Автор: Кочетков Е.С. Осокин А.В.
Теги: теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов математика
ISBN: 5-9232-0010-4
Год: 2000
Текст
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (технический университет) Е.С. Кочетков, А.В. Осокин СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Утверждено Редсоветом МАИ в качестве учебного пособия для студентов инженерно-технических и физико-математических специальностей МОСКВА 2000 ВБК 22.171 К 55 УДК 519.21(075.8) Рецензенты: кафедра математики МИИ, зав. кафедрой профессор, к. ф.-м. н. А.В. Тищенко; к. т. н., с. и. с. Института проблем управления РАН М.Е. Шайкин К 55 Кочетков Е.С., Осокин А.В. Случайные величины: Учебное пособие. -М.: МАИ. 2000. -224 с.: ил. ISBN 5-9232-0010-4 Учебное пособие содержит обширный теоретический материал и достаточно полный набор типовых задач на случайные величины. Наиболее важные из этих задач снабжены подробными решениями, < остальным задачам приведены ответы. Пособие предназначено для аудиторной и самостоятельной работы студентов технических вузов по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Некоторые из включенных в пособие шдач могут послужить справочным материалом полезным для пре-юдавателей, аспирантов и научных сотрудников. ББК 22.171 © Е.С. Кочетков, А.В. Осокин, 2000 ISBN 5-9232-0010-4 (с) Московский государственный авиационный институт (технический университет), 2000 Предисловие Данное пособие служит продолжением учебного пособия авторов < Случайные события»* и предназначается для аудиторной и самостоятельной работы студентов технических вузов по курсу «Теория вероятностей и метематическая статистика». В пособии представлен обширный теоретический материал по изучаемым разделам и достаточно полный набор типовых задач на случайные величины. Наиболее важные с методической точки зрения задачи снабжены подробными решениями, к остальным задачам приведены ответы. Некоторые из включенных в пособие задач могут послужить справочным материалом, полезным для преподавателей, аспирантов и научных сотрудников. Структура пособия обусловлена потребностями проведения практических занятий со студентами: каждый раздел охватывает лишь материал очередного занятия и разбит на небольшие пункты, что поможет преподавателю в условиях почти постоянной нехватки времени выделить наиболее важные задачи. Большинство предложенных задач доступно каждому студенту, претендующему на положительную оценку; задачи, помеченные знаками о и * (например. 1.12°, 1.13*), предназначены для студентов, ориентирующихся на хорошую или отличную оценку на экзамене, а также студентам физико-математических специальностей. Последние, но сложившейся в МАИ практике, изучают материал разделов 8-10 более основательно, например, по учебному пособию Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, А.В. Осокин «Предельные теоремы теории вероятностей»**. Авторы благодарят Б.Ц. Бахшияна, Ю.С. Кана, В.Н. Пугачева, С.О Смерчинскую, К.В. Степаняна, А.В. Тищенко, М.Е. Шайкина за полезные замечания по улучшению рукописи. ’Кочетков Е.С., Осокин А.В. Случайные события. -М.: МАИ, 2000. “Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Осокин А.В. Предельные теоремы теории вероятностей. -М.: МАИ, 1999. Раздел 1 Дискретные случайные величины Случайная величина и ее функция распределения Первоначальное представление о случайных величинах можно составить по таким примерам, как число выстрелов по мишени до первого промаха, количество космических частиц, попадающих на заданный участок земной поверхности в определенное время, ошибка измерения дальности или какой-то иной величины, число отказавших узлов оборудования в процессе его использования и т.п. Приводимое ниже формальное определение вскрывает не только случайный характер описываемых величин, но и учитывает необходимость вычисления связанных с ними вероятностей. Естественно, что такое определение должно базироваться на понятии вероятностного пространства. Определение. Пусть (П, F, Р) — вероятностное пространство. Случайной величиной, рассматриваемой над этим пространством, называется отображение (функция) £(ш): П—>R такое, что для всяких ш € Q и х € R : £(w) < х| € Т- (11) В дальнейшем для обозначения случайной величины мы наряду с £(w) будем писать просто £ и, в частности, {£ < х] — вместо более пространного : £(iu) < х|. В соответствии с (1.1) {£ < х} — случайное событие; его вероятность обозначается Р(£ < х). Итак, всякая случайная величина £ имеет функцию распределения F(x), определяемую как F(x) = P(£<x). (1.2) При этом, разумеется, О F(x) 1, (1.3) так что график любой функции распределения у = F(x) целиком укладывается в полосе 0 у С 1. Случайная величина и ее функция распределения 5 Функция распределения обладает следующими свойствами: 1) (хг<х^ ==> (f(«1) F(x2)) (монотонное неубывание)- 2) lim F(x) - F(xo) (непрерывность слева)-, 3) F(-oo) = lim F(x) — О, F(-hoo) = lim F(x) = 1 (поведение на бесконечности). Рис. 1.1. Приведенные три свойства являются характеристическими для функции распределения. Это означает, что всякая функция F(x), заданная на всей числовой прямой и обладающая этими свойствами, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины. На рис. 1.1 графически представлены примеры функций распределения. Если F(x) — функция распределения случайной величины то P(a^<0) = F(P)-F(a), (1.4) Р(^ = с) — F(c + 0) — F(c). (1.5) Замечание. Функция распределения иногда определяется не формулой (1.2), а формулой F(x) = Р(£ х). В этом случае она оказывается непрерывной справа, а вместо (1.4) и (1.5) получается, что P(a<^0) = F(0)-F(a), Ptf = с) = F(c) _ F{c _ о). 6 Раздел 1. Дискретные случайные величины Общие понятия, связанные с дискретными случайными величинами 7 Общие понятия, связанные с дискретными случайными величинами Случайная величина называется дискретной (имеет дискретное распределение вероятностей), если множество ее значений конечно {Жр х2,..., хп] или счетно {т,, х2,.... хп,...}. Таблица £ ( Х1 Х2 Ж3 — хп — \ Ъ \ Р1 Р2 Рз Рп - )' ’ в верхней строке которой перечислены все значения величины ф а в нижней строке соответствующие им вероятности Рп (1.7) называется законом распределения случайной величины ф или рядом распределения случайной величины ^последний термин используется, как правило, в случае монотонной последовательности {хТ, }). При этом а\, ж2,..., хп,. . могут быть любыми попарно различными числами; вероятности же , р2,..., рп,... неотрицательны и в сумме дают единицу: А- (1.8) Функция распределения F(x) рассматриваемся! случайной величины £ может быть записана в виде F(x) = Р(5 < х) = (1.9) Эта функция является кусочно постоянной; в точках я: х2,..хп,... она претерпевает разрывы со скачками, равными pj, р2,..рп,... соответственно. В качестве примера на рис. 1.2 представлен график функции распределения случайной величины 1 0,6 0,3 О Рис 1.2. О 0,3 1 2 0,1 0,2 Если для распределения (1.6) ряд ^,xkpk является абсолютно сходящимся, к то его сумма доставляет среднее значение, или математическое ожидание случайной величины ф которое мы будем обозначать как Еф E^ = 7LxkPk-к (1.10) 3 случае, когда приведенный ряд расходится или сходится, но не абсолютно, оворят. что случайная величина не имеет математического ожидания. При достаточно слабых ограничениях, накладываемых на функцию р(х) (например, д(х) — непрерывная или кусочно непрерывная функция), можно оворить о случайной величине <?(Ф- Ее математическое ожидание может быть зычислено по формуле Е»(5) = Е«<ч)р» <1П> к i предположении, что ряд в правой части этой формулы сходится абсолютно. В частности, для всякого г — 1,2,3,... ar - Еф = ^хкРк> к fc (1.12) (113) Неслучайные величины аТ и аг (г = 1,2,...) называются соответственно начальным и центральным моментами ч—го порядка случайной величины ф Начальный момент первого порядка, как уже отмечалось, представляет :обой математическое ожидание случайной величины ф Центральный момент зторого порядка случайной величины £, называется дисперсией этой величины и обозначается Еф DI; = E[(5-E5)2]. (1.14) Математическое ожидание случайной величины может быть любым действительным числом — положительным, отрицательным, равным нулю. Дисперсия же случайной величины всегда неотрицательна: D£ > 0. (1-15) причем равенство в (1-15) достигается тогда и только тогда, когда случайная величина £ принимает некоторое значение С с вероятностью 1: РЦ>С) = 1. Среднее значение (математическое ожидание) такой величины, естественно, равно С, так что ЕС = С, DC = 0. (1-16) Неотрицательная величина <т = УЦ (1.17) называется средним квадратическим отклонением случайной величины ф Важным свойством математического ожидания служит свойство линейности, записываемое двумя равенствами: Е(£ 4-г]) = Е£ + Ет}, (1Л8) Е(Аф = АЕ£ (1.19) 8 Раздел 1. Дискретные случайные величины — для любых случайных величин £ и Т), для которых существуют EJj и Ег], и для любого действительного числа А. Формулы (1-18) и (1-19) допускают следующее естественное обобщение: E[\+M1+MS+ ••+*»^] = A0+AlE5l+A2E52+- • + AnE5„. (1.20) Из определения (1.14) дисперсии и свойств (1.16)~(1.20) математического ожидания легко выводится формула Dt, = Е!;2 - (Е«2, (1.21) которая часто используется для вычисления D£. Дисперсия суммы случайных величин, вообще говоря, не равна сумме их дисперсий. Но для независимых случайных величин , £2,..., D(51+52+ - + t,) = D!;1+D5s+—+D$„. (1.22) Более подробно вопрос о вычислении дисперсии суммы будет рассмотрен в разделах 5 и 6, где, кстати, будет формально определено понятие независимых случайных величин (пока же мы ограничимся интуитивными представлениями о зависимости случайных величин). Для любых действительных С и Л DU + C)=D^ (1.23) О(Л« = A2D5, (1.24) в предположении, что < оо. Для всякой случайной величины £ с положительной дисперсией величина I =s (1.25) называется нормированной случайной величиной. Такое название связывается с тем, что Е5 = 0, D<-1. В приложениях особое значение имеют неотрицательные целочисленные случайные величины, то есть величины вида £ - ( 0 1 2 3 п • Y (1.26) s \ Ро Pi ₽2 Рз ” Рп • • J Для всякой такой случайной величины £ IX -k eV = (1.27)’ = П* " ЕУ2рк = к (х 2 £*pj • к / Общие понятия, связанные с дискретными случайными величинами 9 Вычисление сумм в (1-27) часто упрощается с использованием производящей Функции ф(г), определяемой как с1-28) fc=O Нетрудно установить, что в случае D£ < оо = ^(1). (1-29) = <&"(!) + V>'(1) - [^'(l)]2 (1-30) или, по крайней мере, = Л£»*'М’ (iTOO + ^(я:) - [V^(a^)]2) D£ - lim х~»1— О 1.1. Случайная величина £, принимает значения —2, —1,0,1, 2. Вероятности первых четырех значений приведены в следующей таблице: / -2 -1 0 1 2 \ 0,1 0,3 0,2 0,2 • ) ’ Построить график функции распределения случайной величины найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной величины. Решение. Недостающую вероятность Р(£ = 2) можно найти из условия (1.8): Р(£ = 2) = 1 - (0,1 + 0,3 + 0,2 + 0,2) = 0,2. График функции распределения F(z) случайной величины % представлен на рис. 1.3. Эта функция является кусочно постоянной и изменяется от 0 до 1, претерпевая разрывы в точках -2, —1, 0, 1, 2; соответствующие скачки составляют 0,1, 0,3, 0,2, 0,2, 0,2. Стрелочки на графике отражают непрерывность функции F(x) слева. Далее, по формулам (1.10), (1-12), (1.17) и (1.21) находим: Рис. 1.3. = (-2) - 0,1 + (-1) - 0,3 + 0 0,2 + 1 - 0,2 + 2 - 0,2 = 0,1; 10 Раздел 1. Дискретные случайные величины Е£2 = 4- 0,1+1 -0,3 + 0.0,2 + 1-0,2 4-4- 0,2 = 1,7; = Е^2 - (Е£)2 = 1,7 - 0,01 = 1,69; сг = Л/О^=1,3. 1.2. В условиях задачи 1.1 найдите закон распределения случайной величины Т) = |£|. Постройте график функции распределения величины Т); вычислите Ет] и Отр 1.3. Случайная величина £ принимает три значения: —1, 0, 1. Построить ее ряд распределения, если = 0, = 0,5. Решение. Обозначая искомые вероятности а, Ь и с, приходим к следующему закону распределения случайной величины -10 1 а Ъ с При этом (проверьте) Е^ — — а + с — 0; D£ = (о + с) - (—а + с)2 = 0,5. К тому же а + Ь + с = 1. Итак, для искомых вероятностей а, Ь, с получаем: {—а + с — 0, (а + с) — (—а + с)2 = 0,5, о + 6+с = 1. Отсюда о~0,25; Ь = 0,50; с = 0,25. Ответ: , f -1 0 1 \ 0,25 0,50 0,25 J ‘ 1.4. Пусть (с некоторыми опущенными вероятностями) / 0 1 2 3 \ \ • V3 • 1/е у 1) Вычислите D£, если известно, что Eij = l. 2) Вычислите ЕЁ,. если известно, что Щ = 11/12. Общие понятия, связанные с дискретными случайными величинами 11 1.5. По заданной функции распределения ' 0 при X -2 F(x) = < при —2 < х О 5/е при 3 < х ^5 . 1 при X >5 случайной величины £ найти Е£ и Решение. Данная функция F(x), будучи кусочно постоянной (рис. 1.4), в точках —2, 3, 5 имеет скачки, равные соответственно 1-0=1 »-1 = 1 1-5 = 1 3 3’ 6 3 2’ 6 6' Следовательно, F(x) и, таким образом, _ 5 ~ 3’ 6 =10' 65 4 3 2 6 25 «э Z D£ =Ю-^ = —. 9 9 1/3 !<---------- ^2 0 Рис. 1.4. Ответ: Е^ = 5/з, D£ = 65/g. 1.6? Какой наименьшей и какой наибольшей может быть дисперсия Df; случайной величины £ с функцией распределения (0 °,3 1 при х 0, при 0 < х < 2, при 2 < х 6} при х > 6 в зависимости от значений параметра а ? 12 Раздел 1. Дискретные случайные величины Равномерное распределение на конечном множестве Так называется дискретное распределение х / JC, х- ... хп \ ~ ( 1/„ V» V» ... V» j • (13 Математическое ожидание Е£ величины £ с таким распределением, (132) представляет собой среднее арифметическое всех ее значений. В частности, для случая получаем п+1 (1.33) 1.7. В системе, состоящей из шести равнонадежных занумерованных (1, 2, 3, 4, 5, 6) приборов, отказал (вышел из строя) один какой-то прибор. Для его обнаружения и устранения неисправности приборы проверяются один за другим в порядке их нумерации. Чему равно среднее число приборов, которые придется подвергнуть проверке, чтобы: а) устранить неисправность; б) выявить, какой именно прибор отказал? Решение. Номер £, отказавшего прибора представляет собой случайную величину с распределением 1 2 3 4 5 1/6 V6 1/6 1/6 1/6 1/6 и, таким образом, первая часть задачи решается нахождением математического ожидания случайной величины Е^ = 1/1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 Тот же результат получается и по формуле (1.33) при п = 6. Дробное значение Е^ не должно смущать читателя: ведь речь идет не о номере прибора, а о среднем значении случайного номера. Распределение Бернулли 13 Вторая часть задачи связана с рассмотрением случайной величины Т), равной числу подвергаемых проверке приборов для выявления отказавшего прибора. Эта величина отлична от £. Если, например, проверено пять приборов и все они оказались исправными, то отказавшим является прибор с номером 6: специально проверять его нет нужды (другое дело, когда нужно устранить неисправность). Очевидно, что случайная величина т] имеет следующее распределение вероятностей: Ет) = i(l+2 + 3 + 4 + 2-5 б \ 20 _ 10 6 “ 3 ' Отсюда 1.8. В условиях задачи 1.7 для каждого из пунктов а) и б) вычислите вероятность того, что придется проверять не менее половины всех приборов. 1.9. На новогодней елке погасла гирлянда, состоящая из 15 лампочек. Для отыскания перегоревшей лампочки проверяются по очереди все лампочки гирлянды. 1) Сколько в среднем лампочек придется проверить, чтобы обнаружить перегоревшую лампочку? 2) Какова вероятность того, что для обнаружения перегоревшей лампочки придется проверить не менее половины всех лампочек? 1.10. Из колоды карт (52 листа) наугад достают без возвращения по одной карте до тех пор, пока не попадется дама пик. 1) Сколько в среднем карт придется извлечь из колоды? 2) Какова вероятность того, что доставать потребуется не более половины всех карт? Распределение Бернулли Так называется распределение ( 1 ° V Р Q J ' (1-34) где 0 < р 1, q = 1—р. Соответствующая функция распределения {0, при х О, q, при 0 < х 1, 1, при X > 1 14 Раздел 1. Дискретные случайные величины представлена графиком на рис. 1.5. Случайную величину с рас- пределением (1-34) полезно интер- 11.......... ............. ........... претировать как число наступлений ' события А в одном испытании, в котором это событие наступает ; с вероятностью р (и не насту- ----------------------------?-----* пает с вероятностью д = 1—р). ° 1 х Для такой случайной величины £ Рис. 1.5. Е^=р, D^=pg. (1.35) 1.11. Рабочий обслуживает четыре автоматические линии, действующие независимо друг от друга. Вероятности того, что в течение смены эти линии потребуют вмешательства рабочего, равны соответственно 0,30; 0,35; 0,40; 0,45. Найти математическое ожидание и дисперсию числа линий, которые потребуют вмешательства рабочего в течение смены. ► Решение. Пусть , £2, £3, £4 — случайные величины, принимающие значения 1 и 0 в зависимости от того, потребует или не потребует вмешательства рабочего соответствующая автоматическая линия; тогда р / 1 0 А . / 1 0 \ ~ 0,30 0,70 ) ’ Ь2 ~ о,35 0,65 ) ’ ₽ / 1 0 \ . / 1 о А ~ 0,40 0,60 у» ^4 0,45 0,55 Следовательно, по формулам (1.35) =0,30, Е£2=0,35, Е^3 = 0,40, Е£4=0,45, =0,30-0,70 = 0,2100; D£2 = 0,35-0,65 = 0,2275; D£3 =0,40-0,60 = 0,2400; D£4 = 0,45-0,55 = 0,2475 Общее число Е; линий, которые потребуют вмешательства рабочего, может быть представлено в виде суммы; 5 = 51+52+53+?4- Поэтому ЕЕ,= Е£* + Е£2 + Е£3 + Е£4 = 0,30 + 0,35+0,40 + 0,45 = 1,50 Поскольку величины > £2> £з» ^4 независимы, d^ = d^+d^2 + d^ + d^ = = 0,2100 + 0,2275 + 0,2400 + 0,2475 = 0,9250. Bi(n: p) — биномиальное распределение с параметрами п и р 15 1.12. Три студента сдают экзамен по математике на отлично (независимо друг от друга) с вероятностями 0,9, 0,8 и 0,7 соответственно. Пусть Е, — общее число полученных ими отличных оценок. Вычислите И 1.13. Из урны, содержащей 10 белых и 15 черных шаров, наугад извлекают восемь шаров. Сколько в среднем белых шаров будет среди них? 1.14. Написано п писем и к ним подписано п конвертов. Затем письма наугад вложены в конверты и отправлены по почте. Сколько в среднем писем попадет по назначению? 1.15. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошло десять человек. Сколько в среднем остановок потребуется для йх обслуживания? 1.16. Шары — т белых и п черных — располагаются в ряд в случайном порядке. Сколько в среднем белых шаров окажется левее каждого из черных шаров? 1.17. В лыжной гонке участвуют 43 одинаковых по силе спортсмена; из них 18 человек представляют спортклуб Л, 10 человек — спортклуб В и 15 человек — спортклуб С. Какое в среднем место займет самый удачливый представитель спортклуба В ? Вг(п; р) — биномиальное распределение с параметрами пир Так называется дискретное распределение к ~ / 0 1 2 ... п \ Д Pi Рг - Рп J ’ где Рт = Рп (т) = Р(£ = т) = С^ртдп~т (о<р^1, д=1 — р, т — 0,1,2, ...,п). Запись £ ~ Bi(rr,p) означает, что £ — случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами пир. Такое же распределение имеет число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в отдельном испытании. Поэтому 5~5,+52 + +5.. (1.36) тае 51Л2.- — независимые случайные величины, причем E,fc есть число успехов (1 или 0) в к-ы испытании. Следовательно (при 1 к п), 5»~(р °) (1-ЗП 16 Раздел 1. Дискретные случайные величины По этой причине распределение Бернулли часто обозначают Bi(l;p). Типовые случаи изменения вероятностей рт при фиксированном п отражены на рис. 1 6. В первых двух случаях вероятности р0, plt р2, - , рп следуют сначала возрастая, а затем убывая, доставляя тем самым один или два максимума Последние два случая связаны либо только с неубыванием указанных вероятностей (при р, близком к 1), либо только с их невозрастанием (при р, близком к 0). Если пр — fl — число нецелое, то наиболее вероятным значением величины ~ ВЦп,р) служит значение 01 234567 8 910m 01 2 3 4567 8 910 m Рис. 1 б. = lnP-91+*> (138) где [т] — целая часть числа х, если же пр—q — число целое, то в качестве наиболее вероятного значения выступает любое из двух значений т'с = пр - fl, тп0' - пр - q + 1 (1.39) Производящей функцией распределения Bt(n,p) служит функция V(z) - (pz -г д)" (140) Если ~ Вг(п,р), то EJ; = пр, Di; = прд. (141) Наконец, отметим, что при рассмотрении биномиального распределения вероятностей часто приходится обращаться к формуле бинома Ньютона п (о + Ь)" = £сЭТ т тн—О 1.18. Построить график функции распределения случайной величины ~ Вг(п,р), если известно, что = 1. = 0,75. Указать наиболее вероятное значение величины ф Решение По условию задачи = пр = 1, = прд = б, 75 Bi(n, p) — биномиальное распределение с параметрами пир 17 Отсюда D2; 3 , 1 _ 1 . 9 = П = 4- ₽=1-«=4’ П=р=4' Таким образом, рассматривается биномиальное распределение В£(п, р) с параметрами п О $ = 4, р = 1/4: 2 3 4 81 256 108 256 54 256 12 256 256 График соответствующей функции распределения F(x) представлен на рис 17 Наиболее вероятное значение случайной величины равно 1 Его, кстати, можно было бы получить и не вычисляя приведенных выше вероятностей, достаточно заметить, что 255/256’. 243/256 1897256! 81/256 !* I I 3 Рис. 1 7. О пр - д = 1/4? и поскольку это число нецелое, наиболее вероятным значением Е, будет [пр — </] + 1 = [1/4] + 1 = 04-1 = 1 Полезно обратить внимание на то, что наиболее вероятное значение случайной величины Е, определяет ту точку числовой прямой, в которой функция распределения F(x) имеет наибольший скачок. 1.19. Может ли случайная величина иметь биномиальное распределение вероятностей, если. а) = 6, D£ = 3. б) Е£ = 7, = 4 ? 1.20. Вероятность приема самолетом радиосигнала при каждой передаче равна 0,7. Найдите закон распределения случайной величины £, — числа принятых сигналов при четырехкратной передаче Вычислите и О£,. Укажите наиболее вероятное значение 1.21. На стенде испытываются десять приборов. Априорная вероятность выдержать испытание для каждого такого прибора одна и та же — 0.82. Укажите: а) среднее число приборов, которые выдержат испытание; б) наиболее вероятное число приборов, которые не выдержат испытания 18 Раздел 1. Дискретные случайные величины 1.22. Данным маршрутом автобуса пользуются 24 человека. Но каждый из них опаздывает на автобус с вероятностью 0,2. Определите: а) среднее число пассажиров в автобусе данного маршрута, б) наиболее вероятное число пассажиров в автобусе данного маршрута. 1.23? Пусть £ ~ Вг(100; р). При каких значениях р € (0; 1) конечная последовательность вероятностей Ртп = Р(£ = тп) (тп = 0,1,2,.... 100) является монотонной? Могут ли в качестве равновероятных значений такой случайной величины £ выступать два ее значения? 1.24? Назовите три наиболее вероятных значения случайной величины £ ~ Вг(9; 0,4). 11.25. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины сЛ, если известно, что £, ~ Bi(n; р). ► Решение. = ^o‘c*p‘9n-*=^ci(Op)V“* = (ep+9)n; *=0 к-С е[(^)2] = Е[(О2)4]=(а2р + д)"; D(a^) = (e2p + q)n - (ар + q)2n. 1.26. Известно, что £, ~ В»(3; 0,2). Приведите закон распределения соответствующей нормированной случайной величины Непосредственными вычислениями убедитесь, что = 0, = 1. G(p) — геометрическое распределение с параметром р Реохетричеекил» называется распределение 12 3 ₽1 Р1 Р3 П Рп G(p) - геометрическое распределение с параметром у 19 Р„ = Р(£ = *) = ^*Р, (1-43) О < р 11 Ч = I — Р Такое распределение имеет, например, число испытаний, проводимых по схеме Бернулли с вероятностью успеха р в отдельном испытании, — до наступления первого успешного испытания (включая это успешное испытание) Геометрическое распределение вероятностей с параметром р мы условимся обозначать G(p) Если £ ~ G(p), то E^=i. (144) Замечание. Иногда в выражении «до первого успешного испытания» слово «до» понимают в буквальном смысле и последнее, успешное испытание в число рассматриваемых не включают Тогда геометрически распределенной объявляется величина 1], на 1 меньшая, чем введенная нами величина При таком соглашении формула (1 44) преобразуется в формулу Ец = 1/р — 1 = д/р. 1.27. Автоматическая линия при нормальной настройке выпускает бракованное изделие с вероятностью 0,001. Переналадка линии проводится после выпуска каждого бракованного изделия. 1) Чему равно среднее число изделий, выпускаемых между двумя последовательными переналадками линий7 2) Какова вероятность того, что между соседними переналадками линии выпускается ровно 1 000 изделий? ► Решение Число J, изделий, выпускаемых между двумя последовательными переналадками линии, представляет собой случайную величину, распределенную по закону G(Q,O01) Поэтому в силу соотношений (1-44) и (1.43) Е'-= -1 P(lj = l ООО) = 0,999мв -0,001 =0,999* 000 = / j у ООО 1 _ _г 1 1 V 1 000) '999 ~е 999 ~ 2,7-999 1-28. Решите задачу 1.10, п. 1 (см. с. 13) в предположении, что перед каждым новым выниманием карты из колоды ранее извлечённая карта возвращается обратно в колоду (выбор с возвращением) 20 Раздел 1. Дискретные случайные величины 1.29. Вероятность обнаружения малоразмерного объекта в заданном районе в отдельном полете равна 1/3. 1) Сколько в среднем полетов придется совершить, прежде чем объект будет обнаружен? 2) Какова вероятность того, что для обнаружения объекта придется совершить не менее трех вылетов? 1.30. При одном выстреле стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,7. Ему разрешается стрелять до трех промахов. 1) Найти среднее число израсходованных стрелком патронов. 2) Определить вероятность того, что стрелок израсходует ровно восемь патронов. ► Решение. 1) Каждый промах стрелка связывается в среднем с 1/о 3 выстрелами. Поэтому до трех промахов этим стрелком будет израсходовано в среднем 3/q 3 = 10 патронов. 2) Ровно восемь патронов стрелок израсходует (в условиях задачи) тогда и только тогда, когда при восьмом выстреле будет промах, а в первых семи выстрелах — 2 промаха и 5 попаданий. Вероятность такой комбинации событий равна Р--0,3-(С? -0.32 -0.75) = С? 0,3S-0.75 к 0,095. 1.31. За какое в среднем минимальное число подбрасываний игральной кости шестерка выпадет в совокупности 5 раз? Какова вероятность того, что указанное минимальное число подбрасываний окажется равным 7 ? 1.32. Докажите, что если Е, ~ G(p), то Р = п -I- к | £ > п) — Р(£ = к). Какую интерпретацию допускает данный результат? 1.33? В п корзин бросают шары Каждый из них, независимо от других шаров, с одинаковыми вероятностями попадает в одну из данных корзин. Шары бросают до тех пор, пока не останется ни одной пустой корзины. Сколько в среднем шаров при этом будет использовано? Оцените это число шаров для бачьнийх значений п. Энтропия дискретного распределения 21 Энтропия дискретного распределения Энтропия Н(£) случайной величины F~( Х> Х2 Х3 хп - А \ Pl Pi Рз - Рп • )' или соответствующего дискретного распределения, определяется как H(5) = -52Pjklnpfc. (1.45) к Не исключая равенства нулю какой-нибудь из используемых здесь вероятностей, полагают, что 0 In 0 = 0. Энтропию Н(^) можно принять за меру степени неопределенности распределения случайной величины что наглядно подтверждается приводимыми ниже задачами. При сопоставлении энтропий различных дискретных случайных величин часто используется неравенство - XX > - XX 1пК- <1Л6) к к относящееся к любым распределениям вероятностей {рк} и {р*}, причем знак равенства в (1-46) достигается тогда и только тогда, когда эти распределения вероятностей совпадают. В связи с (1.45) полезно также отметить, что функция f(x) = — г In ж выпукла кверху при 0 < г < 1 и потому / ( ai + °2 --Пп А у /(°i) + Апг) --------Ь f(g«) q \ п ) ' п для всяких -А € (0; 1)- А если среди этих чисел есть неравные числа, то нестрогое неравенство (1 47) преобразуется в строгое неравенство у (°! + °2 + • ~ + °п \ > /(п1) + /(°г) + + Q 48ч \ п ) п 1.34. Покажите, что ВД > о для всякой дискретной случайной величины %, причем знак равенства в приведенном соотношении достигается лишь в том случае, когда Р(Е, = С) = 1 для некоторого вещественного С. 1.35. Вычислить энтропию случайной величины распределенной равномерно на множестве {ж1,х2,...,жп}. 22 Раздел 1. Дискретные случайные Решение. Речь идет о случайной величине Простые вычисления дают Этот результат хорошо согласуется с нашими интуитивными представлениями о степени неопределенности распределения чем больше равновероятных значений принимает дискретная случайная величина тем неопределеннее ее поведение. 1.36. Доказать, что из всех распределений вероятностей на конечном множестве {а?1,х2,...,а;п} наибольшую энтропию имеет равномерное распределение. (Экстремальное свойство равномерного распределения на конечном множестве.) ► Доказательство. Пусть х\ хз хз — хч А Pi Pi Рз Рг. )' Тогда для неравновероятного распределения в силу (1 48) Н(5) = - ^Pk hlPk < к , п Р1+Р2+ -+Рп 1РР1 +р2 + - -+р» _ п п , , 1 , — “1 In— = Inn n В то же время Н(£) == Inn для равномерного распределения (задача 1.35). < 1.37. Вычислите энтропию Н(£) для £ ~ р) и пост ее график как график функции аргумента р. При каком зна р эта функция достигает своего наибольшего значения? ПриЕ интуитивные соображения в пользу полученного результата. 1.38. Вычислите энтропию случайной величины £ ~ G(p). Разные задачи 23 1.39. Доказать, что из всех распределений вероятностей на множестве N натуральных чисел с заданным математическим ожиданием наибольшую энтропию имеет геометрическое распределение. (Экстремальное свойство геометрического распределения.) Доказательство. Пусть 12 - п - - А - ( 1 Pi Р2 Рп - ) ’ Л ~ \ ₽*1 причем рк — — д) По условию 2 . п Pj - - Рп о© ОО *=1 fc-J С учетом того, что *=i *=i а также неравенства (1.46), получаем- со оо н(£) =• - XX 111 JPk = - XX [(* ~ l)lng + Inf1 -g)] = *-i *=i со СО = [(* - Ding 4- tn(l - g)l =-52₽klnP* As=l k=l ос -52р*1пр* = Н(Т]). *=1 1.40. Как связаны между собой энтропии Н(£) и Н(л) дискретных случайных величин £ и 1), если Т] = а£ + 6, причем о / 0 ? Разные задачи 1.41. На пути движения автомобиля — пять светофоров. Каждый из них, независимо от остальных светофоров, с вероятностью 0,5 запрещает движение. Пусть Е, — число светофоров, «пройденных» автомобилем до первой остановки. Найдите закон распределения случайной величины £ и ее математическое ожидание. 24 Раздел 1. Дискретные случайные величинь ------------ ---------------------------- 111 1.42. Имеется три заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из одной заготовки равна 0,8. Заготовки используются до тех пор, пока не будет изготовлена деталь или не будут израсходованы все заготовки. Пусть Т) — число заготовок, оставшихся при этом неиспользованными. Найдите закон распределения случайной величины Т) и ее математическое ожидание. 1.43. В группе из десяти человек — 2 отличника, 3 хороших, 4 средних и 1 слабый студент. Неудовлетворительную оценку на экзамене получают: отличник — с вероятностью 0, хороший студент — с вероятностью 0,05, средний студент — с вероятностью 0,50, слабый студент — с вероятностью 0,90. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа неудовлетворительных оценок на экзамене в этой группе. 1.44. Из множества {1,2, ...,100} наугад одновременно выбирают 10 чисел. Вычислите математическое ожидание суммы выбранных чисел. 1.45. Из десяти ключей в связке только один подходит к данному замку. 1) Сколько в среднем придется перепробовать ключей прежде, чем замок будет открыт? 2) Какова вероятность того, что придется испытать ровне половину ключей из связки? 1.46? Докажите, что для всякой целочисленной случайной величины £, и всякого целого числа т Р(£ = тп) = Р(£ 4? т) — Р(£ < т — 1). 1.47? Пусть £ — максимальная цифра, выпадающая при подбраг сывании п игральных костей. Найдите распределение вероятностей этой величины*. 1.48? Игральную кость подбрасывают до тех пор, пока н< выпадет шестерка. Сколько в среднем единиц выпадет при этом? 1.49. Вероятность наступления события А в отдельном испыта нии равна 0,4. Пусть Т] — разность между числом наступлений 1 числом ненаступлений события А в ста таких испытаниях. Укажите а) среднее значение случайной величины т] и ее среднее квадратическое отклонение; б) наиболее вероятное значение ?п0 случайной величины 1]. *О задачах 1.46 и 1.47 авторам напомнил Ю.Ф. Кичатов. Разные задачи 25 1.50 ? Докажите, что случайная величина £ с функцией распределения ' 0 при X 4 so. 0,421875 при 0 < С X 4 S 1, F(.t) = < 0,843750 при 1 < С X 4 S2. 0,984375 при 2 < с х 5 S3, 1 К при X i > 3 распределена по биномиальному закону; найдите его параметры; вычислите Е£, и D£. 1.51 ? Случайная величина с, распределена по биномиальному закону. Известно, что свои наименьшее и наибольшее значения она принимает с одинаковыми вероятностями и имеет единственное наиболее вероятное значение, равное 2 Вычислите 1.52 ? Случайная величина £, распределена по биномиальному закону. Чаепгчно ее ряд распределения представлен в таблице ( 0 1 ... Y 0,2401 0,4116 ... Завершите построение этой таблицы. 1.53 ? Вероятность того, что случайная величина принимает четное значение, равна Докажите это. 5 ~ ВЦп:р) 1.54 . Случайная величина £ имеет геометрическое распределение вероятностей с параметром р. Чему равна вероятность того, что с, примет четное значение? 1.55 . Постройте пример неотрицательной целочисленной случайной величины, математическое ожидание которой отличается от-ее наиболее вероятного значения не меньше, чем на заданную поло-” жцтельную величину Д. 1.56 . Случайная величина £ принимает значения 0,1,2,..., п,... с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Как связаны между собой Е£ и D£? 26 Раздел 1. Дискретные случайные величины 1.57 ° Случайная величина принимает лишь три значения. Частично ее закон распределения представлен в таблице: 2 V4 Заполните пустые клетки этой таблицы, если известно, что случайная величина £ имеет тот же закон распределения вероятностей, что и случайная величина 1/^. Вычислите Е£ и D£. 1.58 “ Известно, что случайная величина £ принимает лишь натуральные значения, причем: P^="> = CT’ "€N Найдите: а) константу С; б) Р(£ S? 10); в) Р(10 20). 1.59 ? Функция распределения F(x) целочисленной случайной величины удовлетворяет условиям: F(-l) = 0, lira F(x) = F(0), F(2) = 1. z-jO+O Постройте ее график, если известно, что Е£ — 1/3. 