Ю. Б. РУМЕР -г
СПИНОРНЫЙ АНАЛИЗ
ь
ОБЪЕДИНЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП СССР
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОВЩВТЕХВИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИИ
Москва 1936 Ленинград

ВВЕДЕНИЕ
Развитие математической физики повлекло за собой разра-
разработку и усовершенствование аппарата векторного и тензорного
анализов. Особенное значение эти методы приобрели с появле-
появлением специальной, а затем и общей теории относительности.
Четырехмерная инвариаитная формулировка уравнений Максвелла,
данная Минковским, дала наиболее простое и убедительное ^пред-
^представление о сущности прилципа относительности. Создание об-
общей теории относительности, пожалуй, оказалось бы невозмож-
невозможным, если бы своевременно не был разработан аппарат тензор-
тензорного исчисления.
Бесчисленные попытки создания единой теории поля тяготе-
тяготения и электричества, попытки, своей бесплодностью дискредити-
дискредитировавшие самую идею в глазах почти всех физиков современности,
повели к злоупотреблению методами тензорного анализа. Все
более и бол?е ясным стайовилось, что это «жонглирование
индексами» не может служить источником новых познаний о
структуре окружающего нас мира и ведет нас к голым, аб-
абстрактным спекуляциям, имеющим, возможно, чисто математиче-
математический интерес, но лишенным физического содержания.
Возникшая около десяти лет тому назад квантовая механика
переместила центр интереса физических теорий в области микро-
микромеханики. Классические теории поля, понимая под этим электро-
электромагнитную теорию Максвелла и теорию тяготения Эйнштейна, оста-
оставались замкнутыми в себе теориями, завершенными в своем разви-
развитии. Казалось, что методы тензорного анализа ограничены об-
областью классической физики и что им нет места в квантовой физике.
Положение, однако, резко изменилось, когда Дирак нашел
свою систему диференциальных уравнений для волнового поля
электрона, удовлетворяющую принципу относительности и во
многом сходную с системой уравнений Максвелла. В уравнениях
Дирака до конца доведено и разрешено открытое волновой ме-
механикой сходство в природе света и материи, и с этой точки
зрения уравнения Дирака представляют то же самое для мате-
материальных лучей, что уравнения Максвелла для света.
И тут впервые обнаружилось существование в природе физи-
физических величии, законы трансформации которых при переходе

4 введйнИе
от одной системы отсчета к другой отлнчиы от законов транс-
трансформации величин, встречавшихся в классической физике.
Начались бесчисленные и, как мы теперь знаем, заранее
обреченные на неудачу попытки описать эти величины при по-
помощи привычных ^векторов и тензоров. Становилось все более
и более ясным, что мы имеем дело с величинами sui generis,
не сводимыми к тензорным величинам.
В начале 1929 г. покойный П. С. Эреифест, умевший как
никто другой остро ставить назревшие вопросы, обращается
с письмом к Б. Л. Ван-дер-Вардену, в котором пишет:
«Если мы назовем те новые величины, которые обнаружились
в уравнениях Дирака, спинорами, то нельзя ли построить по
образцу векторного и тензорного анализов спинорный анализ, кото-
который смог бы изучить каждый физик, работающий в этой области».
Ответом иа письмо П. С. Эренфеста явилась небольшая ра-
работа Ван-дер-Вардена1), принципиально разрешавшая поставленную
проблему.
Как в свое время Мниковский переписал систему уравнений
Максвелла в тензорной форме, так что их инвариантность при
преобразованиях Лоренца становилась очевидной, так Ваи-дер-
Варден переписал уравнения Дирака в соответствующей спинор-
ной форме.
После работы Ван-дер-Вардена мазалось, что спиноры харак-
характеризуют волновое поле материи, а векторы — волновое поле света,
; что спиноры содержат в себе «хвантовое начало» и потому
j " естественно ие могут обнаружиться в классических теориях,
.] пренебрегающих квантовыми элементами.
й Поэтому большое значение имеет работа О. Лапорта и Г. Юлен-
| * бека *) появившаяся в начале 1931 г. В этой работе было пока-
М зано, что наряду с тензорной формой уравнений Максвелла,
Жданной Минковским, существует спинорная форма, в которой их
инвариантность при преобразованиях Лоренца столь же очевидна,
i Мы ввдим таким образом, что тензоры и векторы классиче-
i ской физики не являются величинами sui generis, а сводимы
к величинам спинорного типа. Оказалось, что математический
аппарат классической физики имел дело с производными вели-
величинами и упустил целый класс величин, характеризуемых в
настоящее время спинорами. Оказалось, что спинорный анализ
является первичным аппаратом, включающим в себя аппарат
тензорного анализа.
») В. L. van der Waerden, «Oottlnger Nachrichten», 1929, стр. 100.
S*)G. E. Uhlenbeck u. O. Laporte. «Phys. Rev.». Bd. 37,
стр. 1380, 1931.

ВВЕДЕНИЕ б
Кроне своего приложения к волновому уравнению Дирака,
айпарат спииорного анализа оказался полезным в совершенно
иной области физики,-а именно в квантовой теории химической
валентности.
Еще в прошлом столетии многим математикам и химикам
бросалось в глаза сходство в комбинаторике валентных штрихов
и аппарате алгебраической теории инвариантов. Студи (Study)
в разделе математической энциклопедии, посвященном теории
инвариантов, упоминает об этом и говорит, что «это сходство
возбудило необоснованные надежды сделать этот отдел матема-
математики плодотворным для целей химии», (^днако за последние
годы в связи с успехами квантовой механики и развитием тео-
теории химической валентности оказалось, что именно аппарат
спинорных инвариантов лежит в основе теории химической ва-
валентности ').
Настоящая книжка, насколько мне известно, является первой
монографией по спинорному анализу, появляющейся в печати.
Она рассчитана на математиков и физиков, знакомых с вектор-
векторным и тензорным анализом в той степени, в которой он изла-
излагается в учебной литературе.
Академия наук СССР
Физический институт им. Лебедева
Москва, март 1935 г.
») W. Heltler u. О. Rumer, «Zs. f. Phys.» 68, 12, 1931.
H. Weyl, cGottinger Nachrlchten», 193J, стр. 285, ibidem, 1931.
стр. 31.
О. Rumer, «Gottinger Nachrichten», 1932, стр. 337.
О. R u m e r, E. T e 11 e r u. H. Weyl, cGottlnger Naclirichten», 1932
стр. 499.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение Щ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
Комплексное векторное пространство G). Линейные преобразования A0).
Метрическое пространство A1).
ГЛАВА ВТОРАЯ
Элемеатараые сведения из теорнн групп A4). Представление группы.
A6). Неприводимые представления A8). Критерии неприводимости B1).
Система "гиперкомплексных чисел B1).
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
Группа бинарных преобразований B5). Спинорная алгебра B7). Пред-
Представления бинарной группы B9). Формула Клебша-Гордана C2). При*
ложение формулы Клебша-Гордана C4).
- ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
Группа Лоренца C6). Построение матрицы Лоренца при помощи
бинарной матрицы C8). Подгруппа пространственных вращений D0).
Подгруппа равномерного прямолинейного движения системы отсчета
D3). Группа Лоренца н зеркальное отображение D5). Группа седи-
нионов D7). Специальная задача E0).
-ГЛАВА ПЯТАЯ
Спинориый анализ E3). Уравнения Максвелла E4). Уравнения Макс-
Максвелла в спииорной форме E9). Спинтензор энергии импульса F3).
Уравнения Дирака F7). Уравнения Дирака для движения электрона во
внешнем электромагнитном поле G5). Законы сохранения G8).
ГЛАВА ШЕСТАЯ
Спининварианты (82). Система инвариантов (базис) (86). Нахождение
базиса для системы инвариантов (87). Операции с инвариантами (91).
Собственное значение н собственный инвариант-(ЭЗ).
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
Теория спмнвалентности (98). Симметрия молекул A00).

ГЛАВА ПЕРВАЯ
КОМПЛЕКСНОЕ ВДКДОРНОЕ. ПРОСТРАНСТВО
Комплексное векторное пространство л измерений определяется
линейными комбинациями
v=c1e1 + ctei+...+c,,e. * A.1)
я линейно независимых базисных векторов et, ё4 е„ с ком-
комплексными коэфициенгами cv cv..., ся.
Линейная трансформация А в векторном пространстве сопо-
сопоставляет каждому базисному вектору е, новый базисный вектор
и каждой линейной комбинации v базисных векторов е4 —соот*
ветствующую линейную комбинацию v' векторов ej:
22
i к
Коэфициенты аа, определяющие линейную трансформацию,
образуют n-рядную матрицу
Если в векторном 'пространстве выполнить одну за другой
две линейных трансформации — сперва А, потом В, где
,„-(:¦¦. v.H ¦*,-(?".г.Ч .

8 ГЛАВА ПЕРВАЯ
то мы получим:
Результирующая линейная трансформация С = ВА задается
матрицей
^коэфициенты которой определяются по формуле
<v-=2v,-i- 0-4)
У
В качестве примера векторного пространства рассмотрим со-
совокупность однородных подиномов в двух и трех переменных. -.
1) Совокупность однородных полиномов V(x, у) степени я
в переменных хну образует векторное пространство (л+1)
измерений
V( 1 .. ±сяу\ A.5)
• Базисными векторами служат (л + 1) мономов
Мы можем выделить из этого (я + 1)-мерного векторного4
пространства подпространство двух измерений, образуемое поли-
- номами V(x,y), удовлетворяющими уравнению Лапласа
Эти полиномы называются гарцоннческими.
Имеем:
Складывая оба выражения и написав результат слож|ния в виде *
однородного полинома степени (я — 2), мы получим: ,, *

комплексное векторное пространство 9
откуда следует, что (я+1) коэфициентов сщ, с, сл должны
удовлетворяться—1) уравнениям:
Л, = 0, Л, = 0, ..., Л-. = 0.
и мы имеем лишь два независимых параметра а, р, через ко-
которые могут быть выражены коэфициенты с,, с,, ..., ся гар-
гармонических полиномов.
Решение уравнений 4, = О легче всего удается, если поло-
положить
V(x, y) = (ax + by)*,
где a% + b% = Q. Как легко убедиться, V будет" при этих усло-
условиях гармоническим полиномом. Полагая а = 1, b = ±i, где
1=у*—1, мы получаем:
V» (*, у) = а (х + iy)" + р (х - iyf
двумерное "векторное Пространство гармонических полиномов.
2) Совокупность однородных полиномов степени / в пере-
переменных х,"у, г образует векторное пространство i
измерений
где
P
Размерность векторного пространства легко определить, если
написать V,(x,y,z) в виде:
Vt( r,y,z) = z4(xy) + г'\(хгу) +...+ i'/Ax,y) +... +/,(*,»,
где fr (jc, у) — полиномы степени г @ < г < /) в переменных ?, у,
каждый из которых содержит {т + 1) произвольных постоянных,
Общее число коэфициентов ср„ в полиноме V, (х, у, г) будет,
следовательно:
г=0
Гармонические полиномы степени / в переменных (х, у, г)
удовлетворяют уравнению Лапласа:
и образуют векторное пространство B1 + 1) измерений. В самом

/
10 ГЛАВА ПЕРВАЯ /
деле, написав условие ДУ=О в виде полинома степени (/—2)
мы получим для коэфициентов cnf уравнения:
¦тело которых равно:
A-2 + 1) A-2 + 2)_ 1A-1)
1-2 ~ 1-2
Число независимых параметров, через которые могут быть вы-
выражены коэфициенты ceitp, равно, очевидно:
Дли того чтобы выделить B/4-1) гармонических полиномов,
образующих векторный базис в пространстве 2/4-1 измерений,
положим
где
а» 4- Ь* + с" = 0.
Как легко видеть, такой полином будет гармоническим.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Две линейных трансформации:
х1' = а,,*14- «и** 4- •.. + а1н
[ (индексы A.8)
( наверху)
хп'=ая.х1+ ...+анях*
Уа =
(индексы
внизу) v '
или сокращенно

МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 11
переменных X1, yt в переменные х'1, у,' называются коитрагра-
диентиыми друг к другу, если при этом остается инвариантной
билинейная, форма:
или сокращенно
2 **y.=
Подставляя в A.9) выражения xv и y'it получим:
(
* « г г,* (
Сравнивая A.9) с A.10), получаем между коэфициеитами двух
коитраградиеитных трансформаций соотношение:
п — компонентная величина, которая трансформируется при по-
помощи матрицы ||аD||, называется коитравариаитиым вектором,
а величина, которая трансформируется при помощи матри-
матрицы \\ап\\, — ковариантным вектором.
МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Мы говорим, что в векторном пространстве задана метрика или
введено мероопределение, если при помощи матрицы G = ||?a||
установлена зависимость между ко- и коитравариантными вели-
величинами
или
причем детерминант матрицы G отличен от нуля.

12 ГЛАВА ПЕРВАЯ
Подставляя A.12) в A.9), мы получим билинейную форму:
которая при линейной трансформации A.8) остается инвари-
инвариантной.
С введением метрики пропадает различие между ко- и кон-
травариантными векторами, и остается лишь различие между
ко- и контравариантными компонентами одного и того же
вектора.
Обычно ограничиваются рассмотрением метрики с симметрич-
симметричным мероопределением, полагая git = gti- Между л* компонен-
компонентами матрицы линейного преобразования A=||ett|| устанавли-
я(я-Н) м
вается тогда ¦-. ' соотношений вида:
^gf,aitak,=g(t- A.13).
р.»
Независимых комплексных параметров, определяющих линейную
трансформацию, будет в этом случае уже не л', а
- я(я + 1)_я(я1)
¦г- П ТТ~- 1-2 '
Для наших целей необходимо, кроме векторного пространства
с симметричным мероопределением, рассматривать также и про-
I странства с антисимметричным мероопределением gtk=—gkt.
1 Между п% компонентами а1к матрицы линейного преобразования
устанавливается тогда ^—утт~ соотношений вида A.13), и число
независимых комплексных параметров будет в этом случае уже
i не л*, а
, я(я-1)_я(я + 1)
П Г2~~ 1-2 *
i
;' Поскольку мы находимся не в действительной, а в комплекс-
V- ной области, мы должны наряду с трансформациями А= ||а(>1| и

МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 13
As=||att|| рассмотреть комплексно-сопряженные трансформации
Величины, которые по ним трансформируются, мы будем назы-
называть комплексно-сопряженными векторами. Эти трансформации
алгебраически независимы друг от друга. В самом деле, обозна-
обозначая чертой действительные части и двумя чертами мнимые, мы
можем записать: . - .
х'=Лх —Дх", х'=А\ + Ах,
где _ _ ' _ _ »=
A=A + iA, х' = х'-и"х\ x = x + ix.
Это показывает, что оперирование л-рядными'Матрицами А и А*
в л-мерном комплексном пространстве эквивалентно оперированию
2л-рядными матрицами
/А + А* _/(А-А*)\
У (А-А*) - А + AV
в действительном пространстве 2л измерений.
В заключение рассмотрим линейное преобразование A=Ha4J,
для которого
А = А*.
Такое специальное преобразование называется унитарным. Под-
Подставляя в (I'll) alr = a*r, получим для коэфициеитов унитарного
преобразования соотношение:
Как легко видеть, это унитарное преобразование оставляет ин-
инвариантным билинейную форму
и определяется , независимыми параметрами.'

