Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Автор: Швебер С.
Теги: физика квантовая теория поля квантовая физика
Год: 1963
Похожие
Введение в квантовую теорию поля
Квантовая теория поля
Квантовая теория поля. Том 1. Общая теория
Квантовая теория поля и топология
Текст
                    AN INTRODUCTION TO
RELATIVISTIC QUANTUM FIELD THEORY
Silvan 8, Schweber
Brandeis University
Row, Peterson and Co»Evanston, III., Elmsford, N. У,, 1961

С. III веб ер
ВВЕДЕНИЕ
В РЕЛЯТИВИСТСКУЮ
КВАНТОВУЮ
ТЕОРИЮ ПОЛЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1963

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Б. 11. ВАЛУЕВА, В. И. ОГИЕВЕЦКОГО,
И. В. ПОЛУБАРИНО11А
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Я. А. СМОРОДИНСКОГО
Редакция литературы по физике

От редактора русского издания
Настоящий курс теории релятивистских квантовых полей Швебера вышел в очень
трудное для теории время. Многочисленные попытки целой армии теоретиков найти
пути для построения теории сильных взаимодействий, не основанной на теории возму-
возмущений, пока не оправдывают надежд, на них возлагавшихся. Однако во время поисков
теоретики накопили огромный материал по различным свойствам релятивистских
квантовых полей. Тысячи работ посвящены изучению симметрии, тонким электро-
электромагнитным эффектам, аксиоматике. Вступающим в науку молодым теоретикам не
легко сейчас разобраться в большом числе направлений, возникших в этой области.
В первую очередь для таких физиков и предназначена книга Швебера. Эта книга
является пособием по квантовой теории поля, позволяющим последовательно
изучить эту область физики, причем учебником, находящимся на вполне современном
уровне; книга содержит много оригинальных материалов (вместе с библиографией)
по самым разным направлениям квантовой теории поля, еще ие нашедших отражения
в довольно многочисленной монографической литературе. Это прежде всего относится
к последней, четвертой части, посвященной перспективам развития теории.
Основная же часть книги содержит систематическое подробное описание аппара-
аппарата теории и важнейших ее результатов. При этом автор обращает свое внимание глав-
главным образом на принципиальные стороны теории, оставляя за конкретными эффек-
эффектами роль иллюстраций. Это, конечно, было бы недостатком книги, если бы в нашей
литературе не существовало книги Берестецкого и Ахиезера1), в которой свойства
эффектов изложены достаточно полно. Курс Швебера, таким образом, должен служить
следующей ступенью.
Следует отметить, что автор часто излагает материал не самым экономным
путем. Поэтому читателю рекомендуется в неясных местах обращаться все же
к оригинальным работам, на которые ссылается автор.
Читателю, который будет искать большие математические подробности следует,
конечно, обратиться к монографии Боголюбова и Ширкова2), но и в этом случае ока-
окажется полезным предварительное знакомство с книгой Швебера.
Хотя автор и старался осветить все стороны теории, он не затрагивает большой
круг идей, ведущих свое начало от работ Гейзенберга (восходящих еще к старой статье
Ландау и Пайерлса) и связанных с созданием теории ,?-матрицы3).
г) А. И. А х и е з е р, В. Б. Б е р е с т е ц к и й, Квантовая электродинамика,
М.—Л., 1959; см. также обзор В. Б. Берестецкого, УФН, 86, 25 A962). Обзор
эффектов содержат также книги: В. Гайтлер, Квантовая теория излучений,
ИЛ, 1956; А. Соколов, Введение в квантовую электродинамику, М.—Л., 1958.
2) Н. Н. Б о г о л ю б о в, Д. В. Ш и р к о в, Введение в квантовую теорию
полей, М.—Л., 1957.
3)В.Гейзенберг, в сб. «Нелинейная квантовая теория поля», ИЛ, 1959;
в этом сборнике помещен ряд статей по теории ^-матрицы и дан обзор старых работ.

От редактора русского издания
Трудности, возникшие в теории поля, привели к мысли, что теория поля может
быть построена вообще без аппарата, основанного на изучении лагранжиана взаимо-
взаимодействия, непосредственно в терминах состояний свободных частиц и переходов между
ними. Эта точка зрения получила сильную поддержку после работ Ландау и Померан-
чука1), которые привели сильные аргументы в пользу того, что последовательное раз-
развитие лагранжеврй схемы приводит вообще к обращению в нуль всякого взаимо-
взаимодействия (это направление получило название «московского нуля»).
Новое развитие теория ^-матрицы2) получила в последнее время благодаря рабо-
работам Редже3), открывшего важную роль аналитических свойств нерелятивистской
амплитуды рассеяния в плоскости комплексных значений орбитального момента.
В работах Грибова, Чу и других эти свойства были перенесены на свойства реля-
релятивистской амплитуды; при этом была выяснена глубокая связь с высказанной
несколько лет назад теорией Померанчука о поведении полных сечений при очепь боль-
больших, энергиях (равенство сечений для частиц и античастиц). Все эти работы остались
вне рамок книги.
Кроме того, изменился взгляд на проблему доказательства представления Ман-
делстама и дисперсионных соотношений — задачи, которые автору кажутся очень
важными. По-видимому, эти доказательства вообще не могут быть построены в рамках
современного формализма. Аналитические свойства амплитуды рассеяния, по-види-
по-видимому, не могут быть выведены из физических предположений о системе, а представ-
представляют собой далекоидущую математическую экстраполяцию.
Поэтому в современной теории либо вообще отказываются от строгих доказа-
доказательств, либо же пытаются пересматривать основы теории. Успехи теории ^-матри-
цы, во всяком случае, не могут сделать ненужными те направления, которые описаны
в последней гл. 18, в особенности теорию функций Уайтмана4).
Так как в оценке перспектив теории и связанного с этим отбора материала автор
обращает внимание не на все направления, то читателю будет полезно ознакомиться
с цитированной в сносках литературой, без знакомства с которой его представление
о современной теории осталось бы существенно неполным.
Я. Смородинский
х) См. статью Л. Л а н д а у, в сб. «Нильс Бор и развитие физики», ИЛ, 1958.
2) Обзор нового направления в теории S-матрицы содержится в лекциях Дж. Чу
(G. G. Chew, 5-Matrix Theory of Strong Interactions, New York, 1961); в той же
книге помещено несколько основных работ. Много интересного по теории поля можно
найти в сборнике памяти В. Паули «Теоретическая физика 20 века», ИЛ, 1962.
3) Работы по полюсам Редже и библиография собраны в сборнике «Теория силь-
сильных взаимодействий при больших энергиях», ИЛ, 1963.
4) Полезно ознакомиться с различными точками зрения на пути развития теории
в сборнике лекций Семинара по теоретической физике, происходившем в Триесте
в июле—августе 1956 г. (Theoretical Physics, International Atomic Energy Agency,
Vienne, 1963).

Предисловие
Всегда с удивлением видишь, как взрослеют дети, и обнаруживаешь,
что они способны сделать то, что их родители уже не в состоянии
полностью донять. Эта книга служит тому хорошим примером. Сначала
доктор Ф. де Гофман и я представляли ее себе только как короткое
введение в достаточной мере примитивные вычисления по л-мезонам во
втором томе книги «Мезоны и поля», изданной в 1955 г. Доктор Шве-
бер уже тогда превратил первый том в полный учебник по перенорми-
перенормировкам в теории поля. Теперь он стал обширным трактатом по теории
поля вообще.
За шесть лет со времени издания двух томов книги «Мезоны и по-
поля» теория поля успешно развилась. Частично это было стимулировано
экспериментом, например открытием несохранения четности в слабых
взаимодействиях. Однако в большей степени прогресс обусловлен более
глубоким проникновением в основы теории поля при попытках ответить
на центральный вопрос релятивистской теории, который Швебер поста-
поставил в гл. 18 этой книги: «Существуют ли решения перенормированных
уравнений квантовой электродинамики или какой-либо мезонной теории?».
Это исследование повело к аксиоматическому подходу в квантовой тео-
теории поля, который, вероятно, является сейчас наиболее обещающим
и надежным. Он описан в гл. 18.
Около половины настоящей книги посвящено взаимодействию меж-
между полями. Эта новая книга содержит исчерпывающее обсуждение тео-
теории перенормировок, начиная с общих принципов и кончая количествен-
количественными результатами в случае электродинамики. Я не знаю какой-либо
другой трактовки этого предмета, которая была бы столь же полной
и строгой. Физик, интересующийся приложениями теории; поля, будет
рад хорошему изложению теории рассеяния л-мезонов Чу и Лоу, теории,
которая оказалась столь успешной в объяснении я-мезонных явлений
при низких энергиях и которая вытеснила методы, изложенные во
втором томе книги «Мезоны и поля».
В книге подчеркивается значение общих принципов, таких, как сим-
симметрия, инвариантность и т. д., и теория изложена на основе этих
принципов. Поверхностными объяснениями автор никогда не удовлетво-
удовлетворяется. ' Тот, кто действительно хочет знать и понять теорию поля
и работать в этой области, получит большое удовлетворение от этой книги.
Г. Бете
Итака, Нью-Йорк
Март 1961 г.

От автора
Настоящая книга представляет собой результат переработки пер-
первого тома книги «Мезоны и поля», которая была написана профессорами
Бете и Гофманом и мною в 1955 г. Вначале мы хотели пересмотреть лишь
часть содержания той книги и включить в новое издание некоторые изме-
изменения, происшедшие с 1955 г. К несчастью, другие обязанности поме-
помешали Бете и Гофману принять в этом участие. Тем временем я закон-
закончил пересмотр, и в итоге получился по существу новый текст. С доброго
согласия Бете и Гофмана новая книга публикуется под именем одного
автора.
Однако назначение настоящей книги остается тем же, что и того
тома монографии «Мезоны и поля», на котором она основана, в частности
представить простым и независимым образом современное развитие кван-
квантовой теории поля.
Книга предназначается прежде всего в качестве учебника для аспи-
аспирантского курса. Ее цель — довести изучающего до того момента, когда
он сможет обратиться к литературе для изучения последних успехов
квантовой теории поля и начать исследование в этой области. Можно
также надеяться, что книга будет интересна физикам и других специаль-
специальностей, особенно занимающимся твердым телом и ядерной физикой,
которые захотят изучить методы теории поля.
Желание сделать книгу разумным образом оригинальной привело
к тому, что она оказалась объемнее, чем первоначально предполагалось.
Тем не менее большую часть материала было решено включить в книгу,
поскольку мне хотелось изложить большую часть идей, лежащих в основе
современной теории поля.
Чтобы книга все же не переросла приемлемых размеров, я не вклю-
включил в нее швингеровскую формулировку теории поля, основанную на
принципе наименьшего действия. По этой же причине были изложены
лишь некоторые стороны быстро растущей теории дисперсионных соотно-
соотношений. Упоминанием о представлении Манделстама для двухчастичной
амплитуды рассеяния и заканчивается книга. Однако некоторые темы,

10 От автора
не затронутые в тексте, упоминаются в разделе «Вопросы и литература
для дальнейшего изучения».
Читателю, уже привыкшему к множеству различных обозначений,
может быть полезно указание наших обозначений. Операцию комплекс-
комплексного сопряжения мы обозначаем чертой сверху, так что а означает вели-
величину, комплексно сопряженную к а. Эрмитово сопряжение обозначается
звездочкой: (а*)^= а,ц. Наш метрический тензор g^ таков, что goo —
= — ?11= —?22= — ?зз = 1» и мы различаем ковариантные и контравари-
антные тензоры. Матрицы Дирака удовлетворяют соотношениям
yVyv _j_ yVyti _ 2gw. Спинор, сопряженный дираковскому спинору и,
обозначается через и, причем и = и*у°.

Часть первая
ОДНОЧАСТИЧНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

Г Л А В А 1
Квантовая механика
и принципы симметрии
§ 1. Квантовомеханнческнй формализм
Обычная формулировка квантовой механики прежде всего основы-
основывается на постулате, что вся необходимая для физики информация о физи-
физической системе в данный момент времени может быть получена, если извест-
известна функция состояния системы. Эта функция состояния представляется
лучом в комплексном гильбертовом пространстве. Следовательно, если
j W) есть вектор, представляющий физически реализуемое состояние, то
это же состояние представляет и вектор | Y ), помноженный на постоян-
постоянную. Поэтому обычно для описания состояния из числа векторов, принад-
принадлежащих лучу, выбирают один, нормированный на единицу. Условие
нормировки такого вектора состояния j ^Р } записывают в виде ( W |*F) = 1,
обозначая через (%|ЧГ) = (ЧГ|%) скалярное произведение векторов
I %) и | ^ )х). Если состояние нормировано, то остается неопределенным
лишь постоянный множитель, по модулю равный единице. Два вектора,
отличающиеся на такой фазовый множитель, представляют одно и то же
состояние. Предполагается, что совокупность состояний образует линей-
линейное пространство. Это предположение о линейности пространства векто-
векторов состояния называют принципом суперпозиции, являющимся, по-види-
по-видимому, наиболее фундаментальным принципом квантовой механики.
Второй постулат квантовой механики состоит в том, что каждой
измеримой (т. е. наблюдаемой) величине а системы соответствует само-
самосопряженный оператор а = а*, обладающий полной системой ортонор-
мированных собственных функций | а' ) и собственных значений а , т. е.
а\а') = а'\а'), A.1)
<о'|о') = ва.а., A.2)
2| а') (а' | = 1. A.3)
а'
Символ ба. а« понимается как символ Кронекера, если а а а" принадле-
принадлежат дискретному спектру, и как б-функция Дирака б (а' — а"), если
оба они принадлежат непрерывному спектру. Правая часть A.2) равна
нулю, если одно из состояний принадлежит непрерывному, а другое
дискретному спектру. Аналогично, суммирование в соотношении пол-
^ Мы будем также использовать для скалярного произведения обозначение
(/, g); X будет обозначать величину, комплексно сопряженную с X.

14 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
ноты A.3) для непрерывного спектра следует понимать как интегри-
интегрирование.
Следующий постулат состоит в том, что если произведено измерение
для определения значения наблюдаемой а, то вероятность обнаружить
у системы, описываемой вектором состояния \W }, значение а, равное а',
равно величине | ( а' | W ) |2. Другими словами, (а' | Y ) есть ампли-
амплитуда вероятности наблюдения значения а'. Наблюдение над системой,
вообще говоря, будет возмущать систему и, таким образом, изменять
вектор состояния системы. Если в результате измерения над системой
мы найдем, что наблюдаемая а имеет значение а', то вектором (ненорми-
(ненормированным), описывающим систему после измерения, будет [ а' ) ( а' | Y ).
Поэтому повторное измерение, сделанное сразу же вслед за первым, снова
даст значение а' наблюдаемой а. Строго говоря, эти утверждения верны
только в случае наблюдаемой с невырожденным дискретным спектром
собственных значений. Однако эти правила легко могут быть распростра-
распространены на более сложные случаи.
Таким образом, измерение величины а вызывает переход системы
в одно из состояний, являющихся собственными функциями оператора а.
Однако теоретически можно предсказать только вероятность перехода
системы из данного состояния | Y) в любое из этих собственных состоя-
состояний. Если действительно имеется физическая система, находящаяся
в состоянии IY), то измерение позволяет проверить предсказанные
вероятности. Как способ (и, по-видимому, наиболее характерный) при-
приготовления системы в данном состоянии можно рассматривать измере-
измерение первого рода, т. е. измерение, которое, будучи повторено немедленно
вслед за первым, дает вновь тот же результат.
Обычно для определения состояния системы нужно произвести
несколько независимых измерений. В соответствии с этим в квантовой
механике предполагается, что всегда возможно сделать полный наб»р
совместимых независимых измерений, т. е. таких, когда измерения
одних наблюдаемых не возмущают измеренные уже значения других.
Результаты всех возможных совместимых измерений, как доставляющие
максимально возможную информацию о системе, могут быть использо-
использованы для характеристики состояния системы. Для того чтобы два изме-
измерения были совместимы или одновременно выполнимы, необходимо и до-
достаточно, чтобы коммутировали операторы, соответствующие измеряемым
величинам. Самая широкая совокупность наблюдаемых, в которой все
они коммутируют друг с другом, образует «полный набор коммутирую-
коммутирующих операторов» (см. книгу Дирака [181]). Каждой совокупности собствен-
собственных значений полного набора коммутирующих наблюдаемых соответ-
соответствует только одно общее собственное состояние.
Таким образом, понятие акта измерения имеет фундаментальное
значение для формулировки и интерпретации квантовомеханического
формализма. Анализ различных типов физических измерений над микро-
микрообъектами показывает, что почти всякое физическое измерение такого
рода можно описать как процесс столкновения. Достаточно лишь напом-
напомнить, что такие величины, как энергии стационарных состояний или вре-
времена жизни возбужденных состояний, могут быть получены с помощью
измерения эффективных сечений рассеяния. Признание за процессами
столкновения центрального места в квантовой механике имело огромное
значение для развития теории поля в последнее время. Отчасти этим
же объясняется интенсивное развитие нвантовой теории рассеяния в про-
прошедшем десятилетии.

§ 1. Нвантовомеханический формализм . 15
Процесс столкновения состоит в том, что одна частица, падающая,
налетает на другую — частицу мишени — ив результате взаимодействия
с нею рассеивается. Первоначально налетающая частица находится
на большом расстоянии от мишени. Если силы между частицами обла-
обладают конечным радиусом действия, что имеет место почти всегда, то нале-
налетающая частица первоначально движется как свободная. Точно так же
после взаимодействия с мишенью рассеянная частица снова оказывается
вне силового поля и поэтому движется к детектору как свободная частица.
Эксперимент по рассеянию ставится с налетающими частицами, приготов-
приготовленными в определенном состоянии. В эксперименте измеряют угловое
распределение, энергии и другие коммутирующие наблюдаемые рассеян-
рассеянных частиц, удалившихся на большое расстояние от мишени. Поэтому
когда делаются теоретические предсказания, статистическая интерпрета-
интерпретаций должна привлекаться только для начальных и конечных состояний,
•состоящих из свободно движущихся частиц или групп частиц, находя-
находящихся в стационарных состояниях. В этом и заключается важное значе-
значение явлений столкновения с теоретической точки зрения: для таких про-
процессов нет необходимости давать интерпретацию волновой функции системы
частиц, находящихся близко друг к другу и сильно взаимодействую-
взаимодействующих. Из сделанных замечаний следует также вывод о необходимости изу-
изучения волновых уравнений, описывающих свободно движущиеся частицы,
чему и посвящается часть первая настоящей книги.
Из приведенных постулатов вытекает следствие, что каждому реаль-
реальному состоянию соответствует только один луч в гильбертовом простран-
пространстве. Если бы одному и тому же состоянию соответствовало несколько
различных лучей и если | Ч^), J Ч^) и т. д. — нормированные век-
векторы этих лучей, то из неравенства Шварца ) (Wi, W2) | 2 < 1, т. е.
амплитуда перехода из | Tj) в | Т2) была бы меньше единицы, что
невозможно, если оба вектора представляют одно и то же состояние.
Поэтому | Ч^), | ^г) и т. д. могут отличаться друг от друга лишь
постоянным множителем. Однако возможен случай, когда в гильберто-
гильбертовом пространстве существует луч, который не соответствует никакому
реальному физическому состоянию. Такое положение возникает в реля-
релятивистских теориях поля или во вторично квантованной формулировке
квантовой механики. Во всех этих случаях гильбертово пространство может
быть разложено на ортогональные подпространства ??6а, §вв, &?с- • •>
такие, что относительная фаза проекции вектора на каждое подпростран-
подпространство произвольна и неизмерима. Другими словами, если мы обозначим
через \ А, I) базисные векторы, на которые натянуто гильбертово про-
пространство eft]а, а через | В, /) — базисные векторы, на которые натянуто
?№в и т. д., то нет такого физического измерения, которое позволило бы
различить векторы
где а, р, ... — произвольные фазы. Закон, ответственный за расщеп-
расщепление гильбертова пространства на несколько некогерентных ортогональ-
ортогональных подпространств, называют абсолютным правилом отбора, или пра-
правилом суперотбора (см. статьи Вика [847]; Вигнера [860]; Баргманна,
Вигнера и Уайтмана [33]). Правило суперотбора связано с существова-

16 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
нием оператора, коммутирующего со всеми наблюдаемыми, но не крат-
кратного единичному. Если гильбертово пространство состояний @%? расщеп-
расщепляется, например, на два ортогональных подпространства ?%?А и S@b, такие,
что относительные фазы проекций вектора состояний на оба подпростран-
подпространства совершенно произвольны, то произвольно и среднее значение всякого
эрмитова оператора, у которого имеются ненулевые матричные элементы
между состояниями обоих подпространств, при условии, что состояние,
в котором вычисляется среднее, обладает ненулевыми проекциями на оба
подпространства З&а и <§№в- Но, для того чтобы величина была измеримой,
несомненно, она должна обладать определенным средним значением
в любом состоянии. Поэтому эрмитов оператор, связывающий два таких
ортогональных подпространства, не может быть измерим. Примером
подобной ситуации служит гильбертово пространство, состоящее из состоя-
состояний 1, 2, 3, . . ., п, . . . частиц с зарядом е у каждой. Ортогональ-
Ортогональными подпространствами тогда являются системы с определенным пол-
полным зарядом, и эрмитов оператор, связывающий подпространства с раз-
различными полными зарядами, не может быть наблюдаемым. Правило
суперотбора в этом случае есть закон сохранения заряда, или эквива-
эквивалентная ему калибровочная инвариантность первого рода (см. гл. 7,
§7).
Изложенное выше эквивалентно утверждению, что все лучи, принадле-
принадлежащие только одному подпространству, реализуемы, а лучи, обладающие
проекциями на два или более подпространств, не могут быть реализованы.
Если не все лучи реализуемы, то ясно, что нет измерения, которое привело
бы к этим нереализуемым состояниям. Поэтому они не могут быть собствен-
собственными функциями какого-либо эрмитова оператора, соответствующего
наблюдаемой величине для данной физической системы. Следовательно,
чтобы быть наблюдаемым, эрмитов оператор должен удовлетворять некото-
некоторым условиям (правилам суперотбора). В обычной элементарной кванто-
квантовой механике используется одно когерентное пространство, так что можно
различить любые два луча, и все самосопряженные операторы наблю-
наблюдаемы.
Дальше, в квантовой механике постулируется, что операторы коорди-
координаты и импульса частицы подчиняются следующим перестановочным соот-
соотношениям:
[qi,pj] = ihbij (Z, / = 1,2,3). A.4)
Существует математическая теорема (см. книгу фон Неймана [813]), соглас-
согласно которой для частицы без внутренних степеней свободы эти операторы
неприводимы, что означает, что полное гильбертово пространство не имеет
подпространств, которые бы оставались инвариантными при действии
этих операторов. Это свойство эквивалентно утверждению, что любой опе-
оператор, коммутирующий с р и q, кратен единичному и что всякий оператор
является функцией р и q. Описание системы в терминах наблюдаемых р и q
является полным.
Наконец, в квантовой механике постулируется, что динамическое пове-
поведение системы описывается уравнением Шредингера
ihdt\; t) = H\; t), A.5)
где dt = d/dt, а гамильтониан системы Н служит генератором преобразова-
преобразования сдвигов по времени. Здесь мы имеем в виду следующее. Предположим,
что изменение вектора состояния со временем может быть получено действием

§ 2. Шредингеровская и гейзенберговская картины движения 17
оператора U (t, t0) на начальное состояние \;t0), т. е.
\t) = U(t, to)\to), A.6a)
U(t0, io) = l. A.66)
Для сохранения вероятности требуется, чтобы норма вектора не изменя-
изменялась со временем
<*|0 = <*о|'о> =
= (to\U*(t, to)U(t, to)\to), A.7)
и, следовательно, чтобы
U*(t, to)U(t, g = l. A.8а)
. Однако это условие еще не гарантирует унитарность U. Для унитарно-
унитарности еще нужно, чтобы выполнялось соотношение
U(t, to)U*(t, to)=l. A.86)
Это условие будет удовлетворено, если для U выполняется групповое
свойство
u(t, u)U{tu to) = u(t, g. A.9)
Действительно, если в равенстве A.9) положить t = t0 и предположить
справедливость его при t0 < tit то найдем
U(t0, tt)U(U, g = l, A.10a)
откуда
U(t0, и) = и-Ци, t0). A.106)
Умножая A.10а) слева на U* (t0, ti) и используя A.8а), получаем
V{tlt to) = U*{to, t1) = V-1(t0, h). A.10b)
Следовательно, оператор U — унитарный.
Пусть I бесконечно мало отличается от t0, и t — to = 6t; тогда
с точностью до первого порядка по dt можно написать
v(to + bt, to) = i-±mt. (l.ii)
Для унитарности U оператор // должен быть эрмитовым. Оператор //
имеет размерность энергии. Таким образом, при бесконечно малом изме-
изменении времени равенство A.6а) можно переписать в виде^
\to + bt)-\tu) = -^Hbt\to), A.12а)
В пределе 6^—>0 это равенство превращается в уравнение A.5), так как
по определению
dt\t). A.126)
)
6!->0
§ 2. Шредингеровская и гейзенберговская картины движения
Выше, приводя сведения по квантовой механике, мы отмечали, что
состояние системы в некоторый заданный момент времени t определяется
результатами всех возможных экспериментов над системой в этот момент
2 С. Швебер

18 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
времени. Вся информация содержится в векторе состояния | t)s = \Ws(t))~
Развитие же системы во времени находит свое выражение в том, что
вектор состояния зависит от времени и изменяется по закону, который
определяется уравнением Шредингера
Операторы, соответствующие физическим наблюдаемым, Fs, от времени
не зависят; они одни и те же для всех моментов времени: d\Fs = 0. Эти
условия служат определением шредингеровской картины движения, при-
принадлежность к которой мы отмечаем индексом S (см. книгу Дирака
[181]).
Хотя операторы от времени не зависят, их средние значения в каком-
либо состоянии в общем случае зависят от времени. Если обозначим
среднее
то
ih-§r(Fs) = (ys(t)\lFs, Hs]\Ws(t)). A.15).
В шредингеровской картине можно ввести оператор Fs такой, что
по определению
(PB)=-lr(F8). A.16).
Преобразуем теперь вектор состояния [^(О) ПРИ помощи зависящего
от времени унитарного преобразования V (t):
A-176)
Воспользовавшись уравнениями A.13) и A.17а), найдем, что |Ф(?)) под-
подчиняется следующему уравнению:
Если мы выберем зависящий от времени унитарный оператор V, удовлет-
удовлетворяющим уравнению
-i%dtV (t) = V (t) HsV'1 (t)-V (t), A.19>
то преобразованное состояние |Фя) окажется независящим от времени, т. е.
<Э(|Фя) = 0. С учетом унитарности оператора V (t) среднее значение опе-
оператора Fs выражается через состояния |Фя) следующим образом:
= (ФН,
Определим теперь оператор FH (t) согласно
FH(t) = V(t)FsV-*(t), A.21)
так что Fii(t) будет иметь то же среднее значение в состоянии |Фя)г
что и оператор Fs в состоянии | ?s). Дифференцируя A.176) по времени,
получаем соотношение
(dtV)V*+VdtV* =

§ 3. Нерелятивистское уравнение для свободной частицы 19
используя которое совместно с уравнением A.19) и эрмитово сопряжен-
сопряженным ему уравнением, можно вывести уравнение, определяющее времен-
временную зависимость Fu(t):
dtFH (t) = (dtV)'-V*FH (t) + FH (t) VdtV* =
= JL[F#SF*, FH{t)] =
= -f [Hn, FH(t)]. A.23)
Полученное уравнение вместе с условием независимости вектора состоя-
состояния от времени д(|Фя) = 0 и определяют гейзенберговскую картину дви-
движения. Вектор состояния в гейзенберговской картине один и тот же
для всех моментов времени; напротив, операторы зависят от времени.
Вектор состояния системы |Фя) описывает всю историю системы, т. е.
результаты всех возможных экспериментов над системой на протяжении
ее истории. Однако если выполнить реальный эксперимент над системой,
то* вектор состояния изменится. Хотя гейзенберговский вектор состояния
|Фя) не зависит от времени, он может быть задан по результатам, кото-
которые он должен предсказывать для некоторого эксперимента в некоторый
фиксированный момент времени. Например, мы можем выбрать вектор
состояния так, чтобы он совпадал со значением шредингеровского век-
.тора состояния в момент времени t — О, т. е. |ФЯ) = | ^(О)).
Для замкнутой системы, у которой гамильтониан Hg от времени
не зависит, унитарный оператор, осуществляющий преобразование от шре-
дингеровской картины к гейзенберговской, выражается явно в виде
A.24)
где сделано предположение о совпадении картин в момент времени t = 0.
Отметим, что для замкнутой системы Н$ = Нн = Н.
§ 3. Нерелятивистское уравнение для свободной частицы
Для описания физической системы часто бывает удобным фиксиро-
фиксировать систему координат в гильбертовом пространстве, т. е. выбрать пред-
представление. Так как предполагается, что любая наблюдаемая имеет пол-
полный набор собственных функций, на которые натягивается некоторое
подпространство гильбертова пространства векторов состояний, то эти
собственные функции можно использовать в качестве базиса в этом под-
подпространстве. Представление, в котором диагоналей оператор коорди-
координаты1) q, называется координатным, или q-представлением; представление,
в котором диагоналей оператор импульса р, называется импульсным, или
р-представлением. В q-представлении вектор состояния | W) задается
своими компонентами, отнесенными к базисным векторам ]q), которые
являются собственными функциями оператора координаты. Компоненты
(qlY) имеют прямой физический смысл: | (qlY) |a dq есть вероятность
того, что при измерении координат частица будет найдена между q-
q-f-dq. Собственные функции удовлетворяют уравнению
q|q')=q'|q'>, (
Автор употребляет термин «оператор положения». -—Прим. ред.
2*

20 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
а спектр оператора q состоит из точек трехмерного евклидова простран-
пространства. Собственные функции |q') не нормируемы, так как они соответст-
соответствуют собственным значениям, принадлежащим непрерывному спектру;
но их можно нормировать на б-функцию
q"). A.26)
Реальным физическим состояниям соответствуют нормируемые векторы
-состояния, являющиеся волновыми пакетами. Так, частица, локализован-
локализованная в окрестности q'o, может быть представлена вектором
)|q'>, A.27)
где функция / (q'~q'o) как функция q' в основном сосредоточена в
-окрестности q0'. Норма вектора | ) равна
<|>=$dq'7(q')/(q'). ' A-28)
так что состояние | ) будет нормируемо, если / квадратично интегриру-
интегрируема. Условие полноты можно записать следующим образом:
J|q')dq'(q'l = l. A-29)
Вид оператора р в q-представлении получается с помощью переста-
перестановочных соотношений \qi, pj]= ih&ij. Если от этого коммутатора взять
матричный элемент между состояниями | q') и (q" | и воспользоваться
A.29), то получим
/>s|q'>, A.30)
и, следовательно, вспоминая, что х&'(х)~—б(х), найдем
Подобным же образом импульсное представление характеризуется бази-
базисом векторов, обладающих следующими свойствами:
р|р'> = Р'|Р'>, A-32)
(p'|p") = 6<s'(p'-p"), A.33)
)dp'<P'l = l-' A-34)
Представление же для оператора q получается в виде
<Р"Ыр'> = *-^Ирр'>- A.35)
Унитарная функция преобразования (q'|p') от q-представления к р-пред-
ставлению может быть найдена, если скалярно умножить уравнение A.32)
на <q'|:
p'<q'!p'> = (q'|p|p')=$<q'|p|q"><*q"<q"!p'> =
<q'|p'>- A-36)

§ 3. Нерелятивистское уравнение для свободной частицы 21
Решая это дифференциальное уравнение, получаем
<q'|p'> = ;^P'"q\ ¦ A.37)
где с точностью до постоянного фазового множителя, по модулю рав-
равного единице, X = Bnh)-3/v; это следует из требования, чтобы
q' | Р'> dp' <p' | q"> = <q' | q"> = 6<3> (q' - q"). A.38)
Таким образом, волновая функция Ч^ (q') = (q' | Y) в конфигурационном
пространстве связана с волновой функцией Ф(р') = (р'| W) в импульсном
пространстве посредством обычного преобразования Фурье:
* (q') = (q' I ?) = I dp' (q' | p'> (p' | ?> =
Гамильтонов оператор Н для нерелятивистской свободной частицы,
в сущности, может быть определен, если потребовать, чтобы он был
инвариантным относительно сдвигов и вращений и преобразовывался, как
энергия, при преобразованиях Галилея. Инвариантность относительно
сдвигов означает, что Н не зависит от координаты q частицы. И поэтому
он является функцией только р, а с учетом инвариантности относи-
относительно вращений — функцией только р2. Принцип относительности Гали-
Галилея тогда требует, чтобы
где т — масса частицы. Собственные функции \Е) оператора Н опреде-
определяются уравнением
Н\Е') = Е'\Е'). A.41)
Соотношения полноты и ортонормированности теперь запишутся в виде
dE'\ ?')(?'1 = 1, A.42а)
(Е'\Е")=Ь(Е'-Е"). A.426)
Явный вид собственных функций оператора энергии легко может быть
найден в q-представлении путем решения уравнения
&\е')=-?*Ич'\Е') = Е'(ч'\Е'). A.43)
Так как Н и р коммутируют, то можно найти общие собственные функ-
функции этих двух операторов. Легко проверить, что в случае частицы, дви-
движущейся в одном измерении, такой собственной функцией, соответствую-
соответствующей собственным значениям Е и р — ~[^2тЕ, является
(д\Е, p) = C(E)e^q. (!-44)
Нормировочный множитель С (Е), определенный так, чтобы выполнялось
условие A.426), дается выражением
а-45)

22 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
Таким образом,
(д\Е, p) = {2nvb)-V4*V*mE\ . A.46)
где опущен постоянный фазовый множитель, равный по модулю еди-
единице, и где v является скоростью частицы: v = \^2Е/т. Отметим, что для
частицы, описываемой вектором состояния \Е), вероятность иметь коор-
координату в интервале между q и q-{-dq равна \(q\E)\2 dq, что пропорцио-
пропорционально dq/v, т. е. времени, затрачиваемому на отрезок пути dq.
Наконец, в шредингеровскои картине эволюция частицы во времени
определяется уравнением
ihdt\; О = ^Р2|; О. С1-47)
которое в q-представлении имеет вид
ihdtV (q; 1) = —?- V*Y (q; t), A.48)
где Y( /) <| *>
(q ) <q| > .
Этапы, ведущие к уравнению A.48), можно кратко описать, сказав,
что в соотношении, связывающем энергию и импульс свободной нереля-
нерелятивистской частицы
Я^р*, A.49)
Е заменяется оператором ihdt, а р —оператором градиента, помноженным
на—Иг.
E->i%dt, A.50)
р_> -ihV, A.51)
и получающееся операторное равенство применяется к волновой функ-
функции 4r(q; t), описывающей частицу.
Решение уравнения A-47) имеет вид
|; t) = e *2mi 0)|; h). A.52)
Таким образом, оператором сдвига во времени U (t, t0) в этом случае
является оператор ехр —ТГ^~(^ —'") • ^ q-представлении можно
записать
<q|; 0= 5 dqo.{q\U(t, to)\qo) {qo\; *„>,. A-53)
или эквивалентно ,
Y(q; t)=^dqoK(qt; qoto)W(qo; t0), A.54)
где
t, to)\qo) =
4-p-(q-qo) ~"T "^r('~'o> ,\ ca
Из того, что U(t, t) = i, следует условие K{qt; qat) — 6<3) (q — q0), кото-
которое явно удовлетворяется выражением A.55) и требуется для того, чтобы
A.54) при t = t0 превращалось в тождество. Дальше, выражение A.52)

§ 4. Симметрии и квантовая механика 23
определено только при t > t^, в связи с чем К также определено лишь
при <><о- Удобно принять, что К = 0 при t < t0. Это условие можно
учесть, записав
t, to)\qo), A.56)
где Q(t) — функция Хевисайда, определяемая согласно
0 (t) = 1 при t > О,
= 0 при t<0, A.57)
так что
*±P A.58)
Из A.56) теперь легко вывести дифференциальное уравнение, которому
подчиняется К:
¦ibdtK{qt\ q0t0) = ih6(t-t0)(q\U(t, to)\qo) + ibQ{t-t0){q\dtU(t, to)\qo) =
= ibd(t-toNw{q-q0)-4i~VlK(qt, qoto), A.59)
где учтено, что U (t, t) = l. Здесь К — функция Грина, которая дает
решение задачи Коши для нерелятивистского уравнения Шредингера, опи-
описывающего движение свободой частицы.
§ 4. Симметрии и квантовая механика
В данном выше «выводе» уравнения Шредингера для свободной час-
частицы существенную роль играло требование инвариантности гамильто-
гамильтониана относительно некоторых преобразований. Сейчас мы несколько
-более подробно проанализируем роль, которую играют принципы инва-
инвариантности в формулировке квантовой механики (см. статьи Баргманна,
Вигнера и Уайтмана [33], Вика [850] и особенно Вигнера [859, 862,
¦863, 864], а также Хагедорна [354] и Уайтмана [855]).
Возможность извлечь законы движения из хаоса окружающих нас
явлений основывается на том, что
а) для данной физической системы можно создать поддающуюся
регулировке совокупность необходимых начальных условий и, что более
-существенно, ,
б) при задании одной и той же совокупности начальных условий
результирующее движение системы будет одинаковым независимо от того,
где и когда эти условия были осуществлены (по крайней мере в ближайшей
к нам части Вселенной).
На языке принципов симметрии второе утверждение означает, что
законы природы не зависят от положения наблюдателя или, другими сло-
словами, законы движения ковариантны по отношению к смещениям в про-
пространстве и времени, т. е. относительно преобразований
х-»х + а, A.60а)
t-*t + x. . A.606)
•Эксперименты также свидетельствуют о том, что пространство является
^изотропным, так что ориентация события в пространстве есть несуществен-

24 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
ное начальное условие. Этот принцип может быть сформулирован в форме*
утверждения, что законы движения инвариантны относительно простран-
пространственных вращений. Далее, закон движения Ньютона утверждает, что-
состояние движения, пока оно равномерное и прямолинейное, также
является несущественным начальным условием. В этом состоит принцип
относительности Галилея, гласящий, что законы природы не зависят от
скорости наблюдателя или, более точно, что законы движения класси-
классической механики инвариантны относительно преобразований Галилея. Эти
принципы симметрии обычно формулируются в терминах двух наблю-
наблюдателей О ж О', находящихся в определенном отношении друг к другу.
Например, наблюдатель О может двигаться с постоянной скоростью отно-
относительно О' так, что координаты точек пространства и отсчеты времени
в соответствующих координатных системах будут связаны уравнениями
t' = t. A.616)
Принцип относительности Галилея означает тогда, что «законы природы»
одинаковы для обоих наблюдателей, т. е. что для обоих наблюдателей;
уравнения движения имеют одну и ту же форму. Поэтому уравнения дви-
движения должны быть ковариантными относительно преобразований A.61а).
и A.616). Если два наблюдателя используют инерциальные системы
координат (т. е. такие, в которых законы движения одинаковы), то
говорят, что наблюдатели эквивалентны.
Указанные выше принципы инвариантности были установлены экспе-
экспериментально, однако онимогут иметь ограниченную область применимости.
Так, принцип относительности Галилея впоследствии заменился лоренц-
инвариантностью, а открытие несохранения четности в слабых взаимодей-
взаимодействиях лишний раз подчеркнуло, что принципы инвариантности и их след-
следствия должны проверяться экспериментально.
В классической области понятие принципа инвариантности может
быть сделано точным и ясным с помощью представления о полном описа-
описании физической системы. Описание является полным, когда строго опре-
определены траектории всех частиц и все поля во всех точках пространства
для всех времен. Тогда уравнения движения позволяют проверить, может
ли система в действительности развиваться так, как предусматривается
полным описанием. Как установлено Хаагом (неопубликовано, но цити-
цитируется у Вигнера [863]), принцип инвариантности требует тогда выполне-
выполнения следующих трех постулатов:
1. Полное описание физической системы можно преобразовывать
из одной системы координат в любую другую эквивалентную систему
координат.
2. Преобразование динамически возможного описания снова должно-
приводить к динамически возможному описанию.
3. Критерии динамической возможности полного описания должны
быть тождественны для эквивалентных наблюдателей.
Постулат 2 равносилен утверждению, что движение, возможное для
одного наблюдателя, должно быть возможным и для любого другого наблю-
наблюдателя. Постулат 3 требует инвариантности вида уравнения движения,
В квантовой механике постулат 1 остается неизменным. Это означает,
что существует вполне определенная связь между координатами, припи-
приписываемыми пространственно-временным точкам каждым наблюдателем,.

§ 4. Симметрии и квантовая механика . ¦ 25'
между векторами, которые каждый наблюдатель сопоставляет данной
физической системе, и между наблюдаемыми системы. Постулат 2 обычно
формулируют в терминах вероятностей переходов, и он состоит в том, что-
вероятность перехода не зависит от системы отсчета. Другими словами,
различные эквивалентные наблюдатели делают одно и то же предсказание
о результате эксперимента, который ставится над системой. Заметим, что
эта система находится в различном отношении к каждому из наблюдате-
наблюдателей. Наблюдатель О будет приписывать состоянию системы вектор
| Wo), в то время как наблюдатель О' будет описывать состояние этой же
системы вектором | W0'). Однако мы будем предполагать, что если даны
две системы So и S0', которые находятся в одинаковом отношении к пер-
первому и второму наблюдателям соответственно (т. е. значения наблюдае-
наблюдаемых системы So, измеренные наблюдателем О, такие же, как значения
наблюдаемых So>, измеренных наблюдателем О'), то наблюдатели будут
описывать состояние своих систем одним и тем же вектором. Обозначим
через | Wo-) вектор, полученный преобразованием вектора | Wo)- Постулат 2.
означает, что если \Wo) и |Ф0) суть два состояния, a \Wo') и |Фо-)
получены путем их преобразования, то
\{W0, Фо)|2 = ЮРо', Фо-I2- A-62)
Если все лучи в гильбертовом пространстве различимы, то из A.62) сле-
следует (см. статью Вигнера [865]), что соответствие | Wo) —> | 4V) осуще-
осуществляется унитарным или антиунитарным1) оператором U(O', О), т. е.
IYO') = U(O\ O)\WO), A.63).
где U зависит от систем координат, между которыми он устанавливает
соответствие, причем U(O',O) — I, если О'— О.
Постулат 3 теперь означает, что U может зависеть только от соот-
соотношения между двумя координатными системами, а не от внутренних
свойств каждой из них. Например, для преобразований Лоренца U (О', О)
должно быть тождественно с U (О'", О"), если наблюдатель О'" так относится
к О", как наблюдатель О' к О, т. е. если О" получается из О" тем же
преобразованием Лоренца L, которым О' получается из О. Если бы эта
было не так, то существовало бы внутреннее различие между системами
О', О и О"', О". С точностью до множителя, равного по модулю единице,
оператор U полностью определяется преобразованием L, которое пере-
переводит О в О'. Мы пишем
A.64)
где U(L) = I, если L — тождественное преобразование, т. е. если О и О'—
одна и та же координатная система. Если рассмотреть три эквивалент-
!) Напомним, что оператор U называют унитарным, если для каждой пары
векторов V и X в гильбертовом пространстве е®имеем (W, 11%) = (У, %) и каждый век-
вектор Ф в &6 может быть записан в виде Utp, где ср принадлежит &6. Из этого опре-
определения и свойств скалярного произведения следует, что U является линейным
оператором, причем существует обратный оператор U~l, равный эрмитово сопря-
сопряженному оператору U~1=U*. Оператор U называют антиунитарным, если для каж-
каждого Ч? и х из &е имеем
Антиунитарный оператор поэтому антилинеен:
U [а | ?> + Р | Х>] =aU | ?> +fU7 | X).
Отметим, что произведение двух антиунитарных операторов унитарно.

26 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
ные системы отсчета, то мы должны получить одно и то же состояние,
переходя из первой системы отсчета О во вторую О' — 1цО, а затем
в третью О" = LiP',. или прямо переходя из первой в третью: O" — L?P,
L^L^. , A.65)
Поэтому
| То») = U (L2) U (L,)| ?o> = U (L3)\ ?o), A.66)
откуда следует
U (L,) = со (L2l L,) t/ (L2) t/ (L,), A.67a)
t/(l) = I, A.676)
где to — число, по модулю равное единице, которое может зависеть от
Li и L2 и возникает из-за неопределенного множителя с модулем едини-
единица у векторов состояния. О совокупности U, удовлетворяющих A.67а)
и A.676), говорят, что они образуют (унитарное или антиунитарное)
«представление с точностью до множителя» группы преобразований, отно-
относительно которой наблюдатели эквивалентны. Например, в специальной
теории относительности такая группа есть группа неоднородных преоб-
преобразований Лоренца. Таким образом, приходим к математической проблеме
нахождения всех представлений (с точностью до множителя) интересую-
интересующей группы.
Из постулата 2 и из того, что все системы отсчета, которые могут быть
получены преобразованием симметрии, эквивалентны для описания систе-
системы, следует, что вместе с | Yo) состояние U (L) | Yo) также должно быть
возможным состоянием физической системы с точки зрения наблюдателя О.
Таким образом, релятивистская инвариантность требует, чтобы простран-
пространство векторов, описывающих возможные состояния квантовомеханической
системы, было инвариантным относительно всех релятивистских преобра-
преобразований, т. е. наряду с каждым вектором | *F) оно должно содержать все
векторы U (L) | У), получающиеся при всех релятивистских преобразо-
преобразованиях L. Такая формулировка дает конструктивное выражение реляти-
релятивистской инвариантности (см. статью Баргманна, Вигнера и Уайтмана
[33]): исходные и преобразованные состояния относятся теперь к одной
и той же системе отсчета. Заметим, что для преобразований симметрии,
которые могут быть получены непрерывным образом из тождественного
(т. е. без отражений), преобразованные состояния могут всегда быть полу-
получены из первоначального состояния некоторым реальным физическим воз-
воздействием на физическую систему. Рассмотрим, например, преобразование
Лоренца вдоль оси х со скоростью v. Состояние, полученное преобразо-
преобразованием из | То), есть U (v) | ?о)- Это то состояние физической системы,
которое видит наблюдатель О'. Однако оно является также возможным
состоянием для системы с точки зрения наблюдателя О и может быть
реализовано, если придать физической системе скорость—и вдоль оси ж.
Что касается отражений, например отражения времени, то в общем случае
нет такого способа реализации. Инвариантностью теории относительно
такого преобразования симметрии фактически постулируется существова-
существование преобразованного состояния, но не обязательно дается процедура
для его реализации.
Для квантовомеханических приложений важность нахождения всех
унитарных представлений релятивистской группы обусловлена тем, что
если такое унитарное представление найдено, то оно фактически может
заменить волновое уравнение для системы. Так, если гейзенберговский
вектор состояния | Т)н, использовавшийся выше для описания нашей
системы в системе отсчета О, совпадает со значением шредингеровского

§ 5. Вращения и внутренние степени свободы 27
вектора состояния | W @))s в момент времени t — 0, то шредингеровский
вектор состояния в момент времени t0 может быть получен преобразова-
преобразованием к системе отсчета О', в которой t' = t — t0, а другие координаты
не преобразованы. Если L — это преобразование, то
A.68)
Таким образом, определение всех унитарных представлений неоднород-
неоднородной группы Лоренца (см. работы Вигнера [857], Баргманна и Вигнера
[31], Широкова [726, 727]) эквивалентно нахождению всех возможных
релятивистских волновых уравнений.
Чтобы сделать эти идеи ясней, мы рассмотрим в следующем пара-
параграфе представления трех- и четырехмерной групп вращений.
§ 5. Вращения и внутренние степени свободы
Связь между координатами точек трехмерного пространства для двух
наблюдателей, системы координат которых повернуты друг относительно
друга вокруг общего начала, имеет вид
х' = Дх A.69а)
лли
3
х\= 2 rikxk = rihxh. A.696)
{Мы будем придерживаться соглашения о суммировании по парным индек-
индексам.) Длина вектора и угол между векторами остаются неизменными при
вращениях, т. е.
x'iy'i=Xiyl. A.70)
Следовательно,
RRT = RTR = I, A.71)
т. е. вращения представляются ортогональными матрицами. Из A.71)
следует
det RRT = det RT det R = (det RJ = 1,
так что для матриц, удовлетворяющих A.71), det R = ±1. Преобразова-
Преобразования, для которых det R = +1, называют собственными преобразова-
преобразованиями или вращениями, а те, для которых det R = —1, называют несоб-
несобственными ортогональными преобразованиями. Примером несобственного
преобразования является отражение в начале координат, которое пред-
представляется матрицей
1 0 ОХ
0-1 0 , A.72)
0 0 -1/
причем (R-J = +1. Преобразование R- соответствует переходу от пра-
правой системы координат к левой. Каждое несобственное преобразование
R' с det R' = —1 может быть записано в виде (R'RJ R_, т. е. как отра-
отражение R_, вслед за которым уже выполняется вращение; в самом деле,
det R'R- — det i?'-deti?_= (—IJ = -\A. Совокупность всех вращений
в евклидовом трехмерном пространстве образует группу — группу вра-
вращений. Группа всех вращений вместе с отражениями называется ортого-
ортогональной группой. Так как каждый элемент группы может быть охаракте-

28 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
ризован заданием трех непрерывно изменяющихся параметров (например,
направляющих косинусов оси, вокруг которой совершается вращениег
и угла поворота), то группа вращений является непрерывной трехпарамет-
рической группой. Число параметров группы называется размерностью»
группы. Мы хотим определить все представления группы вращений.
Вообще представление какой-либо группы G есть отображение (со-
(соответствие), сопоставляющее каждому элементу g из G линейный оператор-
Tg, действующий в некотором векторном пространстве V, и притом
такое, что сохраняется таблица умножения для группы, а единица е груп-
группы G отображается тождественным преобразованием / в V1). Это озна-
означает, что если е, gi, g2, ёз и т. д. суть элементы G и если этим элементам
сопоставлены линейные операторы Те, Tgl, Tg2, Tg3 и т. д., действующие^
в V, то эти операторы образуют представление группы G, при условии,,
что
Те = 1 A.73а>
и
ТЙ1ТЙ2 = Тв1Й2. A.73б>
Если Tg представлены матрицами, то говорят о матричном представлении.
В квантовой механике в действительности представляет интерес сопостав-
сопоставление элементу группы целого луча, когда и Т g и exp (iag) • Tg, где ag
произвольная вещественная константа, соответствуют одному и тому
же элементу группы. В этом случае выражение A.736) заменяется на
TgxTgi = со (gi, g2) TglSi. Однако Вигнер показал [865], что при помощи
подходящей нормировки от сопоставления луча можно прийти к однознач-
однозначному соответствию. Баргманн [34], кроме того, показал, что для групп,,
представляющих интерес для физических приложений (группа вращений,
группы Галилея и Лоренца) при подходящем выборе Tg (напомним, что-
Tg и Tg exp ia представляют один и тот же элемент группы) со либо равна
+ 1 (ограниченная группа Лоренца и группа вращений), либо может быть-
выражена довольно простым образом (группа Галилея).
Подпространство Ft пространства V называют инвариантным под-
подпространством относительно представления Tg, если все векторы v в Ft
преобразуются по Tg в векторы z/, снова принадлежащие Fj, и это спра-
справедливо при всех преобразованиях Tg. Если единственными подпростран-
подпространствами V, инвариантными относительно представления g —> Tg, являются
все пространство и подпространство, состоящее из одного нулевого-
вектора, то говорят, что представление является неприводимым.
Существует теорема, которую мы приведем без доказательства (см.
работы Гельфанда и Шапиро [300] и Вигнера [865]), что скалярное про-
произведение в V всегда можно определить так, чтобы представление группы
вращений в V было унитарным2), т. е. так, чтобы все операторы Tg были
унитарными T*g = Tg~l = Tg-i. Далее, изучение таких унитарных пред-
}) Мы всегда будем рассматривать только непрерывные представления, т. е. такие
представления Tg, для которых (v, Tg w) является непрерывной функцией g для каж-
каждой пары векторов v, w из V. При этом предполагается, что скалярное произведение
в векторном пространстве V определено.
2) Возможность введения такого скалярного произведения существенно зависит
от конечности объема группы, т. е. от ее компактности, так как скалярное произведение
содержит интегрирование по группе. Грубо можно говорить, что группа матриц ком-
компактна, если матричные элементы каждого элемента группы (т. е. матрицы, представ-
представляющей этот элемент группы) ограничены. Это так в случае группы вращений, но
уже не справедливо в случае группы Лоренца [ср. формулы A.78) и B.10)].

§ 5. Вращения и внутренние степени свободы 29
«тавлений компактных групп может быть сведено к изучению неприво-
неприводимых представлений. Если у V существует подпространство F4, инва-
инвариантное относительно Tg, то тогда ортогональное дополнение Vit VJ-,
т. е. совокупность всех векторов, ортогональных к Vit также инвариантно
¦относительно Tg.
Доказательство: Если Vi— элемент Vi, a w ¦— элемент V~-, то вслед-
вследствие унитарности Tg имеем O = (o1,mt) = (rg0i, Tgw). Теперь, по пред-
предположению, Tgvt = v[ снова является элементом F4, и (v[, Tgw) = 0
для любого Tg, а значит и для всех Tg. Поэтому совокупность векторов
Tgw для всех w из FJ- являются элементами FjL, и, следовательно, V^- инва-
инвариантно относительно Tg. Таким образом, V разложилось на два инва-
инвариантных подпространства. Во многих случаях этот процесс может быть
продолжен, пока не останутся только неприводимые представления. Для
компактных групп (и поэтому, в частности, для группы вращений) известно
.(см., например, книгу Понтрягина [648]), что этот индуктивный процесс
разложения инвариантных подпространств на инвариантные подпро-
подпространства имеет предел. Все неприводимые представления являются
конечномерными и любое представление есть прямая сумма1) неприводи-
неприводимых конечномерных представлений. Наконец, следует отметить, что инте-
интерес представляют только неэквивалентные неприводимые представления.
0 двух представлениях Т и Т' говорят, что они эквивалентны, если суще-
существует такое взаимнооднозначное соответствие у<—> v' между векторами
пространств представлений, что если v соответствует v , то вектор Tgv
соответствует вектору T'gv' для всех g и для всех пар векторов у и у'.
Это взаимно однозначное соответствие может быть представлено (унитар-
(унитарным) оператором М, так что v' = Mv и v = M'1 v'. Для эквивалентных
представлений MTgv = Tgv = MTgM~lv' для всех v. Таким образом,
два представления эквивалентны, если существует такой оператор М,
что T'g = MTgM~x, Два эквивалентных представления могут рассматри-
рассматриваться как реализации одного и того же представления в терминах двух
различных базисов в векторном пространстве.
Далее, каждое вращение является вращением вокруг некоторой оси,
так что оно может быть характеризовано заданием оси вращения, т. е.
•оси, вокруг которой осуществляется поворот и величины угла поворота.
Таким образом, вращение может быть задано вектором X, направленным
вдоль оси вращения и равным по величине углу поворота. Так, вращение
вокруг оси 1 задается вектором (Я,, 0, 0), вокруг оси 2 — вектором @, X, 0)
и т. д. Очевидно, что вектор вращения к = (Я-!, Я2, Я,3) имеет J X | < я
и что векторы вращения, описывающие все возможные вращения, запол-
заполняют шар радиуса я. Различные точки внутри шара описывают различ-
различные вращения, а две диаметрально противоположные точки на поверх-
поверхности шара — одно и то же вращение, и должны быть отождествлены.
Таким образом, элемент группы может рассматриваться как функция Я,,
т. е. g = g (Я.), и то же относится к представлению: Tg = T (%). Вектор
1 = 0 соответствует тождественному преобразованию
Т@) = 1. A.74)
*) Пусть D, Dit D2 — три квадратные матрицы; тогда, если
ID, 0 \
\ О D2I
то говорят, что D — прямая сумма Dj и D2, и записывают это в виде D =

30 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
В дальнейшем фундаментальную роль будут играть бесконечно малые
вращения вокруг той или иной оси. Их важность связана с тем, что они
порождают однопараметрические подгруппы и что любое конечное враще-
вращение может быть построено как последовательность бесконечно малых.
Следует также отметить, что бесконечно малые вращения коммутируют
друг с другом, тогда как конечные вращения в общем случае не коммути-
коммутируют. Пусть Rl3) (9) будет матрицей поворота на угол Э вокруг оси 3,
а пусть определена матрица
° DC) /П\ I /я пг\
3 — 5~ " У3) 8=0• 11. #01
Оператор А3 называют генератором вращений вокруг оси 3. При беско-
бесконечно малом 6 можно записать
Rw (е) = 1 + А3е + Члены порядка е2. A.76)
Теперь вращение Ri3} (8) на угол 8 вокруг оси 3 может рассматриваться
как результат п поворотов на угол 6/га. Поэтому мы можем написать
п
Аналогичным образом можно определить генераторы вращений вокруг
осей 1м 2. Так как
(cos 8 sin8 0\
-sin9 cose 0), A.78)
0 . 0 \)
то явным видом для А3 будет
/ о i о\
Л3 = -^-Л<3)F) = -1 ° ° A.79а)
с/е 9=° у о о оу
и аналогично
/0 0 0^ /0 0 —1\
A.796)
Можно проверить, что генераторы At(i= 1,2,3) удовлетворяют следую-
следующим перестановочным соотношениям:
A.80)
где Eijk — полностью антисимметричный тензор 3-го ранга с компо-
компонентами, равными -|-1, если Ijk есть четная перестановка 12 3, равными.
— 1, если перестановка нечетная, и равными нулю в остальных случаях.
Следует отметить, что оператор отражения R-. A.72) коммутирует со-
всеми вращениями
[Д_,Л,] = 0 (i=l,2,3). A.81)
Вращения вокруг фиксированной оси образуют коммутативную одно-
параметрическую подгруппу группы вращений. В общем случае однопара-
метрическая подгруппа a (t) некоторой группы G является «кривой» груп-
группы (т. е. непрерывной функцией от вещественной линии в G), такой, что-
a(t)a(s) = a(t + s). A.82)

§ 5. Вращения и внутренние степени свободы 31
Ясно, что а @) = е — единичный элемент, а (—t) = [a (t)]'1 и
a(s)a(t) =? a(t)a(s). Для групп, которые мы будем рассматривать,
(группа вращений и группа Лоренца), окрестность единичного элемента
(бесконечно малые преобразования) может быть «заполнена» сегментами
однопараметрических подгрупп, причем у любой пары таких сегментов-
общим элементом является только единичный. Под сегментом понимается
совокупность элементов a (t), соответствующих значениям | t |, меньшим
некоторого фиксированного значения. Рассмотрим теперь производную
a (t), взятую при a (t) = е, т. е. элемент
который аналогичен выражению A.75), приведенному выше. Если кри-
кривые a (t) и b (t) имеют соответственно производные а и р\ то кривая
с (t) = a (t)b (t) обладает производной а + р. Совокупность производных
является векторным пространством относительно сложения и умножения
на скаляры. Оно замкнуто относительно скобочной операции, обозначае-
обозначаемой [оф] и определяемой согласно
(а ^ Ъ О М (> Ь'1 W
Скобочная операция [ар*] обладает свойствами антисимметрии при пере-
перестановке а с Р и линейности по каждому множителю, а также удовле-
удовлетворяет тождеству Якоби
[ар]=-[Ра], A.85а)
A.856)
[[ар] у] + f[Y«] Р1 + HPY] «1 = 0- A.85в)
Это векторное пространство с определенной сейчас операцией умноже-
умножения называется алгеброй Ли групцы. Размерность алгебры Ли равна
размерности группы. Каждому элементу а алгебры Ли соответствует
единственная однопараметрическая группа a(t) — expat [ср. формулу A.77)].
Для групп матриц скобочная операция [ар] есть коммутатор аи р, т. е.
[аР] = [а, Р] = аР —Ра. Если в этом случае линейно независимую совокуп-
совокупность элементов алгебры Ли размерности п обозначить через а,
(i= 1, 2, . . ., п), то свойство замкнутости выразится соотношением
п
[ai, olj] = 2 с*аА, A.86)
где постоянные коэффициенты с*, являются так называемыми структур-
структурными константами, характерными для группы. Доказательство A.86),
имеющее лишь эвристическое значение, может быть проведено следующим
образом: нужно показать, что левая часть A.86) принадлежит к нашей
алгебре Ли и, следовательно, может быть выражена в виде линейной
комбинации at. Рассмотрим элемент
с (s, 0 = esai eiai e~sai e~taJ A.87a)
(здесь нет суммирования по i и /), который при бесконечно малых s и t
принимает вид
с E, t) = 1 + st [<х„ а,-] + ... A.876)

'32 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
Заметим, что элемент c(s,t) однозначно определяется параметрами s и t.
При бесконечно малых s и t должно иметь место представление
c(s, 0 = 1 + * ( 2 <*i"k) + t ( 2 <%"*) + *t ( 2 <*Jaft) + A-88)
fe=l fc=l fc=l
Так как с @, t) — c(s, 0)=l, то dj* = d? = O при всех к. Таким образом,
сравнивая оба разложения, получаем
п
[а«а,]= 2 <**<**, A-89)
что и доказывает A.86). Очевидно, что dj зависят от i и / и могут быть
записаны как с?..
Представление алгебры Ли есть соответствие а —» Л (а), которое каж-
каждому элементу а алгебры сопоставляет линейный оператор А (а), дейст-
действующий в векторном пространстве V таким образом, что
А(а + $) = А(а) + Аф), A.90а)
А(са) = сА(а), A.906)
А ([ар])- [А (а), А$)] = А(а)Аф)-Аф)А(а), A.90в)
т. е. скобочная операция отображается коммутатором, который автома-
автоматически удовлетворяет A.85). Представление алгебры Ли группы одно-
однозначно определяет представление самой группы. Проиллюстрируем эти
замечания на примере группы вращений.
Алгебра Ли группы вращений состоит из трех линейно независимых
операторов Аи А2 и А3, удовлетворяющих соотношению A.80); и эти
операторы порождают одноиараметрические подгруппы вращений вокруг
трех пространственных осей. Бесконечно малый поворот вокруг е на
угол | е | может быть записан в виде
R(e) = I + siAi + e2A2 + e3A3 + O(e*) = l + eiAi+... . A.91)
Соответствующий оператор представления запишем
Г(е) = Г(е1, б2, 83) = / + е1М1 + е2Л^2 + е3М3 + О (е2), A.92)
где Mi образуют представление генераторов алгебры Ли и удовлетворяют
перестановочным соотношениям
[M,,M;]=-e,;ftMfc. A.93)
Теперь покажем, что оператор Т {%,) при произвольном к полностью
определяется генераторами Ми Мг и М3, а также X,, и выражается через
эти величины следующим образом:
Т (ki, ХгЛз) = e»-i*i+»*M*+'l*M». -A.94)
Доказательство: Так как два поворота вокруг одной и той же оси
коммутируют, то \
R(sb)R(tk) = R((s + t)k) A.95)
и, следовательно,
A.96)
Дифференцируя обе части этого равенства по s, заменяя в правой части
дифферещирование по s .дифференциррванием по t и полагая всюду

§ 5. Вращения и внутренние степени свободы 33
s = 0, получаем, воспользовавшись формулой A.92),
4- Т (Щ = ~Т (sk) • Т (a)|s=0 = (МД, + Мг%% + М3%ъ) Т (Щ. A.97)
Уравнение A.97) есть дифференциальное уравнение, определяющее Т {t"k).
Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию A.74)
Г@) = /, как раз и дается выражением A.94).
В унитарных представлениях операторы Т унитарны а, следователь-
следовательно, операторы Mj антиэрмитовы:
Щ=*-М]. A.98)
Поэтому операторы /( = —iMt будут эрмитовыми. Они удовлетворяют
обычным перестановочным соотношениям для операторов момента коли-
количества движения
[Ji, Jm] = iBimnJn. A.99)
Проблема нахождения всех неприводимых представлений группы
вращений эквивалентна нахождению всех возможных совокупностей
матриц /i,-/2. J3, удовлетворяющих перестановочным соотношениям
A.99). Ясно, что каждое неприводимое представление непрерывной груп-
группы является также представлением в окрестности единичного элемента
(бесконечно малые преобразования), хотя обратное необязательно спра-
справедливо. Вообще же если мы найдем все неприводимые представления
группы G в окрестности единичного элемента, т. е. найдем все представле-
представления генераторов, то мы получим все неприводимые представления самой
группы, элементами которых будут экспоненты вида A.94). Однако воз-
возможно, что некоторые из полученных этим способом неприводимых пред-
представлений группы G непрерывны не на всей группе, а только в окрестности
единичного элемента. Эти разрывные представления должны быть отбро-
отброшены.
В теории представлений групп, осуществляемых комплексными ма-
матрицами, фундаментальное значение имеет лемма Шура (см. статью Виг-
нера [865]), в которой доказывается, что необходимое и достаточное усло-
условие для неприводимости представления состоит в том, чтобы единствен-
единственными матрицами, коммутирующими со всеми матрицами представления,
были матрицы, кратные единичной. Предположим, что алгебра Ли груп-
группы G содержит элемент А, который коммутирует со всеми другими эле-
элементами алгебры Ли. Пусть отображение g-> T (g) будет представлением G,
действующим в векторном пространстве V. Генераторы ( —\ixl> \_0 — а
образуют представление алгебры Ли группы G. Генератор, который в этом
представлении соответствует элементу А, коммутирует со всеми другими
генераторами а, а значит со всеми операторами Т (g). Такие коммутирую-
коммутирующие элементы называются инвариантами группы. Тогда на основании
леммы Шура представление может быть неприводимым тогда и только
тогда, когда векторное пространство, на котором определено представление,
натянуто на множество собственных функций, соответствующих одному
собственному значению этого коммутирующего оператора. Далее, если
мы нашли все независимые инварианты группы, выбрали по одному соб-
собственному значению у каждого из инвариантов и построили представ-
представление, действующее в пространстве, натянутом на соответствующие
собственные функции, то это представление неприводимо, так как каждый
3 С. Швебер

34 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
инвариант в этом аредставлении кратен единичной матрице и, по опре-
определению, нет других операторов, которые коммутировали бы со всеми
элементами группы. Таким.образом, каждому набору собственных значе-
значений всех инвариантов соответствует одно и только одно неприводимое
представление. Поэтому проблема классификации неприводимых пред-
представлений группы сводится к нахождению спектра собственных значений
инвариантов группы.
В случае группы вращений со всеми генераторами коммутирует опе-
оператор J2 — J\-\-J\-\-J\, и поэтому он является инвариантом группы. Его
собственные значения, как хорошо известно из теории оператора момента
количества движения, равны ; (j -\-1), где j' — 0, Уъ, 1, 3/2, 2, . . . . Таким
образом, каждое неприводимое представление характеризуется положи-
положительным целым или полуцелым числом /, включая 0. Размерность непри-
неприводимого представления равна 2/ -f- 1 при любом весе ;, целом или полу-
полуцелом. Переходя к классификации неприводимых представлений ортого-
ортогональной группы, заметим, что линейный оператор Т_, соответствующий
операции отражения R_, коммутирует со всеми вращениями. По лемме
Шура в каждом неприводимом представлении он должен быть кратен еди-
единичному оператору. Таким образом, неприводимые представления орто-
ортогональной группы классифицируются парой индексов (/, t), где второй
индекс является собственным значением Т_, соответствующим данному
представлению. При целых ; имеем t = +1 (ибо Т1 = I), так что суще-
существуют два различных неприводимых представления ортогональной
группы. В одном из них Т_ = -(-/, в другом Т_ = —/.
При j = 0 представление одномерно, каждый элемент группы отобра-
отображается единичным элементом, а генераторы тождественно равны нулю.
Представление, в котором Т_ = -f-7, назовем скалярным, а то, в котором
Т_ = —/, — псевдоскалярным.
При j — Уг представление группы вращений двумерно, и генераторы
f/ могут быть реализованы эрмитовыми матрицами Паули at, умно-
умноженными на Угг.
0 1\ /0 -i\
i о]' аН о)' <
Они удовлетворяют соотношению
OiOj = 6tj + Umah. A.101)
Таким образом, в представлении веса / = х/г оператор поворота на угол Э
вокруг оси 3 записывается в виде
@) = гA/1) @, 0, 6) = е1/^» = ^ -~ (± ;е Y а? -
п0
п=0
1 /ev j_
A.102a)

§ 5. Вращения и внутренние степени свободы 35
Аналогично, в представлении / = V2 записываются и операторы поворотов
на угол Э вокруг осей 1 и 2:
74V2) (э) = 7W2) (9, 0,0) = eV2iea! = cos |_ + iOi sin -| =
A.1026)
M(e)s-rcvi)(o,e,o) = ,
A.102b)
Отметим, что матрицы г?1/2)(9) (i = 1, 2, 3) унитарный имеют детерминант,
равный единице. Отметим также, что поворот на угол 2я вокруг любой
оси дает
фС1/») /q i о_л _ /pi1/а) /рл /л лг\<з\
Таким образом, представление двузначно, и соответствие между элементами
группы и операторами можно выразить R {%) —>• ± Т {%). Для квантово-
механических приложений представляют интерес представления, опреде-
определенные с точностью до множителя, поэтому такие двузначные представ-
представления вполне допустимы.
При /=1 представление трехмерно, и в качестве матричного пред-
представления генераторов Mf можно взять матрицы At, определенные выше
в виде A.79а) и A.796). Обычное же квантовомеханическое представле-
представление для /j при / = 1 имеет вид
/0 1 0\ /0 -i 0^
/i = -?=[l 0 1], /j-AJi 0 -i
\° 4 °У \° * °у
/1 0 0\
/, = @ 0 0 . A.104)
\о о -i;
Оно унитарно эквивалентно представлению, полученному для iAf. Jt соот-
соответствуют базису —^(x + iy), z, -j=(x—iy), вместо обычного декартова
базиса х, у, z.
Величины |, которые при вращении системы координат
x'=Rx A.105)
преобразуются по закону
l' = Ta)(R)l, A.106)
называют скалярами при / = 0, спинорами 1-го~ранга при / = 1/2, векто-
векторами при / = 1 и т. д. При бесконечно малых поворотах на угол г вокруг
/-й оси закон преобразования A.106) принимает вид
A.107)
3*

36 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
Таким образом, скаляр есть однокомпонентная величина, которая при
вращениях х —> Rx преобразуется по закону | —» |' = \. Спинор 1-го
ранга является двухкомпонентной величиной
A.108)
которая при бесконечно малых поворотах на угол е вокруг Z-й оси
О^ ь **- rvi _^_ /у I О О - .. 'У f / Л Л I \УЛ |
преобразуется по закону
Как было отмечено выше, при вращениях на любой конечный угол спи-
спинор 1-го ранга преобразуется при помощи унитарной магрицы размер-
размерностью 2x2 и с детерминантом, равным единице. Наконец, вектор
является трехкомпонентной величиной
A.111)
компоненты которой |г (г = 1, 2, 3) при вращении A.105) преобразуются
так же, как сами координаты.
Для свойств тензоров и спиноров при отражениях имеет место сле-
следующая классификация. При целых / имеются два типа величин, преобра-
преобразующихся при отражениях по Г_ ==/ и по Г_= —/. Величины, преобра-
преобразующиеся с помощью Г</> = ( —1K+1, называют псевдовеличинами. Так,
псевдоскаляр — это величина, преобразующаяся при отражениях по закону
?—> ?'= — |. Аналогично, псевдовектор (или аксиальный вектор) —это
величина, которая при отражении A.72) преобразуется по закону \—>|' —|.
Для спиноров мы имеем несколько более запутанную ситуацию. О ней
будет сказано после введения понятия сопряженного спинора.
Сопряжение спинора | выполняется обычным образом путем транс-
транспонирования и комплексного сопряжения. Таким образом, при / = 1/г
спинор |*, сопряженный к \, имеет вид
!* = Aь!2). A.112)
При бесконечно малом повороте вокруг Z-й оси он преобразуется по закону
A.113)
Теперь определим скалярное произведение для спиноров, которое позволит
нам строить из спиноров определенные комбинации. Скалярное произ-
произведение двух спиноров х и | определяется согласно
Из спиноров можно составить новые величины, которые имеют опреде-
определенные трансформационные свойства при вращениях. Так, величина %*|
при бесконечно малом повороте A.109) преобразуется согласно
(по / суммирования нет) A.115)

§ 5. Врагцения и внутренние степени свободы 37
т. е. как скаляр. Доказательство для конечных поворотов столь же
просто: так как ГA/2) (>,) при любом к представляется унитарной матрицей
размерности 2x2, то %*1 —> %*'?' = y*TWi)*TW2)?, = %*g. Аналогично про-
проверяется, что величина %*<*? ПРИ вращении A.109) преобразуется, как
вектор
* [О/, О;] ? = х*оД + еегдХ*стй?- A.116)
2 "
Последнее выражение и есть закон преобразования вектора. Отметим, что
хотя спинорные представления двузначны, величины %*? и %*atl, после
поворота на угол 2я вокруг любой оси принимают первоначальное зна-
значение. Наблюдаемая величина, хотя и не может быть представлена спи-
спинором (из-за того, что последний изменяет знак после поворота на угол 2я),
может представляться билинейной комбинацией спинорных величин, так
как подобная комбинация обладает однозначными трансформационными
свойствами при вращениях.
Теперь вернемся к вопросу о свойствах спиноров при отражениях
(см. книгу Картана [109]). Для этой цели удобно сперва рассмотреть
отражения в плоскости и, в частности, отражения в координатных пло-
плоскостях. Рассмотрим отражение
Х^ > Х±~ — Х\,
Х2-^х'2 = х2, A.117а)
ж3 -> ж; = Хг
или
A.1176)
\ 0 0 iy
причем
R\. = l. A.118)
Легко проверить, что i?4_ обладает следующими соотношениями комму-
коммутации с генераторами вращений:
№_, AzU-[R^A2]+= , (i iig)
где [С, D\+— антикоммутатор С и D, т. е.
[С, D]+ = CD + DC. A.120)
Оператор любого представления, соответствующий Ri~, должен удовле-
удовлетворять таким же правилам коммутации с генераторами того же пред-
представления, т. е.
IT,., Ml] = 0. (
В случае. представления веса / = г/2 эти перестановочные соотношения
вместе с условием Т\_ = 1 позволяют заключить, что при рассматривае-
рассматриваемом отражении спинор \ преобразуется по закону
Б—>Б'= +ai?, A-122)

38 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
где мы произвольным образом выбрали знак « + » перед aif т. е. при-
приняли, что Т<М*>= +Oi. в действительности спинор преобразуется по
двузначному представлению группы вращений, и, следовательно,
Т\, = ± 1 (так как мы можем рассматривать два отражения как враще-
вращение на угол 2я). Поэтому представлением оператора отражения могут
служить не только ± аь но и ± iai. Прежде всего мы рассмотрим
случай, когда o"t умножается на ± 1 (см. в этой связи статью Янга
и Тиомно [870]). Можно проверить, что и при отражениях в других
координатных плоскостях Tfi%)'= ± о"; и что, как следствие этих зако-
законов преобразования, спинор при отражении х—> — х преобразуется по
закону
(знак «+» обусловлен двузначностью спинорного представления).
Рассмотрим более общий случай отражения в плоскости Р, прохо-
проходящей через начало координат и перпендикулярной единичному векто-
вектору п. Если мы разложим вектор х на параллельную и перпендикуляр-
перпендикулярную к п составляющие
x = (x-n)n-[nx [пхх]], A.124)
то отражению в плоскости Р будет соответствовать преобразование
х->х'= — n(x-n)— [nx [nxx]] = x — 2п-(х-п). A.125)
Вектор х' является зеркальным отражением вектора х в плоскости JP.
При таком отражении спинор g преобразуется по закону
l-*l' = o.n% = Nt, A.126а)
N = a-n, iV2 = l, N = NT, A.1266)
где знак у N, взятом в виде -j-0-n, был выбран произвольным обра-
образом. Обозначим преобразованный спинор iV| через ?^, т. е.
U = Nt. A.127)
Теперь определим матрицу С
(J J) A.128)
со свойствами
С2=-1, A.129а)
COiC = Oi A.1296)
и спинор т]
т| = *С|, A.130)
где | —столбец с компонентами |t и |2. При отражении в плоскости Р
спинор т] будет преобразовываться по закону
Так как ^n — ^Ь' то. воспользовавшись A.129а), A.1296) и A.130),
получаем
l= -iCNCC\= -iNCl= -Щ. A.132)

f 6. Вращения и внутренние степени свободы 39
Следовательно, закон преобразования спинора типа Г| при отражениях
отличен от закона преобразования спинора типа |. Эти оба рода спи-
спиноров не могут быть сведены друг к другу, так как нет линейного
преобразования, которое могло бы преобразовать спинор типа |
в спинор типа г\. Если бы существовало такое преобразование D,
что ? = Dr\ и |дг = Dk\n, то матрица D должна была бы антикоммути-
ровать с N, откуда путем соответствующего выбора плоскостей Р сле-
следует, что D должна была бы антикоммутировать со всеми, матрицами at.
Но это возможно только при D = 0. Мы назовем спинор типа \ спино-
спинором первого рода, а спинор типа Г| —спинором второго рода. Если
%, ?' и т|, т]' являются спинорами первого и второго родов соответст-
соответственно, то легко проверить, что ?'*? — скаляр относительно отражений,
так же, как и т]'тС? и т]'*т]. (С другой стороны, комбинации |'*|, т]*С|...
и т. д. не являются скалярами, так как их значения изменяются при
собственных преобразованиях — вращениях.) Комбинации вида т]'т?, г\'ТСг\,
?'ТС| преобразуются при отражениях, как псевдоскаляры. Величины
?'*<х|, г\'*вг) и г\'тСа%, являются псевдовекторами, в то время как г\'*о\,
ц'тСац и |'тСа| преобразуются при отражениях, как векторы.
Эти понятия легко обобщаются на скалярные, спинорные и вектор-
векторные поля. Так, скалярным полем | (х) (в трехмерном пространстве)
называют функцию, которая при вращении x—>x' — Rx преобразуется
по закону
I (х) _> 1' (х') = Г°> (Л) | (х) = 1 (х), A.133а)
или эквивалентно
Г (х) = Г» (Л) I (Д-*х) = I (R-'x), A.1336)
т. е. преобразованная величина и первоначальная величина имеют одно
и то же (численное) значение в физически одной и той же точке. Ана-
Аналогично, векторная функция ?*(х) преобразуется при вращении х—>х' —
= /?х по закону
Ых)-»Й(*'Нг«&*(х), A.134а)
или эквивалентно
l'(x)^TA)(R)t(R-1x) = Rl{R-lx), . A.1346)
li(x)^riklk(R-1x). A.134в)
Для нерелятивистской квантовой механики значение этих представ-
представлений состоит в том, что они позволяют включить в общую схему опи-
описание спина (собственного момента количества движения) частицы, если
предположить, что такая частица со спином должна описываться много-
многокомпонентной волновой функцией, преобразующейся при вращениях по
неприводимому представлению трехмерной группы вращений. Бесспино-
Бесспиновую частицу описывают волновой функцией, которая при вращениях
преобразуется, как скаляр. Нерелятивистская частица со спином г/2
со своими двумя степенями свободы — спин вверх и спин вниз — описы-
описывается спинорной волновой функцией, а в общем случае частица со спи-
спином s описывается 2$ + 1-компонентной волновой функцией. Остано-
Остановимся более подробно на частном случае частицы со спином 1/2, когда
волновая функция г|з(х) есть двухкомпонентный спинор:
<1лз5>

40 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
В векторном пространстве возможных состояний этой системы можно
ввести следующее скалярное произведение:
2 2
(й^(х)](г(х). A.136)
При вращении х'=/?х волновая функция (xi | гр) = грг (х) преобразуется
по закону
я|/ (х') = ГA/2) (R) ф (х) A.137а)
или
*)- A.1376)
Определим линейный оператор U (R), действующий в гильбертовом про-
пространстве, согласно
2
(xi | ?/ (Д) I Ч>> = 2 Т?/Л (Д) Ь (Л"хх), A.138а)
i=\
или эквивалентно
\V) = U(R)\1t). A.1386)
Это соотношение можно рассматривать как связь между двумя вектора-
векторами состояния, которые приписывают системе два наблюдателя, находя-
находящиеся в таких разных системах отсчета, что соответствующие коорди-
координаты х и х' связаны соотношением х' = Rx. Если наблюдатели эквива-
эквивалентны, а теория предполагается инвариантной относительно вращений,
то в соответствии с тем, что говорилось раньше, операторы U (R) будут
унитарными. Фактически они образуют определенное с точностью до
множителя унитарное представление группы вращений в гильбертовом
пространстве состояний со скалярным произведением, определенным
согласно A.136). При бесконечно малых поворотах на угол е вокруг
1-й оси
A.139а)
(R-1(s)x)J = Xj-ssUkxh . A.1396)
оператор U может быть записан следующим образом:
U=l--^eDh A.140)
где оператор Di, действующий в гильбертовом пространстве, является
самосопряженным и поэтому соответствует некоторой наблюдаемой вели-
величине физической системы. Найдем теперь явный вид генераторов Di
в конфигурационном пространстве. С помощью A.1376), A.138а), A.139а) и
A396) получаем
{Xj — eeiJhxk), A.1416)
где 31 (x) — матрица, матричные элементы которой S;> ц{х) определяются
правой частью равенства:
l,iJ(x). A.142)

§ 6. Четырехмерная группа вращений 41
Раскладывая правую часть A.1416) в ряд Тэйлора по е вблизи 8 = 0
и удерживая только члены первого порядка по е, находим
Ф'<*;)= [l-ie (iBlJhxh ^т+4^) + О(е2)] ф (*,-). A.143)
Таким образом, для генератора получаем выражение
J^ + lol. A.144)
Тем самым определена 1-я компонента оператора полного момента коли-
количества движения частицы. Следовательно, частица, помимо орбитального
момента количества движения [г х р]г= — i^ihjXhdj-, обладает еще
и (собственным) моментом количества движения у а.
Некоторые из методов, развитых для группы вращений, легко могут
быть применены для рассмотрения группы пространственных сдвигов
xi = xi + al. A.145)
Вследствие коммутативности этой группы все ее неприводимые унитар-
унитарные представления являются одномерными, и если мы запишем
|г|)') = Е7(а)|я|>), A.146)
то
[7(а) = е-*а-Р, A.147)
где р—оператор импульса. В явном виде
как и следовало ожидать. Таким образом, оператор импульса pi является
генератором сдвигов в направлении 1-й оси. Мы уже установили выше,
что гамильтониан является генератором временных сдвигов.
Классификацию представлений неоднородной группы вращений, т. е.
группы, оставляющей инвариантной квадратичную форму (х —уJ (преоб-
(преобразования х—>x'=i?x + a, состоящие из сдвигов и вращений), читатель
найдет в лекциях Паули [633].
§ 6. Четырехмерная группа вращений
Недавно были высказаны предположения, что некоторые свойства
симметрии, обнаруживаемые странными частицами, могут быть поняты
в рамках систематики, в которой этим частицам приписываются некото-
некоторые внутренние степени свободы, а соответствующее «внутреннее про-
пространство» предполагается четырехмерным евклидовым. В связи с этим
важно знать представления четырехмерной группы вращений, т. е.
группы вещественных линейных преобразований, оставляющих инвари-
инвариантной квадратичную форму х\-\-х\-\-х\-\-х\ (см., например, Паули [633],
Клеппнер и Мак-Интош [458], Рака [659], Роман [670]). В этом случае
имеется шесть генераторов, соответствующих вращениям в каждой из

42 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
шести координатных плоскостей. Обозначим эрмитов генератор враще-
ний^в плоскости ц\ (ц, v = l, 2, 3, 4) через Mvv. = — М^ и введем, кроме
того, обозначения
Мгг = Ми М31 = М2, М12 = М3, A.149а)
MU = NU Mk2 = N2, Mk3 = N3. A.1496)
После получения явного матричного представления генераторов для
преобразования координат можно проверить, что они удовлетворяют
следующим перестановочным соотношениям:
Mj\ = iBUhMh, A.150)
[Mh Nj] = [Ni, Mj] = ieljhNhl A.151)
[ЛГ,, ЛГ,] = ie^M*. A.152)
так что если определить операторы
Kt = ±{Mt + NU, [A-153)
Lt = ±(Mt-Nt), A.154)
то для них будет характерно свойство коммутации К с L
[Kt,L}]=0 A.55)
и то, что компоненты К и L будут удовлетворять перестановочным соот-
соотношениям для оператора момента количества движения
[Ки Кт] = 1г1тпКп, A.156)
[Lj, Lh\ = iEJhmLm. A.157)
Теперь имеются два инварианта
F = K2 + L* A.158а)
и
G = K2-L2, A.1586)
которые записываются через М и N в виде 1/2 (M2 + N2) и M-N и, как
легко проверить, коммутируют со всеми генераторами1). Поэтому мы
можем охарактеризовать каждое неприводимое представление парой
индексов (к, I) таких, что в этом неприводимом представлении
К2 = А; (к + 1) / и L2 = / (/ +1) /. Индексы к и I могут принимать значения
О, llz, 1, 3/г,••• • Унитарное представление^(к, I) имеет размерность
!) Отметим, что генераторы, записанные в виде К и L, оказываются рас-
расщепленными на две независимые системы, и, таким образом, в окрестности еди-
единичного элемента четырехмерная группа вращений может рассматриваться как
прямое произведение двух трехмерных групп вращений. Под прямым произведе-
произведением G&K двух групп с элементами git g2, ... и ки к2, ... понимают упорядо-
упорядоченную совокупность пар (gf, ki) с законом умножения, определенным так, что,
например, произведение пар (gr, ks) и (gt, ku) равно (grgt, ksku).

§ 6. Четырехмерная группа вращений 43
{2к-\-1)B/+1). Представление @,0) соответствует скаляру, представле-
представления @, х/г) • и (V2, 0) — двухкомпонентным спинорам, (V2, V2) —че-
тырехкомпонентному вектору и т. д. Генераторами спинорного пред-
представления являются матрицы
М^^ = \аи M?-1'*^*, A.159)
Л11/2'0)=4оь Лг(о.1/2)=_|0г< AЛ60)
Если \ и х\ — спиноры, преобразующиеся соответственно по представле-
представлениям A/2. 0) и @, 1/2), то тогда |*| и Г|*г| являются скалярами, а
величина (?*т), |*0"гГ|) есть 4-вектор.
Если дополнить группу отражениями, то операторы К и L больше
не будут независимыми. Так, если в качестве основного отражения мы
примем операцию, при которой х4—» — хк и ж(—> — жг(? = 1, 2, 3), и если
J?_ — оператор, соответствующий этому отражению, то легко проверить,
-что
A.161а)
0, • A.1616)
или равносильно
A.162а)
A.1626)
Перейдем к нахождению неприводимых представлений группы с отра-
отражениями. Прежде всего заметим, что B/c + l)BZ + l) базисных функций
\к, nik', I, mi), на которые натянуто пространство неприводимого пред-
представления группы вращений без отражений, удовлетворяют соотноше-
соотношениям
±1К2)\к, mk; I, пц) = V(k =F mh) (к ± mh +1) | к, mk±i; I, mt)
Ks\k, mk; I, mi) = mh\k, mh; I, mi) A.163)
(Li ± iL2) I k, mh; I, mi) = У (I + mt) (I ± mx +1) | k, mk; I, mt±l)
L3\k, mk; I, mi) = mi\k, mk; I, mi). I A.164)
Отсюда и из соотношений A.162а) и A.1626) заключаем, что функция
R. [ к, mh; I, mi) является собственной функцией оператора L3 с собст-
собственным значением mh и собственной функцией К3 с собственным зна-
значением mi. Основываясь, кроме того, на аналогичных выводах о действии
операторов К^, К2 и L1; L2 на функцию R-\k, mh; I, mt), можно про-
проверить, что
/?_ | к, тъ\ I, mi) = X\l, mi, к, mh), A.165)

44 Гл. 1. Квантовая механика и принципы симметрии
где Я —постоянная, которая может зависеть от I, mt, k, mh. Отсюда
следует, что при к Ф I базис пространства, инвариантного относительно
i?_, образуют векторы | к, mk; I, mi) только вместе с векторами
\l, mi) к, mh) [размерность базиса 2 BZ-Ь1) B& + 1)]. Следовательно, при
к ФI неприводимым представлением группы с отражениями будет
(к, 1) @ (I, к). В случае спиноров неприводимым представлением теперь
будет (О, V2) @ A/2, 0), причем следует подчеркнуть, что в рамках
расширенной группы спинор является четырехкомпонентным. (Аналогич-
(Аналогичное удвоение имеет место и в случае однородной группы Лоренца.) Непри-
Неприводимые представления (к, к) собственной группы являются также непри-
неприводимыми представлениями и расширенной группы.
Представления четырехмерной группы вращений имеют интересные
приложения к квантовомеханическому описанию движения нереляти-
нерелятивистского электрона в чисто кулоновском поле и к вопросу о происхож-
происхождении вырождения спектра собственных значений в этом случае. По этому
поводу читатель отсылается к статьям Фока [265] и Баргманна [29].

ГЛАВА 2
Группа Лоренца
§ 1. Релятивистские обозначения
Кратко остановимся на релятивистских обозначениях, которые будут
использованы в книге.
Пространственно-временнйе координаты будут обозначаться х^ D-век-
тор также будет обозначаться светлой буквой х), причем x° = ct,
хг = х, х2 = у и х3 = z; x = {x°, х}. Мы будем использовать метрический
тензор g^v с компонентами
?оо= — ?н= — #22= — ?зз= +1>
gViv = 0 при [1фУ.
В связи с этим нужно различать ковариантные и контравариантные
векторы. Контравариантный вектор (преобразующийся как координатный
вектор xv-) будет обозначаться »>*, а ковариантный (преобразующийся как
градиент) будет обозначаться уц. Аналогичные обозначения будут при-
приняты и для тензоров. Греческие индексы будут применяться для обозна-
обозначения компонент @, 1, 2, 3) пространственно-временного тензора, а ла-
латинские индексы — только для обозначения пространственных компонент
A, 2, 3). Операции опускания и поднимания индексов с помощью мет-
метрического тензора определяются следующим образом:
vll = glivv\ B.2а)
v» = gwv4, B.26)
где предполагается суммирование от 0 до 3 по повторяющимся грече-
греческим индексам, т. е.
з
g^v- = S g^. B.3)
v=0
Тензор g^v определяется уравнением
^ца = 6а, B.4)
где бд — символ Кронекера: 6^ = 1, если fi = v, и 6!J = 0 в противном
случае. Фактически же ^v = g^v. Отметим, что операции опускания
и поднимания индексов 4-вектора изменяют знак его пространственных
компонент, но оставляют неизменной временную. Лоренц-инвариантное

46 Гл. 2. Группа Лоренца
скалярное произведение двух векторов р^ и х^ определяется согласно-
= p-x = XqPo — х$ = х°р° — х ¦ р. B.5)
Вектор v называется времени-подобным, если* v-v=v2 > 0, простран-
пространственно-подобным, если v2 < 0, и изотропным вектором, если иа = 01).
Релятивистское соотношение между энергией и импульсом свободной
частицы Е2 = рас2 + »&ас* при помощи времени-подобного 4-вектора
энергии и импульса частицы р = -! — , р J- записывается в виде рг = т2с2.
Операторные соотношения E-^ihdt, p-> — i%V могут быть теперь запи-
записаны в виде
В этой связи следует отметить, что вследствие контравариантности
вектор д/дх^ = д^ ковариантен, причем
51»:
Оператор волнового уравнения, или, как его часто называют, оператор
Даламбера
может быть записан также в виде ? = g^ ^
Нам часто придется использовать разрывные функции 9 (а) и е (о),,
которые определяются согласно
в(а)-+1 при а>0,
= — 1 при а < О, v
9(а) = |-A + е(а)) = 1 при а > О,
= 0 при а < 0.
Наконец, мы почти всегда будем применять естественную систему
единиц, в которой скорость света с и поделенная на 2я постоянная
Планка ft полагаются равными единице: ft = c = l. В этой системе единиц
энергия, масса, обратная длина и обратное время имеют одну и ту же
размерность.
§ 2. Однородная группа Лоренца
В этом параграфе мы кратко напомним некоторые факты относи-
относительно однородных преобразований Лоренца. Если две системы отсчета
движутся друг относительно друга в направлении оси х1, то связь между
Отметим, что под v2 мы понимаем v%—v2.

§ 2. Однородная группа Лоренца 47
ними выражает преобразование Лоренца
х'о = у(х° — p\rx) = x° ch и — хх sh и,
х'1 =у(х1 — (Зж°) = х1 ch и — х° sh и,
х'2 = х2, ' '
х'3 = х3,
где
Y=A-PT1/2, P = f, B.11a)
thu = p\ B.116)
а Га — относительная скорость двух систем отсчета. Это преобразование
Лоренца оставляет инвариантной квадратичную форму ж2. Заметим так-
также, что в момент времени хо = О начала обеих систем координат совпа-
совпадают. Наиболее общим однородным преобразованием Лоренца, связы-
связывающим две системы координат, является любое линейное преобразование
x^ = AUv B.12)
(в матричном виде х' = Ах), которое оставляет инвариантной квадратич-
квадратичную форму x^xv, т. е. такое, при котором х2 — х'2. Все коэффициенты
преобразования А§ вещественны. Из требования инвариантности квадра-
квадратичной формы х2 следует, что
= 61. B.13а)
Это условие можно записать в виде
•A&MAS = *va B-136)
или, в матричной форме,
ATgA = g, B.13b)
где индексом Т отмечена транспонированная матрица. Из этого условия
следует, что detA= ± 1 и что, следовательно, для каждого преобра-
преобразования Лоренца существует обратное преобразование. Так как произ-
произведение двух преобразований Лоренца снова является преобразованием
Лоренца, то совокупность всех преобразований Лоренца образует группу *).
Группа преобразований Лоренца содержит подгруппу, изоморфную
трехмерной ортогональной группе. Эта подгруппа состоит из всех мат-
матриц Лц вида
MR) = (I *)' BЛ4)
где R — матрица размерности 3x3 со свойством RR =R R = i. Такие
матрицы Л мы будем называть пространственными ортогональными
преобразованиями. Любое однородное преобразование Лоренца может
быть разложено следующим образом:
Л = Л(Д2)АA,)Л(Д1). B-15)
где Л (Rt) и Л (R2) — пространственные ортогональные преобразования,
а Л (h) — преобразование Лоренца вдоль оси х1.
1) Эту группу, т. е. группу преобразований, ограниченных условием B.13),
называют общей группой Лоренца (см. [891], стр. 165, и [907], стр. 26). —Прим. ред.

Гл. 2. Группа Лоренца
Если в B.136) положить o = v = 0, то получим
з
(Л°0Jг=1 + 2 (Л*J>1, • B.16)
так что Л°>1 или AJ< — 1. Преобразования Лоренца, для которых
Л*>1, называются ортохронными преобразованиями Лоренца. Преобра-
Преобразование Лоренца ортохронно тогда и только тогда, если оно преобра-
преобразует каждый положительный времени-подобный вектор1) снова в поло-
положительный времени-подобный. Совокупность всех ортохронных преобра-
преобразований Лоренца образует группу — ортохронную2) группу Лоренца.
Совокупность всех матриц А может быть разбита на 4 компоненты3)
в соответствии с тем, будет ли detA равен +1 или —1, а А" больше
+1 или меньше — 1. Совокупность матриц с detA = +1 и Л" > 1 образует
группу ограниченных однородных преобразований Лоренца. Ограничен-
Ограниченная однородная группа Лоренца является 6-параметрической непрерыв-
непрерывной группой. Другие компоненты можно получить из ограниченной
группы Лоренца следующими тремя преобразованиями:
1) пространственным отражением: жо->жо, х->- — х
'10 0
0-1 0
B.17)
,0 0 0-1,
2) временным отражением: хо-> — х0, х->х
d : B-18)
3) пространственно-временным отражением: х->—х
\
~4 __! • B-19)
-1/
Компоненты не образуют связного целого и не могут быть соединены
друг с другом непрерывным образом.
Как и в случае группы вращений, мы легко находим вид генерато-
генераторов для преобразований Лоренца. При бесконечно малом преобразова-
преобразовании Лоренца
B.20)
условия B.13а) и B.13в) накладывают ограничение
B.21)
!) Времени-подобный вектор {х0, х} называется положительным, если жо>
и отрицательным, если х0<^0 (см. книгу Наймарка [907], стр. 27). —Прим. ред~
2) Иногда эту группу называют полной группой Лоренца (см [907] стр 27
и [891], стр. 172).—Прим. ред.
3) Этим термином, взятым из работы [891], стр. 172, мы переводим термин
автора «subsets». —Прим. ред.

§ 2. Однородная группа Лоренца 49
которое является необходимым и достаточным условием, чтобы гене-
генератор К^ соответствовал бесконечно малому преобразованию Лоренца.
Таким образом, бесконечно малым преобразованием, обратным к Лдг,
является AVft.
Явное матричное представление ограниченного однородного преоб-
преобразования Лоренца вдоль оси х1 (вращение в плоскости х°хг) дает мат-
матрица
о
Генератор ЯК10 для'этого вращения определяется согласно
и имеет вид
0-1 0 0\
¦; 2 2 2-
ч О 0 0 0/
Аналогично, генераторы ЯК20 и ЯП30 для вращений в плоскостях «20» и «30»
имеют вид
0 0 0-
0 0 0
S0130-
-10 0 О,
Генераторами вращений в плоскостях х1х*, т. е. генераторами про-
пространственных вращений, являются
О 0 0\ /О О О ON
О 1 0 \ 23 _ | О О
-1 О О I ' = I О О
0 0 0/ \0 0 _ _.
B.25)
/ U U \J U \
/П О П _11
Д "'О О
Мы определяем ЯЛЦУ = — 9JiVJi. Произвольное бесконечно малое преобра-
преобразование Лоренца может быть теперь записано в виде
Л(со) = 1 + -|со^5Щ^, B.26)
где со^ = — cov^. Конечные вращения в плоскости x^xv снова выражают-
выражаются в виде экспоненты
B.27)
4 с. Швебер

50 Гл. 2. Группа Лоренца
Можно проверить, что генераторы Ш^\> удовлетворяют следующим пере-
перестановочным соотношениям:
№ц, тра]=gwmva+gvamw - gvJMve - gv(m^, B.28>
Таким образом, если все четыре индекса hvqct различны, то матрицы
коммутируют. С другой стороны, если у обеих матриц один индекс общий,
скажем а = jx и по нему подразумевается суммирование, то правая часть
пропорциональна матрице с оставшимися индексами 9ftpv.
Пусть D (Л)—какое-либо представление ограниченной группы Лоренца.
Генераторы этого представления обозначим через M^v. Если Л имеет
вид B.26), то
D (со) = I +4 в^Мф. B.29>
Так как M^v' образуют представление генераторов алгебры Ли, то они
удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и Ш^,
а именно:
[М^, Мра] = gwMva + gvoMpp—gvpMw — gv.oMvp. B.30)
Проблема нахождения, представлений ограниченной группы Лоренца
эквивалентна проблеме нахождения всех представлений перестановочных
соотношений B.30). В дальнейшем будут использоваться следующие-
важные свойства представлений ограниченной однородной группы Ло-
Лоренца (см. Ван дер Варден [809], Баргманн [30], Наймарк [570]). Эта
группа имеет конечномерные и бесконечномерные неприводимые пред-
представления. Однако единственным конечномерным унитарным представле-
представлением является тривиальное одномерное представление Л->1. Неприво-
Неприводимые конечномерные представления ограниченной группы могут быть
перенумерованы двумя дискретными индексами, которые могут прини-
принимать положительные целые, полуцелые и нулевое значения. В этом
можно убедиться следующим образом. Определим операторы
М = (М32,М1г,М21), B.31)
JN = (M01, Мо2,Мог). .B.32)
Они обладают перестановочными соотношениями
B.33a>
B.336)
[Ми N,] = sijkNh. B.33b)
Из этих операторов можно построить операторы М2 — N2 = г/2 M^
и V* еМ*р<*ЛГnvAfpc = — M-N1), коммутирующие со всеми генераторами Mt
и jV*. Следовательно, они являются инвариантами группы и кратны
единичному оператору в любом неприводимом представлении. Таким
образом, представления могут быть перенумерованы значениями этих
операторов в данном представлении. Чтобы сделать область изменения
) 7—полностью антисимметричный тензор четвертого ранга, компоненты
которого равны +1, если индексы ^vqa образуют четную перестановку чисел 012 3,
равны —1, если uvqct—нечетная перестановка 0 1 2 3, и равны нулю, если хотя бы
два из индексов jivqct совпадают-.

§ 2. Однородная группа Лоренца 51
этих значений более очевидной, введем операторы
± B.34)
Л|/, те; /', т') = т\/, те; /', /те') B.39)
#± | /, ™; /", ™'> = (#i ± гК2) | /, т; /', ш') =
fm')U'±m' + l) | /, ш; /', т' + 1)
и
Kl = ±i(Ml-iNl), B.35)
которые удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
[Jh,Jl] = iehlmJm, B.36)
[Кь Кт\ = Ы1таКп, B.37)
[Л,А-т] = 0. B.38)
Из этих перестановочных соотношений вытекает, что пространство
неприводимого конечномерного представления V" может быть натянуто
на совокупность B/+1)B/' + 1) базисных векторов \jm\fm'); где
/, /те, /', т'— целые или полуцелые числа, —/<пг</, —/'<»»'</'.
В терминах этих чисел операторы J и К имеют следующие представления:
•Ль I/. те;'/', т>) = (Ji ± ^г) I/, «г; У, W) =
) | /, т ± 1; /', то')
и
^з|/> ш; Г, т') = т'\], то; /', то')- B.40)
Теперь в этом представлении легко получить матрицу D^">(A), пред-
представляющую любое частное преобразование Лоренца. Следует подчерк-
подчеркнуть, что, вообще говоря, она не будет унитарной. Все полученные
представления конечномерны. В общем же случае неприводимые пред-
представления ограниченной группы Лоренца могут быть характеризованы
парой индексов (/0, v), где /0 —целое или полуцелое положительное число,
a v— комплексное число. Если v2 = (/о + ?гJ, где п — целое, то представ-
представление будет конечномерным. Если же v2 Ф (/„ -j- nJ ни при каком целом
п, то тогда представление будет бесконечномерным. С точки зрения
физических приложений нас интересует классификация величин с конеч-
конечным числом компонент, преобразующихся по конечномерному представ-
представлению группы Лоренца. Поэтому мы будем иметь дело с конечномерными
представлениями. Однако унитарные бесконечномерные неприводимые
представления имеют отношение к классификации неприводимых унитар-
унитарных представлений неоднородной группы Лоренца (см. § 3). Читатель,
интересующийся единым выводом всех неприводимых представлений
ограниченной группы Лоренца, отсылается к хорошо написанной обзорной
статье Наймарка [570].
Резюмируя, можно сказать, что ограниченная однородная группа
Лоренца имеет бесконечное счетное мнежество неэквивалентных конечно-
конечномерных (и в общем случае неунитарных) неприводимых представлений.
Они могут быть перенумерованы двумя неотрицательными индексами
(/,/'); у, /' = 0, Ч2, 1, 3/2, ••• • Размерность представления равна
By'-f-1)B/' +1). Представление D^> i"> однозначно, если ]' + ]' — целое,

52 Гл. 2. Группа Лоренца
и двузначно, если нет. В неприводимом представлении инвариант
V2(M2 —N2) равен единичной матрице размерностью B/+ 1) B/' + 1),
помноженной на — {/(/+1)+ /'(/'+ 1)}. Второй инвариант также равен
единичной матрице, но помноженной на ?{/(/'+1) —/' (/' + 1)}. Базисные
векторы, на которые натянуты пространства представлений Dv 2 ' 2
и [)\ 2 ' 2 /j могут быть выбраны так, что матрицы, реализующие
д\ 2 2 /) будут комплексно сопряжены с матрицами, реализующими
( т п\
[)\~Г' Т/.
Величину, преобразующуюся по представлению D<-°' °\ называют
скаляром, а четырехкомпонентную величину, преобразующуюся по
?)(Va, Va),—4-вектором. По представлению G2, 0) преобразуется двухком-
понентный спинор, а величина, которая преобразуется по представлению
@, Va)» называется сопряженным спинором. Явная матричная реализа-
реализация генераторов в представлениях D(°- v«) и DW*< °> может быть дана
при помощи матриц Паули
М?'* 0) = ±ioj, Л//0' 1/г) = | шу-, B.41а)
¦ ^/2, о) = |ау, ^°'1/2)=-| oj. B.416)
Ясно, что эти представления не эквивалентны, так как не существует
2x2 матрицы, которая бы антикоммутировала со всеми стг. Двухкомпо-
нентный спинор | при пространственных поворотах преобразуется как
спинор трехмерной группы вращений. Например, при бесконечно малом
повороте вокруг 1-й оси
ь
%—_%' = I \ Л--Lien, U. B.42)
При бесконечно малом преобразовании Лоренца вдоль i-й оси этот спи-
спинор преобразуется по закону
( {). B.43)
Заметим, однако, что величина |*| не есть скаляр. Это — следствие
неунитарности представления D^, o># с другой стороны, если ?'—спи-
?'—спинор, преобразующийся по D(°> 1h\ то можно проверить, что Ъ,*\' есть
скаляр. В общем случае, если представления U и С/* эквивалентны, то
существует матрица В, такая, что U = B'1U*~lB. Это в свою очередь озна-
означает, что если | г))) есть вектор, преобразующийся по представлению U,
а именно |г|?) —>¦ |г|/} = V\ tf>), то тогда (г|?|2?*|г|?) является скаляром.
Доказательство выглядит следующим образом:
В* | г|>'} = (у I U*B*U ] -ф> = < Ч> I В*!!'1!! \У)=*(У\В*\ у). B.44)

§ 3. Неоднородная группа Лоренца 53
Верно также и обратное. Очевидно, что для унитарного представления
В = \.
Мы не будем рассматривать представлений общей группы Лоренца —
группы с отражениями. Полное и простое изложение конечномерных
неприводимых представлений общей группы Лоренца можно найти
у Гейне [360] (см. также статьи Ватанабе [820, 821] и Широкова [729, 730]).
Однако в соответствующих местах мы рассмотрим трансформационные
свойства релятивистских волновых функций и операторов свободных
частиц при отражениях. Здесь же мы отметим, что перестановочные
соотношения операторов отражений /s, It, Ist c генераторами имеют вид
\Iu, Nf]=0, B.45a)
Ни #!]¦ = [/(, Мг]=0, . B.456)
[/., ЛГ|]¦ = [/., Af,] = O. B.45b)
В заключение этого параграфа мы укажем совокупность векторов,
на которые натягивается неприводимое представление ортохроннои группы
Лоренца. (Эта группа является несобственной, так как содержит Л с
detA=—1.) Она получается, если к элементам ограниченной группы
присоединить операцию пространственного отражения. Из перестановоч-
перестановочных соотношений B.45в) следует
/SK = J/S, B.46а)
/SJ = K/S, B.466)
так что базисные векторы \]Щ j'm') с j Ф]', преобразующиеся при
. ограниченных преобразованиях Лоренца по представлению D(J>' \ не
преобразуются друг через друга при операции /s.
Действительно, на основании B.46)
Js(Is\]'m; j'm')) = m'(I.\jm; j'm')), B.47)
и, следовательно, вектор Is\jm\ j'm') ведет себя, как базисный вектор
X\j'm'\ ]'т), где % — постоянная, зависящая от /, /', т, пг'. Векторы
\]\т; ]',т'} и Is\f,rn; /', т') при ограниченных преобразованиях
Лоренца преобразуются по различным неприводимым Представлениям
и, следовательно, ортогональны друг другу. Поэтому [для получения
векторного пространства, инвариантного относительно несобственной
ортохроннои группы, необходимо воспользоваться объединенной сово-
совокупностью 2B/+1)B/' +1) линейно независимых векторов \jm;j'm')
и \]'т'; jrn). Таким образом, можно ожидать, что векторное простран-
пространство V" © V}} будет неприводимым векторным пространством для пред-
представления несобственной ортохроннои группы. Это действительно так,
когда ]'?=]'¦
§ 3. Неоднородная группа Лоренца
Неоднородные преобразования Лоренца L = {а, Л} определяются
согласно
B.48)
т. е. как произведение операций сдвига на вещественный вектор а^
и однородного преобразования Лоренца Л, причем сдвиг выполняется
после однородного преобразования Лоренца. Неоднородное преобразова-

Гл. 2. Группа Лоренца
ние удобно записывать в матричной форме
Л?
0
0
л;
л;
л;
Л1
0
К
К
К
0
Л1 а1
Л23 а2
Л| а3
0 1/
х'
B.49)
где последняя координата 1 не имеет физического смысла и остается
инвариантной при преобразовании. Произведение двух неоднородных
преобразований Лоренца {ах, Аа} и {а2, Л2} равно
{аи Л4} {аъ Л2}
+
B.50)
Неоднородные преобразования Лоренца образуют 10-параметрическую
непрерывную группу. Генераторами сдвигов являются эрмитовы опера-
операторы /7ц, а их перестановочные соотношения с эрмитовыми генераторами1)
«вращений» M^v = — MVil в плоскости x^-xv суть
[Мцд,. ра] = i (gvoPn — gvoPv)- B.51)
Перестановочные соотношения этих генераторов между собой имеют вид
[рц, /М = 0, B.52)
[M^v, Мсст] = - i (gwMva — gvo-^ixo + gixo-^gv - gvoMw). B.53)
Проблема классификации всех неприводимых унитарных представлений
неоднородной группы Лоренца (см. статьи Вигнера [857], Баргманна
и Вигнера [31] и Широкова [726, 727]) снова может быть сформулиро-
сформулирована как проблема нахождения всех представлений перестановочных
соотношений B.51) —B.53) с помощью самосопряженных операторов.
Прежде всего надо найти все инварианты группы. Очевидно, что инва-
инвариантами группы могут быть только скалярные операторы, и таким обра-
образом мы приходим к задаче построения скалярных величин, коммутирую-
коммутирующих с рц и M,j,v Определим следующие величины:
Qtl
pv +
и псевдовектор
такой, что
(да0, да1, да2, да3) = (о321, у230, о310, о120),
или в трехмерных векторных обозначениях
w° = р-М,
w = р0М — [р X N].
Заметим, что
WaPa=0.
B.54)
B.55)
B.56)
B.57а)
B.576)
B.58)
!) Мы сделали генераторы эрмитовыми, добавив в прежние определения мно-
множитель — i.

§ 3. Неоднородная группа Лоренца 55
Перестановочные соотношения для w
[Мт, wQ] = i(gv<№
[Щ, Pv] = 0.
[щ, wv] = ieMVQ0:
Теперь можно проверить, что скалярные
Р = /^Рд
и
fi имеют вид
'li-^WjO'v),
операторы
B.59)
B.60)
B.61)
B.62)
jupv B.63)
коммутируют со всеми генераторами M^v ир№. Поэтому в каждом непри-
неприводимом представлении неоднородной группы Лоренца они кратны еди-
единичному оператору, а их собственные значения могут быть использованы
для классификации неприводимых представлений.
Для классификации унитарных представлений неоднородной группы
Лоренца удобно выбрать определенный базис в векторном пространстве,
на котором определены представления. Чтобы определить базис, составим
из генераторов группы полный набор коммутирующих операторов.
Конечно, можно построить много различных наборов коммутирующих
операторов. Различные наборы будут приводить к эквивалентным пред-
представлениям. Мы могли бы, например, выбрать в качестве полного набора
операторы M^Mw, e'AVo°<М\х\Моа', М2 и М3, но эти операторы не инвариант-
инвариантны относительно сдвигов. Полный набор коммутирующих операторов,
инвариантных относительно сдвигов, состоит из операторов р^ и одной из
компонент Wy,, скажем w3. Этот набор мы и примем для наших дальнейших
рассмотрений. Спектр собственных значений этих операторов определяет
собой область изменения переменных, нумерующих базисные векторы.
Кроме того, отметим, что в неприводимом представлении незави-
независимы только три из четырех компонент импульса, так как р2 является инва-
инвариантом группы и имеет в неприводимом представлении фиксированное
значение. Таким образом, базисные функции пространства, в котором
действует неприводимое представление, можно записать | р'о, р[, р'2, р'3; ?),
причем р'2 имеет здесь фиксированное значение, а ^ — переменная,
соответствующая собственному значению оператора w3. Важно отметить,
что хотя мы и выбрали полный набор коммутирующих операторов среди
операторов группы, этот набор, вообще говоря, не является полным набо-
набором коммутирующих наблюдаемых физической системы. В общем случае
существуют другие инвариантные операторы (например, такие, как опе-
операторы полного заряда и барионного заряда), которые коммутируют с опе-
операторами группы и собственные значения которых, вместе с р'^ и ?,, харак-
характеризуют состояние физической системы. Поэтому более общей записью
базисных векторов пространства неприводимого представления будет
\р'\ ?,; а), где через а обозначены некоторые инвариантные параметры,
являющиеся в физических приложениях собственными значениями тех
¦операторов, которые должны быть добавлены, чтобы дополнить совокуп-
совокупность операторов (р^, w3) до полного набора наблюдаемых. В дальнейшем
мы часто будем опускать индекс а в обозначении базисных векторов
\'Р\ ?; а). Отметим, что в выбранном базисе преобразование сдвига яв-
является очень простым. Совокупность всех четырехмерных сдвигов являет-
является коммутативной подгруппой неоднородной группы Лоренца. Вслед-

56 Гл. 2. Группа Лоренца
ствие коммутативности все неприводимые унитарные представления этой
подгруппы одномерны и выражаются через экспоненту. Оператор, соответ-
соответствующий сдвигу на 4-вектор а^, имеет вид
U (а) = ех р (- ia^). B.64)
Таким образом, в неприводимом представлении преобразованию сдвига
на а соответствует умножение всех базисных векторов}]?'; ?)наехр(—ia^p'^).
Неприводимые представления неоднородной группы Лоренца можно
классифицировать в соответствии с тем, является ли вектор р^ простран-
пространственно-подобным, времени-подобным, изотропным или равным нулю.
В последнем случае (рц = 0) полная система унитарных представлений
совпадает с полной системой (бесконечномерных) унитарных представлений
однородной группы (см. статьи Баргманна [30] и Наймарка [570]). Они
не будут рассматриваться дальше, так как, по-видимому, не соответствуют
каким-либо физическим системам, за исключением важного случая три-
тривиального тождественного представления, являющегося одномерным.
Принципиальный интерес для физических приложений имеют те пред-
представления, в которых р2 = т2 — положительная постоянная, а также те,
в которых р2 = 0. Сперва рассмотрим случай рг = т2. В этом случае
знак энергии р0/ \ р0 | коммутирует со всеми генераторами и, следова-
следовательно, является инвариантом группы. Таким образом, при любых значе-
значениях Р и W имеется два неприводимых представления соответственно двум
значениям р0/ j Ро | - При р0 > 0 векторное пространство натянуто на
базисные векторы, принадлежащие одному и тому же собственному
значению т2 оператора р2, причем р0 = +1/АР2 + т2. Поэтому вектор
| р, t,) можно записывать в виде | р, ?).
Для получения спектра w3 в неприводимом представлении рассмот-
рассмотрим соотношение B.61) в пространстве, образованном линейными комби-
комбинациями векторов | р', С) с фиксированным значением р'. Так как р»
и wa коммутируют, то здесь не возникает каких-либо трудностей или неод-
неоднозначностей. Кроме того, удобно совершить преобразование Лоренца
в «систему покоя», в которой р' = 0, р'о — т, и
ыР = т @, Мгг, M3i, Mi2) =
= m{0,SitS2,St). B.05}
причем
[Sh, St]=iehlmSm. B.60)
Операторы St подчиняются перестановочным соотношениям для момента
количества движения. Следовательно, собственные значения S2 суть
s (s -j- 1) с s = 0, 1/i, 1, 3/2, 2, . . ., & St являются генераторами неприводи-
неприводимого Bs + 1)-мерного представления трехмерной группы вращений.
Таким образом, в системе покоя оператор w равен оператору полного
момента количества движения, помноженному на т. Это верно только
при т ф 0, так как только в этом случае можно произвести преобразо-
преобразование Лоренца в систему покоя. Итак, преобразующиеся по неприводи-
неприводимому представлению базисные векторы имеют 2s -f- 1 компонент, т. е.
? принимает значения ? = 1, . . ., 2s + 1, или, иными словами,
при данном векторе импульса р^ с р2 = т2 и р0 =+]/^р2 + т2 > (У
существует 2s -f-1 независимых состояний.
Теперь определим лоренц-инвариантное скалярное произведение
в векторном пространстве как интегрирование по всем значени-

§ 3. Неоднородная группа Лоренца 57
ям р, удовлетворяющим условиям р2 = т? и р0 = + У р2 -\- т?, и сумми-
суммирование по индексу t
2s+i
(х, !>) = 2
2s+l
= 2 J^X(P. O*(P. 0. B-67)
где d3p/p0-— инвариантная мера -на гиперболоиде р2 = т2, а сумма
2s+l_
2 ОС (Р> ?Жр> ?) должна быть скаляром. Векторное пространство,
снабженное этим скалярным произведением, является гильбертовым про-
пространством.
Прежде чем продолжать математический анализ унитарных представ-
представлений неоднородной группы Лоренца, остановимся на значении их для
физических приложений (см. работы Хаага [347], Вигнера [863], а также
Ньютона и Вигнера [576]). С этой целью проанализируем описание эле-
элементарной частицы. Конечно, в вопросе о том, что такое элементарная
частица, ясности нет, и он представляет собой одну из важнейших про-
проблем теоретической физики сегодняшнего дня. Интуитивно же частицу
с массой т и спином s считают элементарной, если для временных интер-
интервалов, больших характерной для нее естественной единицы времени
К /тс*, она может рассматриваться как единое целое, а не как объединение
других частиц. Естественно потребовать неразложимость пространства
состояний такой системы на лоренц-инвариантные линейные подпростран-
подпространства: должна существовать возможность получения всех состояний систе-
системы из какого-либо одного, произвольным образом выбранного, действуя
линейной комбинацией преобразований Лоренца. Если бы имелись такие
лоренц-инвариантные подпространства, то это означало бы, что существует
релятивистски инвариантное различие между этими наборами состояний
системы, а тогда было бы логично относить различные релятивистски инва-
инвариантные подпространства состояний к различным «элементарным систе-
системам». И вообще о системе говорят как об «элементарной», если многообра-
многообразие ее состояний является предельно узким, линейным (чем выражается
принцип суперпозиции) и инвариантным относительно преобразований
Лоренца. Следовательно, многообразие состояний элементарной системы
образует пространство, в котором действует неприводимое представление
неоднородной группы Лоренца. Заметим, что в рамки данного определения
укладываются и составные системы, такие, как, например, атом гелия
в основном состоянии, или а-частица. Однако атом гелия в состоянии, явля- .
ющемся суперпозицией двух или более возбужденных состояний, не будет
элементарной системой в указанном выше смысле, так как в этом случае
можно выделить более узкий набор состояний, к которому применим прин-
принцип суперпозиции и который является релятивистски инвариантным под-
подпространством. Очевидный интерес представляет вопрос, что следует взять
в качестве оператора координаты или в качестве других глобальных наблю-
наблюдаемых элементарной системы, а также каков их смысл. Ответ состоит в том
(см. статью Ньютона и Вигнера [576]), что наблюдаемые, соответствую-
соответствующие этим величинам, могут быть найдены на основе совершенно общих
принципов инвариантности. Например, полученные этим путем наблюдае-
наблюдаемые координат соответствуют координатам центра масс, а наблюдаемая
импульса соответствует полному импульсу системы. Кроме того, оператор

58 Гл. 2. Группа Лоренца
импульса с точностью до вещественного множителя совпадает с генерато-
генератором смещений.
Итак, элементарная система — это система, обладающая определен-
определенными трансформационными свойствами (ее состояния преобразуются по
неприводимому представлению неоднородной группы Лоренца) и, более
конкретно, трансформационными свойствами, которые обычно приписы-
приписывают частице. Можно считать такую систему элементарной частицей или
нет, зависит от того, полезно ли (или возможно ли) рассматривать ее
как бесструктурную, не состоящую из других частиц, или нет. Очевидно,
что это обусловлено тем, насколько малые расстояния прощупываются
экспериментально, например при рассеянии частиц с большой энергией.
Поэтому, следует ли частицу рассматривать как элементарную или как
составную, зависит от того, насколько тесно связаны ее составные части.
Современные экспериментальные данные, в частности станфордские
эксперименты по рассеянию электронов на нуклонах (Хофштадтер [378]),
указывают, что даже стабильные фундаментальные частицы (электрон,
протон) не являются элементарными в указанном выше смысле бесструк-
бесструктурности. Однако они являются элементарными системами в том смысле,
что состояния любой такой изолированной частицы образуют инвариант-
инвариантное многообразие, причем все состояния могут быть получены путем при-
применения линейных комбинаций преобразований Лоренца к какому-либо
одному состоянию, выбираемому произвольным образом. Многообразие
состояний частицы может быть характеризовано параметром т, массой
частицы, параметром s, спином частицы и некоторыми другими инвариант-
инвариантными параметрами, такими, как электрический и барионный заряд. При
этом зависимость волновой функции частицы от кинематических перемен-
переменных определяется (с точностью до преобразования подобия) неприводимым
представлением (т, s). Заметим, однако, что в рамках такого описания
ничего не говорится о взаимном расположении составных частей, из кото-
которых, возможно, построена наша «элементарная' частица». Теоретико-
групповой метод определяет только кинематическое описание изолиро-
изолированной свободной частицы с заданными массой и спином. Но только это
и требуется для описания начальных и конечных состояний частиц в экспе-
эксперименте по рассеянию, поскольку в этих состояниях частицы находятся
далеко друг от друга и не взаимодействуют. Первоначально частицы
приготовляются в состояниях с определенными массой, импульсом, спи-
спином и зарядом;' детектор снова регистрирует только состояния с опреде-
определенными массой, импульсом, спином и зарядом. Волновые функции, опи-
описывающие такие состояния, как раз те, которые дает теоретико-группо-
теоретико-групповой метод.
Резюмируем сказанное'. Было показано, что неприводимое представ-
представление типа рг > 0, ро > 0 характеризуется двумя индексами (т, s), при-
причем т — любое положительное число, as — также положительное целое
или полуцелое число. Индекс т характеризует массу элементарной систе-
системы, индекс s — момент количества движения в системе покоя, т. е. спин
элементарной системы. То, что неприводимое представление бесконечно-
бесконечномерно, выражает тот факт, что любая элементарная система способна
принимать бесконечно большое число линейно независимых состояний.
Для каждой пары (т, s) и данного знака энергии имеется одно и только
одно неприводимое представление неоднородной группы Лоренца, если
не различать унитарно-эквивалентных представлений. При полуцелом s
представление двузначно. Большей частью нас будут интересовать случаи
5 = 0, %, 1. При s = 0 пространство представления натягивается на

§ 3. Неоднородная группа Лоренца 59
совокупность положительно-частотных решений релятивистски кова-
риантного уравнения для частиц со спином 0 — уравнения Клейна —
Гордона; при s = V2 на положительно-частотные решения уравнения Дира-
Дирака, а при s = 1 — на положительно-частотные решения уравнения Прока.
Все эти уравнения могут быть приведены к определенному канони-
каноническому виду (в этой связи см. статью Фолди [270]). При этом основыва-
основываются на следующих соображениях. Как мы уже отмечали выше, если
в шредингеровской картине движения известны операторы сдвигов, то это
равносильно тому, что известно уравнение движения системы в этой кар-
картине. На самом деле мы уже определили представление этого оператора.
Для пространственно-временных сдвигов х^ -* х^ + «ц он дается форму-
формулой B.64). Следовательно, для элементарной системы с массой т и спи-
спином s, множество состояний которой образует векторное пространство
неприводимого представления (то, s), временной сдвиг а^ = (т, 0, 0, 0)
состояния | г|) ) приводит к вектору состояния U (т) | г|)), так что
= iKP, s;x). B.68)
Здесь правая часть соответствует шредингеровскому состоянию в момент
времени т, если i|) (p, s) соответствует шредингеровскому состоянию при
х = 0 (гейзенберговское состояние). Таким образом, развитие элементар-
элементарной системы во времени определяется дифференциальным уравнением
idTi|> (p, s; т) = ро\р (р, 5; т) = W + то2 \р (р, s; т). B.69)
Теперь мы обратимся ко второму классу представлений, интересных
для физики, а именно к случаю нулевой массы. Если инвариант Р равен
нулю, Р = 0, но рц ф 0, что соответствует случаю частиц с нулевой мас-
массой, то имеются два различных типа представлений.
Первый соответствует случаю, когда W——w^wv-^О, так что и/* = 0
и W = 0. В этом случае для характеристики представления недостаточно
этих двух квантовых чисел. Поскольку же теперь р^ и w^ — изотропные
векторы и так как, согласно B.58), w^p^ = 0, то должно иметь место
Юр, = крр. Для классификации представлений теперь могут быть исполь-
использованы собственные значения оператора к, который в сущности является
оператором спина частицы. Чтобы оправдать интерпретацию X как опера-
оператора спина частицы, заметим, что из соотношения w^ = Хр^ совместно
с определениями B.57а) и B.576) следует
^ B.70)
Ро
i
Так как pi = р2, то X есть проекция момента количества движения частицы
на направление ее движения, т. е. ее спиральность. Если X ф 0, то при
фиксированном значении вектора импульса р^ имеются два независимых
состояния, соответствующих двум возможным состояниям поляризации.
(спиральности). Если X = 0, то существует только одно состояние.
Представления второго типа возникают, когда W ф 0, но равно а2,
причем а — вещественное число. Тогда при фиксированном значении
вектора импульса существует бесконечно много различных состояний
поляризации, которые могут быть описаны непрерывной переменной. Мы
рассмотрим оба типа представлений одновременно.
Прежде всего отметим, что для частиц без массы не существует какой-
либо системы координат, в которой обратились бы в нуль все компоненты

60
Гл. 2. Группа Лоренца
Рр, кроме одной. Однако существует система, в которой р^ принимает
вид рц =» (р, 0, 0, р). Введем в этой системе обозначения
Wi + iw2 = Х+, B.71а)
Wl — iwt = k_, B.716)
w0 = р%, B.71в)
где, согласно уравнению B.55), X = Mi2 = Мъ. Замечаем, что W теперь
можно записать в виде
W — — w^wv- = — (Шц — w\ — w\ — а>|) = (isi)\ -j- iw2) (Wi — iw2) = X+A,_, B.72)
с учетом того, что в этой системе координат w0 = w$, a Wi и w2 комму-
коммутируют, [o>l7 w2] — 0. С помощью B.61) и с учетом того, что р^. = (р, 0, 0, р),
находим перестановочные соотношения
B.73а)
B.736)
B.74а)
B.746)
Чтобы найти спектр собственных значений, замечаем на основа-
основании B.73а), что
[lt, К) = 0.
Будем обозначать собственные функции X и W через |<х; Р):
откуда
и аналогично
| а. Р> = (К - ЯЛ,) | а, р> = - К I «, Р),
Л+|а, Р»
B.75)
B.76)
B.77)
Следовательно, Х± | а, Р) есть собственные функции оператора X, соот-
соответствующие собственным значениям р ± 1 ¦ Поэтому спектр собственных
значений X имеет вид
= 7*0 "Г И) \Л.1О)
где п = 0, ±1, ± 2 .. ., а 1 > щ > 0. Так как X = М3, то фактически X
есть генератор трехмерных пространственных вращений в гиперплоскости,
перпендикулярной к р^.. Вследствие того, что поворот на угол 2л; остав-
оставляет неизменными базисные функции однозначного представления и ведет
к умножению базисных функций двузначного представления на — 1, то
По должно быть равно нулю для однозначных представлений и lj2 — для
двузначных. Все векторы |а, Р), преобразующиеся по неприводимому
представлению, принадлежат одному и тому же собственному значению а
оператора W. Если заменить индекс р индексом п, то в неприводимом
представлении получим
(а, п\Х\ а, т) = (по + п) Ьпт, B.79)
и аналогично
(а, тг|Я,+ |а, т) = апбга>т+1, B.80а)
(а, п | Х_ | а, т) = ЬпЬп> m_j. B.806)

§ 3. Неоднородная группа Лоренца 61
Следовательно,
а = (а, п | W | а, п) = (а, п \ Х+Х_ | а, п) =
= (а, п\Х+\а, п—1)(а, ге—1 \%_\а, n) = anbn. B.81)
Унитарному представлению соответствует эрмитов оператор w^, и поэто-
поэтому (Я,+)* = А,_, так что ап = Ъп и а = I а„ | 2> 0. Если а„ = 6„ = 0,
то а = 0 при всех п, поэтому Х+ = Х- — 0 и, следовательно, ы^ = м>2 = 0
и Wy, = A,p|j,. Заметим, что при а = 0 оператор X коммутирует со всеми
генераторами и является, таким образом, дополнительным инвариантом
группы. Вследствие этого, пока мы не затрагиваем других квантовых
чисел, кроме спина, все представления будут одномерными. При
каждом целом или полуцелом значении X существуют два неприво-
неприводимых представления (при фиксированном знаке р0), в одном из которых
и)^ = Хр^, а в другом w^ = —Хр^. Когда X = 0, имеется только одно со-
состояние. Поэтому при любом ненулевом значении спина частица с массой,
равной нулю, имеет только два направления поляризации, а не 2s -f- I,
как в случае частицы с массой, отличной от нуля, и со спином s1). При-
Примером может служить фотон. Его спин равен единице, но он имеет только
два направления поляризации.
Представления с W = а2 > 0 являются бесконечномерными по спи-
спиновой переменной. Поэтому если бы существовали соответствующие час-
частицы, то они обладали бы непрерывным спином. Мы не будем рассматри-
рассматривать эти представления подробнее, так как, по-видимому, они не реали-
реализуются в природе. Их свойства были изучены Вигнером [858] и Баргман-
ном и Вигнером [31]. Из представлений сР = 0,W = 0,к = 0, Уг, I, . . .
в природе реализуется представление с X =, %, соответствующее нейт-
нейтрино, и представление с X = 1, соответствующее фотону. В явном виде
все представления с/* = 0, W = 0. и с произвольным значением X были
получены Фронсдейлом [286].
Мы перечислили здесь все неприводимые представления группы
¦Лоренца, за исключением тех, для которых р2 < 0. Представления
с р2 < 0 мы не будем рассматривать, ибо пространство, в котором дейст-
действуют эти представления, натягивается на базисные векторы | р', ?)
с р'2 < 0. Поэтому энергия р0 частицы, соответствующей такому представ-
представлению, обладала бы тем нефизическим свойством, что с помощью подходя-
подходящего преобразования Лоренца она могла бы быть сделана сколь угодно
большой и отрицательной. Безусловно, это не соответствует свойствам
физической частицы. В этой связи нужно отметить, что в представлениях,
имеющих отношение к описанию физических частиц, энергетический спектр
положителен и снизу ограничен нулевым значением, р0>0, как и должно
быть для реальной частицы. Кроме того, для этих представлений имеет-
имеется хорошо определенный нерелятивистский предел. Это последнее
свойство отсутствует у представлений с р2 < 0.
*) Этот факт более подробно обсуждается в гл. 5, § 2.

ГЛАВА 3
Уравнение Елейна-Гордона
§ 1. Исторический обзор
Когда Шредингер написал нерелятивистское уравнение, называемое
теперь в его честь, он предложил также соответствующее релятивистское
уравнение. Позднее такое же уравнение было независимо предложено
Гордоном [332, 333], Фоком [260, 261], Клейном [454], Кударом [468]
и Де-Дондером и Ван Дунгеном [157]. Это уравнение можно получить
из релятивистского соотношения между энергией и импульсом для сво-
свободной частицы с массой ц
?2 = с2р2 + ц,2с4, C.1)
если сделать в нем замены E—>ibdt, p—» — ibV. В результате приходим
к уравнению
^^Л с4) <р (х, *). C.2а)
Используя естественную систему единиц (ft = с = 1) и обозначение Дира-
Дирака ф(ж) = (ж|ф), можно переписать его в виде
(П + Ц2)Иф> = 0. C.26)
Уравнение C.2а) стало известно как уравнение Клейна —Гордона. Вол-
Волновая функция ф(ж) является однокомпонентной скалярной функцией,
которая при неоднородных преобразованиях Лоренца х' — Ах + а преоб-
преобразуется по закону
<р'(*') = ф(*) C,3а)
или
<р'(*) = Ф (А (*-«))• C.36)
Мы будем говорить, что ф описывает скалярную частицу, если при
пространственном отражении Жо—>хо, х—>—,х, ф—>ср, и что ф описывает
псевдоскалярную частицу, если при пространственном отражении
ф-^-ф1).
Физическую интерпретацию уравнения Клейна — Гордона попытаемся
дать по аналогии с тем, как это делается в случае нерелятивистского
!) Точнее эти преобразования записываются в виде <р' (ск') = ф (ж) Для скаляр-
скалярной функции и ф'(а;')=—ф (ж) для псевдоскалярной (а;'0 = а;0, х' = —х).—
Прим. ред.

§ 2. Свойства решений уравнения Клейна — Гордона 63
уравнения. Определим плотность вероятности q и ток вероятности j
таким образом, чтобы они удовлетворяли уравнению неразрывности.
. Можно проверить, что q и j, выбранные в виде
2^ - dt4> ¦ Ф) = 0с
' /г=2^(Ф^ф-^Ф-ф) C-5)
с учетом уравнения C.2а) действительно удовлетворяют уравнению
неразрывности
V.j + dtQ = O. C.6)
Константы, вошедшие в плотность и ток, введены с таким расчетом,
чтобы q и j в нерелятивистском пределе переходили в обычные выражения
нерелятивистской теории Шредингера. Если в формуле C.4) для q заме-
заменить ihdt<( на Ец>, то получим выражение
^==^ФФ' ' C-7)
которое при Е л» jic2 действительно переходит в плотность вероятности
нерелятивистской квантовой механики. Однако нужно отметить что,
вообще говоря, q может принимать как положительные, так и отрица-
отрицательные значения, так как уравнение C.2а) содержит вторую производ-
производную по времени, и поэтому в некоторый момент времени t0 и <р и dtq>
могут быть заданы независимо и произвольно. Кроме того, поскольку ф
и dt(f являются функциями пространственных координат х, то q может
быть положительной в одних областях пространства и отрицательной
в других. Поэтому трудно интерпретировать Q как обычную плотность
вероятности. Наличие отрицательных значений Q дискредитировало
уравнение Клейна — Гордона в течение примерно семи лет со времени
его написания. И только в 1934 г. Паули и Вайскопф. реабилитировали
это уравнение, дав ему новую интерпретацию как уравнения для поля
в том же смысле, как уравнениями Максвелла описывают электромагнит-
электромагнитное поле, и показали, как это поле можно квантовать.
§ 2. Свойства решений уравнения Клейна—Гордона
Теперь мы покажем, что в релятивистском случае существуют такие
ситуации, когда вероятностная интерпретация все еще применима. Судя
по выражению C.7), этого можно ожидать, когда частица свободна или
когда она движется в очень слабом внешнем поле. Для исследования
этего вопроса найдем решения уравнения Клейна —Гордона. У него
имеются решения в виде плоских волн
C.8)
если
Выражение C.8) является решением при любом знаке квадратного корня.
Это следствие ковариантности уравнения по отношению ко всем преоб-
преобразованиям Лоренца, оставляющим инвариантной квадратичную форму.

64 Гл. 3. Уравнение Клейна — Гордона
РиР = [х2с2. Ясно, что к числу таких преобразований относится и преоб-
преобразование /?0 —»— р0. Существование решений с отрицательной энергией
не представляет какой-либо трудности в случае свободной частицы. Если
частица первоначально находится в состоянии с положительной энергией
Е = с Ура -+- [А2с2, то в отсутствие каких-либо взаимодействий ее энергия
всегда будет оставаться положительной. Далее, из формулы C.7) видно,
что для частицы с положительной энергией плотность положительна
@ > О, и в силу уравнения движения она будет оставаться положительно
определенной всегда. Таким образом, приходим к выводу, что если
в качестве набора реализуемых физических состояний свободной части-
частицы принять многообразие решений с положительной энергией, то можно
построить последовательную теорию свободной частицы. Для волновой
функции <р(ж) с положительной энергией можно записать уравнение
движения
ihdt<p {х) = У fi2c4 - й2с2 V2 Ф (ж). C.10)
Если определить трехмерный образ Фурье функции ф (х) согласно
<p(x)=[d3ke*-4(k, x0), C.11)
то квадратному корню в C.10) можно придать следующий смысл:
*•хУ \i?c2 + h2k2 %(k, x0). C.12)
Отметим, что функция %(к, х0) удовлетворяет уравнению
ihdo%(k, х0) = Па (к) X (к, х0),
k2. C.13)
Множество решений с положительной энергией образует неприводимое
инвариантное подпространство, поскольку любое такое решение может
быть представлено в виде
Ф («) = ^^ S ^Ав-**-д (Ла — ц») в <Ао) Ф (Л), C.14)
где для удобства введены некоторые численные множители и положено
ft = c = l. Функция 6(k2 — \i2) обеспечивает, что ф(х) является решением
уравнения Клейна —Гордона, а функция Хевисайда 9 (к0) гарантирует,
что в нем присутствуют только положительные частоты к0 > 0. Формула
C.14) может быть несколько упрощена, если выполнить интегрирование
с помощью соотношения
где со (к) = У к2 + ц2. Функция 8 (к0) оставляет в C,14) только вклад от
первого члена, и мы получаем
где в правой части fc0 — © (t) — У k2 + p.2, так что Ф (к) в действительно-
действительности является функцией только к1, к2, к3. Поэтому мы будем писать

§ 2. Свойства решений уравнения Клейна — Гордона 65
Ф = Ф (к). Совокупность решений с положительной энергией образует
линейное векторное пространство, которое может быть превращено
в гильбертово пространство, если определить подходящее скалярное про-
произведение. Мы определим скалярное произведение двух положительно-ча-
положительно-частотных волновых функций Клейна — Гордона согласно
(Ф»"Ф>* = i\d3x (ф (ж) доу (ж) - ^оФ (ж) • •ф (х)) C.17а)
i
К^(ж). C.176)
Отметим, что хотя скалярное произведение C.17а) и содержит производ-
производные по времени, но если функции г|> и ф подчиняются уравнению C.10),
то скалярное произведение можно выразить через я|з и ф, определенные
только в один момент времени t, как это имеет место в обычной нере-
нерелятивистской квантовой механике:
= \ d3x{ф(х)>У- V»ф(х) + V?=V~2 ф(ж).^(ж)}. C.17b)
Это скалярное произведение сохраняется во времени, при условии, что
ф и г|> подчиняются уравнению Клейна —Гордона. Далее, оно обладает
всеми свойствами, которые должно иметь скалярное произведение:
(Ф, ф) =-(!>, ф), C.18а)
, C.186)
(Ф, Ф)>0. C.18в)
Знак равенства в C.18в) осуществляется только когда ф = 0. Положи-
Положительная определенность (ф, ф) при ф Ф О становится очевидной после
перехода в импульсное пространство, где скалярное произведение прини-
принимает очень простой вид
$^ C.19)
Здесь снова /с0 = + ю (к). Выражение C.19) делает также очевидной
релятивистскую инвариантность, так как Тй Ф, определенные согласно
C.14), — скалярные функции [с учетом того, что б (А;2 — И-2), 9(/е0), к-х
и d^k инвариантны], a d3k/k0 — элемент инвариантной меры на гипербо-
гиперболоиде к2 = [г2.
В определении скалярного произведения C.17) интеграл берется по
всему пространству в момент времени ct = х0. Это скалярное произведение
можно обобщить, представив интегралом по пространственно-подобной
роверхности. Такая запись делает явной релятивистскую инвариантность
скалярного произведения прямо в конфигурационном пространстве. Про-
Пространственно-подобная поверхность а определяется тем условием, чтобы
на ней не было точек, которые можно было бы связать световым сигналом:
интервал (х — уJ между любыми двумя точками х и у на а всегда про-
пространственно-подобен, т. е. (х — ?/J < 0. Если обозначить через nv-(x)
единичный вектор нормали к а в точке х, то тогда п^ (х) п^ (х) = +1
во всех точках х пространственно-цодобной поверхности а. Плоскость
t = const является частным случаем, когда во всех точках х
г№ (х) = A, 0, 0, 0). Псевдовекторный элемент поверхности dav- (x) = nv- (x) da
5 С. Швебер

66 Гл. 3. Уравнение Елейна — Гордона :
а
для произвольной трехмерной поверхности S в пространстве-времени обла-
обладает компонентами do» = {dx1 dx2 dx3, dx°dx2dx3, dx<>dx1dx3, dx°dx1dx2}.
Теорему Гаусса для четырехмерного пространства можно записать
в виде
[ d*x &F» (х) = [ do» (х) F», (х), ' C.20)
v в
где 5 — поверхность, ограничивающая объем V. Если G — G{o) есть функ-
функция пространственно-подобной поверхности а, то инвариантная операция
Ь/Ьо(х) определяется
где о' — пространственно-подобная поверхность, отличающаяся от а на
бесконечно малую деформацию в окрестности пространственно-временной
Пространствето- Пространственно-
временной объем S2 временная точка х
Ф и г. 1.
точки х, a Q (х) — четырехмерный объем, заключенный между о и а'
(фиг. 1), который в пределе сжимается в точку х. Для частного случая
G (а) = \ F» (х') do» (x1) имеем
а
JJVW-SV'
ь—вет ¦ <3'22)
В числителе, являющемся интегралом по поверхности, ограничивающей
й(ж), можно применить теорему Гаусса C.20), так что в пределе объе-
объема Q, сжимающегося в точку х, получаем
^^*>- <3-23>
Теперь перепишем скалярное произведение C.17) в инвариантном
виде:
(Ф, Х)а = i J do» (х){ф (х) 9д (х)- ^ф (х)-Х (х)} =
а
-i J do»(x)y(xj~dlx(x). C.24)
Ясно, что это выражение в случае плоской поверхности t = const сводит-
сводится к C.17). То, что скалярное произведение является сохраняющейся
во времени величиной, можно теперь проверить, показав, что скалярное
произведение C.24) в действительности не зависит от поверхности а,
если г|) и X удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона.

§ 2. Свойства решений уравнения Клейна — Гордона 67
Доказательство:
^А_ (ф, Х)о = *вм. {ф (х) д„Х (х) - д^ (х). X (х)} =
= * {ф (*) (? + ц2) X (х)- (? + ца) ф>)• X (х)} =
= 0. C.25)
Таким образом, скалярное произведение не зависит от частного вида
пространственно-подобной поверхности о, выбранной для его вычисления,
при условии, что г|) и X —решения уравнения Клейна —Гордона. В ча-
частности, мы можем выбрать поверхность t = const, и тогда C.24) сведет-
сведется к C.17). Из C.25) также следует, что (\Jj, %)t = (ty, %),0. Волновая
функция Клейна — Гордона при преобразованиях собственной группы
Лоренца преобразуется как скаляр, и поэтому j и Q, определенные
согласно C.4) и C.5), являются компонентами 4-вектора /•* = {(>, j].
Норма волновой функции есть квадратный корень из \ da^f^ и поэтому
инвариантна.
Нужно отметить, что скалярное произведение C.17) или C.24) опре-
определено только для решений уравнения Клейна —Гордона, имеющих вид
волновых пакетов, т. е. для ф таких, что (ф, ф)< со, и только такие
векторы составляют гильбертово .пространство. Решение в виде плоской
волны есть предельный случай волнового пакета и не является элемен-
элементом гильбертова пространства. Однако для таких решений, принадлежа-
принадлежащих непрерывному спектру, можно принять следующее инвариантное
условие нормировки:
(Фр, ЧУ) = А>6С)(Р-Р'). C.26)
При такой нормировке решение в виде плоской волны с импульсом р
и с положительной энергией запишется
ФР(х)=—pJ^^-e-1"'*, C.27а)
где
Ро = Ур2 + ца. C.276)
Соотношение полноты для этих решений имеет вид
d3P „-to.(x-»4
J То
и нужно отметить, что даже при ха = х'о правая часть C.28) не сводится
к б-функции.
Гильбертово пространство gffiKG положительно-частотных решений
уравнения Клейна — Гордона образует пространство, в котором действует
неприводимое представление неоднородной группы Лоренца. Это пред-
представление реализуется при помощи следующего выбора явного вида
генераторов:
Vv-^Vv, C.29а)
- C-296)
Можно проверить, что правые части C.29а) и C.296) действительно
удовлетворяют перестановочным соотношениям B.51) —B.53). При соб-

58 Гл. 3. Уравнение Клейна — Гордона
ственном неоднородном преобразовании Лоренца х'=Ах + а состояние
системы | ф) преобразуется по закону
|Ф'). C.30)
Операторы U й'0) образуют неприводимое унитарное представление неод-
неоднородной группы Лоренца, соответствующее массе \к и спину 0 и дейст-
действующее в гильбертовом пространстве q%?kg. В более явном виде
(x\W»>°)(A, а)|ф) = (ж[ф') = (Л-1(а;-а)|ф), C.31а)
откуда для волновых функций получается закон преобразования
ф'(гг) = ф(Л-х(ж-а)), C.316)
и в импульсном пространстве
ф'(й) = е*"-»ф(Л-1Й!). C.32)
Свойство унитарности U^< °> (Л, а) демонстрируется выкладкой
(Е/ф, ?7х)~ \ ~?~ег ф(Л 1к)егна%(А гк) C.33а)
— V —jp— Ш l/i/ I У l/V у I «J.OOLH
i) О
= (ф, х). (З.ЗЗв)
где при переходе от C.33а) к C.336) мы явно воспользовались инва-
d3k
риантностью элемента меры dQ(k) = -r- = dQ(A'1k).
§ 3. Оператор координаты
Тот факт, что многообразие реализуемых состояний содержит только
решения с положительной энергией, для которых скалярное произведе-
произведение определено согласно C.17) или C.19), имеет несколько важных
следствий, касающихся операторов, представляющих физические наблю-
наблюдаемые. Так, при скалярном произведении C.17) оператор x = iVp не
эрмитов, так как
C.34а)
C.346)
Ф (хф, Ф), C.34в)
где при переходе от C.34а) к C.346) был отброшен интеграл по поверх-
поверхности. Следовательно, оператор х не может быть истолкован как опе-
оператор координаты, так как он не самосопряжен и поэтому не соответ-
соответствует какой-либо измеримой величине для данной системы. Отсюда
следует, что волновая функция ф (х) Клейна—Гордона не может рас-
рассматриваться как амплитуда вероятности найти частицу в точке х
в момент времени х0. Чтобы ответить на вопрос: какова вероятность
найти частицу Клейна — Гордона в некоторой точке у в момент вре-
времени у0, нужно, во-порвых, найти эрмитов оператор, который заслужи-
заслуживает названия оператора координаты, и, во-вторых, найти его собствен-
собственные функции Wy, Vo (х). Если частица находится в состоянии с волновой
функцией у(х), то тогда, согласно общим принципам квантовой меха-

§ 3. Оператор координаты 69'
ники, амплитуда вероятности найти частицу в точке у в момент времени
г/о — х° будет равна (Т„, ц>)-
Простейший путь для получения оператора координаты —принять,
что он равен эрмитовой части оператора iVp:
l^L. C.35)
Оказывается, что этот оператор хор и в самом деле приемлем в качестве
оператора координаты. Он согласуется с определением координаты
центра масс в релятивистской механике (см. работы Папапетроу [619],
Прайса [652] и Мёллера [562, 563, 564]). Он также совпадает с опера-
оператором координаты, полученным Ньютоном и Вигнером [576], вывод
которых основывался на формулировке некоторых естественных требова-
требований, которым должны удовлетворять локализованные состояния. Ньютон
и Вигнер показали, что оператор координаты для релятивистского слу-
случая и его собственные функции («волновые функции локализованного
состояния») определяются следующими постулатами:
1) Совокупность всех состояний, локализованных в момент времени
( = 0 в точке у = 0, должна образовывать линейное многообразие, инва-
инвариантное относительно пространственных вращений вокруг начала коор-
координат и пространственных и временных отражений.
2) Пространственный сдвиг состояния Ту, локализованного в неко-
некоторой точке у, должен делать его ортогональным к совокупности состоя-
состояний, локализованных в точке у.
3) Для состояний, получаемых применением генераторов группы
Лоренца к какому-либо состоянию, должно сохраняться свойство норми-
нормируемости. Этот постулат есть условие регулярности.
Пусть состояние То (к) в момент времени Хо = О локализовано в начале
координат. Оператор сдвига в импульсном пространстве есть просто мно-
множитель ехр ( —jk-a), так что полученное в результате сдвига состояние,
локализованное уже в точке у в тот же момент времени у0 = 0, запи-
запишется в виде ехр ( — Jk-y)-T0(k). Это преобразованное состояние, согласно
постулату 2, должно быть ортогонально к состоянию То (к), т. е.
(Ту, То) = 6C> (У) = J ^ | То (к) |2 е-*-У =
Отсюда [ То (к) |2 = Bя)/с0. Если допускаются лишь функции, удовлетво-
удовлетворяющие условию регулярности 3, то волновой функцией состояния,
локализованного в момент времени ( = 0 в начале координат, будет
То (к) = {2п)-3!*кЧк C.37)
Волновая функция состояния, локализованного в у при у0 = 0, запи-
запишется в виде
Ту, о (к) = {2п)-*1ч-^-Ук\1*. C.38)
Представление в конфигурационном пространстве для волновой функции
локализованного состояния t|)y, о (х) получается подстановкой Ту> о (к)

Гл. 3. Уравнение Клейна — Гордона
в формулу C.16):
t|)y О(Х, 0)=
= const- (?у/4#&(гиг); г = |х —у|, C.39)
где #6/4 — функция Ханкеля первого рода порядка 5Д. Прежде всего
отметим, что эта локализованная собственная функция не является
d'-функцией, как это имело место в нерелятивистском случае, так как она
отлична от нуля при х фу. Функция г|зу, о (х) размазана по простран-
пространственной области с размерами порядка 1/ц (т. е. h/цс); при больших
значениях г, г|>у> 0 спадает экспоненциально. Это объясняется тем, что
гильбертово пространство e%?KG содержит только решения с положитель-
положительными энергиями, а б-функция не может быть построена только из них.
Во-вторых, следует подчеркнуть, что локализованные состояния не
лоренц-ковариантны. Они обладают максимальными свойствами симмет-
симметрии, соответствующими лишь плоскости t = const пространства-времени.
Теперь можно проверить, что волновая функция локализованного
состояния [ехр( —ik-у)]'АУ2 является собственной функцией оператора
C.35), соответствующей собственному значению у:
Хор {е { 1 |}
= y{e-*-y&y2}, C.40)
чем оправдывается понимание оператора хор как оператора координаты.
Компоненты оператора координаты XoP = q коммутируют друг с другом
[<7м<Ы = 0, C.41)
а их перестановочные соотношения с компонентами оператора импульса,
как и следовало ожидать, имеют вид
[qu PA = ibij. C.42)
При пространственных вращениях оператор q преобразуется как вектор,
а при пространственных сдвигах на а он переходит в q + а. Производная
оператора координаты по времени равна
Aq = i[#, q] = i[Po, q]=-^, C.43)
где в правой части мы узнаем оператор скорости частицы. Наконец,
если в момент времени t = 0 имеется частица в некотором состоянии Ф (к),
то амплитуда вероятности того, что при измерении координаты в момент
времени t = 0 частица окажется в точке у, равна
(Ь' ф) = (dI* I Ть е"Ш-УАо1/2Ф (к) C-44)
§ 4. Заряженные частицы
До сих пор мы рассматривали формализм для описания нейтральных
частиц со спином, равным нулю. Обладающие электрическим зарядом
частицы с нулевым спином описываются в сущности тем же самым фор-
формализмом, за исключением того, что волновая функция заряженной
частицы характеризуется дополнительной переменной — зарядом частицы е.

§ 4. Заряженные частицы 71
Для описания отрицательно заряженной частицы, находящейся
в электромагнитном поле, уравнение C.2а) нужно видоизменить при помо-
помощи обычных замен:
р-^р-^-А, C.45а)
Ро->Ро — у Л, C.456)
обеспечивающих калибровочную инвариантность, где А и Ао — вектор-
векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля. Уравнение Клей-
Клейна — Гордона тогда принимает вид
(ihdt- еА0 (а;)J ср {х) = (- ibcV - еА (а;)J ср {х) + ц2с4ср {х). C.46)
Плотность вероятности для этого уравнения дается выражением
Интерпретация уравнения Клейна — Гордона с учетом внешнего поля
уже не является такой простой, как в случае свободной частицы1). Рассмот-
Рассмотрим, например, рассеяние заряженной частицы с нулевым спином на потен-
потенциале, отличном от нуля только в течение некоторого конечного интер-
интервала времени Т. Волновая функция начальной частицы является супер-
суперпозицией решений свободного уравнения Клейна — Гордона, так как она
описывает реальную частицу с положительной энергией. Однако не исклю-
исключена возможность, что по прошествии времени Т у волновой функции
в результате действия потенциала появятся компоненты с отрицательной
энергией. Это означает, что станет отличной от нуля вероятность найти
частицу в состоянии с отрицательной энергией, а этому факту априори
трудно дать какую-либо разумную физическую интерпретацию.
Можно было бы думать, что не зависящее от времени внешнее поле
не приводит к таким трудностям, так как в этом случае в уравнении
C.46) переменные х и t разделяются и существуют решения вида
Ф (х, t) = и (х) e-iE*'n, C.48)
причем
так что возможны стационарные состояния. В частности, легко найти
решения в кулоновском поле еА0 = —(Ze*/r) (см., например, книгу
Шиффа [703]). Как и следовало ожидать, имеются решения с Е > 0 я соот-
соответствующие решения с Е < 0. Частица, первоначально находившаяся
в состоянии с Е > 0, всегда будет оставаться в таком состоянии, если она
не испытывает какого-либо внешнего возмущения. Однако даже в зтом
случае имеются трудности с физической интерпретацией, так как выраже-
выражение C.49) для плотности вероятности становится отрицательным при доста-
достаточно малых г, где движение существенным образом релятивистское. В этой
области одночастичная интерпретация теряет смысл. Релятивистская тео-
теория одной частицы полностью последовательна только в свободном случае.
Однако хотя и невозможно дать вполне удовлетворительную физи-
физическую интерпретацию уравнения Клейна — Гордона C.46) при наличии
*) Последующие замечания справедливы также и для нейтральной частицы,
находящейся в некотором силовом поле.

72 Гл. 3. Уравнение Клейна — Гордона
внешнего поля, тем не менее решения уравнения C.46) приобретут физи-
физическое значение при интерпретации уравнения в рамках теории поля.
Поэтому вкратце рассмотрим некоторые свойства его решений в случае
не зависящего от времени магнитного поля Ао = О, А = А (х). Положи-
Положительно-частотные решения для частицы с зарядом —е можно рассматри-
рассматривать как решения уравнения
1ЬЗ(ф(-е, +) = 1/{А2с4 + А1 (- icV- еАJ <р (- е, +), C.50)
и аналогично решения с отрицательной энергией удовлетворяют уравне-
уравнению
-еАJф(-е, -). C.51)
В результате операции комплексного сопряжения уравнение C.51) пере-
переходит в уравнение
ihdt(f(-e, — ) = У[А2с* + h2 ( + icV -eAJcp (- е, -). C.52)
Это—уравнение для положительно-частотной волновой функции частицы
с зарядом -fe, т. е. ф (—е, —) = const ¦ ф (-\-е, +). Итак, волновая
функция ф (—е, —) описывает частицу с положительной энергией и с заря-
зарядом -\-е — «античастицу». Решение ф (—е, —) называют зарядово-сопря-
женным решением. Аналогичное положение имеет место и для ней-
нейтральных частиц, однако в этом случае имеется возможность отождествить
нейтральную частицу с ее античастицей. Следовательно, можно разли-
различать два сорта нейтральных частиц: в одном частица и античастица
совпадают, а во втором нет. Более подробно эти возможности будут
обсуждены при рассмотрении квантованного варианта теории.
Мы закончим эту главу замечанием, что существует другой подход
к интерпретации одночастичного уравнения Клейна — Гордона, при кото-
котором используется двухкомпонентная волновая функция в двухмерном
зарядовом пространстве, снабженном индефинитной метрикой (см. рабо-
работы Сакаты [683], Гайтлера [375], Кейза [112]). Норма вектора состояния
равна -\-1 для положительно заряженных частиц и —1 для отрицательно
заряженных частиц. Дальнейшие сведения об этом направлении читатель
может найти в обзорной статье Фешбаха и Вилларса [247].

ГЛАВА 4
Уравнение Дирака
§ 1. Исторический обзор
В 1928 г., пытаясь преодолеть трудности с отрицательными плотнос-
плотностями вероятности в уравнении Клейна —• Гордона, Дирак открыл реляти-
релятивистское уравнение, которое теперь называют в его честь. Долгое время
после открытия уравнения Дирака считали, что для частиц с массой это
единственно правильное релятивистское волновое уравнение. И только
после того, как Паули и Вайскопф в 1934 г. дали новую интерпретацию
уравнения Клейна — Гордона как уравнения для поля, это широко рас-
распространившееся мнение было опровергнуто. Но даже и теперь уравнение
Дирака имеет особое значение, так как оно описывает частицы со спином
Уг, а спин Уг имеют электроны и протоны. Многие другие «элементарные
частицы» — нейтрон, ji-мезоны и, вероятно, все известные в настоящее
время гипероны (Л-, 2- и Е-частицы), также обладают спином Уг. Откры-
Открытые в 1947 г. я-мезоны были первыми частицами с конечной массой
и иным значением спина, а именно со спином, равным нулю.
Соображения, которые привели Дирака к его уравнению [169], сле-
следующие. Для того чтобы предотвратить появление отрицательных вероят-
вероятностей, нужно, чтобы в выражении для плотности q не было производных
по времени. Поэтому волновое уравнение должно содержать производные
по времени не выше первого порядка. Далее, релятивистская ковариант-
ковариантность требует полной симметрии по всем пространственным и временным
координатам. Поэтому нужно, чтобы в волновое уравнение входили про-
производные только первого порядка и по пространственным переменным.
Таким образом, волновая функция Дирака должна удовлетворять линей-
линейному дифференциальному уравнению первого порядка по всем четырем
координатам. Линейность уравнения нужна, чтобы удовлетворить прин-
принципу суперпозиции квантовой механики. Наконец, если мы хотим, чтобы
волновая функция i|) описывала свободную частицу с массой т, то нужно
потребовать, чтобы она подчинялась уравнению
(*) = 0, D.1)
так как это уравнение означает, что между энергией и импульсом свобод-
свободной частицы выполняется соотношение р2 = т2с2 и что в согласии с прин-
принципом соответствия имеется предельный переход к случаю классической
теории относительности.

74 • Гл. 4. Уравнение Дирака
Аналогичная ситуация встречается в электродинамике, где уравне-
уравнения Максвелла являются уравнениями первого порядка, связывающими
компоненты напряженностей поля. В то же время каждая компонента
электрической и магнитной напряженностей подчиняется волновому урав-
уравнению. Волновое уравнение в электродинамике является уравнением
второго порядка, не содержащим массового члена, что свидетельствует
о нулевой массе покоя фотона.
Предположим, что г|з имеет N компонент ip/ (/ = 1, . . , N), причем мы
заранее не фиксируем значение N; в дальнейшем оно окажется равным
четырем. Наиболее общим линейным уравнением первого порядка являет-
является уравнение, выражающее временную производную одной компоненты
в виде линейной комбинации всех компонент и их пространственных про-
производных. Если подставить соответствующие размерные множители, то
наиболее общее уравнение можно записать в виде
Vl+i 2
S1
ft=l 71=1 ' П=1
На основании предположения об однородности пространства-времени
а?п и Р'п являются безразмерными константами, не зависящими от про-
пространственно-временных координат х°, х1, х2, хъ. Естественный способ
упрощения вида этих уравнений состоит в использовании матричной
записи, которая позволяет представить систему уравнений D.2) в виде
T4 + S«h-S- + TrM»-0. D.3)
В этом уравнении ij> есть матрица-втолбец с N строками, а а1, а2, а*
я Р —матрицы, имеющие по N строк и столбцов. Уравнение D.3)
и известно как уравнение Дирака. ¦
Теперь найдем выражения для плотности и тока, которые соответ-
соответствуют уравнению D.3). Так как мы хотим сохранить для q привычное
определение, то полагаем
е=ЕМп=2Ыа, D-4а0
71=1 71=1
или в матричной записи
e = ij3*ij3, D.46)
где г|з* —величина, эрмитово сопряженная ij>, а следовательно, являю-
являющаяся матрицей-строкой, содержащей одну строку и N столбцов.
Выражение D.4) для плотности явно положительно определено и, таким
образом, отвечает основным требованиям Дирака! Далее потребуем,
чтобы q удовлетворяла уравнению неразрывности
.j-O, D.5)
где ток j еще должен быть определен. Можно надеяться, что тогда
будет применима обычная вероятностная интерпретация. Величина kr|j*
удовлетворяет уравнению

§ 1. Исторический обзор 75
которое получается эрмитовым сопряжением уравнения D.3). Как
и выше, «*» является знаком эрмитова сопряжения, при котором матрицы
¦а и Р транспонируются и комплексно сопрягаются, например
(P*b> = pV D.7)
Перестановка ty с Р в D.6) необходима потому, что я|?* — строка, и, сле-
следовательно, а* и Р* должны стоять после нее (а не перед ней).
Уравнение неразрывности типа D.5) можно, теперь вывести из урав-
уравнений D.3) и D.6), если первое умножить на г|;* слева, а второе —на ty
«права и сложить получившиеся результаты. Это приводит к уравнению
°<1
Последний член не содержит производных. Поэтому, если мы хотим
отождествить уравнение D.8) с уравнением D.5), нужно добиться, чтобы
этот член был равен нулю. Этого можно достигнуть, если потребовать,
чтобы
Р* = Р, D.9)
т. е. чтобы матрица Р была эрмитовой. Для отождествления второй
группы членов в уравнении D.8) с дивергенцией мы потребуем далее,
чтобы
а** = а". D.10)
Другими словами, и а и Р должны быть эрмитовыми матрицами. Дру-
Другой путь, ведущий к тому же результату, — переписать уравнение D.3)
в гамильтоновой форме:
c2)^. D.11)
Ясно, что для эрмитовости Н матрицы аир должны быть эрмитовыми.
Сравнивая D.5) с D.8), заключаем
Для вывода дальнейших сеойств матриц а и Р нужно исследовать усло-
условия, которые накладывает требование, чтобы функция я|э удовлетворяла
уравнению D.1). С этой целью умножим уравнение D.3) на оператор
з
id чгд ь д imc ft
2а Р
который приведет к появлению вторых производных. Члены с dt и со
смешанными пространственно-временными производными сокращаются,
и мы получаем
3 3 3
± 4!
D.13)
Мы симметризовали здесь член айа', что можно сделать вследствие
коммутации д/дхк и д/дх1. Чтобы уравнение D.13) согласовывалось с урав-

76 Гл. 4. Уравнение Дирака
нением Клейна — Гордона, необходимо его правую часть свести к
г2 т2°2
ft-
Это накладывает следующие условия:
") = 6", D.14)
а"Р + Ра" = 0, D.15)
(а"J = р2 = 1 (ft=l 2, 3), D.16)
т. е. матрицы а должны антикоммутировать между собой и с матрицей р,
а квадрат каждой из четырех матриц должен быть равен единице.
В практических приложениях нет необходимости использовать явное
представление для а и Р; достаточно знать, что они эрмитовы и обла-
обладают свойствами D.14) —D.16). Более того, при решении задач удобнее
обходиться без явного вида матриц. Однако их явное представление легко
можно получить. Прежде всего замечаем, что размерность N должна
быть четной.
Доказательство: Перепишем соотношение D.15) в виде
pet == ~"— ct p == i — 11 ct p. v *• ^ * /
где / — единичная матрица. Взяв детерминант от обеих частей равен-
равенства D.17), получим
(det p) (det ctfe) = (- i)N det a".det p, D.18)
где учтено, что det ( — /) = ( —1)Л\ Отсюда ( —1)N = 1, и число N должно
быть четным. Теперь мы приведем другое, несколько более сложное,
доказательство, при котором попутно будет установлено еще одно важ-
важное свойство матриц а и р —равенство нулю их следа. Так как матрицы
аир эрмитовы, то они могут быть приведены к диагональному виду.
Отметим, однако, что все матрицы аир нельзя привести к диагональ-
диагональному виду одновременно, так как они антикоммутируют друг с другом.
Выберем представление, в котором диагональна матрица р:
D-19)
Так как р2 = /, то 6|=1 и bt= + I (s = l, 2, ..., N). Кроме того, так
как P2 = (afeJ = l, то для каждой из этих матриц существует обратная,
так что равенство D.17) можно переписать в виде
(aVPah=-P- D-20)
Вычисляя след от обеих частей этого равенства и используя свойство
следа Sp(AB) = Sp (ВА), получаем
. Sp ((с^Гра*) = Sp (pa* (a")) = Sp р = - Sp p. D.21)
Следовательно,
Sp p = 0. D.22)
Аналогично,
Spa" = 0. D.23)

§ 1. Исторический обзор 77
Пусть теперь в выражении D.19) имеется т элементов fcj, равных +1,
и п элементов Ьг, равных —1, причем m-{-n = N ввиду того, что Р
имеет размерность N. С другой стороны, свойство Sp fJ = 0 означает, что
т —га = 0, т. е. что т = п. Следовательно, N = 2m, так что размерность
аир должна быть четной. В следующем параграфе мы покажем, что
размерность с необходимостью кратна четырем. Если I — единичная 2x2
матрица, а ак — матрицы Паули [см. гл. 1, формулу A.100)], то тогда
4x4 матрицы
'0 ah\ /I 0\
удовлетворяют всем нашим условиям: они эрмитовы и антикоммутируют
друг с другом, что можно показать, используя свойство антикоммута-
антикоммутации матриц а. Это частное представление удобно для обсуждения урав-
уравнения Дирака в нерелятивистском пределе (см. § 4).
Наконец, придадим уравнению Дирака ковариантный вид. В записи
D.3) для уравнения Дирака пространственные производные умножены
на матрицы, а временная нет. Чтобы устранить это неравноправие,
умножим уравнение D.3) слева на матрицу Р:
з
— ?7iP<90tb — in 2 Раь^А'Ф + mcty = 0- D.25)
h=l
Уравнение примет более симметричный вид, если ввести матрицых)
Y° = p, D.26)
Yft = Paft (k = i, 2, 3). D.27)
Отметим, что при таком определении "матрица y° эрмитова и (y°J= +1.
а матрицы yh — антиэрмитовы, т. е. (ук)* = —yh, и (укJ = — 1. Отсюда
следует, что матрицы y удовлетворяют перестановочным соотношениям
D.28)
С помощью у-матриц уравнение D.25) записывается в виде
= 0, D.29)
где снова использовано соглашение о суммировании. Уравнение D.29)
и является ковариантной формой уравнения Дирака, в которой про-
пространственные и временные производные входят равноправно. Для даль-
дальнейшего упрощения записи уравнения Фейнман [251] ввел так называе-
называемое «перечеркнутое» обозначение2). Он обозначил при помощи $) величину
t = yp = y*pll = yllI»=Y>lfi-y--p, D.30)
где матрицы у^ определяются согласно
х) В литературе нет единообразия в определении матриц у. Вероятно, все же
в большей части работ yh определяют как ificfi. В результате во многих формулах
появляется или лишний знак минус, например в D.28), или i в матрице у5- Читая фор-
формулы, надо всегда проверять, с каким определением мы имеем дело.— Прим. ред.
2) В литературе перечеркнутый символ часто печатают жирным курсивом.

78 Гл. 4. Уравнение Дирака
С помощью этого обозначения и в естественной системе единиц уравне-
уравнение Дирака записывается в виде
(-1^+т)я|з = 0, D.32)
где
0 = yv-д» = у°д° + у • V. D.33>
Ток и плотность можно записать с помощью матриц у следующим обра-
образом. Умножая равенство D.27) на матрицу E слева, находим p\h = a'4r
а поэтому ток D.12) принимает вид
/" = ся|)*руЧ- D.34)
С помощью «сопряженной» волновой функции я|э, определенной согласно
ф = ч^*р = -ф*-у°, D.35)
выражение для тока записывается в виде
Аналогично через матрицы у записывается и плотность
/о = cq = c4|)*y°yOiI> = с$У°$- D.37)
Уравнение для сопряженной функции г|з = о|з*у° получают из уравне-
уравнения D.6), вставляя в каждом члене справа от ур* множитель y°Y° = ^
и используя затем соотношения D.9), D.10) и D.27). В естественной
системе единиц это уравнение запишется так:
. D.38)
§ 2. Свойства матриц Дирака
Матрицы у образуют совокупность гиперкомплексных чисел, удовле-
удовлетворяющих перестановочным соотношениям Y|1Yv + YvY'1==2g*lv. При их
изучении (см. Паули [624, 625], Гуд [331]) не обязательно предполагать,
что они обладают каким-либо определенным свойством относительна
эрмитового сопряжения.
Рассмотрим 16 элементов:
/
iy1 iy2 iy3 y°
jY2v3 iv'v1 iyiy2 vO-y1 vo-y2
Y1YaY3
Все другие произведения матриц y с помощью перестановочных соот-
соотношений могут быть сведены к одной из этих шестнадцати. Множи-
Множитель i вставлен для того, чтобы квадрат каждого элемента был равев
+1. Обозначим элементы в выписанном порядке при помощи Г*
(Z= 1, 2 16). Замечаем, что с точностью до множителей ± 1 или ± I
произведение любых двух элементов всегда равно третьему. Для каждого
элемента Г/, за исключением Г, = /, всегда можно найти такой элемент Tj,
что Г^Г/Г;= —Г/. Это утверждение мы докажем, непосредственно указав
элемент Tj для каждого IV Так, для 1 = 2 5, т. е. для элементов

2. Свойства матриц Дирака 79
второй строки списка, Fj¦, = iyOy^y3^ в случае третьей строки, например,
элементу iy2y3 соответствует Tj = iy2, так как (iy2) (iy2y3) (iy2) = —(iy2y3)',
для всей четвертой строки Г^ = iy°yly2y3, а для пятой в качестве Г^
можно выбрать, например, y°- Отсюда следует, что след любой Матрицы
Fj с i ф 1 равен нулю, так как
- Sp Tt = Sp TjT,Tj = Sp Г4П = Sp Гг.
Шестнадцать элементов Г»(*=1, 2 16) линейно независимы, дру-
16
гими словами, равенство 2 яД\ = 0 справедливо только тогда, когда
все а, = 0 (i=l, 2 Щ.
16
Доказательство: Вычисляя след от 2 а{Г| = 0, получим ^ = 0. Ана-
Аналогично, последовательно умножая уравнение на каждую из Гг и вычис-
вычисляя след, получаем, что аг — 0, что и требовалось доказать. Отсюда
мы заключаем, что гиперкомплексные числа нельзя представить матри-
матрицами размерности, меньшей 4x4, так как при меньшей размерности
не существует 16 линейно независимых матриц. Обратно, у можно пред-
представить матрицами, размерностью 4x4, потому что среди этих матриц
имеется ровно 16 линейно независимых (так как число элементов 4x4
матрицы равно 16). Это представление (как и все ему эквивалентные)
оказывается неприводимымх). Любое другое представление может быть
приведено к виду ¦<
Л* °\
V0 у*/
где у4 —матРиЦы размерности 4x4. В дальнейшем всегда будет пред-
предполагаться, что у — неприводимые 4x4 матрицы.
Из линейной независимости Fj следует, что всякая 4x4 матрица X
может быть записана в виде
Х=2*»ГЬ D.39)
где
Xi = ^Sp(XTi). D.40)
Так как ^-матрицы гнеприводимы, то из леммы Шура следует, что
любая 4x4 матрица, коммутирующая со всеми матрицами у*1, кратна
Совокупность гиперкомплексных чисел, удовлетворяющих соотношению
>l =2g|iV, называется алгеброй Клиффорда. Алгебра Клиффорда существует
для любого пространства, снабженного метрикой g^. Если размерность простран-
пространства равна п, то размерность алгебры (т. е. число элементов Г) равна 2™. При п
четном (п — 2т) только единица коммутирует со всеми элементами алгебры, так
что если не различать эквивалентных представлений, существует одно и только
одно неприводимое представление алгебры. Оно реализуется г у. г матрицами
с г = 2то. Кроме того, представление всегда может быть выбрано вещественным.
В дираковисом случае я=4, т=2 и г=22=4.

80 Гл. 4. Уравнение Дирака
единичной матрице. Алгебраическое доказательство этого утверждения
следующее. Пусть X будет матрицей, коммутирующей со всеми матри-
матрицами у&, а следовательно, и со всеми Г;. Представим X в виде
X = xjTj+^xiTl (Т}Ф1). D.41)
Пусть Г, такая матрица, что ГгГ;Гг = — Г,. По предположению, ТгХГ, = Х,
а поэтому, умножая D.41) слева и справа на Fj, получаем
X = - xjTj + 2 */Г,Г,Г4 = - xjTj + 2 xt (± 1) Г,, D.42)
1Фз 1Ф)
где множители ± 1 возникают в зависимости от того, коммутируют или
антикомму тируют Гг и Г; друг с другом. Умножая D.41) и D.42) на Г,-
и вычисляя след, получаем, что Xj= —Xj = 0. Так как в качестве Г7-
бралась любая из матриц Г, за исключением единичной, то единствен-
единственный отличный от нуля коэффициент разложения D.41) есть хг, что
и требовалось доказать.
Основная теорема о матрицах y> которая многократно будет исполь-
использоваться в дальнейшем, гласит: если даны две системы 4x4 матриц
yv- и y'v, удовлетворяющих перестановочным соотношениям
^ = 2gnv) D.43а)
Y'nY'v _j_ Y'vYv = 2g»v, D.436)
то существует такая неособенная матрица S, что
y'n = Syv-S-1. D.44)
Явный вид S дается выражением
S^^T'iFTi, D.45)
г=1
где F — произвольная 4x4 матрица, которая может быть выбрана таким
образом, чтобы матрица S была неособенной. Совокупность 16 линейно
независимых матриц П построена из матриц y'v- точно так же, как были
построены Ti из у&. Для доказательства . теоремы заметим, что если
TiVj = etJrh, где etj=±l, ± i, то тогда ГгГ^ГгГ^ = еуП= е|3-, так что
Г^Тг = г1]Гitj = eljFft. Отметим, что в штрихованной системе число е^-
будет тем же самым, т. е. TlTj = е^-Г^, так как его значение определяется
только перестановочными соотношениями, а они одинаковы для обеих сово-
совокупностей матриц. Так как е^- равно либо ± 1, либо ± i, то е|3= +1.
Воспользовавшись для S представлением D.45), получаем
Г-STj = S ^TiFTtTj - S вЬПРТъ = S ThFTk, D.46)
i i k
с учетом того, что при фиксированном / матрица Г^Г/, находящаяся
под знаком суммы по i, пробегает все значения 16 элементов алгебры.
Это позволило заменить сумму по i суммой по к. Таким образом, полу-
получаем
rjSTj = S. D.47)
Так как матрицы у неприводимы, то по лемме Шура матрица S является
неособенной. Кроме того, с точностью до множителя матрица S опреде-

§ 3. Релятивистская инвариантность
ляется однозначно. В самом деле, предположим, что таких матриц S
имеется две, скажем Sx и S2, так что y'v- = S^S'^ и y'>i = S2y^S~1.
Тогда, исключая у'*, получаем у* — S'^S-^yv- (S^S^1), т. е. что матрица
S^1S1 коммутирует со всеми матрицами у^ и, следовательно, кратна еди-
единичной матрице. Отсюда Sz = cS1. Часто бывает удобным наложить усло-
условие нормировки det iS1 = 1, которое определяет матрицу S уже только
с точностью до множителя \/~I, равного ± 1 или ± i.
Интересен частный случай соотношения D.45), когда у'v- — yf-. В этом
случае Sy*l = yilS, и S есть матрица, кратная единичной: S=cl. Тогда
матричный элемент соотношения D.45) с индексами qo равен
16 4
c6QO=2 51 (ГОооЛ-с (ГОо'с D.48)
i=l 0',O'=l
Так как это тождество верно при любом выборе матрицы F, то из него
следует
Д(Г0ОО'(Гг)а'а = &е'а'беа. D-49)
где bQ'O- — некоторая постоянная. Для определения этой постоянной свер-
свернем индексы q и а:
16 4 16
2 2 (ГОо (Г,)м. = 2 (П)о'в- = 16во'в- = 4 V<r, D.50)
i=l q=1 i=l
откуда bQ'O' = 46O'q-, и, таким образом, приходим к тождеству
16
2 (Г,)а0(Г,H'а'='4воо.в0в.. D.51)
г=1
Мы заключим этот параграф об общих свойствах матриц у заме-
замечанием, что многие их свойства можно было бы вывести, используя то
обстоятельство, что Гг- образуют группу из 32 элементов. Такая конеч-
конечная группа всегда может быть представлена унитарными матрицами.
Матрицы Г такого унитарного нредставления, кроме того, эрмитовы,
а именно из Г|=Г*Гг = / следует, что Гг = Г*.
§ 3. Релятивистская инвариантность
Теперь мы можем провести исследование лоренц-инвариантности
уравнения Дирака и установить его связь с представлением неоднород-
неоднородной группы Лоренца, обсуждавшейся в гл. 2.
Физика, выражаемая любым релятивистским уравнением, в том числе
и уравнением Дирака, не должна зависеть от выбора лоренцевой системы
отсчета. А поэтому, чтобы правильно описывать физические явления, само
уравнение должно обнаруживать такую же инвариантность относительно
выбора системы координат. Сейчас мы покажем, что уравнение Дирака
инвариантно по форме относительно неоднородного преобразования
Лоренца х' — Ах -j- a, A gA = g, при условии, что преобразованная вол-
волновая функция определяется согласно
г|/ {%') = S (Л) у (х) = S (Л) у (Л (х' - а)), D.52)
6 С. Швебер

82 Гл. 4. Уравнение Дирака
а матрица S (Л) удовлетворяет определенным требованиям [см. ниже фор-
формулу D.59)]. Эта матрица S (А) имеет размерность 4x4 и действует
на компоненты г|з, т. е. в явном виде равенство D.52) записывается в виде
*;(*)= S «So*(Л)мл'1 (*-«))•' D.53)
Утверждение об инвариантности уравнения Дирака означает, что в новой
системе отсчета волновая функция а|э' подчиняется уравнению
(-iWn + mL>'(a:') = 0, D.5.4)
где д'^ = д/дх'ч. Отметим, что матрицы у при преобразованиях Лоренца
остаются неизменными. Теперь уравнение Дирака
1-0 D.55)
с помощью соотношений D.52) и
ete^ tfa;^ ста;
может быть переписано в виде
— iA^yV ^~—- + mS'1^' (х') = 0. (^'57)
После умножения уравнения D.57) на S слева получаем
- ^(Л^)^^' (х1) + тг|/ (х1) = 0, D.58)
и, следовательно, уравнение Дирака будет инвариантно по форме отно-
относительно преобразований Лоренца при условии, что
S'1 (A) yKS (A) = А^. D.59)
Это и есть упомянутое выше условие, которому должна удовлетворять
матрица ?(Л). С помощью равенства Л gA = g легко проверить, что
матрицы у'^ = Л^^ подчиняются тем же самым перестановочным соотно-
соотношениям, что и матрицы у^, т. е. что y'ily'v-{-y"vy'i1 = 2g^'v. Отсюда следует,
что неособенная матрица S, удовлетворяющая уравнению D.59), сущест-
существует. В действительности же, как было показано вынп, уравнение D.59)
определяет S однозначно с точностью до численного множителя.
Дальнейшее условие, которому должна удовлетворять матрица S (Л),
можно найти следующим образом. Эрмитово сопрягая равенство D.59)
и учитывая при этом действительность матричных элементов Л?, эрми-
товость у0 и антиэрмитов ость yk, получаем
(AV)* = (A|lV- 2 Л^У)* =
л1
D.60)

§ 3. Релятивистская инвариантность 83
Свойства у0 и ук по отношению к эрмитовому сопряжению компактно
можно записать в виде соотношения
(у»)* = YoYuYo> D.61)
или, что равносильно, в виде ^д = Y'Y*"V- Поэтому если умножить D.60)
на у0 слева и справа и учесть, что (у0)'1 = у0, получим
з
A"V) У° = AV = V E"V5)V D.62a)
) y11 (y<>SV)- D.626)
Вторая часть соотношения D.62а), согласно D.59), равна S'ly^S, поэтому,
приравнивая D.626) выражению S'^vS, находим
(SyOS*yO)y^(SyoS*yoy1 = y^. D.63)
Следовательно, матрица Sy°S*y° коммутирует со всеми матрицами у&,
а поэтому кратна единичной матрице
Sy<>S*yo = Ы, D.64а)
или, что равносильно,
' SyoS* = byo, D.646)
= by°S~l. D.64в)
Здесь Ъ — некоторая постоянная. В силу эрмитовости у0 и левой части
D.646) она должна быть действительной: Ъ-=Ъ. Если принять для S
нормировку det »У = 1, то получим b*=l, и, следовательно, 6=^ 1.
Выясним теперь, в каком случае Ъ равна -f 1, а в каком —1. С этой
целью рассмотрим тождество
S*S = S*y°y<>S = byoS-iyoS =
з
v = Ь (AJ/ - S
3
= b (A°°/ - 2 Aofta"), D.65)
в котором использованы соотношения D.64в) и D.59). Далее, S*S
является произведением неособенной матрицы и матрицы, эрмитово сопря-
сопряженной к ней. Так как S Ф 0, то отсюда следует, что матрица S*S
положительно определена. Ее собственные значения вещественные (ввиду
эрмитовости S*S) и положительные, а поэтому Sp (S*S) > 0. С учетом
того, что Sp ah = 0, получаем
Sp?*.S = 4&A°°>0. D.66)
Таким образом, если Л00< — 1, то Ъ= — 1, а если Лоо>1, то b= -f 1.
Рассмотрим теперь трансформационные свойства сопряженного спи-
спинора i|j = i|3*y°. При преобразовании i|/ = Sty имеем ("ф')* = г|?*5*, и, следо-
следовательно, функция г|)', определяемая согласно
? 7° D-67)
6»

84 Гл. 4. Уравнение Дирака
(•у-матрицы не преобразуются), преобразуется по закону
Здесь принято во внимание соотношение D.64). Таким образом, г|/ = tyS'1
при преобразованиях, которые не изменяют знака времени (AJJ>1),
и ч|э' = —tyS'1 при преобразованиях, содержащих отражение времени
(Л?<-1).
Смысл соотношения D.68) становится несколько более ясным, если
рассмотреть трансформационные свойства тока
/м. = ^г|). D.69)
Так как физические следствия уравнения Дирака должны быть одни
и те же во всех лоренцевых системах отсчета, то необходимо, чтобы
ток jv преобразовывался, как 4-вектор, т. е. по закону
D.70)
анной
D.71)
Так как а|/* = tp*S*, то D.71) можно переписать в виде
D.72)
Этот же ток можно выразить через волновые функции в штрихованной
системе отсчета при неизмененных матрицах y
Сравнивая D.70) и D.72), мы видим, что должно выполняться соотноше-
соотношение S*y° = y°S~1. Это соотношение совпадает с соотношением D.64) для
преобразований Лоренца без отражения времени. Однако соотношения
D.64) и D.66) свидетельствуют дальше о том, что ток jv- является псевдо-
псевдовектором по отношению к отражению времени, так как он при таком
отражении изменяет знак.
Найдем теперь явный вид S для преобразований Лоренца. Рассмотрим
сперва случай собственных ортохронных однородных преобразований
Лоренца, для которых detA = 4-1, a Ajj>-1. Достаточно рассмотреть
бесконечно малые преобразования, так как конечное преобразование
может быть получено в виде соответствующей экспоненты. При бесконечно
малом преобразовании Лоренца А = / + еХ
x'* = x* + ebW, D.73а)
X^==_>tvlij D.736)
матрицу S (А) в первом порядке по е можно записать в виде
S(I + sK) = l+sT D.74)
и
?-*(/ +еХ) = /-е7\ D.75)
Для бесконечно малых преобразований соотношение D.59) переписывается
в виде
S-LyvS = (/ — ъТ) у^ (I + еТ) = у*-\- г (yV-T — Ту*) =
D.76)

§ 3. Релятивистская инвариантность 85
и, следовательно, матрица Т должна обладать свойством
Ту* = М$уч. D.77)
Из соотношения D.77) матрица Т- определяется однозначно с точностью
до аддитивного члена, имеющего вид матрицы, кратной единичной.
В самом деле, если бы существовали две такие матрицы Г, то из D.77)
следовало бы, что их разность коммутирует со всеми матрицами у»,
а поэтому кратна единичной матрице. Нормировка detiS"=l требует,'
чтобы det(/ + er) = l + eSpr = l, т. е. чтобы SpT = O. Добавляя к Т
матрицу, кратную единичной, всегда можно добиться того, чтобы SpT = О,
так что это условие определяет Т уже однозначно и делает det S = 1. Легко
проверить, что матрица
удовлетворяет условию D.77) и требованию равенства нулю ее следа.
Это и есть искомая матрица Т.
При бесконечно малом повороте на угол е вокруг оси х1 имеем
Х23 = —Х32= -j-1, а все другие величины №v = 0. Генератором для такого
преобразования согласно D.78) будет
| D-79)
Если принять для матриц у представление D.24), то
+-! 2,. D.80)
Следовательно, матрица S (Q), соответствующая повороту на угол 9 вокруг
оси х1, дается выражением
e+i2 2l = cos - + i2i sin |-. D.81)
Так как S(Q-\-2n)~ —^(9), то каждому углу 9 соответствуют две мат-
матрицы S, отличающиеся знаком. Однако отметим, что для вращений
S*S=+l.
При бесконечно малом преобразовании Лоренца вдоль оси х1
X10 = - А,01 = - 1 и
T{Li) = \y^ = ±o>. D.82)
Конечному преобразованию Лоренца вдоль оси х1 соответствует матрица
= e^ai =сЬ|- + а18Ь-^, D.83)
где th и» = — . В этом случае половинные углы не приводят к неодно-
неоднозначности в знаке S: Матрица S (ia) пространственного отражения
х'к = — xh,x'° = ж°должна удовлетворять условиям
S-l{is)y°S(is) = y\ D.84а)
S-i(is)yhS(is)=~yk. D.846)

86 Гл. 4. У равнение Дирака
Поэтому в качестве S (is) можно выбрать либо ± у0, либо ± iy°. Мат-
Матрица S (it) временного отражения (x'k = xh, х'° = — х°) должна удовле-
удовлетворять условиям
S-1(it)y°S(it)=-y°, .D.85а)
6-i(^)Yft^(^) = Yft, D-856)
так что она может быть равна ± YsY0 или ± гуьУ0, где уь — ¦
Ответ на вопрос, какие из этих матриц S (ц) и S (is) следует выбрать
на самом деле, мы откладываем до обсуждения понятия зарядового
сопряжения.
Вкратце рассмотрим отношение волновой функции Дирака t|> (x)
к величинам, преобразующимся по неприводимым представлениям соб-
собственной однородной группы Лоренца. В гл. 2 двухкомпонентную вели-
величину, преобразующуюся по неприводимому представлению {1/2, 0} одно-
однородной группы Лоренца, мы называли спинором, а величину, преобразую-
преобразующуюся по представлению {0, J/2}, —сопряженным спинором. В частности,
рассматривалась реализация, когда генератором М( вращений вокруг г-й
оси в обоих представлениях служила матрица 1/ioi, а генератором Nt
преобразований Лоренца вдоль l-ш оси были г/2 icii для представления
{V2, 0} и —1/2iat для представления {0, 1/2}. Если мы рассматриваем
только собственные однородные преобразования Лоренца и не рассматри-
рассматриваем пространственные отражения, то для описания частиц со спином V2
будет достаточно двухкомпонентных спиноров. Однако при простран-
пространственном отражении генераторы преобразуются так, что М—> М, N—> —N.
Поэтому двухкомпонентный спинор и спинор, полученный из него при
помощи пространственного отражения, по-разному преобразуются при
преобразованиях Лоренца. Для того чтобы теория была инвариантна
относительно пространственных отражений, необходимо использовать
четырехкомпонентные спиноры. Так как отражения переводят спинор,
преобразующийся по представлению {J/2, 0}, в спинор, преобразующийся
по представлению {0, 1/2}, то для инвариантности нужны четырехкомпо-
четырехкомпонентные спиноры, являющиеся прямыми суммами спиноров {1/2, 0} и {0, ]/2}.
Наглядную иллюстрацию этих замечаний можно дать, выбирая для мат-
матриц y представление
а ) i D.86а)
D.866)
При такой реализации матриц Y матрица S (Л), соответствующая огра-
ограниченным преобразованиям Лоренца, может быть записана в виде
5(А) =
где S и S' — 2 X 2 матрицы. Четырехкомпонентный дираковский спинор \|з
расщепляется на два двухкомпонентных спинора (i^, i|J) и (\|з3, tyi), -кото-
-которые при преобразованиях Лоренца преобразуются независимо. При отра-
отражениях в начале координат спиноры (i^, i]^) и (i|K! ^4) просто перестав-
переставляются. Систематическая трактовка уравнения Дирака в терминах таких
двухкомпонентных спиноров была дана Ван дер Варденом [808]. Деталь-

§ 3. Релятивистская инвариантность 87
ное изложение этого подхода читатель найдет в статьях Баде и Йеле [23]
и Капа [105].
Изучив трансформационные свойства спиноров Дирака при преобра-
преобразованиях Лоренца, можно теперь определить трансформационные свойства
билинейных комбинаций, построенных из этих спиноров. Так, величина
v|> (x) 1|з (х) является скаляром, поскольку
Однако при отражениях времени эта комбинация г|зг|з преобразуется как
псевдоскаляр. Выше мы уже установили, что величина tyYH> есть вектор.
Если определить матрицу
Ф" = -i- (y^yv — YVY^) = — <*V|S D.89)
то тогда билинейная комбинация ¦фа^'ф преобразуется как антисимметрич-
антисимметричный тензор 2-го ранга, а именно при преобразованиях с А°>1
ц'о^Ц' = ф^-ЧИ"^ = Л$Л$»«*ф. D.90)
Величина i|3Y*"YliYVil' с ^ < Iх < v преобразуется как тензор 3-го ранга,
антисимметричный по всем трем индексам, поскольку
s
Q«T<T
AS A?
AS A?
D.91)
Этот тензор имеет четыре отличные от нуля компоненты, которые обычно
нумеруют индексом недостающей матрицы у. Эти компоненты можно
также записать в виде i|)y5y|1i|'> где
- Y5 = Ys = ^г etlvQ ^г
— антиэрмитова матрица, антикоммутирующая со всеми матрицами у^
и равная в квадрате — 1:
"V^Y5 + Y5Y|i = 0. D.93а)
(Y5J=_1 D.936)
С помощью этой матрицы можно записать
5Y*
Четыре билинейные комбинации ifYsY1*1!' (И' — О' 1> 2, 3) во всех отноше-
отношениях ведут себя, как компоненты 4-вектора, за исключением того, что
скалярное произведение этого вектора с^ истинным 4-вектором (напри-
(например, с координатным вектором) есть не скаляр, а псевдоскаляр. Поэтому
называют псевдовектором.

Гл. 4. Уравнение Дирака
Наконец, величина уру$ур преобразуется по- закону
= & (detA) a^Ys^, D.95)
где использовано соотношение
(det Л) 8аРтб = е^аЛ&ЛдаЛв. D.96)
Таким образом, величина \руъ^> преобразуется как скаляр при собствен-
собственных преобразованиях Лоренца и как псевдоскаляр при пространственных
отражениях.
Зная трансформационные свойства билинейных комбинаций ^Fjif,
можно в дальнейшем построить инвариантные величины, описывающие
взаимодействие. Например, инварианты получаются при перемножении
комбинации г|гф (х) со скалярной функцией %(х), ^>у^(х) — с псевдоска-
псевдоскалярной функцией ц>(х), а комбинации tyy^ (х) — с векторной функ-
функцией А^(х), которую можно использовать, например, для описания
электромагнитного поля. Взаимодействие с электромагнитным полем может
также иметь вид ^af-^F^, где F^v (x) — тензор напряженностей электро-
электромагнитного поля. Это взаимодействие известно как взаимодействие Паули
для магнитного момента.
Теперь мы определим инвариантное скалярное произведение двух
дираковских спиноров г|з (х) и. ср (х) в момент времени ct = х0:
»a;2 Ф«(*)Ф«(аО. D-97)
Это скалярное произведение можно обобщить на случай произвольных
пространственно-подобных поверхностей:
(ф, <р)ст = ^ do»(x) ф (х) Ytlcp (x). D.98)
о
Если г|> и ср подчиняются уравнению Дирака, то такое скалярное произ-
произведение не зависит от а, а поэтому в качестве а можно взять и плоскость
t = const. Доказательство независимости (ijj, cp)o от а проводится следую-
следующим образом:
= -+• im (¦фф — г|хр) = 0. D.99)
Отсюда следует, что скалярное произведение сохраняется во времени.
При таком скалярном произведении отображение |i|))—> \ty'), соответст-
соответствующее какому-либо преобразованию Лоренца, не изменяющему знак

§ 3. Релятивистская инвариантность 89
времени, осуществляется унитарным оператором
*7(а,Л)|Ч>> = Н'>, D.100)
причем
{х \и(а,Л)\Ъ) = {х\$') = Ч1(а, А)Ф (х) = S (Л) ф (Л'1 (х - а)). D.101)
Унитарность доказывается тем, что
а
= ^ dor»1 (ж) tJj (Л (ж — а)) A^Yv<P (Л (х — а)) =
(Л (х — а))ф (Л (ж - a)) Yv9 (Л (ж - а)) =
= (V«P). " D-Ю2)
Бесконечно малое преобразование записывается в виде
где генератор 35 определяется из соотношения D.101) с помощью D.73)
и D.74):
= $(х) + г (Т - ЪЦ&д») у(х)+..., D.104)
так что
35=- ih (T - XQax°dQ). D.105)
При бесконечно малом повороте вокруг оси х3 оператор Т = 1/2iZ3,n
от нуля отличны только А,21= — Х12= +1. Следовательно,
55з=^-2з + [гхр]з. D.106)
Этот оператор можно принять в качестве третьей компоненты полного
момента количества движения частицы. Таким образом, дираковская ча-
частица, кроме своего орбитального момента, имеет еще и собственный
момент количества движения —~- S, по величине равный -^-. Следует от-
Li Li
метить, что оператор спина 1/2 S не является интегралом движения, так
как [Н, S] Ф 0. Точно так же не является интегралом движения и ор-
орбитальный момент количества движения. Однако полный момент
J = -к- 2 + [г X р] есть интеграл движения. На самом деле это определение
момента количества движения основано на предположении, что оператор
г является оператором координаты дираковской частицы. Ниже мы уви-

ДО Гл. 4., Уравнение Дирака
дим, что это не так и что при помощи другого оператора координаты
можно определить другой оператор момента количества движения, кото-
который будет обладать тем свойством, что его орбитальная и спиновая части
будут порознь интегралами движения.
§ 4. Решения уравнения Дирака
Уравнение Дирака имеет решения в виде плоских волн:
-—
\ь(г\ р ft v Xjj (n) f4 107^
где и (р) — 4-компонентный спинор, удовлетворяющий уравнению
(j»-mc)a(p) = 0. D.108)
Скалярное произведение двух спиноров и и и' записывается в виде
4
м*м'= 2 uau'a=Zy°u'. D.109)
a=i
При таком определении ' скалярного произведения гамильтониан
Я = са ¦ р + $тс2 эрмитов:
4
t .? ir *ЧП ' тт / TJj. '\*7/ // 4 Л Г\\
а, В=1
(здесь учтено, что а = а* и р = р*), и поэтому его собственные значения
действительные. Уравнение D.108) является системой четырех линейных
однородных уравнений для компонент иа (а=1, 2, 3, 4). Нетривиальные
решения существуют только если det (j» — me) — (р2 — m2c2J = 0. Итак,
уравнение имеет решения только, когда р2 = ш2с2, т. е. р0 = ± |/p2 + m2c2.
Пусть и+ (р) будет решением, соответствующим ср0 = Е(р) = + с ]/р2 -\- т2с2
и, следовательно, удовлетворяющим уравнению
ьсли представить решение и+ в виде и+ = f ) , где ut и м2 имеют по
две компоненты, и если принять для матриц а и р представление D.24),
то получим уравнение для ut и и2:
1, D.112а)
2- D.1126)
С учетом того, что Е(\))-\-тс2ф0, находим из D.1126)
а подставляя это выражение обратно в D.112а), получаем уравнение
Однако, поскольку (<т-рJ = р2 и

§ 4. Р-ешения уравнения Дирака
91
то мы приходим к заключению, что уравнение D.112а) удовлетворяется
тождественно. Таким образом, при каждом значении импульса р имеют-
имеются два линейно независимых решения с положительной энергией, кото-
которые соответствуют, например, выбору ut в виде ( л ) и ( 1 ) " ^т0 же
можно выяснить и несколько иным путем. Оператор Гамильтона
Н = са • р + Ртгас2 коммутирует с эрмитовым оператором
Sp
'~TpT
где
^0 aj-
D.116)
D.117)
Оператор s(p) называют оператором спиральности, или, просто, спираль-
ностью частицы. С физической стороны он соответствует проекции спина
частицы на направление движения. Ввиду коммутации Н и s(p) в ка-
качестве решений можно выбрать общие собственные функции этих опера-
операторов. Так как s2(p) = l, то собственные значения оператора s(p) равны
±1. Решения с заданным импульсом и фиксированным знаком энергии
можно классифицировать по собственным значениям оператора s(p). Ана-
Аналогично можно классифицировать и решения с отрицательной энергией,
когда р0 = — V р2 + т2с2 . В этом случае снова имеются два линейно
независимых решения, соответствующих собственным значениям +1 и
— 1 оператора s(p). Итак, при фиксированном импульсе р уравнение
Дирака имеет четыре линейно независимых решения, характеризующихся
значениями р0 — ± сЕ (р), s (p) = +1.
Явный вид двух линейно независимых решений уравнения Дирака
с импульсом р и положительной энергией следующий:
'-/
E (p)-|-mc2
IE (p)
са-р
,-/!
2Е (р)
E (p) -j- mc2
0
1
ca-p
D.118а)
D.1186)
Нормировочные множители здесь определены из условия и*и=1. Отме-
Отметим, что эти два решения ортогональны друг другу:
<r)*(pKs)(p) = SrS, (r, s = l, 2). D.119)
Выписанные решения не являются собственными функциями оператора
s(p). Решения с положительной энергией и с определенной спирально-
стью можно получить, если принять во внимание, что уравнение
s (Р)и^ (Р) = i u^ (Р) записывается в виде
D.120а)
D.1206)
где и<±) и и^ — верхние и нижние пары компонент спинора и^\ а п —
«диничный вектор, направленный по р, п = р/|р|. Отсюда для нормиро-

92
Гл. 4. Уравнение Дирака
ванных величин
получаем выражения
/2(п
»i+<«2/
D.121а>
1
V
D.1216)
Таким образом, нормированная собственная функция со спиральностыо
+1 и с положительной энергией записывается в виде
/2 («з
Е (р) +
/
^/ij -j- ire2
D.122)
Попутно заметим, что в нерелятивистском пределе компоненты м2 реше-
решения с положительной энергией по порядку величины равны — itt и, еле-
довательно, малы.
Доказательство: В нерелятивистском пределе норма и2 по порядку
величины равна норме щ, помноженной на (и/сJ, поскольку
с2р2 ¦ * / mv ~\2 , 1 / к V , ,, ,,oq.
В предельном случае покоящейся частицы (р = 0) четырьмя линейно
независимыми решениями (в этом случае их можно выбрать так, чтобы
они были собственными функциями 23) являются
р0 = тс2
р0 = - тс2
S3=-l
D.124)
§ 5. Соотношения нормировки и ортогональности. Следы
Для спиноров Дирака удобнее принять условие нормировки u+(p)u_i_(p) =
= —~- , а не и\ (р) и_|_ (р) = 1, так как подобная нормировка инвариан-
инвариантна — обе части условия нормировки преобразуются как четвертая компо-
компонента вектора. Это условие очень просто записывается с помощью со-
сопряженного спинора. Умножая уравнение
р0и = (са-р + Р/ис2) и D.125а)
на а*р слева и уравнение
рои* = и* (са ¦ р + §тсг) D.1256)
на f>u справа, складывая и учитывая антикоммутацию р и а, находим
*и. D.126)

§ 5. Соотношения нормировки и ортогональности. Следы 93
Отсюда, вспоминая определение u = w*p и используя условие нормировки
и*и = ¦' •Ро2| , получаем
ш=-г&-г=в(р0). D.127)
I Ро I
Таким образом, ии равно +1 или —1 в зависимости от знака энергии.
Обычная краткая запись ии = в, причем 8= -f 1 для. спиноров с поло-
положительной энергией и — 1 для спиноров с отрицательной энергией. По-
Попутно выпишем уравнение для сопряженного спинора, для чего уравне-
уравнение D.1256) нужно умножить справа на р\ В обозначениях, предложен-
предложенных Фейнманом,
и (p)(j»-me) = 0. D.128)
При помощи техники, аналогичной той, которая использовалась при
выводе D.126), можно получать средние значения операторов Гг в со-
состоянии и(р). Так, вычислим, например, величину и (р) у^и (р). Для этого
умножим уравнение (р — тс)и = 0 на иу^ слева и уравнение D.128) на
справа и сложим
Ътт (р) у»и (р) = и (р) (ру» + у»р) и (р) =
(р). D.129)
Отсюда и (р) у»и (р) = 8 (р) -^й- , если и нормированы условием и (р) и (р) =
= е(р). Подобным же образом легко проверить, что и (р) уьи (р) = 0.
Такая же техника может быть распространена на вычисление матричных
элементов Гг между различными начальными и конечными состояниями.
Например, рассмотрим матричный элемент u(p2) y$u (p4). Поступая как
и прежде, с той лишь разницей, что теперь используются два уравне-
уравнения—для k(Pi) и для ы(р2), получаем
2тси(р2)уъи (Y>i) = u(p2)(ybpi + p2yb)u(pi). D.130)
Так как уь антикоммутирует с у^, то правую часть можно переписать
в виде
и (р2) Уьи (pi) = ^- {Pt - р§ и (р2) УьУ»и (pj). D.131)
Полагая pi = р%, снова выясняем, что такой матричный элемент равен
нулю. Если же и (р2) есть решение с отрицательной энергией, то видно,
что результирующий матричный элемент не мал.
Рассмотрим далее соотношение ортогональности для спиноров. Пусть
U+(P) (г = 1> 2) —два решения с положительной энергией, соответствую-
соответствующие импульсу р и спиральностям +1 и —1. Так как решения и\. и и\
соответствуют различным собственным значениям оператора спиральности,
то они ортогональны
»+(P)»i(p) = «r. (r,s = l,2). D.132)

Гл. 4. Уравнение Дирака
Решения и_ (— р) с импульсом — р и отрицательной энергией также ор-
ортогональны к ui (p). Они удовлетворяют уравнениям
(р + тс)и_(-р) = 0 D.133а)
«L (- Р) (Р + тс) = 0. D.1336)
, полу-'
D.134)
Поэтому, умножая уравнение (р — тс) ut (р) = 0 на м_( —р) слева, полу-'
чаем
а умножая уравнение D.1336) на и+(р), получаем
и- (— Р) $и+ (р) — —" тси_ (— р) ut (p) D.135)
и, следовательно, и_ ( — р) и+(р) = 0. Обозначим два линейно независимых
и ортогональных решения с отрицательной энергией и с импульсом — р
через Vs (р) (s = 1, 2):
ul (- р) = v$ (p). D.136)
Соотношение ортонормированности этих решений запишется в виде
УГ(РК(Р)= -*«. D.137)
Сведем теперь все соотношения ортонормировки вместе:
иг+ (р) и; (р) = -~vr (p) if (p) = вм, D.138а)
~v[ (Р) »5. (Р) = ^г+ (Р) as (Р) = 0. D.1386)
На основании соотношений ортогональности и нормировки решения
удовлетворяют соотношению
2
2 {ur+a(p)a;p(p)-i4(p)^(P)} = Sa3 (a, p = 1,2, 3,4). D.139)
Обратим внимание на порядок множителей: он соответствует прямому
произведению и на и, (и ®и), являющемуся матрицей 4x4. Подобным же
образом условия нормировки D.138а) и D.1386) дают у
2
2 и\ (р) i*;(p) -?• (р) rf (р) = 4. D.140)
г=1
С целью^упрощения обозначений введем для спиноров обозначение
даГ (р) = и+ (Р) (г = 1, 2), D.141а)
щ/+2(р) = vr+(p)= ur_( — р) (г = 1,2). D.1416)
После этого соотношения ортогональности D.138) запишутся в виде
wm(p)wn(p) = em6mn (ire, n = l, 2, 3, 4), D.142)
где гт = +1 при т = 1, 2 и ет=—1 при »г='3, 4. Соотношениям
D.139) и D.140) можно теперь придать вид
2 • е"'©"' (р)®шт (р) — / D.143а)
т=1

§ 5. Соотношения нормировки и ортогональности. Следы 95
2 emwm (p) wm (p) = 4. D.1436)
m=l
При вычислении эффективных сечений для процессов с участием час-
частиц со спином х/2 часто бывает необходимо просуммировать по проме-
промежуточным спиновым состояниям и, в частности, по промежуточным
состояниям, обладающим только положительной энергией, или аналогично
только по состояниям с отрицательной энергией. Пусть интересующая
нас сумма имеет вид
[ 2 wrQPeagX D.144)
1
r=l Г=1 O, P=l VQ, 0=1
где Q и Р — некоторые операторы (произведения матриц у); / и g — спи-
спиноры, а сумма по г берется только по двум состояниям wr с положи-
положительной энергией. В случае состояний с отрицательной энергией вычис-
вычисления выполняются аналогично.
Теперь мы постараемся найти ковариантные операторы проектирования,
подстановка которых в правую часть D.144) позволит распространить
суммирование на все четыре состояния wr (p) вместо двух, после чего
полученное выражение можно будет упростить с помощью формулы
D.143а). Нужный нам оператор проектирования должен при действии
на спинор w оставлять его неизменным, если w — состояние с положи-
положительной энергией, и обращать в нуль, если w — состояние с отрицатель-
отрицательной энергией. Чтобы построить такой оператор, вспомним уравнение
Дирака для спиноров w (здесь ft = c = l):
(r = l, 2), D.145а)
(г = 3,4). D.1456)
Эти уравнения наводят на мысль, что оператор проектирования для по-
положительно-частотных состояний с импульсом р можно записать в
виде
A+(p)=J?n-- <4-14e>
Действительно, в силу D.145а) и D.1456) он обладает всеми свойствами,
которые должен иметь оператор проектирования:
Л+(Р)^Г(Р) = ^Г(Р) (г=1, 2), D.147а)
Л+ (р) wr (р) = 0 (/- = 3,4) D.1476)
(^yttg±-_J?L = A.(p). D.148)
В D.148) учтено, что для свободной частицы
(T + Р») J> = P2 = т2- D-149>
С помощью D.143) и D.147) легко находим
2
=2ffi'r(p)®5r(p)- D-150>

96 Гл. 4. Уравнение Дирака
Далее отметим, что оператор Л+ег имеет те же свойства, что и опера-
оператор Л+, так как при действии на состояние с отрицательной энергией,
когда ег= — 1, он дает 0. Это позволяет переписать выражение D.144)
следующим образом:
4 ~ ~
С помощью D.143а) выражение D.151) приводится к виду
и этим достигается наша цель по вычислению суммы по промежуточным
состояниям.
Если нас интересуют состояния лишь с отрицательной энергией, то
можно определить аналогичный оператор проектирования
со свойствами
Л_(р)шг(р) = а;г(р) (г = 3, 4), D.154а)
Л_(р)даг(р) = О (г = 1, 2), D.1546)
(Л_ (р)J = Л_ (р) = - 2 *»т (Р) ® 5' (р). D.154b)
Полезно отметить, что сумма Л+ и Л_ — единичная матрица
Л+(р) + Л-(р) = /, D.155)
а также что
Л+(р)Л_(р) = Л_(р)Л+(р) = О. D.156)
Вероятность какого-либо события пропорциональна квадрату модуля
его амплитуды М = WfQwt:
j М]2 = ММ* = (wfQwt) (w*Q*wf) = {WfQwt) (щу^у0™/). D.157)
Здесь Q*— оператор, эрмитово сопряженный (комплексно сопряженный
и транспонированный) к оператору Q. Отметим, что в силу D.61) произ-
произведения матриц у в Q* обладают свойством у0 (у11.. ,'YV)* iy° = Yv- • -Y11»
a i заменяется на — i только в нематричных множителях. Обозначим
Q' = yoQ*y°, D.158)
так что
\M\2 = (wfQwi)(WiQ'wf). D.159)
Во многих задачах нас не интересует конечное спиновое состояние
частицы. Тогда по обоим конечным спиновым состояниям нужно про-
просуммировать. Согласно изложенному здесь методу, суммирование можно
выполнить, вставив подходящие операторы проектирования. Пусть началь-
начальное и конечное состояния описывают спиноры, да*(р) и Ш/(р'), соответ-
отвующие положительной энергии и импульсам р и р'. Тогда, суммируя

§ 5. Соотношения нормировки и ортогональности. Следы 97
по конечным спиновым состояниям, получаем
Сумма | МI2 по конеч-  м ^
ным , спиновым со- 1 = У (WiQ'w7:) (wT.Qwt) =
СТОЯНИЯМ •> 1 о
= 2 (wiQ'A+(p')BrW^fQwi) = WiQ'A+(p')Qwi. D.160)
Если начальное состояние также неполяризовано, то по начальным
спиновым состояниям нужно усреднить
2 ч
Среднее • | М |2 по начальным 1 ^ „,
и сумма по конечным спи- \ = -^ V йУ[()'Л+ (р') ^^ =
новым состояниям J z р74
4 4
= 4 S 2 К)« (<?'Л+ (Р') <?Л+ (Р))«Э (да[)э ег -
г=1 а,р=1
4
= 4 2 (<?'Л+(р')<?Л+(р))аР6аР =
а,р=1
= {Зр((?'Л+(р')<?Л+(р)). D.161)
Введем обозначение
? = <?'Л+(р')<?Л+(р)- D-162)
Матрицу L можно представить в виде линейной комбинации 16 линейно
независимых матриц Гг, как это обсуждалось выше:
16
?=2 «^ = ^/ + ^1+... D.163)
г=1
Если вычислить следы от обеих частей D.163), то вклад даст только
член, содержащий единичную матрицу
Spi = 4a4. D.164)
Практически оказываются полезными следующие два свойства следов
произведения матриц:
1. След произведения нечетного числа матриц у равен нулю. Для .
доказательства напомним элементарное свойство следа
Sp (ABC) = Sp (CAB) D.165)
(это верно и для любой циклической перестановки). Выше мы указывали,
что существует матрица у$ со свойствами
Y»Yh + Wb = 0; Ы2=-/ D.166а)
или
ЧЯЛУьГ^-Уг D.1666)
Отсюда
Y5YmYn2 • • • Ynn(YS)'1 = (- l)nYmYn« • -• Yun- D-167)
Если вычислить след от обеих частей D.167) и воспользоваться свой-
свойством D.165), то сразу же получим
(.- 1)" Sp (YwYn, • • • УЦП) = Sp (Yw . .. уцп), D.168)
7 С. Швебер

98 Гл. 4. Уравнение Дирака
и, таким образом, след произведения нечетного числа матриц равен
нулю. В частности, отметим, что
= O. D.169)
Аналогично получаем
Sp Y5 = - Sp [Y(iY5 Ы'1] = - Sp Y5 = 0. D.170)
2. Если произведение содержит четное число п матриц, то переста-
перестановочные соотношения позволяют свести след этого произведения к сумме
следов произведений, содержащих только поп — 2 матрицы. Рассмотрим,
например, случай п = 2. С помощью перестановочных соотношений
YiiYv + YvYii = 2^v D.171)
получаем
= Sp (YvYn) = у SP (Yn-Yv + YvYn) = ?nv Sp / = 4^v, D.172)
так как Sp/ = 4. Аналогично легко получить
SP (YnYvYpYa) = bgiwgvp - 4gOvgPli + bgopgw D.173)
Из D.172) и D.169) следует
SpD$) = 4-4-? = 4Al?'\ D.174a)
Sp4 = 0 D.1746)
и т. д. Другие методы вычисления следов см. в статьях Дэффина [191]
и Кайяньелло и Фубини [95].
§ 6. Представление Фолди—Вотхойзена
Хотя мы выяснили многие свойства уравнения Дирака, однако мы
еще не дали физической интерпретации входящих в теорию операторов.
В той форме, в которой уравнение Дирака было записано выше, трудно
дать ему простую интерпретацию. Например, рассмотрим оператор х
x = -f [Я, х] = со, D.175)
который хотелось бы назвать оператором скорости. Так как а|=1, то
абсолютная величина проекции «скорости» на данное направление всегда
была бы равна с, что физически не разумно. Кроме того, поскольку
l«i! «г] Ф 0, то если определена проекция скорости на одно направление,
одновременно нельзя определить две другие ее проекции. Но это опровер-
опровергается тем, что существуют эксперименты по измерению скорости. Можно
прийти к заключению, что должно существовать другое представление
уравнений Дирака, в котором физическая интерпретация более прозрачна.
На мысль, что это должно быть так, наводят также и следующие сооб-
соображения. У дираков'ской частицы с положительной энергией имеется два
независимых состояния при каждом значении импульса. Они соответствуют
двум возможным направлениям спина. Согласно принципам квантовой
механики, каждая такая пара физических состояний должна предста-
представляться ровно двумя векторами в гильбертовом пространстве. Поэтому

§ 6. Представление Фолди — Вотхойэена 99
в обычной формулировке теории Дирака при представлении этих векторов
имеются излишества, так как соответствующие волновые функции обла-
обладают четырьмя компонентами. Следовательно, должна существовать воз-
возможность найти такое преобразование, после которого волновые функции
свободной дираковской частицы с определенным импульсом имели бы
ровно две компоненты, как в нерелятивистской теории Паули [621]. Эта
проблема во втором порядке по w2/c2 была решена Беккером [39], а точно
Фолди и Вотхойзеном [266] (см. также работу Тани [769]1)). Они ука-
указали, что главная причина, почему в представлении Дирака решения
записываются в виде четырехкомпонентных спиноров, та, что гамильто-
гамильтониан содержит операторы, а именно матрицы а1, которые в представле-
представлении D.24) имеют матричные элементы, связывающие верхние и нижние
компоненты волновой функции. Оператор, который связывает верхние
и нижние компоненты волновой функции, будет называться «нечетным».
Если бы при помощи канонического преобразования оказалось возможным
освободить гамильтониан Н = са • р + р/ис2 от нечетных операторов, то
тогда можно было бы представить решения двухкомпонентными спинорами.
Вместе с Фолди и Вотхойзеном сделаем каноническое преобразование eiS
сэрмитовым оператором S:
D.176а)
D.1766)
Оператор S выберем в виде
Gi>K^) <4Л77)
где w — действительная функция, которую следует определить так, чтобы
в Н' отсутствовали нечетные операторы. Теперь
Я' = eiB (са• р •+ pmc2) e-iS = eisp (фа• р + тс2) e~iS = eiSPe~iSP (ca ¦ р + Риге2),
D.178)
так как S коммутирует с Ра>р. Кроме того, в силу соотношения
р(Ра.р)» = (-1ПРа.р)»р D.179)
подучаем
()
п=0 п=0
так что
= 6 I me2cos ( —^-w ) +c I p I sin( -^-w ) +
M L \ me J ' 'v i v mc J A
• DЛ81)
Ср. также работу Смородинского [930]. — Прим. ред.
1*

100 Гл. 4. Уравнение Дирака
Если теперь выбрать w так, чтобы коэффициент при а-р обратился в нуль,
т. е. если положить
ffl) = J2iarctgfi2i\ D.182)
| р | б V тс J ч '
то И' освободится от нечетных операторов и примет вид
2 тс + |
с . |р| ]РТР + Р(р
|/p2 + m2C2 J ^ ' Г f VP
D.183)
В представлении D.24), в котором |3 диагональна, у решений уравнения
//'г|з' = ?'г|/ верхние компоненты соответствуют положительной энергии,
а нижние — отрицательной. Если записать
гр' = гр; + г|>:, D.184)
где
^ = 4-A + Р)гр', D.185а)
гр: = |A-Р)гр', D.1856)
то
#>; = ?(рИ1, D.186а)
Я'гр1=-?(р)гр\ D.1866)
Заметим, что решения 1р+(гр1) в сущности являются теперь двухкомпонент-
ными волновыми функциями, так как их нижние (верхние) компоненты
всегда равны нулю. Это можно также установить, замечая, что при
выборе w в виде D.182) функция преобразования exp iS запишется в виде
Если подействовать ею на спинор с положительной энергией
и учесть, что (су*р + пгс2)и+(р) = р?(р)и+(р), то получим
Оператор
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
обращает в нуль нижние компоненты, так что при действии expiiS" на
положительно-частотные спиноры D.118а) и D.1186) получаются спи-
спиноры вида
Кроме гамильтониана, особый интерес представляет анализ еще двух
операторов. Зададимся вопросом, как будет выглядеть оператор X в пред-

§ 6. Представление Фолди — Вотхойаена 101
ставлении Дирака, если в представлении Фолди—Вотхойзена (Ф. — В.) он
имеет вид х. Получаем
А-е хе -х + №с2?(р) lh
Этот оператор обладает свойствами
0, D.192)
. [Xh рА = ИА„, D.193)
и, кроме того1),
4 [Я, Х]=4-Х-=Р Р^+°-Р" , ¦ D.194)
h L ' J di Ь(р) ?(p) v '
так что в применении к многообразию решений с положительной энер-
¦V Р
гиеи производная оператора л по времени есть оператор , , который
можно отождествить с оператором скорости частицы. Оператор X совпа-
совпадает с «оператором координаты» для системы со спином 1/г, который
вывели Ньютон и Вигнер [576]. При вращениях он преобразуется как
вектор, а его собственные функции есть «локализованные волновые функ-
функции», удовлетворяющие всем требованиям, перечисленным в § 3 гл. 3.
Кроме того, при действии оператора X на положительно-частотную
волновую функцию получается снова положительно-частотная волновая
функция. Пусть при помощи tyyvo{x) обозначается волновая функция
состояния, локализованного в момент времени у0 (явный вид см. в рабо-
работе [576]), и пусть имеется частица в состоянии с волновой функцией f(x).
Тогда амплитуда вероятности найти эту частицу в точке у в момент
времени х° = у0 равна
^ (х) Y(i/ (x). D.195)
Как мы видели, в представлении Дирака орбитальный момент коли-
количества движения [х х р] и спиновый момент V2 S порознь не являются
интегралами движения. Интегралом движения является только их сумма.
Однако можно проверить, что оператор [X х р] и оператор
V _у фс [а X р] с2[р X [Of X р]] , (
*м~* Е (р) Е (р) (Е (р)+т*) '
где
е'%е-й = 2=^[охо], D.197)
являются интегралами движения порознь. Это легко проверяется в пред-
представлении Ф. — В., где эти операторы имеют вид соответственно [х X р] и 2.
В самом деле, они коммутируют с гамильтонианом Н' = р.Е(р). Это оче-
очевидно из того, что 2 коммутирует с р, а [ххр] коммутирует с -Е(р) [так
как Е (р) зависит только от р2 и, следовательно, является трехмерным
скаляром]. Фолди и Вотхойзен назвали оператор Sjf «оператором сред-
среднего спина».
Представление Ф. — В., в частности, полезно при обсуждении урав-
уравнения Дирака в нерелятивистском пределе, так как операторы, предста-
1) Легче всего получить эти соотношения в представлении Ф. — В., а затем
вернуться к представлению Дирака.

102 ' Гл. 4. Уравнение Дирака
вляющие физические величины, находятся во взаимнооднозначном соот-
соответствии с операторами теории Паули. Существует другой предел, пред-
представляющий значительный интерес, а именно ультрарелятивистский, когда
массой частицы можно пренебречь по сравнению с ее кинетической
энергией, или равносильно, когда можно пренебречь тс по сравнению
с импульсом частицы |р|. Соответствующая форма уравнения Дирака
получается при выборе w с таким расчетом, чтобы в D.181) обратился
в нуль коэффициент при {5, а член с а-р сохранился. Это достигается,
если '
w = ——-arctg—г, D.198а)'
IPI IpI
. D.1986)
2В(р)
Гамильтониан в новом представлении имеет вид
Н" = ^-Е(р). D.199)
В результате преобразования мы получили такой вид гамильтониана,
что состояния с положительной и отрицательной спиральностью описы-
описываются независимо при помощи двухкомпонентных уравнений (см. работы
Чини и Тушека [135] и Бозе, Гамба и Сударшана [79]).
§ 7. Состояния с отрицательной энергией
Мы уже отмечали, что уравнение Дирака имеет решения с отрицатель-
отрицательной энергией. Их физическая интерпретация некоторое время представ-
представляла большие трудности; например, частица с отрицательной энергией,
если бы она существовала, ускорялась бы в направлении, противополож-
противоположном направлению действия внешней силы. Существование решений с отри-
отрицательной энергией не причиняло бы беспокойства, если бы вероятность
перехода из состояний с положительной энергией в состояния с отрица-
отрицательной была бы равна нулю, так как в этом случае частица с положитель-
положительной энергией всегда оставалась бы в состоянии с положительной энер-
энергией. Но это не так. Уравнение Дирака предопределяет конечную вероят-
вероятность перехода под влиянием внешнего поля из состояния с положитель-
положительной энергией в состояние с отрицательной. Однако такие переходы с нару-
нарушением закона сохранения энергии никогда не наблюдались. В 1930 г.
Дирак [170] преодолел эту трудность, предложив так называемую «тео-
«теорию дырок», которую он сформулировал следующим образом: «Предполо-
«Предположим, что почти все состояния с отрицательной энергией заполнены, при-
причем в каждом состоянии в соответствии с принципом запрета Паули нахо-
находится по одному электрону». В таком случае принцип запрета делает невоз-
невозможными переходы электронов с положительными энергиями в состояния
с отрицательными энергиями, если последние заняты полностью, и до тех
пор, пока они не будут предварительно освобождены каким-либо образом.
Такое «незаполненное состояние с отрицательной энергией проявляет
себя как нечто, обладающее положительной энергией, так как, чтобы заста-
заставить это состояние исчезнуть, т. е. чтобы заполнить его, нужно добавить
к нему электрон с отрицательной энергией». Подобным же образом «дыр-
«дырка» имела бы заряд, противоположный заряду частицы с положительной
энергией.

§ 7. Состояния с отрицательной энергией 103
Таким образом, с самого начала одночастичная теория имеет смысл
только в отсутствие взаимодействий, т. е. для изолированной свободной
частицы. Для интерпретации теории в присутствии взаимодействий мы
вынуждены прибегнуть к многочастичной формулировке, в которой число.
частиц не сохраняется, т. е. к теории поля.
Когда Дирак впервые предложил свою теорию, полагали, что мир
состоит только из протонов и электронов, и естественно было надеяться,
что «нечто» должно было бы отождествляться с протоном (большую массу
протона обосновывали присутствием электронов в состояниях с отрица-
отрицательной энергией). Вскоре эта возможность была отвергнута Оппенгей-
мером [605] и Вейлем [840], и было показано, что «нечто» должно
иметь массу, равную массе частицы, описываемой решениями с положи-
положительной энергией. Так как в 1931 г. позитроны (т. е. частицы с массой
электрона, но с зарядом -\- | е J ) еще не были обнаружены эксперимен-
экспериментально, то Паули в своей статье для Handbuch der Physik писал об этом
предсказании теории Дирака как о недостатке. Однако в 1932 г. Андерсон
[10] открыл позитрон экспериментально, так что теория была реабили-
реабилитирована еще до выхода статьи Паули из печати (в 1933 г.) [622].
В первоначальной формулировке теории дырок Дирак предпола-
предполагал, что электроны распределены во всем мире с бесконечной плотностью,
причем в состоянии абсолютного вакуума все состояния с отрицательной
энергией заполнены, а все состояния с положительной энергией свободны.
Одна из трудностей, связанных с этим предположением, — чрезвычайно
большая плотность заряда, создаваемая состояниями с отрицательной
энергией. В современном варианте теории, развитом Гейзенбергом [366,
367], Крамерсом [461] и другими, эта трудность с асимметрией зарядов
была преодолена. Действительно, в этой более новой формулировке суще-
существует полная симметрия между положительным и отрицательным заря-
зарядами, причем и однопозитронные, и одноэлектронные состояния обладают
положительной энергией.
Теория дырок Дирака предсказывает возможность рождения пар,
если у-квант (или еще что-либо) обладает энергией, достаточной, чтобы
вызвать переход электрона из состояния с отрицательной энергией
в состояние с положительной энергией, т. е. если hv > 2mc2. В действитель-
действительности теорией предсказываются электромагнитные эффекты даже тогда,
когда hv < 2mc2, так как электромагнитное поле все еще будет вызывать
перераспределение заряда и, таким образом, приводить к «поляризации
вакуума». Такие поляризационные эффекты были обнаружены экспери-
экспериментально, в частности тонкая структура позитрония в основном состоя-
состоянии, лэмбовский сдвиг и сдвиги уровней мезоатомов.
Под позитронием понимают связанное состояние электрона и пози-
позитрона, образованное за счет кулоновских сил. В основном состоянии отно-
относительный момент количества движения частиц складывается только из
их спиновых моментов. Таким образом, имеются триплетное (S = 1)
и синглетное (S = 0) основные состояния. Согласно теории (см. работы
Янга [869] и Вольфенштейна и Равенхолла [866 ]*)), частицы, находящиеся
в синглетном состоянии, могут аннигилировать на два у-кванта. В три-
плетном состоянии это невозможно. Однако в триплетном состоянии может
происходить аннигиляция на три укванта. Время жизни в этом состоя-
состоянии примерно в тысячу раз больше, чем в синглетном состоянии. Эти выво-
') Указание на другие работы см. в книге Ахиезера и Берестёцкого [3].—
Прим. ред.

104 . Гл. 4. Уравнение Дирака
ды были подтверждены экспериментально Дейчем [163] и Пондом [647].
Уровни энергии обоих состояний различаются примерно на 9-10"* эв
(см. работу Дейча и Дулита [164]), и почти половина этого расщепления
обязана виртуальному процессу аннигиляции и рождения электронно-
позитронной пары. Этот процесс может происходить только в синглетном
состоянии и обратен процессу поляризации вакуума, в котором электрон-
но-позитронная пара сперва рождается, а затем аннигилирует.
Лэмбовский сдвиг также содержит член, обусловленный тем, что элек-
электрическое поле протона в присутствии вакуума оказывается слегка иска-
искаженным (как это обсуждалось выше). Для основного состояния атома водо-
водорода этот член, впервые вычисленный Юлингом [787], равен 27 Мгц.
Согласие теории и эксперимента проверено с точностью до 0,1 Мгц, и это
снова свидетельствует о том, что поляризация вакуума является реальным
эффектом.
Этот же эффект был в дальнейшем проверен по сдвигам уровней в мезо-
мезоатомах, т. е. в системах, образованных я"-или ^"-мезонами, движущимися
по боровской орбите вокруг протона или легкого ядра. Рассмотрим систему
я" — р. В этом случае, точно так же как и в случае атома водорода,
радиационные поправки приводят к сдвигу энергетических уровней отно-
относительно уровней, вычисленных при помощи описывающего я-мезон урав-
уравнения Клейна — Гордона в кулоновском поле. Значительно меньший
вклад вносится конечными размерами ядра, особыми взаимодействиями
мезона с ядром и т. д. Электромагнитные радиационные поправки вызваны
двумя эффектами: во-первых, разницей собственных энергий связанного
и свободного я-мезона и, во-вторых, поляризацией вакуума. В действи-
действительности поляризация вакуума в данном случае, как и вообще, связана
с возможностью рождения пар противоположно заряженных частиц всех
сортов — не только электронно-позитронных пар, но и пар я* — я",
\л* — ц~. Однако в первом приближении каждый тип частиц (я±, ^*, е*)
вносит вклад, обратно пропорциональный квадрату массы частицы, так
что фактически к наблюдаемым эффектам приводит только электронно-
позитронная поляризация вакуума.
В мезоатомах вклад в сдвиг уровней от поляризации поля ядра много
больше вклада от изменения собственной энергии мезона (а именно на три
порядка, так как эти вклады относятся как квадраты масс мезона и элек-
электрона). Кроме того, в мезоатоме мезон находится в среднем много ближе
к ядру, чем в соответствующем электронном атоме, и, следовательно,
в этом случае сдвиг уровней за счет поляризации вакуума оказывается
значительно большим. Так, сдвиг уровня iS у системы п~ — р равен
приблизительно —10 эв (в атоме водорода уровень сдвинут приблизительно
на —10~2 эв), а в атоме я~ ¦— Mg уровень ниже приблизительно на 1,4-103 эв
(сдвиг пропорционален Z2). То, что поляризация вакуума приводит
к понижению уровней, можно понять на основании следующих качествен-
качественных соображений. «Голое» ядро, взаимодействуя с «фоном», облачается
в нейтральную электронную-позитронную «шубу». Некоторые из позитро-
позитронов уходят на бесконечность, оставляя избыток отрицательного заряда
вблизи ядра (в сфере радиуса —%/nieC). На больших расстояниях, т. е.
превышающих % /тес, мезон испытывает действие перенормированног»
заряда Ze, однако на расстояниях, меньших h/mec, эффективный заряд
оказывается большим Ze. Поэтому энергия низко расположенных уровней,
соответствующих орбитам с малыми радиусами, понижается. С другой
стороны, конечные размеры ядра приводят к повышению уровня IS (прак-
(практически не изменяя других уровней), и этот сдвиг для легких ядер имеет

§ 8. Уравнение Дирака во внешнем поле. Зарядовое сопряжение 105
примерно один и тот же порядок величины. Сдвиги уровней такого поряд-
порядка величины действительно имеют место в мезоатомах, о чем свидетель-
свидетельствуют эксперименты Стирнса с сотрудниками и др. (см. обзорные статьи
де Бенедетти [155], Стирнса [738] и Веста [838]). Это снова иллюстри-
иллюстрирует реальность эффекта поляризации вакуума. Кроме того, результаты
экспериментов ясно указали на универсальность взаимодействия электро-
электромагнитного поля со всеми найденными в природе заряженными частицами.
При электростатическом взаимодействии заряженных частиц (напри-
(например, двух протонов) эффект поляризации вакуума означает также, что
должно существовать отклонение от чисто кулоновского рассеяния [269].
Приведенные примеры иллюстрируют некоторые явления, предска-
предсказанные с помощью теории дырок. Снова нужно подчеркнуть, что теория
дырок является теорией многих частиц (фактически теорией бесконечно
большого числа частиц) и что одночастичная теория Дирака, в общих чер-
чертах изложенная выше, неспособна объяснить указанные явления. Практи-
Практические вычислительные трудности теории дырок связаны с тем, что волно-
волновая функция, описывающая даже один электрон, должна учитывать все
заполненные состояния с отрицательной энергией. Поэтому такая волновая
функция в конфигурационном пространстве должна представляться бес-
бесконечномерным детерминантом. В гл. 8 мы увидим, что методы теории поля
позволяют сформулировать теорию компактным и простым образом.
В заключение этого параграфа мы установим связь между описа-
описаниями позитрона с помощью положительно-частотных и с помощью незаня-
незанятых отрицательно-частотных состояний. С этой целью рассмотрим процесс
рождения пары двумя фотонами. При описании в терминах электронов
и позитронов начальное состояние содержит два фотона, 4-импульсы кото-
которых суть kllt и &2ц. В конечном состоянии имеется позитрон с 4-импуль-
сом р+ц и электрон с 4-импульсом р_^. В силу закона сохранения энергии
и импульса
p^ + p-il = kiil + k2il. D.200)
С другой стороны, согласно теории дырок, начальное состояние содержит
два фотона и заполненное состояние с отрицательной энергией q^. В конеч-
конечном состоянии это состояние q^ является незанятым, и имеется электрон
в состоянии с импульсом р_[1. Закон сохранения энергии теперь гласит:
+ qil = p-ll. D.201)
Сравнивая D.200) и D.201), получаем р+^ = —q^. Таким образом, пози-
позитрон обладает импульсом, противоположным импульсу незанятой «дырки»,
и энергией — q0, если q0 — энергия дырки. Так как энергия q0 отрицатель-
отрицательна, то энергия р+о положительна. Аналогично противоположны моменты
количества движения дырки и позитрона.
§ 8; Уравнение Дирака во внешнем поле. Зарядовое сопряжение
Мы отмечали, что последовательная одночастичная интерпретация
уравнения Дирака может быть дана только в отсутствие взаимодействий.
Тем не менее, как мы покажем в дальнейшем, решения уравнения Дирака
во внешнем поле играют существенную роль в математической формули-
формулировке теории поля. Кроме того, из квантовой теории следует, и это мы пока-
покажем, что в нерелятивистском пределе амплитуда (с помощью которой мож-
можно вычислить наблюдаемые одночастичной системы в слабом, медленно
меняющемся поле) в первом приближении подчиняется уравнению Дирака
для частицы в этом внешнем поле.

106 Гл. 4. Уравнение Дирака
Пусть внешнее электромагнитное поле описывается 4-вектор-потен-
^р, (х). В калибровке Лоренца он удовлетворяет условию9М[,|,(а;)=0.
Пусть с этим полем взаимодействует частица со спином Уг и с зарядом —е.
Тогда уравнение Дирака, описывающее ее движение (в пренебрежении
радиационными поправками), получается из уравнения D.29) при помо-
помощи замены
обеспечивающей калибровочную инвариантность. Таким образом, урав-
уравнение Дирака с учетом внешнего поля( описываемого классически,
запишется в виде
у» (ihdp — у А^хЛ ^ (*) = тсУ (*) D.202а)
или
(^\ = 0. D.2026)
Это уравнение можно записать в виде уравнения второго порядка, сход-
сходного по форме с уравнением Клейна — Гордона для частицы во внешнем
электромагнитном поле. Определим спинор % согласно
Перепишем уравнение D.202), как уравнение для спинора X:
(t ~Т*) (г ~i А) *•="**%• D-204)
Если вспомнить, что а1 = —aVfl =~p^(Y^Yv — YVY^)' T0 левую часть этого
уравнения можно записать в виде
Т А\) (?* ~ Т
D.205)
Учитывая при вычислении коммутатора в выражении D.205), что
[/V, Ач] =ift—j D.206)
и что тензор электромагнитного поля дается выражением
^v = fln4v-av-4|i, D.207)
получаем окончательную запись для уравнения D.204):
0 (Т0 ТТМ=а1п1с'х- D>208)
Дополнительный член
^^F^ = -L-Se-ia-n D.209)

8. Уравнение Дирака во внешнем поле. Зарядовое сопряжение 107
соответствует взаимодействию спинового момента X/2^S с магнитным
полем <$? и электрического момента с электрическим полем %¦ Таким
образом, уравнение Дирака предсказывает, что заряженная частица
со спином х/2 обладает магнитным моментом, равным по величине одному
магнетону Бора. В дальнейшем мы увидим, что к этому значению маг-
магнитного момента должны быть добавлены радиационные поправки, учиты-
учитывающие взаимодействие частицы с флуктуациями вакуума.
Вернемся к уравнению D.208). Это уравнение второго порядка для
четырехкомпонентного спинора X, и поэтому оно обладает числом решений
вдвое большим, чем нужно. Однако уравнение D.208) содержит только
матрицы cr^v, коммутирующие с матрицей уь. Следовательно, уравнение
D.208) имеет решения со свойством iyb% = k%. Так как (iy^J — I, то
А,2 = 1 и А, = +1. Если для матриц у выбрано представление D.24), то
собственные функции iy5, соответствующие собственным значениям
+1 и —1, будут иметь вид
Если ограничиться решениями D.208), соответствующими какому-либо
одному собственному значению А, = +1 или А, = —1, то можно устано-
установить взаимно однозначное соответствие между этими решениями и реше-
решениями уравнения первого порядка D.202) (уравнения Дирака). Выберем
решения, для которых iys%+ = %+. Существование взаимно однозначного
соответствия будет доказано, если показать, что каждой функции ty соот-
соответствует единственная функция %+. Умножая равенство D.203) на
V2 (I + iVb) и используя равенство 1уь%+ = Х+, находим
X+ = 4-A + *Y5)l>, D.211)
что и является искомым соотношением1). Из D.210а) видно также, что
спинор %+ определяется двухкомпонентным спинором v. Заметим, что
матрицу о"зо можно записать в виде
= -~Y3Yo=*YiY2 (Y0Y1Y2Y3) = — toi2Y5- D.212)
Поэтому при действии матрицы оо на %+ ее можно заменить матрицей
012; аналогично, при действии матриц о0 и оо на %+ их можно заменить
соответственно на с2з и о13. Отсюда, используя для матриц y представле-
представление D.24), получаем уравнение для двухкомпонентного спинора:
= m2c2o. ' D.213)
Фейнман и Гелл-Манн [256] предложили описывать электроны и позит-
позитроны при помощи двухкомпонентного спинора и, удовлетворяющего урав-
уравнению второго порядка D.213). При этом позитроны снова описываются
отрицательно-частотными решениями уравнения D.213). Можно показать
х) Обычно этот множитель пишут в форме V2 (I -f- \ъ), что отвечает другому опре-
определению матрицы уъ. См. примечание 1 на стр. 77.— Прим. ред.

