Л.В. Тарасов
НЕСЛУЧАЙНАЯ
СЛУЧАЙНОСТЬ
Часть первая
1994

Межгосударственный педагогический
эксперимент по отработке новой модели общего оразо-
вания «Экология и диалектика»
Л. В. Тарасов
НЕСЛУЧАЙНАЯ СЛУЧАЙНОСТЬ
Экспериментальный учебник
развивающего типа
по интегративному предмету
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОКРУЖАЮЩЕГО МИРА
Москва. «Авангард». 1994

Автор учебника: Тарасов Лев Васильевич, профессор, автор
модели «Экология и диалектика», научный
руководитель педагогического
эксперимента, Президент Ассоциации
Данная книга открывает серию экспериментальных
учебников развивающего типа по новому, интегративному
предмету «Закономерности окружающего мира». В VI-м
классе этот предмет называется «Неслучайная
случайность».
Опираясь на апробированные рекомендации психологов,
современная педагогика уже сравнительно давно признала необходимость
ознакомления школьников с идеями и методами комбинаторики и теории
вероятности и развития у них на этой основе вариативного мышления.
В школах многих стран мира введены соответствующие учебные
предметы. У нас в стране страстным энтузиастом включения
вероятностных идей и подходов в среднее образование всегда выступал Б. В.
Гнеденко.
Данный учебник написан на основе программы, которая
разработана автором в 1989-м году. Эта программа использовала идеи,
изложенные в книге: Л. В. Тарасов. Мир, построенный на вероятности (М:
Просвещение, 1984), а позднее в монографии: Л. В. Тарасов.
Современная физика в средней школе (М: Просвещение, 1990). Начиная с 1989-
го года, указанная программа проходит апробацию через предмет
«Закономерности окружающего мира» в школах, участвующих в
педагогическом эксперименте по отработке модели «Экология и
диалектика». Немалый вклад в практическую реализацию идей
программы внесли Е. В. Масалкова (Москва), А. С. Потапова (Химки)» Г. Г.
Дядченко (Нальчик), Л. М. Рыбалова (Сумы) и многие другие. Следует
особо отметить вклад преподавателя школы №293 Москвы О. А.
Чичигиной. На курсах по переподготовке учителей ей поручалось
проведение занятий с учителями по предмету «Закономерности
окружающего мира». Проводя уроки в своей школе и работая на курсах с
учителями, она подготовила систематизированные учебные материалы
по этому предмету для учащихся VI-го класса. Эти материалы
оказались весьма полезными при создании настоящего учебника, за что
автор выражает О. А. Чичигиной глубокую признательность.
ISBN 5-87868-058-0
т 4306020000-082 А .
Т без объявления
Д86(03)-94
© Тарасов Л. В.
© Оформление Всероссийской Школы Математики и Физики
"АВАНГАРД", 1994

...Не проворным достается успешный бег, и
не храбрым — победа, не мудрым — хлеб, и
не у разумных богатство, и не искусным —
благорасположение, но время и случай для
всех.
Екклесиаст
Случай всегда приходит на
помощь тому, кто борется
победы.
Восточная поговорка
Глава первая

Вступление
Как ты думаешь, что это такое - случай?
Какой он - несчастный или счастливый? Полезен он или
вреден? Как надо к нему относится - избегать или принимать
его во внимание, бороться или дружить с ним?
Случай часто появляется неожиданно, и трудно угадать,
каким он вдруг окажется.
Средь шумного бала, случайно,
В тревоге мирской суеты
Тебя я увидел, но тайна
Твои покрывала черты...
Случай может заявиться как незваный гость и такое
натворить! Возможно, не нарочно, а совершенно случайно. Не сердись
на него.
Сотри случайные черты
И ты увидишь: мир прекрасен!
А по изобретательности случаю нет равных. Об этом так
хорошо сказал Пушкин. Вспомни:
О, сколько нам открытий чудных
Готовят просвеиденья дух,
И опыт — сын ошибок трудных,
И гений — парадоксов друг,
И случай — Бог-изобретатели?...

Глава первая
Ах, как важно уметь пользоваться случаем! Это означает -
уметь не упускать шанса. Вот и сейчас у тебя есть прекрасный
шанс - через нашу книгу поближе познакомиться со случаем.
Постарайся же не упустить этот шанс.
Вопросы и задания:
Приведи примеры несчастных (вредных) случаев.
Приведи примеры счастливых (полезных) случаев.
3)Как ты понимаешь поговорку «Случай всегда приходит на помощь
тому, кто борется до победы»?
(?) Как ты понимаешь приведенные выше строки Пушкина?
(6) Отыщи побольше стихотворений, пословиц, поговорок с участием
случая (случайного, случайности). Почему бы на устроить по этому
поводу состязание с друзьями?
©Придумай рассказ или стихотворение на тему «Упущенный шанс».
Можешь припомнить некоторые события собственной жизни и
использовать их в своем сочинении.
(7) В книге Льва Кассиля «Великое противостояние» отыщи Сказку
про самый крайний случай. Кто из пяти братьев в этой сказке тебе
нравится? Почему? А если бы тебе довелось быть шестым братом?
1.1 Шиворот-навыворот: ничего не
предсказать да и вовсе не понять
Ах, как бы хотелось, хотелось бы мне
Когда-нибудь выйти из дома
И вдруг оказаться вверху в глубине
Внутри и снаружи, где все по-другому!
В. Высоцкий (Песенка Алисы)
А ведь и в самом деле иногда хочется, подобно Алисе,
оказаться в какой-нибудь Стране Чудес, где все по-другому.
Неважно, как по-другому, лишь бы как-то необычно, как даже
не придумаешь.
Некоторые удивительные люди умеют придумывать такие
страны. Таким был Л. Кэрролл - английский математик, автор
приключений Алисы в Стране Чудес и в Зазеркалье. Он мог

написать в письме: «Я так уставал, что ложился спать через
минуту после того, как вставал, а иногда и за минуту до того, как
вставал». Как тебе это понравится?
Представим себе, что тебе надо описать кого-нибудь из друзей
или знакомых. Ну разве придет тебе в голову написать нечто,
похожее на такие строки: «Жил один рыжий человек, у которого
не было глаз и ушей. У него не было и волос, так что рыжим его
называли условно. Говорить он не мог, так как у него не было
рта. Носа тоже у него не было. У него не было даже рук и ног.
И живота у него не было, и спины у него не было, и позвоночника
у него не было, и никаких внутренностей у него не было. Ничего
не было! Так что непонятно, о ком идет речь. Уж лучше мы не
будем о нем больше говорить».
Вот такой портрет человека без портрета!
Этим рассказом начинается серия очень странных историй
Даниила Хармса с общим названием «Случаи». Этот рассказ
непонятно о чем. Он вызывает смех и недоумение. Он такой
неожиданный, ни на что не похожий.
Признайся, что иногда бывает тоскливо от мысли, что вот
завтра, послезавтра, послепослезавтра надо отрываться от сна и
идти в школу. Не потому, что учиться не хочется, а потому, что
каждый день одно и то же: урок, переменка, урок, переменка...
Все заранее известно. Как хочется вытворить что-нибудь такое,
чего никто не ожидал, или хотя бы просто придумать!
Приключения, путаница, случайности! Чтобы все было
шиворот-навыворот!
Помнишь:
Вместо шляпы, на ходу
Он надм сковороду.
Вместо валенок, перчатки
Натянул себе на пятки...
А иногда хочется увидеть или вообразить что-то не просто
непривычное, а такое, чего и быть-то не может. Чтобы глазам
своим не верить. Чтобы словно с ума сходишь. Вот, например,
рисунки голландского художника М. Эшера. «Все мои работы -
это игры», - говорил художник и добавлял: «Серьезные игры».
Если ты вдруг почувствуешь, что от таких игр у тебя может
«поехать крыша», закрой книгу и отдохни.
Итак, смотри внимательно!

Глава первая
«Поднимаясь или опускаясь». Какой
угол башни выше: ближний, дальний,
правый, или левый? Как можно все
время подниматься по замкнутому
контуру? Как можно по нему все время
опускаться? Попробуй мысленно пройти по
этой лесенке.

«Бельведер*. Внимательно присмотрись к
лестнице и колоннам... Может быть, ты сходишь с
ума?

Глава первая
ШГШ
4 >Ч
-*1
. '* .v >
.
птт
«Водопад». Этот рисунок ты можешь
рассматривать без подсказок. Не пахнет ли
здесь вечным двигателем?
Кстати, за счет чего происходит круговорот
воды в нормальном мире? Почему он
возможен?

8
«Три мира». Действительно три мира или
просто озеро осенью? Может быть, наш мир
не так уж далек от эшеровских миров?

Глава первая
9
«День и ночь». Тебе приходилось задумываться над
тем, как день превращается в ночь? «Воображение
важнее знания», - говорил великий физик Альберт
Энштейн.
«Относительность». Интересно, что же думают
эти люди друг о друге? Представь себя на месте
одного из них. Где будет для тебя потолок, пол,
стены? Где будет верх, а где низ?

10
г
«Картинная галерея». Что
это? Куда девались прямые
линии? Почему картинная
галерея да и, похоже, весь
мир как-то искривились? Это
на самом деле так или это так
нам просто кажется?
Впрочем, современные физики
полагают всерьез, что наша
Вселенная искривлена и к
тому же замкнута. Как это
понимать?

Глава первая
11
ОЖЕГ
«Другой мир». Какой он, этот
другой мир? Что ты
усматриваешь в рисунке? Не кажется
ли тебе, что слово «другой»
эквивалентно в данном
случае слову «чуждый»? Можно
ли что-нибудь понять в этом
мире? Зачем он? В чем его
смысл?

12
«Рябьна воде».
А это тоже
искривление
Вселенной? Или
это просто рябь
на воде, самый
обычный наш
мир?
Ну, скажи, разве тебе не доставило удовольствие узнавание
чего-то совсем нового, необычного? Хочу того, не знаю чего —
это вполне нормальное желание! Ведь обычное и привычное так
надоедает!
Замяуксиги котята: А за ними и утята:
Надоело нам мяукать, Нс желаем больше крякать.
Мы хотим как поросята хрюкать! Мы хотим как лягушата квакать!..
Ну вот, мы опять начали дурачиться. Как только отойдешь
от обычного до привычного, так и ожидай сюрпризов!
Впрочем, когда неожиданностей много, это начинает
раздражать. Все-таки хочется уверенности в завтрашнем дне,
хочется не зависеть от случайностей. Уж больно они
непредсказуемы. Не знаешь, чего от них ждать. У японцев есть страшное
проклятие: «Чтоб тебе жить в эпоху перемен!»
Вопросы и задания:
ф Хочешь ли ты знать заранее обо всем, что будет9 Почему9
(2) Легко ли отличить обычное от необычного9 Приведи побольше
примеров того и другого. Каких примеров у тебя набралось больше9
А у твоего приятеля9
(D Попробуй нарисовать «неожиданное и необычное», такое, что «ни
в сказке сказать, ни пером описать».

Глава первая
(3) Вообрази и опиши свою Страну Чудес. Попробуй сделать ее
рисунок. Много ли чудес ты изобразишь на нем?
©Напиши характеристику на своего друга. Сочини совершенно
необычную и неожиданную характеристику. Чтобы она была ни на
что не похожа. Пусть она будет похожа на него, но так, чтобы он
ничего не понял.
1.2 Да здравствует порядок!
— Пакеты по полкам
Разложены с толком,
В дороге разборка идет...
— Проверяйте сдачу, не отходя от кассы!
— Мойте руки перед едой!
Где же эта неповторимая Страна Чудес? Где тот
удивительный мир, в котором все шиворот-навыворот и ничего нельзя
предсказать? Где все это необычное, непонятное, таинственное?
Может быть, только в нашем воображении?
Вот откроем глаза, поглядим вокруг и увидим совсем другой
мир, где все обычно, привычно, находится там, где и должно
быть. На полюсах льды, в пустынях пальмы и львы. День
сменяет ночь, а весна зиму. Камень твердый, огонь горячий,
вода мокрая, иголка острая, масло масляное, ... Одним словом,
Невозмутимый строй во всем,
Созвучие полное в природе.
(Ф. Тютчев).
Проведем состязание. У каждого из участников листок
бумаги. По команде «Вперед!» все начинают быстро
писать. Через три минуты звучит команда «Стоп!» Победил
тот, кто за эти три минуты написал больше примеров
проявления порядка в природе.
Погляди кругом - какая гармония в мире растений и
животных! Одни едят растения; другие едят тех, кто ест растения;
третьи и тех и других. Все имеют нужные приспособления:
шипы, чешуйки, усики, челюсти, перепонки на лапках, мозоли

14-
на ногах, горб на спине, пыльцу на крылышках, сумку на
животе, а так же плавательный пузырь, подкожный жир,
крошечный фонарик и даже электрическую батарейку. И
каждое из этих приспособлений досталось именно тому, кому оно
необходимо. Как будто кто-то очень тщательно продумал все
это и все аккуратно спланировал.
Люди тоже всегда старались все спланировать и во всем
навести порядок. Ради порядка они даже устраивали такие
мерзости, как войны и всевозможные кровавые бойни, да и
вообще делали многие глупости.
Все в небе стройности полно,
А нам и смысл отмерен скупо.
Планеты движутся умно,
А люди движутся так глупо.
(Н. Щербина)
Для наведения порядка набирались войска и полиция,
строились тюрьмы, натягивалась колючая проволока. Для этого же
существовали разные праздники и ритуалы, создавались мифы,
устраивались традиции и писались всевозможные правила,
установления, указы, законы.
Например, в Древнем Риме преступника, застигнутого на
месте преступления ночью, можно было сразу убить. А при свете
дня, заметив вора, нужно было кричать и звать на помощь,
чтобы поймать преступника и предать суду.
Средневековые законы указывали путнику, где он должен
ехать и где останавливаться - в какой харчевне, у какого
кузнеца. Иногда такие остановки объявлялись обязательными
и определялось заранее количество припасов, какое следовало
там закупить проезжающим. Особым установлением
оговаривалось, что вещи случайно высыпавшиеся из повозки на землю,
оставались собственностью сеньора, которому принадлежала эта
земля: «Что с воза упало, то пропало».
В наше время порядок наводится при помощи такого
количества правил, распоряжений и законов, какое, наверное, и не
снилось нашим предкам. Конституция. Уголовный кодекс.
Правила уличного движения. Правила поведения в
общественных местах. Правила пользования метрополитеном. Нормы
отпуска продуктов в одни руки. Руководство по эксплуатации
электрической мясорубки... Нельзя переходить улицу в
неустановленных местах. Нельзя плевать на пол. Нельзя рвать цветы

Глава пеувая
с клумб. Нельзя допускать перерасхода воды и электроэнергии.
Нельзя жить в городе без прописки. Нельзя ехать в поезде без
билета. Нельзя высказывать мысли, если они противоречат
«общественному мнению»... Нельзя, нельзя, нельзя! Мы все
живем в мире запретов. Мы привыкли уважать правила и
законы.
Да и как их не уважать, если столько людей не сеют, не
пашут, не лечат, не учат, а всю жизнь только и делают, что
следят за соблюдением правил и законов! Они следят за
порядком! И это, наверное, тоже очень важно. Потому что везде
должен быть порядок, и все должно идти, как положено, как
установлено, как спланировано.
Чтобы не попасть в капкан.
Чтобы в темноте не заблудиться.
Чтобы никогда с пути не сбиться,
Чтобы в нужном месте приземлиться,
Начерти на карте план.
И шагай и пой беспечно:
Тили-тили-там-там-там1
Встреча обеспечена,
В плане все отмечено,
Точно, безупречно и пунктиром.
Если даже есть талант,
Чтобы не нарушить, не расстроить.
Чтобы не разрушить, а построить,
Чтобы увеличить и удвоить,
Нужен очень точный план!
Кроме различных правил, планов, законов, которые
являются официальными документами, существуют еще законы
неписаные. Например, правила хорошего тона. Такие правила
существовали издавна. Они определяли все рукопожатия,
поклоны, реверансы. Вот «Правила разумного и
высоконравственного поведения», составленные в середине прошлого века; они
предписывают правильное поведение за столом.
«За едой неприлично чем-либо злоупотреблять, двигать стул или
стол, звенеть столовыми приборами, шаркать ногами, стучать рукой,
откидываться на стулья, держать нос близко к тарелке, чавкать,
сопеть, икать, рыгать, кашлять, стонать, цокать языком,
захлебываться, громко втягивать пищу, булькать, обсасывать и разламывать
кости, есть жирным ртом, облизывать пальцы, дуть на еду,
высовывать язык, таращить глаза, смотреть другим в рот, оглядываться

16
вокруг, крошить хлеб, бросать хлебом в других, хохотать, строить
гримасы, махать руками, лезть пальцами в рот, доставать соль из
солонки грязным ножом, а тем более рукой, дуться, сердиться,
высмеивать других за неловкость в еде, показывать на них пальцем».
Вот так! Много чего нельзя делать за столом во время еды.
Зато, наверное, все остальное делать можно? Например, стучать
ботинком по столу, опрокидывать у соседа тарелку с супом,
отнимать у него кусок мяса, тыкать ему в бок вилкой, сыпать
соль в стакан с чаем. Ведь ничего об этом в Правилах не
говорится!
Но бывают очень красивые правила, которые выполняются
под музыку. Левая нога немного отставляется назад, легкий
поклон, правая рука касается талии дамы... И начинается
танец. Здесь все совершается по строгому порядку, но делается
это легко и красиво. Этим меняющимся под звуки музыки
порядком можно без устали любоваться.
Внимание! Перед тобой
Оркестра, или Поэма об искусстве танца,
сочиненная в начале XVII-ro века сэром Джоном Дэвисом.
Милостивейшая государыня!
Искусство танца началось тогда.
Когда первейшие основы мирозданья -
Земля и воздух, пламя и вода -
Любви, владычицы Природы, вняли
настоянъю
И согласились, распри позабыв,
Коловращенъи танца ритм блюсти и
меру,
Дабы весь мир их следовал примеру.
Начало всех начал с тех пор в
незримом круге
Несутся вихрем. Строгой чередой
В едином ритме, четком и упругом,
Сойдясь на миг, расходятся в другой,
Все новые фигуры образуя.
Столь дивное согласье - плод любви.
Мы в танце подражать ему должны.
Гармонией стихий, волшебной силой,
Проникшей в твердь и толщу вод,
Из хаоса материи унылой
Богов обитель, звездный небосвод,
Сотворена, ей придано вращенье.
Под музыку небесных чудных сфер
Кружится в танце Мирозданье -
Изящество возвышенный пример.
Что заставляет гибкую лозу.
Танцуя, вяз сжимать в тугих
объятьях петель?
Что вынуждает стрелку-егозу
Указывать на север? Добродетель
Иль строгой верности обет?
Природы щедрой дар любви так
сладок,
Что в танце от любви рождается
Порядок.

17
Глава пеувая и#
Предлагается провести
АУКЦИОН
законов и указов за всю историю человечества.
Порядок проведения аукциона:
1. Все участники заранее готовятся, читают разные книги.
2. Ведущий начинает аукцион и предоставляет слово любому
участнику, который поднял руку.
3. Получивший слово называет какой-нибудь закон или указ и
рассказывает о нем все, что знает.
4. Слово по очереди получают все, кто хочет.
5. Если руки больше не поднимаются, ведущий начинает повторять
«Закон такой-то - раз! Закон такой-то два!..»
6. Если кто-нибудь вспомнит еще один закон, он должен побыстрее
поднять руку - прежде, чем ведущий досчитает до трех.
7. Если ведущий успевает сказать «Три!» и ударить ложкой по
крышке кастрюли, то аукцион заканчивается. Победил тот, кто
выступал последний.
Вопросы и задания;
фв нашем мире вода стекает вниз, деревья растут из земли, из тучи
идет дождь, после молнии гремит гром, из семечки вырастает
подсолнух, весной тает снег и происходит многое другое. А теперь
вообрази, что ты находишься в мире, где все шиворот-навыворот.
Как ты думаешь, какие явления можно наблюдать в таком мире?
Может быть, ты попробуешь их нарисовать?
(2) Раньше мы перечисляли разные полезные приспособления у
животных. Назови обладателей приведенных приспособлений. А
какие приспособления ты еще можешь назвать?
(2)У каких животных есть короли, вожаки, строители,няньки,
солдаты? По каким законам живут стая, стадо, косяк рыбы, муравейник,
термитник?
(Попробуй составить правило для себя - режим дня, план основных
дел на ближайший месяц, план укрепления собственного здоровья
и т.д..
© Попробуй сочинить собственные «Правила хорошего тона».
(б) Представь себе что ты находишься в стране, где все шиворот-
навыворот. Придумай Правила поведения в такой стране.
© Попробуй сочинить фантастический рассказ. Это можно сделать
так. Берешь разные проявления порядка (например, голова у
человека находится сверху, в словах есть гласные буквы, струйку воды
нельзя завязать в клубок, нельзя самого себя поднять за волосы и

18
многое другое) и представляешь все наоборот. Из этого может
получиться немало забавного.
©Все-таки слишком много людей должны следить за порядком. Как
бы сделать так, чтобы их было поменьше? Есть ли у тебя на этот счет
какие-нибудь идеи?
1.3 А есть ли в жизни случайность?
Природе разума свойственно
рассматривать вещи не как случайные, но как
необходимые.
Спиноза
Как ты полагаешь, в мире, где царит строгий порядок, где все
управляется вечными законами, где все планируется разумом,
где все предсказуемо и объяснимо - остается ли в таком мире
место для случайностей?
Известна такая древняя притча. Лысый человек идет в
солнечный день по открытой местности, и вдруг (вот уж
действительно вдруг!) ему на голову прямо с неба падает черепаха и
убивает его. Казалось бы, что более случайное и придумать
нельзя. А на самом деле все объясняется довольно просто. Дело
в том, что в данной местности водится много хищных птиц,
которые питаются черепахами. Они поднимают их высоко и
затем бросают на камни, чтобы расколоть панцырь. А с большой
высоты сверкающая на солнце лысина вполне может оказаться
круглым гладким камнем.
Так может быть, все неожиданное и случайное нам таким
только кажется? А на самом деле все закономерно, все
необходимо, именно так и должно быть. Надо только подумать
хорошенько и применить, например, знаменитый дедуктивный
метод Шерлока Холмса. «Взгляните, Ватсон, на нижнюю
крышку часов, в которой отверстие для ключа. Посмотрите, сколько
царапин; это следы ключа, которым не сразу попадают в
отверстие. У человека непьющего таких царапин на часах не
бывает. У пьяниц они есть всегда. Ваш брат заводил часы поздно
вечером, и вон сколько отметин оставила его нетвердая рука. Что
же во всем этом чудесного и таинственного?»

Глава пеувая
Может быть и в самом деле все чудесное, таинственное,
случайное встречается только в сказках? Вот вышел Иван на
крыльцо, натянул тетиву лука и послал стрелу неизвестно куда.
А стрела случайно попала в болото, да не простое, а такое, где
жила в образе лягушки прекрасная царевна. Или вот закинул
старик невод в море и случайно вытянул из воды золотую рыбку,
говорящую человеческим голосом и выполняющую разные
желания. А Емеля совершенно случайно вытянул ведром из
колодца волшебную щуку, которая оказалась там тоже
случайно. Вот это действительно есть Его Величество Случай! Ну, кому
так еще повезет?
Но ведь все это сказка. А в жизни? А в жизни, может быть,
случай сидит на привязи? А все многообразие мира можно
описать несколькими математическими формулами, так что
никакая случайность ничего не нарушит? И вообще, может
быть, прав был Демокрит, когда говорил: «Люди сотворили себе
кумира из случая для прикрытия присущего им недомыслия»?
Одним словом, случай - это от недомыслия, это для дураков. А
умный человек до всего докопается, дойдет до самой сути и все
объяснит. Потому, как известно, «наука - враг случайностей».
Именно так думали в конце прошлого и начале нынешнего
века ученые и философы. Они пытались описать мир набором
утверждений (аксиом), логическими выводами,
доказательствами, четкими определениями.
Вот, казалось бы, движения молекул в газе совершенно
случайны. Но ничего подобного! Каждая молекула движется
строго по законам физики. Так что, если бы мы могли учесть
движения всех молекул, учесть также все столкновения их друг
с другом, то тогда ничего случайного в поведении газа, наверное,
не осталось. Вот только молекул слишком много... Еще в XVII
веке известный ученый Лаплас пробовал вообразить некое
«сверхсущество», некий «сверхум», который бы знал для
какого-то момента времени «все силы природы и положения всех ее
частей». «Если бы вдобавок, - писал Лаплас, - этот Ум сумел
подвергнуть анализу все эти данные, то он мог бы описать
движения величайших тел Вселенной наравне с движениями
атомов. Не осталось бы ничего, что было бы ему неизвестно, и
будущее, так же, как и прошедшее, предстало бы перед его
взором».
Конечно, во времена Лапласа о таком обширном «Уме»
можно было только фантазировать. А сегодня? Может быть,
таким «Умом» могла бы стать какая-нибудь сверхмощная ЭВМ?
Этакий всемогущий «Электронный Разум», который все знает,
все может предсказать, всем управляет. Или это тоже фантазия?

20
Впрочем, возможно, многое (или почти все) может быть
описано формулами и вычислено с помощью сверхмощных
ЭВМ. Но ведь человек-то - это не просто собрание молекул. Кто
скажет, из каких «молекул» составлена человеческая
личность? Кто может предсказать, что тебе сейчас придет в голову?
Каким законам подчиняется поведение твоего соседа по парте?
А какие «вечные законы» заставили тебя прикусить язык,
прищемить палец, забыть имя писателя, перепутать тетрадки,
потерять варежку? Уж это-то чистая случайность! За это, как
правило, даже не ругают - ясно же: нечаянно так получилось!
А вот австрийский врач Зигмунд Фрейд полагал, что и это все
неспроста. У всех нечаянных ошибок, нечаянных поступков
есть; как он считал, причина. Только мы ее часто не осознаем.
Но если постараться, то может получиться.
Так, теряются предметы, когда поссоришься с тем кто их дал,
и о ком теперь неприятно вспоминать. Если правильно
истолковать некоторую ошибку, то можно даже делать предсказания.
Вот одна дама за день до свадьбы забыла (только подумать!)
примерить свадебное платье, которое было заказано у портнихи.
Вполне понятно, что она вскоре развелась с мужем.
А как быть с прикусыванием языка, прищемлением пальца,
разбиванием коленки? По теории Фрейда это тоже неслучайно.
Оказывается, мы сами того хотели, только не осознавали своего
хотения. Представляешь, ты падаешь, разбиваешь коленку, а
все, вместо того, чтобы пожалеть и помочь, начинают приставать
с вопросом: зачем ты это сделал? В общем, потирая ушибленное
место, призадумайся, а случайно ли это?
Так, может быть, наша жизнь действительно не имеет
случайностей?
Мы так настойчиво ставим этот вопрос, что, наверное,
хочется спросить: а что такое случайность? Какие события можно
назвать случайными? Пора уже уточнить все это. А после этого
решать - есть в жизни случайность или ее нет.
Надо сразу признаться: не так просто отличить случайное от
неслучайного. Вот взять хоть пример с тем лысым человеком,
на голову которого упала черепаха. Тебе известно про хищных
птиц, бросающих черепах на камни. И все же хочется сказать:
какая нелепая, случайная смерть! Шел себе человек, ни о чем
таком не думал и вдруг, совершенно неожиданно - на тебе! Да
и кто мог бы предсказать, что с ним такое случится? Тысяча
лысых людей могли благополучно пройти по той местности. И
вот только ему одному «повезло». Ну не случайность ли?

21
Глава пеувая ШтШ
Как видишь, со случайностью не так-то просто разобраться.
Попробуем проделать опыт. Возьми лист бумаги и попробуй
написать на нем ряд случайных цифр. Вот ты, допустим,
пишешь: 1. Хорошо. Ты пишешь: 2. Ладно. Цифру 3 ты, скорее
всего не напишешь - нужно, чтобы цифры были* случайными,
а тут получается уже какой-то порядок. Пусть снова будет 1.
Затем пусть будет 8. Хорошо. Теперь, конечно, ты не напишешь
1 - ведь единица уже была два раза. А вот не было, например,
5. Пусть будет 5.
Остановись! То, что ты пишешь, вряд ли можно считать
случайными цифрами по простой причине. Когда твоя рука
писала очередную цифру, голова помнила о цифрах, которые
были уже написаны (или еще не были написаны). Голова как бы
подсказывала руке: «после 1 и 2 не ставь 3», «хватит единиц»,
«еще не было пятерки» и т.д.. Запомни: если появление какого-
то события как-то зависит от того, какие события уже
появились, то такое событие не есть случайное событие. Так что
случайным может быть лишь действительно неожиданное,
непредсказуемое событие.
Вот теперь и думай: есть в жизни случайные события или же
их нет.
/, 4 /, s. л ...
7
Вопросы и задания;
©Целый параграф мы посвятили вопросу: А есть ли на самом деле
случайность в жизни? Может быть, ее по большому счету нет? А вот
известный писатель Александр Дюма, который, конечно,
внимательно изучал жизнь, писал: «Случай играет в мире столь большую роль,
что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места
в уверенности, что и без моей помощи он позаботится*о себе».
Что ты думаешь по этому поводу? Какова твоя точка зрения: нет в
жизни случайностей или же, напротив, случайностей в жизни очень
много? И каковы твои доводы?
©И все-таки случайно или неслучайно то печальное происшествие,
какое произошло с лысым человеком? Какова твоя точка зрения?
©Вот ты подбрасываешь игральный кубик. Всякий раз выпадает то
или иное число. Как ты думаешь, выпадение числа при каждом
бросании - это случайное событие или неслучайное?
(2) А вообще-то как ты относишься к случайному? Возможные
ответы: отрицательно, не замечаю, терплю, положительно. Хорошо

22
&*
бы, конечно, не просто дать ответ, а объяснить его.
© И вот самый «трудный» вопрос. Будем считать, что в жизни все
же происходят настоящие случайные события - такие, которые
никто и ничто не могут предвидеть и предсказать. А не означает ли
это, что такое событие происходит безо всякой причины? Наверное,
это было бы ужасно: ведь мы знаем, что все должно иметь свои
причины, а также свои следствия. Как известно, даже «смех без
причины - признак дурачины». Итак, как ты думаешь, не является
ли случайное событие событием безо всяких причин? Этот вопрос
можно поставить и немного иначе. Вот мы говорим: такое-то событие
имеет такую-то причину. Означает ли это, что такое событие не
может быть случайным?
1.4 Случайность под маской необходимости
Люди, стоящие на низкой ступени
развития, склонны к излишней
подозрительности. Какая бы беда ни
приключилась с ними, они приписывают ее чьему-
то злому умыслу, даже если это лишено
малейших оснований. Объясняется это
тем, что примитивные люди не знакомы
с таким понятием, как случайность.
Альфред Реньи
Пожалуйста, еще раз внимательно прочитай эпиграф. О чем
он? О подозрительных людях, которые в своих бедах винят
других? Не только о них. Главное здесь - это о случайности. Мы
только что сомневались: а есть она в жизни? Она, конечно, есть.
Но дело в том, что случайность в нашей жизни - не простая
гостья; она заявляется неожиданно, непредсказуемо, так что ее
не всегда и разглядишь. Неудивительно, что некоторые люди
(кстати, совсем не обязательно стоящие на низкой ступени
развития и отнюдь не примитивные) не знакомы с понятием
случайного. Случайные события воспринимаются ими, не как
случайные, а как кем-то подстроенные и, может быть, даже как
пророческие. Можно сказать, что для них случайность
выступает под маской необходимости. Получается как бы небольшой

Глава первая
23
маскарад.
Представь себе, например, австралийское племя, живущее в
постоянном страхе перед неожиданным нападением того или
иного врага. Какие бы несчастные случаи ни происходили с
членами племени, все это было неспроста, а результат
злонамеренных действий врага. Скорее всего, это он все наколдовал. Вот
тяжело заболел и умер кто-то из племени. Его хоронят, а затем
внимательно смотрят, в какую сторону ползут с его могилы
насекомые. Значит, в той стороне живет племя, виноватое в
случившемся несчастье. Туда и отправляется отряд мстителей,
чтобы кого-нибудь убить. Кого именно - это вопрос
второстепенный.
Во время средневековья во всем были виноваты ведьмы.
Сгорел где-нибудь сарай - это наколдовала ведьма. Нет долго
дождей - тоже наколдовала ведьма. Начались эпидемия какой-
нибудь страшной болезни - и тут не обошлось без колдовства, без
злого умысла. Важно было отыскать ведьму, распознать ее. Для
этого служили разные испытания. Подозреваемую могли
связать по рукам и ногам и бросить в воду. Если она шла ко дну,
все признавали: утонувшая никакая не ведьма и, значит, ни в
чем не виновата. Если же она как-то держалась на поверхности
воды, то становилось ясно: это ведьма, и ее надо повесить или
сжечь.
до* ЛРМИЕТ

24-
Как хочется установить во всем взаимосвязанность! Люди
всегда к этому стремились. Как могли - в соответствии с уровнем
своего развития. Как известно, все гениальное просто. А все
простое? Вот совсем простая идея - соединить два предмета
веревочкой, и между ними возникнет внутренняя связь.
Туземный лекарь привязывает один конец веревки к больному месту,
а другой берет в рот. Он думает, что если пососать этот конец
веревки, то можно вытянуть из больного его болезнь.
С давних времен люди пытались объяснить и предсказать
решительно все. Ты думаешь, что выпадание пиковой шестерки
- это случайное событие? Как бы не так! Это указание на
предстоящую тебе дальнюю дорогу. Правда, неизвестно куда, но
это на так важно. Ты нечаянно разбиваешь зеркало. Ты
стараешься оправдаться: это произошло совершенно случайно. Как
бы не так! Оказывается, есть прямая связь между разбившимся
зеркалом и смертью родственника, которая вскоре произойдет.
Люди усматривали связь между рисунком линий на ладони
и судьбой человека и даже придумали на этот счет целую науку
(она называется «гадание по руке» или, по-ученому,
«хиромантия»). Усматривали связь между появлением на небе кометы и
эпидемией чумы (а это уже из другой науки; ее называют
«астрологией»).
А сколько есть разных примет!
Сразу же заметим, что есть немало примет, в которых
отразилась наблюдательность людей, их жизненный опыт.
Старайся наблюдать различные приметы:
Пастух и земледел в младенческие леты,
Взглянув на небеса, на западную тень,
Умеют уж предречь и ветр, и ясный день,
И майские дожди, младых полей отраду,
Морозов ранний хлад, опасный винограду.
Так, если лебеди на лоне тихих вод
Плескаясь вечером, окличут твой приход.
Иль солнце яркое зайдет в печальны тучи,
Знай: завтра сонных дев разбудит дождь ревучий
Иль бьющий в окна град, а ранний с&гянин,
Готовясь уж косить высокий злак долин,
Услыша бури шум, не выйдет на работу
И погрузится вновь в ленивую дремоту
(А. Пушкин)

25
Глава пеувая
По различным приметам люди издавна предсказывали,
какая будет погода, каковы виды на урожай. Но сейчас мы говорим
о приметах другого характера. Мы говорим о
приметах-суевериях.
Нож упал на пол - придет мужчина. Перебежала дорогу
черная кошка - жди неприятностей. Встретил женщину с
пустым ведром - удачи не будет. Вернулся за забытой вещью -
пути не будет.
Кстати, не вздумай спрашивать уходящего, куда он собрался
- тоже дороги не будет. Впрочем опытный человек тут не
растеряется и на твой бестактный вопрос ответит «на кудыкину
гору!» А если ты пожелаешь ему успеха и скажешь «ни пуха, ни
пера!», то он тебя тут же пошлет к чертям. Имей в виду: это вовсе
не грубость, это так надо. Иначе успеха не будет.
Все эти приметы не имеют ничего общего с народными
приметами, связанными с предсказанием погоды.
Ты, возможно, думаешь, что это только древние люди любили
искать закономерности там, где их нет? что это только у них
случайность наряжалась необходимостью? А вот потом
появились настоящие науки - и все прояснилось. Да ничего подобного!
Науки в самом деле появились и многое конечно, прояснилось,
а вот гадания и суеверия все равно живы. Колдуны и ведьмы
тоже вроде бы сохранились. Во всяком случае, и сегодня есть
люди, которые себя так называют и как будто не шутят.
Гадания бывают очень разные. Самые распространенные -
гадания на картах и гадания по руке. Но можно также гадать на
кофейной гуще, по звездам, на пальцах. Можно, при желании,
использовать для гадания обычный игральный кубик. Возьми
да загадай: если при трех последовательных бросаниях кубика
выпадут четные цифры не менее двух раз, то экзамен пройдет
благополучно. А теперь выкинь кубик три раза. Ясно, что если
при этом четная цифра выпадает только один раз, можно на
экзамен не идти.
На Руси издавна любили гадать на святки. Растопленный
воск выливают в тарелку с холодной водой. Воск застывает,
образуя замысловатую фигуру. Ее изучают и дают ей
толкование. Это надо уметь делать. С вечера в сенях кладут столько
кусочков хлеба, сколько человек в семье; каждый кусок
назначают определенному лицу. Утром смотрят, все ли куски хлеба
целы. Чей кусок исчез, тот в новом году умрет. Если это был
девушкин кусок, то она выйдет замуж (видимо, это все равно,
что умереть).