ГЛАВА ВТОРАЯ
ЭЛЕМЕНТАРНЕЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
Множество элементов О образует группу, если выполнены сле-
следующие четыре условия:
I. Каждой паре элементов к, Ъ однозначно соответствует «про-
«произведение» — элемент а-b, который также- принадлежит -а данной
группе."
II. Для произведения элементов действителен ассоциативный
закон
(a-b)-c = a-(b-c}.
III. Существует элемент е, обладающий тем свойством, что
ае=еа = а. Этот элемент называется единицей группы.
IV. Каждому элементу а соответствует некоторый другой эле-
элемент а' так, что аа' = а'а=е. Элемент а' называется обратным
элементом а и обозначается через а'1-
Группа называется абелевой, если a-b — b-a, и некоммута-
некоммутативной, если п'Ь^Ь'п.
Линейные трансформации в я-мерном пространстве с детерми-
детерминантом, отличным от нуля, образуют некоммутативную группу
с элементами
А = \\а„!\.
Прои&едение двух трансформаций есть опять линейная транс-
трансформация. Из
х' = Ах, х" = Вх'
следует:
х" = ВАх.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
15
В общем случае ВА ф АВ. Легко убедиться, что и остальные
трн требования для лннейных трансформацнй удовлетворены.
Перестановки из / предметов (например / аргументов функцнн)
образуют группу нз /! элементов.
Пусть Р— перестановка чисел 1, 2, 3, 4, 5, которая перево-
переводит 1 в 5, 5 в 4, 4 8 1,283, 3 в 2. Мы пишем в этом случае:
Я = A 5 4) B 3).
Это написание указывает, что Р есть произведение цикличе-
циклических перестановок. Цикл, состоящий' из перестановок двух пред-
предметов, называется транспозицией. Каждый цикл может быть
представлен в виде произведения транспозиций. Например
A54) = A5) E4).
В самом деле:
E4)/A54)=/A45),
A5)/A45)=/E41) =
A54)/A54)=/E41).
Поэтому каждую перестановку можно разбить на произведение
транспозиции.
Перестановки с четным чнслом транспозицнй называются четны-
четными; с нечетным чнслом транспозиций —
нечетными. Перестановки образуют не-
некоммутативную группу. Например,
A23) C4)/A234) =/,B341),
C4) A23)/A234) =/B413).
Группа вращений. В отлнчне от груп-
группы перестановок, "содержащей /I эле-
элементов, группу вращений в простран-
пространстве имеет непрерывное множество эле- Черт. i
ментов, характеризуемых значением трех
параметров a, (I, Y (например эйлеровских углов), определяющих
вращение. Групповые свойства вращения особенно наглядно вы-
выясняются при рассмотрении вращения шара. Пусть вращение
j

16 ГЛАВА ВТОРАЯ '
(я'. Р'« Y) переводит точку А на шаре в точку В, а вращение -
(а", Р", а") —точку В в С. Очевидно; что существует вращение ;
(а, Р, t), непосредственно переводящее точку А в точку С. Неком-
Некоммутативность группы видна из следующего примера (см. черт. 1):
вращение вокруг оси у на угол -г, а затем вращение на
угол к вокруг оси х переводит точку А через В в С. Вращение
вокруг оси х на угол и, а затем на угол -у вокруг оси у пере-
переводит точку А через В1 в С.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ
Если между элементами двух групп О и g удается установить
такое соответствие, что каждому элементу А из О соответствует
элемент а из g, так что произведению АВ соответствует произ-
произведение аЪ им соответствующих элементов, то обе группы назы-
называются изоморфными и каждая из них является представлением
другой. В случае если существует одно-одиозначное соответствие
между элементами групп О и g, мы говорим, что каждая из
них есть однозначное представление другой. Если элементу А
соответствуют два элемента а и а' в группе g, но каждому из
элементов а из g соответствует лишь один элемент из О, то мы
говорим, что группа g есть двузначное представление группы О,
но О есть однозначное представление группы g. Пример:
g= {'Jz |/n } образуетсв из квадратных корней всех положи*
тельных чисел, »
0={п\ образуется из всех положительных чисел, :.
Каждому элементу из О соответствуют два элемента из g.
Особую роль играют представления при помощи линейных
трансформаций в многомерном пространстве. Для получения этих
представлений надо установить такую связь между элементом
Группы а и матрицей линейного преобразования А, чтобы из
следовало

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ 17
где
т. е. произведению элементов группы соответствовало произведе-
произведение им соответствующих матриц.
Пример 1. Представление группы вращения в плоскости
известно из аналитической геометрии. Отнесем элементу af группы
(вращение на угол <р) матрицу
(cos<p sin<p\
— sin<p cos^p/
Очевидно, что в группе вращений произведению а? на а+ со-
соответствует элемент ат++:
cos (<р + -ф) sin (<p + ф)\
, — sin (ч> + ф)
Перемножая матрицы, получим:
(cosf sin 'f \ / cos<J) sin ф\ / cos(f-f<J») sin(<p-f ф)\
— Sin f COS<p/ \ — Sin ф COS(J)/ \ — Sin (f + ф) СО8(<р+ф)/'
т. е. действительно мы имеем представление группы вращения
в плоскости. *
Пример 2. Для группы перестановок из трех предметов мы
имеем шесть элементов:
A) A2) A3) B3) A23) A32).
Выберем за пространство представления трехмерное пространство:
(!)*!=*, A2)*! = *, A3)*!=*,
A)*,=*, A2)*,=*,
B3)*t=*, A23)*, = *, A32)*, = ^
B3)*,=*» A23)*, = *! A32)*, = *,
2 Сшшоршй шгали

t ' ' 18 ГЛАВА ВТОРАЯ
; Мы получим в качестве представления следующую систему
матриц:
О 1
(!)-[ 0 10 1; A2)-1 10 0 1; A3)-
B3)— -0 0 1 ; <123) —{ 0 0 1; A32)
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Пусть нам удалось найти систему я-рядных матриц, дающих
нам представление группы О, содержащей / элементов. Это зна-
значит, что в л-мерном пространстве нами определена система ли-
линейных трансформаций:
MJI м,||... \\Afi
где |!<44|| — матрицы линейного преобразования, соответствующие
элементу а, группы. В случае если мы имеем непрерывную группу,
зависящую от нескольких параметров (например группу враще-
вращений), мы будем писать:
!М(а, Ь Y)(I,
где а, р, Y пробегает все допустимые значения параметров.
Перейдем в л-мерном пространстве к новому векторному ба-
базису. Тогда вектор X при помощи -линейного преобразования
перейдет в новый вектор х'. Пусть зависимость х' от х выра-
выразится в виде:
x' = Sx, X = SMX',
где S — линейная трансформацня элементов базиса.
Посмотрим, как при изменении базиса будут трансформиро-
трансформироваться системы матриц А,, Аа, .. ., А^.
Мы имеем:
у = Ах,
откуда следует:
S-'y' = AS-'x';
умножая обе части слева на S, получим:
y' = SAS-'x'

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 19
Матрицы SAS~l и А называются эквивалентными. Так как выбор
базнса в л-мерном пространстве совершенно произволен, то, оче-
очевидно, н система матриц
SA,$-\ SA,S-«,.'..,SArS-«
будет являться представлением группы О. *
Может случиться, что при некотором удачно выбранном базисе
все матрицы представления группы окажутся ступенчатыми:
/AJ О
А'=(о А?
где AJ есть л'-рядная и А" — л"-рядная матрица, причем, конечно,
я' + л" = л. Мы говорим в этом случае, что представление А,
приводимо и содержит в себе два представления А! и А" нашей
группы О, оба составленных из матриц с меньшим числом рядов.
В случае, если дальнейшее разбиение на ступени невозможно,
мы говорим, что представление выредуцировано.
Покажем, что оба наши предыдущих примера представления
группы приводимы.
Пример 1. Вращение в плоскости х, у
х' = х cos <р — у sin <p,
у' = х sin f+ycosf,
\sinf cos'f/
Помножив второе уравнение на /, сложим и вычтем его из пер-
первого; получим:
(ЧУ)
При новом базисе х + iy и к — iy вместо х и у матрица А (<р)
будет иметь форму:
т. е. представление распадается на два однорядных.

20
ГЛАВА ВТОРАЯ
Из теории комплексных чисел мы знаем, что каждому враще-
вращению в плоскости соответствует умножение на комплексное число.
Пример 2. Покажем, что наше трехрядное представление
группы перестановок трех предметов распадается на однорядное
и двухрядное.
Если мы введем следующие линейные комбинации старых пе-
переменных: .
мы получим новую систему матриц:
0)=
'1! 0 0
A3) = [ О] 0-1); B3)
,0; -1 0
11 00
A23) = ( О! —1 1
О: -1 0
A32) =
которая также является представлением для нашей группы. Это
представление отличается от старого тем, что все матрицы в нем
ступенчатые. Мы можем поэтому выбрать и двухрядные матрицы
как представление нашей группы и получим:
<¦¦»
-(;;:)¦

КРИТЕРИЙ НЕПРИВОДИМОСТИ 21
КРИТЕРИЙ НЕПРИВОДИМОСТИ
Рассмотрим в пространстве л измерений непрерывную систему
матриц 2, являющуюся представленнем непрерывной группы А (а),
каждая из которых переводит вектор х в некоторый вектор у (а)
у(а)=Л(а)Х.
Покажем, что если для двух заданных пронзвольных векторов хну
всегда можно найти в системе матриц 2 такую матрицу А (а,),
которая переводила бы направление вектора х в направление
вектора у, т. е. чтобы имело место соотношение
то система матриц неприводнма.
Допустим противное, т. е. что мы можем выбрать базис так,
что каждая нз матриц А (а) распадается на две ступени порядка
п н и", причем п' + п" = п.
Выберем за вектор х такой вектор, у которого при новом
базисе лишь первые п компонент отличны от нуля.
Х = (х,, хг, ..., хн>, О, О, ..., 0) (вектор типа I),
а за вектор у —вектор, у которого лишь последние я" компо-
компонент отличны от нуля:
у=»@, .... 0, упЧи унЧ.2, .... ул,+л„) (вектор типа II).
Очевидно, что любая трансформация прн помощи матрицы, при-
принадлежащей к системе 2, будет переводить вектор х в вектор
типа I, и вектор у в вектор типа II, и мы никогда не сможем
найти матрицу, переводящую направление вектора X в направле-
направление вектора у.
СИСТЕМА ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ¦ ¦
Одним нз наиболее плодотворных приложений теории групп
является изучение систем гнперкомплексных чисел и представле-
представление этих чисел прн помощи системы матриц.
В качестве первого примера разберем систему обыкновенных
комплексных чисел вида а + ib. С точки зрения теории групп

22 ГЛАВА ВТОРАЯ
комплексные числа образуют группу О, элементы которой ха-
характеризуются двумя числами (о, Ь). Каждой пере элементов
(а, Ь) и (а', Ь) относится элемент (а", Ь'), называемый произ-
произведением элементов (а, Ь) на (а\ Ь'), причем
(a", b")=(a, b)(a\ b') = (aa'-bb', аЬ' + а'Ь).
Легко видеть, что группа комплексных чисел является переста-
перестановочной или абелевой группой.
Число (а, —Ь) называется сопряженным- числу (а, 6). Произ-
Произведению чисел (а, —Ь) на (а, Ь) соответствует число '
(а, -Ь)(а, 6) = (а' + ^,0).
Эгим пользуются для разложения суммы двух квадратов, на ли-
нейные множители . . ¦ *
Мы можем изображать комплексное число (а, Ь) символом
и рассматривать его как взктор в векторном пространстве двух
измерений. Базисными векторами будут в этом случае числа
A,0) и @, 1). Образуем произведения:
, 1),
@, 1L=-*A,0) + а@, It).
Мы заключаем отсюда, что умножению комплексного числа А
на A, 0) соответствует идентичная трансформация вектора А при
/1 0\
помощи матрицы! 1, а умножению на @, 1) —трансформа-
—трансформация вектора А при помощи матрицы [ ]. Эти две ма-
матрицы -дают представление элементов {1,0) и @, 1) группы ком-
комплексных чисел. Произвольный элемент А=(а, Ь) будет тогда
представлен матрицей:
0 1\ /а

1 СИСТЕМА ГНПВРКОМТТЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 23
Леп|р непосредственно проверить, что умножение матриц такого
вида эквивалентно умножению комплексных чисел
а Ь\( а> b'\_/aa'~bb'ab' + a'b\
-b a)\-b' aj ~~ \ab' + a'b aa'-bbj'
Обобщая понятие простого комплексного числа, мы назовем гн-
гнперкомплексным числом порядка А совокупность А комплексных
чМел а,, а, ak, A — {atat...ak), для которых определена
операция умножения, в силу которой двум гнперкомплексным
числам А' н А" однозначно относится третье числA А"' назы-
называемое их произведением: '
Одной нз наиболее важных систем гнперкомплексных чисел
являются кватернионы, представляемые матрицами:
\al—iat a, —a,/
Легко найтн правила доноження кватернионов,
/а, + а„ а, + fe,\ /% + bt, bt + /*,\ = /с, + ct, ct + icA
\at-и„ af~a3) \bt-ib%, b,-bj \ct-ict, c,-cj'
где
с, = а Д + a,*, + a^, + asft
Мы можем рассматривать кватернион Q = (аьах а%аг) как вектор
в четырехмерном комплексном векторном пространстве. Базисными
векторами в этом случае будут кватернионы
*,= {!,0,0,0|, 5,= {0,1,0,0}, *4={0,0,1,0), *, = {0,0,0,1},
представляемые матрицами ')
1 0
/0 1\ /0 /\ /1 0
^(i о)' Si==[-ioh 5s=(o-i
Изобретатель кватернионов Гамильтов пользовался вместо матриц
i, st, s3 матрицами «с, is,, ls2, /Sj.