108 Гл. 4. Уравнение Дирака
(см. статью Брауна [92]), что во всех теориях, в которых электроны и пози-
позитроны рождаются или уничтожаются парами, формулировка, использую-
использующая двухкомпонентный спинор г;, эквивалентна формулировке, исполь-
использующей спинор г|). Однако представляется невозможным дать такое описа-
описание в рамках лагранжевой схемы квантовой теории поля (см. статью
Киббла и Полкингхорна [443]), хотя оно и пригодно как основа фейн-
мановского формализма интеграла по путям [250]. Мы не будем более
подробно останавливаться на этом подходе к описанию электронов.
На самом деле электромагнитные свойства дираковской частицы лучше
всего выясняются при помощи преобразования Ф.—В. При наличии вза-
взаимодействия генератор преобразования можно получить только в виде
степенного ряда по комптоновской длине волны частицы (см. статью
Фолди и Вотхойзена [266]). Поэтому и гамильтониан в представлении
Ф.—В. получается в виде ряда по степеням того же параметра. Мы здесь
приведем результат, содержащий члены порядка не выше (h 1тс)г:
eft2 тл», Т,/ .»т,/ ,, п. А
—о о о dive + • • • г'Ф = ihoA> ¦ D.^14)
от с "ill "I \ /
В е
Член ^- (р АJ — еЛ° описывает взаимодействие точечного "заряда
eh
с электромагнитным полем. Член —-=—$а-еН! представляет взаимодей-
взаимодействие магнитного момента, равного одному магнетону Бора, с магнит-
магнитным полем. Член в квадратных скобках соответствует спин-орбитальной
связи. Он возникает за счет того, что движение магнитного момента при-
приводит к электрическому моменту, который в свою очередь взаимодействует
с электрическим полем. Дарвиновский член ^—^ div % является поправ-
поправкой к прямому взаимодействию заряда как точечного. Он вызван тем, что
в представлении Ф. — В. частица не сосредоточена в одной точке, а раз-
размазана по объему с радиусом, примерно равным %1тс. В приближении,
ограничивающемся этими членами, волновая функция положительно
частотного состояния в представлении Ф. — В. совпадает с нерелятивист-
нерелятивистской волновой функцией Паули для частицы со спином % (см., например,
статью Бете и Солпитера [56]).
Паули [629] показал, что уравнение Дирака во внешнем поле D.202)
можно модифицировать так, чтобы оно описывало частицу с произволь-
произвольным магнитным моментом. Для этого в него нужно добавить член V2~-aQVFQV
D.215а)
Это уравнение описывает частицу, имеющую сверх «нормального» момен-
момента Ту—еще и «аномальный» момент \i Г)— • Фолди [268] исследовал вопрос,
какие еще члены можно добавить в уравнение D.202), не нарушая его
релятивистскую ковариантность и калибровочную инвариантность и пред-
предполагая, что взаимодействие
а) является линейным по электромагнитному полю (предположение
о слабости поля);

§ 8. Уравнение Дирака во внешнем поле. Зарядовое сопряжение 109
б) не обращается в нуль в предельном случае, когда импульс дира-
ковской частицы равен нулю, и поэтому не содержит производных волно-
волновой функции (предположение о квазистатичности поля);
в) зависит от вектор-потенциала и его производных, взятых только
в одной точке х. Он нашел, что наиболее общим уравнением является
- *yv dv - тг} * Ф - XT 2 [ e»nn\'v^v + T l*»°«vn№v ]*(*) = 0,
п=0
D.2156)
где ? — оператор Даламбера; коэффициентыгп и fin — константы, харак-
характеризующие взаимодействие (причем ео — заряд частицы, а [х0 — ее ано-
аномальный магнитный момент). Остальные члены выражают прямое взаимо-
взаимодействие дираковской частицы с распределениями внешних зарядов и токов,
поскольку П-4ц = —/ц- Уравнение вида D.2156), содержащее члены
вплоть до п = 1, в дальнейшем будет выведено из теории поля при рас-
рассмотрении взаимодействия заряженной дираковской частицы со слабым
медленно изменяющимся электромагнитным полем. При этом члены с
постоянными 6i и уц возникнут как проявление электромагнитного вза-
взаимодействия «облака» виртуальных квантов, окружающего частицу.
Некоторые задачи с уравнением Дирака D.202а) могут быть решены
точно. Наиболее важными из них являются:
1) частица в кулоновском поле (Дирак [169], Дарвин [153], Гордон
[334], Мотт [565], Хиллераас [387]);
2) частица в однородном магнитном поле, заполняющем все про-
пространство (Раби [656], Хафф [383], Заутер [760], Джонсон и Липпман
[396]);
3) частица в поле плоской электромагнитной волны (Волков [812])
Эти задачи рассмотрены многими авторами, и мы отсылаем читателя
к обзору Бете и Солпитера [56 ] в Handbuch der Physik или к книге Ахие-
зера и Берестецкого [3], где можно найти подробные обсуждения.
Кулоновские решения имеют важные приложения, особенно для вычис-
вычисления энергетических уровней водородоподобных атомов и для расчета
спектров рентгеновского К- и Zz-излучения тяжелых элементов.
Уровни энергии водородоподобного атома Enj определяются главным
квантовым числом п и квантовым числом полного момента количества
движения /:
n' = 0, 1, 2, ...; / = i,l,...; a = ^-^j^,
Г.
1
n = n' + /+y = l, 2, ... . D.216)
Если для матриц Дирака выбрано представление, данное в § 1 настоящей
главы, то «большим» компонентам волновой функции ^ц и ijj2 будут соот-

110 Гл. 4. Уравнение Дирака
ветствовать орбитальные моменты /4 == / —|— % (или lt = / — Y2), а ма-
малым компонентам if>3 и г|э4 — орбитальные моменты 1г = / — % (или
/2 = /г+ %)• Таким образом, большие и малые компоненты имеют противо-
противоположные четности. Четность больших компонент (—l)'i принимают
в качестве четности состояния.
Экспериментальные данные по тонкой структуре уровней атома водо-
водорода и водородоподобных атомов, в частности Не+, находятся в хорошем
согласии с теорией Дирака. Так, экспериментально подтверждено вырож-
вырождение уровней по I при одном и том же значении /. Единственное исключе-
исключение составляют уровни 5i/2 и Р1/г. Для этого случая Лэмб [469] нашел, что
уровень 2?i/2 атома водорода расположен на 1058 Мгц выше уровня 2Р\/,Г
С точностью до 0,1 Мгц это расщепление было объяснено радиационными
поправками к результатам вычислений по простой теории Дирака. (Деталь-
(Детальное описание спектра атома водорода и его интерпретацию см. у Серье
[725].)
Теория рентгеновских спектров тяжелых элементов еще далека от
такого совершенства. Бреннер и Браун [86] указали, что, кроме лэмбов-
лэмбовского сдвига и поляризации вакуума, на краю it-поглощения следует
учесть еще и другие факторы — например, энергию взаимодействия меж-
между двумя -ЙГ-электронами, энергию, взаимодействия it-электрона со всеми
внешними электронами. Тщательный учет этих эффектов был сделан Коэ-
ном [141, 142], получившим волновые функции при помощи метода реля-
релятивистского самосогласованного поля. Наилучшее экспериментальное зна-
значение для iT-уровня энергии атома ртути равно 6107,7 ± 0,6 Ry. Рас-
Расхождение между этой экспериментальной цифрой и теоретическим значе-
значением, учитывающим все эффекты порядка атс2, за исключением лэмбов-
лэмбовского сдвига, приблизительно равно 30 Ry. Браун, Лангер и Шеффер
[90] вычислили лэмбовский сдвиг ЛГ-уровня ртути без учета поляризации
вакуума и получили для него значение 41 Ry. Уичмэн и Кролл [844]
вычислили вклад поляризации вакуума и нашли, что он равен —3 Ry,
а, следовательно, лэмбовский сдвиг равен 38 Ry. Таким образом, учет
лэмбовского сдвига существенно улучшает согласие теории и эксперимен-
эксперимента. Теория уровней энергии Z-оболочки пока еще не разработана с такой
же точностью, так как вычисления лэмбовского сдвига уровней энергии
2з-электронов атома ртути чрезвычайно сложны. Предварительный рас-
расчет для разности уровней энергии 2s и Is (см. работу Коэна [142]) дал
значение 5035,2 Ry, в то время как экспериментальное значение равно
5018 Ry.
Теория рассеяния электронов в кулоновском поле первоначально
была развита Моттом в 1929 г. [565] (см. также книгу Мотта и Месси [566]).
Экспериментальные данные последних лет по рассеянию электронов боль-
больших энергий на ядрах служат источником наиболее точной и подробной
информации о размерах и форме распределения заряда в ядре. Этому бла-
благоприятствуют два обстоятельства. Во-первых, то, что природа взаимо-
взаимодействия электронов с нуклонами и ядрами достаточно хорошо объясняется
теоретически (это взаимодействие в основном электромагнитное). Во-вто-
Во-вторых, экспериментаторам легко удается получать интенсивные моноэнер-
моноэнергетические пучки электронов высоких энергий. Обзор всех методов иссле-
исследования распределения заряда в ядре и экспериментальных результатов
по рассеянию электронов на ядрах, полученных до 1955 г., был дан Фор-
Фордом и Хиллом [271]. Превосходная обзорная статья Хофштадтера [378]
содержит полную сводку результатов теории рассеяния электронов,
а также экспериментальные данные по рассеянию электронов высоких

$ 8. Уравнение Дирака во внешнем поле. Зарядовое сопряжение 111
энергий на нуклонах и ядрах с соответствующими теоретическими выво-
выводами (см. также работу Равенхолла [660]). Подробно с этим вопросом
читатель может ознакомиться по упомянутым статьям.
В заключение этого параграфа мы выведем некоторые соотношения,
связывающие решения для заряда -\-е с решениями для заряда —е.
С этой целью рассмотрим набор матриц yS (^ = 0, 1, 2, 3). Транспонируя
перестановочные соотношения для матриц у, [у^, yv] + =^ 2g^v, находим, что
матрицы Уц удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям
Y^ + ^Y? = 2^V. D.217)
Так как представление у при помощи 4x4 матриц является непри-
неприводимым, то, согласно основной теореме § 2 настоящей главы, существует
такая неособенная матрица В, что
у^^В-^В. ' D.218)
При этом В может быть выбрана унитарной. Используя соотношение,
полученное с помощью транспонирования соотношения D.218), можно
проверить, что матрица ВТВ~1 коммутирует со всеми матрицами у*1,
и поэтому ВтВ~1 = а1, где а —некоторая константа. Возводя обе части
равенства ВтВ~1 = а1 в минус первую степень, комплексно сопрягая
и вспоминая, что В была выбрана унитарной, находим, что а=± 1 и
что, следовательно, В= ± Вт. Чтобы решить вопрос, какой знак (+ или —)
правилен, замечаем, что при выборе 5= — Вт
= - Вту*т = — (у*Б)т, D.219а)
и аналогично,
у5В = ВВ-1уъВ = — Вт (Y3Y2Y1Y°)r = - (\ЩТ- D.2196)
Таким образом, шесть матриц В, Ву^ и By5 будут антисимметричными.
Тем же способом можно проверить, что десять матриц /?у5у* и Bo^v
будут симметричными. Наоборот, при выборе В=-\-Вт десять матриц Вуъу^
и Ba^v были бы антисимметричны, а шесть матриц В, ByI и By5 — симме-
симметричны. Однако последний случай невозможен, так как десять матриц Ву5у^
и Во№ линейно независимы, а линейно независимых антисимметрич-
антисимметричных 4x4 матриц имеется только шесть. Отсюда заключаем, что В=—Вт
(см. Паули [624]). Введем матрицу
С=-уъВ. D.220)
Она унитарна
С-1 = - В'^у;1 = Я'Чв = - В*у*ъ = (- уьВ)* = С* D.221)
и, что следует из D.2196), антисимметрична
Ст=-С. . D.222)
Кроме того, при преобразовании подобия при помощи матрицы С мат-
матрицы уц переходят в матрицы, транспонированные и взятые со знаком
минус:
-уцТ- D.223)

112 Гл. 4. Уравнение Дирака
Рассмотрим теперь уравнение Дирака при наличии внешнего электро-
электромагнитного поля
D.224а)
D.2246)
Если уравнение D.2246) транспонировать и заменить y^t на — С
то получим
(iy^-m)C^T^ -ey»Av,6$T. D.225)
Таким образом, если спинор г|э описывает движение частицы с зарядом е
и магнитным моментом ц, то спинор Сг|эт описывает движение частицы
с зарядом — ей магнитным моментом — [х. Мы будем называть спинор djjT
зарядово-сопряженным спинором и введем для него обозначение
г|>с = С$г. D.226)
Нужно заметить, что в рассматриваемой одночастичной теории операция
зарядового сопряжения ?/с, при которой
Gеф=,^ = С$т, D.227)
антиунитарна. В предположении релятивистской инвариантности операции
зарядового сопряжения спиноры г|э0 и ij; должны обладать одинаковыми
трансформационными свойствами при преобразованиях Лоренца, т. е.
, D.228а)
). D.2286)
Подставляя выражение D.226) для tyc в D.2286) и вспоминая, что
я|з' = ± tyS'1 (Л) (где плюс берется для L\, а минус — для L\), заключаем,
что + F")т я|зт = SCtyT или что
S? (Л) = C^S'1 (Л) С при AgLf (т. е. когда Лоо>1), D.229а)
ST(Л) = -СЧГ1 (Л)С при AGZ4 (т. е. когда Л00<-1). D.2296)
Условия D.229а) и D.2296) позволяют уменьшить число допустимых
значений для матриц S (is) и S(it). Например, если в качестве S (is))
выбрать матрицу у°, то уот = у0 = (y0) и условие D.229а) не выполнено.
Поэтому в качестве S(is) можно выбрать лишь ± iy° (это показал Рака [657]).
Для временных отражений выполнение условия D.2296) гарантируется
выбором S(it) = ±iybC=^ ±iB.
Наконец, остановимся на свойствах зарядово-сопряженных спиноров
в случае свободных частиц. Согласно тому, что говорилось выше, элек-
электрон описывается волновой функцией и(р), которая в импульсном пред-
представлении подчиняется уравнению
(Р~т)и (р) = 0. D.230)
Было установлено также, что волновой функцией позитрона с импуль-
импульсом + р служит отрицательно-частотный спинор с импульсом — р,
т. е. волновая функция электрона, отсутствию которого (в фоне состояний

§ 8. Уравнение Дирака во внешнем поле. Зарядовое сопряжение 113
с отрицательной энергией) соответствует этот позитрон. Такой спинор
удовлетворяет уравнению
(-p-m)v(p) = 0 D.231а)
и
p-m) = 0. D.2316)
Снова применяя операцию транспонирования к уравнению D.2316) и
используя соотношение D.223), находим, что спинор
CvT(p) = uc(p) D.232)
удовлетворяет уравнению {р — т) ис (р) — 0. Таким образом, зарядово-
сопряженный спинор описывает частицу с импульсом +/?• Используя
. свойства матрицы С, последнее соотношение можно обратить и написать
D.233)
8 г.. Швебер

ГЛАВА 5
Уравнения для частиц
с массой, равной нулю
В этой главе мы рассмотрим два уравнения для частиц с массой,
равной нулю, представляющих наибольший интерес для приложений
в физике элементарных частиц: уравнение для нейтрино и уравнение
(Максвелла) для фотона. Уравнение для поля тяготения мы рассматри-
рассматривать не будем.
§ 1. Двухкомпонентная теория нейтрино
Впервые эта теория для описания частицы с массой, равной нулю,
и со спином V2 была предложена Вейлем в 1929 г. [839]. Она обсуждалась
Паули в его статье в Handbuch der Physik [622], но была им отвергнута
из-за отсутствия в ней инвариантности относительно пространственных
отражений. В последнее время были, проведены эксперименты, которые
показали, что в р-распаде четность не сохраняется. Для объяснения
наблюдаемого несохранения четности Ли и Янг [488] (которым принад-
принадлежит заслуга самой постановки вопроса о возможном несохранении
четности и которые указали пути проверки этой гипотезы), Ландау [475]
и Салам [694] предложили описывать нейтрино при помощи уравнения
Вейля.
Волновое уравнение, которому подчиняется двухкомпонентная волно-
волновая функция ф(ж), описывающая нейтрино, имеет вид
ihdty(x) = — ci%a- Vcp (ж), E.1)
или, если использовать обозначение р= —i
ihdt<p = co--p<p, E.2)
где at представляют собой 2x2 матрицы Паули. Форм-инвариантность
уравнения Вейля относительно ограниченных неоднородных преобразова-
преобразований Лоренца можно показать, рассуждая так же, как в случае уравнения
Дирака. Удобно ввести матрицу сго = / и записать уравнение E.2) в виде
(TH;yp = 0. I E.3)
Это уравнение будет форм-инвариантно, если функция у(х) при огра-
ограниченных неоднородных преобразованиях Лоренца х' = Ах-\- а, р' = А~1р
преобразуется по закону
(х), E.4)

§ 1. Двухкомпонентная теория нейтрино 115
где S (Л) есть 2x2 матрица, обладающая свойством
^(Л)о^(Л) = ЛУ. E.5)
Уравнение Вейля в штрихованной системе запишется в виде
цф'(ж') = 0. E.6)
Вид S (Л) для различных частных случаев преобразований Лоренца
можно найти так же, как в дираковском случае. Для преобразования
Лоренца вдоль г-й оси
y, E.7)
а для вращений на угол 0 вокруг /-Й оси
S (/;0) = eweaJ. • E.8)
Таким образом, спинор <р при однородных преобразованиях Лоренца
преобразуется по неприводимому представлению Z)A/2'0) однородной группы
Лоренца. Для описания частицы со спином х/2 и с массой, равной нулю,
имеется и другое волновое уравнение, которому подчиняется волновая
функция г|), преобразующаяся по представлению Z)@'1/2) однородной группы
Лоренца. Оно имеет вид
ihdtty(x)= +ihco-Vty(x). E.9)
При однородном преобразовании Лоренца вдоль г-й оси функция г|з пре-
преобразуется по закону
у = e+Va»oy E.10)'
Как указывалось раньше, после добавления пространственных отражений
представления DA/2> 0) и ?)@>1</2) уже не являются неприводимыми. При
пространственном отражении они переходят друг в друга Z)'1''2'0) ^ D@'1/2),
и только прямая сумма этих представлений Z>A/2'0)@ Z>@>1/2) является
неприводимой. Поэтому уравнения E.1) и E.9) не ковариантны отно-
относительно пространственных отражений.
Решения уравнения E.1) в виде плоской волны записываются в виде
ц>(х) = е-^'хи(р), E.11)
где и (р) — двухкомпонентный спинор, удовлетворяющий уравнению
Pou — a-pu. E.12)
Умножая обе части этого уравнения на <т-р, получаем
(Р„2-Р2)и = 0, E.13)
и, следовательно, отличные от нуля решения существуют, только когда
р0 = ± |р|, так что нейтрино движется со скоростью света. Из уравне-
уравнения E.12) видно далее, что решения с определенным знаком энергии
соответствуют определенной проекции спина на направление движения.
Экспериментальнвю данные по Р-распаду указывают, что у нейтрино
спин всегда ориентирован антипараллельно направлению движения, н,
следовательно, оно описывается уравнением E.9). Его решения в виде
8*

116
Гл. 5. Уравнения для частиц с массой, равной нулю
плоских волн записываются г|) = ехр( — ipx)v(p), причем спинор v(p)
подчиняется уравнению
pov(p)= —o-vv(p). E.14)
Решение этого уравнения с рй = +1 р | мы будем называть состоянием
нейтрино. В этом состоянии спин антипараллелен импульсу р и может
быть представлен левым винтом, как это изображено на фиг. 2. Решение
с ра= — |р| соответствует спину, направленному параллельно импульсу р
и представляемому правым винтом (фиг. 3). При интерпретации отри-
отрицательно-частотных состояний при помощи теории дырок импульс анти-
Ф и г. 2.
Фи г. 3
нейтрино направлен противоположно импульсу незанятого отрицательно-
частотного состояния. Поэтому соотношение между направлениями спина
и импульса у антинейтрино представляется правым винтом.
Отсутствие в двухкомпонентной теории инвариантности относительно
пространственных отражений можно изобразить графически. При опера-
операции пространственного отражения (р-> — Pi х-> —х, <т—>-<х) состояние
с энергией ро = +|р|> импульсом р и спиральностью -.—у=+1 переходит
в состояние с энергией рп= +|р|; импульсом — р и спиральностью — 1,
При пространственном
отражении
в начале координат
Ф и г. 4.
но такое состояние не является состоянием нейтрино (фиг. 4). Отсутствие
инвариантности можно показать и иначе. А именно, поскольку р—это
полярный вектор, а в — аксиальный, то произведение <т-р ведет себя при
пространственных отражениях, как псевдоскаляр.
Двухкомпонентная теория Вейля эквивалентна четырехкомпонентной
теории Дирака при условии, что на выбор четырехкомпонентных волно-
волновых функций наложено некоторое ограничение. Чтобы найти это огра-
ограничение, рассмотрим решения уравнения Дирака для'частицы с массой,
равной нулю:
iYnd"* (*) = 0. E.15)
В гамильтоновой форме оно запишется в виде
%ф (х) = - j

§ 1. Двухкомпонентная теория'нейтрино
117
В представлении
0 1
имеем
=(
E.17)
E.18)
E.19)
так что гамильтониан можно записать в виде
tf = iY52-p = iY5|p|s(p). E.20)
Поэтому собственные функции операторов Н и s(p) будут также соб-
собственными функциями оператора iy5. Если ось z направить по импульсу
р, то четыре линейно независимых решения уравнения Ни=рои пред-
представятся в виде
Спиральность:
E.21)
Положительная
энергия
Отрицательная
анергия
Собственные значения оператора iyb, соответствующие этим решениям,
приведены в табл. 1.
Таблица 1
Ро
+
+
Спиральнооть
+ 1
— 1.
+ 1
j
Собственное значение
оператора iye
+ 1 ¦
|
^
' +1
Таким образом, собственные значения оператора iy^ для решений с поло-
положительной энергией совпадают с собственными значениями оператора
спиральности, а для решений с отрицательной энергией iy5 отличаются
на множитель — 1. Выше мы видели, что нейтрино описывается двух-
компонентным уравнением, причем его решения в виде плоской волны
обладают свойством: решение с Ро=+|р| имеет спиральность — 1,
а решение ро= — |р| имеет спиральность +1. Таким же свойством
обладают и решения уравнения E.16) в виде плоской волны, если на них
наложено ограничивающее условие
г|э = — iybty- E.22)
Это условие инвариантно относительно ограниченных преобразований
Лоренца. Можно поступить иначе: ввести четырехкомпонентный спи-
спинор ф„, который выражается через спинор ф, удовлетворяющий уРав-

118 Гл. 5. Уравнения для частиц с массой, равной нулю
нению E.16) согласно
г|>п = 4A-;убИ- E.23)
Спинор г|7„ автоматически удовлетворяет условию
1Чь$п= — ¦фп- E.24)
В представлении, где
/О ¦ 1\ / О а\
/-(, о); Y=(-cr о)' <5-25а>
E-256)
спинор \!рп в сущности является двухкомпонентным
E-26)
так как оператор проектирования 1/2 A — iys) обращает в нуль две нижние
компоненты. Двухкомпонентный спинор о|?п удовлетворяет уравнению
-ст.р1|4 = ,р<Ж>, E-27)
получающемуся в результате умножения уравнения E.16) на 1/2 A — iyb).
Можно проверить, что в четырехкомпонентной теории частиц с массой,
равной нулю, существует преобразование Ф. — В., которое освобождает
гамильтониан от нечетных операторов, придавая ему вид
#' = рс|р|. E.28)
Это каноническое преобразование записывается в виде
Оператор координаты в дираковском представлении снова может быть
определен выражением
X = e-*SxeiS. E.30)
Он обладает желаемыми свойствами: а) при вращениях преобразуется,
как вектор; б) [Xt, Xj] = 0; в) [Xi, pj] = ibiy, г) в применении, к поло-
положительно-частотным состояниям производная Xt по времени равна
cpi/\p\. С другой стороны, можно показать, что в двухкомпонентной
теории не существует оператора координаты, который преобразовывался
бы при вращениях как вектор (см., например, работу Фронсдейла [286]).
§ 2. Состояния поляризации частиц с массой, равной нулю
Собственный момент количества движения частицы с массой, равной
нулю, ориентирован параллельно направлению ее движения. Если свя-
связывать со спином некоторое внутреннее движение, то оно должно совер-
совершаться в плоскости, перпендикулярной скорости, и поэтому говорят

§ 2. Состояния поляризации частиц с массой, равной нулю
119
о «поперечной поляризации». Для частице массой, равной нулю, значение
спиральности s (р) = +1 — релятивистски инвариантная величина в от-
отличие от случая частиц с ненулевой массой. У частицы с конечной массой
покоя спиновый момент количества движения также может быть парал-
параллелен скорости, т. е. для нее также возможны состояния с поперечной
поляризацией. Однако эти понятия не лоренц-инвариантны: если скорость
и спин параллельны в одной системе отсчета, то они, вообще говоря,
не будут параллельны в другой. В частности, очевидно, что в системе
отсчета, в которой частица покоится, спиновый момент не параллелен
скорости, так как последняя равна нулю. Всякая частица с конечной мас-
массой может быть, описана в системе координат, в которой она покоится.
т
Направление ,,
оси z U Ь(О,ы)
Частице сообщена
скорость v по направлению
ев спина
?@)L(O,«)
Поворот
на Угол д
У
Ф и г. 5.
Поэтому для такой частицы утверждение, что ее спин параллелен направ-
направлению движения, не может быть верным для всех наблюдателей, и, следо-
следовательно, частица должна иметь и другие состояния поляризации. Однако
для частицы с массой, равной нулю, движущейся со скоростью света,
не существует системы координат, относительно которой бы она покои-
покоилась. Этим объясняется различие между частицами с массой, равной нулю,
имеющими только два направления поляризации при любом значении их
спина, и частицами с конечной массой, которые имеют 2s -f- 1 состояние
поляризации при спине s. Вигнер [863, 864] проанализировал зто разли-
различие более подробно. Его анализ состоит в следующем.
Рассмотрим покоящуюся частицу в состоянии с заданным направле-
направлением поляризации. Пусть этим направлением будет ось z. Поворот час-
частицы и одновременно сообщение ей скорости v в направлении поляриза-
поляризации приводят к одному и тому же состоянию частицы, независимо от поряд-
порядка, в каком выполняются эти операции, т. е. сообщается ли частице сперва
скорость v в направлении оси z, а затем совершается поворот, или, наобо-
наоборот, сперва совершается поворот, а затем сообщается скорость в направле-
направлении поляризации. Это иллюстрируется фиг. 5 (простая стрелка обозначает
спин, двойная — скорость частицы). Сформулированное утверждение
проще всего доказать, если сравнить, как выглядит состояние частицы
в различных лоренцевых системах отсчета. Если смотреть на одно и то же
«стандартное состояние» из различных систем координат, то при зтом пред-
представляются все возможные состояния физической системы. Для задания
стандартного состояния нужно фиксировать к,акую-либо лоренцеву систе-
систему отсчета и потребовать, чтобы состояние, принимаемое в качестве стан-
стандартного, имело в этой системе отсчета заданные характеристики. В каче-
качестве стандартного состояния выберем состояние, в котором частица поко-
покоится, а спин ее ориентирован по оси z. (Понятно, что такое стандартное
состояние возможно только для частиц с ненулевой массой покоя.) Если,

120 Гл. 5. Уравнения для частиц с массой, равной нулю
например, смотреть на стандартное состояние из системы координат, дви-
движущейся вдоль оси z со скоростью —v, то увидим частицу, движущуюся
вдоль той же оси со скоростью +у! причем спин ее будет ориентирован
по-прежнему вдоль оси z. Точно так же, если на стандартное состояние
смотреть из повернутой системы координат, например из системы, полу-
полученной поворотом на угол 0 вокруг оси х, то относительно нее спин частицы
лежит в плоскости z'y' и составляет угол 0 с осью z . И вообще каждая
лоренцева система отсчета определяет некоторое состояние физической
системы, а именно то состояние, в котором частица видна из этой системы
отсчета. Два состояния физической системы будут тождественны тогда
и только тогда, когда совпадают определяющие их лоренцевы системы
отсчета. Два состояния будут приближенно одинаковыми, если опреде-
определяющие их преобразования Лоренца бесконечно мало отличаются друг
от друга, а именно на преобразование Лоренца, близкое к тождественному.
Подчеркнем, что такое сравнение состояний не зависит от значений массы
и спина частицы и определяется только свойствами преобразований
Лоренца. Матрица1)
tchco 0 shco\
0 10 ' E.31)
sh ш 0 ch (»/
определяет преобразование в лоренцеву систему отсчета, относительна
которой частица движется в направлении оси z со скоростью v и имеет
спин, ориентированный также по оси z. Новая система отсчета движется
вдоль оси z со скоростью —v относительно первоначальной, в которой
определено стандартное состояние. При этом, если вспомнить формулу
B.10), thco = v/c. Напомним также, что матрица, соответствующая пово-
повороту на угол 0 в плоскости yz, есть
10 0 \
cos0 sin0. E.32)
\0 - sin 0 cos 0/
Пусть п — единичный вектор, лежащий в плоскости zy и составляющий
угол 0 с осью z:e3'ii = cos0. Система координат, движущаяся со ско-
скоростью — v в направлении п, получается при помощи преобразования
L @, ш) = R @) L @, со) R (- 0). E.33)
Доказательство: Преобразование R (—0) поворачивает систему
координат так, чтобы ось z' совпала с ц, преобразование L @, со) сооб-
сообщает ей скорость — v вдоль п, а преобразование R @) делает оси z и z
снова параллельными. Далее, для получения состояния частицы, движу-
движущейся в направлении п и поляризованной в зтом же направлении, мы сна-
сначала повернем систему координат на угол -j-в (так чтобы спин частицы
составил угол 0 с осью z), а затем сообщим ей скорость—v в направле-
направлении п, т. е. выполним преобразование
))i?(9) = i?(9)L@, ft))i?(-0)i?@) = /?@)L(O, ft)) =
/ cho) 0 shco \
= shcosin0 cos 0 sin0chco|, E.34)
\cos0shft) — sin0 cos0chco/
2) Так как ось х' не играет роли в последующем рассмотрении, то соответствую
щие величины опущены, и три строки столбца L относятся к осям t, у и г.

§ 2. Состояния поляризации частиц с массой, равной нулю 121
которое и определяет упомянутое состояние частицы. Из равенства
R(Q)T@, <?>) = R(Q)L@, со) E.35)
вытекает, что то же самое состояние можно получить, сперва сообщая
системе координат скорость —у и только затем выполняя поворот. Резуль-
Результирующее состояние оказалось тем же самым, поскольку совпали системы
координат, так что относительно обеих частица находится в одном и том
же состоянии. Результат E.34) означает, что утверждение: «Спин части-
частицы ориентирован параллельно или антипараллельно ее скорости» — инва-
инвариантно относительно вращений. Ясно также, что оно останется верным
и при дальнейшем увеличении скорости вдоль оси z. Снова рассмотрим
частицу, движущуюся вдоль оси z со скоростью v и имеющую спин,
ориентированный также вдоль оси z. Относительно системы координат
/', движущейся в направлении —у со скоростью и' = cth(o', скорость час-
частицы будет направлена между осями у и z, а спин уже не будет параллелен
направлению ее движения, если только скорость v не близка к скорости
света. С другой стороны, состояния, порождаемые преобразованием
L (О, со) при больших значениях параметра со (т. е. при v — с), таковы, что
относительно различных лоренцевых систем отсчета, которые движутся
слишком быстро в направлении движения частицы, спин и скорость
в этих состояниях почти параллельны. В предельном случае частиц,
движущихся со скоростью света, т. е. частиц с массой, равной нулю,
утверждение, что спин и скорость параллельны, справедливо во всех
лоренцевых системах отсчета.
Состояние, которое видит наблюдатель, находящийся в лоренцевой
системе отсчета /', определяется преобразованием
(ch со' sh to' 0\ /ch to 0 sh co\
shm' ch(o' 0I 0 1 0 L
0 0 1/\sh со О chco/
/chco'chco shco' chco'shco\
= jsh(o'chft) chco' sh со'shco I. E.36)
\ shoo 0 chco /
Чтобы привести преобразование E.36) к виду E.34), который соответ-
соответствует движущейся частице со спином, ориентированным параллельно
ее скорости, нужно умножить матрицу E.36) справа на матрицу пово-
поворота В. (е) (т. е. прежде чем сообщать частице какое-либо движение,
нужно повернуть ее спин). Угол поворота дается выражением
tg б = -zt;—=—A «¦) • E.37)
6 th to v \ с2 J v '
Угол е называется углом между спином и скоростью. Отсюда видно, что
при большой скорости v спин увлекается в направлении движения, так
что угол между направлением спина и направлением движения относи-
относительно движущей системы координат очень мал. Таким образом, свойство
параллельности спина и скорости частицы с массой, равной нулю, сохра-
сохраняется при всех собственных преобразованиях Лоренца. Если предполо-
предположить инвариантность относительно пространственных отражений, то
у частицы с массой, равной нулю, должны быть два состояния поляри-
поляризации (а не одно), отличающиеся противоположными значениями спираль-
ности. Если же теория не инвариантна относительно отражений, т. 'е.

122 Гл. 5. Уравнения для частиц с массой, равной нулю
зеркально отраженного состояния не существует, то, как мы видели, у час-
частицы с массой, равной нулю, имеется только одно состояние поляризации.
С другой стороны, напомним, что для частицы с конечной массой существо-
существование двух состояний поляризации вытекает уже из инвариантности тео-
теории относительно собственных преобразований Лоренца (см. гл. 2).
§ 3. Уравнение для фотона
В качестве «волновой функции» одиночного фотона можно принять
векторную функцию At(x) (i=l, 2, 3), удовлетворяющую уравнению
ihcd0 А(х) = %У — V2A(a;) E.38а)
и дополнительному условию (закрепляющему калибровку)
V-A(a;) = 0. E.386)
Физическая интерпретация функции А (х) следует из рассмотрения ее
фурье-образа / (к), определяемого согласно
А(*)= [ *?. «-«-«a (к). E.39)
feo">0
Здесь /со = |к|, и поэтому выражение E.39) является решением уравне-
уравнения E.38). Тогда величина | % (k)|2d3fe пропорциональна вероятности
того, что фотон имеет импульс в интервале между к и k+dk. Введем
три линейно независимых вектора е4(к), е2(к) и к/|к|, причем
е»(к).еДк)=в,к (i, / = 1, 2), E.40а)
в|(к)-к = 0 (г, /=1, 2). E.406)
Тогда условие поперечности E.386) означает, что
А(*) = 2 J-^-3Ci(k)ei(k)e-ih-, E.41)
i=l,2 +
гДе %t (к) — амплитуда вероятности того, что фотон имеет импульс к и поля-
поляризацию i. Если скалярное произведение имеет вид
$П^ E.42)
то исследование, подобное тому, которое проводилось в случае спина,
равного 0, показывает, что для фотона нельзя построить локализованные
состояния [576]. В общих чертах дело заключается в том, что должным
образом можно распорядиться только зависимостью от импульсов, лежа-
лежащих в плоскости, перпендикулярной к «направлению» искомой локализо-
локализованной (векторной) волновой функции, но невозможно локализовать фотон
в направлении его поляризации. По этой же причине только в импульсном
представлении функцию А можно интерпретировать как волновую функ-
функцию фотона. Ковариантное описание однофотонных состояний мы отклады-
откладываем до гл. 9.

Часть вторая
ВТОРИЧНОЕ
КВАНТОВАНИЕ

ГЛАВА 6
Вторичное квантование.
Нерелятивистсиая теория
В этой главе мы установим, что обычное описание системы п тожде-
тождественных частиц с помощью волновой механики эквивалентно оператор-
операторному формализму, который стал известен как «вторичное квантование».
Он позволяет проводить вычисления, в которых автоматически учитыва-
учитываются комбинаторные стороны задачи, связанные с конкретной статистикой
(Бозе — Эйнштейна или Ферми — Дирака), которой подчиняются рас-
рассматриваемые частицы. Далее, этот формализм позволяет обобщить обыч-
обычную квантовую механику на системы, для которых число частиц уже не
является интегралом движения. Такое обобщение необходимо для описа-
описания физических явлений в релятивистском случае.
Эквивалентность операторного описания (с помощью вторичного
квантования) системы п частиц и описания обычной шредингеровской тео-
теории была установлена Иорданом и Клейном [397] для частиц, подчиня-
подчиняющихся статистике Бозе, а для частиц, подчиняющихся статистике
Ферми, — Иорданом и Вигнером [399].
Впоследствии операторный формализм был переформулирован в «про-
«пространстве Фока» Фоком [263], который обобщил обычную шредингеров-
скую волновую механику на системы, для которых число частиц не
является интегралом движения. Работа Фока основывалась на предыдущих
исследованиях Ландау и Пайерлса [471], которые рассмотрели в конфи-
конфигурационном пространстве квантованное электромагнитное поле, взаимо-
взаимодействующее с веществом. Исследование Ландау и Пайерлса в свою
очередь было стимулировано Оппенгеймером, Гейзенбергом и Паули [363],
сформулировавшими в общих чертах квантовую теорию поля в конфи-
конфигурационном пространстве. Наше изложение частично основано на не-
неопубликованных лекциях Баргманна A951 г.) и на статьях Фока [263]
и Пирена [641 ].
§ 1. Перестановки и транспозиции
В этом параграфе мы кратко напомним некоторые простые свойства
перестановок.
Перестановкой называется операция, которая связывает совокуп-
совокупность п упорядоченных объектов (элементов), например xi, ;r2, . . . хп,
с той же совокупностью объектов, расположенных в другом поряд-
порядке. Представим операцию, которая переводит Xi в xai,x2 в ха, и т. д.

126 Гл. в. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
с помощью символа
/1 2 ...» \
/> = , F.1)
\at а2 . . . ап)
причем Pxj = ха , a {at, a2 . . • а„}, за исключением порядка, та же самая
совокупность, что и {1, ... га}. При таком обозначении для Р отображе-
отображение /, а,-, находится под;. Это свойство не зависит от порядка записи столб-
столбцов, так что их можно переставлять. Для га различных объектов суще-
существует га! перестановок. Если
9 = VP,
тогда произведение QP определяется следующим образом:
'1 2 З...и\
, я о r , F.3)
Jl P2 Рз- • -Pn/
причем QPxi — %$.. Тождественная перестановка, которая оставляет
порядок элементов неизменным, есть
/1 2 3... nN
E=\i 2 З...В;
Каждая перестановка Р имеет обратную перестановку Р~\ такую, что
-1 = Р'УР = Е. Ясно, что обратная к Р перестановка есть
F.5)
Совокупность всех перестановок га объектов образует группу, которую
обычно называют симметрической группой, подруппы которой называются
группами перестановок. Транспозицией Т называется перестановка, при
которой переставляются только два элемента:
Каждая перестановка может быть разбита на произведение транспозиций.
Это разбиение не однозначно. Однако четность числа транспозиций,
на которые разбивается перестановка, определяется однозначно. Заметим,
что перестановка Р'1 четна или нечетна в соответствии с тем, четна
или нечетна Р. Таким образом, перестановка может быть охарактери-
охарактеризована ее четностью ЬР, равной -f 1 для четной перестановки, и — 1 для
п
нечетной. Если Р записать в виде \\Тг, где Tt — транспозиции, a Q—в виде
г
m nm
1] Tj, тогда ясно, что PQ - Ц Т{Г] и
так что произведение двух четных перестановок четно и произведение
двух нечетных перестановок четно, в то время как произведение четной
и нечетной перестановок нечетно. А поскольку тождественная переста-
перестановка четна, то 6p6p-i = 6p-i6p = б? = 1 и
бр-1 = б/'- F.8)

§ 2. Симметричные и антисимметричные волновые функции 127
§ 2. Симметричные и антисимметричные волновые функции
В настоящем параграфе мы сжато изложим квантовомеханическое опи-
описание системы тождественных, неразличимых частиц. В квантовой механике
частицы называются неразличимыми, если среднее значение любой наблю-
наблюдаемой остается неизменным при замене одной частицы на другую, т. е.
если переставить индексы частиц. Хорошо известно, что система тождест-
тождественных частиц описывается волновой функцией, которая или симметрична
(бозе-частицы) или антисимметрична (ферми-частицы) при перестановке
двух частиц.
Пусть I^F), |Ф) —векторы состояния, описывающие систему п частиц,
Их скалярное произведение в конфигурационном пространстве опреде-
определяется следующим образом:
• • • \ dxn^ (Xl»!, • • ¦ XnSn) Ф (XlSj, . . . XnSn), F.9)
где st — спиновая переменная i-й частицы. В дальнейшем мы опустим
зависимость волновой функции от спиновых переменных и примем, что
переменные хг описывают и спин, если частицы обладают спином. Примем
также, что знак интегрирования включает, если нужно, суммирование по
спиновым индексам. При перестановке Р, Pxt = xa., волновая функция
Ч (х) = (х| Y) = (xi, x2 ... х„ | Y) преобразуется в новую волновую функ-
функцию У (х) = х? (Рх). Это преобразованное состояние получаотся с помощью
линейной операции Up
UP\W) = \Y'), ' F.10a)
такой, что
(х | (/р | ?> = (х | ?') = (Рх 1 ?>. F.106)
Отсюда
<х|(/р|х'> = (Рх|х') = 6(Рх1-х;) ... б(Рхп-х;). F.11)
Мы иногда будем обозначать символом еТ5 оператор Up в конфигурацион-
конфигурационном пространстве и писать
(Рх | ?> = <Г" (х | Y) = 8»Ч (х) = Y (Рх). F.12)
Так как якобиан преобразования х —» Рх равен по модулю единице то
(Ф' ] Ч1"} = (Ф ] Y), так что Up является унитарным оператором. Операторы
Up образуют унитарное представление симметрической группы. Если ча-
частицы неразличимы, тогда упомянутый выше критерий неразличимости
требует, чтобы для любой наблюдаемой О системы п частиц и для любой
перестановки Р
), F.13а)
т. е. чтобы
O=UpxOUP F.136)
или [О, Up] = 0. Последнее равенство выражает инвариантность О при
перестановках индексов частиц. Следовательно, наблюдаемая О должна
быть симметричной функцией наблюдаемых отдельных частиц.

128 • Га, 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Теперь-мы можем дать точное определение симметричных и антисим-
антисимметричных волновых функций. Если Т — любая транспозиция, то мы назо-
назовем волновую функцию симметричной, если
(Xi, X2
или если1)
и антисимметричной,
(Xi, Х2, .
, ... xn|f/T|?e) = <x1,
(Xl7 X2, . . . Xn^ — Ts (X
если
• • xn\UT\4a)= -(хь
^1? ^2i • • • Xnj ^ — x a {
x2, .
1, x2,
x2, .
xf, x2
.. xn 1 ?s)
. . . x;l),
v lur \
• • An | Ta/j
, • • • Х„).
F.14a)
F.146)
F.15a)
F.156)
Вообще, для любой перестановки Р симметричная волновая функция обла-
обладает тем свойством, что
(Xj, X2, ...Xa\UP\Wt) = {Xit ... Xn|Ys), F.16)
в то время как для антисимметричной волновой функции
<хь х2, ... хп\иР\Ча) = др(хи х2, ... xa|?rt), F.17)
где Ьр — четность перестановки Р. Из унитарности Up следует, что про-
пространство симметричных состояний ортогонально пространству антисим-
антисимметричных состояний, так как (Уа, ?a) = (f/T?s, UTWa) = — (Ws, ?a) = 0.
Далее, никакое возмущение не может перевести симметричное состояние
в антисимметричное, так как для любой наблюдаемой О системы п тождест-
тождественных частиц TJPOUfx = O, так что (?s, O?a) = (UTWS, UrOU^Ur^a) =
= — (x?s, OWa) = 0. Наконец, поскольку гамильтониан инвариантен отно-
относительно Up, т. е. Н ^UpHUp'1, характер симметрии состояния сохра-
сохраняется во времени.
Чтобы построить симметричные и антисимметричные волновые функ-
функции из произвольных функций п переменных хь х2, ... х„, определим
следующие операторы:
^ F.19)
р
где суммирование идет по п\ элементам симметрической группы тг-го
порядка. Оператор S называется симметпризатпором, а А — антписиммет-
ризатором. Основания для такого названия будут вскоре ясны. Можно
объединить обсуждение свойств этих операторов, если ввести оператор
Л=ж S
Когда Хр=1, Л = 5, а при Кр — 8р, К —А. Оператор Л обладает следу-
следующими свойствами:
а) Л эрмитов,
б) AUp = Uph. для любой перестановки,
в) Л2 = Л, т. е. Л есть оператор проектирования.
Доказываются эти утверждения совсем просто. Чтобы доказать свой-
свойство (а), заметим, что, поскольку Up образуют унитарное представление
!) Здесь У — оператор ?/у в конфигурационном пространстве. — Прим. ред.

§ 3. Пространство чисел заполнения 129
симметрической группы, UpUp-i = Ue = I, так что Up~i = [Up]'1 и поэтому
в силу унитарности Up) Up = Up-\. Используя свойство Ьр = 6p-i, имеем
A* = ^-2V^p-i- F.21)
р
Но поскольку совокупность перестановок Р образует группу, то можно
заменить суммирование по Р суммированием по Р'1, и, следовательно,
Л* = Л. Чтобы доказать свойство (б), заметим, что Aj>=l. Используя
равенство F.7), имеем
± ±± F.22)
Снова в силу группового свойства элементы QP при фиксированном Р
и при О, пробегающем всю группу, исчерпывают группу, так что 2 = 2
Q QP
и AUp = kpA. Аналогично проверяется, что Е/рЛ = Я,рЛ, так что свой-
свойство (б) доказано. Наконец, чтобы доказать свойство (в), используем
свойство (б):
Л. F.23)
Последнее равенство имеет место, ибо ^1 = п\ Таким образом, симметри-
Q
затор и антисимметризатор являются операторами проектирования. При
любом векторе | W) гильбертова пространства оператор S (А) проектирует
его на подпространство симметричных (антисимметричных) состояний.
Доказательство; Согласно свойству (б), UtS | W) — S \ W). Аналогично,
VtA\W)= —A\W), так как бг= — 1 для любой транспозиции Т.
Эти свойства оператора Л часто используются, чтобы упростить
вычисление нормировочных интегралов и средних значений, наблюдаемых
для симметричных или антисимметричных состояний. Так, если | W) = Л | Ф),
где ]Ф) — вектор, не обладающий свойствами симметрии, то среднее
значение наблюдаемой О в состоянии | W) .есть (W, 0х?) = (ЛФ, ОЛФ) =
= (Ф, ОЛ2Ф) = (Ф, ОАФ), так как О и Up коммутируют. Поэтому при
вычислении среднего значения необходимо использовать лишь одну соот-
соответствующим образом симметризованную волновую функцию Л|Ф).
§ 3. Пространство чисел заполнения
Для многих приложений очень полезно характеризовать систему
п частиц с помощью одночастичных наблюдаемых. Такое описание
заключается в задании амплитуд вероятности щ частицам находиться
в состоянии \К'), щ — частицам в состоянии \%") и т. д., причем \К) —
собственная функция полного набора наблюдаемых одночастичной системы,
характеризующаяся собственными значениями X, и п1-1-п2 + Пз+ ... =п.
Чтобы осуществить такое описание, построим сначала соответствующим
образом симметризованные базисные функции. Пусть \К'), | X") ... и т. д.—
полная ортонормированная система одночастичных состояний, так что
9 с. швебер

130 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
если (х | К) = gx (х), то
= ^ {X | х> dx{x | К'}= \ gK (x) g%. (x) dx. F.24)
Определим теперь функции
Сяхя2.. .ята (*i, х2, ... хп) = #Яг (*i) gx2 (х2) ... gXn {xn). F.25)
При скалярном произведении F.9) эти функции ортогональны:
F.26)
Система функций G% образует полную ортонормированную систему функ-
функций п переменных, если система {g%} полная.
Вместо того чтобы определять Сяхя2..Лп совокупностью чисел
{А,!, ... Кп}, можно определить G, если задать, какие собственные зна-
значения X', X", ... встречаются и сколько раз каждое из них повторяется.
В этом случае G определяется с помощью бесконечной последовательности
целых чисел щ, п2, ..., которые называются числами заполнения, так
что п, — число, которое показывает, сколько раз gx- (с любым аргументом)
встречается в Gxxx2.. Лт и вообще и, —число, которое показывает, сколько
раз встречается ?^(г)- Ясно, что
f,n, = n. F.27)
Однако такое определение G неоднозначно, так как UpG, где Up — про-
произвольная перестановка, имеет те же числа заполнения, что и G. Этот
произвол не ведет к каким-либо трудностям, поскольку при физических
приложениях представляют интерес лишь выражения с соответствующим
образом симметризованными или антисимметризованными функциями,
т. е. с функциями У, которые удовлетворяют условию АЗ — 3. Поэтому
мы должны образовать такие линейные комбинации функций G, которые
имеют нужные свойства симметрии. Обозначим такую симметризованную
функцию через ^{щ, я2, п3.. .}• Симметризованная функция ${п} может
быть получена из любой функции Ся,1я2...л„) соответствующей некоторой
последовательности {п} = {щ, пг ...}, если применить к ней оператор Л,
т. е.
^{n,,na...}(xi, x2, ... хГс) = (х1, х2, ... xn\A\Gx1x2...xn)- F-28)
Последовательность {т^, щ, щ ...} при щ + п2-(- ... = п однозначно опре-
определяет симметризованную или антисимметризованную функции &{Пъп2, ..л-
Однако такая функция &{пъ п2, ...> не нормирована, хотя С§{П), ?/{п'}) = 0.
если не выполнено условие {п} — {п'}, т. е. если не выполнены равен-
равенства /Ji = /jj, n2 = »2 и т- Д- Обозначим нормированную функцию '3
через Ф{Уъп2...у т- е-
= (х1,. х2, х3) ... xn|/Zj, и2, ... щ, ...}, F.29)
где N{ny — постоянная нормировки, которая определяется из условия
F.30)

§ 4. Случай симметричных волновых функций 131
Эту формулу можно еще упростить, если заметить, что функции
(*Ь\И- • -Яп(х1 ••• хп) являются произведениями волновых функций:
- (ха11ХО ..V(xan | X'n> = (xt |ЯР1) . .. <х„
а0
F.31)
где совокупность fXPl, ... Арп}. получается из {\lf ... %п] с помощью
перестановки Р'1. Поэтому можно переписать F.30) в виде
Nih =-^r 2 M^i,^. ...W Сяр1А,р2...яРп), F.32)
р
где суммирование проводится по всем перестановкам {f^, |52, ... p*n}.
§ 4. Случай симметричных волновых функций
До сих пор наше обсуждение было общим и было применимо как
для симметричных, так и для антисимметричных функций. Однако теперь
вплоть до § 6 мы будем рассматривать только симметричные волновые
функции. Для вычисления нормировочного множителя в этом случае
заметим, что если функция Gj,1A,2...A.n такова, что все X различны, т. е.
Rj< 1, тогда в сумму правой части F.32) вносит вклад только тождествен-
тождественная перестановка, и постоянная iV{n} будет равна |/тг!. В общем случае,
когда в G^...^ функция gx{ встречается nt раз, в равенство F.32) вносят
вклад лишь те перестановки, которые переставляют частицы в одинаковых
состояниях. Число таких перестановок п1\п2\ ..., поэтому
%^|....' (б-33)
так что
г п{ ...} fa, Ха, ... Х„) = (Xlf Xg, Х3 ... | П^ ... Щ
VГГ. 1ГГ 2
F.34)
где ^ — оператор перестановки индексов у х, а суммирование проводится
по всем п\ перестановкам индексов п. Векторы \nlt п2 ...) для всех
возможных последовательностей {п} при 2 nt —п образуют базис гиль-
i
i
бертова пространства возможных состояний системы п тождественных
частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Полнота системы .выражается
соотношением
2 | «1» Щ> •¦• пь ¦•¦) ("i. Щу •¦¦ Щ, ...1 = 1, F.35)
{»}
где суммирование проводится по всем последовательностям {щ, п2 ...}
оо
при y\rii = n. Соотношения ортогональности выражаются равенством F.26)
i=i
и в настоящих обозначениях имеют вид
(пь щ, ... щ, ...\п[,п'г, ... гц, ...) = в„1П,в„а„/ ... бя ^ .... F.36)

132 Гл. в. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Произвольный вектор состояния [^(i)), описывающий систему п-частиц,
подчиняющихся статистике Бозе, может быть разложен по введенным
выше базисным векторам
. щ, ...><%, щ ... пи ...|?@). F.37)
Коэффициенты разложения {п1г п2, ... щ, ... |?(г)) являются амплиту-
амплитудами вероятности найти систему в момент времени t с пх частицами
в состоянии |Я'), щ частицами в состоянии \К"), /г* частицами в состоя-
состоянии |Я<4)) и т. д.
Функция преобразования (х^ х2) х3, ... х„; п\п1, п^, ...) является
«перманентом», т. е. детерминантом, у которого все перестановки склады-
складываются со знаком плюс. Перманент может быть разложен по строке или
столбцу аналогично разложению детерминанта. Выпишем формулы раз-
разложения, которые позднее окажутся очень полезными:
со
{хъ х2, ... х„; п\пи щ, ... щ, ...) = 2 у ~- <Xj | Ха>) X
i=i
X (х2, х3, ... х„; тг— 11 щ, щ, ... пг— 1, ...) F.38)
п
х„; п \ п1г щ, ... щ, ...)== У, -?=? {*т \ ^(i)
X
X <х1( х2, ... xr_lf xr+1, ... х„; »— 1! пи га2, ... щ—1, ...). F.39)
Доказательство равенства F.38) основано на том, что любая перестановка
п элементов может быть представлена в виде P = QTm, где (? —пере-
—перестановка совокупности B, 3 ... п), а Тт— транспозиция 1 и т. Поэтому
симметризатор S может быть записан следующим образом:
7Гг24(^1)! 2 = §'|2 «7- F-40)
Р m,Q m=l
где S' — симметризатор совокупности B, ... п). Поскольку G есть про-
произведение волновых функций, то
li ••• хл) — «А.1А.2Д.З- ¦ ¦kn(xmi X2i ••• xm-li xl> xm+li ••• xn) =
= (U|xi)G^...^(x2 ••• x*); F.41)
здесь G' — функция n — 1 переменных с числами заполнения щ, /г2, ...
... иг— 1 . .., если числа заполнения у Ga,^.. лп были пи п2, ... щ ...
и Кт = Х<1}. Поэтому можно написать
п
^. ...™г-1,...>(х2 ••• х„). F.42)

§ 5. Операторы рождения и уничтожения 133
Множитель У rii/n возникает из-за различия нормировочных множителей
для функций Ф{п> и Ф<п"х>
NTl,ni,...nv..y=\/r^iNfntL...nl-u...y F.43)
и из-за того, что сумма по т была заменена суммированием по заполнен-
заполненным состояниям 2 ге«> чт0 эквивалентно 2- Если переписать равенство
г m
F.42) в обозначениях Дирака [см. F.34)], то получается равенство F.38).
Полностью аналогично доказывается равенство F.39). Так как S = QS
для любой перестановки Q, то § = §§', где 8' — симметризатор сово-
совокупности B, ... п). Принимая, что | ^A)) присутствует в GxiXa...xn» T- е-
щ Ф О, можно написать
Ф?П1, П2, ...п., . ..}(Х1, ¦¦¦ xn) = -W
= ЛГ{П>§.((Я<{>| хх> С (х2 ... х„)), F.44)
где функция G' характеризуется числами заполнения щ_, пг. ... щ — 1, ... .
Поэтому, подставляя SS' вместо S, получим
, П2, . ..П
.. .
Используя равенство F.40), окончательно имеем
п
Чпг. «,. • •.»,. ¦ •> («1, • • • *«) = 2 у=^ (^ I х0 X
X Ф{«7, п2- • .n,-i, ...} (xi, х2, ... iM, xi+1 ... х„), F.46)
что совпадает с равенством F.39).
§ 5. Операторы рождения и уничтожения
Введем теперь оператор at, определенный так, что
Щ\пи «2, ••• пи ...) = yHi | пи п-г, ... щ — 1, ...). F.47)
Оператор аг называется оператором уничтожения, так как он уничтожает
частицу в состоянии | ^A)). Матричные элементы этого оператора
(п[, п[, ... n'i, ...; п' \at\ пи /г2, ... nt, ...; п) ==
= Ущ ЬП1п'Ьп^ . ¦ ¦ Snj_1> п. ... вП', n-i F-48)
равны нулю, если не выполнено равенство п' — п — 1. Отметим, что а,-
определен в гильбертовом пространстве е%?{0) © е%?а) ф e№w © • • • > где
$вт — гильбертово пространство для системы п частиц. Из определения
операторов. at следует, что а% и а^ коммутируют/
[а„о;]=:0. F.49)
Введем далее эрмитово сопряженный оператор а*, который определяется
равенством
(Т, а&) = («??, Ф), F.50)

134 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
так что
a*\ni, nz, ... щ, .. .) = Ущ + 1\пи п2, ... щ + 1, ...). F.51)
Оператор а* называется оператором рождения, так как, действуя на
/г-частичное состояние, он превращает это состояние в состояние с п +1
частицами, увеличивая на единицу число частиц в состоянии
Матричные элементы этого оператора
{n[, п'2, ... п1, ...; п' | а*\щ, п2, ... nt, ...; п) =
K .. . 6п&и п1... F.52)
равны нулю, если не выполнено условие п' = п + 1. Заметим далее, что
[a?,<zf]=0, F.53)
в то время как перестановочные соотношения для af и а* следующие:
[с„ cj] = e«. F.54)
Последнее соотношение проверяется непосредственным вычислением
результата действия левой части на произвольное состояние
| щ, п2, . .. nt, .. . rij ...). Наконец, видно, что эрмитов оператор Ni=a*at,
действуя на состояние | щ, щ, . .. nt, ...), дает nt | щ, п2, ... /гг, ...),
т. е. этот оператор показывает, сколько частиц находится в состоя-
состоянии |?ь(г)). Оператор
Nt = а*аг F.55)
называется оператором числа частиц в состоянии i, а оператор
N=^Ni F.56)
i=l
— оператором полного числа частиц, так как при действии на состояние
\щ, nz, ...) он дает
СО
2 пг\пи п2, ¦ . .) = п\щ, щ, . . .).
Изложенное до сих пор можно представить несколько более абстрактно
с помощью операторов' рождения и уничтожения а* и а*. В силу пере-
перестановочных соотношений для а* и aj операторы числа частиц в раз-
различных состояниях коммутируют: [Ni, Nj]=0. Поэтому существует пред-
представление, в котором все операторы Nt диагональны. Обозначим базисные
векторы этого представления через | щ, пг, .. . пь ...). Заметим, что
перестановочные соотношения для Nj и операторов рождения и уничто-
уничтожения имеют вид
[Nu at] = at, F-57)
[Nt,at]=-at, F.58)
так что
Г4, of] | ... nf ...> = <... ni... |о?| ... я* ...> F.59а)
(n't - n - 1) (... n't ... I at 1 ... щ ...) = 0. F.596)
Отсюда видно, что этот матричный элемент оператора а* равен нулю,
если не выполнены условия И1==пг-(-1 и п, = щ при ]'фй Будем инте-

§ 5. Операторы рождения и уничтожения
135
ресоваться теперь собственными значениями оператора TV*. В силу переста-
перестановочных соотношений F.57), если | v*) — собственная функция опера-
оператора Ni с собственным значением Vj, то a* |vj) — собственная функция Ni
с собственным значением v4 + 1.
Доказательство:
Ntat | vt) = (atNi + [Nt, at]) | vt) = (v, + 1) of | v,>. F.60)
Используя F.58), можно проверить, что at \ vt) — собственная функция Nt
с собственным значением Vj — 1. Аналогично, (uj)m|v,) есть собственная
функция Ni с собственным значением уг— т (т — целое положительное
число). Таким образом, либо оператор Nt имеет отрицательные собствен-
собственные значения (поскольку \i — m может быть сделано отрицательным при
достаточно больших т), либо при некотором т вектор {di)m\Vi) должен
быть нулевым вектором. Однако оператор Nt неотрицателен (>0), так
как он равен произведению некоторого оператора на эрмитово сопряжен-
сопряженный к нему, так что собственные значения оператора Nt не могут быть
отрицательными. Действительно, для произвольного ненулевого вектора
|Ф), для которого (Ф, Ф) > 0, имеем
(Ф, Ni$>) = (Ф, аХагФ) = (О|Ф, агФ) = || dfS> ||a>0 F.61)
по определению скалярного произведения в гильбертовом пространстве.
Знак равенства в соотношении F.61) имеет место только для таких
состояний | Фо), для которых at \ Фо) = 0. Ясно, что собственное значе-
значение оператора Ni, соответствующее такому состоянию, равно нулю.
Следовательно, собственные значения Ni либо целые положительные
числа, либо
всех i
нуль. Состояние
для
у | Фо) = | 0), для которого Ni \ 0) = 0 д
называется состоянием без частиц. Оно определяется равенством
аг|0) = 0 для всех i. F.62)
Далее введем операторы
2
г=1
F.63)
г=1
F.64)
Они обладают тем свойством, что уже не зависят от базиса (x|Vl)),
который был выбран для одночастичных состояний. Перестановочные
соотношения для этих операторов имеют вид
Ж*). V (У)] =
F.65)
F.66)
= б(х-у)
)> у Ш - [^с* (х)' *е* (у)]=о.
С помощью введенных операторов можно записать оператор полного
числа частиц
Л" = ^ aUi = 2 \ <ЯA) I х> dx (х \%dy) а*аг = ^ йхг|з* (х) ф (х). F.67)

136 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Оператор i|)* (x) i|) (x) можно интерпретировать как оператор плотности
числа частиц. Заметим далее, что равенство F.38) можно переписать
следующим образом:
(хь х2, х3, ... х„; га | гаь га2, ... щ ...) =
2, х3, . . ., х„; га—1|аг|ге,, га2, ... щ . . .) =
i-i Y "
= —т=-(х2х3 ... х„; п— 1 ^(Xi) Iraj, ra2, . .. гаг .. .) F.68)
У га
и по индукции
(х1э х2, ... х„; га | гаь га2, .... щ ...) =
1, в* ... Щ ... >. F.69)
Из равенства F.69) следует
S\xuxt,...xn)= y=-1|)* (х.) г];* (х2) ... г];* (х„) 10). F.70)
Нужно отметить, что поскольку операторы рождения \р* (хг) коммути-
коммутируют друг с другом, то состояние в правой части F.70) симметрично.
Рассмотрим кратко физическую интерпретацию операторов i|)(x)
и i|)*(x). Ясно, что состояние г|з*(х)|О) является одночастичным, так как
оно является собственной функцией N с собственным значением 1.
Доказательство:
[N, ф* (х)] = ^ dx' {$* (х') ф (х') ф* (х) - ф* (х) ф* (х') ф (х')} =
= J dx>*(x'N(x'-x) =
= Г(х), F.71)
так что
Щ* (х) 10) = [N, ^* (х)] 10) = И* (х) 10), F.72)
поскольку N 10) = 0. Аналогично, можно проверить, что \р* (х4) г|з* (х2) | 0)
есть двухчастичное состояние, и т. д. Амплитуда вероятности найти
частицу в состоянии i|)* (x) 10) в точке х4 есть
= б(х-х1).@|0) = б(х-х1). . F.73)
При получении последнего равенства были использованы равенства F.70)
и F.65) и было предположено, что состояние без частиц нормируемо:
@|0) = 1. Таким образом, оператор \р*(х) рождает частицу, локализо-
локализованную в точке х. Аналогично, 1|э (х) уничтожает частицу, локализован-
локализованную в точке х. Вычислим норму вектора 1|з*(х)|0). Квадрат ее равен
@|^(x)^(x)|0) = 6@), F.74)
так что состояние 1|э* (х) 10) ненормируемо и поэтому не является векто-
вектором в гильбертовом пространстве. Но этого следовало ожидать, поскольку
¦ф* (х) 10) есть собственная функция оператора положения и, следова-

§ 6. Пространство Фока 137
тельно, ненормируема. Физическое одночастичное состояние соответ-
соответствует волновому пакету | Ч) = \dxf (х) г|>* (х) 10), где / (х) — функция
с интегрируемым квадратом. Можно проверить, что такое состояние
действительно нормируемо и квадрат его нормы равен
*'/(*) / (х') @1 ф (х) г|>* (х') 10) =
x)|*<co. F.75)
§ 6. Пространство Фока
Теперь мы получим представление операторов г|> (x) и г|з* (х) в кон-
конфигурационном пространстве. Сначала рассмотрим оператор уничтоже-
уничтожения г|)(х). Мы хотим получить явную формулу для матричного элемента
(xl5 х2, ... х„ |г|з(х) | Y), где | Y) — произвольный вектор в пространстве
&ет® ЗР^Фз^™ . ¦ ¦ Для этого напишем
(xj, х2, ... xn_t; п — 11 гр (х) | Ч) =
i=0
oo
*=0{n'} l U U~U , !' *' •• - l
X {n[, ri2, ... п\ ... | V). F.76)
При получении правой части этого равенства мы использовали равен-
равенство F.47) и полноту базисных векторов | га^, »;,... п?...). Хотя
в условии полноты подразумевается суммирование по всем последова-
00
тельностям {п[, п'2, ...} при "% п\ = п' = 0, 1, 2, ..., матричный элемент
00
(Xi, х2, ... х„_, | <ц | n[, »;,..,«{...) равен нулю, если 2 п'г Ф я> так что
суммирование по' {я'} сводится к суммированию по таким последова-
тельностям {п[, п'2, ... щ ...}, для которых 2 п\ — п- Далее мы исполь-
используем полноту одночастичных базисных функций и перепишем равенство
F.38) в виде
dx{K(l)\x)(x, х2, х3, ... хп; п\пи п2, ... щ, .. .) =
Х\ /v I 1Ш\ /v -v v • и 41»! и И А \
у \л. | Л у \Л2) Аз, • • . лга, Л — 1 [ /*i, f*2i • • * "f—' 1 • • • / —
= |/ -^- (x2, x3, ... х„; л — 11 n,, n2, . .. nt — 1 .. .) F.77a)
иди
x2, ... xn_t; n— 11 /i|, ra2, ... /ij — 1 ...) =
i (x, X|, ... xn_i; n— 11П\, ri2, ¦ • ¦ nii ...). F.776)

138
Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Подставляя последнее выражение в правую часть F.76), получаем нуж-
нужную формулу
(хь х2, х3, . . . хп-п п — 11 -ф (х) ] ?) =
|У><У'Х1>Х2, ¦¦¦*п-1,п-1\пип2, ...Щ...)Х
Х(Щ, П2, ... Щ... |?>=:
(х | ЯA>> (Vй | у) (у, х4, х2) ... xn_i; n | W) =
| у) (у, хи х2, . . . xn_t; тг | ?> =
= /n(x, Xl, х2, ...х„_1; п\Ч). F.78)
Аналогично, используя разложение F.39), заключаем, что
(О | г|>* (х) | ?) = 0, F.79а)
(xi, х2, . . . хп+1; п +11 if* (х)
u n2, ... га,
, п2, ..
п
= уп
i 1=1 {n}
X I Щ, П2, .
n
1 "VI , i
nt ... \
1
Щ(Хг
щ ...)
х) <х" Х2>
'-ь Хг+1> ¦ ¦ •Xn+i; пIx
п2, ... пь ..
о (хг — х) (хь х2, . . . xi-u хм, ... хп+1; м |
г=о
F.796)
Поскольку | Y) произвольное состояние, то из равенств F.78) и F.796)
следует
F.78a)
!, . .. х„_ь п — l> = yra|x, Xi, . .. xn_i; n),
. .. xn+1;
¦.У, о(хг — х)|хь .,,x/_i, хг+1; . ..хп+1; п). F.79в)
Физический смысл этих равенств станет более ясным, если при-
принять следующие обозначения. -Пусть J ЛР") — вектор в пространстве
3&т © &№а)® еК™ © •.., т. е. он может описывать систему, число
частиц которой не является интегралом движения. Согласно физической
интерпретации вектора состояния, компонента (xi, х2, ... х„; п\ ~Ч) в про-
пространстве g$im является амплитудой вероятности найти нашу систему,
состоящей из п частиц, находящихся в точках xi, х2, ... хп. Можно опре-
определить вектор | Y), задавая его компоненты в различных подпростран-

§ в. Пространство Фока
139
«твах, и представить его в виде
?)¦
х2|?>
x2, ... х„;
(хь х2)
1, Х2,
F.80)
Скалярное произведение двух векторов | ?) и |Ф) определяется следу-
следующим образом:
71=0
ьх2, ••• х„; п) (х4, х2, ... х„;тг|?> =
+2
п=1
ы х.) ?<"' (х4, . .. хп). F.81)
Равенство F.78) теперь имеет вид
TJf)O)
К2?B)(х,
х2, ...
)(х, хь х2)
F.82)
а равенство F.79) гласит:
х2,...х„)
]/2 {6 (x - x4) ?A> (x2) + б (x - x2)
-x)?'"-»(x4, ... x,_t, x/+1, ... xn)
. F.83)
Тот факт, что в соотношении F.83) равна нулю компонента вектора
1|з*(х)[?), соответствующая ге = 0, следует из того, что эта компонента
определена как (О|а]э* (х) | ?). А этот матричный элемент равен нулю по
определению состояния без частиц 0 = а|э (х) 10) или, если взять сопря-
сопряженное равенство, 0 = @11|)* (x).

140 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Описанное выше представление, характеризующееся диагональностью
оператора N, известно как описание в пространстве Фока, или в конфи-
конфигурационном пространстве. Представления F.82) и F.83) для операторов
¦ф(х) и т|>*(х) наглядно показывают их свойства как операторов рожде-
рождения и уничтожения. Например, 'ф(х) преобразует вектор | }, у которого
не равна нулю лишь компонента (xj, ... х„; п [), в вектор г|з (х) |), у кото-
которого отлична от нуля лишь компонента (xj, х2, ... xn-i! ?г — 111|? (x) j >,
т. е. i|>(x) преобразует /г-частичное состояние в (п — 1)-частичное состоя-
состояние. Отметим также, что в выражениях F.82), F.83) свойства сим-
симметрии состояний не изменяются: симметричные состояния переходят
в симметричные. Далее, можно проверить, что при таком представлении
операторов ч|>(х) и ч|>*(х) выполняются перестановочные соотношения
F.65) и F.66).
§ 7. Случай антисимметричных волновых функций
Описание совокупности фермионов совершенно аналогично изло-
изложенному в предыдущих параграфах. На самом деле описание фермио-
нов даже проще, поскольку антисимметризованные базисные векторы
^{"i,«2. • -}(xi« • • • х") таковы, что Пг<1, т. е. nt может быть равно
только 0 или 1. Чтобы доказать это утверждение, предположим, что
функция Gxi^2- • • ы1)' ПРИ действии на которую антисимметризатор А
дает функцию ^{п1(п2...}> такова, что nt > 2. Это означает, что
Ga-iXa • • • ы (xi • ¦ • х„) имеет вид (xt | Xi) ... (хР | ^(г>) ... (xe | Ха)) .... т. е.
по крайней мере два собственных значения одинаковы, скажем s-e и г-е.
Пусть ^„ — транспозиция, переставляющая г-ю и s-ю координаты. Тогда
3G ы(хи х2, .. . х„) = G^Xi ••¦ %п (xi, ... х„), откуда
2.. .An = &0т&М*. ..Хп Жы . . . ^ = 0. F.84)
Мы использовали свойство (б) антисимметризатора (см. § 2, стр. 128),
согласно которому для любой транспозиции J имеем $$¦ = — <#-. Следо-
Следовательно, § = 0, если не все Xi различны, т. е. если щ Ф О, 1. Поэтому
постоянная нормировки Nfni, n2,. ..n,...} = \^п\, и антисимметричные
векторы базиса суть
(xi, х2, .. . х„; п | геь п2, ... гаг) = ._ У\ &р?Р (gxx (xi) . .. ghn (х„)) =
V nt- р
i) (xi | Л2) ... (xi | Xn)
. . • F.85)
(xn I ^i) (х„ | X2) ... (xn | Xn)
Из записи в виде детерминанта очевидно, что никакие две функции g^
не могут быть одинаковыми, так как тогда два столбца были бы одина-
одинаковыми и детерминант оказался бы равным нулю.
Формулы разложения, аналогичные формулам F.38) и F.39) для
случая симметричных функций, являются обычными разложениями детер-
Для удобства примем, что Д^ <! %2 <! ^з • • •

§ 7. Случай антисимметричных волновых функций 141
минанта по строке или столбцу. Если ЯГО = А,<1\ они имеют вид
п
<х„ х2, .. . х„; п | пи и2, и3, ... Rj .. .} = 2 7/^ (~" 1)m~1 (х* I ^ Х
т=1
X (х2) х3, . .. хп; п — 11 гаь и2, ... ге* — 1 . .. > =
= у- 2 <«t I^M- 1)!Ч*а, хз, .. - х„; в-1114, • •' в,-1, • - •), F.86)
где
«>=2»* F-87)
равно числу занятых состояний до /-го состояния. Вторая формула раз-
разложения есть
(xi, х2, ... хп; п | щ, пг,\ . . и,, ... > = -^- 2 (-1)' (xi | X(i)> X
X (ii, х2, . .. xz_i, хг+1 . .. х„; п— 1\пй пг, ... щ— 1, ...}. F.88)
Определим теперь оператор уничтожения аг с помощью равенства
о4| Hi, n2, ..., щ ... > = ( — 1)847гг[ «i, n2, . .. и;— 1, ...), F.89)
а сопряженный оператор--^ равенством
o?|Bi, в,, ..., nu ...> = (-1)81A-иг)|га!, ва, ... в,+ 1, ...>. F.90)
Множитель. A — nt) в определении сопряженного оператора гарантирует,
что если состояние \%т) уже занято, то вторая частица не может быть
помещена в это же состояние.
Легко проверить, что перестановочные соотношения для операторов
а, а* имеют вид
[аи ajU = [at, o*]+ = 0, F.91а)
[at, aj]+ = dw F.916)
{[А, В\+ — АВ -\-ВА есть антикоммутатор А и В), поскольку
aia*i\nt, п2, ... В|, ...> = ( — IJ'*A — »*)(nf +1)|»»!, ••• П|, ..->, F-92)
аХа^щ, п2, ... щ, ...) = ( —ifsiB —n^riiln^ ... га„ ...) F.93)
и Ri = Rb так как и* = 0, 1. Отметим равенство al = a*2 = 0, которое
является операторным выражением того, что ни одно состояние не может
иметь число заполнения, большее единицы. Оператор числа частиц в г-ом
состоянии опять имеет вид JVj = afa^ Теперь он дополнительно обладает
свойством оператора проектирования, поскольку
N\ = afatafai = a? A - а*^) at = atat = Nh F.94)
так что его собственные значения равны 0 и 1, как и следовало ожи-
ожидать. Если определить операторы
4>(x) = S<xH(i)>ab F.95а)
г|)*(х) = >] {х[Щat, F.956)

142
Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
то они будут удовлетворять следующим перестановочным соотношениям:
с), i|)*(x')]+ = 6(x —х'), F.96а)
(х), if(y)]+ = [if*(x), if*(y)]+ = O. F.966)
Операторы i|) и i|>* в пространстве Фока имеют вид
/ -тр -е- V * Y1 \ ill /y"\ "Ф" \ /ill /y"\ "IT/* \ G1) /v" "V "V \ -^~
\А1> А2' • * ' ЛП) /0 j Y V / I * / — \ т \ / * / V 1* 2» " • • An/ —
¦1 (х, х1г ... х„; п+1\У) =
F.97)
х2, ... х„;
(Y Y Y "V \
, х2, ... xj.j, x,+1, ... хЛ). F.98)
Наконец, как и в случае симметричных функций, равенство F.85) можно
переписать следующим образом:
(хь х2, ... х„; п | пи Щ, ••¦ П], ...) =
откуда
А\х1г х2, ... х„; n) =
У re!
1, тг2, ... nj, ...), F.99а)
F.996)
§ 8. Представление операторов
Далее мы получим представление в пространстве чисел заполнения
для некоторого оператора F, который не меняет число частиц и вид
которого в конфигурационном пространстве известен:
(х^, x'1,...Xn\F\x1,...xn) = &nn>F(n; хь х2, . .. xnN(xx —х^) . .. б(хп — х'п).
F.100)
Используя условие полноты базисных векторов | xlf x2, ... х„), полу-
получаем следующее выражение для оператора F в пространстве чисел
заполнения:
{п[, щ, ... \F\n1, п2, ...) =
= [ dx1 ... \ dxn \ dx[ ... \ dx'n(п^, п2 ... \х[, ... х^) X
X (х[, Xj, ... x'n\F\ х1, х2, ... х„) (xv х2, ... х„ ]гах, пг ... nt .. .) =
= С dxx . .. [ dxn («;, . . . п\ ... \ х1 ... х„) F (х15 х2, ... х„; п) X
X (Х1; Х2, ... Х,г I Щ, П'2,-, . . . ) =
= -1- ^ dxx .. . \ dxn {n'v ...щ...\у* (хп) ... г|>*(Х1)|0) х
X F (п; х„ х2, ... х„) @ | q (Xl) ...у (х„) | пи п„ ...), F.101)
где ni + «2+ • • • =rc1-f-n2+ • • • =п. При выводе последнего равенства мы
использовали равенство F.69) или F.99) в зависимости от того, имеем

§ 8. Представление операторов
143
ли мы дело с симметричными или антисимметричными функциями.
Поскольку у вектора aj)(xra) . .. ^(xj) \n) отлична от нуля лишь проекция
на состояние без частиц, то суммирование можно распространить на
полные наборы состояний в <§)?а), <о%?B), ..., и т. д. и переписать F.101)
следующим образом:
(п[, п'2 ... \F\ri!, га2) ...}=-ip^ dx1 ... ^ dxnx
Х(п[, п'2, . . .|о|з*(х„) . .. о|з* (хх) F (п; хх, . .. хп)о|з(х1) . . . яр (х„) |та15 тг2, ...)..
F.102)
Рассмотрим теперь случай, когда F является суммой одночастичных
операторов, т. е.
п
F(xx, x2, х3, ... х„; п) = 2 /(»*)•
г=1
Подставляя это выражение в правую часть F.102), получаем
F.103)
(п[, п2 ... | F | щ, щ, ; ..) =
X (щ, nt ... | я|)* (х„) . . . о|>*
Член
dxn X
2 / (xt) $ Ы ... ^ (х„) [тах,
F.104)
dxn{n'i:n'2 . . . | я|э* (х„) . . . о|з* (хг) f (хп) о|з (хх).. . ^(x^lre^ re2, ...),
F.105)
можно упростить, так как \ dxx дает оператор числа частиц N, кото-
который при действии на состояние справа от него
¦ф (х2) ... ^ (х„) | щщ ... щ .. .)
дает это же состояние, поскольку последнее является одночастичным.
Аналогично, \ dx2 дает множитель 2, так как соответствующий оператор
числа частиц действует уже на двухчастичное состояние. Поэтому, инте-
интегрируя по переменным хх, х2, ... Хп^, окончательно получаем
^ dxn (п — 1)! (щщ . .. | о|з* (х„) / (х„) о|з (х„) | га^ га; ...).
Каждый член в сумме может быть приведен к такому виду, если исполь-
использовать перестановочные соотношения, чтобы операторы ij>(x;) и г|з* (х;),
которые необходимо интегрировать вместе с f(xt), были расположены
соответственно справа и слева от других операторов. Следовательно,
{riv га; ...|F|raj, га2 . . .) =
п
г=1
I f
(щщ .. . I ^ dx$ (x,)
J <1Щ* (x) / (x) oj) (x) I щп2 ...), F.106)

144
Гл. 6. Вторичное квантование. Церемапивистская теория
так что если оператор F в конфигурационном пространстве п частиц
задан равенством F.103), то в пространстве Фока он имеет вид
I. F.107)
F-108)
Аналогично, если F — двухчастичный оператор вида
F [п] Xj, х2, . .. хл) = ^j V (Xj, х^) = -^ 2j
то легко получить
S.J
dxjX
X г|>* (х,) r|)* (x^) F (х„ xj) r|) (x,) r|) (x,) n,, щ .. .) =
= («;, и; .
F.109a)
так что
F = -f \ dx' \ dx г|>* (x') г|5* (x) V (x, x') r|) (x) if (x'). F.1096)
Обратим внимание на порядок операторов в этом выражении:
я|)* (х')г|)* (х) г|) (х) я|) (х'); такой порядок подразумевает, что в разложе-
разложении F.108) нет членов вида V (xt, Xj) (т. е. нет действия частицы самой
на себя). Кроме того, такой порядок обеспечивает эрмитовость опера-
оператора F в пространстве Фока.
Таким образом, гамильтониан в пространстве Фока, соответствую-
соответствующий в подпространстве п частиц гамильтониану обычной шредингеров-
ской теории, описывающему систему п частиц с парным двухчастичным
взаимодействием, дается выражением
dx'4>*(x'jl>*(xO(x,x')i|>(xL>(x') =
F.110)
Поскольку явная проверка этого утверждения проясняет смысл форма-
формализма в пространстве Фока, проведем доказательство для члена Но
в случае фермионов, т. е. когда if и г|з* удовлетворяют соотношениям
антикоммутации.
Вычислим результат действия Но на произвольное состояние | Y),
которое в пространстве Фока имеет вид
\Jf
CO)
(х,)
"г (xj, х2, . . . хп)
F.111)

§ 8. Представление операторов
145
Используя равенства F.97) и F.98), находим
?<2> (хь х2)
Wfn\(xi .. . хп)
УI V??A)(x)
/2 V|?B) (x, Xl)
(x, xx .. . xn_t)
— б (х — х2) V^W1'" (x, xt, x3, ... х,)
+ . . . -j- ( 1) О (X Х„) VхЧг (X, Xj, ... \n-i)
F.112a)
¦ F.1126)
(х„ x2) - Vit4«4' (x2,
xi'X2' • • • Xn) ~ vi*v<4) (X2' Xl' Хз' • • • Xn)
F.112b)
10 С. Швебер

146 -Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
О
F.112г)
При переходе от F.112в) к F.112г) мы использовали антисимметрию функ-
функции ?(х„х2, ...х„), например У™ (х„, х„ ... х„_1) = (_1)"-"FOT) (х„ ... х„).
Аналогичным образом можно проверить, что в подпространстве п частиц
уравнение H\W(t)) — ihdt\Y(t)) принимает вид
Ъп ^J
i=l
В каждом подпространстве получается уравнение Шредингера для соот-
соответствующего числа частиц. Таким образом, шредингеровскую теорию
для п-частиц можно характеризовать как такое решение уравнения
--ihdt\W), F.114)
вектором оператора числа
для которого | Y) является собственным
частиц N с собственным значением п:
F.115)
Поскольку гамильтониан F.110) и оператор N коммутируют, то такой
вектор можно найти. Другими словами, в рассматриваемой теории числа
частиц является интегралом движения. Ясно, что вектор состояния
в этом случае имеет вид
Из того, что операторы 1|з* антикоммутируют друг с другом, сле-
следует, что амплитуда ^""'(х,, ... хп; t) является антисимметричной функ-
функцией xl5 х2, . .., х„. При этом
„ х2, ...
F.117)
Для п = 2 последнее равенство можно проверить непосредственно.
Используя соотношения антикоммутации F.96) и то, что г(р (х) | 0) = U"
для всех х, получаем

§ 9. Гейзенберговская картина 147
= -i- J dx[ \ dx2{G I ^(xj) (- V (x'2) i|> (x2)
i-
= -2p J dxi ^ dx;{6(x2 — x1'N(x2 — x^) —
-б(х1-х^)б(х2-х^)}Т(х^ x;) = ?B)(x1) x2). F.118)
Здесь мы снова использовали антисимметричность Y'^xi, хг).
Аналогичную технику можно применить при выводе уравнения дви-
движения для вектора состояния | W). Так, например,
H\W)
F.H9)
Для перемещения оператора тр(х) из Но правее всех операторов рожде-
рождения if* (х„) .. . if* (xi) были использованы перестановочные соотношения.
Но поскольку тр (х) j 0) = 0, получающийся в результате член не равен
нулю, и мы приходим в точности к F.119). Аналогичную процедуру
можно применить и к члену Hi. Скалярное умножение H\W) на век-
вектор (xt, х2 ... хп | ведет тогда к уравнению F.113).
* Хотя мы рассмотрели формализм с гамильтонианом, для которого
число частиц есть интеграл движения, должно быть ясно, что это"т фор-
формализм допускает непосредственное обобщение на гамильтонианы, для
которых N уже не является интегралом движения (например, если в Я"
входит различное число операторов г|з и тр*). Рассмотренный формализм
охватывает и такие случаи, когда частицы рождаются и уничтожаются,
как, например, в р-распаде или при рождении мезона в нуклон-нуклон-
ных соударениях при большой энергии. В этих случаях вектор состоя-
состояния | W) имеет вид
| If) = Г«> | 0)
F.120)
и уравнения движения связывают амплитуды для^гс частиц Wmi с ампли-
амплитудами Y(m\ тфп. Такой пример будет .рассмотрен в § 1 гл. 12.
§ 9. Гейзенберговская картина
До сих пор мы пользовались шредингеровской картиной. Все опе-
операторы не зависели от времени, в то время как векторы состояния
от времени зависели. Гейзенберговская картина определяется с помощью
следующего унитарного преобразования:
\Чгн) = еп \4fs{t)), F.121)
±Ht -I/л
¦фн (х, t) = en г|з(х)е л . F.122)
10'

148 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Это унитарное преобразование таково, что шредингеровская и гейзенбер-
гейзенберговская картины совпадают при t = 0. В последующих формулах мы опу-
опустим значок Н у операторов, поскольку зависимость от t подразумевает,
что они являются гейзенберговскими операторами. Одновременные пере-
перестановочные соотношения для гейзенберговских операторов суть
—hi — — nt
, 0. Ф*(х', OJ± = eft Ж*), t*(x')]±e ft = 6<3)(x-x'), F.123a)
, t), i|)(x', i)]± = [i])*(x, t), i])*(x', 0l± = 0. F.1236)
Коммутаторы при неравных временах в общем случае уже не являются
с-числами, и вычислить их намного труднее. В частном случае невзаимо-
невзаимодействующих частиц, т. е. при Hi = 0, для неодновременных коммутато-
коммутаторов можно получить явное выражение (см. § 10).
Уравнение движения для гейзенберговского оператора имеет вид
ibdtq(x, *) = Ж*, t), H). F.124)
Это уравнение получается, если взять производную по времени от F.122).
В частном случае, когда гамильтониан имеет вид
dx'i|)*(x')i|)*(x)?/(x, xf)\j3(x)i])(x'), F.125a)
причем Ж'{х) не зависит от времени [так, <Ш {*¦) = — {Ьг12т) V2-f F(x),
где V (х) — потенциал внешнего поля) и U(x, x') = C/(x', х),
, t) +
'y*(x', t)U(x', x)i])(x', 0Ф(х, 0- F-126)
Для пояснения вывода правой части последнего уравнения рассмотрим
второй член, который возникает из [г|з(х, t), H{\. Поскольку гамильто-
гамильтониан не зависит от времени, H = H@) = H(t), то можно написать
(x, t)U{x, x')ij)(x, 0Ф(х'. О- F.1256)
Используя перестановочные соотношения F.123), получаем
[Ч>(у. O.Jdx Jdx'i|)*(x', 0^*(x, f)^(». x')i|)(x, *)Ф(х', 0j =
= ^ dx ^ dx'ДО (у, t), i|)*(x', 0**(x. *)l^(x. х')г|;(х, t)*(x'. *). F.127)
поскольку |\р(у, t), i|?(x, i)i])(x', i)]=0 как для бозе-частиц, так и для
ферми-частиц. Далее,
, t), ф*(х', t)$*(x, 01 =
х', о (; йдлляяпп°0ЛлЯяФб.-Дэ:)

§ 10. Системы иэ многих невзаимодействующих частиц 149
и окончательно
, 0. #/]=¦
^ tN(y-x')U(x, х')*|)(х, t)$(x', t) +
(x-y)U(x, x')^(x, t)y(x', t)} =
t)(U(x', y) + U(y, х')Ж*'. *)Ф(У. *)¦ F-129)
Учитывая, что по предположению U (x, х') = ?7(х', x), получаем второй
член в равенстве F.126).
При отсутствии взаимодействия между частицами, т. е. когда Hi = 0,
уравнение движения для оператора i|) формально совпадает с уравнением
Шредингера для одночастичной системы. Однако шредингеровская вол-
волновая функция заменяется оператором, который удовлетворяет опреде-
определенным перестановочным соотношениям. Поскольку само уравнение Шре-
Шредингера было получено с помощью «первичного квантования», при кото-
котором переменные р и q в гамильтониане классической теории заменялись
операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям [qj,-pi] —
= ihbji, то вторичная замена коммутирующей функции (волновой функ-
функции) оператором называется «вторичным квантованием». Таково проис-
происхождение названия «вторичное квантование» для рассматриваемого фор-
формализма.
§ 10. Системы из многих невзаимодействующих частиц
В качестве первого примера применения операторного метода опи-
опишем с помощью вторичного квантования систему п частиц, которые
движутся свободно, не взаимодействуя друг с другом. Гамильтониан
такой системы есть
, t)dx, F.130)
оператор полного импульса
хИгЧх, 0^(х, t)-V^*(x, t).$(x, t)}, F.131)
а оператор числа частиц
iV= С -ф*(х, *)i|)(x, t)dx. F.132)
Операторы ij> и i|)* удовлетворяют перестановочным соотношениям:
h|>(x, t), i|>*(x', t)]± = 6(x-x'),
h|>(x, t), $(x', t)]± = [y*(x, t), -ф*(х', /)]± = 0 F.133)
и уравнениям движения
ibdtf(x, t)=[ip(x, t), H] = -~V^(x, t). F.134)
Поскольку [H, P] = 0, удобно описывать систему с помощью плоских
волн, характеризуя каждую из них волновым вектором к (и, если нужно,
индексом поляризации или спиновым индексом). Мы получим такое опи-
описание, если введем разложение

150 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
причем сйк = Ьк2/2/и, так что ф(х, t) удовлетворяет уравнению F.134).
Предположим, что система находится в большом ящике с объемом V = L3,
и потребуем выполнения условия периодичности на границе. Тогда раз-
разрешенными значениями kt будут А;г = ПгBя/?), где nt = 0, ±1, ±2
и т. д. В пределе при V—> оэ сумма по дискретным значениям к заме-
заменяется интегралом по dk, причем -у- ^ —*¦ 72~>з~ \ dk. Перестановочные
к
соотношения для операторов а*, а суть
[ак, аМ = в(к-к'), F.136а)
[ак, ак-] = [ак, а2-]=0. F.1366)
Для рассматриваемой системы можно выразить перестановочные соотно-
соотношения и для гейзенберговских операторов с разными временами:
kk'
ij -(х-«')-^<»-«'>. FЛ37)
V ±i" " Bя>
ft
Наблюдаемые F.130)— F.132), выраженные через операторы а, а*,
имеют вид
H=y.^-afok, F.138)
к
F.139)
_ F.140)
к
Обозначим основное состояние системы п невзаимодействующих фер-
мионов спина */г посредством \Ф0(п)). Это такое состояние, которое полу-
получится, если последовательно заполнять каждое одночастичное состояние,
начиная с состояния при к = 0, и до тех пор, пока не будут размещены
все частицы. Основное состояние характеризуется тем, что nk = 1 при
jk|<A;F и nk = 0 при \к\>кр, где й;^ —импульс Ферми, определяемый
равенством -^~ h^pV = nh3. Мы примем, что сфера Ферми заполняется
сферически симметрично. Тогда получающееся состояние имеет импульс,
равный нулю. Поэтому основное состояние можно абстрактно характе-
характеризовать как такое состояние, для которого ак[Ф0(п)} = 0 при
Энергия основного состояния есть
(Фо(п),
о о
Множитель 2 появляется из-за учета спиновых состояний частиц. Отме-
Отметим, что качественно роль статистики Ферми заключается в том, что
частицы с относительным импульсом р не могут подойти друг к Другу

§ 11. Метод Хартри—Фока ¦ 151
ближе, чем на расстояние Ъ/р. Действительно, если система состоит из
п частиц и допустимый объем есть V, тогда среднее расстояние между
- / 3V \Чз -
частицами приблизительно равно а — ( -— ) , ибо на каждую частицу
приходится объем -^ яа3 = — . Поэтому средний импульс одной частицы
— —hi -г— J , а средняя энергия |-_ я& =— ( -^- ) , так что полная
энергия приблизительно равна пр2/2пг, т. е. пропорциональна Vk5p (Ь2/2пг).
В основном состоянии системы невзаимодействующих бозе-частиц
все частицы находятся в состоянии с к = 0. В этом случае основное
состояние характеризуется тем, что щ = п, а пк = 0, если к Ф 0, так что
ак|Фо(п)) = О, если к Ф 0. Энергия и импульс такого состояния равны
нулю.
§ 11. Метод Хартри —Фока
В качестве другого примера применения формализма вторичного
квантования рассмотрим приближение Хартри — Фока для системы п
электронов во внешнем поле. Основное допущение этого приближенного
метода заключается в том, что вектор состояния системы можно аппро-
аппроксимировать одним антисимметризованным произведением волновых
функций. Другими словами, предполагается, что систему можно описать
в пространстве чисел заполнения вектором |ге4, п^, ... ni, . ..) при
оо
2 Щ = п, причем пока мы не конкретизируем вид волновых функций
i
ф;(х) = (х|г), к которым относятся числа пи потребуем только, чтобы
система функций была полной и чтобы функции были собственными
функциями полного набора наблюдаемых для одной частицы. Предпо-
Предполагается, что гамильтониан системы имеет вид
^ ^ x'o|)* (х') о|з* (х) U (х, х') ф (х) о|з (х') = Но + Яг, F.142)
где
JS?(x)=-gvj + 7(x), F.143)
U(x, х') = г^-^ • F-1^4)
v ' |x—x ! v '
Здесь V (x) описывает внешнее поле, например кулоновское поле ядра.
Если ввести операторы рождения и уничтожения a*, at,
то с помощью этих операторов можно переписать Н следующим образом:
Н = ^ hija* «;+у2 а* а*> ahCLl uiihU F.146)
где
Aw = ^ dx^ (x) Sfe (x) <fj (x), F.147)
= \ dx ^ dx'yt (х) ф^ (х') U (х, х') фА (х) <рг (»'). F.148)

152 Гл. 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Нетрудно выразить среднее значение гамильтониана в состоянии
\щ, п2, ... щ...). Рассмотрим сначала член
(«!, п2, . .. щ... |#o|rei, п2...) = 2 (rei> И2- • • |а*а;|и,, пг...)Ни. F.149)
и
Поскольку оператор а* рождает частицу в состоящим i, а оператор а}
уничтожает частицу в состоянии /, то вектор а* а}\пи п2, ... nt.. .rij.. .}
с точностью до фазового множителя равен
nJ(l—ni)\ni,n2, . . .nt + i,. ..rij— 1. . .)
и, следовательно, ортогонален вектору |ге4, п2, ¦ . .nL. . .rij...), если i--/=j.
Таким образом, в сумму по / дает вклад лишь член с / = i п'
(щп2. .. | #0 | njio.. .) = 2 riiha. F.150)
i=l
Замечаем также, что для
(tiin2. . .\HI\nin2. • •)= 2 S (И1И2. • .\а* a*j ahai\n{n2. . .)ит F.151)
ijkl
матричный элемент справа отличен от нуля только при / = / и i = к,
или когда i = I и / — к, так что
{n^i. . . \H1\nin2. ¦ ¦) = -7 2
а
+ т S
= " 2 ^l- • • I «г* «?«<«? I "l«2- ¦ • ) (UjHj-Ujiji), F.152)
где последний шаг следует из того, что aiuj= —а^аг.
Используя соотношение антикоммутации, имеем
aXa^aiuj— — щ ata*aj + а* а$и = — NtNj-^ Nfiij, F.153)
так что окончательно
'2 jW — ujLiJ) F.154)
т 2 w^ (ияя — "iiii)' F.155
Если одночастичные волновые функции обозначить через (ft (x, Q (теперь
мы явно выписали спиновую переменную), то
$ ^, D [-? V' + F(i)] <p,(x, ?), F.156)
E.C
3x'^ (x-?)v*(x''?/) ^(Xi x'}фг(x' ^ ^(x'! ^- FЛ58)

§ 11. Метод Хартри— Фока. 153
Отметим, что ujHj Ф 0 только в том случае, когда состояния i и / соот-
соответствуют состояниям электронои с параллельными спинами. Поскольку
кулоновское взаимодействие U (х, х') = е2/| х —• х' | не зависит от спина,
можно провести суммирование по спиновым переменным ?, ?'. Если
состояния \i) и |/) таковы, что электроны имеют антипараллельные
спины, то эти состояния будут ортогональны по спиновым переменным.
Если ввести матрицу плотности
Qgg- (X, х') = {П\Пъ. . . | lj3g (x) lj)g< (x') | П(Пг. . .) =
г
то с ее помощью можно ны разить обычную плотность заряда
н член с гамильтонианом взаимодействия
,„, Q(X)Q(»') _
I X — X' Г
Получающиеся члены интерпретируются следующим образом. Первый
соответствует кулоновскому взаимодействию между заряженными обла-
облаками электронов. Отметим, что этот член включает кулоновское само-
самодействие каждого электрона. Второй член (с обменным взаимодействием
электронов с параллельными спинами) нейтрализует члены самодействия
и дает вклад в энергию взаимодействия. Этот вклад возникает из-за
корреляций между частицами в силу принципа Паули.
Метод Хартри —Фока [358, 262, 732] состоит в отыскании таких
одноэлектронных волновых функций, что построенная из них функция
(х4, х2.. .х„ | щп2...) минимизирует («i«2- • • | Н \ п1п2.. .). Требуется
также, чтобы эти одночастичные волновые функции были ортонормиро-
ваны. Если ввести величины
$ ?), FЛ62)
то ф; определяются требованием, чтобы энергия (п^- ¦. | Н\ П\Пг- ¦ ¦)
была стационарна по отношению к вариациям функций <р, при усло-
условии F.162). Пусть А,,; — множители Лагранжа для соответствующих допол-
дополнительных условий. Тогда условие стационарности имеет вид
&{{nin2...\H\nin2...)-^kljvij} = 0. F.163)
г)
Уравнения для определения функций (р получаются варьированием
по ф5
\ ^х'Я^^Л^П=У1Х.т(х, С). F.164)

154 Гл. в. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория
Это уравнения Фока. С помощью линейного унитарного преобразования
функций ф всегда можно выбрать решения так, что Х# будет диаго-
диагональной матрицей. Поэтому мы рассмотрим лишь К}1 и обозначим их
через Ej. Правая часть F.164) становится равной е/рДх, %). Теперь
нужно решать эти уравнения относительно Ф;(х, Q самосогласованным
образом. Подробное и очень ясное толкование этих уравнений читатель
может найти в работе Слэтера [733].
Существует важная система, для которой уравнения Хартри —Фока
можно решить точно для вектора основного состояния. Эта система
состоит из электронов, которые движутся в ящике объема F, в котором
существует также однородный фон положительных зарядов с плот-
плотностью + en/V. Проверим, что в данной задаче решения фг (х, Q явля-
являются плоскими волнами. (Сначала рассмотрим случай, когда имеется п+
электронов со спином, направленным вверх, и п_ электронов со спином,
направленным вниз, а затем положим п+ — п- = п/2.) Мы примем, что
фазовое пространство для частиц с обоими направлениями спина
заполнено сферически симметрично до поверхности Ферми, которая
характеризуется импульсом kF+ для частиц со спином, направленным
вверх, и импульсом кр„ для частиц со спином, направленным вниз:
-|n/&±F = n±BnfcK F.165)
(в дальнейшем положим Ь = 1). По предположению, волновые функции
имеют вид
^{^} F.166)
где /сг = пгBя/Ь), «г = 0, ± 1, ± 2, .. . и а, р —обычные спиновые функ-
функции, причем а соответствует спину, направленному вверх, а р— спину,
направленному вниз. Матрица плотности для электронов со спином,
направленным вверх, есть
) а
ftF+ 2л +1
1
-1
i (П. F.167а)
F.1676)
где r = |x —x'|, У]± = kF±r, a n+ — число электронов со спином, направ-л
ленным вверх. Функция Q определяется равенствами F.167а) и F.1676).
Аналогично, матрица плотности для электронов со спином, направлен-
направленным вниз, есть
). F.168)
Отметим, что ^(т])=1 при т] = 0, т. е. при г—»0, так что плотность
заряда электронов в объеме V однородна.
Рассмотрим теперь электрон в состоянии ф^ (х, ?), которое соответ-
соответствует импульсу к и спину, направленному вверх. Обменный член

§ 11. Метод Хартри — Фока. 155
в уравнениях Фока становится равным
, , Q (^F+.l х —х'
^g (S)> F.169)
так как в силу ортогональности состояний а и 8 только Q+ дает вклад.
По ?' мы просуммировали. Заменяя переменную интегрирования х' на
х —х', обменный член можно переписать следующим образом:
*а{Ъ). F.170)
Интеграл в равенстве F.170) можно вычислить и получить
F.171)
где а± — к/кр±. Итак, плоская волна удовлетворяет уравнению Фока.
Поскольку члены, описывающие взаимодействие с фоном положительных
зарядов, сокращаются с членами, описывающими кулоновское взаимо-
взаимодействие электронов, то уравнение, которому удовлетворяет ф^, имеет
вид
^ 1п
1±Е±
Параметр ек определяется выражением
}Фк(х, ?) = екфк(х, Е). F.172)
Полная энергия (Н) для случая п+ = п- = п/2, kF± = kF вычисляется
без труда, так как
а обменная энергия электронов со спином, направленным вверх, есть
Вся обменная энергия в два раза больше. Следовательно, полная энер-
энергия основного состояния дается выражением
Если рассматривать валентные электроны в металле как квазисвободные
и описывать их как свободные электроны, которые движутся сквозь
положительный фон, взаимодействуя друг с другом через кулоновское
поле, тогда электронные теплоемкости, вычисленные из формулы F.176),
плохо согласуются с экспериментом. Несколько более тщательное рас-
рассмотрение корреляционной энергии [311, 312] улучшает согласие теории
•с опытом.

ГЛАВА
Релятивистские методы
в пространстве Фока
Формализм в пространстве Фока, который был в общих чертах изложен
в предыдущей главе для нерелятивистского случая, можно без труда
обобщить, чтобы описать совокупность свободных релятивистских частиц.
И снова мы обнаружим, что в формализме вторичного квантования
с пространственно-временным описанием связаны операторы «поля», которые
подчиняются определенным перестановочным соотношениям и удовлетво-
удовлетворяют уравнениям поля. В § 2 мы увидим, как релятивистские законы
преобразования амплитуд частиц определяют трансформационные свойства
операторов поля. Затем будет изложена эквивалентность формализма
вторичного квантования для частиц со спином, равным 0, и формализма
«квантования» поля Клейна —Гордона. Глава заканчивается распростра-
распространением методов вторичного квантования и теории поля на случай заряжен-
заряженных частиц со спином, равным 0.
§ 1. Случай нейтральных бозонов со спином, равным нулю
Рассмотрим систему п свободных нейтральных частиц со спином,
равным 0, и массой ц.. При отсутствии взаимодействия состояние такой
системы может быть определено импульсами к4, .. ., к„ и энергиями
частиц (й(к4), ... ш(кп), со (к) = У к2 + и.2.
Хорошо известно, что совокупность тождественных частиц с целым
спином описывается вектором состояния, который должен быть симме-
симметричным относительно перестановок частиц. Следовательно, нашу систему
можно описать вектором
|kltk2, ... kn) = [/T|k1, k2, ... kn) = 5{|k1)|k2)...|kn», G.1)
где Ut — произвольная транспозиция индексов частиц, a S — симметри-
затор.
Чтобы получить описание рассматриваемой системы в методе вторич-
вторичного квантования, можно действовать в полной аналогии с нереляти-
нерелятивистской теорией. В качестве набора одночастичных состояний {g^ [x)\
выберем совокупность решений уравнения Клейна — Гордона с положитель-
положительной энергией, так как именно этим состояниям соответствуют физически
реализуемые состояния релятивистской частицы со спином, равным 0.
Из соображений релятивистской ковариантности временная координата х0

§ 1. Случай нейтральных бозонов со спином, равным нулю 157
«ключена в g^(x). В частности, примем, что индекс X определяет энергию
и импульс частицы, так что
gx (х) = {х | к, со (к)) = r 1 e-ih-x. G.2)
6 v ' ' v ; ]/2Bя)з v
Эти функции являются собственными функциями непрерывного спектра
и потому ненормируемы. С математической точки зрения удобнее опери-
оперировать с дискретным набором нормируемых функций. Это диктуется
также физическим содержанием встречающихся в действительности задач.
Например, начальные состояния частиц в опытах по рассеянию нужно
описывать с помощью волновых пакетов, поскольку известно, что
частицы локализованы в конечной области пространства. Введем поэтому
полный набор {fa(x)} нормируемых решений уравнения Клейна —Гордона
с положительной энергией, которые имеют вид волнового пакета:
(а+ц2)/«(*) = о,
U (х) = у== \ &кв (к) б (&» - ^) е-^-% (к), G.3)
причем (/а, /а) < со. Примем далее, что при скалярном произведении,
определяемом формулой C.24), эти решения попарно ортогональны
(fa, /р) = i J dO» (X) fa (X) Xh (Ж) = бар, G.4)
что справедливо для всех времен, если ортогональность имеет место
в какой-либо момент времени. В предельном случае плоских волн а—>-к,
§->-к', 6ар-> &06<3)(к — к'). Условие полноты имеет вид
22 (а | я') = ^3 \ 1^е~Щ*~Х') G'5)
fco> О
Состояние п частиц опять можно характеризовать числами заполне-
заполнения щ, п2, . . ., которые определяют числа частиц с квантовыми числами
а', а", ... . Функция преобразования от пространства чисел заполнения
к конфигурационному пространству выражается формулой
(ж,, х2, ... хп; и|я„ я2, ...)= у j^—. -^г ]? &4f
G.6)
Операторы рождения и уничтожения а| и ар, которые увеличивают
и соответственно уменьшают на единицу число частиц в состоянии р\
снова можно определить при помощи равенств
ар| . . ., пр, . . .) = Ущ :.., пр—1, . . .) G.7а)
... л„, ...) = Vn» + l|..., np + 1, ••¦)¦ G.76)
Операторы а, а* удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
[а«, «II = б«р G.8а)
и
[аа, ap] = [a^,ag] = O. G.85)

158 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Оператор полного числа частиц есть 2 аааа« Его собственные значения
а
суть целые положительные числа и нуль. Введем теперь операторы
ф'+>(*) = 2/а(*)«а G.9а>
ос
И
. Ф<-)^)=37а(^)«а=[ф<+>И]% G-9б>
а
которые уже не зависят от базиса одночастичных функций {/„}, выбран-
выбранного вначале для определения пространства чисел заполнения. В силу
перестановочных соотношений G.8) для операторов а перестановочные
соотношения для операторов ф(+), ф("' имеют вид
О, G.10а)
^ \ ™e-tklx-:')- G-1Об>
a feo>0
Следует отметить, что правая часть этих соотношений уже не являете»
б-функцией даже при х0 = х'о, так как набор одночастичных состояний {/„}
включает лишь положительно-частотные решения уравнения Клейна —
Гордона. Можно было бы получить представление для введенных опера-
операторов и, таким образом, завершить рассмотрение в пространстве Фока.
Поступим, однако, несколько иначе.
Интуитивно кажется очевидным, что подразумевается иод состоя-
состоянием без частиц, одночастичным и вообще /г-частичным состоянием. Одну
скалярную частицу мы себе представляем как материальный объект
с массой и. и спином, равным 0, обладающий тем свойством, что события,
вызываемые им, локализованы в пространстве. Поэтому для отбора одно-
частичных состояний можно использовать следующий мысленный экспери-
эксперимент [347]. Возьмем два счетчика Гейгера, находящиеся на расстоянии d
друг от друга и соединенные на совпадения с разрешающим временем.
bt < d/c. Рассмотрим все подобные устройства с любыми положениями,
ориентациями и скоростями, а также со всеми d, большими некоторого dMWH.
Расстояние dMVtH произвольно, и мы выберем его сколь возможно малым.
Одночастичными будут те состояния, которые дадут отрицательный
результат во всех экспериментах с описанными устройствами. Аналогично,
состояние без частиц можно выделить с помощью эксперимента с одиноч-
одиночными счетчиками, а многочастичные состояния —с помощью более слож-
сложных устройств с совпадениями. Введем векторы, соответствующие этим
состояниям. Обозначим символом |0) состояние без частиц, или состояние
вакуума, которое нормировано так, что
@|0) = 1. G.11)
Обозначим через |к) одночастичное состояние с импульсом к и энергией
&0 = ю(к). Оно нормировано инвариантным образом:
<к'|к) = /со6<3)(к-к'). G.12>
В общем случае состояние п частиц с импульсами kf, ... к„ и энер-
энергиями <в(к,), ... ш(к„) обозначим посредством |к4, к2, ... к„). Это-
состояние удовлетворяет следующим соотношениям ортогональности и нор-

§ 1. Случай нейтральных бозонов со спином, равным нулю 159
мировки:
(к;, к; ... к'т | kj, . . ., к„> = б„т -^ ^ fcio6 (к4 — kaj). . . /с„об (кга — ка„),
. GЛЗ)
где суммирование проводится по всем перестановкам индексов {сц, а2, ... а„}.
Все множество таких состояний образует полную систему, причем усло-
условие полноты имеет вид
T ^ fl ... kn)(kl7 ...kn|+-... G.14)
Для доказательства этого соотношения покажем, что определенный выше
единичный оператор, действуя на любое состояние Щ, к'2, ... к„), дает
то же состояние.
Доказательство: Из соотношений G.13) очевидно
|к;, ... кт) =
= \ ЛТГ' ¦ ¦ ¦ \ 1~ I кь ¦ ¦ • к-> <ki. ¦ • • кт | Ц, .. ., кт) = |Ц, ... кт). G.15)
Определим теперь операторы рождения и уничтожения а? и аи с помощью
соотношений
а(к)|к) = ак|к) = |0), ¦ G.16а)
a»(k)|O) = aJ|O) = |k>; |aK]* = a*k G.166)
и в общем случае
|к„к2, ... к„) = -7Ц=а*(к1)а*(к2)...а*(к„)|0). G.17)
Состояние вакуума обладает еще свойством
ak|0) = 0 для всех к. G.18)
Симметричность состояния |к[,к2, ... кга) требует, чтобы оператор а*(к;)
коммутировал с a* (k^) для всех к, и к;, следовательно,
[at, «М=0. G.19)
Если взять сопряженное равенство, то получим
[ак, М=0. G.20)
Это соотношение выражает свойство симметричности сопряженных век-
векторов:
(кь к2, . . ., к„| = у=- @ | ак1 .. . акп. G.21)
Из нормировки одночастичных состояний, согласно равенству G.12),
вытекает
(к' | к) = @ | ак.а? | 0) = @ | [ак., а*к] \ 0) = /со6C> (к - к'), G.22)
так что если потребовать, чтобы коммутатор а и а* был с-числом, тогда
[ak, aM = /fco6C'(k-k'). G.23)

160 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Можно проверить, что условия ортонормированности G.13) действительно
удовлетворяются при таких перестановочных соотношениях.
Оператор числа частиц с импульсами в интервале А между 1
и 1 р А1 ость
я (А) =$^ а* (к) а (к), G.24)
д
ибо при действии на состояние |kt, ... к„) ;>тот оператор дает то же
состояние, причем соответствующее собственное значение равно числу
частиц с импульсами, лежащими в интервале А.
Доказательство: Коммутации ак, at и я (А) равны
[и (А), ак] = -ak6(kdA), G.25а)
), G.256)
где 6(kdA) равняется -\-1, если к лежит в интервале А, и нулю
в противном случае. Полученные соотношения позволяют проверить
справедливость интерпретации оператора я (А). В качестве примера рас-
рассмотрим двухчастичное состояние
JJs|U>. G.26)
|k1,k2>=J=aJ1aJs|U>.
Используя перестановочные соотношения G.23), находим
i (А) «10) = \п (A), 4J а\. \ 0}+a*kl [n (A), a?s| \0}+a^a*knn (А) 10) -
= [б (k, CZ А) + б (к2 С A)]<aj|2 | 0), G.27)
поскольку п (А) 0) = 0. Следовательно, собственное значение оператора п (А)
для двухчастичного состояния есть 2, 1 или 0, в зависимости от того,
лежат ли оба к4 и к2 в А, только kt или к2 (но не оба) лежат в А или
ни kj, ни к2 не лежат в А. Оператор полного числа частиц можно
определить как
Лг= \ ^a*(k)a(k). G.28)
Его коммутации сапа* суть
[N-,ak]=-ak, G.29а)
[ЛГ, a?.] = +fl?. G.296)
так что
ЛГ|О)=О, G.30а)
N | кь к2, . . . к„> = п | к„ к2, . . . к„>. G.306)
Поскольку частицы считаются свободными и не взаимодействующими
друг с другом, то полная энергия системы равна сумме энергий отдель-
отдельных частиц, а полный импульс — сумме импульсов частиц. Поэтому
можно написать выражение для оператора полной энергии, умножая
оператор числа частиц с импульсом k, akak, на энергию шк частицы
в этом состоянии и суммируя по всем состояниям ( \ dQk j.
Следовательно, оператор энергии
G.31)

§ 1. Случай нейтральных бозонов со спином, -равным нулю 161
и обладает следующим свойством:
#|к,,к2, ...к„)= S <о(к,)|к„ ... к„). • G.32)
3=1
Аналогично, оператор полного импульса равен
^ka?ak G.33)
Р|к„ к2, ... к„>= Sk^k,, ... К). G.34)
г=1
Отметим, что собственное значение энергии для вакуума равно нулю,
так что вакуум есть состояние с наинизшей энергией. Вакуум является
также состоянием с нулевым импульсом. Любое другое состояние характе-
характеризуется положительной полной анергией. Коммутации Н и Р с ак и а?
равны
[Н, ак] = -cokak, [H, at] = юка1 G.35)
и
[Р, ак] = -kak, [P, at] = ka?. G.36)
Из соотношений G.35) следует, что если \Е) есть собственное состояние
оператора Н с собственным значением Е, тогда ak | E) есть собственное
состояние Н с энергией Е — сок.
Доказательство:
Нак | Е) = акЯ | Е) + [Н, ак]| Е) = (Е - мк) ак | ?>. G.37)
Аналогично проверяется, что а^\Е) есть состояние с энергией ? + сок.
Также можно проверить, что если |Р') есть собственное состояние
оператора полного импульса с собственным значением Р', тогда ak|P')
есть собственное состояние Р с импульсом Р'— к, а а? | Р') —собственное
состояние Р с импульсом Р' + к в соответствии с интерпретацией опера-
операторов як и ак как операторов рождения и уничтожения частицы с энер-
энергией сок и импульсом к. Оператор а% (или ак) действительно добавляет
импульс к (или — к) и энергию сок (или — сок) к соответствующим вели-
величинам того состояния, на которое он действует.
Операторы ak и ak, как мы их определили, не зависят от времени
и являются шредингеровскими операторами. Поэтому векторы состояния
будут зависеть от времени: |) = | Ф (/)). Используя условие полноты G.14),
произвольное состояние |Ф(<)) можно разложить по базисным векторам:
1, к2, ...к„; t) a*kla*k2...a*kn |0>+..., G.38)
У п\ J '40 .
где коэффициент разложения
(D00^, k2, ...kn; t) = (ku к2, ...,
т. е. компонента вектора |Ф(<)) в n-частичном подпространстве прост-
пространства Фока является симметричной функцией к1? ..., к„. Функция
Ф(п>(к1, к2, ... к„; t) есть амплитуда вероятности найти п частиц с импуль-
11 С. Швебер

162 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
сами кь . .., к„ и энергиями <D(kt), ..., <а (к„) в момент времени t. Для
системы свободных частиц вектор состояния |Ф(?)) удовлетворяет урав-
уравнению idt | Ф (t)) = Н | Ф (t)), из которого легко получить зависимость ампли-
амплитуды Ф<п)(к1, ... kn; i) от времени:
idt{ku ... к
= g <а (к,) <к„ к2, ... кп | Ф (t)), G.40)
так что
Ф"» (к„ к2> ... К; t) = e * Ф<п) (к1( . .. kn; t0). G.41)
Если |Ф(^)) есть вектор состояния системы, состоящей из одной
свободной частицы, т. е. iV [ Ф> = | Ф), тогда у этого вектора в прост-
пространстве Фока отлична от нуля лишь амплитуда Фш (k; t) = (к|Ф(?)}.
Это амплитуда Клейна —Гордона, подробно рассмотренная в гл. 3, где
она обозначалась через Ф(к, t).
Представление перестановочных соотношений G.19), G.20), G.23)
я пространстве Фока можно легко получить следующим образом. Из
определения G.17) базисных векторов | кь к2, ... к„> имеем
а^ | к„ к2, ... к„> = VK+11 к, к„ ... к„>. G.42)
Аналогично, используя перестановочные соотношения G.23) и опреде-
определение вакуума ац\0) = 0, находим
«klki, . ..к„) |0)
2 М(к-кг)|кь ... ki_t,ki+i, ••• Ю- G.43)
Отметим роль соотношения ак|0> = 0 при получении равенства G.43).
Из равенств, сопряженных к G.42) и G.43), заключаем, что
<к„ ... кп;л|ск1Ф) = 1/яТТ(к, к,; ... к„;/г+1|Ф), G.44)
<к„ к2, ... к„;и|а
п
= -4-У, fcou^tk-kjXk,, ... к,_„ к(+1, ... кп;п-1)Ф>. G.45)
Это представление операторов а и а* в пространстве Фока. Ясно, что
выполнение перестановочных соотношений обеспечено. Говорят, что
равенства G.44) и G.45) определяют представление перестановочных
соотношений G.19), G.20) и G.23) в пространстве ^?<0) ® $6>ll) ® M'w ®
Это представление неприводимо, так как а (или а*), действуя на /г-частич-
ное состояние, дает состояние с и —1 (или /г + 1) частицами, и, таким
образом, нет инвариантных подпространств. Это представление характе-
характеризуется тем, что существует состояние без частиц и что можно опре-

§ 2. Лоренц-инвариантность 163
делить оператор числа частиц. Помимо указанного выше представления,
существует множество (по меньшей мере Мо'-I) других неприводимых
представлений [293, 851, 347] (см. также [285]). Ни для одного из других
представлений не существует состояния без частиц или оператора числа
частиц. Пространство представления в этих случаях натянуто на базис-
базисные векторы, которые все соответствуют бесконечному числу частиц.
Существование других представлений является следствием того, что
система имеет бесконечное число степеней свободы. Чтобы это выяснить,
рассмотрим ряд перестановочных соотношений:
' .[at, flp] = K, ap] = O, G.46a)
[аа, a?] = 6aP (a = 1,2, ... N). G.466)
Для конечного N можно обобщить ранее упоминавшуюся теорему
Неймана [813], которая утверждает, что существует только одно непри-
неприводимое представление операторов аа, а? (с точностью до эквивалентных
представлений). Обобщение становится совсем ясным, если ввести операторы
Яа = у^ (аа + а*а) G.47а)
G.476)
так что qa и ра — эрмитовы операторы, удовлетворяющие перестановоч-
перестановочным соотношениям
\9а, q»] = lpa, И>]=0, G.48а)
\qa, j9p] = i6ap- G.486)
При конечном N векторное пространство, в котором определены эти
операторы, может быть натянуто на векторы конфигурационного про-
пространства | qit q2, ¦ .. ?jv). Множество таких векторов $[$ обладает той же
мощностью, что и ^Jo> т- е- °но еще счетно. Однако при N—>-оо про-
пространство натянуто на несчетное множество (М?° = JsCi) таких базисных
векторов2). При N —>- оо все еще существует одно неприводимое пред-
представление перестановочных соотношений G.23) в сепарабельном гильбер-
гильбертовом пространстве. Именно это представление в пространстве Фока мы
и использовали. Оно получается, если допустить существование состоя-
состояния без частиц. Вообще говоря, соотношение ак 10) = 0 при N -> оо уже
не является следствием перестановочных соотношений, и возможно суще-
существование многих неэквивалентных представлений.
§ 2. Лоренц-инвариантность
Для обсуждения лоренцевой ковариантности вторично кванто-
квантованной теории удобно ввести релятивистские обозначения. Если раньте
базисные векторы мы писали в виде |k'i, k2, ... kn), то теперь мы будем
!) Символом Ч^о обычно обозначают мощность счетного множества. Мощность
несчетного множества (континуума) далее обозначепа через J^j. —Прим. ред.
2) Гильбертово пространство, которое натянуто на несчетный базис, называете»
несепарабельным гильбертовым пространством, в отличие от сёпарабельного гиль-
гильбертова пространства, натянутого на счетный Г>азис. Гильбертово пространства
обычной квантовой механики сепарабельно.
11*

164 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
обозначать их через | kt, k2, ••• kn). В этих обозначениях энергия ?-й
частицы, kOi, должна считаться положительной и равной +(kf + fi2I/2, как
это и подразумевалось в наших прежних обозначениях. Аналогично, мы
будем писать аА = а(&) вместо а^.
Как мы видели, в шредингеровской картине состояние системы опре-
определяется с помощью результатов возможных измерений физических
величин в момент времени t. Такое описание выделяет некоторую лорен-
цеву систему координат и потому . нековариантно. С другой стороны,
в гейзенберговской картине состояние не изменяется со временем. Поэ-
Поэтому для обсуждения релятивистской инвариантности гейзенберговская
картина обладает бесспорными преимуществами.
Рассмотрим совокупность свободных частиц, описываемых гейзен-
гейзенберговским вектором | Ф). Амплитуды @ | Ф), {kt | Ф), . . ¦, (feb k2, . . . kn |Ф)
и т. д. являются амплитудами вероятности найти в любое время соот-
аетственно 0 частиц, одну частицу с 4-импульсом klt ..., п частиц
с импульсами кг, к?,, ... кп и т. д. При неоднородном преобразовании
Лоренца {а, А) вектор |Ф) ~> С/(а, А)|Ф), где U— унитарный или анти-
антиунитарный оператор, который теперь должен быть определен в простран-
пространстве je™ © Ж™ © • • • © е%?т) © .... В гл. 3 мы видели, что при соб-
собственном ортохронном преобразовании Лоренца одночастичная амплитуда
преобразуется по правилу
ФШ(А;) -=> е*к-аФа>(Л-1Л), G.49а)
что эквивалентно равенству
{k\U(a, А)}Ф) = е1к-а(А'1к\Ф). G.496)
Поэтому определим закон преобразования для л-частичной амплитуды
следующим образом:
<Alf ft2, ...kn \U(a, Л)|Ф) = exp(i %kra) {Лг%, . .. А^кп\Ф) =
= ехрA|]А;г.а)Ф('г)(Л-1А;1, ... ЛГ%,), G.50)
т. е.
п
j % kra). G.51)
1
Поскольку каждый элемент ограниченной группы Лоренца (detA=l,
А">1) можно записать как квадрат некоторого элемента {Ь, А'}, т. е.
{a, A] = {b, A'} {b, А'}, а квадрат унитарного и антиунитарного операто-
операторов унитарен, то оператор U (а, А) унитарен, если {а, А} есть элемент
ограниченной группы Лоренца. Поэтому для ограниченных преобразова-
преобразований Лоренца
U* (а, А) = U (а, А) = U ( - Л~]а, Л), G.52)
и если взять равенство, сопряженное к G.51), то
U{a,A)\ku ...,АЛ)=ехр( + ^ЛАго)|ЛА1) ... Акп). G.53)
j
Таким образом, с конструктивной1) точки зрения, оператор U (а, Л)
1) Вспомните обсуждение релятивистской инвариантности в гл. 1. —Прим. ред

§ 2. Лоренц-инвариантность 165
преобразует одночастичное состояние с импульсом к в состояние с импуль-
импульсом Ак и после этого смещает получившееся состояние на величину а.
Этого и следовало ожидать, поскольку при преобразовании Лоренца
х' =.Ах-\-а сначала производится однородное преобразование, а затем
сдвиг. Такое истолкование равенства G.53) вытекает из того, что гене-
генератором бесконечно малых сдвигов является оператор импульса, так что
смещенное на пространственно-временное расстояние а состояние | Ак)
получится, если умножить \Ак) на eiAk-a.
Трансформационные свойства вакуума характеризуются условием
. U (а, А)|0> = |0>, G.54)
так как вакуум для всех наблюдателей должен быть одинаковым. Таким
образом, вакуум инвариантен относительно всех преобразований Лоренца.
Это условие непротиворечиво только в том случае, если вакуум есть
состояние с равными нулю энергией и импульсом. Приведенных выше
свойств амплитуд, которые выражают физические характеристики частиц
и вакуума, теперь достаточно для определения трансформационных
свойств операторов ak и at. Используя представления G.44), G.45),
замечаем, что
<ft,, *2, ... кп\и(а,А)'ак\Ф) =
^ | Ф> ехр (;
3
G.5Е)
Равенство G.55) можно переписать по-другому, если в него ввести мно-
множитель UU1 = I:
(ки к2 ... кп | U (а, Л) auU-1 (а, Л) U (а, Л) | Ф> =
= <ft,,fta, ••• кп\е-ш<*а(Ак)и(а, Л)|Ф). G.56)
Так как последнее равенство справедливо при любых ]Ф), то
U (а, Л) ahU (а, Л) = e~iAh- aa (Ак). G.57)
Ранее мы установили, что оператор U (а, А) унитарен для ортохронных
преобразований Лоренца, так что равенство, сопряженное к G.57), дает
закон преобразования а% при ортохронных преобразованиях Лоренца:
U(a, A)a%U(a, Ap= eiAh'aa* (Ak). G.58)
Это согласуется с равенством G.53), если вспомнить определение базис-
базисных векторов [равенство G.17)]. В частности, как отмечалось выше,
одночастичное состояние | к) преобразуется при однородных ортохронных
преобразованиях Лоренца в состояние
U{A)\k) = U (А) а% 10> = U (A) a*hU (А)10) = | Aft), G.59)
и при «чистом» сдвиге
G.НО)
Обсуждение свойств операторов поля при отражениях мы отложим до
введения операторов в конфигурационном пространстве.

166 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Можно получить явное представление унитарных операторов, соот-
соответствующих сдвигам, если заметить, что для произвольной вещественной
функции f(k)=J(k) 4-импульса к, (&0 =
где
Доказательство: Рассмотрим оператор
Aq (^ = е« J "О С) / (к) tf«kaqe-«. J ()
Когда A, = 0,
i,@)»e,. G.63)
Нужно найти 49A). Дифференцируя G.62) по Я,, находим, что Aq(k)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
=e J k J
¦ =-i/(«)i,W. G.64)
Решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее началь-
начальному условию Aq @) = aq, есть
G.65)
Полагая А, = 1, получаем G.61).
Для вещественной функции / оператор F =¦ \ .dQ(k)f(k)aiak эрмитов,
так что eiF — унитарный оператор. Сравнивая G.61) и законы преобразо-
преобразования операторов а, а* при сдвигах, находим
U(b,I)=ei *o i™'*B"e=e4Vi\ G.66)
где
G.67)
есть 4-вектор энергии-импульса поля: Р^ — (Н, Р). Легко проверить,
что Pp. действительно обладает нужными трансформационными свойствами
при однородных преобразованиях Лоренца:
U (A) P^U (Л) = J dQ (/с) fc
- ^ dQ(A*)fcn«Afc«A*=$ dQ^XA^ft^iEo^tA-^Pv G-68)
Отметим, наконец, что
[Рц, Pv] = 0, G.69)
так что можно найти представление, в котором все компоненты Р^
диагональны. Итак, операторы энергии-импульса инвариантны относи-
относительно сдвигов и являются генераторами бесконечно малых сдвигов
в пространстве-времени.

§ 3. Конфигурационное пространство 167
§ 3. Конфигурационное пространство
Далее мы введем гейзенберговский оператор ф<+)(ж) в конфигура-
конфигурационном пространстве, определив его равенством
1 *-
G.70)
Отметим, что ф(+)(я) есть оператор уничтожения частицы. Значок <+)
указывает, что ф(+) содержит лишь положительные частоты в фурье-раз-
ложении по времени, т. е. только множители вида e~ifto*o при к0 > 0.
Поскольку feo= -f]/k24-^2, то ф(+)(ж) подчиняется уравнению Клейна-
Гордона
Оператор рождения ф(-> (ж), определяемый равенством
^teik.xa* G.72а)
= [Ф<+)(Ж)]*, G.726)
содержит только отрицательные частоты [что отмечается значком '"']
и также удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона
(П + ^2)ф(-)И = 0. G.73)
Используя G.19), G.20) и G.23), получим перестановочные соотношения
для операторов ф<+) (х), ф(~' (х):
[ф<±> (х), ф(±) (х')] = 0, G.74а)
1Ф(+)И, У"Ш = 2Щ* I -^-e~ih-(x-v\ G-746)
fto>o
= i^(x-y). " G.74в)
Правую часть коммутатора мы обозначили через Аи> (х — у), т. е.
fto>o
Щ? \ <1*кв(ко)д(к*-р*)е-*-*. G.756)
—оо
Аналогично находим
J П^егкЛх-у) G-76а)
= iAM(x-y), G.766)
где
G.776)

168 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Сравнивая G.75) и G.77), замечаем, что
-А"(-х) = А"(х). G.78)
Из представлений G.756) и G.776) видно, что функции Д<±> инвариантны
относительно собственных однородных преобразований Лоренца
А<±) (Ла;) = Д<+> (х) G.79)
и являются инвариантными решениями уравнения Клейна — Гордона
с) = 0.- • G.80)
В последующем изложении мы неоднократно будем использовать
следующее свойство функций A<±>. Если /<+) (х) — некоторое положительно-
частотное решение уравнения Клейна — Гордона, тогда значение /(+) (х)
в пространственно-временной точке х выражается через начальные зна-
значения ср (х) решения на некоторой пространственно-подобной поверх-
поверхности сг, f+> (х') = ц>(хг) при х'? сг, где о предшествует х, и через значе-
значения нормальной производной на этой поверхности nPd'VLf*'1 (х') = п^дцср'*' (х'),
а именно:
$ {d^?^l ^;^} . G.81)
о
Доказательство: Рассмотрим выражение
F(x)= — \ do» (xr) A(+) (x - х') дд/(+) (х'), G.82)
о'
где а' — некоторая произвольная пространственно-подобная поверхность.
Так как и /(+), и А(+) удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, то,
согласно теореме Гаусса, F не зависит от выбора пространственно-подоб-
пространственно-подобной поверхности о'. Выберем поэтому в качестве о' плоскость хо = х'а.
Тогда можно вычислить F, если подставить вместо /(+) и А(+) их фурье-
разложения. Таким образом, при
J ^? e-ih.xjM (ft) G.83)
и с помощью G.75а) находим
F = fM(x). G.8/i)
Если теперь выбрать в качестве о' поверхность а, на которой
заданы начальные условия, то получим G.81). Если, в частности,
/(+) (х) — Д(+) (х — х'), тогда равенство G.81) принимает вид
G.85)
Аналогичные выражения справедливы для решений Клейна — Гордона
с отрицательной энергией, например
/<-' (х) = ^ da» {х') {^А(-' (а; - х') ¦ /'"' (xf) - A("' (a; - х') д'^ (х1)}. G.86)
о
Отметим, кстати, что поскольку решения уравнения Клейна — Гордона
с положительной энергией ортогональны решениям с отрицательной

§ 3. Конфигурационное пространство 1Р>9
энергией, то
{ da^ (ж') Д<±> (ж-?¦')!?/<•+¦)(.•>•') = О, G.87)
а
так что А<+) действует как оператор проектирования, выделяющий реше-
решения с положительной энергией, а А'"' —как оператор проектирования
для решений с отрицательными энергиями.
Оператор числа частиц в момент х0, N (х0), выражается через опера-
операторы (f1-^ (х) следующим образом:
^?^^??^} G.88)
Это выражение можно обобщить на случай произвольной пространственно-
подобной поверхности:
(х) {ер'"' (х) *E?M- *Pg?L фс-> (,)} . G.89)
Так как ф^^ж) подчиняются уравнению Клейна — Гордона, то
&N (о)/да.(х) = 0, так что оператор N (о) не зависит от поверхности сг
и постоянен во времени. Поэтому вместо N (х0) будем писать просто N.
Прямой подстановкой равенств G.70) и G.72) в G.88) можно проверить,
что последнее равенство сводится к выражению \ dQ,{k)atak = N. Вакуум
10) можно теперь характеризовать равенством
ф<*> (ж) 10) = 0 при всех х. G.9С)
Состояние фм(ж)|0) есть одночастичное состояние. Это ясно из выраже-
выражения ф(~' через а%, а можно проверить и непосредственно в конфигура-
конфигурационном пространстве, если использовать перестановочные соотношения
для N и ф'"':
\N, Ф(
Л^—}- ф( > (.г') - А( > (х -
Аналогично,
Поскольку состояние без частиц есть -собственное состояние N с соб-
собственным значением 0, то
G-92)
с соб-
ЛГф'-> (ж) | 0) = |ЛГ, ф(-» (х)] | 0) = Ф<-> (х) 10). G.93)
Вообще вектор
| хи х2, ... хп) = (rc!)-vy-> (Ж1) ... ф«-> (Хп) 10) G.94)
есть собственный вектор N с собственным значением и и является
n-частичным вектором базиса. Далее, л-частичная амплитуда вектора |Ф)

170 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
в пространстве Фока
Ф<"> (хи ... хп) = (п!)-V. @1 ср(+> (xt) ... . ф<+) (хп) 10> G.95)
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона по каждой из координат
(?г + И2)Ф(л>(:Гь х2, ... хп) =
= (n!)-v. @1 ср(+' (Xl) ... (П г + № Ф(+> (xt) ¦ ¦ ¦ Ф(+' (я„) | Ф) = 0
(* = 1, 2,...), G-96)
поскольку ф<+ ;(ж{) подчиняется этому же уравнению. Кроме того,
Фот> (жц х2, . . . ж„) во временной зависимости от координат xi0, х2о, ¦ . . ж„0
содержит только положительные частоты и симметрична при "пере-
"перестановках координат частиц. Эта функция, таким образом, является
симметризованным произведением решений уравнения Клейна — Гордона
с положительной энергией. Именно такой результат мы могли бы ожи-
ожидать на основании рассмотрения в начале настоящей главы.
Действительно, используя явный вид функции преобразования
(Xi, x2, ... хп\пи п2, ... п% ...), из равенства G.6) легко видеть, что
амплитуда в пространстве Фока
Ф<п' {хи хг... хп) = (хи хг, .... яг„ |Ф> =
= S {хи х2, ... | щ, п2, ... nt ...) (щ, п2, ... щ ... \ Ф) G.97)
| 2 п~п}
является суммой симметризованных произведений одночастичных функ-
функций с положительной энергией. Произвольный гейзенберговский вектор
состояния можно разложить по базисным векторам в пространстве Фока
|ф>=ф«»|о>+; \ do»(х) (d^Jx) -ф'-'(*)-~)фш(»I0) +
а
• + ... +(i)n J da^ (x,) ... J dd^n{xn) x
^) G.98)
i
Компонента Ф(п> (xt, .. . хп) в пространстве Фока при ж10 = а;20= • • • =хп0
физически интерпретируется как амплитуда вероятности найти п частиц
в момент Хо = а;10 = . . . = хп0. Но по причинам, уже обсуждавшимся
в теории одной частицы Клейна — Гордона, Ф(п> (а^, ... хп) не является
амплитудой вероятности найти частицы в точках Xi, ... х„ в момент
времени х°. Чтобы ответить на вопрос относительно вероятности найти
частицы в определенных положениях, мы на основании наших прежних
исследований оператора положения и локализованных волновых функций
свободной частицы Клейна — Гордона введем следующий оператор:
G'99)
Если | Ф1) соответствует состоянию одной частицы с импульсом к, т. е.
Ф1) = | к) = а| | 0), тогда матричный элемент
<01Ф1 (g)J Ф1) = ^57i (ко)'/2е*-я G.100)
есть амплитуда вероятности найти частицу в точке q в момент q°.
Поэтому мы интерпретируем состояние ф* (q) 10} как состояние одной

§ 3. Конфигурационное пространство 171
частицы, локализованной в точке q в момент времени q°, а состоя-
состояние (n!)~1/2q>t{q°, qi)q>t(q°, q2) ••• фГ(?°> Чи)|°> — как состояние п
частиц со спином, равным 0, и массой [д., локализованных в точках
qb .. . цп в момент q°. Одновременной коммутатор операторов <р4 и ф*
равен
Теперь можно определить оператор TVy числа частиц, находящихся
в трехмерном объеме V в момент времени q0-:
Nv(q0) = J d3Wt (9о. Ч) Ф1 Eо, q). G-102)
v
В силу перестановочных соотношений G.101)
INV (?„), ф! E°, q)] = - Ф1 E°, Ч) 6 (q C= F), G.103а)
[XV(qo), ФГ E°, q)]=+9?(9°, q)S(qClF), G.1036)
так что оператор ./Vy (<7о)> действуя на ф*(<?°, qi) • • • фП?0, ЧЛО). воспро-
воспроизводит это состояние, причем собственное значение равно числу
частиц, локализованных в точках qt объема V.
Представление операторов ф<±) (х) в конфигурационном пространстве
можно получить, если заметить, что в силу перестановочных соотноше-
соотношений G.74) и определения базисных векторов G.90) и G.94)
\х, хи х2, ...хп), .G.104)
¦^+>(х)\хи х2, ..., хп) = -^^И±.™{х-х>,\хи ... х}-их}+1, ... хп). G.105)
Так как
(х) = Ам (х) = - А(+) (- х), G.106)
то, взяв равенства, сопряженные с G.104) и G.105), находим
<1|а:1, . .. хп | Ф), G.107)
=Y,iA{Xj-x)(xi, ... xj-ltxj+i . . . хп | Ф).
У п • i
5=1
G.108)
Получив в пространстве Фока представления операторов ф(+) (ж)
я ф(~)(ж), проанализируем их трансформационные свойства при преоб-
преобразованиях Лоренца. Для ограниченных преобразований Лоренца они
просто выводятся из трансформационных свойств операторов а^ и а?:
U (а, Л)ф<+>(х)*7(а, Л)-1 = . .. 1 \ dQ (A)e-ift;ct/(a, Л) aft ^(а.Л)-^
У 2 Bя)з J
= —^—--. [ dQ(k)e~iAkAxe-iAhaaAk =
/2Bя)з J v / Лй
1) Знак плюс у интеграла соответствует интегрированию по состояниям
О. — Прим. ред.

172 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
и аналогично
t/(a, Л)ф<7>(а;)С7(а, Л)-х = ф<-)(Ла; + а). G.110)
Рассмотрим далее трансформационные свойства при отражениях. При
пространственном отражении, х—>х'—isx (x'0 = xQ, х' = — х), одночастич-
ная амплитуда ФA) (х) преобразуется следующим образом:
(ж|Ф') = (х|С7(г8)|Ф) = т18(^|Ф), G.111)
гДе rls=±l- Знак плюс соответствует скалярной частице, а минус —
псевдоскалярной. Оператор U (is) унитарен, поскольку
(ф', T') = i ^d3x{<$\isx)X{isX\4) == i^d3x(Ф\х)д1(х\Ч} == (Ф, ?). G.112)
Закон преобразования для гс-частичной амплитуды определим к виде
G.113)
а для вакуума положим
tf(i,)|0> = |0). G.114)
Чтобы вывести закон преобразования для операторов поля ф<+) н ф(-),
поступим так же, как при выводе равенства G.57). Помножим U (is) на
ф<+)(ж) и получим
(хи хъ ... xn\U (is) Ф1+) (х) 1 Ф) = (t]S)" (isxu- . . . isxn | ф<+> (x) | Ф) -
= Ы" V~n + l {x, isxt, ... isxn | Ф) =
= 4sVn + l (isx,xu ... xn\U(lt)\Q>)= _
= i\8(xu :.. xn\(fW(isx)U(is)]^), G.115)
откуда
U (is) ф<+) (x) U (is)-1 = 118ф<+) (isx), G.116)
и аналогично, используя свойство Д(+> (isx) = Д(+> (а;), имеем
?/ (is) ф(-> (х) С/(is)~l = %ф(-) (i^). G.117)
Следовательно, трансформационные свойства операторов ak и а% при
пространственном отражении можно выразить равенствами
U(ia)aJJ(ia)^ = Ttea^ . G.118а)
U (is) atfJ (is)-1 = risa_k. G.1186)
Одночастичное состояние с импульсом к и энергией со (к) при простран-
пространственном отражении преобразуется в состояние с импульсом — к и энер-
энергией со( —к) = со(к). '
Доказательство:
U (is) | к) = U (is) at U (i^-1 U (is) | 0) *= о* к | 0> = | - к). G.119)
Гамильтониан инвариантен относительно операции U(is), так как
U(is)HU (is)'1 — !!. Однако полный импульс Р преобразуется как поляр-
полярный вектор
$ ^ka*ka_k= -P, G.120а)

§ 3. Конфигурационное пространство 173
ИЛИ
U(is)P= -PU(is). G.1206)
Ирипедем явное выражение для оператора ?/(js)[231]:
т-t 1- \ гЗ I d°(ft)(TliJakak-ako-k). /7 jo^
Чтобы доказать это равенство, заметим, что N = \ cffl (/с) ak«k коммути-
коммутирует с \ dQ (fe) ak«-kj так что можно написать
г. ,. . -i» \ dS(h)a^a_k ipTlgN „,„„'
?7(ss) = e 2 *" е z . G.122)
Мы видели, что
. .1 . Л v .Л
6 ^к^ == ^ ^к ^^ ^Ч^^к! ^i.lZoj
так как T]S= + 1. Используем формулу
G.124)
которая получается, если левую часть разложить по А, в окрестности
^. = 0, используя формулу Тэйлора. Тогда находим
с 2 ' k ~ а^е 2 * k "" =akf°s—ia^ksin —=—г'я-k- G.125)
Следовательно,
C7(js)akC/(Jsr1=Tlsa-k, G.126)
что и требовалось доказать.
Поскольку два последовательных отражения соответствуют возвра-
возвращению к первоначальной системе координат (t| = 1), то U(isJ = I, так
что U (is).= [Г1 (is) = ?7* (ig) и U (is) — эрмитов оператор. Эрмитовость U (is)
предполагает, что этот оператор соответствует некоторой наблюдаемой.
Однако поскольку оператор ?7 (is) антикоммутирует с Р, он не может
быть включен в полный набор наблюдаемых, описывающих систему, за.
исключением случая, когда частицы покоятся. Например, состояние
одной покоящейся частицы есть собственное состояние ?7 (i$) с собствен-
собственным значением vis:
Э). G.127)
Множитель r)s называют «внутренней» четностью частицы. Аналогично
«-частичное состояние (aS)'110) есть собственное состояние U (is) с собст-
собственным значением (T)g)n.
Рассмотрим далее временные отражения. Если при отражении
(обращении) времени х = itx (х'о = — х0, х' = + х) одночастичное состояние
с положительной энергией должно переходить в одночастичное состоя-
состояние с положительной энергией, тогда оператор U (it), вызывающий это
преобразование, должен быть антиунитарным [856]. Если бы преобра-
преобразование было унитарным, то одночастичная амплитуда преобразовыва-
преобразовывалась бы следующим образом:
G.128)

174 -Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
где ^=±1 — временная четность частицы. Рассмотрим трансформа-
трансформационные свойства одночастичной амплитуды, когда | Ф) соответствует
едночастичному- состоянию с импульсом к, |Ф) = |к).
Так как {х\к) = [2BяK]~1/2ехр ( — ik-x), то преобразованной волно-
волновой функцией была бы функция
Л*, G.129)
/2Bя)з
которая является решением уравнений Клейна — Гордона с отрицатель-
отрицательной энергией. Поэтому чтобы конечная волновая функция была снова
решением с положительной энергией, мы требуем выполнения соотноше-
соотношения
G.130)
т. е. чтобы оператор U (it) был антиунитарным.
Вакуум инвариантен относительно введенной операции
(Ф | U {ц) 10) = @1 Ф> для всех | Ф>. G.131)
Определим закон преобразования для n-частичной амплитуды:
Тогда
где U
(хи х2,
получим
...хп\и{ц)\Ф) = {Цт)п
= {Пт)п
\l(.Xl, . . . l(Xn | Ч>) =
(Ф | Jt^j, 1(Ж21 • • • ЦХп,
U {it) ф(+> {х) U'SU)'1 = %ф(+) (их),
U{it)^-){x)U{it)-i = r]
{it) — антиунитарный оператор, т. е.
U[
C/(if)a|?)=aC/(if);
\ц){\У) + \Ф)) = и{ц)\'
(Ф, ?) = (С/ lit)'
\т(р(-Ццх),
?) + и{ц)\Ф),
?,11{ц)Ф).
). G-132;
G.133а)
G.1336)
G.134а)
G.1346)
G.134b)
Часто бывает удобно представлять антиунитарный оператор в виде про-
произведения оператора сопряжения К и некоторого унитарного оператора.
Под оператором сопряжения К мы понимаем оператор, который обла-
обладает свойствами ЛГ2 = 1 и (.ЙТФ, iPF) = (?, Ф). Ясно, что если оператор
U — антиунитарен, то UK = Т — унитарный оператор, так что произволь-
произвольный антиунитарный оператор U всегда можно записать в виде U — f^K,
где оператор V унитарен.
Чтобы пояснить смысл антиунитарного оператора U {it), выведем
законы преобразования операторов ah, at, заданных в импульсном про-
пространстве, из соответствующих преобразований для ф(+> {х) и ф(~>(а:).
Используя выражение G.70) и свойство антиунитарного оператора
G.134а), находим
U{iL«){x)U{i)-l
^Ок, 7.135а)
откуда
. G.1356)

§ 3. Конфигурационное пространство 17S
Аналогичным образом, используя G.72) и G.133а), получаем
U(it)aUU(it)-l = T\Ta*-k. G.135в)
Можно проверить, что в шредингеровской картине каждое состояние
физической системы в момент времени t при обращении времени пере-
переходит в состояние в момент времени — t с обращенными направлениями
скоростей частиц. Инвариантность относительно обращения времени
предполагает, что последнее состояние существует. Таково толкование
на языке квантовой механики классического понятия обращения времени.
В случае классической теории, когда лагранжиан не зависит явно от
времени (и содержит только четные степени импульса), если qi(t), Pt(t)
есть возможное движение системы, то и #;( — t), — pt( — t) также
является возможным движением. Проще говоря, инвариантность отно-
относительно обращения времени утверждает, что если движение возможно
по некоторому направлению в пространстве, то существует другое •
возможное движение по тому же самому пути в пространстве, но в об-
обратном направлении.
Мы закончим этот параграф рассмотрением эрмитова оператора поля
ФA) = ф(+)(ж) + ф'-)(а;), G.136а)
Ф (ж) = ф* (ж). G.1366)
Этот оператор, будучи выражен через операторы ак и а?, имеет вид
h-x + a&ik-*) G.137)
Bл)з
и подчиняется уравнению Клейна — Гордона
(?+1*2)ф(я) = 0. G.138)
Операторы ф(+> (х) и ф(~> (х) являются соответственно положительно-
и отрицательно-частотными частями оператора ф(я). Они могут быть по-
получены из ф (х) лоренц-инвариантным образом:
^}). G-139)
а
С другой стороны, если представить ф (х) в виде интеграла Фурье
Ф(ж)= J ^А:е-4й-жб(А;2-ц,2)ф(/с), G.140)
те
ф(±>(ж)= С ^4A;e-ife • ^ 0 (± /с0) б (А:2 — [х2) ф (А;). G.141)
Трансформационные свойства ф (х) тривиально получаются из трансфор-
трансформационных свойств ф<+> (х) и ф(->(з;). При ортохронных собственных пре-
преобразованиях Лоренца ф преобразуется следующим образом:
U(a, A)(f{x)U(a, Л) = <р(Ах + а), G.142)
а при пространственных и временных отражениях:
U (is) ф (х) U (ц)-1 = т]8ф (isx), G.143)
U (ц) ф (х) U (it)'1 = %ep (itx), G.144)
где U (it) — антиунитарный оператор.

IT(i Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Перестановочные соотношения для ц>(х) суть
G.145а)
где
Bя)з
sin/co^o G.146a)
*¦*. G.1466)
При переходе от G.146а) к G.1466) было использовано соотношение
fcok)}, G.147)
где г (ко) = 8 (к0) — 0 (— А'о) = ко/\ к01 равно +1 при ft0 > 0 и —1 при
А'о < 0. Из приведенного выше выражения можно вывести важные свой-
свойства функции А (а;):
А(-х)= -Л( + ж), G.148а)
А (Лж) = А (ж), G.1486)
(D+|i!)AW = 0. G.148b)
Сингулярную функцию А (ж) можно определить как нечетное инвариант-
инвариантное решение уравнения Клейна — Гордона (см. ниже). Итак, коммутатор
G.145) является инвариантным с-числом. ,06 инвариантности коммутатора
можно заключить также из следующих равенств:
U(а, Л)|Ф(х), <p{x')\U(a, A)~1 =
= U(a, A)A(x-x')U(a, A)~l = A(x-x') =
= [<р(Лх-\-а), <р(Ах' + а)] — А (Ах + а — Ах' — а) =
= Д(Л-(ж —ж')) = Д(а; —ж'). G.149)
Наоборот, требование того, чтобы коммутатор был инвариантным с-числом,
фиксирует значение коммутатора с точностью до постоянной. Для дока-
доказательства этого утверждения обозначим правую часть коммутатора через
[Ф(.т), ф(ж')]=/'>, х'), G.150)
где /•' — но предположению инвариантное с-число. Инвариантность отно-
относительно сдвигов требует, чтобы при произвольном а
F(x, x') = F(x + a, x' + a), G.151)
так что F может быть функцией только от х — х'. А из инвариантности
относительно собственных однородных преобразований Лоренца следует
F(x) = F{Ax). . G.152)
Так как оператор <р(ж) удовлетворяет уравнению Клейна —Гордона, то
этому же уравнению должна удовлетворять функция F:
-x'). G.153)

§ 3. Конфигурационное пространство 177
Наконец, в силу свойства коммутатора
[Ф (х), Ф (х')] = - [ф (х), ф (ж)] G.154)
функция F должна быть нечетной
F(x-x')=-F(x'-x), G.155а)
или
F(x)=-F( — x). G.1556)
Таким образом, F (х) является нечетным инвариантным решением уравне-
уравнения Клейна —Гордона. Любую функцию F{x), удовлетворяющую уравне-
нию^Клейна — Гордона, можно записать в виде
**6 (k*-y?)F(k). G.156)
Отметим, что функция F(к) определена только на ^массовой поверхности»
fea = |j,2, т. е. на гиперболоидах к0 = ±T^k2 + jj,2. Таким образом, все до-
допустимые значения вектора к времени-подобны. Из лоренц-инвариант-
ности F (ж) теперь следует
J G.157)
откуда
Т{к)=У(Щ. G.158)
Следовательно, F (к) может быть функцией только двух инвариантов к2
и e(feo), которые можно построить из времени-подобного вектора к.
Запишем
F(k) = Fi{k2) + B(k0)F2(k2). G.159)
Из-за наличия множителя 6(кг — ц2) в равенстве G.156) в определение
F(x) входят значения Ft(k2) и F2 (к2) только при к2 = ц2; поэтому можно
написать
F(x)= ^'d*k6(k2-n2)(Fl + E(k0)F2)e-ik-x, G.160)
где Fit 2 = ^i, 2(jJ-2) — константы. Далее, требование того, чтобы F(x) =
= — F( —ж), дает условие
J + 8(A!o)/!12)e-fk-a:. G-161 а)
Следовательно,
/?1=_/?1 = 0, G.1616)
так что
F(x) = F2 \ ^ке-^-х5(к2—ц2)Е(к). G.162)
12 с. Швебер

178 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Наконец, поскольку оператор ф эрмитов, функция F (х) должна обладать
свойством
F(x) = F(-x)=*-F(x), G.163)
которое получается, если применить эрмитово сопряжение к равенству
G.150). Следовательно, постоянная F2 — чисто мнимая. Таким образом,
утверждение доказано.
Из инвариантности А(х) при собственных однородных преобразова-
преобразованиях Лоренца и нечетности А (х) можно заключить, что эта функция
равна нулю при пространственно-подобных х2, т- е. при х2 < 0.
Доказательство: Лоренц-инвариантность означает, что А (х) являет-
является функцией только х2 при х2 < 0 и функцией х2 и знака времени
г (хо) при х2 >• 0, т. е. на световом конусе и внутри него. [Напомним,
что г (х0) имеет инвариантный смысл лишь на световом конусе и внутри
него.] Таким образом, при пространственно-подобных х имеем А (х) =
— fi(x2)i но функция от х2 не может быть нечетной. Следовательно,
/, (а;2) = 0, что и требовалось доказать. Внутри светового конуса А (х)
должна иметь вид А (х) = г (х0) /г (-г2), т. е. быть нечетной инвариантной
функцией. С другой стороны, заметим, что инвариантность одновремен-
одновременного коммутатора А @, х) = А @, Rx) относительно вращений означает,
что А @, х) есть функция х2. Вместе с условием нечетности А ( — х) =
= — А (х) это дает
Д@, х) = 0, G.164)
т. е. одновременной коммутатор равен нулю
х), ф(а;о, х')]==0. G.165)
Действительно, с помощью подходящего преобразования Лоренца всегда
можно сделать так, чтобы у преобразованного пространственно-подобного
вектора х' = Ах компонента х'о = 0. Поэтому из равенства А (х) = А (Ах)
следует, что А(а,) = 0 при всех пространственно-подобных х.
Из выражения G.146а) легко получить другое важное свойство функ-
функции А (а;):
С1^)=-*•«• GЛ66)
Так как функция А (х) удовлетворяет гиперболическому дифференциаль-
дифференциальному уравнению второго порядка, то она однозначно определяется этим
дифференциальным уравнением
(?+Ц2)А(ж) = 0 G.167)
и начальными условиями при х0 = 0:
а) А(х, 0) = 0, G.168а)
Функция А позволяет найти решение задачи при заданных начальных
значениях (задачи Коши) для уравнения Клейна — Гордона. Пусть g(x) —
решение уравнения Клейна—Гордона, имеющее вид волнового пакета.
Если на некоторой пространственно-подобной поверхности о"о с нормалью
% это решение и его производная принимают значения g0 (x) и d^go (я),
тогда значение g (x) на любой более поздней пространственно-подобной

§ 3. Конфигурационное пространство 179
поверхности дается выражением
g(x) = jj {Aix-x^n^goiz^-n^Aix-z^.goiz'Kdoix'). G.169)
Доказательство: Для функции Fll(x), которая стремится к нулю при
|х|-> со, согласно теореме Гаусса, имеем
jj^C5')doi»(a;')-J Е„{х')ёа^(х') = J^F»V)dV, G.170)
где й — пространственно-временной объем между а и а0. Пусть
^ (ж') = А (ж - ж') ^г(*')-ЗцА (»-«')•§(*')• G-171)
Так как g и Д удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, то
d'tlFll(x') = 0. Возьмем в качество а плоскость х0 = х'0 = const, так что
нормаль к а имеет вид им(а;) = A, 0, 0, 0). Используя свойства Д-функ-
ции G.164) и G.166), получаем
\Fll(x')d<fl4x') = g{x), ¦ . G.172)
а
откуда, согласно G.170) и равенству d^F^ (x) = 0,
g(x)^i\iFil(x')d^(x'), G.173)
что и требовалось доказать.
Помимо А (ж), существует другая инвариантная функция А<1) (ж),
которая удовлетворяет уравнению Клейна— Гордона, но является четной.
Она обладает следующими свойствами:
(П+Ц*)А<и(ж) = 0, G.174а)
-х), G.1746)
Интегральное представление для этой функции есть
1 ? d4 ik ' ,, ,„ .
~к—е cos кахо> G.175а)
ho>O
-{-со
1 f»
Функции (точнее, обобщенные функции) А (ж) и АA> (ж) можно выразить
через элементарные функции, вычисляя интегралы G.146а) и G.175а).
Так, при | х | = г находим, что А (х) можно записать в виде
А (х, х0) = — -
со
1 Р №dk sin kr sin koxo
dk 7 • ,
cosfc/'sinfc0a;o =
12»

180
Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Сделав замену переменной k = (i sh у, получаем
coskrsm
^72) при xo>r,
О при — r<xo<r,
— /0 (fi У xo — г2) при яо < — г.
G.177)
Выполнив указанное в равенстве G.176) дифференцирование, Д(я) можно
записать в форме, в которой видны как ковариантные свойства, так
и особенности функции Д (х) (см. также приложение к статье Швин-
гера [712]):
G.178)
где 9(г/) = 1, если у > О, и 9(г/) = 0, если у < 0. При малых я2, т. е.
вблизи светового конуса, имеет место следующее разложение:
GЛ79)
is
где опущены члены, стремящиеся к нулю при я2—>0. Следовательно,
Л (х) имеет на световом конусе особенность в виде б-функции, а также
конечный разрыв (скачок).
Используя аналогичную процедуру, можно легко проверить, что
4я г дг
G.180)
где
+оо
G.181)
Отметим, что АA) не равна нулю вне светового конуса. При больших
пространственно-подобных расстояниях (т. е. при г > х0) Дш экспонен-
экспоненциально убывает. Функцию Лш можно также записать в виде, анало-
аналогичном равенству G.178) (см. приложение к статье Швингера [712]).
Здесь мы приведем выражение для функции Дш лишь вблизи светового
конуса, чтобы были видны ее особенности:
+СО
1) Напомним, что /0 (г) = A/я) { Бт(гсЬР)йр, Jv(z) = (z/2)'v ^ (*z/2)a? x
-со г=о
X [i.T (v+Z-j-1)], так что в окрестности г = 0 Jo (г) s& 1 — (z2/4)-|-0(z4). Напомним,
+СО
что Ji (г) = — (З/Зг) /0 (г) и что NQ (z) = — (I/it) \ cos (г ch P) dp.

§ 4. Связь о теорией поля 181
где Р — главное значение, а у = 0,577 ... —постоянная Эйлера. Мы опять'
пренебрегли членами, стремящимися к нулю при х2 —> 0.
§ 4. Связь с теорией поля
Весь развитый до сих пор формализм основывался на знании свойств
частиц, образующих рассматриваемую систему: их спина, массы, транс-
трансформационных свойств амплитуд и типа статистики (Бозе —Эйнштейна).
Теперь мы покажем, что этот формализм вторичного квантования экви-
эквивалентен определенной процедуре квантования классической с-числовой
амплитуды поля, которая подчиняется уравнению Клейна —Гордона.
Наши знания по опыту квантования механических систем материаль-
материальных точек дают возможность предполагать, что для установления упо-
упомянутой эквивалентности нужно найти описание системы с помощью
канонических переменных я(х, t) и ф(х, t), перестановочные соотно-
соотношения для которых должны иметь вид
[п(х, t), ф(х\ г)]=-^оC)(х-х').
Последние соотношения будут для системы с бесконечным числом сте-
степеней свободы, какой является поле, аналогом перестановочных соот-
соотношений [qr, ps] = ihbrs.
Отметим, что если определить оператор
aJ), G.183)
то одновременные перестановочные соотношения для я (ж) и ф(ж) имеют
вид б-функции, т. е.
[я (х), ф (х1)] хо=х- = -Ц- [ф (s), ф (ж')]
о
+оо
d3keikx~x' cos /с0 (ж0 - х'о)
—со
=-гбC)(х-х'). G.184)
Таким образом, в некотором смысле, который мы уточним позднее,
операторы я (х) и ф (х) являются сопряженными величинами. Попытаемся
выразить Н через я и ф. Для этого заметим, что можно получить выра-
выражения для операторов ак и aj через я и ф, если обратить равенства
G.137) и G.183). Например, равенство G.183) для я (х) можно пере-
переписать в виде
я(х)= ZL- 5 ^{^-iffl^-a*_keiffl^}^-, G.185)
откуда
* i ±lQ} [ d3xn (x) e-ikx. G.186)
Аналогично, из равенства G.137) следует
Bя)/2 J
B

182 ^ Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
так что
Подставим эти выражения в Я= \ dQ (к) а^кСОк и заметим, что в равен-
равенствах G.188а) и G.1886) времена х0 и х'о произвольны. Тогда, полагая
для простоты хо = х'о, получим
d*h \ d3xe~ik*n(x) ^ d*x'eik-*'n(x') + Hc, G.189)
где Нс соответствует перекрестным по я и ср членам [см. ниже равен-
равенство G.192)]. Поскольку Юк = к2 + ^2. то
, G.190а)
(х). G.1906)
Интегрирование по частям можно оправдать тем, что переход от равен-
равенства G.190а) к G.1906) справедлив, если рассматривать матричные эле-
элементы от этих операторных равенств между произвольными нормируе-
нормируемыми векторами | Т) и |Ф). Интегрируя по к, получаем
Я = i ^d3x {Ф (х) ((х2 - v2) Ф (х) + я2 (х)} + Не, G.191)
где
if* ГС*
2(Щз\ d3kak ^ d3a; ^ d*x'e-*-l*-*')[<p(x), я{х')
G.192)
Таким образом, член Нс есть бесконечное с-число, которое при больших к
ведет себя, как \ k3dk. Его происхождение связано с записью гамиль-
гамильтониана в виде G.191); когда мы разбиваем ф и я на операторы рож-
рождения и уничтожения (ф(±> и доф(±)), то вЯ-Яс появляются операторы
рождения, стоящие правее операторов уничтожения. Поэтому при дей-
действии на состояние без частиц Н — Нс дает не нуль, а энергию, равную
+ х/г \ d3k(nk. Член Нс переопределяет энергию так, что состоянию
без частиц приписывается энергия, равная нулю. По-другому можно
написать:
Я = 1 J d3xN {я2 (х) + ф (х) (ц2 - V2) Ф (х)}, G.193)
где действие оператора N, по определению, таково, что он приводит
произведение операторов рождения и уничтожения к «нормальной форме»,
в которой все операторы рождения стоят слева от всех операторов
уничтожения. При этом предполагается, что перегруппировка произво-
производится так, как будто бы все коммутаторы равны нулю.

§ 4. Связь с теорией поля 183
Так
N (Ф(-> (у) Ф(+) (х)) = N (Ф<*> (х) ф(-> (?/)) = Ф<-> (у) ф(+) (х). G.194)
По определению, для нормального произведения операторов N имеет
место распределительный закон, т. е.
N [ф<+) (х) {ф'*> (у) + Ф(-> (z)}] = N (ф(+) (ж) ф(+' (у)) +N (ф(+) (ж) ф("> (z)). G.195)
Иногда нормальное произведение обозначают также двоеточием; напри-
например, вместо равенства G.193) можно написать
.Тф(ж) + 1Лр«(*)):- G-196)
Здесь мы проинтегрировали по частям член Т2ф в равенстве G.193).
Аналогичным образом можно выразить через п(х) Иф(ж) оператор пол-
полного импульса
4Л ):. G.197)
Отметим, что разность между оператором Р в нормальной форме и без
нее является с-числом, равным 1/2 \ d3kk, и что этот член равен нулю
из соображений симметрии.
Описание системы свободных частиц с помощью вторичного кван-
квантования в шредингеровской картине характеризуется гамильтонианом
2(x):, G.198)
где я (х) = я (х, 0) и ф (х) = ф (х, 0) — операторы поля в шредингеровской
картине (мы опять приняли, что гаредингеровская и гейзенберговская
картины совпадают при ? = 0). Эти операторы удовлетворяют канониче-
каноническим перестановочным соотношениям
), it(x')]=i6'3)(x-x'). . G.199)
Уравнение Шредингера, определяющее развитие системы во вре-
времени, есть idt\Y (t)) = H\X? (t)), где | ^B)) — вектор в пространстве
@'©шB)©
Теперь мы покажем, что квантованную теорию в только что изложен-
изложенной форме можно получить, если рассматривать величину ф (х) как амплитуду
классического поля; подчиняющуюся уравнению поля (П+(^2) ф(ж) = 0,
и «квантовать» такую классическую теорию поля. Под этим мы пони-
понимаем следующее. Поле можно рассматривать как систему с бесконечным
числом степеней свободы, причем значение амплитуды в каждой точке
пространства соответствует одной такой степени свободы. Если было бы
возможно ввести переменную, канонически сопряженную к амплитуде
поля в каждой точке пространства, то можно было бы наложить кван-
квантовые условия так же, как при переходе от классической механики
к квантовой в случае конечного числа степеней свободы. Именно мы
потребовали бы, чтобы классическая скобка Пуассона канонических пере-
переменных переходила в умноженный на i/h коммутатор этих переменных,
которые в квантовой теории становятся некоммутирующими операторами.
Проще всего ввести канонически сопряженные величины с помощью
лагранжиана
^HZiy, ФA), G.200)

184 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
где X = % (ф, фц) — плотность лагранжиана (или лагранжева плотность),
а фц = дцф. Потребуем, чтобы интеграл действия
Л(Ф, Ф(г) G.201)
был стационарен при любых вариациях величин поля, при условии, что
вариации на концах t± и t2 промежутка интегрирования в G.201) равны
нулю, т. е. бф(^2,х) = бф (ti, х) = 0. Ниже мы увидим, что для стацио-
стационарности действия / необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись
уравнение Эйлера
дер ~~ дхо Зср0 Zl дхг дщ ~и' (
i=l
Лагранжиан выбран так, чтобы уравнение Эйлера совпадало с уравне-
уравнением поля. Сформулированный принцип действия является естествен-
естественным обобщением принципа Гамильтона обычной механики, ибо сово-
совокупность значений, которые принимают ф и ф0, можно рассматривать
как аналоги координат и скоростей в механике частиц.
Проварьируем G.201) по ф:
4^] G-203>
Здесь Q — четырехмерный объем, по которому интегрируется G.201).
Форма Q остается пока произвольной. Зависимость второго члена or
бф(х) определяется с помощью равенства фц = 5(Гф1). Интегрируя второй
член по частям, находим
где 2 — поверхность, ограничивающая объем Q, а п^ (х) — внешняя нор-
нормаль к этой поверхности в точке х. Принцип действия требует, чтобы
б/ = 0 при всех вариациях бф, ограниченных лишь условием бф = 0 на
2. Так как бф внутри Q произвольна, то требование 6/ = 0 ведет
к тому, что
т. е. к тому, что удовлетворяется уравнение Эйлера. При подходящем
выборе X оно совпадает с уравнением поля. Между прочим, этот
выбор не единственный. Так, добавление к лагранжевой плотности четы-
четырехмерной дивергенции не изменяет уравнение поля.
Доказательство: Рассмотрим новую плотность лагранжиана X'', полу-
полученную из X добавлением четырехмерной дивергенции:
Z' = X + ^L, G.206)
где /?ц = /;'м,(ф). Член \ d^xd^F^ (ф) в выражении для действия по теореме-
Гаусса можно преобразовать в интеграл по поверхности S, так что его
То есть 69^ = 3^69. —Прим. ред.

§ 4. Связь с теорией поля 185
вариация тождественно равна нулю. Утверждение остается справедливым,
если F№ зависит не только от ф, но и от cpv, при условии, что X' не
содержит вторых производных ф. Физическое содержание лагранжианов,
отличающихся четырехмерной дивергенцией, одинаково. Однако гамиль-
гамильтонианы и канонический формализм для них будут, вообще говоря,
различными. '
Чтобы дальше развить канонический формализм по аналогии со
случаем системы частиц, желательно иметь дело со счетным числом
степеней свободы, а не с континуумом. Для этой цели трехмерный
континуум предполагают разделенным на столь малые кубические ячей-
ячейки, чтобы можно было пренебречь изменением физических величин
внутри каждого кубика. Эти ячейки можно пронумеровать с помощью
дискретной переменной. Средние значения ф и 50ф в отдельных ячейках
можно принять в качестве переменных, описывающих систему (см., на-
например, книгу Вентцеля [836]). С другой стороны, действительную
переменную поля ф (х) можно разложить по полной совокупности дей-
действительных ортонормированных функций ?п(х), удовлетворяющих
условиям
G.207а)
2Ux)Ux') = SC)(x-x'), G.2076)
71
т. е. написать х)
2 ^x)V(x), G.208a)
фо (^ = 2 «»@ Б» (х)' 9п (*) = 5 <*"*?» (х) Фо (*)• G-2086)
п
Покажем, что уравнение Эйлера, справедливое при каждом х, можно
заменить счетной совокупностью уравнений относительно дп и qn. Заме-
Заметим, что
3
'L _ С „
dL
"Qn J \ "Ц> dqn -^-1 Офй aqn J
3
7, — ^) In (x). G.209)
Аналогично,
dqn -J дц, dqn
так что если удовлетворяется уравнение G.202), то
ё-4^- = ° (« = 0,1,2;...). G.211)
1) Точкой над буквой, как обычно, обозначается дифференцирование по вре-
времени.—Прим. ред.

186 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Наоборот, если имеют место уравнения G.211), так что
м-0- G'212)
тогда из полноты совокупности {?„} следует, что удовлетворяется урав-
уравнение поля G.202). В полной аналогии с обычной механикой можно
определить импульс, канонически сопряженный с qn (t):
dqn(t) J ^РоИ
*=^n{x)tn(x)d»z, . G.213)
где п(х) определяется как импульс, канонически сопряженный с ф(#):
я(х)= яд* . . G.214)
Гамильтониан, по определению, равен
^а?, G-215)
где <Ш — Щь — % = ??6 (ф^ фь л) есть плотность гамильтониана. Гамиль-
Гамильтониан i/ можно также записать в виде
Н=
= С й3а;Г00, G.216)
где Г00 является @, 0)-компонентой канонического тензора энергии-им-
энергии-импульса, определяемого формулой
!^ G.217)
Если с5? явно ке зависит от пространственно-временных координат ж,
тогда в силу уравнения движения G.205)
г д ЭХ \ . дц» дХ dX
~ Т \dxv дфУ J dxv d<?v dxv,
*чр\ дх g2(p V
' G.218L
Проинтегрировав равенство dv7'liV = 0 по всему трехмерному простран-
пространству, получим
L J ^ Л 2 -^г ^ = °- G-219)
1) Если X явно зависит от координат х, то равенство G.218) принимает вид
v^=—d^Jg. Явная зависимость X от х соответствует наличию заданных внеш-
внешних полей, с которыми взаимодействует поле ф.

4. Связь с теорией поля 187
Если Т4* равны нулю на больших расстояниях (что будет иметь место,
если поля обладают этим свойством), тогда второй член в G.219) равен
нулю, так как, согласно теореме Гаусса, его можно превратить в инте-
интеграл по бесконечно удаленной поверхности. Следовательно, мы получаем
четыре закона сохранения
0 (,1 = 0, 1, 2, 3), G.220)
которые утверждают, что величины \ d3xT>l0 (^ = 0, 1, 2, 3) являются
интегралами движения. Равенство G.220) при \\, = 0 соответствует сохра-
сохранению энергии, т. е. d0H = Q, а при ц = 1, 2, 3 — сохранению трех
величин:
Рк = \ d3xTh0 = \ d3x — фь = [ dsxn (x) ф" (я), G.221)
J J дф J
которые после симметризации имеют вид
Р" = ~ \ dsx {л (х) ф" (х)'+ ф" (х) я (х)}. G.222)
Величины Рк можно отождествить с тремя компонентами полного им-
импульса поля.
По аналогии с G.215) можно определить плотность импульса поля,
как Тк°. Плотность момента количества движения поля (относительно
начала координат) естественно определить выражением
mkio = xkTio-xiTM, G.223)
так что полный момент количества движения есть Мм = \ d3xmki0- Что-
Чтобы величина Мм являлась пространственной частью сохраняющегося
тензора момента М^
^j G.224)
должно выполняться условие
p = O, G.225а)
mv.vp = xllTvp-xvTw, G.2256)
ибо в этом случае \ dsxmv_vQ сохраняется, что можно показать так же,
как и при выводе равенства G.220). Однако в силу G.2256)
afcJTvp - xvTw) = rvil - Т^. G.226)
Таким образом, M^v будет сохраняющимся тензором, если Т^ч = TVil,
т. е. если тензор энергии-импульса симметричен. А симметрия послед-
последнего, вообще говоря, не следует из определения G.217). Однако тензор
энергии-импульса всегда можно симметризовать [42, 43], используя
тот факт, что к лагранжиану всегда можно добавить четырехмерную
дивергенцию, не меняя физического содержания теории. Таким образом,
хотя плотность энергии, например, и не определяется однозначно, пол-
полная энергия поля есть однозначно определенная величина. Три прост-
пространственно-пространственные (к', /)-компоненты тензора момента являются
компонентами момента количества движения системы, а три простран-

188 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
ственно-временные @, /^-компоненты связаны с координатами центра
масс системы [562 — 564, 652].
Для рассматриваемого поля со спином, равным 0, плотность лагран-
лагранжиана при отсутствии взаимодействия можно взять в виде
Х= _l(^V-§'Pv3e(p-9V(p) = -l(^V-9v(pv). G.227>
Чтобы это выражение было допустимой лагранжевой плотностью, нуж-
нужно, чтобы оно приводило к правильному уравнению поля: (?+Н'2)ф==О.
Это легко проверить:
G.228)
Отметим, что плотность лагранжиана является скаляром относительно
собственных преобразований Лоренца (в действительности относительно
любых преобразований Лоренца, ибо плотность квадратична по ср).
Доказательство: Действительно, при лоренцевом преобразовании
х —> х' — Ах + а, ф —> ф' (х') = ф (х), поэтому X' (х') = X (х). Импульс, ка-
канонически сопряженный с ф (не путать с полным импульсом Р), есть
я(я) = -Ц- = Фо(я). G-229),
Соответствующий принятому лагранжиану гамильтониан
G.230)
Полученное выражение является положительно определенным, что и сле-
следовало ожидать для плотности энергии. Этим объясняется выбор знака
минус в выражении для плотности лагранжиана G.227). Отметим, что
вид гамильтониана совпадает с полученным из нашего рассмотрения
теории вторичного квантования. Из G.217) и G.227) можно вывести
выражение для канонического тензора энергии-импульса:
^v (V ^)- G-231)
Как видно из самой записи, этот тензор симметричен, что связано с тем,
что поле Клейна —Гордона не обладает внутренним моментом количества
движения, т. е. имеет спин, равный 0. К этому вопросу мы вернемся
позже, при общем обсуждении классических теорий поля в § 7.
Чтобы проквантовать классическую теорию поля, наложим квантовые
условия:
[Яп (t), qm (*)] = \Рп (t), pm (t)} = 0,
lqn(t), pm(t)]=ihbnm.
Умножая эти выражения на ?„ (х) и Z,m (x), суммируя по пяти исполь-
используя полноту системы функций {?,т}, получим перестановочные соотноше-
соотношения для операторов ф(х) и я(х), определенных равенствами G.208)
и G.213), где qn и рп рассматриваются теперь как операторы:
[Ф (х, х°), ф (х\ го)] = [я (х, хо), л (х\ х°)] = 0, G.233)
[ф (х, х°), я (х', хо)] = [Ф (х, хо), ф0 (х\ х°)] = ihcd™ (х - х'). G.234)

§ 4. Свяаъ с теорий поля 189
{Заметьте, что операторы взяты в один и тот же момент времени!) Таким
•образом, квантование превращает переменные поля в операторы, удовле-
удовлетворяющие перестановочным соотношениям G.233), G.234), которые
совпадают с G.184). Следовательно, мы показали эквивалентность теории
вторичного квантования для системы невзаимодействующих частиц
я квантования классического поля Клейна — Гордона.
Указанная эквивалентность позволяет интерпретировать выражения
для лагранжиана, тензора энергии-импульса, момента количества
движения и т. д. как операторные выражения. Чтобы однозначно перейти
от классического описания к квантовому (однозначно в смысле порядка
некомму тирующих множителей я (х) и ф(я), ибо в классической теории
этот порядок произволен), мы примем, что упомянутые выражения будут
записываться в нормальной форме.
Легко вычислить коммутатор Д с it и if1). Так, поскольку ср(х, х0)
коммутирует с ср(х', х0) и с Vcp(x', х0), то
V[q>(x, so), я2(х', х0)] =
= у ^ d?x' {я (х'( х0) I <р(х), я (х\ х0)] +
+ [ф(ж), я(х', жо)]я(х', хо)} =
= ifica(x). G.235)
Аналогично,
[я(х), Н] = ^&х'1я(х), УФ(х', xo).V<p(x', xo) + Vl\*(xi, xo)] =
= i%c(V2q>(x)-\i.2q>(x)). G.236)
Это согласуется с определением Н, как оператора смещения во времени
i%cd0F(x) = [F(x), H], G.237)
так как равенства G.235) и G.236) утверждают, что
<Ро (я) = я (ж) G.238а)
л
доя (х) = У2ф (х) — \i2(f (x) =
= 902ф(ж) G.2386)
и эквивалентны уравнениям движения. Наоборот, если Н является опера-
оператором смещения во времени [т. е. справедливо равенство G.237)], то тре-
требование, чтобы уравнения, полученные вычислением [ф(!г), Н] и [доф> H]i
согласовывались с уравнениями движения, вытекающими из вариацион-
вариационного принципа, предполагает, что должны иметь место канонические
перестановочные соотношения. Перестановочные соотношения можно
рассматривать как требование согласованности для канонического форма-
формализма. Однако нужно подчеркнуть, что канонический формализм допу-
J) При вычислении [Н, ф] и [Я, я] мы пренебрегли тем, что гамильтониан
должен быть взят в нормальной форме, поскольку разность между гамильтонианом
в нормальной форме и неупорядоченным гамильтонианом для случая рассматривае-
рассматриваемого квадратичного гамильтониана является с-числом и коммутирует с ср и л.

190 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
екает как соотношения коммутации, так и антикоммутации. Действитель-
Действительно, можно проверить, что если перестановочные соотношения G.233), G.234)
заменить соотношениями антикоммутации, то последние тоже будут
обеспечивать эквивалентность G.237) и уравнений движения. Правильный
выбор перестановочных соотношений для рассматриваемой системы должен
быть сделан на основании некоторых физических принципов1).
Рассмотрим далее соотношения коммутации Р^ с я (х) и ф(ж):
.G.239а)
[я (a), Ph] = ihc ^p-. G.2396)
Из этих соотношений следует, что для произвольного оператора F = F (ср, я)
ihcj^ = [F,Ph], G.240)
так что Р^ является генератором бесконечно малых пространственных
сдвигов. В релятивистских обозначениях равенства G.237) и G.240)
имеют вид
ihcd^F^lF, PJ. G.241)
§ 5. Квантованное поле
Как было показано, формулировку с помощью вторичного квантова-
квантования можно рассматривать как квантованную теорию поля. До сих пор
мы имели дело с описанием посредством амплитуд (fei, к2 ... кп \ W)
или (xi, ... XnlW), которые соответствуют вероятности найти данное
число частиц с определенными импульсами или координатами. Но мы
могли бы также интересоваться вероятностью найти поле, имеющее
в момент времени х0 конфигурацию %(х), где % (х) — некоторая заданная
функция х. В случае нейтрального эрмитова поля, которое мы рас-
рассматриваем, на этот вопрос можно получить ответ, если иметь собствен-
собственные функции |х(х)) оператора поля <р(х):
).- G.242)
Тогда (%(х) | Y (<)) является амплитудой вероятности найти наше поле,
характеризуемое вектором состояния |ЧГ(^)), имеющим в момет времени t
конфигурацию % (х). (Для простоты мы используем шредингеровскую
картину.) Амплитуда (%(х) | W) = W {%} является функционалом от %.
Введем теперь понятие функциональной производной функционала
F{%). Определим _
^|{ )(} G.243)
где би —любая функция с хорошим поведением, которая при х—>0
переходит в б-функцию Дирака. Переходить к пределу нужно в указан-
указанном порядке.
Например, если
$ G.244)
1) Этот вопрос обсуждается в гл. 8 и 18. — Прим. ред.

§ 5. Квантованное поле 191
ТО
|^- = /(х'). G-245)
По другому можно написать:
6F{%}=\^6X(x)d*z. G.246)
Например, поскольку
бх (х) = [ 6<3> (х - х') бх (х') d V, G.247)
^<8>(х-х'). G.248)
то находим
6%(Х) я<8), __ ,ч
бХ(х') "" ^х х''
Рассматривая разность между
G.249)
И %^J^)F^' получаем
[Х(х), -i-^y] = +г6«'(х-х'). G.250)
Этот результат дает возможность предположить, что в представлении,
в котором оператор ф (х) диагоналей, я(х') имеет вид—ih6/6%(x'). Дока-
Доказательство аналогично изложенному в гл. 1 для операторов р и q,
которые удовлетворяют соотношению [q, р] = i%. Поэтому имеем
^|^>. G.251)
Получим далее явную зависимость состояния без частиц 10) от % (х).
Как мы видели, состояние J0) характеризуется тем, что ак\0) = 0 при
всех к. Из G.188а) находим, что вакуум можно характеризовать также
соотношением
\ d3xeik'x (сйкф (х) -{-in (х)) | 0) = 0 при всех к G.252)
или
s) + ta(x)|0> = 0 при всех х. G.253)
Здесь сок = Уц2 —V2. Если это равенство скалярно] умножить на
вектор (%(х')|> то получим равенство
(х) + h-^L_} (Х (х') 10> = 0, G.254)
которое можно рассматривать как уравнение с функциональной про-
производной для амплитуды (х(х')|0).
Решение уравнения G.254) есть
'}, G.255)
где к — некоторая постоянная, определяющаяся из условия нормировки
@|0) = 1. Метод функционалов можно распространить на теорию взаимо-
взаимодействующих полей. Он тесно связан с фейнмановской формулировкой
квантовой теории поля, в которой амплитуда процесса выражается в виде

192 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
суммы по классическим путям. Изложение и приложения метода функ-
функционалов к задачам теории поля читатель найдет в статьях Фока [264],
Симанзика [760] и лекциях Швингера [722], а также в обзорной статье
Новожилова и Тулуба [590].
§ 6. Заряженное скалярное поле
Рассмотрим теперь обобщение формализма вторичного квантования
и формализма теории поля на случай системы, состоящей из противо-
противоположно заряженных частиц, имеющих спин, равный 0, и массу \к.
Состояние системы будем характеризовать числом положительно и отри-
отрицательно заряженных частиц, их импульсами и энергиями. Пусть базис-
базисный вектор \pip2 ... рт', qv ... qn) соответствует наличию т положи-
положительно заряженных частиц с зарядом + е, импульсами рь р2, ... рт,
энергиями co(pi), со (рг), ... со (рт) и п отрицательно заряженных частиц
с зарядом — е, импульсами qt, q2, .. . qn, энергиями со (qt), «> (q2), ... со (qn).
Так как противоположно заряженные частицы различимы, то этот вектор
будет симметричным лишь при перестановках р,- или q^ в отдельности.
Частицы с зарядом -fe будем называть «частицами», а с зарядом — е
— «античастицами».
Обозначим через а^, ак операторы уничтожения и рождения поло-
положительно заряженных частиц с импульсом к, а через bk, Ь? — соответ-
соответствующие операторы для отрицательно заряженных частиц. Эти операторы
удовлетворяют перестановочным соотношениям:
[ак, **.] = [«?. «М = 0,
[6*, &М = *ов(к-к'),
( }
где fc0=-f-cok. Поскольку операторы а и b относятся к различным
степеням свободы нашей системы, примем, что они коммутируют друг
с другом:
[«к, ЬМ = [в*, V] = 0, G.258а)
[аи, &*•] = [о*. &М=0. G.2586)
Базисные векторы, выраженные через операторы рождения, имеют вид
|Pi, P2, • • • Pm; qi, • • • qn) = y^=- < ... аЦЬ . . . 6*J0), G.259)
где состояние без частиц 10) обладает тем свойством, что
bk|0) = ak|0) = 0 при всех k. G.260)
Операторы числа положительных и отрицательных частиц, N+ и N-,
соответственно определяются выражениями
7V+=J-^akak G.261а)
-^-b2bk. G.2616)»)

§ 6. Заряженное скалярное поле 193
Уже знакомым способом, используя перестановочные соотношения и
свойство вакуума G.260), получаем
N+1 рь ... pm; ql7 ... qn) = т |рь . . . рт; qt, ... qn)~ G.262a)
N- | pi, ... рт; qt, . i. qn) = n | pt, ... pm; qt, ... qn>. G.2626)
Соотношение полноты для базисных векторов есть
J Pio ' ' ' J Рта J 9ю ' ' J ?no
x | Pi, ... pm; qi, • • • qn) (pi. • • • pm; qi» • • • q* I + • • • G.263)
Можно получить разложение произвольного вектора |Ф) по базисным
векторам, если применить к этому вектору соотношение полноты.
Фоковская амплитуда (рь ... pm; qt, ... qn|O) соответствует вероят-
вероятности найти т положительных мезонов с импульсами ръ ... рт и /г
отрицательных мезонов с импульсами qt, ... qn. Представления опера-
операторов а, а* и Ъ, Ъ* в пространстве Фока являются тривиальными
обобщениями представлений, рассмотренных ранее для случая скаляр-
скалярного поля, и мы не будем их здесь воспроизводить.
В теории существует наблюдаемая, соответствующая полному заряду
системы, которая представляется эрмитовым оператором
¦b*kbk). G.264)
+
Перестановочные соотношения Q с операторами"^ и Ъ суть
[Q, ак] = - еак, [Q, at] = eat, G.265a)
[Q, Ък] = еЪк, [Q, Ы] = - еЪ*к. G.2656)
Операторы полной энергии и полного импульса даются выражениями:
d4
Н = \
^ ^ Ьк), G.267)
+
или, короче,
Pv.= \^K №"* + W. G.268)
13 С. Швебер

194 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Введем далее операторы
G.269a)
G.2696)
G.269в)
= _ 1 С ^iake-ih-x G.269г)
которые удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, поскольку
k0 = -f- ]/k2 -f- (ia. Комбинируя введенные операторы, определим операторы
поля
Ф (х) = Ф<+) (х) + Ф<-> (х) = у^ ^ *?. (М-1*'* + aje+*-*) ' G.270)
-*-*), G.271)
подчиняющиеся уравнениям движения:
= О G.272а)
= О. B.2726)
Необходимо отметить, что оператор ф (х) неэрмитов. Используя установ-
установленные ранее свойства Д(±)-функций и то, что ф, ф* удовлетворяют
уравнению Клейна —Гордона, можно получить положительно- и отри-
отрицательно-частотные части операторов ф, ф* с помощью соотношений
Ф<±> (х) = J do» (х') {5^Д(±) (ж -ж').ф (х1) - Д(±) (х - х') д^ (х')} G.273а)
= \ йа^(х'){а^Д(±)(х-х').ф*(х')-Д(±)(ж-х')а^ф*(ж')}. G.2736)
а
Сравнивая G.273) с равенствами G.269а) и G.2696), заключаем, что
Ф*(+) (ж) = [ф(-' (ж)] * G.274а)
и
ф*<-)(ж)=:[ф<+'(ж)]*. G.2746)
Базисные векторы в конфигурационном пространстве имеют вид
\хи х2, ... хт; уи ... уп)~
± Ф<-> (Xl) ... Ф<"> (iB) ф*<-' (г/0 ... Ф*<-> Ы | 0). G.275)

§ в. Заряженное скалярное поле 195
Если имеется xi0 — ... = хт0 = yi0 = .. . = уп0 — т, то амплитуда
(xi, ... хт; pi, ... уп\Ф) соответствует вероятности найти т положи-
положительных и п отрицательных мезонов в момент времени т.
Операторы ф и ф* были получены комбинацией операторов а и Ь
и поэтому перестановочные соотношения для ф и ф* с оператором полного
заряда имеют простой вид1). Ввиду равенств-G.270) и G.265)
[<?, ф(х)]=+еФ(х), G.276)
так что ф (х) порождает заряд е.
Доказательство: Пусть \Q') является собственным состоянием опе-
оператора полного заряда Q с собственным значением Q'. Тогда q>(x)\Q')
является собственным состоянием Q с собственным значением Q'
}• G-277)
Аналогично,
[<?, Ф*(г)] = -еф*(х), G.278)
и, следовательно, ср* (х) является оператором уничтожения заряда е:
?ф* (х) | <?') = Ф* (х) Q | (?') + [(?, Ф*(х)] | <?') = «?' -e)<p*(x)\Q'). G.279)
Ясно, что оператор, уничтожающий заряд е, должен быть построен
из операторов а и Ь*, как и показывает равенство G.271). Действительно,
полный заряд системы можно уменьшить, либо уничтожая заряд -\-е,
либо добавляя заряд — е.
Перестановочные соотношения для введенных операторов легко полу-
получить, используя выражения G.270), G.271) и перестановочные соотно-
соотношения G.256) -G.258):
[ф(я;), Ф*(*')] = -Щф \ ^j~(e-ih-(x-xf)-eih<*-*'>) = гЛ (х-х% G.280а)
[ф*(х), ф (х')] = il±(x-x'), G.2806)
[Ф (х), ф (х')] = [ф* (х), ф* (х')] = 0. G.280в)
Наблюдаемые N+ и N- можно выразить через операторы ф^', ф*(±);
(x) {Ф*(-} {х) ^ф<+) (х) - ^ф*("' (х) .ф(+) (х)},- G.281а)
(x)dvff*m(x) — dllfpi-i(x)-^*M(x)}. G.2816)
Тогда выражение для полного заряда записывается в виде
Q = e(N+-NJ) G.282а)
= - ie: \ da» (x) (q>* (ж) 3„ф (х) - 3„ф* (ж) • ф (ж)):. G.2826)
1) Оператор ф (ж) = аф(+) (а-)-|-Рф("' (ж) будет, разумеется, подчиняться таким же
перестановочным соотношениям с <?, как и оператор ф, определенный равенством
G.270). Лоренц-инвариантность перестановочных соотношений для операторов ф(я)
и ф*(ж) требует, чтобы |а|2 = |Р|2 = 1 [см., например, равенства G.314) и G.324)].
Частный выбор фаз, соответствующий раренству G.270), обсуждается далее в этом
параграфе.
13*

196 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Полный заряд Q сохраняется, так как
б<? =0. G.283)
Ьа{х)
Проверим, что выражение G.2826) действительно приводится к виду
G.282а), где iV+ и N- выражаются согласно равенству G.281). Используя
правила G.194), G.195), выпишем нормальное произведение равен-
равенства G.2826):
Q = - le J
(х) {(ф*(-> (х)д^> (х) - дмФ*(-> (ж) • фс+) (х)) -
- (ф<"> (х) д^*м (х) - ^ф("' (х). Ф*(+> (а;)) +
+ (Ф*(-' (х) д^у" (х) - ^ф*("' (х) ¦ ф("' (х)) +
+ (ф*<+) (х) д^м (х) - ^ф*(*> (х) .ф(<) (х))}. G.284)
Первые два члена соответствуют e(N+ — N-). Покажем, что третий
и четвертый члены равны нулю в результате интегрирования по о в силу
ортогональности положительно- и отрицательно-частотных решений уравне-
уравнения Клейна — Гордона. Рассмотрим, к примеру, четвертый член. Поскольку
<р*<+> и фж удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, то в качестве
поверхности о, по которой проводится интегрирование, можно выбрать
плоскость х° = const. Подставляя вместо ф*с+) и ф<+) их выражения G.269г)
и G.269а), находим
= 0, G.285)
ибо интегрирование по х дает множитель б(к + к'), из-за которого
ko = k'o. Точно так же показывается, что третий член равен нулю.
В согласии с выражением G.2826) для полного заряда оператор тока
jv.{x) можно определить в виде
]^(х)=-1е:^*{х)д^(х)-д^(х).ц>(х):. G.286)
В силу уравнений движения G.272) ток сохраняется, т. е. д^(х)~0.
Поэтому полный заряд
^»{x)doVL(x) G.287)
не [зависит от времени. Как отмечалось выше, оператор тока можно
разбить на две части: так называемую «нормальную» часть, которая
диагональна в iV^-представлении, и «флуктуационную» часть. Последняя
состоит из членов, являющихся произведениями двух операторов рожде-
рождения или двух операторов уничтожения. Наличие таких членов, соответ-
соответствующих рождению и уничтожению пар, с первого взгляда кажется
удивительным. Однако Бор и Розенфельд [70] показали, что эти члены
существенны для того, чтобы заряд в объеме^, \ jo(x) d3x = Qy, дейст-
v
вптельно соответствовал измеряемому на опыте с использованием клас-
классических распределений заряда и тока.

§ 6. Заряженное скалярное поле 197
Поучительно вычислить среднее значение плотности заряда /0 (х)
в состоянии
IУ, > = -~г ^ 1^а*е~Ш'У Vh\0) = (%{х), Ф(->(х)) 10), G.288)
соответствующем положительному мезону, локализованному в точке у
в момент времени у0. Вклад в среднее значение будет давать лишь нор-
нормальная часть /о (х). Флуктуационная часть, действуя на состояние | у; ),
либо дает нуль (члены ф*(+)ф(+)), либо преобразует его в трехчастичное
состояние (члены ф*'"^'"'), которое ортогонально одномезонному состоя-
состоянию | у; ). Таким образом,
> | /о (х) \y,) = ie (у; | Ф<-> (х) 0оф*<+> (х) - %p'-> (х) -ср*(+> (х) \у;) =
= е {% (ж) ^о-Ь (•т)-^о ^ W**»
и среднее значение не равно нулю при х фу. Следовательно, рассматри-
рассматриваемые частицы не являются точечными зарядами, а имеют заряд, рас-
распределенный по некоторой области, размеры которой порядка комптонов-
ской длины волны частицы (А/[хс).
Чтобы установить связь с процедурой квантования поля, описанной
ранее для случая нейтрального поля, заметим, что из перестановочных
соотношений G.280) и свойства А-функции G.168) следует
-;6C)(х-х') G.290а)
[до<р*(х), ф(*')]*о=х;=-г°C)(х-х')- G.2906)
Поэтому определим импульс, канонически сопряженный с ф, как
л(х) = до<р*(х), G.291)
а импульс, канонически сопряженный с ф*, как
п*(х) = доф). G.292)
Действуя в полной аналогии со случаем нейтрального поля, можно
проверить, что гамильтониан имеет вид
Н = \ d3x : л* (х) л (х) + Тф* (х) • Тф (х) + цЛр* (х) ф (х): G.293)
и получается из лагранжевой плотности
X = : <Элф * И • 3*ф (ж) - [х2ф * (ж) ф (ж):. G.294)
Выражение для тензора энергии-импульса теперь есть
?Vv = : д„Ф* {х) dv<p (ж) + dvq>* (х) д^ (х): - g^X, G.295)
а плотность заряда
е|(а;)=/о(а;) = ге:;ф*(*)я*(а;)-ф(а;)я(а;):. G.296)
Отметим также, что оператор тока можно записать в виде

198 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
В § 7 мы увидим, что существование тока р1 является следствием
инвариантности лагранжиана относительно калибровочных преобразо-
преобразований:
<p->eta<p, G.298а)
Ф*->е-1аф*. G.2986)
Мы покажем также, что 4-вектор /м- действительно играет роль тока
и заряда при взаимодействии заряженного скалярного поля с электро-
электромагнитным полем. Между прочим, уже из вида выражения G.297) сле-
следует, что для эрмитова поля <р* = ф вектор /•* тождественно равен нулю.
Выше мы кратко описали теорию для комплексного поля ф с точки
зрения вторичного квантования. Ее можно получить и квантованием
классической теории, лагранжиан которой определяется выражением
X = длфЛр - (х2фф. G.299)
Амплитуда поля ф и комплексно сопряженная величина ф должны рас-
рассматриваться как независимые классические переменные поля. Варьиро-
Варьирование по ф дает уравнение движения для ф:
а варьирование по' ф дает уравнение поля для ф:
^но. G.3006)
^(а+
Оф
Описанная ранее процедура -квантования была сформулирована с помощью
действительных полей, которые разлагались по полной совокупности
действительных ортонормированных функций. Чтобы применить ту жо
процедуру в настоящем случае, разобьем ф на действительную и мнимую
части:
Ф (х) - JL (фA) (х) + V2' (*)) G.301а)
и
Ф (х) = -±= (Ф<" (х) - йр<2) (х)), G.3016)
где фш и ф<2) — действительны и будут рассматриваться дак динамические
переменные. Выражение лагранжиана классической теории через фш и фB)
2
X = -¦ ^ (9рф^")9Рф(« - и.2ф«>ф<«) G.302)
3=1
соответствует двум невзаимодействующим скалярным полям. Импульсы,
канонически сопряженные к ф^>, равны
|| яО-)(Ж) = фО-)(Ж), G.303)
а плотность гамильтониана есть
3=1
2
Т 2 (лШ2 (ж) + V(pU) ^'V(p(i) (ж) + ^2<P(iJ (x))- G.304)
3=1

§ в. Заряженное скалярное поле 199
Теперь можно провести разложение по полной совокупности действи-
действительных ортонормированных функций ?„(х), определенных равенствами
G.207а) и G.2076):
<P(i) (х) = 2 е (*) In (x) A = 1, 2), G.305)
п
а лагранжиан L = \ d3a;^ рассматривать как функцию д^ и q$. Сопря-
... •
женные с qtf} импульсы равны
/4*> @ = ^ = \ d>* т$п In (х) dH = J d-r^x)^ (x). G.306)
Наконец, условия квантования выражаются перестановочными соот-
соотношениями:
ДОЧ0. Р?(О1 = **«А» G-ЗО7а)
[^ @. ^ С)! = [^° @. ^ @1 = 0, G-3076)
где pW и д(/' —теперь эрмитовы операторы. Одновременнйе перестано-
вочные_соотношения для операторов я") и фО имеют вид
[дО (х), фО) (х')]«„=х; = - *М«> (х- х'), G.308)
причем все остальные одновременные коммутаторы равны нулю. Для
неэрмитовых операторов я, я* и ф, ф*, определенных равенствами
ф {х)=уг(фA) {х)+*ф<2) {х))' G-309а)
Ф* (х) = -ф= (ф« (Ж) - »р<2> (х)), G.3096)
G.309в)
G.309г)
перестановочные соотношения
[ф(ж), n(x')]xg;=^=i8ls>(x-x') G.310a)
и
-x') G.3106)
согласуются с установленными ранее перестановочными соотношениями.
Законы преобразования операторов поля при собственных преобра-
преобразованиях Лоренца следующие:
U(а, Л)ф(х)*7(а, Л)-1 = ф(Ля + о), . G.311а)
С/(а, Л) ф* (х) U (а, А)~х = ф* (Лх + а).1 - G.3116)
Потребуем, чтобы при пространственном отражении частицы переходили
в частицы, а знак их импульса изменялся согласно классическому тол-
толкованию пространственного отражения. Поэтому при отражении ф (х)

200 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
и ф*(х) преобразуются согласно правилам
U (is) ф (х) U (Q-1 = т)рф (isx) = т)Рф (х0, - х) G.312а)
и
(xo, -x), G.3126)
где G (is) — линейный унитарный оператор, а т)р — фазовый множитель. Заме-
Заметим, что операция J7(i«) переводит части операторов поля с положитель-
положительной (отрицательной) частотой в части с тем же знаком частоты [т. е. U (is)
переводит ф<±)(я) в т^ф^ (isx), что можно проверить, если подейство-
подействовать оператором проектирования \ da^(x) Д(±)(а;'—х) дц на обе части
равенства G.312)]. Вакуум можно характеризовать равенством ф<+> (х) 10) =
= ф*<+) (х) |0) = 0. Отсюда и из упомянутого свойства U (is) следует, что
можно постулировать инвариантность вакуума относительно U (is):
U(is)\0) = \0), G.313)
что делает определение U (is) однозначным. Далее, для того чтобы лагран-
лагранжиан был инвариантным, т. е. U (is)X (x) U(is)'l = X(isx), |т)р|2 должно
быть равно +1. Можно аргументировать и по-другому. Если операция
U (is) должна отображать операторную алгебру ф, ф* (которая опреде-
определяется уравнениями поля и перестановочными соотношениями) саму на
себя, то эта операция должна сохранить неизменными определяющие
соотношения, т. е. уравнения поля и перестановочные соотношения. Чтобы
последние оставались инвариантными, | т)р |г должно быть равно +1,
так как ,
b(x-x'). G.314)
Мы будем говорить, что теория инвариантна относительно пространствен-
пространственного отражения, если можно выбрать фазовый множитель г\р так, чтобы
операция отражения при выбранных фазах коммутировала с гамиль-
гамильтонианом
и (is) &е (х) и (Q-1 = &е (^) G.315)
и сохраняла неизменными определяющие соотношения, т. е. перестано-
перестановочные соотношения. Это эквивалентно утверждению, что не существует
такого предсказания теории, которое дало бы возможность отличить
правое от левого. В рассматриваемой теории, где вырожденные одноча-
стичные состояния полностью-определяются спином (равным 0) и зарядом
(плюс для частицы и минус для античастицы), можно выбрать х\р— + 1.
Фаза т)р=-)-1 соответствует случаю «скалярных» частиц, а %= — 1
— случаю «псевдоскалярных» частиц. Далее мы покажем, что бозе-поля
характеризуются тем, что частицы и античастицы имеют одинаковую
четность. Для этого введем разложение операторов поля по полному
набору одночастичных состояний с определенной энергией и моментом
количества движения [682]. Разложим ф (х) по решениям ?s (x) уравнения
(V2-|-k2)?s =0, соответствующим определенной четности и моменту коли-
количества движения:
(г = |х|). G.316)
~™r
Здесь Y™ — сферические функции, выбранные так, что Yj"= ( — l)mY
a ]'i (\ k | г) — сферические функции Бесселя, которые везде регулярны.

§ 6. Заряженное скалярное поле 201
Предполагается, что функция ?s равна нулю на поверхности достаточно
большой сферы с радиусом R (т. е. такой, что |к|/?>1). Это условие
ведет к тому, что значения |к| дискретны. Примем, что функции fi
к
нормированы согласно условию B/R) \ (| k \rJfi ([ к ] г) dr — 1. Тогда раз-
разложение оператора ф (х) имеет вид1)
Ф (х) = 2 {«(Iк М. т) уТ (9. Ф)
+ b*(\k\, I, m)Y?(Q, Ф)е^'}|к| |/A/,(|k|r). G.317)
Оператор а*(]к|, I, т) есть оператор рождения положительно заряжен-
заряженной частицы с энергией сок =. j/k2 + |ла, полным (орбитальным) моментом
1A + 1)Ъ2 и его третьей компонентой т%. Оператор b* (|k|, I, т) — анало-
аналогичный оператор для отрицательно заряженной частицы. Можно про-
проверить, что гамильтониан Н и оператор полного момента количества
движения М= \ d3x[xxG] (G —оператор плотности импульса, Gi = Toi)
просто выражаются через a(|k|, I, m), b(\k\, I, m) и сопряженные им
операторы и что Н, М2 и Ms в действительности диагоналъны в пред-
представлении, в котором диагональны операторы числа частиц •/VjV|(m =
= «*k 11тР-\ к 11т И N\k\im — t>\k\lm.t>\k]lm- МОЖНО ПОЛучИТЬ СВЯЗЬ Операторов
рождения для состояний с определенным импульсом с операторами рожде-
рождения для состояний с определенным моментом количества движения, если
сравнить G.269) и G.317). Например,
а*(к)=^|/^2 2 ilYT(^)a*(\k\,l,m). G.318)
l=0m=-l
При отражениях
U(i.yi =
= 2 {U{is)a([k\, I, m)*7(js)-iyr(8, Ф)в-1ш"' +
| к | lm
+ U (is) b* (I к |, I, m) U (is^Yf (9, ф) е^'} | к | y^A /, (| к | г) =
= т!Рф (isx) = цР ^ {a (| к |, I, m) ( - l)'Yf (8, Ф) е~ш^ +
\k\lm
+ b*(\k\, l, т)(-1)гУГ(8, ф)е-!^}|к| \f±h(\k\r). G.319)
Используя ортонормированность Ym и /г(|к|г), имеем
U(it)a[1llimU(it)-1 = r]P(-l)lawlm G.320a)
, к | lmU ^Г1 = Пр (-1)% к | Im. G.3206)
х) Отметим, что ранее этот оператор автор обозначал через <р* [см. G.271)].-
Прим ред.

202 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Таким образом, свойства одночастичного состояния а* ([к], I, т) [0),
связанного с псевдоскалярным полем (цр=: —1), таковы, что отражен-
отраженное состояние содержит, помимо множителя, связанного с орбитальным
движением, дополнительный знак минус, указывающий на отрицатель-
отрицательную «внутреннюю» четность. Подобным образом состояние одной анти-
античастицы й*(|к|/т)|0) при отражении приобретает множитель %.( — 1)',
так что частица и античастица имеют одинаковую внутреннюю четность.
Операция слабого, или вигнеровского, обращения времени (операция
обращения движения по терминологии Людерса [517, 518]) определяется
•с помощью антиунитарного оператора U (it), причем
U(it)tf(x)U(it)-1=i
U(it)^(x)U(it)-1=n
U(iiY = \,
1тФ (UX),
j(f* (itx),
G.321a)
G.3216)
G.321b)
¦Оператор U (it) должен быть антиунитарным, чтобы сохранить инвариант-
инвариантность перестановочных соотношений. Действительно, предположим, что
обращение времени определяется с помощью унитарного оператора V (it)
¦с перечисленными выше свойствами.' Тогда перестановочные соотноше-
соотношения преобразовывались бы следующим образом:
ib(x-x') = T(it)\<v(x), Ф* (*')]?" (О =
= | % |2 [Ф (*,*), Ф* (itx')\ = *Л (it (х - х')) | Лг |2 =
= — ;|т1г|2Л(ж-я:'), G.322)
что ведет к противоречию, так как нельзя совместить первую и третью
строку равенства G.322). С другой стороны, если U (it) — антиунитарный
оператор, то
U(it)iU(ity1= -i. G.323)
Поэтому
U (it) [Ф (х), ф* (х')] U (it)'1 = - гД (х -*')=»- гА (х - х') =
^ -;|т1т|2Л(ж-ж'), G.324)
и перестановочные соотношения будут инвариантными, если | tit |2 выбрано
равным +1. Можно проверить, что при таком выборе х\Т лагранжиан
свободного поля тоже инвариантен. Аналогично, U (it) HU (it)'1 = Н, так
что теория инвариантна при обращении времени. Отметим, однако, что
U(it)FU(it)-1= -P G.325)
Определим далее линейную унитарную операцию зарядового сопря-
сопряжения Uc, потребовав, чтобы
Uc\Pu Ра, •• Pm; qi. ••• Чп) = Ц(п, m)\ql, ... qn; pt, . .. pm) G.327)
и
Uc\0) = \0), G.328)
где r\ = r\(n, m) — фазовый множитель. Оператор Uc заменяет частицы
на античастицы, оставляя неизменными их импульсы, и не изменяет

§ 7. Законы сохранения и лагранжев формализм 203
состояние вакуума. В частности, при действии на одночастичное состояние
Uca*Pl 10) = Uc | Pl; ) = 17*1,17?10) = т]с |; Pl) = i)cb*Pl 10), G.329)
так что можно определить
Uef&U? = хьЫ G.330)
и
и*ки? = 1\^ G.331)
где г|с удовлетворяет условию | г\с |2 = +1 и является зарядовой чет-
четностью частицых). С другой стороны, можно определить зарядово-сопря-
женный оператор фс (х)
фс (х) = С/Сф (ж) С/с1 = т)сф* (ж) G.332а)
и
ф* (х) = С7сф* (ж) С/с1 = Псф (ж). G.3326)
Равенства G.332) вместе с G.328) можно рассматривать как определе-
определение Uc. В силу нашего определения X в виде нормального произведения
лагранжева плотность инвариантна относительно зарядового сопряжения
Uc?U? = Se. G.333)
То же самое справедливо относительно перестановочных соотношений,
что и означает инвариантность теории относительно зарядового сопря-
сопряжения. Отметим, что оператор полного заряда Q антикоммутирует с С/с:
UcqUll=-Q. G.334)
Действительное поле, описывающее частицы, тождественные с антича-
античастицами, с помощью операции зарядового сопряжения может быть охарак-
охарактеризовано условием
фс(а0 = ф*(а:) = ф(ж). G.335)
Такое соотношение между оператором ф и зарядово-сопряженным опера-
оператором фс обеспечивает тождественность состояний с частицами и состоя-
состояний с античастицами. Для такого поля равенства G.335) и G.332) дают
т)с = т)с. Следовательно, т)с должно быть действительным и равным ± 1.
Аналогичные аргументы показывают, что для зарядово-самосопряжен-
ных полей фазовые множители т]р и т)т действительны и могут быть
равны только ± 1.
Интересно отметить, что Uc и U(is) для бозе-поля коммутируют,
поскольку
UCU (is) Ф(ж) U (i.)-4J? = U (it) С/СФ (х) UIXU (^Г1 = г)ст]Рф* (isx). G.336)
Это справедливо лишь для частиц с целым спином.
§ 7. Законы сохранения и лагранжев формализм
При обсуждении заряженного скалярного поля мы уже кратко отме-
отмечали, как обобщается лагранжев формализм, чтобы включить поля более
Ц Отметим, что понятие зарядовой четности имеет смысл лишь для нейтраль-
нейтральной системы; точнее, в том случае, если система переходит при зарядовом сопряжении
сама в себя. См., например, книгу Ахиезера и Берестецкого [3], а также [905].—
Прим. ред.

204 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
чем с одной компонентой. Обозначим посредством <рг(ге) (г = 1, 2, . .. га)
любое такое многокомпонентное поле. Тогда изменение лагранжевой
плотности X = X (фг, фт-ц) при варьировании фг есть
^6ф0 G-337)
Из принципа действия, требующего, чтобы Ы = Ь \ Xd4x = 0 при любых
Q
вариациях 6фг, равных нулю на поверхности 2 объема Q, вытекают
уравнения
1^-—пт^- = О (г = 1, 2,...п), G.338)
которые являются уравнениями поля. Поэтому для полей, удовлетво-
удовлетворяющих уравнениям движения, изменение лагранжевой плотности ЬХ',
вызванное вариациями фг, имеет вид
^- %S) • G.339)
Это равенство дает возможность вывести различные законы сохранения,
рассматривая различные типы вариаций полей <рг [629, 377].
Рассмотрим сначала случай, когда X явно не зависит от простран-
пространственно-временных координат и когда вариация бфг вызывается беско-
бесконечно малым сдвигом
х—>х' = х + га, G.340)
при котором
фг (х) —» ф; (х') = фг (х + га) = фг (х) + бфг (х). G.341)
Вариация бфг в первом порядке по е равна
бфг (х) = Ф; (х1) - Фг (х) = е (-^)Е=0 + О (е2) = еа^фг (х). G.342)
Аналогично, вариация плотности лагранжиана равна
. = в ( gJ? &в (Ж)))е=0 - га^Х (Фг (х), 9rv (х)). G.343)
Равенство G.339) утверждает, что
ea» i д„% - у. dv ( -?±— д„ъг ) \ = 0. G.344)
r=l
Так как а^ произвольно, то из равенства G,344) следует
= 0 G.345а)
-_^_r^v = 0. G.3456)

§ 7. Законы сохранения и лагранжев формализм 205
Это закон сохранения канонического тензора энергии-импульса. Тензор-
Тензорный характер T'^v при собственных преобразованиях Лоренца является
следствием принятых трансформационных свойств X, именно, предполо-
предположения о том, что X преобразуется при собственных преобразованиях
Лоренца, как скаляр. Как было показано ранее [см. равенства G.219)
и G.220)], из равенства G.345) следует постоянство во времени 4-вектора
полной энергии-импульса
= J dav (х) T'J. G.346)
Рассмотрение, аналогичное приведенному выше, можно провести
и в случае, когда вариация qv вызывается бесконечно малым однород-
однородным преобразованием Лоренца:
а!ц->а^ = (Ла;)ц=(в^ + в^)а!у, G 347)
X»v = — Х^.
Предполагается, что при этом фг преобразуются следующим образом:
п п
q?r(x)^&(x') = ^Bsr(A)<p4x)^(bsr + ~tbsr\llv>)<ps(x), G.348а)
8=1 ¦ 8=1
причем
ь?ч=-ъ?*. G.3486)
Из лоренц-инвариантности лагранжиана следует, что
X' (Ф; (a:'), qv (*')) = X (Ф, (а:), фг|Х (а:)) =
ч')г{х'), (?ii)r (*')), G-349)
т. е. X и X' имеют одинаковые численные значения в одной и той же
точке, понимаемой в физическом смысле. Можно проверить, что равен-
равенство G.339) в случае вариаций, вызванных бесконечно малым .однород-'
ным преобразованием Лоренца, ведет к тому, что тензор т'^0
m-,xvo= у bj!v|i<p,^- + a:vr'w_a:i»rvo G.350)
Г, 8=1
сохраняется и удовлетворяет условию
двт^о = о. G.351)
Поэтому можно определить шесть не зависящих от времени величин
x), G.352)
образующих компоненты антисимметричного тензора, причем простран-
пространственные компоненты соответствуют компонентам момента количества
движения системы, а временные компоненты связаны с координатами
центра масс системы [652, 562, 563, 564]. Первый член в равенстве
G.350) соответствует плотности спинового момента количества движения,
а член ajv7"'i0 —a;*171'v0 — плотности орбитального момента количества дви-
движения.

206 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
Белинфанте [42] показал, как можно переопределить канонический
тензор энергии-импульса Т цл\ чтобы новый тензор Т^ был всегда сим-
симметричен, Т^ = Tv>i, и чтобы
Кроме того, тензор момента количества движения, определенный равенством
»Vq = а;йГУ0 — ач,^, G.354>
обладает свойством
и поэтому
^ ^ (ж). G.356)
Из равенства G.356) следует, что тензор пг^х0 ведет к тем же физи-
физическим следствиям, что и m^VQ, т. е. они приводят к одинаковым шести
интегралам движения. Отметим, между прочим, что для скалярного
поля ф, когда Ьвг^ = 0, из G.350) и G.351) вытекает, что канонический
тензор энергии-импульса уже симметричен.
Десять сохраняющихся величин \ 7T|XV ddv = Р11 и М^ = \ т^° dop
появляются вследствие инвариантности 35 относительно неоднородных
преобразований Лоренца. Лагранжиан может обладать и другими свой-
свойствами инвариантности, которые приведут к дополнительным законам
сохранения.
Рассмотрим, например, случай, когда X относится к описанию ком-
комплексных полей, которые характеризуются переменными поля фг, ф*.
Так как X действительная функция (а в квантовой теории—эрмитов
оператор), то в лагранжиане могут появиться только комбинации ф*фг
пли di4p* 5йфг. Поэтому ? является инвариантом относительно кали-
калибровочного преобразования, при котором
Фг (х) —> ф; (я) = ё*уг (х) ъ A + ш) Фг (ж), G.357)
а а — действительная бесконечно малая постоянная. Так как плотность
лагранжиана JP, по предположению, инвариантна относительно этого
преобразования
6# = 0 G.358)
и
ёфг = фг — фг = -(- шфг, G.359а)
бФ* = Ф'г* - ф* = - iaq>?, G.3596)
то из равенства G.339) следует
Ч Тг, ц 9(рг, ц
x), G.3606)

§ 8. тс-мевоны 207
где
есть сохраняющаяся плотность электрического заряда и тока. Позже,
в гл. 10, мы покажем, что так определенная величина действительно
ведет себя как источник электромагнитного поля в соответствии с урав-
уравнениями Максвелла, чем будет доказано, что ]^{х) на самом деле
является плотностью заряда и тока.
В общем случае, если лагранжиан инвариантен (т. е. ЬХ = 0) отно-
относительно преобразования калибровки
фг-^ ф'г = eiEvyr ъ (l+iBqr) фг, G.362а)
бфг = гедгфг, G.3626)
где е—бесконечно малая величина, а дг — некоторое характерное для
поля фг число, равенство G.339) утверждает, что четырехмерный ток
п
J^ = ^-a^M^r(x) G.363)
имеет равную нулю дивергенцию
(я) = 0. G.364)
Равенство G.364) определяет интеграл движения С:
г=1
п
= 2 [d3xqritr(x)yr(x). G.365)
В случае преобразования калибровки G>357) величина С соответствует
полному заряду Q.
§ 8. я-мезоны
Как хорошо известно, в природе существуют три частицы, я*-,
я"- и я0-мезоны, массы которых приблизительно равны 273tfie, а спины
равны нулю. Точнее, массы заряженных мезонов одинаковы \i (я+) =
= \а (я") = \i± = 273,27те, а масса я°-мезона равна B64,37 ± 0,6) те.
Последнее значение получено из данных по захвату я"-мезонов прото-
протонами. Спин заряженных я-мезонов был определен из принципа деталь-
детального равновесия в применении к реакции р + р—>d^-n* и оказался
равным нулю. Нейтральный я-мезон также имеет спин, равный нулю,
так как он распадается на два у-кванта, что невозможно для частицы
с нечетным спином (значения спина, большие единицы, исключаются
из теоретических соображений). Из того, что наблюдается реакция
n~-\-d—>2n, можно заключить, что я"-мезон имеет отрицательную чет-
четность (по отношению к нуклону, который принято считать обладающим
положительной четностью). Если допустить, что я+-мезон является анти-
античастицей по отношению к я"-мезону, тогда я+-мезон должен иметь
такую же четность (т. е. отрицательную), что и лГ-мезон. Все три

208 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
частицы нестабильны. Заряженные мезоны распадаются с испусканием
заряженного fA-мезона и нейтрино, я±—>\>.±-г\, со временем жизни,
равным B,56 ± 0,05)-10"8 сек. А л°-мезоны распадаются на два ¦у-кванта
(и в 1,45% случаев на е*-\-е' + у) со временем жизни —10~16 сек1).
Многие толкования взаимодействий л-мезонов основываются на пред-
предположении о том, что эти три наблюдаемые частицы являются тремя
зарядовыми состояниями одного рода одной «элементарной» частицы.
Предполагается, что разница масс заряженных и нейтральных л-мезо-
нов возникает из-за электромагнитных эффектов тииа собственной энергии.
Мы примем это допущение. Пренебрегая всеми взаимодействиями
(не только теми, которые ведут к разнице масс, но и приводящими
к нестабильности), получим, что лагранжиан, описывающий систему
я-мезонных полей, имеет вид
Х = -\ :^(р|-(рзЖ:-:^Ф*Ф-Ф^:. G.366)
Здесь мы приняли, что массы заряженных л-мезонов одинаковы
ja+ = jx_ = }х±; ф3 есть эрмитов оператор, описывающий нейтральное я°-мезон-
ное иоле, а ф и ф* являются операторами (неэрмитовыми), описываю-
описывающими заряженное поле. Если ввести эрмитовы операторы поля (pt и ф2
G.367а)
ф* = Т(ф1~г'ф2)' G-367б)
то X принимает вид
з
X = -4 2 0**РЛ»- Фл*Ф?). G-368)
причем [г1 = ц,2 = ^± и Уз = М'о- Канонически сопряженные с фг импульсы
суть
так что одновременные перестановочные соотношения таковы:
[ф, (х'), Я! (х')]Х0=х>0 = г6^6C> (х- х'). G.370)
Остальные коммутаторы равны нулю. Оператор плотности тока дается
выражением
К4?^0' G-371)
причем
/о = Q= — ie : л*ф* — лф : =е : л2ф1 — Л1ф2'.. G.372)
Этот ток сохраняется, д^ = 0. Существование такого сохраняющегося
4-вектора можно рассматривать как следствие инвариантности =5? отно-
г) Подробности относительно я-мозоиов, а также интерпретацию экспериментов,
ведущую к приведенным выше значениям спина и четности, можно найти в книге
Бете и Гофмана [54].

§ 8. Я-мезоны 209
сительно преобразования:
Ф —> eia<p,
<p*_>.e-ta<p, G.373)
фз —» фз-
Если поля фг (i=l, 2, 3) представлять себе как компоненты вектора <р
в некотором «зарядовом» пространстве, то можно увидеть, что плот-
плотность X инвариантна при вращениях вокруг оси 3 в «зарядовом» прост-
пространстве. Обозначим через Т3 оператор, который вызывает бесконечно
малое вращение вокруг оси 3, т. с.
G.374а)
G.3746)
= ф3. G.374в)
Поскольку при бесконечно малом е
е-«т3ф. (я) е+«тз ^ фг (а;) _ jE [Уз, фг (а;)], G.375)
то из сравнения равенств G.374) и G.375) заключаем, что оператор Тъ
должен быть таким, чтобы
i[Tz, ф1]= -ф2,
гЩ, ф2] = Ф1, G.376)
г[Т3, ф,1=0.
Поэтому в качестве Т3 можно выбрать
И -  (х) Ф1 (ж)} ^ - 4 <? = | J d3*Q (ж). G.377)
Ясно, что если массы ц.± и ^i0 принять одинаковыми, тогда плотность
лагранжиана JS будет инвариантна относительно произвольных враще-
вращений в зарядовом пространстве. Компоненты Tt (i = l, 2, 3), вектора Т
Т = - jj d*x [я (х) X <р (ж)] G.378)
являются генераторами вращений вокруг соответствующих осей в заря-
зарядовом пространстве. Поскольку Т и Н коммутируют Т оказывается интег-
интегралом движения. Соотношения коммутации для операторов Tt просто
выводятся с помощью равенстве G.370). В результате имеем
з
[Т,, Tj] = ^ <Рх 2i birsbjmn. [яг (х) ф8 (ж), ят {х') фп (a;')]Xo=acj = mjmTm.
г, s. m, п=1
G.379)
Следовательно, операторы Т% изоморфны операторам момента количества
движения, и Т2 и Т3 можно одновременно выбрать диагональными.
Величину Т называют изотопическим спином поля, а зарядовое про-
пространство— пространством изотопического спина, или изотопическим
пространством.
Поскольку Т3 — (l/e)Q, можно сразу написать одночастичные соб-
собственные состояния Т2 и Т$. Так, состояние с одним нейтральным
я-мезоном, ф3(ж)|Ф0) (причем |Ф0) есть состояние вакуума, для которого
Т3 |Ф0) = Т21 ф0) = 0), является собственным состоянием Т3 с собственным
14 С. Швебер

210 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
значением 0 и Т2 с собственным значением 2, т. е. если собственное значе-
значение Т2 обозначить через t(t-\-l), то ?=1. Аналогично, (ф1-Мфг)|Фо)
является собственным состоянием Т3 с собственным значением +1,
а (ф1 — {ф2) |Фо) —собственным состоянием Т% с собственным значением
— 1, причем оба состояния являются собственными состояниями Т2
с t= +1. Другими словами, состояние с одним я+ (я~)-мезоном является
собственным состоянием оператора третьей компоненты изотопического
спина с собственным значением +1(—-1). Поэтому говорят, что я-мезоны
имеют полный изотопический спин +1, а три состояния с t3 = Q, ±1
соответствуют трем различным зарядовым состояниям. Приведенные рас-
рассмотрения будут играть важную роль при анализе взаимодействий мезо-
мезонов с нуклонами.
Более формальный вывод свойств изотопического спина для мезон-
ного поля таков. Если [хг = [х, то лагранжиан G.368) инвариантен отно-
относительно любого вращения в изотопическом пространстве и, в частности,
инвариантен при бесконечно малом вращении на угол X вокруг ?-й оси,
при котором
4V И —* Фз- (х) = 4>j (я) + teijkyk (ж) G.380)
(подразумевается суммирование по к от 1 до 3).
Вариация (fj равна
6Ф.7 = Фзi — фу = heUkq>k, ¦ G.381)
а так как плотность X инвариантна при вращениях, равенство G.339)
дает закон сохранения
3, k=l
который при помощи равенства
1Г^- = фУ G.383а)
можно переписать в следующем виде:
з
2 : д|д,(ф^Ещфй): = 0. G.3836)
Следовательно, вектор изотопического спина
з
— ^j Бщф^фй (/.оо4)
сохраняется, т. е.
5^ = 0 (i = l, 2, 3), G.385)
так что вектор Т с компонентами
Ч«^ G-386)
не изменяется со временем. Мы закончим эту главу некоторыми замеча-
замечаниями об описании состояний системы мезонов в изотопическом про-
пространстве.

§ 8. п-меаоны 211
Вспомним, что мы определили операторы мезонного поля (f>j(x)
посредством равенства
[k)e+ih-x), G.387)
так что <p = (l/"|/2) (<pi + i<Pa) соответствует оператору рождения положи-
положительного мезона и оператору уничтожения отрицательно заряженного
мезона, ф* = A/1^2) (ф4 — мр2) соответствует оператору рождения отри-
отрицательного мезона и оператору уничтожения положительно заряженного
мезона, а ф3 — оператору поля нейтральных мезонов. Следовательно,
оператор A/^2) (а4(к) — ш2(к))* является оператором рождения поло-
положительного мезона с импульсом к. С использованием этого определения
(x) яг (х) =¦
(«ik-i«2k)-(eik + Ja2k)*(aik + ia2k)}, G.388а)
= N+-N-. = -jQ. G.3886)
Через операторы aik вектор Т выражается следующим образом:
Tj=-i ^eJlmal(k)am(k). G.389)
Так как [Tj, Tt] = iejimTm, то операторы изотопического спина изоморфны
операторам момента количества движения. Операторы
Г± = Ti ± iT2 = - J ^ {± (alk т ia*)* a3k ^ a|k (alk ± ia2k)} G.390)
изменяют собственные значения оператора Тъ на +1. Классификация
состояний га мезонов с помощью собственных значений Т2 и Тъ прово-
проводится в полной аналогии со случаем момента количества движения.
Рассмотрим, например, двухмезонную систему. Ясно, что состояние
|я+(к4), я+(к2)), в котором присутствуют два положительно заряженных
мезона с импульсами ki и к2 (() = 2), является собственным состоянием
Г3 с собственным значением 2 и Т2 с собственным значением 2B + 1).
(Иногда мы будем опускать зависимость от импульсов и писать просто
|2я*).)
Поэтому можно написать
| Т = 2, Гз = 2; к4, к2> = —= ^= (alkl - ia2kl)* y= (oik> - ш2к2)* 10). G.391)
Обозначения в левой части очевидны: \\Т = 2, Тъ = 2; к(, к2) есть двух-
мезонное состояние с полным изотопическим спином Т = 2 и Т3 = 2.
Состояние \Т = 2, T3 = l; k1; к2) получается, если подействовать опера-
оператором Т- на 12, 2; kt, k2). Если фазы выбрать так, что
T±\t, t*) = V{t^:t,){t±tb + l)\t,t9±l), G.392)
14*

212 Гл. 7. Релятивистские методы в пространстве Фока
то найдем
Г_|2, 2;
X
^-(alk—ia2k)l |Jt+(kt), я+(к.2)> =
= -У2(|я*(к2); яР(к,)> + |я+(к,); я»(к2)». G.393)
Аналогично,
V, 0; к„ к2> =
1 |^ (к,); яо(ка)» =
= {2[; я» (к,), яо(к2))-|я+(к2);; ir{kt))-
- I я* (к±); ; я-(к2))} G.394)
и т. д. Имеются три состояния с Т = 1. Ясно, что состояние с Т3 = 1
(и, следовательно, с @ = 1) должно быть линейной комбинацией состоя-
состояний |jt+, я"), т. с.
|1, 1; к,, к2> = о|я*(к,); я°(к2))+ Ъ\п+ (к2); яР(к,)>. G.395)
Это состояние должно быть ортогональным к состоянию 12, 1; klt k2).
Отсюда заключаем, что а— —Ъ. Поэтому
|1, 1; к„ к2) = -—{\я*(к1); я0 (к2)) — |я* (к2); яо(к,))}. G.396)
Поступая,так же, как и выше, получаем
V м- Ь- \ Т И 4 • L- t \ ¦
1; к„ к2> = ^1-7'_|1, 0; kt, кг> =
|ло(к2), я-(к,))-|я-(к2), я»(к1))}. G.398)
Существует одно состояние с Т = 0. Поскольку оно должно иметь Ts = 0
и равный [нулю заряд, это состояние является линейной комбинацией
состояний |я*, я~), \л~, п%) и | я", л^). Оно должно быть ортогональным
к состояниям |2, 0; kj, k2) и |1, 0; кь к2). Последнее требование
и определяет вид этой линейной комбинации:
, 0;.к„ к2) = ^== {| л* (ki); я"(к2)> + |я*(к,); яг(к,)>-
); яо(к2)». G.399)

Г Л А В А 8
Квантование поля Дирака
§ 1. Перестановочные соотношения
Свободное заряженное поле со спином, равным х/2, описывается
четырехкомпонентным комплексным спинором яр, который удовлетворяет
уравнению Дирака, и при лоренцевых преобразованиях изменяется со-
согласно соотношению
г|за(ж)->^(ж') = 2^аэ(А)^э(Л-1(ж'-а)) (а=1, 2, 3, 4). (8.1)
3
Чтобы применить канонический формализм, будем рассматривать четыре
компоненты дираковского спинора яр как независимые динамические
переменные. Главное отличие лагранжиана для поля Дирака от обсуж-
обсуждавшихся до сих iiop лагранжианов заключается в том, что лагранжиан
Дирака первого порядка по dptp, ибо он должен приводить к дифферен-
дифференциальному уравнению первого порядка относительно яр. Это ведет
к небольшим изменениям гамильтонова формализма.
Лагранжева плотность имеет вид
Здесь мы обозначили обратную величину комптоновской длины волны
для дираковской частицы через т. В дальнейшем мы сохраним это
обозначение, чтобы отличать частицу спина, равного 1/2, от частицы со
спином, равным нулю. Массу последней по-прежнему будем обозначать
буквой \i. Уравнения движения получаются независимыми варьирова-
варьированиями по $ и ip. В частности,
(8.4)
так что вариационное уравнение Эйлера дает уравнение Дирака:
Аналогично, при варьировании по \|з получается правильное уравнение
для сопряженного спинора я|5. Между прочим, если удовлетворяются
волновые уравнения, то X обращается в нуль.

214 Гл. 8. Квантование поля Дирака
Используя общее выражение для вектора тока и заряда [равенство
G.361)], получаем вектор тока для поля Дирака
у"|* (ж) = ei|) (ж) y4ty (x), (8-6)
который сохраняется в силу уравнений движения. В частности, из
закона сохранения д^ (х) = 0 следует
lY0^3^ = 0- (8-7)
Это равенство соответствует сохранению полного заряда.
Как уже отмечалось, X — первого порядка по дог|). Это ведет к тому,
что канонически сопряженные импульсы не являются независимыми от
переменных поля г|з и г|). Поэтому канонический лагранжев формализм
непосредственно неприменим, и к гамильтониану нельзя сразу же перейти.
Возникающую трудность можно обойти, если вспомнить, что все пред-
представляющие физический интерес величины можно получить из тензора
энергии-импульса [равенство G.345)], который в настоящем случае,
с учетом X — 0, имеет вид
Этот тензор несимметричен, но его легко симметризовать (см., напри-
например, [622]). Однако тензор (8.8) дает такой же 4-вектор энергии-им-
энергии-импульса, как и симметризованный тензор:
(8-9)
Последняя строка равенства (8.9) получается, если после интегрирова-
интегрирования по частям, опустить поверхностные члены при |А = 1, 2, Зи исполь-
использовать (8.7) для ц = 0. В силу уравнений движения для полной энергии,
или гамильтониана, получаем выражение
. (8.10)
Квантование поля Дирака со спином, равным 1/2, можно провести по
аналогии с квантованием скалярного поля. Следует ожидать, что коэф-
коэффициенты разложения шредингеровских операторов поля г[)(х), 'ф(х) по
полному набору решений wn (x) уравнения Дирака для свободной
частицы можно будет интерпретировать, как операторы рождения
и уничтожения. Индекс п у wn обозначает совокупность собственных
значений полного набора наблюдаемых для одной частицы: энергии,
импульса и проекции спина частицы. Функции wn (x) равны спинорам
wT (p) ('" = 1> 2, 3, 4), умноженным на соответствующие плоские волны.
Так,
о>г(х) = а>г(р)еч?-х при г = 1,2,
м)г(х) = иг(р)е-*Р-х при г = 3, 4. (' '

§ 1. Перестановочные соотношения 215
Спиноры хюТ (р) были введены ранее в гл. 4 [см. равенства D.141)].
В шредингеровской картине разложения операторов г|з (х) и т|з (х) даются
выражениями
п
(8.12a)
(8Л2б)
причем суммирование проводится по состояниям как с положительной,
так и с отрицательной энергией. Множитель (т/\ Еп \)У* включен в силу
принятой нормировки спиноров: ww = е.
Рассмотрим теперь гамильтонов оператор поля, который, согласно
равенству (8.10), равен
# = { d3xty(x)(-iy-V + m)ty(x). (8.13)
Подставляя в Н выражения (8.11) и (8.12), получаем
Н=^Ь*тЪтЕт, (8.14)
т
где Ет — собственные значения оператора Дирака а-р + рт. Если при
квантовании теории использовать перестановочные соотношения для бозе-
поля, то мы столкнемся с трудностями. Прежде всего, если интерпретиро-
интерпретировать ЪпЪп как оператор числа частиц, то энергия поля может быть как
положительной, так и отрицательной, поскольку собственные значения Еп
могут иметь оба знака, а&?&„>0. Далее, если операторы числа частиц
могут иметь любые целые положительные собственные значения, что
следует из перестановочных соотношений для бозе-поля [см., например,
равенства F.60) — F.62)], тогда допустимы состояния с произвольно
большой отрицательной энергией. А это но имеет физического смысла.
На самом деле из опыта известно, что частицы со спином, равным */2,
подчиняются принципу Паули, и поэтому в любом состоянии т не
может быть больше одной частицы (т включает определенную энергию,
импульс и проекцию спина). Квантование с помощью коммутаторов,
ведущее к статистике Бозе, поэтому неправильно, так как разрешает
любому числу частиц находиться в одном состоянии.
Как мы уже отмечали в гл. 6, схема квантования, включающая
принцип Паули, была развита Иорданом и Вигнером [399]. В этой схеме
операторы вместо перестановочных соотношений удовлетворяют соотно-
соотношениям «антикоммутации»:
¦ [Ьп, Ьт]+=[Ъ%, %]+ = 0, (8.15)
[Ъп, Ъ*т]+ = 6пт. (8.16)
Оператор числа частиц в состоянии т по-прежнему дается выражением
Nm = b^bm, (8.17)
но из перестановочных соотношений (8.15), (8.16) теперь следует
N^ = bUmbUbm =
= Ьт A - Ъ*тЪт) Ът = blfim =
= ЛГ„. (8.18)

(X) = -^- ^ (^) {2 S
216 . Гл. 8. Квантование поля Дирака
так что, в согласии с принципом Паули, числа заполнения могут быть
равны только нулю или единице. Уже из перестановочных соотношений
(8.15) видно, что в одно состояние нельзя поместить более одной частицы,
так как два оператора рождения при действии на любой вектор дают
вектор, равный нулю.
Используя антикоммутационные соотношения, мы удовлетворили
принципу Паули, но еще остается та трудность, что гамильтониан не являет-
является положительно определенным. Она устраняется с помощью идеи Дирака
о том, что в вакууме заполнены все состояния с отрицательной энер-
энергией. Если индекс т записать явно как (р, г), где г пробегает четыре
значения, соответствующие четырем решениям при данном р G1 = 1, 2
для положительной энергии и г = 3, 4 для отрицательной энергии),
тогда в пределе непрерывных значений р, разложение i|) (x) [см. равенство
(8.12)] принимает вид
2 4
г=3
(8.19)
причем
?p=+V?+m?- (8.20)
Если обозначить операторы числа частиц через
Щ*> (р) = 6* (р) 6Г (р) при г = 1, 2, (8.21)
ЯР (Р) = *г\. (Р) Ьг+2 (Р) при г = 1, 2, (8.22)
тогда гамильтониан можно переписать следующим образом:
2
Н = J d*p 2 Ev {№> (р) - №> (р)}. (8.23)
Аналогично, с помощью операторов числа частиц можно выразить и пол-
полный заряд1)
Q =z — е \ dsxty (x) "у0^ (х) =
2
)}¦ (8.24)
Согласно дираковской теории дырок вакуум |0) характеризуется тем, что
все состояния с отрицательной энергией заполнены (т. е. iV^"* (р) | 0) = | 0)
при всех р и всех г), а состояния с положительной энергией свободны
(т. е. Nr+y (р) | 0) = 0 для всех р и всех г). Поэтому энергия и полный
заряд вакуума даются равенствами
r=l
х) Знак заряда в равенстве (8.24) выбран так, что частица имеет заряд е
а античастица—заряд -\-е. Поэтому теория в таком виде непосредственно приме-
применима к электронам.

§ 1. Перестановочные соотношения 217
r=l
Ясно, что эти величины бесконечны. Однако по гипотезе Дирака они
ненаблюдаемы, а наблюдаемы лишь разности Н и Ео, Q и Qo. Поэтому
определим наблюдаемую энергию Н' и наблюдаемый полный заряд Q'
следующим образом:
2 2
Н' = Я - Ео = [ d3p 2 W+) (P) - N(r~} (р)} Ар
г=1 г=1
2
2 w+> (р)+(! - w (p))} А'р (8-26)
г=1
И
2
¦ (>' = Q _ <?0 = _ е J d3p 2 W (Р) - A -#?"' (р))}. (8.27)
Равенства (8.26) и (8.27) представляют собой математическую форму-
формулировку нашего предыдущего обсуждения теории дырок. Они явно пока-
показывают, что состояния с отрицательной энергией дают вклад в полный
заряд и энергию только тогда, когда Nr (p) равно нулю, т. е. когда состоя-
состояния не заполнены. Вклад в' заряд Q от незаполненного состояния с отрица-
отрицательной энергией имеет противоположный знак (-\-е) по сравнению с вкла-
вкладом от состояний с положительной энергией. С другой стороны, вклад в Я
от незаполненного состояния рг с отрицательной энергией есть -\-Ev.
Следовательно, энергия Н' неотрицательна. Таким образом, отсутствие,
частицы с определенным зарядом в состоянии с отрицательной энергией
соответствует наличию частицы с положительной энергией и противопо-
противоположным зарядом. В случае электронов эту частицу называют позитроном,
а в общем случае — античастицей.
Необходимо подчеркнуть, что дираковская теория дырок и содер-
содержащаяся в ней вычитательная процедура возможны только благодаря
квантованию с антикоммутаторами, которое ведет к тому, что каждое
состояние с отрицательной энергией может быть занято лишь одной час-
частицей. Отсутствие положительной определенности энергии в классиче-
классической теории характерно для всех теорий для частиц с полуцелым спином.
Действительно, если, согласно Паули [627], наложить на квантованную
теорию следующие физические требования:
1) чтобы коммутировали две любые физические наблюдаемые,
относящиеся к пространственно-временным точкам, разделен-
разделенным пространственно-подобным интервалом (условие причин-
причинности);
2) чтобы энергия системы была неотрицательной,
тогда можно установить связь между спином и статистикой. Можно пока-
показать [627, 628], что квантование теории для частиц с целым спином соглас-
согласно антикоммутационным соотношениям Иордана — Вигнера (ведущим
к статистике Ферми—Дирака) нарушает первый постулат, а квантование
для частиц с полуцелым спином с помощью перестановочных соотношений
(ведущее к статистике Бозе — Эйнштейна) нарушает второй постулат.

218 Гл. 8. Квантование поля Дирака
Первый постулат можно оправдать тем, что в квантовой теории отсут-
отсутствие коммутативности двух операторов, соответствующих наблюдаемым
величинам, означает, что эти величины не могут быть одновременно изме-
измерены с любой точностью. Однако измерения в точках, разделенных про-
пространственно-подобным интервалом, не могут влиять друг на друга, ибо
из требования релятивистской причинности сигналы (энергия) не могут
распространяться со скоростью, превышающей скорость света. Следова-
Следовательно, коммутатор наблюдаемых, разделенных пространственно-подоб-
пространственно-подобным интервалом, должен быть равен нулю. Второй постулат очевиден.
Современную версию доказательства связи между спином и статистикой
мы изложим в гл. 18.
Стало обычным переопределять операторы для состояний с отрица-
отрицательной энергией1) и обозначать
М-р) = <*Г(р), М-р) = <(р)
&з*(-р) = <Мр), W(-P) = d2(P), ( '
так что перестановочные соотношения (8.15) —(8.16) теперь таковы:
= [#(Р), МР')]+ = О. (8-29)
[dr (р), ы (Р')]+= [*; (р), ь? (Р')]+ = о.
Оператор числа частиц 1—7V?"'( —р) можно выразить через введенные
операторы:
Л^"(р) = 1-Л^(-р) = 1-&*+2(-р)&г+2(-р) =
= br+2 (- р) Ъ*? 2 (- р) = # (р) drill). (8.30)
Операторы d*, d есть операторы рождения и уничтожения античастиц,
а оператор Nlr~y (p) (штрих мы будем далее опускать) — оператор числа
античастиц. Разложение оператора г]) теперь имеет вид
(P) ™r (Р) е*« + d? (p) о" (р) в-*Р-х}, (8.31)
r=l
где ^(р) —спинор с отрицательной энергией и импульсом —р. Таким
образом, г|з (х) — оператор уничтожения частиц и оператор рождения
античастиц. При такой формулировке теории дырок состояние вакуума
| Фо) характеризуется условием
^+)(р)[Фо} = М-)(р)|Фо} = О (для всех г и всех р). (8.32)
Итак, вакуум обладает равными нулю энергией, зарядом и импульсом
и является состоянием без частиц и состоянием с наинизшей энергией.
Вакуум инвариантен при всех преобразованиях Лоренца. С другой сто-
стороны, его можно охарактеризовать условием
ът (р)! Фо) = dT (р) | Фо) = 0 (для всех г и всех р). (8.33)
Отметим, что при такой формулировке уже ничего не говорится о «фоне»
электронов отрицательных энергий.
1) Это возможно, поскольку операторы удовлетворяют соотношениям анти-
антикоммутации, которые остаются инвариантными при замене Ь <—> Ь*.

§ 2. Конфигурационное пространство 219
Правила коммутации операторов числа частиц iV<±) (p) с операто-
операторами br(p), fe*(p) суть
[ЛГ(Р), bs(P')]=-brs^(p-p')br(p), (8.34)
[ЛГ(Р)- ^(p')] = SrSS<s'(p-p')fe?(p), (8.35)
0 = [iV<-'(p), Mp')] = [W>(p), «(P')l-. (8-36)
Для коммутаций АК±) с операторами античастиц имеют место аналогич-
аналогичные выражения. Следовательно, состояние &?(р)|Фо) есть одночастичное
состояние с импульсом р и проекцией спина s; fejx (p?) fe*2 (р2) | Фо) — двух-
двухчастичное состояние и т. д.; состояние <1*х (qi) |Фо> — состояние с одной
античастицей и т. д. Базисные векторы представления, в котором опе-
операторы числа частиц диагональны, имеют вид
! pi *i» - • • Pmsm; 4\ti, .. -; qntn) =
= yi== b*Sl (Pi). .. btm (pm) d\ (q.).. . d*tn (qn) | Фо>, (8.37)
причем
|
= Ь-^^ det | б'3' (p,- pj) Ss.o 1-detj S«»(qft - qi) 6v-e |- (8-38)
§ 2. Ковфигурацноввое пространство
Гейзенберговский оператор г|) (х) получается из шредингеровского
оператора г|) (х) с помощью зависящего от времени унитарного преобра-
преобразования
-ф (х) = ешохо/п у (Х) e-iH0xf>m. (8.39)
Используя уже знакомую процедуру, находим
2
?)I/2 ^ ^ (р) даГ (р) e-ipx + ^* (р) ^г (р) ^•зс),
(8.40)
где ро= +Е(р), так что гр (ж) подчиняется уравнению Дирака
( - iY^n + та) г|) (ж) = 0. (8.41)
Аналогично,
2
Ф(Ж) = ^ 5 ^Р (шУ*% {^(p)S4p)^- + dr(p)?(p)e-^-},
(8-42)
(ж) = 0. (8.43I)
!) Обсуждение релятивистской инвариантности облегчается, если ввести опе-
операторы b'T(p) — ^t' (p) br (p), ds(p) — }/rE(p)ds(p), так что интегрирование в (8.40)
— (8.42) проводится по гиперболоиду р%—р2 = т2 (/>0>0) с использованием инва-
инвариантной меры d3p0/p0. Перестановочпые соотношении (инвариантные) для штри-
штрихованных операторов суть [b'r (p), b's* (р')]+=бг«6<3) (р—р') р0 и т. д., где ро = Е(р).

220 Гл. 8. Квантование поля Дирака
Положительно- и отрицательно-частотные части операторов 1|5(ж) и
даются выражениями
2
v Po>0
и есть оператор уничтожения фермиона, -
г> {х) = <dk« S
Ро>0 r=i
и есть оператор рождения антифермиона,
2
\ d3p С ,™ . ) 2 У! W (р) wr (р) eipJC (8.4A)
s j ^ \^ (р)у ^-"' v"' v ' v '
Ро>О ' r=l
и есть оператор рождения фермиона,
—^ ) " S ^r (p) v (p) e~ip ж (8.47)
Ро>0 ' г=1
и есть оператор уничтожения антифермиона. Из равенств (8.44) —
(8.47) следует, что
^ (х) = гр-} (ж) (8.48)
и
•ф<::'(ж) = tj/+) (ж). (8.49)
G помощью операторов в конфигурационном пространстве вакуум |Фо)
характеризуется условием
Ц<+) (х) | Фо> = $(+) (х) | Фо) = 0. (8.50)
Перестановочные соотношения для положительно- и отрицательно-частот-
отрицательно-частотных частей т|з и гр имеют вид
~ , + .' (8.51)
[г))(+) (х), г)I+) (х')]+ = [г))( '(*), t|5( ' (ж')]+= О,
тогда как
И>а'(*). Ф1Г'(*')!+eBSj8 ^ d3p I dV(?(p^(p^I/2x
2
X 2
Г, 8=1
Po>O
(s-s'-.m). (8.52)

§ 2. Конфигурационное пространство 221
При выводе последнего выражения мы использовали равенства (8.29),
D.150) и G.75). Часто встречающееся выражение — (iy^d^ + m) А (х) мы
будем обозначать через S (ж):
— (iy»dll-\-m)A(x-x'; m) = S(x — x'). (8.53)
Тогда перестановочные соотношения (8.52) принимают вид
1Ч>к+) (*), %' (*')]+ = - ОД {х - *'), (8-54)
где
?<+> (Ж) = - (iy» д» + т) А(+) (ж). (8.55)
Аналогично получаем
1С (*), Фэ+) (*')!+ = ~ iS4 (* - *'). (8-56)
где
Sr(-)(a;)=-(iY^aM-i-m) А(-'(ж), (8.57)
и вообще
\^а{х), Ъ(х')]+= -iSav(x~x'), (8.58).
причем
S (х) = S'*> (х) + S'~> {х). (8.59)
Одновременные перестановочные соотношения будут иметь вид
№а {х), % («')]+ |хо=^ = - Yap doA (х - х') \Хо=х. = + y°aSi бC) (х - х'), (8.60)
если вспомнить, что Д@, х) = 0 и д0Д (х) \Хо~о— — б<3) (х). Умножая
(8.60) на y°> получаем канонические антикоммутационные соотношения
для дираковского поля:
W»a (*), *Э (*')]+ |Ж„^ = бC> (X - X'). (8.61)
/1,алее будут важны следующие свойства функции S (х):
{1ф —m)S(x)= — (i$ —m) {i$ +т) А (х) =
= +(П + ОД(ж) =
= 0 (8.62)
|что согласуется с равенством (8.58) и с тел1, что г|)(ж), \р(х) подчиня-
подчиняются уравнениям Дирака] и
S(x)\xf,=o = iy°b{x). (8.63)
Дифференциальное уравнение (8.62) и начальное условие (8.63) одно-
однозначно определяют функцию S. Эта сингулярная функция играет роль
функции Грина при решении задачи с заданными начальными значе-
значениями.
Доказательство: Теорема Гаусса утверждает,' что
Fp (x) d*x = ^ da» (x) F^ (ж'), (8.64)
где 2 —поверхность, ограничивающая объем Q. Если в качестве F
выбрать
n (а;') = S (х-х') у^ (х1), (8.65)

222 Гл. 8. Квантование поля Дирака
то, поскольку S и гр удовлетворяют уравнению Дирака, d^Flx(x) = 0,
так что
')=s jj S (х-х')у»у(х')<1оц(х'), (8.66)
где at и a2 — пространственно-подобные поверхности. (Мы приняли, что
интеграл по поверхности, соединяющей а4 и а2, равен нулю, так как
предполагается, что эта поверхность находится на больших простран-
пространственных расстояниях, где поля обращаются в нуль.) Если в качестве а2
выбрать плоскость ?° = const, тогда, используя (8.63), имеем
)аа^(х'). (8.67)
Такое же выражение получается и для любой другой пространственно-
подобной поверхности, проходящей через х°, так как
(х - х') yHf (x') do» (x') = 0. (8.68)
Пусть читатель проверит, что S{*} и S{~* снова являются операто-
операторами проектирования для положительных и отрицательных частот i|)(x).
Определим зарядово-сопряженный оператор ijjc соотношением
*в(ж) = С$т(ж), (8.69)
где С — определенная ранее унитарная матрица, обладающая свойствами
- yl ' (8.70а)
СТ = - С. (8.706)
Тогда
ц(х) = С$с(х)]Т, (8.71)
так что
Ъ{->(х) = С№>(х)]т (8.72)
и
fy*>(x) = [C-h№>{x)]T. (8.73)
Интерпретация операторов я|3с (ж) становится ясной, если разложить
их по плоским волнам с помощью операторов d, d*. Так, используя
равенство D.233), находим
2
,«¦> (х) = С $м (х)]т = i^ ^ (^)V2 S ~'
' r=l
2
и точно так же
_^ 2
^+>(а;)=^ S d34^I/22 ^(р)"СТ(р)е-*р-*- (8-75>

§ 2. Конфигурационное пространство 223
Следовательно, t|;?+) — оператор уничтожения, a ф?+) — оператор рожде-
рождения античастицы. Перестановочные соотношения для них имеют вид
№%(х), Й (*')]+= -tSSKx-x1), (8.76)
что следует из равенства
[С"^(±) (- х) С]Т = - S(T) (х). (8.77)
И вообще можно проверить, что
N>e(s), $e(x%=-iS(x-x'), (8.78)
так как
[C-*S {-x)C]T=-S (х). (8.79)
Операторы числа частиц, выраженные с помощью операторов в кон-
конфигурационном пространстве, даются равенствами
+) (x) Y<y*> (г) = С da* (х) ^<+) (х) у^м (х) (8.80)
iV(" - J da»1 (ж) JF' (ж) Y^(c+) (а). (8.81)
a
Выражение для полного заряда
(ж) /„ (а) = - е (iV<+) - Л"") (8.82)
вместе с классическим выражением для тока (8.6) предполагает следую-
следующее определение оператора тока:
/V (х) - - е : $ (ж) у^ (а*: = - вЛ" (ф (*) Y^ (ж)), (8.83)
где нормальное произведение по определению означает, что произве-
произведение операторов рождения и уничтожения записывается в таком виде,
что все операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтоже-
уничтожения, а нужное упорядочение выполняется так, как будто все анти-
антикоммутаторы равны нулю. Таким образом, N включает изменение
знака, возникающее при изменении порядка антикоммутирующих пере-
переменных поля. Например,
(x), (8.84)
N (t|>(+) (x W+> (у)) =-N (^ {y) i|><+) (x)) = -1+) (У) ^(+) {x) =
= ^(x)^(y). (8.85)
По определению, для нормального произведения справедлив распреде-
распределительный закон.
Используя определение нормального произведения и перестановоч-
перестановочные соотношения, любое операторное выражение можно записать
с помощью нормальных произведений. Например, разбиение t|ja (x) -фр (у)

224 Гл. 8. Квантование поля Дирака
на нормальные произведения достигается следующим образом:
*.[(*) Ч»Э (?) = Ф»> («) + *?' (*)) D" (У) + *{,"> {у)) =
Ч&' (х) W (у) =
= N ($а (х) фр (г/)) - где (У- х). (8.86)
При переходе к последней строке мы использовали распределительный
закон. Используя аналогичные алгебраические манипуляции, легко
вывести:
(8.87)
Среднее по вакууму от любого нормального произведения равно нулю,
в частности, равно нулю вакуумное среднее от оператора тока, опреде-
определенного равенством (8.83). Этого и следует ожидать от любого удовлет-
удовлетворительного определения оператора тока. Отметим, что это не имеет
места для выражения е$уц$(х), среднее по вакууму от которого с исполь-
использованием (8.86) есть
(х) у^ (ж))о = - е lim 2 (Фо, *$« И Цц («') Фо) (Y^)«P =
= ie lim 2 S& (« — *') (\'ц)«р =
(8.88)
т. е. бесконечно. В действительности эта бесконечность при р. = 0 равна
вкладу от заряда «фона» (т. е. вкладу всех занятых состояний с отри-
отрицательной энергией). Разбиение оператора тока на операторы рождения
и уничтожения
h (z) = - е (V+> () Yn* () W () ТЖ () +
+ C-4i+> («) Y^<+) (*) + ^' («) Y^?' (x)) (8.89)
показывает, что опять присутствуют флуктуационные члены, т. е. члены,
отвечающие рождению и уничтожению пар. При интегрировании по не-
некоторой пространственно-подобной поверхности эти члены обращаются
в нуль в силу ортогональности положительно- и отрицательно-частотных
решений уравнения Дирака, так что \ fti(x)dalx(x) сводится к выраже-
а
нию (8.82) для полного заряда (см. например, F76, 677)).
Пространство состояний, соответствующее т частицам и п анти-
античастицам, находящимся на пространственно-подобной поверхности о.
натянуто на базисные векторы
(т\ nl)-V*{U C,) . . . $? (Хт) %?> (yi)t . . . 5?> (Уп)\ф0),

__^_ § 2. Конфигурационное пространство 225
где все х и у лежат на о. В общем случае состояние с неопределенным
числом частиц и античастиц имеет вид
= Y'0-0' | 0) + ... + (nlml)-1 П ( \ da<lj (xj) ^+> (xj) Y
3=1
n _^
X П С \ d°Vh (У*) *=+> (MO Yvft") ^<m' "' (*i. *2, • • • ^m; 2/1 • • • 2/n) | 0) ¦
(8.90)
где предполагается, что амплитуда Y(m> n) для m частиц и п античастиц
имеет для каждого аргумента спинорный индекс с четырьмя значениями,
на который действуют матрицы у [см., например, равенство (8.92)].
Амплитуда ^т'п)(хи ...; .. . уп) антисимметрична по переменным хг
и yj в отдельности, удовлетворяет по каждой из этих переменных
уравнению Дирака и содержит только положительные частоты, ибо
W<m, M (хи ...хт;У1...уп) =
= @1 !(,<¦> (Xi) . . . ^ (хт) $¦> (У1) .. . № (ут) 1 ?>. (8.91)
Неприводимое представление перестановочных соотношений, которое
характеризуется существованием состояния без частиц, дается выраже-
выражениями
•• • хтат; ф 2р)
••• ^mam; yjpt, ... упр„), (8.92)
J> (x) Vym> n) (xlOl, ... хтат- уфи ... Уг#п) =
т 4
' 3=1 а=1 ,
X Y''"' (х1Я1, ... xj-vj-u xj+i ау+1 ... хтат; yfa ... Ут$п) (8.93)
И
i'^4rvm.»>(.r,rt,, ... xmam; eiri, ... в„г„,
, . . . xmam; ?/,Pi, . .. yn$n) =
¦ j=i
X У«т. "-1' (хы, . . . xmam; y$u . . . JO-ipj-i, Уи$з+и ¦ ¦ ¦ yn%). (8-95)
Множитель (— l)m в выражениях для зарядово-сопряженных опе-
операторов обеспечивает выполнение соотношений антикоммутации
{ij)<+'(ж), iJ)<+> (х')} = 0 и т. д. (Относительно других представлений пере-
перестановочных соотношений см. [851].)
Легко установить связь обсуждаемой теории поля с теорией Дирака
для одной свободной частицы, описываемой спинором с положительной
15 С. Швебер

226 Гл. 8. Квантование поля Дирака
энергией. .Пусть |f) — вектор, описывающий одну частицу. Тогда един-
единственной не равной нулю амплитудой будет
?A>0) (я) = (Фо, ф («)?). (8.96>
Эта амплитуда удовлетворяет уравнению Дирака, так как ему удов-
удовлетворяет ty(x). Таким образом, Wa>0)(x) есть «одночастичная» дираков-
ская волновая функция, которую мы подробно рассматривали в гл. 4.
Отметим, что поскольку i|)(+) (х) |Ф0) = ij3<+) (х) ]Ф0) = 0, то, подставив-
равенство (8.40) в (8.96), получим
2
т<1> 0) {х)="^k" ^ Si3p ^^ {ф°'6r (p) ?) ^r (p).e"ip'x (8-97>
т. е., в согласии с нашим предыдущим изложением, ~фЛ'ф(х) есть супер-
суперпозиция решений уравнения Дирака лишь с положительной энергией.
Здесь это автоматическое следствие того, что вакуум есть состояние
с наинизшей энергией. Аналогично, если | W) есть состояние одной анти-
античастицы, то амплитуда W{°'1У (х)
» (*) = (Фо, фс
2 .
^ 2 I dd9 УЩ (фо' dr (Ч) Y) всг (q) е-19" (8-98>
есть амплитуда вероятности найти античастицу. Отметим, что W(o'l) (ху
удовлетворяет уравнению Дирака и также представляет собой супер-
суперпозицию решений с положительной энергией, ибо зависимость от вре-
времени имеет вид ехр( — iqoxo), причем д0 > 0.
§ 3, Трансформационные свойства
При обсуждении релятивистской инвариантности в гл. 4 мы виделиг
что если одночастичная волновая функция при неоднородных преобра-
преобразованиях Лоренца х' = Ах 4- а преобразуется согласно равенству
Т'A>0) (x') = S (Л) W'с) (Л (х' - а)), (8.99>
где б1 (Л) —неособенная 4x4 матрица, действующая на спинорные?
индексы функции Ч' 0) и удовлетворяющая условиям
S-*y\S = Ah\ (8.100a>
det5 = l, (8.100б>
тогда уравнение Дирака для одной частицы сохраняет свой вид (форм-
инвариантно). Определим теперь трансформационные свойства опера-
операторов поля, принимая следующий закон преобразования для (т, п)-
амплитуды, описывающей т частиц и п античастиц:
| U (а, Л) | Т> = (U (а, Л) ЧТ> п\х&и . . . хтат; у fa, . . . ynpn) =
т п
ХЧГ-.'ЦЛ-1 (*,-«), а;, ...;... Л {у, - a), fn). (8.101)

> § 3. Трансформационные свойства 22?
Как и при обсуждении в гл. 7, мы примем здесь шредингеровский тип
преобразования, при котором преобразуется волновая функция (т. е,
вектор состояния), но наблюдатели как в системе отсчета S, так и в
системе S' используют тот же набор операторов. Такая же процедура,,
как и в случае скалярного поля, дает
(U(a, A)ypa(x)U(a, А)~Ч1 (а, Л) ?)<fn> ">(*!, ••• хт; уи .. . уп) =
= 2 S (А)А- (фа- (Ах + а) U (a, A) ?)<m> »> (хи ... хт; уи ... уп). (8.102)
а'=1
Здесь было использовано тождество
S (Л) S<+) (Л'1 (у-а)-х)С = SM (у- (Ах + a)) CS (A)~iT, (8.103)
справедливое для ограниченных преобразований Лоренца, и выраже-
выражения (8.92)-(8.95). Докажем равенство (8.103). Из (8.55) и (8.52) следует
I ^ )е-**, .(8.104)
ро>о
откуда
S"(A-i(y-a)-x) С ^^^(р+)
= —WF \ ^-1ч-(А-1р) + т]Се*-(У-л*-°). (8.105)
Используя (8.100), находим
Y • (А-»р) С = Avllpv^C = S (Ay^vS (A) Cp> =
= S (A)-xYvC [S (ЛI"]^- (8.106)
Поэтому
?<¦> (Л (у - а) - х) С =
S {Ayl S ^ {P + m) e-ip-iy-Ax~a)CS (A)-" (8.107)
А это и есть равенство (8.103).
Таким образом, при преобразованиях ограниченной группы Лоренца
4
U (а, А) ура (х) U (а, Л) =2>? (Л);^»» (Ах + а). (8.108)
Если взять равенство, эрмитово сопряженное к (8.108), и умножить
его на у0, то получимх)
U (a, A)ip(x)U{a, A)"x = ^(Лж + а) S (Л), (8.109)
откуда также следует, что
U (а, Л) аре (ж) С/(а, Л) = S (Л)^ {Ах + а). (8.110)
Равенства (8.108)—(8.110) обеспечивают инвариантность лагранжиана
свободного поля и перестановочных соотношений при ограниченных
преобразованиях Лоренца.
!) Следует воспользоваться равенством S'y°S* = y°, справедливым длн преоб-
преобразований ограниченной группы Лоренца [см. равенство D.64) и далее]. — Прим. ред.
15*

228 Гл. 8. Квантование поля Дирака
Закон преобразования операторов поля при пространственном
отражении, х —>x' = isx, определим следующим образом:
. U{is)^{x)U(isy1 = r\Py0^(isx) (8.111а)
и
U (is) $ (as) U (is)'1 = г\рЦ (isx) y0. (8.1116)
Лагранжиан и перестановочные соотношения для свободных полей будут
инвариантны относительно определенной выше операции U(is), если
|т]р|2 = 1, a U (is) — унитарный оператор. Два последовательных отра-
отражения можно рассматривать либо как возвращение к первоначальной
системе координат, либо как поворот на угол 2я. Поскольку при пово-
повороте на 2я поле Ферми преобразуется как if —» — if, квадрат г\Р можно
положить равным либо +1, либо —1, т. е. rip=±l, так что ч\р= ±1
или ±? [870]*). Вакуум, по определению, инвариантен относительно U (is):
U (»,) 10) = 10). (8.112)
Если выбрать т1р=±?, то зарядово-сопряженный оператор ipc будет
иметь такие же трансформационные свойства, что и -ф [657], за исклю-
исключением того, что фазовый множитель г\ заменяется множителем г\:
U (is) ipc(x)U (is)'1 = ЧрУо% (isx). (8.113)
Мы всегда будем накладывать это дополнительное условие, так что
т]р будет равно либо -j- ?, либо — i.
Закон преобразования операторов bs (p) и ds (p) [где s в соответ-
соответствии с равенствами D.118а) и D.1186) обозначает одно из двух воз-
возможных значений z-компоненты спина] получается подстановкой разло-
разложений (8.40) и (8.41) в (8.111а) и (8.1116). В результате находим
U (is) b3 (p) U (isY1 = х\рЪ. (- р) (8.114а)
и
_p). (8.1146)
Здесь мы использовали свойства решений уравнения Дирака:
(8.115)
Одночастичные состояния при пространственном отражении преобразуются
следующим образом:
p|-p, *;>, (8.Н7)
=-ru>|; -q, t). (8.118)
Итак, пространственное отражение преобразует состояние частицы с им-
импульсом р в состояние с импульсом — р и оставляет неизменным направ-
направление спина. Поэтому оператор fe*(p), соответствующий рождению части-
частицы в состоянии с определенной спиральностью, при спине, направленном
по импульсу, будет при операции U(is) преобразовываться в г\РЩ( — р),
См. также работу Жаркова [892].—Прим. ред.