1.60 . Как связаны между собой энтропии дискретной случайной величины и соответствующей нормированной величины Раздел 2 Распределения вероятностей, связанные с биномиальным распределением С биномиальным распределением связано немало типовых распределений, играющих важную роль в теории вероятностей. Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения Пусть ~ Bi(n; р). При болыийх значениях п вычисление вероятностей Pft = т) = С^ртЧп-т (т = 0,1,2,.... п) часто осуществляют приближенно, используя надлежащую аппроксимацию биномиального распределения. Теорема Пуассона. Прип—юо, р -> 0, пр—>А>0 Р(£ = т) = —» —-е-*. (2.1) 771! 1.61 . Верно ли, что для всяких дискретных случайных величин £ и Г] из DE, Dt] следует, что Н(5) < Н(п) ? 1.62 ° При каком значении параметра р энтропия распределения Bi(n\ р) (п фиксировано) принимает наибольшее значение? 1.63 ? Постройте пример дискретного распределения вероятностей / Х2 ... хп ... \ Р1 Р2 р» — для которого ряд 5>л к сходится, а Е£ не существует. На практике эту теорему используют, полагая, что Р^ = т)йЦ2е^ TH? TTt' m=mi Ошибка такого приближения допускает следующую оценку: P(miC5^m2)- £ <«Р! *п=*т» Для всяких пц и та таких, что 0 С mi С п. (2-2) (2.3) (2.4) 28 Раздел 2. Распределения, связанные с биномиальным распределен!- м (т = 0,1.2,..) Предельные вероятности в (2.1), А"1 -> Рт = ---гС ТП' при А > О неотрицательны и нормированы: легко видеть, что Спу>| I г (2-6; Следовательно, с ними можно связать новое распределение вероятностей. Э-и» распределение вероятностей называется распределением Пуассона (пуассои и-ским распределением) с параметром А и обозначается П(А). По этой причине аппроксимация (2.2) называется пуассоновской аппроксимацией. Производящей функцией ip(z) случайной величины "И ~ П(А) Фушщия = е-л(1-г) Отсюда легко выводится, что Ец = Dt; = А. В контексте теоремы Пуассона это — вполне ожидаемый результат. Таблица распределения Пуассона приведена в приложении на с 206 Как показывает соотношение (2.4), пуассоновская аппроксимация бином паль- 2 ного распределения приемлема лишь в случае, когда величина пр достаточно мала Если же это не так, используется другая аппроксимация, которую мы рассмотрим в данном разделе несколько позже 2.1. Книга в 500 страниц содержит 400 опечаток. Оцепить вероятность того, что па 13-й странице будет1 не менее двух опечаток. ► Р е ш е н и с Вероятность того, что любая, отдельно взятая опечатка из чиста п = 400 опечаток попадает на 13-ю страницу, равна р = VaOOs-S1 МЬ! находимся в условиях схемы Еериулли с параметрами п — 400 ир = 0,002. Поэтому точное значение а *.омой вероятности Р можно записать в виде 400 Р = Сад00,002” 0,998400~ = = 1 -С’?оо0,002с-0,998‘1со- <’^оС J021 9L * При столь малом значении р (р = 0,002) ошибка DVdi <. иконкой «ппроксимации не превышает величины * А = др2 =0,0016 Поэтому (А « пр = 0,8) Р « 1 - е-0,8 - 2^е'0’8 гх 0,191, так что Р RS 0,19 с точностью до 0,01 Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения 29 2.2- Книга в 600 страниц содержит в среднем по одной опечатке га страницу7- Оцените вероятность того, что на 13-й странице: а) нет ни одной опечатки; б) ровно две опечатки; в) не более двух опечаток. 2-3- При выпечке булочек с изюмом случается (с вероятностью ,003), что в булочку не попадает ни одной изюмины. Оцените вероятность того, что в партии из 1 000 булочек: а нет булочек без изюмин; ' имеется ровно три булочки без изюмин; ' имеется не мёнее трех булочек без изюмин. 2.4 . Сколько в среднем изюмин должна содержать булочка, что-ы в достаточно большой партии булочки без изюмин встречались с -ероятностью меныпей, чем 0,01 ° Указание. Пусть выпекается N булочек и в среднем каждая из них содержит k изюмин. Тогда вероятность того, что отдельно взятая изнппана попадет в конкретную булочку равна р = всего же рассматривается п — Лгк изюмин. 2.5 , ДляЁеличипы ц ~ П(А) выведите соотношения (2.6) и {2.7). 2.6 ° Число вызовов на телефонной станции за единицу времени южио рассматривать как случайную величину, распределенную по закону Пуассона с параметром л — 100. П Каково наиболее вероятное значение этой величины? Чех I. вна вероятность этою значения? Чис гак, которым может подвергнуться самолет, слу .я вели распределенная по закону Пуассона с параметром 3. Ойрцадлите вероятность поражения самолета в результате гих атак, если ггзвестно, что каждая атака заканчивается пораже-ие.м самолета с вероятностью 0,4. Как изменится вероятность пора-ссния самтг а. если предположить, что число атак пс случайно и равно 3° Примечание Может ли измениться результат сопоставлении указанных двух вариантов, если случайное число атак будет иметь распределение, от алчное от пуассоновского но с тем же математическим ожиданием 3? Решение этого вопроса, возможное и сейчас, мы, однако отложим на некоторое время. 2-8. Для случайной величины П(А) вычислите Е(сЛ) и О(<Л), где а — заданное число, отличное от нуля. 30 31 Раздел 2- Распределения, связанные с биномиальным распределение пуассоновский поток событий 2-9- Пусть А и В — события, состоящие в том, что случайна которое, в свою очередь, означает, что величина £ ~ П(А) принимает четное значение и нечетное значени Р>Х(ДО соответственно. Какая из вероятностей Р(А) и Р(В) больше и н 21“о—дё ' = СКОЛЬКО? Поведение на бесконечно малом промежутке времени-, вероятность по- 2.10° Какова вероятность того, ЧТО в условиях задачи 2.2 числе отупления одной заявки за достаточно малое время Де практически пропорцио-опечаток на 13-Й странице четно? натьна At- Более точно F 4 P1(At) = A-At+o(At), (2.10) где Л > 0 — параметр, реальный смысл которого раскрывается ниже. Оказывается, что в принятых условиях Aw.e^-» (2.11) Пуассоновский поток событий Здесь рассматривается математическая модель таких реальных процессов, как поток вызовов на телефонной станции лоток космических частиц, попадаю- , - . щих на определенный участок земной поверхности, выход из строя частей того (п " 0,1,2,. -)> таким образом, число заявок поступающих за время t, или иного оборудования в процессе его использования, приземление самолетов представляет собой случайную величину, распределенную по закону Пуассона, на данную посадочную полосу и т.д. Наряду с термином событие мы будем утю- это“ причине рассматриваемый поток называется пуассоновским потоком с треблять также термины заявка, требование, — как это часто делается в теория параметром Л. массового обслуживания. Очевидно, что _ 1 Пусть £(Д) — число заявок, поступающих в промежутке времени А. Примем Еъ(О — Eq(l) — А. (2.12) следующие соглашения о потоке этих заявок. Среднее число заявок, поступающих за единицу времени, принято называть 1. Стационарность потока: для всякого конечного набора попарно непере- интенсивностью потока. Поэтому параметр А в (2.10) представляет собой секающихся промежутков времени Д[, Да,Дп вероятность интенсивность рассматриваемого потока. р{^(Д1) = £(Д2) = k2l.... £(ДП) = Ц зависит от чисел ki, k2, ..., kn и длин указанных промежутков времени, нс не зависит от их расположения на оси времени. В частности, распределение вероятностей случайной величины £(Т, Т +t) — числа заявок, поступающих в промежутке времени [Т, Т +t), — не зависит от Т, я зависит лишь от длине) t > О данного промежутка Это оправдывает следующее обозначение: РДО - р{«7, T + t} = n} = р{«0, О = п} 2. Отсутствие последействия: распределение вероятностей случайной величины ^{Т, Т+t) не зависит от того, как поступали заявки до момента времени 7. Отсюда нетрудно вывести, что в случае попарно непересекающихся промежутков времени Д2, Д2, .... Д„ Р{$(ДХ) = *х, $(Д2) = к2, .., £(ДП) = fcn} = ft P{$(AJ = *г}. (2.8) Г=1 I 3. Ординарность потока: практическая невозможность появления более чеы одной заявки в один и тот же момент времени. Введем обозначение i P>i(t) = P{W,t)>l}. Тогда ординарность потока может быть выражена соотношением Р>г(Д0 = o(At), (2.9) Замечание. Можно доказать, что четвертое из принятых выше соглашений является следствием первых трех соглашений (параметр А при этом появляется несколько иначе, чем в (2.10)) - 2.11. Доказать формулу (2.11). Доказательство. Начнем со случая п = 0. Очевидно, что при At > 0 Po(t + Д*) = Р{^(0; t + At) = о} = ~ р{$(0; I) = 0, ^(t; t + Д«) = о} = = Р{Ч(О; t) = fl} - P{£(t; t + At) = б} = - P{UO; t) = О} - p{^(0; At) = о} = = Po(t) Po(At) = P0(t) [1 -РДД0 -Р>!(Д0] = = PD(t) [1 - AAt + o(At)] = PD(t) - APn(t)At + 32 Раздел 2. Распределения, связанные с биномиальным распределение! Пуассоновский поток событий 33 Следовательно, Из (♦) и (**) нетрудно вывести, что P0(t + ^t)-P0(t) -------Zt:------= -AP°W+“дГ* что в пределе при At —> О приводит к дифференциальному уравнению F6(t) = -APo(t) (*) Считая, естественно, что F<>(0) = 1. получаем Po(t) = e Л£. Далее, для всякого п О F„+I(t + At) =Р{^(0- t+At) = п+1) = = Р^(0, t) -=«+ 1. Ij(t; t +At) = o} + + р{4(0, t) = n, £(t; t + At) = 1}-} "+I + У P | £((k fl = n + l - m, £(t; t + At) = m | — m=2 = Fn+i(t) [1 - Fi (At) - P>i(At)] + Fn(t)Pi(At) + o(At) = = F«+i(t) [1 - AAt + o(At)J + F„(t) A At + o(At). Отсюда получаем: £ FA+, (t) zn+l = -А £ F„+I(t) z”+1 + X± Fn(t) Zn+1; n=4J n=O n=O 4»'f(t,z) - Fo(t) =-А[ф(е,г) - P0(i)] +A^(t,z); ^t(t, z) = —A(1 — z)¥(t, z) (* * *) Уравнение (* * *) при начальном условии Ф(0, z) — 1 имеет единственное решение Ф(А.г) = е“Л<1~хк что и приводит к соотношению (2.11) 2.12. Будем считать, что поток заявок в справочное бюро является пуассоновским потоком событий с параметром Л; каждая заявка, независимо от остальных заявок, получает отказ с вероятностью р. Найти закон распределения и среднее значение случайной величины £ — числа заявок, поступающих за единицу' времени и получающих отказ. Решение Способ 1 Пусть т] — общее число заявок, поступающих за единицу времени. Тогда по формуле полной вероятности Fn+Jt + Atj-Pn-t-^t) At = -AF„+1(t) + AF„(t) + ^^, или, в пределе при At —> О, F4+1(t) = -AF„+i(t) + AF„(t). (♦•) По аналогии с дифференциальным уравнением (*) полученные дифференциальные уравнения (**) следует решать при начальных условиях R,+I(0) = 0 (д = 0,1,2, ) Единственное решение в данном случае дает формула (2.11). Замечание Не зная заранее решений дифференциальных уравнений (*) и (♦*) при начальных условиях Рс(0) — 1, Р«+1(0) = 0 (п = 0,1,2,...), мы могли бы прийти к (2.11) методом производящих функций. Пусть Р(£=т)= £2 Р(^ =m|-q=l)p(-n = к) = к=тп оо \ к ^Скр q fc!e -2^rn\(k-my ki{Xq} (Лр) е = к=гл. 4 ' (АрГ^-л (Ag)fc~m = (АрГс-Лу, (А^)Г т\ (Л- — jn)i ml г< к=т ' г=0 _(АрГ А Л?_(АрГ Хр “ml “ ml е Выходит, что ~ П(Ар). и, стало быть. Е^ = Ар. со *(M) = £Fn(t)z" 71=0 Способ 2. Очевидно, что поток заявок, получающих отказ, является стационарным и ординарным потоком без последействия, а 34 Раздел 2 Распределения, связанные с биномиальным Нормальная аппроксимация биномиального распределения 35 общая формула (2 10), приведенная нас 31. преобразуется в данном случае следующим образом: Pi (At) = р{^(0, At) = 1} = = р{^(0. At) = 1. T](0. At) = 1} + р{^(0. At) = 1, Т)(О; АО > 1} = p{n(0, At) = 1} -р{£(0, At) = l|n(0, At) = 1} +o(At) = = J^AAt + o(At)jp + o(At) — ApAt + o(At). Поэтому заявки, получающие в справочном бюро отказ, образуют пуассоновский поток заявок с параметром Ар, и, таким образом, ^~П(Ар), Е£ = Ар. « Нормальная аппроксимация биномиального распределения Пусть рп — число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в отдельном испытании, 0<р<1,9 = 1— р. Тогда Р«(т) = р(Р" = и») = (tn = 0,1,2,..., п) Ер„ — пр, Орп — прд. Сведем обозначение т — пр у/прЯ (2-13) 2.13. Для пуассоновского потока с параметром А найти функцию распределения времени между’ двумя последовательными наступлениями событий. Решение Пусть ti,т?,т3, . — моменты последовательных наступлений событий. Очевидно, что случайные величины Локальная теорема М у а в р а — Л а и л а с а. Если п и т стремятся к бесконечности (п —» со, т —» оо) так, что величина х остается при этом ограниченной, то v/npgF„(m) : -^=е“^*2 —* 1 v 2тг tl, Т2 — Т[, t3 — т2, Практически эта теорема используется в виде приближенного равенства (при достаточно больших пит) распределены одинаково. Их общая функция распределения F(t) и является искомой функцией. По смыслу рассматриваемой задачи (при t > 0) — требуемая функция распределения может быть найдена следующим образом Рис 2.1 Р„(т) Ss (214) (2 15) F(t) = Р{?1 <*} = !- P{tj t} = 1 - P0(t), где P0(t) определяется формулой (2 11), приведенной на с 31 Итак, 1 -е-*' О F(t) = при t > 0, при t О Гр 1фнк такой функции распределения цреяссавтеи на рис 2 J Функция ф(т) и ее первообразная (2-16) ic 2.2) играют исключительно важную роль в теории вероятностей. График нкции Ф(т.) подсказывает, что эта функция служит функцией распределения. 36 Раздал 2. Распределения, связанные с биномиальным распределеь «е» И в самом деле, нетрудно показать, что она удовлетворяет каждому из трех характеристических свойств функции распределения, приведенных ла с 5 Распределение вероятностей с функцией распределения (216) называется стандартным нормальным распределением Рис 2 2 Интегральная При О < р < 1 и п -*оо теорема М у а в р а Л а п л а с а. Р | V'LlT. < Д -» ф(х) I J (2 17) равномерно по х Таким образом, при достаточно больших значениях п нормированная слу «• пая величина — Рп Ерл рп Пр I рп — I.- — у VD/in практически может рассматриваться как случайная величиг •имеющая стандартное нормальное распределение вероятностей Это прив j к следующим соотношениям: - Скорость сходимости в интегральной теореме Муавра-Лапласа описывав следующим неравенством БсрриЭссеена sup ? 2 Р +ч (7 Нормальная аппроксимация биномиального распределения 37 Это неравенство, в частности, предостерегает, 1то при малых значениях р (или </) использовано нормальной аппроксимации биномиального аспределения может оказаться неоправданным в этом случае естественно попытаться исполь-овать пуассоновскую аппроксимацию) Следует отмстить, что многие результаты, । вязанные с нормальным распределением вероятностей. записываются проще, если вместо >(х) использовать функцию Лапласа (рис 2 3), Рис. 2.3. Фо(т) = Ф(т) - ~ (2.19) , отее удобную — хотя бы потому, что она. в отличие от Ф(т). является нечетной, сравните- Ф(—х) = 1 — Ф(х), Фо(-х) ~ -Ф0(х). (2 20) Таблицы значений рассматриваемых функций ф(х) и Фо(х) приведены в приложениях 1 п 2 (см с. 207 208). Очевидно, что Ф(0) — Ф(о) — Фо(/3) — Фп(о) для любых о и fl. Поэтому р{р„ пД = | + фп (2 21) при mi < »Из „Г _ . 1 . (m2-nP\ (mi—np\ ,9 Р< nil С Рп т2 г ~ Фо I /—= J — Фо I , I (2.22) I * у \lnpq у у ynpq / Дли небольших значений прд несколько более точны приближения PU On} =4 + Фо (: (2 23) 1 > 2 у y/npq ) Df 1 fm2—пр + 0,5\ , I Tnt — пр— 0,5\ Р< /П1 5; рп гп-г ) « Фо I------------------/—=- | — Фо I -т=-- I (2.24) 1 J У \/np<Z / У VnP9 / При решении некоторых из приведенных ниже задач используются следую- щие соотношения, легко выводимые из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Р{ [р„ - пр| < Av^} ~ 2^o(A)> (Z 25) р{|й-р|«л}.2Ф.(лУ|) (2.20 (а > О, А > о) 38 Раздел 2. Распределения, связанные с биномиальным распределен»; 2.14. Каждый избиратель, независимо от остальных избирателей, отдает свой голос за кандидата А с вероятностью 0,7 и за кандидата В — с вероятностью 0,3. Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке (5 000 избирателей) кандидат А опередит кандидата В: а) ровно на 1 900 голосов; б) не менее, чем на 1 900 голосов. ► Решение. Пусть Е, — число голосов, поданных за кандидата А. Тогда £ ~ Bi(n = 5000; р = 0,7) и, следователь»), pi =P(jj-(5 000-S) = 19eo) = = Р(£ = 3450) = Cs^?0,7345°0,3* 56°: Р2 =р(^-(5 000-£);? 19(ю) = 5000 = Р(^3450) = 52 СГоооО.Т^О.З5000-”1. ™ =3 4,50 а) По локальной теореме Муавра-Лапласа 1 /3450 - 5000 -0,7\ ~ 75000-0,7-0,3 ’Ф \ у/5000- 0,7- 0,3 ) ” к 0,0309 ф(—1,54) = 0.0309 ф(1,54) и 0.0038. б) По интегральной теореме Муавра-Лапласа 1 г>/с 1 * /3450-5000-0,7\ р? = 1 - Р(£ < 3450) ~ 1 - Ф 1 . ... А ’ I » \ 75600-0,7-0,3 J к 1 — Ф(—1,54) = i - Фо(-1,54) = —+ Фо(1,54) к 0,9382. 2.15. В лыжной гонке на 50 км участвует 1 000 человек. I среднем лишь 80% участников выдерживают испытание до конца, а остальные сходят с дистанции. Оцените вероятность того, что в этой гонке к финишу придет: а) ровно 780 человек; б) не менее 780 человек. 2.16. Среди посетителей Дворца спорта дети составляют в среднем 30%, взрослые — 70%. Оцените вероятность того, что из 5 00 зрителей, присутствующих в данный момент во Дворце спорта, взрослые составляют: Нормальная аппроксимация биномиального распределения 39 а) ровно 3 550 человек; б) не менее 3 550 человек. 2Д7. Всхожесть некоторого сорта семян на данном земельном участке составляет в среднем 80%. Оцените вероятность того, что прорастет не менее 85% из 100 000 посеянных семян. 2.18. В страховом обществе застраховано 10 000 лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахованный вносит 1 января страховой взнос в размере 12 руб., и в случае смерти его родственники получают от страхового общества 1 000 руб. Чему равна вероятность того, что страховое общество: а) потерпит убытки; б) получит прибыль не меньшую, чем: 40 000 руб.; 60 000 руб.; 80 000 руб.? 2.19. В театре, вмещающем 1 000 зрителей, два входа, каждый из которых имеет свой гардероб. Каким должно быть наименьшее число мест в каждом гардеробе, чтобы с вероятностью Р 0,99 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Предполагается, что зрители приходят парами и каждая пара независимо от других выбирает один из входов с равными вероятностями. Как изменятся результаты расчета, если предположить, что зрители приходят в театр не парами, а поодиночке? 2.20. Какое минимальное количество раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,95, отклонение относительной частоты выпадения герба от вероятности его выпадения не превышало 0,01 ? Решение. Пусть при подбрасывании монеты п раз число выпавших гербов равно рп- Тогда в соответствии с оценкой (2.26) иско- 0,95. мое п найдется из условия или (приближенно) 2Фо(0,02л/п)^ 0,95. Отсюда получаем (по-прежнему приближенно): Фо(0,02^/п) 0,475; 0, 02ч/п 1,96, п 9604 40 Раздел 2. Распределения, связанные с биномиальным распределение 2.21. Оцените минимальное число подбрасываний игральна кости, для которого относительная частота выпадения пятерки вероятностью не меньшей, чем Р, отличается от вероятности < выпадения не более, чем на 0,01, если: а) Р = 0,95; б) Р — 0,99. 2.22. Полагая вероятность рождения мальчика равной 0,52, оц ните пределы (с наименьшим размахом), в которых с вероятное.». 0,95 будет заключено число мальчиков из тысячи новорожденных. 2.23. Из 1 000 испытаний, проводимых по схеме Бернулли вероятностью успеха р = 0,4, в 350 испытаниях зафиксиро j успех. Сколько раз после этого нужно повторить испытания, чт< 4 г с вероятностью Р 0,95 относительная доля новых успела отличалась от ее вероятности не больше, чем в первой тыемп испытаний? Разные задачи Лч) , если: 2.24. Вычислите — Е^| < а) £ ~ П(4); б) £ ~ Вг(10; 0,2). 2.25. Пусть £ ~ Вг (п = 500; р — I/4). Оцените вероятности: а) Р(£ = 120); б) Р(110 С 125); в) Р(£ > 120). 2.26. Пусть ~ Вг[п — 500; р = 0,001). Оцените вероятности: а)Р(^ = 3); б)Р(^2); в) Р(£ = 100). 2.27. Оцените вероятность Р^|£ — ЕЕ,| < y/DlQ, если: а) £ ~ Вг(п — 100; р = 0,5); б) £ ~ Bi(n = 100; р — 0,01) 2.28. Оцените вероятность того, что из 365 женщин, работаю! на данном предприятии: а) ни одна не родилась 8 марта; б) ровно трое отмечают свой день рождения 8 марта; в) не менее, чем трое, отмечают свой день рождения 8 марта. 2.29. В большом городе в течение одного дневного часа пост] пает в среднем 2 вызова в диспетчерскую скорой помощи. Оцени • вероятность того, что в течение трех дневных часов в диспетчерску, скорой помощи поступит: а) ровно пять вызовов; б) ровно шесть вызовов; в) не менее пяти вызовов. 41 разные задачи 2 30- Линия связи, имеющая 150 каналов, связывает пункт А с 'нктом В, где этой линией пользуются 1 300 абонентов, каждый в среднем — по 6 минут в час. Оцените вероятность безотказного обслуживания абонентов в течение одного часа. 2,31. В условиях задачи 2.30 оцените минимальное дополнительное число каналов, которые обеспечили бы безотказное обслуживание абонентов в течение одного часа с вероятностью Р 0,999. 2.32. Известно, что = 1. Чему равна дисперсия О (2^), если случайная величина £ имеет: а) биномиальное распределение со средним значением 2; б) пуассоновское распределение вероятностей? 2.33? На выборах каждый избиратель независимо от остальных избирателей отдает свой голос за кандидата А с вероятностью 0,8 в 1-м избирательном округе (1 000 голосующих) и с вероятностью 0?7 'во 2-м избирательном округе (1 200 голосующих). 1) Получена информация о результатах голосования в одном из этих избирательных округов. Оцените вероятность того, что эта информация касается 1-го избирательного округа, если в соответствии с ней за кандидата А проголосовало: а) 800 человек; б) 820 человек-, в) 840 человек. 2) Стало известно, что в одном из этих избирательных округов за кандидата А проголосовало 820 человек, а в другом — 810 человек. Оцените вероятность того, что эти данные относятся к 1-му и 2-му избирательным округам соответственно. 2.34? В каких точках функция распределения F(x) случайной величины £ ~ П(А = 200) имеет наибольший скачок? Чему он равен? Раздел 3 Непрерывные случайные величины Общие теоретические положения Считается, что случайная величина Е, непрерывна, или имеет неп] распределение вероятностей, есяв. ее функция распределения F(x) = Р(Е, < непрерывна на всей числовой прямой. Каждое свое значение такая случ величина принимает с нулевой вероятностью: Р(£ = с) « F(c + 0) - F(e) = 0. В случае, когда функция распределения F(z) случайной величины £ ставима в виде X F(x) = f (3.1 —со где f (т) > 0, говорят, что имеет абсолютно непрерывное распределение плотностью вероятности /(ж). Изменение функции /(яг) в любом конечном числе точек (и даже на ।. /м бесконечном множестве лебеговой меры нуль) не изменяет значения интеграл* правой части (3.1). Поэтому плотность вероятности /(г) определена с точное«« до множества лебеговой меры нуль. В точках непрерывности плотности вероятности f{x)=F'{x). (3) Функция f(x) может рассматриваться как плотность вероятности некого : случайной величины тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следую« я двум условиям: /(х)>0; У /U)dx = l (Зч —оо {неотрицательности и норлсировттости). Обтпие теоретические положения 43 Для случайной величины § с плотностью вероятности f(x) Р(о $ £ < 0) = Р(» < *> < 0) = Р(« « 5 < 0} = Р(« < К < 0) = = F(0)~F(a) Р J f{x)dx. (3.4) Таким образом, вероятность попадания случайной величины в промежуток с концами а и fl можно интерпретировать геометрически как площадь под графиком плотности вероятности, которая приходится на этот промежуток (рис. 3.1). Моменты (в частности, математическое ожидание и дисперсия) случайной величины с плотностью вероятности /(х) находятся аналогично тому, как мы это делами в разделе 1 для дискретных случайных величин, но, естественно, суммы заменяются интегралами, а вероятности — плотностью вероятности. №) Рис. 3.1 При этом формулы (1.14)-(1.25), приведенные на с. 7 и 8, носят общий характер и относятся не только к дискретным, но и к любым другим случайным величинам, в частности, к абсолютно непрерывным величинам. Так, Е£ = / х/(х) dx, (3.5) — ос ЕР(^) = J S{x)f[x)dx, (3.6) ос DJ; = е[(^ - Е$)2] = f (х - Е^)а/(х) dx = —сю °г ~ Е[(§ — о<)г] = j (x—ai)rf(x) dx. (3.9) -со сх ^Редполагается, что все приведенные здесь интегралы являются абсолютно Дяпщмися. Если какой-нибудь из них расходится или сходится, но не Раздел 3. Непрерывные случайные вели» щ 44 абсолютно, то говорят, что соответствующего математического ожидания i существует. Плотности вероятности f^(x) и /а^+ь(х) случайных величин иа^ + Ьпр а /: 0 связаны соотношением Абсолютно непрерывные распределения относятся к числу простейших кепр рывных распределений. И хотя в дальнейшем мы ограничимся лишь ими, нелк не упомянуть о существовании так называемых сингулярных распределена Сингулярным называется всякое непрерывное распределение, для ко-. р< го множество точек роста функции распределения имеет лебегову меру 0 (н п, Представление о таких функциях студенты физико-математических специал ностей имеют по канторовой ступенчатой функции, рассматриваемой в кур< функционального анализа. Производная этой функции почти всюду равна и лю и потому представление (3.1) невозможно: для сингулярного распреде* . ш плотность вероятности не определена. 3.1. В круге радиуса г с центром в точке О наугад выбирается точка М. Найти функцию распределения, плотность вероятности, математическое ожидание и дисперсию случайной величины равной расстоянию между точками М и О. ► Решение. В теории вероятностей принято считать, что при случайном (наугад) выборе точки в некоторой области А вероятность попадания этой точки в некоторую подобласть В области А (рис. 3.2,о равна отношению меры (длины, площади, объема) подобласти В к мере всей области А. Л соответствии с этим (рис. 3.2,6) Рис. 3.2. О < х < г, Р(£, < х) = Р(|ОМ| < ж), равна отношению площади круга радиуса х к площади круга радиуса г: z к „2 ₽(»*«<")-^=^- Это приводит к следующей функции распределения рассматриваемой случайной величины о, х2 если х $ О, -«= если 0 < х $ гу 1 если х Общие теоретические положения 45 График этой функции расире-ления представлен на рис. 3.3,о. Соответствующая плотность вероятности ' f(x) получается в результате дифференцирования функции распределения F(x) во веек точках, кроме точки х = г, в которой F(x) не дифференцируема, хотя и непрерывна. В подобных случаях точное значение /(г) не существенно. Итак, считая, что Рис. 3.3. №) = 2 т при г2 О, при О < х < г, и при х > г, мы можем доопределить эту функцию в точке х — г произвольно, например, так- f(r) = 0, f (г) = -, /(г) = —— и т.п. (рис. 3.3,6). Дальнейшее решение задачи носит чисто технический характер. Имеем: оо г ЕЕ, = [ х f(x) dx = f x^dx = ^r; J J T 3 —oo 0 . ее г E^2 = [ x2 f(x) dx = [ x2 dx = ir2; J J V £ —co О = eV - (EV2 = |r2 - lrz = ir2. Z У JLo 3.2. Внутри сферы радиуса т наугад выбирается точка М. Найдите функцию распределения, плотность вероятности, математическое ожидание и дисперсию случайной величины равной расстоянию от точки М до сферы. 3.3? В круге ж2 + у2 1 наугад выбирается точка М. Найдите Функцию распределения и плотность вероятности абсциссы Е; точки -Л4; постройте соответствующие графики. Вычислите и 3.4. Как выглядит график Функции распределения | ,____________ случайной величины V если . , — ее плотность вероятности^,---' , !---'-----------=--------- (рис. 3.4) является кусочно а О b с s t х постоянной функцией? Рис 3 4 46 Раздел 3. Непрерывные случайные вели1 3.5. Докажите, что если график функции /(ж) — плотнс вероятности случайной величины Е, — симметричен относите/ прямой х = т и Е£ существует, то = т. 3.6. Приведите пример случайной величины для которой 1 фик плотности вероятности симметричен относительно оси ордин но условие Е£ = 0 не выполняется. 3.7? Плотность вероятности f (ж) случайной величины § неп] рывна на всей числовой прямой. Верно ли, что lim /(z) = 0 ? х—юо К(а; Ь) — равномерное распределение в интервале (в; Ь) Так называется абсолютно непрерывное распределение с плотностью ности 1 Ь — а О /(*) = при а < х < Ь, при х < а и при х > Ь. Соответствующая функция распределения записывается в виде F(x) = О х — а 6 —а 1 при х < а, при а < х < Ь, при х > Ь. (3. Графики функций f(x) и F(x) приведены на рис. 3.5. Обратите внимание то, что значения /(а) и /(i>) па этом рисунке, так же как и в (3.11), не отм< явно. Можно считать, что /(a) = /(fe) = 0, а можно положить Да) = f(b) = -±-о — а и даже как-нибудь иначе: ведь значения плотности вероятности f(x) в любых двух точках никак не сказываются на функции распределения F(x). Запись 4 ~ К(а\ Ь) означает, что случайная величина § распределена равномерно в интервале (а; Ь). Для такой величины Рис. 3.5. (3. <a- fc) -- равномерное распределение в интервале (о; Ь) 47 3,8. Для случайной величины £ ~ 7?(0; 4) вычислить: a)P(£<EOi б)Р(£>^/Ё1); в)Р(-5^^5). Решение Для рассматриваемой случайной величины £ {1/4 ори х € (0; 4), 0 при х £ (0; 4); (b-fl)*| =16 = 1 S 12 12 S’ Отсюда находим: ) Pte < Е4). = Ptf <2) = f f(x)dx=J±dx = 1; — сю О ) Р > X/DC) = Р = оо 4 = / /(„)*• / = 2/д/З 2/V3 5 4 ) Р( -5 $ $5) = f f(x)dx = f}dx=l J J 4 -5 О 3.9. Докажите, что если Е ~ Р(а; Ъ), то Р(5 < Ей = Р(6 > EQ = 1. 4W 3.10. Найдите математическое ожидание и дисперсию площади tpyra со случайным радиусом г Я(3; 9). Известно, что случайная величина имеет равномерное _аспределение в интервале (а; Ь), причем ЕЕ = DE = 3. Найдите «ела а и Ь. 48 Раздел 3 Непрерывные случайные 3.12. Зная о величине лишь то, что — 2, = 4 '<j студент высказал гипотезу: имеет равномерное распределен!» вероятностей. Наблюдения над этой случайной величиной дг i следующий результат: 0,9; 3,5; 4,4; 2,6; 1,3. Согласуется ли высказанная гипотеза с этими наблюдениями? 3.13? Известно, что случайная величина £ распределена рав - о мерно в некотором интервале, причем = 5, > 12 и р(|£-10| > 2) = з р(|£ - io| < г). Постройте график функции распределения величины ф 3.14. Доказать, что если Е, ~ R{a\ Ь), то при ос > 0 Т) — + /3 ~ jR^cm + /3; <xb + /3^. В частности, р _ П = ~ - Ж 1). о — а Решение. Из соотношения (3.10), учитывая, что /<(*) = ( при ке(о;Ь)’ ( 0 при г^(а;Ь), получаем: , , ч 1 f _ 1 (х-&\ _ - |а|А ( о ) ~ ah{ Q J ~ ( —г при а < -—— < Ь, = < а(Ъ — а) а = I О в остальных случаях Г — -—г при аа + (3 < х < ab + /?, — < а(Ъ — а) ( 0 в остальных случаях. А это и означает, что Г) = + f3 ~ R{aa + /3; ab + j3). Закончить решение задачи читателям предлагается самостоятельно. 3.15. Сформулируйте и докажите утверждение, анало! тому, что рассмотрено в задаче 3.14, для случая, когда а < 0. 49 Я(о' Ъ) — равномерное распределение в интервале (с; Ь) 3-16. Докажите, что если случайная величина £ распределена равномерно в интервале («; Ь), то соответствующая нормированная случайная величина К — распределена равномерно в интервале — V3; 3.17. Докажите, что если £ ~ 7?(0; 1), то и Т] = 1-^ Я(0; 1). 3.18. Доказать, что если Е, ~ R(—а; а), то П = ISI ~ а). Решение. Прежде всего заметим, что если х $ 0, то F4(r) = P(r]<a;) = p(|5|<z)=0. При х > 0 имеем М*) = Р(п < х) = р = Р( х <t,<x) = F^(x) - FJ-x). Принимая во внимание, что О при х $ —а, ПРИ -а<Ж$в’ 1 при х> а, 50 Раздел 3. Непрерывные случайные величин. (рис. 3.6), получаем окончательно: !О при х О, х/о при 0 < х $ а, 1 при х > в (рис. 3.7). А это и есть функция распределения того закона, который мы обозначаем как Я(0; а). < 3-19. Доказать, что если £ ~ R{a\ Ь), то вероятность р(|£-е£|<*,/о|) =v(*) не зависит от параметров а и 6. Построить график функция <р(к) для к > 0. При каком наименьшем значении к указанна! вероятность равна 1 ? ► Решение. В соответствии с задачей 3.16 Следовательно (см. задачу 3 18), |£| ~ Я(0; л/З) и ^(*) = p(l^-Eq<*v/o5) = (к ч/З при 0 < к у/3, при к > у/З. График функции >р[к) для к > 0 представлен на рис. 3.8 Наименьшим значением к, при котором у>(Л) = 1, является к = у/З. Л(а' Ь) “ равномерное распределение в интервале (а; 6) 51 3.20. Пусть £ ~ R(— 2; 4) и q = |£|. Сопоставьте графики плотностей вероятности Д(я?) и /п(я:), а также графики функций распределения F^(x) и Fn(x) случайных величин £ и q. 3-21. На стороне АВ = 1 равностороннего треугольника АВС наугад выбирается точка М. Найти математическое ожидание и дисперсию площади треугольника АМС (рис, 3.9). решение В треугольнике АМС длину отрезка AM можно рассматривать как случайную величину ~ Д(0; 1) (ещё одно истолкование выражения «точка М выбирается наугад на отрезке длины I»)- Учитывая, что «длмс = ||ЛМ| - |AQ - бшЛ = Z 4 получаем: Е($Длл,с) = Е Е>(5длмс) = С* 3.22? В условиях задачи 3.21 вычислите математическое ожидание периметра треугольника АМС. 3.23. Для случайной величины £ ~ Я(—1; 5) вычислить Е(а-11(3-5)). Решение. В условии равномерного распределения вероятностей случайной величины (j подобные задачи проще всего решать по формуле (3 6). В данном случае имеем Е((£-1)(3-5)) = 5 5 = [ (х — 1)(3 — dx = 2 [(—+ 4х — 3) dx = J о Ь J -1 -I = | [-|<125 +1) + 2(25 -1) - 3(5 4-1)] = = |(-42 + 48-18) =-2. 52 Раздел 3. Непрерывные случайные величии JEJ(A) — экспоненциальное (показательное) распределение с параметром А Так (при А > 0) называется абсолютно непрерывное распределение плотностью вероятности Ае Ая при х > 0, О при х < 0. Соответствующая функция распределения записывается в виде Л^) = {1 J Графики функций f(x) и F(sc) представлены на рис. 3 10 К такому распределению приводит изучение пуассоновского потока событий (см. раздел 2). Запись Е ~ В (А) означает, что — случайная величина Е распределена по экспоненциальному закону с параметром А. Для такой случайной величины при х > О, при х О. Рис. 3.10. ЕЕ = - DE = —. s A’ 4 А2 3.24. На одном чертеже приведите графики плотностей /i(a;) /2(ж) случайных величин £1 ~ 2Г(1) и £2 ~ Е(2), а на другом графики соответствующих функций распределения Fi(a:) и F2 я Пересекаются ли (при х > 0) графики функций: a) fi(г) и /2(ж); б) Рг(х) и F2(x) ? 