменной и обозначается либо
Xj — х = Д х? либо х^ — x = h.
Если при значении независимой переменной х значение функции
было у=/(х), а при значении независимой переменной хг значение
функции было уг =/ (д), то разность
Ух— У =/(-«,) —/И —/(ас + Л-*)—/И =/(■« + *) — Л-*1)
называется приращением функции и обозначается:
Ух — У = Д У, /(* + Л ж) —/(.г) = Д f{pc).
Для линейной функции у = кх + Ь отношение приращения
функции к приращению независимой переменной имеет постоянное
значение (не зависящее ни от того, при наком значении х мы вычи¬
сляем это отношение, ни от того, какое значение имеет Д.г) и
равно угловому коэффициенту прямой, представляющей функцию
у = кх + Ь.
fl,i я функции второй степени у = ах2 + Ъх -J- с отношение ^
представляет величину переменную, зависящую 1) от того, каково
то начальное значение х, которому дается приращение Да; и 2) от
того, какое значение мы даем приращению Да;.
Если значение Да; неограниченно уменьшать, то для функции
у = ах2 + Ьх + с приближается н некоторому пределу, равному
2«кк + Ь, называемому производной этой функции. Производная
квадратного трехчлена у == ах7 + Ьх с сама представляет неко¬
торую функцию х: она зависит от х, но уже не зависит от значе¬
ния приращения.
Производной (первой ироизводной) данной фуннции при заданном
значении х называется предел, н которому приближается отношение
— 86 —
*
приращений, которые получают функция и независимая переменная
A v
при переходе последней от ж к жл, ~- = ——— при неограничен-
/\Х X | —ттХ
ном уменьшении Дос.
у V:. № - 1T.ISHJ
= lim Г/ш + да:;-/^ = Ujr+V-JMl
Ах I 7|^д '* J
Значение производной при заданном значении ж является в то
же время значением тангенса угла, образуемого с осью ж касатель¬
ной, проведенной в соответственной точке нривой, представляющей
фуннцню.
При тех значениях ж, при которых производная положительна
(насательная к кривой образует положительный острый угол с осью ж),
функция возрастает с возрастанием ж; при тех значе¬
ниях ж, при которых производная отрицательна, функция убывает
с возрастанием ж.
Если при некотором значении ж производная обращается в 0. то
касательная к кривой оказывается параллельной оси ж. В этом случае
функция второй степени у = ажг-\- Ьж + с достигает своего mini-
mum’a (при «>0) или maximum’a (при а < 0).
Производная первой производной данной функции называется
второй производною этой функции.
В области тех значений ж, при которых вторая производная
положительна, кривая, представляющая фуннцию, обращена выпук¬
лостью вниз (в сторону убывания ординат); в области тех
значений, при которых вторая производная отрицательна, кривая об¬
ращена выпуклостью вверж (в сторону возрастания ординат)*
В той точке (при том значении ж), где кривая у = / (.г) имеет
точку перегиба, вторая производная функции у равна О.
Функция у=/(ж) достигает maximum’a при том значении ж,
для которого f (sr) = 0, а /'(ж) <0. Функция »/=/(.»■) достигает
minimum’a при том значении ж, для которого f (ж) = 0, а /"(эс)>0-
Функция может и не иметь ни maximum’a ни mirjmum'a при
п*о=о.
— 87 —
§ 4. Некоторые общие свойства целой рациональной функции
(многочлена) «-ой степени. Теорема Безу и ее приложения.
Корни уравнения и-ой степени.
385. Разделив многочлен .т5 — 5r4 -f- з г® -)- g.r — 8 на .г — з,
выразить делимое, т.-е. данный многочлен, через делитель,
полученное частное и остаток. Какое значение должна
принять правая часть написанного тождества при замене
■г значением 3? Как, пе производя деления, можно узнать
значение остатка от деления данного многочлена на х—з
(принять во внимание то выражение, в которое обратится
левая часть написанного тождества)? Не производя деления,
узнать остаток от деления данного многочлена на: 1) х— 2,
2) х — 1. Чему равен остаток в последнем случае? Что можно
сказать про делимость данного многочлена на х — 1?,
386. Обозначая частное от деления многочлена
*'п (О = V'1 4 4 «г*"-2 + • ■ • + «я-гЧ- ап («О ф 0) па
двучлен х—а через /’T1_1(.r) — V:n_2^-г'2■г;И_34'■••4■
-j-6n ;!.r -\-Ьп_л, и остаток через Л, выразить многочлен fn(x)
через х — а, (>) и Л. Почему частное от деления fn (х)
на х—а, должно быть п — 1 степени? Почему старший
член этого частного имеет при себе коэффициент, равный
«о? Содержит ли Л в своем выражении или нет? Почему?
Какой вид принимает написанное тождество при .с=а?
Как выражается Л через коэффициенты многочлена fn (г)
и через значение а? Что можно сказать о делимости много¬
члена на х—а, если результат подстановки а вместо х в
выражение fn(x) обращается в О?
387. Не производя деления, исследовать делимость выра¬
жений хт — ат и хт-{-ат на х—а и х-{-а. Какой вид имеет
частное при делении на г—«? на .г 4 а?
388. Показать, что если а есть корень функции
У = <v" + аггп~г 4 «**"“* + •■■ + «« зЧ-«„.
т.-е. если
уи=а0ап -f- Oja"-1 4 яаа»”2 + ... 4- «„-,3 + ап = О,
то у делится без остатка на х — а. (Рассмотреть для этого
выражение Y—y— oj.
— 83 —
389. Показать, что если а, есть корень функции
y=fn (•*■). где fn (г) = a0rn -f arr« ’ _}- а2.2 -f an_rr -f о",
то y=fn(■>)=(* — Cfj)/■„. J(.г), где fnl(x) есть некоторая
функция п — 1 степени.
390. В высшей алгебре доказывается теорема, что веяное
уравнение it-ой степени имеет, по крайней мере, од< н действительный
или комплексный корень. На основании этой теоремы показать<
что целая функция я-ой степени (многочлен) 1) имеет п
корней; 2) может быть представлена в виде:
fn (') = + ai*n-1 + «У* - + • ■ • 4- — гг + а* =
= а0 {х — aj) (.г — а2) (х — а3)... (г — aj, где а15 а2, я3,... ал
корни функции; 3) что между коэффициентами уравнения
и корнями существуют соотношение (теорема Виета):
ai + a2 + a3 + --- + a"= — ■
а1а2 + ®1а3 + а1а* + “2а3 + • ■ • + ап-1*п = “>
а1а2°Гз + «W* + a2a3a4 + • ■ ■ + a„-22n-ia = —
aia2a3 • • ■ 3„-A = (— Un^-
391. l) Какой вид примут написанные соотношения для
функции:
Уп = *" + Pi*"-1 +Р2-Г"-2 + ■ • • +РП-1* + г'п-
2) Какой вид должно иметь уравнение н ой степени
если один корень его равен 0? два корня = О?
392. 1) Показать, что если v-\-iq есть комплексный ко¬
рень уравнения с действительными коэффициентами:
«ог„ + «I*"-1 + «2*" 2 + • • ■ + «п-гг + ап = 0.
то и p — iq должно быть также корнем этого уравнения.
2) Может^ли быть нечетным число комплексных корней
уравнения п ой степени с действительными коэффициентами
или нет? Почему? 3) При каком значении п уравнение
зг-ой степени наверное имеет, по крайней мере, один дей»
ствительный корень?
— 80 —
393. Составить многочлен второй степени, на который
делится без остатка функция и-ой степени, если одним
корнем этой функции оказывается:
1)»; 2) 1-fi; 3) 1 — £; 4)1 + 2 г;
5) 2 +г; 6) 3 — г; 7) qi; 8)
394. Составить уравнение второй степени с действитель¬
ными коэффициентами, корнями которого служат:
1) 2) г' + З: 3) 2 —г; 4) a-j-ii.
395. Составить уравнение третьей степени с действитель¬
ными коэффициентами, корнями которого служат:
1) 3 и >; 2) — 1 и ё+1; 3) 1 и 2 — i;
4) О и 1-j-i: 5) — 2 и 1 —j— i; 6) — 2а и а + bi.
396. Составить уравнение четвертой степени с действи¬
тельными коэффициентами, корнями которого служат:
1) i И 1+г; 2) 1+г и 1—2?'; 3) 2 + г и 1+2г;
4) 3i и 2i; 5) ai и Ы\ 6) а-\-Ы и
397. Составить многочлен пятой степени с действи¬
тельными коэффициентами, корнями которого служат: 1,
1 -И
1, — 1, и который обращается в 1 при ж=0.
Рациональные (целые) корни уравнения п-ой степени.
398. На основании теоремы Безу и последней из фор¬
мул Виета решить следующие уравнения:
1) ж5 - .Г* — 12а3 — 53.7-= + бЬх = 0;
2) х5 — х' = 0;
3) .г3 — 7.г+6 = 0;
4) а;3—7аг + 16а:—12 = 0;
5) х* — 2.г3 + 2.г2 2х + 1 = 0;
6) а-5 — х* — 5а:3 + 5.г2 + 4г — 4 = 0;
7) -а-5 + а:4 — 2а:3 — 2 а'2 -j- х + 1 = 0;
8) хъ — 5а4 — 13а3 + 16.г= + 36г —180 = 0.
399. Составить уравнение с действительными коэффи¬
циентами (возможно низкой степени), корнями которого
служат числа:
— 90 —
1) 1, 2, 3; 2) 1, 2, 14- i;
3) 1,-1, 0, 2, —2; 4) i, 4,— 4;
5) 2, i 1, i; 6) 5, г, 1 + *;
7) двухкратный корень = 1 и трехкратный = —1;
8) 3 и —3 являются трехкратным корнем каждый.
400. Показать, что если уравнение
я* + ргг» 1 f р2 Сп~2 + ... г pn-rr + = 0
не имеет целых корней, то оно не имеет и рациональ¬
ных корней [положить х .= q- (где q и s целые числа) и,
умножив члены уравнения на s""1, свести к равенству нулю
суммы дроби и целого числа].
§ 5. Уравнение третьей и четвертой степени. 1
401. Сколько корней имеет уравнение третьей степени?
Может ли существовать уравнение третьей степени с
действительными коэффициентами, все корни которого
были бы мнимы? Сколько мнимых корней может иметь
уравнение третьей степени с действительными коэффи¬
циентами?
402. Написать уравнение третьей степени, которые имеют
следующие корни:
1) 1, 2, 4;
3) 2, 3, —5^ __
5) 7, -!- \ ГЪ, —V 5;
7) —8, 0,36;0,75;
9) 7, — —4J-;
И) 3, 1-f ц
п -3+ iT -3- /5.
' о, 2 9 g 9
403. Составить уравнение третьей степени, все три корня
которого равны: 1) -J- 5, 2) —4, 3) гс.
404. Составить уравнение третьей степени, корни кото¬
рого суть: 1) =Т2 = 10, .>3 = —ю; 2) Х1=Х2 = а, х3—Ъ.
2) 1, 1, —2;
4) 3, — 4, — 7:
б) 2, +/=3; з7
в) 4; I; -°>75’
10) 3|, — —_1,5; __
12) —5, 2+Vr5, 2 — 1 "5;
1 ^ 1 1 ® I з
14) — 1> 2
— 91 —
405. Составить соотношение между корнями и коэффи¬
циентами уравнения третьей степени (теорема Виета):
1) л-3 + р.г+7 = 0;
2) .г3 +Prr2 -I - Р25' Рз =
3) fl0.r3 + игг+[- «2х + я3 = 0.
406. На основании теоремы Виета составить уравнение
третьей степени, корнями которого служили бы:
1) 2, —3, 4; 2) —2, +3, —4;
3) + 4) 2, 1у, },
5) 1, 1 + 2/, 1—2/; 6) —2, 1+i, 1 — ?.
407. Угадывая один из корней уравнения, на основании
теорем Везу и Виета, решить уравнения:
1) х3—5х=12;
2) х3 — 7.г2 + 50 = 0;
3) .г3 —8.г2 + 13.г —6 = 0;
4) .г3— 4.’’3 + .г + 6 = 0;
5) а-3 — 6а;2 +1 l.r — 6 = О;
6) х3 + 2-г2 — 23.т" + 6 - 0.
408. Следующие целые функции представить в виде
произведения линейных множителей:
1) у=х3 + 4а-2 + х—6;
2) у — х3—19а- + 30;
3) у— х3 + 4а;2 + 4.г;
4) у.= 1бх3—16а-2 —а-+1.
409. Составить уравнение четвертой степени, корнями
которого служили бы числа:
1) 1, 2, 3, 4; 2) 1, —1, 2, —2, 3) 1, 1, -* 2;
4) 1. —1, /; 5) г, ЦА 6) 2, 3, {\
7)=Ь2,ЧГ1^ 8) l^r'27^41; 9)
410. Написать биквадратное уравнение, если корнями
его служат:
1) i и —2/; 2) —2 ИЗ; 3) 1 и — 4; 4) 1 +/; 5) 1—?.
— 92 —
411. Написать возвратное уравнение четвертой степени
с действительными коэффициентами, корнями которого
служат:
1) 5 и 3; 2) 1 и —1; 3) 2 и г; 4) l-j-i; 5) 1 —г.
412. Определить р и q (р и q числа действительные) так,
чтобы многочлен х* -f- 4а:3 -}- ба-2 4- рх -J- q 1) делился бы без
остатка на я2-(-За-4-2; 2) делился бы без остатка на а; 4-*-
413. Решить уравнения;
1) х* ■— За3 — 6х—18;
2) х4 —5j-34-2.r24-20/- —24 = 0;
3) х*— 2а;3-|-5а-2 — 8а 4-4 = 0;
4) J’4 — 1 За:2 4- 48.r — 60 = 0;
5) .т4 — 6.г3 4- 24а: — 16 = 0;
6) х* — 2а-3 — а- 4- 2 = 0;
7) х4 — 12 с" 4 47.г2 — 72 а: 4 36 -= 0.
Уравнение третьей и четвертой степени приведенного вида
и графическое их решение.
414. В функцию:
у = Х3-\- ргХ2 4 -j- Рз-
подставить новую переменную х', связанную с х следу¬
ющим равенством
X X —j— )}1•
2) Определить т так, чтобы коэффициент при х'2 в
полученном выражении функции был равен 0.
415. Пусть уравнение:
х3 4- Plx2 4р2.г 4-Р3 = О,
после преобразования принимает вид
х’3 рз? 4-9 = 0.
Какими равенствами связаны между собой коэффициенты
plt р2, р3 и коэффициенты р, ф
416. Следующие уравнения третьей степени преобразовать
в уравнение приведенного вида:
1) х3 — За:2 4- Ьх — 7 = 0; 2) 2-г3 — 12а:2 -{- 8а: — 19 = 0;
3) х3-\-Ьх2— 3-г— 16 = 0; 4) 5а-3 — 7.г2 + За — 8 = 0.
417. Показать, что подстановка, приводящая к уравнению .
приведенного вида, соответствует такому смещению соответ¬
ствующей кривой, что точка перегиба оказывается -на оси у.
418. Доказать, что кривая, представляющая функцию
3-й степени, имеет центр симметрии в точке перегиба.
419. 1) Как выражается каждый из трех действительных
корней j-j, *2, jt3 приведенного уравнения *3+ р* + ?=О,
через два других?
2) Каким равенством связаны между собой действитель¬
ный корень и мнимые корни *2 = а2 +IJ, x3 = a3-j~l3i
приведенного уравнения j3 +.р* + q=Q.
420. В функции у = *3 + а*‘2 + 6 сделать замену незави¬
симой переменной посредством подстановки Как-.й
вид принимает функция после такой подстановки?
421. 1) Пользуясь подстановкой предыдущей задачи,
преобразовать уравнение *3 + а*2 + й=о в уравнение при¬
веденного .вида. 2) Исследовать, приводит ли эта подста¬
новка быстрее к цели, чем подстановка, указанная в
№ 415? 3) В каких уравнениях 3-й степени замена, у ка
занная в предыдущей задаче, приводит к цели?