§ 3. Трансформационные свойства
229
т. е. в оператор рождения частицы с импульсом —р и спином, направлен-
направленным антипараллельно импульсу. Обратим внимание на знак минус
в равенстве (8.1146). Наличие этого знака ведет к тому, что состояние,
содержащее одну частицу и одну античастицу в состоянии с равным
нулю орбитальным моментом количества движения E-состоянии), будет
при пространственном отражении приобретать множитель — |т|р|2=—1.
Другими словами, такое состояние имеет отрицательную четность по отно-
отношению к вакууму. Следовательно, фермион и антифермион имеют проти-
противоположные внутренние четности, в отличие от бозе-частиц у которых
частица и античастица имеют одинаковую внутреннюю четность.
Таблица 2
i
о,
Скаляр
1
1
Вектор
Тензор
V
-j-1 (jx, v=l, 2, 3)
— 1 (|X ИЛИ V = 0)
Псевдсвектср
(аксиальный вектор)
-1 (,i = 0)
+ 1 (,1=1, 2, 3)
Псевдс-
скаляр
УЬ
Законы преобразования (8.111) операторов поля я|) (х) и я|)(а;) ведут
к определенным трансформационным свойствам билинейных комбинаций
¦ф (х) 0$ (х) при пространственном отражении. Здесь Ot=l, у^, o^, YsYm.»
Y5- Эти свойства приведены в табл. 2, где величина е^ определяется
равенством
U
х) U (is) = |
(isx)
(isx) =
ж). (8.119)
При операции зарядового сопряжения, когда каждое состояние пере-
переходит в состояние, где все частицы заменены античастицами с такой же
энергией, импульсом и проекцией спина, операторы поля, по определению,
преобразуются согласно равенствам
UcK (p) Ue1 = r\cd* (p) (8.120а)
или, что то же самое,
и
{X) U? =
{х) Uc1 =
(X)
С*.
(8.1206)
(8.120в)
(8.120г)
Инвариантность перестановочных соотношений требует, чтобы множи-
множитель т|с был равен по модулю единице и чтобы оператор Uc был уни-
унитарным. Для проверки инвариантности перестановочных соотношений
используется равенство
C-*S{x-x')C= -ST{x'-x), (8.121)

230 Гл. 8~ Квантование поля Дирака
которое доказывается таким же способом, как и равенство (8.103).
Постулируется, что вакуум инвариантен относительно операции Uc, i.e.
#с|0> = |0>.
Теория будет инвариантной относительно зарядового сопряжения,
если можно так выбрать фазовый множитель г\с, что гамильтониан Н
будет инвариантен относительно Uc, т. е. если UcHUz1 — !!. Так как
при операции зарядового сопряжения произведение операторов преоб-
преобразуется в произведение эрмитово сопряженных операторов, то оконча-
окончательный порядок множителей в общем случае отличается от началь-
начального. В частности, не инвариантен гамильтониан, записанный в виде (8.9)
или (8.10). Чтобы сделать теорию инвариантной относительно зарядо-
зарядового сопряжения, необходимо либо антисимметризовать множители в га-
гамильтониане [518, 714], либо постулировать запись в виде нормального
произведения, т. е. нужно писать
Н =-~ \ dzx -ly [tyy°,do\p]_—^ [dotyy0, ¦ф].}-. (8.122а)
или
Н = -~- \ d3x : 1|)у°^о'Ф — Зо'фуо''Ф«. (8.1226)
В теории свободного поля оба способа эквивалентны. Чтобы обеспе-
обеспечить инвариантность теории относительно зарядового сопряжения в слу-
случае взаимодействующих полей в гейзенберговской картине, когда нельзя
столь непосредственно определить нормальное произведение, обычно ис-
используют антисимметризацию. Мы предоставим читателю в качестве
упражнения получить трансформационные свойства билинейных комби-
комбинаций \pOity при зарядовом сопряжении. Отметим только, что
ТТ j (v\ TT-l ,' (v\ /Q -)OQ\
С/11 V / С ~"" ""~* JIL \ ) * I О • х«ОI
Закон преобразования операторов поля при обращении времени
определим следующим образом:
2
a'=l
4
(8.124a)
_
U (it) $a (*) U (itY1 = tlr S V (itx) (YsQa'a. (8.1246)
a'=l
Чтобы сохранить инвариантность перестановочных соотношений, опера-
оператор U (it) должен быть антиунитарным, а множитель rir по модулю дол-
должен быть равен единице. Можно проверить, что гамильтониан Н инва-
инвариантен в том смысле, что
Трансформационные свойства билинейных ковариантных комбинаций при
обращении времени следующие [515]:
(8.125)
(8.126)
U (it) $ (х) { «Vjv; } t (.) U (I,)"* = i(i0) { JWjt } ^ {itX)t (8.i27)

§ 4. Описание нуклонов в теории поля . 231
U (it) *{x){§}*{x)U (itr = $ (iix) {_У} * (*,*), (8.128)
# (**) * И {$} * (*) U (Ы1 = $ (»«*) {_ 11} ф (***). (8.129)
При выводе этих соотношений важную роль играет антиунитарность
оператора U (it):
U (it) i (х) 0$ (х) U (it) = f/ (U) $ (») ^ (Ji)^ (*t) 0i4> (ж) f7 (it)'1 =
= U (it) ф (х) С/ (f,)^ (it) if (x) U (ityl =
= •ф («I») ibCOfi-^tf (itx). (8.130a)
Так как
О, = О*Т=- СЮ*С, (8.1306)
то правая часть равенства (8.130а) определится, если выразить — у5О*уъ
через Ot.
§ 4. Описание нуклонов в теории поля
Существует много доводов, основанных на анализе свойств ядер,
в пользу того, что в приближении, когда можно пренебречь электро-
электромагнитными эффектами и слабыми взаимодействиями, протон и нейтрон
-обладают одинаковыми свойствами. Оба они имеют спин, равный 1/г,
одинаковую пространственную четность (которая принимается равной
+1) и очень близкие значения масс. (Предполагается, что разницу их
масс можно приписать электромагнитным эффектам [255]. Разница маг-
магнитных моментов наблюдаема только при наличии электромагнитного
поля, которое нарушает их сходство и, конечно, позволяет различить
нейтрон и протон.) Известно, что ядерные силы (в приближении, когда
пренебрегается электромагнитными эффектами) одинаковы для
любых двух нуклонов, находящихся в определенном спиновом состоянии
и в состоянии с определенным моментом количества движения. Поэтому
можно считать, что нейтрон и протон являются двумя состояниями
одной частицы — нуклона. (Исторический обзор по этому вопросу см.
в книге Бете и Гофмана [54].) Как можно формально записать это пред-
предположение? Рассмотрим систему нуклонов, описываемую гамильтонианом:
Н = ^ d3x :{p(x)(—iy.d + mp)р(х)+1г(х) (- iy-d + mn)n(x)}, (8.131)
где р, р и п, п — спинорные операторы, описывающие соответственно
протоны и нейтроны. Эти операторы подчиняются соотношениям анти-
антикоммутации:
{р (х), р (x>)}xe=xi = {п (х), п (?')}*=*; = + б (х - х'). (8.132)
Все другие одновременные антикоммутаторы равны нулю. Такое описа-
описание подразумевает существование антинуклонов. Они действительно
наблюдались экспериментально.
Введем оператор
¦-С)
(8.133а)
ш примем, что он преобразуется, как двухкомпонентный спинор в трех-

•232 , Гл. 8. Квантование поля Дирака
мерном евклидовом «зарядовом» пространстве, причем сопряженный спи-
спинор определяется, как
$= (рв). (8.1336)
В последующем изложении матрицы у мы будем рассматривать как
прямые произведения четырехмерных частиц у и единичной матрицы
в зарядовом пространстве, т. е. будем рассматривать их как восьми-
восьмимерное приводимое представление
Если теперь принять, что массы протона и нейтрона равны
п~тр = т, то Н можно переписать в виде
(x)- (8.135>
Введем матрицы Паули т; (размерности 2 х 2), причем
(8-136)
Тогда V2 A + т3) есть оператор проектирования для протонных состоя-
состояний, поскольку
(OG °)C)() <8-137>
а 1/г A — тз) — оператор проектирования для нейтронных состояний.'Пол-
ный заряд системы дается выражением
[p, уор], (8.138)
которое можно переписать с помощью операторов ijj:
(8.139)
При бесконечно малом повороте на угол е вокруг 1-й оси в зарядовом
пространстве г|з изменяется согласно закону, требуемому*для преобра-
преобразования спинора в трехмерном евклидовом пространстве:
(8.140)
Отсюда следует, что гамильтониан Ш [равенство (8.135)] есть скаляр-
в зарядовом пространстве, поскольку он инвариантен относительно вра-
вращений. (Вспомним обсуждение в гл. 1 трансформационных свойств би-
билинейных величин ij)*<9jij) при вращениях.) Унитарное преобразование
exp(ie?1;), вызывающее малое вращение вокруг 1-й. оси, можно опреде-
определить из требования, чтобы
eisTiqe-ieTi = y + (в [Ti, if] = (l +y ibxt ) ф, (8.141)
т. е. чтобы
[Тг,^] = ^Щ. (8.142>

§ 4. Описание нуклонов в теории поля 23J
В качестве Т можно выбрать
(8-143>
Сравнивая (8.143) и (8.139), замечаем, что выражение для полного-
заряда Q можно записать в виде
(8.144)
где выражение \ йФ : tyy^ : есть оператор, соответствующий полному
числу нуклонов минус полное число антинуклонов. Можно проверить,
что одночастичные состояния являются собственными состояниями опе-
оператора Т3. Находим
\ ±), (8.145)
Обозначения очевидны. Соотношения коммутации для операторов 7V
определяются иа перестановочных соотношений для if:
[Ti, Tj]=ieljkTh. (8.146)
Таким образом, еще раз, как и для мезонов, получаем, что операторы
Tt изоморфны операторам момента количества движения. Отсюда выте-
вытекают и аналогичные следствия (см., например, [529]). Величины Tt есть
интегралы движения, поскольку их можно представить как простран-
пространственные интегралы от четвертой компоненты сохраняющегося тока.
Из инвариантности лагранжиана относительно вращений в пространстве-
изотопического спина (в пространстве, где г|) преобразуется как обыч-
обычный спинор), при которых
»вТ1|> (8.147)
или
т-ф (8.148а>
6$=—угефтг. (8.1486)
получаем следующие законы сохранения [вспомним равенство G.339)]:
О = $¦ С_Ё^_вф Щ^Ц) - 0 = д„ : гЬу^гЬ :. (8.149)
Иначе говоря, равенство (8.149) утверждает, что изотопический ток
:W%t: (8.150)
сохраняется, ^,5^ = 0 (г = 1, 2, 3), так что величины
Ti-^de^J? (8.151)
о
есть интегралы движения.

Г Л А В А 9
Квантование электромагнитного
поля
§ 1. Лагранжиан классической теории
Калибровочно-инвариантный лагранжиан для электромагнитного поля
имеет вид1)
X=--^FVLy(x)^(x), (9.1)
где F^v — тензор электромагнитного поля, связанный с потенциалами
А и ср:
^^^ = A».4X)-A^{X). (9.2)
Здесь Лм- = (ф, A), F°h = '?h—вектор напряженности электрического по-
поля, FM = ^иц&в^, где е%?3—вектор напряженности магнитного поля, а
j?=-1/«(r-J!f»).
Варьирование лагранжиана (9.1) по потенциалам ведет к уравне-
уравнениям Максвелла
которые выражаются через потенциалы следующим образом:
х) = 0, (9.4а)
х). (9.46)
В классической теории можно выбрать лоренцеву калибровку % = 0.
Тогда уравнения Максвелла эквивалентны уравнению \Z\A^{x) = 0 при ус-
условии, что X = 0. Написанный выше лагранжиан вызывает затруднения,
связанные с тем, что канонически сопряженный с А0 импульс тожде-
тождественно равен нулю, так что гамильтонову теорию необходимо видо-
видоизменять. В квантовой теории, где А0 и л° являются операторами,
удовлетворяющими определенным перестановочным соотношениям, ра-
равенство я0 нулю приводит к дальнейшим осложнениям.
г) Повсюду в этой книге мы будем пользоваться рационализированной системой
единиц Хевисайда — Лоренца, так что е2/4яй.е=а = 1/A37). Используемые здесь по-
потенциалы связаны с потенциалами в гауссовой системе единиц множителем ^
Лагранжиан (9.1) в гауссовой системе единиц равен—A6л) F F^v.

§ 1. Лагранжиан классической теории 235
Чтобы ебойти указанную трудность, лагранжиан электромагнитного
поля часто записывают, согласно Ферми [240, 241, 242], в виде
(9.5)
Этот лагранжиан, благодаря присутствию члена %2, не является кали-
бровочно-инвариантным. Ясно, однако, что он релятивистски инвариан-
инвариантен. Использование такого лагранжиана дает в результате варьирования
по Ац следующие уравнения движения:
dll(dvAv- — dv-A*) — dv(dv.AV') = O (9.6а)
или
CUv = 0. (9.66)
Эти уравнения не эквивалентны уравнениям Максвелла.
Чтобы они были эквивалентными, нужно наложить дополнительные
условия, потребовав, чтобы
Х = 6 при ? = 0 (9.7а)
и
-§- = 0 при * = 0. (9.76)
Тогда в силу уравнения движения ПХ = 0, следующего из уравнения
(9.6), % = 0 для всех моментов времени. Позднее мы обсудим роль до-
дополнительного условия в случае квантовой теории.
Лагранжиан (9.5) можно переписать в виде
М " dAfl
Это выражение равно
Х= g-^-v^v, • (9.9)
когда % = 0 и если пренебречь членом, имеющим вид дивергенции. Если
использовать (9.9), то канонически сопряженный с А^ импульс теперь
равен
^Ё ^д.о (9.10)
дА\х, о
так что гамильтониан дается выражением
(9.11а)
з
\-±:y}A*№>h. (9,116)
k=i
Последнее выражение по структуре похоже на формулу для энер-
тии суперпозиции четырех скалярных полей. Однако оно не является
положительно определенным, поскольку компонента с \i = 0, входящая
в Н, отрицательно определена. Так получилось потому, что мы пока
еще не использовали дополнительного условия, с помощью которого

236 Гл. 9. Квантование электромагнитного поля
гамильтониан в действительности приводится к положительно определен-
определенному виду, именно: к знакомому выражению х/г (S2 + <5S?2) (см. [341] и
изложенное ниже).
Необходимо отметить, что все приведенное выше рассмотрение ос-
основывалось на использовании потенциалов в качестве переменных поля.
Это становится источником трудностей, особенно в случае квантовой
теории, ибо величины А^ определяются неоднозначно. Наблюдаемыми
являются лишь электрическое и магнитное поля: A^t v — Av, ^. При опи-
описании, использующем только потенциалы А^, имеется свобода калибро-
калибровочных преобразований, при которых
A»-*A»+^k- (9Л2)
поскольку тензор Р^ч инвариантен при таком преобразовании.
Функция Л в соотношении (9.12) должна в силу дополнительного
условия % = 0 удовлетворять уравнению QA = 0, а в остальном является
произвольной. Требование калибровочной инвариантности заключается
в том, что все физически наблюдаемые полевые величины должны оста-
оставаться инвариантными при преобразовании (9.12)х).
§ 2. Квантование. Формализм Гупта — Блейлера
Канонические перестановочные соотношения имеют вид
[я*(a:), Av(x')]xo=x;)==+iilC^b(x-x'), (9.13a>
или
[А».Цх), Av(x')]xo=x.o=-ibcb4;b(x-x'). (9.136)
С помощью аргументов, аналогичных тем, что приводят к перестановоч-
перестановочным соотношениям для скалярного поля, можно показать, что ковари-
антные перестановочные соотношения для электромагнитных потенциа-
потенциалов суть
[А^х), Av(x')]=-i%cgilvD(x-x'), (9.14).
где функция D(x — х') равна А (я — х') при [х = 0. Следует отметить
отличие в знаке правой части (9.14) для временной компоненты по-
сравнению с пространственными. Функция D (ж) в явном виде [398J
запишется так:
со
eik*siakx \ dksink] x|
^ ^ 2я2|х| \
ho>O ¦ О
-4^T{S(M-*o)-6(|x|-
i
/,-2\ /Q 4 СЧ
\X j. {v.lOJ
!) Калибровочную инвариантность в квантовой теории можно понимать как
условие того, что 4-векторное поле описывает только кванты со спином 1 (см. [914,
915]). —Прим. ред.

§ 2. Квантование. Формализм Гупта—Блейлера 237
Четная сингулярная функция D^ дается выражением1)
со
\ 17 eik'xcos kQxQ = ~2Щ^у~ ) dk sin k I x Icos kxo =
feo>0 О
p ._,1 +p |,|1+яь}=
где P (I/a;2) означает, что при интегрировании в особой точке при я2 = 0
нужно брать главное значение интеграла. О помощью перестановочных
•соотношений (9.13), (9.14) можно проверить, что
[Я, А11(х)]= J [nv(x')nv(x'), А^х)](Рх = Шс^(х). (9.17)
Так как правая часть этого равенства равна i%cAilt0 = i%cd0All, то пере-
перестановочные соотношения согласуются с толкованием гамильтониана
(9.11) как оператора сдвига по времени.
Вспомним, что для каждого трехмерного импульса к существуют
четыре независимых решения уравнения П^ц = 0, имеющие вид плоских
волн. Разложение оператора А^ (х) по этим решениям есть
(fco = |k|), (9.18)
тде е^(к) (к = 0, 1, 2, 3) суть четыре (линейно независимых) единичных
вектора поляризации, которые можно выбрать так, чтобы они образо-
образовывали ортонормированную систему, причем
8a>e(v) = g^ ¦ (9Л9)
где gu'— метрический тензор. В равенстве (9.18) сумма по (X) есть
обычная сумма (а не лоренц-инвариантное скалярное произведение) по
четырем решениям, соответствующим различным поляризациям. Рас-
•смотрим также операторы
^(k)=2 44W«(l)(t), (9.20)
«Ик)= S #>(k)aW*(k), (9-21)
которые удовлетворяют перестановочным соотношениям
-к') (fco = |k|), (9.22а)
ац(к), av(k')] = [aj(k), а? (к')] = 0, (9.226)
UJ
Заметим, что lim i \ exp[ — i (х — ie) к] dk = \im. [i/(x — je)] = P (l/xL-inb (x).
Е^О 6

238 Гл. 9. Квантование электромагнитного поля
что проверяется с помощью равенства (9.14). Выраженный через эта
операторы гамильтониан имеет вид
(9.23>
Чтобы получить физическую интерпретацию рассматриваемой квантован-
квантованной теории по аналогии со случаем скалярного поля, предположим,
что операторы вц(к) при fj, = O, 1, 2, 3 являются операторами уничто-
уничтожения, а операторы а?(к) при fi = 0, 1, 2, 3 — операторами рождения.
Дополнительно примем, что существует состояние вакуума |0), которое
характеризуется тем, что а^ (к) | 0) = 0 для всех к и всех ц. Однако эти
допущения ведут к трудностям, поскольку среднее по вакууму от опе-
оператора а0 (к) а% (к') равно
@1 а0 (к) at (к') 10) = @1 [а0 (к), а% (к')] 10> = - goo6 (к - к') fc0, (9.24)
так что состояние \ /(к) а0 (к) dk|O) при \ |/(к) |2dk < оо обладает от-
отрицательной нормой. Таким образом, векторное пространство, натянутое
на базисные векторы а% (kj).. .а% (k3n) | 0), уже не является гильбертовым,
пространством с обычным скалярным произведением, так как существу-
существуют отличные от нуля векторы с нулевой и отрицательной нормой. По-
Поэтому вероятностная интерпретация неприменима.
С другой стороны, мы могли бы предположить, что аг (к) при
I = 1, 2, 3 и а* (к) являются операторами уничтожения, а операторы а* (к)
при 1 — 1, 2, 3 и а0 (к) — операторами рождения. Это исключает трудность
с отрицательными нормами, но ведет к другой, ибо при такой интер-
интерпретации операторов а, а* гамильтониан Н не ограничен снизу, т. е.
возможны состояния с произвольно большой отрицательной энергией.
Например, состояние ао(к)|О), содержащее один временной фотон, име-
имеет тогда отрицательную энергию
На0 (к) | 0} = [Н, а0 (к)] [ 0} = - коао (к) | 0>. (9.25>
Таким образом, обе интерпретации операторов а^(к) и а?(к) ведут-
к трудностям. Однако мы пока не накладывали никаких дополнитель-
дополнительных условий, так что в действительности рассматриваемая до сих пор
теория не соответствует теории Максвелла. Иначе говоря, среднее зна-
значение потенциала (А^ (я))\у — (W | А^ (х) \ Ч?) в состоянии | W) не удовле-
удовлетворяет условию Лоренца (т. е. д^{А^)^ Ф 0), и поэтому величины-
(/*\iv (я))ч? не удовлетворяют уравнениям Максвелла.
В классической теории поля условие Лоренца .4% (х) = 0 гаранти-
гарантирует, что уравнения поля СИц = 0 соответствуют уравнениям Максвел-
Максвелла, и обеспечивает положительную определенность полной энергии.
Однако в квантованной теории мы уже не можем наложить условие
Лоренца в виде операторного тождества, так как это привело бы к про-
противоречию с перестановочными соотношениями, поскольку
-* Ф0.
Чтобы обойти эту трудность, приблизительно до 1949 г. обычно отка-
отказывались от перестановочных соотношений (9.14) и (9.22) для нулевой.
и третьей компоненты А^.
Таким образом, нужно было с помощью дополнительного условия
¦%! Y) = 0 исключать продольную и времени-подобную части вектора А^

§ 2. Квантование. Формалиам Гупта — Блейлера 239
для возможных состояний поля I1?). Лишь остающиеся поперечные час-
части потенциала рассматривались как динамические переменные, и только
они квантовались. При наличии зарядов это соответствует отделению
мгновенного кулоновского взаимодействия от запаздывающего попереч-
поперечного электромагнитного взаимодействия. Однако такая процедура не
является явно релятивистски инвариантной, так как для движущегося
наблюдателя кулоновское взаимодействие (продольные волны) и попе-
поперечные волны снова смешиваются. (В этой связи см. работу Зумино
[879], где в общих чертах излагается квантовая электродинамика в ку-
лоновской калибровке и набрасывается доказательство релятивистской
инвариантности теории в такой форме.)
Гупта [341] и Блейлер [61] развили метод, который позволяет ис-
использовать все четыре компоненты потенциала на одинаковых основа-
основаниях, ясно показывает релятивистскую инвариантность теории и дает
возможность непротиворечиво использовать перестановочные соотношения
(9.22) и (9.14). В их формулировке операторы а^(к) (|х = 0, 1, 2, 3) яв-
являются операторами уничтожения, а операторы а? (к) (|х = 0, 1, 2, 3)—
операторами рождения', причем эти операторы имеют следующее пред-
представление в пространстве Фока:
u к2, ...к„) = V^i^llV--^ (к, к4, ...к„), (9.26а)
D (к) YC.. „п (к,, к2, . . . к„) = ^- 2 gw/ofiC> (к - к,) X
X YJ5g.. .^_л+1. • -цп (к4, к2, ... kj_u kul, ... к„). (9.266)
Вакуум характеризуется условием
fl(i(k)|0) = 0 при ц, = 0, 1,2, 3 и для всех к (9.27а)
или
А<+у(х)\0) = 0 для всех х. (9.27б>
Линейное векторное пространство, натянутое на базисные векторы
TJ аДэ- (к^) | 0), будем обозначать через ^. В пространстве "§ определяется
билинейная форма
0F,X)G=2 (-1)" \ -^~ • • \ ^nV-^kb k2, . kn) x
n=0
X X(»)i»ii«.. • -Mn (klf k2, ... kn), (9.28a>
где
.ц„ (ki, k2, ... К) = @ | ои (kt) a^2 (k2). . . a»n (kn) | T), (9.286)
^ (ki, k2, .. . kn) = @1 aw (kt) a^ (k2).. .a^ (kn) | %). (9.28b)
Затем постулируется, что все средние значения от операторов должны
вычисляться с использованием билинейной формы (Т, %)g- При опреде-
определенном таким образом «скалярном произведении Гупта» оостояния с не-
нечетным числом временнйх фотонов имеют отрицательную норму. Такую
неопределенную билинейную форму («скалярное произведение Гупта»}
нужно отличать от скалярного произведения (W, %), определенного фор-

240 Гл. 9. Квантование электромагнитного поля
мулой
.] ftfn .1 Кг,
3
I |ХЩ2-• |^п ( 1' 2> • • • *п) ХДК121 • ¦(!„ (^1' *2» • • • kn), (9.29)
при котором ^ превращается в гильбертово пространство. Неопределен-
Неопределенную билинейную форму (*F, %)g можно выразить через скалярное про-
произведение (W, X):
где tj —некоторый линейный оператор. Сравнивая равенства (9.28) и
(9.30), получаем
3 п
(Л^й'м- • ¦ д„ (ki. ¦ • • kn) = S П (- «^ Y™ ¦ •*» (ki- • • • k")' (9-31)
а также
tia=l, (9.32a)
r^rf, (9.326)
т. е. оператор tj —эрмитов. Необходимо отметить, что относительно би-
билинейной формы (9.28) оператор Atl(x) является самосопряженным, т.е.
(Х,ац(к)Т)с = (аД(к)Х, ЧГ)с, (9-33)
что можно проверить с помощью выражений (9.26а) и (9.266). Далее,
оператор А^ подчиняется следующим соотношениям коммутации с опе-
оператором т):
[А^х), т|]=0 (/ = 1,2,3), (9.34а)
1Л0(х), i\U = 0. (9.346)
В выводе Гупта — Блейлера было важным понимание того, что до-
дополнительное условие А*'ц(х) |?)==0 при всех х, которому должны удо-
удовлетворять физические состояния, является слишком ограничительным.
Действительно, если налож 1ть дополнительное условие в таком виде,
то не было бы состояний, которые бы ему удовлетворяли, ибо оно
требует не только отсутствия фотонов определенного сорта, но еще
чтобы эти фотоны не могли испускаться. Гупта и Блейлер предложили
изменить условие Лоренца так, чтобы оно имело место лишь для части
оператора А^, уничтожающей фотоны, т. е.
(
V
при всех х (9.35а)
ИЛИ
L (к) 1 ^> = Аноц (к) | ^> = 0 при всех к (ft0 = | к |) (9.356)
для каждого физического состояния | Т) электромагнитного поля. По-
Поскольку оператор дцА* (х) удовлетворяет уравнению Од^А* (х) = 0, то
разбиение этого оператора на положительно- и отрицательно-частотную
части д^АчШ (х) является релятивистски инвариантным. Обозначим через

§ 2. Квантование. Формализм Гупта — Блейлера 241
З* множество состояний \Ч), удовлетворяющих дополнительному усло-
условию, т. е. совокупность таких векторов | W), при действии на которые
L (к) = №ау. (к) дает нуль. Будем рассматривать множество таких состо-
состояний. Дополнительное условие L (k) | W) = 0 достаточно для того, чтобы
фотоны были поперечно поляризованы, и не нарушает соответствия
с классической электродинамикой. Например, если обозначить посред-
посредством
' (9.36)
амплитуду вероятности найти в состоянии [ W), принадлежащем
жеству ?Р, один фотон с импульсом к = {к0, к} и поляризацией [а, при-
причем kvkv = O, тогда дополнительное условие L(k)j4r) = O требует, чтобы
k*Y?(k) = 0. (9.37)
Покажем, что условие (9.37) обеспечивает перпендикулярность по-
поляризации фотона к направлению его движения. Для этого вспомним,
что поскольку электромагнитное поле описывается с помощью потенци-
потенциалов, то теория в известном смысле неоднозначна, ибо всегда можно
совершить калибровочное преобразование
А»(х)-+А^х) + дуА{х), (9.38а)
причем
?Л = 0, (9.386)
где Л — с-числовая функция.
Если ввести фурье-компоненты функции Л (х)
(9.39a)
Л+(к)=-ЛГ(к), (9.396)
тогда [равенство (9.38) в импульсном пространстве принимает вид
(9.40)
Возможность производить калибровочные преобразования подразумевает,
что функция W™ (к) -j- &цЛ+ (к) описывает то же самое физическое состоя-
состояние, что и функция Ч^1'(к) *). Другими словами, амплитуды W™ (к)
и ??" (к) + /СцЛ+ (к) эквивалентны (и неразличимы). А если это так, то
с помощью калибровочного преобразования, при котором
(к) — ?<» (к) - -^ Т« (к) (9.41)
[т. е. Л+(к)= — Ч™ (к)//с0], всегда можно получить однофотонную ампли-
амплитуду с равной нулю временной компонентой, причем последняя ампли-
амплитуда описывает то же состояние, что и исходная2). Для такой амплитуды
1) Чтобы функция Тц' (к), определенная равенством (9.36), получила указан-
указанную добавку, в данном случае следует рассматривать калибровочное преобразова-
преобразование с операторной функцией Л, ибо преобразование (9.40) с с-числовой функцией Л
не изменяет Т™ (к). Преобразования с операторной функцией Л были введены
в работе Ландау и Халатникова [473].—Прим. ред.
2) В классической теории это утверждение соответствует тому, что калибровку
излучения divA = 0, <p = 0 можно получить калибровочным преобразованием из
лоренцевой калибровки Аг ^=0.
16 с. Швебер

242 Гл. 9. Квантование электромагнитного поля
условие поперечности (9.37) имеет вид
з
2 А;г?|1)(к)=к.?<1)(к) = О (9.42)
и действительно выражает тот факт, что векторный потенциал (волно-
(волновая функция) одного фотона поперечен. Аналогично можно продемон-
продемонстрировать поперечность амплитуды для п фотонов.
Свобода в описании однофотонной амплитуды, выражаемая равен-
равенством (9.40), а именно тот факт, что амплитуда YfJ* (к) -+¦ &цЛ+ (к) экви-
эквивалентна ^'(к), означает также, что любая пропорциональная /сц
амплитуда эквивалентна нулю (поскольку ее можно убрать калибровоч-
калибровочным преобразованием). Таким образом, физический смысл имеет лишь
часть W™ (к), ортогональная 4-вектору к^ (в силу дополнительного
условия) и не пропорциональная к^ (в силу свободы калибровки), т. е.
пространственно-подобная часть W™ (k). Поэтому можно (и это проще
всего) взять в качестве представителя класса эквивалентных однофотон-
ных амплитуд амплитуду А?'^1} (к) = W™ (к) — к^ Yj,1' (к)//с0, т. е. амплитуду
с равной нулю временной компонентой и для которой к-Ч*"'1' (к) = 0.
Такой выбор обеспечивает положительную определенность нормы физи-
физически реализуемого однофотонного состояния [т. е. состояния, у кото-
которого не равна нулю лишь амплитуда ^'"
^~ ЧУ" (к) Чг'A)м'(к)>0. (9.43)
Знак равенства имеет место лишь тогда, когда Ч^A) (к) = 0. Аналогичные
утверждения можно сформулировать и для тг-фотонных амплитуд. Вектор
| ?), принадлежащий &", обладает тем свойством, что его компоненты
в пространстве Фока «поперечны», т. с. удовлетворяют условию
А^Йи ... и»., (к, к17 . .. kn_i) - 0. (9.44а)
В силу статистики Бозе амплитуды ?{Г,д2 ... цп (kt, ... к„) симметричны
при перестановках (kj\ij)<—>-(k;|j,;), так что
(bipy^ -.. nf .. - мп (ki, . .., k;, .. . к„) = 0 (9.446)
для всех i (i = 1, 2, ... п). Следовательно, тензоры тр^1^2 ''" ^п (к4, ... к„)
по каждому индексу (j,j либо изотропны, либо пространственно-подобны
[поскольку они ортогональны вектору (/ч)м.]. Поэтому скалярное произ-
произведение Гупта на множестве ^ неотрицательно, т. е. (W, ?)с>0-
Свобода калибровки опять подразумевает, что любая амплитуда Y™... цп,
которая по индексу и.г является изотропным вектором, т. е. пропорцио-
пропорциональна к^. (и в силу симметрии пропорциональна всем к^.), эквивалентна
нулю, т. е. не описывает физического состояния. Отсюда заключаем,
что физически реализуемые состояния при скалярном произведении
Гупта имеют положительно определенную норму. Это делает возможной
физическую интерпретацию теории.
Выраженный через операторы в импульсном пространстве 4-вектор
энергии-импульса поля имеет вид
р» = _ J ^ а* (к) аУ (к) Ы&. (9.45)
Покажем, что выражение — а? (k) av (к) при действии на вектор из е^
действительно является положительно определенным. Для этого выберем

§ 2. Квантование. Формализм Гупта — Блейлера 243
особую систему координат, в которой векторы поляризации eW таковы, что
fcnej» (k) = к»в™ (к) = 0, (9.46а)
- к»е™ (к) = №в™ (к) = | к |. (9.466)
В частности, этим соотношениям можно удовлетворить, если так повер-
повернуть систему координат, чтобы к0 = | к |, к1 = — |к |, а к2 = к3 = 0, т. е. чтобы
Ац=|к| A, 1, 0, 0), (9.47а)
и выбрать
е|?>(к) = A, 0, 0, 0),
е-(к) = @,0, 1,0),
ejf (к) = @, 0, 0, 1), ["^'Ь>
е«>(к) = (О, 1, 0, 0).
Выбрав так единичные векторы поляризации и вспомнив, что
Мк)= 2 е(цад(к)а»)(к), (9.48)
получим, что условие Лоренца (9.35) принимает вид
L (к) | W) = кча» (к) | W) = 0 = | к | [а@) (к) - аC) (к)] | Y) = 0 (9.49а)
или
а@) (к) | W) = аC) (к) | ?) (9.496)
для любого физически реализуемого состояния | Y).
Отсюда, используя равенства (9.48) и (9.49) и действительность
векторов поляризации, заключаем, что для любого | W) из 3"
(?, - а* (к) Ф (к) W)G = (?, - 2 «(Л)* (к) а^') (к)
= + (Y, (аш* (к) аA) (к) + аB)* (к) аB) (к)) Т)с > 0, (9.50)
так как только поперечные фотоны дают вклад.
Таким образом, мы видим, что в силу дополнительного условия
4-вектор энергии-импульса действительно неотрицателен на множестве аР.
Этот результат становится понятнее, если заметить, что в определенной
равенством (9.47) системе координат дополнительное условие допускает
лишь такие состояния системы, которые содержат равное число про-
продольных и временных фотонов с одинаковым импульсом, поскольку
(W | ат* (к) ат (к) | W) = (Y | аC)* (к) аC) (к) | W)
согласно (9.496). Временные фотоны вносят в полную энергию (импульс)
отрицательный вклад, который сокращается с вкладом от продольных
фотонов.
Рассмотрим несколько подробнее состояния, принадлежащие мно-
множеству ёУ. Отметим, что если [W) есть физически реализуемое состоя-
состояние, т. е. удовлетворяет условию L(k)|4f} = 0, а также содержит
лишь поперечные фотоны, тогда вектор
(9.51).
^ \^В{г B)(t) („)
11)*

244 Fjt.- 9. Квантование электромагнитного поля
снова принадлежит &, т. е. удовлетворяет условию L(k)|Y') = 0 для
всех к. Это следует из того, что L (к) и L* (к') коммутируют:
[L (k), L* (к')] = к„& [а* (к), аУ (к')] =
= - кок26 (к - к') = 0, (9.52)
так как к2 = 0. В действительности, состояния, полученные с помощью
равенства (9.51) из физически реализуемых состояний (т. е. содержащих
лишь поперечные фотоны), исчерпывают все векторы множества &1. Кроме
того, скалярное произведение двух таких векторов |Х'), |Ф')) где
оо п
+ 2П
n=0 i=l
оо п
л=0 г=1
П ( 5 ^7 L* (к0 • Sm (ki, k2, ... к„)} | Ф>, (9.53)
г1
а [Ф) и | X) — векторы физических состояний, содержащих только попе-
поперечные фотоны, равно
(9-54)
так как L (к) [Ф) = (Ф [L* (к) = 0. Таким образом, скалярное произведе-
произведение |х') и )Ф') зависит лишь от проекций |х') и |Ф') на множество <§f6
физически реализуемых состояний. Как отмечалось выше, <§№ обладает
тем свойством, что все векторы этого множества имеют положительную
норму. Поэтому к векторам множества <§$ применима вероятностная
интерпретация. Полученный выше результат приводит к следующему
правилу для интерпретации произвольного состояния | %'), принадлежа-
принадлежащего &>. Нужно спроектировать |Х') на ©??", эта проекция, | X) (которая
является либо состоянием только с поперечными фотонами, либо ваку-
вакуумом, либо равна нулю), представляет физически реализуемое состояние
(если | X) не равно нулю), которому эквивалентно состояние |Х'), т. е.
|Х) и |х') ведут к одинаковым наблюдаемым следствиям. Эквивалентность
состояний |Х) и |Х') в точности соответствует произволу в определении
Xfi"ji2... цп (ki» • • • kn), который существует в силу калибровочных преобра-
преобразований. Но теперь этот произвол выражен с помощью векторов состо-
состояний.
Чтобы понять последнее утверждение, вычислим среднее значение А^(х)
в состояниях | х) и ]%'). Для этого заметим, что
.. . "^
X
П (]^L*(k^h™(bu ... K)}\X)G =
ii
(9.55)
где
A+(k)= -uA)(k). (9.56)

§ 2. Квантование. Формализм Гупта — Блейлера 245
При получении (9.55) и (9.56) мы использовали то, что ад (к) и L (к')
коммутируют, а также равенство L (к) |%) = (%| L* (к) = 0 и соотношения
коммутации
[ад(к), ^(к')]=-^МC>(к-к'). (9.57)
Аналогично,
(X' | о; (к) ] x')G = (X | о* (к) - ^Л. (к) | х>с, (9.58)
причем
Л_(к) = Лш(к),
так что
(X' I А» (х) | Х'Ь = <Х | Л 0*0 + ^Л (х) | %)g (9.59а)
при условии
ПЛ = 0. (9.596)
Таким образом, эквивалентность векторов состояния |Х) и |х') отра-
отражает тот факт, что описание с помощью потенциалов всегда содержит
произвол, связанный с возможностью калибровочных преобразований,
при которых Лд—» Лд + ддЛ..
Однако скалярное произведение Гупта гарантирует, что все экви-
эквивалентные волновые функции ведут к одинаковым физическим след-
следствиям. В частности, ясно, что средние значения наблюдаемой поля
F^ = дуАц — д^Ау в состояниях |Х) и |%') одинаковы. Мы можем по жела-
желанию выбрать состояние |%), не содержащее временных и продольных
фотонов, в качестве представителя класса эквивалентных состояний.
Однако это соответствует выбору частной калибровки. Так, состояние
вакуума | 0), характеризуемое условием а^ (к) |0) = 0 (ц = 0, 1, 2, 3), можно
рассматривать как «представителя» возможных в теории вакуумных
состояний. Другие «вакуумы» отличаются от состояния 10) наличием
равного числа временных и продольных фотонов. Тем не менее средние
значения любой калибровочно-инвариантной величины будут одинако-
одинаковыми для всех различных состояний вакуума.
Таким образом, формализм Гупта имеет определенное достоинство,
заключающееся в том, что в рамках теории включены и вполне опре-
определены состояния с временными и продольными фотонами, что и должно
иметь место при математически корректном определении операторов
Ац(х), (|х = 0, 1, 2, 3). Но эти состояния не дают вклада в физически
наблюдаемые величины (в случае свободного поля).
В заключение этого параграфа отметим, что калибровочное преоб-
преобразование Ац —> А'ц (х) = Ац (х) + дцА при QA = 0 порождается следую-
следующим унитарным преобразованием:
iHKII^) (9-60)
а
причем
(9.61а)
^ .. (9.616)
Доказательство: Заметим сначала, что U/^(a) в действительности
не зависит от о, так как (б/бо (х)) UA (о) = 0, поскольку X и Л удовле-
удовлетворяют уравнениям ?Х=ПЛ- = 0. Далее, поскольку коммутатор Uv

246 Гл. 9. Квантование электромагнитного поля
и Av,(x)
= д^А(х) (9.62)
является с-числом, то в (9.616) дают вклад лишь первые два члена, чем
и доказывается сделанное утверждение. Поэтому наблюдаемую (которая
с необходимостью калибровочно-инвариантна) можно характеризовать
как величину, коммутирующую с UA, или, подробнее, с L (к) и L*(k).
Следовательно, наблюдаемая обладает тем свойством, что она переводит
вектор, принадлежащий SP, в другой вектор из аР, т. е. оставляет &*
инвариантным.
Мы закончим этот параграф, сформулировав перестановочные соот-
соотношения для напряженностей электромагнитного поля:
¦iF^ix), FXQ(x')] =
'x} D(x-x'). (9.63)
Для обсуждения этих перестановочных соотношений в связи с возможно-
возможностями совместимых измерений компонент электрического и магнитного
поля в малых пространственно-временных областях читатель отсылается
к классическим работам Бора и Розенфельда [69, 70], а также к обзор-
обзорной статье Коринальдези [145]. (См. также [676, 677].)
§ 3. Трансформационные свойства
Здесь мы вкратце опишем трансформационные свойства опера-
оператора А^(х). При собственных преобразованиях Лоренца А^ преобра-
преобразуется как вектор, причем
U (а, Л) А» (х) U (а, Л) = (А.'%АЧ {Ах + а), (9.64)
где U при использовании скалярного произведения Гупта является
унитарным оператором, т. е. для произвольных | ?} и |Ф)
(U (а, Л) ?, U (а, Л) Ф)с = (?, Ф)с. (9.65)
Далее требуется, чтобы вакуум для электромагнитного поля (в некоторой
определенной калибровке) был инвариантным, т. е. U (а, Л)|0)=|0).
Закон преобразования поля при пространственных отражениях, обеспе-
обеспечивающий инвариантность перестановочных соотношений и лагранжиана,
имеет вид
(9.66)
где четность е(A) равна +1 и может зависеть от [i. (Поскольку электро-
электромагнитное поле является эрмитовым, то пространственная четность
должна быть действительной величиной.) Значения г^у определяются
из рассмотрения взаимодействия электромагнитного поля с зарядами.
Чтобы уравнения Максвелла ? А^ (х) = jll (x) были ковариантными, потен-
потенциал Ац должен преобразовываться так же, как и вектор тока /ц. Мы
уже отмечали, что последний преобразуется как обычный вектор
(вспомним, например, трансформационные свойства ^у^: ), так что
е@)= +1 и ег= - 1 (t-1, 2, 3).

§ 3. Трансформационные свойства 247
При зарядовом сопряжении А^ (х) преобразуется по закону
UeAVb{x)UZi=-AVL(x), •" (9.67)
который, как мы увидим, в случае заряженных полей, взаимодействую-
взаимодействующих с электромагнитным полем, обеспечивает инвариантность лагран-
лагранжиана относительно зарядового сопряжения.
Если теория должна быть инвариантной при вигнеровском обращении
времени, то потенциал А^ (х) должен преобразовываться согласно правилу
где U (it) — антиунитарный оператор. В равенстве (9.68) временная чет-
четность выбрана так, что А^ преобразуется как оператор тока /„. Такой
выбор ведет к тому, что U (it) преобразует оператор рождения фотона
с импульсом к и данной круговой поляризацией в оператор рождения
фотона с импульсом — к и той же круговой поляризацией.

Часть третья
ТЕОРИЯ
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
ПОЛЕЙ

Г Л А В А 10
Взаимодействие между полями
§ 1. Симметрии и взаимодействия
В предыдущих главах мы рассматривали лишь системы свободных
невзаимодействующих частиц. Мы видели, что такие системы могут быть
описаны при помощи операторов поля, подчиняющихся определенным
перестановочным соотношениям и вытекающим из лагранжиана уравне-
уравнениям движения. Однако только при исследовании взаимодействий между
полями наиболее полно проявляются преимущества лагранжева подхода:
фактически это единственный известный простой метод введения взаимо-
взаимодействия между частицами, в котором может быть сформулирована опе-
операция квантования. Наиболее изящная формулировка квантовой теории
поля в рамках лагранжева формализма была дана Швингером [714,
715, 717—719]. В ней не делается ссылок на классические поля и рассма-
рассматриваются только квантованные операторы. Она не лишена, однако, неод-
неоднозначностей, так как трудно дать точное математическое определение
таким понятиям, как вариации операторов. Мы поэтому останемся вер-
верными прежним методам и будем пользоваться лагранжианами, первона-
первоначально возникшими в теории классических с-числовых полей.
Рассмотрим сначала классическую теорию взаимодействия поля я|з (х)
со спином Уг с нейтральным скалярным полем ср (х), спин которого равен
нулю. Теория будет релятивистски инвариантной, если мы потребуем
инвариантности лагранжевой плотности относительно ограниченных
преобразований Лоренца. Именно, пусть производится преобразование
Лоренца х -*х' = Ах -\- а:
я]; (х) —> S (Л) я]; (Л {х' - а)) = я]/ (х'), A0.1а)
Ф (х) -> ф (Л (х' - а)) = q/ {х'). A0.16)
Тогда требование инвариантности заключается, во-первых, в том, что
лагранжева плотность X должна быть скаляром
Х'(\р'(х'), ц>'(х')) = Х СФ(ж), ф(ж)) (скалярность), A0.2а)
т. е. X и X' должны иметь одну и ту же величину в одной и той же точке
(в физическом смысле). Во-вторых, инвариантность подразумевает сохране-
сохранение функциональной формы при преобразовании Лоренца:
X'(ty'(x), ф' (х)) = Х ("ф' (ж'), ф'(ж')) (форм-инвариантность). A0.26)

252 Гл. 10. Взаимодействие между полями
Уравнение A0.26) гарантирует, что уравнения движения, выраженные
через новые переменные, имеют в точности ту же функциональную форму,
что и уравнения движения, выраженные через старые переменные. Так
как лагранжиан непосредственно связан с такими наблюдаемыми величи-
величинами, как гамильтониан и действие, мы требуем, чтобы он был веществен-
вещественным в классической теории и эрмитовым в квантовой. Мы требуем далее,
чтобы лагранжева плотность не содержала производных выше первого
порядка, дабы уравнения поля были не выше второго порядка.
Взаимодействие между полями вводится добавлением к свободному
лагранжиану X0 лагранжиана взаимодействия ?j, который должен удо-
удовлетворять указанным выше требованиям эрмитовости, релятивистской
инвариантности и не должен содержать высших пространственно-времен-
пространственно-временных производных от полей. Сила взаимодействия измеряется величиной
численного множителя в лагранжиане, называемого константой связи.
Мы будем делать различие между локальными связями, при которых
лагранжиан взаимодействия построен из полевых величин, относя-
относящихся к одной и той же пространственно-временной точке, например
%i= G т|з (x) ty (х) ф (х), и нелокальными связями, когда это не имеет места,
например Xj — G \ т|з (x) ty (x) F(x — x') ф (x') №х'', где заданная скаляр-
скалярная функция F(x — х') характеризует пространственно-вре-менную «об-
«область», в которой осуществляется взаимодействие. Мы будем также
различать прямые связи и связи с производными. Назовем связь пря-
прямой, если в Xi не содержится производных от полей. При связи с про-
производными в %i входят производные от полей.
Простейший путь введения локального релятивистски инвариантного1
взаимодействия между спинорным полем i|) (х) и скалярным полем ф (ж)
состоит в умножении инварианта tJji|) на ф и записи лагранжиана
взаимодействия в следующей форме (в рамках классической теории):
Xi = G v cftxty (x) ty (х)ф(х), где G — константа связи. Для определения раз-
размерности константы связи вспомним, что размерность полевых величин
фиксируется размерностью определенных физических величин для сво-
свободных полей. Например, для скалярного бозонного поля величина
имеет размерность энергии A /ц является комптоновской длиной волны час-
частицы). Поэтому ф2 имеет размерность ft2/[iF, где V — объем. Анало-
Аналогично, для поля Дирака величина
является энергией, так что произведение щ>У безразмерно. Величина
G \ «йгф'фф снова должна иметь размерность энергии, откуда можно зак-
заключить, что G2/he безразмерно.
Вообще можно различать два типа взаимодействий: те, в которых кон-
константа связи (в естественной системе единиц, где % = с = 1) имеет размер-
размерность длины в нулевой или отрицательной степени, и те, в которых кон-
константа связи имеет размерность длины в положительной степени. В есте-
естественной системе единиц бозе-поле со спином 0 имеет размерность
обратной длины L'1, поле Ферми — Дирака со спином Уг имеет раз-
размерность L~3/2, а плотность лагранжиана имеет размерность L~* (обратного

§ 1. Симметрии и взаимодействия 253
четырехмерного объема). Простейшими из связей являются те, которые
составлены из алгебраических функций операторов поля таким образом,
что появляются только безразмерные константы связи. Теория такого
рода не содержит в себе естественного масштаба. Постоянные (Д.о и т0,
которые появляются в свободном лагранжиане, отождествляются с мас-
массами квантов поля в отсутствие взаимодействия. Последние, однако, не
наблюдаемы. Поэтому эти размерные параметры не могут быть использо-
использованы для определения масштаба. Истинные массы частиц, которые должна
описывать теория, устанавливают, конечно, абсолютную шкалу длин имасс.
Однако современная квантовая теория поля, как мы увидим, не может
объяснить наблюдаемого спектра масс фундаментальных частиц. Истин-
Истинные (наблюдаемые) массы частиц вводятся в теорию при помощи так назы-
называемой перенормировки массы (см. гл. 15). При этом подходе величины
масс частиц рассматриваются как феноменологические проявления неиз-
неизвестного физического фактора, и неумение включить этот фактор в теорию
приводит к неудачам современного описания частиц. Предполагается, что
один и тот же физический фактор устанавливает абсолютную шкалу длин
и масс. Если принять такую точку зрения, то разумно постулировать, что
лагранжиан взаимодействия не должен включать единицу длины, имею-
имеющую динамическое происхождение вне области применимости теории.
Тогда для взаимодействующих полей со спином 0 и '/г зтот принцип1'
допускает только два типа лагранжианов взаимодействия, а именно связи
вида г|зГЧ|зф и ф4. Заметим, что исключаются связи с производными.
В этой книге мы будем рассматривать в основном только такие виды вза-.
имодействий.
Для случая псевдоскалярного поля ф связь, которая гарантирует
инвариантность jfj относительно собственных преобразований Лоренца
и пространственных отражений, имеет вид произведения псевдоскаляров
tyy5ty и ф, так как Хх{х) = Gtyy5ty4>(x) является инвариантом относительно
отражений. Поле ф может, например, описывать нейтральное я-мезон-
ное поле, a ijj — нуклонное поле. Если мы хотим описывать взаимодей-
взаимодействие не только нейтральных, но и заряженных мезонов с нуклонами
и потребуем зарядовой независимости всех предсказаний теории, то лагран-
лагранжиан взаимодействия должен быть инвариантным относительно вращений
в изотопическом пространстве. Простейшее взаимодействие такого рода
связывает нуклонный изотопический вектор г|зту5гр с мезонным изотопиче-
изотопическим вектором ф,причем ф3 описывает нейтральное, а A /]/2)(ф! ± iq>2) — за-
заряженные мезонные поля. Лагранжиан взаимодействия будет тогда иметь
вид
~ 3 ~
Xi = Gtyy5tty ¦ ф = ~?Gtyy5Tity<pi.
Это взаимодействие является примером того, как требование инва-
инвариантности определяет вид %х- В этой главе мы исследуем общую струк-
структуру лагранжиана с учетом требования инвариантности относительно
определенных преобразований симметрии. Мы будем главным образом
рассматривать электромагнитные взаимодействия и взаимодействия между
я-мезонами и нуклонами; другие известные сейчас взаимодействия будут
обсуждены более кратко. Однако, прежде чем углубляться в математиче-
математическое описание взаимодействующих квантованных полей, целесообразно,
г) Отметим, что этот принцип связан с принципом перенормируемости (см.
гл. 15—17).

254
Гл. 10. Взаимодействие между полями
по-видимому, вкратце обсудить основу для такого описания физических
явлений.
Раньше мы установили, что любой частице (и ее античастице) можно
привести в соответствие квантованное поле. При свободном движении каж-
каждая такая частица характеризуется массой, спином, электрическим заря-
зарядом и, возможно, другими квантовыми числами, такими, например, как
нуклонный заряд или гиперзаряд. Классификация по массе и спину сле-
следует из предположения, что частицы могут быть описаны в рамках форма-
формализма, основанного на общих принципах квантовой механики и специаль-
специальной теории относительности. При лагранжевом описании квантованных
полей другие «квантовые» числа связываются с инвариантностью лагран-
лагранжиана относительно определенных калибровочных преобразований.
Основное предположение современной квантовой теории поля состоит
в том, что структура и наблюдаемые свойства всех форм материи могут
быть объяснены и описаны при помощи ограниченного числа фундамен-
фундаментальных частиц, взаимодействующих определенным образом. Эти «фунда-
«фундаментальные» частицы можно, по-видимому, разбить на пять групп1'.
А. Барионы. Это частицы, массы которых лежат между массами
нуклона и дейтрона. Все они являются фермионами и подчиняются строгому
закону сохранения, известному как закон сохранения барионов или тяже-
тяжелых частиц. В настоящее время известны восемь таких частиц. Их свой-
свойства приведены в табл. З2).
Таблица 3
Барионы
Тип
Нуклоны
(TV)
Гипероны
(Y)
Частица
р (протон)
п (нейтрон)
Л
2°
2+
2~
=—
Масса (в массах
электрона)
1836,12±0,04
1838,65±0,04
2182,5±0,4
2329,9±0,3
2327,9±0,6
2341,6+.0,8
2585+6
2587+10
Время жизни,
сек
стабилен
1013+29
B,51±0,09)-10-Ю
<@,1)'10-ю
@,81±0,06)-10-ю
A,61±0,1)-10-1°
A,28±0,4)-10-Ю
-1-10-ю
Заряд
(в заря-
зарядах элек-
электрона)
+ 1
0
0
0
+1
— 1
—1
0
Распростра-
Распространенная
схема
распада
P + e~ + v
ЛЧ-я
Л + Y
Л' + я
п-\-л~
Л + я-
Л+я0
Шесть перечисленных в табл. 3 частиц тяжелее нейтрона или протона
называют гиперонами. Все известные гипероны имеют спин % и являются
барионами. Античастицы нуклонов, Л- и I* -частиц уже наблюдались экспе-
экспериментально. Следует отметить, что при распадах гиперонов среди продук-
продуктов распада всегда содержится гиперон или нуклон.
*) Полную характеристику экспериментальных исследований вплоть до 1958 г.
читатель найдет в книге Джексона [388] и обзорах Гелл-Машга и Розенфельда [314],
Францинетти и Морпурго [275], Далитца [151] и Ашкина [21]. Для ознакомления
с попытками теоретического объяснения опытных данных рекомендуются статьи
Нишижимы [582] и Кеммера, Пурсея и Полкингхорна [441]. См. также труды Женев-
Женевской, Киевской и Рочестерской конференций по физике частиц больших энергий 1958,
1959 и 1960 гг.
2) В таблицы внесены исправления по данным на осень 1962.— Прим. ред.)

§ 1. Симметрии и взаимодействия
255
Б. Мезоны. В эту группу частиц включаются я- и У?-мезоны, основные
характеристики которых приведены в табл. 4. Известно, что мезоны явля-
являются бозонами и весьма вероятно, что все они обладают спином, равным
нулю. Их взаимодействия с барионами являются сильными.
Таблица 4
Мезоны
Тип
я-мезоны
А'-мезоны
Частица
Я°
Я±
КО, К°
Масса
(в массах
электрона)
264,3±0,3
273,3±0,1
974,2±1,2
966,6±0,4
Время жизни,
сек
B,2±0,8)-10-ie
B,55±0,03)-10-*
(Я?)A,00±0,04) -10-ю
(«1)F,1±1,5)-Ю-8
A,224±0,013)-10^8
Схема распада
2-у, Y+e++e~
fi±-(-v, e±-\-v
2я
Зя, n + v-f-я, e-j-v-j-Я
( 2я, Зя, (г+v
t jx + v+jt, e+v-j-jt
В. Пептоны {легкие фермионы). К этой группе частиц принадле-
принадлежат мюоны, электроны и нейтрино1). Они являются фермионами и имеют
спин %. Их свойства перечислены в табл. 5. «Пептоны слабо взаимодей-
взаимодействуют друг с другом и с барионами и мезонами.
Таблица 5
Лептоны
Тип
Нейтрино
Электрон
Мюон
Частица
е~, е+
ц-, ц+
Масса (в массах
электрона)
0
0
1
2О6,9±О,1
Время жизни,
сек
Стабильно
Стабильно
Стабилен
B,212 + 0,001)-10-в
Схема распада
Г H+->e+ + ve+v,i
1 ц-->7 -Tve+Vn
/'. Фотон. Т1астица с массой покоя, равной нулю, стабильная, об-
обладает спином 1 и взаимодействует со всеми заряженными частицами.
Она ответственна за электромагнитные взаимодействия между этими час-
частицами.
Д. Гравитон. Частица, которая, как предполагают, связана с грави-
гравитационными. явлениями2).
>) В 1962 г. было обнаружено, что существует два разных нейтрино ve и v ,
сопровождающих электрони мюон соответственно [см. Phys. Rev. Lett., 9, 36 A962)].—
Прим. ред.
2) Гравитон вводится в теорию гравитационных полей по аналогии с фотоном
(с тон разницей, что его спин равен 2). Его теория почти не разработана и никаких
экспериментальных данных о нем нет.— Прим. ред.

256 Гл. 10. Взаимодействие между полями
Как упоминалось выше, взаимодействия между этими частицами до-
допускают, по-видимому, следующую естественную классификацию:
1. Сильные взаимодействия — взаимодействия между барионами,
антибарионами и мезонами. Эти взаимодействия ответственны за рожде-
рождение и рассеяние барионов, я- и isT-мезонов. Они характеризуются больши-
большими константами связи, равными по порядку величины единице или даже
больше.
2. Электромагнитные взаимодействия, связывающие фотон со всеми
заряженными частицами (реальными и виртуальными) и характеризуемые
константой связи е2/АяИс = 1/137.
3. Слабые взаимодействия, ответственные за процессы р"-распада,
медленные распады гиперонов и мезонов, поглощение мюонов в веществе
и распад мюонов1).
4. Гравитационные взаимодействия, характеризуемые ньютоновской
гравитационной постоянной G, которая имеет размерность обратного
квадрата массы, причем {G 1Ъс)т% ~ 10~39 (тр — масса протона).
Выше отмечалось, что имеются очень веские данные, свидетельствую-
свидетельствующие о подчинении барионов абсолютному закону сохранения. Он гласит, что
число барионов минус число антибарионов остается постоянным при лю-
любых взаимодействиях. Этот закон обычно называют законом сохранения
тяжелых частиц. Он является, например, причиной того, что не происхо-
происходят такие энергетически разрешенные процессы, как р -> е* -f- v -f- v,
п -> е* -\- ё~ -f- v, и тем самым вообще отвечает за стабильность вещества.
Для лептонов, по-видимому, имеет место аналогичный закон сохранения,
известный как закон сохранения лептонов. Он гласит, что в любой реак-
реакции, содержащей лептоны, сохраняется число лептонов минус число анти-
лептонов. Экспериментальные данные указывают на выполнение этого зако-
закона, если отнести е~, |дг и v к «пептонам», а е*, \i* и v — к «антилептонам»2).
Наряду с сохранением числа тяжелых частиц и лептонов во всех реак-
реакциях фундаментальных частиц с высокой степенью точности сохраняются:
а) энергия и импульс; б) момент количества движения; в) электрический
заряд.
Эти законы сохранения, как отмечалось выше, могут быть выражены
на языке принципов симметрии и инвариантности, которым должна удов-
удовлетворять любая теория, претендующая на описание взаимодействий
между частицами. Так:
а) сохранение энергии и импульса связано с однородностью простран-
пространства и времени и инвариантностью теории относительно пространственных
и временных сдвигов;
б) сохранение момента количества движения — с инвариантностью
относительно собственных преобразований Лоренца (изотропия простран-
пространства-времени);
в) сохранение заряда — с калибровочной инвариантностью.
Поэтому требуют, чтобы лагранжиан, описывающий систему полей,
связанных с фундаментальными частицами, был инвариантным относи-
относительно неоднородной группы собственных преобразований Лоренца и опре-
х) Константа связи слабых взаимодействий имеет размерность квадрата длины
или обратного квадрата массы, причем (Gibe) 7kf2~10~5, где М — масса электрона.—
Прим. ред.
2) После открытия двух типов нейтрпно надо считать, что существует и соответ-
соответственно два закона сохранения лептонов: e~ve, с одной стороны, и jx'v^— с другой.—
Прим. ред.

§ 1 Симметрии и взаимодействия 257
деленных калибровочных преобразований, гарантирующих сохранение
заряда, числа барионов и числа лептонов. Ландау [475] и Вигнер [864]
высказали согласующуюся с экспериментом гипотезу, что все взаимодей-
взаимодействия инвариантны относительно операции обращения времени.
Перечисленные выше законы сохранения в настоящее время счита-
считаются точными (по крайней мере в ближайшей к нам части Вселенной),
т. е. они выполняются во всех взаимодействиях между частицами. Кроме
этих точных законов сохранения, имеется ряд законов сохранения, кото-
которые, по-видимому, выполняются только в некоторых взаимодействиях.
Так, в сильных взаимодействиях барионов и мезонов сохраняется изото-
изотопический спин. Это следует из зарядовой независимости взаимодей-
взаимодействий нуклон-нуклон и я-мезон-нуклон и, по-видимому, имеет место
также для ЛГ-мезон-барионных взаимодействий (см., например, статьи
Далитца [151], Ли [483], Фелдмана [239]). Весьма вероятно, что во всех
сильных взаимодействиях сохраняется также и четность. С другой сто-
стороны, электромагнитные взаимодействия сохраняют четность и лишь
третью компоненту изотопического спина. Слабые взаимодействия не
сохраняют ни четности, ни изотопического спина (последний для лептонов
фактически не определен). Это краткое обсуждение показывает, что, по-
видимому, имеется соответствие между силой взаимодействия и свойствен-
свойственным ему числом законов сохранения или, наоборот, слабостью взаимодей-
взаимодействия и числом нарушаемых им законов сохранения. Причина соответствия
еще не выяснена. Однако это соответствие отражено в большинстве совре-
современных теорий взаимодействия между фундаментальными частицами.
За последние несколько лет достигнут значительный прогресс в свя-
связи с идеей, что природу легче всего описывать последовательностью при-
приближений (см. статьи Пайса [611] и Гелл-Манна [309]). В первом при-
приближении электромагнитные и слабые взаимодействия «выключены», т. е.
предполагаются несуществующими. Лептоны и фотон при этом никак не
взаимодействуют. В то же время барионы и мезоны взаимодействуют
в согласии с упомянутыми выше законами сохранения (числа барионов,
полного изотопического спина и его третьей компоненты, странности,
PC и т. д.). В этом приближении не могут происходить распады с участием
лептонов и фотонов. Во втором приближении учитывается электрический
заряд частиц, так что происходят и сильные, и электромагнитные взаимо-
взаимодействия, но не слабые. На процессы с участием барионов и мезонов теперь
оказывают влияние электромагнитные эффекты с вытекающим отсюда
нарушением закона сохранения полного изотопического спина (зарядо-
(зарядовой независимости). Распады с участием фотонов, такие, как я0 -* 2у
и 2°—кЛ.-[-у, уже разрешены. Однако лептоны еще не испытывают никаких
иных взаимодействий, кроме электромагнитных. В последнем приближении,
которое дает столь точное описание мира, какое только достижимо на
сегодняшний день (без учета гравитационных эффектов), принимаются во
внимание слабые взаимодействия. Поэтому становятся возможными «мед-
«медленные» распады гиперонов, мюонов я- и isT-мезонов и нейтрона, а также
поглощение отрицательных мюонов в веществе.
Следует подчеркнуть, что изложенное выше описание «фундаменталь-
«фундаментальных частиц», несомненно, не окончательное. При зтом описании каждой
частице приводится в соответствие поле, причем не делается каких-либо
различий между «элементарными» и «составными» фундаментальными
частицами. Однако в рамках теории поля можно высказать предположе-
предположение, что я-мезон, например, на самом деле представляет собой составную
систему, образованную из тесно связанных друг с другом нуклона и анти-
17 с. швеЗер

258 Гл. 10. Вааимодействие между полями
нуклона (гипотеза Ферми и Янга [244], см. в этой связи также статьи Гей-
зенберга [373], Саката [684], Левин Маршака [499], Маркова [534], Оку-
Окуня [599, 600]), или что гипероны являются связанными состояниями одного
или более .ЙГ-мезонов с нуклонами (Голдхабер [329], Кристи [133]). Схема
Ферми и Янга и в самом деле могла бы «объяснить» псевдоскалярную при-
природу я-мезона, так как связанная система нуклон — антинуклон в S-co-
стоянии имеет четность, противоположную четности вакуума. Основная
трудность всех подобных теорий состоит в том, что в настоящее время
отсутствует сколько-нибудь удовлетворительный способ расчета свойств
сильно взаимодействующих систем. В схеме Ферми и ее обобщениях, при-
принадлежащих Саката [684] и Окуню [599], я-мезоны и К -мезоны, а также
2- и Н-гипероны рассматриваются как составные частицы. Энергия связи
у этих составных систем сравнима с массами свободных частиц. Возможно,
что при не слишком больших энергиях такие составные частицы могут
и в самом деле рассматриваться как «элементарные». Поэтому теория,,
в которой каждой фундаментальной частице приводится в соответствие
поле, при определенных условиях может оказаться приближенно верной.
Современные теоретические взгляды на мезон-нуклонные явления основы-
основываются на этой (приближенной) картине и говорят в пользу такой точки
зрения.
§ 2. Ограничения, обусловленные пространственно-временными
симметриями
В § 1 этой главы отмечалось, что свойства инвариантности физиче-
физических законов могут быть разделены на две группы. Первая группа содер-
содержит симметрии, которые носят универсальный характер, а вторая груп-
группа — симметрии, присущие ограниченному классу явлений. Примером
симметрии второй группы служит изотопическая инвариантность, прису-
присущая только сильным взаимодействиям. Первая группа симметрии может
быть подразделена далее на два класса: пространственно-временные
симметрии, состоящие из
1) пространственно-временных сдвигов,
2) собственных преобразований Лоренца,
3) обращения времени (по Вигнеру) ч
и симметрии, связанные с
а) сохранением электрического заряда,
б) сохранением числа тяжелых частиц.
Мы видели, что сохранение заряда может быть связано с инвариант-
инвариантностью лагранжиана относительно определенной группы калибровочных
преобразований заряженных полей. Делались также попытки связать
сохранение числа тяжелых частиц с определенными калибровочными пре-
преобразованиями операторов поля тяжелых частиц. Пока не удалось пред-
предложить удовлетворительную схему для этого. Одну из таких попыток мы
опишем в § 5.
В зтом параграфе мы будем рассматривать ограничения на вид лагран-
лагранжиана взаимодействия в локальных теориях поля, налагаемые простран-
пространственно-временными симметриями. Мы начнем сразу же с вторично-кван-
вторично-квантованной теории.
Сначала снова рассмотрим случай спинорного поля ty (х), взаимодей-
взаимодействующего с нейтральным скалярным бозонным полем ф (х). Предполо-
Предположим, что в частной лоренцевой системе отсчета наша система полей может

§ 2. Ограничения, обусловленные простпранственно-временнйми симметриями 259
быть охарактеризована лагранжевой плотностью X = X (ср, яр). Утверж-
Утверждение, что система полей состоит из спинарного и скалярного полей, озна-
означает, что при любом неоднородном преобразовании Лоренца {а, Л}, при
котором х -* х' = Ах -f- а, поля г|) и ср преобразуются следующим образом:
U (а, Л) ср (х) U (а, А)'1 = ф (Az + а), A0.3а)
U (а, А) -ф {х) U (а, Л) = S (Л)"Ч|) (Ля + а); A0.36)
здесь U (а, Л) —унитарное представление неоднородной группы Лоренца
в гильбертовом пространстве векторов состояния системы. Как отмеча-
отмечалось в гл. 2, для сдвигов U (а, Л) имеет вид
U (a, l) = eia^, A0.4)
где 4-вектор энергии-импульса Рц= \ davT^, а 7\п, — тензор энергии-
импульса системы полей. Для однородных преобразований Лоренца
U (а, А) запишется в виде
A0.5)
где Мцл, — тензор момента количества движения поля. Таким образом,
видно, что существование операторов Р^, и iWy,v есть следствие реляти-
релятивистской инвариантности. Операторы Рц, и M^v являются генераторами
сдвигов и преобразований Лоренца соответственно и поэтому удовле-
удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:
A0.6)
A0.7)
xv bXV-^Лц/* ^lU.Oj
При бесконечно малых преобразованиях
U(a,l)^l + icPPy., A0.9а)
U @, А) ъ 1 + - iA^M^y " A0.96)
формула A0.3а) переходит в
A + iatPy) ф (х) A — iatPv) + О (а2) ^ ф (х) + а»д^'(х) + О'(а2)^
«S5 ф(х) + тй[/'ц, ф(я)]+ • •., A0.10)
откуда
[Рц, ф (а;)] = —idyff (x). ¦ A0.11)
Аналогично,
[M^v, (f(x)\ = i(xildv — xvdv)(p(x), A0.12)
\Р ib (x)] = i5 ib fa;) МО 13^
4
[M^v, Яра (X)] = f (Xydv — Xv^n) Яра (ж) + i 2 (<Jnv)a$lbp (x), A0.14a)
0=1
.где
1
o"nv =-oHYnYv — YvYn)- A0.146)
Следует отметить, что выписанные выше релятивистские преобра-
преобразования, так же как и рассмотренные ранее преобразования для случая
свободных полей, относятся к «шредингеровскому типу», т. е. преобра-
17*

260 Гл. 10. Взаимодействие между полями
зуются векторы состояния (|Ф)—>\Ф') = 17(а, Л)|Ф)), но используются
«одни и те же» операторы (полевые наблюдаемые).
В дальнейшем для некоторых целой будет удобно использовать
релятивистские преобразования «гейзенберговского типа», когда преоб-
преобразуются не векторы состояния, а операторы. При преобразовании гей-
гейзенберговского типа наблюдаемая О (х) при релятивистском преобразо-
преобразовании х —> х' = Ах -fa преобразуется по правилу 0(х)—>0'(х). Связь
между преобразованиями шредингеровского и гейзенберговского типа
заключается в следующем: если при преобразовании шредингеровского
типа вектор состояния | Ф) переходит в |Ф'), то
(Ф, О'(х)Ф) = (Ф', О(х)Ф'). A0.15)
Если U унитарный оператор, то с учетом соотношения |Ф') = U (а, Л) |Ф)
О' (х) = U-1 (а, Л) О (х) U (а, Л) =
= Щ - А~ха, Л) 0{x)U{- A'xa, A'1)'1 = So (Л) OfA (х - а)), A0.16а)
или, что то же самое,
O'(x') = So(A)O{x). A0.166)
Скалярность лагранжиана X тогда означает, что преобразованный
лагранжиан X' имеет одну и ту же величину в одной и той же в физи-
физическом смысле точке, т. е.
Х'(Ъ'{х'), Ф'(*')) = .2? ОН*), <p(x)) = X(S(A)-1y(x'), q>'(*')), A0.17а)
или, эквивалентно,
V-1 {а, А) X (Ц Or'), <p(x'))U(a,A) = X(y{x), ф(в)). A0.176)
Мы уже установили, что относящаяся к свободным полям часть лагран-
лагранжиана «Jfо> являющаяся суммой лагранжиана свободного дираковского
ноля (8.2) и лагранжиана свободного скалярного поля со спином, равным
нулю G.227), преобразуется как скаляр при собственных преобразо-
преобразованиях Лоренца. Поэтому интеграл действия \ d^xX^ (x) для свободных
полей является инвариантом. Возвращаясь к части лагранжиана, описы-
описывающей взаимодействие между нейтральным (а потому и эрмитовым)
скалярным полем и заряженным спинорным нолем, мы находим, что
относительно собственных преобразований Лоренца скалярами являются
следующие локальные связи:
Gt|) (x) ip (x) ф (х) (скалярная связь),
Gty (x) ybty {x) q> (х) (псевдоскалярная связь),
x) у^(х) с^ф (х) (векторная связь),
(x) YsYii^H*) ^Ф (ж) (псевдовекторная связь).
В плотности лагранжиана для псевдовекторной связи множитель i обеспе-
обеспечивает эрмитовость выражения. В этой связи вспомним, что Ys ость
антиэрмитова матрица, y* = (¦Y0Y1Y2Y3)* = — Ysi и чт0 Y^ = Y°YnY0- Поэтому
A0.19)

§ 2. Ограничения, обусловленные пространстеенно-еременнйми симметриями 2CI
Рассмотрим теперь ограничения, налагаемые требованием инва-
инвариантности теории относительно обращения времени по Вигнеру. Важ-
Важная теорема Паули [632] и Людерса [517, 518] (это открытие, по суще-
существу, было предвосхищено Шеллом и Швингером [714]), известная
в настоящее время, как СРГ-теорема, утверждает, что в рамках реля-
релятивистски инвариантных локальных теорий поля в предположении
обычной связи между спином и статистикой инвариантность относи-
относительно обращения времени эквивалентна инвариантности относительно
UfUc, т. е. комбинированной операции зарядового сопряжения (Uc)
и пространственного отражения (Up). В лагранжевой формулировке
СРУ-теорема следует из предположений об инвариантности лагранжиана
относительно собственных преобразований Лоренца, эрмитовости лаг-
лагранжиана, о локальности теории и о том, что частицы целого спина
(бозоны) должны подчиняться статистике Бозе —Эйнштейна, а частицы
полуцелого спина (фермионы) должны подчиняться статистике Ферми —
Дирака, т. е. соблюдается обычная связь между спином и статистикой.
Мм дадим детальное доказательство этой теоремы в гл. 18. Здесь
же мы несколько менее формально вкратце изложим физическое содер-
содержание предположения об инвариантности относительно операции СР.
Для этого вспомним, что инвариантность относительно операции про-
пространственного отражения Up подразумевает, что [Н, Up].—О, и это
равносильно сохранению квантового числа, называемого четностью.
Если гамильтониан Н теории инвариантен относительно простран-
пространственного отражения, то в такой теории нельзя отличить правое от
левого. Эта инвариантность означает, что зеркальное отражение любо-
любого состояния системы также является состоянием системы. Теперь
твердо установлено, что слабые взаимодействия не инвариантны отно-
относительно Up. Глубокому пониманию этих вопросов мы обязаны Ли и
Янгу [488]. Ландау [475] высказал предположение, что хотя сохране-
сохранение четности может нарушаться, операция UpUc может все же оста-
оставаться точной операцией симметрии, относительно которой инвариант-
инвариантны физические законы. Это говорило бы, что состояние, полученное
из состояния системы зеркальным отражением с одновременной заменой
каждой из частиц на ее античастицу, всегда будет возможным состоя-
состоянием соответствующей системы античастиц.
Трансформационные свойства спинорного поля г|з (х) при зарядовом
сопряжении и пространственном отражении определяются следующим
образом:
^cC^>T(x), A0.20а)
UP if (ж) Up1 = T]p Yo4> {isx), A0.206)
где | ч]р\2 = | tic |2 = 1 и С'1 yV-C — — yV-T. Заметим, что нет нужды в кон-
конкретизации фазы множителя, появляющегося в правой стороне равенств
A0.20а) и A0.206), так как мы всегда будем рассматривать только
билинейные коварианты, образованные из г|з и г|з. Нейтральное поле ф {х)
при операции UPUC преобразуется согласно правилу
UpUcy (x) {UpUc)-1 = пф (i, х). A0.21)
Ввиду нейтральности бозонного поля п вещественно, причем w2= +1.
Случай п = 1 соответствует скалярному полю, случай п = — 1 — псевдо-
псевдоскалярному. Трансформационные свойства производных от операторов

262 Гл. 10. Взаимодействие между полями
поля запишутся в виде
UpUc ддф (х) {UpUc)-1 = мед дд Ф (i, ж), A0.22)
где вй = ?йй, т. е. ео= + 1, et= — 1 (i = l, 2, 3).
Говорят, что локальная теория является СР-инвариантной (а по
теореме Людерса —и Т-инвариантной), если существует такой специфи-
специфический выбор фаз т] и п, при котором лагранжиан инвариантен отно-
относительно преобразования Up Uc- Другим, эквивалентным критерием
СР-инвариантности теории является инвариантность гамильтониана Н
относительно преобразования Up Uc при некотором специфическом
выборе фаз. Иными словами, теория будет СР-инвариантна, если
Н = UcUpH {Uc Up)-1, или, что то же самое, если L = Uc UpL(Uc Up)-1.
Покажем теперь, что если СР сохраняется при взаимодействии
между спинорным полем i|) (х) и бозонным полем ф (х), то лагранжиан
взаимодействия будет состоять либо из члена вида ффф, либо из любой
комбинации членов вида г^^ф. чрУнФ^Ф» "ФУцУьТрд^Ч [235]. Для этого
рассмотрим трансформационные свойства билинейных форм т|л|з,
tyysty и ipYeY^ ПРИ операции СР. Используя A0.20), находим
Uс % (х) Оа&% (х) и# =
:6 (x) Cpp'
[C-WCh
р'Фб (X)
A0.23a)
A0.236)
A0.23b)
При переходе от соотношения A0.23а) к A0.236) мы использовали тот
факт, что СТС'1= —I. При получении соотношения A0.23в) мы учли
одновременные перестановочные соотношения и пренебрегли членом,
содержащим 6C)@), который возникает из этих перестановочных соотно-
соотношений. Чтобы не возникало такой неоднозначности, предположим, что
все спинорные выражения должны быть симметризованы:
Ц*(х)ОаегРе(х)->±№(х)О)е, fy{x)] = \[ipa(x), Ых)]Оа3. (Ю.24)
Заметим, что коммутатор 1/2 [г|з (х) О, ty (х)] (симметризованное выраже-
выражение, соответствующее 1\р0'\р(х)) является однокомпонентной величиной
в отличие от коммутатора [тр(ж), гр (х')]+, являющегося 16-компонентной
величиной. Трансформационные свойства симметризованного произведе-
произведения при зарядовом сопряжении даются формулой
Uc [фа (*), Ь И! Uc10«р = №р (х), Уб (х)] (С-ЮСNР. A0.25)
В табл. 6 приведены преобразования шестнадцати ковариантов. Комби-
Комбинируя эти результаты с результатами, полученными при применении
операции Up, находим
Uc Up [ф (х) О, if (х)] (t/c UP):l= Wi.x) yo(C-WC)T yo, t (i, x)}. A0.26)
Отсюда, применяя обозначение Ucp = UcUp, получаем
(i.x)], A0.27a)
y!>, ${t.x)], A0.276)
xLlx,q(isx)), A0.27b)
Ucp [? (x) y.Yh. * (*)I «7Й> = - вц [ф (i. *) YsYm. Ф (*. *)J • (Ю.27г)

2. Ограничения, обусловленные пространственно-временнйми симметриями 263
Таблица 6
0
/
Yn
Y5
c-oc
I
-y»
¦ +Y^
(C^OCJ"
I
Y5
Yo (C-1OC)ty°
I
-НУ»
— Ys
Различные члены лагранжиана взаимодействия преобразуются согласно
правилам:
Ucp [ф (ж), ф (ж)] ф (х) С7ср = n [ф (i.x), ф (i.x)] <p (i.x), A0.28а)
(ж) Ye, Ч> («)] Ф («) #ср= - и [$(«.«) Ye. Ф («««)] Ф («.«), A0.286)
(«)] ^ ф (я) г7схр = - n fij> (f, x) y^, ф {is х)] д'» Ф (i, ж), A0.28в)
Ч> («)] ^ Ф (ж) t/cp= -п [ф («.ж) YsY^. * (i.«)l ^'^ ф (i.x).
A0.28г)
Следует заметить, что эти члены разделяются на две группы, одна
из которых содержит в правой стороне равенств множитель (-{-п),
а другая ( — и). Это доказывает высказанное выше утверждение.
Если заметить, что теория, описываемая лагранжианом X = X0 + Xi
(где Jff —линейная комбинация любых из четырех выражений A0.28)],
инвариантна относительно калибровочных преобразований i|) —> [exp (sa)] tf,
if —» [ехр ( — m)] i|j, так что величина [i^Yn» 'Ф! сохраняется, 9^ [opY*1. ip] = 0,
то можно провести дальнейшее упрощение. Теперь член лагранжиана
взаимодействия [груц.> Ч>] <^ Ф можно переписать в виде
что равно 5^ ([г|з Yht ip] ф) в силу указанного выше закона сохранения (или
эквивалентно как следствие уравнений движения).
Остающийся член имеет вид 4-дивергенции. Мы отмечали ранее, что
два лагранжиана, отличающиеся на 4-дивергенцию, приводят к одним
и тем же уравнениям движения и поэтому эквивалентны. Нам не нужно,
«ледовательно, рассматривать векторную связь. Укажем также, что
член с векторной связью может быть удален при помощи унитарного
преобразования [597]1). Таким образом, мы приходим к выводу, что
в локальной теории, инвариантной относительно преобразований Ло-
Лоренца и преобразования СР, допустимы только такие лагранжианы
взаимодействия между бозонным полем ф со спином, равным нулю, и
¦сшшорным полем г|з, которые имеют вид
или
GW
A0.29a)
ж), A0.296)
*) В отличие от этого, предыдущее рассуждение автора не корректно, так как
в лагранжиане нельзя использовать следствий из уравнений движения.—Прим .ред.

264 Гл. 10. Вааимодействие между полями
если ограничиться трилинейными связями. Интересно отметить, что эти
ограничения на вид взаимодействий, вытекающие из СР-инвариантности,.
в точности такие же, как и вытекающие из сохранения четности, т. е.
из требования, чтобы лагранжиан был инвариантен относительно опе-
операции Up в отдельности. В этом случае скалярное взаимодействие
тоже не смешивается с псевдоскалярным или псевдовекторным.
В точности такие же рассмотрения применимы к случаю взаимо-
взаимодействия между вещественным бозонным векторным полем фц со спином,
равным 1, и спинорным полем гр. Локальные взаимодействия в Xj долж-
должны быть образованы путем комбинации спинорных ковариантов и фц,
или F^v = дцфд, — с^фц- Эти величины преобразуются при Upc согласно
UCp Фц (х) U'cp = л'бцф,,, (is х) A0.30а)
Ucp f\v (х) Ucp = n e)xev F^ (is x). A0.306)
Скалярные лагранжианы взаимодействия гр^трфц, г-ф-у^-уэя^ ср^, ^a^^F^
и тро^ ystyFuv (причем a^v = (l/2t) [у*, \v]), преобразуются при операции
СР по правилам
Ucp [ty(x) у», гр (х)] ф^ (х) Ucp = — га' [$ (i, х) у», тр (is x)] ф^ (is x),
A0.31а)
Ucp 1$ (х) ^Ys, Ч> (х)] Фи (х) ucp = — га' [${is x) у» уъ,^ (is x)] ф„, (is x),
A0.316)
Ucp [* (х) a^Mp (x)] F^v (x) UCP = - л' [$ (i, x) ст^,тр (is x)] F»v (is x),
A0.31b)
Ucp l$(x) о»" \5,ip (x)] F,lv (x) UCP = n' [${i,x) a^ yb,q (isx)] F»v (isx).
A0.31r)
Таким образом, лагранжиан взаимодействия может либо состоять из
линейной комбинации членов вида тр'УцТрф'1, ipa|iVip/'7flv и 1р\д\6'фф»1, либо
иметь вид ^o^y^F^.
В заключение этого параграфа мы проведем краткое исследова-
исследование требований, налагаемых лоренцевой и СР-инвариантностями на
структуру свободных (невзаимодействующих) полей (см., например,
работу Соловьева [735]). Используя соотношения A0.27), легко устано-
установить, что наиболее общий локальный лагранжиан для свободного
дираковского поля, который инвариантен относительно преобразований
Лоренца и операции СР и является билинейной комбинацией гр и тр,
дается выражением
X (х) = i ia ($ (х) у» с^гр (х) - д^ (х) у» гр (х)) +
+ ^Ъ ($ (х) YsY* дцЧ> {*) - д»Ц(х) -YsY^ (*)) -1т ^
где а и Ъ — вещественные постоянные, а множитель i введен для обес-
обеспечения эрмитовости X (х). Ясно, что этот лагранжиан не инвариантен
относительно пространственного отражения, так как при операции Up
меняют знак члены, содержащие уь. Из этого лагранжиана для опера-
операторов поля гр и гр следуют уравнения движения
(-1Г^6>[1-1-/?г)гр(х)==0, A0.33а)

§ 3. Электромагнитные взаимодействия 265
где
T» = {a-~ibyb)y». A0.336)
Требование, чтобы г|5 (х) описывало частицы с массой т, может быть
выражено как требование, чтобы -ф (ж) удовлетворяло уравнению
(? + ™2)i|) = 0. A0.34)
Поэтому матрицы ]> должны удовлетворять дерестановочным соот-
соотношениям
rnrv + rvr^ = 2g-^v. A0.35)
Подстановка выражений A0.336) в A0.35) с учетом известных переста-
перестановочных соотношений для у^, уь, а именно [у^, yv]+ = 2g>iv и [yw'Y6]+ = O'
показывает, что если а2 —&2 = 1, то соотношения A0.35) и A0.336) будут
удовлетворены. В этом случае A0.33а) будет просто «обычным» уравне-
уравнением Дирака с другим представлением Y~MaTPHU'- Ясно, что частным
выбором а и Ь, удовлетворяющим уравнению а2 — Ъг = 1, будет а = У 2 ,
Ь = 1.
Отметим, наконец, что релятивистски и СР-инвариантный лагран-
лагранжиан для заряженного бозонного поля записывается в виде
Х=-±р*[<р*(х), ф(х)]++1[сур*(х), d»y(x)U, A0.36)
т. е. должна быть введена симметризация билинейных по бозонным
операторам множителей. Мы будем иногда обозначать требующуюся сим-
симметризацию точкой и писать
Х= _^ф*.ф + дм.ф*.дм-ф, A0.37)
где
Ф*.ф = 1[Ф*, Ф]+. A0.38а)
Для упрощения обозначений мы и в случае фермионов часто будем
отмечать необходимую симметризацию тоже точкой и писать
~[$О, i|5]=$6>.i|5. A0.386)
§ 3. Электромагнитные взаимодействия
В § 7 гл. 7 мы отмечали, что с учетом уравнений поля из инва-
инвариантности лагранжиана относительно преобразования фг —> у'г = фг + бфг
вытекаетг) существование сохраняющего тока
^фг+т^-^ ' A0-39а)
др/и = О. A0.396)
Мы установили, кроме того, что инвариантность эрмитовой лаг-
ранжевой плотности X относительно калибровочных преобразований
<pr = eia<pr, A0.40а)
ф* = е-*«фг*, A0.406)
х) Ниже, вплоть до уравнения A0.47), оператор фг обозначает произвольный
оператор поля, а не обязательно оператор именно мезонного поля.

266 Гл. 10. Взаимодействие между полями
в силу A0.39) приводит к сохраняющемуся току, который может быть
отождествлен с плотностью электрического заряда и тока системы.
Наоборот, наложение требования, чтобы лагранжиан, описывающий
электрически заряженные поля, был инвариантен относительно калиб-
калибровочных преобразований
фг = е«х<рг, A0.41а)
9» = e-*«V A0.416)
{известных как калибровочные преобразования заряженных полей) при-
приписывает частице и античастице равные и противоположные по знаку
заряды, величина которых не фиксирована. Так как X эрмитов, из
калибровочной инвариантности вытекает, что в лагранжиане должны
•содержаться только члены вида ф?фг.
Янг и Миллс [872] (см. также работу Утиямы [797]) высказали
мысль, что указанное выше требование калибровочной инвариантности
нужно распространить и на те калибровочные преобразования, при
которых фазовый множитель % является произвольной функцией от
координат % = %(я), так что относительная фаза фг в двух различных
пространственно-временнйх точках полностью произвольна. Чтобы сде-
сделать лагранжиан инвариантным относительно этой более широкой
группы преобразований, необходимо ввести новое поле А11(хI), которое
носит векторный характер и преобразуется при указанных калибровоч-
калибровочных преобразованиях по закону
AIL-*A'VL = AIL + dILX{x). (Ю.42)
Кроме того, взаимодействие между полями А^ и фг должно вводиться
путем подстановок
(>r{x) A0.43а)
. (х) A0.436)
в лагранжиане для свободных полей. Эта расширенная калибровочная
инвариантность (называемая также инвариантностью относительно кали-
калибровочных преобразований второго рода), по существу, определяет
взаимодействие заряженных полей с электромагнитным полем F^
(F^v = дуАц — дцАч). Способ, при помощи которого можно прийти к прави-
правилам A0.43), основан на замечании, что при калибровочном преобразо-
преобразовании
A0.44а)
A0.446)
A0.44b)
*) Вывод в работах [872, 797], а также и в ряде других статей о том, что из
¦требования расширеннойшалибровочной инвариантности вытекает само существование
векторного поля, неправилен. Фактически в широком классе теорий, охватывающем
и рассмотренные в этих работах случаи, фазы в различных пространственно-временных
точках совершенно произвольны без привлечения каких-либо вспомогательных полей
и дополнительных взаимодействий. Если же постулировать существование векторного
поля А наряду с другими полями, то расширенная калибровочная инвариантность
в такой теории ограничивает число степеней свободы взаимодействующего 4-векторного
поля и гарантирует, что оно описывает только частицы со спином, равным единице.
К этому сводится смысл калибровочной инвариантности (см. по этому поводу статью
(915]).— Прим. ред.

§ 3. Электромагнитные взаимодействия 267
'выражение (д^ — ieA^) фг преобразуется согласно правилу
(д» - ieA») Ф; = е«х (^ _ ieA^. - ie дм + ie д„.%) <?Т = eiex (д^ - ieAJ <рг. A0.45)
Таким образом, фазовый множитель в этом выражении ведет себя так,
как если бы он был постоянной, так что выражение <р? (д^ — ieA^) <рг
инвариантно относительно калибровочного преобразования A0.44). По-
Поэтому если в лагранжиане для свободных полей Хт сделать для всех
заряженных полей замену
qV, A0.46a)
q* A0.466)
и прибавить к этому лагранжиану лагранжиан невзаимодействующего
электромагнитного поля Хет = — ^UF^F^', то полный лагранжиан
X = X'т + %ит будет инвариантен относительно преобразований A0.44).
Заметим, что эта расширенная инвариантность соблюдается только при
условии тождественного равенства нулю массы квантов электромагнит-
электромагнитного поля. Если бы кванты поля А^ имели массу т, то лагранжиан
•свободного поля Ар был бы равен — 1UFV_VF^V — т?А^А^. Тогда теория
не была бы инвариантна относительно расширенных калибровочных
преобразований из-за неинвариантности выражения тгАVAV J).
В том специальном случае, когда заряженное поле взаимодействует
с заданным внешним электромагнитным полем А^ (х), оказывается, что
вариация лагранжиана относительно А^. уже не произвольна. Правиль-
Правильное описание этого случая дается лагранжианом
(x), A0.47)
где Xm — лагранжиан заряженных полей, а /Iх — соответствующее выра-
выражение для их тока при наличии электромагнитного поля.
В качестве иллюстрации к этим замечаниям рассмотрим случай
заряженного поля Клейна —Гордона, взаимодействующего с электро-
электромагнитным полем. Мы отмечали ранее, что плотность лагранжиана для
этого поля имеет вид
х m = - jiv • Ф+д^* • а«чр. (Ю.48)
В соответствии со сказанным выше, для получения правильного лагран-
лагранжиана, описывающего взаимодействие электромагнитного поля с этим
заряженным бозонным полем, мы должны заменить в лагранжиане
A0.48) производную согласно правилам A0.46а) и A0.466) и прибавить
лагранжиан электромагнитного поля. Мы получим, таким образом, для
полного лагранжиана системы выражение
1 дАи. дА» „ ,
Варьирование лагранжиана X по А^ приводит к уравнениям для элек-
электромагнитного поля
тогда как варьирование по ф и ф* приводит к уравнению Клейна —
Гордона при наличии взаимодействия с электромагнитным полем. Урав-
1) Вопреки утверждению автора теория нейтрального массивного векторного
толя допускает калибровочно инвариантную формулировку [914].-— Прим. ред.

268 Гл. 10. Взаимодействие между полями
нение A0.50) указывает, что правильное определение тока как источ-
источника электромагнитного поля дается выражением
В этом примере
Этот ток сохраняется в силу уравнений движения. Он является тем
сохраняющимся током, который получается как следствие инвариант-
инвариантности полного лагранжиана A0.49) относительно калибровочных преоб-
преобразований первого рода, т. е. преобразований
ф_>е{Хф, - A0.53а)
и
ф*_^е-1Хф*, A0.536)
где фазовый множитель % не зависит от х. Из того факта, что /^ сохра-
сохраняется, т.е. д^/ц = О, следует, что величина (?=\ dav-(x)jVi{x) не за-
а
висит от а и есть интеграл движения. Используя одновременные пере-
перестановочные соотношения
= [Ф (х), до<р* (хг) + ieA0 {x') Ф* (х')]х~х-о =
= ifi<3>(x-x') A0.54a>
и
[Ф* (,), л* {х')]хо=,о= [Ф* (х), -^
= [ф* (х), д'оц> (х') — ieA0 (х1) ф (х')}Х(=Х'о =
= i6C)(x-x'), A0.546)
убеждаемся, что
[Q, ф(ж)]= -еф(а:), A0.55а>
(а;). . A0.556)
При выводе уравнений A0.55а) и A0.556) в качестве гиперповерхности о
выбрана гиперповерхность хо = const. Эти уравнения снова приводят
к интерпретации ф и ф* как операторов рождения и уничтожения,
a Q — как оператора заряда. Мы вернемся к этим замечаниям при обсуж-
обсуждении заряженного поля Дирака.
Выражение для лагранжевой плотности A0.49) обычно записывается
в виде
Х = Ят + Явт + Х1, A0.56а)
где Хет — лагранжиан свободного электромагнитного поля, а Xi — лагран-
лагранжиан взаимодействия
Г да>* да> \
К^5^Ф*-ф; (Ю.5бб>

§ 3. Электромагнитные взаимодействия 269
имеет вид /^ (х) А» (х), причем ток /ц дается выражением A0.52).
Появление члена e2AilAv'<p*-<p характерно для взаимодействия бозонного
поля с электромагнитным. Он соответствует в нерелятивистском пределе
члену А2 в уравнении Шредингера при наличии электромагнитного поля.
При помощи изложенных в § 6 гл. 7 методов можно опять развить
гамильтонов формализм. Как отмечалось выше, имцульсы, канонически
сопряженные к переменным ф, теперь будут зависеть от электромагнит-
электромагнитного поля.
Лагранжева плотность для взаимодействия поля Дирака с элек-
электромагнитным запишется в виде
Ч
A[l, A0.57)
где Хт — лагранжиан свободного поля Дирака. Варьирование X по
электромагнитным потенциалам теперь приводит к уравнению
D Л= -Цг= -<%Ч»-% A0.58)
Аналогично, путем варьирования по гр и гр выводятся уравнения Дирака
для гр и гр при наличии электромагнитного поля:
(i^F + еу„4» (х)) гр (х) - тигр (х) = 0, A0.59а)
(id» — еА» (х)) гр (х) у^ + тегр (ж) = 0. A0.596)
Уравнение A0.58) показывает, что для тока при наличии электромаг-
электромагнитного поля следует взять выражение
U (*) = -1 N> И Yi» 1> (*)]. A0-60)
которое формально совпадает с выражением для тока в случае невзаимо-
невзаимодействующих полей (8.83). Оно, однако, не в точности такое же, так как
в выражении A0.58) гр и гр подчиняются уравнениям A0.59а) и A0.596),
содержащим электромагнитные потенциалы, тогда как в выражении (8.83)
гр подчиняется уравнению для свободного поля.
Уравнения A0.58) и A0.59) являются уравнениями движения для
операторов поля в гейзенберговской картине, в которой вектор состоя-
состояния системы | Ч1") не зависит от времени. Канонический формализм (вместе
с обычной связью спина со статистикой) позволит нам дать следующие
одновременное перестановочные соотношения для операторов поля1):
N> (а), $(*')]+,„=«; =Yo6<3'(x-x'), A0.61а)
ГО {х), гр (х')]+х-х,о = ГО (ж), ф (*')]+*„=*; = 0, A0.616)
[Лц (х), AVi о (ж')Ц=*о = ~~ ihc§^3) (х~х'). A0.61в)
[гр (х), А» (х')]Хо=х^ = ГО (х), А» {х')]Ха=х,о = 0. A0.61г)
!) Для большей ясности мы включили здесь в перестановочные соотношения
множители % и с.

270 Гл. 10. Взаимодействие между полями
Вследствие релятивистской ковариантности теории эти перестановочные
соотношения могут быть обобщены, и для произвольных пространственно-
временных интервалов они будут иметь вид
, $(ж')]+= — iS(x — х') для (х-х'У < 0, A0.62а)
^(х), Av(x')]=-ibcg^Dix-x') для (х - x'f < 0, A0.62б>
тогда как остальные коммутаторы или антикоммутаторы равны нулю.
Отметим, что сейчас невозможно записать перестановочные соотно-
соотношения, справедливые для любых промежутков времени; это потребо-
потребовало бы исчерпывающего знания решений уравнений движения A0.58)
и A0.59) (фактически это именно та проблема, которую нужно решить!).
Физическая интерпретация операторов т|з, т|з и Av, так же, как и расчет
предсказаний вторично-квантованной теории, здесь значительно более
трудны, чем [в случае свободных полей. Однако может быть сделано
одно важное утверждение об операторах гр и ip. Из того факта,
оператор тока [см.? уравнение A0.60)]
/и (я) = — \ Из (х) у», т|> (х)]
имеет равную нулю дивергенцию ((9"% (ж) = 0), следует независимость от
времени оператора полного заряда Q
xr) ф (х') у„, ф (х')\. A0.63).
Поэтому Q имеет одну и ту же величину, независимо от частного выбора,
пространственно-подобной гиперповерхности в правой части уравне-
уравнения A0.63). Этб позволяет нам найти перестановочные соотношения ip (x)
и гр (х) с Q путем выбора в качестве пространственно-временнбй гипер-
гиперповерхности о ту, которая содержит пространственно-временную точку х,.
так что соблюдаются перестановочные соотношения A0.61) и A0.62).
Тогда легко убедиться, что
lQ,ip{x)]=+eip{x) A0.64a>
и
[<2,Ц{х)]=-<$(х). A0.646)
Из этих перестановочных соотношений на основании хорошо известных
аргументов мы можем заключить, что гейзенберговский оператор \р (х)
уничтожает заряд величиной — е или порождает заряд ¦+ е, а оператор
я? (х) уничтожает заряд + е, или порождает заряд — е.
Интересно отметить, что если б-ы мы при обсуждении заряженного
спинорного поля действовали, как в § 2 этой главы, и рассмотрели все
возможные взаимодействия, включающие только А^. и F^ (но не их
производные), то требования инвариантности относительно преобразо-
преобразования СР разобьют взаимодействия на две отдельные группы. Взаимо-
Взаимодействие может иметь вид
^ ^^ A0.65a>
(где, как можно видеть, член с е' не сохраняет четности), либо
$V A0.656)

§ 3. Электромагнитные взаимодействия 271
Требование калибровочной инвариантности второго рода налагает усло-
условие, что взаимодействие должно быть вида Х\ с е' = 0. Ясно, что лагран-
лагранжиан Xдирак + <%ет + &1 калибровочно неинвариантен из-за неинвариант-
неинвариантности ^дирак- Ограничения, налагаемые расширенной калибровочной
инвариантностью и СР-инвариантностью, приводят, таким образом,
к лагранжиану взаимодействия
<2х = etYii'1Mli+ Н-'фо^-ф^, A0.66)
который инвариантен относительно пространственного отражения
и поэтому приводит к сохранению четности. Имеются экспериментальные
доказательства сохранения Р и С в электромагнитных взаимодействиях
(см. статью Ли и Янга [488]).
Взаимодействие V^'^o^^F^ используется для описания дополнитель-
дополнительного взаимодействия (вдобавок к взаимодействию /цД^) частицы Дирака
(например, нуклона) с электромагнитным полем. Оно может рассматри-
рассматриваться как взаимодействие между электромагнитным полем и аномальным
моментом ц/ фермиона, причем ykyi (к, I = 1, 2, 3) — —at (I Ф к Ф i) отно-
относится к магнитному моменту, a yoYs — к электрическому моменту. Взаимо-
Взаимодействие iAoi|;crM,vijji;''J'v известно как взаимодействие Паули (см. § 8 гл. 4).
Оно может быть использовано для нерелятивистского описания в первом
порядке теории возмущений взаимодействия электрона, протона или
нейтрона с внешним электромагнитным полем, возникающего из-за того,
что магнитный момент этих частиц не равен в точности магнетону Бора
ehl2mc (где е и т заряд и масса рассматриваемой частицы). Это взаимо-
взаимодействие, однако, приводит к расходимостям в высших порядках теории
возмущений в квантовой теории поля, как и все взаимодействия через
связи с производными.
В действительности оказывается, что для объяснения наблюдаемых
взаимодействий фотонов с заряженными частицами необходимы только-
связи вида j^A11. Это возможно вследстрие того, что при описании в рам-
рамках теории поля аномальный магнитный момент частиц со спином */г
не является внутренним свойством этих частиц, а обусловлен их взаимо-
взаимодействием с другими полями (электромагнитным для электрона, мезон-
ными для нуклона) [845]. Поэтому всегда рассматриваются только обыч-
обычные взаимодействия с зарядами и токами вида j^A^- Требование отсутствия
других связей иногда, следуя Гелл-Манну [309], называют «принципом
минимального электромагнитного взаимодействия». Мы увидим, что при
минимальном электромагнитном взаимодействии сохраняется третья ком-
компонента изотопического спина Т3, хотя полный изотопический спин Га
не сохраняется. Если рассматривать только электромагнитные взаимо-
взаимодействия, то сохранение Tg равносильно сохранению заряда. Однако
этот закон сохранения приобретает независимое значение при наличии
других взаимодействий.
Предыдущие замечания легко распространить на случай системы
я-мезон-нуклон. Рассмотрим сначала нуклоны. Так как заряд ней-
нейтрона равен нулю, то электромагнитное поле взаимодействует только-
с протонным полем. Это достигается требованием, чтобы связь между
электромагнитным полем и нуклонным полем я|э = (;р ) осуществлялась
путем замен:
ЧЦ V ' (Ю.67а>

272 Гл. 10. Взаимодействие между полями
и
^->(^-гефу^ + ТзМц). A0.676)
Очевидно, что поскольку 1/2 A +т3) if = ( ^ ), то только протонное поле
будет связано с электромагнитным при подстановках A0.67). Заметим
также, что знак члена ieA^, который прибавляется к д^, противоположен
знаку соответствующего члена в выражениях A0.43). Это связано с тем,
что протоны, которые рассматриваются как «частицы» и описываются
полем i|>p, имеют заряд -j-e. При заменах A0.67) в лагранжиане свобод-
свободного нуклонного поля оператор tyv будет порождать заряд величиной — е
и уничтожать заряд величиной -\- е. В этом легко убедиться из переста-
перестановочных соотношений между tyv и Q = \ j^da^ix), где в выражении для
^ с
Q ток /и,= — (&5?/д4м>) = (е/2) hpYi/Ml+ т3), \р] является источником
электромагнитного поля. Аналогичная ситуация возникает и в случае
я-мезонного поля. Здесь 1 и 2 компоненты <р должны быть связаны
с электромагнитным полем. Для вывода вида связи в этом случае заметим
прежде всего, что оператор полного изотопического спина для мезон-
ного поля может быть записан в виде
з з
Tt= — jj da» 2 0цФг8*мФь= — 2 \
*1 l
h *=1
где матричные элементы оператора tt даются формулой {tt)jh = 8ijh.
Поэтому можно выразить полный заряд в виде J)
Q= — еС йа^ф.^ф A0.68а)
0
Г /01 0\/фЛ
= -е V сМ^ФЛ<МлРзН г-1 0 0 ф2 A0.686)
\ 0 0 О/\/
ф*-д„ф). A0.68в)
Покажем теперь, что калибровочно-инвариантное взаимодействие
с электромагнитным полем может быть введено путем замены
3иф-*(^-еМ|0ф A0.69)
в лагранжиане для свободного поля. Чтобы убедиться в этом, заметим, что
[2фф (9eMJ ф(^ е
№2Ф ф 9<Р ^цф] - е
A0.70)
г) Отметим, что точка в произведении Э^ф.^ф фактически имеет двоякий
смысл: во-первых, она означает, что нужно взять скалярное произведение векторов
дцф и *зФ в изотопическом пространстве; во вторых, полученное выражение должно
быть симметризовано по бозонным операторам.

§ 4. Взаимодействие меатнов с нуклонами 273
Это и есть требуемый вид взаимодействия заряженного поля <р, ср* и ней-
нейтрального поля ф3 с электромагнитным полем. Следует отметить, что как
для нуклонов, так и для я-мезонов взаимодействующий с электромагнит-
электромагнитным полем ток коммутирует с третьей компонентой изотопического спина.
В частности, для я-мезонного поля ток, который имеет вид
«с^ф» МР+е2 (ф* "сз*^зф)-4ц> инвариантен только относительно произволь-
произвольных] вращений вокруг оси 3 в пространстве изотопического спина.
Аналогично, нуклонный ток /4i|>Yn(l + *з) •'Ф разделяется на две части, одна
из которых i|)Yn'i|> является скаляром в изотопическом пространстве,
а другая ¦фУц^з-'Ф — третьей компонентой вектора. Поэтому ток инва-
инвариантен опять только относительно вращений вокруг оси 3 в изото-
изотопическом пространстве.
§ 4. Взаимодействие мезонов с нуклонами
Идея, что нейтрон и протон можно рассматривать как два состояния
одной и той же частицы, впервые была выдвинута Гейзенбергом [365].
ЗатемКассен иКондон [114] для описания зтих двух зарядовых состояний
ввели «изотопический» спин. При этом описании протон является «нукло-
«нуклоном», третья компонента изотопического спина которого Т3 равна -j-%,
нейтрон же — зто нуклон с Тз = —%• Заряд нуклона, если принять за
единицу заряд электрона е, выразится в виде q = Тз -\-Уъ. Говорят, что
нейтрон и протон принадлежат изотопическому дуплету с изотопическим
спином Т — Уг. Равенство взаимодействий между нейтроном и протоном
и между протонами при условии, что нуклоны находятся в состоянии
с одним и тем же спином и орбитальным моментом (об этом равенстве сви-
свидетельствуют многие экпериментальные факты), немедленно приводит
к понятию полного изотопического спина, который сохраняется при вза-
взаимодействии между нуклонами (см. например, [54]). Отсюда непосредст-
непосредственно следует, что все сильные взаимодействия должны подчиняться этому
закону сохранения, так как при общепринятом в рамках теории поля опи-
описании взаимодействие между нуклонами приписывается обмену вирту-
виртуальными мезонами.
Все сильно взаимодействующие частицы разделяются на группы, при-
причем массы членов каждой группы мало отличаются между собой. Этот
факт служит основой для объединения частиц в «зарядовые» или «изото-
«изотопические» мультиплеты, которые характеризуются квантовым числом изо-
изотопического спина Т и имеют 2Т -f- 1 компонент. Компоненты мультиплета
(которым соответствуют различные частицы группы) характеризуются
величиной Т3, измеряющейся от — Т до -\-Т. Так, мы видели, что три со-
состояния л;-мезона можно считать соответствующими мультиплету с Т = 1:
Таблица 7
Частица
л*
я»
я—
т
1
1
1
+1
0
1
Аналогично, .ЙГ-мезоны можно сгруппировать в два дуплета с Т = Уг,
причем один из дуплетов будет состоять из К*- и ^Г°-мезонов, а другой из
18 С. Швебер

274 Гл. 10. Взаимодействие между полями
К'- и ЛГ°-мезонов. Гипероны группируются в «зарядовые» мультиплеты
следующим образом: Л-частице приписывается изотопический спин Т = О,
2-частицам — изотопический спин 1, причем Ts B±) = +1иГ3 B°) =0,
а каскадным Н-частицам — изотопический спин %, причем Т3 (В") = — %,
Т3 C0) = +%.
Полный изотопический спин системы сильно взаимодействующих час-
частиц дается векторной суммой векторов изотопического спина всех частиц
(в полной аналогии с правилами для сложения моментов). Во всех изу-
изученных к настоящему времени реакциях между сильно взаимодействую-
взаимодействующими частицами сохраняется как полный изотопический спин, так и его
третья компонента. (Это верно в той мере, в какой можно пренебречь
электромагнитными и тем более слабыми взаимодействиями.) Зарядовая
независимость сильных взаимодействий выражается в сохранении Тг и
Та для системы взаимодействующих частиц.
Требование сохранения изотопического спина в сильных взаимодей-
взаимодействиях тождественно совпадает с требованием инвариантности взаимодей-
взаимодействий относительно вращений в изотопическом пространстве. Если прене-
пренебречь слабыми и электромагнитными взаимодействиями, то ориентация изо-
изотопического спина будет лишена какого-либо физического смысла. В этом
случае не было бы никакого различия, скажем, между протоном и нейтро-
нейтроном. (Конечно, это различие становится вполне определенным, если
учесть, что протон имеет электрический заряд: электромагнитные взаимо-
взаимодействия приводят к нарушению зарядовой независимости.) Зарядовая
независимость утверждает также, например, что силы между Л-частицей
и протоном точно такие же, как и между Л-частицёй и нейтроном (в состоя-
состояниях с одним и тем же спином и орбитальным моментом).
Рассмотрим теперь описание зарядово-независимого взаимодействия
между сильно взаимодействующими частицами в теории поля. В гл. 7 ука-
указывалось, как описывать я-мезоны, обладающие изотопическим спином 1,
оператором поля «р, который преобразуется как вектор в изотопическом
пространстве (ср3 описывает нейтральное я-мезонное поле, a cpi + icp2 —
заряженные я-мезонные поля). В гл. 8 мы наметили описание нуклонного,
поля восьмикомпонентным спинорным оператором
преобразующимся как двухкомпонентный спинор в изотопическом про-
пространстве. Проанализируем возможные виды инвариантных относительна
вращений в изотопическом пространстве взаимодействий между этими
полями. Рассмотрим сначала возможные виды связей без производных,
между ip и заряженными бозе-полями ср и ср*. Очевидно, в силу сохране-
сохранения заряда, взаимодействие должно иметь вид
С формальной стороны требование сохранения заряда может быть сформу-
сформулировано в виде [Xi, Q] = 0. Тот факт, что лагранжиан Xj действи-
действительно сохраняет заряд, может быть установлен следующим образом: так
как оператор ср (х) уничтожает заряд —е (или рождает заряд -\-е), то для
того, чтобы при действии &i на состояние [ Ч1"} с зарядом q полный заряд,
состояния не менялся, спинорные множители, связанные с оператором ср,
должны порождать заряд —е (или уничтожать заряд -)-е). Очевидно, что

§ 4. Вааимодейетвие мезонов с нуклонами 275
оператор tyrfti'typ действует именно так. Аналогично, оператор «р*
порождает заряд —е (или уничтожает + е), а оператор typ02• tyn уничто-
уничтожает заряд —е (или порождает заряд -f-e).
Говорят, что взаимодействие обладает свойством зарядовой симмет-
симметрии, если лагранжиан Xi инвариантен относительно преобразования:
%->%, Ф->Ф*, A0.73а)
%-*%, Ф*-*ф. A0.736)
Перестановочные соотношения инвариантны относительно этого преобра-
преобразования. При этом преобразовании Xj переходит в
%i-±gi%Or%y* + g$nO2.%y. A0.74)
Таким образом, инвариантность относительно зарядовой симметрии тре-
требует, чтобы
gA = g2O2. A0.75)
Далее, из эрмитовости лагранжиана %i, Xx = X\ следует
= g202, A0.76а)
= gi0i. A0.766)
Из условий A0.75) и A0.76) вытекает, что зарядово-симметричный лаг-
лагранжиан %х должен иметь вид
ХТ = §^рОг])пф* + гнРЛоО*\>01ЬФ, A0.77)
причем
gO = gYoC*Yo. A0.78)
Поэтому свойством зарядовой симметрии будет обладать любая комби-
комбинация следующих взаимодействий:
A) gsHv^ + Мрф), A0.79)
Б) gPS(V\V^IVP* + UAV*IVP), A0-80)
B) ?у(?Р71х-фп^Ф* + ;фпу1Х.1|;р^ф), A0.81)
Г) г8ру(ЦРУьЧц-%д»<Р* + УпУьЧ1х-%д»у). A0.82)
Далее должны быть исследованы требования, налагаемые СР-инвариант-
ностью. Законы преобразования спинорных полей при СР-операции
приведены выше, а бозонные поля преобразуются согласно законам
UCpy (x) UclP = nq>* (isx) A0.83)
и
iwf{ux), A0.84)
где мы считаем пространственную четность п вещественной величиной.
Следовательно, при СР-преобразовании взаимодействие (А) умножается
на п, в то время как взаимодействия (Б), (В) и (Г) умножаются на —п.
Таким образом, инвариантность относительно СР-преобразования ведет
к одинаковым ограничениям как для за рядово-симметричных взаимо-
взаимодействий, так и для взаимодействий, описанных в § 1, а именно должны
осуществляться или скалярное взаимодействие, или линейная комбина-
комбинация векторного, псевдовекторного и псевдоскалярного взаимодействий.
18*

276 Гл. 10. Вваимодействие между полями
Для получения зарядово-независимого взаимодействия нуклонного
поля с я-мезонным (взаимодействия, инвариантного относительно враще-
вращений в изотопическом пространстве) мы должны потребовать, чтобы
\Xi, Tt] = 0 (г = 1, 2, 3), A0.85)
где
Tt= \ d<Wp±xiyVL-y+^ da^-dyfitf A0.86)
есть i-я компонента полного изотопического спина системы мезон-нук-
мезон-нуклон. (Напомним, что Tt — генератор вращений вокруг j-й оси
в изотопическом пространстве.) Очевидно, что инвариантность будет
достигнута, если для получения лагранжиана взаимодействия мы умно-
умножим изовектор tyOt-ty на изовектор q>:
з
Xi=H,g%Ov№j. A0.87)
3=1
Это выражение можно также записать в виде
$ — гф2)] + ^ТзО-'ффз =
№iP-VP-$n.O-%]<pb, A0.88)
где t± = 1/2(Ti+ it2). Отсюда следует, что в зарядово-независимой теории
со связью типа Юкавы, т. е. со связью вида г))СН|зф, константа связи нуклон-
нуклонного поля с нейтральным мезонным полем в ]/2 раз слабее, чем с за-
заряженным дмезонным полем, и, далее, константы связи нейтрального
я-мезонного поля с нейтронным и протонным полями равны по величи-
величине, но противоположны по знаку.
»'.|Если ограничиться связями типа Юкавы без производных, то наиболее
общая связь нуклонного и мезонного полей, удовлетворяющая требова-
требованиям релятивистской и С-Р-инвариантностей, с необходимостью имеет
вид1)
<%i = g 1%Уь'%Ч>* + Уп\ь-УРЧ>] + g$PV5-%V3 + ?&пУб-Ц>пЧ>з==
= g [фт_-у6 • 'Фф + *T+Y5 • ¦фф*] + Й-фрУь' 'Ф^рФз + g^PnYe ¦ 'ФпФа, (Ю.89)
TpfTg, g'3, -gl — вещественные постоянные. Если наложить затем требова-
требование^ зарядовой независимости, то, очевидно, g'a~ — g = (l/]/~2)g. При
этом взаимодействие свелось к виду %i = 1/2 g 1^Уъх^ ^1-ф и> как сле-
следует отметить, оказалось инвариантным относительно пространственных
отражений Р и поэтому сохраняющим четность. Следовательно, из тре-
требований СР-инвариантности и зарядовой независимости теории со связью
типа Юкавы автоматически вытекает инвариантность такой теории относи-
относительно пространственного отражения Р (следовательно, и относительно
зарядового сопряжения С). Таким образом, взаимодействие системы
я-мезонов и нуклонов может быть описано следующим лагранжианом:
—i OiVЧ> - д^-ду) + -|- G 2 ГФУв*/, Ф1 Ф/. (Ю.90)
3=1
!) Автор предполагает при этом, что для я-мезонного поля в формулах A0.83)
И A0.84) n=—i.—IIpuM. ред.

§ 4. Взаимодействие мезонов с нуклонами 277
Этот лагранжиан приводит к взаимодействиям между мезонами и
нуклонами, которые являются:
а) лоренц-инвариантными,
б) зарядово-независимыми,
в) СР-инвариантными,
г) Р-инвариантными.
Как легко убедиться, из-за «в» и «г» теория также С-инвариантна
(инвариантна относительно зарядового сопряжения С—операции замены
частиц на соответствующие античастицы). Следует отметить, что в том
приближении, в котором мы работаем (т. е. пренебрегая слабыми
и электромагнитными взаимодействиями), все частицы стабильны. Более
того, мы предположили, что протон и нейтрон имеют одну и ту же
(«голую») массу М и аналогично, что все л-мезоны имеют одну и ту же
«голую» массу \х.
До сих пор мы рассматривали только связи типа Юкавы между
нуклонами и мезонами. По-видимому, имеются некоторые указания на
существование, кроме этих связей, добавочного самодействия мезон-
мезон. Единственное самодействие мезон-мезон, которое инвариантно
относительно вращений в изотопическом пространстве и характеризует-
характеризуется безразмерной константой связи, имеет вид
^ = Х(ф.фJ. A0.91)
Если мы затем учтем взаимодействие с электромагнитным полем, то,
согласно принципу минимального электромагнитного взаимодействия,
лагранжиан, описывающий эту систему полей, будет даваться выраже-
выражением
—\ [ i ( дЗ-f- $ (i+т,) л) г
— у [[х2ф • ф — (Зц, — еЦА») ф • (д* — et3A*) ф] 4-
+ |G[$Y5t, W-ф + МФ'ФJ- (Ю-92)
Нужно отметить, что при наличии электромагнитного поля лагран-
лагранжиан A0.92) более не инвариантен относительно произвольных вращений в
изотопическом пространстве; он остается инвариантным только относитель-
относительно вращений вокруг оси 3, т. е. Т2 больше не будет сохраняться, будет
сохраняться только Т3- Это, конечно, просто утверждение, что элек-
электромагнитные взаимодействия явно зарядово зависимы и снимают вырож-
вырожденность изотопических мультиплетов: сильные взаимодействия приводят
к одинаковым нейтрон-нейтрон и протон-протон силам, но кулоновские
силы явным образом нарушают это равенство. Аналогично, разности
масс между протоном и нейтроном и между заряженными и нейтральными
¦мезонами, по-видимому, обусловлены электромагнитными эффектами.
При наличии электромагнитных взаимодействий 2Т°-мезон больше не
стабилен, а может распадаться на два фотона. Следует заметить, что это
взаимодействие не является прямым, а осуществляется через посредство
нуклонного поля:
л° > Р + Р > Р + Ч+Р + Ч ¦ > Ч + Ч-

278 Гл. 10. Взаимодействие между полями
В реакции я0 г* 2у полный изотопический спин изменяется на единицу,
что иллюстрирует утверждение о несохранении изотопического спина при
наличии электромагнитных взаимодействий. Заметим, что, согласно прин-
принципу минимального электромагнитного взаимодействия, связь с электро-
электромагнитным полем пропорциональна полному заряду и поэтому линейна
по Т3 [например, нуклонный ток пропорционален Уъ^ A +т3)'Уц-'ф]-
Поэтому величина j^Av- преобразуется в изотопическом пространстве как
скаляр плюс третья компонента вектора. Каждый раз, когда в смысле
теории возмущений действует электромагнитная связь, полный изотопи-
изотопический спин системы может измениться на нуль или на единицу. Поэтому
для электромагнитных процессов первого порядка действуют правила
отбора | AT \ = 0 или 1 и АТ3 = 0. В матричные элементы переходов из
состояния с Т = 0 в состояние с Г = 0 может давать вклад только изото-
изотонически скалярная связь. В матричные элементы | ДГ | = 1 переходов
может давать вклад только векторная часть j^A^.
§ 5. Сильные взаимодействия
Тот факт, что при достаточно большой энергии продуктами реакции
я~-\-р являются не только л'-\-р или я°-|- я~ -J- р,ноиЛ -\-К°, 2~+ir">
ясно показывает, что система я-мезон-нуклон не может рассматри-
рассматриваться как замкнутая, и, следовательно, лагранжиан A0.92) является
неполным. При описании взаимодействия между я-мезонами и нуклонами
и вообще между любой парой сильно взаимодействующих частиц должно
учитываться взаимодействие между всеми сильно взаимодействующими
частицами.
Для процессов с сильно взаимодействующими частицами характерны
два экспериментальных факта. Первый заключается в строгом соблюдении
закона сохранения тяжелых частиц. Этот закон удобно сформулировать
несколько иначе, по аналогии с законом сохранения электрического заря-
заряда. Предположим, что мы приписываем каждому бариону «барионный»
заряд (иногда его называют «нуклонным»), равный -(-1, каждому антиба-
риону — «барионный» заряд, равный —1, и каждой частице, масса которой
меньше массы нуклона,— барионный заряд, равный 0. Тогда закон сохра-
сохранения тяжелых частиц можно выразить так: барионный заряд является
аддитивным квантовым числом и во всех реакциях всегда сохраняется.
Второй фундаментальный факт (как. показывают многие эксперименты)
заключается в том, что сильные взаимодействия зарядово-независимы. Это
означает, что в таких взаимодействиях строго сохраняются полный изото-
изотопический спин и его третья компонента, если сильно взаимодействующим
частицам соответствующим образом приписаны значения изотопического
спина. Таким образом, мы приходим к обобщению понятия изотопического
спина на К-, Л-, 2- и Е-частицы. Это было сделано Гелл-Манном [303,
308, 314] и независимо Нишижимой [580, 581]. Как отмечалось выше,
они приписали Л-частице изотопический спин Т = 0, 2-частицам Т = 1,
а каскадным частицам Т = /4.Между прочим, это было сделано в то время,
когда еще не были открыты 2°- и Н°-частицы и еще не наблюдались два
различных нейтральных \К°-мезона. Успешное предсказание существова-
существования этих частиц составляет одно из наиболее важных достижений схемы
Гелл-Манна — Нишижимы.
При обсуждении системы я-мезон-нуклон мы отмечали, что соот-
соотношение между зарядом О и третьей компонентой изотопического едина

§ 5. Сильные взаимодействия 279
для системы из мезонов и нуклонов выражается равенством
Я. = Т3+^- A0.93)
где N = \ Ат^уц-'Ф — оператор числа нуклонов минус число антину-
антинуклонов. Гелл-Манн и Нишижима обобщили соотношение A0.93), чтобы
оно было применимо также и к системам, включающим ЙГ-мезоны и гипе-
гипероны. Они паписали
± = T,+ ±B+±S, A0.94)
где В — барионное число (число барионов минус число антибарионов).
Величина S называется «странностью» системы и определяет отклонение
от формулы Q/e = T3 -f- {В 12), которая применима к я-мезонам и нукло-
нуклонам. Нуклоны и я-мезоны имеют, очевидно, странность 0. Значение стран-
странности для других сильно взаимодействующих частиц можно получить
непосредственным применением уравнения A0.94). Например, поскольку
Л-частица есть изотопический синглет с Т = 0, Т3 = 0 и имеет электри-
электрический заряд, равный 0, и нуклонный заряд В = 1, то уравнение A0.94)
удовлетворяется при S (А) = —1. Аналогично можно проверить, что
S B) = -1 и S C) = -2.
Значения странности приписываются isT-мезонам следующим образом:
К*- и if-частицы имеют странность -\-1, странность К~ и К° равна —1.
Приписанные .йГ-мезонам значения странности подтверждаются тем, что
К* и К~ имеют качественно различные ядерные взаимодействия. Так,
наблюдалось, что при средних энергиях ?+-мезоны при взаимодействии
с нуклонами испытывают лишь упругое рассеяние и рассеяние с переза-
перезарядкой (например, К* +ге -* К0 + р). С другой стороны, isT'-мезоны могут
поглотиться с превращением в гиперон и я-мезон (К~ + п -* я" -f- Л
или я~ + 210)- Аналогично, при столкновении я-мезонов большой энергии
с протонами наблюдаются реакции
A0.95а)
A0.956)
но никогда не происходит реакция я" -\-р -*¦ Л* + К~.
Гелл-Манн и Нишижима предположили далее, что квантовое число
S сохраняется как в сильных, так и в электромагнитных взаимодействиях.
Это эквивалентно, конечно, сохранению Тз в этих взаимодействиях, так
как законы сохранения заряда и барионов универсальны. Сильные,
электромагнитные и слабые взаимодействия можно теперь классифици-
классифицировать следующим образом:
а) Сильные взаимодействия — взаимодействия между, барионами и ме-
эонами, которые сохраняют Т и Т3, а следовательно, странность. Кон-
Константы связи, характеризующие эти взаимодействия, велики, порядка
1-10.
б) Электромагнитные взаимодействия сохраняют Т3 (и, следова-
следовательно, S), но не Т2 и характеризуются постоянной тонкой структуры
ei/inhc = 1/137.
в) Слабые взаимодействия не сохраняют ни изотопического спина Т,
ни его проекции Тз, а следовательно, не сохраняют и странности S.
Правило AiS = 0 для сильных и электромагнитных взаимодействий
ведет к жестким ограничениям. Так, во всех реакциях с нуклонами

280 Гл. 10. Взаимодействие между полями
и л-мезонами странность в начальном состоянии равна нулю. Если столк-
столкновение ведет к появлению «странной» частицы (т. е. частицы, странность
которой не равна нулю), тогда она должна сопровождаться другими (по
крайней мере одной) странными частицами. Отметим, что, анализируя
экспериментальные данные по странным частицам, Пайс [611] пришел
к этому закону «совместного рождения» еще до появления схемы Гелл-
Манна — Нишижимы.
В процессах распада Л- и 2± -частиц (например, Л -*р -\-л~) суммар-
суммарная странность для частиц в конечном состоянии равна нулю и отли-
отличается от странности первичной частицы, равной —1. Согласно Гелл-
Манну и Нишижиме, эти распады должны происходить через слабые вза-
взаимодействия и должны быть «медленными». Под «медленными» распадами
понимаются распады частиц, времена жизни которых велики по сравнению
с характерными для сильных взаимодействий временем Ь /Мс2. Для М по-
порядка массы нуклона Ъ. /Мс2—10~24 сек. С другой стороны, в распадах
2° -> Л -(- у или 2° -»• Л + е* -(- е" странность не изменяется, AS = 0r
и поэтому распад должен идти через электромагнитные взаимодействия
со временем жизни порядка (е2 /hc)(h/Mc2). Времена жизни гиперонов,
распадающихся с AS ф 0, все имеют порядок 10~10 сек , т. е. действительно
велики по сравнению с 10~24 сек. Время жизни 2°-гиперона еще не изме-
измерено, но известно, что оно меньше 10~15 сек. Заметим, что при наличии
только сильных и электромагнитных взаимодействий все странные час-
частицы, за исключением 2° и 2°, были бы стабильны, а такие реакции,,
как Л -> р + л~ или К* ~* л+ + л~' были бы запрещены законом сохране-
сохранения странности.
Предсказание о существовании двух различных нейтральных isT-мезо-
нов, сделанное Гелл-Манном и Пайсом [308], представляет собой, по-види-
по-видимому, наиболее выдающийся результат, вытекающий из схемы со стран-
странностью. Они заметили, что в то время как при рождении нейтральных
isT-мезонов из-за сохранения странности имеется четкое различие между
К0 и #°-мезонами, при распаде странность не сохраняется и не может
играть решающей роли. Важную роль должна играть комбинированная
четность (СР), так как предполагается, что она сохраняется при распадах.
Пусть | К0) означает состояние ,ЙГ°-мезона в покое, а | К°) — состоя-
состояние /?°-мезона в покое. Мы считаем Х-мезоны бесспиновыми частицами.
Состояния ) К0) и | К0) являются собственными состояниями оператора
S с собственными значениями +1 и —1 соответственно. Далее, при опера-
операции СР они преобразуются друг в друга, так как i?° есть античастица для
К0, и наоборот. При соответствующем выборе относительных фаз этих
состояний можно потребовать, чтобы
СР\К°) = \К<>) A0.96а)
СР\К°) = \Ко). A0.966)
Для описания распада нужно образовать собственные состояния опера-
оператора комбинированной инверсии СР, а не S. Следуя Гелл-Манну и Пай-
Пайсу, определим состояния
^ ^^°> (Ю.97а)
(Ю-976)

§ 5. Сильные взаимодействия 281
которые являются состояниями с определенной комбинированной четно-
четностью, равной -\-1 и — 1 соответственно. Так как
^ ^ A0.98а)
±\К1)-±\К1), A0.986)
то можно говорить, что рождение #°-мезона(или iP-мезона) соответствует
рождению с равными вероятностями (=%) и предписанными относитель-
относительными фазами «.KJ-мезона» или «.К°-мезона». Комбинированная четность,
is^-мезона равна +1' тогда как комбинированная четность ^"-мезо-
^"-мезона равна —1. Так как принимается, что в распадах комбинированная чет-
четность сохраняется1), то некоторые схемы распада возможны для К\, но
запрещены для 7?°-мезона, и наоборот. Поэтому эти две частицы должны
иметь различные времена жизни. Например, конечное состояние, содер-
содержащее два я-мезона с полным зарядом Q = 0 Bя° или я+ 4- я") и с равным
нулю полным импульсом, имеет положительную комбинированную чет-
четность, т. е. является собственным состоянием оператора комбинированной
инверсии с собственным значением -j-1, так что распад на два я-мезона
разрешен для К1>- мезона и запрещен для #°-мезона.
Два нейтральных .К-мезона с различными временами жизни действи-
действительно были обнаружены [480]. Один из них, распадающийся почти всегда
на 2я-мезона и имеющий время жизни порядка 100 сек, был идентифици-
идентифицирован с .Kj-мезоном. Другой К-мезон, К\, имеет значительно большее
время жизни — порядка 10~8 сек и распадается не на 2я-мезона, а на
Зя-мезона (а также и по другим каналам). Кроме предсказания двух
различных времен жизни и различных наборов продуктов распада, был
подтвержден и другой вывод из теории Гелл-Манна — Пайса, указанный
Пайсом и Пиччиони [613]. Предположим, что в какой-либо реакции, напри-
например я" -\- р -*¦ А -\-К°, образован пучок, состоящий из х 7?°-мезонов. Если
говорить о К\- и 7?°-мезонах, то этот пучок будет состоять из х12 К\-ш&ъо-
нов и х /2 7?°-мезонов. По прошествии примерно 10~9 сек (в системе покоя
мезонов) почти все .KJ-мезоны распадутся, тогда как из ^["-мезонов распа-
распадается лишь ничтожная доля, так как время их жизни значительно больше.
Поэтому пучок будет содержать приблизительно ж/2 К\-чъзов.ов. Они,
как это видно из уравнения A0.976), не являются состояниями с опреде-
определенной странностью. С равной вероятностью ^-мезоны имеют S = 4-1
и S — —1. Поэтому при соударении пучка с протонной мишенью около
я/4 .К-мезонов будут способны давать реакции типа К0 4- р -» К* + п,
характерные для «S1 = 1, а другая половина .К-мезонов будет- способна
вызывать реакции типа К0 4- п -» КГ + р, I°-)-n^A -fit0 или
К0 -\-п -» 2+ +я~, характерные для S = —1. Это следует сопоставить
с реакциями, которые могут быть вызваны первичным пучком, состоя-
состоящим только из мезонов со странностью 4-1- И действительно, эффект Пай-
Пайса — Пиччиони был экспериментально обнаружен и было доказано, что
«выживший» в течение 10~10 сек пучок может образовывать Л-частицы.
Теоретические предположения, которые делались для описания силь-
сильных взаимодействий и установления внутренних связей между ними,
1) Некоторые качественные черты этой схемы остаются, даже если комбиниро-
комбинированная четность не сохраняется.

282
Гл. 10. Взаимодействие между полями
в большинстве своем полностью спекулятивны. Поэтому мы кратко опи-
опишем только некоторые из них. (Для более полного обзора см. [8, 162, 441].)
Первую формулировку схемы Гелл-Манна и НишижимЬг в рамках тео-
теории поля предложили д'Эспанья и Прентки [161]. Она основана на заме-
замечании, что для теоретических целей удобно классифицировать фундамен-
фундаментальные частицы на основе квантового числа барионного заряда В, а также
введенного Швингером [723] гиперонного заряда Y = В -f- S. Гиперон-
ные заряды барионов и мезонов перечислены в табл. 8.
Таблица 8
Частица
Р
п
Л
2+
2-
2»
в-
2°
я+
п~
я0
К+
К»
К~
К°
Т
1/2
V2
. 0
1
1
1
1/2
1/2
1
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
-1/2
0
1
Л
0
-1/2
Va
1
j
0
1/2
-1/2
-1/2
+ V2
Q
1
0
0
1
^
0
0
1
0
1
0
J
0
S
0
0
— 1
^
—1
j[
—2
2
0
0
0
1
1
— 1
— 1
в
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
Y
1
1
0
0
0
0
— 1
— 1
0
0
0
1
1
J
1
Все частицы имеют гиперзаряд 0 или +1. Более того, все частицы с це-
целым изотопическим спином имеют гиперонный заряд Y — 0, а с полуце-
полуцелым изотопическим спином имеют Y = +1. Отметим, что в обычном про-
пространстве существует интересная аналогия: все частицы с целым спином,
т. е. мезоны, имеют барионный заряд В = 0, тогда как частицы с полуце-
полуцелым спином, т. е. барионы, имеют заряд В — +1. Ввиду этой аналогии
д'Эспанья и Прентки назвали частицы с целым изотопическим спином,
Т = 1, 0, «изобозонами», а частицы с Г= %—«изофермионами». Очевид-
Очевидно, что сохранение в любой сильной реакции полного гиперзаряда Y рав-
равносильно сохранению странности. Этот закон сохранения можно выразить
также в виде утверждения, что разность между числом изофермионови чис-
числом антиизофермионов является константой.
С целью сформулировать теорию математически д'Эспанья и Прентки
предположили, что изотопическое пространство трехмерно и что опера-
операторы поля, соответствующие различным частицам, имеют следующие
трансформационные свойства:
Л — скаляр в изотопическом пространстве,
S и я — псевдовекторы в изотопическом пространстве,
К viN — спиноры первого рода в изотопическом пространстве,
К и S — спиноры второго рода в изотопическом пространстве.
Отметим, что этими предписаниями фиксируются и трансформационные
свойства при отражениях в изотопическом пространстве. Утверждение,

§ 5. Сильные взаимодействия . 283
что оператор поля 2-частиц есть псевдовектор, означает, что при отраже-
отражении в изотопическом пространстве 2 -> +2, т. е. что квантовое число, со-
соответствующее четности в изотопическом пространстве, для 2-частицы
равно единице, г)т = +1. Аналогичное положение характерно и для
я-мезона.
Следует также вспомнить (см. § 6 гл. 1), что в трехмерном евклидо-
евклидовом пространстве имеются два несводимых друг к другу рода спиноров.
Первый род может быть охарактеризован четностью относительно отра-
отражений т]т = -\-i, а второй род — четностью относительно отражений
<цТ = —г; if-мезоны и нуклоны (N) предполагаются спинорами первого
рода; if-мезоны и Н-частицы — спинорами второго рода. Если опреде-
определить гиперзаряд Y при помощи соотношения
= е 2
A0.99)
то такое приписание гиперзаряда частицам согласуется с приведенным
в табл. 8. (Отметим, что при предположении j Y \ = 0, 1 не допускаются
поля, преобразующиеся как векторы и псевдоскаляры в изотопическом
пространстве.) Эти приписания согласуются с рассмотрением К-*, К°-
и К'-, /?°-мезонов как античастиц друг друга, потому что при зарядовом
сопряжении гиперзаряд Y переходит в —Y, т. е. зарядово-сопряженная
частица (т. е. античастица) описывается спинором второго рода, если час-
частица описывалась спинором первого рода. Д'Эспанья и Прентки смогли
затем связать сохранение гиперзаряда с инвариантностью лагранжиана
относительно отражений в изотопическом пространстве в предположении,
что между барионами и мезонами допускаются только взаимодействия
типа Юкавы и что при этих обстоятельствах в лагранжиане взаимодейст-
взаимодействия содержатся все возможные скаляры в изотопическом пространстве.
При этих условиях общий лагранжиан взаимодействия, который
является истинным скаляром в изотопическом пространстве, содержит
только трилинейные связи и сохраняет число тяжелых частиц и стран-
странность, имеет вид
(сипы:) = giNy5x-7iN + g2Kyba-Z + 9. c.+
+ gbNybKK + э. с. + g6JVY5t • 2Я + э. с. +
+ gfiybKA + 9. c. + g&ytftg + a. с, A0.100)
где
K=-ix2K*. A0.101)
В выражении A0.100) не выписана явно зависимость операторов S,N,
2, Л, л, К (соответствующих S-, ^-(нуклон), 2-, Л-, я- и Z-частицам) от
пространственно-временных координат. В предположении, что все барионы
являются частицами со спином % (что, по-видимому, согласуется с экспе-
экспериментальными данными), операторы N-, 2-, Л- и Н-частиц являются спи-
спинорами в пространстве Лоренца. Аналогично, поскольку известно, что
я- и .К-мезоны имеют спин, равный нулю, то операторы я- и .К-полей при
собственных преобразованиях Лоренца преобразуются как скаляры.
Вид лагранжиана A0.100) определяется качественно тем фактом, что я-ме-
зоны имеют странность, равную нулю, и поэтому связывают частицы с од-
одной и той же странностью, тогда как К -мезоны переносят странность

284 Гл. 10. Взаимодействие между полями
и поэтому будут связывать только те частицы, странности которых отли-
отличаются на единицу. Следует отметить, что при написании взаимодействия
A0.100) сделаны определенные предположения, касающиеся относитель-
относительной четности частиц, и наложено требование инвариантности взаимодей-
взаимодействия относительно пространственного отражения. Так как для состоя-
состояний с различной странностью имеется правило суперотбора, то можно
принять условие, что Л-частица и нуклоны имеют одинаковую четность1).
Взаимодействие 2Ля будет содержать единичную матрицу или матрицу
уъ в зависимости от относительной четности 2-й Л-частиц. В лагранжиане
A0.100) мы предположили, что 2- и Л-частицы имеют одну и ту же четность
относительно нуклона, причем четность нуклона принята положительной.
Если приписать частицам другие относительные четности, то в соответст-
соответствующих местах следует опустить матрицы yh. Сделанное нами предположе-
предположение, что четность .К-мезона относительно Л-гиперона отрицательна, под-
подкрепляется экспериментальными данными по поглощению отрицательных
.ЙГ-мезонов в гелии [152]. Из эрмитовости и СР-инвариантности следует
вещественность констант связи. В этой схеме закон сохранения тяжелых
частиц является следствием инвариантности лагранжиана относительно
«калибровочных преобразований».
A0.102)
Из атой инвариантности лагранжиана можно заключить, что оператор
В= С da».^){Ny»-N +Ау»-А + 2у»-2, -\-Еу»-Щ A0.103)
является интегралом движения. Лагранжиан <3?j инвариантен также
относительно преобразований:
3—>Ee~ia 2—>2 A0.104)
A' —>Keia Jt~^rt,
что означает существование следующего интеграла движения:
У= \-ddll(x){If4»N-Ey»3-i{d»K*-K-K*-d*K)}, A0.105)
который равен числу нуклоновл2) минус число S-частиц плюс число
.К-частиц. В согласии с табл. 8 кванты полей нуклонов и ЛГ-мезонов
имеют У = 1, S-частиц, if-мезонов и антинуклонов имеют У=—1, а
для квантов полей я-мезонов, 2- и Л-частиц имеют У = 0. Тогда заряд
х) Общее обсуждение вопроса об относительной четности и вообще фазовых мно-
множителях при несобственных преобразованиях (например, Т, Р, С) квантованных полей
при наличии правил суперотбора можно найти в работах Мэтьюза [547] и Файнберга
и Вайнберга [236]. е ¦
2) В дальнейшем 6}дет исследовано, насколько законно при наличии взаимо-
взаимодействия называть гейзенберговский оператор \ Лтц (х) ч|зуд• ¦»!> оператором числа
нуклонов (минус число антинуклонов).

§ 5. Сильные взаимодействия 285
определяется соотношением
Q = Tt + jY, A0.106)
причем сохранение квантовых чисел Y п В влечет за собой сохранение
странности S, так как Y = S -\-В.
Интересно отметить, что если исключить многозарядные частицы, то
в схему с правилом J Y | < 1 укладываются все известные фундамен-
фундаментальные частицы. Остается только одно незаполненное место, соответствую-
соответствующее изотопически скалярному бозону 1). Если бы такая частица существова-
существовала и была бы достаточно массивной, то ее было бы очень трудно наблю-
наблюдать, так как можно ожидать, что она распадалась бы со временем жизни
порядка 10~23 сек.
Теория д'Эспанья — Прентки сформулирована в рамках трехмер-
трехмерного изотопического пространства. Естественное обобщение заключается
в предположении, что изотопическое пространство является четырехмер-
четырехмерным евклидовым пространством и что операторы полей, соответствующие
частицам, преобразуются по неприводимым представлениям четырехмерной
группы вращений (см. § 6 гл. 1). Такая возможность была рассмотрена
Саламом и Полкингхорном [693], которые предположили, что опера-
оператор Л-поля преобразуется по представлению веса @, 0) (скаляр), опера-
операторы 2- и я-полей — по представлению веса A, 0) (самодуальный антисим-
антисимметричный тензор), операторы N- и Е-полей преобразуются сообща по
представлению веса ('/г, Уг) (вектор) и, наконец, операторы К- и isC-полей
преобразуются сообща по представлению веса {Уг, Уг). (Обсуждение дру-
других возможностей можно найти в работе [441].)
Недавние эксперименты по фоторождению isT-мезонов, как и теоре-
теоретическая интерпретация энергий связи гиперфрагментов, по-видимому,
указывают на то, что взаимодействие ^-мезонов с барионами несколько
слабее (константа связи ~1) взаимодействия я-мезонов с нуклонами (для
которого константа связиG такова, что G2/4n —15). В соответствии с этим
Гелл-Манн [313] и Швингер [723] предложили разделить сильные взаимо-
взаимодействия на два класса: взаимодействия промежуточной силы, состоящие
из isT-мезон-барионных взаимодействий, и очень сильные, или я-мезонные,
взаимодействия. В соответствии со свойством, присущим известным вза-
взаимодействиям (чем сильнее взаимодействие, тем большим числом симмет-
симметрии оно обладает), Гелл-Манн и Швингер независимо постулировали более
глубокое, чем зарядовая независимость, свойство симметрии для очень
сильных взаимодействий, которое они назвали «глобальной симметрией».
Глобальная симметрия означает, что если пренебречь я-мезонными вза-
взаимодействиями, то барионы будут образовывать вырожденный мульти-
плет, все члены которого имеют одну и ту же массу и одинаковые взаимо-
взаимодействия с я-мезонами. Таким образом, предполагается, что в пренебре-
пренебрежении .ЙГ-мезонными взаимодействиями зт-мезон-барионные взаимодей-
взаимодействия описываются лагранжианом вида
^ ])^. A0.107)
!) В настоящее время количество экспериментальных данных по частицеподоб-
ным состояниям резко возросло. После открытия я°-мезона (масса 550 Мае) это место
следует, по-видимому, считать уже занятым, так как я°-мезоп имеет подходящие
квантовые числа (изоспин Т = 0, спин-четность 0") и распадается только посред-
посредством электромагнитных взаимодействий на три я:-мезона и на два Y~KBaHTa- —
Прим. ред.

286 Гл. 10. Взаимодействие между полями
Затем утверждается, что за наблюдаемое расщепление масс барионов ответ-
ответственно взаимодействие с .ЙГ-мезонами.
Дальнейшее детальное рассмотрение математического описания силь-
сильных взаимодействий увело бы нас слишком далеко. В заключение этого
параграфа мы сделаем два замечания о сильных взаимодействиях. Первое
из них относится к мотивировке попыток ввести «глобальное» взаимодей-
взаимодействие, а второе касается ограничений такой схемы.
Происхождение этой мотивировки связано с замечанием Вигнера
[861] об аналогии между электрическим и барионным зарядами и об
аналогии между сохранением электрического заряда и сохранением барион-
ного заряда (т. е. сохранением числа тяжелых частиц). Вигнер высказал
мысль, что мезонное поле играет такую же роль по отношению к барион-
ному заряду, какую играет электромагнитное поле по отношению к элект-
электрическому заряду. Иначе говоря, точно так же как электромагнитное
поле «приводит к различиям» между электрически заряженными и нейт-
нейтральными частицами, мезонное поле приводит к различиям между
барионами и «легкими» частицами и непосредственно взаимодействует
только с барионами. Проводя эту аналогию дальше, мы могли бы ожидать,
что как при электромагнитных взаимодействиях, при которых все частицы
с одинаковым зарядом взаимодействуют одним и тем же образом с электро-
электромагнитным полем, взаимодействия всех барионов с мезонным полем в точ-
точности одинаковы (если не считать различий в знаке). Глобально симметрич-
симметричную схему Гелл-Манна и Швингера можно рассматривать как реализацию
этих замечаний Вигнера. Хотя в такой схеме из инвариантности лагран-
лагранжиана относительно калибровочных преобразований с постоянной фазой
можно формально вывести закон сохранения барионов, понятие расши-
расширенных калибровочных преобразований не может быть привлечено в каче-
качестве мотивировки для введения мезонного поля [797, 872].
В заключение этого параграфа следует отметить, что Пайс [614, 615]
указал на противоречия с экспериментальными данными любой модели
сильных взаимодействий со слишком большим числом свойств симмет-
симметрии. В частности, он показал, что при условии полноты общепринятого-
спектра барионов «глобальная» симметрия (предположение о равенстве
всех констант связи между я-мезонами и барионами) и «космическая»
симметрия (предположение о равенстве всех констант связи между ^-мезо-
^-мезонами й барионами) не могут соблюдаться одновременно без противоречия
с экспериментом. Например, если предположить соблюдение глобальной
и космической симметрии, то реакция
п+ + Р -»> К* + Ъ*
была бы запрещена с точностью А2 [где А = (М^— МАIМ_\] по сравне-
сравнению с реакцией
Однако обе реакции экспериментально наблюдались и имеют эффектив-
эффективные сечения одного порядка величины.
§ 6. Слабые взаимодействия
Третий класс взаимодействий между фундаментальными частицами —
это так называемые слабые взаимодействия1), характеризующиеся констан-
г) Очень хорошев изложение современного состояния теории слабых взаимодей-
взаимодействий можно найти в лекциях Л. Б. Окуня [916].—Прим. ред.

§ в. Слабые взаимодействия 287
тами связи порядка GM2/%c ~ 10~5 (где М — масса протона). Эти слабые
взаимодействия ответственны за нестабильность странных частиц, я-мезо-
нов, нейтронов, мюонов, а также и за поглощение мюонов ядрами. Един-
Единственное исключение составляют два сохраняющих странность распада,
п° -> 2у и 2° -* Л -f у, которые происходят б результате электромагнит-
электромагнитных взаимодействий и являются быстрыми. Предположение, что все сла-
слабые взаимодействия описываются четырехфермионными связями типа
Ферми между Л-частицами, нуклонами и лептонами, позволяет объяснить
большое число наблюдаемых явлений как при р-распаде ядер, так и при
распадах гиперонов и мезонов.
Так, распад нейтрона на протон, электрон и антинейтрино
п—> р + е'-ру A0.108)
может быть объяснен и понят, если между частицами существует взаимо-
взаимодействие вида
5
%i = 2 G'ipOtmOiV + э. с, A0.109)
где Ot = A, у5, YnY5» <VVJ Ym.)> а Pin-> v и е — спинорные операторы, соот-
соответствующие протону, нейтрону, нейтрино и электрону (е порождает
электрон с зарядом —е или уничтожает позитрон с зарядом -\-е и т. д.).
Ферми [243] первым для объяснения р-распада ядер построил теорию со
связью вида A0.109), которую называют поэтому связью Ферми. Если
говорить более определенно, первоначально Ферми предположил, что
взаимодействие для объяснения распада п ~* р -f- e~ -\- v имеет вид
^I = G'pyflTwyvy + 9. с, A0.110)
где предполагается, что нейтрино имеет равную нулю массу покоя
и в отсутствие взаимодействий подчиняется уравнению —iyildlly(x) = 0.
Полагают, что распад мюона
A0.111)
происходит также в результате слабого взаимодействия Ферми вида
^f=S GlvOiiieQiV + э. с. A0.112)
Аналогично предполагается, что поглощение мюонов ядрами
осуществляется посредством взаимодействия вида
5
^f=2 Gi'nOipvOiYL + d. с. A0.113)
Исключительно важно, что вероятности каждого из приведенных выше
слабых взаимодействий могут быть объяснены, если рассматривать только
векторные и псевдовекторные взаимодействия (Of = у^, УъУи) с констан-
константами связи одного и того же порядка величины (GV^ GV^j Gc '). Еще более
замечательно то, что константы связи для всех трех реакций приближенно
равны между собой, т. е. G' xz G" ^ G'" ъ* G, причем б\М2/йс~10~55

288 Гл. 10, Взаимодействие между полями
где М — масса протона. Последнее замечание было впервые сделано Клей-
Клейном [456] и затем независимо другими авторами. Пуппи [654] высказал
идею, что эти процессы являются частными реализациями универсального
взаимодействия Фэрми. Он предложил характеризовать это универсальное
взаимодействие Фэрми треугольником, показанным на фиг. 6, и постули-
постулировал, что любые пары частиц (ab) и (cd), находящиеся в вершинах тре-
треугольника, могут взаимодействовать между собой через взаимодействие
Ферми вида (aOb)-{cOd) с одной и той же константой связи G.
На основе представлений, развитых в этой главе, можно ожидать,
что описание взаимодействия фундаментальных частиц в рамках теории
поля с разумной полнотой будет давать
(п,р) лагранжиан
«* = е&своб. Т ^j сильн. ~г =^эл. м. ~г *& слаб.»
A0.114)
где «5?своб. — лагранжиан невзаимодейст-
невзаимодействующих частиц (S, 2, Л, N, К, я, \i, e,
v, y); «^сильн. — связи, ответственные за
/ *Т 7* , сильные взаимодействия между барионами
и мезонами; <5РЭЛ. м.— описывает электро-
магнитные взаимодействия; ^слаб. — уни-
универсальное взаимодействие Ферми в соот-
соответствии с треугольником Пуппи. Важное побочное следствие предполагае-
предполагаемого существования такого универсального взаимодействия Ферми заклю-
заключается в том, что можно, по крайней мере в принципе, следующим образом
объяснить распад я-мезонов: я-мезон сильно взаимодействует с нуклонами,
нуклоны же могут подвергаться взаимодействиям Ферми. Таким образом,
возможна следующая цепочка процессов:
9-[i++v, A0.115а)
слаб.
р + п >e+ + v, A0.1156)
сильч. слаб.
что качественно объясняет распад л*-мезона. Естественно, что если бы
такая схема могла количественно объяснить вероятности распада, соот-
соотношение между частотами различных схем распада, угловые распределе-
распределения и корреляции, то такое объяснение было бы значительно более удов-
удовлетворительным и «фундаментальным», чем интерпретация на основании
введения прямого взаимодействия вида
Х1 = JJ (vy«jx дал* + з. с). A0.116)
Имеются указания, что отмеченная выше «фундаментальная» схема в самом
деле может количественно объяснить л -»• и. распад [325].
Все отмеченные выше схемы распада относились к распадам, в кото-
которых сохраняется странность, т. е. AS = 0. При слабых распадах других
фундаментальных частиц странность изменяется на единицу, AS = +1,
и хотя их механизм пока не выяснен окончательно, наиболее вероятно,
что они вызываются взаимодействиями Ферми.
Экспериментальная информация о слабых распадах приведена
в табл. 9.

§ в. Слабые взаимодействия
289
Таблица 9
Частица
s-
•2+
2~
Л
п
К+
к-
¦ л±
Продукты распада
ЛО-4-яо
Р+п°
га+я+
п-\-я~
Р+п~
п-\-пО
P + e~ + v~
p + e+v
JI+ + V
я++я°
я+4-я~+я~
Я++Я<> +Я°
яО-f-e+v
яo4-^l++v
2я, Зя, ц + v
я4-(х+'у. rt + e+v
я+^-я~
я° + яо
Зя, (i + v-1-jt, е_^у+я
e±+v + v
Относитель-
Относительная доля, %
100
100
46±6
54±6
100
63
37
<1
100
59±2
26±2
5,7±0,3
1,7±0,3
4,2±0,4
4,0±0,8
78±6
22±6
—100
-10-5
100
Время жизни, сек
A,28±0,4)-10-10
(О,81±О,О6)-Ю-1о
A,61±0,10)-10-ю
B,51±0,09)-10-ю
1013±29
A,22±0,01)-10-«
A,22±0,01)-10-«
A,00±0,04)-10-"
FД±0,2)-10-.»
B,55±0,03)-10-«
B,22±0,02)-10-»
Конечно, для объяснения распадов странных частиц можно было бы
опять придумать прямые взаимодействия, например для распада
2
. с.)
A0.117)
и т. д. Очевидно, нужно было бы постулировать большое число таких пря-
прямых взаимодействий. Поэтому естественно поставить вопрос: можно ли
так обобщить понятие универсального (первичного) взаимодействия Ферми,
чтобы оно объясняло и распады странных частиц? Пытаясь придумать
19 с. Швебер

29в Гл. 10. Взаимодействие между полями
такое обобщение, мы замечаем, что в распаде
К* ->
пара (ev) связана с изменяющей странность парой. Эта пара не обязатель-
обязательно должна быть (Кл), но может быть, например (рА), так как последняя
пара связана с (Кп) сильными взаимодействиями. Поскольку в таких
не сохраняющих странность распадах испускаются также и мюоны, то мы
нуждаемся и в связях типарЛ^дд?. Кроме того, поскольку гипероны в основ-
основном распадаются без испускания лептонов, то представляется необходи-
необходимой связь Ферми вида рАрп. Тогда такой распад, как Л -> р -f- я", может
происходить следующим образом: Л -*¦ п -j- Р + Р посредством^ слабого
взаимодействия, а затем р-\-п —»-я~ посредством сильного взаимодей-
взаимодействия, так что в результате мы имеем Л -* р -\- я'. Гелл-Манн [309]
{п,р) ^ »
Ф и г. 7.
(см. также ^статью Коста и Даллапорта [146]) выдвинул идею^-преоб-
идею^-преобразовать треугольник Пуппи в тетраэдр (фиг. 7) путем добавления одной
вершины и обобщил таким образом идею универсального взаимодействия.
Такая схема способна качественно объяснить все известные распады.
Нелептонные распады происходят из-за связи между rep-вершиной (кото-
(которая благодаря сильным взаимодействиям эквивалентна я-вершине)' и
Лр-вершиной (которая благодаря сильным взаимодействиям эквивалентна
^-вершине).
Фейнман и Гелл-Манн [256 ] заметили, что взаимодействия Ферми при-
приобретают более простой вид, если предположить, что они по своей природе
являются взаимодействием тока Jt с самим собой, т. е. имеют вид /*/г,1>где
Jt^GivOie + vOip + pOtni+X A0.118)
(X—часть тока, отвечающего изменению странности на единицу).
Чтобы установить точный вид взаимодействия Ферми, мы вкратце
рассмотрим теперь описание распадов частиц со странностью 0 и, в част-
частности, ядерного Р-расцада. Наиболее общее локальное лоренц-инвариант-
ное четырехфермионное взаимодействие имеет вид
5
2 ) + э. с, A0.119)
где
Gi~Gs 01 = l (скаляр), A0.120а)
G2 — Gp Ог = у5 (псевдоскаляр), A0.1206)
G3 = GV O3 = Yn (вектор), A0.120в)
G^ = Ga Oi = iyllyi (псевдовектор), A0.120г)
Gb = ±-GT О5 = 0^ (тензор). A0.120д)

§ 6. Слабые взаимодействия 291
Вопрос о том, какая из линейных комбинаций правильна, должен быть
решен экспериментально. Разрешение этой загадки составило блестящую
главу в истории физики. Довольно странно, что хотя уже в начале 30-х
годов было накоплено большое количество экспериментальных данных
и известны основные факты теории, только в конце 1956 г. наметились
основные контуры решения этой проблемы. Возрождение интереса и сти-
стимулирование исследований в области Р-распада были обусловлены прове-
проведенным Ли и Янгом глубоким анализом, показавшим, что до 1956 г. ни
в одном из экспериментов не было доказано сохранение четности в Р-рас-
паде. Для проверки высказанной Ли и Янгом гипотезы By, Амблер и др.
[867] провели предложенный ими эксперимент по распаду поляризован-
поляризованного Со60, в котором было ясно доказано наличие корреляций между ори-
ориентацией спина Со60 и направлением испущенного электрона. Поэтому
для объяснения наблюдаемого углового распределения в функции распре-
распределения должен содержаться член вида J-p, где J — спин ядра и р —
импульс испущенного электрона. Если р-распадное взаимодействие инва-
инвариантно относительно пространственного отражения, то функция распре-
распределения должна быть истинным скаляром (и не может содержать членов,
подобных J-p или (Г-р, где а — спин электрона). И наоборот, в функ-
функции распределения может появиться псевдоскалярный член только тогда,
когда Р-распадное взаимодействие не инвариантно относительно простран-
пространственного отражения. Таким образом, эксперимент By и др. по распаду
ориентированных ядер Со60 окончательно доказал наличие в лагранжиане
%i таких членов, что Р?г Р'1 ф Xj. Один из возможных путей осуществле-
осуществления такой ситуации — это смешать каждое сохраняющее четность вза-
взаимодействие
Gi{pOKn){eOlv) + з. с.
с не сохраняющим четность взаимодействием вида
B. с.
Рассмотрим подробнее векторное взаимодействие. Лагранжиан взаимо-
взаимодействия может быть в этом случае записан в виде
B. с. A0.121)
Требование СР -инвариантности, как показал Ландау [475], влечет за
собой вещественность постоянных Gv и Ь. Эксперименты указывают, что
b = —1, т. е. что оператор нейтринного поля входит во взаимодействие
только в комбинации Уг A — iys)v- В гл. 5 мы видели, что это эквивалент-
эквивалентно двухкомпонентной теории нейтрино, в которой только левые (с отри-
отрицательной спиральностью) нейтрино взаимодействуют с веществом.
В последние годы было показано (см. прекрасную обзорную статью
Конопинского [460]), что все современные эксперименты по Р-распаду
могут быть объяснены при помощи смеси векторного и псевдовекторного
взаимодействий:
%г = Gy (ру»п) ( 7vn "у A - *Ye) v) + GA (рГУьп) Gу» А A - iy&) v) + э.с.
A0.122)
Более того, существуют надежные указания, что | G& \ ^ j Gv\ (точнее,
| ^а I / | Gv | я» 1,20). Мы укажем позднее, как был сделан этот вывод.
19*

292 Гл. 10. Взаимодействие между полями
Этот параграф мы закончим кратким обзором теоретических предполо-
предположений, которые были сделаны Судершаном и Маршаком [756], Фейн-
маном и Гелл-Манном [256] и Сакураи [685], для «объяснения» «F-Л»-
взаимодействия. По-видимому, наиболее удовлетворительным из них
(в том смысле, что оно допускает обобщение на сильные взаимодействия)
является предположение Судершана иМаршака и Сакураи, которое заклю-
заключается в том, что лагранжиан слабых взаимодействий должен быть инва-
инвариантным относительно преобразования
Ф —> Уь'Ф
~ ~ т-+ -т A0.123)
•ф -» — -ф-Y*
для каждого фермионного поля в отдельности1). Это может рассматри-
рассматриваться как обобщение требования инвариантности лагранжиана относи-
относительно преобразования
V—>уъ\,
или более общего преобразования
v —> е*ачьу (а = const),
что гарантирует строгое равенство нулю массы нейтрино и при наличии
взаимодействия. При этом на полный лагранжиан распространяется инва-
инвариантность, присущая лагранжиану невзаимодействующих полей.
Лагранжиан взаимодействия Ферми между четырьмя фермионными
полями ojji, гр2-> ^37 tyii который инвариантен относительно собственных
преобразований Лоренца, может быть записан в виде
5
Xi = 2 (ЬО%) (Ь № + GiOtyb) т|}4) + э. с. A0.124)
il
Тогда из инвариантности относительно преобразования обращения
массы грг —^ 'Ys'M^*» m>i—> — ttii будет следовать, что
± Щь) гЫ (by* (I ± iyt) 4>t) + э. с. A0.125)
С другой стороны, Фейнман и Гелл-Манн постулировали, что в
четырехфермионное взаимодействие A0.124) должна входить только
проекция
ф! =-g-A — <Ye) *i
оператора поля -ф?, т. е. что взаимодействуют только те компоненты
поля, для которых фг= —iy^i- Мы будем обозначать оператор про-
проектирования г/гA— iyi) через а_:
a_ = i-(l-i^) = a?. A0.126)
Тогда; поскольку -у6 — антиэрмитова матрица, то
Y ^(li\)Y
(Ю.127)
l) Инвариантность относительно обращения массы была впервые исследована
Тиомно [77§], который, однако, требовал инвариантности только относительно прово-
проводимого одновременно для всех полей преобразования ф—>¦ Ys ty> rn~*¦ —т-

§ 7. Теорема эквивалентности 293
Мы будем обозначать х/г A + 1Чь) через а+ и заметим, что а+а,- = а-а+ = 0.
Тогда наиболее общий локальный лагранжиан взаимодействия без про-
производных имеет вид
5 , ,—.
•%i = 1j gi (a-ipAa-ib) (а-%Ога_^) =
i=l
5
= .2 gi ($ia+0iajq>2) (%0,+Oia-Tpb) + э. с. A0.128)
При этом а+Огп- — Oiu+a- = 0 для Ot = l, уъ, а^, так как эти Ot комму-
коммутируют с уь. С другой стороны, когда 0i = Yn и ^ = ^1^5* а+0г = 0ьа^,
так что
•S?i=. S Ы*АМ>2) (UAe-фО + э- с. A0.129)
но поскольку i YuVe ^1 — ^Yb) = — Yn A — ^5). то
^1 = С(^а_1|52)(^«-^4) + э. с, A0.130)
что и является «У-^4»-взаимодействием.
§ 7. Теорема эквивалентности
В этом завершающем главу параграфе мы исследуем, в какой мере
эквивалентны псевдоскалярная и псевдовекторная связи. Хотя эти два
типа связи имеют фундаментальные различия (псевдоскалярное взаимо-
взаимодействие характеризуется безразмерной константой связи и перенорми-
перенормируемо, а псевдовекторное взаимодействие не перенормируемо и его
константа связи имеет размерность длины), тем не менее при разложе-
разложении до определенного порядка по константе связи оба взаимодействия
приводят к одинаковым результатам (см. статьи Дайсона [192]. Кейса
[110, 111] и Фолди [267]).
В шредингеровской картине гамильтониан мезонного и нуклонного
полей, взаимодействующих посредством псевдоскалярной связи, имеет
вид
Я = J d3xyp* (о• р + РАО Ч> (х) + 4" [ d3x (я2 (х) + V(P • V(P (x) + f^V (х)> +
+ G J &хМ?*§уь<$у (х). A0.131)
Мы рассматриваем только нейтральное мезонное поле. Обобщение
на случай симметричной мезонной теории не представляет труда.
Произведем теперь унитарное преобразование гамильтониана
Я' = eisHe~iS A0.132)
с таким оператором S, чтобы исключить член с псевдоскалярной связью,
а вместо него ввести член с псевдовекторной связью. Такое преобра-
преобразование упрощает переход к нерелятивистскому гамильтониану. В этом
параграфе, за исключением специально оговоренных мест, мы будем
работать в шредингеровской картине.

294 Гл. 10. Взаимодействие межу полями
Предположим, что эрмитов оператор iS" может быть записан в виде
[192, 267, 44]
sx^*syi>(x)= J d3x 2 1&?ар% A0.133a)
), A0.1336)
где w — функция только от ф, a Ys= Y°"V1'YaY3 — антиэрмитова матрица,
квадрат которой равен —1. Нужно отметить, что в спиновом простран-
пространстве S является с-числом, а не матрицей и поэтому коммутирует с любой
матрицей Дирака.
Для вычисления используем следующий прием, к которому мы уже
прибегали в § 3 гл. 7. Определим
т|э'(х, X) = eiS4|> (x) e-*s\ A0.134)
Тогда оператором, который мы хотим найти, является г|/ (х, 1), а непре-
непреобразованным оператором является t|/ (x, 0). Далее,
W?V = ieu,HSt ф (х)] e-ist. = i[s, у (х, X)]. A0.135)
Учитывая, что перестановочные соотношения
x'),
)] = 0 ^1а" )
инвариантны относительно унитарного преобразования A0.132) и что
<р и г|з коммутируют между собой, и используя выражение A0.133а),
получаем
[S, 1Й (X, X)] = J d3x' 2 Wa (X', Л,) ^аР^р (х', X), 1Й (X, X)] =
ар
A0.137)
Уравнение A0.135) теперь приобретает вид
^'if' ^ = - »«|)' (х, к) A0.138)
и после интегрирования дает
i|/ (х, X) = в—«-А.-Ф* (х, 0). A0.139)
При получении выражения A0.139) мы использовали начальное условие,
что г|/ (х, 0) является непреобразованным оператором. Преобразованный
оператор дастся выражением
eiS\j5 (x) e~iS = e-*»i|> (x). A0.140)
Так как оператор s, согласно определению A0.1336), эрмитов, s = s*, то,
эрмитово сопрягая последнее равенство, получаем
e*s^* (х) e-*s = i|)* (x) eis. A0.141)

§ 7. Теорема эквивалентности 295
При вычислении Н' по формуле A0.132) окажется очень полезным
следующее соотношение:
eiSQe-iS = Q +Л_ [Sj Q] + _g. [Si [Si QU +
^... A0.142)
Это равенство легко доказать путем разложения exp (iSX) Q ехр (— iSX)
в ряд Тэйлора около точки X = 0.
Так как операторы ф (х) и ф (х') коммутируют между собой, а опе-
оператор S коммутирует с любой матрицей Дирака, то
е« фМ + СрубФ (х))аЭ е-« = фМ + Сру6Ф (х))аЭ, A0.143)
где индексы аир означают, что мы рассматриваем соответствующий
элемент у-матриц (эти матричные элементы являются числами!). Поэтому,
используя равенства A0.140), A0.141) и A0.143), находим
d3x ^ Га (х) фМ + Сру5ф (x)U ty (к)
ар
2 (** W е")а (РМ + СРТ5Ф (х))аЭ (е-"Ц) (х))э =
ар
= С d8ar»J)* (x) eis (рМ + СРу5ф (х)) е~**ф (х). A0.144)
Далее, учитывая антикоммутативность матриц р и у5> можно пре-
преобразовать множитель р ехр ( — is) следующим образом:
оо оо
ni?-=2 (Y5)n(-irP^ = e-p. A0.145)
n=0 n=0
Аналогично,
py6e-is = eispY5, A0.146)
так что равенство A0.144) может быть приведено к виду
(х))^(х). A0.147)
Путем таких же выкладок мы получим
#2 == eiS \ dsx$* (х) а • ря|; (х) e~is =
= \ dsx$* (x) eiso.pe-isal3 (x). A0.148)
Мы не можем переместить множитель ехр ( — is) дальше, так как опе-
операторы р = — iV и ф (х) не коммутируют. Однако вспоминая, что
матрицы а и у5 коммутируют, и используя соотношение A0.142), можно
записать
3 3
eisa.pe-is = 2 eisa;e"is euPje-u = S ajeuPje-is = a-p-a-Vs. A0.149)
Полезно ввести 4 X 4-матрицу Sj, связанную с матрицами аг и уь соот-
соотношением
A0.150)

296 Гл. 10. Взаимодействие между полями
Тогда выражение A0.148) может быть переписано в виде
#2= Jd»:n|>*(x)a.p*|>(x)- J d3xty* (х) 2- Vay-ф (х). A0.151)
Наконец, мы должны вычислить
+ |iV(*)}e~ls- (Ю.152)
Для этого предположим, следуя Дайсону [192], что неизвестная функ-
функция ш(ф) имеет вид
а»(ф) = Лф(х), A0.153)
где X — постоянная, которую следует найти. Так как операторы ф (х)
и ф(х') коммутируют, то нам нужно вычислить только величину
eiSn (x) e~is = я' (х). A0.154)
Используя соотношение A0.142), получаем
л' (х) = л (х) + iK J d'x' ty* (x') iyby> (¦*¦') ф (*') л (х)]. A0.155)
Все высшие члены (повторные коммутаторы) равны нулю, так как ком-
коммутатор операторов ф (х) и л (х') является с-числом:
[ф (х), я (х')] = гбC) (х- х'). A0.156)
Отсюда
я'(х) = л(х)-г^*(х)уб^(х), A0.157)
и формула A0.152) превратится в
Я, = i J d-^ {л'2 (х) + Уф • Уф (х) + цу (х)} =
= у ^d3X (Л2 (X) + Тф- V<f (X) i- (Х2ф2 (X)) -
3^*(x)Y5^(x)J. A0.158)
Собирая все эти члены, мы получаем следующее выражение для пре-
преобразованного гамильтониана:
+ ^\d3x {я2 (х) + Уф • Уф (х) + (х2ф2 (х)} +
+ J d3a;ij)* (x) (e2is -1) pMij) (х) + J d3xty* (x) e2is С?Ру5ф (х) i|> (x) -
— А- ^ й3ж1|з* (х) 2 • Уф (х) ф (х) - а J d3a;ij)* (x) Y5ij5 (x) я (х) -
. A0.159)
Хотя формула A0.159) является точной, мы не можем подобрать
постоянную так, чтобы полностью исключить псевдоскалярную связь.
Это обусловлено тем, что мы сделали предположение A0.153). Бергер,
Фолди и Осборн [44] применили метод, в котором функция w остается
произвольной до самого конца вычислений. Затем функция w опреде-

7. Теорема эквивалентности 297
ляется таким образом, чтобы преобразованный гамильтониан не содержал
псевдоскалярной связи.
Если в выражении A0.159) разложить в ряд экспоненциальные
множители, сохранить квадратичные по ф члены и выбрать
-1 = -~, A0.160)
то в этом порядке псевдоскалярная связь будет устранена и преобразо-
преобразованный лагранжиан приобретет вид
Н' = НК + НМ + Щ, A0.161а)
где
Щ = ~Ж \ d^* W (S • V(P (*) + гуьп (х)) ф (х) +
[ d3V* ()Жх)<Р2(х)( ] <*8*4>*Wy1> (*))*• A0.1616)
Теперь мы кратко проанализируем модифицированный гамильто-
гамильтониан A0.161). Первый член в выражении A0.1616) имеет вид обычной
связи с производными в мезон-нуклонном гамильтониане. Напомним, что
оператор я(х) равен, по существу, dtq>(x), так что в этом члене взаимо-
взаимодействия подынтегральное выражение с точностью до постоянного мно-
множителя равно
что является общепринятым выражением для записи псевдовекторного
взаимодействия. Мы показали, таким образом, эквивалентность псевдо-
псевдоскалярной и псевдовекторной связей в первом порядке по константе
связи. Константа связи взаимодействия с производными связана с кон-
константой связи G соотношением
-jr=W- A0.163)
«Двухмезонный» член
-lyij- \ d3anj)*fhj) (x) ф2 (х) A0.164)
аналогичен квадратичному члену (е2/2/п)А2, который встречается в нере-
нерелятивистской теории излучения. Он появляется при исключении перехо-
переходов, связанных с виртуальными парами. В теории возмущений этот член
приводит к большому не зависящему от спина вкладу в ядерные силы
[496]. Его значение при любых вычислениях рассеяния мезона на нуклоне
было подчеркнуто впервые в работе Дрелла и Хенли [183], которые пока-
показали, что этот член дает сильное отталкивание в 5-волне взаимодействия
мезонов с нуклонами. Можно сделать вывод о его важности уже из того,
что член с псевдовекторной связью пропорционален величине F/ц, тогда
как член с ф2 пропорционален величине М (F /ц.J.
Наконец, в гамильтониане для связи с производными всегда присут-
сЛет|)*у5'ф (х) ) . Если лагранжиан содержит
у
связь с производными A0.162), то сорряженный полю ф импульс будет
равен
дх -'- F -¦-*¦¦ -¦- A0.165)

298 Гл. 10. Взаимодействие между полями
Тогда при исключении ср из гамильтониана возникнет контактный член
)
Наиболее ясно эквивалентность псевдоскалярной и псевдовекторной
связей может быть установлена с помощью преобразования Фолди (см. [267,
837, 44]), в котором оператор S имеет вид
S = 4- \ **хф (х) ^ (х) arctg (-^M-) • (Ю.166)
4
При этом каноническом преобразовании полностью устраняется псевдо-
псевдоскалярная связь, но псевдовекторная связь появляется в нелинейном
виде.
Наиболее общие теоремы эквивалентности были установлены Молдауе-
ром и Кейсом [559], которые показали, что в первом порядке по констан-
константе связи все возможные линейные взаимодействия между скалярными
(или псевдоскалярными) мезонами и нуклонами либо исчезают, либо экви-
эквивалентны скалярному (или псевдоскалярному) взаимодействию.
Теоремы эквивалентности при наличии электромагнитного поля
были доказаны Кейсом [111] и Дреллом и Хенли [183]. Келли [437] пред-
предложил исключительно изящный метод вывода теорем эквивалентности,
в котором используется возможность добавки к лагранжиану и 4-дивер-
генции произвольного 4-вектора.

ГЛАВА 11
Формальная теория рассеяния
До сих пор рассматривались вопросы формального характера: была
описана методика квантования полей на основе канонического форма-
формализма. Это позволило представить вторично-квантованную теорию в такой
форме, в которой по аналогии с обычной квантовой механикой развитие
системы описывается уравнением Шредингера:
A1.1a)
A1.16)
Теперь нужно научиться извлекать физические следствия из вторично-
квантованной теории. С этой целью мы будем исследовать решаемые
модели (см. гл. 12) и рассматривать применения теории возмущений
к вторично-квантованным теориям поля (см. гл. 13 и 14).
Всем вторично-квантованным теориям поля присуще то общее свой-
свойство, что в результате взаимодействия (описываемого гамильтонианом
Hi) вокруг каждого кванта невозмущенных полей (описываемых гамиль-
гамильтонианом Но) возникает облако других квантов. В пределе точечного
(локального) взаимодействия этот эффект приводит к расходимостям.
Программа перенормировок позволяет обойти эти трудности. Было заме-
замечено, что взаимодействие приводит к изменению констант связи и масс
квантов и что поэтому затравочные константы связи и массы не могут быть
отождествлены с соответствующими измеряемыми величинами. Большим
успехом теории перенормировки явилось то, что переопределение кон-
константы связи и массы в квантовой электродинамике оказалось достаточ-
достаточным, чтобы обойти все трудности с расходимостями, возникающими
в амплитудах рассеяния и рождения частиц (т. е. в элементах ^-матрицы).
Можно сказать, что современные теории поля дают полуколичественное
(а электродинамика и количественное) описание процессов с элементар-
элементарными частицами, но проливают мало света на проблему структг/ры
этих частиц. Например, мы не в состоянии объяснить наблюдаемый спектр
масс элементарных частиц.
В этой главе будут вкратце описаны те стороны формальной теории
рассеяния, которые нам понадобятся в дальнейшем. Мы также введем
картину Дирака (ее часто называют представлением взаимодействия)
и рассмотрим некоторые степенные разложения оператора сдвига по вре-
времени в этой картине.

300 Гл. 11. Формальная теория рассеяния
§ 1. Потенциальное рассеяние
Сначала в качестве простейшего примера теории рассеяния рассмот-
рассмотрим рассеяние бесспиновой нерелятивистской частицы на потенциале ко-
конечного радиуса. Нас интересует описание такого процесса, когда направ-
направленный пучок частиц с определенной энергией падает на мишень и рассеи-
рассеивается ею. (Интенсивность пучка предполагается такой, что взаимодей-
взаимодействием налетающих частиц между собой можно пренебречь.) Нам нужно
найти функциональную зависимость интенсивности рассеянного пучка
от его направления в предположении, что известны интенсивность падаю-
падающего пучка и потенциал взаимодействия между налетающей частицей
и мишенью. Мы будем рассматривать рассеяние одиночной частицы из
пучка.
Квантовомеханическое описание процесса проводится следующим
образом [218]. В момент времени t = 0 имеется волновой пакет, сосредо-
сосредоточенный вблизи точки r0 = tO, 0, — zo) с пространственной дисперсией
Ах, Ay, Az и движущийся направо в направлении оси z со средним импуль-
импульсом ро = ftk0 (с дисперсией Акх, Аку, Akz, причем АкгАхг «s 1). Чтобы
частица имела определенную с разумной точностью энергию, потребуем
выполнения условия Aftz< к0. Расположение в пространстве должно быть
таким, чтобы в момент времени t ¦= 0 процесс рассеяния еще не начинался,
т. е. чтобы между налетающей частицей и мишенью не было взаимодей-
взаимодействия (источник налетающих частиц должен находиться далеко от
мишени!). Поэтому потребуем выполнения условий Az< jz0 | и |zo| >a,
где а — радиус действия потенциала. Чтобы можно было отличить рас-
рассеянный пучок от пучка, прошедшего без взаимодействия, интерференция
между рассеянной и начальной волнами должна быть минимальной. Эта
сторона приготовления начального состояния выражается требованием
Ах, Ау < | г0 | . Обычно оказывается, что Ах, Ay, Az > a.
Таким образом, в момент времени t = 0 наша частица описывается
волновой функцией
?(r, 0)= J eik-<r-ro)(D(k-ko)d3A;) A1.2)
где Ф — квадратично интегрируемая функция, имеющая резкий максимум
при k = k0 с дисперсией Ak-t. Рассмотрим затем развитие этого пакета
во времени. В некоторый более поздний момент времени t > 0 имеем
W(r, t) = e~iHt/W(r, 0), A1.3а)
?(r), A1.36)
где Я —гамильтониан системы. Для расчетов с этим выражением введем
вспомогательные функции \J)k+ (r), являющиеся решениями уравнения
5Г
и имеющие следующее асимптотическое поведение:
ihr
linn|>k+(r)~e*-4-i— /k+(9, <p). A1.5)
|г|-+оо
Существование решений с этим предписанным асимптотическим поведе-
поведением следует из нашего предположения, что V (г) убывает быстрее 1/г.

1. Потенциальное рассеяние 301
Поэтому при больших г, tyk+ с точностью до членов первого порядка
по 1/г подчиняется уравнению (V2-)- k2)tyk+ = 0, имеющему как решения
вида плоской волны exp(ik-r), так и решения вида расходящейся сфе-
сферической волны exp (ikr)/r. Мы покажем теперь, что дифференциальному
уравнению A1.4) и граничному условию A1.5) удовлетворяют решения
интегрального уравнения
J ^')rfV, A1.6)
где функция Грина G+k дается выражением
t ifc|r-r'| л с гк'-(г—г')
Доказательство: Так как в силу предположенных свойств потен-
потенциала V (г) основной вклад в интеграл в уравнении A1.6) дают малые
г', то при больших г можно запивать |г — г'| «= г — (r-r')/r+. . . .
Поэтому
Г ¦ Г'
-ih^-^V(v')qk+(r')d3r', A1.8)
так что
_,ь .')dV. A1.9)
Заметим, что если записать /к+ = | /к+ I ехР Щ^ то фаза ф+ характери-
характеризуется длиной, определяемой радиусом действия потенциала.
Существует и другая система решений уравнения A1.4), обозначае-
обозначаемых через я|>к_ (г) и обладающих асимптотическим поведением
(r) = e*-' + ^-r/k_(e, Ф), A1.10)
соответствующим сумме плоской и сходящейся сферической волн. Эти
решения удовлетворяют интегральному уравнению:
k_(r-r')-^-F(r'L>k-(r')dV, A1.11)
где функция Грина Gk_ дается выражением
t —ifclr-r'| » (. гк-(г-г')
Если гамильтониан Н не имеет связанных состояний, то система функ-
функций {i|3k+} (или {ifk-}) является полной:
') = б<3»(г-О- A1-13)
Поэтому можно разложить 4я (г, 0) по системе {4"к-|-> и записать
k+(r). A1.14)
Мотивировка выбора системы функций {%+} вскоре станет ясной. Так
как 4я (г, 0) в момент времени t = 0 описывает находящийся далеко
от рассеивающего центра пакет, то можно подставить вместо tyk± (r)

302
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
ее асимптотическое значение и .записать
0)
A1.15)
Коэффициенты разложения Вц должны быть выбраны так, чтобы выра-
выражение A1.15) представляло пакет, локализованный вблизи г0 со средним
импульсом к0 вдоль оси z. Вначале (при ? = 0) пакет движется в области,
в которой потенциал не действует. Поэтому движение должно быть как
у свободной частицы, и мы полагаем, что в выражение A1.15) дает
существенный вклад только часть, соответствующая плоской волне.
Тогда положение максимума амплитуды Ч? (г, 0) может быть получено
методом стационарной фазы. Если записать
Bk = b(k)eiP<Ii) A1.16)
F и р вещественны), то максимум возникает при том г, которое опре-
определяется уравнением
Vk[p(k) + k-r]|k=ko = 0. A1.17)
Поэтому положим
ro= -Vkp(k)
k=k0.
A1.18)
Для оценки вклада от сферической волны запишем
/к+ = |/к+|е*ф+, A1.19)
измерения фазы этой части подынтегрального выражения
и скорость
равна
Vk(p(k)+q>+ + fcr) k=k0 =
к=ко =
- + |ао|), A1.20)
где 83 —единичный вектор в направлении оси z, причем учтено, что
k=ko есть длина, характеризуемая
Вспомним, что Vkcp+
Го = — 83 | Zo
радиусом действия потенциала и поэтому малая по сравнению с г0.
Поэтому фаза части со сферической волной не имеет точек стационар-
стационарности, так как | Vk ф (k) -f- Ф+ + кг) \ «* (r+ | zo |) > 0. В действительности
она велика при больших jzo|, и поэтому вклад этой части в W (г, 0)
из-за интерференционного погашения пренебрежимо мал. Таким обра-
образом, при t = 0
?(г, 0) «= I Bkeik-Tdak, A1.21)
и, сравнивая формулы A1.21) и A1.2), находим
?к = ф(к — ko)e-ik-ro. A1.22)
Простота этого результата обусловлена выбором полной системы функ-
функций {ij)k+}: коэффициенты разложения W (г, 0) по {ij)k+} совпадают
с коэффициентами разложения W (г, 0) по плоским волнам {exptk-r}.
Двигаясь к рассеивающему центру, частица с течением времени
попадает в область влияния силового поля и может быть отклонена.
В экспериментальной установке детектор расположен на большом по
сравнению с радиусом действия силового поля расстоянии, так что
в области наблюдения частица опять свободно движется по своей траек-
траектории. Поэтому для предсказания результата опыта нужно знать пове-
поведение W (г, t) при больших t, когда частица снова находится далеко

§ 1. Потенциальное рассеяние 303
от рассеивающего центра. Так как i|)k+ есть собственные функции
гамильтониана Н с собственными значениями ft2k2/2m, то можно записать
T(r, t) = e-im'W (r, 0)= J (^3А;Ф(к-ко)е~*-'-о-«ад/2тй^+(г). (Ц.23)
При достаточно больших ? снова допустима замена i|)k+ (г) ее асимпто-
асимптотическим выражением A1.5)
г, (), A1.24а)
f-^oo
причем
Wo (г, 0=5 dske-iE*i/hBk• е«<-' • (И.246)
ТраСс. (г, <) = J d3ke-iE*mBk^ /k+ @, <р). A1.24в)
Опять методом стационарной фазы можно определить величину г, при
которой ^о (г, t) имеет максимум: наибольший вклад в Ч^ (г, t) дают г,
удовлетворяющие условию
Vk(_k.r0—^i+k-r)|k=Uo = O, (И.25)
т. е. г = @, 0, z), причем
2= _zo + -^-^= -zo + vt. A1.26)
Таким образом, W0(r, t) соответствует той части ^(r, t), которая опи-
описывает прошедший (нерассеянный) пакет; Трасс, имеет максимум, если
=ko = O, A1.27а)
т. е. если
В пренебрежении малой величиной Vkcp+,
A1.28)
Отсюда следует, что Трасс, (г, t) представляет рассеянную волну. Урав-
Уравнение A1.27) соблюдается только при f>|z0|/o, так как г положи-
положительно. Поэтому рассеянная волна Трасс становится отличной от нуля
только после достижения первичным волновым пакетом рассеивающего
центра, т. е. только после того, как пройдет время |z0|/o. Это может
быть принято в качестве нерелятивистского принципа причинности.
Таким образом, в дополнение к распространяющемуся вдоль оси z пакету,
при ?>]zo|/y, имеется расходящаяся из начала сферическая волна,
амплитуда которой /к+(Э, ср) является функцией направления. При
< > | Zo \/v вероятность найти частицу, летящую в направлении, отличном
от начального, в объеме d3r вблизи точки г в момент времени t дается
формулой
, Ф)е ? dskf. A1.29)

304 Гл. 11. Формальная теория рассеяния
Если предположить, что в интервале Afe вблизи к0, в котором в основ-
основном сосредоточена Ф, функция /к+ не ' изменяется слишком быстро
с изменением к, то можно записать1)
. (r, t) |2dV = I /k0t (в, ф) |2-I \ Ф (k-ko) e-^-rol d*k\ . A1.30)
Поэтому вероятность рассеяния частицы в элемент телесного угла <Ш
в направлении 0, ф дается формулой
, Ф)Н
о
d3k\ . A1.31)
Наконец, поскольку интеграл по к отличен 'от нуля только для боль-
больших положительных, г, то можно, не внося ошибки, распространить
интегрирование по г от — со до -j-co. Дифференциальное эффективное
сечение рассеяния d<y определяется как отношение вероятности рассея-
рассеяния в единичный телесный угол к вероятности того, что первоначально
частица находилась в цилиндре с единичным A см2) эффективным сече-
сечением и с осью вдоль направления первичного пучка, т. е.
do(Q, Ф)=-^, . A1.32)
где
+ СО
$ dz\Y(r, 0)[2 =
- \ dz\{ Bkeikzd3k\2 , A1.33)
причем мы предположили, что первичный пучок обладает симметрией
относительно вращений вокруг оси z. Теперь покажем, что интегралы
в выражениях A1.31) и A1.33) совпадают, так что
da (В, Ф) = |/к0+(в, ф)|2<Ш. A1.34)
Доказательство: Запишем ?к, стоящее в показателе степени в фор-
формуле A1.31), в виде
^ = S-i = i-f№-koJ-k^ + 2k.ko]. A1.35)
Так как (к — к0J — (АкJ и t — \zo\/v, то первый член по порядку вели-
величины равен Ы (AkJ/2m — (AkJ1 z0 \/k0, т. е. значительно меньше еди-
единицы. Это соответствует требованию, чтобы пакет не слишком сильно
расплывался; в противном случае нельзя было бы отличить расплыва-
ние пакета от истинного рассеяния. Условие не слишком быстрого рас-
плывания пакета имеет вид 8(Дг)/Дг<1, где б(Аг) — ft(A/c)</m, или
х) Обсуждение случая, когда это предположение неправильно (резонансное рас-
рассеяние), можно найти в превосходном обзоре Бренига и Хаага [85]. Мы очень реко-
рекомендуем эту статью в качестве введения в более строгую формулировку формальной
теории рассеяния. Она содержит также изложение теории резонансного рассеяния
и обсуждение аналитических свойств амплитуд рассеяния.

§ 2. Уравнения Липпмана — Швингера
305
Поэтому мы пренебрегаем членом exp [ih (к — ко)Н/2т]. Член exp (ifck*?/2m)
является фазовым множителем и выпадает при переходе к квадрату
абсолютной величины. Кроме того, свойства Вк позволяют нам записать
под знаком интеграла
eiV^eitot, A1.37)
так что
PQdQ = dQ ^ dr
| /k0+(9, Ф) |«.
A1.38)
Заменой переменных г' — r — vt завершается доказательство нашего
утверждения. Поскольку Вк имеет максимальную величину при к,
лежащих вблизи к0) и вектор ко направлен по оси z, то замена к на
kz допустима.
Важным результатом настоящего параграфа является метод вычис-
вычисления дифференциального сечения, в котором используются не завися-
зависящие от времени волновые функции: амплитуда /к+(9, ф) однозначно
определяется из дифференциального уравнения A1.4) и граничного усло-
условия, что асимптотическое выражение для решения содержит только
расходящиеся сферические волны.
§ 2. Уравнения Липпмана — Швингера
Выразим наш предыдущий результат в более общем виде. При
внимательном анализе содержания § 1 выясняется, что была предполо-
предположена возможность разбиения гамильтониана на две части: Н = H0 + V.
Первое из слагаемых, Но, описывает невозмущенное движение частиц,
а V — взаимодействие между ними, причем предполагается, что V исче-
исчезает, когда частицы находятся достаточно далеко друг от друга. По-
Поэтому последующие результаты нельзя непосредственно применять
к моделям теорий поля, в которых V ответственно не только за взаи-
взаимодействие между частицами, но и за само действие, приводящее к появ-
появлению облака вокруг частицы, и к собственно-энергетическим эффектам.
Ниже мы будем предполагать, что Но имеет только непрерывный
спектр, причем
Но\ч>а) = Еа\уа), A1.39а)
(фа, фь) = в(о-Ь), A1.396)
и что Н имеет такой же непрерывный спектр, как и Но, начинаю-
начинающийся от минимального значения Еа = 0.
Этого всегда можно добиться подходящим выбором аддитивных
констант в Н и Но. Мы будем обозначать собственные состояния гамиль-
гамильтониана, соответствующие «приходящей» волне1) через |*р?), а «уходя-
«уходящей» волне —через \tya)'-
Я|1|)±)=.Ев|Ч>±). A1.40)
Они удовлетворяют уравнениям Липпмана — Швингера [503] (см. также
статью Гелл-Манна и Голдбергера [302]):
У\Га), A1.41а)
!) В дальнейшем, ввиду отсутствия в русской литературе соответствующих
терминов, j i|)J) будет также именоваться ин-состоянием (или ин-решением), а | чр^) —
аут-состоянием (или аут-решением).— Прим. ред.
20 с. Швебер

306 Гл. 11. Формальная теория рассеяния
Умножая обе части уравнений A1.41) на (Еа — Н0), легко проверить,
что решения этих уравнений являются собственными состояниями гамиль-
гамильтониана Н1). Собственное состояние | г|з„) является решением задачи
рассеяния, которое имеет приходящие плоские волны [соответствующие
члену |фа) в A1.41а)] и расходящиеся сферические волны [представ-
[представляемые вторым членом в правой части уравнения A1.41а)]. Добавка
+ ге в знаменателе в A1.41а) выделяет, как показал Дирак [176], рас-
расходящиеся рассеянные волны. Аналогично, |т|)й) является тем решением,
которое имеет сходящиеся сферические волны и уходящие плоские
волны. Более точно в нестационарной формулировке волновой пакет,
построенный из состояний |i|)a), будет содержать при t=—со сходя-
сходящиеся сферические волны и плоские волны, а при t— -f-со —только
плоские волны.
При рассеянии частицы на локальном потенциале, (r|F|r'} =
= 6<s> (г—г') V (т) может быть доказана эквивалентность уравнения A1.41а)
рассмотренному выше уравнению A1.6). Для этого следует взять ска-
скалярное произведение A1.41а) с (г|:
(г | %) = (г | Фа) + lira [ d3r' С d9r" { d*p' \ dsp" x
e->04-
ИЛИ
2m
что совпадает с уравнением A1.6), так как а есть индекс собственного
состояния гамильтониана Но, а Ga± определяется интегралом A1.7),
который в точности такой же, как и в уравнении A1.426).
Гамильтониан Н в дополнение к рассмотренным выше собствен-
собственным состояниям может иметь также связанные состояния (индексы
греческими буквами)
Мы будем предполагать, что энергия этих состояний меньше энергии
любых собственных состояний Но с теми же квантовыми числами. Вслед-
Вследствие эрмитовости Н эти связанные состояния ортогональны состояниям
!) Обсуждение вопроса о нормировке векторов | фа> и 11|з*> в нерелятивистской
квантовой механике и в теории поля в связи с уравнениями Липпмана—Швингера
можно найти в статьях де-Витта [165] и Ван Хова [806]. В нерелятивистской кван-
квантовой механике уравнения A1.41а) и A1.416) верны в записанной выше форме,
поскольку и | фа) и | а[)*> нормированы на б-функцию. В теории поля из-за самодей-
самодействия, порождаемого Hj, нормировки | сро> и |i|>*> отличаются множителем Z (пере-
(перенормировка волновой функцип), и уравнения Лишшана—Швингера должны быть
исправлены с учетом этой перенормировки. Мы обсудим необходимые изменения
в гл. 12.

§ 3. Картина Дирака 307
из непрерывного спектра
(%ЫЙ) = 0. A1.44)
Система состояний {/ф^} + {'Фз} полна в том смысле, что
Несколько позже эти решения для стационарных состояний будут
использованы в качестве вспомогательных функций, с помощью которых
можно легко решить нестационарную задачу о развитии системы во
времени.
§ 3. Картина Дирака
Решение нестационарной задачи целесообразно проводить в картине
Дирака1), которая связана унитарными преобразованиями с картинами
Шредингера и Гейзенберга. Пусть | Ф8 (*)) будет зависящим от времени
вектором состояния, описывающим развитие системы в картине Шре-
Шредингера, и
=,(H0S + Vs)\Os(t)). A1.46)
Определим вектор состояния в картине Дирак'а |Tc(f)) (называемый
также вектором состояния в представлении взаимодействия) соотноше-
соотношением
A1.47)
В силу уравнения A1.46), \Wo{t)) удовлетворяет уравнению
thdt | ?D (*)> - еш*втУве-ш**т | yd (t)) =
= VD(t)\YD(t)). A1.48)
Таким образом, зависимость от времени вектора состояния в картине
Дирака определяется оператором энергии взаимодействия
VD (t) = eiHoS</Vse-iHoS</\ (Ц.49)
Если Vо = 0, т. е. в отсутствие взаимодействия. |Тд(^)) не зависит от
времени и картина Дирака совпадает с картиной Гейзенберга.
Соотношение между оператором в картине Дирака Qp\t) и соответ-
соответствующим ему оператором в картине Шредингера Qs (?) определяется
так, чтобы
V?D(t)\QD(t)\4D(t)) = (<I>s(t)\Qs(t)\Os(t)), A1.50)
откуда, используя A1.47), получаем
QD (t) = eiHos^se-iHos*/''. (И.51)
Поэтому зависимость от времени операторов в картине Дирака опреде-
определяется невозмущенным гамильтонианом
ibdtQD(t)=+[QD(t), #о], A1.52)
г) Этой картине можно дать имя Дирака, так как она тесно связана с зави-
зависящими от времени амплитудами, которые используются в методе вариации посто-
постоянных, впервые предложенном Дираком [167, 168].
20*

308 Гл. 11. Формальная теория рассеяния
причем Ho = Hos — Hod- Ниже мы будем опускать индекс D при векто-
векторах состояния и операторах в картине Дирака, так как в оставшейся
части этой главы мы будем иметь дело только с величинами, опреде-
определенными в этой картине.
Введем затем оператор сдвига во времени U(t, t0)
U(t, to)\4(to)) = \4.(t)), A1.53)
который удовлетворяет уравнению
ihdtU(t, to) = V(t)U(t, g A1.54)
и граничному условию
U{t, t) = l. * A1.55)
При конечных t и t0 этот оператор имеет свойства
U(t, t0) U (t0, t') = U(t, t') A1.56a)
и
U(t, «o) = C/(«o, t) = U*(t0, t), A1.566)
которые могут быть доказаны тем.же способом, что и для соответст-
соответствующих операторов сдвига по времени в картине Шредингера (см. § 1
гл. 1). Для получения явного вида U(t, t0) вспомним, что в картине
Шредингера
e-iHs{t-to) |Ф8(*о)>- A1.57)
Заменяя состояния ]Os@) соответствующими состояниями в картине
Дирака, получаем
где H=H0 + V(t), откуда
U(t, to) = eiHl>te-imi-t<>)e~iHata. A1.59)
При описании процесса рассеяния в картине Дирака начальное
состояние | Ф;) не зависит от времени. Оно соответствует частицам,
находящимся далеко друг от друга и поэтому не взаимодействующим
между собой. Так как вектор состояния невзаимодействующих частиц
не зависит от времени, то удобно приписывать начальному состоянию
время t= —со, т. е. относить его в далекое прошлое. Таким образом,
|Фг)= lim | ?(?)), где | ? (t)) — вектор состояния в картине Дирака, опи-
(->—со *
сывающий развитие системы. Начальное состояние |Фг) является норми-
нормируемым состоянием волнового пакета и представимо в виде суперпози-
суперпозиции собственных состояний Но. В пределе плоских волн |Фг)—>|<ро}.
Не зависит от времени и вектор состояния частиц после взаимодейст-
взаимодействия, когда они свободно движутся и находятся далеко друг от друга.
Этот вектор состояния определяется поэтому как li|4f(
Амплитуда рассеяния из начального состояния | Фг) в некоторое
конечное состояние |Ф/), которое снова является нормируемым состоя-
состоянием свободно движущихся частиц с определенными импульсами и про-
проекциями спина, дается выражением
(*,)> = lim lim (Ф,|17(*2, «01Ф*)- A1.60)

§ 3. Картина Дирака 309
В пределе плоских волн, т. е. когда |Фе)—>|фа) и | Ф/) —>|фь), для
этой амплитуды будет принято обозначение
Она соответствует амплитуде вероятности перехода системы из начального
состояния j фа) в момент времени t = — со в конечное состояние j ф&)
в момент времени t~ -f-оэ. Оператор S, матричные элементы которого
между начальным и конечным состояниями | ц>а) и | фь) соответствуют
амплитуде перехода между этими состояниями,' называют 5-матрицей,
или матрицей рассеяния. Такая матрица рассеяния была впервые введена
Уилером [841] в 1937 г. в связи с проблемами структуры ядер рассеяния.
В 1943 г. она была вновь очень подробно исследована Гейзенбергом [371,
372] в связи с теорией элементарных частиц.
Можно проследить, что ход мыслей, приведший Гейзенберга к рас-
рассмотрению 5-матрицы, связан с его убеждением [364, 370], что свойствен-
свойственные релятивистским теориям поля трудности с расходимостями можно
обойти введением новой фундаментальной постоянной с размерностью
длин. Гейзенберг полагает, что эта новая постоянная должна играть ту
же роль в ограничении применимости квантовой теории поля, что и по-
постоянная Планка Ь в ограничении применимости классической механики
к атомным системам.
В обычной квантовой механике атомная система полностью опреде-
определяется гамильтонианом системы. Однако предположение о гамильтониане
подразумевает возможность построения непрерывного оператора времен-
временного сдвига для волновой функции, что представляется противоречащим
существованию фундаментальной длины. Поэтому Гейзенберг отказы-
отказывается от понятий уравнения Шредингера и гамильтониана., Пытаясь
выявить, какого рода операторы и функции должны заменить эти поня-
понятия, он приходит к вопросу о том, какие величины в имеющихся форму-
формулировках теории поля все еще будут оставаться наблюдаемыми и в буду-
будущей «правильной» теории, т. е. какие наблюдаемые величины не зависят
от существования фундаментальной длины. Гейзенберг считает, что любой
теорией должны описываться следующие наблюдаемые величины:
1) энергия и импульс свободных частиц;
2) дискретные энергетические уровни замкнутых стационарных
систем;
3) асимптотическое поведение волновых функций, описывающих
процессы столкновения, испускания и поглощения частиц (что позволяет
вычислить эффективное сечение таких процессов).
Чтобы поставить во главу угла в новой теории эффективные сечения
процессов и другие наблюдаемые (которые могут быть вычислены
при наличии гамильтониана), Гейзенберг вводит некоторую унитарную
матрицу S и выражает надежду, что с помощью этой 5-матрицы можно
будет находить вероятности переходов и наблюдаемые свойства связанных
состояний. В его исходной статье S-матрица определяется как оператор,
преобразующий начальное состояние в конечное. Гейзенберг полагает,
что в будущей теории 5-матрица возьмет на себя ту роль, которую сейчас
играет гамильтониан. Теория ^-матрицы Гейзенберга получила дальней-
дальнейшее развитие в работах Мёллера [560, 561], Штюкельберга [748, 749]
и особенно Лемана, Симанзика и Циммермана [493], которые дали наи-
наиболее сжатую и четкую ее формулировку в рамках релятивистской кван-
квантовой теории поля. Мы вернемся к их работе в гл. 18.

310 Гл. 11. Формальная теория рассеяния
Связь ^-матрицы с обычной формой квантовой теории и ее использо-
использование при вычислении эффективных сечений и других наблюдаемых обсуж-
обсуждалась во многих статьях, особенно в работе Лашгаана и Швингера [503].
Превосходный обзор применений 5-матрицы к теории рассеяния был дан
Гелл-Манном и Голдбергером [302] и Бренигом и Хаагом [85].
Чтобы получить различные выражения для амплитуды рассеяния
Sba, докажем сначала следующую теорему:
Пю ?7@, *0)|<Pa> = ll4>, A1.62)
т. е. докажем, что при действии оператора U @, — оо) на собственное
состояние | фа) гамильтониана Но оно переходит в состояние | г|э?), кото-
которое является собственным состоянием полного гамильтониана Н. При
доказательстве (см. [353]) будет использовано состояние волнового пакета
a | <р„> (<ра | <Dj>, A1.63)
где коэффициенты разложения существенно отличны от нуля для состоя-
состояний, близких к некоторому состоянию а. Сначала получим выражение
для 17@, *„)|Ф|>:
[7@,
1Ш J 1В'а)(фа|фг), (Ц.64)
в котором можно легко переходить к пределу t—>—со. Чтобы найти
результат действия оператора exp (iHt0) на вектор состояния | фа) в A1.64),
разложим |фа) по полной системе {|г|>?)} + {| %)}:
| Фа) = J dc | 1j)+> (Ij)+ 1 фа) + ^ I *«>> ^ I ?«> (И -65)
P
[ср. последовательность рассуждений, которые привели к формуле
A1.21)]. Тогда
U @, t0) | Ф,> = ^dc ^ с1аеЧЕс-Еа»« (фа | ф;) {у# | фа) | у+) +
ае*№3~Еа)(°(фа1Ф^(%|фаIЫ- (И-66)
Согласно уравнению A1.41),
(#t<p,) = a(c-a)+lim Г?1Г|Ф°^ • (И.67)
Е->0+ ЛС ?О 1б
Подставляя это выражение для ('фЛфо) в A1.66), находим
U@, to)\a>t)=
+ lim\
«)(» (Фа | Фг> (% | Фа) | %>. A1.68)
При этом предположено, что энергия Ес во втором члене правой части
соотношения A1.68) принадлежит полному набору наблюдаемых с, т. е.

3. Картина Дирака 311
с = {Ес, с0} и \ dc = \ dEc \ dc0. В последний член соотношения A1.68)
можно подставить вместо (% | ц>а) выражение
поскольку
(И.70)
и, по предположению, Е$ — Еаф0. Теперь нас интересует предел
U @, ?0)|Фг), когда t0 стремится к — оо. Покажем, что в этом пределе
второй и третий члены равны нулю. Эвристическое доказательство этого
утверждения заключается в следующем: запишем
lim fEe~Ea)t° = limei(Ec-Ea-ie>4 \ eWc-Ea-W df =
откуда
i(Ec-Ea)(o
lim e =0, A1.72a)
поэтому второй член в правой части равенства A1.68) исчезает в пре-
пределе t—>— оо. Между прочим, из равенства A1.71) можно также заклю-
заключить, что
ca
lim -| = - = 2тЬ{Ес-Еа). A1.726)
Этот результат можно получить более строгим способом, заменяя пере-
переменную Ес на х = (Еа — Ес) to- В пределе t0—>—оо интегрирование по х
проводится в пределах от — оо до +оо, поскольку Ес может быть как
больше, так и меньше Еа. Тогда интегрирование по х может быть про-
проведено путем замыкания контура интегрирования в нижней половине
комплексной а;-плоскости. При этом интеграл равен нулю, так как един-
единственный полюс подынтегрального выражения лежит в верхней полу-
полуплоскости (см., например, [353]). Заметим далее, что при подстановке
выражения A1.69) в равенство A1.68) знаменатель третьего члена этого
равенства нигде не обращается в нуль, так как спектр Е$ не перекры-
перекрывается с непрерывным спектром. Поэтому, согласно лемме Римана —
Лебега, третий член равенства A1.69) в пределе to—>— оо равен нулю.
Таким образом,
lim 17@, У |Ф*)= \ <1а((ра\Фг)т\>+) A1.73)
(о-*—оо «
и в пределе плоской волны
lim ff@, to) | фв) = 11|?>. A1.74)
(o->—оз
Вследствие нормируемости состояния |Ф$) произведения (фа|Фг) являются
хорошими функциями от а, что, как следует отметить, было сущест-
существенно использовано при доказательстве соотношения A1.73). Это позво-

312
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
лило применить лемму Римана — Лебега, которая гарантирует равенство
нулю в пределе t—>±оо выражений вида \ ехр (— ixt) f (x) dx с непре-
непрерывными функциями / (х).
При вычислениях часто заменяют использование волновых пакетов
математическим приемом, состоящим в замене потенциала V (t) на Vz (t):
V (t)—>V&(t) = e-E^V(t), A1.75)
причем в пределе t —> — со
limtfe(*)= lim (#0 + e-*i'iV (*)) = #„ A1.76)
(-> — СО (-> —СО
[VE(t) называют «адиабатическим потенциалом»]. Тогда состояние |4
которое развивается из состояния |<ра) при <=-ю в результате влия-
влияния потенциала Ve(t), удовлетворяет интегральному уравнению
e-'\nV(t')\Ve(t'))dt'.
A1.77)
Уравнение A1.77) эквивалентно дифференциальному уравнению
ihdt | YE (t)) = e-^W (t) \ ?E (t)) A1.78)
с граничным условием | We (t = — oo)) = |<pa). В частности, |?е@)) удов-
удовлетворяет уравнению
о
\ e («')). A1.79)
Явное представление для |xFe@)) может быть получено путем подста-
подстановки в правую часть уравнения A1.79) выражения A1.77) для |'
A1.80)
Снова подставляя выражение A1.77) для \x?e(t")) в правую часть урав-
уравнения A1.80) и продолжая затем эту итерационную процедуру, находим
Отсюда, сравнивая уравнения A1.81) и A1.41а), находим
A1.81)
A1.82)
Другими словами, решение зависящего от времени уравнения A1.77) 14?B(t))
позволяет вычислить |г|з„). Введение «адиабатического» потенциала
позволяет во всех вычислениях обойти трудности со сходимостью, которые

§ 3. Картина Дирака 313
имеются, когда уравнение A1.77) не содержит множителя ехр( — е|?|).
Переходить к пределу е—>0* следует только в самом конце вычислений.
Подобным же образом, используя полную систему состояний
fI "Фь>> —1- -f| Ч>Э>>» убеждаемся, что
= №>. (И-83)
С помощью этих результатов, в частности соотношений A1.83) и A1.74).
можно выразить амплитуду рассеяния в виде
$ьа = (фь, ^фа) = Hm lira lim (фЬ | U (t2, it) | Ф() =
= lim lim (фь, U (h, 0) U @, h) фа) =
<2->-+co ti-»—со
= lim lim (U* (t2, 0) Фь, U @, и) фв) =
= lim lim (U @, tt) ц>ь, U @, tt) ф„) =
= (Ч>ь,Ч>?). (И-84)
Соотношения A1.84) для элементов ^-матрицы будут играть важную
роль в приложениях теории поля. Их значение заключается в том,
что ин-состояние |г|>+) и аут-состояние |t|)~) могут быть определены без
разложения гамильтониана Н на невозмущенную и зависящую от воз-
возмущения части Но-\- V. Отметим также, что в картине Дирака ^-матрица
может быть записана в виде
,9 = ?7(со, -со). A1.85)
Выражение для 6"Ьа-матрицы может быть записано и другим образом,
если заметить, что
Sba = lim lim (фь, U (tt, 0) U @, tt) q>a) =
t] f
= lim (Фь, eiH^e-iH^+) = lim е*1Вь~Е*** (ф&, i|?) =
<+ B-++oo
= в (в - 6) + lim Eb_Ea+ie (фь, VtfJ =
= b(a-b)-2nib(Ea-Eb)Rba, A1.86)
•где
Rba= (ФЬ, VVa) = (фЬ, /?фа) A1.87)
называют матричным элементом матрицы реакции, или Д-матрицы.
Амплитуда Rba удовлетворяет интегральному уравнению
(Фь, VEa_? Уф
р
(
которое может быть решено методом итераций

314 Гл. 11 Формальная теория рассеяния
Д-матрица связана с важной величиной — вероятностью перехода
в единицу времени.
Увеличение в единицу времени вероятности того, что система,
первоначально находящаяся в состоянии а, в момент времени t будет
найдена в состоянии Ь, дается формулой
wba= lim 4-|(фь, U(t, tQ)c?a)\*. A1.90)
Отметим, что это выражение не зависит от t.
Доказательство:
= -7г{(фЬ, U (t, t0) ф„) (фь, U (t, t0) фа)} =
= -±- Im {(Фь, V (t) U (t, t0) Фа) (Фь, U (t, to) Фа)} =
2
= ^-1т{(Фь, V(t)U(t, 0) 17@, ^0)фа)(фь, U(t, 0)U@, /0)фв)}, A1.91a)
что в пределе t0 -»- — оо переходит в
2
= А б (Ь- а) 1т /?Ьо + 4"Ит 1т 1^Щг^-77 =
^ ^ba\2, A1.916)
причем мы использовали уравнение A1.41) и следующее формальное
представление б-функции:
+ 00
— lim — f
Дифференциальное сечение ааЪ перехода а-^-Ъ (а ф Ъ) равно вероятности
перехода в единицу времени, деленной на поток падающих частиц:
_ _ 2л б (Еа—Еъ) \Rba р ... р„.
В действительности всегда интересуются только переходами в некоторую
группу конечных состояний с энергией в интервале между Еь и Еь + <1Еь
и плотностью Qf. Поэтому интересующая нас вероятность перехода

4. Унитарность S-матрицы 315
в единицу времени дается формулой
W= -г-
По заданным
конечным
состояниям
= ^- J dEb6 (Еь - Еа) | Rba Р е/ (Еь) =
=Ea. A1.94)
Чтобы найти эффективное сечение перехода, нужно снова ее разделить
на поток.
Сохранение вероятности требует, чтобы переходы из состояния а
компенсировались соответствующим убыванием амплитуды состояния а,
или, более точно, чтобы
= 0, A1.95)
причем при интегрировании учитывается и состояние Ь = а.
Доказательство:
XdbWba^ Hm -г- \ db (фь| U(t, t0) | фа> (фа| ^(io, t) \ щ) =
= Hm -1 (Фо, [/ (t0, 0 [/ (/, «„) Фа) =
to->—co
= lim -|-(Ф-Ф«) = 0- (И-96)
*0->-оо at
Конечно, соотношение A1.95) равносильно требованию сохранения нормы
вектора состояния |^(?)). Подставляя в A1.95) выражение A1.916),
получаем
^ dbb{Ea-Eb)\Rba\\ A1.97)
В правой части соотношения A1.97) можно пренебречь вкладом от
состояния а. Поэтому Imi?aa пропорционально 2 °аь> т- Э- полному
Ьфа
эффективному сечению. Соотношение A1.97) известно под именем опти-
оптической теоремы; оно будет использовано при обсуждении дисперсион-
дисперсионных соотношений.
§ 4. Унитарность 5-матрицы
Докажем теперь, что ^-матрица унитарна. Мы видели, что
U @, ±оэ)|(ра) = |г|^>, A1.98)
или эквивалентно
«7@, ± a>) = 2|i|?><q>o|=Q(=F), A1.99)
где мы обозначили оператор 11@, ± оо) через й(т). Последнюю величину
часто называют волновой матрицей Мёллера [560]. Она преобразует
состояние | ф0), принадлежащее непрерывному спектру свободного гамиль-
гамильтониана Но, Но\ фа) = ?а| фа)) в принадлежащие непрерывному спектру

316 Гл. 11. Формальная теория рассеяния
полного гамильтониана Н собственные состояния |i|)±) ||) ||}
Этому свойству й(±) можно придать четкую и сжатую формулировку,
если заметить, что
fi(±) = lim 17@,*)= Ит е+ш«е-ш0«. A1.100)
Поэтому при каждом конечном t0
еш'ой(±)е-шо'о = й<±\ A1.101)
откуда следует формула, которую мы хотели получить
Яй(±) = й(±)//0. A1.102)
«^-матрица выражается через й<+) и й'"' в виде
S = U (оо, - оо) = U (оо, 0) U @, - оо) =
= U* @, оо) U @, - оо) =
= Й(-)*й(+). A1.103)
Следует отметить, что волновая матрица й^ не унитарна, так как хотя
ab
НО
ab
Ь
а
аЬ
2(фа|=1, . A1-104)
= 1-Л, A1.105)
где Л —оператор проектирования на связанные состояния полного
гамильтониана Й. Эти результаты означают, чтоJ)
д<±>*|г|зр> = 0 или О(±)*Л = 0, A1.106а)
й(±)*|ф±) = |ф„). A1.1066)
Вместе с тем для ^-матрицы мы находим
SS* = [Q("'* й(+)]* Q(-'* Q(+) =
= й(+)* A - Л) Q<+) = Q<+)* Q<+) :=
= 1 A1.107)
и
^* = Q(-»*Q<+>Q<V*Q(") = 1. A1.108)
!) Отметим, что если Но имеет также и дискретный спектр, и условие полноты
его собственных состояний есть 2 I Фа> <Фа1+2 I Фр> ^Фэ 1 = 1» то в правой части.
а. р
равенства A1.104) появится 1—Ло, где Ло — оператор проектирования на простран-
пространство, натянутое на собственные состояния дискретного спектра Но.

§ 4. Унитарность S-матрицы 317
Следовательно, ^"-матрица унитарна. В частности, матричный элемент
от равенства A1.108) между состояниями bad равен
d). A1.109)
с
При подстановке в это равенство выражения A1.86) для ^-матрицы
оказывается, что из унитарности ^"-матрицы вытекает уравнение для
/^-матрицы
Rba - Rba = 2jti S 6 (Ec - Ea) Rbc R*cd (Ea = Eb), A1.110)
с
которое справедливо только при Еа — Еъ- При Ъ = а уравнения A1.110).
и A1.97) совпадают.
Чтобы сделать явной связь между унитарностью ^"-матрицы и эрми-
товостыо гамильтониана Н, и, в частности, взаимодействия F, заметим,
что
2ф|%%|фо>. A1.111)
с 0
Используя равенства A1.67), A1.69) и A1.87), можно переписать соот-
соотношение A1.111) в виде
^Acf;,e 2. A1.112)
с 0
Аналогично,
Э
Если F —эрмитов оператор, F = F*, то Vab = Vba, и мы получаем
с Р
A1.114)
При Eb — Ea уравнение A1.114) сводится к уравнению A1.110). Урав-
Уравнение A1.114) приобрело известность как уравнение Лоу [512].
В заключение этого параграфа выпишем интегральное уравнение,
определяющее развитие во времени волновой функции связанного
состояния. Прежде всего заметим, что U (t, 0) удовлетворяет уравнению
idtU{t,O) = V(t)U{t,0), A1.115)
которое может быть преобразовано путем интегрирования к виду
t
U (t, 0) = Й(+)* - i ^ dt'V (?) U (?, 0), A1.116)
поскольку U ( — со, 0) = fl<+)*. Введем вектор состояния | %(?))> свя-
связанный с вектором связанного состояния | %) соотношением
\%(t)) = U(t, 0I1*). A1.117)
Так как Q(+)* | т|)Р) = 0 [формула A1.106)], то |i|3p@) удовлетворяет
однородному интегральному уравнению
t
')\%(t')). A1.118)

318
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
Уравнение A1.118) следует сопоставить с неоднородным интегральным
уравнением A1.77), решения которого описывают рассеяние. *
§ 5. В-матрица
Кроме ин- и аут-решений |i|)*), можно определить решения
соответствующие стоячей волне, которые удовлетворяют уравнению
A1.119)
где символ Р означает главное значение. Введем затем операторы
и К:
Кьа = (фь> К(ра) = (фЬ,
A1.120)
A1.121)
Заметим, что ранее мы обозначили R\S через Rba. Определим также
волновой оператор QA>, соответствующий решениям \tyxa), соотношением
1|5а> = йA>|фа). A1.122)
Таким образом, оператор Qll) при действии на неоднородный член
уравнения A1.119) переводит его в решение этого уравнения. С учетом
формального соотношения
— = Р — =F inb (х)
из уравнений Липпмана — Швингера следует, что
№) = I Фа) + р -ё^-н V №а> Т ШЬ (Еа-Но) V
''а 11о
Используя полноту системы состояний |фа), находим
»>-?
>,| фЬ),
)(Щ\У
так что уравнение A1.124) может быть записано в виде
Ра) = \\4>а) Ч1 in 2 &{Ea. — Eb)Rbt) |фь) Г+Р^ _н
A1.123)
A1.124)
A1.125)
A1.126)
Уравнение A1.126) имеет тот же вид, что и A1.119), исключая неодно-
неоднородный член в скобках. Учитывая, что оператор Qll> действует как
функция Грина интегрального уравнения A1.119), можно записать
фа)
(Еа-ЕЪ) RiV | фЬ>} =
Подобным же образом можно проверить, что
A1.127)
A1.128)

§ 5. R-матрица 319
Если скалярно умножить уравнение A1.127) на ((pc|F, то мы получим
следующее соотношение между R- и .йГ-матрицами:
2 « (E«~EJ R^ Vbc. A1.129)
с
Определим операторы на энергетической поверхности R(±) и К соотно-
соотношениями
НЦ) = 2п6(Еь — Еа)Яы) A1.130)
и
Кьа = 2я6(ЕЬ-Еа)Кьа A1.131)
(матрицу К называют матрицей реактанса, а матрицу R —матрицей
реакции). На энергетической поверхности уравнение A1.129) переходит в
K t4KR<±)- A1.132)
Уравнение A1.132) известно как уравнение Гайтлера. Заметим, что
матрицы /?(±) и К имеют размерность энергии, а R<±) и К, как и S-m&t-
рица, безразмерны. Теперь ^-матрица может быть определена соотно-
соотношением
, A1.133)
или эквивалентно
5= 1-»RW = A+ «<">)-», A1.134а)
т. е.
J = =-. A1.1346)
1|
Из унитарности ^-матрицы следует эрмитовость К-матрицы. Исполь-
Используя свойство ортогональности системы состояний {гр±}
№, 4pt) = 6(c-b) A1.135)
и умножая скалярно уравнение A1.128) на |i|3^>, приходим к выводу,
что
(|). (И.136)
Следовательно, |ipj) и |^ьг>) взаимно ортогональны, если только состоя-
состояния а и Ъ не имеют одну и ту же энергию. Заметим также, что
№,$) = «?, itf). A1.137)
Элементы ^-матрицы даются выражением
(Га, *t) = (Ifa, *l) - Й1 2 б (Е« -
= (l-iR(+))ab = ^ab, A1.138)
что подтверждает результат, полученный в нестационарной теории.
Чтобы найти нормировку решений, соответствующих стоячей волне,

320 Гл. 11. Формальная теория рассеяния
используем равенство A1.136) и полноту системы {^с
A>i, Ч® = S Ф1- **) (**• Фь) + 2 (*-»
где учтено, что состояния |ф?) и | я?з) взаимно ортогональны, поскольку
они являются собственными функциями гамильтониана Н, соответству-•
ющими различным собственным значениям (Еа Ф Е$).
§ 6. U-матрица
Как мы видели, формулировка задачи о рассеянии в картине Ди-
Дирака имеет несомненные преимущества, поскольку в этой картине
матрица рассеяния связана с оператором сдвига- во времени U(t, t0)
простым формальным соотношением
S = U(oo, -co). A1.140)
С-матрица подчиняется интегральному уравнению
to)dt', A1.141)
которое эквивалентно дифференциальному уравнению
idtU(t,t0) = HI{t)U{t,tQ) A1.142)
с граничным условием
U(to,t0) = l. A1.143)
Если картины Дирака, Шредингера и Гейзенберга выбраны так, что они
совпадают в момент времени t = 0, то матрица U(t, t0) дается формулой
U (t, t0) = e*ffofe-iff(i-to)e-*ffo4 A1.144)
которая делает очевидной унитарность U (if, @) при конечных t и ?0-
В общем случае может быть определен оператор U (t, td; т), где т —мо-
—момент времени, в который картина Дирака совпадает с картиной Шредин-
Шредингера. Нам, однако, не придется пользоваться этим общим определением.
Групповое свойство
t0) A1.145)
позволяет выразить конечное преобразование в виде произведения
U{t,to) = U(t,tn)U(tn,tn-t)...U(tt,tt)U{tuto), A1.146)
где U(tj+i, ^ — преобразование от tj к tJ+i. Далее, для случая,
когда интервал между tj и ti+i очень мал, интегральное уравнение

§ в. V-матрица 321
A1.141) может быть приближенно представлено в виде
± 5 dt'Hr(t')U(t'tj)^l-± ^
t;
м
1 _JL ^ dt'H^V). A1.147)
Устремляя число интервалов между t0 и t к бесконечности, Получаем
< t tx
U(t, t0) = 1 + (-|) I dhH: (*,) + (~^J J Л. ^ ^2#j («0Я, (tg) +
io *o to
$15 dt^\d^Hi(^)Hi^)Hi^)+--- > A1.148)
'o 'o
Эта формула может быть получена также методом последовательных
итераций уравнения A1.141), т. е. равенство A1.148) является разло-
разложением Неймана —Лиувилля для интегрального уравнения A1.141).
Известно, что для обычных задач рассеяния это разложение сходится,
если Н[ — ограниченный оператор. В задачах теории поля сходимость
должна быть исследована для каждой теории отдельно.
Рассмотрим теперь n-кратный интеграл
t h tn-i
In = $ dh J dt2... J dtnHj (u) HT (t2) ...Hi (tn). A1.149)
to to 'o
Дайсон [193, 194] заметил, что в этом выражении все интегрирования
можно проводить по полному интервалу от to до t, если наложить огра-
ограничение, чтобы tj было меньше tj-i (/<n). Другими словами, можно
записать /„ в виде
t ¦ '
In= j dti^ dt2..
'о 'о
xHI(ti)HI(h)...HI(tn), A1.150)
где 8 (t) — функция Ховисайда [6 (t) = +1 при t > 0 и 6 (t) = 0 при t < 0].
Если допустима перестановка порядка интегрирования
it t i
j d*t... J dtnf (и, ... tn) = -I V ^ tfti ... ^ dW (^, ... W), A1.151)
(o h P to ta
[где J — суммирование по всем перестановкам (f4, ... fn)], то интегра-
лу /„ можно придать вид
Sл"е {tai ~ ^ • • •е (^an-1 ~tan) x
Р 'о 'о 'о
1 if.
\ ... Hj(tn)). A1.152)
21 с. Швебер

322
Гл. 11. Формальная теория рассеяния
Оператор Р определяется соотношением
Р (Я, (tt) . . . Hi (tn)) = |] 0 (*ai - taj . . . 9
| - 'an) #1 (tai) . . . Я, (*«n)
A1.153a)
н при действии на произведение зависящих от времени операторов;
обладает свойством упорядочивать расположение множителей таким
образом, чтобы временные аргументы
их убывали слева направо
Фиг. 8.
= Hj (tt) ...Hj (t}) ...Hj (th) A1.1536)
(*, > ... t} ... > **).
При равных временах Р-произведение
не определяется однозначно формулой
A1.153а), так как не определено 9@).
Однако ясно, что НТ (t) коммутирует
сам с собой, поэтому можно записать
t). A1.154)
В качестве поучительного примера дадим подробное доказательство
равенства A1.152) для случая га = 2:
t t t ti
J dti J dt2P {Hj {tt) Hj {t2)) = ^ dh \ dhHj (*t) HT (i2) +
A1.155)
«0
На фиг. 8 областью интегрирования для левой части равенства
A1.155) является весь квадрат. С другой стороны, первый интеграл
правой части берется по незаштрихованному треугольнику I, тогда как
второй интеграл —по заштрихованному треугольнику II. Переставить
операторные множители Hj{t2) и Яг(^) нельзя, но, предполагая, чта
можно изменить порядок интегрирования, проинтегрируем сначала по tt.
Тогда второй интеграл преобразуется в
A1.156)
на t2 и t2
A1.157)
<о
Если теперь ререобозначить переменные, т. е. заменить
на tu то^можно?записать выражение A1.156) в виде
t» t»
так что
^ dt2P (Hj {tt)Hj (t2)) = 2! J dh \ dt2Hj (tJ.Hj (t2). A1.158>
i( '*
t* '•

§ 6. TJ-матрица 323
Поэтому разложение A1.148) для U (t, t0) может быть записано в виде
t
и(t, t0) = i+± ( - i-
t t
dti \ dt2P (Hj (ti) Hj (?2)) ~i~ • • • =
fo t0
t -, t
dti \dt2... [ dtnP (Hj (t^Hj (t2) ... Hj (tn\), A1.159)
n=0 to to to
или, суммируя формально ряд, получаем
U(t, to) = P{e t» J. A1.160)
И действительно можно проверить, что разложение A1.159) является
формальным решением уравнения A1.142). Для этого продифференцируем
разложение A1.159) по t:
?о t t t
W(t,t0) _v :
n=l " to /0
X nHj (t) P (Hj (tCjHj (t2) ...Hi (Vi))- A1.161)
При записи правой части равенства (II.161) использована симметрия
подынтегрального выражения и тот факт, что t больше tu ... 2n-i.
Поэтому можно вынести Нт (t) за знак Р-произведения и расположить
его слева от остающихся множителей. После этого равенство A1.161)
можно записать следующим образом:
со t t
12 (n—i)! С ~т) Sdti \dt2
n=l to to
X P {Hj (tt) lit («2) • • • //j (in-i)) =
n=0 to
^); A1.162)
и доказательство, что U(t,t0) в самом деле является решением уравне-
уравнения A1.7), завершено.
Чтобы получить ^-матрицу для задач рассеяния, нужно в разло-
разложении A1.162) устремить начальный момент времени t0 к —со, а ?
к +оо. Однако при переходе к пределу следует соблюдать осторожность,
так как в члене и-го порядка к пределу i0-^ — оо можно перейти п\ спосо-
способами. Кроме того, если для описания начального и конечного состояний
не используются волновые; пакеты, то должен быть дан рецепт, как
усреднять члены, периодически зависящие от t0 и t. Простейший способ
21*

324 Гл. 11. Формальная теория рассеяния
преодоления этих трудностей заключается в определении «адиабатической»
{/-матрицы при помощи замены Hj (t) на //х (t) ехр (— а 111), причем пере-
переход к пределу а—*0 должен производиться только после выполнения
всех интегрирований. Мы относимся к этой процедуре, как к удобному
математическому приему, позволяющему нам работать с ненормируемыми
состояниями, которые описывают плоские волны. Этот обеспечивающий
сходимость множитель устраняет также неоднозначность, связанную
с порядком перехода к пределам t—>¦ ± оо, и приводит к усреднению
по п\ способам перехода к пределу.
Смысл введения множителя а становится яснее, если рассмотреть
член второго порядка в разложении ^-матрицы A1.148). Матричный
элемент перехода между собственными состояниями \а) и \Ъ) гамиль-
гамильтониана Но дается формулой
(Ь|5(»|а>= (-г)' $ dt* $ dt2{b\HI{ti)HI{t2)\a). A1.163)
Используя определение
Hj (t) = е*Яо</п#Тде-гяо<л, A1.164)
где His — оператор в картине Шредингера, и вводя полную систему
собственных состояний Но между Нх (?t) и HI(t2), получаем
+СО
2 I
ei(En-Ea)i2/n (b\HIS\n) (и|ЯГЯ|а). A1.165)
Если | а) есть состояние плоской волны, то интеграл по t2 на нижнем
пределе расходится. Для состояния волнового пакета |Ф,)= \ daca\a),
\ da | са |2 < схэ, и вклад от нижнего предела t2— — со, согласно лемме
Римана — Лебега, равен нулю. Равным образом, после замены Hx{t) на
Hj (t) ехр (— а 111) мы получим
<Ь | S™ | а> = - 2ШЬ {Еа - Еь) 2)
Можно показать, что вообще при Ъ Ф а
\a)^ -2m6(Ea^Eb){(b\HIS\a) +
п
, V (Ь | HIS | пр {щ \ HIS \п2) ... (rif | HIS | а)
"I- Zj (?a-?ni+ia)(?a-?n2+w)...(?a-?n/+ia)'r •••
ni, пг, . . . rif
что является хорошо знакомым результатом «старинной» теории возму-
возмущений. Равенство A1.167а) может быть также записано следующим
образом: ч
= -2nib(Ea-Eb)Rba, A1.1676)
т. е. получено соотношение A1.86) для случая Ъ Ф а.

§ 6. U-матрица 325
Мы снова напомним читателю, что намеченный только что в общих
чертах формализм не может непосредственно применяться в случае
квантовой теории поля, поскольку в этом случае взаимодействие Hj
приводит также к сдвигам уровней, а именно, невозмущенный энергети-
энергетический уровень Еа под влиянием Hi переходит в уровень Еа-\-АЕа
(причем АЕа часто бывает бесконечным!). Применение разложения
A1.159) в этом случае будет детально обсуждаться в гл. 12.
В качестве введения в формальную методику, применимую, когда Нг
ответственно и за смещение уровней, выведем сейчас полезное соотно-
соотношение между невозмущенными и возмущенными собственными состоя-
состояниями из дискретного спектра [301, 755]; для простоты мы предположим,
что они не вырождены. Пусть | р0) является собственным состоянием Но
с собственным значением е
#о|ро> = е|ро>, A1Л68>
и пусть Р) —собственное состояние Н = Но -\- "kHi @) с собственным
значением Е
Я|р> = #|р>, A1.169)
причем мы явно выразили зависимость гамильтониана взаимодействия
от константы связи X. Предполагая
|po>, A1.170)
e, A1.171)
Лч-0
мы покажем, что
(°. ± °°I Ро> /1
и что АЕ дается выражением
?r- <р0 | г/« (со, — оо)|
Нт \ . -. A1.173)
В равенствах A1.172) и A1.173) Ua — это «адиабатическая» матрица U,
которая удовлетворяет дифференциальному уравнению
idtUa(t, to) = U-*WH1(t)Ua(t, t0) A1.174)
а>0.
Доказательство: Введем обозначение
*7в@, -оо)|р0) = |р0;а). A1.175)
В силу соотношений A1.168) и A1.175)
[#о, Ua @, - оо)]| ро) = Я„ | р„; а) - е | р0; а). A1.176)
С другой стороны,
о о
[H0,Ua@, -со)]=[я0>2 \ Ли... ^ dtnea^+^+-¦¦+'"¦•> X
71=0
п
1=1
-i)"^ J

326 Гл. 11. Формальная теория рассеяния
вследствие того, что в картине Дирака Нй является оператором сдвига
по времени, и для любого оператора F (t) в этой картине имеет место
соотношение
iF(t)] = ^. A1.178)
Так как подынтегральное выражение в A1.177) симметрично, то
п
2 dt=ndtl и можно записать равенство A1.177) следующим образом:
i=i '
X e«('i+'2+ • ¦ ¦ +Ы -<L p {Hl {h) ...Hi (tn))j | Po> =
71=1 —схэ -co
X [ Ж (ea(fl+f2+ •' •+M P (Hi (h) ...
¦ +tn) p (#, {ti) ...Hr (tn)) ] } | Po) =
а@, -oo)|Po) + mU-g^t/a@, -oo)|p0), A1.179)
где второй член в правой части получен в предположении, что Н @)
линейно зависит от к:Н = H0 + hHi{0). Таким образом, мы показали,
что
(#0 + ^@)-еI po;<x> = Jfc(x^lPo; a). A1.180)
Аналогично доказывается соотношение
(H-e)Ua@, +o^)\p0)=-iba~Ua{0, + oo)| p0). A1.181)
Скалярно умножая соотношение A1.180) на (Р| и используя равенство
(Р|Я = ?'(Р|, получаем, что сдвиг уровня дается формулой
ф\-§гиа{0, -со)|р0>
^1
(p^g@,-со), Ро> •
С другой стороны, используя A1.180), мы находим, что
)
V Ы ~~ 6 1ШК д% ) <Ро I Ua @, -оо)|
= гЪаК^Ыфо\иаф, -сс)|Ро))Ж^(а%7-^о> ' <11Л83)
и, вводя обозначение
получаем
^(ln(P0|t7a@, -oo)|p0». A1.185)

§ 6. U-матрица 31?
Предполагая, что lim|P';a) существует
а->-0
|ра> D1.186)
а->-0
после перехода в равенстве A1.183). к пределу a —=> 0, получаем
(^-e)|P') = lim(jfta^^ln(Po|C/a(O, - оо)|ро>)|р') =
= <Р0|Я-е|р'>|Р'>. A1.187)
Так что | р') есть собственная функция Н, которая при X —> О пере-
переходит в |р0). Поэтому |р') = |р). Можно было бы провести аналогичное
вычисление и для U @, + со), и тогда мы пришли бы к выводу, что
и вообще
A
Следует подчеркнуть, что U @, +со)|ро) и U @, — оо)|Р0) сводятся
к одному и тому же состоянию только в случае дискретного спектра. Дей-
Действительно, мы видели, что в случае непрерывного спектра U@, ±оо)[Р0)
суть ин- и аут-состояния |^), которые являются различными состоя-
состояниями полного гамильтониана.
Подставляя в выражение A1.182) для сдвига уровня представление
A1.188) для (р|, получаем
<Ро I Ua1 @, +оо) -|- Ua @, -оо)| Ро>
Д? = lim i K
<Ро|-^#а(с°, 0)-Ua@, —оо)|р0>
= Km ihuk тг-г-г,—Г7Г-
<Po I ^а I Po>
что и требовалось доказать.