3.25. Для случайной величины ~ F(A) вычислить р (к - Е£| < з7о5). Решение: р(|Е-EEI <зТБё) = р( Е-1 '(A) — экспоненциальное (показательное) распределение с параметром А 53 / 3 _ 1 3\ / 2 _ , 4^ = P •4/Л 4/Л ~ j f{x) dx = J Ae'*1 dx = -e“*x|«/A= 1 - e~* ~ 0,982. -2/A о 3.26. Какое событие для величины £ ~ Е(Х) более вероятно: или {|;<Е|ф 6){5>\/о5} или {5 < '/оф 3.27. Пусть % ~ Е(Х) При каком значении параметра А вероятност ь Р(1 < £ < 2) будет (рис. 3.11): а) наименьшей; б) наибольшей? Решение. Имеем (проверьте) Р(1 < £ < 2) = е'А - е-2А = Я(», откуда я'(Л) = _^-*+2е-** р«(А) = е-*-4е-2*. Уравнение Н'(А) = 0 дает А = 1п2, причем Н"(1п2) = е-'п2-4е-2'п2 = |-1=-| < 0. I Следовательно, А ~ In 2 есть точка максимума функции Н(А) Таким образом, вероятность Р(1 < £ < 2) максимальна при Л = In 2. Наименьшего значения указанной вероятности при А > 0 не существует; можно лишь констатировать, что при А -» 0, а также при А —► со вероятность Р(1 < £ < 2) стремится к нулю. 54 Раздел 3. Непрерывные случайные величин 3.28. Доказать, что для случайной величины £, распределенной по экспоненциальному закону, и любых t > 0, т > О P(lj > t + т | > <) = Р(£ > *)- Как можно интерпретировать этот результат, полагая, например, что £ — время безотказной работы лампочки? ► Решение. Прежде всего заметим, что при х > О P(£>x) = l-PGj<x)=e-Al. Далее, ------______ Полученный результат допускает следующую интерпретацию. Если лампочка по истечении времени t не вышла из строя (£ > t), то в момент времени t ее можно рассматривать как новую: вероятность того, что она проработает безотказно ещё в течение времени т, — такая же, как и вероятность проработать безотказно время т для новой лампочки. Можно доказать, что из всех непрерывных случайных величин, отмеченным в условии задачи свойством обладают лишь экспоненциально распределенные величины. А с их дискретным аналогом читатели знакомы по задаче 1.32 (см. с. 20). - 3.30. Покажите, что если Е(Х), то Е^п 3.29. Полагая, что Е, ~ Е(Х) и Т] = е *», найдите ЕГ] и Di) Хп = —г ДЛЯ ВСЯКО! П! натурального п. 7V(p; ст2) — нормальное (гауссовское) распределение с параметрами р и а Стандартное нормальное распределение вероятностей было представлено разделе 2 как естественная аппроксимация биномиального распределения. Напомним: стандартное нормальное распределение вероятностей — это абс лютно непрерывное распределение с плотностью вероятности ф(х) и функци распределения Ф(т), определяемыми как нормальное распределение с параметрами цио 55 ф(я) = -у5=е ** 47V (3.17) Графически эти функции представлены на рис. 3.12. Для всякой случайной величины t с указанным распределением ЕС = О, £>С = 1, (3.18) так что С — нормированная случайная величина. Случайная величина £, с Е^ = М, = сг2 > О (3.19) называется нормально распределенной с параметрами р и а, если соответствующая нормированная случайная величина Х^> имеет стандартное нормальное распределение вероятностей. Учитывая, что и используя приведенную на с. 44 формулу (3.10), нетрудно показать, что плотность вероятности f(x) и функция распределения Г(х) случайной величины представляются как Рис. 3.12. /(х) = —_L_ е ( а.* , Р(х) = 2— [ е. ( du. (3.20) '2тг<7 ч/2тг a J Графики этих функций представлены на рис. 3.13. Нормальное распределение вероятностей однозначно определяется математическим ожиданием р и Дисперсией и2. Это находит свое отражение в обозначении данного распределения и2). —со Рис. 3.13. 56 Раздел 3. Непрерывные случайные 1 1/2 о ~зг -1/3 Рис. 3.14. Запись Е; ~ JV(p, ста) означает, что случайная величина § имеет нормали распределение вероятностей с математическим ожиданием р и диспен ей <т2 (или с параметрами р и <т). Стандартное нормальное распределение, представляющее собой частный случай нормального распределения при р = 0, cr = 1, обозначается, естественно, N(0; 1). Очевидно, что (< ~ N(0; 1)) <=> ($ = д + 4 ~ JV(p. <72)) (М Функции распределения F(i) и Ф(х), определяемые формулами (3.20) (3.17), связаны соотношением С Поэтому для всякой случайной величины t, ~ N(fi; <т2) Р(о < f, <0} = F(0) - F(o) = Ф - Ф (^) . Отсюда, например, легко выводится, что при А > 0 р(|£ — р| < Аа) = 2Ф(А) — 1. (3 Как отмечалось в разделе 2, вычисления, связанные с нормальным распрлл пением, чаще осуществляются не через функцию Ф(х), а через функцию 4>о(а:) = (3 о как более удобную, в частности, тем, что она является нечетной; сравните Ф(—г) = 1 — Ф(т), 4>о(—ж) = — 4>o(i). (3 1 Следует, однако, помнить, что функция Фо(х) (в отличие от функции Ф(ягр I является функцией распределения. Очевидно, что ад = *(*)-! (зг (рис. 3.14) Это приводит к следующим соотношениям для 4 ~ 2V(p; <т2)- <*2) — нормальное распределение с параметрами д и а 57 Р(о < < Р} = Фо (- Фо ; \ О’ / \ €Г / Р(^<^) = ^ + Фо (^\ 2 \ (7 ) Р«>а) = |-Фо (£2Le). 2 \ и f Р^-дКДа) = 2Фо(А). (3 28) (3.29) (3 30) (3 31) I 3.31 Вычислить вероятности попадания случайной величины | Е, ~7V(1; 4) в промежутки: (—3; 1); (—оо; —2); (3; со). к Решение По формулам (3 28)Д3.30), используя таблицу значений функции Фо(^), приведенную на с. 208, получаем: Р(-3 < J; < 1) = Ф = Фо(0) - Фо(-2) = Фо(0) + Фо(2) = 0 + 0,477 = 0.477, Р(* < -2) = Ф (-V) = Ф (-|) = | + Фо = = ~ о,5 -0,433 = 0,067; Р(£ > 3) = 1 - Р(£ < 3) = 1 - Ф = 1-ф(1) = - -Фо(1) -0.5- 0.364 = 0,136. г) Р(£ > 2,5); Д) HIU < 2); е) Р(1£| > 1). 3.32. Для случайной величины ~ 2V(2; 5) вычислите: 6)Р«<2): в) Р(( 3); J^e пользуясь таблицами, решите, какая из вероятностей Uq J 3) и Р(|П| з) больше, если: ^Н~^(0;2), т] ~ N(0; 3); б) С ~ МО; 2), т] ~ N(l; 2) ? 58 Раздел 3. Непрерывные случайные величин! 3.34. Для величины £ ~ Л'(-1; 1) найдите х из условия: а) Р(х < £ < 1) =^г8; б) Р(0< £<х)=0,8; в) Р(- 1 -х< £ < -1 + г) = 0.8. 3.35. Что больше для Е, ~ с2): Р(£ > ЕЕ,) или Р(Е, < Е£) 3.36. При каком значении параметра А для случайной величин! ~ N(jj; ст2) выполняется условие Р (|£ - Efl < A'/Ol) = Р (К - Е5| > >ч/Б?) ? 3.37. Известно, что нормально распределенная случайная величина удовлетворяет условию Р(|£- Е£| < 1) =0.3. Вычислить р(|£-Е£|<2). ► Решение. Обозначим дисперсию величины Е через а2. Тогда, используя формулу (3 31), получим р(К - E^l < fc) = Р - ЕЦ < = 2Ф0 (*) Задача, таким образом, сводится к тому, чтобы найти 2Фо при условии, что 2Фо ( — ) = 0,3. Имеем: \СГ / 1 2 -1=0,15; -«0,385; -«0,77; <Т / G а Фо «0,2794; 2Ф0 (- 1 «0,56 \<7 J Итак, Р(|§ — Е£| < 2) » 0,56. 3.38. Нормально распределенная случайная величина 4 УДОВЛ творяет условию 2^ = 0,6. Вычислите Р(|^-Е^| > 31 о1) — нормальное распределите с параметрами д и g 59 3.39. Известно, что £ ~ N(Q; а2). Расположите в порядке возрастания вероятности попадания случайной величины в интервалы: (-2; 2), (-1; 3), (0; 4), (-1,5; 2,5). решение. Геометрически вполне очевидно, что если Ai и Д2 — интервалы одинаковой длины, то большую из вероятностей Р(£ е Л1) и Р(Е 6 Аг) доставляет тот интервал, середина которого расположена ближе к точке 0. По этой причине Р(0 < ^ < 4) < Р(-1 < £ < 3) < < Р(-1,5 < § < 2,5) < Р(—2 <£ < 2). 3.40. Известно, что £ ~ 7V(1; 4). Расположите в порядке возрастания вероятности р(|5-3|<1), р(|5-2|<1), р(ю<1). 3.41. Для случайной величины ~ N(l; 5) среди всех интервалов (а; 5), удовлетворяющих условию Р(а < £ < 6) = 0.95, найти интервал наименьшей длины. ► Решение Геометрически вполне очевидно, что искомым интервалом служит интервал вида (1 — а; 1 +а), симметричный относительно точки = 1. Для такого интервала Р(1 - а < £ < 1+с) = Итак, искомым интервалом (приближенно) является интервал (-3,38, 5,38). 3.42. Какую наименьшую длину может иметь интервал Д, если Р($€ Д) = 0,90, ичем £ /у(2. з) ? 60 Раздел 3- Непрерывные случайные величгц 3.43. При каком значении а наименьшая длина интервала удовлетворяющего условию Р(^еД) =0,95 для случайной величины £ ~ 7V(0; ст2), будет равна 10 ? 3.44. Известно, что — нормально распределенная случайна величина и Р(£ < 1) = 0,7793, Р(£ < 2) = 0,8962. Вычислц| вероятность Р(£ < 3). 3.45. Пусть /1(т) и Л(^) — плотности вероятности, a FG и — функции распределения несовпадающих нормально распределений N(pj; ст2), TV(p2i ст2) (либо щ / р2, либо CTj <тг Сколько общих точек имеют графики функций: a) fi(x) и Ь(т); б) Fi(t) и F2(x) 7 3.46. Пусть £ ~ 2V(1; ст2). При каком значении параметра о > вероятность Р(2 < £ < 4) будет наибольшей7 3.47. Для случайной величины £ ~ 7V(—2; 9) вычислить е((3— £)(£ +5)) I ► Решение. Поскольку ЕЕ, = —2, Е^2 = D£ 4- I ЕЕ,) = 9 + 4 = 13, Е((3 - £)(£ + 5)) = Е(—V - 2$ + 15) = = -EV - 2Е£ + 15 = -13 + 4 + 15 = 6- 3.48. Доказать, что если ~ 2V(p; ст2), ТО при а 0 т) — + b ~ 1У(ац + Ь; а2ст2). В частности, I = ~ ^(0; 1). ст Решение. По формуле (3.10), приведенной на с. 44, faW(x) = (“£") = функциональные преобразования непрерывных случайных величин 61 1 = —з— ------е 2fi°J‘y)a у/М|в|СТ) 1 1 = п 1— е 2"я |о| \/2гг<7 А это и есть плотность вероятности, соответствующая нормальному распределению N(afi 4- Ь, в2сг2). 3.49- Используя теоретике вероятностные соображения, вычислите интегралы: со а) У е-хг/3с/т; о б) ye-xa+4l_1d®; о 3 в) f е-12-6^5 dx. -1 3.50. Существует ли константа С такая, что функция f(x) = Ce~x2+2l+2 служит пло1ностью вероятности некоторой случайной величины £ 7 Если существует, укажите ее и найдите EJ; и Df,. 3.51? Докажите, что если £ ~ 7V(0: 1), то lim -т-х—>со 1 X Р(£ > X) 1 _ г - ,—е 2 у/2тг Иными словами, при х —> оо Р(£ > х) ~ ^Ф(х), X где ф(х) — плотность вероятности стандартного нормального распре-нения. Функциональные преобразования абсолютно непрерывных случайных величин Пусть р(т) — сладко обратимая функция, то есть функция, для которой существует дифференцируемая обратная функция 5~*(х); тогда плотности веро-Т«ости Д(х) и /п(ж) случайных величин т, = связаны соотношением /Дг) = Л(р"1(*))|^Г,(*)|- (3.32) 62 Раздел 3. Непрерывные случайные величин Эта формула обобщает уже неоднократно использованную нами формулу /<.«-»(«) = h ) на нелинейные преобразования. В случае, когда уравнение * = д(у) относительно у при заданном х имеет г решений р[’1(ж), •••> Эг’Ч1) существуют производные -г:Р™1(*) (т=1,2,...,г), ах плотность вероятности /»(х) может быть найдена по формуле /ч(«) = Е Л (s^w) I(х)I. (3.3; 3.52. Найти плотность вероятности для случайной величины т] — sin £ и построить ее график, если случайная величина распределена равномерно в интервале: (зг тг\ : о)’ 6) {0; ► Решение (частично), а) Случайная величина § имеет следующую плотность вероятности: f 1/iT, если |х| < хг/2, Л(«) =) „ , I 0, если |х| > ^/2- Для д(х) = sinx имеем (в промежутке |х| < ’’’/2! см- рис. 3.15): 9 = arcsinz, Поэтому случайная величина q = sin £ имеет следующую плотность вероятности (см. (3.32)1: п„..1Г>,фмически нормальное распределение 63 График этой функции представлен на рис. 3.16. 3.53. Для случайной величины f]' ==г найдите плотность вероятности и постройте ее график, если случайная величина Е, распределена равномерно в интервале: а) (0,250; 0,375); б) (0; 0,5). 3.54. Докажите, что если £ ~ 7?(0; 1), то т1 = -1п£~ад- Логарифмически нормальное распределение Так называется распределение вероятностей неотрицательной случайной величины логарифм которой имеет нормальное распределение. Если Т] = In £ ~ JV(O; 1), (3.34) (3.35) Легко выводится плотность вероятности f(x) указанной случайной величины при х > 0 , , /(*)=* 1е-4<ь< (3.36) Для всякого n е N е(^>) = Е(е"л) = 3"’. (3.37) Любопытно, что существуют-распределения, отличные от (3.36), но имеющие же самые соответствующие моменты, что и величина Таким образом, I в общем случае моменты распределения вероятностей определяют это | распределение неоднозначно. Вместе с тем, справедливо следующее утверждение. Теорема Карлемана. Пусть в- (n = 1,2,...). Если тс 1 V —= оо, (3.38) "=1 то распределение вероятностей случайной величины J, определяется ее моментами однозначно. Условию (3.38) удовлетворяют, например, следующие распределения вероят-°стей: равномерное, экспоненциальное, нормальное. 64 Раздел 3 Непрерывные случайные вели' 3.55. Выведите формулу (3.37). 3.56. Выведите формулу (3.36). 3.57? Пусть /(г) определено формулой (3.36), |с[ 1 и Непосредственными вычислениями покажите, что: а) функция fc(x) неотрицательна и нормирована, то есть явля< с плотностью вероятности; б) распределения с плотностями /(х) и fc(x) имеют ранц соответствующие моменты 3.58? Докажите, что нормальное распределение вероятно' г удовлетворяет условию теоремы Карлемана. 3.59? Пусть Е, — случайная величина с плотностью вероятп с тп /(з.), причем Е^2”-1 существует для всякого п б N. 1) Показать, что если f(x) — четная функция, то EE,2n‘J = л. 2) Верно ли что если ЕЕ,2"-1 = 0 для всякого натурального н то f(x) — четная функция? ► Решение (частично) 2) Вообще говоря, неверно Пусть, например. и т) — случайные величины с неравными плотностями вероятности, но равными соответствующими моментами (задача 3.57). Обозначим f(x) и д(х) — плотности вероятности случайных величин и — Г] соответственно. Тогда случайная величина С, с плотностью иметь распределение, не симмет- ричное относительно нуля и обладающее свойством е;2„-г = - Ец2”-1] = = 0 Распределение Коши Так называется абсолютно непрерывное распределение с плотностью в« ности Соответствующая функция распределения записывается в виде . 1 1 F(z) = х + - aretgz z it Для случайной величины с таким распределением не существует ни м . i тического ожидания, ни, тем более, моментов более высокого порядка. 65 Энтропия яб« олютно непрерывного распределения вероятностей 3.60- При каком положительном значении Л допишется максимум вероятности Р(А < <; < 2Х), если £ — случайная величина, распрсдетеплая по закону Коши? 3-61 - Докажите, что если величина 5, имеет распределение Коши, j там ‘ распределение имеет и величина г) = 1/^. 3.62- Докажите, что если с, ~ А(0; 1). то случайная величина _ -etgiri; имеет распределение Коши. Энтропия абсолютно непрерывного распределения вероятностей Энтропия Н(^) абсолютно непрерывной случайной величины с, (абсолюню । прерывного распределения) с плотностью вероятности f(r) определяется - по i »а.11>гш! с энтропией дискретной случайной величины — формулой Н(£) = -Eln/U) = J /(z)ln/(x) dz. (3.41) При этом считает» я, что в тех точках, в которых /(.т) = 0, подынтегральная J нкция в (3 41) равна нулю. Энтропия абсолютно непрерывного распределения (в отличие от энтропии дискретного распределения) не может рассматриваться как мера степени неопределенности этого распределения. Тем нс менее, отдельные результаты, формулируемые с использованием этого понятия, существенно расширяют наши представления о некоторых абсолютно непрерывных распределениях вероятностей. При ср.гвненнн энтропий случайных величин часто используется неравенство -Е1и Д(т]) -Е1п/П(т)) (3.42) «ли. в интегральной форме, - У А (2)1п А(«)di > - У А В)ln A (*) dx, (з 43) -ОО ОС ' Iе А(х) и Д(а:) плотности вероятности случайных величин Е, и г] соответ-' венно ^сравните с (1-46), с 21) Равенства в (3-42) и (3.43) достигаются лишь и да, когда и т] — одинаково распределенные случайные величины 3.63. Вычислить энтропии следующих распределений: I О Р(а; 6); 2) ДА); 3) ZV(p; ст2). 66 Раздел 3- Непрерывные случайные Решение (частично). 3) Если £ ~ 7V(p; ст2), то .3 [.1(*-м)а 2<т2 dx = = “ ‘° vfc + = *" +1* где D = а2 — дисперсия случайной величины £. Окончательный результат Н(£) = In V2ireD полезно запомнить. 3.64. Может ли быть отрицательной энтропия: а) дискретного распределения; б) абсолютно непрерывного распределения? 3.65. Опишите случаи, когда энтропия Н(£) случайной вели*, а) положительна; б) отрицательна; в) равна нулю. 3.66. Как связаны между собой энтропии случайных велич и 7] = + /3, если а / 0 и £ имеет: а) дискретное распределение вероятностей; б) абсолютно непрерывное распределение вероятностей? 3.67. Доказать, что из всех абсолютно непрерывных раа делений вероятностей на отрезке [а; Ь] наибольшую энтрга имеет равномерное распределение (экстремальное свойство номерного распределения). ► Доказательство. Пусть Д(т) — плотность вероятности случайной величины ~ Л(в; fc), а /ч(а;) — плотность вероятности любом случайной величины Т) такой, что ДС'с) = 0 при х £ [а; Ь]. Имеем; Н(£) = 1п(Ь - а) (см. задачу 3.63,а) Последующие преобразования опираются на формулы (3.42) и (3.43): Энтропия абсолютно непрерывного распределения вероятностей 67 ь Н(0 = 1пФ - а) 1 ь ь fv(x) ' * о tls — ~ J Mx№ft(x) dx = а а = -ElnA(Tj) > -БЫЛО]) = Н(л)- Замечание. Полученный результат представляет собой распространение на абсолютно непрерывный случай результата задачи 1.35 (см. с. 21). <4 3.68. Доказать, что из всех абсолютно непрерывных распределений вероятностей на R с дисперсией а2 наибольшую энтропию имеют нормальные распределения N(fi; о2) — при любом р (экстремальное свойство нормального распределения). ► Доказательство. Пусть ~ 7V(p; О'2) и Т] — произвольная случайная величина, имеющая абсолютно непрерывное распределение вероятностей с дисперсией Di] = о2. Результат задачи 3.66 дает возможность ограничиться рассмотрением случая, когда — Etj = 0. Итак, будем считать, что Из соотношений A(«)dz = [ Д(ж)Дг = 1, ОС со J т2Д (z) dx= f x2fn (ж) dx “ОС —ос вытекает следующая цепочка соотношений: ос I Д(ж)1п Д(ж) dT = 68 Раздел 3. Непрерывные случайные вел! Г Г 1 1 —сю =-7лм['°^“й *= —со со оо Г Г 1 — “21 г J f4(ж) In е a^j dx = — J Д(г)1п /Дж) dx —СО -^СЮ оо >- [ Mx)laMz) dx = Н(т]). 3.69. Докажите, что из всех абсолютно непрерывных распре лений вероятностей на (0; оо) с заданным математическим ожк нием наибольшую энтропию имеет экспоненциальное распредели: вероятностей {экстремальное свойство экспоненциального распр* ления) Разные задачи 3.70. Докажите, что выпуклая линейная комбинация /(«) = ^Gkfk(x) к плотностей вероятности /Дж), /г(ж),..., /Дж), ... представляет сс плотность вероятности. Верно ли аналогичное утверждение функций распределения? 3.71. Для шара со случайным радиусом г ~ /?(1; 2) опреде. математическое ожидание и дисперсию: а) объема; б) площади поверхности. 3.72. Вычислите Р(^ > 2), если ~ Е(Х) и Р(^ > 1) — а. 3.73. Завод изготавливает шарики для подшипников. Номив ный диаметр шарика р — 5 мм; фактический же диаметр мс рассматривать как нормально распределенную случайную вели’ с математическим ожиданием р и средним квадратическим т нением о = 0,05 мм. При контроле бракуются все шарики, диа которых отличается от номинального более, чем на 0,1 мм. К процент шариков в среднем отбраковывается? } , задачи 69 3.74. В условиях задачи 3.73 предположим, что сг не задано, s го известно, что в среднем отбраковывается 6% шариков. Какова £ роятность того, что диаметр наугад выбранного шарика будет , ключен в пределах от 4,98 мм до 5,02 мм? 3.75. Докажите, что если ~ 77(0; ст2), то е(^1)=4-’ 3.76. Вычислите Е если 3.77? Докажите, что если £, ~ 7У(0.’ст2), то Е£2п = (2п - 1)1! ст2" = 1 - 3 - 5 - 7 - - - (2п - 1) - ст2”; I частности, Е£4 = Зст4. 3.78? Пусть .?(«) = а, —х, если если х > 1, X 1. кажиге, что если £ 7V(0; 1), то и <?(£) ~ 7V(0; 1). 3.79. Случайная точка М распределена равномерно на окруж-I ста х2 + (у — а)2 = г2 с центром в точке N. Как распределена <• сцисса точки F, в которой прямая MN пересекает ось Ох ? 3.80. Пусть с, — случайная величина с плотностью вероятности f(x) = < 1 т1п2т 0 при х е (б; -g j U (е2;ос при остальных значениях х. /рЙ°Каж11ге’ что не имеет ни моментов положительного порядка ' > О), ни моментов отрицательного порядка (E^_fc, к > 0). 70 Раздел 3. Непрерывные случайные величи 3.81. Как связаны между собой энтропии величины £ и соотв< ствующей нормированной величины £ = \/D^, если^ имеет абсолютно непрерывное распределение вероятностей? (Сра ните с задачей 1.60, приведенной на с. 26) 3.82? 1) Докажите, что случайная величина £ имеет непр рывное распределение вероятностей тогда и только тогда, коц Р(^ — с) = О для всякого действительного числа с. 2) Докажите, что случайная величина имеет абсолютно неир рывное распределение вероятностей тогда и только тогда, Koq га е В) = о для всякого борелевского множества В лебеговой мерЯ нуль. 3.83? Известно, что пуассоновский поток заявок (см. раздел в интервале (0; t) принес п 1 заявок. Пусть т — вре^ поступления какой-то, наугад выбранной заявки из числа этих заявок. Докажите, что т ~ Я(0; i). 3.84? Докажите, что функция распределения F(x), непрерывн в К, равномерно непрерывна в R. Раздел 4 Смешанные задачи на случайные величины Моделирование случайных величин Если функция распределения F(x) случайной величины J, непрерывна на всей ЧИСЛОВОЙ прямой, то ч = ~ л{0. J) (4л) Обращение (4 1) — явное выражение fj через 1] — связывается с обращением функции распределения F(x), которое в элементарном смысле, н-лбще говоря, невыполнимо из-за возмож- -r=?W 1 > IX промежутков постоянства F(x) (рис. 4.1). |Г - —— ] > эта трудность устраняется следующим соглашением. j _ » Под функцией F~ г(х), «обратной» к функ- I/ ции распределения F(x) случайной вели- “=qT—1-----------* чины !j, условимся подразумевать функцию ( ри 0 х $ 1) F ‘(х) = sup{u F(u) < х}, (4.2) 1 щвисимо от того, имеет ли F(x) промежутки постоянства; допускается также, чго F(x) — разрывная функция. При таком соглашении из Т) ~ Я(0; 1) следует, что ^F-’W-Ffx). (4-3) < о соотношение означает, что случайная величина F 1(т]) имеет функцию i определения F(x) Замечание. Если F(x) — строго возрастающая функция. го Функция F_,(x). определяемая соотношением (4 2), совпадает с элементарной обратной функцией к F(x) и может быть найдена как ничше зравнения х = F(y) н*'< пзе 1ЬИО у при фиксированном х I И-м.р Ij u (4..J), показывающие, как связаны между сибон рашре FfO 1) (рис 4.2). лчказ в основе моде сирования си чайных 72 Раздел 4. Смешанные задачи на случайные вег"| величия (точнее — вероятностных распределений) с помощью ЭВМ Подчеркнем лишь епге раз, что под F(x) в (4.1) можно подразумевать только непрерывную, а в (4.3) — любую функцию распределения. Суть моделирования случайной величины t с заданной функцией распределения F(x) состоит в том, чтобы тем или иным способом получить нужное число п независимых наблюдений ал, агг,..., хп над случайной величиной £ Один из возможных путей решения этой задачи заключается в след. он С помощью ЭВМ можно получить п независимых наблюдений у\, у?, .. , у случайной величиной 1], распределенной по закону JR(O; 1). а затем положа , Хк = F-1 (уь), к = 1,2,..., п. 4.1. Известно, что Е, ~ Л(0; 1). Подобрать функцию д(х) т.: чтобы случайная величина т] — д(Е;) имела экспонснииальн распределение вероятностей с параметром А. ► Решение Функция распределения F(a-) искомой случайной величины 1] ~ Е(А) записывается в виде ъ(.,л _ / 1 _ ПРИ х > О, ' * ( 0 при х $ 0. Поэтому при 0 < а: < 1 обратную к ней функцию F-*(a:) можно найти как решение уравнения 1 — е->‘® — х относительно у при фиксированном х. Имеем е-Ау = 1 — х, У = -|1п(1-х). •Л Следовательно, в качестве искомого преобразования можно выбрать преобразование ff(x) = -|1п(1 -*). .Л что дает -11п(1-$)~ДА) Импликация (^~J?(0;l)) <=> ((1-S)~J?(O;1)) ^метрическая интерпретация математического ожидания 73 (задача 3 17, на с 49), приводит к выводу о том, что в качестве искомой функции <7(т) может выступать любая из функции = и р2(ж) =-ylns Неодпо знатный ответ не должен смущать читателя, особенно если учесть, что с самого начала мы специально оговорили, что речь идет лишь об ол>юм (но не единственном!) подходе к рассматриваемой Прибл™«? Следует также подчеркнуть, что в некоторых случаях (в частности, для нормального распределения) формулы (4.2)-(4.4) оказываются слишком громоздкими. В этом случае моделирование осно-выыется на других предпосылках, о чем вы ещё узнаете из лекций ло теории вероятностей. 4.2. Пусть £ ~ й(0; 1). Подберите функцию г/(.т) так, чтобы случайная величина т] — имела распределение Коши. 4.3 Известно, что Е, ~ Е(У). Подберите функцию д(х) так, чтобы тучайпйя величина т] - р(Е,) имела распределение Коши. Приведите обобщение этой задачи на случайные величины и г, -</(£,) с заданными функциями распределения Ffjx) и F^fx) в аредпилпжении, что функция F^(x) непрерывна в К. 4.4. Как, располагая возможностью моделировать на ЭВМ случайную величину Е, ~ Я(0; 1), можно моделировать случайное событие .4 с заданной вероятностью 0 < р < 1 ? Геометрическая интерпретация математического ожидания Если магемагическле ожидание случайной величины £ с функцией ^-федсленич JRfic) существует, то О со Е4 =- - у F{x) dx + У (1 ~ F(x)j dx, —со О *асгиосги, ?Ц1Я неотрицательной случайной величины Е, ЕЕ = У (1 - F(«)) dx. О (4 5) (4.6) 74 Раздел 4. Смешанные задачи на случайные Рис. 4.3. Это позволяет интерпретировать математическое ожидание как со ющую площадь или разность площадей (для случая неотрицательной величины — рис. 4.3,в и для общего случая — рис. 4.3,6). FfxJ сл 4.5. Доказать, что для неотрицательной целочисленной чайной величины £ с конечным математическим ожиданием оо A.-I (Этот результат полезно запомнить.) Решение. Способ 1. По условию ряд Л=1 *=1 сходится абсолютно. Поэтому его члены можно перегруппировать следующим образом- Е Ьрк = к=1 pi + 2j>2 + Зрз + 4p4 + p2 + рз + p< + рз + Р4 + -)+-•- = )= £P(U*) ' Jc=l С п о с « f) 2 В рассматриваемом случае обтай формула (4 6) fl.x-tfonbrtQ примеров k+i из теории надежности 75 (ро +Р1 +••• +рк)) dx = -(po+pi +--•+₽*)) = *=° * **в 4.6. Для случайной величины £ ~ G(p) вычислите математическое ожидание, используя задачу 4.5. 4.7. Для случайной величины £ ~ £(А) вычислите математическое ожидание, используя формулу (4.6). 4.8? В лифт 12-этажного дома на первом этаже вошло 5 человек. Предполагая, что каждый из них, независимо от остальных, выходит с одинаковыми вероятностями на любом этаже и при подъеме лифта других пассажиров не будет, вычислите Е£, где — номер наивысшего этажа, на котором остановится лифт, поднимаясь вверх. 4.9? Докажите, что если функции распределения Fi(x) и Гг(х) случайных величин и £2 с E|£i| < оо, Е|£2| < со удовлетворяют условию Fi(x) 3$ F^x) для всякого х е R, то > Е£2. Несколько примеров из теории надежности Время безотказной работы того или иного объекта будем рассматривать как некоторую случайную величину 4 Тогда функция Я(е) = Р(^>1), (4.7) аргумента t Js 0 называется функцией надежности данного объекта. Средний срок Т безотказной службы такого объекта. Т = Е^, в силу (4 7) и (4 6) выражается через функцию надежности R(t) по формуле (4-8) о В частности, для £ ~ Е(А) СЮ 1 Т = f e~x‘dt= 4. о А (4.9) 76 Раздел 4. Смешанные задачи на случайные велн'«1 4.10. Техническое устройство состоит из п блоков и вых дитя из строя (отказывает) при выходе из строя хотя бы одного бл~зЛ (последовательное соединение блоков: рис. 4 4.а). Блоки от ►a-l зыиатот независимо друг от друга, причем время безотказная работы 1 го блока (г = 1,2,..., п) имеет экспоненциальное ja«J предслеиие Б(АГ) с заданным параметром Аг Найти фупкци J надежности и средний срок безотказной работы данного с-нического устройства. Решение Пусть — время безотказной работы fe-ro блока (1 С к $ п) а с, — время безотказной работы технического устройства в целом Тогда, очевидно, Ч-П11п{£, £2 jjn} и для всякси о t > О > t) = Р(51 > t, Ф > t, ,^n>H Независимость работы блоков друг от друга выражается в том. что события (с,! > t), (gj > t), ... (£n > t) независимы. От< еда P(lj > t) = P(^f > t) - Р(Ег > 0 > 0. или. с учетом того, что ~ Ь’(АГ), PU>t) = e“A1' -e-*2' - Таким обраюм, последовательное соединение нескольких «экспоненциальных» блоков приводит к -«экспоненциальному» устройству, то есть к сстройству, срок безотказной работы которого распределен по экспоненциальному закону распределения вероятностен (с параметром, равным сумме параметров отдельных блоков). Рис 4 4 Следовательно. А, 4- Аз + — 4- An 1 1 . । тг т2 т„ где Т>, 7?. Тп — средние сроки безотказной службы отдельных Споков, a Z — средний срок бе «отказной службы всею устройства ® В частности, при Ti = Z? = =Тп — 7с 77 . ко примеров из теории надежности ____-— । 4 Ц. Техническое устройство состоит из п блоков, работаю-| щпх по схеме параллельного соединения (один основной и п — 1 1 p-.-jejiEHbix блоков — рис. 4.4 б), оно выходит из строя лишь в Р ibi.ire отказа каждого из пблоков. Полагая, что время без-oiL !ной работы любого отдельно взятого блока распределено п0 закону 2?(А)- найти функцию надежности 7i(t) и средний срок Т бе ютказной работы данного технического устройства решение. Если - время безотказной работы устройства в w ” *1- ’ — время безотказной работы к -го блока (1 к $ п), то я(0 = Р(4 > f) = 1 - Р(£ < 0 = = 1 Р(£, < t, ^2 < I, (,п <t) - = 1-Р(£, <t) Р(4г<0 P(^„<t) = = 1 8) имеем: СО оо Г= / R(t) rlt = у [1 - (1 ] Л О о Подстановка 1 — e~xt = т дает (проверьте): f У(1 + «+®2+ • +xn-1)dT. ь о г-«*“ — —• “ _ — . Обозначая средний срок 1/д безотказной работы отдельного блока через Тс, получаем окончательно Как показывает формул» (**), безоглядное увеличение п может оказаться неоправданным: сумма ,-.11 1 2 3 и с увеличением п растет очень медленно, хотя и неограниченно. При достаточно большом п Su=14-14-1+ +l=slnn + C, 2 3 71 где 0 = 1^ 5772 — так называемая постоянная Эйлера 78 Раздел 4. Смешанные Мэг* *а случайные *> м Замечание. Формула (•♦) допускает следужжую ичте/тч-гы,-жоторую позднее мы доведем до уровня форматного докаиателв^шв Представим еетгеану в вмд* £ = 1)1 + Т)2 + -- + Ч»> где Л'+i — время между г-м и (г+1)-м во счету етвозмш блоков ст. --Очевидно, что Ш =пйп(^1Д2,..-Лп) и потому 1)1 ~ Е{пХ) (см. задачу 4-10). После того, как кажой-то из блоков отказал, оставшиеся п — 1 блоков можно рассматривать как «, вые» (характеристическое свойство экспоненциального распределения см. задачу 3.28 на с. 54) Поэтому т)2 ~ — 1)А^_ Аналогично уч навливается, что 1], ~ Е^(п + 1 — г)>) при (г = 3,4,...,п). Поэта ЕПг=^—Л---------- для всякого г = 1,2,... п и, стало быть, (л + 1 -г)А 4.12. Какое минимальное число резервных блоков нужно ключить параллельно к основному «экспоненциальному» блоку, бы средний срок безотказной работы устройства вырос не менее, в два раза? 4.13. Каждый из указанных на рис. 4.5 экспоненциальных блоков имеет одну и ту же функцию надежности: jR(f) — e-At со средним временем безотказной работы То = 1/д. Найдите соответствующие функции надежности для представленных на этих рисунках устройств, а также их средние сроки безотказной работы. Рис. 4-5. 4.14? Время £ безотказной работы системы автоматичен управления летательным аппаратом распределено по закону Ь Система должна управлять аппаратом в течение времени Т. Е она выходит из строя до истечения времени Т, осуществля» мгновенный переход на ручное управление. Пусть т] — время руч управления летательным аппаратом, а £ = — тр Вычислите Е покажите, что при Pq = е-АТ -> 1 д^еры исследования разрывных распределений 79 |(1 -Ро) Таким образом, для высоконадежной экспоненциальной системы автоматического управления летательным аппаратом относительная доля времени ручного управления составляет примерно половину «ненадежности* системы автоматического управления Примеры исследования разрывных распределений Всякая функция распределения F(x) однозначно представима в вцде F(x) = aFi (z) + bF2(x) + cFs(z), (4.10) I е а,Ь,с — неотрицательные числа, а 4- b + с = 1, a Fi(x), Fj(z), Fg(z) — декретная абсолютно непрерывная и сингулярная функции распределения П ответственно. Вероятность попадании случайной величины £, в любое боредевское множе-во В на прямой (это могут быть, например, точки, промежутки, их объедине- «я, пересечения) выражается через функцию распределения F(x) данной слу-"айной величины следующим интегралом Стилтьеса: Р(£ € В) = у dF(x) В (4.11) I* пом смысле функция распределения F(z) = Р(^ < х) служит исчерпывающей > •Рактеристикой распределения вероятностей случайной величины 4 Моменты случайной величины в общем случае могут быть записаны в виде OQ Ес= xdF(x) (4 12) j p(x)dl-(xl 14 В 80 Раздел 4. Смешанные задачи на случайные ве. и т.д., в предположении, что эти интегралы являются абсолютно сходящимися Далее будет рассмотрен случай, когда с = С в представлении (4 10). то есть когда сингулярная составляющая отсутствует. Предположим, что функция распределения F(x) случайной величины дифференцируем.! иа всей числовой прямой, исключая точки xi,xz,. хп (рис. -1.6). Скачки функции К(х) в эгих точках обозначим си, аг, ...а„ соотве гственно <1. = FEr. + fl) -F(x,). (i= 1.2. . ,л). При этом ire исключается, что п* = 0, в «том ату чае функция F(x) явл, недпффсргниируемой. хотя и непрерывной в точке г* Пусть, теперь, /(х) = FVi 0. ст и если х i {г: а- X 6 {-Г1, X г,,}. Ст.}- причем j /(z) cfx = 1 — («1-с । 4-а„ — ОС (условие отсутствия сшп'у |Ярной составляющей; В этих предположениях случайной величине с, можно приписать „оей-л плотность вероятности /(г) = 7(x) + 5L«*<5(x-xfc), ( it=i где символом 6(х) обозначена 6-функция Дирака., характеризующаяся те*' .. , _ ( 0 при х 0, । — I ос при т — 0. ’ и для всякой функции <?(х), непрерывной в точке X - эа J д(х} 6(х — с} tlx =: д(с] { Обобщенная цлотпостьвероятности может быть использована, напри» вычислении Eg(ij) — так же как и обычная тотност». вероятности .с*) dx — = 9Wf(x) dx + ат f g(x)S(x - xk)dx = 81 fl имеры исследования разрывных распределений пподво.тожепии что функция g(z) непрерывна в точках за, x2, av.) В !,В ПН4 час» и,к 1и CUIT, (4 17) D§ = Eu -1,15. Найти математическое ожидание и дисперсии» случайной • "личины с функцией распределения 0. если Ж 3 % 1, Г(.с) ; < Ч 2 + ~(.т - 1), если 1 < С X 5 $ 2. 0 L если X 2 > 2. ► Гс шс ни*' Что касается Е£, со э» не. и 'ста может быть вычнс-•ена тпч»«о легко — С помощью ! -si» • ' 1Ь; площадь фигуры, рив» шоп на риг -I 7, равна &/а-Следовательно. Ес; = 8/^ Для вычисления D4 запишем rfioftlHCuil^ ю плотное ть вероятности ояуч.сйвой величины Е, о 1 г х Рис. 4.7 Л*) = Дх) + i«(z - 1) + |й(х - 2), а а гк ( 0. если х $ 1 или х 2У Тогда ~ I x2f(x) dx — -'ОС DO 1 2 \ -c5(z — 1) + ~ 2)J dx = 82 Раздел 4. Смешанные задачи на случайные 2 Г 2 2 , / х2 . — dx 4- F 5 14 1 8 41 15 + 5 + 5 “ 15’ и потому DJ; = EV-(Etf = g-|| = ||. 4.16? Для случайной величины приведенной в задаче 4J вычислите ЕГЕ,] и D[E>], где [г] — целая часть числа х, а также Е{ и о{У. где {г} — дробная часть числа х. 4.17. Вычислите математическое ожидание и дисперсию слу ной величины £ с функцией распределения о, если если если имеет распределение К' 4.18? Случайная величина 2, Найти функцию распределения случайной величины а) Рис 4.8 если |£| > 1. О 3/4 6) о* Рис. 4.9 Ир11МерЫ исследования разрывных распределений 83 решение. Преобразование у = р(х), переводящее случайную реличину £ в величину Ц, представлено своим графиком на рис. 4.8. функция распределения Ftfx) заданной случайной величины £ находится элементарно: du 11 —-=- + -factSx. График этой функции представлен на рис. 4.9,а. Для отыскания функции распределения Fri{x) случайной величины Л прежде всего заметим (рис. 4.8), что все значения этой величины с вероятностью 1 заключены на отрезке [-1; 1] Поэтому F4(z) — 0 при х — 1 и F4(r) = 1 при х > 1. Если — 1 < х 0, то Гл(а:) = Р(П < ж) = = Р(-1 < £ < х) = Ft(x) - Fj(—1) s=l-|-l arctgz. 