26
Самыми большими мастерицами в гаданиях были девушки.
И гадали они о замужестве. Из чашки с водой зубами пытались
достать предмет. Удастся - значит, быть замужем в этом году.
Поставят в ночь под новый год корыто на дороге и идут к нему
задом. Какая из девушек упадет в корыто, та и выйдет замуж.
Берут ртом воду из проруби и несут ее во рту домой тоже задом.
Если донесет, не проглотит, не споткнется, то выйдет замуж.
Видимо, умение вылавливать предмет зубами, садиться в
корыто с водой, носить воду во рту задом наперед необходимо для
счастливой семейной жизни. А то вынесут петуха, положат
кругом кучки овса (каждая девушка свою кучку), пригнут
петухову головы под правое крыло трижды да и отпустят.
Смотрят: чью кучку овса прежде начнет он клевать, ту девушку
наперед замуж отдадут. А можно ровно в полночь ловить кур в
темном сарае. Поймаешь петуха - выйдешь замуж.
Внимание! проводим аукцион гаданий и всяких
примет. Как проводятся подобные аукционы, ты уже знаешь
(см. §1.2).
Какой сон тебе сегодня приснится? Никто этого предсказать
не сможет. А приснится тебе такой сон, который окажется
связан с тем, что с тобой потом произойдет в самом деле. Только
надо уметь толковать сны, знать, что к чему. Плакать во сне -
это к радости. Потерять во сне зуб - это потерять друга. Гоняться
во сне за пчелами - к прибыли. Кто видит во сне много кур
вместе, тот скоро будет ужасно ревновать. Наверное, ты знаешь
много толкований снов. Если не знаешь, расспроси бабушку. А
потом можно будет провести аукцион толкований снов. Это тоже
очень интересно.
Есть такие странные люди - астрологи. Они были раньше;
они и теперь есть. По телевизору выступают. Объясняют, как на
предстоящей неделе надо вести себя людям, родившимся под
разными созвездиями Зодиака. Скорпионам надо отказаться от
заключения деловых сделок. Близнецам следует отложить
поездки. Рыбам надо всерьез подумать о замужестве - как раз
получится. Весам воздержаться от употребления спиртных
напитков. Стрельцам не есть жирной пищи. Это еще мелочи!
Астрологи могут предсказывать гораздо более серьезные вещи -
эпидемии, потопы, неурожаи, войны. Все земные события они
объясняют через звезды и планеты.
В феврале 1524 года три планеты должны были сойтись в
созвездии Рыб - и вся Европа ожидала в страхе второго
всемирного потопа. При приближении рокового месяца жители

г пава первая 27
прибрежных районов толпами двинулись в горы, многие
запасались лодками и плотами. Планеты и в самом деле сошлись в
созвездии Рыб, но потопа, к счастью, не случилось.
Предсказание астрологов не сбылось, однако никто их за это не укорял.
Потопа не было и прекрасно! Можно по-прежнему верить
звездочетам.
Что спрашивать с простых людей, когда такой образованный
человек как персидский шах с уважением относился к
предсказаниям астрологов. Бывало, он по целым дням ожидал под
стенами собственной столицы, пока созвездия и планеты
дозволят ему войти в нее. И было это не в какие-нибудь древние
времена, а всего лишь сто лет назад.
Найди какой-нибудь гороскоп, например, для родившихся
под знаком Скорпиона. Прежде, чем читать его, отыщи среди
своих знакомых тех, кто родился под этим созвездием, и
постарайся найти у них общие черты характера. И вообще
посмотри, похожи ли они друг на друга хоть в чем-то. А теперь
сравни свои наблюдения с гороскопом. Хорошо бы еще сравнить
несколько разных гороскопов.
Не хочешь ли ты проделать еще один опыт. Будем исходить
из того, что падение на пол ножа вызывает приход в дом
мужчины, а падение вилки или ложки - женщины. Объяснив
ситуацию родителям, вывали на пол все ложки, вилки и ножи.
Интересно, ввалится в дом после этого целая толпа женщин и
мужчин? Или отыщи черную кошку, заставь ее пройти хотя бы
метр и пересеки ее путь. Посмотри, что из этого получится.
Свистеть в доме нельзя - все деньги просвистишь. А ты все же
попробуй. И сравни потом финансовое положение семьи с тем,
что было до свиста. Короче говоря, подвергни
экспериментальной проверке известные тебе приметы и суеверия. Лучше, если
каждая несколько раз. Или нагадай себе что-нибудь и наблюдай:
сбудется или не сбудется. Не боишься?
Впрочем что бы не выяснилось из твоих опытов, все равно
суеверия и приметы надо знать, а гадания проделывать, потому
что это интересно, можно развлечься и просто похихикать.
Интересно придумывать новые гадания и суеверия. А потом
можно предложить друзьям угадать, где настоящие, а где
придуманные тобой. Так может получиться забавная игра.

28
7
Вопросы и задания:
(Т)Во всех гаданиях случайные события выступают как пророческие.
Вроде бы случайно выпала пиковая шестерка (могла выпасть другая
карта), случайно мышь съела именно твой кусок хлеба в сенях (могла
съесть другой кусок), случайный рисунок образовала кофейная гуща
или застывший воск. А вот многие люди полагают, что все это
неспроста и имеет глубокий смысл. Как ты думаешь, почему они
относятся к случайным событиям, как к пророческим событиям?
Попробуй убедить их в том, что они неправы. Какие ты приведешь
доводы?
©А может быть, гадая и используя приметы, мы вовсе не подменяем
случайное необходимым, а скорее наоборот: как раз полагаемся на
волю случая? Как бы предлагаем случаю подсказывать нам будущее.
Что толку специально вываливать на пол ложки и ножи, ловить
черную кошку и бить зеркала? Может быть, надо, чтобы все это
произошло нечаянно, случайно? Что ты думаешь на этот счет?
(3) Используя игральный кубик, придумай собственное гадание.
Например, загадывай разные вещи, а потом бросай кубик несколько
раз и по каким-нибудь правилам подсчитай очки. Наберешь нужное
число очков - загаданное сбудется. Проверь на практике, есть ли
связь между результатами бросания кубика и исполнением
желаний.
(Щеришь ли ты астрологам? В чем они, по-твоему, могут быть правы,
а в чем явно «перегибают палку»? Жизнь человеческая полна
случайностей, беспорядка, а на небе «все разложено по полочкам».
Может быть, и впрямь небесные сферы определяют все, что
совершается на грешной земле? И если говорить серьезно, то, может
быть, есть какой-то смысл в том, что характер и судьба человека
зависят от времени рождения? Может быть, если новорожденный
грелся на летнем солнышке, то он вырастет не таким, как тот малыш,
который в первые дни своей жизни дышал зимним морозным
воздухом? Что ты думаешь об этом? А вообще-то астрологи склонны
к излишней самоуверенности. Они полагают, что все случайное
только кажется случайным. Что ты можешь возразить им?

Глава пеувая
29
1.5 Борьба Космоса и Хаоса
И бездна нам обнажена
С своими страхами и мглами,
И нет преград меж ней и нами —
Вот отчего нам ночь страшна.
Ф. Тютчев
Согласно
Ветхому Завету, Бог
сотворил мир в шесть дней.
Здесь приведены
два рисунка М. Эше-
ра: верхний рисунок
изображает второй
день творения,
нижний рисунок
изображает пятый день
творения. Посмотри
на эти рисунки и
расскажи, что же
именно упорядочил Бог
во второй и пятый
ДНИ.
А может быть,
ты захочешь
прочитать в Ветхом
Завете про шесть дней
сотворения мира и
захочешь сделать
свои рисунки для
каждого дня
творения?

30
Наверное, у всех народов есть мифы о сотворении Мира, или,
иными словами, мифы о возникновении Космоса - всемирного
Порядка.
Из чего возникал Космос? — Космос возникал из Хаоса.
Хаос - это когда не разделены верх и низ, белое и черное, день
и ночь, холод и тепло, мужское и женское и даже существующее
и несуществующее. Это фантастическая смесь всего и, в
частности, всех стихий - огня, воды, воздуха, тверди.
Хаос у некоторых народов представлялся в виде бесконечной
бездны, у которой нет ни ширины, ни глубины. Именно оттуда,
из этой бездны и появлялись первые Боги - творцы Космоса. Они
появлялись и начинали разделять воду и твердь, холод и тепло,
добро и зло. Так формировался Космос.
Часто Хаос представляли в виде водной стихии - Мирового
океана, из которого торчал маленький холмик земли. И какой-
нибудь Бог вытаскивал из воды, ухватившись за этот холмик,
всю Землю. Или некое Божество начинало мешать воду Океана,
создавая разные сгущения, пену, а в конечном счете Землю.
Японские острова, например, образовались из пены.
Сотворение Мира - это прежде всего разделение неба и земли.
Затем установление всеобщего порядка продолжалось.
Разделялись вода и суша. Затем и вода и суша заселялись растениями
и животными. В заключение на сцене появлялся Человек.
Человека создавали по-разному. Лепили из глины. Делали из
земли, камыша, дерева, слюны какого-нибудь Бога или из его
плеча, бедра, ребра. У каждого народа есть свои мифы о
происхождении Человека.
Обычно человек сотворялся не как попало, а «по образу и
подобию Божию». Как это следовало понимать? - Ты, возможно,
скажешь, что человеческий облик копировал облик Божий. Это
так. Но тут все же дело в другом. Подобие Божие следует
понимать шире: Бог является Творцом — и его подобие,
Человек, тоже предназначен быть Творцом.
Вот миф о сотворении мира - из поэмы древнегреческого поэта
Гесиода «Теагония».
Вначале существовала лишь вечный, безграничный, темный Хаос. В
нем заключался источник жизни. Все возникло из безграничного
Хаоса - весь мир и бессмертные Боги. Из Хаоса произошла и Богиня
Земли - Гея. Широко раскинулась она, могучая, дающая жизнь
всему, что живет и растет на ней. Далеко же под Землей, так далеко,
как далеко от нас необъятное светлое небо, в неизмеримой глубине
родился мрачный Тартас - ужасная Бездна, полная вечной Тьмы. Из
Хаоса родилась и могучая сила, все оживляющая Любовь - Эрос.
миф

пеувая
31
Безграничный Хаос породил вечный Мрак - Эреб и темную ночь -
Нюкту. А от Ночи и Мрака произошли вечный Свет - Эфир и
радостный светлый День - Гемера. Свет разлился по миру, и стали
сменять друг друга ночь и день.
Обрати внимание: вначале был Хаос и уже из него возник весь
мир, включая и Богов. В частности из Хаоса родилась и Любовь,
которую древние греки полагали могучей силой, способной все
оживлять. Но пойдем дальше - ведь сотворение мира еще не
завершилось.
Могучая, благодатная Земля породила беспредельное голубое Небо
- Урана, и раскинулось Небо над Землей. Гордо поднялись к нему
высокие Горы, рожденные -Землей, и широко разлилось вечно
шумящее Море. Уран - Небо - воцарился в мире. Он взял себе в
жены благодатную Землю...
Что поделаешь, таков миф: Земля породила Урана, и Уран же
берет в жены Землю.
Шесть сыновей и шесть дочерей - могучих, грозных титанов было
у Урана и Геи. Их сын, титан Океан, обтекающий всю землю, и
Богиня Фетида породила на свет все реки, которые катят свои волны
к морю, и морских Богинь - океанид. Титан же Гипперион и Тейя
дали миру детей: Солнце - Гелиоса, Луну - Селену и румяную Зарю
- Эос (Аврору). От Астрея и Эос произошли звезды, которые горят
на темном ночном небе, и ветры...
На этом остановимся. Заметь, что и звезды, и Солнце - это
всего лишь «дети» неких Богов, и появились они далеко не в
первую очередь...
Нередко Космос представлялся в виде Мирового дерева.
У лукоморья дуб зеленый;
Златая цепь на дубе том.
И днем, и ночью кот ученый
Все ходит по цепи кругом.
Пойдет направо — песнь заводит,
Налево — сказку говорит.
Там чудеса: там леший бродит,
Русалка на ветвях сидит.
Там на неведомых дорожках
Следы невиданных зверей.
3-1772

32
Избушка там на курьих ножках
Стоит, без окон, без дверей...
Эти прекрасные стихи были навеяны Пушкину мифами о
Мировом дереве. Дуб у Лукоморья — это вариант Мирового
дерева.
Мировое дерево обычно делилось на три части: корни -
подземное царство мертвых, ствол - поверхность Земли, место
обитания людей и животных, ветви - небо, обитель Богов.
Иногда эти три части Мирового дерева связывали с Прошлым,
Настоящим, Будущим, а иногда - с Возникновением,
Развитием, Завершением.
Обычно различали четыре стороны Мирового дерева - по
четырем сторонам света или по четырем временам года, четырем
частям суток. В русских заговорах встречаем: «У океана-моря
стоит дерево Карколист; на этом дереве Карколисте висят:
Козьма да Демьян, Лука да Павел». Обрати внимание на океан-
море. Не тот ли это океан, который есть Хаос? И Хаос этот
окружает со всех сторон Дерево-Космос.
Дерево на острове среди воды встречается также в
скандинавской мифологии. Это гигантский ясень Иггдрасиль. (Если
боишься сломать язык, дальше названия можешь не читать; хотя,
представляешь, как удивятся твои знакомые, когда услышат от
тебя какое-нибудь такое словечко?). На вершине Иггдрасиля
сидит мудрый орел, а между его глазами находится ястреб
Ведрфельнир (означает «полинявший от непогоды»). Корни
ясеня гложут змеи и дракон Нирхегг. Перебранку между орлом
и драконом переносит снующая по стволу белка Ротатоск.
Четыре оленя щиплют листья Иггдрасиля. Ясень пропитан
живительным священным медом поэзии, дарующим мудрость и
вдохновение. Этот мед добыл верховный Бог Один (ударение
надо ставить на первом слоге), который вместе со своими
братьями поднимал землю из океана, оживлял древесные
прообразы первых людей... Попробуй нарисовать Иггдрасиль!
Очень интересно сравнивать мифы разных народов о
сотворении Мира и обнаруживать в них что-то общее. Можешь
попробовать «сотворить» свой Мир: пластилиновый, бумажный,
проволочный, нарисованный, просто выдуманный. Или, например,
берешь миф, которого твой друг не знает, и придумываешь свой
на такую же тему. И пусть твой друг попробует угадать, какой
из двух мифов существовал тысячелетия (и в него верили
миллионы людей), а какой только что придуман тобой.

Глава первая
Мы говорили о мифах. А вот уже научная версия. Попробуй
перевести на привычный тебе язык (и перескажи своими
словами) то, что прочтешь ниже:
Первоначала вещей, разумеется, вовсе не вольно
Все остроумно в таком разместилися стройном порядке
И о движеньях своих не условились раньше, конечно,
Но многократно свои положения в мире меняя,
От бесконечных времен постоянным толчкам подвергаясь,
Всякие виды пройдя сочетаний и разных движений,
В расположенья они, наконец, попадают, из коих
Вся совокупность вещей получилась в теперешнем виде
И, приведенная раз в состояние нужных движений,
Много бесчисленных лет сохраняется так и при этом
Делает то, что всегда обновляется жадное море
Водами рек; и земля, согретая солнечным жаром,
Вновь производит плоды; и живые созданья, рождаясь,
Снова цветут; и огни, скользящие в небе, не гаснут.
(Лукреций: «О природе вещей»)
Небольшое пояснение: «первоначала вещей» или, проще,
«начала вещей» у Лукреция - это атомы.
Но вернемся к мифам о Космосе и Хаосе.
Вот из Хаоса возник Космос - произошло сотворение Мира.
Все вроде бы прекрасно. Был Хаос - стал Космос. Был всеобщий
беспорядок, всеобщая неразличимость - стал всеобщий
порядок, все упорядочилось, каждая вещь, каждое существо заняли
свое место. Все это так, но не совсем. Дело в том, что Хаос отнюдь
не исчез. Возник Космос, но при этом и Хаос сохранился.
Просто теперь он не господствует, он оттеснен на задний план.
Но он все же есть - и поэтому продолжает сохраняться у человека
ужас, страх, порождаемый тьмой, ночью бесформенностью и
незащищенностью человека от царства Хаоса.
Во всех мифологиях рядом с Творцом Космоса оказывается
кто-то «нечистый» (черт, дьявол, сатана), кто ему мешает,
старается все испортить, устроить беспорядок. В одних мифах
этот отрицательный персонаж представляется зловещим,
грозным, ужасным; в других он выглядит плутом, озорником. У
скандинавов брат верховного Бога Одина - плут Локи - любит
постоянно вносить неразбериху в отношения между Богами,

34-
великанами и карликами. Локи, например, заманивает Богиню
Идунн в лес, обещая показать ей золотые яблоки, дарующие
молодость. Но вместо этого отдает ее во власть великана Тьяццы.
Локи ловит сетью карлика Аидвари, плавающего в воде в облике
щуки, и отнимает у него все его сокровища, хранившиеся в
скале. Локи срезает у жены Бога Тора ее золотые волосы, а
затем, испугавшись гнева Тора, заставляет карликов выковать
точно такие же волосы. Проделки Локи многочисленны и подчас
совсем непонятны, лишены смысла; просто надо внести
беспорядок.
Впрочем все это выглядит как мелкие шалости. Космос,
конечно, торжествует над Хаосом. Казалось бы, порядок
победил и беспорядку никогда более не торжествовать. Как бы не так!
А мифы о гибели Мира, о конце света? Они есть у всех народов.
Конец света — это торжество Хаоса над Космосом. Или, может
быть, это предчувствие экологической катастрофы?
Когда пробьет последний час природы,
Состав частей разрушится земных.
Все зримое опять покроют воды
И божий лик изобразится в них...
(Ф. Тютчев)
Итак, борьба Космоса и Хаоса.
Из Хаоса возникает и побеждает его Космос. Но Хаос не
исчезает и грозит Космосу гибелью, концом света. Вот оно
извечное противоборство Порядка и Беспорядка!
Вопросы и задания;
(1) Познакомься с мифами разных народов о сотворении Мира и о
конце света. Тем самым ты подготовишься к проведению аукциона
на тему «Мифы о Космосе и Хаосе».
(2) Отыщи в мифах разных народов общие моменты. Это можно
сделать самостоятельно или после проведения упомянутого
аукциона.
СРПридумай собственный миф о сотворении Мира, а также
собственный миф о конце света.
® Перескажи своими словами содержание приведенного в тексте
отрывка из Лукреция.
©Попробуй пересказать содержание мифов о сотворен:::! y.'.u,, :♦ ,,
конце света:

35
Гппаа пеувая ^
- используя понятия необходимости и случайности,
- используя представления об атомах и молекулах.
(б) Как ты полагаешь, можно ли рассматривать мифы о сотворении
мира как рождение необходимости (порядка) из случайности (из
беспорядка)?
1.6 И случайность, и необходимость, или,
иными словами, и беспорядок, и порядок
Однажды я наткнулся на «Размышления» Марка
Аврелия и случайно открыл ту страницу, где он пишет
о двух возможностях: Либо мир является огромным
Хаосом, Либо в нем царствуют порядок и
закономерность. Я впервые задумался над тем, а почему,
собственно, Марк Аврелий считал, что в мире
господствуют Либо случайность, Либо закономерность?
Почему он думал, что эти две возможности
Исключают друг друга? В мире господствует случай и
одновременно действуют порядок и закономерность,
которые формируются из массы случайностей по законам
случайного.
Альфред Реньи
Казалось бы, ЛИБО порядок, ЛИБО беспорядок.
ИЛИ необходимость, ИЛИ случайность
Одно ИСКЛЮЧАЕТ другое.
Но это только на первый взгляд. Согласись, если нет
беспорядка, то какой смысл говорить о порядке? Одно без другого не
имеет смысла.

36
&
Не «ЛИБО-ЛИБО»,
а вместе: «И - И».
И порядок, и беспорядок.
И необходимость, и случайность.
Попробуй вообразить мир, где есть только случайности и нет
никаких закономерностей. Мир сплошных неожиданностей!
Где ничего не предсказать, да и просто не понять. Здесь ничто
не влияло бы ни на что, никаких взаимосвязей. Полный
беспорядок, полный хаос. Где-то что-то случайно возникало бы
и так же случайно исчезало. Не было бы ничего устойчивого,
постоянного. Наверное, такой мир может возникнуть только в
больном воображении. Существовать и развиваться он не мог бы.
Он невозможен. Не может существовать абсурд, не может
развиваться нелепица.
Вот сочинение одного школьника на тему «Я в мире, где
царствует случайность».
Я jacHty* и ifftyl otcofcucfr 6- лмфс см^мйНостелс. Ъил
иАсжцрНмй не т& feu*, Не т& Hon. See tcfiyvMt клокотав,
и меримое*. Omucffa-mu на&$илис* цбетч и тут tfet
HeasfiufAHHa nfitotcuu. 'Hfuu&ntUA nwutyx, <uca,-
. Я оьн 6ffityi nfeufowucfr «ща,-тъ fatuj и тут tfci
66cfixtf, fa, облямхши, (ctofofiue mqm tfci стали аг^хъчНшм
Как ты думаешь, сумел ли сочинитель передать ощущение
всеобщего беспорядка, хаоса, сплошных неожиданностей?
Может быть, ты сделаешь это лучше?
Ну, а другая крайность? Каким мог бы быть мир, где
случайному вообще нет места? В таком мире совсем не было бы
неожиданностей - здесь всегда происходило бы только то, что
заранее должно было произойти. Словно кто-то составил
абсолютно строгий и точный Распорядок для всего и для всех, раз
и навсегда. Как если бы где-то был задан всеобщий Закон,
управляющий всем на свете. Если бы мы оказались в таком
мире, то все наши поступки, малейшие движения, мысли были
бы заранее предопределены, а сами мы уподобились бы куклам
в огромном кукольном театре, в которых кто-то водит на
веревочках.

37
Как, по-твоему, соответствует ли этот рисунок Эшера
фантастическому миру случайностей?
А вот сочинение того же школьника на тему «Я в мире, где
царствует необходимость».
и попал 6- rttufi, Необхо^илюсти. 1fo Небу,
облака, Осе одинаковой фсржи и о$Н<пь и mute
. 7ipu*e*ne*a *иЖпа шпиц. Они fp^p/сЯл сели На
&се лиаи<&. А шиио*и все пваафали на
с*па& валкйв-, tcfonafrue съели айпа^лбисих шпиц,
гега бросились 6- &jefo& и и*каНили. 0Defie&<& с объеуеЯ-
&e*fiicA<4tu ^асахли, попадали 6- р&су и перегарафили ее,
после гего ojefro обл1елело и опало болошьи.
Не правда ли, в этом сочинении есть некая обреченность,
предписанность? Сплошной порядок — страшная вещь!

38
На наш
взгляд, эту
мысль
неплохо выражает
рисунок
Эшера,
который ты
видишь здесь.
Может быть,
он
соответствует

тастическому миру

обходимости? Или ты
можешь

предположить более
интересное
решение
темы?
— И почему же порядок — страшная вещь? — Этот вопрос задал
автору говорящий на человеческом языке кот Матроскин. Как
известно, этот кот придерживался в жизни строгих правил и во всем любил
порядок. — Да, — сказал кот Матроскин, — я люблю порядок. И мне
хотелось бы узнать хоть один случай, когда порядок можно было бы
назвать «страшной вещью».
Такого примера из нашей жизни автор коту привести не смог.
Наверное, потому, что в нашей жизни просто не бывает сплошного
порядка. Зато он рассказал ему о таком случае, наблюдавшемся на
далекой планете индиотов, куда судьба однажды забросила
известного космического путешественника Ийона Тихого.
Выяснилось, что кот Матроскин просто обожает космические
истории.
На той планете было когда-то много беспорядка. И вот Правитель
призвал ученого конструктора Новых машин и дал ему задание:
«Нашему государству угрожает хаос; ширятся беспорядки и
неуважение законов. Сконструируй и построй Машину, которая введет на
планете наивысший Порядок, Порядок Совершенный и Абсолютный».
«Будет, как вы сказали, — ответил конструктор. — В течение шести
месяцев я построю Добровольный Распространитель Абсолютного
порядка».
— Правильно, — заметил кот Матроскин. — Только смог ли он
построить такую прекрасную Машину?
— Смог. Эта Машина долго и упорно трудилась и воздвигала
великолепный Радужный Дворец. Затем она распахнула двери Дворца
и предложила всем желающим посетить его. Толпы индиотов ринулись
во Дворец.

Глава первая 39
— Наверное, там устанавливался настоящий порядок, — сказал кот.
— Наверное. Только вот в чем дело: во Дворец вошли миллионы
индиотов, но ни один из них не вышел обратно. Возникло большое
подозрение. Скоро выяснилось, что по ночам задняя стена Дворца
отворяется и оттуда высыпается много блестящих кружков. Черные
автоматы подбирают эти кружки, развозят на поля и укладывают их
в красивые узоры.
Ничего не понимаю, — удивился кот Матроскин. — Что же там
происходило? Откуда блестящие кружки?
— Как раз об этом спросили саму Машину. Оказалось, что она
превращала каждого попавшего во Дворец индиота в красивый
блестящий кружок. Индиоты возмутились. Они напомнили Машине,
что она должна была установить Абсолютный порядок. «Я это и
делаю, — ответила Машина. — Взгляните на себя, как неаккуратно
сложены ваши тела, из них торчат конечности; одни из вас толстые,
другие худые. Вы хаотически передвигаетесь, куда хотите, иногда
бесцельно бродите по лесам. Во всем этом нет ни на грош
математической гармонии! Я, Добровольный Распространитель Абсолютного
Порядка, превращаю ваши слабые, хрупкие тела в изящные,
устойчивые формы, из которых складываю потом симметричные, невиданно
правильные узоры, вводя таким образом на планету элементы
совершенного порядка...»
— Такой порядок не нужен, — заявил кот Матроскин, выслушав
страшную историю про планету индиотов. — Я не желаю превращаться
в какой-то блестящий кружок. И Мурку свою тоже не отдам. Разве вот
только Шарика, все равно от него мало пользы. Хотя, конечно, я к нему
уже привык и дружу с ним.
— А как же насчет порядка? — спросил автор кота Матроскина.
— А что тут непонятно, — удивился кот. — Не нужен нам такой
абсолютный порядок, и все тут. Да у нас в Простоквашино его и быть
не может. Там живут нормальные люди и звери.
— Значит сплошной порядок страшная вещь?
— Ненужная, — солидно ответил кот Матроскин. — От такого
порядка не только нет никакой пользы, а один лишь вред. А порядок
должен быть такой, чтобы была польза. Наверное, его надо
перемешать с беспорядком.
— Мысль неплохая, — согласился автор с умным котом. — Ведь
именно об этом мы и говорим сейчас.
— Сплошной порядок понравился бы, наверное, только почтальону
Печкину, — сказал кот Матроскин. — Вот он пусть и превращается в
блестящий кружок.
Как видишь, мир без закономерностей - абсурд,
да и мир без случайностей не намного лучше,
Ясно, что необходимость и случайность должны не
исключать друг друга, а существовать одновременно. Подобно тому,
как в мифах существуют вместе Космос и Хаос.
И тут возникает вопрос:
Как это может быть, если не в мифах? Как в реальной жизни
представить себе порядок вместе с беспорядком? Может быть,
немного порядка и немного беспорядка?

Мы подошли к очень серьезному месту. Поэтому надо
немного пошутить.
Давай поиграем со случаем.
Игра первая: «Вопрос - ответ».
На отдельных одинаковых листочках напиши вопросы, на
которые можно ответить утвердительно или отрицательно. Вот,
например, такие вопросы:
- Не замечаете ли Вы последнее время за собой что-то странное?
- Вам нравится кофе с мороженным?
- Признайтесь, Вам сейчас хочется кричать и махать руками?
- Вы рады меня видеть?
- Часто ли Вы впадаете в задумчивость, размышляя о себе?
- Не хочется ли Вам со всеми поссориться?
- Не смогли бы Вы дать мне щепотку соли?
- Умеете ли Вы пользоваться спичками?
- Любите ли Вы своих родственников?
- Обращали ли Вы внимание на то, как приятно пахнут розы?
Вот в таком духе. Чем больше вопросов, тем интереснее.
На других листочках напиши столько же ответов. Они
должны быть эмоциональными, смешными. Вот, например:
- Да! И это меня тревожит!
- Да! А Вы хотели бы составить мне компанию?
- И как только Вы могли подумать обо мне такое?
- Другого вопроса от Вас и нельзя было ожидать.
- Мне просто некогда об этом думать.
- Это смешно; поэтому я не могу согласиться.
- Ни за что! Это было бы ужасно!
- Ну, конечно, ведь это такая мелочь!
- Я подумаю об этом на досуге и сообщу свое решение.
Итак, есть кучка вопросов и кучка ответов. Листочки лежат
чистой стороной кверху. Из кучки вопросов ты наугад берешь
листочек и читаешь записанный на нем вопрос своему
приятелю. Тот тоже наугад берет листочек из кучки ответов и
зачитывает ответ. Потом вы меняетесь ролями или вовлекаете в игру
еще кого-нибудь. Получается небольшой веселый спектакль,
которым управляет Его Величество Случай. Вот, например,
как он мог распорядиться:
Часто ли Вы впадаете в задумчивость, размышляя о себе?