|
24 ГЛАВА ВТОРАЯ
Легко убедиться, что группа кватернионов не будет абелевой.
В самом деле: ~
откуда следует, что <?'<?" ф Q"Q'.
Мы можем изображать кватернион по аналогии с простыми
комплексными числами символом
j где st, st, st, st играет ту же роль, что 1 и / в системе про-.
j стых комплексных чисел.
} Имеем:
Кватернион Q = (a0,—а,, — о2, —а,} называется сопряженным
кватерниону Q = {а„, о,, a.it а,}. Вычнслнм пронзведение QQ =
Вид квадратичной формы указывает на тесную связь кватернионов
с группой Лоренцу.
Однако, как мы дальше покажем (см. стр. 50),' с группой
Лоренца тесно связана более общая система гнперкомплекс-
ных чисел 16-го порядка (седннноны), частным случаем которых
являются кватернионы.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ГРУППА БИНАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Мы будем изучать комплексное векторное пространство двух
измерений, в котором при помощи билинейной формы
5У-6У " ¦ C.1)
задана антисимметричная метрика. Метрическая матрица G будет
иметь вид: .»
(<«<«) = ( ° Т ' C2)
Векторы в этом пространстве мы будем называть спинорами
х = E*, S1), у = (г,1, т]*) и рассматривать группу линейных пре-
преобразований:
СЭ-
> C.3)
Н
/'
C.3*)
оставляющих инвариантной метрическую билинейную форму*
Группу таких линейных преобразований мы назовем бинарной
группой. Число независимых комплексных параметров, опреде-
определяющих трансформацию, будет равняться
а число действительных параметров, будет 2-3 = 5.
Из условия
еУ-еУ'=бу-р.,«
легко найдем:

26 ГЛАВА ТРЕТЬЯ
I
и получим условие, которому должны удовлетворять коэфицие
ты о,.р, у, *
В дальнейшем мы будем сокращенно обозначать метрическую
форму через
Билинейная форма C.1) устанавливает в пространстве спино-
спиноров метрику, и мы можем определить ковариантиые компоненты
спинора,''положив:
[ху] = ?У -6У =1% + Рг„=gx,?rf, C.5)
где
Формулы для перехода от контравариантных компонент к ко-
' вариантным имеют, следовательно, следующий вид:
- ИЛИ I
>=' C.6)
/
Эти формулы дают нам возможность записать две линейных транс-
трансформации, контраградиентных к трансформациям C.4) и C.4*):
?П| + «%» ]

СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА 27
СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
( Как и в обычной тензорной алгебре, мы будем обозначать ве-
величины, которые трансформируются как компонента спинора,
через ах или ах A=1,2)?
Величины, которые трансформируются как компоненты комп-
комплексно-сопряженного спинора, мы будем обозначать для удобства
точкой над индексом. Вместо а*х или а* мы будем в дальнейшем
писать <2Х или ах. От спинвекторов перейдем к рассмотрению
спинтензоров, определив последние так, как это делается в обыч-
обычном тензорном анализе.
Мы назовем, спннтензором второго ранга четырехкомпонентную
величину а, ^ (к, ц= 1, 2), компоненты которой трансформируются "'
как произведения $.1]^ компонент ^спиноров. Вводя для сокра-
сокращения вместо слов: «трансформируются как» значок ~, мы можем
записать:
ач—Silt» ais~5,T)9, atl — ;/ц, an — 3/j».
Аналогично мы определим комплексно-сопряженный спинтензор
второго ранга, компоненты которого трансформируются как:
Кроме этих двух спинтензоров второго ранга, мы можем еще
определить комплексно-смешанный спинтензор, компоненты кото-
которого трансформируются как axi—Ьь^-
Комплексно-смешанный спинтензор не следует смешиаать со
смешанными компонентами простых спинтензоров, например
Переход от ковариантных компонент спинтензора к контрава-
риантным и смешанным легко осуществляется при помощи фор-
формул C.6).
Например:
а|Я=й — aj= —a*1, ati~a\=san и т. д.
Таким же образом определяются спинтензоры любого ранга.
Например:

28 ГЛАВА ТРЕТЬЯ
Как и в обычной тензорной алгебре, мы имеем здесь лишь
две операции: умножение и свертывание. Например, из двух
спиноров второго н третьего рангов: а\^ и Ь^ мы можем обра-
образовать спинтензор пятого ранга:
Суммируя компоненты, у которых X = v, мы получаем из него
тензор третьего ранга:
V Свертывая по индексу }i = p, мы получаем спинор первого ранга:
В спинорном анализе, как и в тензорном, мы условимся опу.
екать знак суммирования, если в формуле встречается два раза
один и тот же индекс внизу и наверху.
Заметим несколько правил, пользование которыми облегчает
операции с спинтеизорами.
1) Имеем:
[ху] = 4V + 6,ч' = tox = -гЛ,-5Ч,= -?x'u-
Следовательно:
^ = -?г|Х.
Как следствие вытекает, что для всякого спинтензора нечетного •
ранга:
axaxssQ, aV'jX(lV=3 0.
2) Как легко убедиться непосредственным вычислением:
' fab] [cd] + [ас] [db] + [ad] [be] * 0.
Переписав это тождество в тензорной форме, имеем:
ахЬЧ^ + a^d^b» + а^Ь^С» гз 0.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БИНАРНОЙ ГРУППЫ 29
Вынося ак за скобку, получим:
\ у sa О,
или; применяя первое правило
bhv-dy. + c^dy-by. + d^c^ г О,
или
+ b^dv- + bny? ем 0.
3) Так как бинарные трансформации C.3) и C.4) алгебраически
независимы друг от друга, в смешанных спинтензорах нет необ-
необходимости фиксировать последовательность пунктирных и не-
непунктирных индексов. Например: •
4) Если в спинтснзорном уравнении заменить все пунктирные
индексы непунктирными и наоборот, то мы получим комплексно-
сопряженное уравнение.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БИНАРНОЙ ГРУППЫ
Рассмотрим выражение:
'= lJW 1}^Г-=Ш1 № '+ &Г (V? + V)9)", C.7)
остающееся инвариантным, если спиноры х, X, у*, у* подверг-
подвергнуть бинарной трансформации. Раскрывая скобки и обозначая
f
Vr\ (v — r)l Vsl(v— s)!'
мы получим для инварианта / выражение:
.Г. C-9)
Величины /„ и /н мы назовем полнспинорами. Они трансформи-
трансформируются прн бинарной трансформации между собой прн помощи
(v + l)(v' + 1)-рядной матрицы, которую мы обозначим через D*

30 ГЛАВА ТРЕТЬЯ
а отдельные компоненты ее — через Dn>(r, s\\p, з). Подставляя
в C.8) выражения для ?х ?х r,i ц; в новой системе отсчета, мы по-
получим: .
'•' ) C.10)
)
причем нз C.9) следует, что матрицы Dn> и Dn контраградиентны
друг другу. •
В дальнейшем мы будем рассматривать симметричные в индек-
индексах спинтензоры с (и + 1)(i/1 + 1)компонентами, которые при бинар-
бинарной трансформации трансформируются как полнспиноры /., и у*
в||...|. 22...2, il'...i", 22'..А '^'/,•,1
I j - v — г г v — s s '
ell...Ii 22...2t ii... 1.22,..2
Каждой бинарной трансформации з
-GO
г соответствует в пространстве полиспинора от нее зависящая
трансформация
| Д.-(о),
[ причем произведению двух бинарных трансформаций з'з" соот-
• ветствует произведение Dn>(a')-Dn'(i") соответствующих транс-
трансформаций полиспииора. Мы имеем, следовательно, в системе
матриц Dxv> представление бинарной группы. Докажем теперь
основную теорему: представления D^(i) бинарной группы
< являются неприводимыми представлениями.
\ Мы можем рассматривать совокупность (v+l)(i/ + l) компо-
| нент полиспинора как базисные векторы в пространстве (v + l)
-, (v'+l) измерений. Каждый полином стгпенн v в переменных
f. S1^??' и степени v' в переменных г,*1!,*1»,*1!,*1 может быть
представлен в виде
^(х, х, у, у)=2 *«''¦'•
где аГ1 — система (v + 1)(о'+ 1) постоянных чисел.

' ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БИНАРНОЙ ГРУППЫ 31
Мы убедимся в неприводимости представления Д,- бинарной
группы, если докажем, что для любого базисного вектора /"
и любого полинома Р существует такое специальное преобра-
вование а,„ для которого имеет место соотношение:
где X — некоторое число.
Специальная бинарная трансформация А
о 0\ (a* ON
преобразует каждый моном /" в моном
/" _ a*-lr a*"' uj ".
Мы имеем следующие равенства:
(A — oe~1"-o*''-it'j/rr, = 0,
(Л - O-ir a4'')/?» = (a—2' a*"' - аг~2г а*"-1')^,.'
Вели мы теперь подействуем на полином Р последовательно
всеми (v+ 1)(и'+ 1) операциями (А - а«-2Р а**'-2') за исключе-
исключением одной операции (A — af-2r а*''~и), то он в силу сказанного
превратится в
ar, IT (a ~ir a*'1-** - a*'-*t a*'1 ~ *') f-,
р.»
где штрих у знака произведения означает, что пропущен член
Искомая трансформация в„, для которой
имеет, следовательно, вид:
р.»
где штрих означает, как и выше, что пропущен член с p = r, o=s.

I;
32 ГЛАВА ТРЕТЬЯ
Для множителя X имеем:
Х = а,..Н'(а-2'а*''-8'-а'
Так как очевидно, что надлежащим выбором числа а можно
всегда достигнуть, что все скобки в произведении будут от-
отличны от нуля, то наша теорема доказана.
ФОРМУЛА КЛЕБША-ГОРДАНА
Пусть нам заданы два полиспинора /,., и <рр„ трансформирую-
трансформирующихся при бинарной трансформации по Dn> и DKK>; составил
из них попарные произведения
^ггг, р« /г», Тро*
Совокупность N=(v + 1) (v' -\-1) (w + 1) («/ + 1) величин -транс-
-трансформируется при бинарной трансформации при помош.и N-мер-
-ного представления бинарной группы, которое, однако, не будет
неприводимым. Наша задача заключается в том, чтобы соста-
составить из N величин такие линейные комбинации, которые транс-
, формировались бы по неприводимым представлениям. Другими
' словами, мы должны в /V-мерном пространстве так выбрать новый
базис, чтобы трансформационные матрицы величин Ф'г,, f, оказа-
оказались ступенчатыми. Для решения этой задачи перейдем от по-
;! лиспиноров к спинтензорам:
Составим произведение:
'•. и симметризируем его в индексах X.. .pi, X'.. .pi' и индексах X.. .pi,
X. ..pi'. Полученная линейная комбинация
трансформируется как симметричный спинтензор
ПО

, ФОРМУЛА КЛЁВША-ГОРДАНА 33
Для того чтобы найти дальнейшие линейные комбинации,
свернем в C.11) по индексам X и X' и, получив
симметризируем его в оставшихся индексах.
Полученная линейная комбинация трансформируется как спин-
тензор
ПО
Мы могли бы также свернуть по индексам X и V и получить
линейную комбинацию трансформирующихся по ?),+»,,»+„'_».
Продолжая свертывание по двум индексам
Х«Х», |*-=jx%
по трем-индексам и т. д., мы придем, наконец, к линейной ком-
комбинации членов Фг,,^, трансформирующихся как спинтензор
т. е. по
Трансформационная матрица величин Фг,р, распадается, сле-
следовательно, на следующие ступени:
»—2, »» + »',
В таблице заключена формула Клебша-Гордана. Покажем на
примере, как ею пользоваться в приложениях.
3 Спннорный шиш*

34 ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ ФОРМУЛЫ КЛЕБША-ГОРДАЦА
Перемножим четыре компоненты спинтензора ац!
трансформирующиеся по Dn, попарно с четырьмя компонентами
спинтензора b?
' b\\ Ь\г Ьг\ bfi ,
трансформирующимися по Dlv и получим 16 величин вида а^Ьр.
Симметризируя в индексах Хр и ji, а, мы получим 9 линейных
комбинаций, трансформирующихся по DiX-
с-,1^ = а^Ьр-\- а^ЬиЛ- а\аЬ^ +а?;Ь)+, C.12)
cni\ = 4aiibn; си п = 2(ап Ьп + аи Ьп);
См п —
C\ t й = 2 (an 6jj + a
сгг n = 4aij bit, cn it = 2 (a^ bi% + a2i bit), C22 ii = 4ajj 6jj.
Свертывая по индексам X, p и симметризируя по индексам a
и pi, мы получим три линейных комбинации, трансформирующихся
по Do,t'
= 2(aii^ +atib\)
или переходя к ковариантным компонентам:
ci\ — 2 (a2\ Ьц — a
CJ2 = 2 (fljj b\2 — fll2 bji).
Свертывая по индексам а и pi и симметризируя по индексам

ПРИЛОЖЕНИЕ ФОРМУЛЫ КЛЕБША-ГОРДАНА 35
и р, мы получим три линейных комбинации, трансформирую»
ЩИХСЯ ПО Dtfi'
Сп ==2 (aii bh— ahbii),
Си = «2i b\i — aii bit + ait bh — ah bh,
i2 — oil bit).
Свертывая, наконец, по индексам а и jx, X и р, мы получим ин-
инвариант, трансформирующийся по DCi t:
Переходя от контравариантных компонент к ковариантным, мы
получим:
с = аи Ьгз — afi bn + a& bi\ — ац Ьъ\.
Итак, выбрав за базис 16 линейных комбинаций
сх^? 9 компонент
dy. . .' 3 компоненты
clv. 3 компоненты
с ... Л 1 компонента
мы редуцируем шестнадцатирядное представление бинарной группы
и оно распадается на следующие неприводимые представления;
Ог.г • • • девятирядное,
Д.,2 . . • трехрядное,
©2,о трехрядное,
Do,o однорядное.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ГРУППА ЛОРЕНЦА
Рассмотрим спинтензор a>.jl = a|ix с четырьмя компонентами
an» ai2, e/i, аг»,
которые при бинарной трансформации трансформируются как
произведения
т. е. по Dn представлению бинарной группы.
Составим детерминант
a. a .
и и
=(v«-v«>
и покажем, что он инвариантен. В самом деле, пользуясь пра-
' вилами для перехода от контравариантных компонент к ко-
| вариантным, мы можем записать:
Заметив, что а. =a. иа.=а. являются вещественными чи-
11 11 22 22
слами, a an — aji, aii~a[i комплексно-сопряженными, мы мо-
можем положить
DЛ)
i = ct + z, au=x + iy, \
Пользуясь правилами для переходов к контравариантным ком-
компонентам, мы можем записать наряду с формулами D.1)
"hl0'1!^"*' a*i = ~l2"l=l7T } D)
\

ГРУППА ЛОРЕНЦА
87
Для выражения -^а\р.ах* в новых обозначениях получаем:
I . ct + г x + iy t
•^а^а — x__iy ct—z ~C ~~x ~~У
Это выражение показывает, что при бинарной трансформации
четыре величины
= 2j(aii~ 021)
D.3)
преобразуются между собой линейно так, что остается инва-
инвариантной квадратичная форма
cV-je«-j,«-A D.4)
Такое линейное преобразование L
х' =
У' =
г' — l
1и х
с матрицей
1иг,
ltty + luz
L
D.3а)
D.5)
называется преобразованием Лоренца. Четырех компонентная ве-
величина а', которая трансформируется при помощи матрицы D.5),
называется контравариантным четырехмерным вектором
а* — ct, а1 — х, а%—у, а' — г.
Обозначая через а, величины которых трансформируются как
a,~ ct, at х, at -у, а, г,
мы вводим ковариантиые компоненты вектора. Преобразование
Лоренца оставляет инвариантным билинейную форму
а„6* + atbl + а,64 + а,*'.
Определеиие четырехмерных тензоров Tlk, Ttk и т. л.м правила
перехода от ковариантных к контравариантным компонентам мы
предполагаем известными читателю.