4 7Г Наконец, при 0 < х 1 имеем: Fn(x) = Р(ц < х) = р(а < х)U(£ > 1)) = = F&) + (1 - F4(l)) = | + 1 arctgx. Итак, т Ч— arctgx 4 л 3 1 - + — arctgx 4 sr 1 при при при тС-1, -1 < X < О, 0<зс^1, х > 1. График этой функции представлен на рис. 4.9,6. 4-19? Известно, что Е ~ JV(O; 1). Найдите функцию распределения случайной величины Г если |£| 2, [ 0, если |£| > 2. ПострОйте график найденной функции распределения. 84 Раздел 4. Смешанные задачи на случайные bi Асимметрия и эксцесс распределения вероятностей Пусть «* и а* — начальный и центральный моменты fc-ro порядка (fc — 1,2,.. ) случайной величины с функцией распределения F(z) afc = E5t= j хк dF(x). — Со со Qk = E(lj - E^)* = J (x- ai)k tiF(x) —TO Легко доказывается, что к a, = ^c^(-airai!-m 771—0 В частности (проверьте), Ctg — ОЗ — 3oj 02 + 2tli 04 = П4 — 4aifl3 6ajO2 — 3лj. Коэффициент асимметрии случайной величины (распределения >'(; определяется как аз Х1 = 3/2* а2 Для симметричного распределения >ц = 0. в общем случае7 бсэрадь«я величина х-j используется как некая (разумеется неисчерпывающая) ха| .«я стика несимметричности распределения. Коэффициент эксцесса случайной величины £ (или распределения Я определяется как о4 J 3<2 = —2 — 3. «5 Эту безразмерную величину иегюль гуют как некую характеристику у_ fl ги веса больших отклонений случайной величины от се среднего значения. I Для нормального распределения вероятностей X] = м2 = 0. Поэтому характеристики и м? вмегте дают определенное представлен™ <Я пени отклонения рассматриваемого распределения вероятностей от норм • пв распределения 4.20. Если а 0, то случайные величины и + Ь имеют fl ные коэффициенты асимметрии и равные коэффициенты эксц<я Докажите это. 4.21. Вычислите коэффициенты асимметрии и эксцесса I следующих распределений вероятностей: а) П(А): б) jR(a: Ь\. в' /Я д пяметрия и -)КГЦесс распределения вероятное гей ' 4.22? Пусть С, ~ Вг(п, р) и ak{p) = Е^- Е^) Доказать что для всякого к 2 85 . к = 1,2,3,... . Ofc+ib) PQ TQ*(₽) + пкак-\(р) ар r-де. обн чио. q = 1 — р. т е .1 ь с т в о Имеем (при к 2) ак (Р) V (тп - np)k C™pr4qn~’1'; тп =Г - пк{тп - np)*-1C"'p”’g""’T,-F + (- - (т - «p/C^VV”"] -- \Р Q / -пка*-^) + Е _ np?c™v™Q'--'" = = nkak-i(p) + — ак-ц(р) pg Отсю/н и получаем требуемое равенство 4.23; Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса для | биаЪмиапы1О1,о распределения вероятностей Bi(n, р) ► Решение Как мзвесию, для рассматриваемого распределения в оятнеитей сц = 0, «г = npq По рекурентпой формуле, 1алной при решении предыдущей 1адачи pQ|n(g-p) + 2n О =npq(q-p), А< РЧ ( nq(q — р) — — р) — 2np<j^ + Зп npq = npgjl - &pq) + 3(npg)2 С киопагс.тыго, Оз 1 = ~Т^ •/«2 ч-р. у/^ёч' 04 _3 _ 1 ~ 6pQ о| ирч 86 Раздел 4. Смешанные задачи на случайные Замечание. При п —> оо имеем-ожидаемый результат для всякого р € теорему Муавра-Лапласа. Если п -» оо, р -> 0, пр —»• А > 0, то xj -» О, № —» 0. Это вц. (О; 1): вспомните интегральи что хорошо согласуется с результатом задачи 4 2],а. Разные задачи 4.24. Пусть /(z) и F(x) — какие-то (не обязательно соотв вующие друг другу) плотность вероятности и функция распред НИЯ. 1) Будет ли плотностью вероятности функция . . _ f 0 при х С 100, — I прИ х > 100 ? 2) Будет ли функцией распределения функция _ f 0 при х 100, — 1 F(x) при х > 100 ? 4.25. Существует ли константа С такая, что заданная фун> f(x) служит плотностью вероятности некоторой случайной вел1 ны £ ? Если существует, укажите ее и постройте график cool ствующей функции распределения F(x) величины Е,: 1) Се х2 при О при |z| $ 1, |х| > 1; 2) Ce~x2+ix 0 при |z| С 3, при |х| > 3. /(*) = f(x) = А 4.26 . Докажите, что для всякой случайной величины £ с ко ной дисперсией и любого числа с E(^-c)2JD5. Когда в этом неравенстве достигается равенство? 4.27 ? На числовой прямой найдите такую точку х, в кот< достигается минимум величины Е|£—х|, если - случайная вели с заданной непрерывной функцией распределения F(x). 87 ра3ныезуачи 4-28? Докажите, что если £ — случайная величина, имеющая начальный момент порядка 2п — 1 то существует и притом единственное число с, такое, что Е(£ - с)*1-1 = 0. 4.29 ? В лифт (тп. -|- 1)~этажного дома на первом этаже вошло п человек. Предполагая, что каждый из них, независимо от остальных, выходит с одинаковыми вероятностями на любом этаже и при подъеме лифта других пассажиров не будет, вычислите математические ожВДания следующих случайных величин: £ число остановок, которые сделает лифт, поднимаясь вверх; T] число этажей, которые лифт «проскочит», поднимаясь вверх; £ число этажей, до которых лифт вообще не дойдет. Докажите, что если Р(|£[ С с) — 1, то DJ; с Е]^|. Докажите, что если Р(о £ $ Ь) = 1, то (. \ 2 -^) - X у 4.30? 4.31? 4.32? Пусть а?1, з?2 < . - - < Какое распределение вероятностей наконечном множестве {zi,2C2,^п} имеет: а) наибольшую энтропию; б) наибольшую дисперсию? 4.33? Пусть Е|^| < оо, Е1$(£)| < сю и определения функции д(х). Докажите, что: а) если функция д(х) выпукла книзу, то б) если функция д(х) выпукла кверху, то (неравенство Йенсена). входит в область Е9(5) » 9(е5); е9ю«9(е^) 4.34 ? Используя неравенство Йенсена (задача 4.33), докажите, что для всякой неотрицательной случайной величины с конечным математическим ожиданием 4.35 ? Число атак, которым может подвергнуться самолет, — неотрицательная целочисленная величина £ со средним значением ЕЕ; = п, где п — натуральное число. Каждая атака, независимо от остальных атак, заканчивается поражением самолета с вероятностью р. Докажите, что вероятность поражения самолета в результате этих атак на превышает 1 — (1 - р)п; указанная граница для вероятности поражения самолета достигается в случае, когда Р(Е, = п) = 1. Примечание. Частично этот сюжет уже был использован нами в задаче 2.7 на с. 29. 88 Галдел 4. Смешанные задачи на случайные веллч| ► Решение Полагая р* — Р(£ — к} и используя сначала формулу полной вероятности, а затем неравенство Йенсена, для вероятности Р поражения самолета при случайном числе атак <; находим k-I к-1 = 1 - Е [(1 р)4] 1 - (1 - . ,.Et = 1 - (1 -р)". ч 4.36 ? Докажите, что если функция распределения F(r) ц.-п рывна, то ж f F(x)dF(z)^. - ОС Распространяется ли этот результат на разрывные фу.nd распределен 11 я ? 4.37 ? Докажите, что функция расирг де тения любой слу >и< величины имеет не более чем счетное множество точек разрыва. 4.38 ? Распределение вероятностей случайной величины £, ла; вается симметричным относительно точки л?., если F < т — ж) — P > m т) для всякого х G К (сравните с задачей 3.5 на с. 46). Г) Запишите это условие в терминах функции распредели случайной величины ф 2) Докажите ч го если Ес, существует, то = m 4.39.° Докажите что если математическое ожидание слу ’ 1й1 ветичины £, существует, то функция распределения F(x) j случайной величины удовлетворяет условиям. lini xF(x)—0. liin ж (1 F(s)) =0. х—>—ОО х—>4-00 \ / 4.40? Докажите, что если Е|^1 < оо. то ОО ОО £ р(|£| п) с Е|^| $ 1 + £ р(К| а). п=1 п=1 раздел 5 Дискретные двумерные случайные векторы Общие понятия, связанные с двумерными случайными векторами Предположим, что над вероятностным пространством (12; F; Р) определены случайные величины и т], рассматриваемые совместно — как компоненты вектора U )=«”>' Функция распределения F(x, у} такого случайного вектора (или совместная функция распределения случайных величин 2; и q) определяется как F(x,y) = Р(£ < х, г; < у), (5 1) Понятно, что О F{x,y) < 1 (5.2) Рис. 5 1. В соответствии с (5.1) F(a,b) представляет собой вероятность попадания '-‘^чайной точки (Е;, т]) в квадрант, отмеченный на рис. 5 1,о. ероятность попадания точки (£, q) в прямоугольник A BCD, приведенный Рис о 1,6, выражается через F[x,y) по формуле < Ь, . О2 п < ь2) = F(A) - F(B) + F(C) - F(D) = = F(o!,a2) — F(fli,b2) + F(bi,b2) — F(fei,aa). (5.3) 1 вероятность удобно записывать в ваде Р(«< $ £ < 6l, 02 Л < Ь2) = До22 Д"1, F(x,y). (5.4) 90 Раздел 5. Дискретные двумерные случайные век Сначала берется приращение функции F(x,y) по переменной х в пределах х = в! до х = bi — при фиксированном у, это дает А*, F(x,y) = F(bi,p) -F(Gby). Затем берется приращение полученной функции от у по этой переменно пределах от у = а2 до у = Ьг, (F(bi,y) — F(ai,y)j ~ [F{biJ>2} — Г(в1,Ьг)) — ^F(bj,oz) — F(ai,aa)J что и приводит к (5.3). Далее перечисляются основные свойства функции распределения F(x, у). 1 Монотонное неубывание по совокупности переменных х и у: для всяких ai <bi, аз < Ь2 Д^Д‘' F(xty) О 2. Непрерывность слева по каждой из переменных хну: lim F{x1 у) — F(x0, у), х—txfl—О lim F{x,y) = F(x,yo). »-»Ю-0 3. Поведение на бесконечности: ’ lim F(x,y) = F(—сю,у) =0, х—>—ОО lim F(x, у) = F(x, —со) — 0, у—♦—ОО . lim F(x, у) = F(—оо, —оо) = 0, л—♦ — сю >—* — в© Jim, F(x,y) = F(oo, со) =1 >—»©ю Эти свойства являются характеристическими для функции pacnpe^ai в том смысле, что всякая функция F(x,y), обладающая ими, может рассы ваться как функция распределения некоторого двумерного случайного век Частные функции распределения Ft(x) и F2(y) величин и tj (cootw^ ic но) выражаются через совместную функцию распределения F(x, у) этих м < по формулам ( Fi(x) = Р(£<х) = F(i,oo), ( F2(y) = Р(П < у) = F(oo,y) Математическим ожиданием случайного вектора (£,<]) называется тор (Е£,Ет])т, составленный из математических ожиданий величин и Т]. Ковариация cov(£, tj) случайных величин £ и ц определяется как cov(^,n) = Е Яп- Е [(4 - Е^)(п - Ет])1 91 , понятия, связанные с двумерными случайными векторами Оо*^*1*7 -- ------------------------- - - -—— условии, что указанное математическое ожидание существует (для ^^саточно, чтобы величины и t] имели конечные дисперсии). При этом cov(£, т}) = E£tj - Е£ - Ет]. Очевидно, что этого (5.7) (5-8) соу{£. 5) = D5> s формула (5 7) при т) = Е; принимает вид известного свойства дисперсии D£ = Ee-(E«s. Очевидно также, что cov(Ej, 1)) = cov(T], £). Симметрическая матрица cov(£, ^) cov(T), £) covf^.ii) cov(n.tl) ( \ cov(£.n) cov(£, T]) \ on ) (5.9) называется ковариационной матрицей (а также матрицей ковариаций, корреляционной матрицей) случайного вектора (£, т])т. Случайные величины £ и Т] называются некоррелированными, если cov(£, т))=0. (5.10) Это условие в силу (5.7) выполняется тогда и только тогда, когда Е^П=Е^ Ету (5.11) Для случайных величин и Т] с конечными дисперсиями С(Е, + Л) = + Dij + 2cov(J;, Л). (5.12) Приведем и более общую формулу: О(о£ 4- fcrj 4- с) = агО£ 4- 52От] 4- 2ab cov(£, т]} (5.13) Если и г] — некоррелированные величины, то DU + *1) = 4- Од, О(а£ 4-Ьт] 4-с) = a2 Dlj 4-Ь2 От). (5.14) Случайные величины и Т) с конечными дисперсиями удовлетворяют Равенству Коши-Буняковского |ед.Л)|с7Е§2-Еч«. (5.15) ® частности, |cov(£, Т])| $ vfofc • ОТ], (5.16) °^*ГЧем как в (5.15), так и в (5.16) равенство достигается тогда и только тогда, 92 Раздел 5. Дискретные двумерные случайные ве*- когда и т] связаны линейной зависимостью: Р(а£;+£П + 7 = 0) = 1 для некоторых чисел а, /3 и 7. Коэффициент корреляции р(£, п) случайных величин § и г] оггрелед формулой Р«,ч> = =&Л От] (в предположении, что 0 < Ю^ < оо, 0 < Ют] < оо). В практических задачах £, и т] связываются с различными физи*".. величинами, имеющими те или иные наименования Этим определи» -наименование числовых характеристик данных величин. Если, наорим измеряется в метрах (л»), а 1) - в секундах (с), то Е£, Ю^, Etj, Юц и coii имеют наименования м, л?, с, с2 и мс соответственно. Важной особень» коэффициента корреляции является то, что это — безразмерная величина Простым следствием неравенства (5.16) служит неравенство |₽(5. П)| $ 1- Равенство в (5.18) достигается тогда и только тогда, когда г] = а£ -У Ь, где 4 Если при этом о > 0, то р(£, Т]) = 1; если же а < 0, то р(£, Т]) = —1. В ч «-те ₽(£Л) = 1- Матрица R=( /ten) \ / 1 р(пЛ) р(л.ч) ) \ р 1 )' где буквой р (для простоты) обозначен коэффициент корреляции р( случайных величин £ и Т), называется нормированной корреляционной мае. случайного вектора (£, Т])т. Случайные величины £ и т] называются независимыми, если р(^ е в>, п е в2) = Р(Е, е р(ц е в2) для всяких множеств В| и В2 на прямой, для которых определены вероя'1 в правой части приведенного равенства. В терминах совместной и частных функций распределения не.обходъ достаточное условие независимости величин £ и т] записывается как F(z,p) = Fi (ж) F3(y), или, с учетом (5 5), F(x, у) = F(t, оо) F(oo, у) Если £ и Т) — независимые случайные величины, то для любых к непрерывных функций д(х) и Л(т) величины д(£) м Л(т]) также независт ' Если величины £ и т] с конечными дисперсиями независимы, то некоррелировавы; для них cov(£,T]) =0, р(£,П)=О; ЕН] = ЕЕ-Ет] 93 д|1СКретны<’ распределения вероятностей в Ra ^гношепле р(£, Л) = ° предполагает также, что - Оц / 0). <1з иекоррелированиости величин £ и т], вообще говоря, не вытекает их -ишяспмос гь существуют величины некоррелированные, но зависимые. яЕЗруСть (Н,^, Р) - произвольное вероятностное пространство, т) и А — залные с ним случайная величина и случайное событие, причем Р(Л) > 0. Т спа условное распределение случайной величины т] относительно случайного g^rnwi .4 представляет собой распределение с функцией распределения (5.23) Моменты, соответствующие распределению (5.23), называются условными моментами Так, OQ Е(л|л)= J ydFA(y), — оо (5.24) ^\(у) — это условное математическое ожидание и условная дисперсия случайной величины т] относительно события А. Если //[. Hi, , Нп, ... — полная группа попарно несовместных гипотез, причем Р(Нк) > 0 (fc = 1,2,...), то Ет1 = £е(п|н*) Р(Н*)-k (5.25) Эту формулу мы назовем простейшей формулой полного математического ожидания Дискретные распределения вероятностей в К2 Распределение случайного вектора (£, Т])т со значениями (ж,, у,)т полностью релеляется вероятностями Ро = = х; n =w) пРи Условии. ЧТО Ри 0, (5 26) (5-27) = 1- 94 Раздел 5. Дискретные двумерные случайные с<-кт; Это распределение часто приводится в виде таблицы ?« Уз — Уп — XI рм Р« ₽13 pin Хц ?21 Р2Я Р23 <. < PSr> 1 • z Рт1 Р«2 РтЗ — Pmn • Функция распределения (см. (5.1)J данного случайного вектора вырл»_.м« через вероятности ру следующим образом: Г(®.»)= 52 ₽.j 3- {»><» Формулы !₽<• = р(5 = *») = . J' ’% Рч = Р(п = К») = Ep.j определяют частные распределения величии и т] Для функции д(х,у) математическое ожидание Eg(^, t]) случайной ш < ны т}) может быть вычислено как Ер(5, п) = 52 s(x*> У>) ₽‘J « м (если, конечно, оно существует) В частности, = 52г« ₽»• = 52 & р,-’; J это, разумеется, дает тот же результат, что и формулы =52х*₽*• Ет) ~ ’ J Приведем также формулу =52®»а Ро Я м Из нее, в частности, следует (см. (5-7)) , что cov(^.tj)=52a:,top<> _Ех,р« 52to₽,j H M ’J ’J Все рассматриваемые здесь ряды считаются абсолютно сходящимися. [е распределения вероятностей в R3 95 пчгкпетные случайные величины и Г] независимы тогда и только тогда. Р« = ®ъ I] = у>) = Р(£ = х,) Р(г] = у3), (5.35) используемых здесь обозначениях, Ру — Pi» 'Р»1- (5.36) Условное распределение случайной величины т) при условии, чтпо § = х,, определяется — в соответствии с (5.23) — как Р3110Ю = р(п = »$ == X.) = = 15 37) при этом для всякого фиксированного t 5>ад0Ю = 1- Условное математическое ожидание е(т]|^ = х,) случайной ipu условии = х, определяется как (сопоставьте с (5.24)) (5 38) величины Г] е(п|£ = »«) = 52 jyp(n = й|$ ~ х<) = (5 3S) г i p'* Функция 9 = Я(х) = е(Ч|^ = х), (5.40) •аданная на множестве {жЛ значений случайной величины называется .•агрессией величины ц не J;. Само соотношение (5.40) рассматривается как уравнение регрессии т] на Случайная величина q = Я(^) обычно обозначается Е(т]|^) и называется •'Словнызл математическим ожиданием случайной величины т] относительно случайной величины § Подчеркнем, что условное математическое ожидание П = Е01Ю (5 41) !Ч*Дставляег собой случайную величину, в отличие от условного математическо-ожцдания Щх) = Е(л|£ — х), представляющего собой неслучайную функ-Ч"» аргумента х. Оказывается, что Е(Е(ЛК))=Еп (5 42) сдуч^К ’’азывасмая формула полного математического ожидания. Ее частным J адм (пРи Нк = {£ = ж*}) служит упомянутая выше формула (5.25). 96 Раздел 5. Дискретные двумерные случайные i_»i Для всякой функции h(x) такой, что ЕЛ(5) = Ет], Е(п-ад)’>Е(11-Е(пЮ)2- Поэтому случайную величину fj = Е(т]|5) рассматривают как наилучц. среднем квадратическом) оценку ненаблюдаемой величины Т] по наблюд. величине 5- Формулы (5-39)-(5.43) претерпевают естественное изменение, когда велг 5 и I] меняются местами. В частности, Е(ЕШл)) = Е£ и для всякой функции д(х) такой, что Eg(t]) = Е5, Е($ -5(П))2 > е(^ - Е(^|т]))2. Условные математические ожидания обладают следующими свойства: Е(г<ф) = 7(5), е(г(5)т]|5) =7(ОЕ(п|5), E^a[T]i +0292)5)= fiiE(T]il5) + а2Е(92|5). — для всякой функции 7(т), для которой определены приведенные вырт. Если дискретные случайные величины 5 и т) независимы, то условное ] деление одной из них относительно другой величины совпадает с безус; распределением первой величины: для всяких допустимых г и у Р2ц 0'10 = ₽•; иэ в частности, Е(Ш5) = ЕП- распределения вероятностей в R2 97 Общий план исследования двумерного распределения поятностей- При решении задач этого и следующего разделов ® ледованис данного двумерного распределения вероятностей мы будем связывать с решением следующих задач. 1. По заданному совместному распределению вероятностей случайных величин £ и т; найти частные распределения этих величин, их математические ожидания и дисперсии. 2. Выяснить, какими являются величины и т] — зависимыми или независимыми. 3. Составить ковариационную и нормированную корреляционную матрицы случайного вектора (£, Т])т. Выяснить, какими являются случайные величины £ и Т] — коррелированными или некоррелированными. 4. Описать регрессии Н{я) и G(y) величины т] на £ и величины £ на Т] (соответственно): Н(т) = Е (т) = т), ед = е(Ф = у). 5. Построить наилучшие (в среднем квадратическом) оценки Л = Я(£) и = G(n) величины т] по величине £ и величины £ по величине ц. 6. Проверить на данной задаче формулу полного математического ожидания, то есть непосредственными вычислениями убедиться, что е(е(т1[^))=Е1], Е(ВДл))=Е^. 98 Раздел 5. Дискретные двумерные случайные 5.1. По плану, представленному выше, исследовать распре ление случайных величин £ и Т], заданное таблицей -1 0 1 -1 V6 x/12 7/24 1 Vs V3 0 ► Решение. 1) Простые вычисления дают ^см. формулу (5.29) J: - —1) =1>1* = = 6 + 12 + 24 — М’ з P(§«I)=P2,=I-P(§ = -l) = g. Таким образом, случайная величина £ имеет следующее распределение вероятностей: / -1 1 \ * ~ \ 13/24 11/24 ) ' Отсюда (проверьте) ₽Р 1 п₽ - 143 Е^ = ~> DS-MJ- Далее, 117 P(n = -1) =р.1= ^Pil = i P(n = о) = р.2= 52р.2 = 12 + з = 12’ 1 Р(Т) = 1) = р.з= 52р,з = 1 + 0 = i Следовательно, / -i о 1 А 71 7/24 1(|/24 7/24 J ’ 99 L-rpe-rHbre распределения вероятностей в R2 ' и потому (проверьте) Etj=O, Dt] = ^ 2) Поскольку рц ф pt. - p.i ^6^24*24)’ в€личины £ и т] зависимы (в случае независимых величин должно было бы выполняться условие ру = р,. • р., для всех i и j). 3) Значение cov(fj, ц) найдем по формулам (5.7), (5-33): Е(£т]) = (-П (-1)• | + (-1) О ~ + (-1)-1-^+ + 11-1) -| + +1-0-| + 1-1-0 = -|; О О * cov(^n)=E(^T])-E^En = -| 0=4 Итак, вектор (§. "П)т имеет следующую ковариационную матрицу: _ / 143/144 -1/4 \ _ 1 / 143 -36 \ К“1 -1/и 7Ао Й4 ( -36 84 / _____________________ 36 = 18 ДоДОц “ " 4143-84 “ ТЗООЗ' Коэффициент корреляции р рассматриваемых величин § и Т] вычисляется согласно (517). соу(£, п) ДГДОт; /143 84 V V 144 ' 144 Поэтому нормированная корреляционная матрица R случайного вектора (£, Т])т, в соответствии с (5.19), равна 18 \ ТЗООЗ 1 Л = 18 1/3 003 Поскольку cov(£, Т]) / 0 (или р / 0), величины £ и Т] являются коррелированными и, тем более, зависимыми, что выше было установлено другим способом. 4) Функция Н(х) = е(т]|£ = определена в двух точках: х = —1 И х = 1. Найдем условное распределение величины Т] при условии, что = —1. Имеем (см. формулу (537)^: — _11г — _А — ~ -I» *1 = ~1) _ JL _ Д. М 13’ Р(£ = -1) 100 Раздел 5. Дискретные двумерные случайные аналогично (проверьте), Р(Ч,о|5 = -1) = А 7.. Следовательно, при = —1 случайная величина Т] имеет следующее условное распределение вероятностей: /I у ( -1 О 1 \ л(п^-1) = 4/1з 2/1з 7/i3J. Отсюда Ж-D = е(п|? =-1) = ^. Дальнейшие выкладки вполне аналогичны предыдущим и приводятся без комментариев: „г, . ,к л . pg = i,Ti = -1) _ I _ з. P(n- 1)- Р(£ = 1) 11 11’ р(п=о|^ = 1) = П; р(т} = 1|^ = 1) =0, Н(1) = е(т]|£ = 1)= з/п. Таким образом, функцию Н(х) = Е(т]|^ = xj, представляющую собой регрессию случайной величины Т) на Е, (см. (530)), 'можно задать таблично: ________________ -1 1 Н{х) 3/13 -3/11 Функцию G(y) = E(Jqq = yj, представляющую собой регрессию случайной ВСЛ1ГЧИНЫ £ на 1], читателям предлагается найти самостоятельно. Мы приведем лишь ответ к этой задаче в виде таблицы: У -1 0 1 С(У) -V7 3/5 -1 5) Наилучшей (в среднем квадратическом) оценкой случайной величшгы т[ по случайной величине £ служит 3/13, если Е, = —I, 3/11, если £ = 1- П = ад = Е(пЮ = распределения вероятностей в R2 101 Очевидно, что / 3/13 V 13/24 -3/11 П/24 (♦) поскольку Р(£ = -1) = 13/24> Р(£ = 1) = 11 /24- Аналогпчно, наилучшей (в среднем квадратическом) оценкой случайной величины по случайной величине Т] служит {—1/7, если т] = — 1, 3/5, если т) = 0, —1, если Л = 1. Поэтому ^(~1/7 3/5 -1 \ 7/24 10/24 7/24 / 6) В соответствии с (♦) и (*♦) имеем: 3 13 3 11,_ Et1 = i3-24“n-24=0 = Et1’ ЕЕ = -- —+ - —-1 7 = —-FP * 7 24 + 5'24 1' 24 “ 12 ~ Задача решена полностью. 5.2. По плану, приведенному на с. 97. исследуйте двумерное дискретное распределение, заданное табл. 1. 5.3. По плану, приведенному на с. 97, исследуйте двумерное Дискретное распределение, заданное табл. 2. Таблица 1 -1 0 1 -1 2/15 1/15 V5 1 1/5 3/10 1/10 Таблица 2 -1 0 1 -1 3/10 Vio V5 1 V5 Х/15 2/15 102 Раздел 5- Дискретные двумерные случайные Таблица 3 -1 1 0 7б 7б 1 1/б V2 Таблица 4 1 2 0 74 7з 1 7б 74 Таблица 5 7 13 0 V2 V6 1 V6 V6 Таблица 6 1 3 1 7з 74 7 7б 74 5.4. Составьте закон распределения вероятностей (табли. yi образу приведенных выше таблиц) случайного вектора (^, т])т,| £ И 7] — соответственно число гербов и число решек, выпадаю! при подбрасывании двух монет. 5.5. Составьте закон распределения вероятностей (таблиии образу приведенных выше таблиц) случайного вектора (£, Т])',| £ и Т] — соответственно число единиц и число двоек, выпадал] при подбрасывании двух игральных костей. 5.6. Совместное распределение величин задано 5.7. Совместное распределение Вычислите Е ( Е - n п = 2). величин задано т<*и величин задано 5.8. Совместное распределение Найдите функцию распределения случайной величины т], щ. | вляющей собой наилучшую (в среднем квадратическом) оценку] чайной величины 7] по случайной величине Постройте i найденной функции распределения. 5.9. Совместное распределение величин и 1] задано таш Найдите функцию распределения случайной величины щ "?4 и и и Л Л 103 Ф рмуяа полного математического ожидания дощей собой наилучшую (в среднем квадратическом) оценку случайной величины Е, по случайной величине Т]. Постройте график Найденной ф.ункции распределения. Формула полного математического ожидания Приведенные выше формулы (5.25) и (5.42) дополним следующим важным результатом, касающимся суммы случайного числа случайных величин. Пусть £i, £?, £з,-~ — независимые одинаково распределенные случайные величины с E|£i| < оо, а м — ие зависимая от них неотрицательная целочисленная случайная величина с Ev < оо. Тогда e(^i + + •• - + £*<) — Eljj - Et/. (5-47) 5.10. Игральную кость подбрасывают до тех пор, пока не выпадет шестерка. Пусть S — сумма всех выпавших при этом очков. Найти ES. ► Решение. Мы приведем два способа решения этой задачи, каждый из которых по-своему интересен. Способ 1. Пусть £ — число очков, выпавших при первом подбрасывании игральной кости. Тогда c/clr «Л f fc + ES, если Л =1,2,3,4,5. E(S|£ = fcJ = j 6_ если Jt = 6’ Полагая, что Е5 = х и Нь = - /с}, к = 1,2,...,6, получаем по простейшей формуле полного математического ожидания (5.25): a==(l + a:)4 + (2 + a:)4 + (3 + a:)4+(4+®)l + (5 + »)i + 6-i о о о о о о 1 х=^(5х + 21), х = 21. С по со б 2. Имеем S = S„ = + £2 + — + где I, _ номер того подбрасывания кости, при котором впервые ВЬигалаег шестерка. 104 Раздел 5. Дискретные двумерные случайные Поскольку каждая из величин £1, ijs, .., имеет равномерное распределение на множестве {1,2,3,4,5}, a v ~ G (р = 1/б), ESr=E(^ + ^+ +^_i) + E^ = = E£i E(i/-l) + 6 = iy^ (6-l) + 6 = 21 5.11. Игральную кость подбрасывают до тех пор, ~ока выпадет грань — к очков (к — 1, 2, 3, 4, 5, 6). Пусть S — -у выпавших при этом очков. При каком значении к величина минимальна и при каком максимальна? 5.12. Игральную кость подбрасывают до тех пор. п <а выпадет четное число очков. Чему равно среднее значение "у| всех выпавших очков? 5.13. В некотором городе каждый день с вероятностью < ясно и с вероятностью 0,4 пасмурно (независимо от ног ди другие дни). Какое в среднем минимальное число дней ну,ч прожить в этом городе, чтобы увидеть его и в ясный, i пасмурный день? Решение. Пусть м — минимальное1 число дней, которое нужно пробыть в городе, чтобы увидеть его и в ясный, и в пасмурный день. Рассмотрим гипотезы Hi и Н? о том, что в первый день пребывания в городе будет ясно, пасмурно (соответственно). После ясного дня придется ждать пасмурного дня, на что уйдет случайное число дней, распределенное по геометрическому закону с параметром р = 0,4 аналогичная ситуация возникает после пасмурного дня. Следовательно, Р(Я1) = 0,6, Е(ИН1) = 1 + ^; Р(Я2) = 0,4, Е(п|Я2) = 1 + -1-: U, о 5.14. Задачу 5.13 решите в предположении, что каждый д1 городе с вероятностью р ясно и с вероятностью д = 1 — р пасм; Докажите, что > g При каком значении р в этом неравенстве достигается равен-‘ -1 11 по иного математического ожидания 105 -------------------------------------------------------- 5-15. Пусть — минимальное чисто подбрасываний монет ы, при к0ТОром хотя бы один раз выпадает герб и один раз — решка. НайД»ге Е' 5.16? Из лрны, содержащей т белых и 71 черных шаров, наугад, ge3 возвращения, извлекают шары до тех пор, пока среди них не яайде1ся хотя бы одного белого шара и хотя бы одного черного шара. Сколько в среднем шаров будет извлечено из урны? 5.17. Каждую партию, независимо от остальных партий, игрок Л с вероятностью 1 /2 выигрывает у игрока Вис вероятностью 1/2 проигрывает ему. При этом всякий раз проигравший выплачивает побед» гелю I руб. Игрок А решил играть до тех пор, пока его суммарный выигрыш не станет равным 1 руб. Сколько в среднем партий ему потребуется сьц рать для этого? 5.18? Вычислить коэффициент корреляции между числом выпадений единицы и числом выпадений шестерки при п 1 подбрасываниях игральной кости > Решение. Пусть £, и Т) — число выпадений единицы и число выпадений шестерки при п подбрасываниях игральной кости. Тогда ~ Bi , Г] ~ Bi ^п; - ) И потому Eq = Е1] = О£ = От} = npg = Далее, по формуле полного математического ожидания е(^п) = е(е(^ю). Е(^пЮ = sE(nl£) — сы. (5 44) на с 96 — и если единица выпала раз, то на долю оставшихся пяти цифр 2, 3, 4, 5, 6 приходится п -подбрасываний игральной кости, так что Е(п1^) = !4^- э Тепеоь имеем: = Е (V = JE^- k(^2) = [D£+ (Е£)2] = \ Э J О О О v 7? 1 Г 5 П21 1 а 1 = —------I —л Ч----1 = —п-------ti: 30 5 [ 36 36 J 36 36 ' 106 Раздел 5- Дискретные двумерные случайные век, cov(^ii) = Е£ц - Е£Ец = ~-^п‘ = П) = 36 й _ _1 /Ь^л ±я 5' 36 •« 5.19° Сто точек бросают наугад на отрезок [0; п]. Предпо « что п 2, вычислите коэффициент корреляции между числщ точек, попавших на отрезок [0; 1], и числом т] точек, попавш«0 отрезок [п — 1; п] 5.20? Игральный тетраэдр представляет собой правильный тырехгранник, у которого одна грань окрашена в белый, дру.ц в черный, третья — в оранжевый цвет, а четвертая грань явля< трехцветной: на нее нанесены полосы белого, черного и орат с< го цвета. Считается, что при подбрасывании игрального tctj .м выпадает та грань, на которую он ложится. Вычислите Ер, гд₽ минимальное число подбрасываний игрального тетраэдра, при с ром хотя бы по одному разу выпадает белый, черный и оран;-м| цвет. Энтропия и информация Пусть (£, т])т — дискретный случайный вектор со значениями (х», у3) а Pij = л =у}). Энтропия Н(£, л) такого вектора (распределения) определяется как П) = -J^Pyhipy. С «и Для независимых случайных величин и Т] Н(^,Л) = Н(^ + Н(л). (I Обобщение этой формулы на зависимые величины Jj и л требует ра< q ния условной энтропии Условная энтропия Н ( л | случайной величины л при уело) • = х,, рассматривается как энтропия условного распределения вероятн -Л р2.,01«) = р(п =w|$ = «.) = ~ И иНФ°РМаЦИЯ 107 стало быть, вычисляется по формуле ^чк=«.)"-Ей'«^- (5.50) Средняя условная энтропия Н(т]|£) случайной величины Т) относительно -тчайной величины £ получается посредством усреднения условной энтропии (а^О) по распределению случайной величины Н(п|£) = ^н(т]|^ = . (5.51) Из (5.51) следует, что •Ш) = н«.ч)-»Ш или н($, п) = нш + н(п|4). (5.52) В случае независимых величин £ и Т] формула (5.52) преобразуется в (5.49). Количество информации 3^(7]) о величине Т), содержащейся в величине определяется как Мп) = Н(1])-Н(71|£) (5.53) (изменение меры неопределенности величины т] в результате наблюдений величины и через безусловные энтропии выражается по формуле Э^(п) = Н(У + Н(л) - Н(Ь п). (5.54) Если случайные величины £ и т) независимы, то 3t(n)=34U) = O; (5.55) в общем же случае Зс(п) = 3П(£) 0. (5.56) К тому же 3<(П)ОЧ(Л) = Н(Л), (5.57) По вполне согласуется с интуитивными представлениями об п<информациип>. 5.21. Вычислите энтропию двумерного дискретного распределения вероятностей, представленого табл. 1 на с. 101. Какая из величин ’ 11 т] имеет бблыную энтропию? Определите каждую из величин 3^(11) и Эч(£)- 5.22. Какое распределение вероятностей на конечном двумерном пжх.'тве {(xI}iy), i = l,m, j = 1,п) имеет наибольшую энтропию? 108 Раздел 5. Дискретные двумерные случайные 5.23. Для двумерного распределения, представленного щбд уИ с. 101, выясните, что больше: Н(Т1|^) или Н(^|Л) ? 5.24. Пусть и т] - число гербов и число решек (соответи^^И но), выпадающих при подбрасывании двух монет. Какое коииче^И информации о величине Т] содержится в величине g ? 5.25. Пусть £ и т] — число единиц и число двоек (соответ^«Л но), выпадающих при подбрасывании двух игральных костей. Кгцц количество информации несет в себе случайная величина £ о ев» чайной величине т] (см. задачу 5.5) ? 5.26. Докажите, что для всякого дискретного вектора (£, ц Л ни,л)^ню + н(л). Разные задачи 5.27. Совместное распределение дискретных случайных £ и Т] задается таблицей 0 1 2 3 0 0,128 0,096 0,024 0,002 1 0,256 0,192 0,048 0,004 2 0,128 0,096 0,024 0,002 1) Докажите, что каждая из случайных величин и т] иМ биномиальное распределение вероятностен и найдите парами этого распределения. 2) Постройте графики функций распределения Fi(x) и Я случайных величин f, и ц соответственно. 3) Какая из случайных величин £ и Т] имеет большую диспем 4) Найдите: Р(£ = Т]),' Р(£ > Л); р(^ + 2т] 2^ + т] г)-1 _,е задачи . 109 28- Случайные величины £ и 7] имеют следующее совместное телепне вероятностей: paci'i—- £ \ П -1 0 1 -1 V8 V12 7/24 1 7з >/в 0 ]j Вычислите-условные дисперсии D 2) Найдите закон распределения а) величины + Г); б) величины с,т]; в) вектора (^ + 7]; £т])т- 5.29. Вероятность попадания стрелком в мишень при отдельном выстреле равна 0.8. Стрелку разрешается стрелять до тех пор, пока не будет зафиксировано хотя бы одно попадание и хотя бы один промах. Сколько в среднем патронов израсходует стрелок ? 5.30. Пусть с, число гербов, а Т] — число решек, выпадающих при п подбрасываниях монеты. Чему равен коэффициент корреляции случайных величин и Т) ? 5.31. Сто шаров — 80 белых и 20 черных — наугад располагают в цепочку. Вычислите коэффициент корреляции числа белых и числа черных шаров среди первых 30-ти шаров образовавшейся цепочки. 5.32. В лифт девятиэтажпого дома на первом этаже вошло 10 человек, из них £ человек выходят на предпоследнем этаже и Т] человек - на последнем этаже. Чему равен коэффициент корреляции случайных величин и т] ? 5.33. Случайная величина С принимает лишь три значения —1, М с равными вероятностями- Исследуйте на независимость и некоррелированость случайные величины t /1 Л Л £ = 81П|-7гО И л = COS I -?г^ > • 5.34. Случайная величина £ равномерно распределена на мно-^тве {-1; 0; 1}. Постройте ковариационную матрицу случайного ^тора (£, -q)T с координатами ^ = 1-С2000 И п = 1-^2001. ^следуйте величины Е и 71 на независимость и некоррелированность. по Раздел 5. Дискретные двумерные случайные 5.35. Независимые случайные величины £ и Т) распределены^' закону Пуассона с параметрами А и ц соответственно. Докажите, Л Р^Т] - тп|^ + т] — nj = С^р”*?"-”1, (т — 0,1,2,n) 1 р где р = —— = 1 - q. А + р 5.36. Каждая из независимых случайных величин £ и 7] имеет геометрическое распределение с параметром р. Докажите, что + Т] = п) = —* (п > к > 1). 5.37. Независимые случайные величины и ^2 имеют геомег рическое распределение вероятностей с параметрами pi и рг соогве> ственно. Как распределена случайная величина 5 = min(^i, Jj2) ? I 5.38. Пусть £ и 7] — независимые неотрицательные целочисл» ные случайные величины, причем Е£ < оо. Докажите, что ОО Епш1(£,7]) - Jtn) Р(т] ^п). п=1 5.39? Подбрасывается игральная кость. Если выпадает цифра С то затем £ раз подбрасывается монета. Пусть при этом герб выпадает Е, раз, а решка — т) раз. Вычислите коэффициент коррелят® случайных величин £ и tj (сопоставьте с задачей 5.30). 