422. Следующие .уравнения преобразовать в уравнение
приведенного вида:
1) *3+5*z — 4 = 0; 2) *3+2*2 + 5 = 0;
3) *3—^+6 = 0; 4) 2*3 + *3+1=0.
423. В функции y = xt-\-p1x3-\-'p2x--\-j)3*+р4, сделав
замену независимой переменной при помощи подстановки
*=*' + т, подобрать такое значение длят, чтобы коэффи¬
циент при *’3 обратился в 0.
424. Преобразовать следующие уравнения так, чтобы в
преобразованном уравнении отсутствовал член с третьей
степенью неизвестного:
1) *4 + 4*4 + 6*2 + 4* +1 = 0;
2) *4 — 4*3 -р 6.г2 — 4* + 1 = 0;
3) *4 + 8*3 + *—1 = 0;
4) .г4 — 6*3 + 5*2_2*+2 = 0;
5) *4 + 4ах3 + 6а2*2 + 4а3* + а4 - О;
— 94 J-
425. Решить графически следующие уравнения при по¬
мощи определения точек пересечения раз навсегда построен¬
ной параболы у = х3 и прямой у=7сх-(-6 (для решения
можно воспользоваться параболой фиг. 6, ст. 52. Обратить
внимание на различие масштабов!)
1) x3-j-х = 10; 2) X3—а- —j— 10 = 0;
3) х3 — 7х -|- 6 = 0; 4) х3 — Зх = 2;
5) х3-|-х= 1; 6) Xs — х=1;
7) 4х3 — 27х -}-27=; 0; 8) х3 -j- 14х — 36 —0;
9) х3-f87—24 = 0; 10) х3-{-10х~ 50= 0;
426. Показать, что уравнение
хз ргг2 4- д2х 4- р3 = о
может быть разрешено графически пересечением параболы
У = -*аЛ-р1х+р9
с гиперболой ух-|-р3=0.
427. Написать уравнение параболы и гиперболы (по
аналогии с предыдущей задачей), пересечением которых
определяются корни уравнения
х2-(- рх q = 0.
428. Решить графически приемами, указанными в двух
предыдущих задачах, уравнения:
1) х*_х = в; 2) х3 ] х4-7 = 0;
3) _ 4u-2 _J_ 4.г = 1; 4j ,гз _ 4 х3 -|- 7х — 6 = 0.
429. Показать, что корни (действительные) приведенного
уравнения четвертой степени •
х44 рх2-1 чх ~v3 ; ()
могут быть найдены, как абсциссы точек пересечения
парабол у = х- и
1 ■, р 2
Х= У2- £- I! —• —.
Я 7 "
430. Показать, что действительные корни приведенного
уравнения четвертой степени
х4 4- рх2 4- qx -f- х — О
- 05 —
могут быть получены, как абсциссы точек пересечения
неподвижной параболы у=х2 с окружностью
при чем постоянные а, Ъ, р могут быть выражены через коэф¬
фициенты уравнения р, q, г. Найти эти
выражения (фиг. 22 изображает ре¬
шение указанным методом уравнения
а-4 — З.г3 -j- 4а 3 = О, « = — 2, Ь = —
— 2» ?—] 5). Почему в этом случае
нельзя брать вертикальный и горизон¬
тальный масштаб различными?).
431. Решить указанным приемом
уравнения:
1) .г4 — 4a2-j-5a—4=0;
2) а4 — a2 -j- 2а — 2 = 0;
3) а4 — 6а2 — За-j-2 = 0;
4) а4—5а2 —2а-j-1 = 0.
432. Показать, что корни уравнения:
а4 4^а2 -j- р2т- + р,а 4-1=0
могут быть найдены, как абсциссы точек пересечения не¬
подвижной гиперболы -п) = 1 с окружностью
а2 4^гг 4 р2 4 /ъН' У2 = О ИЛИ
[а' + -т) + (!' + Т') =(т) +{2) ~2'*-
(фиг. 23 показывает применение ука¬
занного метода к решению уравнения
а4—Ц а:! — 4 \ .С2-] За ;-1 = 0). Ре¬
шить указанным приемом уравнение
№ 4 задача 431.
433. Показать, что если умно¬
жить на х все члены уравнения
а3 4- рх q = О,
то, введя новый корень х = о, можно
полученное таким образом урав¬
Фиг. 23.
Фиг. 22.
— 96 —
нение решить графически, находя точки пересечения не¬
подвижной параболы у — х- с окружностью
43*. Решить последним приемом уравнения:
1) о-3 -j- а- — 2 = 0; 2) дг3 -J- 5л- -1- 3 — 0;
3) х-3 — 5х4-3 = О’, 4) л-3— 7х-1-0 = 0.
435. Показать, что решение уравнения:
х3 -j- рг х2 -J- р2х р3 = о
умножением этого уравнения на аг+-^ может быть сведено
Jr
к отысканию общих точек пересечения гиперболы ху = 1
с окружностью, центр которой лежит в точке
[-+ — у (Рз + “)] и которая проходит через
точку ( —, — Рз) (сравнить с задачей 432).
\ Р'2 i
436 Решить указанным приемом уравнение:
х3 — л2 — 4х 4-4 = 0.
Исторические задачи.
437. 1) Делийская задача об удвоении куба. Найти ребро
куба, объем которого в два раза больше объема данного
куба с ребром а.
2) Задача Менэхма (370 до P. X.) к двум данным отрез¬
кам а и Ъ найти пару средних пропорциональных, т.-е.
найти такие два отрезка х и у, чтобы:
а : х = х : у = у:Ь.
а) Найти х. б) Показать связь между этой задачей и задачей
удвоения куба. (Скольким а должно равняться Ъ, чтобы х
представляло ребро этого куба?) в) Решить пропорцию гра¬
фически, пользуясь пересечением двух конических сечений.
3) а) Дан угол а; полагая Sin а — т (Sin а может быть
построен, раз дан угол а; он представляет значение поло¬
вины хорды дуги 2а радиуса, 1) составить уравнение, кото¬
рому удовлетворяет x = Sin Для составления уравнения
составить выражение Sin а через Sin “ , пользуясь, напри¬
— 97 —
мер, теоремой—Муавра). Какой степени оказывается соста¬
вленное уравнение? Почему произвольный угол не может быть
разделен на три части при помощи циркуля и линейки?
б) Решение Декарта (1596—1650). Параболу у- = х пере¬
сечь кругом:
(.* — 2) -ь(у+1") =22 + -4Г
ь) Показать связь между координатами точек пересечения
и корнями уравнения
,j3 — 3y — q
(уравнение у3— q получится, если положить 2 sin “ =у
И 2 sin a = q).
4) Задача Архимеда (287—212 до P. X.). Шар рассечь
плоскостью так, чтобы объемы полученных при сечении
частей находились в определенном отношении.
а) Показать связь этой задачи с пропорцией
(а — х):Ь = с'2: хг
п определить х. [Для получения написанной пропорции
положить, что одна из частей, на которые рассечен шар,
(например большая) составляет часть его объема X, т.-е.
обладает объемом Х*- к/?3; Ш обозначить через Ь, 2И через
с и 3.R через а, высоту этой части (или принять круг сече¬
ния за основание) через х].
б) Решить пропорцию графически пресечением параболы
еа
х=-—у
а 9
с гиперболой
у (а, — .с) = Ьа
показать правильность такого решения приписываемого
Архимеду.
в) Решить пропорцию графически пересечением пара,
болы
х? = су
с гиперболой
у (а—х)~Ьс.
Показать правильность этого решения, принадлежащего
арабам.
Сдкршцев. сСорвив jopaaai и ьадич. Ч. III. ' 7
Если в многочлене у = fn(oc) = п0осп -f- + а.,тп~- + • ■ •
+ "n-i^T", вместо ос подставить а, то результат такой под¬
становки равен остатку, который получится при делении многочлена
на jr,s=a (теорема Безу).
Если результат подстановки а вместо х в многочлен у = fn(oc)
равен О (а служит норнем многочлена y=f(x)) то многочлен де¬
лится без остатна на ос — а.
Многочлен л-ой степени может быть представлен в виде:
/„(•*’) = айос" + tfj*" 1 + «2.г"-2 +... + «„_!•» + «„ =
= а0(ос — а,) О' — а.,) (ос — а„) ... (х — «„), где аг а.г ая... ап
представляют п норней этого многочлена. Всякое уравнение н-ой
степени имеет н действительных или комплексных корней.
Между коэффициентами и корнями уравнения м-ой степени су¬
ществуют соотношения (теорема Виета):
ai + а2 + аз + — + 1 + = — ~
aia2 + aias + aia* + - + a. -ia» = ~
а1а2Я3 "T* 21а224 + ai23a4 "T* - “Г an-2an Ia„= —
aia2a3-an-ia„=(— 1)"
Если уравнение с действительными коэффициентами имеет ком¬
плексный корень вида р + /г/, то оно имеет и корень р— iq.
Всякое уравнение нечетной степени (напр., третьей) с действи¬
тельными коэффициентами имеет, по нрайней мере, один действитель¬
ный корень.
Если уравнение
ос" + р1х"-л + р.20С’-'- -f-... +р„-гос + рп = О
не имеет целых корней, то оно и не имеет рациональных корней.
Целые корни уравнения (если они существуют)
осп + l^OC" -t- р2осп~* + psocn~s + ... + Рп^ОС + рп = 0.
являются делителями свободного члена уп этого уравнения и могут
быть найдены конечным числом проб (подстановок целых чисел вместо ос),
так как число делителей всякого числа -конечно.
— 09 —
Задачи об удвоении «yJa и делении произвольного угла на три
части (а также задачи Менэхма и Архимеда) представляют из
себя задачи третьего порядка, так как их алгебраическое решение
сводится к неприводимому (не имеющему корней, рационально вы¬
раженных через его коэффецненты) уравнению третьей стапени.
Эти задачи не могут быть решены построением при помощи
проведения прямых линий и окружностей (при помощи циркуля и
линейки;, так как при помощи циркуля и линейки разрешаются за¬
дачи, приводящие к квадратному уравнению или к уравнению высшей
степени, сводимому к решению квадратных уравнений.
Последнее следует из того, что решение систем уравнений
( (х — а)2 -1- (у — bf = v- f fx—а)- -1- (у — b)~ — г:
I Ax-\-Jiy-\-C=0; H 1 (x—а')-А-(у— b)"- — r;
определяющих пересечение окружности с прямой, или двух окружно¬
стей исключением одной координаты, сводится к решению одного
квадратного уравнения с одной неизвестной.
§ 6. Дифференцирование целых рациональных Функций,
определение непрерывной функции.
438. Если за значение независимой переменной х мы ножей
принять лхбое число в некотором промежутке от а до Ь
а>х,^Ь,
то такое изменение переменной х называется непрерывным.
Будет ли изменение переменной х непрерывным, если
х принимает 1) только целые значения; 2) если х принимает
только рациональные значения?
439. Будет ли изменение х в интервале от 0 до 1 непре¬
рывным, 1) если значением х может быть любая конечная
десятичная дробь или любая периодическая дробь, целая
часть которой равна 0? 2) если значением х может быть
любая конечная или бесконечная дробь, целая часть кото¬
рой равна О?
В дальнейшем мы. говоря о характере изменения функции в ка¬
ком-либо интервале, будем считать независимую переменную всегда
изменяющейся непрерывно
7*
— 100 —
440. Пусть функция у=/(х) изображается в некотором
промежутке от а до Ь некоторой сплошной кривой. Показать
на чертеже, что при любом значении х в этом промежутке
всегда можно подобрать такое число е, что при всяком
приращении независимой переменной меньшем по абсолют¬
ному значению, чем е, приращение функции по абсолютному
значению будет меньше произвольно заданного числа г,.
441. Формулировать словами определение непрерывной
функции в интервале заключающееся в том, что
для всякого значения х в этом интервале:
I f(x2) —1(*) I Oi I /faj + h) I <7j
при или при
| a*j — a? | <e, I* Кг-
442. Показать, что следующие функции являются непре¬
рывными функциями в интервале — оо <#<сс, т.-е. при
любом значении х
1) у = 1гх
3) у = х*
5) у — ах2 -j- Ъх -j- с
7) у = ахт.
443. Доказать теорему, что сумма двух (или несколь¬
ких) непрерывных функций есть функция непрерывная,
(указание: чтобы сумма п слагаемых имела значение меньше
7j, достаточно принять меры к тому, чтобы значение каждого
слагаемого быле меньше—).
п j
444. Доказать на основании предыдущей теоремы, что
целый многочлен у — а(рсп-\-а1хп~г-\-сцхп-'-\-...-\-ап_гх-\-ап
есть непрерывная функция х (а0 Ф о) в интервале:
— оз О < со.
445. Доказать, что произведение двух непрерывных
функций есть также непрерывная функция х.
Функция называется непрерывной в интервале от а до Ь, если
при всякой ос, удовлетворяющей неравенствам
2) у = ~кх-\-Ь
4) y — xs-\-px-\-q
6) у =
— 101 —
можно найти такое малое число г, что при любом приращении неза¬
висимой переменной, по абсолютному значению меньшем е, приращение
функции оназывается меньше (по абсолютному значению) любого
наперед заданного числа г,.
Функция у = ахп есть непрерывная функция х при любом но-
нечном значении х (при изменении х от — содо-J-oo).
Сумма двух (или нескольких) непрерывных функций есть функция
непрерывная.
Целый многочлен есть непрерывная функция в интервале
— ОО < X < оо.
Произведение двух непрерывных фуннций переменной х есть
непрерывная функция* той же переменной.
Производная степени и постоянной.
446. Показать, что следующие две (различный по внеш¬
нему виду) формулы выражают одно и то же определение
производной (предполагая, что функция непрерывна и
имеет производную) для y=f(x):
1) «,' = /'W=liin-^=l i
Д® о ®i a; xi ж
и И) y'=f{x) = I i mlimf<.r + h)-f<£).
/\х о Л -> о
447. Вывести выражение производной степенной функции
у = хп:
}/ =
где под н разумеется натуральное число, пользуясь фор¬
мулой I (выражающей определение производной) и сокра¬
щая дробь х1=..г до перехода к пределу.
448. Показать, что если y = af(x), где а есть постоян¬
ная, то у' = а/'(х).
449. Написать производные следующих функций (а и Ъ
обозначают постоянные, п — натуральное число).
1) У = ^\ 2) У—'7; 3) У = хлъ)
4) у = 3х>; 5)0=^; 6)9 = !*8;
7) у = (2хУ\ 8)у=(у)3: 9) 9 = (ях)5;
— 102 —
1 Oj у — 7x7; 11) y=:52.r; 12) у — 3 - 71!\г1я;
13) «/=•*'"; 14) y~A-"+1; 15) y = xln~'l\
16) , = I7)sr=^; 18)»=
19) i/ = J " б..г’; 20) 2/1= sin -Г”; 21) $/ = (n-.r3)-.
450. Написать первую, вторую и третью производные:
1)2/ -х5, 2)»=£; 3)у= V
4) yz=j«-i; 5) у=- ал'^\ г>) У=3-\
01 /и 4- 1)-гп+1 г,ч
7) 2,= н-„ 8) 2/=-^,Т1>- ; 9) 2/=
Производная суммы и разности.
451. Определить производные для
1) jr==j-3_]_.r2. 2)2/ — .г»-}-.г*; 3) у .= .<■"-f '.r;
4) у==.г5-|-1; 5) у = хъ-1 7; 6) у -г5-j-100.
452. 1) Доказать, что если y=f\x)-\--tfx\, то
2) Обобщить правило нахождений производной суммы
функций на случай; а) разности двух функций, б) суммы
трех функций, в) ю-членной суммы (и есть целое конечное
число).
453. Сравнивая выражения производных.