I; 38 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
';! ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ .[ЮРЕНЦА ПРИ ПОМОЩИ
| БИНАРНОЙ МАТРИЦЫ
1
;; Выразим коэфициенты матрицы Лоренца через коэфициент
;' бинарного преобразования. Для этого, воспользовавшись форму-
К лой D.3), выпишем характер трансформации координаты в новой
!¦' системе отсчета
Г; j
и подставим вместо ?х и ^ их выражения через ^ и 5j по г
формулам C.4) и 3.4*); мы получим:
Г + TT* + ««*) ct - (Y8* + «p* + If + |!i*) с +
- n*

ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ЛОРЕНЦА 39
+Pf) (*+oo - (т«*4-<
* + 7«* + «I*) «< + G?* + »*« + *«* + pf*) * +
Mj + (ff* -
+ (Ja* - ft*) (x + iv) + (af* - fa*) (ct - г))
~y I(M* - m (ct +*)
4- ДО* - fl*) (< _ iy) + (ff _ ««*) (ct -z)}~*
~ (J!* - pp* 4- ТГ* — ««*) c' + IP«* - *f* 4- «P* — f5*) jc 4-
+ i a«* - г-х*—«P* + т!*) у + («* - PP* —a* 4- *«*) z.
Матрица Лоренца выразится через параметры a, {I, f> i
дующим образом:

: i
40 ~ ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
н
I; Как легко видеть, все коэфициенты матрицы Лоренца вёщё-
;[¦ ственные и выражены через четыре комплексных параметра
,| о, Р, у, д, связанных условием:
>•¦ (о8 —уР) = 1. D.6)
's Число вещественных параметров, следовательно, равно шести;
['¦ давая этим шести параметрам все возможные значения, мы по-
I лучим все преобразования Лоренца.
j\ Проведенное нами исследование показывает, что:
М 1. Группа Лоренца является однозначным представлением би-
»> нарной группы, эквивалентным неприводимому представленню Di%.
:f- 2. Каждому преобразованию Лоренца L соответствует два
\[ бинарных преобразования, определяемых матрицами:
-а —I
I
Бинарная группа является, следовательно, двузначным представле-
представлением группы Лоренца.
3. Рассмотренные нами неприводимые представлення бинарной
группы /)п'(з) являются одновременно н представленнями группы
Лоренца, причем в случае четной суммы v + v' — однозначными
представлениями и в случае нечётной суммы v + v' — двузнач-
нымн представлениями группы Лоренца.
!|| ПОДГРУППА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ВРАЩЕНИЙ
Рассмотрим ту подгруппу преобразований Лоренца, которые
оставляют инвариантным время / и лишь трансформируют про-
странствеиные координаты х, у, г. Эта группа образует группу
пространственных вращений.
Из условия ct'=ct имеем:
Сопоставляя этот инвариант с инвариантом &,? + 5,?, заклю-
заключаем, что при бинарных трансформациях, представляющих группу
вращения, \

ПОДГРУППА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ВРАЩЕНИЙ 41
Периода к матрицам соответствующих преобравований, имеем:
/а р\ / 8' -П -.
-1т«Н-г «-Г*
т. е.
Мы получаем, следовательно, пространственное вращение, если
среди бинарных трансформаций ограничимся унитарными транс-
трансформациями.
Мы можем написать унитарную бинарную матрицу- в общем
виде следующим образом:
Г
где X, jx, v, р — четыре вещественных параметра, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию:
Выразим матрицу Лоренца D.6) для специального случая про-
пространственных вращений через эти четыре параметра:
10 0
0 Х«-4-р*—^ — pl" 2(цХ—vp) "
О—42(|iX + vp) Xa 4- v* — ца — р1
О 2 (jxp — Xv) 2 (Хр 4- Jav) Xe + |i" — v* — р".
D.7)
Четыре вещественных параметра X, pi, v, p, определяющие эле-
элементы этой матрицы, называются параметрами Кэли (Cayley).
Частные случаи.
I) Вращение вокруг оси г на угол <р.
Полагая
получим:
*' = (X1 — ji*) x + 2]йу = х cos (p + У sin (p,
У — —

я
49 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
2) Вращение вокруг оси у на угол в.-
Полагая
v==sin -j-, p = 0,
получим: ,
z'= — 2Ьх + (\* — v*)z= — х sin в + г cos 6.
3) Вращение вокруг оси х на угол, ф.
Полагая
X = cos-|, pL = O, v = 0, p==sin-|,
получим:
У = (X* — р') у + 2Xpz = у cos ф + z sin ф,
— р*) z =_у sin ф + z cos ф.
Рассмотрение этих трех частных случаев дает непосредственно
геометрическое значение четырех параметров:
где в — угол, на который вращается система координат Ъри j^
вращении (X, ц, v, р), , \
ft '
" 2) ji = sin-2- cos^t, !
3) v = smT
N 4) p = sin-_
(г
f'' где Xp X»> Xe — углы, образуемые осью вращения с осями коор-
координат.
Таким образом мы установили вид матрицы бинарной транс-
трансформации для любого пространственного вращения системы
координат.

ПОДГРУППА РАВНОМЕРНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
43
ПОДГРУППА РАВНОМЕРНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
Специализируем теперь бинарную трансформацию так, чтобы
соответствующая трансформация Лоренца представляла переход
к новой системе отсчета, двигающейся по отношению к старой
со скоростью, характеризуемой по величине и направлению век-
вектором V.
Рассмотрим бинарную трансформацию, определяемую ма-
матрицей
о =
/ P
\v — if \ — ]i/
где X, }i, v, p — четыре вещественных параметра, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию:
11 V 'P =\% — jis — v* — р*-=1.
v — /? X — }i
Выразим матрицу Лоренца, представляющую эту бинарную
трансформацию, через эти четыре параметра:
\
2vX
2pX
2цХ
2Xv 2Xp 2Х»1
ij-j-v4—p* 2vp 2vpL
2pv Xе—jif-vf+p* 2pji
D.S)
Частные случаи.
1) Движение вдоль оси z со скоростью vt.
Полагая
= ch|-,
|, v = 0, p = 0, vt =
получим:
ct' = (Xs + ]]}) ct + 2\уя s= ct ch <p + z sh tp,
z' = 2\]i ct + (X* + ji*) z = ct sh у + z ch tp.
2) Движение вдоль оси х со скоростью г>х.

44 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
Полагая
= chy, > = 0, v = shy, p = 0, T>e =
получим:
3) Движение вдоль оси у со скоростью vg.
Полагая ' :
X = ch|-, }i = 0, v = 0, p = shi, ff = cth(J), f
получим:
с/' р= (X* + р») с/ + 2Хру=с/ ch <J> + >» sh ф,
Рассмотрение этих трех частных случаев дает непосредственно *
кинематическое значение четырех параметров: *
где \v\ =
2)
3)
4) p y
где xl( х„ ^, — углы, образуемые вектором v с осями координат.
Таким образом мы установили вид матрицы бинарной транс-
формации для случая прямолинейного движения системы отсчета.
Заметим, что в матрице Лоренца элемент ?м
} существенно положительная величина. Поэтому мы получаем
лишь те преобразования Лоренца, которые не меняют направле-
направления времени. Если рассматривать группу Лоренца как представле-
представление бинарной группы, то это ограничение появляется само собой.
Если же, как это делалось раньше при изложении принципа
относительности, например у Минковского, исходить из группы
Лоренца, то ограничение Li% > 0 приходилось вводить как допол-
дополнительное, отдельное условие.

ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 45
ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Принцип относительности требует, чтобы диференциальные
уравнения, формулирующие законы природы, были инвариантны
при преобразованиях Лоренца, не изменяющих- направления вре-
времени. Не менее важным требованием к уравнениям, выражающим
законы природы, является требование инвариантности уравнений
при переходе от правой системы декартовых координат к левой,
получаемой путем перехода от
ч»
х — -х, у-*~у, г —-г.
Эту операцию называют отображением в начале координат,
и свойства уравнения оставаться инвариантным при этой замене
называют инвариантностью при зеркальном отображении
(Spiegelungsinvariant).
Например, утверждение, что магнитное и электрическое поле
направлено в одну и ту же сторону, не обладает этой инвариант-
инвариантностью. Если в правой системе координат оба направления со-
совпадают, то в левой они будут противоположны.
Если мы назовем совокупность всех преобразований Лоренца,
не меняющих направления времени, плюс преобразование зер-
зеркального отражения, полной группой Лоренца, то от уравнений
математической физики надо требовать инвариантность, при пре-
преобразованиях полной группы.
Присмотревшись к формулам D.1) и D.2) мы замечаем, что пере-
переходу от х,у, г к —х, — у, —г в спинорах соответствует переход
к контраградиентно-сопряженным компонентам по формуле
Как мы видим, операции зеркального отображения в бинарной
группе не соответствует линейное преобразование, и мы, следо-
следовательно, не в состоянии представлять полную группу Лоренца
при помощи бинарных трансформаций.
Для того чтобы представить полную группу Лоренца при по-
помощи линейных преобразований, поступим следующим образом.

I
46 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
Образуем четырехкомпонентную величину, которую назовем
биспинором и компоненты которой обозначим через ф,, ф4, ф,, фг
Пусть при бинарной трансформации первые две компоненты
трансформируются как
а вторые две компоненты—как
При бинарной трансформации а ( А компоненты биспинора
трансформируются при помощи четырехрядной матрицы
Операция отражения выразится в компонентах биспинора сле-
следующим образом:
т. е при помощи матрицы
D.10)
Система четырехрядных матриц D.9) и D.10) дает нам неприводи-
неприводимое представлеиие полиой группы Лоренца. Если мы ограничимся
подгруппой простых преобразований Лоренца (исключим опера-
операцию отражения), система матриц распадается на две неприводи-
неприводимые системы двухрядных представлений.

ГРУППА СЕДИНИОИОВ 47
Итак, мы получили следующие формулы для трансформации
биспинора:
1) Пространственное вращение системы отсчета
X + iji v + /р О О
— ^ + i? X —/> О О
О 0 X + iji v + ip
О 0 —v + i? X — ijj
2) Равномерное движение системы отсчета
'Х +pi v + ip О О
V —i? X —pi О О
О 0 X-pL -V-/J
О О —v + ip X + pi
3) Отражение в начале координат: матрица D 10).
ГРУППА СЕДИНИОНОВ
Заметим, что все коэфициенты Llk матрицы Лоренца являются
эрмитовскими формами в четырех переменных а, р, Y. &• Выпи-
Выпишем матрицы этих эрмитовскш, форм. Например:
'1 О О 0\ /0—100'
О \ „, „ / — 1 О О О
о) ||?"||=1 о о о-: |ит-д>
\1 V о о —1 о-
Мы получим 16 матриц, которые мы в соответствии с коэфи-
циеитами матрицы Лоренца обозначим через Е(к. Все эти ма-
матрицы легко выражаются через следующие две системы матриц:
о,=
0
__ 1
0
0
— 1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
—
—
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
— 1
0
\
)
)'
1

!!
48
и
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
Ро =
при помощи формулы
Относительно этой системы матриц легко показать, что она
обладает следующими свойствами:
1) Все матрицы я, перестановочны с матрицами системы р4
2) Матрица каждой из систем удовлетворяет следующим со-
соотношениям:
I •¦
кг У
PsPi='P», Vi = '3»- /
я
Это соотношение показывает, что каждая из систем матриц a t
н р4 эквивалентна базисным матрицам 5, системы кватернионов ?
и мы можем ваписать кватернион Q в трех формах:
Q = «Л
Q = atat
+ stat,
Воспользовавшись этим, мы найдем удобный 'способ изучать
группу сединнонов.

группа сёдинионов 49
Базисными матрицами в 16-мерном векторном пространстве
будут 16 матриц Ett, которые мы расположим в квадратную
систему:
оо Eoi Ео» Ео.\ А>Ро °oPi 3оР» зор
ю Еп Е» Ei8 |_[.°|Р, 'iPi 'iP* з,р
Ei0 Е« Е» Е*8 I I '»Po '«Pi 34p, J,0,
^80 Е81 Е8« Бв»7 Ч '
Рассмотрим систему гиперкомплексных чисел 5=(а,...
Мы можем каждый из сединионов записать в виде:
где 4
А = aojo + a,3t + fl^jj + <v,,
В = Vo + *Л +*»'* + *•»!•
С = созо + с,з, + с,о, + с,?,,
— обычные кватернионы. Так как p<54 = JtpJ, то матрицы A,B,C,D
перестановочны с матрицами р4, и мы можем также писать:
Число S= [А, —В, —C, — D) называется сопряженным числу
5= {i4,fl,C,D}. Вычислим произведение SS=SS. Имеем:
4 Спиморный «нали«

50
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
I !
it
Ir.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА
В заключение сопоставим в таблице формулы, связывающие
компоненты четырехмерного векторгс компонентами спинтецзора
«и
«1»
~e' — fa2
в,
a»
— iat
at
ei»—eo_
aii e,
ei2
«*»
«*'
в22
в1_/в»
-«• + «»
и решим необходимую нам для дальнейших приложений следую-
следующую основную задачу:
Найти 16-лииеЙные комбинации из 16 компонент тензора
второго ранга Та, которые трансформировались бы по неприво-
неприводимым представлениям групп Лоренца. Запишем Тл'^х(ук и
перейдем от векторов х* и >* к спиитензорам а\^ и Ь,-?.
На стр. 34 мы уже решили аналогичную задачу для спиитеизора
ау^Ьор, соответствующего тензору Ttk. Мы можем воспользоваться
готовыми формулами и перейти от спиноров к обычным векторам.
По Dn трансформируются девять величии:
с nii Спи
D.11)
Подставляя вместо спиитеизоров их векторные выражен ш,
получим:
с i2j. ~ 2
t ^8
с ~ 2 {(jc« + te«)(У -У) + (ж* - jc>) (У + /У),
cnil ~ 4 {^>-t*«)(y-//)},
{5 ~ 2 { G10 + 71" - 7» - 7") - / (Л« + Г03 - Г48 -

СПЕЦИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА 51
Перемножая эти выражения и переходя к тензору Тл, получим:
с ¦ ~2 {(Г» + 7" + Т" + T")+i(Tn+Tu + 7" + Г")},
!
с'*" ~ 4 {Г*° + Г" - Г"- Г"}.
По Dt, трансформируются три величины:
сц ~ 2 {(ж* - ix«)(/ +^8) - (** + Jt1) (З'1 - (У1)), 1
К/lt9,
+ (^-^)(у + ^)-(^ + «*)(У-'У)}, { Л2)
си ~ 2 {(*• - *•) (з/1 + /у*) - {х1 + ix*) (у* -/)). J
Перемножая эти выражения и переходя к тензору Тш получим:
1)+/(-Г°-Г*»+Г*Ч^*)}Л
- Г")}, }D.12а)
)
Наконец, Лпя инварианта с мы получаем:
с ~ (*• + х3) (у* -У) - (дс1 - ic«) (У + /У) +
Перемножая эти выражения и переходя к тензору 7*, получим:
Если тензор симметричный 7* = 7*' = 5**, то, как легко видеть,
все линейные комбинации, трансформирующиеся по Ц,>0 и Dt,.,t
тождественно равны нулю, и мы имеем лишь линейные комби-
нации, трансформирующиеся по .?>„ и ?)„.
С,й-4 {5м+ 5»' +25м)
D.13)

52
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
Если же тензор антисимметричный 7 " = — Ти = А'к, то все ли-
линейные комбинации, трансформирующиеся по Ditt и />„,,, равны
нулю, и мы имеем:
D.14)

ГЛАВА ПЯТАЯ
СПИНОРНЫЙ АНАЛИЗ
Перейдем теперь к исследованию систем линейных диферен-
циальных уравнений, определяющих величины спинорного типа,
которые остаются инвариантными при бинарных преобразованиях.
С этой целью рассмотрим четырехмерный диференциальный
оператор градиента с компонентами
д_ _д_ д J_
cdt' дх' ду' дг
или
¦ _д_ J_ J_ J_
дх*' дх*1 дх*' дх*
и сопоставим ему спинорныв оператор. Так как градиент является
ковариантным вектором, то переход определится следующими
соотношениями:
д д > ' гд , .
С помощью этого оператора мы можем образовывать диферен-
циальные выражения, инвариантные при бинарных преобразова-
преобразованиях, например:
дк&, di^, дх^'
и т. д.
Специально мы можем образовывать инвариаитные выражения
вида:
ёх?1 ш \<*дхп dr« ду*

54 ГЛАВА ПЯТАЯ
В самом деле, сопоставляя вектору а' спинтензор
тору --j спинтензор д\^, мы имеем:-
и век-
или окончательно:
Аналогично найдем: для оператора [J (четырехмерный оператор
Лапласа)
д*
В качестве наиболее важных примеров применения спинорного
анализа рассмотрим уравнения Максвелла и Дирака.
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Нашей целью является показать, что система величин и -урав-
-уравнений, определяющих согласно теории Максвелла электромагнит-
электромагнитное поле, может быть записана в спинорной форме. Для этого
прежде всего напомним основные уравнения электромагнитного
поля в их обычной векторной и тензорной записи.
Система линейных диференциальных уравнений Максвелла опре-
определяет шесть компонент напряженности электромагнитного поля
при заданном распределении плотности зарядов р н токов j
дНш дН, 1 дЕх 4« .
дг ду "~~F dt T^B
дН,
~дх
дНх
дг
1 дЕ,
~с~Ш~
^У дх
дЕт дЕ„ дЕ,

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
.55
ИГ
дЕ. дЕг \дН„ __
17—дТ + 7 dt
дЕх дЕ, , 1 5W.__ft
«Эл:
(II) E.4)
систему уравнений в сокращенной век-
^?-0 1
с*" ' } E.4)
divH = 0. )
divE = 4itp, )
т Г компоненты тензора Максвелла .
Обозначая через Т„, /,,»••_• Ли ч
E.5)
через
Г„ Г,, Г, - компоненты вектора Пойнтинга
±
и через Г-плотность энергии
мы получаем как следствие системы уравнений Максвелла закон
сохранения энергии:
дТ дТх дТу дТ,

56
ГЛАВА ПЯТАЯ
. I.
i
закон сохранения импульса:
1 дТх дТы д!
дТх,
71Г
~ду~
дГ.и
' дг
E.7)
закон сохранения электрического заряда:
E.8)
Для того что"бы усмотреть инвариантность уравнений Максвелла
при преобразовании Лоренца, мы можем, следуя Минковскому,
переписать их в. четырехмерной тензорной форме.
Обозначим координаты х, у, z и время ct через
X , X , ДГ, X ,
компоненты тока — j и плотность 4тср через
о1 о" {М о*
Введем антисимметричный контравариантный тензор второго
ранга Fut компоненты которого определены схемой:
О
О
1
-Ен и. о -я,
-Е.-Н, Нх О
E.9)
*, F\ F») или H-{Fn, f", F").
Переходя от контравариантных компонент к ковариантным
компонентам, мы получим:
1
О -Е-~,
Ех 0 -i
-Е.
О —i
?.-Я„
или Н=

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
57
В этих обозначениях система уравнений Максвелла перепишется
в следующем виде:
dx« + дх
dx» + dx'
dF»
Ufi'
» =s*
E.4a)
dx» T dx«
В сокращенной тензорной форме эта система может быть запи-
записана так:
Для интегрирования диференциальных уравнений Максвелла
удобно ввести в качестве вспомогательных величин скалярный
и векторные потенциалы <р и А, через которые выражаются на-
напряженности Е и Н электромагнитного поля
H = rotA, E= — grad<p -^-. E.10)
Подставляя эти выражения для Н и Е в уравнения
|^ = 0, divH = O,
мы замечаем, что они тождественно удовлетворяются. Подставляя
их в уравнения

58 ГЛАВА ПЯТАЯ
мы получим для if и А следующие уравнения второго порядка:
чения:
1<?А_ A_^_4_i
. с* W дх» ду* . дгз ~ **'
В четырехмерной формулировке Минковского мы вводим обозна-
обознаи получаем для системы уравнений E.10) -в четырехмерном Г
обозначении:
В четырехмерной формулировке Минковского тензор Максвелла ?
7"„, Т„ , вектор Пойнтинга Тш и скалярная плотность энергии Т
объединяются в четырехмерный симметричный тензор энергии
импульса: • -
* ** **' +
f -г f
= I **' »»' *'' *'
где
i\=F)Fl-jb\F,tF°>. E.5а)
Законы сохранения энергии и импульса формулируются следую-
, щим образом:
'г
; а закон сохранения электричества:
J
E.8а) J

УРАВНВННЯ МАКСВЕЛЛА В СПИНОРНОЁ ФОРМЕ 59
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В СПИНОРНОЙ ФОРМЕ
В предыдущей главе мы показали, что из шести компонент
антисимметричного тензора /***=:—Fu можно составить шесть
линейных комбинаций:
Л|1 = /ми /|iX= I 'in /it» /и } »
/>|1=Ла, /x"|i= {/ii, /ii, /й } »
трансформирующихся при бинарных трансформациях по Du
и Dtt. Мы можем прямо в формулу C.18) главы III подставить
выражения компонент электромагнитного поля t
и получить спинорные выражения для компонент элек^омагнит-
ного поля
/„¦={ Я» + P>)+l[F» + F"} = [Fn + Flt
Выражения для fa получаются из выражений для Д^ заменой i
на —/.
Выравим теперь, воспользовавшись соотношением
величины /х^ через производные от компонент вектора потен-
потенциала <р(. Получим:
J"~\dx*
дх*(^1\дх* дх^дх* Ах*/»
дх2 дхЧ

'
'¦Л
60 ГЛАВА ПЯТАЯ
В выражениях для /,, и /и легко перейти к спинорным вели-
величинам, если их переписать в следующем виде:
1
откуда получаем: •
/и = —дй Ы + дА fii = <Vi <р[ + fa <р{ = а1Х (pj,
4 <?2j <pj =
Мы предоставляем читателю непосредственным вычислением про-
\ . верить, что для fu имеет место следующее выражение:
/и = 4 { *i ?i + d" «Й + ^i «Pi + fa <pj} =
Мы получаем окончательно в спинорной форме соотношение E.10) k
в виде:
В тензорной формулировке из
следует, что следующая система четырех уравиений тождественно
j .. равна нулю:

V
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В СПИНОРНОЙ ФОРМЕ 61
Покажем, что в спинорной формулировке этой системе уравнений
соответствует система *
В самом деле, подставляя выражения для /• и /', получим:
*А (*Ь Г + *'?«)- Ъ.(*>УГ' + * rf) =
= (Ai 0 j, Г' - <*й «^ Г) - (*1 * ^ - д;. д\ ц,{).
Рассмотрим первую скобку. Меняя во втором члене обозначе-
обозначения з—«р, р—• з, мы замечаем, что скобка равна нулю. Путем
непосредственного расчета убеждаемся, что и вторая скобка
равна нулю.
Вторая система уравнений Максвелла запишется, следова-
следовательно, в спинорной форме следующим образом: ""
Для получения первой системы уравнений Максвелла
в спинориой форме воспользуемся несколько иным методом, чем
в предыдущем случае, — методом, непосредственно вытекающим
из самой сущности спинорного анализа.
Величины /X1i и fyy. трансформируются по Dto и Do.*', опера-
операторы д\[,. трансформируются по Дл.
Составим произведения д^/,,, и дь/о"Р и образуем из них ли-
линейные комбинации, которые трансформируются как компоненты
спинтензора тока s>^, т. а. по Duv.
Рассмотренный • нами в главе IV метод позволяет непосред-
непосредственно написать:
Для того чтобы заменить знак ~ знаком равенства, выпишем,

62 ГЛАВА ПЯТАЯ
I
t I
воспользовавшись уравнением E.11), одно из этих уравнений,
например: ^ ^
- / ¦
*• Н- *• — *il — dii/ *
— (— - — ) IF*3 + iFtl ] =
откуда получаем окончательно:
СПИНТЕНЗОР ЭНЕРГИИ ИМПУЛЬСА
к Рассмотрим спинтензор /ьСр, соответствующий тензору Тл,
if. следующим образом составленный из компонент спинтензоров
) | . электромагнитного поля /^ и Д^:
Выделим из него антисимметричную часть, т. е. составим те
¦с линейные комбинации, которые трансформируются по Dt,o и Dot.
{{ Получаем:
"? I •
по Dt,o трансформируется ^ =/X|l/v. =0
Тензор 74* будет, следовательно, симметричнын тензором. Обра-
Образуем инвариант, трансформирующийся по Д>,о, и получим;
/ь = Л/:=0,
т. е. инвариант 71 тензора Tik будет равен нулю.

СПИНТЕНЗОР ЭНЕРГИИ ИМПУЛЬСА 63
Симметричный тензор 7'* имеет 10 компонент 7й = 7*', свя-
связанных условием 7{ = 0. Независимых величин, определяющих
тензор 7'*, будет, следовательно, 9, из которых можно соста-
составить комбинации, трансформирующиеся по А,з- Выпишем в явном
виде компоненты спинтензора
/hii'i /i j j а 'пй\
Vi 'jail
/nii = (?//,- ?,f. + H.ff.+H.Et)+i(H.Ht- HtEs- HxEt-EtEt\
'im = (f.f.+ f.//,- Я,?,+ //Л)+' №?«+ ".% + Bf- H,HU)S
tuii =t&, -¦&. + HI ~ Ш) + i(f*sEx + HtEm + H,Be + H,??),
=(E,Ht- E.B.+ HtH,+ HtEy)-i(H,Ht-H.Et-HtE-E$E,),
=(?.?,+ E.H,-HtE,+ H,Hm)-i(H.Ex + H,fft+ E,Et-H.HJ,
t + HJEt + H,E, + HfEt).
Найдем теперь систему диференциальных уравнений, которым
удовлетворяет спинтенаор t^, и убедимся, что он соответствует
тензору энергий — импульса в четырехмерной формулировке Мин-
ковского.
Запишем систему уравнений Максвелла и систему комплексно-
сопряженных уравнений:
Помножив первую систему на f°- , а вторую на /f и сложив,
получим:

64 ГЛАВА ПЯТАЯ
При помощи второй системы уравнений Максвелла преобразуем
дважды подчеркнутые члены:
м получим:
или окончательно:
Это уравнение является выражением, в спинорной форме, пон-
i j дермоторного действия электромагнитного поля на вызывающие
, его заряды и токи.
\ Спинтензор
соответствует четырехмерному тензору энергии импульса. Вцра.
жение
дает в спинорной форме выражение для четырехмерной силы
Лоренца
Проверить этот результат непосредственным вычислением предо-
предоставляем читателю.
Уравнения Максвелла остаются инвариантными, если вместо
потенциалов <f, ввести потенциалы
где Л —произвольный скаляр. Поэтому можно условиться норми-
нормировать потенциалы f, так, чтобы соблюдалось условие Лоренца:

СПИНТЕНЗОР ЭНЕРГИИ ИМПУЛЬСА 65
Убедимся, что выражение
инвариантно, если вместо потенциалов <fxji ввести потенциалы
В самом деле, имеем: .
Но оператор, стоящий в скобках, тождественно равен нулю:
hi dj. + dfi д{ = д& d» - а* дй = О,
и следовательно,
Заметим, что, комбинируя первую и вторую системы уравне-
уравнений, мы можем писать первую систему в виде:
Если пользоваться нормированными потенциалами <fx^, т. е.
принять, что 3)^.^ = 0, то"
и<Й - db<pi = - дп<р'; - дь?* = -dxifx; = 0.
В самом деле,
Поэтому вместо формулы
можно, считая потенциалы <р^ нормированными, пользоваться
формулой:

Напряжение поля
Плотность заряда и тока
Потенциалы
I система уравнений
Максвелла
II система уравнений
Максвелла
Эквивалентное второй
системе уравнений
Максвелла соотношение
между напряжением поля
и потенциалами
Тсязор энергии импульса
Векторная форма
Е, Н
P. J
?, А
с dt с '
dlv Е = 4яр
dlv H =0
Н = rot A
формулы E.5) стр. 55
}¦
}
1
Тензорная форма
F*
а'
Т'
dFjt , дРи , дРи .
дх1 дх1 дхк ~
f
Pa=d±*-d3'-
P>=PiF-*-^P,.F>-
Спинорная форма
Л,
ч
1

УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 67
УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
По теории относительности энергия W и импульс р свобод-
свободной частицы массы т выражаются через скорость v следующим
образом:
где с —скорость света. Исключая из этих выражений скорость,
получим:
При переходе к волновой механике необходимо в этом выраже-
выражении классические величины, энергию и импульс заменить соответ-
соответствующими операторами1:
'
действующими на волновую функцию ф(л-, у, г, (). Мы получим
произведя эту замену, волновое уравнение для функции ф:"~'
где через X, обозначена фундаментальная мировая постоянная,
имеющая размерность длины и называемая длиной волиы Комптона.
Дираку принадлежит мысль рассматривать уравнение E.12) для
волнового поля электрона как аналог волнового уравнения в оптике
и искать систему линейных дифереициальиых уравнений первого
порядка, аналогичных уравнениям Максвелла, из которых как
следствие вытекает уравнение E.5). Для того чтобы получить
систему уравнений Дирака, разложим, воспользовавшись системой
кватернионов, оператор П иа два линейных множителя:
1 д д д ,д\A д д д д
+ s + s + s){sss
1 В дальнейшем через h обозначена деленная яа 2\ постоянная Планка.
5*

f'7
<;,, , 68 ГЛАВА ПЯТАЯ
г '. Такое разложение оператора Q на два линейных множителя не
;. '' представляет ничего существенно нового в математике.
* Рассмотрим функцию <|) (г) комплексного переменного z =х + (у.
Для того чтобы функция
имела производную
не зависящую от отношения -г-, в приращении <1г необходимо,
чтобы
r)^t(a=Нш
к
ии
Хк
или
+ '+
откуда получаем для функций а и г; систему диференциальных
уравнений Коши-Римана:
ди dv dv ди
дх ду дх ду'
Диференцируя первое уравнение по х, второе по у, получим:
или окончательно:
Покажем теперь, что, наоборот, исходя из последнего уравнения,
мы можем получить систему уравнений Коши-Римана, разлагая
оператор -^ + ^~3 на линейные множители:

УРАВНЕНИЯ ДИГАКА
69
'В самом деле, из
следует*:
E.14)
Разделяя вещественную часть от мнимой, получим систему
уравнений Коши-Римана.
С точки зрения изложенных здесь соображений получение
уравнений Дирака сводится к разложению четырехмерного опе-
оператора ? на множители, что возможно, конечно, лишь в обла-
области кватернионов.
Уравнение E.5), очевидно, эквивалентно следующей паре
уравнений:
E.15)
fid
\S»cdt
где и и v — две различные функции, обе удовлетворяющие
уравнению:
Рассматривая и и v как векторы в двумерном комплексном век-
векторном пространстве и переходя к двухрядным представлениям
кватернионных единиц s^s^, получим систему уравнений Дирака:
0 \Jcdt ¦•" VI OJdx + \-iOjdy ^{O-Vdzf [ui
0 \±\{иЛ_
l0jdx
it{oi)\vj>
fi—Vdzf\v
>» \OlJ\uJ •
E.16)

t
li Sz rrэтой системы ур— —
f
n
70
ГЛАВА ПЯТАЯ
или
к спипорной форме записи уравнений Дирака
^vwtmb;
»2i dti)[vj J
= 0
Этот вид уравнений Дирака ясно показывает, что оии будут

УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 71
инвариантны при бинарных преобразованиях, если величины и,,
и*> vi> v% будут трансформироваться как компоненты спинора
Система уравнений Дирака запишется тогда в виде:
E.17)
в котором их инвариантность при бинарных преобразованиях,
а следовательно и при преобразованиях Лоренца, очевидна.
Исследуем теперь инвариантность уравнений Дирака при опе-
операции зеркального отражения (стр. 45). При переходе
х — — х, у-*—у, г-* —г
уравнения Дирака переходят в
или
]
. \
-о. J
E-18)
Мы видим, что уравнения Дирака сохраняют свой вид, если при
операции зеркального отражения произвести замену:
к — Ъи V —Р\
т. е. переставить обе функции и и v.
Проведенное нами исследование показывает, что функции и,,
"»» Иц vt образуют биспинор (^^i^3^t) — (uiutvivt)> законы
трансформации которого были нами исследованы в гл. IV,
(стр. 49).
Заметим, что не наличие массы у электрона, а требование
инвариантности при- зеркальном отражении обусловливает суще-
существование четырех функций в уравнении Дирака.

72
ГЛАВА ПЯТАЯ
j .',
iji1.
Допустим, что мы ищем волновое уравнение для частицы
с массой нуль. Разлагая оператор Q на два множителя, мы
получим волновое уравнение в виде:
E.19)
Легко, однако, видеть, что оно не сохраняет своей формы при
переходе (х —»— х, у—*—yt z—»—г), а переходит в
E.20)
Для описания частицы с массой нуль мы должны опять брать
оба уравнения E.19) и E.20):
д'х'
(д
и условиться, что при операции зеркального отражения функ-
функции p = (PiPt) и Я=={Я\Я%) меняются местами.
В спинорной форме система уравнений Дирака для частицы
массы нуль перепишется в виде:
,«= о,
Эта система уравнений в частном случае совпадает с системой
уравнений Максвелла в пустом пространстве (^ = 0):

УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 73
если ее переписать в виде:
«"/„ + «*/„ = о,
и положить
E.21)
Этим исследованием мы показали, что
1) система уравнений Дирака для частицы с массой нуль
совпадает с системой уравнений Максвелла (это позволяет рас-
рассматривать последние в известном смысле как уравнения Дирака
для фотона);
2) уравнения Максвелла инвариантны при операции зеркаль-
зеркального отражения.
Несмотря на эту внутреннюю связь между уравнениями Дирака
и Максвелла, их глубокое различие заключается в том, что ве-
величины и, v трансформируются как спиноры по Dip и D0.i,
а величины (р, q) — как спинтензоры по D2,o и Z)Oi2. Это раз-
различие в трансформационных свойствах обусловливается физиче-
физическим различием между величинами, которые характеризуют вол-
волновое поле электрона и фотона.
Для уяснения этого различия обратимся к выражению для ин-
интенсивности световых волн в оптике. Выражение
/=!(?« +Я») E.22)
дает нам плотность интенсивности волн света в каждой точке
пространства. С другой стороны, оно дает выражение для плот-
плотности энергии электромагнитного поля. Интегрируя / по всему

74 ГЛАВА ПЯТАЯ
пространству, мы получим энергию W электромагнитного поля:"
^ dv. E.23)
Но мы знаем, что пространство, заполненное волнами света,
можно рассматривать как заполненное фотонами, каждый из ко-
торых обладает энергией /ко. Считая, что мы имеем дело с мо-
монохроматическим светом, мы должны, обозначая через N число
¦';! фотонов, положить:
t j . М(?" + №)Л = М11). E.24)
i
I В случае, если свет ие монохроматический, то, обозначая че-
Y ' рез dNa число фотонов с энергией между А<о и Аш + dm, бу-
¦¦; нем иметь:
i J (?» + На) rft» = J Am йЫл. E.24а)
Этими соотношениями устанавливается соответствие между ин-
интенсивностью волны в волновой картине и числом частиц в кор-
корпускулярной картине.
Если мы обратимся к катодным лучам, то заметим, что
в отличие от фотона электрон, как частица, несет с собой
не только энергию, но и электрический заряд, равный элемен-
элементарному количеству электричества е.
)Келая по аналогии с корпускулярной теорией света сопоста-
сопоставить интенсивность катодных волн с числом электронов, мы
должны положить:
(Ф'Фх + f,Ф, + Ф'|Ф, + ФЖ)Л> = М. E.25)
Отметим два существенных отличия между электрическими
зарядами электрона и «энергетическими зарядами» фотона:
1. Частицы могут обмениваться своими энергиями, нарушая
монохроматическое распределение энергии в случае, если оио
в какой-нибудь момент времени было осуществлено. Частицы
ие могут отдавать друг другу часть своего электрического за-

УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА 75
ряда, а потому отпадает необходимость в случае катодных волн
писать формулу, аналогичную E.24а).
2. В правой части E.24) стоит энергия, в правой части E.25) —
варяд. Последний является величиной, инвариантной при переходе
к подвижной системе отсчета, в то время как значение энергии
изменит свою величину, а это означает, что волновую функцию
для катодных лучей мы можем нормировать независимым от
системы отсчета способом:
5 № Ф1+ф; ф»+ф.ф.+ф;ф.) л=**. E.26)
Волновую функцию для фотонов мы можем нормировать лидиь
для одной из систем отсчета. При переходе к другой системе
отсчета нормировка волновой функции фотонов должна быть
изменена:
= 8r>W (для одной определенной E.27)
системы отсчета).
УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА
ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
По волновой механике для описания движения электрона во
внешнем электромагнитном поле, заданном потенциалами: <р, А„,
а а 1 d д д
А,, А„ надо вместо операторов -г-. —, ^-, т- пользоваться
» cot дх ду dz
операторами
п д . е \
E.28)
'
В дальнейшем мы будем польвоваться четырехмерным вектор*
потенциалом Ф1( компоненты которого равны:

76
ГЛАВА ПЯТАЯ
Отметим, что в то время как операторы — перестановочны
друг с другом, это уже не имеет места для операторов D,.
В самом деле, вычисление дает:
. e
E.29)
где Е и H— компоненты электромагнитного поля.
В спинорной форме мы будем иметь вместо операторов ду^.
операторы Dx^.=di^ + «ФА;, где Фх^ — спинтензор потенциала.
Вычислим выражение для D^Ojtj) и получим:
Аналогичное вычисление для О?0х|1ф дает:
Вычитая из первого выражения второе, получим:
D^ - D^ = j (Й,^ФГ -д*Ф^) ф = 2« ?Л.ф,
или в несколько иной форме:
E.30)

УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА 77
Вычислим, с другой стороны, разность
I
и, свертывая ее по индексам X и а, имеем:
откуда следует:
D^Di-D+Di^&.ltD*. . E-31)
Из уравнений E.30) и E.31) получаем окончательно:
D,»O$=g)a %u/> + i?/x,. E.32)
Уравнения Дирака для случая электромагнитного поля имеют
вид:
Найдем систему диференциальных уравнений второго порядка,
которым удовлетворяют спиноры « и rr Для этой цели подей-
подействуем оператором Д,^ на первые два уравнения, и операто-
оператором D"x на вторые два.
Получим:
откуда получаем:
E.33)
— две системы уравнений второго порядка для спиноров § и rt.

78 ГЛАВА ПЯТАЯ
A
I'll
[! Г
Подставляя в них операторы E.32), получим систему урав-
нений E.33) в несколько ином виде:
или окончательно:
E.34)
Если пренебречь стоящей в правой части небольшой величиной,
обусловливающей эффект спина в теории Дирака, то получим
в спинорной записи следующее релятивистское волновое уравне-
;.
I'; в р ущ р
v ние Клейна-Гордана, не учитывающее явления спина:
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Как известно, в теории Максвелла существует симметричный
тензор энергии-импульса 7"*, удовлетворяющий условию:
g E.35)
В случае отсутствия токов и зарядов sa = 0, и условие
дх* . -
выражает закон сохранения энергии и импульса электромагнит-
' ного поля. Существенно, что компоненты этого тензора являются
квадратичными формами компонент Е и И электромагнит- •
ного поля.
Мы сейчас убедимся, что и из компонент ?х н т^ дираков-
ского поля можно составить квадратичные выражения, из кото-
которых составляется вектор s', удовлетворяющий условию:
4 -д-(=-0 E.36)
i] и который в силу физического значения компонент волновой

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
79
функции Дирака отождествляют с четырехмерным вектором тока.
Запишем четыре уравнения Дирака:
и четыре к ним комплексно-сопряженных:
¦•и-
E.37)
Помножая эти четыре уравнения на указанные справа вели-
величины и складывая, мы получим:
Обозначая через sx* компоненты спинтензора
мы получим, как следствие уравнений Дирака, уравнение непре-
непрерывности:
<^5^ = 0. E.38)
Для физической интерпретации уравнения E.38) перейдем к век-
векторной записи:
E.39)
5„ дает плотность вероятности найти электрон в точке x,y,z
или, другими словами, плотность заряда. Соответственно ком-
компоненты (s, st 58) выражают плотность тока, а уравнение E.38) —
закон сохранения электричества.
Если мы обратимся теперь к диференциальным уравнмиям
второго порядка, то из них будет следовать существование за-

80
ГЛАВА ПЯТАЯ
Or
конов сохранения, которые можно будет интерпретировать как
чаконы сохранения энергии и импульса.
Выпишем систему диференциальных уравнений второго по-
порядка:
и к ним комплексно-сопряженные:
— — \ т- — —i
— г,.
где
*!¦
'¦ г
Помножим их на стоящие рядом величины и сложим. Мы по-
получим, обозначая через Т оператор D9V.D°*:
*-. +
Вспоминая физическое значение величины ^ + r,xrlp = s^, мы
получаем в правой части выражение для четырехмерной силы
Лоренца, действующей на дираковский ток. Покажем теперь,
что выражение в левой части можно преобразовать.
Имеем:
и следовательно: •
5, Д & = - $Dfo + д^ (У р), E.40>
Ш ^Se = - %D",?9 + дх± E?). E.41)
Заменяя в E.40) ?р через /)х'^р и в E.41) 5, через D*^3,, по-
получим:
W-:p7 = <V {^^^p)-(^D*^ E.42)
и аналогично для rl(t и г|р.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 81
Обозначая через № спинтензор энергии импульса дираковского
поля
мы получим закон сохранения энергии и импульса:
i\, E-43)
по форме аналогичный закону сохранения энергии и импульса
электромагнитного поля.
6 Спииорный аиамх

ГЛАВА ШЕСТАЯ
Н' —
1Ь СПИНИНВАРИАНТЫ
¦| !¦
В приложении спинорного анализа к квантовой теории хими-
химической валентности приобретают фундаментальное значение
j[|i полиномы, составленные из компонент системы спиноров
Л
А.. \«+1<А<я+я7' F-1)
остающихся инвариантными при бинарных преобразованиях. Во
всей этой главе мы будем обозначать спиноры жирной латин-
латинской буквой х, а, I, а их обе компоненты — различными гре-
'»: ческими буквами, например х = (;, г,), а = (а, J5), 1=(Х, д).
;i' Индексы у компонент обозначают номер рассматриваемого спи-
I нора, например Xj = (?<1 ти). Докажем основную теорему:
[', ] «Инвариантный полином системы спиноров может быть всегда
представлен как произведение скобок вида
Гу. V ..1 I Vt Vtfl
hi
"' Составим однородный полином Р(^fctijt) степени v из спино-
спиноров х„ Xj, ..., х„ и степени v' из спиноров xi+i, Х^+2, ..., хЦ+я>
и предположим, что он остается инвариантным при бинарном
I преобразовании.
[' Специальная бинарная трансформация А
A = L 1 Ь A* = L I F-2)
а
0
Ч
а 1
А-|
1
[0
\
0
1
а*
оставляет этот полином инвариантным. Но это возможно лишь
в случае, если каждый член полинома переходит в самого себя.
Ш