5.40? Пусть £ — случайное число изделий, каждое из когорт с вероятностью р является бракованным. Обозначим через £ чис* бракованных изделий, а через т) — число небракованных издеЛШ* Выразите коэффициент корреляции случайных величин и т] чер* р и числовые характеристики величины полагая, что D£ < со- 5.41? В условиях задачи 5.40 докажите, что случайные вели'<4 £ и 7] независимы тогда и только тогда, когда случайная величин»^ имеет пуассоновское распределение вероятностей. раздел 6 Непрерывные двумерные случайные векторы Общие понятия, связанные с двумерным абсолютно непрерывным распределением вероятностей Общие понятия, связанные с произвольными двумерными распределениями вероятностей, описаны в предыдущем разделе (с. 89-97). Здесь же основное внимание будет уделено абсолютно непрерывным двумерным распределениям. Абсолютно непрерывным двумерным распределением вероятностей называется распределение, функция распределения которого F(x, у) = Р(£ < х, т] < у) представима в виде V * F(x,y) = J" J f(u,v)dudv, (6.1) —©о —с» где f(n, и) 0. Подынтегральная функция f(x,y) при этом называется плотностью вероятности рассматриваемого распределения, или совместной плотностью вероятности рассматриваемых: случайных величин Е, и Т]. Равенство (6.1) определяет эту функцию однозначно с точностью до множества лебеговой меры нуль в плоскости Оху. Функция f(x,y) может выступать в роли плотности вероятности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям: ©о ©о /(«,») ^0; У /* f(x,y)dxdy~ 1 (6.2) — СО —со (неотрицательность и нормированностъ). В частности, равномерным распределением на некоторой геометрической фигуре М площади S называется распределение с плотностью вероятности /(x.i,) = ( 5- (М [ 0, если (ж, у) £ М. т акад функция, как легко вадеть, удовлетворяет условиям (6 2) “ точках непрерывности функции f (т, у) имеем: /(с, у) = Е(х. у) (6.4) ОТ I >1/ 112 Раздел 6 Непрерывные двумерные случайные Пусть f(x,y) — совместная плотность вероятности величин £, и т]. ri’orj в для всякого множества В на плоскости, для которого указанная вероя( определена. Частные плотности вероятности ft (х) rt fz(y) величин t; и Т] выр »*j через их совместную плотность вероятности f(x. у) по формулам — в полной аналогии с дискретным случаем также, что (см (5.29), с. 94^ Ест“<"д E5(^,tj)= У У g(x,y)f{x,y)dxdy В частности, Е£— У У xf(x,y)dxdy, Ет) ~ f f yffayMxdy; это, разумеется, дает тот же результат, что и формулы Еп = У yf2(y)dy. Наконец, отметим, что ху f{x, у) dx dy; «ov(£, л) = Е(£т]) - Е£ЕП = У У ХУ У) dx dy - У х f(x,y) dxdy- J J у f{x, y) dx dy. Предполагается, что приведенные выше интегралы сходятся абсолютно. 113 _ ,чайпые величины £ и Т] с совместной плотностью вероятности f(x,y) зависимы тогда и только тогда, когда f(x, у) = /1 (х) - f2(y), (6.11) г (5.21) и (6.4)); при этом частные плотности вероятности fi(x) и Л (у) '-ределяются соотношениями (6.6). ° у^ловнал функция распределения F2|1 (Ук) = р(л < Ф = ®) (6.12) в связанная с нею соотношением V (6.13) условная плотность вероятности Л|1(!/к) случайной величины Т] при условии, что £ = х, определяются следующим соглашением: f Zfeg), если /ц(х)= f f(x,y)dy>0, h\x) -«> CO О, если /1(а:)= f f(x,y)dy = O. (6.14) Л|1(ук) = Функции F2|i(y[x) и /2|1 (у|т) в (6.12)-(6.14) рассматриваются как функции аргумента у; переменная х выступает в них в качестве параметра. При этом (6.15) в ожидание Е^1]|§ = ж) случайной величины TJ при Условное математическое Условии, что % ~ х, определяется как //(х) = Е (6-16) Функция Н(х) называется также регрессией т] на ф Случайная величина f] = 77(1;) чаще всего записывается в виде П = Е(чЮ (6-17) и5аЭЬ1вается условным математическим ожиданием случайной величины Т] Сл ССи’Лелъно случайной величины ф И здесь (сопоставьте с дискретным У аем) действует формула полного математического ожидания Е(Е(л|«) = Ет]. (6.18) 114 Раздел 6. Непрерывные двумерные случайные Случайная величина ц служит наилучшей (в среднем квадратичеа оценкой случайной величины т) по случайной величине § — в том смысле, для любой оценки Л(£), удовлетворяющей условию ЕЛ(£) = Etj, спр * неравенство 2 Соотношения (6.12)-(6 18) претерпевают естественные изменения, если чины £ и т] меняются местами. Так, *ip(*|») = ₽(£<*[ П = ») = J /1|2(«|у)<1и (б.М) --ос есть условная функция распределения величины fj при условии, что т] = 1», * /1р(х|») = если h(y)- f ft?, у) dx > О, О, если /г(у)= / f(x,y)dx = O, есть условная плотность вероятности величины £ при условии, что Т] = у. Функция OQ G(v) = = у) = У »/ms(*I») dx (6Я) —оо представляет собой регрессию на т] - условное математическое о случайной величины £ при условии, что Т] = у. Случайная величина ^ = С(П) = Е(УП). (в.И) определяющая условное математическое ожидание случайной величины <н» сительно случайной величины т), связана с Е£ соотношением е(е(^|т])) = Е5- («-Л Случайная величина £ служит наилучшей (в среднем квадратичжЯВ оценкой величины £ по величине т} — в том смысле, что E(^-uh))3>E(t-?)a Я для всякой оценки д(л)> удовлетворяющей условию Ер(г)) = Е£. Свойства (5.44) условного математического ожидания, рассматриваемый те для дискретных распределений, распространяются и на абсолютно ные распределения вероятностей. Наконец, приведем формулу умножения плотностей — простое снЖЯИ формул (6.14) и (6.20): 7(х.») = /иг(х|1/)- f'Av) = /211 (ФО /1(х)- (®И ^^епонятия В случае независимых случайных величин £ и Т] А|з(х|]/) -№), При этом Е(п|£) = Ет], Е(Уп) = Е5 115 (6.25) (6.26) /2|1(«к) = Ну)- (с вероятностью 1). 6.1. По плану, представленному на с. 97, исследуйте двумерный случайный вектор (£,, 7])т, распределенный равномерно в квадрате И + |?/| < 1 (рис. 6.1). Рис. 6 1 Рис 6.2 Рис. 6 3 ► Решение. Прежде всего отметим, что в соответствии с формулой (6.3), приведенной на с. 111, совместная плотность вероятности /(т, у) рассматриваемых случайных величин £ и Г] записывается в виде 1/2, если |х| + |р| <: 1, О, если |т| + |у| > 1 (площадь рассматриваемого квадрата 5 = 2). 1) Частная плотность вероятности /i(t) случайной величины ij, в соответствии с (6.6), может быть вычислена как /Дх) = f(x,y)dy. Очевидно, что fi{z) = 0, если |х| > 1; если же |х| 1, то 1-М /1(х)= f |dy=l-|z|. I«l-i 116 Раздел 6- Непрерывные двумерные случайные ьец Итак, г t \ kl» если |х| SC 1, № = | 0, если |х| > 1. График 1ТОЙ функции представлен на рис. 6.2. Простые вычисления, с учетом четности функции /1(х), дают (проверьте): Di; = Е^ - (Е£)2 = 1 Распределение случайной величины tj отыскивается аналогично. Впрочем, соображения симметрии без каких бы то ни было вычислений подсказывают, что f _ f 1 - |у|, если Ы < 1, J2(y) g если |р| > 1; Ет) =0, D1l = £ 2) Условие независимости /(т,у) = /1(т) - Л (у) в данном случае не выполняется - по крайней мере, в окрестности точки х — О, у = 0. На это явно настраивает и рис. 6.3. Фиксируя 4 на разных отрицательных (для определенности) уровнях ц и хз, мы сразу же обнаруживаем, что я первом случае величина т] изменяется в одних пределах, а во втором случае — в других пределах. Итак, рассматриваемые случайные величины £ и Т] зависимы. 3) Имеем: cov(fc, 1)1 = Е(£П) - • Et] = Е(^л) e Jj ху ± dxdy = O kl+l»Ki (нулевое значение получается уже при интегрировании по х: интегрировать придется нечетную функцию в симметричных относительно точки 0 пределах). /Щбч Поэтому ковариационная матрица К и нормированная корреляционная матрица R вектора (£, Т])т таковы: Уб 0 \ р _ ( 1 о \ о V6Л г) К = Как видно, величины ij и т) являются некоррелированными Эта задача дает содержательный пример некоррелированных, но зависимых случайных величин. 4) Условная плотность вероятности A|i(pk) случайной величины Т] при условии, что £ = х, в соответствии с (6.14). записывается следующим образом (для случая |х| < 1): /ziitok) = 1 2(1 - kl) о при |р| < 1 - к|, в остальных случаях. Напомним, что величине х здесь отводится роль параметра; в качестве аргумента функции выступает величина у. Но дробь 1 2(1-к|) не зависит от у, и, таким образом, при |т| < 1 функцию /г|1(1/к) можно рассматривать как плотность равномерного распределения в интервале , . Это мы и будем иметь в виду, записывая, что Отсюда вытекает, что Я(г) = Е(цК = г)=0. заодно приведем и значение условной дисперсии ,1 л [Ф-м)]' (’-и)’ °(чМ- 12 Аналогично получаем С(у) = е(Ф=9)=о. 5) В качестве наилучших (в среднем квадратическом) оценок величин £ и Т] — одной по наблюдениям над другой — получаем соответственно £=G(ti) = O, п = Я(О=0 (с вероятностью 1). 118 Раздел 6. Непрерывные двумерные случайные И 6) Понятно, что Е£ = О = Е^, Еп=О = Еп> что иллюстрирует формулу полного математического ожидания на рассматриваемом примере. 6.2. По плану, представленному на с. 97, исследуйте двумерт^ случайный вектор £ — (£, Т])т, распределенный равномерно внущ эллипса - + ^ = 1 аг & 6.3. По плану, представленному на с. 97, исследуйте двум< случайный вектор £ = (£, т])т с функцией распределения F(x,y) - f l-e-b-e-w + e-^» при х^О,у^О, 1 0 в остальных случаях, где А > 0, д > О. 6.4. Плотность вероятности случайного вектора (£, Т])т тако1 1+х2 + у2+х2у2- 1) Найдите коэффициент а и частные плотности вероятн! случайных величин £ и Т). 2) Исследуйте случайные величины и т) на некоррелированно и на независимость. 6.5. Пусть £ ~ 7V(0; 1) и Т| = £2. Исследуйте величины £ и И * независимость и на некоррелированность. 6.6. Для случайного вектора (^, т])т с ковариационной матрш^ ~ / 2 К ~ -3 6 ) вычислите: a) D(2^ + 3t]); 6) 0(3^ - т) + 2); в)Г>(2$-3). 6.7. Докажите, что если < оо, Е)т] < оо, то D 2 -юность попадания случайной точки в заданную область Fjpz-Z——- — —- g g. Докажите, что 119 р(а^ + 6, ст] + d) = р(£, т]), если ас > 0; —р(С,Л), если ас < 0. 6.9. Пусть $ -случайных величин: Е(Х). Вычислите коэффициент корреляции ) £ = 2^ + 3 и Т] =3£-1; ) 5 = 2 - и 1) = 5 + С ) £ = £ + 1 и т) = С2-1; ) £=£2 и Ц = ^2-^ 6.10. Пусть £ ~ 7V(0; случайных величин: аН = £ М = C2i Л = 2С2 + 3. 1). Вычислите коэффициент корреляции 6) 5 = ; и Ч - с»; в) 5 = 3? - 2 я Вероятность попадания случайной точки в заданную область 6.11. Случайные величины Т] независимы и распределены по закону R(0; 1) каждая. Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения х2 + 2^х + Т] = 0 вещественны. ► Решение. Поскольку Случайные величины 4 и Ч независимы, их совместная плотность веро-^гвости f[x,y) равна про-взв«дению их частных олотвостей вероятности /1(z) и b(s): /(*,») = /1(®)Л(у)- Принимая во внимание, что каждая из величин и Т] распределена равномерно в интервале (0,1), получаем Рис. 6.4. /<*.») = { о’ если 0 < я: < 1, 0 < у < 1, в остальных случаях. Уравнение х2 + 2Е,х + Т] = 0 имеет вещественные корни тогда и 120 Раздел 6. Непрерывные двумерные случайные только тогда, когда его дискриминант неотрипателен, то есть 4^2—4т)^0, V > Л- Поэтому, в соответствии с формулой (6 5) (см. с. 112) Р(£2 > 1]) = f(x,y}dxdy = JJ dzdy. «2>* Как мы видим, задача сводится к нахождению площади S фигуры, отмеченной на рис. 6.4. Имеем: 1 Р(^>П) = /x2rfx = l J о « 6.12. Диаметр вала и диаметр отверстия — нез случайные величины, распределенные равномерно в ш (4,95; 5,15) и (5,0; 5,2) соответственно. Определите ве] того, что вал войдет в отверстие. 6.13. Известно, что £ и ц — независимые одинаково ленные по закону JV(O; 1) случайные величины. Найдите ве] попадания случайной точки (£, Т[) в квадрат; а) И С 1, М $ 1; 6°) |ж| + |р| 1. 6.14. Доказать, что если Е, и Т) — независимые один»! распределенные по закону 7V (0; 1) случайные величины, то ^ + 1]2 Совместная плотность вероятности /(г, у) независи- ( £ и И равна произведению их частных Решение, мых случайных величин плотностей вероятности: /(*,») = /•(*) Л(в) = 4=в'Ь’ = ^e"iu2^2)’ Поэтому при z > 0 р(С + ч2<^)= Д ±e4(^2>dld!/. опальные преобразования случайных векторов 121 Такие интегралы проще всего вычисляются с помощью полярных координат Полагая х гсозу?, у = rsiny?, находим Р($2 + П2<г) Полученная функция служит функцией распределения закона £(>) при А = 1/2- 4 6,15. Известно, что и Т] — независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми средними значениями и дисперсиями ст, и <72 соответственно. Вычислите вероятность попадания случайной точки (^, т]) в область, ограниченную эллипсом х2 -р ?- - 1 (W (ки2У У2 6,16. Известно, что <; и Т| — независимые одинаково распределенные по закону /V(0; 1) случайные величины. Найдите математическое ожидание и дисперсию длины £ — + Т]2 вектора (£, т])т. Функциональные преобразования случайных векторов Предположим, что случайный вектор £ = (£>, £г)Т имеет плотность ^ронтносги /5(Х1,Т2). Пусть, кроме того, 1/1 = 51(хъхг), V2 =дг(х1,Х2) (6.27) Жданные функции, преобразующие вектор Е, в вектор Л = (гр. г]2)т: Л1 = Лг — 92(£ь£г). g 1Дем также считать, что функции (6.27) гладко обратимы, то есть (6.28) =Л1(У1,У2), зг2 = h2(yi, у2), (6.29) 122 Раздел 6. Непрерывные двумерные случайные и существуют частные производные функций hi и Лг> образующие якобвад dhi dhi дуг дуг dhz dhi дуг дуг При этих соглашениях плотность вероятности f (in, £/г) случайного **'*i^k Т] выражается через плотность вероятности случайного вектора формуле h2(yi ,у0) Ij| (e^j Вводя обозначения у = (ifi, yz), h — {hi, hi), формулу (6 31) можно в виде /ч(у)=л(л(»))-|4 Ц Это двумерный аналог формулы (3.32), приведенной на с. 61 В случае линейного преобразования г] = Л£ + Ь (т)1 = Л11£1 + 012^2+Ь1, Т]2 = «21^1 +“22^2+i>2) С невырожденной матрв^И формула (6.32) принимает следующий вид. 6.17. Каждая из независимых случайных величин Iji и 5 распределена равномерно в интервале (0; 1). Найти заков распределения случайной величины: а) т) = Slfo б) т) = £1/^2. ► Решение (частично), а) Наряду с функцией yz(xi, Хг) = xixz, I непосредственно связанной с этой задачей, введем в рассмотрение I (искусственно) еще какую-нибудь, по возможности простую функ- I цию тех же переменных xi и хг, например, 52(11,12) = Хг, чтобы можно было использовать описанную выше теорию. Имеем' Г*]1=Р1(^Л2)=^2, 1*12 = 52(^1, £2) = ^2, где yi=gi(xi,X2)=XlXi, P2=52(^1,X2)=Z2 ф цкцяовальные преобразования случайных векторов я> стало быть, 123 У? X2=hj{j/i, ya)=yj; 1 О V1 У2 1 1 1Л1’ Основная формула (6.31), с учетом того, что | д' если 0 $ Xt С 1, 0 $ хз $ 1; в остальных случаях, дает 1 Ы’ о если 0 1, 0 < у2 £ 1; У2 в остальных случаях, или /,(»!,!«) = —, если 0<У1^доО, Р2 О в остальных случаях. Следовательно, искомая плотность вероятности /Ч1 (yi) случайной величины 7}i = может быть найдена по формуле — dps = -Inyi У2 и для 0 < yt $ 1. При yi $ О и у, > 1, очевидно, (pj = О- Ответ может быть записан и в таком виде: W‘>={ — Inz, О если 0 < х С 1, в остальных случаях. 124 Раздел 6. Непрерывные двумерные случайные График этой плотности вероятности представлен на рис. 6.5,а. /W 6) Рис. 6.5. Замечание. Приведенное решение демонстрирует общие положения, заложенные в формуле {6.31). Задачу можно было бы решить и другим, возможно, более легким путем. Сначала найдем функцию распределения F(z) случайной величины Л = £1Ла; F(z) = P(tj < г) = Р(§1^2 < х) = /t{x>,x2)dxj dx2. *ix2<z Очевидно, что Р(0 £2 С 1) = 1; поэтому F(x) = 0 при х < О и F(x) = 1 при х > 1. Если же 0 < х $ 1, то F(x) = dxi dx2. 0<xtx2<a Такой интеграл представляет собой площадь фигуры, отмеченной на рис. 6 5,6, и равен (проверьте) 1 F(x) = 1 — J ^1 - dxi — х(1 - Inx). 1 Итак, f 0 при х $ О, F(x)=< х(1 — 1пх) при 0<х<1, [ 1 при х > 1. Отсюда, посредством дифференцирования, легко находится плотность вероятности f(x) случайной величины Т] = £1 £2: гм - - J -Ьх, если х е (О, 1), fW - F (х) - < 0 есяи х g £0. 4 6.18. Каждая из йё^ависимых случайных величин И имеет экспоненциальное распределение с параметром A. Hjl закон распределения случайной величины: а)П = |1; 6) Т] = £- 42 41 + 42 125 „.повальные преобразования случайных векторов -------~-------------------------------------- решение (частично), а) Пусть У2 = Z2, ИЛИ f Х1 = УЦ/2, ( XI = 1/2. Тогда Если теперь П2 то плотность вероятности / (j/i, у 2) выражается через плотность вероятности f / х ) _ / А2е *(»!+*!), если Х1 > о, х2 > О, 1г' ’ ' ( О в остальных случаях по формуле (6.31): г (1/11/2) = /" Мигс+яг), если У1р2>0, 1/2 >0, ;, w / | q в остальных случаях. Следовательно, при yi > О оо (У1) = У /, (УЫ/гМуг = о У А2 И2 e-*<n+*h2 dv2 = О А2 1 A2(yi + 1)2 “ (у. + 1)2 Ответ к задаче можно записать в виде /.(*) = ( (7П)5 1>0- I, О при х < 0. Читателям предлагается самостоятельно решить эту задачу другим способом — по аналогии с предыдущей задачей ®-19. Каждая из независимых случайных величин и ^2 имеет стандартное нормальное распределение вероятностей. Найти распределение частного Т] = £1/^2- 126 Раздел 6. Непрерывные двумерные случайные Bt, ► Решение. Имеем: Полагая T]i = П* = п0 аналогии с приведенным выше решением задачи 6.18,а получаем Следовательно, Ответ к задаче может быть записан в виде Ai/ta = й1'+г2* Замечание. Как показано выше, частное т) = Д*№ независимых стандартных нормальных величин имеет распределение Коши. Отметим, что такое же распределение, очевидно, имеет и частное rf = • А это означает, что если случайная величина т] распределена по закону Коши, то по закону Коши распределен* и случайная величина Т)' = 1/т) (еще одно решение задачи 3.61, приведенной на с. 65). -4 6.20 ° Как в условиях задачи 6.19 распределена случайная чина: а) Т] - 6) П = Wfol ? 6.21 ? Случайный вектор (^, £2)т распределен равноме] круге х 2 + х2 $ г2. Как распределена величина 7) = ? 6.22 ? Координаты вектора (£,П)Т — независимые один распределенные по закону N(0; 1) случайные вел1гчины. На совместное распределение полярных координат данного вект их частные распределения. 127 ^^х'вание независимых случайных величин ^23- Плотность вероятности вектора (4ь 4г)т такова: {С -----ГЗ-, если х > 0, у > 0: (1+т + у)3’ ’ * О в остальных случаях. уйдите плотность вероятности случайной величины Т) = 41 + 4г-6-24. Пусть 41 и 4г — одинаково распределенные по закону g(A) случайные величины. Докажите, что если они независимы, то независимы и случайные величины; 41 а) П1 = 41 + 4г и Т]2 = ; б) т]2 = 41 + 4г и Иг 6.25 ? Докажите, что если каждая из независимых случайных величин 41 и 4г распределена равномерно в интервале (0; 1), то случайные величины 7)1 = pcostp И Т]2 = pSin</>, где р — ^/—21п 4i, V = 2л4г> независимы и имеют одно и то же распределение — JV(O; 1). 6.26 ? Известно, что 41 и 4г — независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение вероятностей. Найдите распределение случайной величины: а) Т) 2414г 4? + 422’ = 2414г ЛИП’ Суммирование независимых случайных величин г / 4 и т] — независимые случайные величины с плотностями вероятности CbiTk И соответственно, то плотность вероятности /(т) суммы 4 + Л может найдена как свертка № = №)*№) °стей fi(x) и fz(x), которая определяется следующим образом. /1(т) */2(х) = j fi(x--u}d'u = СО [ f2(v)fi(z-v)dv (6.34) 128 Раздел 6. Непрерывные двумерные случайные В случае, когда слагаемые и г, принимают лишь неотрицательные зн; формула (6.34) принимает вид X X fi (х) * /г(«) = f fi (и) - w) du = J f2(y) fl (x - v) dv. о 0 6.27 . Найти плотность вероятности суммы £ 4- Т), если из но, что случайные величины £ и т) независимы и одина распределены по закону ДО; 1). Решение. Прежде всего запишем плотности вероятности слага емых £ и Т]-. f = = Г г> если ° < х < ' t ‘ ' 1 ч ' ' 1 О в остальных случаях. Очевидно, что сумма + Т] принимает лишь значения из промежутка {0; 2). Для всякого такого значения х Рис. 6.6. со /t+„ (х) = Л (х) * /ч (») = J fi Wf4 (® -«)** = — ОО “ у* du = du = 0<1*<1 0<и<1 0<х—п<1 х— 1<и<х = у du = min(l, :<) — max(0, х — 1) шах(0,х—1)<п<тЗп(1,х) Рассматривая отдельно случаи 0<х<1и1<г<2, получаем: Г х при 0 < х < 1, f (х) =. < 2 — х при 1 < х < 2. '+ч ( О при ж<0иприт>2. График этой функции представлен на рис. 6-6. 6.28 . Найдите плотность вероятности суммы £ + т), если « но, что случайные величины и т] независимы, причем: а) £ ~ R(0- а), т] ~ ДО; Ь); б) ~ До; Ь), -q ~ Де; d) 6.29 . Как распределена сумма £ + tj, если £ и д — незави одинаково распределенные по закону Е(А) случайные величй! fjy?j№1P0BaHIie независпмых случайных величин 129 6.30 . Деталь обрабатывается последовательно на п станках. Времена обработки Ti, тп — независимые одинаково распределенные по закону Е(Х) случайные величины. Найти плотность вероятности суммарного времени обработки детали т(7г) = Ti + ^2 Ч-Н тп, а также Ет(п) и От(тг). решение. Если — f Хе~Хх при х > О, А 0 при г<0 — плотность вероятности каждой из величин Ti, Тг, —» a f„(x) — плотность вероятности суммы t(n), то Ь(ж) = f(x) * /(»), /з(х) = /г(ж) * f (х), fn(x) = /n-i(x) * f(x). Используя результат задачи 6.29, находим (при х > 0)-/г(х) = Хгхе~Хх-, fi(x) = f Х2ие~ХиХе-^х-^ du = С DO __ уЗ —Ast /" j —Ax. = A e i uau = —-—e = A———e : J 2 2 0 /хз du = о --e Judu=-e Т = А-зГ-е О Методом математической индукции нетрудно доказать, что f (х) — c~Az Распределение с плотностью вероятности /п(х) называется распределением Эрланга-, оно находит много важных применений в теории массового обслуживания. Математическое ожидание и диспер-сия распределения Эрланга проще всего находятся из представления т(п) = -tj + т2 + • - • + т„. I 130_____________Раздел в. Непрерывные двумерные случайные nc^j - С учетом того, что слагаемые независимы и Ет* = j, Оц ar -L_ J. сразу же подучаем: Ет(п)= р От(п) = £. у 6*3i? В условиях задачи 6.30 найдите Е^п))™ = е[(И + 12 + + ^г], гд₽ *П — натуральное число. £.32? Найдите плотность вероятности разности С = £ — Ч» •мВ известно, что случайные величины £ и Т] независимы и одмммЯи распределены по закону: a) JR(O; 1); б) Е(Х). 6.33 ? Как распределена сумма £ 4- Т], если £ и т] — нес случайные величины и ~ Е(Х), а т] П(А) ? 6.34 ? Пусть А — случайное событие, а — случайная вел рассматриваемые над одним вероятностным пространством, зуя. формулу полного математического ожидания, докажите, чг» • j —оо где F(x) — функция распределения случайной величины 6.35 ? Докажите, что если хотя бы одна из независимых ел ных величин £ и Т] имеет непрерывное (абсолютно непрерь распределение вероятностей, то и сумма £ + т] имеет иепрер] (абсолютно непрерывное) распределение вероятностей. Энтропия и информация Энтропия Н(£, Т}) случайного вектора (£, т))т с плотностью ти f(x,y) определяется как Н(£, Ч) = - f(x,y) In/(в, у) dx dp. R2 м информация Дтя М(€, п)- Н(»+И(п). г (Ш4 Условная энтропия И^Т)|^ = ж) случайной величины Т] при условии, •что,? » г г, рассматривается как энтропия условного распределения вероятностей с ^твдсгыо ЛцШ») = fix,у) /1(х) ’ о. если если /i(a:)= J f(x,v)dy>Q, — со fi(x)= / f(x,y)dy = Q, t стало быть, вычисляется по формуле = *) = ~ J fziifofc) In/ajiCri*) dV- (6.38) Средняя условная энтропия Н(т]|§) случайной величины Т] относительно случайной величины получается посредством усреднения условной энтропии (6.38) по распределению величины н(п14) = У и(п|^ = /1(«) dx = -UУзц(у|х) In f{x,у) dx dy. (6 39) -оо в2 Из (6.39) следует, что К(Т)Ю = Н(§, т])-ад, Ц(£, ч) = н«)+н(л|§). (6-40) В случае независимых случайных величин и 1J формула (6.40) преобразуйся в формулу (6.37). Количество информации 3^(т)) о величине т], содержащейся в величине Оделяется как 3?(т>) = ц(я) _ Если случайные величины и т] независимы, то (6-41) 3?(П) = Эча) = 0; (6.42) ® °бщем же случае 3t(n)=M£)^0. (6.43) четим также, что 3$(п) С Мп) = Н(п) (6.44) в полной аналогии с дискретным случаем (см. раздел 5). «-36. Какое абсолютно непрерывное распределение вероятностей ^Руге х2 -ь у2 <; г2 обладает наибольшей энтропией? 132 Раздел 6 Непрерывные двумерные случайные эд 6.37. Случайный вектор (^, т])т распределен равномерно в драте |х| + |р] 1. Вычислите количество информации об одн< случайных величин £ и Т], содержащейся в другой случайной > чине. 6.38. Верно ли, что для всякого абсолютно непрерывного чайного вектора -а)Н(^П)^0; б)^(т])^О? 6-39. Верно ли, что для всякого абсолютно непрерывного чайного вектора (Сопоставьте результат с результатом задачи 5-26 на с. 108.) Разные задачи 6.40. Известно, что и - независимые случайные велич причем Сд ~ 2?(0; 1), ~ Bi (« = 10000; р = г/2) Пусть f 01 =£1 + 2^2. (П2=С1 -4^2- Найдите ковариационную и нормированную корреляционную iv щ>1 вектора Т) = (П1, П2)т- Какие интуитивные соображения м< привести в пользу результата вычисления коэффициента коррел реличин Т] 1 и Т]2 9 6.41. Докажите, что если и одинаково распределе случайные величины с конечными моментами второго поряди величины T]i = 41+^2 и rj2 — являются некоррелироваеи « 6.42. Докажите, что если случайные величины £ и т] одиЖ распределены, имеют конечные дисперсии и р — их коэффИ корреляции, то и т] - некоррелированные случ< величины. 6.43. Исследуйте на независимость и на некоррелироваи случайные величины £ = sin £ и rj = cos £, если £ ~ Д(0; 2тг) . 6.44'.' Случайные величины £ и tj имеют абсолютно непрерь распределение с плотностью вероятности J- f(x, у) = Се~ Найдите условные вероятности: зада411 133 g 45. Докажите, что для всяких независимых случайных вели-р и г] с конечными дисперсиями ЧИ'1 Dfgn) = IX - Ол + • (Ел)2 + (Е£)2, ., в частности, ,0(^Л)^О^-Ол. 6.4б . Правомерны ли приводимые ниже рассуждения? 1) Дорога от дома до института (1 км) занимает у меня в среднем 12 минут; следовательно, я хожу со средней скоростью 5 км/час. 2) Я хожу со средней скоростью 5 км/час и в ходьбе провожу ежедневно в среднем 3 часа; следовательно, в среднем я ежедневно прохожу 15 км. 6.47 . Докажите, что если величины и л являются некоррелированными. то некоррелированными будут и величины л' = 7Ч+* для всяких действительных чисел »,/3,7 и 6. 6.48 ? Докажите, что если величины £ и л некоррелированы и каждая из них принимает не более двух значений, то эти величины независимы 6.49 . Докажите, что если 3 1 Р(> 0) = р(л > 0) = 5, РХ + Л > 0) = 2> £ и Л * зависимые случайные величины. 6.50 ? Известно, что Е, и Т] — независимые случайные величины, причем по крайней мере одна из них имеет непрерывную функцию Распределения. Найдите вероятность Р(£ — л)- Изменится ли Результат, если предположить, что каждая из величин и л имеет декретное распределение вероятностей? 6.51 ? Каждая из случайных величин £ и л распределена равно-Мерн<) в интервале (0; I). Докажите, что при любом характере зави-сДмосги между ними еМ4 134. Таедал ( «#2.° Покажите, чтр.футжци-я F(z,y) = А, если i + j > P, .О, если x С® не является функцией распределения ни для «акото случа*яогом&д тора. Какое из характеристических свойств функции распределяй (см. с. 90) здесь не выполняется? 6.53 ? Для-всякой ли функции распределения F(x,y) фумкпн» ГЧ". ,д _ I F(x. у), если х + у > 0, ' ’ ( 0, если х + у 0 является функцией распределения? 6.54 ? Пусть JFi(x) и F2{y) — одномерные функции распределение F(x,y) = Fi(x)F2(y) [1 + а(1 - Fi(x)} - F2(j/)}] , где |а| $ 1. Докажите, что F(x,y) - двумерная функция распределения с частными функциями распределения JFi(x) и F2(y). 6.55 ? Докажите тождество Dtj = Е (О(т]|^)) + d(e«)). Я Примечание. Символом О(т][£) обозначена случайная величина Z(%), где Z(z) = о(т]К = х) 6.56 ? Пусть 7) — <?(£), причем £ и Т] — случайные величины с конечными вторыми моментами. Докажите, что для возрастают^ функции ^(х) выполняется неравенство cov(£, Т]) 0, а ДЛ* убывающей — неравенство cov(£, т]) $ 0. 6.57 ? Докажите, что если JF^(x) и F4(x) — функции распредели ния случайных величин £ и т], то для всякого х G К и 6 > 0 F5(x - 6) - Р(|£ - т)! > *) С Fn(x) £ FK(x + <5) + Р(|£ - n| 4 раздел 7 0деом*р»ы* раеиуеделашгп версвтмостеЖ Общие помни Предположим, чте им вероятностным цувстранством определены ручейные величины £3, .... рассматрмвемые совместно — как яоып»-вятм вектора 4 = (4i,4s.--.,U)T функция распределения F^x) = F(x1,xa,...,»n) такого случайного вектора, или совместная функция распределения мличвк 43, —» Ъп. определяется как F<Xj,Xai...,Xw) = Р(4, <Х,, 4а <®я,..-, <*„) (7.1) Естественно, что О F(xItxa,...,xw) < 1. В почив* аналогия с друмервым случаем Р(в1 41 < > в1 С 4s S» • > a4 < ^в) = = Д£ ... Д*3 Д>, Р(Ж1,Г2,...,ХЯ). (7.2) Приводимые ниже три свойства служат змрмтеуисти^ескими евеветввкми "-мерной функции распределения. 1 Монотонное неубывание по совокупности переменных Х|( х3, ..., хя: для всяких в, < bJt а2 < Ь2, .., ап < Ък Д^ ... Д>2 Д*> F[Xl,z2, ...,zj 0. 2. Непрерывность слева по каждой из переменных: при 1 г С 71 iim _F(xn-.,T,_j,a:r,zr+I,...,aM) = FCx,,j.Xeo»®,*,,—»*,»)- 3. Поведение на бесконечности-, при 1 $ г $ n lim F(x.,...,x l,zr,xrх„) = xr —•—DC = F(x1,...,z,_11~co,zr+I,...1xI1) =0; lim F(zj, x2,..., x„ ) = F(4-oo, +oo,..., +oo) = 1. j-^+oo 136 Раздел 7 Многомерные распределения вероя^ Частные функции распределения Fj (.тп), F2(a?2), Fn (а?п) еду-, величин £2, (соответственно) связаны с совместной фу распределения F(t1,ха,...,хп) соотношениями Fr (х,) = Р(£г < хт) = F(+co, - - -, 4-со, хг, 4-со,..., 4-со) = = F(x1,x2,....?«) xfc =+оо при к / т (г = 1,2,..., п); под знаком функции F значения всех аргументов, исключая и, полагаются равными +со. Аналогично, РтЛ^г,^.) = Р(£г < хт, < хе) - = Р(х11х2,....х„) xk = +оо при fc / г и к / 8 и* (М) (1 $ т < в $ п); под знаком функции F значения всех аргументов, исключал t, и х3, полагаются равными 4-со Вообще, пусть £ = ($1Л2,---Лп.'П1,П2- >Пт)Т есть (п 4- ш)-мерный случайный вектор, допускающий разбиение на фра подвектора 5 = -Лп)Т и П = (Л1,П2.- --Пт/ Предположим, далее, что F^ С®) — F^ (*£ 1 т 3-2 > ‘ ‘ 4 • )» Fq (?) F) »%»’••» Утп )> F(s,у} ~ F(xl. х2, -... хп,уг, у2,... .ут) — функции распределения случайных векторов Е,, т] и соответственно. Toi^ J F^(x) =F(x;4-oo) = F(xI,x’2,...,a:„,+C!O,+oo,...,+oo), I F4(v)=f(+oo;j/) =F{4-co,4-oo...+oo,pI,y2,-. ,pm}- Случай, когда подвекторы E; и т] составлены из любых, не обязатия* последовательных координат вектора легко сводится к описанному случав- Математическое, ожидание случайного еектора 0ЯР^ делается как вектор, составленный из математических ожиданий, входи**?*1 него случайных величин Д2, . : Ер2 ]= Е^2 . (7Л \ in J \ / 137 ОбгН^Л^-—Я ^от7гел<йпшческое ожидание случайной матрицы X = Цт]^. ||, то есть матрицы ^•чайными элементами Tj^ , — это матрица, составленная из математических ^лданий El],j соответствующих элементов матрицы X: ЕХ = £11^11 = 1^11- (7-7) Если А и Б — неслучайные матрицы, X — случайная матрица, Ь — дучайный вектор-столбец (соответствующих размеров), то Е(А£ + Ь) = А Eij +Ь, (7.8) Е(АХВ + 6) = А • ЕХ В + Ь. (7.9) Ковариационная матрица К случайного вектора £, = (£п £2,..., £„)т — это ианрица. составленная из попарных ковариаций величин , £2,.... §п: K = ||cov(^,^.)||. (7.10) Формально эту матрицу можно определить и как математическое ожидание / о случайной матрицы I ££ ): К = Е (if) = е[($ - ЕШ - Е^)Т]- (7.11) Ковариационная матрица К n-мерного случайного вектора § является квадратной, симметрической (К = К1) и неотрицательно определенной патрицей п-го порядка. Последнее означает, что для всякого «-мерного вектор-столбца х = (хг, х2,... ,х„)т п X cov(^> > °> .,j=i или, в матричной форме, хТКх > 0. (7.12) Если в этих неравенствах равенство достигается лишь на нулевом векторе х, то агрица К называется положительно определенной. Симметрическая матрица К = ||fe^ || n-го порядка является положительно <*1РОДеленной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны: ^11 ^12 fcai ^22 kri kr2 1 <" s: г <; п (критерий Сильвестра). kir k2r krr >0 (7.13) 138 Раздел 7, Многомерные распределения вероята Ковариационная матрица К, будучи неотрицательно определенной, не ется положительно определенной в том и только в том случае, когда везд • 5г» —1 5п связаны линейной зависимостью: Р(А0 + Aj + А2 £2 Ч---F А„ = О) — 1 для некоторых Ао, А,,Ап. Квадратная матрица К может рассматриваться как ковариационная мату»» некоторого случайного вектора тогда и только тогда, когда она являоХ симметрической и неотрицательно определенной. Из (7.9)-(7.11) нетрудно вывести, что ковариационные матрицы и Jf случайных векторов £ и 1) = At, + Ь связаны соотношением Кп = АК^ Лт. (7.14) В частности, если Ч = а151 "Р а2 5г "Р' ’" "Р ап 5п + fc> то в роли матрицы А выступает матрица (Oj а2 ... о„) порядка (1 х и), и равенство (7.14) дает D("i + а2 £2 + • • • + о„ 5П 4- Ь) = а1 Ка = £ cov(fc., )а^, (7.15) М=1 где а = а1 а2 \ “п / Формула (7.15) показывает, что дисперсия неоднородной линейной ко ции случайных величин равна значению квадратичной формы хгКх с матршН К на векторе х = а, составленном из коэффициентов линейной комбинации Ч* случайных слагаемых Из (7.15), в частности, получаем D (е 5.) = Е covK- =Е +2Е«^^ 5Р- \»=1 / i.j i=l i<j (7.И) В случае попарно некоррелированных случайных величин 5п D(E^)=ED^ о(е«<^)=Е^ (7.1t) (7-1® .л 139 ^ормированная ковариационная матрица R = ||р^|| всякого случайного _тора^ = «1.^--л„)т — это матрица, составленная из коэффициентов ®еХ^пяпии компонентов данного вектора: fOPP^ cov(§ Д ) А, = г--.'- ivi3yA&nc*, при условии, что - О£2 • • - О^„ / 0). Если компоненты вектора £ попарно некоррелированы, то ковариационная трица К этого вектора является диагональной матрицей, а нормированная л^^ляционная матрица R — единичной матрицей “случайные величины £j,£2,..-, £п называются кезависииылих (независимы-в совокупности), если Р& еБ,, ев2, ЪпеВп) = = Р(^ е В1)Р(§2 g B2)-PUn е в„) (7.19) для любых множеств Bl,Bi,...,Bn на прямой, для которых определены все вероятности в правой части этой формулы. В терминах совместной функции распределения Ffcj.a^,...,®,,) данных величин и их частных функций распределения F1(a:l )• F2(x2), •••• Fn(a:n) необходимое и достаточное условие независимости записывается в виде F(x2, х2,..., х„) = F, (xJF2(x2) • • • F„(xn). (7.20) Независимые случайные величины , tj2,tj„ с конечными дисперсиями являются попарно некоррелированными: cov(^£,^) = 0 при t / j. Обратное неверно, из попарной некоррелированности величин нельзя, вообще говоря, заключить, что они независимы (даже попарно). Следует подчеркнуть, что отношение некоррелированности — это отношение бинарное: оно рассматривается по отношению к двум случайным величинам. Ни о каких случайных величинах Д2,...,§„ при и > 2 не следует говорить, что они некоррелированы; можно лишь отнести их к попарно некоррелированным величинам. Напротив, когда говорят о независимости случайных величин ^2> ^ni имеют в виду их совокупную независимость. 