ГЛАВА 12
Простые модели в теории поля
В этой главе мы исследуем три системы взаимодействующих полей:
1) скалярное поле, взаимодействующее с нуклоном (без учета отдачи
нуклона), 2) модель Ли и 3) модель Чу для взаимодействия мезонов
с нуклонами. Два первых примера допускают точные решения для мно-
многих важных состояний соответствующих систем. Третий пример, модель
Чу, хотя и не решается точно, объясняет многие важные черты рассея-
рассеяния мезонов на нуклонах при низких энергиях. Анализ этих простых
моделей даст нам понимание как результатов, так и проблем квантовой
теории поля.
§ 1. Скалярное поле
Простейшая решаемая модель системы взаимодействующих полей
состоит из нейтрального скалярного поля (мезонов), взаимодействующего
с бесспиновыми фермионами («нуклонами»), энергия которых по предпо-
предположению не зависит от импульса. Эта система полей описывается
гамильтонианом
A2.1а)
(к) =/кЧ1!^. A2.16)
а*(-к))' A2Лв)
где i|)(p), 1|з* (р) и а (к), а* (к) — соответственно операторы уничтожения
и рождения нуклонов и мезонов. Они удовлетворяют перестановочным
соотношениям:
М>(Р), Ф* (p')]+ = 6<3>(P-P'), A2.2а)
№ (Р). Ф (Р')]+ = №* (Р), V (Р'I+ = 0, A2.26)
[a(k),a*(k')] = 6<3>(k-k'), A2.3а)
[а (к), а (к')] -= [а* (к), а* (к')] = 0, A2.36)
0. A2.4)

1. Скалярное поле 329
Функция /(к2) описывает «протяженность» нуклона и играет роль обре-
обрезающей функции. Предполагается, что она достаточно быстро спадает
при больших |к|, чтобы все интегралы, встречающиеся в теории, были
конечными. Так как энергия нуклона не зависит от его импульса, то
влияние отдачи не учитывается, хотя импульс и сохраняется в силу
трансляционной инвариантности гамильтониана. Иначе говоря, оператор
полного импульса
Р = J dpр-ф* (р) 1|з (р) + J dkka* (k) a (k) A2.5)
коммутирует с Н. Оператор Р является генератором пространственных
сдвигов, причем
eipaij3(q)e-ipa = ij3(q)e-iq<1, A2.6а)
eip-fl\|;*(q)e-ip-a = \|;*(q)e+«,-<i, A2.66)
eipaa (k) e-ipd = a (k) е-*Л A2.6в)
eip.aa* (k) e-iP-a = a* (k) e+ik.a. A2.6r)
Полученный путем сдвига гамильтониан Н' равен Н, т. е.
p-a = #. A2.7)
Это служит доказательством трансляционной инвариантности Н. Из A2.7)
следует, что [Н, Р] = 0, т. е. гамильтониан A2.1) обеспечивает сохра-
сохранение импульса.
Благодаря тому, что каждый член в Н содержит по меньшей мере
один оператор уничтожения, который может стоять правее всех опера-
операторов рождения, состояние вакуума [0), определенное соотношениями
гр(р)|О) = а(к)|О) = О для всех р и к, A2.8)
является собственным состоянием Н с собственным значением 0. Анало-
Аналогично, одномезонное состояние а* (к)| 0) есть собственное состояние Н
с собственным значением сок. С другой стороны, г|>*(р)|О) не является
собственным состоянием Н. Обозначим посредством \Ча) (р)) «физическое»
однонуклонное состояние. Оно является собственным состоянием Н,
а также собственным состоянием Р с собственным значением р:
Р|?A>(р)) = р|?<1>(р)) A2.9)
и при константе связи X, стремящейся к нулю, переходит в состояние
г()*(р)|О). Чтобы получить явное выражение для этого состояния, заме-
заметим, что оператор
коммутирует с Я и, следовательно, также является интегралом движе-
движения. Он соответствует числу присутствующих тяжелых «квантов». Термин
«кванты» мы используем для обозначения частиц, связанных с «голыми»
полями, описываемыми гамильтонианом Но, в отличие от физических
частиц, которые описываются собственными состояниями Н. Если раз-
разложить ^'"(р)) по «голым» состояниям, т. е. по собственным состоя-
состояниям Ня, тогда в разложении могут появиться состояния лишь с тем

330 Гл. 12. Простые модели в теории поля
же собственным значением N$, что и у | YA) (р)):
IV"(р)> = 2 "J d*q ^ d8*,... ^ #КФ (q; к., ^г, .. К) х
^ A2.11)
Амплитуда ср"' (q; к4, ... к„) представляет собой симметричную функцию
ki, ... к„ и является амплитудой вероятности найти тяжелый квант
с импульсом q и п мезонов с импульсами кь к2, ... к„:
cf (q; кь к2, ... к„) = -Ц- @1 а (к4) ... а (к„) ф (q) | Y"'»). A2.12)
У п!
Трансляционная инвариантность; позволяет выделить из Cpm(q; kt, k2, . -. к„)
в виде множителя 6-функцию, соответствующую сохранению импульса.
Доказательство: Если ввести в A2.12) унитарный оператор
C/(d) = eiP-d, A2.13)
соответствующий сдвигу на величину d; тогда
@1 a (kt)-.. a (kn)^(q)| ?<"(?)) =
= @1 U* (d) С/ (d) a (kt) С/* (d) Z7 (d) ... гр (q) U* (d) С/ (d) | ?«> (p)> =
= e-i(ki+k2+... +kn+q-P)-d @ | a (k,) ... а (к„) ф (q) | ?A) (p)>. A2.14)
Так как равенство A2.14) справедливо при любом d, то
@1 а (кО а (к2) ... а (к„) гр (q) | ?A) (р)) =
==6<3'(p-k1-k2-...-kn-q)C"n'(q;k1) ...kn). A2.15)
Чтобы найти амплитуды• ст) или амплитуды спт, заметим, что поскольку
^"'(Р)) Должно быть собственным состоянием Н с собственным значе-
значением ту
A2.16)
то амплитуды с(п) должны удовлетворять определенным уравнениям,
которые можно получить следующим образом. Рассмотрим коммутатор
[а (к4) о (к2) ... о(кп)г|) (q), Н], взятый между состояниями | 0) и ^'"
@1 [а (к,) а (к2) ... а (кЛ) ф (q), Яо + Я 11 ?A) (р)) =
71
= B Ш (к0 + ^о ) @ | а (к4) а (к2) ... а (к„) ф (q) |
il
^Щ^ ( I() () (ж) «(W X
A2.17a)
= n^ @ | a (kt) a (k2) . . а (к„) ф (q) | ?A) (p)>. A2.176)

1. Скалярное поле 351
Равенство A2.17), будучи выражено через амплитуды Cp°(q;klt ... к„),
гласит:
п
B °> (к«) + mo) 4W (Ч; ki. • • ¦ К) +
я 2 7ЩгсГ11<ч+к1;к к-"к к") =
= т»с«'(Ч;к„ ...к„). A2.18)
Можно проверить, что
A2.19)
является решением полученной системы связанных уравнений, если
Л - 1
Величина Z есть постоянная нормировки. Ее значение будет опреде-
определено ниже. Однонуклонное состояние с импульсом р можно, следо-
следовательно, записать в виде
П
-Ц k,-q) X
il
n=0
X TT у =- a* (kt) ... a* (kn) i|3* (q) 10) A2.21a)
- p)'X] X
\ d34 \
ХехрЛ d3A/(k2) e^-^a*(k)}ij;*(q)|O) A2.216)
IJ [2 Bя)з шз (k)]1^ к /f г \чп / к i
Равенство A2.21) выражает физическое однонуклонное состояние в виде
суперпозиции «голого» состояния с одним квантом и невозмущенных
состояний с различным числом мезонов. Последние состояния, которые
«сопутствуют» тяжелому кванту, мы будем называть «облаком», которое
тяжелый квант приобретает благодаря взаимодействию Hj.
Постоянная Z определяется из условия нормировки
(р'}) = б<з> (р _ рг A2.22)

332 Гл. 12. Простые модели в теории поля
Подставляя равенство A2.21) в A2.22), находим
00 П п
z{Ii S <*vS**i • • • J <w3) (p- 2 k'-qN<3> (p'- 2 к»-
n=fl i=l t=l
[2Bя)з]"л!
n=0
= 6<3>(p-p'), . A2.23)
откуда
Z = e~»L . A2.24)
В случае точечного источника /(kJ = l и L логарифмически расходится.
Постоянная нормировки Z, пропорциональная @| т|з (q) \Wa) (p)), в пре-
пределе стремится к нулю. Поскольку величину Z можно интерпретировать
как вероятность найти «голдлй» нуклон в физическом однонуклонном
состоянии, то эта вероятность в пределе точечной частицы равна нулю.
Стремятся к нулю и другие компоненты |Тш(р)) в гильбертовом про-
п
странстве $вй, натянутом на базисные функции Ц а* (кг)т|з* (q) |0), кото-
il
рые являются собственными функциями Но. Таким образои, )
уже не лежит в гильбертовом пространстве ^?0. Такое положение сохра-
сохраняется до тех пор, пока /(к2) не обеспечивает сходимость L.
Чтобы понять, что получается, рассмотрим такой случай, когда
есть только один нуклон, локализованный в начале координат. Тогда
гамильтониан можно взять равным
^^Ща(к) + а*(-к)). A2.26),"
Снова можно проверить, что вектор
о
. *( — [&k У№У -я.*Aг)У|П> A2.27)
п\ \ ] /2Bя)зшз(к) V W I ' v /
п=0
является собственным вектором Н с собственным значением т0 —
и что Z дается выражением A2.24). Поэтому опять Z—>0, если /—>1.
Запишем теперь гамильтониан A2.26) в виде
И = $ d3k со (к) (а (к) + v (к))* (а (к) + v (к)) +
+ то- \ d3fe | и (к2) |2 ю (к) A2.28а)
= \ d3kc* (к) с (к) со (к) + т, A2.286)

§ 1. Скалярное поле
333
где
Л/(к»)
t»(k2) =
с (к) = а (к) + v (к).
A2.29)
A2.30)
Нужно отметить, что операторы с (к), с* (к) удовлетворяют тем же пере-
перестановочным соотношениям, что и а (к). Гамильтониан A2.26), выражен-
выраженный через с* (к), с (к), диагоналей и допускает простую физическую
интерпретацию: он описывает источник, характеризующийся величинами т
и /, и совокупность свободных мезонов, которые не взаимодействуют
с источником и друг с другом. Зададим вопрос: принадлежат ли опера-
операторы с (к), с* (к) тому же самому представлению перестановочных соот-
соотношений, что и операторы а (к), а* (к)? Ответ будет утвердительным
только в том случае, если существует состояние без частиц | ?о), для
которого
с(к)|?0) = 0 при всех к. A2.31)
Если для | ?0) применить представление в пространстве Фока [опреде-
[определенное с помощью чисел заполнения, соответствующих оператору
Na-=\ d3ka*(k)a(k)], то
<"> (к4, к2, . . . к„)
A2.32а)
«ли, что эквивалентно предыдущему,
?0> = ?^|0> + 2
71=1
1
i. • • • к„) х
Х-7Цга»(к1)...а*(кп)|0>.
A2.326)
Равенство с (к) | ?0) = (а (к) + v (к)) | ?0) = 0 означает, что
'(к, к., ... kn)=-y(k)?<"'(ki, ...К), A2.33)
откуда
n=l
Условие конечности нормы состояния |?о) есть
оо
(?о, ?0) = | ?<«> |
n=0
или
oo.
A2.34)
A2.35)
A2.36)

334 Гл. 12. Простые модели « теории поля
Таким образом, операторы а (к) и а (к) + v (к) будут одновременно обла-
обладать состоянием без частиц только, если L < оо. В противном случае, если
а (к) имеет состояние без частиц, то с (к) соответствует другому представ-
представлению перестановочных соотношений. Эти факты существенны при обсуж-
обсуждении применимости теории возмущений к гамильтониану A2.26), если Я/
рассматривать как возмущение. Ясно, что если L расходится, то нельзя
сформулировать теорию возмущений в обычном смысле, поскольку она
покоится на допущении, что состояние без частиц невозмущенной си-
системы соответствует состоянию без частиц для возмущенной системы
(в этой связи см. также [805]).
. Вернемся к теории с гамильтонианом A2.1) и исследуем некоторые
из .ее предсказаний. Рассмотрим сначала рассеяние мезона на нуклоне.
Для этого найдем собственный вектор состояния |к; р)+ гамильтониана Н
с собственным значением 7/г + а)(к), который описывает мезон с импуль-
импульсом к, нуклон с импульсом р и рассеяние их друг на друге. Напи-
Напишем, таким образом,
|k,p>+ = a5|^A)(p)> + |x>+) A2.37)
где вк|Чгш(р)) описывает мезон с импульсом к, падающий на физи-
физический нуклон с импульсом р, а \%)+ соответствует рассеянной волне.
Требование, чтобы | к, р)+ было собственным состоянием Н
Я|к, р)+ = (ттг + ш(к))|к, р>+, A2.38»
означает, что
И №\Ч°> {$)) + №+) =
аП) | Чт (Р) > + Н |Х>+ =
(к2) гЬ* (р' + к) гр (р') I ?11) (р)) =
A2.39>
Следовательно, |Х)+ удовлетворяет уравнению
(ттг + оо (к)-Я)|х)+ =
к) гр (р') | ?(]
.-«•- — A2-40)
Последняя строка в уравнении A2.40) была получена благодаря исполь-
использованию явного выражения для 1?A)(р)) [равенство A2.21 а)]. Из A2.40)
имеем
IW 1 Я- /(к2)
A2.41)
где добавка + ie должна гарантировать, что | /)+ содержит лишь рас-
расходящиеся волны. Однако нетрудно заметить, что знаменатель в A2.41)
не ведет к особенности, поскольку Шк всегда больше нуля. Поэтому нет
расходящихся волн и в действительности нет рассеяния. Это можно
также увидеть, если заметить, что |к, р)_, собственное состояние Н,
удовлетворяющее граничному условию для аут-решений волн, равно

§ 1. Скалярное поле 33&
к, р)+ [поскольку добавки ±ге в A2.41) несущественны], так что
^^^ A2.42)
Рассмотрим это более подробно. Элемент iS-матрицы для рассеяния из
•остояния k, p в состояние к', р' есть
_<Р', к'|р, k>+ =
A2-43>
Первый член в A2.43), используя перестановочные соотношения для
операторов ак и соотношения ортогональности для «облаченных» нук-
лонных состояний [равенство A2.22)], можно переписать в другом виде:
6C> (р - р') бC) (к - к') + (Wa) (р') | a*kak, | Т1' (р)>. ¦
Скалярное произведение в последнем члене равенства A2.43) равно
6<3> (p-j-k — p'_ к'). Другие члены можно вычислить, если заметить, что
A2.44)
Используя опять выражение A2.21), равенство A2.44) можно переписать
по-другому:
(Я+сок,-/п)ак,|^<1)(Р + к))= -АЖцко^ + к.к-)). A2.45)
Так как оператор Н -J- cok'.— т в подпространстве однонуклонных состоя-
состояний является положительно определенным, то он имеет обратный опе-
оператор. Поэтому, умножая равенство A2.45) на (Н + сок- — яг), будем
иметь
ак-1 Y<» (р + к)) = - -А-2 f (к'^ ] Ч"» (р + к - к')). A2.46)
Bя) /2 шк, у 2шк,
Выражение для (Чш (р + к) | ак получится, если взять равенство, сопря-
сопряженное к A2.46). Подставляя эти выражения в правую часть A2.43),
находим
_(р\ к'|р, к)+ = ±(р\ к'|р, к>± =
= бC)(Р-р')бC)(к-к'), A2.47)
так что jR-матрица равна нулю и рассеяния нет. Взаимодействие только
«облачает» нуклоны, но не ведет ни к какому другому взаимодействию
между мезонами и нуклонами. В этом можно убедиться непосредственно,

336 Гл. 12. Простые модели в теории поля
«ели произвести некоторое унитарное преобразование. Оператор
?7 = e*s, A2.48а)
BяK/2
SS & r (p) *(p+k) [a*(k) ~ a (~ kI A2'486)
обладает тем свойством, что он оставляет вакуум неизмененным, а дей-
действуя на «голое» однонуклонное состояние яр* (р) | 0), дает «облаченное»
однонуклонное состояние |?A>(р)), должным образом нормированное.
Таким образом, этот унитарный оператор как бы присоединяет к нук-
нуклону его «голое» мезонное облако. Определим оператор [339]
Ч>8 (Р) = eiSi|>* (P) e-'S =
ХехрГ ^з7 [ ?—-~ e~ik •х (а* (к) - а (- к)) 1 . A2.49)
Действуя на вакуум |0), оператор г(эЗ (р) дает собственное состояние Н
с собственным значением т, которое одновременно является собственным
состоянием Р с собственным значением р. Так как преобразование уни-
унитарно, то операторы tya и -фЗ опять удовлетворяют каноническим соот-
соотношениям антикоммутации
Mtojp), 4>5(P')]+ = O<3)(P-P'). A2.50)
Определим тоже «облаченные»х) операторы рождения мезонов
a§ (k) = eiSa* (к) e~*s =
Оператор аЗ (к) обладает тем свойством, что, действуя на |0), он дает
одномезонное состояние с импульсом к и энергией cot, так как
a5(k)|0) = a*(k)|0). A2.52)
Гамильтониан, выраженный через облаченные операторы, есть
Нй = Нш + Н1й, A2.53)
где
^ (р) урй (р) + jj d3/co)ka5 (k) ad (k),
A2.54a)
Таким образом, выраженный через облаченные операторы новый гамиль-
гамильтониан взаимодействия Н1й больше не содержит взамодействия мезонов
х) Этому соответствует значок d (от английского «dressed» — «облаченные, оде-
одетые»).— Прим. ред. !

§ 1. Скалярное поле 337
с нуклонами и ведет лишь к парному взаимодействию нуклонов. Стати-
Статический потенциал взаимодействия между двумя нуклонами дается выра-
выражением
Г(х х')
Bя)8 ) 2ш2 (k)
так как i7ja можно записать в виде
Ны = Х2\ d3x [ d3x'q*u (х') q*d (х) V (х - х') Tj>d (x) ф„ (x'). A2.546)
[Вспомните равенства F.108) — F.110).] В пределе при /(к2)—->1, т. е.
для точечных нуклонов, потенциал A2.55) переходит в потенциал
Юкавы:
У(х-х')=-4-п гг- A2.56)
Простота рассматриваемой модели позволяет также вычислить
в конечном виде матрицу U (t, t0) и, таким образом, проанализировать
действие адиабатического формализма. Мы закончим этот параграф
о скалярной модели кратким изложением нестационарного метода для
скалярного поля.
Мы хотим вычислить для рассматриваемой теории оператор сдвига
во времени U(t, t0) в картине взаимодействия, в частности, и для слу-
случая, когда t, ?o<O. Оператор ?/(?, ?0) подчиняется уравнению
idtU(t, to) = Hi{t)U{t, t0), ' A2.57)
где
Hj (t) =
d3p 5 Jfi^ ^(p+k) *(p) {a (k) e~ifflki+a*(-k)
- bm J d3pty* (p) ij) (p). A2.58)
Заметим, что равенство A2.58) подразумевает, что разбиение гамиль-
гамильтониана на свободную часть и возмущение таково, что «голые» кванты
имеют массу т. Так получается, если в A2.1) вместо то написать
то = то + Ьт — Ьт = т—Ьт и рассматривать член bm \ ty* (p) i]; (p) d3p как
часть возмущения.
Согласно нашим прежним правилам, «адиабатическая» матрица ?7а
является решением уравнения
idtUo.it, *0) = Я7(а; t)Ua{t, t0), A2.59a)
Ях(а; ^) = е-а1'1Яг(г). A2.596)
Чтобы получить решение A2.59а), напишем
Ua(t, <o) = exp [-i J Ях(а; t')dt']V{t, to)t A2.60)
to
22 с. Швсбер

338 Гл. 12. Простые модели в теории поля
так что в силу A2.59) оператор V удовлетворяет уравнению
t
idtV(t, t0) = {exp [ i ^ Я7 (a; t') d*'] {Hi (a; t) - idt) x
t
Xexp Г— i[ Hi (a; t')dt'~\\v(t, t0). A2.61)
Чтобы вычислить правую часть уравнения A2.61), положим
t
t д exp [ — io I Hi (a; t') dt'~\
exp [ io j Hi (a; *') dt' ] ^ = Da (t, t0), A2.62)
'o
откуда
[Da]a=0 = 0 A2.63)
и
'о 'о
причем .
Точно так же получаем
$ '; r)dr r ~ior ^ Hjr(a; r)dr
= e 'о ^ ЙГ [Ях (a; Г). ^ (a; «)] с . 'o . A2.66)
Коммутатор в A2.66) вычисляется просто. В итоге имеем
">) х
X { 5 d3pt J d3p2^* (Pl + к) ф* (р2 - k) ф (Pl) a}, (p2) - J d3^* (p) ф (p)} .
A2.67)
Можно проверить, что [Я/(Г'), Hi{t)] коммутирует с Hi(t'), поэтому
^а _л_а|
X { J d3Pl J d3p2^* (р, + к) ф* (р2 _ к) ф (Pl) of (p2) -
Да@. A2.68)
Отсюда видно, что д3Оа/да3 и все высшие производные равны нулю.
Так как

§ 1. Скалярное поле 339
то, подставляя в это выражение полученные значения d2Da/da2 и
с нах°дим
t i
iof Hj (a; t')dV -icrf Hj(a; t')dt'
™2. = _ ie io Я,(а;()е '• = oRa (t) - iHj (a; t),
A2.70)
так что
а
Аг = [Дг]о=о + ^ ~do' = ~Ra(t)-iaH!(a; t). A2.71)
о
Используя равенства A2.61) и A2.71), окончательно получим
idtV(t, to) = i [-^н— ^]о_! v(*> to) = \iRa(t)V(t, t0), A2.72)
откуда
t
Уг ij Ba(f)dt'
V(t, to) = e 'o . A2.73)
и
. t t
-i f Я/(а; t')df 1/2 V Ла«')<"'
^7« (t, t0) = e i° e lo . A2.74)
Наконец, вычислим вторую экспоненту
t t . t
J ^ J J
для частного случая to ~ — со и ? = 0, когда
о
<Л I - | • I "~ X
X \ \ d3pt \ d3p2ip* (р4 + к) ^* (Рг — к) г|з (р4) г|з (р2) — \ сРрпр* (р) ¦
-О (а), A2.76)
где мы обозначили 1/а через Т. Последняя величина играет роль боль-
большого промежутка времени, в течение которого развивается система.
Подобным же образом
о
J Bл) J у 2й)^. J
A2.77)
22*

340 Гл. 12. Простые модели в теории поля
так что
(к2)!2 х
X { J d3Pi J <*»р,1>* (pi + к) гр* (р2 - к) ф (Pl) гр (р2)} + О.(а) ].
A2.78)
Отметим, что контрчлены, соответствующие перенормировке массы,
в приведенном выше выражении уничтожились, что и следовало ожи-
ожидать, ибо тяжелые кванты уже в невозмущенных состояниях имели
правильные массы.
Можно проверить, что вектор Ua@, — со) г|)* (р) 10) в пределе при
а—>0 действительно является собственным вектором Н. На самом деле
Uа. @, — со) есть не что иное как ранее введенное унитарное преобра-
преобразование, «облачающее» частицу.
§ 2. Модель Ли
Вторая решаемая модель теории поля, которую мы рассмотрим, —
это модель Ли [482, 415, 416] (см. также [374]). Она очень похожа
на модель со скалярным полем, за исключением того, что нуклоны
могут теперь находиться в двух внутренних состояниях и могут пере-
переходить из одного состояния в другое. Эти внутренние состояния про-
произвольно названы N-частицей и V-частицей; V-частица может испустить
бозон, называемый G-частицей, и перейти в N-частицу; N-частица
не может испустить G-частицу, но может поглотить ее и перейти
в V-частицу; V-частица не может поглотить G-частицу. Разрешенные
процессы можно подытожить соотношением
Таким образом, модель Ли состоит из трех взаимодействующих полей:
двух фермионных, описывающих V- и N-частицы, и бозонного поля,
описывающего 0-частицы.
Как и в случае модели со скалярным полем, энергии нуклонов
предполагаются не зависящими от их импульсов, нуклоны считаются
бесспиновыми, импульс сохраняется; 9-частица считается нейтральным
бозоном со спином, равным нулю. В некоторых отношениях эта модель
даже проще модели со скалярным полем, однако она обладает некото-
некоторыми интересными чертами, которых нет у модели со скалярным полем.
Например, возможно N-9-рассеяние и возникает перенормировка
«заряда». Гамильтониан, описывающий эту систему полей в шрединг-е-
ровской картине, определяется выражением
A2.79а)
где
Л3 = /nvo J dpV* (p) V (р) + wN0 5 <*Р^*(Р) N(Р) + J A©k«* (к) а (к)
A2.796)

§ 2. Модель Ли 341
A2.79в)
Обозначения очевидны: ЛГ*(р) и N (р) — операторы рождения и уничто-
уничтожения N-кванта с импульсом р; F*(p), F(p) и а* (к), а (к) играют ту же
роль соответственно для квантов V и 0. Параметры /геуо> ^no являются
массами квантов V- и ,N-поля, a cot = К(А„ + к2 — энергия 0 - кванта
с импульсом к и массой ^0- Параметр Яо характеризует силу связи
между полями, а обрезающая функция /4 (к2) = / (сок) = / (сок) описывает
размеры области взаимодействия. Она введена, чтобы избежать расхо-
димостей, связанных с точечным взаимодействием вида
V*(x)N(x)Q(x)d3x + s. с.
(Здесь 0 (х) — фурье-образ a (k)/y^2cok.) Пренебрежение отдачей фермион-
ных квантов характеризуется тем, что энергии V- и N-квантов не зави-
зависят от импульсов. Можно было бы рассмотреть более общую теорию,
в которой гамильтониан имеет вид
Ф ?no (p) N* (p) N (р) + J dk со (к) а* (к) а (к) A2.80)
(см., например, [806]). Хотя такая модель и решается, она усложняет
формальные стороны вопроса без всякого выигрыша в понимании
физики' дела.
Операторы поля удовлетворяют следующим перестановочным соот-
соотношениям:
[а (к), а*(к')] = 6<3)(к-к'), A2.81а)
[а (к), а(к')] = [а*(к), а*(к')]=0, A2.816)
[ЛГ(р), лг*(р')]+ = б<»>(р-р'), A2.82а)
IN (р), N (р')]+ = [N* (р), iV* (p')]+ = 0, A2.826)
[Р(Р). ^*(Р')]+ = 6C)(Р-Р'), A2.83а)
[V (Р), V (р')]+ = [V* (р), V* (р')]+ = 0, A2.836)
О=[ЛГ(р), V(j>')]+ = [N(j>), Г*(р'I+=[ЛГ*(р), V(j>')]+=[N*(p), F*(P'I+
[а (к), N (р)] = [а (к), N* (p)J = ... = [а* (к), F* (p)J = 0. A2.84)
Гамильтониан взаимодействия A2.79в) разрешает только процесс
V U N + 0,
т. е. уничтожение V-кванта с одновременным рождением N- и 0-кван-
тов, или обратный процесс поглощения 0-кванта N-квантом с превраще-
превращением в V-квант. Процесс
N1? V + 0
запрещен. Заметим, что взаимодействие таково, что импульс сохра-
сохраняется. Модель можно интерпретировать несколько по-другому, если

342 Гл. 12. Простые модели в теории поля
рассматривать N-частицу как нейтрон, V-частицу как протон, а 9-частицу
как я+-мезон. Тогда реакция р —> itf -f- n разрешена законом сохране-
сохранения заряда, в то время как переход п —> /> + я+, очевидно, запрещен.
Такая интерпретация дает понимание ограничений модели Ли. В «нор-
«нормальной» теории поля появилась бы античастица, обозначим ее через
0, которая бы сделала возможной реакцию V + 9-^-N. Кроме, того,
отметим, что член со взаимодействием в модели Ли имеет вид AT*Fcp'<+> (x),
а такое взаимодействие не является причинным. Оно и не локально,
ибо операция выделения положительно-частотной части включает инте-
интегрирование по всему пространству.
Простота модели Ли проявляется в том, что совпадают «голый»
и физический вакуумы, а также «голые» и физические состояния одной
N-частицы и одной 0-частицы. Иначе говоря, «голый» вакуум |0),
определенный равенствами
N (р) 10) = V (р) | 0) = а (р) | 0) = 0 для всех р, [A2.85)
является также собственной функцией полного гамильтониана // с соб-
собственным значением 0, поскольку Hi | 0) = 0. Аналогично можно прове-
проверить, что iV* (р)! 0) есть собственная функция Н с собственным значе-
значением ?ико, так как HjN* (p) |0) = 0, поскольку каждый члец в Hi
содержит оператор уничтожения, который либо коммутирует (ак), либо
антикоммутирует (V) с N*(p). Подобным образом можно проверить,
что состояние одной 9-частицы, a* (k) 10), является собственной функ-
функцией Н с собственным значением сок. Итак, в модели Ли 0- и N-кванты
совпадают с соответствующими «физическими» частицами, которые, по
предположению, имеют «наблюдаемые» массы т^ и \а. Отождествим
поэтому ц0 и \а, mN0 и т^. В последующем мы будем обозначать «физи-
«физические» состояния (т. е. собственные состояния Н) либо значком d,
либо жирным шрифтом:
|0>„ = |0>, . A2.86)
|Arp)d = |Np) = iV;|O}, ' . A2.87)
«k|O}. A2.88)
Чтобы получить другие собственные состояния Н, заметим, что, помимо
оператора полного импульса Р
Р = J dp pN* (p) N (р) + J dp pV* (p) V (р) + J dkka* (к) а (к), A2.89)
еще два оператора
Qt = ^ dp (V* (р) V (р) + N* (р) N (р)) A2.90)
и
Q2 = J dp N* (p) N (р) - ^ dk а* (к) а (к) A2.91)
коммутируют с Н
[QuH] = [Qt,H] = 0 A2.92)
и являются поэтому интегралами движения. Оператор Qt соответствует
сумме чисел V- и N-квантов (т. е. полному числу тяжелых квантов),
a Qi — разности чисел N- и 9-квантов. Следовательно, собственные состоя-
состояния Н можно характеризовать собственными значениями Qt и Q2. Если

§ 2. Модель Ли 343
физическое состояние разложить по «голым» состояниям (т. е. по соб-
собственным состояниям Но),
X Ф(т'"' ° (Pl, . . . Pm; qlf - . . q»; ku .. . k,) X
X F* (Pl) . . . V* (pm) iV* (qt) . .. JV* (qn) a* (kj) ... a* (k,) 10) + . . ., A2.93)
тогда в этом разложении появятся состояния лишь с теми же собствен-
собственными значениями Qi и Q2, что и у физического состояния.
Чтобы получить выражение для физического состояния одной V-час-
тицы, | Fp)d, заметим, что в пределе, когда константа связи К —> 0,
\Vv)a должно переходить в Fp|0). Собственное значение Qi, соответ-
соответствующее этому состоянию, равно + 1, а собственное значение Q2 равно 0.
Только одно другое «голое» состояние имеет те же собственные значе-
значения Qi и (?2- Это состояние \NP, Эк) = iVp aj | 0). Поэтому состояния физи-
физической V-частицы, которое является собственной функцией Н с собствен-
собственным значением ту (ту — «наблюдаемая» масса V-частицы) и собственной
функцией оператора полного импульса Р с собственным значением р,
можно представить в виде следующей суперпозиции «голых» состояний:
A2.94)
где Zy2 — постоянная нормировки. Импульсы N- и Э-частиц во втором
члене справа таковы, что состояние \ ^кФ (к) iVp-feak| 0) является собствен-
ным состоянием Р с собственным значением р. Коэффициент Ф (к) опре-
определяется из требования, чтобы |VP) было собственным состоянием Н с
собственным значением ту. Если скалярно умножить вектор (Fp-1 на
обе части уравнения
A2.95)
и вспомнить, что состояние с одним V-квантом ортогонально состоянию
с одним N и одним Э-квантом, т. е. что (Fp< | iVp_k0k) = @ | Vp-Np-^at | 0) = 0,
то получим
(Fp,|#o|Fp)+ J <flc<Fp.|#j|JVp_k8k><I>(k) = nzv<Fp.|Fp). A2.96)
При вычислении (Fp | Hi \ iVp_k0k) только член V*Na дает вклад в Hi, так
что, используя перестановочные соотношения A2.81) — A2.84), находим
j | iVkek) = @ | Fp^,Ar;_ka? I 0} =
Следовательно, равенство A2.96) принимает вид

344 . Гл. 12. Простые модели в теории поля
Аналогичным образом, умножив уравнение A2.95) на (iVq8i|, можно
получить уравнение
Если ту — win — wk Ф 0, что будет иметь место при ту < т^ + ц, урав-
уравнение можно разрешить относительно Ф (к)
ф (к) = ^о _ /Ю ¦_ _ A2.100а)
BяK/« /2co(mv— mN — cok)
Это соответствует случаю стабильной V-частицы, которая не может
самопроизвольно распадаться на N и 8-частицу. При ту > т^ + М- зна~
менатель может обратиться в нуль. Тогда мы разрешим уравнение
относительно Ф (к), понимая особенность в смысле главного значения:
Ф(к) = —Ц^Р г_ /(*^ , A2.1006)
BлK/а /2со (mv-mN-cok)
где Р означает главное значение. Причина такого предписания заклю-
заключается в том, что состояние одной частицы, которое мы хотим описать,
должно быть инвариантно относительно обращения времени. Подставляя
это выражение для Ф (к) в A2.98), получим уравнение, определяющее т,у\
^ \ ^l . A2.101)
Постоянная перенормировки «волновой функции» Zy определяется из
требования, чтобы
p'). A2.102)
Если это требование выразить с помощью разложения A2.94), то полу-
получим
E ) .A2.103)
Введем функцию
ok((uk
Ю_Г d(a- A2.104)
Тогда уравнение для собственных значений A2.101) можно записать
в виде
F (my — wzn) — туа — ту, A2.105)
а постоянная нормировки Zy может быть выражена равенством
Z? =! + (¦?-') . A2.106)
Функция F (х) обладает тем свойством, что

§ 2. Модель Ли
345
так что F (х) — монотонно возрастающая функция х, которая стремится
к нулю при х—>— со и непрерывна при ж = [х. Качественное поведение
F (х) показано на фиг. 9 и 10. Значение ягу в каждом случае опреде-
определяется пересечением прямой у— — х-\-(туо — mN) и кривой y = F(x).
V=F(x)
Ф и г. 9.
Можно различить два случая. Если
—mN<F
то корень уравнения A2.105) получается при х < [х и пгу — mN < [х, что
соответствует стабильной V-частице. Приведенное выше неравенство
всегда может быть выполнено, если выбрать массу тпуо достаточно ма-
малой. Интересно отметить, что в условии стабильности^ту — WNj'C [*¦
y-F(x)
Фиг. 10.
фигурирует масса физической частицы ту, и именно эта величина опре-
определяет, разрешена ли энергетически реакция V—>N + 9- С Другой сто-
стороны, если 7Wvo удовлетворяет неравенству
то не существует корня уравнения ягуо — ^v = F{my — rnN), расположен-
расположенного левее точки x = \i, но есть корень правее этой точки, который
соответствует нестабильной V-частйце [318]. Рассмотрим модель Ли

346
Гл. 12. Простые модели в теории поля
только для случая, когда V-частица стабильна и реакция V—>N + 0 не
разрешена энергетически. В этом случае физическое состояние V-части-
цы можно записать в виде
Fp)
С dk [ K)
J у 2cok (mv — mN —<ak)
, A2.108)
a Zy дается равенством A2.106). Амплитуда вероятности найти в состоя-
состоянии \ dpg(p) | Fp)d при \ |g(p)|2dp = l «голый» квант, соответствующий
состоянию в виде волнового пакета \ dpg (p) Fjj; |0), равна
Fp-)A = Zv1/2. A2.109)
Таким образом, Zv есть вероятность найти «голый» квант в физическом
состоянии одной V-частицы.
Для дальнейших применений удобно представить наш гамильтониан
в таком виде, чтобы Но описывал «голые» частицы с физической
массой ту. Для этого в выражении для Н добавим и вычтем член
бту \ dpF* (p) F (р), и положим ту = myo + бт-у, так что
H = H'0 + Hi, A2.110а)
Я; = ту ^ dp V* (р) V (р) + »iN J dp #* (р) N (р) + ^dk со (к) а* (к) а (к),
A2.1106)
H'r^Hj-бту J dpF*(p)F(p). A2.110b)
Для лучшего понимания модели Ли рассчитаем предсказываемое
моделью рассеяние 0-частиц N-частицами. Мы должны, следовательно,
найти состояние | Nq, Qk}+ (напомним, что жирным шрифтом обозначаются
состояния, отмечавшиеся прежде значком d) — решение уравнения
#|Nq, 9k>+ = («k + ^N)|Nq, Gk)+, A2.111)
которое соответствует падающей плоской волне <Zk ' Nq) = |yVq, Эк) и рас-
расходящейся рассеянной волне, обозначенной посредством |Х)+:
|Nq, ek>+ = |ivq
Далее,
H\Nq,
Так как H\ Nq) = mN | Nq) и
[Я, в?] =
то вместо уравнения A2.113а) получим
A2.112)
)+. A2.113a)
, A2.114)
A2.1136)

§ 2. Модель Ли 347
Таким образом, поскольку рассеянная волна (при t=-\-co) должна
содержать только расходящиеся волны,
откуда
Nq, 6k>+= Nq, 6k) + -^V ^— i—1 p- i ¦ ^*(q + k)IO), A2.116)
причем
+<Nq., 9Н Nq, ek>+ = 6C)(q'-qN<3)(k'-k). A2.117)
Такую нормировку следует ожидать, если исходить из общих положе-
положений (вспомним § 2 гл. 10). Это можно проверить и непосредственно,
используя технику, аналогичную той, которая далее потребуется для
вычисления S-матрицы. Поэтому мы изложим здесь эту технику. В сущ-
сущности, нам нужна формула
-ak = r*
'IL-Л^- A2-118)
Чтобы доказать формулу A2.118), заметим прежде всего, что
= — i [ dke1 («+ie)e-iH0A, а*еШ0Я,е-гН0Я. =
Используя далее алгебраическое тождество
п-f-u п п-\-0 п
справедливое как для чисел, так и для операторов, можно написать
Поэтому
—Яо—c

348 Гл. 12. Простые модели в теории поля
Перенесем второй член правой части равенства в левую часть и получим
Сокращая последнее равенство на множитель (х — Но — ик + ie)'1 и умно-
умножая затем справа на (ж — 77— (flk + le), получим A2.118).
Используем теперь равенство A2.118) и перепишем равенство A2.116),
определяющее ин-состояние | Nq, Эк>+. Прежде всего выразим «голое»
состояние F*(q-|-k)]0) через физическое состояние V-частицы:
h Г *'fl»v) |ЛГ ^.), A2.124)
BяK/О /2wk, (mv —mN—ok,) 4+ V
так что
"')- A2.125)
Перепишем теперь второй член с помощью равенства A2.118):
: A2.120)
Комбинируя A2.125) и A2.126), получаем
(шк)
где
( й S '^ 4) (Ш276)
Следовательно, нормировочный интеграл дается выражением
+<Nq., 6k|Nq, 9k)+ = б'3) (q - q') 6<3> (к - к;) + ^з f Y^? X
X 6l3> fa + к — a' — k"> /—- - ^ 1 X
V4 Ч ; lG+(co) mN + co —my G+(со') mN + M' — mv -»
G+(со')
co-co'+г8 ^B^K /45^ G+(co)
X -гД г^ 6C)(q + k-q'-k') X
mN-)-co'—mv mN-)-co—?rav vn ' ^ '
X

§ 2. Модель Ли 349
где для краткости мы положили (Ок = (О, юк' = ю' и т. д. Комбинируя
выражения в скобках второго члена справа, легко проверить, что этот
член уничтожается с последним, так что остается только первый член
б<3) (q — q') б<3) (к — к'). Тем самым равенство A2.117) доказано.
Совершенно аналогично можно проверить, что решение уравнения
//1 Nq, 6k)_ = ((Oic+^n) i ]\q, 0k)_, которое на бесконечности имеет вид
плоской волны плюс сходящиеся волны, дается выражением
|Nqt ео-Ч*<. e*>+^f
A2.129)
с нормировкой
-(Nq., 9k.|Nq, ek)_ = 6C>(q'-qNC'(k'-k). A2.130)
Сравнивая равенства A2.129) и A2.116), мы видим, что
A2.131)
1 лч>
так что S-матрица для рассеяния из состояния | 7V"q, 6k) в состояние
^Vq'. Sic) есть
= 6C'(q-q'N«'(k-k')-
Щ A2.132)
а -ft-матрица имеет вид
{Яч., Qk-\R\Nq, ek> = -^-^=--<N4', 0k-|F*(q + k)|O> =
я+|-8 У*(Ч + к)|0>. A2.133)
В последнем выражении rok = (ok', так как матричные элементы берутся
на энергетической поверхности. Чтобы вычислить A2.133), используем
опять равенства A2.127) и получим
X
Заметим, что в пределе точечной частицы, т. е. при / (ю) = 1 интеграл
в знаменателе равенства A2.134) ведет себя при больших к как \ dk/k
и, следовательно, расходится. Поэтому в пределе Д-матрица обращается
в нуль и рассеяния нет. Можно, однако, переписать знаменатель, исполь-
используя алгебраическое тождество

350 Гл. 12. Простые модели в теории поля
Тогда
,и» I / (Ш") I2 1
2ш" (mv—mN —ш") со —c
Я,2 Г „ I / (со") |2 (»iy—»iN — (о)
^ + dk"
„ I / (со) | (»iy»iN (о)
dk" 2@" (mv-mN-(o"J (co-co' + ie) ' A2-136)
так что Л-матрицу можно записать в виде
X I 1 + /О_\я \ ^k ij—;
-тм-ш''J(шк-ш" + ге) J "
Матрица R останется конечной даже в пределе точечного источника,
если определить новую, «перенормированную», константу связи X
с помощью соотношения
\2 = ZY\l A2.138)
и выбрать ее конечной. Таким образом, «перенормированная» константа
связи в модели Ли вводится, чтобы рассеяние не исчезало в пределе
точечного источника.
Мы могли бы рассуждать несколько по-другому, заметив, что пара-
параметр А.о, входящий в теорию, должен быть определен в терминах наблю-
наблюдаемых величин, например, с помощью сечения N-8-рассеяния при неко-
некоторой заданной энергии. Предположим, что такое «измерение» существует
и мы знаем длину рассеяния а. Заметим, что равенство A2.137) пред-
предсказывает рассеяние только в ^-состоянии. Поэтому, если б есть фаза
(сдвиг фазы) ^-волны, то приведенная ^-матрица для ^-рассеяния есть
s(к) = е2«ео = 1 _4я-?¦ 2ni ^в\к) . A2.139а)
где
{N4.,Qv\S\Nv 6k) = 6C>(k' + q'-k-qNA)(/c-/c')-^s(/c), A2.1396)
ибо
б (ы — со') = ^- б (ft — А;'), A2.140а)
ZVXO2|/(M)|2 1 A
2со
\ dk 2@'(mv-mN-со»)
Отсюда заключаем, что
tg б (к) _ 4я2юЛ {к) _
.. ,. Ч I / (со) I
2Bя)з тп + а
+12SM"P J 2

§ 2. Модель Ли
351
Длина рассеяния а, которая определяется как lim ( — tg6(/c)//c), дается
выражением
tgfl(ft)
ft=O
*8 I / (i*) I2
я
N
Теперь можно выразить величину А,р/4я через «измеримую» величину а,
поскольку
с
/Я02Л-1^1 | / ((X) |2 pf
V 4л У а mN+|x—mv J
(mv—mN—со")
w") '
A2.145)
так что в общем случае
x fr-
• A2-146)
Отметим, что теперь tg b(k)/k выражается только через «измеримые»
величины. Эта процедура опять дает конечную, не равную нулю ампли-
амплитуду рассеяния в пределе точечного источника, /(со)—> 1. Представление
амплитуды рассеяния как функции наблюдаемых величин в общем
случае будем называть «перенормировкой».
Вообще говоря, «перенормированную» константу связи можно опре-
определить, сравнивая точное выражение для амплитуды рассеяния с резуль-
результатами теории в низшем порядке теории возмущений при кинетической
энергии, равной нулю. Нужно подчеркнуть, что такая «перенормирован-
«перенормированная» константа связи отличается от определенной равенством A2.138),
хотя и связана с ней, как мы увидим, с помощью простого конечного
выражения. Амплитуда N-0-рассеяния в низшем порядке теории воз-
возмущений есть
гч>, ек>,
A2.147)
борн.
так что
г (к)
I / (ш) I2
A2.148)
борн. ^JT 2co(mN4-co—mv)
Определим теперь перенормированную константу kR требованием, чтобы
амплитуда рассеяния при импульсах мезонов, равных нулю, была равна
амплитуде в борновском приближении, в которой постоянная Vo заме-
заменена на к%:
_л
г (к)
X
уГ14- Х° р Г 4я | / (со") |2 /со-ц2 i-i
м-
I / (li) I2
A2.149)

352 Гл. 12. Простые модели в теории поля
откуда
WTMF ' A250а)
2ш" (wv—mN—со") (ц — со")
Л,2= Г2 ^ — . A2.1506)
, кн р Г \ f (a") \* dk."
BitK j 2co" (mv — mN— со") (ц,—со")
Константа связи Яя связана с константой связи Я2 = ZvKs соотношением
к% ¦ гттт^ж -• A2.151)
Заметим, что интеграл в равенстве A2.151) конечен даже в пределе
при /(со)—>1, так что если задана константа Хн, то ?^2 определяется
однозначно. Поэтому эти две константы связи равноправны. По причи-
причинам, которые станут ясны позже, мы будем работать с перенормиро-
перенормированной константой, определенной равенством A,2 = Z^
' A2Л52а)
так что
К= i^X2L . A2.1526)
где
Отметим, что для любого фиксированного значения L, т. с. для задан-
заданной обрезающей функции, существует максимальное значение перенор-
перенормированной константы связи. Этот результат схематично изображен
на фиг. 11.
Как указывалось выше, применение изложенного формализма
к «физической» ситуации заключается в том, что фиксируется значение
^,2, а обрезающая функция / (со) подбирается так, чтобы получить согла-
согласие с «экспериментом». Поэтому возможно, что для заданных № и /(со)
(или L) не существует hi > 0. Было предположено, что такое явление
имеет место и в «реалистических» теориях поля, например, в кванто-
квантовой электродинамике. К этому вопросу мы позже вернемся. Из фиг. 11
видно также, что для данного L и к2 > %%vnT хотя и не существует
положительных значений К^, но есть отрицательные. Отрицательные
значения Vo означают, однако, мнимость %0, так что гамильтониан A2.79)
не эрмитов, и, следовательно, вероятности либо не сохраняются, либо
но являются положительно определенными.
Такое же положение возникает при фиксированном значении X2
в пределе при /(со)—>1 и L—>оо. В этом пределе %\ становится отри-
отрицательной, а %0 мнимой величиной, что опять-таки означает неэрмито-
вость гамильтониана. Эту трудность можно выразить несколько иначе,
если рассмотреть постоянную нормировки Zy, которая выражается
через перонормированную константу связи:
S A2.154)

§ 2. Модель Ли
353
Мы видели, что Zy есть вероятность найти «голый» V-квант в физичес-
физическом состоянии V-частицы. Следовательно, эта величина должна быть
заключена между 0 и 1, O<ZV<1. Однако равенство A2.154) показы-
показывает, что при достаточно больших %2L постоянная Zv может быть
отрицательной.
= "К|
pum
Фиг. 11.
Доказательство того, что Zv должна быть положительной величи-
величиной, можно получить, рассмотрев среднее по вакууму от антикомму-
татора [F(p), F*(p')]+
|0) = 6<3>(p-p')- A2.155)
Так как F(p)|0) —0, то лишь первый член антикоммутатора дает
вклад и
2<0|F(p)|n>(ii|F*(p')|0> =
A2.156)
где {| га)} —полный набор состояний. Выберем в качестве {|га)} физичес-
физические состояния, т. е. собственные состояния Н. В силу правил отбора
A2.92) только состояния физической V-частицы и состояния N-0-рассе-
яния будут давать вклад в сумму. Подставим в A2.156) эти состояния,
выраженные явно с помощью перенормированной константы связи:
BяK/2
dk
У 2й)к (mv — mN — ик)
A2.157)
Bя)з
ге)
A2.158)
где
- my)
>2
A2.159)
23 с. Швебер

354 Гл. 12. Простые модели в теории поля
Получим
или
Z^ = 1+y^r [ dk 5—lVr^rГ2 • A2.1606).
v ' BяK J 2сок|/г(сок + !8) |2 v '
Таким образом, постоянная Zy положительна и меньше единицы. Оче-
Очевидно, что этот результат противоречит соотношению A2.154) при доста-
достаточно больших K2L. Нужно отметить, что неравенство 0<Zy<l не за-
зависит от детальной структуры / или h, поскольку интеграл в правой
части A2.160) положителен. Однако на самом деле предполагалось, что
состояния V-частиц и N-G-рассеяния образуют полную систему состояний
в подпространстве, которое характеризуется собственными значениями
^=1, ^2 = 0. Поэтому исследуем заново спектр собственных значений//
в этом подпространстве. Но прежде удобно определить перенормиро-
перенормированный оператор для V-частицы
FE(p) = ZvV2F(p). A2.161)
Этот перенормированный оператор обладает тем свойством, что он имеет
конечные матричные элементы между физическими состояниями даже
при /(со)—>1. В частности,
@|Fk(p)|Vp0 = 6C)(P-p'). A2.162)
в отличие от оператора F(p), [матричные элементы которого между
физическими состояниями пропорциональны Zy2, причем Zvl расходится
в пределе /—>1. Заметим, что перестановочные соотношения для пере-
перенормированных операторов
[V% (p), VR (р')]+ = .W3' (р- р') A2.163>
имеют более сильную особенность в пределе при /—>1, чем перестано-
перестановочные соотношения для неперенормированных операторов. Гамильто-
Гамильтониан, выраженный через перенормированные операторы и перенорми-
перенормированную константу связи, имеет вид
Но = mvZv ^ dp V% (p) VR (p) + mN J dp N* (p) N (p) + J dk со (k) a* (k) a (k),
A2.164)
+ AT*(p-k)a*(k)yB(p)}-emvZv JdpVb(p)FB(p). A2.165>
Далее мы опустим значок Д у перенормированных операторов V-частиц,.
поскольку мы будем иметь дело только"с такими операторами.
Собственные состояния Н, соответствующие qi= I, q^ — O и импуль-
импульсу р, определяются уравнением
#|p> = (mw + Q)|p>, A2.166)
где для Q будут' допускаться любые значения между —со и +со,
а | р), как мы видели, имеет вид
A2.167)

§ 2. Модель Ли .355
где (J — некоторая постоянная. Подставляя это выражение в A2.166),
получим два условия для р1 и ф: :
^ $^(к), A2.168а>
(cok-Q)cp(k) = ^-6-^L. A2.1686)
Условие совместности имеет вид
О = Zy1 {ту — mN — Q) х
Га i / i о ч ^2 С ^к!/Ю12 1 /.о^пч
X 1 + (thn + S — ту) \ ~2—т—_д. ———^—т- , A2.169)
или
/i(Q) = 0. A2.170)
Здесь мы использовали значение бтау, даваемое равенством A2.101),
и определение h (x) [равенство A2.159)]. Ясно, что Q = my — mn есть
корень уравнения, соответствующий состоянию V-частицы с энергией ту.
И наоборот, мы могли бы фиксировать значение дту в условии совме-
совместности для A2.168), потребовав, чтобы существовал корень со значе-
значением Q = ту — mN.
Отметим также, что
v с
BяK )
0
когда /?zN + ц, > mv > 0 и, кроме того,
М*) К*
1
2cok (my-mN-cokJ ~
= 1-X2L =
= ZV. A2.172)
Поэтому, когда Zy > 0, график функции —. имеет вид, пока-
"*N~r '"у
занный на фиг. 12. В этом случае у уравнения h (х) = 0 есть только
один корень при х = ту — %. Когда же Zy < 0, то имеется дополни-
дополнительный корень в точке х = Q0) причем Qo < I* (фиг. 13). Дополнитель-
Дополнительный корень соответствует новому состоянию в теории. Это состояние
\G) можно построить в явном виде [415]. Оказывается, что значение
@ | VR | G) { G | V% | G) отрицательно и равно Xti (Qo)]. Далее можно
показать, что этот отрицательный член дает в точности такой вклад,
который нужен, чтобы совместить A2.160) и A2.154). Новое состояние
Челлен и Паули назвали «призрачным» состоянием, или «духом». В при-
присутствии «призрачных» состояний есть только один способ сделать форма-
формализм непротиворечивым — принять, что эти состояния появляются с отри-
отрицательными нормами. Оказывается, что возникновение таких отрицатель-
отрицательных вероятностей означает, что ^-матрица не унитарна, и модель при
Zv< 0 физически неприемлема. Челлен и Паули [415], Гейзенберг [374]г
Ферретти [246] и другие (см. например, дискуссию на конференции по
физике высоких энергий в ЦЕРНе в 1957 г.) попытались непротиворечива
23*

356
Гл. 12. Простые модели в теории поля
интерпретировать теорию при наличии «духов», используя для представ-
представления состояний векторное пространство с индефинитной метрикой1).
Такой подход придал некоторый смысл теории, но только ценой отказа от
микропричинности и унитарности ^-матрицы. В дальнейшем, когда мы
будем ссылаться на модель Ли, мы ограничимся случаем действитель-
к{х)
¦
Фиг. 12.
ных и положительных значений Zv и действительных 8ту, так чтобы не
возникала проблема «призраков». Отметим, что это требует обрезания, ибо
при / -»• 1 постоянная Zv < 0 и трудности с «призраками» неизбежны.
Много внимания уделялось модели Ли в случае, когда mv > т9-{-т^,
т. е. когда V-частица нестабильна и может распадаться на N- и 6-частицы.
h(x)
Фиг. 13.
Тогда модель можно использовать, чтобы испытать на ней определения
массы и времени жизни нестабильной частицы. Для общего обсуждения
х) Упомянутые авторы интересовались не самой моделью Ли, а вопросом о том,
можно ли дать физическую интерпретацию системе полей, для которой нужно пред-
представлять состояния в векторном пространстве с индефинитной нормой, и, в частности,
можно ли достичь этого без слишком решительных изменений обычных правил кванто-
квантовой механики (см., например, [19]). Для дальнейшего понимания связи модели Ли
с более «реалистичными» теориями поля см. статью Форда [272].

§ 3. Другие простые модели 357
описания нестабильных частиц в квантовой теории поля и, в частности,
описания нестабильной V-частицы в модели Ли читатель отсылается
к статьям Леви [500, 501] (см. также [318, 11, 381]).
§ 3. Другие простые модели
Помимо модели со скалярным полем и модели Ли, существует несколь-
несколько простых моделей, которые также решаются в том смысле, что можно
получить явные выражения для одночастичных состояний. Для некото-
некоторых из них можно найти и состояния рассеяния. В числе этих моделей
одной из наиболее важных является парная модель Вентцеля [834, 835].
Она состоит из скалярного поля, взаимодействующего с источником.
Система описывается следующим гамильтонианом:
#0 = ± J d3x {я2 + (Vq>)" + цV} + п»оЧ>*Ч>. A2.173а)
Нг = А \ d3x \ dax'U (x) U (х'): <р (х) <р (х'): ^*ф, A2.1736)
причем
[ф, Ч>*]+ = 1, № Ч>]+ = 0 A2.174)
и
-х'). A2.175)
Функция U (х) описывает форму источника. Обычно предполагается, что
U (х) = U (| х |); и в этом случае с источником взаимодействуют только
мезоны в ^-состоянии. Модель полностью решается и обсуждалась мно-
многими авторами. В дополнение к первоначальным работам Вентцеля [834,
835] читателю рекомендуется ознакомиться со статьями Клейна и Мак-
Кормика [448], а также Шевалье и Ридо [119], а которых подробно обсуж-
обсуждается характер решений в зависимости от Я2 (Я, — константа связи; при
X < 0 может существовать связанное состояние реального мезона и источ-
источника). Родственная модель рассматривалась Энцем [221].
Другой класс решаемых моделей предложили Руигрок и Ван Хов
[678]. Они нетривиальным образом обобщили модель Ли, разрешив тяже-
тяжелым частицам испускать и поглощать произвольное число квантов. В про-
простейшей форме модель описывает взаимодействие между тяжелым полем
(полем V-чдстиц) и легким полем (полем 0-частиц); V-кванты являются
фермионами с двумя внутренними состояниями Vt и V2 (N- и V-частицы
модели Ли), а 0-кванты являются бозонами с массой \i и спином, равным
нулю. Гамильтониан допускает следующие элементарные переходы:
Vj i^V2 ~\-Q (константа связи %i),
V2 j^ V4 +0 (константа связи А,2)
и имеет вид
Н = Но + Hi,
Но = 2 ™vi0 \ УХ (Р) Vt (p) dp + \ <ока* (к) а (к) Л,
= [F*(p)F1(p-k)a(k) + 3. с]. A2.176)

358 Гл. 12. Простые модели в теории поля
Когда hi = 0, модель Руигрока и Ван Хова превращается в модель Ли,
а случай Я4 = Я2 соответствует рассмотренной в § 1 модели со скалярным
полем. При произвольных hi, Хг одно частичные состояния и соответствую-
соответствующие постоянные перенормировки волновых функций можно получить
в конечном виде. Модель подробно изучалась Руижгроком [679—681]
(см. также [339, 507]).
Модель Руигрока и Ван Хова обладает интересными свойствами,
о которых наплсал в своей работе Ван Хов [807] с целью поднять неко-
некоторые вопросы о существующем в теории поля описании слабых и сильных
взаимодействий. При очень большой, но конечной величине обрезания
рмакс модель ведет к «наблюдаемым» эффектам двух различных тинов.
Один тип, называемый «слабыми взаимодействиями», дает эффекты поряд-
порядка и7юмаК0 по отношению к эффектам второго типа, которые называются
сильными взаимодействиями. Последние остаются конечными в пределе
при и./юмак0 -» 0, т. е. при энергии обрезания, стремящейся к бесконеч-
бесконечности, в то время как слабые взаимодействия стремятся к нулю. В пределе
Юманс ~* °°» когда присутствуют только сильные взаимодействия, система
характеризуется определенными свойствами симметрии, но они не точны
при больших, но конечных юмакс? т. е. в присутствии слабых взаимодей-
взаимодействий.
Такой подход резко отличается от обычного способа описания силь-
сильных и слабых взаимодействий. При обычной формулировке вводится
лагранжиан, который в качестве главного члена взаимодействия содержит
выражения, соответствующие сильным взаимодействиям и характеризую-
характеризующиеся «большой» константой связи и определенными симметриями. Затем
путем добавления к лагранжиану «малых» членов, нарушающих симметрии
членов сильного взаимодействия, включаются слабые взаимодействия.
В модели Руигрока и Ван Хова гамильтониан содержит только то, что
обычно называют сильными взаимодействиями, а различие между сильными
и слабыми взаимодействиями тесно связано с обрезанием при больших
энергиях. Различие тем самым справедливо лишь в области энергий
Е < юмако, и ничего нельзя сказать о свойствах модели и природе взаимо-
взаимодействия При Е— @Макс ИЛИ Е > (Омакс.
Хотя эта модель и нереалистична, тем не менее она указывает другое
направление, в котором можно было бы искать объяснение взаимодействий
элементарных частиц.
§ 4. Теория Чу и Лоу
Для рассмотренных ранее в этой главе моделей характерно, что в них
можно получить точные решения для одночастичных состояний. В некото-
некоторых случаях, например в модели Ли, можно рассчитать также и состояния
рассеяния. Хотя эти модели нельзя непосредственно применить к описа-
описанию физических явлений, они играют важную роль. Например, можно
разработать приближенные методы и сравнить результаты приближенных
вычислений с точными решениями. Можно полностью исследовать патоло-
патологические явления, как, например, «призрачные» состояния, и установить
их происхождение. Наконец, модели позволяют заглянуть в структуру
теорий поля1).
*) В этой связи интересна статья Хаага и Лузатто [350], которые показали, что
в модели Ли и для скалярного поля, взаимодействующего с фиксированными источни-
источниками, уравнения движения для перенормированного поля можно сформулировать
в виде дифференциальных уравнений, включающих только конечные величины даже
в пределе точечного взаимодействия [т. е. при /(со) = 1].

§ 4. Теория Чу и Лоу . 359
Следующая модель, которую мы исследуем, хотя и «проста», но точно
яе решается. Однако она применима к описанию явлений с участием я-мезо-
нов и нуклонов низких энергий. В действительности важность этой модели
проистекает из ее успеха в объяснении рассеяния мезонов на нуклонах
и фоторошдения мезонов при низких энергиях. В некотором смысле, кото-
который мы здесь не будем пытаться истолковывать (см., однако, [606, 183]),
модель взаимодействия мезонов с нуклонами, которую мы будем изучать,
можно рассматривать как нерелятивистский предел у5~теории, описывае-
описываемой гамильтонианом
^ J Л¦ я(х)+V<p• V<p (x) +
ty5, y(x)].<t(x), A2.177)
где г|з— оператор поля нуклонов (8-компонентный), <р—оператор поля
я-мезонов, а Мо и [х0 — соответственно «голые» массы нуклона и мезона.
Можно показать, что существуют последовательные канонические пре-
преобразования, которые удаляют из Н члены, нечетные по дираковским
матрицам1). С точностью до 1/М0 преобразованный гамильтониан, не со-
содержащий нечетных дираковских матриц, есть
Н' ~^d*x: $* (х>р (аГ0 + J^) ф (х):
з
2^*(х)г^^^))^^Н + О(^'щ) . A2.178)
3=1
В действительности мы сделаем еще один шаг —пренебрежем отдачей,
т. е. членом ~j- в //нукл> и ограничимся случаем, когда есть только
-один нуклон, локализованный в начале координат. Иначе говоря, в ка-
качестве гамильтониана возьмем
A2.179а)
*^, A2.1796)
A J d*xQ (х)Ц* (а- V) х-ц> (х) у =
3 3
= Н d^Q(xJ S ^*а»т/ф9,Ф;(х). A2.179в)
i=i j=i
В равенствах A2.179) о|: есть четырехкомпонентный оператор, описы-
описывающий нуклон. Он преобразуется как двухкомпонентный спинор как
в изотопическом, так и в обычном пространстве. Точнее,
где грр и т|)„ — двухкомпонентные спиноры в обычном пространстве
х) Это обобщение преобразования Фолди—Вотхойзена на случай теории поля.
Вспомните также § 7 гл. 10.

360 Гл. 12. Простые модели в теории поля
Они удовлетворяют соотношениям антикоммутации
• - • = №п, ^*} = 0. A2.1816)
Функция источника q (x) описывает протяженность области мезон-нуклон-
ного взаимодействия. Предполагается, что она сферически симметрична,
т. е. q(x) = q (J х |), и действительна. Кроме того, обрезающая функция
будет нормирована так, что
A2.182>
Если ввести компоненту Фурье t»(k) = u(k2) функции q(x),
A2.183)-
то в силу равенства A2.182) и@) = 1. Если Ro — радиус области взаимо-
взаимодействия, т. о. области, в которой q(x) отлична от нуля, тогда при
импульсах к, таких, что | k | Ro > 1, функция v (k2) быстро спадает к ну-
нулю. Во всех дальнейших приложениях мы выберем
у(к2) = 1 при |к|<йма„с, ,....л
л и I 7 A2.184)-
= 0 при к >&Макс,
где /сМакс ~1/Ro- Величину сомакс = j/ кмакс + И2 будем называть энергией
обрезания. Радиус Ro всегда будет предполагаться меньшим 1/|л. Он
окажется порядка 1/М, где М — масса нуклона.
Константу связи fj[i = G/2M называют псевдовекторной константой
связи. В теории, описываемой гамильтонианом A2.179), пренебрегается
следующими эффектами, которые могут оказать некоторое влияние на
мезон-нуклонные явления: а) отдачей нуклона, б) влиянием антинук-
антинуклонов, в) возможным прямым мезон-мезонным взаимодействием, г) вли-
влиянием isf-мезонов и гиперонов. При применении модели к мезон-нуклон-
ным взаимодействиям при низких энергиях предполагается поэтому, что-
эти эффекты малы и что в некотором смысле они включены в обрезаю-
обрезающую функцию и (к2). Отметим, что гамильтониан A2.179) инвариантен
при
а) пространственных вращениях,
б) вращениях в изотопическом пространстве,
в) обращении времени,
г) пространственных отражениях.
На самом деле вид гамильтониана в сущности полностью опреде-
определяется приведенными выше требованиями инвариантности и допущением
Юкавы о том, что я-мезоны испускаются в элементарном процессе
взаимодействия по одному: N^N + я. Член Vqj появляется из-за того,
что при пространственных отражениях ф ведет себя, как псевдоскаляр.
Поэтому единственный истинный скаляр, который можно построить из
операторов ф, гр*гр и ip*0if>, есть гр* (а- V) т-фг|). В силу требования инва-
инвариантности Hi относительно обращения времени в гамильтониане взаимо-
взаимодействия не появляется никаких членов, содержащих я (х) [я (х) — им-
импульс, канонически сопряженный с ф(х)]. Инвариантность теории отно-
относительно пространственных вращений означает, что полный момент

§ 4. Теория Чу и Лоу 361
количества движения системы J постоянен во времени:
У, = ~Ц*о$-~ \ d3x 2 [Я| (х), BiJhxjdh4l (x)]+, A2.185)
т
причем
[Ji, #]=0 (?-1,2,3). A2.186)
Аналогично, инвариантности теории относительно вращений в изотопи-
изотопическом пространстве соответствует постоянство во времени вектора пол-
полного изотопического спина:
^ \ 2 A2.187).
причем
[Т„Н] = 0 (i = 1,2, 3). A2.188)
Теория обладает еще одним характерным свойством: только мезоны
в Р-состоянии взаимодействуют с нуклоном. Проще всего убедиться
в этом, если разложить оператор мезонного поля не по одночастичным
состояниям с определенным импульсом
Л-х), A2.189а>
• A2.1896) *>
а по полной системе одночастичных состояний, характеризуемых полным
моментом количества движения, его третьей компонентой и энергией:
= 2
|25 (в,
h,l,m k
+ (- l)matkimYlt _m (в, ф)) j/^ /, (кг); | k | = к, A2.190а) 2>
a*h'i'm.-] = bifihh'&u>bmm'. A2.1906)
Если подставить это разложение в выражение для Hi, то легко видеть,,
что только члены с 1 = 1 велики, когда размеры источника меньше де-
бройлевской волны я-мезона, поскольку функция // (кг) только при I = 1
имеет не равную нулю производную в точке г = 0. Мезоны с I Ф 1 не
взаимодействуют с нуклонами и ведут себя как свободные.
Отсутствие взаимодействия в состояниях с 1ф1 можно понять сле-
следующим образом. Рассматриваемая модель основана на предположении
Юкавы о том, что нуклон испускает и поглощает мезоны по одному
в каждом элементарном процессе: N ^t N -J- я. Так как при этом полный
момент количества движения сохраняется, то собственное значение пол-
полного момента N + я-системы, (Vjtf + LJ, должно быть равно соб-
собственному значению полного момента нуклона До испускания мезона,
х) Заметим, что мы используем другую нормировку операторов по сравнению
с нормировкой гл. 7. Такая запись обычна при нековариантном описании системы.
2) Л—радиус сферы квантования. Функции ji{kr) нормированы так, что
R
2к2

362 Гл. 12. Простые модели 4 теории поля
т. е. (V2tf2J- Следовательно, Z = О или 1. Поскольку четность также
сохраняется, четность N + я-системы, которая есть ( —1)'( —1) [допол-
[дополнительный множитель ( — 1) появляется вследствие того, что я-мезон
обладает отрицательной внутренней четностью], должна быть равна
четности нуклона (+1), так что 1=1. Отметим, что эти рассуждения
справедливы только для нуклона, который удерживается в покое и не
испытывает отдачи при испускании я-мезона.
Приведенная выше модель для описания мезон-нуклонных явлений
при низких энергиях стала известна как модель Чу, ибо Чу первый
указал, что гамильтониан A2.179) действительно может количественно
объяснить наблюдаемые черты мезон-нуклонного рассеяния при низких
энергиях [120].
Вакуум можно определить как собственное состояние Н с собствен-
собственным значением 0, характеризующееся условиями
г|}| 0} = а{к|0) = 0 при всех i и всех к. A2.191)
Одномезонное состояние а* | 0) также есть собственная функция Н. Со-
Соответствующее собственное значение равно сок. Одномезонные собствен-
собственные функции операторов Н, Т2, Т3, /2 и /3 одновременно суть
(а±1ат)*\0) и a!ftim|0}. Состояние-7|-(ai«m — ia2feZm)*|0) со-
соответствует положительно заряженному мезону с моментом количества
движения I, третьей компонентой момента т и т. д. В настоящей мо-
модели «голое» и физическое одномезонные состояния совпадают.
«Голое» однонуклонное состояние а|)* 10) уже не является собствен-
собственным состоянием Н. Обозначим посредством | s, t)+ собственные состоя-
состояния Н, соответствующие наличию «физического» нуклона с «наблюдае-
«наблюдаемой» массой М, где через s тл. t обозначены собственные значения
операторов /3 и Т3. Состояние | х/2; 1/2)+ соответствует протону со спи-
спином, направленным вверх, | —1/2, а/г)+ ~~ протону со спином, направ-
направленным вниз, |*/2; — Va)+— нейтрону со спином, направленным вверх, и
\ — у/2, — 1U)+ — нейтрону со спином, направленным вниз. Эти четыре
состояния вырождены, причем
H\s,t). = M\s,t).. A2.192)
Здесь М — масса «облаченного» нуклона, отождествляемая с массой
физического нуклона. «Голые» однонуклонные состояния обозначим по-
посредством | s, t).
Далее мы будем иметь дело со свойствами либо однонуклонной
системы, либо мезон-нуклонной системы, т. е. со свойствами состояний,
которые всегда содержат только один нуклон. Поэтому в выражении
для Н можно опустить операторы ip и написать гамильтониан для мезон-
однонуклонной системы:
A2.193а)
= ~г\ 2 &хх}аг^0>-я(х). A2.1936)
Невозмущенные векторы состояний \п) в пространстве чисел заполнения
имеют теперь вид | s, t; kf, . . . km! kj, . .. кй; kj, ... k°), причем one-

§ 4. Теория Чу и Лоу
363
= (Мо + AM) + ЯЖван + Я/ - AM
= М + tfSU, + {Hi - AM) = М + HZ зон + Hi,
ратор а действует на спиновую переменную s, оператор т на переменную
изотопического спина t, a k+, к", к0 обозначают соответственно импуль-
импульсы положительных, отрицательных и нейтральных мезонов.
Как и в моделях, рассмотренных ранее в этой главе, масса М в
уравнении A2.192) введена в теорию «феноменологически». Гамильтониан
можно выразить, используя наблюдаемую массу М:
A2.194а)
A2.1946)
A2.194в)
где AM —изменение массы, обусловленное возмущением. Так как Мо —
ненаблюдаемая величина, то этот параметр всегда можно выбрать так,
чтобы сумма М0 + АМ была равна наблюдаемой массе. В дальнейшем
окажется полезным рассматривать М -f- //мезон'= Но в качестве гамиль-
гамильтониана свободного поля, a Hi = Нг — AM как гамильтониан взаимодей-
взаимодействия. При таком разделении Н на свободную часть и возмущение
«голые» однонуклонные состояния, имеют ту же массу, что и «физический»
нуклон. Вообще такое разбиение предполагает, что Н имеет тот же не-
непрерывный спектр, что и Но. Вспомним, что это было одним из допу-
допущений в формализме Липпмана — Швингера.
Для однонуклонного состояния | s, t}+ можно получить интегральное
уравнение [849]. Для этого заметим, что если разбить | s, t)+ на вектор,
параллельный новозмущенному состоянию \s,t), и ш&тор, ортогональ-
ортогональный | s, t), т. е. если написать1)
причем
тогда
21*. t){S,t\,
s,t
A2.195)
A2.196a)
A2.1966)
A2.197)
Множитель Z^2 является постоянной нормировки. Так^как
то
{H0-M)\x)=-Hi\s,t)..
A2.198)
Отметим также, что PNH}\s, ?}+ = 0, поскольку PN и Но коммутируют.
Вспоминая, что вектор | %) не имеет составляющей вдоль \s, t), и решая
уравнение A2.198), находим
I yS =71 р„\ jj' \ v f\ t\') Iqoa
!) Свойства инвариантности Hj гарантируют, что в разложении A2.195) появят-
появятся ыевозмущенные однонуклонные состояния | s, i> только о теми же квантовыми
числами, что и у | s, i>+..

364 Гл. 12. Простые модели в теории поля
так что
| s, *>+ = Z\l* | s, t) + A - PN) M^Ho Щ | s, t>+. A2.200)
Итерируя это уравнение, получим для физического состояния | s, t)+
разложение теории возмущений в форме Вигнера — Бриллюэна, выражен-
выраженное с помощью «голых» состояний:
>. A2.201)
Изменение (сдвиг) массы определяется теперь из равенства
,t)., A2.202)
откуда, поскольку {s, t\s, t)t =
AM = ZrV*(S, t\Hr\s, t).. A2.203)
Если подставить в A2.203) разложение \s, t)t no теории возмущений
[равенство A2.201)], то легко последовательно вычислить вклады в ДМ
от различных порядков теории возмущений. Изменение массы в первом
порядке равно нулю, так как оператор Hi либо рождает, либо уничто-
уничтожает' один мезон:
AAfd) = {s, t\Hi\s,,t) = 0. A2.204)
И вообще (s\ t' \Hj \s, t) = 0. Изменение массы во втором порядке тео-
теории возмущений есть
ЛМ<2> = (*, t\Hx(l-PN) M^ffg H! I s, t), A2.205а)
— "V (.s,l\HI\n)(.n\HI\s,t)
М-еп
|
Родионуклонному
состоянию
где |«) — собственные состояния Но с собственными значениями еп.
Наличие оператора проектирования 1 —Pjv в A2.205а) требует, чтобы в
сумме по | п) однонуклонные состояния были опущены. Благодаря свой-
свойствам симметрии Hi в сумму дают вклад лишь состояния \п), у кото-
которых J = 1/2, Js — s и Т=х/2, Ts = t. Изменение массы во втором порядке
просто рассчитать, используя выражение A2.205а). Заметим сначала, что
гамильтониан взаимодействия можно кратко записать в виде
Hi - S (aikF$ + aWt*), A2.206)
где
Vfi = A /v<k2> a-kxj. A2.207)
Равенство A2.206) получено подстановкой разложения A2.189) в A2.1936).
В выражении A2.205а) для изменения массы во втором порядке из Hi,
стоящего справа, дает вклад только член 2 ^ik*afk. поскольку a3k|s, ?) = 0

§ 4. Теория Чу и Лоу 365
для всех / и к. Аналогично, из Hi слева дает вклад только член
2 V$ajk, так что
к
= (s, 11 2 S a*V* ~M^W F^V-k- k О , A2.208a)
k, rk'.r'
= <*, * | S S arka,4-F3lF«Jlf. ^_д _ю | 5, f >, A2.2086)
k, rk'.r' ° k'
T.@)T7.@)*
:=^-1'.*>. A2.208b)
k. r
При переходе от A2.208а) к A2.2086) мы использовали равенство
¦A2.118), тот факт, что FJ2 и ark коммутируют и что Vrk и /Го коммути-
коммутируют. При переходе к A2.208в) были использованы перестановочные
¦соотношения [ark, a*f] = 6rr<6C) (k — k') и то, что art|s, t) = Q. Следова-
Следовательно, во втором порядке
\ /о Г
I и (к2) |2. A2.209)
I Г
0
Постоянная нормировки y~Z2 определяется из требования
+E, 11 s't' >+ = 6ss-6ir, A2.210)
•откуда следует
Z2 = 1 - +(s, *| Я} A - Pw) (Я^^J tfj | s, *>+. A2.211)
Постоянная нормировки j/Z2 равна также
т. е. амплитуде вероятности найти «голое» нуклонное состояние в физи-
физическом нуклонном состоянии. В низшем порядке по Hj равенство A2.211)
.дает
г, к
= 1 — Z2 ( 2 B3дт)%2 ^ d3A: ^(^^ 3 ' A2.213а)
или
З/о2
:. . . A2.2136)
при /р/ц,2<1. Физическое однонуклонное состояние в первом порядке
¦теории возмущений есть
м нй
= \s, 0 + 2 —^~ V%*a*t 15> 0- A2.214)
k, r k

si b
f
Ф
и
г.
14.
к
\
\
a si
366 Гл. 12. Простые модели в теории поля
Это состояние имеет не равную нулю амплитуду вероятности найти «го-
«голый» нуклон и (виртуальный) мезон. С точностью до /0/и оно правильно-
нормировано.
Вклады высших порядков в изменение массы, постоянная норми-
нормировки и т. д. рассчитываются аналогично. В действительности обсуж-
обсуждение разложений по теории возмущений удобнее всего проводить,
используя графы (подробнее см. [849]). Так, члену собственной энергии.
ДМB' отвечает диаграмма, показанная на фиг. 14. Она соответствует
испусканию и поглощению мезона с импульсом к. Нуклон изобра-
изображается прямой горизонтальной линией, а мезон—пунктирной линией.
Пунктирная линия, кончающаяся на нуклонной линии, изображает
поглощение или испускание мезона. Так,
на графе, соответствующем собственной
энергии во втором порядке, вершина а
соответствует члену (n | Hj | s, t) в A2.205)
и изображает испускание мезона; ана-
аналогично, вершина Ъ соответствует члену
(s, t\Hj\n). Начальное состояние на
диаграмме показано справа, а конечное состояние — слева (как и в мат-
матричном элементе, которому соответствует диаграмма). Наоборот, если
дана диаграмма фиг. 14, то можно сразу выписать соответствующий
матричный элемент. Мы здесь не будем углубляться в метод графов,
поскольку он ясно изложен в прекрасной обзорной статье Вика [849]
и в работе Чу [120]. Метод графов1) будет в полной мере изложен для
релятивистских теорий (см. гл. 13). Кроме того, в модели Чу нас
прежде всего интересуют методы, не основанные на теории возмущений.
Наша следующая задача — рассмотреть предсказания модели Чу для
рассеяния мезонов на нуклонах. Сначала мы кратко изложим методы
теории возмущений, а затем методы, не основанные на теории возму-
возмущений, принадлежащие Лоу [512], Вику [849] и Чу и Лоу [121].
Рассмотрим сначала рассеяние в низшем порядке теории возмуще-
возмущений, т. е. борновское приближение. Нам нужно вычислить амплитуду
рассеяния мезона из начального состояния | k, ?; s, ?) = aik|s, t), в кото-
котором мезон имеет импульс к и индекс изотопического спина i, в конеч-
конечное состояние |к', /'; s', t'} = ayk'\s', t'). Так как Но и Нх инвариантны
относительно вращений в изотопическом пространстве, то матричный
элемент перехода Rji = (f\R\i), где
$ .., A2.215>
Щ)„ $. (
равен нулю, если начальное и конечное состояния не являются состоя-
состояниями с одним и тем же полным изотопическим спином и его третьей
компонентой. Поэтому полезно классифицировать состояния по значе-
значениям Т2 и Г3.
Легко построить собственные состояния Г2 и Т3, которые соответ-
соответствуют нуклону и одному мезону, не взаимодействующим друг с дру-
другом. Так как они составляются из состояний с Г=1 (мезон) и Т=1/2
(нуклон), то будет два ряда мезон-нуклонных состояний: один с Т — 3/2,
а другой с Т — х/2. Ясно, что состояние с Т = 3/2 и Т% = 3/2 соответствует-
состоянию \р\ л+), т. е. состоянию, составленному из протона и поло-
!) Метод графов используются во многих прикладных дисциплинах. Матема-
Математическую теорию графов см. в книге Бержа [884]. — Прим. ред.

4. Теория Чу и Лоу
367
жительно заряженного мезона.
Таким образом, если опустить импульсы частиц, то
Поскольку для системы мезон — нуклон
то находим
A2.216)
A2.217)
A2.218)
A2.219)
; |-|, _?.)=|n; „-). A2.220)
Общие фазы состояний здесь выбраны в согласии с выбором фаз
в рниге Бете и Гофмана [54]. Состояние с Т = 1/2, Тъ = 112 должно быть
линейной комбинацией \ р; л°) и п\ я+), которая ортогональна состоя-
состоянию | 3/2, 1/2) . Следовательно,
A2.221)
и
Обратив эти равенства, получим
i; я°>. A2.222)
г, — у> A2.223)
\) . A2.224).
Так как оператор перехода /^.коммутирует с Tt (i = l, 2, 3), то
амплитуда рассеяния R G", Т'3; к, к', s', s), определенная равенством
irpn rpn, -in til nl 7" т' • Лг' о'\ D IT" Т'• Лг" Лг' о" с'\ Л Л ^9 OO^V
(i , i3. к , б1 \R\1 , 13, к. , s ) = R{1 , У3> к , к , s", s )оТ'Т»от»г^ AZ.ZZO)
и соответствующая рассеянию из начального состояния с полным изо-
изотопическим спином 7" и его проекций Т'3, импульсом мезона к' и проек-
проекцией спина нуклона s' в конечное состояние с теми же изотопическими
квантовыми числами, но с импульсом мезона к" и проекцией спина
нуклона s", не зависит от Т'3.
Доказательство:
(Г, T'a\T-RT+\T', Г3) =
A\R\T', T' + l) =
= G", T'3\RT-T+\T', T'3) =
= {T'-T3)(T'
', T'a\R\T', T3)
A2.226a>

368
Гл. 12. Простые модели в теории поля
и, следовательно,
(Г,
1\R\T',
= {T', T'3\R\T', T'3).
A2.2266)
Можно также сказать, что R есть скаляр в изотопическом простран-
пространстве, и поэтому, согласно теореме Вигнера — Эккарта (см., например,
[671] или [216]), имеют место правила отбора АТ = 0, АГ3 = 0 и матрич-
матричный элемент не зависит от Т'3. Таким образом, рассеяние мезонов нук-
нуклонами описывается амплитудами R(T; k, к', s', s), где Т = 3/2 или 1/2.
Связь между амплитудами рассеяния для экспериментально наблюдаемых
процессов
л- + р —» я0 -)- п (перезарядка)
и амплитудами с определенным изотопическим спином следующая;
3
f,
A2.227)
где R C) — сокращенная запись ДC/2; к', к, s', s). Мы опустили зави-
зависимость амплитуды рассеяния R от всех переменных, кроме Т. Ана-
Аналогично,
R (я- + Р —> я- + р) =
= _(я~; р|я~; р}+ =
-' 2 ' 2 '
1 1
У4.4. -|!}{/1
3 I 2 ' 2 ^ +
1 /3
3 -{2 '
1 , 1
<12'228>
и
Т .3 1 , , _/Т . 1 1
у /1/2 1
Х\У 3 2
JL
3 I 2
A2.229)
Дифференциальные сечения процессов A2.227) — A2.229) выражаются
формулой
daba _cq2 I Rba p /j
(l
где ДЬа — матричный элемент Д, соответствующий процессу а—»Ь.
Формула A2.230) выводится следующим знакомым путем. Вспом-
Вспомним, что вероятность перехода за единицу времени из состояния | i)

§ 4. Теория Чу и Лоу 369
в состояние | /) есть
A2.231)
Нас интересует только вероятность перехода в совокупность конечных
состояний с энергией около Ef и с импульсами между к/ и к &
Эта вероятность равна
E=Ef
w = \ dnf2nb {Ef — Et) | Rn |2 =
!. A2.232)
Сечение рассеяния связано с w соотношением
da = ^-, A2.233)
где Vi — ki/ai есть скорость падающего мезона. Число конечных состоя-
состояний с импульсами между к и к + ^к есть
(Ц A2-234)
так что г)
k}dkfdQ
Ef = dfi/Bя)з =
ибо ? = со = V"k2 + ^ .
Таким образом, вычисление сечения сводится к вычислению | Rft |2.
Несколько проще рассчитать амплитуду (k',i'; s', t'\R\k, i; s, t),
чем амплитуду f
(T, T3; k', s'\fi\T, Г3; k, s) = R(T, T,; k', k; s', s) ==
= Д.^(Г; k', k). A2.236)
Свяжем noBTOAiy RS-S{T, T3; k', k) и амплитуды (к', V; s't'\R\k, i; s, t)
с помощью операторов проектирования для состояний с определенным
полным изотопическим спином. Конечно, можно было бы и непосред-
непосредственно использовать коэффициенты Клебша-Жордана, чтобы преобра-
преобразовать результаты из i, ^-представления в представление, в котором Т
и Т3 диагональны. Поэтому материал, изложенный на нескольких сле-
следующих страницах, включен только для полноты.
Стандартными методами теории преобразований получаем
{k', r'; s', f R
- У (г' Г
к, г; s, 0 =
Т, Т2)(Т, Г3; к', s'\R\T, 7У, к, s)(T, Tt\r, t) =
т, т3
Д (/¦', t'\T, T3)Rt.t(T; к', к)<7\ T.s\r, t) =
S <г', f ! P (Г) | г, t) Rs.% {T; к', к), A2.237)
x) Для удобства мы взяли единичный нормировочный объем V=i. В против-
7 W
ном случае сичепие, которое связано с w соотношением а0 = ^ ,'
J > f падающий поток
было бы равно Vw/vt, a dn = V dk/BnK, но \ Rfi\2 ~i/V2, так что V в конечное
выражение для da не входит.
24 с. Швебер

370 Гл. 12. Простые модели в теории поля
где {rr, t'\T, Г3> —коэффициенты Клебша-Жордана, а
Р{Т) = %\.Т, Та){Т, Та\ A2.238а)
— оператор проектирования для состояния с полным изотопическим спи-
спином Т, так что
(г1, t'\P(T)\r, *>*2<г', t'\T, T3)(T, T3\r, t). A2.2386)
В дальнейшем будет удобно использовать изоморфизм между ^Т
и t + Va т в подпространстве, соответствующем одному мезону и одному
нуклону. Пространство изотопического спина для системы мезон-
нуклон образовано векторами | г, t), которые можно представить как
прямые произведения трехмерных (мезонных) векторов \г) и двухком-
понентных спиноров (нуклонных) \t), на которые действуют операторы
изотопического спина мезона (t) и нуклона (т).
Операторы проектирования для состояний с Т—3/2 и 77=1/2 имеют вид
t A2.239)
(jj) t A2.240)
причем
*т (¦§•) +*т (-j) = 1- A2.241)
Доказательство: Оператор Т2 == (t +1/2 тJ = t2 +1 ¦ т + 1/i т2 =
= 2 + t-t + 3/4 имеет собственное значение 15/4 для состояния с Т%=?12 и
собственное значение 3Д для состояния с Г= 1/2. Поэтому
t-t = l для 7" = -|-t
t-t=-2 1
= 1.
Требуя, чтобы [Рт (T)]z = Рт (Т) и чтобы выполнялось равенство A2.241),
легко получить выражения A2.239) и A2.240).
Матричный элемент {r',t'\ Рт(Т) | г, t) можно упростить, если вспом-
вспомнить, что
{г' | tj | !¦> = - iBrr. A2.242)
Отсюда, например, следует
~(r', *'|l-t-T|r, t) = ~(t'\6rr, + ieyrTj\t) =
= Т<''1в""-Т[т" V)|O =
= <*'||-Trv|0. A2.243)
Здесь мы использовали перестановочные соотношения^[тг-, тг] = 2г 2 ejr'rfy-
и [v, тг]+ = 2бГГ'. Аналогично,
j(r', t'\2 + t-t\r, t) = ±{t'\TTTr.+-jxr.TT\t) A2.244)

§ 4. Теория Чу и Лоу 371
и, следовательно,
(!)D)г, О, A2.245а)
)k. *>• A2.2456)
Обозначим через Ji/2 и J3/2 следующие величины:
{ ||lV, тг], A2.246а)
|-|[v, xr]. A2.2466)
Они являются операторами проектирования [в том смысле, что
2 Jr(r', r")JT>(r", r) = Ьтт'От (г1, г)] для состояний с изотопическим
г"
спином х/2 и 3/2 в пространстве изотопического спина нуклонов.
Полностью аналогичную процедуру можно применить к состояниям
с определенным моментом количества движения. Поскольку J2 и /3,
так же, как и оператор четности, коммутируют с Н, то начальные
и конечные состояния удобно классифицировать по полному моменту,
его третьей компоненте и четности системы. Так как R и Jt коммути-
коммутируют, амплитуда рассеяния
R{T, Ts; J, J3; tak) = {T, T3; J, /s, © (k,) | Я | 7\ Tt; /, /,; co(k,)> =
= R (T, J; со (k)) = Rtj (cok) A2.247)
не зависит от /3; [со = со (ky) = со (k;) = cok есть энергия мезона]. Поэтому
<7\ Т3; k',s'\R\T, ТУ, К *> =
= 2 (k', s' | J, J3) (Т, Т3; J, /„ со (к,) | Д17\ 21,; Л /3; m (к,)> </, ^з I к, *> =
JJ3
= S (к', s' | /, /з> (/, /31 к, s) R (T, J; сок) =
JJs
= 2 (к', в' | Pj (/) | к, s) RTJ (cok), A2.248)
J
где
^(/) = 2|-Л /,></, /з| A2.249)
J3
— оператор проектирования для состояния с полным моментом /.
Мы уже отмечали, что только мезоны с I = 1 взаимодействуют
с нуклонами. Поэтому мы будем интересоваться лишь операторами проек-
проектирования Pj C/2) и Pj (V2) > поскольку рассеяние происходит только
в состояниях с / — 3/г и / = 1/2. Обозначим через 1 орбитальный момент
количества движения мезона, а через 1/2 в — спиновый момент нуклона.
В мезон-нуклонном подпространстве оператор J изоморфен 1 + х/г <*¦
Следовательно, в полной аналогии со случаем изотопического спина
' A2-25°)
- A2.251)
24*

372 Гл. 12. Простые модели в теории поля
Состояния | к, s) являются прямыми произведениями мезонных состоя-
состояний | к) = | to (к), 6, ф) и нуклонных спиноров |s). Через 6, ф мы обо-
обозначили углы, определяющие направление вектора к. Матричный элемент
((о (к'), 6', ф', s' \Pj C/2) | со (к), б, ф, s) можно вычислить непосредственно.
Если, как и ранее, принять такую нормировку, что
F Ф | lm) = -pL=- Ylm F, Ф) A2.252)
(ft = |k|), то при со (к') = со (к), {к = к')
(к', s'\Pj(^)\k, s)=——i==<s'|2k'.k_*([k'xk].a)|s> A2.253)
Ч z У 4я*2 у к'ы'Ы
И
(к', s'\Pj(±)\k, *> = 7-r—^==<s'|2k'-k + i([k'xk].a)|*>. A2.254)
Используя равенство
@.k)@.k') = k.k'+i([kxk']-ff), A2.255)
находим
<s'|@.k)(a.k')|s> = -^l/F^/«D~<6', ф', s'\2Pj(^-Pj(^\Q, Ф, s)
A2.256а)
и
{s' | (а-к') @-к) | s) = ink2 У к'а>'ка> (в', ф', *'|^(у) I 9' *' s)- A2.2566)
Введем также операторы
^i/g(k2, k1) = k2.k1 + f(a-[k2xk1]), A2.257а)
k1) = 2k2-k1_i(a.[k2xk1]), A2.2576).
которые являются операторами проектирования для состояний с / = V2
и / = 3/2 в пространстве обычного спина нуклона, в том смысле, что
Qk^j (k2, k) ^j- (k, kt) = Aadjrfj (k2, kt). A2.257b)
Теперь мы можем вычислить матрицу перехода. Во втором порядке
теории возмущений
Rft = {k', r'; s', ^'|ДМB)|к, г; *, t) +
+ <к\ г'; s', t'\H! Е_^о+.вН1\к, г; s, t), A2.258)
где ЛМ<2) дается равенством A2.208в) и
Ях = 2 (ojkVJt> + o^Fjg*), A2.259а)
= f /о ^(k2) ff .кт,. A2.2596)
Отметим, что Hi рождает или уничтожает один мезон, а оператор
~fi, где

§ 4. Теория Чц и Лоу _373
должен связывать в A2.258) одномезонное состояние с одномезонным.
Поэтому, если оператор Hi, стоящий справа, рождает мезон, то Hj,
стоящий слева, должен уничтожить мезон, поскольку оператор G0+(Ei)
диагоналей. Аналогично, если первый из операторов Hi уничтожает мезон,
то второй должен рождать мезон в конечном состоянии. Более конкретно,
поскольку
1 1
° " A
A2-261б)
и состояние | k, r; s, t) есть собственное состояние Но с собственным
значением ikfv-f- cot, имеем
ai'4'vi'4'ai4vn I af4'vf<i'anvn
q, q'. i, i'
Так как ?г = С0к + Л^5 то, использовав перестановочные соотношения
[ajk, af'k-] = 6jj'6C) (к — к') и равенство
a,-q|k, r; s, t) = ajqa?k\s, t) = &jT6(*> (q — к) | s, t),
окончательно получим
R,t = (s',t'\ AM«>6rr-6<3' (k - k')
yO)V(O)
- У, n iq 6<3) (k - k') 6rr< | *, 0- A2.263)
qj
Эти четыре члена можно представить с помощью диаграмм, показанных
на фиг. 15. Диаграмма а соответствует однократному действию члена
AM
__* » с
r'.k' X у т,\
r,k
Фиг. 15.
ДМ<2), а диаграмма б —члену V*V и изображает процесс, в котором
сначала уничтожается падающий мезон, а затем рождается рассеянный
мезон. Диаграмма в соответствует процессу, когда сначала рождается
рассеянный мезон, а затем поглощается падающий (член VV*). Наконец,
диаграмма г соответствует процессу, в котором начальный мезон не взаимо-
взаимодействует с нуклоном, а нуклон испускает и поглощает (виртуальный)

374
Гл. 12. Простые модели в теории поля
мезон. Отметим, что член ДМ<2) в точности сокращается с членом соб-
собственной энергии во втором порядке теории возмущений, т. е. с членом,
соответствующим диаграмме г, так что
Rti = <s\ f | [7<Л% V%] \s,t)~-, . A2.264a)
= A
/BяN4озкозк,
x
s, t).
A2.2646)
Обратим внимание на вид амплитуды рассеяния в борновском приближе-
приближении, в частности, на ее зависимость от энергии мезона ©f. Амплитуда
имеет полюс при юк< = 0, а соответствующий вычет пропорционален f0.
Используя наши предыдущие результаты, равенства A2.247), A2.248)
и A2.256а), A2.2566), а также аналогичные соотношения для изотопиче-
изотопических переменных, из A2.2646) легко получить выражения для амплитуд
рассеяния в состояниях с определенным полным моментом и изотопиче-
изотопическим спином. Обозначая эти амплитуды через Z?2j2r(w), находим
.2Ь5)
R
(п\ -
R
«
зз
-JJ5- 2BЯ)Зшк '
4 /2
3~#
A2.267)
Так как У2, /3, Тг, Т3 сохраняются при рассеянии, то в представлении,
определенном с помощью J, J3, T, У3> ^-матрица диагональна. Далее,
поскольку она унитарна, ее собственные значения по модулю равны
единице. Поэтому, как обычно, пишем
o'_cu), A2.269)
(/, T,a'\S\J, T, ©) = e
гДе $2J2T — фазы рассеяния (фазовые сдвиги).
По определению, Sfi = A/г— 2яШ/г)-б (Ef — Et), откуда
(/', Г, eo|i?|/', Г, ©)= - -^ ei62
2j2r.
A2.270)
Следовательно, в данном случае
A2.272)
A2.273)
Таким образом, в борновском приближении все фазы оказываются вели-
величинами одного порядка. На опыте наблюдается совсем другая картина.

4. Теория Чу и Лоу
375
Из данных по мезон-нуклонному рассеянию следует, что при низких
энергиях сечение рассеяния в 33-состоянии много больше, чем в 31, 13
и 11-состояниях, и соответственно фазы 6И, б13 малы по сравнению с 633.
Это главная черта мезон-нуклонного рассеяния при низких энергиях.
На фиг. 16 показаны полные сечения взаимодействия я+-. и я~-мезонов
(с покоящимися вначале протонами) при кинетической энергии я-мезонов
в интервале от нуля до 1,2 Бэв. Уже тот факт, что сечения при нулевой
энергии очень малы, указывает, что ^-рассеяние при низких энергиях ано-
аномально мало и рассеяние происходит преимущественно в Р-состоянии.
200 400 600 800 1000 1200
Нинетичесная энергия я-мезона, Мэв
(о лабораторной системе)
Фиг. 16.
Нужно отметить высокий максимум в я*, р-рассеянии приблизительно при
190 Мэв. Это известный 33-резонанс. Он влияет и на я", р-рассеяние при
той же энергии.
Заметим, что 33-фаза, даваемая равенством A2.274), положительна,
в то время как би и 613 — отрицательны. Это проверено экспериментально.
Потенциал взаимодействия между мезоном и нуклоном должен быть, сле-
следовательно, потенциалом притяжения в C, 3)-состоянии и отталкивания
в состояниях C, 1), A,3) и A, 1). Вспомним, что в нерелятивисчской
квантовой механике потенциал притяжения ведет к положительным фа-
фазам, которые увеличиваются в высших борновских приближениях," в то
время как потенциал отталкивания дает отрицательные фазы, умень-
уменьшающиеся в высших приближениях1). Это справедливо только при отсут-
отсутствии связанных состояний. Тем не менее изложенные замечания дают
возможность предположить, что можно получить лучшее согласие с экспери-
экспериментом в четвертом и высших порядках теории возмущений. Действитель-
Действительно, вычисления в четвертом порядке, выполненные Чу [120], частично
подтверждают эти предположения. Однако вопрос о том, находится ли
модель Чу в согласии с экспериментами по рассеянию мезонов на нукло-
нуклонах при низких энергиях, не может быть решен с помощью вычислений
по теории возмущений ввиду медленной сходимости ряда теории возму-
возмущений. Так, отношение фаз в четвертом порядке к фазам во втором поряд-
порядке (с учетом перенормировки заряда) имеет порядок величины
оD) . . /2 Омане
1) Качественно это происходит потому, что в высших приближениях потенциал
притяжения будет еще больше «втягивать» волновур функцию, а потенциал отталки-
отталкивания еще больше «выталкивать» ее из области действия потенциала.

376 Гл. 12. Простые модели в теории поля
При энергии обрезания ©макс. — М (М—масса нуклона) и перенормиро-
перенормированной константе связи /2/|А2 = 0,08 это отношение имеет вид
§<4> \
5<2) 2 *
Здесь использованы приблизительно те значения параметров, которые
необходимы, чтобы объяснить поведение 33-фазы при низких энергиях.
Лоу [512] довелось вывести ряд соотношений между наблюдаемыми
величинами, которые строго следуют из модели Чу и могут быть использо-
использованы для проверки теории. Эти соотношения были независимо получены
Виком [849] и исследовались дальше Чу и Лоу [121, 122], которые
положили их в основу полной теории я-мезонных явлений при низких
энергиях, включая фоторождение. Статьи Чу и Лоу являются поворотным
пунктом в развитии квантовой теории поля. Каждому, кто серьезно
изучает современную теорию поля, настоятельно рекомендуется изучить
их, ибо никакой обзор этих работ нельзя сравнить с ясным и простым
изложением Вика, Чу и Лоу.
Вику [849] принадлежит важное замечание, что для решения задачи
рассеяния мезонов на нуклонах состояние рассеяния нужно представить
в виде свободного мезона, падающего на физический («облаченный»)
нуклон, и рассеянной волны. Обозначим через I s, t)+ четыре собствен-
собственных состояния Я, соответствующих физическому нуклону. Задача заклю-
заключается в том, чтобы найти такие решения уравнения
(H — E)\fk; s, 0+ = 0, A2.275а)
? = М + «>к, A2.2756)
которые имеют вид
|/, k; s, t)+ = a%\s, t)+ + ]%')+, A2.276)
где | %')+ — состояние с уходящим свободным мезоном. Используя неста-
нестационарную формулировку задачи рассеяния, можно проверить, что член
a*k|s, t)+ соответствует при t = — со свободному мезону, падающему
на физический нуклон. Потребовав, чтобы |/, k; s, t)+, выраженное
равенством A2.276), было решением уравнения A2.275), находим
0 = (H-M-<alt)(a%\s, t)+
= (ttjfc// -\- [Я, tt;k]) |S, t)+~
+ (Я —Af-mk)|x'>+. A2.277)
Так как
Я = М + 2 cokaW + 2 (а№7Ж + a&VT) - AM, A2.278)
jk jk
A2.279)
получаем
¦,'*>+ A2.280)
Состояние
I 7 lr- ? t\ n% \ v t\ -1 - 17l-9' с A A9 989V
I/, iv, o, b/-f- — »ikl"> * /+ —г Tf i tt i ~ "ik "»'•/+ I-* fcj.i-o^i f

§ 4. Теория Чу и Лоу ^ 377
есть искомое состояние, соответствующее рассеянию мезона с импульсом к
и изотопическим спином / на нуклоне в состоянии \s, l}+. Действительно,
/, k; s, t)+ удовлетворяет уравнению A2.275) и имеет нужное поведение
в особой точке, гарантирующее, что при t= -j-oo существуют только
расходящиеся волны. Аналогичным образом решение |/, k; s, t)~, соот-
соответствующее ин-решению Липпмана —Швингера, есть
,• и. „ /\ .« 1 с f\ j ; т/@> с /\ D0 9RQV
1, к, S, f)__ajk|S, t}++ м _„•_,_ Узк S, t)+. A^./»Й>
Заметим, что \s, t)+ = \s, t)-, ибо однонуклонное состояние стационарно,
так что S\s, i)+=|s, ?)_ = |s, t)+.
Сравнивая A2.283) и A2.282), заключаем, что
|/, к; ,, 0+=|/, к; ,, 0-
/, к; s, t)—-2ni6(M + <ib-H)V$l\s, t)+. A2.284)
Отсюда получаем, что ^-матричный элемент для рассеяния, при котором
мезон в состоянии |/, к) и нуклон в состоянии | s, t)+ переходят соот-
соответственно в состояния |/', к'} и \s', t')+, дается выражением-
+(/', к'; s,t'\S\j, к; з, *>+ =
= _(/', к'; s', t'\], к; s, t)+ =
= _(/', к'; s',t'\]\ к; s, О--2дй_</', к'; s', ?\b{M+ ®k-H)V$\s, t)+ =
= б^б8а'б(гбC>(к-к')-2шб((йк-шк0-(/', к'; s', t'\V$\s, t)+ =
= bxAs.btfb™ (к - к') - 2md (a>k- - сок) Rjk, st (/', к'; s', t'), A2.285)
причем J)
Д^,.« (A'; sT) = _</', к'; s', t' | V$ I s, t)+. A2.286)
При u)k=u)t' величина /?jk,s((/', k'; s', f') = _(/',k'; s', t' \V(^\s, t)+ является
обычной Л-матрицей теории рассеяния. Но это не так, когда о>кфц>к>.
Однако поскольку
^Jmia.kt A2.287)
зависимость Bjk,st (/'k'; s't') от к полностью известна. Множитель
kv (k2)/")/2(i)k можно вынести из матричного элемента, определяющего
Rjk,st(j', k'; sT), а остающийся матричный элемент не зависит от к.
Такая факторизуемость есть особая черта модели Чу и происходит
от пренебрежения отдачей нуклона. Она означает, что величина
Rfe,st (/'. k'; s', t) при ©к Ф сйк' тесно связана с Rjk:St(]\ к'; s', f) на энер-
энергетической поверхности, т. е. с амплитудой рассеяния, поскольку зави-
зависимость i?jt, st (/', k'; s', t') от переменных k и / выделяется в виде извест-
известного множителя. Этот факт оказывается в высшей степени важным для
дальнейшего, ибо он позволяет тривиальным образом связать значения
1) Для теории, которая не является теорией типа Юкавы (т. е. Hi не линейно
по ф), результаты изменяются следующим образом. Пусть H—H0-\-Ili, положим
[Я7, fl*k] = /r(k), тогда
Rlkst(l'k'; »'П = _<Г, к'; *', *'|/j(k)|*f t)+.

378 Гл. 12. Простые модели в теории поля
Rjk.st (/', к'; s',t') на энергетической поверхности и вне ее. В противо-
противоположность этому случаю зависимость обычной Л-матрицы от ее пере-
переменных не факторизуется, и ее значения на энергетической поверхности
и вне ее связаны непросто. Если подставить в A2.286) выражение для
_(/', k'; s', t'\ из A2.283), то получим
¦<*'• *' I v& м+^-я+ь F*'*• <>+- A2'288)
Первый член в A2.288) можно представить в другом виде. Так как
\Н, а?*] = - waiv - m% A2.289)
то находим
Hayk.\s', г')+ = {Маук' + [Н, ayk,]}\s', t')+ =
^)ayk,-V^}\s', t')+. A2.290)
Поскольку спектр оператора ?Г — М-\-ак всегда положителен, то
— М-\-(ик имеет вполне определенный обратный оператор и
kVF*\s', П.. A2.291)
В теории типа теории Юкавы V и а коммутируют, поэтому равенство
A2.291) дает возможность^переписать R в виде
р. 14' \r' c' f'\ / о' j' I 1/@)* * 1/@)
В разложении теории возмущений первый член соответствует сумме
всех диаграмм, в которых линии падающего и рассеянного мезона
не пересекаются, а второй член соответствует сумме всех «перекрестных»
диаграмм. Используем в равенстве A2.292) условие полноты для собст-
собственных состояний | п)_ полного гамильтониана
2Н__Н = 1, A2.293)
]п>_
где состояния с п = 0 соответствуют однонуклонным состояниям
| 0). = | s, t)_, состояния с п = 1 соответствуют состояниям рассеяния мезо-
мезона на нуклоне, а состояния с га = 2 соответствуют состояниям рассеяния
с двумя мезонами (описываемыми плоскими волнами) при t = оо и т. д.
Тогда получим
лг к'- / п
!) Знаменатель второго члена в A2.294) никогда не обращается в нуль, по-
поскольку наименьшее значение Еп равно М. Поэтому, если это окажется удобным,
к этому знаменателю можно добавить член —ie, так как всегда рассматривается
предел при е—>0.

§ 4. Теория Чу и Лоу 379
Рассмотрим далее матричный элемент _(n|Fjt|s, ?)+ и покажем, что
при Еп = сок + М он в точности равен матричному элементу Д-матрицы
для процесса я + N—>п.
Доказательство: Матричный элемент ^-матрицы для рассеяния из
начального состояния |/, k; s, f)+ в конечное состояние |/г)_ имеет вид
_(n\j, k; s, О+ = й(п; /к> st)-2ni6(En — eb—M)Rjb,,t{n), A2.295)
¦где jR~jbiSf(n) при ?„ = (»к + -Л^ есть матричный элемент /?-матрицы, а
б (/г; /к, st) = _(n\j, к; s, f)_ = +</i|/, к; s, f)+- A2.296)
Подставляя в левую часть равенства A2.295) вместо |/, к; s, ?)+ выра-
выражение A2.284), получаем
Д*. *(») =-<»№». *>¦• A2.297)
Еще раз отметим, что зависимость i?yk, si (/г) от к факторизуется
и известна, так что матричный элемент _(/г | FjS? | s, 0+ ПРИ -^п ?= «>к + М
просто связан с его значением на энергетической поверхности. Наконец,
замечая, что
(n) A2.298)
• A2.299)
перепишем уравнение A2.294) в виде
Г A2-
Уравнение A2.300) есть уравнение Лоу для модели Чу. Оно нели-
нелинейно и связывает амплитуду мезон-нуклонного рассеяния со всеми дру-
другими амплитудами рассеяния и рождения, которые имеют либо то же
самое начальное состояние, либо то же самое конечное состояние,
что и амплитуда мезон-нуклонного рассеяния. Если и для других ам-
амплитуд Rjk, st (n) вывести аналогичные уравнения, то можно получить
замкнутую бесконечную систему уравнений, которые в некотором смысле
(мы уточним его позже), эквивалентны первоначальной гамильтоно-
вой формулировке. В действительности такая система уравнений была
выведена и проанализирована Нортоном и Клейном [588, 589] (см. также
[289]) для несколько более простой модели—скалярное поле, взаимо-
взаимодействующее с источниками с помощью взаимодействия вида
ях = 2
г=1
Заметим, что поскольку зависимость Rjki st (/'k', s't') от к и cok
полностью определяется зависимостью V% от этих переменных, то она
выпадает из уравнения Лоу. Это получается из-за того, что одна и та же
зависимость появляется в правой и левой частях уравнения A2.300).
Кроме того, хотя для определения амплитуды рассеяния мы будем глав-
главным образом интересоваться решениями при сок- = сок, нужно отметить,
что уравнение Лоу A2.300) в действительности справедливо и при
tuf ф С0к.

380 Гл. 12. Простые модели в теории поля
Существуют три важных свойства, которыми обладает уравне-
уравнение Лоу:
1) унитарность;
2) перекрестная (кроссинг) симметрия;
3) аналитические свойства.
Унитарность ^-матрицы
SS* = S*S — 1, A2.301)
где
.(n\S\j, k; s, *>¦ = *(«; /к, st)-2Шд {Еп-а>к-М)Rjb, st(n), A2.302)
означает, что Rjk, st (/'к', s't') удовлетворяет уравнению
= 2я* 2 Ryk',.-f(n)Rjt. st(n)Ъ(Еп-М-шк), A2.303>
где (ok = tok-. (Отметим, кстати, что состояние без мезонов, и = 0, Е0 = М,
не вносит вклада в правую часть, так как сок Ф 0.) Из уравнения Лоу
A2.300) следует
(/k, st)-Rjk, ,f(/'k', s'*') =
n
Полагая (Dk = о)к- и используя тождество
-^ = Р|ТШ6(,), A2.305)
можно проверить, что любое решение уравнения Лоу i?jk- s( (/'к', s'f')
автоматически ведет к унитарной «^-матрице.
Для анализа дальнейших свойств симметрии амплитуды рассеяния
удобно определить функцию г комплексной переменной г
j'k*' s'r {П) Rjk- st
причем
lim rjKst\i'k'.s't'{z) = R)k.st{l"^', s't'). A2.307)
Заметим, что зависимость г от к и к' известна, не известна лишь
зависимость от z. Из определения г (равенство A2.306)] следует, что
?>, »'t'|j'k',« (z) = rj-k-, 8'cijk, st (— z). A2.308)
Равенство A2.308) представляет собой математическую формулировку
«кроссинг»-теоремы Гелл-Манна и Голдбергера [306]. На языке диа-
диаграмм эта симметрия выражается утверждением, что для любой данной
диаграммы существует другая диаграмма, которая получается из пер-
первой перестановкой линии входящего и уходящего мезона. Точнее, мат-

§ 4. Теория ЧуиЛоу 381
ричный элемент для перекрестной диаграммы можно получить из мат-
матричного элемента для неперекрестной диаграммы: а) перестановкой к
и к', б) перестановкой т,- и ху, в) изменением знака со в энергетических
знаменателях. Поскольку jR-матрица равна сумме вкладов от всех диа-
диаграмм, она должна остаться неизменной после перечисленных преобра-
преобразований. Это очень просто проверить для членов второго порядка, воз-
возникающих от диаграмм фиг. 17. Замечаем также, что
rjk, s-rij'k', st (z) = r jk, зф-'к', s't' (— z), A2.309a)
= /yk<,s*i*)S<r(z), A2.3096)
где при получении второй строки мы использовали перекрестную сим-
симметрию. Иногда удобно рассматривать г,1,зг\}'Ъ', s't' {%) как матрич-
а о
Фиг. 17.
ный элемент оператора rm(z), т. е. (&¦, t\rm(z)\s', t') = r,-ki sttf-f. s-r(z),
где переменные /k сокращенно обозначены через р, а /'к' — через q.
Соотношение перекрестной симметрии A2.308) тогда можно записать
в виде
rqp(z) = rm(-z), A2.310)
а условие действительности A2.309) переписывается так:
rU*) = rm(z). A2.311)
Можно вывести дальнейшие свойства функции г^, $цуь'. s'v (z), если
использовать предположения относительно свойств энергетического спек-
спектра промежуточных состояний, которые входят в определение г [равен-
[равенство A2.306)]. Примем, что Н имеет изолированное собственное значе-
значение при Еп — М, соответствующее нуклонным состояниям, и непрерыв-
непрерывный спектр, начиная с Е = М-\-\\., М-\-2\л, ..., который соответствует
состояниям нуклон + один мезон, нуклон + два мезона и т. д. Примем
также, что нет изолированных собственных значений между М и М + М-.
Наличие таких собственных значений отвечало бы связанным состоя-
состояниям мезона и нуклона.
Рассмотрим подробнее вклад в г от однонуклонных состояний (тг = О),
для которых En*=M. Эти состояния дают полюс в r(z) при z = 0, вычет
в котором пропорционален
2 {Д,-<к', .-г (s"t") Rjk, st (s"f) - Rfr,S'V(s4") Rjk., st (s't")} =
"t"
2 Us", t"\Vfl\s', t')++(s", t"\Vfd\s,-t)+-
s"t"
/s" t" i ytm I s> f'\ /s" i" i yim 11 s ?\ i A2.312)
Ясно, что вычет равен нулю при рассеянии вперед без перезарядки,
т. с. при (/'к') = (/к). Помимо известной зависимости от к, матричный
элемент оператора Vf? между физическими однонуклонными состояниями
пропорционален +{s', t'\atXj\s, t)+. Далее, из трансформационных свойств

382
Гл. 12. Простые модели в теории поля
состояний \s, t)+ и операторов ot, т,- относительно вращений в обычном
и изотопическом пространстве следует
*', t'\OiXj\s, t)+ = Z(s', t'\OiTj\8,
A2.313)
т. е. что отношение матричного элемента от atXj между физическими
однонуклонными состояниями к матричному элементу от otXj между
«голыми» состояниями с теми же квантовыми числами равно постоян-
постоянной Z, не зависящей от s't' и st. Для доказательства используются
соотношения коммутации ot, Xj с полным моментом количества движения
и изотопическим спином. Из перестановочных соотношений для J4 и ot
находим (см., например, [617])
A2.314a)
здесь | V2, s)[ — собственная функция J2 (при / = х/г) и J3 (J3 = s). Обо-
Обозначение +A/2, t' WJ-aXjW1/^, t)+ указывает, что этот матричный эле-
элемент не зависит от значения /3 для однонуклонного состояния \s, t)+.
Поскольку Xj по отношению к иолному изотопическому спину обладает
такими же свойствами, как и Oj по отношению к J, то получаем
,, __9_ 1 _1_
t I UjTj S, t)+— 1fi +\ 0 ' 9
J-аТт
') > о )+
X ;4 , s'
A2.3146)
где | V2> 01 — собственное состояние Т2 (причем T = 1j2) и Г3 B1з = 0»
а обозначение +(V2. 1/2 'I J-crT-x || х/2, х/2)+ отмечает тот факт, что этот
матричный элемент не зависит от s', t\ s и t. Ясно, что подобное выра-
выражение можно написать и для матричного элемента от OjXt между «го-
«голыми» состояниями и, кроме того
1
J,
t'\Tt
1
, s)+= <Т '
y, s) ,
\, t)+= {^,t'\T? -f, t) ,
A2.314b)
A2.314r)
где индекс @) у Jf и 2Т указывает, что эти операторы соответствуют
системе из мезона и нуклона, не взаимодействующих между собой.
Следовательно,
t'\Oftj\s, t), 4.<1/2, Vail J-aT-T|lV2, V
s, t) <V2, V2 li J<V
A2.315)
Из вывода следует, что правая часть не зависит от s, t и s', t'. Это
отношение не равно единице, что отражает наличие мезонного облака,
окружающего физический нуклон. Влияние мезонного облака можно
описать, изменив величину постоянной взаимодействия. Определим пере-
перенормированную константу связи / с помощью соотношения
/о + <s\
= Z/0,
xj I s, t),
A2.316a)
A2.3166)

§ 4. Теория Чу и Лоу
383
так что
где Vjk получается из Vfk\ если заменить /0 на /:
A2.317)
A2-318)
a \s, ?) —вектоР состояния «голого» нуклона. Таким образом, функция
rqp (z) полностью определяется в окрестности z = О перенормированной
константой связи, и наоборот, ибо
lim zrqp (z) = 2 Us', f | Vf$ | s", П+ +(s", t" | V$ \s,t)+-
z-»0 s"t"
- +<*', *' | V$* | s", t")+ +(s", t" | V& | s, t)+) =
= S {<«', *' I Vj-k-1 s", П (s", t" | F;k | s, t) -
= (s', t'\[V?
?-v,
s, t).
A2.319)
Согласно равенству A2.318), поведение амплитуды рассеяния при нуле-
нулевой энергии полностью определяется перенормированной константой
связи /. Кроме того, оно совпадает с получаемым из борновского при-
приближения, если в последнем заменить /0 перенормированной константой
связи /. Требование того, чтобы точная амплитуда рассеяния при нуле-
нулевой энергии совпадала с таким образом «перенормированной» амплиту-
амплитудой борновского приближения, можно принять в качестве рецепта для
перенормировки константы связи [482]'.
Смысл перенормированной константы связи становится яснее, если
рассмотреть среднее значение оператора мезонного поля в однонуклон-
ном состоянии \s, t)+. Рассчитаем +{s, t\(fj(x)\s, t)+. Поскольку \s, t)+
есть собственное состояние Н, очевидно, что
я, t\[H, aik]\s, t)+ = +{s, t\[H, a*ik]\s,
Из A2.279) и A2.289) вытекает, что
+(s,t\aik\s, f)+=++(
A2.320)
A2.321a)
, t\a%\ s, «>+= -
и, следовательно,
* | ^
| s,
A2.3216)
A2.322)
При |х|, значительно превышающих радиус источника Ro, в правую
часть A2.322) будут вносить вклад только малые значения | к |, а для

384 Гл. 12. Простые модели в теории поля
этих значений | к | функция v (k2) «= 1. Поэтому получаем
lim +(s, t\q>j{x) s, t)+ )=r^-(s, t\ T.-ff- V I s, t) ^- , A2.323)
|x|»r0 у Ал М- г
где г = |х|. На расстояниях, больших по сравнению с радиусом источ-
источника, мезонный «потенциал» нуклона является потенциалом Юкавы,
а его величина определяется перенормированной константой связи /.
Поместим теперь другой нуклон (обозначим его цифрой 2) в точку х,
причем |х| много больше До> та« что справедливо выражение A2.323).
Если присутствие этого нуклона лишь незначительно возмущает мезон-
ное поле около первого нуклона, расположенного в начале координат,
то энергия второго нуклона в поле первого приближенно равна сред-
среднему значению оператора
в состоянии | s2, <a)+. Здесь \s2, t2)+ — состояние, в котором находится
нуклон 2, a q2(x')—функцияисточника этого нуклона, отличная от нуля
только около точки х. Таким образом,
2(x'){s2, t2\r2j02-Vx,\s2,t2){su t^tijOrVX>\su tj
X
^Va2-y\s2t2,siti)-^1^ . A2.324)
Эта формула представляет собой приближенное выражение для потен-
потенциала взаимодействия двух нуклонов в адиабатическом пределе.
Вернемся теперь к рассматриваемой задаче — описанию рассеяния
мезонов на нуклонах и, в частности, к свойствам функции rqp(z). При
z—> оо функция rqp(z) ведет себя, как 1/z. Это видно из равенства
A2.306). Когда z стремится к бесконечности, зависимостью знаменателя
от Еп можно пренебречь. Используя, далее, для вычисления суммы по
состояниям условие полноты, находим
lim zrpq(z)= -+<*', t' I [Fp°\ Vlm\ \s, t)+. A2.325)
z->co
Из равенства A2.306) видно также, что все особенности г (z) лежат
на действительной оси, поскольку Еп действительны. Состояния | лг == 1)_,
т. е. состояния рассеяния одного мезона на нуклоне, имеют в каче-
качестве собственных значений гамильтониана положительные действитель-
действительные числа от M-\-[i до оо. Аналогично, состояния |п = 2)_ имеют дей-
действительный энергетический спектр, простирающийся от M-\-2[i до оо,
и т.д. Таким образом, функция rqp (z) имеет от вклада одномезонных со-
состояний точку ветвления при z = (Д. и определена в плоскости z с разрезом
по действительной оси при z>[i. Аналогично, от вклада n-мезонных со-
состояний имеется точка ветвления при z = щ и разрез, начинающийся от
z = п\х (п~2, 3, ...). В силу перекрестной симметрии г имеет также
точки ветвления при z= —n[i. Соответствующие разрезы начинаются
при z= —n\i (я = 1, 2, 3, . . .). Итак, г (г) имеет полюс при z = 0
с вычетом, пропорциональным /2, ведет себя на бесконечности как 1/z,

§ 4. Теория Чу и Лоу 385
имеет точки ветвления z = ± n\i и определена в плоскости z с разрезами'
вдоль действительной оси при z>-ji п z<; —ja. Других особенностей,
помимо перечисленных, г (z) не имеет. Аналитическая функция, обла-
обладающая такими свойствами, должна иметь следующий общий вид:
Здесь J?qp — вычет /-qp (z) в точке г = 0, a f (i) и G (ж) — весовые функ-
функции, определенные при x>jx. Так как
qp (z)=
¦ i j t ! qp i qd ^ i
-4- \ (XX ¦— J ^~ I =
J L ^ — a? — ie ' ^'-f-^ + i^6 J
- шЭ ( - ж - ц) Gqp (x) A2.327а)
- гя9 (а: - ц) /-qp (г) + гя9 (- а: - ц) Gqv (г), A2.3276)
то очевидно, что
гш^щ,(г) = lim rqp(z)- lim rw{z) {x>\i), A2.328a)
z-*x+is z->x—is
2niGqp(x)= lim /-qp(z)- lim rqp(z) • (x<—ц), A2.3286)
т. e. F и G выражаются через скачок функции г на разрезах, идущих
по действительной оси, соответственно в правой и левой полуплоскостях.
Вспомним, что амплитуда рассеяния Rq (p) (рассматриваемая как опера-
оператор в спиновом и изотопическом пространстве) определяется как предел
/•qp(z) при z = (op + ie- Поэтому если наложить условие действительности
rqp(z) =/-pq (z), то равенство A2.328а) дает
2яг/\,р (<ор) = [Л, (р) - Л; (q)]Mp=(oq. A2.329а)
Соотношение перекрестной симметрии позволяет аналогично записать
равенство A2.3286):
2ягСЧР (сор) - [Яр (q) - Д* (p)]Mp=Mq. A2.3296)
Наконец, с помощью условия унитарности A2.303) и соотношений A2.329а),
A2.3296) можно преобразовать равенство A2.326) в первоначальное
уравнение Лоу A2.300) для случая cop = coq. (Последнее ограничение
несущественно, поскольку с энергетической поверхности можно сме-
сместиться произвольным образом, как это было отмечено ранее.)
Таким образом, если было бы возможно найти матричную функцию
/•qp(z), которая имеет простой полюс в начале координат с вычетом ^?qp.
ведет себя на бесконечности как 1/z, имеет только точки ветвления
и определена в плоскости z с разрезами на действительной оси при
z>(i и z < — \i и которая удовлетворяет условиям унитарности, пере-
25 с. Швебер

386 Гл. 12. Простые модели в теории поля
крестной симметрии A2.310) и действительности A2.311), то мы имели
бы решение уравнения Лоу. Однако условие унитарности включает
состояния с двумя и более мезонами и поэтому не может быть записано
только с помощью rqp(z). Если же пренебречь состояниями с многими
мезонами, то сформулированные выше условия могут служить практи-
практической основой для решения задачи рассеяния. Пренебрежение состоя-
состояниями с двумя и более мезонами законно, если сечения неупругих
процессов малы по сравнению с сечениями упругих процессов (при всех
значениях энергии). Такое приближение называется одномезонным. Рас-
Рассмотрим его подробнее. Уравнение Лоу в этом приближении принимает
вид
JW(/'k'. s't') =
= 4-2 №'*-, .'/' (S"O R*, st {*"П - R]k, s't'(s"r) Rrk; st (
k I»*, r>+
wk, —cok,,+ie
Это — неоднородное нелинейное интегральное уравнение относительно
jRjk, s* (/'k'. s't'). Отметим, что в уравнении A2.330) суммирование идет
по всем состояниям |/"к"; s", t")_, включая состояния с <вк" Ф ©к- Поэтому,
как видно из самой записи, уравнение A2.330) включает не только
амплитуды рассеяния [т. е. не только Ry^', а>г (]"к", s"t") при шк' = шк»].
Однако, как отмечалось ранее, в модели Чу можно связать матричные
элементы вне энергетической поверхности с матричными элементами на
энергетической поверхности. Точнее,
.</', к'; *', t'\V%\ s, O+ =
A2.331)
где q — произвольный импульс, который можно выбрать и так, чтобы
o)q = cok'. Поэтому уравнение Лоу в статической модели (как в одноме-
зонном приближении, так и точное) можно записать только через на-
наблюдаемые величины, т. е. амплитуды рассеяния -(п\ Fj4| s, t)+ при
Еп — (oq -)- M. В релятивистских теориях это невозможно, и уравнение Лоу
там не так интересно, так как оно является соотношением между матрич-
матричными элементами вне энергетической поверхности. В случае релятиви-
релятивистских теорий можно вывести ряд других соотношений, которые известны
как дисперсионные соотношения. Они содержат матричные элементы
только на энергетической поверхности. Их мы рассмотрим в § 4. гл. 18.
В одномезонном приближении условие унитарности A2.303) принимает
вид
Ryv. .ч' (/k, st) - RjK st (/'к', s't') =
= 2m 2 б К - ©к») Ry*>,s't'(i"k", s"t") Rjk, tt (/"к", s"t"), A2.332)
3", к", s", ("
где шк = шк'. Состояния без мезонов не могут иметь энергию, совпада-
совпадающую с энергией какого-либо одномезонного состояния, и поэтому не

§ 4. Теория Чу и Лоу 387
вносят вклада в правую часть A2.303). Отметим также, что если огра-
ограничиться энергиями сок < 2щ то состояния с двумя и более мезонами
не могут давать вклад в правую, часть общего условия унитарности
A2.303), так что при сок < 2ц равенство A2.332) является точным.
Чтобы еще более упростить наши обозначения, обозначим нуклон-
ные переменные st одной буквой п, причем п пробегает значения от 1
до 4, и будем рассматривать /?jk, n(/'k', n') как матричный элемент
оператора /?jk(/'k'), т. е.
л. и'ь-' п'\ /и' /?¦ а'Ъ'\ i и\ М9 чччч
Jljk, П \J ™* ? / \ jk \/ / 'Ь/. IA Lit OOOJ
С учетом равенства A2.319) уравнение A2.330) в этих [обозначениях
гласит:
(п' | Я* (/"'к') 1 п) = ^- 2 (»' I Щ'к', Fjk] 1 л> - .
п"
." | Д.,к, (/"к") |п'> (п" | Дл (/"к") I п>
1 шк„—шк, —ге ¦"
3", к", п"
<»|Дд(ГЬ)| »><» |Д^(/к)|п)|
Обозначим, как и выше, <тг" | /?3'к' (/"к") | «'> через <тг' | /?*'к' (/"к") | и"). Теперь
можно просуммировать по четырем промежуточным нуклонным состоя- .
ниям и записать A2.334) в виде
Д^G-к')Д^,(/'к')-|
+ ak.+mk, J '
^Д vv ak.+mk,
В дальнейшем мы будем сокращенно обозначать мезонные переменные
/к одним индексом, например (/'k') = q, (/k) = p, а оператор /?jk(/'k'),
рассматриваемый как функция cok' = z, через г^р(г). Представим далее
rqp(z) в виде суммы членов, соответствующих состояниям с определен-
определенным полным моментом количества движения и изотопическим спином,
т. е. напишем
4
' rw B) = - V (q2) v (p2) p— ^ ^« (Р, q) К (z), A2.336)
где Ра — операторы проектирования для четырех состояний полного
момента и изотопического спина:
^1 = у tpTq (a.p) (a.q) = J1/3 (qv p) ^i/3 (q, p), A2.337)
Лз = jtpT, [3p.q-((r.p) (a-q)] = Oi/,?*/,, A2.338).
A2.339),
[3p-q-(o.p)(a.q)J = JV2fVr A2.340).
Значок а соответствует BТ, 27), где / —полный момент количества дви-
движения, а 71 — полный изотопический Спин. Если разложение rqp (z) A2.336)-
25*

388 Гл. 12. Простые модели в теории поля
подставить в условие унитарности A2.332), то последнее принимает вид
Im К (юр) = v2 (р2) f | ha (cop) |2. A2.341)
Чтобы получить A2.341), нужно выполнить суммирование в правой
части условия унитарности A2.332). При этом используется тот факт,
что k2dk dQk = /c©k dak dQk и тождество
^Qko-.k(o-.p)o-.k= --^o-.p. A2.342)
Из A2.341) следует, что можно написать
lim h (z\- e'6a(P)
2-»0)p+!E v KV I P
где 6a (p) — действительные фазы.
Если в условии унитарности не использовать одномезонного при-
приближения, тогда ба (р) действительны и совпадают с обычными фазами
рассеяния только при сор<2и.. Заметим, что даже при сор > 2\х, из усло-
условия унитарности следует
^ФЬ' A2-344)
где аа — полное сечение взаимодействия в состоянии а (включая все
неупругие процессы), нормированное так, что оно равно -ysin26a в области
упругого рассеяния ©p<2fi.
Условие A2.310) для rpq, записанное как условие для ha (z), гласит:
2 i>«(q,p)M*)= 2 P*<J>,q)ha{-*). A2-345)
ос=1 a=l
Пользуясь определениями операторов проектирования Ра, A2.337) —
A2.340), можно проверить, что
Pfi (P, q) = 2 V. (q. P). A2.346)
где «перекрестная» 4x4 матрица А есть
-4 -4
/. \
A2.347)
Так как А представляет собой матрицу отражения, то она обладает тем
свойством, что
а«т- A2.348)
Наконец, используя свойства ортогональности Ра, из A2.345) получим
соотношения перекрестной симметрии для функций ha (z):
Aa(z)=S A^hti-z). A2.349)

§ '4. Теория Чу и Лоу
389
Условие эрмитовости для r^p (z) означает, что ha (z) есть действительная
функция z в том смысле, что
ha{7) = ha{z). A2.350)
Так как неоднородный член в A2.335), т. е. член борновского при-
приближения, можно записать -как
где
\ - 2 П N2
— 4 для а = 11
— 1 для а = 13
— 1 для а = 31
2 для а = 33
то уравнение Лоу, выраженное через ha(a>), есть
A2.351)
A2.352)
С помощью условия унитарности A2.344) его можно переписать в виде
оо
М») = 4г + ^ S^p{^^+.2^3^^} A2-354)
'-= 1о~ + №) dc°P W-m-ie
^ • A2.355)
Уравнения A2.355) и A2.354) представляют собой в действительности
точные следствия модели Чу и условия унитарности и не зависят от
одномезонного приближения, что будет проверено с помощью равенств
A2.300), A2.303), A2.344) и A2.336). К этому вопросу мы вернемся
в конце параграфа. Уравнение A2.354) эквивалентно тому, что ha (z)
обладает следующими свойствами:
а) все особенности /га (z) расположены на действительной оси;
б) ha (z) имеет простой полюс в начале координат с вычетом Ха',
в) ha (z) имеет точки ветвления при z = + \х и определена в плоскости
с разрезами, идущими по действительной оси от z= + jx до + со;
г) ha(z) ведет себя на бесконечности как 1/z;
д) ha (z) удовлетворяет соотношениям перекрестной симметрии
A2.349).
Чтобы решить уравнение A2.349), Чу и Лоу ввели действительную
функцию
п G\ — ^а -*• Ц9 i^p,}
ОСЬ \- ь. / \ ? [l^t.UtJyjl
Z t1a(Z)
где ga@) = l, поскольку ha(z) имеет полюс при z = 0 с вычетом Ка.
Функция ga(z) на бесконечности ведет себя как константа. Функцию
ga B) удобно ввести потому, что ее скачки на разрезах при s > jx
и z < — \i не зависят от самой функции ga (z). Например, в области

390 Гл. 12. Простые модели в теории поля
л)р > |i, поскольку ha (z) = ha (z),
2ikg Im fe<* (<Qp + *e) Яа p 2t'^2 (P2) I ^a (a>p) I2
p) I2 j
Соотношения перекрестной симметрии для #а суть
ie) |2 cjp L |ft«(mp
). A2.357)
где
Двр = —^ ^арЛ-р. A2.359)
Функция ^а (z) имеет следующие особенности. Как и ha{z), она имеет
точки ветвления при 2=^^ и определена в плоскости с разрезами,
идущими по действительной оси до ± со. Если ha (z) не имеет нулей,
то других особенностей yga(z) нет. Из уравнения A2.353) следует,
что Im ha (z) = са Imz, где са — некоторая постоянная. Поэтому если са
не равна случайно нулю, то нули ha (z) могут лежать лишь на действи-
действительной оси. При достаточно малых значениях (//ц)г функция ha (z)
не будет иметь нулей даже на действительной оси (поскольку тогда
преобладает член Я,а/г), так что в этом случае граничные условия
для ga (z) и природа ее особенностей предполагают, что для ga (z)
существует следующее представление:
#й ^] A2.360)
где Аа и Ва — весовые функции, определенные при ^
Функция Аа (х) дает скачок ga (z) при переходе действительной оси
при z>^. Поэтому в силу A2.357)
^Ы = ^^(Р2). A2.361)
Соотношений перекрестной симметрии как раз достаточно, чтобы опре-
определить вторую весовую функцию Ва (х), которая дает скачок функции
ga (z) при переходе через действительную ось при z < — |.i. Следова-
Следовательно, при достаточно малых /22
К (z) = ^^ , A2.362)
Ч рМ (р«) z Г <^Шр japa (pa)
где /} = jAop — ц2, а функция 5', определенная соотношением
^^5;(а,р) = 5аК), A2-363)
должна быть выбрана так, чтобы функция ha (z) удовлетворяла соотно-
соотношениям перекрестной симметрии A2.349). (Относительно численных мето-

§ 4. Теория Чу и Лоу 391
дов решения этой задачи см. [699], а также [123].) Равенство A2.362)
дает решение уравнения Лоу в одномезонном приближении. Это реше-
решение является аналитическим продолжением решения теории возмущений
по (//цJ. Кастильехо, Далиц и Дайсон [115] (см. также [450]) показали,
что оно не единственное, а скорее одно из бесконечного числа решений.
. Другие решения возникают, если ha (z) имеет произвольное число нулей
на действительной оси, а вычеты функции ga (z) в этих точках положи-
положительны. Таким образом, решение Чу и Лоу отличается от других реше-
решений тем, что оно имеет наименьшее число нулей в амплитуде рас-
рассеяния.
Эта неоднозначность решения возникает из-за того, что уравнение Лоу
не выражает всего физического содержания теории [202, 588, 589]. Более
конкретно, неоднозначность вызвана недостатком информации в урав-
уравнении Лоу относительно внутренней структуры системы [348]. Фэрли
и Полкингхорн [227, 228] показали, что для выбора правильного «физи-
«физического» решения, которое является единственным, достаточно знать
энергетический спектр невозмущенного гамильтониана. Одному и тому же
уравнению Лоу соответствует бесконечный класс теорий. В частности,
решение Чу и Лоу описывает одну такую теорию, в которой нуклон
обладает минимальной внутренней структурой. Все другие решения соот-
соответствуют моделям, в которых мишень (нуклон) обладает возбужден-
возбужденными состояниями, что ведет к дополнительным резонансам.
Отметим далее, что в силу равенств A2.356) и A2.343)
Re ga (z)
а из равенства A2.362) следует
b*pW (Р2)
ctg6a(cop), A2.364)
Без обрезания, т. е. при о(р*) = 1, интегралы в равенстве A2.365) рас-
расходились бы линейно. Поэтому вклад в интегралы дает главным образом
область (Ор — ©макс , где (омакс — максимальная энергия, эффективно допу-
допускаемая обрезающим множителем w(p2). Следовательно, при ю, малых
по сравнению , с а>макс. зависимостью знаменателей подынтегрального
выражения от (о можно пренебречь. Можно ожидать, что вносимая этим
пренебрежением ошибка будет порядка (о/юмакс, так как]
СП СП Г,Л ' Г,Л (Л Г,Л V ' /
При обрезании около 1 Бэв и для мезонов с энергией, меньшей 250 Мэв,
это приближение должно быть разумным. В общем случае Re ga (со) можно
записать в виде
Х3! (Р2) ctg 6a (<йр) = 1 _ Юрta K). A2.367)
Согласно приведенным аргументам, величина ra (й)р) почти постоянна
при малых (Ор. Приближение, которое заключается в полном пренебре-
пренебрежении зависимостью ra(a>p) от энергии при юр «С юмакс, называется при-

392 Гл. 12. Простые модели в теории поля
ближением эффективного радиуса1). Как видно из равенства A2.365),
Га — порядка ^а(Омакс- Перекрестная симметрия требует, чтобы
га1 = — г33 — 1/4ri3> или
'-1 + тЛ
-х , A2.368)
Г /
где х— — Г1з/1зз- Далее, сравнивая A2.365) и A2.355) при со<^>
можно показать, что
Г33 = 72" Л^2
fflPсо^ (р2). A
м-
т. е. эффективный радиус г3з положителен. При подходящем выборе
обрезания в 33-состоянии будет резонанс, поскольку из равенства A2.367)
с точностью до 1/(Омане следует
^^ ctg 633 Ы = *$- A - гзз^р). A2.370)
Резонанс будет при (ор = 1/Гзз5 т. е. в точке, где б3з = 90°. Таким обра-
образом, предсказываются .Р-фазы при низких энергиях. Они выражаются
через два параметра: константу связи /2 и эффективный радиус Гзз^
причем последний определяется обрезанием имакс , ибо Гзз-~/2<ймакс •
Константу связи можно определить из графика функции
yD3ctg633 (юр)-1/(ор в зависимости от Юр. Формула A2.370) показывает, что
в приближении эффективного радиуса этот график должен иметь вид
прямой линии, а длина отрезка оси ординат от начала координат до
точки пересечения с графиком должна быть равна 3/4(Ц2//2)- Ожидаемая
линейная зависимость действительно была обнаружена и привела к зна-
значению /2/^2 = 0,08. (Полный и подробный анализ см. в статье Бернар-
дини [46].) Поскольку экспериментально установлено, что есть резонанс
при Юр-—¦ 200 Мэв, то соотношение между резонансной энергией а>0 и Гззт
Гзз ^1/юо, и теоретическое соотношение г3з~ ( ^Ц- ) «манс / Ц2 означают,
что (Омане —• 6|А. Таким образом, апостериори оправдывается предполо-
предположение о малости 1/имакс.
Модель Чу ведет лишь к Р-рассеянию и, таким образом, не может
объяснить ?-фазы при низких энергиях. Чтобы распространить анализ
Чу и Лоу на /^-рассеяние при низких энергиях, Дрелл, Фридман и
Захариазен [184] обобщили модель Чу, включив взаимодействие мезонов
с нуклонами в б'-состоя'нии. Они приняли следующий гамильтониан
взаимодействия:
Hj = Hp + Hsl + Hs2, A2.371а)
A2.3716)
у
Hsi=gOi J (p(x).q)(x')Q(x)Q(x')d3zdV, . A2.371в)
i) В действительности степенной ряд ха (z) = ra (O) + zx'a @)+ . • • имеет радиус
сходимости <(г, а именно при z = ji начинается физически интересная область.
Тем не менее га (со) %ie @) при (л ^ со «С соиаКо (см. [125]).

§ 4. Теория Чу и Лоу 393
(r-[<v(x)xn(x')])Q(x)Q(x')d3xd3x'. A2.371т)
Этот гамильтониан представляет собой статический предел гамильто-
гамильтониана A2.177), причем учтены члены порядка 1/М и G2/M2. Взаимо-
Взаимодействие Hs = Hsi-\-Hs2, ведет к ^-рассеянию. Дрелл и др. получили
амплитуды S- и Р-рассеяния, которые являются функциями перенорми-
перенормированных постоянных:
' = <s,t\airJ\s,t\) /o = Z/O' A2.372)
!!+goi-goi A2.373)
! I * > l >
Приняв gt и g2 в качестве подбираемых параметров, а / и q определяя
из. данных по Р-рассеянию, Дрелл и др. нашли, что можно получить
согласие с экспериментальными значениями б'-фаз при низких энергиях:
6J=0,r=v2 = Si = 0,16^ , A2.375а)
Sj=o т=з/2 = б3= -0,11— , A2.3756)
если положить
gi = ^ ' A2.376)
и
ё2 = ^ф- A2.377)
(см. также [71]). Используя подход Вика, Чу и Лоу и гамильтониан
A2.371), Бинсер [58] рассчитал двойное рождение я-мезонов в ^-состоя-
^-состоянии мезоном в Р-состоянии. Полученные им результаты находятся
в разумном согласии с экспериментом. Вычисления рождения мезонов
в мезон-нуклонных столкновениях с использованием формализма'Чу и Лоу
были выполнены также Франклином [274], Родбергом [665] и Кейзесом
[435] (см. также работу Баршея [35], который исходил из псевдоскалярной
мезонной теории в гейзенберговской картине. Используя подход Лоу
[512], он получил амплитуду рождения мезона, а затем перешел к стати-
статическому пределу).
К несчастью, из-за недостатка места мы должны ограничиться обсуж-
обсуждением модели Чу в применении к мезон-нуклонному рассеянию и не можем
подробно остановиться ни на включении электромагнитных взаимодей-
взаимодействий в этой модели, ни на ее предсказаниях относительно ядерных сил.
А результаты, относящиеся к фоторождению мезонов, поистине успешны
и, возможно, являются наибольшим достижением подхода Чу и Лоу, ибо
в этом подходе результаты по мезон-нуклонному рассеянию связываются
с задачей о фоторождении. В самом деле, раз известны фазы я-мезон-
нуклонного рассеяния, то соответствующие фотомезонные сечения пред-
предсказываются почти однозначно и находятся в хорошем согласии с экспе-
экспериментом. Далее, теория предсказывает, что фоторождение мезонов в пре-
пределе нулевой энергии зависит только от значения /2/ц.2, той самой пере-

394 Гл. 12. Простые модели в теории поля
нормированной константы, которая появилась в .Р-рассеянии мезонов на
нуклонах. Подробности читатель найдет во второй статье Чу и Лоу [122]
{см. также [123]).
Экспериментально найдено, что ход сечения фоторождения заряжен-
заряженных я-мезонов в зависимости от энергии сильйо отличается от поведения
¦сечения фоторождения нейтральных мезонов. Как о (у -\-р -> я* -\-п),
так и о (у + р -> я0 -f- р) имеют максимум при энергии фотона около
330 Мэв, который соответствует 33-резонансу в рассеянии я-мезонов на
нуклонах. Поведение о (у + р -> я0 -\- р) у порога свидетельствует о том,
что я°-мезоны рождаются в Р-состоянии, в то время как поведение
о" (Y + Р -* я+ + п) У порога показывает, что заряженные я-мезоны рож-
рождаются главным образом в ^-состоянии. Это примечательное различие
можно понять, если вспомнить, что калибровочно-инвариантное введение
электромагнитного взаимодействия требует замены оператора V<p в Hi
на (V — et3A) q>, т. е. оператор V должен быть заменен на V-f-ieA, когда
он действует на оператор поля я+-мезона. Поэтому при наличии элек-
электромагнитного поля в гамильтониане взаимодействия появляется допол-
дополнительный член вида ( — а-Асрт_ + э< с. j, который и описывает фото-
фоторождение заряженных я-мезонов в ^-состоянии.
С помощью модели Чу и на основании подхода Чу и Лоу были рас-
рассчитаны и другие электромагнитные эффекты: фоторождение пары я-мезо-
я-мезонов (один в 5-состоянии, другой в Р-состоянии) [148], распределение
заряда и аномальные магнитные моменты нуклонов [699, 783, 557], а также
рассеяние фотонов на нуклоне [431].
Наконец, Лоу [513] ясно и просто изложил-связь между статической
моделью Чу и полностью релятивистской ^-теорией и объяснил основу
успеха простой статической модели. В сущности причина, почему полезна
столь грубая теория, заключается в том, что соображения инвариантности
{по отношению к вращениям в обычном' и изотопическом пространстве,
а также четность и т. д.) и предполагаемый энергетический спектр состоя-
состояний мезон-нуклонной системы диктуют поведение теории при низких энер-
энергиях. Почти любая теория с теми же свойствами инвариантности и тем же
спектром имела бы такое же поведение Р-волны при низких энергиях
[382], пока не включаются члены с прямым мезон-мезонным взаимодей-
взаимодействием. Таким образом, успех модели Чу отражает также относительно
малую важность мезон-мезонных взаимодействий для Р-рассеяния при
низких энергиях.
Мы закончим этот параграф о модели Чу изложением другого вывода
уравнения Лоу, который основывается на связи между причинностью
и «дисперсионными соотношениями». (Об этой связи в применении к дан-
данному случаю см. работу [781].) Под причинностью мы понимаем условие
того, что реакция системы на возмущение должна быть равна нулю при
временах, предшествующих началу действия возмущения, т. е. «выходной
сигнал не может появиться ранее входного», если говорить на языке радио-
радиотехники. В применении к задаче рассеяния условие причинности утвер-
утверждает, что не может быть рассеянных волн до тех пор, пока начальная волна
не достигнет какой-либо части рассеивателя. Под дисперсионными соот-
соотношениями понимаются соотношения, связывающие действительную и мни-
мнимую части функции, которая обычно является физически наблюдаемой
величиной, например амплитудой рассеяния.
Простой (и нестрогий) вывод связи между принципом причинности
я дисперсионными соотношениями следующий. Пусть входная величина

§ 4. Теория Чу и Лоу 395
для данной физической системы, рассматриваемая как функция времени,
есть / (t), а получающаяся выходная величина (отклик системы) — R (t).
Предположим, что система линейна, хотя дисперсионные соотношения
справедливы и для несколько более общих систем. Примем также, что
система не зависит от времени, т. е. что смещение входного сигнала во
времени как целого вызывает соответствующее смещение во времени откли-
отклика системы. При этих предположениях можно написать следующее соот-
соотношение между входным сигналом и откликом системы:
+оо
R(t) = —L^ [ T(t-1')I(Оdt', A2.378)
¦ у 2л J
' —со
где Т (t) (функция распределения временной задержки) есть выходной
сигнал, соответствующий входному сигналу в виде 6-функции. Если
обозначить через г (со), t (со) и i (со) фурье-компоненты функций R, Т
и / соответственно, т. е.
+ СО
• G(t) = -l=r \ gWe-Mfa, . A2.379)
—оо
то равенство A2.378) переписывается в виде
г (со) = t (со) i (со) A2.380)
или
+ СО
R(t) = ~=r \ d(oe-^((o)i(co). A2.381)
' —со
Принцип причинности можно сформулировать в виде следующего утвер-
утверждения: если / (t) — 0 при t < 0, тогда R (t) = 0 при t < 0. Так как
+СО
* («>) = —Д=- \ eml(t)dt, A2.382)
' —ОО
то для / (t) = 0 при t < 0 функция
ОО
j (о) = _J— ^ eiatl (t) dt, A2.383)
рассматриваемая как функция комплексной переменной со = % + ^2>
будет аналитической функцией при Imco = cu2>0, т. е. в верхней части
комплексной плоскости @. [Для простоты примем, что / (t) ограничена
или интегрируема с квадратом, чтобы интеграл A2.383) всегда схо-
сходился при (о2 > 0.]
Отметим далее, что из равенства A2.381) следует, что R(t) равна
; нулю при t < 0, если функция t (со) i ((о) аналитична в верхней полу-
полуплоскости со1). Так как г (со) аналитична в верхней полуплоскости (а это
справедливо для всех входных сигналов, равных нулю при t <0), то
система будет причинной, если фурье-компонента t (со) функции Т (t)
будет аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексной
!) И если t (со) i (со) достаточно быстро убывает на бесконечности, чтобы
интеграл по верхнему полукругу стремился к нулю при стремлении радиуса к бес-
бесконечности.—Прим. ред.

396 Гл. 12. Простые модели в теории поля
переменной со или, что эквивалентно, если Т (t) = 0 при t < 0, т. е. если
Т (t) = 0 (t) Г (t), где 9 (t) ~ 0 при t < 0 и 1 при t > 0. Поэтому, согласно
теореме Коши, для любого контура С, лежащего в верхней полупло-
полуплоскости и, и любого со при Im со > 0 можно написать
Предположим, что поведение t (?) на бесконечности таково, что контур
можно превратить в контур большого полукруга и что вклад от интегриро-
интегрирования по дуге полукруга равен нулю в пределе, когда радиус R стре-
стремится к сю. Тогда
.+ОО
\ т^«. A2'385)
Наконец, поскольку мы интересуемся действительными значениями со,
в пределе при оа —v ai± + ie, то получим
lim L
im t (со) = t (щ) = L Ит [
() () т [ .
откуда при действительных оо
«И = -йгрТт^гйс- A2-387)
— OO
Из A2.387) следует
4p^*o', A2.388а)
Imf(o)= -P( Re/(m>) dm'. A2.3886)
4 ' я J со —со
— oo
Так как
+oo
о') inb (со— со') dm', A2.389)
то, складывая A2.388а) и A2.389), можно также написать
f(co) = -Mim +jj° J^J^le dm'. A2.390)
—oo
Равенства A2.388) и A2.390) называются дисперсионными соотношениями
и, очевидно, полностью эквивалентны аналитичности t (со) при Imco>O
и условию того, чтобы поведение t (со) на бесконечности было таким,
что \ ——- dm -> 0 при i? -> оо.

§ 4. Теория Чу и Лоу 397
После этого предварительного отступления вернемся к описанию
мсзон-нуклонного рассеяния. Амплитуда рассеяния определяет отклик
системы при рассеянии мезона • на нуклоне (напомним, что |)_ = <5'|)+
и R<xS—i). Поэтому можно ожидать, что амплитуда RJT(a) (предпо-
(предполагается, что она определена с помощью аналитического продолжения
для всех значений со при Im со > 0) подчиняется дисперсионным соотно-
соотношениям. Однако благодаря конечным размерам нуклона не амплитуда
рассеяния, а функция /гк (ш) [т. е. отношение амплитуды к и2 (к2) к3]
удовлетворяет дисперсионному соотношению
Покажем теперь, что уравнение A2.391) вместе с соотношением пере-
перекрестной симметрии и условием унитарности в действительности является
уравнением Лоу. Поскольку последнее есть интегральное уравнение,
в которое входят величины, определенные лишь при и > \i, т. е. при
физических значениях со, то прежде всего желательно переписать A2.391)
таким образом, чтобы интегрирование проводилось по со > |Х. Соотноше-
Соотношение перекрестной симметрии гласит, что
2еМ). A2.392)
Поэтому A2.391) можно переписать в виде
( dec
я j со —со—ie
+ J_ Г da' I?*»К) + _L С da> у A '"M") . A2.393)
1 я J со' —со —ге ' я j *-i ap co'-fw v '
и и p
Чтобы получить вклад от области |©|<ц, используем условие унитар-
унитарности, которое можно записать в виде
2рР( р) A2.394)
Э
где /гар — амплитуда процесса а->-р (в этих обозначениях ha = haa)-
Ясно, что при |со|<ц в сумму правой части A2.394) вносят вклад
лишь однонуклонные состояния, так как для других состояний аргумент
б-функции всегда не равен нулю. Используя эти результаты, получаем
Im 1га (и) = пкад (и) (|co|<ja) A2.395)
и окончательно
ha (со) = Ь* + ±\ fa' Im й« (со') J_ Г d , v A Imfeg^) %
v ' со ' я J со' — со —ге ' Я J ZJ af> co' + co v '
А это и есть наше прежнее уравнение A2.354).

ГЛАВА 13
Приведение S-матрщы
к нормальной форме
§ 1. Вводные замечания общего характера
В предыдущей главе изучались некоторые «простые» и решаемые
•модели теорий поля. Теперь мы перейдем к обсуждению методов теории
возмущений в квантованной теории взаимодействующих релятивистских
полей. Сначала рассмотрим применение теории возмущений к описанию
рассеяния частиц. Мы будем основываться на выведенной ранее формуле
для ^-матрицы в картине Дирака. Вспомним, что в этой картине опе-
операторы поля удовлетворяют свободным уравнениям и что зависимость
от времени вектора состояния 14f (t)) определяется гамильтонианом взаимо-
взаимодействия Hi (t):
. A3.1)
В этой картине ^-матрица задается формулой
-оо)= lim lim U (t, t0) A3.2a)
(->+oo tQ-*—со
+°э +00
71=0
Она полностью определяет изменение состояния системы вследствие'
взаимодействия. В формулу A3.26) удобно подставить явное выражение
для плотности гамильтониана S^i (#)• Так как
), A3.3)
ТО
2 С1^)"^ S
s=2
П=:0
Во всех интересующих нас примерах плотность гамильтониана будет
иметь следующее свойство:
')] = 0 при (х-х'J< 0, A3.5)
поэтому порядок, в котором следуют 3&I {х) и e%?i(x') при хо = х'о,
не существен, и, следовательно, оператор Р полностью характеризует
операцию упорядочивания. Выражение A3.4) для ^-матрицы очевидным

§ 1. Вводные замечания общего характера 399
образом ковариантно, и в этом заключается его преимущество перед
выражением A3.26). Ковариантность может быть сделана еще более
явной, если записать выражение A3.4) в виде
+
= P [ехр (--1- J. Шг (х) d«s) ] . A3.6)
Так как M?i(x) и №х — скаляры, то показатель степени является инва-
инвариантом. С другой стороны, в силу свойства A1.5) хронологический
оператор Р тоже определен инвариантным образом. Тем самым завер-
завершено доказательство инвариантности выражения A3.6).
При использовании выражения A3.4) в задачах теории поля имеется,
однако, несколько трудностей. Во-первых, для получения ^-матрицы
нужно в U{t,to) перейти к пределам \imt—>оэ, lim ?0—> — 00, что тре-
требует специального предписания. В частности, для члена га-го порядка
имеется п\ способов перехода к пределу. Во-вторых, должен быть дан
рецепт, как сгладить переходное поведение, обусловленное тем, что
в момент времени t0 вектор состояния является собственной функцией Но,
тогда как в любой следующий момент времени зависимость вектора
состояния от времени определяется Hr(t).
Чтобы обойти эти трудности, Дайсон [196—199] ввел «промежуточ-
«промежуточное представление взаимодействия» (или сглаженную картину взаимодей-
взаимодействия). В этой картине гамильтониан взаимодействия умножается на мно-
множитель вида ехр (—К | t | ), обеспечивающий сходимость. Переходить
к пределу К -* 0 следует после выполнения всех вычислений. Такой мно-
множитель сходимости устраняет как неоднозначность из-за порядка перехода
к пределу t -* + оэ (результат эквивалентен усреднению по п\ способам
стремления к пределу), так и переходные эффекты.
Другая трудность, встречающаяся при применении выражения A3.4)
к задачам теории поля, заключается в следующем. Как отмечалось выше,
при применении теории возмущений в картине Дирака (взаимодействия)
обычно предполагают, что начальное состояние системы является собствен-
собственным состоянием невозмущенного гамильтониана Но. Из-за взаимодей-
взаимодействия Hj (t) вектор состояния изменяется. В: конечном счете при больших t
снова делается предположение, что поведение вектора состояния опреде-
определяется ТОЛЬКО Но.
Таким образом, применимость теории возмущений покоится на пред-
предположении, что возмущенный и невозмущенный векторы состояния лежат
в одном и том же гильбертовом пространстве. Известно, однако, что для
локальных точечных взаимодействий это не так. Ван Хов [804, 805] показал,
что в теориях.с трилинейными точечными взаимодействиями (или в теориях
с недостаточно быстро убывающими функциями обрезания) нет нормируе-
нормируемых векторов состояния (отличных от вакуума для тех теорий, в которых
«голый» и физический вакуум совпадают), которые лежали бы в области
пересечения гильбертовых пространств собственных состояний Н и Но.
Чтобы обойти эту трудность, в последнее время стало модным рабо-
работать в терминах так называемых «ин»- и «аут»-операторов (см. работы
Янга и Фельдмана [871] и Челлена [408], а также Швебера [708]), кото-
которые удовлетворяют перестановочным соотношениям и уравнениям для
свободных полей и которые действуют в гильбертовом пространстве соб-
собственных состояний полного гамильтониана Н. Для определения ин-опе-
раторов предположим, что картины Гейзенберга, Шредингера и Дирака

400 Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
совпадают в момент времени t = 0. Определим затем оператор
e-iHt, A3.7)
где Q<+> —волновая матрица Мёллера. Напомним, что она имеет следую-
следующие свойства:
Qc+)|<Pa> = |^>, A3.8а)
д(+)яоа<+)^ = я . A3.86)
или
Q(+)tf0 = #Q<+>. A3.8b)
В дальнейшем мы будем предполагать, что гамильтонианы 1) Но и Н
не имеют связанных состояний. Тогда QC+1> = Q(+)* и
e-iHt, A3.9)
Развитие во времени оператора V + (t) определяется следующим диффе-
дифференциальным уравнением:
idtV+ (t) = е«» [Q<+\ H\ e-iHt =
(Я - Но) е~Ш1 =
= V+(t)HIH(t), A3.10)
где значок Н использован для обозначения гейзенберговского оператора.
Определим гейзенберговский «ин»-оператор:
= eiHtul+>e-iHtOH (t) eiHt&+)-le~iHt =
= eiHtOln@)e-iat. A3.11)
Из этого определения легко вывести уравнение движения, которому
удовлетворяет оператор Ojn(?):
-idtOin(t) = [H,Oin(t)\, A3.12а)
как и требуется для гейзенберговского оператора. Имеем также
_ й А» @ = е4Ш {Н&+Юи @) Q"'-1 - Й(+)ОН @)
о, Он @)] Q<+)-V-iHi =
= [Я0Ш@, Ota@b A3.126)
так что оператор Oia (t) подчиняется свободному уравнению, определяе-
определяемому гамильтонианом Яо ш- Чтобы получить выражение для гамильто-
!) Операторы Я, //0, Я/ и т. д. без временного аргумента являются гейзен-
гейзенберговскими операторами, отнесенными к моменту времени < = 0. Их зависимость
от времени определяется соотношением
OH(t) = eiHtOH@)e-iBt,
так что Н (t) =HH (t) =H @) = Я-

§ 1. Вводные замечания общего характера 401
ниана Но in, следует заменить в выражении для Но гейзенберговские
операторы «ин»-операторами. Из равенств A3.11) и A3.86) следует
Но 1п @ = е*я<Й<+>#Оя @) Qt+)"le-«« =
= Я = Я0щ@). A3.13)
Следовательно, собственные состояния гамильтониана Яош являются
также собственными состояниями и гамильтониана Н.
Подставляя множитель F+ (t)~W+ (t) в правую часть уравнения A3.10),
можно переписать его в виде
idtV.(t) = HIin(t)V+(t). A3.14)
Для получения других свойств оператора F+ (t). рассмотрим мат-
матричный элемент
Переходя к пределу t—»± oo, получаем
а) = б(й-а), • A3.16a)
>—oo
lim (i|>j|~ \V+ (t) | i|>J ) — б {b — a) — 2ш'6 (Еъ — Ea) Rba = Sba, A3.166)
т. e. lim F+ (t) = S (^-матрице в картине Гейзенберга, матричные эле-
элементы Sba которой определены через точные гейзенберговские состояния
рассеяния |г|э+), являющиеся собственными состояниями гамильто-
гамильтониана Н [а также и Но™, согласно равенству A3.13)]). Формализм
^-матрицы на основе «ин»-операторов подобен развитому ранее форма-
формализму на основе операторов в картине взаимодействия. Например, V+ (t)
в силу уравнения A3.14) и граничного условия lim F+ (t) = 1 удовлетво-
t-~*—oo
ряет интегральному уравнению
t
F+@ = *-*$ HnD{t')VAt')dt', A3.17)
^oo
откуда
oo ( t
F+ @ = 2 -Цг- \ dti • • • I dt»p №"»(г0 • • • я' »«•(*»)) A3Л8)
n=0 —oo —oo
vlJS — F+ (-f oo). Элементы ^-матрицы вычисляются между собственными
состояниями невозмущенного гамильтониана (он теперь Но jj).
^ Мы снова хотим подчеркнуть, что этот формализм справедлив только
тогда, когда нет связанных состояний. Позже мы вернемся к проблеме
учета связанных состояний.
Можно построить в точности такой же формализм и с помощью
оператора V_(t), который определяется соотношением
F. @ = е««О<->в-Ш1# A3.19)
26 с. Швебер

402 Гл. IS. Приведение S-матрицы к нормальной форме
При этом ^-матрица дается выражениями
lim (фь | V. (*) 11?> = «Sta . A3.20a)
(->—со
lim (qi\V_{t)\q-a) = b{b-a). A3.206)
С помощью оператора V_ (t) можно определить гейзенберговские «аут»-
операторы
Oout (t) = F_ @ Он (t) V_ (О, A3.21)
которые снова подчиняются свободным уравнениям, и построить «аут»-
собственные состояния \^а)- Легко найти соотношение между ин- и аут-
операторами. С этой целью вспомним, что ^-матрица может быть опре-
определена из соотношений S \ %} = | г|з+) или SQ^l фа) = Q<+)|<pa), откуда
S = Q^Q'-)-1 t A3.22)
и
Oout @) = QM Он @) Q'-' = Q'^Q^-^in @) Q'+'Q'-^1 =
. -^-^^(O)^. A3.23a)
Так как S-матрица коммутирует с ехр iHt, то в общем случае
^out (t) = S-Win (t) S. A3.236)
В ин-аут формализме мы обходим трудность, связанную с тем, что
невозмущенные и возмущенные собственные состояния не лежат в одном
и том же гильбертовом пространстве. Нужно отметить, однако, что
в строгом математическом смысле не существует унитарного опера-
оператора Q(±), если гамильтонианы Н0 и Н не имеют общих векторов состояния.
Таким образом, исходная трудность только переносится в другое место.
Поэтому мы пока продолжим наше изложение в картине Дирака.
Томонага [782] и Швингер [711] положили начало интенсивному
использованию картины взаимодействия в теории поля, что привело
к значительному прогрессу в развитии вычислительных методов теории
поля. Преимущество картины взаимодействия заключается в том, что
в этой картине операторы поля удовлетворяют свободным уравнениям,
так что могут быть записаны неодновременные инвариантные переста-
перестановочные соотношения. В этой картине уравнение A3.1) можно обобщить
и придать ему ковариантную форму. Уравнение A3.1) в той форме,
в которой оно записано, не ковариантно, поскольку для определения
производной по времени требуется выделенная лоренцева система отсчета.
Обобщение состоит во введении понятия общей пространственно-
подобной поверхности вместо «плоской» поверхности t = const. Единствен-
Единственное условие, которому должна удовлетворять такая поверхность, заклю-
заключается в том, что нормаль к ней в любой точке a;, n^ix), должна быть
времени-подобной, т. е. п^ (х) г№ (х) > 0. Это означает, что никакие две
точки на поверхности не могут быть связаны световым сигналом, или,
другими словами, любые две точки поверхности разделены простран-
пространственно-подобным интервалом. Обозначим такую поверхность через а.
Каждой точке х этой поверхности можно приписать время *(х), назы-
называемое ее локальным временем. В том пределе, когда поверхность ста-
становится плоской, каждая точка имеет одно и то же время t, равное
координате плоскости t = const. Теперь само собой возникает естественное

§ 1. Вводные замечания общего характера^ 403
обобщение |Y(*)) — переход к |Y(*(x))). Затем можно рассматривать
основное уравнение
(*)> A3.24)
как результат суммирования бесконечного ряда уравнений, полученных
при помощи введения локального времени для каждой точки простран-
пространственно-подобной поверхности. Если выразить гамильтониан взаимо-
>
Пространственно-
временной объем ?2
Фиг. 18.
действия в виде суммы по малым трехмерным ячейкам AF простран-
пространственно-подобной поверхности а
#i @ = 2 861 (x) AF, A3.25)
то уравнение, которое соблюдается в малой ячейке вокруг простран-
пространственно-временной точки х, t (x), может быть записано в виде
dt(x) = ^6l ^ VI ^ ^ ^Х)^' A3.26)
это уравнение представляет собой обобщение уравнения A3.24), ибо если
изменение \W (t)} при бесконечно малом сдвиге всей поверхности t — const
как целого определяется интегралом \ $ffi (x) d3x, то разумно считать,
что вариация \W (t (x))) в точке х, t (x) должна определяться плотностью
энергии взаимодействия ?$i (x) AF в бесконечно малой окрестности
точки х.
Так как произведение tsVt (x) является инвариантом, то напраши-
напрашивается следующий инвариантный метод дифференцирования. Рассмотрим
функцию пространственно-подобной поверхности [ W (t (х))) = | W (о)}. Срав-
Сравним значения этой функции на двух пространственно-подобных поверх-
поверхностях а и а', которые отличаются друг от друга только в окрестности
пространственно-временной точки х на бесконечно малую величину
(фиг. 18). Теперь определим инвариантную операцию
= Нт
д«ду->о с ^ d3x At (x)
ду
= lim
дгду->о cAf W AF
= lim IT(O>-ITW> . A3.27)
Здесь Q (x) — четырехмерный объем, заключенный между поверхностями
о и о', причем а'— пространственно-подобная поверхность, полученная
26*

404 Гл. 13. Приведение S-матрицы п нормальной форме
путем малой деформации поверхности а вблизи точки х. При переходе
к пределу Q (х) стягивается к точке х. Поэтому можно переписать урав-
уравнение A3.26) в виде
ihc ^Шг=mi {x)l ? (а))- A3-28)
Это уравнение ковариантно, так как гамильтониан J^j является инва-
инвариантом в случае взаимодействий без производных (относительно взаи-
взаимодействий с производными см. замечания, приведенные ниже), и для
определения понятия пространственно-подобной поверхности не требуется
задания какой-либо лоренцевой системы отсчета. Таким образом, мы
написали уравнение движения системы без ссылок на какую-либо част-
частную систему координат. Уравнение A3.28) обычно называют уравнением
Томонага — Швингера.
Для существования решений уравнения A3.28) должно быть выпол-
выполнено следующее условие интегрируемости:
0 МЧ9
6а(хNа(х') Ьо{х')Ьо{х)-"' (ю.ж)
что по существу ограничивает область изменения о (х). В свою очередь
для соблюдения условия A3.29) необходимо, чтобы
litfiix), §Vi{x')]=0 A3.30)
для точек х и х', лежащих на пространственно-подобной поверхности а.
Операторы поля подчиняются таким инвариантным перестановочным
соотношениям, что условие A3.30) автоматически удовлетворяется для
всех локальных взаимодействий без производных. Когда плотность лагран-
лагранжиана взаимодействия содержит производные по времени от полевых
переменных (например, в случае взаимодействия заряженного бозонного
поля с электромагнитным), необходимо несколько обобщить описанный
выше метод. В этом случае для того, чтобы условие интегрируемости было
выполнено, плотность гамильтониана взаимодействия должна явно зави-
зависеть от поверхности (см., например, статьи Кролла [465] иМэтьюза [538]).
Из условия интегрируемости следует, что решение существует только
тогда, когда поверхность а является пространственно-подобной, так как
коммутатор A3.30) не равен нулю, если точки х и х' разделены времени-
подобным интервалом. Кроме того, это условие гарантирует, что если
пространственно-подобная поверхность становится плоскостью t = const,
то каждое решение уравнения A3.28) удовлетворяет и уравнению A3.24).
В дальнейшем нам не придется в явном виде пользоваться этими
поверхностями. Они не упрощают теорию и не вносят дополнительного
вклада в физическое содержание теории, хотя в физическом смысле эти
поверхности не хуже плоских поверхностей t = const. В то же время
физически необоснованным является предположение, что эрмитовы опера-
операторы поля, взятые в строго определенных пространственно-временных
точках, существуют и измеримы в обычном квантовомеханическом смысле.
Действительно, Бор и Розенфельд [69, 70] в своих классических работах,
посвященных проблеме измеримости электромагнитных полей, показали,
что измеримы лишь средние значения операторов поля по малым простран-
пространственно-временным объемам, т. е. измеримы лишь эрмитовы операторы
вида ф (R) = \ ф {x)dix, где R — малая область пространства-вре-
R
мени. Это обусловлено конечными размерами классических измеритель-

§ 1. Вводные замечания общего характера 405
ных приборов и конечными промежутками времени, необходимыми для
определения сил при помощи изучения их действия на макроскопические
пробные тела. До сих пор еще не удалось найти связь между этими огра-
ограничениями на возможности измерений и проблемой расходимостей соб-
собственного заряда и собственной массы в релятивистских теориях поля.
Вместе с тем известно, что если пространственно-временной объем, в кото-
котором производятся измерения флуктуации поля или распределения плот-
плотности заряда и тока, имеет резкие пространственно-временные границы,
то в теории возникают дополнительные «граничные расходимости» (см.
статьи Гейзенберга [368], Штюкельберга [753, 754] и Коринальдези
[144,145]).
Чтобы уточнить сделанные выше замечания, мы проиллюстрируем
их на простой модели теории поля, в которой спинорное поле взаимодей-
взаимодействует с нейтральным мезонным полем. В картине Шредингера несим-
метризованный гамильтониан имеет вид
Я = J йЧЦ (- iy • д + Мо) ф (х) + i J d*x {я* (х) + ц;<р* (х) + (ЭФ (х)J} +
+ G J d3r$(x)rij)(x)<p(x). A3.31)
В картине Дирака операторы поля удовлетворяют следующим уравне-
уравнениям движения и перестановочным соотношениям:
{-iy.d + M0)^D(x) = 0, №d(x), $D(x')]+=-iS(x-x'), A3.32)
(а + Ио)<Ы*) = О, [фв(*), Фг>(*')] = *А(*-*'). A3.33)
а уравнение Томонага — Швингера для вектора состояния системы запи-
запишется в виде
^^ )|Т(о).>, A3.34)
где
3€н> (х) = G : yD {x) Tq>D {x): <pD (x). A3.35)
Уравнения, которым удовлетворяют ин-операторы q>tn(x) и tyiu(x), сов-
совпадают с уравнениями A3.32) и A3.33), а оператор V+(t) подчиняется
уравнению
iOtV+ (t) = G^ d3x : $in (x) ТЪп (х): cpin (x) V+ (t). A3.36)
Для применения развитого в гл. 11 формализма к рассеянию мезона
на нуклоне или к любому другому процессу рассеяния необходимо,
чтобы спектры гамильтонианов Н и Но совпадали. Если разбить гамиль-
гамильтониан A3.31) на невозм"ущенную и возмущенную части согласно формуле
A3.37)
где
Нг @) = G J д?х : $ (х) 1> (х) : <р (х) | ^^ A3.38)
то эти спектры не совпадают по двум причинам. Во-первых, в реляти-
релятивистских теориях поля вообще, и в рассматриваемой модели в частности,
«голый» вакуум | Фо) (собственное состояние гамильтониана Но) не является

406 Гл. IS. Приведение S-матрицы к нормальной форме
собственным вектором гамильтониана Н. Действительно, слагаемое
¦ф(~) Pi|>(~ V~J B гамильтониане взаимодействия Нг приводит к рождению
пар, и поэтому #/@)|Ф0) Ф 0. Из-за возможности рождения пар энергия
физического вакуума смещается относительно энергии «голого» вакуума
на (вообще говоря, бесконечную) величину собственной энергии ваку-
вакуума Ео. Чтобы собственные значения энергии «голого» и физического
вакуума совпали, мы прибавим и вычтем член Ео — сдвиг уровня
вакуума. Затем мы будем рассматривать Но + Ео как невозмущенный
гамильтониан, a Hj — E0 как возмущение. Во-вторых, аналогичное
явление возникает и в одночастичных состояниях: не совпадают энергии
«голого» одночастичного состояния (собственного состояния Но) и соот-
соответствующего физического одночастичного состояния (собственного состоя-
состояния Н) с тем же импульсом. Для одиночной (свободной) частицы един-
единственный эффект, к которому может в релятивистски инвариантной теории
приводить взаимодействие, сводится к изменению массы этой частицы
(на ЬМ для нуклона и на 6ji2 для мезона). Таким образом, изменение
энергии однонуклонного состояния дается формулой
МоШ f..., A3.39)
и в первом порядке сдвиг уровня равен
AE==JW?L. A3.40)
Для учета этого сдвига уровня спектры гамильтонианов Но и Н- изме-
изменяют так же, как и для простых моделей, рассмотренных в гл. 12.
Мы добавляем к Но член \ d3x ЬМ : ¦фар: и вычитаем этот же член из Hi,
а затем отождествляем Мо + ЬМ с физической (наблюдаемой) массой
нуклона. Аналогично, мы добавляем и вычитаем член V2 \ е23л;6ц2:ф2:
и отождествляем 6ц2 + ц„ с квадратом наблюдаемой массы мезона. По-
Поэтому невозмущенный гамильтониан и гамильтониан взаимодействия
превращаются в
Щ= J d3x:q(-iy.d + M)Tp: + ±- jj д?х : лг+^2Ф2 + (9фJ: +?„.
с с 1С A3.41)
Щ = G jj d3x : г|)Гг|): q> - Ео - \ d3x : г|л]>: ЬМ - у ^ d*xby? : ф2:,
где перенормировочные контрчлены должны быть определены таким
образом, чтобы однонуклонное состояние с импульсом р имело энергию
а одномезонное |/р2+^8. Эти контрчлены взаимно уничто-
уничтожаются с собственно-энергетическими членами, возникающими в процессе
вычислений. Отметим снова, что при такой процедуре параметры М и |л
вводятся в теорию феноменологически.
Приступим теперь к подробному анализу гамильтониана взаимодей-
взаимодействия G: г|)Гг|)ф: в картине Шредингера. Рассмотрим сначала его спи-
норную часть: г|э (х) Г г|з (х):. Если подставить в это выражение разло-
разложения а|з (х) и а|з (х) на операторы рождения и уничтожения, то воз-
возникают четыре типа членов:
1) bp'bp, соответствующий уничтожению нуклона с импульсом р
с последующим рождением нуклона с импульсом р', т. е. соответствую-
соответствующий рассеянию нуклона;

§ 1. Вводные замечания общего характера 407
2) dp dp-, соответствующий рассеянию антинуклона;
3) bpdp', соответствующий аннигиляции нуклона и антинуклона,
т. е. уничтожению пары;
4) bpdp-, соответствующий рождению пары.
Далее, разложение оператора мезонного поля на операторы рожде-
рождения и уничтожения записывается в виде
Следовательно, гамильтониан взаимодействия Hj приводит к восьми
элементарным процессам, которые соответствуют
1) испусканию бозона, сопровождаемому
а) рассеянием нуклона,
б) рассеянием антинуклона,
в) аннигиляцией пары,
г) рождением пары;
2) поглощению бозона, сопровождаемому перечисленными выше
процессами.
Эти элементарные процессы могут быть графически изображены хроно-
хронологически упорядоченными диаграммами Фейнмана. Обозначим бозон пре-
' рывистой линией, нуклон —линией, направленной вперед во времени, а ан-
антинуклон — линией, направленной обратно во времени. Тогда процесс рас-
рассеяния нуклонов с испусканием бозона может быть представлен фиг. 19,а.
Направление возрастания времени указано на фигуре; указано также
направление линий, причем его нельзя топологически искажать. Именно
это мы подразумеваем, называя диаграммы «хронологически упорядочен-
упорядоченными». Аналогично, процесс рассеяния антинуклона с испусканием бозона
представляется фиг. 19,6, а схемы других процессов изображены на
фиг. 19,е-19,з.
В результате интегрирования по d3x в выражении для гамильто-
гамильтониана взаимодействия Hi мы приходим к сохранению импульса в каж-
каждой вершине. Рассмотрим, например, процесс рассеяния нуклона (см.
фиг. 19,а). Часть Hi, которая приводит к этому процессу, равна
2 2
\ d*x \ d3P' J d3P S ^S 2 e-*<P'+*-P>-x
r=l s=l
Интегрируя по d3x, находим
I/ /~'\ X
2o) (к) E (p) E (p')
2 2
x 2 2 6<3> (p-p' -k) ^r (p')rayS (p')&? (p) b° (p)a* (k)- A3-44)
r=l s=l
Возникшая здесь б-функция соответствует сохранению импульса в вер-
вершине. Таким образом, если приходящий нуклон на фиг. 19,а имел
импульс р, то импульс уходящего нуклона р' связан с р соотношением
р' = р —к, где к —импульс испущенного мезона.

Время
Процесс bp-*bpay*
а
Процесо dp-'dpOk*
6
Процесс &р-*
в
Процесс d'da
г
Процесс d*b*a
N д
Процесс dba'
е
Процесс d*b'a*
ж
Фиг. 19.
Процесс dba
3

§ 2. Рассеяние нейтрального мезона на нуклоне 409
Теория возмущений применяется так же, как и в обычной кванто-
квантовой механике. Если ограничиться процессами второго порядка1), то
матричный элемент для процесса i ->¦ / дается выражением
Rf> = (Ф/1 Д» ф,) = 2
т
ЕтфЕг
где |Ф/), |Фг-> и |Фт) — волновые функции конечного, начального и про-
промежуточного состояний системы. (Все они являются собственными функ-
функциями Но.) Суммирование проводится по всем промежуточным состоя-
состояниям, которые отличаются от начального состояния, обладающего
энергией Et.
§ 2. Рассеяние нейтрального мезона на нуклоне
В качестве иллюстрации к сделанным выше замечаниям вычислим
в псевдоскалярной теории с псевдоскалярной связью матричные эле-
элементы низшего порядка для рассеяния нейтрального мезона на нуклоне.
Рассеяние двух частиц протекает через состояния, которые описы-
описываются следующим образом:
Начальное состояние. В начальном состоянии имеются мезон с импуль-
импульсом kj и нуклон с импульсом р4 и спиновым индексом st, т. е.
|Фг) = ^1(Р1)а*(к1)|Ф0). A3.46)
Промежуточные состояния. В низшем порядке теории возмущений
в результате взаимодействия Hi возможны следующие четыре промежу-
промежуточных состояния:
а) нуклон поглощает мезон (это соответствует члену Ъ*Ъа в Hj), так
что в промежуточном состоянии имеется только один нуклон с импуль-
импульсом Pi = Pi + ki и энергией
б) нуклон испускает конечный мезон с импульсом к2 (посредством
члена b*ba*), так что в промежуточном состоянии находятся два мезона
с импульсами kt и к2 и нуклон с импульсом pj — кг;
в) рождаются пара нуклон—антинуклон и мезон (d*b*a*), так что
в промежуточном состоянии имеются два нуклона, один антинуклон
и два мезона; нуклон и мезон, образованные в этом процессе, будут
составлять конечное состояние;
г) начальный мезон образует пару, а сам «исчезает» (d*b*a), т. е.
промежуточное состояние состоит из двух нуклонов и одного антину-
антинуклона, но не содержит мезонов.
Конечное состояние. Вторичное применение оператора Hi в фор-
формуле A3.45) должно перевести систему в конечное состояние, в котором
имеются мезон с импульсом к2 и нуклон со спиновым индексом s2
и импульсом р2, т. е.
Ь*3(Р2)«*(к2)|Ф0>. A3.47)
Это достигается следующим образом:
а) нуклон в промежуточном состоянии испускает конечный мезон
и сам переходит в конечное состояние (процесс b*ba*)\
!) Реальные процессы первого порядка не могут осуществляться, поскольку
в этих процессах не выполняется закон сохранения энергии и импульса.

410
Гл. 13. Приведение S'-матрицьГ'к нормальной форме
б) нуклон в промежуточном состоянии поглощает начальный мезон
(процесс b*ba);
в) образованный в промежуточном состоянии антинуклон анниги-
аннигилирует с начальным нуклоном, а начальный мезон поглощается (dba);
г) образованный в промежуточном состоянии антинуклон анниги-
аннигилирует с начальным нуклоном, и рождается конечный мезон (dba*).
Соответствующие хронологически упорядоченные диаграммы Фейнма-
на изображены на фиг. 20.
Конечное состояние
' ВэаимоЭепстппе Н,
Промежуточное состояние
Взаимодействие Н,
Начальное состояние
Рг
(Ь'Ьа)
|. Pi -
Л п. *
¦{Ь'Ьа)
ф'Ъа')
Время
Конечное состояние
ВзаимоЭействие Я, (dba)
Промежуточное состояние р
Взаимодействие Н,
Начальное состояние
Фиг. 20.
к,
Рассмотрим сначала вклад в RfJ от процесса (а). Полезно перепи-
переписать матричный элемент A3.45) для этого процесса в виде
^2)?г_^о,+ .еЯ^1)Фг) , A3.48)
где Et = E (pi) + со (kt) — энергия начального состояния1). Оператор Н\а1)
дается выражением
«-S "S ""$«
X
х
), A3.49)
S, Г=1
и оператор Н\а2^ определяетс,я формулой A3.44) с Г = уъ. Теперь, исполь-
используя формулы A3.46) и A3.49) и свойства вакуума
0 = а
> =
| Фо) = ds (p)| Фо),
г) Строго говоря, следовало бы включить в выражение A3.48) множитель
<1—Pi), где Р(—оператор проектирования на начальное состояние. Однако
(Фи //ФH

§ -2. Рассеяние нейтрального мезона на нуклоне 411
легко найти промежуточное состояние |Фт^) — ff'f^ |Ф*). Состояние
|ф?о)>«=#(р')Мр)а(к)|Ф,> A3.50а)
с учетом перестановочных соотношений для операторов Ъ и а приобре-
приобретает вид
I Ф1а)> - Ъ* (р') bs (р) а (к) a* (ki) bt, (pOl Фо> =
= 6<3> (к - кО 6SlS6<3) (р - Pl) Ъ* (р')| Фо). A3.506)
Отсюда
2 ; A3.51)
г=1
|Фто'> является однонуклонным состоянием с импульсом pi + k4. Опе-
Оператор 7/0, действуя на это состояние, дает ?(pt + kt) [Фт'). Поэтому
действие оператора (Е^ — #0-{- ie)'1 на состояние |Фт5} приводит
к [^| — J5 (Pl + kt)]-11ФЙЪ-
Используя ту жэ методику, легко показать, что действие оператора
J на последнее выражение приводит к
2
^ J ?(Pi+kt) Ч. (o(k)tu(ki)?(Pl+ki-k)?'(p1) ) X
Е (Pl) + 0) (kj)-.Б (p+kO + ie
A3.52)
Наконец, чтобы найти Д/f>a, мы должны вычислить матричный элемент
(®1, К (Pl + kt - k) a* (k) Фо) = (bt2 (p2) a* (k2) Фо, Ъ* (Pl + k, - k) a* (k) Ф„) =
= 6S2S6<3> (p2 - Pl - kt + k) 6<3) (k2 - k). A3.53)
Следовательно,
Дц>о_ G2 M f № V/i
1% 2BлK JB(Pl+ki) V w (k2) (o (kt) ? (p2) ? (Pi) У
2 ^, ^
X бC) (р_р_к+к)У t^82 (Рг) У5™г (Pi+kQI К (Pi+kt) Y5^S1 (Pi)] /13 g^\
r=i
Множитель с 6-функцией соответствует сохранению полного импульса
в этом процессе.
Можно интерпретировать полученный матричный элемент следующим
образом: множитель
A3.55)
соответствует поглощению мезона с импульсом kt (сомножитель
[2 BяK(о (kj)]^) начальным нуклоном с импульсом pt, переходящим в состо-
, Г G f М* "\ 1/г ~г , ,, . / \ '1
яние с импульсом р 1 сомножитель -2 ,3 { ^ (\t \ Ё(\t'\ ) (Р ) Yst^Sl (Pi) J .

412 Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
Так как в этом процессе импульс сохраняется, то появляется множи-
множитель BяK б<3> (р'— р! — к4). Аналогично, множитель
соответствует матричному элементу перехода нуклона из состояния (р'г)
в конечное состояние (р2«г)> сопровождаемого испусканием мезона
с импульсом к2. Импульс снова сохраняется, и поэтому возникает
множитель BяK 6<3) (р2 + к2 —р'). Наконец, после деления на Ег — Ет + is,
.[в нашем примере ?т = .?(р')] нужно, следуя теории возмущений, про-
просуммировать по всем промежуточным состояниям (что соответствует
1,2
здесь операции \ d3/>^ ). Эта процедура снова приведет к A3.54).
г
Используя эти соображения, можно сразу же выписать матричный
элемент, соответствующий диаграмме фиг. 20,6. Здесь начальный нуклон
сначала испускает конечный мезон с импульсом к2, а сам переходит
в состояние с импульсом pt — k2. Поэтому в промежуточном состоянии
находятся два мезона и нуклон, так что его энергия равна
* 1-k2). A3.57)
Таким образом, матричный элемент Rfi' запишется в виде
G2 /• М \ /" М* \Va
2 BяK V Е (pi—k2) ) \ со (kt) со (k2) E (pt) ? (р2) )
A3-58>
Аналогичная описанной выше процедура показывает, что испусканию
мезона с импульсом к2 при рождении пары, в которой нуклон характе-
характеризуется переменными p2s2) а антинуклон — р'г, соответствует множитель
(ZY ^ Ы У*? (Р'). A3-59)
Подобным же образом аннигиляции пары (нуклона р^ и антинук-
антинуклона р'г), сопровождаемой поглощением мезона (ki), соответствует мно-
житель
Поэтому матричный элемент, представляемый на фиг. 20,в хронологи-
хронологически упорядоченной диаграммой Фейнмана, равен
) \
( _
2 Bя)з \Е (Pi+kO ) \ а (к4) со (к,) ? (Pl) ? (р2)
хв(Ю(ра +
^ (Рг) Y5"r
^ ?i-?(Pl)-? (р2)-?(р1+к1)-<о(к1)-со(к2)

§ 2. Рассеяние нейтрального мезона на нуклоне
413
Знак минус в правой части равенства возникает из-за принципа Паули.
Аналогично для диаграммы фиг. 20,г получаем
М
2 BяK
(Pl- k2)
_
со (kj) со (k2) E (Pl) E (р2)
X 6C> (р2 + к2 - Pl - kt)
A3.62)
Г~1
Эти четыре матричных элемента описывают рассеяние мезона на нук-
нуклоне в низшем порядке теории возмущений. Во втором порядке теории
возмущений возможны и другие про-
процессы с участием мезона и нуклона.
Например, диаграммы на фиг. 21 со-
соответствуют процессам, которые при-
приводят к собственной энергии нукло-
нуклона. Вклад от этих диаграмм пол-
полностью погашается вкладом от члена
dMtyty при подходящем подборе мно-
множителя ЬМ. Аналогично, вклад от
диаграмм фиг. 22, которые соответ- _ г-
ствуют собственной энергии мезона
во втором порядке теории возмуще- Фиг. 21.
ний, уничтожается вкладом от чле-
члена А(х2ф2 в гамильтониане e%?i{x). Наконец, вклад от диаграммы
•фиг. 23, соответствующей собственной энергии вакуума, взаимно уничто-
уничтожается с вкладом от члена Ео в гамильтониане Нг, если должным образом'
подобрать величину Ео во втором порядке теории возмущений, равную Ef.
При желании теперь можно найти эффективное сечение рассеяния,
для чего нужно просуммировать по промежуточным состояниям при
Фиг. 22.
Фиг. 23.
помощи соотношений D.143а) и D.1436) и выполнить необходимые
интегрирования. Здесь этого делать мы не будем, а рассмотрим упро-
упрощение в матричном элементе, которое получается в пределе, когда
импульс мезона в системе центра масс (kt = — pt = k?, k2 = — p2 = k/)
значительно меньше массы нуклона, не касаясь того, что в этом случае
приближение Борна незаконно [54].
Заметим, что в системе центра масс движение нуклона является
нерелятивистским. Поэтому матричный элемент wT (pt + kt) ybwn (pt) =
= wr @) Y5twSl (— kt) мал, поскольку матрица уъ стоит между двумя
амплитудами wr @) и o;si(— k4), которые соответствуют положительной

414 Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
энергии и незначительно отличаются величиной импульса [вспомним
обсуждение свойств матрицы уъ в гл. 4, а именно соотношения D.130)
и D.131)]. Используя явные представления матрицы Ys и амплитуды w,
находим, что этот матричный элемент равен величине оператора itr>k1/2M,
взятого в обкладках между двухкомпонентными спинорами Паули | г)
и \si). (Теперь or есть 2x2 матрица спина нуклона!) Аналогично, в нашем
приближении матричный элемент ws^ (p2) y5wr (pt + kt) в системе центра
масс определяется оператором —ior-k//2M. Мы видим, что испусканию
или поглощению мезона, сопровождаемому переходом нуклона из одного
состояния с положительной энергии в другое такое же, соответствует
матричный элемент вида zer-k/2ikf. Это вскрывает некоторые важные
особенности псевдоскалярной связи: во-первых, при таких переходах
мезон поглощается или испускается в Р-состоянии и, во-вторых, взаи-
взаимодействие ослабляется, поскольку оно содержит «малый» оператор Ys-
Таким образом, диаграммы фиг. 20,а и б преимущественно приводят
к Р-волне в рассеянии мезона. В пределе k <g M энергетический знаме-
знаменатель в выражении A3.54) становится равным (в системе центра масс)
Е (kj) + со (kt) — М «s М + со (кг) — М ъ со (кг), A3.63)
так что матричный элемент A3.54), если опустить б-функцию, пропор-
пропорционален
B) а _ С2 ¦ 1 ff-k;ff-kj ^
г** —уЩ* /4со7к;) со (k,) w(k<) ~
~~\2М J jj.2 /4co (kj) со (kf) ш (ki) ^
Второе выражение для этого матричного элемента указывает на родство
теорий с псевдоскалярной и с псевдовекторной связями, которое обсуж-
обсуждалось в гл. 10. Подобным же образом матричный элемент для диаграммы
фиг. 20,6 в этом] приближении запишется в виде
BN ( Gjl у 1 g-ktff-k;
>« - ^ 2М ) j,2 ущщ^Щ со (к^) * V • /
Следует вспомнить, что такие же выражения для матричных элемен-
элементов, как и A3.64) и A3.65), получаются и в низшем приближении в стати-
статической модели Чу (за исключением функций обрезания), что проливает
дополнительный свет на область применимости этой модели.
Матричные элементы A3.61) и A3.62), в которые дают вклад процессы
с рождением пары, велики. В нашем приближении эти матричные элемен-
элементы сферически симметричны, так что диаграммы фиг. 20, виг ответственны
в основном за 5-волну в амплитуде рассеяния. Более тщательное изуче-
изучение задачи рассеяния без использования приближения Борна показывает,
что на самом деле в амплитуде рассеяния 5-волна значительно меньше полу-
получаемой в приближении Борна, а Р-волна — больше [54].
В заключение этого параграфа мы качественно обсудим, почему в пре-
пределе к < М диаграммы фиг. 20, а и б в основном приводят к Р-волне рас-
рассеяния, тогда как диаграммы фиг. 20, виг — к 5-волне. Причина, по суще-
существу, заключается в следующем: при энергии мезона со (k) <C M нуклон
в системе центра масс движется очень медленно по сравнению с мезоном.
Поэтому в первом приближении его движением можно полностью прене-
пренебречь. Рассмотрим, далее, применение законов сохранения момента коли-
количества движения и четности к двум процессам, соответствующим диаграм-

§ 2. Рассеяние нейтрального мезона на нуклоне
415
мам фиг. 24. Если мы условно предположим внутреннюю четность нуклона
положительной, то внутренняя четность антинуклона будет отрицательна.
Так как рассматриваемый мезон псевдоскалярен, то перед поглощением
четность всей системы будет положительной в случае Р-состояния и отри-
отрицательной в случае ^-состояния. После поглощения в процессе, изобра-
изображенном на фиг. 24, а, возникающий нуклон, согласно принятому усло-
условию, обладает положительной внутренней четностью. В то же время
в результате процесса на фиг. 24, б возникает состояние с отрицательной
четностью. Поэтому псевдоскалярный мезон может быть поглощен только
из состояний с нечетным орбитальным моментом в процессе, показанном
Нуклон- j =
Четность: +1
Нуклон: ;=
Четность: +1
v> /Иезон
ч
Четность ч>
начального
состояния
равна -{-I)"
а
Четность
конечного
состояния
отрицательна
л
Фиг. 24.
на фиг. 24, а, и только из состояний с четным орбитальным моментом
в процессе, показанном на фиг. 24, б. Если ограничиться низшими пар-
парциальными волнами, то диаграмма фиг. 24, а соответствует поглощению
только из Р-состояния, а диаграмма фиг. 24, б — только из ^-состояния.
Перейдем теперь к описанию рассеяния в картине Дирака, исполь-
используя выражение A3.4) для ^-матрицы. Допустим, что нас снова интересует
амплитуда рассеяния мезона на нуклоне.В низшем порядке теории возмуще-
возмущений амплитуда рассеяния из начального состояния jps; k) = 6*(p)a*(k) |Ф0)
в конечное состояние j p's'; k'} дается выражением
<pV; k'|5|ps; k> =
= —~ J d*xt J d*x% (p's'; k' | P
(«2))
(pV '
X
A3.66)
Из этого выражения можно было бы получить в аналитическом виде эле-
элемент ^-матрицы для рассеяния. Однако существует общий метод приве-
приведения ^-матрицы к сумме частей, каждая из которых дает вклад в опреде-
определенный процесс. Поэтому сначала мы изложим этот общий метод, а уже
потом вернемся снова к частной задаче рассеяния мезона на нуклоне.

416 Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
§ 3. Теорема Вика
Каждый член разложения ^-матрицы в степенной ряд A3.4) приводит
к большому числу виртуальных и реальных процессов. Дайсон [195—
197] и Вик [846] показали, как выразить хронологическое произведение
Р {&€i (zi) • • • S6i (хп)) в такой форме, в которой все виртуальные про-
процессы представлены явно. Они применили так называемое разложение
хронологического произведения на сумму нормальных произведений.
Следует вспомнить, что последние определяются, как такие произведения
операторов рождения и уничтожения свободных частиц, в которых все
операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения. Тогда
существует одно и трлько одно нормальное произведение, имеющее отлич-
отличный от нуля матричный элемент перехода между любыми наперед задан-
заданными начальным и конечным состояниями, которые содержат данные чис-
числа свободных частиц с определенными импульсами и проекциями спина.
Таким образом, разложение 5-матрицы на сумму нормальных произведе-
произведений эквивалентно перечислению всех элементов ^-матрицы в представле-
представлении, которое диагонально по числам заполнения свободных частиц. Диаг-
Диаграммы Фейнмана оказываются тогда просто компактным графическим спо-
способом представления нормального произведения. Мы покажем здесь, как
приводить 5-матрицу к нормальной форме, следуя алгебраическому
методу Вика [846].
Рассмотрим сначала простое произведение операторов Q в картине
взаимодействия. Разложение такого произведения на сумму нормальных
произведений, в которых все операторы рождения стоят слева от операто-
операторов уничтожения, выводится при помощи перестановочных соотношений
между входящими в произведение Q множителями. Эти соотношения явля-
являются операторными тождествами и не зависят от тех конкретных состоя-
состояний, которые могут нас интересовать. Введем снова оператор N, который
при действии на произведение операторов рождения и уничтожения запи-
записывает это произведение в нормальной форме. При этом подразумевается,
что перестановка операторов должна производиться так, как если бы в пере-
перестановочных соотношениях для операторов все коммутаторы и антикомму-
антикоммутаторы были равны нулю. Таким образом, операция iV-упорядочивания
включает изменение знака при перестановке антикоммутирующих полей.
Вспомним, что для произведения двух бозонных множителей имеем
N (9(-> (х) ф(+) (у)) = N (ср(+> (у) ер'"' (х)) = Ф<-> (х) Ф<+> (у). A3.67)
Аналогично для произведения двух фермионных множителей
JV (ф<+) (*) ф<"> (у)) =-N (ф'-> (у)ф<*> (х)) =
= _$<-> (у) ipo (Ж). A3.68)
По определению, для нормального произведения справедлив дистрибутив-
дистрибутивный закон, например
N (Ф (х) ф (у)) = N [(ф(+) (х) + ф<-> (х)) (ф(*> (у) + Ф<-> (у))] = .
= Л" (ф<+) (х) ф<*> {у)) + N (Ф(+) {х) Ф<-> (у)) +
D3.69)

§ 3. Теорема Вика 417
Используя перестановочные соотношения, можно затем записать:
V*{*)fy{y)=>X<#*{*)fy{y))-iS&{y-xh A3.70а)
г|)а (х) % (у) = N (г|)а (х) $3 (у)) - iS% (х-у), A3.706)
^(«Ж^-ЛЧЧ'^Жу)). A3.70b)
Ф (х) <p(y) = N (ф (*) ф B/)) + »ЬсД<+> (г - у), A3.70г)
Ф (*) * (У) = -ЛГ (Ф (ж) Ф (ж)). A3.70д)
Теперь мы введем хронологический оператор Вика Т, отличие кото-
которого от хронологического оператора Дайсона Р заключается только
в том, что при действии оператора Т учитывается знак перестановки фер-
мионных множителей:
T{UV ... Z) = 6PXY... . A3.71)
Другими словами, оператор Т, действуя на произведение зависящих
от времени операторов UV. ¦ . Z, располагает входящие в произведение
множители в хронологическом порядке XY . . . (оператор, зависящий от
самого позднего момента времени, стоит крайним слева), причем всему
произведению придается знак плюс или минус (бр) в зависимости от
того, является ли перестановка фермионных множителей при переходе от
левой части равенства A3.71) к правой четной или нечетной. Это означает,
что при перестановке множителей в хронологическом порядке оператор
Т действует так, как если бы все коммутаторы и антикоммутаторы были
равны нулю. Для случая двух множителей
У(Ф(*)ФЫ)"=' + Ф(а!)Ф(у), если хо>уо, A3.72а)
= - Ф (У) Ф (*). если уо]> х0. A3.726)
В силу перестановочного соотношения 0 = hj) (x), тр (у)]+ правые части
равенств A3.72) в обоих случаях можно записать в виде
Т ® Ш{у))= $ {х)$(у). A3.73)
Аналогично,
T$)+ip(x)$(y), если хо>уо,
~ Aо./4)
= — ip(y)ip(x), если ?/о > So,
х0 > у0,
= ф(у)ф(ж), если уо>хо.
Теперь вернемся к основной задаче — как выразить хронологическое
произведение через сумму нормальных произведений. Для этого введем
понятие спаривания двух множителей, которое нам понадобится для пред-
представления коммутаторов и антикоммутаторов, возникающих при преобра-
преобразовании хронологического произведения к нормальной форме. Будем обо-
обозначать спаривание двумя точками, стоящими вверху справа у соответ-
соответствующих двух множителей. В качестве определения спаривания возьмем
соотношение
T(UV) = trV+N(UV), A3.76)
где U'V — спаривание множителей U и V. В картине взаимодействия
интересующие нас коммутаторы или антикоммутаторы всегда являются
с-числами, так что спаривания также всегда представляют собой с-числа.
Далее, из определения оператора N следует, что среднее по вакууму
27 с. Швебер

418 Гл. IS. Приведение S-матрицы к нормальной форме
(«голому») от нормального произведения операторов в картине взаимодей-
ствия равно нулю. Поэтому если равенство A3.76) усреднить по вакууму,.
то мы получим
иТ = (Ф0, T(UV) Фо). A3.77)
Из определений Т- и iV-произведений следует, что при х0 > г/0
Ф(+)- И <р(-у (У) = Т (Ф<+) (х) <р<-> (у)) - N (ф(+) (*) Ф(-' (у)) =
(а:-г/). A3.78)
Аналогично проверяется, что
Ф(+)- (х) ф(->- (у) = 0 при г/о > жо, A3.79)
в согласии, конечно, с определением спаривания при помощи соотно-
соотношения A3.77), а именно
ф<"- (х) ф->- (у) = (Фо, Т (ф(+) (х) Ф<-> (у)) Фо) =
_ fiftcA(+) (x — у) при х0 > г/о.
~ (о при г/о > «о- A3.80)
В общем случае оказывается, что
Ф" (*) Ф" (У) = Т (ф (г) ф (у)) - ЛГ (ф (г) ф (г/)) =
= (Ф0, 71(Ф(а:)ф(г/))Фо) =
A() приж0>г/о, A3 81а)
при г/0>%
Следуя Дайсону, обозначим функцию, которая имеет свойства, указан-
указанные в правой части соотношения A3.81), через AF(x — у), т. е.
(х-у) nWxo>yo,
— ifccA*"' (х — у) при г/о > ха.
Используя определение A3.76) и перестановочные (антикоммутационные)
соотношения, мы подобным же образом найдем для фермионных мно-
множителей
¦Фа (X) $0 {У) = (Фо, Т (i|Ja (X) ф„ (у)) Фо) =
с —у) при хо>уо
: — у) при г/о > ar0
= — 4" ^«э(*-») = ^+вЭ (*-»)• A3.82)
Из определения нормального и Г-производений следует также
*=+у 5*"«е <*-»>• A3'83)
Таким образом, всякий раз, когда спаренное произведение не равно
нулю, в нем важен порядок множителей. Наконец, смешанное спарен-
спаренное произведение бозонного и фермионного множителей равно нулю,

§ 3. Теорема Вика 419
так же как и спаривание двух множителей типа i|) или i)j:
Ч>' (*) Ф" (У) = ? И Ф" (») = Ф' (*) Ф" (У) = ? (*) Ф" (У) = °- A3-84)
Итак, мы установили, что неравными нулю спариваниями являются
4>а (*) $0 (У) = (Фо, У D>а (X) % (У)) Фо) =
И
Ф- (х) ф' (г/) = (Фо, Г (ф (х) ф (у)) Фо) =
= +±%chF(x-y). A3.86)
Функции —l/2SF = K+ и ДР иногда, следуя работе Штюкельберга
и Ривье [752], также называют причинными функциями Sc и Дс,
поскольку Штюкельберг и Ривье пришли к ним, как к функциям Грина,
обеспечивающим правильную причинную последовательность событий во
времени в квантовой теории (см. также статью Фирца [257]).
Чтобы упростить дальнейшее изложение, определим нормальное про-
произведение с одним или несколькими спариваниями. Для различных спари-
спариваний мы будем использовать значки, такие, как две точки, три точки и т. д.
Например, если UV . . . XYZ — операторы рождения и уничтожения,
то, согласно нашему определению,
'n(U'V" ... R...X"YZT)=± (U'Z')(V"X")N(... R ... Y), A3.87)
причем знак плюс или минус должен быть взят в соответствии с тем, являет-
является ли перестановка фермионных множителей при переходе- от левой
части к правой четной или нечетной.
Теперь мы можем доказать очень полезную вспомогательную теорему.
Теорема. Если оператор Z предшествует во времени операторам
UV . . . XY, то
¦N(UV ... XY)Z = N(UV... XY'Z') + N(UV ... X'YZ'),+ ...
...+N(ЦТ . . . XYZ') + N(UV ... XYZ). A3.88)
Поскольку для нормального произведения имеет место дистрибутивный
закон, то достаточно, очевидно, доказать соотношение A3.88) для случая,
когда каждый из множителей U, V, . . . X, Y является либо оператором
рождения, либо оператором уничтожения. Кроме того, согласно опреде-
определению нормального произведения, соотношение A3.88) остается верным
при перегруппировке множителей UV . . . XY, если произвести одну
и ту же перегруппировку в обеих частях соотношения. Поэтому можно
считать, что операторы UV . . . XY уже расположены в нормальном поряд-
порядке и все операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения.
Мы докажем теорему в предположении, что Z — это оператор рожде-
рождения и что все операторы UV . . . XY являются операторами уничтожения.
Ясно, что такое доказательство является исчерпывающим. Действительно,
если UV . . . XY являются операторами уничтожения, a Z — оператором
рождения, то в соотношение A3.88) можно добавить любое число опера-
операторов рождения слева от всех множителей внутри iV-произведения. При
этом справедливость теоремы не нарушится, так как спаривание двух опе-
операторов рождения равно нулю. С другой стороны, ecnnZ будет оператором
уничтожения, a UV . . . XY — операторами рождения, то соотношение
27*

420 Гл. 13. Приведение S-матрицы, к нормальной форме
A3.88) сведется к тривиальному тождеству. В самом деле, спаривание
оператора рождения с оператором уничтожения равно нулю, если момент
времени, в который задан оператор уничтожения, предшествует моменту
времени, от которого зависит оператор рождения [см., например, форму-
формулу A3.80)]. Ъ этом случае в правой части соотношения A3.88) отличен
от нуля только последний член, и это соотношение превращается в тож-
тождество.
.Теорема доказывается методом математической индукции. Ее справед-
справедливость очевидна для случая одного множителя под знаком TV-произведе-
TV-произведения, так как тогда (напомним, что, по определению, оператор Z предше-
предшествует во времени оператору Y)
N(Y)Z = YZ = T(YZ), A3.89)
а, согласно определению A3.76),
T(YZ) = Y'Z'+N(YZ). A3.90)
Предположим теперь, что соотношение A3.88) верно для случая п
множителей, и умножим его слева еще на один оператор уничтожения D,
заданный в более поздний момент времени, чем оператор Z. Тогда
DN (UV ... XY) Z = N (DUV ... XYZ) +...
... + N (DUV . . . XYZ') +DN(UV ... XYZ), A3.91)
потому что во всех членах, в которых оператор Z спарен, множитель D
можно внести под знак нормального произведения. Однако поскольку,
по определению, Z есть оператор рождения, а все множители UV ... —
операторы уничтожения, то
N(UV ... XYZ) = bpZUV ... XY, A3.92)
где бр — знак перестановки фермионных множителей. Отсюда
DN(UV ... XYZ) = bpDZUV ... XY. A3.93)
Учитывая снова, что оператор Z задан в более ранний момент времени,
чем оператор D, находим
DZ = Т (DZ) = D Я + N (DZ) =
= DZ- + 6QZD, A3.94)
и отсюда следует, что
DZUV ... XY = DZUV ... XY + 6QZDUV . .. XY. A3.95)
В силу нашего определения нормального произведения со спариванием
D'ZUV ... XY = 6PN(DUV ... XYZ'). A3.96)
Аналогично,
ZDUV ... XY = 6P6QN (DUV . . . XYZ). A3.97)
В итоге, объединяя результаты, получаем
DN (UV ... XYZ) = bpDZUV ... XY =
= bpN (DUV ... XYZ)+6P62Q7V (DUV . .. XYZ). A3.98)
Так как 6q = 6|> = 1, to наша теорема доказана для случая п-\-1 опе-
операторов уничтожения, что достаточно для общего доказательства тео-
теоремы методом математической индукции.

§ 3. Теорема Вика 421
Эта теорема сразу же обобщается. Умножим слева соотношение
A3.88) на множитель R"S". Тогда, используя определение A3.87),
можно придать соотношению A3.88), например, следующий вид:
Л" (URV ... S"XY) Z = N (UR"V ... S'XYZ) + ...
... +N(WR"V ... S~XYZ)+N(UR~V ... S"XYZ).
A3.99)
Можно умножить на несколько таких спаренных множителей. Таким
образом, теорема A3.88) остается верной и тогда, когда внутри произ-
произведения N {UV .. . XY) имеется любое число отмеченных спариваний
(одних и тех же, конечно, в каждом члене).
Теорема Вика гласит: Г-произведение операторов равно сумме их
^-произведений со всеми возможными спариваниями, включая и их
iV-произведение без спариваний
Т {UV ... XYZ) = N(UV ... XYZ) + N (U'V ... XYZ) + ...
... +N(U'V" ... X"YZm)+ ...+N (U'V'W ... X-"VZ'")+... .-A3.100)
Доказательство проводится снова методом математической индукции.
Для одного множителя теорема верна. Она верна и для двух множителей,
так как в этом случае она совпадает с определением A3.76). Предположим,
что теорема соблюдается и для п множителей. Затем умножим справа соот-
соотношение A3.100) на оператор Q, предшествующий во времени всем осталь-
остальным множителям:
T{UV ... XYZ) Q = Т {UV . .. XYZQ). A3.101)
После умножения на оператор Q члены в правой части соотношения
A3.100) приобретают вид N(UV . . . XYZ)Q. При помощи ранее дока-
доказанной теоремы A3.88) эти члены могут быть снова пере разложены на
сумму нормальных произведений. Тем самым теорема A3.100) оказывается
верной и для п + 1 множителей, если оператор Q предшествует во вре-
времени операторам U, V, . . ., X, Y, Z. Это ограничение, однако, можно
легко устранить. Если оператор Q находится под знаком Т- и Ж-произве-
дений, то можно переставить операторы, так как, согласно определению
Т- и ^-произведений, соотношение A3.100) инвариантно относительно оди-
одинаковых перегруппировок множителей в обеих частях соотношения. Тем
самым теорема доказана в общем случае п -\- 1 множителей.
Для разложения простого произведения операторов на сумму нор-
мальных произведений также можно записать похожее на приведенное
выше правило (см. работы Дайсона [195, 196]). Обозначая в этом слу-
случае символ свертывания линией, соединяющей соответствующие множи-
множители, можно определить операцию свертывания при помощи соотношений
A3.70а)-A3.70г):
(х') = -iS% (х -х') = (Ф„, 4>e(as)u,(as')<Do), A3.102)
д (х) = - iS%> (х - х') = (Фо, %(ж')%(ж)Ф0), A3.103)
з') = (Ф0, ф(ж)ф(ж')Ф0), A3.104)
(У) = Ф («) Ч> (У) = Ф ?) $ (У) = °- A3.105)

422 Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
Методом математической индукции легко доказать теорему о разложе-
разложении, в которой утверждается, что простое произведение операторов рав-
равно сумме их iV-цроизведений со всеми мыслимыми свертываниями,
включая и их TV-произведение без свертываний:
UV. . .XYZ = N(UV.. .XYZ) + N(UV.. .XYZ) +
+ ...+N{UV...XYZ)+ ... . A3.106)
Только доказанные теоремы нельзя непосредственно применить к
приведению ^-матрицы к нормальной форме по следующим причинам:
во-первых, в разложении ^-матрицы фигурирует хронологический опе-
оператор Дайсона Р, а не оператор Вика Т. Во-вторых, ^-матрица содер-
содержит некоммутирующие операторы, зависящие от одного и того же
момента времени, и операция ^-упорядочивания на них не распростра-
распространяется.
В квантовой электродинамике гамильтониан взаимодействия имеет
вид 3@i 0е) = /ц (%) А*1 (х), и вторая трудность устраняется, если помнить,
что выражение для плотности тока
A3.107)
неверно и должно быть заменено выражением
&(*)=—г Ж*)Тц. Ч>(*)]. A3.108)
Выражение /^ (х) для тока получается при симметризации теории отно-
относительно частиц и античастиц. Вакуумное среднее от /^ (х) равно нулю:
(Фо, /;(а:)Ф0) = 0. A3.109)
Легко показать, что этот симметризованный ток (мы теперь будем опус-
опускать штрихи) может быть записан в виде нормального произведения
Ы (х) = - е^ (Ф (*) YH> (*))• A3.110)
Поэтому, когда в хронологическом произведении появляется ток /р, (х),
множители в выражении для тока упорядочены операцией нормального
произведения. Таким образом, в квантовой электродинамике ^-матрицу
можно записать в виде
C
п=0
X Т {ЛГ(ф (xt) Y^ (*i) AM).. .N ($ (xn) y^ (xn) A»n (xn))}, A3.111)
где мы внесли под знак нормального произведения и оператор А^ (это
можно сделать, потому^что операторы tyythp (x) и А]1(х) коммутируют).
Кроме того, в этой записи разложения Дайсона оператор Р заменен
оператором Т, так как они теперь не отличаются друг от друга, по-
поскольку фермионные множители всегда входят только парами, в кото-
которых оба множителя относятся к одному и тому же моменту времени.
Г-произведение, в котором имеются iV-произведения, называют сме-
смешанным произведением. Вик обобщил теорему A3.100) и на такие сме-
смешанные произведения. Эта теорема гласит:

§ 4. Интегральные представления для инвариантных функций 423
Теорема. Смешанное Г-произведение можно разложить, согласно фор-
формуле A3.100), но при этом следует опустить спаривания между уже
^-упорядоченными множителями.
Доказательство теоремы основывается на следующем приеме. Пред-
ооложим, что мы использовали дистрибутивный закон для приведения
смешанного Т-произведения типа A3.111) к сумме таких смешанных
Т-произведений, каждое из которых содержит только операторы рождения
или уничтожения X, Y, Z (т. е. только А<-+\ А<--\ i))(+\ ^-) и т. д.,
но не А, г|) или г|)). Затем можно рассматривать смешанное Т-произве-
дение T{N(RST).. .N(XYZ)}, где под знаком каждого iV-произведения
все три множителя, например XYZ, относятся к одному и тому же мо-
моменту времени, как предел такого Г-произведения Т (RST.. .XYZ),
в котором внутри каждой из троек RST, ..., XYZ момент времени,
к которому относятся операторы рождения, превышает на бесконечно
малую величину момент времени, к которому относятся операторы уни-
уничтожения. Теперь можно применить теорему A3.100). Так как спарива-
спаривания, которые должны быть опущены по теореме для смешанных
Г-произведений, исчезают фактически (операторы уничтожения относятся
к более раннему моменту времени, чем операторы рождения), то теорема
доказана.
В псевдоскалярной мезонной теории, где
S€i (х) = 4"GN> (*)Ye, Ф (*)] Ф (*) = GN ($ (*) ye* (*) <Р (*)), A3.112)
по теореме Вика для смешанных произведений также не нужно в каж-
каждом S€i{x) спаривать операторы ty{x) и ty (х).
§ 4. Интегральные представления для инвариантных функций
При спаривании двух бозонных операторов возникает функция
АИ*) { A3.113)
I —&Ы-Цх) при а;о<О.
Напомним, что
Д (х) = Д<+) (х) + ДС-) (х) A3.114)
я
L A3.115)
A3.116)
Ранее, в гл. 7, были определены сингулярные функции Д, Д^> и Д<±).
Используя их, можно дать и другое выражение для функции AF:
кр(х) = АЫ{х) + гг{х)А{х), A3.117)
где г(х) = хо/\хо\. Так как /SSl> (х) есть четная функция от х, а Д(ж)
в. 8 (х) — нечетные, то ДР (а;) — четная функция от х. Вне светового ко-
конуса Д (я) равна нулю, тогда как ДD>(а:) отлична от нуля. Поэтому
вне светового конуса функция Др. (х) также не равна нулю и факти-
фактически совпадает с ^>()

424
Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
Чтобы получить интегральное представление функции AF(x), на-
напомним интегральные представления функций А(х) и Л^1) (х):
-j-CO
(ZJT) J
— оо
Д(О (я) ==.*_. С
A3.118)
A3.119)
Полностью эквивалентные определения этих сингулярных функций да-
даются выражениями
S^« <13-120>
A3.121)
В этих выражениях сначала надо проинтегрировать по переменной к0.
Контуры интегрирования С и С, в комплексной плоскости к0 изображо-
Плоскость
Ф и г. 25,
ны диаграммами а и б фиг. 25. После этого следует провести интегри-
интегрирование по вещественным переменным к1, к2 и к3.
Аналогично, представление
A3.122)

4. Интегральные представления для инвариантных функций
425
можно заменить при а;0>0 следующим интегральным представлением:
при х0>0. A3.123)
с+
Контур интегрирования С+ идет вдоль вещественной оси к0, обходя
сингулярность при /ео= ~V^-iJrV^= —®ъ снизу, а сингулярность при
/с0 = 4- й)к — сверху, и замыкается большим полукругом в нижней полу-
Плоскость кп
а
Фиг. 26.
плоскости (фиг. 26,а). При а;0<0 функция Д<-)(ж) имеет следующее ин-
интегральное представление:
приЖо<0.
A3.124)
С-
Контур интегрирования С^ изображен на фиг. 26, б. Исходя из опре-
определения A3.113) функции AF, можно построить для нее следующее
Плоскость
кп
Фиг. 27.
интегральное представление:
.ь х
e
Ср
A3.125)
Контур интегрирования Ср показан на фиг. 27. В самом деле, при
а;0>0 можно замкнуть контур в нижней полуплоскости и тогда в сог-
согласии с формулой A3.123)
Ар (х) = 2i Д<+> (ж) при хо>О. A3.126)

426 Гл. 13. Приведение S-матрицы к нормальной форме
Замкнем контур в верхней полуплоскости и найдем
AF (Х) = _ 2i Л<-> (ж), при хо<О, A3.127)
что согласуется с данным ранее определением A3.113).
Тот же результат, который получается при интегрировании по
контуру Ср, можно получить при интегрировании по вещественной оси
к0 от — оо до +оо, если добавить к массе ц. малую отрицательную
1\шимую добавку, которую следует устремить к нулю после выполнения
интегрирования. В этом случае
знаменатель в формуле A3.125)
превращается в к2—|Д.2+?е. Добав-
Добавление малой отрицательной мни-
мнимой добавки к массе смещает по-
плоскость ложение полюсов. Теперь они
&о оказываются в точках
Фиг. 28.
ie", A3.128)
т. е. полюс в точке — сок смещается вверх, а полюс в точке +ак
вмещается вниз, что и должно быть.
Для полноты приведем здесь еще интегральные представления
сингулярных функций ДА {%) и Дя (х)'-
ск
Контуры интегрирования СА и CR показаны на фиг. 28. При хо>О
можно замкнуть эти контуры большим полукругом в нижней полу-
полуплоскости. Тогда мы получим
Д4 (•¦*:) = 0 при
A3.131)
Ад (ж) = — А (х) при жо>О.
Аналогично, при хо<О эти контуры можно замкнуть в верхней полу-
полуплоскости. В этом случае
Да (ж) = А (ж) при жо<О,
A3.132)
Дй(ж) = 0 при жо<О.
Поэтому эти сингулярные функции называют «запаздывающей» и «опе-
«опережающей». Из их определений следует, что
Д(ж) = ДА(ж)-Дн(?) A3.133)
Да(*) = Дд(-*). A3-134)

- § 4. Интегральные представления для инвариантных функций 427
Сингулярная функция А (х), которая является четной функцией от вре-
времени, определяется выражением
Л(ж) = 4-(Дл(*) + Дд(ж)), A3.135)
так что
А (х) = + -j- А (х) при хо<О, A3.136а)
= |-Д(ж) прижо>О, A3.1366)
или
• ?(*) = 1-8(ж)Д(х). A3.137)
Функции А и ДA> широко использовались в работах Швингера [709,
711, 712, 713].
Функции Ар(х), А (а;), АА (х) и Ад (x) удовлетворяют неоднородно-
неоднородному уравнению Клейна — Гордона с б^4' (х) в качестве функции источ-
источника. С другой стороны, функции Д(±)(х), А (я) и &М(х) подчиняются
•однородному уравнению Клейна —Гордона.
Функция Sp связана с функцией Ар соотношением
SF(x)= —(iy.d + m)bF(x), A3.138)
так что
2_m2+ie e dp-
•Функции SW, S^), SA, SR и т. д. связаны с соответствующими функ-
функциями Д^1), Д<±), АА, AR и т. д. соотношением, аналогичным A3.138).

ГЛАВА 14
Диаграммы Фейнмана
Чтобы освоиться с формализмом ^-матрицы в картине Дирака и
научиться свободно, не прибегая всякий раз к теореме Вика, выписы-
выписывать матричные элементы, мы рассмотрим несколько примеров, которые
позволят вывести некоторые общие правила.
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем -
Рассмотрим сначала взаимодействие электронно-позитронного поля
с заданным внешним электромагнитным полем. В этом случае плотность
гамильтониана взаимодействия есть j%?j (х) = /й (х) А"*1 (х), и ^-матрица
дается выражением
*A\(x2)y(x2))+... . A4.1)
Рассмотрим член первого порядка Л" (Ир (х)у^\р (х))А\(х). Ранее мы уже
выписывали формулу для нормального произведения спинорных множи-
множителей. Будем теперь изображать входящие в нормальные произведения
операторы рождения и уничтожения линиями, которые для электронов
направлены вверх (в направлении возрастания времени), а для позитро-
позитронов — вниз (в направлении убывания времени). При этом
1) оператор г|з(—) (х), соответствующий рождению электрона в про-
пространственно-временной точке х, представляется направленной линией, вы-
выходящей из точки х вверх, как показано на фиг. 29, а;
2) оператор ij)(+' (x) (уничтожение электрона в точке х) представляется
направленной вверх линией, приходящей в точку х (фиг. 29, б);
3) оператор i|)(-H (x) (уничтожение позитрона в точке х) представляется
линией, выходящей из точки х и направленной вниз (фиг. 29, в);
4) оператор г|)(—) (х) (рождение позитрона в точке х) представляется
линией, направленной вниз и приходящей в точку х (фиг. 29, г).
На пространственно-временных диаграммах направлению возраста-
возрастания времени будет отвечать направление вверх, как показано на фиг. 29.

§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
429
Наша договоренность о направлении позитронных линий согласуется
с описанием позитронов у Фейнмана [251, 252] как электронов, движу-
движущихся обратно во времени.
При таком описании операторы г|з представляют линиями, выходя-
выходящими из точки х (вверх или вниз), а операторы г|з — линиями, приходя-
I
Врет
Пространство ¦
а
5
Ф и г. 29.
щими в точку х. Видно также, что линии, соответствующие положительно-
частотным операторам, расположены ниже точки х, а линии, соответ-
соответствующие отрицательно-частотным операторам, находятся выше (позже)
точки х. Тогда член первого порядка в разложении ^-матрицы можно пред-
представить четырьмя диаграммами Фейнмана, которые изображены на фиг. 30.
Фиг. 30.
При этом подразумевают, что в точке ?, должно действовать внешнее поле.
Иногда внешний потенциал изображают явно, представляя его волнистой
линией с крестом на конце. При такой договоренности диаграммы, изобра-
изображенные на фиг. 30, будут выглядеть так, как показано на фиг. 31.
Рассмотрим теперь член второго порядка. Используя теорему Вика
и выражая спаривание двух спинорных множителей через функцию рас-
распространения Фейнмана — Yz.SF = К+, получаем (опуская множители #)
Т (N $a (xi) % (г,)) TV (% (х2) % (х2))) =
= N (гра (Xi)
+ N {% (х2)
р (х2) Ца (х2)) + N
+(,р fa - х2)
(х,, - x2) K+aa (x2 -
(х2))
A4.2)
Ha диаграммах Фейнмана первый член в правой части равенства соответ-
соответствует совместному возникновению любых двух элементарных процессов

430
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
из числа представленных на фиг. 30. Некоторые из возможных процессов
приведены на фиг. 32.
Уничтожение пары
во внешнем поме
Рассеяние позитрона
на внешнем поле
Рассеяние электрона
на внешнем поле
Рождение пары
во внешнем поле
Фиг. 31.
Если представить множитель А'+ (х± — х2) = — YzSF (xt — х2),
который возникает при спаривании операторов лр (хх) и г|) ix^j, внутрен-
внутренней линией, направленной от точки х2 к точке xt, то член
N (ф (%) Лв (хг) К+ (xt - x2) Ле (х2) у (х2)) A4.3)
даст четыре диаграммы, изображенные на фиг. 33. Эти диаграммы соответ-
соответствуют поправкам второго порядка (два взаимодействия с внешним полем)
к рассеянию электрона и позитрона (диаграммы на фиг. 33, а и б), а также
_/ \_
Рассеяние позитрона на внешнем
поле, сопровождаемое
рождением пары
Фиг. 32.
Рассеяние электрона,
сопровождаемое
уничтожением пары
рождению и аннигиляции пары во внешнем поле (диаграммы на фиг. 33, в
и г). Наряду с каждой диаграммой, изображенной на фиг. 33, существует
и другая диаграмма, в которой переставлены точки xt и хг. Этот факт
проявляется в явном виде при изучении третьего члена в правой части
равенства A4.2). Третий член приводит к диаграммам Фейнмана, которые
совпадают с диаграммами, показанными на фиг. 33, если переменить наи-
наименование пространственно-временных точек. Так как Xi и х2 являются
немыми переменными, по которым производится интегрирование, то можно

§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
431
объединить второй и третий члены в равенстве A4.2). Тогда появится мно-
множитель 2!, который сократится с множителем %!, стоящим перед членом
второго порядка в разложении 5-матрицы A4.1).
Наконец, последний член в равенстве A4.2)
Sp (# (*,) К+ (Xi - х2) Ае (хя) К+ (х2 - Xl)
представляется диаграммой на фиг. 34. Он описывает вакуумный процесс,
в котором электронно-позитронная пара сначала рождается, а затем анни-
f-'to)
*-'(X2)
*i
K+(*i-ia)'
в
K+(ri-r2)
xi>—-* <x,
Фиг. 33.
гилирует. Соответствующий матричный элемент, равный
х 2л а
2! V %c
(X2 -
A4.4)
должен интерпретироваться как амплитуда вероятности вакууму остаться
вакуумом, т. е. вероятности того, что ни в начале, ни в конце нет частиц.
При вычислении этого матричного элемента оказывается, что он имеет
независимо от поля бесконечную мнимую часть. Позже мы подробно
проанализируем эту трудность.
Из этих примеров ясно, что существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между разложением на сумму нормальных произведений и диаграм-
диаграммами Фейнмана, если считать различными диаграммы Фейнмана, отли-
отличающиеся только наименованиями вершин. Следует тщательно относиться
к выбору правильного знака матричного элемента, соответствующего

432
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
каждой диаграмме; разложение Вика автоматически приводит к правиль-
правильному знаку. Большим преимуществом подхода Фейнмана является то,
что диаграммы а и б на фиг. 35 описываются одним единственным членом
Г
+ {xx - х2) Ае (х2) а|э<+) (х2),
т. е. диаграммы с различным хронологическим упорядочением описы-
описываются одним и тем же матричным элементом. Поэтому количество
х х не зависищеш ит и
/ \ ном в § 2 гл. 13.
К+(хг— хх) V 1 К+(х1—хг) В качестве пр
диаграмм значительно меньше, чем при
не зависящем от времени подходе, описан-
Фиг. 34.
примера рассмотрим ампли-
ТУДУ рассеяния позитрона на внешнем
поле в низшем порядке теорий возмуще-
возмущений. Пусть начальным состоянием будет
A4.5)
и пусть нас интересует рассеяние в конечное состояние
В первом порядке по внешнему потенциалу амплитуда вероятности для
этого процесса равна
М = (Ф/5 A+5ш)Фг). A4.7)
Рассмотрим
(р2) Фо, N
Л*
< (pt) Фо). A4.8)
Если разложить нормальное произведение, то отличный от нуля вклад
будет давать только член разложения — арр"' (х\) ара' (яг); оператор гр„' (ж,)
Фиг. 35.
уничтожает позитрон в начальном состоянии, а оператор фр ' (ж4) рождает
позитрон в конечном состоянии. Далее, согласно формулам (8.45)
и (8.47),
х
X 2 "&(P)»«(P')ei(p-p')-3Cdr*(p)d,(p'). A4.9)
Г, 8=1

§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем
433
Отсюда
j^r [ tfXi [ d3p [
X
, d
8i
(p) d, (Р')< (Pi) Фо) =
г, s=l
>-<1 х
Если ввести обозначение
то матричный элемент приобретет вид
A4.10)
A4.11)
Тс
где через мс обозначен зарядово-сопряженныи спинор. Отметим, что
в отличие от случая рассеяния электрона вместо знака плюс появился
знак минус. Множители (т/Е (р)I/2 явля-
являются нормировочными множителями волно-
волновых функций начального и конечного со-
состояний позитрона. Далее, из формулы
A4.12) видно, что если чертить диаграммы
Фейнмана в импульсном представлении,
придавая каждой линии определенный им-
импульс, то при описании позитронов зарядово-
сопряженными спинорами значительно проще
выбирать множители, соответствующие каж-
каждой линии и вершинам, чем при описании
позитронов дираковскими спинорами с от-
отрицательной энергией (фиг. 36).
В первом порядке теории возмущений
амплитуду рассеяния электрона на внешнем потенциале из состояния
6*j(pi)|(Do} в состояние 6*2(^2)|Фо) описывает матричный элемент
Фиг. 36.
nfi
E (Pi) E (p2)
A4.13)
который соответствует диаграммам Фейнмана на фиг. 30. Если внешнее
электромагнитное поле является кулоновским полем ядра с зарядом +Ze
А°=-^~, A4.14)
то
*(?) = ,
Ze
A4.15)
28 с. Швебер

434 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
Следовательно, амплитуда рассеяния в этом случае будет равна
- д.), A4.16)
е (рТе (Р2)
где Ei = Ег = Е — энергия электрона. Вероятность перехода определяется
квадратом модуля амплитуды перехода:
X
-Цгтя\°в.г(Р1)|2. A4.17)
где а = е2/4яйс «s A37). Множитель 6@) должен интерпретироваться
следующим образом:
Т/2
6@)= lim lim ^- \ е^Е^~Е^ г dt= lim-^- , A4.18)
где 71 — время; в течение которого происходит взаимодействие. Отсюда
вероятность перехода в единицу времени W\ _> 2 в одно избранное конеч-
конечное нб2 (р2) дается выражением
^2б(?1~Е2)- A4Л9)
Если начальный пучок не поляризован и нас не интересует спино-
спиновое состояние конечного электрона, то следует просуммировать IMV |2
по конечным спиновым состояниям и усреднить по начальным. Кроме
того, мы интересуемся только вероятностью перехода в единицу времени
в группу конечных состояний с плотностью Qf = dnfldEp Эта вероятность
равна
"" ~ BяK \Е J У d?f JEfsEt 2"*^ 2т V -^~ Г y|p2_pi j4 • V— I
Чтобы найти плотность конечных состояний, заметим, что в подпрост-
подпространстве одночастичных состояний оператор
должен быть равен единичному оператору. Другими словами, действуя
на одночастичное состояние | Ф) = &* (q) | Фо), этот оператор должен вос-
воспроизвести его. Отсюда dnf = d3pf и
1
поскольку
f = -^1/рМ^=1. A4.22)
Используя установленные в § 5 гл. 5 свойства следов ^-матриц, легко
вычислить след в A4.20). Учитывая, что след произведения нечетного
числа у-матриц равен нулю, и используя формулу D.172), получаем
B^ — Р2' Pi -г т2) =
A4.23)

§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем 435
Так как внешнее поле не зависит от времени, то энергия частицы со-
сохраняется
?1-?2 = (pJ + m2)V2==(p' + m2I/2, A4.24)
откуда следует, что абсолютная величина трехмерного импульса частицы
также сохраняется. Если обозначить угол рассеяния буквой Э, то
Pi • Р2 = | Pi 11 Рг | cos 9= р2 cos 9 = (?2 - т2) cos 9, A4.25)
где [ рл | = | р2] = р. Из релятивистской механики мы знаем, что
~^ = Е или gUl-a2, A4.26)
где v — скорость частицы. Поэтому выражение A4.23) для следа может
быть переписано следующим образом:
Аналогично, поскольку абсолютная величина импульса сохраняется, то
|| 2sie
i'1sm!|e). A4.27)
тся, то
A4.28)
Таким образом, мы- получаем следующее выражение для ш:
^) . A4.29)
Чтобы найти дифференциальное эффективное сечение, нужно разделить
вероятность w на плотность потока падающих частиц. Плотность пада-
падающих частиц может быть получена из плотности тока, соответствующей
вектору начального состояния электронно-позитронной системы. Рас-
Рассмотрим среднее значение оператора тока в начальном состоянии
&*i(Pi) |Фо}> состоящем из одного электрона с импульсом р4 и спиновым
индексом s4:
</ix(*)>= -(«ЛРОФо, 1 Ж*), У^(х)] Ы^РОФо) • A4.30)
Ясно, что в разложении оператора тока по операторам рождения
и уничтожения (частиц с определенным импульсом и проекцией спина)
вклад в матричный элемент A4.30) будут вносить только члены, про-
пропорциональные b*b, откуда
{/V (х)) = - е (b*n (Pl) Фо. iP (х) у^м (х) &• (Pl) Фо) =
где Ющ — скорость падающей частицы. Отсюда для плотности потока
падающих электронов получаем
28*

436 ___ /Vs. 14. Диаграммы Фейнмана
Следовательно, дифференциальное эффективное сечение дается выраже-
выражением
da "-"¦' С 1 — и2 sin2 — fl ^ C14 3T>
e Il v sin 2 ° ) ' (l^.dd)
4
что отличается от формулы Резерфорда Z2a2/4/»2y2 sin4 x/2 0 множителем
A — u2sm21/29). Этот множитель служит поправкой к формуле Резер-
Резерфорда, учитывающей спин электрона. Он и в самом деле возник из
выражения для следа. Следующий порядок теории возмущений, т. е.
вклад от двойного рассеяния, вычислили Мак-Кинли и Фешбах [524]
(см. также статью Далитца [149]). Непосредственное применение разло-
разложения теории возмущений A4.1) на деле приводит во втором порядке
(и фактически во всех высших порядках) к расходящемуся результату,
что связано с бесконечным радиусом действия кулоновского поля.
Это затруднение было разрешено Далитцем [149], который пока-
показал, что амплитуда рассеяния в экранированном кулоновском поле
в нерелятивистском пределе сводится к амплитуде рассеяния в низшем
порядке (в первом порядке по Za), умноженной на фазовый множитель,
который стремится к бесконечности, как 1Д, когда радиус экранирова-
экранирования 1Д стремится к бесконечности (т. е. когда X —> 0). Расходимости
в высших порядках разложения в степенной ряд A4.1) возникают именно
за счет бесконечного вклада от этого фазового множителя.
Для описания рассеяния электронов на протонах при больших
энергиях необходимо так изменить формулу Мотта A4.33), чтобы учесть:
а) отдачу протона;
б) вклад в рассеяние, связанный с магнитным моментом протона;
в) конечные размеры распределения протонного заряда и магнит-
магнитного момента;
г) радиационные поправки к упругому рассеянию, учитывающие
испускание и поглощение виртуальных фотонов, и испускание реальных
фотонов, допускаемое конечной разрешающей способностью экспери-
эксперимента .
Эффекты «а» и «б» учтены Розенблютом [674]. Эффект конечных
размеров нуклонов выражается в том, что первую часть формулы A4.33)
умножают на форм-фактор нуклона. Форм-фактор является функцией
передачи импульса [ pt ¦— р21 и дается фурье-образом плотности заряда
нуклона. Эффекты «г» мы обсудим в гл. 12. По поводу рассеяния элек-
электронов больших энергий читатель отсылается к превосходному обзору
Хофштадтера [378].
Обратимся теперь к краткому обсуждению вакуумных диаграмм.
Выше мы отмечали, что в низшем порядке теории возмущений ампли-
амплитуда вероятности вакууму остаться вакуумом при наличии внешнего
поля дается интегралом
Sp {Ле (хх) К+ (а* - хг) Ле (х2) К+ {х2 - xt)}, A4.35)
который расходится независимо от вида внешнего поля Ае из-за совпадения
особенностей у функций К+ (ж4 — х2) и К+ (х2 — xt) при xt = x2. Чтобы

§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем .437
выразить в явной форме эту расходимость, введем в равенство A4.35)
фурье-образы К и а функций К+ и Ае. Тогда
<?2
]t)av{-k), A4.36)
где
(k)= [ d^qS^iy^K+iq + ^y^K+iq^^U^ik). A4.37)
Из требования калибровочной инвариантности вытекает инвариантность
матричного элемента Му' относительно замены ajX(k) на all(k) + kllA(k).
Иначе говоря, если вместо % (к) подставить произведение 4-вектора /сц
на любую скалярную функцию от к, то матричный элемент Му* должен
обратиться в нуль. Поэтому
= 0, A4.38)
откуда следует, что И^ (к) можно записать в виде
П^(/с) = (/с^-^/с2)П(/с). A4.39)
Соотношение A4.39) позволяет переписать формулу A4.36) в явно кали-
бровочно-инвариантном виде, выразив ее только через напряженноети
поля. Действительно, учитывая, что
a»(k)av(k)F(b)Fll4k)
(-b)Fll4k), A4.40)
и подставляя это выражение в формулу A4.36), получаем
где П(ж) — фурье-образ U{k). Явное выражение функции П(ж) было
получено многими авторами, и мы в гл. 15 будем заниматься этим.
Здесь мы приведем выражение для П(.х), найденное Швингером [721]:
со
/s il /. 4m2 V/2 1 л i > 2\
A4.42)
Для выделения расходящейся части функции П (х) запишем
AF(x-x'; х*)=-^д<»(х-х'}-±ПЛг(х-х'; и2). A4.43)
Отсюда следует
П(ж-ж') = С6D)(а;-х') + ПхП'(.х-ж'), A4.44)
где С — логарифмически расходящаяся постоянная вида
6л2 V \т у'
Ядро П' (х) приводит к сходящемуся интегралу для большинства внеш-
внешних полей, которые приходится рассматривать. В частности, оно дает
конечный вклад в матричный элемент Му1 для внешнего поля, наи-
наихудшие особенности которого имеют вид \х — ж01—B—v) с у > 0.
Среднее значение по вакууму третьего- члена разложения ^-матрицы
SC), соответствующее вкладу третьего порядка в амплитуду перехода

438- Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
вакуума в вакуум под влиянием внешнего поля, дается выражением
Мф = (Ф«ь (~У 4г I ^ \ #х* \ ^з X
X Т [N (ф#г|) (хО) N ($#1M (х2)) N $АеЦ> (х,))} Ф<Л . A4.46)
В этот матричный элемент внесут вклад только те нормальные произ-
произведения в разложении Г-произведения, в которых все фермионные мно-
CP и г. 37.
жители спарены. Имеются два таких нормальных произведения, кото-
которые соответствуют следующим двум возможностям спаривания:
ф $- •• (х±) A4.47а)
-г|г (xt) ф- (*,) г|г • (х8) ф- • (х2)у • • (*а) $• ¦ • (хО. A4.476)
Они соответствуют двум диаграммам, изображенным на фиг. 37. (Внеш-
(Внешнее электромагнитное поло действует в точках хи 'х2 и х3.)
Обратим внимание на знак минус перед выражениями A4.47).
Он возник потому, что при спаривании; первого и последнего фермион-
ных множителей всегда приходится делать нечетную перестановку мно-
множителей г|з и г|з. Этот знак минус имеет то же происхождение, что
и знак минус перед последним членом в правой части равенства A4.2).
Вообще любая имеющая вид замкнутой петли диаграмма Фейнмана
приводит к .множителю — 1 перед соответствующим ей матричным
элементом.
Таким образом, матричный элемент, соответствующий диаграммам
на фиг. 37, имеет вид
-K \ d*Xl J d<x2 J й*хг х
X [Sp {Г (xt) К+ (Xl - х2) Г (х2) К+ (х2 - х3) Г (х3) К+ (х3 -
+ Sp {# (xj) К+ {х, - х3) Лв (хя) К+ (х3 - х2) Г (х2) К+ (х2 -
A4.48)
Хотя при помощи замены переменных можно привести первый и вто-
второй члены к одинаковому виду, том не менее по причине, которая
вскоре выяснится, мы сохраним для матричного элемента Му' выра-
выражение A4.48).
Покажем теперь, что матричный элемент A4.48) равен нулю. Для
доказательства используем существование унитарной антисимметричной

§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем 439
матрицы С со следующими свойствами:
С~1у»С= -у»Т, A4.49а)
С*С = СС* = 1, . A4.496)
СТ=-С. A4.49в)
Подставляя в первый член формулы A4.48) множитель С~1С = 1,
получаем
Sp { } = Sp {C-W fa) СС-ЧС+ fa - x2) СС^Г (х2) СС-1 х
X К+ (х2 - хъ) СС-Че fa) СС-гК+ fa - xt) С]. A4.50).
Однако из свойств A4.49) следует
Поэтому след в выражении A4.50) можно записать в виде
Sp{ } = (-lK SyUeT(xt)Kl (x2~xt) ЛеТ (х2)КТ (xs-x2) ЛеТ (хя) Щ (х, - ж3)} =
= - Sp {К+ (xt - хг) Ае (х3) К+ (хг - х2) Ле {х2) К+ (х2 - Xl)
= - Sp {# fa) K+ fa - xt) Ae (x3) K+ fa - x2) Ae (x2) K+ fa -
A4.52)
так что два члена в выражении A4.48) взаимно уничтожаются, и, следо-
следовательно, Л/у* = 0. Фактически, конечно, каждый член в отдельности
равен нулю, так как заменой переменных можно преобразовать правую
часть равенства A4.52) к исходной форме — левой части равенства A4.50).
При этом окажется, что рассматриваемый след равен самому себе со зна-
знаком минус, т. е. равен нулю.
Взаимное уничтожение двух членов в равенстве A4.48) допускает
следующее физическое толкование. Можно считать, что первый член, соот-
соответствующий диаграмме на фиг. 37, а, описывает распространение элект-
электрона в одном направлении, а второй член, соответствующий диаграмме
на фиг. 37,6, описывает распространение электрона в противоположном
направлении. Однако при обращении направления движения электрон
ведет себя подобно позитрону. Поэтому меняется знак его заряда и, сле-
следовательно, знак каждого взаимодействия с внешним потенциалом. Сле-
Следовательно, сумма вкладов от этих двух диаграмм равна нулю. Подобным
же образом матричный элемент, соответствующий диаграмме, в которой
имеется замкнутая петля с нечетным числом вершин, равен нулю в самом
общем случае. Эта теорема принадлежит Фарри [291Р).
Обозначим, следуя Фейнману, сумму матричных элементов, соответ-
соответствующих связным диаграммам с замкнутыми петлями, через —L, т. е.
^Mf=-L. A4.53)
п
Мы поставили знак минус, чтобы подчеркнуть тот факт, что мы имеем дело
с замкнутыми петлями. Помимо этих одиночных петель, возможно рожде-
рождение двух независимых пар, каждая из которых может затем аннигили-
г) Общее и четкое доказательство теоремы Фарри читатель может найти в моно-
монографии Ахиезера и Берестецкого [3].— Прим. ред.

440
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
ровать. Вклад от таких пар петель равен L2 /2!, поскольк^в L2 каждая пара
петель учитывается дважды. Поэтому полная амплитуда перехода вакуума
в вакуум имеет вид
(ф0,
A4.54)
L имеет бесконечную мнимую часть, соответствующую собственной энер-
энергии вакуума. Эта бесконечность, однако, не оказывает влияния на
постоянную нормировки так как вероятность того, что вакуум останется
вакуумом, дается выражением
(Фо, S<po)|2 = exp(--2Re?), A4.55)
а вещественная часть L, вообще говоря, конечна. Другими словами, если
бы мы включили в гамильтониан взаимодействия член вида АЕ0, соответ-
соответствующий сдвигу уровня состояния физического вакуума относительно
Фиг. 38.
состояния «голого» вакуума, то для статического поля АЕ0 —Im L/T1)..
IT — интервал времени (вообще говоря, бесконечный) между началь-
начальным и конечным состояниями, т. е. U (Т, —оо) = S.] Член АЕ0 подби-
подбирается так, чтобы уничтожить расходимости в Iml.
Рассмотрим теперь рассеяние электрона в третьем порядке теории
возмущений. Кроме троекратного взаимодействия с внешним полем
(фиг. 38,а), возможен процесс однократного рассеяния на внешнем поле,
сопровождаемый не связанным с ним вакуумным процессом (фиг. 38,6).
Матричный элемент перехода из состояния р в состояние q, соответствую-
соответствующий диаграмме Фейнмана на фиг. 38, б, можно записать в виде
(<? |^Cб) \р) = (д\ Дш I р) (О I s™ 10), ¦ A4.56)
где (q | R <4> | р) — матричный элемент в первом борновск'ом приближении,
соответствующий однократному рассеянию, т. е.
(д | Я<" 1 р) = 2Ш
и* (q) fi(q-p) и? (р), A4.57)
г) Тот факт, что в случае статического внешнего поля, когда Ае (х)= Ае (г),
L пропорционально Т, может быть доказан путем введения в матричный элемент
Л/у в качестве новых переменных интегрирования относительных времен х10—a:2o>
*2о—^зо и т- Д- Например, введем в выражение A4.4) переменные интегрирования
ХЮ и ^20—^Ю- Тогда интегрирование по я10 приведет к множителю Т.

§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным пол,ем 441
а (О J 5<2> [ 0) — вакуумное среднее 5-матрицы во втором порядке теории
возмущений. Несвязность двух частей диаграммы на фиг. 38, б про-
является в том, что матричный элемент A4.56) распадается на произведе-
произведение двух множителей, не содержащих общих переменных.
Аналогично в высших порядках теории возмущений мы получим одно-
однократное рассеяние, сопровождаемое всеми возможными вакуумными про-
процессами. Поэтому можно записать полную амплитуду перехода из состоя-
состояния р в состояние q в виде
(q | S \p) = (q\R\p) @ | S\0) = (q\R\p) e~*>, A4.58)
где @ ( S ( 0) — вакуумное среднее ^-матрицы, представляемое вакуум-
вакуумными диаграммами Феинмана, тогда как (q ( R | p) представляется только
связными диаграммами процессов рассеяния, т. е. диаграммами, не содер-
содержащими вакуумных петель. Фейнман [251] назвал величину (q I S
абсолютной амплитудой вероятности перехода, а величину (q i R
Р)
Р)
—относительной амплитудой вероятности перехода. Таким образом, для
решения задачи об электроне во внешнем поле мы должны для заданного
поля вычислить L только один раз и затем рассматривать только те мат-
матричные элементы, которые соответствуют связным диаграммам [матрице R
в выражении A4.58)]. Тогда абсолютная вероятность данного процесса
будет равна относительной вероятности | \р j R j q) j 2, умноженной
на вероятность того, что вакуум останется вакуумом [ехр (—2ReZ)].
Описанный выше в общих чертах диаграммный анализ был развит
Фейнманом [251]. В этой статье Фейнман не только дал формулировку тео-
теории дырок, в которой значительно упрощаются все вычисления эффектов
взаимодействия электронов и позитронов с внешним электромагнитным
полем, но развил новый метод анализа теории возмущений, основанный на
диаграммах. Затем Фейнман обобщил формулировку на взаимодействия
между частицами [252] и доказал эквивалентность полученной теории
стандартным формулировкам квантовой теории поля [253]. Подход
Феинмана основывается на рассмотрении функции распространения, кото-
которая связывает решения уравнения Дирака, относящиеся к двум разным
моментам времени. Мы здесь в краткой форме повторим формулировку
Феинмана, отправляясь от квантованной теории поля. Однако никакой
обзор работ Феинмана не может во всей полноте передать ясности, прос-
простоты и изящества его оригинальных статей. Поэтому читателю необходимо
изучить эти статьи.
Относительная амплитуда того, что электрон достигнет точки х, если
он находился сначала в состоянии if (х') | Фо), согласно предыдущим
рассмотрениям, есть
А+(х,х) l(hn\TT<t t
где х0 = t, x'a = t', и оператор U (t, t') имеет вид
*<ю t t
n=0 V V V
XI X l\f i'ill fT ,\ Ja I T \ "kVi ('V \\ l\f (л\*1 (T \ Ja (*? \ '
1 \1\ уЦ; V1^!/ ^* \"^1/ т \ 1// ' * * \ T \ ft/ "^ \*^я/
A4.60)
Мы здесь игнорировали тот факт, что состояние т|5(х)|Фс) в действи-
действительности не соответствует локализованному в точке х электрону.