Глава первая
41
- Это было бы прекрасно, если бы не было так больно.
Признайтесь, Вам сейчас хочется кричать и махать руками?
- Да! И это меня тревожит!
Не хочется ли Вам со всеми поссориться?
- Да! А Вы хотели бы составить мне компанию?
Не смогли бы Вы дать мне щепотку соли?
- Ни за что! Это было бы ужасно!
И так далее.
Игра вторая: «Каляки».
Каждый играющий рисует на своем листке бумаги какой-
нибудь контур, какую-то ерунду, совершенно ничего не имея в
виду и не задумываясь. Ты, наверное, догадываешься, кто
«ведет» твою руку? Правильно, случай. Потом происходит
обмен листками. Тебе достается чья-то случайная «каляка». Ты
разглядываешь ее, поворачиваешь так и эдак - пока не увидишь
что она на что-то похожа, что-то напоминает. Дорисовываешь
недостающие «детали» - и картинка готова.
Полюбуйся: из одной
каляки (ты ее видишь
справа) получились
четыре рисунка - каждый со
своим смыслом (ты их
видишь внизу).
Эти удивительные
рисунки придумала О. Чи-
чигина

42 £#>
Еще минуту назад никто и не подозревал, что получится
именно это. Да и для тебя собственное произведение
неожиданность. Так получилось...
Игра третья: «Определения».
Йишешь в столбик разные определения-прилагательные:
мохнатый,
вкусный,
загадочный,
хрупкий,
текучий,
сомневающийся и т.д..
Потом берешь какой-нибудь текст и ко всем
существительным подставляешь эти прилагательные, а прежние (которые
были в тексте) выбрасываешь. Где-то новые прилагательные
будут звучать нелепо, а где-то появится новый смысл, но в любом
случае это будет весело.
Итак, три игры. Здесь ты, ничего заранее не продумывая,
валяя дурака, в шутку вдруг получаешь сценки, картинки,
рассказы. Одним словом, получаешь какую-то новую
информацию. Все, из чего появились наши сценки и картинки, а именно:
обрывки фраз, отдельные слова, каляки и прочее - все это можно
назвать шумом.
Таким образом, ты видишь, что информация может
появляться из шума. Иными словами, порядок может рождаться из
беспорядка, из хаоса. И «руководит» этим удивительным
рождением Его Величество Случай.
Есть довольно известная игра «Эрудит». Можно
воспользоваться применяемыми в этой игре квадратиками с
изображением отдельных букв. Ссыпем эти квадратики в мешочек,
перемешаем и будем наугад (по воле случая!) вынимать по квадратику.
Каждую случайно вынутую букву записываем, а квадратик
возвращаем в мешок. Используя этот простой генератор
случайных букв, ты можешь выписать сколь угодно длинный ряд букв.
Если он будет достаточно большим, то в нем обнаружатся
отдельные слова - трехбуквенные, реже четырехбуквенные и
другие. И здесь налицо рождение порядка из хаоса.
В своей знаменитой книге о путешествиях Гулливера
писатель Джонатан Свифт описал посещение Гулливером Академии
в Лагадо - столице фантастического королевства. Во время этого
путешествия Гулливер познакомился с устройством из
множества нанизанных на спицы кубиков, на сторонах которых были

Глава первая
написаны «все слова в различных наклонениях, временах,
падежах, но без всякого порядка». По команде местного
профессора ученики несколько раз повертывали спицы с
кубиками, что приводило к изменениям сочетаний слов. «Тогда
профессор приказывал тридцати шести ученикам медленно
читать образовавшиеся строки в том порядке, в каком они
разместились в раме. Если случалось, что три или четыре слова
составляли часть фразы, то ее диктовали остальным четырем
ученикам, которые играли роль писцов».
Вроде бы глупостями занимались профессора из Академии в
Лагадо, а гляди-ка, на самом деле тут происходили серьезные
вещи - рождался порядок из хаоса. Из какого-то беспорядка,
из какой-то чепухи рождается порядок!
Музыкант играл на скрипке — я в глаза ему глядел.
Я не то, чтоб любопытствовал, — я по небу летел.
Я не то, чтобы от скуки, — я надеялся понять,
Как умеют эти руки эти звуки извлекать
Из какой-то деревяшки, из каких-то грубых жил,
Из какой-то там фантазии, которой он служил!
(Б. Окуджава)
Итак,
информация рождается из хаоса,
порядок рождается из беспорядка,
закономерность и необходимость рождается из
случайностей.
Как подчеркивал Альфред Реньи (вспомни эпиграф),
не просто из случайности, а из «массы случайное -
й
Но, может быть, такое происходит только в игре, а не в
жизни?
— В жизни происходит то же самое.
Щ Ты, конечно, знаешь, что у многих деревьев семена
крылаты и могут путешествовать по воздуху. Подхваченные
ветром, они могут улететь очень далеко от родного дерева.
Представь себе множество крылатых семян-путешественников,
разлетающихся по разным направлениям. Нельзя предсказать,

куда залетит то или иное семечко - его маршрут случаен. Но в
итоге обнаруживается определенная закономерность в
распространении по земной поверхности тех или иных пород деревьев.
ф На веревке развесили мокрое белье. Если бы мы могли
видеть отдельные молекулы, нам представилась бы
удивительная картина. Несметное количество молекул воды совершают
случайные движения во всевозможных направлениях. Какие-то
молекулы воды вылетают из белья в окружающий воздух,
какие-то, наоборот, попадают из воздуха в белье. Казалось бы,
полный хаос. Но в итоге обнаруживается закономерность:
количество молекул воды в белье постепенно уменьшается -
белье постепенно высыхает.
ф В стране в течение года рождается и умирает много людей.
Никто не знает, сколько именно смертей и рождений будет
зарегистрировано в данном году в данном городе или деревне.
Все эти события случайны - где-то кто-то сегодня умер, а
независимо от этого где-то кто-то сегодня родился. Но в этой
огромной (в целом по стране) «толпе случайностей»
обнаруживается закономерность: за каждый год население страны
увеличивается на определенное количество процентов. И можно
вполне спокойно планировать строительство новых жилых
домов, школ, больниц.
Надо подчеркнуть: для рождения закономерности требуются
не просто случайности, а очень много случайностей. Если бы по
воздуху путешествовало немного семян, никакой
закономерности в распространении деревьев по земной поверхности не было
бы. И это, наверное, самое удивительное:
получается, что для рождения порядка требуется как
можно больше беспорядка,
для рождения закономерности требуется как можно
больше случайных событий,
для рождения информации требуется как можно больше
хаоса.
Ну кто бы мог подумать такое? Чем хуже, тем лучше!
У американского писателя Р. Джоунса есть фантастическая
повесть «Уровень шума». Там собирают вместе большую группу
специалистов из разных областей науки, техники, культуры и
сообщают им, что сделано удивительное открытие (какое
именно, сейчас нам с тобой неважно). К несчастью, говорят
собравшимся, изобретатель трагически погиб и с собой унес тайну

Глава первая
открытия (на самом деле, заметь, не было ни изобретателя, ни
открытия). Собравшимся предлагают изучить все, что якобы
осталось после гибели изобретателя: случайные обрывки каких-
то записей, расчетов; дневников, множества самых разных
журналов и книг, множество случайно подобранных приборов,
незавершенных конструкций, непонятного предназначения и
тому подобное. Одним словом, предлагается огромный
информационный шум. На первый взгляд, здесь вообще ничего нельзя
понять - настоящий хаос. И вот специалисты, используя этот
хаос, этот обширный шум и вправду раскрывают тайну, которой
не существовало. Ставка на Его Величество Случай себя
оправдала!
Вопросы и задания:
® Обязательно поиграй в предлагаемые здесь игры со случаем и
лично убедись, что порядок действительно рождается из хаоса.
Q) Предложи собственные примеры, когда из массы случайностей
рождается закономерность.
(3) Может быть, гадание и наука как раз и отличаются друг от друга
тем, что наука предсказывает закономерность на основе массы
случайностей, а при гадании закономерность пытаются вывести из
одного отдельного случайного события? Как ты относишься к этой
мысли?
(Запиши собственные сочинения на темы «Я в стране, где царствует
случайность» и «Я в стране, где царствует необходимость».
Сочинения проиллюстрируй рисунками.
© Можешь ли ты теперь согласиться с известным утверждением о
том, что «наука - враг случайностей»? Почему?
©Как ты думаешь, из какого хаоса рождаются стихи и мелодии? Как
рождается картина? Как рождается идея?
Вообще, откуда берутся новые идеи?
Что такое творчество?
Что такое вдохновение?
Кто такая муза?
Очень интересно, что думают на этот счет твои друзья и приятели.
Поэтому было бы полезно организовать дискуссию по этим
проблемам.

Внимание!
Проводим со своими друзьями ДИСКУССИЮ на тему:
«Творчество как рождение новой информации».
Может ли новая информация родиться из старой
информации без помощи Его Величества Случая? (подсказка:
не может; новая информация содержится в неявном
виде в старой информации и тех алгоритмах, которые
предлагается использовать для получения новой
информации). Каким образом из шума, из хаоса
рождаются новые идеи, стихи, мелодии, картины? Наверное не
просто случайно, как в наших играх? Конечно, тупо
вынимая буковки «Эрудита» из мещка в течение
многих лет, обезьяна может набрести на строку «Я помню
чудное мгновенье», но вряд ли это произойдет. Что
такое интуиция? Что такое вдохновение? Как ты
понимаешь процесс творчества? Как ты относишься к
строкам Маяковского:
Поэзия —
та же добыча радия:
В грамм добыча —
в год труды.
Изводишь
единого слова ради
Тысячи тонн
словесной руды...?
Как ты полагаешь, какие люди более важны для общества -
те, кто исполняет готовые программы, или же те, кто генерирует
новые идеи? Почему?
Чем отличаются исполнители от творческих работников? Как
ты понимаешь строки Пушкина:
Нас мало избранных, счастливцев праздных,
Пренебрегающих презренной пользой,
Единого прекрасного жрецов...?

Глава первая
1.7 От порядка к беспорядку, от беспорядка к
порядку
■ Где начало того конца,
я которым оканчивается начало?
Козьма Прутков
Только что мы пришли к выводу, что порядок рождается из
хаоса, значит, из беспорядка. Но хорошо известно, что порядок
прекрасно переходит в беспорядок. Обычно приходится
принимать настойчивые меры по поддержанию порядка. Получается,
что, с одной стороны, мы имеем порядок из беспорядка, а с
другой, беспорядок из порядка. Вспомним про мифы: с одной
стороны, Космос из Хаоса (как сотворение мира), а с другой,
Хаос из Космоса (как конец света).
По-видимому, во всем этом следует получше разобраться.
Вот ты берешь обыкновенный снежок, размахиваешься и -
бац! - он прилипает к оконному стеклу (хорошо, что оно не
разбилось!) и постепенно растекается по нему. В форточке
появляется рассерженное лицо: «Что тут произошло?!»
Попробуем объяснить. Когда ты бросаешь снежок (лучше, конечно, не
в окно), все его молекулы летят дружно в одном направлении.
Энергию для этого движения дала им твоя рука. Но вот снежок
прилипает к стеклу. Куда девается энергия, которая была тобой
только что израсходована? - Она превратилась в энергию
беспорядочного, хаотичного движения молекул в прилипшем к
стеклу снежке. Иными словами, она пошла на нагревание
снежка (может быть, поэтому он и потек по стеклу?). Значит,
энергия упорядоченного, дружного движения молекул
летящего снежка превратилась в энергию хаотического движения
молекул в прилипшем к стеклу снежке. И поэтому на вопрос
рассерженного лица «Что тут произошло?!» ты можешь дать
самый серьезный ответ: произошло превращение порядка в
беспорядок. Правда, вряд ли рассерженное лицо удовлетворится
этим ответом.
Аналогичный пример: молот бьет по наковальне. Энергия
упорядоченного движения молекул молота превращается в
энергию их хаотического движения - молот, ударившись о
наковальню, останавливается и нагревается. Превращение
порядка в беспорядок здесь необратимо: бесполезно пытаться
нагревать молот и ждать, когда он отскочит от наковальни.
Хаотическое движение молекул молота не превращается в их

упорядоченное движение.
Необратимый переход порядка в беспорядок совсем не
трудно устроить на твоем столе. Вот два стакана - в одном
раствор сахара в воде, а в другом раствор соли. Ты сливаешь оба
стакана в одну банку. Все! Теперь
можешь как угодно стараться, тебе
не удастся разделить сахар и соль.
Или вот есть порядок: горячий суп
и холодное мороженое. Ты тянешь
время, задумавшись, например, о
предсказуемости и
непредсказуемости окружающего мира, и
получаешь беспорядок: холодную
жирную похлебку и лужицу теплого
сладкого молока.
Создается впечатление, что
порядок так и норовит все время
превратиться в беспорядок.
В примере с супом и мороженым
ты ничего не можешь предпринять
против этого превращения.
Остается лишь побыстрее съесть суп, пока
он не остыл, и мороженое, пока оно
не растаяло. В других случаях
удается принимать какие-то меры по
поддержанию порядка.
Например, ты начинаешь
раскладывать вещи по своим местам,
что-то мастерить, из отдельных букв
и слов творить стихотворения.
Конечно, начинаешь создавать
порядок. Все это прекрасно! Но о победе
порядка над беспорядком мы бы,
все же, говорить не стали. Ведь в
это самое время в твоем желудке
все, что было недавно съедено, перемешивается между собой,
желудочным соком и еще какой-нибудь «гадостью»,
необходимой для пищеварения (кстати, какой?). Кроме того, у тебя
нормальная температура (36,6° С), и ты являешься, хотя и не
очень мощным, но постоянно работающим «нагревателем»
окружающей среды. Все это вносит беспорядок.
Получается, что ты стараешься сделать что-то упорядоченное
(и делаешь это), а в то же самое время ты же и создаешь
беспорядок! Но не расстраивайся! Твой беспорядок очень мал по
Вот он -
необратимый переход порядка
в беспорядок!

Глава первая
сравнению с тем, который устраивает любой завод, сжигая
топливо и выделяя вместе с теплом также всякую грязь (ее
называют «отходами», «выбросами»); и все это ради
малюсенькой капельки порядка в виде партии телевизоров или зубных
щеток, или чего-то еще, что там производится. И тут
действительно есть повод для расстройства, а еще больше - для
раздумий...
По-видимому, от беспорядка трудно избавиться! Даже в
простых системах обнаруживается хаотическое, случайное
поведение. Приведем два примера.
Первый пример. На горизонтальной плоскости укреплена
упорядоченная система цилиндрических «пеньков» (на рисунке
показан вид на нее сверху). Но плоскости движется шарик,
отскакивающий от пеньков (лучше говорить не «отскакивает»,
а «отражается»). Последим за последовательными отражениями
шарика; при этом будем писать 1 всякий раз, когда отражение
произошло от левой (по отношению к нам, смотрящим на всю
картину сверху) части пенька, и будем писать О - если от правой.
Последовательность изображенных на рисунке отражений будет
выглядеть так: 1010010110. Эта последовательность
является «случайной» - здесь нет связи между появлением
следующих друг за другом цифр. Малейшее изменение
исходного направления траектории шарика совершенно меняет картину
его движения - будет новая траектория, которой будет
соответствовать новая «случайная» последовательность из единиц и
нулей.
Второй пример. Согнутая в виде почти прямоугольника и
полностью заполненная водой металлическая трубка
подогревается снизу и охлаждается сверху (см. рисунок). Происходит

5О
конвекция - вода циркулирует по трубке (на рисунке эта
циркуляция происходит по часовой стрелке). Казалось бы, все
очень просто. Однако, как оказывается, если сделать достаточно
большой разность температур нижней и верхней частей трубки,
то вода начинает случайным образом изменять направление
циркуляции. Это можно пояснить так. Пусть сначала вода
циркулировала по часовой стрелке - в левой части трубки
поднималась, а в правой опускалась. При сильном подогреве
снизу и охлаждении сверху вода в левой части трубки будет
подниматься быстрее, процесс циркуляции ускорится. Из-за
этого вода, остывшая вверху, может, опускаясь по правой части
трубки, проскочить горячее основание, не успев нагреться. Не
нагревшись, эта вода затем не сможет подняться по левой части
трубки до верхней точки. При этом вода, опускающаяся по
правой стороне, оказывается теплее поднимающейся по левой.
В итоге циркуляция воды в трубке приостанавливается и затем
начинается в обратном направлении. Таким образом, водяное
«кольцо» раскручивается то в одну сторону, то в другую. Все
становится зыбким, неустойчивым: малейшие воздействия
могут вызывать смену направления циркуляции. Эта смена
происходит случайным образом.
Если бы не было предыдущего параграфа, то можно было бы
подумать, что везде и всегда беспорядок торжествует над
порядком. Но ты уже знаешь, что это не так!
Мы уже рассматривали примеры,когда из беспорядка
рождается порядок. Они показали, что Его Величество Случай может
творить порядок.
Вот еще один пример. Его называют «неустойчивостью
Бенара» (по имени ученого, который открыл это явление). Само
явление нетрудно воспроизвести. Надо налить в обычную
сковороду слой растительного масла толщиной примерно 10 мм,
добавив туда мелких алюминиевых опилок, чтобы все хорошо
было видно (конечно, если мама разрешит испортить столько
масла). Затем надо поставить сковороду с маслом на огонь и
наблюдать. Начнется конвекция: нагревшееся масло будет
подниматься, а ненагревшееся опускаться. Через некоторое время
эти два потока масла (поток снизу и поток вниз)
самоорганизуется - у тебя буквально на глазах поверхность масла разобьется
на аккуратные шестиугольные ячейки. В центре каждой ячейки
масло поднимается со дна к поверхности, а на краях ячейки оно,
наоборот, опускается на дно.
Вспомни: это явление тебе уже знакомо - мы встречались с
ним в прошлом году при обсуждении происхождения
гранулированной поверхности солнца, наблюдаемой с Земли.

Глава первая
51
Еще один пример. Тебе не приходилось летать на самолете?
Если приходилось, то наверное, случалось наблюдать такую
картину. Облака под самолетом выстроились в почти
правильные прямоугольные и шестиугольные ячейки, или образовали
регулярные валы, или создали прямые «улицы». А ведь весь
этот геометрический порядок образовался из хаоса движущихся
молекул, из разнообразных возмущений в атмосфере,
вызываемых тем, что воздух прогревается неравномерно.
Или вот такой пример. Представь себе водяной пар.
молекулы воды в нем движутся совершенно хаотично, тут нет никакого
порядка. Наверное, больший беспорядок и представить нельзя.
Но вот температура стала понижаться, и этот пар сначала
превратился в воду, а затем вода замерзла - возникли кристаллы
льда, например, в виде хорошо известных тебе снежинок. Из
хаоса возникла снежинка! Какой порядок, какие
геометрически правильные формы! Потом снежинка растает - и этот порядок
разрушится.
Вот так и живут с друг с другом порядок и беспорядок. Один
без другого никак не обходится. То порядок переходит в
беспорядок, а то беспорядок переходит в порядок.
Присмотрись, везде вокруг тебя совершаются процессы перехода
порядка в беспорядок: разрушаются со временем горы, постепенно
ухудшаются (принято говорить: деградируют) почвы, вянут
цветы, ржавеют автомобили, ветшают дома и т.д.. Люди во
многих случаях пытаются приостановить эти разрушающие
процессы. Именно для этого автомобили держат в гаражах,книги
одевают в переплеты, стены домов покрывают краской. Все это
помогает, но лишь до поры. Его Величество Случай неуловим -
он все равно будет разрушать порядок.
Одновременно можно наблюдать и процессы перехода
беспорядка в порядок: формируются облака, растут кристаллы льда,
всходят посевы, рождаются животные и люди и т.д. Здесь Его
Величество Случай, напротив, не разрушает, а созидает, творит.
Вспомним у Пушкина: «И случай - Бог-изобретатель». Вся
Вселенная сформировалась из хаотического скопления
частиц, из совершенно беспорядочной космической пыли. Был
когда-то всеобщий хаос, а вот, гляди-ка, он превратился в
галактики, в Солнечную систему, в нашу планету Землю.
Первоначальный беспорядок на образовавшейся Земле
постепенно сменился порядком - возникла жизнь, а затем возник и
сам человек. Эволюция жизни на Земле — это процесс перехода
От беспорядка к порядку.

52 Sto Se**ute&£ib fity
I
Таким образом, в окружающем нас мире идут
процессы двух типов - процессы разрушающие и процессы
созидающие. Первые идут в направлении от порядка к
беспорядку, а вторые - в обратном направлении: от
беспорядка к порядку. Можно сказать, что все время
непрерывно совершается сотворение мира и точно так
же все время происходит процесс, который принято
называть «концом света».
Вопросы и задания;
©Подбери побольше примеров, когда порядок переходит в
беспорядок. Нарисуй какой-нибудь пример: изобрази, что было вначале и что
стало потом.
(2) Такое же задание, но для переходов от беспорядка к порядку.
(3) Что предпринимают люди, чтобы приостановить разрушающие
процессы? Приведи известные тебе примеры. Внеси свои
предложения по наведению и поддержанию порядка.
0 Давай пофантазируем. Представь себе и опиши мир, в котором
разрушающие процессы вообще отсутствуют (иначе говоря, мир, где
порядок не переходит в беспорядок).
1.8 Враг случайного - симметрия
Варкалось,
хливкие шорьки.
Пырялись по наве,
И хрюкотсиги зелюки
Как мумзики в мове.
Л. Кэрролл.
У Льва Толстого в «Отрочестве» ты можешь найти такое
признание (см. главу XIX): «Стоя перед черной доской и рисуя
на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью:
Почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия? Это
врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основан-
но? Разве во всем в жизни симметрия?
Итак, что же это такое — симметрия?

Глава первая
53
Слово это греческое. Оно переводится как «соразмерность,
пропорциональность, одинаковость в расположении частей».
Известный математик Г. Вейль отмечал: «Симметрия является
той идеей, посредством которой человек на протяжении веков
пытался постичь и создать
порядок,
красоту,
совершенство».
Впрочем, не будем пытаться одной фразой сказать, что такое
есть симметрия. Лучше давай посмотрим разные виды
симметрии. Ты можешь их видеть на рисунке. Внимательно разгляди
его. Различаешь ли ты здесь осевую (поворотную), зеркальною
и переносную симметрии? Понимаешь ли чем различаются эти
виды симметрии?
Отметим: если фигура обладает осевой (поворотной)
симметрией, то это означает, что при повороте фигуры
вокруг оси симметрии на определенной угол мы
снова получим точно такую же фигуру, что и до
поворота. Если это наблюдается при повороте на
угол 360/п (здесь п - натуральное число), то

54
говорят об оси симметрии n-го порядка.
Отметим: если фигура обладает зеркальной симметрией, то
это означает, что она состоит из двух частей,
представляющих собой зеркальное отражение одна
другой.
Отметим: при наличии переносной симметрии фигуру можно
смещать вдоль какого-то направления на один и
тот же определенный шаг - один раз, два раза, три
раза и т.д. - и всякий раз будет наблюдаться
совпадение.
И еще отметим: одна и та же фигура может обладать
одновременно и осевой (поворотной), и
зеркальной симметрией.
Отыщи такую фигуру на нашем рисунке.
Впрочем, со всеми этими видами симметрии тебе уже
приходилось знакомиться раньше - в начальных классах когда мы
изучали «Мир красивый и некрасивый». Тогда же тебе
посчастливилось познакомиться с орнаментами - удивительными
рисунками, в которых переносная симметрия сочетается с
другими видами симметрии.
Все-таки хочется дать какое-то общее определение
симметрии. Пусть оно будет не строгое, а как бы «домашнее» - такое,
например:
С симметрией мы имеем дело
всякий раз, когда совершаем
какие-то изменения, а в
результате получаем то же, с
чего начинали.
В рассмотренных выше
примерах были такие изменения:
повороты, отражения в
воображаемом зеркале, переносы.
Все эти изменения - чисто
геометрические. Но симметрия
может проявляться не
обязательно только при геометрических
изменениях (поворотах,
переносах, отражениях). Вот
например, симметрия в
стихотворении проявляется при переходе от
одной строки к другой - через
рифмы, через одно и то же число ударных слогов. Наверное
отсюда такая музыкальность в стихотворении. Вслушайся:

Глава пеувая
55
Четырехстопный ямб мне надоел:
Им пишет всякий. Мальчикам в забаву
Пора б его оставить. Я хотел
Давным-давно приняться за октаву.
А в самом деле: я бы совладел
С тройным созвучием. Пущусь на славу!
Ведь рифмы запросто со мной живут;
Две придут сами, третью приведут.
(А. Пушкин)
(Кстати знаешь ли ты, что такое ямб и что такое октава?)
А теперь перечитай еще раз эпиграф. Ты, наверное, думаешь:
тут какая-то абракадабра, ничего нельзя понять. А вот и не
совсем так! Если ты почувствуешь симметрию в этом
стихотворении, то вполне можешь разгадать эту абракадабру. Как это
сделала Алиса в Зазеркалье вместе с Шалтаем-Балтаем. Здесь
учитывались не только рифмы и ударные слоги, но и симметрия
строении разных слов, проявляющаяся в одних и тех же
суффиксах, приставках, окончаниях, и что-то еще другое.
«Варкалось» - это четыре часа пополудни, когда пора
уже варить обед. «Хливкие» - хлипкие и ловкие.
«Шорьки» - помесь хорька и ящерицы; какие-то
зверьки. «Пырялись» - прыгали или вертелись, или
ныряли. «Нава» - скорее всего какая-то необычная
трава. «Хрюкотали» - хрюкали, хохотали; в общем,
безобразничали, но довольно безобидно. «Зелюки» -
наверное, что-то вроде зеленых индюков. «Мумзики»
- Птички! К тому же бедненькие! Перышки у них
растрепаны, торчат веником в разные стороны. «Мова»
- это далека от дома.
Алисе здесь все ясно. А тебе?
А ты знаешь, что существует симметрия во времени? Или,
лучше сказать, симметрия по отношению к переносам во
времени. Простой пример: смена времен года. Каждый год за
зимой идет весна, за весной - лето, за летом - осень, за осенью
~~ снова зима... И каждый год зимой есть снег, весной он тает,
аждый год весной оживают растения, а летом и осенью они

56
плодоносят. Каждый год осенью опадают листья с деревьев.
Конечно, в жизни не бывает абсолютной симметрии. Все
ромашки на лугу одинаковы (ты всегда можешь сказать: вот это
ромашка, а это не ромашка), но, конечно, они не совсем
одинаковые. И каждая из них не совсем симметрична. Все
человеческие тела одинаковы и каждое обладает зеркальной
симметрией. И все же это не совсем так! И тела различаются, и
полной зеркальной симметрии ни у одного тела, строго говоря,
нет. Возьми зеркало и внимательно разгляди свое лицо. Найди
различия левой и правой половин собственного лица.
Точно так же и с симметрией во времени. В этом году лето
оказалось более холодным, чем в прошлом, осень оказалось
очень дождливой. Этот год более урожайный, чем тот. В этом
году весна более ранняя, чем в прошлом году.
Мы часто, не задумываясь, предсказываем то, что будет
завтра, просто потому, что так было всегда. Иначе говоря,
пользуемся (часто не сознавая того) симметрией во времени.
Можно не понимать причин, но важно заметить эту симметрию.
Так из обычных наблюдений и родились народные приметы.
- Кошка на печи — к стуже, а кошка на полу — к теплу.
- Птицы вьют гнезда на солнечной стороне - к холодному лету.
- Пауки везде развешали на деревьях паутину — к ясной погоде.
- Если встретишь весной белого зайца, снег еще выпадет.
- Если летом ночью не было росы, назавтра будет дождь.
- Если солнышко село в тучи - к дождливой погоде.
Пользуясь симметрией, можно предсказать многое. Мы так
и делаем, обычно даже не задумываясь. Так, ты заранее
представляешь себе, каким будет на вкус яблоко или какой будет на
вкус груша. Почему? Да потому, что тебе уже не раз
приходилось тебе их есть. Конечно, то или иное яблоко может оказаться
подгнившим, та или иная груша может оказаться с червяком.
Ведь в нашем мире симметрия не абсолютна. Это почти, но
отнюдь не совсем симметричный мир! Так что совсем точные

Глава первая
57
предсказания неуместны. Но зато ты можешь совершенно
уверенно утверждать, что ни яблоко, ни груша не окажутся на
вкус солеными или острыми. (Впрочем, кто его знает, до чего
может довести нас экологический кризис? Может, быть и яблоки
станут солеными. Ведь стали же ядовитыми многие грибы,
которые всегда были съедобными!)
Симметрия дает нам уверенность в том, например, что, если
сегодня у нас вода закипела при 100° С, то завтра у соседей она
с тем же успехом закипит при 100° С. То, что в разные моменты
времени и в разных местах при одних и тех же условиях
происходят одно и то же или, иначе говоря, то, что все события,
все законы природы симметричны относительно переносов во
времени и перемещений в пространстве - в этом одна из основ
современной физики. Физику иногда называют наукой,
которая ищет симметрии в окружающем мире. Ведь ее законы
общие. Нет, например, закона пуговиц, закона крапивы или
закона пылинки.
Впрочем симметрией надо уметь пользоваться, а не то можно
попасть впросак. Известен такой случай. Одному медику
довелось лечить от горячки портного. Больной был при смерти; он
очень просил ветчины. Медик, чувствуя, что больного все равно
не спасти, дал ему ветчины. Тот поел ветчины и ... выздоровел.
Врач записал: «Ветчина - успешное средство от горячки». Через
некоторое время тот же врач лечил от горячки сапожника.
Опираясь на опыт, он предписал сапожнику ветчину. Однако,
сапожник скончался. Врач записал, не мудруствуя лукаво:
«Ветчина - средство от горячки, полезное для портных, но не
для сапожников».
Ну, что ж, мы достаточно поговорили о симметрии.
Пора уже и разобраться, почему же симметрия — враг
случайности.
Возможно, что тебе это уже понятно.
В самом деле, случайность - это всегда неожиданность. А
симметрия — это, напротив, уверенность в том, что при разных
изменениях все же что-то обязательно остается неизменным.
Например, завтра и там будет то же, что сегодня и здесь.
Симметрия — это олицетворение порядка!
Может быть, именно по этому симметрия так нам нравится?
Аут дело не только в гармонии формы, но также в психической
гармонии, в уверенности в завтрашнем дне, в уверенности, что
все идет как надо, а не как попало.
Симметрия против случая!

58
&
Но ведь точно так же и случай против симметрии! Поэтому-
то наш мир не абсолютно симметричен, а почти симметричен.
Поэтому мы везде находим симметрию и в то же время везде
находим нарушения симметрии.
И это, наверное, тоже неплохо. Потому что абсолютная
симметрия - то же, что абсолютный порядок. А что такое
абсолютный порядок, что такое мир, где царствует
необходимость и совсем нет места случаю - это мы уже проходили...
Действуя против случайного, симметрия дает нам
возможность предсказать, предвидеть. Мы уже познакомились с
разными примерами на этот счет. И теперь пора тебе попробовать здесь
собственные силы - попробовать на практике воспользоваться
симметрией для предсказаний.
Итак, играем!
Игра: Реставрация изразцовой печи. Возможно, ты знаешь,
что раньше печи в комнатах отделывали специальными
керамическими плитками. Они назывались изразцами. Мастер
выкладывал израсцы не просто как попало, а по какому-нибудь
хитроумному закону.
Представь себе, ты - художник-реставратор. Тебе надо
сделать проект реставрации печи. Для этого тебе придется
срисовать печи в тетрадку, разгадать закономерность по нескольким
сохранившимся чудом изразцам и заполнить пустые клеточки.
Представления о симметрии тебе при этом помогут.
Так что действуй. И помни: «Чтобы познать невидимое, надо
смотреть внимательно на видимое». Так сказано в одной древней
книге.
7
Вопросы и задания:
(Т) Подумай какими видами симметрии обладают:
- снежинки,
- игральные карты,
- бабочка,
- ромашка,
- человеческое лицо.
предложи примеры предметов, обладающих той или иной
симметрией.
©Как ты думаешь, какое отношение к симметрии имеют слова: цикл,
период, интервал, комплект, стиль, задом-наперед,
шиворот-навыворот, надоело, неожиданно, равнозначные?
©Придумай собственные примеры, иллюстрирующие симметрию во
времени.