1) у = .г'-\ Зи у , 2) у = А’п и у — хп -j-а,
где а постоянная величина, найти, чему равна производная
постоянной.
Выяснить, почему производная постоянной равна 0. (Какое
только значение может иметь приращение величины, сохра¬
няющей одно и то же значение при любых изменениях а?)
454. Написать производные:
1) y =
2) у ~ а г" -j- Ьхч~2 - ] с.г"-4;
3) У = -г” -f- ciJ"‘ М- а2-г”~2 1 ••• Г п*-уг ,
4) у=аохП+а1-,и—1 +- vn~~2 -г • • ■ т ««-г'- т
— 103 —
л” I .v"~i . .г" 1 , . ж2 . .г
5) У - п 1 п~ 1 + ,г^2+ • • • + 2 + 1 *
61 v = С -4- ; в' а ' _J_
п! Ч«— 1>!^(« — 2)Ф'“ ' 2! ^ 1:
455. Для функций, указанных в задаче 449, вычислить
вторую и третью производные.
456. Вычислить: 1) и-ую, 2) »— 1-ую, 3) M-fi-ую про¬
изводные функции н-ой степени
у = д* _|_ а^"-1 + ... + ап_1Х -f ал.
Производные произведения.
457. Доказать, что если y=f(oc) ъ(х), то
у’ ~f(r) ■ i(K) + iipb) f(pc).
Проверить справедливость этого правила, вычисляя
сперва непосредственно производные следующих функций,
а затем, рассматривая эти функции, как произведения:
1) у — л'2 = Х-аг-, 2) y = r2-\- 4.r-f-4 = (.r-j-2)2;
о) y — axnzx=n-jrn;
4) ?/=.Г* -L .r2-f 1==(.,-2_.г J 1)(Ж2 |_ r _j_ 1).
5) у = хп—х-хп~г; 6) У = хг—1—-(.г Д-1)(х—1J;
7) y = af(x) — a-f\x).
458. Найти производные следующих функций:
Ц у — О3 -j- .г3.4- а-)2; 2) у = (.г" — хп 2 -|- II2;
3» у = {.rn xn~i -ф-j-"-2 -J-. .. -р -j-.г2-|-a--j-1 Is;
4» у = = (.тг- j п)(.г"-\- ?>);
Г>) у--(г2—1)(гз X j-Л-1)(.г2 | I)2;
61 y = -r-f(Jr); 7) y = x"-f(x 1;
81 у= f(-0• ф')- КК 9) у—Г/■ (.г)]2;
Ю) y = (i-f.r)*; 11; (1—J-15; 12) (1 —(— jc)"; 13) (я j- Ьх)\
Смешанные задачи.
459. 1) Построить кривые, разыскав maxima и minima
функций, точки перегиба, а также последовательные целые
числа, между которыми лежат корни (или целые значения
корней, если такие существуют):
\
— 104 —
a) y = xi — 2; б) у = х±—х; в) у = + ж® Ч~ 1;
г) у = х*— За;2-}-4; д) у = х*— 4#2-}-4.г — 1;
2) Найти такие значения коэффициентов а, Ъ, с, d, при
которых графика функции
а) проходит через начало координат и имеет точки
поворота (maxima или minima) при а-=1, .г = 2, :г = 3;
б) проходит через начало и имеет точки поворота при
х =—1, х — — з, х = — 5;
в) проходит через начало и имеет точки поворота при
х — ту, х = т2, х~тТ
г) Какой вид примет функция, если предположить, что
т1 = т2 = т3?
д) Если кривая имеет точки перегиба а) при а-=3 и х=—4,
б) х — Uj и x — iv2, в) x = iv и х — — W.
3) Исследовать кривую у = (х2—I)2 по отношению к пе¬
ресечению с осью х, maxima и minima и точкам перегиба и
найти касательную в точке перегиба.
4) Исследовать кривые;
460. Сравнить площадь S (фиг. 5), ограниченную осью
х ординатами точек А0 и Ап и кривою А0 Ап, с площадью sn,
образованною прямоугольниками
и т. д., вписанными в эту фигуру, и с площадью SnT обра¬
зованною прямоугольниками
у = х* -]- ста-3-}- Ъх2 сх-\- d
а) У — (х2 — I)3;
В) у = (.Г — 5)s — 80jc;
б) у = (хЗ~ I)2;
г) У = (х — 4)4 — 32#.
§ 7. Понятие об интеграле.
Л0 0 1 1* •с'1'л1-и2т2
— 105 —
описанными около соответственных частей площади S.
Какая из этих трех площадей наименьшая? наибольшая?
Почему Sn — s„ меньше площади прямоугольника LNPQ?
Что служит основанием этого прямоугольника? Высотой?
Что Судет происходить с площадями вписанной и описан¬
ной около кривой фигур, если мы будем увеличивать число
точек деления хг, х2, xz...1 Что будет происходить при этом
с высотой прямоугольника LNPQ1 Его основанием? Как
будет изменяться при этом площадь прямоугольника LNPQ1
Почему? К какому
пределу будут при¬
ближаться площади
вписанной и описан¬
ной фигур? К ка¬
кому пределу будет
приближаться пло¬
щадь фигуры, огра¬
ниченной осью х, ор¬
динатами точек А0
и Ап, и ломаной,
которую образуют
хорды, соединяющие
точки А0 и Av А1
п Аг, Аг и А3 и т. д.? Фиг. 5.
Почему?
461. Вычислить Ающадь S треугольника, ограниченную
осью х, ординатой точки, абсцисса которой равна х, и пря¬
мою y=^Jcxl Что будет происходить с площадью треуголь*
ника при изменении х? Написать выражение S, как функ"
ции х. Найти производную S по х. Сравнить выражение
этой производной с функцией у = кх, геометрическое изо¬
бражение которой ограничивает треугольник.
462. 1~1 Выразить площадь S трапеции, ограниченной
осью х, прямою у = кх, и ординатами точек, абсциссы
которых суть 1 и х, как функцию х. Найти производную
S по х.
2) Выразить площадь S трапеции, ограниченной
осью х, прямою у — кх-\-Ь и ординатами точек, абсциссы
которых суть а и х, как функцию х. Найти производную
S по х.
— 106 —
463. Дана парабола у — х2
(фиг. 6). Найти выражения
площадей трапеций РР'М'Ж
и QMM'Q’ через абсциссы х
и X] точек М и ДР. Чему
равно отношение этих пло¬
щадей? К какому пределу
приближается это отноше¬
ние при неограниченном
уменьшении разности—х?
464. Вычислить площадь
прямоугольника OGKL
(фиг. 6) как функцию абс¬
циссы х точки К параболы.
Рассматривая площади OGKM'MO и OLKMMO, на которые
делится прямоугольник OGKZ параболой, как пределы
площадей многоугольников, ограниченных осями координат,
параллелями к осям, проходящими через точку К и лома¬
ной О...ММ'К, вписанной в параболу, найти отношение
площадей этих фигур, на которые парабола делит прямо¬
угольник OGKL. (Воспользоваться результатом, полученным
при решении предыдущей задачи). Выразить площадь,
ограниченную параболой, осью х и ординатой, соответ¬
ствующей абсциссе х, как функцию х. Найти выражение
производной площади этой фигуры. Сравнить выражение
этой производной с функцией у — х1 (уравнением параболы).
465. Дана парабола третьего по¬
рядка у — х3 (фиг. 7). Найти выраже¬
ние площадей трапеций РР'ШМ и
QM'M (}' через абсциссы х и х, точек
М и И’. Чему равен предел отноше¬
ния этих площадей? Найти отноше¬
ние, в котором парабола у = х3 делит
площадь прямоугольника OQ'M'P'O.
Найти выражение площади прямо¬
угольника OQMPO, как функции х-
Найти выражение площади фигуры,
ограниченной параболой у=х3, осью х
и ординатой, соответствующей аб¬
сциссе х, как функции х. Найти вы-
107 —
раженпс производной этой функции. Сравнить это выра¬
жение с уравнением параболы у = х\
466. На основании рассмотрения фиг. 8 показать, что
функция y=f(x) является производной для функции S,
выражающей площадь фигуры, ограниченной осью х, кри¬
вой y = f{x) и ординатами, соответствующими абсциссам а
и .г (а постоянная). Изменится лп выражение производной,
если начальную ординату, кото¬
рой ограничена площадь, слева
заменить другой ординатой, со¬
ответствующей какой-нибудь
другой абсциссе Ь (Ь вместо
а,6 О)? На какую площадь бу¬
дут различаться друг от друга
функции S' и S1 (площадь огра¬
ниченная осью х, кривой и ор¬
динатами в точках Ъ и х)? Пред¬
ставляет ли эта разность по¬
стоянную или переменную величину при неизменных ои^
Почему в таком случае производные функции S' и S', долж¬
ны быть равны?
467. Функция, имеющая данную функцию у - /(.г) своей
производной, называется по отношению к этой функции—
начальной функцией и обозначается посредством
£(•*0 = I
в том случае, когда является безразличным, какую ордина¬
ту принять за начальную при вычислении S, т.-е. когда
требуется найти лишь выражение начальной функции. Сим¬
вол J f(x)dx называется неопределенный интегралом. (В чем
заключается его неопределенность?)
Если же имеется в виду вычисление площади, ограни¬
ченной ординатами, соответствующими определенным абсцис¬
сам а и X, то выражению S дают вид
$ = J
Это выражение называется определенным интегралом. Если
изменять X (конечную абсциссу), сохраняя а неизменной,
— 108 —
то S окажется функцией X; поэтому вторую формулу пол¬
нее можно записать в виде
п X
8{Х) = j f(x)djc.
Проверить дифференцированием следующие равенства,
принимая во внимание, что, согласно определению, произ¬
водная функции J f(x)d.x есть f(.г):
1) J 3r2d.r—.rs-\- С. (Почему прибавлено постоянное сла¬
гаемое (Л)
л
+ С; 3) j xdx = ^-'r С;
4) | (г + 1)*г = £ + л -f С; 5) f хЧх = * + Ci
6) J (8.г7,-}- 3x?)dx — хъ -}- а;3 -}- С;
7) j = +
468. Показать, что выражение площади S, ограниченной
кривою, осью х и ординатами, соответствующими абсциссам
а и Ъ, имеет вид:
S=\ f(x)dx = F(b) — F(a)t
J a
где под FQr) разумеется какая-нибудь из начальных
функций для функции f(x). (Чем разнятся друг от друга
различные начальные для функции f(x)7)
469. Вычислить площадь, ограниченную осью х, линией
1) у = 1сх и ординатами, соответствующими абсциссам
4 и 7;
2) y — lix и ординатами, соответствующими абсциссам
5 и 5;
3) у = Ьх и ординатами, соответствующими абсциссам
5 и — 5 Ч;
4) у=х2 и ординатами, соответствующими абсциссам
О и 4;
2) j хЧх — у
*) Объяснить, почему в этом случае получается странный, на первый
взгляд, результат.
— 109 —
5) у=.г7 и ординатами, соответствующими абсциссам
1 и 9;
6) у = х2 и ординатами, соответствующими абсциссам
— 3 и 3;
7) у —Xs и ординатами, соответствующими абсциссам
О и 4;
8) у=*х3 и ординатами, соответствующими абсциссам
3 и Б;
9) у=х3 и ординатами, соответствующими абсциссам
— 4 и 4;
10) у=х*-\-хг-\-1 и ординатами, соответствующими
абсциссам 0 и 5.
§ 8. Дробные рациональные функции.
Нули и бесконечности функций.
470. Определить нули (т.-е. значение х, при которых
функция у обращается в 0) следующих дробных рацио¬
нальных функций:
, \ х — 1 г, л xi — 4л-
. х — 5 . Л а:2 + 2х — 8
3) У ) iJ S2 —1
ХР 1 . pv х3—1 .
^ У аЯ -Л-г,-Л- V У ~
'х* + х-{- 2’ ' и а* + а: + 2’
.. х*—2 _ х3 — 3
7)У—^ГУ — ~2 +
471. В каких случаях дробная рациональная функция
не имеет нулей? (Дать примеры.) Найти нули следующих
дробных рациональных функций (или указать, почему
их нет):
2b=S-±;;
X2—1 х — 1
3) у а2 -j- а1 — 2’ У а;2 + 2.г~—3’
,. х 4-1 х3 — 4л: + 3
5) У — j-2^x —6’ ^ У~~х* + Ъх — 6'
4-72. Определить бесконечности (точки разрыва, т.-е.
значения х, при которых выражение функции у не имеет
смысла, так как принимает вид ^, или, как говорят, обра¬
щается в бесконечность) следующих рациональных дробных
функций:
а- — 3 Л г — 7
!) У=^=Гц 2) у = -~х
о. а- —2 х — 1
V У = *Г=У 4>
J J 'У* + ^ -г ir* ’ ’ (а- — 2)(«з — 3/
а-З-1 .г — 1
0»=75Х-т; * S) У
л* + ]’ J J ггЗ + аг + Г
В каком случае дробная рациональная функция не имеет
точек разрыва? (Дать примеры.)
473. Исследовать, получают ли следующие функции бес¬
конечное значение, и если получают, то при каких значе¬
ниях аргумента:
, х . .г- — 2.с — 3
иу=-йг+4; 2>» = —
а-2+За: —10 .. ar* -f 3.-- —10
3> У = —#=г~; 4) У ■ —^-+пю—
474. Для следующих дробных рациональных функций
сперва определить их нулевые значения и бесконечные
значения, а затем построить графики этих функций:
- л11 —
475. 1) Какое значение принимает при х=2 функция
а-* — 5.т 6
У ~ .Г* — Tj- + 10’
2) Какой смысл имеет символ °?Найти предел выра¬
жения ПРИ г 2-
.(■- — 7ж -р Ю (а?—2) {х—5) г
3) Почему можно утверждать, что числитель и знамена,
тель в выражении дробной функции делится на а-—т, если
о,
при х—т дробная функция принимает вид .-
476. Найти пределы следующих выражений:
w-2 1 — 1
1) liiu ——j; 2) liui
—: inn ...
1’ ’ -у Л 1
-1 .■ ■*“ — 1
3) г 4) ё У
Л—1
5) Иш ^у-; & lim а--а
Ъ'™ 8) т
о.,0 , „_1 ^ За:* \-7x-\_
и)шis) "”-snr7-’
-r=i ‘ 3
mi
Производные. Maxima и minima.
477. Для функции у = х 1 1) составить отношение при¬
ращений (устраняя сокращением встречающийся в
знаменателе множитель —./1). 2) Найти выражение произ¬
водной.
478. Какое направление имеет касательная к равно¬
сторонней гиперболе у—х''1, в точках, абсциссы которых
суть: 1) .< = 1, 2) х = 2, 3) а- = — 1, 4) * = {. К какому
предельному положению стремится касательная, если значе¬
ние абсциссы 1) неограниченно убывает по абсолютному
значению? 2) неограниченно возрастает по абсолютному зна-
— 112 —
чению, принимая а) положительные значения, б) отрица¬
тельные?
479. Вычислить производные следующих функций:
1) У = 1> 2) » = 3) У = ^х + Ь>
4) у = ±; 5) у = ±
480. Показать, что формула производной функции у=хп
у'= пх"-1
имеет место и в том случае, если п есть целое отрицатель¬
ное число.
481. Для следующих функций написать 1-ю и 2-ю про¬
изводные:
2) у=(й^Д)1^г*;
3) * = £ + *■; 4)у = х“+Л
5) у = ах-f J- +6) у = х* —
7) »=«o+?J-H3+3+S + ..-+&;
8) У = 1+^ + -^+зЬ +ii + '-'+i*
482. Определить maxima и minima следующих функций:
1) * = 2) у = хЛ-1;
3) У = ^ + ^ 4)» = 3** + 4;
Г л За: , 8. а:* —9
= т + 0)9 = ^-.