442
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
Эту трудность, однако, можно преодолеть, если образовать соответствую-
соответствующим образом определенное скалярное произведение обеих сторон равен-
равенства A4.59) с локализованными амплитудами Ньютона — Вигнера. Так
как к таким скалярным произведениям можно перейти на любой стадии
вычислений, то мы не будем больше касаться этого вопроса. Далее,
равенству A4.59) можно придать, вид
оо ' t t t
К? (х, х') = ^ (|г)П^г I d*x* S dix* ¦ • ¦ S d'x- x
n=0 ' V V V
Х(Фо I T {г|> (x) N
...N ($(xa) # (xn) i|) (xn)) ф (x')} | Ф0)с, A4.61)
где индекс С означает, что следует рассматривать только связные
диаграммы. Множители ¦>)) (х) и ¦>)) (х) можно внести в скобки, поставив
их на указанные места, поскольку это расположение соответствует
хронологическому порядку.
В выражение A4.61) вносят вклад связные диаграммы, изображен-
изображенные на фиг. 39. Они приводят к следующему результату:
К* (х, х') = К+(х- х') + ie \ К+ (х - ал) Г (ал) К+ (ал - х) <**ал +
С С
X 4е (х2) Я+ (х2 - ж') + . .., A4.62а)
= К+ (х — х') + ie \ К+ (х — xi) Же (х{) К* (ал, х') d*a;,. A4.626)
При выводе уравнения A4.626) мы использовали то, что равенство A4.62а)
является разложением Неймана—^Лиувилля уравнения A4.626).
Из сказанного выше, вообще говоря, следует, что если начальное
одноэлектронное состояние есть
A4.63)
A4.64)
а конечным состоянием является
|Ф/) =

§ 1. Взаимодействие о внешним электромагнитным полем 443
то амплитуда перехода дается выражением
Rn = ^ d<P(x) J do* (x') g(x) у»КЛ (x, x') Yv/ (*')¦ (l/l-65)
о' о
Таким образом, ядро КА может рассматриваться как ядро интеграль-
интегрального соотношения, распространяющего начальную амплитуду / на поверх-
поверхность а':
U (х) = J do» (xr) КА (х, х') yj (x'), A4.66)
О' у
и амплитуда перехода дается скалярным произведением
{go, fo)=[dolx{x)~go{x)y»fB{x), A4.67)
о
где ga = g. Фейнман [251] пришел к такому же точно выражению при
рассмотрении функции Грина GA (x, х'), которая связывает решения
уравнения Дирака во внешнем поле А" в два разных момента времени.
Доводы, основанные на теории дырок, позволили ему заключить, что
правильно выбранная функция Грина должна содержать только поло-
положительные частоты при t > t', что приводит к соотношению GA = КА.
Под функцией Грина уравнения Дирака во внешнем поле понимают
решение уравнения
[iy]i(dv--ieA'll{x))-m]GA{x, x') = i6^(x-x'). A4.68)
Если ф есть решение уравнения
[iyv,(d^-ieAev-(x)) — m](f(x) = O, A4.69)
то теорема Гаусса утверждает, что для точек х, которые находятся
внутри объема ?2, ограниченного поверхностью а:
ф (Ж) = С GA (x, x') Yn9 (xr) nv- (x1) da (x1). A4.70)
о
При помощи уравнения A4.62) легко проверить, что функция КА
удовлетворяет дифференциальному уравнению A4.68). Далее, из-за свойств
неоднородного члена К+ и ядра К+Ае в уравнении A4.62) функция КА
содержит только положительные частоты при ж0 > х'о, если Ае есть
слабое внешнее поле. Сказанное выше показывает, что использование
ядра КА дает интерпретацию уравнения Дирака в духе теории дырок
и позволяет обойтись без формализма теории поля в задачах о взаимо-
взаимодействии позитронов и электронов с внешними полями.
Представленная выше теория взаимодействия электронов и позитро-
позитронов с внешним полем основывалась на разложении «S-матрицы в ряд
теории возмущений A4.1). Однако для достаточно слабых не зависящих
от времени внешних полей можно дать точное формальное решение
(см., например, статьи Швингера [718, 721]). Пусть ф„ будут с-числовые
решения уравнения Дирака во внешнем поле:
[iyil(d»-ieAetl(x))-m]<pn(x) = 0, A4.71)
где индекс п характеризует полный набор коммутирующих наблюдаемых
для одной частицы. Ниже мы всегда будем предполагать, что не завися-
зависящее от времени поле достаточно слабое, так что состояния с положи-

444 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
тельными и отрицательными энергиями разделены конечным интервалом.
Если зто не будет так, то не будет и стабильного вакуума.
Гейзенберговский оператор \е(х), который удовлетворяет уравнению
движения
[»Yu (9й - ieA<>ii (х)) - т\ V (х) = °> A4.72)
можно разложить по функциям <рп (ж):
г|/(я)= 2
Е
где первое суммирование проводится только по функциям с положитель-
положительной энергией, а второе — только по функциям с отрицательной энергией.
Из канонических перестановочных соотношений
[г|/(х), ^(x')]+Uo=,'o = Y°6C)(x-x') A4.74)
и свойств ортогональности решений фГ1 (х) следует, что операторы
ben> <^eru ¦ • • удовлетворяют таким же перестановочным соотношениям, как
и в случае свободных полей:
rue ие *i s
[О п> ° п' J+ —О„„',
\he Н" Л — \he Не .*1 — 0 и т тт У1 ¦' )
1° П1 и п'\+ — [О п, Ч п' J+ — U И. Т. Д.
Оператор тока дается выражением
Лх(я)=-|[?(*)Т^е(я)Ь A4.76)
и в силу уравнений движения его дивергенция равна нулю. Из пере-
перестановочных соотношений для оператора полного заряда
{х)} A4.77)
с операторами г|)е и г|)е вытекает интерпретация г|/ как оператора уничто-
уничтожения для частицы с зарядом —ей оператора рождения для частицы
с зарядом -\-е. Гамильтониан, так же как и оператор заряда, диагона-
диагоналей по операторам Ъеп и den: Это позволяет интерпретировать опера-
операторы Ьеп и den как операторы уничтожения отрицательно заряженной
и положительно заряженной частиц . соответственно в состоянии п.
Состояние вакуума | Фе0) определяется как состояние с наименьшей
энергией и удовлетворяет соотношениям
йеп|фв0) = 6е„|Фе0> = 0 для всех п. A4.78)
Если | Феt> — одноэлектронное состояние, то единственной не равной нулю
амплитудой будет
. A4.79)
Эта амплитуда удовлетворяет уравнению Дирака A4.71) во внешнем
поле, поскольку ему удовлетворяет оператор \ре(х). Далее, используя
разложение A4.73) и соотношение (Фе0\кеп* = 0, замечаем, что ампли-
амплитуда х является суперпозицией решений с положительной энергией:
Х(х)= 2 {Фео\Ьеп,\Ф\)уп,,Е+(х). A4.80)
п', Е+

§ 2. Диаграммы Фейнмана для взаимодействующих полей 445
Функция распространения К+ приобретает наиболее простой вид, если
выразить ее через гейзенберговские операторы чре:
КА l-r v'\ 1(Ье Т 1лЬе 1-А iiie l-r'\\ (T)e *1 (iAP,ia\
2 фп ix) фп (^') При Жо > Х'о,
"'v+ - , ' ^ <14-81б>
I ""— /1 ф^ \Х) фд ipC J При Xq ^Z, ^л»
V п',Е~
§ 2. Диаграммы Фейнмана для взаимодействующих полей
Рассмотрим теперь теорию нейтрального псевдоскалярного поля,
взаимодействующего с полем со спином, равным 1/2, посредством псевдо-
псевдоскалярной связи. Плотность лагранжиана дается выражением
<g ! G [i|3 (х)уъ, ty (x)] ф (х). A4.82а)
2
Плотность гамильтониана в картине взаимодействия можно записать
в виде
S?i (x) — GN (if (x) ybty (х)) ф {х). A4.826)
В этом случае матричные элементы 6"-матрицы в первом порядке теории
возмущений равны нулю, поскольку энергия и импульс не могут сохра-
сохраняться в акте испускания и поглощения свободного мезона свободным
нуклоном. Поэтому исследуем матричный элемент второго порядка:
A4.83)
Мы отдельно записали У-произведения для нуклонных и мезонных опера-
операторов, что можно сделать, так как они коммутируют друг с другом. Ранее
было показано, что спаривание 1|>" (x)ybty' (x) равно нулю. Поэтому разло-
. жение Г-произведений фермионных операторов фактически совпадает
с разложением A4.2). Таким образом, нужно рассмотреть только мезон-
ные операторы. Используя теорему Вика, получаем
T(^(xl)^(x2)) = N((f(xiL,(x2)) + ^hc^(xl-x2). A4-.84)
Будем представлять спаривание бозонных множителей ц>'(х^у'(х2) пунк-
пунктирной линией, соединяющей точки х± и х2, оператор рождения мезона
ф(—) (х) — пунктирной линией, выходящей из точки хх и направленной
вверх, а оператор уничтожения мезона ф<+> (х) — пунктирной линией,
направленной к точке х1. Тогда диаграммы на фиг. 40 — 47 будут пред-
представлять матричные элементы iS-матрицы во втором порядке теории возму-
возмущений. Рассмотрим конкретные диаграммы и соответствующие им члены.
1. N A|л|л|л|>) N (фф). Эти члены равны (S^J и не приводят к реаль-
реальным процессам, поскольку энергия и импульс не сохраняются.
2. N (г|л|л|л|з) ф'ф'. Эти члены соответствуют обмену бозоном между
двумя фермионами и приводят к рассеянию нуклона на нуклоне, анало-
аналогичному меллеровскому рассеянию. Для взаимодействия тождественных
частиц, кроме двух диаграмм на фиг. 40, следует взять еще две диаграммы,
в которых переставлены точки х± и х2. Это относится к каждой диаграмме

446
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
Фиг. 40.
О
Фиг. 41.
рассматриваемой в этом параграфе, исключая диаграмму на фиг. 46,
соответствующую флуктуациям вакуума. Если сложить матричные эле-
элементы, соответствующие этим топологически совпадающим диаграммам, то
Рассеяние мезонп
на нуклоне
5
Рассеяние мезона
на антинунлоне
Фиг. 42.
сократится множитель Уг\, связанный с разложением в ряд теории возму-
возмущений. При вычислении матричного элемента между начальным и конеч-
конечным состояниями обменное рассеяние будет учтено автоматически.
Во втором порядке теории возмущений рассеянию антинуклона на
нуклоне соответствуют две диаграммы на фиг. 41. Вторая диаграмма
(фиг. 41, б) возникает вследствие возможности аннигиляции двух частиц

§ 2. Диаграммы Фейнмана для взаимодействующих полей
447
' х,
Аннигиляция пары
мунлон-антинуклон
на два мезона
Образование нуплонной
поры при столкновении
двух мезонов
Фиг. 43.
друг на друге о испусканием виртуального бозона, который рождает затем
частицы в конечном состоянии.
Процессы, которые мы только что обсудили, соответствуют наличию
в начальном и конечном состояниях двух фермионов.
Фиг. 45.
3. N (tyK+ty)N(<f<f). Матричный элемент
содержит также ряд
членов, отвечающих различным процессам с одним бозоном и одним фермио-
ном в начальном и конечном состояниях. Соответствующие этим процессам
диаграммы а и б показаны на фиг. 42. Член N (tyK +ij)) ./V (срср) приводит, кроме
того, к процессам, диаграммы а л б для которых изображены на фиг. 43.
4. N (tyK+ty) срср'. Этот член описывает безмезонные процессы с учас-
участием одного фермиона и приводит к диаграммам собственной энергии ф&р-
мионов (фиг. 44). Он будет подробно рассмотрен позже.
5. N (срср) К+К+. Этот член относится к случаю, когда в начальном
и конечном состояниях имеется один мезон и нет нуклонов Он описывает
собственную энергию мезона, представляемую диаграммой на фиг. 45.
6. Наконец, имеется член K+K+AF, диаграмма Фейнмана для кото-
которого дана па фиг. 46. Эта диаграмма соответствует флуктуациям вакуума.
Может быть, следует еще раз подчеркнуть, что хронологическая после-
последовательность промежуточных состояний не существенна. Так, диаграмма
на фиг. 47 есть частный случай диаграммы фиг. 44, а, когда х10 < х2о-
Другими словами, можно как угодно деформировать диаграмму Фейнмана,
заботясь только о том, чтобы сохранялось правильное направление внеш-
внешних линий, относящихся к начальному и конечному состояниям.

448
Гл. 14. Дипграммы Фейнмана
На фиг. 48 приведены примеры вакуумных процессов. Эти вакуумные
диаграммы снова можно не рассматривать.
Доказательство: Полный вклад от всех вакуумных процессов дается
матричным элементом (Фо j S | Фо) = My В матричный элемент Му вно-
вносят вклад те диаграммы, которые не имеют внешних линий. В общем слу-
случае вакуумная диаграмма состоит из нескольких не связанных между собой
кусков. Обозначим через Г4, Г2, Г3, . . . элементарные связные вакуум-
вакуумные диаграммы, т. е. такие диаграммы, которые можно обойти, двигаясь
только по внутренним линиям. Тогда наиболее общая диаграмма вакуум-
вакуумных флуктуации, будет образована из и4 диаграмм типа 1\, пг диаграмм
типа Г2 и т. д. Вклад в Л/у от диаграммы Г = n^Y^ -\-n2T2 + • • • будет
равен
(Фо | Sr | Фо) = (Фо | Sri | Ф0)П1 (Фо | STi1 ФоГ ,.. , A4.85)
где (Фо J .iSrj | (Фо) — матричный элемент, соответствующий диаграмме Г4.
Тот факт, что вклады от диаграмм 1\ . . ., Гп просто перемножаются,
(ГО
(Г2) (Г3)
Фиг. 48.
(Г4)
следует из несвязности рассматриваемой диаграммы. Если диаграмма
содержит несколько тождественных частей, то не все члены семейства будут
различны, так как перестановка индексов их вершин будет приводить
к тем же диаграммам. Отсюда следует, что полная амплитуда перехода
вакуума в вакуум дается соотношением
. • .|Фо>
где через (Фо | S \ Фо)с обозначен вклад от всех связных диаграмм. Вели-
Величина L чисто мнимая, так что вероятность вакууму остаться вакуумом
равна единице.
. Если сосредоточить внимание на каком-либо реальном процессе рас-
рассеяния, например на процессе, изображенном диаграммой на фиг. 40
и имеющем матричный элемент М, то в высших порядках теории возмуще-
возмущений эта же самая диаграмма будет появляться в сопровождении несвязан-
несвязанных с ней вакуумных диаграмм. Суммируя по всем вакуумным процессам,
мы просто умножим матричный элемент М на ехр (—L) — фазовый мно-
множитель, абсолютная величина которого равна единице. Поэтому можно не
рассматривать все несвязные диаграммы.
Методом, аналогичным описанному выше для матричного элемента
второго порядка, можно установить взаимно однозначное соответствие
между матричными элементами п-го порядка S-матрицы в нормальной

§ 2. Диаграммы Фейнмана для взаимодействующих полей 449
форме и диаграммами Фейнмана с п вершинами, идентифицированными
с пространственно-временными точками хх, х^, • . -, хп. Так как разложе-
разложение Т-произведения включает все возможные спаривания, то подобным же
образом существует взаимно однозначное соответствие между всеми воз-
возможными диаграммами с данным числом п вершин (идентифицированных
с пространственно-временными точками) и нормальным разложением
«^-матрицы в п-м порядке теории возмущений.
Благодаря этому соответствию применение диаграмм Фейнмана оказы-
оказывается чрезвычайно полезным. На практике вычерчивают все возможные
топологически различные1) диаграммы в соответствии с видом гамильтониана
взаимодействия. Если последний имеет вид я^Гя^ф, то в каждой вершине
должны встречаться две фермионные и одна бозонная линии. Тогда можно
получить матричный элемент, соответствующий любой диаграмме п-то
порядка, выписывая следующие множители:
1. Множитель (—i/hc)n для диаграмм в целом, согласно разложению
по теории возмущений.
2. Множитель (GT)ag для каждой вершины.
3. Множитель УгЬсАр (xj— хг) для внутренней бозонной линии, сое-
соединяющей ТОЧКИ Xj И Х{.
4. Множитель [— VzSF (xi—xj)]^ = IK+ (xi — Xj)]ap для внут-
внутренней фермионной линии, направленной от точки xj к точке хг. Предпола-
Предполагается, что имеются соответствующий вершине xi множитель (GT)aa
и соответствующий вершине Xj множитель (GT)^.
5. Правильно выбранные операторы рождения и уничтожения
г|)(±> (ж), ^±х> (х) и ф(±> (х) для каждой свободной внешнейнуклонной и бозон-
бозонной линии, выходящей из точки х или приходящей в эту точку.
6. Множитель (—1) для каждой внутренней замкнутой фермионной
петли.
7. Полученное выражение нужно проинтегрировать по st, ж2,. . .хп.
Если квантованное бозе-поле является электромагнитным (волнис-
(волнистые линии на диаграмме), то правила 2 и 3 следует заменить следующими:
2а. Множитель (еу^ар для каждой вершины.
За. Множитель —VzbcDp (xj — Xi)g^v для внутренней фотонной ли-
линии, соединяющей точки Xj и х\. Предполагается, что имеются множители
(eyi1) и (eyv) для этих вершин, и подразумевается суммирование по ц и v.
Следует подчеркнуть, что формула
(Фо> Т Dц (х) Av {х')) фо) = —i hcDF (x - х') ^v A4.87а)
соответствует частному выбору калибровки для электромагнитных потен-
потенциалов. Путем изменения калибровки можно изменить правую часть
формулы A4.87а) и записать
(Ф;, Т (А» (х) Av (х1)) ф'в) = - 1 (^v + Щдч ЦТ2) he DF (x-x1), A4.876)
где к — произвольная постоянная. Частный вид этой формулы при
X = -1
(Ф;, Т {А» {х) Av (х')) Фо) - -1 (^ - ЗЛ СП he DF (x - х') A4.87в)
J) Т. е. диаграммы, отличающиеся только перестановкой индексов вершив, не
считаются различными.
29 с. Швебер

450 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана __
часто бывает удобен, так как при таком выборе калибровки правая
часть равенства A4.87а) оказывается поперечной, т. е.
Мы будем называть калибровку, в которой функция распространения
фотона дается правой частью равенства A4.87в), поперечной калибров-
калибровкой, или калибровкой Ландау.
Далее, в правиле 4 следует заменить Gy на еу^-, а в правиле 5
заменить ф на А^, причем индекс ц совпадает с индексом Y"MaTPH4u.
действующей в этой вершине. Строго говоря, когда мы имеем дело
с электромагнитным полем, следует учиты-
учитывать дополнительное условие. Однако если
ограничиться рассмотрением задач рассея-
рассеяния, в которых начальное и конечное со-
состояния являются «голыми» состояниями,
относящимися к моментам времени t = ± оо,
то обсуждение и формализм, изложенные
Ф и г. 49 в гл. 8, .могут быть использованы полностью,
поскольку эволюция системы описывается
в терминах таких «голых» состояний. Поэтому при исследовании задач
рассеяния не нужно беспокоиться о каких-либо модификациях допол-
дополнительного условия (в этой связи см. работу Кестера и Яуха [139]).
Отметим, что при перечислении множителей не упоминался мно-
множитель 1/п\, поскольку мы касались только топологически различных
диаграмм. Ясно, что имеется п\ перестановок точек хи ¦ ¦ ¦ хп между
собой, которые не изменяют топологической структуры диаграммы, т. е.
при которых диаграмма остается такой же, если не считать наименова-
наименования точек. Последнее замечание не применимо к диаграммам вакуум-
вакуумных флуктуации, но, как отмечалось выше, вакуумные диаграммы
не нужно рассматривать.
В проведенном выше анализе не использовался тот факт, что при
отсутствии внешних полей полная энергия и импульс системы полей
сохраняются при столкновениях. Поэтому следует ожидать значительных
упрощений при переходе к импульсному пространству.
§ 3. Диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве
Для иллюстрации методов, применяемых в импульсном пространстве,
рассмотрим рассеяние двух фермионов. При помощи установленных
в предыдущем параграфе правил легко.записать оператор, соответствую-
соответствующий диаграмме на фиг. 49. Он дается выражением
x
X N (y» (xt) Г1|/+) to) ~ AF (я, - x2) ?+> (x2) IVf) to)) • A4.88)
Отметим снова, что в равенстве A4.88) нет множителя 1/2\, поскольку
имеется 2! диаграммы указанного типа, а именно диаграмма на фиг. 49
и такая же диаграмма с переставленными точками х± и х2. Чтобы полу-
получить амплитуду вероятности для этого процесса, мы должны взять
матричный элемент от оператора S^N между начальным и конечным-

§ 3. Диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве 451
состояниями ] Фг) и ]Ф/). Пусть этими состояниями будут
A4.89а)
, A4.896)
где pi»!, q^j и p2s2, q2r2 — импульсы и спиновые индексы нуклонов
до и после столкновения соответственно. На основании анализа, анало-
аналогично проведенному в § 1 [равенства A4.7) —A4.12)], можно считать,
что множитель- i|)<+> (xt) Ytyl+) (х{) уничтожает частицу, характеризуемую
переменными р^ с волновой функцией a>ei(pi), и рождает частицу p2s2
/—
с волновой функцией Ш82(р2). Оператор т|)<+) (х2) Гя)><+) (х2) дает то же самое
для частиц, характеризующихся переменными qr. Кроме того, опера-
оператор S(i) приводит также к матричному элементу для обменного рассея-
рассеяния, в котором волновые функции двух частиц в конечном состоянии
переставлены. Точная структура обоих этих членов получается при
вычислении матричного элемента
(Ф,, N Й<+>1>(
С другой стороны, в выражении A4.88) можно сразу же заменить
операторы i|)<+> (x) и т|)<+> (х) волновыми функциями тех свободных частиц,
которые они рождают или уничтожают:
&d ^(P2) eiVi'xl CsfeT1 A4'90a)
A4-90б)
где р\ = pi = М2 и pOi = Е (рг) = (р? Щ
Матричный элемент для необменного рассеяния тогда приобретает'
вид (множители % и с включены)
X G (РО В ШЕ Ш Е iqJhe^-^^^e^-^-^ x
(РО В ШЕ Ш Е
X fti-^+ie [^2 (P2) Tw$1 (PlI [S/2 (Чг) Га^1 (qi)]. A4.91)
Матричный элемент для обменного рассеяния Еех получается перестанов-
перестановкой в матричном элементе —R волновых функций двух частиц в конеч-
конечном состоянии:
X A-'-ila-t-ie 1®Г2 ^2) Гш81 (Pl)] [^ (р2) Гаи1-! (qi)j. A4.92)
29*

452 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
Проводя указанные интегрирования по переменным Xi и ж2, мы полу-
получаем для матричного элемента R следующее выражение:
я = - 4" шге I Лб<4) (р* - р* - *)б<4) к* - ь -
4
х
X [W* (p2) FffiJsi (Pl)] [Wr* (q2) TffiJri (q4)] X
_ ^ Af* N i/a 1
Мы намеренно оставляем матричный элемент в виде A4.93), в котором
его можно легко интерпретировать. Мы можем представить себе (фиг. 50),
что падающий нуклон с импульсом Pl и спиновым индексом s4 [волно-
[волновая функция ш*1 (pi)] испускает (множитель GY) бозон с импульсом к
и переходит в конечное состояние с им-
импульсом р2 и спиновым индексом s2 (волно-
(волновая функция ayS2(p2)].
Дельта-функция BяL б4 (р2 — Pi + к),
возникающая при интегрировании по пере-
переменной xt, говорит о сохранении энергии
и импульса в акте излучения. При этом
нуклон переходит в состояние с импуль-
Ф и г. 50. сом р2 — Pi — к. Аналогично, второй нук-
нуклон с импульсом qx [волновая функция
oi>'i(qi)] поглощает (множитель GT) испущенный первым нуклоном квант
и переходит в конечное состояние [волновая функция wr^(q2)]- Наличие
дельта-функции Bя)" бD> (q2 — g4 — к) указывает на сохранение энергии
и импульса в этом процессе1). Функция распространения для бозонов
есть y^-^j ,2_ 2_i_~ > и НУЖНО проинтегрировать по всем виртуальным кван-
1X18 n / I w м*-\i/
там, т. е.- по внутренним линиям. Величина (
\()/
ость произведение нормировочных множителей для волновых функций
нуклонов. Наконец, все выражение умножается на множитель ( — ijhcJ,
возникающий при разложении в ряд теории возмущений.
В данном выше примере можно проинтегрировать по импульсу к
и получить окончательный вид для матричного элемента
я = - тг Шсб<4) (л + 9. - Pi - ?0 (щвдчр^)I" х
(Р2) ГиЛ (ft)] &* Щ
Дельта-функция б<4) снова выражает сохранение полной энергии и полного
импульса в этом процессе.
В качестве второго иллюстративного примера рассмотрим во втором
порядке теории возмущений собственную энергию нуклона, соответствую-
соответствующую диаграмме Фейнмана на фиг. 51. Описываемый этой диаграммой
!) В старой теории возмущений энергия не сохранялась в промежуточных
состояниях, хотя импульс и масса сохранялись. В теории возмущений Фейнмана—
Дайсона энергия и импульс сохраняются, но масса (нвлнющанея инвариантной
величиной) не сохраннется. В этом кроется причина инвариантного характера теории
возмущений Фсйпмана (см. статьи Умэдзавы и Кавабе [788, 791]).

§ 3. Диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве 453
оператор дается выражением
)] -^ AF {x, - z2). A4.95)
Матричный элемент оператора S$fa между однонуклонными состоя-
состояниями с импульсами р^ и р2 запишется в виде
' к X
Л/2 V
е (Pl) Е (р2)
X
х в« (Pi-k-q) w° (p2) Г/_:g+™ie, TW (Pl) р^гр- • A4.96)
Этот матричный элемент снова можно легко интерпретировать при помощи
диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве (см. фиг. 51). Нуклон
с импульсом pi и спиновым индексом г [мно-
[множитель wr (pj] испускает бозон (множитель к
GT) с импульсом к. Дельта-функция
б<4> (pi — к — q) выражает сохранение энергии
и импульса в этом процессе, так что после р \ J V
испускания нуклон движется с импульсом *
q = Pi — к. Его функция распространения (об-
(обратный оператор Дирака) есть (у ¦ q — М -\- iz)~l.
Виртуальный мезон с импульсом к, функ-
функция распространения которого есть (/с2— [х2)'1
(обратный оператор Клейна — Гордона), затем поглощается нуклоном (мно-
(множитель GT), причем энергия и импульс опять сохраняются [бD> (р2—q—к)\.
Нужно проинтегрировать по всем виртуальным квантам (внутренним
линиям), т. е. по импульсам q и к. Интегрирование по импульсу q
приводит к
1 / М \ /¦ С' \ г
f{' _ *¦ §<4> /р р ) ( ) ( ] \ с1*к х
х
Функция б<4> (jo2 — i^i) снова соответствует сохранению импульса и энергии
в процессе в целом. Энергия и импульс нуклона должны быть одинако-
одинаковыми до и после процесса, так как в противном случае матричный
элемент обращается в нуль. Существует только диагональный матричный
элемент, для которого pis—> р^. Этот единственный отличный от нуля
матричный элемент можно переписать в несколько иной форме, если
учесть, что в данном случае операторы рождения и уничтожения рождают

454
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
и уничтожают частицы с одинаковыми энергиями и импульсами, так
что в равенство A4.95) можно подставить
Г
A4.98)
Интегрирование по переменным х^ и х2 в A4.96) можно теперь заменить
интегрированием по переменным х4 — х^ и хх-\-х2. Последнее интегрирова-
интегрирование приводит к величине VT — пространственно-временному объему,
на который распространяется интеграл.
Поэтому мы получаем следующее вы-
выражение для матричного элемента:
IX / __о
X
V Т
BяK
(
(Р)У
X
X
A4.99)
Ф и г. 52.
Пропорциональность матричного эле-
элемента R' объему V обусловлена тем,
что спинорные волновые функции были
нормированы на все пространство. Если
бы мы их нормировали на объем V,
то множитель V/Bn)s не появился бы
и матричный элемент был бы просто про-
пропорционален времени Т. Значение такой
зависимости от Т будет обсуждено при
исследовании собственно энергетиче-
энергетических эффектов в гл. 15.
После этих примеров становится
ясно, что на самом деле нет необхо-
необходимости начинать с записи матричного
элемента в пространстве координат.
Он может быть сразу же записан в ^импульсном пространстве. Рас-
Рассмотрим, например, более сложную диаграмму, изображенную на фиг. 52.
В физическом смысле эта диаграмма представляет поправку к комптонов-
скому рассеянию фотона на нуклоне, обусловленную излучением с после-
последующим поглощением виртуального нейтрального мезона. Фермиои
(протон), который первоначально находился в свободном состоянии
iiisi(p1), рассеивается в точке а с испусканием виртуального мезона,
затем поглощает падающий световой квант в точке Ъ, поглощает испущен-
испущенный виртуальный мезон в точке с и, наконец, в точке d испускает
конечный световой квант, переходя в свободное состояние и^2(р2). Таким
об.разом, эта диаграмма имеет четыре внешние линии, которые не окан-
оканчиваются внутри диаграммы. Эти линии соответствуют фермиону и фотону
в начальном и конечном состояниях. Диаграмма содержит также четыре
внутренние линии, а именно ab, be, cd и ас, из которых первые три
соответствуют распространению фермиона, а последняя — распространению
виртуального мезона. Диаграмма имеет четыре вершины, так что она

§ 3. Диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве 455
соответствует процессу четвертого порядка, к которому приводит Sw:
X T {ЛГ (^ (x,)) ЛГ (фД-ф (х2)) ЛГ (фГт|зФ (х3)) TV (^Гт|зф (я4))}. A4.100)
На фиг. 52 не отмечены направления во времени внутренних фер-
мионных линий. Однако чтобы выписать матричный элемент, мы должны
обратить внимание на последовательность, в которой появляются отдель-
отдельные процессы вдоль фермионной линии (эта последовательность не должна
обязательно совпадать с последовательностью во времени). С какого
конца диаграммы (по времени) нужно начинать — зто вопрос договорен-
договоренности. Однако стало обычным начинать с конечного состояния и затем
двигаться вдоль фермионной линии.
Напомним правила, которые мы вывели из предыдущих примеров.
В матричный элемент входят:
а) множитель ,„ .4 __ для каждой внутренней нуклонной
линии с импульсом р;
,-., i%c I u „
б) множитель -^~а -та 8, . для каждой внутренней мезоннои линии
с импульсом к;
i%c 1 „ „ v
в) множитель —т^п ,2_, • -guv для каждой внутренней фотонной
линии с импульсом к, соединяющей вершины, в которых действуют
матрицы y11 и yv;
г) множитель + еуц для испускания или поглощения в вершине
виртуального фотона (внутренней фотонной линии) фермионом с заря-
зарядом е;
Cv-'д) множитель GT для испускания или поглощения в вершине
виртуального мезона;
е) множитель е(я>ц (к) *—*-$-, Г для каждой внешней фотон-
Bя)/2 у 2 | к0 \
ной линии, излучаемой или поглощаемой в вершине, в которой дейст-
действует матрица у»; &&\ (к) есть 4-вектор поляризации (8^= — 1) испущен-
испущенного или поглощенного фотона с энергией-импульсом к и состоянием
поляризации к (fco = |k|; заметим также, что /Сц8<^(к) = 0);
1 CheI/2
ж) множитель -—=т- . — для каждого внешнего мезона с энер-
' BяK/2 /2шк
гией шк = (к2 + Ц2I/2, который испускается или поглощается нуклоном
в вершине, в которой имеется множитель СГ;
з) множитель ^ у _^L_ uf (p) для каждой внешней нуклонной
линии с импульсом р и спиновым индексом s, выходящей из диаграммы;
и) множитель —^щ\/Щ~\т% ^) Для каждой внешней нуклонной
линии с импульсом р и спиновым индексом s, входящей в диаграмму;
к) множитель BяLбD) (р — р' ± к) для каждой вершины, соответ-
соответствующий сохранению энергии и импульса для всех линий, соединя-
соединяющихся в данной вершине; р и р'— импульсы фермионных линий,
А; —импульс внутренней или внешней линии фотона или мезона, конча-
кончающихся в этой вершине;
л) множитель (— 1) для каждой замкнутой фермионной 'петли;

456
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
м) множитель (— i/%c)n, соответствующий члену п-ro порядка в раз-
разложении в ряд теории возмущений;
И, наконец, нужно проинтегрировать по импульсам всех внутренних
линий.
Пользуясь этими правилами, можно сразу записать матричный эле-
элемент, соответствующий диаграмме на фиг. 52. Он имеет вид
к2)
V he J
Pi — Ps — h)
X
- />4 - кт)
B | k2
GT
X
x
B | к? II/'- Y ^ li; Bя)* Y-Л-
X
М -
A4.101)
При записи этого матричного элемента мы двигались вдоль нуклонной
линии, выписывая для каждого встречающегося процесса соответствующие
«o7o" '
е.Уа*'
еау,
Р&2
Рьз
«6Y6
Ры
Фиг. 53.
ему множители. Отметим, что испущенный в точке d фотон имеет импульс
—к2- Действительно, оператор испускания фотона содержит экспонен-
экспоненциальный множитель exp (iAvaO» и интегрирование по соответствующей
переменной х приводит к члену —к2 в аргументе б-функции. Это согла-
согласуется с интуитивным представлением, что для получения конечного
импульса нуклона р2 следует вычесть из импульса ps импульс фотона к2.
Аналогично, поглощенный в точке Ъ фотон имеет импульс -\-к^ [оператор
поглощения содержит множитель ехр (—iki • х)]. Знак импульса кт
несуществен, но его следует последовательно использовать в б-функциях.

§ 3. Диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве 457
Если предположить, что мезон испускается в точке а, то его импульс
в этой вершине будет -\-кт, так что р3 + кт = р±. Тогда в точке с он дол-
должен поглотиться, и поэтому j>4 -\~ кт = ръ.
В нашем примере ясно, что благодаря наличию б-функций можно про-
провести три интегрирования по внутренним импульсам. Тогда остающаяся
б-функция снова будет выражать сохранение полной энергии и импульса
для внешних линий.
Рассмотрим далее случай двух нетождественных положительно заря-
заряженных фермионов, взаимодействующих через электромагнитное поле,
как это показано на фиг. 53. При записи матричного элемента, соответ-
соответствующего этой диаграмме, мы опять будем двигаться вдоль каждой фер-
мионной линии от конечного состояния к начальному. Совершенно не
существенно, с какой частицы мы начнем, так как относящиеся к различ-
различным частицам операторы коммутируют. Имеет значение, однако, то, что
фотонные линии с импульсами кг и к3 пересекаются друг с другом. Это
означает, что мы должны внимательно отнестись к расположению вершин-
вершинных операторов еу^ в правильном порядке, так как затем нужно просум-
просуммировать по их поляризационным индексам. Применяя установленные
выше правила, но различая теперь операторы для двух частиц (например,
•у-матрицы) при помощи индексов а и Ъ, мы получаем следующее выраже-
выражение для матричного элемента процесса:
R=(й)' Sdiki [ d*k* Idik* [dipa3 [dipai Idipab \dipb3 x
X [BяL]8 6D) (kt + Pa3 - Pal) 6(« (pai + k2- pa3) 6<4> (Pai - Pai - A,) x
X 6D) (pa2-раЪ - k3) 6D> (pb2 - Pb3-k2) 6<4) (pb3 + ks- pbl) x
X L ( Bя)з/(Ра2) ) 2™™ (P«) ^Ya1 B5j* ya.pat-Ma+iz еЛ»l Wf X
X W1 ( ) '
УР
K
Г —ihc ~\ 3
X
BЯ)8 ?
; <2(Pb)*bV-
yb.Pb3-Mb+is
M(P
причем подразумевается суммирование по повторяющимся индексам,
что равносильно в данном случае суммированию по поляризациям
виртуальных фотонов. Знак, который мы приписываем импульсам
hi, k2 и к3, снова несуществен, но мы должны быть последовательными
при обращении с законом сохранения импульса: если один конец фотон-
фотонной линии рассматривается как испускание фотона, то другой должен
рассматриваться как его поглощение.
Техника Фейнмана непосредственно распространяется на взаимо-
взаимодействия вида G: грГтгр-ф:. При этом виртуальному мезону, испущен-
испущенному или поглощенному в вершине, соответствует множитель GT;I\
Функция распространения для виртуального мезона между двумя верши-
вершинами, в которых стоят матрицы xt и т7-, дается множителем б;; [i Bя)] X
X (к2 — (Л2 -(- is)'1. Должно быть проведено суммирование по индексам I
и /. Матрицы х автоматически учитывают сохранение заряда в каждой
вершине. На практике можно также просто следить за тем, какова

458 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
нуклонная линия —протонная или нейтронная. Тогда функции распро-
распространения нейтральных и заряженных мезонов i Bя)(А2 — (a2-)- ie).
Однако при такой методике следует проявлять особую осторожность
при выборе правильного значения константы связи в я-мезон-нуклон-
ных вершинах: испускание или поглощение заряженного мезона
нуклоном имеет константу связи J/2G, тогда как испускание или погло-
поглощение- нейтрального мезона протоном имеет константу связи + G, а испу-
испускание или поглощение нейтрального мезона нейтроном имеет константу
связи — G.
Чтобы получить правила для диаграмм Фейнмана, описывающих
взаимодействие заряженных мезонов с фотонами, напомним, что взаимо-
взаимодействие заряженного бозонного поля с электромагнитным полем описы-
описывается лагранжианом взаимодействия, плотность которого есть
Хг (х) = - ieN [<р* (х). д^ (х) - д&* (х) • <р (*)] А» (х) +
+ &N {А», (х) А» (х) <р* (х) <р (*)]. A4.103)
Если, как и в предыдущих случаях, перейти к картине взаимодействия
а ковариантному уравнению Томонага — Швингера, то оказывается, что
плотность гамильтониана взаимодействия, получаемая непосредствен-
непосредственным применением канонического формализма, не удовлетворяет условию
интегрируемости. Канезава и Томонага [420] (см. также статьи Неймана
н Фарри [910] и Кинощита [444, 445]) показали, что правильное ковариант-
ное обобщение плотности гамильтониана взаимодействия дается выра-
выражением
&ej{x\ o) = N( + ie [ф* (х) • д„Ф (х) - д„ф* (х) • ф (х)] А» (х) -
- е2ф* (х) ф (х) [А» (х) Л" (х) - К (х) А» (х))*]) =
= fflH*) + &e'i(*\ °). A4.104)
где Яр, — нормаль к пространственно-подобной поверхности а в точке х.
Отметим, что эта плотность гамильтониана явно зависит от поверх-
поверхности, так как зависит от нормали п^(х). Она сводится к обычной
плотности гамильтониана взаимодействия в случае плоской поверхности
t = const, т. е. когда п^ — {\, 0, 0, 0). Зависимость плотности гамиль-
гамильтониана q%?i(x; а) от пространственно-временной поверхности присуща
всем связям с производными.
Затем можно было бы построить ^-матрицу в соответствии с пра-
правилами, изложенными в гл. 13, используя для gft?i выражение A4.104).
Мэтьюз [539] показал, однако, что в этой теории при вычислении
/^-матрицы все зависящие от нормали п^ выражения всегда взаимно
уничтожаются с некоторыми сингулярными выражениями, возникаю-
возникающими при учете эффектов высших порядков для не зависящей от нор-
нормали /ip, части гамильтониана g№i. На деле оказывается, что правильная
методика сводится к полному игнорированию зависящей от нормали
части и в то же время к использованию простых правил, развитых
выше для описания эффектов взаимодействия. Таким образом, следует
использовать плотность гамильтониана *)
SVi (х) = + ieN [ф* (х) ¦ д„ф (х) - д„Ф* (х) • <р (х)] А» (х) -
.„_^______ -e2N[^*(x)^(x)AVi(x)A>l(x)], A4.105)
!) Чтобы теория была калибровочно-инвариантной, в последнем члене форму-
формулы A4.105) под знаком JV-произведения должны стоять только операторы заряженного
мезонного поля, т.е. этот член должен быть записан в виде — е2А ^(х)А ^(х) N(<p*(x)(p(x))—
Прим. ред.

$ 3. Диаграммы Фейнмана в импульсном пространстве 459
и для спаривания бозонных множителей, содержащих производные,
нужно применить 1) следующие выражения:
'1=^-, A4.106а)
(х) ЭФ* (х') \ф \ he д^Ар (х-х')
/ф / д<р (х) ЭФ* (х') \ф \
A4.1Ш6)
При помощи этих формул можно непосредственно перенести на данный
случай развитые ранее графические методы. Так, член первого порядка
но е в Se'i (х) приводит к диаграмме, содержащей две мезонные и одну
фотонную линии в каждой вершине, как показано на фиг. 54, а (теперь
Фиг. 54.
мезонная линия должна быть направленной, чтобы указать знак заряда!);
член гамильтониана взаимодействия : ср* (х) ср (х) А^ (х) А^ (х): приводит
к одновременному испусканию или поглощению в вершине двух фото-
фотонов, как показано на фиг. 54, б.
Правила для записи матричного элемента, соответствующего диа-
диаграмме гс-го порядка (диаграмме, содержащей гс вершин), снова можно
получить, применяя теорему Вика к разложению /^-матрицы для гамиль-
гамильтониана A4.105). (В работе Рорлиха [667] этот анализ подробно прове-
проведен.) Отметим, однако, что в рассматриваемом случае элемент S-мат-
рицы гс-го порядка содержит члены всех порядков между еп и е2п.
В импульсном пространстве надо применять следующие правила.
В матричном элементе имеются множители:
а) + е (J3|i + jp|i) Для каждой одиночной вершины; р^ и р'^ — импуль-
импульсы входящей в вершину и выходящей из вершины мезонных линий соот-
соответственно;
б) BjtL6D) (p — p' ± к) для каждой одиночной вершины; р и р'—
импульсы мезонных линий, а к — импульс внутренней или внешней
фотонной линии, кончающейся в зтой вершине (знак плюс или минус
зависит от того, испускается фотон или поглощается);
в) е2 BitLgnV6<4) (p — p' ± к ± к') для каждой двойной вершины (вер-
(вершины, в которой испускаются или поглощаются две фотонные линии
с поляризациями ц и v); каждый испущенный или поглощенный в двой-
двойной вершине фотон представляется соответствующим ему множителем
(см. ниже правила «г» и «е»);
х) Согласно этим правилам, опускаются сингулярные выражения, возникающие
при дифференцировании сингулярных функций [539, 667].

460 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
, the 1 „ .. - ..
г) — 4 ,2 .. g^ для каждой внутренней фотонной линии с им-
импульсом к, соединяющей вершины, в которых имеются множители
(p + p'Y и {р + р'У в случае одиночных вершин, или множители gw>
и gva в случае двойных вершин (индексы q и о относятся ко второму
фотону, испущенному или поглощенному в двойной вершине), или мно-
множители (р + р')^ и gvc в смешанном случае;
. the 1
д) .» ,4 2_ 2 , . для каждой внутренней мезоннои линии с импуль-
импульсом р;
е) 1/ ,.)„>, 11 i 8lt') М Для каждой внешней фотонной линий, кото-
г ^ZJTJ*5 Zj К. I
рая испущена или поглощена в одиночной или двойной вершине;
е^>(к) есть 4-вектор поляризации (г^ = — 1, к^г» (к) = 0) для испущенного
или поглощенного фотона с энергией А0 = |к|, импульсом к н состоя-
состоянием поляризации К;
/ he
ж) 1/ it N4 0—- Для каждой внешней мезоннои линии с импульсом к
Т ^ZjT)° ^Wi-
и энергией сок = (к2 + fi2I/2, входящей в диаграмму и выходящей из нес;
з) (— i/hc)n из разложения в ряд теории возмущений;
и) наконец, полученное произведение нужно проинтегрировать по
всем внутренним импульсам и умножить интеграл на весовой множитель
W — 28, причем g — d — b, где d — это число двойных вершин в диаграмме,
а Ъ — число пар двойных вершин, соединенных двумя фотонными линиями.
Использование символа нормального произведения в выражении
A4.105) для ей?1 приводит к тому, что по теореме Вика следует опу-
опускать те диаграммы Фейнмана, в которых две фотонные линии, выхо-
выходящие из одной вершины, вновь соединяются, не участвуя в каком-либо
взаимодействии. Так, не должны рассматриваться диаграммы, подобные
показанным на фиг. 551).
Аналогичная изложенной выше ситуация возникает в любой теории
со связью с производными, например в случае псевдоскалярной мезон-
мезоннои теории с псевдоскалярной связью, в которой
/ • ^/»л-и-«ij (.х) Зцф (ж):. A4.107)
Канонически сопряженный к полю ф импульс имеет вид
л (х) = доц> (х) — i-: $ (.г) Y°Y5i|> (ж):, A4.108)
1) В примечании на стр. 458 уже отмечалось, что для соблюдения калибровоч-
калибровочной инвариантности в формулу A4.105) вместо члена —e2N (ффЛ^Л^) на самом деле
должен входить член —e2AllAilN (<p<p), который приводит к диаграмме, показанной
на рис. 55, а. Диаграммы такого типа необходимо учитывать, иначе физические резуль-
результаты теории (например, собственная энергия заряженного мезона) будут зависеть от
выбора калибровки. Заметим также, что в калибровке, в которой АцА^=0, обсуждае-
обсуждаемые диаграммы вносят равный нулю вклад в матричные элементы, но функция рас-
распространения фотона содержит существенные градиентные добавки [ она пропорции-
нальиa gav — 4 ).—Прим. ред.

4. Эффективные сечения 461
и плотность гамильтониана взаимодействия не равна уже со знаком
минус плотности лагранжиана взаимодействия, а дается выражением
М'А(х; о) = : -L ф (х) У]1у^ (х) * Ф (х) - i (-L)" fiytfrfnP (z)J:, A4.109)
причем оба члена должны быть использованы при вычислении /5-мат-
рицы. Как и в предыдущем случае, при подробном анализе выясняется,
ч
ч
а
Фиг. 55.
что для получения правильного ответа следует принять для S-матрицы
разложение
n=0
и пренебречь дополнительными сингулярными членами, возникающими
при спаривании операторов дуц> и д^ц>, когда jj, = v = O.
§ 4. Эффективные сечения
Изложенные в этой главе правила позволяют написать матричный
¦ллемент, соответствующий любой наперед заданной диаграмме Фейн-
мана, т. с. дают возможность вычислить iS-матрицу. Элемент ^-матрицы
между заданными начальным и конечным состояниями | Фа) и | Ф&) есть
амплитуда вероятности перехода из начального состояния |Фа) в конеч-
конечное состояние |Фь>. Запишем амплитуду перехода в виде
)\\^ NN', A4.111)
где в явном виде записаны 6-функции, соответствующие сохранению
п
полной энергии и полного импульса B Ра — сумма 4-импульсов п
а=1
п'
падающих частиц, 2 Р'ь — сумма 4-импульсов п' образованных частиц),
и нормировочные множители N и N' падающих и образованных частиц
[(тО для ФеРмионов' .1/1^2@ для бозонов] . Поэтому МЪа — {Ь\М\а)
ость релятивистски инвариантный матричный элемент.
Мы уже изучили в § 1 этой главы рассеяние частицы на не завися-
зависящем от времени внешнем поле. В этом случае импульс не сохраняется,

462 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
и амплитуда перехода имеет вид
КЬа= +2яг6A>B/7ао-2/7ь0)(&|ЛГ[а). A4.112)
В § 1 был намечен способ вывода формулы для эффективного сечения
в этом случае. Поэтому мы не будем рассматривать ниже процессы
рассеяния с участием внешнего поля. Далее, для применений наиболь-
наибольшее значение имеют столкновения, в которых начальное состояние
состоит из двух частиц, и мы ограничимся этим случаем.
Пусть Q есть совокупность состояний частиц, обладающих импуль-
импульсами в интервалах pj, p^ + dpj, ..., р'„ и p'n + dpn и заданными проекци-
проекциями спина. Вероятность рассеяния в конечное состояние, в котором
состояние отдельных частиц принадлежит совокупности Q, дается выра-
выражением
dw=\ \Rba\2d1?'1... dp'n. A4.113)
Q
Вероятность перехода бесконечна, поскольку она содержит в силу
ненормируемости наших векторов состояния множитель 6С4)@). Чтобы
исправить это положение, следовало бы строить для начальных состоя-
состояний волновые пакеты. Вместо этого, следуя Липнману и Швингеру [503],
можно снова интерпретировать множитель бс4)@) как Bn)-*VT, где V —
(большой) объем, а Г — (большой) интервал времени, в котором и в тече-
течение которого имеет место процесс рассеяния. Физический интерес пред-
представляет величина dw' — вероятность перехода в единицу времени
и в единичном объеме. Пусть нормировка начальных одночастичных
состояний такова, что их плотность равна т]г (г' = 1, 2). Тогда
a=l
- A4Л14)
Эффективное сечение da равно числу переходов в единицу времени
и объема, разделенному на поток падающих частиц и на число частиц
мишени в единице объема. Так как при делении на r\t мы нормиро-
нормировали начальные состояния так, что они содержат одну частицу в еди-
единице объема, то поток начальных частиц будет равен |v4 — v2| = u, где
Vj и v2 — скорости начальных частиц, причем предполагается, что ча-
частицы движутся вдоль одной прямой. Поэтому, чтобы получить эффек-
эффективное сечение da, надо разделить вероятность перехода dw' на отно-
относительную скорость начальных частиц | vt — v2|:
Релятивистскую инвариантность эффективного сечения можно сделать
явной, если заметить, что множитель Е±Е2\ vt — v21 можно заменить
инвариантным выражением | (pt¦ р2J — p\pl\ и что d3p/E есть инвариант.
В случае двухчастичной реакции
формулы A4.114) и A4.115) определяют обычное дифференциальное
сечение, если взять в качестве Q совокупность конечных состояний,
в которых импульс одной из конечных частиц р^ лежит в заданном

§ 5. Примеры 463
телесном угле dQ. При заданном dQ значения pj, jt'2, pi0 = Ei и pw = E2
фиксируются законами сохранения энергии и импульса. В системе
центра масс |Pi| = |P2|, и формула A4.115) приобретает вид
do = -^L J N*N'*p? dp[ dQ | МЬа рб (Ei + E2- E\ - K) =
Так как относительная скорость двух частиц в конечном состоянии
равна
./ _
то эффективное сечение для случая двухчастичных реакций дается
формулой
dQ - M1M2w'•tW \мЪа\ JV iV . A4.11/)
Рассмотрим далее случай распада нестабильной частицы с импуль-
импульсом к на две частицы с импульсами pt и р2 (например, распад л;0 —> 2у
или распад К0—>2я). Вероятность распада в единицу времени (вели-
(величина, обратная времени жизни) равна полной вероятности перехода
в единицу времени:
lfefe^ A4.110)
где интегрирование по допустимым конечным состояниям должно вклю-
включать и суммирование по спиновым состояниям дочерних частиц, если
они имеют спин. В системе покоя распадающейся частицы к=(т0, 0)
(т0 — масса распадающейся частицы) и | р± [ = | р2 [, откуда
6(«(^-/'1-/'2) = б<1>G?г0-р10-р20)бC>(р1Н-р2), A4.119)
чгак что
w = Bл.)* J б'» (т0- VWVK- Vti+Ц) I Mba |--™? gjg ; A4.120)
Если распадающаяся частица бесспиновая, то распад должен быть изо-
изотропным, и поэтому величина | Мъа |2 должна быть сферически симме-
симметричной в импульсном пространстве. Тогда
^^ A4.121)
§ 5. Примеры
1. Комптоыовское рассеяние
Мы проиллюстрируем применение формулы A4.114) вычислением
эффективного сечения рассеяния фотона на свободных электронах
(комптоновское рассеяние) в низшем порядке теории возмущений.
В низшем порядке имеются две диаграммы Фейнмана (фиг. 5G).
На фиг. 56, а электрон в состоянии р^ сначала поглощает фотон
с импульсом hi и вектором поляризации e^i' (ki) и затем испускает
второй фотон с импульсом к2 и поляризацией е(^2)(к2), переходя в конеч-

•'F4
Гл. 14. Диаграммы Феинмана
ное состояние с импульсом р2 и спиновым индексом s2. Во втором про-
процессе (фиг. 56, б) акт излучения конечного фотона предшествует акту
поглощения начального фотона. При помощи установленных в § 3 правил
легко проверить, что матричный элемент, соответствующий этим двум
диаграммам, имеет вид
Rba = б- (р2 + ft, - Л - ft,) Л. -7=4== X wH (р2)
= BяL бD) (р2 + к2 - Pi — ki) (p2s2, к2е21М j
X
x
2я)« К
BЛN К 4? (Pl) E (р2) со (kt) (О (к2) '
A4.1226)
где, поскольку это не может привести к недоразумению, мы
записали e^i^kj) как et и (о(к{) как Юь в аналогичном смысле исполь-
Фиг. 56.
зуются обозначения е2, со2 и Eif E2. Проследим, как возник в фор-
формуле A4.122) классический радиус электрона г0 = ег/4го?гс2. Применение
правил § 3 приводит в формуле A4.122а) к численному множителю а/2ш.
Если выразить нормировочный множитель фотона B1 к |)~1/а через ого
энергию Аек, то в числителе появится дополнительный множитель Ас,
который вместе с множителем т и константой тонкой связи а даст г0.
Это объясняет также появление множителя т2 в числителе: одно то
возникает из нормировочного множителя электрона, а другое — при пере-
переходе от постоянной а к радиусу г0. Так как мы приняли систему еди-
единиц, в которой Ъ, = с — {, то энергия фотона есть <о = |к|.
Обозначим множитель в фигурных скобках в формуле A4.122а) симво-
символом 5Ш. Выражение для Ш можно упростить, если учесть, что электрон
и фотон свободны, т. о. что
ра = р2 = т2 A4.123)
и
fcJ = ftJ = O, A4.124)
fc1-e1 = fc2-e2 = 0. A4.125)
Для дальнейшего упрощения результатов выберем систему отсчета,
в которой электрон до столкновения покоится, р4 = (т, 0, 0, 0). Выберем
также такие векторы поляризации, которые имеют только пространствен-

§ 5. Примеры 46о
ные компоненты; это всегда можно сделать при помощи соответ-
соответствующим образом подобранного калибровочного преобразования (см. § 2
гл. 9). Вследствие такого выбора калибровки
Pl.81 = J01-82 = 0. A4.126)
Отметим, наконец, что оператор Ш действует справа на волновую функ-
функцию Дирака, которая является собственной функцией оператора y-pi
« собственным значением т. Из перестановочных правил для ¦у~матРиЦ
YnYv + YvYn = 2ffnv A4.127)
следует соотношение
pi-ei. A4.128)
Однако в силу равенства A4.126) второй член равен нулю. Аналогично
доказывается, что произведение y-pi антикоммутирует с произведе-
произведением у-е2. При помощи этих результатов можно исключить встреча-
встречающиеся в выражении для Ш члены y-pi-\-m. Наконец, с учетом соот-
соотношения A4.125) можно записать
Rba = Bя)*б«« (р2 + k2-Pl- АО Tr~=^L=^ х
BяM у i^/MW
X W 2 (рг) I Y" E2 у—тг Y" Ei + Y' ei у—г" Y' E2 r ^ (Pi)- A4.12У)
Чтобы получить вероятность перехода, мы должны взять квадрат
модуля величины Rba- Пусть нас не интересует проекция спина
электрона в конечном состоянии и мы ограничиваемся случаем, когда
начальные электроны не поляризованы. Тогда нужно просуммировать
| до8* (р2) УЯгю^ (Pi) |2 по индексу s2 и усреднить по индексу su что, как мы
видели в гл. 4, сводится к вычислению некоторого следа. Несколько
громоздкие вычисления приводят к следующему результату:
\ 2 82 (Рг) 5Ш^81 (Pi) I2 A4.130а)
= 8^2 SP {(Y- Рг + т) Ш (yPl + m) Ш'} A4.1306)
причем при переходе от равенства A4.130в) к равенству A4.130г)
использован тот факт, что в лабораторной системе р{ = (т, 0, 0, 0) и что в
•есть угол между направлениями поляризации падающего и излученного
фотонов. Выражение A4.130г) составляет главную часть формулы
Клейна — Нишины, выведенной в работах Клейна и Нишины [455],
Нишины [587) и Тамма [768] (см. также монографию Гайтлсра [376]).
Чтобы вычислить эффективное сечение процесса, нужно знать плотность
падающих частиц. Ее можно найти, рассматривая плотность тока
электронно-позитронного поля и вектор Пойнтинга электромагнитного
поля. Среднее значение оператора тока в начальном состоянии электрона
30 с. Швсбср

466 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
| ф.) = fcjx (pj) ф0) запишется в виде
= - е (b*Sl (Pl) Ф„, if(s) ^i|><+) (х) «х (pi) Фо) -
^ yi^ A4.131).
где и1A— скорость начального электрона. Для плотности заряда в началь-
начальном состоянии отсюда получаем
^-<(a:)a'pi(*). A4-132>
так что плотность начальных электронов щ дается выражением
bi- A4ЛЗЗ)
Если принять во внимание, что дираковские спиноры были нормированы
не в единичном объеме, а в инвариантном объеме m/Ei, то можно полу-
получить в точности такой же результат. Можно установить также, что
плотность падающих фотонов равна 1/BяK. Величина | Иъа \2/VT является
вероятностью перехода в единицу времени и в единичном объеме для
полученной выше плотности начальных частиц. Чтобы получить вероят-
вероятность перехода на единицу плотности начальных частиц, надо раз-
разделить | Rba \2JVT на T^-Tg -jr ¦ Тогда dw' в данном случае будет
1i о I 1л7 I 70 о /л I / , т 7 \ fft" « t A f А *Л f \
Теперь, интегрируя по d3p2, можно исключить б-функции, завися-
зависящие от импульсных переменных, после чего
^, A4.135)
где Ef = /?2о + &2о — полная энергия системы в конечном состоянии,
a Ei = pю + кц) — полная энергия начального состояния. Запишем
b[L^ dQ dEf. A4.136)
Можно теперь проинтегрировать по dEf и устранить последнюю остав-
оставшуюся б-функцию, зависящую от энергии. Таким образом,
^) dQ. A4.137)
Заметим, что при интегрировании по d3p2 импульсы частиц в конеч-
конечном состоянии выражаются через импульсы начальных частиц в соот-
соответствии с законом сохранения импульса. Аналогично, интегрирование
по dEf в соответствии с законом сохранения энергии фиксирует полную-
энергию частиц в конечном состоянии.
Проведем теперь указанные в формуле A4.136) дифференцирования.
В лабораторной системе отсчета, учитывая, что
Ef = щ + Е2 = с»! + Ei = ft>2 + (p22 + m2I/» =
cos ф + о)* + т2I^, A4.138)-

5. Примеры 467
где ф — угол рассеяния
кк A4.130)
A4.140),
и используя
мы получаем
соотношение
@@)
dEf -1 +
ki-k2= cuiffls
Комптона
2 A — cos ф) =
0>2 — (Oj COS ф
- (Oj A —COS ф)
E2
т(а1 — а2),
Lin ~4~*^2 — *^i COS Ф
m «!
E, <o2
Поэтому вероятность перехода, при котором рассеянный фотон излучается
в телесный угол dQ и имеет энергию (оа, дается выражением
A4.142)
Дифференциальное эффективное сечение da определяется как частное
от деления вероятности перехода на падающий поток (с = 1) и на число
рассеивающих частиц в единице объема ( = 1). Поэтому
A4.143)
что и является хорошо известной формулой Клейна — Нишины.
Рассмотрим здесь эффективное сечение только в нерелятивистском
пределе, т. е. когда a»i, и2 < т и pi = р2 = (т, 0, 0, 0). В этом пределе
формула A4.130г) сводится к
^нер = -^-со8«в A4.144)
(так как и, = ю2) и дифференциальное эффективное сечение рассеяния
приобретает вид
do-HCP = >-ocos2®dQ. A4.145)
что совпадает с классической формулой Томсона для рассеяния излуче-
излучения с малой энергией на статическом заряде. Дифференциальное эффектив-
эффективное сечение для неполяризованного света получается суммированием
по двум конечным состояниям поляризации фотона и усреднением
по двум начальным. Это суммирование может быть легко проведеноv)
J) Напомним, что трехмерные векторы еA) (к), еB) (к) и к/| к | образуют орто-
нормированную систему, соотношение полноты для которой имеет вид
ь г,
р<!> (\г\ вЯ> /кЛ-1_с<2> 1к\ в<2) /к\ _1 r s А
i *¦ I
где индексы г, s = l, 2, 3 обозначают компоненты векторов. Поэтому мы можем
записать
2
Аналогично легко проверить, что
_ 1 "S
~ 2 ^
rs
где ф —угол между векторами kt и к2, т. е. угол рассеяния.
30*

468 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
и дает следующий результат:
daiicp •= -*- rl (I + cos2 ф) dQ, A4.146)
где ф —угол между векторами к{ и к2, т. е. угол рассеяния. Полное
эффективное сечение получается при интегрировании '^по телесному
углу dQ и равно
о=~г20. A4.147)
В гл. 17 мы увидим, что формула томсоновского рассеяния A4.147)
играет важную роль в понимании перенормировки "заряда.
V
i
V\ *
Интересно сравнить рассеяние фотонов на частицах со спином х/2
и на частицах со спином 0. Для этого вычислим эффективное сечение
рассеяния фотонов на я-мезонах в низшем порядке теории возмущений.
Этому процессу соответствуют три диаграммы, изображенные на фиг. 57.
Матричный элемент S имеет вид
Т — Г ._ — 6 (pi + кг — р2 — к2) X
X {(/>2 + Pi + /и) • <?2 J
+ {P2+Pi — A-2)-ei , Л2_ _• B/>i- fc2)-82 — 28! -вг}- A4.148)
Член с множителем 2 соответствует диаграмме на фиг. 57,в (в Л"-произ-
ведении '.А^ (х) А^{х) ф*ф (х): любой из операторов А может привести к излу-
излучению фотона 2 или поглощению фотона 1). В такой системе отсчета,
в которой начальный я-мезон покоится, pi = 0, и при таком выборе
калибровки, когда оба вектора поляризации et и е2 имеют только про-
пространственные компоненты (так что jvei = iVe2 = 0), отличен от нуля
только член, соответствующий диаграмме на фиг. 57,в. Это есть след-
следствие выбора такой специфической калибровки, в которой е10 = е20 = 0.
Интересно отметить, что амплитуды, соответствующие каждой из диа-
диаграмм на фиг. 57, в отдельности не являются калибровочно-инвариант-
ными, хотя суммарная амплитуда инвариантна (это легко проверить,
произведя калибровочное преобразование е^—>e'tl = eil-+-'kkll). Эффектив-
Эффективное сечение дается интегралом
doW \d*k2\d>P2V» (Р1 + к>-Р2-к2)^^. A4.149)

5. Примеры
469
Если теперь в точности так же, как в случае спина, равного 1/2, про-
провести интегрирование, то в конечном итоге получим
1J ' ' ' ¦" Ш, A4.150)
где гл — е2/4яц — классический радиус я-мезона и cos(pco1(o2 = kfk2.
В крайне нерелятивистском пределе при «j < \i формула для эффектив-
эффективного сечения снова сводится к классической:
da = rl\(si-&2)\idQ. A4.151)
Таким образом, рассеяние фотона с очень малой энергией на частице
со спином 0 в точности такое же, как и рассеяние на частице со спи-
спином 1/2. Объяснение заключается в том, что для очень больших длин
волн рассеяние осуществляется только на полном заряде рассеивающей
системы.
В заключение этого раздела отметим, что в силу унитарности
б'-матрицы между членами разложения ^-матрицы различного порядка
соблюдаются определенные соотношения. Так, для разложения ^-матрицы
в степенной ряд по константе связи
S = 1 + eSi 4- e2S2 +•
условие унитарности б'-матрицы имеет вид
1 = S*S = 1 + е (S* + St)
A4.152)
't + S2) + е3 (S^S, + ВД + S*3 + S>) +
+ J4)+..., A4.153)
и поэтому каждое выражение в скобках должно быть равно нулю.
Получаемые при этом соотношения между членами разложения Sn могут
оказаться очень полезными для вычислений (см., например, [402]).
2. Фоторождение я-мезонов
В качестве второго примера рассмотрим фоторождение положительно
заряженных я-мезонов в реакции
Диаграммы низшего порядка, которые связаны с этим процессом в псев-
псевдоскалярной мезонной теории со связью без производных, приведены
Фиг. 58.
на фиг. 58. Соответствующий диаграмме на фиг. 58,а процесс похож
на фотоэффект: виртуальный мезон в нуклонном облаке (для которого

470 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
ф Ф \i2), поглощая фотон, становится «реальным». Мы принимаем
во внимание только заряд нуклонов и пренебрегаем аномальным магнит-
магнитным моментом. Результаты этих вычислений в низшем порядке теории
возмущений совершенно не согласуются с экспериментом и приводятся
только как пример применения техники Фейнмана. Диаграмме на
фиг. 58,а соответствует часть матричного элемента
Я<"> JL / Bл)8 6<« (р' + q - р - к) X
X wn (р') /2 Gybwp (р) (д_ф_р- -щ* I - «w (k) • Bд - Щ A4.154а)
A4.1546)
причем при переходе к A4.1546) учтено, что q2 = \i2, k2 = 0,
e,W(k)-k = Q, и предположено, что массы протона и нейтрона одинаковы
и равны М. Диаграмме на фиг. 58,6 соответствует часть матричного
элемента
L М
W ^=^=P- B")8SD> (p' + q-p-k) X
X wn (p') СЪ -^ yrt"^ У ¦ в'« (k) «, (P). A4.155)
В калибровке, в которой е^) = 0, ив лабораторной системе отсчета
и в системе центра масс соблюдается равенство р-е = 0. Поэтому
A4.156)
Сумма вкладов от диаграмм а и б фиг. 58 равна
A4.157)
Чтобы вычислить дифференциальное эффективное сечение для неполяри-
зованных протонов, мы должны вычислить 2 | Л |2- В системе центра масс
спин
q (fq-г y-ky-el ур+М Г q-e у-ку-е 1 у-р'^-М} _
Р ILi7^ 2НГ] Y5 ~~2M ^5 [-^у 2^^ J 2M J -
g0 — | q 1 cos 8
2 k*(?0-lqloose)»
где
q.k = ]q|cocos9. A4.159)
Применяя соотношения A4.114) и A4.115), получаем следующую формулу
для дифференциального эффективного сечения в системе центра масс:
da eW I |q| 1 i
2ЬрЕр. |k | l + Okl/Яр) l+(9o/?p') A4.1bO)

§ 5. Примеры 471
3. Распад я-мезона
В качестве другого примера применения вычислительной техники
рассмотрим следующую феноменологическую модель для объяснения
распада заряженного я-мезона на [х-мсзон и нейтрино:
^ (I -iy5)v: д^я (х) + э. с, A4.161)
где я обозначает я-мезонный оператор, a \i и v — четырехкомпонентные
«спинорные операторы для мюонного и нейтринного полей. Волновые
n
Фиг. 59. Ф и г. 60.
функции нейтрино нормированы так, что
2 2
2 Щ\)г (р) Щ\)г (р) = 2 viv)r (P) viv> (Р) = 2—\ ' A4.162)
г=\ г=1
и разложение оператора v (а:) в картине взаимодействия имеет вид
2
г=1
где р0 = | р [; &г (p) и dr (p) — операторы уничтожения для нейтрино и анти-
антинейтрино соответственно, удовлетворяющие обычным перестановочным
соотношениям {br(p), b*> (р')} = бГГ'б<3) (р — р') и т. д., так что
fv (х); 'v (х')\ = iS (х х'• т = 0) A4 164)
Гамильтониан взаимодействия A4.161) описывает элементарные процессы
ж~—*-[A~-f-v и я+—>(i+-(-v. Из-за множителя х/2 A — i^s) гамильтониан
${?i не инвариантен относительно пространственного отражения Р.
Гамильтониан A4.161) можно рассматривать как результат «исключения»
сильных взаимодействий из гамильтониана, описывающего сильные
взаимодействия между барионами и мезонами и слабые взаимодействия
типа Ферми между барионами и лептонами. В низшем порядке теории
возмущений такой более полной теории распад я-мезона может проте-
протекать, как показано на фиг. 59.
Гамильтониан A4.161) непосредственно приводит в низшем порядке
•теории возмущений к диаграмме фиг. 60. Этой диаграмме соответ-
соответствует следующий матричный элемент распада я-мезона:
Л=-Ц2я)^'(д-Р-/с)^|]/^-Х
:v> (k) -Xro-^=qQ, A4.165)

472 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
где q есть 4-импульс я-мезона, р и к есть 4-импульсы мюона и нейтрино
соответственно. Закон сохранения энергии и импульса утверждает, чт»
д = р-\-к, откуда у-д = у-р-\-у-к. Это позволяет нам упростить выра-
выражение A4.165), так как н(м.) (р) у -р = т^) и (р) и v-k f(v) (k) = 0. Отсюда
c-q) A4.166)
и вероятность перехода в единицу времени и объема (безотносительно-
к спиновому состоянию нейтрино) запишется в виде
Zl ~vf I R I2 = Blt)" 'Bя)9" 2соя?( . X
(V) W
X и(|1) (p) -*- A + iy5) ** 1 A _iyb) U(il) (P).e«« (p + Л- ?). A4.167)
Если мы интересуемся только временем жизни, то единственной имеющей
значение величиной является вероятность перехода безотносительно-
к спиновому состоянию мюона, т. е.
vt Zi iJ
СПИН |1, V
X Sp у A + iy5) Y'^y (I — 1\5) (У'Р-\-Щм) • A4.loo)
Можно произвести дальнейшее упрощение выражения для следа, если
учесть, что гиA —1\5J = J/2(l — iy&) и что след нечетного числа ^-матриц
равен нулю, так что
Sp [ ] =-.TSp [у-кУ'Р + iy'k у-руъ] = 2к-р A4.169)
и
-д). A4.170)
VT ^ '"' Кач- ЧШя1>( у
СПИН Ц., V
Так как нейтрино имеет равную нулю массу покоя, то к2 = 0 til
с, откуда следует,
р.* =* |.(mi-
где через к обозначен единичный вектор в направлении движения ней-
нейтрино. Чтобы вычислить полную вероятность перехода в единицу вре-
времени Г, удобно рассмотреть распад я-мезона в его системе покоя. Тогда
мы находим
d3p \
A4Л72>
[множитель BjtK введен в это равенство для того, чтобы начальное-
состояние было нормировано на одну частицу в единице объема].
В системе покоя я-мезона тл = д0 = о>п = (ро + &о) = (р2 1/ IU

§ 5. Примеры 473.
так что
р| = ~2—(тпп—тп1ц))=-тг-A нг- | A4.173)
и
A4.174).
Интересно отметить, что если привлечь предположение об универсаль-
универсальном ферми-взаимодействии, то эффективным гамильтонианом для описа-
описания распада я-мезона на электрон и антинейтрино будет
/уя'г = G л* ¦ ev A j-v.) v • д^я (х) 4- э. с. A4.175)-
где СЭфф должна совпадать с константой связи в гамильтониане A4.161).
Тогда отношение вероятностей распада, согласно теории, должно быть-
равно
I*^L = ,m'.(wf~mp . = 1,3-Ю-4, A4.176).
что согласуется с отношением вероятностей распада, наиденным экспе-
экспериментально [20].
4. р-раепад нейтрона
В качестве последнего примера применения вычислительной техники
квантовой теории поля проведем вычисления, связанные с некоторыми
свойствами распада нейтрона в теории |3-распада,
которая была предложена Гелл-Манном и Фейнманом,
а также Маршаком и Судершаном (см. гл. 10). Вспом-
Вспомним, что они предложили следующий гамильтониан
взаимодействия для описания не сохраняющего чет-
четность р-взаимодействия нуклонов:
: + э. с, A4.177)
где через р, п, е и v обозначены четырехкомпо- Фиг. 61.
нентные спинорные операторы протона, нейтрона, элек-
электрона и нейтрино соответственно. Этот гамильтониан взаимодействия'
приводит к различным процессам. Диаграмма Фейнмана, изображенная
• на фиг. 61, соответствует распаду нейтрона п—>p-\-e~-{-v. Легко по-
показать, что диаграмма на фиг. 61 приводит к матричному элементу
Д= G б у МпМт™
X ( иеу» 4 A - гу5) ^v ) BяL6<4> ( У, р/ - р„ ) . A4.178).
Мы должны вычислить величину | R |2. Рассмотрим для общности распад,
нейтрона, поляризованного вдоль некоторого направления п, в его систе-
системе покоя. Для вычислений с поляризованными частицами нужно знать
соответствующий оператор проектирования. Отметим, что квадрат опера-

-474 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
тора iy$y-n равен +1, если и(Д,и»А= —1, и этот оператор коммутирует
с дираковским оператором у-р-\-т, если р-п = pvji^=-0. Поэтому могут
быть найдены собственные функции, принадлежащие одновременно обоим
этим операторам. В системе покоя частицы р = (М, 0, 0, 0), и так как
должно выполняться равенство р-п = 0, то па = 0 (вектор п может быть
произвольным). Отсюда следует, что г\5у-«= — JY5Y>n = &Y5YoY-nYo =
= S-n\o- Поэтому общая собственная функция операторов у -?> + т =
= \оРо + т и iyby-n соответствует волновой функции покоящейся частицы
со спином, ориентированным вдоль направления п. Таким образом,
требуемый оператор проектирования равен V2 (l — iy-nyb). Отметим, одна-
однако, что он имеет непосредственный физический смысл только в системе
покоя частицы1).
Вероятность распада нейтрона (поляризованного вдоль направле-
направления п в своей системе покоя) на протон, антинейтрино (безотносительно
к их поляризациям) и электрон (поляризованный вдоль направления пе
в своей системе покоя) равна
¦«-• ел МпМ-пТп-,
Спиновым состояниям
протона и нейтрино
У'Рр+мр 1 /Л . > У-Рп+Мп 1—i\
XSp [1A+ ^5)Г
Первый след соответствует нуклонным множителям, второй — лептон-
ным. Следы можно упростить, если учесть, что yl=—i, и поэтому
Ys (I ± iys) = T i (I ± iys), а также, что lU (I ± iy&J = V2 A ± *Ys)
и A + iy5) A + 1уь) = 0. Используя эти соотношения, преобразуем след
для нуклонных множителей к виду
Sp [ Ьукл. = 2шпм Sp [^v Y• Рр Yn (! — fYs) (Y• A> + Mn) A - iy • ппуъ)] =
$?1УРУАУР+М)Aуп)A + 1у)]. A4.180)
Далее, поскольку след нечетного числа у-матриц равен нулю, то
пу-ПпУь]. A4.181)
Sp[ ]нукл. = -24ЩлГ hv У-Рр У v. У
Эти следы легко вычислить при помощи соотношений
= 4 {g^gvp - gwgvo + g^vgpo), A4.182a)
= -^e^vpo, A4.1826)
= 0. A4.182b)
!) Можно было бы, с другой стороны, ввести нековариантный оператор про-
проектирования l/2 (I — sS-p), соответствующий состояниям с определенной спираль-
иостью (см. статью Мишеля и Уайтмана [550]).

§ 6. Принципы симметрии и S-матрица 475
•След нуклонных множителей оказывается равным
4 (
Аналогично след лептонных множителей приводится к виду
4 (grig** _ gwgafs + gUagvp _ jgnavp) (Р(х)аРф _ me/»(v)araep).
Используя соотношение
e°*%eaP = - 2! (ед- gggj), A4.183)
для произведения следов находим
1>\. A4.184)
Для электрона в состоянии с определенной спиральностью в системе
покоя электрона neQ = 0 и ne = sepe/|pe| (где se=± 1). Так как neil пре-
преобразуется как 4-вектор, то в движущейся системе отсчета
Пе0 = -J'- (О + VeSe) = Se^-Ve. A4.185)
III Q ''Vg
Поэтому вероятность перехода в нерелятивистском пределе по скорости
протона пропорциональна выражению
G2MEeEw (I + cos8v) (I - seve), A4.186)
где 8V — угол между направлением спина нейтрона и направлением
испущенного антинейтрино. Эти предсказания теории, в частности угло-
угловые корреляции для антинейтрино, были подтверждены в опыте Телегди
и др. [772]. Из формулы A4.186) вытекает, что при vejc ~ 1 вероятность
¦обнаружения электрона со спиральностью -\-1 приблизительно равна
нулю, а относительная вероятность того, что электрон имеет спираль-
ность —1, близка к единице. Поэтому электроны, испущенные при Р-рас-
паде нейтрона, поляризованы (левый винт). В рассматриваемом распаде
нейтрона их угловое распределение изотропно. Это также было подтвер-
подтверждено в работе Телегди и др.
Тот факт, что испущенные при р-распаде электроны должны обладать
значительной продольной поляризацией (порядка ve/c), стимулировал
разработку 'экспериментаторами и теоретиками методов для детектирова-
детектирования таких электронов. Были вычислены вновь эффективные сечения для
а) рассеяния поляризованных электронов на ядре (рассеяние Мотта);
б) рассеяния поляризованных электронов на поляризованных элек-
электронах (что может быть осуществлено путем рассеяния поляризованных
электронов на ферромагнитных Зй-электронах железа в магнитном поле);
в) круговой поляризации тормозного излучения поляризованных
электронов;
г) аннигиляции поляризованных позитронов в ферромагнитных веще-
веществах;
д) комптоновского рассеяния поляризованного излучения.
Экспериментальные и теоретические работы по этому вопросу обсуж-
обсуждаются в обзоре Стернхаймера [741], к которому мы отсылаем читателя.
§ 6. Принципы симметрии и ^-матрица
Инвариантность лагранжиана относительно определенных преобра-
преобразований симметрии — пространственных отражений, преобразований
Лоренца, зарядового сопряжения и т. д. — влечет за собой инвариантность

476 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
^-матрицы относительно таких же преобразований симметрии. Инва-
Инвариантность S-матрицы означает, что
USV-X = S, A4.187)
где U — унитарный (или антиунитарный) оператор, порождающий пре-
преобразование симметрии в гильбертовом пространстве векторов состояния.
Соотношение A4.187) можно также записать в виде
[U, S] = 0. A4.188>
Поэтому U может быть назван константой столкновения. Только при усло-
условии, что U2 = 1 и, следовательно, преобразование симметрии является
дискретной операцией, U будет наблюдаемой, так как только при этом
условии унитарный оператор U эрмитов. Однако следует вспомнить, что
в случае непрерывных преобразований оператор U может быть записан
в виде ехр (iQG), где G — эрмитов оператор, который является генерато-
генератором бесконечно малых преобразований. Рассматривая бесконечно малые
преобразования, выводим, что [1 -f- *е^, ?] = 0 = [G, S]. В силу зрми-
товости оператора G состояния системы могут быть классифицированы
при помощи собственных значений этого оператора. Тогда соотношение
[G, S] = 0 гласит, что амплитуда перехода {g" | S | g') между двумя
состояниями с различными собственными значениями оператора G должна
быть равна нулю. Операторы энергии-импульса, момента количества
движения, изотопического спина, странности, барионного числа, числа
лептонов и т. д. являются примерами операторов типа G. Может быть-
приведено много примеров правил отбора, которые вытекают из факта
существования такого оператора G, для которого [S, G] — 0. Наиболее
знакомы, по-видимому, правило Лапорта для дипольного излучения при
атомных переходах и правила отбора Ферми и Гамова — Теллера для
Р-распада ядер.
Когда оператор U соответствует дискретному преобразованию, при-
причем U* = U и U2 = 1 (например, пространственному отражению или
зарядовому сопряжению), он является унитарным и эрмитовым1). Равен-
Равенство нулю коммутатора [S, U] вместе с эрмитовостью оператора U озна-
означает равенство нулю элементов ^-матрицы между собственными состоя-
состояниями оператора U с различными собственными значениями.
Мы проиллюстрируем следствия соотношения [S, U] = 0 в дискрет-
дискретном случае путем вывода некоторых правил отбора для распада позитро-
позитрония из инвариантности квантовой электродинамики относительно опера-
операции зарядового сопряжения. При этом следует помнить, что собственными
состояниями оператора Uc могут быть только состояния с нулевым заря-
зарядом (так как UCQ = —QUC). Поэтому из требования инвариантности отно-
относительно зарядового сопряжения можно вывести правила отбора только
для нейтральных систем. Инвариантность квантовой электродинамики,
относительно унитарного преобразования Uc, при котором
UCA» (х) С/с1 = ru4i (я), ' A4.189а>
C, A4.1896)
U& (х) Uo1 = -щС*ур (х), A4.189b)
Ст=-С; C-iyrC => - у*т; С* = С"г A4.189г)
х) Напомним, что при выборе f/2=-|~l (а, скажем, не ег&) подразумевается опре-
определенный выбор фаз для сшгаорных операторов.

§ 6. Принципы симметрии и S-матрща 477
следует из возможности такого выбора фаз г\д и щ, что уравнения
поля, перестановочные соотношения для операторов и гамильтониан J#?j
инвариантны относительно преобразования Uc : otfii = UcS&iUc1. Из инва-
инвариантности перестановочных соотношений вытекает | щ |2 = |т]А[2= + 1.
Выбор фазы
гц=-1 A4.190)
гарантирует инвариантность гамильтониана
$Ci (х) = - е :1р (х) ГЦ(х): А» (х) = /н (х) А*-{х)
•относительно преобразования Uc- [Напомним, что Ucjv,(x)Uz1= —]'р,(х).]
Далее можно выбрать фазу оператора Uc так, чтобы С/с|Фо) = 0.
Рассмотрим систему, состоящую из электрона и позитрона и опи-
описываемую вектором состояния
| Ф) = ^ \ d'p $ <Pqx (ps; qt) К (p) d? (q) | Фо), A4.191)
1, s
где ^ соответствует (в нерелятивистском пределе) волновой функции
системы в импульсном пространстве. При преобразовании Uc состояние
.|Ф) переходит в
Uc | Ф) = 2 \ d3p ] d3qX (ps; qt) ft (p) 6? (q) | Фо) =
t, s
= - S \ d3p I d3w (ps; чо ь? (q) < (p) l Фо) =
t
t, s
\ \ ps) « (p)d? (q) |Ф0>. A4.192)
Таким образом, если функция % симметрична относительно перестановки
электрона и позитрона, то | Ф) будет собственной функцией оператора Uc
•с собственным значением —1, а если функция % антисимметрична, то
| Ф) будет собственной функцией с собственным значением +1.
Легко проверить, что состояние системы из п фотонов
[ Ф„> =
Xi, ... Xn
A4.193)
.является собственным состоянием оператора Uc с собственным значе-
значением ( — 1)". Из соотношения [S, Uc\ = 0 следует, что амплитуда пере-
перехода (Ф„ \S | Ф) = (Ф„ | VllSUc\ Ф) отлична от нуля только тогда, когда
•соответствующее зарядовому сопряжению квантовое число имеет одно
и то же значение для начального и конечного состояний. Для ^-со-
^-состояния функция % антисимметрична относительно перестановки элек-
электрона и позитрона, так что в этом случае |Ф) есть собственное состоя-
состояние оператора зарядового сопряжения с собственным значением -(-1.
Поэтому такое состояние электронно-позитронной системы может анни-
аннигилировать только на четное число фотонов -2, 4, ... (конечно, вероят-
вероятность распада на 4 фотона в а2 раз меньше вероятности распада на
2 фотона). Аналогично, поскольку волновая функция ^-состояния сим-
симметрична относительно перестановки частиц, то электронно-позитронная
система в этом состоянии может распадаться только на нечетное число
ротонов.

478
Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
Если теория, описывающая взаимодействие мезонов и нуклонов
между собой и с электромагнитным полем, инвариантна относительно
зарядового сопряжения, то, поскольку я°-поле при зарядовом сопряже-
сопряжении переходит само в себя, Ucn°Ull = т|яОя0 (т)яо = 1 и фаза %0 веще-
вещественна), из факта распада я°-мезона на два ^-кванта следует, что
Т]яо= +1.
Доказательство: Так как конечное состояние системы двух фотонов
имеет зарядовую четность, равную +1, то и начальное состояние
(я°-мезон) должно иметь ту же зарядовую четность. (Диаграмма Фейн-
мана, соответствующая этому распаду, показана'на фиг. 62.) К тому же
отметим, что приписание я°-мезону зарядовой четности т)яо = +1 согла-
согласуется также с описанием взаимодействия между нейтральными псевдо-
псевдоскалярными мезонами и нуклонами при
помощи инвариантной относительно заря-
зарядового сопряжения связи типа Юкава вида
з
г=1
Доказательство: При зарядовом сопря-
сопряжении Uс: i|>Y5T3i|>: Ucl = : tyybtaip'-- Поэтому
для инвариантности третьего слагаемого
ф и г- 62- необходимо, чтобы зарядовая четность
т]л0 была равна +1 •
Другое следствие инвариантности теории относительно операции
зарядового сопряжения заключается в том, что амплитуда перехода
между состояниями \а) и \Ь) равна амплитуде перехода между состоя-
состояниями \a) = Uc\a) и \b) — Uc\b), где состояния | а) и \Ь) получаются
заменой каждой частицы в состояниях \а) и \Ь) соответствующей
античастицей.
Доказательство: Так как оператор Uc унитарный и предположено,
что [S, Uc] = 0, то
(b\S\a) = {b\ U*UCSU*UC | а) = E \ S \ а).
A4.194)
Из инвариантности относительно зарядового сопряжения следует
также, что заряд и магнитный момент частицы и античастицы имеют
противоположные знаки.
Доказательство: Магнитный момент частицы равен среднему зна-
значению оператора \ [г х j] d3x, где j — оператор полного тока. Если обо-
обозначить через \а) состояние частицы, а через | а} — состояние антича-
античастицы с теми же квантовыми числами, то
ца = (а | ^ [г х j] (*) d*x | а) = (а | U?Ue ^ [г X j] (*) <PxUzlUe \ а) =
= -(а| J [TXJ]d3x а}= -ц-, A4.195)
так как Uc]\i {%) Ull = —]'ц.(х). Отметим, что поэтому истинно нейтраль-
нейтральная (зарядово-самосопряженная) частица должна иметь нулевой магнит-
магнитный момент. (Для ознакомления с дальнейшими следствиями см. работы
Пайса и Йоста [612], Вольфенштейна и Равенхолла [866], Мишеля [549],
Фейнберга и Вайнберга [236].)

§ 6. Принципы симметрии и S-матрица 479
Следствия инвариантности теории относительно операции обращения
времени вследствие антиунитарного характера оператора Ut = Т, поро-
порождающего это преобразование, отличаются от следствий из инвариант-
инвариантности относительно пространственного отражения и зарядового сопря-
сопряжения. Напомним, что теорию считают инвариантной относительно
обращения времени, если при соответствующем подборе фаз т]гТ опера-
операторов поля при преобразовании Ut
tx), A4.196a)
x) Ufl = %тС-1у51|з (itx) A4.1966)
уравнения поля и перестановочные соотношения инвариантны, и
tx)- A4.197)
Рассмотрим действие оператора Ut на ин-решение | W%) уравнения
Липпмана — Швингера
ЦР?) = |ФОН — г- Hi\Wi), A4.198)
которое сводятся к состоянию плоской волны | Фа) при t ——со. Если
теория инвариантна относительно обращения времени Т, ТН{Г~1 = Hi, то
г+) = ?/т|Фа) + -р—щ j-HjUt^I). A4.199)
В силу антиунитарного характера операции Т знак перед г'е в знамена-
знаменателе изменился, так что Ut\^V) является аут-решением уравнения Лип-
Липпмана—Швингера, которое соответствует состоянию плоской волны
?7г|Фо) при t~ +°°- Ранее мы пришли к выводу (в гл. 7, 8 и 9), что
применение операции Ut к состоянию \Фа) меняет знак скоростей всех
частиц, находящихся в этом состоянии, так что, например, если |ФО)
есть двухчастичное состояние, в котором частицы имеют скорости vt и v2,
то в состоянии ?/т|Фо) частицы будут иметь скорости -v( и — v2.
Введем обозначение
#т|Фа> = |Фта>. A4.200)
Так как .5-матрица определяется соотношениями 6rbo = Df(,~) | W^), то
инвариантность теории относительно обращения времени требует, чтобы
A4.201)
Это утверждение называют теоремой «детального равновесия». При опре-
определенных обстоятельствах (когда теория инвариантна относительно вра-
вращений и в качестве базисных векторов |Фа) выбраны собственные
состояния оператора полного момента количества движения) соотноше-
соотношение A4.201) сводится к утверждению, что ^-матрица симметрична [140].
Ранее уже' упоминалась СРГ-теорема [518], утверждающая, что
теория поля будет автоматически инвариантна относительно произведе-
произведения преобразований TCP (='UtUcUp), взятого в любом порядке, если
она обладает следующими свойствами:
а) инвариантность относительно собственных преобразований Лоренца;.
б) гамильтониан эрмитов;

480 Гл. 14. Диаграммы Фейнмана
в) установлена обычная связь между спином и статистикой;
г) операторы поля локальны.
Более точно выражаясь, можно показать, что возможен такой выбор
фаз r\iP, щс, Щт для различных операторов поля (фг = ф, г|з, А^ и т. д.)
при преобразованиях Р, С и Т, который приведет к равенству нулю
коммутатора [TCP, Н] = 0. В частности, такой выбор, когда т];тт)гс'ПгР = ^'
гарантирует, что теория инвариантна относительно С/O7-преобразования,
даже если нет инвариантности относительно преобразований С, Р и Т
в отдельности. Такой выбор фаз всегда можно сделать, так как если
теория не инвариантна относительно С, Р и Т в отдельности, соответ-
соответствующие им фазы произвольны и могут быть выбраны должным обра-
образом. С другой стороны, если имеется инвариантность относительно каж-
каждого из преобразований Т, С и Р, так что их фазы фиксированы, то
фазы т];с и ЦгР выбираются так. чтобы была инвариантность относи-
относительно С- и Р-преобразований, а фаза х]п< — так, чтобы было выполнено
ЦггЦ1рЦю = 1- Мы не будем здесь доказывать эту важную теорему, так
как имеется несколько блестящих обзорных статей (Людерса [518],
Паули j[632], Граверта, Людерса и Рольника [336], см. также статью
Файнберга и Вайнберга [236]).
Одно из следствий СРГ-теоремы заключается в том, что масса
частицы всегда равна массе ее античастицы. Из этой теоремы следует
также, что для нестабильной частицы с массой m времена жизни частицы
и античастицы совпадают (результат Ли, Оме и Янга [489]). При дока-
доказательстве последнего утверждения предполагается, что в рамках только
сильных взаимодействий частица стабильна, а ее нестабильность обу-
обусловлена слабыми взаимодействиями, эффект которых достаточно рас-
рассматривать только в первом порядке. При помощи гамильтониана силь-
сильных взаимодействий Н определяют такое одночастичное состояние \Ya),
что в системе, где частица покоится, НС1/ШЪ„ | Wa) = m\ Wa). В резуль-
результате слабых взаимодействий (гамильтониан НСЛаа.) частица распадается.
Конечное состояние, в котором находятся частицы, образованные при
распаде, обозначим через JYb)- Тогда полная вероятность перехода
в единицу времени определяется матричным элементом
+00
bW{Pb-Pa){b\M\a)= ^ (?ь|Яелаб. (t)\Va)dt
и пропорциональна выражению
Гаа — \ | (Ь М\а) |2б<4) (Рь-Ра) db. A4.202)
Интегрирование проводится по всем возможным конечным состояниям.
Ясно, что включение оператора ТРС в матричный элемент \(Ь\М\аJ =
| #СЛаб. ^а) |2 превратит частицы в античастицы, откуда заклю-
заклюГ Г
| ( )
чаем, что Га = Г^.

Г Л А В А 15
Квантовая электродинамика
В этой главе мы приступаем к изложению методов, предложенных для
обхода трудностей с расходимостями, присущих любой релятивистской
локальной теории поля с нетривиальным взаимодействием. Эти методы,
разработанные в основном Фейнманом и Швингером, применяются с пора-
поразительным успехом в квантовой электродинамике, где благодаря малости
константы связи теория возмущений приводит к замечательному согласию
между вычислениями и экспериментальными данными по лэмбовскому
сдвигу, разности энергий основных состояний орто- и пара-позитрония,
сверхтонкой структуре водорода, ширине линий радиационных атомных
переходов и другим атомным явлениям. В формализме Фейнмана — Швин-
гера — Дайсона трудности, вызванные возникновением расходящихся
выражений при вычислении радиационных поправок, обходят путем вклю-
включения появляющихся бесконечных констант в некоторые параметры,
которым апостериори приписываются конечные наблюдаемые экспери-
экспериментально значения. Этот подход получил название метода перенор-
перенормировок.
Можно проследить, что при его применении в определенных пра-
практически важных вариантах теории поля все бесконечности в разложе-
разложении 5-матрицы сводятся к некоторым основным (в квантовой электроди-
электродинамике, например, к поправкам к массе и заряду электрона). Дайсон пока-
показал, что если в квантовой электродинамике заменить всюду эти бесконеч-
бесконечные (из-за поправок) значения параметров массы и заряда их реально
наблюдаемыми значениями, то все коэффициенты степенного разложения
5-матрицы станут конечными. В своей первоначальной форме процедура
перенормировок была применима только к степенным разложениям,
в частности к разложению 5-матрицы в степенной ряд. В случае квантовой
электродинамики необходимость использования степенного ряда не яв-
является очень сильным ограничением, так как малость константы связи а
позволяет надеяться, что даже если степенной ряд и не будет сходиться,
такое разложение может оказаться полезным асимптотическим разложе-
разложением.
Однако в мезонных теориях большая величина констант связи
заставляет сомневаться в сходимости разложения теории возмущений
и вообще в полезности такого разложения для получения предсказаний
теории. Челлен, Валатин и другие дали формулировку процедуры перенор-
31 с. Швебер

482 Гл. 15. Квантовая электродинамика
мировок, которая свободна от ограничения случаем степенных рядов1).
Вместе с тем все еще не выяснен вопрос, обусловлены ли ультрафиоле-
ультрафиолетовые расходимости использованием неадекватных математических мето-
методов или они внутренне присущи современным формулировкам физической
теории. В настоящее время считают, что второе утверждение, по-видимо-
по-видимому, «более верно». Мы вернемся к этому вопросу в конце обсуждения про-
программы перенормировок.
В этой главе мы изложим методы перенормировок в применении к раз-
разложению ^-матрицы в ряд теории возмущений в квантовой электроди-
электродинамике. В § 7 мы кратко изложим процедуру перенормировок в псев-
псевдоскалярной мезонной теории со связью без производных.
§ 1. Собственная энергия фермиона
Ранее отмечалось, что при разложении ^-матрицы теории взаимо-
взаимодействующих бозонов и фермионов [%z = G \ty(x) Ft|) (x): ф (х)] один
из возможных процессов второго порядка соответствует излучению-
V-k
с последующим поглощением виртуального бозона фермионом. Диаграмма
Фейнмана, соответствующая этому процессу, вновь приведена на фиг. 63.
Мы уже выписывали матричный элемент для случая, когда линиии р
являются внешними; он равен
inhc 4яЗ J E0(p) W
? A5Л>
Ео (р) =
где волновые функции нормированы на объем V. Здесь и ниже мы будем
обозначать через 2<2> (р) оператор
?B) /„N
• srl Antic j Y'l/1 — «)¦—™от'е « —^о + ге
Вообще может случиться, что диаграмма на фиг. 63 будет частью более
сложной диаграммы, так что выходящие фермионные линии будут соот-
соответствовать функциям распространения фермионов. Множитель, соответ-
соответствующий такой внутренней части диаграммы, запишется в виде
г) Мастерски изложенный исторический обзор развития квантовой электродина-
электродинамики дан в предисловии Швингера к сборнику избранных статей по квантовой электро-
электродинамике под его редакцией [724]. Для правильной оценки новейшего развития электро-
электродинамики в свете первых успешных шагов, сделанных в 30-х годах, читателю необходи-
необходимо ознакомиться с содержанием этого сборника.

§ 1. Собственная энергия фермиона 483
Очень важно понимать, что вклад от диаграммы на фиг. 63 можно
рассматривать как поправку к свободной функции распространения
(у-р — Mq)'1 (фиг. 64), возникающую в низшем порядке теории возмуще-
возмущений. Тогда модифицированная функция распространения будет соответ-
соответствовать диаграмме на фиг. 65 и ее аналитическое выражение будет
иметь вид
А_ Г 1
яL L ур—
_
Bя)
Ясно, чта такая точка зрения может быть распространена на диаг-
диаграммы собственной энергии фермиона высших порядков. Сначала, однако,
рассмотрим случай, когда линии р являются внешними линиями.
Ф и г. 64. Фи г. 65.
Следует помнить, что в картине взаимодействия развитие во времени
вектора состояния | Ф (t0)) = | Ф (ps)) = bt (p) | Фо), описывающего в момент
времени tQ (в отдаленном прошлом) свободный фермион, определяется
уравнением
>, A5.3)
где U(t, t0) — матрица U [см. A1.141)]. В результате взаимодействия
фермиона с квантованным бозонным полем энергия состояния |Ф(р«))
изменяется, и энергетический сдвиг АЕ определяется соотношением
^(*. *о)|Ф(Р')> п 5 А,
(Фо IU {t, to) | Фо) • \хо-н>
В A5.4) разность времен t — t0 должна быть большой и любая осцил-
ляционная зависимость должна быть от t до t0 усреднена. Из соотно-
соотношения A5.4) следует, что возникающее в результате взаимодействия
изменение энергии состояния |Ф(р«)) проявляется в изменении фазы.
[С другой стороны, можно было бы использовать соотношение A1.189)
для сдвига уровня; однако эта формула не содержит столь явным
образом большую разность времен Т = t — t0.] Множитель (Фо | U (t, to)\ Фо)
сокращается с бесконечным фазовым множителем, содержащимся в числи-
числителе правой части A5.4) из-за несвязных диаграмм для перехода вакуума
в вакуум. Таким образом, в низшем порядке по АЕ мы получаем
— iAET = {iGf (Ф (ps) | \ d*Xi \ d*x2 X
X P{ : "ф (a^) Ггр (Xi) ф (x4): : ijj (x2) Ггр (х2) ф (a;2): }c j Ф (ps)) =
= -;—s- 71 — ws fp) S<2) (p) w* (vi) AЪ.Ъа.\
4я3 En (p) ^ ' ^ ' ^ \*"- 
31*

484 . Гл. 15. Квантовая электродинамика
ИЛИ
^Е=-штш^(р) 2<2> {р) w°(р)- A5-5б)
Единственные измерения, которые можно сделать в случае свободной
частицы, сводятся к измерению ее энергии Е и импульса р. Из них
можно образовать только одну инвариантную величину — массу частицы
?2-ра = ЛР. A5.6)
Поэтому влияние релятивистски инвариантного взаимодействия на сво-
свободную частицу исчерпывается изменением ее массы на некоторую
величину, скажем на ЬМ. Тогда изменение энергии «голой» частицы
должно определяться из соотношения
+ ра. A5.7)
Разлагая это равенство по ЬМ, находим"
Et + ^E0^YMl + p2+-рЩ^=+О((ЬМJ) A5.8)
и в первом порядке
ж * с ж *
A5.9)
Другими словами, в инвариантной теории собственная энергия в первом
порядке должна определенным образом зависеть от импульса частицы,
т. е. она должна быть обратно пропорциональна ^М^ +р2. Тот факт, что
собственная энергия обратно пропорциональна энергии Ео, был обнару-
обнаружен еще Вайскопфом [825, 826] при изучении собственной энергии мето-
методами теории возмущений в теории дырок.
Эффект собственной энергии для свободной частицы может привести
только к изменению ее массы, и это служит основой современного подхода
к преодолению трудностей с расходимостями. Первый шаг в этом направ-
направлении был сделан Крамерсом [462] в 1947 г. в связи с классической элек-
электродинамикой. Он отметил, что нив одном опыте нельзя измерить «голую»
массу электрона Мо и что наблюдаемой массой является только (Мо -\-ЬМ),
для которой мы введем обычное обозначение М, т. е.
М = Мо + ЬМ. A5.10)
Поэтому Крамере, принимая выдвинутую Гейзенбергом точку зрения
на квантовую механику, предположил, что в теории должна играть роль
только наблюдаемая величина М, а не величины Мо или ЬМ в отдельности.
Этот принцип известен как принцип перенормировки массы. Крамере
указал, что изменение массы может оказаться бесконечным (надеясь, одна-
однако, что в будущей теории оно будет конечным и малым), но это не имеет
значения, так как физически наблюдаемые величины, например уровни
энергии и эффективные сечения, выраженные через наблюдаемую массу М,
будут конечными. Этот принцип оказался на практике исключительно
плодотворным и привел к успешному развитию в последние годы кван-
квантовой электродинамики и псевдоскалярной мезонной теории.
Перенормировка массы может быть явным образом включена в теорию,
как это уже объяснялось в гл. 12, путем введения в лагранжиан контр-
контрчлена. Лагранжиан свободного поля содержит член Мо :ty (x) ij> (x):,
где Мо — масса «голого» кванта. Этот член может быть записан в виде
М :ij) (сс)-ф (х) :—ЬМ :t|)(a:)i|) (х):, а затем член —ЬМ :iJj (x)iJj (x):

§ 1. Собственная энергия фермиона
485
рассматривается как часть лагранжиана взаимодействия наряду
с G : ty (х)Гг|) (х) ф (ж):. Точнее говоря, вклад от члена —ЬМ : ty {x)ty (х) :
всегда должен рассматриваться вместе с вкладом от диаграмм соб-
собственной энергии фермиона (они взаимно уничтожаются в случае сво-
свободной частицы). Например, следует рассматривать диаграммы на
фиг. 66 вместе. Кружок на диаграмме б соответствует вкладу от члена
ЬМ : а|л|) :. Затем бесконечная величина ЬМ определяется таким обра-
образом, чтобы вклад от собственно-энергетической диаграммы а взаимно
уничтожился с вкладом от диаграммы б в случае свободного фермиона,
масса которого в точности равна наблюдаемой
массе М. В более общем случае, если мы рас-
рассмотрим все собственно-энергетические диаг-
диаграммы, вносящие вклад в амплитуду вероятно-
вероятности того, что электрон в состоянии [Ф (Ер, ps)}
(Ер = (р2 + М2I/г) останется в этом же состоя-
состоянии, то эта амплитуда, с точностью до числен-
численных множителей, есть
5
Фиг. 66.
A5.11a)
где через 2'(р) обозначен вклад от всех соб- а
ственно-энергетических диаграмм фермиона,
часть из которых изображена на фиг. 67. Требо-
Требование перенормировки массы заключается в том, что при р = М, рг = Мг,
величина 2'(р) должна быть равна нулю [так как мы включали в 2'(р)
вклад от члена ЬМ']. Когда диаграммы на фиг. 67 соответствуют моди-
модификации внутренней линии, первоначальная функция распространения
Ёр (р) — (р — М)'1 превращается в
г" '-" 1,1 *./ /_ч 1 A5.116)
¦)—М
¦р — М •
Принцип перенормировки массы может быть также сформулирован
как требование, чтобы полюс модифицированной функции распростра-
-Ш
Фиг. 67.
нения S'p (p), рассматриваемой как функция от у-р, находился в точке,
соответствующей экспериментальной массе частицы. Отметим, что эти
требования фиксируют величину ЬМ. Например, поскольку диаграмма а
на фиг. 66 дает вклад в порядке G2, то это определяет величину ЬМ в этом
порядке. Аналогичным образом определяются члены разложения вели-
величины ЬМ по G2 в высших порядках. Чтобы учесть собственную энергию
мезона в лагранжиан, нужно ввести контрчлен б(х2 : <р2 (ж) :. Мы вернемся
к этому позже, в § 8.

486 Гл. IS. Квантовая электродинамика
Вычислим теперь во втором порядке теории возмущений собственную
энергию электрона (или, что эквивалентно, величину бт), возникающую
из-за его взаимодействия с квантованным электромагнитным полем.
В этом случае формула A5.2) приобретает вид
и нас интересует только случай свободной частицы, когда р = тп, р2 = пг2.
Используя соотношения
Y»*Yi* = 4, A5.13а)
Y»*YvYi*= — 2-vv, A5.136)
получаем
2<*(p = m) = -r^r-2\ y'kt"™. • A5.14)
При больших k оба знаменателя ведут себя как к2. В этом пределе
вклад от члена у -к равен нулю из соображений симметрии, и подынте-
подынтегральное выражение при больших к пропорционально ¦ksdk/ki. Поэтому
интеграл логарифмически расходится. Хотя здесь не учитывалось, что
метрика является не евклидовой, а гиперболической, ниже будет пока-
показано, что и более тщательный анализ подтверждает этот результат. То,
что собственная энергия электрона в квантовой электродинамике должна
быть бесконечной, было выяснено еще в 1929 г. Уже в те годы Гейзенберг
и Паули [362, 363] указали на это, а Уоллер [814], Оппенгеймер [604],
Розенфельд [675] и другие вычислили собственную энергию электрона
в одноэлектронной теории Дирака и обнаружили, что она квадратично
расходится. В 1934 г. Вайскопф [825, 826] заново рассчитал собственную
энергию электрона, используя дираковскую теорию дырок, и нашел, что
расходимость является только логарифмической. В расчетах «старинными
методами» электромагнитной собственной энергии обычно рассматривали
отдельно вклад от статического кулонова поля и вклад от поперечного
поля (см., например, работу Вайскопфа [828]). Эта методика подсказы-
подсказывалась нерелятивистским пределом, в котором преобладает вклад от ста-
статического поля.
Интересно изучить взаимосвязь между собственной энергией, появ-
появляющейся в квантовой электродинамике, и собственной энергией, встре-
встречающейся в классической теории излучения1), и понять различие между
ними. Проще всего ввести собственную энергию в классической электро-
электродинамике, отождествив ее с электрической и магнитной энергиями соб-
собственного поля электрона. Другой подход, принадлежащий Лоренцу [508,
509], основывается на том, что собственное поле электрона затрудняет
ускорение электрона во внешнем поле и поэтому эквивалентно добавочной
массе электрона. Эта собственная масса дается выражением, аналогичным
выражению для собственной энергии. Однако между ними имеется неко-
некоторое различие, которое вызывает значительные затруднения в класси-
классической теории собственной энергии. В классической теории собственная
энергия равна (исключая численный множитель, равный %) ё*/г0, где
го — «радиус» электрона. Таким образом, точечный электрон приводит
к бесконечной собственной энергии.
Если приписать электрону конечный радиус, то взаимодействие
электрона с электромагнитным полем будет содержать форм-фактор,
См., например, монографию Гайтлера [376].

§ 1. Собственная энергия фермиона 487
заметно отличающийся от единицы, когда длина волны К/2п близка по
величине к радиусу г0. Положив
г0 = -r-i—, A5.15)
«мак
мы видим, что классическая собственная энергия е2 /го пропорциональна
величине кклкс, т. е. линейно расходится по к. Величину А;макс обычно назы-
называют радиусом обрезания.
В то время была весьма популярна теория, в которой масса электрона
полностью приписывалась энергии самодействия (см. книгу Абрагама
и Беккера [1]). В такой теории радиус электрона равен
'о = ^. A5-16)
и эту величину принято называть «классическим радиусом электрона».
Пуанкаре [642—644] указал на несколько недостатков такой модели. Напри-
Например, если вычислить импульс, переносимый полем при движении электро-
электрона со скоростью v, то этот импульс оказывается соответствующим частице
¦с массой покоя, которая не совпадает с получаемой из соотношения A5.16).
Другими словами, эта модель не дает ни правильных трансформационных
свойств, ни правильной взаимосвязи между энергией и импульсом. На этом
основании Пуанкаре приходит к выводу, что, кроме электромагнитных
сил, должны быть и какие-то другие добавочные силы, которые дают доба-
добавочную собственную энергию электрона. Замечания Пуанкаре связаны
с так называемой проблемой собственных натяжений, которая будет крат-
кратко обсуждена ниже.
В отличие от классической теории собственная энергия, вычислен-
вычисленная в дираковской теории дырок, пропорциональна величине
4л%с
тс2
т. е. она расходится только-логарифмически. Другое важное отличие заклю-
заключается в том, что в квантовой теории собственная энергия зависит от массы
покоя электрона т, тогда как в классической теории в выражении для соб-
собственной энергии масса т не содержится. Уже эти различия указывают,
что проблема собственной энергии в квантовой теории имеет совсем дру-
другую природу, чем в классической теории. Существенно, что серьезные
отклонения от классического поведения начинаются уже на расстояниях
порядка комптоновской длины Ь/тс. Классический радиус электрона
в 137 раз меньше компотоновской длины волны электрона. Таким обра-
образом, если рассматривать все меньшие и меньшие расстояния, то кванто-
квантовые эффекты должны быть учтены прежде, чем возникнут возможные
эффекты классического радиуса электрона. Поэтому кажется маловероят-
маловероятным, что решение проблемы собственной энергии в классической теории
окажется необходимым или достаточным для решения квантовомехани-
ческой задачи.
Если в дираковской теории дырок мы захотим приписать основную
часть массы электрона его собственной энергии, то, согласно формуле
A5.17), следует постулировать радиус обрезания, равный по порядку
величины
^е-"'. A5.18)

488 Гл. 15. Квантовая электродинамика
Надо иметь в виду, что на расстояниях порядка комптоновской длины
волны мезона Ь/цпс (гораздо больших Дмакс) могут образовываться вир-
виртуальные мезоны, которые в свою очередь могут сильно взаимодейство-
взаимодействовать с виртуальными нуклонами. Таким образом, квантовая электроди-
электродинамика может оказаться неприменимой гораздо раньше, чем будут достиг-
достигнуты энергии, соответствующие длине A5.18). В этой связи заметим, что
причиной нарушения квантовой электродинамики может оказаться вза-
взаимодействие электромагнитного и электронно-позитронного полей с дру-
другими полями.
Несмотря на различия между классической и квантовой теорией,
были предприняты многочисленные попытки таких переформулировок
классической теории Максвелла — Лоренца, которые при наличии точеч-
точечных зарядов оказались бы свободны от расходимостей. Если бы удалось
построить классическую электродинамику, которая не содержала бы
трудностей с бесконечной собственной энергией и конечными собственными
натяжениями (взрывающийся электрон), и если бы эту теорию можно было
проквантовать, то проблема построения внутренне непротиворечивой
квантовой электродинамики, казалось, была бы разрешена. Было много
успешных попыток построить такую классическую теорию, но ни одна
из них не внесла ничего нового в разрешение квантовой проблемы.
Так, в подходе Вентцеля [832, 833, 836] используется тот факт, что
точечный заряд можно рассматривать как предельный случай размазан-
размазанного, когда пространственно-подобный вектор, соответствующий радиусу
электрона, стремится к нулю. С другой стороны, Дирак [173, 174] (с пред-
предшествующими работами можно познакомиться по обзору Элиезера [220])
использовал возможности, связанные с существованием запаздывающих
и опережающих решений уравнений Максвелла. Он определил «собствен-
«собственное» и «внешнее» поля как полусумму и полуразность соответственна
запаздывающего и опережающего полей. Такое разбиение полей инва-
инвариантно. Он сохранил теорию Максвелла —Лоренца для, описания поля
вплоть до точечного электрцна и показал, что приводящие к бесконечно-
бесконечностям члены можно вычесть лоренц-инвариантным способом. Это соответ-
соответствует вычитанию собственного поля из полного поля для получения силы,
действующей на данный электрон. Вычитание не нарушает никаких
законов сохранения, так как последовательно учитывается реакция поля
излучения на движение электронов. Однако в обсуждаемой классической
теории Дирака свободный электрон претерпевал бы самоускоренное дви-
движение. В этом отношении теория Дирака не удовлетворительна.
Другой возможной классической теорией, тесно связанной с приведен-
приведенной выше теорией Дирака, является теория действия на расстоянии
Уилера и Фейнмана [842, 843]. В теории действия на расстоянии элек-
электромагнитное поле снова разбивается инвариантным образом на соб-
собственное и внешнее поля. При этом постулируется, что собственное
поле данного электрона не производит обратного действия на породив-
породившую его частицу. Таким образом, в теории Уилера и Фейнмана нет таких
понятий, как собственная энергия частицы. Развитый формализм назвали
теорией действия на расстоянии, потому что поля являются чисто вспомо-
вспомогательными сущностями, не имеющими собственных степеней свободы.
Авторы проинтегрировали уравнения движения частиц, так что поля в яв-
явном виде не появляются. В их теории требуется, чтобы взаимодействие
между частицами осуществлялось посредством полусуммы запаздывающего
и опережающего полей. С этой точки зрения реакция излучения возникает
вследствие статистического механизма (а не имеет чисто электродинами-

§ 1. Собственная энергия фермиона 489
ческое происхождение), и все испущенное излучение в конечном итоге
поглощается.
Другая очень интересная теория точечного электрона была разрабо-
разработана Штюкельбергом [746, 747]. В его теории не только собственная энер-
энергия электрона оказывается конечной, но и получается равное нулю соб-
собственное натяжение. Вследствие кулоновского отталкивания точечный
заряд стремится расшириться, что приводит к бесконечной собственной
энергии и конечному собственному натяжению. Идея Штюкельберга
состоит в том, что если, кроме электромагнитного взаимодействия, суще-
существует другой вид взаимодействия, характеризуемый «новым» (например,
мезонным) зарядом, и новое взаимодействие приводит к притяжению одно-
одноименных зарядов, то можно уравновесить кулоновское отталкивание.
Чтобы не было наблюдаемых эффектов, когда заряды расположены далеко
друг от друга, необходим малый радиус действия новых сил. Поэтому
Штюкельберг постулировал существование взаимодействия электрона
с массивным скалярным полем. Именно при таком взаимодействии
одноименные частицы притягиваются, причем радиус действия соответ-
соответствующих сил мал. Штюкельберг нашел, что при е2 = /2 (/ — константа
связи со скалярным полем) полная классическая собственная энергия
конечна, а собственное натяжение равно нулю.
Бопп [72] и Ланде и Томас [477, 478, 479] развили теорию, аналогич-
аналогичную теории Штюкельберга, в которой вместо скалярного поля взято век-
векторное. Хотя векторное поле приводит к отталкиванию между частицами
одинакового заряда, они предположили, что следует вычитать полную энер-
энергию векторного поля из энергии электрона. Это делает компенсацию воз-
возможной, но энергия уже не положительна.
Фактически первой релятивистски и калибровочно-инвариантной
классической теорией, в которой получается конечная собственная энер-
энергия и конечное собственное натяжение, является теория Борна и Инфельда
[74, 75, 76]. В их теории уравнения Максвелла заменены нелинейной си-
системой уравнений, переходящей в пределе слабых полей в систему урав-
уравнений Максвелла. Из-за нелинейности квантование становится почти невоз-
невозможным. Кроме того, в их теории при наличии точечных зарядов по-преж-
по-прежнему существуют сингулярности.
Нелинейные унитарные теории поля1) были предложены Ми (см.
книгу Паули [620]), Розеном [672, 673], Йели (не опубликовано),
Финкельстейном [259] и Дреллом [182]. В унитарных теориях поля час-
частицы возникают не как сингулярности поля, а как малые объемы, в кото-
которых сосредоточены заряд и энергия поля. В таких теориях уравнения
движения частиц вытекают из уравнений поля. Именпо в этом отношении
унитарные теории отличаются от теорий, в которых частицы представ-
представляются сингулярностями поля. В последнем случае уравнения движения
теряют смысл в этих сингулярностях, и поэтому вообще не могут опреде-
определять движение частицы.
Унитарная теория обязательно должна быть нелинейной, поскольку
если уравнения линейны, то одна частица не может оказывать влияния
на другую. Если фиксировать заряд частиц, то в такой теории однозначно
получится дискретный спектр масс. Розен [672, 673] и Иели (не опубли-
опубликовано) показали, что некоторые из обычных классических теорий поля,
например теория дираковского поля, взаимодействующего посредством
х) Мы не включаем сюда общую теорию относительности Эйнштейна и его единые
теории.

490 Гл. 15. Квантовая электродинамика
скалярной связи с полем Клейна — Гордона, допускают существование
статических и сферически-симметричных решений, которые могут быть
интерпретированы как частицы. Эти решения не имеют сингулярностей
и квадратично интегрируемы, так что классические бесконечности никогда
не появляются. Квантование унитарных теорий. с формальной стороны
было рассмотрено Финкельстейном [259].
Дирак [177—180] развил классическую теорию непрерывно распреде-
распределенных зарядов, движущихся согласно уравнению движения Лоренца.
Характерная черта этой теории заключается в том, что в ней встречается
только отношение заряда к массе elm, а не заряд е и масса т в отдельности.
Однако в существующей формулировке теории может быть введено только
одно отношение elm. Дирак считал, что будет найден новый метод кванто-
квантования этой теории, в которой будет введена постоянная Планка Ь и в то
же время будет объяснено, почему электрический заряд всегда кратен
заряду электрона е. Тогда была бы установлена связь с постоянными
е и ?i и тем самым было бы зафиксировано значение постоянной тонкой
структуры е2/4я?,с.
Во многих других классических теориях стремились ввести радиус
электрона релятивистски инвариантным образом. При этом встречаются
трудности, связанные с необходимостью задать распределение заряда в со-
согласии с причинностью в смысле теории относительности. Так, рассмотрим
поведение абсолютно жесткого электрона, на который падает пакет элект-
электромагнитных волн. Как только фронт пакета достигнет края распределе-
распределения заряда, весь электрон в целом начнет двигаться. Таким образом,
импульс будет передан мгновенно, что противоречит релятивистскому
закону причинности. Поэтому были предприняты попытки ограничить
эти нарущения причинности пространственно-временными интервалами,
чтобы не возникало противоречий с опытом. (В этой связи см. работу Кре-
тьена и Пайерлса [130].)
Были развиты линейные теории с протяженным источником. В класси-
классической теории лучшими среди них являются теории Боппа [73], Пайерлса
и Мак-Мануса [526, 635], а также Фейнмана [248]. Мак-Манус [526] пред-
предположил существование нелокального взаимодействия вида, о котором
говорилось в § 3 гл. 11. Предложенный им лагранжиан взаимодействия
{x) d*x = - J J /с (x)F l(x - х'У\ А» (х1) d*x d*x' A5.19)
соответствует усреднению взаимодействия по пространственно-временной
области. Ядро F релятивистски инвариантно, так как оно зависит только
от инвариантного четырехмерного интервала между точками. На функ-
функцию F налагается требование, чтобы она достаточно быстро убывала, когда
квадрат интервала R2 = (х — х'J становится большим, так что функция
F может удовлетворять условию
(x*)d*x = l, A5.20)
выполнение которого необходимо, чтобы сделать полный заряд конечным
и равным е. Такие функции F можно найти, рассматривая четырехмерные
фурье-образы g(k2) функций F {R2)
= С
A5.21)

§ 1. Собственная энергия фермиона 491
Одна из подобных функций, которая дает ядро F(R2), удовлетворяющее
поставленным выше требованиям, имеет вид
W- ' A5<22)
Таким образом, релятивистски инвариантно введен конечный радиус
электрона. Теория Мак-Мануса, в которой электрон представлен распре-
распределением заряда и в пространстве и во времени, дает конечную собствен-
собственную энергию электрона.
Фейнман [248] ввел конечный радиус электрона непосредственно во
взаимодействие между двумя электронами, а не во взаимодействие элект-
электрона с электромагнитным полем, так как его теория сформулирована на
языке действия на расстоянии. Впоследствии было показано, что для
определенного класса функций F теории Мак-Мануса и Фейнмана экви-
эквивалентны. Большое преимущество этих теорий заключается в том, что они
могут быть проквантованы [249] и действительно приводят к конечной
собственной энергии электрона в низшем порядке теории возмущений.
В квантовой теории, однако, существуют вообще другие расходи-
расходимости, которые не встречаются в классической теории: обусловленные
поляризацией вакуума расходимости, связанные с процессом образова-
образования пары электромагнитным полем и ее последующей аннигиляции. Чтобы
исправить зто положение при помощи нелокальной теории, нужно было
бы рассмотреть лагранжиан взаимодействия вида
— \ ф (*') ч^1|5 (х") А»(хт)F(x-x', х-'х", х-хт) d*x'd*x"dlxm. A5.23)
Теперь нельзя больше говорить о токе /ц в пространственно-временной
точке х, поскольку выражение для тока зависит от двух аргументов:
х и х''. Хотя полный заряд сохраняется, мы фактически не имеем уже
локального уравнения непрерывности для электрического заряда, так
как взаимодействие A5.23) калибровочно не инвариантно. Кретьен
и Пайерлс [131] попытались дать формулировку нелокальной электроди-
электродинамики, в которой удовлетворялось бы требование калибровочной инва-
инвариантности. Хотя им и удалось построить такую теорию, они не сумели
устранить в ней расходимости, связанные с поляризацией вакуума.
Несмотря на то, что попытки получить конечную собственную энер-
энергию в классической теории не оказались особенно успешными в более
широких рамках квантовой теории, все же они подсказали полезные методы
для формального исключения расходимостей из квантованной теории.
Часто бывает удобно, следуя Фейнману [249], вводить обрезание, кото-
которое делает собственную энергию конечной, но зависящей от параметра
обрезания X. Такое обрезание может рассматриваться как частный случай
взаимодействия A5.23), когда появляющийся в обычной локальной теории
множитель /4А;? (х — у) = <f'(x)<f'(y) заменяется новой функцией
Reg
A5.24)
Путем подходящего выбора функций F можно сделать Ai?Reg гладкой функ-
функцией от аргумента (х — уJ, не имеющей особенностей. Ясно, что можно
подобрать функцию AfReg многими способами, выбирая по-разному функ-
функции F. Простейшим вариантом, по-видимому, является вариант, предло-
предложенный самим Фейнманом [249], при котором функция распространения

492 Гл. 15. Квантовая электродинамика
бозона (к2 — (х2) заменяется на
I ^(й^^ A5.25)
о
Значения переменной Я,, которыми определяется функция G (К), значи-
значительно превышают массы М и (л, и эта функция так нормирована, что
j G (Я,) «ft, = 1*. A5.26)
Следовательно, если не интегрировать по А,, то в пределе К -*¦ оо полу-
получится функция распространения локальной теории1). Каждый интеграл
по импульсам виртуальных бозонов, который раньше содержал множи-
множитель (fc2 — (л2), теперь содержит улучшающий сходимость множитель
С(к2)
оо
С(к2) = _ $ dM?(К) кя_*_„ ; A5.27)
о
этого достаточно для обеспечения сходимости всех интегралов по импуль-
импульсам виртуальных бозонов. Обход полюсов по-прежнему определен в смыс-
смысле Фейнмана, т. е. масса ц. содержит малую отрицательную мнимую часть.
Следует подчеркнуть, однако, что метод обрезания Фейнмана есть формаль-
формальный вычислительный прием, вовсе не дающий последовательной теории.
Действительно, в электродинамике, например, функция распространения
фотона 1/fc2 будет заменена выражением (fc2) — (к2 — Л,2), что может
рассматриваться как результат введения добавочного взаимодействия
электронно-позитронного поля с векторным полем, кванты которого
имеют массу К и функция распространения которого есть —(fc2 — К2)'1.
Однако знак минус означает, что эти кванты связаны с зарядами посред-
посредством множителя —е2, так что лагранжиан взаимодействия должен иметь
мнимую константу связи ie, откуда вытекает неэрмитовость этого лагран-
лагранжиана Xi- Таким образом, вероятность не будет сохраняться. В самом деле,
можно проверить, что при использовании указанных выше модифициро-
модифицированных функций распространения в теорию будет введено нарушение
сохранения вероятностей порядка т2А22).
В качестве иллюстрации современной ковариантной техники интегри-
интегрирования (см. статью Фейнмана [252], особенно приложения) вычислим
х) Точнее, формула A5.25) будет соответствовать свойственной локальной теории
функции распространения (к2—ц,2)~г, если положить G(k) = b(k—Яо) и перейти
к пределу Хо —>оо.— Прим. ред.
2) Знак минус перед (/с2—К2)'1 можно связать с тем, что норма состояний с нечет-
нечетным числом квантов векторного поля с массой К отрицательно определена. Следова-
Следовательно, унитарность теории' (сохранение вероятности) действительно нарушается.
Однако приводимая автором оценка меры нарушения унитарности та/Яа не справедли-
справедлива. Так, если в импульсном пространстве рассматривать процессы при энергии ниже
порога рождения нефизических векторных квантов с массой К, то унитарность вообще
не нарушается, хотя состоятельность такого подхода спорна. Изложенные соображе-
соображения носят общий характер и относятся к любой регуляризации по Паули и Вилларсу
(см. ниже). В случае теории заряженных векторных полей они использовались
в [887, 901].— Прим. ред.

§ 1. Собственная энергия фермиона 493
теперь, используя метод обрезания Фейнмана, собственную энергию фер-
фермиона в теории, в которой Xi = G : "фГ-фф :. Если интегрировать по dk
только в самом конце расчета и заметить, что
о
то интеграл собственной энергии A5.5), A5.2) приобретает вид
-1 G2 М
?(р) Х
ХОУ(р)
о
Рассмотрим сначала интеграл по к. Вследствие того, что сделано обре-
обрезание, этот интеграл сходится. Так как мы имеем дело со свободной
частицей, для которой р2 = М2, то соответствующий фермионной линии
знаменатель (р — кJ — М2 может быть упрощен:
В A5.29) оба знаменателя можно объединить в один, являющийся функ-
функцией только от к2, если воспользоваться замечательной формулой
Фейнмана х)
1
dZ ГТпГ- A5-31)
Так как в рассматриваемом примере один из множителей имеет вид
(к2 — ц2 — LJ, то следует использовать формулу
Для вывода этой формулы заметим, что
ь
__1 f!_!Л__1 Г dx_
аЪ
и введем в последний интеграл новую переменную x = az-\-b A—z). Равенство A5.31)
в той форме, в которой оно записано, справедливо для всех значений о и Ь. Если,
однако, о и & имеют противоположные знаки, то z следует рассматривать как
комплексную переменную, а контур интегрирования должен отклоняться от веще-
вещественной оси, чтобы обойти особенность в точке z = b/(b—о). Фактически можно
выбрать любой контур интегрирования, соединяющий точки z=0 и z=l, но не
проходящий через особую точку, поскольку вычет подынтегрального выражения
в особой точке равен нулю. Интеграл Фейнмана A5.31) есть частный случай сле-
следующей формулы:
1 1 п
1 ' —In 1)! \:.\ dzidz2dz3 ¦¦¦ dzn у z. = i
ala2as... an ' J " J Wi^i+a2z2-\-.. .-\-anzn]n ' Zj l
0 0 i=l
Интегралы такого типа рассмотрены, например, в учебнике Гурса и Хедрика f335].
Этот интеграл можно вычислить также, вводя в подынтегральное выраже-

494 Гл. 15. Квантовая электродинамика
которая получается из формулы A5.31) дифференцированием по а. Тогда
для объединенного знаменателя получим
(А;2 - ц2 - ?) z + (А;2 - 2/> • и) A - z) =
= &2 — 2jO-A(l — z)-((x2 + L) z =
= [k - р A _ z)]2 - М2 A - zJ - ((х2 -f i) 2> A5.33)
где снова учтено, что р2 = М2. Введем затем переменную к' = к — р A — г),
после чего интеграл приобретает вид
2 i
о
Штрихи можно теперь опустить, и знаменатель стал функцией только
от А;2. Далее, интегралы вида \ d*kkllf (к2) равны нулю из соображений
симметрии. Вообще из свойств симметрии вытекает, что
\ d*k (нечетное число множителей вида fr^) /(&2)=0, A5.35а)
d*k k^Kf (к2) = \ g^ J d*kk2f (к2). A5.356)
Поэтому в интеграле A5.34) член с у-к равен нулю. Если бы обрезания
не было, то это означало бы, что интеграл расходится только логариф-
логарифмически, а не линейно.
Нам нужно вычислить, таким образом, следующий интеграл:
+оо
где C = ?n2(l — zJ+ ([a2 + L) 2 есть положительно определенная величина.
Как уже указывалось, контур интегрирования проходит по веществен-
вещественной оси, а полюсы смещены с нее за счет добавки Фейнмана — is
к массам частиц. Можно, однако, повернуть контур интегрирования
на 90° в комплексной плоскости и интегрировать по контуру вдоль
мнимой оси от — гоо до +гоо. Допустимость этой процедуры основана
п
ние 6-ф;ункцию бB2г — *)' ^ ДРУГ°й стороны, можно записать
гп-2
dn_tX
J .1 .
0 0 0
1 '1 гп-2
=(п_1)! \ dzi\ dz2 ... \ dzn
¦ ¦ ¦ ап J .1 .)
0 0 0
1 1

§ 1. Собственная энергия фермиона 495
на том, что при повороте нигде не пересекаются особые точки, так как
они расположены над отрицательной вещественной осью и под положи-
положительной вещественной осью. Поэтому можно ввести новую переменную
интегрирования ко = г/с4 и интеграл A5.36) превращается в интеграл
по четырехмерному евклидову пространству:
C Г dk М3
После введения в четырехмерном пространстве сферических координат
элемент объема станет равным 2л2к3 dk, и в конечном итоге интеграл /
сведется к
оэ оэ
к 3dk . , [ xdx in2 /ЛГ- Ооч
о
\ 7TF 3
о о
Отметим, что значение аналогичных интегралов с другими показателями
степеней в знаменателе может быть получено интегрированием или
дифференцированием интеграла / по параметру С.
Таким образом, собственная энергия во втором порядке теории
возмущений равна (опуская \ сГк)
[МA,Д(^+?J]- • A5-39)
Когда Г = v5, получаем
1 Л*
О О
где учтено, что y-pw(p) — Mw(p). Интегрирование по L приводит к
(р)
j[qj^«^a.j ,15.406)
В пределе А,->со можно пренебречь в числителе логарифма членом
\i2z +- М2 A — zJ и оставить только член A,2z. Если, кроме того, пре-
пренебречь массой-[х по сравнению с массой М, то
М С2 М Г, / X2 \ 1 "I ~ , ч / ч /л
[1пС a'^a'() A
Это выражение логарифмически расходится в пределе "к-* со. Точное
вычисление интеграла A5.406) приводит к результату
: (р) Ыкс 8Я I l" V ^2 J 2 r M* ^ " ^ M J V x 2Л/2 У "' iW
у(р)ю(р). A5.40r)

Гл. 15. Квантовая электродинамика
Поэтому изменение массы равно
Таким образом, в ковариантном формализме Фейнмана в четкой форме
показано, что собственная энергия соответствует изменению массы. Соб-
Собственная энергия фермиона, взаимодействующего со скалярным бозонным
полем посредством скалярной связи, расходится тоже логарифмически,
но имеет противоположный знак по сравнению с псевдоскалярным слу-
случаем
ЬМ ^
Знак собственной энергии электрона во втором порядке теории возму-
возмущений в квантовой электродинамике такой же, как и в псевдоскалярном
случае, причем
В случае свободного электрона выражения, соответствующие диаграммам
на фиг. 66, при этом выборе Ьт взаимно уничтожаются (в низшем порядке
теории возмущений).
Только что изложенный метод обрезания Фейнмана может рассма-
рассматриваться как частный случай общего формального ковариантного метода
обращения с расходящимися интегралами, предложенного Паули и Вил-
ларсом [631] (см. также работы Штюкельберга и Ривье [664, 750, 751]).
Их метод известен как метод «регуляризации». Он состоит в том, что
сначала все сингулярные выражения «регуляризуются», а затем про-
производится предельный процесс. Так, если
1{М) = \ d**/(ft, M) A5.42а)
является расходящимся интегралом по внутренней линии с массой М,
то регуляризованный интеграл /д (М) определяется формулой
лг лг
/я (М) = 2 Ci/ (Mt) =\%CtJ (ft, Mt) d*k, A5.426)
i=i J t=i
причем Ci = 1 и Mi = M.
На постоянные Ct и Mt накладываются определенные ограничения,
достаточные для того, чтобы интеграл A5.426) стал сходящимся. Найдено,
что в электродинамике условия
2С, = 0 A5.43а)
и
2 СМ = 0 A5.436)
i=l
достаточны для достижения этой цели. Предельный процесс заключает-
заключается в устремлении значений вспомогательных масс Mi (i = 2, 3, ... )
к бесконечности.
Условия A5.43) обеспечивают отсутствие особенностей у регуляризо-
ванных функций А и Аа> на световом конусе, присущих соответствующим
нерегуляризованным функциям [напомним равенства G.179) и G.182)
и отметим, что условия A5.43) полностью устраняют особенности]. Выпол-

§ 2. Перенормировка массы и лэмбовекий сдвиг в нерелятивистском приближении 497
нение условий A5.43) оказывается достаточным, чтобы сделать сходя-
сходящимся выражение для собственной энергии электрона при условии, что
производится регуляризация всего выражения в целом, а не его отдельных
частей. После выполнения в конечном итоге предельного процесса
Mi -» оо (i = 2, 3 . . .) снова появляется логарифмическая расходимость.
Описанная выше методика по терминологии Паули и Вилларса являет-
является «формалистической теорией», в которой даются чисто формальные
рецепты для вычисления расходящихся интегралов, в противоположность
«реалистической теории», в которой математический аппарат, приводящий
к сходимости, получается как следствие взаимодействия с другими поля-
полями (см., например, статью Пайса [609]).
Следует отметить, что на каждой стадии вычисления собственной энер-
энергии методом Фейнмана сохраняется релятивистская инвариантность тео-
теории. Это очень важно, так как становится возможным однозначное выде-
выделение эффектов собственной энергии и получается, что собственное натя-
натяжение фермиона S @) равно нулю. Величина S @) определяется как сред-
среднее значение пространственно-пространственной компоненты симметри-
зованного тензора энергии-импульса системы полей в одночастичном
состоянии с нудевым импульсом
S(O) = {<t>u Г|(х)Ф1> A5.44)
(суммирование по i не предполагается). Напомним, что оператор энергии-
импульса системы Р& связан с тензором Т^ соотношением Рц= \ dcFT^
и что этот оператор преобразуется как 4-вектор, если Г^ является тен-
тензором второго ранга. Если рассмотреть две различные лоренцевы системы
отсчета О' и О, причем в системе О частица покоится, а в системе О'
имеет импульс р' и энергию Е', то возникает вопрос о том, связаны ли
величины р' и Е' [вычисленные при помощи тензора T'^v(x')] преобразо-
преобразованием Лоренца с соответствующими величинами, вычисленными при
помощи тензора T^v. Оказывается (см. статьи Пайса и Эпштейна [610],
Рорлиха [666, 668], Вилларса [810], Боровича и Кона [77], Такахаши
и Умэдзава [765], а также Арну и Гайтлера [15]), что необходимым усло-
условием для этого является равенство нулю собственного натяжения. По-
Последнее будет равно нулю в любой релятивистски ковариантной теории
без расходимостей. Поэтому любое ковариантное обрезание (такое, как
в методе Фейнмана) будет автоматически гарантировать исчезновение
собственного натяжения, так как оно обеспечивает сохранение ковари-
ковариантности теории в ходе вычислений.
§ 2. Перенормировка массы и лэмбовекий сдвиг
в нерелятивистском приближении
В этом параграфе мы проиллюстрируем принцип перенормировки на
задаче о лэмбовском сдвиге — исторически первой задаче, которая была
решена при помощи этого принципа. Когда Крамере в 1947 г. выдвинул
этот принцип, Лэмб и Ризерфорд [469] как раз измерили смещение уровня
водорода 2S относительно уровня 2Р. Следуя идее Крамерса, Бете [50]
интерпретировал лзмбовский сдвиг уровней как эффект взаимодействия
электрона с полем излучения. Фактически Бете просто вычислил собствен-
собственную энергию электрона, связанного в атоме. Но, согласно идее Крамерса,
основная часть собственной энергии уже учтена, если в расчетах исполь-
32 с. Швебер

498 Гл. 15. Квантовая электродинамика
зуется наблюдаемая масса электрона т, а не «голая» масса т0. Таким обра-
образом, истинный сдвиг уровня равен разности между собственными энергия-
энергиями связанного и свободного электронов.
В нерелятивистском приближении, использованном Бете в 1947 г.,
нужно рассматривать взаимодействие электрона только с поперечными
электромагнитными волнами. Гамильтониан для описания электрона,
движущегося в некотором потенциале V (х) и взаимодействующего
с полем излучения, имеет вид
# = #rad + #m + #mt = #0 + #/, A5.45)
причем *)
#rad = 4 J (g2 + Жг) d3x, A5.45а)
x), A5.456)
= —р.А(х)! A5.45в)
т^с
Здесь выбрана калибровка излучения, в которой ^ля описания из-
излучения используется только вектор-потенциал А, причем div A = О,
% = — 90А = (i/h) [A, H] и S№ — rot А. В картине Шредингера разложение
квантового оператора поля А (х) по операторам рождения и уничтоже-
уничтожения фотонов с импульсом к и состоянием поляризации А, запишется
в виде
~ К
Отметим, что суммирование по индексу X проводится только по двум
поперечным состояниям поляризации 1 и 2, и поскольку div A = 0, то
к-ея,(к) = О (А. = 1, 2). Операторы поля подчиняются обычным переста-
перестановочным соотношениям:
[с, (к), <*.(к')] = в„„,а<»(к-к')
и
[ск (к), су (к')] - [с* (к), сЬ (к')] = 0. A5.47)
Оператор N\ (к) = cj (к) с% (к) есть оператор числа фотонов с импульсом
к и состоянием поляризации К, и Hiau = ft"S (?>kNx(k), где &>к = с I к .
к, а.
Гамильтониан A5.45) соответствует взаимодействию нерелятивист-
ской точечной частицы с полем излучения. Однако взаимодействующая
заряженная частица может испускать виртуальные фотоны с произвольно
большим импульсом и должна приобретать при этом настолько большие
импульсы отдачи, что ее движение перестанет быть нерелятивистским.
Поэтому, строго говоря, гамильтониан A5.45) не является внутренне
непротиворечивым. Эту трудность можно частично обойти, если рас-
*) В дальнейшем нас будут интересовать только эффекты собственной энергии,
обусловленные гамильтонианом взаимодействия Hini. Поэтому мы опускаем член
А2, который возникает из-за калибровочно-инвариантного включения взаимодейст-
взаимодействия заряженной частицы с излучением посредством замены р —>- р—(е/с)А. Член
А2 вносит не интересующий нас из-за независимости от импульса частицы вклад
в собственную энергию. Этот член, однако, важен в задачах о рассеянии излучения
на заряженных частицах и, конечно, для калибровочной инвариантности теории.

§ 2. Перенормировка массы и лэмбоеский сдвиг в нерелятивистском приближении 499
сматривать частицу с распределенным зарядом и записать гамильтониан
взаимодействия в виде —(е/тос) \ F (х — х') р-А (х') dx', где функция
F (х') описывает распределение заряда. Далее, если a^h/mc будет ради-
радиусом этого распределения, то фотоны с длиной волны, меньшей а, не будут
взаимодействовать с частицей. Другими словами, в разложение A5.46)
будут вносить вклад только те импульсы к, для которых hk < me.
Рассмотрим теперь свободный электрон. Тогда V (х) = 0. Если бы
гамильтониан Hi был равен нулю, то собственные функции гамильто-
гамильтонианов Н и Но совпадали бы и были бы произведениями собственных
функций операторов р2/2т0 и Нтаа_. Если предположить, что связь между
электроном и полем излучения слабая и что поэтому справедлива тео-
теория возмущений, то гамильтониан Hi вызовет некоторый сдвиг невозму-
невозмущенных собственных значений энергии. Вычислим это изменение энергии
во втором приближении теории возмущений для такого невозмущенного
состояния, в котором имеется один электрон с импульсом р и нет фото-
фотонов, т. е. для состояния
^ A5.48)
где V — нормировочный объем для волновой функции электрона, а |Ф0> —
состояние вакуума для поля излучения, с% (к) | Фо) = 0. Отметим, что
энергия Ео этого состояния равна кинетической энергии электрона р2/2т0.
Способом, аналогичным примененному в § 4 гл. 12, легко устано-
установить, что во втором порядке теории возмущений1) сдвиг Энергии обу-
обусловлен испусканием фотона электроном и его последующим поглощением
и равен
<Ф'Д^>ДД'Ф> A5.49а)
Hi e Х_н Я;ф) A5.496)
х
Х(Фо, сх(к)сИк')Фо) A5.49в)
d3k \F(
Bя)з 3 2сок
Далее, р/тео = v есть скорость «голой» частлцы. Поэтому первый член
знаменателя в формуле A5.49г) имеет порядок и/с по сравнению с чле-
членом %с | к |. Так как нас интересует не релятивистский предел, то мы прене-
пренебрежем членом Ъх -к. Кроме того, известно, что функция F(k) обрезает вклад
от больших к (| к | > 1/а). Поэтому мы пренебрежем также членом %2к2/2т0
по сравнению с членом %с \ к \. Наконец, учитывая, что векторы
1) Член р-А в первом порядке теории возмущений не существен, так как
(Ф, р-АФ)=0. Член А2 в этом порядке будет давать константу.
32*

500 Гл. 15. Квантовая электродинамика
к и Ея(к) ортогональны, так что
2
A5.50)
и выбирая полярную ось в направлении вектора р, можно проинтегри-
проинтегрировать по углам в A5.49г) и получить
Отметим, что для точечного заряда F(k) = l, и поэтому интеграл, опре-
определяющий А?12', линейно расходится. Очень важно, что собственная
энергия фактически оказалась пропорциональной кинетической энергии
«голой» частицы р2/2т0. Во втором приближении теории возмущений
энергия системы есть
™ A5.52а)
т0
где
о
A5.52в)
A5-52Г)
Примем теперь точку зрения Крамерса и будем считать Ьт электро-
электромагнитной массой, которую приобретает частица (сверх ее «голой», меха-
механической массы) в результате взаимодействия с полем излучения. Вместе
с тем наблюдаемой является только масса т0 -J- Ьт, так как не суще-
существует таких экспериментов, при помощи которых можно было бы про-
провести различие между частью массы заряженной частицы, которая имеет
электромагнитное происхождение, и частью массы, имеющей механи-
механическое происхождение. Поэтому мы отождествим величину то-\дт
с наблюдаемой массой электрона. (Имеются, конечно, электромаг-
электромагнитные добавки к массе в высших порядках теории возмущений,
и, строго говоря, с наблюдаемой массой т должна быть отождествлена
сумма всех этих добавок и «голой» массы т0.) Так как в нашей теории
с обрезанием величина Ьт мала (порядка постоянной тонкой структуры а),
то можно считать A5.52в) членом второго порядка в разложении
--^T+ * • 0 • A5>53)
Следовательно, если теперь выразить энергию через наблюдаемую вели-
величину т, то результат теории возмущений приобретает следующий смысл:
энергия частицы действительно равна Е = ра/2ттг. Отметим, что совершен-
совершенно безразлично, конечна или бесконечна величина 6т, так как перенор-
перенормировка массы проводится формально.
Изложенная теория в одном отношении все еще неудовлетворитель-
неудовлетворительна: в исходный гамильтониан входит «голая» масса. Применим снова

$ 2. Перенормировка массы и лэмбовский сдвиг в нерелятивистском приближении 501
принцип Крамерса и запишем гамильтониан в виде
Н = #rad + 2 (jlbm) ~ (т__еЫ) с Р• А
A5.54)
(члены порядка е3 опущены). Будем теперь рассматривать в качестве
энергии возмущения в гамильтониане A5.54) не только член (е/»гс)р-А,
но и член (Ьт/т) (р2/2пг), причем величину Ьт в низшем порядке по а
выберем равной
СО
^\\ A5.55)
При таком подходе энергия одноэлектронного состояния в е2-приближе-
нии строго равна р2/2пг. Обратно, можно было бы определить величи-
величину Ьт в е2-приближении из требования, чтобы энергия физического
одноэлектронного состояния была равна р2/2пг. Член (Ьт/т) (р2/2»г)
обычно называют контрчленом перенормировки массы.
Перейдем теперь к случаю электрона, движущегося по боровской
орбите в поле ядра, т. е. случай, когда V (х) = — Ze2/|x|. Гамильтониан
системы должен быть взят в виде
!2 — -j?- , A5.56)
где величина Ьт задана выше выражением A5.55). В этом гамильтониа-
гамильтониане, поскольку нас интересуют только связанные состояния электрона,
можно сделать значительные упрощения. Для связанных состояний
координата электрона х по порядку величины равна боровскому радиусу.
Отсюда следует, что в разложении A5.46) можно заменить экспонен-
экспоненциальные множители exp(ik-x) единицей, так как F (к) обрезает импуль-
импульсы, большие по сравнению с тс.
Такое приближение называют дипольным. Оно эквивалентно пре-
пренебрежению запаздыванием и эффектами отдачи при испускании и по-
поглощении фотона электроном. Иными словами, рассматривается взаи-
взаимодействие электрона только с такими длинными волнами, что передача
импульса пренебрежимо мала. В этом приближении разложение опе-
оператора А (х) запишется в виде
А W = /E \ 2
Применяя снова теорию возмущений, но в качестве невозмущенных
собственных функций выбирая на этот раз собственные функции гамиль-
гамильтониана Нгай + (р2/2пг) + V (х), мы находим (Бете [50]), что для состоя-
состояния с квантовым числом п сдвиг уровня равен
^ ^ГП I ®*™ Р 7171 /Л Г ГО\
У. -рг-^ ' ' —| ~^) 1 (lO.JO)
о г
где сумма по квантовому числу г распространяется на все состояния
электрона, a v есть оператор скорости электрона. Используя тождество
е-е +k=T-k JT~e\n ' A5-59)

502 Гл. IS. Квантовая электродинамика
можно переписать выражение A5.58) в виде
' (№\2 ^ I V I2 -I- I Р \пп I
1т
2а V Л. I 77 /J.M9 VI I Vnr Г \^Т ^-П) /Л С gA\
о
Учитывая теперь, что v,[r = vrn и что
2Vn,-v n = lv2 „„ = Lp2^ A5.61)
г
мы видим, что первый член представляет собой как раз собственную
энергию электрона, находящегося в состоянии п. Следовательно, этот
член взаимно уничтожается с вторым членом в формуле A5.60) — контр-
контрчленом перенормировки массы. Таким образом, в конечном итоге выра-
выражение для сдвига уровня запишется в виде
к
2а
, A5.626)
где К — энергия обрезания. По порядку величины К — тс2, и это зна-
значение предполагается большим по сравнению со всеми разностями
энергий ЕТ — Еп в атоме.
В своей первоначальной работе Бете [50] фактически не использовал
контрчлена и не приписывал электрону конечных размеров порядка
комптоновской длины волны. Вместо этого он учел, что при перенор-
перенормировке поправки к кинетической энергии, обусловленные собственной
массой, должны быть вычтены из собственной энергии связанного элек-
электрона. Вычитание понижает степень расходимости собственной энергии
связанного электрона от линейной до логарифмической. [Устремите
К к оо в соотношении A5.626).] Бете предположил далее, что этот же
принцип приведет к сходящемуся результату в теории дырок (в кото-
которой собственная энергия расходится только логарифмически), и поэтому
ввел в нерелятивистской теории обрезание для энергий фотона поряд-
порядка тс2. Полученная при таком предположении формула для сдвига
уровня [50, 52, 357] совпадает с формулой A5.626). Вычисление при
помощи этой формулы дает для сдвига 25-уровня значение 1040 Мгц
в удивительно хорошем согласии с новейшими экспериментальными дан-
данными A057,77 ± 0,10 Мгц) [785].
Покажем, как проводить расчеты по формуле A5.626). В нереляти-
нерелятивистской области значение логарифма очень велико, и удобно записать
г -Еп) 1 prn i2 In ' \*» ' = [ ^ (ЕТ- Еп) 1 рга |»] in(?ePR-?n) f A5>63)
где Ry — постоянная Ридберга. Это выражение служит определе-
определением величины Ecv—En. Было найдено [52], что для 25-уровня атома
водорода Ecv — Еп ^ 16,6 Ry. В случае водородоподобных атомов

§ 3. Радиационные поправки к рассеянию\ 503
Нт = (р2/2т) + V (х), V (х) = -Ze2/| x | и
з
= 4 J ф„ (х) W (х) грп (х) dsx = 2nfc2e2Z | г|,п @)|2. A5.64)
В этом приближении сдвиг уровня имеется только в ^-состояниях. Для
^-состояния с квантовым числом п соблюдается равенство 1ipn @)|2 =
= (Z/nn1/sa0Ki где а0 — боровский радиус. Поэтому выражение для сдвига
уровня приобретает вид
А4?у1и(-^А_. A5.65)
Для 25-состояния оно дает величину сдвига, равную 1040 Мгц.
Последующие вычисления с учетом релятивистских эффектов под-
подтвердили, что вычисленное при помощи принципа перенормировок
Крамерса выражение для сдвига уровня действительно сходится. В ре-
результате этих вычислений в работах Швингера и Вайскопфа [710],
Френча и Вайскопфа [280], Кролла и Лэмба [464], Фейнмана [249],
Швингера [713] и Бете [51, 52] для сдвига уровня было получено
значение 1052 Мгц. Баранджер [24 — 26], Карплус, Клейн и Швингер
[426], Фрид и Пенни [284] и Лайзер [481] произвели дальнейшее уточ-
уточнение расчета, особенно в связи с трактовкой компонент с большим
импульсом для электрона в 25-состоянии, и их результат совпадает
с наблюдаемой величиной в пределах 0,1 Мгц. (Обзор современного
состояния теории энергетических уровней водородоподобных атомов
можно найти в статьях Питермана [638] и Лайзера [481].)
% 3. Радиационные поправки к рассеянию
Для иллюстрации метода перенормировок релятивистской теории
поля1) мы подробно рассмотрим с учетом радиационных поправок рас-
рассеяние электрона на внешнем электромагнитном поле [251 — 252]. Для
этого случая плотность гамильтониана взаимодействия запишется в виде
?01 (х) = —eN [г^гМи («)] — eN tfpy^A^ (x)] - 6mN [фг|> (х)\. A5.66)
Первый член представляет взаимодействие электронно-позитронного
поля с квантованным полем излучения, второй член — взаимодействие
с внешним потенциалом А^ (ж), причем предположено, что д^Ащ (х) — 0,
и, наконец, третий член — это контрчлен для перенормировки массы.
На фиг. 68 изображены диаграммы, соответствующие членам разложе-
разложения 5-матрицы до третьего порядка включительно, которые вносят
вклад в рассеяние. Волнистые линии с крестом на конце на фиг. 68
соответствуют внешнему потенциалу.
Матричный элемент, соответствующий диаграмме а на фиг. 68, был
уже исследован раньше. Этот матричный элемент перехода из состоя-
!) Полуклассическое исследование радиационных поправок, допускающее
простое физическое истолкование, было проведено в работах Велтона [830] и Коба
[459], а также в очень хорошей обзорной статье Вайскопфа [829]. Изложение мето-
методов перенормировок в «старой» теории возмущений можно найти в статьях Льюи-
Льюиса [502] и Эпштейна [222].

a
Vi

§ 3. Радиационные поправки к рассеянию 505
ния с импульсом pi в состояние с импульсом рг дается выражением
A5.67а)
A5.676)
A5.67b)
Здесь опущены нормировочные множители [т/Е (р)]1/2. Используя уста-
установленные ранее правила, для матричного элемента МF\ соответствую-
соответствующего диаграмме Фейнмана б на фиг. 68, получаем
"а"" ~ Pl> x
= AvQd2, Pi)eav(p2-pt), A5.686)
где а = е2/4я?1С = 1/137 (электрический заряд е взят в рациональной
системе единиц). Диаграмму б на фиг. 68 называют вершинной диаг-
диаграммой, a Av (p2, Pi) — вершинным оператором. В формуле A5.68а)
функция распространения фотона l/k2 заменена на 1/(&2 — Кмет), чтобы
избежать расходимость при малых к. Смысл этого приема будет обсуж-
обсужден ниже.
Аналогично, операторы, соответствующие диаграммам el и г1, можно
записать в виде
^=_?2»Ы_±_у.а{р1_р1) A5.69)
где оператор собственной энергии во втором приближении теории воз-
возмущений 2B) (р) дается выражением
Диаграммам с поправками к массе в2 и г2 соответствуют
М(ег)=— еЬт 4-a(p2-Pi) A5.72)
у-р2 — т. ' vr r ' v '
A5.73)
Наконец, диаграмме 5, которая соответствует эффекту поляризации
вакуума и будет обсуждена в § 5, соответствует
где
/» г- Л Л 
A5.75)
A5.76)

506
Гл. 15. Квантовая электродинамика
Следует отметить, что хотя здесь избран случай внешнего поля, так
же прост и случай, когда внешнее поле заменено внутренней фотонной
линией. В этом случае все множители а^ (q) были бы заменены множите-
множителями <7~2еуц, соответствующими функциям распространения фотона, вхо-
входящим в появляющиеся вместо крестов вершины (должны быть также
fi-функции, отвечающие закону сохранения импульса р2 — Pi = <?)•
Затем проводился бы последующий анализ. В этом случае диаграммы на
фиг. 68 были бы частями более сложных диаграмм, например диаграмм,
показанных на фиг. 69 и соответствующих взаимодействию электрона
с протоном (обозначенным двойными линиями).
Фиг. 69.
Анализ диаграммы а на фиг. 69 дает возможность понять условия, при
соблюдении которых источник виртуальных фотонов может рассматри-
рассматриваться как «внешний» потенциал. Пусть a(^(q) — амплитуда образования
источником виртуальных фотонов с импульсом q и поляризацией (л. Тогда
матричный элемент рассеяния электрона на этом источнике посредством
поглощения одного фотона (фиг. 70) будет пропорционален выражению
Ма)
= \ d*q ,
У-Pi
(q).
A5.77)
Аналогично, если амплитуда излучения источником двух фотонов есть
а (?i> 9z)> то матричный элемент рассеяния электрона благодаря погло-

§ 3. Радиационные поправки к рассеянию 507
щению двух фотонов будет пропорционален выражению
т х
A5-78)
Если источник обладает тем свойством, что излучение первого фотона не
приводит к существенным изменениям его состояния, амплитуда излуче-
излучения второго фотона не зависит от того, был или не был излучен предыду-
предыдущий фотон, т. е. если
.1* (<?i. • ..<?») = < М • • • < (О. A5-79)
то такой источник называют «внешним» потенциалом. Очень тяжелая заря-
заряженная частица обладает свойством получать пренебрежимо малую отдачу
при излучении фотона с энергией <ok< M. Следовательно, такой источник
Pi+<t
Источник
фотонов
Фиг. 70.
ведет себя подобно внешнему потенциалу. (Описание излучения класси-
классических систем дано в статьях Глаубера [320], Тирринга и Тучека [775]
иШвингера [718].) Аналогично, излучение заряженной частицей очень мяг-
мягких реальных фотонов в хорошем приближении можно описывать в рамках
классической теории. Это приближение, которое состоит в пренебрежении
реакцией заряда на взаимодействие с электромагнитным полем, впервые
узаконили и применили Блох и Нордсик [62].
Чтоб подробнее познакомиться с этим в случае виртуального испус-
испускания, рассмотрим снова диаграмму а на фиг. 69, предположив, что двой-
двойная линия представляет тяжелую частицу со спином Уг, массой М > т
и зарядом Ze. Амплитуда рассеяния электрона из состояния с импуль-
импульсом pi в состояние с импульсом р2 = р± -\- к будет тогда пропорциональна
выражению
R' = Ze26D) (р2 + q2 — Pi_ qi).ZM (q2) У^м (qi)-jrum (p2) уц«т (Pi)- A5.80)
Напомним, что
им (q2) УцЧм (qi) = ^tf um (q2) [y • ?2Yn + 'YnY1 ?il им (qj A5.81a)
2F
(q2) о\,цЫмЫ- A5.816)
В этом разложении первый член соответствует вкладу от заряда,
а второй — вкладу от магнитного момента. В том приближении, когда
пренебрегают отдачей, т. е. когда полагают ?2 = 9i. второй член равен

508 Гл. 15. Квантовая электродинамика
нулю. В системе покоя тяжелой частицы пренебрежение отдачей озна-
означает, что
eni** ?aii = -ftf?№. . A5.82)
В этом случае выражение A5.81) становится равным единице, так как
им @) им @) = 1. Поскольку <?2 = <Zi — к, то
q\ = М2 = (qt - кJ = M2-2k-qi + k\ A5.83)
Квадрат пространственно-подобного вектора k2 = 2k-qt в системе отсчета,
в которой массивная частица покоится, равен 2к0М. Отсюда к0^ — к2/2М и
1 1 Г 1 N 1 ..г о/.
^)-*' ¦ A5-84)
что соответствует кулоновскому потенциалу. Таким образом, если пре-
пренебречь отдачей, то формула A5.80) сводится к
К ит (Pa) Y° |p2!!pi|a um (Pl) 6A> (^о - /»„,) б<3' (р2 - Pl - Aq) A5.85)
и представляет собой амплитуду рассеяния электрона с передачей
импульса Aq в кулоновском поле массивной частицы.
Вернемся теперь к основной задаче этого параграфа, а именно
к анализу диаграмм фиг. 68. Рассмотрим сначала диаграмму б, которая,
как мы видели, соответствует оператору Av (p2, Pi)dv{q)- Очевидно, что-
интеграл в выражении для Л
X J A5.86)
логарифмически расходится, поскольку при больших к знаменатель
ведет себя как к*, а числитель—как d*k — к3 dk. Используя метод
регуляризации (см. статью Фейнмана [252], приложение В), можна
вычислить1) интеграл A5.86). С этой целью в выражении A5.86) функ-
функция распространения фотона (к2 — Хмин) заменяется на (к2 — Хмин) —
— (к2 — М2)~\ где М — большая «регуляризующая масса». Регуляризо-
ванное выражение может быть записано в виде
Величина Лс^ {q) представляется интегралом, который сходится при
больших импульсах к (хотя и расходится в пределе Кыаи —^0).Фейнман
вычислил этот интеграл для случая, когда q2 < 4m2 и pl = pl = т2, пре-
пренебрегая членами, которые в пределе А,мин —> О, М —> оэ обращаются
в нуль 2). Если ввести параметр 8 при помощи соотношения sin2 8 = q2/Am2,
1) Три энергетических знаменателя можно объединить в один при помощи
повторного использования формулы Фейнмана A5.31) или при помощи формулы
1 1
1 о С л С j 1
= 2 \ dx x \ dy ' ' .
abc fj ) [а A — х)-\-Ъху-\- сх A — 2/)Р
О О
2) В случае д2 ]> 4т2 внешний потенциал может рождать реальные пары^
и знаменатель, содержащий вспомогательные переменные интегрирования х и у,
имеет полюсы. Вместе с тем интеграл хорошо определен, поскольку добавка ie
дает однозначное предписание, как его вычислять. Возможность рождения реаль-
реальных пар, однако, практически не имеет большого значения, и поэтому мы не рас-
рассматриваем случая g2>4m2. Вычисление оператора Av(pi, р2), когда р\ Ф mz
и pl Ф m2, можно найти в статье Карплуса и Кролла [422].

§ 3. Радиационные поправки к рассеянию 509
то при сделанных предположениях выражение для Лс^ запишется в виде
6
4
3
о
При малых значениях импульса q оператор Лср,(<7) имеет вид
• A5.89)
Все эти выражения справедливы только тогда, когда pi и р2 являются
импульсами свободных частиц, т. е. р\ = р\=:тг.
Следует отметить, что выражения A5.88) и A5.89) стремятся к нулю,
когда приращение импульса q стремится к нулю, и что, с другой сто-
стороны, логарифмически расходящийся (первый) член в выражении A5.87)
не зависит от q. Иными словами, только та часть оператора Л^, кото-
которая не обращается в нуль, когда q —> 0 или когда р2 стремится к ри
содержит расходящийся интеграл. Чтобы убедиться, что так и должно
быть, зафиксируем импульс Pi и разложим оператор Л^, определенный
выражением A5.86), в ряд по степеням разности Рг — pi или, вернее,
по степеням компонент этого 4-вектора. При этом для разложения опе-
оператора [у'(р2 — к) — т]'1 используем справедливое для любых операторов
А и В [252] общее разложение
Jp = T-TBT + T5TBT+ •'•' A5.90а)
которое получается путем итерации тождества A5.906):
+ В~~ А А
1 111
А " А+В
A5.90b)
Применим формулу A5.90а) к оператору [у-(р2 — к) — т]'1:
1 1 1
—. y-(P2-Pi) Х—г V .... A5.91)
y-Pi — y-к — т ' ^^ ' 1J y.pi — y-к — т ] v ;
Ясно, что при больших к первый член будет порядка 1/к, второй —
порядка 1/к2 и т. д. Если подставить разложение A5.91) в интеграл
A5.86), т.о только первый член приведет к логарифмически расходяще-
расходящемуся интегралу по к. Второй член даст подынтегральное выражение,
которое ведет себя как dk/№, и поэтому соответствующий интеграл
сходится. Последующие члены ряда будут давать все лучше и лучше
сходящиеся интегралы: член, пропорциональный (р2 — pi)n, приведет
к подынтегральному выражению вида dk/k"'*1. Это доказывает сделанное
выше утверждение, что расходится только Лм,(р1, pt) [т. е. только эта
величина зависит от регуляризующей массы М, см. A5.87)], но что
ЛСц (Pi, p2) = Лц (pi, p2) - Лр, (ри р^ A5.92)

510
Гл. 15. Квантовая электродинамика
есть конечная величина (т. е. представляется сходящимся интегралом
по ft и не зависит от регуляризующей массы). Формулу A5.92) можно
рассматривать как определение конечной части вершинного оператора
Ац с учетом поправок, который обозначен в формуле A5.88) через Лсц
(по крайней мере для случая, когда pt и р2 есть импульсы свободных
частиц).
Рассмотрим несколько подробнее член Л(г(/>1, pi). Используя
тождества
A5.93а)
A5.936)
A5.93в)
убеждаемся, что Л^ (pi, pt) можно записать в виде
где В — расходящаяся константа:
а величина
а ¦,. f, М , 9
= -тГ~ lim ( In \--г —
2л М-кх> V т 4
конечна, причем.
-)•
= 0.
A5.94а)
A5.946)
A5.94в)
A5.94г)
может быть
Лц (ри pi)} =
записано
| у ¦ Pi=m
Выражение для полного вершинного оператора
в виде
Лц (р2, Pi) = Л„ (pit pi) + {Л„ (р2, р^ —
= Byll + Bll(pl) + Acll(P2,Pi). A5.95)
Поэтому можно объединить вклады от диаграмм а и б на фиг. 67 и записать
М(а) + М(б) = + 2яг A + В) еи(р2) у-а(р2- Pl) «(Pl) +
A5.96)
Ниже будет показано, что в электродинамике при совместном рассмотре-
рассмотрении диаграмм в и г на фиг. 68 член с константой В фактически пропадает.
Следует подчеркнуть, что константа В зависит от выбора калибровки.
Так, в калибровке Ландау функция распространения фотона взята в виде
DFllv (k) = (?цГ — к^кук^к'2, и константа В в е2-приближении имеет
конечное значение. Если выбрана калибровка Ландау, то единственная
расходимость в е2-приближении теории возмущений соответствует пере-
перенормировке массы и устраняется контрчленом Ьт (Фрид и Йенни [282J).
В теории перенормировок широко используется метод перенорми-
перенормировки при помощи вычитаний. Примером может служить формула A5.95).
Оператор [в нашем случае Лй (ри р2)\ разлагают в степенной ряд по неко-
некоторой величине, связанной с внешними переменными (в нашем случае по
Рг — Pi)- Тогда только первый член (или несколько первых членов) этого
разложения будет содержать расходящиеся интегралы по внутренним
пэременным (в нашем случае по к). Затем эти члены релятивистски инва-
инвариантным образом отбрасываются, для чего используется либо перенорми-
перенормировка массы, либо перенормировка заряда, которая будет описана в § 5
гл. 15, либо замечают, что они взаимно уничтожаются с другими бесконеч-

§ 3. Радиационные- поправки к рассеянию 51Г
7—__ __—. — — , —
ными членами, как это было в случае нашего Л^, либо в отдельных случаях
вводят в исходный лагранжиан специальные члены, как, например, в слу-
случаях, которые будут обсуждены в гл. 16. Конечные члены, которые оста-
остаются после такого отбрасывания, принимаются в качестве перенормиро-
перенормированного выражения для рассматриваемого оператора. В остающейся
части книги мы систематически будем сталкиваться с этой методикой.
Изучим теперь члены A5.69) и A5-72). Они содержат множитель
(у-р — то), что приводит к трудностям, так как матричные элементы
д/(«1) и М(«2) должны быть взяты между двумя состояниями свободных
частиц, и поэтому знаменатель становится равным нулю. Хотя сумма
числителей в выражениях для М(в1> и М(в2> также оказывается равной
нулю, это только приводит к неопределенности типа 0/0. Чтобы полу-
получить однозначный результат, следует ввести в явном виде затухающие
множители, которые необходимыдля правильного определения начального
и конечного «голых» состояний (см. гл. 11), поскольку указанная неодно-
неоднозначность существенно связана с предельным процессом, при котором
начальное и конечное время в матрице U (t, t0) устремляются к +оо. Если
не соблюдать предосторожность, то, применяя предельный процесс, можно
нарушить унитарность 5-матрицы. Фейнман [252] и Дайсон [194, 199]
показали, как преодолеть эту трудность (см. также статьи Карплуса
и Кролла [422] и Людерса [516]). Если ввести в явном виде затухающую
функцию g (I), которая адиабатически включает и выключает взаимодей-
взаимодействие между полями, то гамильтониан взаимодействия заменится выраже-
выражением1)
mi (*) -» - eg (t) N [$ (х) vrf (as)] {A* (x) + Ае» (х)) -
-dm[g(t)]*N$(z)ip(x)). A5.97)
Предполагается, что время, на протяжении которого функция g(t)
существенно изменяется, значительно превышает длительность процесса
рассеяния. Если обозначить фурье-образ функции g(t) через С(Г0), то
g@= \ G (Го) e-iro< dYo = ^ G(T0)e~^-dT0, A5.98)
—со —со
где введен вектор Гц=(Г0, 0, 0, 0). Выбрана нормировка, при которой
+оо
= ^ С(Го)<*Го=1, A5.99)
и предположено, что функция G (Го) ведет себя почти как дельта-функ-
дельта-функция и существенно отличается от нуля только для значений Го, рав-
равных по порядку величины Т'1.
Если подставить гамильтониан взаимодействия A5.97) в разложе-
разложение ^-матрицы, то выражение A5.70), например, заменится на
Г" 1
X 2<2> (Pl + Г) G (Го) G (Г;) ЙГо dr0. A5.ЮГ)
х) Будучи радиационным эффектом второго порядка, 6т, должно быть умно-
умножено на [g(t)]2.

512 Гл. 15. Квантовая электродинамика
При Т—>со, а также Го и Г„—>0 подынтегральное выражение может
быть преобразовано. Функция распространения электрона превратится в
причем учтено, что для свободной частицы р\ = тп2. Следовательно,
если использовать для разложения оператора 2B) (Pi -f- Г) соотношение
^4г-4г54+4-^4-54-+--- A5-102)
и оставить в разложении оператора 2<2) только члены первой степени
по Г, то
= 2» <„) - а
X ^_^+г-в Tv = 2B) (р,) - /v (Pi) rV) A5.103a)
где /v (jp) — логарифмически расходящийся интеграл, тесно связанный
с оператором Av (pu р^\
Iv(Pi) = AnHAv(Pi, Pl). A5.1036)
Используя формулу A5.103), можно записать подынтегральное выраже-
выражение в интеграле A5.100) в виде
Vr)-^ [2<2> (Л) - 'V Ы rv]. A5-104)
Если аналогичным образом ввести затухающую функцию g (t) в выра-
выражение A5.73) для матричного элемента М(г2\ то оно примет вид
М{гг) = - ^ $ е6шуа{р2-р1-Т-Г') X
Поскольку ZB) (^i = те2), исключая постоянный множитель (—i/4it3), опре-
определяется как 6т, то ясно, что М(г2) взаимно уничтожается с частью
матричного элемента М(г1\ содержащей 2<2) (Pi). Фактически это есть
перенормировка массы. Таким образом, мы получаем
A5.106)
Далее, из релятивистской инвариантности следует, что величина
/v (p^ преобразуется при преобразованиях Лоренца как 4-вектор,
и поэтому она должна иметь следующую структуру1):
/V (Pi) = /«, (Pl) Yv + /«, (Pl) (Y • Pi - m) Yv +
Pi-^)Yv(Y-A-^), A5.107)
!) Отметим, что член вида /' (pl) pv всегда может быть записан в виде
lh I' (рТ)(учР^Руг)> так что выражение A5.107) действительно описывает наиболее
общую структуру Iv(pi).

§ 3. Радиационные поправки к рассеянию 513
где /A), /B), ... — функции инварианта р2. При действии Р (р{) на дира-
ковский спинор свободной частицы с импульсом pj только первые два
члена будут давать отличный от нуля вклад. Кроме того, вклад от вто-
второго члена будет пропорционален Г, и им поэтому можно пренебречь.
Отсюда следует, что надо рассмотреть только первый член. Тогда при
pl = m2 можно записать
^(Af) = Ai)Yv. A5-108)
где /A) = 1ау(т2) — константа, равная + 4я3Ш, причем константа В опре-
определяется формулой A5.94) [вспомните соотношение A5.1036)]. Затем
следует симметризовать множитель в конце выражения A5.106), заме-
заменив" Г на 1/2(Г + Г"). Учитывая, что оператор A5.106) применяется
к дираковскому спинору, можно . добавить к множителю г/2 (Г -+- Г')
оператор х/г (Y"Р ~~ т) • Тогда выражение A5.106) приобретет вид
В^пределе Го—>0 оно превратится в
(P2-Pi)= -у «Я?-«(ft-ft).' A5.110)
причем на множитель V2 следует обратить особое внимание. Аналогич-
Аналогичный анализ может быть проведен и для матричных элементов A5.69)
и A5.72), что приводит к результату
М^ + М(вг)= +4Йз'шУ-а(р2-А)= -^eBy.a(p2~Pi). A5.111)
i
Выше было показано, что расходящийся вклад в матричный эле-
элемент от диаграммы б на фиг. 68 может быть записан в виде
M?> = Av(Pl, pi)eav(p2-Pl) = Bey.a(p2~pl). A5.112)
Поэтому, хотя каждый из матричных элементов, соответствующих диа-
диаграммам б, б и г на фиг. 68, взятый в отдельности, расходится, сумма
их все же конечна и фактически равна
М = + 2niu (p2) eACv (p2, Pi)av(p2 — pi)u(pi), A5.113)
где оператор Acv определяется формулой A5.88). В гл. 16 будет показано,
что это взаимное уничтожение расходимостей собственно энергетической
и вершинной частей связано с калибровочной инвариантностью и проис-
происходит в квантовой электродинамике во всех порядках теории возмущений.
Перейдем теперь к выяснению физического смысла расходимостей
в сумме матричных элементов (диаграммы в и г на фиг. 68). Мы вычислим
эффект взаимодействия электрона с внешним полем вплоть до порядка е3.
В первом порядке по е дает вклад диаграмма а на фиг. 68, которая пред-
представляет взаимодействие электрона с внешним полем и ни с чем более.
В третьем порядке по е ситуация изменяется в двух отношениях. Во-пер-
Во-первых, имеется вероятность Р того, что электрон будет взаимодействовать
с внешним полем между актами испускания и поглощения виртуального
фотона. Этот процесс описывается диаграммой б на фиг. 68. Во-вторых,
вероятность взаимодействия электрона с внешним полем, когда около
33 с. Швебер

514 Гл. IS. Квантовая электродинамика
электрона нет виртуального фотона, теперь уже равна не 1, а 1 — Р, т. е.
она уменьшается на величину вероятности нахождения виртуального
фотона около электрона (эти утверждения непосредственно вытекают из
унитарности 5-матрицы, так как условие унитарности гарантирует сохра-
сохранение полной вероятности). Указанная вероятность дается выражением
'=$1*00
где b (k) — амплитуда вероятности того, что имеется виртуальный квант
с заданным импульсом к.
Уменьшение вероятности обнаружения электрона, не окруженного
виртуальными квантами, равносильно изменению нормировки волновой
функции электрона. Поэтому диаграммы в и г на фиг. 68 часто называют
диаграммами перенормировки волновой функции. Диаграмма г описывает
перенормировку волновой функции начального, а диаграмма в — конеч-
конечного состояний электрона. Волновая функция (т. е. амплитуда вероятности)
должна быть перенормирована при помощи множителя A — РI/2, так
что поправкой первого порядка будет V2 Р, что и объясняет появление
множителя Ун в формуле A5.111).
§ 4. Аномальный магнитный момент и лэмбовский сдвиг
В предыдущем параграфе было показано, что после перенормировки
массы сумма вкладов от диаграмм в и з на фиг. 68 конечна и соответствую-
соответствующий матричный элемент дается выражением A5.113). По-видимому, смысл
этих радиационных поправок проще всего понять, если рассмотреть их,
используя понятие «эквивалентного» потенциала, в котором движется
электрон. Амплитуда рассеяния, включающая вклады от диаграмм а — г
на фиг. 68, равна
Я= + 2nieu(p2){yv + Acv(p2, Pi)) «(Pi)av (Рг- Pi)- A5.115)
Это равенство можно также записать в виде
^ЫаМл-л), A5.116)
что представляет собой наиболее общую структуру матричного элемента,
которая следует из релятивистской и калибровочной инвариантности
формализма 5-матрицы'при условии, что внешнее поле слабое, и поэтому
можно ограничиться только линейными по внешнему полю членами
[699]1).
Подставляя A5.115) в явное представление вершинного оператора Acv
A5.88), легко убедиться, что в рассматриваемом приближении функции
F и G суть
, A5.117а)
G (о2) = -?- -Д^ , siu20 = ^-2. A5.1176)
w ; 2я sin 26 ' 4m2 ч '
В гл. 17 будет дан вывод структурного соотношения A5.116).

§ 4. Аномальный магнитный момент и лэмбвеский сдвиг 515
Далее, в первом порядке по внешнему полю матричный элемент для упру-
упругого рассеяния дираковской частицы, электромагнитные свойства кото-
которой охарактеризованы при помощи коэффициентов Фолди гп и цп
(е0 —статический электрический заряд, а ц.о — статический аномальный
магнитный момент; вспомните § 8 гл. 4), имеет вид
(ft | * I Pi) = - ~Щ^ [ di*» (Р>) е'Р*'Х X
n=0
2 2U]w(Pi)av(P2-Pi)- A5.118)
Разложим функции F(q2) и G(<?2) в степенной ряд по
оэ
= 2 Fwq2n, A5.119а)
п=0
n=0
A5.1196)
Сопоставляя формулы A5.118) и A5.116), мы видим, что коэффициенты
разложения F(n~> и 6?<п) с точностью до постоянных множителей совпадают
с коэффициентами Фолдиея и и.и, которые феноменологически характери-
характеризуют внутреннюю электромагнитную структуру частицы со спином Уг.
Таким образом, из-за радиационных поправок электрон ведет себя так,
как если бы он обладал распределением заряда вида —eF(q2) и распреде-
распределением аномального магнитного момента вида (—eJ2m)G(q2). Функции
F(q2) и G(q2) называют форм-факторами заряда и магнитного момента
электрона [873].
Нужно отметить, что из разложения A5.1176) видно, что вследствие
радиационных поправок во втором порядке теории возмущений электрон
в медленно меняющемся внешнем электромагнитном поле ведет себя, как
если бы он имел статический магнитный момент, равный по величине
( 1 + y~ ) магнетонов Бора, так как G @) = ~ц0 = -^-.Существование
зтого аномального магнитного момента было впервые экспериментально
обнаружено Нейфом, Нельсоном и Раби [567] и Наглом, Джулианом
и Захариасом [906]. Брейт [81—83] первый высказал мысль, что наблю-
наблюдаемый эффект может быть объяснен наличием у электрона малого допол-
дополнительного спинового магнитного момента. В работе Швингера [709]
впервые было показано, что часть радиационных поправок в квантовой
электродинамике соответствует дополнительному магнитному моменту,
связанному со спином электрона и равному по величине а/2л (см. также
работу Латтинджера [520]). Вклад в аномальный магнитный момент, т. е.
в G(qz), от диаграмм четвертого порядка, изображенных на фиг. 71, был
вычислен Карплусом и Кроллом [422]. На фиг. 71 опущены диаграммы
с участием контрчленов Ьт.
Важность работы Карплуса и Кролла заключается в том, что в ней
впервые был проведен расчет в четвертом порядке теории возмущений
и было в явном виде показано, что и в этом порядке программа пере-
перенормировок позволяет обойти все трудности с расходимостями. Их резуль-
результаты содержали некоторые численные ошибки, и поэтому Соммер-
филд [736, 737], Питерман [637] и Кролл A957 г., не опубликовано)
33*

516
Гл. 15. Квантован электродинамика
сделали новый расчет. Указанный этими авторами вклад в магнитный
момент электрона в четвертом порядке теории возмущений есть
144 ^ 12T4
eh
2
= — 0,328 ^^
2тс
A5.120)
где ? C) — дзета-функция" Римана при значении аргумента, равном 3.
Таким образом , полный аномальный магнитный момент электрона с уче-
Ф и г. 71.
том членов вплоть до порядка а2 равен
^ . A5.121)
Щупп, Пидд и Крейн [706] произвели наиболее точное экспериментальное
измерение величины Afi, измерив гиромагнитное отношение g для свобод-
свободных электронов. Они нашЛи, что
.) = @,0011609±0,0000024)
A5.122)
в хорошем согласии с теоретически предсказываемым значением.
Далее, сравнение выражений A5.118) и A5.117а) показывает, что
суммарный эффект от радиационных поправок, соответствующих диа-
диаграммам а — г на фиг. 68, можно рассматривать как изменение потенциала
[эффективный потенциал для электрона равен (у^ -f- Лсц) а*1, а не y^af1].
Из выражений A1.117а) и A1.89) явствует, что радиационные поправки
размазывают потенциал по области с размерами порядка комптоновской
длины волны. Более точно эффективный потенциал для электрона есть
v(q). A5.123)

§ 4. Аномальный магнитный момент и лэмбовский сдвиг 517
Это изменение потенциала будет модифицировать структуру энергетических
уровней в атоме. Для случая атома водорода в предположении чистого
кулоновского поля из формулы A5.123) вытекает, что эффективный потен-
потенциал между протоном и электроном содержит также член, пропорциональ-
пропорциональный •
—^ = 4я^^ге2бC)(г). A5.124)
Ввиду наличия дельта-функции б(г) этот член оказывает влияние преиму-
преимущественно на ^-уровни. Для случая уровня 22<S'i/2 найдено, что возмуще-
возмущение A5.124) сдвигает этот уровень примерно на 1010 Мгц относительно
уровня 2Pi/2 и снимает, таким образом, имеющееся в дираковской теории
вырождение. Аномальный магнитный момент привносит в сдвиг уровней
2?i/2 — 2Pi/2 приблизительно- 68 Мгц. Эффекты поляризации вакуума
(вклад от диаграммы д на фиг. 68) дают добавку к сдвигу 2?1/2 — 2А/2,
равную —27 Мгц, так что предсказываемое значение сдвига с точностью
до членов порядка a(aZL приблизительно равно 1052 Мгц. Экспери-
Экспериментальное значение этого сдвига есть 1057,77 Мгц. Учет поправок
порядка a (aZM и a? (aZ)* и поправок на конечные размеры и конечную
массу дает для сдвига уровней 2Si/2 — 2Pi/2 в водороде теоретическое
значение 1057,95 + 0,15 Мгц, что хорошо согласуется с экспериментом.
Учет членов порядка a (aZ)eln2 (aZ) и a (aZ)e In (aZ) [481, 284] приво-
приводит для водорода к согласию с экспериментом в пределах 0,07 ± 0,15 Мгц
(см. табл. 10). Неопределенность 0,15 Мгц в теоретическом значении
соответствует невычисляемым эффектам конечных размеров 0,02 Мгц
и тому, что вклад в форм-фактор F (q2) четвертого порядка [831] не мог
быть вычислен в аналитическом виде и для него только были даны строгие
оценки сверху и снизу.
Таблица 10
Теоретическое и экспериментальное значения лэмбовского сдвига {Мгц)
Теоретическое значение
Экспериментальное значение
н
1057,70 ±0,15
1057,77 ±0,10
D
1058,96± 0,16
1059,00 ±0,10
Не
14046,3 ±3,0
14040,2 ±4,5
Таким образом, приближенная величина лэмбовского сдвига может
быть получена из среднего значения оператора Лсц {q)c№ (q) для рассмат-
рассматриваемых водородоподобных состояний. Строго говоря, в этом случае
выражение A5.89) для Лсц {р\, Рг) неприменимо, так как электрон уже
не свободен (р2 ф т2, ведь он связан в атоме!), а выражение A5.89) для
вершинного оператора было выведено в предположении, что р\ = р\ = /и.2.
Однако при | р | < тс отклонения от формулы A5.89) малы, и поэтому
считают, что соответствующими поправками можно пренебречь. Имеется
и вторая трудность, связанная с обсуждаемой методикой: второй член
в формуле A5.89) становится бесконечным, если устремить массу фотона
Хмин к нулю. Такая «инфракрасная катастрофа» является ложной и не
должна была бы возникать в выражении для лэмбовского сдвига уровней
связанного электрона.
При описании рассеяния свободных частиц инфракрасные расходи-
расходимости возникают потому, что электрон может излучать и поглощать мяг-

-I
518 ' Гл. 15. Квантовая электродинамика
кие фотоны, не очень сильно смещаясь с энергетической поверхности
рг — т2. Это дает электронные функции распространения с очень малыми
знаменателями, которые в сочетании с фотонными функциями распро-
распространения приводят к инфракрасным расходимостям. С другой стороны,
при вычислении лэмбовского сдвига инфракрасные расходимости не мо-
могут возникать, потому что в этом случае 4-импульс электрона не лежит на
энергетической поверхности свободной частицы. Таким образом, даже
для очень малых энергий фотона знаменатель электронной функции рас-
распространения равен не нулю, am2 — р2. Получающийся вершинный опе-
оператор логарифмически зависит от этой величины. Поэтому фигурирую-
фигурирующий в случае рассеяния свободной частицы In Ямин/те в рассматриваемом
случае эффективно заменяется на In (m2 — р2)/т2. Поскольку для свя-
связанного водородоподобного состояния р0 ~т — е„, где е„ — энергия
связи в состоянии п и | р | — Zam, то
так что In Ямин/™ в задаче связанных состояний заменяется на
In 2 \ ~- + ?„ . Среднее значение этого оператора дает главный вклад
в логарифм Бете.
И из нерелятивистского рассмотрения в § 2 также видно, что при вычис-
вычислении лэмбовского сдвига не могут возникать инфракрасные расходимости.
При этом рассмотрении предполагалось, что фотоны имеют нулевую массу
покоя и что электрон связан. Выражение A5.62а) для лэмбовского сдвига
(см. стр. 502) имеет резонансный знаменатель ЕТ — Еп -f- | k | , который не
обращается в нуль для световых квантов с нулевой энергией | k | =0,
поскольку из-за множителя Ет — Еп в числитель вносят вклад только
состояния с г Ф п.
Опишем теперь методику, которую обычно применяли при старых
расчетах лэмбовского сдвига. Нерелятивистский лэмбовский сдвиг вычис-
вычислялся сначала для световых квантов с нулевой массой покоя [выражение
A5.62а)], а затем снова для фотонов с массой покоя ЯМИн- В последнем рас-
расчете в знаменателе A5.62а) к следует заменить выражением
сок = (к2 + ^ИнI/г- . A5.125)
Разность между результатами этих двух вычислений представляет собой
разность между лэмбовскими сдвигами связанного электрона, взаимодей-
взаимодействующего с поперечными квантами с нулевой и с конечной массой покоя
соответственно. Эта разность равна
к
А? @) - ЬЕ (U) = -з^г \ dk 2 I Ў« f (Er -En)X
X
Er-En
Интеграл A5.126) сходится и на нижнем пределе (к = 0), и на верхнем;
следовательно, верхний предел К можно заменить на оо. Кроме того, суще-
существенный вклад в выражение A5.126) дают только значения /с<А,миН.
Поэтому если выбрать ЯииН< тс2, то все представляющие интерес проме-
промежуточные состояния (г, к) в формуле A5.126) будут нерелятивистскими.
Следовательно, использованные в § 2 гл. 15 приближения, включая

§ 4. Аномальный магнитный момент и лэмбовский сдвиг 519
дипольное, оказываются оправданными. Теперь к выражению A5.126)
прибавляют среднее значение выражения A5.89) для рассматриваемого
водородоподобного состояния, оставляя массу фотона Ямин конечной.
В действительности величину ЯмИН следует выбрать большой по сравнению
с величиной энергии связи в атоме водорода (^mH> I Ry), чтобы оправдать
использование годного для свободных электронов выражения A5.89).
Ясно, что это условие совместимо с требованием Ямин ¦€ тс2. Вычисление
затем показывает, что в сумме выражения A5.126) и среднего значения
A5.89) член In Ямин сокращается. Как и следовало ожидать, результат не
зависит от фиктивной массы фотона. Френч и Вайскопф [280] отметили, что
в формуле для сдвига уровней следует учесть также продольные и времен-
временные фотоны. Если сделать это, то в результате получим сумму выражения
A5.626) и среднего значения выражения A5.89) при условии, что In Ямин
положен равным
In Ямин = In 2K-~. A5.127)
Из только что описанных вычислений для лэмбовского сдвига получает-
получается упомянутый выше результат 1052 Мгц (после включения эффектов поля-
поляризации вакуума). Уточнения этих вычислений и обсуждение высших
приближений читатель может найти в статьях Баранджера, Бете и Фейн-
мана [26], Карплуса, Клейна и Швингера [426], Миллса и Кролла [553],
Лайзера [481], Фрида и Йенни [282, 284] (см. также статьи Кролла
и Полл ока [466] и Карплуса и Клейна [425], в которых вычисляются
радиационные поправки к сверхтонкой структуре).
Вернемся теперь к краткому обсуждению смысла величины ЯмИН для
проблем, относящихся к рассеянию свободных электронов. Тот факт, что
выражения A1.89) и A1.113) логарифмически расходятся при Ямин -» 0,
известен как «инфракрасная расходимость». Описанный только что в об-
общих чертах метод, который устраняет инфракрасные расходимости для
связанных электронов, нельзя применить к свободным электронам. Ясно,
что нельзя вычислять эффективные сечения рассеяния непосредственно из
выражений A1.89) и A1.113), устремляя в них Ямин -* 0. Эта трудность
устраняется, если заметить, что невозможно поставить такой экспери-
эксперимент, в котором было бы гарантировано, что электрон в процессе рассея-
рассеяния не излучил ни одного фотона. Лучшее, чего можно добиться при поста-
постановке эксперимента, — это потребовать, чтобы энергия фотона, если он
был излучен, была меньше некоторой энергии к0, которая определяется
точностью измерительных приборов. Оказывается, что дифференциальное
эффективное сечение для рассеяния, сопровождаемого излучением фотона
(тормозным излучением) с энергией, меньшей ко, также содержит инфра-
инфракрасную расходимость и что эта расходимость взаимно уничтожается
с аналогичной расходимостью в радиационных поправках. Точнее, если
предположить, как это сделано выше, что фотон имеет очень малую массу
^мин) то соответствующая диаграммам б — г на фиг. 68 амплитуда будет
содержать член вида 1п(пг/ЯмиН). Таким образом, вероятность рассеяния
без излучения фотонов | Л<а'+ ¦ ¦ • +-R(e) |2 содержит член, пропор-
пропорциональный be6 In (пг/Ямин). (В более высоком порядке по а будет и член
вида [In (тп/Ящш)]2.) Вместе с тем оказывается, что диаграммы на фиг. 72,
соответствующие процессам с излучением реального фотона (&2 = 0),
приводят к вероятности рассеяния, сопровождаемого излучением реально-
реального фотона с энергией, меньшей ко, которая содержит член, равный (в низ-
низшем порядке по а) — ЬеЧп iko/Кшн)- Таким образом, вплоть до порядка

520 Гл. 15. Квантовая электродинамика
ев сумма вероятностей уже не содержит Ямин, так что в этом порядке инфра-
инфракрасные расходимости устранены. В общем случае инфракрасные расхо-
расходимости всегда сокращаются, если рассматривать все процессы, включая
.излучение реальных фотонов, возможные в данном порядке теории возму-
возмущений. Общее обсуждение этого вопроса читатель может найти в статьях
Фиг. 72.
Блоха и Нордсика [62] (где впервые было дано решение проблемы инфра-
инфракрасных расходимостей), Паули и Фирца [626], Бете и Оппенгеймера
[49], Йоста [400], Глаубера [320], Брауна и Фейнмана [91], Яуха и Рор-
лиха [390, 391], Ломона [505, 506], Прэнджа [650], Асколи [17, 18],
Наканиши [569] и Йенни, Фраутчи и Суура [875]. Мы вернемся к этому
вопросу в § 6.
§ 5. Поляризация вакуума
До сих пор мы еще не обсуждали матричный элемент A5.74), соответ-
соответствующий диаграмме д на фиг. 68. Для истолкования этого члена можно
представить себе, что замкнутая электронно-позитронная петля инду-
индуцирует ток
/ц (9) = 1^-^,(9)^(9), A5.128)
причем этот ток служит источником фотонов с импульсом q, который дей-
действует на электрон и рассеивает его. Из требования инвариантности этого
индуцированного тока относительно калибровочного преобразования
av —> av + qvA (q) A5.129)
вытекает, что
n№V(g)?v = 0. A5.130)
Точно так же, чтобы ток /^ (q) сохранялся, он должен удовлетворять
уравнению непрерывности
9«VV (?) = ^IV (q) <P{q) - 0, A5.131)
которое эквивалентно уравнению A5.130), так как тензор Пиг симметри-
симметричен. Оператор П^ (я) обычно называют поляризационным тензором.
Запишем тензор n,j,v (q) в виде
П^ (q) = ПA, (q*) qilqv + q2nB) (q2) gliV, A5.132)
где вследствие релятивистской инвариантности ПA) и ПB) являются
функциями только от q2. Тогда уравнение A5.130) эквивалентно условию
, A5.133а)

§ 5. Поляризация вакуума 521
так что выражение A5.128) для тока ^(q) должно сводиться к
jn (g) = 7—3 {q^qv — g\ivq ) H(i) (<? ) я (g)> (lo.looo)
или
/и(д) = ^зПA)(д2)/?,(?), A5.133b)
где /^, (q) — ток, создающий внешнее поле йц(#). При выводе формулы
A5.133в) использовано уравнение Максвелла для внешнего поля
^Kv{x) = Jl{x), A5.134а)
которое связывает внешнее поле с создающим его током. В импульсном
пространстве уравнение A5.134а) имеет вид
- g^q2) av (q) = К (?)• A5.1346)
Выражение для ПD) может быть получено следующим образом:
A5.
A5.1356)
. A5.135b)
о
При получении A5.135в) из A5.1356) сделана замена переменной р
на p — qz. Так как постоянная т имеет малую отрицательную мнимую
часть, то можно снова повернуть контур интегрирования и интегри-
интегрировать по р0 вдоль мнимой оси от — i 00 до -f-ioo. Если вычислить
след, а затем опустить нечетные по переменным р^ члены [формула
A5.135а)] и использовать соотношение симметрии A5.1356), то
rr ,-v , С , С „ — B?v?u.—gu.vQ2)(z—z*)-k
11.. v (q) =s 4
Таким образом, выражение для поляризационного тензора U^q) квадра-
квадратично расходится, поскольку в числитель входит шестая степень пере-
переменной интегрирования (p2dAp), а в знаменатель — только четвертая.
Но если потребовать, чтобы выражение A5.136) было калибровочно-
инвариантным и удовлетворяло уравнениям A5.130) и A5.131), то мы
получим
[ ^fKl^lf = 0- A5.137)
Хотя этот интеграл, строго говоря, расходится и поэтому не имеет
смысла, тем не менее мы используем это соотношение1) (вытекающее
из физического требования калибровочной инвариантности), чтобы
!) Несколько более удовлетворительный подход состоит в том, что сначала
«регуляризуют» выражение A5.136) по электронной массе (см. приложение С статьи
Фейнмана [252] и работу Паули и Вилларса [631]).

522 Гл. 15. Квантовая электродинамика
переписать выражение A5.136) в виде
1
^ q2(z-z2)-m2r2 A5.138а)
A5.1386)
причем
j j j;;vm2]2 • A5-138в)
Если разложить*) функцию П (q2) по степеням q2
=о ?«+..., A5.139)
то ясно, что член П @) расходится логарифмически, а все остальные члены
конечны. Действительно, в последовательных членах разложения по
q2 показатель степени переменной интегрирования р понижается настоль-
настолько, насколько возрастает показатель степени внешней переменной q, что
было показано в конце § 3. Не зависящий от q2 член в разложении функ-
функции П содержит интеграл по р, подынтегральное выражение которого
ведет себя, как (dp/p); поэтому П @) логарифмически расходится. Сле-
Следующий член разложения имеет порядок q2 и содержит уже сходящийся
при больших р интеграл вида \dp/p3; следовательно, П' и все высшие
члены разложения A5.139) представляются сходящимися интегралами по
переменной р. Теперь можно использовать прием, аналогичный приме-
примененному для получения выражения A5.92), т. е. вычесть из функции
П (q2) ее значение при q2 = 0 и таким образом получить конечный резуль-
результат. Ниже будет показано, что если применить операцию перенормировки
заряда, то именно этот конечный остаток П(#2) — П@) будет описывать
наблюдаемые эффекты поляризации вакуума.
Отметим, что разложение A5.139) законно только при q2 < т2.
Когда q2 > BтJ, внешнее поле может образовывать реальные пары
и матричный элемент М^ будет иметь как вещественную, так и мнимую
части. Мнимая часть соответствует убыванию во времени амплитуды
вероятности рассеяния без образования реальных пар. С другой стороны,
амплитуда вероятности перехода в конечное состояние, которое включает
те или иные реальные пары, будет соответственно возрастать во времени.
Возрастание и соответствующее убывание этих матричных элементов
таковы, что полная вероятность перехода из начального состояния равна
единице, так как .^-матрица унитарна (в этой связи см. статью Далитца
[150]). Мы ограничимся случаем q2 < т2, так как он представляет наиболь-
наибольший физический интерес.
Используя метод, который уже применялся нами ранее при кова-
риантном вычислении собственной энергии электрона, можно найти для
поляризационного тензора П,^ (см. приложение С к статье Фейнмана
2) Заметим, что функция П (д2) безразмерна, поэтому П' имеет размерность т.-2,
П" — размерность т~4 и т. д.

§ 5. Поляризация вакуума 523
{252]) следующее выражение:
IInv (q) = 4я21 {q^qv — g^q2) X
* [-4 й;* 4-^ С1 - А)+4 ] • J'^
где <?2 = 4m2 sin2 9. Логарифмически расходящийся член —( —^ ) In—
соответствует П @). Так как на внешнее поле наложено условие Лоренца
0, A5.141)
то, используя выражения A5.138) и A5.140), можно записать матричный
элемент A5.74) в виде >
^ ). A5.142)
Далее, можно объединить первый член правой части с матричным эле-
элементом A5.67), соответствующим диаграмме а на фиг. 68. Тогда, хотя член
(iae/4я3) П @) фактически бесконечен, можно считать, что константа
Aеа/4я3)П @) есть множитель, который просто уменьшает величину внеш-
внешнего поля. Таким образом, этот член производит ненаблюдаемую перенор-
перенормировку внешнего поля. Из выражения A5.133в) видно, что расходя-
расходящаяся часть индуцированного тока ]'у,(д) точно пропорциональна индуци-
индуцирующему внешнему току /^ (q). Поэтому перенормировку можно рассмат-
рассматривать как такую операцию, при которой перенормируется плотность
внешнего 4-тока Jen(q), а тем самым и заряд.
Обратим внимание на сходство между перенормировками заряда
и массы. В обоих случаях бесконечности относят к ненаблюдаемым явле-
явлениям. Так, при перенормировке массы бесконечная величина Ьт изменяет
только механическую массу электрона т0. Поскольку наблюдаемой вели-
величиной является только полная масса т = т0 + от, то бесконечности
пропадают, если выразить результаты теории через наблюдаемую массу.
То же самое имеет место и в случае перенормировки заряда. Внешний
ток /^ невозможно экспериментально отделить от пропорционального ему
индуцированного тока. Действительно, точно так же, как электрон всегда
окружен облаком виртуальных квантов (так что всегда будет измеряться
полная масса т), так и внешний ток всегда поляризует вакуум, и поэтому
при всех измерениях внешнего тока и заряда на больших расстояниях'
наблюдаемая плотность 4-тока будет равна
ЗД, A5.143)
где /?н (х) — «перенормированная» плотность 4-тока. Отсюда следует, что
при выражении матричного элемента М<а> -\- М'а) через перенормирован-
перенормированную плотность внешнего 4-тока /^н (х) (вместо Jep) будут получаться конеч-
конечные результаты, т. е.
> = еу. ав {q) + _?*_ п, @) gV a (ff) + ... . A5.144)
Нам следовало бы также пометить как перенормированные остальные
члены ряда A5.144), так как в рассматриваемом порядке теории возмуще-
возмущений они не нуждаются в дополнительной перенормировке. Вместе с тем

524 Гл. 15. Квантовая электродинамика
диаграммы высших порядков приводят к нетривиальной перенормировке
этих членов.
Из сделанных выше замечаний должно быть достаточно ясно, что
даже при отсутствии бесконечностей все же следует производить перенор-
перенормировку теории. Причина перенормировки заключается в том, что состоя-
состояние системы описывается при помощи невозмущенных «голых» волновых
функций, в то время как в реальном мире никогда нельзя избавиться от
взаимодействия между полями. Поэтому возникают поправки к «голым»
массе и заряду. Однако всегда можно наблюдать только «голую» массу
(заряд) плюс поправки к ней. Следовательно, наблюдаемые величины
всегда следует выражать через перенормированные константы. Таким
образом, вопросы расходимостей и перенормировки в определенном смыс-
смысле являются отдельными вопросами. Тем не менее, поскольку во всех
локальных релятивистских теориях поля со взаимодействием имеются рас-
расходимости, термин «перенормируемость» будет применяться для характе-
характеристики того свойства теории, согласно которому при выражении наблю-
наблюдаемых величин через перенормированные заряд и массу расходимости
исчезают.
Вычисление П'@) проводится непосредственно, причем оказывается,
что
JL
2=0 J V
m2]3
30
Таким образом, эффективный потенциал для электрона в результате
эффектов поляризации вакуума равен
что в конфигурационном пространстве превращается в
(*)- A5.147)
Следовательно, поляризация вакуума размазывает потенциал по
области с радиусом, равным по порядку величины комптоновской длине
электрона. В атоме водорода кулоновский потенциал протона меняется.
не только вследствие радиационных поправок, рассмотренных в § 3 и 4,
но и в результате поляризации вакуума. Эффективный потенциал для
электрона (с учетом только эффектов поляризации вакуума) равен
Тот факт, что электростатический потенциал точечного заряда в ваку-
вакууме не описывается точным законом Кулона, а изменяется вследствие по-
поляризации вакуума, называют эффектом Юлинга [787]. Юлинг первый
вычислил отклонение от кулоновского закона [коэффициентП'@) и т. д.]
вскоре после первых обсуждений поляризации вакуума в статьях Дирака
[171, 172] и Гейзенберга [366, 367]. (Результаты этих работ освещены
в обзоре Вайскопфа [827]; см. также статьи Валатина [,799, 800].) В нере-
нерелятивистском приближении эффект Юлинга оказывает влияние только на
5-состояния атома водорода; в частности, он понижает уровень 2?i/a на

§ 5. Поляризация вакуума
525
27 Мгц по сравнению с уровнем 2Pi/2. Поскольку теория согласуется
с экспериментом с точностью до 1/i Мгц, то это прямо доказывает, что эффек-
эффекты поляризации вакуума существенны и реальны.
Как говорилось выше, сущность эффекта поляризации вакуума
заключается в размазывании эффективного заряда точечных частиц по
области с размерами порядка blmc. Физическую картину происходящего
Фиг. 73.
в явлениях поляризации вакуума можно представить себе следующим
образом. Заряд Qo в результате взаимодействия с электронно-позитрон-
ным полем окружается облаком электронов и позитронов. Часть из них,
обладающая полным зарядом 8Q того же знака, что и Qo, уходит на бес-
бесконечность (см. приложение к статье Швингера [713]), а остается другая
часть облака, имеющая полный заряд — 6Q, которая тесно связана с проб-
пробным телом и сосредоточена вокруг него в области с размерами %/тс. При
наблюдении заряда тела с расстояний, больших по сравнению с h /тс,
— 6т
Фиг. 74.
представляется, что заряд эффективно равен перенормированному заряду
Q — Qo — &Q- Вместе с тем при наблюдении с расстояний, много мень-
меньших %/тс, наблюдался бы «голый» перенормированный заряд Qo.
Эффекты поляризации вакуума в высших порядках теории возмуще-
возмущений, соответствующие диаграммам типа показанных на фиг. 73, проанали-
проанализировали Челлен [407, 408], Фарри [292] и Умэдзава иКамефучи [792].
В случае постоянного внешнего поля явление поляризации вакуума во
всех порядках по величине индуцирующего поля обсуждалось в статьях
Вайскопфа [827] и Швингера [714]. В случае кулоновского поля эту про-
проблему изучали Уичмэн и Кролл [844].
Радиационные поправки к диаграммам с петлей, примеры которых
изображены на фиг. 74, вычислялись в статьях Баранджера, Дайсона
и Солпитера [27], а также Челлена и Сабри [414]. Они имеют порядок
a2(aZJ и вносят —0,24 Мгц в сдвиг уровня 22Si/2— 22Pi/2.
Мы получили бы аналогичную описанной выше ситуацию, если бы
вместо взаимодействия с внешним полем рассматривали взаимодействие
между двумя зарядами. Для проведения такого анализа необходимо
несколько глубже учесть калибровочную инвариантность теории. До сих

526 Гл. 15. Квантовая электродинамика
пор для фотонной функции распространения использовалось выражение
^{х-у) = (Ф0, T(Av(x)A4(y))<I>9). > A5.148)
Нужно отметить, однако, что это выражение не удовлетворяет в явной
форме дополнительному условию д^А^-Ш (x)= 0. Чтобы условие Лоренца
удовлетворялось в явной форме, следует заменить функцию распростра-
распространения g^vk'2 Ha (#nv— к^кук~2)к'2, что соответствует функции распростра-
распространения в определенной калибровке, часто называемой калибровкой Ландау
(она впервые рассматривалась в работе Ландау, Абрикосова и Халатни-
кова [472]); см. также книгу Боголюбова и Ширкова [67] и статью Зуми-
но [879]). Отметим, чтов задачах рассеяния использование функции рас-
распространения Ландау и, в частности, члена —к^к^к'2J не внесет никаких
Фиг. 75.
изменений в проведенные выше рассмотрения [252]. Остановимся, напри-
например, на случае меллеровского взаимодействия между двумя заряженными
частицами в низшем порядке теории возмущений (фиг. 75). Этой диа-
диаграмме соответствует матричный элемент, пропорциональный выражению
е*им (q2) у»им ы(ё^ -^ ) -& « (Рг)Г" (Pi), A5.149)
где qx — q2 = к = рг — Р\- Вклад в матричный элемент, вносимый чле-
членом к^ку в фотонной функции распространения, равен нулю, потому что
(Рг) У ¦ ки (рО = и (р2) у-{р2 — Pi) и (pt) =
= (m-m)w(p2)u(p1) = 0. A5.150)
Фейнман [252] показал, что это утверждение справедливо во всех поряд-
порядках теории возмущений. Причина,по которой члены к^кч в фотонных
функциях распространения не существенны, заключается в том, что все
источники электромагнитного потенциала (токи заряженных частиц)
подчиняются дифференциальному уравнению непрерывности с№/ц (х) =0.
(Этот факт, конечно, внутренне связан с калибровочной инвариантностью
теории.)
Поправка к меллеровскому взаимодействию, учитывающая в низшем
порядке поляризацию вакуума, описывается диаграммой на фиг. 76.
Матричный элемент, соответствующий этой диаграмме, может быть полу-
получен, если заменить множитель (g^ — к^кук'2)к'2 в меллеровском матричном
элементе A5.149) вкладом от вставки «петли», который (с точностью до
постоянного множителя) равен
- коКк'*) к~\ A5.151)

§ 5. Поляризация вакуума 527
где Прсг (к2) — поляризационный тензор, определенный формулами
A5.75) и A5.138). Если снова разложить ilp(T согласно A5.139), то член
П @) приведет к выражению, отличающемуся от меллеровского матрич-
матричного элемента A5.149) постоянным множителем. Поэтому в ^-матрице эти
два члена можно объединить и рассматривать множитель 1 + т-^ П@) 1 е2,
на который теперь умножен меллеровский матричный элемент низшего
порядка, как перенормированный заряд е\. Член И'@)к2 дает, радиацион-
радиационные поправки к матричным элементам низшего порядка, обусловленные
Фиг. 76.
рентами поляризации вакуума. Они соответствуют изменению взаимо-
взаимодействия между двумя зарядами вследствие явлений поляризации вакуума.
Отметим также, что поляризационный тензор П^ (к2) при к2 = 0
описывает собственную энергию фотона в низшем приближении теории
возмущений. В этом случае собственная энергия возникает в результате
рождения виртуальной электронно-позитронной пары и ее последующей
Фиг. 77.
аннигиляции, как это показано на фиг. 77. Эта диаграмма дает добавку,
пропорциональную е^ (k) №v (к2) е^(к), к матричному элементу ^-матри-
^-матрицы между однофотонными состояниями с импульсом к и состоянием
поляризации К. Используя выражение A5.138), получаем
(/с2) e{vX) (к) = е^ (к) (^v - g^k2) z(vX) (к).П (к2) =
= - к'г™ (к) в<«|* (к) П {к2) = 0 для к2 = 0. A5.152)
Тот факт, что выражение A5.152) равно нулю, есть следствие калибро-
калибровочной инвариантности выражения A5.138) для nyv и означает, что масса
фотона была точно равна нулю. Из того, что TL^ik)^ (к) равно нулю,
следует, что одиночный фотон при перемещении в пространстве не инду-
индуцирует тока. Для свободно распространяющихся электромагнитных волн
эффекты поляризации вакуума отсутствуют. Последнее утверждение,
однако, справедливо только пока рассматриваются эффекты низшего
порядка по.внешнему полю или полю излучения. Так, если учесть нели-
нелинейные эффекты по внешнему полю (т. е. члены, содержащие вторые и выс-
высшие степени поля А {?), то становятся возможными такие наблюдаемые про-
процессы, как рассеяние фотона на внешнем поле (фиг. 78). Аналогично, в выс-
высших порядках теории возмущений возможно рассеяние двух фотонов друг

528
Гл. 15. Квантовая электродинамика
на друге в результате эффектов поляризации вакуума (им соответствуют
диаграммы с замкнутыми петлями типа указанной на фиг. 79).
Как отмечалось выше, из калибровочной инвариантности вытекает
тождественное равенство нулю собственной энергии и массы фотона1).
Таким образом, вследствие калибровочной инвариантности нет необходи-
необходимости в контрчлене для перенормировки «массы фотона»2). Можно сформу-
сформулировать эти факты несколько по-иному. Определим фотонную функцию
распространения D'F(k2), соответствующую диаграммам на фиг. 80,
т. е. одиночной фотонной линии вместе со всеми диаграммами, которые
приводят к собственной энергии фотона. Тому факту, что масса покоя
Фиг. 78.
Фиг. 79.
«реального» фотона равна нулю, соответствует утверждение, что функция
распространения Dp (k2) (которая включает все радиационные поправки)
имеет полюс при А;2 = 0, что отвечает массе физического фотона.
Наконец, отметим, что эффекты поляризации вакуума возникают не
только в результате рождения виртуальных электронно-позитронных пар,
но и пар заряженных мезонов, нуклсщных пар и т. д. Фактически каждый
Фиг.
тип заряженных частиц будет вносить вклад в поляризацию вакуума,
причем вклады от различных типов частиц просто будут складываться
(Фелдман [238], Умэдзава и Кавабе [789—792]). Вследствие этого одна
и та же перенормировка заряда будет применяться к заряду любой части-
частицы, которая может взаимодействовать с электромагнитным полем. Дру-
Другими словами, если предположить, что неперенормированные заряды всех
частиц одинаковы, то будут совпадать и перенормированные заряды,
и этот вывод не зависит от частного вида взаимодействий, которые дают
вклад в поляризацию вакуума.
х) Как показано в 1914], из калибровочной инвариантности не вытекает, что
масса фотона должна быть равна нулю.— Прим. ред.
2) Вместе с тем не следует недооценивать неоднозначности, связанные с тем,
что мы имеем дело с расходящимися интегралами; напомним рассуждения, изложенные
вслед за формулой A5.136).

§ 6. Применения 529
В том, что каждый тип заряженных частиц вносит вклад в явление
поляризации вакуума, действительно можно убедиться, измерив сдвиг
уровней в [х-мезоатомах и в я-мезоатомах. В этих случаях основной вклад
в сдвиг уровней из-за эффектов поляризации вакуума фактически связан
с рождением электронно-позитронной пары, т. е. с диаграммой на фиг. 81,
где двойные линии представляют либо (я-мезон, либо л-мезон, а одинар-
одинарные линии являются электронными. (Напомним, что радиационные эф-
эффекты, обусловленные явлениями поляризации вакуума, в низшем поряд-
порядке по внешнему полю обратно пропорциональны квадрату массы частиц,
образующих петлю.) Поэтому вклад в сдвиг уровня от диаграммы на фиг. 82
в (nig/m^J или (те/тяJ раз меньше вклада от диаграммы на фиг. 81.
Аналогично, при вычислении радиационных поправок четвертого
порядка к магнитному моменту (я-мезона должен быть учтен вклад от диаг-
Ф и г. 81. Фи г. 82.
раммы, показанной на фиг. 83. Суура и Уичмэн [759], а также Питерман
[637] вычислили вклад в аномальный магнитный момент мюона, соответ-
соответствующий диаграмме на фиг. 83. Он оказался равным
25 , ~ / тй М eh _
2"V)C
«s 1,08-^г- „ efe . A5.153)
Таким образом, вычисленный аномальный магнитный момент мюона,
обусловленный электромагнитными радиационными поправками, превы-
превышает аномальный магнитный момент электрона и равен
тогда как у электрона он равен
ЛЦ(электрон) = (^ - °'328-^) -2^ • A5.155)
Пока еще не проведено очень точных измерений гиромагнитного отноше-
отношения g для (я-мезонов. Лучшим значением в настоящее время является
?((г) «= 2 A,0015+ 0,0006), так что формула A5.154) пока еще не прове-
проверена.
§ 6. Применения
В предыдущих параграфах в общих чертах были описаны современные
методы обращения с расходимостями, возникающими в высших порядках
разложения в степенной ряд решений уравнений движения в квантовой
34 с. Швебер

530 Гл. 15. Квантовая электродинамика
электродинамике. Эти методы применяются для вычисления радиацион-
радиационных поправок низшего порядка к большинству элементарных процессов
рассеяния с участием электронов и фотонов.
Впервые радиационные поправки были вычислены к кулоновскому
рассеянию электрона (если не считать лэмбовского сдвига, относящегося
к проблеме связанных состояний). Именно на примере этого процесса мы
продемонстрировали метод перенормировок. Радиационные поправки
к резерфордовской формуле рассеяния были впервые выведены Швинге-
ром [713]. Вычисление проводилось в первом борновском приближении
как по кулоновскому полю, так и по полю излучения. Для справедливости
этого приближения требуется не только выполнение условия а <С 1, н0
и Za < 1 (где Z— заряд ядра). Эффективное сечение рассеяния (с включе-
включением радиационных поправок) получается обычным образом из квадрата
модуля амплитуды перехода
R = + 2niu (р2) Mu (Pl), A5.156а)
где
M = {yv + ACv (P2, Рд —sj-s [П (<?2) - П (°I Yv} ее' (?)
{q = Pi-Pl) A5.1566)
(вспомните вывод формулы Резерфорда в гл. 14). Использование выраже-
выражения A5.1566), однако, не может быть вполне корректным, так как в мат-
матричном элементе М содержится в пределе ^мин -» 0 инфракрасная расхо-
расходимость [см. A5.89)].
Выход из этой трудности уже указывался в § 4: наряду с безрадиа-
безрадиационными процессами рассеяния электрон с отличной от нуля (и факти-
фактически бесконечной) вероятностью испускает фотоны в процессе рассея-
рассеяния. Во втором порядке имеются две такие диаграммы (фиг. 72),
одна из которых соответствует процессу, в котором электрон сначала рас-
рассеивается на внешнем потенциале, а затем излучает фотон, а другая описы-
описывает обратный процесс, когда электрон сначала излучает фотон, а потом
уже рассеивается. При помощи правил, приведенных в гл. 14, легко запи-
записать матричные элементы, соответствующие этим диаграммам. Для пере-
перехода, сопровождаемого излучением фотона с 4-импульсом к и поляриза-
поляризацией eW (k) [A-eW (к) = 0], они равны
х
X еу-а(рг + к — pi)\ и (pt) A5.157а)
= - 2лгм (р2) М±и (р4) A5.1576)
и
Д2= -2niu(V2)
X f e -yeW(k)lu(p1) A5.158a)
= - 2пш (p2) M2u (p4). A5.1586)
Рассмотрим теперь случай, когда испускаемый фотон очень мягкий, т. е.
к0 < т и |к| < | pt |, |р2]. Вспоминая, что
, A5.159)

§ в. Применения
531
и учитывая, что в рассматриваемой задаче
A5.160а)
A5.1606)
A5.160b)
получаем
Xey-a(p2 — pi)] u(p,) A5.161a)
л» — _i_i. г R ' (pi, p2), A5.1616)
где R(a) (pi, p2) дается выражением A5.67). Отсюда следует, что вероят-
вероятность рассеяния электрона из состояния с импульсом /?4 в состояние
с импульсом р2 с излучением одиночного фотона с энергией в интервале
между 0 и А? < т и произвольной поляризацией равна
з де з де
я,=о о
X
а,=о о
X
рг-к
Pl-k
A5.162)
Из выражения A5.162) ясно, что эта вероятность логарифмически рас-
расходится на нижнем пределе. Если изменение импульса электрона мало,
Ч I = I Pi ~ Рг I С и*) то возможно дальнейшее упрощение результата путем
перехода к системе отсчета, в которой электрон и в начальном, и в конеч-
конечном состояниях в хорошем приближении покоится; в этой системе
тк0.
A5.163)
Тогда множитель под знаком модуля в выражении A5.162) имеет
числитель, равный (р2 — jt?i)-eW = q-&W. Учтем теперь только поперечные
кванты (только они и могут быть излучены) и усредним по всем напра-
направлениям вектора к. Тогда мы получим
2
B |?-8(«(к)|«> =-|<72, A5.164)
К=1
так что
<15Л65>
предел интегрирования по к в выражении A5.162)
MV,H. Величина АЕ теперь относится к лоренцевой системе
И
причем нижний
заменен на fc р р
отсчета, в которой электрон, по существу, покоится. Исключая эту вели-
величину, все остальные множители релятивистски инвариантны. (Вычисле-
(Вычисление, справедливое при любой начальной энергии и любом измерении
импульса электрона, см. в статьях Йоста [400] и Швингера [712], а также
Блоха и Нордсика [62].)
Вероятность рассеяния электрона из состояния и (р4) в состояние
и (р2) без излучения фотона равна квадрату модуля выражения A5.156),
34*

532 Гл. 15. Квантовая электродинамика
или в явной форме1)
| RI2 = [ + 2niu (р2) [М(а) + eAvC (р2, р^ а" (р2 - рЛ] и (Pl)
Рг, Pi)a-v{p2-pi)u{Pi)-
>i))R{a){p2, Pi), A5.166)
где опущены члены порядка е8. Из формулы A5.88) следует, что имею-
имеющая инфракрасную расходимость часть Avc (назовем ее А^с) вносит
в выражение A5.116) множитель
+ 2niZ (p2) eAcv (P2, Pt) «v (Pz — Pi) и {щ) =
(снова при условии, что изменение импульса |q[ мало). Поэтому, выпи-
выписывая только инфракрасно расходящиеся части второго и третьего
членов, можно представить формулу A5.166) в виде
Д1»>(Л, й)|«. A5.168)
Сопоставляя выражения A5.168) и A5.165), можно усмотреть (см. для
сравнения также статью Бете и Оппенгеймера [49]), что сумма \Rf
и | R' |2, т. е. полное эффективное сечение для всех возможных в ^-при-
^-приближении процессов, конечна и не содержит расходимостей в пределе
/смин и ^мин—* 0. Она зависит, однако, от величины АЕ, которая соответ-
соответствует энергии, ниже которой реальные фотоны не могут быть зареги-
зарегистрированы в эксперименте. Величина АЕ определяется энергетическим
разрешением детектора, использованного в эксперименте.
Швиыгер [713] вычислил эффективное сечение рассеяния с потерями
энергии, меньшими АЕ, как в ультрарелятивистском, так и в проме-
промежуточном и в нерелятивистском случаях. Эффективное сечение в нере-
нерелятивистском пределе (включая добавки от поляризации вакуума внеш-
внешним полем) есть
где (-Лг) —моттовское эффективное сечение
\ а%1 ум
Q Jm 4pV sin4 V2 6 V, 2 J v I
:B пределе больших энергий эффективное сечение запишется в виде
m.
!) Мы пренебрегли вкладом от поляризации вакуума. Включение этого члена
никоим образом не повлияло бы на полученные ниже выводы, так как П (д) — П @)
,не содержит инфракрасной расходимости.

§ в. Применения 533
Таким образом, и в нерелятивистском, ив ультрарелятивистском преде-
пределах эффективное сечение может быть записано в виде
Тот факт, что эффективное сечение может быть выражено в виде A5.172)
даже при учете высших приближений по внешнему потенциалу, был пока-
показан в статье Суура [758]. Ньютон [574, 575] и Кретьен [132] проделали
явные вычисления во втором порядке по внешнему полю, но для процес-
процессов только с одиночным виртуальным фотоном. Их расчеты подтвердили,
что отношение-тд-к f -^ j может быть выражено в виде A5.172),т.е. что
радиационные поправки приводят к незначительным изменениям в упру-
упругом эффективном сечении. Швингер заметил также, что с убыванием
АЕ, т, е. при улучшении разрешающей способности детектора по энергии,
величина б становится большой, а поэтому выражение A5.172) утрачи-
утрачивает смысл. При этих обстоятельствах, однако, будут становиться важными
радиационные поправки высших порядков. На основе доводов, похожих
на доводы Блоха и Нордсика, Швингер высказал предположение, что
=«-6- A5Л73)
Йенни и Суура [873] (см. также [875]) показали, что при малых АЕ
(АЕ < Е) предположение Швингера асимптотически справедливо (см.
статьи Гупта [896] и Тсаи [786]). Эксперименты Таутфеста и Панов-
ского [923] по измерению радиационных поправок к рассеянию электронов
при высоких энергиях подтвердили поправку низшего порядка A5.171).
Венезер, Берсон и Кролл [831] вычислили радиационные поправки
четвертого порядка к рассеянию электрона на внешнем поле [т. е. вклады
в F (cf) от диаграмм, включающих два виртуальных фотона, но только
одно взаимодействие с внешним полем].
Другая задача, для которой были вычислены радиационные поправ-
поправки, — это комптоновское рассеяние фотона на свободной частице со спи-
спином 0 и 14. Коринальдези и Йост [143] вычислили радиационные поправ-
поправки для спина, равного нулю. Браун и Фейнман [91] вычислили все радиа-
радиационные поправки низшего порядка к формуле Клейна — Нишины
и нашли в явном виде эффективное сечение в е6-приближении для нереля-
нерелятивистского и ультрарелятивистского случаев. Читатель найдет в их
статье четкое и исчерпывающее обсуждение вычислительной техники
и практических приемов, которые используются при вычислении радиа-
радиационных поправок в задачах рассеяния. В гл. 16 будет показано, что
в пределе равной нулю энергии фотона все радиационные поправки к ком-
птоновскому рассеянию становятся равными нулю. Там же будет обсуж-
обсуждаться связь этого важного факта с принципом перенормировки заряда
[774]. '
Выше уже говорилось о вычислении радиационных поправок четвер-
четвертого порядка к магнитному моменту электрона в работе Карплуса и Крол-
ла [422]. В их статье производится выделение расходимостей в операторе
собственной энергии и вершинном операторе для случая, когда рг Ф т2,
т. е. когда все линии внутренние.
Другой процесс, для которого вычислены радиационные поправки
низшего порядка, — это конверсионное рождение пар [150]. Радиацион-
Радиационные поправки для тормозного излучения вычислил Митра с сотрудниками
[555, 556].

534 Гл. 15. Квантовая электродинамика
Все эти электромагнитные радиационные поправки очень малы A %
или меньше), так что даже при самых благоприятных условиях их трудно
проверить на опыте. Тем не менее успех теории, выразившийся в пред-
предсказании правильной величины лэмбовского сдвига уровней, не оставляет
сомнений в реальности этих эффектов.
§ 7. Картина Фарри
В § 4 мы столкнулись с определенной трудностью при выводе формулы
лэмбовского сдвига для связанных электронов из радиационных поправок,
вычисленных для свободных электронов. На самом деле все полученные
до сих пор результаты применимы, строго говоря, только к задачам рас-
рассеяния, в которых все частицы в начальном и конечном состояниях сво-
свободны. Вместе с тем существует широкий класс важных экспериментов
по рассеянию, в которых электрон связан в атоме (например, релеевское
рассеяние) и для рассмотрения которых описанные методы уже непригодны.
Фарри [292] показал, как можно обобщить формализм Фейнмана —
Дайсона на такие случаи, когда электрон находится в связанном состоя-
состоянии или когда разложение по степеням Za незаконно. Ясно, что эти слу-
случаи укладываются в рамки шредингеровской картины, если в качестве
невозмущенного гамильтониана электронно-позитроиного поля выбрать
оператор
#0= \)dsx:^*(x){-ia-V + m}^(x): - е ^ d3x:$* (х) уоу^А^ (х) ф (х):,
A5.174)
где Аер,(х) описывает статический внешний потенциал, в котором нахо-
находится в связанном состоянии электрон. Гамильтониан, описывающий
взаимодействие между веществом и излучением, запишется в виде
^(xL^(x):4u(x), A5.175)
где А^ (х) — квантованный электромагнитный потенциал в шрединге-
шредингеровской картине. Собственные функции гамильтониана Но теперь явля-
являются векторами состояния систем с определенным числом невзаимодей-
невзаимодействующих между собой электронов и позитронов, которые находятся
в одночастичных состояниях, описываемых уравнением Дирака во внеш-
внешнем потенциале Ащ (х). Точнее говоря, оказывается, что изложенный в гл. 8
метод квантования поля Дирака не претерпевает существенных измене-
изменений, если в качестве гамильтониана Но взять оператор A5.174). При этом
операторы поля т|з* (x) и i]j (x) следует разлагать по полной системе реше-
решений уравнения Дирака во внешнем потенциале А^ (х). Именно такая мето-
методика была использована в первых релятивистских вычислениях лэмбов-
лэмбовского сдвига (см., например, работы Френча и Вайскопфа [280] и Кролла
и Лэмба [464]). Однако такой подход нековариантен, и выделение расходи-
мостей производится весьма неоднозначным образом [464]. Метод Фарри
позволяет достигнуть упомянутого выделения в рамках ковариантного
формализма, причем эффекты внешнего потенциала включаются в поле-
полевые переменные.
Рассмотрим снова уравнение движения для вектора состояния в кар-
картине взаимодействия
d^x)) \{x)^eI(x)\^{x)), A5.176)

§ 7. Картина Фарри 535
где ?%?i (х) — плотность энергии взаимодействия A5.66). Мы написали
здесь уравнение Тоыонага — Швингера для случая плоской простран-
пространственно-подобной поверхности, уравнение которой имеет вид
п^ = х, A5.177)
гдеид— единичный вектор нормали к плоскости т. Если 71,1= A, 0, 0, 0),
то т — это гиперплоскость t — const, do — dsx, и уравнение A5.176)
приобретает более привычный вид:
A5.178а)
A5.1786)
Следуя Фарри, сделаем теперь следующее унитарное преобразование
вектора состояния | W (t)):
|YF(«)> = F-i| ?(*)>. A5.179)
Тогда вектор состояния 1^@) будет удовлетворять уравнению
гЩ | VF (t)) = [V-1 (t) Hi (t) V (t) + ihdtV-1 (t)-V(t)] | WF (t)). A5.180)
Если выбрать унитарный оператор V (V* = V'1) так, чтобы он удовле-
удовлетворял уравнению
ibdtir1 (t)-V(t)=- ihV-1 (t) dtV (t) =
^(x)y^, ^(x)]Aell(x)V(t) A5.181a)
или
ihdtV(t)=— ^ d3x^№(x)yv-, ^(x)]Aell(x)V(t), A5.1816)
xo=t
то вектор состояния \WF(t)) будет подчиняться уравнению
xo=ct
—jbm[^F(x), $P(x)]}\4F(t)), A5.182)
где преобразованные операторы tyF и Ар определяются формулами
y>F (х) = V1 (t) if (x) V (t) (xo = ct) A5.183)
и
AFtl(x) = V-\(t)Atl(x)V(t) (xo = ct). A5.184)
Они удовлетворяют тем жо одновременным перестановочным соотноше-
соотношениям, что и операторы ijj и А^.
Выведем уравнение движения для оператора tyF(x). Для этого
продифференцируем формулу A5.183) по xo = ct и используем уравне-
уравнение A5.181). Тогда мы получим
Я„1|* (х) - SoF-1 (t).y(x)V (t) + V-1 (t) г|> (x) 8tV (t) + F-1 @ <?ог|> (x).F (t) =
•?"(*)• A5.185)

536 Гл. 15. Квантовая электродинамика
Вычисление коммутатора в уравнении A5.185) дает
-i \ д?х'[\^{х')^,^{х')\^{х)]А\{х') =
= i\ dsx'S(x- x'jyvA^ix')^ (x') = -у°у^А\(х)^ (х), A5.186)
так как —iS(x-x') при t = t' равно y°bl3) (x — x'). Учитывая, что опе-
оператор г|э (x) в картине взаимодействия удовлетворяет уравнению
доу(х) = (-уоу.д-гу°т)Ц(х), A5.187)
и объединяя члены, находим, что оператор ^f подчиняется следующему
уравнению:
- т) $F (х) = -^Г^ (*) ЦР (х), A5.188)
т. е. он удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем электромагнит-
электромагнитном поле Ае11(х). Аналогично, поскольку операторы А^ (х) и i|) (х)
коммутируют, то
AFtl(x)^Alx(x), A5.189)
так что
(х) = 0. A5.190)
Картина, характеризуемая уравнениями A5.182), A5.188) и A5.190),
получила наименование картины Фарри, или картины взаимодействия
для связанных состояний, так как она может быть использована для
решения задач для связанных состояний.
Проведем рассуждения, которые позволят нам убедиться в этом.
Пусть {(fn(x)} есть система решений уравнения A5.188) в неоператор-
неоператорном смысле, причем индекс п определяет квантовые числа состояний
(которые могут быть как связанными состояниями, так и состояниями
рассеяния). Разложим оператор г|;/,- (х) по системе функций ср„ (х):
гМ*)= I Ь(пе)Ф„(а:)-г 2 A"V(*), A5.191)
п',Е+ п',Е-
где в первом члене суммирование распространяется только на решения
с положительной энергией (? + ), а во втором —на решения с отрица-
отрицательной энергией. Тогда оператор b\? будет оператором уничтожения
электрона в состоянии n, d\P* — оператором рождения позитрона и т. д.
Это легко установить, используя свойства гамильтониана Н0Р = V~1HqdV
и, в частности, перестановочные соотношения между ним и оператором
Ьп)Л¦ Заметим, что разложение A5.191) имеет смысл только в случае до-
достаточно слабых полей, когда есть щель между положительными и отри-
отрицательными собственными значениями энергии. В противоположном
случае стабильного вакуума |Ф^о) не существует (см. статьи Снайдера
и Вайнберга [734[, Фарри [292] и Салама и Мэтьюза [692]). Отметим
также, что зависимость от времени функции <fn (x) выражается в виде
ехр ( — iEnx°), где Еп — собственное значение энергии для собственной
функции ф„ (х).
Решение уравнения A5.182) снова может быть записано в виде
F(t2)) = UF(t2, *!)|4M'i)>. A5.192)

§ 7. Картина Фарри 537
где Up (tz, ti) определяется разложением Дайсона
uF (t2, to = 2 (—hji \ d*Xi \dix* ¦ ¦ ¦ I d"x-x
0 i
n=0 i
X T Шр1 (xt) S€fi (x2) ... S€fi («»)), A5.193>
причем гамильтониан S^fi имеет вид
{ j),TpF(x)]. A5.194)
Рассмотрим теперь вектор состояния |Ф^а) = Ъ^* \Фръ) невзаимодей-
невзаимодействующей с полем излучения системы, в которой содержится [один
«голый» электрон в некотором связанном состоянии а и нет фотонов.
Энергия этого состояния равна Еа — собственному значению энергии,
соответствующему собственной функции фа оператора уравнения Дирака
во внешнем поле. Однако вследствие взаимодействия ?%!fi энергия этого
состояния изменится. Рассуждения проводятся точно так же, как
в § 1, и для изменения энергии АЕа состояния |<t>jra) мы фактически
получаем очень похожую формулу
^ZZtti <15-195>
где разность времени t2 — t^ должна быть взята большой и нужно-
усреднить по всем осцилляциям на концах интеграла t2 и tt. (Вспом-
(Вспомните рассмотрение в гл. 11, которое легко обобщить на случай, когда
гамильтониан Но имеет связанные состояния.)
Величина ЫЕа имеет как вещественную, так и мнимую части. Веще-
Вещественная часть соответствует сдвигу уровней вследствие взаимодействия
с полем излучения. Мнимая часть Д?а отрицательна и соответствует
распаду состояния |Ф^а)> возникающему при переходе электрона
в состояние с меньшей энергией и сопровождаемому излучением одного
или большего числа фотонов. Поэтому она определяет время жизни
(или ширину линии) состояния а. Мнимая часть ЬЕа равна нулю для
основного состояния.
Можно снова анализировать оператор Uf (?г> ^i) ПРИ помощи диа-
диаграмм Фейнмана. Единственное отличие от проведенного ранее анализа
в картине взаимодействия, когда нет связанных состояний, заключается
в том, что теперь в качестве спаривания фермионных множителей сле-
следует взять
2 для а:2о > z10
п, Е+
2 4>п (х2) 4>п (хО для х10 > х20. A5.196}
n, E-
Функция SeF больше уже не является функцией от разности простран-
пространственно-временных координат. В случае статического поля она зависит
от пространственных координат х4 и х2 в отдельности и от разности
времен t2 — ti.

538 Гл. 15. Квантовая электродинамика
Функция —1/2SeF(x, у) совпадает с функцией распространения
Фейнмана во внешнем поле К^, которая обсуждалась в § 1 гл. 14. Она
удовлетворяет следующим уравнениям:
(iy»dl;-eyvAcii(x)-m)SF(x, у) = -2№)(х-у), A5.197а)
idSF(x, у) | е ^
которые вытекают из уравнений движения для операторов tyF и tyF
я ^определения A5.196). Дельта-функция в правой части уравнений
возникает при дифференцировании выражения A5.196) по времени.
В самом деле, можно записать
Т (ipi? (х) ipF (у)) = у [tyF {x)i tyF (у)]~i~~o е (х — У) №f (^)j typ (?/)]+i A5.198)
и если применить к этому выражению операцию iy°d0, то множитель
г(х — у) даст 2iy°b(V (хо — у0). Благодаря наличию 6 (х0 — ?/0) можно
использовать канонический одновременной антикоммутатор для опера-
операторов ч|>/г (х) и iff (у), равный y°6<3) (x —у), и найти, что
(iy°do-{-iy-d — eyV-Ae^(x) — m) (Фо^> Т (tyF (x) tyF (у)) Фо^) =
1 с г,е
= — у (iy^dp — еу^А ^(х) — m) SF (х, у) =
= (Фо^'> Т ((Й)|х<5д — ву^Аер,{х) — m) tyF (x) tyF (у)) Ф^ъ-) Л- ibil\x — у) =
—¦ IU (X — у I, yLO.lool
где при выводе последней строки использовано уравнение движения
для оператора a|?F (x). Вывод уравнения A5.1976) производится анало-
аналогичным образом. Вводя фурье-образы г)
-to-'e*r*-vSF(Pl,p2), . A5.200)
A5.201)
легко записать уравнения A5.197а) и A5.1976) в импульсном простран-
пространстве. Итерация этих уравнений приводит к следующему все еще точ-
точному уравнению:
SF {Ри Рг) = SF (pi) бD) (pi — р2)+( _2i ) Sp (P*) eY*« (Pi — Pi) St- (Рг) +
'SF(pi) [ \ d*q \ d^q'eyaiq) X
h~q, P2+q')eya(q')]sF(p2). A5.202)
!) В представляющем наибольший интерес для практических применений слу-
случае внешнее поле не зависит от времени. Тогда в формуле A5.200) SF (pi, p2)
заменяетея на
SeF (Pi, Рг) —> 6A) (Pio—P2o) >SF (Ри Рг)-

§ 7. Картина Фарри
539
В картине взаимодействия для связанных состояний Фарри среднее
значение тока по вакууму уже не равно нулю
{х)\ ФР0) = jp (х) ф 0.
A5.203)
Оно соответствует току, индуцированному в вакууме внешним полем,
и поэтому содержит все явления поляризации вакуума. Из того, что
вакуумное среднее оператора тока отлично от нуля, следует, что в фор-
формуле A5.193) при разложении Г-произведений на нормальные произве-
произведения необходимо включать спаривания в множителе 1
входящем в выражение для S@fi- Как и в случае соответствующей
задачи для свободных электронов, члены разложения могут быть пред-
— 6т
5
Фиг. 84.
ставлены диаграммами Фейнмана. Радиационные поправки второго
порядка представлены диаграммами на фиг. 84, причем функции рас-
распространения электрона во внешнем поле изображены двойными ли-
линиями. Величина сдвига уровня стационарного состояния фо в общем
случае комплексна и в низшем порядке теории возмущений опреде-
определяется формулой
t
to
—an
+ i6m \ фо (x^ фо (ж!) d4a;i.
<0
A5.204)
Ввиду того, что в статическом внешнем поле функция SF(xl,x2) зави-
зависит только от разности (х2 — XiH временных компонент точек Х\ и х2, можно
ввести в первые два члена новые переменные интегрирования (х2 — #i)o
и 1l2(x2JrXiH, что позволит провести интегрирование по переменной
(x2-\-Xi)Q. Подынтегральное выражение в члене дпг в формуле A5.204)
не зависит от Xj, так что и здесь интегрирование по времени приве-

540
Гл. 15. Квантовая электродинамика
дет к множителю t — to = T. В результате получим
АЕа = — шя ^<ра (х2) y»Sp (х2) xt) уцфа (xt) DF (х2 — xi) <Pxi d3x2 d(x2 — x^,,—
— jour ^ фа (x2) y»ya (x2) DF (x2 — Xi) Sp [y^Sp (xt, xj] X
Xd3xid3x2d(x2 — хгH— bm \ d^x^ixi) (fa(xt). A5.205>
Энергетический сдвиг уровня а определяется вещественной частью АЕа.
Первый член выражения A5.205) содержит бесконечную собственно-энер-
собственно-энергетическую часть, которая должна быть изолирована и уничтожена при.
Член
нулевого
порядка
по внешнему
потенциал!/
а
Член
первого
порядка
по внешнему
потенциалу
6
Члены высших порядков
по внешнему потенциалу
Ф и г. 85.
помощи члена Ьт. Второй член также содержит бесконечную часть, соот-
соответствующую перенормировке заряда, которая должна быть выделена
и устранена.
Выделение этих расходящихся частей может быть проведено при
помощи соотношения A5.202), которое соответствует началу итерацион-
итерационного разложения функции Sp по степеням внешнего поля. Результат ите-
итерации для функции распространения связанного состояния может быть
наглядно представлен (фиг. 85). Матричный элемент, соответствующий диаг-
диаграмме а на фиг. 85, содержит расходящуюся собственно-энергетическую
часть, которая взаимно уничтожается с членом Ьт в выражении A5.205).
Более точно, в рассматриваемом случае диаграмма а соответствует члену,
который пропорционален интегралу \ фа (рJB)(р)фа (р), где оператор
2B>(р) определяется выражением A5.71) и может быть записан в виде
(р) =
= 2nibm
2? >
(р) =
- m) 2f (p),
A5.206)
причем константа А бесконечна, а 2}2)(р) уже не расходится. Заметим,
что поскольку фа(р) не является дираковским спинором свободной час-

§ 7. Картина Фарри 541
тицы, а удовлетворяет уравнению
(у • р - т) сра (р) = - е jj d3qy ¦ о (р - q) фо (q), A5.207)
то второй член в уравнении A5.206) не равен нулю. Первый член, как
•отмечалось выше, уничтожается с третьим членом выражения A5.205).
Можно показать, что вклад от члена А в A5.206) уничтожается с расхо-
расходимостью во вкладе от диаграммы б на фиг. 85. Аналогично, если в след
второго члена формулы A5.205) подставить выражение A5.202) для
SeF (xit х2), то окажется, что первый член, содержащий SF (х± — х2),
тождественно равен нулю, тогда как второй член описывает эффекты поля-
поляризации вакуума слабым полем, вычисленные в § 4. Поэтому появляю-
появляющиеся здесь расходимости могут быть изолированы и отброшены.
Читатель найдет четкое и понятное изложение деталей этих вычисле-
вычислений в статьях Кролла и Поллока [466] и Баранджера, Бете и Фейнмана
[26]; в них показано, в частности, как производить ковариантное выделе-
выделение расходимостей (ультрафиолетовых и инфракрасных) в проблеме свя-
связанного состояния (см. также работу Миллса и Кролла [553]). Кролл
и Поллок исследовали влияние электромагнитных радиационных попра-
поправок на расщепление сверхтонкой структуры. Это чрезвычайно важно
потому, что наиболее точное численное значение постоянной тонкой струк-
структуры получено путем измерения сверхтонкого расщепления в водороде1).
Баранджер, Бете и Фейнман вычислили самый сдвиг уровня (лэмбовский
сдвиг) и получили поправки от больших импульсов к упомянутым выше
расчетам Бете, Френча и Вайскопфа, Лэмба и Кролла, а также Фейнмана.
Радиационные поправки к сверхтонкой структуре и к энергетическим
уровням связанного электрона были вычислены также Карплусом, Клей-
Клейном и Швингером [426, 427]. В этих более формальных расчетах использо-
использована развитая Швингером [714, 715] техника вычислений, которая из-за
ограниченности объема не может быть изложена в этой книге. Поэтому
здесь в основном сделаны ссылки на те статьи, которые наиболее близки
по духу к принятому в этой книге изложению теории поля2). Работы Крол-
Кролла и Поллока и Баранджера и др., опирающиеся на метод Фейнмана —
Дайсона, имеют, по-видимому, то преимущество, что в них физическое
¦содержание вычислений и приближений яснее, нежели в более формаль-
формальном подходе Карплуса, Клейна и Швингера.
Расчеты Баранджера и др. и Карплуса и др. охватывают радиацион-
радиационные эффекты от одного виртуального фотона viZa поправки к сдвигу уровня
в низшем порядке теории возмущений.
Если включить все остальные известные поправки (например, эффек-
эффекты отдачи и конечных размеров, а2-радиационные поправки, a (aZNln2 (aZ)-
поправки и т. д.), то теоретические результаты для сдвига уровней
225i/2—2гРу2 с феноменальной точностью согласуются с экспериментом:
1057,70 ± 0,15 Мгц по сравнению с экспериментальным значением
1057,77 + 0,10 Мгц. (В настоящее время существует расхождение по-
порядка 6,1 + 4,5 Мгц в случае однократно ионизованного гелия.) (Обзор
теории сдвигов энергетических уровней в атомах, охватывающий выпол-
х) Поправки к формуле Ферми для сверхтонкой структуры, обусловленные
аффектами отдачи, структуры и радиационными, изложены в книге Бете и Солпите-
ра [56] (см. также статьи Иддингса и Платумана [898]).
2) В качестве введения в технику Швингера можно указать статью Соммер-
¦филда [737].

542 Гл. 15. Квантовая электродинамика
неяные к 1959 г. работы, можно найти в статьях Питермана [638] и Лай-
зера [481].)
Основные трудности, встречающиеся при проведении вычислений
лэмбовского сдвига, относятся главным образом к устранению инфракрас-
инфракрасных расходимостей. В § 4 уже отмечалось, что в наиболее ранних расчетах
(например, [249, 464, 280]) сдвига уровня, возникающего из-за фотонов
высокой энергии, трудность с инфракрасной расходимостью устранялась
введением массы фотона и применедием перенормированного вершинного
оператора, вычисленного при | Pi | < тс, ) р2 | < тс, J р± — р2 | < тс.
Вклад от фотонов «малой энергии» вычислялся затем путем использования
нерелятивистского дипольного приближения (§ 2). Если сложить эти
два вклада [используя формулу связи Френча A5.127)], то в низшем
порядке теории возмущений получается выражение для сдвига уровней,
которое не зависит от предположенной массы фотона Я,мин. В расчете
Карплуса и др. и Баранджера и др. показано, что инфракрасные расхо-
расходимости в конечном результате пропадают.
Большой прогресс в изучении лэмбовского сдвига был достигнут
в работе Фрида и Йенни [282]. Они заметили, что можно выбрать такун>
калибровку, в которой фотонная функция распространения нулевого-
порядка имеет вид
[ ^)^r, A5.208)
и что именно эта калибровка особенно удобна для изучения инфракрас-
инфракрасных расходимостей. Оказывается, что в этой калибровке главный вклад
в лэмбовский сдвиг вносят первые две диаграммы а и б на фиг. 85, соответ-
соответствующие первым двум членам разложения A5.202). Остающаяся после
перенормировки массы в диаграмме а ультрафиолетовая расходимость
взаимно уничтожается с соответствующей расходимостью в диаграмме б.
Далее может быть дано естественное предписание для изоляции этих рас-
расходимостей, при котором не вводятся никакие ложные инфракрасные рас-
расходимости. Читатель найдет в работе [282] анализ и простой вывод лэм-
лэмбовского сдвига вплоть до порядка a (ZaLm.
Картина Фарри также была использована для расчета релеевского
рассеяния, т. е. рассеяния фотона на связанном электроне. В своей полной
общности задача оказалась очень трудной даже во втором порядке теории,
возмущений. Методы расчета были развиты в работе Брауна, Пайерлса
и Вудворда [885], в которой имеются ссылки на более старые источники.
Лоу [510] рассматривал в картине Фарри задачу о естественной форме
спектральных линий.
Этим заканчивается наш краткий обзор квантовой электродинамики,
если не считать замечаний о перенормировке в гл. 12. Читателю, интере-
интересующемуся этим вопросом, можно рекомендовать монографии Яуха
и Рорлиха [392], Ахиезера и Берестецкого [3], Челлена [900], Боголю-
Боголюбова и Ширкова [67], в которых освещены более формальные аспекты тео-
теории (см. также монографию Тирринга [776]).
§ 8. Перенормировка в мезонной теории
Техника перенормировок, которую мы применяли в электродинамике,
может быть легко перенесена на мезонные теории и, в частности, на слу-
случай псевдоскалярных мезонов, взаимодействующих с нуклонами посред-
посредством псевдоскалярной связи. Мы увидим, однако, что в отличие от кван-

\ /
/
/ \
s
0

-544 Гл. 15. Квантовая электродинамика
товой электродинамики в мезонной теории существует несколько возмож-
возможных определений перенормированной константы связи в зависимости,
например, от того, выбрано ли условие
lim м(р')Л5(р\ р)м(р) -»0 A5.209а)
v'—р->0
или условие
(Р'Д™->ц2" (Р')Л* 0°'' P) и (Р) -* °' A5.2096)
т. е. от того, считаем ли мы, что радиационные поправки должны быть
равны нулю в пределе равной нулю полной или кинетической энергии
мезонов. В квантовой электродинамике оба эти предела совпадают, так
как фотон имеет равную нулю массу покоя. Было доказано, что любое
из следующих требований:
а) для взаимодействия расположенных далеко друг от друга зарядов
должен соблюдаться закон Кулона,
б) амплитуда рассеяния фотона на заряженной частице в пределе
нулевой энергии фотона должна описываться формулой Томсона,
ведет к одной и той же величине перенормированного заряда в электроди-
электродинамике.
Для определенности мы проиллюстрируем наши замечания о пере-
перенормировке в мезонной теории на примере задачи рассеяния нуклонов
на нуклонах в PS-PS-тео^пп, т. е. в псевдоскалярной мезонной тео-
теории с псевдоскалярной связью [822]. Гамильтониан взаимодействия в этой
теории имеет вид
SVi = G: tj? (x) Trusty (x): срг (х) - ЬМ : tjT(x) ip (х): - b\i2: фгсрг:. A5.210)
[В выражении A5.210) подразумевается суммирование по повторяющимся
индексам. ] Диаграммой низшего порядка является диаграмма а на фиг. 86,
которой соответствует матричный элемент (опуская нормировочные мно-
множители для спиноров УМ/Е, множитель —2яг и б-функцию, соответ-
соответствующую сохранению полной энергии и импульса)
г (*= ?2 —?i = Pi-
Кроме того, поскольку рассматриваемые нуклоны являются тождествен-
тождественными частицами, то диаграмма а на фиг. 86 приводит к матричному эле-
элементу обменного рассеяния, который может быть получен из —TW пере-
перестановкой импульсов Р2 и q2. В дальнейшем мы не будем рассматривать
матричных элементов обменного рассеяния, которые всегда могут быть
получены из выписываемых матричных элементов при помощи переста-
перестановки импульсов pz и qi и замены знака перед получившимся выраже-
выражением на минус. Типы диаграмм, приводящих к радиационным поправкам
к матричному элементу Г(а), показаны на фиг. 86 (диаграммы б — е).
Диаграмма б на фиг. 86 аналогична диаграмме, описывающей поля-
поляризацию вакуума в квантовой электродинамике. Можно считать, что
диаграмма б получена из диаграммы а путем замены в последней
внутренней мезонной линии диаграммой, изображенной на фиг. 87.
Соответственно матричный элемент Г(б\ определяемый диаграммой б
на фиг. 86, может быть получен из матричного элемента Т^ путем
замены в последнем множителя (?/BяL) 6i;- (k2 — [i2) множителем

§ 8. Перенормировка в мезонной теории 545
¦
к*-\1*)-\ где
= -G2 I ^Sp {тЛ. ,,(р+\)_л/ т/*^=лг} • A5.212)
В'выражении A5.212) знак Sp означает, что нужно вычислить след как
дираковских матриц, так и изотопических матриц. (Напомним, что
SpT;Tj =¦ &ij.) Используя для объединения знаменателей формулу Фейн-
мана A5.31) и регуляризуя выражение по массе нуклона, находим
A5.213а)
[
К (к) = - G2 \ dz \ d*p У сг Sy^?+f7^)Y'Jf+^,lI • A5.2136)
ли сделать замену переменных и применить соотношение симметрии
dippjlf (р2) — 0, то станет очевидным, что интеграл является функцией
¦ о
Фиг. 87.
только от к2 и что он квадратично расходится:
К (А") = G* \ dz \ #р У, с, W+»(*=4=«h. . A5.214)
Если по аналогии с поляризационным тензором в электродинамике
разложить функцию К (к2) по степеням (к2—ц2) вблизи точки /с2 = и.2, то
Я (к2) = Я @) + (к2 - ii2) К' @) + (к2 - (я2J Яд (к2). A5.215)
Разложение в ряд Тэйлора соответствует дифференцированию подын-
подынтегрального выражения. При дифференцировании показатель степени
знаменателя в выражении A5.214) увеличивается, так что К'@) расхо-
расходится только логарифмически, a Kr является уже коночным. При под-
подходящем подборе дц2 первый член разложения A5.215) полностью уни-
уничтожается вкладом от диаграммы б на фиг. 86. Таким образом, он соот-
соответствует собственной энергии мезона. [Для свободного мезона {к2 — ц,8)
и, согласно разложению A5.215), в этом случае нет никаких других
эффектов, кроме этого изменения массы.] Следовательно, сумма вкладов
от диаграмм б и б' на фиг. 86 равна
Т(б) „,F') = С2 и (р2) пуьи (pi) 6,7 и(д2) т/у5ц (qt) i
"^ 8ЯЗ " /22 B
X [К'@) + (к*-\*)Кя{к*)]. A5.216)
Следует отметить, что член, содержащий К' @), отличается только посто-
постоянным множителем от матричного элемента Г(а) A5.211). Поэтому можно
объединить этот член с Т(а) и определить G2 С1 + у^-р К' @) Л как пере-
перенормированную константу связи. Последний член в выражении A5.216),
35 с. Швебер

546 Гл. 15. Квантовая электродинамика
содержащий Кц(к2), является конечным и представляет собой радиа-
радиационную поправку к матричному элементу Т(а).
Рассмотрим теперь диаграмму в на фиг. 86, которая соответствует
вставке вершинной части в диаграмму низшего порядка (а на фиг. 86).
Анализ, такой же как и в случае квантовой электродинамики, пока-
показывает, что матричный элемент 5"(в) получается из матричного элемента
Т ' путем замены матрицы у^т^ между нуклонными спинорами с импуль-
импульсами р2 и йна
Так как %jXtXj= — %и то это равносильно замене Чь на А'/' (р2, Pi), при-
причем
Л5 (р2, Pi) -(г^
Оператор Л^2' (р2, Pi) логарифмически расходится. Если учесть, что он
стоит между двумя спинорами свободных частиц и(р2) и u(pt), то его
можно упростить, так как можно положить у-р^ — М, у-р2 = М. Инте-
Интересующая нас величина дается выражением
72 /747
л
<2>
A5-219>
Эта величина релятивистски инвариантна и, следовательно, может быть
функцией только от р\, р\ и (р4 — р2J- Так как pv и р2 суть импульсы
свободных частиц (р\ — р\ — Мг), то As является функцией только от
(Р1-Р2)*:Л?(Ри р2) = Л«'[(р1-р2J].
Из того, что интеграл A5.219) расходится только логарифмически,
следует, что для выделения его конечной части достаточно одного вы-
вычитания. Поэтому если записать
?Л<2) ((Р2- Pif) = Л«> (ц2) Ч-Л^ ((Р2- PiJ), A5.220)
то Лье является конечной величиной, a A™ (\i2) = Суь, где С —логариф-
—логарифмически расходящаяся константа1). Структура этого расходящегося
члена снова оказывается такой, что он может быть объединен с матрич-
матричным элементом низшего порядка, и переопределение константы связи
впитает в себя расходимость. Аналогично, вклад от диаграммы г на
фиг. 86 может быть получен из вклада от диаграммы а на фиг. 86
путем замены и (pt) множителем (т^л j (y-Pi — Щ'1 2 (Pi) и (Pi), где
^1
— логарифмически расходящийся интеграл. Он может быть разложен
вблизи у-р = М следующим образом:
2B) (р) = 6М™ + В™ (у-р-М) + 2'2) (р), A5.222)
где 6ЛГ2) и Bli) — расходящиеся константы, а 2С —конечная величина,
равная нулю при у-р = М. Первый член определяет перенормировку
массы и уничтожается вкладом от члена ЬМ (г' на фиг. 86). Вклад от
1) Отметим, что так же можно бы определить конечную часть ЛE2с, вычтя из
Л?в@?2—PiJ) величину ЛE8) @). Это привело бы к другой перенормированной кон-
константе связи.