пеувая
59
Ч&
-3?
о
о
о
о
——
д
о
о
о
о
О
V
о
о
о
■
о
о
о
о
о
о
0
о
о
о
е>
о
<•
<•
с*
<^
О
<3
Ф
о

6О
@ Итак, симметрия - это порядок, необходимость, а нарушения
симметрии - это беспорядок, случайность. Как понимать в таком
случае переход от порядка к беспорядку и от беспорядка к порядку?
(5) Как, по-твоему, мог бы выглядеть фантастический мир, где нет
никакой симметрии? Попробуй его нарисовать.
А как, по-твоему, мог бы выглядеть не менее фантастический мир,
где все совершенно симметрично, где нет никаких нарушений
симметрии? Попробуй нарисовать и такой мир.
Внимание!
Вместе с друзьями проводим ДИСКУССИЮ на тему:
«Симметрия — это хорошо или не очень?»
Принято связывать симметрию с красотой, с
гармонией, с совершенством. Но разве могут считаться
красивыми почти идеально симметричные дома -
коробки и геометрически правильные кварталы из
таких домов? Что красивее - аккуратно
подстриженные газоны и деревья или дикий луг с буйным и
совсем несимметричным буйством красок?
Известно, что в любом творении великих художников есть
удивительная соединение уравновешенности
(симметрии) с нарушениями композиции. Обсуди с этой
точки зрения, например, картину В. Сурикова
«Боярыня Морозова». Как можно понимать
высказывание французского поэта Поля Валери «Мир
беспорядочно усеян упорядоченными формами»? Почему
Собор Василия Блаженного на Красной площади в
Москве красивее гостиницы «Россия»? Или, может
быть, ты так не считаешь?
В чем польза от симметрии? В чем польза от
нарушений симметрии?
Усматриваешь ли ты симметрию в Периодической
системе химических элементов Д. И. Менделеева? В
чем она здесь проявляется?
\

Глава первая
61
1.9 В самом начале был случай
■ Я понимаю, что меня могло и не быть...
ш
Паскаль
Хорошо известный чеховский человек в футляре ненавидел
случай. Он ожидал от случая каких угодно неприятностей и
старался укрыться от него. «Он был замечателен тем, что всегда,
даже в очень хорошую погоду, выходил в калошах и с зонтиком
и непременно в теплом пальто на вате. Он носил темные очки,
фуфайку, уши закладывал ватой, а когда садился на извозчика,
то приказывал поднимать верх. Одним словом, у этого человека
наблюдалось постоянное и непреодолимое стремление окружить
себя оболочкой, создать себе футляр, который уединил бы его,
защитил бы от внешних влияний». Что бы не происходило
вокруг, его не радовало. Всякий раз он говорил: «Оно, конечно,
так-то так все это прекрасно, как бы чего не вышло».
Вот и Премудрый пескарь у Салтыкова-Щедрина старался
укрыться от всяких неожиданностей в своей норке. Там он жил
и всю жизнь дрожал. А вдруг что-то случится? Вот высунешь нос
из норки - и как раз произойдет несчастный случай!
Да, от случая можно ожидать чего угодно!
У американского писателя-фантаста Рея Бредбери есть
рассказ «И грянул гром». Герой этого рассказаЭкельс отправляется
на машине времени в доисторические времена поохотиться на
динозавров. Вот он туда попадает. Оказывается, там
разрешается ходить только по определенной тропе, нельзя с нее сходить,
нельзя срывать цветы и даже листья с деревьев. Экельс не
понимает, к чему такие осторожности и спрашивает своего
проводника Тревиса. Тот все объясняет. «Допустим мы случайно
убили здесь мышь, - говорит Тревис, - это значит, что всех
будущих потомков этой мыши уже не будет. Верно?
-Да.
- Не будет потомков от всех ее потомков. Значит,
неосторожно ступив ногой, вы уничтожаете не одну, не десяток и не
тысячу, а миллион, миллиард мышей!
- Хорошо, они сдохли, - согласился Экельс. - Ну и что?
- Что? - Тревис презрительно фыркнул. - А как с лисами, для
питания которых нужны были именно эти мыши? Не хватит
Десяти мышей - умрет одна лиса. Десятью лисами меньше -
Подохнет от голода лев. Одним львом меньше - погибнут
всевозможные насекомые и стервятники, сгинет множество

62
?<*
форм жизни. И вот итог: через пятьдесят девять миллионов лет
пещерный человек, гонимый голодом, выходит на охоту за
тигром. Но вы, друг мой, раздавив одну мышь, тем самым
раздавили всех тигров в этих местах. И пещерный человек умрет
от голода. А этот человек, заметьте себе, не просто один человек,
нет! Это целый будущий народ. Из его чресел вышло бы десять
сыновей. От них произошло бы сто - и так далее, и возникла бы
целая цивилизация».
Конечно, это лишь предположения. Ведь если погибнет одна
мышь, то больше корма достанется другим мышам и, возможно,
они будут быстрее размножаться. Да и лисы питаются не только
мышами. Но все же тот или иной случай может сильно повлиять
на последующие события. Может быть, ты знаешь исторические
примеры, когда потерявшееся письмо, оброненный платок,
поломка в дороге сильно влияли на историю города или даже
страны? А бывает так, что какой-то случай в жизни человека
определяет выбор профессии и всего последующего жизненного
пути. Может быть, тебе известны подобные случаи? О них можно
узнать, знакомясь с биографиями выдающихся людей.
А в рассказе Бредбери путешественник все же нарушил
правило поведения в прошлом, сошел с тропы и случайно
раздавил бабочку. Ничего страшного не произошло. Если не
считать того, что, возвратившись в свое время, он, к удивлению
своему, обнаружил, что президент страны, оказывается, -
совсем другой человек.
Его Величество Случай! Именно с него все и начинается.
«Муха по полю пошла, муха денежку нашла. Пошла муха на
базар и купила самовар...» Как известно, с этого все и началось
- с денежки, случайно найденной в поле. А завершилось тем, что
муха вышла замуж за храброго комара.
Или вот увидал случайно Иван на земле перо Жар-птицы да
и поднял его. Предупреждал Конек-Горбунок Ивана:
Но для счастья своего
Не бери себе его.
Много, много непокою
Принесет оно с собою.
Не послушался Иван, а зря - пришлось ему из-за этого случая
много мотаться по белу свету, а под конец даже нырять в
кипяток. К счастью, все закончилось благополучно.
Все начинается со случая, с отдельного, подчас случайного
поступка. На Руси издавна говорили:

Глава пеувая
63
«Посеешь поступок - пожнешь привычку.
Посеешь привычку - пожнешь характер.
Посеешь характер - пожнешь судьбу».
Да, случайности имеют фундаментальное значение. Они
принципиальны. Они всегда в основе всего. Самый
убедительный довод мы приберегли под занавес.
Иэмэ
Drey
Внимание!
Белые кружки - тюи предки
Если бы хотя бы одни из них
умер • детском юэрэсте, то
тебя бы не было!
Ты только подумай, ведь тебя могло и не быть! Только
представь себе: сколько твоих диких предков должны были
.чудом увернуться от бивня мамонта или стрелы врага! Сколько
твоих лра-пра-прабабушек должны были родить и вырастить
своих сыновей и дочерей, оберегая их от несчастного случая!
Сколько пуль должно было случайно миновать твоих пра-пра-
прадедушек! Как удивительно, что именно твои предки уцелели
во всех оледенениях, потопах, войнах, эпидемиях, революциях,
пожарах! И в результате всего этого грандиозного случайного
стечения обстоятельств появляешься ты. Представляешь,
насколько уникальна твоя персона?

64
Неизвестно, чему надо больше удивляться - тому, что тебя
может не стать, или тому, что ты вообще существуешь. И затем,
твой сосед по парте не менее уникален, чем ты! И все
существующие, вымирающие и пока не вымирающие растения и
животные тоже уникальны.
Мы все неповторимы, потому что случайны!
Но самое удивительное даже не то, что ты существуешь, а то,
что ты еще можешь все это осмыслить.
«Человек — всего лишь тростник, слабейшее из
творений природы, но он тростник мыслящий.
Чтобы его уничтожить, вовсе не надо всей
Вселенной, достаточно дуновения ветра, капли
воды. Но даже пусть его уничтожит Вселенная
— человек все равно возвышеннее, чем она, ибо
сознает, что расстается с жизнью и что он
слабее Вселенной, — а она ничего не сознает.
Итак, все наше достоинство — в способности
мыслить. Только мысль возносит нас, а не
пространство и время, в которых мы — ничто.
Постараемся же мыслить достойно!»
Паскаль
7
Вопросы и задания;
(Т) Давай немного пофантазируем. Вот ты отправляешься в далекое
прошлое на машине времени. И в этом прошлом случайно ломаешь
у дерева ветку. Возвратившись в свое время, ты обнаруживаешь...
Что именно? Выскажи свои предположения и попробуй их
обосновать.
© А теперь подумаем на реальную тему. Случайно, от шальной
молнии выгорел целый лес. Проследи цепочку событий и скажи, что
будет в этом краю через много лет? А что было бы, если бы лес не
сгорел?
(3) Попробуй придумать рассказ, где от незначительного случайного
события изменилась история всей страны.
©Напиши сочинение на тему «Случайная встреча». Пусть в нем
случайная встреча двух людей окажется для них событием, которое
изменит всю их последующую жизнь.
© Перечитай внимательно высказывание Паскаля. Как ты его
понимаешь? Кстати, как может оказаться, чтобы для уничтожения
человека было достаточно дуновения ветра или капли воды?

Глава первая
65
Внимание!
Проводим со своими друзьями ДИСКУССИЮ на тему: «Мы
уникальны (неповторимы), потому что случайны».
Интересно, как эту мысль понимают разные люди?
Согласны ли они с ней? Почему все мы случайны? В
чем выражается наша уникальность? В чем
уникальность твоих друзей? Правы ли те, кто
утверждает, что «незаменимых людей нет»? Как люди
должны были бы относится друг к другу, если исходить
из того, что все люди уникальны? Как с этих позиций
воспринимать насилие, убийство? Какие у тебя и
твоих друзей соображения на этот счет? Составь
вместе с ними «Правила взаимоотношений
уникальных людей».
1.10 Суд над Случаем
Если мы закроем дверь перед
заблуждением, то как же тогда войдет истина?
Тагор
Ваше благородие, госпожа Удача,
Для кого ты добрая, а кому иначе...
Что-то мы стали очень серьезными. Пора развлечься и
поиграть. Играть будем в Суд над Случаем.
В центре зала суда за столом сидят трое
судей, выражение лиц которых никак не
меняются в течение всего заседания. Слева - обвинитель.
Он тщательно причесан и внешне спокоен.
Справа - защитник. Вид у него тоже серьезный и
торжественный, хотя загнувшийся внутрь
левый у гол воротника и нелепый хохолок на макуш-
ке выдают, что он только пытается казаться спокойным.
«Прекратить шум в зале!» - привычно произносит главный
судья, хотя тишина стоит такая, что слышно, как скрипят
перьями присяжные заседатели.
Обвинитель. Оглашаю обвинение!

вв
Случай разрушает наши планы, крушит надежды. Он мешает
торжеству справедливости, ведь везет и не везет одинаково и
хорошим, и плохим людям. Он вторгается в нашу жизнь
незваным гостем. Его нельзя предвидеть, никто от него не
застрахован. Люди вынуждены жить в постоянном страхе, что
вдруг что-нибудь случится. Причиной многих катастроф и
бедствий была простая случайность!
Предлагаю заслушать пострадавшего. Вызывается План.
В дверях появляется План слегка болезненного вида. Он
смотрит на часы, затем достает из кармана карту зала суда,
где красной галочкой отмеченно место для дачи показаний и
стрелками указан маршрут до этого места. План быстро
проходит между рядами и останавливается там, где и
следовало. Еще раз взглянув на часы, записывает что-то в свой
блокнот, достает красную папку и начинает читать.
План. Следует отметить, что на протяжении долгого времени
Случай проявлял себя как дерзкий нарушитель меня. Он менял
меня, а то и вовсе делал меня никуда не годным. Известно, что
все, начиная с режима дня школьника и кончая долголетними
планами развития страны, беспрестанно подвергается его
нападкам. Своими злодейскими ухищрениями он умудряется самый
хороший и тонко продуманный План (то есть меня) превратить
в чепуху! Я умоляю правосудие оградить меня от обвиняемого,
и тогда я смогу навести порядок везде!
Обвинитель (защитнику, торжествующе). Может быть, Вы
хотите что-то сказать по этому поводу?
Защитник. Разумеется, хочу.
Прежде всего я выражаю глубокое уважение потерпевшему и
совершенно согласен с тем, что влияние Случая неизбежно. Но
зачем же такие мрачные тона: «вторгается», «нападки»,
«злодейские ухищрения»? Ведь есть и счастливый Случай,
например, случайное знакомство с интересным человеком. Или
случайное стечение обстоятельств, когда человек лучше узнает свои
собственные возможности. Не в обиду Вам будет сказано, всю
жизнь по плану, даже самому разумному, просто скучно.
Хочется чего-то нового...
План. Неужели Вы предлагаете мне спокойно сносить
издевательства Случая, ничего не предпринимая?
Защитник. А Вы не пробовали учитывать Случай? Тогда,
возможно, Вы немного потеряете в строгости и однозначности,
но зато выиграете в выполняемое™.
План. Да как же можно учитывать Случай, если он
непредсказуем?

Глава первая
Обвинитель. Одна свидетельница хотела выступить как раз
по этому поводу. Правда, по плану она должна была выступать
последней...
План (удаляясь). Прекрасно! Я подожду. Хотя, как всем
известно, план нарушать нельзя.
Обвинитель. К счастью, Случай не столь всемогущ. От него
вполне можно избавиться. Итак, просим свидетельницу войти в
зал!
В зал, поскрипывая портупеей и побрякивая оружием и
медалями, гордо печатая шаг, входит Армия.
Армия. В любой ситуации, не только на войне, необходимо
действовать четко и организованно. Любая случайность может
оказаться смертельной.
Не было гвоздя — подкова пропала.
Не было подковы — лошадь захромала.
Лошадь захромала — командир убит,
Конница разбита, армия бежит.
Враг вступает в город, пленных не щадя,
Оттого, что в кузнице не было гвоздя.
(С. Маршак)
Я объявляю войну Случаю! Он не может быть оправданием
ошибок. Часовой не может случайно чего-то не заметить. Минер
не может случайно споткнуться. У снайпера не может случайно
дрогнуть рука. Многие беды как раз и происходят от этого, что
люди нашли в случайности оправдание своей
безответственности. Что значит «опоздал», «забыл», «перепутал», «потерял»?
Надо всегда отвечать за свои поступки! Я закончила.
Обвинитель. Большое спасибо! Не смеем Вас задерживать.
Защитник (дождавшись, когда смолкнет топот Армии). С
доводами об ответственности каждого трудно не согласиться...
Обвинитель. Вот видите!
Защитник (вкрадчиво). Мне кажется, что многие люди не
смогли бы всю жизнь жить в режиме военного гарнизона. К тому
Же, разве плохо то, что случайность помогает прощать
небольшие ошибки и себе, и другим? Иначе люди все время злились бы
Друг на друга и терзались угрызениями совести... Наверное, все-
таки, человек имеет право на ошибку-
Обвинитель. Эта ошибка может обойтись дорогой ценой!

вВ
Защитник. Не спорю. Это сложный вопрос, вряд ли мы его
сейчас решим. Но почему мы опять говорим о несчастливом
случае? Почему забываем об удаче?
Обвинитель. Между прочим, счастливый случай приносит
вреда не меньше, чем невезение.
Защитник. Не может быть!
Обвинитель. Само существование счастливой случайности
позволяет всем рассчитывать на удачу, надеяться на какое-то
чудо. Авось, кривая вывезет! Вместо того, чтобы продумать свои
действия и соответственно действовать. А ведь известно: «Авось
да небось такая подпора, хоть брось!» «Авоськал, авоськал да и
доавоськался!» «Понадеялся на авось - и дело сорвалось!»
Защитник. После того, как человек «доавоськался», он,
наверное, будет задумываться, прежде чем уповать на удачу.
Известно же: «Авоська - парень добрый: или выручит, или
выучит!» Мы опять приходим к тому, что надо уметь разумно
учитывать Случай.
Судья. Объявляется перерыв!
В судебном заседании объявлен перерыв.
А пока ты можешь самостоятельно продолжить этот суд,
выступив как свидетель обвинения или защиты. Можешь,
конечно, взять на себя роль обвинителя. Или, возможно, роль
защитника тебе больше по душе? Интересно, как, по-твоему,
могли бы выступить такие свидетели, как Игра, История,
Сказка, Пословица, Наука. Может быть, ты попробуешь
пригласить в качестве свидетелей Судьбу, Космос, Хаос?
Может быть, ты придумаешь еще каких-нибудь свидетелей?
Судья. Прекратить шум в зале суда!
Обвинитель. Я продолжаю обвинение Случая.
Как показывает исторический опыт, добиться чего-либо
существенного можно только благодаря четкой организации с
единым управлением. В Древнем Египте была создана
прекрасная система искусственного орошения земель. Она четко
действовала и не допускала никаких случайностей. Случайно
засыпанный канал, случайно разрушенная плотина могли
оставить без воды целые поля! Поэтому все было подчинено Фараону
и большому аппарату управления. Каждый египтянин хорошо
знал свое место. Да если бы каждый делал то, что ему
вздумается, смогли бы они воздвигнуть пирамиды? Именно в Египте
зародились многие науки...
Защитник. Только науки для практических целей. А науки,
познающие мир, философия появились, как известно, в Древней
Греции, где не было таких строгих порядков. Каждый город-
полис управлялся самостоятельно его гражданами. Греческая

Глава первая
земля не отличалась плодородием, греки жили за счет торговли.
Купцы по своей собственной инициативе плыли за моря с
товарами. Как видите, в этой стране был немалый простор для
случайностей...
Обвинитель. Думаю, Вы преувеличиваете роль Случая в
жизни Древней Греции. Были там и правители, и свои законы.
Кстати, настоящим образцом порядка и дисциплины была
Древняя Спарта! Получаем свидетельские показания Историка.
Он специально изучал Древнюю Спарту.
Историк. Мальчиков в Спарте пороли бичем на алтаре
Артемиды. Они соревновались, кто дольше и достойнее
переносит побои. Победивший становился знаменитым. Имущества у
каждого спартанца было не больше, чем необходимо. Все носили
одинаковую одежду. Спартанцы казнили одного человека
только за то, что он украсил свое рубище цветной полосой. Если
наказываемый пробовал отговориться тем, что погрешил
невольно, ему говорили: «Невольное и неси наказание». От
наказания никто не освобождался. Младшие во всем подчинялись
старшим. Если у братьев возникали раздоры, то наказывался
отец. Никакая случайность не могла помешать здорс зому
мальчику, родившемуся в Спарте, стать настоящим дойном. Всю
жизнь спартанцы тренировали волю и тело. Слава о спартанской
доблести гремела далеко за пределами Древней Греции!
Защитник. Прекрасный пример о важности дисциплины. Но
Спарта интересна не только храбростью воинов...
Обвинитель. Чем же еще?
Защитник. Это единственный греческий город, не давший
миру ни одного мыслителя, художника, поэта, скульптора,
оратора. Их там просто не было.
Историк (важно). Спартанцам не разрешалось покидать
пределы родины, чтобы они не могли заразиться чужеземными
нравами. Спартанцы не смотрели ни комедий, ни трагедий,
чтобы не слышать чего-либо сказанного в шутку или всерьез,
противоречащего их закону.
Обвинитель. Ну, ладно, я готов признать, что Случай нужен
в творчестве, в игре, развлечениях. Но он не должен
вмешиваться в серьезные дела! Для любого важного дела надо, чтобы все
«дудели в одну дуду», добиваясь единой цели. А когда «кто в лес,
кто по дрова», порядка не будет. И результата не будет. Машина
без водителя не поедет.
Защитник. Однако, сравнение человеческого общества с
управляемой машиной не совсем уместно. Уж, если сравнивать,
то хотя бы с живым организмом.

70
Обвинитель. Пожалуйста! Разум управляет жизнью
человека!
Защитник. Разве? Извините, но я хочу напомнить старый
анекдот: «Шел ежик, забыл, как дышать, и умер». Или вот
известное выражение: «Сердцу не прикажешь!» И
действительно, мы же не следим постоянно за работой сердца или легких,
или, например, печени. Мы же не управляем их работой. Есть
и еще много общего между организмом и обществом.
Кстати, тот самый исторический опыт, на который Вы в
начале заседания ссылались, как раз и показывает, что ничего
хорошего не получается, когда много людей идут к единой цели,
подчиняются единой идее или одному человеку.
Не бойтесь золы,
Не бойтесь хулы,
Не бойтесь пекла и ада,
А бойтесь единственно только того,
Кто скажет: «Я знаю, как надо!»
(А. Галич)
Судья. Объявляется перерыв!
Видишь, обвинитель и защитник слишком увлеклись
спором, без конца перебивали друг друга; получилось не судебное
заседание, а какая-то неорганизованная говорильня. Историка
толком не заслушали. И вообще о свидетелях словно забыли.
Придется тебе как-то все поправить. Выбери свидетелей,
дай им слово. Пусть они поддержат или, наоборот, опровергнут
того или иного из наших спорщиков. И уж если тут шел
разговор об историческом опыте, то было бы неплохо
полистать книги по истории разных стран, узнать, как там
относились к Случаю и что из этого получилось.
Судья. Прекратить шум в зале суда!
Обвинитель. Для дачи свидетельских показаний
приглашается Порядок!
Уважаемый Порядок! Я думаю, что Вы можете проходить по
делу не только как свидетель, но и как потерпевший. Ведь
Случай постоянно нарушает Вас!
Порядок. Да, нарушает меня. Но он же меня и создает.
Обвинитель. Как это «создает»?
Порядок (улыбаясь). Случайно, конечно.

Глава первая
Защитник. Вот самый простой пример этому. Допустим, надо
решить какой-то спорный вопрос. Можно кинуть жребий или
посчитаться.
Порядок. Вообще-то я имел в виду что-то более серьезное:
Порядок из Хаоса! Отбор информации из шума! Но можно и
просто посчитаться. Ведь сколько драк удалось избежать
благодаря простой считалке!
Иван-болван, полезай в стакан!
Нарежь лимон — убирайся вон!
Шла торговка мимо рынка,
И споткнулась о корзинку,
И упала в яму — бух!
Раздавила сорок мух!
Эны, бэны, рэс!
Квинтер, минтер, жэс!
Эны, бэны, раба!
Квинтер, минтер, жаба!
Обвинитель (немного ошарашенный поведением Порядка).
Мы уже выяснили, что в играх и развлечениях Случай может
быть полезен. Но серьезные вопросы надо решать серьезно и не
отдавать их жребию. Все равно Порядок и Случай - это
противоположные полюсы. Случай не подчиняется никаким
законам, он полностью непредсказуем.
Порядок. Почему же не подчиняется? Тысячи людей в
большом городе не договаривались, кто где пойдет. Все
движутся в разных направлениях по своим дела. Но никогда не
получается, чтобы все горожане столкнулись на одном
перекрестке, а остальная часть города опустела.
Обвинитель. Я Вас не совсем понимаю. Может быть, надо еще
и поблагодарить Случай за то, что он не приносит нам еще
большие неудобства?!
Защитник. А я понимаю. Дело в том, что и в случайных
событиях есть определенный Порядок, то есть Вы!
Порядок (немного самодовольно). Как же ему не быть? Или,
правильнее, как же мне не быть, если я рождаюсь именно из
случайных событий? Количество опущенных в почтовые ящики
писем за день случайно, но в то же время оно всегда близко к
определенной величине. Вряд ли получится так, что вчера весь
День ящик был пуст, а сегодня к вечеру набит до отказа. Можно
предсказать (заметьте: предсказать!), что число писем в ящике

72
будет увеличиваться к праздникам, оставаясь при этом по-
прежнему случайным.
Обвинитель. Но ведь точно предсказать это число Вы не
сможете!
Защитник. Так на то он и Случай!
Порядок (солидно). Если я 1000 раз подброшу монету, то орел
выпадет скорее 500 раз, чем, скажем, 200 раз или даже 300-400
раз.
Обвинитель. Но ведь может так получиться, что орел выпадет
200 раз?
Порядок. Может, но вряд ли. Скорее всего число выпаданий
орла будет близко к 500.
Обвинитель. Что это за предсказания «скорее всего», «вряд
ли»?! Нужно точное предсказание. И тут важно мнение
профессионала. Я приглашаю свидетельницу Математику.
Свидетельница Математика! Что Вы можете сказать по
вопросу о возможности управлять Случаем?
Математика. Управлять Случаем нельзя...
Обвинитель (торжествующе). Вот видите! Это говорит точная
наука!
Математика. Зато его можно отчасти предсказывать и
учитывать.
Обвинитель. Разве это не одно и то же - предсказывать и
управлять?
Математика. Конечно, не одно и то же.
Обвинитель. А зачем же тогда предсказывать Случай, если
все равно нельзя им управлять? Может быть, лучше и не знать,
чтобы не расстраиваться?
Математика. Да, на случайное событие влиять нельзя, на то
оно и случайное. Зато можно изменить свои планы, а возможно,
и свои взгляды на жизнь с учетом Случая.
Обвинитель. Так что же несчастный План навеки останется
потерпевшим и будет вынужден смириться с выходками
Случая?
Математика. Это вполне естественно. Ведь случайности на
самом деле существуют в природе. А планы создают люди. И они
должны подстраиваться под законы природы. Они ведь не
какие-нибудь сторонние наблюдатели, а часть этой самой
природы!
Защитник. А Вы не могли бы подробнее объяснить, как
можно учитывать случайное явление? Честно говоря, меня тоже
не очень убеждают слова типа «наверное», «скорее всего», «вряд
ли» и подобные им.

Глава первая
73
Математика. Конечно, можно сказать поточнее. Например,
если мы бросаем монетку, то есть один шанс из двух, что выпадет
орел. Если бросаем игральный кубик, то один шанс из шести, что
выпадет, скажем, шестерка. Если в мешке семь шариков и из
них два белых, то два шанса из семи вынуть наугад белый шар.
Но главное - это понятие ВЕРОЯТНОСТИ.
Защитник. А что это такое? Объясните, пожалуйста.
Математика (как бы опомнившись). Ну, вот еще! Я первым
встречным свои секреты не открываю! Если хотите узнать все
это, Вам придется познакомиться со мной получше!
Стоп! Хватит. А не то ты еще подумаешь, что тебе
«капают на мозги», хотят навязать какое-то мнение.
Закончи суд, как тебе захочется и вынеси Случаю какой
захочешь приговор. А вот возможность поближе
познакомиться с математикой у тебя, конечно, будет - сразу же в
следующей главе.
7
Вопросы и задания;
(D Попробуй, все-таки, самостоятельно разыграть суд над Случаем.
Придумай собственных свидетелей, заставь их говорить, спорить
друг с другом. И пусть они не боятся ошибиться. Ибо, как очень
мудро сказал Тагор, «Если мы закроем дверь перед Заблуждением,
то как же тогда войдет Истина?»
(2) Составь собственную развернутую характеристику на Его
Величество Случай. Ее можно начать, например, так: «Случай нарушает
и разрушает наши планы, но в то же время он создает новые
возможности. Случайно мы могли бы и не родиться, но в то же время
именно благодаря случаю мы все уникальны, а значит,
незаменимы...» И дальше в том же духе.
(3) Зачем нужно предсказывать непредсказуемое? Зачем нужно
предсказывать случайные события? Выскажи свою точку зрения на
этот счет.

...Это учение, объединяющие точность
математических доказательств с неопределенностью случая и
примиряющее эти, казалось бы, противоречивые
элементы, с полным правом может претендовать на
титул — Математика Случайного.
Паскаль

Глава втоуая
75
2.1 Множество и элементы множеств
Математика есть способ называть
разные вещи одним именем
Пуанкаре
Как много девушек хороших,
Как много ласковых имен...
Из известной песенки
Новую главу начнем с игры. Игра называется «Контакт».
В эту игру хорошо играть большой компанией. В данном
случае пусть будут четыре игрока: ВОДЯЩИЙ, ТЫ, ОН, ОНА.
ВОДЯЩИЙ задумывает какое-то слово. Вот он,
предположим, задумал слово «КОНТУР». Но пока об этом, конечно,
никто из остальных игроков не знает. ВОДЯЩИЙ сообщает
только первую букву: [К7|
ТЫ начинаешь и делаешь первый «ход» - спрашиваешь
ВОДЯЩЕГО: - А это не насекомое? - ВОДЯЩИЙ быстро
отвечает: Нет, это не кузнечик. - Или: Нет, это не комар - Или:
Насекомые

76
Нет, это не короед. - Или: Нет, это не клоп. - Или: Нет, это не
капустница. Это разные насекомые на букву К.
Ну что ж, ВОДЯЩИЙ, оказывается, знает насекомое на К.
Теперь другой игрок, например ОН, спрашивает ВОДЯЩЕГО: -
А это не из посуды? - ВОДЯЩИЙ может ответить: Нет, это не
кружка. - Или: Нет, это не кастрюля. - Или: Нет, это не
кувшин. - Или: Нет, это не кофейник. - Или: Нет, это не
котелок.
Но, предположим, ВОДЯЩИЙ не дал ни одного из этих
ответов, а задумался. Когда водишь, иногда трудно быстро
подобрать нужное слово. Тогда думают все: что же из посуды
начинается на К? Вот ТЫ сообразил и тут же говоришь:
«Контакт!» Оказывается, и ОНА сообразила и тоже крикнула:
«Контакт!» (ОН не кричит - ОН заранее знал предмет посуды на
К; иначе не имел бы права задавать вопрос про посуду).
ВОДЯЩИЙ громко считает: «Три - четыре!» И все одновременно
выкрикивают каждый свое слово:
ТЫ: Кастрюля!
ОН: Кофейник!
ОНА: Кружка!
Все слова оказались разными. Значит, пока ничего не
получилось: контакт не состоялся - и надо задавать новый вопрос
ВОДЯЩЕМУ.
Но, предположим, игроки выкрикнули так:
ТЫ: Кастрюля!
ОН: Кофейник!
ОНА: Кастрюля!
(Одновременно)

1 (Одновременно)
^Глава вторая 77
Если хотя бы двое выкрикнули одно и то же слово, то контакт
состоялся, и теперь ВОДЯЩИЙ должен сообщить следующую
букву в загаданном слове.
ВОДЯЩИЙ: [КО... |
ТЫ: А это не то, что от колеса?
ВОДЯЩИЙ: Нет, это не колея.
ОН: Это не съедобный вид транспорта?
ВОДЯЩИЙ удивился и задумался.
ТЫ (сообразив): Контакт!
Все думают. Пауза.
ВОДЯЩИЙ: Три - четыре!
ТЫ: Конь!
ОН: Кобыла!
Жаль, не совпало. Нет контакта. Надо снова спрашивать
ВОДЯЩЕГО про это самое «КО».
ОНА: А это не часть растения?
ВОДЯЩИЙ опять задумался.
ОН: Контакт!
ТЫ: Контакт!
ВОДЯЩИЙ: Три - четыре!
ТЫ: Корень! >>
ОН: Колос! I (Одновременно)
ОНА: Корень! J
Контакт состоялся, и ВОДЯЩИЙ вынужден назвать еще
одну букву в загаданном им слове; итак, |КОН... |
Внимание! Теперь уже известны целых три буквы в слове -
отгадывать легче. Значит, вопросы должны быть более
трудными, необычными - чтобы ВОДЯЩИЙ не догадался, что ты
имеешь в виду, а остальные (хотя бы некоторые из них)
Догадались.
ТЫ: Это не Африка?
ВОДЯЩИЙ: Нет, это не континент.
ОН: Это не когда «все, крышка, как ни вертись, ничего не
выйдет»?
ВОДЯЩИЙ: Нет, это не конец.
ОНА: Это не что-то очень непохожее?
Тут задумались все. ВОДЯЩИЙ молчит, и никто из игроков
не кричит про контакт. Значит, ОНА должна дать подсказку.
ОНА: Ну, темное и светлое...
ОН: Контакт!
ВОДЯЩИЙ (сообразив): А!! Нет, это не контраст.
ВОДЯЩИЙ вывернулся, и надо задавать новый вопрос про
«КОН».

78
ТЫ: А это не вот это? - И начинаешь дергаться,
гримасничать, изгибать руки шею ( если трудно сказать, разрешается
показывать).
ВОДЯЩИЙ: Нет, это не конвульсия.
ОН: Это не то, под чем ходят?
ВОДЯЩИЙ: Нет, это не конвой.
ОНА: Это не драка?
ВОДЯЩИЙ задумался.
ТЫ: Контакт!
ОН: Контакт!
ВОДЯЩИЙ: Три - четыре!
Все хором: Конфликт!
Блестящий контакт получился! ВОДЯЩЕМУ надо открывать
четвертую букву,
ВОДЯЩИЙ: |КОНТ...|
ТЫ: Это не музыкальный инструмент?
ВОДЯЩИЙ: Нет, это не контрабас.
ОН: Может быть, это нехороший человек?
Всеобщее замешательство. Все молчат. Контактов нет.
ОН (поясняет): Ну, не тот, который пересекает?
ВОДЯЩИЙ молчит.
ОНА: Что пересекает? А! Контакт!
ВОДЯЩИЙ (догадывается): Нет, это не контрабандист.
ТЫ: Это не обводка?
Ну вот и все! ВОДЯЩЕМУ не вывернуться.
ВОДЯЩИЙ: Да, это контур.
Теперь водящим становится другой игрок и он загадывает
новое слово. Только лучше уже не на К, а то надоело.
Наигравшись, можно начать называть разные предметы,
разные понятия одним словом. Вообще-то мы уже давно так
делаем.
Кузнечика, бабочку, жука, стрекозу, муравья, паука,
комара, муху мы называем одним словом - насекомые.
Корень, стебель, цветок, лист - части растения.
Африка, Австралия, Северная Америка, Южная Америка,
Евразия, Антарктида - континенты.
Контрабас, скрипка, гитара, аккордеон, флейта, барабан,
арфа, пианино, саксофон - музыкальные инструменты.
«Конфликт», «конвой», «контраст», «контур», «конверт»,
«концерт», «конец», «конвульсия», «конь», «контора»,
«конфета», «контрабас» - слова на «кон».