483. Показать, что если у=то у' =
484. Убедиться в справедливости этой формулы, находя
производные следующих функций 1) непосредственно,
2) как для частпых:
1) у = ах~п = ^; 2) 2/=ar-fl=^^|;
3) y'=x— l-f
— 113 —
£СЗ — 1
ж2-рж + Г
4) у = х'-' +*•-* + ж"8 +. .. +ж8 + ж-f 1 J.
485. Найти производную функции
ж + ж3 ж®
У-
1 + ж2 + ж*
как производную дроби и пояснить полученный результат.
486. Определить maxima и minima следующих функций:
• а.Ч-3 ^ ж2-5
2)»=-i=j:
ж — 4. . ж — 2.
з) 4) 2/=;^’
- ж2 + 6ж + 9 . ж2 — 5ж -f- 9
«91 9 4
') 8)
ж—3 ж—5’ ж—1 ж — 6’
4 16 25 9
9> У = ^=* — Т=1> Ю)»=
ж—3 ж — V 1 у 7 —ж 3 —ж-
Смешанные задачи.
Исследование кривых.
487. 1) Под какими углами кривая
ж8 + 1
»=л=т
пересекает оси координат? •
2) Исследовать кривую
ж2 — 2ж + 3
У ж2 —2ж —3’
3) Найти касательные к кривой
X 1
У~~ д2+1
1) параллельную оси х, 2i наклоненную к оси ж под
углом 45°.
Сскращеи. сОпрпык уцражы. и ааддч Ч. IIT. 8
— 114 —
4) Сравнить кривые ,
■i* — 1 а-2 +1
(.Построить графики этих кривых, основываясь на ис¬
следовании.)
5) Найти максимальные и минимальные ординаты
кривой
а-3 . «2
У to2 2л'
6) Из точки (провести касательную к равно¬
сторонней гиперболе
:гу = тг.
7) Какой из прямоугольников, имеющих одну и ту же
площадь, имеет наибольший (наименьший) периметр?
8) Прямоугольный параллелепипед имеет объем Г, а
одно из его измерений=а. Как велики должны быть его
два другие измерения, если его поверхность должна иметь
минимальное значение?
9j Для изготовления цилиндрического открытого сверху
литра следует затратить возможно меньше жести. Каковы
должны быть высота и диаметр основания этого литра?
ШЕСТАЯ ГЛАВА.
Простейшие иррациональные и транс¬
цендентные Функции.
§ 9. Производные простейших иррациональных фуннций.
488. Составить выражение отношения приращений
~ зс
а также найти выражение производной для следующих
иррациональных функций:
1) У = 1 х\ 2) у = ] -С 3) у х
— 115 —
(разлагал знаменатель на множители по формуле разности
одинаковых степеней двух количеств и сокращая на
п/ \
] **“1 * )•
4-89. Составить выражение производной функции.
1) у = 2) + 3) у = } «* —Л
490. Найти производные функций:
1) y = V ъ 2) Р = я] ж; 3) у = ]
4) y=K-f3; 5) y = ^f s\ 6) у — ау
3 —
х-
7) y=yr-ct 8) у=\ •'2; 9)2/ = ] 1 —-''2;
10) У = \ VTi; 11) у =)' (^+i)3; 12) у =) ^ - iT
Приложения.
491. 1) В окружность вписан прямоугольник, а) Ка¬
кую форму должен иметь этот прямоугольник, чтобы
он имел наибольший периметр? б) Какую форму должен
иметь прямоугольник, чтобы он пмел наибольшую
площадь?
2) В данный полукруг вписать прямоугольник с наиболь¬
шей площадью.
3) В данный полукруг вписать прямоугольник с наиболь¬
шим периметром.
4) Доказать, что из всех треугольников с одним и тем
же основанием и одной и той же высотой равнобедренный
треугольник имеет наименьший периметр.
5) Найти прямоугольный треугольник, имеющий данную
площадь при наименьшем периметре.
6) В какой из прямых круговых конусов с данной обра¬
зующей можно вписать наибольший шар? К какой плани¬
метрической задаче сводится эта задача?
8*
— 116 —
§ 10. Тригонометрические фуннции.
Производные функций sinus и cosinus.
492. Вычислить шш: 11 j—0,1; 2) .г=0,01; 3) а-=0,001.
СС
493. На фиг. 9 площадь сектора ОТМ больше площади
треугольника ОТМ и меньше площади треугольника OTS.
Записать эти неравенства в иной форме, выражая площади
через радиус iUC— г и через дугу х
(выраженную в абсолютной мере). Вы¬
вести отсюда высшую и низшую границы
495. Указать на основании таблицы тригонометрических
функций, до какого угла, выраженного в градусах sin а
и tg а совпадают по величине: 1) включительно до 2 де¬
сятичных знаков, 2) до з десятичных знаков:
496. Пользуясь соотношениями, выведенными в задаче
417, найти следующие пределы:
О
значения .
sin «г
494. На основании соображений, приве¬
денных в предыдущей задаче, найти:
Фиг. 9.
5) н™
зс=0 а
9) Ни, ;
гг— г. •** «Е| '
sin —U* — j,)
а4 1
— 117 —
497. 1) Составить отношение приращений Для ФУНК"
ции у=sin .г (разность sin .rj — sin .с заменить произве¬
дением по формуле преобразования sin а— sin ji), а затем»
перейдя к пределу (см. зад. 494), найти выражение про¬
изводной той же функции. 2) Определить производную
функции у—sin от, исходя из рассмотрения отношения
приращений.
498. Составить отношение приращений для функции
7/ = cos .г, а затем, перейдя к пределу (см. зад. 417), найтп
выражение производной той же функции. 2) Определить
производную функции y—cosa-r, исходя из рассмотрения
отношения приращений.
499. Найти: 1) первые, 2) вторые, производные следую¬
щих функций (при этом следует применить правила диф¬
ференцирования произведения, частного). Дать объяснение
в тех случаях, когда решения этих задач представляют
некоторые особенности:
1) у = а sin .г; 2) у = sin
3) у — sin2.»-; 4) y = sin3r;
5) y=6in4‘ 6) у -= sin" г;
7) у = sin2.r — l; 8) у = х sin
9)У=?Н; 10) у = sin
И) y=.c-sin 2тг; 12) У = ^,'»
13>» 14)y = cosV;
15) 7/^=sin r-cos 1G) у = siii2» +COs2x;
^ 'Г05~Х’ ^ —C05k’
19) у — 20) 7, = .r-cos ,r.
500. Как располагается касательная синусоиды 7/ = sin.r,
1) в точке, соответствующей 2) х = тт. 3)
501. Найти производную функции у = cos г, пользуясь
соотношением: 1) cos .r = sin (-*—j: j, 2) cos.r = i/ i — sin^r.
502. Найти графически или путем вычисления maxima и
minima следующих функций:
Производные остальных тригонометрических функций.
Смешанные примеры.
503. Найти производную функцию у = tg.r, а) исходя из
sitnc
соотношения tg.r = , б) пользуясь формулой преобразо¬
вания в произведение tgxг — tgx.
2) Найти производную функции •i/=cotgj-, исходя из
соотношения: 1) cotg.r = -^, 2) cotgx = -^r, 3) cotga: —
504. Найти первую и вторую производные следующих
функций (если решения представляют некоторые особен¬
ности, то объяснить их):
1) ?/ = sin З.г;
2) j/ = sin|-;
6) у —a sin (6.г-|-с),
8) <y = x-sin х.
1) У=tg
•*i) ^=tg2r;
2) у = COtg X;
4) 2/ = tg -i}
8) у—2 COS2 — 1;
10) i ~ a COtg (hx-\-c)-t
6) y~ COtg nx-
9) у -=a tg (kr + c);
13) у = sin x — ,r ■ cos x-
15) y=tg .r+cotgr;
14) ?/ = sin a--sin (1—x);
505. Указать, какие из следующих функций удовле¬
творяют дифференциальному уравнению
В каждом случае найти значение постоянной а:
1) y = Sin.r;
3) у = tgJT;
5) У = т siux-j-j» COS.T;
7) y — COSp.r-
2) У = СОЭ-Г;
4) y = COtg.f;
6) у = sinpr;
8) у = т sin^c-f-m cos<j.r.
Приложение к исследованию кривых.
506. Определить точки перегиба и касательные в этих
точках для следующих кривых:
507. 1) Определить угол между касательными, проведен¬
ными к кривым у = sin .г и у — cos х в точках а) .г = 0,
2) Найти площадь, ограниченную осью х и одной ветвью
синусоиды, лежащей над осью х.
508. 1) Определить, под каким углом пересекаются кри¬
вые тангенсов и котангенсов.
2) Определить нули, бесконечности (если они существуют),
maxima и minima, точки перегиба и построить графики
следующих функций:
1) у = sin.c~J- со&Г; 2) y = sinx |-gin2r;
3) у = sin2.r; 4) y = sin.r-sin (-r + v j -
. 509. Исследовать первую производную и дать ее графику
для функции 1) у = tg.r; 2) у=cotga;.
510. Как велик должен быть угол между двумя данными
сторонами а и Ъ треугольника, чтобы площадь треугольни¬
ка была наибольшей?
1) у=sinj-,-
3) у = tg.r;
5) y = asim-;
2) у = COS-Г;
4) у — COtg.r;
6) y = cosa.r;
8) у = о cosfcr.
7) у = атьЪх-!
б) х=\-, в) х = \, г) х = п, д) .т = -|.
— 120 —
Задачи иг фигики.
511. 1) Над серединой круглого стола (радиус его = >)
висит лампа. Как высоко над столом следует поместить
лампу, чтобы книга, лежащая на краю стола, была освеще¬
на наилучшим образом?
2) Как высоко должны быть помещены две дуговые
лампы, находящиеся одна от другой на расстоянии 50 мр.,
если лежащее на одинаковом расстоянии между ними ме¬
сто улицы должно быть освещено наилучшим образом?
3) По одну и ту же сторону от прямой линии даны
две точки Pj и Р2. На этой прямой найти такую точку Q,
чтобы l,1Q-{-P2Q были minimum (Закон отражения). Обра¬
тить особое внимание на то., какие углы образуют с данной
прямой лучи PjQ и P2Q.
4) (Закон преломления;. Световой луч по одну сторону
прямой распространяется со скоростью rlf а по другую со
скоростью г2. Луч должен пройти из точки Рх, пересечь
прямую в точке С, и по другую сторону прямой попасть
в точку Р2; где должна лежать точка Q, чтобы путь
-Pi Q + QP2 был пройден в наиболее короткий срок? Обратить
внимание на углы, образуемые лучами 1\Qvi P2Q с прямой.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
СЕДЬМАЯ ГЛАВА.
Неравенства.
§ 1. Свойства неравенств.
512. Даны неравенства:
а) 5>3, б) 11 >7, в) - 10> — 15, г) —30>— 100;
д) fj> i-f, е) gj>-g-; ж) i/T>/'3.
Составить для каждого из неравенств разности между
числами, стоящими в его левой и правой части. К области
каких чисел относятся эти разности?
513. Даны неравенства:
1 ^ 9 1Q
а) 3 < 5; б) 7 <11; в) 17<17: г) -3 <~: д) — 15 <—10;
е)—100 < — 30; Ж) 1/Г3'<1'/"5.
Составить для каждого из неравенств разность между
числами, стоящими в левой и правой части и указать, к
какой числовой области теперь относятся полученные
разности.
514. Формулировать определение неравенства или равен¬
ства действительных чисел а и Ъ в зависимости от того,
какое число: положительное, отрицательное или нуль, пред¬
ставляет разность а — Ъ.
515. Какому неравенству удовлетворяет любое положи¬
тельное число?
— 122 —
516. Какому неравенству удовлетворяет любое отрица¬
тельное число?
517. Пользуясь результатами, полученными при решении
задач 435 — 437 указать, каким неравенствам будут удовле¬
творять разности между левой и правой частями каждого
из неравенств: о>6 и с <77.
518. Установлены ли соотношения неравенства для ком¬
плексных чисел, подобно соотношению между знаком не¬
равенства между двумя действительными числами и знаком
их разности? Почему?
519. Каким знаком неравенства, не изменяя порядка
букв, можно соединить:
где под буквами а, Ъ, h, т разумеются абсолютные значения
чисел.
520. Из рассмотрения тождества
(А— В)-{-(В— С)-\-(С — D) = A — В
вывести справедливость теоремы:
если -4>Е, Е]> С, C>D, то A>D.
521. Из рассмотрения тождества
вывести справедливость теоремы:
если А > Е, то А ± С > Е Jh С.
Какой закон сложения действительных чисел (и вычита¬
ния) выражается этой теоремой?
522. Показать, что на основании предыдущей теоремы
каждое неравенство может быть приведено к одному из
двух видов: А^>0 или А<^0.
1) х и у, если известно, что х—у=-\-щ
2) т и п, » » • т — п = — Ъ\
если
(А±С) — (Б±СГ) = А — Л,
— 123 —
523. Показать на основании тождества
(А + А А А А ••• А A)- (А А А А А А ••• А А) —
- (А —А)А(А ~ А) А (А—А) А ••• А (А—А)>
что. если А>А* А>А. А> А »■■■■» А>А>
то Л, -j- А 4- Л3 л„> 7j, + В2 + В3 -}-... -(- в„.
524. Будет ли справедлива аналогичная теорема для
вычитания неравенств одинакового смысла? Проверить это
на рассмотрении неравенств:
48 >35; 35 >11; 18 >17.
Как должна видоизмениться доказанная выше теорема
в случае вычитания неравенств?
525. Даны неравенства:
15>3, 2> — 7, С<9, — 15< — 10.
Каким знаком неравенства связаны пары чисел
1) 45 И 9, 2) 6 И —21, 3) 18 и 27, 4) —45 И —30,
т.-е. числа, полученные от умножения членов данных не¬
равенств на одно и то же положительное число?
526. Даны неравенства: 3 < 5, 16 > 11, — 7 > —10, 3 > 1.
1) Каким знаком неравенства должны быть связаны
пары чисел
— 9 И —15, —32 И —22,+ 28 И +40,+ 15 И —5,
т.-е. пары чисел, полученных от умножения членов каждого
из данных неравенств на одно и то же отрицательное число?
•е) Что делается со знаком неравенства при умножении
его членов на одно и то же отрицательное число?
527. Записать в виде неравенства результаты, получен¬
ные от умножения каждого из членов неравенства
а) 0,001 > — 500, б) 25<31, В) — 2> —17
на 1) — 2) —100, 3) —0,15, 4) —0,02.
528. Доказать, что если дано неравенство -4>,Б и за¬
тем С> О, то АС^>ВС.
Как изменится формулировка доказанной теоремы в
случае, если С <0?
— 124 —
529. Формулировать теорему для деления неравен¬
ства на.одно и то же 1) положительное, 2) отрицательное
число.
530. Показать, что при перемножении неравенств оди¬
накового смысла с положительными первой и второй ча¬
стью получается неравенство того же смысла.
Дать пример, из которого было бы видно, что доказан¬
ная теорема не имеет места, если предположить, что левые
и правые части неравенств (все или частью) представляют
отрицательные числа.
531. Показать, что при а^' Ь, «2 + ^2>2я6.
На основании последнего неравенства доказать, что сред¬
нее арифметическое двух неравных положительных чисел
больше их среднего геометрического.
532. При каких значениях а и Л имеет место неравен¬
ство а2 — ab 5>ab — ЪЩ
533. Показать, что если
^ I ^'2 ^3 -^4
£, = в, = '^-=А " — д. и
все В представляют числа одного- и того же знака, то
-А | -р Л2 -р А1 -р — -р Лп
-г + #з + — + Вп
заключено между наибольшим и наименьшим из написан¬
ных отношений.
534. Показать, что та же теорема справедлива и для вы¬
ражения
тп-i А | -р т3 -1-, -f- и?з А3 -р ... ; тп Ап *
т{ Bt -р т2 Ь2 -р vig В3 - г -р и'п Вп ’
если все т суть положительные числа, а все В суть числа
одного и того же знака.