§ 8. Перенормировка в мезонной теории 547
второго члена соответствует перенормировке волновой функции, в чем
можно убедиться при помощи приема, аналогичного указанному в § 3.
[Во всяком случае, он отличается от матричного элемента Tia) постоян-
постоянным (бесконечным) множителем и поэтому может быть включен в этот
B)
матричный элемент.] Член 2С (р) равен нулю при у-р — М и поэтому
в настоящем случае не дает вклада, так как 2С (р) действует на и(р).
Диаграммы д и е на фиг. 86 соответствуют процессам, рассеяния,
в которых нуклоны обмениваются двумя мезонами. Они конечны и не
содержат никаких радиационных эффектов.
В качестве упражнения читателю рекомендуется провести анализ
структуры этих же диаграмм в случае PS-PV-теоржш, т. е. псевдоска-
лярной мезонной теории с псевдовекторной связью j6i~— ^TiYeYH3 ^ф-
Здесь мы отметим только, что эти два вида связи дают тождественные
матричные элементы в низшем порядке теории возмущений, если
Im^IT- A5.223)
Доказательство: В PS-PV-теоршж диаграмме низшего порядка (а на
фиг. 86) соответствует матричный элемент
^j2^ (ft-ei)«-(i» " ¦ • A5-224)
Так как
A5.225)
то матричный элемент Тру совпадает с Tph, если константы связи удо-
удовлетворяют соотношению A5.223).
В заключение настоящего параграфа мы кратко обсудим вопрос
о возможности использования потенциала для описания взаимодействия
между нуклонами, по крайней мере в нерелятивистской области малых
.энергий. Наиболее очевидный способ определения потенциала заклю-
заключается в требовании, чтобы амплитуда рассеяния, вычисленная из урав-
уравнения Шредингера, в которое подставлен этот потенциал, воспроизводила
5-матрицу теории поля в нерелятивистской области энергий. Если пред-
предположить, что взаимодействие между частицами в нерелятивистской
области может быть описано уравнением Шредингора с потенциалом
F(||)
2; t), A5.226)
то их относительное движение будет определяться уравнением
' A5.227)
где приведенная масса М* равна 11ъМ. Тогда в системе центра масс
(pi = — i\i) рассеяние из состояния с относительным импульсом
1г (Pi — 4i) = kt в состояние с относительным импульсом к2 = 1/2 (р2 — q2)
определяется 5-матрицей1):
Н|к1), A5.228)
Мы не выписываем спиновых индексов нуклонов.
35*

548 Гл. 15. Квантовая электродинамика
где W = kz/M, (|к41 = jk2 | = |к|). Эта Г-матрица связана с потенциалом
уравнением A1.88), т. е.
5M^. A5.229)
Рассмотрим решение этого интегрального уравнения только в низшем
приближении. Тогда можно принять
(к21 К | kt)^(к21Г | к,)- A5.230)
В таком приближении не возникает никаких неоднозначностей, связан-
связанных с тем, что в моделях теории поля матрица Т известна только при
k;J = kj. [Отметим, однако, что величины (k|T|k') при \^Фк\ вообще
будут влиять на определение потенциала V.] Далее, выражение для
элемента ^-матрицы в теории поля имеет вид
(p2q21S | pl9l) = б'3' (р2 - Pl) б'3' (qi - q2) -
-2я1в« (ft + gt-Pi-gi) Гывыемвш 2 Г". A5-231)
n
где T(m — вклады от различных диаграмм, к числу которых относятся,
в частности, и диаграммы, показанные на фиг. 86. Приведенная 5-матрица,
из которой выделена в виде множителей кинематика системы центра масс,
определяется выражением
(Р2Яг I S | Plq0 = б<3> (Р2 - Р4) б (Р20 - Р10) (k2 M к4), A5.232)
где Pt = pt-\- qt (/ = 1, 2) —вектор полной энергии и импульса, а
&j = V2 (Pi — Чд — относительный импульс частиц. Соот ветствующая приве-
приведенная Г-матрица во втором порядке теории возмущений дается поэтому
именно выражением A5.211). Сравнивая выражения A5.231) и A5.228)
и учитывая определение A5.232), мы приходим к выводу, что в системе
центра масс (pi4-qi = 0, qi0 = q2o =¦ Рю — Р20 = Щ вообще имеет место
равенство
(k2!f|k1) = ^2r(W(kb k^)- A5-233)
п
• Докажем теперь, что эффективный нерелятивистский потенциал
соответствует матричному элементу второго порядка Т(а\ Следует ожи-
ожидать, как отмечалось выше, что понятие потенциала может иметь смысл
только в нерелятивистской области энергий, так что нам надо взять
матричный элемент в нерелятивистском пределе. Примем во внимание,
что
" (Рг) Ys« (Pi) = -gjjj- « (Рг) (Ч-РгЧь + ЧьЧ-Pi) и (Pi) =
(Р) ГУ и (pi) iP2» - Pi^ A5.234)
= Ж
и что в нерелятивистском пределе |р2| , |pj <C M этот матричный элемент
имеет вид
и(р2)у,и(Р1)^1^а^-^и^, A5.235)
где и2 и Uj —двухкомпонентные спиноры Паули. Таким образом, в нере-
нерелятивистском пределе матричные элементы Т(а' становятся равными

§ 8. Перенормировка в мезонной теории 549
(здесь использовано, что в системе центра масс qi0 = g20 = р20 = Pio)-
Поэтому в пространстве координат
)^^ A5'237а)
. A5.2376)
Интересно отметить, что Гартенхауз [295] получил во втором порядке
в статической модели Чу выражение для потенциала, которое в точ-
точности совпадает с выражением A5.237а), если не считать множителя,
связанного с функцией обрезания. Модель Чу легко распространить
на случай двух нуклонов, один из которых закреплен в начале коор-
координат, а другой — в некоторой точке х. Тогда потенциал представляет
•
/
f
ф
-ш
(
Фиг.
ч
N
\
^ %
ч
\
88.
-6М
энергию двухнуклонных состояний минус их собственные энергии. Диаг-
Диаграммы, которые дают вклад в низшем порядке, показаны на фиг. 88.
Они приводят к
t. -Ь^-е*-, A5.238)
что, кроме множителя У2(к2), действительно совпадает с потенциалом
A5.237а). Можно считать, что обрезание эффективно учитывает пренебре-
гаемые в модели эффекты отдачи. Потенциал A5.237а) также должен был
бы, конечно, содержать эффекты обрезания, возникающие в результате
пренебрежения поправками на отдачу. Эти поправки на отдачу стано-
становятся существенными при передачах импульса, равных по порядку вели-
величины массе нуклона М. Поэтому потенциал A5.237а) па расстояниях,
меньших комптоновской длины волны нуклона 1/М, теряет смысл. Ана-
Аналогично, из-за наличия неизвестной функции обрезания статиче-
статический потенциал имеет смысл только приг>A/М). Следует подчеркнуть,
однако, что вклад от обмена двумя я-мезонами нарушит законность при-
применения одно-я-мезонного обменного потенциала уже для расстояний
. Надо помнить также, что исходная гипотеза Юкавы о суще-
ствовании я-мезонов исторически была выдвинута для объяснения коротко-
короткодействующих сил между нуклонами. Радиус сил, обусловленных обменом
одним я-мезоном, по порядку величины равен Я/(хяс, где |гя — масса
мезона; радиус сил, связанных с обменом двумя я-мезонами, составляет

550 Гл. 15. Квантовая электродинамика
примерно %/2цпс; обмен п я-мезонами приводит к силам с радиусом дей-
действия — (к/пцпс). Это означает, что если интересоваться только «хвостом»
ядерного потенциала, то надо рассматривать только вклад, соответствую-
соответствующий обмену одним мезоном.
Основное свойство одно-я-мезонного потенциала A5.237а) при боль-
больших г (т. е. при г За ft/fijtc) заключается в том, что он является потенциа-
потенциалом притяжения и для ^-Sq-, и для ^^состояний. В то же время экспери-
эксперименты показывают, что силы в ^^состоянии больше, чем в 3<50-состоянии.
Однако это различие может быть объяснено тензорными силами, которые
являются силами притяжения в триплетном состоянии и не действуют
в синглетном состоянии. Тензорные силы не только объясняют различие
между синглетными и триплетными состояниями, но, кроме того, также
существенны для объяснения квадрупольного момента дейтрона. Таким
образом, качественные свойства одно-я-мезонного обменного потенциала
согласуются с экспериментом. Чтобы получить количественные пред-
предсказания, необходимо знать потенциал для меньших расстояний между
нуклонами. В настоящее время не существует по-настоящему удовлетво-
удовлетворительных вычислений двух- и много-я-мезонного обменного потенциала.
Существует, однако, интересный способ проверки вклада от одно-
я-мезонного обмена в ядерные силы путем анализа рассеяния нуклонов
на нуклонах при больших энергиях. Парциальные волны с большими /
чувствительны только к хвосту ядерного потенциала. (Припомните, что
в классической теории частица с импульсом р рассеивается на потенциале
радиуса а только тогда, когда ее параметр удара t меньше а; на язык кван-
квантовой механики это утверждение переводится следующим образом: только
те парциальные волны, для которых Ih^pa, подвергаются рассеянию.)
Так, если при анализе экспериментальных данных по рассеянию прото-
протонов на протонах при энергии 310 Мэв предположить, что одно-я-мезонное
приближение определяет фазы при / > 5, и исключить парциальные волны
с /-<4, то получается очень хорошее согласие с экспериментальным
угловым распределением. Кроме того, определенная таким образом кон-
константа связи / оказалась равной /«=0,06 в удовлетворительном согласии
со значением, полученным из анализа рассеяния я-мезонов на нуклоне
[522]. Вдохновляющий характер этих результатов оценивается особенно
высоко, если вспомнить, что до 1958 г. ни одна величина не была вычислена
и измерена с точностью, достаточной для количественного подтверждения
правильности псевдоскалярной мезонной теории.
Появилось большое число статей, в которых рассматривается вывод
потенциала между нуклонами (см. обзор Филлипса [639]; а также статьи
Гупта [344] и Чарапа и Фубини [116—118]).

ГЛАВА 16
Количественная теория
перенормировок
В гл. 15 мы анализировали расходимости, которые встречаются
в квантовой электродинамике и псевдоскалярной мезонной теории при
вычислении элементов .^-матрицы в высших порядках теории возмущений.
Теперь нужно выяснить, приводят ли к расходимостям какие-либо дру-
другие типы диаграмм, помимо уже рассмотренных. Общему исследованию
типов расходящихся диаграмм посвящен § 1. Затем мы изложим доказа-
доказательство перенормируемости ^-матрицы в квантовой электродинамике
в той форме, в которой оно было дано Уордом.
§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы
В теории Фейнмана при вычислении элементов ^-матрицы могут
возникать три типа расходимостей, которые были классифицированы
Дайсоном [194] следующим образом:
1) особенности, обусловленные совпадением двух или более полюсов
подынтегрального выражения;
2) расходимости при малых импульсах, вызываемые наличием в подын-
подынтегральном выражении множителей 1 /А2;
3) расходимости при больших импульсах за счет недостаточно быстро-
быстрого убывания на бесконечности всего подынтегрального выражения в
целом.
Расходимости первого типа возникают, например, когда при некото-
некоторых частных значениях импульсов частиц многочастичный процесс может
быть разбит на независимые процессы, состоящие из независимых групп
частиц (обсуждение этих расходимостей см. у Идена [207]). Примером
расходимостей второго типа служит так называемая «инфракрасная ката-
катастрофа», которая анализировалась в гл. 15 (§ 4 и 6). Третий тип расходи-
расходимостей возникает при совпадении особенностей функций Dp(x), Ар (х)
и SF(x) при малых ж2. Например, собственная энергия электрона в наи-
наинизшем порядке пропорциональна
(Xi - xi)yv.^+i(x2)DF(xl - x2)
и,-таким образом, содержит произведение SF(x)DF{x). При малых х2 функ-
функция Ар (х) ведет себя следующим образом:
~ б (х2) —~—JJ- 6 (я2) + О (in цУ^ и У& In ц Y

552 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
В связи с "этим, чтобы определить произведение SF(x)DF (х), необходимо
придать смысл произведениям, подобным (б(ж2)J, 6(х2)х~2, б(ж2) 0(ж2) и т. п.
Теория перенормировок частично может рассматриваться как попытка
придать смысл таким сингулярным (обобщенным)функциям (см., напри-
например, книгу Боголюбова и Ширкова [67]).
Мы здесь не будем касаться расходимостей первого и второго типов
и остановимся только на действительно причиняющих много беспокойства
расходимостях третьего типа. Характерные примеры этих расходимостей
уже обсуждались выше.
Рассмотрим теперь диаграмму общего вида, состоящую из внешних
и внутренних бозонных и фермионных линий. Как мы знаем, для получе-
получения ее вклада в матричный элемент ^-матрицы нужно проинтегрировать
по всем внутренним импульсам pj независимо от того, к какой линии они
относятся—к бозонной или фермнонной. Таким образом,мы должны проин-
проинтегрировать по d*Pj = dp°jdp)dp*dpp Дайсон [194] указал, ^то для изуче-
изучения возможных типов расходимостей удобно повернуть контур интегри-
интегрирования по р° таким образом, чтобы он шел вдоль мнимой оси в комплекс-
комплексной плоскостир° (вспомните § 1 гл. 15). Он показал далее [194] (см. также
работу [196]), что это всегда можно сделать, не вводя новых типов расхо-
расходимостей. Этим преобразованием достигается то преимущество, что в ре-
результате все четыре компоненты становятся равноправными. Так, если
положить р° — ip], где переменная р* — действительная, то обычные
(рационализованные1)) знаменатели принимают вид
Они, таким образом, отрицательно определены, и интегрирование ведется
по евклидову четырехмерному р-пространству.
После того как интеграл, соответствующий какой-либо диаграмме
Фейнмана, преобразован указанным образом, исследование интеграла
и оценка степени его расходимости становится более легкой задачей.
Если степень импульсов в числителе ниже степени импульсов в знамена-
знаменателе, интеграл будет сходящимся. С другой стороны, если степень импуль-
импульсов в числителе выше или равна степени импульсов в знаменателе, то
интеграл может расходиться, но не с необходимостью во всех случаях.
Определим «размерность» интеграла как разность между полной степенью
импульсов в числителе подынтегрального выражения и степенью импуль-
импульсов в знаменателе. Обозначим размерность через D. Тогда достаточное
условие сходимости запишется D < 0, а условие, при котором возможны
расходимости, будет гласить D > 0.
Прежде рассмотрим взаимодействие спинорного поля с бозонным за
счет простейшей связи без производных Xi = G : я|)(ж) Гя|)(а;) : ф(ж).
Связи с производными мы вкратце обсудим позднее. Наше предва-
предварительное обсуждение прямых взаимодействий показало, что в каж-
каждой «вершине» любой диаграммы сходятся две фермионные и одна бозон-
ная линии. Для характеристики диаграмм примем следующие обозначе-
обозначения:
F — число фермионных линий,
В — число бозонных линий,
С — число вершин,
Т. е. знаменатели, освобожденные от матриц.— Прим. ред.

§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы 553
Fe — число внешних фермионных линий,
Ве — число внешних бозонных линий,
Fi — число внутренних фермионных линий,
Bt — число внутренних бозонных линий.
Задавая число и тип внешних линий, мы конкретизируем процесс, а зада-
задавая числа Ft и Ви определяем приближение, в котором вычисляется про-
процесс, но при этом еще остается свобода в выборе частного расположения
внутренних линий.
Далее, при прямой связи оператор Г (Г = у^, у5 или /) не содержит
импульсов участвующих частиц. Внешние линии также не влияют на схо-
сходимость, так как по ним интегрирование не проводится. Степень
импульсов в числителе и знаменателе подсчитывается следующим образом:
1. Каждой внутренней фермионной или бозонной линии в числителе
соответствует множитель dtp. Это дает в D вклад, равный 4 (Ff -f- Bi).
2. В каждой вершине после интегрирования по всему пространству-
времени возникает четырехмерная б-функция. Наличие этой б-функции
эквивалентно добавлению в знаменатель четвертой степени импульса.
Вспомним, однако, что одна из этих б-функций выражает закон сохране-
сохранения полного 4-импульса, т. е. неизменность его при переходе из началь-
начального в конечное состояние, и поэтому не приводит к уменьшению размер-
размерности подынтегрального выражения. Таким образом, вклад вершин в D
равен —4 (С — 1).
3. Каждая внутренняя фермионная линия вносит в знаменатель пер-
первую степень импульса, поскольку ей соответствует функция распростра-
распространения —— . Это дает вклад в D, равный —Ft.
4. Каждая внутренняя бозонная линия вносит в знаменатель вторую
степень импульса, поскольку ей соответствует функция распространения
а__ 2 . Этим ё D вносится вклад, равный —2Bt. Итак, размерность D
дается выражением
D = ZFt + 2Bt — 4 (С -1). A6.2)
Эту величину можно выразить через число внешних линий, если
учесть, что число вершин связано и с числом фермионных и с числом
бозонных линий. Так, в каждой вершине сходятся две фермионные линии,
и поэтому число концов фермионных линий равно удвоенному числу вер-
вершин. Но у каждой внутренней фермионной линии два конца, а у каждой
внешней — один, следовательно,
2Fi + Fe = 2C. A6.3)
Аналогично, в каждой вершине оканчивается одна бозонная линия, и по-
поэтому число концов бозонных линий равно С:
C. A6.4)
Подставляя Ft и Bt из соотношений A6.3) и A6.4) в A6.2), получаем
p = A-^-Fe-Be. A6.5)
Анализ изложенного выше способа оценки порядка расходимостей
интегралов (путем подсчета степеней) показывает, что, вообще говоря, он

554
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
применим только к матричным элементам с интегрированием по одному
4-импульсу. В случае интеграла большей кратности подсчет степеней
не является достаточным для выяснения, сходится матричный элемент
или расходится. Не всегда верно, что вклад вершин в D равен —4(С—1).
Далее, при интегрировании по нескольким 4-импульсам может слу-
случиться, что при фиксировании одной или более переменных интегриро-
интегрирования (т. е. внутренних 4-импульсов) остающийся интеграл меньшей
кратности окажется расходящимся. В этом можно убедиться, сравнивая
диаграммы на фиг. 89. Для обеих диаграмм!) = —1, так как они имеют
одинаковое число внешних линий. Однако, как известно, диаграмма б
расходится. Поэтому неравенства D > О или D < О непосредственно
применимы как критерий расходимости или сходимости лишь в случае
диаграмм наинизшего порядка, которым соответствует только одно интег-
интегрирование. Если диаграмма содержит п внутренних линий, то условия
D < О или D > О верны как критерий сходимости или расходимости только
Фиг. 89.
в том случае, когда результат субынтегрирования по как угодно выбран-
выбранным п — 1-му внутреннему 4-импульсу является конечным. Другими
словами, если диаграмма расходится, то расходимость у нее должна возни-
возникать только при последнем интегрировании по 4-импульсу.
Расходящиеся диаграммы, обладающие этим свойством, называют
примитивно расходящимися [194]. Их можно характеризовать как такие,
которые приводят к сходящемуся матричному элементу, если разорвать
любую из внутренних линий диаграммы и заменить ее двумя внешними.
Поскольку, по предположению, интеграл сходится, когда одна из перемен-
переменных интегрирования фиксирована, то интеграл будет расходиться, только
если степень числителя 4(/тг + 5г — С + 1) не меньше степени знаменателя
2Bt + Ft, т. е. если 4 (Л + fij — С + 1) >2 Bt + Fu или, иначе,
если D > 0. Отметим, что поскольку в теории поля со связью без произ-
производных размерность D не зависит от С, то степень расходимости прими-
примитивно расходящейся диаграммы там не зависит от числа вершин у диаграм-
диаграммы. Примитивно расходящиеся диаграммы дают базисные радиационные
поправки, с помощью которых все другие радиационные поправки можно
получить, делая соответствующие вставки.
Теперь мы перечислим эти базисные расходящиеся диаграммы.
Уместно напомнить, что фермионная линия никогда не кончается, а по-
поэтому число Fe всегда должно быть четным.

§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы 555
Случай Fe = 0, Бе = О
Этим значениям соответствует диаграмма фиг. 90, приводящая
к вакуумному собственно-энергетическому эффекту. Матричный элемент,
соответствующий этой диаграмме, квадратично расходится. Однако, как
Фиг. 90.
мы уже указывали, такие вакуумно-вакуумные диаграммы не должны
рассматриваться, и при дальнейшем рассмотрении они будут опускаться.
Случай Fe = 2, Ве = 0
Единственная примитивно расходящаяся фермионная собственно-
энергетическая диаграмма показана на фиг. 91,а. Разумеется, существуют
и другие (непримитивно расходящиеся) собственно-энергетические диа-
диаграммы с более чем одним виртуальным бозоном, например диаграмма
а о
Фиг. 91.
фиг. 91, б. По формуле A6.5) определяем, что диаграмме фиг. 91, а соответ-
соответствует размерность D = 1, и, следовательно, возможна линейная расхо-
расходимость. Ь действительности, как мы уже видели в § 1 гл. 15, расходи-
расходимость только логарифмическая, соответствующая D = 0. Как правило,
если размерность D нечетна, то на деле реализуется расходимость бли-
ближайшей более низкой четной степени.
Случай Fe = 0, Ве = 2
Этим значениям соответствует бозонная собственная энергия (фиг. 92),
которая обсуждалась в § 5 и 8 гл. 15. По формуле A6.5) находим, что
D = 2. И в самом деле, в мезонной теории осуществляется эта квадратич-
Ф и г. 92.
ная расходимость. Однако в электродинамике, как мы уже видели, бла-
благодаря калибровочной инвариантности расходимость всего лишь лога-
логарифмическая.

556
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
Случай Fe = 2, Ве = 1
Вершинная диаграмма, изображенная на фиг. 93, а, является простей-
простейшим примером диаграмм этого типа. В данном случае D = 0 и, в прин-
принципе, возможна логарифмическая расходимость. Вместе с тем в гл. 15
было показано, что в случае электромагнитного поля и в случае нейтраль-
нейтрального псевдоскалярного мезонного поля эти расходимости компенсируются
расходимостями, соответствующими двум собственно-энергетическим
I i У
•V-
п 5 в
Фиг. 93.
диаграммам. В других случаях эта диаграмма может приводить к реаль-
реальной логарифмической расходимости. Более сложные типы примитивно рас-
расходящихся вершинных диаграмм показаны на фиг. 93,6, в. Они будут
обсуждаться в § 2.
Случай Fe = 0, Ве = 3
В этом случае D — 1, так что возможна линейная расходимость.
Типичная диаграмма изображена на фиг. 94, а. По очевидной причине
ее часто называют треугольной диаграммой. Возможны многочисленные
Фиг. 94.
варианты этой диаграммы в зависимости от конкретной природы фермион-
ного треугольника и бозонных линий, присоединяющихся в вершинах.
Сперва обсудим те случаи, когда фермионное поле взаимодействует только
с одним бозонным полем, и в первую очередь с электромагнитным, т. е.
рассмотрим две диаграммы фиг. 94. При вычислении оказывается, что
интеграл не только не расходится, но равен нулю. Это в более общей фор-

§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы 5Г>7
ме повторяет ситуацию, которая уже встречалась в § 3 гл. 14 для внеш-
внешнего поля1). Обращение матричного элемента в нуль можно понять на
основе инвариантности квантовой электродинамики относительно опера-
операции зарядового сопряжения. Качественно этот факт обосновывается сле-
следующим образом. Фермионная линия представляет позитроны и элект-
электроны. Предположим, что матричный элемент с одним каким-то выбором
знака заряда соответствует фиг. 94, о. На второй диаграмме (фиг. 94, б)
направление обхода электронного контура обращено. Для получения
полного вклада в ^-матрицу вклады, соответствующие фиг. 94, о и б,
нужно сложить. Так, если соответствующие матричные элементы обоз-
обозначить Ма и Мб, то нужно вычислить Ма + Мб- Однако обращение
Ф и г. 95.
направления обхода заряженного фермионного контура означает прос-
просто изменение знака заряда. Поэтому матричный элемент Мб отли-
отличается от матричного элемента Ма только множителем (—IK = —1.
Отсюда Ма -\- Мс — 0. Более общо: в электродинамике любой замкнутый
электронный полигон (замкнутый контур), имеющий нечетное число
вершин, дает нулевой вклад. Эта теорема впервые была сформулирована
и доказана Фарри [291 ]. Аналогичные соображения показывают, что равен
нулю и матричный элемент, соответствующий диаграмме, приведенной
на фиг. 95 {Fe = 0, Ве = 1). Если бы не было теоремы Фарри (а также
сохранения момента количества движения), то эта диаграмма приводила
бы к кубично расходящемуся интегралу, поскольку D = 3.
Пусть со спинорным полем по-прежнему взаимодействует только
одно бозонное поле, но пусть теперь оно будет псевдоскалярным мезон-
ным полем. Диаграммы фиг. 94 снова дают нулевой вклад, что обуслов-
обусловлено природой оператора взаимодействия уъ [689, 690]. Это можно пока-
показать следующим образом. Пусть импульсы трех виртуальных фермионов
равны Pi, р2 и рз- Тогда матричный элемент пропорционален выражению
V»
После рационализации знаменателя и с учетом того, что матрица у5
антикоммутирует со всеми матрицами у^, входящими в у-р, преобра-
преобразуем числитель выражения A6.6) к виду
3 + М). A6.7)
Далее, для получения элемента S-матрицы мы должны вычислить след
выражения A6.6), так как импульсы и спиновые переменные виртуальных
фермионов принимают все возможные значения. С этой целью напомним,
что
Sp (Y|1) = Sp YfiYs = Sp YsYnYv = Sp Ys = 0, A6.8)
*) Однако сейчас вклады отдельных диаграмм не равны нулю. В случае внешнего
поля они обращались в нуль благодаря интегрированию по внешним полям, действую-
действующим в трех вершинах.

558 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
поскольку YeYnYv = —2 8nvpaYpYa- Аналогично,
per
Sp (YsYm-YvYp) = - Sp (YhYvYpYs) = - Sp (YsY^YvYp) = 0- A6.9)
Таким образом, в действительности след матрицы A6.7) равен нулю,
и треугольная диаграмма в псевдоскалярной теории вклада не дает1).
Этот результат имеет следующее непосредственное обобщение: тяжелый
псевдоскалярный мезон не может распадаться на два (или вообще на чет-
четное число) более легких псевдоскалярных мезонов.
Далее мы рассмотрим случай, когда бозонное поле есть скалярное
мезонное поле. В этом случае в каждой из трех вершин стоит множитель
Нуклонная
линия
Фиг. 96.
Г = 1, а| для числителя теперь вместо A6.7) получается выражение
A6.10)
При вычислении следа выражения A6.10) члены, содержащие одну или
три матрицы у, обращаются в нуль, но члены бэз матриц y или с двумя
такими матрицами отличны от нуля. Поэтому в данном случае матричный
элемент не будет равен нулю. Поскольку размерность D нечетная, то мы
найдем, что в действительности расходимость будет логарифмической,
т. е. будет соответствовать значению/) = 0, а не максимальному значению
D — 1. Добавление в лагранжиан контрчлена шр3 (с бесконечным коэф-
коэффициентом а) позволяет скомпенсировать эту расходимость.
Пусть теперь имеются два различных бозонных поля. Пусть, напри-
например, в двух вершинах происходит взаимодействие с фотонами и в одной
с мезоном, как показано на фиг. 96. Эта диаграмма описывает в наиниз-
наинизшем порядке распад нейтрального мезона на два фотона (см. работы Янга
[869], Штейнбергера [739]). В этом случае константа связи е входит
только в квадрате, т. е. четное число раз, и поэтому теорема зарядового
сопряжения Фарри не вынуждает матричный элемент обратиться в нуль.
Кроме того, неприменимы более аргументы об обращении следа в нуль
г) В псевдоскалярной теории эту теорему для замкнутого контура с любым
нечетным числом вершин можно доказать, если воспользоваться инвариантностью
^-матрицы относительно пространственных отражений. Общие правила отбора, кото-
которые являются следствиями теорем; аналогичных теореме Фарри, для процессов с уча-
участием мезонов и нуклонов см. у Фукуды, Хайакавы и Миямото [287, 288], Пайса
и Йоста [612], а также у Вольфенштейна и Равенхолла [866].

§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы
559
ни при Г = уъ, ни при Г = 1. В самом деле, матричный элемент теперь
пропорционален выражению
T(yp1 + M)^v(y-p2 + M)yll(yp3 + M). A6.11)
Если Г = 1, то будут отличны от нуля члены с четным числом матриц у.
Пусть Г = у6. Остальных множителей, содержащих матрицы у, имеется
больше четырех, и, следовательно, можно составить второй множитель
Y5, что дает yl = — 1. Поэтому и в псевдоскалярном случае также полу-
получается ненулевой результат.
Если начальный мезон на фиг. 96 скалярный, то разумное использо-
использование условия независимости от калибровки (см. работы Фукуды, Хайа-
кавы и Миямото [287, 288] иШвингера [714]) показывает, что хотя/) = 1,
но фактически вклад вносит только член, имеющий размерность D = —1,
и поэтому результат оказывается сходящимся. В случае псевдоскалярного
мезона результат, соответствующий фиг. 96, также калибровочно-инвари-
антный и сходящийся. Распад нейтрального псевдоскалярного я-мезона
на два у-кванта наблюдался экспериментально, и было установлено, что
время жизни я°-мезона < 10~15 сек.
Наконец, упомянем случай, когда оба бозонных поля мезонные.
В этом случае для вероятности распада скалярного мезона на два псев-
псевдоскалярных получается ненулевой результат.
Случай Бе = 4, Fe = О
Для данного случая по формуле A6.5) находим, что D = 0. Сперва
рассмотрим рассеяние света на свете. Диаграмма Фейнмана для этого про-
процесса приведена на фиг. 97. В результате этого процесса два начальных
Фиг.
фотона с импульсами ki и /с2 рассеиваются друг на друге, превращаясь
в два конечных фотона с импульсами к3 и &4. В действительности логариф-
логарифмической расходимости нет. Вклад вносит только член размерности/) = —4,
т. е. матричный элемент, соответствующий диаграмме, очень хорошо схо-
сходится (см. работы Фейнмана [252], Карплуса и Неймана [423], а также
работу Уорда [815]). Этот факт снова обязан калибровочной инвариант-
инвариантности и может быть понят следующим образом. Элемент 5-матрицы
для рассеяния (к3, &4 I S I &i, k2) можно записать в виде
къ)
A6.12)
где эффективный лагранжиан взаимодействия Xj Эфф должен быть реля-
релятивистски и калибровочно-инвариантнои функцией произведения четырех

560 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
операторов А^, а значит, он должен выражаться через величины
С/Л*^I и (Vie^vpo^^)", где V, ^v^v = ^2-g2H V4 е^Ра^^р0 =
= Ж-%- Поскольку оператор напряженности электромагнитного поля
/"дУ имеет размерность кА, то калибровочно-инвариантный матричный
элемент, соответствующий диаграмме фиг. 97, должен быть пропорциона-
пропорционален произведению импульсов &i, k2, к3 и /с4. Это требование приводит
к понижению старшей степени импульса электрона в подынтегральном
выражении, соответствующем левой части формулы A6.12), на четыре
единицы, и вклад вносит только член с размерностью D = —4.
В спинорной электродинамике эффективный лагранжиан взаимодей-
взаимодействия Xi Эфф в наинизшем порядке по а2 дается выражением
Тот факт, что рождение виртуальных пар в вакууме, согласно теории,
приводит к взаимодействию фотонов, был обнаружен еще в 1934 г. Хал-
перном [356]. Эйлер и Коккель [223], Эйлер [224], а также Гейзенберг
и Эйлер [369] рассматривали эту задачу в 1936 г., но вследствие больших
вычислительных трудностей расчета процесса четвертого порядка в ста-
старой теории они смогли выполнить вычисления только в пределе малой
энергии фотонов. Эффективное сечение рассеяния двух фотонов с равными
и очень малыми энергиями (ш < т) было найдено Эйлером [224] и оказа-
оказалось растущим как шестая степень энергии. Однако последующие вычис-
вычисления Ахиезера [883] показали, что в ультрарелятивистском пределе
а2 2 / т V Л «V тт
сечение падает, как -^г\ ( — ) ( ^n— ) • Но только с помощью аппарата
современной квантовой электродинамики Карплусу и Нейману [423, 424]
удалось связать эти области энергий. При обсуждении этого процесса
в 1936 г. Гейзенберг предполагал, что рассеяние света на свете, вероятно,
можно будет наблюдать в звездах. На самом деле вычисления Карплуса
и Неймана показали, что даже при наиболее благоприятной энергии фото-
фотонов, равной 2тс2 (около 1 Мэв), т. е. как раз достаточной для рождения
реальной пары, величина сечения примерно равна лишь 3-Ю0 см21).
Наблюдать этот эффект очень трудно, так как даже в межзвездном про-
пространстве рассеяние излучения на межзвездном водороде (и пыли) много
больше.
Однако объектом экспериментальной проверки, по-видимому, сможет
служить другой электромагнитный процесс с Ве = 4, Fe = О — рас-
рассеяние света на электростатическом поле во втором порядке2). Если
на диаграмме Фейнмана обозначить статическое взаимодействие крестами,
то процесс представится диаграммой фиг. 98. Процесс мог бы наблюдаться,
в частности, в сильном кулоновом поле тяжелого ядра с зарядом Z. Взаимо-
Взаимодействие в вершинах, помеченных крестами, характеризуется константой
!) Порядок величины очевиден, поскольку в каждой из четырех вершин проис-
происходит взаимодействие с константой связи е, вносящее в матричный элемент множитель
в
. Это означает, что по порядку величины эффективное сечение должно быть
у Antic
равно (~-г- Y • f — Y-4- Ю-зо СЖ2.
v V. 4я/гс J \rncj
2) Матричный элемент для рассеяния на статическом потенциале в первом поряд-
порядке равен нулю, так как он соответствует треугольной диаграмме, к которой применима
теорема Фарри. Отметим, что теорема Фарри была выведена именно с целью изучения
этого процесса.

§ 1. Примитивы) расходящиеся диаграммы 561
Ze2 вместо е. Эффективное сечение отличается от сечения рассеяния
света на свете дополнительным множителем ( т—г- J . Так, при Z порядка 82
сечение примерно равно % •104-3-10~30 = 1,5-Ю6 см2, или 15 мбрьрн.
Мысль о рассеянии этого типа принадлежит Дельбрюку [159],
и поэтому такое рассеяние часто называют «дельбрюковским рассеянием».
В некоторых предельных случаях оно было вычислено Ахйезером и По-
меранчуком [2] и Кеммером и Людвигом [438, 439] еще до создания совре-
современной квантовой электродинамики. Дельбрюковское рассеяние в про-
простом случае рассеяния фотона вперед, когда импульс фотона практически
Фиг. 98.
не изменяется, было рассчитано Рорлихом и Глюкштерном [668], которые
нашли, что дифференциальное сечение для дельбрюковского рассеяния
вперед непрерывно растет с ростом энергии у-кванта. Это один из немно-
немногих процессов, которые обнаруживают такой безостановочный рост.
G меньшей строгостью, чем у Рорлиха и Глюкштерна, выполнены
расчеты Бете и Рорлиха [53] по получению углового распределения дель-
дельбрюковского рассеяния на малые углы, порядка 9 як ^- и менее. К не-
несчастью, до сих пор нет расчетов дельбрюковского рассеяния при углах
и энергиях, представляющих экспериментальный интерес, а именно при
больших углах и энергиях в несколько Мэв (см., однако, статью Клис-
сона [138], работавшего в этом направлении). Следует отмё*тить, что
дельбрюковское рассеяние исследовали также с помощью дисперсионных
соотношений и оптической теоремы, которые связывают амплитуду дель-
дельбрюковского рассеяния с сопровождающим абсорбционным процессом рож-
рождения пар. Этот метод был применен Рорлихом и Глюкштерном [668]
и Толлом [780]. Результаты такого подхода согласуются с результатами,
полученными по теории возмущений. В настоящее время имеются экспе-
экспериментальные указания, которые с большей вероятностью говорят в
пользу существования дельбрюковского рассеяния (см. работы Берн-
штейна и Манна [47] и Моффата и Стрингфелло [558]). Экспериментальная
проверка существования такого процесса, порождаемого замкнутым кон-
контуром, все еще остается желательной, но теперь она менее актуальна,
чем раньше, поскольку измерения лэмбовского сдвига уже продемонстри-
продемонстрировали реальность эффекта поляризации вакуума, вклад которого в сдвиг
равен —27 Мгц.
До сих пор при обсуждении диаграммы с Ве = 4, Fe = 0 бозонное
поле считалось электромагнитным полем. Можно рассмотреть также рас-
рассеяние мезонов на мезонах за счет диаграммы этого типа [689, 690]. В этом
случае нет калибровочной инвариантности, а поэтому понижение порядка
36 с. швебер

562 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
расходимости не происходит: и для скалярных, и для псевдоскалярных
мезонов результат оказывается расходящимся. Это первая (и единствен-
единственная) расходимость в псевдоскалярной теории, которая не устраняется
перенормировкой массы или константы связи. В духе нашей программы
перенормировок расходимость в мезон-мезонном рассеянии также должна
быть устранена при помощи подходящей перенормировки. С этой целью
в первоначальный лагранжиан необходимо ввести член Аф4 с подходящим
образом выбранным (бесконечным) коэффициентом X. (В зарядово-симмет-
ричной псевдоскалярной теории контрчлен имел бы вид 1/4Х : (ф*ф)а : =
1k )
i ФФФ/р.,)
Член с ф4 не совсем необычен. При описании взаимодействия ска-
скалярных или псевдоскалярных мезонов с электромагнитным полем мы уже
встречали члены типа :ц>*ц>А ^Av-: в лагранжиане взаимодействия, т. е. члены
четвертого порядка по бозонным операторам. Конечно, в известной мере
ново то, что коэффициент А, должен быть бесконечным, чтобы скомпенси-
скомпенсировать бесконечность, появляющуюся в амплитуде рассеяния мезона
на мезоне в четвертом порядке. Не известно, должна ли постоянная К
наряду с бесконечной частью иметь также конечную часть, т. е. сводится
ли роль взаимодействия ^ф4 только к компенсации расходимости и диа-
диаграммы фиг. 97.
Различные модели рассеяния я-мезонов на нуклонах (например,
модель Чу — Лоу) очень хорошо.согласуются с экспериментальными дан-
данными без введения я-я-связи, и это расценивается как свидетельство, что
специфическая мезон-мезонная связь К (<р-<рJ является слабой. Однако
вполне возможно, что даже сильное мезон-мезонное взаимодействие может
слабо проявляться в рассеянии мезонов на нуклонах при малых энергиях.
Вопрос о том, должен ли при описании мезон-нуклонных явлений входить
в лагранжиан конечный член вида 6А,: (ф-фJ:, еще ждет дальнейших экспе-
экспериментальных данных и усовершенствованных вычислительных методов.
Диаграмма мезон-мезонного рассеяния будет также входить как
составная часть более сложных диаграмм. Как показал Салам [689, 690],
это не ведет к внутренним трудностям теории.
На этом мы оканчиваем характеристику диаграмм, которые могут
приводить к расходимостям при описании взаимодействия фермионов
и бозонов*с помощью связей без производных. Большинство этих расходи-
мостей можно устранить с помощью перенормировки масс и констант
связи:
1. В электродинамике перенормировкой масс и константы связи устра-
устраняются все расходимости.
2. В псевдоскалярной мезодинамике перенормировкой масс и кон-
константы связи устраняются все расходимости, за исключением расходимости
четырехугольной диаграммы, которая вынуждает ввести в лагранжиан
член tap4.
3. В скалярной мезодинамике и треугольная, и четырехугольная диаг-
диаграммы приводят к расходимостям, которые но могут быть устранены пере-
перенормировкой масс и константы связи. Это вынуждает ввести в лагранжиан
контрчлены ац>3 и 6ф4. (Подчеркнем, что константа а не безразмерна.)
Из этой сводки следует, что с точки зрения теории поля псевдоскаляр-
псевдоскалярная мезодинамика несколько проще скалярной. Однако между обеими
имеется глубокое внутреннее различие, поскольку для придания смысла
скалярной мезодинамике нужно ввести новую размерную константу.
Теперь перейдем к обсуждению примитивно расходящихся диа-
диаграмм в случае взаимодействия двух бозонных полей и, в частности, в слу-

§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы 563
чае взаимодействия заряженных бозонов со спином 0 (т. е. заряженных
мезонов) с электромагнитным полем (с фотонами), т. е. в скалярной элек-
электродинамике. Пусть через С обозначается число вершин, через Р — число
бозонных линий, а через Q —число фотонных линий, причем, как и прежде,
числа, отмеченные индексами i и е, будут относиться соответственно
к внутренним и внешним линиям. Выражение для размерности D будет
получено аналогично тому, как это было сделано выше.
На первом этапе вывода ограничим взаимодействие одним только
членом : (ф*д,д,ф — <9цф*-ф) : А^(х). Это означает, что допускаются лишь
вершины, изображенные на фиг. 99, а, а вершины, изображенные
5
а
Фиг. 99.
на фиг. 99,6, запрещены. При таком ограничении подсчет степеней импуль-
импульсов в подынтегральном выражении проводится следующим образом:
1. Каждой внутренней линии соответствует множитель dlp в числи-
числителе. Это дает вклад в D, равный +4 (Pt -H?0-
2. Каждой вершине соответствует 6D)-функция, что эквивалентно
четвертой степени в знаменателе. Одна из 6<4>-функций выражает закон
сохранения полного импульса. Поэтому вклад вершин в D равен —4(С — 1).
Кроме того, в каждой вершине стоит оператор взаимодействия. Поскольку
мы пока ограничились лишь взаимодействием (р + р'у-А^, то дополни-
дополнительный вклад всех вершин в D будет равен -f С.
3. Каждой внутренней мезонной линии соответствует вторая сте-
степень импульса в знаменателе за счет функции -распространения —^ -г .
Это дает вклад в D, равный —2Pt.
4. Каждой внутренней фотонной линии также соответствует вторая
степень в знаменателе за счет функции распространения фотона 1 /р2.
Это дает вклад в D, равный —2Qt.
Отсюда для D получается выражение
D = 2Pt + 2Qt - ЪС + 4. A6.14)
Выражение A6.14) для D можно выразить через число внешних линий,
поскольку
2Qt + Qe = C A6.15а)
и
2Pt + Pe = 2C. A6.156)
Нодставляя Qi и Pt из формул A6.15а) и A6.156) в A6.14), находим
D = A-Pe-Qe. A6.16)
36*

564
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
Как и в случае взаимодействия фермионов с бозонами, коэффициент при С
обратился в нуль, и, следовательно, степень расходимости не зависит
от числа вершин.
Теперь перечислим все примитивно расходящиеся диаграммы, встре-
встречающиеся в скалярной электродинамике. В этой связи нужно напомнить,
что мезонная линия никогда не кончается (благодаря сохранению заряда),
и поэтому число Ре всегда четное.
Случай Ре = 2, Qe = О
На фиг. 100 показана простейшая диаграмма этого рода. По форму-
формуле A6.16) в этом случае D = 2. Квадратичная расходимость собственной
энергии бозона со спином 0 на самом деле реализуется. Напомним, что
Фиг. 100.
собственная энергия фермиона за счет взаимодействия с фотонами рас-
расходится логарифмически, тогда как в классической теории собственная
энергия электрона расходится линейно. Это прямое указание на то, что
никаким классическим оценкам собственной энергии фермиона или бозона
нельзя доверять.
Случай Ре = 2, Qe = 1
Однофотонная вершинная диаграмма наинизшего порядка показана
еа фиг. 101, а. Она приводит к лэмбовскому сдвигу для заряженного мезона.
а
Как и в случае спина Уг, существуют три диаграммы, показанные на
фиг. 101, которые порознь расходятся линейно (D = 1). Однако сумма
всех трех дает конечный результат.
Случай Ре = 2, Qe = 2
Как видно из фиг. 102, данный случай соответствует радиационной
лоправке к комптон-эффекту, т. е. к рассеянию фотона на бозоне со спи-

§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы 565
ном 0. По формуле A6.16) получаем D = 0. Однако в действительности
благодаря калибровочной инвариантности отличным от нуля оказывается
только коэффициент при члене следующего порядка с D = —2. Поэтому
результат получается сходящимся.
Случай Ре = 0, Qe = 2
Этот случай соответствует собственной энергии-фотона, т. е. еще
одному возможному вкладу в поляризацию вакуума — вкладу за счет
рождения виртуальных пар заряженных мезонов, как это показано
на фиг. 103. Здесь D = 2. В действительности квадратичной расходимости
нет благодаря калибровочной инвариантности. В разложении тензора
поляризации остается только следующий член, соответствующий D = 0,
т. е. логарифмически расходящийся член и дальнейшие конечные члены.
Конечные члены имеют физический смысл. Численные коэффициенты
в них отличны от коэффициентов в выражении для поляризации вакуума
Фиг. 103.
путем образования виртуальных электронно-позитронных пар (см., на-
например, статью Швингера [714]), но вклад конечных членов по-прежнему
обратно пропорционален квадрату массы виртуальной частицы. Мы уже
отмечали в § 5 гл. 15, что вклад в лэмбовский сдвиг от электронно-пози-
тронной поляризации вакуума равен —27 Мгц. Вклад в лэмбовский сдвиг
от я-мезонной поляризации вакуума в B75J раз меньше, т. е. составляет
только 0,3 кгц, и поэтому ненаблюдаем. Поскольку в настоящее время тео-
теоретическое и экспериментальное значения для лэмбовского сдвига согла-
согласуются в пределах 0,25 Мгц, то можно заключить, что нет способных
рождаться парами заряженных частиц, масса которых превышала бы
массу электрона менее чем в десять раз.
Случай Ре = 0, Qe = 4
Это случай рассеяния света на свете, когда внутренние линии четырех-
четырехугольной диаграммы суть линии бозона со спином 0 (фиг. 104, а). Хотя
D = 0, однако этой диаграмме соответствует сходящийся матричный эле-

5G6 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
мент, поскольку благодаря калибровочной инвариантности отличным
от нуля оказывается только член с D = —4 и дальнейшие конечные члены.
Фиг. 104.
Случай Ре = 4, Qc — 0
Эти значения соответствуют рассеянию частиц Бозе друг на друге
за счет электромагнитного взаимодействия между ними, как это показано
на фиг. 104, б. В данном случае D = 0, и в самом деле расходимость ока-
оказывается логарифмической, поскольку калибровочная инвариантность
ее не уменьшает. Как и в случае мезон-мезонного рассеяния путем обра-
образования виртуальных нуклонных пар данную расходимость можно ском-
скомпенсировать, добавляя к первоначальному лагранжиану член Яет(ср*срJ
(константа Хет снова безразмерная!).
Теперь обратимся к анализу диаграмм, на которых есть вершины,
соответствующие члену :ф*фЛ^Л^:. Будем различать вершины, в кото-
которых взаимодействует один фотон, и вершины, в которых взаимодействуют
<—->
два фотона. Пусть С\ — число вершин с взаимодействием :ф*д^ср:Л^,
а С2 — число вершин с взаимодействием :ф*фЛМ^:. Тогда с помощью
обычного подсчета находим
D= -A(Cl + C2-l) + $(Pi + Qi)-rCl-2Pi-2Qi. A6.17)
Так как число концов фотонных линий равно 2С2 -j- Clt то
2Qi + Qe = 2C2 + Ci, A6.18a)
а так как в каждой вершине сходятся две бозонные линии, то
2Pi + Pe = 2(Ci + C2). A6.186)
Находя Pt и Qi из соотношений A6.18а) и A6.186) и подставляя эти зна-
значения в формулу A6.17), снова получаем
D = A-Pc-Qe. A6.19)
Выражение для размерности D совпало с выражением A6.16), так что
двухфотоииое взаимодействие не вызывает дополнительных трудностей.
Однако оно заставляет включить в определение контрчлена с Хет члены,
компенсирующие расходимость диаграммы фиг. 105, в. (Дальнейшие
подробности см. у Рорлиха [667].) Благодаря калибровочной инвариант-
инвариантности вклад диаграмм 105, а и б снова оказывается конечным. (Напомним
также, что поскольку все члены взаимодействия записаны в виде нормаль-

§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы 567
ного произведения, то фотонная линия не может начинаться и кончаться
в одной и той же вершине, и, следовательно, эти расходящиеся «головасти-
кообразные» диаграммы не вносят вклада ни в мезонную собственную энер-
энергию, ни в другие процессы.I)
В заключение этого параграфа мы вкратце проанализируем типы
примитивно расходящихся диаграмм, которые встречаются в теории
поля при связях с производными и вообще тогда, когда констан-
константа связи размерна. Сперва рассмотрим PS-PV- и S-F-теории.
Лагранжиан взаимодействия в этих случаях записывается в виде
= y5 или /). Благодаря тому, что в него
а 5 в
Ф и г.105
входит градиент мезонного оператора, в каждой вершине будет стоять
оператор Гу-к, где к^ — импульс мезона, уничтожающегося или рожда-
рождающегося в вершине. При вычислении размерности D для примитивно рас-
расходящихся диаграмм каждая вершина будет вносить дополнительную сте-
степень импульса, и поэтому в данном случае мы получим
D = A-~Fe-Be + C. A6.20)
В противоположность всем обсуждавшимся до сих пор теориям в данном
случае значение D зависит от числа вершин С, и поэтому имеется неис-
неисчислимое множество примитивно расходящихся диаграмм.
Таким образом, если бы мы применили к этим взаимодействиям прин-
принцип перенормировки, то чтобы сделать теорию конечной, потребовалось
бы бесконечное число констант перенормировки. Поскольку теория пере-
перенормировок в том виде, как она формулируется в настоящее время, тре-
требует по одному эксперименту для определения каждой константы,
то, чтобы придать теории смысл, понадобилось бы выполнить беско-
бесконечное число таких экспериментов. Поэтому программа перенорми-
перенормировок, формулируемая в настоящее время в рамках ряда теории возмуще-
возмущений, является адекватным подходом к теориям со связью с "производ-
"производной. Такие теории называют неперенормируемыми.
Хотя мы и не рассматриваем поля, которые описывали бы частицы
конечной массы со спином выше %, однако отметим, что такие теории
J) Это утверждение неправильно. Запись двухфотонного члена лагранжиана
взаимодействия в виде iV-произведения нарушает калибровочную инвариантность.
Более того, только учет «головастикообразных» диаграмм позволяет обеспечить кали-
калибровочную инвариантность. Поэтому правильная запись лагранжиана взаимодействия
не исключает этих диаграмм (см. наше примечание на стр. 460).— Прим. ред.

568 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
обычно неперенормируемые. Исключение составляет теория нейтрального
бозонного поля со спином 1, взаимодействующего с фермионным полем
со спином %. Эта теория аналогична квантовой электродинамике, за исклю-
исключением того, что в ней нет калибровочной инвариантности1). Теория
нейтральных бозонов со спином выше единицы, взаимодействующих
с фермионами со спином /4, неперенормируема. Квантовые теории элек-
электромагнитных взаимодействий заряженных бозонов, обладающих спином 1
или выше, также неперенормируемые. То же самое относится и к взаимо-
взаимодействию таких заряженных бозонов с фермионами со спином %2).
Точно так же неперенормируемы слабые взаимодействия Ферми,
т. е. взаимодействия вида (pOiii) (vOle). Рассмотрим, например, взаимо-
взаимодействие (рп) (ve). Если обозначить через N число нуклонных линий,
а через L число лептонных линий какой-либо диаграммы, то
3Lf. A6.21)
А так как
2Ni + Ne = 2C A6.22а)
и
2Lt + Le = 2C, A6.226)
то выражение для D можно переписать в виде
^~Le; A6.23)
следовательно, снова имеется неисчислимое множество примитивно
расходящихся диаграмм, и теория неперенормируемая.
Если для придания смысла теории применено инвариантное обреза-
обрезание или регуляризация (без которых теория является расходящейся),
тогда перенормируемость теории означает, что после перенормировки
массы и заряда (и, возможно, конечного числа других параметров) пред-
предсказания теории (по крайней мере представленные в виде ряда теории
возмущений) не зависят от обрезания. Этого нет в так называемых непе-
ренормируемых теориях. В таких теориях даже после перенормировки
масс и зарядов остается сильная зависимость от обрезания. Сомнительно,
чтобы это могло служить доводом против таких теорий, поскольку широко
распространено мнение, что взаимодействия, которыми обычно пренебре-
пренебрегают (например, гравитационное или взаимодействия странных частиц),
в принципе могли бы приводить к эффективному обрезанию3).
Интуитивно эту идею можно обосновать следующим образом. Один
из эффектов взаимодействия между полями состоит в том, что каждая
частица окружается облаком квантов всех полей— приобретает структуру.
В современной теории не видно подхода к объяснению многих структурных
J) Кадибровочно-инвариантная формулировка этой теории существует [914].—
Прим. ред.
а) Исключением, по-видимому, является смешанная теория Берда и Бете [38],
в которой и псевдоскалярные, и псевдовекторные мезоны связаны с нуклонами при
помощи псевдовекторной связи. На том уровне, до которого теория была доведена
в их статье, расходимости не появились. Общее исследование пока еще не сделано.
Однако взаимодействие заряженных мезонов со спином 1 с электромагнитным полем
все равно будет неперенормируемым.
3) Например, теория гравитации в сочетании с квантовой теорией определяет
характерную длину 1/ ^-^ 10~32 см, где у — обычная гравитационная постоянная.

§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы 569
свойств частиц, например их массы, но можно, думать, что более строгое
описание взаимодействия между «фундаментальными» частицами в рамках
теории поля носило бы нелокальный характер или по крайней мере содер-
содержало бы новую фундаментальную константу размерности длины. В слу-
случае нелокальных взаимодействий теория автоматически содержала бы
константу размерности длины, определяющую размер области нелокаль-
нелокальности (эта постоянная I была бы, вероятно, порядка 10~13 см или еще
меньше). Вообще говоря, эта длина I могла бы быть или константой связи
нелинейного взаимодействия (см. обзор Гейзенберга [373]), или радиусом
области нелокальности. Предположим далее, что теория может быть сфор-
сформулирована с помощью лагранжиана ХA). В разложении этого лагранжи-
лагранжиана JS(l) по степеням I
#(Z) = J?@) + ZJ?A) + Z2J?B) + ... A6.24)
каждый следующий член описывает все более и более слабое взаимодей-
взаимодействие, поскольку постоянная / мала. Отметим, что, согласно принятой
в настоящее время классификации взаимодействий по их силе (сильные,
электромагнитные и слабые; см. обсуждение в гл. 10), самые слабые
взаимодействия (взаимодействия Ферми) характеризуются константой
связи, имеющей размерность квадрата длины.
Эти эвристические соображения делают правдоподобным тот факт, что
неперенормируемость слабых взаимодействий, когда они выделены из числа
прочих и записаны в виде Z2JPB), не может служить доводом . против
использования этой формы в области ее применимости. По-видимому,
разложение вида A6.24) законно только в некоторой области энергий,
а взаимодействия Ферми, которые ответственны за слабые распады, при
высоких энергиях (скажем, при энергиях, сравнимых с массой нуклона)
не представимы в виде 12J?B) ~ G$(pn) (ve). He исключено, что взаи-
взаимодействия Ферми переносятся тяжелым заряженным бозоном X, кото-
который связывает барионный ток с лептонным током таким образом, что
распад нейтрона совершается в два этапа п -* р -(- X' -» р -\- е~ + v,
как это показано на фиг. 106. Если это так, то амплитуда, соответствую-
соответствующая обмену бозоном X, записывалась бы в виде —g2(pn) {к2 — Ця)^)»
а обычная амплитуда Р-распада Gp(pn) (ve) была бы лишь ее предельной
формой, верной при малых энергиях. Благодаря малости энергии и пере-
передачи импульса в р-распаде \i2x > &2 и, следовательно, в области малых
энергий обе амплитуды совпадают, если (?р = —. На самом деле,
для того чтобы в локальном пределе, в пределе малых энергий, получа-

•570
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
лась F-Л-теория, тяжелый бозон должен обладать спином 1 и иметь
функцию распространения Цк\ — Цх) (
Пример подобной ситуации мы встречаем при использовании непере-
нормируемого взаимодействия —е :'фУц'Ф: А^ -\- х/2 A\i : ^cr^vi^ : F^v для
описания взаимодействия протона (обладающего аномальным магнитным
моментом A.\i = 1,7896) с электромагнитным полем. Этот феноменологи-
феноменологический учет магнитных свойств протона оправдан только в медленно меняю-
меняющихся электромагнитных полях и при нерелятивистском движении
Р
Фиг. 107.
частицы. Недопустимо применять такое описание для вычисления радиаци-
радиационных поправок, обусловленных высокочастотными флуктуациями кван-
квантованного электромагнитного поля. В действительности в полной теории,
которая учитывает и мезон-нуклонные, и электромагнитные взаимодей-
взаимодействия, дополнительный магнитный момент возникает за счетмезонных ради-
радиационных поправок, показанных, например, на фиг. 107. Таким образом,
член УгА^г : -фСТцд/ф : F^v должен рассматриваться не как часть фунда-
фундаментального взаимодействия между протоном и электромагнитным полем,
а только как феноменологическое представление этого взаимодействия
при низких энергиях.
Если намеченная выше точка зрения в какой-то степени верна, тогда
в факте перенормируемости или неперенормируемости данной теории
не обязательно отражается какая-то фундаментальная особенность тео-
теории. Зато большую важность приобретает выяснение вопроса, до каких
энергий справедливо современное описание электромагнитных явлений
с помощью лагранжиана, характеризуемого безразмерной константой
связи ™^= . Что означает для лагранжиана X(/) тот факт, что в квантовой
у Тм
электродинамике после перенормировки масс и зарядов нет зависимости
от обрезания? Что отражает тот факт, что теории поля, в которых кон-
х) В действительности во всех известных вариантах теории заряженных вектор-
векторных бозонов функция распространения имеет вид
Это не препятствует получению V-A -теории, но ведет к неперенормируемости.-
Прим. ред.

§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы 571
станты связи имеют размерность длины, возведенной в некоторую положи-
положительную степень, являются иеперенормируемыми, а теории с безразмерной
константой связи — перенормируемыми?1) (Взаимодействия с константой
связи G <x [L]^ называются взаимодействиями первого рода, если г\ < О,
и второго рода, если т) > 0; см. книгу Умэдзавы [927].)
Эксперименты по определению распределения заряда нейтрона
и протона, по измерению магнитного момента |д.-мезона, лэмбовского сдвига
и магнитного форм-фактора протона показывают [185], что между пред-
предсказаниями квантовой электродинамики и экспериментальными данными
Фиг. 108.
нет расхождений вплоть до энергий 600 Мэв, или, что равносильно, на рас-
расстояниях, больших 0,33-103 см2). Были предложены эксперименты
по проверке электродинамики на малых расстояниях (см. работы Дрелла
[185] и Фраучи [276]), но для них требуются либо очень большие энергии,
либо необычайно высокая точность измерений. Например, матричный
элемент для рассеяния электронов на электронах в наинизшем порядке
вычисляется по диаграмме фиг. 108. Виртуальной фотонной линии на этой
диаграмме соответствует функция распространения q'2 = (q2— 5i)~2, кото-
которая в системе центра масс имеет вид —1/q2, т. е. является фурье-образом
кулоновского потенциала 1/г. Если принять измененную на малых расстоя-
расстояниях форму электродинамики, в которой потенциал 1/г заменен потен-
потенциалом 1/г A—е~Аг), тогда функция распространения фотона l/q2 превра-
-1) Не все взаимодействия с безразмерными константами связи перенормируемы.
Так, теория Янга и Миллса [872] для триплета тяжелых векторных бозонов, содержа-
содержащая только безразмерные константы связи, неперенормпруема [918].— Прим. ред.
2) К выводу, что отклонение от квантовой электродинамики наступает на рас-
расстояниях, меньших 0,3 -10~13 см, можно прийти, предположив, что разность масс
протона и нейтрона (—2,53 те) имеет электромагнитное происхождение [255]. С этой
точки зрения разность масс Мп—Мр есть результат конкуренции между собственной
энергией за счет электростатического отталкивания (главный член которого имеет
порядок 1/R) и собственной энергией за счет магнитного момента (порядка 1/i?2).
Взаимодействие через магнитный момент может уменьшить массу Мр по сравнению
с массой Мп. Поскольку Мп^>Мр, то магнитные эффекты существенны. По наблю-
наблюдаемой разности масс Мп—Л?р~2,53 те Фейнман и Шпейсман [255] заключили,
что средний квадратичный радиус протона равен 0,4-10~13 см, т. е. половине радиуса,
следующего из экспериментов по рассеянию электронов на протонах. Эти экспери-
эксперименты [378] дали для среднего квадратичного радиуса протона значение 0,8• 10~13 см,
а радиус распределения заряда нейтрона практически оказался равным нулю. При
интерпретации этих данных полагают, что квантовая электродинамика все еще при-
применима, а все отклонения от теоретических предсказаний вызваны эффектом структуры
нуклона. Расхождение между значением среднего квадратичного радиуса по теории
Фейнмана — Шпейсмана и наблюдаемым значением можно объяснить обрезанием
в электродинамике примерно на 0,3-103 см.

572 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
, 1 1 „
тится в функцию распространения—2 ^— . При таком изменении
квантовой электродинамики сечение меллеровского рассеяния приобре-
приобретет дополнительный множитель 1 + р^- . Эксперимент с электронами
с энергией 8 Бэв, рассеивающимися на неподвижной электронной мишени,
выполненный с 10%-ной точностью, смог бы зарегистрировать длину
обрезания 1/Л~ 0,5-103 см. Поэтому в свое время вопрос, какова гра-
граница применимости квантовой электродинамики, будет решен экспери-
экспериментально.
Хотя мы и привели аргументы, предостерегающие от игнорирования
неперенормируемых теорий, тем не менее в настоящей книге мы ограни-
ограничимся только перенормируемыми теориями. Это оправдано следующими
обстоятельствами. Во-первых, есть основания считать, что PS-PS-тео-
рия способна объяснить мезон-нуклонные явления при низких энергиях,
а то, что квантовая электродинамика верна во всей области явлений, где
она была проверена, является фактом. Во-вторых, структура теорий
со связями с производными гораздо сложней, чем при связях без произ-
производных (см., например, работы Арновита и Дезера [16], Купера [888],
Гюттингера [345, 346]); да и вообще о них мало что известно. В частности,
нам не известно, как извлекать из них наблюдаемые следствия.
В заключение подчеркнем, что успех программы перенормировок
состоял в том, что она обошла проблему расходимостей. Однако она
не решила эту проблему. Поэтому перенормировки не являются оконча-
окончательным разрешением проблемы расходимостей, которая отягощает
локальную релятивистскую теорию квантованных полей. Прекрасное согла-
согласие перенормированной квантовой электродинамики с экспериментом
в широкой области энергий внушает мысль, что перенормированная
теория схватывает некоторые существенные черты более основательной
«будущей правильной теории». Это служит мощным стимулом для деталь-
детального изучения перенормируемых теорий. «Правильная теория» должна
не только быть свободной от расходимостей, но и объяснять спектр
масс элементарных частиц, а также давать значения констант связи, таких,
как постоянная тонкой структуры1) (величин, которые в настоящее время
находятся эмпирически). Несомненно, что некоторые черты теории пере-
перенормировок войдут в состав или будут представлены в будущей правиль-
правильной теории. Также весьма вероятно, что в «будущей теории» взаимопро-
взаимопроникновение и одновременное сосуществование всех «элементарных» час-
частиц (таких, как электроны, нуклоны и т. д.) будет неотъемлемой частью
теории. Существует надежда, что изучение современных форм перенорми-
перенормированной квантовой электродинамики и перенормируемых мезонных теорий
позволит выяснить те элементы современных теорий, без которых можно
обойтись, и те, которые являются следствиями очень общих принципов,
х) На ранней стадии развития теории перенормировок была высказана некоторая
надежда, что значение постоянной тонкой структуры можно будет определить, потре-
потребовав, чтобы расходимости в последовательных порядках теории возмущений взаимна
сокращались. Эта идея была предложена Паули. Однако Пост и Латтинджер [401]
показали, что такого взаимного сокращения не происходит. Так, расходимость поля-
поляризации вакуума имеет во втором и в четвертом порядках один и тот же знак. До неко-
некоторой степени сходную идею обеспечения конечности и сходимости собственной энер-
энергии выдвинул Рака [658], но позднее она была опровергнута Франком [273] путем
прямого вычисления вклада в собственную энергию фермиона в четвертом порядке-
(см. также работу Гелл-Манна и Лоу [894]).

§ 2. Перенормируемость квантовой электродинамики 573
таких, как релятивистская инвариантность и причинность, и которые,
возможно, также будут представлены в «будущей теории». В действи-
действительности такой подход уже привел к новой формулировке, в которой фигу-
фигурируют только конечные перенормированные величины и структура кото-
которой проливает некоторый свет на затронутые здесь вопросы [490, 493,
852]. Мы займемся этими формулировками в гл. 18.
§ 2. Перенормируемость квантовой электродинамики
Теперь мы покажем, чуо идеи перенормировки заряда и массы факти-
фактически достаточно, чтобы устранить все ультрафиолетовые расходимости
в разложении iS-матрицы в квантовой электродинамике.
В § 1 мы видели, что условием расходимости интеграла, соответст-
соответствующего примитивно расходящейся диаграмме, является
где в данном случае Fe и Бе — числа внешних электронных и фотонных
линий. Это неравенство, как мы видим, означает, что имеется лишь конеч-
конечное число примитивно расходящихся диаграмм, снабжающих теорию
Pi ^-ч^-^-/^ Рг
5
Фиг. 109.
расходимостями. Причина заключается в том, что степень расходимости
интегралов, соответствующих этим диаграммам, не зависит от порядка
диаграмм. Программа перенормировок состоит в формулировке вычита-
тельной процедуры для устранения бесконечностей и в теоретическом
оправдании этих вычитаний. При изложении перенормировки квантовой
электродинамики мы тесно следуем двум оригинальным статьям Дайсона
1949 г. [193, 194], а доказательство перенормируемости проводим
согласно Уорду [817].
Прежде всего введем понятия связной, приводимой и неприводимой
диаграмм, а также вершинной и собственно-энергетической частей [194].
Диаграмма называется связной, если любая ее часть соединена с осталь-
остальными частями по меньшей мере двумя линиями. Вершинная часть опреде-
определяется как связная часть (состоящая только из вершин и внутренних
линий), соединяющаяся с остальной частью диаграммы двумя фермион-
ными линиями и одной фотонной линией. На фиг. 109, а показана простей-
простейшая вершинная часть. Имеются также вершинные части V более высокого
порядка (например, приведенная на фиг. 109, б), которыми можно заменять
любую вершину какой-либо диаграммы G, причем получающаяся модифи-

574
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
цированная диаграмма G' снова будет иметь определенный физический
смысл. Матричный элемент, соответствующий G', можно получить, заме-
заменив в матричном элементе, соответствующем диаграмме G, матрицу у^
в некоторой рассматриваемой вершине оператором Л^, (V, pi, р2), который
зависит только от структуры вершинной части V и от импульсов, соответ-
соответствующих двум фермионным линиям, досредством которых вершинная
Ф и г. 110.
часть соединяется с остальной частью диаграммы, т. е. от вектороа
импульса pi и р% на фиг. 109.
Точно так же собственно-энергетическая часть W диаграммы G есть
связная часть (состоящая только из вершин и внутренних линий), которая
может вставляться в середину электронной или фотонной линии на диа-
диаграмме G, причем получившаяся модифицированная диаграмма снова будет
совместима с правилами построения диаграмм Фейнмана. На фиг. 110
показаны простейшие возможные электронная и фотонная собствен-
собственно-энергетические части. На фиг. 111, а показана вставка электронной
а
Ф ИГ. 111.
собственно-энергетической части в электронную линию р\ фиг. 109,- б,
а на фиг. 111,6 — вставка фотонной собственно-энергетической части
в фотонную линию к фиг. 109, б. Эти линии р^ или к для всей диаграммы
в целом могут быть внешними или внутренними. Специальный случай
собственно-энергетической части — собственно-энергетическая часть,
состоящая только из одной точки. Она соответствует члену —Ьт : ty(x)ty(x):
в гамильтониане взаимодействия З&г (#)•
Вместе с Дайсоном определим фурье-образ операторов \|)иЛ следующим
образом:
ip-xy(p), A6.25)
¦к-хА^ (к). A6.26)

§ 2. Перенормируемостъ квантовой электродинамики 575'
Функции распространения SF(p) и DF(k) в настоящем параграфе всюду
определены по существу как фурье-образы функций SF(x) и DF(x).
Явный вид их следующий:
^(*) = 1й--ж <16-27а)
и
SF(p) = ~ -—. A6.276)
' yt> Ы у-р — т v '
Если теперь модифицированную диаграмму, полученную с помощью
одной из указанных выше вставок в диаграмму G, обозначить через G',
то тогда сформулированные ранее правила для записи матричных эле-
элементов позволяют заключить, что матричный элемент, соответствующий
диаграмме G', можно получить из матричного элемента, соответствующего
диаграмме G, путем следующих преобразований:
а) вставки электронной собственно-энергетической части W во внеш-
внешнюю линию электрона с импульсом pi'.
V (Pi) -> $f Ы [2 (W, Pi) - 2m6m\ q (Pi), A6.28)
4> (Pi) -» Ф M [2 (W, p^ - 2ni6m] SF (Pi); A6.29)
б) вставки электронной собственно-энергетической части W во внут-
внутреннюю линию электрона с импульсом р^:
Sf (Pi) -> SF (Pi) [S (W, Pi) - Inibrn] SF (Pi); A6.30)
в) вставки фотонной собственно-энергетической части W во внешнюю
линию фотона с импульсом к:
All(k)->All(k)U(W, k)DF(k); A6.31)
г) вставки фотонной собственно-энергетической части W во внутрен-
внутреннюю линию фотона с импульсом к:
DF (к) -> DF (к) П (W, к) DF (к); A6.32)
д) вставки вершинной части V вместо простейшего вершинного опе-
оператора Ун"
\|i-*A|i(F, pu p2). A6.33)
Здесь оператор 2 (или П) зависит только от структуры диаграммы W
(или W) и от импульса рх (или к), но не зависит от остальной части диа-
диаграммы. В формулах A6.28), A6.29) и A6.30) член —2ni8m, возникающий
как вклад члена —6т: г|л|)(?): гамильтониана взаимодействия, добавляется
для осуществления перенормировки массы. Фотонный собственно-энер-
собственно-энергетический оператор П не нуждается в таком контрчлене, поскольку
собственная энергия фотона обращается в нуль на основании требования
калибровочной инвариантности. (Однако для мезонов член перенормировки
массы снова был бы необходим; вспомните § 8 гл. 15.) Аналогично, вершин-
вершинный оператор Л^ (V, р±, р2) зависит только от структуры диаграммы V
и от импульсов Pi и р2 обеих присоединяющихся фермиопных линий.
Подчеркнем, что операторы Л^, 2 иП можно вычислить независимо от ос-
остальной части диаграммы в совершенно общем виде. Затем их можно будет
использовать в различных конкретных практических расчетах.
Если из диаграммы G исключить все собственно-энергетические и вер-
вершинные части, получим приведенную диаграмму Go, которую называю!-

576 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
скелетом диаграммы G. Диаграмма, совпадающая со своим скелетом, назы-
называется неприводимой. Собственно-энергетические части W и W во втором
порядке, показанные на фиг. 110,— единственные примеры неприводимых
собственно-энергетических частей. Все собственно-энергетические части
более высокого порядка являются приводимыми, т. е. не неприводимыми,
и могут быть получены при помощи вставок собственно-энергетических
и вершинных частей в линии и вершины диаграмм W и W фиг. 110. Однако
вершинные части более высоких порядков, чем второй, могут быть и при-
приводимыми, и неприводимыми. Вершинную, или собственно-энергетиче-
собственно-энергетическую, часть называют собственной, если она не распадается на две части,
Фиг. 112.
соединенные только одной линией; в противном случае ее называют
несобственной. На фиг. 112 дан пример несобственной фермионной соб-
собственно-энергетической части.
Приводимые диаграммы G некоторого порядка, скажем п, можно
получить, вставляя независимо и всеми возможными способами собственно-
энергетические и вершинные части подходящих порядков в различные линии
и вершины некоторой неприводимой диаграммы Go более низкого порядка.
Эти диаграммы G образуют хорошо определенный класс L, и поэтому все
их можно точно перечислить.
Предположим, что величина Мо есть часть матричного элемента S-мат-
рицы для некоторого процесса, соответствующая диаграмме Go. Затем
каждая новая диаграмма G класса L будет давать дополнительный вклад
в тот же матричный элемент. Сумму всех вкладов, включая Мо, обозначим
через М. Ввиду независимости вставок, которые делаются в различные
вершины и линии диаграммы Go, сумма М будет получаться из Мо
с помощью следующих изменений составных частей выражения Мо-
Множители SF(p) величины Мо, соответствующие всем внутренним
электронным линиям диаграммы Go, заменяются на
S'f (P) = $f (P) + $f (P) 2* (р) S'F (р) A6.34)
(доказательство будет дано ниже). Аналогично, операторы if или г|з,
соответствующие всем внешним линиям, заменяются на
(р) =,$(р)+ S'F (p) 2* (р) ф (р). A6.35а)
? ^ f(p)S*(p)Ji.(p). A6.356)
Фотонным линиям соответствуют замены
DF (k)->D'F (Л) = DF (Щ + DF (Л) П* (k) Dp (k) A6.36a)
и
A^ (k) -> Al (k) =-- A» (k) + A» (k) П* (k) D'F (k). A6.366)
Наконец, вершинный оператор Yn заменяется оператором
p1, p2). A6.37)

§ 2. Перенормируемость квантовой электродинамики ЪП
Здесь 2* (р) и П* (р) — суммы операторов 2 (W, р) и П (W, к) по всем
собственным собственно-энергетическим частям. Предполагается, что в
2* включен вклад контрчлена перенормировки массы.
В действительности для обеспечения последовательности перенормиро-
перенормировочной процедуры требуется уделять несколько больше внимания кали-
калибровочной инвариантности (см. в этой связи работы Боголюбова и
Ширкова [64, 67], статьи Умэдзавы, Томозавы, Конумы и Камефучи
[793], Умэдзавы и Камефучи [794] и Фрида и Иенни [284]). Так, соот-
соотношение (It3.36a) должно быть заменено соотношением
D'Fv» (к) = DFv» (к) + DFvX (к) П•*" (ft) DFav (к), A 6.36b)
где оператор Що (к) есть сумма по всем собственным собственно-энерге-
собственно-энергетическим частям и предполагается, что этот оператор имеет калибровоч-
но-инвариантный вид
njv (к) = (ft™ -тЙ) П* (*)¦ A6-36г)
Если свободную функцию распространения взять в виде
D^v (к) = ± (^v _ ^) 1 , A6.38)
то
D'F^ (Щ = (^v - ^) D'F (к). A6.39)
Соотношение A6.36а) получается теперь как результат подстановки
выражений A6.38), A6.39) и A6.36г) в A6.36в).
Точно так же величина Atl (pi, p2) в соотношении A6.37) есть
сумма всех величин А^(У, ри р2) по всем собственным вершинным
частям, поскольку вершинная часть, которая не является собственной,
есть собственная вершинная часть плюс одна или более собственно-
энергетических частей, а последние уже включены в S'F и D'F.
Несобственные части, будучи неперекрывающимися комбинациями
собственных частей, уже учтены в неявных определениях функций
S'p и Dp, данных выше. Так, легко видеть, что несобственные диаг-
диаграммы, типа изображенных на фиг. 112, содержатся в определении
S'F (p, W) = SF (p) + SF (p) S (p, W) S'F (p, W), A6.40)
где W — фермионная собственно-энергетическая часть, изображенная
на фиг. 110, а. В самом доле, если мы разрешим это уравнение отно-
относительно S'F, то получим
+ SF (p) S (p, W) SF (p) 2 (p, W) SF(p) + ... A6.41)
Графическое представление этого выражения дано на фиг. 113.
Матричный элемент /^-матрицы будет вычислен правильно, если
учесть только вклады неприводимых диаграмм, а затем в членах,
соответствующих каждой скелетной (неприводимой) диаграмме, про-
произвести замены A6.34) на A6.39). Соотношения A6.34) — A6.36) являют-
являются интегральными уравнениями. Например, соотношение A6.34) в коор-
37 с. Швебер

578
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
динатном пространстве приняло бы вид
A6.42)
Аналогично, соотношению A6.37) в координатном пространстве соответ-
соответствует замена
(х-х')
„ {х-х'\ х'-х").
A6.43)
Чтобы вычислить операторы Л^, 2* и П*, необходимо выписать
в явном виде интегралы, соответствующие каждой собственно-энергети-
собственно-энергетической части W и вершинной части V. Для эффектов высоких порядков
части W и V сами часто будут приводимыми (причем W и W всегда),.
S'f(P.W) =
Фиг. 113.
содержащими внутри себя собственно-энергетические и вершинные части.
В этом случае снова удобно сперва исключить такие приводимые части
V и W, а затем учесть их при помощи замен A6.34) на A6.39) в интеграле,
соответствующем неприводимым частям V и W. Именно так можно получить
интегральные уравнения для Л^, 2* и П*.
Следует, однако, отметить, что все приводимые собственно-энерге-
собственно-энергетические части исчерпываются вставками вершинных частей только в одну,
а не в обе вершины неприводимой собственно-энергетической части
(см. фиг. 110); в противном случае происходил бы переучет — одна и та же
собственно-энергетическая часть учитывалась бы более одного раза. Имея
в виду это обстоятельство, мы фактически сразу же можем записать инте-

§ 2. Перенормируемость квантовой электродинамики 579
тральные уравнения для 2* и П* (а — постоянная тонкой структуры):
2* (х -*')=- 2яо* \ d*y [ d*y'y»S'p (х -у)Т^{у-х;у- у') DF {у' - х)
A6.44)
и
[ \F{x-y)Ty(y-x'; y-y')S'F(y'-x)].
[
A6.45)
С другой стороны, Лц нельзя представить в замкнутом виде как резуль-
результат вставки величин FV) S'F и D'p. Однако в виде разложения по степеням а
подобное представление для Гц записать можно. В импульсном пронстран-
стве оно имеет вид [714, 217]
Гц(/>1, P-ij =
xSF(p2-k)Tv(p2-k, р2)О'р{к)й*к+... A6.46)
Другими словами, для получения интегрального уравнения для Гй
нужно нарисовать все неприводимые вершинные диаграммы и произвести
в каждой вставки, соответствующие заменам Sp на S'F, \>ц на Гц и Dp
на Z)^,-. Этим путем порождается весь ряд для Г^.
Следует оговориться, что манипуляции, которые производятся здесь
с бесконечными величинами, имеют чисто формальный смысл. При практи-
практических применениях всегда разумно воспользоваться регуляризацией,
в результате которой все интегралы становятся конечными, хотя и зави-
зависящими от обрезания. Величины, которые были бы конечными в отсут-
отсутствие обрезания, при этом не изменятся, в то время как, например,
логарифмически расходящиеся величины превратятся в конечные логариф-
логарифмические функции от регуляризующих масс.
Далее мы перейдем к задаче отождествления расходимостей, встре-
встречающихся в теории, и к предписаниям по устранению их.
Вспомним, что расходящийся матричный элемент М мы называли
примитивным, если при фиксировании в нем какой угодно одной
переменной интегрирования D-импульс) интеграл по остальным пере-
переменным сходится. Фиксирование переменной интегрирования D-импульса)
pjt означает замену внутренней линии связной диаграммы двумя внешними
линиями. Пусть G — примитивно расходящаяся диаграмма с Fe внешними
фермионными линиями и Ве внешними фотонными линиями; тогда, как
мы уже видели в § 1, диаграмма может расходиться, если 3/2 Fe -\- Ве < 5.
Примитивно расходящиеся диаграммы были ранее перечислены в § 1:
1) электронная собственно-энергетическая часть (Fe = 2, Ве = 0);
2) фотонная собственно-энергетическая часть (Ве = 2, Fe = 0);
3) вершинная часть (Fe = 2, Ве = 1);
4) диаграмма рассеяния света на свете (Ве = 4, Fe = 0).
Согласно теореме Фарри, треугольные диаграммы дают нулевой вклад,
и их рассматривать не нужно. Кроме того, как было выяснено выше,
диаграмма рассеяния света на свете благодаря калибровочной инвариант-
инвариантности на самом деле является сходящейся.
Снова подчеркнем, -что большинство диаграмм не обладает тем
свойством, чтобы после фиксирования какого-либо одного из внутренних
37*

580
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
импульсов соответствующий интеграл сходился. В самом деле, из опреде-
определения приводимой диаграммы следует, что приводимая расходящаяся
диаграмма не может быть примитивно расходящейся. Поэтому прими-
примитивные расходимости соответствуют неприводимым (т. е. скелетным)
диаграммам1), перечисленным выше. Имеется только по одной непри-
неприводимой собственно-энергетической части для электрона и фотона.
Фиг. 114.
Они изображены на фиг. 110. Что касается вершинных частей, то сущест-
существуют неприводимые вершинные части любого порядка. Пример непри-
неприводимой вершинной части высшего порядка дан на фиг. 114.
§ 3. Отделение расходимостей неприводимых диаграмм
Дайсон [194] развил метод однозначного разбиения примитивно рас-
расходящихся интегралов на конечную и бесконечную части. Это разбиение
осуществляется при помощи разложения подынтегрального выражения,
соответствующего примитивно расходящейся диаграмме, в ряд Тэйлора
по внешним импульсам [вспомните формулу A5.90) и, особенно, обсужде-
обсуждение после формулы A5.89)]. Так, если R (p, t) — подынтегральное выра-
выражение, в котором р — внешний, at — внутренний импульсы, то разложе-
разложение запишется в виде
A6.47)
Каждое дифференцирование увеличивает разность степеней t в знамена-
знаменателе и числителе на единицу. Поэтому если интеграл расходится логариф-
логарифмически, линейно или квадратично, то при почленном интегрировании
разложения R будут расходиться только один, два или три первых члена.
Вид расходящихся членов следует из релятивистской инвариантности.
Теперь мы рассмотрим отделение расходимостей в выражениях, соответ-
соответствующих различным неприводимым расходящимся диаграммам.
Это верно, если диаграмма, кроме того, является собственной.— Прим. ред.

§ 3. Отделение расходимостей неприводимых диаграмм 581
Электронная собственно-энергетическая часть
Единственную существующую неприводимую электронную собственно-
энергетическую часть можно представить интегралом
2 (W, р) = J R, (р, k) d% A6.48)
который расходится линейно, поскольку [Re (р, к) ос е2у» SP (p — к) y^Dp (к)].
Разложение Тэйлора для этого случая берется в виде
Re(p, k) = Re@, Л) + /,^^|^*))р=о + ReC (p, к). A6.49)
Поскольку выражение 2 расходится линейно, то интеграл от остаточ-
остаточного члена Rec сходится, так как Rcc содержит в знаменателе две
лишние степени по сравнению с подынтегральным выражением Re(p, к).
Итак, выражение A6.48) можно записать в виде
^(W,p) = A'{W) + B'li(W)p^ + ^c(W,p), A6.50)
где A' (W) и В'ц (W) — расходящиеся матричные операторы, не зависящие
от р. Так как величина 2 (W, р) есть скалярная 4x4 матрица, то ее
можно разложить по шестнадцати линейно независимым матрицам Г:
2 (р) = 2S (p) + 2Vm (p) y^ + ~ 2^v (р)а^ + 2Р (р) уъ + 2^м (р) у^ъ. A6.51)
Релятивистская инвариантность требует, чтобы 2S (p), HVix (p) и 2t,xv (p)
были соответственно скалярной, векторной и тензорной функциями от
инварианта р2 и чтобы функции 2^ (р) и 2р(р) были равны нулю.
Поскольку единственным, имеющимся в нашем распоряжении вектором
является вектор />м, то 2Ум (р) = рм 2у (р2), 2rMV (p) = pii_pv TT (р2) и, сле-
следовательно, если еще учесть, что auvp^pv = 0, получим
2 (W, р) = 2S (W, р*) + у»Рр. 2V (W, р2), A6.52)
где мы опустили штрих у 2у. Сравнивая выражения A6.52) и A6.50),
находим
A' (W) = 2S (W, 0) A6.53)
A6.54)
Кроме того, поскольку 2с —выражение сходящееся, то его можно
однозначно записать в виде
2С (W, р2) = A" (W) + B" (W)(y.p-m) + (yp-m) Sc (W, p2), A6.55)
где функция Sc(W, p2) для свободного электрона (т. е. при у-р = пг
и рг = т2) обращается в нуль. Пользуясь формулами A6.54) и A6.55),
можно переписать выражение A6.50) в виде
2 {W, р) = A" (W) + A' (W) + В' (W) у ¦ р +
+ B"(W)(yp-m) + (y.p-m)Sc(W, p2). A6.56а)
Если же ввести обозначения
A' (W) + A" (W) + тВ' (W) = A (W) A6.566)
и
В' (W) + В" (W) = В (W) A6.56в)

582 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
и добавить вклад члена—6т:г|л)э:, то после суммирования по всем не-
неприводимым собственно-энергетическим диаграммам (на самом деле
имеется только одна такая диаграмма!) получим1)
Е* (р) = AI-2ni6mI + BI (y-p-m) + (y-p-m)Sc (I, p2). A6.57)
Это и есть вклад неприводимой (/) собственно-энергетической диаграм-
диаграммы в И*(р). Для Ai в формуле A6.57) имеем
= A (W) = АТ. A6.58)
по непри-
неприводимым Wi
Аналогично, Bj — B(W) и т. д. Перенормировка массы определяется
таким образом, чтобы при у-р — т, т. е. у свободного электрона,
масса точно равнялась т. Поэтому
$(p)ZJ(W./>ЖР) = 0 при ур = т, A6.59)
откуда следует
AI = 2nibmI. A6.60)
Фотонная собственно-энергетическая часть
Неприводимую фотонную собственно-энергетическую часть W,
изображенную на фиг. 110, б, можно представить интегралом
П (W, А) = J йр (k, g) d*q, A6.61)
где П—скалярная квадратично расходящаяся функция. На этот раз
вычитательная процедура определяется при помощи разложения
A6.62)
Так как по сравнению с Rp (к, q) член Rpc (к, q) содержит дополни-
дополнительно третью степень q в знаменателе, то интеграл от него по q схо-
сходится. Поступая аналогично тому, как это было сделано в случае
собственной энергии электрона, получаем с учетом требований кова-
ковариантности
П {W, &) = At (W) + Вlti (W) к» + С^ (W) к» № + Пс (W, к). A6.63)
Величины Аи Вщ, С^ суть тензоры, имеющие одни и те же значения
компонент во всех лоренцевых системах отсчета, а отсюда следует
BllL(W') = 0, A6.64)
С^ (W) = С (W) gilv. A6.65)
Кроме того, калибровочная инвариантность запрещает появление
постоянной ^(И7), и поэтому ее следует приравнять нулю. Таким
образом, учитывая еще, что C^v (W) №кУ — С (W) к2, можно записать
U{W, k) = k*Dc(W, k) + C'(W')k2, A6.66a)
где
Dc{W',k) = 0 при Л» = 0, A6.666)
а постоянная С (W) включена в C'(W).
г) Практически это разбиепие осуществляется разложением Sp (р—к) в Re по
формуле (Л+?)-1 = Л-1 — A-WA-i+A-W (A+B)-iBA-i с А^у-к и В = ур—т.

§ 3. Отделение расходимостей неприводимых диаграмм 583
Наконец, поскольку имеется только одна неприводимая фотонная
собственно-энергетическая часть, получаем
IIf(A*) = A»Ci+ftlZ>c(/, A*), A6.67)
где постоянная С (W) обозначена через С/. Величина П*(А;2) снова
есть вклад в П* от всех неприводимых фотонных собственно-энергети-
собственно-энергетических диаграмм.
Вершинная часть
Вклад вершинных частей самое большее расходится логарифми-
логарифмически. Поэтому в данном случае в разложении Тэйлора для подынтег-
подынтегрального выражения величины Лц члены с производными не требуются
и, следовательно,
, pu р2), A6.68)
где 1^G) — постоянный расходящийся матричный оператор, а остаточ-
остаточный член Лйс сходится и обращается в нуль при pt = р2 = 0. Кова-
Ковариантность требует, чтобы
L»{V)=L{V)y». A6.69)
Кроме того, при pi = p2 и у.р1 = т оператор Л^с сводится к матрице
Vn, помноженной на постоянную. Это значение можно включить в член
L (V) 7ц. Поэтому можно считать, что оператор Лйс в A6.68) равен
нулю не при р1 = р2 — 0, а при y-pl~y-p2 = m и pi = p2. Физичес-
Физический смысл этого утверждения заключается в следующем: вели-
величина ЛAс не дает вклада, когда электромагнитный потенциал
является постоянным, так как такой потенциал переносит нулевой
импульс. Но именно так и должно быть, поскольку постоянный
электромагнитный потенциал всегда можно устранить с помощью калиб-
калибровочного преобразования. Далее, поскольку i|j (p) y^ty (p) есть 4-вектор
тока электрона без учета радиационных поправок, то величину
г|5 (р) T^ty (р) можно интерпретировать, как 4-вектор тока электрона
с учетом радиационных поправок. Поэтому соотношение A6.68) при
сделанных предположениях означает, что весь статический заряд вклю-
включен в член (l-t-L)Yn, поскольку при у.р = т для свободного электрона
Ацс(р, р, F) = 0 и, следовательно, •ф (р) Т^(р) = A+L)$(p) у^(р).
Просуммировав соотношение A6.68) по всем неприводимым вер-
вершинным частям, получаем
2 ЛцG4, pi, p2)=AvJ(pt, P2) = Liyll + Allic(Pi, Pi), A6.70)
по всем непри-
неприводимым Vj
где Li — расходящаяся константа.
Формулы A6.57), A6.67) и A6.70) составляют основу для отделе-
отделения расходимостей в выражениях, соответствующих неприводимым
диаграммам. Что касается конкретных вычислений, то мы отсылаем
читателя к статье Карплуса и Кролла [422], где отделение расходи-
расходимостей собственно-энергетической и вершинной частей наинизшего
порядка проведено явно. Изложенный метод тождествен с методом,
который разбирался в гл. 15, где мы обсуждали перенормировку

584 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
радиационных поправок наинизшего порядка, используя, однако, для
отделения расходимостей регуляризованные выражения.
Теперь мы должны получить формулы, аналогичные формулам
A6.57), A6.67) и A6.70), для вклада в операторы 2*, П* и Гц от при-
приводимых собственных диаграмм; в этих формулах конечные и бес-
бесконечные части снова должны быть разделены релятивистски инвариант-
инвариантным и однозначным образом. На основании соображений инвариант-
инвариантности ясно, что эти операторы должны иметь вид
2* (р) = (А — 2т6т) + 2яВ (у.р-m) + Sc(p) (у-р-т), A6.71)
П* (А) = 1лСВ + k2Dc (А2), A6.72)
Л-я(Ри P2) = Lytl + Av.c(Pu Рг), A6.73)
где
Sc(p) = 0 при у'р = т,
\с(р, р) — 0 при у-р — т A6.74)
и
Dc(k2) = 0 при к2 = 0, A6.75)
а А, В; С и L — расходящиеся константы.
Формулы A6.71), A6.72) и A6.73) дают лишь окончательную форму
для этих операторов. Однако прежде всего мы должны научиться отде-
отделять расходимости в выражениях, соответствующих приводимым диаграм-
диаграммам, чтобы получался однозначный, ковариантный и сходящийся результат.
§ 4. Отделение расходимостей приводимых диаграмм
В предыдущем параграфе мы рассмотрели инвариантный метод Дай-
сона для отделения расходимостей неприводимых диаграмм. Чтобы пока-
показать возможность перенормировки теории в целом, мы должны рассмотреть
диаграммы всех возможных типов и всех порядков, приводимые и непри-
неприводимые. Следовательно, нужпо показать, как отделяются расходимо-
расходимости приводимых диаграмм.
Диаграммы G, получающиеся из неприводимой диаграммы Go путем
вставок V, W, W в различные линии и вершины Go, могут быть подразделе-
подразделены на три класса:
1) диаграммы с совершенно неперекрывающимися вставками;
. 2) диаграммы, на которых вставки целиком содержатся друг в друге;
3) диаграммы с перекрывающимися вставками.
Отделение расходимостей первых двух классов диаграмм можно
выполнить по методу инвариантного отделения, развитому Дайсоном, т. е.
так, как это было объяснено в предыдущем параграфе. Если вставки не
перекрываются, то отделение может быть выполнено независимо в каждой
вставке. Расходимости, соответствующие диаграммам второго класса,
можно отделить по тому же методу последовательно, начиная с расходи-
расходимости самой внутренней вставки и заканчивая расходимостью диаграммы G
как целого. Например, на диаграмме фиг. 115 расходимость, соответствую-
соответствующая интегрированию по Аь отделяется первой, затем отделяется расходи-
расходимость, возникающая от интегрирования по А2, и наконец — расходимость,
обусловленная интегрированием по к3. Не представляют трудностей
и комбинации расходимостей первых двух типов. Так, на диаграмме
фиг. 116 первой отделяется расходимость от интегрирования по At, затем
расходимость фотонной собственно-энергетической части в линии kz

,§ 4. Отделение расходимостей приводимых диаграмм
585
и в конце концов отделяется расходимость, соответствующая интегрирова-
интегрированию по к2.
Однако метод Дайсона недостаточен для перекрывающихся вставок,
так как в этом случае мы сталкиваемся с интегралами, которые расходятся
одновременно по более чем одной переменной. Они расходятся, даже если
Фи г. 115.
интегрировать только по какой-либо одной из переменных, удерживая
фиксированными другие [см., например, выражение A6.76а)]. Эта ситуа-
ситуация резко отличается от ситуации для диаграмм первых] двух классов,
когда на каждом этапе можно иметь дело только с одной переменной
Фиг. 116.
интегрирования и когда разложение A6.47) действительно ведет к отделе-
отделению расходимостей.
Пример такой перекрывающейся диаграммы показан на фиг. 117. Она
представляет собой диаграмму собственной энергии электрона, которая
р-к2
Ф иг. 117.
может быть получена вставкой вершинной части в вершину а или в вер-
вершину b диаграммы, изображенной на фиг. 118. Диаграмме фиг. 117 соот-

586 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
ветствует матричный элемент
2(TF2, p) = e* J d%x J dik2F^(p,k1)Gvll(p, kit кг)Н^(р,-к,), A6.76а)
где
**<" *»)-^^Й^-^. Aв.76г)
В данном случае не только двойной интеграл по к±к2 расходится линейно,
но расходятся (логарифмически) и интегралы по какой-либо одной из пере-
переменных kt или fe2, когда другая фиксирована.
То же самое происходит при вставке вершинной части в вершину а
фотонной собственно-энергетической диаграммы второго порядка, изобра-
изображенной на фиг. 119, а. Эта вставка одновременно может быть воспринята
как вставка во вторую вершину b (фиг. 119, б). В общем случае вклад
в П* (или 2*) от некоторой приводимой диаграммы, подобной диаграмме
фиг. 119, б, есть интеграл, который обладает расходимостями, соответ-
соответствующими всем способам, какими можно построить диаграмму при помощи
а о
Фиг. 119.
вставок вершинных частей в одну из двух или сразу в обе вершины перво-
первоначальной неприводимой диаграммы. Дайсон назвал эти расходимости
« 6-расходимостями».
Другими словами, 6-расходимости ведут к трудностям по той причине,
что одну и ту же приводимую собственно-энергетическую часть можно
рассматривать как построенную из неприводимых компонент многими
различными способами, соответственно тому, считается ли вершинная
часть подставленной в одну или в другую вершину неприводимой диаграммы
второго порядка, а каждый возможный способ построения вносит свои
расходимости независимо.
Дайсон в 1949 г. (не опубликовано) и Салам в 1951 г. [689, 690] дали
однозначные правила для отделения расходимостей перекрывающихся
диаграмм. В применении к неперекрывающимся диаграммам эти правила

§ 4. Отделение расходимостей приводимых диаграмм 587
сводятся к правилам, данным в § 3. Новые правила позволяют однозначно
выделять ковариантные и абсолютно сходящиеся остаточные члены в слу-
случае перекрывающихся расходящихся частей.
По-видимому, стоит подчеркнуть, что при получении правильного
предписания для отделения расходимостей перекрывающихся диаграмм
трудность представляет только правильное перечисление всех расходящихся
частей, которое позволяло бы интерпретировать вычитания как перенор-
перенормировку и приводило бы к однозначному выделению конечных частей.
Задача трудна потому, что она требует анализа чрезвычайно сложных мно-
многократных интегралов, для которых не существует адекватных обозначе-
обозначений. (По выражению Салама, адекватные обозначения — это такие обозна-
обозначения, которые кажутся «краткими, точными и понятными по меньшей
мере двум лицам, одно из которых может быть их автором».) Впервые такие
обозначения были введены в важной статье Салама [689], благодаря кото-
которой обсуждение проблемы перенормировок приобрело более ясную и
более строгую основу. Сейчас мы кратко, не входя в детали, изло-
изложим метод Салама.
Рассмотрим n-кратный интеграл /„, соответствующий некоторой
диаграмме с п «базисными» 4-векторами импульса tt, такими, что аргументы
всех функций распространения выражаются как линейные комбинации tt
(и импульсов, соответствующих внешним линиям). Различные множители
Sp uDp в /„ будут как функциями одной переменной tt, так и функциями
двух и более таких переменных. Интеграл A6.76а) есть пример 1п при
п = 2. По терминологии Салама, интегрирование по меньшему, чем п,
числу переменных при фиксированных остальных называется субынте-
грированием. Сходимость каждого субынтеграла можно оценить под-
подсчетом степеней tj (по которым ведется субынтегрирование) в числителе
и знаменателе подынтегрального выражения. При подсчете степеней все
переменные интегрирования следует рассматривать как равноправные.
Именно этим путем мы пришли к заключению, что двойной интеграл по
Ajft2 A6.76а) расходится линейно, так как в числителе стоит 11-я степень
импульсов к, а в знаменателе — только 10-я. Для сходимости /п как целого
должен сходиться не только окончательный интеграл по переменным
ti, . . . tn, но и различные субынтегралы по меньшему числу базисных
переменных, т. е. по tb tttj, . . ., tttj . . . tn_lf выбираемых всеми воз-
возможными способами. Возможен случай, когда интеграл в целом сходится
(судя по результатам подсчета степеней tt), но некоторые субынтегралы
расходятся. Тогда говорят, что этот интеграл с виду сходящийся.
Чтобы сделать интеграл 1п сходящимся, следует вычесть из подынте-
подынтегрального выражения ряд расходящихся членов. Сперва те, которые соот-
соответствуют всем возможным субьтнтегрированиям по числу переменных
от 1 до (п — 1), а затем — соответствующие окончательному интегриро-
интегрированию по всем п переменным. Правила, по которым вычитаются расходя-
расходящиеся члены, следующие.
Сперва фиксируются все переменные подынтегрального выражения,
кроме ti, и по правилам Дайсона [используя разложение A6.47)] вычи-
вычитаются расходимости, соответствующие субынтегрированию по ?4. В этих
вычитаемых членах множители, не зависящие от tu оставляются неизмен-
неизменными, а в множителях, содержащих it, переменным t2, t3l ... tn и внеш-
внешним импульсам придаются значения, соответствующие свободным части-
частицам. Аналогично должны быть сделаны вычитания, соответствующие
субынтегрированиям по каждой из остальных переменных интегрирова-
интегрирования t2, . . . tn. В новом подынтегральном выражении, полученном таким

588 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
способом, нужно далее зафиксировать все переменные, за исключением
двух ti и t2, и вычесть расходящиеся члены, соответствующие субынтегри-
рованию по t^t2, причем при получении этих членов из нового подынте-
подынтегрального выражения множители, не содержащие t± и t2, следует оставить
неизмененными, а в множителях, зависящих от tu или от t2, или от обеих
переменных сразу, переменным t3, ?4> • • -^п (и внешним импульсам) сле-
следует придать значения, соответствующие свободным частицам. Аналогич-
Аналогичные вычитания должны быть сделаны для всех возможных остальных пар
переменных tttj. Таким же образом вычитаются расходящиеся члены, соот-
соответствующие субынтегрированиям по tttjtk, . . . t±t2 . . . tn_t, причем
на каждой стадии перед вычитанием расходящихся членов, соответ-
соответствующих какому-либо субынтегрированию, подынтегральное выражение
должно быть модифицировано путем вычитания расходящихся членов,
соответствующих всем возможным субынтегрированиям предыдущего
порядка. «Истинная расходимость» при некотором субынтегрировании
может быть определена как расходящаяся часть, которую необходимо
вычесть из «модифицированного» подынтегрального выражения (как это
только что было определено), чтобы сделать этот субынтеграл сходящимся.
После того как таким же образом произведено вычитание истинных
расходимостей, соответствующих всем субынтегрированиям вплоть до
(п — 1)-го порядка, необходимо произвести последнее вычитание, чтобы
отделить истинную расходимость, возникающую при интегрировании
по всем п переменным. Наконец, если в процессе этой вычитательной про-
процедуры обнаружится, что какой-либо субынтеграл с виду сходящийся,
тогда соответствующего вычитания делать не нужно.
Вся процедура в целом может быть математически выражена следую-
следующим образом:
п
In = .2 D (tt) R (tu ... tuu tt+u ...*„) +
71
+ J\D(t;, t})R(tu ... tUi, ti+i, ... tj_i, tJ+i, ... *„) +
ij
+ ...+D (tu ...tn) + Ic (tl7 ...«„). A6.77)
Здесь D(tt, tj, ...) —«истинная расходимость», соответствующая субын-
субынтегрированию по переменным tttj..., а соответствующий множитель R
называется «приведенным интегралом»; D(tu t2, ¦•¦ tn) — «истинная
расходимость» при окончательном интегрировании по всем п перемен-
переменным. Салам показал [690] (см. также работу Вайнберга [824]), что
в перенормируемой теории поля эта вычитательная процедура на самом
деле приводит к абсолютно сходящемуся и однозначно определенному
остаточному члену /с.
Отметим, что если интеграл /„ не содержит перекрывающихся
множителей, то его можно записать в виде
In = ( \F, (t,) dnC) ( \ Ft (t2) d%) ...($*"„ Цп) <1ЧпЛ . A6.78)
В этом случае можно отделить расходимости по каждой переменной
отдельно по методу Дайсона, и конечная часть A6.78) запишется
в виде
п
1с = П ( $ (*V (tr) - Dr itr)} d4 I,) , A6.79)

§ 4. Отделение расходимостей приводимых диаграмм 589
где Dr (tr) — член, который при интегрировании по tr дает истинную
расходимость.
Если в данном случае неперекрывающихся диаграмм соответ-
соответствующим образом определить истинные расходимости D и приведен-
приведенные интегралы R, то из формул A6.78) и A6.79) вытекает
п
/» = .2 D (ti) R (tu . . . ti-u ti+u ...*„)-
П
- lJD(tu tj) R (tu . . . *,_!, ti+u .. . tj.u tj+i, . . . tn) +
+ (- I)"-1/) (*t, t2, ... tn) +1 c (tu t2,... tn). A6.80)
Таким образом, в отличие от формулы A6.77) члены разложения
A6.80) имеют чередующиеся положительные и отрицательные зпаки.
Разложениями A6.77) и A6.80) можно теперь воспользоваться для выво-
вывода формул A6.71), A6.72) и A6.73). После этого, если величины S'Fi, D'Fi
и Гщ суть конечные физически существенные части функций S'F, D'F
и Гц, получаемые из последних путем отбрасывания расходящихся
частей операторов 2*, П* и Гц, то можно показать, что после подходя-
подходящей перенормировки массы эти конечные функции будут связаны
с соответствующими бесконечными согласно
A6.81)
где Zi, Z2 и 2Ъ — расходящиеся константы, а е{ = Z"xl Z2Z\l* e — пере-
перенормированный заряд.
Мы не будем приводить здесь этого вывода. Он дан в статьях
Салама [689, 690], в которых также содержится доказательство пере-
перенормируемости мезонных теорий со связями без производных (см. так-
также работу Такеды [767]). Вместо этого мы будем следовать видоизме-
видоизмененной вычлтательной процедуре У орда [817], при которой удается
избежать построения приводимых собственно-энергетических частей.
С этой целью Уорд использует выведенное им [816] формальное тожде-
тождество, о котором будет идти речь в следующем: параграфе.
В заключение настоящего параграфа следует отметить, что при
рассмотрении приводимых собственно-энергетических частей сформули-
сформулированные выше правила Салама необходимы, чтобы правильно интер-
интерпретировать вычитания как умножение на множители Z. Только приняв
эти (однозначные) правила для отделения расходимостей, можно доказать
перенормируемость теории на пути, намеченном Дайсоном [194]. Однако
что касается практических приложений, то правильные конечные части
получаются при помощи более «наивного» подхода, который мы проде-
продемонстрируем на примере перекрывающейся диаграммы, изображешюй
на фиг. 117.
Данная диаграмма может рассматриваться как результат вставки
вершинной части Лц(р — к, р) в вершину b (или а) на фиг. 118. Этот
оператор можно разбить на сходящуюся и расходящуюся части по
формуле A6.70):
Л(* ) (р-к, р). A6.82)

590 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
Если сложить выражения, построенные по диаграммам фиг. 118 и 117,
то расходящийся член Ly^. можно убрать перенормировкой заряда
в выражении, соответствующем диаграмме фиг. 118. Иначе говоря, можно
отбрасывать расходящийся член, молчаливо подразумевая, что это экви-
эквивалентно умножению выражения, соответствующего диаграмме более
низкого порядка, на постоянный множитель, т. е. переопределению
заряда (константы связи), стоящего общим множителем в этом выраже-
выражении. Если мы теперь вставим оператор Лдс (Р — к, р) вместо у^ в вер-
вершине b (или а) фиг. 118, то конечная часть оператора 2, соответствую-
соответствующего фиг. 117, будучи вычислена путем вычитания расходимости по
правилу A6.57), окажется тождественно равной конечной части, полу-
получающейся по правилам Салама. Однако расходящиеся части (если их
удержать), полученные обоими способами, будут различными. В дей-
действительности, если принять эту «наивную» методику, то мы не смогли
бы доказать перёнормируемость теории, поскольку расходимости не
удалось бы интерпретировать на языке множителей Z, перенормирую-
перенормирующих заряд е единым образом во всех матричных элементах.
§ 5. Тождество У орда
Если продифференцировать тождество SF (p) Sp1 (p) = 1 по р^,, то
после несложного преобразования
dSp(p) „ t-r>\dS
= — ,bF{p)
,bF{p) d Ц, ^f{P)- (l
Подставляя сюда в качестве S'p(p) явное выражение 2п(у- р — т),
находим
^М = - 2nSF (p) yv.SF (p). A6.836)
Правая часть соотношения A6.836) содержит набор множителей, соот-
соответствующий диаграмме фиг. 120, где импульс фотонной линии равен
Фиг. 120.
нулю. Поэтому формальное дифференцирование функции распростране-
распространения Sp(p) no pv соответствует присоединению линии фотона с равным
нулю импульсом к электронной линии.
Рассмотрим далее собственно-энергетическую диаграмму W, изобра-
изображенную на фиг. 110, а. Ей соответствует оператор
2(PlW)=-"Ll d*kY>SF (p - к) yvDF (к). A6.84)

§ 5. Тождество Уорда 591
Если продифференцировать оператор 2 (р, W) по р^, то с помощью
тождества A6.836) получим
F (р - к) y»S (p - к) yvDF (к). A6.85)
Но это выражение с точностью до множителя ( —2я) равно оператору
Лр, (V, р, р)-, который соответствует вершинной диаграмме наинизшего
Фиг. 121.
порядка, изображенной на фиг. 109, б, если там импульс фотона к при-
приравнять нулю1).
Очевидно, что из собственной собственно-энергетической диаграммы
W путем присоединения внешней фотонной линии к какой-либо внут-
внутренней электронной линии W можно получить собственную вершинную
диаграмму V. Как мы уже видели, присоединению фотонной линии
с равным нулю импульсом к электронной линии формально соответст-
соответствует дифференцирование функции распространения, представляющей
эту линию, по переносимому ею внешнему импульсу р&. Поэтому диф-
дифференцирование оператора 2 (W, р) по р& присоединяет фотонную линию
к каждой электронной линии, переносящей импульс р, диаграммы W2).
!) Появление численного множителя —2al в выражении A6.84) становится
понятным, если вспомнить, что, согласно соотношению A6.30), оператор S (р, W)
определен как матричный элемент, соответствующий диаграмме W, который допол-
дополнительно помножен на множитель ._ . Точно так же напомним, что оператор
(ZJt)J
()
Лр, (j>i, P2< V) был определен 'как оператор, которым нужно заменить матрицу
в выражении
соответствующем простой вершинной диаграмме фиг. 109, а, чтобы получилось
выражение, соответствующее диаграмме V (фиг. 109, б). Отсюда оператор Л^,
соответствующий фиг. 109, б, равен
Pa,
) = -2oi \
а) Сделаем замечание по поводу собственных собственно-энергетических частей,
содержащих замкнутые контуры. Рассмотрим, например, диаграмму фиг. 121. На этой
диаграмме импульсы р2 и р3 можно выбрать не зависящими от р. Однако к ним всегда
можно добавить импульс р, не меняя значения интеграла, поскольку переменные р2
и р3 суть переменные интегрирования. Если это сделать, то дифференцирование по р
будет присоединять фотонную линию с импульсом, равным нулю, и к линиям замкну-
замкнутого контура, и, следовательно, эти собственные вершинные диаграммы учитываются
автоматически. В действительности они дают нулевой вклад на основании теоремы
Фарри: у замкнутого контура теперь будет нечетное число вершин, в результате чего
произойдет сокращение с вкладом от другой диаграммы, на которой электрон-
электронные линии замкнутого контура обходятся в противоположном направлении.
Другой способ рассуждений—ввести контурную переменную интегрирования f ,

592 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
Если же мы просуммируем по всем собственным собственно-
энергетическим диаграммам, а затем продифференцируем по р, то
мы получим сумму по всем собственным вершинным диаграммам.
Таким образом,
1 '(92* (Р) А / \ ,АГ ОС^
Это соотношение, связывающее операторы 2* и Лд, впервые было выве-
выведено Уордом [815, 816].
Фиг. 122.
Тождество A6.86) позволяет получить соотношение, связывающее
функции S'p и Г. Из A6.34) следует, что
(^ A6.87)
и отсюда
il(p, р)^Т^(р, р). A6.88)
Это другая форма записи тождества Уорда.
Несколько иной вывод, обнаруживающий связь тождества Уорда
с требованием калибровочной инвариантности, можно дать, основываясь
на том, что постоянный внешний электромагнитный потенциал передает
нулевой импульс. Рассмотрим собственный собственно-энергетический
оператор 2* (р) (фиг. 122) в присутствии некоторого постоянного потен-
потенциала йц и обозначим его через 2а(р) (импульс р прежний!). Теперь
разложим оператор 2а (р) в ряд по степеням внешнего потенциала
2* (р) = 2 (р) + 2леа»К» (р, р) + ^- aWE^ (р, р) + -.. - A6.89)
Однако на основании требования калибровочной инвариантности опе-
оператор 2а (,р) должен также быть равен оператору Ъ*{р — еа), так что
+.... A6.90)
а=0
которая войдет в состав аргумента каждой электронной линии контура. Тогда при-
присоединение фотонной линии с равным нулю импульсом к линиям контура получается
при помощи дифференцирования по t Интегрирование такого подынтегрального
выражения по переменной t^ даст нуль [815].

§ 6. Доказательство перенормируемости 593
Сравнивая разложения A6.89) и A6.90), получаем
=s-(/?'/?)- A6-92)
¦ Оператор Вр.г есть часть оператора, соответствующего комптоновскому
рассеянию фотона с нулевой энергией.
Связь между этими двумя методами вывода тождеств Уорда ста-
становится очевидной, если заметить, что в обоих случаях имеется линия,
переносящая заряд, которая изменяется либо присоединением к ней
фотона с равным нулю импульсом, либо заменой ее импульса р на
импульс р — еа, где е — заряд, переносимый линией. Разумеется, тот
факт, что заряд проходит через всю диаграмму от начала до конца
непрерывным образом, есть следствие закона сохранения заряда. Это
обстоятельство гарантирует также, что при дифференцировании опе-
оператора 2* (р) по jOp. фотонная линия с равным нулю импульсом при-
присоединяется всеми возможными способами, и, следовательно, каждая
возникающая диаграмма будет собственной вершинной частью. Обрат-
Обратно закон сохранения заряда можно вывести как следствие инва-
инвариантности теории относительно калибровочного преобразования
¦ф—> exp (iea^xv-) tj), при котором р\р —>(/? — еа) т|з и из которого следует
соотношение A6.90).
В действительности эти соображения приводят к обобщению при-
приведенного выше тождества Уорда и соотношений A6.91) и A6.92).
Обобщенные соотношения связывают любую диаграмму Фейнмана с диа-
диаграммой, содержащей на единицу меньшее число внешних фотонных
линий (см. работы Такахаши [766], а также Казеса [436]). Простейшее
обобщенное тождество Уорда гласит
2л(p'n-pj I> (р1, р) = S'F-x (pr) - S'fi (p). A6.93)
*
Нам не придется использовать это обобщенное тождество Уорда в даль-
дальнейшем.
Мы закончим настоящий параграф замечанием, что прямым след-
следствием тождества Уорда является соотношение
Я + ? = 0, A6.94)
связывающее константы, входящие в выражения A6.71) и A6.73).
Этим доказывается, что в квантовой электродинамике во всех поряд-
порядках вершинная расходимость сокращается с расходимостью перенор-
перенормировки волновой функции.
§ 6. Доказательство перенормируемости
Теперь мы приведем доказательство перенормируемости квантовой
электродинамики, принадлежащее Уорду [817]. В этом доказательстве про-
проблема перекрывающихся расходимостей обходится путем сведения анализа
собственных электронных собственно-энергетических диаграмм к анализу
собственных вершинных частей, а анализа собственных фотонных соб-
собственно-энергетических диаграмм — к анализу некоторого другого класса
диаграмм, для которых также нет перекрывания.
38 с. Швебзр

594
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
В качестве простой иллюстрации метода в случае электронных
собственно-энергетических диаграмм рассмотрим собственногэнергетиче-
ский оператор 2* (р, W2), соответствующий диаграмме фиг. 123. Как
показал анализ в § 4, оператор 2* (р, W2) содержит перекрывающиеся
расходимости. Вычисляя производную -х—2* (p, W2), мы получаем три
члена, соответствующих диаграммам а, б и в, показанным на фиг. 124.
Фиг. 123.
Эти три диаграммы возникают путем присоединения внешней фотонной
линии с равным нулю импульсом к трем внутренним электронным
линиям диаграммы фиг. 124. Мы обозначим операторы, соответствую-
соответствующие этим трем диаграммам, через Л^(ри р2, V?'), i = l, 2, 3. Отметим,
что, во-первых, добавление внешней фотонной линии прежде всего
в
Фиг. 124.
уменьшает степень расходимости (диаграммы фиг. 124 расходятся лога-
логарифмически, тогда как диаграмма фиг. 123 — линейно) и, во-вторых,—
и это для нас наиболее существенно — расходящиеся части этих соб-
собственных вершинных диаграмм можно отделить без каких-либо затруд-
затруднений и произвола. Пусть эти расходимости уже отделены в Лц (р, р, Vf)
по правилам, которые были даны выше. Поскольку имеется связь
з
-Ж^*(ГЛ2)- = 2 Л» <*' * F*2>) = Л» to P, V2), A6.95)
то оператор S* (p, W2) путем интегрирования соотношения A6.95)
можно выразить обратно через оператор Лц (р, р, V2)
v
2* (р, W2) - 2* (р', W2) = - 2я J Л* (р', р", V2) dp"». A6.96)
v'

§ 6. Доказательство перенормируемости
595
Далее вспомним, что оператор Е* (р, W2) при р — т, р2 — т2 равен
2ni6m (W2). Поэтому
где
у.р' =
№(рГ, р", V2)dp"», A6.97а)
A6.976)
Таким образом, если в формулу A6.97) подставить выражение для
оператора Л^ (р", р"; V2) (соответствующего собственной вершинной
Фиг. 125.
части) с уже отделенными расходимостями, то для оператора Е* (р, W2)
получится выражение, в котором расходимости будут отделены и клас-
классифицированы. При этом мы нигде не встретимся с трудностями, свя-
связанными с проблемой перекрывания.
Аналогичную процедуру можно разработать для перекрывающихся
расходимостей, соответствующих фотонным собственно-энергетическим
Фиг. 126.
частям. Так, рассмотрим, например, собственную собственно-энергетиче-
собственно-энергетическую диаграмму, показанную на фиг. 125, которой соответствует фотонный
собственно-энергетический оператор П* (к, W'2). Обратим внимание на
импульсы, приписанные внутренним электронным линиям. Поскольку
Л * = : А ,,и 1 . ,1698ч
дк^ у (к— q)—m y.(k—q)—m^ у-(к — q)—т ' \w.vo)
то оператор Ац(А, к; W2), получающийся при дифференцировании опе-
оператора П* (к, W'2) по &ц, можно построить по диаграммам а ж б фиг. 126,
которые^ получаются путем присоединения внешней фотонной линии
с равным нулю импульсом к тем электронным линиям диаграммы
фит. 125, которые переносят внешний импульс.
Расходимость полученных диаграмм снова оказывается слабее рас-
расходимости диаграммы фиг. 125. В самом деле, диаграммам фиг. 126,
представляющим оператор А^(А, к; W2), соответствуют только логариф-
логарифмические расходимости (линейные расходимости не возникают благодаря
лоренц-инвариантности). Кроме того, расходимости могут быть отделены
38*

596 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
без каких-либо затруднений и произвола. Раз расходимости отделены, то
оператор П* снова можно найти, интегрируя по конечному интервалу. В
более высоких порядках ситуация оказывается несколько сложней, так как
существуют фотонные собственно-энергетические диаграммы, на которых
импульс внешнего фотона должны переносить некоторые из внутренних
фотонных линий (см., например, фиг. 127). В этом случае дифферен-
дифференцирование по &Ц ведет не к множителю у^, а к множителю &„,. Одновременно
оно будет увеличивать степень знаменателя и, таким образом, снова
улучшать сходимость интеграла. Во всяком случае, дифференцирование
по &Ц всегда устраняет перекрывающиеся расходимости, поскольку при
присоединении фотонной линии с равным нулю импульсом к какой-
Фиг. 127.
либо части, обладающей перекрывающейся расходимостью, тот элемент ди-
диаграммы, к которому непосредственно присоединилась фотонная линия, пе-
перестает расходиться—остается только одна из двух перекрывающихся
расходимостей.
Посмотрим теперь, как работает метод в общем случае. Начнем
с электронных собственно-энергетических частей. Интегрируя соотноше-
соотношение A6.86), получаем
р
2* (р) - 2* (рг) = - 2я J dq*A» (q, q) A6.99a)
v'
i
= - 2я jj dx (p» - p'») A» (px, px). A6.996)
о
Вторая форма [выражение A6.996)] получается после замены переменной
где, по определению, р' — импульс свободного электрона, т. е. подра-
подразумевается, что после интегрирования по х величина р'2 приравнивается
т2, а величина у • р' приравнивается т (где т — экспериментальное зна-
значение массы электрона). При этом с помощью члена 2* (р') автомати-
автоматически учтена перенормировка массы, так как, по определению, вели-
величина 2* (/>') при у • р'— т., р'2 = т\ равна 2nibm1). В дальнейшем мы не
будем выписывать член. 2* (р'), считая, что член Ьт включен в опре-
определение Х*(р). Как видно из формулы A6.46), оператор Л^ будет
получен правильно, если в выражениях, соответствующих всем непри-
неприводимым вершинным диаграммам, мы заменим все у^ на Гц, все SF на
S'F и все DF на D'F, а затем просуммируем весь ряд. Оператор Лц не
содержит пзрзкрываний, так как он строится из неприводимых
!) Более подробно импульс // задавать не нужно, так как он появляется
только в составе коваригнтных комбинаций у-р' или р'-р' = р'2.

6. Доказательство перенормируемости
597
диаграмм, и поэтому конечные части могут быть отделены без затруд-
затруднений и произвола.
Поступая аналогично, определим оператор Д^ с помощью уравнения
A6.100)
так что
И. А
(к) = - 2Я J dqHip (q, q)=-2n\jdy Й*Д„ (%, ky), A6.101)
0
П*
где собственная энергия фотона П* @) была приравнена нулю в согла-
согласии с требованием калибровочной инвариантности.
а
Фиг. 128.
Важно ясно понимать, что данное выше определение Д^ как про-
производной П* является в действительности неявным определением, кото-
которое позволяет вычислять функции П* и Дц с помощью некоторого клас-
класса неприводимых диаграмм, выбираемых специальным образом. Фактиче-
Фактически в интегральные уравнения будет входить не Дм, а функция, опреде-
определяемая согласно
W» (к) = 2к^ + Дц (к, к). A6.102)
Она связана с функцией Dp соотношением
д
1
2л
[D'F
так что
A6.103)
A6.104)
Соотношение A6.104) и показывает, что расходящаяся функция W^
будет встречаться в интегральных соотношениях, определяющих опера-
операторы Dp, П* и т. д.
На языке диаграмм Фейнмана функция W^ есть вклад всех непри-
неприводимых диаграмм, получаемых из фотонных собственно-энергетических
диаграмм путем присоединения внешней фотонной линии к электронвым
линиям, переносящим внешний фотонный импульс (фиг. 128). При
выписывании точного матричного элемента по исходным диаграммам
Фейнмана снова должны быть сделаны замены: Yn ~~> Гц, DF —> D'F
и SF —> S'F. Первые два члена: 2/с^ и член, соответствующий простей-

Ij98 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
шей контурной диаграмме, даются выражением
W» (k) = 2^-|- a J Sp{r>(p,p + k)S'F(p + k)x
xTil(p + k,p + k)SF(p + k)Tv(p + k,p)S'F(p)}dip+... A6.105)
Существуют также члены более высоких порядков. Следующий член
соответствует диаграмме, содержащей внутри контура две пересекаю-
пересекающиеся фотонные линии (см. фиг. 128, б), и т. д. Итак, оба оператора:
и Лц, и W^— суть определенные суммы вкладов неприводимых диаграмм,
которые в худшем случае расходятся логарифмически.
Теперь можно дать схему построения (последовательными прибли-
приближениями) конечных частей функций Гц, S'F и DF, которые должны
вставляться в скелетные диаграммы при вычислении точных матрич-
матричных элементов.
С этой целью напомним, что оператор Гц расходится логарифми-
логарифмически, так что оператор Гц1, определяемый согласно
Г,а(/>1, Рг) = Чц + Л-ц(Р1, Ра)-Лц (р[, р[), A6.106)
где р[—снова 4-импульс свободного электрона (т. е. у-р[ = тп, р[2 = тп%),
будет конечным. Вспомним также, что оператор Дц может расходиться
линейно, поскольку оператор П* расходится квадратично. [В действи-
действительности лоренц-инвариантность понижает эту расходимость до лога-
логарифмической, так как не существует инвариантного 4-вектора, т. е.
постоянная Дц @, 0) в формуле A6.107) равна нулю.] Поэтому величина
А, (ук, ук) - Д, @, 0) _ (yk)v CYw^)^ <16-107>
является конечной. Далее, следуя Уорду, произведем вычитания, делаю-
делающие конечными ядра в уравнениях A6.34) — A6.37). Решениями этих
новых уравнений будут конечные функции S'Fi, D'Fi и Г,а. Таким обра-
образом, приходим к уравнениям
1
S'fx (р) = S*< (P) - 2nSF (p) \ dx (р* - p'v) {Au (рх, рх) - Лц (р\ р')} S'Fi (p),
A6.108)
D'Fi (к) = DF (к) - 2nDF (к) ^
х { Д, (ук, ук) - Д, @, 0) - (ykv) Г %g|^)fe=o} D'Fl (к), A6.109)
IVifri, pi) = Vn + \i(Pi, Pi)-A-v(Pi, Pi), A6.110)
Операторы S'Fi, D'Fi, Гщ, определяемые интегральными уравне-
уравнениями A6.108) — A6.110), будут конечными. Постоянную е в этих
модифицированных уравнениях заменим всюду другой постоянной е4.
Теперь покажем, что если е4 —подходящим образом выбранная функция
постоянных еим, тогда модифицированные функции S'Fi (p, et), DFi (к, et)
и Гц! (pi, pi, ej) отличаются от первоначальных расходящихся функций
S'F(p,e), D'F(k,e), Гц (pi, p2; e) только общими множителями. Другими
ловами, модификация первоначальных интегральных уравнений A6.34) —
6.37) путем вычитания бесконечных членов эквивалентна перенормировке

* § 6. Доказательство перенормируемости 599
заряда. Точнее говоря, мы покажем, что конечные и соответствующие
бесконечные функции, определяемые уравнениями A6.34), A6.36а) й
A6.37), связаны следующим образом
SF(p;e) = Zi{el)SFl{p;el), A6.111)
D'F (k; e) = Z3 (et) D'Fl (k; e»), A6.112)
Гц (Pi, Рг, e) = Z (et) Гщ (plt p2; ex), A6.113)
где Zi, Z2, Z3 — бесконечные константы, подлежащие определению, а
e4 = Z-lZaZJ/ie. A6.114)
Эти соотношения, впервые выведенные Дайсоном [194], позволяют
интерпретировать вычитание бесконечных констант как выделение бе-
бесконечных постоянных множителей.
Доказательство перенормируемости квантовой электродинамики про-
проводится в два этапа: первый этап состоит в выборе вычитательной про-
процедуры (или регуляризации) с целью сделать конечными интегралы,
которые без этого расходятся; второй этап посвящается доказательству,
что это вычитание (или регуляризация) эквивалентно перенормировке,
т. е. что отбрасывание расходящихся членов равнозначно изменению
значений параметров, через которые была записана первоначальная
неперенормированная теория, например постоянных т0 и е.
В справедливости соотношений A6.111), A6.112) и A6.113) можно
убедиться, подставляя выражения A6.111) — A6.113) для величин Sp,
D'F и Гц в первоначальную систему определяющих их уравнений:
A6.115)
A6.116)
A6.117)
по всем непри-
неприводимым V1
где операторы 2* и П* даются формулами A6.44) и A6.45) соответ-
соответственно. Далее, в выражении A6.46) для Гц каждый член с коэффи-
коэффициентом (е2)" содержит ровно п функций D'F, 2/г функций Sp и B/г + 1)
функций Г. Поэтому если в выражении для Г заменить е на ei по фор-
формуле A6.114), a Dp, Sp и Гц — их конечными прообразами, с которыми
они связаны соотношениями A6.111), A6.112) и A6.113), то мы получим
Лц (е, Гц, S'F, D'F) = Я^Лц (еи T^S'pt, DFi). A6.118)
Аналогично, в выражении A6.105) для Дц каждый член с коэффициен-
коэффициентом (е2)" содержит B/г+1) функций Г и б1}? и (п — 1) функций Dp, так
что если мы снова заменим е на et, Sp на Spi, D'F на D'F\ и Гц на Гц1,
то найдем
Д/ тч О' г\г \ 7-17-17 Л /Л Г* С П' \ /4 С i лп„\
ц (е, 1 ц, op, DF) = Zj Z3 Z2&H {ei, 1 щ, ojn, ь'рч; Aо.11Уа)
или
Т^ц(е, Гц, ^>, Z)>) = Z^Z^Wy, (elt Гщ, 5>ь Z)>i). A6.1196)
Используя все это, соотношения A6.99) и A6.101) можно переписать
в виде
1
^ \jdx(p^ — p'^)All(px,px;euYi,Spi,Dpi) A6.120)
о

600 Гл. 16. Количественная, теория перенормировок*
1
11* (к; ei)= — 2nZ1Z2Z~1 С dy k^All(yk,yk; eu Tu S'Fl, D'Fl). A6.121)
о
Интегральные уравнения A6.115), A6.116) и A6.117) после подстановки
в них выражений A6.120) и A6.121) принимают вид
1
X Z-% ^ dxipv-p'^Apip*, рх; еи Ти S'FU DFi)-SFl (et). A6.122)
о
Z3D'Fi (ei) = DF- 2nDF x
XZ-11Z2\dykv-All(yk,yk;eurl,SFU D'Fi)-D'Fi (et), A6.123)
о
1 1 ц1 (ei) = Yn + ^i Лц (еь 1 ii "fi I JJf\)- A0.124)
Эти уравнения должны тождественно совпадать с интегральными урав-
уравнениями A6.108), A6.109) и A6.110) для конечных операторов S'F\,
D'Fi и Гй1. Обе системы уравнений действительно совпадут, если
в уравнениях A6.110) и A6.124)
Zi (e4) Yn = Yn - Л„ (р1, р'; et). A6.125a)
Сопоставляя это равенство с соотношениями A6.73) и A6.94), выясняем,
что
!(ei) = l-L(el). A6.1256)
Если теперь подставить это значение в уравнение A6.108), то станет
ясным, что уравнения A6.122) и A6.108) совпадают при условии, что
Zi = Z2, A6.126)
и, наконец, уравнения A6.109) и A6.123) совпадут, если
\^^)h=u A6.127)
о '
или, следовательно, если
^, ' A6.128а)
где
При получении соотношения A6.127) мы воспользовались тем, что
в соответствии с требованием ковариантности в формуле A6.109)
Ай@, 0) = 0. Наконец, ковариантность требует также, чтобы ClLV = Cgllv,
так что
23=1+С, A6.129)
причем величина Cgp.v дается формулой A6.1286).

§ в. Доказательство перенормируемости 601
Итак, мы показали, что соотношения A6.111) — A6.113) верны, если
постоянная е4 дается выражением A6.114) и если множители Z опреде-
определены соотношениями A6.125), A6.126) и A6.129).
Чтобы продвинуться дальше в понимании процедуры перенорми-
перенормировок, вспомним, что собственно-энергетический оператор после пере-
перенормировки массы можно записать в виде
yp-m) + Sc(p)(yp-m) A6.130)
[см. формулу A6.71)],, где оператор Sc (p) обращается в нуль при у-р = т.
Соотношения A6.130) и A6.87) позволяют заключить, что функция рас-
распространения представима в виде
S'f (Р) = —т—
1 l-l-B . ... ч
!\- (Члены, конечные при у- р=т)
— !
2п у-р —
— [-(Члены, конечные при у-р = т), A6.131)
2я у-р—т
так что
lim 2л(у-р-т)$'Р1(р;ег) = 1. A6.132)
¦у.р->т
Аналогично можно проверить, что
Р*) = Yn A6.133)
Y • J4=Y • Р2=т
lim 2nk2DFl (k) = 1. A6.134)
ft20
Эти соотношения означают, что к движению свободного электрона или
фотона нет наблюдаемых радиационных поправок ни в каком порядке
по константе связи. По сути дела эти соотношения можно рассматри-
рассматривать как определения перенормировки массы и заряда, выражающие
требования, чтобы свободный (физический) электрон имел определенную-
массу т (экспериментальное значение массы электрона) и определенный
заряд ei (экспериментальное значение заряда электрона) и чтобы свобод-
свободный фотон двигался в свободном пространстве без возмущений и обла-
обладал массой, равной нулю.
Теперь обратимся к соотношениям A6.35). Вспоминая, что вектор р
в этих соотношениях есть импульс свободного электрона и что вблизи
у-р = т
2*(p) = 2jt(Z2-l)CY-p-m). A6.135)
мы можем переписать соотношение A6.35) в виде
я|/ (р) = ф (р) + 2я (Z2 - 1) SF (р) (ур - т) rf> (p). A6.136)
Выражение A6.136) содержит неопределенность, поскольку при дейст-
действии оператора у-р — т на спинор ty(p) получается нуль, а при дейст-
действии его на функцию распространения SF (p) — постоянная 1/2л. Таким
образом, в зависимости от порядка, в котором перемножаются множи-
множители, выражение A6.136) для г|/ (р) оказывается равным либо i|)(/>),
либо Z2ty(p). При обсуждении в § 3 гл. 15 мы уже видели, что эта
неопределенность раскрывается, если вычисления /^-матрицы проводятся
с большей тщательностью, так чтобы на всех этапах вычислений была

602 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
гарантирована унитарность ^-матрицы. Укажем, что на самом деле
правильная перенормировка волновой функции записывается в виде
V(p) = Z№(p) A6.137)
(см. также работу Карплуса и Кролла [422]). Аналогичные исследова-
ния показывают, что
A6.138)
A6.139)
Рассмотрим теперь неприводимый матричный элемент М для какого-
либо процесса. Пусть соответствующая диаграмма состоит из Fe внеш-
внешних электронных линий, Ве внешних фотонных линий и п вершин.
Тогда в соответствии с анализом, проведенным в настоящем параграфе,
матричный элемент М будет содержать п множителей Г p., Fe множите-
множителей \р или г|э, Ве множителей A, Ft множителей^, соответствующих Ft
внутренним электронным линиям, и Вг множителей Dp, соответствую-
соответствующих внутренним фотонным линиям. Напомним, что числа внутренних
и внешних линий связаны соотношением
n = ±F. + F, = Be + 2Bt. A6.140)
Поэтому если в матричном элементе М заменить операторы Гц, SF и D'F
их конечными прообразами Гщ, S'pi и DFi с помощью соотношений
A6.111), A6.112) и A6.113), тогда множители Z будут появляться
в матричном элементе только в комбинации
А это именно тот дополнительный множитель, который превращает
общий множитель еп матричного элемента М в множитель е™. Таким
образом, и константа связи е, и множители Z исчезают из матричного
элемента М, оставляя после себя только конечные операторы Гц4 (е^,
D'F\ (ei), S'Fl (e4) и константу е4. Если теперь отождествить константу
«t с наблюдаемым конечным зарядом электрона, то в матричном
элементе М больше не останется никаких расходящихся выражений.
Так как матричный элемент М предполагался совершенно общим, то
тем самым завершено полное исключение всех ультрафиолетовых расхо-
димостей из ^-матрицы1).
Этот параграф мы окончим замечанием, что равенство Zy = Z2 [со-
[соотношение A6.126)] снова свидетельствует о сокращении (во всех поряд-
порядках) расходимостей, приводящих к перенормировке волновой функции,
с расходимостями вершинной части. Это прямое следствие тождества
Уорда и тем самым калибровочной инвариантности. Таким образом,
единственной подлинной расходимостью в квантовой электродинамике
является расходимость собственной энергии фотона, т. е. расходимость,
связанная с явлением поляризации вакуума. Она выражается расходя-
расходящейся константой Z3.
1) Инфракрасные расходимости и их сокращение в рамках программы пере-
перенормировок обсуждаются у Яуха и Рорлиха [390] и Йенни, Фраучи и Суура [875].

§ 7. Смысл перенормировки заряда
603
§ 7. Смысл перенормировки заряда
Чтобы выяснить смысл перенормировки заряда, рассмотрим комп-
тоновское рассеяние фотона с малой энергией на свободном электроне
1774]. Имеются два класса неприводимых диаграмм, вносящих вклад.
Первый исчерпывается диаграммами а к б фиг. 129. Примеры диаграмм
а
Фиг. 129.
второго класса показаны на фиг. 130. Второй класс диаграмм может
быть получен путем присоединения двух внешних фотонных линий
к диаграмме 2*, как это показано на фиг. 131. В предельном случае
а
Ф и г. 13 .
фотонов с равной нулю частотой вклад диаграмм фиг, 129 в матричный
элемент равен (со всеми радиационными поправками) выражению
Ма = BяJ e*t|>' (p) {Г^ (р, р) S'F (p) Г (р, р) +
+ Tv (p, p) S'F (р) Т» (р, р)} t|)' (р) Af'AV,
A6.141)

604
Гл. 16. Количественная теория перенормировок
где р — импульс электрона, Л'(+) и Ап ' — операторы рождения и унич-
уничтожения фотонов с равной нулю частотой, включающие радиационные
поправки. В согласии с обсуждением в § 5 [особенно см. формулу A6.92)]
диаграмме фиг. 131 соответствует матричный элемент
' (Р) Л^ЛГ.
Используя тождество
dSFJP)
A6.142)
A6.143)
и соотношение A6.88), без труда находим
d^~ = Bny{SF(P)Tv(p, p)S'F(p)Tll{p, p)SF(p) +
+ S'F (p) Г" (p, p) S'F (p) Tv (p, p) SF (p)} +
Sp(p)^ —^Spip). A6.144)
vr' ор„ opv
Таким образом, полный матричный элемент М можно записать в виде
М = Ма + Мб = е^' (р) {SF1 (р) ^^ Sp1 (p)} ф' (р) A?>Ai-\ A6.145)
Подставляя сюда выражения A6.131), A6.137) — A6.139) и выполняя
операции, указанные в фигурных скобках, найдем, что все множители
Фиг. 131.
Z2 сокращаются и матричный элемент М принимает вид
М = Z3e2$ (p) {yvSF (p) yv + y*SF (p) у»} -ф (р) А\?АР. A6.146)
Далее следует учесть, что Z3e2 = е\. Таким образом, точный матричный
элемент М рассеяния фотонов с нулевой энергией строго равен матрич-
матричному элементу, вычисленному во втором порядке теорий возмущений.

§ 8. Общие замечания 605
(в борновском приближении). Следовательно, в этом параграфе все радиа-
радиационные поправки исчезают. Матричный элемент М приводит к известной
•формуле Томсона
(вывод см. в § 5 гл. 14 и у Брауна и Фейнмана [91], где рассмотрены также
радиационные поправки).
Как мы видим, перенормировка заряда может быть определена тре-
требованием, чтобы теоретическое сечение комптон-эффекта в пределе низких
энергий выражалось экспериментально оправданной формулой Томсона.
Этим определяется экспериментальное значение перенормированного
заряда электрона et. i
Физическая основа сделанного утверждения та, что томсоновское
рассеяние является чисто классическим эффектом и зависит только от пол-
полного заряда. Длина волны фотона в данном случае столь велика, что не су-
существенны никакие детали распределения заряда рассеивателя. Поскольку
благодаря закону сохранения заряда радиационные поправки не могут
изменять полного заряда, то формулу Томсона и в самом деле можно исполь-
использовать для определения экспериментального значения перенормирован-
перенормированного заряда электрона е*.
Другой способ определить заряд можно было бы выразить требованием,
чтобы для взаимодействия двух далеких друг от друга покоящихся элек-
электронов был справедлив закон Кулона. Этот способ приведет к тому же зна-
значению константы е4. И вообще можно показать [411, 413], что перенор-
перенормировка заряда в квантовой электродинамике по сути дела определяется
однозначно как следствие закона сохранения заряда.
§ 8. Общие замечания
Итак, мы рассмотрели проблему перенормируемости спинорной кван-
квантовой электродинамики. Салам [691 ] доказал перенормируемость теорий
заряженных скалярных и псевдоскалярных бозонов, взаимодействующих
с электромагнитным полем. В этом случае перенормировки массы и заряда
недостаточно, и чтобы последовательно уничтожить все расходимости,
соответствующие диаграмме меллеровского рассеяния одной бесспиноврй
частицы на другой, в лагранжиан должен быть добавлен контрчлен
Я : (ф*фJ: (Я — бесконечная константа). Доказательство перенормируе-
перенормируемости, т. е. соотношений типа A6.111) — A6.114), в этом случае намного
труднее, чем в спинорной электродинамике, из-за более сложных перекры-
перекрываний. Уорд [818] развил свой метод, изложенный в § 6 настоящей главы,
и охватил эти случаи. Однако точно так же, как и в спинорной электроди-
электродинамике, подход Салама, по-видимому, более прозрачен и дает более ясную
физическую картину метода перенормировок, чем более простой, но более
формальный и неявный подход Уорда.
Салам [689, 690] также дал доказательство перенормируемости теории
взаимодействующих мезонного и нуклонного полей в случае связей без
производных. В теории псевдоскалярных мезонов в гамильтониан снова
должны быть добавлены контрчлены Я' : (ф*фJ: для заряженных мезонов
и Я" : ф4: для нейтральных. В теории скалярных мезонов, как было отме-
отмечено в § 1 настоящей главы, помимо члена ф4, должен быть добавлен член
Я'": ф3:; он нужен для того, чтобы скомпенсировать расходимости диа-
диаграмм с трзмя внешними мезонными линиями. Мэтьюз [540, 541, 542],
Салам [688] и Уорд [818] показали, что без каких-либо существенно новых

606 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
усложнений можно перенормировать комбинацию взаимодействий мезон-
ного, нуклонного, фотонного и электронно-позитронного полей.
Вычитательные методы были развиты в настоящей главе на основе
обычного представления взаимодействия и применялись только для устра-
устранения расходимостей ^-матрицы. Существуют и другие методы устранения
расходимостей. Например, по аналогии с контрчленом перенормировки
массы можно ввести в лагранжиан контрчлен, компенсирующий эффекты
перенормировки заряда. Тогда с самого начала можно работать прямо»
с перенормированным зарядом, подобно тому как работают с перенорми-
перенормированной массой. Такую формулировку развил Гупта [343]. (На самом
деле в формализме Гупты перенормировка заряда представлена как пере-
перенормировка единицы измерения электромагнитного поля, а не как пере-
перенормировка константы связи.) Такеда [767] использовал вариант метода
Салама для вывода требующихся контрчленов. Превосходное изложение
этих методов дано в статье Мэтьюза и Салама [545], где, кроме того, анало-
аналогично ясным и простым образом рассмотрены проблемы мезонных взаимо-
взаимодействий. Все эти методы эквивалентны в том смысле, что они связаны друг
с другом при помощи (неограниченных) «унитарных» преобразований.
Для иллюстрации этого метода рассмотрим случай нейтрального
псевдоскалярного мезонного поля, взаимодействующего с фермионным
полем. Лагранжиан теории имеет вид
(х) + 3v«p^q> (х) : -{- [$ (х), (-i
fill f 1*1 Л5 ill f t\\ m iti ... Л|1^ * m* i 'y* 1 • Лл • m* ('7*1 • /T l"\ Л ft ys It
где члены с 6ja2, 6M суть контрчлены перенормировки массы,
а 6Я, :ф4 (х): — контрчлен мезон-мезонной расходимости. Определим теперь
«перенормированные» операторы фд и о]зп и перенормированную кон-
константу связи GR:
ф(а;) = гз/2фд(а;), A6.149)
A6.150)
A6.151)
Константы перенормировки Zb Z2 и Z3 запишем в виде
Z, = l-L, . A6.152)
г2=1 + 5, A6.153)
Z, = l + C, A6.154)
где L, В и С — бесконечные константы, аналогичные величинам L(ei),
5(et) и С(е4), встречавшимся в электродинамике. (Только в данном
случае ЬфВ, так как здесь нет тождества Уорда.)

8. Общие замечания ^ 607
Лагранжиан A6.148), выраженный через перенормированные вели-
величины, можно записать в виде
% = Хы + ?т, A6.155а)
где
JP = И2Ф
у
(х): - | [фд (ж), (- tY• 3 + М) фи (ж)] -
A6.1556)
i В [ЗДя (х) у» + M$r (х), 1|>д (ж)]-~
| : - ZiGR ^Йк (х) Ye. "Фн (*)] фя (*)•
A6.155в)
Лагранжиан =5?0 определяет новую «перенормированную» картину взаимо-
взаимодействия, в которой перенормированные операторы фд и ч|зн удовлетво-
удовлетворяют уравнениям движения и перестановочным соотношениям для свобод-
свободных полей. Новые контрчлены в Xi точно компенсируют все. расходимости,
к которым приводит взаимодействие1).
Вкратце обсудим ограничивающие предположения, в рамках которых
теория перенормировок излагалась до сих пор. Первое и наиболее сущест-
существенное — то, что все исследование выше (например, дайсоновский анализ
примитивных расходимостей) существенно опиралось на разложение
iS-матрицы в ряд по степеням константы связи. Кроме того, при этом мол-
молчаливо предполагалось, что ряд, в который разложена .S-матрица, сходится
после проведения перенормировок. Известно, что-в теории, в которой суще-
существует возможность захвата в стационарные связанные состояния, ряды
после перенормировки расходятся [245, 577]. В этом случае ряд теории
возмущений для амплитуды расходится даже в нерелятивистской кванто-
квантовой механике [403]. Причина расходимости рядов в релятивистской тео-
теории поля та же самая. Ферретти [245] провел подробное исследование
этого вопроса. Он анализировал унитарный оператор
оо 1„
= П i1 - х I % w Hl w dt'}'
п=0 <я + 1
где ?0. tit ¦ ¦ ¦ *п — последовательность времен от —оо до t, в пределе
становящихся бесконечно близкими друг к другу. Оператор V(t) диагона-
J) Обсуждение следствий того факта, что к постоянным 24, 22 и Z3 всегда можно
добавить конечные части, не меняя при этом наблюдаемых следствий при соответству-
соответствующем переопределении константы связи, читатель может найти у Штюкельберга [922),
Гелл-Мана и Лоу [304], а также Боголюбова и Ширкова [64, 67] (особенно см.
гл. VIII книги [67]). (Применение этой группы преобразований, так называемой
ренормгруппы, в физике высоких энергий см. в работе [880].—Прим. ред.)

¦608 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
. ^ , , . _ _ .
лизует полный гамильтониан HQ -\- %Hi, т. е. он выбран так, чтобы опе-
оператор
)V(t) A6.157)
был диагоналей в представлении, в котором диагоналей гамильтониан Но.
В выражении A6.156) Ферретти явно отразил адиабатическую гипотезу,
допустив, что константа связи X является функцией времени, К = K(t).
Предполагалось, что функция КA) очень медленно возрастает от значения
К = 0 при t = —со до значения Я = 1 при t1 = t. Как было установлено
ранее, это необходимо для того, чтобы придать оператору V(t) строгий
смысл.
Если теперь формально разложить произведение V(t) в ряд по сте-
степеням константы связи, то получим
со t t\ *»—1
n—0
A6.158)
•Ферретти проанализировал условия, при которых оператор V(t) равен
оператору S(t). Он в совершенно общем виде показал, что они не будут
равны, если полный гамильтониан Но -\- XHi обладает дискретным спек-
спектром собственных значений. Это верно даже тогда, когда сами дискретные
собственные значения могут быть вычислены по теории возмущений
(в виде ряда). Фактически Ферретти смог показать, что в случае, когда
имеются дискретные собственные значения, ряд для S(t) расходится
{см. также работу Глезера и Циммермана [317]). Поэтому если даже оста-
оставить в стороне вопрос сходимости, то перенормировка «S-матрицы в том ви-
виде, как она изложена в настоящей главе, строго говоря, применима только
в случае чистых процессов рассеяния свободных частиц, когда нет никаких
связанных состояний.
Кайаньелло [100] и Йенни и Гартенхауз [874] исследовали сходимость
матричных элементов оператора V (t, t') при разложении по степеням
константы связи. Они показали, что в нелокальной теории с гамильтониа-
гамильтонианом взаимодействия
Hj = G \ d*x \ dlx' { d*x"K {х -х',х- х") : $ (х') г|з (х"): <р (х)
амплитуда перехода за конечный интервал времени для любого процесса
почленно мажорируется экспоненциальным рядом. Далее было показано,
что при таком взаимодействии элементы матрицы U, рассматриваемые как
степенные ряды по неперенормированной константе связи G, сходятся
в круге с бесконечным радиусом (сходимость обусловливается сокраще-
сокращениями вкладов от различных диаграмм Фейнмана). Однако в предельном
случае t — t' -* со не было получено определенных результатов. Некото-
Некоторые выводы подобного рода были сделаны Йенни и Гартенхаузом, но они
основывались на предположении о законности адиабатического выключе-
выключения взаимодействия и, следовательно, предполагалось отсутствие переходов
из состояния вакуума в другие состояния. Однако если доверять некото-
некоторым соображениям Дайсона [200], то это предположение представляет
собой открытый вопрос.
Дайсон [200] привел аргументы в пользу того, что разложение S-мат-
рицы в квантовой электродинамике в лучшем случае можно считать

§ 8. Общие замечания 609
только асимптотическим. Ход его мысли был следующий. Предположим,
что вычисляется физическая наблюдаемая величина в виде ряда по сте-
степеням константы связи е2. Если этот ряд сходится при некотором положи-
положительном значении е2, то он должен сходиться в некотором круге радиуса е2
с центром в начале комплексной плоскости Z = е2. Поэтому ряд должен схо-
сходиться также и при е=0 и, кроме того, на некотором интервале отрицатель-
отрицательной действительной полуоси, т. е. при отрицательных значениях е2. Отрица-
Отрицательные значения е2 соответствуют миру, в котором одноименные заряды при-
притягиваются друг к другу, а разноименные—отталкиваются1). Однако если
постоянная е2 отрицательна, тогда состояние, в котором имеется большое
число N электронно-позитронных пар (причем электроны сгруппировались
в области пространства Vt, а позитроны — в другой, удаленной от Vt
. области F2), имело бы при достаточно большом значении^ энергию, мень-
меньшую энергии вакуума. Иначе говоря, если силы между одноименными
зарядами притягивающие и дальнодействующие, тогда энергия связи
большого собрания частиц могла бы превысить энергию, необходимую
для их рождения. Поэтому состояние вакуума нестабильно по отношению
к тдким состояниям. Чем больше число пар, тем более резко выражается
эффект. Следовательно, члены ряда все более и более высоких порядков
должны играть все более и более существенную роль, поэтому ряды не
могут сходиться.
В лучшем случае ряды могут быть только асимптотическими. Расхо-
Расходимость рядов будет становиться заметной только тогда, когда рассматри-
рассматриваются члены очень высоких порядков. Дайсон оценил, что в квантовой
электродинамике члены рядов сперва убывают до минимума, а затем без-
безгранично возрастают, причем номер минимального члена порядка вели-
чины — ~ 137.
а
Редмонд и Урецкий [662] выдвинули некоторые аргументы в поль-
пользу того, что в действительности функции распространения Dp и S'F
обладают существенной особенностью как функции константы связи
g при g — О. Ясно, что при таких обстоятельствах любое разложение
по степеням константы связи в лучшем случае будет асимптотическим.
Мы вернемся к этим вопросам в гл. 17, после получения замкнутых выра-
выражений для функций распространения и перенормировочных констант Zt,
Z2, Z3, записанных через гейзенберговские операторы.
Несомненно, что читатель с математическими наклонностями выра-
выразит в этом месте серьезные сомнения в обоснованности и осмысленности
программы перенормировок, поскольку в этой программе в качестве отправ-
отправной точки принимается система бессмысленных уравнений, с которыми
далее для получения (предположительно) конечных результатов манипу-
манипулируют по правилам, лежащим вне рамок традиционной математики
(не говоря уже о том, что эти предписания, как это изложено в насто-
настоящей главе, рассчитаны только на применение к решению «бессмыслен-
«бессмысленных уравнений» с помощью разложения в степенные ряды, которые, по
всей вероятности, даже не сходятся!).
В действительности Челлен [409] иВалатин[799—803] дали обобщение
метода перенормировок, освободившее его от ограничительности, связан-
*) Этот аргумент, по-видимому, не вполне убедителен, поскольку отрицатель-
отрицательность е2, т. е. мнимость константы связи в первоначальном лагранжиане, означает, что
лагранжиан X неэрмитов и что, следовательно, вероятности не обязательно сохра-
сохраняются.
39 с. Швебер

610 Гл. 16. Количественная теория перенормировок
ной с использованием рядов теории возмущений. Важный шаг, имеющий
целью придать более строгий математический смысл операциям, приме-
применяемым при осуществлении программы перенормировок, был сделан
Кайаньелло [96—104]. Он подчеркнул то обстоятельство, что поскольку
мы имеем дело с системой гиперболических дифференциальных уравнений,
то интегралы в выражениях, представляющих решения этих уравнений,
должны быть переопределены. Известно, что непосредственное использо-
использование обычного интеграла Римана для решения гиперболических уравне-
уравнений может порождать расходимости, которые исчезают, если изменить опре-
определение интеграла (пример — «конечные части» Адамара [897]). Кай-
Кайаньелло пришел к выводу, что при подходящем переопределении интегра-
интеграла можно полностью обойти проблему перенормировки ультрафиолетовых
расходимостей.
Однако даже эти усовершенствованные методы не дают ответа на глав-
главный вопрос современной квантовой теории поля: существуют ли решения
перенормированных уравнений — и если существуют, то каковы их ана-
аналитические свойства как функций перенормированной константы связи?
Соображения, выдвигавшиеся в качестве ответа на эти вопросы, будут
приведены в следующей главе.

Часть четвертая
ДАЛЬНЕЙШЕЕ
РАЗВИТИЕ
ФОРМАЛИЗМА
39*

ГЛАВА 17
Гейзенберговская картина
Свойства релятивистских теорий поля, выведенные в гл. 14—16,
были получены в картине взаимодействия на основе теории возмущений.
В настоящей главе мы выведем некоторые важные свойства релятивистских
теорий поля, используя для описания системы полей гейзенберговскую
картину. При этом решающую роль будут играть соображения, основан-
основанные на релятивистской инвариантности теории, что объясняет предпо-
предпочтительное положение гейзенберговской картины, поскольку именно в этой
картине релятивистская инвариантность квантовой теории формулируется
наиболее просто. В принципе причина такого положения заключается
в том, что шредингеровская картина и дираковская картина имеют дело
с описанием экспериментов, относящихся к одному моменту времени
в используемой инерциальной системе. В общем случае результаты таких
экспериментов трудно выразить через результаты аналогичных экспери-
экспериментов в других инерциальных системах. Кроме того, для определения
состояния, относящегося к определенному моменту времени, нужно иметь
возможность определить полный набор коммутирующих наблюдаемых,
которые соответствуют совместимым экспериментам в один и тот же момент
времени. Поскольку не ясно, существует ли такой набор для релятивист-
релятивистских систем полей, может оказаться, что состояние, относящееся к опре-
определенному моменту времени, в этом случае вообще невозможно опре-
определить.
До сих пор мы касались главным образом описания «чистых» процес-
процессов рассеяния, когда частицы рассматриваются как свободные в начале
и в конце процесса. Для этого случая была развита теория ^-матрицы.
Такая точка зрения соответствует описанию результатов измерений, отно-
относящихся к асимптотическому поведению системы. Однако существует дру-
другой класс физических свойств, которые нельзя описать, если известна
только б'-матрица для рассеяния свободных (в начале и в конце процесса)
частиц. Например, зная ^-матрицу, мы еще не можем определить связанных
состояний системы [899] и предсказать результаты возможных локальных
измерений, таких, как измерение плотности заряда и тока или напряженно-
стей поля в некоторой области пространства-времени [69, 70]. Таким обра-
образом, для рассмотрения подобных задач изложенный до сих пор форма-
формализм должен быть обобщен. Мы увидим, что именно для таких задач хорошо
приспособлена гейзенберговская картина.

614 Гл. 17. Гейаенберговская картина
§ 1. Средние по вакууму от гейзенберговских операторов
Гейзенберговская картина определяется тем, что вектор состояния
в этой картине постоянен во времени, а всю зависимость от взаимодей-
взаимодействия несут операторы. В квантовой электродинамике операторы поля1)
в гейзенберговской картине удовлетворяют следующим уравнениям дви-
движения:
*) Ч> (*) > (ilA)
Гейзенберговский вектор состояния системы *F) от времени не зависит:
5* 140 = 0. • A7.3а)
Кроме того, физически реализуемые состояния системы удовлетво-
удовлетворяют дополнительному условию
0. A7.36)
Это дополнительное условие релятивистски инвариантно, ибо оператор
дцАц (х) в силу уравнений движения A7.1) и A7.2) удовлетворяет
уравнению П (д^А? (х)) = 0, и, следовательно, разбиение на положитель-
положительные и отрицательные частоты имеет смысл и инвариантно. Уравнения
движения A7.1) и A7.2) можно вывести из плотности лагранжиана
j. A7.4)
Невозможно написать перестановочные соотношения для гейзенбер-
гейзенберговских операторов, которые были бы справедливы при всех временах.
Для этого потребовалось бы знать решения уравнений движения A7.1)
и A7.2) для любого момента времени. А это фактически та самая
задача, которую нужно решить. Однако из лагранжиана можно полу-
получить канонические перестановочные соотношения, которые справедливы
для операторов при равных временах2):
№A), $(z')]+!Xo=x, = y°SC)(x-x') A7.5а)
и
[ Ац (х), d'0\v (*')]*„=*; = - Mcgkvu"" (x - х'). A7.56)
Другие коммутаторы (антикоммутаторы) равны нулю. Эти перестано-
перестановочные соотношения можно обобщить на произвольные пространствен-
х) В этой главе для обозначения гейзенберговских операторов и векторов состоя-
состояний будет использоваться жирный шрифт.
2) Относительно современных методов получения перестановочных соотноше-
соотношений см. [636, 716, 717, 720, 94, 134].

§ 1. Средние по вакууму от гейзенберговских операторов 615
но-подобные интервалы [711]. Тогда они имеют вид
),$(x')U=-iS(x-xr), A7.6а)
I, Av(x')]= -ihcg^Dix-x'), • A7.66)
"' ж')]^ = 0, A7.6в)
(х')] = 0 A7.6г)
при (х — х'J < 0.
Лагранжиан дает также возможность построить тензор энергии-
импульса Tp.v, с помощью которого можно определить 4-вектор энер-
энергии-импульса Рр, и тензор момента количества движения М^. Опера-
Операторы Р^ и M^v являются соответственно генераторами бесконечно
малых сдвигов и однородных преобразований Лоренца: U(а, 1) = eav- ,
U @, Л) = е1/гЛм^м , Временная компонента Ро оператора сдвига Рр, есть
гамильтониан системы. При преобразованиях Лоренца {а, Л} операто-
операторы поля 1|з (ж) и Ац(х), по определению, подчиняются следующим зако-
законам преобразования:
з
U (а, Л) Ац (х) U (а, А)'1= 2 Л^ А11 (Лж + а), A7.7а)
v=0
4
U (а, Л) ч]за (х) U (а, A)-1= 2 S$ (Л) % (Лж + а), A7.76)
p=i
где соответствие Л—>S(A) есть обычное (с точностью до множителя)
спинорное представление однородной группы Лоренца резмерности 4 х 4,
a U(a, Л)'есть унитарное (или антиунитарное, когда Л" < — 1) представление
"группы Лоренца в гильбертовом пространстве физически реализуемых
состояний системы. Равенства A7.7а) и A7.76) характеризуют 1|з (ж) как
спинорное поле, а А^(х)—как векторное. Генераторы бесконечно малых
преобразований сдвига и вращений удовлетворяют следующим соотно-
соотношениям коммутации:
¦ [Рц, Pv] = 0, A7.8а)
[РЦ1 Mx3L] = i (g^P;, - giiXPn), A7.86)
jiv-gjivBM, A7.8b)
которые совпадают с соотношениями структуры неоднородной группы
Лоренца, обеспечивая, таким образом, лоренц-ковариантность теории.
Равенство A7.8а) выражает сохранение полной энергии и импульса
системы полей. Операторы Рр, являются операторами сдвига в простран-
пространстве-времени и при бесконечно малом сдвиге на величину Ьх» вызы-
вызывают в операторе F (х) изменение
ц, F (ж)] = 6F (ж) A7.9а)
или
UP*, ?(х)] = д^(х). A7.96)
В последних равенствах F (х) — произвольный гейзенберговский опера-
оператор, который зависит от х только через посредство операторов Av (x)
и if (х).

616 Гл. 17. Гейзенберговская картина
Поскольку все операторы Р„ коммутируют друг с другом, можно
выбрать представление, в котором каждый базисный вектор является
собственной функцией всех Рц (fi = 0, 1, 2, 3,) с собственным значе-
значением Рц1
^\ЧГа) = р^\ЧГа). A7.10)
Каждый такой вектор | Ч?а) описывает стационарное состояние и имеет
определенные приписываемые ему энергию и импульс. Однако, зафик-
зафиксировав энергию и мпульс, мы не определяем состояние однозначно.
Нужно задать и другие квантовые числа, например полный заряд..
Обозначим через а собственные значения, которые вместе с jojf' образуют
полный набор наблюдаемых величин. Для обозначения состояний систе-
системы мы яасто 'будем использовать символ | р, о). Здесь р обозначает
импульс состояния, Р„|р, а) = />ц|р, а), а а —другие квантовые числа,
которые необходимы, чтобы определить состояние.
Матричный элемент коммутатора Рц и F (х) в импульсном представ-
представлении, использовав A7.96) и A7.10), можно записать в виде
= -д»(ЧГа, T(x)Vb), A7.11)
откуда
(Wa, F (x) Wb) = (ЧГа, F @) Wb) e-f (pD>-*(o>>-*. A7.12)
В равенстве A7.12) F @) есть оператор F(x), взятый в точке я = 0.
Это равенство выражает зависимость от х матричного элемента произ-
произвольного гейзенберговского оператора в представлении, где операторы
Рц диагональны. В данной главе мы будем использовать это пред-
представление.
Чтобы получить дальнейшие выводы, обычно делают три следую-
следующих физических предположения относительно состояний, фигурирующих"
в теории (Челлен [409]; Уайтман, 1952 г., не опубликовано):
I. а) Существует единственное состояние вакуума | ЧРо)- Оно ин-
инвариантно относительно любых преобразований Лоренца
U (а, А) | ЧГ„> = | То). _ A7.13)
б) Это состояние является состоянием с наинизшей энергией
(К' = 0).
II. Состояния системы содержат только времени-подобные или
изотропные импульсы с неотрицательной энергией, т. е. не существует
состояний I^Fn), 4-импульсы которых р™ удовлетворяют неравенству
р™рМ и. < 0 или р^Р™ ц > 0 при pW < 0.
III. Существует набор состояний |р(п), о), причем р™р<п) ц>0,
р<лH>0, который является полным в гильбертовом пространстве физи-
физически реализуемых состояний системы полей.
Относительно допущения (I, а) можно сделать следующие замеча-
замечания. Рассмотрим пространство состояний 9Ко> удовлетворяющих соотно-
соотношению U (а, А) | Ч*"о) = | Фо). Тогда закон умножения для величин U (о, Л)
U (а, Л) U (b, N) = U{Ab + a, AN) A7.14)
означает, что 2tt0 инвариантно относительно преобразования {а, Л}.
Можно показать, что в силу непрерывности U (а, Л) это пространство
является замкнутым линейным пространством. В этом пространстве
операторы U (а, Л) порождают унитарное представление неоднородной

§ 1. Средние по вакууму от гейаенберговских операторов 617
группы Лоренца (с точностью до множителя) с тривиальным операто-
оператором сдвига. Поскольку это представление унитарно, то любое такое
представление либо эквивалентно тривиальному U(a, Л)—>1, либо
бесконечномерному (см. гл. 2). Таким образом, если какие-либо состоя-
состояния вакуума вообще существуют, то они могут быть двух видов: инва-
инвариантные относительно преобразований Лоренца, и бесконечномерные,
компоненты которых преобразуются друг через друга при преобразо-
преобразованиях Лоренца. Допущение (I, а) говорит о том, что вакуум является
таким состоянием, которое преобразуется по одномерному унитарному
представлению неоднородной группы Лоренца.
Предположение о том, что состояние с наинизшей энергией (если
оно существует) и есть состояние вакуума, представляется очевидным.
Далее, теория поля, в которой не существовало бы состояния с наиниз-
наинизшей энергией, т. е. в которой энергетический спектр не был бы ограничен
снизу, не была бы состоятельной, поскольку тогда система разрушилась
бы, испытывая радиационные переходы. Известно несколько примеров
релятивистских теорий поля, в которых не существует основного со-
состояния [258, 37]. Один из таких примеров —это теория Уорда (ска-
(скалярное поле с само действием Я(р3). Гамильтониан в этой модели имеет
вид
Н = -i- ^d9x : (фо)« + («р*)« + ц V + V :,
A7.15)
В теории Уорда не существует основного состояния, ибо бозе-поле
может быть возбуждено как угодно сильно, так что член Яф3, который
не является положительно определенным, при сильных возбуждениях
поля будет, вообще говоря, преобладать над положительно определен-
определенными квадратичными членами в Н. Поэтому теория Уорда не может
служить подходящей моделью взаимодействующих полей.
Теперь относительно предположения (II). Аргумент против суще-
существования состояний с отрицательной энергией или пространственно-
подобными импульсами заключается в том, что такие состояния никем и
никогда не наблюдались на опыте. Что же касается существования
таких состояний в теории, то во избежание противоречий с известными
в настоящее время фактами необходимо и достаточно, чтобы эти со-
состояния
1) были ортогональны всем физически мыслимым состояниям и
2) не появлялись в результате взаимодействий.
Первое условие выполнено в любой релятивистски инвариантной
теории, но второму удовлетворить нельзя, если не исключить всех
внешних возмущений, которые вызывают переходы в нефизические со-
состояния. Если бы второе условие было удовлетворено, то можно было
бы полностью исключить нежелательные состояния из теории. При
каких обстоятельствах удовлетворяется это условие — неизвестно. По-
Поэтому обычно предполагается, что любое состояние имеет лишь времени-
подобные импульсы и положительные энергии.
Из релятивистской инвариантности вытекает, что 4-вектор энергии-
импульса состояния вакуума равен нулю. Так как, по предположению,
вакуум единствен и является состоянием, с наинизшей энергией, то от-
отсюда следует, что собственное значение Ро для любого другого состоя-
состояния таково, что /?(оп)>0 при всех п.

618 Гл. 17. Гейзенберговская картина
В квантовой электродинамике требования /$" = 0 недостаточно,
чтобы однозначно определить вакуумное состояние, поскольку существу-
существует свобода в выборе калибровки. Существует бесконечное число ваку-
вакуумных состояний, которые отличаются лишь выбором калибровки.
В последующем мы примем калибровку, при которой (Wo, т]Ац (х) Wo) — О
[409]. Предполагается, что A7.13) не противоречит второму постулату.
Вернемся к главной теме этого параграфа — изучению средних по
вакууму от упорядоченных по времени гейзенберговских операторов
?ai...aJ3i.--PmHi...Hn(Xl' Я2. • • - ЯГО; Уи...ут\ Zt, ...Zn) =
= (ЧГ0, Т (qai {х,) . • .4j)am (xm) $Pl Ы- • .%m (уп) АЦ1 (zt)...
¦•Лч (*„)), To). A7.16)
Целесообразность рассмотрения таких функций Грина для описания
корпускулярных аспектов в квантовой теории поля была впервые под-
подчеркнута Гелл-Манном и Лоу [301] и Швингером [715]. Перечисленные
авторы установили связь между этими функциями Грина и фейнманов-
скими функциями распространения для многочастичных систем. Швингер
положил функции Грина в основу своей формулировки квантовой теории
поля. Чтобы выяснить их смысл, мы прежде всего свяжем их с вели-
величинами в представлении взаимодействия.
Определим гейзенберговские векторы состояния так, чтобы они
совпадали с векторами состояния в картине взаимодействия в момент
времени t = 0. Если векторы состояния Р^^)) в картине взаимодействия
являются решениями уравнения
A7.17)
то соответствующие гейзенберговские векторы | Т) определяются следу-
следующим образом:
?/(*,О)|ЧГ> = | ?(*)>, A7.18)
где унитарный оператор U(t,O) удовлетворяет уравнению
idtU(t,O) = Hi(t)U(t,O) A7.19а)
и граничному условию
С/@, 0) = 1. ,A7-196)
Связь между операторами в картине взаимодействия и соответствующими
гейзенберговскими операторами получается из требования, чтобы сов-
совпадали их средние значения для соответствующих векторов состояния.
Иначе говоря, по определению,
(Т, F (х) W) = (T(«), F(xL(t)), A7.20)
где вектор состояния ^(f)) берется в тот же момент времени х0, что
и оператор F(x). Отсюда, используя A7.18), получаем
(W, F (х) W) = (U (t, 0) W, F (x) U (t, 0) W) =
= (ЧГ, U-*(t,0)F(x)U(t,0)Y), A7.21а)
или
F (х) = U-1 (t, 0) F (х) U (t, 0), A7.216)
где t — х0.

§ 1. Средние по вакууму от гейзенберговских операторов 619
Явное выражение для оператора U можно получить следующим
образом. Вспомним, что от шредингеровской картины, в которой вектор
состояния |4Irs(^)) удовлетворяет уравнению
idt I Ys @) = (#os + #is) I ^s (*)> A7.22)
(#os и His — операторы, не зависящие от времени), можно перейти
к картине взаимодействия с помощью унитарного преобразования
HF(*)) = eiffo*|iFs@>- A7.23)
Эти две картины совпадают в момент времени t = 0. Можно такжо
унитарным преобразованием перейти от шредингеровской картины прямо
к гейзенберговской картине, если вспомнить, что гамильтониан
# == #os-j-#7S = Н не зависит от времени:
|ЧГ> = е«п|Тв(*)>. A7.24)
Легко установить, что полученный вектор I Ч/") действительно не зависит
от времени: dt\W) = 0. Подставляя в A7.24) вектор lYs^))» выражен-
выраженный с помощью равенства A7.23), имеем
\4T) = tiBte-ia^\V(t)). A7.25)
Сравнивая равенства A7.18) и A7.25), получаем следующее выражение
для оператора U(t, 0):
U(t, О) = ешо'е-Шг. A7.26)
В дальнейшем окажется полезным выражение «физического» (или
«истинного») вакуума |ЧГо) (собственного состояния Н с собственным
значением 0) через вакуум «голых» квантов |Ф0) (Я0|Ф0) = 0). Нужное
выражение было ранее выведено в гл. 11:
?J ММ - U (°' ±СО) ! Фо> t\ 7 97)
- Л | Wo) - {ф П @ ±00) Ф) - • A7.27)
@> ±00) Фо) - •
Здесь X — постоянная нормировки. Нужно отметить, что в числителе
и знаменателе правой части A7.27) присутствуют бесконечные фазовые
множители, соответствующие несвязанным диаграммам типа вакуум —
вакуум. В частном они сокращаются.
После этих формальных вводных замечаний рассмотрим вакуумное
среднее упорядоченного по времени произведения двух гейзенбергов-
гейзенберговских операторов. Сначала для простоты возьмем среднее по вакууму
от произведения двух бозонных операторов в мезонной теории с га-
гамильтонианом Ei (t) = G\ da (х) N (ф (х) УЧ> (х)) Ф (ж). гДе Y = 1 или Ys
Обозначим этот матричный элемент через
R {хи хг) = (То, Т (Ф (ж,) ф (х2)) Wo) A7.28)
и предположим сначала, что ж10>ж20.
Если с помощью A7.18), A7.21) и A7.27) записать гейзенберговские
операторы и векторы состояний правой части A7.28) через величины
в представлении взаимодействия, то для R при ж10>ж20 получим
R (хи хг) = (U @, + со) Фо, С/-1 (*ь 0) Ф (Xi) U (tu 0) X
XU-1(t2,0)q,(x2)U(t2,0)U@, -со)Ф0). A7.29)
Мы опустили знаменатель выражения A7.27), подразумевая, что при
вычислении A7.29) с помощью диаграмм Фейнмана не нужно учитывать

620 Гл. 17. Гейзенберговская картина
все несвязанные диаграммы с замкнутыми петлями. Оператор U унита-
унитарен и обладает групповым свойством, так что
tf(*i, h)U{h, ta) = U(tu h) A7.30)
и
1 и-ЧЬ, t2) = U*(tu ta) = U(t2, h). A7.31)
Следовательно,
U-l(ti, t2)U(tu tt) = U(h, h). A7.32)'
Оператор U(t,t') удовлетворяет уравнению
idtU(t, t') = Hi(t)U(t, t') A7.33a)
и граничному условию
U(t, 0 = 1. A7.336)
Напомним, что решение уравнения A7.33) можно представить в виде
со t t
U(t, 0 = 2 (-ОптН'Л1--- ]dtnT(HI{t1)...HI(tn)). A7.34)
n=0 {• t'
Функцию R можно переписать следующим образом:
R (хи х2) = (Фо, U-1 @, + оо) U-1 (tu 0) ф (Xl) U (tu h) Ф (х2) U (t2, - сю) Фо)
A7.35а)
= (Фо, U(+<n, tfiipixdUiti, t2)y(x2)U(t2, -оо)Ф„) A7.356)
= (Фо, T(U(+со, h) ф (Xi) U {h, t2) Ф (х2) U (f2, - оо)) Фо)
A7.35в)
= (Ф0, T(U( + ao, -оо)ф(*1)ф(ва))Ф0). A7.35г)
Введение хронологического оператора в равенство A7.356) очевидно.
Затем согласно теореме Вика можно переставить множители и получить
A7.35г). Операторный множитель в последнем равенстве можно запи-
записать в явном виде:
T(U(+cx>, - со) Ф (Xl) ф (*а)) =
СО -{-ОО -j"°°
n=0 —оо —оо
A7.36)
где индекс С означает, что нужно рассматривать только связанные диа-
диаграммы. Легко проверить, что равенство A7.36) в действительности
справедливо и для произвольных значений xi0 и х20- Поэтому, исполь-
используя теорему Вика, R (Xi, я2) можно вычислить с помощью разложения
в ряд. Выпишем первые члены этого ряда:
R (хи х2) = 4" Af (*i - *а) + -jj G2 ] ^Vi I &у2 AF (xt - x2) X
•X.$V{ySF{yl-y2)ySF(yi-yd)bF(yi-xi)+... . A7.37)
Ясно, что на языке диаграмм Фейнмана R (xt, x2) соответствует про-
простой бозонной линии и всем возможным собственно-энергетическим
вставкам в эту линию (фиг. 132). Таким образом, R(xit x2) совпадает

§ 1. Средние по вакууму от гейзенберговских операторов
621
со штрихованной бозонной функцией распространения гл. 16:
Д(х4, х2) = ~y Д> (хи х2) =
= reo,T(<t(xl)<t(x2))Vo). A7.38)
Используя те же приемы, что и для бозонных операторов, легко уста-
установить, что
- ±- S'F-(*u хг) = (То, Т (* (х,) $ (х2)) То) A7.39а)
= (ф0, Т (Sty (Xl) $ (х2)) Фо) A7.396)
S = U(+ca, — оо) A7.39в)
Аналогично проверяется, что среднее по вакууму оператора
Т (ijj (х)г|5(у) ф (z)) соответствует диаграммам Фейнмана, показанным
b'{ x) R(x x)
~ — _ — I ¦
Фиг. 132.
на фиг. 133. Это среднее по вакууму можно выразить через функ-
функции S'F, D'F и Г:
(То | Т (фр (*)*» (У) Ф (z)) l^)
X Spaa (У—У') Tap B/' - «', x' - z') ^pP (x' - x) Д^ (z' - г).
A7.40)
Функции Др (xi, x2) и iSp (хь х2) являются простейшими примерами
функций Грина. И в общем случае функция Грина соответствует сумме
\о-
Фиг. 133.
диаграмм Фейнмана всех порядков, которые дают вклад в данный
процесс. Функция Грина отличается от ^-матрицы тем, что она
не содержит мнйжителей, соответствующих внешним линиям, и тем,

622
Гл. 17. Гейзенберговская картина
что она определена для всех значений импульсов внешних линий, а не
только на массовой поверхности. Однако определение функций Грина
подразумевает, что выполняются такие законы сохранения, как закон
сохранения заряда и закон сохранения импульса. В качестве примера
рассмотрим функцию Грина в импульсном пространстве для комптонов-
ского рассеяния. Эта функция Gllllli(p'k'; pk) определена так, .что вы-
выражение
(Р) 4Я) (к)
является элементом /^-матрицы, описывающим процесс во всех порядках
теории возмущений. Нужно отметить, что та же самая функция Грина G
Комптон-эффект
/ X/ \
Аннигиляция пары
Фиг. 134.
описывает процесс аннигиляции пары на два фотона, поскольку по-
последний процесс описывается теми же диаграммами Фейнмана (только
повернутыми). Это изображено на фиг. 134.
Однако в случае аннигиляции пары в матричный элемент ^-матри-
^-матрицы входит функция G( — p', k'; р, —А1), если электрон и позитрон в
начальном состоянии имеют импульсы р, р', а фотоны в конечном
состоянии — импульсы к, к'.
§ 2. Спектральное представление Лемана
Сделанные допущения
а) о релятивистской инвариантности,
б) о наличии спектральных условий (существование вакуума и состоя-
состояний только с ptlpil>0, />o>O),
в) о том, что физические состояния образуют гильбертово пространство
с эрмитовым скалярным произведением, так что каждое состоя-
состояние обладает положительной нормой,
позволяют вывести некоторые общие свойства, характеризующие струк-
структуру средних по вакууму от двух гейзенберговских операторов, т. е.

§ 2. Спектральное представление Лемана 623
Ар- и ^-функций. Такие общие представления были использованы
впервые Челленом [409]. Из общих принципов квантовой теории поля
они впервые систематическим образом были получены Уайтманом A953г.,
не опубликовано) и независимо Леманом [490]. Они известны как пред-
представления Лемана для двухточечных функций («двухточечников»).
Сначала мы выведем представление Лемана для среднего по ваку-
вакууму от упорядоченного по времени произведения двух операторов
нейтрального скалярного поля. Эта величина, как было установлено,
соответствует Д^-функции:
4" АИ*. У) = О»Го, Т (Ф (х) Ф (у)) ЧГо).
Так как спектральное представление для упорядоченного по времени
произведения можно получить из представления для обычного произве-
произведения операторов, мы изучим сначала свойства функции Уайтмана:
W<2> (х, у) = (ЧГо, Ф (*) Ф (У) ЧГо). A7.41)
Обобщенные функции, определенные как вакуумные средние от
произведений гейзенберговских операторов, известны как функции Уайт-
Уайтмана, который первый подробно исследовал их свойства [852]. Лоренц-
ковариантность теории, т. е. тот факт, что при неоднородных преобра-
преобразованиях Лоренца
U (а, Л)ф(ж)и(о, Л)-1 = ф(Лх + а), A7.42а)
U (а, Л) | ЧГо> И ЧГо), A7.426)
где U (а, Л)—унитарный оператор, поскольку временнйе отражения
не рассматриваются, означает, что
(ЧГо, q> (*) Ф (У) Уо) = (U (а, Л) 4%, U (а, Л) <р (х) <р (у) ЧГ0) =
= (ЧГо, <t(Ax + a)<((Ay + x)W0). A7.43)
Если ограничиться «чистыми» сдвигами, Л — /, то из равенства A7.43)
вытекает, что при произвольном сдвиге
WW(x, y) = WV1(x + a, у + а). A7.44а)
Следовательно, W^ есть функция только разности координат х и у,
т. е.
WW{x, y) = WW(x--y). A7.446)
Инвариантность относительно однородных собственных преобразований
означает, что
— y)), A7.44в)
откуда следует, что W^ есть функция только (х—уJ при простран-
пространственно-подобных интервалах и функции (х — уJ и е (х — у) — при вре-
мени-подобных и равных нулю интервалах.
Обратимся теперь к свойствам функции W<~2\ которые следуют
из предположения, что состояния системы обладают лишь положи-
положительными энергиями и времени-подобными импульсами. Используя
полный набор состояний |р<п), а), Рц | р, а) — р^\р, а), где а относится
к другим наблюдаемым, характеризующим базисные векторы, равен-
равенство A7.41) можно переписать следующим образом:
(ЧГ0, фИф(у)ЧГ0)= 2 OFoMaOlp™, «Ир™. « 1ф (у) |ЧГ0). A7.45)
|р(п\а>

624
Гл. 17. Гейзенберговская картина
Далее, выделяя с помощью равенства A7.12) пространственно-времен-
пространственно-временную зависимость матричных элементов в виде множителя, получаем
o, Ф (х) Ф (у) ЧГо) = 2
2
(л)
| ф @) | р™, о> (p(w, о | ф @) | Vo> е-'р(в) •(*-«> =
= 2 1<ЧМФ(°IР(Г". о>|»в-*Р(п)-<*-»>.
I т
A7.46)
Суммирование в A7.46) производится по всем физически различным
состояниям (а) и по всем значениям их полного 4-импульса (рт). Пол-
Полный 4-импульс р{[" состояния |р<п), а) определяет массу системы Мт:
Мт2 = р™р(п>. A7.47)
Масса Мт соответствует полной энергии данного состояния в системе
покоя системы.
Введем теперь положительно-определенную величину Q(pim), опре-
определенную соотношением
о (р'">) = Bя)» S I <ЧГ01 ф @) [ р<"\ о) |2,
A7.48)
где суммирование проводится по всем состояниям | р(га), а) с фиксиро-
фиксированным значением р(п). Легко проверить, что существует лишь конеч-
конечное число состояний с данным значением рт, так что сумма, опреде-
определяющая Q(pin)), расходиться не может. Сделаем два замечания относи-
относительно функции Q(p(n)).. Во-первых, она определена лишь при времени-
подобных импульсах и /?!,"'> О, поскольку pJJ" есть 4-импульс физиче-
физического состояния. Во-вторых, из трансформационных свойств матричного
элемента (ЧГ0 |ф@) | р(п>, а) при однородных преобразованиях Лоренца
A7.49)
можно
A7.50)
следует, что q (/>"") = Q (Ар<т) есть функция только р^2. В итоге можно
написать
9 (Р2) 6 (^0) Q (Р2) = Bя)»-2 |
@) | р, о) |2.
Равенство A7.46) переписывается следующим образом:
o, ф (х) Ф (у) Ч^о) -
в (р0) Q
-*Р-('-»>, A7.51)
где суммирование по векторам рт записано как интегрирование по d*p.
Так как 0 (/?2) можно представить в виде
A7.52)
то окончательно равенство A7.51) можно переписать в виде
(х) Ф (у) Wo) =
0) б (р?
A7.53)

2. Спектральное представление Лемана 625
В интеграле по р легко узнать сингулярную (без штриха) функцию
А(+) (х— у; то2), соответствующую массе то. Таким образом,
оо
D%, ф (х) ф (у) Wo) = i \dm2Q(m2)kw(x-y; то2). A7.54)
о
Чтобы получить полное представление упорядоченного по времени
произведения, используем тот факт, что при х0 > у0
(ЧГ0, Т (ф (х) ф (у)) ЧГ0) = (ЧГо, Ф (х) Ф B/) ЧГ0) =
= i *\ dm2Q (m2) А(+) (х — у; яг2), A7.55)
о
а при у0 > я0
(ЧГ0, 7Чф(а:)Ф(у))ЧГ0) = (ЧГ0, <Р (у) <Р (г) ЧГ0) =
ОО
= i \ dm2Q (m2) А(+) (г/ - х; т2) =
о
= - i ^ dm2Q (m2) А(-> (ж - у; тп2). A7.56)
о
Комбинируя равенства A7.55) и A7.56), имеем
(ЧГ0, Т (ф (ж) Ф (у)) ЧГо) = 4 А> (*-») =
ОО
= 4" ^ dm2Q{m2) AF (х-у; то2). A7.57)
о
Формула A7.54) позволяет вывести также спектральное представление
для среднего но вакууму от коммутатора:
ms)(A«+>(a;-y; ^2) + А("'(ж - г/; /?г2)) =
= i ^ dm2Q (m2) А (х- у; »г2). A7.58)
6
Заметим, что при выводе этих спектральных представлений не было
сделано никаких допущений динамического характера, кроме предпо-
предположения, что полный набор состояний ] р, а) характеризуется лишь
времени-подобными или изотропными 4-импульсами (р1г/?'х>0 при ро>О).
Без всяких предположений относительно перестановочных соотно-
соотношений для операторов ф (х) и ф ([/) было получено, что среднее по ваку-
вакууму от коммутатора [ф(х), ф (у)\ равно нулю при пространственно-
подобных интервалах, так как функция А (х — у; тп2) обладает этим
свойством при всех тп2.
Изучим теперь несколько полнее структуру спектральной функции
Q(p2). Для этого необходимо определить спектр физических состояний
40 с. Швебер

626
Гл. 17. Гейзенберговская картина
точнее, чем требовалось до сих пор. Так как мы будем рассматривать
теорию нейтральных псевдоскалярных бозонов, взаимодействующих
с фермионами спина 1/2, то примем, что оператор энергии-импульса Рй имеет
следующий спектр масс:
а) изолированную точку при р2 = 0, соответствующую состоянию
вакуума;
б) изолированную точку при р2 = ц2, соответствующую стабильному
одномезонному состоянию; ц —физическая (наблюдаемая) масса мезона;
в) непрерывный спектр, начинающийся при р2 = B]iJ и соответст-
соответствующий двухмезонным состояниям; аналогично, непрерывный спектр,
Vo
Двухмезонные
состояния
ОдноАяезонные состояния
Вакуум
Однонуклонные
состояния
Фиг. 135.
начинающийся при p2 — (n]iJ, га = 3, 4, ..., и соответствующий /г-мезон-
ным состояниям;
г) отдельную точку при р2 = М2, соответствующую стабильному
однонуклонному состоянию; М — масса физического нуклона;
д) непрерывный спектр, начинающийся при р2 = (nM-\-m]iJ,
и = 1, 2, ..., т — 0, 1,2, ..., и соответствующий мезон-нуклонным состоя-
состояниям.
Спектр физических состояний показан на фиг. 135. Эти детальные
предположения относительно импульсно-энергетического спектра физи-
физических состояний позволяют написать Q (р2) в виде
q (р«) = Bя)з 2 I (Vo | ф @) | р, а) |« A7.59а)
= BяK | <ЧГ0 | ф @) | р; /J = fi2) j» б (р» - ц»
3ф@Iр, а')J,
а'
A7.596)
где разделены вклады в q от одномезонного состояния | р; /J = ц8)
с импульсом рц и от остальных состояний с тем же импульсом. Сумма
по а в равенстве A7.59а) не включает вакуумного состояния, поскольку

§ 2. Спектральное представление Лемана 627
оно имеет 4-импульс, равный 0. Для псевдоскалярного поля состояние
вакуума не дает вклада и в q@), так как среднее по вакууму от ф (х)
равно нулю.
Доказательство: Из трансляционной инвариантности следует, что
среднее {Wo |ф (х) | Ч'о) Должно быть постоянной. Если теория инвари-
инвариантна относительно пространственных отражений, то
U (i.) ф (х) U (g-1 = - ф (isx), A7.60а)
иA.)|ЧГо> = |ЧГо}, A7.606)
и эта постоянная должна быть равна нулю.
Проанализируем подробно вклад одномезонного состояния. Для этого
рассмотрим матричный элемент (То | ср (х) \ р; р2 = [х2), где |р; p2 = fi2},
как и выше, означает одномезонное собственное'состояние Р^,' т. е.
PJp; р' = ря> = Ри1р; P2 = ^2>, A7.61а)
причем
Р^ = Р*=Ц1. A7.616)
Из трансляционной инвариантности вытекает, что
@) | р; р2-(л2>. A7.62)
Как отмечалось выше, из релятивистской инвариантности следует, что
(Ч*"о | Ф @) | р; р2 = (л2) есть функция только р2. Для одномезонного состоя-
состояния jo2=[x2, поэтому матричный элемент (ЧГо|ф@)|р; p2 = \i2) — дейст-
действительная постоянная, не зависящая от р^. Обозначим ее через
]/Z3/BnK. Следовательно,
ZV2
- ¦ ¦ ¦ - - - -e-iP*. A7.63)
С помощью A7.63) можно переписать равенство A7.596):
e(m2) = Z36(m2-|x2) + o-(m2), A7.64)
где положительно определенная величина о является вкладом состояний
с рг > [I2 в функцию q:
а (р*) = BяK 2 | (ЧГ01 ф @) | р, о'> |2. A7.65)
а'
Используя выражение A7.64), окончательно можно переписать A7.57)
в виде
со
J m2a(m2)AF(x-i/; m2). A7.66)
В равенстве A7.66) интегрирование начинается с C[хJ в силу псевдо-
скалярности оператора ф, ибо матричный элемент {Wo \ ф@) [р; а'), где
а' соответствует двухмезонному состоянию, равен нулю. Первые состоя-
состояния, которые дают вклад в а, являются трехмезонными, а для них
спектр масс начинается с Зц.
Относительно постоянной нормировки Z3 можно высказать некоторые
утверждения, если принять, что ф —локальное поле, т. е. если
[ф(я), q>(y)] = iA(x-y) при (х-г/J<0. A7.67)
Напомним, что при (х — г/J < 0 функция А(х — у; та2) не зависит
от массы та и пропорциональна -г- е (х—у) б ((х—уJ). Поэтому для локаль-
40*

628 Гл. 17. Гейзенберговская картина
ных полон равенство A7.58) принимает вид
tA (ж-?/)¦-; \ dm\(jnl) А (х-у; т2) при (х-уJ<0. A7.68)
о
Так как функция А (х- у; т2) при (х — г/J<0 не зависит от т, то
(m2)dm2 = l, A7.69а)
о
или, что эквивалентно предыдущему равенству,
cr(m2)dm2 = l. A7.696)
CAJ
Поскольку а(т2)>0, то из A7.696) следует, что 0<Z3<l-
Относительно приведенного вывода могут возникнуть возражения,
так как в действительности А (х — у; т2) = 0 при (х — уJ < 0. При более
сильном предположении, когда <р (х) подчиняется каноническим переста-
перестановочным соотношениям, получаются те же результаты. Канонические
перестановочные соотношения имеют место, если исходить из локального
лагранжиана. Если
\до<Р(х), <Р &)]*„=„„ = -*6C) (х-у), A7.70)
то легко получить равенство A7.69), продифференцировав по х0 обе
части равенства A7.58), положив затем хо — уа и вспомнив, что произ-
производная д0Л (х) при хп = 0 равна — бC)(х). Другие важные свойства
функции Грина А'// (х) наиболее просто выражаются с помощью ее
фурье-образа А/, (к2):
со
Д'?. (ft») = _2^_ Р dm2 в(т*)
ОнJ
Рассмотрим функцию Ь.'у (?) комплексной переменной t,, определенную
равенством
Так как Z3 и а (т2) действительны, то
ЛИ0 = АИ1)- A7.726)
Представляющая физический интерес величина А'^ (к2) получается
из А>(?) в пределе при ? —> к2 + ге:
lim A'F(Q = Ap(/c2). A7.73)
Из выражения A7.72) видно, что в плоскости комплексной переменной ?
функция &'р (?) имеет полюс на действительной оси при ? = (i2 и точку
ветвления при ? = CfxJ, причем разрез идет по положительной действи-
действительной оси от (ЗцJ до +со. В остальной части плоскости A'F (Q ана-

§ 2. Спектральное представление Лемана 629
литична. Отметим также, что если положить ? = ?-}-ir|, то
оо
1F —та)
CAJ
так что ImA^(Q имеет знак, противоположный знаку lm?, и отлична
от нуля при Im^^O. Следовательно, функция A'f (Q не обращается
в нуль при комплексных значениях ?. Она может иметь нули на дей-
действительной оси и только при | > 0. Скачок функции AJ? (?) при пере-
переходе через линию разреза есть
Ар (Е + ie) - A'F (I - ie) = - 2niZ36 (E, - \x2) - 2ni \ dm2a (m2) б (| - те2)
CAJ
A7.75a)
или
Im A> (E + ie) = - nZ36 (? - ti2) - itG (| - 9[x2) a (g). A7.756)
Используя A7.756), равенство A7.72а) можно записать в виде соотно-
соотношения
Это дисперсионное соотношение для функции А),' (/с2) получено независимо
от теории возмущоний и является точным следствием теории поля, так
как оно следует из предположений спектральности и релятивистской
инвариантности теории. Заметим, что уравнение A7.76) но определяет
функцию A'F (k2) (все бозонные функции распространения «разумных»
теорий поля будут ему удовлетворять), а лишь кратко выражает ее ана-
аналитические свойства, которые следуют из физических предположений.
Результаты для'бозонной функции распространения, полученные
до сих пор, не зависят от каких-либо специальных динамических пред-
предположений. Далее мы выведем некоторые соотношения, которые уже
являются следствиями специальных допущений динамического харак-
характера. Первое из этих соотношений — связь между «голой» и физической мас-
массами бозона. Рассмотрим опять нейтральную псевдоскалярную мезонную
теорию, которая описывается с помощью операторов гр и <р, удовлетво-
удовлетворяющих уравнениям
(? + Ю Ф (х) = 4"G N> (*) Vs. * (*)] Ч> (*) -- J (x) A7.77)
0)y (x) = Сч5Ф (х) г|> (х), A7.78)
где u.o и Mo —массы «голых» квантов. Одновременные коммутаторы для
операторов гр и <р такие же, как и ранее [см. равенства A7.6а) A7.6в),
A7.67) и A7.70)]. Вспомним также, что при равных временах гр и <р
коммутируют. Если подействовать оператором ? ж + ц„ на среднее

630 Гл. 17. Гейзенберговская картина
по вакууму от коммутатора [<р (х), <р (у)], то получим
(?* + Ю (Vo, [q> (х), ф (у)] То) = (То, [J (ж), Ф B/)]
= *(?* + Mo) \ dm2 q (то2) А (х-у; то2) =
6
= i ^ йто2 q (то2) (^ - то2) Д(я-г/;то2), A7.79)
о
так как П*А (х- у; то2) = — то2Д (х — у; то2). Если равенство A7.79) про-
продифференцировать по х0, положить хо = уо и заметить, что при равных
временах <р(г/) коммутирует с 3 (х) и d0J(x), т. е. с tJj (ж) и <?ог|з (ж) [что
не противоречит уравнению A7.78)], то получим
со
(m2) «2
^ A7.80a)
(«2) (Зц)«
О
так что
(т2)(то2-|А2) A7.806)
(то2)(то2 —ца). A7.80в)
Поскольку функция q (то2) положительна, равенство A7.80в) показывает,
что «голая» масса больше физической1).
Рассмотрим далее асимптотическое поведение Др (к2) при больших
импульсах, или, что эквивалентно, поведение к'р (х) при малых значе-
значениях х. Из A7.71) следует
р
lim Ар (к2) — lim \ dm2 -
lim
Таким образом, при больших импульсах или малых пространственно-
временных расстояниях поведение бозонной функции распространения
определяется «голой» массой бозона.
х) При наличии в лагранжиане контрчлена Я.<р* равенства A7.80) справедливы
только в том случае, когда операторы соответствующим образом упорядочены.
Если уравнение движения для бозонного поля имеет вид
= j G № (*) Ys. * (*)]->¦ [«Р3 (*)-Зф (*) <Ф2 (*)>ol.
где <фа(а:)>о=<Чго1<Р2(а:) |V0>, то получаются равенства A7.80).

§ 2. Спектральное представление Лемана 631
Наоборот, при малых импульсах или при больших временах
и больших пространственных расстояниях преобладает полюсной член,
так что
H. A7-82)
По существу Ь.'р (х — х') есть бозонная функция распространения с учетом
всех радиационных поправок. Если в равенстве A7.81) с помощью пре-
преобразования Фурье перейти к конфигурационному пространству, то
получим функцию распространения в пределе при х — х'-+0. Это дает
. возможность рассчитать амплитуду вероятности того, что бозе-квант,
локализованный в момент времени х'° в точке х', через короткое время
в момент х° будет обнаружен в точке х с помощью идеализированного,
почти мгновенного измерения. Равенство A7.81) говорит о том, что при
таком мгновенном эксперименте взаимодействие не успевает оказать
влияния и поэтому распространение кванта описывается с помощью
«голой» массы. С другой стороны, при больших временных интервалах,
соответствующих реальному измерению, функция распространения,
которая определяет результат измерения, зависит уже от физической
(наблюдаемой) массы частицы.
Аналогичные результаты получаются для фотонной функции рас-
распространения в квантовой электродинамике. Представление Лемана
для функции D'FviV (k2) имеет вид
^?0 A7-83а)
D'F (ft2) = |f + \ dM*k2^22)+.e . A7.836)
b
Можно опять доказать, что
= 1. A7.84)
Доказательство положительной определенности о (М2) и Z3 провести
несколько труднее, так как скалярное произведение Гупта не является
положительно определенным. Во втором порядке по е функция D'F
определяется выражением
A7.85а)
о
причем
A7.856)
Вклад в ос2> возникает от диаграммы с замкнутой петлей (рождение и анни-
аннигиляция электронно-позитронной пары). Вычисляется оB> непосредственно.

632
Гл. 17. Гейзенберговская картина
Вспомним, что, по определению, при поперечной калибровке
= (Фо, T (Лй (х) Av (у) S)c Фо). A7.86)
Индекс С означает, что нужно рассматривать лишь связанные диаграммы,
так что с учетом членов порядка е2
4 ^^ d% ^ d'z2 х
X Sp{y^SF (z2-Zl) y*iSF (z, - z2)}DF|l|ll (ж-z,) Dj,VlV (г/- z2), A7.87)
где при нашем выборе калибровки
(^)^ A7.88)
Фурье-образ второго члена в A7.87) равен
Bя)в
где
njfi (/с2) = - 8 (/c^v - ^ft») П<2> (/с2)
A7.896)
есть тензор поляризации вакуума, вычисленный в гл. 15 [равенства
A5.138а) —A5.138в)]. Расходящаяся часть ГГ2)(А:2), ПB) @) дает член,
пропорциональный Dp\x.v (x — У)'-
^П« @) \
^ -^ ln? i^,v (x - У),
A7.90)
и комбинируется с первым членом правой части A7.87). Сравнивая A7.87)
и общее выражение
-y) = Z3DFll4 (x-
F (х _ у;
= 1 - ,4-. 1п
получаем
Сходящуюся часть, П<2) (к2) — П<2) @), можно записать в виде
1
ПB) (/с2) - П<2) @) = in*
- z2) In
2 — (г—
nfi
2
С z v 3 )
A7.91)
A7.92)
A7.93а)
A7.936)
При переходе от A7.93а) к A7.936) мы сделали замену переменной
z—>1—2z и выполнили интегрирование по частям. Окончательно,

§ 2. Спектральное представление Немана 633
вводя переменную . 2=М2, получаем
'2' (ft*) - IF> @) = ^ ^ Ш
Заметим, что в этом выражении к2 под знаком интеграла появляется
лишь в знаменателе и в виде [к2— M2-j-ie]~1, что соответствует бозонной
функции распространения с массой М. Комбинируя A7.94), A7.89)
и A7.87), замечаем, что конечную часть в A7.91) можно записать в виде
J а'2' (АР) @-«0,А - gllv) AF (x - у;
о
где о<2> (М2) дается выражением A7.85в).
Функция D'F (к2) при больших к2 ведет себя как
fl^l D)) -& . A7.95а)
а при малых к2 как
lim?»i,(A;2)^^-. A7.956)
&2_.О Л
Для физической интерпретации равенств A7.95а) и A7.956) вспомним,
что потенциальная энергия двух тяжелых пробных частиц с неперенор-
мированными зарядами q0 и q'o, находящимися на расстоянии г друг
от друга, дается формулой
v <г>=w
При малых г I г < — ) потенциал будет определяться поведением D'F (к)
при больших к и, следовательно,
limF(r)—?^+... . A7.97а)
При больших г f r> — J потенциал определяется поведением />'F (A)
при малых значениях к, так что
A7.976)
4яг
Здесь q и q' — перенормированные заряды источников: q = Z\l*qu, q' = Z\^q'o.
Таким образом, характер взаимодействия между частицами определяется
на малых расстояниях неперенормированньни зарядом, а на больших —
перенормированным. Тот факт, что 0<Z3<l, означает, что перенорми-
перенормированный заряд меньше, чем «голый». Это выглядит правдоподобно
в свете обсуждения в § 5 гл. 15, где указывалось, что явление поля-
поляризации вакуума можно описать следующим образом. «Голый» заряд
окружает себя облаком виртуальных квантов с противоположным знаком
заряда (а кванты с зарядом того же знака отталкиваются на бесконеч-
бесконечность). Эти кванты являются составными частями виртуальных пар.

634 Гл. 17. Гейзенберговская картина
которые постоянно рождаются при флуктуациях вакуума. Таким образом,
на больших расстояниях мы видим «голый» заряд минус заряд облака,
а это, по определению, перенормированный заряд. Поэтому его величина
меньше, чем величина «голого» заряда.
Выполненные ранее вычисления константы Zs в электродинамике
(и аналогичные вычисления в мезодинамике) показывают, что Z$ рас-
расходится по крайней мере при вычислениях по теории возмущений.
Следовательно, матричный элемент от бозонного оператора ф между
физическим одномезонным состоянием и вакуумом тоже расходится:
(*"o IФ @) I p; p2 = ца> = —^ . A7.98)
Определим поэтому новый, перенормированный оператор
фо 1X1 ~— Zjn ' *W 1X1, yj.1. U о)
который обладает тем свойством, что его матричный элемент между
физическим одномезонным состоянием и вакуумом конечен:
| р; Р* - V2) = (ЧГо I г?/щ (х) | р; />* = ца> = -^ е-*-*.
A7.100а)
Матричный элемент оператора фн (х) между произвольными физичес-
физическими состояниями также будет конечным. Перенормированная весовая
функция
qr (?) = BяK 2 | < V, | ФН @)] р; а) |2 A7.1006)
а
просто связана с неперенормированной:
A7.101)
Так как фн (х) — перенормированный оператор поля, то вычисления
Qr (Р2) можно провести, не сталкиваясь с расходимостями. Записанное
с помощью перенормированных величин равенство A7.69) имеет вид
со
\ Z;1. A7.102)
Отметим также, что перенормированные операторы удовлетворяют сле-
следующим перестановочным соотношениям:
[<РяИ. Фн(г/)] = ° ПРИ (х-уJ<0, A7.103а)
н (х), ФН B/)Ьо=«„ = - iZ?V» (x- у). A7.1036)
Для спинорных полей можно разработать технику, аналогичную
примененной при вычислении вакуумного среднего от двух бозонных
полей (Уайтман, 1953 г., не опубликовано; Леман [490]; Гелл-Манн и Лоу
[304]). Обозначим среднее по вакууму от произведения двух спинорных
полей (фермионную двухточечную функцию Уайтмана) через
Wt» (*~У) = (ЧГо, Ч>« (*) Фр (У) Vo). A7.104)
Здесь мы уже использовали трансляционную инвариантность теории,
записав W* как функцию х — у. Так как при однородных преобразова-

2. Спектральное представление Немана 635
аиях Лоренца
U(О, A)\W0) = \W0), A7.105а)
U @, Л) я|>а (х) U @, Л) = 2 S% (Л) % (Ах), A7.1056)
0=1
то
(* - у) = 2 S-al (Л) W% (Л (х - у)) S6p (Л). A7.106)
60
Далее можно разложить W^ по шестнадцати линейно независимым
матрицам ГD>, образованным из матриц у и их произведений:
W& (х) = 2 [Г<*>]«РИ$> (ж). A7.107)
Разделяя матрицы F(i) на группы с определенными трансформационными
свойствами, имеем
(х) = баР^1 (х) + (Y^)ap W7^ (ж) + (tU Wt (х) +
^ (X). A7.108)
Подставляя A7.108) в A7.106), используя ^(Л)
и вычисляя нужные следы, найдем
Ax), A7.109а)
A7.1096)
{Ax), A7.109b)
= (det Л) A,7lv^v (Ax), A7.109r)
= detA.H7?(Aa;). A7.109д)
Полученные соотношения оправдывают введенные обозначения: S (ска-
(скаляр), V (вектор), Т (тензор), А (аксиальный вектор) и Р (псевдоскаляр).
Комплексно сопрягая обе части равенства A7.104), получаем
(х-у) = (?„, У* (х) фр (у) Wo) =
рЯ
= S -YSpWpX (У — *) YSLa A7.110а)
рЯ
или
W^(x)* = y°W^( — x)y«. A7.1106)
Далее, так как у» \ГЩ* у°= Т<-1\ то
x) = W(i)(-x). A7.111)
Применение РТ ( = С)ш Г-инвариантности вместе с равенствами A7.105) —
A7.111) показывает, что Wf, Wf и W\ равны нулю и, следовательно,
(x). A7.112)

1K6 Гл. 17. Гейзенберговская картина
Используем далее спектральные условия. Вводя в равенство A7.104)
полный набор состояний |р, а), находим
Wta(x-y)= 2 <Уо|Ч»р(О)|р, а)(р, а1фст@)|ЧГо>в-^-<—v). A7.113)
|Р.а>
Обозначив сумму по различным состояниям | р, о) с фиксированным
4-импульсом ру, через wpa(p):
8(Р2)е(р0)шра(р) = BлK2(Чго|^р@)|р, а)(р, о 1^@I^0), A7.114)
а
можно написать
<W=^p ^ Л*Ре-{р(х-у)в(Ро)в(Р2)и>9Лр), A7.115а)
где
(р) = Spo^s (Р) + CW wVil (р). A7.1156)
Условия ковариантности [равенства A7.109а) — A7.109д)], выраженные
через функции Доуц (р) и Ws(p), гласят:
ws(p)=-ws(Ap), A7.116а)
i A7.11E6)
Из A7.11(эа) следует, что Wg(p) — wa) (p2). Равенство A7.1166) утверждает,
что Wvii (р) для всех р на гиперболоиде р2 = К2 можно получить
из wVll(k, 0). Кроме того, wVil(k, 0) есть 4-всктор, инвариантный относи-
относительно всех преобразований Л, которые оставляют инвариантным вектор
(X, 0), т. с. относительно всех вращений. Поэтому Wvi(k, 0) = 0 при
i=l, 2, 3 и
) = P№aAP2), A7.117)
так что окончательно W"^ (х) можно выразить следующим образом:
- у) =
) )-v; m2)- A7.118)
о
Переопределяя весовые функции:
и)ш-т1в(!) = в(М, A7.119а)
шB) = еA), A7.И96)
можно написать
^-2/; да2)}- A7.120)
Из сравнения равенств A7.114), A7.1156) и A7.119) можно заключить, что
весовые функции q(I) и qB) действительны и что в «мезонной теории
(где норма любого состояния положительна) эти функции удовлетворяют
следующим условиям положительной определенности: QA)(m2)>0,
2mgi (m2) >QB) (m2) > 0. В квантовой электродинамике отсутствие поло-
положительной определенности скалярного произведения Гупта не позволяет
вывести эти заключения.

§ 2. Спектральное представление Лемана 637
Как и для бозонов, опять можно получить
(Т„, Т{Ъ(х)$(у))Ч0) = -±S'F{x-y) A7.121а)
оо
= J dm2 {wa) (m2) + ш<2) (m2) fry* 9,,} Д*. (а: - у; т2).
о
A7.1216)
Обозначая фурье-образ S'F(x—y) через SF(p), имеем
—*- S'F (/>) = * 5 rfm2 fa-^ + i8 ^> K) + Y'^B) («»)). A7.122)
Удобно ввести две новые функции, ha) (т2) и /г<2) (т2), определенные
равенствами:
шш (т2) = /гA) (т2) - /г<2) (т2), A7.123а)
wm (™2) = -^ (ha) (т*) + ЛB) (т2)). A7.1236)
Тогда
со
A7.124)
J m
0
Представляет интерес рассмотреть вид S'F, когда явно выделен вклад
однофермионных состояний. Исследуем с этой целью структуру функ-
функций wa) и w(i). Из равенств A7.114) и A7.1156) следует
w (р2) — У, V (ЧГп! я|з @) | р, а) (р, al'tb @I ЧГп) A7 125)
р=1|ра>
Выделяя вклад однофермионных состояний, получаем
4 2
\Q) + wa)(p*), A7.126)
где через w'a)(p2) обозначен вклад от всех других состояний | р, а').
Из соображений релятивистской инвариантности
<ЧГ0|Ч,р(а;)|р, s; ^^^e-^'fl^p), A7.127)
Bя) /2
где (у -р — М) us (р) = 0, a Z2 — постоянная нормировки. Подставляя
выражение A7.127) в равенство A7.126). видим, что два однофермион-
однофермионных состояния (s=l, 2) дают в w(l) (p2) член
1Z2M Sp ( 2 и* (Р) S" (р)) = IZ2M Sp
= Z2M. A7.128)
Следовательно,
ww (P*) = Z2M6 (p* - M*) + wa) (p2). A7.129)

638 Гл. 17. Гейзенберговская картина
Аналогично легко получить [так как, согласно A7.1156), Sp(Y°ay) =
wm {P2)=Z2b (p2-M2)+w№ (p2). A7.130)
Поэтому из равенств A7.123) следует
ha) (т2) = MZ2b (т2 - М2) +- ± [ш'ш (т?) + пш'т (т2)], A7.131)
А» К) = i [mw'm (m*)-w'a) (т2)]. A7.132)
Равенство A7.124) теперь гласит:
_Г_1_ у ["*(!) (^2) + тои;;г)(та2) t^'p (m^ — mw'^ (тЩ dm% H7 133)
2 J \ У-р — m-\-ie, y-p-^m, — г'е ) т. ' ^ '
M+tx
В локальной теории поля, где спинорные операторы подчиняются
каноническим одновременным перестановочным соотношениям
(х), $ (*')]+ | ха=х-а = Yo6<3) (x _ х'), A7.134)
можно получить дальнейшие ограничения на весовую функцию qA), если
сравнить представление Лемана для (ЧГ0 [я|э (х), ty (x')]+W0) при х0 = х
со средним по вакууму из равенства A7.126). Предполагая С-инвариант-
ность теории [которая дает возможность связать (Ч^о, я|) (х) я}> (у) Wo)
и (^о, ty (x)ty(y)W0)], находим, что среднее по вакууму от антиком-
антикоммутатора я|) (х) и я|) (у) имеет следующее спектральное представление:
= ^ dm2{QA)(rn2)( — iS(x-x'; m)) + qB) (т2) гА (х-х1; т?)}. A7.135)
о
Сравнивая это равенство при х0 = х'о с усредненным по вакууму равен-
равенством A7.134), получаем
оо оэ
j dm\a) (m2) = 1 = Z2 + J dm2w{2) (m2), A7.136)
о о
так как А (х, 0; m2) = 0.
Наконец, если уравнение движения для оператора i|? ость
(гУц д* - М) я|; (х) = GY5q> (х) я|; (х) - ЬМ^ (х), A7.137)
то процедура, аналогичная примененной в случае бозонпого поля,
показывает, что
]"[(^-|»)еш(«я) + д<а,(|»2)]^2
° = . A7.138)
I еш (I»*)
6 .
Равенство A7.138) получается, если подействовать оператором i\-d — M на

§ 2. Спектральное представление Лемана 639
использовать уравнение движения A7.137) и представление A7.135),
а затем перейти к равным временам.
При вычислениях по теории возмущений Z2 расходится. Поэтому
определяют перенормированный гейзенберговский оператор tyR (х) с по-
помощью равенства
, A7.139а)
. A7.1396)
Перенормированный оператор г|>д (х) обладает тем свойством, что его
матричный элемент между физическим однонуклонным состоянием
и вакуумом конечен. Перенормированные операторы удовлетворяют
следующим перестановочным соотношениям:
Ш (х), $я (*')]+ I _ . = - iZ?S (x - *')• A7.140)
Для среднего по вакууму от произведения двух перенормированных
операторов имеется спектральное представление, выражающееся через
весовые функции Q(i)H и QB)h- Это представление совпадает с написан-
написанным выше. Ясно, что перенормированные весовые функции связаны
с неперенормированными мультипликативно, Z2Q(i)R — Qw (i = 1, 2), откуда
с помощью равенства A7.136) получаем
A7.141)
о
Если определить перенормированный заряд GR,
GR = ZiZfZl/iG, A7.142)
то уравнения движения для перенормированных гейзенберговских опе-
операторов в нейтральной псевдоскалярной мезонной теории будут иметь вид
(iy-d-M)^R (х)= -6Мг|>й (*) + СнЗД-^фя (х) г|?н (*)(? + ^2) фд (*) =
= \ GrZiZ;1 [фн(х)ъ, грд (х)] +16[io2<pB (x) - Ы'<{>% (х).
A7.143)
При расчете различных эффектов по теории возмущений с исполь-
использованием перенормированных операторов (и постоянных Zu Z2, Z3,
определенных выше) все сечения и сдвиги уровней получаются конеч-
конечными. Однако остаются еще расходимости, связанные с локальными
величинами, такими, как (^о, Jr (я) Jr (#') Ч*^) или С^о> Фн (х) Фй (х')'ЧГо).
Это отражает тот факт, что такой локальный оператор, как Jr (x) или
фн (х), не может быть наблюдаемой. Противоположный случай соответ-
соответствовал бы возможности произвести измерение в одной пространственно-
временной точке, что, однако, исключается соотношениями неопределен-
неопределенностей. Анализ возможных измерений показывает, что наблюдаемыми
будут лишь взвешенные средние по пространственно-временным обла-
областям, т. е. лишь величины типа \ d*xJ(x) f (x), где f(x) —некоторая весо-
Q
вая функция.
Спектральные представления функций Грина

640 Гл. 17. Гейзенберговская картина
которые мы обсудили в этом параграфе, являются общими и зависят
лишь от релятивистской инвариантности теории и некоторых свойств
импульсно-энсргетического спектра физических состояний. Отсюда ясен
один критерий, выполнения которого нужно требовать от любого под-
подхода к нахождению решений квантовой теории поля с помощью теории
возмущений. Необходимо, чтобы полученные приближенные решения
обладали такими же аналитическими свойствами, которые известны для
точных решений. Попытки включить в теорию возмущений аналити-
аналитические свойства функций Д^ и Sp были предприняты Редмондом [661]
и Фолком [229]. По этой и по другим причинам очень интересно иметь
аналогичные представления для функций Грина высших порядков, чему
в недавнее время было уделено большое внимание. Для введения в эти
проблемы мы отсылаем читателя к статьям Чисхолма [129], Намбу
[572, 573], Наканиши [568], Симанзика [763], Мэтьюза [537], Ландау
[476], Окуня и Рудика [601] и Бьёркена [57]. В гл. 18 мы выведем
представление для матричного элемента (р, а|[ф(х), <p(?/)]|q, Р), пред-
предполагая, что <р — локальное поло.
§ 3. Величина перенормировочных констант
Формальное рассмотрение последнего параграфа показывает, что
перенормировочная константа Z3 должна удовлетворять соотношению
0<Z3<l. Поэтому нужно обсудить три возможности: a) 0<Z3<i,
б) Z3 = 0, в) Z3=l. В действительности для некоторых теорий (вспом-
(вспомним модель Ли) существует четвертая возможность г) Z3 < 0, так что
нужно исследовать и этот случай. Чтобы увидеть, что означает каждая
из возможностей, мы обсудим их на примере квантовой электро-
электродинамики. Вспомним, что перенормированная функция распростра-
распространения D'FRv^v (х — у) выражается через перенормированные операторы
A Z4A()
(х-у) = (ЧГо. Т (АНд (х) ARv (у)) ЧГ„) A7.144а)
и имеет следующее спектральное представление:
2) = (gMv - АЛ,*-') DFn (к2) A7.1446)
»'** <*2) = РТГ.+ S dM2i^Sh ¦ A7Л44в)
о
Вспомним также, как Z3 выражается через стд(Л/2):
Or (М2) dM\ A7.145)
о
Для дальнейшего обсуждения удобно ввести функцию
kWFR(k2), A7.146)
которая обладает свойствами
Пш Р (к2) = Р @) = 1 A7.147)
2

§ 3. Величина перенормировочных констант 641
l- n/7 2\ l- I л ; f dM20R(M2) \
hm P (k2) = hm 1 + \ -, ^ ' «
•fi-V^- A7-14»)
о
Как уже отмечалось, теория возмущений в низшем порядке по е2 дает,
что асимптотически
так что
^ оо, A7.1506)
т. е. Z3 — 0. Это означает, что «голый» заряд (e\ = Z'^e^ бесконечен.
Полученный результат можно сформулировать менее категорично, если
заметить, что Z'^e\ есть коэффициент при 1/г в электростатическом
потенциале двух зарядов на близких расстояниях. Можно сказать, что
закон Кулона e2R/r, который на больших расстояниях определяет пере-
перенормированные электрические заряды частиц, на малых расстояниях
в действительности имеет более сильную особенность, чем 1/г. Сформу-
Сформулируем утверждение точнее. Как ранее было отмечено, потенциальная
энергия двух тяжелых точечных пробных тел с перенормированными
зарядами <7л и g'R, находящихся на расстоянии г друг от друга, дается
выражением
IrQr
ЧК ;
асимптотический вид которого при г С — есть [304]:
.A7.158)
где y = Ii781 ... Мы указывали также, что при г—>0 энергия V(г)
должна стремиться к ~—°, где д0, д0' — «голые» заряды, и, следовательно,
{ ^Ц( A7.153)
Поэтому вместо утверждения, что «голые» заряды становятся беско-
бесконечными, можно сказать, что с учетом поляризации вакуума потенциал
между заряженными частицами имеет при г = 0 более сильную особен-
1 1
ность, чем 1/г. Фактически он ведет себя как —In—. Конечно, при
таких обстоятельствах не очень полезно использовать понятие «голого»
заряда е0. Ведь квантовая электродинамика определяется "через поведе-
-41 с. Швебер

642
Гл. 17. Гейзенберговская картина
ние заряда на больших расстояниях (или, что эквивалентно, через его
поведение нри низких энергиях). Случай, когда Z3 = 0, является опре-
определенной возможностью и, помимо перенормировки, ведет к непротиво-
непротиворечивой физической картине. Предположение, что Z3 = 0, основано
на результатах вычислений Оц (М2) во втором порядке теории возму-
возмущений. При этом учитывался вклад в aR только от одной замкнутой
петли, показанной на фиг. 136.
Фиг. 136.
Ф и г. 137.
Интересно рассмотреть вид D'FR{k2) или Р(к?), когда учитываются
вклады всех диаграмм, изображенных на фиг. 137. В § 2 гл. 16 мы
видели, что учет таких несобственных диаграмм заключается в том,
что ?>^2)вгзаменяется на
причем
деле к2
— (П<2>(*2) — П<2>@))/с2 ' \*-> •>->"*)
) = 1 + Ст. Следовательно, в этом случае D'FR (к2) в пре-
пресо есть
Um D'fr (к2)
или
1
A7.155)
A7.156)
Если согласиться с таким результатом, тогда постоянная Z3\ равная
пределу Р (к2) при к2—>оо, при отсутствии обрезания может быть отри-
отрицательной. А это противоречит общему соотношению 0 < Z3 < 1, полу-
полученному в предположении, что каждое состояние обладает положитель-
положительной нормой в гильбертовом пространстве. Поэтому, чтобы теория была
математически последовательной, должны существовать состояния с отри-
отрицательной нормой («призраки»). Следовательно, ^-матрица уже не будет
унитарной, и положение фактически очень похоже на то, с которым

§ 3. Величина перенормировочных констант 643
сталкиваются в модели Ли (см. § 2 гл. 12), когда константа связи превос-
превосходит по величине критическое значение [415, 272, 793, 794, 474].
Этот результат для функции Dp был получен суммированием осо-
особого класса диаграмм Фейнмана, не обращая внимания на то, удовле-
удовлетворяет ли это приближение общим требованиям, следующим из пред-
представления Лемана [равенство A7.76)], или нет. Рассмотрим, что полу-
получится, если потребовать, чтобы для такого приближения выполнялось
равенство A7.76) [661, 68]. С этой целью запишем вклад члена и-го
порядка в Р (к2) при больших к2 в виде
Рт (к2) я» - (F (к2, т2))п, A7.157а)
. A7.1576)
Здесь в аргумент логарифма введен член Am2, чтобы правильно пред-
представить мнимую часть F
lmF(k2, m2)'= —^р-6 (А2 - 4тга8) A7.157в)
и в то же самое время сохранить нормировку F@, m2) = 0. Непосред-
Непосредственное суммирование Pini(k2), как мы видели, дает
оо
lira Р (к2) = У, Рт (к2) = '
n=o
Зя
Поступим, однако, таким образом, чтобы удовлетворялось равенство-
A7.76). Для этого заметим, что член функции распространения D'^k2)
соответствующий n-му приближению, есть
_ * ре»
Его можно представить в лемановской спектральной форме, если напи-
написать, что
^Z^dz, A7.1596)
причем
я/„ (z) = Im DTr (ft2). A7.159b)
Теперь
nln(z) = \m.~(~-\n /inf~Zz У, A7.160)
2 4^ оЯ 4ш '
так что
и=0
A7.161)
и в этом приближении фотонная функция Грина, удовлетворяющая
равенству A7.76), дается выражением
_ • , «Я f ^г
^г Г/, ад , z4ra2
4m!
ft^1 Зя1П 4^ ; ««[l4rte/e«j[A. + 4V8"^] ' ( }

644 Гл. 17. Гейзенберговская картина
которое при к? > /те2 и ав < 1 принимает вид
Зя
<17Л62б>
Функция распространения A7.1626) обладает следующими свойствами:
1) она не имеет логарифмического полюса;
2) в окрестности ая = 0 функция D'pR (к2) имеет существенную
особенность вида е~зя/ан. Тем не менее в окрестности точки (xr = 0 асим-
асимптотическое разложение DFr (к2) совпадает с обычным разложением
теории возмущений, га-й член которого можно представить в виде A7.159а);
3) из соотношения Z'1 = lim k2DpR (к2) получаем
Z3 = |?, A7.163)
так что при таком методе вычислений «голый» заряд (а0 = Z^clr = Зл)
не зависит от ад. (Эта возможность уже предполагалась Гелл-Манном
и Лоу [304], которые указывали, что при конечной постоянной Z3
«голый» заряд не зависит от перенормированного заряда.)
Такая возможность, когда решения релятивистских теорий поля
имеют существенную особенность при равной нулю константе связи,
была особенно подчеркнута Рсдмондом [661, 662, 663J. В частности,
Редмонд и Урецкий [662] предположили, что все нетривиальные теории
поля характеризуются спектральными функциями q(M2), которые имеют
существенные особенности при М2 = 0, так что в разложениях этих
¦функций по степеням константы связи все коэффициенты будут расхо-
расходящимися функциями М2 при М2 —> с», даже если сумма ряда стремится
к нулю1). Кроме того, Редмонд и Урецкий предположили, что разница
между перенормируемой и неперенормируемой теорией заключается
в том, что первая допускает асимптотическое разложение в окрестности
нулевого значения константы связи, а вторая — не допускает.
Итак, мы показали, как может появиться возможность 0 < Z3 < 1.
В настоящее время неизвестно, какая из перечисленных выше возможно-
возможностей соответствует правильному решению. В существующей формулировке
квантовой теории доля это остается нерешенной математической задачей.
Челлен [413, 417] попытался доказать, не используя явно теорию воз-
возмущений, что перенормировочные константы в квантовой электродина-
электродинамике конечны. Основные этапы его доказательства таковы. Принимая, что
электродинамика является математически непротиворечивой теорией
и что мультипликативные перенормировочные константы Zi, Z2 = Zi
и Z3 конечны, Челлен устанавливает формулу для асимптотического
поведения перенормированной вершинной функции Fr^ (p, р') =
= Г^ (р,р')= Г1A (р2,р'2, (р — р'J) в том случае, когда квадрат передачи
f At2 N-ap/Зя
1) Рассмотрим функцию I -—^ ) , которая при больших М2 стремится
к нулю. Однако ее разложение в степенной ряд
ан/3я_ -ан/3я in <-V
обладает тем свойством, что каждый коэффициент расходится при М2 -»¦ со.

§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине 645
импульса (р — р'J стремится к бесконечности, а импульсы р, р' лежат
на массовой поверхности. Формула Челлена утверждает, что
lim Г11г(р2 = //2 = т2; {p-p'f) = ZlYlA, A7.164)
2
т. е. в этом пределе Гщ дается выражением в борновском приближении,
умноженным на Zi% Затем, используя результаты Лемана, Симанзика
и Циммермана [491 ] (обобщенные на случай квантовой, электродинамики
Эвансом [899] и Дреллом и Захариазеном [187]), можно показать, что на
самом деле в этом пределе вершинный оператор стремится к нулю. Поэтому
можно заключить, что Z4 = О или Z = оо.
Вывод Челлена был подвергнут критике с двух точек зрения. Первая
касается калибровочной инвариантности результата A7.164). Джонсон
[395] обнаружил, что, в то время как Г1м, — калибровочно-инвариантная
функция и непосредственно связана с экспериментально наблюдаемыми
величинами, перенормировочная константа Z4 калибровочно не инвариан-
инвариантна! Действительно, как мы отмечали, во втором порядке теории возмуще-
возмущений и при калибровке, в которой DF]IV (k2) — (g^ — к^кук'2)к~2, констан-
константы Z4 и Z2 конечны, а при калибровке, в которой Df^v (&2) = g^vk'2,
константа Z^ расходящаяся. Следовательно, замечание Джонсона показы-
показывает, что равенство A7.164) не может быть справедливым, если оно слу-
случайно не выполняется при некоторой частной калибровке. Зумино [8791
проверил, что соотношение A7.164) действительно не согласуется с калиб-
калибровочной инвариантностью квантовой электродинамики и что, кроме того,
маловероятно, чтобы это равенство было справедливо при какой-либо част-
частной калибровке.
Второе возражение против доказательства Челлена было выдвинуто
Газиоровичем, Йенни и Суура [296], которые указали, что перечисление
Челленом возможных видов дисперсионных соотношений для вершинной
функции неполно и поэтому его заключений вывести нельзя.
§ 4. 8 -матрица в гейзенберговской картине
В § 1 настоящей главы было указано, как функция Грина для дан-
данного процесса выражается через среднее по вакууму от гейзенберговских
операторов, соответствующих входящим и выходящим частицам, участвую-
участвующим в процессе. В этом параграфе мы продемонстрируем, как выразить
матричные элементы ^-матрицы только через гейзенберговские состояния
и операторы. Способ для этого был уже намечен в гл. 13, где было показано,
что гейзенберговские ин-операторы можно формально определить с помо-
помощью соотношений
q>in(*) = V+(O«P(*)V+(*r\ *„ = *, A7.165а)
где V+ (t) = emt Qwe~w A7.1656)
и Q<+) = U (О, — оо) —волновая матрица Мёллера, которая преобразует
собственные состояния Но = Н<0) @) с положительной энергией в соб-
собственные ин-состояния оператора Н с той же самой энергией. Матрица Q<+
обладает тем свойством, что
Н @) A - А) = Н A - Л) = й<+) Н<0> @) Q(+>* = Н[?> @) = Н&> (t) = Щ», A7.166)
где Л —оператор проектирования на связанные состояния оператора Н.
Было показано также, что матричные элементы оператора У^(+оо)

646 Гл. 17. Гейзенберговская картина
между истинными состояниями рассеяния являются элементами ^-матрицы.
Изучим более подробно свойства ин-операторов в теории поля. Примем
пока, что в теории нет связанных состояний, так что Q<+>* = Q'0.
Из равенств A7.165) и A7.166) непосредственно следует уравнение
движения для <pin (x)
*do<Pin(*) = [<Pin(*), Hffi] A7.167)
и то, что ин-операторы для любых моментов времени удовлетворяют
перестановочным соотношениям для свободных полей:
[<Рш (я), фт (У)] = гД (х - у). A7.168)
Мы считаем ф бозс-полем. Повторное использование равенства A7.167), т. е.
-302ф1п (х) - [[<р1п (х), Hffi], Hi»], A7.169)
ведет к уравнению Клейна — Гордона
-д1ъа(х) = (-д* + ^)щп (х). A7.170)
Однако нужно подчеркнуть, что хотя <pin (ж) и удовлетворяет уравне-
уравнению движения для свободного поля, тем не менее оно является гейзен-
гейзенберговским полем, т. е. его зависимость от времени определяется опе-
оператором Н, как видно из приведенного ниже равенства A7.171а):
(x, 0) Q.w*e~im =
= еШ(ф1„(х, 0)е-ш' A7.171а)
= eIH»"'q)|n (х, 0) е~т™'. A7.1716)
Можно получить явное соотношение между <pin (x) и <р (х), в кото-
которое не входит V+(?). Чтобы установить это соответствие, проще всего
связать оба этих оператора с оператором ср (х) в картине взаимодей-
взаимодействия. Напомним, что последний связан с гейзенберговским операто-
оператором <р (х) соотношением
U(t, O)-l(f,(x)U(t, 0) = q>(s). A7.172)
Мы приняли, что дираковская, гейзенберговская и шредингеровская
картины совпадают при t = 0, так что
Ф(х, 0) = ф(х, 0). A7.173)
Поскольку зависимость ин-операторов от времени была установлена,
то достаточно получить явное соотношение между фщ(х, 0) и ф(х, 0).
Для этого используем равенства A7.165а) и A7.172):
Ф,п(х, 0)=V+@)«p(x, ОУЛО)"^
= г/@, -оо)Ф(х, о)г/(о, -00)-! =
= ф (х, 0) + [U @, - то), Ф (х, 0)] U @, - со). A7.174а)
Здесь
со
[що, -со), Ф(х, о)] = 2 -^5
, Ф(х, 0)\&ei{x? ... ^W). A7.1746)
В качестве характерного примера рассмотрим теорию, в которой

§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине 647
где J содержит лишь фермионные множители (например, /(#) =
= G: ijj {х) ¦уф (#):)- -^ этом случае уравнение движения для <р есть
(O + V*)<p(x) = J(x). A7.175)
В такой теории выражение A7.1746) легко вычислить, и получается
со 0 0 0 0
, -оо),Ф(х,0)] =+ 2-тйлуг
х а (х- у, ~ у 0) р (J (у) mi («о ...mi (*B-i)) =
о
= + \ d'yti(x-y,-yo)P(J(y)U(Q, -oo)). A7.176)
Используя то, что y0 < 0, и свойства хронологического оператора,
выражение P(J(y)U(O, — оо)) можно переписать в виде
P(J(y)U(O, - со)) = P(U @, yo)J(y)U(yo, -oo)) =
= U@, у,) J (у) U (у0, -с») =
= U (у0, О) / (у) U (г/о, 0) U @, у0) U (у0, - со) =
= JB/)f/@, -оо). A7.177)
Суммируя полученные результаты, имеем
о
фш(х, 0) = Ф(х, 0)= J &УЬ{х-у, -yo)i(y). A7.178)
Так как все операторы в равенстве A7.178) гейзенберговские, то путем
сдвига по времени получается равенство, связывающее ф[П (х) и ф(ж) при
любом х0:
<Pin(x, 0 = Фш (*) = e-iH'4>in (х, 0)еш' =
о
+ t, у) =
-у, ^о — 2/о) J (г/о, у) (« = *о). A7.179)
или, в четырехмерных обозначениях, х = (х, г),
tp (ж) = фщ (ж) — J сг4г/д (ж — ?/) J (?/) =
— со
+оо
d*y?iR(x-y)J(y), A7.180)
где Ад (ж) — запаздывающая сингулярная функция: Ан (х) = —Q(x)/S.(x).
Равенство A7.180) можно рассматривать как интегральную форму
уравнения движения (П + Н-2) Ф (х) = J (ж), решение которого удовлетво-

648 Гл. 17. Гейвенберговская картина
ряет начальному условию
lim (p(a;) = (pin(x). ,
а0-»-оо A
Последнее утверждение можно доказать, если допустить адиабатиче-
адиабатическое выключение взаимодействия, т. е. если G—>Се-а1ж<И (см., напри-
например, [412]). Однако доказательство носит скорее эвристический характер,
а математически расплывчато, ибо ф (х) — оператор, и поэтому нужно
более точно определить, в каком смысле ц>(х) стремится к цчо(х).
Хааг [347] первый подчеркнул, что необходимо определить вид
операторной сходимости, который используется в равенстве A7.181).
Хааг требовал, чтобы предельный процесс ф (х) —><pin (х) при хо—>— <х>
понимался в смысле сильной сходимости, т. е.
¦lim ||(ф(а:)-ф1П(*))?|Н0 A7.182)
для любого, но фиксированного вектора | W) в области определения
Ф (х) и (fia{x). В определении A7.182) символ ||Ф|| обозначает норму
вектора |Ф), т. е. |] ф || = (Ф, ФI/2. Леман, Симанзик и Циммерман [491]
показали, что требование сходимости в смысле A7.182) сталкивается
с двумя трудностями. Первая из них связана с тем, что состояния
ф (х) | W) и ф1П (х) | \Р") не имеют конечной нормы. Но эту трудность
можно преодолеть, если рассматривать оператор
ф' (*) = _ i J cfoli (я;) ф (X)%f (X) A7.183)
и аналогично определенный оператор ф{п@> где / (х) — нормируемое
решение уравнения Клейна —Гордона, имеющее вид волнового пакета
с положительной энергией. (Заметим, что оператор ф(п (t) = ф/ц в дей-
действительности не зависит от времени, поскольку и /, и ф)П удовлетво-
удовлетворяют уравнению Клейна —Гордона.) Второе возражение связано с тем>
что если требовать, чтобы
lim ||(ч/(*)-ОУ|| = 0, A7-184)
и выбрать |Чр) = |Чго)) то равенство A7.184) означает, что среднее
по вакууму от произведения двух гейзенберговских полей "равно сред-
среднему по вакууму от произведения двух свободных полей ф)п в проти-
противоречии с вычислениями по теории возмущений. Поэтому Леман, Симан-
Симанзик и Циммерман заключили, что сходимость не может быть сильной
и нужно требовать лишь слабую сходимость. В применении к настоя-
настоящему случаю оператор фf (t) называют слабо сходящимся к ф[п, если
lim \W, (ф'@-ф[)Ф| = 0 A7.185)
t-y—oo
для всех пар векторов | W), \ Ф) в области определения (f>f(t) и ф^ц. Именно
в этом смысле нужно понимать равенство A7.181)х). Условия, при
которых в локальных релятивистских теориях поля оператор ф[п суще-
существует в качестве слабого предела, исследовались Гринбергом и Уайт-
маном. Они показали, что даже в теориях с бесконечными перенорми-
!) При Z3=0 положение на самом деле несколько сложнее. В этом случае
нужно также усреднять <pf (t) по времени, нбо при Z3 = 0 вектор ф/ (t) [ T) может
не существовать (Гринберг, 1957 г., не опубликовано; см. [854]).

§ 4. S-матрща в гейзенберговской картине 649"
ровочными константами волновых функций (т. е. когда Z'1, Z'3X = со)
ин-операторы существуют как слабые пределы гейзенберговских опе-
операторов в смысле равенства A7.185). Они показали также, что эти
операторы обладают трансформационными свойствами свободных полей
с заданной массой и поэтому подчиняются перестановочным соотноше-
соотношениям для свободных полей (см. также [877]). К этим вопросам мы
вернемся в гл. 18.
Аналогично можно определить аут-оператор
«Pout (х) = V_ (t) q> (x) V_ (ty\ A7.186a>
где
V_ (t) = eiHfQ<->e-iH(, A7.1866)
a Q'"' — U @, -f oo) — волновая матрица Мёллера, дающая аут-решения.
Можно проверить, что гейзенберговские аут-операторы обладают' сле-
следующими свойствами:
) = 0, A7.187)
[«Pout (ж), «Pout(^)] = iA(x — у; \i), A7.188)
+ ОО
Ф (*) = «Pout (я) + J tS.A{x~yK{y)d*y. A7.189)
— СО
Кроме того, из определения ин- и аут-операторов следует, что
Фои1 (*) = V_ (t) V+ (ty! ф1п (х) [V. (t) V+ (О] =
= S-1«p,n(x)S, A7.190)
т. е. 5-матрица связывает ин- и аут-поля.
Равенства A7.180) и A7.189) впервые были выписаны Янгом
и Фелдманом [871] и Челленом [408], которые получили их, интегрируя
гейзенберговские уравнения движения с помощью запаздывающих и опе-
опережающих функций Грина Ан и ДА. Так как операторы фщ и qjoUt удо-
удовлетворяют уравнениям для свободных полей, то указанные авторы
постулировали для этих операторов перестановочные соотношения для
свободных полей1). Из того, что фщ и <$out подчиняются одинаковым
перестановочным соотношениям, получается, что они должны быть
связаны унитарным преобразованием, т. е. фои1 = 8ф1ц8. (Это заклю-
заключение предполагает дополнительно, что ф!П и фо^ имеют одно и то ж&
вакуумное состояние.) Затем Янг и Фелдман показывают, что так опре-
определенная ^-матрица совпадает с ^-матрицей, определенной обычным
образом в представлении взаимодействия.
Аналогичные результаты справедливы и для нуклонного оператора.
В теории" с нейтральными мезонами, взаимодействие которых с нукло-
нуклонами описывается лагранжевой плотностью %i — G [if (x) у, if (я)]ф (х),
1) Это предположение не обязательно. Так, фСимм(^) = 1/2 («PinW+qW ()
подчиняется уравнениям свободного поля, а перестановочным соотношениям для
свободного поля не удовлетворяет.

650 Гл. 17. Гейзенберговская картина
уравнения Янга и Фелдмана для нуклонного оператора принимают вид
Ч? (х) = tfin (х) + ^SR (x - у) ф (у) Y4» (У) diV A7.191)
iy, A7.192)
A7.193)
= -iS (x-y; M), A7.194)
i|>out(a:) = S-4|>inHS. A7.195)
Так как ин- и аут-операторы удовлетворяют уравнениям для
свободных полей, то эти операторы можно разложить на положительно-
и отрицательно-частотные части инвариантным образом, так что разло-
разложение будет справедливым для всех моментов времени.
Иначе говоря, можно, например, написать
out
W Ф () A7.1966)
out out
Аналогично разлагаются и нуклонные ин- и аут-операторы. Состояние
физического вакуума | Ч^о) является собственным состоянием Н = Hin с соб-
собственным значением 0. Оно характеризуется равенствами
<РЙ' (х) | ЧГо> = № (х) | ЧМ = $? (х) | ЧМ = 0. A7.197)
out out out
Другие собственные состояния гамильтониана
1С = ^dsx : $in (x) (-iy.d + M) o|3in (x) : +
+ 4 ^ d3x : (d\in)* + (d<pinJ + ^«qif» : A7.198)
строятся таким же образом, как и в случае свободных частиц, рас-
рассмотренном в гл. 7 и 8, ибо ф!П и if 1п по отношению к | Ч?о) имеют
такие же свойства, как операторы свободных частиц по отношению
к |Ф0). Так, ?г-мезонное ин-состояние
/n!
afn
является собственным состоянием Н}ц с собственным значением 2 ffl (к;)
г=1
и собственным состоянием полного импульса Р с собственным значением
п
2j кг. Однако важно понять, что, поскольку Щ? = Н, это ге-мезонное
г=1
ин-состояние будет также собственным состоянием полного гамильто-
гамильтониана. В частности, состояние a*n (kt) a*n (k2) |ЧГО> есть такое стационар-
стационарное состояние, когда два пучка свободных мезонов с импульсами kt и к2
сталкиваются и дают расходящиеся волны продуктов реакции (напри-
(например, мезонов, нуклонных пар и т. д.), совместимых с законами сохра-

§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине 651
нения. Входящие пучки состоят из облаченных (физических) частиц.
Аналогично, состояния
и
являются физическими одночастичными состояниями. Чтобы уточнить
эти утверждения, рассмотрим вектор состояния
\ V)e-^\W0), A7.199)
где vtf (р) — спинор Дирака с положительной энергией, так что р2 = М2
и р0 > 0. Если подействовать на обе части равенства A7.199) операто-
оператором Рц, использовать равенство A7.96), справедливое для любого гейзен-
гейзенберговского оператора, и вспомнить, что Рц | Ч*"о) = 0> то получим
[Pv, *in (*)] Уг& (P) e~ip-x do* (x) | To) A7.200a)
(x) 14To> A7.2006)
A7.200b)
При переходе от A7.2006) к равенству A7.200в) было проведено инте-
интегрирование по частям и пренебрежено поверхностными членами1). Так
как р^ = (р0 = "V^p2 -j- M2, р), то | ps)in есть собственное состояние опе-
оператора полной энергии-импульса Р^ с собственным значением р^
и массой М^УрцР11. Следовательно, состояние |ps)in —однонуклонное
состояние с импульсом р. Такое же рассуждение показывает, что
<Pin (ж) | Wq) является одномезонным состоянием. Отметим также, что
поскольку одночастичные состояния стационарны, то
Sbfn (ps) 1 То) = ^Psbtn (ps) |To) = bSut (ps)! To), A7.201)
где |Aps|2= +1. Аналогичное соотношение справедливо и для одноме-
зонного состояния, и для состояния с одним антинуклоном, так что
в общем случае при подходящем выборе фазовых множителей
|1 частицаIп = 1 1 частица)оиг- A7.202)
Аут-состояния [ pi«i . . . pi,Si\ qt, i4 . . . qm,tm; kt . .. kn)out можно построить
таким же образом:
... kn)oat =
• • • = aSut(kn) |To). A7.203)
= ,tt , , bS
у l\ to! re!
Они также являются собственными состояниями Н и удовлетворяют
граничным условиям для аут-решений. Наконец, ^-матрицу можно
записать в виде
out(b|a)ln = 6'ta. A7.204)
!) Чтобы оправдать отбрасывание поверхностных членов, нужно рассмотреть
вместо спинора / (x) = w (p) е~гр'х волновой пакет f{x), причем предельный переход
/ -+ / выполнять в конце. Член с д0 будет равен нулю в силу постоянства во вре-
времени правой части равенства A7.199), так как и w (р)е~гр'х, и ifin(z) удовлетворяют
уравнению Дирака для свободной частицы.