Глава вторая
79
Меркнут знаки Зодиака
Над постройками села,
Спит животное Собака,
Дремлет рыба Камбала.
Колотушка тук-тук~тук,
Спит животное Паук,
Спит Корова, Муха спит,
Над землей луна висит...
Над землей большая плошка
Опрокинутой воды.
Спит растение Картошка.
Засыпай скорей и ты!
(Н. Заболоцкий)
«— Так они и жили, — продолжала Соня сонным голосом, зевая и
протирая глаза, — как рыба в киселе. А еще они рисовали... всякую
всячину... все, что начинается на М.
— Почему на М? — спросила Алиса.
— А почему бы и нет? — спросил Мартовский Заяц.
Алиса промолчала.
— Мне бы тоже хотелось порисовать, — сказала она, наконец. — У
колодца.
— Порисовать и уколоться? — переспросил Заяц.
Соня меж тем закрыла
глаза и задремала. Но тут
Болван щи к ее ущипнул,
она взвизгнула и
проснулась.
— ...Начинается на М, —
продолжала она. — Они
рисовали мышеловки,
месяц, математику,
множество... Ты когда-нибудь
видела, как рисуют
множество?
— Множество чего? — спросила Алиса.
— Ничего, — ответила Соня. — Просто множество!»
г» 1772
Л. Кэрролл

8О
В математике набор
предметов или понятий, собранных
по какому-то признаку,
называют словом
«МНОЖЕСТВО», а каждый из этих
предметов - «ЭЛЕМЕНТОМ
МНОЖЕСТВА».
Это \
так проотоП
Кузнечик -
элемент
множества насекомых.
Скрипка
элемент
множества музыкальных
инструментов.
Камбала -
элемент множества
рыб.
Сириус -
элемент множества
звезд.
А как в нашей
обычной,
нематематической речи
называется
множество коров,
пасущихся вместе? -
Правильно, стадо.
Множество
лошадей - табун.
Множество птиц -
стая.
Множество овец -
отара.
Множество цветов в вазе - букет.
Множество игроков - команда.
Чувствуешь, прямо как в «Контакте»?
А мы, играя, и не догадывались, что на самом деле играем в
множества!

Глава вторая 81
Кто-то называет множество (насекомые, музыкальные
инструменты, части растения), а водящий выбирает элемент этого
множества. Или наоборот: ты называешь элемент множества, а
водящий должен отгадать название множества (Африка -
континент).
Поиграем в умственную разминку:
- Является ли элементом стада - Не является,
трава на лугу?
- А Буренка? - Да, является.
- А собака пастуха? - Не является.
- А сам пастух (он всегда при стаде)? - Не является.
- А коровий хвост? - Не является.
- А есть такое множество, - Да. Это - мно-
элементами которого являются жество всего,что
все перечисленные предметы? есть на лугу.
- А сам луг есть элемент последнего - Да.
множества?
Некоторые множества содержат бесконечное количество
элементов. Например, множество всех четных чисел. Или
множество всех нечетных чисел. Или множество всех чисел, которые
делятся на три. Или множество всех чисел, которые делятся на
десять. Или множество всех положительных чисел. Или... или...
или...
Давай напишем несколько первых элементов множества всех
четных чисел: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
Элементы множества можно перенумеровать:
0 - 1-й элемент,
2 - 2-й элемент,
4 - 3-й элемент,
6 - 4-й элемент,
8 - 5-й элемент,
Каждый элемент имеет свой номер!
Можно перенумеровать множество коров на лугу, множество
цветов в вазе, множество всех музыкальных инструментов,
множество людей, живущих на Земле... Множество, элементы
которого можно перенумеровать, называют счетными.
Бывают и несчетные множества. Например, множество всех
точек на отрезке.
6*

82
Вопросы и задания:
© Назови множества, элементами которых могут быть
перечисленные ниже предметы: роза, липа, енот, груша, мячик, кастрюля,
корова, брюки, стол, карандаш, морковь, трамвай, Юпитер, Волга,
одеяло.
© Элементом каких множеств может быть, например, кислород? А
солдат? А ты?
©Разбей перечисленные множества на отдельные элементы: цветы,
деревья, овощи, фрукты, ягоды. Как ты думаешь, элементами какого
множества являются все цветы, деревья, овощи, фрукты, ягоды?
© Объедини перечисленные ниже предметы в несколько множеств:
кукла, карандаш, тетрадь, зубная щетка, мыло, мячик, тапочки,
трусы, линейка, плюшевый медвежонок, мороженное, конфета,
часы, чашка, колбаса, погремушка, рубашка, кубики, бутерброд,
ложка, нож, пирожное, помидор, шляпа, кепка, огурец, яблоко,
пенал, персик, дудочка, учебник, циркуль, перец, платье, санки,
лыжи, коньки, свекла, груша, томатный сок, очки, полотенце, ситро,
чайник, сахар, чай.
Проведи с друзьями соревнование: кто выделит больше множеств?
Имей в виду, что множества могут быть самыми разными. Например:
множество предметов, названия которых употребляются только во
множественном числе (трусы, часы, санки, очки), множество жидких
предметов (томатный сок, ситро, чай), множество предметов,
необходимых для того, чтобы устроить чаепитие (конфета, чашка, ложка,
пирожное, чайник, сахар, чай).
© Нарисуй какое-нибудь множество. Хорошо было бы, чтобы это
оказалось необычное множество.
©Может ли множество с конечным числом элементов быть не
четным?
Ниже приведены несколько множеств с бесконечным числом
элементов:
- множество всех отрезков длиной от 5 до 10 см,
- множество всех целых чисел, которые делятся на 7,
- множество всех точек на окружности,
- множество всех точек внутри круга.
Какие из этих множеств являются счетными, а какие несчетными?

Глава вторая 83
2.2 Множества событий - Однозначные и
неоднозначные исходы - Равновероятность
...Эта такая штука, которую Вы
спокойно можете объяснять два раза, не
опасаясь, что кто-нибудь поймет, о чем
Вы говорите.
Из рассуждений Винни-Пуха
Элементами множеств могут быть не только предметы.
Элементами множеств могут быть, например, признаки.
Пример - множество признаков огурца: зеленый, твердый,
продолговатый, часто с пупырышками, его
можно засолить, хрустящий (когда его едят).
Еще один пример - множество признаков заболевания:
повышение температуры тела, отсутствие аппетита,
появление красноты на коже, тошнота.
Элементами множеств могут быть также события.
Пример - множество событий, которые могут последовать за
бросанием на пол фарфоровой
чашки (хотя, конечно, лучше
ее не бросать):
- чашка осталась невредимой,
- у чашки откололась ручка,
- чашка всего лишь треснула,
- чашка разбилась на
несколько осколков.
Мы видим, что это множество
событий состоит из четырех
элементов
Винни-Пух: Я думаю, что за бросанием на пол фарфоровой чашки
может последовать наказание.
Автор: Это событие, Винни, не имеет никакого отношения к чашке.
Поэтому оно не входит в рассматриваемое нами
множество событий.
Винни-Пух: Тем лучше. Мне кажется (если я не ошибаюсь, конечно)
что заболевание — это тоже множество событий.
Автор: Поясни свою мысль.
Винни-Пух: Думаю, это правильная мысль. Я заболел — и вот,
пожалуйста: поднялась температура, пропал аппетит
(сомнительно!), покраснела кожа, тошнит (жаль!).

84
сии
Автор: Нет, дорогой Винни, ты неправ. Когда мы говорим о множестве
событий, то полагаем, что один элемент множества
исключает другой.
Винни-Пух: Куда исключает?
Автор: Чашка не может одновременно и разбиться, и остаться
невредимой. А тут все сразу: и температура, и аппетит, и
краснота, и тошнота.
Но пойдем дальше.
Если множество событий имеет не менее двух элементов, то
говорят о неоднозначном исходе.
Если множество событий состоит из одного единственного
элемента, то говорят об однозначном исходе.
Множество событий, связанное с бросанием чашки
на пол, имеет четыре элемента. Значит, исход
бросания чашки на пол неоднозначен. А поэтому мы не
можем точно предсказать, что именно произойдет с
чашкой.
А если чашку швырнуть на асфальт с пятого этажа?
Очевидно, что множество событий, связанное с
таким жестом, имеет единственный элемент: чашка
разбивается на осколки. Исход однозначен, и может
быть уверенно предсказан.
Множество событий, являющихся результатом
подбрасывания игрального кубика, имеет шесть элементов:
- выпала единица,
- выпала двойка,
- выпала тройка,
- выпала четверка,
- выпала пятерка,
- выпала шестерка.
Множество событий, являющихся результатом вытягивания
наугад карты из колоды, имеет 36 элементов (в колоде было 36
карт). Множество событий в известной игре «Морской бой», где
есть корабли двух типов (большие и малые), имеет 3 элемента:
- попал в большой корабль,
- попал в малый корабль,
- никуда не попал (промазал).
Футбольный мяч в игре! Каково множество событий в некий
момент времени? Первое событие: мяч оказался у первого
игрока. Второе событие: мяч у второго игрока. И так далее, если

__ Глава вторая 85
учесть, что всего на поле 22 игрока. Плюс еще одно событие: мяч
в рассматриваемый момент времени ни у кого (он у судьи или вне
игры). Значит, данное множество событий состоит из 23
элементов.
Винни-Пух: Множество событий, являющихся результатом того, что
я брошу в речку горшок с медом, состоит из одного элемента
— мой горшок утонет! Это совершенно неинтересно. Поэтому
я ни за что не буду бросать в речку горшок с медом. А лучше
я его съем. Думаю, это тоже однозначный исход.
Кролик: И когда ты, Винни-Пух, объелся у меня в гостях и ужасно
растолстел, я твердо знал, что ты застрянешь в выходе из
моего дома. Это тоже был однозначный исход. Так оно и
случилось!
Винни-Пух: Просто выход был очень узкий...
Когда исход однозначен, все ясно. Тут и говорить-то не о чем.
А если исход неоднозначен? Можно ли тогда предсказать
результат? Можно ли предсказать, какой элемент из множества
событий реализуется в том или ином конкретном случае?
Вот, что думают на этот счет ослик Иа-Иа и умный Кролик.
Кролик: Послушай, Иа-Иа! Вот я бросаю кубик. Кубик симметричен.
Ты понимаешь, что такое симметричен?
Иа-Иа: Не очень. Но я догадываюсь. Это когда кубику все равно, как
упасть — можно единицей кверху, а можно тройкой, а можно
шестеркой... Да и кого это интересует?
Кролик: Вот-вот! Именно: все равно! А по-научному это означает:
равновероятно!
Иа-Иа (вздыхая): Ну и что же? Ну, равновероятно. Ну, равновозмож-
но. Ну, равноприятно. Все равно предсказать ничего
нельзя...

86
Кролик: Как нельзя?! Как нельзя?! Вот я говорю: равновероятно!
Разве это не предсказание?
Иа-Иа (ворчит себе под нос): Равновероятно — неравновероятно...
Кролик: И когда вытягиваем карту из колоды, любой элемент
множества равновероятен. А вот когда играем в «Морской
бой», это уже не скажешь. Я уже не могу сказать, что
равновероятно попасть в большой корабль или в один из
малых кораблей, или вообще никуда не попасть.
Иа-Иа: Попасть в большой корабль, конечно, легче. Но зато малых
кораблей больше... А в общем, все равно...
Кролик: Вот и я говорю: тут нужна математика!
Иа-Иа: Я так и полагал. Мне тоже нужна была математика, чтобы
предсказать, куда мог подеваться мой хвост. Хорошо, что
Сова не знала математики. А то она бы его упрятала
подальше, и медвежонок Винни-Пух никогда не нашел бы
его...
Вопросы и задания:
ф Укажи элементы множества признаков помидора. Укажи
элементы множества признаков хорошего человека (как ты его понимаешь).
Попроси приятеля сделать то же самое. Интересно сравнить
получившиеся два множества.
(2) Равновероятны или
неравновероятны:
- выпадение орла или решки при
подбрасывании монеты?
- случайная потеря на улице
носка или перчатки?
- выигрыш или проигрыш при
игре в шахматы?
- попадание мячом в стену дома
или в окно?
- выпадание на игральном кубике четного или нечетного числа
очков?
- открывание спичечного коробка со стороны серы или с обратной
стороны?
- падение бутерброда на пол маслом вниз или маслом вверх?
- падение шарика со штырька вправо или влево (при условии что
шарик находился на штырьке точно посредине)?
Отвечая на эти вопросы, не забудь проследить за наличием или,
напротив, отсутствием симметрии. О какой симметрии можно
говорить в каждом конкретном примере?

Глава вторая
87
©Относительно следующих множеств событий надо указать
сколько в множестве элементов (несколько элементов перечислить),
равновероятны ли эти элементы? Итак,
- обнаружение мухи в той или иной точке комнаты;
- обнаружение секундной стрелки на том или ином делении (стрелка
движется рывками - по секунде каждый шаг);
- выпадание той или иной грани тетраэдра;
- выпадание той или иной грани октаэдра;
- выпадание той или иной грани икосаэдра;
- выпадание той или иной грани додекаэдра.
тетраэдр
октаэдр
икосаэдр
додекаэдр
2.3 Перестановки
— Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка.
— Погодите!
Как музыке идти? Ведь вы не так сидите!
Ты с басом, Мишенька, садись против альта,
Я, прима, сяду против вторы;
Тогда пойдет уж музыка не та:
У нас запляшут лес и горы!
И. Крылов
Запасемся шариками с написанными на них числами: 1,2,3...
Такие шарики используются в спорт-лото.
Пусть у тебя всего два шарика: 1 и 2. Положи их в какую-
нибудь коробку. Хорошо. А теперь вынимай их из коробки - по
одному (сначала один шарик, а потом другой). Сколько у тебя
есть способов вынуть шарики? - Правильно, два способа:
- сначала вынимается шарик 1, а затем шарик 2;
- сначала вынимается шарик 2, а затем шарик 1.

88
Таким образом, или 1 2, или 2 1.
Теперь пусть в коробке находятся три шарика: 1, 2, 3.
Нетрудно сообразить, что есть целых шесть способов (шесть
вариантов) вынуть эти шарики:
первый:
второй:
третий:
четвертый:
пятый:
шестой:
1
1
2
2
3
3
2
3
1
3
1
2
3
2
3
1
2
1
А
О
а
Возьмем коробку с тремя отделениями. В каждом отделении
помещается один шарик. Есть шесть способов поместить три
шарика в эти три отделения. Их легко продемонстрировать,
перекладывая шарики, меняя их друг с другом местами.
Вместо трех шариков можно взять три тела: шар, кубик,
пирамидку.
Число способов, которыми можно
переставить три предмета по трем
местам, называют числом
перестановок из трех и обозначают так:
Пз

Глава вторая
89
Ты уже знаешь: Пз = 6.
Более того, ты уже знаешь: Пг = 2.
Наверное, ты догадываешься, что III = 1.
А если По? Если нет ни коробки, ни шарика? Тут один
вариант: на нет и суда нет! Очевидно, что По = 1.
А теперь будем искать число
перестановок из четырех: П.4.
Для этого построим «дерево». Берем
^ервый] шарик. Его можно положить в
четыре отделения коробки четырьмя
способами - положив в первое отделение,
или во второе, или в третье, или в
четвертое. Наше «дерево»
разветвляется на 4 ветки.
Возьмем) второй|шарик. При
каждом положении первого
шарика этот второй шарик можно
разместить по остальным трем
отделениям тремя способами.
Поэтому каждая из четырех
веток нашего дерева
разветвляется еще на 3 ветки.
ф
ф
ф
ф
Возьмем| третий] шарик.
При каждом положении в
коробке первых двух шариков
этот третий шарик можно
разместить по
оставшимся двум
отделениям двумя
способами. Поэтому
каждая из двенадцати
веток нашего дере-

90
ва разветвляется еще на 2 ветки.
Когда три шарика уложены, для|четвертого| выбора не
остается - он попадет всякий раз в оставшееся пустым отделение.
Поэтому больше разветвлений нет.
Сколько же всего способов получилось? Сначала четыре
размножились втрое, потом еще вдвое. Таким образом,
EU = 4 X 3 X 2 = 24.
Допишем здесь для красоты единицу; получаем:
EU = 4 X 3 X 2 X 1 = 4! = 24.
Здесь нет никакого восклицания. Значок ! называют так:
«факториал».
Факториал любого целого числа получается умножением
этого числа на все целые числа меньше его:
2! = 2 X 1 = 2,
3! = 3X2X1=6,
4! = 4 X 3 X 2 X 1 = 24,
4Г = 5X4X3X2X1 = 120.
И смотри, что интересно! (А это уже восклицание, а не
факториал):
5! = 5X4X3X2X1 = 5X4! = 5Х 24 =120
или
4! = 4X3X2X1 = 4X3! = 4X6 = 24
I—3!—I
В общем виде:
n! = n X (п - 1)!
n! = n X (п - 1) X (п - 2)!
n! = n X (п - 1) X (п - 2) X (п - 3)!
n! = n X (п - 1) X (п - 2) X ... X 3 X 2 X 1.
Но вернемся к перестановкам.
Возможно, ты уже догадываешься, что
Так оно и есть. Однако, догадки догадками, но лучше все это
обосновать построже. Будем рассуждать следующим образом.
У нас есть п шариков и п отделений в коробке (число п - любое
целое положительное число). Первый шарик мы размещаем п
способами. Тогда второй шарик можно разместить всякий раз
(п— 1) способами. Значит, первые два шарика можно разместить

__ Глава втоуая 91
п X (п - 1) способами. Для размещений третьего шарика
остаются всякий раз (п — 2) способов. Значит, для первых трех
шариков существуют п X (п — 1) X (п — 2) способов размещения.
Чувствуешь! Уже получается то, что нужно! И вот так добавляем
по шарику и постепенно число остающихся свободных мест
уменьшается, так что для последнего (n-го) шарика остается
всякий раз только одно возможное место. А в результате мы
приходим именно к тому, к чему и шли:
Пи = п X (п - 1) X (п - 2) X ... X 3 X 2Х 1 = п!
Кажется, мы неплохо поработали!
Можно теперь и поиграть.
Игра: ЗООПАРК, или ПЕРЕСАЖИВАНИЯ.
Объяснение игры. Играют, как минимум, пять человек. Но
лучше побольше игроков. Каждый
выбирает, каким животным он будет. По кругу
ставим стулья - по числу играющих. Все
садятся на стулья. Водящий стоит в центре
и по этому один стул свободен. Все
называют себя и стараются запомнить, кто есть
кто.
Игрок, у которого справа оказался
свободный стул, должен побыстрее хлопнуть по
нему рукой и назвать какое-нибудь из
участвующих в игре животных. Названное
животное пересаживается на этот стул. Тем
самым освобождается другой стул, и другой
игрок вступает в игру. Если игрок, стукнув
по свободному стулу, задумался или назвал
животное, какого здесь нет, то стул
занимает водящий, а водящим становится
незадачливый игрок.
Если после игры в ЗООПАРК, стулья уцелели (шутка!), то
можно сыграть в более творческую игру.
Игра: ВОЛШЕБНОЕ СЛОВО.
Объяснение: стулья снова ставят по кругу, но спинками внутрь.
Стульев на один меньше, чем игроков. Выбирается
некое «волшебное» слово («Бум» или «Ах», или

92
«Раз», или «Вдруг»). Затем каждый из сидящих на
стульях говорит водящему тихонько на ухо одно
слово. Водящий начинает ходить по кругу и
рассказывать сказку, которую сочиняет сходу. Он
должен произнести все слова, какие ему были
сказаны на ухо. Игрок, услышавший свое слово,
встает и начинает ходить за водящим. Так они
ходят «паровозиком» вокруг стульев, пока все
стулья не опустеют. Водящий продолжает
рассказывать сказку и ненароком произносит волшебное
слово. И тут же все должны (включая и водящего)
быстро сесть на любой свободный стул. Тот, кому
стула не хватит, становится водящим.
Вопросы и задания:
® Не поленись подсчитать 6!, 7!, 8!. А может быть, осилишь 10!?
©Ты не знаешь, сколько у паука ножек? Их у него восемь. Это важно
знать, так как иначе ты не сможешь подсчитать, сколькими
способами можно обуть паука.
® Сколько цветков разной раскраски
можно сложить из семи разноцветных
шестиугольников?
Сколько цветков разной раскраски
можно сложить из одинаковых
разноцветных ромбиков - лепестков?
Нарисуй и раскрась все эти чудо - цветки.
© Найди самостоятельно Пз и П5 с помощью факториала и с
помощью дерева; сравни результаты.
Небольшое замечание. Есть один вопрос, вроде бы тонкий, а в
общем-то и не очень важный. Речь идет о
том, что По = 1. И вот, спрашивается: как
же быть с формулой Пп = п!? Получается,
что О! = 1.
Ну и пусть себе получается. Ничто не мешает нам просто
договориться, что О! = 1.

Глава вторая
93
2.4 Сочетания
Опять ничего не могу я понять,
Опилки мои в беспорядке.
Везде и повсюду, опять и опять
Меня окружают загадки.
Беспокойство Винни-Пуха
Теперь рассмотрим случай, когда шариков меньше, чем
отделений в коробке. Причем теперь шарики не надо
нумеровать. Если два шарика поменять местами, то ничего не
изменится - никто не заметит. Нас теперь не интересует, какой именно
шарик оказался в том или ином отделении в коробке. Нам важно
только одно: есть там шарик или же его там нет.
Будем считать варианты (способы) размещения, например,
двух шариков по четырем
отделениям. Нетрудно сообразить, что
имеется 6 таких способов.
Это обозначают так:
\ число шариков
число отделений
Выражения С4 называется так:
ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ ИЗ
ЧЕТЫРЕХ ПО ДВА.
Давай найдем Сз - число
сочетаний из трех по
одному, или, иными
i
словами, найдем, сколькими способами можно |
разместить один шарик по трем отделениям. Пра-
вильно, тремя способами. Тут и думать-то не о i j
чем. Все и так понятно. Итак, Сз = 3. I 1
А чему равны С4, Сб, Сб и т.д.? Ясно, что если
У тебя всего один шарик, то существует ровно столько способов
размещения его по отделениям коробки, сколько есть этих
отделений. Иначе говоря,
С1 = 4, Сб = 5, Сб = 6, Ст = 7, ...
В общем виде:
ci
п

94
А чему равны Сз, С4, Сб и т.д.? И тут все ясно: если у тебя
столько шариков, сколько отделений в коробке, то есть,
очевидно, один единственный способ размещения шариков - когда в
каждом отделении по шарику. Иначе говоря,
Се = ... = 1.
ci-cl-
В общем виде:
А теперь внимательно рассмотри такую запись - картинку:
о
1
OI
0
0
1
1
01 1
1 101
Попробуй сообразить, какая формула (в общем виде) здесь
просматривается.
Правильно, вот такая:
(*)
Пойдем дальше.
Очевидно, что Сп = 1 (если шариков вообще нет, то имеется
единственный вариант - все отделения коробки пустые).
Учитывая, что п - п = О и что Lm = 1, можем записать:
Сп
п =

Глава вторая
95
Сравни эту формулу с формулой (*). Они чем-то похожие.
Только там, где в одной формуле стоит 1, в другой формуле стоит
п. А может быть, там может стоять любое число m (m^ n)? Наша
гипотеза выглядит так:
V/n = КуП
101O1OI 1 I
1Q1 JQI(5l I
E2L
ioi
TOTOI
ГО1ОГ Ю1 1
IOIOI I Ol
1 IO
IOIOI
_J
IOI
1 IOIOI 1
1
IOI
Ol IOI
OIOI 1
10
Е2Г
I Ю1 IQIOJ IOI IOI I ]
io
I I IQIOIQ
ioi
ЮГО
В правильности этой формулы убеждают следующие
нехитрые рассуждения. Если есть, например, 5 отделений и 3 шарика,
то остается 2 пустых места. Ясно, что размещать 3 шарика - это
все равно, размещать 2 пустых места! Посмотри: правый
рисунок получается из левого, если в левом заменить везде пустые
места на шарики.
И наоборот: левый рисунок получается из правого, если в
правом заменить везде пустые места на шарики. Понимаешь?
Три шарика и два пустых места - это все равно, что три пустых
места и два шарика. Или (в общем виде) m шариков и (п - т)
пустых мест — это все равно, что m пустых мест и (n - m)
шариков.
Прекрасно! Опять симметрия!
Попробуем эту симметрию изобразить таким «рисунком»:
7-1772

96
Полюбуйся: перед тобой знаменитый ТРЕУГОЛЬНИК
ПАСКАЛЯ!
D-DI
А это тот же
самый треугольник в
числах.
Кристофер Робин: Пух! Тебе нравится этот треугольник?
Винни-Пух: Конечно, нравится. Он такой красивый. Он такой... Как
это называется... Он такой симметричный...

Глава вторая
97
Робин: Ты, наверное, обратил внимание на то, что левая половина
треугольника — это зеркальное отражение правой?
Пух: Обратил... Это нельзя не обратить...
Робин: И все потому, что есть формула
Cm f^n-m
n = V>n.
Пух (вздохнув): Я так и думал.
Робин: А что еще ты заметил, Пух?
Пух: Ну, многое...
Вот, например, все
сочетания по горизонтальной
строчке имеют одно и то
же п. Потом вот по
краям треугольника стоят
единицы. Это тоже
красиво.
Робин: Единицы
потому, что
СО рп
и = V>n = 1.
Пух: 3TYbl BCe B
школе узнал?
Робин: Конечно.
Пух: Очень хочется
узнать, что будет
дальше, за точками.
Робин: За какими
точками, Пух?
Пух: Ну вот там, внизу треугольника очень много точек. А что за
ними?
Робин: А ты подумай, Пух! Ведь ты такой наблюдательный!
Помнишь, как ты пел?
Возьмем это самое слово «опять».
Зачем мы его произносим,
Когда мы свободно мЬгли бы сказать
«Ошесть», и «осемь», и «овосемь»?
Пух (подпевает): Молчит «этажерка», молчит и «тахта» —
У них не добьешься ответа,
Зачем это «хта» — обязательно «та»,
А «жерка», как правило, «эта»?
Робин: Вот видишь, Пух, как хорошо ты все подмечаешь?

98
Пух: Вот я сейчас применю Метод внимательного всматривания...
Вот я очень внимательно всматриваюсь в треугольник с числами. Ага!
Все в порядке! Получилось!
Робин: И что же получилось, Пух?
Пух: Каждое число в треугольнике можно получить, если сложить
вместе два числа, которые стоят над этим числом. Вот, посмотри: я
беру число 5 из нижней строчки. Над ним стоят числа 1 и 4. И как раз
получается: 14-4 = 5. Или вот я беру число 10. Над ним стоят числа
4 и 6. И как раз получается: 4 + 6 = 10.
Робин: Значит, ты можешь сам дописать новые строчки в
треугольнике.
Пух (обрадованно): Могу! У тебя есть листок бумаги и карандаш?
И Винни-Пух славно поработал. Вот его работа:
35
is С I
а 58
s
в 36
Э6 9
Пух: Вот!
Робин: Пух! Ты, оказывается, замечательно складываешь такие
большие числа! Как ты научился?
Пух: Ну, я же очень люблю разглядывать твои учебники... Только
сейчас я так устал. Наверное, пора подкрепиться...
Робин: Скоро подкрепимся, немножко потерпи. Надо записать в
общем виде правило, которое ты сейчас открыл. Вот оно:
m-1
Ld-1.
Тебе понятно?
Пух (зевая): Не очень. Я потом постараюсь в него внимательно
всмотреться...
Робин: Это все просто! Пусть у тебя m шариков и п отделений в
коробке. Ты начинаешь раскладывать шарики. Вот ты берешь первый
шарик и кладешь его в первое отделение. Оставшиеся (т - 1) шариков
можно распределить по оставшимся (п - 1) отделениям, а для этого
есть, как мы знаем,
Сй-1 способов.
Но ты, конечно, мог и не класть шарика в первое отделение, а
оставить его пустым. Тогда у тебя останутся все m шариков и (п - 1)
отделений, а значит, для распределения шариков у тебя будут

Глава вторая
99
im-1
Сп-1 способов.
Вот и получилось: Сп = Сп-1 + Сп-1.
И Кристофер Робин бережно накрыл курткой сладко спящего
медвежонка.
7
о
о
о
п
о
о
о
о
о
ого
о
о
Вопросы и задания;
ф Пользуясь треугольником Паскаля, найди, чему равны Cs, Cs,
C?C73Cs4C94
Винни-Пух дописал 7-й, 8-й, 9-й и 10-й ряды треугольника. А ты
допиши 11-й и 12-й ряды. Чем ты хуже медвежонка с опилками в
голове?
©В экспедицию отправились Винни-Пух, Сова, крошка Ру, Кролик
и три родственника Кролика. В честь этого Винни-Пух сочинил
песенку:
Все вышли в ИСКПЕДИЦИЮ
(Считая и меня).
Сова, и Ру, и Кролик,
И вся его родня!
Вся наша ИСКПЕДИЦИЯ
Весь день бродила по лесу.
Искала ИСКПЕДИЦИЯ
Везде дорогу к Полюсу.
И каждый в ИСКПЕДИЦИИ
Ужасно был бы рад
Узнать, что значит Полюс
И с чем его едят!
Полюса так и не нашли. Зато нашли 5
отличных крупных (не червивых) белых грибов.
Их надо разыграть, - сказал Пух. - Так будет
интереснее!
Как это? - поинтересовалась Сова. - И зачем?
Надо дать по грибу мне, Пуху, Кролику и Ру.
А три родственника Кролика пусть делят
между собой пятый гриб. Их ворбще i
1DO П /
IOIOIOI I
О
о
О
о
тога
ото
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
DJ
) никто не
звал.
- Нет, - сказал Пух. - Здесь все равны. Вот
я беру мешочек и кладу в него 7 одинаковых
по размеру и форме камешка - 5 белых и 2

100
черных. Каждый из нас поочереди вынимает наугад камешек из
мешочка. Кому достанется белый камешек, получит гриб.
- А каковы ваши шансы? - спросила Сова.
- Для этого надо прежде всего подсчитать, сколько всего есть
способов распределить 5 грибов среди 7 участников экспедиции, -
заявил Кролик, поправляя очки.
«Зачем? - подумал Пух. - И так ясно, что вынуть гриб - пять шансов
из семи». Но спорить с Кроликом не решился.
И вот первое задание: сделай то, что предложил Кролик.
©Умный Кролик сговорился с Пухом, что если кто-то из них
вытащит гриб, то поделится с другим половинкой. «Лучше
половинка, чем ничего», - заметил Кролик.
Итак, подсчитай шансы:
- Пуху и Кролику получить хотя бы половину гриба
(ответ: 20 шансов из 21),
- Пуху и Кролику каждому выиграть по грибу
(ответ: 10 шансов из 21),
- Пуху, Кролику и Сове - всем трем сразу выиграть по грибу
(ответ: б шансов из 21),
- выиграть гриб любому участнику экспедиции независимо от
остальных
(ответ: 15 шансов из 21. Это одно и то же, что 5 шансов из 7 - прав
был Винни-Пух),
- ни Пуху, ни Кролику ничего не получить
(ответ: 1 шанс из 21).
2.5 Доска Гальтона и монетка
Сколько ни старался Незнайка, ему никак
не удавалось совершить не только трех, но
даже двух хороших поступков подряд.
Если ему удалось сделать что-нибудь
хорошее, то сейчас же вслед за этим он
делал что-нибудь скверное, а иной раз из
хорошего поступка уже в самом начале
выходила какая-нибудь чепуха...
Злоключения Незнайки
И вот однажды Незнайка взял да сделал удивительную доску.
Точнее говоря, это была даже не доска, а плоская коробка с
прозрачной крышкой. На дне коробки натыканы в строгом порядке

Глава вторая
101
штырьки-цилиндрики (Незнайка использовал для этого карандаши).
— Ну, и зачем все это? — спросил Знайка.
— Не знаю, — отмахнулся от него Незнайка. И тут он поставил свою
непонятную
доску-коробку в
наклонном
положении и пустил туда
сверху шарик.
Шарик ударился о
первый, самый
верхний штырек,
отскочил влево,
потом ударился о
другой штырек и
тоже отскочил
влево. А вот от
следующего
штырька он
отскочил вправо. Вот
так от штырька к
штырьку — и
шарик оказался в
ловушке,
обозначенной буквой В.
— Ну, и что
дальше? — опять
спросил Знайка.
— Можно
пустить еще один
шарик.
— И он снова
попадет в ловушку В?
— Не знаю.
— А не знаешь, зачем было зря время тратить? Всегда ты, Незнайка,
глупостями занимаешься.
Знайка был неправ - никакие это не глупости, а доска
Гальтона. Удивительное устройство. Здесь важно, чтобы шарик
всякий раз падал точно на серединку штырька. Это для того,
чтобы у него были одинаковые шансы отскочить влево или вправо.
Чтобы шарику попасть на крайний правый штырек в шестом
ряду, ему надо испытать 5 соударений:
ВПРАВО-ВПРАВО-ВПРАВО-ВПРАВО-ВПРАВО
(Будем для краткости записывать так: П П П П П)

1O2
еш
Это единственный путь, приводящий к данному штырьку.
Чтобы попасть на второй слева штырек в пятом ряду, шарик
должен испытать 4 соударения. При этом возможны 4 пути
шарика к данному штырьку:
ВЛЕВО-ВЛЕВО-ВЛЕВО-ВПРАВО - Л Л Л П
ВЛЕВО-ВЛЕВО-ВПРАВО-ВЛЕВО - Л Л П Л
ВЛЕВО-ВПРАВО-ВЛЕВО-ВЛЕВО - Л П Л Л
ВПРАВО-ВЛЕВО-ВЛЕВО-ВЛЕВО - П Л Л Л
Чтобы попасть на средний штырек в пятом ряду, шарик
должен испытать 4 соударения. При этом возможны 6 путей
(способов) попадания шарика на данный штырек:
ВЛЕВО-ВЛЕВО-ВПРАВО-ВПРАВО - Л Л П П
ВЛЕВО-ВПРАВО-ВПРАВО-ВЛЕВО - Л П П Л
ВПРАВО-ВПРАВО-ВЛЕВО-ВЛЕВО - П П Л Л
ВЛЕВО-ВПРАВО-ВЛЕВО-ВПРАВО - Л П Л П
ВПРАВО-ВЛЕВО-ВЛЕВО-ВПРАВО - П Л Л П
ВПРАВО-ВЛЕВО-ВПРАВО-ВЛЕВО - П Л П Л
Напишем на каждом штырьке число способов попадания на
него шарика. Посмотри внимательно на получившийся
рисунок. Разве эти числа ничего тебе не напоминают? - Конечно же,
это треугольник Паскаля! Написанные на штырьках числа - это
сочетания!