535. Показать, что при положительных значениях букв
1) («+ 6) (!+т)>4’ 2) а? + Ъ*>агЪ + аЪ\ 3) -г + 1> 2.
При каких значениях букв неравенства переходят в
равенства?
— 1*25 —
§ 2. Решение неравенств.
536. Даны неравенству
1J -г + 5 >•*•; 2) (У— 2)2 + а > (у — 2)2;
3) (-г + У — ^)3 + (^ + 2/— sf-T 1 X-f + i/-^)3-
Можно ли в этих неравенствах переменным х, у и г
давать любые значения, не изменяя смысла этих не¬
равенств?
537. Даны неравенства:
1) -r-f- 5 > 12; 2) а-+1<6; 3) я-f а>2а.
Можно ли в этих неравенствах х и г давать лю¬
бые значения? На основании результатов, полученных
в этой и предыдущей задачах, составить определения:
какое неравенство называется условным и какое безу¬
словным?
Подметить аналогию с подразделением равенств на
уравнения и тождества.
538. Найти, при каких значениях неизвестных выпол¬
няются следующие неравенства (решить неравенства):
1) 3.<-+ 15> 51; 2) 4г—5>л + 7; 3) З.г + 6а> 15Ь;
4) Зи2х — ЗЬ-х > а1 — &4; 5) -+->?;
ота-* + я*1- . , _ х- — 8.Г 4-15
6) ' ш+п < 10-'- 7),,=ШГт-^1<20.
539. Из числа написанных неравенств одинакового смысла
указать неравенство, исключающее все остальные, т.-е. та¬
кое неравенство, удовлетворив которому, мы подавно удо¬
влетворим остальным.
1)J">5, .<’>13, .г >20;
2) -Г<5, .1-<10, 4-<15, х<20;
3) У>~, У>у,’ У>{'
41 г <0,01, з < 0,32, £< 0,0001;
— 126 —
5) <> 2, <>—1, <> — 2;
6) <>o, <>—Ь <> —f;
7) < <200, <<32, <<0.000475.
i
540. Указать целые значения, которые можно придать
переменной, если переменная удовлетворяет таким сово¬
купным неравенствам:
1) л> 0; 2) J">0; 3j s>0; 4) <>0
х <^ 5; X /, z 5, < <[ 1,
5) <>1; 6) у> 2f; 7) <>0,75; 8) у >10*-;'
<>—1; »>п‘. <>3,75; ii*s»
9)*< —10) х>12; 11) <>5; 12) <> — 5;
*> —5|; *< — 12; <<9; • <> — 9.
541. Указать 1) целые и положительные, 2) целые и
отрицательные значения, которые могут принимать пере¬
менные величины, удовлетворяющие следующим совокуп¬
ным неравенствам:
1| *<15; 2) ?/>3; у> 5; у>7,б; 8)<>5±; <>2,5;
*> — 3; 2/<ю; у > 25; ?/<1000; <<1,75; <>3;
4) <>0; <>-3; < > 4 - * -
<<20; << — 20; <<2,75,
5)<>3; <<5; <> — 3,9;
<<17; <<12,3. <>0;
542. Одна сторона треугольника равна 3 футам, и раз¬
ность двух других сторон равна 1 футу. Найти стороны
этого треугольника, если они выражаются в целых числах.
543. В двухзначном числе цифра десятков на 2 меньше
цифры единицы; самое число должно быть больше 20 и
меньше 37. Найти число.
544. Числитель дроби меньше ее знаменателя на единицу;
если к числителю и знаменателю дроби прибавить по еди¬
нице, то значение дроби будет > 4; если от числителя и
знаменателя отнять по единице, то значение дроби будет
меньше Найти дробь.
— 127 --
545. Если к некоторому дву,хзпачному числу пробавить
его половину, то в результате получается число большее
149, но меньшее 153. Найти это число,
546. Радиус одной окружности на*2 фута больше другой;
какие значения могут иметь радиусы этих окружностей,
если окружности •должны: 1) пересекаться, 2) соприкасаться,
3) не пересекаться, если, кроме того, известно, что линия
центров этих окружностей равна 20 дюймам, а длина мень¬
шего радиуса должна выражаться целым числом сантимет¬
ров и не превышать 13 сантиметров?
547. Доказать, что сумма гипотенузы и высоты (опу¬
щенной на гипотенузу из вершины прямого угла) больше
полупериметра. '
548. Решить следующие неравенства:
1) 31Ж5) >7# — 23; 2) 3(ж-|-а)> 9.г-|- 2Ш
3) Цг + 2) — Л17 — з) < z-: 4) («-f 1 )» < it — l)2;
5j 3^-| 0,75) Сж< ^4-2,79; 6) 0,15(* + 2) — \ >' — 2;
7) §*+—12f); ^>a‘
1-444<(г+й 10,
b2 b 1 b2 ’ b a ab
, wil — yi ^ n , .
11) 2y-\- ^ < — (y + 1).
y 1 n in
ВОСЬМАЯ ГЛАВА.
Неопределенные уравнения.
§ 3. Нахождение целых решений неопределенного уравне¬
ния с двумя неизвестными.
549. Построить на клетчатой бумаге прямые, опреде¬
ляемые уравнениями:
1) Зж-f-4г/ = 24; 2) Зж-f 4у —26; 3) Зж —4у=11;
4) 2ж— 52/ = 10; 5) 2ж—5г/=7; 6) 2ж—Ъу =—1;
7) 4ж4-б2/=12; 8) 4ж4-6«/ = 8; 9) 4ж-{-6у = 11.
Сколько систем решений имеет каждое из уравнений?
— 128 —
Отметить на построенных прямых точки, обе коорди¬
наты которых выражаются целыми числами ('если такие
точки имеются;; те точки, обе координаты которых, кроме
того, положительны, отметить красной краской, остальные
из этих точек—черной. Найти в каждом случае: 1) раз¬
ности абсцисс двух последовательных точек с целыми зна¬
чениями координат; 2) разности ординат; 3) расстояния
между каждой парой таких последовательных точек. Какой
ряд образуют абсциссы таких точек с целыми значениями
координат (если такие точки имеются), если эти абсциссы
записать в том порядке, в каком соответствующие точки
расположены на прямой? Ординаты?
550. Какие значения будет принимать в уравнении
8х— Зу = 10, 1) неизвестное у, если х давать значения 0,1, 2;
2) а; в том же уравнении, если у давать значения о, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7? В каждом случае составить таблицу решений
в таком виде;
*
0
1
2 .
„1
У
-ч
...
...
551. Какие значения будет принимать в уравнении
2% — Зу = 7 1) х, если у дают значения 0, 1, 2, 3; 2) у,
если х давать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5? Выбрать из этих
решений систему, в которой оба решения выражаются
целыми числами.
552. Какие значения получает в уравнении 2ж-)-Зу=9
1) х, если у давать значения 0, 1, 2, з, 4, 5; 2) у, если х
давать значения 0, 1, 2, 3, 4, 3, 6, 7, 8? Выбрать системы
целых решений.
553. Какие значения будет принимать в уравнении
Злг-)-6^ = 8 1) х, если у давать значения 0, 1, 2; 2) у, если#
давать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5?
554. Какие значения получает в уравнении 2#+4у = 5
1) х, если у давать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5; 2; у, если х
давать значения о, 1, 2, 3, 4, 5, б‘, 7?
555. Решить уравнение 6# — 9;/ —17. Составить таблицу
решений. Имеет лн это уравнение хоть одну пару целых
решений?
— 120 —
557. Деля все члены следующих уравнений на общий
наибольший делитель коэффициентов при ж и у, выяснить,
какие из следующих уравнений не могут иметь ни одной
системы целых решений:
1) 16я-|-56j/= 96; 2) 16-r-j-56»/ = 84; 3) lG2:-f56i/ = 49;
4) Пх—332/=99; 5) 77ж —ЗЗг/=17; 6} 45?/ — 24я = 8.
558. Показать, что если коэффициенты о и Ь в уравнении
ах-{~Ъу = с суть числа взаимносоставные и с не делится
без остатка на их общий наибольший делитель, то урав¬
нение не имеет ни одной системы целых решений.
559. Составить таблицу решений уравнения Ъх -f- 7у = 69
1) задавая у значения 0, 1, 2, 3, 4; 2) задавая х значения
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Сколько раз в том и другом случае
другое неизвестное принимает целое значение'^ Что можно
сказать про дробные части остальных значений этого
неизвестного? Имеют ли эти дробные части одинаковые
числители?
560. Составить таблицу решений уравнения 7х— 3^ = 5
1) задавая х значения О, Д, 2; 2) задавая у значения 0,1,2,
3, 4, 5, 6.
Каждое дробное решение представить в виде суммы
целого числа (положительного или отрицательного) и
положительной правильной дроби. Встретится ли одна
и та же дробь в выражении двух различных корней и
в этом случае?
561. Показать, что если в уравнении ах-\- Ъу—с (полагая,
что а и Ъ числа целые и взаимнопростые} неизвестному у
давать последовательные целые значения, начиная с 0 и
кончая а — 1, и представлять в каждом случае выражение
х в виде целого числа и положительной правильной дроби,
то числители всех дробей должны быть различны. (Восполь¬
зоваться методом доказательства от противного, предполо¬
жив, что при двух подстановках 2/1 и уг соответственные
значения хх и х2:
*,=^=А + Ь-.
таковы, что >j = ra).
Сокращен, сёррвик упр&жн. в задач. Ч III.
9
— 130 —
562. Пользуясь результатом, полученным в предыду¬
щей задаче, показать, что (в случае взаимно-простых
о и 6) при подстановке вместо у чисел О, 1, 2... а — 1
один (и только один) остаток г, должен оказаться равным
О, т.-е., что одному из написанных целых значений у всегда
соответствует одно (и только одно) целое значение х.
563. 1) Указать условие необходимое и достаточ¬
нее для того, чтобы неопределенное уравнение ах-\-Ьу=с
имело целые решения.
2) Указать возможно меньшее число подстановок по¬
следовательных целых значений (вместо одного из неизвест¬
ных), при котором непременно будет получена одна си¬
стема целых решений 1) при а >6, 2) при а <6.
564. Найти пару целых решений уравнения 8# -J- Ъу = 15.
565. Найти ряд систем целых решений этого уравнения.
Составить таблицу этих решений. Можно ли по двум
первым парам решений написать остальные? Сколько си¬
стем целых решений имеет данное уравнение? Представить
графически все решения данного уравнения. Указать целые
решения и соответствующие приращения значений # и у
при переходе от одной системы к наименее от нее отли¬
чающейся другой.
566. Решить предыдущую задачу применительно к урав¬
нениям:
1) 5#-|-6y-f-13; 2) 9#—«/ = 17; 3) 3# -f- 7у = 10.
567. Показать, что если т и п найденная пара целых
решений неопределенного уравнения ах-\-Ъу=с, то
х = ш 4- Ы jc = т — Ы
+ или I .
у = n — at у= n-\-at,
где t произвольное число, также удовлетворяют этому урав¬
нению. При каких значениях I, х и у имеют в этом случае
целые значения?
568. Пусть т и п найденная пара решений неопреде¬
ленного уравнения ах—Ъу=с; показать, что
ж = ш + Ы
У= it + af,
— 131 —
где t произвольно' целое относительное число, также пред¬
ставляют пару целых решений этого уравнения.
569. Решить в целых числах, если это окажется воз¬
можным, способом подстановки 'проб) следующие урав¬
нения:
1) 4.r -J- 7$/= 100; 2) 15r-J-10^= 211;
3) 6х-[-35г/=;287; 4) 9.r-[-7f/ = 0;
5) bx-j-14«/=17; 6) by — 25=7,
7) 14-г — 21 г/ = 23; 8) 25«/ — 3.: — 20.
Найти в каждом случае те из целых решений, которые
удовлетворяют еще следующим дополнительным условиям:
1) чтобы х было>7, а у<13; 2) х<7 и !/<<; 3) х и у
были положительны; 4) х имело положительное значение,
а у отрицательное; 5) чтобы и х и у имели отрицательные
значения.
§ 4. Решение неопределенного уравнения способом после¬
довательного деления.
570. Решить уравнения: 1) х — 3у = 0, 2) х -}- 4«/ = 5 отно¬
сительно х. При каких значениях у неизвестное х полу¬
чает целые значения?
571. Решить уравнения: 1) Ьх — 1у, 2) Зх—Ьу относи¬
тельно х. Кратным какого числа должно быть у, чтобы л
было целым числом? В какой форме поэтому может быть
представлено уЧ Как выразится в таком случае х через
вспомогательное неизвестное?
572. Решить уравнения: 1) 5а; = 7Зх—Ь — Ъу от¬
носительно х. Кратным какого числа должно быть у-\-1,
чтобы х было целым числом?
573. Решить уравнения: 1) 7у=10у —10, 9у +13 ~
относительно у. Кратным какого числа должно быть а; —1,
чтобы у было целым числом?
574. Решить уравнения: 1) Ьх=7у-\-'2, 2) Зх = Ъу — 2 от¬
носительно х п исключить целое число из полученных
дробей. Кратным какого числа должно быть: 1) y-fl,
2) у — 1, чтобы х было целым числом?
575. Решить уравнение Ьу — 7х-\-3 относительно у и
исключить целое число из полученной- дроби. Кратным
9*
— 132 —
какого числа должен быть числитель полученной дроби,
чтобы у было целым числом? Вновь полученное уравне¬
ние решить относительно х и исключить целое число из
полученной дроби. Кратным какого числа должен быть
числитель новой дроби, чтобы х было целым числом? Вы¬
разить у и х через вспомогательное неизвестное, кратным
которого является последний числитель. Составить таблицу
целых решений для у и а- и дать графику этих решений.
576. Решить предыдущую задачу для уравнений:
1) 7х~4.у— 5, 2) 11л-— 13у— 16.
577. Решить способом последовательного деления сле¬
дующие уравнения:
578. До каких пор приходится продолжать пшем после'
довательного деления?
Пользуясь приемом, указанным во втором из данных ра¬
венств, ускорить решение следующих уравнений:
580. Решить следующие уравнения в целых и 1) поло¬
жительных, 2) целых и отрицательных числах способом
последовательного деления или способом подстановки (проб):
1) 7лг+190=1О6;
3) 43.Г-- 170 = 27;
2) Юл;— 17г/ = 5;
4) 15х+110 = 137.
579.
1) 4х — 15«/ —14;
2) 5«/= 13 — 24л;.
1) 13л-+100у = 2711;
2) 17л-+ 287г/ = 1000;
4) 5х + 80 = 71;
6) Зх—200=14;
8) Ъх — 120 = 0;
10) 13л- + 20 = 80;
12) 8л:+ 330 = 770;
14) х— 70= 15;
16) 45х—320 = 60;
18) 92 + 0= 11;
3) 17л;+ 50 = 90;
5) 5x=ll0— 77;
7) 4х + 0 = 100;
9) Зх + 250 = 28;
11) 37х + 110 = 1000;
13) 150—19^=100;
15) 15х+410 = 3003;
17) 4х— 30 = 5;
— 133 —
19) 11а- — 72/ = 10; 20) 10я—17*/= 5;
21) у=17 + 1(17—*);
2 г) 19х + 51 у — 127 = 437 — 17.г + 13у.
581. Решить неопределенные системы в целых и поло¬
жительных числах:
1) 17а: — 8г/ + 5г = 47, 2) 9а; + 2у + 7г = 27.
4.г+10у — 25^ = 51; 4j- + 30 + « = 12;
3) *—Ъу— е = —10, 4) 5а- — 4y+7^ = 8, *
3J- + 0 — е = 16; 10*+7 у — s=Ld.