СПИНИНВЛРИАНТЫ 83
Так как все 5, помножаются на а, все rlt на —, все ?? на о*
и все г,; на ^, то это возможно лишь в том случае, если
степень каждого члена в ?, равна степени этого члена в т), и
степень каждого члена в qj равна степени этого члена в r,J.
Поэтому обе эти степени могут быть лишь четными.
Введем два произвольных спинора а = (а,а4) и b=(bibi) и
выберем, что всегда возможно, специальную систему координат,
для которой
. а^С^.О), Ь = @, ft,). F.3)
Величины в этой системе координат будем обозначать черточ-
черточками. С помощью этих спиноров образуем следующие выра-
выражения:
и рассмотрим полином P(.PfliP'ifl*t)> полученный из нашего за-
заменой
5,—Ро \ — Яр ?;—/»*. ч2 — ?4. F-5)
В нашей специальной системе координат мы будем иметь соот-
соотношение:
р Ср~яЛя\)=К ьгу {а\ ь\у р (Ц, ?4 о. F-6)
которое при возвращении к первоначальной системе координат
примет вид:
Р (Will) ¦-= [ab]« La*b*]«' P (=,ч^чР- F-7)
Введем теперь два оператора:
дахдЬ2 daub's * ~да\дЬ\ да\ОЬ\
и подействуем ими на произведения р1
в»

84 ГЛАВА ШЕСТАЯ
Получим
\-г&))
или сокращенно:
,, Подействуем теми же операторами на [ab]e и [а*Ь*]*' и по-
получим:
о* г *h*K — '( ' ¦ *h*K-' I F.10)
| i !' Если мы теперь подействуем на равенство F.7) v раз опера-
оператором 2 и «' раз оператором 2*, мы получим слева поли-
полином из скобок вида [х,Х(,| [х^х*,], а справа выражение:
г>1(»4-1)! v'\(v'+\)\ P(^Jl,7St»it,), откуда и следует основная
•'»¦ теорема.
Мы запишем инвариант в виде:
/^Х*]"" [х.х/11.. .[х:+,х„'+2]^... F.11)
:», или сокращенно:
где умножение распространяется на все неравные друг другу пары
индексов i, i' и k, k'.
Следующие суммы дают степени инварианта / в спинорах
Xd Xj, .. .,х„ и спинорах x^+i, Х^+2, ..., х;+„/:
л-'
Pm + Ai+.-- =»*. I F-12)
(
РЯ1+ ••• A'«i = v.- )
PliJrP'lt+ •¦=Vi j
| P'a+ ...=V2, \ F.12a)
• Р',ч + . • • = wi<- '

спининвлрилнты 85
Совокупность чисел (х>, о, ... vn\\v\ v'2 ... v'n>) мы будем, при-
принимая во внимание приложения теории спининвариантов к про-
проблеме химической валентности, называть валентностью инва-
инварианта /. Для того чтобы из системы л спиноров х,, ..., Х„
и л' спиноров Хп+\, ..-, \'+н' составить инвариант заданной
валентности (¦»,, vt, ..., vj, достаточно, очевидно, решить-си-
решить-системы уравнений F.12) и F.12а) в целых, неотрицательных числах.
Каждая система решений (p,(f, ри>) даст нам инвариант /, си-
системы спиноров заданной валентности. Число различных инва-
инвариантов равно, очевидно, числу различных решений системы F.12)
и F.12а).
Заметим, что, обозначая через V, (s = l, 2, 3, ..., А') систему
инвариантов валентности (г>„ vit ..., г/J, построенную для си-
системы спиноров х,, х8, ..., хи, н через Г,'(з = 1, 2, ..., Л")
систему инвариантов валентности (v[, v'2, ...,Vn>), построенную
для системы спиноров Xn+i, Хя+г, ...,Хп+!Г, мы получим пол-
полную систему Л = Л'-А" инвариантов вида:
Пример.
Система спиноров Валентность Полная сястема
инвариантов
X, X, X, Х4 A, 1, 1, 1)
Xs Х«* A, 1)
/',=[x,x,];xaxj h=I\l"
Мы можем поэтому ограничиться рассмотрением теории инва-
инвариантов бинарной группы
вместо того чтобы рассматривать инварианты обеих групп
Н

86
ГЛАВА ШЕСТАЯ
¦I
¦!''
СИСТЕМА ИНВАРИАНТОВ (БАЗИС)
Как мы убедились на предыдущем примере, можно составить
несколько инвариантов, содержащих компоненты спиноров в сте-
степени (vt vt ... vj.
Возникает вопрос, являются ли все подобные инварианты ли-
линейно независимыми или нет.
I Систему, состоящую из А-f-l инвариантов /,, /4, ... fk, fM
одной и той же валентности (vt va ... »„), мы называем ли-
линейно независимой, если равенство
F.13)
а,/, + V2 + ... + аА/д + ад+)/А+1 = О
удовлетворяется лишь в том случае, если все коэфициенты
,,
а2,
равны нулю. В этом случае система инва-
инвариантов образует А-мерный линейный базис, т. е. любой другой
инвариант / той же валентности (г>, vt ... vj выражается ли-
линейно через элементы базиса
Обратимся к нашему примеру. Легко убедиться в том, что
инварианты
линейно зависимы.
В самом деле,
A=(X,x,][x,x,][x4xJ.
[х,х,][х2х
Но выражение, стоящее в фигурных скобках, тождественно
равно нулю, как легко убедиться непосредственно вычислением.
Это показывает, что система инвариантов ралеитности A, 2,
2, 1) образует двумерный базис /,, /а, а третий инвариант есть
линейная комбинация двух первых:

НАХОЖДЕНИЕ БАЗИСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ИНВАРИАНТОВ 87
НАХОЖДЕНИЕ БАЗИСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ИНВАРИАНТОВ
Простое геометрическое построение дает возможность найти
систему независимых инвариантов данной валентности. На окруж--
ности поместим ряд точек /, 2, ..., я и будем их соединять
попарно черточками, снабженными стрелками, так, чтобы точка /
соединялась с другими точками при помощи vt штрихов, точ-
точка 2— при помощи vt штрихов и т. д.
Если мы каждой стрелке от * к k отнесем скобку [x^xj, то мы
тем самым каждому инварианту / отнесем некоторую схему
штрихов, которую назовем валентной схемой инварианта.
Например:
А = (X.X.J [X.XJ [Х,х4], /, =* [х,Х,] [Х2Х,]*.
Черт. 2 Черт. 3 .
Покажем теперь, что каждый инвариант, валентная схема ко-
которого содержит перекрещивающиеся штрихи, может быть пред-
представлен как линейная комбинация инвариантов, валентная схема
которых не содержит перекрещивающихся штрихов.
Для доказательства запишем в виде валентных схем тождество:
X1][X1Xi] = O. F.14)
з
Черт. 3
Это показывает, что если в схеме два штриха перекрещиваются,
то ее можно представить как сумму двух схем, в которых пе-
перекрещивание отсутствует. Конечно, при этом могут появиться
новые перекрещивания, отсутствующие в старой схеме. Все же,

88 ' ГЛАВА ШЕСТАЯ
продолжая при помощи F.14) процесс разложения схем на два
слагаемых, мы в результате получим сумму схем, в которых
перекрещивание отсутствует.
Характер процесса станет ясным из приведенного выше при-
примера.
Для доказательства назовем каждую из дуг ik в случае, если
\t '! . штрих соединяет точки i и *, валентной дугой. Длиной валент-
.!: ной дуги назовем число лежащих на ней точек схемы, причем
конечные точки i и k считаются каждая за половину. Если
||| дуга ik не содержит других точек, то ее длина равна, очевидно,
.[ единице.
'' Разберем два случая. 1) Если в схеме / встречается дугаЧ'А
¦i длиной единица, то мы ее выбрасываем и получаем инвариант /'
'!! (другой, меньшей валентности). Предположим, что для инва-
• риантов-/' наша теорема верна. Мы можем тогда составить /'
.' из инвариантов /(,/;, ...,/д>, схемы которых не содержат пере-
перекрещивания. Вписав затем во все эти схемы штрих [ik], мы
г получим наш исходный инвариант как линейную комбинацию
'Ц | иеперекрещива ющихся схем.
if 2) Пусть / не содержит дуги длиной единица. Пусть ik —
if.' . дуга кратчайшей длины. На этой дуге лежит по крайней мере
»j{j! еще одна точка у. Штрих, идущий от у, необходимо должен
¦!' пересекать штрих ik, иначе дуга ik не была бы кратчайшей.
Ы'[ Это перекрещивание мы можем разложить по схеме F.14). Две
''!: новых схемы будут содержать дуги: первая ji и вторая jk, обе
Ы с длиной, меньшей, чем исходная дуга ik. Продолжая таким
образом, мы придем к дугам длиной единица и будем иметь
перед собой первый случай.
Для примера рассмотрим построение базиса для инвариантов
спиноров х, х2 х, х4 xs х, валентности A, 1, 1, 1, 1, 1).
2 3
,' \ /
' \\> <//

НАХОЖДЕНИЕ БАЗИСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ИНВАРИАНТОВ
89
Схему инварианта [х,Х,] [х„х5] lx,xj, соответствующий схеме,
можно следующим образом представить в виде линейной ком-
комбинации независимых схем:
Черт. 5
В предыдущем параграфе мы показали, что каждая схема, со-
соответствующая инварианту / заданной валентности (i/(, vt, ..., vj,
может быть представлена как суперпозиция схем с неперекре-
щивающимися штрихами. Нашей задачей является теперь до-
доказать, что все инварианты, соответствующие схемам с непере-
крещивающимися штрихами, являются линейно независимыми.
Мы докажем это, если убедимся, что число неперекрещиваю-
щихся схем совпадает с числом независимых инвариантов.
Займемся сперва получением числа неперекрещивающихся
схем заданной валентности и выведем рекурснонную формулу,
выражающую число неперекрещивающихся схем валентности
(»,, о,, .. .,»„, ¦»„+,) через число неперекрещивающихся схем
валентности (vt, vit ..., i/n).
Рассмотрим неперекрещивающуюся схему 5в+1 валентности
(»,, vt, ..., »„, vnn). Пусть точки схемы перенумерованы
числами 1, 2, 3,... Допустим, что точки л и л+1 соеди-
соединяют г штрихов. Это значит, что с остальными точками схемы
точка л соединена v — г штрихами, а точка л + 1 соединена

90
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ч
$
Г i
г>яП— г штрихами. Уничтожим г штрихов, соединяющих точки я
и я + 1, и заставим точку n -f-1 совпасть с точкой я. Мы
получим опять неперекрещивающуюся схему SH валентности
(v{, vt, ..., vj. Обозначая через N(vv vt, .. .,va) число не-
перекрещиваюшихся схем, мы получаем следующую рекурсион-
ную формулу:
N{vltv.i,...,vH.v vn
N(vt, vlt...' Vn \v»~v»n |) =
r=o
где и равно наименьшему из чисел vn>t и vn.
Покажем, что если мы через N(vit v.z,.. ., vn) обозначили
число независимых инвариантов валентности (©,, г»в)..., г>п), то
эта же формула определит число независимых инвариантов задан-
заданной валентности. Рассмотрим систему л полиспиноров:
AI Al Jl" • 'Jl>
A» An Jn-¦-Jn •
t .
Величины каждой строки трансформируются по Dr t D
Чашей задачей является определить число линейных комби-
комбинаций из произведений компонент этих полиспиноров, которые
трансформируются по Dti „, т. е. являются инвариантами.
Для двух полиспиноров х, и х2 мы получаем по формуле
Клебша-Гордана различные линейные комбинации, трансформи-
трансформирующиеся по
Среди них будет иметься лишь один инвариант в том случае,
если vY—vt, т. е.
N(v,, о,) = 8г»,р,.

ОПЕРАЦИИ С ИНВАРИАНТАМИ 91
Для трех спиноров валентности (•»,, vt, vt) мы получаем линей-
линейные комбинации, которые трансформируются по
причем
г=0, 1,2,..., v, где v наименьшее из чисел vt и ©„
« = 0,1,2 v, » v » » »
Среди них будут инварианты всякий раз, когда
t — 2r=vt — 2t или v +v.t — 2(r— s) = xr3.
Число инвариантов, т. е. величин, трансформирующихся по Dt 0,
будет, очевидно:
^е v — наименьшее из чисел г>, и vv Переходя от трех спи-
спиноров к четырем, пяти и т. д., мы убеждаемся в справедливости
формулы F.14) для любого числа независимых инвариантов, и наша
задача решена.
ОПЕРАЦИИ С ИНВАРИАНТАМИ
Пусть мы имеем инвариант / валентности (vv vif ..., vj. На-
Напишем его в виде произведения скобок:
Скобку [x,xj выпишем pti раз подряд, скобку [х^] выпишем
plt раз подряд и т. д. Мы получим произведение p = Ptt + Pt$+ • • •
скобок, причем спинор х, будет встречаться г>, раз, спинор х4
встречаться v.t раз н т. д. Перенумеруем спиноры X, числами
от 1 до г»,, спиноры х, числами от 1 до vt и т. д. Очевидно,
что, произведя любую транспозицию спиноров х", и х^, мы по-
получим новый инвариант той же валентности или нуль. Послед-

92
ГЛАВА ШЕСТАЯ
Hi. ¦:
f '
if:
k
\
нее — в том случае, если в скобку попадает после транспозиции
два одинаковых спинора. Например:
.xjj [x\\\] [х*х,1 = [*\А) [x.xJJ [xjx J ¦¦ 0,
Ч<\ fx.xJJ fx22xJJ [xjxj = [x.xJJ fxjxjj fx'xj ф 0,
так как х\=гх\. Кроме операции Тх>,«, определяющей транспо-
транспозицию s-то спинора с а-м спинором xv определим операцию
Эта операция означает сумму транспозиций каждого из спи-
спиноров х, с каждым из спиноров хк.
Например:
7' fv V 1 fv V 1 fV V 1 — fv V 1 fv> V 1 Tv V 1 1 fv V 1 Tv V 1 Г«* mr 1
xtx* l*lA8j lAa*3J [A3A|I — lA4-*ii 1АяАз/ lAsA|J "i LA9AjJ lAi«3j [л^Ха].
Поскольку мы каждую перестановку можем осуществить при
помощи составляющих ее транспозиций, мы можем высказать
следующее положение. Оператор перестановок переводит инва-
инвариант / данной валентности в инвариант той же валентности.
Пользуясь понятием линейного базиса системы инвариантов,
мы можем записать это положение в виде:
PIa--=aJx + a.A+-- -aJh, F.16)
т. е. инвариант, полученный при действии оператора переста-
перестановкой на один из элементов «базиса», является линейной ком-
комбинацией элементов базиса. Пусть система состоит из п спино-
спиноров. Группа перестановок содержит тогда «1 членов:
Pt,Pt,...,P.,.
Мы можем составить из п\ операторов Р( линейный оператор
где a
ая\ — система чисел. Очевидно, что и этот опе-
оператор оставляет валентность инварианта неизменной.