Глава втоуая 103
Например, число способов, какими шарик может попасть на
третий слева штырек в шестом ряду, есть число сочетаний из
пяти по два: Сб = 10. Вот эти способы (в наших обозначениях,
где Л - влево, а П - вправо):
ПП Л Л Л
П Л П Л Л
П Л Л П Л
П Л Л Л П
Л П Л Л П
л л п л п
Возьми карандаш, нарисуй
доску Гальтона и проверь все эти
способы попадания на третий слева
штырек в шестом ряду.
Л Л Л П П
Л П П Л Л
Л Л ПП Л
Л П Л П Л
Помнишь о размещении шариков по отделениям в коробке?
Сколько есть способов разместить 2 шарика по 5 отделениям?
- Их столько же, сколько есть способов добраться на доске
Гальтона до третьего штырька в шестом ряду. Это число есть Сб.
А теперь порассуждаем, что называется, в общем виде.
Поговорим о штырьке, который занимает (т + 1)-е место в
(п+1)-ом ряду. Нетрудно сообразить, что до него можно
добраться числом способов, равном Сп. В то же время ты понимаешь,
что попасть на этот штырек шарик может либо с находящегося
над ним штырька слева (со штырька, занимающего т-е место в
n-ом ряду), либо с верхнего штырька справа (со штырька,
занимающего (т + 1)-е место в n-ом ряду). Попасть на левый
верхний штырек есть Сп-1 способов, а попасть на правый
верхний штырек - Lm-l способов. Значит,
Ура! Мы получили уже известное соотношение для сочетаний!
Просто удивительно! Совершенно разные вещи описываются
одними и теми же формулами! Вот оно проявление симметрии и
порядка!
Впрочем, порядок порядком, однако исход остается
неоднозначным. Сколько ни наблюдай за шариками, все равно не
сможешь предсказать, куда упадет следующий. Попадание на
тот или иной штырек или в ту или иную ловушку - событие
случайное. Вот шарик попадает на некоторый штырек. Куда он
с него свалится (отскочит) - влево, или вправо? Это предсказать

"IO4 /%fo#&>*6t-*#q&a -fyfo/Mifa&iii, oat
нельзя. У шарика столько же шансов отскочить влево, сколько
и вправо. Эти события равновероятны. Здесь все так же, как с
подбрасыванием монетки - одинаковое количество шансов, что
выпадет решка или орел.
И в самом деле, попробуй-ка подбрасывать монетку. Как ты
думаешь, сколькими способами могут выпасть 2 решки в пяти
бросаниях? Вот они (Р - выпала решка, О - выпал орел):
Р РОО О
РО РО О
Р О О РО
Р О О О Р
ОРООР
00 РО Р
000 Р Р
ОРРОО
Ну конечно, число этих \ О О Р Р О
способов равно С! = 10. А О Р О Р О
На предыдущей странице все это уже было. Только там вместо
Р было П, а вместо О было Л.
Незнайка: А я догадался, почему мы приходим к одному и
тому же. когда шарик стукается о штырек на моей доске —
этим распоряжается Случай. И когда подбрасываешь
монетку — тут тоже командует Случай. А самому шарику все равно,
куда от штырька отскочить — влево или вправо. И монетке
тоже все равно, какой стороной кверху упасть.
Знайка: Просто и то, и другое — пустые занятия. Лучше бы
ты книжку почитал.
Незнайка: Вовсе это не пустые занятия. Представь себе:
вместо того, чтобы несколько раз подбрасывать монетку,
всякий раз наклоняться и поднимать ее с пола, можно дать
шарику пробежаться по моей доске — и тот же результат!
Знайка: Да какой же тут результат? Кому это интересно?
Незнайка: Мне...
7
Вопросы и задания:
ф Сколькими путями (способами) можно попасть на штырек,
занимающий четвертое место в шестом ряду? Попробуй прочертить
все эти пути на рисунке (конечно, не в книге, а на отдельном листке
бумаге).
(2) Сколько путей ведут в ловушку В? в ловушку Г? в ловушку Е?

Глава вторая
105
/
\
/
s
\
•
/
ч
ч^
>^
{
\
\
s
в ловушку Ж? (ответы: 15, 20,
6,1).
© Сколькими способами мож-
но провести ломаную по
диагоналям клеточек - так, чтобы
концы ломаной были на одной
горизонтали?
Найди решение для любого
четного числа п (п - число клеточек по горизонтали). Может ли в
данном случае число п быть нечетным? Для п = 6 и п = 8 нарисуй
в тетради все возможные ломаные.
(4) Найди для нескольких строк (рядов) в треугольнике Паскаля
сумму всех чисел, стоящих в строке. Выпиши их по порядку и найди
закономерность.
2.6 Математические иероглифы
" Что мы знаем о лисе?
я Ничего, и то не все.
Б. Заходер
На днях, не знаю сам зачем,
Зашел я в незнакомый дом,
Мне захотелось Кое с Кем
Потолковать о Том, о Сем.
Я рассказал им, Кто, Когда,
И Почему, и Отчего,
Сказал Откуда и Куда,
И Как, и Где, и для Чего...
Объяснения Винни-Пуха
Вот они эти значки-иероглифы: Е, £, (Z, (£, 0, LJ, О
Они нужны, чтобы не говорить много слов. Ученые - народ
ленивый и все время стараются облегчить себе жизнь. Вместо
того, чтобы говорить «клоп является элементом множества
насекомых», они говорят короче: «клоп принадлежит к насеко-

106
мым», а пишут еще короче: «ыш Е
Тут даже грамматических ошибок не наделаешь. Итак: Е -
принадлежит,
£ - не принадлежит. Тут трудно запутаться.
Какой из этих двух значков ты поставишь в кружочке в
следующих примерах?
Рыба © Множество животных, издающих звуки
• Чернила ® Множество прохладительных напитков
Крот (2) Множество животных с острым зрением
Август ® Множество римских императоров
Миссисипи © Множество североамериканских рек.
Согласись, что значки d и (£ похожи на 6 и IE. Они тоже
означают «принадлежит», только относятся не к отдельному
элементу, а к подмножеству. Что такое подмножество? - Это
элементы множества, выделенные внутри множества по какому-
нибудь признаку.
Так, насекомые являются
подмножеством в множестве животных.
Запись:
летают.
Точно так же: Яасепьлше (£
Потому что есть муравьи, пауки.
Ясно, что
А вот птицы не могут
рассматриваться как
подмножество в множестве
летающих животных: отсиди
6б4пЯ*с%. Потому что есть
страус, есть курица. Птицы, а не
*&п<шш/и%
Найди какое-нибудь
подмножество множества кушаний. -
Это могут быть, например,
мясные блюда. Это могут быть сала-

Глава вторая 107
ты. Это могут быть рыбные блюда.
d
d
Пампукская хрюря
Как-то раз слоненок, удав и мартышка сидели и разговаривали.
Вдруг прилетел попугай и спросил:
— Вы знаете, что такое ку кал яка?
— Нет, не знаем, - ответил слоненок.
— Кукаляка, — важно сказал попугай, — это такой сундучок, в
котором лежит мукука.
— А что такое мукука? — спросила мартышка.
— Мукука — это такая коробочка, в которой лежит бисяка, —
ответил попугай.
— А бисяка что такое? — удивился удав.
— Бисяка — это ящичек, в котором лежит хрюря, — сказал
попугай. Подумал и добавил: Пампукская хрюря.
— Что это за пампукская хрюря? — возмутился удав. — Никаких
пампукских хрюрей я никогда не видел!
— Пампукская хрюря — это такой пакетик, в котором лежит
мамурик.
— Понятно, — сказал слоненок. — Мамурик это, наверное, тоже
какой-нибудь ящичек, в котором лежит еще что-то. Ну, а все-
таки, что же там в самой середке этих ящичков, коробок и
пакетиков? Скажи, пожалуйста, попугай.
— А разве это важно? — ответил попугай и улетел.
(Г. Остер)
Это можно кратко записать так:
мамурики d пампукские хрюри d бисяки d мукуки d
кукаляки
«Записать-то можно, — заметил слоненок. — А надо ли? Была
интересная беседа. А что от нее теперь осталось?» Мартышка
и удав согласились со слоненком. Только попугай ничего не
сказал — ведь он улетел.
Но пойдем дальше.
Ты уже знаешь, что, если зачеркнуто, то значит «нет».
Значок 0 означает пустое множество. Это есть множество, у
которого нет ни одного элемента. А разве мы встречаемся с

108
такими множествами?
Как тебе сказать? Их вроде бы и нет, но в то же время их
сколько угодно. Вот они:
- множество невесомых предметов в классе,
- множество чисел, которые делятся одновременно на 7 и 2,
- множество шипящих букв в слове «контакт»,
- множество людей с семью пальцами на руке,
- множество живых людей без головы,
- множество русалок в нашем пруду,
- множество треугольников, у которых все углы тупые...
...Взгляни-ка на дорогу! Кого ты там видишь?
— Никого, — сказала Алиса.
— Мне бы такое зрение! — заметил Король с завистью. — Увидеть
Никого! Да еще на таком расстоянии! Я против солнца и
настоящих-то людей с трудом различаю!
(Л. Кэрролл)
Значок LJ означает объединение; он чем-то похож по смыслу
на знак +. Запомнить легко - это как корзинка, в которую все
покидали.
числа LJ 0*¥еъе*к1ше числа, = See целъе числа,
Игра: РОЖИЦЫ.
Объяснение. Рисуем много разных пар глаз: прищуренных, на
выкате, раскосых, смеющихся и т.д.. Вырезаем их.
Затем рисуем много разных носов, сооразмерных с
глазами: курносых, орлиных, кривых, картошкой
и т.д. Затем рисуем много разных ртов, разных
овалов лица - с разными щеками, подбородками,
лбами и, наконец, разных причесок. Все это
вырезаем и начинаем игру - начинаем объединять
множества, составлять самые разнообразные
рожицы.
Наиболее интересные рожицы можно записать,
для чего надо пронумеровать все глаза, носы, рты,
овалы лица, прически. Интересная рожица может
быть увековечена такой, например, записью:

Глава вторая.
1O9
Гл2 U H4 U PI U Ол7 U Пр4 = Рожица
//II \
глаза нос рот овал лица прическа
Значок О обозначает общую часть или, иными словами,
пересечение множеств.
Например, множества А и В
пересекаются; их
пересечением является множество С:
А П В = С.
Пересечения множеств нам уже
встречались. Пересекались множества насекомых и летающих
животных, множества птиц и летающих животных, множества
мясных блюд и салатов, множества рыбных блюд и салатов. А
вот множества птиц и насекомых не пересекаются. Можно
сказать, что их пересечением является пустое множество.
Вопросы и задания;
(Т) Предложи побольше подмножеств множества кушаний. Есть ли у
них пересечения? Пустых подмножеств не предлагать.
(5) Проведи с друзьями состязание: кто предложит больше пустых
множеств?
Q) На какие подмножества можно разбить множество чисел от нуля
до 10?
(D На какие подмножества ты сможешь разбить множества
известных тебе веществ?
(D На рисунке изображено множество различных фигур. Разбей это
множество на ряд подмножеств.
) Назови элементы пересечения в следующих множеств:
- хищники и растения,

110
полководцы и женщины,
животные, имеющие королей, и насекомые,
морские животные и млекопитающие.
2.7 События невозможные, достоверные и
другие
" Не бывать калине малиною.
■ Не бывать плешивому кудрявым.
ш Не бывать сосновой шишке на рябине.
Поговорки
События, которые при определенных условиях, происходят
наверняка, называют достоверными. Если кусок газеты сунуть
в воду, он промокнет. Если его поднести к огню (а в воду не
совать), он загорится. Если один край листа резко потянуть в
одну сторону, а другой край в другую, то лист разорвется. Все
это события достоверные.
Но есть и такие события, которые никогда не происходят.
Сбудется, говорят тебе, когда рак на горе свистнет! Такие
предсказания иногда называют бредом сивой кобылы. А по-
научному они называются невозможными событиями. Говорят
также, что такие события совершенно невероятны. Ты можешь
спросить: если «невероятное», то значит, нет вероятности. Чему
же она в этом случае равна? А чему равен вес невесомого тела?
Чему равен объем плоской фигуры? - Да, конечно, нулю!
Невозможно, невероятно - значит, вероятность равно нулю.
Внимание! Появилось число - нуль! Это очень важный
момент. Без чисел нам оставалось бы изъясняться такими
неопределенными понятиями, как «наверняка», «скорей
всего», «вполне возможно», «может быть», «не исключено», «вряд
ли» или даже еще более мудреными выражениями врсще «чем
черт не шутит», «бог даст получится».
Куча
— Как ты думаешь, — спросил слоненок мартышку. — Сколько
орехов нужно собрать, чтобы получилась целая куча?
— Не знаю, — ответила мартышка, — наверное, много.
— А много, это сколько?

Глава вторая \у\
— Много — это много.
— Нет, давай все-таки разберемся, — настаивал слоненок. —
Десять, это куча?
— Да, десять это куча, — уверенно кивнула мартышка.
— Ладно, — согласился слоненок. — А два?
— Два — это мало. Что за куча, когда всего два ореха? Два
— это не куча.
— А три ореха?
— Три — это тоже не куча, — подумав, сказала мартышка.
— А девять?
— Девять — это куча.
— А четыре?
— Не куча.
— А восемь?
— Куча.
— А пять?
— Не куча.
— А семь?
— Куча.
— Ну, а шесть орехов?
Мартышка долго молчала и чесала затылок.
— Знаешь что, — сказала она наконец, — совсем ты меня
запутал. Я знаю только, что куча — это если много, а если
мало это не куча. А больше я ничего не знаю. Вот ползет
удав, спроси лучше у него.
Удав выслушал слоненка и удивился.
— Разве ты не знаешь, когда много, а когда мало? Мало —
это когда съел все и еще хочется, а много — это когда уже
больше не хочется.
(Г. Остер)
Да, без чисел никак не обойтись. Правда, непонятно, какими
числами описывается понятие «куча» и «не куча». Вот что
касается вероятности...
Самая маленькая вероятность — это нуль. Это когда
совершенно невероятно, когда вероятности вообще нет.
А как быть с самой большой вероятностью? По-видимому, ее
надо приписать к достоверному событию. Какая же она? Чему
равна? Может быть, взять какое-нибудь огромное число,
например, миллион миллиардов? Но математикам лень возиться с
такими числами, да и в нулях тут нетрудно ошибиться. Вот они
взяли и решили: самая большая вероятность — это просто 1.
8—1772

112 A^fc*^^^->^^-/^^^
Когда мы говорим «наверняка», «как пить дать», «ясно как
божий день», математики говорят: «с вероятностью равной 1».
Попробуй и ты так говорить. Раз, два - начали!
Если ручку бросить в открытое окно, она упадет на улицу...
Ну? С какой вероятностью? Правильно, с
вероятностью равной 1.
Если засунуть кусочек льда под мышку, он растает... с
вероятностью равной 1.
Если парту полить холодной водой, она взлетит... с
вероятностью равной 0.
Если раскрыть учебник, то можно увидеть буквы с
вероятностью равной 1.
Если дунуть на соседа по парте, он станет другого цвета с
вероятностью равной 0.
Если хорошенько разбежаться, можно проскочить сквозь
стену с вероятностью равной 0.
Хорошо. А теперь попробуй указать вероятности, если во все
эти выражения ввести «не». Например,
если парту полить холодной водой она не взлетит с
вероятностью равной... Чему? Правильно, равной 1.
Если дунуть на соседа по парте, он не станет другого цвета с
вероятностью равной 1.
Чувствуешь, что делает с вероятностями частица «не»? Она
превращает 0 в 1 и, наоборот.
Внимание! Проводим аукцион невероятных
(невозможных) событий! Победителя этого аукциона
ожидает заслуженная награда - Орден Сивой Кобылы
1-й степени.
Хотелось бы еще раз обратить твое внимание, что 0 и 1 для
вероятности придумали сами люди, а не природа. Ученые
нередко так поступают. Они договорились считать, что вода
замерзает при 0° С, а кипит при 100° С - и уже от этого отмеряли
остальные температуры, выяснив, например, что у человека
нормальная температура 36,6° С, т.е. чуть ближе к замерзанию,
чем к закипанию.
Мартышка (слоненку): Вот видишь, обо всем можно
договориться! Давай договоримся, что настоящая куча - это 100
орехов, а настоящая некуча — 1 орех!
Слоненок: Договориться-то можно. Но что же тогда будет,
если у меня 10 орехов? Это куча или не куча?

Глава вторая 113
"JUuOMe*Z<
(Рисунок слоненка)
Мартышка: Это ближе к некуче.
Слоненок: А почему раньше у тебя 10 орехов считались
кучей?
Мартышка: Раньше мы с тобой ни о чем не договаривались.
А теперь договорились. Мы хорошо договорились — 100
орехов это много. Даже удав скажет, что это много. А
десятью орехами не наешься. Я бы договорилась и самую
большую вероятность выбрать как 100. А то, подумаешь,
какая-то единица! Разве может самая большая вероятность
равняться всего только единице?
Слоненок: Ну, если договорились, то может. А вдруг так
даже удобнее? Ведь между 0 и 1 еще столько места!
Мартышка: Да какое там место? О чем ты говоришь?
Слоненок: Ну вот, смотри. Видишь, как тут много места. Вот
я нарисую на земле. Вот тут помещаются «сомнительно» и
«вряд ли». Потом уместились все «не исключено». За ними
идут «может быть» и «неизвестно» и переходят в «авось»,
а потом в «наверное». А около единицы умещаются «по всей
видимости» и «скорее всего».
Мартышка: Ух, как здорово! И тут поместились все-все
вероятности?
Слоненок: Ну конечно. Все они тут.
Мартышка: И вероятность монетки упасть кверху решкой
тоже тут?
Слоненок: И она тут.
Мартышка: А где она, покажи.
Слоненок: Когда я подбрасываю монетку, я не могу сказать
«сомнительно, чтобы она упала решкой кверху». Я также не
могу сказать «скорее всего она упадет решкой кверху». Я
скажу «может быть, она упадет решкой кверху, а может быть
выпадет орел». Или я скажу «неизвестно, что выпадет: решка
или орел».

Мартышка (радостно): Поняла! Поняла! Это вероятность
спряталась как раз посерединке между 0 и 1.
Слоненок и мартышка довольно ловко пришли к выводу, что
вероятность каждого из двух равновероятных событий равна
1/2. Чувствуешь, как постепенно понятия «более вероятно» и
«менее вероятно» приобретают все более глубокий смысл?
Что вероятнее - выпадение снега летом или зимой? Что
вероятнее - случайно потерять перчатку или носок? Что
вероятнее - попасть камнем в стекло закрытого окна или в открытую
форточку? Зная ответ на последний вопрос, ты тем более
воздержишься от бросания камня в окно.
Пора познакомиться еще с одним иероглифом - обозначением
вероятности. Будем для этого использовать букву Р
(по-английски ВЕРОЯТНОСТЬ - PROBABILITY).
Если два события равновероятны (событие 1 и событие 2), то
запишем:
Р(1) = Р(2).
Если первое событие более вероятно, чем второе, то пишут:
Р(1) > Р(2).
Вероятность невозможного события равна нулю: Р(невозм.) = О.
Вероятность достоверного события равна единице: Р(дост.) = 1.
Вопросы и задания;
(I) Сосредоточься и быстренько приведи побольше примеров
достоверных событий. А теперь, пожалуйста, примеры невозможных
событий. Интересно, каких у тебя оказалось больше? А у твоего
приятеля?
© Приглядись повнимательнее к рисунку слоненка. Может быть,
тебе захочется сделать собственный рисунок на данную тему?
(D Художественный фильм идет полтора часа, а мультфильм всего
10 минут. Ты случайно включаешь телевизор. Что вероятнее -
попасть на художественный фильм или на мультик?
Q) Парашютиста ветер бросает из стороны в сторону. Куда ему
вероятнее приземлиться - в озеро или в колодец?
(5) Первая цифра в телефонном номере знакомого делится на 3 или
4. Что вероятнее?

Глава вторая
115
2.8 Дроби и вероятности
Человек есть дробь. Числитель — это
достоинства человека; знаменатель —
это оценка человеком самого себя.
Л. Толстой
Возможно, чем больше эта дробь, тем
больше вероятность того, что перед
нами совершенный человек?
Размышления автора
Приходилось ли тебе когда-нибудь слышать о «львиной
доле»? Что это такое? Чему она равна? - В одной из басен Эзопа
рассказывается о том, как звери делили добычу. Лев потребовал
себе четверть как царь зверей, еще четверть - за свое
несравненное мужество и еще одну четверть - для жены и детей. «Что же
до последней четверти, - заключил лев, - то любой из зверей
может поспорить со мной из-за нее».
Обрати внимание: даже львиная доля не превышает единицы.
Как и вероятность...
Если дробь меньше единицы, ее называют простой. Мы будем
иметь дело именно с простыми дробями.
Червяк падает в заброшенный колодец квадратной формы. В
колодце паук сплел паутину,
закрывающую половину колодца (если не очень
понятно, посмотри на рисунок). Стенки
колодца гладкие и червяку негде
зацепиться. Значит, то, что он долетит до
паутины, - событие достоверное; его
вероятность равна 1. Ну, а дальше? -
Дальше одно из двух: червяк пролетает мимо
паутины или червяк попадает в паутину.
Используя введенное в предыдущем
параграфе обозначение для вероятности,
запишем:

116
-■-^ / пролететь мимо \ -| -p^ / ч
Kl ИЛИ 1=1= Ml пролететь мимо!
-■■ \ попасть к пауку / -*- -*■ у J
~|"~ X^l попасть к пауку!
Мы еще обсудим, почему «ИЛИ» означает «+», но пока и так
ясно, что вероятности надо сложить.
Паук заткал паутиной ровно половину площади колодца.
Поэтому события «червяк пролетает мимо» и «червяк попадает
в паутину» равновероятны:
J-J| пролететь мимо! JJ/попасть к пауку!
Отсюда следует:
■—w I пролететь мимо I — —
■■■ V / г>
г* I попасть к пауку! ^= -^-
Итак, с вероятностью, равной 1/2, червяк пролетает мимо
паутины и с такой же вероятностью он может попасть в паутину.
Вот еще два равновероятных события, которые тебе хорошо
известны: выпадание решки или орла при подбрасывании
монетки. Здесь то же самое. Что-нибудь - решка ИЛИ орел -
обязательно выпадет; это событие достоверное, его вероятность
равна 1. Значит,
р(=*) = 1 = р(—) + р(~).
А поскольку Р(решка) = Р( орел ),
то, следовательно, каждая из этих вероятностей равна 1/2.
Всегда, когда мы имеем два равновероятных события,
вероятность каждого из них равна 1/2.
А если мы имеем не два, а шесть равновероятных событий?
Например, бросаем игральный кубик. Чему равна вероятность
выпадания, скажем, четверки?
Ясно, что вероятность выпадания
четверки такая же, как и единицы, двойки,
тройки, пятерки, шестерки - все эти
события равновероятны. Поэтому для
простоты будем обозначать каждую из этих
вероятностей просто Р.
Поскольку всякий раз что-то
обязательно выпадет, то, значит,

Глава вторая
117
А отсюда сразу следует, что
Теперь мы можем справиться с более сложной задачей:
найдем вероятность шарику, движущемуся по доске Гальтона,
попасть в ту или иную ловушку. Ловушки мы обозначили
буквами А, Б, В, Г, Д, Е, Ж; поэтому соответствующие
вероятности обозначим как Р(А),
Р(Б), Р(В), Р(Г), Р(Д), Р(Е),
Р(Ж).
Число путей (способов),
которые могут привести
шарик
в ловушку А, равно Сб = 1,
в ловушку Б - Сб = 6,
в ловушку В - Сб = 15,
о
в ловушку Г - Сб = 20,
в ловушку Д - Сб = 15,
в ловушку Е - Сб = 6,
в ловушку Ж - Сб = 1.
1
<
\
6
IS
20
с:
/5"
с.4
е
с;
<
с;
О О /
L. Уг<
Общее число возможных
путей у шарика:
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64.
Все ли тебе здесь понятно? Если что не так, загляни снова в
§2.4 (помнишь, там у тебя состоялось знакомство с
треугольником Паскаля?), а также в §2.5 (там мы познакомились с доской
Гальтона).
Ясно, что все возможные пути шарика на доске Гальтона
равновероятны, поскольку при каждом соударении шарика со
штырьком, шарик с равной вероятностью отскакивает влево или
вправо. Обозначим каждую из 64-х вероятностей проделать
шарику тот или иной путь по доске Гальтона через Р. Тот или
иной путь шарик пройдет в любом случае (достоверно); значит,
Отсюда:
64 Р
Р =
1.
64

118
Но мы ищем не эту вероятность, а вероятность шарику
оказаться в той или иной ловушке. Понятно, что чем больше
путей ведут в данную ловушку, тем более вероятно в ней
оказаться.
В ловушку А, как и в ловушку Ж, ведет один путь. Поэтому,
Ь4
В ловушку Б, как и в ловушку Е, ведут по 6 путей ( мы их
прочертили на рисунке). Поэтому
P(B) = r(E)=|.=J..
В ловушку В, как и в ловушку Д, ведут по 15 путей. Поэтому
Наконец, в ловушку Г ведут 20 путей. Поэтому
20 = А
64 16*
Попадание шарика в какую-нибудь (ту или иную,
безразлично какую) ловушку - событие достоверное. Поэтому
Р(А) + Р(Б) + Р(В) + Р(Г) + Р(Д) + Р(Е) + Р(Ж) =
64 64 64 64 64 64 64
Мартышка: По-моему, эта задача была совсем не трудной.
Слоненок: Как это не трудной? Она совсем не простая.
Мартышка: Нет, легкая. Вот, смотри. Если 20 путей из 64-
х ведут в ловушку Г и если все пути равновероятны, то,
значит, у шарика 20 шансов из 64-х, что он попадет в эту
ловушку. Вот и получается вероятность 20/64.
Что может быть проще?
Слоненок: И вправду очень просто! Но о шансах мы раньше
ничего не говорили...
Мартышка: С шансами все просто. Вот я подбрасываю
кубик. Каждая грань имеет одинаковый шанс выпасть. А
всего граней 6. Значит, есть 1 шанс из 6-ти для любой грани.
Получается вероятность 1/6.
Тут прилетел взволнованный попугай, с листком бумаги.
Попугай: Посмотрите, что я нашел! Сенсация! В конце
лабиринта зарыты сокровища! Их надо скорее найти!
Мартышка (внимательно разглядывая рисунок на листке): А
в каком конце? Их тут целых 16.

Глава вторая
119
Попугай: Все равно надо попробовать! Не проходите мимо!
Не упускайте свой шанс!
Слоненок: Во всяком случае неплохо бы выяснить наши
шансы найти эти самые сокровища.
Мартышка: Ничего нет проще. Вот я вхожу в лабиринт и
дохожу до развилки А. Кругом темно, я ничего не вижу. Но
мне надо куда-то повернуть — налево или направо...
Слоненок: И ты поворачиваешь...
Мартышка: Не скажу. Я сама этого пока не знаю. Это решит
Случай. Потом я дойду в темноте до другой развилки...
Слоненок: До развилки Б?
Мартышка: До развилки Б или до развилки В — пока
неизвестно. И там я опять положусь на Случай. Потом еще
раз на него положусь. А потом еще раз. И тогда я окажусь
в одном из концов лабиринта. Может быть, как раз в том, где
сокровища.
Попугай: А может быть, и не в том. Тогда для чего ты все
это нам рассказывала?

120
Мартышка: Только для того, чтобы вы поняли: наше
попадание р любой мт концов лабиринта — событие
равновероятное. Я обозначу вероятность этого события через Р. Это
как раз и есть вероятность найти сокровища.
Попугай: Вот это уже ближе к делу!
Мартышка: Понятно, что в какой-то один из 16-ти концов
лабиринта я все равно приду. Значит, можем записать:
16 Р
Я пометила формулу значком * ввиду ее важности. Потому
что из нее сразу получаем ту вероятность, которую ищем:
Как видите, у нас есть один шанс из шестнадцати найти
сокровища. Решайте теперь: искать или не искать?
Слоненок: А я, кажется, знаю, как получился этот самый
шанс...
Мартышка: Что значит «получился»? Он у нас просто есть.
Один из шестнадцати.
Слоненок: Когда мы входили в лабиринт, у нас были все 16
шансов. Когда мы прошли первую развилку, шансов у нас
стало в 2 раза меньше — всего 8.
Мартышка: Это почему же?
Слоненок: Потому, что вероятность свернуть на развилке в
нужном направлении равна 1/2. В нужном направлении
1/2 и в ненужном тоже 1/2. Но будем иметь в виду нужное
направление. Итак,
На следующей развилке
шансов остается еще в 2 раза
меньше:
На следующей еще в 2 раза :
А после последней развилки
остается всего один шанс. В
общем, вот так:

Глава вторая 121
Мартышка: Нет, нет! Мне это не нравится. Шансы — это не
орехи, которых у нас сначала куча, а потом ничего не остается.
Но вот формула слоненка сама по себе мне нравится.
Слоненок (обрадованно): Правда? А чем?
Мартышка: Тем, что она похожа на мою формулу *.
Сравнивая эти формулы, я заключаю:
2 Л 2 Л 2 2 '
А это совсем интересный результат! Получается, что для того,
чтобы найти вероятность разыскать сокровища, надо
вероятность правильно свернуть на первой развилке помножить на
вероятность правильно свернуть на второй, затем на
вероятность правильно свернуть на третьей, затем на четвертой. Это
правило надо проверить.
Слоненок: А как?
Мартышка: Рассмотрим новый лабиринт. Вот мой рисунок.
Если работает наше правило перемножения вероятностей, то
здесь вероятность выйти на сокровища может быть найдена
так:
Р= lylvl _!_
3 Л 2 А 3 18 '
Слоненок: В этом лабиринте 18 концов. Все они
равновероятны, потому что мы по-прежнему пробираемся в темноте и
наугад выбираем, куда сворачивать на каждой развилке.
Значит, у нас 1 шанс из 18-ти попасть в нужный конец. Вот и
все. Зачем было тратить время на умножение вероятностей?
Мартышка: Мы не время тратили, а проверяли важное
правило. И можем теперь утверждать, что проверка прошла
успешно.
Слоненок: А как это правило читается или пишется?
Мартышка: Я бы читала его так. Если какое-то событие
происходит при условии, что что-то произошло во-первых,
затем что-то во-вторых, затем что-то в-третьих и так далее, то
вероятность этого самого события получается при
перемножении вероятностей того, ^что произошло во-первых, во-
вторых, в-третьих и так далее.
Слоненок (с хорошей завистью): Смотри, попугай, опять
мартышка придумала что-то новое! И как это у нее
получается?