582. Выяснить, почему уравнение ах — Ьу~с имеет бес¬
численное множество систем целых и положительных ре¬
шений, а уравнение ахby = с (а и Ъ суть взаимноиро-
стые натуральные числа, с—любое целое относительное
число), имеет лишь ограниченное число таких систем или
их совсем не имеет (Геометрическая интерпретация!)
§ 5. Задачи, приводящие к решению неопределенных
уравнений.
583. 1) Имеется 1000 рублей десятирублевыми п трех¬
рублевыми дензнаками. Сколько тех и других?
2) Покупатель, сделав в магазине покупку на 713 ру¬
блей расплатился 50-и 3-рублевыми кредитными билетами.
Сколько он дал тех и других?
3) Некто, сделав покупку на 3 руб. 50 коп., отдал в
уплату несколько двугривенных, а сдачу получил трех¬
копеечными монетами. Найти число двугривенных и трех¬
копеечных монет.
4> Из 25 листов сшиты тетради различного объема по 3
и по 5 листов. Сколько тетрадей вышло того п другого
объема?
5) Какое количество почтовых марок 5 и 7 копеечных
можно купить на 1 рубль?
6) При решении уравнения я* + &# = 71 иащлп, что х=8
п j/ = 3. Определить коэффициенты а и Ъ (а и Ъ целые
числа).
— 134 —
7) Разность двух дробей, имеющих знаменателями 24
и 60 равна Найти числители этих дробей.
8) Найти дробь, от прибавления к числителю и знаме¬
нателю которой по 7 получается *.
9) Через 5 лет лета двух братьев будут относиться как
5:3. Сколько лет каждому из них в настоящее время, если
сумма их лет более 30-ти и менее 40?
10) Два работника начали одновременно общую работу,
но через несколько дней один из них ; захворал, вследствие
чего пришлось оканчивать работу другому без помощи
первого. Сколько дней каждый из них работал, если пер¬
вый один мог бы окончить всю работу в 10 дней, а втор о 3,
также один, в 18 дней?
11) Найти два капитала, из которых первый, будучи
отдан по 8£%, приносит ежегодно процентных денег па
86 рублей более, нежели второй, отданный по б%-
12) В двузначном числе по ошибке цифра единиц была
поставлена на месте десятков, а цифра десятков на месте
единиц; вследствие этого получилось число на 36 единиц
менее требуемого. Найти число, которое следовало написать.
13) Если к числу, записанному тремя цифрами, изобра¬
жающими три последовательных натуральных числа, при¬
бавить число, изображенное теми же цифрами, но в обрат¬
ном порядке, то получится сумма, изображенная тремя
одинаковыми цифрами. Найти это число.
14) В числе 8053 заменить 0 такою цыфрою, чтобы по¬
лучилось число, делящееся на 17 без остатка.
15) Найти две дроби с знаменателями 45 и 36, дающие
в сумме
16) Прибавив к делимому и делителю по 3, получим
в частном 16; отняв от тех же чисел по 3, получим в част¬
ном 16 и в остатке 90. Найти делимое и делитель.
17) Представить дробь ^ в виде суммы двух дробей со
знаменателями 5 и 7.
18) Представить дробь в виде суммы двух дробей со
знаменателями 9 и 13.
19) Представить дробь ~ в виде разности двух дробей
со знаменателями 14 и 9.
- 135 —
20) Представить дробь ~ в виде разности двух дробей
со знаменателями 17 и 4.
21) Найти для х значение, при котором дробь -а’~Г?
Id
обращается в целое положителькое число.
22) Найти значение х, при котором дробь —обра¬
щается в целое положительное число.
23) Как разменять 100 рублей кредитными билетами в
5 и 3 рубля?
24) а) Найти наименьшее целое положительное число,
которое при делении на 7 дает в остатке 6. б) Найти наи¬
меньшее целое положительное число, которое цри делении
на 13 дает в остатке 4.
25) Найти наибольшее двузначное число, которое при
делении на 7 и на 49 дает в остатке 1.
26) Найти наименьшее трехзначное число, которое при
делении на 9 и на 11 дает в остатке 2.
27) Каждый рабочий одной партии получал по 3,5 руб.
за день, другой партии—по 2,4 руб.; сколько было рабочих
той и другой партии, если первая партия зарабатывала в
день на 23 рубля больше второй партии, и если известно,
что число рабочих обеих партий было менее 20?
28) На какие две дуга, содержащие целое число граду¬
сов, можно разделить окружность, если известно, что число
градусов одной дуга делится без остатка на 5, а число
градусов другой без остатка на 4?
ДЕВЯТАЯ ГЛАВА.
Непрерывные дроби.
§ 6. Конечные и беснонечные непрерывные дроби.
584. Проверить справедливость следующих равенств:
1)^ = 3+ -—J- = (3,2,2); 2) Щ = 3 - г;
2 + Т 1+«
3> 9П = 8+Ьт-> •
1 т 1
'+5 1+8
585. Путем последовательного деления показать, что
I
1) 17 И 5, 2) 94 И 11, 3) 9 И 35
суть числа взаимнопростые, т.-е. что их общий наибольший
делитель равен 1. Сравнить в каждом отдельном случае все
получаемые частные с «частными знаменателями» отдельных
звеньев соответствующих непрерывных дробей предыдущей
задачи.
586. Представить в виде непрерывных дробей:
1) *?•
5*
*) ВТ-
а) у;
4 )У
5) у;
6
-1 7
100
81 35 •
01 109’
10) 0,2475;
11) 3,14;
12) 0,3125;
13) 3,14159.
Следующие непрерывные дроби обратить в простые:
1) (О, 1, 2, 3), 2) (0, 2, 5, 7, 2),
3) (3, 5, 1, 1, 2), 4) (2, 2, 2, 2, 3),
5) (0, 1, 1, 2, 5, 5), О) (О, 1, 2, 3, 4, 5).
587. Дана непрерывная дробь:
(3, 7, 15, 1, 288).
Вычислить простые дроби, в которые обращаются дроби,
получаемые из непрерывной, если в ней удержать одно,
два, три и т. д. звеньев (т. и. подходящие дроби).
588. Решить предыдущую задачу для дробей:
1) (7, 1, 2, 5), 2) (О, 5, 1, 1, 2),
3) (2, 7, 1, 2, 1, 3), 4) (О, 2, 1, 1, 1, 5).
589. 1) Найти для каждого отдельного случая предыду¬
щей задачи разность между непрерывной дробью и каждой
из ее подходящих дробей. 2) Указать, какие из подходящих
— 137 —
дробей больше непрерывной и какие меньше? 3) Указать,
какие из любых двух последовательных подходящих дробей
ближе подходят по величине к непрерывной дроби?
590. Доказать, что всякое рациональное число ~ может
быть представлено в виде конечной непрерывной дроби.
591. Представляя |г ъ в виде 2-J~, найти, между ка¬
кими целыми числами заключено число х; представляя х
в виде a-f 1. где под а разумеется приближенное значение
xi‘
х по недостатку с точностью до 1, найти, между какими
целыми числами заключено число х^, представляя х1 в
виде flj-f продолжить указанный процесс возможно даль¬
ше. Может ли процесс обращения |/ 5 в непрерывную дробь
закончиться, т.-е. может ли }/ 5 быть обращен в к о н е ч-
ную непрерывную дробь или нет? Почему? Какое число
определяется бесконечной непрерывной дробью?
§ 7. Свойства подходящих дробей и их числителей и
знаменателей.
592. Обозначая подходящие дроби: первую через вто-
М., ))о
рую через ~9 третью через ~ и т. д.,
1) найти выражение Рг и т. д., если непрерывная
дробь имеет вид
*=я0+e +-1- 1 ф
2) указать, чем разнятся друг от друга выражения
р- ир* в виде непрерывных дробей?
9* 9а
3) показать, что j- может быть получено из ~, если в
выражении этой дроби заменить аг через Oj-J-i.
4) Выразить: 1) р3 и q3 через р2, д2 и а2; 2) j>K и д< че¬
рез р3, <1д и ая.
— 138 —
59i. Дана непрерывная дробь х=(а0, а1г а2, а3... ак, ак+1,... ап1.
Составить выражения членов подходящей дроби через
P1,q1 и а1}... — через р3, д3, pit qit а4. Составить по аналогии
Й5
общие формулы для выражения рк и qk через pk-2t qk-2 рк_г,
O',.-, и afc_! и доказать справедливость этой формулы, поль¬
зуясь методом полной индукции. (Обратить внимание на то,
чем отличаются друг от друга выражения — и ——, если они
Як Sk + i
представлены в виде непрерывных дробей.)
594. Найти подходящие дроби следующих непрерывных
дробей:
1) (0, 2, 1, 1, 3, 4), 2) (2, 7, 3, 1, 2, 3),
8) (0, 7, 1, 1, 3), 4) (3, 1. 1, 2, 2. 3),
5) (3, 7, 15, 1, 288).
В каждом случае составить разности пар последователь¬
ных подходящих дробей, вычитая из последующей предъ-
идущую. Чему равны числители в] выражениях полученных
разностей? Как выражаются знаменатели этих разностей
через знаменатели сравниваемых подходящих дробей?
595 Дана непрерывная дробь: х — («0, аг, а2,... ак. ак+г,...ап).
1) Составить выражения — — —, — — —; 2) способом полной
J r Яз Qi’ Яз Яз J
индукции доказать, что — — — — = -. На основании по-
Яп вп-1 ЯпЯп-1
лученного результата установить соотношение, которым
связаны члены двух последовательных подходящих дробей.
3) Доказать на основании установленного соотношения, что
получаемые при вычислении по установленным формулам
подходящие дроби несократимы..
596. Составить разность между ^. На основании
Яп Яп-3
рассмотрения составленной разности показать, что подходя¬
щие дроби нечетного порядка представляют ряд возра¬
стающих чисел, а подходящие дроби четного порядка—
ряд убывающих чисел.
5)7. Обратить 3.141G (елп) в непрерывную дробь и соста¬
вить разности между данной дробью и ее подходящими.
Какие из этих разностей положительны, какие отрицатель¬
ны? Какими неравенствами связана данная дробь с двумя
— 139 —
последовательными подходящими дробями? В каком случае
знак неравенства переходит в знак равенства?
598. Вычислить подходящие дроби и составить разность
между двумя любыми смежными подходящими дробями
следующих непрерывных дробей:
1) (1, 2, 3, 4, 5), ' 2) (5, 4, 3, 2, 2),
3) (0, 2, 4, 6, 8), 4) (0, 1, 3, 5, 7),
599. 1) Представляя непрерывную дробь (а0, аи а2,... ак
я,в виде arz=^3.+.где a-k=(ak, показать,
Як -г fft-i
что I х — I > I х — I.
I Чк\ I + * I
2) Принимая во внимание, что значение непрерывной дроби
заключено между значениями двух последовательных под¬
ходящих дробей, найти ошибку приближения при замене
непрерывной дроби подходящей дробью. 3) Как изменится
дробь, выражающая ошибку, если заменить произведение
знаменателей квадратом знаменателя дроби с меньшим
указателем. * *
600. Определить ошибку приближения: 1) 2-й и 4-й под¬
ходящих дробей непрерывной дроби:
(3, 7, 15, 1. 292, 1, 1, 1, 2..0;
2) 4 й и 6-й подходящих дробей:
(о, 12, 1, 1, 1, 2, 3, 7:...);
3) 3-й и 5-й подходящих дробей:
(1, 2, J, 4, 5, 1, 2...).
601. Вычислить приближенные значения следующих дро¬
бей с ошибкой, не превышающей: а) 0,001, б) 0,00001,
в) 0,000001:
1) (О, 6, 6, 6, 6...), 2) (2 4, 4. i.-),
3) (0, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2...), 4) (4, 2, 1, 4, 2, 1 ...),
5) (0, 3, 1, 4, 1, 5, 7, в С) (0, 1, 1, 1, 1 ..).
— 140 —
602. Предполагая, что дробь ближе подходит к данной
непрерывной, чем подходящая —, показать на основании
Qh
рассмотрения разностей:**—^-и|*—— что b>qk, т.-е.
что не существует дроби, ближе подходящей к непрерывной
дроби и имеющей меньший знаменатель, чем —.
S/t
603. Пользуясь приемом, указанным в задаче 512, вы¬
разить в виде непрерывной дроби следующие корни:
1) 1^5; 2) 1^6; 3) рЛК>, 4) ГП;
5) 1А66; 6} ^65,- V 1^82; 8) i/lOl.
(Вычислить эти корни с ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,01, 0,001, 0,0001).
604. Найти значения следующих периодических непре¬
рывных дробей:
1) (1, 2, 2, 2...), 2) (1, 1, 2, 1, 2...),
3) (4, 8, 8 8...), 4) (4, 4, 8, 4, 8...),
5) (5, 3, 2, 3, 10, 3, 2, 3, 10 ...),
6) (6, 2, 12, 2, 12...),
7) 4, 2, 8, 2, 8...).
§ 8. Решение неопределенных уравнений при помощи
непрерывных дробей.
605. Пусть дробь у при обращении в непрерывную дробь
имеет предпоследней подходящего дробью (последней
подходящей является сама дробь найти разность между
непрерывной дробью и предпоследней подходящей дробью.
В полученном равенстве освободиться от дробей и написать
неопределенное уравнение, систему решений которого пред¬
ставляют числа cud, если дробь -g-: 1) четная по порядку,
2) нечетная по порядку.
— 141 —
606. Найти пару целых решений следующих уравнений;
1) Ъх — 60=1; 2) 10а-— 7у=1;
3) 13-г-f-Ъу=\\ 4) Вх-\-Зу — 1.
607. Найти пару целых решений следующих уравнений:
1) Ъх— 62/ = 17; 2) 10х — 7у = Ъ;
3) 13а--]- 5^ = 150; 4) 8а:-f 3f/ = 90.
608. Решить способом непрерывных дробей в целых и
положительных числах следующие уравнения:
1) 14а-—37(/ = 71; 2) 29* -f- 2у = 303;
3) 37аг — 28^ = 203; 4) 7а- — = 203;
5) 77а;-[-9у=-1294; 6) 25а-4-301у = 376.
Четырехзначные таблицы логарнф
N. IIL. О I 1 | 2 I 3 I 4
5 I 6
8 9
Р. Р.
10
Ьооо
С/43
086
128
170 I
212
253
294
334
374
11
414
453
492
531
569
607
645
682
719
755
1
п
792
82,8
864
899
934
969
t-04
038
072
106
2
13
1 139
173
2.06
239
271
303
335
367
399
430
4
14
| 461
492
523
553
584
614
644
673
703
732
5
6
15
ii 76i
790
о!/т
847
875 I
903
931
959
987
014
Ч
8
16
и 041
068
095
122
1481
175
201
227
253
279
У
17
304
330
355
380
405 I
430
455
480
504
529
18
553
577
601
625
648
672
695
718
742
765
19
788
810
833
856
878
1
900
923
945
967
989
1
Я
яо
1з 010
032
054
075
096 I
118
139
160
181
201
3
4
Я1
222
243
263
284
304
324
345
365
385
404
5
я?,
424
444
464
483
502
522
541
560
579
598
6
?,3
617
636
655
674
692
711
729
747
766
784
8
24
| 802
820
838
856
874
892
909
927
945
962
9
25
|з979
997
014
i/31
048
065
082
099
116
Тзз
26
.4150
166
183
200
216
232
249
265
281
295
!
27
314
330
346
362
378
393
409
425
440
456
2
28
472
487
502
518
533
548
564
579
594
609
3
29
624
639
654
669
683
698
713
728
742
757
5
е.