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ И СОБСТВЕННЫЙ ИНВАРИАНТ 93
Особую роль играют три оператора:
Оператору Р, называете» симметризирующим оператором. Дей-
Действуя им на любую функцию, мы получаем функцию симме-
симметричную во всех переменных.
2) а, = Ъ„
где 8Л = 1 при четной перестановке и 8,= —1 при перестановке
нечетной. Оператор 28РР называется антисимметризирующим
оператором. Действуя им на любую функцию, мы получаем
функцию антисимметричную во всех переменных.
Пример. Группа перестановок из трех элементов состоит из
шести перестановок: A23), B31), C12) (четных) и A32), C21),
B13) (нечетных).
2 РЬ A23)= ф A23) + ф B31) + ф C12) + ф A32) +
+ фC21) + фB13),
-фC21)-фB13).
Особое значение имеет в теории валентности оператор типа 2 ЯрР,
состоящий из одних транспозиций
где Ati,Al3,... —постоянные числа.
СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ И СОБСТВЕННЫЙ ИНВАРИАНТ
Мы видим, что оператор типа ЪаРР и инвариант / находятся
в том же соответствии, как матрица А и вектор X. Действуя
оператором ЪаРР на инвариант /, мы получаем линейную компо-
композицию h инвариантов базиса:
F.18)
р
Мы можем, следовательно, пользоваться в А-мериом простран-
пространстве системы инвариантов основными понятиями линейной век-
векторной алгебры.

94
ГЛАВА ШВСТАЯ
н ¦
ч.
Мы можем специально назвать собственным инвариантом опе-
оператора SflpP инвариант, который при действии на него этого
оператора помножается на постоянное число X, соответствующее
собственному значению оператора
2аРР1=\1. F.19)
Укажем путь для нахождения собственных инвариантов, не-
несколько отличающийся, но по существу совпадающий с тем,
который применяется в векторной алгебре.
Подействуем оператором 2аРР последовательно на все инва-
инварианты базиса /и /,,..., Ih. Мы будем иметь:
арР/, = ои/, + а,4/а + ... ajh,
2 » = в„/, + ви/„ + ... + ajh.
Помножим все эти уравнения последовательно на числа
, Cj, ...,ск и сложим, причем подберем с,, с4, ...,ск так, чтобы
l\ + cJ%-\- ¦••chlh был собственным инвариантом. Имеем:
%
¦г
i:
Коэфициенты при /„ должны быть равны друг другу, т. е.
«Л» + «1а1»+"-'Л»=Ч- J
F.20)
откуда получаем для определения множителей с( обычное веко-
вековое уравнение
аи ait — \...
... atl — X
'0,
F.21)
дающее нам А собственных решений и, им соответствующие, — соб-
собственных векторов.

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ И СОБСТВЕННЫЙ ИНВАРИАНТ
95
Пример: Ii = [xiXi][X3Xl], /1 = [х,Х,] [х,х,].
Базис будет двумерным. Найдем собственные значения опе-
операторов Г14 + Ти и Г„ + Tti:
т I — /
Вековое уравнение:
-2-Х
2-Х
= 0
дает Х,= —2, ).а=-Ь2. Соответствующие собственные инва-
инварианты будут:
для X = — 2 для X = 2
/(-а) =/| U ='i + 2/,
ЛзЛ = Л +'« Tii'» ~ —fi
Вековое уравнение
2-Х .2
0 -2-Х
дает
Соответствующие собственные инварианты будут для Х = 2:
'(+з)= /«> '(-а) = /» + 2/,.
Вычисление операции Тл значительно облегчается тем, что
оператор Та может быть представлен в виде:
Tu = {DaDu — vJ, F.22)
де Da — диференциальный оператор, действующий непосред-
твенно на скобки, из которых состоит иизариаит.

¦i
96 ГЛАВА ШЕСТАЯ
Представим себе все умножения скобок в инварианте выпол-
выполненными. Тогда / представится суммой таких членов:
где
Заменить спинор х{ спинором хк значит заменить в Ф
через
И *л ^ r'*^ r'*r"'
; Это возможно столькими способами, сколько возможно соста-
составить пар первого ряда из Ф, т. е. равно
pr, ps, qr, qs.
В результате всех этих операций замещения (делить на член
верхнего ряда и множить на член нижнего ряда) получим:
F.23)
Легко простым диференцированием убедиться в справедливо-
справедливости следующего равенства:
)D) F'24>
Обозначая
имеем:
через
через
1 Но

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ И СОБСТВЕННЫЙ ИНВАРИАНТ 97
Поэтому имеем окончательно:
флО„-у()Ф=(рЬ + д^гк + *^)ф=Т,кФ F.25)
или аналогично:
О>«0ц-«4)Ф = 7-ьФ = ТвФ. Л6 25')
Последние формулы остаются справедливыми, если мы возьмем
вместо Ф сам вариант /.
Нам Не надо производить умножение скобок в инварианте.
Достаточно заметить, что оператор Dik является линейным опе-
оператором, а потому для него справедливы все правила обычного
диференцирования _
Для отдельных скобок следует заметить и запомнить следую-
следующие правила:
Обратим внимание, что Dib содержит диференциррвание по Е4', г1к.
Поэтому скобка, ие содержащая х„ не может быть вынесена
за знак оператора.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ
I
I
it
ТЕОРИЯ СПИНВАЛЕНТНОСТИ
В нашу задачу не входит* дать здесь обзор теории спинвалент-
иости, которая- изложена в соответствующей специальной литера-
литературе '). Отметим лишь следующие физические предпосылки теории.
1) Теория в принципе применима лишь к легким элементам
(до неона).
2) Теория принимает следующую модель атома. Вокруг остова
атома как вокруг ядра вращаются валентные электроны в числе,
соответствующем валентности атома по отношению к водороду.
;( Химическая связь обусловливается взаимодействием валентных
It электронов различных атомов. Взаимодействием валентных элек-
j тронов с внутренними электронами атомов преиебрегается.
! 3) Теория ограничивается лишь атомами, у которых распреде-
!'¦ ление зарядов, если отвлечься от влияния спина-электронов, обла-
V дает шаровой симметрией. Таковыми являются в нормальном
jj состоянии атомы элементов: Н, Не, Li, Be, F, Ne и с известными
Л оговорками С и N.
[¦> He входит сюда атом кислорода, к которому теория спиива-
¦J лентности неприменима.
- 4) Деформацией электрического заряда при сближении атомов
,. друг с другом пренебрегают.
V, Эти ограничения в применимости теории сильно суживают фи-
' зическую ценность теории. Это и понятно, что сложные системы,
каковыми являются атомы, с трудом укладываются в общую
алгебраическую схему.
Поэтому развитие квантовой химии за последние годы пошдв
по пути индивидуального изучения химического поведения отдмь-
') См., например, Н. Бора, Квантовая механика и химическая связь,
Упр., IV3A

ТЕОРИЯ СПИИВЛЛЕНТИОСТИ
99
lux атомов и отошло от методов теории спинвалентиости, оставив
;а ией место общей логической схемы.
Сформулируем теперь математическую задачу, лежащую в основе
-еории спинвалеитности.
Каждому атому А, В, С,..., входящему в насыщенную мо-
.екулу, соответствует спинор а, Ь, С.
Валентное состояние молекулы описывается спининвариаитом /
.алентности (vat vb, ve>...), гае а>а, vbt ve,... —числа валентных
лектронов соответствующих атомов. Число валентных состояний
юлекулы равно числу независимых инвариантов данной валентности.
w
Черт. 6
жергия связи молекулы изображается оператором вида:
ТГ= С-1 4- АЛТЛ + АвсТ„ + ...,
де ТаЬ — определенный на стр. 92 оператор транспозиции, а С—
ак называемая диагональная энергия взаимодействия между
.томами
.ддитивио слагающаяся из диагональных энергий взаимодеясгвия
:ежлу отдельными парами атомов. Она включает в себя:
1) кулоновское отталкивание между ядрами отдельных атомов,
2) кулоновское взаимодействие между размещенными по всему
!ространству зарядами валентных электронов отдельных атомов,
3) энергии взаимодействия между остовами отдельных атомов.
,rt—это так называемая обменная энергия между отдельными
томами. Как СаЬ, так и Ал являются функциями расстояния R
¦ежду атомами, быстро спадающими с увеличением /?. Как Сл,
-ак и АаЬ в принципе могут быть вычислены, если известны
юлновые функции отдельных атомов. Характер их зависимости
7*

100 ГЛАВА СЕДЬМАЯ
от R приведен на черт. 6. Произведенный для отдельных атомов
(Н^, Li4) расчет показал, что обе функции СвЬ и Ал положи- ;
тельны, причем Ал^>СаЬ.
Возможные энергетические значения энергии связи находятся -
путем решения проблемы собственных значений :
в пространстве спининварнантов.
Число возможных энергетических значений равно числу неза-
независимых инвариантов данной валентности.
Если мы имеем дело со свободным радикалом, обладающим vt
ненасыщенными валентностями, например:
то мы вводим фиктивный атом L валентности Ф, и рассматриваем
насыщенную молекулу (А, В, С,.. ., L). Например:
А = В
Математическая проблема остается той же самой, лишь в опе-
операторе энергии надо положить обменные энергии Aal, /4W,...
атомов с фиктивным атомом L, равным нулю.
СИММЕТРИЯ МОЛЕКУЛ
В случае, если молекула имеет симметрию, можно этим вос-
воспользоваться и редуцировать проблему собственных значений.
Пусть молекула (ABC...D) сохраняет свою форму при пере-
перестановке Р группы атомов. Например:
1) Кольцо из идентичных атомов сохраняет свою форму при
циклической перестановке атомов
/А\ •
А А
' II
А А
\А/

СИММЕТРИЯ МОЛЕКУЛ - 101
2) Молекула
' A . A
сохраняет свою форму прн двух перестановках: перестановка
группы леаых А атомов и перестановка правых А атомов.
Пусть базис для молекулы {ABC...D} состоит нз / инва-
инвариантов
Л, /,....,./г
Оператор W в -этой системе инвариантов изобразится /-рядной
матрицей
11 "^ !»• • • "if
Пусть молекула сохраняет свою форму при операции Р.
Подействуем операцией Р иа систему инвариаитов / и получим:
Операция Р изобразится в системе инвариантов /, /-рядной маг-
рицей
Так как по условию операция Р сохраняет форму молекулы, то *$
т.е. матрицы Р и W перестановочны. Воспользуемся этнм н
выберем такой базис l\, J-i,...,!}, при котором матрица Р будет
диагональной. Из условия- " ¦ "
PW-WP = 0, Pij^P.hj
получаем: •
4
откуда следует, что при Ри ф Ри, Wtt — 0, т. е. в систем»

102
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
базиса /)', !%,...,!} матрица W будет ступенчатой с числом сту-
ступеней, равным числу различных корцей уравнения:
-\ Р
и
...pt
—1
/....
...Р„-\
= 0.
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Рассмотрим двухатомную молекулу АВ, образо-
образованную va и vb валентными атомами. Положим, что va>f,.
Рассмотрим радикал
\ _ /
где р число валентных связей между атомами А и В. Для
формулирования проблемы собственных значений нам нужно со-
составить систему инвариантов системы спиноров а, Ь, I валент-
валентности (v,, vt, v. + vt — 2p).
Единственный инвариант будет:
Оператор энергии имеет вид:
Вычисление дает:
I
(С + ЛТ)/= {С + A [{v.-p){vh-p)-p)(l= X/,
откуда получаем:
X .= С + A l(va-p)(vb-p)-p) = C + kA,
так называемую формулу Гейтлера.

ПРИМЕРЫ
103
Значение числа k занесено в таблицу.
p =
f1
2
3
4
1
0
1
2
3
4
1
— 1
— 1
-1
— 1
2
0
4
6
8
1
0
1
2
2
2
о
1
-21
0
9
12
1
3
5
3
2
— 1
0
3
— 3
-3
0
16
1
8
4
2
2
3
— 2
4
— 4
Рассмотрение этой таблицы показывает, что устойчивость мо-
чекулы растет по мере насыщения валентностей. Например:,
\
iA-B —
2/4.
Пример 2. Кольцо, состоящее из шести тождественных одно-
одновалентных атомов. За базис инвариантов выберем систему ннва-
1иантов, соответствующих схемам черт. 4.
Оператор энергии выразится через W=C+i4(flt+ ... +ttt),
ели мы положим все обменные энергии между соседними ато
:ами, равными А, и пренебрежем обменными энергиями
;ежду не соседними атомами. Найдем матрицу, при помощи
:оторой в системе инвариантов /,, /4, /,, /,, /,, /§ изобразится
юератор циклической перестановки г=A 2 3 4 5 6). Имеем:
пкуда
.* =
/0 1
1 0
о о
о о
о
матрицы Ц/Ц будут:
-де ••=-!.
о о о\
0 0 0
О 1 О
О 0 1
0 — 1 О О/

104
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
Легко найти базис инвариантов, при котором оператор г
сразится диагональной матрицей. Имеем:
ю/, + ©%) = - <о» (/, + о)/,
2 (/, — ftL/, — Ш/,) = W (/, — СО1/, — СО/,),
+ /<) = С (/, + /*),
W (I, - о»/, - co/8) = (C + 2 A) (/, - со»/, - to/,),
/, - /t) = С (/, - /,) + 2 Л (/, - /, + /,),
, — /, + /,) = 6/1 (/, — /,) + (С +2Л )(/, — /,+
Матрицы г и W при новом базисе будут цметь вид:
/СО О О О
О C+2W 0.0 О
О О C+2W О О
0 0 О С 2W
кО О О 6VT C + 2WJ
1 0 0 ~~ О О
О — со* О О О
|| г || = 0 0 «о О О
О 0 0—1 О
О 0 0 0—1
Корнями секуляриого уравнения матрицы W будут:
Легко видеть, что кольцо не будет термодинамически устойчи-
устойчивым, так как энергия трех двухатомных молекул будет лежать
ниже, чем энергия кольца.
Дальнейшие примеры на применение теории спинвалентности
читатель найдет в специальной литературе1).
р
I
1) Н. Hellmann, «Zts. i. Phys», Bd. 83, стр. 192, 1933,
HidehikoTamani, «Bjfe. of the Phys. Mathem. Soc. oi Japan»,
V. 16, стр. 52, 1934.
M. Markow, «The Journ. o! Chem. Phys.», V. 1, стр. 753, 1933.

"..'* ¦
•-..; t
v <v<
Стр.
55
55
55
55
Заказ 653.
'#'¦¦
щ
Форма
E-5)
E.5)
E.5)
E.5)
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
к книге Румера .Спинарный анализ'
Напечатано
Надо
1У/ =