7-1. Заданы математическое ожидание ц и ковариационная матрица К случайного вектора £ = (£х, £2, £3)т- (5 -2 -1 \ -2 1 3 ). -1 3 35 / Вычислите математическое ожидание и дисперсию величины: 2)л = ;2-^3; 3)т]-2^-^+3^; 4) Л = Si ~ 3^2 + 2£3; 5)7]=-^-^ + ^; 6)-П = -2^+3^-^. 140 Раздел 7. Многомерные распределения вероятн 7.2. Ковариационная матрица (1 -1 1 \ -1 ЗА 1 А 2 / случайного вектора Е, = (£р £2, £3)т содержит параметр А. Пр* каком значении этого параметра дисперсия случайной величину т] — 2£х — £2 + 5£3 принимает наибольшее значение? 7.3. Известно, что £р £2,—, £100 — независимые одинаково распределенные по экспоненциальному закону с параметром А случайные величины. Вычислите математическое ожидание и ковариационную матрицу случайного вектора т] = (т]р т]2)т, если 100 30 50 100 0 ’Пт - 52 ^2 ~~ 52 2) ijj — 52 'Пг 52 Л=1 fc=20 Л—10 *з J 7.4 ? Написано п писем и к ним подписано п конвертов. Зан письма наугад вложены в конверты и отосланы по почте. Най где £ — количество писем, попавших по назначению. Решение. Занумеруем все письма и введем в рассмотрение случайные величины (к — 1,2,считая, что L,k = 1, если к-е письмо попадет по назначению, и i;fc - 0 в противном случае. Тогда (•) где, очевидно, Следовательно, = 7- и из (*) получаем Е£ = п- = 1. я Однако дисперсия суммы (*), возможно, не равна сумме дисперсий слагаемых, поскольку слагаемые эти зависимы: если, например, Е,! = = = £п-1 — 1. то Л™ остается лишь одна значение = 1. Придется обратиться к общей формуле (7.16) для дисперсий суммы случайных величин: ( J ^ = d(x^Ved^+2£cov^.-^>- \Л=1 / fc=l »<J 141 Qfrgge понятия . Имеем: cov(5„§.) = - - Е5, - Е£. = Е^ - ± Ддя вычисления Е££ используем простейшую формулу полного математического ожидания (см. (5.25) на с. 9з): =о)-Р(^ =О)+е(£Л^ = 1) К*, =1) = Отсюда вытекает, что eov(^’^) = П(„-1) " = n’(n-l)’ 1 = С2 1 = _1_. n2(n — 1) " П2(п — 1) 2п ’ 1 = 1. п Независимость DE, от п можно отнести к столь же неожиданным результатам, что и полученное ранее соотношение = 1. < 7.5 ? На отрезок [0; п] наугад бросают 100 точек. Обозначим ^1> ^2> •— — количество точек, попадающих при этом на отрезки [0; 1]; [1; 2], [2; 3],[п — 1; п] соответственно. Вычислите нормированную корреляционную матрицу R вектора £ = (^г, £2,..., ^п)т. 7.6 ? Известно, что коэффициент корреляции любых двух величин из числа ^Л2,-Лп равен р. Доказать, что 1 п — 1 ‘ 142 Раздел 7. Многомерные распределения вероя’ Решение. Нормированная корреляционная матрица / 1 р р ... р I р 1 р .. р R = р р 1 ... р р р р ... 1 случайного вектора £ — (^1,^2,..-,^п)т является неотрицательно определенной. Поэтому для всякого вектора х = (z( , х2,... ,т„)т п X1 Rx = 1=1 i<j При ж, = х2 = ... = хп =1 это дает п + н(п — 1}р О, р^---- 7.7? 1) Существуют ли коррелированные случайные величины 4 и т] такие, что D(^ + i]) = D4 + Dn? 2) Существуют ли попарно коррелированные случайные величж-ны 4, т] и £ такие, что О(4 + Л+Q = D^ + On+D^? Мультипликативное свойство математического ожидания Мультипликативное свойство математического ожидания состоит в тЖ что если случайные величины ^1Д2, .., £п независимы, то математичеоИ* ожидание их произведения равно произведению их математических ожидая» Е(4Ла = Е^п (?•») (в предположении, что каждое из математических ожиданий Et^, Elj2, ..., существует) Отсюда, в частности, нетрудно вывести, что производящая ФУ*^ ция суммы независимых неотрицательных целочисленных случайных велЖ^ равна произведению их производящих функций \ +S2+ +5n W \ (Z) ’ К (г) ’' (Z)- (7Л 143 рдуЛ»ти11ЛИКатИВКОе сво®ст*° математического ожидания 7.8- Известно, что £,,£2,...,4Я — независимые одинаково распределенные случайные величины, причем Р(^ = -1)=р, Р(^=1) = 1-р. Как распределено их произведение Т] = ^2..ЧП? решение. Случайная величина Т] принимает лишь два значения: —1 и 1. Задача заключается в том, чтобы найти соответствующие им вероятности х и 1 — х: „ ( -1 1 \ ~ X 1 — I )' С одной стороны, Е1) = (—1) - х +1 • (1 — z) = 1 — 2х. С другой стороны (по мультипликативному свойству математического ожидания), ел = е(^с2-л») = ПЕ^ = ТВ1-ад = а-ад"- *=i *=i Следовательно, (1 - 2р)" = 1 - 2т, Таким образом. 1 1 + (1 - 2р)" 2 7-9. Найдите математическое ожидание и дисперсию произведе-Иия цифр, выпадающих при подбрасывании трех игральных костей. 7-10. Известно, что ^1’ ^2’ — независимые случайные ВелИчины и = Е£2 = ... = Е£„ = 0. Докажите, что < 00 НРИ = 1,2, ...,п, то Е(^+;2 + -. + 4„)3 = Е^ + Е^ + .-- + Е^. 144 Раздел 7. Многомерные распределения вероятцреД 7.11. Докажите, что если £2,..., — независимые слудд ные величины с конечными дисперсиями, то о(^1 Ч2 • • - 4Я) > • ы>2 • - <ЧИ. 1 В каком случае в этом неравенстве достигается равенство? 7.12. Докажите, что сумма + ^2 + - 4 независимJjr случайных величин £2, £п, распределенных по закову Пуассона с параметрами Ар А2, Ап соответственно, распределен по закону Пуассона с параметром А — Ах + А2 4---1- Ап. Абсолютно непрерывное распределение вероятностей в Rn Так называется распределение случайного вектора Е, = »5Я)Т> функция распределения F(xi,x2, ...,хп) которого представима в ваде где /(н1,м2,...,нп) О. Функция f(x1,x2,...,xn) при этом называется плогаив-стъю вероятности случайного вектора или совместной плотностью вероятности случайных величин . Функция f(xltx2,...,xn) может выступать в роли плотности вероятное» тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям. f(xl,x2i...,xn)'^Q-, J J f(xl,x2,...,xn)dx1 dx2 ... dxn = 1 R" (неотрицательность и нормированность). В точках непрерывности плотности вероятности дп f(xt,х2,...»х„) = &х^ д— .*2. *п)- Формула р((^, Ъ,-, f /(x1,x2,...,xA)dTI dx2 ...dxn. ' в дает возможность вычислить приведенную вероятность для всякого мм ства В С Rn, для которого эта вероятноость определена. В этом смысле ж ность вероятности Дх, ,х2,...,х„) служит исчерпывающей характеристикой пределения абсолютно непрерывного случайного вектора 145 даоип°тяо непрерывное распределение вероятностей в R"_ Плотности вероятности Д (х) = Д tei,х„) и /, (у) = Д (у2,.... ут ) подвек-•горов К = (51>-->£п)Т И T) = (Пп-.ПтЛ вектора £ = (^,..., £п,П1.-.Чт)Т ^фадаются через их совместную плотность вероятности Ж р) = Л®, , «и, Ут ) ПО формулам Д te) = Д te v ®J = У • • ’ У Л®1, , Vi. Ут ) «*У1 */2 - ^Ут. R™ (7-26) Д (у) = Д (У1. Ут) - У - J f&t, ..., Хп, у, , ..., Vrn) dXl dx2 ... dxn. R" В частности, для всякого т такого, что 1 г $ п, плотность вероятности fr(®r) случайной величины может быть найдена как Ater) = / - ' / 7ten«2.<k2-<4-i dxr+i-dxn (7.27) (интегрирование в (п — 1)-мерном интеграле ведется в пределах от —оо до ч-оо повеем переменным xt, х2, ..., хп, исключая кг). Аналогично, совместная плотность вероятности fre(xr,xx) случайных величин и (при 1 г < s С п) получается как /roter.sj = /--• / f^i, -,^n)dxi..jlxr_Idxr+I...dxa_1dxt+1.-dxn (7.28) (интегрирование в (п — 2)-мерном интеграле ведется в пределах от —оо до +оо повеем переменным г,, х2,..., хп, исключая хг и а:„). Вычисление различных математических ожиданий, связанных со случайным лектором описывается следующей общей формулой: EyUi>-.5n) = У ’УStet’--xn)f^I,...,xn}dxl dx2 ...dx„. (7.29) R” В частности, для всякого 1 г 5? п E^=J- [хт f{x1,x2,...,xn)dx1 dx2 ...dxn. R" естественно, дает тот же результат, что и формула xfr te) 4х, —оо 146 Раздел 7. Многомерные распределения где /,(») находится согласно формуле (7.27). Далее, *»v(4r.5J = -EtrEfc, = jjxp/r,(z,jf)dxdif~E^rE^, (7-39) где /,,(х,р) находится в соответствии с (7.28). Все приведенные выше интегралы считаются абсолютно сходящимися Если есть n-мерный случайный вектор с плотностью вероятности /t(x1,x3,...,x„) = /t(x), А - невырожденная матрица n-го порядка и Ь - произвольный n-мерный вектор, столбец, то случайный вектор Т) = А£ + Ь имеет плотность вероятности /,(«>,«а.-,*») = /,(«) = pj~q ц(л 1(х-Ъ)). (7Л1) В терминах плотностей вероятности необходимое и достаточное уеяовы независимости случайных величин £3, —• tn записывается как /(*, ,*а....,«.) = A (xJA^a) - • /„(*„); (7Л) левая часть этого равенства представляет собой совместную плотность вероятности рассматриваемых величии, а правая часть — произведение их части плотностей вероятности, найденных по формуле (7.27) Важной составляющей теории многомерных распределений служат уежмн распределения вероятностей одних случайных величин относительно други случайных величин. Рассмотрение этого вопроса мы отложим до раздела 9, О* условные распределения будут использоваться особенно наглядно. 7.13. Докажите, что если совместная плотность вероятное^ величин представима в ввде f(xl>x2>—txn) ~~ 9\(xi)92(lX2) "'Sn(xn)i где gfa) > О, * = то функции sji*), 32(хз^"г 9п(.хп) с точностью до нормирующих множителей слуЖ®1 частными плотностями вероятности случайных величин tp соответственно, причем величины эти являхЛ** независимыми. to непрерывное распределение вероятностей в R" 147 Из условия задачи вытекает, что !g, . .. ,ХЯ)dxl dxt ... dx, = П f 9k^k)^„ =Пл Но в таком случае = A1(»1)hJ(xa).h.(zJ. Для всякого 1 С г < п функция Лг(хг) = j-рДх,) является неотрицательной и нормированной, то есть — плотностью вероятности некоторой случайной величины. Остается заметить, что в качестве таковой может выступать величина £г. В самом деле, ее плотность вероятности /г(*г)= f"‘J Я*».»»......xJdTjdTa ... dx„ = —«»<,,-.«и*00 оо = ЛД»г) П / W4 = Ч(«г) Итак, /(г1,х5>...,х.) = Л (*»)/,(«,)-/.(М = йЛ*») оо что и требовалось доказать. ^•14. Случайный вектор (£,ibC)T распределен равномерно в убе 1®| С 1, |vl 1» И С 1- Как распределена каждая его Хо°Рдината? Зависимы ли величины П и С? 148 Раздел 7. Многомерные распределения 7.15 . Случайные величины Т] и £ имеют следующую совмадм ную плотность вероятности: z\ - I ~ xyz^ 60111 11 lyl 1; Л ’»И | 0 в остальных случаях. Найдите коэффициент А. Покажите, что случайные величины и £ независимы попарно, но зависимы в совокупности. 7.16 . Случайные величины Т) и £ имеют следующую совмес». ную плотность вероятности: Нх и z) = I 1А “ Axyz' 60111 1Ж1 11 1*1 < Л / I q в остальных случаях Найдите коэффициент А. Исследуйте случайные величины £, т] ж { на независимость. 7.17 ? Постройте пример п зависимых случайных величин таких, что всякие п — 1 из них являются независимыми. 7.18 ? Для n-мерного случайного вектора £ — (£р £2,..., ^п)т заданы распределения всех его (п— 1)-мерных подвекторов. Можно лж по этим данным однозначно найти распределение всего случайною вектора £ ? .4 7.19 ? Пусть , т2,..., тп,... — последовательные моменты времени поступления заявок на обслуживание. Докажите, что эти момаь ты времени образуют пуассоновский поток с параметром*А (см. раздел 2) в том и только в том случае, если случайные величины Т1’ ^2 — Т1» Т3 — Х2’ Тп+1 ~ независимы и одинаково распределены по экспоненциальному зак*? с параметром А. Замечание. Отмеченный факт можно использовать при моделировании пуассоновских потоков с помощью ЭВМ. »• 7.20? Пусть т2,..., тп,... — пуассоновский поток событийс параметром А. Как распределена случайная величина Tfc ? ’ 7.21? Я прихожу на автобусную остановку ровно в 12 чай* дня. Считая, что моменты’прибытия автобусов на эту остаю^ образуют пуассоновский поток с параметром А,, вычислите cp^PflF время ожидания мною автобуса. ря;- 149 Вариационный ряд Пусть £1Р £2, —, ~ произвольные случайные величины Каждая из служит некоторой функцией, заданной на пространстве П элементарных СОбЫТ>,И (* = 1,2,..п). Определим случайные величины £(ц, 5(а),~, ?{nJ, положив J»pk) =^(Ь)М’ «еП (* = 1,2,...,п), где ПРИ кажДом w G fi есть fc-e по величине значение из п значений. 5jM> £2(w)>- > 5n(w)- В частности, — наименьшая, а — наибольшая из величин 4г, £2,-, £„ Очевидно, что (7.33) 5(0 421 Ч") Конечная последовательность называется вариационным рядом конечной последовательности (fc = 1,2,...,«) Особый интерес для нас будет представлять вариационный ряд последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин , £2, Если /(ж) — плотность вероятности каждой из таких случайных величин, то совместная плотность вероятности f’(xl,x7,.. ,ж„) случайного вектора (^U)’ ^(2)’ *4")) может быть записана в виде ( "!/(«!)/(г2) -/(а:п), Г(г,.х2,. ,т„) = < I о если x-L < х2 < ... < я„, (7 34) в остальных случаях. 7.22. 1} Найдите /**(ж1,з:2,...,жп) — совместную плотность вероятности случайного вектора (‘П1>112>-- ’т1п)Т. гДе ~ ^(1)’ ^2 = £(2) ~^(1)’ ^3 = ^(3) ~^(2)’ = ^(п) “ ^(п-1)’ 4Ля случая, когда случайные величины £2,—, £>п независимы и °Дииаково распределены по закону Я(0; 1). 2) Вычислите объем n -мерной области, определенной системой веравснств ( > 0, х2 > 0, .... хп О, a?i + зс2 Ч---------1- хп 1. 150 Раздел 7. Многомерные распределения 7.23. Случайные величины Д2,.... независимы ж одинаг п , распределены по закону Я(0; 1). Вычислите вероятность J Р($1 + 52 + " • + 5п < О’ 7.24? Случайные величины £2,—, независимы и одю^ ково распределены по закону /2(0; 1). Пусть ь» — наименьшее о значений п, для которых £* + £2 4-F > 1. Вычислите Ер. 7.125. Пусть /(®) и F(a) — плотность вероятности и функцц распределения каждой из независимых величин £2,..., £п и ^(1) ^^(2) ’^(п) — соответствующий вариационный ряд. Покажите, что /t(z) — плотность вероятности случайной величины — выражается через /(®) и F(x) по формуле 7.26. Пусть 5. — независимые одинаково распре деленные по закону F(X) случайные величины, ^(1) С^(2) — соответсвующий вариационный ряд, П1 = Ч2 = 5<2) - —» Чп — 5(n-i) — 5(л)- Доказать, что величины ijj, %,—, Ли независимы, причем 4jfe ~е((п-* + 1)а). ► Доказательство. Обозначим через /••(«,,х2.хп) — плотности вероятности случайных векторов 5(а). •••. 5(П))Т и (41, П3> Ч„)Т соответственно. Тэгда, очевидно, >»») =/’(«1, *1+*2» ®1+®2+*3. —. ®1+*Я +• +«»)• ге задачи 151 С учетом формулы (7.34) получаем: ->«п) =я! А"®-**!*-*”»**»’--.в“*<-1+’з+'"+«•> = = П [(« - к + l)Ae-*(n-‘+,)efcl, к=1 а это и решает поставленную задачу. Замечание. Приведенные рассуждения формально обосновывают те элементарные догадки, которые были приведены в замечании к решению задачи 4.11 (см. с. 77-78). Разные задачи 7.27. Каждая из независимых случайных величин £2, ..., имеет геометрическое распределение вероятностей с параметром р. Найдите распределение случайной величины Ч = ^>2’"*’ ^»я)‘ 7.28. В N телефонах-автоматах ведутся разговоры. Длительность разговора, измеряемая в секундах, имеет геометрическое распределение вероятностей с математическим ожиданием р. Найдите среднее время ожидания до первого освобождения телефона-автомата. 7.29. Пусть if = тт(^Л2,.„, £п), if' = тах(^ Д2,..., £п), гДе — независимые и одинаково распределенные по закону 7?(0; 1) случайные величины. Вычислите Eflf'—if) — среднее качение «размаха» конечной последовательности £2,—, £п. 7.30. Из всех трехзначных чисел наугад выбирается одно число; ЧУсть это будет число ^3 = 100^+10^443. Зависимы ли случайные величины £]> £2> ? 152 Раздел 7. Многомерные распределения 7.31? Пусть £ ~ /?(0; 1) Рассмотрим двоичное случайной величины У = 21 + ^2+?з+... + ^. + ... S 2 22 23 2" ’ где каждая из величин £2,принимает лить значения 0 и 1. Докажите, что эти величины независимы и Р(^ = 0) = Р(^ = 1) = | * для всякого к = 1,2,п,... 7-32° Из п чисел 1,2,...,п наугад выбирают одновременно п чисел (тп п). Найдите и О£, где £ — сумма выбранных ЧИф. 7.33. Для всяких случайных величин , £2,..Е,п с конечнйЖв дисперсиями о«,4Ч2+• 44„k(^+v^+-- + 7d£)’ * Докажите это. Когда в этом неравенстве достигается равенств^!" о '& 7.34. Моментом к-го порядка n-чиерного случайного вектор* S, — (^1, ^2’—’ £п)Т называется всякое математическое ожидав* вида Е(^Чг2 -«*•). | где fcj + к2 Ч-4- кп — к, причем ку, к2, ..., к„ — неотрицательЯ® целые числа. Сколько моментов к-го порядка имеет п-мервьй случайный вектор? 7.35? Докажите, что если А = ||а^|| и В — ||Ьу|| — симметрНЧ®-ские неотрицательно определенные (то есть ковариационные) рицы порядка п, то и С = ||су.||, где с — а^Ь.., — симметричеев* неотрицательно определенная (то есть ковариационная) матриц* 7.36? Будет ли матрица АВ ковариационной матрицей, если Л* В — ковариационные матрицы одинакового порядка? 153 у 37? Будет ли ковариационной матрица А(т) = ||«£|| — натуральное число), если А — ||а^|| — ковариационная, матрица? 7.38? Известно, что для симметрической матрицы А = |l% II п..го порядка все главные миноры неотрицательны: «11 «12 •. - «1г «21 «22 «2г «г1 «г2 • • • «гг (1 г п). Можно ли отсюда заключить, что А — ковариационная матрица некоторого случайного вектора? 7.39? Четыре точки наугад бросают в квадрат 0 < х 1, 0^ у 1. Найдите вероятность того, что они окажутся в вершинах некоторого выпуклого четырехугольника. Раздел 8 Характеристические функции Определение и простейшие свойства Всякая случайная величина £ имеет характеристическую определяемую при t € R как ¥>W = Е (е**) , (8.1) где * — мнимая единица (i2 = —1). Поскольку е’1^ =s cost£ +» sint^, характеристическая функция является хомллекснозвачвой функцией вещественной переменной t: y(t) = Е (cos t£) + • Е (sin t^). (8Л) В случае, когда § имеет дискретное распределение вероятностей, Р* = = xfc), (р* > О, = 1) > \ fc / определение (8.1) дает: ¥>(«) = £₽*****- М * В частности, для целочисленной случайной величины то есть при ** в * (Е=0, ±1, ±2, ...), »>(•)= £ Р,е'“. (»•« кж—СО При этом справедлива следующая формула обращения: ря = Р($ = n) = A; I e~inV(t) dt (n = о, ±1, ±2, .. .)• явление и простейшие свойства 155 Ortjfi--- 1 g случае абсолютно непрерывного распределения ОО v(t)= У ей’/(«)<&, (8 6) —ОО — плотность вероятности случайной величины При условии, что ©о —©о формула (8.6) допускает следующее обращение: ©О /(«)=Л f e~'lzV(t}dt. (8.7) Z7T J —ЙО В общем случае v(t) = J ё(х dF(x), (8.8) —ОО где F(x) — функция распределения случайной величины При этом для всяких точек xt и х2 непрерывности функции F(x) 1 Г e~‘tz2 —e~*tzi F(x2) - F(xt) = — lim / -------—-------V(t) dt, iX A-К» J —tt —A так что характеристическая функция служит исчерпывающей характеристикой распределения вероятностей случайной величины. Ниже приводятся основные свойства характеристической функции 1. Функция у>(|) ограничена на всей числовой прямой: И)| $ У(О) = 1. (8.9) 2- Функция <p(t) равномерно непрерывна на всей числовой прямой. 8- Характеристическая функция 9?(1)> принимающая лишь вещественные значения, четна. В общем же случае v(-t)=^(t). (8.10) Характеристические функции Vt(*) и случайных величин и а£ + Ь связаны соотношением V’o4+t«=cib4<et>- <8П> 156 Раздел 8. Характеристичесживф^^И; 5. Если Etj" существует, то существует и — производная n-го ne»JL функции <^(t) в точке t = 0, причем .ЕГ-^ЧО). (Wj) При четном п (п = 2т) верно и обратное утверждение: если существует, то существует и Е£2т, причем (уже в соответствии с (_1ГЕ^-^(0). (м Далее приводится таблица некоторых типовых распределений и их хападд. ристических функций. Название Распределение Характеристическая функция 1 Вырожденное распределаше р(€ = с) = 1 •“**1 '"J = е*‘с Р(£ = 0) = 1 ^(1) = 1 Равномерное распределение на множестве {-1; О /-1 1 \ V/2 l/i) y?(t) — cost <Ш «г •д *4 4 Биномиальное распределение Р(Л = щ) = C™pmqn~m (ti 6 N, 0 т л, 0<р^ 1,9=1 — р) 1 ш 9>(t)= (ре’‘+в) Распределение Пуассона P(5 = m) = ^j-e^ (А > 0, тп = 0, 1,2, ...) ведение и простейшие свойства Ougy----------------------*-- 157 Охоя-чание "^Название Распределение Характеристическая функция Равномерное распределение на отрезке [-а; е} ( 1 « . 1 при |г| “• /(х) = { 2о 1 0 при |х| > <2 (а >0) ( s>n at , 1 ирис * 0. y>(t) = < 1 при 4=0 .— Экспоненциальное распределение /м -1 Ae~Xl ПРИЖ °’ ''J [ 0 нрих < 0 (Л>0) ^е)=Л-й Нормальное распределение 1 -4=^- /(’>=v^‘ (д е R, а > 0) Распределение Коши л о2 + к2 (а > 0) Sp(t)=e-“,t| Распределение Лапласа —— /И = 1Ае-*Ы (А > 0) А2 ^>=А2-М2 8.1. Доказать, что характеристическая функция целочисленной случайной величины есть функция периодическая. то для всякого t € К ip{t + 2л) = y(t)- 158 Раздел 8. Характеристические фуц^цд 8.2. Докажите, что характеристическая функция <p(t) вещест^^ на тогда и только тогда, когда она четна: у>(—t) = y(t)- 8.3. Доказать, что характеристическая функция случайно^ величины £ вещественна тогда и только тогда, когда распределение вероятностей величины £ симметрично относитель*д> нуля, то есть Р(£ > г) = Р(£ < -*) W для всякого х > 0. Как это условие записывается в терминах функции распре, деления F(x) величины £ ? ► Решение. Равенство (•) равносильно равенству Р(§ > х) = Р(-^ > г), которое означает, что случайные величины £ и — £ распределены одинаково. И то же самое выражает условие у?(—t) = p(t) вещественности функции y>(t) (зздача 8.2), поскольку <p(t) и tp(—t) — характеристические функции случайных величин (; и — £ соответственно. Тем самым первая часть задачи решена Далее из равенства (*) следует, что 1-р«<х)=ра<-*), 1 - Р(£ < х) - Р(5 = х) = Р(5 < -х), 1 - F(x) - (f(x + 0) - F(x)) = F(—х), откуда окончательно получаем (для всякого х € R) F(x + 0) + F(-x) = l. (••) Это и есть условие вещественности характеристической функции в терминах соответствующей функции распределения. В случае непрерывного распределения соотношение (•*) принимает вид F(x) + F(-x) = l. - 8.4. Докажите, что если <p(t) — характеристическая функций Re y>(t) — функция четная, a Im y>(t) — функция нечетная. 8.5. Известно, что £ ~ 7V(0; 1). Вычислить Е(СО8$). характеристических функций 159 решение. Нетрудно видеть, что (в общем случае) Е(сов £) = Re v(l)> где V>(t) — характеристическая функция случайной величины Принимая во внимание, что для данной задачи y>(t) = е-*3^2, находим Е(сов^) = e-‘3/2|t t = «-1/2 « 0,6. 8,6. Для ~ N(0; 1) вычислите: a) E(sin2 £); б) E(cos2 £); в) E(sin2 2£). 8.7. При каких вещественных а, & и и функция ф(1) = а coscut 4-1Ь sin cut является характеристической функцией? 8.8. Пусть yj(f) — характеристическая функция случайной величины £. Докажите, что существует случайная величина ц, характеристическая функция которой равна e~'2t yj(t). Как связаны между собой дисперсии величин и т] ? Метод характеристических функций Обычно так называют метод исследования сумм независимых случайных ^личин, в основе которого лежит следующее мультипликативное свойство Ирактеристичесхих функций. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций: +Ч+ +4» ® ~ W <*>• (8 14) Напомним, что исследование неотрицательных целочисленных случайных *лачнн удобно проводить в терминах производящих функций. Пусть Рп=Р(5 = п), V(t) = £pne”’‘, 160 Раздел 8. Характеристические Тогда VW = («'*) . Мультипликативное свойство характеристических функций в этом случае сильно мультипликативному свойству производящих функций: для везави случайных величин £2,.... i/ч, +«2+-+«„ W = (*) («) (*)• 8.9. Доказать, что для всякого натурального п функция y(t) — cos" t является характеристической функцией некоторой случ! величины- Построить график функции распределения величины для п = 1, 2, 3. Решение для п = 2 Функция cos’ t служит квадратом характеристической функции случайной величины Следовательно, cos2 t — характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет распределение (♦). Нетрудно убедиться в том, что такая сумма распределена по закону -2 0 2 Рис. 8.1 Возможно и другое решение. А это и означает, что характеристическую функцию cos’t имеет дискретное распределение (»♦) График соответствующей функции распределения F(x) представшей на рис. 8.1- < 161 8.10. Доказать, что для всякого натурального п функция {sin"t tn ’ 1, если t / 0, если t = 0, является характеристической функцией некоторого абсолютно непрерывного распределения вероятностей; для п = 1, 2, 3 х-казать соответствующие плотности вероятности. ► Решение. Для доказательства того, что (t) — характеристическая функция, достаточно заметить, что эта функция представляет собой п—ю степень характеристической функции равномерного распределения на отрезке [—1; 1]. Если fn (х) — плотность вероятности, соответствующая характеристической функции V«(t)> Л(*) = { 1/2, если 0, если ОО А(*) = Л(») ♦ fi Ы - f fiЮЛ- *)dM = —00 если если если -2 $ z $ 0. 0 $ х $ 2, М > 2. Аналогично устанавливается (читателям предстоит самостоятельно проверить приведенный здесь результат), что 162 Раздел 8. Характеристические /3(2) = /г(г)*А(г) = [ ^f2(U)dv=‘ J & —1£ж—«С1 ^+3>г- ^(З-хЛ О, если если если если -3 зв < -1, -1 с ® С1, 1С г С з» |г| > 3. Графики функций /Да:), /3(х) и /3(т) представлены на рис. 8.2. С ростом п получаются кривые, все более похожие на график нормальной плотности вероятности. В дальнейшем это наблюдение получит теоретическое подтверждение. 8.11. Докажите, что при любом натуральном п функция *»(«)= (т-Ч)" (>>о) является характеристической функцией некоторого абсолютно непрерывного распределения вероятностей, и укажите соответствующую плотность вероятности. 8.12. Методом характеристических функций найдите закон распределения вероятностей случайной величины £ = £ — Т], где 4 т) — независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром А. 8.13. Доказать, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение вероятностей. ► Доказательство. Если £2 ~ N(/i2,c^), то = ®ф|*Я2*-" I*»4*} Поэтому в случае, когда величины t, и £2 независимы, +5а (*) = (t)w5a (t) - ®Ф + p2)t -1 (o’ + Oj)tJ А ЭТО означает, что Si + 5г ~ w(pi +erD - 163 Замечание. Верно и обратное утверждение: если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение вероятностей, то каждое слагаемое имеет характеристическую функцию вида exp^tpt— (случай о = 0, естественно, не исключается). 8.14. Как распределена случайная величина 5=i(5l+«2+-+«.). если £г, ^2’ — независимые одинаково распределенные по закону N(n; о2) случайные величины? 8.15. Как распределена случайная величина 5 = ^ + «г+ •• + ?»). если , £2, ..., — независимые одинаково распределенные слу- чайные величины с плотностью вероятности 1 Ct = <«>0) 7Г СГ + Х£ (закон Коши с параметром а} ? 8.16. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины с характеристической функцией cost ¥»<*) = Т-ТТл- k Решение. Рассмотрение <р'(0) и ¥>"(0) несколько громоздко, а главное — неинтересно. Полезнее обратить внимание на то, что если £ — случайная величина с данной характеристической функцией, то где £2, £а — независимые случайные величины, причем 51 ~ (i/2 1/2) ’ 164 Раздел 8. Характеристические ф; а и £3 имеют экспоненциальное распределение с параметром 1 (задача 8.12). Отсюда Е^-=Е^ + Е£2—Е£3 —0+1—1 = 0; О£ = Щ1+О$2+О£3=1 + 1 + 1=3. 8.17. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случав, ной величины £ с характеристической функцией 9?(t) = е cos10t. 8.18. Какое распределение вероятностей имеет сумма + Т] независимых случайных величин £ и 1], если одна из них распределив равномерно на отрезке [—1; 1], а другая — равномерно на двухэлементном множестве {—1; 1} ? 8.19. Методом производящих функций доказать, что композиция пуассоновских распределений П(А) и П(р) есть пуассоновское распределение П(А + р). Доказательство. Для пуассоновского распределения с параметром Л имеем =Е = Е £«=**“= п-0 л=0 Следовательно, для независимых величин ~ П(А), т] ~ П(д) ^+ч(2) = ^(z)^(2) = = е-(М-м)(1-х) Полученная производящая функция соответствует распределе-' НИЮ П(А + р) Замечание. Верно и утверждение, обратноедоказанному: если сумма независимых случайных величин имеет пуассоновское распределение, то каждое из слагаемых имеет пуассоновское распределение 4 . 8.20. Каждая из независимых случайных величин и I] при* мает значения лишь из множества {0; 1; 2; ...; п} и сумма С,+g имеет биномиальное распределение вероятностей. Как могут о*я” распределены слагаемые £ и 1] ? ^рактеристнческие функции случайных векторов 165 Характеристические функции случайных векторов Характеристическая функция у(^и*2»--->4п) случайного вектора ^2> "> £«)Т определяется как ^(t,,t2,..., tn) - Eei(ti+t2*2+" +‘«*»>. (8-16) При t = (*i.*2)Т и vW = *2,-»**) определение (8.16) допускает следующую «матричную» запись: V(t) = еХ5. (8-17) Чтобы найти характеристическую функцию подвектора, в который не попадали бы составляющие £,,, ^*2,—, £»-, исходного случайного вектора достаточно в характеристической функции ip(t1,t2,...,tn) вектора £ положить равными нулю «Haiy-жные» переменные: t,t = t,2 = ... = t,T = 0. Например, если ^(tpt2) — характеристическая функция случайного вектора (£It£2)T, a ^(tj) n^2(t2) — характеристические функции величин и соответственно, то Vi (fi) = , i О). = v(°> М- (8-18) Случайные величины , £2, -., независимы (в совокупности) тогда и только тогда, когда их совместная характеристическая функция равна произведению их частных характеристических функций: ¥$1 Дг>-ч^п) — Vi(^i) ^2(^2)*’ЧРя(^п)» (8-19) V>(fi , «2 ,-,*„) = ¥>(<,. О,.... 0) V(0, t2,.... О) - - - <Д0,0,..., t„). (8.20) Если 4- k2 4-----1- кп = к, то ik е г# L J dtp&Q2 && (8.21) t® предположении, что указанное математическое ожидание существует). Если г) = Д£ 4-6, где А — произвольная (т х тг)-матрица, ~Ъ — произвольный ^«OMnoHeHTHbiH столбец и т = (т,, т2,—, тт)т, то v’nC'1) -е'тТь v5Mtt)- (8.22) 8-21. Пусть — независимые одинаково распределенные закону N(Q-t 1) случайные величины и T]i = + £2. "Пг = ^2 — £з, П + + ^3’ Найдите; ' ^2’ — характеристическую функцию вектора (т^, Т]2, Т)3 )т; « '*’1з(Т1>т3) ~ характеристическую функцию вектора (т),, т)3)т, (т.) — характеристическую функцию величины Т),; „). Раздел 9 Многомерное нормальное распределение вероятностей Предварительные замечания Напомним: для всякой скалярной случайной величины £ с конечно* джзцр. сией число ___ а= у/б^О называется средним квадратическим отклонением. Если Е£ = р и <г > 0 то (91) — нормированная случайная величина (е£ sc О, — 1). Пусть теперь £ = Д„)Т — случайный вектор с математичкам ожиданием р = (pt, м2,р„)т и ковариационной матрицей К- В теории ммщ доказывается, что для всякой симметрической неотрицательно определоип! матрицы К существует и притом только одна симметрическая неотрицатежио определенная матрица а такая, что с2 = К. Эту матрицу с называют корнем квадратным из матрицы К и пишут а = К1'3. Если исходная матрица К — положительно определенная, то положите»» определенной будет и матрица К1/г. В этом случае det№/a = f det К J к, стало быть, для матрицы К112 существует обратная матрица: При этом случайный вектор ^ = К*/2^-р), составленный по аналогии с (9.1) в одномерном случае, как легко показыи**9** (см. (7.8) и (7.14) на с. 137, 13в), имеет нулевое математическое ожидав * единичную ковариационную матрицу: Е< = 0, Kj = /. Этот результат, относящийся к произвольным случайным с положительно определенной ковариационной матрицей, мы положим в определения многомерного нормального распределения веро®1’**1- ^ределение и простейшие свойства 167 Определение и простейшие свойства нормального распределения вероятностей в R" Случайный вектор Дя»—1 условимся называть стандартным ^/млъным вектором, если — независимые стандартные нормаль- ные величины ~ N(0; 1), к = 1,2. Плотность вероятности ф(х) = ф(х1,х3,...,хя) такого случайного вектора равна произведению плотностей ФЛХЛ = к = 1,2, ...,п его компонент: ф(х1,хл,...,хл}= Пфй(хь)= «₽{-$(«? +*’ + "- + «J)}. ms, в матричных обозначениях, Ф(х} = (9.4) Аналогично, для характеристической функции y>-(t1,t2,...,t„) случайного вектора £ получаем = Пе • +£) вди, в матричных обозначениях, ^(t) = exp|--t t (9.5) Случайный вектор = (£,, £2, —, £п)т с математическим ожиданием f* ~ и положительно определенной ковариационной матрицей К = ||А,;|| = ||соу(£и ^)|| называется нормальным (нормально Распределенным) вектором, если случайный вектор i=K-i,2u-p) является стандартным нормальным вектором. 168 Раздел 9. Многомерное нормальное распределение вероятности Пусть /(т) = f(x1,x2,...,x„) и ф(£) = *2>-»*») — соответствен^ плотность вероятности и характеристическая функция случайного вектора F такого, что ; 1 = К~1/2&-р), В соответствии с общими правилами преобразования плотности вероятности g характеристической функции Отсюда, с учетом (9.4) и (9.5) получаем: /(г| = J (2,)Лм,? И’* ~ >‘)TK~‘(i -'‘)} (9Л <p(t) = е’е ** ехр !——fTKt. (9.7) Формула (9.6) иногда приводится в виде Л?) = Х₽{“1(а: “ ~ ’ |9^ где С = К~\ (9-9) Приведенные формулы часто кладутся в основу определения миогомервоя нормального распределения вероятное .ей: считается, что нормальное распред^* ление вероятностей в R" - это (по определению) такое распределение, для которого плотность вероятности имеет вид (9.8), или характеристическая функяД® имеет вид (9.7), где р е К", а С и К - положительно определенные матрицы- При решении задач к данному разделу характеристические функции практя-чески не используются. Однако следует подчеркнуть, что многие общие теорем»*’ на которые при этом приходится ссылаться, проще всего доказываются имев*0 методом характеристических функций. _ \ J Запись t ~ АГ(д-, К) означает, что t — нормально распределенный случай®*® вектор с математическим ожиданием р и ковариационной матрицей К. Если А — произвольная (т х п)-матрица с линейно независимыми сП*08***’ а Ь — произвольный m-мерный вектор-столбец, то наряду с нормально рМ-“г деленным п-мерным случайным вектором t нормально распределенным будет m-мерный случайный вектор А^ + Ь, подробнее: К)) (At + b) ~ А’{Ад + Ъ, АКА ряр^1еле1гие и простейшие свойства 169 р частности, нормально распределенной будет любая составляющая fCKTOpa любой его подвектор (£й, £.2,—, £.,-)Т, где 1 $ », <»,<---< tr $ п, (неоднородная, вообще говоря) линейная комбинация °0 а1 + °2 ^2 "* ' ап- при условии, 4toGj +«2 + •+«„ >0 Это позволяет элементарно решать задачи ва нахождение распределения того или иного подвектора данного нормально определенного случайного вектора. ’Пусть £ = (^Л2,-ЛП.П1.Я2.