30
14 771
786
800
814
829
843
857
871
886
900
7
в
31
914
928
942
955
969
983
997
011
024
038
9
32
В 051
065
079
092
105
119
132
145
159
172
33
185
198
211
224
237
250
263
276
2S9
302
34
| 315
328
340
353
366
378
391
403
416
428
1
35
■5 441
453
465
478
490
502
514
527
53Э
551
3
36
563
575
587
599
611
623
635
647
658
670
ч
37
682
694
705
717
729
740
752
763
775
786
6
38
798
809
821
832
843
855
866
877
888
899
7
39
1 911
922
933
944
955
966
977
988
999
010
9
40
к 021
031
042
053
064
075
085
096
107
117
41
128
138
149
160
170
180
191
201
212
222
42
232
243
253
263
274
284
294
304
314
325
о
43
335
345
355
365
375
385
395
405
415
425
3
44
435
444
451
464
474
484
493
501
513
522
4
5
45
||б 532
542
551
561
571
580
590
599
609
618
7
46
628
637
646
656
665
675
684
693
702
712
47
721
730
739
749
758
767
776
785
794
803
48
812
821
830
839
848
857
866
875
884
893
49
| 902
911
920
928
937
946
955
964
972
981
1
50
1|б 990
998
U07
016
024
033
042
050
059
067
2
3
Ч
7076
084
093
101
110
118
126
135
143
152
4
R*
\ 160
168
177
185
193
202
210
218
226
235
е
53
Л 243
251
259
267
275
284
292
300
308
316
7
54
1 324
332
340
348
356
364
372
380
388
396
V
9
55
||7 404
412
'■ 419
427
435
443
| 451
459
| 466
474
43
42 | 41
39
4.3
8.6
12.9
17.2
21.5
25.8
30.1
34.4
38.7
38
3.8
? 6
1V4
1* 2
19.0
22.8
26.6
30.4
34.2
34
4.2
8.4
12.6
16.8
21.0
25.2
29.4
33.6
37.8
4.1
8.2
12.3
16.4
20 5
24.6
28.7
32.8
36.9
3.4
0.8
10.2
13.2
17.0
20.4
23.8
27.2
30.0
29
2.9
5.8
8.7
11.6
14.5
17.4
20.3
23.2
26.1
3.7
7.4
11.1
14.8
18.5
22.2
25.9
29.6
33.3
33
3.6
7,2
10.8
14.4
18.0
21.0
25.2
28.8
32.4
32
3.8
6.0
9.0
13.2
16.5
19.8
23.1
2G.4
29.7
26
2.8
5.6
8.4
11.2
14.0
16.8
19.G
22.4
25.2
3.2
6.4
9.6
12.8
16.0
19.2
22.4
25.С
28.8
2.7
5.4
8.1
10.8
1S.5
1G.2
18.9
21.0
24 3
25 I 24
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
15.0
17.5
20.0
22.5
21 1
2.1
4.2
6.3
8.4
10.5
12.6
14.7
16.8
18.9
2.4
4.8
7.2
9.6
12.0
14.4
16.8
19.2
21.6
19
1.9
3.8
5.7
7.6
9.5
11.4
13.3
15.2
17.1
3-Я
7 8
11.7
15.6
19.5
23.4
27.3
31.2
35.1
36 ! 35
3.5
7.0
10.5
14.0
17.5
21.0
24.5
28.0
31.5
31
3.1
0.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24 8
27.9
27 [ 26
2.6
5.2
7.8
10.4
13.0
15.6
18.2
20.8
23.4
23 I 22
2.3
4.6
6.9
9.2
11.5
13.8
16.1
17.4
20.7
1В
1.8
3.6
5.4
7.2
9.0
10.8
12.6
14.4
16.2
2.2
4.4
6.6
8.8
11.0
13.2
15.4
17.6
19.8
17
1.7
3.4
5.1
6.8
8.5
10.2
11.9
13.6
15.3
мов чисел от I до 10090.
N.
| L.0
1 1
1 2
3
4
5
6
7
8
9
55
7 404
412
419
427
435
443
451
459
466
474
56
482
49J
497
505
513
520
528
536
543
551
57
559
566
574
582
589
597
604
612
619
627
58
624
642
649
657
664
672
679
686
694
701
59
709
716
723
731
738
745
752
760
767
774
60
7 782
789
796
803
810
818
825
832
839
846
61
853
860
868
875
882
889
896
903
910
917
62
924
931
938
945
952
959
966
973
980
987
63
993
ООО
007
514
021
028
035
041
048
055
64
8 062
069
075
082
089
096
102
109
116
122
65
8 129
136
142
149
156
162
169
176
182
189
66
195
202
209
215
222
228
235
241
248
254
67
261
267
274
280
287
293
299
306
312
319
68
325
331
338
344
351
357
363
370
376
382
69
388
395
401
407
414
420
426
432
439
445
70
8 451
457
463
470
476
482
488
494
500
506
71
513
519
525
531
537
543
549
555
561
567
72
573
579
585
591
597
603
609
615
621
627
73
633
639
645
651
657
663
669
675
681
686
74
692
698
704
710
716
722
727
733
739
745
75
8 751
756
762
768
774
779
785
791
797
802
76
808
814
820
825
831
837
842
848
854
859
77
865
871
876
882
887
893
899
904
910
915
78
921
927
932
938
943
949
954
960
965
971
79
976
982
987
993
998
004
009
015
020
025
80
9 031
036
042
047
053
058
063
069
074
079
81
085
090
096
101
106
112
117
122
128
133
82
138
143
149
154
159
165
170
175
180
186
83
191
196
201
206
212
217
222
227
232
238
84
243
248
253
258
263
269
274
279
284
289
85
9 294
299
304
309
315
320
325
330
335
340
86
345
350
355
360
365
370
375
ЗгО
385
390
87
395
400
405
410
415
420
425
430
435
440
88
445
450
455
460
465
469
474
479
484
489
89
494
499
504
509
513
518
523
528
533
538
90
9 542
547
552
557
562
566
571
576
581
586
91
590
595
600
605
609
614
619
624
628
азз
92
638
643
647
652
657
661
666
671
675
680
93
685
689
694
699
703
703
713
717
722
727
94
731
736
741
745
750
754
759
763
768
773
95
9 777
782
786
791
795
800
805
809
814
818
96
823
827
832
836
841
845
850
854
859
863
97
868
872
877
881
886
890
894
899
903
908
98
9Г2
917
921
926
930
934
939
943
948
952
99
956
961
965
969
974
978
983
987
991
996
100
0 ООО
004
009
013
017
022
026
(Ш
035
039 |
Р. Р
16
Г 15 "
1
1.6
1.5
2
3.2
3.0
j»
4.8
4.5
4
6.4
6.0
5
8.0
7.5
6
9.6
9.0
7
11.2
Ю.5
8
12.8
12.0
9
14.4
13.5
14
13
1
1.4
1.3
2
2.8
2.6
3
4.2
3.9
4
5.6
5.2
5
7.0
6.3
в
8.4
7.8
7
9.8
9.1
8
11.2
10.4
У
12.6
11.7
12
■1
1
1.2
1.1
2
2.4
2.2
3
з.е
?.з
4
4.8
4.4
Г»
6.0
5.5
6
7.2
6 6
7
8.4
-.7
8
9.6
8.8
9
10.8
У я
9
в
1
0.9
0.8
2
1.8
1.6
3
2.7
2.4
4
3.6
3.2
5
4.5
4.0
6
5.4
4.8
4
6.3
5.6
8
7.2
6.4
9
8.1
7.2
7
6
1
0.7
0.6
о
1.4
1.2
о
2.1
1.Н
4
2.8
О 1
5
3.5
3.0
6
4.2
3.6
7
4.9
4-2
8
5.6
4.8
9
6.3
5.4
s
4
1
0.5
0.4
о
1.0
0.8
3
1.5
1.2
4
2.0
1.6
5.
2.5
2.0
6
3.0
2.4
7
3.5
2.8
8
4.0
3.2
9
л.5
3.6
Значение тригонометрических функций для целых градусов.
N0
Sin.
Tang.
Cot.
Cos.
NO
0
0.000
0.000
СО
1.000
90
1
0.017
0.017
57.290
1.000
89
2
0.035
0.035
28.636
0.999
88
3
0.052
0.052
19.081
0.999
87
4
0.070
0.070
14.301
0993
86
5
0.087
0.087
11.430
0.996
85
6
0.105
0.105
9.514
0.995
84
7
0.122
0.123
8.144
0.993
83
8
0.139
0.141
7.115
0.990
82
9
0.156
0.158
6.314
0.988
81
10
0.174
0.176
5.671
0.985
80
11
0.191
0.194
5.145
0.982
79
12
0.208
0.213
4.705
0.978
78
13
0.225
0.231
4.331
0 974
77
14
0.242
0.249
4.011
0.970
76
15
0.259
0.268
3.732
0.966
75
16
0.272
0.287
3.487
0.961
74
17
0.292
0.306
3.271
0.956
73
18
0309
0.325
3.078
0.951
72
19
0.326
0.344
2.904
0.946
71
20
0.342
0.364
2.747
0.940
70
21
0.358
0.384
2.605
0.934
69
22
0.375
0.404
2.475
0.927
68
23
0.391
0.424
2.356
0.921
67
24
0.407
0.445
2 246
0.914
66
25
0.423
0.466
2.145
0.906
65
26
0.438
0.483
2.050
0.899
64
27
0.454
0.510
1.963
0.891
63
28
0 469
0.532
1.881
0.883
62
29
0.485
0.554
1.804
0.875
61
30
0.500
0.577
1.732
0.866
60
31
0.515
0.601
1.664
0.857
59
32
0.530
0.625
1.600
0.848
58
33
0.545
0.649
1.540
0.839
57
34
0.559
0.675
1.483
0.829
56
35
0.574
0.700
1.428
0.819
55
36
0.588
0.727
1.376
0.809
54
37
0.602
0.754
1.327
0.799
53
38
0.616
0.781
1.280
0.788
62
39
0.629
0.810
1.235
0.777
51
40
0.643
0.839
1.192
0.766
50
41
0.656
0.869
1.15'J
0 755
49
42
0.669
0.900
1.111
0.743
48
43
0.682
0.933
1.072
0.731
47
44
0.695
0.966
1.036
0.719
46
45
0.707
1.000
1.000
0.707
45
. № ,
Соз.
Cot.
Tang.
Sin.
NO
— 145 —
Семизначные таблицы логарифмов некоторых чисел (для вычислений
сложных %%, рент и проч.).
N
L
Н
L
1,00010
0000434
1,03500
0149403
1,00100
0004341
1,03600
01535,98
1,00167
0007247
1,03750
0159881
1,00250
0010844
1,04000
0170333
1,00300
0013009
1,04200
0178677
1,00400
0017337
1,04250
0180761
1,00500
0021661
1,04500
0191163
1,00600
. 0025980
1,04750
0201540
1,00750
0032451
1,04800
0203613
1,00825
0035682
1,05000
0211893
1,00900
0038912
1,05250
0222221
1,01000
0043214
1,05400
0228406
1,01200
0051805
1,05500
0232525
1,01500
0064660
1,05750
0242804
1,01800
0077478
1,06000
0253059
1,02000
0086002
1,06250
0263289
1,02250
0096633
1,06500
0273496
1,02400
0103000
1,07000
0293838
1,02500
0107239
1,07500
0314085
1,02700
0115704
1,08000
0334238
1,02750
0117818
1,09000
0374265
1,03000
0128372
1,10000
0413927
1,02250
0138901
1,12000
0492186
Сокращ. cOopHFK упрлжн. тт задач. Ч. III.
ОТВЕТЫ.
20.
41.
1) 60; 3) 50.
1) 60480
23. 1) 6!2!; 2) 12!
53. 1) 21; 3) 66.
40. 1) 9®; 3) 9.10*.
54.
пи(и—1).
1 1.2 ;
3).
«(«—1).
57. 1,3) 10.
59. около 4971 л.
61. 1) 3; 3)
«(и—1)
65.
1.2
32!
1.2 (8!)*
71. 3040. 72. 1) а) 30; б) 120. 74. 1) 650; 3) 14950. 109. 1) 2,591;
3) 1,116; 5) 0,3882; 7) 0,9304; 9) 1,117; 11) 1,268; 13) 1,125; 15) 1,029.
113. 1) 252; 3) сунна = 29150; 114. 1) «=14; 2) такого члена нет.
115. 1) 28(а— 1)*(а + 1). 117. 1) а) 1,04, в) 1.036, д) 1,0475, ж) 1
29
2) а) 5°/», в) 3,60/0, д) Б./§1 „а 4о/§.
125. 4865,1 р. 127. 1) 14974,5 р.;
7) 143363 руб. 129. 41457 руб.
134. 792,92 р. 137. 1) 5259,8 р.;
123. 1) 134,39 р.;
3) 19352,6 р.; 5)
130. 1) 1791 р.:
3) 1527,96 р.;
3) 148,02 р.
10326,7 руб.
3) 1814,7 р.
5) 4984 р.
139. 8010 р. 141. 1) 8800 р.; 3) 120 р.; 143. 5,512<>/0. 144. 1) 3,5«/0.
145. 21 г. 147. 1) 17 л.; 3) 28 л.; 5) 27 л. 148. 1) 23,44 г.; 3) 36 л. 5 мес.
149. 1) а) в 7,2446 раза; в) в 2,6658 раза; 3) 6,168®/0; 5) при учете
сунны на день покупки оказывается, что Б предлагает на 614 р. больше
А, С на 127 р. меньше А; 7) 389881 р.; 9) ок. 18 л. 150. 3) для 1 года: 111 р.;
для 2-х лет: 122,31 р.; для 3-х лет: 134 р.; 5) 14558,5 р.; 8) 2267 р.;
9) 2 7 л.; 12) 84,30 р.; 13) 3628,9 р. 151. 3) 2207,5 р. 7) 3032,2.
9) а) 15169,3 р. г) на 16-м году. 152. 1) А вносит
на 28,77 р. больше В; 5) 1474 р. приб. 7) 18516. 157. 1)1. 158. 1) 1; 3)1
159. 1)
"в*
з)4-
160.
3);
161..
216*
36*
10
216*
5
72*
25
216*
21^
216’
162
170.
180.
184.
9) г; 11) 3+2г; 13) 12—5г; 15) 1—г/ЗГ
12
11
10
9
8
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
5
1
36
18
12
9
36
6
3
I9 4
1
’ Т’
164.
1) I; 3)
18’ '
1
36*
1) 1- 175.
1) 1.
' 9
«аг
181. 1) |:
3)”
J 95
3)±.
3)
185. 1)
178‘ « S? яг
183. 1)
177. 1)
в.
95’
3)
' 19
21)
/3--4;
23)
171
2тп
«г2 — и2
и2 + 4- и2
и»2 -
3)i->
253. 7) 1—2г;
|/2Tt— /3: 19) 3 —2i /5;
25)-fi-i; 27)0,
187. А—
3
— 147 —
29) 2а:2—l+2a;i /Г^хЩ 31) 7; 33)2о. 257. 1) — ху, 3) —о; 5)67;
7) — ,/5; 9) аЪЧ; 11) о2627; 258. 1) (а—Ь)7; 3) (о—Ь)«. 260. 1) 27;
3) о2—Ьа+2о&7; 5) 1+47 /Щ 7) 2—47 /Щ 9) 2(о2—62); И) а) 2(7—1);
13) —1+!_>/1. 15)—‘ ii^E. 17) 1.262. 1) 2(а5+10аЗЬ2 + 5оЬ«);
3) 32: 5) 64г. 7)—56280. 9)—1024. 264. 1) |/ y+*|/"Т 3) 3 + 2':
5) 5+27; 7) 4+г; 9) 6+77; 11) 2+97. 13) 2+0,Ы, 15) 4,—4,27,—2г.
319. KF). 3) У~Ь, \/Ъ (0,309+0,9517) и т. д.
61 П % • ^ « 7) ^ ^-г; ■Ы'Е*
2«т
339. ') 11; 3) а; 5) 1; 7)у! 9) 4а; И) 2ах; 13) 2ar, 51) д.