652 Гл. 17. Гейзенберговская картина
Развитый до сих пор формализм позволяет выразить матричные
элементы, определенные в картине' взаимодействия, через величины
в гейзенберговской картине. Особый интерес представляют матричные
элементы вида (а|71(ф(а;1) ... ф (хп) S) \ Ъ), где \а) и \Ъ) — векторы
состояний в дираковской картине. В этой связи напомним, что если
\а) и | Ъ) — собственные («голые») состояния оператора Но в картине
взаимодействия, то, как было получено,
U @, - со) | о) =* | a)in, A7.205a)
?7@, +oo)|&) = |b)out. A7.2056)
Подробнее, если
j а) = а* (kt) ... а* (к„) | Фо>, A7.206)
то
U@, -оо)|в> =
= U @, - оо) а* (к,) U @, - аз) U @, - оэ) . . . U @, - оо) | Фо) =
= a?n (к4) . .. afn (к„) | ЧГо) = 1 aln>. A7.207)-
Легко проверить следующее соотношение:
(а | Т (ф (я,) .. . Ф (хп) S)\b) = out(a | Т («р (х{) .. . <р (s«)) j b)in. A7.208)
Доказывается оно так же, как и ранее. Допустим, что xi0 > ж20 > ¦ • ¦ > хпОу
тогда
Т((р(х{) ... q>(xn)S) = U(<x>, 0I/@, ж^фЫ^/^.о, 0I7@, s10) X
X С/ (х10, аг20) ... ф (х„) С/ (жп0, 0) U @, —с») =
= U (с», 0) (р (ei) ... ф (хп) U @, - с»). A7.209)
Очевидно, что при произвольном временнбм порядке
Г(Ф(а:1) ... <f(xn)S) = U(co, 0)Т(<р(х{) ... <р (яг„)) 17 @, -с»). A7.210)
Отсюда сразу следует равенство A7.208).
В качестве применения равенства A7.208) выразим в конечном виде
через" гейзенберговские операторы амплитуду мезон-нуклонного рассея-
рассеяния в нейтральной псевдоскалярной теории [512]. Для этого вспомним,
что в дираковской картине амплитуда рассеяния из начального состоя-
состояния |ps; k) в конечное состояние |pV; k') дается выражением
<РУ; k'\S\ ps; к) = (pV | а (к') Sa* (к) | ps). A7.211)
В дальнейшем мы будем широко использовать тот факт, что операторы
рождения и уничтожения мезона а^ и аа в одночастичном состоянии /а
можно записать в виде
\ ф (х)Xfa (x) d3x A7.212а)
t
а (агIСф (*) d3x. A7.2126)
Здесь /„ — решение уравнения Клейна —Гордона, имеющее вид норми-
нормируемого волнового пакета с положительной энергией. Рассмотрение
с помощью волновых пакетов обладает тем преимуществом, что состоя-

§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине 653
ние а5|Ф0) имеет конечную норму, в то время как состояние ак|Фо)
яенормируемо. В предельном случае плоских волн
e-ik-x <17-213>
.и соответственно аа—>ak, oJ-H>aJ. Отметим, что, поскольку / и ср
удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона, время t, при котором про-,
водится интегрирование в равенствах A7.212а) и A7.2126), произвольно.
Поэтому равенство A7.211) можно переписать следующим образом:
^У-щ- (v's'\<p(x')S<p(x)\ps} -^Ъ(х). A7.214)
В дальнейшем мы предположим, что /к и /к' соответствуют нормируемым
решениям уравнения Клейна — Гордона с импульсами, приблизительно
равными к и к'. Предельный переход /к—э-(плоская волна с импуль-
импульсом к) будем совершать лишь в конце вычислений. Следует напомнить,
что правильное описание реального эксперимента по рассеянию требует
использования волновых пакетов, а амплитуда (pV; k' | S | ps; к) является
на самом деле идеализированным пределом.
Так как значения t и t' в A7.214) произвольны, то удобно t взять
в бесконечно далеком прошлом, а С-в бесконечно далеком будущем.
Это дает возможность записать A7.214) в виде
.= - \ d'x'
A7.215)
Используя равенство A7.210), матричный элемент в A7.215) можно
¦представить следующим образом:
<pV | Т (S ср (х1) ср (х)) | ps-) = out(pV | Т (ср (х') ср (х)) | р s)m, A7.216)
так что окончательно
¦<pV;k'|5|ps;k>= - lim lim \d3x'\d3xx
X f^W) -JL; 0Ut(p'S' I T (ф (xr) Ф (x)) | pS)in ^g- /k (x). A7.217)
Этот матричный элемент можно преобразовать дальше, если выполнено
асимптотическое условие, которое заключается в том, что при произ-
произвольных (но фиксированных) нормируемых векторах состояний j W) и | Ф)
должен существовать lim (Ф\ф (хо)\Ф), или, точнее,
Х0->±оэ
lim (ЧГ\1^3х^Щд^(х)\Ф)^(ЧГ\1 \A3хЬГ(х)Х<(оих(х)\Ф). A7.218)
Другими словами, асимптотическое условие требует, чтобы имели смысл
лредел, определенный равенством A7.185), и аналогичное соотношение

654 Гл. 17. Гейзенберговская картина
для аут-поля [равенство A7.218)]. В общем смысле асимптотическое
условие требует, чтобы теорию можно было интерпретировать с помощью
асимптотических наблюдаемых, относящихся к частицам, т. е. с помощью
наблюдаемых для стационарных ин- и аут-состояний, которые обла-
обладают такими же трансформационными и статистическими свойствами
и такими же свойствами ортогональности, как и состояния свободных
частиц с данной массой. Эти асимптотические состояния строятся
с помощью ин- и аут-операторов и отличаются от состояний свободных
частиц тем, что они содержат частицы с импульсами, отличными от
импульсов входящих частиц в случае ин-состояний (или уходящих
частиц для аут-состояний), и которые соответствуют уходящим (или вхо-
входящим) рассеянным частицам. Асимптотические условия требуют, чтобы
ин- и аут-поля можно было получить из гейзенберговских полей вполне
определенным предельным переходом — асимптотическим предельным
переходом [равенство A7.218)]. В дальнейшем мы примем, что рас-
рассматриваемая теория поля такова, что асимптотические условия выпол-
выполняются.
В предельном случае, когда /к —плоская волна, равенство A7.218)
принимает вид
lim lim (W\i \&х<р(х)Хк(х)\Ф) = {х1Г\а1м(Ъ)\Ф). A7.219)
Следовательно, можно переписать и амплитуду рассеяния
<PV, k'\S\ ps, k) = out<PV | aout (k')a?n (k) | ps)ia =
= ont(pV, k'| aJi, (k) | ps>ta =
= lim out(pV, k '| i [dsx q> {x)Xh («) I P*)ui. A7.220)
<-»-co J
Используем далее тождество
+CO
d3x \ dx°d0F (x)= ^ d?xF(x)- J d?xF(x) A7.221)
-co ?=+co t=—oo
и приведем равенство A7.220) к виду
's'; k' | ф (х) | ps>In7/k (я) =
ut<pV; к'| ф (ж) | ps)in д0 /к (ж)—
0 [out(pV; к' |<р (х) \ps)iaXh
—со
= 0Ut(pV; к' | aSut (к) | ps>in -
- i J &х (Пх + ^2) out (p'*'; к' [ф (х) | ps>ln-/к (ж). A7.222)
Чтобы получить последнюю строку в равенстве A7.222), мы исполь-
использовали асимптотическое условие A7.219), написав в первом члене aoUt(k).
Мы также воспользовались тем, что [/к (х) удовлетворяет уравнению
Клейна — Гордона
0.7* (*) = (Э«-!!¦)/*(*), A7.223)

§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине 655>
а-затем проинтегрировали по частям по пространственным переменным
во втором члене. Первый член можно упростить, если вспомнить, что
о дночастичные состояния обладают свойством стабильности: [ps)m = I ps)out-
Поэтому
Out(pV, к | aSut (к) | ps)in = out<p's' I aout (к') a*ut (к) | ps)out =
= S("(k-k'HUt(pV|psHUt =
= бC) (к-к') бC) (p- p') в„-, A7.224>
так как
[aOut(k),aSut(k')] = 6C'(k-k'), A7.225a>
In in
[aout(k), bout(ps)] = 0 . A7.2256)
<Vo|aSut(k) = 0. A7.226)
Следовательно, матричный элемент рассеяния дается выражением
<pV, k' | S |р*. к) = 6SS>6C> (p - р') 6C) (к - к') -
(а;)|Рб-)ш-/к». A7.227)
Поступая так же, как выше, имеем
Out(pV, k' | ф (ж) | ps)in = Out(p's' I aout (к') Ф (х) \ps)in =
*>ш. A7.228).
Поскольку в последнем выражении х'° соответствует бесконечно дале-
далекому будущему, напишем
A7.229>
Применяя равенство A7.221), получаем
Г=+оо
(Ф (ж') Ф (*)) I p*>ta ] • A7.230)
Так как интегрирование по гиперповерхности в первом члене выпол-
выполняется теперь при ж'°= — оо, то
Т (ф (х1) ф (х)) = ф (х) ф (ж') при «'»->-оо. A7.231)
Первый член в правой части равенства A7.230) равен нулю, так как
out<p'*'! Ф (*) а,„ (к') | ps)iu A7.232)

056 Гл. 17. Гейзенберговская картина
а поскольку ащ(к) | ps)in = b*n (ps) ащ (к) | Wo) — O. Для этого мы и ввели
Г-произведение. Выполнив указанное дифференцирование и проинтегри-
проинтегрировав по частям по пространственным переменным, окончательно запи-
запишем равенство A7.230) следующим образом:
<рV, k'\S\ ps, k> = ln(pV, k' | ps, k)in + J d<x J dV x
X пГЩ fk (x) (Пх + Ц2) (Пх- + Ц2) out(p'*' | T (q> (*') ф (x)) | ps>to. A7.233)
В предельном случае плоских волн равенство A7.233) принимает вид
X
X \ d*x ^ dW*'•«--"¦*) (?, + ji«) (О;- + |Л2) „nt(p'*' I 71 (Ч> (*') Ф («)) I P«)in-
A7.234)
Прежде чем перейти к дальнейшему анализу амплитуды мезон-нук-
лонного рассеяния в том виде, как она дается равенством A7.234),
отметим, что можно получить несколько иное выражение, если пере-
переписать равенство A7.228) следующим образом:
^ d3x' fk' {x') -?^ out(p's' | ф (х1) Ф (х) | ps)out =
if->OO
A7.235)
Здесь мы воспользовались стабильностью одночастичных состояний
J ps)in = |ps)out- Вводя запаздывающий коммутатор
R (ф (х') ф (х)) = -iQ(x'-x)[(f(x'),(f>(x)], A7.236а)
Q(x' — x) = \, если х'°>х°,
= 0, если х'° < х°,
мы использовали то, что х'° находится в бесконечно далеком будущем.
Поэтому Q{x' — x) = l, а член
Л
f —>оо
d3a;' /k- (х1) -^ro out(p's' | ф (я) ф («') | P«)out =
= out(p's' | Ф (ж) aout (k)! Р«>отг A7.237)
равен нулю, так как aoUt (k) | ps)out = 0.
Рассмотрение, аналогичное тому, которое привело нас к равенству
A7.234), теперь дает
d3x'fk'(x')-^^0Ut(p's'\Q(x'-x)[<f>(x'), ф (ж)] ] ps)out =
. A7.238)

§ 4. S-матрица в гейзенберговской картине 857
Интеграл при t = — оо не вносит вклада благодаря множителю Э (х' — х),
который равен нулю при ж'°= — оо. Таким образом, элемент «^-матрицы
можно записать также в виде
;: х
A7.239)
Необходимо подчеркнуть, что выражения A7.234) и A7.239) для эле-
элемента ^-матрицы представляют одну и ту же функцию только при
/с2 = к'2 = (д.2 и р2 = р = М2, т. е. только на массовой поверхности. Вне ее
они будут соответствовать, вообще говоря, различным функциям.
Вернемся к выражению ^A7.234) для элемента матрицы рассеяния.
Заметим, что правую часть этого равенства можно преобразовать, если
учесть, что
Т(Ф(х)Ф(у)) = je(x-y)[<t>(х), ф(у)] +1 [ф(х), ф(у)], A7.240)
и, следовательно,
-Q-o Т (Ф (х) ф (у)) = у е (х - у) [30ф (х), ф (г/)] + ^ [30ф (ж), ф (г/)]+ +
A7.241)
так как одновременной коммутатор <р(х) иф(г/) равен нулю. Аналогично
вычисляется и вторая производная:
д1Т (ф (ж) ф (у)) = б'» (Ж« - г/») [30ф (ж), ф (у)] + Т(д1 ф (я) ф (у)) =
= - *6«> (ж - г/) + Т Cfo (ж) ф (г/)), A7.242)
так что
(Пх + ^)У(ф(ж)ф(г/))= -гб<*>(х-г/) + ТA(Ж)ф(г/)), A7.243)
где
(? + И2)фИ = .Г(ж). ' A7.244)'
Таким же образом находим
(Пу + ^)ТC (х) ф (у)) = ТC (х) 3 (у)) - б'1» (х« - у») [J (*), 3°ф (у)}. A7.245)
Здесь мы предположили, что при хо = уо операторы у(у) и 3(х) ком-
коммутируют. Это следует His условия причинности, согласно которому
коммутатор двух локальных наблюдаемых (эрмитовых операторов),
взятых в пространственно-подобных точках, должен быть равен нулю.
Подробнее условие причинности мы обсудим в гл. 18. Комбинируя
полученные выше результаты, можно амплитуду рассеяния окончательно
записать в виде
d*x \ dVe*<*'-*'-ft-*> X
^ Bя)з i/4c0kcok,
X {out(p's' | T (J (*') J (x)) + 6A) (x° - г/0) [j (ж')} а°ф (x)] | ps)in}. A7.246)
Это и есть нужное нам выражение.
42 с. Швебер

658 • Гл. 17. Гейзенберговская картина
§ 5. Предельные теоремы для низких энергии
В качестве применения выражения A7.246) для амплитуды рас-
рассеяния бозона на фермионе мы рассмотрим рассеяние фотонов с очень
малой частотой заряженной системой со спином а/2. В гл. 16 мы отме-
отмечали, что рассеяние фотонов с нулевой энергией на заряженной системе
описывается формулой Томсона и не зависит от структуры системы.
Этот факт был использован для определения перенормированного заряда.
Здесь мы покажем, что в пределе нулевой частоты фотона не только
амплитуда рассеяния, но и ее первая производная по частоте опреде-
определяются статическими свойствами системы, т. е. зарядом, массой и ста-
статическим магнитным моментом фермиона со спином х/2> на котором рас-
рассеивается фотон [511, 893]. При последующем рассмотрении мы всегда
будем предполагать, что длина волны фотона много больше размеров
системы. Для рассеяния фотонов нуклонами такой длиной, по отношению
к которой длина волны фотона должна быть велика, является компто-
новская длина волны я-мезона, т. е. должно быть к < ЦяС
Для определенности будем рассматривать рассеяние фотона нукло-
нуклоном в псевдоскалярной мезонной теории. Лагранжиан системы связан-
связанных мезонного, нуклонного и электромагнитного полей дается равен-
равенством A0.92). Амплитуда рассеяния фотона на нуклоне из начального
состояния [в котором фотон имеет импульс к, энергию со = |к|, поля-
поляризацию е^ (к), к • Еа> (к) = 0, а нуклон имеет импульс р и проекцию
спина s] в конечное состояние [в котором фотон характеризуется вели-
величинами к', со', г', (Е''к' = 0), а нуклон имеет импульс р' и проекцию спи-
спина s'] имеет вид1)
<PV, kV \S\ps, ke> = out<pV, kV | ps, ke)In-
в«»<кк')вв18>(РР')в +
}, A7.247)
где j (x)— пространственная часть2) 4-вектора }ц(х), являющегося источ-
источником электромагнитного поля:
? Ал (*) = *,(*). A7.248)
Ток в обсуждаемой теории определяется выражением
A7.249)
В равенстве A7.249) ф, <р* — гейзенберговские операторы, соответству-
соответствующие заряженным мезонам. Используя это выражение для j^, легко
вычислить одновременнбй коммутатор в равенстве A7.247)
б (ю-х0) [j, (*'), 5°Аг (х)] = -2е2б (х0- х0) <р* (*') <р (*') (А, (*'), d°At (x)] =
), A7.250)
!) Собственное значение Т? Для нуклона мы не выписываем.
') В данном случае жирный шрифт для j означает то, что j — гейзенберговский
оператор (перенормированный) и что он трехмерный вектор.

§ 5. Предельные теоремы для низких энергий 659
так что ^-матрица имеет вид
¦<pV, kV 151 ре, ke) = б'3' (k- k') 6*r6<3) (р- р') 68S, +
d'x
Xont<pV|r(e'.j(a!')e.j(*))|!W>in. A7.251)
Если написать, что 5 = 1 — 2mT, тогда Г можно выразить следующим
образом:
з
(PV, kVir[ps, ks)= ^^p 2 е'^твго, A7.252а)
где
J ) |
out(pV i Г(ji (*') jm (*)) | ps)in. A7.2526)
Докажем теперь, что
з
J J ife'-*'e-ift-%ut<p's' | Г (q (x1) q (x)) | ps)ln,
A7.253)
где q (ж) = j0 (x) — плотность заряда.
з
Доказательство: Рассчитаем сначала 2 Ki
а,) ф (;r) | ps)in.k'm +
Используя уравнение непрерывности
з
2-!?-=— !?. , A7.255)
t=i J °
можно второй член в правой части равенства A7.254) преобразовать
к виду Out(p's'\T(d'aQ (xr) jm(x))\ps)ln. Так как
? j™^))»^71 (в(*')Jm(*))-*(*o-^ [(}(*'), jm(*)], A7.256)
то, подставляя выражение A7.256) в формулу A7.254), после интегри-
интегрирования по частям находим
з
'), jm (a;)] | ps)in 6 (a* - *;)
A7.257)
42*

660 Гл. 17. Гейзенберговская картина
Используя выражение A7.249) для 4-вектора тока и одновременные и пере-
перестановочные соотношения, можно вычислить коммутатор \q{x'), jm (x)]
и проверить, что первые два члена в A7.257) взаимно уничтожаются.
Проделав аналогичные выкладки и воспользовавшись равенством нулю
одновременного коммутатора q(x) и ©(у), в результате получим равен-
равенство A7.253)
з
2 ШтЛт = ©'© ^ d*x [ &х'(*ь-*е-*'-*' 0Ut(pV | T (e (x1) q (x)) | ps)ln.
I, тп=1
Это равенство является следствием калибровочной инвариантности
теории. Если из .других источников можно получить достаточную инфор-
информацию относительно коэффициентов в разложении tim по тензорным
структурам, то равенство A7.253) можно применить для вычисления
самой функции tim. Преимущество, получаемое при использовании соот-
соотношения A7.253) для расчета рассеяния, заключается в том, что если
интересоваться амплитудой рассеяния, пренебрегая величинами поряд-
порядка к и выше, то достигается существенное упрощение, так как
\ dsXQ (z) = Q есть оператор полного заряда и Q|ps)in = efi|ps)in или
0! ps)in- Мы покажем, что амплитуду рассеяния с точностью до величин
порядка к можно выразить через матричные элементы плотности заряда
q(x), а не через плотность тока j(x). Из равенства A7.2526), определяю-
определяющего tim, видно, что первый член (пропорциональный <р*<р), если
пренебречь степенями к выше второй, не зависит от спина и про-
пропорционален bim. Второй член можно записать в виде суммы по про-
промежуточным состояниям, если между множителями ji (х1) и jm (x) вставить
полный набор состояний. Вклад в сумму, который возникает от одно-
нуклонных промежуточных состояний (невозбужденных состояний) ffj{,
легко подсчитать с точностью до величин порядка к. Прямые вычис-
вычисления дают, что сумма 2 Ш\ткт равна нулю. Можно показать, что
1т
вклад от возбужденных состояний t\m с точностью до величин поряд-
порядка к пропорционален 6im и матричным элементам aim. Другими словами,
в этом приближении
tlm = A6lm + Balm + tZ, A7.258)
так что, подставляя выражение A7.258) в A7.253), находим
(к'• к) А + (в- [к' х к]) В = со'соС, A7.259а)
где
С = ^ d*x ^ d*a:Vft'-*'e-ift-*ont<py | T (q (x1) q (x)) \ ps)ln. A7.2596)
Спинорные множители us<(p') и us(p) в равенствах A7.258) и A7.259а)
были опущены. Посмотрим, как вычислить величину С. Трансляцион-
Трансляционная инвариантность теории позволяет упростить равенство A7.259а).
Так как оператор полной энергии-импульса системы Рй является гене-
генератором пространственно-временных сдвигов, то
в*рио1Ае (х) e~ip^ = Q (x + а). A7.260)
Используя унитарность оператора U(l, o) = eiPa, можно написать
out(pV|7'(e(x')e(a:))|pS>,n =
= out(pV I e-ip-aeip-a-T(Q(x') q (x)) e-™-"e*-a\ ps)In =
A7.261)

§ 5. Предельные теоремы для низких анергий 661
Равенство A7.261) справедливо при произвольных сдвигах а. Выбрав
а= — х, можно переписать равенство A7.253) следующим образом:
з
I, m=l
X out<P V | T (Q (*' -X)Q @)) I PS)ln =
= Bя)*со'со6(*(p + k-p'-k')^ V-»nt(pV|T(q(y) q@)) |pS)In. A7.262)
Здесь б-функция выражает сохранение полной энергии и полного импуль-
импульса в рассматриваемом процессе. Если записать
Т @ (У) 0 @)) = 6 (у) с (у) в @) + в ( - у) в @) в (у) A7.263)
и вставить между q @) и q (у) полную систему состояний | q, o)in, явля^
ющихся собственными состояниями Р^ с собственными значениями q^,
то получим
^ o«t<P'«' I T (Q (Z/) Q @)) | PS>In =
. «>ib «nDf» «10 @) Ips)in +
|q,o>ln 0
0
+ \ dyo ^ d3yeik'-v out(p'*' IQ @) | q, a)in ia{q, a | q (y) | ps)In| =
dy0 J dVi(fe'+p'-9)-"-(P's'l0@)[q, «)++(q, a| q @) |ps}+
IQ. «>in
0
-<p'*' I o (°) I q>«)+ +(q.«I o @) I p«}+ \ =
-<PV I Q @) I P'
I Q @) 1 P —k', g0; a>+ +<g0, p—k'; a |"q @) | р+|
Суммирование в формуле A7.264) проводится по всем состояниям |а),
которые можно связать с однонуклонным с помощью оператора q@).
Так как j^ (x) коммутирует с оператором числа нуклонов N (число
нуклонов минус число антинуклонов), то состояния |а) должны быть
собственными состояниями N с собственным значением +1- Ясно также,
что они должны иметь такой же заряд, как и состояния |ря)±. Поэтому
дают вклад однонуклонные состояния, состояния одного нуклона плюс
одного мезона и т. д.а). Однако члены, возникающие от возбужденных
состояний (т. е. от состояний, отличных от однонуклонного состояния),
дают вклад порядка №, так как оператор полного заряда \ d3xq{x),
1) Промежуточные состояния, содержащие один нуклон и фотоны, будут давать
вклад по крайней мере порядка а по сравнению с вкладом низшего порядка.
Поэтому обычно пренебрегают вкладом от состояний с фотонами по сравнению
с вкладами порядка G2 от промежуточных состояний, содержащих мезоны.

062
Гл. 17. Гейзенберговская картина
действуя на |ps>± или |p's')±, дает с-числовой множитель, равный
заряду соответствующего состояния. Поэтому для вычисления С с точ-
точностью до величин порядка к нужно учесть в равенстве A7.264) лишь
вклад от однонуклонных промежуточных состояний. Если выделить
вклад этих состояний, то получим
ife'-y out(pV | Т (q (у) Q @) | ps)in -
_ чп f_(PV 1 Q @) 1 p' + k', E (p'+k'), q+ +{S", p'+k', E (p'+k') I Q @) I Р*>+
^t 'i?(')?('+k') + i
-<P V I Q @) I p-k', E (p-k'), »»>++<«', p- k', E (p-k') | g @) 1 ps)+
где ?(р) /р
Чтобы вклад от однонуклонных состояний выразить в явной форме,
найдем общий вид матричного элемента +(р'5' I Jn @) I Ps>— Этот матрич-
Фиг. 138.
ный элемент, выраженный через операторы в картине взаимодействия,
равен
+<PV | Jm. @) I P*>+ ~-{P'~ />J+(P's' IK @) IP«>+ =
= <Pv | и @, oo) 7; @) и @, - <x>) | ps> =
= <pV|J'(J/ll@))|ps>. A7.266a)
Правая часть равенства A7.266а) представлена с помощью диаграмм
на фиг. 138. Таким образом, матричный элемент -(pV | Jrh @) | ps)+
равен1)
+<Р'»' I j№ @) |Ps>- = (P' - pJD'Fi (p' - р) и*' (р') Г114 0»', р) и8 (р), A7.2666)
где Г1ц —перенормированный вершинный оператор. Чтобы построить
оператор Г4ц, заметим, что из соображений релятивистской инвариант-
!) В правой части равенства A7.2666) мы опустили кинематический множитель
г ) ¦ Так как наши спиноры нормированы согласно равенству и (р) и (р) = +1
- /лг-Ч* й
(для спиноров с положительной анергией), то множитель ( r J необходим
для обеспечения ковариантности матричного элемента. Мы также добавили
индекс Л к операторам, чтобы напомнить читателю, что в этом параграфе мы имеем
дело с перенормированными гейзенберговскими операторами.

§ S. Предельные теоремы для низких энергий СВЗ
ности он должен иметь вид
IV (/>'- Р) \Р*=р.*=м* = Y^i (Я2) + WnvPvGi (q2) + га^р'Ю2 (q2),
q = p'-p, A7.267)
где F\, Gx и G2 — инвариантные функции. Кроме того, в силу уравнения
непрерывности д»}ц (х) — 0 имеем d^p's' | jp, (х) | ps)_ = 0. Это означает,
что
(р' - p)w- (р') Г1|4 (р1, р) v? (р) = 0. A7.268)
Член u(p')ytl(p'— р)^и(р) Fi(q2) равен нулю из-за того, что мим под-
подчиняются уравнению Дирака. А из равенства нулю выражения
(р' - р)»И (p'Ha^Gi (q2) + о^р'Юъ (q2)} и (р) получаем
-G1(g2) = G2(g2) = /12(g2), A7.269)
так что
Гц* {р\ J>) = yvJPi (q2) + ia^ (p' - p)« F2 (g2). A7.270)
Форм-факторы Fi (q2) и F2 (q2) описывают распределение заряда и намаг-
намагниченности в нуклоне. Они являются обобщениями электромагнитных
форм-факторов, рассмотренных при описании взаимодействия электрона
с электромагнитным полем. Так как полный заряд определяется матрич-
матричным элементом +(ps \ d3xj0 (x) ps>+, т. е. матричным элементом при
q = 0, то имеем
4ей) A7.271)
или Ff @) = eR, a F™ @) = 0, где индексы геи/? относятся соответ-
соответственно к нейтрону и протону. Магнитный момент нуклона получится,
если вычислить среднее значение оператора 1/2 \ d3r [r x j] в состоянии
\Ч?), в котором нуклон находится в покое. Это среднее значение равно
, A7.272)
где правая часть означает среднее значение а для спинора Дирака,
соответствующего частице в покое (р = 0). Так .как 'J. в силу соот-
соотношения A7.271) равно дираковскому магнитному моменту, то ясно,
что F2 @) = А(л — это аномальный магнитный момент. Высшие моменты
функций Ft, F2 характеризуют форму распределения заряда и намагни-
намагниченности. (Форм-факторы можно мыслить как фурье-образы простран-
пространственных распределений заряда и намагниченности.) Средний квадра-
квадратичный радиус пространственного распределения связан с производной
Fi, 2 при q2 — 0. Экспериментальные данные [379, 380] по рассеянию
электронов на нуклонах и дейтронах показывают, что Fip <*» F2p «s /^
(по крайней мере при тех значениях q2, при которых были выполнены
эксперименты), a Fin =a 0.
Итак, мы установили, что
= "s'(p') [y^iiq^ + ia^q^iq2)]^^) A7.273)

Гл. 17. Гейзенберговская картина
так что матричный элемент +(p'$'|q(O) |ps)_ дается равенством
+<pV|qb@)|iw>_ =
= qWFl (q) {и>" (р') и* (р) F, (q*) + F2 (q>) и*'* (р') p*a.qus (p)} A7.274)
и
¦<pV|jB@)|p«>- =
= q'D'n (д) W" (р') {аЛ (дг) - i [q X 0] F2 (g2)} ua (p), A7.275a)
^ и»'* (p') y-^f- (p + p') + Щ № X q] \ us (p) + 0 (q2). A7.2756)
Выражение A7.2756) соответствует току нерелятивистской частицы,
характеризующейся зарядом Fi@) и полным магнитным моментом \i.
Взаимодействие такой частицы^, с магнитным полем ЦК определяется
гамильтонианом
Н -Q^-(p.A + A.p)-[i0.Jj?. A7.276)
Подставляя A7.274) и A7.275) в равенство A7.265), находим, что для
рассеяния фотонов на протонах с точностью до величин порядка к2
'tt'--»in<pv \т (eB/)e(O))|Ps>in =
где jx —полный магнитный момент нуклона. Правая часть равен-
равенства A7.277) выражена через двухкомпонентные спиноры Паули us' и us,
соответствующие проекциям спина s' и s. Другими словами, в равен-
равенстве A7.277) мы перешли к «большим» компонентам спиноров us'(p) и
us(p). Выражение A7.277), пропорциональное 2 Wimkm [вспомним равен-
Im
ства A7.259а) и A7.262)], позволяет вычислить ttm, что в свою очередь
дает возможность вычислить амплитуду рассеяния с точностью до вели-
величин порядка к [см. равенство A7.252а)]. С такой точностью амплитуда
рассеяния равна
(PV, k'
х к']) - (8'-к) (8-[а х к])^} "s+° w- A7>278>
Для рассеяния вперед к = к', р = р' и выражение для амплитуды
рассеяния принимает вид
<pS', ke'l^lp.
X б<4) (р' + к'-р-к) us" j-J- &•&' + ico (А(хJ (о- [е' х 8])} us. A7.279)
[Конечно, для нейтрона член -^ отсутствует, так как F" @) = 0. ] Из ра-
равенств A7.278) и A7.279) видно, что с точностью до членов, линейных

§ в. Проблема связанных состояний 665
по частоте фотона, амплитуда рассеяния зависит лишь от заряда, массы
и магнитного момента рассеивателя. Лоу [514]' показал, что тормозное
излучение фотонов малых энергий (с такой же точностью) можно связать
с амплитудой рассеяния без испускания фотонов и что коэффициенты раз-
разложения по частоте и в этом случае определяются статическими электро-
электромагнитными свойствами системы.
Другие важные предельные теоремы для мезон-нуклонного рассеяния
и фоторождения мезонов при низких энергиях были установлены Кроллом
и Рудерманом [467] и Клейном [449] (см. также [436]). Значение предель-
предельных теорем заключается в том, что они дают способ измерения параметров,
которые независимо определяются другими экспериментами. Так, заряд
и магнитный момент протона измеряются в принципе с помощью рассея-
рассеяния протона в слабом и медленно меняющемся внешнем электромагнитном
поле (достаточно слабом, чтобы рассматривать лишь линейные по полю
эффекты, и достаточно медленно меняющемся, чтобы можно было прене-
пренебречь изменением напряженности в пространстве и во времени). А дока-
доказанная выше предельная теорема для комптоновского рассеяния при низ-
низких энергиях показывает, как таким образом определенные параметры
входят в амплитуду рассеяния фотонов на протонах.
§ 6. Проблема связанных состояний
В этом параграфе мы изложим некоторые методы, использующиеся
при исследовании проблемы связанных состояний в релятивистской теории
поля. Проблему связанных состояний можно рассматривать с двух тесно
соприкасающихся точек зрения. Одна из них заключается в обобщении
понятия фейнмановских функций распространения на многочастичные
системы. При другом подходе имеют дело непосредственно с амплитудами,
которые являются аналогами «волновых функций» в нерелятивистском слу-
случае (см. работы Фейнмана [251, 252], Швингера [715], Солпитера и Бете
[696], Гелл-Манна и Лоу [301], Нишижимы [578] и Фриза [277, 278].
Рассмотрим сначала задачу описания одно электронной системы в сла-
слабом статическом внешнем поле, когда учитывается влияние квантованного
излучения и электронно-позитронного поля. Известно, что если влиянием
квантованного поля излучения пренебречь, то операторы tye(x), описываю-
описывающие квантованное электронно-позитронное поле, удовлетворяют уравне-
уравнению движения
(iYn д» + еу^А^ (х) — т) я|зе (х) = 0. A7.280)
Кроме того, при достаточно слабых полях существует стабильный
вакуум |Ф?), и состояние
$ A7.281)
описывает одноэлектронное состояние и не зависит от а. Здесь ф„ (х) —
решение уравнения Дирака с положительной энергией во внешнем
поле Aev"(x). Состояние \Феп) является собственным состоянием Ро,
полной энергии системы полей, с собственным значением Еп (где Еп —
собственное значение энергии для функции ф„). Наоборот, одновремен-
одновременные перестановочные соотношения
W (*), Г (*')}*„=*{ = Г°<3> (х-х') A7.282)

666 Гл. 17. Гейзенберговская картина ¦
и свойство вакуума быть состоянием с найнизшей энергией позволяют
заключить, что
(Фое|ГD|Фя) = ФЛ^)- A7.283)
Эта амплитуда <р„ (х) будет удовлетворять уравнению
(*Yn & + еу^А* (х) - т) Ф„ (х) = 0, A7.284)
поскольку ему удовлетворяет tye(x), а также уравнению
1доуп(х) = Еп<$п{х), A7.285)
если | Феп) — собственное состояние Ро с собственным значением Еп.
Доказательство:
1 [ро, ^ (х)] | фь> = id0 (Фе01f (х) | ф*„> =
^»|Ф»>- D7.286)
Когда учитывается влияние квантованного поля излучения, вектор
состояния системы в картине Фарри удовлетворяет уравнению
= _ е J do (я): $• (х) у»Г (х): А% (х) | ?F (t)), A7.287)
где tye (x) — фермионные операторы в картине Фарри, удовлетворяющие
уравнению A7.280). Замечания, сделанные в § 1 этой главы, предпола-
предполагают, что векторы
? (Ф?, U* @,
рассматриваются как «физические» собственные векторы, которые опи-
описывают систему с учетом поля излучения. Однако только в случае
состояния вакуума |ФЦ) и для одной частицы в низшем связанном
состоянии получающиеся состояния | \F) будут собственными состояниями
Ро с дискретными собственными значениями. Наше утверждение состоит
в том, что энергетический спектр объединенной системы электронно-
позитронного поля и поля излучения имеет дискретное собственное
значение при /?0 = 0, которое соответствует вакууму; непрерывный
спектр, начинающийся с ро = О и соответствующий состояниям с одним,
двумя и т. д. фотонами; дискретное собственное значение при т — е0
(где 80 — энергия связи ls-состояния с учетом всех радиационных попра-
поправок) и непрерывный спектр, начинающийся в этой точке и соответ-
соответствующий состояниям одного электрона с одним, двумя и т. д. фото-
фотонами. Дискретные собственные значения оператора PJ,0), которые соот-
соответствуют связанным состояниям ф„ и появляются при т — Еп, когда
пренебрегается влиянием квантованного поля излучения, в результате
взаимодействия с ним приобретают отрицательную мнимую добавку
и смещаются с действительной оси в комплексной плоскости энергии.
. Физически эта формулировка означает, что высшие возбужденные
состояния нестабильны относительно переходов в нижние состояния
с испусканием фотонов. (Состояния, содержащие один электрон в низ-
низшем состоянии, конечно, стабильны в силу сохранения заряда.)
По аналогии со случаем, когда отсутствует поле излучения, будем
описывать одноэлектронную систему с гейзенберговским вектором состоя-

§ в. Проблема связанных состояний 667
ния |Т> амплитудой
/(*) = (Т0, *>(*)*), A7.289)
где я|5 (а;) — гейзенберговский оператор электронно-позитронного поля,
взаимодействующего с внешним полем и полем излучения. Оператор я|з(зс)
удовлетворяет уравнению
(iy* д» - т) t|> (х) = - еу» (Ае* (ж) + А* (ж)) t|> (ж). A7.290)
Так как | Т), по предположению, есть одноэлектронное состояние (так
что Q|T)= — е|Т)), то амплитуды
/ (хи . .. хп) = (То, 71 (t|J («О ... t|j (xn) Т) A7.291)
равны нулю, а амплитуды
/?'."V» («. жь • • • *»; 2/1' • • • 2/«; «1, • • • z«) =
.. t|, («„) 4, (у,) ...Ц, Ы Ам (zO • • • Айи (z,)) То) A7.292)
отличны от нуля. То, что последние амплитуды не равны нулю, свя-
связано с возможностью рождения пар внешним полем и с возможностью
испускания фотонов нашей одноэлектронной системой.
Рассмотрим несколько более подробно «одночастичную» амплитуду
f (х), определенную равенством A7.289). Используя соотношение
I iirx __ Vе @. со) I Фе> (M2VW
амплитуду /(ж) можно выразить через переменные в картине Фарри:
/(«) = <Ф;|г/«*(О, со) ue(t, 0)-h^(x)V(t, 0)ue@, -оо)|Фе>с =
= (Фое|Г(^е(х))|Ф>с, A7.294а)
Se = Ue( + <x>, -оо). A7.2946)
Рассмотрим, в частности, случай
|'ф«> = |Ф?> = J do»(ж)%>y*fn(х)\Феа), A7.295)
где пространственно-подобную поверхность а в силу того, что она
произвольная, возьмем при t= —сю. При таком выборе а равенство
A7.294) можно записать в виде
/„ (ж) = J (Ф*. Т (Set (ж) ^ (ж')) Ф1) у»<?п (*') ^ (ж'), A7.296а)
S' = Ue(oo, -oo) A7.2966)
ИЛИ
где
—^S%(x, х') = (Фе0, Т (Seye (х) тр (ж')) Ф„) A7.298)
есть фейнмановская функция распространения частиц во внешнем поле
с учетом всех радиационных поправок. Она является функцией х, х'

668Гл. 17. Гейаенберговская картина
— х1 а удовлетворяет интегральному уравнению
, х")Ъ*е{х", x'")=\sF{xm, х')&х"&х\ A7.299)
причем SeF определяется выражением
\ ф. A7.300)
Собственные диаграммы собственной энергии, дающие вклад в 2J,
те же, что и диаграммы, дающие вклад в 2* (например, диаграмма
Фиг. 139. Фиг. 140.
на "фиг. 139). Однако 2| содержит еще целый ряд дополнительных
диаграмм, возникающих от поляризации вакуума внешним полем.
Такая диаграмма низшего порядка показана на фиг. 140. Вспомним,
что после перенормировки эта диаграмма дает член
б<4) <* - *'> ч* п К (х). A7.301)
Если подставить Sp из уравнения A7.299) в A7.297), то получается
следующее интегральное уравнение для fn(x):
U {х) = Фп (х) + 5 d*x' 5 d*x"=? SeF (х, х") 2* (х", х') fn (xr). A7.302)
С другой стороны, поскольку ф„ (я) удовлетворяет уравнению
Дирака с внешним полем Ае (х), a SeF(x, x) подчиняется уравнению
CYh ^ + e4v.Ae* (х) - т) SeF (х, х') = 2г6<4> (х - х'), A7.303)
находим, что /„ (а;) удовлетворяет уравнению
(х) - т) fn (х) + \ d*x"L*e (x, x') fn (x1) = 0. A7.304)
Это уравнение для амплитуды / (я) впервые было выведено Швинге-
ром [715]. Оно является обобщением уравнения Дирака, включающим
радиационные поправки. Как выше упоминалось, уравнение A7.304)
будет иметь решения вида
f(x) = e-«b*g(x) A7.305)

§ 6. Проблема связанных состояний 669
только для низших состояний. Для других состояний будут сущест-
существовать приближенные решения вида
/<*)-Г^-И-,(ж), . A7-306)
где 1/Г —время жизни рассматриваемого состояния1).
Когда внешнего поля нет, одночастичные состояния описываются
с помощью амплитуд f(x), f(x, хп yi), ... следующим образом. Обозна-
Обозначим через | *FpS) одночастичный гейзенберговский вектор состояния,
который является собственным вектором оператора Рц с собственным
значением р^, причем p^pv- = /гаа. Тогда одночастичная амплитуда / (х)
определяется равенством
/(*) = (То, Ф(*)Тр.), . A7.307)
где ф (х) — гейзенберговский оператор поля, удовлетворяющий уравне-
уравнению A7.1). Выражая правую часть равенства A7.307) через операторы
в представлении взаимодействия, имеем
/(ж) = (Фо, U (оо, 0) ?/"*(*, 0)y(x)U(t, 0) С/ @, -со)Фр8)с, A7.308)
причем
\ЧГр*) = и(О, -оо)|Фр.)с A7.309)
^)Ъ(х)у^(р)е-1р-*\Ф0). A7.310)
Поэтому можно написать
о, Т (S* (х) $ (х')) Фо) Y^ (х1) ao» (x1) =
= J ао»{х')—28'Е{х-х')ч»ш{х'), A7.311)
где —^ S'p (х — х') — перенормированная функция распространения
(прежде мы обозначали ее через S'fi), которая удовлетворяет интеграль-
интегральному уравнению
=±Sp(x-arJ>(x"-zm)z?s'F(xm-x').- A7.312)
В уравнении A7.312) 2* является суммой вкладов от всех собственных
диаграмм собственной энергии. Подставляя S'f из этого уравнения
в A7.311), находим, что / (х) удовлетворяет интегральному уравнению
-J d*x' 1*{х-х') f(x'), A7.313)
которое включает граничное условие, требующее, чтобы функция / (х1)
описывала частицу с импульсом р^, так как неоднородный член равен
Шр(аг). В действительности, если итерировать полученное выше уравнение,
то, поскольку \ dV 2*(я — x')wv (x') = 0, имеем f (х) = шр (х).
!) Относительно способа решения уравнений A7.299) и A7.304) см. работу Лоу
[510], а также работу Миллса и К ролла [553].

x2
x3
*¦ 6
хг x,
/ Обменные \
\ диаграммы)
Фиг. 141.

6. Проблема связанных состояний
671
Приведенные выше примеры показывают, что для определения
свойств одночастичных состояний достаточно изучить фейнмановские
функции распространения К'а+ = — V2 Sep или К'+ = — V2<Sj?- Чтобы
обобщить такое рассмотрение на двухчастичные системы, определим
функцию распространения для двухчастичной системы
(х3,
_ (Фр, Т
(х2)) Фр) _
) (ф0, ,уфо)
= (То, Т (if (xt) ^ (*4) Ч> (Xi) ^ («2» То). A7.314)
Разложение выражения A7.314) в ряд показывает, что
(х3, xk;
X if+ (ж4 — ж") \^К + (x" — x2) — (Обменный член с
' - «*) X
—» a;4) + ... .
A7.315)
Этот ряд можно представить с помощью диаграмм фиг. 141.
Солпитер и Бете [696] проанализировали структуру ряда A7.315)
аналогично тому, как это было описано в гл. 16. Они назвали диа-
диаграмму приводимой, если ее можно' разделить на две несвязанные части
Ф и г. 142.
линией, которая не пересекает бозонных линий, а каждую из ферми-
онных пересекает лишь один раз. Примеры таких приводимых диаграмм
а а б даны на фиг. 142. Неприводимые диаграммы до четвертого порядка
включительно изображены на фиг. 143. Ясно, что приводимые диаграммы
всегда можно разбить на неприводимые части. Кроме того, неприводи-
неприводимые диаграммы можно упорядочить по степеням константы связи в соот-
соответствующих матричных элементах.
Если обозначить через 2 ?""' (хи х2; х3, я4) = G (хи х2; хъ, ж4) сумму
m
всех выражений, соответствующих неприводимым диаграммам, то двух-
двухчастичную функцию распространения К{%' (х3, xk; xu х2) (опуская обмен-

Диаграммы второго порядка
Диаграммы четвертого порядка
)
¦4
О
6'
О
-Jm

§ в. Проблема связанных состояний
673
ный член) можно записать в следующем виде [696]:
-Ш5
x 2 G<ro) (*
(m)
4i xs)
(X3 — X5) isT+ (X4 — i
7, x8; xi, x2).
x
A7.316)
Хотя это интегральное уравнение и содержит бесконечный ряд
2 G(m\ ясно, что в нем меньше членов, чем в разложении A7.315)х).
(т)
Если итерировать уравнение A7.316), то становится очевидным, что
приводимые диаграммы уже учтены в интегральном уравнении. И дей-
действительно, итерации дают в точности все члены разложения в ряд
* J *
Фиг. 144.
равенства A7.314). Нужно также отметить, что при записи в виде
A7.316) можно не рассматривать все фермионные собственно-энергети-
собственно-энергетические части, так как они уже учтены ^ем, что каждой фермионной
линии в G(m> соответствует множитель — 1/2S'F = K'+. Тот факт, что все
приводимые диаграммы уже включены в A7.316), может быть бесспор-
бесспорным преимуществом для теорий, в которых константа связи мала,
при этом 2 ?<т> можно рассматривать как асимптотический ряд. Напри-
(т)
мер, большая часть энергии связи между протоном и электроном обу-
обусловлена повторяющимся действием диаграммы на фиг. 143,а, т. е.
диаграммами, показанными на фиг. 144. При этом преимущество, кото-
которое получается при использовании уравнения A7.316) с ядром G(l\
эквивалентно тому, которое мы имеем, когда решаем уравнение Шре-
дингера с потенциалом, а не рассматриваем потенциал как возмущение.
В электродинамике функция взаимодействия Gw в низшем порядке
по е дается выражением
х6 - х8) ^ yblly A7.317а)
(хь, х6; -xlt xs) = eWF (хь - хй) 6D> (в, - хч)
где значки a, b относятся к двум фермионам, которые здесь предпола-
предполагаются различимыми. В этом приближении, которое известно как «лест-
«лестничное» приближение (так как оно учитывает все диаграммы такого
1) Существуют указания, что этот ряд не сходится [384], если только между
матричными элементами, соответствующими неприводимым диаграммам данного
порядка, не происходит существенных сокращений.
43 с. Швебер

674 Гл. 17. Гейзенберговская картина
вида, как на фиг. 144), функция распространения получается как реше-
решение интегрального уравнения
К' (ь х2; у и у2) = -? SF (Xi — у\) SF (х2 — у2) + -^ яа ^ й*хг ^ Лс4 X
(xi, xk\ yu y2)Z A7.3176)
где для простоты частицы опять считаются различимыми.
Связь функции распространения К'+ (хи х2; х3, #4) со свойствами
стационарных состояний системы полей была установлена Гёлл-Манном
и Лоу [301J и Иденом [209]. Обозначим собственные состояния оператора
энергии-импульса системы через | р, о). Если теория допускает связан-
связанные состояния двух фермионов, то эти связанные состояния будут
характеризоваться, в частности, их энергией связи или массой покоя
Af(ct), т. е. если р№ — вектор полной энергии-импульса связанной системы,
то p<f>p(a)t*=M{a)Z. Далее, когда tlt t2> tz, tkl
T to (*i) Ф (яг) Ч> (*з) ¦$ (x>l)) = T to (xi) t|> (x2)) T ($ (x3) ¦$ (ж4)), A7.318)
и поскольку предполагается, что набор состояний | р, а) является пол-
полным, то двухчастичную функцию распространения можно записать
следующим образом:
|Р,О>
= 2 Хра(хи x2)i\a(xs, xk), A7.319)
р, а
где
и
I = (р, а | Т to (ха) 'Ф (^4)) | ^"о) =
'0. A7.3206)
В равенстве A7.3206) Г+ означает антихронологическое упорядочивание
операторов, т. е. операторы, относящиеся к более поздним моментам
времени, должны стоять справа от операторов, соответствующих пред-
предшествующим моментам времени.
Установим теперь те свойства функции %pa(xi, x2), которые выте-
вытекают из трансляционной инвариантности теории. Поскольку при сдвиге
на величину а
U(a)|p, a) = eip<a|p, a).= e*P-a|p, a), A7.321)
получаем
. A7.322)
Равенство A7.322) справедливо при любых пространственно-временных
сдвигах и, в частности, при а= — X, где
—

§ 6. Проблема связанных состояний 675
X — координата центра масс. При таком выборе а функцию %pa(xi, х2)
можно записать в виде
Xj»(*l. *2) = е-^*/ра(*1-*2). A7.323)
Здесь зависимость %va (хи х2) от координаты центра масс (е-^х) и зави-
зависимость от относительной координаты xt — х2 (/pa (#i — #г)) разделены.
Отметим, что при изменении р меняется и fpa (Xi — х2).
Если рассматриваемая система полей допускает существование двух-
фермионного (может быть, вырожденного) связанного состояния | р, Ь)
с массой Мъ, тогда, выделив в равенстве A7.319) вклад от этих состо-
состояний, функцию распространения при Хо > У о можно представить в виде
К\ (%, х2; уи у2) = 2 \ ^ре-ЫХ-^Ь (р2 - М%) 6 (/>„) fpb (x) fvb (у) +
ь
У2). A7.324)
Суммирование по & в первом члене идет по всем вырожденным состо-
состояниям с массой Мъ. Равенство A7.324) при Хо > Уо позволяетЛнаписать1
К'+(хи х2; уи у2) =
оо
-Уо)б (р0 - У& + Ml) х
3 Ро
о
X 2
ж) /рь (У) + Члены, регулярные при р0 = j/pa + Mg. A7.325)
ь
Отметим, что хотя /рь (ж) и изменяется, когда р принимает различные
значения, при которых р2 = М1, все же если функция /рЬ известна при
одном значении р, то ее можно получить и для любых других значе-
значений р из соображений лоренц-ковариантности теории. Поэтому обычно
удобно выбирать для представления-состояний амплитуду /рЬ при р = 0.
Тогда состояния в случае вырождения можно классифицировать по
собственным значениям оператора момента количества движения. Отме-
Отметим также, что при фиксированных относительных координатах состоя-
состояние |р, Ь) не дает вклада^ в К+(хи х2; уи у2) при Уо > Хо, так как
матричный элемент (ЧГ„ \T(ty (Zi)i|) (x2)) |p, b) равен нулю в силу законов
сохранения (например, из-за сохранения заряда или числа барионов).
Следовательно, зависимость функции распространения от X — Y (при
произвольных Хо, Уо) можно выразить формулой
K+(X-Y; х, у) = У. \
+ Члены, регулярные при р0 = Ур2 + МЪ . A7.326)
Подставим теперь выражение A7.326) для К'+ в уравнение A7.316).
Но прежде заметим, что уравнение A7.316), которое сокращенно можно'
представить как К\ = К0 + K0GK'+, в силу трансляционной инвариант-
инвариантности теории записывается в виде
C+(p; x, y) =
= J й*ре-ЫХ-?){Кй{р\ x, y) + (K0GK'+) (p; x, y)}. A7.327)
43*

676 Гл. 17. Гейзенберговская картина
Интегрирование по <№р можно опустить. Если получившееся выражение
умножить на р0 — У р2 + М% и перейти к пределу при р0 —> У Р2 + МI,
то неоднородный член К0(р; х, у) ж части функции распространения,
не имеющие особенности' при р0 = j^p2 -f- М§ , выпадают, так что
Хрь(хи хг) удовлетворяет уравнению
ХРь (xi, х2) = — i \ д?хь \ d*x6 \ dix1 \ d*a;8 X
xK'+(Xi-x5)K+(x2-xe)G(xb, xe; хъх8) %рЬ(хт, xs). A7.328)
Именно это уравнение получили Солпитер и Бете, использовав несколько
более интуитивные аргументы, основанные на адиабатическом включе-
включении взаимодействия. В случае задачи рассеяния левая часть A7.328)
заменяется на %ра(хи х2) — q>pa(xi, x2), где фра — произведение двух
дираковских волновых функций для свободных частиц. Функцию фра
можно рассматривать как падающую плоскую волну.
Можно получить дифференциальное уравнение, применимое и к рас-
сзянию, и к рассмотрению свойств связанных состояний. Для этого
вспомним, что К'+ ~ — Va S'f удовлетворяет уравнению
—g-«?>(*-*')= -^SF(x-x') +
+ $.d*2/ J d*y'l-SF(x-yJ*(y-y')±S'F(y'-X'). A7.329)
Подействовав оператором Дирака на A7.329), получаем
(- гъд» + т) S'F (х - х') = 2i6<4) (x - х') + J &уЪ* (х~у)~ SF (у - х').
/ A7.330)
Применим теперь к уравнению A7.328) дифференциальные операторы
для каждой из частиц. Тогда имеем
= — ^ d*x7 ^ d*xaG(xi, x2; х7,
^ ^ d*y' x
xG(x5, x6; xlt ж8)Хра(а;7, х8). A7.331)
Если опустить части собственной энергии фермиона, то уравнение A7.331)
принимает особенно простой вид, так как последний член в правой
части исчезает. Если к тому же ограничиться взаимодействием в низшем
порядке, т. е. лестничным приближением, то амплитуда /ра будет удо-
удовлетворять уравнению
(— iy ¦ di + m)a (— iy ¦ д2 + т)ь %ра (х1г х2) =
?i. *«)¦ A7.332)
Достигнутый существенный прогресс заключается в том, что уравне-
уравнение A7.328) есть полностью релятивистское волновое уравнение для

§ 6. Проблема связанных состояний 677
системы двух частиц. Кроме того, это уравнение позволяет применить
к вычислению энергии связи связанного состояния метод диаграмм Фейн-
мана и Дайсона и их рецепты перенормировки. Однако это достигнуто
некоторой ценой, связанной с физической интерпретацией амплитуды.
В частности, не имеет непосредственного физического толкования зави-
зависимость амплитуды от относительного времени xiQ — х20.
Вик [848] и Куткоский [147] достигли существенного успеха в выясне-
выяснении этих непривычных черт уравнения Бете—Солпитера. Вик указал,
что из определения A6.322) амплитуды Бете — Солпитера и простых
требований стабильности получается дополнительное условие для ампли-
амплитуды. Здесь мы кратйо изложим аргументацию Вика для случая атома
водорода.
Из формулы A7.323) следует, что если система находится в покое,
т. е. р(а) = 0, то двухчастичная амплитуда Хра (^i» жг) имеет вид
ЗСрсс(*1, ЯЯ) = «-«'/„.(Л!), A7.333)
где Е — полная энергия системы; Т — временная координата центра
масс; х — относительная координата двух частиц, х = xt — x2. Введем
теперь энергию связи В рассматриваемого связанного состояния
Е — Ше + Мр — В и заметим, что
E = me + Mp — B <me + Mp; A7.33A)
здесь те и Мр — массы электрона и протона.
Если в равенство A7.320а), определяющее %ра (xi, хг), ввести пол-
полный набор состояний, то при ж10 > ж2о получим
ЗСра (*1, *2) = S (^0 | Ъе (*i) | П> <П | ^Р Ы | Р»>- A7.335)
Состояния | п), дающие не равный нулю вклад в Хра, принадлежат
к особому классу состояний. Ясно, что они должны быть собственными
функциями оператора полного заряда с собственным значением — е. Далее,
в системе координат, где полный импульс равен нулю, они должны быть соб-
собственными функциями оператора полного момента количества движения
с собственным значением—1/2Ь. Все известные в природе состояния с пол-
полным зарядом —ей моментом количества движения в системе покоя,
равным 112%, удовлетворяют условию
El-vl>ml, A7.336а)
где Еп и р„ — полная энергия и полный импульс состояния |п). Знак
равенства имеет место лишь для физического одноэлектронного состоя-
состояния, т. е. для состояния, в котором есть один и только один физический
электрон. Приведенное неравенство Вик называет условием стабильности
для электрона. Затем он предполагает, что физическое одноэлектронно&
состояние [для которого в соотношении A7.336а) нужно брать знак
равенства] обладает наинизшей энергией среди всех состояний, дающих
вклад в сумму A7.335).
Аналогичным образом получаем, что состояния |п'}, которые дают
вклад в амплитуду при отрицательном относительном времени х0, харак-
характеризуются, в частности, такими собственными значениями энергии
и импульса, что
A7.3366)

678 Гл. 17. Гейзенберговская картина
Это соотношение Вик называет условием стабильности для протона.
Три неравенства A7.334), A7.336а) и A7.3366) служат основой для
последующего обсуждения. Из A7.335) и A7.323) легко установить, что
fpa 0е) при х0 > 0 имеет следующею структуру:
1 , A7.337)
|n> " • " .
где р— вектор энергии-импульса состояния |р, а). Используя нера-
неравенства A7.334), A7.336а) и A7.3366), находим
р(«)о ™е о > т» В > 0. A7.338)
^ те-\-Мр г -" Мр+те ^ v '
Отсюда вытекает, что при х0 > 0 амплитуда fpa (x) содержит только
положительные частоты. Таким же образом следует, что при х0 < 0
fpa (x) является суперпозицией членов только с отрицательными часто-
частотами. Поэтому fpa (x) обладает свойствами, аналогичными свойствам
фейнмановской функции распространения.
Итак, при х0 > 0 можно написать
со
fpa(x)=\d3q J dagpaiq, со) е'«1*-<*4 A7.339)
имин
где
<0мин = т т!м B + (ml + р2I'» - т.. A7.340)
Рассматривая fpa (x) как функцию комплексного переменного хп, можно
аналитически продолжить ее в нижнюю полуплоскость, в область
0>arga;0 > — п. Аналогично, отправляясь от fpa(x) на действительной
отрицательной оси, можно продолжить эту функцию в верхнюю полуплос-
полуплоскость, в область я > arg х0 > 0. Кроме того, поскольку В > 0, /ра (х) стре-
стремится к нулю, когда х0 —> оо в верхней или нижней полуплоскости по
любому направлению, не совпадающему с действительной осью.
Если записать f (х) = fx (x) + f2 (х), где jx(x) = Q при х0 < 0, а
/2 (х) = 0 при хп > 0, тогда, вводя в импульсном пространстве функции
оэ
ф1 (Ч> <7о)~ о \4 \ d3xe~l4'x \ dx^pvoPof (x), A7.341)
о
о
1 С . р
ф2 (q, qo)= (ъ ч4 \ drxe~l4'* \ dx^t^^f (x) A7.342)
—оэ
и используя A7.338), легко получить
A7.343)
где е —бесконечно малая положительная добавка. Из этого представле-
представления следует, что <pt (q, q0) — аналитическая функция в комплексной плос-
плоскости <70 при условии
2я > arg (q0 - (омин) > 0. A7.344)

§ в. Проблема связанных состояний 679
Аналогичные утверждения справедливы и для ф2. Можно показать, что
функция ф(д) = q>(q, q0) = q>i(g) + Фг(<7) определена в комплексной
плоскости переменной q0 с двумя разрезами, идущими от сомин до -f- °°
и от — оо до ©макс, где
М
^ В (Щ + р»)V» - Мр. A7.345)
Поэтому функцию ф можно аналитически продолжить через промежуток
между разрезами из верхней полуплоскости в нижнюю. Существование
этого промежутка связано с тем, что В > 0.
Указанные аналитические свойства волновых функций можно исполь-
использовать, чтобы, повернув путь интегрирования в комплексной плоскости,
преобразовать уравнение Бете — Солпитера в уравнение с чисто мнимой
переменной q0 (или чисто мнимым относительным временем). Тогда можно
оперировать в евклидовом пространстве, в результате чего достигаются
значительные математические упрощения. Кеммер и Салам [440] пока-
показали, что такое аналитическое продолжение возможно и в случае примене-
применения двухчастичного уравнения к задачам рассеяния. Используя переход
к евклидову пространству в уравнении Бете — Солпитера, записанном
в лестничном приближении для случая двух скалярных бозонов, взаимо-
взаимодействующих через скалярные фотоны, Вик и Куткоский сумели получить
полный набор решений, соответствующих связанным состояниям. Для ана-
анализа этих вопросов читатель отсылается к их статьям (см. также [359,
330, 701, 702, 337]).
Существует обширная литература, в которой рассматриваются свой-
свойства уравнения Бете — Солпитера и применения этого уравнения к зада-
задачам двух тел. Здесь мы лишь упомянем, что Манделстам [530] показал,
как матричные элементы любой динамической переменной между двумя
связанными состояниями выражаются через амплитуды Бете — Солпи-
Солпитера. Полученные результаты позволили ему найти нормировку и свойства
ортогональности для этих амплитуд, что в свою очередь ведет к условиям,
которые должны быть наложены на особенности амплитуд в начале коор-
координат (при х — 0) (см. также [578, 580] и [5, 6]).
Солпитер [697, 698] и Арновит [882] использовали уравнение Бете —
Солпитера для расчета массовых поправок к тонкой и сверхтонкой струк-
структуре атома водорода (см. также [898]). Карплус и Клейн [427] и Фултон
и Мартин [290] применили это уравнение к описанию атома позитрония.
Работы Идена [207—212], который обобщил уравнение Бете— Солпитера,
чтобы учесть возможность распада из возбужденного состояния, позво-
позволяют в этих рамках вычислять времена жизни возбужденных состояний.
Леви [497, 498], Клейн [446, 447] и Макке [523] положили начало
применению ковариантного двухчастичного уравнения к проблеме ядер-
ядерных сил. Литературу по этой теме можно проследить по статье Клейна
и Мак-Кормика [452].

ГЛАВА 18
Аксиоматическая формулировка
Введение
Применение методов теории возмущений и изучение простых моделей
позволили пролить свет на структуру квантовой теории поля. Основываясь
на предположении о релятивистской инвариантности теории и на спект-
спектральных условиях, удалось выяснить некоторые общие свойства реляти-
релятивистских теорий поля. Несмотря на все эти успехи, не удалось дать сколько-
нибудь убедительный ответ на главный вопрос релятивистской квантовой
теории: существуют ли решения перенормированных уравнений кванто-
квантовой электродинамики или мезонных теорий? Даже если бы уравнения были
существенно более простыми, то и тогда вряд ли можно было бы ответить
на этот вопрос, так как метод перенормировок почти целиком выходит
за рамки традиционной математики. Поэтому фактически нет никаких
оснований считать правильным изложенный в предыдущих главах совре-
современный способ описания взаимодействий между элементарными частицами
при помощи понятий локальной релятивистской теории поля.
Отсутствие убедительных и математически строгих доказательств для
многих результатов, полученных в рамках рассматривавшейся нами до сих
пор формулировки теории поля, побудило в последние годы предпринять
ряд важных исследований по общей структуре локальной теории поля.
В настоящей главе мы изложим в общих чертах некоторые из этих иссле-
исследований, главным образом работы Уайтмана [852] и Лемана, Симанзика
и Циммермана [491, 493]. Обе формулировки ооновываются на некоторых
общих постулатах, таких, как лоренц-инвариантность, спектральные усло-
условия и локальность, причем такое понятие, как лагранжиан (или гамиль-
гамильтониан), не используется. Для этого подхода характерно, что вообще не
делается никаких предложений о виде уравнений поля или взаимодействий.
Главная цель этих исследований — выяснить, существуют ли в принципе
какие-либо локальные релятивистские теории поля. Для этого изучают те
свойства наблюдаемых величин, которые следуют из предположения о ло-
локальности теории, т. е. из предположения об обращении в нуль коммутатора
(для полей с целым спином) или антикоммутатора (для полей с полуцелым
спином) двух локальных операторов поля, когда их пространственно-вре-
меннйе аргументы разделяет пространственно-подобный интервал.
Во всех проведенных исследованиях делались следующие предполо-
предположения о свойствах теории (в качестве которой обычно для простоты берется
теория нейтрального скалярного поля):

Введение 681
I. В теории справедливы обычные постулаты квантовой меха-
механики, т. е. состояния любой системы представляются векторами
в гильбертовом пространстве ^§, а наблюдаемые системы могут
быть представлены самосопряженными операторами в ^§.
II. Теория инвариантна относительно неоднородных преобра-
преобразований Лоренца.
III. Спектр оператора 4-импульса имеет разумную структуру.
Предположение о лоренц-инвариантности подразумевает существова-
существование представления ортохронной неоднородной группы Лоренца унитар-
унитарными операторами U (а, Л), при котором пространство Jg унитарно.
Отсюда следует, что существуют эрмитовы операторы1) сдвига Р^ со
свойствами
[Р„, /•(*)] = iV(z), A8.16)
где F(x) — любой гейзенберговский оператор, не зависящий явно от про-
пространственно-временных координат. В представлении, в котором опера-
операторы Рц (fx = 0, 1, 2, 3) диагональны, а гильбертово пространство Jg
натягивается на базисные векторы | р, а)
а), A8.2)
постулат III может быть сформулирован точно. Он гласит:
III (а). Существует единственное инвариантное состояние —
вакуум | Wo), характеризующееся тем, что
U (а, Л)|?о) = |?о). A8.3а)
III (б). Для всех остальных состояний | р, а) собственные зна-
значения Рц являются времени-подобными или изотропными с поло-
положительной временной компонентой р0.
Из A8.3а), рассматривая бесконечно малое преобразование, можно вывести
PVI\WO) = MIIV\WO)^O. A8.36)
Наконец, в этих исследованиях также обычно предполагают, что
IV. Теория локальна, т. е. полевая наблюдаемая в точке х
коммутирует с полевой наблюдаемой в точке х', если точки х и х'
разделены пространственно-подобным интервалом (х — х'J < 0.
Для определенности возьмем теорию нейтрального скалярного поля,
описываемого с помощью оператора поля ф(х), который при преобразова-
преобразованиях неоднородной группы Лоренца преобразуется как скаляр
Ф*(х) = Ф(х), A8.4)
U(a, Л) ф (х) С/ (а, Л) = <р (Ля + а). A8.5)
Тогда постулат IV означает, что
,ф(х')] = 0 при (х-х')а<0. A8.6)
Это требование, иногда называемое принципом микропричинности,
есть математическое выражение факта, что точки, разделенные простран-
х) В настоящей главе мы будем иметь дело исключительно с перенормированными
гейзенберговскими операторами и векторами состояния. Поэтому обозначение их при
цомощи светлых символов не приведет к недоразумению.

682 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
ственно-подобным интервалом, не могут обмениваться никакими сигна-
сигналами, и, следовательно, измерения в этих точках не могут интерфериро-
интерферировать. Вопрос о том, можно ли объяснить свойства и взаимодействия
физических частиц, описывая их при помощи локальных операторов,
в настоящее время остается открытым. В § 4 мы подробно разберем след-
следствия условия локальности, касающиеся аналитического поведения ампли-
амплитуд рассеяния.
Теперь мы дадим краткое изложение формулировок теории поля
Уайтмана и Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ). Подходы Уайтмана
[852] и ЛСЦ [491, 493] отличаются тем, что Уайтман исследует теорию
с помощью средних по вакууму от произведений операторов, тогда как
ЛСЦ проводят свой анализ при помощи средних по вакууму либо от хро-
хронологически упорядоченных произведений операторов [491], либо от за-
запаздывающих произведений операторов [493]. Аксиомы теории, главным
образом аксиомы релятивистской инвариантности, спектральности и ло-
локальности, могут быть выражены как некоторые свойства этих средних по
вакууму и как некоторые соотношения между ними. Точнее говоря, если
теория анализируется при помощи средних по вакууму или от произведе-
произведений операторов поля (функции Уайтмана), или от запаздывающих произве-
произведений операторов поля (/--функции), то требования релятивистской инва-
инвариантности и локальности, а также условия спектральности выражаются
линейными соотношениями для этих функций. С другой стороны, соотно-
соотношения неотрицательности для функций Уайтмана и условие унитарности
для /--функций являются нелинейными соотношениями между этими функ-
функциями. Это деление теории на линейную и нелинейную части является
важной чертой аксиоматического подхода. В противоположность лагран-
жеву подходу, когда любая линейная теория тривиальна, а любая пред-
представляющая интерес теория неизбежно имеет нелинейные уравнения
поля, сложность которых препятствует каким-либо строгим заключениям
о свойствах их решений, при аксиоматическом подходе линейные соотно-
соотношения имеют нетривиальное содержание.
В первых двух параграфах мы дадим очерк этих формулировок.
В § 3 рассматривается представление Дайсона — Йоста — Лемана для
матричного элемента причинного коммутатора. Это представление позволит
нам в § 4 обсудить аналитические свойства двухчастичной амплитуды для
упругого рассеяния и ввести понятие дисперсионных соотношений.
В § 5 мы попытаемся подвести итоги и наметить перспективы дальнейшего
развития теории.
§ 1. Формулировка Уайтмана
Один из наиболее важных результатов аксиоматической формули-
формулировки принадлежит Уайтману [852], который показал, что теория поля
может быть переформулирована в терминах средних по вакууму от про-
произведений операторов поля
W™ (хи *,,... *„) = (?0, Ф (хО Ф (х2) ... Ф (*„) ?0). A8.7)
Свойства функций Уайтмана W^ прямо связаны с перечисленными выше
постулатами I — IV. Этим функциям можно придать точный математи-
математический смысл, и их можно изучать строгим и лишенным какого-либо про-
произвола образом. Важное значение функций обусловлено тем, что, как пока-
показал Уайтман, задавая последовательность функций WW (хи ... хп),
п = 1, 2, . . ., удовлетворяющих некоторым определенным условиям,

§ 1. Формулировка Уайтмана 683
можно восстановить теорию поля, для которой WW будут средними
по вакууму. Поэтому при изучении релятивистских теорий поля можно
ограничиться рассмотрением только этих средних по вакууму. Мы здесь
кратко изложим программу Уайтмана для случая нейтрального скаляр-
скалярного поля ср(х), взаимодействующего с самим собой. Хотя наше рассмотре-
рассмотрение будет касаться только скалярного поля со спином 0, однако метод
легко обобщить на случай произвольных полей. То же самое относится
и к выводу Уайтмана, что теория однозначно определяется своими сред-
средними по вакууму.
Функции Уайтмана определяются, согласно A8.7), как средние
по вакууму от произведений операторов поля. Эти функции следует пони-
понимать как линейные функционалы1), которые каждой бесконечно дифферен-
дифференцируемой функции / (#!, ... хп), равной нулю вне ограниченной области
4и-мерного пространственно-временнбго континуума, ставят в соответ-
соответствие комплексное число
J (xlf ... х») / (x», ... Хп).
Это^можно рассматривать как математическое отражение того факта,
что наблюдаемыми являются только средние по некоторой области про-
пространства-времени от оператора поля <р (х), т. е. только операторы вида
«p(x). A8.8)
В качестве класса функций / (х) (обычно называемых основными функ-
функциями), на котором предполагаются определенными функционалы ф (/),
берется класс 3) всех бесконечно дифферевцируемых функций с ком-
компактным пространственно-временным носителем 2) (что отражает возмож-
возможность проведения измерений поля в конечных пространственно-времен-
пространственно-временных областях). Тогда величина Wv [/] = (V, ф (/) Т) является линейным
функционалом относительно /. Чтобы придать функционалу Wv[f] более
строгий математический смысл, требуют далее, чтобы W\p[fn]—^0, если
последовательность основных функций {/„} сходится к нулю. О после-
последовательности говорят, что она сходится к нулю, если носители всех
функций /„ содержатся внутри компактного множества и если функции
/rt, а также их производные равномерно сходятся к нулю3). Линей-
Линейный функционал Т на 3, который обладает указанным выше свойством
непрерывности, когда Т [/„] сходится к нулю для любой сходящейся
к нулю последовательности {/„}, называют обобщенной функцией (см.
книгу Шварца [707] и статью Гёрдинга и Лайонса [294]). Таким обра-
образом, среднее
Wv [/] = (?, <p(/)Y) A8.9)
х) Функционал Т на некотором пространстве § есть операция, которая каждому
элементу / из § ставит в соответствие комплексное число, обозначаемое T[f]. Функцио-
Функционал на S называют линейным, если
а) 7[/1+/2] = Г[/1Ц-Г[/2] для h и h из 8,
б) T[af] = aT[f] для всех / из § и каждого комплексного числа а.
2) Носитель для / есть дополнение (замыкание) наибольшего открытого мно-
множества, на котором / равна нулю, т. е. в сущности оно является множеством, на
котором / отлична от нуля. Для наших целей под компактным множеством доста-
достаточно понимать замкнутое и ограниченное множество.
3) Равномерная сходимость требуется только для производных любого фикси-
фиксированного порядка, но не всех порядков сразу.

684
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
есть обобщенная функция на пространстве i?5 всех бесконечно диффе-
дифференцируемых функций с компактным носителем. Более того, и-точеч-
ное среднее по вакууму
W™ (хи ...*„) = (?0, ф (хО ... ф (*„) ?0) A8.10)
является обобщенной функцией в отдельности по каждой переменной xt:
W™ If и .../„] = (?0, ф (/0 ... ф (/„) ?0). A8.11)
Она обладает единственным продолжением, превращающим ее в обобщен-
обобщенную функцию во всем пространстве 4и измерений. Таким образом, символу
W(n) (хи ¦ ¦ ¦ %п) придается точный смысл при помощи бесконечно диффе-
дифференцируемых основных функций f(xi, ...xn), равных нулю вне ограничен-
ограниченной области 4и-мерного пространства. Хотя с достаточной строгостью
определены только обобщенные функции Win) [fu ... fn], или более
обще, W{n) [f], тем не менее мы будем продолжать работать с функциями
Уайтмана Win) (Xi, ... хп). Более строгое рассмотрение читатель может
найти в других работах Уайтмана [853, 854] (см. также статьи Шмидта
и Баумана [704] и Гёрдинга и Лайонса [294]).
Пусть теория лоренц-инвариантна, т. е. инвариантна относительно
преобразований
U (а, Л) | ?0> = | ?0), A8.12а)
U (а, А) ф (х) U-1 (а, Л)==ф(Лж + а). A8.126)
Инвариантность относительно ортохронных преобразований Лоренца
означает, что функция Уайтмана обладает свойством
М7<п) /„ _ _. \ /TIT m /„ \ m /_ \ т /„ \ цг \
VV \Xf, *2, . . . *^п) — \ * о» т ^1/ т 1*2/ * " • *r \Xjt) ^0/ ~~
= (U (a, A) Yo, U (а, А) ф (xt) U-1 (a, A) U (а, А) ...
... U (а, А) ф (*„) U-1 (a, A) U (а, А) ?0) =
, ... Ахп + а) A8.13)
в связи
A8.14)
функция
A8.15а)
(при преобразованиях без обращения времени).
Если преобразование Л содержит обращение времени,
с чем оператор U антиуяитарный, тогда
Wm (хи ... хп) = W™ (Лж! +а, Ах2 + а, ... Ахп + а)
(при преобразованиях с обращением времени).
Из трансляционной инвариантности следует, что
Wm (xr, ... хп) зависит только от разностей координат:
где
— Xj — Xj+i
Тогда инвариантность относительно однородных преобразований Лоренца
означает, что
W™ (^и ¦ ¦ • ln-i) - W<"> (A|i, .... AU-i). A8.16)

1. Формулировка Уайтмана 685
Из предположения об эрмитовости оператора поля q> (х) = ф* (х) следует
* ы ф
..фы^ = (Vo, ф*
= (Y0,«p (*„)... Ф(Я1) То). A8.17)
При помощи функций Уайтмана это равенство записывается в виде
Wm(xu ...xa) = W™(xn, ... *t). A8.18)
Предположим, что существуют фурье-образы функций Win} и,
следовательно, эти функции представимы интегралом Фурье
1 ' J W™ )
A8.19)
(для этого требуется, чтобы функции Wim имели на бесконечности не
более чем полиномиальный рост). Поскольку множество физических
состояний не содержит состояний с пространственно-подобными импуль-
импульсами или с отрицательной энергией, то отсюда следует, что функция
W(n) (pi, .. . pn-i) равна нулю вне области значений р\ > 0 и pi0 > О
(? = 1, 2, ... п-1).
Доказательство: По предположению существует полная система
состояний | р, а), которые являются собственными функциями оператора
энергии-импульса Р^ и соответствуют его собственным значениям рй,
таким, что р2>0, ро>0. Поэтому, вставляя с помощью соотношения
полноты 2\Ра)(Ра\ = 1 суммы 2li°a)(Pal п0 полной системе состоя-
|ра> |ра>
ний в выражение A8.7), определяющее функции Wm, получаем,
W™{Xl, ...*„) =
= S <ЧГо|ф@)|р1а1>...<рЛ_1ав_1|ф@)|ЧГ0>х
ai>.. .|Pn-ian-i>
X е-*Р1-(ж1-«2)е-»Р2(ж«-жз) , ш ш e-ipn-i-(xn-i-xnL A8.20a)
так что
Wm(Pu ... Pn-t) =
= S Dfo|9@)l/'i«i>(Piaik@)|p2a2>...(pn.1an_1|9@)|'F0>.
ai...an-i
при фиксированных
Pi. • ¦ • Pn-l
A8.206)
Из формулы A8.206) вытекает, что функция Win)(pit ... pn-i)=0 вне
области значений pi0>0 и р|>0, так как в A8.206) pt есть 4-импульс
физических состояний. Отсюда следует, что функции Win) (%i, ... |n-i)
являются граничными значениями аналитических функций. Это утвер-
утверждение доказывается следующим образом. Запишем векторы
Ь = Ь -inj G = 1.2,...»-1), A8.21)
где 4-векторы х\} предполагаются лежащими внутри светового конуса
будущего. Определенная таким образом открытая 8 (и — 1)-мерная

¦ 686 Гл. 18 Аксиоматическая формулировка
область 8(п —1)-мерного пространства векторов \и ... \п-и Ци
называется трубой будущего Тп. Очевидно, что функция Wim (?1( .
определяемая выражением
*=i W«"> (Pl, ... ^.0, A8.22)
является аналитической функцией по каждой переменной ^ (произве-
(произведение pyy\j всегда больше нуля, и этим обеспечивается сходимость
определяющего интеграла для широкого класса функций V/w>). Таким
образом, функция WW) (gi, ... %n-i) является граничным значением функ-
функции, аналитичной в трубе будущего.
Локальные перестановочные соотношения [ф(ж), ф(х')]=0 при
(х — ж'J < 0 означают, что
W™ (х„ ...xj, xJ+i, ,..*„) = W™ (xit ... xj+i, xj, ...xn), A8.23)
если точки Xj и xj+i разделяет пространственно-подобный интервал.
При помощи аналитического продолжения эти соотношения можно распро-
распространить на аналитические функции Wm (t,j).
Наконец, поскольку длина любого вектора в гильбертовом про-
пространстве положительна или равна нулю, то
ф
A8.24)
при всех значениях а0, аь ... а„, .. . и для всех основных функций
/i (Xi), ... fn (xu ... хп), • • • • Из неравенства. A8.24) выводится беско-
бесконечная последовательность неравенств
, ^ J J ^ u x2, ... xt) X
X WM) (xh Xi-u •. • xlt yu ... yj) fj (г/1, ... yj) > 0. A&.25)
Уайтман называет совокупность неравенств A8.25) условием положи-
положительной определенности1).
Важное значение приведенной выше формулировки релятивистской
теории поля связано со следующей теоремой Уайтмана [852]:
Теорема. Пусть W™ (хи ... хп), га = 0, 1, 2 ..., есть последователь-
последовательность обобщенных функций в пространстве 4и измерений, и пусть
они удовлетворяют условиям релятивистской инвариантности A8.13),
A8.14), эрмитовости A8.18), локальной коммутативности A8.23) и неот-
неотрицательности A8.25). Тогда существует гильбертово пространство $,
представление неоднородной группы Лоренца U (а, Л), состояние ваку-
вакуума | Т"о) и нейтральное скалярное поле ф(ж), такие, что и-точечное
среднее по вакууму от произведения операторов ф (х) будет равно
WlM (х^ хг, ... хп).
Точнее говоря, это условие «неотрицательности».—Прим. ред.

§ 1. Формулировка Уайтмана 68Т
Другими словами, в этой теореме утверждается, что если задана
последовательность обобщенных функций, удовлетворяющих условиям
A8.13), A8.14), A8.18) и A8.25), то тогда можно восстановить теорию
поля, имеющую в качестве средних по вакууму эти обобщенные функ-
функции. Поэтому можно ограничиться изучением только средних по ваку-
вакууму. Преимущество такого подхода состоит в том, что функции Уайт-
Уайтмана WW) есть корректно определенные математические величины иг
кроме того, с-числа.
Заметим далее, что соотношение A8.13), вместе с соотношением
A8.19), определяющим фурье-образ Ww (ри ... pn-i) функции Win\
показывает, что из инвариантности относительно преобразований Лорен-
Лоренца вытекают следующие свойства Win):
, ... Ap^i), A8.26a>
если Л. не содержит обращения времени, и
... -Арп-д, A8.266)
если Л содержит обращение времени. Соотношения A8.26а) и A8.22)
позволяют утверждать, что функция Wm (?,) имеет однозначное анали-
аналитическое продолжение на область, которая называется расширенной
трубой (см. статью Холла и Уайтмана [355]). Расширенная труба Т'п
состоит'из всех точек вида Л?4, ... Л?„_1, где Л — произвольное комп-
комплексное собственное преобразование Лоренца1), а векторы ?ь ... t,n_x
лежат в трубе будущего. Кроме того, эта аналитически продолженная
функция при значениях ?1? ... ?n_j из расширенной трубы удовлетворяет
*) Группа комплексных собственных преобразований Лоренца L+(C) есть
совокупность всех комплексных матриц Л (т. е матриц, элементы которых суть
комплексные числа), удовлетворяющих соотношениям ATgA—g и detA=+l, где
(g)|XV= g^tv—метрический тензор.
Попутно укажем также, как осуществляется это расширение области анали-
аналитичности. Из соотношений A8.26а) и A8.22) следует, что
И™в1. ••• ?n-i) = W<IU(A?i, ... АЬ-i) A8.28b)
для векторов ?* (i = l, 2, ..., п—1), лежащих в трубе будущего, и действительных
преобразований Лоренца А. Вместе с тем функция Wm (?ь ... ?n_i) аналитична
в трубе будущего. Поэтому для векторов A?i, ... A?n-i> лежащих вне трубы
будущего, соотношение A8.26в) определяет аналитическое продолжение функции Wm.
Затем используется то обстоятельство, что в окрестности любой точки группового
многообразия группы Лоренца можно ввести 6 действительных аналитических пара-
параметров и что, следовательно, группа Лоренца есть группа Ли. Матричные эле-
элементы А аналитичны по этим параметрам. В частности, в окрестности N тождествен-
тождественного преобразования группы L+ можно ввести 6 таких параметров Xlt ... Х6, что
элементы матрицы А в этой окрестности будут представимы степенными рядами
по Хи ... %й. Так как аналитическая функция WlWl от аналитических функций А?;
(i = l, 2, ...., п—1) снова является аналитической функцией, то в окрестности
единицы функция Win) (A?i, ... A?n-i) будет аналитической функцией от Л.
Когда область изменения параметров %i, ... Х6 расширяется на комплексные зна-
значения, функция Win) (Л?1? ... Л?„_() от Л остается постоянной и равной
WMfa, ... С-О, поскольку функция »"">(A?i, ... Мп-й-W™ (U,' ... Zn-i)
равна нулю в действительном окружении единицы N С L+ и должна оставаться
равной нулю при аналитическом продолжении, пока обе функции будут аналитич-
ными. Далее можно показать, что в действительности существует однозначное ана-
аналитическое продолжение до любого элемента А комплексной группы Лоренца
(см. работу Холла и Уайтмана [355]).

Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
соотношению
W™&u ... ?„-,) = FP«>(ACi, ... ЛСд-j) A8.27)
при всех действительных и комплексных Л с detЛ ='+1, т. е. она
инвариантна относительно преобразований комплексной собственной
группы Лоренца L+(C).
Труба будущего, т. е. совокупность векторов ?i(i = l, ... л—1) с
— oo<gj<; +«>> T]j0 > 0, т]| > 0, по определению, не содержит действи-
действительных точек. Однако расширенная труба, т. е. совокупность точек Л?|
[где Л —элементы комплексной группы Лоренца L+(C),a ?г лежат в трубе
будущего], уже содержит действительные точки. Действительные точки
расширенной трубы были найдены Йостом [404] и характеризуются
следующей теоремой: \
Теорема. Действительные точки q4, ... Qn_j лежат в расширенной
трубе тогда и только тогда, когда выпуклая оболочка д4) ... Qn_j содер-
содержит только пространственно-подобные векторы.
Под выпуклой оболочкой точек (дь . .. Qn-i) понимается совокуп-
совокупность всех векторов вида X.iQj-(- ... + ^n-iQn-i> когда Xt принимают все
п—1
действительные значения, совместимые с условиями 1>0л У! ^г = 1-
Таким образом, действительные точки расширенной трубы это как
раз те точки, для которых любая выпуклая линейная комбинация
п-1 п-1
2 hiQi (^i>0, 2 ^г = 1) всегда пространственно^подобна. Легко дока-
{=1 i=l
зать необходимость этого утверждения.
Доказательство: Поскольку совокупность точек (qu ... Qn_j) лежит
в расширенной трубе, то существуют комплексное преобразование
Лоренца Л и совокупность точек (?i = ?i —мгц, ?2 = ?2 —"Ъ. ••• ?n-i =
= in-i — i*)n-t) трубы будущего, такие, что Л?г = дг. Далее, при дей-
действительных %t, совместимых с условиями Я|>0, 2^« = 1» имеем
A8.28)
Так как, по предположению, левая часть A8.28) вещественна, то
A8.29)
3
Конус будущего является выпуклым, поскольку если ту—времени-подоб-
ные векторы с т^0 > 0, то вектор ^] X^rjj также будет времени-по-
добным при всех ^>0, т. е. B bji\j)z>0. Так как векторы ц} дей-
действительно лежат внутри конуса будущего, то из соотношения A8.29)
следует, что вектор 2^»§* должен быть пространственно-подобным,
i
т. е. B^У2<°- Отсюда
(J(S J < 0, A8.30)

§ 1. Формулировка Уайтмана 689
т. е. векторы 2 ^iQt должны быть пространственно-подобными. По
г
поводу доказательства достаточности читатель отсылается к статье
Йоста [404]. Мы^ будем называть действительные точки расширенной
трубы «точками Йоста». Можно далее показать, что каждая точка Йоста
имеет действительную окрестность в расширенной трубе и что эта
окрестность образует действительное окружение в (п — 1)-мерном про-
пространстве комплексных 4-векторов. Это значит, что если имеются две
аналитичные в расширенной трубе функции f, (?ь ... ?n_t) и /2 (?и ... t,n-i),
которые совпадают в некоторой действительной окрестности расширен-
расширенной трубы, т. е.
/,(?, ... g^HMS;, •¦• SU) A8.31а)
в точках |j, ... !,',_, внутри действительной окрестности точки Йоста,
тогда
fi&i, ... ?„-!) = М?ь ••• ln-i) A8.316)
во всех точках ?i, ... ?n-i внутри расширенной трубы (см. книгу Бох-
нера и Мартина [63, стр. 34]1)). В частности, переходя к граничным
значениям, получаем
М1ь ••-, SB-i)=/2(Si, ••• SB-i) A8.31b)
при всех действительных точках |i, ... |n_i.
Теперь становится понятным важное значение определения дей-
действительных точек расширенной трубы (точек йоста). При отыскании
этих точек выясняется, что существует целая область точек q1; ... Qn_4
(где Qj, ... qn-i пространственно-подобны), которая лежит внутри
расширенной трубы, но на границе трубы будущего. Следовательно,
функция Уайтмана Wm (xt, ... хп) при xt — х2 = Qi, ... xn~t — хп = Qn_4
является аналитической функцией от q1; ... Qn-i, т. е. разложимой по
этим переменным в сходящийся степенной ряд. Согласно сказанному
выше, это в свою очередь означает, что если среднее, по вакууму из-
известно в окрестности точки Йоста (т. е. когда аргументы разделены про-
пространственно-подобным интервалом), то оно однозначно определено
при всех значениях своих аргументов. Поскольку при п = 1, 2, 3, 4 со-
совокупности действительных точек Qi, ... Qn_i с Q;o — 0, т- е- совокупности
одновременнйх точек, образуют действительные окружения в расширен-
расширенной трубе, то в этих случаях справедлив более сильный результат:
если функции Wa\ W™, Wi3) и W{i) известны в области, в которой все
аргументы имеют одну и ту же#фиксированную временную компоненту,
то этим функции Wa), W'Z), WiS) и W{i) определены везде.
Холл и Уайтман [355] доказали далее следующую важную теорему:
Теорема. Функция / от п 4-векторных переменных ?ь ... ?„, анали-
тичная в трубе будущего, определяемой согласно
Zj = tj-iiU, -co<Re^< + co, |i = 0,l,2,3,
(Imy2>0, Aт&о)<0.
и инвариантная относительно ортохронной группы Лоренца
!) В русском издании стр. 51. — Прим. ред.
44 с. Швебер

690 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
является функцией скалярных произведений t,j-t,k = %j\>.lA- Она анали-
тична на многообразии Шп, которое пробегают скалярные произведения,
когда векторы ?4, ... ?„ пробегают все значения в трубе будущего.
Теорема Холла и Уайтмана показывает, что как следствие основ-
основных свойств инварргантности, выражаемых соотношением A8.27), ана-
аналитическая функция 4ге-комплексиых переменных Ww+V (?lt ... ?n)
может быть представлена как функция скалярных произведений
Ww+1)(?i, ... ?„) = И"»™ (?J, ?,.&, ... ?п, .--). A8.32)
Эта функция аналитична в области 9Л„ значений скалярных произведе-
произведений ti'Zj- Область Ж„ есть отображение трубы будущего Т'п. Обра-
Обращает на себя внимание уменьшение числа переменных. Так, при п =2
функция W(i) (?) является аналитической функцией одной комплексной
переменной z = ?2 вместо четырех; прхг п = 3 функция W3> выражается как
аналитическая функция трох комплексных переменных вместо восьми. Не
говоря уже об очевидных упрощениях, при такой записи в явном виде
проявляются свойства инвариантности функций Wln) и становится воз-
возможным компактное выражение следствий локальной коммутативности
поля ф. Однако не все скалярные произведения независимы. Поэтому
иногда бывает удобнее работать не со скалярными произведениями,
а с переменными ?4, ... t,n.
Приведенных теорем достаточно, чтобы дать простое доказательство
СРГ-теоремы Паули, Людерса и Швивгера, принадлежащее Йосту [404].
В теореме СРТ утверждается примерно следующее. В локальной теории
поля, инвариантной относительно собственных преобразований Лоренца,
существует антиунитарный оператор V — CPT и возможен такой выбор
фазового множителя т) в законе преобразования
V(p(x)V-1^y\(p*(-x), |г)Г = 1. A8.33)
что теория будет инвариантной относительно этого преобразования. При
помощи средних по вакууму теорема СРТ выражается равенством1)
(?0, ф1 («О ... <рп (хп) ?0) = (?0, ФГ (- «О ... qfl (- хп) Wo) =
= (%, Фп(-*») ••• Vii-xJYo). A8-34)
Теперь мы покажем, что соотношение A8.34) фактически является
следствием локальности теории, приведенных выше спектральных усло-
условий, а также инвариантности теории относительно собственных орто-
хронных неоднородных преобразований Лоренца. Обозначим через
И^ фп (xt, . .. хп) среднее по вакууму от произведения ф4 (ж4) . .. ф„ (хп)
¦ ¦ ¦ ф„ (хи ... хп) = (Wo, ф1 (*,) ... Фп (ха) ?0). A8.35)
Тогда вследствие трансляционной инвариантности функция
... фи зависит только от разностей переменных Xi, ... хп, т. е.
¦ • • Фп = Wvi ¦ ¦ ¦ tn (|4) ш .. |n_t), а на основании спектральных условий
функция Wfi ¦ ¦ ¦ ч>п (gi, ... |п_4) является граничным значением аналитиче:
ской функции FF<pi ••• Фп (g4, ... 5п_4), аналитичной, когда векторы С; = Ъ—^Л;"
') Отмстим, что мы здесь но ограничиваемся случаем только одного поля и не
предполагаем эрмитовости полей. Однако для простоты мы рассматриваем только
скалярные поля. Обобщение на спинорные поля осуществляется непосредственно
(см. работу Йоста [4O'i]).

§ 1. Формулировка Уайтмана 691
лежат в трубе будущего (т. е. когда — оо < ?,-< + оо, а векторы тO-
лежат внутри конура будущего). Кроме того, в силу лоренц-инвариант-
ности Wf (?) имеет единое аналитическое продолжение на расширенную
трубу (т. е. на множество точек Х>ь ... ?n_i, таких, что ?? = Л?{, где
Хл лежат в трубе будущего, а Л — элемент комплексной группы
Лоренца с detA= +1).
Пусть теперь точка qu ... Qn_i будет точкой Йоста (т. е. действи-
действительной точкой в расширенной трубе). Из теоремы Холла и Уайтмана,
а именно из того, что функция Wm ¦ ¦ ¦ <fn = Wv^ • • • ф« (?ь . .. X,n-i)
является функцией скалярных произведений X,ftj и. притом аналитиче-
аналитической функцией на комплексном многообразии, которое пробегают скаляр-
скалярные произведения, когда векторы ?t, ... X>n-i пробегают расширен-
расширенную трубу, следует
И7Ф1 ¦ • ¦ ф» (?t, .. . ?„_,) = И7Ф1 • • • «рп (- ?t, ... - ?n_t), A8.36а)
и отсюда1)
W91' ¦ -фге (Qi, - •. Qn-i) = W91' ¦ -Vn ( - ei, ... - Qn_t). A8.366)
Из условия эрмитовости
= (W <p* (x ) w*(x )W ) A8 37^
вытекает
Т1/Ф1. • . ф/t/? t \ _ ТХ7ф"" ' •ф1/ t ' t\ /18 QO\
при всех действительных Si» • ¦ • In-i- В частности, это соотношение
справедливо в действительной окрестности расширенной трубы. Поэто-
Поэтому во всей расширенной трубе справедливо соотношение
¦ -Ф1 ( _?„_!, ... - Ci). A8.39)
Соотношение A8.39) позволяет переписать формулу A8.366) в форме
^•••"•(ei,... en-1) = w<p*---<p*(en_1,... ei). A8.40)
Сравним этот результат с записью теоремы СРТ в виде A8.34). Соот-
Соотношение A8.34) при помощи функций Уайтмана записывается в виде
¦¦<f\ + ь,-!,... + Si) =
при всех действительных |t, ... |re_i. A8.41)
Если в A8.41) точки х4, ... хп выбраны так, что xk — xh+l = Qk, то
сравнение с A8.40) дает необходимое условие для справедливости тео-
теоремы СРТ:
A8.42)
1) К этому же заключению можно прийти и на основании того, что преобра-
преобразование Л=—1 является элементом комплексной группы Лоренца с delA=-|-l;
поэтому соотношение A8.36) можно вывести из лоренц-инвариантности функций
Уайтмана: в формуле A8.27) положим Л= —1 и заметим, что множество дей-
действительных точек, для которых комплексное преобразование Лоренца можно выбрать
так, чтобы Л(>= —д, как раз и есть множество точек Йоста.
44*

692 Гл. IS. Аксиоматическая формулировка
или, что то же,
(Ъ, Ф1 (*i). . . Ф„ (ха) Ъ) = (Ъ, ф* (*») ¦ ¦ • ф1 (*i) ^о) A8.43)
во всех точках xt, ... а;„, для которых Од, ... Qn_t находятся в рас-
расширенной трубе.
О совокупности полей, удовлетворяющих условию A8.43) при
значениях хи ... хп, совместимых с условиями
BUiiiJ<0, 2^ = 1,
i t=l
говорят, что эти поля слабо локальны друг относительно друга. От-
Отметим, что совокупность полей, локальных друг относительно друга,
т. е. таких, которые коммутируют при пространственно-подобном раз-
разделении, [<fj(x), фг(ж')] = О при (х — я'J < 0, заведомо удовлетворяет
условиям слабой локальности их друг относительно друга. В самом
деле, из локальности следует, что
= ^я>1 ¦ ¦ • <pj+A- • ¦ •»» (a!lt . .. Xj+U Х]___ Хп) при (ж, -xj+i)* < 0.
A8.44)
О совокупности операторов поля (ф1, ...ф„) говорят, что они обладают
свойством слабой локальной коммутативности (СЛК) на множестве
действительных точек (?,[, ... |«_i), если равенство
0), A8.45а)
или, что то же, равенство
WVi-¦¦*"&, ... Ь,-1) = И*)л---1И(-Ь,-1, ...-Ы A8.456)
справедливо при всех хи . . .хп, таких, что разности ?i» ... |n_t
(|j = а;_,- — aij+j) лежат в некоторой действительной окрестности точки
Иост показал, что верна также и обратная теорема, т. е. если
совокупность полей в окрестности некоторой действительной точки
расширенной трубы (в окрестности точки Йоста) обладает свойством
СЛК, тогда справедлива теорема СРТ и СЛК [соотношение
A8.456)] имеет место во всех действительных точках расширенной
трубы.
Доказательство: Условие СЛК в точке ?,, ... |„_4 можно записать
в виде
СРо, Ф1 (*i) ¦ ¦ • ф» (Хп) ?0) = (?0, Фп (я„)...
- (^о, ФГ (*i) . .. Ф« (хп) То), A8.46а)
или, что то же, при помощи функций Уайтмана
-Vn(tl, ...ln-i). A8.466)
По предположению, соотношение A8.466) справедливо в действительной
окрестности точки Йоста. С помощью A8.466) и A8.36а) получаем
A8.47)

§ 1. Формулировка Уайтмана 693
для точек (?i, .. . ?n-i), лежащих в действительной окрестности точки
Йоста (qi, ... Qn-i)- Очевидно, что в силу релятивистской инвариант-
инвариантности и спектральных условий функция Уайтмана
wti..Vn{lu _ ?„_,) = (То, ч\{х1)...у1{хп)Ча) A8.48)
обладает теми же аналитическими свойствами, что и функция
WVl'"'tn(^i, ... |n-i). Таким образом, соотношение A8.47) имеет анали-
аналитическое продолжение на расширенную трубу, поскольку если точка
(?,, ... t,n-i) лежит в трубе будущего, тогда это же верно и для точки
(— ?j, ... —Sn-i)- Следовательно, соотношение A8.47) переходит в соот-
соотношение, связывающее функции W*1 ••-¦фп и W4*1' "ф" во всей расширен-
расширенной трубе. Так как труба будущего является только частью расширен-
расширенной трубы, то соотношение A8.47) справедливо и в трубе будущего.
В частности, в точках границы трубы будущего справедливо соотноше-
соотношение
¦•""•(-?!, ... -Sn-4), A8.49)
или, что то же,
(?0, tf'(-xt)...^(-xn)V0) = (V0, Ф1(а:1)...фп(а;„)То). A8.50)
А это соотношение и является выражением теоремы СРТ с помощью
средних по вакууму. Что и требовалось доказать.
Дайсон [203] доказал приведенное ниже следствие теоремы СРТ.
Если справедлива теорема СРТ, то функция Уайтмана будет аналитич-
ной и однозначной на действительном множестве пространственно-вре-
пространственно-временных точек тогда и только тогда, когда поле обладает свойством
слабой локальной коммутативности на этом множестве точек.
Это указывает на связь между требованием локальной коммутатив-
коммутативности и требованием аналитичности в некоторой области. В действи-
действительности, как показали Штейнман и Йост [740], локальная коммутатив-
коммутативность при всех пространственно-подобных разделениях следует из ло-
локальной коммутативности в окрестности какой-либо точки Иоста.
В частности, в случае функций Ww, Ww и Ww требование, чтобы
[ф(ж), ф(у)]=О при хо = уо в некоторой окрестности трехмерного про-
пространства, является достаточным, чтобы локальная коммутативность
осуществлялась при всех пространственно-подобных разделениях.
Прежде чем переходить к дальнейшему изложению формулировки
Уайтмана, проиллюстрируем все сказанное выше на примере двух-
двухточечной функции Уайтмана WAB в случае двух скалярных полей
А (х) и В(х). Дальнейший анализ представляет собой незначительное
обобщение анализа Лемана, изложенного в гл. 17. Интересующее нас
среднее по вакууму имеет вид
WAB (x-y) = {Чо \А(х)В {у) | То), A8.51)
где записью W (x, y) = W (х — у) отражена трансляционная инва-
инвариантность теории. Лоренц-инвариантность означает далее, что
WAB{l) = WAB{Al); \ = х-у. A8.52)

694 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Фурье-образ WAB (р) функции WAB (?) определяется
WAB (l) = ^1{Wo\A(O)\pa){pa\B @) | Чо) е-
|pa>
1*ре-^(х-У>]?АВ(р), A8.53а)
(р) = 2(^01 Л @)| ра) {ра | 5@) | ?0). A8.536)
при фикси-
фиксированном р
На основании обычных соображений об отсутствии состояний с отри-
отрицательной энергией и пространственно-подобными импульсами заклю-
заключаем, что фурье-образ обладает свойством WAB (p) =¦ 0 вне области
с р0 > 0 и />2 > 0. При преобразованиях Лоренца
A8.54)
и, следовательно, WAB является функцией только р2. Функция Уайтма-
на W (|) является граничным значением аналитической функции W (?)
AB
= \ d*^e-ip-F-i4) Й?АВ (р), S = Е- *Ч. A8.55)
W
где 1] — врсмешг-подобный вектор, лежащий внутри светового конуса
будущего. В силу лорснц-инвариантности WAB (?) = WAB (At,), и, следо-
следовательно, функция WAB (g) фактически является граничным значением
аналитической функции WAB (z), регулярной при всех комплексных
значениях z, которые могут быть записаны в виде
* = &-щ)\ A8.56)
где чо > 0, ч2 > 0. В этом состоит содержание теоремы Холла и Уайт-
мана для случая инвариантной функции одной переменной. Поскольку
z = ?2— 2iT]-g — к]2 и, следовательно,
Rez = ?a-Tia, A8.57а)
Imz=-2g.Ti, A8.576)
то каждая точка плоскости z, не лежащая на положительной действи-
действительной полуоси, представима в виде A8.56). Таким образом, когда
вектор ? пробегает все значения в пространстве-времени, а вектор ч
лежит внутри светового конуса будущего, точка z принимает все зна-
значения на комплексной плоскости z, за исключением положительной
действительной полуоси и начала координат. Случай г) —> 0 иллюстри-
иллюстрируется на фиг. 145, где указаны также значения z для характерных
положений вектора ?. Таким образом, функция Уайтмана W (z) будет
аналогичной в плоскости с разрезом, идущим вдоль положительной
действительной полуоси от точки z = 0 до оо.
Очевидно, что среднее по вакууму
WBA (х'-х) = (Ч0\В(х') А (х) | ?0> A8.58)
аналогичным образом определяет аналитическую функцию WBA (z),

1. Формулировка Уайтмана
695
которая снова регулярна во всех точках вида
z=( — \ — IT]J (r| внутри конуса будущего), A8.59а)
1 = х — х'. A8.596)
Поскольку формулы A8.59) и A8.56) определяют одно и то же мно-
множество, то функции WBA (z) и WAB (z) имеют одну и ту же область
на световом
конусе
J
пространственно-
-подобные
/^
внутри светового
конуса прошлого
внутри светового
конуса будущего
Комплексная плоскость
2
в пределе
Фиг. 145.
аналитичности. Если
(х — х'У < 0, тогда
теория локальна, т.е. \А(х), В(х')] = 0 при
<0 A8.60)
при {x-
B
и, следовательно, W B(z) = W (z), когда z лежит на отрицательной
¦7АВ ,
действительной полуоси. А так как обе функции WAa (z) и WBA (z)
являются аналитическими, то WAB (z) = WBA (z) во всех точках области
их аналитичности, т. е.
WAB (z).
ТВА
W (z) в плоскости с разрезом.
A8.61)
В применении к частному случаю А (х) = ср (х) и В (х) = ф* (as)
сделанных выводов достаточно для доказательства того, что для ска-
скалярного поля (поля со спином 0) исключена возможность неправиль-
неправильной связи спина со статистикой, при которой [ф(а;), ф*(ж')]+ = 0, если
точки разделены пространственно-подобным интервалом (см. работы
Буржойона [93] и Людерса и Зумино [519]). Предположим, что мы
приняли эти «неправильные» перестановочные соотношения. Тогда
вместо A8.60) мы получили бы соотношение
-l) = 0 при
A8.62а)

696 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
и, следовательно, с учетом аналитичности,
W™* (z) = - W^* (z) A8.626)
во всей области аналитичности. Рассмотрим теперь векторы ф(/)|Т0>
и ф*(#) | То).'Сумма норм этих векторов равна
d*y (f(x) (ф (х) То, Ф (у) То) / (У) + f{x
A8.63)
Выбирая f(x) = g( — x) и учитывая, что при неправильной связи спина
со статистикой 1^фф* (?) -f- 1^ф*ф (_ |) = 0 при всех ?, получаем из
A8.63), что1)
го) = О при всех /. A8.64)
Следовательно, все средние по вакууму от произведений ф и ф* равны
нулю, а тогда, согласно Уайтману, само поле тождественно равно
нулю. Таким образом, возможна только правильная связь спина со
статистикой. Доказательство для полей более высоких спинов (целых
или полуцелых) проводится аналогичным образом [93]. Отметим, что
это доказательство связи спина со статистикой не опирается на какой-
либо частный вид уравнений движения для поля ф, в противополож-
противоположность доказательству Паули [627, 628], которое существенным образом
опиралось на линейность уравнений поля. Следует также отметить, что
в приведенном выше доказательстве, основанном на аксиоматической
формулировке теории поля, использовались только линейные соотноше-
соотношения для функций Уайтмана.
Вернемся к нашему обсуждению функций Уайтмана WAB (|) и
WBA (|). Если поля локальные, то из A8.61) следует
WAB(p) = WBA(p). A8.65)
Среднее по вакууму от коммутатора дается выражением
(Wo | [А (х),В (*')] | То) = Пт{WAB ((х - х' - й)J) - WBA ((х- х' + глJ)}.
Т1->0
A8.66)
Запись фурье-образа функции WAB (%) в виде
A8.67)
явным образом учитывает трансформационные свойства фурье-образа
при преобразованиях Лоренца и то, что он обращается в нуль при
р0 < 0. Отсюда среднее по вакууму от коммутатора операторов А (х)
!) Отметим, что к этому заключению можно прийти только в случае положи-
положительной определенности нормы в пространстве векторов физических состояний,
т. е. если состояния представляются векторами в гильбертовом пространстве, снаб-
снабженном эрмитовым скалярным произведением.

§ 1. Формулировка Уайтмана 697
и В(х') имеет следующее представление:
СР01 [А (х), В (х')\ | Wo) = \ diPQAB (Р2) е (Р) e-ip-6,
g = a:-a:'. A8.68)
Из A8.68) легко получить представление для среднего по вакууму
от запаздывающего произведения
R(A{x)B(x'))=-iQ{x-x')[A(x), B(x')\. A8.69)
Для этого нужно воспользоваться интегральным представлением для
функции Э
?? \^dx- A8-70)
Среднее по вакууму от запаздывающего произведения операторов А (х)
и В{х') обозначим гАВ (х; х'):
г^ (х; х') = (V0\R (А (х) В (х')) |?0>. A8.71)
Так как, по предположению, А (х) и В (х') коммутируют, когда точки
разделены пространственно-подобным интервалом, то запаздывающее
произведение R (А (х) В (х1)) равно нулю, когда вектор х — х' находится
вне светового конуса будущего. В связи с этим при ортохронных
преобразованиях Лоренца запаздывающее произведение преобразуется
по закону
U (a, A) R (А (х) В (х1)) U'1 (а, А) =
а), В(Лх' + а)] =
, A8.72)
поскольку при таких преобразованиях времени-подобный вектор
остается времени-подобным, а знак его временной компоненты есть
инвариант. Для средних по вакууму из этого закона вытекают след-
следствия
г^в(х; х') = гАВ(х-х') A8.73а)
гавA) = гав(А1). A8.736)
При помощи интегрального представления A8.70) находим для гАВ
следующее представление:
6->0
e->o+ гл
—00
7AB(p*, p0, 6), ' A8.74)

698 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
где
~ ' 1 +Р°° пАВ((Ро~ ТJ — Р2)
/•^(Р2, а, *)= - -^ S fa8 *
2л; J /H—
— СО
= -^М dx2 рАВ (т2 - р2) - ,
2Я J «V Г / т2
iG____. A8.75)
Выражение A8.75) показывает, что фурье-образ гАВ (р2) среднего
по вакууму от R (А (х) В (х'))
(То | R {А {х') В {х')) | То> = ^ d*p7AB (p2) е-*»-* A8.76)
является граничным значением аналитической функции
~rAB (z) = JL С dt.l?B = JL tC^QAB(«)t A8.77)
О О
которая регулярна в плоскости z с разрезом вдоль действительной
положительной полуоси от z = 0 до z=+oo.
Аналогичные вычисления с хронологически упорядоченным произ-
произведением Т (А (х) В (х')) приводят к выводу, что среднее по вакууму
от Т {А (х) В (х')) допускает представление
tab (х - х') = <Т01 Т {А (х) В (х')) | То) =
^S^L, A8.78)
и, следовательно, фурье-образ среднего по вакууму от хронологически
упорядоченного произведения является другим граничным значением
той же самой аналитической функции'ггАВ (z). Как уже было отмечено
в хл. 17, предположение о том, что WAB (|) не слишком сингулярна
при ? = 0, эквивалентно предположению, согласно которому поведение
qab (а) на бесконечности таково, что интеграл] по а, входящий в опре-
определение функции rAB (z) A8.77), сходится. В перенормируемой теории
поля предполагают, что если не сходится интеграл A8.77), то либо
сходится интеграл
оо
7ав (~\ 7ав/п\ — z С da 6 (а) /<|о 7Q\
v х'2я.)аа — z v '
0

§ 1. Формулировка Уайтмана 699
либо, в общем случае, сходится интеграл, представляющий rAB (z) после
дальнейших вычитаний [которые добавляют в знаменатель A8.79) новые
степени о]. Точное число вычитаний зависит от числа контрчленов,
входящих в теорию.
В последние годы проводилось интенсивное исследование общих
аналитических свойств трехточечного среднего по вакууму (которое
связано с вершинными операторами) и общего случая аналитических
свойств га-точечных средних по вакууму, связанных с амплитудами
процессов (см., в частности, работы Челлена и Уайтмана [417], Чел-
лена и Вильгельмсона [418], Стритера [743]). Челлен и Уайтман [417]
предприняли детальное изучение аналитических свойств трехточечной
функции Уайтмана:
< ?„ | А (xt) В (х2) С (х3) | ?0) = WABC (*„ х2, *,) = WABC (xt - хг, х2 - хг) =
= Г
(pu p2)dipidip2. A8.80)
Фурье-образ WA1JC (pit p2) отличен от нуля только тогда, когда оба
вектора /?4 и р2 лежат внутри светового конуса будущего. Как было
отмечено ранее, из этого факта следует, что функция WABC (xi — х2% х2 — хъ)
есть граничное значение аналитической функции двух комплексных
векторов t,i = Xi — x2 — irL = g4 — ir]4 и t,2 = x2 — xs — щ2 = \% — щ2, где век-
векторы % и тJ независимо принимают значения внутри светового конуса
будущего. Теорема Холла и Уайтмана для этого случая гласит, что
аналитическая функция WABC (?4, %г) зависит только от трех лоренц-
инвариантных переменных:
zx = (Xl-х2- ЙЬJ = (Ь- iriO2 = Й, A8.81а)
z2 = (ar2-«,-iTi2)» = (i2-iTi2J.= ?|, A8.816)
z3 = (as, - as, - i (m + %)J = (Si + Q2- A8.81в)
Когда векторы Si и S2 пробегают свои трубы будущего, каждая пере-
переменная z4, z2 и z3 изменяется на открытом множестве комплексной
плоскости Zj, а в целом пространстве (z4, z2, z3) заполняется некоторая
открытая область ШАВС. Поскольку переменные z-L не независимы, то
определение области ffflABC—довольно трудная задача, требующая искус-
искусства для своего решения. Челлен и Уайтман показали, что граница
области 1?flABC состоит из четырех кусков, так называемых «аналити-
«аналитических гиперповерхностей»1). Далее они показали, что как следствие ло-
локальной коммутативности область аналитичности функции WABC может
быть расширена дальше. Это видно из следующего. Выше было ука-
указано, что функция WABC (gi, J-2) есть граничное значение аналитической
функции WABC (zt, z2, z3) от переменных z4, z2, z3, определенных фор-
формулами A8.81a) — A8.81в). Аналогичные соображения показывают, что
функция
г, Хи х>) = (?о | В {Х2) А {Xi) с (*,) | Wo) A8.82)
есть граничное значение функции WBAC (zu z3, z2), аналитической
в области ШВАС. Область ШВАС в действительности может быть полу-
!) «Аналитической гиперповерхностью» Челлен и Уайтман назвали поверх-
поверхность, определяемую уравнением вида F(z^, r)=0, где F—аналитическая функция
комплексных персменвых zj, зависящая также от одного действительного пара-
параметра г.

700 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
чена из области ШЛВС путем перестановки в A8.81) переменных z2 и z3.
Далее, если поля А и В локальны по отношению друг к другу, т. е.
если \А{х), В(х')] = 0 при (х — х'J < 0, то
WBAC (хг, хи xt) = WABC (*„ х2, I,) при Ц = («, - x2f < 0. A8.83)
Для обеих функций WABC (zt, z2, z3) и WBAG (zlT z3, z2) множество Ц < 0
лежит внутри расширенной трубы и образует действительное окружение.
Поскольку две аналитические функции WABC(zi, z2, z3) и WBAC (z4, z3, z2)
совпадают в этой действительной окрестности, то они совпадают всюду
в объединении областей их аналитичности. Таким образом, функция WABC
имеет аналитическое продолжение на объединение областей ШАВС и ШВАС.
Аналогично можно показать, что если [В (х2), С (х3)] — О при (х2 — z3J < О,
то функция WAGB (z3, z2, z4) равна функции WABC (zt, z2, z3), как бы
они ни были определены. Следовательно, функция WABG (zb ъ%, z3)
аналитична также в области ШАСВ, которую можно получить из области
Ш?вс путем перестановки в A8.81) переменных zt и z3. Подобное же
рассуждение можно повторить и по поводу функции WCBA (z2, z1( z3) и т. д.
Таким образом, локальная коммутативность означает, что все
шесть средних по вакууму WABG fa, |2), ... WCBA (—|2, —|4)
есть граничные значения одной и той же аналитической функции
цгавс (Zj; Z2j -з^ которая аналитична в области Sft2, являющейся объедине-
объединением трех областей: области, определяемой при помощи формул A8.81а),
A8.816) и A8.81в), когда ?4 и ?2 принимают все значения в трубе
будущего, и двух других областей, получаемых из первой путем переста-
перестановок z3 с z2 и zt.
Итак, можно показать, что функция Уайтмана WABC должна быть
аналитической функцией трех комплексных переменных Zi, z2, zs
в некоторой области Ш2- В теории одной комплексной переменной z
хорошо известно, что для всякой области it) всегда найдется такая функ-
функция f(z), что граница kt) будет ее естественной границей, т. е. / будет
аналитична в 3 и будет иметь особенности в каждой точке границы, так
что ее невозможно будет продолжить за пределы области i#. Однако в тео-
теории аналитических функций от большего, чем одна, числа комплексных
переменных оказывается, что, вообще говоря, не всякая область <$„
в 2/г-мерном пространстве п комплексных переменных может служить
естественной областью аналитичности для какой-то аналитической функ-
функции. В действительности любую аналитическую функцию, регулярную
в Зп, можно продолжить на некоторую более широкую область, назы-
называемую оболочкой голоморфности. Область, равную ее оболочке голоморф-
голоморфности, именуют естественной областью голоморфности.
Челлен и Уайтман показали, что объединение областей, получаемых
путем перестановок, 5Ш^ВС (J Ш?АС []..., не есть область голо-
голоморфности. Вместе с тем они вычислили эту наиболее широкую область,
в которой аналитична любая функция W (гь z2, z3), удовлетворяю-
удовлетворяющая требованиям релятивистской инвариантности, спектральности и ло-
локальности.
В теории аналитических функций многих комплексных переменных
существует теорема, в которой утверждается, что всюду внутри такой
области эту наиболее общую функцию W(zlt z2, z3) можно представить в виде
интеграла от самой функции, помноженной на некоторое ядро, причем
интеграл берется по некоторым подмножествам меньшей размерности,
состоящим из точек границы. Имея в виду физические приложения, можно
было бы надеяться, что эти подмножества могут быть выбраны соответ-

§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 701
ствующими физическим точкам, т. е. множествам значений аргументов,
которые отвечают действительным векторам lt и %2. Челлен и Толл [419]
показали, что это действительно так.
Челлен и Вильгельмсон [418] положили начало решению общей
задачи определения области аналитичности функции Уайтмана
WW (?4, . . . ?;l_i) (см. также работы Стритера [743, 744]). Некоторые
частные результаты для случаев п = 4, 5 были получены Бремерманом,
Оме и Тэйлором [84], а также Клейтманом [457]. Важное значение этих
исследований обусловлено тесной связью функций Уайтмана с амплитудами
процессов, форм-факторами и другими наблюдаемыми (так, функция
W1-3) связана с вершинной функцией, W<4) — с двухчастичной амплитудой
рассеяния и т. д.). Представление функции ИА"), которое достаточно
прозрачным образом выявляло бы ее сингулярности (как функции инва-
инвариантов t,i't,j), разрешенные условиями локальности, спектральности
и релятивистской инвариантности, могло бы оказаться полезным также
в качестве первого шага в построении нетривиальной последовательной
локальной теории поля.
Очень важно выяснить, какие ограничения на функции W накладывают
условия неотрицательности (т. е. нелинейные соотношения). Однако здесь,
сверх замечаний Уайтмана L852, 854], прогресс был незначительным.
Из этих условий следует, что фурье-образ двухточечной функции W^i
должен быть неотрицательным и не слишком быстро возрастать. Что
касается трехточечной функции, то некоторые ограничения на поведение
форм-факторов и вершинных функций, полученные ЛСЦ [492] (см. также
статью Дрелла и Захариазена [186]), в сущности являются следствиями
неравенств, выражающих неотрицательность.
Условия неотрицательности, будучи нелинейными, связывают друг
с другом все функции W, и в этом состоит трудность обращения с ними.
Оказывается, следствия этих нелинейных соотношений несколько легче
изучать при помощи другой системы функций, которые также характери-
характеризуют теорию поля, а именно при помощи запаздывающих функций. Эти
функции составляют основу формулировки теории поля, которая была
дана ЛСЦ и к изложению которой мы сейчас переходим.
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ)
Множество функций Уайтмана W(n> (ii, . . . ira_i), удовлетворяю-
удовлетворяющих соотношениям A8.13), A8.14), A8.18) и.A8.25), определяет локаль-
локальную теорию поля. Однако если такая теория поля предназначается для
описания физических явлений, то она, кроме полевых наблюдаемых ср(х),
должна содержать еще наблюдаемые частиц. Минимальное требование
заключается в том, чтобы теория давала все те предсказания для экспери-
экспериментов по изучению столкновений, которые охватываются обычной форму-
формулировкой S-матрицы. В настоящее время стандартный подход для обеспе-
обеспечения этого состоит в наложении на поле ф(х) асимптотических условий.
Асимптотическое условие — это требование, чтобы теория поля допу-
допускала интерпретацию в терминах асимптотических наблюдаемых, соответ-
соответствующих частицам с определенными массой и зарядом. Математически
асимптотическое условие выражается как требование существования
пределов
lim (Ф, ф/@У) = (Ф, Ф/Ц1?), A884)
f->±oo

702 Гл. IS. Аксиоматическая формулировка
где |Ф), l^) —любые векторы пространства, в котором действуют
операторы, а
ф' <о=* 5 Ь
Здесь / — любое нормируемое решение уравнения Клейна — Гордона
с массой ц
(D + H2)/(*) = 0. A8.8C)
Кроме того, молчаливо предполагается, что если /' (х)— любое нормируе-
нормируемое решение уравнения Клейна — Гордона с массой \и' Ф ц, то предел
lim (Ф, q/' (t) W) равен пулю. Асимптотическое условие означает далее,
t-±±co
что поля ф|П (х) и (p0T1t (x) должны удовлетворять дифференциальным
уравнениям и перестановочным соотношениям теории свободного поля
(? + ^2) ф1п (х) = (П + I*8) фот (х) = 0, A8.87)
[(fin(x), 9in(a:')] = [9out(a;), <pout(x')] = iA(x —x'; jx); A8.88)
здесь [л — масса частицы, описываемой этими асимптотическими полями1).
Если поля фт (х) и cpqut (х) неприводимьг и на векторы
I Wo), ф{п I ^о>, • • ¦ ф(А ф(?, 1 • • • ф|г,' i ^o), • • • натягивается все гильбертово
out out out out
пространство ?) физических состояний, тогда соотношения A8.88) обуслов-
обусловливают существование унитарного оператора S (Л'-матрицы), такого, что
фои[ (х) = S-hfln (х) S, A8.89)
S*S = SS* = l. A8.90)
!) Гринберг [338] при помощи функций Уайтмана исследовал вопрос, какими
дополнительными свойствами должно обладать поло, чтобы выполнялись асимпто-
асимптотические условия. Он показал примерно следующее. Если функции Уайтмана
Wm (Pu ... Pn—i) ведут себя вблизи значений р? = [х2 (вблизи масс свободных
частиц) не хуже 6-фупкции пли полюса в смысле главного значения и если, кроме
того, поля удовлетворяют локальным перестановочным соотношениям, т. е. если
коммутатор [ф (х), <р(у)] при хо = уо пропорционален 6<3> (х—у), тогда поле будет
удовлетворять асимптотическим условиям (см. также работы Циммермана [8761
и Редмонда и Урецкого [663]).
Асимптотическое условие при t —>;?со можно рассматривать как требование,
чтобы эффективное взаимодействие между двумя частицами обращалось в нуль,
когда расстояние между ними R —>оо. Поэтому асимптотическому условию для
t —>rh°° можно придать вид асимптотического условия для больших R при конеч-
конечных временах (см. работы Гаага [349, 351]). Араки [12] доказал, что при обычных
предположениях аксиоматического подхода (включая локальность) усеченные функ-
функции Уайтмана с равными временами экспоненциально стремятся к нулю, когда
наибольшее расстояние R между точками стремится к бесконечности, причем пока-
показатель степени равен mR, где т—наименьшая масса, имеющаяся в теории (см.
также статью Делль Антонио и Гюльманелли [160]). Усеченные функции Уайтмана
Wry (хх, ... хп) суть такие средние по вакууму от произведений операторов, иа
которых симметричным образом вычтен вклад от вакуумных промежуточных состоя-
состояний:
И"»>(*1. ... %) = Wt'K ... хп)-гЪШ(?Чхь ••¦ *ft) ••• ^-fc)(..., Xn).
В этой рекуррентной формуле сумма распространяется по всем разбиениям п
точек хи ... хп на более чем одну группу, причем порядок точек хь ... хп в пра-
правой части тот же, что и в левой.

§ 2. Формулировка Немана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 703
Леман, Симанзик и Циммерман [491, 493] провели анализ реляти-
релятивистских теорий поля, в которых выполнены аксиомы I—IV и асимптоти-
асимптотические условия, с помощью средних по вакууму как от хронологически
упорядоченных, так и от запаздывающих произведений операторов поля,
поскольку эти произведения более удобны для изучения следствий из
асимптотических условий. Асимптотические условия приводят к неко-
некоторым рекуррентным соотношениям для матричных элементов этих произ-
произведений. Некоторые свойства этих произведений вытекают из релятивист-
релятивистской инвариантности, спектральности и локальности, как и в случае
функций Уайтмана. Кроме того, для этих средних по вакууму можно
вывести систему зацепляющихся уравнений — аналог соотношений неот-
неотрицательности в формулировке Уайтмана. При выводе этих зацепляющихся
уравнений явно используются асимптотические условия и то, что много-
образие физических состояний образует гильбертово пространство.
Изложить формализм ЛСЦ можно двумя путями. Во-первых, можно
принять аксиомы формулировки Уайтмана ( о существовании гильбертова
пространства ig, трансформационных свойствах операторов поля и локаль-
локальности) и дополнить их предположением (или постулатом), что операторы
поля удовлетворяют асимптотическим условиям. Дальнейший анализ
будет состоять в изучения следствий этих аксиом для функций
т№> (хи . . . хп) = (То, Г (Ф (Xl) . . . ф (*„)) То), A8.91)
называемых хронологически упорядоченными, или т-функциями, или
для функций
по перестановкам
называемых запаздывающими, или r-функциями. [В выражении A8.92)
сумма распространяется по всем перестановкам чисел 1, ... и.] В част-
частности, можно попытаться выяснить, будет ли для т- или r-функций спра-
справедлива теорема, подобная той, которую доказал Уайтман для функций W,
а именно можно ли по заданной системе г- и т-функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих определенным условиям, восстановить теорию поля, в которой эти
функции были бы средними по вакууму от запаздывающих или хроноло-
хронологически упорядоченных произведений операторов поля. Такой подход
развивается в ЛСЦ I [491]. При этом в качестве основных величин берутся
гейзенберговские операторы. Во-вторых, можно попытаться, следуя
оригинальной идее Гейзенберга [372, 373], основывать формализм цели-
целиком на требованиях, налагаемых на 5-матрицу, т. е. рассматривать
ин- и аут-поля как основные величины, а гейзенберговские поля как про-
производные. Этот подход был принят в ЛСЦ II [493] (см. также работы Бого-
Боголюбова и др. [65, 66, 67]).
Изложим кратко второй подход. Цель теории в этом случае — реля-
релятивистски инвариантно описать только окончательные результаты экспе-
экспериментов, в которых в начале и в конце частицы не взаимодействуют.
Поэтому начальные и конечные состояния представляются векторами,
соответствующими свободным частицам, б'-матрица есть унитарный
оператор, который отображает гильбертово пространство ин-состояний
| ) Т ш на пространство аут-состояний |T)Out. При помощи этой матрицы
обычным образом вычисляются амплитуды переходов. Для простоты мы

704 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
изложим формулировку ЛСЦ на примере модели, в которой имеется один
сорт стабильных нейтральных частиц с массой |j, и спином 0. (Отметим,
что масса и спин рассматриваются как заданные параметры!) Будем
предполагать также, что нет связанных состояний. Что касается мате-
математической стороны теории, то вводятся два поля: ц>\п (х) = ф*п (х)
и фоиг (х) — ф^иг (х), которые удовлетворяют свободным уравнениям
(? + Ц2) Фт (х) = (? + и2) qw (х) = 0 A8.93а)
и перестановочным соотношениям
[фш(х), ФтB/)] = [фои1(х), Фои1 (у)] = г'А (х— у, и). A8.936)
Эти поля описывают асимптотически свободные приходящие (ин-) и ухо-
уходящие (аут-) частицы. Так как ин- и аут-поля удовлетворяют свобод-
свободным уравнениям A8.93), то они представляются следующими интегра-
интегралами Фурье:
A \ (к), A8.94)
out Bя) /2 J out
где, согласно предположению об эрмитовости операторов ф[„ (х),
out
фГп (/с) = фщ (-к). A8.95)
out out
С помощью этих операторов можно построить, полную систему прихо-
приходящих и уходящих (ин- и аут-) состояний. В частности, приходящее
(ин-) состояние п частиц с импульсами kt = (j/k*-f fia, kt), k2, ... kn
записывается как результат действия ин-операторов на вакуумное
состояние | То)
I kt, ... kn)ia = -)=¦(& (kt) ... afn (kn) | To). A8.96)
у n
Оператор а*а(к) определяют, представляя поле ф,Г1 (х) в виде следующего
инвариантного интеграла Фурье:
Фт (*) = z^n; \ ^ fain (к) е-*-'+а>п (к) е+*-*}. A8.97)
Bя) 'l J -"о
Сравнивая A8.97) с A8.94), находим
в|п(А-) = Фт(А), /<о>О, A8.98а)
аГп(Л) = фт(-*), Л0>0. A8.986)
Перестановочные соотношения для операторов a,n такие же, как для
соответствующих операторов свободного ноля:
lam (А), а*„(Г)]=2А-06<3'(к-к'), A8.99а)
[a,n (к), ain (к')] = [ata (к), afn (к')] = 0. A8.996)
Аналогично можно ввести аут-операторы aout и определить уходящие
(аут-) состояния. Разложение по плоским волнам A8.97) дает ненорми-
руемыо векторы состояния | ки ... kn)in. Часто бывает удобно, а для
математической (и физической!) строгости и необходимо заменить кон-
континуум амплитуд плоских волн в интеграле A8.97) дискретной последо-

§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика ц Циммермана (ЛСЦ) 705
вательностыо {/а} положительно-частотных решений уравнения Клейна —
Гордона. Свойства этой последовательности {fa) следующие:
а) ортонормированность
J { ^Щ?} Ъаь, A8.100)
б) полнота
S A8.101)
a=i
Произвольный эрмитов оператор А (х) раскладывается по функциям
fa (x) следующим образом:
А (х) = 2 \U (х) A* (xo) + Ja (х) Л«* (х0)}, A8.102)
a
где
А* (*0) = i J d*xA (x) ^L U (x). ¦ A8.103)
В случае А (х) = ф!П (x) оператор ф^ (х0) от времени не зависит и будет
out out
обозначаться ср?п . Эти операторы рождают приходящие (уходящие) части-
out
цы в состоянии fa. Для состояний, получающихся при действии этих
операторов на вакуум и образующих полный набор, примем обозначение
К «2...-Oint = ^^|..^|Yo>. A8.104)
out out out
.^-матрица есть унитарный оператор, связывающий приходящие (ин-)
и уходящие (аут-) состояния:
fa,, ... а„>1П = «У|а1, . .. an)out, A8.105)
лли, равносильно,
<Pout(aO = S-Vn(a:)S, A8.106)
причем
S*S = SS* = 1. A8.107)
Такая теория является феноменологической в том смысле, что она
определяется заданием «^-матрицы. По соображениям математического
удобства введем оператор ц
5 = еЧ A8.108)
Оператор фазы г\ эрмитов, вследствие чего ^-матрица унитарна. Кон-
Конкретная реализация /^-матрицы осуществляется путем задания с-число-
вых функций hn (хи . . . хп), через которые оператор фазы г\ записывается
в виде
со
т) = 2 тг \ di^ ¦ ¦ ¦ \ dixnhn (xi, ¦ ¦ ¦ хп): ф1п (sO ... ерш («„):. A8.109)
, п- J J out out
Сумма в A8.109) начинается с n — i, так как первым реальным процес-
процессом, который должна описывать ^-матрица, является упругое рассеяние,
частицы на частице. Мы будем предполагать, что функции hn (хи ... хп)
45 с. Швебер

706 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
ведут себя достаточно хорошо, так что существуют их фурье-образы
h'n(ki, ... кп), определяемые согласно
К (xlt ...*„) = -^-i^ J d^ ¦ ¦ ¦ \ d%"e '=* ]*n (At, ¦ • • **)• A8.110)
Если в формулу A8.109) подставить это представление hn интегралом
Фурье и такое же представление A8.94) для операторов <pin , то матрн-
out
ца х\ запишется в виде
71=4
X h'n {k[, ...кп)Ь(к1—ц2)...Ь (Д? — ц,2): <р1п (к±) ... <р1п (?„):. A8.111)
Существенно, как это видно из выражения A8.111), что в определение
¦^-матрицы величины /г'п входят взятыми только на массовой поверхности
(A;| = jx2). Вне массовой поверхности эти функции могут быть выбраны
произвольным образом. Другими словами, задание ^-матрицы не опре-
определяет функции hn (xt, .. . хп) однозначно.
Предположение об инвариантности ^-матрицы относительно произ-
произвольных неоднородных преобразований Лоренца
U {a, A) SU-1 (а, А) = S A8.112)
означает, что
Тг'п(ки ... kn) = b(ki+...+kn)hn(kl, ...кп) A8.113а)
(трансляционная инвариантность),
Тгп (ки ...kn) = hn (Аки ... Акп). A8.1136)
Отсюда следует, что функции hn зависят только от скалярных произ-
произведений ki-kj. Кроме того, очевидно, что в силу эрмитовости оператора
фазы Tj и оператора поля ф
hn(ku...kn) = hn(-ftb... -К), A8.114)
а также что благодаря свойству симметрии нормального произведения
функция hn(k{, ... кп) симметрична:
К (h, ... кп) = 3>hn (Alf ... К), A8.115)
где ZP — оператор любой перестановки совокупности чисел 1, 2,... п.
Если теория СР.7'-инвариантна, то функция /гп бу.дет действительно!!
и в силу A8.114)
hn(kl,...kn) = hn(-klt... -кп). A8.116)
Наконец, чтобы наблюдаемые величины, такие, как эффективные сечения
рассеяния и реакций, были конечными, функции hn (kt, . .. кп) не должны
содержать каких-либо четырехмерных б-функций; кроме того, функции
hn (kif .. . кп) должны быть непрерывными функциями своих инвариант-
инвариантных переменных. Требования к функциям hn формулировались выше
только на массовой поверхности, т. е. когда к\ — jx2. Однако по-
поскольку за пределы массовой поверхности можно экстраполировать их

§ 2. Формулировка Немана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 707
как угодно, то можно потребовать, чтобы свойства симметрии и веще-
вещественности соблюдались и вне массовой поверхности.
Пусть заданы ин-поле <pin и /^-матрица, которая, кстати, также
может быть представлена в виде
n=l
где функции ah имеют свойства, аналогичные обсуждавшимся выше свой-
свойствам функций hn1). Аут-поле q>OutB) связано.с полем фщ(ж) согласно
9out(*) = 'Sin(a;M. A8.118)
Это соотношение можно также переписать в виде
фтОг), S]. A8.119)
В силу перестановочных соотношений [фш(^)) фт(я'I = г^ (х ~~ х'> Iя)
для любой операторной функции О от фш формально можно написать
VA (*-*'; V)^~^O. A8.120)
(Вспомните определение функциональной производной в § 5 гл. 7.)
В частном случае О = фщ (у)
и соотношение A8.120) приводит к правильному выражению для ком-
коммутатора. С помощью операции функционального дифференцирования
соотношение A8.119) можно записать в виде
+СО
fc-aO^^^ A8.122а)
—со
-|-CO
= Фш(а;)- J &х'Ь(х-х')}(х'), A8.1226)
— СО
где оператор тока / (х) определен при помощи равенства
-f-oo
d4x'b(x-x')j(x)=-i [ dWAix-x^S-1-^^;. A8.123)
—оо —оо
Следует подчеркнуть, что для того, чтобы определить оператор то-
тока f (х) выражением
/ (х) = - iS'1 х-^г-т , A8.124)
нужно конкретизировать экстраполяцию функций hn или an за пределы
массовой поверхности тогда как, если задан оператор S, величина
\ А (х — х') S'1 -т-г определена однозначно .
i Оф]п \Х ) J
!) Однако требование унитарности пе выражается через сгп простым образом.
Оно принимает вид нелинейного соотношения, перепутывающего все функции сгп.
45*

708 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Доказательство: Если воспользоваться соотношением
1 1
^ dX ¦— [е-ат1ф1п (я) еШ)] = i J dke~^ [ф1п (а;), ц] е1^ =
о о
= 4Wt(*)-q>in(z), A8.125)
то уравнение A8.1226) можно также записать в виде
1
фот (х) = фщ (x)—[dk\A(x- х') е~^Ч (х1) е^&х', ' A8.126)
о
где
$ (хг) =У ^г ^ d*Xi ¦ • • § d*xnhn+i (х\ хи ... хп) : q>in
n=0"
<pin
A8.127)
Из этого послсдиех^о выражения1) видно, что для того, чтобы ток j (х)
был определен при всех х, функции hn+1(k, kt, ... kn) (n = Q, 1, ...)
должны быть определены и при к2 Ф jx2. Пока эта экстраполяция за
пределы массовой поверхности не была ограничена ничем, кроме
требования, чтобы все соотношения симметрии, справедливые на массо-
массовой поверхности, выполнялись всюду.
Леман, Симанзик и Циммерман определили далее оператор поля
Ф (*) = Фш (*) +J rfVAH (*-*')/"(*'). A8.128а)
/(*) = (П + Ц2)Ф(*). A8.1286)
Этот оператор, по-видимому, определен корректно, поскольку ни одна
из операций, используемых для построения его из S и фщ, не ведет к ка-
каким-либо расходимостям. Если функции hn (kit . . . кп) вне массовой
поверхности удовлетворяют условиям симметрии A8.113) — A8.116), то
тогда поле ф(х) при преобразованиях Лоренца будет преобразовываться,
как скаляр, и будет эрмитовым. Кроме того, благодаря требованиям непре-
непрерывности, предъявляемым к hn {ки . . . кп) и к процедуре экстраполя-
экстраполяции, оператор <р(х) будет удовлетворять асимптотическому условию
lim (Ф, ц/ @ У) = (Ф, Фоиг^), A8.129а)
t->±oo in
где
4{t)=t\*x{4{x)*±^*$&-Hx)). A8.1296)
В формуле A8.1296) функция f(x) есть любое нормируемое решение урав-
уравнения Клейна — Гордона с массой \а. Существование этого предела явля-
является теперь простым следствием леммы Римана — Лебега для^интегралов
Фурье и вытекает из предполагаемой непрерывности функций hn (ки . . .кп)
вблизи массовой поверхности. Однако подчеркнем, что при заданной
1) Хотя функции й}(*1, ••¦ kj) с номерами / = 1, 2, 3 на массовой поверхности
равны нулю, не обязательно, конечно, чтобы и их экстраполированные значения
также тождественно равнялись нулю. Поэтому в соотношении A8.127) сумма начи-
начинается с п=0.

§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 709
S-матрице соотношение A8.128) определяет поле у(х) неоднозначно. Эта
неоднозначность отражает произвол в экстраполяции функций Ъп за пре-
пределы массовой поверхности. Существует много интерполирующих взаимо-
взаимодействующих полей, соответствующих данной S-матрице и удовлетворяю-
удовлетворяющих слабому асимптотическому условию lim y'(t) = cpoUt. Последнее
' t-y±co in
требование означает, что функции hn (kt, . . . kn) должны быть конеч-
конечными и непрерывными вблизи к\ = [л2. Однако, вообще говоря, интер-
интерполирующие поля не будут локальными. Но дальнейшее требование,
предъявляемое к hn (к±, ... кп) и к процедуре экстраполяции за пределы
массовой поверхности, чтобы получить
[q> (я), Ф (*')] = 0 при {х-х'J<0, A8.130)
оказывается весьма жестким. Как уже отмечалось выше, известно (см. ра-
работы Циммермана [876], Редмонда и Урецкого [663], Кашлуна [432, 433],
а также диссертацию Гринберга [338]), что если имеется локальное гей-
гейзенберговское поле, подчиняющееся каноническим перестановочным соот-
соотношениям, т. е. одновременно (х0 = х'о) коммутатор [ф(я), ц> (х')] есть
с-число, пропорциональное 6C> (х — х'), то ин-поле, определяемое
согласно
фш (*) = ф (х) - ^4ж'Ан(а;-а;')(ПЖ' + ^2)ф(а;'), A8.131)
удовлетворяет перестановочным соотношениям для свободного поля.
(По самому определению ин-поля A8.131) оно удовлетворяет свободному
уравнению.) Таким образом, локальность и канонические перестановоч-
перестановочные соотношения суть достаточные условия для существования асимпто-
асимптотических полей. Однако эти условия не необходимы, так как известно
(по крайней мере в наинизшем нетривиальном порядке теории возмуще-
возмущений), что асимптотический предел существует даже в нелокальных тео-
теориях поля (см. работу Кристенсена и Меллера [463]).
^-матрицу называют причинной, если существует хотя бы одна экстра-
экстраполяция, приводящая к локальному интерполирующему полю (f(x).
В настоящее время не известно, существует ли вообще какая-либо матри-
матрица рассеяния, порождающая локальную теорию поля с оператором у(х),
кроме тривиального случая S = 1 и ф(ж) = фт(я) =-фОиг(ж). Однако
вопрос, к каким следствиям для наблюдаемых величин приводит гипотеза
о локальности интерполирующего поля ф(ж), поддается изучению. До сих
пор мы излагали «феноменологический» вариант формализма ЛСЦ, в кото-
котором за основу принимаются ин- и аут-поля, а затем по ним находится интер-
интерполирующее поле ф(ж). Однако подход, при котором за основу берется
гейзенберговское поле, более фундаментален и представляется более под-
подходящим для штурма проблемы описания взаимодействий между элемен-
элементарными частицами. При таком подходе естественней всего начать с изуче-
изучения теории, в которой операторы поля с самого начала предполагаются
локальными. Поэтому вместе с ЛСЦ перейдем к изучению общих свойств
релятивистски инвариантных локальных теорий поля, удовлетворяющих
асимптотическим условиям. ЛСЦ выяснили, и это один из важнейших
их результатов, что как следствие асимптотических условий могут быть
выведены так называемые формулы приведения для R- и Г-произведений
операторов гейзенберговского поля.
Запаздывающее произведение двух операторов определяется так:
R (*; у) = R (Ф (х) Ф (у)) = - i6 (* - у) [ф (*), ф (у)]. A8.132)

710 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Как обобщение запаздывающее произведение п -|-1 операторов опреде-
определяется М:
п>1, R(x; хи ... *„) = (-*Г2в(з-*1) ••• Q(xn_i-xn)x
р
Х[[... 1ф(х), ф (*,)], ф(ж2)], -.. Ф(*„)], A8.133)
где суммирование идет по всем перестановкам п координат хъ. Среднее
по вакууму от R (х; хи . . . хп) будет обозначаться через r(x; xi, . . . хп):
г (х; хи ... хп) = (Yo, R (x; xi,... хп) ?0). A8.134)
Непосредственно из определения Л-функций вытекают следующие их
свойства:
а) свойство запаздывания: функция R (x; xt, . . . хп) равна нулю,
если какое-либо из времен xlQ больше х0;
б) свойство симметрии: функция R (х; хи . . . хп) симметрична
по хи ¦ ¦ ¦ хп;
в) свойство эрмитовости: Л-произведение эрмитовых операторов
эрмитово.
Кроме того, запаздывающее произведение лоренц-ковариантных
и локальных операторов поля ф(ж) ковариантно относительно преобразо-
преобразований Лоренца.
Доказательство: Для простоты сперва рассмотрим запаздывающее
произведение двух операторов R (х; у). По предположению,
U (а, А) ф (х) U'1 (а, А) = ф (Ах + а). A8.135)
Очевидно, что при сдвигах 6 (ж — у) = 9 (х + а — у — а) и
U (а, 1) R (х; у) U'1 (а, 1) = R (х + а; у + а), A8.136)
так что, например, г (х; у) = г (х — у). И вообще благодаря трансляцион-
трансляционной инвариантности все функции г (х; xt, . . . хп) зависят только от раз-
разностей координат х — Xi, х — х2, ... х — хп
г(х; хи ...хп) = г(х — хи х — х2, ... х — хп). A8.137)
Далее, при однородных преобразованиях Лоренца пространственно-
подобный вектор остается пространственно-подобным, а времени-подоб-
ный — времени-подобным. Кроме того, при ортохронных преобразованиях
времени-подобного вектора х — у имеем 6 (х — у) = Q (А (х — у)).
Поскольку произведение R (х; у) отлично от нуля, только когда х — у —
времени-подобный или изотропный вектор, то с учетом локальности опера-
оператора (f(x) Aф(ж), ф(г/)] = 0 при (х — у)г < 0) получаем
U (A) R(x- у) U'1 (A) =-iQ(x-y) [ф (Ах), ф (Ау)] =
= -iB(A(x-y))[<f(Ax), <((Ay)] = R(Ax; Ay), A8.138)
Запаздывающее произведение различных Бозе-полей определяется согласно
= (_;)п V 6 (Xx—XiJ ... 6 (»{„ — *in+1) [. . . [<Pi(?l)> Фг2(ж{4)], . . . tPin^^in+iM'
где суммирование проводится по всем перестановкам Р чисел 2, ... л+1. Заметим,
что поле ф4 снова выделено.

§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 711
так что
г(х; у) = г(Ах; Ау) = г{А{х-у)). A8.139)
Доказательство ковариантности запаздывающего произведения более чем
двух операторов относительно однородных преобразований Лоренца
нетривиально и требует многократного применения тождеств Якоби.
На самом деле удобным инструментом для доказательства релятивистской
инвариантности запаздывающего произведения более чем двух операторов,
а также для изучения формальных аспектов теории в целом являются
производящие функционалы (см. работы Швингера [715, 722], Симанзика
[760, 764] и книгу Боголюбова и Ширкова [67]). Вообще говоря, для про-
производящих функционалов не предполагается какой-либо иной смысл,
кроме формального. Производящий функционал для запаздывающего
призведения операторов можно получить из унитарного функционала
? {/} = Т ехр (i [ d*xJ (х) ср (х)") =
со
"Xi ¦ ¦ ¦ SdixJ (xi) ¦¦¦J {Xn) т (cp
n=0
где J(x) — функция источников, которая играет чисто вспомогательную
роль (см., однако, работы Швингера [715, 722]), а Т — оператор хроно-
хронологического упорядочивания Вика. Попутно напомним, что операция
хронологического упорядочивания релятивистски инвариантна, если
[ф(х), ф(ж')] = 0 при (х — х')г < 0. При применении функционала ?{/}
заранее предполагается, что произведения
т (ф (xj) ... ф (хп)) = 2 е (xi — х2) ... е (хп_± — хп)ц> (xt)... ф (хп)
по всем
перестановкам
A8.141)
хорошо определены. Оказывается, что для того, чтобы эти произведения
были хорошо определены, достаточно иметь хорошо определенные сред-
средние по вакууму от обычных произведений операторов, т. е. функции
Уайтмана, а, говоря более точно, последние произведения должны быть
обобщенными функциями умеренного роста [876, 13, 764, 740].
Запаздывающее произведение операторов R (<y(xi) . . . ц>(хп)) можно
теперь получить из функционала
Ж (х; J)=- iX* {/j ^ ? {/} A8.142)
как результат функционального дифференцирования
R (х; хи . .. хп)=
A8.143)
... OJ (Xn) J=0
Для иллюстрации этих замечаний сперва рассмотрим случай п = 0.
Поскольку
~^-Z{J} = iT((f(x)Z{J}), A8.144)
то
A8.145)

712 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Аналогично и при га = 1, поскольку
_ (j) &X{J}
то
У^ J=o = - i (Ф (*i) V(x)-T (ф (гО ф (i))] =
=-г9(а; —ж1)[ф(а;), ф(а;1)] A8.147)
и т. д. Трансформационные свойства функционала ? {/}
б7 (а, Л) ? {/} С/ (а, Л) = г(г \ d*xJ (A~l (х-а)) ф (i)^ A8.148)
позволяют сразу же сделать вывод, что
U (Л) Я (х; хи... хп) U-1 (Л) = R {Ах; Ахи ... Ахп) A8.149а)
и, следовательно,
г(х; хи .. . хп) = г(Ах; Ахи ... Ахп). A8.1496)
Таким образом, функции г (х; хи . .. хп) являются лоренц-инвариантными
обобщенными функциями. Кроме того, благодаря свойству запаздывания
/•-функции г (х; xt, ... хп) = г (х — хи ... х — хп) равны нулю, когда век-
векторы !-! = х — хи . . ., \п = х — хп лежат вне светового конуса будущего.
В силу таких свойств сосредоточенности1) /--функции в пространстве-
времени ее фурье-образ
i r(glf ...g») A8.150)
является граничным значением аналитической функции. Область анали-
аналитичности этой функции в пространстве переменных zi}, являющихся
скалярными произведениями комплексных векторов pit . . . рп, по мень-
меньшей мере такая же, как область аналитичности функции Уайтмана
W"+1> (|1( ... |п) в пространстве переменных zij = t>i-t>j. Это было непо-
непосредственно показано Челленом и Уайтманом [417] для случая п = 3
и Клейтманом [457] для случаев га = 4 и 5. Араки [13] провел системати-
систематическое исследование общего случая и нашел также необходимые и доста-
достаточные условия, при которых запаздывающие функции можно получить
из функций Уайтмана (см. также работы Циммермана [878] и Штейнма-
на [740]).
Дополнительно к приведенным выше (линейным) свойствам запазды-
запаздывающие функции удовлетворяют системе нелинейных уравнений, которые
связывают функции различных порядков и являются следствием .опера-
.операторного тождества
R (х; у, xt, . .. хп) — R (у; х, хи . . . хп) =
П
= 2 2 k\(n-k)\[R(*; **!> • • • *"*)' R(у' ^¦ • • **")!• A8-151)
U...infe=0
Соотношение A8.151) можно проверить, если учесть что функционал
Ш (х; J) на основании его определения A8.142) удовлетворяет следу-
1) Термин «свойства сосредоточенности» («support properties») означает, что
функция имеет носитель, не совпадающий со всей пространством. — Прим. ред.

§ 2. Формулировка Лемана, Симанеика и Циммермана (ЛСЦ) 713
ющему функциональному уравнению:
Доказательство: Для доказательства нужно воспользоваться соот-
соотношением A8.146) и учесть, что функционал %{J} является унитарным,
т. v. что X* {/} = ЗГ1!/}, и,'следовательно,
^ 0. . A8.153)
Прежде чем продолжать характеризовать запаздывающие функции,
выведем рекуррентные соотношения ЛСЦ, вытекающие из асимптоти-
асимптотических условий. Сначала докажем соотношение
\R(x; хи ... хп), <р1п (*)] = » ^dH'h{z-z')Kz.R{x;xu .. .хп, z'), A8.154)
где А"Ж=П + |А2-
Доказательство: Рассмотрим матричный элемент
(Ф, [R(x; хи ... *„), ФйГ1Т) =
= i \ <Pz (Ф, [Д (х; *„ ... хп), Ф1П (z)] ?) ^ /в (z). A8.155)
Асимптотические условия позволяют переписать правую часть A8.155)
следующим образом:
Ч(Ф, [R(X; XU ... Хп), ф1пB)]Т)^-/вB) =
ч—*¦
= i lim \аЧ{Ф, [R(x; xu ... хп), <f(z)]W)~fa(z) A8.156а)
<——¦>
= - lim \ d3z(G>, R (x; iI( ...«„, z) W)JLfa(z) A8.1566)
20-+ — СО J "О
При получении A8.1566) мы учли, что z0 стремится к -со и поэтому
предшествует всем временам х0, ... хОп, так что в подынтегральное
выражение в правой части A8.156а) можно добавить множитель
9 (х — z). Для получения R (x; xt, ... хп, z) нужно к [R (х; хи ... хп), ф (z)]
добавить еще ряд членов (соответствующих перестановкам х±, .. . хп, z),
которые, однако, равны нулю, поскольку z0 предшествует всем вре-
временам х0, xi0, ... хп0. При помощи процедуры, уже применявшейся
в § 4 гл. 17, можно теперь записать
ч—>¦
H (Ф, R (x; as,, . .. *n, z) Т) ^ /« (z) =
lim ^d»z(O, R(x; x,, . .. xn, zL)±fa(z)-
~
{(Ф, Д(*; х„ ... хп, z)?)^-/«(z)}. A8.157)
Первый член в правой части A8.157) вклада не вносит, так как в нем
z0—>-f oo, а запаздывающее произведение R(x; x^, ... хп, z) равно

714 Гл.. 18. Аксиоматическая формулировка
нулю, если какое-либо из времен xi0, .. . xn0,z0 больше х0. Учтя это
и выполняя указанное дифференцирование, получаем
(Ф, [Д(х; хи ... хп), Ф?П*]Т) =
, Д(х; хи ... х„, z)W)- A8.158)
При выводе формулы A8.158) вторая производная —4 с помощью
уравнения Клейна — Гордона, которому удовлетворяет fa (z), была заме-
заменена выражением
^ ^)fa(z) A8.159)
и после этого было выполнено интегрирование по частям. Умножая
формулу A8.158) на fa(x), суммируя по а и складывая результат
с выражением, комплексно сопряженным ему, окончательно приходим
к формуле A8.154). При помощи итераций формулы A8.-154) получим
Xi, ... хт), q>
A8.160)
Нужно отметить, что эти рекуррентные формулы содержат дифференци-
дифференцирование запаздывающих произведений, что приводит к появлению
б-функций. Поэтому если даже среднее по вакууму от 7?-произведения
и определяет обобщенную функцию, совершенно не ясно, будет ли опре-
определять обобщенную функцию производная /?-произведения. [Известно,
что в перенормируемых теориях соотношение A8.160) может рассмат-
рассматриваться только как символическое и, чтобы придать ему строгий
смысл, нужно сопроводить его некоторыми перенормировочными пред-
предписаниями.]
Как простейшее применение процедуры, приведшей к соотношению
A8.154), можно вывести уравнение Янга и Фелдмана, связывающее ин-
и аут-поля. Из асимптотических з'словий следует, что-
, (Ф, ф{пТ) = Пт (Ф, iff (t) ?) =
JCo~3— со
= Hm
= lim i \ d%x (Ф, ф (x) W)?rJ (x) -
+ OO
+ 00
A8.161)
откуда, поступая так же, как при выводе соотношения A8.154), находим
(х) =.ф1п (х) - ^ Д (х-х') Kx.q> (x1) d*x'. A8.162)

? 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 715
Теперь, комбинируя соотношения A8.162) и A8.154), легко вывести
перестановочные соотношения между ин- и аут-полями. Так, образуя
коммутатор обеих частей формулы A8.162) с фтB/), получаем
A8.163)
Далее соотношение A8.154) для R (х) = ср (х) имеет вид
lq>(*'). «Pin(y)] = * \ d*y'b{y-y')Ky.R(x'; у'), A8.164)
откуда
[«Pout И, <PinB/)] = iA(z —у) —
— i \ d*x' \ dly'A(x-x')A(y-y')Kx-Kv.R(x'; у'). A8.165)
Попутно отметим, что Циммерман [876] доказал, что порядок интегри-
интегрирования в A8.165) можно изменять тогда и только тогда, когда при-
приходящее (ин-) и уходящее (аут-) поля удовлетворяют одним и тем же
перестановочным соотношениям. Если в формулу A8.165) подставить
интеграл Фурье A8.97), выражающий tpin через ain и a*n, то можно
получить
та ^ dx [ dxeW^KxKx'Rix; ж'), A8.166а)
[aout (Л), «ш(ft')] = pip \ d*x ] dlx'e+i ^¦x-h'-x')KxKx.R (x\ x'). A8.1666)
Теперь мы в состоянии получить систему зацепляющихся уравнений,
которые вместе со свойствами запаздывания, действительности, сим-
симметрии и ковариантности характеризуют запаздывающие функции
г (х; xi, ... хн). Среднее по вакууму от обеих частей соотношения
A8.151) равно
г(х; у, хи ... хп) — г(у; х, хи ... хп) =
= S 2*n^ft)l2 2 (То, Л (х;^,...^)^-'ОХ
ii . . . in h=Q 1=0 «i . . . СС?
X (Ф^ ¦¦¦ат (у, xtk+l, ... xin)W0)-X A8.167)
(X — член, получаемый путем взаимной перестановки х< >у), где
вставлена сумма по полной системе состояний
I Ф? ¦ • • "О = у= Ф?/ • • • ФЙГ* | ^о). ' A8.168)
Наконец, с помощью рекуррентного соотношения
(ЧГо, R (х; хи ... хп) ф?/ . . . ф?»*Т0) =
4zn/ai (zO ...fan (zn) A'Zl . . . ЯздД (ж; .г„ ... хт, zu . .. zn)
A8.169)

716 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
получаем следующую систему уравнений:
г(х; у, хи ... хп) — г(у; х, хг, ... хп) =
= 2 i 2*кД|л
Н ... tn h=0 1=1
xKUi ... KUlr(x; xh, ... Xik, uu ... щ) A<+)(mi — v{) ... А<+)(иг — иг) х
Х/Ц ... ЛГГ1г(»; sift+1, ...х|до„ ... о;)-(х< >у). A8.170)
Эти зацепляющиеся нелинейные интегральные уравнениях) для г-функ-
ций являются аналогом неравенств для функций Уайтмана, выражающих
условия неотрицательности. Нужно заметить, что при выводе уравнений
явно использовалось соотношение полноты для ин-состояний, и поэтому
уравнения в том виде, как они записаны, не будут справедливы,
когда существуют связанные состояния (однако см. статью Баумана [36]).
Эти уравнения выражают абсорбционную часть каждой г-функции как
сумму квадратичных членов, возникающих от разных промежуточ-
промежуточных состояний, и могут рассматриваться как «обобщенные условия
унитарности». В § 4 мы увидим, что соотношения A8.170) играют суще-
существенную роль при доказательстве дисперсионных соотношений для
амплитуд рассеяния (см. работу Поста [406]).
Для свободного поля
г (х; хи . .. хп) = 0 при п>\. A8.171)
Уравнение, которому удовлетворяет функция г (х; Xi) = г (|'i)
(lt = x~ xi), есть
r(x-y) — r(y-x) = ^ d*u
— i d*u ^ d*vKur (y — u) A<+> (u — v) Kvr {x-v)
где A(z) = Л(+) (я) — Л(+) ( — х) = Л(+) (х) + А1~} (х). Единственное решение
этого уравнения, удовлетворяющее трем граничным условиям (симмет-
(симметрии, вещественности и запаздывания), имеет вид
г(х; у)=-Ьц(х-у) = В(х-у)Ь(х-у). A8.173)
Если теперь попытаться решать зацепляющиеся уравнения A8.170) по
теории возмущений в виде ряда по некоторому параметру, выбирая
в качестве нулевого приближения r-функции для свободного поля, то
единственным образом придем к перенормированным разложениям тео-
теории возмущений, согласующимся с предполагаемым типом стабильной
частицы [347, 586, 878]. Произвол, связанный в лагранжевой форму-
формулировке с неоднозначностью в выборе лагранжиана взаимодействия, про-
!) Нишижима [585] рассматривал эти уравнения как условия самосогласован-
самосогласованности рекуррентных соотношений. Существование решения у уравнения A8.170)
равносильно внутренней непротиворечивости аксиом и асимптотических условий..

§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 717
является в том, что здесь решения г (х; у, хи ... хп) определяются
не однозначно, а только с точностью до членов вида
Р (if' Jk' ••* ^}Ь(х
= соб (ж — у) б (х — Xi) ... 6 (х — хп) +
п
+ ciyinib(x-y)b(x-xi) ... в (*-*„)+..., A8.174)
i
где Р — инвариантный, симметричный полином по операторам диффе-
дифференцирования. С точностью до численных множителей константы
с0, сь ... связаны с константами связи различных взаимодействий. И нао-
наоборот, различные константы интегрирования, входящие в решение урав-
• нений A8.170), соответствуют константам связи лагранжева подхода.
Наконец, отметим, что в случае, когда приходящие (ин-) и уходя-
уходящие (аут-) операторы образуют неприводимое представление перестано-
перестановочных соотношений для свободного поля, т. е. в случае когда и векторы
i°i> ••• an)in и векторы |cti, ... ara)out (n = 0, 1, 2, ...) образуют базис
всего гильбертова пространства, любой оператор L может быть разложен
по ин- (или аут-) операторам:
оо
L = 2 VT \ d*Xi • • • S d*xn%W (*i. • • • xn) ¦ <Pm (*i) ¦ • • Ф1п(х„):. A8.175)
n=0
Коэффициенты разложения Хт можно определить, если вспомнить, что
среднее по вакууму от нормального произведения операторов равно
нулю. Поскольку
1Ь, ф1п (у,)] = i J d%& (у - у',) бф ^ =
оо
= S -^г S"d'Xi ¦¦¦]diXn \ *у\%т*"(*' ¦ ¦ ¦ х*> y'Jх
п=0
X гА (г/i — у[): 4in{Xi) • ¦ ¦ фш(яд) : A8.176)
и по индукции
S rf4 5 ^ 5 d*^ 5 di'iTrA(~-y'J • ¦ • Д (Ут-У'т) X
71=0
X <5?<n+m'(*ь ... *„,?;,... 2/т):ф1пЫ ... Фш(*п):, A8.177)
то
y'm). A8.178)

718 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Если представить ЭБт интегралом Фурье
'
Хт (*„ ... хп) - ^Ъп/2 J d*ftt ... ^ d*kne ' А ' *>«> (ки ... к„),
A8.179)
то, взяв фурье-образ от обеих частей A8.178), получаем
Xю (ки ... й„) = 8(*0 ••• е (*„)№,, [...[?, ipm(fti)] -•¦ 9m^n)]T0).
A8.180)
Таким образом,
n=0
Xeft) . . . e (kn) 6 (k\ — \l2) . . . 6(k2n — \i2) :фщ(/с!) . . . ф1п(/с„):. A8.181)
В частном случае, когда в качестве L взят гейзенберговский оператор
поля ф(ж), воспользовавшись рекуррентной формулой A8.160), можно
записать
%¦¦¦[ d*kne+l i J X}KXl ... KXnr{x; xu ... xn). A8.182)
ii тогда найдем разложение A8.175) для гейзенберговского оператора ф (х)
?л X
71=2
хКХ1 . . . КХпг(х; хи ... хп) : ф1П (хг) . . . ццй(хп):. A8.183)
При выводе представления A8.183) были использованы следующие
тождества:
(То, ф(х)Т0) = 0, A8.184а)
d*k (То, [ф (х), фш (- к)] То) е (к) б (к2 - ц2) q5in (к) = ф1п (х). A8.1846)
Соотношение A8.1846) легко доказать. В силу релятивистской инва-
инвариантности и спектральных условий среднее по вакууму от коммута-
коммутатора ф (х) и фщ (у) имеет следующее лемановское представление:
(То, [ф(я), фщ (у)] То) = i J dy.*Q(x*)A(x-r> x2). A8.185)
о
Поскольку (? 4- \л2) фщ (х) = 0, то q (к2) = ад (к2 — ц.2) и
0) = 1Д(«-г. fi2), A8.186)
где значение 4-1 для постоянной а было фиксировано при помощи
асимптотического условия.
Глазер, Леман и Циммерман [319] с помощью разложения A8.183)
доказали две теоремы, которыми, в сущности, решается вопрос, каким
необходимым и достаточным условиям должны удовлетворять запазды-

§ 2. Формулировка Немана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) 719
вающие функции г(х; хи ... хп) для того, чтобы они определяли
локальную теорию поля, удовлетворяющую асимптотическим условиям-
Они показали следующее. Пусть задана последовательность произволь-
произвольных функций г(х; хх, ... хп) (п = 0, 1, ...), обладающих свойствами:
а) все r-функции являются вещественными, симметричными и инва-
инвариантными функциями переменных \i-x--Xi (г = 1, 2, ... п)\
б) все они являются запаздывающими, т. е. /*(|i, ... |„) равны
нулю, если хотя бы один из векторов \г лежит вне светового
конуса будущего;
в) они удовлетворяют уравнениям A8.170);
г) фурье-образ f{ku ... kn) функции f(x — xi, x — xz, ... х — хп) =
= KxKXl .. . KXnr (x — Xi, ... x — xn) конечен на массовой поверх-
п
ности ki = \i2, (^] ktY = [iz и не зависит от порядка, в котором
г
совершается переход к пределу Arf —> ja2, B^гJ —>Н-2-
Тогда если определить оператор ср (х) формулой A8.183), то функции
г (х; хи ... ха) будут средними по вакууму от запаздывающих произ-
произведений этих операторов, и, кроме того, так определенный оператор <р (х)
удовлетворяет асимптотическому условию, является локальным и лоренц-
ковариантным. Эта теорема является аналогом теоремы Уайтмана,
в которой утверждается, что последовательность функций Уайтмана,
обладающих некоторыми конкретными свойствами, определяет локаль-
локальную теорию поля.
Формулировку теории поля, очень близкую к той, которая была
приведена выше, можно дать в терминах средних по вакууму от хро-
хронологически упорядоченных произведений операторов поля —ЛСЦ I
[491]г). Хронологически упорядоченное произведение операторов поля
определяется согласно
Т (ф (Xi) .. . ф (хп)) = Т (хи ... хп) =
= S 0 (яц - xit) e (xh - xh)... е (xin_x - xin) ф (xh)... ф (xin).
A8.187)
Суммирование в A8.187) проводится по всем перестановкам ilt ... in
чисел 1, 2, ... п. Средние по вакууму от Г-произведегага обычно назы-
называют т-функциями:
т(п> (хи ...*„) = (То, Т (Ф (Xi) ... Ф (*„)) То). A8.188)
Через т-функции можно выразить б'-матрицу. Чтобы это доказать, сперва
выведем следующую формулу приведения:
[5.Г(ф(*1) ... ф (*„)), ф!пB)] =
) ... ф(а:„)ф(г')). A8.189)
Доказательство: Рассмотрим матричный элемент коммутатора
[S-T(xi, ... хп), ф™п*] между произвольными нормируемыми состояниями
См. также [920].—Прим. ред.

720 /"л. W. Лисмол»аягмчесиая формулировка
\W) и |Ф). Как следствие асимптотических условий снова получаем
(V, [
= lim [(?, [J-T^i, ... *„), Фа*Ы)Ф) A8.190а)
= i lim \ (V,[S-T(xu ... я„),ф(г)]Ф),|-/а(г)^г A8.1906)
>—oo
=Mim ^d8z{(?, 5-Г (an, ... ani
~U(z). A8.190в)
При выводе формулы A8.190в) было использовано, что z0 предшествует
всем временам ж10, ... хп0, так что ф (z) можно внести под знак Г-произ-
ведения. Мы также воспользовались тем, что фш (z) ? = Sq>oai (z). Продол-
Продолжим вывод. Снова используя
\" dzo~F(z)= lim F(z)— lim F(z), A8.191)
— CO
получаем
(W, [S.T(xu ... xn), фа*]Ф) =
A8.192а)
= + г J d4z/« (z) A", (V, S.T (xu . .. х'п, z) Ф), A8.1926)
что и требовалось доказать. В A8.192а) члены lim S-T(xl, . . . хп, z)
и lim пУфоиг (z) T (xt, . . . хп) сократились на основании определения
Z0-»+OO
Г-произведения и предельного перехода к асимптотике. Не вносит
вклада и член -^-|5фоиг (z) т (жь •¦¦ xn)^-fa(z)\, так как и <fuut(z),
и fa.{z) удовлетворяют уравнению Клейна—Гордона. Формула ириведе-
ния A8.189) получается из формулы A8.1926) с помощью уже знакомой
процедуры.
Если ин-поля нсприводимы, то по ним снова можно разложить
-^-матрицу:
оо
s=s Цл~\dixi¦¦¦ \dixnGn(ж" • • •'"):ф1"{Xi) ¦ ¦ ¦ф1"(Хп): A8-193а)
или в импульсном пространстве
x6(^-ji2N(^-ji2) ... д(А«—ц^зфшСЛО ...ф1„(Ап):. A8.1936)

$ 2. Формулировка Немана, Симанеика и Циммермана (ЛСЦ) 721
Образуя повторные коммутаторы S с cpin(Zi), ... cpin(zn) и т. д. и беря
среднее по вакууму, находим
оп (ки ...*„) = е (А,) ... е (*„) (Wo, [...[?,#„ (А4)],... <pf„ (Ад)] %)• A8.194)
Используя соотношение A8.1926) и совершая преобразование обратно
в координатное пространство, окончательно получаем
а*хп X
ХКХ1 ... КХп (?0, Т (хи ... хп) Wo) : ф1п (Xi) ... ф!П (хп): A8.195)
и, следовательно,
оп (хи ... хп) = КХ1 . .. КХпх (хи ... хп). A8.196)
Для хронологических и антихронологических произведений можно запи-
записать соотношение, аналогичное соотношению A8.151), которому удовлет-
удовлетворяют запаздывающие произведения. Антихронологический оператор
Т можно определить так:
. . . ф (хп)) =
A8.197)
Тогда искомым соотношением является
п
2 G^7 yt ( 0 г ( • • • **) = 0- A8.198)
Если взять среднее по вакууму от A8.198), получим систему зацепляю-
зацепляющихся интегральных уравнений для т- и т+-функций:
п— 1 со
О = т(а;1, ... хп) + хЦхи ... хп) + ^ 2 2 /! fe! A-fe)! X
ii ... in ft=l 1=0
X ^ d4M4 ... \ d^u, { tfVi ...{ <1% KU1KU2... Kux{xu .. . xk, uu ... щ) X
X Д(+) (itt-oO ... Д(+) (щ-vi) KVl... KVlxi (xk+i, ... xn,vu... vt). A8.199)
Эти зацепляющиеся уравнения являются «обобщенными соотношениями
унитарности» для t-функций. Их связь с унитарностью .^-матрицы ста-
становится очевидной, если в соотношения SS* = S*S = 1 подставить разло-
разложение A8.195) для S и в получившейся формуле использовать соотно-
соотношение полноты
По поводу т-функций можно сделать замечания, аналогичные тем, кото-
которые делались по поводу г-функций [586]. Последние несколько более
удобны, так как требование локальности, предъявляемое к операторам,
выражается простым свойством г-функций — свойством запаздывания.
Однако свойство локальности не столь легко выразить в виде линейного
46 с. Швебер

722 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
свойства т-функции. Тем не менее тесная связь т-функций с ^-матрицей
делает их предметом интенсивного изучения. В перенормируемых теори-
теориях поля фурье-образы т этих т-функций
п
т (Pl, ... рп) = j—ac ^ d^ ••¦] dix"e~% i=1 Vi'Xj x (*i> • • • *»)• A8.200)
вычисляемые по теории возмущений, содержат особенности вида
Ь(р), 6(р2 — т2) и Р (р2 — т2)'1 по любой переменной р= 2 Piv
V
Особенности вида б (р) возникают от промежуточных вакуумных состоя-
состояний; особенности вида Ь(р%—т2) и Р (р2 — т2)'1—- от промежуточных
одночастичных состояний с дискретным значением массы т. Мы уже
видели, что эти одночастичные особенности играют важную роль в тео-
теории рассеяния и что соответствующие им вычеты связаны с констан-
константами связи [126]. В рамках формулировки теории поля ЛСЦ одночастич-
одночастичные особенности т-функций были подробно исследованы Циммерма-
Циммерманом [877]. Одночастичные полюсы часто находятся в иефизической области
значений импульсных переменных [например, в случае рассеяния я-мезо-
нов на нуклонах имеется полюс при (р ± кJ — М2\. Вообще же говоря,
для многочастичных процессов они могут соответствовать физическим
значениям импульсов частиц. Появление этих одночастичных полюсов
связано с ограничениями, налагаемыми условием причинности.
В заключение настоящего параграфа отметим, что рассмотренный
здесь в общих чертах формализм может быть обобщен на физические
ситуации, когда имеются стабильные связанные состояния или составные
частицы [876, 585, 36]. Подход состоит в том, что для каждой состав-
составной частицы или связанного состояния определяют свой оператор поля.
Массы и другие характеристики этих составных систем входят в тео-
теорию как задаваемые феноменологические постоянные. Оператор для
каждой составной системы может быть в явном виде выражен через
первоначальные гейзенберговские операторы поля и удовлетворяет
асимптотическому условию, соответствующему частице, которую он опи-
описывает. Далее можно вывести формулы приведения, являющиеся обоб-
обобщением формул A8.154) и A8.189), и получить ^-матрицу, которая
будет описывать также рождение и аннигиляцию составных и связан-
связанных систем1).
§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора
Теперь мы на время прервем наше изложение аксиоматической
формулировки релятивистских теорий поля и остановимся на работах
Йоста и Лемана [405] и Дайсона [203, 204], посвященных выводу пред-
представления для матричного элемента причинного коммутатора между
произвольными физическими состояниями. Это представление является
обобщением представления Лемана для среднего по вакууму от комму-
коммутатора двух операторов, которое рассматривалось в гл. 17 и в § 1
настоящей главы. Как мы увидим в § 4, представление окажется очень
полезным при исследовании аналитических свойств амплитуды рассеяния.
!) Техника приведения, отличная от изложенной в настоящем параграфе,
разрабатывалась Толлом [925].-—Прим. ред.

§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора
723
Наша цель — получить представление обобщенной функции
FPQ (х, х') = (Ра | [А (х), В (х')] | (ft), A8.201)
которое охватывало бы как можно больше свойств этого матричного
элемента, следующих из условий релятивистской инвариантности, локаль-
локальности и спектральности. Результат будет совершенно общим и не будет
зависеть ни от какого-либо частного вида лагранжиана, ни от какого-
либо приближенного метода (такого, как теория возмущений). Для про-
простоты возьмем скалярные поля А и В:
U (а, Л) А (х) U'1 (а, Л) = А (Ах + а), A8.202а)
U (а, А) В (х) U'1 (а, Л) = В (Ах + а). A8.2026)
По предположению, эти поля локальны друг относительно друга, т. е.
(ас), В(х')}=0, когда (х-х'J<0, A8.203)
так что FPQ(x, х') обращается в нуль при (х — я'J < 0. Векторы Р и
Q, которые входят в состав квантовых чисел, характеризующих состоя-
состояQ$ ф
у
ния Ра) и | Q$), являются импульсами физических состояний и поэтому
лежат внутри светового конуса будущего. Благодаря трансляционной
инвариантности
{Ра\[А(х), B(x')]QV) =
= (Ра\ U'1 (a, I) U (а, I) [А (х), В (х')\ С/ (a, I) U (a, I) |
{x' + a)\\(ft)
и, следовательно,
FPQ(x, x') = e-^-P)^FpQ
где вектор а произвольный, дыоирая а=
FPQ(x, x') =
+ a, x' + a),
х~\-х'
находим
Поэтому достаточно рассмотреть матричный элемент
A8.204)
A8.205)
A8.206)
A8.207)
который благодаря локальности операторов обладает свойством
fPQ(x) = O при х2<0. A8.208)
В дальнейшем матричный элемент fPQ будет просто обозначаться через /.
Разобьем теперь матричный элемент / на две части
f(x) = h(x)-f2(x), A8.209)
такие, что
A8.210)
4G*
= 2 {Ра\А@)\КЪ)(КЪ\В@)\0$)е-*к-*е

724 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
S W () > < ()\Q$) »i A8.211)
\К6>
где \К6) — физические состояния, образующие полную систему. Выпол-
Выполняя суммирование по всем состояниям с фиксированным импульсом К
и вводя обозначения
Gpq (К) = ^(Ра\А @) | Кб) (Кб \В@)\ Q$), A8.212а)
б
<№i(K) = ll<P*\B@)\K6)(K6\A@)\Q$), A8.2126)
б
можно записать функции ft и /2 следующим образом:
A8.213а)
A8.2136)
/,'(*)= J
В силу спектральных условий для физических состояний функции Ga) (К)
и G<2) (К) равны нулю, когда импульс К лежит вне светового конуса
будущего. Если ввести фурье-образы /t (q) и /2 (q) функций /j (x) и /2 (ж)
A8.214а)
A8.2146)
то, сравнивая формулу A8.214а) с формулой A8.213а), заключаем, что
фурье-образ fi(q) равен нулю, когда вектор 1/2(Q JrP)Jrq не является
импульсом физического состояния, т. е. когда вектор xli{Q Л-Р) Л-Я
лежит вне конуса будущего. Аналогично, сравнивая формулу A8.2146)
с формулой A8.2136), выясняем, что фурье-образ /2 (q) равен нулю, когда
вектор х/г ((? + ?*) — Я лежит вне конуса будущего. Конкретнее, фурье-
образ fi(q) отличен от нуля только тогда, когда вектор 1l2(P + Q) + q
является 4-импульсом такого состояния | rat), что
(Ра\А@)\щ)ф0, {П1\В@)\0$)ФО, A8.215)
а фурье-образ /2 (q) отличен от нуля только тогда, когда вектор
1k{PJrQ) — Я есть 4-импульс такого состояния \п2), что
(Ра\В@)\п2)ф0, (п21 А @) | <?р> Ф 0. A8.216)
Предположим, что наименьшее значение массы для состояний, удовле^
творяющих условию A8.215), равно mi, а для состояний, удовлетворяю-
удовлетворяющих A8.216), равно т2- Тогда в системе координат, в которой
± (a,0,0,0), A8.217)

§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора
725
fi(q)=f=O при всех q = (q0, q)> удовлетворяющих неравенствам
О, A8.218а)
< A8.2186)
т. е. внутри гиперболоида, который заштрихован на фиг. 146. Другими
словами, 7i(?) = 0 при всех q=(q0, q), удовлетворяющих неравенству
Фиг. 146.
q0 < _ а + W + гп\ . Аналогично, % Ф 0 при всех д, удовлетворяющих
неравенствам
(а-?о)>О, A8.219а)
A8.2196)
или, что то же, % = 0, когда q удовлетворяет неравенству
qo>a- Vq2 + К .
Таким образом, вследствие спектральных условий фурье-образ
J(q) =U(q) —h(q) равен нулю при всех значениях q, удовлетворяющих
+Ц, A8-220)
т. е. вне двух гиперболоидов, изображенных на фиг. 147. Если а > - * 2 ¦- ,

726
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
то эти гиперболоиды пересекаются. (Мы принимаем а~> 1l2\mi — m2\.
Это неравенство.выполняется в приложениях.)
Решение математической проблемы нахождения наиболее общей функ-
функции f{x), равной нулю вне светового конуса х2>0 и имеющей фурье-
образ, равный нулю в некоторой области R импульсного пространства,
было дано Дайсоном [203, 204]. Сейчас мы перейдем к изложению его
Фиг. 147.
решения. Основная идея состоит в переходе к 6-мерному псевдоевкли-
псевдоевклидову пространству и установлении связи между функциями / (а;), рав-
равными нулю при а;2 < 0 в 4-мерном пространстве, и функциями, опреде-
определенными на световом конусе в 6-мерном пространстве1). Представление
Дайсона есть нетривиальное обобщение представления, полученного
Постом и Леманом [405] для функции, также равной нулю вне светового
конуса, но имеющей носитель в импульсном пространстве, симметричный
по q0, т. е. такой, что mi = m2.
!) В действительности число добавляемых измерений несущественно. Однако
добавление двух пространственных координат кажется удобным потому, что в про-
пространствах с нечетным числом пространственных измерений справедлив принцип
Гюйгенса. (В. Я. Файнберг [928] показал, что для получения представления Дай-
сона вообще нет необходимости увеличивать число измерений. — Прим. ред.)

§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора 727
Обозначим через z 6-вектор (zo = х0, z, = ж,, z2 = x2, z3 = x3, z^ = yb
Ч = Уг), а еэс1эн г 6-вектор (ro = qo, /4 = qu r2 = q2, r3 = q3, rk = pu rb = p2).
Метрику в 6-мерном z-пространстве определим согласна»
z.z = z* = x*-y* = ^-x\-x\-x\-y[-y\. A8.221)
Рассмотрим теперь функцию F (z), определяемую заданием функции / (х)
в 4-мерном пространстве:
6(a:2 — у2), A8.222а)
б(г2). A8.2226)
Как видно из A8.2226), функция F (z) определена только на световом
конусе 6-мерного z-пространства. Поскольку
(z) - 4я/ (х) • 2я ^dy2 -i- б (*2 - У2) =
О
= 4я2/(ж)9(ж2), A8.223а)-
4л2/(а;) при ж2>0, A8 2236)
0 при х2<0,
приходим к заключению, что если f (х) равна нулю при ж2<0, то функ-
функции F (z) и /(ж) определяют друг друга: функцию / (х) можно получить,
интегрируя функцию F (z):
-}-со ¦
1 F (z> ^' ^=i S
0
В дальнейшем специальный 6-вектор (q0, <7ь Чг, Яъ, 0, 0) будет обозна-
обозначаться 9» а фурье-образ функции F (z) — через F (г):
ir'zf(z)d6z- A8-225)
Подставляя в формулу A8.225) выражение для F (г) A8.2226), получаем
Т ^=w S d6zeir"z6 (z2) SdV-i' (r/)=
^ \\ dW-b-*b(z*)f(q) d*q =
^W(r-Z)f(q)&q, A8.226)
где
?>(«)(r) = ?>A)(r2) = -^|p- J е-^-гб(г2)й6г= A8.227a)
1 1
~л?Р-(^)г~ A8.2276)
(символ Р обозначает главное значение) есть четная инвариантная функ-
функция в пространстве шести измерений. Из A8.2276) и A8.226) оконча-
окончательно находим
iQ 7(g) _ i С dia 7(g) _
= $(ч, s), A8.228)

728 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
где r = (ro,ri r2. r3, r4,^r6) = (u0, ии и2, щ, pi, p2), a s = pl + p\. Отсюда
видно, что фурье-образ F (г) функции F (z) = 4я/ (х) б (z2), сосредоточенной
в пространстве z на световом конусе, инвариантен относительно враще-
вращений в плоскости r4-r5 (т. е. зависит от г4 и г5 только через s=r* + rj).
Далее, DA)(r) удовлетворяет волновому уравнению в г-пространстве:
?eD<i)(r) = 0, A8.229а)
5
?e=-Jl 2~?- A8.2296)
[что явно видно из представления A8.227а)]. Представление A8.226)
показывает, что F (г) также удовлетворяет волновому уравнению в про-
пространстве шести измерений:
?6??(г) = 0. A8.230)
Наконец, заметим, что если функция f(x) равна нулю при ж2<0, то
тогда образ / (д) является граничным значением функции F (г) на пло-
плоскости s = 0, т. е. F (q)= f (q).
Доказательство:
d*z A8.231a)
'4- S eiq'4nQ W f W dix- A8.2316)
4
Выражение A8.2316) равно / (q) тогда и только тогда, когда функция
/ (х) равна нулю при хг < 0. Таким образом, решения интегрального
уравнения
S^'-Ri^p- A8-232)
образуют класс С функций, фурье-образы которых / (х) равны нулю при
20
Итак, мы показали, что для того, чтобы f(x) равнялась нулю вне
светового конуса, необходимо, чтобы фурье-образ f(q) был граничным
значением, которое на плоскости s = 0 принимает решение F(q, s) волно-
волнового уравнения Пв^'(г) = 0, инвариантно относительно вращений в пло-
плоскости 4-5. Следует отметить, что плоскость s = 0 является ерсмени-по-
добной поверхностью, так что граничное значение, принимаемое решением
гиперболического уравнения Пв^1 @ =0 на этой поверхности, не является
произвольной функцией.
Обратно, рассмотрим функцию F (г), удовлетворяющую волновому
уравнению Об^(г) = 0 и инвариантную относительно вращений в пло-
плоскости 4-5. Ее фурье-образ
F (z) = \ e~iT- ZF (r) der A8.233)
обладает следующими свойствами. Поскольку Пв^ (г) = 0, то F(z) =
= 6(z2)G(z), т. е. F (z) сосредоточена на световом конусе в простран-

§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора
729
стве z. Кроме того, благодаря предполагаемой симметрии F(r) в плос-
плоскости 4-5
F(z)=\ e-irzF{u, \p
со
2л
= 2я
Поскольку функция
и, s).
A8.234)
A8-235)
п=0
зависит только от г/а, то отсюда следует, что F (z) является функцией
только а; и г/а, т. е.
F (z) = б (za) Gt (х, г/2) = б (х2 - г/2) Gt (x, j/a). A8.236)
А поскольку функция F (z) сосредоточена на световом конусе у2 = хг,
то она должна иметь вид
/» = 6(х2-г/2)/(х) = 6B2)/(х) A8.237)
[однако /(ж) еще не обязана равняться нулю при х2<0]. Если же даль-
дальше потребовать, чтобы F(q)—f(q), тогда функция /(х) вне светового
конуса будет равна нулю.
Таким образом, для того чтобы функция / (х) была равна нулю вне
светового конуса, необходимо и достаточно, чтобы ее фурье-образ / (q)
был граничным значением, которое на поверхности s = 0 принимает ре-
решение уравнения {3&F (г) = 0, инвариантное относительно вращений в пло-
плоскости 4-5. Решение волнового уравнения Пе^('") = 0 можно записать
через заданные на пространственно-подобной поверхности значения само-
самого решения и его нормальной производной. Для этого нужна сингуляр-
сингулярная функция /)(/•), удовлетворяющая однородному волновому-уравнению
в пространстве шести измерений
ж начальным условиям
3D {г)
ro=0
A8.238)
A8.239a)
A8.2396)

730 Гл. IS. Аксиоматическая формулировка
В явном виде
о
r0N>2). A8.240)
Если 2 — пространственно-подобная поверхность, на которой заданы на-
начальные данные, а именно F (г') и , nd (г') (па — нормаль к поверх-
ности 2), то соответствующее решение волнового уравнения DeF (г)=0
записывается в виде
$ [ |] A8.241)
где
= F~ D-Д-, ¦ A8.242)
a d2a — элемент поверхности (d2a есть 6-вектор, нормальный к простран-
пространственно-подобной поверхности 2). Решение F(r), обладающее нужными
свойствами симметрии, можно получить при помощи подходящего выбора
в формуле A8.241) поверхности 2 и начальных значений. Полагая
F(q) = f(q), получаем следующее интегральное представление для фурье-
образа / (q) функции f(x), которая равна нулю вне светового конуса:
7 (?)= \ dl'a \F(r'),
A8.243)
Это представление будет служить основой для дальнейшего обсуждения.
Представление A8.243) —единственное в том смысле, что если заданы
функция / (q) [для которой / (х) = 0 при ж2<0] и поверхность 2 и если
функция / (q) представима в виде A8.243) с этой поверхностью 2 и с
некоторой функцией F (г) = F (и, s), удовлетворяющей уравнению
? 6.F(r) = 0 и зависящей от г4 и гъ только в комбинации s = rl + rl, то
тогда функция F (г) тождественно равна функции, определяемой согласно
A8.226), т. е.
F (г) = ^ № > (г - 7) 7 (g) d*q. A8.244)

§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора 731
Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между
функциями / (д) класса С и такими решениями F (г) волнового уравне-
уравнения в 6-мерном пространстве, которые инвариантны относительно вра-
вращений в плоскости 4-5.
Дальнейшая задача состоит в применении представления A8.243)
[гарантирующего, что /(х) = 0 при ж2<0] для того, чтобы с помощью
подходящего выбора функции F (и, s) и поверхности 2 получить пред-
представление для функции / (q), обладающей определенными свойствами
сосредоточенности в импульсном пространстве.
Предположим, что f(q) = O в области R «/-пространства, которая
ограничена двумя пространственно-подобными поверхностями ai и о2.
Конкретнее, пусть область R определяется согласно
Я: *i(q)<<7o<Mq), A8.245)
где Si и s2 — функции, удовлетворяющие неравенствам
l*i(q)-*i(q')l<|q-q'l. A8:246а)
IMq)-**(q')l<|q-q'|. A8.2466)
которые гарантируют, что поверхности q° = st (q) и q° = s2 (q) являются
пространственно-подобными. Обозначим через Cr класс функций со свой-
свойствами /(я)=0 при я2<0 и / (q)=0 при q в R.
Вместе с Дайсоном гиперболоид •
(q — uJ-s = 0 A8.247)
в (/-пространстве будем называть допустимым, если его верхняя пола
проходит не ниже а2, а нижняя пола —не выше at. Такие гиперболоиды
соответствуют точкам г — (и0, ыь и2, щ, jol7 p2), s = p* + pl, лежащим
в некоторой области S г-пространства. Поскольку всякий раз, когда
точка г принадлежит области S, а точка q — области R, функция
D(r— q) = Bjt2)~xe (и0 — qQ) б' ((м— qJ — s) обращается в нуль, то можно
ожидать, что для функций / (q) класса Cr справедливо представление
A8.243), где точки г лежат в области S. Очевидно, что всякая функ-
функция / (q), определенная выражением A8.243), где все точки г поверх-
поверхности 2 лежат только в области S, принадлежит к классу Cr. Дайсон
показал, что верно также и обратное, а именно что для всякой функ-
функции / (q) класса Cr имеется представление, использующее только до-
допустимые гиперболоиды. Для того чтобы гиперболоид (q — иJ— s = 0
был допустимым, он не должен пересекать поверхности qo — si(q) и
qo = s2(q). Рассмотрим верхнюю полу гиперболоида, т. е. ветвь <70=1?0 +
+ Y(q—uJ-{-s. Она не будет пересекать поверхность а2 при некотором
фиксированном значении q, если
uy+s>S2(q), A8.248)
и не будет пересекать а2 вообще, если
и0 > Max{s2 (q) - /(q - uJ +s} = m (u, s). A8.249)
q

732 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Аналогично, нижняя пола д0 — и0 — "j/(q — uJ+ s не будет пересекать по-
поверхность at, если
M0<Min{Sl (q) + /(q-uJ+S} = ^"(u, s). A8.250)
q
Поэтому область S в r-пространстве определяется
S: m(u, s)<uo<M(u, s). A8.251)
Она ограничена в r-пространстве двумя поверхностями 2i и 2г- По-
Поскольку эти поверхности являются оболочками двух семейств гипербо-
гиперболоидов, то они также пространственно-подобны. Обозначим через Т
дополнение*¦) области S, т. е. такое множество точек в ^пространстве,
которое определяется согласно
Т: М (u, s)< щ < m (и, s). A8.252)
Дайсон доказал [204], что для того, чтобы выражение A8.243) пред-
представляло функцию / (q) класса CR, функция F (г) должна равняться
нулю в каждой точке г области Т.
Пусть в A8.243) в качестве 2 выбрана пространственно-подобная
поверхность, расположенная между поверхностями St и 22, например
поверхность
[w(u S) + M(u )] A8.253)
Согласно A8.251) и (8.252), каждая точка такой поверхности Б при-
принадлежит либо области S, либо области Т. Функция F (г) равна нулю-
в каждой точке г области Т. Поэтому функция J (q) будет принадле-
принадлежать к классу Св тогда и только тогда, когда она представима (и притом
единственным образом) в виде
^ p ?] A8.254)
2(S)
где интеграл распространен только по тем точкам г пространственно-
подобной поверхности 2, которые принадлежат области S, причем
область S определена формулами A8.249), A8.250) и A8.251). Если
не заботиться о единственности представления, т. е. допускать, что,
например, две различные функции F (г) могут приводить к одной
и той же функции f(q), и это оправдано в большинстве приложений,
то тогда ответом к общей задаче, поставленной в начале настоящего
параграфа, служит следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы функция / (q) была равна нулю в' области
si (q) < ?o < s2 (q)
и имела фурье-образ f(x), равный нулю вне светового конуса, необ-
*) На самом деле, по-видимому, область Г нельзя называть дополнением области
S; область S состоит из дважды допустимых гиперболоидов A8.247), а область Т состоит
из дважды недопустимых гиперболоидов (т. е. из таких, у которых верхняя пола про-
проходит нише поверхности а2, а нижняя — выше поверхности aj). Но в г-пространстве
существуют также области, заполняемые гиперболоидами, у которых недопустима
только одна пола [928].— Прим. ред.

§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора 733
ходимо и достаточно, чтобы для нее существовало представление
со
f(q) = J d*u ^ dss (q0 - в0) б [(q - иJ - s] Ф (в, s), A8.255)
где Ф(и, s) — функция, равная нулю вне области S, определяемой со-
согласно A8.249), A8.250) и A8.251), но в остальном произвольная.
Другими словами, если в представление A8.255) подставить функ-
функцию Ф (в, s), равную нулю при тех и, s, при которых равенству
(и — qJ = s удовлетворяет хотя бы один вектор q из области R, но в
остальном произвольную, то тогда формула A8.255) воспроизведет функ-
функцию / (q) с нужными свойствами сосредоточенности в импульсном и в
конфигурационном пространствах. Представление A8.255) можно понять
более глубоко, если с помощью преобразования Фурье записать его в
ж-пространстве:
оо
/ (ж) = J dsA (x; s) Ф (х; s), A8.256)
о
где Ф (х; s) — фурье-образ функции Ф(и, s) по и, а Л (ж; s) — нечетная
инвариантная функция, соответствующая массе Y~s и равная нулю при
х2 < 0 и — ^ б (х2) + ~ /l|^c2) при я0 > | х |. Формула A8.256) представ-
представляет разложение функции / (х) по функциям А (я; s). (Система функций
А (ж; s) является полной во времени-подобном направлении при инте-
интегрировании по массе s.) Такое разложение автоматически обеспечивает
свойство / (х) = 0 при х2 < 0.
В частном случае, когда пространственно-подобные поверхности at
я о* определены согласно A8.220), т. е.
+ ml A8.257а)
sa(q)= -a + Vi? + m\, A8.2576)
•область S определяется при помощи неравенств A8.251), где
ire(u, s) = M&x{yq2 + ml-a-Y(q-uJ + s}, A8.258)
q
M(u, s) = Min(fl-fq4<+K(q-uJ + "s!. A8.259)
q
Выражение в фигурных скобках в A8.258) имеет экстремум при том
значении q, при котором обращается в нуль градиент по q. Это проис-
происходит, когда
где Y~s обозначен при помощи к:
V~0 A8.261)

734 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Если ttii > х, то вектор q параллелен вектору и и тогда значению A8.260)
соответствует максимум; следовательно,
m(u, x2) = 1/u2 + (т± — xJ — а при от4 > и > 0. A8.262)
Если и>7Пь то значению A8.260) соответствует минимум. Никаких
других экстремальных точек при конечных значениях q нет. Второй
экстремум выражения в фигурных скобках в A8.258) достигается при
q = Xu, когда К —> со. В этом пределе выражение в скобках в A8.258)
принимает значение | и | — а, которое при и > nil является максиму-
максимумом. Таким образом,
т(и, х2) = |и| — а при х>т,. A8.263)
Если провести аналогичные вычисления минимума в A8.259), то придем
к выводу, что при mi < w2 область S определяется неравенствами
]/V + (mi — хJ— а < и0 < а — ]/и2 + (т?г2 — кJ при 0 < х <
и
— а < и0 < a — "j/u2 + (m2 — хJ при mt < х < пг2,
— а<мо<а —|и| при к > т2. A8.264)
Более полезна такая запись этих неравенств, определяющих область Л',
когда пределы интегрирования по и0 и |и| не зависят от х,
|и| — а<ио<а— \и\,
и| < а,
и>Мах@, m2-V(u0-aJ-, ™i- V {uo + aJ-u*\. A8.265)
с
Неравенства A8.265), характеризующие область S, легче всего получить1),
находя максимальное значение s = к2 при фиксированном значении век-
вектора (и0, и) таким образом, чтобы гиперболоид (д — иJ = s только касался
пространственно-подобных поверхностей go= s( (q) и go = s2(q). В слу-
случае функций s4 и s2, задаваемых формулами A8.257а) и A8.2576), оты-
отыскивая экстремум выражения (q — uJ + X[(q0—aJ — q2 — ml\ (А, —множи-
—множитель Лагранжа), находим
Хмакс. == Мах [т2 — У(и0 — аJ — и2, 0} при |мо|+|и|<а,
= со при |wo| + |u|>a, A8.266)
причем F (г) = 0 в области, где х < хмакс- Аналогичный результат полу-
получается и для s2, однако теперь функция Р (г) отлична от нуля при
и < Имакс- Отсюда и следуют неравенства A8.265). Очевидно, что в лоренц-
!) Вместо этого читатель может очень легко проверить, что неравенства
A8.264) и A8.265) выводятся друг из друга и, следовательно, эквивалентны. --
Прим. ред.

4. Дисперсионные соотношения 735
инвариантной форме это определение области S записывается в виде'
^J}, A8.267)
где через L* обозначен световой конус будущего.
Представление запаздывающего произведения, т. е. функции
fR(x) = B(x)f(x), A8.268)
где f(x) = O при х2 < 0 и /(<7)='О при q ъ R, формально можно полу-
получить, используя представление A8.70) для 9 (х) и поступая дальше
так же, как при выводе представления A8.75). Этот формальный путь
приводит к следующему представлению для фурье-образа /к (q) функ-
функции fB(x):
S ^t) A8-269)
а если использовать A8.255) — то к представлению
Если интеграл A8.270) существует, т. е. если Ф достаточно хорошо
ведет себя по и2, то выражение A8.270) и дает нужное представление
для fn{q). Однако, вообще говоря, произведение Q(x)f(x) не обязано
¦ вести себя хорошо (поскольку это произведение двух обобщенных функ-
функций), и для получения сходящегося интеграла, возможно, потребуется
разделить Ф (и, к2) на полином некоторой конечной (скажем, и-й) степени
по х2. В этом случае функция fR (q) будет определена только с точностью
до произвольного полинома п-й степени по х2 (см. статью Йоста и
Лемана [405]).
§ 4. Дисперсионные соотношения
Главная задача аксиоматического подхода в квантовой теории поля
заключается в получении наблюдаемых следствий из условия локаль-
локальности, т. е. из предположения, что локальные полевые наблюдаемые ком-
коммутируют (или антикоммутируют) при пространственно-подобном разде-
разделении. В более общем плане проблема состоит в том, чтобы, основы-
основываясь только на общих аксиомах, получить спектральные представления
для всех наблюдаемых величин (таких, как элементы матрицы рассея-
рассеяния) и непосредственно сопоставить эти представления и их следствия
с экспериментальными данными. В настоящем параграфе мы прежде
всего займемся энергетической зависимостью двухчастичной амплитуды
рассеяния. Хотя Манделстам [531] и предложил некоторое представ-
представление, которое явным образом выражает свойства аналитичности ампли-
амплитуды рассеяния как функции инвариантных переменных (по сути дела,
энергии и передачи импульса), но это представление все еще не дока-
доказано на основании общих аксиом, (Правда, Иден [213 — 215] доказал,

736 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
что при некоторых предположениях это представление справедливо
в каждом порядке теории возмущений1).) Однако еще в 1956 г. Бого-
Боголюбов и другие показали, что можно дать доказательство аналитич-
аналитичности амплитуды рассеяния как функции энергии при фиксированном
значении передачи импульса и что можно строго вывести дисперсион-
дисперсионные соотношения, связывающие действительную и мнимую части ампли-
амплитуды рассеяния (при фиксированной передаче импульса). Эти диспер-
дисперсионные соотношения были применены в я-мезонной физике для фено-
феноменологического и полуфеноменологического анализа экспериментальных
данных.
Своим возникновением теория дисперсионных соотношений в первую
очередь обязана работам Голдбергера и его сотрудников. Голдбергер
первым дал эвристическое доказательство дисперсионных соотношений
для бозон-фермионного рассеяния [322] и сравнил эти дисперсионные
соотношения с экспериментальными данными по рассеянию я-мезонов
на нуклонах [323]. Ему также принадлежит заслуга применения метода
дисперсионных соотношений для вычисления характеристик систем сильно
взаимодействующих частиц (например, форм-фактора нуклона, форм-фак-
форм-факторов для Р-распада, времени жизни я°-мезона и т. д.).
Вкратце проиллюстрируем сделанные замечания на примере вывода
аналитических свойств амплитуды рассеяния фотона вперед. Именно для
этого процесса дисперсионные соотношения впервые были выведены
при помощи методов теории поля (работа Гелл-Манна, Голдбергера и
Тирринга [305]; обзор дисперсионных соотношений Крамерса — Кронига.
ем. в работах Толла [780, 781]).
В § 5 гл. 17 получена замкнутая форма нужной нам амплитуды
рассеяния. Амплитуда для рассеяния вперед (т. е. при k' = k, р' = р)
определяется величиной
TV (ft) = i $ &хе*-*{рз' | {[/V (х), U @)] 0 (х) - б (х0) [/„ (х), Av @)]} | ps) =
= TVil(k;s's), A8.271a)
а именно для процесса рассеяния фотона, имеющего начальное состояние
поляризации eW (k) и переходящего в состояние поляризации е<г> (к)
[e<^> (/с) № = е<г> (к) й>* = 0], в то время как рассеиватель (протон) пере-
переходит из состояния \ps) в состояние \ps'), элемент .S-матрицы равен
e(X-)fii.v (/,.. s>s} ea) д0 поводу представления A8.271а) для амплитуды
рассеяния вперед следует отметить два обстоятельства. Во-первых, вся
зависимость от к содержится только в экспоненте
eih.x = euo«-e-x); е = -?|, A8.2716)
и, во-вторых, величина 0 (х) [д,. (х), /v@)] равна нулю не только при
х0 < 0, но на основании требования причинности также и при х2 < 0.
Таким образом, T^v (со) есть фурье-образ функции, равной нулю вне
светового конуса будущего, и поэтому он обладает определенными
свойствами аналитичности как функция комплексной переменной
<о = ©1 + Jco2.
Здесь для вычисления величин, входящих в формулу A8.271а),
удобно выбрать определенную лоренцеву систему отсчета. Это не ведет
1) Доказательство Идена было опровергнуто Наканиши [908]. До сих пор
представление Манделстама не доказано даже в теории возмущений. —Прим. ред.

§ 4. Дисперсионные соотношения 737
к потере общности, так как фактически с точностью до кинематических
множителей Т является инвариантом. В качестве системы отсчета выбе-
выберем лабораторную систему, в которой р = 0. Предположим, что состоя-
состояние \ps) имеет определенную четность. В этом предположении легко
вывести следующее свойство симметрии величины Т:
7Vv(co, k; s's) = 7Vv(co, -к; s's), A8.272)
где &0 = со и, конечно, (в = |к|, поскольку мы имеем в виду рассеяние
физического фотона. Таким образом, Т^ч является четной функцией
от к, и множитель ехр( —ik-x) можно заменить на cos(k-x). Отсюда
следует, что амплитуда Т^у зависит от к только через посредство кг = (в2
(поскольку cos(k-x) = 1— -2 (k-xJ± ... J, и ее можно рассматривать
как функцию только переменной со.
Для дальнейших ссылок отметим здесь, что зависимость от со
у члена, содержащего б (х0) [/^ (х), Av@)], легко найти. Если записать
6 (х0) (ps' | [/V (х), Av @)] | ps) = ^ d*xe+^G^ (p, x), A8.273)
то из требования локальности следует, что функция Gfy (p, х) равна
нулю при х Ф 0 и что она должна иметь вид
С (р, х) = J] С (р; I) во (х), A8.274)
где число п является конечным1). Отсюда
п
\ d*xe+*-*b (x0) (ps' | [/; (*), А, @)] | ps) = ^ С (Р> I) «'• A8.275)
Таким образом, вклад члена A8.275) в T^v (со) есть полином по ю конеч-
конечной степени. Поскольку мы интересуемся только аналитическими свой^
ствами амплитуды Т как функции со, то в дальнейшем мы будем
опускать член с б (х0), так как характер его зависимости от со нам теперь
известен. Отметим также соотношение
Т^(со; ss') = 7VV (-co; s's), A8.276)
которое означает, что если Т^ рассматривать как матрицу с индексами
s, s' (т. е. в спиновом пространстве нуклонов), то замена со на —со пре-
превращает матрицу 7\jV" в эрмитово сопряженную матрицу.
Благодаря свойству запаздывания у величины 8 (х) [/ц (х), /v @)]
первый член подынтегрального выражения в A8.271а) отличен от
нуля только при <>|х|, а поэтому правая часть A8.271а) опреде-
определяет функцию J^v (<л) комплексной переменной со = cot + ?co2, аналитичную
в верхней полуплоскости со. Если предположить, что матричный эле-
элемент коммутатора является непрерывным внутри светового конуса,
тогда по лемме Римана — Лебега асимптотическое поведение амплитуды
Т (со) при со —> со определяется особенностями коммутатора на световом
конусе. Если игнорировать возможность особенностей при со = сю, возни-
!) Допущение о. присутствии производных только коночного порядка можно
рассматривать как существенное дополнение к определению локального поля.
47 с. Швебер

738 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
кающйх за счет полиномиальной зависимости Т от о», то эти аналити-
аналитические свойства можно выразить при помощи соотношения Гильберта
Т (ы) - У { da> Tm Tviv ((o/) Г18 277я^
—CO
Если предположить, что в пределе а—> со мнимая [часть lm[TVi4(ai')
ведет себя как постоянная, тогда будет справедливо соотношение Гиль-
Гильберта с вычитанием:
+00
Т (а>)-Т rth-— [ d(*'Tm
—oo
Чтобы не затемнять внутреннюю простоту вывода дисперсионных
соотношений для рассеяния фотона на нуклоне алгебраическими дета-
деталями, связанными с наличием спинорных и векторных индексов, мы
ограничимся в дальнейшем случаем амплитуды чисто когерентного
рассеяния, т. е. случаем, когда k=^k',.p = p', s = s' и % = %'. Элемент
матрицы рассеяния е^Г^ (сэ) е^ обозначим через Ме^(са). Для того
чтобы записать соотношение A8.2776) как дисперсионное соотношение,
связывающее действительную и мнимую части М, взятые только при
физических значениях о», нужно выяснить некоторые дальнейшие свой-
свойства lm Т^у(а>) и, в частности, является ли она при изменении знака со
четной или нечетной. Прежде всего отметим, что при s = s'из соотноше-
соотношения A8.276) следует
(со) = JL
= ±- (ТЦУ (со) -nSv (-«)) =
= -lmTl%(- a). A8.278)
Отметим также, что ImT^sv (со) можно записать в виде
Imr;v (со) = \ J d*xe*'* {{ps | [7; (х), /v @)] \ps)Q(x)-
-</« I [/*(-*). /v(O)]|jM>e(-x)}. A8.279)
В силу трансляционной инвариантности
(PS | [h (- *)> /v @I1 Ps) = (Ps i I/i» (°). /v (*)] I Ps). A8.280)
и с учетом того, что 0 (х) + 0 (— х) = 1, получаем
Im Mt% (со) = - Im AfXx (- со) A8.281а)
= -Н сг4же«-я<р5|[е^)-/(а:), в<*>-/@)] |ps>. A8.2816)
Если в A8.271) подставить 0 (ас) = у (е (ж) + 1), то тогда амплитуда разо-
разобьется на две части:
М1\ (со) = D{\ (со) 4- MS3l (со), A8.282а)
где
АЦ (со) = Im M& (со), A8.2826)
4 \ d4;reift;c е (ж) <PS I [e(W*/(*). e<W-/@)] | ps). A8.282в)

§ 4. Дисперсионные соотношения 739
-^wi («>) и Щк (ю) — абсорбционная и дисперсивная части амплитуды
рассеяния. В абсорбционную часть при со > О
= 42 \ й*хе*-х\(р8\еМ-]@)\рпа)\*е*(Р-Рп)-х A8.283а)
а)|2б0>»о — °> — ЕР) A8.2836)
Рпо.а
вносят вклад только реальные промежуточные состояния (реальность
этих состояний обусловлена тем, что б-функция гарантирует сохране-
сохранение энергии и импульса). В сумму A8.2836) вносят вклад состояния,
соответствующие всем возможным упругим и неупругим процессам
взаимодействия начальных частиц. С другой стороны, в D вносят вклад
виртуальные (не сохраняющие энергию) состояния. Следует отметить,
что дисперсивная и абсорбционная части являются действительной
и мнимой частями амплитуды только в когерентном случае.
В некогерентном случае ситуация несколько более сложная. Аб-
Абсорбционная и дисперсивная части по-прежнему определяются разложе-
разложением 8 (х) = 1/2(е (х) +1), однако благодаря наличию спиновых переменных
протона и фотона функции А и D не являются больше действитель-
действительными х).
Если воспользоваться соотношением A8.281а), то в формуле
A8.277а) можно исключить отрицательные значения со, и мы получим
Affc (со) = if <*»' Im Af& («')
о
Дисперсионные соотношения с одним вычитанием в пределе е—> 0 будут
иметь вид
») - ?>& @) = Re Jtfft (со) - Re Affit @) =
п
о
По оптической теореме A1.97), которая является следствием унитар-
унитарности б'-матрицы, имеем при со > 0
^o), A8.285)
так чго окончательно дисперсионные соотношения запишутся в виде
D-& (.) - Щ. @, _ ? Р J °4ё^ • («.286,,
о
1) Абсорбционная А и дисперсивная D части всегда являются эрмитовой
и антиэрмитовой частями ^-матрицы S = —A-\-lD.
Если же ввести амплитуду рассеяния Г соотношением S = l-\-iT (T—D-\-iA),
то D и А будут эрмитовой и антиэрмитовой частями амплитуды Т [65—67J
—Прим.ред.
47*

740 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
В § 5 гл. 17 было показано, что
Л&<°>=-Ж' A8.2866)
и, следовательно, соотношение A8.286а) можно переписать в виде
Аналогичные дисперсионные соотношения справедливы также для рас-
рассеяния фотона на системе со спином 0. В случае комптоновского рас-
рассеяния на протонах в числе состояний | рпа), вносящих вклад в А^ (ш)
[формула A8.283)], будут состояния, содержащие, кроме протона, еще
фотоны и электронно-позитронные пары, а также состояния с мезонами
и нуклон-антинуклонными парами.
Состояния с двумя или более фотонами или с электронно-позитрон-
ными парами имеют порядок не ниже е4, и, следовательно, если пре-
пренебречь членами, начиная с порядка е4, то при ш > (X наинизшим
состоянием, вносящим вклад в А%\, будет мезон-нуклонное состояние.
Ниже порога фоторождения мезона (ш < \л) в пренебрежении членами,
начиная с порядка е4, абсорбционная часть амплитуды Ajfa равна нулю.
Поэтому можно ожидать, что полное сечение вблизи порога хорошо
аппроксимируется сечением фоторождения (сравнение таких дисперсион-
дисперсионных соотношений с экспериментальными данными можно найти в работах
Каппса [106, 107) и Мэтьюза [547]).
Простота вывода дисперсионных соотношений для процессов с фо-
фотонами обусловлена тем, что у фотона |к| = <а, и на основании предпо-
предположения о причинности множитель exp (tot) в формуле A8.2716) пре-
преобладает над множителем ехр ( —twe-x). В случае частицы с конечной
массой (ш = j/k2 -t- ц2) с областью энергий 0 < ю < ц связаны значи-
значительные трудности. Однако прежде, чем переходить к случаю рассея-
рассеяния частиц с ненулевой массой, отметим, что дисперсионные соотноше-
соотношения можно выводить не только для амплитуд рассеяния, во и для
других величин.
Рассмотрим величину
М» (qi, kj) = @1 /„ @) | qi, kj)m , A8.287)
где q и А —импульсы; i и / — изотопические переменные двухмезонного
состояния | qi, kj)iD; /^ (x) — оператор 4-вектора плотности электромаг-
электромагнитного тока. Выражение A8.287) определяет электромагнитный форм-
фактор мезона. [С такой же легкостью можно было бы рассмотреть
и матричный элемент +(qi |/ц@) | kj)+, с которым матричный элемент
A8.287) тесно связан.] Инвариантность относительно преобразований
Лоренца означает, что
Мц (g, i; A, /) =AjMv (Aq, i; Ak, j) A8.288)
и, следовательно,
M»(qi\ kft^laqt+bkJMtjdq + k)*). A8.289)
(Мы опустили у Mtj зависимость от к2 и q2, поскольку импульсы к
и q соответствуют физическим мезонам к2 = q2 = \x.2.) Калибровочная
инвариантность, или требование Зд/A(х) = 0, подразумевает, что
(q + ft)»* @1 /V @) | qi, kj)ia = 0 A8.290)

§ 4. Дисперсионные соотношения 74i
и, следовательно,
Mil(qi,kj) = (q-k)i,Mij((q + ky), A8.291)
поскольку (q — к) (q-\- k) = q2 — k2 = 0. Наконец, инвариантность матрич-
матричного элемента относительно любых вращений вокруг оси 3 в изото-
изотопическом пространстве означает, что
Мц ((q + к)*) = г>ц M ((q + АJ). A8.292)
Объединяя полученные выше следствия требований симметрии, можно
записать матричный элемент My, (qi; kj) в виде
М» (qi, kj) = iy= е,„ (q - Щ^М ((q + кJ). A8.293)
С помощью асимптотических условий матричный элемент A8.287) можно
привести следующим образом:
м» (qi, kj) = <о | и @) 4„ (*) I </*> = ¦
= lim i\
@1 /„ @) ф,- (as) 19i> % (as) =
(«) ZK <01T (/„ @) ф, (as))! 90- A8.294)
При действии оператора Кх на Г-произведоние снова возникает одно-
одновременной коммутатор, приводящий к членам, которые по соображе-
соображениям инвариантности и предполагаемой локальности теории должны иметь
вид произведения вектора (q — h)^ на полином от (q + hJ. Мы временно
опустим эти члены и просто запишем
* (qi, kj) = i J d«se-«"* @1T Gй @) J} (as)) | qi), A8.295)
где Jj(x)=Kx(fj(x). Расписав
^@)/,(*)) = е(-*
отметим, что член
2 > A8.296)
|Рпа>
при к0 > [1 обращается в нуль, так как рпВ должна быть энергией
физического состояния. Поэтому мы перейдем к изучению представле-
представления для форм-фактора
М» (qi, kj) = i J d'xe-*-* @1 [/„ @), /,- (x)] | gO 9 (- x), A8.297)
которое при qa = k2 = \i2 совпадает с выражением A8.295). Причинность
означает, что [/ц@), Jj(x)] = O при пространственно-подобных х и,
следовательно, М^ есть фурье-образ функции, равной нулю всюду вне
светового конуса прошлого. Предполагая, что состояние | qi) имеет опре-
определенную четность при пространственных отражениях [a Jj(x) приобре-
приобретает при отражении тот же фазовый множитель, что и \qi)], снова приходим
к заключению, что М^ (qi; ю, к, /) = М^ (qi; со, — к, /). Отсюда следует, что
снова можно множитель ехр (гк>х) заменить множителем cos(k-x) и рас-

742 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
сматривать величину Mv,(qi; со, к, /) при фиксированном значении q как
функцию только переменной со (ибо k2 = co2 — \i2). Опять вся зависимость
Af,,,, от со сосредоточилась в экспоненте
expi(co? — j/co2 — [А2е»х), e = y-g-j--
Все эти соображения означают, что можно получить дисперсион-
дисперсионные соотношения для М^, или, точнее, для скалярной функции
М ((q + kJ). Эту функцию можно выделить из М^, свернув выражение
A8.297) с &aj(q — k)v- по индексам ?, / и ц. В результате получаем
(q-k)»(O[ [/ЛО), Jj(x)]\qi)Q(-x). A8.298)
Благодаря калибровочной инвариантности qllM» = —k^M» и, следова-
следовательно, множитель (q — k)^ можно заменить на 2qll, а этот множитель
в свою очередь в применении к матричному элементу <0! [/^@), Jj{x)] \qi)
можно представить в виде — 2id*. В лоренцевой системе отсчета, в ко-
которой q = 0, матричный элемент ^ е3^^@| [f^ @), Jj(x)]\qi) является
скалярной функцией от хг = х\— г2 и х01). Поэтому в выражении для
М можно выполнить интегрирование по пространственным угловым
переменным:
0
^ \ 2nrdr ^У<*2~Р2г С
•' у ш^—и^ J
у
" A8.299а)
оо
= \ 2nrdrM'r((u), A8.2996)
i
где выражение
J^p?L ^ %, J,(x)]\qi) A8.300)
следует понимать как среднее по углам. Функция М'г (со) аналитична
в верхней полуплоскости со. (Поскольку [/^@), Jj(x)]=O при г>|?|, то
множитель sin(A;r)-exp ( — ?co<) (t < 0) при со = ?со обрезает интеграл;
далее, поскольку sin ; м ~^-г — чвтная функция l/co2 — и,2, то при
У 0J—ц2
со = ± [А точек ветвления нет.) Если игнорировать возможность особен-
особенностей на бесконечности от опущенных в A8.294) (или в аналогичном
выражении с У, замененным на R) одновременных членов и возмож-
возможность особенностей типа б-функции у запаздывающего коммутатора на
световом конусе при фиксированном г, то тогда для М'Т (со) можно за-
Ц По соображениям инвариантности матричный элемент является функцией
только переменных д2=\иг, ж2 и q-x. Совершая переход в систему покоя q = 0,
приходим к указанному заключению.

§ 4. Дисперсионные соотношения 743
писать следующее соотношение Гильберта:
Чтобы получить дисперсионное соотношение для М, нужно проинте-
проинтегрировать соотношение A8.301) по г. Для этого мы разобьем интеграл
на две части, соответствующие | со | > ц и | со | < ja. Ниже мы увидим,
что 1т.М'г(®) также содержит множитель sin]Ao2 — \i2r. В области
| со j < \л корень |Лв2 — р,2 является мнимым, и, следовательно,
sin l/co2 — ja2 г экспоненциально растет при больших г. Поэтому измене-
изменение порядка интегрирования по г и со' незаконно. (У фотона со = |к|,
в связи с чем при выводе дисперсионных соотношений для рассеяния
фотона вперед такая трудность не возникала, и это делало вывод
намного более простым.) Интегрируя по г с учетом всего сказанного,
получаем
±Х 1М'АГ) A8.302а)
со' — со — ге
—со
+ц со ц
Г J_ Г Г *»-!„*;(«') / Г г Л WimMim A
j я I J со' —со—ге \ J J У со'—со —ie J v
0 —ц ц —со
Как показал Оме [592, 593], из Р-инвариантности следует, что
мнимая, или абсорбционная, часть М получается путем замены в фор-
формуле A8.297) множителя г0( — х) множителем 1/2:
tt-*<0|[/V@), J,(x)]\qi). A8.303)
Несколько более длинное, но более прозрачное доказательство полу-
получается, если в определение A8.300) для М'г (со) вставить сумму 2 \п) (п
по полной системе состояний и выполнить интегрирование по времени
(при этом мы добавляем множитель exp (et), чтобы придать смысл
интегрированию до t— — оо). В системе отсчета, где q = 0, для М'г(а>)
получается следующее выражение:
sin IP» I г
О [P ^-^0+м-^б(^-
- @1 /, @) I n) (n I /o @) I gi> [ P -JL-^ _ шб (рп0 + со) ] } . A8.304)
X
Состояния | п) удобно понимать как полусуммы ин- и аут-состояний. Тогда
?'Р-инвариантность позволяет заключить, что матричные элементы, вхо-
входящие в формулу A8.304), действительны.
Отметим также, что множители ехр(±?р„-х) были заменены сред-
средними по углам ехр (± ipn-x)—»s , р" г, к чему, как мы уже видели
I Рга I г
выше, сводится интегрирование по угловым переменным.

744
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Таким образом, мнимую часть М'Т (а) составляют члены с б-функ-
циями:
sin l/"oJ —ц2
Im M'r (ю) = я ¦
8oj sin 1P" 'r v
X [<01 /о @) | п) (п | /у @) | 90 б (ii-pn0 + о>) -
-@!/3@)!«>(«|/о@)|?0б(рп0 + ш)]. A8.305)
Состояния |п), вносящие вклад в 1тМ'г(со), должны иметь равным
нулю барионное квантовое число (число тяжелых частиц минус'число
тяжелых античастиц). Наинизшие состояния, которые могут вносить
вклад, — одномезонные состояния с рпо^>\ь. При описании нашей системы
мы предполагаем, что четность является хорошим квантовым числом
и что мезоны являются псевдоскалярными. Учитывая это в первой груп-
группе членов в A8.305) и наличие б-функций во второй, приходим к заклю-
заключению, что
ImM;(co) = O при |ю|<!х. A8.306)
Следовательно, доставляюшая беспокойство нефизическая область | сй | < \х
на самом деле не дает вклада в дисперсионный интеграл A8.3026).
Кроме того, если выполнить интегрирование по г, то сохранение импульса
оставит во второй группе членов в A8.305) (членов вида
@|/j@)|n)(n|/0@)|g?)) только вклад от состояний с импульсом —к.
Для этих состояний должно иметь место p« = к2 = и2— |л2, а с учетом
б-функции 6 (роп + о) и pln = ю2. Таким образом, масса этих состояний
равна \х, и, следовательно, они одномезонные. Однако такие состояния
вклада не дают, так как
х=п — 0,
A8.307)
когда | п) — одномезонное состояние.
Итак, нам нужно рассматривать лишь ту часть ImMr(co), которая
дается выражением
A8.308)
и которая обладает свойством
ImMr(co) = 0 (и<2(х), ¦ A8.309)
поскольку по соображениям сохранения четности наинизшими по массе
состояниями, вносящими вклад в сумму A8.308), являются двухмезонные
состояния. Таким образом, дисперсионное соотношение записывается
в виде
оо
М (©) = — \ da' Г,т М {<°Г) . A8.310)
4 > Я 3 0) — СО—J8 v '
2ц
Возвращаясь к инвариантной переменной (д + к)% = 2ц2 -\-2\ia, мы можем
переписать дисперсионное соотношение для М в виде
Ц2

§ 4. Дисперсионные соотношения 745
При записи соотношения A8.311) мы предположили, что у величины М
нет полюса при (q -f- кJ = 4|х2. Если отброшенные раньше члены таковы,
что требуется одно вычитание (т. е. -^-—^--4-0 при <о—>-оо), то дис-
дисперсионное соотношение с одним вычитанием запишется
J^^ . A8.312)
Дисперсионное соотношение A8.312) выражает аналитические свойства
форм-фактора мезона, которые вытекают из причинности и спектраль-
спектральных условий.
Важно подчеркнуть, что теория дисперсионных соотвошений позво-
позволяет сформулировать приближенный метод вычисления М ((q + кJ).
Мы видели, что абсорбционная часть ImM связана с величиной
A№=nY{0\U@)\n){n\Jj@)\qi)i{pn-k-q), A8.313)
где наинизшими по массе состояниями \п), которые могут вносить вклад,
являются двух-я-мезонные состояния. Й редположим, что мы ограничились
этими дву'х-я-ме зонными промежуточными состояниями. Тогда правая
часть формулы A8.313) будет равна сумме
которая снова содержит М^. Таким образом, в этом приближении со-
соотношение A8.312) превращается в интегральное уравнение для форм-
фактора M((q + кJ), ядро которого (q'i', k'j' | /,- @) | qi) пропорционально
амплитуде рассеяния я-мезонов на я-мезонах и может быть выражено
через фазы я"— я-рассеяния (см. работу Федербуша, Голдбергера и Трай-
мана |232]).
Аналогичные попытки были сделаны и для вывода дисперсионных
соотношений для форм-факторов нуклона Fit 2, которые в наинизшом
порядке по электрическому заряду определяются выражением [вспомним
соотношение A7.266)]
(p'I/и@)Ip) = 1/ тг^— u(p)[Fi(q2)Yn + ^2(q2)o*nv(p' — p)v]и(p)
(q = p' — p), A8.314)
где \р') и \р) — однонуклонные состояния. Если рассматривать функ-
функции Fit 2 как операторы в пространстве изотопического спина нуклона,
то их можно разбить на изоскалярную и изовекторную части:
A8.315а)
A8.3156)
Мы уже видели, что #
Ff(O)=*Fy(O)=-l-, A8.316а)
A8.3166)
A8.31бв)

746 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
где е —заряд протона, а Лр,„ и Дцр — статические аномальные магнитные
моменты нейтрона и протона.
Строгий вывод дисперсионных соотношений
\ \ do*^2_^ie) , A8.317)
da* g2a_!g2_-te » A8.318)
ms,v
где
Q1(o2) = ImF1(o2), A8.319a)
A8.3196)
A8.319b)
является намного более трудным, чем в случае форм-фактбра мезона.
Эта задача связана с проблемой строгого доказательства дисперсионных
соотношений для вершинной функции (см. работу Оме и Тэйлора [596]).
Дисперсионные соотношения A8.317) и A8.318) можно получить, только
когда i>]^2—1, т. е. лишь при этом условии доказывается анали-
аналитичность форм-факторов по переменной q2 в плоскости с разрезом от B[гJ
до оо. С другой стороны, Намбу [573] показал, что каждый член ряда
теории возмущений является аналитичным в этой плоскости с разрезом.
Однако йля того чтобы на основании этого результата делать заключе-
заключения, не зависящие от теории возмущений, необходимо доказать равно-
равномерную сходимость ряда теории возмущений.
В практических целях часто те или иные дисперсионные соотношения,
например соотношения A8.317) и A8.318), принимают без доказательства,
причем мнимую часть записывают как сумму вкладов от реальных про-
промежуточных состояний [125, 232, 59]. Затем пытаются вычислить вклады
от наинизших по массе состояний с надеждой, что другие состояния
несущественны (обзор проблемы форм-факторов нуклона см. в книге
Дрелла и Захариазена [188]).
Как указывалось ранее, главная цель настоящего параграфа состоит
в выяснении аналитических свойств двухчастичной амплитуды рассеяния,
которые позволили бы записать дисперсионные соотношения для этой
амплитуды. Теперь мы вернемся к проблеме доказательства этих дис-
дисперсионных соотношений.
Перестановочные соотношения между ин- и аут-операторами, выведен-
выведенные в § 2 настоящей главы с помощью асимптотических условий,
позволяют дать простой вывод замкнутого выражения для амплитуды
упругого рассеяния двух частиц. Сперва амплитуду рассеяния запишем
следующим образом:
outip'k' | pk)ln = ont{p' | aont (k') afn (k) \р)щ =
= outip' I afn (k) aout (k') \p)ia + out{p' | [aont (k'), afn (k)] | p)ln. A8.320)

§ 4. Дисперсионные соотношения 747
Напомним теперь, что в обеих ортонормированных совокупностях со-
состояний \ки ... /cn)in и |&i, ... &n)Out вакуум и одночастичные состояния
одинаковы (стабильность вакуума и одночастичных состояний):
A8.321)
= | %) ='] 0), A8.322)
и поэтому первый член в правой части A8.320) равен нулю, так как
Ша (к) | jD)in = O. Подставляя в A8.320) выражение A8.166а) для ком-
коммутатора, получаем
'k' | pk)in = 4?0p06C) (р - р') 6C> (к - к') -
A8.323а)
где
R(x;x')=*— iQ(x-x')[<f>{x),(f(x')]. A8.3236)
При получении выражения A8.323а) для амплитуды рассеяния не было
сделано никаких предположений относительно природы частицы мишени,
т. е. не использовались никакие конкретные свойства одночастичных
состояний \р), \р'), кроме предположения а1П (к) \p)in = 0. Амплитуда рас-
рассеяния A8.323а) все еще остается совершенно общей. При помощи ее
можно описывать взаимодействие двух бозонов, если состояния j p) и \р'}
понимать как однобозонные состояния, так что | p)in = a*n (p) \ 0). Если же-
в качестве состояний \р) и \р') выбрать однонуклонные состояния
с импульсами р и р' и с массой М (р2 = р'2 = М2), то эта амплитуда
будет описывать рассеяние мезонов на нуклонах.
Следует также отметить, что дальнейшее приведение элемента
-^-матрицы позволяет выразить его через среднее по вакууму от запазды-
запаздывающего произведения операторов или от хронологически упорядочен-
упорядоченного произведения. Чтобы показать это, напомним, что элемент ^-матрицы
иначе можно записать в виде
out (Р'к' | ркIа - 4/>0*06C> (р- р') бC> (к- к') +
-«ь-*-Ъ'-*'ЖхКх. ont(p' | Т (<р (х) Ф (х1)) | рIй, A8.324)
X
и с помощью процедуры приведения начальных и конечных состояний
(в качестве которых берутся состояния «скалярных» нуклонов с массой М)
получаем
outiP'k' | pk)ia = ontip'k' | pk)ont +
+ BSf6 [ d*x [ dV ^ d*y \
X DyDy.KxKx, @1T (<p (x) ф (ж') ф (у) ф* (у')) 10), A8.325а)
где
Dy = Qi, + M2. A8.3256)
Для выяснения свойств аналитичности амплитуды рассеяния
ontip'k' | pk)in более удобна запись A8.323), а не A8.324). Это связано
с тем, что постулат о локальности в применении к запаздывающему
произведению операторов означает, что подынтегральное выраже-

748 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
ние A8.323) равно нулю в определенной области пространства-времени,
откуда следует вывод об аналитичности импульсного представле-
представления A8.323). Этот вывод не сразу получается из выражения A8.324).
Точно так же для учета локальности более удобно не выражение A8.325а),
а аналогичное выражение, содержащее запаздывающее произведение
вместо Г-произведёния.
При дальнейшем анализе аналитических свойств амплитуды как
функции кинематических переменных переменные обычного и изотопи-
изотопического спинов не играют существенной роли. Учет их делает вычисле-
вычисления только более громоздкими. Сейчас мы не будем учитывать эти
переменные. В дальнейшем для простоты рассматривается рассеяние
нейтрального «скалярного» мезона с импульсом к и массой \х, на «тяжелом»
скалярном нуклоне с импульсом р и массой М. Мы будем предполагать,
что для нуклонов соблюдается закон сохранения числа тяжелых частиц.
Проблема состоит в получении максимальной информации о свойствах
аналитичности амплитуд outip'k' \ pk)in, которую способны дать аксиомы
релятивистской инвариантности, спектральности и локальности1). Наиболее
естественный подход состоял бы в изучении среднего по вакууму от
запаздывающего произведения четырех операторов, через которое можно
выразить амплитуду рассеяния. Однако до сих пор не решена проблема
получения такого представления для четырехточечного среднего по
вакууму, которое объединяло бы в себе все перечислявшиеся выше общие
свойства теории (см. в этой связи работы Бремермана, Оме и Тэйлора [84)
и Стритера [745]). Поэтому большую часть сведений об амплитуде
out(pк' | рк)\п до сих пор получают на основе представления A8.323).
Если в этом выражении для амплитуды выполнить дифференцирова-
дифференцирование, получим
^ J d*x'
x(p'\Q(x'-x) [/(*'), /(x)] + б«>(х0-x'o) [/(*'), 9оФ (*)] | p), A8.326a)
где '
Кху(х) = Цх). A8.3266)
При получении выражения A8.326а) члены вида 6а)(хо — х'о) [<р(ж), ф()
и ЬA) (х0 —х'о) [/'(х), <р(х')] были приравнены нулю на основании предпо-
предположения о локальности поля <р (х).
В дальнейшем мы будем пренебрегать усложнениями, которые воз-
возникают из-за того, что
КХКУТ (ф (х') Ф (х)) ФТ(] (х') j (х)), A8.327а)
или
KxKyR (ф (х') ф (х)) Ф R (/ (*') / (х)). A8.3276)
Это оправдано тем, что нас в первую очередь интересуют аналитические
свойства амплитуды рассеяния, а разность между правой и левой
1) В этой связи нужно отметить, что сомнительно, чтобы при таком анализе
удалось получить все результаты теории возмущений, если не привлечь условия
унитарности («нелинейную» часть теории). Это определенно так в случае вершинной
функции. Йост [406) показал, что если основываться на условиях причинности,
лоренц-инвариантиости и спектральности, т. е. только на «линейной» части теории,
то дисперсионные соотношения для вершинной л — iV-функции нельзя вывести,
если i.<^_l.

§ 4. Дисперсионные соотношения 749
частями A8.327а) [или A8.3276)] составляют члены, зависимость кото-
которых от переменных к, к', р и р' легко установить.
Из локальности и инвариантности следует, что они имеют структуру
п
2 Si \(Р~ /О2] (к-\-к'J1 с конечным п, т. е. что вклад этих членов
г
в амплитуду рассеяния есть полином по (к -(- к')г конечной степени. На
этом же основании мы снова исключим из рассмотрения вклад члена
Ь (х0 — х'о) [/(#')> ^оф (х)]- В силу трансляционной инвариантности теории
<Р'\ [/(*'), /(*)] I Р) =</>' I U* (a) U (а) Ц(х'), j(x)\ U* (a) U (а)\р) =
A8.328)
Выбор а= — х позволяет переписать матрицу рассеяния в виде
охл(р'к' | pk)ia — inip'k' | pk)ia =
'2~0 (E) (P' I I/(E). / @I1P),
A8.329)
где введены координаты х'— я = ? и 11г(х-\- х') = г\. Выполняя интегри-
интегрирование по г), получаем
o»t(p'A' IЛ - to(JB'ft' I J»fc)in = 2nibw (p + k-p'-k')R (pr, к'; р, ft),A8.330)
где
R(p'k';pk) = i \ d<xe*--*B(x){p'\lj{x), j(O))\p)= A8.331a)
P>. A8.3316)
Выражения A8.331а) и A8.3316) для R определены только при
р-\-к — р'+ к'. Если бы для амплитуды рассеяния было взято выраже-
выражение A8.324), то тогда величина R имела бы вид
R(p'k';pk) = i J d*xe^'-4,pl\T{j(x)j{Q))\p). A8.332)
В равенстве обоих этих выражений на массовой'поверхности для импуль-
импульсов, т. е. когда р2 = р'2 — Мг, к2 = к'2 = [А2, легко убедиться, если принять
во внимание, что
Т (/ (х) / @)) = 9 (х) [/ (х), / @)] + / @) / (х) ¦ A8.333)
и что произведение / @) / (х) дает в R вклад вида
= Bя)« ^ б (*' + Рп - Р) (Р' I / @) I Рпа) (Рпа | / @) | р). A8.334)
\Рп.а>
Поскольку \р') есть однонуклонное состояние, а /@) сохраняет барион-
ное квантовое число, то и у состояний | рпа) барионное квантовое число

750 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
должно ^5ыть равно +1. Так как векторы р, р' и к, к' суть 4-импульсы
одночастичных состояний, то квадрат массы промежуточного состояния
I Рп«> благодаря наличию б-функции должен быть равен
М1 = р1=(р-к')* = М* + \1*-2р-к'. A8.335)
В системе координат, в которой р=(М, 0,0, 0) (т. е. в лабораторной
системе), имеем
Ml = Мг + F* - Шак- =
A8.336)
Однако поскольку состояния с барионным квантовым числом + 1 не
могут иметь массу, меньшую М, то член / @) / (х) вклада в R не дает
и выражения A8.332) и A8.331а) при к2 = к'* = ц* и р'2 = р2 = М2 равны
тождественно. Вне массовой поверхности правые части формул A8.331)
и A8.332) определяют две функции, которые, вообще говоря, отличаются
друг от друга. Так как физический смысл имеет только представление
на массовой поверхности, то можно выбрать то выражение, которое
наиболее удобно для применения этих функций вне массовой поверхности.
Для выяснения свойств аналитичности амплитуды наиболее удобным
оказывается выражение A8.331а). Это выражение и будет использоваться
в последующем исследовании.
В силу релятивистской инвариантности амплитуда Л является инва-
инвариантной функцией инвариантных скалярных произведений кинематиче-
кинематических переменных р, р', к и к', характеризующих рассеяние. Поскольку
величина R определена только при р-{-к = р' + к', то только три из этих
четырех векторов являются линейно независимыми. В качестве независимых
можно принять р, к и р' (к' = р + к — р'). Таким образом, имеется шесть
различных скалярных произведений: р-к, р-р', к-р', р2, к2, р'2. Равенством
к'2 = (к-\-р — р'J удобно воспользоваться, чтобы выразить скалярное
произведение к-р' через к'2 и другие пять скалярных произведений,
так что в качестве шести скалярных произведений можно взять к-р,
р-р', к2, к'2, рг и р'2. Поскольку в физических приложениях р2 = р'г
и к2 = к'2, то число независимых скалярных произведений равно четы-
четырем. В действительности амплитуда Л будет интересовать нас только
при фиксированном значении р2 = р'2, взятом на массовой поверхности,
т. е. при р2 = р'2 = М2. Следует также отметить, что выражение A8.3316)
определяет R при любых значениях векторов к, к' (эти переменные
входят только в экспоненту и им можно придавать какие угодно зна-
значения). В дальнейшем будет удобно считать к ж к' произвольными дей-
действительными векторами, на которые наложены только ограничения
'к + р — к' + р', р2 = Мг, р'2 = М* и к2 — к'2 = %. Амплитуда рассеяния
получается при значении ? = ц2. Таким образом, останется три линейно
независимых скалярных произведения, а именно к-р, р-р' и к? = к'21).
Можно воспользоваться и другим набором переменных:
W2 = (р + кJ =(Р + к) -(р' + к'), A8.337а)
A8.3376)
A8.337b)
*) Попутно отметим, что если k'z — k2, то величина (k-\-k')-(p—р') = 0.

§ 4. Дисперсионные соотношения 751
При случае мы будем использовать также переменные
A8.338)
к* = №+м*-&-ш>т ш A8 339)
Хотя ю выражается через W2, А2 и ?, однако удобно сохранить для
нее особое обозначение. Переменная ю связана с другими переменными
следующим образом. Поскольку
>', A8.340)
так что
2/>-/>' = 4Л2 + 2М2, A8.341а)
и аналогично
2А-А' = 4Л2 + 2?, • A8.3416)
то отсюда
A8.342а)
A8.3426)
и, таким образом, получаем
W* = (р + к) ¦ (р + к) = \ (р + к + р' + к') ¦ (р + к + р' + к') =
+ ^ A8.343)
Функция R, определенная с помощью A8.3316), может теперь рассма-
рассматриваться как функция переменных ю, А2 и ?, причем амплитуда рас-
рассеяния дается Д(со, Л2; ^ = (х2)- Нужно отметить, что величина R инва-
инвариантна относительно перестановки р -> р', р' —> р, поскольку относи-
относительно нее инвариантны переменные со и Л2. Легко выяснить физический
смысл введенных переменных. Например, в системе центра масс р = — к,
р' = — к' и W = ро + к0 и, следовательно, W есть полная энергия
в системе центра масс. В системе центра масс р\ — к\ — М2 — Z,, так что
К =
4 (/><)+*оJ
= ^-М2 = р2, A8.344)
и, таким образом, переменная К есть импульс частицы, а величина
\ — -rpjj- связана с углом рассеяния 0:
l-^-. A8.345)

752 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Для физического процесса рассеяния область изменения этих переменных
есть
О < А2 < со
физическая область, A8.346)
Аа
что соответствует положительной энергии частиц и действительным
углам рассеяния.
Как указывалось выше, наша цель заключается в выяснении свойств
аналитичности амплитуды R (со, А2, ? = \i2) как функции со, А2 и ?. Эти
свойства будут выяснены при помощи представления
Ж», a2, o-«
A8.347)
где переменная ? предполагается произвольной. Кроме этого выражения
для R, нам также понадобится выражение для Im R, содержащее инфор-
информацию, связанную с унитарностью. Нужное выражение имеет вид
i), А , ^) =^ cj. (si — ri) ^^
A8.348)
где был использован тот факт, что величина i?(co, A2, ?) инвариантна
относительно перестановки /> ->¦ р' и р' -^- р и что 0 (а:) + 0 ( — я) = 1.
Определим вещественную величину
> = ilf («в, Л», С),
A8.349)
где действительные векторы к и к' ограничены лишь соотношениями
к¦ -\- р = р' + к', А2 = А'2 = ?. Мнимая часть Im R выражается через величину
М (со, А2, ?) следующим образом:
1тД(со, A2, t)=±[M(e>, А2, ?)-М(-оэ, А2, ?)], A8.350а)
= -1тЯ(-со, А2, у. ' A8.3506)
Это свойство нечетности \mR как функции © есть следствие предполо-
предположения о нейтральном и скалярном характере частиц, описываемых полем
Ф (х) (скалярным в пространстве-времени и в пространстве изотопи-
изотопического спина). Если бы частицы имели еще какие-либо дополнитель-
дополнительные степени свободы, то в общем случае два члена коммутатора отно-
относились бы к различным процессам, но это не изменило бы существенным
образом математическую сторону дела. Попутно заметим, что если
записать
R = ReR + iImR =
Л, A8.351)

§ 4. Дисперсионные соотношения 753
тогда, как отмечалось выше, величина А — \m.R дается формулой A8.350),
в то время как
'""" Т 8(я:)<р'| \j(^f) , /( -4^1 |Р>- A8.352)
Величина Rei? = D является дисперсивной частью амплитуды, поскольку
если вставить в A8.352) сумму 2-1и)(Л1 п0 полной системе состояний
и выполнить интегрирование по х, то в D внесут вклад виртуальные
процессы, не сохраняющие 4-импульс. С другой стороны, абсорбционная
часть A = lmR является суммой по состояниям, переход в которые из
начальных состояний совершается через реальные процессы, в которых
энергия сохраняется.
Величина М(<о, Л2, ?) может быть преобразована при помощи асим-
асимптотических условий. Вставим в правую часть сумму 2iPna)inin(Pna|
по полной системе состояний |pna)in и, воспользовавшись трансляцион-
трансляционной инвариантностью, выполним интегрирование по х. В результате
получим
М(«, Л2, С) = Bя)* S б(Рп-Р-к) (p'\j(O)\pna)laia(pna\j(O)\p) =
A8.353)
Пусть теперь \pin (р1)—оператор уничтожения для приходящего нуклона
с импульсом р', тогда
<Р' I / @) | Р +-А, а>щ = @1 tin (/>') / @) | р + Л, оIп =
= @ I №д (P'). / @)] IP + A, a)in при (p + fc — />'J = /c'2 < i^, A8.3546)
где mt —масса наинизшего по массе состояния с полным импульсом к',
для которого еще @ | /@) | к') ф 0. (В псевдоскалярной мезонной теории
mt было бы равно 3[х.) При получении A8.3546) мы учли, что опера-
оператор tyin(p') уменьшает импульс состояния на р' так, что состояние
"ФшСр') |Р + &! a)in есть состояние с импульсом р-\-к — р', который в силу
закона сохранения энергии равен к'. Аналогично можно записать второй
множитель в A8.353):
при/с2<< A8.355)
Воспользуемся теперь рекуррентной формулой A8.154), которая, [будучи
обобщена на случай двух полей, имеет вид
М>ш(р), /(°I = -^5л \d*xe-w-*Q{-z)lf@),f(x)], A8.356)
где f(x) — источник в уравнении движения для поля ty: (D + M2)ij5 = /.
48 с. Швебер

754 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Тогда нри Л2, k'2 < ml получаем окончательно
МЫ, А2, П = 2я [d*xi { dix2.e~l(h~V)'?~]
J J
A8.357>
Представление A8.357) для Imi? по сравнению с представлением
A8.3316) для R содержит дополнительную полезную информацию о том,
является ли взаимодействие полей я|э и ф причинным, т. е. являются ли
поля 1(з и ф локальными по отношению друг к другу. Эта информация
не используется в выражении A8.331), где о наличии нуклонов сви-
свидетельствуют только векторы состояния \р), \р'). Свойство взаимодейст-
взаимодействия быть локальным или нет выражается при помощи соответствую-
соответствующего свойства коммутаторов гейзенберговских полей. Чтобы воспользо-
воспользоваться такой информацией, необходимо перейти от описания частиц,
при помощи векторов состояний к описанию их при помощи операторов.
Разумеется, это свойство учитывалось бы, если бы использовалось
выражение
'k'R\ d* [ d*' J di \ d*' X
k-p'-k')R=:-щё \ d*x [ d*x' J diy \ d*y'
A8.358>
Формула A8.350), A8.357) для 1шД(ш, А2, ?) выражает то, что»
называют «обобщенным условием унитарности»1). Чтобы убедиться в этом,
вспомним, что если
A8.359)
(n; т), A8.360>
то условие унитарности S*S = SS* = 1 представляется в виде
J(R*-R) + R*R = O. A8.361)
В частности, для амплитуды упругого рассеяния соотношение A8.361)>
записывается в виде
щ{р'Ь' | R* - RI ркIп = i 2 \п{р'к' | R* | п) {п [ R | рк)-т, A8.362>
|П>
или, что то же,
R(pk; р'к') - R (р'кг; рк) = 2яг 2 * (Р' + *' - Рп) R(n\ p'k') R (п; рк).
|п>
A8.363>
В случае когерентного рассеяния вперед, когда р' = р и к' = к, соотно-
1) Сравните формулу A8.348) вместе с формулами A8.350) и A8.357) с обоб-
обобщением соотношения A8.170) на случай двух полей. Отметим попутно, что связь.
A8.359) между R и S отличается знаком минус от данной в гл. 10.