--,^)Т = Q) нормально распределенный (п + гп)-мерный вектор, £, = (£,, ^2,..., £„)т и ц = (т] j, Ц2, —, r]m)T — ег0 подвекторы. Предположим, что гдер = Е^,р = Ет] Ковариационную матрицу К вектора £ разобьем ва блоки / #п 1#12 \ \ #21 I #22 ) ’ где Кц и К22 представляют собой (п х п)- и (тп х иг)-матрицы соответственно. Тогда, очевидно, $~#(р; #ц), #22). (9.11) Следует подчеркнуть, что если вектор С, задан своей плотностью вероятности, то есть вектором Е£ и матрицей разбитой на блоки по аналогии с #, то, вообще говоря, С^1 Кц, С^2 / #22. Для всяких случайных величин (векторов), имеющих нормальное совместное Рвспределение вероятностей, попарная некоррелированность равносильна совокупной независимости. Энтропия произвольного п-мерного случайного вектора с плотностью вероятности f(x1,x2,..., хп) определяется как H(£) = ~ f Jlnf(xl,x3,...,x„)dxl dx2 ...dx„. R" случайного вектора ~ #(р; #) это дает: H(Jj) = la J(2ие)" det К. (9.12) 70 Раздел 9. Многомерное нормальное распределение Определение и простейшие свойства 171 9.1. Известно, что (£, Т],С)Т ~ где ( 1 \ / 2 3 -1 \ р=( 0 , К = | 3 6-1]. \ -2 / \ -1 -1 1 / 1) Вычислить энтропию данного случайного вектора. 2) Какая из случайных величин £, Т], £ имеет наименьшую * какая наибольшую энтропию? 3) Какой из двумерных подвекторов данного трехмерного вектора имеет наибольшую и какой — наименьшую энтропию? 4) Найти плотность вероятности f(x,y,z) данного случайно го вектора, а также частные плотности вероятности V. -л ЛМ Аз<ж»*>- Я 5) Вычислить вероятности: Р(2£ - Зт] - £ < 9) и Р(|2т] - 50 < 1б). Решение 1) По формуле (9.12) Учитывая, что detK5„ = 3 6 |- 3, detKt5 = 1 м to 1 = 1. detK . = 4 -1| -3. получаем: н«.О<и«.п)<н(п.О- Итак, из всех двумерных подвекторов заданного случайного вектора (5,п.0т наименьшую энтропию имеет подвектор (0 0Т, а наибольшую — подвектор (Т], 0Т. 4) Поскольку £ ~ N(l; 2), т] ~ Л’(0; 6), £ ~ N(— 2; 1), плотности вероятности этих случайных величин равны соответственно: Принимая во внимание, что Н(£, 1), 0 = In ^/(2ле)3 det К = In y/(2ire)3. 2) Каждая из величин 0 т], {, имеет нормальное распределение вероятностей; потому ее энтропия выражается через соответствующую дисперсию D по формуле Н — In •^2'ireD Учитывая, что = 2, Dn = 6, 0^ = 1 (диагональные элементы заданной матрицы К)г получаем: находим отсюда, используя формулу (9.6), получаем: /13U.exp [(х - I)2 + 2(х - 1)(д + 2) + 2(z + 2)2] } Н(0 < И(0 < И(П). Таким образом, наименьшую энтропию имеет величина 0 наибольшую — величина т). 3) Каждый из подвекторов (0 1])т, (0 0Т, (т), 0Т случайного вектора (0 т], 0Т имеет нормальное распределение вероятностей; потому его энтропия выражается через соответствующую ковариационную матрицу по формуле (9.12). Плотность вероятности f[x,y,z) случайного вектора (0 Т],0Т читателям предлагается найти самостоятельно. 5) Случайная величина — 3tj — £ имеет нормальное распределение вероятностей, причем Е(2с, -Зг}-0=21-3-0- (-2) = 4, О(2£ — 31] — 0 = 4О£ + 90 т] + — 12cov(0 t]) - 4cov(0 0 + 6cov(i], 0 = 4 2 + 9 - 6 +1 - 12 • 3 - 4 • (-1) + 6 - (-1) = 25. 172 Раздел 9. Многомерное нормальное распределение веро1 Итак, 2£ — ЗТ) — 5 ~ Лт(4, 25). Следовательно, (9—4 V -“О = Ф(1)= | -еФ0(1)~ 0,8413. Аналогично устанавливается (сделайте это самостоятельно), что величина 2т] — ~ jV(1G- 69). Отсюда р(|2т] - 5£| < 1б) = Р(-16 < 2т) - 55 < 16) = 3= Ф Р6-- 10^ -фГ V10^ ss Фп (0,72) 4-Фо (3,13) йг 0.765. \ у/69 J \ J ° 9.2. В условиях задачи 9.1 найдите плотность вероятности случайной величины: а) 2Е, — Зт] — б) 2т) — 5£ — 7. 9.3. Известно, что (£,т), QT ~ К), где 5-5 5 \ -5 6-3 5-3 15 / Какой из всех подвекторов вектора (£, гр 5)Т имеет наимень шро и какой — наибольшую энтропию? ’т* 2) Вычислите вероятности- a)p(h|>l): _ < б) Р(|п-Х+1|ТК); ”—“ J - в) Р(2£ - Л - 3£ < 10). • 3) Найдите совместную плотность вероятности величин ц и вделение и простейшие свойства 173 9.4- Плотность вероятности f(xl,x2,x3) случайного вектора £ — (gv ^2, £3)т записывается в виде: f(xi,х2,х3) = аехр | — О.б^ 4- З)2 — (х2 — 2)2 — З(х3 + 1)2 + ~ (^г + 3)(х2 - 2) + 2(xt + З)(х3 + 1) - 3(х2 - 2)(х3 + 1)}. 1) Найти нормирующую константу а, математическое ожидание р, ковариационную матрицу К и нормированную корреляционную матрицу R данного случайного вектора £, 2А Пусть П1 = +Ч2-3^3+4, П2 = 3^ + 2£2-£3 + 1 Энтропия какой из величин и т)2 больше и на сколько? I) Вычислить вероятности: Р(0 < + 2q2 - 3^, < 8) и Р(- 1U < 3^ + 2^2 - £3 < 2). Р г ш с н и е Прежде всего убедимся, что предлагаемая функция /(.Ej, х2, г3) при надлежащем выборе константы а действительно представляет собой плотность вероятности некоторого распределения С этой целью выделим множитель —1/2 в показателе экспоненты, = аехр j - -[(*! +3)2 +2(х2 - 2)2 + 6(х3 + 1)2-- 2(х, + 3)(х, - 2) - 4(Ж1 +З)(х3 + 1) + 6(х2 - 2}(я3 + 1)] }, и рассмотрим соответствующую симметрическую матрицу / 1 -1 —2\ б? =1-1 2 3|. \—2 3 6/ Все главные миноры этой матрицы положительны- 1>0, 1} £| = 1>0; 1 -1 -2 -1 2 3 = 1 > 0. -2 3 6 Следовательно, С - положительно определенная матрица (критерий Сильвестра), a f(xt,х2,х3) - плотность вероятности трехчерного нормального распределения (при соответствующем выборе константы а) 1) Нормирующая константа а находится как (см. (9.8) ) det С _ 1 (2тг)3 “ 174 Раздел 9. Многомерное нормальное распределение Далее имеем (проверьте): Ковариационная матрица К = ||fc£j|| и нормированная корреляционная матрица R = ||р^ || случайного вектора £ связаны между собой так, что г = *J ° Поэтому / 1 о 4VS\ Й= о 1 МА/з -4J2 1 / 2) По найденной матрице К вычисляем дисперсии случайных величин и Т)2. DTll=Dai+252-3^+4) = = Dtt1+2^-35s) = = + 4О£2 + 9D£3 + 4cov(^1, £а) - 6cov(£, Ла) - 12cov(4a,y = = 3 + 8 + 9 + 0-6 + 12 = 26; Dn2=D(3^+2^-5s + l) = = D(3^, + 2§2 — £3) = = 90$, + 4£)£2 + D£3 + 12cov(£1 Л2) - 6cov(5, Л3) - 4cov(42,4,) * = 27 + 8+1 + 0-6 + 4 = 34. Следовательно, H(t)2) > H(ij,), причем Н(т)2) — H(Hj) = In Лле -34 — In Vine 26 = In 3) Поскольку ^+2^-3^3~^4:26). для искомой вероятности получаем Р(0 < + 2^ - З£3 < 8) = Закончить решение читатели могут самостоятельно. 175 дверное нормальное распределение вероятностей д.5- Совместная плотность вероятности /(г1,ж2,х3) случайного ректора £ = (£1»£2Л3)Т записывается в виде f(xvx21x3) = веэф | - 2(х, + I)2 - 3(х2 - I)2 - »х2Ч- + 4(хт + 1)(х2 - 1) + 2(х2 - 1>й }. 1) Найдите нормирующую константу а, математическое ожидание ковариационную матрицу К и нормированную корреляционную патрицу R данного случайного вектора 2) Пусть п = (п^Пг.Лз)^ где Л1 =2£1 ~ ~ “* 5’ < Л2= ^i + ^2 + ^3-i, . 1Ъ= ^з‘ Энтропия какого из векторов и ц больше и на сколько? 3) При каком значении А Двумерное нормальное распределение вероятностей Распределение двумерного нормального случайного вектора £ — (£, т))т пол-определяется математическими ожиданиями Е£ = р, Ец = п, дисперси-’Ин НЕ, = с®, Di) = Cj и коэффициентом корреляции р величин £ и т) Представляя ковариационную матрицу К случайного вектора £ в виде ^одим о\ J 1 / 02 — Р°1О2 V-pa,a2 г* 176 Раздел 9 Многомерное нормальное распределение вероятности Поэтому плотность вероятности f{z, у) случайного вект ора £ записывается ка* - -------- - X 2ТГСГ, «т2 \Г^~ Рг xexpt 2(1-р’)[ (у-0*П -I Jr (913) (*-р)(у^) + Условные плотности вероятности /2ц (р| т) и Д|3(®| у) одной из величин q при фиксированной другой величине могут быть найдены по общим формулу f f fri= f&v) /Дх)’ W IPJ /а(у) Указанные условные распределения, также как и безусловные рас|гределити| относятся к классу нормальных распределений. Поэтому они полностью определяются соответствующими условными математическими ожиданиями и условными дисперсиями, которые могут быть найдены по формулам • (9.14. и, аналогично. Е(^ П =у)= р+р^-(у-м), d(e, п = у) = (1 - р2) (915) Простейшая (линейная) зависимость от х и у условных математических ав* даний с, = и П = b) делает эти характеристики особенно привлекательными для приложений. Заслуживает также быть специально отмеченным то обстоятельство, что рассматриваемые условные дисперсии D^l q = i/j 1 D^q £ = z) вовсе не зависят от х и у, но и не совпадают с безусловными дисперсиями D£ н Dq Можно сказать, что на условной дисперсии любой из велм-ыя с, и q при фиксированной другой величине никак не сказывается тот уровень, и» котором фиксируется другая величина, но сказывается сам факт такого фмвв" рования. двумерное нормальное распределение вероятностей 9.6. Известно, что (£. Т])т ~ К), где 177 Вычислить вероятности: l)Ph<3 2) Р?л < О 3) Р(п >0 £ = о); 5 = 1); 4) рГт] > з| 5 = —з); 5) РИт) +4| <2| 5 = 2); 6) Р(|Л| < Ю| 5 = б). > Решение (частично). В рассматриваемом случае ст, — 1, tr2 — 2. р— и, в соответствии с формулами (9-14), с(л|^ = г) = = w(l-|-2 (х + 3); 4^1-1)) =N(-x-2, 3). (•) 1) Поскольку С (tj| £ = fl) = Щ-2. 3), хтя искомой условной вероятности получаем: р(п < з| £ = о) = Ф (^f) ~ °-5 + Фс(2,89) =Е 0,9980. 3) Из соотношения (*) находим: £(п|^ = -1) =М-1; 3). Следовательно, 5) Из соотношения (*) заключаем, что Jt(n|^=2) н^-4; 3). 178 Раздел 9. Многомерное нормальное распределение вероятное^ Поэтому р(м + 4| < 2| 5 = 2) = Р (|i) + 4| < -~ V5) = = 2Фо (-?=) «2 Фо (1,15) «0,7498. W3/ 9.7. В условиях задачи 9.6 найдите условные вероятности; 1) Р(^<-1| П =0); 4) P($ + 21] < о[ п = 1); 2) Р(^ < о| т] = 1); 5) Р(|£|>2|т] = 2); 3)р($>-2|т] = -з); 6) P(|£-l| < 1| т) = 1). I 9.8. Пусть £ и т] — случайные величины, имеющие нормальное совместное распределение вероятностей. Рассмотрим систему урм-нений е(т]| 1; - ж) = Ei), . е(4|ч = ») = е^ относительно неизвестных хну. 1) Всегда ли данная система уравнений совместна? 2) Может ли данная система уравнений иметь бесконечно много решений? 9.9. Известно, что (£, т], £)т ~ N(m К), где / 1 \ ( 2 3 -1 \ Д=| 0], К = [ 3 6-1]. \ —2 / \ -1 -1 1 / Вычислите условные вероятности: 1) р(К1 > 1| = 1); 2) р(к + 3| < i| п = б)- 9.10. Случайные величины т; и С имеют совместную ность вероятности f(x,y, z)=a exp { - 0,5(х 4- 2)2 — 3,5(у - З)2 — 2,5(z +1)2" . - 2(ж + 2)(у - 3) + (ж 4 2)(z + 1) 4- - 3)(z + димерное нормальное распределение вероятностей 179 р — нормирующая константа). Вычислите условные вероятности: 1)р(-5<$<-з|$ = 7); 2)Р(-5<С<-З|т) = 1). 9.11- Известно, что 52,..., 5100 — независимые одинаково распределенные по закону N(0\ 1) случайные величины. Пусть Л1 = £1 + ^2 ^40’ ^2 = + ^2 + ’ ” + ^100' Найти плотность вероятности вектора т) = (т]1,т]2)т. Решение. Способ 1. Если5 = (51, 52, .... 51М)т,то Ч = Л5, где ./1 1 ... 1 0 0 ... 0> 1 ... I 1 1 .. 1) (в первой строке 40 единиц и 60 нулей, во второй строке — 100 единиц). Следовательно, Ет] = А - Е5 = А - О = О, Кч = АК^А = А1АТ = Л4Т = i^) = 20 (2 5) . Отсюда _____ 1Z—1 _ 1 f 2\ °п-лч - 120 V"2 2А и, стало быть, плотность вероятности случайного вектора т] записывается в виде ехр {"sU5*2 - 4^+М}- Способ 2. Имеем f41 па (ж> у) ~ Ai (х)/Ча|Ч1 (1/I1)- Каиздая из плотностей вероятности /П1(ж) и / । относится к классу нормальных плотностей вероятности и потому однозначно определяется своими математическим ожиданием и дисперсией. Простые расчеты дают Ет>1 = Е(§1 +^2+ + §«)=°; Dij, = о(5, + 52 + - - - + 54О) = D5, + D52 + • - + D540 = 40. Следсжательно, 180 Раздел 9- Многомерное нормальное распределение верой1 Далее, имеем =ж) = (§1 + §2 + ”'+ + §2 + ’ ’ + §40 = ж) = = Е + £41 + £42 + • - 4- §1о0|§! + §2 +.Р §40 = ®) = = e(x+<« + U+ • + £ioo)=*; L t>(42K =®) = o(*+$41 + §42 + +§1оо|111 = *) = — О (х + £41 + £42 + - - - + §100) = О (§41 + £42 + - - - + £100) = 60. Поэтому Aialni^*) д/12Ёйг ехр \ 120 / Окончательно получаем /”*Ч’<ЗМ')= еХР{“Й0 [3x2+2(9-*)2]} J -4 9.12. Двумя способами, описанными при решении задачи 9.11, найдите совместную плотность вероятности случайных величин Т)1 = + ^2 + ’ ’ ’ + §30’ ^2 §1 + §2 §50’ если ^1,^2,...,^50 — независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение: 1) N(0; 4); 2) N(l; 4). 9.13. Известно, что £ и 1] независимые одинаково распределенные по закону Л^(0; 1) случайные величины. Найти вероятность попадания точки (£, V]) в прямоугольник с центром • начале координат и сторонами 2а и 2Ь. ► Решение Задача решается совсем просто, если стороны прямо- - угольника параллельны координатным осям (рис. 9.1,а). В этом слу- чае в силу независимости случайных величин £ и Т] Р{(§,П) € П} = P(-e <£<e, -fc<7]<6) = - Р(-о < £ < а) Р(-b < Т) < Ь) = = 2Ф0(о) 2Ф0(6) = 4Ф0(О)Ф0(6). 181 .иериое нормальное распределение вероятностей -----__ Подученный результат ^простраяяется и на Г^чал, когда сторо-рассматриваемого амоугольника П не „явалтельны координатам осям (рис. 91,6) достаточно рассмотреть поворот вокруг начала ординат на угол у>, Приводящий к условиям, ограненным на рис. 9.1,с. Подробно на этом мы здесь не останавливаемся. 9.14. Для независимых одинаково распределенных по закону ;V(0; 1) случайных величин £ и Т) найдите вероятность попадания случайной точки (£, Т]) в область: 1) 1 С И + |j/|; 4) 1 С ж2 + у2; 2) Ы + Ы < 2; 5) \/х2 + у2 С 2; 3) 1 $ |х| + М $ 2; 6) 1 С ж2 + I/2 С 4. 9.15. Для независимых одинаково распределенных по закону Ar(0. 1) случайных величин £ и т) найдите вероятность попадания случайной точки 1) в круг, вписанный в квадрат |ж| + М 2; 2) в круг, описанный около квадрата |ж| + |у| 2; 3) в кольцо, образованное вписанной и описанной около квадрата |ж| + |г/| 2 окружностями. 9.16. Докажите, что если случайные величины Е, и Т] имеют нормальное совместное распределение вероятностей и ЕЕ, = Е1), 0^ = От], то случайные величины £ + Т] и § — Т] независимы (сопоставьте с задачей 6.41 на с. 132). 9.17. Случайные величины £ и Т] имеют нормальное совместнее распределение вероятностей с математическими ожиданиями Ц ~ Ец = 0, дисперсиями СЕ, = Di) = 1 и коэффициентом корреляции р. Докажите, что случайные величины £ и т] — р^ независимы 'Сопоставьте с задачей 6.42 на с. 132). 9.18° Случайные величины £ и Т] имеют нормальное совмест-|ное распределение вероятностей с ЕЕ, — Ет] - О, ЕЕ, = D-q = 1; ^коэффициент корреляции данных величин равен р. Вычислить 182 Раздел 9. Многомерное нормальное распределение ве] Решение Приводимые ниже выкладки существенно используют результат задачи 9.17, а также то, что если £ ~ N(0; <т3), то ЕС2”-1 = О, е;2п = (2п -1)1! а2" (задача 3.77 на с. 69). Имеем: e($v)=е [е((п - +^)3] = = Е£3-Е(Ч-рУ3+ЗрЕ§4 Е(п-р«г+Зр2Е^ Е(т)-р«+р3 Е$в = = Зр Е£4 Е(Л - Р«2 + Р3 Е£6 = 9р Е(т] - р£)2 + 15р3. Нетрудно вывести, что Т] — Р^ ~ Л’(0; 1 — р2)- Следовательно, е($?т]3) = 9р(1 - р2) + 15р3 = 6р3 + 9р. 9.19? Случайные величины £ и Т] имеют нормальное совместное распределение вероятностей с Е£ = Ет] = О, D£ = Di) = 1; коэффициент корреляции данных величин равен р. Вычислите: а) Е^£4т]2); 6) Е^£4т]3); в) Е^5!]3). 9.20. Пусть и /2[х1,х2] — плотности вероятное!! нормальных распределений (при 0 < |р| < 1) ^i=(o). о)- i = (о)' к1 = (~р 1) у то есть = arj {'щт?) И ~ +' = 2<yi_p4cxp{'2(l-₽2)[:Ci +2₽iix2 +i’1J Доказать, что функция /(xpz2) = +/2(ж1,х2)] представляет собой плотность вероятности некоторого случав* ного вектора tj = такого, что величины и т]2неК°£ релированы, распределены по нормальному закону каждая, тя их совместное распределение отлично от нормального. нормальное распределение вероятностей 183 решение. Поскольку каждая из функций A(xlfx2) и f2(xltx2) неотрицательна и нормирована, неотрицательной и нормированной будет и функция f(xt,x2y. f{xl г х2 ) 2 [А ^а'> > Хя) "* /а(Ж1» ®з)] 0> в» Таким образом, /(х,, х2) — плотность некоторого распределения вероятностей. Это распределение отлично от нормального: сумма двух экспонент от разных квадратичных форм не может быть тождественно равной одной экспоненте от квадратичной формы. Вместе с тем, аналогично /2(г2) = / = -г=* *’/2 J у Заметим к тому же, что составляющие вектора Т])т с плотностью вероятности /(х1,х2) являются некоррелированными: со*(£, П) =УУ Ж1Ж®| [А xa)] dl2 = |(Р“Р) ~ 0 ж’ 184 Раздел 9. Многомерное нормальное распределение вероятного»» Количество информации об одной случайной величине, содержащейся в другой случайной величине Пусть f(x,y) — совместная плотность вероятности случайных величин Е и 7] (не обязательно нормально распределенных), Д(а:) и f2(y) — их частные плотности вероятности, /2ц(р|х) — условная плотность вероятности случайно! величины т] при условии £ = т, так что 1 А (а?) (в предположении /,(т) / 0). Энтропия Н (т]|^ = соответствующая указанному условному распределению вероятностей, и (n | S = *) = - У f2|1 (j/k) Ь /2| 1 (у|х) dy, (9.16) —сю называется условной энтропией величины т] при условии £ — х. Усреднение этой энтропии по распределению случайной величины £ приводит к средней условной энтропии случайной величины т] относительно случайной величины она обозначается Н(т]|4): ОО Н(Ч|У= I n(n|«J = *)/,(*) dx, (9.17) —ОО Разность 3jn) = Н(п) - Н(11|§) (9.18) показывает, насколько изменяется неопределенность случайной величины т] ® результате наблюдений над величиной %, и поэтому называется количеством информации о величине Т], содержащейся в величине Легко устанавливается, что о<?4(п) = зчК)с爫) (919} (Количество информации неотрицательно; величина несет в себе то ** количество информации о величине Т], что и величина т] о величине никакая случайная величина т] не может содержать большее количество информации о величине чем сама величина ф) Еще раз подчеркнем, что формулы (9.16)-(9.19) относятся к произвольный случайным величинам £ и т], имеющим абсолютно непрерывное совмесгШ* распределение вероятностей. Но приводим мы их в связи с рассмотрение* нормального распределения, так как именно в этом случае данные соотношения оказываются наиболее обозримыми и важными для приложений. Если случайные величины £ и т] имеют нормальное совместное распределения вероятностей, то J (П)=Ь 1 (920) 185 ^^ддчегтво информации л — коэффициент корреляции данных величин. Формула (9.20) показывает, ГДа чем больше (по модулю) р, тем большее количество информации содержит ^лбая из величин и т) о другой величине. При р — 0 величины Е, и Т) ^зависимы, в этом случае з^(п) = зчЮ=о, й таким образом, ни одна из данных величин не несет в себе никакой информации „другой величине 9.21. Известно, что (£, Т],£)т — нормально распределенный случайный вектор с ковариационной матрицей ( 1-1-2 4 К = -1 5—11 \ -2 -1 7 / Какая из величин £, и Т] содержит большее когагчество информации о величине £ ? Решение. Пусть и р^ — коэффициенты корреляции пары (£,, Q и пары (т), соответственно Тогда -2 2 ~ у/П ~ у/7’ з/35 Как мы видим, р^ > р^_, и. стало быть. 3t(«>Jn(Q- 9.22. Задачу, аналогичную задаче 9.21, решите для случая, когда / 4—2—2 4 К = -2 2 О I . \ -2 0 3 / 9.23. Какая из величин и т] содержит большее количество информации о величине £. если совместное распределение случайных Е(-личин Г), имеет плотность вероятности — а ехр | — 5(ж — 2)2 — у2 — 3(z + 1)2+ + 4(х - 2)у - 2(Ж - 2)(z + 1) + 2y(z +1)}, Iqe а — нормирующая константа? 186 Раздел 9. Многомерное нормальное распределение Теорема о нормальной корреляции Если случайные величины £ и Т] имеют нормальное совместное распределяй^ вероятностей с параметрами Е$ = Р1> еЧ=Р2, Dn=^2. p(£,n)=p, то наилучшая (в среднем квадратическом) оценка Г] величины л по величине £ записывается в виде П = ЕСп|£) =р2+р^(^-р1). (9.21) Пр.,этом е(ч-л)!.<,;(1'-р’) (MJ) Формулы (9.21) и (9.22) выражают так называемую теорему о нормально корреляции. Аналогичные формулы описывают наилучшую оценку £ величины £ по величине Т): I = ЕШЛ) =р, + А(л -Рз); (9.23) е(1-^2 = о’(1-р2) (9.24) С обобщением теоремы о нормальной корреляции на распределения в Я? при п 3 читатели могут ознакомиться, например, по учебному пособию: Е С Кочетков, С.О Смерчинская, А.В. Осокин «Предельные теоремы теории вероятностей» *. 9.24. Известно, что (£, Т])т ~ ^(/x; К), где ( о А м _ \ ~5 / ’ к~( 1-1 К~ I -1 4 Найдите — наилучшую (в среднем квадратическом) оценку величины £ по величине Т] и q - наилучшую (в среднем квадратическом) оценку величины т] по величине а также соответствуют*6 им ошибки и Е^Т] — т]) . 9.25. Известно, что случайные величины £ и Т] имеют плотность вероятности f(x,y) - а ехр< 18х2 - Ьх(у + 1) + 2(у + I)2 [ ML 'Кочетков Е С . Смерчинская С О , Осокин А.В Предельные теоремы теоРЯ51 героятностей -М . МАИ, 1999 -fe0PeMa ° и°Рмальн°3 корреляции 187 где ° " нормирующая константа. Найдите £ — наилучшую (в среднем квадратическом) оценку ветчины £ по величине TJ и Т] — наилучшую (в среднем квадратическом) оценку величины т) по величине а также соответствующие иМ ошибки Е (l-ч) ие(т]- п) • 9.26. Случайный вектор (£,т],£)т имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами / 1 -1 —2\ Я- 1-1 5 -II. \—2 -1 7/ Найти наилучшие (в среднем квадратическом) оценки £(£), ^(т]) случайной величины £ по и по т]; вычислить соответствующие им ошибки д5 = Е [сю - с]2 и дл = е[?(11)-с]2. ► Решение. Используемые ниже параметры снабжены соответствующими ицдексами. По теореме о нормальной корреляции = 3 + + 2) = -1 -2$; \ = Е [Ш) - ?]’ = <(1 - Р2„) = 7 (1 - = 3. Аналогично, ~ сг — 1 xfl 1 ^п) =р5+р1]^(п-рп) = з+-^==-^(п-1) = -(16-п); А. = Е [«,) - ?]’ = Л(1 - /Д = 7 (1 - 1) = “ Замечание Как мы видим, Д^ < Дч. Это становится еще более осознанным, если вспомнить, что 3^(0 > Зю(^) (см. решение задачи 9 21). Предположим, что для оценивания ненаблюдаемой случайной величины £ мы можем воспользоваться наблюдениями над любой одной из величин £ и т). Тогда предпочтение следует отдать величине которая несет в себе большее количество информации о случайной величине С, чем величина т). 4 188 Раздел 9 Многомерное нормальное распределение верояц.эои* 9.27. Задачу, аналогичную задаче 9.26, решите для случая, кор^ / 0 \ /5—2 1 \ и — I 2 | , К = -2 1 -1 ] . \ -1 / \ 1 -1 3 / 9.28. Случайные величины Т), £ имеют совместную шютность вероятности f(x,y, z) = a exp { - 5(z - 2)2 - у2 - 3(z + 1)2+ + 4(х — 2)у - 2(х - 2)(z 4-1) + 2y(z +1) J (а — нормирующая константа). Какая из наилучших (в среднем квадратическом) оценок ^(Е,) и £(т]) величины £ по Е, и по Jij предпочтительней и в каком смысле? (См. задачу 9.23). Разные задачи 9.29. Для нормально распределенного случайного вектора Е, — (^р^2Д3)т заданы плотности вероятности всех его двуме.ных подвекторов: = — 2)2+ I 4-2(z1 - 2)(.т2 + 3) +• 2(z2 + З)2] | > = ^;ехр{_А [5(T1 ~2)2+4(a:i -2^з +24]}’ /23(^,а:3) = ^^ехр{-^ [5^2 + 3)2 +*!]}• 1 Найдите плотность вероятности /(х1,д2,ж3) данного случаЙИОГ0 вектора £2, £3)т, установив попутно, что условия зад®411 корректны. рзные задачи L89 9.30. Однозначно ли восстанавливается плотность вероятности хп) п-мерного вектора — (^, , £„)т по зададим плотностям вероятности всех его (п — 1)-мерных подвекторов: а в общем случае; и в случае, когда £ — нормально распределенный случайный векЮр, причем п 3 ? 9.31? Пусть /(хр т2- .хп) — плотность n-мерного нормально распределения вероятностей и 03:^---in при ^+^+-- + г^1, О при я * +х? -i---------F Д2 > 1. - -С2’ ’ ' ' ’ ~~ Докажите, что константу /3 можно выбрать так, что функция h(Xp3;2,... ,хп) = /(ЖрХ2,..., хп) + ?(ЖрЖ2,... .тп) будет плотностью вероятности некоторого n-мерного случайного зек юра распределение которого отлично от нормального, хотя не его (л — 1)-мерные подвекторы имеют нормальное распределение вероятностей. 9.32? Известно, что и Т] — независимые одинаково распределенные по закону 7V(0; 1) случайные величины. Вычислите Emin(^, ц) и Ешах(£, Т])_ Указание: . а + b + |а — Ь| а + Ь - |о + 6| шах{а,о) =---, шт(а,Ь) =------------------ 9.33? Известно, что Е,, т), £ - независимые одинаково распределенные по закону ZV(O; 1) случайные величины. Вычислите средний фнгмах» данной тройки случайных величин, то есть Ерпах(£, ПЛ) - £)]- 9.34? Докажите, что если Et, = Ет| — О, = Оц — 1 и коэффициент корреляции случайных величин и ц равен р, то Етах(£2, т)2Н1 + лЛ р2, - в случае нормального совместного распределения величин % и т] Е шах(^2, ц2) = I + - х/1-р2. 7Г 190 Раздел 9. Многомерное нормальное распределение вероятное,^ 9.35? Известно, что случайные величины £ и ц имеют нормали ное совместное распределение вероятностей, причем Е£ = Ет]=0, О£ ~ Ют) = 1, cov(£, tj) = р. Вычислите Emin(£, т]) и Emax(^, т]). 9.36? Верно ли, что если условное математическое ожида-ние Е« = х) есть линейная функция аргумента х, то случайный вектор (£, Т])Т распределен нормально? 9.37? Предположим, что случайные величины £ и т] с совместным распределением, отличным от нормального, имеют математические ожидания р и м, дисперсии а? и (соответственно) и коэффициент корреляции р. Доказать, что если условное математическое ожидание Е« — х) представляет собой линейную функцию аргумента х, то Е(т]= х) - v + р -1 (х - р), ai как и в случае нормального совместного распределения данных величин. 9.38? Докажите, что если Е, и Т] — независимые стандартные нормальные величины, то для всякого натурального п Е(£+»Т])П = О (г — мнимая единица: £2 = — 1). раздел 10 Предельные теоремы теории вероятностей Неравенство Чебышева При С > 0 для всякой случайной величины £ с Е|£| < оо и (ЮЛ) (10.2) для всякой случайной величины £ с конечной дисперсией. Каждое из приведенных двух неравенств называется неравенством Чебышева. Так же называют и более общее неравенство (ЮЗ) (f, t > 0) при условии, что Е| £|* < оо. В некоторых источниках неравенство (10.3) приводится хак обобщенное неравенство Чебышева, а также как неравенство Маркова. 10.1. Доказать, что для всякой случайной величины £ с конечной дисперсией р(|1;-Е5|<3'/05)>|. Д о к а з а т е л ь с т в о Полагая в неравенстве Чебышева е Зх/D^, получаем --?L- V 1 ' (3^/0?) 1 9’ к»да и следует доказываемое неравенство 192 Раздел 10 Предельные теоремы теории вероятности 10.2. Сопоставьте оценку вероятности р(}£ - ЕЕ,| < 3^/0^ полученную в задаче 10.1, с точным значением згой вероятности в случае, когда величина Е, имеет: 1) нормальное распределение; 2) экспоненциальное распределение; 3) равномерное распределение на отрезке. 10.3. Докажите, что: 1) если Е|Е,| - 0, то Р(£ = 0) — 1, 2) если DE, = 0, то существует С такое, что Р(с, = С) = 1. 10.4- Средний расход воды в населенном пункте составляет 50 000 литров в день. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте в данный день расход роды не превысит утроенного среднего расхода. ► Решение Пусть Е; — дневной расход воды. Тогда по неравенству Чебышева Ес 50000 1 > 150000) 150000 - 150000 - з И ПОТОМУ 2 Р($ С 150 000) 5 д. 10.5. Число солнечных дней в году для данной местности можно рассматривать как случайную величину с математическим ожиданием 75. Оцените вероятность i oi о. что в течение года этой местности будет не более 200 солнечных дней. 10.6. Пусть число успехов в и испьланиях Бернулли с вероятностью успеха р. Докажите, что для всякого а > 0 Р(|Рп ~ ПР| > «aAw) < ^2 10.7. Пусть е > 0, 0 < р < — и £ ~ (Е ° Р 1 — 2р pj Покажите, что в этом случае р(|5-Еч|>£)-^ I (в неравенстве Чебышева достигается равенство) рлды вероятностной сходимости 193 Виды вероятностной сходимости Последовательность случайных величин £1( ^2, £п, случайной величине £ по вероятности (записывается: вСЯКРГОе>0 п1нп Р(|^-^|>£)=0, и.и>. что то же самое, lim Р Ч—* 4’1 (|^-^|<£)=1 сходится к ), если для (W4) (W5) В случае fjn -£-> $ и -£+ % Р(^/^') = 0 В этом смысле и говорят о единственности предела по вероятности («-конечной последовательности случайных величин. Нить Fn(X} = P(ljn < г). Vn(t) = Ее*<- (n = 1,2,...), так что {Fn (x)} — лоследоватсчьнисть функций распределения, a {^„(f)} — по-с.1Са<ша1елыюс'гь t оотвстствующих характеристических функций Будем также считать, что F(x) = Р(£ < х), y>(t) = Ее1Ц. Последовательность случайных величин £г, .... ... скдциэдг К случайной величине (, по распределению (записывается. если iwn vn(t) = v’(«) (10.6) «-♦ОС Призом hm Fn(x) = F(x). (10 7) n-too в каждой нт® непрерывное! и предельной функции распределения F(a;) В еду чае абсолютно непрерывных случайных величин Е,,, , .. , , с плотностями вероятности /(г), /,(г), /г(г), __> /nt1)" — (соответственно) заманчиво предположить, что hm /„(г) = /(») (108) n—too Е точках непрерывности предельной функции /(х). Но это не так. соотношения (10 6)^(10.7), вообще говоря, не обеспечивают выполнение условия (10 8) oMecie с тем, каждая из формул (Ю.б)-(Ю 7) является следствием (10.8). Ответим также, что для целочисленных случайных величин ^2, .., £п, Условия (10.6)—(10.7) равносильны тому, что для всякого к litn Р(^п =*) = ₽(£ = *). <10.9) п—toe . Сходимость по распределению по сущее гву касается не случайных величин ^т> ^2’ а их распределений вероятностей. Поэтому в данном 194 Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятности случае единственным является предельное распределение величины а не случайная величина. Так, если ц и — одинаково распределенные случайна величины и то Имеет место следующая импликация (4. + 4) (10.10) (из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению). Обрати*» импликация, вообще говоря, неверна хотя бы потому, что предел £ в соотнопичт» определен однозначно, а в соотношении 4 неоднозначно. Вмесц с тем, => (10.11) (сходимость к постоянной величине по распределению равносильна сходимост* по вероятности). В теории вероятностей рассматриваются и другие виды вероятн сходимости. 10.8. Докажите, что для всякой случайной величины Е, 0. 10.9. Докажите, что если £п -^4 £ и т]п т], то: а) £п + Пп £ + б) a^n+ЬПп 10.10. Пусть £ ~ N(0; 1) и £п = (—1)п£, п = 1,2,.... Покажите, что £п £. Сходится ли последовательность {£п} по вероятности? 10.11. Постройте пример последовательностей {U и W таких, что £п -^4 Т)„ -^4 Т], но £n + Т)п не сходится оо распределению к £ + т|. 10.12. Пусть / па 0 \ ~ I, \ ПР пР / где а и fi — заданные положительные числа. Верно ли, что: 1) 0; 3) Е£п —» 0; 2)^n-^0; 4)D(jn—>0? вероятностной сходимости 195 10.13. Пусть £n ~ R и Fn(x} = Р(^п < х) 1) Покажите, что для всякого х G R существует предел lim F„(x) = F*(x), п—юо 0 постройте график функции F*(z). Является ли эта функция функцией распределения? 2) Сходится ли последовательность {Лп} по распределению? 3) Сходится ли последовательность {£„} по вероятности? 10.14. Пусть , , 1 _ J 1 — соз(пта), если х € [0; 1], Jn\x) 0, если х [0; 1]. 1) Покажите, что /п(ж) — плотность вероятности. 2) Сходится ли последовательность {/„(г)} ? 3) Сходится ли последовательность {Fn (ж)} соответствующих функций распределения? Если сходится, то к какому распределению вероятностей? 10.15. Последовательность случайных величин £2,..., £п> — сходится е среднем квадратическом к случайной величине £ ^записывается: 10, если Кт Е(£п — £)2 = 0. п—>оо 1) Докажите импликацию 2) На базе задачи 10.12 постройте пример, показывающий, что обратная импликация неверна (из £п £ не следует, вообще говоря, что Е,). 10.16. Докажите, что если при п —> оо Е^п-+о, О£п-> 0, ГО —у а. 10.17. Докажите, что если £2, ..., ... — независимые одинаково распределенные величины с E£j = р, < оо, то 196 Раздел 10- Предельные теоремы теории не] Закон больших чисел Говорят, что для последовательности {^„} случайных величин выполняется закон больших чисел (ЗБЧ), если E|^fc | < оо при всех k = 1, 2, ... и (юла) п Ь=1 Это означает, что для всякого е > 0 Jim Р п-»со |Е(^-Е«*) *=i (10-13) Наряду с соотношением (10.13) мы будем также писать lim Р !I- (Sn - ES,) > е) = 0, (10:14) п—JOO считая, что S„ = + £2 Г + В случае, когда £2, , — одинаково распределенные случайные величины и = о, соотношение (10-12) равносильно соотношению Е „ (10.15: п которое, в свою очередь», означает, что для всякого е > 0 (10.16) Теорем а Чебышев а. Пусть величины , £2, ..., £„,... • цов-легворяют двум условиям: 1) cov(^i,^) = 0npHi/y (попарная некоррелированность рассматриваемых случайных величин); 2) для некоторого С и всякого п = 1, 2, . . (равномерная ограниченность дисперсий). Тогда для последовательности {^п} выполняется ЗБЧ __ т Особое место в теории вероятностей отводится последовательностям пезЗВ»" симых случайных велпчпн. gggoH больших чисел 197 ТеоремаХинчина Для последовательности {£„} независимых одинаково распределенных случайных величин с Е|^,| < оо ЗБЧ выполняется. 10.18. Доказать, что если последовательность {^„} удовлетворяет условию ^5>ov(^)—>0 »J=1 | при n —> ос, то к ней применим ЗБЧ. к Доказательство. В данных условиях, используя неравенство Чебышева и элементарные свойства дисперсии, получаем: р < iD (1XX - Еи) = - «**) = * \ fc=l / к^1 = A>f^ = ^^Eeov(4„5,)->0 k=l x.J~l при п —> ОО ДЛЯ ВСЯКОГО Е > 0 10.19. Докажите, что если последовательность попарно некоррелированных случайных величин {£п} удовлетворяет условию —>0 при п —> оо, то к ней применим ЗБЧ. 10.20. Приведите доказательство теоремы Чебышева. 10.21. Докажите теорему Бернулли, если рп — число успехов в и испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в отдельном Испытании, то 198 Раздел 10. Предельные теоремы теории верлятнцц^ 10.22. Пусть 4 — случайная величина с невырожденным р^ пределением вероятностей и Е|£| < оо. Выполняется ли ЗБЧ дд^ последовательности: 1) 5ЛД,- («-“О1 2) -5,ЧД,- (?„ = (-1)Ч)? 10.23° Доказать, что если ЗБЧ выполняется для каждой из последовательностей {£п} и {71п}> то он выполняется и для перемежающейся последовательности 7]х, £2, т]2, .... ► Доказательство. Пусть ^2n_t = , С2т1 = tj„; sn = ?1 + ;2+--+tn; ^' = П1 +П2+-" + Пп- Тогда (в предположении, что = Ет]„ =- 0) *Г = |(5’ + т) "М(° + °,=0; 2n L \ п nJ 2 $гп+1 _ п + 1 п 5^ р 1 1 2п+1 2п + 1 п+1 2п + 1 п 2 2 Таким образом, ‘ ^--Ао, п что и требовалось доказать. Центральная предельная теорема Говорят, что для последовательности случайных величин {£„} выполняется центральная предельная теорема (ЦПТ), если последовательность Ki + ‘ + §п) ~ Е(51 + Sn - ES, лДХ?! 4- ^2 4--Ь §„) нормированных сумм Sn = ^ + + - • + (n = 1, 2, .. распределению к стандартной нормальной величине, то есть (10.17) СХОДИТСЯ. 4° lim Р Sn-*S, x/D5L е““ du. (10.18) центральная предельная теорема 199 При этом, естественно, предполагается, что О < DS„ < оо для всякого п. Сходимость в (10-18), если только она вообще имеет место, равномерна на числовой прямой. Простейшая предельная теорема. Для всякой последовательности {§„} независимых одинаково распределенных случайных величин с 0 < D£j < оо выполняется ЦПТ. При = д, D£fc = <т2 (к = 1, 2, ...) соотношение (10.18) принимает вад X lim Р (S”~*4* < дЛ = -JL I е~^'2 du. (10.19) \ Оу/п J v2tt J —оо Частным случаем простейшей предельной теоремы служит интегральная теорема Муавра-Лапласа (см. раздел 2). ЦПТ в условии Линдеберга. Пусть , ..., £п,... — независимые случайные величины, Гк(д) = Р(^<г), р*=Е^, <г« = О^>0, В1=^+< + "+< (* = 1.2,-.)