122
Но попугая давно след простыл. Наверное, он улетел искать
те самые сокровища.
7
Вопросы и задания:
(D Подбрасываем монетку 5 раз. Какова вероятность того, что при
этом 2 раза выпадет решка? Какова вероятность того, что решка при
этом выпадет 3 раза?
@ На рисунке приведены 10 примеров квадратного колодца (вид
сверху). В каждом случае заштрихована та часть площади колодца,
которую паук заткал паутиною (паук работал творчески). Какова
I
!
М
10
вероятность червяку угодить в паутину в каждом из
рассматриваемых случаев?
(ответы: 3/8, 1/2, 1/2, 3/8, 3/8,
1/4, 4/9, 2/9, 1/2, 5/9).
(3)На доске Гальтона отвалились
второй справа штырек в пятом
ряду и второй слева штырек в
шестом ряду. Каковы теперь ве-
роятности попадания шарика в
ловушки А, Б, В, Г, Д, Е, Ж?
О О О О
о оооо

Глава вторая 123
2.9 Мера и вероятность
— А кто тебя разговаривать научил? —
спрашивает дядя Федор,
— Да так, — говорит кот. — Где слово
запомнишь, где два...
Э. Успенский
Мера — всякому делу вера.
Поговорка
Уж если мы взялись заменять численными значениями такие
«расплывчатые» понятия, как «куча», «много-мало»,
«наверное», «вряд ли», но неплохо было бы придумать какую-то
численную меру для множеств. Чтобы можно было, например,
сказать, какое множество больше и насколько.
Для множеств с конечным числом элементов сразу хочется
считать мерой просто число элементов.
Меру будем обозначать греческой буквой \1 (читается: «мю»).
Для множества дней недели: |1 = 7.
Для множества цифр: \1 = 10.
Для множества месяцев: |1 = 12.
Для множества пальцев на руке: \Х = 5.
Если множество с конечным числом
элементов, тут вроде все просто. А как
быть с множествами, содержащими
бесконечное число элементов и, в
частности, с несчетными множествами?
Возьмем, например, множество точек на
линии. Их нельзя пересчитать. Что здесь
будет мерой? Что можно померить у линии? - Правильно,
длину. Вот пусть она и будет мерой. При этом неважно, в каких
единицах мерить, можно в сантиметрах, метрах, километрах, в
попугаях, мартышках...
Реши задачу.
Длина удава 38,5 попугаев или 2 слоненка. Чему равна
длина слоненка в попугаях? Чему равна длина попугая
в слоненках?

124
\
J
J
4
у
\
\
/
Как быть с множеством точек какой-нибудь каляки? Длиной
тут не обойтись. Здесь надо использовать площадь.
Можно измерить
площадь каляки в клеточках.
Правда, в каляку влезает
не целое число клеточек.
Поэтому в клеточках
площадь каляки будет
измерена не точно. Ну что ж,
если надо точнее, можно
взять клеточки поменьше.
Придет время, и ты
научишься довольно точно
находить площадь каляки
с помощью Случая!
Для многих простых
фигур можно найти
площадь (и притом точно!), не занимаясь подсчетом клеточек и не
используя случай. Из геометрии тебе известно, чему равны
площади квадрата, прямоугольника, ромба, треугольника,
трапеции, круга.
Площадь есть не только у плоской фигуры. Она есть у любой
поверхности. Площадь поверхности твоей головы, площадь
поверхности твоего тела - это вполне определенные числа.
Только их измерить трудно.
При измерении множества точек внутри какого-нибудь тела
площадь, конечно, не годится. Тут нужен объем. Тут нужны
уже не клеточки, а кубики. Для многих простых тел геометрия
дает формулы, по которым можно точно определить их объем.
Имеются в виду куб, прямоугольный параллелепипед, цилиндр,
шар, пирамида и другие тела.
Легко метать мгновений бисер,
Безбожно нарушать режим
И не зависеть, не зависеть
От маятников и пружин,
Швырять секунды понапрасну
На ерунду, на дребедень,
Терять минуты ежечасно,
Сорить часами каждый день...
(Ивашенко. Васильев)

Глава вторая 125
Догадываешься, о каком множестве мы пока еще не
говорили? - О множестве моментов времени. Оно тоже несчетное. Ведь
даже какие-нибудь пять минут содержат бесконечно много
моментов времени. Недаром же в известной песенке поется, что
в пять минут «можно сделать очень много».
Момент времени
как точка в
пространстве.
Измерение промежутка
времени чем-то похоже
на измерение
отрезков только не в
метрах и сантиметрах, а
в секундах, минутах,
часах, днях, годах.
И вот теперь мы
можем в общем виде
определить
вероятность на множестве
элементарных
событий:
Вероятность
события А:
I |Л(подмножества А)
^ ' ~ |1(всего множества)
Вероятность события А равна мере подмножества событий
А, деленной на меру всего множества.
Непонятно?
Ну, и замечательно!
Ужасно интересно все то, что неизвестно!
Ужасно неизвестно все то, что интересно!
Вопросы и задания;
(\) Найди меру следующих множеств:
- цветов светофора,
- друзей Белоснежки,
- ножек паука,
- воинов дядьки Черномора,
- планет Солнечной системы,

126
- правильных многогранников (их называют также Платоновыми
телами),
- часов в сутках,
- букв в русском алфавите (а в английском?),
- протонов в ядре атома углерода.
© Какие единицы длины тебе известны? В чем удобнее измерять
расстояние от Москвы до Киева, высоту дома, радиус Венеры,
высоту табуретки, ширину дороги, толщину волоса?
> Какие единицы площади тебе известны?
акие единицы объема ты знаешь? Как измерить объем сосуда
произвольной формы? Есть ли у тебя идеи на этот счет?
© Какие единицы времени ты знаешь? Известны ли тебе случаи,
когда единица времени используется для измерения расстояния?
2.10 Вероятность
— А вы знаете, что НА?
— А вы знаете, что НЕ?
— А вы знаете, что БЕ?
Что на небе вместо солнца
Скоро будет колесо?
Скоро будет золотое —
Не тарелка, не лепешка,
А большое колесо!
Ну! Ну! Ну! Ну!
Врешь! Врешь! Врешь! Врешь!
Ну, тарелка,
Ну, лепешка,
Ну, еще туда-сюда,
А уж если колесо —
Это просто ерунда!
Д. Хармс
Наверное, надо разобраться, что это мы такое написали в
прошлом параграфе. Когда блуждали в темном лабиринте, даже
тогда все было понятнее. А вычисление судьбы несчастного
червяка в колодце - вообще детская забава.

Глава вторая
ЛТП
Ну, что такое эта самая мера, которая измеряется и в
секундах, и в штуках, и в километрах, и в литрах, и в клеточках,
более или менее понятно. Хотя, конечно, смотря, на каком
множестве она определяется.
А вот множество элементарных событий - это что-то новое!
Что ж, с него и начнем.
Элементарным, как это видно из самого названия, является
самое простое событие, которое нельзя разложить на другие
события. Элементарные события равновероятны.
Например, выпадание на кубике четного числа - событие не
элементарное. Оно раскладывается на три события: выпала
двойка, выпала четверка, выпала шестерка. А вот выпадание
каждого числа как раз и есть элементарное событие. При
бросании кубика получаем множество из 6-ти элементарных
событий. Событию «выпадание четного числа» соответствует
подмножество из элементов 2, 4, 6 (мера этого подмножества
\Х = 3). Событию «выпадание числа больше двух» соответствует
подмножество из четырех элементов ((I = 4).
Оказывается, все довольно
просто. Для множеств с конечным
числом элементов. А если
множество несчетное? Пусть какая-то
совсем маленькая «зюзюка»
блуждает по линии или по каляке, или
внутри коробки. Например, муха
ползет по проволоке или по столу,
или же летает по комнате.
Элементарным событием здесь будет обнаружение «зюзюки» в
данной точке. А не элементарное событие - обнаружение ее в
пределах некоторого отрезка линии, в пределах каляки, внутри
коробки.
По-видимому, начинает проясняться смысл той жуткой
формулы для вероятности, которая поначалу могла показаться
издевательством (тем более, что с вероятностями мы вроде бы
подружились и даже немного научились с ними работать - не
хуже мартышки и слоненка). Для краткости записи обозначим
множества элементарных событий греческой буквой Q
(читается: «омега»). Тогда можем записать:
Р(А) =

128
Попробуем применить эту формулу к разным случаем.
Пусть событие А - выпадание на кубике четного числа;
|i(A) = 3. Здесь £1 - множество всех возможных выпаданий;
= 6.
Значит,
Честно говоря, этот кубик уже
надоел хуже горькой редьки.
Возьмем мешок с 10-ю
шариками (4 красных, 3 желтых, 3 синих).
Ты наугад вынимаешь из мешка
шарик. Множество элементарных
событий состоит из 10-ти
элементов; каждый элемент - вынимание
одного шарика (|i(Q) = 10).
Множество элементарных событий
разбито здесь на три подмножества: красное (|1(К) = 4), желтое
(|1(Ж) = 3), синее (|i(C) = 3). Вероятность вытянуть с закрытыми
глазами синий шарик определяется по формуле:
Р(С)
ю
Вероятности Р(К) и Р(Ж) ты найдешь без труда
самостоятельно.
Возьмем колоду
игральных карт. Элементарное
событие - вытягивание
карты из колоды. Всего карт
36; |I(Q) = 36. Изобразим
множество Q в виде
таблицы:
Укажи меры следующих
подмножеств:
- всех пиковых карт,
- всех дам,
- всех карт с картинками (валеты, короли, дамы).
Зная меры указанных подмножеств, определи вероятности
вытянуть пиковую карту, даму, картинку.
0
*
с?
6
о
0
0
D
7
D
D
D
D
а
D
п
D
а
5
D
D
D
а
10
D
а
D
D
а
D
а
D
к
D
а
D
а
Л
а
а
G
а
т
и
D
D
Р

Глава вторая 129
По-видимому, для множеств с конечным числом элементов,
где мера - число элементов, все ясно. Перейдем к несчетным
множествам.
Дует ветер озорной Без нужды не заезжай
В паруса фрегата, В злачные притоны
Провожала на разбой И сирот не обижай —
Бабушка пирата. Береги патроны!
— На кого бросаешь нас, — Слушай, бабка, если так
Сокол одноглазый? Все тебе знакомо,
Ты, смотри, на абордаж На разбой иди сама,
С пьяных глаз не лазай! Я останусь дома.
Много рому ты не пей — Дует ветер озорной
Очень вредно это! В паруса фрегата.
И всегда ходи с бубей, Уходила на разбой
Если хода нету. Бабушка пирата.
Длина береговой линии, куда может прибить волнами
бутылку с призывом о помощи, 6 км. Из них 5 км - безлюдные скалы,
1 км - городской пляж. Надо найти вероятность того, что
бутылка попадет на пляж. Тогда ее, конечно, найдут, и команда
ограбленного бабушкой пирата корабля будет спасена.
Элементарное событие - попадание бутылки в какую-либо точку
шестикилометровой береговой линии; \1(£1) = 6 (длина береговой
линии в километрах). Подмножество событий, соответствующих
попаданию бутылки на пляж - километровый отрезок береговой
линии; |1(Пл) = 1. Теперь находим искомую вероятность:
Мартышка (Слоненку): Ну, ты понял, наконец, что такое
вероятность?
Слоненок (вздыхая): Это то, что определяется непонятной
формулой.
Мартышка: Чего тут непонятного? Тут самое главное — это
понимать множество элементарных событий и затем
выделить в этом множестве подмножество тех событий,
вероятность которых тебе нужна. Надо просто поделить меру этого
подмножества на меру всего множества. И получишь
вероятность!
Слоненок: Ну, конечно...

130
Мартышка: Давай решим задачку. Вот у меня есть большая
куча орехов. И уже наступила ночь, стало совсем темно. Я
в темноте беру из кучи орех. Какая у меня вероятность, что
я вытяну негнилой орех?
Слоненок: Надо... как это?... понять множество
элементарных событий. Наверное, это орехи?
Мартышка: Не сам орех, а вытаскивание ореха из кучи!
Слоненок: Да, да. А подмножество — вытаскивание
негнилых орехов. По-моему, надо поделить число негнйлых
орехов в куче на все число орехов в ней.
Мартышка: Ну, конечно! Вот ты и понял!
Слоненок: Все очень просто. И зачем всякие меры? Без них
все ясно... Посчитали орехи, и все тут.
Мартышка: Тут можно посчитать элементы множества! Тут
орехи! Их всегда можно посчитать! Это даже приятное
занятие. Тут мера — это число элементов множества, число
орехов. А как быть, если разговор идет вовсе не об орехах?
Вот надо найти вероятность, что бутылка попадет на пляж.
Ну что здесь ты будешь считать? Какие орехи? Тут без меры
не обойтись!
Слоненок (вздыхая): Ну, да, конечно...
Игра: МИННОЕ ПОЛЕ
Эта игра чем-то похожа на «Морской бой». Играют в нее
вдвоем. Каждый рисует у себя в тетради два квадрата со
сторонами в 10 клеточек. Под одним квадратом надписываем:
«Минирую», а под другим - «Перехожу». Каждый игрок втайне
от другого минирует соответствующий квадрат одной точкой,
которую он ставит в любом месте квадрата. Потом берется
заготовленный заранее след (площадь следа - примерно две
клеточки), вырезанный из картона, и, аккуратно обводя его
острым карандашом, делают три шага по квадрату «Перехожу»-
Каждый игрок
делает эти шаги на
своем квадрате
втайне от другого.
Шаги можно
делать как угодно.
Можно
потоптаться в углу, а потом
прыгнуть. Важно,
чтобы три следа
*«j9ViO

Глава втоуая 131
полностью уместились в квадрате.
Готово? - Открываем друг другу квадраты и смотрим, кто
кого подорвал. Если точка-мина легла в след противника, значит
тот подорвался. Это легко проверяется напросвет - наложением
одного квадрата на другой.
Игра игрой, а мы посчитаем вероятность подорваться.
Элементарное событие здесь - поставлена мина в той или иной точке
внутри квадрата; |I(Q) = 100 (клеточек; мы измеряем здесь
площадь клеточками). Подмножество событий,
соответствующих взрыву, - мина попала внутрь одного из трех следов
противника; |Л(взрыв) = 3S, где S - площадь следа в клеточках
(ее можно прикинуть «на глазок»). Вероятность подорваться:
|Л(взрыв) 3S
Р(взрыв)=
Если S = 2 (клеточки), то Р(взрыв) = т^ = зтг-
Итак, 3 шанса из 50-ти подорваться, а значит, 47 шансов из
50-ти благополучно пройти по минному полю. Пойдешь ли ты
через такое поле?
Вопросы и задания:
фЧто является элементарным событием в задаче про червяка в
колодце? Найди вероятность червяку угодить в паутину, используя
формулу *. Рассмотри все случаи - тот, что обсуждался в §2.8, и те,
что были предложены в качестве вопросов к этому параграфу.
©Как ты уже знаешь, в ловушки на доске Гальтона ведут 64 разных
пути. Конечно, каждый из этих путей не является элементарным
событием (элементарное событие - шарик отскочил от того или
иного штырька в ту или в иную сторону). Но в данном случае условно
будем считать элементарным событием проход шарика по доске
Гальтона по одному из упомянутых путей.
При этом условии найди вероятности попасть в разные ловушки,
используя формулу *.
©Попробуй придумать задачу про муху в комнате, где мерой
множества событий будет объем.
@ Попробуй придумать задачу о встрече двух людей, где мерой
множества событий будет промежуток времени.
Ю—1772

132
2.11 Сложение и уножение множеств, дробей,
вероятностей
Маленькие дети,
Ни за что на свете
Не ходите, дети,
В страшный лабиринт...
Со сложением и умножением множеств мы, оказывается, уже
знакомы. Сложение (+) - то же самое, что объединение (^J).
Пусть D = А + В (иная запись: D = AU В). Это означает, что
множество D состоит из элементов, которые входят
ИЛИ в множество А,
ИЛИ в множество В,
ИЛИ одновременно в А и В.
Под умножением (х) надо понимать пересечение множеств
(О). Пусть D = А X В (иная запись: D = А О В). Это означает,
что множество D состоит из элементов, которые входят
| И в множество А,
I И в множество В.
Обрати внимание:
СЛОЖЕНИЕ: ИЛИ - ИЛИ,
УМНОЖЕНИЕ: И - И.
заштриховано
множество Д
заштриховано
множество А
(AUB)
заштриховано
множество 3
заштриховано
множество А х о
(АПВ)

Глава втоуая 133
А еще обрати внимание на то, что при сложении двух
множеств обычно получается множество, большее каждого из
них (мера множества возрастает), тогда как при умножении
одного множества на другое получается множество меньше
перемножаемых множеств.
В одном мешке 8 шаров: 5 красных, 2 синих, 1 зеленый.
Шары, как положено, вынимаем наугад (какой подвернется под
руку). Элементарное событие - вынимание из мешка шара.
Обозначим множество этих событий через М,; мера данного
множества |l,(fi) = 8.
В другом мешке 10 шаров: 4 красных, 3 синих, 3 желтых.
Имеем множество М2; его мера |I2(fi) = 10.
Множество М, + М2 имеет меру |i (Q) = 18 (9 красных, 5 синих,
3 желтых, 1 зеленый).
Множество М,Х М2 имеет меру ^(Q) = 6 (4 красных, 2 синих).
Обрати внимание:
\Х* > Щ; |1* > \Х2- тут даже совсем просто: \i* = |I1 + \Х2.
|IW < Щ; Ц* < |Л2 - тут уж никак не скажешь, что [V1 = щ X |Л2.
Как видишь, с мерами множеств вопрос совсем не прост.
Поэтому мы будем его по возможности обходить.
Но нам никак не обойти вопроса о сложении и умножении
вероятностей. Ты, конечно, помнишь, что в §2.8 мы занимались
и сложением вероятностей, и их умножением.
Как и при сложении множеств, вероятности складывались
тогда, когда «ИЛИ - ИЛИ». Если нам безразлично, какое из
двух событий произойдет (ИЛИ то, ИЛИ другое), то
вероятности событий складываются. Если же второе событие происходит
при условии, что произошло первое, а также если оба события
происходят одновременно (И то, И другое), то вероятности
событий перемножаются.
Вернемся к мешку с шарами.
Возьмем множество событий Мг Вероятность вынуть
красный шар равна 5/8 (надеемся, тебе это понятней понятного), а
вероятность вынуть зеленый шар равна 1/8. Теперь
предположим, что нам безразлично, какой шар - красный ИЛИ зеленый
- будет вынут. Вероятность такого события (событие
«вынимается ИЛИ красный, ИЛИ зеленый шар») равна 5/8 + 1/8 =
= 6/8 = 3/4.
А теперь предположим, что мы хотим найти вероятность
вынуть два красных шара. Нет, твоя догадка не верна: эта
вероятность не есть 5/8 X 5/8. Ведь после того, как мы вынули

134
из мешка один красный шар, в нем осталось 7 шаров, среди
которых 4 красных. Значит, вероятность вынуть второй
красный шар будет теперь равна 4/7. Получается, что вероятность
вынуть из мешка последовательно два красных шара равна
5/8 X 4/7 = 20/56 = 5/14.
Другое дело, если вынув из мешка первый шар, мы затем
вернули его в мешок и снова перемешали шары. В этом случае
вероятность вынуть сначала красный шар и потом снова
красный шар равна 5/8 X 5/8 = 25/64.
Подведем некоторые итоги:
Г МНОЖЕСТВА СКЛАДЫВАЮТСЯ (ОБЪЕДИНЯЮТСЯ)
ИЛИ - ИЛИ^ ВЕРОЯТНОСТИ СКЛАДЫВАЮТСЯ
[ (а значит, складываются соответствующие дроби)
МНОЖЕСТВА ПЕРЕМНОЖАЮТСЯ (ПЕРЕСЕКАЮТСЯ)
И - И \ ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕМНОЖАЮТСЯ
(а значит, перемножаются соответствующие дроби)
Блуждание по лабиринту - занятие нелегкое и даже опасное.
Неизвестно, выберешься ли оттуда? Но зато здесь особенно
удобно тренироваться в сложении и умножении вероятностей.
Поэтому в путь!
^ Для начала перед тобой довольно
^простой лабиринт.
Найдем вероятность попасть из
А в Г (обозначим ее так: Р(А —> Г)).
Чтобы попасть в Г, надо сначала
попасть в Б.
Как говаривал кот Матроскин,
«чтобы продать что-нибудь
ненужное, надо сначала купить
что-нибудь ненужное».

Глава вторая
135
Вероятность попасть из А в Б (вероятность Р(А —> Б)) равна,
очевидно, 1/2.
Вероятность попасть из Б в Г (вероятность Р(Б —> Г)) тоже
равна 1/2. Событие «попал из А в Г» требует, чтобы совершились
И событие «попал из А в Б»,
И событие «попал из Б в Г».
Поэтому
Г).
Р(А -^ Г) = Р(А -^ Б) X Р(Б
Значит,
Р(А -^ Г) = 1/2 X 1/2 = 1/4.
Теперь ты без труда поймешь такую запись:
Р(А -^ Д) = Р(А -^ В) X Р(В -^ Д) = 1/2X 1/3 = 1/6.
Ну, а теперь вообрази, что как из Г, так и из Д ведут прямые
дороги к выходу из лабиринта. А тебе как раз и надо выбраться
из него (он хоть и не длинный, но все равно темный и
страшноватый). И конечно, тебе безразлично, выберешься ты из него
через Г ИЛИ через Д. Значит, событие «выбрался из лабиринта»
произойдет, если произойдет
ИЛИ событие «прибыл в Г»,
ИЛИ событие «прибыл в Д».
Таким образом,
Р(выбрался) = Р(А -^ Г) + Р(А -^ Д) = 1/4 + 1/6 = 3/12 +
+ 2/12 = 5/12
Пожалуй, настало время вспомнить о множествах. В нашей
задаче с лабиринтом есть три множества элементарных событий:
множество А - содержит два
элементарных события: А —> Б и А —> В (для
каждого вероятность равна 1/2);
множэство Б - содержит тоже два
элементарных события: Б —> Г и Б —> Е (для
каждого вероятность равна 1/2);
множество В - содержит три
элементарных события: В->Д, В^З, В^Ж (для
каждого вероятность равна 1/3).

136
Попадание из А в Г - событие,
являющееся пересечением множеств А и Б.
Его вероятность есть произведение
вероятностей для элементарных событий
из указанных множеств; она равна
1/2X1/2 = 1/4.
Попадание из А в Д - событие,
являющееся пересечением
множеств А и В. Его вероятность есть
произведение вероятностей для
элементарных событий из
указанных множеств; она равна
1/2 X 1/3 = 1/6.
Как видишь, при пересечении
(иными словами, при
перемножении) множеств
происходит
перемножение
вероятностей.
Рассмотрим
задачу о совсем
страшном
лабиринте, где
мы не
посоветовали бы
соваться не
только детям, но и
взрослым.
В
лабиринте хранятся
несметные сокро-
вища. Но есть
и страшная
западня.
Неудачливые
охотники за
сокровищами, попадая
в западню,
погибают.
Какова вероятность
добраться до

Глава втоуая 137
сокровищ, избежав западни?
Дойдя до пункта 1, искатель сокровищ может с вероятностью
1/2 повернуть направо - и тогда он сразу приходит к западне,
но может с вероятностью 1/2 пойти прямо - и тогда он попадает
в пункт 2. Далее он с вероятностью 1/3 выбирает путь либо
направо, либо прямо, либо налево. Первые два пути приводят
немедленно в западню. Третий путь приводит к пункту 3.
Вероятность попасть из 1 в 3 равна произведению вероятности
попасть из 1 в 2 на вероятность попасть из 2 в 3, т.е. равна
1/2 X 1/3.
Ты без труда сообразишь, что вероятность попасть из 1 в 4
равна 1/2 X 1/3 X 1/2,
вероятность попасть из 1 в 5 равна
1/2X1/3X1/2X1/3,
наконец, вероятность попасть из 1 к сокровищам равна
1/2 X 1/3 X 1/2 X 1/3 X 1/2 = 1/72.
Единственный путь внутри лабиринта, приводящий к
сокровищам, показан на рисунке стрелками. Но это на рисунке. А на
стенках лабиринта никаких стрелок нет. Поэтому есть всего
лишь один шанс из семидесяти двух благополучно пробраться
к сокровищам.
Понятно, что куда-нибудь искатель сокровищ обязательно
попадет, не к сокровищам, так в западню. Это означает, что
Р(сокровища) + Р(западня) = 1.
Значит, вероятность попасть в западню равна 1- 1/72 = 71/72.
Впрочем, эту вероятность можно подсчитать
непосредственно.
- Вероятность попасть в западню сразу из 1 равна 1/2.
- Вероятность попасть в западню сразу из 2 равна
вероятности попасть из 1 в 2, помноженной на вероятность попасть из 2
в западню, т.е. равна 1/2 X 2/3 = 1/3.
- Вероятность попасть в западню по маршруту
1-^2^3^ Западня, равна 1/2 X 1/3 X 1/2 = 1/12.
- Вероятность попасть в западню, двигаясь по маршруту
1->2-^3-^4^> Западня,
равна 1/2 X 1/3 X 1/2/2/3 = 1/18.
- Вероятность попасть в западню, двигаясь по маршруту
1->2->3->4->5-> Западня,
равна 1/2 X 1/3 X 1/2 X 1/3 X 1/2 = 1/72.
Несчастному искателю сокровищ безразлично, по какому из
указанных пяти маршрутов от пункта 1 до западни направит его
Случай. Значит, вероятность погибнуть может быть определена,

138
•4, еш
если сложить вероятности всех этих пяти маршрутов:
1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/18 + 1/72 = 36/72 + 24/72 + 6/72 +
+ 4/72 + 1/72 = 71/72.
Да, отправляться на прогулку в такой лабиринт равносильно
самоубийству! Случай надежно охраняет спрятанные в этом
лабиринте сокровища.
Рассмотрим еще одну задачу на тему лабиринта. Правда,
лабиринт здесь оказался необычным.
Итак, некий грозный властелин разгневался как-то на своего
звездочета, который по звездам предсказал конец света - и не
угадал. Повелел властелин палачу отрубить звездочету голову.
Однако в последний момент он смягчился - все-таки, хорошо,
что звездочет ошибся. Пусть же у него останется возможность
спастись. Властелин взял два черных и два белых шара и
предложил звездочету произвольным образом распределить их
по двум вазам из непрозрачного стекла. Палач должен выбрать
наугад одну из ваз и наугад вытащить из нее шар. Если шар
окажется белым, звездочет будет помилован, а если черным,
казнен.
- О, Всемилостивейший! - взмолился звездочет. - Моя жизнь
будет дважды зависеть от Случая! Никто не ведает, какую вазу
выберет палач. Никто не ведает, какой шар подвернется под
руку палачу.
- На Случай надейся, а сам не плошай, - усмехнулся
Властитель. - Сообрази,
как надо распределить
шары по вазам, чтобы
получить наибольшее число
шансов спастись.
- Есть четыре разных
варианта размещения
шаров по вазам. Вот они. И я
должен выбрать один из
них?
- Выбери тот, где
вероятность вынуть белый шар
наибольшая. Это
исключительно в твоих интере-
сах.
Итак, поможем
звездочету выжить, ведь от
волнения он может выбрать
не тот вариант. Правда,
Вариант 1

Глава втоуая
139
ты можешь спросить: при чем здесь лабиринт? - А при том, что
мы можем все четыре варианта представить в виде четырех
лабиринтов. А с лабиринтами мы вроде бы уже научились
работать. К тому же всегда приятно находить нечто общее у
разных ситуаций - таких, как вытаскивание шаров из вазы и
блуждание по темным коридорам.
Наши четыре варианта имеют по две развилки. На развилке
А Случай «направляет» палача с вероятностью 1/2 либо по
левому пути (к левой вазе), либо по правому (к правой вазе). На
развилке Б Случай «направляет» руку палача «пойти» по
одному из двух или из трех путей - взять один из двух или один
из трех шаров, находящихся в вазе.
Вариант 1. Здесь все определяется уже на развилке А. Если
палач выбрал левый путь (левую вазу), то звездочет спасен, если
же правый (правую вазу), звездочет погиб. Тут уже нет смысла
вынимать шары. Вероятность спастись равна вероятности
выбрать левую вазу, т.е. равна 1/2.
Вариант 2. Здесь, наоборот, на развилке А ничего не
решается. Все решают развилки Bt и Б2. Тут снова вероятность
звездочета спастись равна 1/2.
Строго говоря, ее вычисляют так. Вероятность «добраться» до
белого шара N1 равна 1/2X1/2 = 1/4. Точно так же вероятность
«добраться» до белого шара N2 равна 1/2X1/2= 1/4. А поскольку
для спасения безразлично, какой из белых шаров вынут, то
вероятность спасения равна 1/4 4- 1/4 = 1/2.
*l4 %& f
А
Вариант 2

Вариант З. Вероятность «добраться» до белого шара N1 равна
1/2X1/3 = 1/6, а до белого шара N2 равна 1/2. Таким образом,
вероятность звездочету спастись равна 1/6 + 1/2 = 4/6 = 2/3.
Вариант 4. Вероятность «добраться» до белого шара N1 равна
1/2X1/3 = 1/6; точно так же вероятность «добраться» до белого
шара N2 равна 1/2X1/3 = 1/6. Значит, вероятность звездочету
спастись равна 1/6 4- 1/6 = 1/3.
.*1
J*l *2
Итак, бедному звездочету надо выбрать вариант 3. В нем
наибольшие шансы спастись!
7
Вопросы и задания;
® Приведи примеры, когда какие-то события «или-или-...» и когда
события «и-и-...» и придумай для них задачи на подсчет вероятностей. ,
Поищи в книжках стихи, где приводились бы подобные события и
дай им свое объяснение, используя правила сложения и умножения
вероятностей.
Вот некоторые примеры подобных стихов:
Под ласковым солнцем в разгаре весны
Повсюду веселые песни слышны.
Поют комары, отправляясь в полет,
И жук напевает,
И муха поет,
И божья коровка, и шмель, и оса.

Глава втоуая Ш1
А чьи раздаются еще голоса?
(А. Деружинский)
Да здравствует мыло душистое,
И полотенце пушистое,
И зубной порошок,
И густой гребешок...
(К. Чуковский)
Наша ветхая лочужка
И neuajibna и темна.
Что же ты, моя старушка,
Приумолкла у окна?
Или бури завываньем
Ты, мой друг, утомлена.
Или дремлешь под жужжанье
Своего веретена?
(А. Пушкин)
А и впрямь, не прикинуть ли нам, из чего складывается вероятность
события «старушка приумолкла у окна»?
Что ты ржешь, мой конь ретивый.
Что ты шею опустил,
Не потряхиваешь гривой,
Не грызешь своих удил?
Лли я тебя не холю?
Али ешь овса не вволю?
Али сбруя не красна?
Аль поводья не шелковы.
Не серебряны подковы.
Не злачены стремена?
(А. Пушкин)
А здесь можно углядеть как умножение, так и сложение
вероятностей событий.
Очков с полдюжины себе она достала,
Вертит очками так и сяк:
То к темю их прижмет, то их на хвост нанижет.
То их понюхает, то их полижет;
Очки не действуют никак...
(И. Крылов)

142
Вариант
Вариант
Вариант
Вариант
77
По-мнению мартышки, вероятность того, что очки начнут
«действовать», складывалась из вероятностей... Дальше рассуждай
самостоятельно.
(2) Придумай собственный лабиринт со своей легендой, отправься в
путешествие по нему, подсчитывая при этом вероятности (добраться
до нужного пункта, не свернуть себе шею, выбраться на волю). А
может быть, ты отважишься сочинить и решить задачу о встрече
где-то в лабиринте со своим другом, который, как и ты, тоже
блуждает в потемках?
(3) Давай-ка усложним немного задачу о звездочете. Пусть грозный
властелин потребует, чтобы звездочет распределил по двум вазам
шесть шаров - три белых и три черных.
Число разных вариантов
распределения шаров по вазам равно
теперь семи. Подсчитай для каждого
из этих вариантов вероятность того,
что палач вытянет белый шар. В
каком варианте эта вероятность
наибольшая, а в каком
наименьшая?
(Подскажем некоторые ответы:
наибольшее число шансов у
звездочета в варианте 6; вероятность
спастись здесь равна 7/10;
наименьшее же число шансов - в
варианте 7; вероятность спастись
равна здесь 3/10).
(4)В мешке находятся три синих и
один красный шар. Ты наугад
вынимаешь из мешка два шара.
Какая вероятность больше - вынуть
два синих шара или вынуть синий Вариант
и красный? (Ответ: обе вероятное-
ти равны 1/2).
©Используя правила сложения и
умножения вероятностей, подсчи- Вариант
тай вероятности того, что
- при 5-ти подбрасываниях
монетки решка выпадет 2 раза,
- при б-ти подбрасываниях
решка выпадет 2 раза,
- при б-ти подбрасываниях
решка выпадет 3 раза.
(F) Как ты полагаешь, возможны ли ситуации, когда
складываются вероятности нескольких достоверных событий или
же эти вероятности перемножаются? Возможны ли
ситуации, когда перемножаются или складываются вероятности
нескольких невозможных событий? Свой ответ постарайся
пояснить.
(7) Наверное, не имеет смысла спрашивать, с чем мы чаще
встречаемся - со сложением или умножением вероятностей.
Но почему бы не поставить такой вопрос для мира, где
преобладает случайность, и мира, где преобладает
необходимость? Есть ли у тебя какие-то соображения или
предположения на этот счет?
Вариант

Глава вторая ШЗ
2.12 Игры с вероятностями
Что наша жизнь? — Игра!...
Хорошо известное заключение
Сталкиваясь со случайной ситуацией,
дети думают, что можно предсказать ее
исход; становясь постарше, они
отвечают, что ничего нельзя утверждать; но
мало-помалу они открывают, что за
кажущимся хаосом мира случайности
можно обнаружить законы, которые
позволяют неплохо ориентироваться в
реальности.
М. Глеман и Т. Варга — авторы
прекрасной книги «Вероятность в
играх и развлечениях».
Ну что ж, можно считать, что ты теперь имеешь неплохое
представление о вероятности, умеешь подсчитывать
вероятности в конкретных случаях, знаешь, когда и зачем надо
вероятности складывать или перемножать. Одним словом, ты
уже умеешь решать разные задачи с вероятностями.
Вот это прекрасно!
Но чувствуешь ли ты, как вероятность проявляется, как
она «работает»? Предположим, что мы подсчитали вероятности
и утверждаем: «вот тут наши шансы наибольшие, а вот тут,
наоборот, наименьшие». Все понимают, что в жизни следует
поступать так, чтобы шансы были наибольшими. Однако что же
на самом деле означает тот факт, что «шансы наибольшие»?
Вот, например, тот самый звездочет подсчитал вероятности и
разместил шары по вазам, обеспечив себе «наибольшие шансы».
И что же? Означает ли это, что теперь он не будет казнен? -
Наверное, ты понимаешь, что не означает. Так зачем же тогда
тратить время на подсчет вероятностей, если «фирма не
гарантирует»? - Да, не гарантирует. И все же звездочету следует
разместить шары по вазам именно так, чтобы вероятность
вынуть белый шар была наибольшей. Тогда у него будет больше
шансов спастись.