17) 2(ж — 1); 19) 2аа+6; 21) 2аа+Ь. 341. l)tgu=j;
9) Ig ао=0, tga1==4, tg а—з——12; 11) tg а0=0, tg б- 2а. tga 3=—6а
2 6
15) tga,=0, tg tg a—3=—-- 344. 1) a;=0, y=% 3) a;=0
У=—1; 5) a-=—4; y=—4; 7) a:=—-f->' «/=^; 9) Ж=Т’ У =3№
а—b (а+6)2 о+6
11) ж=—1, у=—17,5; 13) a:=-2~, «/=—2^’ 15) х==~2~‘>
__(а—5+ 318 ц 23=_4. 3) р=0 349 J) р——2; д=—2;
3) р=—3, 3=4,25. 355. 1) у=—а2+2,г+з; 2) «/=—o’2—6.1+3.
358. a) 9,81 мр. в сек.; 6)19,62; в) 31.39; 3) а) с—29,43;
С* С®
в) gt и — о7. 359. 1) 7=—’ s=2g; 3) 12 мр-> квадрат,
(а+Ь)2. (а+6)а.
7) а) на полуразность сторон; 61 s=-—4—> в)—4—> 9) г ннп.
в прямоугольном треугольнике с гипотенузой с и катетом Ь, приле-
h
жащим углу а; 12) квадрат; 14) прямоугольник с высотою тр и
основанием тр 15+364. 1) 6ж2; 3) 4та2; 5) Зоя2; 7) Зж-+2аг,
9) За:2—12- 11) За:2—2а:—16; 13) За:2—22а;—16; 15) За;2—2х—4;
17) За2+2аж+6. 365. 11 3.Z-+1- 31 +6а:2; 5) 3(а;±1)»;
<
7) За;2, 24а;2. 367. Ута1 при х=——’ ymW при х = О,
3) не им. ни max, ни иtin.; 5) Утю. при х=^—у
fi— ■/ Ч ^
Н ymin- при х=—±—; 7) не имеет; 9) xmin=i; ят4п=— s -
— 148 —
11) ни max., нн min. 13) При а?* О не янеет ни maximum'a, нн
minimum'a. 15) Если 6—а[> О, то minimum при х—Ъ и max. ж=—
Ъ
17) не имеет ни max. нн пип. 377. 1) тш. при х=^-;
26
5) не имеет; 7) mioimum при ж=0, maximum при
378. 1) ж=^; ^=1*®; tga=if; 3) ж=0. y=25, <<7 а=—3;
5) аз=1; 7) ж=5-Ь j/—9) x=0, y=0, tg a=6;
379. 1) йс=— y—+ c; tg a=b—3) x=0, j/=9, tg a=p,
384. 1) при r—2h; 3) «тш1.=^г«; 5) При h =2(г~о)+У3r2+(r—о)2.
393. 1) ж*+1; 3) х2-2ж+2; 5)ж2—4ж+5; 7) a^+g2.
394. 1) ж«+1=0; 3) ж2-4ж+5 = 0; 395. 1) ж»—3х2+ж-3=0;
3) ж3—5ж2=9ж—5=0; 5) (ж+2)(ж2—2ж+2)=0.
396. 1) ж*—2ж3+3ж2—2ж+2=0; 3) (ж»—4ж+5Хж2—2ж+5)=0;
5) ж*-|-(аа+Ь*)ж2-)-а262=©. 398. 1) ж,=0, ж*=1, ж3=+5, Ж1 и xs—мнимые.
3) 1,-3,+2; 5) ж,=ж2=1, Жз=+г, ж4=—г; 7) ж,=—1, ж2=Жз=1;
Ж|=ж5=—1. 399. 1) хя—6ж2-(-11ж—6=0; 3) ж5—5ж3-(-4ж=0,
5) 2ж5—7ж*—9ж3—9ж2—7ж—2=0; 7) ж5+ж*—2Ж3—2ж2-|-ж+1=0.
402. 1) ж3—6ж2+11ж—6=0; 3) ж3—19ж+30=0; 5) ж3—7ж2—5ж+35=0.
7) (ж+8)(ж—0,36)(ж+0,75)=0; 9) 8ж3+6жа—553ж-833=0;
И) ж3—5ж2+8ж—6=0; 13) ж3—8ж+3=0. 403. 1) (ж—5)3=0;
3) (ж—ге)3=0. 404. 1) ж3—10ж2—lOOx-J-1000=0; 2) (ж—о)2(ж—6)=0.
406. 1) ж3—Зж2—10ж+24=0; 4) 24ж3—26жа+9ж+1=0; 5) ж3—Зж2+7ж—5=0.
—3itii %/Т
407. 1) ж,=3, жа,,= 2~ ; 3) ж,=6, ж,=ж8=1; 5) ж=1, 2, 3
408. 1) «/=(ж—1)(ж-)-2)(ж+3); 3) з,=ж(ж+2)а.
409. 1) ж«—Южв+Збж2—50ж+24=0; 3) 2ж*—9ж3+14ж2—9ж+2=0;
5) 2ж*—2ж3+3ж2—2ж-4-1=0; 7) ж*—7ж2+12=0; 9) ж*—ж2+1=0.
410. 1) ж*-|-Бж*-|-4=0; 3) ж*—17ж2+16=0; 5) ж*+4=0;
411. 1) 15ж»—^Вжв+гЭОжг-^вж-!-^^. 3) ж*-2,5ж3+2ж2—2,5ж+1=0;
5) ж*-3ж3+4,5ж2—Зж+1 =0. 412. 1) р=5, q—2; 2) р= 4, q—5
413. 1) 3, /6, }/6. ZiL/З; 3) ж,,а=1, ж3=2(, ж4=—2г
6
5) rt2; 3+ У'Ъ; 7) 1, 2, 3, 6. 416. 1) 27г3-54г-80=0
2
3) подстановка ж=ж'4-13; . 424. 1) подстановкой ж=ж'—1
3) ж=ж'—2; 5) х=ж'—а. 449. 1) 4ж3; 3) 15ж<‘; 5) ж»; 7) 64ж3
9) 5г>3ж»; 11) 25; 13) пж"-‘; 15) (2п—1)жаП-!; 17) ж"; 19) 5 »/5^
21) 6к2ж3. 450. 1) */'=5ж«, у"=4.5.ж3, у’"=3.4.5жа; 3) 2ж3,
5.2ж*, 4.5.2.x3; 5) (n-fl)ax" «(«-t-l)ax"_1, (и—1)и(и+1)ожп-а.
7) * • • 9)
4 (п— 1)!* (п—2)!’ (ж—3)!’ '
а(и— 1)жп~а а{п—1)(и—2)жп_3
— 149 —
n(W—1УИ— 2)fw—3).!"-1 454 J) y-—nx«-l_L(w_l)a;"-*;
b
3) &=пзГ-1+(п—1)а1х*-2+(п—2)алл-3+... +(n—*+1)0^"-*+..
5) y'=xn'1+.r" - a+z" “ 3+ ... x+1. 458. 1) 2(a5+x3+z). (5*1 уз.т2 f 1);
3) г^+а^Ч +as* +с2+1)1>га?‘-1+(п—lte"4-^.. • +2*+l];
5) 6a:e+3.c*—4л*—2a;2—1; 7) ^Г(х)^пх"-1С(х); 9; 2Лж'./»;
О О Л
И) у'=~5(1— а;)*; 13) у'=Ьп(а+Ъх)п-\ 469. 1) 3) s=0;
5) Z2?; 7)64; 9) 0. 470.1) 1; 3)5; Б) ±1; 7) ± */!
3
471. 1) Нет; 3) при а;=—1; 5) нет. 472. 1) ±1;. 3) ±2,-у
5) _ _!. 473. 1) При действительных значениях а; не получаег;
8) при х=—2. 476. 1) 2; 3) «; 5) иоп_‘; 7) 6;
9)1; П) 4- 479. 1)У=-1; Б)
1 ,, и+1 о , , 2о 6 2с
481. 1) г/'— ^ПТ* У=~^г 3) —я2+1, 5> х*~~х?
25 ос о( 2а2 _ haJL. IS 482 1) V — с
-s+^».. 7)~ xi •” хп+1‘ ' У Упах—-6,
Ут1п.=+6; 3) ymt„~8, х—±2\ 5) Minimum при ж=±2, max. прн х~—2.
485. 1. 486. 1) Ymax.= 6; Ymln.—2', 3) Ymom——t _•
5) Ym„„.=0, Ymln.=-^; 7) Ymax.^=4, 7min.=8, 9) Ymax.=ll Tmin.=9.
20 J0_
487. 1) tg.o=0; 9) ширина'^- см.; высота 3/- см; 489. 1) у'=1;
3) -ТоЬ" 490-1) 2>Г 3) WI' 5)V^; 7)
9) — -==; И) /=За:^2+1. 491. 1) Квадрат; 3) /,-г
у1—®2 5 »
5) катеты = |/2sT 496. 1) 2; 3) о; 5) 1; 7) 1; 9) 1
499. 1)о cos х, —о sin а:; 3) sin 2л;; 2 cos 2х; 51 4 sin+.cos х,
4(3 sin2a;.cos2a;—sin*®) 7) sin 2х, 2 cos 2а;; 9) gLgggjt—sin a;.
xt
—a;2sin a;—2a; cos a;+2sin x ... .. 2cosx 4+2 cos*.r
x* »l»i ginSa,» sin*a;_ *
„ . „ sin a: l+sin2a;
15 cos 2a;, -2 sin 2s; 17) —г-, ■ ;• 19) i/=0.
Л
502. 1) Maxim, прн a;=-g(27c+lV min. при a^=-g(3+2fc);
Я 5
3) max. при .т=^+2/сп, min. прн-дП+2/сп; 5) max. при *=r.(i+4ft)—1,
,л! его. i 1 2 sin *. в, 2
min. при *=*(47c-l)-l. 504. 1-^, 3)
— 150 —
8 sin 2x
5) ,x
«cos2—
n
У
cos 2x ’
2a62sin(6x+c)
1 cos3(6x-|-ej ’
2sin—
n.
X9
w*cos3—
n
n) 2 COS31
7) 0; 9)-
ab
cosa|6x+c) ’
,__1 1_
^ cos2x sin2x ’
3n
x cos ж+sin x;
508. 2) 1) Имеет нули при x=2fci±”";
беек знач. нет; 3) нули при ж=2Ы,
я
нет.
. X
Sln2
COS8 .
У"=2.
13) xsinx;
sin*a:+cos*x
cos3x-(-sin3x'
maxim, при х=Ы-\-{—l)^p,
maxim, при x—kr., беек. знач.
510. |
538. 1) x > 12;
3) x > 56—2o;
5) при m > 0 г >
mp—a
“ТБ-’
при m < 0, г < ; 7) x > 7-| или x < 7. 542. 3 ф. и 4 ф.; 4 ф. и
5 ф. и т. д.
544.
3’ 4’
9
Ь 1ГИТ- 548. 1)ж<10; 3) г >
5) х >4> 7)й>—93|; 9) при 6>4, <>6—4; при 6 < 4, t < 6—4;
^ т+п , »г-Ь«
11) у > (при одинаковых знаках у, т п п (тфп\ и « <
т— 71 * 4 / J ^ т — п
(при разных знаках у » и я). ш 583, 1) 1 и 330, 4 н 320 и т. д.
3) 19 и 10, 22 и 30 и т. д.; 5) 13 и 5, 6 и 10; 7) 1 и 1, 3 и 6 и т. д.
или 1 и 4, 3 и 9 н т. д.; 9) 25 н 13; 11) 104 в 4, 116 н 21 и т. Д.
13) 123, 234, 345; 15) | и *, “ и 1 и т. д. 17) | +|;
21) ж= 13<—6 при t>0; 23) 2 и 30, 5 И 25 и т. д.; 25) 99; 27) 10 и 5.
604. 1) f/2; 3) /л] 5) /Щ 7) ^ 608. 1) 13 и 3, 50 и 17 и т. д.
3) 7 и 2 и т. д.; 5) Б и 101. 14 и 24.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Предисловие . 3
Отдел первый.
ПЕРВАЯ ГЛАВА.
Комбинаторика (теория соединений) #
§ 1. Соединения 5
§ 2. Перестановки . 6
§ 3. Размещения 10
§ 4. Сочетания ..... 12
§ 5. Смешанные задачи ■ • 16
§ 6. Бином Ньютона для натурального показателя. Вывод формулы
бинома Ньютона. Свойства коэффициентов разложения по би¬
ному Ньютона (биномиальных коэффициентов). Примеры. До¬
казательство формулы бинома методом полной индукции. Задачи.
Общий член разложения бинома 18
ВТОРАЯ ГЛАВА.
I
Приложение теории соединений и формулы Ньютона.
§ 7. Вычисление сложных процентов. Примеры. Смешанные задачи. 24
§ 8 Элементы теории вероятностей. Определение вероятноств. Про¬
стейшие примеры. Опытная проверка результатов, даваемых
теорией вероятностей. Сложение и умножение вероятностей.
(Смешанные задачи) 33
— 152 —
Отдел второй.
ТРЕТЬЯ ГЛАВА.
Тригонометрические функции.
Стр.
§ 1. Синус и косинус дуги и угла 39
§ 2. Проекции. Синус и косинус суммы двух дуг (углов) 43
§ 3. Функции тангенс и котангенс. Графическое решение триго¬
нометрических уравнений 45
ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.
Комплеисные числа.
§ 4. Мнимая единица. Комплексное число 50
§ 5. Действие над комплексными числами 52
§ 6. Тригонометрическая форма комплексного числа. Полярные ко¬
ординаты 58
Отдел третий.
ПЯТАЯ ГЛАВА.
Рациональные целые н дробные фуннции.
§ 1. Пределы 68
§ 2. Функции первой и второй степени. Производная. Minimum и
maximum целой функции второй степени 70
§ 3. Целая рациональная функция третьей степени. Maxima и mi¬
nima функций. Вторая производная. Точки перегиба н каса¬
тельная в точках перегиба. Геометрические приложения ... 78 »
§ 4. Некоторые общие свойства целой рациональной функции
(многочлена) n-ой степени. Теорема Безу и ее приложения.
Корни уравнения «-ой степени. Рациональные (целые) корни
уравнения я-ой степени 8-7
§ 5. Уравнения третьей в четвертой степени 90
§ 6. Дифференцирование целых рациональных функций. Определе¬
ние непрерывной функции. Производная степени и постоян¬
ной. Производная суммы и разности. Производная произведе¬
ния. Смешанные задачи 99
§ 7. Понятие об интеграле 104
§ 8. Дробные рациональные фунцип. Нули и бесконечности функ¬
ций. Производные. Maxima н minima. Смешанные задачи.
Исследование кривых 109
tic vr. t/n
— 153 —
ШЕСТАЯ ГЛАВА.
Простейшие иррациональные н трансцендентные функции.
Стр.
? 9. Производные простейших иррациональных функций 114
§ 10. Тригонометрические функции. Производные функций sinus и
cosinus. Производные остальных тригонометрических функций.
Смешанные примеры. Задачи из физики 116
Отдел четвертый.
СЕДЬМАЯ ГЛАВА.
Неравенства.
§ 1. Свойства неравенств 121
§ 2. Решение неравенств 125
ВОСЬМАЯ ГЛАВА.
Неопределенные уравнения.
§ 3. Нахождение целых решений неопределенного уравнения с
двумя -неизвестными 127
§ 4. Решение неопределенного уравнения способом последователь¬
ного деления 131
§ 5. Задачи, приводящие к решению неопределенных уравнений . 133
ДЕВЯТАЯ ГЛАВА.
Непрерывные дроби.
6. Конечные и бесконечные непрерывные дробп 135
7. Свойства подходящих дробей и их числителей и знаменателей. 137
8. Решение неопределенных у[авненпй при помощи непрерыв¬
ных дробей 1-Ю
Таблицы:
Четырехзначные таблицы логарифмов 142
Значения тригонометрических функций для целых градусов . 141
Семизначные таблицы логарифмов некоторых чисел 115
Ответы 116
Окращен. со фмпк >прлл:н, И задич. ГТ. III.
11