- Тогда, если для всякого г > 0 [ (х-дк)2^(х) = 0, (10.20) п-»те Вп J \а-цк1>твп то для последовательности выполняется ЦПТ- Из условия Линдеберга (10.20) следует, что I 2 lim —=• max <т. = 0. ,-»ео В„ * (10.21) то есть в сумме Sn = Е,, 4- £ 2 + • - - + относительный вклад каждого слагаемого по дисперсии бесконечно мал. В частности, 2 lim^-=0. (10.22) 71—»£>О Из ЦПТ в условии Линдеберга выводятся многие другие варианты ЦПТ, в частности, простейшая предельная теорема, а также следующая теорема. 200 Раздел 10 Предельные теоремы теории вероятны,.-^. ТеоремаЛяпупова Пусть , £ 2, - независимые случайные величины В дополнение к ранее принятым обозначениям положим " с’=Еек*-е^Г fc=l Тогда, ест . С. lim = 0, (10.23) п-Юо 1 то для последовательности К»} выполняется ППТ Если случайные величины £2, - -, --- Удовлетворяют ППТ, то пр< достаточно больших значениях п Р {а Sn $ Ь} « Фо b-ES^A _ ф (а - ES„ А yos? ) с уоС ) В частности, для последовательности {£«} независимых одинаково распределенных случайных величии с — ц, С£,{ = <т* _> 0 имеем Р{н<$п 1024> \ t7\/n / \ СГт/П / 10.24. В предположении, что один шаг пешехода распределен равномерно в пределах от 70 см до 80 см и размеры шагов независимы, оценить вероятность того, что за 10 000 шагов пройденный пешеходом путь составит 7,5 км ± 50 м Решение Пусть — величина А:-го по счету тага пешехода (к = 1, 2, .10 000) Тогда путь S. который пешеход пройдет за 10 000 шагов, выразится как ~ $io ооо ~ + ^2 ооо Принимая во внимание что ~ К(70; 80) и, стало быть, д = E£fc = 75, ст2 = = у. получаем по формуле (10-24) Р (745 000 < S £ 755 ООО) « I 755 000 - 750 000 | I 745 000 - 750 000 | ’Ч -Д ГЧ -y/f г 1 2Ф0(17,3) а 1- центральная предельная теорема 201 10.25. При составлении статистического отчета надо сложить jO ООО чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10-3. Считая, что ошибки округления независимы и распределены равномерно в интервале (—0,5 -10-3 ; 0,5 -10 3), оцените наименьший по длине промежуток, в котором с вероятностью 0,95 будет заключена суммарная ошибка 10.26. Пусть £ £ — независимые одинаково рас- пределенные случайные величины с = 0 и = о2 < оо; Sn — +-----1- При каком значении а (Я \ 1 >1) =-? vn / 3 Решение. Значение ст = 0, очевидно, не решает данной задачи, и мы вправе писать, что По простейшей предельной теореме hm F I —7= > - 1 = 1 — Ф I — I = - — Ф f — I . п-»оо \сг\/п о) \а) 2 u \а / Искомое значение а теперь находим с помощью таблицы значений функции Лапласа Ф0(т) (см приложение па с. 206) из уравнения Имеем: Фп ( - ] = -. iss 0.433. ass 2.31 С\гт/ 6 <7 10.27. Известно, что £2, ..., ... — независимые оди- наково распределенные по закону Щ—с; с) случайные величины 0 = ^ + Н-------Ь - При каком значении с От р(^~ <2^ = j? п—>сс \ yfTi J 4 10.28? Случайные величины ^2, ..., ... независимы и Одинаково распределены по закону Л(0; 1). Вычислите 202 Раздел 10 Предельные теоремы теории вероятностей 10.29. Случайные величины £2, . при любом нату. ральном п имеют нормальное совместное распределение вероятностей. Нужно ли на последовательность {^„} налагать какие-нибудь дополнительные ограничения, чтобы для нее выполнялась ЦПТ? 10.30. Пусть {£п} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной положительной дисперсией. Какие значения могут принимать пределы (т a, b С R); 1) lim Р(^, + £+••• + £„< z) , n—>oo 2) lim P(e C + - + £n C b) ? 10.31. Пусть цп — число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью р успеха в отдельном испытании. Сопоставить оценки вероятности Р — пр| > ’ получаемые по теореме Муавра-Лапласа и по неравенству Чебышева Решение По неравенству Чебышева (см. задачу 10.6. С. 192) - «Pl > б I Теорема Муавра-Лапласа в данном случае дает При малых значениях а оценка значениях а (см. задачу 3.51, с. 61) 1 - Ф(а) ~ i or (♦) бесполезна При —- е 2тг большйх поэтому о- 1.1 е"°а/2 а -п Эта оценка существенно отличается от оценки (*). 150 деталей, времени) ® 10.32. В бункер помещается не более, чем N = В каждую минуту (независимо от других моментов бункер поступает случайное число деталей, распределенное п° пуассоновскому закону с параметром А = 2. Через каждый чаС все находящиеся в бункере детали перегружаются в тележку и отправляются на дальнейшую обработку В начальный момент времени бункер пуст. Оцените вероятность того что за Т = 100 чаС’ не произойдет ни одного переполнения бункера рДетод Монте-Карло 203 Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний) Если функция f(x) ограничена и интегрируема на отрезке [0; 1], то интеграл 1 I = У /(х) dx о можно рассматривать как математическое ожидание I = Е/Ю. где ь — случайная величина, распределенная равномерно на отрезке [0; 1]. Следовательно, по ЗБЧ п *=1 в предположении, что £2, .... ... — независимые одинаково распреде- ленные по закону J?(0; 1) случайные величины. Поэтому при численном интегрировании часто полагают, что Г 1 " //(*)<fc»i £/«*). (10.25) о В случае |/(х)| $ С при 0 $ х 1 ЦПТ приводит к следующей приближенной, но вполне естественной оценке: < ДР 2ФВ • / х. V' J (10.26) Эффективность описанного метода численного интегрирования возрастает при переходе от обыкновенных к кратным интегралам и становится достато'гно высокой при рассмотрении интегралов большой размерности. Отметим, что численное интегрирование далеко не исчерпывает всех тех Задач, которые решаются методом статистических испытаний 10-33. Оценить вероятность того, что при |/(х)| 1 абсолют- ная погрешность вычисления интеграла 1 У /(х) dx о методом Монте-Карло на основании 10 000 независимых опытов не превосходит 0,01. 204 Раздел 10. Предельные теоремы теории Решение. получаем На основании (10 26) при С = 1. п = 10 000. А = 0,01 f 10 оно ю ооо <0,01 0,01 ~ 2Ф0(1) =s 0,6826. 10.34. Оцените наименьшее п. при котором вычисление интеграла 1 0 по формуле (10.25) с вероятностью Р 0,95 приводит к ошибке, не превышающей 0,01. 10.35? Пусть функция /(т) непрерывна на [0; 1] и удовлетворяет условию |/(х)| с 1, £р *1р 1»2> *12’ *** — последовательность независимых одинаково распределенных по закону /?(0; 1) случайных величин. Положим / 1, если /(^п) Лп' ( 0, если /(£„) < 1)п Докажите, что и с помощью ЦПТ оцените вероятность Какими преимуществами обладает этот метод перед тем методом, что представлен формулами (10.25) и (10.26)? Литература 1 Болдин М.В., Кочетков Е-С. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. -М.: МАИ, 1993. 2 . Гнеденко Б. В Курс теории вероятностей.-5-е изд -М.: "Наука, 1974. 3 Емельянов Г.В., Скитпович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. -М.: ЛГУ, 1967. 4 Климов Г.П. Вероятность, процессы, статистика. М : МГУ, 1985. 5 Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. -2-е изд. -М.: Наука, 1985 о Кочетков Е.С., Осокин А.В Случайные события. М: МАИ, 2000 7 Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Осокин А.В Предельные теоремы теории тероятностей. -М.: МАИ, 1999. Прохоров А.В.. Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. М.: Наука, 1986. Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей -М - Наука, 1968. 10. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. -М.: Наука, 1982. И. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П.Г Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. -М.: Наука. 1980. 12. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Пер. с англ. -3-е изд. -М.: Мир, 1984, т. 1,2. 13. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. 14. Ширяев А.Н. Вероятность. -М-: Наука, 1980. Приложения Приложение 1 Таблица распределения Пуассона Pfc=P($=fc) = £е-* А\* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 “ХГ 0,9048 0905 0045 ооо2 0.2 8187 1637 0164 ООН 0001 0,3 7408 2222 0333 0033 0003 0,4 6703 2681 0536 0072 0007 0001 0,5 6065 3033 0758 0126 0016 0002 0,6 5488 3293 0988 0198 0030 0004 0,7 4966 3476 1217 0284 0050 0007 0001 0,8 1493 3595 1438 0383 0077 0012 0002 0,9 4066 3659 1647 0494 0111 0020 0003 1,0 3679 3679 1839 0613 0153 0031 0005 0001 1.1 3329 3662 2014 0738 0203 0045 0008 0001 1.2 3012 3614 2169 0867 0260 0062 0012 0002 1.3 2725 3543 2303 0998 0324 0084 0018 0003 0001 1.1 2466 3452 2417 1128 0395 0111 0026 0005 0001 1,5 2231 3347 2510 1255 0471 0141 0035 0008 0001 1,6 2019 3230 2584 1378 0551 0176 0047 ООН 0002 1.7 1827 3106 2640 1496 0636 0216 0061 0015 0003 0001 1,8 1653 2975 2678 1607 0723 0260 0078 0020 0005 0001 1,9 1496 2842 2700 1710 0812 0309 0098 0027 0006 0001 2.0 1353 2707 2707 1804 0902 0361 0120 0034 0009 0002 2,1 1225 2572 2700 1890 0992 0417 0146 0044 ООН 0003 2,2 1108 2438 2681 1966 1082 0476 0174 0055 0015 0004 2,3 1003 2306 2652 2033 1169 0538 0206 0068 0019 0005 2,4 0907 2177 2613 2090 1254 0602 0241 0083 0025 0007 2,5 0821 2052 2565 2138 1336 0668 0278 0099 003] 0009 2,6 0743 1931 2510 2176 1414 0735 0319 0118 0038 001) 2.7 0672 1815 2450 2205 1488 0804 0362 0139 0047 0014 2.8 0608 1703 2384 2225 1557 0872 0407 0163 0057 0018 2,9 0550 1596 2314 2237 1622 0940 0455 0188 0068 0022 3,0 0498 1494 2240 2240 1680 1008 0504 0216 0081 0027 3,1 0450 1397 2165 2237 1733 1075 0555 0246 0095 0033 3,2 0408 1304 2087 2226 1781 1140 0608 0278 0111 0040 3,3 0369 1217 2008 2209 1823 1203 0662 0312 0129 0047 3,4 0334 1135 1929 2186 1858 1264 0716 0348 0148 0056 3,5 0302 1057 1850 2158 1888 1322 0771 0385 0169 0066 3,6 0273 0984 1771 2125 1912 1377 0826 0425 0191 0076 3,7 0247 0915 1692 2087 1931 1429 0881 0466 0215 0089 3,8 0224 0850 1615 2046 1944 1477 0936 0508 0241 0102 3,9 0202 0789 1539 2001 1951 1522 0989 0551 0269 0116 4.0 0183 0733 1465 1954 1954 1563 1042 0595 0298 0132 5,0 0067 0337 0842 1404 1755 1755 1462 0640 0328 0150 6,0 0025 0149 0446 0892 1339 1606 1606 0636 0360 0168 7,0 0009 0064 0223 0521 0912 1277 1490 0732 0393 0188 8,0 0003 0027 0107 0286 0573 0916 1221 0778 0428 0209 9,0 0001 ООП 0050 0150 0337 0607 0911 0824 0463 0232 Таблица значений функции ф{х) 207 Приложение 2 Таблица значений функции ф(х) </>(*) = -j= е 2 \/ £.TZ 0 Г 2 3 4 5 6“ 7 8 9" 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 39// 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3905 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3725 3712 3697 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0.5 3521 3-503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0.7 3123 3101 3079 3056 3034 ЗОН 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1.3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1.5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2.0 0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0135 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 ОНО 0107 2.7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3.4 0012 0012 0012 ООП ООП 0010 0010 ООЮ 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3.8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 О002 0002 0002 0002 0001 0001 4,0 0001 0001 0001 0001 0001 ООО! 0001 0001 0001 0001 Таблица значений функции Приложение 3 Таблица значений функции Лапласа Фо(х) = -^= f dt V 2тг j О X “ПГ Г 2 3 4 5 6 7 8 9 ПОТ О'.ОООО 0040 0080 0120 0159 0199 0239 0279 0319 0359 ил 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0753 0,2 0793 0832 0871 0909 0948 0987 1026 1064 ПОЗ 1141 0,3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0,4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0.5 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 0,6 2257 2291 2324 2356 2389 2421 2454 2486 2517 2549 °.7 2580 2611 2642 2673 2703 2734 2764 2793 2823 2852 0,8 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133 0,9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 1.0 3413 3437 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 1.1 3643 3665 3686 3708 3728 3749 3770 3790 3810 3830 1,2 3849 3869 3888 3906 3925 3943 3962 3980 3997 4015 1,3 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 1.4 4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 1.5 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 1,6 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545 1.7 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 1,8 4641 4684 4656 4664 4671 4678 4686 4692 4699 4706 1.9 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 2,0 4772 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 4817 2Д 4821 4826 4830 4834 4838 4842 4846 4850 4854 4857 2,2 4861 4864 4868 4871 4874 4878 4881 4884 4887 4890 2.3 4893 4896 4898 4901 4904 4906 4909 4911 4913 4916 2,4 4918 4920 4922 4924 4927 4929 4930 4932 4934 4936 2,5 4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 4952 2,6 4953 4955 4956 4957 4958 4960 4961 4962 4963 4964 2,7 4965 4966 4967 4968 4969 4970 4971 4972 4973 4974 2,8 4974 4975 4976 4977 4977 4978 4979 4979 4980 4981 2,9 4981 4982 4982 4983 4984 4984 4985 4985 4986 4986 3,1 3,2 3,3 3,4 4936 4990 4993 4995 4997 .‘ОТ 49981 3,6 49985 3,7 49989 3,8 49993 3,9 49995 4.0 4,5 5,0 499997 4999997 Ответы и указания Раздел 1. Дискретные случайные величины 1 2’ п Д 0°2 0 5 0,3 ) ’ ЕГ] = 111; 0,1 = °’49 1Л- Х) 7/6; 2) 3/2 1.6. шах Of; = 7,6 (при а = 0,35); min = 0,84 (при а = 1). 1.8. а) 2/3; б) 2/3- 1.9. 1) П9/15, 2) 8/15- 1-Ю- 1) 53/2; 2) 1/2 1.12. Е£, = 2,4; = 0,46. 1.13.3,2.1.14.1 1.15.8 «5.895 1.16. т п + 1 1.17. 4-е место 1.19. а) Может; 6) не может 1.20. £; ~Вг(4, 0.7); Е£ = 2,8; D£=0,84; mo = 3. 1.21. а) 8,2, 6) 1 1.22. а) 19,2, б) 19 и 20. 1.23. При р $ 1/101» а также при Р ? 100/101- Равновероятными значениями при этом могут быть лишь 1и1 (если р - 1/101), а также 99 1.26. и 7712 0,096 1 1 2 + 3 100 (если р и 5. 1.28. 52. 1.29. 1) 3; 2) 4/д. \ 0,512 0,384 1.31. 30; « 0,0013 1.33. п (1 1.37. Н(^) = — р 1пр — (1 — р) 1п(1 — р); наибольшее значение In2 (при р = 1/2). 1.38. Н(^) =-1пр-1) !п(1-р) 1.40. Н(4) = Н(т]) n In п (при и —> оо) 1 42. т] 1/4 0,16 2 3 4 5 V е^ = 31/32 !/8 716 V32 V32 / ’ ' 2 0,8 = 1,76 1.43. 3,05; 1,2325. 1.44. 505 1.47. Р(Е, = т) (т=1,2. ,6). 1 0 12 3 4 0,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081 ,/2 о 0,04 1 45. а) 5,5; 6) 0,1 1-48. 1 1.49. a) E1J = -20, о = 7О< = 796, б) т0 = 1-50. £, ~ Bi(3; 0,25), Е£ = 0,75; D£ = 0.5625 1.51. 1 1 52. £ 1-53. У Казани е. Если — производящая функция распределения ®’(п; р), то искомая вероятность равна - [^(1) + ^(-1)]. Ответы и указания Ответы и указания 2 V Е$ = 9/8; 0^ = 19/64. /4 / 1 2/3 210 1.54. т—1.55. Например, 5 ~ G(p), где О < р $ min 2 -р 1.56. 05 = (Е5)2+Е5-1-57. 5 ~ ’ V 1/4 V2 1.58. а) 1; б) Ю/ц; в) Н/210- (-1 Уз 1.60. Н(5) — Н(5) 1-61. Нет, неверно. 1.62. р = 1/2- 1.63. Указание: подберите {т„} и {р„} так, чтобы выполнялись соотношения р„ > 0, 52рп = 1 и ряд £zfcpfc сходился, но не абсолютно. Достаточно, п Ь например, положить а:» =(-!)“»> Рп = С/п2. где С — нормирующая константа: С - $3 “J — 1-Я Раздел 2. Распределения вероятностей, связанные с биномиальным распределением 2.2. а) « с"1« 0,3679; б) « |е-1 а 0,1839; в) ss 2,5е-1 к 0,9197. 2.3. а) ss е-8 ss 0,0498; б) ss ^е~3 ss 0,2240; в) =s 1 - 8,5е~3 х 0,5768. 2.4. Среднее число изюмин в булочке должно быть равно к 2 In 10 К 4,6052. 2.6. 1) 99 и 100, 2) i^e-100 = а 1 - к 0,04 1 ’ 99! 100! 1/2я 100 (использована формула Стирлинга: п! ~ y/2xiin’'e~n при п—юо). 2.7. 1 — е-,,я ss 0,6988; 0,784. 2.8. Е р) = О (в*) = е-Л<1->2> _ 2.9. Р(А) - Р(В) = е-2А. 2.10. ss |(1 +е“2) ~ 0,5677- 2.15. а) ss -±=ф (- » 0,0026; б) « | + Фо ~ 0,9872. 2.16. а) ss -*.~ф ( /-— ) ~ 0,0038; б) ss 1 - Фо ( ~ 0,0618. 1/1050 \Vl050/ 2 \vT056y 1 . /125\ „ „ » 1 ( 300 \ „ 21Т- 2 * *• (7й) “° 2 “- •> “ 2 - Ы “ 0; « - 1 +*" (да) » 1? ss — Фо [ - ) ss 0,0048. 2.19. Около 560 мест у каждого входа; окОД° 2 \V1491/ _ 540 мест у каждого входа. 2.21. а) Около 5 340 раз; б) около 9 200 раз- 2.3*' Примерно от 490 до 550 мальчиков. 2.23. Около 370 раз. 2.24. а) ss 0,5470; б) ss 0,7717. 2-25- a) ss 0,036; б) ss 0,939; в) и 0,303. 2.26. а) « 0,013; б) ss 0,090; в) ss 0.2.27. а) « 2Ф0(1) « 0,6826; б) ss е"1 ss 0,3679. 2.28. a) ss е-1 ss 0,3679; б) ss 0,0613, в) ss 0,0803. 2.29. а) ss 0,1606; б) ss 0,1606; в) ss 0,2850. 2.30. ss 0,9679. 2.31. 6 каналов. 2.32. а) 2,54 - 1,58 ss 13,43; б) е3 - е2 га 12,70. 2.33. 1) a) rs 0,968, б) ss 0,443; в) ss 0,010. 2) ss 0,13. 2.34. F(199) = F(200) = ^^е"200 ss 1 ss 0,028 ' 200! - 200 (использована формула Стирлинга). Раздел 3. Непрерывные случайные величины 3.2- F(s) = ’ 0 1 (г~^) г3 при х 0, - при 0 < X г, /(т) = 'И ч*— о си Я* г । при х > г; Е?=г/4, с5=зг/а). при X (0; г); 3.3. F(x) = 0 1 при х —1, 1 — — arccosx+ -ху/Х — х2 при —1<х<1 X 7Г г ' №) = • 1 -1/1-г2 ?г .0 при х > 1; И*1- Е5 = 0; 06=1. при |а:| >1; 4 3-5. По условию f(m — х) = f(m + i). Но f(x + т) можно рассматривать как s-тотность вероятности случайной величины — та, а /(та — х) — как плотность вероятности случайной величины — +та. Следовательно, случайные величины и — $+т одинаково распределены. Поэтому Е(£—та) = Е(—£+т), откуда = т. 3.7. Вообще говоря, неверно. Замечание: если дополнительно -'стребовать, чтобы предел lim f(x) существовал, то этот предел должен быть ж—>о© нулю. s-io. ES = 39тг; DS = 1960,27г2. 3.11. а = 0, Ъ ~ 6. г12. Нет, не согласуется. 3.13. Указание: покажите, что £ ~ Я(— 3; 13). !1/з, если х е (0; 2), 1/б, если х е (2; 4), 0, если х i (0; 4). 3-22. 2 + | 1пЗ. 3.26. а) < Е$}; б) {(; < ^/О?}. ’•20. Д(Ж) = 212 Ответы и указания 3.32. а) яз 0,345; б) 0,5; в) га 0,672; г) яа 0,411; д) и 0,963; е) га 0,763 3.34. а) » —1,92; б) такого х не существует; в) ~ 1,28. 3.35. Р(£ > Е£) = Р({; < Е§). 3.36. А к 0,675. 3.38. га 0,21 3.40. Р(|£ — 3| < 1) < Р(|£ - 2| < 1) = Р{|£| < 1). 3.42. |Л| га 5,7. 3.43. о яа 2,55. 2 3.44. яа 0,9599. 3.46. ст = -ъ 1,908. лДпЗ 3.49. а) а 0,87^/л; б) е3у/к в) е14^ [Фо(6х/2) - Фо(2у/5)] га 0,0023^/ле14. 3.50. Существует: С = (е3у/л) 2 1 л \/1 —х2' 0. ^/x2i если 3.52. б) Д(яг) = 1, D^ = l/2-, если х е (0; 1), если х (г (0; 1). 3.53. а) /п(а:) = ’ б) Д(х) = О, если 2Д.2, если х > 2, О, если х < 2. х € 3.60. . 3.63. 1) 1л(Ь — о); 2) 1 — Ln А. 3.64. а) Нет, не может, б) да, может. 3.65. а) ст2 > -Ц б) и2 < -5—, в) ст2 = J-. 2ле 2ле 2ле 3.66. а) Н(£) = Н(п); б) Н(П) = Н(£) + 1п|а|. 3.71. a) EV = 5л, DV = 2—л2, б) ES = ||л, DS = 99, 2л2. 63 3 3-72. а2. 3.73. « 4,56%. 3.74. 1 [тг 0.30. 3.76. —. —. 3.79. По закону Коши. ’ 2\ X Раздел 4 Смешанные задачи на случайные величины 4.2. д(х) = -ctgxx. 4.3. д(х) = ctg (яе-Хх); -q = д(£) ~ F^x 4.8. Е£ = 11 — ург (1s + 2® + --• 4-10s) яа 9,6. 4.12. 3. 4.13. 1) Я(0 = 2е-гЛ‘-е~8Л‘, Т = |т0; 2) R(t) = +e~2XtТ= ^То; 3) R(t) = 2e“3Xt -e-4At, Т = ^То- 4.14. = 1 - J- (1 - е-хт) 4.16. EKJ = 7-, О[У = А; Е{Ц = 1, DK) = Ах V х О £,О v 4.17.Е^ = 4С^_. Ответы и указания 213 !0, если х —2, Фо(2)+Ф11(^), если -2<х<0, 1 — Фо (2) 4- Фо(я), если 0 < х 2, 1, если х > 2. 4.21. а) № = 1/д; б) xi = О, х2 = —1,2; в) щ = 2, к2 = 6. 4.25. 1) Существует: С ~ [2УзтФо(\/2)] 1 ~ 0,67; 2) Существует: С = {ч/7?е4(Ф0(\^) + фс(5^/2)]} ‘«0,01. 4.27. Точка х определяется из условия F(x) ~ I/2 (так называемая медиана распределения). 4.28. Указание- функция Н(с) = Е(£ — с)2*-1 строго монотонна. 4.29. Раздел 5. Дискретные двумерные случайные векторы 5.2. 1) £ ~ ), Е£ = 1/5, D£ = 24/25; ” ~ ( W/30 0/30 »/» ) • Е" = -‘/30. 04 = ®8/»0. 2) £, и т] — зависимые случайные величины 3)A = f 24/25 _4/23 A R= ( 1 - \/24/569 I -4/25 569/900 ) ’ \ ~ \/24/569 1 с и т] — коррелированные случайные величины. 4) -1 1 У -1 0 1 Я(Ж)-Е(я|^ = х) 1 6 1 6 G(y) = ^\r]=y) 1 5 7 П 1 “3 5) fj = Я(^) 6) Ет) = -J/30 = Ея, Е^ = 1/5 = Е^. 10/зо п/зо -V3 9/зо 214 Ответы и указания , Е£ = -1/5, = 24/25; (-1 о 3/6 V6 2)£иП — независимые (и потому некоррелированные) величины. к-I 24/25 0 3)К-( 0 29/36 1, Ет] = -!/б, Dn = 29/зе. /6 / R=( 1 ° V о 1 X -1 1 У -1 0 1 4) *£ II 7 i СТ г-ч II О иг и 7 с П у (р- II az Ц; (₽• а. ш S' S' ~х) п, 1 1 6 = 1» е| = 2 II II £ *" иэ"4 •“ л/4 if । — II II о 3 w р (1 UJ / ОСЛ II Й, 4? 1 1 У) 1. 1 _£ 5 г 1 5 1 5 5Л. ° ° 1 0 2 1/4 [ 0 0 V2 0 npi V4 0 0 л 5.5. ° 4/9 2/9 1 2/9 1/18 2 1/36 0 х $ 8,5, f Х/36 5.6. 3. 5.7. 6/7. 0 ' 0 0 при х $ 3, 5.8. F(x} = < 2/3 при 8,5 < х $ 10, 5.9. F(x) « < 1/2 при 3 < ( 1 при х > 10. (1 при 5.11. Величина ES — 21 постоянна (не зависит от к). 5.12. 7. 5.15. 3. х $ 4, х > 4. 5.17. Если iz — рассматриваемое число партий, то Ей = оо. 5.19. 1 п ~ ‘ 1* 6.20. 3. 6.21. Н(£, о) « 1,68; Н($) < И(Л); Э5(т]) = Зп(£) ~ 0,12. 5.23. И(пК) > Н(МП) 5.24. 3t(n) = Н(п) = | 1п2 а 1,04. 5.25. 36(т]) « 0,03. 5.27. 1) § ~ В«(2; 0,5), я ~ Bi(3;0,2); 3) 4) 0,344; 0,48; 55/103 » 0,534. 5.28. 1) о(т]|$ = 1) = 2/д, о($|п = О) « 8/д. . е / -2 -1 0 1 \ ( -1 0 1 \ 2)а)^ + П~^ 1/g 1/12 5/8 1/б J; 6>^~(5/8 1/4 1/g J- -2 -1 0 1 в) -1 0 0 5/8 9 5.29. 5,25. 5.30. -1 (т.к. 1) = п - ^). 0 0 1/12 0 1/6 1 V8 0 0 0 5.31. —1. 5.32. —1/7. 5.33. и и — некоррелированные зависимые величины. 2 / 1 ° \ 5-34. — 7.1 I; и т; — некоррелированные зависимые величины. 9 \ О 3 / Ответы и указания 215 pg(g2 ~ р) 5. 39. -1/11- 5.40. /> = —, yj(pW + pgp)(e2<r2 + pgp) где д = ЕС, <г2 = С>С- Раздел 6. Непрерывные двумерные случайные векторы 6.2. 1)Л(х)= < h(y) - < 2 г-2 г —7 Vo3 - аг2, тга* 0, о если если если если 1»| «. |т| > а- Ivl £ ь, 1»1 > Ъ; ЕС = О, Ел =0, de, = °2/4; ОЛ=Ь74- ?гЬ2 ~У2, о. 2) С и Л — зависимые случайные величины. / л2 3)^ = 1/4( “ ° А Ь2 Г я = / 1 ( о ° 1 1 Г и t] — некоррелированные случайные величины. 4) Я(х) = Е(л|С = ®) = ЕЛ = 0, G{y) = Е(С|Л = у) = Е^ = 0. 5) Р(л = Я(С) = О) = 1, Р(§ = 6’(л) =0) = 1. 6) Ел = О = Ет], 6.3. 1) Fi(x) = Fz(y} = < ЕС = О = ЕС- 1 — е“*ж, если х > 0, 0, если х $ 0; 1 — е"***, если у > 0, 0, если у 0; Е^ = 1Д ^ = 1/Аз; Ел = !/д, Dt) = М/Л 2) С и т) — независимые (и потому некоррелированные) величины. R-( 1 И R \ 0 1 ) G(!/) = E(C|T]=y) = EC = l/A- ЗУК- Чд2 0 \ « V, 4) Я(х) = Е(л|С = ^) = Еп=Мд. 5) р(л = Я(С) = 1/р) = 1, Р(С = G(n) = Мд) = 1- 6) Ел =1/^ = ЕЯ, ЕС = Ма = е^ 6.4. 1) о = fi(a:) = - --г, /з(») = ?-?; 2) £ и л — независимые 7Г ?Г 1 “Ь X* 7Г 1 “Ь у* случайные величины; о корреляции в данном случае говорить не имеет смысла, поскольку ковариация величин £ и л не определена. 6.5. ЕС = 0, Ел = 1, соу(С,л) — ЕС3 — 0 и, таким образом, величины С и л некоррепированы, хотя и, очевидно, зависимы. 6.6. а) 26; 6) 30; в) 8. 6.9. а) 1; б) в) -1; г) ._10 ~ — =. 6.10. а) 0; б) в) 1. 6.12. 0.71875. ' Jb’ ' ’ 75(А2-8> + 20) ’ V15’ 7 6.13. а) 2ф0(1) ~ 0,4659, 6) 2Ф0 (4Л ~ 0,2727. 6.15. 1 -е“4*а. 6.16. ЕС — ОС = 2 — ?г/2- 6-20. а) По закону Коши; 6) по закону Коши. 216 Ответы и указания 1 X *-2 6.21. По закону Коши. 6.22. f/t.v(x,y) — (х > О. О «С у 2тг); /й(х) = ге"зх2 (х > 0),/Дз/) =-?- (0 $ у 2г) 6.23. /(х) 2х . "(14- хП (Z > о) 6.26. У к а з а 11 и е: исппльзуйтс результат задачи 6 22 или результат задачи 619. 6.28. а) Пр ИП х/аЪ При 0 < х С о, Чъ при а $ х ё ъ, /б-кп(х) — ‘ (а + Ь-х)/аЬ при Ь < х < « 4- fe. 0 в остальных случаях ; б) У к а з а н и е сведите решение к пункту а. 6 29 Л+ч(®) = >2xe-*z (х > 0). 6-31- jk „ , ,, . J 1—1x1, если |х[ $1, ,, , А _м, 6.32. а)/(х) = < ’ б)/(х) = -е 0, если [х| >1. 2 6.33. Случайная величина 4- л имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности Атп(;С)-Ри/(Л:)+Р1/(а:-1)+Р2/(-Г~2)+ ' -t-prf(x-T) + 6.40. К - 1 —0 99999.. -0,99999 - где рт = —/(х) = Ае Аж. если х > 0, и f(x) = 0, если х < 0 7711 6.35. Указание, используйте результат задачи 3.82 (см. с 70) 6.37. 1 - In 2 10 000^ —19 999Ц -19 999Н 39 999 Ц Близость коэффициента корреляции к —1 объясняется тем. что практически Л1 = + 2^2 ~ 2^э, Л? — £1 — 4^2 ~ —4^2 и долгому Л2 ~ -2rji. 6.43. и л — некоррелированные, но зависимые величины. 6.44. а) ~ 0,7886, 6) ~ 0,1574 6.45. Равенство устанавливается прямыми вычислениями 6.47. Указание. cov(q£ 4- <3, 7Л 4- й) = aycov(^, Г)). 6.48. У Казани е: при доказатезпхдве можно считать, без ограничения общности, что каждая из случайных величин £ и л принимает лишь значения 0 и 1 (задача 6.47) 6.49. Р(£ > 0, л > 0) $ Р(£ 4- Л > 0) = 1/г, Р(£ > О)Р(П >0) = 9/16 > 8/16 = = 1/2; следовательно, Р(^ > 0. л > 0) P(Ij > 0)Р(л > 0). 6.51. Указание: |а — Ь|$ |°- !/2| + |ь- 1/г| Ответы н указания 21 { 6.52. Нс иыцолияетси условие Д*’ Д®’ F(ar, у) > О (например, при <11 = — 1, t>i = 1, <iz = 0,6z — 2) 6.56. У капание Пусть F(i) — функция распределения случайной величины й(х) “ возрастающая функция, ЕЕ, = а, Е <;(£,) = Ь н хв — точка такая, что з(.т) - Ъ < О при I <1о и s(x) - Ъ > 0 при z > хо (существование такой точки хв нужно обосновать). Тогда оо со С°*(£. 9(5)) = j Iх ~ °)[sW - Ь1 rfF(x) = [ (х - хо) [$Ня] - Ь] dF(x) — — Со — оо *0 оо (z - То) [»(х) - б] dF(x) + f\x- То) [р(т) - 6) dF(x) 0. -оо ж0 Раздел 7. Многомерные распределения вероятностей 7.1. 1) Ет] = -I, Di] = 42, 2) Ет] = -4, Dr] = 30. 3) El] = 6. Di] = 314; 4) Ет] = 11, D1] = 126, 5) Eq - 4, Dr] = 33; 6) Ел = -10, Di] = 66. 7.2. -V2- 1. г 1/100 7.3. 1) Ет) = - ( А I 30 2)ЕЯ = 1( 31 ' 1 А \ 91 30 1 30 )’ 31 91 Г 1 где р =-------- п — 1 7.7. 1) Нет. не существуют; 2) да, существуют. 7.9. 18,875, 2 852 045 1 728 к 1 650 7.11. Доказывается методом математической индукции с использованием резуль- тата задачи 6.45 (см с. 133) 7.12. У капание ф^(х) = е 7.14. I] и £ - независимые и одинаково распределенные по закону /?(—!,]) случайные величины 7.15. .4 = 1/8 7.16. .4 — любое число такое, что |.4| $ ^/в, случайные величины г) и £ независимы попарно, но зависимы в совокупности 7.17. Указание, рассмотрите п--.мерные аналоги задач 7 15 и 7 16 7.20./k(f)=A^le-'’ (распределение Эрланга: см. задачу 6 30). 7.21. 1/д 218 Ответы м указания nJ, если Xi ^О.хз^О, 7.22. 1) /'*(»»,г21 ( 0 в остальных случаях. 2) . 7.23. i 7.24. Еь> = е = 2,71828.... 7.27. Геометрическое распределение с Л! и! ? . 7.29. 1----—- параметром р' = 1 — (1 — р)". 7.28. 1 7.31. Указание: если xt € {0; 1), то Р(£, — xlt £3 = х. Р(т+2? + ' +2? <Т + ^+ "+2?+ 2^) = 2* 7.32. = ТЛ(п + 1)- ГХ = ffltn + U(n-Tn) 2 12 7.33. D Q М « Д TpW, = (е v/D^y 7.34. Cj+fc_j 7.36. Если Л и В — ковариационные матрицы независимых случайных векторов £ = (£1,...Х„)Т и Т] = (т]1>-..,т]п)т соответственно, причем Е£ = Ет; = 0, то С — ковариационная матрица случайного вектора £ = ~ Ч| >- - • ^пЧл) 7.Зв. Вообще говоря, нет. 7.37. Да, будет. 7.38. Вообще говоря, нельзя. I Раздел 8. Характеристически» функции 8.2. Условия y>(t) = yi(t) я s₽(t) = у>(~ !) выполняются тогда и только тогда, когда ¥>(*) ~ ¥>(-*) 8.4. У Казани е; Resp(t) = Ecos(It), Imy>(t) = Е sin(X) 8.6. a) |(1 - e~’) s= 0,4323; 6) |(1 +|e~2) W 0,5677; в) 1(1 +e"e) « 0,4998. 8.7. Если ы = 0, to a — 1, Ь — любое; I если w / 0, то |5j a = 1. 8.8. Если IX < co, то DJj = Di), поскольку i) ~ — 1)- (Ax)n-1 1 8.11. f„(x) — -—rre-Xi (x 0) t- распределение Эрланга (задача 6.30, (n- 1)! дЗ । на с. 129) 8.12. y>(t) = /(х) ±= (распределение Лапласа). А в 2 8.14. ~ Л^(р; ° /п). 8.15. По зако! iy Коши с параметром а. 8.17. Е£ = 0, IX = 12. 8.18. й(-2; 2). 8.20. По биномиальному закону с па эаметром р. 8.21. 1) v>(tt, ха, та) = exp 1 [2tJ + 2т’ + Зт’ + 2тг т2 + т3]}, 2) ¥>1з(т,. т3) = ехр [2с’ + 3t| ч 4т,т3]3) = exp {-*’} ; 4) 4. Ответы н указания 219 Раздел 9 Многомерное нормальное распределение вероятностей 9.2. а) /(х) = ‘ е-1^; б) /(х) = 5v2tt vl38ir 9.3. 1) H(tj); 2) а) «0,768; б) «0,317; в) «0,016. 3) Лэ(х,*) = ехр ± [3(х + I)2 + S - 2(х + 1)Х 9.7. 1) « 0,9783; 2) х 0,9998, 3) 0,5; 4) аг 0,876; 5) аг 0,925; 6) аг 0. 9.8. 1) Да, всегда. 2) Да, может. 9.9. 1) а 0,921; 2) аг 0,726. 9.10. 1) аг 0,061; 2) аг 0,159. 9.12. 1) /(х,у)= ^ехр{-^(5ха-бхр + Зу2]}; 2) f(x,в) = exp [б(х - 30)2 - 6(х - 30)<У “ 50) + 3(р - 50)2]}. 9.14. 1) аг 0,727; 2) « 0,709; 3) аг 0,436; 4) аг 0,606; 5) аг 0,865; б) аг 0,471. 9.15. 1) аг 0,6321; 2) аг 0,8646; 3) аг 0,2325. 9.19. 1) 12р’ + 3; 2) 0; 3) 60р3 + 45р. 9.22. Jjg > ЭЧ(О- 9.23. J5(O < 3,«). 9.24. £ = -|(1) + 5). Ер - $)* = |; П = -5 - 5, Е(т) - I))’ = 3. 9-25- < = 1(Л +1), Ер - n = -1 + |^, Ер - 1))’ » ~ 9.27. «£) = -1 + Ь, А = 4(Л) = 1 - 1), Д = 2. О 4 3 1 9.28. Предпочтительнее оценка С(т]), поскольку Е p(rj) — 4j < Е р(§) — 9-29. /(г, ,x2,xs) = exp { - 1 [5(z, - 2)2 + 6(x2 + 3)2 + x2+ + 10(*, - 2)(x3 ! 3) + 4(xj - 2)xs + 4(za + 3)z3]J. 9.30. а) Нет, не однозначно; б) да, однозначно. 9.32. -1/7?, 1/75? 9.33. З/т^г. 9.35. 9.36. Нет, вообще говоря, неверно. 1.37. Указание Если E^rjp = х j — ах + Ь, то e[tj - (at, + fe)]’ $ E[n - (аЧ + b’)f цля любых а. Ь' 6 R Раздел 10 Предельные теоремы теории вероятностей 10.2. Указанная вероятность равна. 1) 2ФО(3) as 0,997; 2) 1 — е * и 0,982; 3) 1. 10.5. р 10.8. lim Р<| —1^0= lim Р {|И nfi} = Inn [ dF(x) = О 8 n-юо Цп| J n-toa n_*00l«|Jnc 10.9. У мазание. а) Р{ + П„) - Ч + П)| £ е} < Р{4„ - У > £Л} + Р{МП - П| > */?}; б) Р{ (<Ч„ +ЪЧп) - (<Ч + 4>П>| F{l^ 'И > f/2«} + P{h. -Ч| е/2ь} при ab / 0. 10.10. t,„ lj. 10.11. См. задачу 10.10. 10.12. 1) Верно; 2) верно; 3) вообще говоря, неверно; 4) вообще говоря, неверно 10.13. 1) Функция F‘(x) = О при х < О, 1 /2 при х = 0. 1 при z > О не является функцией распределения 2} £я » О. 3) 0. 10.14. 1) Функция /я(т) неотрицательна и нормирована. 2) Нет, не сходится. 3) Сходится, предельное распределение — К(0, 1) 10.15. 1) Р{|5„ - У > с) $ -» 0 при п -* 00. 2) Положите, например, 2о. 10.16. ЕЧ„ - а}1 = Е(£п - Е^)’ + (Е$„ - о)’ -» 0. 10.17. Е^ = р, С>| = — далее воспользуйтесь результатом задачи 10.16. 10.22. 1) Нет, не выполняется 2) Да, выполняется. 10.25. (—0,057, 0,057) 10.27. сх 5,13. 10.28. 1/2- 10.30. 1) 0, 1/2,1, 2) 0, 1. 10.32. » 0,74 10.34. n ft 1962 ~ 38 416 Оглавление Предисловие 3 Раздел 1 Дискретные случайные величины 4 Случайная величина и ее функция распределения 4 Общие понятия, связанные с дискретными случайными величинами б Равномерное распределение на конечном множестве 12 Распределение Бернулли....... 13 Bt(n; р) — биномиальное распределение с параметрами пир. 15 G(p) — геометрическое распределение с параметром р . 18 Энтропия дискретного распределения ... 21 Разные задачи . .... .23 Раздел 2 Распределения вероятностей, связанные с биномиальным распределением 27 Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения 27 Пуассоновский поток событий 30 Нормальная аппроксимация биномиального распределения 35 Разные задачи ........................................ 40 Раздел 3. Непрерывные случайные величины 42 Общие теоретические положения 42 JR(a; Ь) — равномерное распределение в интервале(а; Ь) 46 £(>) — экспоненциальное (показательное) распределение с параметром Л....................... 52 7V(p; сга) — нормальное (layccoacKoe) распределение с параметрами цис. 54 Функциональные преобразования абсолютно непрерывных случайных величин 61 Логарифмически нормальное распределение 63 Распределение Коши ... .... 64 Энтропия абсолютно непрерывного распределения вероятностей............................. 65 Разные задачи................ .............. ... 68 Раздел 4 Смешанные задачи на случайные величины 71 Моделирование случайных величин .... .71 Геометрическая интерпретация математического ожидания .... 73 Несколько примеров из теории надежности . . 75 Примеры исследования разрывных распределений . 79 Асимметрия и эксцесс распределения вероятностей 84 Разные задачи .... -.86 Раздел 5. Дискретные двумерные случайные векторы 89 Общие понятия, связанные с двумерными случайными векторами . ... 89 Дискретные распределения вероятностей в R3 ... .93 Формула полного математического ожидания . 103 Энтропия и информация . ..... . . 106 Разные задачи ...................................... 108 Раздел 6. Непрерывные двумерные случайные векторы 111 Общие понятия, связанные с двумерным абсолютно непрерывным распределен см вероятностей 111 Вероятность попадания случайной точки в заданную область - 119 Функциональные преобразования случайных векторов . . . 121 Суммирование независимых случайных величин . 127 Энтропия и информация . . . 130 Разные задачи............... . . . . . ... 132 Раздел 7. Многомерные распределения вероятностей 135 Общие понятия .... .... . . 135 Мультипликативное свойство математического ожидания . . 142 Абсолютно непрерывное распределение вероятностей в R" . 144 Вариационный ряд . 149 Разные задачи ... . . .... 151 Раздел 8. Характеристические функции 154 Определение и простейшие t войс гва 154 Метод характеристичен ких функции . . . . 159 Характеристические функции случайных векторов . . . 165 Раздел 9. Многомерное нормальное распределение вероятностей 166 Предварительные замечания.............. ... . 166 Определение и простейшие свойства нормального распределения вероятностей в R” 167 Двумерное нормальное распределение вероятностей . . . 175 Количество информации об одной случайной величине, содержащейся в другой случайной величине 184 Теорема о нормальной корреляции...................... . 186 Разные задачи........................................ . 188 Раздел 10 Предельные теоремы теории вероятностей 191 Неравенство Чебышева . . . . ... ... 191 Виды вероятностной сходимости . . .........193 Закон больших чисел................................. 196 Центральная предельная теорема . . ... 198 Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний) ... . 203 Литература 205 Приложения 206 1 Таблица распределения Пуассона . ... 206 2. Таблица значений функции Ф(х) . . 207 3. Таблица значений функции Лапласа . 208 Ответы и указания 209 Учебное издание План издания 2000 года, ПОЗ. 7 Кочетков Евгений Семенович Осокин Андрей Владимирович СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Редактор И.Б- Карякина Лицензия ЛР Л’021353 от 14 07.99 Подписано в печать 15 12 2000. Формат £0 х 84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура литературная. Печать офсетная Усл печ. листов 13,02. Уч.-изд. листов 14 Тираж 1000 (завод 1 — 500 экз) Заказ 141/7 Московский государственный авиационный институт (технический университет) 125871, Москва. Волоколамское шоссе, 4. Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии ООО «Микрон-принт». 103460. Москва. Зеленоград. 4 й Западный проезд, д 3. корн 1