144 s%fo#ecm&-**e/ta -6fit&*toCH(4, сии
Ну вот, опять эти самые шансы! Так мы ни до чего не
договоримся! Чтобы почувствовать вероятность и шансы, лучше
всего поиграть с вероятностями.
Вот этим мы и займемся.
Игра: ЗВЕЗДОЧЕТ И ПАЛАЧ
Превратим задачу о звездочете и палаче в игру. Пусть в ней
участвуют побольше человек. Хорошо, если их будет 30 или
даже 40. Это может быть, например, весь класс.
Игра проходит в два этапа.
Первый этап. В одном мешке лежат три белых и два черных
шара, а в другом один черный. Это 7-й вариант размещения
шести шаров из вопроса 3 к §2.11. В этом случае вероятность
вынуть наугад белый шар равна 3/10; здесь наименьшее число
шансов спастись звездочету.
Учитель или водящий приглашает к мешкам первого игрока-
звездочета. Пока тот идет, учитель (водящий) подбрасыванием
монетки определяет, к какому из двух мешков должен подойти
игрок. Затем уже сам игрок, закрыв глаза, запускает руку в
мешок и наугад вынимает шар. Если шар белый, игрок отходит
к окну (он спасен!), а если черный, возвращается на место (он
казнен!). Вынутый шар возвращают обратно в мешок.
Один за другим к мешкам выходят и испытывают свою судьбу
все участники игры. В результате у окна скапливается
некоторая кучка счастливцев, которым Случай благоволил. Мы не
знаем, сколько их окажется. Было бы наивно ждать, что их
число точно равно числу участников, помноженному на
вероятность вынуть белый шар (например, 30 X 3/10 = 9). Их может
оказаться
больше,
например, 12
или,
наоборот,
меньше: 6 или
даже 4. Ос-
т а л ь н ы е
казнены...
На этом
первый этап
игры
окончен.

Глава вторая
145
Второй
этап. А те-
перьмывыбироем
такое
размещение шаров,
когда
вероятность вынуть
белый шар
наибольшая, и
значит, у
звездочета имеется
наибольшее
число шансов
спастись. Это
6-й вариант
(см. вопрос 3 к
§2.11): водном
мешке два
белых и три
черных шара, а в
другом один белый. Вероятность вынуть белый шар равна здесь
7/10.
Все повторяется точно так же, как на первом этапе игры.
И вот результат! Теперь у окна скопилось заметно больше
спасшихся счастливцев, чем это было после первого этапа.
Если после первого этапа их было около 10-ти или даже
меньше, то теперь их около 20-тй!
Вот и сказалось то, что вероятность вынуть белый шар
увеличилась в два с лишним раза! Вот и проявила себя,
«поработала» вероятность! Вот и проявилось различие между
наименьшим и наибольшим числом шансов!
Так что подсчет вероятностей и шансов оказывается отнюдь
не бесполезным! Вон их сколько спасенных у окна!
В игре ЗВЕЗДОЧЕТ И ПАЛАЧ вероятность обнаружила себя
очень эффектно - только подумать, сколько спасено жизней!
Правда, чтобы убедиться в этом, пришлось затратить немало
времени и пролить немало крови, хотя бы и понарошку.
Но можно заставить вероятность обнаружить себя всего за
несколько минут, и при этом не нужно столько народу.
Достаточно двух игроков.

146
сии
Игра: МОРСКОЙ БОЙ
Как и в игре «Минное поле» (см. §2.10), у каждого из двух
игроков есть два одинаковых по размерам бумажных квадрата.
Пусть сторона каждого квадрата составляет 20 клеточек.
Игрок 1 на квадрате «Мои корабли» штрихует (занимает
кораблями) 10 клеток, а игрок 2 на таком же своем квадрате
штрихует 30 клеток.
Игрок 1 на квадрате «Мои цели» ставит жирные точки в
центре 40 клеток, которые он выбирает совершенно
произвольно. Свои 40 точек ставит на своем квадрате «Мои цели» также
игрок 2.
ИГРОК 1
ИГРОК 2
Hit"-
1
N
ш
1
■ * ] 1111
in
Теперь можно полюбоваться результатами. Накладываем на
просвет квадрат «Мои цели» 1-го игрока на квадрат «Мои
корабли» 2-го игрока и подсчитываем число попаданий в кораб-'
ли; обозначим это число через Nr Соответственно накладываем
на просвет квадрат «Мои цели» 2-го игрока на квадрат «Мои
корабли» 1-го игрока и тоже подсчитываем число попаданий
(N,).
Мы убеждаемся, что Nt приблизительно в три раза больше,
чем N2. Вот и проявилась вероятность (легко сообразить, что
вероятность попасть случайно в корабли 2-го игрока в 3 раза
больше вероятности попасть в корабли 1-го игрока - корабли 2-
го игрока занимают 30 клеток, а корабли 1-го игрока - 10
клеток).

Глава вторая
147
Демонстрационный опыт:
ДОСКА ГАЛЬТОНА
О
оо
ооо
оооо
о о ооо
900ООО
а
Еще ярче обнаруживает себя вероятность в
демонстрационном опыте с доской Гальтона. Предположим, что у нас есть очень
много шариков. Все эти шарики мы забросили в верхнее
отверстие доски Гальтона. Каждый шарик, скатываясь в ту или
иную ловушку, испытал 6 соударений со штырьками, а значит,
6 раз подвергался воздействию Случая. Можно сказать, что
Случай здесь потрудился весьма сильно. И все это множество
случайностей, весь этот хаос породили Порядок: распределение
шариков по разным ловушкам произошло в соответствии с
вероятностями попадания в соответствующую ловушку. В
этом распределении и проявили себя вероятности.

148 а^х?*^^-,*^-^^
Если бы ширина ловушки 3. была в несколько раз меньше,
чем у нас (при этом надо было бы уменьшить также диаметры
штырьков и шариков, расстояния между штырьками, а число
штырьков и ловушек увеличить), то тогда распределение
большого числа шариков по ловушкам можно было бы наглядно
изобразить плавной кривой - вроде той, какая нарисована у нас.
У этой кривой есть имя: кривая Гаусса. Она похожа на шляпу
с широкими полями, не правда ли?
Однажды с доской Гальтона познакомились мартышка и
слоненок.
Мартышка: Прекрасное зрелище! Шарики так ловко скачут
по штырькам. Как мартышки по веткам!
Слоненок: Ну, шарики не живые. Они не думают, куда
отскочить. У них это все совсем случайно.
Мартышка: А разве мы, мартышки, думаем о чем-нибудь,
когда скачем по веткам? Просто скачем, куда попало!
Слоненок (задумавшись): Тогда я, наверное, чего-то не
понимаю.
Мартышка: Чего же?
Слоненок: Вот тут много-много шариков...
Мартышка: Конечно, их очень много. Ну и что же?
Слоненок: И каждый шарик двигается беспорядочно...
Мартышка: Ну да, как беззаботная мартышка! Ты не
можешь сказать, в какую ловушку попадет шарик. И про
мартышку ничего нельзя предсказать! От мартышки всегда
много беспорядка! Тут уж ничего не поделаешь!
Слоненок: Но мне всегда казалось, что чем больше
мартышек, тем беспорядка больше! А вот тут много-много
шариков, значит, должно быть много беспорядка - а получается
как-то наоборот: появляется порядок.
Мартышка (озадаченно): Да о каком порядке ты говоришь?
Слоненок: Да вот об этой самой кривой. Как ее? Кривая
Гаусса... Ничего не понимаю... Чем больше беспорядка, тем
больше порядка...
Мартышка: Порядок наводит вероятность!
Слоненок: Чего же она его с одним шариком не наводит?
Мартышка: Не знаю... Может быть, не хочет тратить силы на
какой-то один шарик? Вот когда их много...
Разговор мартышки и слоненка разбудил удава. Тот
проснулся, прислушался и сказал:
— Я не знаю, что такое вероятность. Но я знаю, что от одной
маленькой обезьянки может быть очень много шума.

Глава втоуая
149
Игра: ПРИСТЕНОЧНИКИ ПРОТИВ ОКОННИКОВ
Странное название игры возникло из-за того, что из двух
соседей по парте один сидит ближе к окну (он - оконник), а
другой ближе к стене, где нет окон (он - пристеночник). В игру
играют двое - оконник и пристеночник. Оба игрока бросают
одновременно по кубику и всякий раз подсчитывают сумму
выпавших очков.
Сумма очков может быть от 2-х до 12-ти. Условимся, что при
выпадании сумм, равных 5, 6, 7, 8, 9, ход выигрывает
пристеночник, а при выпадании 2, 3, 4, 10, 11, 12 выигрыш хода за
оконником.
7 8 9. 10 11 12
Игра идет или на время, или до определенного числа ходов.
Выигрывает тот, за кем будет большее число выигранных ходов.
Мартышка: Эта игра нечестная!
Слоненок: Почему?
Мартышка: Потому что оконник выигрывает в шести
случаях, а пристеночник только в пяти.
Слоненок: И вправду. А я сначала и не заметил.
Мартышка: Никому об этом не говори. Я попробую сыграть
в эту игру с попугаем. Вон он как раз летит сюда.
Попугай: Что у нас нового?
Мартышка: У нас новая игра. Я хочу сыграть в нее с тобой.
Я буду оконником, а ты пристеночником.
Попугай: Ничего не понимаю. Что я должен делать?
Мартышка: Мы будем бросать по кубику и
складывать выпавшие очки.
Попугай: Ну, давай. У меня 6.
Мартышка: У меня 1. Сумма: 6+1=7. Этот ход
ты выиграл.
Попугай: У меня 3.
Мартышка: У меня 5. Сумма: 3 + 5 = &. Ybi опять
выиграл.

150
Попугай: У меня 4.
Мартышка: И у меня 4. Сумма: 4 + 4 = 8. Опять выигрыш
у тебя.
Попугай: У меня 1.
Мартышка: У меня 3. Сумма: 1+3 = 4. Выиграла я!
Попугай: У меня 2.
Мартышка: У меня 4. Сумма: 2 + 4 = 6. Выигрыш твой.
Попугай: У меня 6.
Мартышка: У меня 2. Сумма: 6 + 2 = 8. Опять выигрыш твой.
Ничего не понимаю! Тебе просто сегодня везет!
Слоненок: А мне кажется, тут дело не в везении, а в
вероятности. Надо просто посчитать вероятность выпадания
той или иной суммы очков.
Мартышка: Верно! Нарисуем таблицу:
Здесь по горизонтали
очки, которые
выпадают на моем кубике, а
по вертикали — на
кубике попугая. А в
самой таблице суммы
очков. Я все поняла!
Слоненок: Объясни,
пожалуйста.
Мартышка: Посмотри
на таблицу. Суммы очков, которые являются выигрышем
оконника, встречаются в таблице 12 раз (я их заштриховала),
а суммы очков, которые являются выигрышем
пристеночника, встречаются 24 раза. Все равно эта игра нечестная! Здесь
всегда будет выигрывать пристеночник!
Слоненок: Ну, конечно! Получается, что вероятность
выпадания сумм очков, равных 2, 3, 4, 10, 11 или 12, составляет
12/36 = 1/3,
а вероятность выпадания сумм очков, равных 5, 6, 7, 8 или
9, составляет 24/36 = 2/3.
Мартышка: У пристеночника в два раза больше вероятность
выиграть! Вот почему «везло» попугаю!
Вопросы и задания:
ф Придумай какую-нибудь игру, где можно было бы увидеть
проявление вероятности. Может быть, ты придумаешь игру с
лабиринтом? При этом совсем не обязательно отправляться в
настоящий лабиринт. Его можно нарисовать и путешествовать в нем

Глава втоуая 151
мысленно, выбирая дорогу в соответствии с рекомендациями
игрального кубика.
(5) По поводу игры «Пристеночники против оконников»: подсчитай
вероятности выпадания каждой из сумм очков в данной игре.
©Предположим, что в игре пристеночников и оконников всякий раз
оценивается не сумма, а разность выпавших очков. Возможны,
очевидно, такие разности: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Условимся, что если
выпадают разности 0, 1, 5, выигрывает оконник, а если выпадают
разности 2, 3, 4, выигрывает пристеночник. Кем бы тебе хотелось
играть? Какая разность очков самая вероятная?
2.13 Частота и вероятность
Высшее назначение математики —
находить порядок в хаосе, который нас
окружает.
Норберт Винер
Интересно, как ты теперь представляешь себе вероятность?
Мы имеем в виду не ее математическое определение через
отношение мер двух множеств событий, а именно
представление, собственное понимание, собственное отношение.
Чем ближе к единице вероятность какого-то события, тем у
нас больше уверенность, что это событие и в самом деле
произойдет. И наоборот, чем ближе вероятность события к нулю,
тем упомянутая уверенность у нас меньше. Значит, вероятность
количественно измеряет (в простых дробях - от 0 до 1) степень
нашей уверенности в том, произойдет или не произойдет то или
иное событие.
Может быть, ты именно так представляешь себе вероятность?
Если событие невозможное (вероятность равна
нулю), ты уверенно говоришь: это событие ни за
что не произойдет! Если событие достоверное
(вероятность равна единице), ты уверенно
говоришь: это событие произойдет обязательно! Если
у двух событий одинаковая вероятность, ты
говоришь: надо с равным успехом ожидать как то
событие, так и другое!

152
Если у двух событий вероятности существенно
различны, ты говоришь: скорее всего произойдет
событие, у которого большая вероятность, и вряд
ли произойдет событие, у которого маленькая
вероятность! Ты можешь также сказать, что у
первого события больше шансов произойти, чем у
второго.
Все это так! Но ты прекрасно понимаешь, что
событие с большой вероятностью может все же
не произойти,
а событие с маленькой вероятностью может,
несмотря ни на что, произойти.
В КАЖДОМ КОНКРЕТНОМ СЛУЧАЕ ВСЕ
МОЖЕТ ПОЛУЧИТЬСЯ СОВСЕМ НЕ ТАК,
КАК ПРЕДПИСЫВАЕТ ВЕРОЯТНОСТЬ.
Каждый отдельный случай остается случаем
и, как таковой, он непредсказуем!
Итак, внимание!
Сам по себе случай непредсказуем, хотя
его вероятность точно предсказуема.
(Не помешает лишний раз подчеркнуть, что
вероятность - определенная простая дробь; во
многих случаях нетрудно ее точно подсчитать.
Это мы уже делали много раз).
Спрашивается, когда же эта
предсказуемость проявляется?
Ответ: Тогда, когда случай не один, а когда
случаев много.
Ну разве это не удивительно?
С одним случаем вероятность не
справляется, но прекрасно управляет «толпой»
случаев! И при том тем успешнее, чем эта «толпа»
больше!
Во всем этом тебе уже удалось убедиться в §2.12.
«Толпа» случаев - это 30 участников игры «Звездочет и
палач». Одному участнику, возможно, и не понять, почему 6-й
вариант размещения шаров предпочтительнее 7-го варианта.
Тем более, если палач, несмотря на выбор предпочтительного
варианта, все же «отрубит ему голову». Но все это очень понятно
тем двум десяткам счастливцев, которые спаслись от «казни».

Глава вторая 153
«Толпа» случаев - это множество из 40 случайно
проставленных точек на квадрате «Мои цели» в игре «Морской бой».
«Толпа» случаев - это большое количество шариков на доске
Гальтона. Когда отдельный шарик начинает свое движение по
доске сверху вниз, никто не может предсказать, в какой ловушке
он окажете^. Можно утверждать, что все шарики находятся
здесь в совершенно одинаковых условиях. О каждом шарике
можно сказать: он движется случайным образом и совсем «не
ведает» о том, как при этом двигаются (или как до него
двигались) другие шарики. Каждому шарику нет никакого дела
до других шариков; он «выбирает» свой путь независимо от
других шариков, он «выбирает» его исключительно по воле
Случая. И вот несмотря на это результат распределения
большого числа шариков по ловушкам оказывается упорядоченным!
Как если бы шарики как-то «сговорились» друг с другом. Вот
яркий пример проявления порядка в хаосе! И порядком этим
управляет вероятность.
Конечно же, во всем этом очень много удивительного.
Но обычно серьезные люди стараются своего удивления не
показывать. А вместо этого начинают вводить новые термины и
ставить всякие опыты. Это называется научным подходом.
Испробуем и мы с тобой такой подход. К чему лишние восторги?
Возьмем игральный кубик. Ах, он тебе надоел! Ничего не
поделаешь, придется поработать с ним еще раз. Предположим,
мы интересуемся выпаданием единицы. Сделаем N бросаний и
подсчитаем, сколько раз выпала единица; обозначим это число
через п. Отношение
V = п /N
назовем частотой выпадания единицы. Строго говоря, jsto
название требует уточнения. Ведь недостаточно сказать «я
ударился об угол ». О какой угол? Стола, шкафа, комода или еще
чего-то? Так и тут. Надо сказать: «частота выпадания единицы
в данном опыте».
Допустим, у тебя было 30 бросаний кубика (N = 30), и
единица выпала 7 раз (п = 7); значит, у тебя частота выпадания
единицы V = 7/30. А теперь передай кубик приятелю. Пусть он
бросит его 30 раз. Сколько у него раз выпала единица? Так, всего
3 раза. Значит, у него частота выпадания единицы V = 3/30. А
если ты снова бросишь кубик 30 раз? Сколько теперь единиц?
Оказывается, теперь их у тебя 5. Значит, теперь у тебя частота
выпадании единицы V = 5/30.

154
Как видишь, частота того или иного события меняется от
опыта к опыту. Так зачем она нам? Не спеши с выводами. Давай
продолжим наш опыт с подсчетом выпаданий единицы.
Будем постепенно увеличивать каждый раз число бросаний
N. И пусть твой приятель тоже проводит такой же опыт. И ты,
и он уже сделали по 30 бросаний. Сделайте по 60, потом по 90,
потом по 120, по 150, 180, 210, 240, 270, 300. Этого, наверное,
будет достаточно. Для каждой серии бросаний подсчитайте,
сколько раз выпала единица, и определяйте частоту ее
выпадания V (ты для своих бросаний кубика, а твой приятель для
своих).
На рисунке приведены результаты, полученные в двух таких
опытах (белые кружочки - один опыт, черные - другой).
Каждый опыт проводился около двух часов.
зо бо 90 /го 150 /л? ею гю 2Х> эоо
По мере увеличения числа испытаний частота нужного
события приближается к его вероятности!
Возможно, 300 бросаний кубика - это не так уж и много. Но
уже можно усмотреть, что частота выпадания единицы в обоих
опытах приближается к вероятности 1/6 по мере увеличения
числа бросаний. Ученые говорят, что множества подобных
событий (для которых частота может приближаться к
вероятности) обладают статистической устойчивостью. Мы еще не раз
вернемся к этому термину.
Без сомнения, статистическая устойчивость — удивительная
штука! (Вот опять начались восторги!) Бросаешь какую-нибудь
монетку раз десять и убеждаешься в том, что решка выпала не
один раз и не девять, а около пяти раз (может быть, три, четыре,

Глава вторая 155
шесть...). Значит, если только что выпала решка, то в
следующий раз скорее всего выпадет орел? Ну, чтобы «уравнять» ту
решку. А уж если решка выпала три раза подряд, то почти
наверняка теперь выпадет орел! - Конечно, такое рассуждение
неверно. Вот ты готовишься подбросить монетку. Какое дело
монетке или твоей руке др того, каким образом монетка
выпадала предыдущие разы? Ясно, что выпадание решки три раза
подряд никак не может повлиять на вероятность выпадания
орла при четвертом подбрасывании. Эта вероятность как была
1/2, так и осталась 1/2. Просто мы, как правило, не понимаем
логики случайных событий.
Иногда такое непонимание может привести к разорению.
Недаром пословица говорит: «играй, да не отыгрывайся!» А ведь
как кажется, что уж если весь вечер не везло, все проиграл, то
вот теперь должно же, наконец, повезти! Есть же справедливость
на свете! Напрасные надежды: сколько ни проигрывай,
вероятность выигрыша не увеличится.
Так что статистическая устойчивость - конечно же
удивительна! Как и удивителен факт рождения порядка из хаоса.
Вроде бы везде беспорядок, везде случайности,
непредсказуемости - а в целом определенное Число, необходимый,
прекрасно предсказуемый порядок.
Паскаль носил в душе водоворот без дна.
— Все пропасть алчная: слова, мечты, желанья.
Мне тайну ужаса открыла тишина,
И холодею я от черного сознанья.
Вверху, внизу, везде — бездонность, глубина,
Пространство страшное с отравою молчанья.
Во тьме моих ночей встает уродство сна
Многообразного — кошмар без окончанья.
Мне чудится, что ночь — зияющий провал,
И кто в нее вступил — тот схвачен темнотою.
Сквозь каждое окно — бездонность предо мною.
Мой дух с восторгом бы в ничтожестве пропал,
Чтоб тьмой бесчувствия закрыть свои терзанья.
— А! Никогда не быть
вне Чисел, вне Сознанья!
(Ш. Бодлер)

156
Итак,
порядок действительно рождается из хаоса.
Рисунок на стр. 154 можно рассматривать как
научную демонстрацию рождения порядка из
хаоса.
Возможно, одна из самых ярких иллюстраций рождения
порядка из хаоса - шарики в ловушках доски Гальтона:
О
а
о
8
Вот произошло одно случайное событие, другое, третье... Их
все больше и больше. Хаос возрастает. И в то же время,
постепенно, в разноголосице случайных событий начинает все
явнее проявляться упорядоченность - сначала смутная, но
постепенно становящаяся все более и более четкой,
определенной. Доска Гальтона позволяет видеть это особенно хорошо.

Глава втоуая 157
И по-видимому следует говорить
не о ПОРЯДКЕ ИЗ ХАОСА,
|а о ПОРЯДКЕ В ХАОСЕ.
Не о СОТВОРЕНИИ МИРА,
а о СУЩЕСТВОВАНИИ МИРА.
ПОРЯДОК В ХАОСЕ - ЭТО И ЕСТЬ
■ СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - НАУКА О ПРОЦЕССАХ И
СИСТЕМАХ, ОБЛАДАЮЩИХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
УСТОЙЧИВОСТЬЮ, ИНЫМИ СЛОВАМИ, ЭТО НАУКА О
ПОРЯДКЕ В ХАОСЕ.
Здесь остается вспомнить вынесенное в
эпиграф изречение «отца кибернетики» Норберта
Винера: «Высшее назначение математики -
находить порядок в хаосе, который нас
окружает».
Мартышка: Во всяком хаосе есть порядок?
Автор книги: Интересный и даже неожиданный вопрос!
Мартышка: Хотелось бы выяснить: во всяком ли хаосе есть
эта так называемая статистическая устойчивость? Где эта
устойчивость в том кавардаке, который мы, мартышки,
собравшись вместе, можем здесь устроить?
Слоненок: Да, да! Мне бы тоже хотелось это выяснить.
Автор: Действительно, не во всяком хаосе есть порядок.
Возможны события, которые происходят от случая к случаю
и в то же время никакой статистической устойчивости не
обнаруживают.
Мартышка: Я так и думала!
Автор: К таким событиям понятие вероятности
неприменимо. Нельзя, например, говорить о вероятности получения
двойки тем или иным учеником по тому или иному предмету.
Нельзя говорить о вероятности того или иного исхода
встречи двух шахматистов одинакового ранга. И
вероятностные предсказания астрологов никакого отношения не
имеют к теории вероятностей. К сожалению, мы как правило не
очень-то задумываемся над мудреным понятием
«статистическая устойчивость» и любим употреблять к месту и не к
месту выражения «маловероятно», «вероятно», «вероятнее
всего», «по всей вероятности». Мы применяем их, в
частности, и к таким событиям, которые никакой вероятностью не
характеризуются. Мы склонны приписывать вероятностную

158
природу всем событиям, которые не можем точно
предсказать.
7
Вопросы и задания:
Q) Проделай опыт с частотой выпадания какой-нибудь грани
игрального кубика. Доведи число бросаний до 300, а если хватит
терпения, то до 400 или более. Лично убедись в том, что здесь есть
статистическая устойчивость (убедись в том, что частота события
действительно приближается к его вероятности при возрастании
числа испытаний).
(2) Если будет-возможность, поработай с доской Гальтона. При этом
не спеши. Сначала брось в верхнее отверстие всего несколько
шариков. Зарисуй, как они распределятся по ловушкам. Затем брось
еще несколько шариков; зарисуй новую картину распределения
шариков по ловушкам. И так далее: подбрасывай шарики и рисуй.
Когда шариков накопится достаточно много, убедись в появлении
порядка в их распределении.
(D В игре «Звездочет и палач», описанной в §2.12, число испытаний
равнялось 30. А если это число увеличить? Например, довести его до
100? В этом случае отношение числа избежавших «казни» при
использовании 6-го варианта размещения шаров к числу таких
удачников при использовании 7-го варианта должно приблизиться к
отношению 7:3, которые предписывают вероятности. Убедись в этом.
(|)Конечно, увеличивать число испытаний в игре «Звездочет и палач»
не так-то просто. Зато совсем не трудно увеличить число испытаний
в игре «Морской бой». Сделай это и убедись, что частота попадания
в корабли противника приближается к вероятности попадания.
© Почему буквы на клавиатуре пишущей машинки расположены не
в алфавитном порядке? Чем объясняется порядок их
расположения? Проделай опыт: возьми какой-нибудь текст и подсчитай
частоту появления в нем тех или иных букв. Тем самым попробуй
хотя бы приблизительно оценить вероятность появления в тексте
различных букв; для этого, конечно, число испытаний должно быть
достаточно большим.
Возьмем, например, такой текст:
«— Но вот какой вопрос меня беспокоит: ежели Бога нет,
то, спрашивается, кто же управляет жизнью человеческой
и всем вообще распорядком на земле?
— Сам человек и управляет, — поспешил сердито ответить
Бездомный на этот, признаться, не очень ясный вопрос.

Глава вторая 159
— Виноват, — мягко отозвался неизвестный, — для того,
чтобы управлять, нужно, как-никак, иметь точный план на
некоторый, хоть сколько-нибудь приличный срок.
Позвольте же вас спросить, как же может управлять человек,
если он не только лишен возможности составить какой-
нибудь план хотя бы на смехотворно короткий срок, ну,
лет, скажем, в тысячу, но не может ручаться даже за свой
собственный завтрашний день? И в самом деле, — тут
неизвестный повернулся к Берлиозу, — вообразите, что
вы, например, начнете управлять, распоряжаться и
другими и собою, вообще, так сказать, входить во вкус и
вдруг у вас... кхе... кхе... саркома легкого... — тут
иностранец сладко усмехнулся, как будто мысль о
саркоме легкого доставила ему удовольствие, — да, саркома,
— жмурясь, как кот, повторил он звучное слово, — и вот
ваше управление закончилось! Ничья судьба, кроме
своей собственной, вас более не интересует. Родные
начинают вам лгать. Вы, чуя неладное, бросаетесь к
ученым врачам, затем к шарлатанам, а бывает, и к
гадалкам. Как первое и второе, так и третье совершенно
бессмысленно, вы сами понимаете. И все это кончается
трагически: тот, кто еще недавно полагал, что он чем-то
управляет, оказывается вдруг лежащим неподвижно в
деревянном ящике, и окружающие, понимая, что толку от
лежащего нет более никакого, сжигают его в печи. А
бывает и еще хуже: только что человек соберется
съездить в Кисловодск, -* тут иностранец прищурился на
Берлиоза, — пустяковое, казалось бы, дело, но и этого
совершить не может, потому что неизвестно почему вдруг
возьмет поскользнется и попадет под трамвай! Неужели
вы скажете, что это он сам собою у правил так? Не
правильнее ли думать, что управился с ним кто-то совсем
другой? — И здесь незнакомец рассмеялся странным
смешком».
М. Булгаков
Кстати, откуда взят этот текст? Кто такой здесь «незнакомец»?
Итак, возьми этот текст для небольшого исследования на вероят-
' ность. Сначала аккуратно подсчитай общее число букв в данном
тексте - это и есть число испытаний. Затем подсчитай, сколько раз
встречается в тексте та или иная буква. Поделив полученное число
на число испытаний, ты найдешь частоту появления в тексте данной
буквы. Это и будет приблизительно вероятность появления буквы.

Посчитай и сравни вероятности появления в тексте букв «а», «р»,
«с», «м», «я», «з», «ш».
(§) В первой главе было уделено немало времени вопросу
«рождение порядка из хаоса». Как мы выяснили,
представление о том, что вначале был хаос, а затем из него
сформировался порядок, не совсем верны. Не порядок из хаоса, а
порядок в хаосе! Пересмотри все приводившиеся раньше
примеры и убедись, что все они действительно
демонстрируют «порядок в хаосе».
В этой связи напомним замечание, сделанное в конце §1.7:
«Можно сказать, что все время непрерывно совершается
сотворение мира и точно так же все время происходит
процесс, который принято называть «концом света».
Попробуй сочинить миф о сотворении - разрушении мира.

161
Содержание
Глава первая: Его Величество Случай 1
Вступление 2
1.1 Шиворот-навыворот: ничего не предсказать да и
вовсе не понять 3
1.2 Да здравствует порядок! 13
1.3 А есть ли в жизни случайность? 18
1.4 Случайность под маской необходимости 22
1.5 Борьба Космоса и Хаоса 29
1.6 И случайность, и необходимость, или, иными
словами, и беспорядок, и порядок 35
1.7 От порядка к беспорядку, от беспорядка
к порядку 47
1.8 Враг случайного - симметрия 52
1.9 В самом начале был случай 61
1.10 Суд над Случаем 65
Глава вторая: Множество — мера —
вероятность, или Математика Случайного 74
2.1 Множество и элементы множеств 75
2.2 Множества событий - Однозначные и
неоднозначнее исходы — Равновероятность 83
2.3 Перестановки 87
2.4 Сочетания 93
2.5 Доска Гальтона и монетка 100
2.6 Математические иероглифы 105

162
2.7 События невозможные, достоверные и другие ..110
2.8 Дроби и вероятности 115
2.9 Мера и вероятность 123
2.10 Вероятность 126
2.11 Сложение и уножение множеств, дробей,
вероятностей 132
2.12 Игры с вероятностями 143
2.13 Частота и вероятность 151
ЛР № 020051 от 25.09.91.
Всероссийская школа математики и физики "Авангард"
Москва, Коломенский проезд, д.16
Подписано в печать 28.12.94г. Формат 70x100/16
Бумага офсетная Печать офсетная
Объем 10,25 усл.п.л. Тираж 10000 экз. Заказ № 1772. ^
Отпечатано с готового оригинал-макета в Тверской областной типографии.
170000, г. Тверь, Студенческий пер., 28.