_^ . § 4. Дисперсионные соотношения 755
# шение A8.363) сводится к оптической теореме
\mR(pk, pk) = ^-a. A8.364)
Далее отметим, что если бы мы выполнили однократное приведение
амплитуды рассеяния out{p'k'; pk)in, то получили бы
2яб (р + к — р' — к') R (р'к'; рк) =
BяK/'2 J xout\F | У V Л f I
= BлM/2 0\л{Р к' [ / @) ] р) б (р' -\-к' — к— р). A8.365)
И вообще амплитуда любого процесса р-\-к—>п записывается в виде
b(Pn-p-k)R (п; рк) = BяK/аout(»|/@) | р) б (рп-р-к). A8.366)
С помощью формулы A8.366), пользуясь трансляционной инвариант-
инвариантностью для проведения интегрирования по х, можно переписать формулу
A8.348) в виде
Я (р'к'; рк) - R (рк; р'к') =
= 2т ^{6(р' + к'- рп) R (р'к'; п) R (рк- п)
^b(p-.k'-pn)R(p', -к; n)R(p, -k';n)}. A8.367)
Очевидно, что первый член в правой части формулы A8.367) совпадает
с правой частью соотношения A8.363). Рассмотрим поэтому вклад вто-
второго члена в1 правой части A8.367), когда импульсы частиц находятся на
массовой поверхности. Нужно напомнить, что соотношение A8.363) было
получено из условия SS* = 1, которое предполагалось верным только
на массовой поверхности, т. е. когда р2 = р'2 = М2, к2 = к'г = ц2. Благо-
Благодаря наличию б-функции вклад во второй труппе членов будут вносить
только те состояния "|п>, у которых рп = р — к'. Поэтому массы этих
состояний равны
Ml = pl = (p-k'f. A8.368а)
В лабораторной системе квадрат этой инвариантной массы равен
Ml = М.2 + jx2 - 2Мк0 =
= (M-\iJ-2M(k0-\i), A8.3686)
так что масса Мп врегда меньше М — \л. Однако с самого начала было
сделано предположение, что в теории соблюдается закон сохранения числа
тяжелых частиц. Поэтому барионное квантовое число для промежуточ-
промежуточных состояний должно быть равно +1, поскольку оператор / (х) сохра-
сохраняет число тяжелых частиц. Кроме того, предполагается, что наинизшее
по массе состояние, обладающее барионным квантовым числом +1, есть
однонуклонное состояние с массой М (условие стабильности нуклона),
и поэтому вклад упомянутых состояний при р2 = р'2 = М2и k2 = k'2 — \xz
равен нулю. С другой стороны, если рассмотреть реакцию
р + ( — к')—> р' + (— к) (— кд, — к'о > 0), в которой начальными являются
частицы р и к', тогда на массовой поверхности будет вносить вклад
только второй член, а первый не будет.
48*

756
. 18. Аксиоматическая формулировка
•v
Если представить рассматриваемый матричный элемент. упругого
рассеяния частицы на частице при помощи диаграммы Фейнмана, изо-
изображенной на фиг. 148, и если р и к — импульсы начальных частиц, то
тогда вклад в Im R(p'k'; рк) (при р2 = р'2 = М2, k2 = k'2 — [i2) будут
давать только те промежуточные состояния,
которые соответствуют рассечению диаграммы
вдоль линии а. Это как раз те состояния, кото-
которые вносят вклад в сумму первых членов в пра-
иой части формулы A8.367). Аналогично, если
импульсами начальных частиц являются р и
к' (так что — к'д>0), тогда на массовой по-
поверхности в физической области вклад в Im/?
будет вносить только второй член в правой
части A8.367). Наконец, если начальные ча-
* стицы есть частицы с импульсами р и р'
(и — р'0~>0), то следует ожидать, что вклад
в Im R внесут только те состояния, которые
соответствуют рассечению диаграммы фиг. 148
вдоль линии Ь. И это действительно так. Если
привести амплитуду Out(P'A' | pk)in по одному ин- и одному аут-полю,
то получим следующие два выражения:
R(p'k'; рк) = i ^ d*xe4p'+h)'h (x) <*' I [/ (у ) , / ( -у) ] I P) A8.369а)
Фиг. 148.
и
R{p'k'-
Первую формулу можно также переписать в виде
A8.3696)
A8.370)
так что
„'7.'
R (р'к'; pk)-R(pk; p'k') =
= Bл)Ч^{Ь(Рп-р-к)(р'\]Щп)(п\РЩ-к)-
-НРп-р' + Р)(р'\ГФ)\п)(пЦ(О)\к)}. A8.371)
В сумму A8.371) вносят вклад следующие промежуточные состояния
|га). Если начальными импульсами являются р и к, то остается сумма
только первых членов, а состояния | п) соответствуют сечению а. Если
начальными являются импульсы рпр', то промежуточными состояниями
будут как раз те состояния, которые соответствуют сечению Ь. Попутно
отметим, что поскольку амплитуды можно также представить в виде
R (п; рк) Ь(Рп-р-к) = Bn)8/Sut (п\ Г @)| к)Ь(Рп-р-к), A8.372)

§ 4. Дисперсионные соотношения 757
то условие унитарности A8.371) запишется
R(p'k'; pk)-R{pk;p'k') =
= 2ni ^]{b(pn-p-k)R (p'k'; n) R (pk; n) -
', -p; n)R(k, -k'; n)}. A8.373)
Ряд указанных выше соображений играет важную роль при «выводе
представления Манделстама для амплитуды ontip'k'; рк)[П.
Подведем итоги проведенному исследованию двухчастичной ампли-
амплитуды R (со, А2, ?). Мы показали, что для нее имеется представление
A8.347) и что для 1тД(со, А2, ?) имеется представление A8.350),
A8.357), которое выражает то, что мы назвали обобщенным соотно-
соотношением унитарности. Теперь уже можно легко проанализировать зави-
зависимость R (со, А2, ?) от ю при фиксированных значениях А2 и ?. Однако
прежде, чем переходить к выводу дисперсионных соотношений при
Д2 ф 0, дадим набросок вывода дисперсионных соотношений для ампли-
амплитуды рассеяния вперед, когда А2 = 0. В этом случае амплитуду рассея-
рассеяния мезона на нуклоне можно записать в виде
R (pk; pk) = ^ dixeiP-x(a+M2J{k\R(^{x)^*@))\k), A8.374)
где р и к — импульсы нуклона и мезона соответственно. Подчеркнем,
что мы выполнили приведение по нуклонным переменным (см. работы
Симанзика [761, 762]). В лоренцевой системе отсчета, в которой мезон
покоится (k = 0, ko — \i), представление для амплитуды запишется в виде
~R(pk, pk)= i ^ dt\ ^хегРоХ°-^р'-Шех1(к\ х0), A8.375)
о
где функция /(х2, х0) равна нулю при хо<|х|. Снова выполняя инте-
интегрирование по угловым переменным, получаем
R (pk; pk) = 4л; ^ dr г2 J dt е™< Binjg_if'r (k | [/ (х), f* @)]| Л> A8.376а)
Or у w г
^, r), A8.3766)
о
где
со
F (ги, г) = 4д|> si°lJ f~^— <>im \^е^«-г)(А;|[/(а;),/*@I|/с), A8.377а)
w = ^. A8.3776)
Отметим, что выражение A8.377а) определяет величину F (w, r) при всех
значениях w в полуплоскости 1тш>0. Более того, при Im w > 0 правая
часть формулы A8.377а) определяет аналитическую функцию. [При
, ля sin Vw2 — M2 r v
w = ± М точек ветвления нет, поскольку — есть четная функ-
ция переменной |/к;2 — М2 г. При значениях w < М множитель exp (iwr)

758 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
компенсирует рост функции sinyw2 — Мгг.\ Поскольку, по предположе-
предположению, матричный элемент коммутатора внутри светового конуса непрерывен,
то по лемме Римана — Лебега асимптотическое поведение F (w, r) при
w —5* со определяется особенностями коммутатора на световом конусе.
Если {k\[f(x), f*(O)]\k) ведет себя на световом конусе дак производная
л-го порядка (п>0) функции б (ж2), тогда функция F (w, г) при боль-
больших w будет вести себя как о/1. Как указывалось выше, при строгом
г у F (w, г)
выводе следовало бы в связи с этим исследовать функцию -== —^-^ •
Однако поскольку в конечном счете' это эквивалентно некоторому числу
вычитаний в соотношении Гильберта для F (w, г), то мы будем продол-
продолжать дальнейшее исследование так, как если бы функция F (w, г) убы-
убывала при w —> со достаточно быстро, чтобы можно было записать
соотношение
F (w г) = -L Г 1т*"(ш''г)- dm'. A8.378)
— со
Функция F (w, r) обладает свойством
F(w, r) = F(-w, r), A8.379)
которое легко проверить при помощи представления A8.377а) и из кото-
которого вытекает
lmF(w, /•)= — ImF( —ад, г), A8.380)
и, следовательно, соотношение A8.378) можно переписать в виде
со
F(w, /•)=— [ dw'lmFfw', r) { , 1—г-+ , . 1 , . } , A8.381а)
о
м
+.— { dw' lmF(w', r) ,, "' ¦_.... A8.3816)
M
Чтобы получить дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния
R(pk; pk), нужно проинтегрировать выражение A8.3816) по г. С этой
целью исследуем свойства мнимой части lmF(w',r), чтобы выяснить,
законно ли изменение порядка интегрирования по г и w. Из A8.374)
следует, что
lmR(pk; pk) = -i- J d«:ce<»>-*<ft|[/(:c), /* @)]| k), A8.382)
-- J
так что, снова выполняя интегрирование по углам, получаем для Im R
представление
Im R (pk; pk) = -j \ dr Ыг —' r— X
'0 у w —
+ OO
„iwt
X \ dteiwt{k\[f(x),f*(O))\k), A8.383)

§ 4. Дисперсионные соотношения 759
которое после подстановки суммы 2l)(l по полной системе состояний
л выполнения интегрирования по t принимает вид .
т г / ч г, sin V-ufl—М* г ч
ImF(w, г) = 2пг \ — X
A8.384)
\В выражении A8.384) множители ехр(± фп*х) заменены своими сред-
средними по углам.] Из представления A8.384) видно, что в области \w\<.M
порядок интегрирования по г и го изменять нельзя, так как в этой
области величина У w2 — М2 г является мнимой, и при г —> со функция
sin]/©2 — М2 г стремится к бесконечности. Однако в сумму A8.384)
вносят вклад только те состояния, у которых барионное квантовое
число равно +1. В частности, в области 0<;да<М вклад вносят
только однонуклонные состояния.
Выполняя в A8.382) интегрирование по пространственным и времен-
временной переменным, можно записать Im R (рк; рк) в виде
' Im R (рк; рк) = i- Bл)* 2 К * I / @)| ">|2 X
|п>
X{V»(p + k-pn)-V»(.p-k + pn)}, A8.385)
Проблема изменения порядка интегрирования может быть решена
несколькими путями. Если бы мы выяснили аналитические свойства
матричного элемента {к | / @)| д>= <р ((к — дJ) как функции переменной —
(где | д) — однонуклонное состояние, д2 = М2), тогда можно было бы
попытаться подходящим образом деформировать в A8.3816) контур
интегрирования по w. Это и было сделано Симанзиком [761, 762] и позво-
позволило оправдать изменение порядка интегрирования по г и w. Другое
решение проблемы дает подход Лемана [494], примененный им для
доказательства дисперсионных соотношений при Д2 Ф 0. Здесь прежде
всего доказывается, что Im/? является аналитической функцией пере-
переменной М2 в полосе, идущей вдоль вещественной оси до — со. [Это
демонстрируется при помощи представления A8.350а), A8.357) для1т/?
и представления Дайсона для запаздывающих коммутаторов, вошедших
в выражение A8.357).] Поэтому теперь можно рассмотреть Im/? при
больших отрицательных значениях М2, когда нет трудности с изме-
изменением порядка интегрирования по w и г. Затем функцию можно ана-
аналитически продолжить на массовую поверхность. Еще один путь —
следуя Боголюбову, вместо функции R (рк; рк) исследовать функцию
R^pk; pk) = [(k + pJ~M*][(k-pJ-M2]R(pk; pk). A8.386)
Из представления A8.385) для Im/? (рк; рк) легко видеть, что умноже-
умножение амплитуды /? на множители [(к + рJ — М2) и [(к — рJ — М2] устра-
устраняет одночастичные особенности, так что новая функция /?4 обладает
-свойством
lmRl(pk;pk) = 0 при|ш|<М. A8.387)
Очевидно, что, поступая так эде, как и выше, можно показать, что
функция /?4 (рк; рк) имеет аналитическое продолжение на верхнюю полу-

760 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
плоскость комплексной переменной w. Поэтому для Rt как функции
переменной w — w^-y iw2 можно записать дисперсионные соотношения
с двумя вычитаниями. [В силу свойства A8.387) теперь нет препятствий
для изменения порядка интегрирования по г и w\] Необходимость вычи-
вычитаний вызвана тем, что, как ясно из определения A8.386), порядок
роста функции Ri по w на две степени выше, чем у функции R. После
того как выяснены аналитические свойства функции Ru аналитические
свойства функции R можно установить при помощи соотношения A8.386).
Отсюда ясно, что, кроме разреза, идущего от —М до —оо и от М до
+ оо, функция R имеет два простых полюса при о» =±4^-. Поэтому
можно записать
со
±1*3?1Р- A8-388)
О—I
1
*
Сопоставляя соотношение A8.388) и выражение A8.385), можно легко
получить значение константы с (см., например, работу Циммермана [877]).
Эта постоянная тесно связана с перенормированной константой связи
лагранжевой формулировки. Итак, вывод дисперсионного соотношения
для R (w) окончен. Оказывается, что этот метод работает также и в том
случае, когда приводятся мезонные переменные, т. е. когда используется
представление
R (р/с; рк) = J d*x е*- (р \ R (/ (х) / @))| р). A8.389)
Можно доказать, что в лабораторной системе (р = 0) эта амплитуда R (со),
где со = ^—_ = JL w, удовлетворяет следующему дисперсионному соотно-
соотношению:
В. Л О-
(Символ Р обозначает, что при и' = и интеграл берется в смысле глав-
главного значения.) Константа а теперь связана с матричным элементом
\(р\ /@I <7)|2 ПРИ значении (p — q)s — ц.2, т. е. с константой связи Ватсона—
Лепора. Значением этой константы а характеризуется мезонное поле-
нуклона на больших расстояниях. Потенциал поля аппроксимируется
там потенциалом Юкавы, пропорциональным константе а. Обсуждение-
этой константы связи мы продолжим в конце настоящего параграфа.
Вернемся теперь к выводу дисперсионных соотношений для R (со, Л2, t}
при фиксированном значении Л2.
Для этого нужно выяснить аналитические свойства i?(co, Л2, ?)
как функции со при фиксированном значении Л2. Общий путь — выбрать-
такую систему координат, чтобы вся зависимость от переменной, по
которой мы хотим записать дисперсионные соотношения, сосредоточилась-
(хотя бы формально) в экспоненте, входящей в представление амплитуды
рассеяния. Так, выражение A8.347) наиболее удобно для получения
информации о зависимости от со, а представление
)] A8.391)

§ 4. Дисперсионные соотношения
761'
наиболее'удобно для получения информации относительно зависимости
от передачи импульса, так как в системе центра масс эта переменная
войдет в A8.391) только в экспоненту.
Выберем лоренцеву систему отсчета, в которой р + р' = О —так
называемая система Брейта. Рассмотрим кинематику в этой системе.
Поскольку Р = - Р', то р0= р'о = Е (р) = Е (р') = /р2 + М* =
о
и на основании закона сохранения энергии ко = к'о = |/к2 + Z, = y^k'2 + С.
p+k p' + k'=p + k
До столкновения
После столкновения
Фиг. 149.
откуда также следует, что | к | = | к' |. Сохранение импульса означает, что
| р+к| = |р' + к'| и, следовательно, что р-к=р'-к', а отсюда с учетом;
равенства р2 = р'2
(р + к) • р = — (р 4 к) • р' = — (р' + к') • р' =
= -(р + к).р = О. A8.392)
Таким образом, вектор p + k ортогонален к вектору р (фиг. 149). Если
через е обозначить единичный вектор, перпендикулярный р (е-р = е-р' = 0),.
а через А — передачу импульса
тогда
' = ge-A,
A8.393>
A8.394а)'
A8.3946)
где q — абсолютное значение полного импульса системы в системе отсчета
Брейта. Поскольку е-А = 0 и (ge+AJ = k2, то отсюда
е2 + А2 = к2. A8.395)
В итоге в системе Брейта
A8.396а)
A8.3966)
A8.397а)
A8.3976)
-?, де + А) ,
-?, Qe— A},
причем е-А = 0, е2 = 1, g2 = k2 —А2 и, следовательно,

762 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
•а также
А2 = Д2, A8.398)
Таким образом, величина со при ? = \i2 превращается в энергию мезона.
В системе отсчета Брейта амплитуда рассеяния записывается в виде
Д(ш, Л2, ?) =
^^^i д | у (?) t j ( _|/) j | дд> __ д>
A8.400а)
ie4"'-4 Vu*=Zi=t,*-x f (p.p', p.x, p'.x, x*). A8.4006)
Важным следствием этого выбора системы координат является то, что
вся зависимость R от со сосредоточивается в экспоненте. Причинность
означает, что коммутатор при ?2 < х2 равен нулю, а благодаря наличию
множителя 0 (х0) интеграл по t распространяется только на положитель-
положительные значения ?>[х|. Определим функцию Я(а>, А2, ?) при комплекс-
комплексных значениях и = («н -f ^г с помощью правой части A8.400а). Поскольку
при произвольных действительных положительных е
1т]/со2-е >1тсо, A8.401)
то при действительных положительных значениях переменной ? функ-
функция R (а>, А2, ?) не обязательно будет аналитична в верхней полупло-
полуплоскости комплексной переменной со — интеграл может расходиться. Если
же мы будем считать и переменную ? комплексной ? = ?i -f- it,2, тогда
выражение A8.400а) определяет аналитическую функцию Л'(со, Д2, ?)
от со и ?, регулярную в области М:
{М)\ Im ю > | Im У со2 — А2-? | ,
1шсо>0. A8.402)
Более детально эта область характеризуется неравенствами
. со2>0, (&;>?!+А», A8.403а)
2со2 {щ - /со^-^-Д2) < ?2 < 2со2 (со4 + /со^-^-Д2) . A8.4036)
При ?, действительном и удовлетворяющем неравенству [,? = ?i < — А2,
функция R регулярна в полуплоскости Ima>>0. Если функция R убы-
убывает на бесконечности должным образом, то можно написать
R (со, Д2, W = -М dm' ImJ?'(M' A2'Sl) • A8-404)
—оо
В случае, когда функция R не обладает требуемыми свойствами при
больших ю для законности соотношения A8.404), всегда можно
поделить R на полином по со, не имеющий нулей в верхней полупло-

§ 4. Дисперсионные соотношения 763
скости. Соответственно можно записать
тде соо — некоторое фиксированное значение. Если необходимо, то схо-
сходимость интеграла в правой части можно улучшить при помощи даль-
дальнейших вычитаний1). С помощью представления A8.350а) для Imi?
•соотношение A8.404) можно переписать следующим образом:
R (со, A2, W = ±- \ da>'M (со', Д«, ^
о
Если работать в . системе отсчета Брейта и ввести обозначение
-у (& + &') = Q = {^k2 + ?i» Qe}, то функцию М (со, A2, ?i) можно распи-
•сать в виде
Ж(со, A2, gt) =
2 no,Q, а> (/»„„, Q, а | / @) | />_д> ¦ в (/»,ц, — ?д — ш).
A8.407)
Далее, поскольку /?„0>0, то
) 2дB(Е J) A8.408)
A8.409)
Кроме того, учитывая, что <э2 = к2 — А2, эту б-функцию можно перепи-
переписать в виде
б (Ргщ - (ЕА + соJ) = б (а2 + к2 - А2 - (Яд + соJ) =
A8.410)
так что если ввести переменную а2 = /?п0 — Рп — Рщ — б2, тогда
оо оо
л п
и, наконец, после замены ~S\ 2рПо —> \ dpnQ2pn^ = \ dff2 получаем для
Jk/" (со, А2, 5) представление
оо
Ж (со, A2, Si)= jj doV(o". А2- ?1)б(а2-М2-^1-2А2-2ЯдСй), A8.411)
!) Симанзик [761, 762] исследовал поведение амплитуды R при больших ш на
¦модели одномерного рассеяния. Он показал, что в этом случае при больших о»
амплитуда R ведет себя как шп (где п—конечное число).

764 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
где
|i(a«, A2, ?i) = 2n 2<^|/@)| а2, QA(W, а) (а2, вд(^), |
A8.412>
и
ед(^) = 1/ш|(а)-^-Аа, A8.413а>
а2 ~ Л2" ?д ~ Sl)- A8.4136)-
Если в сумме по а выделить вклад однонуклонного состояния, кото-
которому соответствует а2 = М2, то
fi(a2, Л2, Si) = 6(o2-M2)g(^)g(Si) + e(o2, А2, СО в (а« (
A8.414а)'
где
В (W = (Ра | / @) | а2 = М2,оде> A8.414б>
есть матричный элемент оператора тока между однонуклонными состоя-
состояниями с импульсами Д и QAe, где qa дается формулами A8.413а)-
и A8.4136) с О2 = М2. В силу релятивистской инвариантности функция
g зависит только от р\ = М2, pl-= М2 (здесь рп = {рПо, р,де}; /?|0 — qa = М2}
и от {ph — PnY- Однако
= ffli-A2-Ql = Ci, A8.415>
откуда g = g(?t). Таким образом, функция М (a>, A2, ^j) имеет следую-
следующую структуру:
2, A2, Q б (а2-М2-^-2А2-2?дш), A8.416а>
так что зависимость функции М (ш, A2, ^t) от ш такова, что она
отлична от нуля только при значениях
A8.416б>
и в области
— . A8.416в>
Когда Si < — 2А2, значения со, при которых функция М (со, А2, ?)
отлична от нуля, расположены так, как это показано на фиг. 150.
Обратим внимание на существование щели между дискретным значе-
значением со (вклад в М однонуклонного состояния) и вкладами более высо-
высоких по массе состояний. Подставляя выражение A8.416а) в соотноше-

§ 4. Дисперсионные соотношения
765
мие A8.406), получаем
Х
[
02—
— Л/2—gj — 2Д2—2
o»t Д2, SO х
1
A8-417а)
2Д2— Л/2_-?1_
A8'4176)
Если ввести переменную W2 = 2ю?'д -f 2А2 + М2 + Si, то тогда соотноше-
соотношение A8.4176) можно записать в виде
Л2 г,)-
, Li, t,i;—
Ы
[ * 1 1 1
L И^2—4Д2 — Л/2—2?i W2— M* J .Т
^r jj dW'*M(W'\ Д2, Si)
A8.418)
Действительная часть A8.418) была бы дисперсионным соотношением,
зно для нефизических отрицательных значений S- Чтобы получить
/
l\vл^\^^^^^lл^\'л^^'л^'Л'лvл^'Л'.'.'Л^^^^^V.'.^.'l'^'^^^'l^'l',v
Фиг. 150.
дисперсионные соотношения при С = |А2, нужно показать, что функция
Я(ю, А2, ?)> определяемая правой частью формулы A8.4176), является
аналитической функцией от S в полосе вдоль действительной оси и что
•ее можно аналитически продолжить вплоть до [ха. Затем нужно пока-
показать, что такая функция, полученная в результате аналитического про-
продолжения по S, при действительных положительных значениях ю совпа-
совпадает с первоначальной амплитудой рассеяния.
Боголюбов [67] показал, что при помощи такого аналитического
продолжения из формулы A8.4176) действительно получаются диспер-
дисперсионные соотношения для амплитуды И (ю, Д2, \х2) (см. также работу
Владимирова и Логунова [811]). На основе теории многих комплексных
переменных он доказал, что при Д2 > 0 и а2 > М2 величина М (а2, Д2, S)

766 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
является аналитической функцией ?, регулярной при Re ? = ^ < \iz
в окрестности действительной оси, |Im?|<6. Раз так, то тогда выра-
выражение A8.4176) определяет аналитическую функцию R" (<а, Л2, ?) or
переменных со и ?, регулярную в области J9", определяемой неравен-
неравенствами ?i<n-2, |?2|<S, | ?21 < 2?д Im со. При ?, действительных с-
?i<-A2,
Я'(to, A2,.?i) = i?"(«, A2, &). A8.419>
Далее, граничное значение, принимаемое функцией R" в результате
предельного перехода co2 = Imco —>0 при Z, = ц.2 и cot > ]/А2+ р.2, есть
физическая амплитуда рассеяния R((a, А2), определенная формулой
A8.331), так как это граничное значение может быть достигнуто вдоль-
пути, проходящего по пересечению областей №' и J2". (Строгое доказа-
доказательство двух последних пунктов см. в работах [65, 66, 84, 554].)
Леман [494, 495] доказал требующиеся для вывода дисперсионных
соотношений с ? = [х2 аналитические свойства функции М (со, А2, ?) по-
попеременной ?, не используя теорию функций многих комплексных пере-
переменных. Доказательство Лемана основано на применении представления
Дайсона для причинных коммутаторов, которые входят в выражение-
A8.357), определяющее функцию М (со, А2, ?) при t, < m\. Здесь мы
в общих чертах будем следовать доказательству Лемана.
Каждому запаздывающему коммутатору в A8.357) соответствует1
весовая функция Фа (и, к2, р-\-к), которая равна нулю вне области
х>Мах {О; т,-/(*±*+«)'; т2-
Для рассеяния я-мезона на нуклоне т± = 3jx и т2 = М + р.- Если эти
весовые функции перемножить и взять сумму по а, то получим полную-
весовую функцию
и2, щ, х2; р+к) = У?фа(ии хг, р + к)Фа(и2, х2; /? + А), A8.421).
которая удовлетворяет условиям A8.420) по каждой паре переменных
uiy Xj (t = l, 2) в отдельности. Эта весовая функция есть действитель-
действительная и инвариантная функция от векторов ии и2, р + к и, следовательно,
зависит только от их скалярных произведений. Важнейшее значение
для дальнейшего имеет то обстоятельство, что функция Ф зависит только-
от одной кинематической переменной W2 = (p-\-kJ и не зависит от ?.
иным путем. Если в выражении A8.357) матричные элементы от запаз-
запаздывающих коммутаторов заменить соответствующими представлениями
Дайсона, то после выполнения суммирования A8.421) по а получим для
М (W2, А2, ?) представление
М (W* Л2 п - 1 f d*Ui di d** dv-* ф {Ui' Ц2' Xl' X2i P+A) C18 422У
LC^"O xIJLC-—uv -X2\
Поскольку вес Ф зависит только от одной кинематической перемен-
переменной W, то вся зависимость от А2 и ? содержится в знаменателе подын-

§ 4. Дисперсионные соотношения 767'
тегрального выражения A8.422). Вычисления в формуле A8.422) легче
всего проводятся в системе центра масс (р + к = 0), когда весовая функ-
функция Ф становится функцией переменных ut-b!2, и\, и\, ui0, и2й, к\, х*:
и W. Если выбрать систему координат так, чтобы
к = КA, 0, 0),
k' = #(cos9, sine, 0),
/ • * • -^ *ч A8.423>
Щ = «1 (cos<PjsinVi, sinq^sintrt, costI!),
u2 = и2 (cosq^sinua, sin(p2sin'6'2, cos^),
«
а в качестве переменных интегрирования принять x = (Pi и а = ф1—-фг»
то тогда по некоторым переменным можно проинтегрировать [494, 495].
При интегрировании полезно считать, что вес Ф есть функция перемен-
переменных н10, и2о» и{, u^, "'  . , Xj, Xj и W. После перехода к переменным.
A8.423) получаем
М (И72, A2, I) = g^p ^ dul0 ^ с?и20 ^ Midwt ^ u2 Jh2 ^ dx^ jj dx^ ^ da X
^ ^ ^ ^ ^ jj ^
X )dO \ dO ) dX
[»l(C)-cos(e-X)][a:2(E)-cos(X-a)] ' ^
0 0 0
где
"¦(r-\- * ^ ,'° m J A8.425а>
i Sin ¦&: V '
И
'- , A8.4256)
-~ . A8.425b)
Вводя новые переменные интегрирования щ и Х{2
u^UiSinftu A8.426а>
н-2 + х;2 = и| + х! A8.426б>
[для исключения из знаменателя в A8.424) "зависимости от й*] и учи-
учитывая, что
2л
^ [aii — cos F—Х)][ж2 — cos(Z — a)]
о
! — 1 — cos(e-a) '
A8.427)
можно проинтегрировать по переменным О,- и х- После замены перемен-
переменных A8.426) переменные $•; будут входить только в весовую функцию Ф,
так что интегрирование по ним просто будет давать новую весовун>

768 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
функцию Ф' (Uj0, щ, >ti2, cos a, W). Попутно отметим, что область изме-
изменения переменных и\, я[ та же, что и переменных ut, яг. Таким обра-
образом получаем (штрихи опущены)
Jkf (W, A2, ?) = \ ... \ dui0duidu2Gdu2dy.\dy.l X
2Я
X \ dacp' (mi0, Mi, a2o, «2i **j, xl, cos a,
х _/yf-^ Vjd^v A8>428a)
2/2/ + /^! - & Yti - K2-K*cos (в-а) У
где
г/;= "Г"В-г ' ' ^Ц'° , 2Ж , A8.4286)
¦а переменные ui0, щ и И; изменяются в области
, W
A8.428b)
Снова подчеркнем важное значение представления A8.428) дляМ(Ж, Д2, р;
в нем вся зависимость от угла 0 (или от передачи Д2) и от переменной
Z, содержится в явном выражении, стоящем в третьей строке формулы
A8.428а). Величина М (W, Д2, ?) будет иметь особенности по этим пере-
переменным, когда
и (или)
2/12/2 + Vt^K* УуХ11^ ~ & cos (в - a) = 0,
при условии, что переменные щ, щ0 и и; принимают значения в области
A8.428а). Можно проверить, что при ЛГ2>0 и ^<jx2 минимальное зна-
значение величины г/| — К2, когда переменные ui0, ut и х,- изменяются
в области A8.428в), есть
Ч?^!^ A8.429,
Поэтому величина у\ — К2 никогда не обратится в нуль, если mt > ji,
m2 > М и W2 > (т2 — miJ, что всегда выполнено в физических прило-
приложениях. Подобным же образом и вторая возможность при ?<ji2 не
приводит к особенностям, пока Д2<Дмакс> где
Д2 - Miii IЯ2 + М-И») ("*-**)•{ /18 430^
(Подробности, касающиеся доказательства этих утверждений, см. в работах

§ 4. Дисперсионные соотношения 769
Лемана [494, 495].) В случае рассеяния зт-мезонов на нуклонах1)
2 „2 М
Пока А2 меньше этого значения Амакс, функция M(W, A2, ?) аналитична
по ? в полосе |Im?|<6, Re ? = ?t < р,2. Поэтому правую часть формулы
A8.406) можно продолжить до значения на массовой поверхности ?i = |a2
(однако строгое доказательство см. в работе [554]). Этот же подход можно
применить и для доказательства того, что функция g(?), определенная
формулой A8.4146), имеет аналитическое продолжение в точку ? = |д.2.
Величина g (\iz) играет роль константы связи [596].
Однако наша цель еще не достигнута, поскольку дисперсионный
интеграл в дисперсионных соотношениях A8.417) или A8.418) при Д2 Ф 0
(т. е. в случае рассеяния не вперед) всегда распространяется и на неко-
некоторую нефизическую область, соответствующую значениям ю' < ]/ Д2 -+- \х2
в A8.417аJ) или W'2 < (У Д2 4- М2 + УПР+р*? в A8.418). Подынте-
Подынтегральное выражение М (W, Д2) = 2 Im R (W, Д2) в этой нефизической
области пока еще не было выражено через экспериментальные величины.
При рассеянии нуклонов на нуклонах, когда mi = m2 = M-\-\x и
а эта величина положительна, только если
Это означает, что обсуждаемые методы позволяют доказать дисперсионные соотно-
соотношения для рассеяния нуклонов на нуклонах вперед, только когда отношение (х/М
удовлетворяет этому неравенству. С другой стороны, Симанзик [763] доказал, что
каждый член ряда теории возмущений для амплитуды рассеяния нуклонов на ну--
клонах R(p'q';pq) удовлетворяет дисперсионным соотношениям по W при фик-
фиксированной передаче Д2, пока Д<!ц/2(см. также статью Тэйлора [924]). Обсуждение
свойств аналитичности амплитуды рассеяния и вершинных функций в теории
возмущений можно найти у Намбу [572], Наканиши [563], Симанзика [761, 762],
Карплуса Соммерфилда и Уичмэна [430], Тарского [770], Бьоркена [57], Ландау [476]
и особенно у Идена [213 — 215].
2) В формуле A8.417а) переменная интегрирования со не употребляется.
Правда, если принять <в в качестве переменной интегрирования, будем иметь в ка-
качестве нижнего предела [см. формулу A8.416в) при ? = |2]
+ /А2 + V2 < V Д2+ V?-
В то же время минимальное физическое значение <в при заданной передаче Д
равно сомин = 1/ киинЦ-^2 = V Д2+|^2. [Минимальное значение кмин легко находится
по формуле A8.395) как значение, достигаемое при равном нулю полном импульсе
системы нуклон —мезон р ] Что касается переменной С2 = W2, действительно
употребляемой в формулах A8.417) и A8.418), то при фиксированной передаче ее
минимальное физическое значение находится следующим образом:
[Здесь использованы формулы A8.395) и A8.396).] Если передача не фиксирована,
то для минимума получается меньшее значение: амин=И7мин = (Л/ + (хJ, а оно-то
и служит нижним пределом интегрирования в формулах A8.417а) и A8.418).—
Прим. ред.
49 с. Швебер

770 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Леман показал [494], что мнимая часть амплитуды упругого рассеяния
я-мезонов на нуклонах Im R (W, А2) в нефизической области однозначно
определяется если известна амплитуда в области малых передач (рассея-
(рассеяние почти вперед) при том же значении энергии. А именно она опреде-
определяется при помощи аналитического продолжения по переменной передачи
импульса А2. Такая ситуация имеет место всегда, когда отсутствует
нефизическая область для рассеяния вперед. Говоря конкретнее, Леман
показал, что на массовой поверхности ? = \i2 для функции М (W, А2)
имеется следующее представление:
[ ^^f^ A8.432а)
2z2-l —
= 2Im R(W, A2) A8.4326)
Оно получается, если в выражении A8.428) ввести новую переменную
интегрирования
Г^ A8 433)
В формуле A8.432а)
Таким образом, функция М (W, А2) будет обладать]|определенными свой-
свойствами аналитичности по переменной cos0 @ —угол рассеяния). Эти
свойства очевидным образом следуют из представления A8.432а),
поскольку угол 9 входит в него только через ядро тп г. Точнее
Z — COS y\j — ОБ I
говоря, М (W, А2) есть аналитическая функция переменной cos 9, регу-
регулярная в эллипсе с фокусами в точках cos Э = ± 1 и с полуосями, рав-
равными 2Zp —1 и 2zo\rzl — 1, где значение z0 дается формулой A8.434).
Внутри этого эллипса содержится физическая область — 1 < cos 9 < + 1
и область, в которой доказаны дисперсионные соотношения. Конечно, это
благоприятный результат.
Фактически уже с помощью представления A8.391) для R (W, А2, ц2)
можно доказать, что R (W, А2, ^2) есть аналитическая функция перемен-
переменной cos 9, регулярная на плоскости cos 9 внутри эллипса с центром
в начале координат и с полуосями z0, ~У%\— 1. Этот результат полу-
получается после подстановки в выражение для амплитуды A8.391) пред-
представления Дайсона для запаздывающего коммутатора (см. [494]), что
придает выражению A8.391) вид
R (W, А2, & = -4 [ d;uk??flu'"'?k) , A8.435)
где весовая функция W есть инвариантная функция векторов и, р, к,
равная нулю вне области
W
х>Мах{0; пц - j/"(/T+
A8.436)

§ 4. Дисперсионные соотношения 771
В системе центра масс (р + к = О) при помощи подходящего выбора
переменных интегрирования указанному выше представлению можно
придать вид
оо 2Я
R (W, А2, ц«) =\dz\ da Jc(:;C@9S-a) • («.437.)
го О
Знаменатель в выражении A8.437а) можно записать в следующем виде:
z — cos 9 cos a — ]/l — cos2 9 sin a . Казалось бы, что благодаря наличию
квадратного корня нужно сделать разрез на плоскости cos 8. Однако, раз-
разбивая область интегрирования по переменной а на две части—от 0 до л
и от я до 2я, и делая во второй области замену переменной а —2я — а,
можно переписать выражение A8.437а) в виде
оо Л
Г» /ТТ7 А2 2\ Г J f J Y(z,COSa)(z COsB-COSd) ,.
0
20
Эта форма делает очевидным, что амплитуда R зависит от 0 только через
cos б и что sin0 не дает ветвления. Особенности амплитуды R как функ-
функции 0 могут возникать только в тех случаях, когда обращается в нуль
знаменатель, т. е. когда cos e = z cos a ± isinaj/z2 — 1. Если принять,
что cos0 = u +it», то тогда особенности будут лежать на эллипсе или
вне его:
J5- + l2?T=1. zo<z<c«. A8.438)
Результат этого исследования Лемана [494] состоит в том, что R (W, А2),
а поэтому также и Re R (W, А2) и Im R (W, А2) являются аналитическими
функциями, регулярными на плоскости cos0 внутри эллипса с центром
в начале координат и с полуосями z0 и |/ z\ — 1, где значение z0 дается
формулой A8.434).
Попутно отметим, что хотя представление A8.435) и дает информа-
информацию о зависимости R (W, А2) от 9 или А2, но оно не дает никакой инфор-
информации относительно области аналитичности R по переменной ?, поскольку
весовая функция зависит от к2 — ? неизвестным образом. Отметим также,
что представление A8.428) для Im R (W, Да) показывает, что lmR(W, A2)
является аналитической функцией в более широкой области на плоскости
комплексной переменной cos0, чем зто обнаруживается из представле-
представления A8.391).
Полученные выше результаты означают, что разложение ампли-
амплитуды R (W2, А2) в ряд по парциальным волнам
оо
R (W», А2) = ± ZL ^ B1 + 1) 'Ci (W) />, A - -^Л , A8.439а)
г=о
+1
J d (casQ) R(W\cosQ) P[(cosQ), A8.4396)
-l
сходится внутри эллипса с полуосями z0 и Yzl — 1 • Поэтому можно
сперва найти коэффициенты Ci (W) по известной физической амплитуде,
а затем определить \mR в нефизической области при помощи аналити--
49»»

772 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
ческого продолжения мнимой части выражения A8.439а). Суммируя
все полученные выше результаты, заключаем, что дисперсионные соот-
соотношения без вычитаний записываются в виде
1 1
СО
—Р С dW'2ImR(W'2, Л2) X
JW2
f 1 1 1
Х { И^'2— 1У2 + И — 4Д2— 2(Д?а4-D,2)_(_^2 / • A8.440)
Разложение A8.439а) для амплитуды рассеяния, в сущности, является
фазовым анализом амплитуды. Можно было бы предпринять попытку
выяснить, удовлетворяют ли экспериментальные данные дисперсионным
•соотношениям для рассеяния не вперед A8.440), или, точнее, их непо-
непосредственным обобщениям на более реальные ситуации, когда рас-
рассеиваются заряженные частицы со спином. При этом фазы, по-видимому,
пришлось бы получать с помощью экспериментально измеренного диф-
дифференциального сечения. Однако, как показал Дайсон (не опубликовано,
но цитируется у Тирринга [777, 778]), фазы, найденные экспериментально,
не позволят выяснить, удовлетворяют ли экспериментальные данные этим
дисперсионным соотношениям или нет. Дело в том, что сколь угодно
малая ошибка в определении фаз в физической области приводит к слишком
широкому произволу при продолжении в нефизическую область (см. также
работу Олкока [7]). На самом деле из числа допустимых продолжений
всегда можно выбрать такое, чтобы дисперсионные соотношения удов-
удовлетворялись даже в том случае, если бы истинная амплитуда (если бы
она была известна!) не удовлетворяла дисперсионным соотношениям.
Математическая формулировка утверждения Дайсона состоит в следую-
следующем. Если заданы две произвольные функции A (k), D(k), интервал d
и малое положительное число б, то всегда можно найти функции А' (к)
и D' (к), которые удовлетворяют дисперсионным соотношениям и аппрок-
аппроксимируют А (к) и D (к) в интервале d с точностью 6, т. е. такие, что
\А'(к)-А{к)\<6,
\D'(k) — D(k)\<6 при к в d. A8.441)
Итак, экспериментальная проверка дисперсионных соотношений может
быть выполнена только для рассеяния вперед, и в особенности в тех
случаях, когда у амплитуды рассеяния вперед нет нефизической области,
как, например, при рассеянии л-мезонов на нуклонах.
Нами было показано, как можно дать строгое доказательство диспер-
дисперсионных соотношений, а теперь мы кратко остановимся на чисто эвристи-
эвристическом выводе дисперсионных соотношений для рассеяния мезонов
на нуклонах вперед (см. работы Голдбергера [322, 323j). При этом особое
внимание обратим на формальную сторону, связанную с наличием изото-
изотопического спина. Пусть мезон с 4-импульсом к и индексом изотопического
спина а претерпевает рассеяние вперед на нуклоне с импульсом р
и с индексом изотопического спина i, и пусть индексы изотопического
спина в конечном состоянии равны р и /. Тогда соответствующая ампли-
амплитуда для рассеяния вперед есть
Ща (рк; рк) = + i J d^eift-*e (х) (р)\ [/„ (х), fa @)] | pi),
р2 = М2, А:2 = ца . A8.442)

§ 4. Дисперсионные соотношения 773
[где /р (х) = (? +(Х2) фр (ж)], и снова опущены вклады от одновременных
членов. Напомним, что операторы сра(а = 1, 2, 3) эрмитовы, причем опе-
оператор —-—((fi-\-i(f2) рождает я+-мезон, оператор —^=-(<$1— гфг) рождает
]/ 2 у 2
я~-мезон, а оператор ф3 описывает я°-мезон. Мы будем явно предполагать,
что теория инвариантна относительно пространственных отражений,
а также относительно любых вращений в пространстве изотопического
спина (зарядовая независимость). Благодаря предположению о зарядовой
независимости теории достаточно рассмотреть амплитуды рассеяния заря-
заряженных мезонов на протонах, поскольку по этим амплитудам можно
восстановить амплитуды рассеяния в состояниях с изотопическим спином
Т = 3/2 и 71 = 1/2. В связи с этим мы будем предполагать, что зарядовое
состояние нуклона не изменяется, т. е. /=?, и, еще более конкретно,
что это квантовое число соответствует протону. В дальнейшем мы будем
опускать индексы i и / у амплитуды R и у векторов начального и конеч-
конечного состояний нуклона | pi), | pj).
Если перейти к лабораторной системе отсчета (р = 0, р0 = М), то снова
можно выполнить интегрирование по углам, поскольку матричный элемент
(Р\1]&(х)' ]'а @)] I Р) ссть скалярная функция ха и х0. Отметим, что если
рассматривать (р | [/р (ж), /а @)J | р) как матрицу в пространстве обычного
спина, действующую на спинорные амплитуды нуклона, то' при этом
не возникнет член вида 0-х, так как он при отражениях ведет себя как
псевдоскаляр. Таким образом, получаем
J (ю, г), A8.443)
о
где
A8.444)
и
\dte***{p\lU(x),ja(O)]\p). A8.445)
В формуле A8.445) величина {р\ [/р (х), ja @)] | р) снова понимается как
среднее по углам, поскольку она является функцией только г= |х|.
Представление A8.445) позволяет с помощью уже знакомых нам аргу-
аргументов заключить, что функция /?ра (со, г) является аналитической в полу-
полуплоскости Im to > 0. Следовательно, она удовлетворяет соотношению
Гильберса, из которого мы выводим, что
^, A8.446а)
-ц
--- A8.4466)

774 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Прежде чем переходить к вычислению выражения A8.4466), рассмотрим
свойства симметрии функции Rpa.
В представлении
Яра (со) = + i[ d>x [ df etof-i/5i=ir.e.x.<p;-| (/„ {x)t ja @)] |pf> A8.447)
о
благодаря Р-инвариантности множитель exp (—i J/^co2 — ц2 е> х) можно заме-
заменить множителем cos ^/co2 — ji2 e• x. Отсюда
Д&И = Д&(-ю). A8.448)
Поэтому если рассматривать амплитуду jR$a (со) как /7-й матричный эле-
элемент оператора /?ра (со), действующего в пространстве изотопического
спина нуклона, то соотношение A8.448) можно записать в виде
<»)- A8.449)
Далее, в силу зарядовой независимости можно представить Лар (со) раз-
разложением
ДазИ = Г1Нв«Э+4Г*ИК.'сэ]. A8.450)
где коэффициенты 7\ (со) и Т2 (со) благодаря условию A8.449) удовле-
удовлетворяют соотношениям
71! (со) = Ti( — со), A8.451а)
Г2 (со) = - Т2 (- со). A8.4516)
Соотношение A8.4516) для Т2(<а) обусловлено антиэрмитовостью матрицы
[та, Тр]. Эти амплитуды можно также разложить по амплитудам, соот-
соответствующим состояниям с определенным полным изотопическим спином,
Tt (со) = | [T1/t (со) + 2Г3/2 (со)] = i [Г+ (со) + Г_ (со)], A8.452а)
Г2(со) = | [Г1/2 (со) - Т3/2 (со)] = | [ _ Г+ (со) + Т_ (со)], A8.4526)
где через Ti!2 (со) и Гз/2 (со) обозначены амплитуды рассеяния в состоя-
состояниях с полным изотопическим спином х/г и 3/г. а через Г+ и Г_ —
амплитуды когерентного я+-р-рассеяния и яГ-/ърассеяния.
Доказательство: Запишем Ra$ (со) в виде
ЛоэН= S У*Н[Р«]ар, A8.453)
«=1/2. 3/2 V
где Pf — операторы лроектирования, проектирующие на состояния
с полным изотопическим спином 1/2 и 3/2. Так как
Л/, = уA—r-t), A8.454а)
| -t) A8.4546)
(t —оператор изотопического спина мезона), то разложение A8.453) можно
записать в виде
И = j [Тщ (со) + 2Гз/2 (со)]6«р + у [Г./, (со) - Тщ (со)] (т. t).,. A8.455)

§ 4. Дисперсионные соотношения 775
Поскольку
(T-t)afi= — iea&6r&= —у [Ta, Tp], A8.456)
то сразу получаются соотношения A8.452а) и A8.4526). Отметим также, что
Ti (©) SaP = 1 [Дар (©) + Яр» (©)], A8.457)
у У2 И [та, тр] = \ [Rab (со) - Ща (со)]. A8.458)
Получим теперь дисперсионное соотношение для Ti (со). Согласно A8.457),
71! (ю) = Raa (ю) (без суммирования по а), так что
Re 7t N = ] 2«rdrJL {jj
О -ц
ВJпредставлении A8.445) для i?aa (ю, г) проинтегрируем по t, исполь-
используя трансляционную инвариантность по времени. Замечая далее, что
/ (Р [/а @) |") |2 — величина действительная, без труда получаем
1тДаа(ш,г)-я ^^-^ 2j |pj, X
n A8.460)
и, следовательно, lm.Raa-— нечетная функция:
Im Raa (©, г) = - Im i?aa (- ш, г). , A8.461)
Разложение A8.460) записано в лабораторной системе (р = 0, ро — М).
Снова очевидно, что при | со' | > \л изменение порядка интегрирования
по г и © законно. При | © | < \i в сумму в формуле A8.460) вносят вклад
только однонуклонные состояния \п) с импульсом p^f = ю (<д-\-2М).
Состояние с одним нуклоном и п мезонами (и = 1, 2, ...) вклада в этой
области (| ю | < \i) не дают, поскольку для таких состояний должно иметь
место \Еп — Д# | > [г, что запрещается 6-функцией. (Здесь мы предполо-
предположили, что у системы мезон — нуклон нет связанных состояний с массой,
меньшей М + ц.) Таким образом, при |ю|<|г
S
pw, v
при |ш|<|1. A8.462)
Поэтому изменение порядка интегрирования по г и © в формуле A8.459)
априори не является законным. Здесь можно либо воспользоваться аргу-
аргументами Лемана для оправдания изменения порядка интегрирования,
либо рассмотреть (как мы уже поступали в настоящем параграфе раньше)
амплитуду
Raa (©) = [ш« _ (J^y ] Raa (ш). A8.463)

776 . Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Из представления
Im 7\ (со) = у ^ d*xe*-*(P I [/а (*), /а @)]! р> =
^2-Jp)} A8-464)
\п >
следует, что в области A>со>0 необходимо рассматривать только
член со второй б-функцией в скобках, причем, как отмечалось выше,
вклад в сумму вносят только однонуклонные состояния | N). Выполняя
интегрирование по рлг, находим, что в лабораторной системе величина
I при 0<со<A имеет следующую конструкцию:
1т7\(со)=-я 2 |
_/спин \
v-изоопин; |0<со<р,|, A8.465)
где | — к, y) —°днонуклонное состояние с импульсом —к, энергией
jFk = "j/k2 4- М2 = ]/M2 — (|i2 — (о2) и спиновым и изоспиновым квантовы-
квантовыми числами, конкретизируемыми заданием у. Между прочим, отметим,
что импульс нуклона к мнимый. Это показывает, что рассматриваемая
область нефизическая. Множитель б (со + "jAo2 _ n,2 _j_ до2 __ j\j\ B фОрМуЛе
A8.465) можно переписать в виде -jf( М ~-^jj ) 6 ГС0""~~2Ж~ ) • Подоб-
Подобным же образом в области — A<со<0 вклад в мнимую часть Im T^ (со) будет
иметь вид б-функции б ( со + ~^ Л , помноженной на константу, причем,
согласно A8.451а), она совпадает с константой, на которую умно-
умножалась функция — б Г со — ~^- j при вычислении Im T'i(co) в области
\л > со > 0. Таким образом, для Im 7\ (со) в области — \i < со < ц полу-
получается следующее представление:
Im7'1(co)= -n2|(jD|/a@)|k = el/co2-fi2, Y> |2 X
A8.466)
Из этого представления ясно, что свойства аналитичности ампли-
амплитуды /?аа(со), определяемой согласно A8.463):
Т[ (СО) = R'aa (©)'=¦ (со+ ^) (со—^) Raa (©),
такие же, как и у функции Raa (со), с той лишь разницей, что она
дополнительно обладает нужным свойством
Im7;(co) = 0 при]со|<[г. A8.467)
Поскольку свойства функции R'a_a (со) относительно замены со —> — со
такие же, как и у функции /?аа(со), то сразу же приходим к выводу,
что для функции Т[ (со) справедливо (с точностью до вычитаний) сле-
следующее дисперсионное соотношение:
со
Re Г. (со) = - Р \ da' "' T?9^(f) A8.468)
1 v ' я J са а—со2 v '

§ 4. Дисперсионные соотношения
111
(поскольку в случае функции Т\ (со) нет затруднений с изменением по-
порядка интегрирования по г и со). Функция 771(со), помимо тех особен-
особенностей, которыми обладает функция Т[ (со) [согласно A8.468) и A8.451а),
у Т[ (со) имеются разрезы, идущие от -аз до — li и от + [i до оо],
имеет еще простые полюсы в точках со = ± -~^-. Таким образом, для
функции J1! (со*) можно записать [в предположении, что a>Tt (со) —> О
при со—> оо] дисперсионное соотношение
Константа а в A8.469) есть вычет в полюсе при
видно, равна
Аналогично,
о= lhn
Ъ= Urn
= [х2/2Л/ и, оче-
очеA8.470)
A8.471)
Для вычисления этих констант мы возвратимся к выражению
A8.442), определяющему амплитуду J'i(co). Из него следует, что
Re Tt (со) =
7*
i=& е (ж) {р | [/а (ж)? /а @)] | р) =
I2 2 1 <Р I /а @) |-k=-e/SS=
_ V
A8.472a)
где точки стоят вместо членов, возникающих за счет более высоких по
массе промежуточных состояний (Л/„>М + (*)• Эти состояния не могут
давать вклад в полюсные члены при |со| < \i.
С помощью представления A8.472а) и определений A8.470) и A8.471)
находим
M--
м
A8.4726)
м—
Ъ =
• @) I k = е
A8.472в)
Теперь из тензорных свойств величины /а @), а именно из того,
что она является вектором в изотопическом пространстве и псевдоска-
псевдоскаляром в пространстве-времени, следует, что матричный элемент
(Р I /а @) |У) между однонуклонными состояниями | р) и | //) (/>2 = р'2 = М2)
имеет следующую структуру:
а @) | jb' ) = i
gu (р) хаУьи (р1) К (Р\ р'\ (р -
A8.473)

778 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
где величина К связана с перенормированным вершинным оператором
Г5 (р2, р'2, (р — рJ), введенным в гл. 16:
= [(Р - Р'J - Ji2] Af! {Р-Р') Г6 (Р2 = Р'2 = М2, (р - р'J). A8.474)
Поскольку в обсуждаемом случае р = (М, 0), jp' = {"J^to2 + M2 — }га,
± е"|Лд>2 — ц2}, причем ш2== (-?д- ) , то
(р - ру = (М- VoJ-\i2 + M2J — со2 — и
Если величину К нормировать при помощи условия К(М2, М2, ц2) = 1,
т0 S будет перенормированной константой связи Ватсона — Лепора.
Далее,
% и (Р) t«Y5«s (Р') us (р1) хауьи (р) р=(М> 0) = A8.476а)
=(м,о= A8.4766)
A8.476в)
Y=(8.
где волновые функции нуклонов | г) в пространстве изотопического
спина не выписывались явно. При переходе от A8.476а) к A8.4766)
2
было учтено, что S ИХ* 1 = 1 и что (т«J = 1. Собирая различные мно-
множители, получаем
(J A8-477)
<18-478)
В формулах A8.477) и A8.478) мы пренебрегли членами более высокого
порядка по \12/М2. Этому выводу следует доверять с известной долей
осторожности [например, формула A8.476) свидетельствует о том, что
сумма 21 12 есть отрицательная величина]. Тем не менее он при-
приводит к тем же результатам, что и более строгий подход, при котором
исследуются свойства аналитичности вершинной части Г5 (М2, М2, ?) как
функции ? (см. работу Оме и Тэйлора [596]). Подставляя значения
A8.477) и A8.478) в соотношение A8.469), окончательно получаем
,18.479,
где /2 = g2( -^— ) — так называемая перенормированная константа псевдо-
псевдовекторной связи. Дисперсионные соотношения с одним вычитанием
записываются в виде
/ЛО /от
A8-480)

§ 4. Дисперсионные соотношения 779
Этот же метод может быть применен для вывода дисперсионного соот-
соотношения для амплитуды Т2 (со) с той лишь разницей, что в данном
случае Т2(а>) = — Т2 (— со). .Дисперсионное соотношение теперь будет
иметь вид
/,.х 2со/2 2@ р Г , , 1тГ2(ю') Л|Я ДЯ-М
(со) = -——^— -_ + __p^d(o —7?-^-. A8.481)
Нужно отметить, что интеграл в соотношении A8.481) сходится лучше,
и поэтому можно надеяться, что для обеспечения его сходимости вычи-
вычитания не потребуются. Так или иначе, дисперсионное соотношение
с одним вычитанием запишется в виде
2/2cok2 2k»u> p f , , Im Г2 (со')
Дисперсионные соотношения (с вычитанием) для амплитуд Т+ (ш) и J_ (ю)
можно получить, подставляя в A8.480) и A8.482) амплитуды Tit 2(co),
выраженные по формулам A8.452а) и A8.4526) через амплитуды Т± (ю).
Если ст+(со) и сг_ (ш) — полные сечения всех процессов, которые могут
идти при столкновении положительных и отрицательных я-мезонов
с протонами, то тогда, согласно условию унитарности, при ю,;>A
^(ю), A8.483)
где | к | = |Лй2 — |дЛ Поэтому дисперсионные соотношения для амплитуд
Т± (со) можно записать в виде
к* k^f rfco' f 0+(со') g_((p')-j
+ i lk'| 1 со'-со + со' + со J
n
где мы пренебрегли членами порядка (ца/М2) и приняли обычно применяе-
применяемое в литературе обозначение
Rer±(©) = Z)±(©). A8.486)
Габер-Шайм [352] впервые применил дисперсионные соотношения A8.484)
и A8.485) для определения значения константы /2 и нашел, что
/2 — 0,08. Если рассматривать угол рассеяния 0 как бесконечно
малый, то метод, аналогичный применявшемуся выше, позволяет

780 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
получить дисперсионные соотношения для амплитуд рассеяния с перево-
переворачиванием спина1) [592, 593].. При помощи этих дисперсионных соотно-
соотношений Девидон и Голдбергер [154] и Гильберт и Скритон [316] показали
непригодность набора фаз Янга для рассеяния мезонов на нуклонах при
низких энергиях.
Пуппи и Стангеллини [655] сравнили дисперсионные соотноше-
соотношения A8.484) и A8.485) прямо с экспериментальными данными по рассея-
рассеянию л,-мезонов на нуклонах. Основываясь на имевшихся в 1957 г. данных
по рассеянию л-мезонов на нуклонах, они пришли к выводу, что между
дисперсионными соотношениями для амплитуды рассеяния вперед и экспе-
экспериментальными данными имеется очевидное расхождение. Однако позднее
было показано, что некоторые из использованных ими эксперименталь-
экспериментальных данных не были достаточно точными и что, если использовать более
точные данные, расхождение почти полностью исчезает (см., например,
[705, 591]).
Померанчук [646] (см. также работу Амати, Фирца и Глезера [9])
показал, что из дисперсионных соотношений A8.484), A8.485) и из некото-
некоторых правдоподобных предположений относительно поведения полных сече-
сечений при очень высоких энергиях следует, что разность сечений для заря-
дово сопряженных частиц при одной и той же мишени стремится к нулю
на бесконечности. Точнее говоря, Померанчук показал, что если для
полных сечений а+ (Е) и о~(Е) рассеяния я+- и лг-мезонов с энергией Е на
протонах в лабораторной системе справедливо и
lim а* (Е) = а* (оо) = const, A8.487а)
Я->оо
lim а" (Е) = а" (оо) = const, A8.4876)
Е->оо
ТО
а+(оо) = а-(оо). A8.488)
Наиболее полное обсуждение дисперсионных соотношений для рас-
рассеяния я-мезонов на нуклонах не вперед содержится в статье Чу, Голд-
бергера, Лоу и Намбу [124]. Они предположили, что вклад области боль-
больших энергий в дисперсионный интеграл мал, что существует резонанс в
3-3-состоянии, который вносит исчерпывающий вклад в дисперсионные инте-
интегралы, и что фазы S- и D-волнмалы (меньше малой фазы Р-волны). В этих
предположениях Чу, Голдбергер, Лоу и Намбу показали, что из диспер-
дисперсионных соотношений для рассеяния не вперед можно получить систему
динамических уравнений, которые в пределе М —> оо сводятся к уравне-
уравнениям Чу — Лоу для статической модели Чу.
!) Напомним, что на основании соображений инвариантности амплитуда рас-
рассеяния в системе центра масс должна иметь вид
Ща (». 6)=^ра(ю. в) + г\Вра (со, 6)ff-D,
„ _ ki.k.>
где 9—угол рассеяния; cos 9 = .. .—-; п—некоторый аксиальный вектор, что
I м 11 к2 |
требуется для обеспечения инвариантности относительно пространственных отра-
отражений. Единственным аксиальным вектором, который можно построить, является
вектор [kiXk2], перпендикулярный плоскости рассеяния. Поэтому вектор [ktxk2l
и следует взять в качестве вектора п. Если вектор kj принят за ось z и за ось
квантования для спина протона, то тогда произведение ff-n содержит только мат-
матрицы o"i и о и> следовательно, переворачивает спин. Поэтому о В^а говорят как
об амплитуде рассеяния с переворачиванием спина.
Укажем, что член ff-[kiXk2] Вар (со, 6) обращается в нуль для рассеяния
вперед, т. е. когда k4=k2.

§ 4. Дисперсионные соотношения 781
Тем не менее их попытка построить динамическую теорию рассеяния
мезонов на нуклонах, основывающуюся на дисперсионных соотношениях
по одной переменной, потерпела неудачу, так как они не смогли конкре-
конкретизировать зависимость амплитуд рассеяния от передачи импульса.
Однако Манделстам [531] обратил внимание на то, что в родственном про-
процессе л + я -> N + N. переменная передачи импульса Д играет роль
энергии, и структура матричного элемента в этом случае наводит на мысль
о существовании дисперсионных соотношений также по Д. Учитывая
свойства аналитичности, которые выражаются этими дисперсионными
соотношениями, Манделстам предложил [531—533] «двойные диспер-
дисперсионные» соотношения для амплитуды рассеяния мезонов на нуклонах.
Содержание двойных дисперсионных соотношений может быть выражено
словами: амплитуда рассеяния я-мезонов на нуклонах является граничным
значением функции двух комплексных переменных, которая регулярна
всюду, за исключением разрезов вдоль определенных гиперплоскостей,
содержащих куски действительных осей. Манделстам [531] надеялся,
что это представление и его обобщения на многочастичные процессы
вместе с условием унитарности заменят более обычные уравнения теории
поля и позволят вычислять все наблюдаемые величины, выражая их через
конечное число констант связи и масс без какого-либо специального вве-
введения лагранжиана [532, 533]. Превосходное изложение этой программы,
а также введение в ее математическую формулировку читатель может
найти в работах Чу [126, 128], а также Чу и Манделстама [127].
С целью иллюстрации представления Манделстама для двухчастич-
двухчастичной амплитуды рассеяния рассмотрим процесс рассеяния с двумя прихо-
приходящими и двумя уходящими частицами. Припишем этим частицам 4-им-
пульсы pi, p2l рз и Pi, причем для удобства формально будем считать, что
все они соответствуют приходящим частицам. Таким образом, из числа
этих импульсов два импульса, соответствующих уходящим частицам, будут
отрицательными времени-подобными векторами (ро<О)> а два других,
соответствующих приходящим частицам,— положительными времени-по-
времени-подобными векторами (/>0>0). Закон сохранения энергии^импульса
гласит:
Pi + p2 + p3 + Pi = 0. A8.489)
Импульсы pi есть импульсы физических частиц, и поэтому
р\ = т\ (t=l, 2, 3, 4). A8.490)
Вообще говоря, амплитуда Т (pt, p2, рз, Pi) описывает различные про-
процессы в зависимости от того, какие из переменных р±, . . . р4 относятся
к начальным частицам, а какие—к конечным. Если бы нам больше ничего
не было известно, то эта амплитуда состояла бы из некоторого числа неза-
независимых функций, относящихся к различным процессам. Однако, как мы
уже видели, причинность означает, что в действительности эти функции
тесно связаны в том смысле, что они являются граничными значениями
одной и той же аналитической функции комплексных переменных. Эту
функцию мы также будем обозначать через Т (р4, р2, рз, Рь)-
Релятивистская инвариантность амплитуды станет явной, если рас-
рассматривать ее как функцию трех инвариантных кинематических пере-
переменных:
2 = (P2\-p3)\ A8.491)
2 = (Р1 + РзJ, A8.492)
2 = (Pi + ftJ- A8.493)

782 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
Каждая из этих переменных есть квадрат полной энергии в системе центра
масс для некоторого частного выбора пар приходящих и уходящих частиц.
Если, например, pi и/>2 есть импульсы приходящих, & рз и/>4 — уходящих
частиц, то тогда s3 — полная энергия в системе центра масс, s( и s2 —
квадраты передаваемых 4-импульсов. Эти переменные в силу ограниче-
ограничений A8.489) и A8.490) не независимы и связаны соотношением
4
s3=^ т\. A8.494)
il
Амплитуду рассеяния Т можно теперь рассматривать как функцию
двух из трех переменных sb s2, s3. Тем не менее мы будем писать
Т = Т (slt s2, S3), считая, что третья переменная выражена через две
другие с помощью соотношения A8.494).
Ранее мы отмечали, что амплитуда будет иметь особенности при физи-
физических, а также при нефизических значениях переменных s4, s2, S3.1) При
разложении амплитуды по промежуточным состояниям эти особенности
соответствуют возможным промежуточным состояниям. Вычеты в полюсах
связаны с константами связи. Имеется следующее «правило», определяю-
определяющее положение полюсов амплитуды рассеяния в случае, когда в начале
и в конце имеется по две частицы: если две приходящие и две уходящие
частицы можно «соединить» при помощи стабильной частицы с массой тп0,
то тогда существует полюс при s = ml, где переменная s — квадрат пол-
полного 4-импульса для этого процесса. При этом подразумевается, что «соеди-
«соединение» возможно, когда начальное и конечное двухчастичные состояния
имеют те же квантовые числа, что и одночастичное промежуточное состоя-
состояние. Из предположения о стабильности промежуточной частицы следует,
что хотя такие одночастичные полюсы и лежат на действительной оси, тем
не менее они не могут находиться в физической области значений рассма-
рассматриваемой переменной s. (В противном случае промежуточная частица
могла бы распадаться на две частицы, которые составляют начальное или
конечное состояние!) Так, амплитуда рассеяния зт-мезонов на нуклонах
Т (st, s2, s3) должна иметь вид
Т (si, s2, s3) = $JM2 g^m Tt (slt s2, s3). A8.495)
Это можно выяснить следующим] образом. Для рассеяния я-мезонов на
нуклонах s3 = (р± + РгJ есть квадрат начального 4-импульса. Возможное
одночастичное промежуточное состояние показано на фиг. 151. Поэтому
имеется полюс при s3 = Л/2. Отметим, что процесс N -\-N -* 2я описывается
также и диаграммой фиг. 152. В этом случае квадратом начального 4-им-
4-импульса является переменная s2 = (p2 -f- PiJ- Однако поскольку нет одно-
частичного промежуточного состояния, которое могло бы «соединить»
начальное и конечное состояния, то нет и полюса по переменной s2. По пере-
переменной Si амплитуда снова имеет однонуклонный полюс при st = Ж2,
соответствующий однонуклонному состоянию, соединяющему начальное
и конечное состояния системы я-мезон—нуклон. Функция Т^ (si, s2, s3)
в A8.495) при Si = s3 = Ж2 является регулярной.
Ранее мы уже указывали, что амплитуда T^Sj, s2, s3) подчиняется
дисперсионному соотношению по переменной S3 при фиксированном зна-
х) Фактически предмет теории дисперсионных соотношений можно определить
как изучение природы и расположения особенностей амплитуды рассеяния.

§ 4. Дисперсионные соотношения
783
чении переменной s2 (s4 = 2 mi — S2 — S3)- Аналогично, рассматри-
вая процессы, в которых квадратом полного начального 4-импульса
являются переменные st или s2, можно высказать предположение, что для
амплитуды Г и по этим переменным Si и s2 справедливы дисперсионные
соотношения, хотя их и не смогли доказать [531]. Эти дисперсионные
соотношения делают правдоподобной мысль, что амплитуда рассеяния
как функция комплексных переменных st, s2, s3 аналитична по каждой
переменной в плоскости с разрезом. Теперь возникает вопрос, каковы ее
свойства аналитичности как функции одновременно двух переменных.
1Г .
-Рз\
У"
У-р«
Pi/
Фиг. 151.
Фиг. 152.
Манделстам' [531] высказал предположение, что амплитуда рассеяния
(с точностью до вычитаний, необходимых, если интегралы расходятся)
может быть представлена следующим образом:
iH S^Ч;^;-.,> +^И^^aSg^a¦ <18
где весовые функции Qtj являются действительными, и интегрирование
по каждой переменной s' проводится вдоль положительной действительной
полуоси и распространяется до бесконечности. Говоря точнее, функции
Qiy отличны от нуля только тогда, когда каждый аргумент равен квадрату
массы реальной физической системы, которая имеет те же квантовые числа,
что и соответствующий канал. Представление также учитывает то, что
можно назвать обобщенными соотношениями «перекрестной симметрии»,
которые являются обобщением соотношений типа A8.350).
Представление Манделстама явилось обобщением представления,
предложенного Намбу [571], исходя из теории возмущений. Однако пред-
представление Намбу оказалось неправильным, так как оно противоречило
унитарности. Представление Манделстама лишено этих недостатков.
Более того, Идеи [213—215] доказал, что представление Манделстама
для амплитуды рассеяния верно в каждом порядке теории возмущений.
(Доказательство применимо для любой системы, у которой нет так назы-
называемых «аномальных порогов» [429, 430]1).) Перечислим некоторые след-
следствия и возможности представления Манделстама:
1. Дисперсионные соотношения по энергетической переменной спра-
справедливы при любых значениях передачи импульса.
См. наше примечание на стр. 736. — Прим. ред.

784 Гл. 18. Аксиоматическая формулировка '
2. Абсорбционные части амплитуды рассеяния удовлетворяют диспер-
дисперсионным соотношениям по передаче импульса при фиксированной энер-
энергии, т. е. 1тГ есть аналитическая функция передачи импульса всюду,
за исключением разрезов вдоль действительной оси.
3. Можно вывести дисперсионные соотношения для фиксированного
угла рассеяния, или, точнее, для фиксированного значения cos 6
[136].
4. Можно выяснить свойства аналитичности парциальных амплитуд
(см., например, [521]).
Чу и Манделстам предложили сделать представление основной дина-
динамической теории сильных взаимодействий. Практически же они исполь-
использовали представление совместно с двухчастичной аппроксимацией условия
унитарности. Обзор работ этого направления читатель найдет в Трудах
Рочестерской конференции по физике высоких энергий 1960 г.
Этими краткими замечаниями по поводу представления Манделстама
мы окончим наше изложение теории дисперсионных соотношений. Даль-
Дальнейшие подробности, касающиеся представления Манделстама, его при-
приложений и условий применимости, содержатся в превосходных обзорных
статьях Чу [126, 128], Чу и Манделстама [127] и Газиоровича [297].
Полный обзор теории дисперсионных соотношений можно найти у Голд-
€ергера и Оме [328] (см. также лекции Голдбергера [327]).
§ 5.Перспективы
Мы завершили наше изложение современной теории поля. Несмотря
на все трудности и ограничения, несомненно, что из нее вырисовывается
некая «истина». Более того, современная теория в некотором смысле должна
рассматриваться как грубое приближение к правильному физическому опи-
описанию взаимодействий «элементарных» частиц. Ведь успех квантовой эле-
электродинамики не может быть случайным, так же как и то, что одна и та же
константа связи способна объяснить при низких энергиях и взаимодей-
взаимодействие я-мезонов с нуклонами и взаимодействие нуклонов с нуклонами.
Безусловно заманчиво помечать о том, какой будет будущая форму-
формулировка теории поля, и исследовать возможную связь ее с дисперсион-
дисперсионным подходом, основывающимся на аксиоматической формулировке. Ста-
Станем на оптимистическую точку зрения и поверим, что программа Мандел-
Манделстама осуществима. Предположим, что для всех амплитуд можно полу-
получить спектральные представления, которые выражают их аналитические
свойства как функций основных кинематических инвариантов, и что эти
амплитуды удовлетворяют обобщенным дисперсионным соотношениям
и соотношениям перекрестной симметрии (см., например, [586]). Предпо-
Предположим, кроме того, что эти дисперсионные соотношения вместе с условием
унитарности в самом деле могут заменить обычные уравнения теории
поля и могут быть использованы для вычисления всех наблюдаемых вели-
величин и выражения их через конечное число констант связи и масс [310].
Тогда вполне возможно [532, 533, 127], что наблюдаемые следствия такой
теории будут совпадать с теми, которые выводятся из локальной, перенор-
перенормируемой теории поля в рамках лагранжева подхода. Это правдоподобно,
так как хотя дисперсионные соотношения и основываются только на
общих принципах квантовой теории поля и при этом не делается никаких
предположений относительно лагранжиана, кроме предположений о ло-
локальности и лоренц-инвариантности, однако требование перенормируемо-
перенормируемости, которое можно рассматривать как некое условие самосогласованности

§ 5. Перспективы 785
теории, фактически конкретизирует вид лагранжиана с точностью до не-
небольшого числа констант связи.
Тем не менее даже успешное осуществление этой программы, по-види-
по-видимому, оставило бы необъясненным наблюдаемый спектр масс «фундамен-
«фундаментальных» частиц, а также симметрии и силу взаимодействий между ними,
которые наблюдаются экспериментально.
Несомненно, что в будущем дальнейшие усилия будут направлены
на попытки установить критерий, отличающий «элементарные» частицы
от связанных состояний, и выяснить, не являются ли некоторые из гипе-
гиперонов «связанными состояниями» других элементарных частиц. Вероятно,
окажется необходимым в этом плане прояснить связь между «условием
микропричинности» (равенство- нулю коммутаторов полевых «наблюдае-
«наблюдаемых», когда пространственно-временные точки разделены пространственно-
подобным интервалом) и реальными процессами измерений.
Можно надеяться, что окончательному решению загадки элементар-
элементарных частиц и их взаимодействий поможет новая информация, которая будет
получена на вводимых в ближайшие годы ускорителях на большие энер-
энергии и со встречными пучками. Не исключена возможность, что, в част-
частности, удастся выяснить, правильны ли сами понятия пространства
и времени, на которых основывается современная теория поля.
50 с. Швэбер

Вопросы и литература
для дальнейшего изучения
Глава 1
1. Принцип суперпозиции гласит, что каждая линейная комбинация состоя-
состояний системы снова является некоторым состоянием системы.
а) Подробно обсудить это допущение в рамках нерелятивистской квантовой
механики, уделяя особое внимание возможностям экспериментального приготовления
суперпозиции состояний.
б) Пусть даны два состояния атома водорода | Wi> и | Ч^)- Можете ли Вы
придумать экспериментальные условия, при которых осуществилось бы состояние
2. Фейнман [250] выдвинул формулировку квантовой механики, в которой
в явной форме выражена идея, что квантовая теория в основном описывает процессы.
В ней дается правило для вычисления амплитуды вероятности а заданного процесса
посредством «интегрирования по путям», причем вероятность процесса равна
| а Р.
а) Показать, что можно провести соответствие между этой формулировкой
квантовой механики и обычной формулировкой на языке векторов в гильбертовом
пространстве.
б) Продумать, является ли формулировка Фейнмана более общей, чем обыч-
обычная, и насколько на самом деле необходимо соответствие между ними.
в) Опираясь на формулировку Фейнмана, ответить на вопросы: как могла бы
измениться нерелятивистская квантовая механика, если бы измерения интервалов
времени, меньших Дт, были невозможны и если бы измерения событий, разделенных
пространственными расстояниями, меньшими | Д] |, были бы невозможны? Какие
ограничения налагает галилеева инвариантность на такую формулировку?
3. Пусть операторы Т, N и S подчиняются перестановочным соотношениям
[Ти Tm] = isimkTk,-
[N, T] = [iV, S] = [S, T]=0.
Найти для этой алгебры нетривиальное представление наименьшей размерности.
Можете ли Вы указать и другие представления обсуждаемой алгебры? Помимо
кпиг, отмечевных в тексте, о применениях теории гр^пп в квантовой механике
см., например, книгу Хейне [361].
В настоящее время готовится к изданию книга Баргмана, Вигнера и Уайт-мана
о релятивистской инвариантности в квантовой механике. Ее содержание кратко
изложено в статье Уайтмана [855].
Обзор литературы по принципам симметрии и элементарным частицам дан
Мелвипом [548] и Романом [670].

Вопросы и литература для дальнейшего изучения 787
Глава 2
1. Показать, что знак скалярного произведения для двух вещественных вре-
мени-подобных 4-векторов х ¦ у = g^x^y"* определяется знаком произведения их
временных компонент хоуо.
2. а) Показать, что если Л^ = 0 и у2>0, то ш2<0.
б) Показать, что если у'1ш11=0 и у2 = 0, то вектор w либо пространственно-
подобен, либо параллелен вектору у, т. е. либо до?<0, либо w = cvt где c=const.
3. Показать, что если четыре вектора v(u, i><J>, cJJ'h^41 попарно взаимно орто-
ортогональны и линейно независимы, то один из них времени-подобный, а три—про-
три—пространственно-подобные.
4. Рассмотрите, собственные функции и собственные значения преобразования
Лоренца Л.
5. Обратите внимание, что если с координатами пространственно-временнбй
точки х^ связать матрицу
/хО-^-хй X*- — i
\х1-{-1
1х
* хО —
то det X = D (X) имеет величину D (X) — gilvxilxv.
а) Пусть матрица
/а р\
w=[
W
с комплексными элементами о, р, у, б имеет определитель, равный единице, и пусть
(а у\
есть эрмитово сопряженная ей матрица. Доказать, что соотношение
X' = WXW*
определяет собственное преобразование Лоренца х'^=А^ху [т. е. доказать, что
detA=+l, Ло!>1, все матричные элементы A^v — вещественные числа и
б) Рассмотрите преобразования, порождаемые матрицами W вида
/о р
F W A)
detPF=l,
0. Пусть ^i ... xnuyi ... уп—такие две системы вещественных 4-векторов,
что
а) xvxj=yryj (/=1, 2, ... п);
б) каждый из векторов х; и ух (t=l, 2, ... п) лежит в переднем световом
конусе или на нем;
в) если все векторы xt изотропны, то они не все коллинеарны.
Доказать, что тогда существует такое преобразование Лоренца Л, Л 6 Lt, при
котором
Кхь = у1 (» = 1, 2, ... га).
7. Подробно продумайте свойства, которые имели бы:
а) частицы с отрицательной массой и отрицательной энергией^
50*

788 Вопросы и литература для дальнейшего изучения
б) частицы с положительной массой, но пространственно-подобными им-
импульсами, если бы такие частицы существовали.
Об интересном отступлении от обычного соответствия между неприводимыми
представлениями и элементарными частицами, при котором принимается во внима-
внимание существование античастиц для каждой из частиц, см, статью Экстейна [219].
Глава 3
1. Получить явное представление волновой функции Ньютона — Вигнера в кон-
конфигурационном пространстве для частицы с нулевым спином, локализованной
в момент времени у0 вблизи топки у.;
2. а) Вычислить вероятность обнаружения частицы Клейна — Гордона в точке у
в момент времени у0, если известно, что в момент времени t = 0 она была локали-
локализована в начале координат. Получить явные выражения для случая | у ] ^> у0 и для
случая | у |< г/о.
б) Обсудить полученный для случая | у | J> y0 результат в свете релятивист-
релятивистского принципа причинности, который утверждает, что ни один сигнал не может
распространяться со скоростью, превышающей скорость света.
3. а) Получить решения уравнения Клейна — Гордона в однородном постоян-
постоянном внешнем электромагнитном поле, тензор F^ которого имеет только одну
отличную от нуля компоненту.
б) По возможности полнее обсудить решения «квадратного» уравнения для
этих случаев.
Глава 4
1. а) Показать, что матрицы Дирака iy^, удовлетворяющие соотношению
[Y(i,'Yv]+ = 2g1J'v, могут быть выбраны так, чтобы каждая из матриц iy^ (|х=0, 1, 2, 3)
была вещественной (представление Майорана [527]).
б) Получить явное представление этих матриц.
в) Матрицы
где
а2_62=1;
подчиняются перестановочным соотношениям [у'^, Yv]+=2gliv. Получить явное
представление преобразования подобия S, которое связывает матрицы у'1* и у1*:
2. а) Показать, что решения уравнения Дирака с положительной энергией,
нормированные согласно ии=1, могут быть записаны в виде
где и0 — это либо ( rt ) , либо ( „ I , причем а+ и р_—обычные двухкомпонент-
ныо спиноры Паули, соответствующие проекции спина -\- 1/2 и —1/2.
б) Найти в явном виде средние значения операторов О1 = у^, y^Y5> a^V> Уь
в состояниях us (p) и Vs (р) (т. е. вычислить величины us0{us и 1^0{еэ). Проанализи-
Проанализировать полученные ответы для того случая, когда р=@, 0, р).

Вопросы и литература для дальнейшего изучения 78У
3. Получить в явном виде представления для матричных элементов операторов
°i = y>1, У^У5, о^, уь между спинорами us (р2) и иТ (pt). Подробно проанализировать
случай, когда
Pi = (E, О, 0, р),
Р2 = (Е, О, 0, -р),
т-. е. вычислить величину us (p2) О,иг (pi).
4. В некоторой лоренцевой системе отсчета электрон претерпевает рассеяние
из состояния с импульсом pi в состояние с импульсом р2- Показать, что существует
такая лоренцева система отсчета, в которой это рассеяние сводится только к обра-
обращению направления движения.
5. а) Вычислить следы:
б) Доказать, что
где суммирование распространяется на все возможные способы объединения векто-
векторов в пары с ограничением, что Pi<^p2, Рз<^Р^ ¦¦¦, причем 6p=rhl, в зависимо-
зависимости от того, является ли (piP? ... рп) четной или нечетной перестановкой чисел
A2 3... я). Показать, что имеется B/n)!/2mm! членов (я=2т).
6. Большие и малые компоненты решения уравнения Дирака (р — т)л|) = Уг|)
определяются как л|)± = 1/2 (lrbYo)^- (Выбрано такое представление, в котором
матрица -уо^Р диагональна.)
а) Найти уравнение для г^+ и показать, что когда кинетическая энергия
частицы Т (jt?0^m"|-T) мала, Г-С m, to i[7+ сводится к нерелятивистской шредин-
геровской волновой функции. (Отметим, однако, что «гамильтониан» в точном
уравнении для л|)+ не обязательно эрмитов. Почему?)
б) Получить перелятивистский предел уравнения, которому удовлетворяет
волновая функция л|)+ для следующих случаев:
A) У = ^4Ц;' B) У = уъи; C) V^i
D) V = a^P^; E) V = yfpVkVF^-1 F) V = i
7. а) Получить решения уравнения Дирака для электрона в кулоновском
поле, используя, что оператор J = L-)-1/2 2 и оператор пространственного отраже-
отражения P = |3-R (R — оператор, который изменяет знак пространственных координат
#i, х2, ?з) являются интегралами движения.
б) Обсудить связь между операторами ЛГ=р B-L-j-l) и Р.
в) Классифицировать состояния, используя операторы J2, J3 и К.
г) Подробно рассмотреть S1^-, P\/2-, Рз/2~ и D3^-состояния и выразить
для них в явном виде дираковские спиноры.
8. Найти решения уравнения Дирака в
а) однородном не зависящем от времени электрическом поле;
б) одпородпом не зависящем от времени магнитном поле. Показать, что в
этом случае существуют состояния с энергией Е=т.

790 Вопросы' и литература для дальнейшего изучения
9,- Найти операторы проектирования, выделяющие состояния с определенными
епиральностью и импульсом, в случае уравнения Дирака для свободной частицы.
О релятивистском описании поляризации частицы со спином 1/2 см. статьи
Мишеля [551] и Бушиа [80].
10. Получить представления матриц у5, у^, а^х, YsY^ и 2-р в представлениях
Фолди—Вотхойзена и Чини—Тушека.
11. В связи с тем, что внешнее поле выделяет некоторую лоренцеву систему
отсчета, обсудить смысл понятия «релятивистская инвариантность» в применении
к уравнению Дирака во внешнем поле. (См. статьи Эддингтона [205, 206] и Дирака,
Пайерлса и Прайса [175].)
Глава 5
Относительно разных формулировок теории двухкомпонентного нейтрино
см. статьи Кейза [ИЗ], Мак-Леннана [525] и Тейса [773].
1. В данной лоренцевой системе отсчета L можно описывать фотон, летящий
в направлении оси z и поляризованный вдоль оси х, при помощи 4-потенциала:
причем
е^A) = @, 1, 0, 0),
№=(«), 0, 0, <о).
Указать описание этого фотона с точки зрения наблюдателя,, движущегося
вдоль оси х со скоростью v относительно системы отсчета L.
Глава 6
1. Рассмотреть операторы ак, а?, которые подчиняются перестановочным соот-
соотношениям
и ввести систему операторов
bk = ch Xa
а) Найти перестановочные соотношения для операторов Ь.
б) Показать, что если система операторов ак конечна (т. е. k = i, 2, ... п),
то существует такое унитарное преобразование
что
Выразить в явном виде операторы Г(П) через операторы а.
в) Доказать, что в пределе п -* со
lim <? | Vm | Ф> -*¦ О,
где | ?> и |Ф> —любые состояния вида На* |0>.
2. Рассмотреть вторично-квантованную формулировку теории бесспиновых
нерелятивистских частиц, взаимодействующих попарно, причем потенциал взаи-
взаимодействия F=F(|x—у|) убывает быстрее, чем — (г = |х — у|).

Вопросы и литература для дальнейшего изучения 791
Пусть /а(х, t)—нормируемое (типа волнового пакета) решение уравнения
Шредингера
Построим оператор
а) Доказать, что состояние
не зав'исит от времени и, кроме того, что, если система {fa (x, t)} ортонормиро-
вана, то
б) Допустим, что потенциал V может привести к образованию связан-
связанных двухчастичных систем. Обозначим шредингеровские волновые функции
этих связанных двухчастичных состояний через щ (х4, х2, t). Найти уравнение
движения для двухчастичного оператора
= у= jj d'x J d*y<f (x, у; t) г]>* (х, t) q* (у, t).
S>?* @
в) Доказать, что состояние | b) = tyf* (t) \ 0> не зависит от времени.
г) Доказать, что если потенциал имеет предположенное выше асимптоти-
асимптотическое поведение, то существуют пределы операторов
lim 4>*(i) = 4?in,
out
lim
д) Вычислить
A) <0[^
B) <0|^
Теория взаимодействующих нерелятивистских частиц за последние годы уси-
усиленно разрабатывалась и в ней были достигнуты значительные успехи. В [166],
а также в записках Летней школы в' Брандейсе за 1959 г. читатель может
найти хорошее введение во многие вопросы этой теории. Более формальный под-
подход к этим вопросам можно найти в статье Мартина и Швипгера [535].
Главы 7 и 8
1. Проверить, что оператор момента количества движения для скалярного
поля определяется формулой
М = —у ^ d*x [я (х, t), [хх V] ф (x,t)]+
и что он удовлетворяет перестановочным соотношениям
[Mh Mj] = isijmMm.
Обсуждение свойств системы из N мезонов можно найти в статье Пайса [616].
2. Получить оператор момента количества движения для дираковского поля.
Найти его собственный значения для одночастичного состояния, импульс которого
равен нулю.

792 Вопросы и литература для дальнейшего изучения "
3. а) Найти явные представления операторов U (is), U (if) и Uc для кванто-
квантованных теорий поля частиц со спином 1/2.
б) Рассмотреть трансформационные свойства дираковского оператора i|) (x)
при преобразовании Uc, используя майорановское представление "у-матриц-
4. Исследовать двухкомпонентную теорию нейтрино в импульсном представ-
представлении в пространстве Фока [773].
5. Рассмотреть в конфигурационном пространстве (пространстве Фока)
систему нуклонов со спином !/2, ойисываемых операторами г|)т (х) (т—индекс изо-
изотопического спина).
Формулировка теории поля, в которой используется принцип Фейнмана [250],
описана, например, в статьях Полкингхорна [645] и Мэтыоза и Салама [546].
Глава 9
1. Найти оператор момента количества движения для фотонного поля и рас-
рассмотреть его собственные значения в однофотонном состоянии.
2. Обсудить свойства двухфотонных состояний при преобразованиях Т, С, Р
ш СРТ.
О формулировке квантованной теории электромагнитного ноля в кулоновской
калибровке см., например, статьи Швингера [718, 719], Валатина [798] и Озаки [607].
Изложение квантованной теории поля частиц со спином 1 можно найти
у Паули [629] и Вентцеля [836].
Глава 10
О возможной связи между сильными н слабыми взаимодействиями см. статью
Гелл-Манна и Леви [315].
О теории сильных взаимодействий, основанной на идеологии Янга—Миллса,
см. интересную статью Сакураи [687] *).
Глава 11
1. Распространить формализм Липпмана—Швингера и формализм общей тео-
теории рассеяния на случай, когда гамильтониан Hq имеет связанные состояния.
2. Доказать, что при рассеянии нерелятивистской частицы на потенциале V
/(в, ф) = —g-rta|k.
где единичный вектор п = — характеризует направление, под которым произво-
производится набдюдение.
3. Показать, что вследствие унитарности ^-матрицы приведенная ^-матрица
s, определяемая согласно
(Eb, yb\S\ Еа, уа) = 6 (Еа-Еъ) $уъУа (Еа) = б (Ea-Eb) (yb | s (Еа) \ уа),
может быть преобразована к диагональной форме. Обозначая через Г наблюдаемые-
в соответствующем представлении, определим 6Г соотношением
а) Показать, что тогда приведенная Д-матрица будет иметь вид
бгг,.
)— -elersin6r
г) О правильной интерпретации теорий Яига—Миллса как теорий, предназ-
предназначенных для описания частиц со спином 1 в реальных и виртуальных состоя-
состояниях, см. в [915].—Прим. ред.

Вопросы и литература для дальнейшего изучения 793
б) Доказать, что для рассеяпия бессииновой нерелятивистской частицы на
сферически симметричном потенциале V величины 6? являются фазами. Доказать,
что фазы зависят только от асимптотических свойств i|)Jjm ('")= {rim | т|>?). При
доказательстве сначала следует убедиться, что
" т.- - -й h " W.-^ -*&*¦«- и} ¦
4. Доказать, что если б (р) есть фаза рассеяния для заданного момента коли-
количества движения, а га и т0 — числа связанных состояния гамильтонианов Н и Но,
для тех же моментов количества движения, то (см. [393])
б (сю) — б @) = (то — т) п.
5. Доказать, что
где e(t) = t/} t \. (Обзор теории рассеяния см. в статьях Глаубера [321] и Бренига
и Хаага [85].)
Глава 12
1. Показать, что в нейтральной скалярной теории вероятность найти вблизи
нуклона л (виртуальных) мезонов дается распределением Пуассона
Показать, что в пределе точечного нуклона вероятность рп равна нулю.
2. Вычислить среднее значение оператора мезонного поля в физическом одно-
нуклонном состоянии в случае нейтральной скалярной теории.
3. Получить гейзенберговские уравнения движения для операторов поля
в модели нейтрального скалярного поля. Вычислить вакуумное среднее значение
произведения гейзенберговских операторов г|э(р, t) и г|)*(р', t'):
<О|г|)(р, г)г|э*(р', t')\O) = G(p, p'; t — ?') для t^>t'.
Рассмотреть аналитические свойства фурье-образа по t — t' функции G в ком-
комплексной «-плоскости. Аналогичным образом вычислить и обсудить
<O|tp(k, <)ф(к', i')|0> = g(k, к'; г — t').
4. Вычислить результат действия Ua @, —со) па двухнуклонное состояние
г|)* (pt) г|)* (р2) | 0> в нейтральной скалярной теории.
5. а) Показать, что перенормированный гейзенберговский оператор нуклон-
ного поля в скалярной модели
имеет конечные матричные элементы между физическими состояниями (т. е. соб-
собственными состояниями гамильтониана Н) даже в пределе v (k2) -* 1 при всех к.
б) Показать, что в пределе точечного источника г|)д B) (t Ф 0) при действии
на вакуумное состояние не приводит к вектору в гильбертовом пространстве.
в) Вычислить || i|)Jj (t) W ||2 и II \|)д (г) *Р ||2, где 11F>—произвольное состояние.
Показать, что одна из этих двух величин пропорциональна Z~! и поэтому стано-
становится бесконечной в пределе / —>• 1.

794 ¦ Вопросы и литература для дальнейшего научения
6. По возможности полнее рассмотреть модель Ли, в которой 6-частица имеет
•только одну степень свободы и гамильтониан которой имеет вид
¦а перестановочные соотношения для операторов суть
[V\ V}+ = [N*, 7V]+ = [6, 6*1 = 1,
[6, 6] = [F, N]+ = [N, N]+=... [V*. N*]+ = 0.
7. Рассмотреть модель Ли для одиночных V- и N-частиц
cPk(oka* (k) a (k)+g0 \ (V*Na (к) ±N*Va* (к)) / (к) d4.
Показать, что взаимодействие V- и N-частиц с 6-частицами осуществляется только
в состояниях с нулевым моментом количества движения. Записать гамильтониан
через' операторы рождения и уничтожения мезонов в состоянии с / = 0.
8. Амплитуду фр,к, (к; р) = @ | akN (р) | р', к'>+ можно рассматривать как
волновую функцию N—6 системы, подвергающейся рассеянию. Исследуя матричный
элемент <0 | [H,akN (p)] |p', k')+, получить уравнение движения для этой амплитуды.
Решить этим способом задачу рассеяния.
9. Рассмотрим гамильтониан
Я = J d4ak (akak+b*kbk)-g ^ cPkf (к)
соответствующий взаимодействию заряженных скалярных мезонов с бесконечно
тяжелым нуклоном.
а) Получить уравнения, которым удовлетворяют амплитуды в пространстве
•Фока
•если | > представляет:
1) состояние физического нуклона I f>+;
2) состояние рассеяния системы мезон—нуклон | к; О+ или | q; t)+.
Сразу же напрашиваются следующие два приближенных метода:
I. Предположить, что (klt ... kn; q4, :.. qm | > может быть аппроксимировано
выражением
n m
(к1( ... kn; 4l, ... qml> = cnmf] [] q> (k?) ^ (q;) (n, m = 0, 1, 2, ...),
где функции ф и ч|) заданные. Затем определить коэффициенты спт так, чтобы
•они минимизировали среднее значение гамильтониана. Этот метод известен как
метод промежуточной связи Томонага (см. Progr, Theor. Phys., Suppl. No. 2).
П. Предположить, что существенны только амплитуды
<ki, ... knlqj, ... qm|> с
а амплитуды с re>7V и /д>М положить равными нулю. Этот метод известен как
метод Тамма — Данкова (см., например, работу Бете [54] и обзор Силина и Файн-
«ерга [731]).
б) Дать формулировку этих приближенных методов для модели Чу.
в) Показать, что метод Томонаги в общем случае равносилен предположению,
что занято только несколько одномезонных состояний, но в этих состояниях может
находиться произвольное число мезонов. Показать, что это приближение может

Вопросы и литература Эля дальнейшего научения 795
быть сделано непосредственно в гамильтониане путем определения новых опе-
операторов
Л*г=^зь|(к)фг(к),
где индекс i относится к квантовому числу заряда, а ф; (к) соответствуют волно-
волновым функциям тех одночастичных состояний, которые предполагаются заня-
занятыми [528].
г) Получить уравнения для спт в случае заряженной скалярной теории.
д) Решить в модели Чу задачу мезон-нуклонного рассеяния в приближении
Тамма — Данкова, оставляя только те амплитуды, которые содержат не более
Двух' мезонов. • Показать,' что в этом приближении нарушается перекрестная
симметрия.
10. Доказать, что
I*, *>± = U, *>+=fi±|s, t),
где ft* —матрица Мёллера, a \s, t) — состояние «голого» нуклона. Для этого
в явном виде вычислить матрицу ft*.
11. Доказать, что операторы проектирования J*v(k2, к4), определенные форму-
формулами A2.258) и A2.259), удовлетворяют уравнению
где 12 = —i[k2xVk2]—оператор момента количества движения, связанного
с импульсом к2.
12. а) При нерелятивистском описании нуклона в модели Чу можно учесть отдачу
при помощи следующего гамильтониана:
з
Замечая, что оператор полного импульса
3
коммутирует с гамильтонианом, показать, что в системе центра масс эффективный
гамильтониан имеет вид
3D
О
Я'= \ d*k 2 a*ikaik ('сок^-|^) + Я1 +JL- \ d*k \ d4> ^ <^'W***'¦
б) Инвариантна ли эта теория относительно преобразований Галилея?
в) Оценить величину поправок на отдачу для фазы 633-
13. Получить модифицированное уравнение Чу—Лоу для случая, когда
к гамильтониану добавлено взаимодействие (ф-фL (соответствующее я-я-взаимо-
действию) [757].
О другом подходе к рассеянию мезонов на нуклонах при малых энергиях, при
котором вычисляются составляющие состояния рассеяния системы мезон—нуклон
| Чг>+, относящиеся к состояниям, которые содержат один физический нуклон и один
свободный мезон, aki | s, t)+, см. статью Боско, Фубини и Стангеллини [78].

796 Вопросы и литература для дальнейшего изучения
14. Вывести и решить уравнепия Лоу для скалярного поля, взаимодействую-
взаимодействующего с фиксированными источниками.
15. а) Вывести уравнения Лоу для заряженного скалярного поля, взаимодей-
взаимодействующего с фиксированным нуклоном.
б) Решить -в одномезонном приближении уравнение Лоу для рассеяния ме-
мезона.
16. Вывести уравнения Лоу для модели Ли.
17. Рассмотрим класс гамильтонианов, имеющих вид
IV
dka*(k)(o(k)a(k)+"
3 N
"I — g >l >l t
j=l u=l
Гамильтонианы такого вида представляют взаимодействие с мезонным полем
«нуклона», который способен существовать в N возбужденных состояниях.
« а) Показать, что если разности Mt—Мх достаточно велики по сравнению
с массой мезона |х, то возбужденные состояния невозмущенного нуклона не при-
приводят ни к каким дополнительным связанным состояниям в спектре полного
гамильтониана Н.
б) Показать, что для любого гамильтониана из указанного выше класса
получается одно и то же уравнение Лоу.
Глава 13
1. Выразить каждую из сингулярных функций D, S и Д через известные
функции (Бесселя, Ханкеля и Неймана).
2. Вывести однородные или неоднородные уравнения, которым подчиняются
каждая из сингулярных функций.
3. Найти функции, представляющие спаривание
а) нуклонных операторов if^ (cc),
б) мезонных операторов <рг-(ж),
в) гиперонных операторов в рассмотренных в гл. 10 теориях сильных взаи-
взаимодействий.
Глава 14
1. а) Показать, что в приближении (ЛеJ возникает различие в рассеянии
позитронов и электронов на внешнем поле, и проследить природу механизма,
ответственного за это различие.
б) Обсудить степень расходимости несвязных диаграмм с петлями в теории
взаимодействия электронно-позитронного поля с внешним полем.
в) Обсудить связь между вероятностью обнаружения пар и компонентами
с отрицательной энергией амплитуды @ | -фе (х)\ 1 электрон) =% (х) в ее разложении
по решениям свободного уравнения Дирака.
2.а) Доказать, что в низшем порядке теории возмущений число пар бозонов,
образованных в единичном объеме пространства-времени внешним электрическим
полем # = (^0cos Ш, 0, 0), равно

Вопросы и литература для дальнейшего изучения 797
¦*" ¦ —— i - "" ——.
б) Получить выражение для полной переданной энергии и связать эту вели-
величину с мнимой частью комплексной диэлектрической постоянной «вакуума» заря-
заряженного бозонного поля.
в) Вычислить вещественную часть, предполагая, что диэлектрическая пб-
стоянная подчиняется дисперсионному соотношению (см. статьи Уилера и Ювима
[225] и Толла [781]).
г) Повторить эти вычисления для электронно-позитронного случая.
3. Получить правила Фейнмана для
а) псевдоскалярной мезонной теории (ч|)—изотопический спинор, аср—изото-
аср—изотопический вектор),
б) теории fj-распада Ферми,
в) рассмотренных в гл. 10 теорий сильных взаимодействий,
г) теории нерелятивистских (шредингеровских) фермионов с двухчастичным
потенциалом взаимодействия (см., например, статьи Дюбуа [189, 190]),
д) теории нерелятивистских бозонов с двухчастичным потенциалом взаимо-
взаимодействия.
В каждом случае подробно исследовать роль несвязных диаграмм типа замкну-
замкнутой петли. Показать, что в релятивистски инвариантной теории величина <Ф0| S | Фо>с
является мнимой.
4. а) Запишем матричный элемент б'-матрицы для комптоновского рассеяния
в виде
» Mi \ 1/,
Доказать, что величина uTftu релятивистски инвариантна.
б) Получить соотношение между дифференциальным эффективным сечением
комптоновского рассеяния в лабораторной системе и системе центра масс.
5. а) В низшем порядке теории возмущений вычислить амплитуду и эффектив-
эффективное сечение для рассеяния фотона на частице со спином х/2, имеющей заряд е,
массу М и аномальный магнитный момент Х- (Вершинный оператор в этом случае
приобретает вид
тт X . v
где q—четырехмерный импульс, переданный в этой вершине [649].)
б) Найти предел малых энергий для этой амплитуды рассеяния и эффектив-
эффективного сечения.
6. Вычислить в низшем порядке теории возмущений рассеяние электрона на
частице со спином 1/2, имеющей заряд е, массу М и аномальный магнитный
момент X (формула Розенблюта [674]).
7. Найти в низшем порядке теории возмущений амплитуды рассеяния и эффек-
эффективные сечения для л*-л~- и я±-я:±-рассеяний, учитывая только электромагнит-
электромагнитные взаимодействия.
8. В низшем порядке теории возмущений найти амплитуды следующих процес-
процессов:
а) аннигиляции е+-\-е~ —> 2у 1 (с учетом только электромагнитного
б) аннигиляции я+-(-я——> 2у ] взаимодействия),
в) аннигиляции р-\-р~ —-> 2я (в PS — ^-теории).
Вычислить в каждом случае время жизни.
9. Обсудить связь между амплитудами процессов
(а также процессов е+-\-е- —> 2у и е±-\-у —> е*-]-у).

798 Вопросы и литература для дальнейшего изучения
10. Найти в низшем порядке теории возмущений амплитуды рассеяния я-ме-
зонов на нуклонах в PS—РЛ-теории. Сравнить их с амплитудами этих же про-
процессов в PS— РУ-теории.
11. Вычислить в низшем порядке теории возмущений эффективные сечения
для образования
а) электронно-позитронной пары,
б) пары ц+—ц~,
в) пары я+—я~,
при рассеянии на ядре свинца
а) фотона,
б) электрона,
в) ц-мозона.
Считать ядро свинца бесконечно тяжелым и учитывать только электромагнит-
электромагнитные взаимодействия.
Исследовать зависимость этих эффективных сечений от состояния .поляриза-
.поляризации падающей частицы.
12. Вычислить время жизни нейтрального псевдоскалярного л°-мезона относи-
относительно распада на 2^-кванта в предположении, что взаимодействие имеет вид
где ф—оператор я°-мезонного поля, а| и &в—операторы напряженностей кван-
квантованных электрического и магнитного полей. Показать, что фотоны поляризованы
во взаимно перпендикулярных направлениях.
13. Показать, что если для объяснения распада (Л*—> e^-^-v-^-v использовать
гамильтониан
~ 1 ~ 1
A ) "у (* —*Ys) v+9- с->
то в случае распада поляризованного (А+-мезона позитрон и антинейтрино будут
иметь тенденцию вылетать в противоположных направлениях, а нейтрино — в на-
направлении, противоположном направлению спина ц.+-мезона.
14. а) Показать, что инвариантность гамильтониана относительно преобразований
симметрии в общем случае влечет за собой инвариантность вероятности перехода
относительно некоторых «кинематических» преобразований квантовых чисел в на-
начальном и конечном состояниях. (Пример. Из инвариантности гамильтониана
и относительно пространственных отражений вытекает инвариантность вероятности
перехода относительно изменения знаков всех импульсов в начальном и конечном
состояниях.)
б) Обсудить свойства вероятности перехода, вытекающие из инвариантности
гамильтониана Н относительно антиунитарных преобразований Т и СРТ.
15. Показать, что распад з^-состояния позитрония на 2^-кванта запрещается
законом сохранения момента количества движения.
16. а) Изучить свойства амплитуды процесса я0 —> 2у, вытекающие из инва-
инвариантности относительно преобразований Лоренца и СРТ-, PC-, TP-, Т-, Р-, С-пре-
образований (см. статью Бернштейна и Мишеля [48]).
б) Рассмотреть ограничения, вытекающие из инвариантности относительно'
обращения времени, на следующие типы распадов:
1) К°г—>2я [823],
2) К+—>n ++it° + v [686].
17. Зададим плотность лагранжиана взаимодействия для р-распада нуклонов
и виде
2 ())))+ С.,

Вопросы и литература для дальнейшего изучения 79»
где Са$уй — константы (вообще говоря, комплексные). Провести систематическое
исследование вида CapV6 при условии, что плотность лагранжиана Xj должна
быть инвариантной относительно
а) однородных собственных преобразований Лоренца,
б) преобразования СРТ,
в) Т или PC.
18. Пусть a| fg(k) — оператор рождения частицы с полным изотопическим
спином t(t-\-i), третьей компонентой изотопического спина t3 и импульсом к,.
а а( ;3(к) — оператор рождения соответствующей античастицы. Тогда эти операто-
операторы будут подчиняться перестановочным соотношениям
l ц± (к)
[Т3, я* /з(к)] = г3<(з(к),
и связь между операторами частицы и античастицы выразится в виде
(исключая фазовый множитель). (С—унитарный оператор зарядового сопряжения.)
а) Определить из указанных'выше соотношений трансформационные свой-
свойства Т при зарядовом сопряжении.
' б) Определить трансформационные свойства операторов а{ (з, aj t и Т
при преобразовании
соответствующем вращению на 180° вокруг оси 2 в изотопическом пространстве.
в) Обсудить трансформационные свойства операторов при преобразовании
G=CR.
Показать, что CR=RC.
г) Рассмотреть связь между собственными состояниями | Г', Т'3) операто-
операторов Т и Т3 и состояниями G\T', T'3).
д) Найти собственные значения операторов R2 и G2 для состояний | Г', Г3>.
19. а) Получить явные представления операторов G, С, R и их квадратов
для систем, состоящих из
1) свободных нуклонов,
2) свободных я-мезонов,
3) взаимодействующих Я-мезонов и нуклонов.
б) Обсудить следствия, вытекающие из требования, чтобы теория сильных
взаимодействий была инвариантной относительно преобразования G.
20. Получить правила отбора для аннигиляции N и N на я-мезоны в С-инва-
риантной теории.
21. Показать, что если Т—антиунитарный оператор обращения времени,
а |/, тп) — собственные функции операторов полного момента количества движения
/2 и его проекции J3, то
Г.|/, то>=т1( — 1)т|;\ — т>, ~~
где г)—фазовый множитель. (Следует учесть, что с точностью до фазового множи-
множителя TJr-i=—J.)
Глава 15
1. а) Используя гамильтониан'A5.45), вычислить время жизни атома водорода
В 2Р-СОСТОЯНИИ.

¦800 Вопросы и литература для дальнейшего изучения
б) При помощи гамильтониана A5.56) найти в дипольном приближении, но
« учетом спин-орбитальной связи в V формулу для времени жизни атома водо-
водорода в 25-состоянии относительно двухфотонного распада.
в) Оценить это время жизни и рассмотреть влияние каскадного распада
2S-*2Pl/t-HS.
2. Обсудить сходимость метода Бете вычисления лэмбовского сдвига в том
случае, когда используется гамильтониан A5.56), но не делается дипольиого
приближения.
3. а) Используя гамильтониан A5.56) в дипольном приближении, получить
дифференциальное сечение для упругого рассеяния фотона па атоме водорода
в основном состоянии.
б) Показать, что в «пределе высоких энергий» (но все еще при к<^т) полное
эффективное сечение, усредненное по поляризациям, равно томсоновскому эффек-
8лг?
тнвному сечению —~? .
о
в) Показать, что в пределе малых энергий полное эффективное сечение
определяется формулой рассеяния Релея и сПолн ~ ^4-
г) Сформулировать метод Тамма—Данкова для случая резонансного рассея-
рассеяния, уделяя особое внимание связи между шириной резонанса и собственной
энергией резонансного состояния.
4. Показать, что в низшем приближении по электромагнитным эффектам по-
поправка к массе протона и нейтрона может быть записана в виде
где и.—статический аномальный магнитный момент. Коэффициенты А, В и С —
постоянные числа, и их значение зависит от принятой модели сильных взаимо-
взаимодействий. Показать, что для нейтрона коэффициенты А и В равны нулю [255].
5. Пусть М—масса бариопа в теории сильных взаимодействий Гелл-Манна,
когда не учитываются взаимодействия с АГ-мезонами. Показать, что во втором
порядке по константам связи с /sT-мезонами (но при точном учете взаимодействий
с л-мезонами)
где Д во всех случаях представляется одним и тем же интегралом, и что поэтому
независимо от величин констант связи АГ-мезонов с барионами имеет место соот-
соотношение
2 ~ 4
Относительно 2+ — 2~ разности масс см., например, статью Като и Такеда[434].
6. а), Найти унитарное преобразование, переводящее из калибровки Фейнмана,
в которой функция распространения фотона есть gnV&~2, в калибровку Ландау,
в которой функция распространения фотона есть (g^v — к^кук-2) к~2.
б) Показать, что перенормировку заряда можно при помощи канонического
преобразования включить в переопределение внешнего поля Ае.
7. а) Вычислить радиационные поправки низшего порядка к одно- и двухфо-
тонной вершинам для заряженных частиц со спином 0.
б) Вычислить в низшем порядке теории возмущений эффекты поляризации
вакуума, обусловленные я+—я~-петлями.

Вопросы и литература для дальнейшего изучения 801
8. Рассматривая рассеяние протона и нейтрона на внешнем электромагнитном
поле, вычислить статические магнитные моменты нейтрона и протона в низшем
приближении по мезонным взаимодействиям в
а) скалярной теории со скалярой связью,
б) Р5 — Р?-теории,
в) PS—PF-теории.
9. а) Вычислить в явном виде форм-факторы заряда и магнитного момента
электрона в первом порядке по а.
б) Найти соответствующие распределения в конфигурационном пространстве.
10. Вычислить форм-факторы заряда и магнитного момента нейтрона и про-
протона в низшем порядке по мезонным эффектам в PS—Р5-теории.
11. Обсудить электромагнитные поправки к распаду ц* -+ e±-j-v-|-v (см. статью
Вермана [45]).
О радиационных эффектах при рассеянии электрона на электроне при высо-
высоких энергиях см. статью Тсаи [786]. Обзор вопроса о рассеянии электронов при
высоких энергиях можно найти в Трудах Киевской конференции по высоким энер-
энергиям A959 г.).
12. а) Получить SeF для случаев:
1) однородного постоянного магнитного поля,
2) однородного постоянного электрического поля.
б) Используя эти результаты, вычислить в низшем порядке возмущений
собственную энергию электрона в однородном не зависящем от времени магнитном
поле и получить выражение для его магнитного момента [298, 299].
в) Как можно было бы использовать этот подход для получения магнитного
момента протона и нейтрона?
Обзор состояния теории ядерных сил на 1956 г. можно найти в Progr. Theor.
Phys., Suppl. № 3 A956), и, в частности, в статье Нишижимы [583]. О достиже-
достижениях в этой области по состоянию на 1959 г. см. статью Филлипса [639]. Подход,
в котором используется теория дисперсионных соотношений, освещен в обзоре
Голдбергера [326].
Глава 16
1. Обсудить, соблюдается ли тождество Уорда для протон-фотонной вер-
вершины. (Рассмотреть систему мезон—нуклон в PS — Р^-теории при наличии электро-
электромагнитных взаимодействий.)
2. Получить тождество Уорда в теории заряженных мезонов, взаимодействую-
взаимодействующих с электромагнитным полем.
3. Вывести тождество Такахаши (обобщенное тождество Уорда) для указан-
указанных выше случаев.
Глава 17
1. Вычислить спектральную функцию q (т2) для мезонного «двухточечника»
в низшем порядке по константе связи в нейтральных скалярной и псевдоскаляр-
псевдоскалярной теориях со скалярной и псевдовекторной связями.
2. а) Обобщить анализ Лемана на случай, когда мезонные операторы являются
векторами в изотопическом пространстве. При этом предположить инвариантность
теории относительно произвольных вращений в изотопическом пространстве и отно-
относительно зарядового сопряжения.
б) Сделать то же самое для нуклонного «двухточечника».
51 с. Швебер

802; Вопросы и литература для дальнейшего изучения
3. Сформулировать теорию возмущений для спектральных функций в слу-
случае PS—АУ-мезонной теории.
4. а) Показать, что метод суммирования весовых функций Редмонда — Боголю-
Боголюбова не изменяет содержания теории, если в точных решениях рассматриваемой
теории нет «духовых» состояний.
б) Показать, что в теории, имеющей «духовые» состояния, этот метод можно
рассматривать как модифицирование исходного лагранжиана нелокальным образом.
5. Показать, что в силу леммы Римана—Лебега
. lim (?, ф(ж)Ф) = 0,
Х0-*±со
что дает еще один повод рассматривать операторы tpf (t) при определении асимпто-
асимптотического предела.
6. Получить выражение для сечения комптоновского рассеяния в пределе
низких энергий, если предполагается только инвариантность относительно СРТ-
преобразования.
7. Вывести уравнение Бете—Солпитера для р—р- и р — л-систем. Обсудить
лестничное приближение для этих систем (см. статью Окубо и Фелдмана [598]).
8. Определяет ли в принципе точное уравнение Бете — Солпитера высшие
возбужденные состояния атома водорода?
9. Получить выражение для сечения упругого рассеяния фотона на атоме
водорода в основном состоянии. Связать эту величину с выражением, содержащим
амплитуду Бете—Солпитера для основного состояния.
Глава 18
1. Найти функции Уайтмана для теории свободных частиц со спиной Vz-
2. Показать, что если двухточечная функция Уайтмана W (\) для скалярного
поля ф (х) совпадает с двухточечной функцией Уайтмана Wt0> (g) для свободного поля
при !о = О, то ф (х) является свободным полем. (Это утверждение называют теоре-
теоремой Хаага [347]; см. также статьи Холла и Уайтмана [355], Гринберга [340]
и Федербуша [233, 234].) _
3. Рассмотрим двухточечную функцию Уайтмана W**^ (х1у x2) для спинор-
ного поля т|)(х).
а) Найти вытекающие изрелятивистской инвариантности требования и пока-
показать, что
W*&(—!)=— И"" (I).
б) Дать доказательство теоремы о связи между спином и статистикой для
случая спина, равного V2.
4.- Что утверждает СРТ-теорема относительно одновременных перестановочных
соотношений для различных фермионных .полей?
5. а) Показать, что функцию Уайтмана для ^вакуумного среднего от произве-
произведения трех операторов можно записать в виде
WABC(x—х', х'-х1 = -7^уГ \ diP \ d*p'e-i
СО СО СО
X [ da [ db ^ dcb(p* — a)b(p'2 — bN(p-p' — c)Q(p)Q(p')GABC(a, Ъ, с),
Ь 0 Уаъ
если в полной мере использовать спектральные условия и релятивистскую инва-
инвариантность.

Вопросы и литература для дальнейшего изучения 803
б) Провести интегрирования по р и выявить зависимость функция
А+(*-*', »'- *", а, Ь, с)=у [ [
Хб (р) в (я') 6(р2-а) б (р'2-6N(р.р'-с)
от аргументов х—х' и х' — х",
в) Найти СЛВС(а, Ь, с) для случая, когда А (х) = В (ж) = С (х) являются сво-
свободными скалярными полями.
6. Найти такие ограничения на коэффициентные функции ап в разложении
5-матрицы A8.117), которые обеспечивают стабильность вакуумного и одночастич-
ного состояний.
7. Что характеризует теорию свободного скалярного поля на языке т-функ-
ций? Отправляясь от системы свободных полей, получить приближенные решения
уравнения A8.199) методом теории возмущений. В чем заключается связь этих
решений с решениями по теории возмущепий н теории поля с взаимодействием
вида См*(х)-\-С2ув(х) + ... [491, 586)?
8. Сформулировать метод Дайсона вывода представлений для причинных
функций при помощи перехода в пятимерное гиперболическое пространство.
9. Показать, что гейзенберговские операторы ф (х), фурье-образы которых
Ф (Н) удовлетворяют перестановочному соотношению
где оператор Ф зависит от переменных и2, и и (k-]-q), являются локальными.
10. а) Вывести формулы приведения для Т- и Л-произведений операторов
частиц со спилом х/2. С помощью этих формул вывести, в частности, замкнутые
выражения для амплитуд рассеяния следующих процессов:
2) N+N-* N+N,
3) N+~N-+ N+W,
4) . N+N -* я + я,
5) F-t- я -* Ж+ я,
6)
в которых нуклоны (N) рассматриваются как частицы со спином 1/.г (как в обыч*
ном, так и в изотопическом пространствах), а я-мезоны—как частицы со спином О
и изотопическим спином 1.
б) Получить выражение для абсорбционной части амплитуды рассеяния
для каждого из перечисленных выше процессов.
в) Обсудить соотношение A8.348) вместе с соотношениями A8.350) и A8.357)
в связи с обобщением соотношения A8.170) на случай двух полей.
С теорией дисперсионных соотношений для нерелятивистских шредингеров-
ских амплитуд рассеяния, которая не затрагивалась в тексте, можно ознакомиться
по статьям Хури [442], Клейна и Земаха [453] и Бланкенбеклера и др. [60].
Весьма полная сводка литературных данных по дисперсионным соотношениям,
так же как изложение состояния теории дисперсионных соотношений по состоя-
состоянию на 1958 г., содержится в лекциях Тэйлора [771],
51*

804 Вопросы и литература для дальнейшего изучения
11. Предположим, что поля cpj, ф2, фз взаимодействуют с промежуточными
полями фа, фь, ф„. следующим образом:
Массы соответствующих квантов равны mit т2, т$ и та, тъ, тс, и критерии ста-
стабильности заключаются в том, что
а) Показать, что фурье-образ Т {р\, р\, р%) вершинной части
(О | 71(ф1 (xj) ф2(ж2) фз (х3)) | 0> в низшем порядке теории возмущений имеет
следующее представление:
Т(Р\, pi, pl) = — f d(l-a-p-y)dadtdy_
б) Обсудить аналитические свойства Т как функции р\, когда р\ и р\
находятся на своих энергетических поверхностях. Выразить эти аналитические
свойства на языке дисперсионных соотношений.
12. а) Ограничимся при вычислении величины
Im Т (со, Д2) = Л/(со, Д2) (со>О)
только вкладом от состояний из одного мезона и нуклона. Показать, [что, приме-
применяя к этому выражению формулы приведения, можно получить нелинейное инте-
интегральное уравнение для Т. Обсудить связь этого уравнения с выведенными для
модели Чу уравнениями Лоу.
б) Вывести уравнения Лоу для мезон-нуклонной амплитуды и обсудить
их связь с теорией дисперсионных соотношений (см. [602]).
13. Найти решения сингулярного интегрального уравнения
°° h{x')u(x')dx'
X' — X—18
а
где функции / (х) и h (x) заданы. Для этого рассмотреть аналитические свойства
функции
-м+4- S
(Предполагается, что функция f (х) может быть аналитически продолжена и ее
аналитическое продолжение / (z) являетси регулярной функцией в комплексной
плоскости с разрезом вдоль вещественной оси от а до -f-oo [108, 603].)
По поводу подробного анализа задачи минимализации, встречающейся при
определении области аналитичности функции Т (W, Д2, ?), см. статьи Салама [695]
и Стритера [742].
14. Найти максимальное значение передачи импульса ДМако> ПРИ котором
можно доказать дисперсионные соотношения для реакции я-(-я -> п-\-п. Обсудить
возможности доказательства дисперсионных соотношений для процессов [325]
K+N -* K+N
и.
я+jD -+ n+D.
О применении методов теории дисперсионных соотношений к вычислению
собственной энергии электрона и перенормировочных констант волновых функций
«м. [156].

Литература
1. Abraham M., Becker R., Theorie der Electrizitat, 6th ed., Leipzig, 1933
(гл. 15, § 1). (Имеется перевод: М. Абрагам, Р. Беккер, Теория элек-
электричества, М. — Л., 1939.)
2. Ахиезер А., Померанчук И., Phys. Zs. Sowjetunion, 11, 478 A937),
(гл. 16, § 1).
3. Ахиезер А., Берестецкий В. В., Квантовая электродинамика, М.,
1953 (гл. 4, § 8; гл. 15, § 7). (Имеется второе издание: М., 1959.)
4. A k i Ь а Т., S a t о I., Prog. Theor. Phys. (Japan), 19, 93 A958) (гл. 18, § 4).
5. All cock G. R., Phys. Rev., 104, 1799 A956) (гл. 17, § 6).
6. A 1 1 с о с к G. R.,Hooton D.J., Nuovo Cim., 8, 590 A958) (гл. 17, § 6).
7. A 1 1 с о с к G. R., Nucl. Phys., 14, 177 A959/60) (гл. 18, § 4).
8. Amati D., Vitale В., Fort. d. Phys., 7, 375 A959) (гл. 10, § 5).
9. Amati D., F i e r z M., G 1 a s e r V., Phys. Rev. Lett., 4, 89 A960) (гл. 18, § 4).
10. A n d e r s о n CD., Phys. Rev., 41, 405 A932) (гл. 4, § 7).
11. A r а к i H., M u n а к a t a Y., К a w a g u с Ь i M., G о t о Т., Prog. Theor.
Phys. (Japan), 17, 419 A957) (гл. 12, § 2).
12. Araki H., Ann. of Phys., 11, 260 A960) (гл. 18, § 2).
13. Araki H., Journ. Math. Phys., 2, 163 A961) (гл. 18, § 2).
14. A r n о u s E., Heitler W., Proc. Roy. Soc, A220, 290 A953) (гл. 15, § 1).
15. A r n о u s E., Heitler W., Nuovo Cim., 2, 1282 A955) (гл. 15, § 1).
16. Arnowitt R., D e s e г S., Phys. Rev., 100, 349 A955) (гл. 16, § 1).
17. A s с о 1 i R., Nuovo Cim., 2, 413 A955) (гл. 15, § 4).
18. A s с о 1 i R., Nuovo Cim., 2, 1 A955) (гл. 15, § 4).
19. A s с о 1 i R., Minardi E., Nucl. Phys., 9, 242 A958/59) (гл. 12, § 2).
20. Ashkin J., Fazzini Т., Fidecaro G., Merrison A. W., Paul H.,
T о 11 e s f r u p A. V., Nuovo Cim., 13, 1240 A959) (гл. 14, § 5).
21. A s h к i n J., Nuovo Cim., 14, Suppl., No. 2, 221, 310 A959) (гл. 10, § 1).
22. Ashkin J., Proc. of Tenth Annual High Energy Conference at Rochester,
New York, 1960 (гл. 10, § 1).
23. В a d e W. L., J e h 1 e H., Rev. Mod. Phys., 25, 714 A953) (гл. 4, § 3).
24. Baranger M., Диссертация, Cornell University, 1951 (гл. 15, § 2).
25. В а г a n g e г М., Phys. Rev., 84, 866 A951) (гл. 15, § 2).
Примечание. В скобках в ковце ссылки указываются главы и параграфы,
к которым относится данная работа. Раздел «Вопросы и литература для дальней-
дальнейшего изучения» сокращенно обозначается словом «Вопросы».
(В ссылках на русские переводы периодические сборники «Проблемы совре-
современной физики» сокращенно именуются ПСФ. Непериодические тематические сбор-
сборники включены в список литературы, добавленной при переводе. — Прим. ред.}

806 Литература
26. В а г a n g е г М., В е t h e H. A., F е у n m a n R. P., Phys. Rev., 92, 482 A953)
(гл. 15, § 2, 4, 7).
27. В а г a n g е г М., Д у s о п Г. J., S а 1 р е t е г Е. Е., Phys. Rev., 88, 680 A953)
(гл. 15, § 5).
28. В а г d e e n J., Phys. Rev., 49, 653 A936) (гл. 6, § 10). N
29. В а г g m a n n V., Zs. f. Phys., 99, 576 A936) (гл. 1, § 6).
30. В а г g m a n n V., Ann. of Math., 48, 568 A947) (гл. 2, § 2, 3).
31. Bargmann V., W i g n e г Е. P., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 34, 211 A948)
(гл. 1, § 4; гл. 2, § 3).
32. Bargmann V., Mimeographed lecture notes on Advanced Quantum Mechanics,
Princeton, 1951 (гл. 6).
33. Bargmann V., W i g n e г Е. P., Wightman A. S., Рукопись, посвящен-
посвященная представлениям группы Лоренца в связи с квантовой теорией поля (не опуб-
опубликована) (гл. 1, § 1, 4, 5).
34. Bargmann V., Ann. of Math., 59, 1 A954) (гл. 1, § 5).
35. В а г s h а у S., Phys. Rev., 103, 1102 A956) (гл. 12, § 4).
36. В a u m a n n K., Zs. f. Phys., 152, 448 A958) (гл. 18, § 2).
37. В aym G., Phys. Rev., 117, 886 A960) (гл. 17, § 1).
38. В е а г d D. В., В e t h e H. A., Phys. Rev., 83, 1106 A951) (гл. 16, § 1).
39. В e eke г R., Gottingen Nachrichten, 1945 (гл. 4, § 6).
40. Becker R., L e i b f г i e d, Phys. Rev., 69, 34 A946) (гл. 6).
41. Becker R., L e i b f r i e d, Zs. f. Phys., 125, 347 A948) (гл. 6).
42. В e 1 i n f a n t e F. J., Physika, 6, 887 A939) (гл. 7, § 4, 7).
43. В e 1 i n f a n t e F. J., Physika, 7, 305 A940) (гл. 7, § 4).
44. В е г g e г J. M., F о 1 d у L. L., О s b о г n R. K., Phys. Rev., 87, 1061 A952)
(гл. 10, § 7).
45. Be rm an S. M., Phys. Rev., 112, 267 A958) («Вопросы»).
46. Bernardini G., Encyclopedia of Physics, 2d ed., vol. 43, Berlin, 1956
(гл. 12,14).
47. В е г n s t e i n A. M., M a n n A. K., Phys. Rev., 110, 805 A958) (гл. 16, § 1).
48. В е г n s t e i n J., M i с h e 1 L., Phys. Rev., 118, 871 A960) («Вопросы»),
49. Bethe H.A.,Oppenheimer J.M., Phys. Rev., 70, 451 A946) (гл. 15, § 4, 6).
50. В e t h e H. A., Phys. Rev., 72, 339 A947) (гл. 15, § 2). (Имеется перевод в [919],
стр. 82.)
51. Bethe H. A., Rapports du 8e Conseil, Solvay 1948,] Bruxelles, 1950
•(гл. 15, § 2).
52. Bethe H. А., В r own L. M., S t e h n J. R., Phys. Rev., 77, 370 A950) (гл. 15,
I 2). ' '
53. В e t h e H. A., R ohrlich F., Phys. Rev., 86, 10, 1952 (rrf. 16, § 1).
54. Bethe H. A., de H о f f m a n, Mesons and Fields, Vol. II, Evanston, 1955 (гл. 7,
§ 8; гл. 8, § 4; гл. 10, § 4; гл. 12, § 4; гл. 13, § 2; «Вопросы»). (Имеется перевод:
Г. Б е т е, fc Ф. \де Гофман, Мезоны и поля, т. 2: Мезоны, ИЛ, 1957.)
55. В е t h e H. A., Hamilton J., Nuovo Cim., 4, 1 A956).
56. Bethe H. A., S a 1 p e t e г E. E., Handbuch der Physik, Bd. XXXV/1, Berlin,
1957 (гл. 4, § 8). (Имеется перевод: Г. Б е т е, Э. С о л п и т е р, Квантовая
механика атомов с одним и двумя электронами, М.— Л., 1960.)
57. В j 6 г k e n J. D., Диссертация, Stanford University, 1959 (гл. 17, § 2; гл. 18, §4).
58. В in се г А. М., Phys. Rev., 105, 1399 A957) (гл. 12, § 4).
59. В i n с е г А. М., Phys. Rev., 118, 855 A960) (гл. 18, § 4).
60. Blankenbecler ,R., G.oldberger M. L., KhuriN. N., Treiman
S. В., Ann. of Phys., 10, 62 A960) («Вопросы»).
61. В 1 e u 1 e г К., Helv. Phys. Acta, 23, 567 A950) (гл. 9, § 2).
62. В 1 о с h F., N о г d s i е с к, Phys. Rev., 52, 54 A937) (гл. 15, § 3, 4, 6).

Литература 807
72.
73.
74.
75.
В
В
В
В
0
0
0
0
р
р
г
г
Р
Р
п
п
63. В о с h n е г S., Martin W. Т., Several Complex Variables, Princeton, 1948
(гл. 18, § 1). (Имеется перевод: С. Б о х н е р, У. Т. Мартин, Функции
многих комплексных переменных, ИЛ, 1951.)
64. Б о г о л ю б о в Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Nuovo Cim., 3, 77 A956) (гл. 16, § 2, 8).
65. Б о г о л ю б о в Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К., Вопросы
теории дисперсионных соотношений, М.— Л., 1958 (гл. 18, § 2).
66. Боголюбов Н. Н.> Медведев Б. В., Поливанов М. К., Fort.
d. Phys., 6, 169 A958) (гл. 18, § 2).
67. Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Введение в теорию квантованных
полей, М.— Л., 1957 (гл. 15, § 5, 7; гл. 16, § 1, 2, 8; гл. 18, § 2, 4).
68. Боголюбов Н. Н., Л о г у н о в А. А., Ш и р к о в Д. В., ЖЭТФ, 37,805
A959) (гл. 17, § 3).
69. Bohr N.,Rosenfeld L., Kgl. Danske Vidensk, Selsk.,Mat.-Fys. Medd., 12,
No. 8 A933) (гл. 9, §2; гл. 13, § 1; гл. 17).
70. В о h г N.. R о s e n f e 1 d L., Phys. Rev., 78, 794 A950)(гл. 7, § 6; гл. 9, § 2;
гл. 13, § 1; гл. 17).
71. В о n n e v а у G., Nuovo Cim., 14, 593 A959) (гл. 12, § 4).
F., Ann. d. Phys., 38, 345 A940) (гл. 15, § 1).
F., Ann. d. Phys., 42, 473 A942/43) (гл. 15, § 1).
M., Proc. Roy. Soc, A143, 410 A934) (гл. 15, § 1).
M., Infeld L., Proc. Roy. Soc, A144, 425 A934) (гл. 15, § 1).
76. Born M., Ann. de l'lnstitut Henri Potncare, 7, 155 A937) (гл. 15, § 1).
77. В о г о w i t z S., К о h n W., Phys. Rev., 86, 985 A952) (гл. 15, § 1).
78. В о s с о В., F u Ь i n i S., S t a n g h e 1 1 i n i A., Nucl. Phys., 10, 663 A959)
(«Вопросы»).
79. В о s e S. К., G a m b a A., S u d a r s h a n E. С. G., Phys. Rev., 113,1661 A959)
(гл. 4, § 6).
80. В о u с h i a t C, Michel L., Nucl. Phys., 5, 416 A958) («Вопросы»).
81. В r e i t G., Phys. Rev., 72, 984 (L) A947) (гл. 15, § 4).
82. В r e i t G., Phys. Rev., 73, 1410 (L) A948) (гл. 15, § 4).
83. В r e i t G., Phys. Rev., 74, 656 A948) (гл. 15, § 4).
84. В r e m e г m a n H., О e h m e R., Taylor J. C, Phys. Rev., 109, 2178
A958) (гл. 18, § 1, 4).
85. Brenig W., Haag R., Fort. d. Phys., 7, 183 A959) (гл. 11, § 1, 3;
«Вопросы»).
86. В r e n n e r S., В г о w n G. E., Proc. Roy. Soc, A218, 422 A953) (гл. 4, § 8).
87: Brenner S., В г о w n G.B., Woodward J. В., Proc Roy. Soc, A227,
59 A954) (гл. 4, § 8).
88. Brown G. E., M e у e r s D. F., Proc. Roy. Soc, A234, 387 A955) (гл. 4, § 8).
89. Brown G. E., Meyers D. F,, Proc. Roy. Soc, A242, 89 A957) (гл. 4, § 8).
90. Brown G. E., L a n g e r J. S., S с h a f f e г G. W., Proc Roy. Soc, A251,
92 A959); A251, 105 A959) (гл. 4, § 8).
91. В г о w n L. M., F e у n m a n R. P., Phys. Rev., 85, 231 A952) (гл. 15, § 4, 6).
•92. BrownL. M., Phys. Rev., Ill, 462 A958) (гл. 4, § 5).
93. В u r g о у n e N.. Nuovo Cim., 8, 604 A958) (гл. 18,' § 1).
94. В u r t о n W. К., Т о u s с h e k B. F., Phil. Mag., 44, 161 A953) (гл. 17, § 1).
95. С a i a n i e 1 1 о E. R., F u b i n i S., Nuovo Cim., 9, 1218 A952) (гл. 4, § 5).
96. С a i a n i e 11 о Е. R., Nuovo Cim., 10, 1634 A953) (гл. 16, § 8).
97. С a i a n i e 11 о Е. R., Nuovo Cim., 11, 492 A954) (гл. 16, § 8).
98. С a i a n i e 1 1 о Е. R., Nuovo Cim., 12, 561 A954) (гл. 16, § 8).
99. С a i a n i e 11 о Е. R., Nuovo Cim., 2, 186 A955) (гл. 16, § 8).
100. С a i a n i e 11 о Е. R., Nuovo Cim., 3, 223 A956) (гл. 16, § 8).
101. С a i a n i e 11 о Е. R., Nuovo Cim., 5, 739 A957) (гл. 16, § 8).

808 Литература
111.
112.
113.
С
с
с
а
а
а
s
s
S
е
е
е
К.
К.
К.
м.
м.
м
102. Caianiello E.R.,Buccafurri A., NuovoCim.,8,170A958) (гл. 16, §8).
103. Caianiello E. R., Nuovo Cim., 13, 637 A959) (гл. 16, § 8).
104. Caianiello E. R., Nuovo Cim., 14, 185 A959) (гл. 16, § 8).
105. Cap F., Fort. d. Physik, 2, Heft 5, 207 A955) (гл. 4, § 3).
106. С a p p s R. H., Phys. Rev., 106, 1031 A957) (гл. 18, § 4).
107. С ар p s R. H., Phys. Rev., 108, 1032 A957) (гл. 18, § 4).
108. С a r i b b о N., Gat to R., Nuovo Cim., 13, 1086 A959) («Вопросы»).
109. С а г t a n E., Lecons sur la Theorie des Spineurs I, II, Paris, 1938 (гл. I, § 5).
(Имеется_ перевод: Э. К ар тан, Теория спиноров, ИЛ, 1957.)
110. Case К.' М., Phys. Rev., 76, 1 A949) (гл. 10, § 7).
Phys. Rev., 76, 14 A949) (гл. 10, § 7).
Phys. Rev., 95, 1323 A954) (гл. 3, § 4).
Phys. Rev., 107, 307 A957) («Вопросы»).
114. С a s s e n В., С о n d о n E. U., Phys. Rev., 50, 846 A936) (гл. 10, § 3).
115. С a s t i 1 1 e j о L., D a 1 i t z R. H., D у s о n F. J., Phys. Rev., 101, 453 A956>
(гл. 12, § 4).
116. С h a r a p J. M., F u b i n i S. F., Nuovo Cim., 14, 540 A959) (гл. 15, § 8).
117. Charap J. M., FubiniS. F., Nuovo Cim., 15, 73 A960) (гл. 15, § 8).
118. Charap J. M., T a u s n e г М., Nuovo Cim., 18, 316 A960) (гл. 15, § 8).
119. Chevalier A., R i d e a u G., Nuovo Cim., 10, 228 A958) (гл. 12, § 3).
120. Chew G. F., Phys. Rev., 94, 1748 A954) (гл. 12, § 4).
121. Chew G. F., L о w F. F., Phys. Rev., 101, 1571 A956) (гл. 12, § 4).
122. Chew G. F., L о w F. E., Phys. Rev., 101, 1579 A956) (гл. 12, § 4).
123. Chew G. F., Encyclopedia of Physics, 2d ed., vol. 43, Berlin, 1956 (гл. 12, § 4).
124. Chew G. F., G о 1 d b e r g e r M.L.Low F. E., N a m b u Y., Phys. Rev.,
106, 1337 A957) (гл. 12, § 4; гл. 18, § 4).
125. Chew G. F., Gasiorowicz S., Karplus R., Zachariasen F.,
Phys. Rev., 110, 265 A958) (гл. 12, § 4; гл. 18, § 4).
126. Chew G. F., Ann. Rev. Nucl. Sci., 9, 29 A959) (гл. 18, § 4). (Имеется перевод
в [913], стр. 35.)
127. Chew G. F., Mandelstam S., Phys. Rev., 119, 467 A960) (гл. 18, § 4).
(Имеется перевод в [913], стр. 249.)
128. Chew G. F., Double Dispersion Relations and Unitarity as the Basis for a Dyna-
Dynamical Theory of Strong Interactions, UCRL-9289, 1960 (гл. 18, § 4).
129. Chisholm J. S. R., Proc. Cambr. Phil. Soc, 48, 300 A952). (См. исправления:
Proc. Cambr. Phil. Soc, 48, 518 A952) (гл. 17, § 2).)
130. С h r 6 t i e n M., Peierls R. E., Nuovo Cim., 10, 668 A953) (гл. 15, § 1).
131. Chretien M., P e i er 1 s R. E., Proc. Roy. Soc, A223, 468 A954) (гл. 15, § 1).
132. Chretien M., Phys. Rev., 98, 1515 A955) (гл. 15, § 6).
133. Christy R. F., Proc. of Seventh Annual Rochester Conference on High Energy
Physics, New York, 1957 (гл. 10, § 1).
134. С i n i M., Nuovo Cim., 9, 1025 (L) A953) (гл. 17, § 1).
135. Cini M., T о u s с h e к В., Nuovo Cim., 7, 422 A958) (гл. 4, § 6).
136. Cini M., F u b i n i S., S t an «h el liai A., Phys. Rev., 114, 1633 A959)
(гл. 18, § 1). (Имеется перевод в [913], стр. 301.)
137. Cini M., F u b i n i S., Ann. of Phys., 3, 352 A960) (гл. 18, § 4).(Имеется пере-
перевод в [913], стр. 198.)
138. С 1 а е s s о n A., Kgl. Fysiograf. Sallskap. Lund Forh., 27, No. 1 A957) (гл. 16, § 1).
139. С о e s t e r F., J a u с h J. M., Phys. Rev., 78, 149 A950) (гл. 14, § 2).
140. С о e s t e r F., Phys. Rev., 89, 619 A953) (гл. 14, § 6).
141. Cohen S., Диссертация, Cornell University, 1954 (гл. 4, § 8).
142. Cohen S., Phys. Rev., 118, 489 A960) (гл. 4, § 8).
143. Corinaldesi E., Jostfl., Helv. Phys. Acta, 21, 183 A948) (гл. 15, § 6).

Литература 809
144. Corinaldosi E., Nuovo Cim., 8, 494 A951) (гл. 13, § 1).
145. Corinaldesi E., Nuovo Cim., 10, Suppl., No. 2 A953) (гл. 9, §2; гл. 13, § 1).
146. Costa G., Dellaporta N., Nuovo Cim., 2, 519 A955) (гл. 10, § 6).
147. Cutkosky R. E., Phys. Rev., 96, 1135 A954) (гл. 17, § 6).
148. Cutkosky R. E.,Zachariasen F., Phys. Rev., 103, 1108 A956) (гл. 12,
§ 4).
149. D a 1 i t z R. H., Proc. Roy. Soc, Д206, 509 A951) (гл. 14, § 1).
150. D a 1 i t z R. H., Proc. Roy. Soc, A206, 521 A951) (гл. 15, § 5, 6).
151. D a 1 i t z R. H., Reports on Progress in Phys., 20, 163 A957) (гл. 10, § 1).
152. D a 1 i t z R. H., Proc. of Ninth Annual International Conference on High Energy
Phys., CERN, Geneva, 1959 (гл. 10, § 5; гл. 12, § 5).
153. Darwin С. G., Proc. Roy. Soc, A118, 654 A928) (гл. 4, § 8).
154. Davidon W. C, Goldberger M. L., Phys. Rev., 104, 119 A956) (гл. 18, §4).
155. deBenedetti S., Nuovo Cim., 4, Suppl., No. 3, 1234 A956), (гл. 4, § 7).
156. d e С e 1 1 e s P., Phys. Rev., 121, 304 A961) («Вопросы»).
157. deDonder Т., van Dungen H., Compt. Rend. (July 1926) (гл. 3, § 1).
158. Dellaporta N., Costa G., Nuovo Cim., 2, 519 A955) (гл. 10, § 6).
159. Delbriick M., Zs. f. Phys., 84, 144 A933) (гл. 16, § 1).
160. D e 1 PA n t о n i о G. F., G u 1 m a n e 1 1 i P., Nuovo Cim., 12, 38 A959) (гл. 18,
§2).
161. d'E s p a g n a t В., Р г e n t к i J., Nucl. Phys., 1, 33 A956) (гл. 10, § 5).
162. d'E s p a g n a t В., Prentki J., Elementary Particles and Cosmic Ray
Physics, vol. 4, Amsterdam, 1958 (гл. 10, §5). (Имеется перевод в кн. «Физика
элементарных частиц и космических лучей», ИЛ, 1960, стр. И.)
163. Deutseh M., Phys. Rev., 82, 455 (L) A951) (гл. 4, § 7).
164. Deutseh M., D u 1 i t E., Phys. Rev., 84, 601 (L) A951) (гл. 4, § 7).
165. d e Witt B. S., Phys. Rev., 100, 905 A955) (гл. 11, § 2).
166. The Many Body Problem, Lecture Notes on Courses Given at les Houshes, ed. by
de Witt B. S., New York, 1959 («Вопросы»).
167. D i г а с P. A. M., Proc. Roy. Soc, A112, 661 A926) (гл. 11, § 3).
168. D i г а с P. A. M., Proc. Roy. Soc, A114, 243 A927) (гл. 11, § 3).
169. D i г а с P. A. M., Proc. Roy. Soc, A117, 610 A928) (гл. 4, § 1, 8).
170. D i г а с P. A. M., Proc. Cambr. Phil. Soc, 26, 376 A930) (гл. 4, § 8).
171. D i г а с Р. А. М., Rapports du 7eConseil Solvay, 1933, Bruxelles, 1934 (гл. 15, §5).
172. D ira с Р. А. М., Proc. Cambr. Phil. Soc, 30, 150 A934) (гл. 15, § 5).
173. Dirac P. A. M., Proc Roy. Soc, A167, 148 A938) (гл. 15, § 1).
174. D i г а с P. A. M., Ann. de l'lnstitut Henri Poincare, 9, 13 A938) (гл. 15, § 1).
175. Dirac P. A. M., PeierlsR.E., Pryce M. H. L., Proc. Cambr. Phil. Soc,
38, 193 A942) («Вопросы»).
176. Dirac P. A . M., The Principles of Quantum Mechanics, 3d ed., Oxford 1947
(гл.11, §2).
177. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A209, 291 A951) (гл. 15, § 1).
178. Dirac P. A. M., Ann de l'lnstitut Henri Poincare, 13, 1 A952) (гл. 15, § 1).
179. Dirac P. A. M., Proc Roy. Soc, A212, 330 A952) (гл. 15, § 1).
180. Dirac P. A. M., Proc Roy. Soc, A223, 438 A954) (гл. 15, § 1).
181. Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, 4thed., Oxford, 1958
(гл. 1, § 1, 2). (Имеетсяперевод: П. А. М. Д и р а к, Принципы квантовой меха-
механики, М.— Л., I960.)'
182. D г е 1 1 S. D., Phys. Rev., 79, 220 A950) (гл. 15, § 1).
183. D г е 1 1 S. D., Н е п 1 е у Е. М., Phys. Rev., 88, 1053 A952) (гл. 10, § 6, 7; гл. 12,
§ 4).
184. Drell S. D., Friedman M., ZachariasenF., Phys. Rev., 104, 236.
A956) (гл. 12, § 4).

Литература
185. D г ё 11 S. D., Ann. of Phys., 4, 75 A958) (гл. 16, § 1).
186. D г е 1 1 S. D., Z а с h а г i a s e n F., Phys. Rev., Ill, 1727 A959) (гл. 17, § 3;
гл. 18, § 1).
187. D г е 11 S. D., Z а с h а г i a s e n F., Phys. Rev., 119, 463 A960) (гл. 17, § 3).
188. D г e 11 S. D., Zachariasen F., Electromagnetic .Structure of Nucleons,
Oxford, 1961 (гл. 18, §4). (Имеется перевод: С. Д р е л л, Ф. Захариазен,
Электромагнитная структура нуклонов, ИЛ, 1962.)
189. D u В о i s D. F., Ann. of Phys., 7, 174 A959) («Вопросы»).
190. D u В о i s D. F., Ann. of Phys., 8, 24 A959) («Вопросы»).
191. Duff in R., Phys. Rev., 77, 242 A950) (гл. 4, § 5).
192. Dyson F. J., Phys. Rev., 73, 929 A948) (гл. 10, § 7).
193. Dyson F. J., Phys. RevM 75, 486 A949) (гл. 11, § 6). (Имеется перевод в[919],
стр. 94.)
194. Dyson F. J., Phys.. Rev., 75,1736 A949) (гл. И, §6; гл. 15, §3; гл. 16, §1,2,3,6).
(Имеется перевод в [911].)
195. Dyson F. J., Advanced Quantum Mechanics, Lithoprinted Notes, Cornell Uni-
University, 1951 (гл. 13, § 3; гл. 15, § 3).
196. Dyson F. J., Phys. Rev., 82, 428 A951) (гл. 13, § 1, 3; гл. 16, § 1).
197. Dyson F. J., Phys. Rev., 83, 608 A951) (гл. 13, § 1).
198. Dyson F. J., Proc. Roy. Soc, A207, 395 A951) (гл. 13, § 1).
199. Dyson F. J., Phys. Rev., 83, 1207 A951) (гл. 13, §1).
200. Dyson F. J., Phys. Rev., 85, 631 A952) (гл. 16, § 8).
.201. Dyson F. J., Phys. Rev., 91, 1543 A953) (гл. 13, § 1), [Имеется перевод: ПСФ,
№ 10, 181 A955).]
202. Dyson F. J., Phys. Rev., 106, 157 A957) (гл. 12, § 4).
203. Dyson F. J., Phys. Rev., 110, 579 A958) (гл. 18, § 1).
.204. Dyson F. J., Phys. Rev., 110, 1460 A958) (гл. 18, § 3). [Имеется перевод:
ПСФ, № 1, 3 ei959).]
205. Eddington A., Proc. Cambr. Phil. Soc, 35, 186 A939) («Вопросы»).
206. Eddington A., Proc. Cambr. Phil. Soc, 38, 201 A942) («Вопросы»).
207. Eden R. J., Proc. Roy. Soc, A210, 388 A952) (гл. 16, § 1; гл. 17, § 6).
208. Eden R. J., Proc. Roy. Soc, A215, 133 A952) (гл. 17, § 6).
209. Eden R. J., Proc. Roy. Soc, A217, 390 A953) (гл. 17, § 6).
210. Eden R. J., Rickayzen G., Proc. Roy. Soc., A219, 109 A953) (гл. 17, § 6).
211. Eden R. J. Proc. Roy. Soc, A219, 516 A953) (гл. 17, § 6).
212. Eden R. J., Proc Cambr. Phil. Soc, 50, 592 A954) (гл 17, § 6).
213. Eden R. J., Phys. Rev., 119, 1763 A960) (гл. 17, § 3).
214. Eden R. J., Phys. Rev. Lett., 5, 213 A960) (гл. 18, § 4).
215. Eden R. J., Proc. of Tenth Annual High Energy Conference at Rochester, New
York, 1960 (гл. 18, § 4).
216. Edmonds A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, 1957
(гл. 12, §4). (Имеется перевод в сб. «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958,
стр. 305.)
217. Edwards S. F., Phys. Rev., 90, 284 A953) (гл. 16, § 2). (Имеется перевод
в [911], стр. 378.)
218. Eisenbud L., Journ. Frankl. Inst., 261, 409 A956) (гл. И, § 1).
219. Е k s t e i n H., Phys. Rev., 120, 1917 A960) («Вопросы»).
220. E 1 i e z e г С J., Rev. Mod. Phys., 19, 147 A947) (гл. 15, § 1).
221. E n z С. P., Nuovo Cim., 3, Suppl., No. 3, 363 A95Г) (гл. 12, § 3).
222. Epstein S. Т., Phys. Rev., 73, 177 (L) A948); Phys. Rev., 73, 630 (L) A948)
(гл. 15, § 3).
223. E u 1 e г Е., К о с k e 1 В., Naturwiss., 23, 246 A935) (гл. 16, § 1).
224. E u 1 e r E., Ann. d. Phys., 26, 398 A936) (гл. 16, § 1).

Литература 811
225. Е u w e m a R. W., W h e e 1 е г J. A., Phys. Rev., 103, 803 A956) («Вопросы»).
226. Ezawa H., U m e z a w a H., Phys. Rev., 116, 463 A959) («Вопросы»).
227. F a i r 1 i e D.B.,Po lkinghorne J.C., Nuovo Cim., 8, 345A958) (гл. 12, §4).
228. FairlieD.B.,Polkinghorne J.C., NuovoCim.,8,555 A958) (гл. 12, §4)
229. F a 1 к D. S., Phys. Rev., 115, 1069 A959) (гл. 17, § 2).
230. F a z z i n i et al., Nuovo Cim., 13, 1240 A959) (гл. 14, § 5).
231. Fe^erbush P. G., G r i s a r u M. Т., Nuovo Cim., 9, 1058 A958) (гл. 7, § 3).
232. Federbush P. G., Goldberger M. L., TreimanS. В., Phys. Rev.,
112, 642 A958) (гл. 18, § 4).
233. Federbush P. G., Nuovo Cim., 15, 932 A960) («Вопросы»),
234. Federbush P.G.,Johnson K. A., Phys. Rev., 120, 1926 A960) («Вопросы»).
235. F e i n b e r g G., Phys. Rev., 108, 878 A957) (гл. 10, § 2).
236. Feinberg G., Weinberg S., Nuovo Cim., 14, 571 A959) (гл. 10, § 5;
гл. 14, § 6).
237. F e 1 d В., Ann. of Phys., 7, 323 A959) (гл. 10, § 1).
238. F e 1 d m a n D., Phys. Rev., 76, 1369 A949) (гл. 15, § 5).
239. F e 1 d m a n D., Phys. Rev., 103, 254 A956) (гл. 10, § 1).
.240. Fermi E., Atti. Acad. Lincei, 9, 881 A929) (гл. 9, § 1).
241. Fermi E., Atti. Acad. Lincei, 12, 431 A930) (гл. 9, § 1).
242. Fermi E., Rev. Mod. Phys., 4, 87 A932) (гл. 9, § 1).
243. Fermi E., Zs. f. Phys., 88, 161 A934) (гл. 10, § 6).
244. Fermi E., Y a n g С N.. Phys. Rev., 76, 1739 A949) (гл. 10, § 1).
245. Ferretti В., Nuovo Cim., 8, 108 A951) (гл. 16, § 8).
246. Ferretti В., Nuovo Cim., 12, 393 A959) (гл. 12, § 2).
247. F e s h b а с h H., V i 11 a r s F., Rev. Mod. Phys., 30, 24 A958) (гл. 3, § 4).
248. F e у n m a n R. P., Phys. Rev., 74, 1430 A948) (гл. 15, § 1).
249. F e у n m a n R. P., Phys. Rev., 76, 939 A948) (гл. 15, § 1, 2, 7).
250. Feynman R.P., Rev. Mod Phys., 20,367 A948) (гл. 4, § 8; «Вопросы»). (Имеет-
(Имеется перевод в сб. «Вопросы причинности в квантовой механике», 1955, ИЛ,
стр. 167.)
251. Feynman R. P., Phys. Rev., 76, 749 A949) (гл. 4, § 1; гл. 14, § 1; гл. 17, § 6).
(Имеется перевод в [911], стр. 138.)
252. Feynman R. P., Phys. Rev., 76, 769 A949) (гл. 14, § 1; гл. 15, § 3, 5; гл. 16,
§ 1; гл. 17, § 6). (Имеется перевод в [911], стр. 161.)
253. Feynman R. P., Phys. Rev., 80, 440 A950) (гл. 14, § 1).
254. Feynman R. P., Phys. Rev., 84, 108 A951) (гл. 15). [Имеется перевод:
ПСФ, № 3, 37 A955).]
255. Feynman R. P., S p e i s m a n G., Phys. Rev., 94, 500 A954) (гл. 8,
§ 4; гл. 16, § 1; «Вопросы»).
256. Feynman R. P., G e 11-M a n n M., Phys. Rev., 109, 193 A958) (гл. 4, § 8;
гл. 10, § 6). [Имеется перевод: ПСФ, № 4, 3 A958).]
257. Fierz M., Helv. Phys. Acta, 23, 731 A950) (гл. 13, § 3). (Имеется перевод
в [911], стр. 239.)
258. Fierz M., Proc. of Fifth Annual Rochester Conference on High Energy Physics,
New York, 1955, p. 67 (гл. 17, § 1).
259. F i n k e 1 s t e i n R. J., Phys. Rev., 75, 1079 A949); Finkelstein R. J.,
LeL evierR., Ruder man M., Phys. Rev., 83, 326 A951) (гл. 15, § 1).
В., Zs. f. Phys., 38, 242 A926) (гл. 3, § 1).
Zs. f. Phys., 39, 226 A926) (гл. 3, § 1).
Zs. f. Phys., 61, 126 A930) (гл. 6, § 10).
Zs. f. Phys., 75, 622 A932) (гл. 6).
Phys. Zs. Sowjetunion, 6, 425 A934) (гл. 7, § 5).
, Zs. f. Phys., 98, 145 A936) (гл: 1, § 6).
260. Ф
261. Ф
262. Ф
263. Ф
264. Ф
265. Ф
0
0
0
0
0
0
к
к
к
к
к
к
в.
В.
В.
В.
В.
В.

Литература
266. F о 1 d у L. L., W о u t h u у s e n S. A., Phys. Rev., 78, 29 A950) (гл. 4, § 6, 8).
267. F о 1 d у L. L., Phys. Rev., 84, 168 A951) (гл. 10, § 7).
268. F о 1 d у L. L., Phys. Rev., 87, 688 A952) (гл. 4, § 8).
269. F о 1 d у L.L.,Eriksen E., Phys. Rev., 98, 775 A955) (гл. 4, § 7).
270. F о 1 d у L. L., Phys. Rev., 102, 568 A956) (гл. 2, § 3).
271. Ford K. W., H i 11 D. L., Ann. Rev. Nucl. Sci., 5, 25 A955) (гл. 4, § 8).
272. Ford K. W., Phys. Rev., 105, 320 A957) (гл. 12, § 2; гл. 17, § 3).
273. Frank R. M., Phys. Rev., 83, 1189 A951) (гл. 16, § 1).
274. Franklin J., Phys. Rev., 105, 1101 A957) (гл. 12, § 4).
275. Franzinetti C, Morpugo G., Nuovo Cim., 6, Suppl., 469 A957)
(гл. 10, § 1).
276. F r a u t s с h i S. C, Prog. Theor. Phys., 8, Suppl., 21 A958) (гл. 16, § 1).
277. Freese E., Zs. f. Naturforsch., 8a, 775 A953) (гл. 17, § 6).
278. Freese E., Acta Phys. Austriaca, 8, 289 A954) (гл. 17, § 6).
279. Freese E., Nuovo Cim., 2, 50 A955) (гл. 17, § 6).
280. French J. В., W e i s s к о p f V., Phys. Rev., 75, 1240 A949) (гл. 15, § 2,
4, 7). (Имеется перевод в [919], стр. 123.)
281. Fried В. D., Phys. Rev., 88, 1142 A952) («Вопросы»).
282. Fried H.M.Jennie D. R., Phys. Rev., 112, 1391 A958) (гл. 15, § 3, 4, 7).
283. Fried H. M., Phys. Rev., 115, 220 A959) (гл. 16, § 2).
284. Fried H.M.Jennie D. R., Phys. Rev. Lett., 4, 580 A960) (гл. 15, § 2, 4).
285. Friedrichs K., Mathematical Aspects of the Quantum Theory of Fields, New
York, 1953 (гл. 7, § 1).
286. F г о n s d a 1 C, Phys. Rev., 113, 1367 A959) (гл. 2, § 3; гл. 5, § 1).
287. F u к u d a H., Hayakawa S., Miyamoto Y., Progr. Theor. Phys.
(Japan) 5, 283 A950) (гл. 16, § 1).
288. F u к u d a H., Hayakawa S., MiyamotoY., Progr. Theor. Phys.
(Japan) 5, 352 A950) (гл. 16, § 1).
289. Fukuda H., К о v а с s J. S., Phys. Rev., 104, 1784 A956) (гл. 12, § 4).
290. F u 1 t о n Т., M a r t i n P. C, Phys. Rev., 93, 903 A954) (гл. 17, § 6).
291. Furry W. H., Phys. Rev., 51, 125 A937) (гл. 14, § 1).
292. Furry W. H., Phys. Rev., 81, 115 A951) (гл. 15, § 5, 7).
293. Garding L, Wightman A.S., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 40, 612 A954)
(гл. 7, § 1).
294. Garding L., Lions J. L., Functional Analysis, Nuovo Cim., 14, ser. X,
Suppl., No. 1 A959) (гл. 18, § 1).
295. Gartenhaus S., Phys. Rev., 100, 900 A955) (гл. 15, § 8).
296. G a s i о г о w i с z S.G., Yennie D. R., S u u r a H., Phys. Rev. Lett., 2,
No. 12, 513 A959) .(гл. 17, § -3).
297. G a s i о г о w i с z S. G., Fort. d. Phys., 8, Heft 12, 665 A960) (гл. 18, § 4).
298. Geheniau J., Physica, 16, 822 A950) («Вопросы»).
299. Geheniau J., D e m e u r M., Physica, 17, 71 A951) («Вопросы»).
300. Г е л ь ф а н д И.М., Шапиро 3. Я., УМН, 7, вып. 1 A952) (гл. 1, § 5).
301. G е 1 1-М a n n M.,Low F., Phys. Rev., 84, 350 A951) (гл. И, § 6; гл. 17, § 1, 6).
[Имеется перевод: ПСФ, № 10, 43 A955).]
302. G е 1 1-М a n h M., G о 1 d b e r g е г М. L., Phys. Rev., 91, 398 A953) (гл. 11,
§ 2, 3, 5).
303. G е 1 1-М а п п М., Phys. Rev., 92, 833 A953) (гл. 10, § 4, 5).
304. G е 1 1-М a n n M., L о w F., Phys. Rev., 95, 1300 A954) (гл. 17, § 2, 3). [Имеется
перевод: ИСФ, N° 3, 145 A955).]
305. G е 1 1-М a n n M., G о 1 d b е г g е г М. L., T h i r r i n g W., Phys. Rev., 95,
1612 A954) (гл. 12, § 4; гл. 18, § 4). [Имеется перевод: ПСФ № 2, 62 A957).J
306. Gel 1-M annM.,Gol db e r.g e rM. L., Phys. Rev., 96,1433 A954) (гл. 17, §5).

Литература 813
307. Gel 1-M a n n M., P a i s A., Proc. of the 1954 Glasgow Conf. on Nuclear and
Meson Physics, London, 1955 (гл. 10, § 4).
308. G e 1 1-M a n n M.,Pais A., Phys. Rev., 97, 1387 A955) (гл. 10, § 5).
309. G e 11-M a n n M., Nuovo Cim., 4, Suppl., 2, 848 A956) (гл. 10, § 1, 3, 4, 6).
310. G e 1 1-M a n n M., Proc. of Sixth Annual. Rochester High Energy Conf., 1956,
New York, 1956 (гл. 12, § 6; гл. 18, § 5).
311. G e 1 1-M a n n M., В г u e с к n e.r K., Phys. Rev., 106, 364 A957) (гл. 6, § 11).
312. G e 11-M a n n M., Phys. Rev., 106, 367 A957) (гл. 6, § 11).
313. G e 1 1-M a n n M., Phys. Rev., 106, 1296 A957) (гл. 10, § 1, 4, 5).
314. G e 1 1-M a n n M., R о s e n f e 1 d A. H., Ann. Rev. Nucl. Sci., 7, 407 A957)
(гл. 10, § 1, 4). [Имеется перевод: ПСФ, № 4, 14 A958).]
315. G e 1 1-M a n n M., Levy M., Nuovo Cim., 16, 705 A960) («Вопросы»).
316. Gilbert W., S с r e a t о n G. R., Phys. Rev., 104, 1158 A956) (гл. 18, § 4).
317. G 1 a s e r V., Z i m m e r m a n n W., Zs. f. Phys., 134, 346 A952) (гл. 16, § 8).
318. Glaser Vi, К alien G., Nucl. Phys., 2, 706 A956/57) (гл. 12, § 2).
319. G 1 a s e r V., Lehmann H., Zimmefmann W., Nuovo Cim., 6, 1122
A957) (гл. 18, § 2).
320. Glauber R. J., Phys. Rev., 84, 395 A951) (гл. 15, §'3, 4).
321. Glauber R. J., Boulder Summer School Lecture Notes. Vol. I of Lectures in
Theoretical Physics, ed. by W. E. Brittin and L..G. Dunham, New York, 1959
(«Вопросы»).
322. G о 1 d b e r g e r M. L., Phys. Rev., 97, 508 A955) (гл. 18, § 4). [Имеется перевод:
ПСФ, № 2, 82 A957).]
323. G о 1 d b e r g e r M. L., Phys. Rev., 99, 979 A955) (гл. 18, § 4). [Имеется перевод:
ПСФ, № 2, 110 A957).]
324. G о 1 d Ь е г g e r M. L., N a in b u Y., Oehme R., Ann. of Phys., 2, 226
A957) (гл. 18, § 4).
325. Goldberger M. L., Proc. of Eighth Annual High Energy Nuclear Phys.
Conference at CERN, p. 207, CERN, Geneva, 1958 (гл. 10, § 6).
326. Goldberger M. L., Proc. of the Midwest Conference on Theoretical Physics,
p. 60, Purdue University, 1960 («Вопросы»).
327. Goldberger M.L., Lectures Given at les Houches, Summer, 1960 (гл. 18, § 4).
328. Goldberger M. L., Oehme R., The Theory and Applications of Dispersion
Relations (в печати) (гл. 18, § 4).
¦329. Goldhaber M., Phys. Rev., 101, 433 A956) (гл. 10, § 1).
330. Goldstein J.S., Phys. Rev., 91, 1516 A953) (гл. 17, § 6).
331. Good R. H., Rev. Mod. Phys., 27, 187 A955) (гл. 4, § 2).
332. Gordon W., Zs. f. Phys., 40, 117 A926) (гл. 3, § 1).
333. Gordon W., Zs. f. Phys., 40, 121 A926) (гл. 3, § 1).
334. Gordon W., Zs. f. Phys., 48, 11 A928) (гл. 4, § 8).
335. G о u r s a t E., H e d r i с к E. R., A Course in Mathematical Analysis, Vol. 1,
Boston, 1904 (гл. 15, § 1). (Имеется перевод: Е. Г у р с а, Курс математического
анализа, том 1, М.— Л., 1933, части 1 и 2.)
336. G r a w e r t G., L ii d e r s G., R о 1 1 n i k H., Fort. d. Phys., 7, 291 A959)
(гл. 14, § 6). [Имеется перевод: УФН, 71, 289 (I960).]
337. Green H. S., Biswas S. N., Progr. Theor. Phys. (Japan), 18, 121 A957)
(гл. 17, § 6).
O. W., Диссертация, Princeton University, 1956 (гл. 18, § 2).
О. W., S с h w e b e r S. S., Nuovo Cim., 8, 378 A958) (гл. 12,
О. W., Phys. Rev., 115, 706 A959) («Вопросы»).
, Proc. Phys. Soc, A63, 681 A950) (гл. 9, § 1 и 2).
., Phys. Rev., 77, 294L A950) (гл. 15, § 1).
338.
339.
340.
341.
342.
G
G
G
G
G
r
r
r
u
u
e
e
1,
e
P
P
e n b
e n b
3).
e n b
t a
t a
e
e
e
S.
S.
rg
rg
rg
N.
N

&14 Литература
343. G н р t a S. N., Ргос. Phys. Soc, A64, 426 A951) (гл. 16, § 8).
344. Gupta S. N., Phys. Rev., 117, 1146 A960) (гл. 15, § 8).
345. G u t t i n g e r W., Nuovo Cim., 10, 1 A958) (гл. 16, § 1).
346. Guttinger W., Nucl. Phys., 9, 429 A958) (гл. 16, § 1).
347. H a a g R., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 29, No. 12 A955) (гл. 2„
§ 3; гл. 7, § 1; гл. 17, § 4; гл. 18, § 2; «Вопросы»).
348. Н a a g R., Nuovo Cim., 5, 203 A957) (гл. 12, § 4).
349. Н a a g R., Phys. Rev., 112, 669 A958) (гл.' 18, § 2).
350. Н a a g R., L u z z a t t о G., Nuovo Cim., 13, 415 A959) (гл. 12, § 4). '
351. H a a g R., Nuovo Cim., 14, Suppl., No. 1, 131 A959) (гл. 18, § 2).
352. Haber-Schaim U., Phys. Rev., 104, 1113 A956) (rji. 18, § 4).
353. Hack M. N., Phys. Rev., 96, 196 A954) (гл. 11, § 3).
354. Hagedorn R., Nuovo Cim., 12, Ser. X, Suppl., 73 A959) (гл. 1, § 4).
355. Hall D., W i g h t m a n A. S., Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd.,.
31, No. 5 A957) (гл. 18, § 1; «Вопросы»).
356. H a 1 p e г n O., Phys. Rev., 44, 855 A934) (гл. 16, § 1).
357. H а г r i m a n J. M., Phys. Rev., 101, 594 A956) (гл. 15, § 2),
358. H а г t г e e D. R., Proc. Cambr. Phil. Soc, 24, 89 A928) (гл. 6, § 11).
359. Hayashi C, Munakata Y., Progr. Theor. Phys. (Japan), 7, 481 A952>
(гл. 17, § 6). [См. исправления: ibid, 8, 142 A952).]
360. Heine V., Phys. Rev., 107, 620 A957) (гл. 2, § 2).
361. Heine V., Group Theory in Quantum Mechanics, London, 1960 («Вопросы»).
(Имеется перевод: В. X е й н е, Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.}¦
362. Heisenberg W., P a u I i W., Zs. f. Phys., 56, 1 A929) (гл. 15, § 1).
363. Heisenberg W., P а и 1 i W., Zs. f. Phys., 59, 168 A930) (гл. 6; гл. 15, § 1).
364. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 65, 4 A930) (гл. 11, § 3).
365. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 77, 1 .A932) (гл. 10, § 4).
366. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 90, 209 A934) (гл. 4, § 7; гл. 15, § 5).
367. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 92, 692 A934) (гл. 4, §.7; гл. 15, § 5). (См. также-
[369], где даны некоторые исправления.)
368. Heisenberg W., Leipziger Berichten, 86, 317 A934) (гл. 13, § 1; гл. 15, § 5).
369. Heisenberg W.,Euler Е., Zs. f. Phys., 98, 714 A936) (гл. 15, §5; гл. 16, §,1).
370. Heisenberg W., Ann. d. Phys., 32, 20 A938) (гл. 11, § 3).
371. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 120, 513 A943) (гл. 11, § 3, гл. 13, § 1).
372. Heisenberg W.t Zs. f. Phys., 120, 673 A943) (гл. 11, § 3; гл. 13, § 1).
373. Heisenberg W., Rev. Mod. Phys., 29, No. 3, 269 A957) (гл. 10, § 1). (Имеет-
(Имеется перевод в [909], стр. 221.)
374. Heisenberg W., Nucl. Phys., 4, 532 A957) (гл. 12, § 2). (Имеется перевод.
в [909], стр. 175.)
375. Heitler W., Proc. Roy. Irish Acad., 49, 1 A943) (гл. 3, § 4).
376. Heitler W., The Quantum Theory of Radiation, 2ded., Oxford, 1944 (гл. 14;.
§ 5; гл. 15, § 1). (Имеется перевод 3-го изд.: Гайтлер В., Квантовая теория
излучения, ИЛ, 1956.)
377. Hill E. L., Rev. Mod. Phys., 23, 253 A951) (гл. 7, § 7).
378. Hofstadter R., Ann. Rev. Nucl. Sci., 7, 231 A957) (гл. 2, § 3; гл. 4, § 8;.
гл. 14, § 1; гл. 16, § 1).
379. Hofstadter R., В u m i 1 1 е г F., Y e a r i a n M. R., Rev. Mod. Phys.,,
30, 482 A958) (гл. 17, § 5).
380. Hofstadter R., Proc. of Tenth Annual Rochester High Energy Conference,.
New York, 1960 (гл. 17, § 5).
381. Hohler G., Zs. f. Phys., 152, 546 A958) (гл. 12, § 2).
382. Horwitz L., Phys. Rev., 108, 886 A957) (гл. 12, § 4).
383. Huff L. D., Phys. Rev., 38, 501 A931) (гл. 4, §(8).

Литература • 815-
384. Hurst С. A., Phys. Rev., 85, 920L A952) (гл. 17, § 6).
385. Hurst С. А., Ргос. Roy. Soc, A214, 44 A952) (гл. 17, § 6).
386. Hurst С. А., Ргос. Cambr. Phil. Soc, 48, 625 A952) (гл. 17, § 6).
387. Н у 11 е г a a s E. A., Zs. f. Phys., 140, 626 A955) (гл. 4, § 8).
388. Jackson J. D., The Physics of Elementary Particles, Princeton, 1958 (гл. 10).
389. Jahn H., Fort. d. Phys., 7, 451 A959) («Вопросы»).
390. J a u с h J. M., R о h r 1 i с h F., Helv. Phys. Acta, 27, 613 A954) (гл. 16, § 6).
391. J a u с h J. M., R о h r 1 i с h F., Phys. Rev., 98, 181 A955) (гл. 15, § 4).
392. J a u с h J.M., R о h r 1 i с h F., The Theory of Photons and Electrons, Cambridge,.
1955 (гл. 15, § 7).
393. J au ch J. M., Helv. Phys. Acta, 30, 143 A957) («Вопросы»).
394. Jean M., Ann. de phys., 8, 338 A953) (гл. 7).
395. Johnson K., Phys. Rev., 112, 1367 A958) (гл. 17, § 3).
396. Johnson M. H., Lippmann B.A., Phys. Rev., 76, 828 A949) (гл. 4, § 8)..
397. Jordan P., К 1 e i n 0., Zs. f. Phys., 45, 751 A927) (гл. 6).
398. Jordan P., P a u 1 i W., Zs. f. Phys., 47, 151 A928) (гл. 9, § 1).
399. Jordan P., W i g n e г E. P., Zs. f. Phys., 47, 631 A928) (гл. 6, гл. 8, § 1).
400. J о s t R., Phys. Rev., 72, 815 A947) (гл. 15, §, 4, 6).
401. J о s t R., L u 11 i n g e r J. M., Helv. Phys. Acta, 23, 201 A950) (гл. 16, § 1, 2)..
402. J о s t R., L u 11 i n g e r J. M., Slotnick M., Phys. Rev., 80,. 189 A950).
(гл. 14, § 5).
403. J о s t R., P a i s A., Phys. Rev., 82, 840 A951) (гл. 16, § 8).
404. J о s t R., Helv. Phys. Acta, 30, 409 A957) (гл. 18, § 1).
405. J о s t R., L e h m a n n H., Nuovo Cim., 5, 1598 A957) (гл. 18, § 3).
406. J о s t R., Helv. Phys. Acta, 31, 263 A958) (гл. 18, § 2, 4).
407. К a 11 ё n G., Helv. Phys. Acta, 22, 637 A949) (гл. 15, § 5).
408. К a lien G., Arkiv f. Phys., 2, No. 37, 371 A950) (гл. 13, § 1; гл. 15, §5;
гл. 17, § 4).'
409. Kallen G., Helv. Phys. Acta, 25, 417 A952) (гл. 16, § 8; гл. 17, § 1, 2).
410. К а 11 ё n G., Kgl. Danske Vidensk. Selsk.,. Mat.-Fys. Medd., 27, No. 12 A953)-
(гл. 16, § 7).
411. К a 1 1 e n G., Helv. Phys. Acta, 26, 755 A953) (гл. 16, § 7).
412. К a 1 1 ё n G., Physica, 19, 850 A953) (гл. 17, § 4).
413. Kallen G., Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.-Fys. Medd., 27, No. 12 A954).
(гл. 17, § 3).
414. Kallen С, Sabry A., Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.- Fys. Medd., 29,
No. 17 A955) (гл. 15, § 5).
415. Kallen G., Pauli W., Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.-Fys. Medd., 30,
No. 7 A955) (гл. 12, § 2).
416. Kallen G., CERN Theoretical Division Tech. Report 57-43 (гл. 12, § 2).
417. Kallen G., W i g h t m a n A. S., Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.-Fys..
Medd., 1, No. 6 A958) (гл. 18, § 1, 2).
418. Kallen G., Wilhelmsson H., Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.-Fys-
Skr., 1, No. 9 A959) (гл. 17, § 3; гл. 18, § 1).
419. Kallen G., T о 1 1 J. S., Helv. Phys. Acta, 23,- 753 A960) (гл. 18, § 1).
420. Kanesawa S., TomonagaS., Progr. Theor. Phys. (Japan), 3, 1 A948)'
(гл.14,§3).
421. Kanesawa S.,Tomonaga S., Progr. Theor. Phys. (Japan), 3, 101 A948)
(гл.14, §3).
422. К a r p 1 u s R., К г о 11 N. M., Phys. Rev., 77, 536 A950) (гл. 15, § 3, 4 и 6; гл. 16^
§ 3 и 5).
423. К а г р 1 u s R., N е u m a ri M., Phys. Rev., 80, 380 A950) (гл. 16, § 1).
424. К а г р 1 u s R.. N е u m a n M., Phys. Rev., 83, 776 A950) (гл. 16, § 1).

SI 6 Литература
425. Karplus R., К 1 е i n A., Phys. Rev., 85, 972 A952) (гл. 15, § 7). (Имеется
перевод в [911], стр. 284.)
426. Karplus R., К 1 е i n A., S с h w i n g е г J., Phys. Rev., 86, 288 A952)
(гл. 15, § 2, 4, 7). (Имеется перевод в [911], стр. 305.)
427. Karplus R., К 1 е i n A., Phys. Rev., 87, 848 A952) (гл. 15; гл. 17, § 6).
428. Karplus R., Ruderman M., Phys. Rev., 98, 771 A955) (гл. 18, § 4).
[Имеется перевод: ПСФ, № 2, 87 A957).]
429. Karplus R.,Sommerfield C, Wichmann E.H., Phys. Rev., Ill,
1187 A958) (гл. 18, § 4).
430. Karplus R., Sommerfield С M., Wichmann E. H., Phys. Rev.,
114, 376 A959) (гл. 18, § 4).
431. К а г z a s W. J., W a t s о n W. K. R., Z а с h a r i a z e n F., Phys. Rev., 110,
253 A958) (гл. 12, § 4).
432. К a s h 1 u n F., Nuovo Cim., 12, 541 A959) (гл. 18, § 2).
433. К a s h 1 u n F., Препринт ОИЯИ Е-485, Дубна A960) (гл. 18, § 2).
434. К a t о М., Т а к е d a G., Suppl., Progr. Theor. Phys. (Japan), No. 7, 35 A959)
(«Вопросы»).
435. К a z e s E., Phys. Rev., 107, 1131 A957) (гл. 12, § 4).
436. К a z e s E., Nuovo Cim., 13, 1226 A959) (гл. 16, § 5; гл. 17, § 5).
437. Kelly E. J., Phys. Rev., 79, 399 A950) (гл. 10, § 7).
438. К e m m e г N.~, Helv. Phys. Acta, 10, 112 A937) (гл. 16, § 1).
439. К e m m e г N., L u d w i g G., Helv. Phys. Acta, 10, 182 A937) (гл. 16, § 1).
440. К e m m e г N., S a 1 a m A., Proc. Roy. Soc, A230, 266 A955) (гл. 17, § 6).
441. К e m m e r N., P u г s e у D. L., P о 1 к i ng h о rn e J. C, Reports on Prog-
Progress in Physics, 22, 368 A959) (гл. 10, § 1, 5).
442. Khuri N. N., Phys. Rev., 107, 1148 A957) («Вопросы»).
443. Kibble T. W.B..P olkinghorne J. C, Nuovo Cim., 8, 74 A958) (гл..4, § 8).
444. К i n о s h i t а Т., Progr. Theor. Phys. (Japan), 5, 473 A950) (гл. 14, § 3).
445. Kinoshita Т., Nambu Y., Progr. Theor. Phys. (Jaran), 5, 749 A950)
(гл. 14, §3).
446. Klein A., Phys. Rev., 90, 1101 A953) (гл. 17, § 6).
447. Klein A., Phys. Rev., 92, 1017 A953) (гл. 17, § 6).
448. Klein A., McCormick В., Phys. Rev., 98, 1428 A955) (гл. 12, § 3).
449. Klein A., Phys. Rev., 99, 998 A955) (гл. 17, § 5).
450. Klein A., Phys. Rev., 104, 1131 A956) [см. такжеРпуэ. Rev., 104, 1136
A956)] (гл. 12, § 4).
451. Klein A., Progr. Theor. Phys. (Japan), 20, 257 A958) (гл. 17, § 6).
452. Klein A., McCormick В., Progr. Theor. Phys. (Japan), 20, 876 A958)
(гл. 17, § 6).
453. Klein A., Journ. Math. Phys., 1, 41 A960) («Вопросы»).
454. Klein O., Zs. f. Phys., 37, 895 A926) (гл. 3, § 1).
455. Klein O., N i s h i n a Y., Zs. f. Phys., 52, 853 A929) (гл. 14, § 5).
456. Klein O., Nature, 161, 897 A948) (гл. 10, § 6).
457. Kleitman D., Nucl. Phys., 11, 459 A959) (гл. 18, § 1 и 2).
458. Kleppner A., Mclntosh H. V., The Theory of the Three-Dimensional
Rotation Group, Rias Technical Reports 58—5, 6, 7, 1958 (гл. 1, § 6).
459. К о b a Z., Progr. Theor. Phys., (Japan), 4, 319 A949) (гл. 15, § 3).
4fiO. К о n о p i n s k i E. J., Ann. Rev. Nucl. Sci., 9, Annual Review, Stanford A959)
(гл. 10, § 6).
461. Kramers H. A., Proc. Kgl. Ned. Acad. Wet., 40, 814 A937) (гл. 4, § 7).
462. Kramers H. A., Rapports du 8e Conseil Solvay 1948, p. 241, Bruxelles, 1950
(гл. 15, § 1).

Литература 817
403. К г i s t о ii s е и Р., М о I 1 е г С, Kgl. Danske Videlisk. SeJsk., Mat.-Fys. Medd.,
27, No. 7 A052) (гл. 18, § 2).
¦404. Krull N. M., Lamb W. K., Phys. Hev., 75, 388 A949) (гл. 15, § 2, 7).
465. К го 11 N. М., Phys. Hev., 75, 1321А A949) (гл. 13, § 1).
4W>. К г о 1 1 N. .М., Pollock F., Phys. Rev., 86, 876 A952) (гл. 15, § 4, 7).
4A7. К го 1 [ N. М., К и A е rm a n M. A., Phys. Rev., 93, 233A954) (гл. 17, § 5).
[Имеется перевод: ПСФ, Л» 3, 167 A955).]
468. К и A а г J., Aim. d. Phys., 81, 032 A926) (гл. 3, § 1).
469. L a in b W. E., R e t, h e r f о r d R. C, Phys. Rev., 72, 241 A947) (гл. 15, § 2).
(Имеется перевод в [919], стр. 45.)
470. L a m b W. К., Reports on Progress in Physics, 14, 23 A951) (гл. 15, § 2).
471. Л аи дау Л. Д., V е i or 1 s R., Zs. f. Phys., 62, 188 A930) (гл. 6).
472. Ландау Л. Д., А б р и к о с о в. А. А., Халатников И. М., ДАН СССР,
95, 773 A954); 96, 261 A954) (гл. 15, § 5).
473. Л а и д а у Л. Д., Халатников И. М., ЖЭТФ, 29, 89 A955).(гл. 15, § 5).
474. Ландау Л. Д., в сб. «Niels Bohr and the Development of Physics», New York,
1955. (Имеется перевод: «Нильс Бор и развитие физики», ИЛ, 1958, стр. 75.)
475. Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 32, 405 A957); Nucl. Phys., 3, 127 A957) (гл. 5, § 1;
гл. 10, § 1, 2, 6).
47С). Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 37, 62 A959); Nucl. Phys., 13, 181 A959) (гл. 17, § 2;
гл. 18, § 4).
477. L a n d ё А., Т h о m a s L., Phys. Rev., 60, 121 A941) (гл. 15, § 1).
478. Land 6 A., Thomas L., Phys. Rev., 60, 514 A941) (гл. 15, § 1).
479. L a n d ё A., T h о m a s L., Phys. Rev., 65, 175 A944) (гл. 15, § 1).
480. L a n d e K., Booth E. Т., Impeduglia J., Ledermann L. M.,
Chinowski W., Phys. Rev., 103, 1901 A956); а также Phys. Rev., 105,
1925 A957) (гл. 10, § 5).
481. L а у z e r A. J., Phys. Rev. Lett., 4, 580 A960) (гл. 15, § 2, 4, 7).
482. Lee T. I)., Phys. Rev., 95, 1329 A954) (гл. 12, § 2, 4).
483. Lee T. I)., Phys. Rev., 99, 337 A955) (гл. 10, § 1).
484. Lee T. D., Yang C. N., Phys. Rev., 102, 290 A956) (гл. 5, $1;
гл. 10, § 3).
485. Lee T. I)., Yang C. N., Phys. Rev., 104, 254 A956) (гл. 5, § 1; гл. 10, § 3).
(Имеется перевод в [912], стр. 13.)
480. Lee Т. D., Y a n g С. N., Phys. Rev., 104, 822 A956) (гл. 5, § 1; гл. 10, § 3).
487. Lee Т. D., Y a n g С. N., Nuovo Cim., 3, 749 A956) («Вопросы»).
488. Lee T.D., Yang С. N., Phys. Rev., 105, 1671 A957) (гл. 5, § 1; гл. 10, § 2, 3)
(Имеется перевод в [912], стр. 46.)
489. Lee Т. D., О е h m e R., Y a n g С. N., Phys. Rev., 106, 340 A957) (гл. 14, § 6)
(Имеется перевод в [912], стр. 31.)
490. L ehmann H., Nuovo Cim., 11, 342 A954) (гл. 17, § 2). [Имеется перевод: ПСФ,
№ 3, 133 A955).]
491. Lehmann H., Symanzik К., Zimmermann W., Nuovo Cim., 1,
205 A955) (гл. 16, § 1; гл. 17, § 4; гл. 18, § 2; «Вопросы»).
492. Lehmann H., Symanzik К., Zimmermann W., Nuovo Cim., 2,
425 A955) (гл. 17, § 3; гл. 18, § 1).
493. Lehmann H., Symanzik К., Zimmermann W., Nuovo Cim., 6,
319 A957) (гл. 11, § 3; гл. 18; гл. 18, § 2).
494. Lehmann H., Nuovo Cim., 10,'579 A958) (гл. 18, § 4). [ Имеется перевод: ПСФ,
• № 3, 57 A959).]
495. Lehmann H., Nuovo Cim., 14, Suppl. No. 1,153 A959) (гл. 18, § 4).
496. L ер ore J. V., Phys. Rev., 88, 750 A952) (гл. 10, § 7).
1U 52 с. ЯГвебер

818 Литература
497. Levy М. М., Phys. Kev., .88, 72 A952) (гл. 17, § 6). [Имеется перевод: ПСФ,
№ 10, 51 A955).]
498. Levy M. M., Pliys. Rev., 88, 725 A952) (гл. 17, § 6). [Имеется перевод: ПСФ,
№ 10, 68 A955).]
499. Levy M. M., Marshak К. Е., Nuovo Cim., 11, 366 A954) (гл. 10, § 1).
500. Levy M. M., Nuovo Cim., 13, 115 A959) (гл. 12, § 2).
501. Levy M. M., Nuovo Cim., 14, 612 A959) (гл. 12, § 2).
502. Lewis H. W., Pliys. Rev., 73, 173 A948) (гл. 15, § 3).
503. L i pp m a nn B. A., S с h w i n g e г J., Phys. Rev., 79, 469 A950) (гл.11,§ 2;
гл. 14, § 4).
504. Логунов А. А., И с а е в П. С, Nuovo Cim., 10, 917 A958) (гл. 18, § 4).
505. Lorn о и E. L., Nucl. Phys., 1, 101 A956).
506. Lomon E. L., Phys. Rev., 113, 726 A959) (гл. 15, § 4).
507. Lopuszanski J., Physica, 25, 745 A959) (гл. 12, § 3).
508. L о г е п t z H. A., The Theory of Electrons, Leipzug, 1916 (гл. 15, § 1). (Имеется
перевод: Г. А. Лоре н ц, Теория электронов, М.— Л., 1956.)
509. Lorentz H. A., The Collected Papers of Lorentz, Haag A937) (гл. 15, § 1).
510. Low F., Phys. Rev., 88, 53 A952) (гл. 15, § 7; гл. 17, § 6). '
511. Low F.," Phys. Rev., 96, 1428 A954) (гл. 17, § 5).
512. Low F., Phys. Rev., 97, 1392 A955) (гл. И, § 4; гл. 12, § 4; гл. 17, § 4).
513. Low F., Rev. Mod. Phys., 29, 216 A957) (гл. 12, § 4).
514. Low F., Phys. Rev., 110, 974 A958) (гл. 17, § 5).
515. L ii d e r s G., Zs. f. Phys., 133, 325 A952) (гл. 7, § 6, гл. 8, § 3).
516. Liiders G., Zs. f. N'aturforsch., 7a, 206 A952) (гл. 15, § 3).
517. Liiders G., Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.-Fys. Medd., 28, No. 5 A954)
(гл. 7, § 6; гл. 8, § 3; гл. 10, § 2; гл. 14, § 6).
518. L ii d e г s G., Ann. of Phys., 2, 1 A957) (гл. 7, § 0; гл. 8, § 3; гл. 1A, § 2; гл. 14, § 6).
519. L ii d e r s G., Z u m i п о В., Phys. Rev., 110, 1450 A958) (гл. 18, § 1).
520. Luttinger J. M., Phys. Rev., 74, 893 A948) (гл. 15, § 4). (Имеется перевод
в |919], стр. 86.)
521. М а с 1) о w е 11 S. W., Phys. Rev., 116, 774 A959) (гл. 18, § 4).
522. М а с G r e g о г М. П., Moravscik M. J., S t a p p H. P., Phys. Rev., 116,
1248 A959) (гл. 15, § 8).
523. Маске W., Zs. f. Naturforsch., 8а, 599 A953); 8а, 015 A953) (гл. 17, § 6).
524. М с К i n 1 е у W. A., F e s h b а с h H., Phys. Rev., 74, 1759 A948) (гл. 14, § 1).
525. McLennan J. A., Phys. Rev., 106, 821 A957) («Вопросы»).
526. M с M a n u s H., Proc. Roy. Soc, A195, 323 A948) (гл. 15, § 1).
527. M a j о г a n a E., Nuovo Cim., 14, 171 A937) (гл. 4, § 8; гл. 8, § 3; «Вопросы»).
528. M а к i Z., S a t о M.. T о m о n a g a S., Progr. Theor. Phys. (Japan), 9, 607
A953) («Вопросы»).
529. M a 1 e n к a R. J., P r imakolf H., Phys. Rev., 105, 338 A957) (гл. 8, § 4).
530. M а и d e 1 s t a in S., Proc. Hoy. Soc, A233, 248 A955) (гл. 17, § 0).
531. M a n d e 1 s t a in S., Phys. Rev., 112, 1344 A958) (гл. 18, § 4). (Имеется пере-
перевод в [913], стр. 87.)
532. М a ii d е 1 s t a m S., Phys. Rev., 115, 1741 A959) (гл. 18, § 4). (Имеется пере-
перевод в [913], стр. 137).
533. Mmidolstam S., Phys. Rev., 115, 1752 A959) (гл. 18, § 4). (Имеется перевод
в |913], стр. 166.)
534 Марков М. А., О систематике элементарных частиц, Изд. АИ СССР, 1955;
Report to the Sixth Annual Rochester Conference on High Energy Nuclear Physics
1950, New York 1956 (гл. 10, § 1

Литература 819
535. М а г t i n Р. С, S с h w i n g е г J., Phys. Rev., 115, 1342 A959) («Вопросы»).
(Имеется перевод: П. Мартин, Ю. Ill в и н г е р, Теория систем многих ча-
частиц; Ю. Швингер, Броуновское движение квантового осциллятора, И Л, 1962.)
536. Mathews J., Диссертация, California Institute of Techn., 1957 (гл. 18, § 4).
537. Mathews .Т., Phys. Kev., 113, 381 A959) (гл. 17, § 2).
538. Matthews P. Т., Phys. Rev., 75, 1270 A949) (гл. 13, § 1).
539. Matthews P. Т., Phys. Rev., 76, 684L A949) [см. исправления: 76, 1489 (L)
A949)] (гл. 14, § 3).
540. Matthews P. Т., Phys. Rev., 80, 292 A950) (гл. 10, § 8).
541. Matthews P. Т., Phil. Mag., 42, 221 A951) (гл. 16, § 8).
542. Matthews P. Т., Phys. Rev., 81, 936 A951) (гл. 16, § 8).
543. Matthews P. Т., Sal am A., Phys. Rev., 86, 715 A952) (гл. 15, § 7; гл. 16,§8).
544. Matthews P. Т., S alam A., Proc. Roy. Soc, A221, 128A954 )(гл. 16, § 8).
[Имеется перевод: ПСФ, № 10, 198 A955).]
545. Matthews Р. Т., S a 1 a m A., Phys. Rev., 94, 185 A954) (гл. 16, § 8).
546. Matthews P. Т., S a 1 a m A., Nuovo Cim., 2, 120 A955) («Вопросы»).
547. Matthews P. Т., Nuovo Cim., 6, 642 A957) (гл. 10, § 5).
548. M e 1 v i n M. A., Rev. Mod. Phys., 32, No. 3 A960) («Вопросы»).
549. Michel L., Nuovo Cim., 10, 319 A953) (гл. 14, § 6).
550. Michel L., Wight man A. S., Phys. Rev, 98, 1190 A955) (гл. 14, § 5).
551. Michel L., Nuovo Cim., 14, Suppl. No. i, 95 A959) («Вопросы»).
552. M i e G., Ann. d. Phys., 85, 711 A928) (гл. 7, § 4).
553. Mills R.L.,Kroll N. M., Phys. Rev., 98, 1489 A955) (гл. 15, § 4, 7; гл. 17, § 6).
554. M i и g u г z i A., S t г e a t e г R. F., Nuovo Cim., 17, 946 A960) (гл. 18, § 4)-
555. Mitra A., Nature, 169, 100!) A952) (гл. 15, § 0).
556. Mitra A., N a r а у a n a s w a m у P., P a n d e L. K., Nuc]. Phys., 10, 629
A959) (гл. 15, § 6).
557. Miyazawa H., Phys. Rev., 101, 1564 A956) (гл. 12, § 4).
558. Moffat .Т., S tri ngf el low M. W., Proc. Roy. Soc, A254, 242 A960)
(гл. 16, § 1).
559. Moldauer P., С a s e K. M., Phys. Rev., 91, 459A A953) (гл. 10, § 7).
560. Meller C, Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.-Fys. Medd., 23, No. 1 A945)
(гл. 11, § 3, 4).
561. M 0 1 1 e г С, Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.-Fys. Medd., 26, No. 19 A946)
(гл. 11, § 3, 4).
562. M 0 1 1 e r C, Arm. de l'lnstitut Henri Poineare, 11, 251 A949) (гл. 3, § 3; гл. 7,
§ 4, 7).
563. Meller С, Сошппш. Dublin lnst. Advanced Stud., 4, No. 5 A949) (гл. 3, § 3;
гл. 7, § 4, 7).
564. Meller С, The Theory of Relativity, Oxford, 1952 (гл. 3, § 3; гл. 7, § 4 и 7).
565. M о t t N. F., Proc. Roy. Soc, A124, 425 A929) (гл. 4, § 8).
566. M о t t N. F., M a s s e у II. S. W., The Theory of Atomic Collisions, 2d ed.,
Oxford, 1949 (гл. 4, § 8). (Имеется перевод: IT. M о т т, Г. М е с с и, Теория
атомных столкновении, ИЛ, 1951.)
567. Nafe J. К., Nelson К. 15., Rabi I. I., Phys. Rev. 71, 914 A947)
(гл. 15, § 4). (Имеется перенод в [919], стр. 49.)
568. N akan i s h i N., Progr. Theor. Phys. (Japan), 17, 401 A957) (гл. 17, §2; гл. 18, § 1,4).
569. N a k a n i s h i N., Progr. Theor. Phys. (Japan), 19, 159 A958) (гл. 15, § 4).
570. И a ii марк М. А., Линейные представления группы Лоренца, УМН, 9, 19
A954) (гл. 2, § 2, Л).
571. N a m b u Y., Phys. Rev., 100, 394 A955) (гл. 18, § 4). [Имеется перевод: ПСФ,
JV= 2, 130 A957.)] ,
572. N am b u Y., Nuovo Cim., 6, 1064 A957) (гл. 17, § 2).
52*

820 Jlunippami/pa
573. N a m b u V., Nuovo Cim., 9, 610 A958) (гл. 17, § 2).
574. N e w l о n H., Pliys. Kev., 97, 1162 A955) (гл. 15, § 6).
575. N e w t о и Н., Pliys. Kev., 98, 1514 A955) (гл. 15, § 6).
570. N e w t о n Т. I)., VV ignpr E. P., Hev. .Mod. Pliys., 21, 400 (|9'i9) (гл. 2, § 3;
r.i. 3, § 3; r.:i. i, § C).
577. Nisliijima K., Progr. Theor. Pbys. (Japan), 6, 37 A951) (гл. 16, § 8).
578. Nishijima K., Progr. Tlieor. Pliys. (Japan), 10, 549 A953) (гл. 17, § В).
579. N i s li i j i m a K., N а к a n о Т., Progr. Tlieor. Pliys. (Japan), 10, 581 A953)
(гл. 10, § 4).
580. N i s h i j i in a K., Progr. Tlieor. Pliys. (Japan), 12, 107 A954) (гл. 10, § 4).
581. N i s li i j i in a K., Progr. Theor. Pliys. (Japan), 13, 285 A955) [см. там же, 14, 527
A955I (гл. 10, § 4).
582. IS i « li I j i in a K., Fort. d. Phys., 4, 519 A956) (гл. 10, § 1).
583. N i s h i j i in a K., Progr. Theor. Pliys. (Japan), Suppl., No. 3, 138A956)
(«Вопросы»).
58i. N i s h i j i in a K., Progr. Tlieor. Phys. (Japan). 17, 765 A957) (гл. 18, § 2).
585. N i s h i j i m a K., Progr. Theor. Phys. (Japan), 11, 995 A958) (гл. 18, § 2).
586. Nishijima K., Phys. Rev., 119, 485 A960) (гл. 18, § 2, 4; «Вопросы»).
587. N i s h i n a Y., Zs. f. Phys., 52, 869 A929) (гл. 14, § 5).
588. N о r t о и R. E., Klei n A., Phys. Rev., 109, 584 A958) (гл. 12, § 4).
589. .Norton R. E., К ] e i n A., Phys. Rev., 109, 991 A958) (гл. 12, § 4).
590. II о в о ж н лов Ю. В., Т у л у б А. В., УФН, 61, 53 A957) (гл. 7, § 5).
591. N о у е s H. P., Kdwards D. N., Phys. Rev., 118, 1409 A960) (гл. 18, § 4).
592. О е it in e H., Phys. Rev., 102, 1174 A955) (гл. 18, § 4). [Имеется перевод: ПСФ,
Д» 2, 194 A957).]
593. О eli in e R., Pliys. Rev., 100, 1503 A955) (гл. 1.8, §4)- [Имеетсяперевод: ПСФ. Д:2,
167 A957).]
, Nuovo (Mm., 10, 1316 A956) (гл. 18, § 4).
, Nuovo (Mm., 13, 778 A958) (гл. 18, § 4).
. Т а у I о г I. G., Phys. Rev., 113, 37 A959) (гл. 18, § i).
Progr. Theor. Phys. (Japan), 11, 80 A054) (гл. 10, § 2).j
F e 1 d m a a IX, Phys. Rev., 117, 279, 292 A960) («Вопросы»).
П., Report to the 1958 Ann. Intern. Conf. on High Energy Physics
at CERN, Geneva, 1958 (гл. 10, § 1).
600. О к у n i, Л. 15., УФН, 68, 449 A959); Ann. Rev. Xucl. Sri., 9, Ann. Rev., Palo
Alto, Calif. A959) (гл. 10, § 1).
601. Окунь Л. П., Руд и к А. П., Nucl. Phys., 15, 261 A960) (гл. 17, §2; гл. 18, §4).
602. Oinne s R., Nuovo Cim., 5, 983 A957) («Вопросы.)).'
603. Omnes H., Nuovo Cim., 8, 316 A958) («Вопросы»).
604. Oppeiilieimer J. R., Pliys. Rev., 35, 461 A930) (гл. 15, § 1).
605. О p p e u h e i m e r J. R., Phys. Rev., 35, 939 A930) (гл. 4, § 7).
606. О s b о r n R. K., Phys. Rev., 86, 340 A952) (гл. 12, § 4).
607. О z a k i S., Progr. Theor. Phys. (Japan), 14, 511 A955) («Вопросы»).
608. P а с, Р о n g Y., Progr. Theor. Phys. (Japan), 21, 640 A959) (гл. 4, § 6).
609. P a i s A., On the Theory of Elementary Particles, Amsterdam, Yerh. Kgl. Аса.,
Vol. 19, 1947 (гл. 15, § 1).
610. P a i s A., E p s t e i n S. Т., Rev. Mod. Phys., 21, 445 A949) (гл. 15, § 1).
611. P a i s A., Phys. Rev., 86, 633 A952) (гл. 10, § 1, 4, 5; гл. 14, § 6).
612. P a i s A., .lost R., Phys. Rev., 87, 871 A952) (гл. 14, § 6; гл. 16, § 1).
613. P a i s A., P i с с i о n i О., Phys. Rev., 100, 1487 A955) (гл. 10, § 5).
614. P a i s A., Phys.' Rev., 110, 574 A958) (гл. 10, § 5; гл. 12, § 5).
615. P a i s A., Phys. Rev., 110, 1480 A958) (гл. 10, § 5; гл. 12, § 5).
616. P a i s A., Ann. of Phys., 9, 548 (i960) («Вопросы»).
59',.
595.
596.
597.'
598.
599.
О
О
О
О
О
О
е
е
е
к
к
К
h
h
h
u
11
У
ш
111
m
b
b
и
e
о
e
о
о
ь
R.
li
K.
S.
s.,
Л.

Литература 821
617. Pake G. Б., F e e n b e г g E., Notes on the Theory of Angular Momentum, Cam-
Cambridge, 1953 (гл. 12, § 4).
618. Pandit L. K., Nuovo Cirri., 11, Ser. X, Suppl. A959) (гл. 9, § 2; гл. 12, § 2).
619. Papapetrou A., Acad. Athens., 14, 540 A939) (гл. 3, § 3).
620. P a u 1 i W., Relativitatstheorie, Enz. der Math. Wiss., 5, 539 A921) (гл. 15, § 1)ч
(Имеется перевод: В. Паули, Теория относительности, М.— Л., 1947.)
621. Р a u I i W., Zs. f. Phys., 43, 601 A927) (гл. 4, § 6).
622. PauliW., Handbuch derPhysik, Bd. 24/1, Berlin, 1933 (гл. 8, § 1). (Имеется
перевод: В. Паули, Общие принципы волновой механики, М.—• Л., 1948.)
623. Р a u I i W., W e i s s k о p f V., Helv. Phys. Acta, 7, 709 A934) (гл. 3, § 1; гл. 4,
§ 1; гл. 7).
624. Pauli W., Zeeman Verhandelingen, 31, Haag, 1935 (гл. 4, § 2, 8).
625. Pauli W., Ann. de 1'Institut Henri Poincare,6, 137 A936) (гл. 4, § 2).
626. Pauli W., F i e г z M., Nuovo Cim., 15, 167 A938) (гл. 15, § 4).
627. P a ul i W., Phys. Rev., 58, 716 A940) (гл. 8, § 1; гл. 18| § 1).
628-. Pauli W., В e 1 i n f a n t e F. J., Physica, 7, 177 A940) (гл. 8, § 1; гл. 18, § 1).
629. Pauli W., Rev. Mod. Phys., 13, 203 A941) (гл. 4, § 8; гл. 7, § 7; «Вопросы»).
(Имеется перевод: В. Паули, Релятивистская теория элементарных частиц,
ИЛ, 1947.)
630. Pauli W., Rev. Mod. Phys., 15, 175 A943) (гл. 12, § 2).
631. Pauli W.,Villars F., Rev. Mod. Phys., 21, 434 A949) (гл. 15, § 1, 5). (Имеет-
(Имеется перевод в сборнике [919].)
632. Pauli W., В сб. «Niels Bohr and[the Development of Physics», New York, 1955
(гл. 10, §2; гл. 14, § 6). (Имеется перевод: «Нильс Бор и развитие физики»,
ИЛ, 1958.)
633. Pauli W., Continuous Groups in Quantum Mechanics, CERN Report 56-31,
Geneva (гл. 1, § 5, 6).
634. Pauli W., Handbuch der Physik, Bd. V, Berlin, 1958 (гл. 1, § 1).
635. P e i e r 1 s R. E., M с M a n u s H., Phys. Rev., 70, 795A A946) (гл. 15, § 1).
636. P e i e г 1 s R. E., Proc. Roy. Soc, 214A, 143 A952) (гл 17, § 1).
637. P e t e r m a n n A., Helv. Phys. Acta, 30, 407 A957) (гл. 15, § 4, 5). K
638. Petermann A., Fort. d. Phys., 6, 505 A958) (гл. 15, § 2, 7).
639. Phillips R. J. N., Reports on Progress in Physics, XXII, 562 A959) (гл. 15,
§ 8; «Вопросы»).
640. Pines D., .Solid State Physics,, 1, 368 A955).
641. Pirenne J., Physica, 15, 1023 A949) (гл. 6).
642. P о i n с а г ё H., Compt. Rend., 40, 1504 A905) (гл. 15, § 1).
643. Po in с are H., Rend. Palmero, 2l A906) (гл. 15, § 1).
644. Poincare H., La Mechanique Nouvelle, Paris, 1924 (гл. 15, § 1).
645. Polkinghorne J. C, Proc. Roy: Soc, A230, 272 A955) («Вопросы»).
646. Померанчук И. Я., ЖЭТФ, 34, 725 A958) (гл. 18, § 4).
647..Р о n d Т. A., D i с k e R. H., Phys. Rev., 85, 489 L A952) (гл. 4, § 7).
648. П о н т р я г и н Л. С, Непрерывные группы, М.—Л., 1938; (имеется дополненное
издание, М., 1954) (гл. 1, § 5).
649. Powell J. L., Phys. Rev., 75, 32 A949) («Вопросы»).
650. P г a n g e R., Phys. Rev., 110, 240 A958) (гл. 15, § 4).
651. P г о s p e r i G. M., S с о 11 i A., Nuclear Physics, 13, 140 A959) («Вопросы»).
652. P г у с e M. H. L., Proc. Roy. Soc, A195, 62 A948) (гл. 3, § 3; гл. 7, § 4, 7).
653. Pup pi G., Nuovo Cim., 5, 505 A948) (гл. 12, § 6).
654. P u p p i G., Nuovo Cim., 6, ser. IX, 194 A949) (гл. 10, § 6).
655. P u p p i G., Stanghellini A., Nuovo Cim., 5, 1305 A957) (гл. 18, § 4).
656. R a b i I. I., Zs. f. Phys., 49, 7 A928) (гл. 4, § 8).
657. R а с a h G., Nuovo Cim., 14, 322 A937) (гл. 4, § 8; гл. 8, § 3).
*/г 52 с. Швебер

822 Литература
658. R а с a h G., Phys. Rev., 70, 406 A946) (гл. 16, § 1).
659. R а с a h G., Nuovo Cimento, 14, Suppl., 75 A959) (гл. 1, § 6).
660. R a v e n h a 11 D. G., Rev. Mod. Phys., 30, 430 A958) (гл. 4, § 8).
661. Redmond P. J., Phys. Rev., 112, 1404 A958) (гл. 17, § 2, 3).
662. Redmond P. J., U г e t s к i J. L., Phys. Rev., Lett., 1, 147 A958) (гл. 16,
§ 8; гл. 17, § 3).
663. Redmond P. J., U r e t s к i J. L., Ann. of Phys., 9, 106 A960) (гл. 17, § 3).
664. R i v i e г D., Helv. Phys. Acta., 22, 265 A949) (гл. 15, § 1).
665. Rodberg L. S., Phys. Rev., 106, 1090 A957) (гл. 12, § 4).
666. R о h г 1 i с h F., Phys. Rev., 77, 357 A950) (гл. 15, § 1).
667. Rohrlich F., Phys.. Rev., 80, 666 A950) (гл. 14, § 3, гл. 16, § 1).
668. Rohrlich F., Gluckstern R.L., Phys. Rev., 86, 1 A952) (гл. 16, § 1).
669. Rohrlich F., Am. Journ. of Physics, 28, 639 A960) (гл. 15, § 1).
670. Roman P., Theory of Elementary Particles, Amsterdam, 1960 (гл. 1, § 6;
«Вопросы»).
671. Rose M. E., Elementary Theory of Angular Momentum, New York, 1957
(гл.12,§4).
672. Rosen N., Phys. Rev., 55, 94 A939) (гл. 15, § 1).
673. Rosen N., M e n i u s A., Phys. Rev., 62, 436 A942) (гл. 15, § 1).
674. R о s e n Ы u t h M. N., Phys. Rev., 79, 615 A950) («Вопросы»).
675. Rosenfeld L., Zs. f. Phys., 70, 454 A931) (гл. 15, § 1).
676. Rosenfeld L., Physica, 19, 859 A953) (гл. 7, § 5; гл. 8, § 2; гл. 9, § 2).
677. Ros enfeld L., В сб. «Niels Bohr and the Development of Physics», New York, 1955
(гл. 8, § 2, гл.9,§ 2). (Имеется перевод: «Нильс Бориразвитиефизики»,ИЛ, 1958.)
678. R u i j g г о k Th. W., V a n Hove L., Physica, 22, 880 A956) (гл. 12, § 3).
679. R u i j g г о к Th. W., Physica, 24, 185 A958) (гл. 12, § 3).
680. Ruijgrok Th. W., Physica, 24, 205 A958) (гл. 12, § 3).
681. R u i j g г о к Th. W., Physica, 25, 357 A959) (гл. 12, § 3).
682. Sachs R. G., Phys. Rev., 87, 1100 A952) (гл. 7, § 6).
683. Sakata S., Taketani M., Proc. Phys. Math. Soc. (Japan), 22, 757 A940)
(гл. 3, § 4).
684. Sakata S., Progr. Theor. Phys. (Japan), 16, 686 A956) (гл. 10, § 1).
685. S а к u г a i J. J., Nuovo Cim., 7, 1306 A958) (гл. 10, § 6).
686. Saknrai J. J., Phys. Rev., 109, 980 A958) («Вопросы»).
687. Sakurai J. J., Ann. of Phys., 11, 1 (I960) («Вопросы»).
688. Sal am A., Phys. Rev., 79, 910 A950) (гл. 16, § 8).
689. S a 1 a m A., Phys. Rov., 82, 217 A951) (гл. 16, §, 1, 4, 8).
690. S a 1 a m A., Phys. Rev., 84, 426 A951) (гл. 16, §, 1, 4, 8).
691. Salam A., Phys. Rev., 86, 731 A952) (гл. 16, § 8).
692. Salam A., M a 11 h e w s P. Т., Phys. Rev., 90, 690 A953) (гл. 15, § 7).
693. Salam A., P о 1 к i n g h о г n e J. C, Nuovo Cim., 2, 685 A955) (гл. 10, § 5).
694. Salam A., Nuovo Cim., 5, 299A957) (гл. 5,§1). (Имеется перевод в [912].)
695. Salam A., Lectures on the Analytic Properties of Expectation Values of Products
of Field Operators, University of Rochester, 1958, AT C0—1)-875, NYO-8796
(«Вопросы»).
696. Salpeter E. E., Bethe H. A., Phys. Rev., 84, 1232A951) (гл. 17,§6).
(Имеется перевод в [911].)
697. Salpeter E. E., N е w с о m b W. A., Phys. Rev., 87, 150 A952) (гл. 17, § 6).
698. Salpeter E. E., Phys. Rev., 87, 328A952) (гл. 17, § 6).(Имеется перевод в [9Щ.)
699. S а 1 z m a n G., Phys. Rev., 99, 973 A955) (гл. 12, § 4; гл. 15, § 4).
700. S а и t e r F., Zs. f. Phys., 69, 742 A931) (гл. 4, § 8).
701. Scarf F. L., Phys. Rev., 100, 912 A955) (гл. 17, § 6).
702. Scarf F. L., Phys. Rev., 100, 913 A955) (гл. 17, § 6)

Литература 823
703. S с h i i f L. I., Quantum Mechanics, New York, 1949 (гл. 3, § 4). (Имеется перевод
с издания 1955 г.: Л. Ш и ф ф, Квантовая механика, ИЛ, 1957.)
704. Schmidt. К., Baumann К., Nuovo Cim., 4, 860 A956) (гл. 18, § 1).
705. S chni t zer H. J., S a 1 z m a n G., Phys. Rev., 112, 1802 A958); Phys.
Rev., 113, 1153 A959) (гл. 18, § 4).
706. Schupp A. A., Pi ddR. W., Crane H. R., Phys. Rev., 121,1 A961) (гл. 15, §4).
707. Schwartz L., Theorie des Distributions, Actualites Scientif iques et Industriels,
No. 1091, 1122, Paris, 1950/51 (гл. 18, § 1).
708. Schweber S. S., Nuovo Cim., 2, 397 A955) (гл. 13, § 1).
709. Sch winger J., Physi Rev., 73, 416L A948) (гл. 15, § 4).
710. S с h w i n g e r J., W e i s s k о p f V., Phys. Rev., 73; 1272A A948) (гл. 15, § 2).
711. Schwinger J., Phys. Rev., 74,1439 A948) (гл. 13, § 1,4; гл. 17, § 1). (Имеется
перевод в [911]).
712. Schwinger J., Phys. Rev., 75, 651 A949) (гл. 7, § 3; гл. 13, § 4). (Имеется
перевод в [911].)
713. Schwinger J., Phys. Rev., 76, 790 A949) (гл. 13, § 4; гл. 15, § 2, 5, 6). (Имеет-
(Имеется перевод в [911].)
714. Schwinger J., Phys. Rev., 82, 664 A951) (гл. 8, § 3; гл. 10, § 1, 2; гл. 15,
§ 5, 7; гл. 16, § .1). (Имеется перевод в [911].)
715. Schwinger J., Proc. Nat. Acad. of Sciences (USA), 37, 452 A951) (гл. 10,
§ 1; гл. 15, § 7; гл. 16, § 2; гл. 17, § 1, 6). [Имеется перевод: ПСФ, № 3 A955).!
716. Schwinger J., Phys. Rev., 82, 914 A951) (гл. 8, § 3). (Имеется перевод
в [911].)
717. Schwinger J., Phys. Rev., 91, 713 A953) (гл. 10, § 1; гл. 17, § 1). (Имеется
перевод в [929].)
718. Schwinger J., Phys. Rev., 91, 728 A953) (гл. 10, § 1; гл. 14, § 1; гл. 15, § 3).
(Имеется перевод в [929].)
719. Schwinger J., Phys. Rev., 92, 1283 A953) (гл. 10, § 1; гл. 14, § 1; гл. 15,
§ 3). (Имеется перевод в [929].)
720. Schwinger J., Phil.Mag.,44,1171 A953) (гл. 17, § 1). (Имеется перевод в [9291.)
721. Schwinger J., Phys. Rev., 93, 615 A954) (гл. 14, § 1). (Имеется перевод в [929].)
722. Schwinger J., The Theory of Coupled Fields, Lecture notes ed. by L. Rodberg,
F. Zachariasen and A. C. Zemach (гл. 7, § 5; гл. 18, § 2).
723. Schwinger J., Ann. of Phys., 2, 407 A957) (гл. 10, § 5).
724. Schwinger J., Quantum Electrodynamics, New York, 1958 (гл. 15).
725. Series G. W., The Spectrum of Atomic Hydrogen, Oxford, 1957 (гл. 4, § 8).
726. Широков Ю. М., ЖЭТФ, 33, 861 A957) (гл. 1, § 4; гл. 2, § 3).
727. Широков Ю. М., ЖЭТФ, 33, 1196 A957) (гл. 1, § 4; гл. 2, § 3).
728. Широков Ю. М., ЖЭТФ, 33, 1208 A957) (гл. 1, § 4; гл. 2, § 3).
729. Широков Ю. М., Nucl. Phys., 15, 1 A960) (гл. 2, § 2).
730. Широков Ю. М., Nucl. Phys., 15, 13 A960) (гл. 2, § 2).
731. Силин В. П., Ф а й н б е р г В. Я., УФН, 50, 325 A953) («Вопросы»).
732. Slater J. С, Phys. Rev., 35, 210 A930) (гл. 6, § И).
733. Slater J. С, Phys. Rev., 81, 385 A951) (гл. 6, § И).
734. S n у d e r H. S., W e i n b e r g J., Phys. Rev., 57, 307 A940) (гл. 15, § 6).
735. Соловьев В. Г., Nucl. Phys., 6, 618 A958) (гл. 10, § 2).
736. Sommerfield С, Phys. Rev., 107, 328 A957) (гл. 17, § 4).
737. Sommerfield С, Ann. of Phys., 5, 26 A958) (гл. 15, § 4, 7).
738. Stearns M. В., Progress in Nuclear Physics, 6 A957) (гл. 4, § 7).
739. Steinberger J., Phys. Rev., 76, 1180 A949) (гл. 16, § 1).
740. S t e i n m a n n O., Helv. Phys. Acta 33, 257, 347 A960) (гл. 18, § 1, 2).
741. Sternheimer R. M., Advances in Electronics and Electron Physics,
vol. XI, New York, 1959 (гл. 14, § 5).
52*

824 Литература
742. S t г е a t е г R. F., Nuovo Cim., 13, 57 A959)f («Вопросы»).
743. S t re a t е г R. F., Proc. Roy. Soc, A256, 39 (I960) (гл. 18, § 1). '
744. S t r e a t e r R. F., Nuovo Cim., 15, 937 (I960) (гл. 18, § 1).
745. Streater R. F., Journ. Math. Phys., 1, 230 A96Q) [см. исправления: 1,
452 (I960)] (гл. 18, § 4).
746. Stuckelberg E. С. G., Nature, 144, 118 A939) (гл. 15, § 1).
747. Stuckelberg E. С G., Plelv. Phys. Acta, 14, 51 A941) (гл. 15, § 1).
748. Stiickelberg E. С G., Helv. Phys. Acta, 18, 21 A945) (гл. 11, § 3).
749. Stuckelberg E.C.G., Helv. Phys. Acta, 18, 195 A945) (гл. 11, § 3).
750. Stuckelberg E.C.G.,R i vfer D., Phys. Rev., 74, 986 A948) (гл. 15, § 1).
751. Stuckelberg E. C*G., R i v i e r D., Phys. Rev., 74, 218 A948) (гл. 15, § 1).
752. Stuckelberg E. С G., R i v i e r D., Helv. Phys. Acta, 13, 215 A949) (гл. 13,
§ 3).
753. Stuckelberg E. С G., Phys. Rev., 81, 130 A951) (гл. 13, § 1).
754. Stuckelberg E. С G., Green T. A., Helv. Phys. Acta, 24, 153 A951)
(гл. 13, § 1).
755. Sucber J., Phys. Rev., 107, 1.148 A957) (гл. 11, § 6).
756. S u d a r s h a n E. C. G., M a r s h а к R. E., Phys. Rev., 109,1860 A958) (гл. 10,
§ 6). .
757. Sugawara M., Kanezawa A., Phys. Rev., 115,1310 A959). («Вопросы»).
758. Suura H., Phys. Rev., 99, 1020 A955) (гл. 15, § 6).
759. Suura H., W i с h m a n n E. H., Phys. Rev., 105, 1030 A957) (гл. 15, § 5).
760. S у m a n z i к К., Zs. f. Naturforsch., 9a, No. 10 A954) (гл. 7, § 5; гл. 18, § 2).
761. S у m a n z i к К., Phys. Rev., 105, 743 A957) (гл. 18, § 4).
762. S у m a n z i к К., Nuovo Cim., 5, 659 A957) (гл. 18, § 4).
763. S у m a n z i к К., Progr. Theor. Phys. (Japan), 20, 690 A958) (гл. 17, § 2).
764. S у m a n z i к К., Journ. Math. Phys., 1, 249 A960) (гл. 18, § 2).
765. Takahashi Y., UmezawaH., Progr. Theor. Phys. (Japan), 11, 251 A952)
(гл.15, § 1).
766. Takahashi Y., Nuovo Cim., 6, 370 A957) (гл. 16, § 5).
767. T а к e d a G., Progr. Theor. Phys. (Japan), 7, 359 A952) (гл. 16, § 4, 8).
768. T а м м И., Zs., f. Phys., 62, 545 A930) (гл. 14, § 5).
769. T a n i S., Progr. Theor. Phys. (Japan), 6, 267 A951) (гл. 4, § 6).
770. Та rsk i J., Journ. Math. Phys., 1, 149 A960) (гл. 18, § 4).
771. Taylor J. G., Lectures on Dispersion Relations in Quantum Field Theory and
Related Topics, University of Maryland, Technical Report 115, vol. I, II, III,
1958 («Вопросы»); Phys. Rev., 117, 267 A960) (гл. 18, § 4).
772. T e 1 e g d i V. L., В u r g у М. Т., К г о h n V. E., N о v e у Т. В., R i'n-
go G. R., Phys. Rev., 110, 1214 A958) (гл. 14, § 5).
773. Theis W. R., Fort. d. Phys., 7, 559 A959) («Вопросы»).
774. Thirring W., Phil. Mag., 41, 1193 A950) (гл. 15, § 5; гл. 16, § 7).
775. Thirring W., Touschek В., Phil. Mag., 42, 244 A951) (гл. 15, § 3).
776/;T h i r r i n g W., Principles of Quantum Electrodynamics, New ь York, 1958
(гл. 15, § 7).
777. Thirring W., Nuovo Cim., 14, Suppl., 385 A959) (гл. 18, § 4).
778. Thirring W., Nuovo Cim., 14, Suppl., 415 A959) (гл. 10, § 4).
779. T i о m n о J., Nuovo Cim., 1, 226 A955) (гл. 8, § 3; гл. 10, § 6).
780. Toll J. S., Диссертация, Princeton University, 1952 (гл. 16, § 1; гл. 18, § 4).
781. Toll J. S., Phys. Rev., 104, 1760 A950) (гл. 12, § 4; гл. 18, § 4; «Вопросы»).
782. Tomonaga S., Progr. Theor. Phys. (Japan), 1, 27 A946) (гл. 13, § 1). (Имеется
перевод в [911].)
783. Т г е i m a n S. В., S а с h s R. G., Phys. Rev., 103, 435 A956) (гл. 12, § 4)

Литература 825:
784. Т г е i m a n S. В., G о 1 d b е г g е г М. L., В 1 а п к е n b е с к 1 е г R.,
Khuri N. N., Ann. of Phys., 10, 62 A960) («Вопросы»).
785. T г i e b w a s s e г S., Dayhoff E. S., L a m b W. E., Phys. Rev., 89, 98
A953) (гл. 15, § 2).
786. Ts a i, Yung S u, Phys. Rev., 120, 269 A960) (гл. 15, § 6; «Вопросы»).
787. Uehling E. A., Phys. Rev., 48, 55 A935) (гл. 4, § 7; гл. 15, § 5).
788. Umezawa H., Kawabe R., Progr. Theor. Phys. (Japan), 4, 420, 423 A949)
(гл. 14, § 3; гл. 15, § 5).
789. U mezawaH., Kawabe R., Progr. Theor. Phys. (Japan), 4, 443A949) (гл. 14,§3).
790. Umezawa H., Kawabe R.,Progr.Theor.Phys.(Japan),4,461 A949)(гл. 15,§5).
791. Umezaw^aH., Kawabe R., Progr. Theor. Phys. (Japan),5,266A950)|(ra.l4,§3).
792. Umezawa H.,Kamefuchi S., Progr. Theor. Phys. (Japan), 6,543 A951)
(гл.15, §5).
793. Umezawa H., Tomozawa Y., К о n u m a M., К a m e f u с h i S.,
Nuovo Cim., 3, 772 A956) (гл. 17, § 3).
794. Umezawa H., Kamefuchi S., Nuovo Cim., 3, 1060 A956) (гл. 16, § 2,
гл. 17, § 3).
795. Umezawa H., Konuma M., Nuovo Cim., 4, 1461 A956) (гл. 16, § 2).
796. Utiyama R., SunakawaS., Imam^ura Т., Progr. Theor. Phys. (Japan),
8, 77 A952) (гл. 16, § 1). [Имеется перевод: ПСФ, № 3 A955).]j
797. Utiyama R., Phys. Rev., 101, 1597 A956) (гл. 10, § 3, 5).
798. V a 1 a t i n J. C, Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.-Fys. Medd., 26, No. 13 A951)
(«Вопросы»).
799. V a 1 a t i n J. C, Proc. Roy. Soc, A222, 93 A954) (гл. 16, § 8).
800. V a 1 a t i n J. C, Proc. Roy. Soc, A228, 228 A954) (гл. 16, § 8).
801. V a 1 a t i n J. C, Proc. Roy. Soc.,' A225, 534 A954) (гл. 16, § 8).
802. V a 1 a t i n J. C, Proc. Roy. Soc, A226, 254 A954) (гл. 16, § 8).
803. ValatinJ. C, Les Problemes Mathematiques de la Theorie Quantique des
Champs, Colloques Intern, du Centre National de la Recherche Scientifique, Paris,
1959 (гл. 16, § 8).
804. Van Hove L., Acad. Roy. de Belgique Bulletin, 37, 1055 A951) (гл. 13, § 1).
805. Van Hove L., Phisica, 18, 145 A952) (гл. 12, § 1; гл. 13, § 1).
806. Van Hove L., Phisica, 21, 901 A955) [см. также 22, 343 A956); 23, 441 A957)]
(гл. 11, § 2; гл. 12, § 2).
807. Van Hove L., Phisica, 25, 365 A959) (гл. 12, § 3).
808. Van del Waerden B.L., Gottingen Nachrichten, 100 A929) (гл. 4, § 3).
809. Van der Waerden B.L., Die Gruppentheoretische Methode in der Quanten-
mechanik, Berlin, 1932 (гл. 2, § 2).
810. V i 11 a r s F., Phys. Rev., 79, 122 A950) (гл. 15, § 1).
811. Владимиров В. С, Логунов А. А., Препринт ОИЯИ Р-260, Дубна
A959); Изв. АН СССР, сер. мат., 23, 661 A959) (гл. 18, § 4).
812. V о 1 к о w D. M., Zs. f. Phys., 94, 25 A935) (гл. 4, § 8).
813. Von Neumann J., Math. Ann., 104, 570 A931) (гл. 1, § 1; гл. 7, § 1).
814. Waller I., Zs.'f. Phys., 62, 673 A930) (гл. 15, § 1).
815. Ward J. C, Phys. Rev., 77, 293L A950) (гл. 15, § 3; гл. 16, § 1, 5).
816. Ward J. С, Phys. Rev., 78, 182L A950) (гл. 15, § 3; гл. 16, § 4, 5).
817. Ward J. C, Proc. Phys. Soc, A64, 54 A951) (гл. 16, § 2, § 4 6).
818. Ward J. C, Phys. Rev., 84, 897 A951) (гл. 16, § 8).
819. Warnock R. L., Phys. Rev., 118, 1447 A960) («Вопросы»).
820. Watanabe S., Phys. Rev., 84, 1008 A951) (гл. 2, § 2).
821. W a t a n a b e S., Rev. Mod. Phys., 27, 26 A955) (гл. 2, § 2).
822. Watson K.M., Lepore J.V., Phys. Rev., 76, 1157 A949) (гл. 15, § 8).
823. Weinberg S., Phys. Rev., 110, 782 A958) («Вопросы»).

826 Литература
824. Weinberg S., Phys. Rev., 118, 838 A960) (гл. 16, § 4).
825. Weisskopf V., Zs. f. Phys., 89, 27 A934) (гл. 15, § 1).
826. Weisskopf V., Zs. f. Phys., 90, 817 A934) (гл. 15, § 1).
827. Weisskopf V., Kgl. Danske Vidensk. Selsk., Mat.-Fys. Medd., 14, No. &
A936) (гл. 15, § 5).
828. Weisskopf V., Phys. Rev., 56, 72 A939) (гл. 15, § 1).
829. Weisskopf V., Rev. Mod. Phys., 21, 305 A949) (гл. 15, § 3). (Имеется перевод
в [919].)
830. Wei ton Т., Phys. Rev., 74, 1157 A948) (гл. 15, § 3).
831. W e n e s e r J., В e r s о h n R., К г о 1 1 N. M., Phys. Rev., 91, 1257 A953>
(гл. 15, § 4, 6).
832. W e n t z e 1 G., Zs. f. Phys., 68, 479 A933) (гл. 15, § 1).
833. W e n t z e 1 G., Zs. f. Phys., 87, 726 A934) (гл. 15, § 1).
834. Wentzel G., Zs. f. Phys., 118, 277 A941) (гл. 12, § 3).
835. Wentzel G., Helv. Phys. Acta, 15, 111 A942) (гл. 12, § 3).
836. Wentzel G., Quantum Theory of Fields, New York, 1949 (гл. 7, § 4; гл. 15, § 1;
«Вопросы»). (Имеется перевод: Г. Веытцель. Введение в квантовую теорию
волновых полей, М.-Л., 1947.)
837. Wentzel G., Phys. Rev., 86, 802 A952) (гл. 10, § 7).
838. West D., Reports on Progress in Physics, 21 A958) (гл. 4, § 7).
839. W e у 1 H., Zs. f. Phys., 56, 330 A929) (гл. 4, § 8).
840. W e у 1 H., Gruppentheorie und Quanten Mechanik, 2d ed., Leipzig, 1931 (гл. 4, § 7).
841. Wheeler J. A., Phys. Rev., 52, 1107 A937) (гл. 11, § 3).
842. Wheeler J. A., F e у n m a n R. P., Rev. Mod. Phys., 17, 157 A945) (гл. 15,
§ 1).
843. Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 21, 425 A949)
(гл. 15, § 1).
844. Wichmann E.H.,Kroll N. M., Phys. Rev., 101, 843 A956) (гл. 4, § 8; гл. 15,
§ 5).
845. Wick G. С, Atti. Accad. Lincei, 21, 170 A935) (гл. 10, § 3).
846. Wick G. C, Phys. Rev., 80, 268 A950) (гл. 13, § 3). (Имеется перевод
в [911].)
847. Wi ck G.G., Wightman A. S., Wigner E. P., Phys. Rev., 88,101 A952)
(гл. 1, § 1).
848. Wick G. C, Phys. Rev., 96, 1124 A954) (гл. 17, § 6).
849. Wick G. C, Rev. Mod. Phys., 27, 339 A955) (гл. 12, § 4).
850. Wick G. C, Ann. Rev. Nucl. Sci., 9 A959) (гл. 1, § 4). [Имеется перевод: УФНГ
68, 201 A959).]
851. Wightman A. S., S с h w е Ь е г S., Phys. Rev., 98, 812 A955) (гл. 7, § 1;
гл. 8, § 2).
852. Wightman A. S., Phys. Rev., 101, 860 A956) (гл. 16, § 1; гл. 17, §2; гл. 18,'г.§ 1).
853. Wightman A. S., Лекции, прочитанные на Faculte des Sciences, Universite
de Paris. Les Problemes Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs
(гл. 18, § 1).
854. Wightman A. S., Les Problemes Mathematiques de la Theorie Quantique des
Champs, Colloques Internationaux du Centre National de la Recherche Scienti-
fique, Paris, 1959 (гл. 17, § 4; гл. 18, § 1). [Имеется перевод в сборнике «Матема-
«Математика», 6, № 4, 96 A962).]
Й55. Wightman A. S., Nuovo Cim., 14, ser. X, Suppl. No. 1,81 A959>
(гл. 1, § 4).
856. Wigner E. P., Gottingen Nachrichten, 31, 546 A932) (гл. 7, § 3).
857. Wign er E. P., Ann. of Math., 40, No. 1 A939) (гл. 1, § 4; гл. 2, § 3).
H58. Wigner Б. P., Zs. f. Phys., 124, 665 A947) (гл. 2, § 3).

Литература 827
859. W i g n е г E. P., Proc. Amer. Phil. Soc, 93, 521 A949) (гл. 1, § 4).
860. Wigner.E. P., Zs. f. Phys., 133, 101 A952) (гл. 1, § 1).
861. W i g n e r E. P., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38, 449 A952) (гл. 10, § 5).
862. Wignet E. P., Jubilee of Relativity Theory, Bern, 1955; Basel, 1956 (гл. 1, § 4).
863. W i g n e г E. P., Nuovo Cim., 3, 517 A956) (гл. 1, § 4; гл. 2; § 3; гл. 5, § 2).
864. Wignet E. P., Rev. Mod. Phys., 29, No. 3, 255 A957) (гл. 1, § 4;. гл. 5, § 2;
гл. 10, § 1). [Имеется перевод: УФН, 65, 257 A958).]
865. Wigner E. P., Group Theory, New York, 1959 (гл. 1, § 4, 5). (Имеется пере-
перевод: Е. В и г не р, Теория групп, ИЛ, 1961.)
866. W о 1 f e n s t e i n L., R a v e n h a 11 D. G., Phys. Rev., 88, 279 A952) (гл. 4,
§ 7; гл. 14, § 6; гл. 16, § 1).
867. W u С. S., A m Ы е г Е., Н а у w a r d R. W., Н о р р е s D.D., Hudson
R. P., Phys. Rev., 105,1413 A957) (гл. 10, §6). (Имеетсяперевод в [912].)
868. Yamagata Т. L., Auerb a ch L. В., Betnaidin|i G., Fil о s о f oL,
Haasen A. O., O.d i a n A. C, Bull. Am. Phys. Soc, Ser. II, 1, 350 A956)
(гл. 18, § 4).
869. Yang С N., Phys. Rev., 77, 242 A950) (гл. 4, § 7; гл. 16, § 1).
870. Yang С. N.. T i о m n о J., Phys. Rev., 79, 495 A950) (гл. 1, § 5, гл. 8, § 3).
871. Yang С. N., F e 1 d m a n D., Phys. Rev., 79, 972 A950); (гл.| 13, § 1; гл. 17, § 4).
872. Yang С. N., M i 11 s R. L., Phys. Rev., 96,191 A956) (гл. 10, § 3, 5; гл. 16, § 1).
873. Y e n n i e D. R., S u u r a H., Phys. Rev., 105, 1378 A957) (гл. 15, § 6).
874. Yennie D. R., Gartenhaus S., Nuovo Cim., 9, 59 A958) (гл. 16, § 8).
875. Yennie D. R., F r a u t с h i S. C, S u u г а Н., Ann. of Phys., 13, 379 A961)
(гл. 15, § 4, 6; гл. 16, § 6).
876. Zimmermann W., Nuovo Cim., 10, 567 A958) (гл. 18, § 2).
877. Zimmermann W., Nuovo Cim., 13, 503 A959) (гл. 18, § 2, 4).
878. Zimmermann W., Nuovo Cim., 16, 690 A960) (гл. 18, § 2).
879. Z u m i n о В., Journ. Math. Phys., 1,1 A960) (гл. 9, § 2; гл. 15, § 5; гл. 17, § 3).
Литература, добавленная при переводе
880. Арбузов В. А., Логунов А. А., Тавхелидзе А. Н., Фаустов
Р. Н., Препринт ОИЯИ Е-1ОЗО, Дубна (гл. 16, § 8).
881. Арбузов Б. А., Логунов А. А., Тавхелидзе А. Н., Фаустов Р.Н.;
Phys. Rev., Lett. 2, 150 A962) (гл. 16, § 8).
882. А г п о w i t t R., Phys. Rev., 92, 1002 A953) (гл. 17, § 6).
883. A x и е з e p A., Phys. Zs. d. Sowjetunion, 11, 263 A937) (гл. 16, § 1).
884. Б е р ж К., Теория графов и ее применения, ИЛ, 1962 (гл. 12, § 4).
885. Brown G. E., P e i е г 1 s R. E., Woodward I. В., Proc. Roy. Soc, 227A,
51 A954).
886. Brown G. E., W о о d w a r d J. В., Proc. Phys. Soc, A65, 977 A952).
887. В а н я ш и н B.C., ЖЭТФ, 43, 699 A962).
888. Cooper L. N., Phys. Rev., 100, 362 A955) (гл. 16, § 1).
889. Evans L., Диссертация, The Johns Hopkins University, 1960 (гл. 17, § 3).
890. Evans L., F e 1 d m a n G., M a t t h e w s P. Т., Ann. of Phys., 13, 268 A961)
(гл. 17, § 3).
891. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я., Представления
группы вращений и группы Лоренца, М.— Л., 1958 (гл. 2, § 2).
892. Жарков Г., ЖЭТФ, 20, 492 A950) (гл. 8, § 3).
893. Gell-MannM.,GoldbergerM.L., Phys. Rev., 96,1433 A954) (гл. 17, § 5).
894. G e 11-М a n n M., L o> F., (не опубликовано, 1956) (гл. 16, § 1).
895. Glashow S. L., G е 11-М a n n M., Ann. of Phys., 15, 437 A961) (гл. 16, § 1).
896. Gupta S. N., Phys. Rev., 98, 1507 A955); 99, 1015 A955) (гл. 15. § 6).

828 Литература
897. Hadamard J., Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Dif-
Differential Equations, Yale University Press, 1923. (Переиздано, Dover Publ., 1952.)
Le problem de Cauchy et les equations aux derivees partielles lineaires hyperbo-
liques, Paris, 1932 (гл. 16, § 8).
898. I d d i n g s С. К., Р 1 a t z m a n P. M., Phys. Rev., 113, 192 A959); 115, 919
A959) (гл. 17, § 6).
899. J о s t R., Helv. Phys. Acta, 20, 256 A947) (гл. 17).
900. К a 1 1 e n, Handbuch der Physik, 5, I, Berlin, 1958.
901. L e e T. D., Yang C. N., A Theory of Charged Vector Mesons, Interacting |witb
Electromagnetic Field, Preprint, 1962.
902. Mandelstam S., Nuovo Cim., 15, 658 A950).
903. Марков М. А., Гипероны и lf-мезоны, M., 1958.
904. Marshak R. E., Sudarshan E., Introduction to Elementary Particle
Physics, New York—London, 1961. (Имеется перевод: P. M a p ш а к, Э. Су-
Суде рш s н, Введение в физику элементарных частиц, ИЛ, 1962.)
905. Matthews P. Т., The Relativistic Quantum Theory of Elementary Particle
Interactions, New York, 1957 (гл. 7, § 6). (Имеется перевод: П. М э т ь ю с, Реля-
Релятивистская квантовая теория взаимодействий элементарных частиц, ИЛ, 1959.)
906. N a g I e D. E., J u I i a n R. S., Z а с h a r i a s J. R., Phys. Rev., 72, 971 A947).
907. Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М.— Л., 1958
(гл. 2, § 2).
908. N a k a n i s h i N.. Progr. Theory Phys. (Japan), 25, 155 A961) (гл. 18, § 4).
909. Нелинейная квантовая теория поля, сборник статей, ИЛ, 1959.
910. N е u m a n W., F u г г у W., Phys. Rev., 76, 1677 A949).
911. Новейшее развитие квантовой электродинамики, сборник статей, ИЛ, 1954.
912. Новые свойства симметрии элементарных частиц, сборник статей, ИЛ, 1957.
913. Новый метод в теории сильных взаимодействий, сборник статей, ИЛ, 1960.
914. О г и е в е ц к и й В. И., П о л у б а р и н о в И. В., ЖЭТФ, 41,- 247 A961)
(гл. 16, § 1).
915. Огиевецкий В.И., Полубаринов И. В., Nuovo Cim., 23, 173 A962)
Препринт ОИЯИ Р-1241, Дубна A963) (гл. 9, § 1; «Вопросы»).
916. Окунь Л. В., Лекции по теории слабых взаимодействий элементарных частиц,
Препринт ОИЯИ Р-833, Дубна.
917. Rosen N.. Phys. Rev., 85, 257 A952); 87, 940 A952).
918. S a 1 a m A., Phys. Rev., 127, 331 A962) (гл. 16, § 1).
919. Сдвиг уровней атомных электронов, сборник статей, ИЛ, 1950.
920. Schweber S. S., Nuovo Cim., 2, 173 A955) .(гл. 18, § 2).
921. S t r e a t e r R. E., Nuovo Cim., 15, 937 A960) (гл. 18, § 4).'
922. Stueckerberg E. С. G., Petermann A., Helv. Phys. Acta, 26, 499
A953) (гл. 16, § 8).
923. T a u t f e s t G. W., Panof ski W. К. Н., Phys. Rev., 105, 1356 A957).
924. Taylor J.C., Phys. Rev., 117, 261 A960) (гл. 18, § 4).
925. Toll J. S., Proc. of the 1960 Annual International Conference on High Energy
Physics at Rochester, University of Rochester, p. 259 (гл. 18, § 2).
926. Tomonaga S., Progr. Theor. Phys. (Japan), Suppl., No. 2 A955).
927. U m e z a w a H., Quantum Field Theory, Amsterdam, 1956 (гл. 16, § 1). (Имеется
перевод: X. Умэдзава, Квантовая теория поля, ИЛ, 1958.)
928. Ф а й н б е р г В. Я., ЖЭТФ, 36, 1503 A959) (гл. 18, § 3).
929. Schwinger J., Phys. Rev., 91, 713A953); 91,728 A953); 92, 12837A953);
93, 615 A954); 94 1362 A954); Phil. Mag., 44, 1171 A953). (См. перевод:
Ю. in в и н г е р, Теория квантованных полей, ИЛ, 1956.)
930. Смородинский Я. А., ЖЭТФ, 43, 2217 A962).

Предметный указатель
Адиабатическая гипотеза и определение
физического вакуума 525, 619
—• — и перенормировка волновой функт
ции 511—513
5-матрица 312, 313, 323, 324
— — — уравнение для связанных со-
состояний 317, 676
Аксиоматическая формулировка теории
поля 680—722
— — — — Лемана—Симанзика—Цим-
Лемана—Симанзика—Циммермана (ЛСЦ) 701—722
Уайтмана 682—701
Аннигиляции оператор: см. также Унич-
Уничтожения оператор
Аномальный магнитный момент мюона
529
— — — нуклона 570
— — — электрона 514
Антикоммутациоиные соотношения: см.
то коке Перестановочные соотношения
и Канонические перестановочные соот-
соотношения
— — для перенормированных операто-
операторов 639
— — — фермионных операторов в кар-
картине Дирака 220—223, 405
— — и статистика Ферми—Дирака
140—142
Антисимметризатор 128, 129
Антисимметричные волновые функции
и пространство чисел заполнения 140—
142
- — статистика Ферми—Дирака
/27—729
Античастица 72, 102, 192, 217
Асимптотические условия 648
— — и аксиоматическая формулировка
теории поля 701—703
«Аут»-операторы 399—402
— — и асимптотические условия 701,
702
— — связь с гейзенберговскими опера-
операторами поля 649
— — — — «ин»-операторами 649,
702
Барионы 254
— закон сохранения 254
— свойства 254
53 с. Швебер
Бета-распада теория возможные виды
связей 287—293
— — — вычисления 473—475
— — — неперенормируемость 586
Бете—Солпитера уравнение; см. также
Релятивистские уравнения для связан-
связанных состояний
— — — вывод из теории поля 674—676
— — — граничные условия 677—679
Бозе—Эйнштейна статистика и переста-
перестановочные соотношения Иордана—Клей-
Иордана—Клейна 133—135
— — — — симметрия волновых функ-
функций частиц 127—131
Борна—Инфельда теория 489
Борна приближение в теории рассеяния
324
— — для кулоновского рассеяния
электронов 433—436
— — и определение констант перенор-
перенормировки 351, 601, 605
Б рейта система 761, 762
«6>ьрасходимости 586
Вакуума поляризация в современной
квантовой электродинамике 520—529
— — и лэмбовский сдвиг 524
— — теория дырок 104
Вакуума собственная энергия для взаи-
взаимодействующих полей 447, 448
— — — при наличии внешнего элек-
электромагнитного поля 436—440
— состояние для взаимодействующих
полей 616
— — — системы квантов со спином О
158, 192
1/2 216—218
— — — — нерелятивистских частиц
135, 139
фотонов 238, 239, 245
Вакуумные средние значения операторов
в картине Гейзенберга 618—621
Дирака 422
Вейля уравнение для нейтрино 114
Вентцеля парная модель 357
Вершинный оператор в квантовой элек-
электродинамике 505, 508—510, 573, 583,584
— — — псевдоскалярной мезонной тео-
теории 544—546

830
Предметный указатель
Вершинная часть 573
— — выделение расходимостей 583, 584
Взаимодействие с электромагнитным по-
полем заряженного поля со спином 0 267,
268
1/2 269, 270
• и СР-инвариантность 270, 271
— — — лагранжиан 265—277
— — — нуклонного поля 271, 272
— — — я-мезонного поля 272
— — — системы я-мезонного и нуклон-
нуклонного полей 277
— — — частицы Дирака 105—110
— — — — Клейна—Гордона 70, 71
Взаимодействие между полями 251—298;
см. также Связь между полями
— — — бозонными и фермионными
259—264
— — — мезонными и барионпыми 278—
256
— — — я-мезонным и нуклонным 273—
277
— — — и лагранжев формализм 251—
253
— — — —правила для диаграмм Фейн-
мана 449—460
— — — и .РС-инвариантность 262—264,
270, 271
— — — — симметрии 255, 254
— — — — СРТ-инвариантность 261
— — — — уравнения поля 267
сильное 278—286
слабое 286—293
— — — теорема эквивалентности
293—298
Взаимодействия картина; см, также Ди-
Дирака картина
Вика теорема 416—423
Водорода атом, лэмбовский сдвиг 503,
517—519
— — уравнение Дирака 110
— — энергетические уровни 109
Волновой функции константы перенор-
перенормировки в квантовой электродинамике
511—514
модели Ли 343—345
Чу—Лоу 363—369
— — — — для скалярного поля, взаи-
взаимодействующего с фиксированными
нуклонами 331, 332
Возмущений теория и диаграммы Фейн-
мана 428
— — инвариантная 320—324
Возмущенные и невозмущениые собствен-
собственные состояния и соотношение между
ними 325—327
Вращения группа в трехмерном евклидо-
евклидовом пространстве 27—41
— — — четырехмерном евклидовом
пространстве 41—44
Вторичного квантования формализм для
нерелятивистских частиц 125—.755
— — — — релятивистских частиц 156
Времени обращение, свойства решений
уравнения Дирака 86, 112, 113
— — — — — Клейна—Гордона 173
Времени обращение. Трансформационные
свойства операторов заряженного поля
со спином 0 202
— — — — — нейтрального поля со
спином 0 173, 174
1/2 250, 231
1 247
Гайтлера уравнение 319
Галилея инвариантность 23, 24
Гамильтониан для вещественного скаляр-
скалярного поля 188
— — комплексного скалярного поля
197
— — нерелятивистского электрона,
взаимодействующего с полем излучения
498
— — нуклонного поля 252
— — поля Дирака 214—217
со спином i/2 215—217, 230
— — системы взаимодействующих не-
нерелятивистских частиц 150
— — частицы со спином 1/2 75
— — электромагнитного поля 234, 235
— и канонические переменные 755
— определение из лагранжиана 188
— плотность 186
Гамильтонов формализм 186—755
Гамма-матриц свойства 76—80
Гелл-Манна—Пуппи тетраэдр 290
Гейзенберга картина 75, 19
— — в квантовой электродинамике 614
— — «S-матрица 401
— —¦ уравнения движения для опера-
операторов поля 147—149
Гильберта соотношения 396
Гипероны 254
Грина функции 621, 622
— — асимптотическое поведениеТбДО,
631
— — и константы перенормировки 599
Группа неоднородных преобразований
Лоренца 53—61
— однородных преобразований Лоренца
46—53
— трехмерных вращений и ее представ-
представления 27—40
Гупта—Блейлера формализм 236—246
Движения уравнения, вывод из плот-
плотности лагранжиана 184, 185
— — для взаимодействующих полей
в картине Гейзенберга 614, 629
— — — — — — — Дирака 405
Действия на расстоянии, теория и элек-
электродинамика 455, 489
— наименьшего, принцип в классиче-
классической теории поля 184
Дельбрюка рассеяния 561
Дирака картина, определение 307, 308
— — Л'-матрица 309
— матриц, свойства 76—80
— уравнение 73—113

Предметный указатель
831
Дирака картина, во внешнем электромаг-
электромагнитном поле 105—113
— — инвариантность 81—90
— — квантование 21 3—226
— — решения 90—92
Дисперсионные соотношения для амплиту-
амплитуды рассеяния мезона на нуклоне вперед
757—760, 773—776
— — — двухчастичной амплитуды рас-
рассеяния 746—772
— — — комптоновского рассеяния на
нуклоне 736—739
— — — электромагнитного форм-фак-
форм-фактора мезона 740—745
— — — электромагнитного форм-фак-
форм-фактора нуклона 745, 746
Дырок теория 102, 103
Запаздывающие функции 709, 710
— — и аксиоматическая формулировка
, теории поля 709—719
— — свойства 710—714
Заряда и тока плотность; см. также Тока
4-вектор
— — для поля со спином 0 196, 267
1/2 223, 224, 270, 614
— — — уравнения Дирака 75, 78
Клейна—Гордона 63, 71
— — определение из лагранжиана 206,
207, 265
— перенормировка в квантовой элек-
электродинамике 527, 599—602
— — — мезонной теории; см. Связи
константа, перенормировка
— — и калибровочная инвариантность
в квантовой электродинамике 520—526
— — — крмптоновское рассеяние 603
— — кулоновский потенциал между
двумя зарядами 633
— — — мёллеровское рассеяние 526
527
— — — эффекты поляризации вакуума
520—529
— — смысл перенормировки заряда
603—605, 633
— сохранение и калибровочная инва-
инвариантность лагранжиана 206, 207, 265,
266
— — — правила суперотбора 16
Зарядового сопряжения оператор для
поля со спином 0 202, 203
— —_ —_ _— — — ^-[<у *?&&
Зарядовое сопряжение и диаграммы типа
замкнутой петли в квантовой электро-
электродинамике 436—440
— — инвариантность квантовой элек-
электродинамики 476, 477
— теории поля 202, 203, 229, 230
— .— трансформационные свойства за-
заряженных полей со спином 0 202, 203,
261, 275
1/, 229, 230,
261
— — — — нейтральных полей со спи-
спином 0 26.7
Зарядово-сопряжевные решения уравне-
уравнения Дирака 111—113
— — — — Клейна—Гордона 72
Измеримость и перестановочные соотно-
соотношения 14, 735
— операторов поля 404, 405, 683
Изотопический спин и классификация
«элементарных» частиц 273, 274, 278,
279
Изотопического спина оператор в теории
Чу—Лоу 361
— — — для нуклонного поля 231—233
— — — — п-мезонного поля 209
— — — — системы мезонного и нук-
нуклонного полей 276
Импульс канонический 16, 19—22
— оператор и тензор энергии импульса
205, 206
— сохранение в хронологически упоря-
упорядоченных диаграммах Фейнмана 452,
455, 459
Инвариантная теория возмущений 520—
323 *>• .
— — — и диаграммы" Фейпмана 428,
429 ?
Инвариантности принцип 24, 25
— ¦— и представления групп 24—27
Инвариантность Галилея 23, 24
— и лагранжев формализм 203—207
— — локализованная волновая функ-
функция 57, 68, 69
— Лоренца 24—27\[см. также Лоренца
инвариантность v
Инвариантвые сингулярпые'функции для
поля со спином 0 176—181
1/2 22*, 222
— — — представления 423—427
«Иго-операторы 400—402
— — и асимптотические условия 648,
649, 701
5-матрица 705—707
— — перестановочные соотношения
с «аут»-операторами 715
— — связь с гейзенберговскими опе-
операторами 646—652, 701—703
Интегральное представление двухточеч-
двухточечной функции Уайтмана 693—696
— — инвариантных сингулярных функ-
функций 423—427
— — причинного коммутатора 722—735
Исключения принцип и перестановоч-
перестановочные соотношения Иордана—Вигнера
140—142
— — — рассеяние фермиопов 445—447,
451
Йоста точки 688, 689
Калибровочная инвариантность и вершин-
вершинный оператор 583
— — — квантование электромагнит-
электромагнитного поля 236—2
53*

832
Предметный указатель
Калибровочная инвариантность и клас-
классическая электромагнитная теория
234—236
¦— — — лагранжев формализм 265—273
— — — рассеяние света на свете 559,
660
— — — собственная энергия фотона
527, 528
тождество Уорда 592, 593
— — — 4-вектор тока 265—270
Калибровочные преобразования 236, 241
— — генератор 245, 246
Канонические переменные для поля 185,
186, 197
— частицы 16, 19, 20
Канонические перестановочные соотноше-
соотношения; см. также Антикоммутационные
соотношения и Перестановочные соот-
соотношения.
— — — для вещественного поля со
спином 0 181, 188
— — — — заряженного поля со спи-
спином 0 199
— — — — квантовой электродинами-
электродинамики 614, 615
— — — — спинорного поля 220, 221
Квантование и перестановочные соотно-
соотношения 188
— скалярного поля 181—198
— спинорного поля 211—226
— электромагнитного поля 236—246
Квантовая электродинамика 481—542
— — аномальный магнитный момент
электрона 514—517
— — вершинный оператор 505, 508—510
— — в картине Дирака 505
— — — — Гейзенберга 614, 615
— — — — Фарри 534
— — и калибровочная инвариантность
505—507, 520—528 ¦
— — инфракрасные расходимости 519,
520, 530—533
— — константы перенормировки 599—
602
— — лагранжиан 267
— — лэмбовский сдвиг 497, 518
— — пелинейные эффекты 559—561
— — поляризация вакуума 520—529
— — радиационные поправки к рас-
рассеянию 503, 530
— — расходимости 482, 503—534, 555—
580
— —• собственная энергия фотона 526,
527
— — — — электрона 486
— — уравнения движении для опера-
операторов поля 267, 269, 614
— — устранение расходимостей 503—
534, 573—602
Квантовая механика и симметрии 23—27
обзор 13—23
Клейна—Гордона уравнение 62—72; см.
также Уравнение для частиц со спином 0
— — — квантование 181—190
— — — оператор тока 63, 71
решения 63—65, 71, 72
Клейна—Гордона уравнение трансфор-
трансформационные свойства 62
^-матрица 318—320
ЛГ-мезонов нейтральных свойства 280, 281
Коммутационные соотношения; см. так-
также Перестановочные соотношения
Комплексное преобразование Лоренца
687, 688
Комплексное преобразование Лоренца
687, 688
Комптоновское рассеяние и перенормиров-
перенормировка заряда в квантовой электродинами-
электродинамике 603—605
— — на частице со спином 0 468, 469
1/2 463—468, 603,
658—665
¦— — оператор комптоновского рассея-
рассеяния 593, 603, 604
— — соответствующие диаграммы Фейн-
мана 464
— — — функции Грина 622
Контрчлены в лагранжиане для перенор-
перенормировки заряда 605—607
— — — — — массы 484
Координаты оператор для нерелятивист-
нерелятивистской частицы 19, 20
— — — релятивистской частицы со
спином 0 68—70
i/2 100, 101
— — — частицы с нулевой массой
и спином i/2 118
— — и волновые функции локализо-
локализованных состояний 68—70
Корпускулярная интерпретация теории
поля 190
Коши теорема и функции, аналитичные
в полуплоскости 395, 396
Лагранжиан вещественного скалярного
поля 188
— заряженного поля со спином 0197,198
— — — — — — взаимодействующе-
взаимодействующего с электромагнитным полем 267
Чг 213
— — — — — — взаимодействующе-
взаимодействующего с электромагнитным полем 269
— максвелловского поля 234, 235
— нуклонного поля 232
— л-мезонного поля 208
— сильных взаимодействий 283
— системы л-мезонного и нуклонного
полей 276
— слабых взаимодействий 287
— плотность 183, 184
— трансформационные свойства 251,
260—262
Лемана спектральные представления для
среднего по вакууму произведения двух
бозонных операторов 623—627
—¦ — — ~ — спино'рных
операторов 634—636
Лемана—Симанзика—Циммермана (ЛСЦ)
формулировка теории поля 701
Лептоны, закон сохранения 256
— свойства 255

Предметный указатель
Ли алгебра группы 31
— модель 344
Л1—6 рассеяние 346—351
— — перенормировка константы связи
350—354
— — перенормированные операторы 354
— —«призрачные» состояния 355, 356
— — физическая V-частица 343, 344
Линии ширина 537
Липпмана—Швингера уравнение 305—
307
Локализованных состояний волновые
функции 69, 70
Лоренца инвариантность 163—166
— калибровка 234
— — и квантование электромагнитного
о ля 238, 240
— ковариантность; см. также Транс-
Трансформационные свойства частиц со спи-
спином 0, i/2, 1
— — и взаимодействия 251—253
— — — картина Гейзенберга в теории
поля 613—618
— — — квантовомеханический фор-
формализм 24—26
— — лагранжиана в теории поля 260
— — сингулярных А-функций 176, 178
— — уравнения Дирака 81—90
— — — Клейна—Гордона 62
— — описания в пространстве Фока
системы частиц со спином 0 163—166
112226, 227
— преобразования бесконечно малые 48
— — комплексные 687
— — неоднородные 53, 54
— — однородные 46, 47
— — ортохронпые 48
Лоу уравнения и формальная теория рас-
рассеяния 317
Людерса—Паули—Швингера теорема;
см. также СРТ'-теорема
Лэмбовский сдвиг и вершинный опера-
оператор 516
— — — перенормировка массы 497, 498
— — нерелятивистская теория 498—503
—¦ — численное значение для водородо-
подобных атомов 503, 516—518
Магнитный момент; см. также Аномаль-
Аномальный магнитный момент
— — заряженной частицы со спином
1/2 105—108
Максвелла уравнения и калибровочная
инвариантность 234—236
Маиделстама представление для двух-
двухчастичной амплитуды рассеяния 781—
784
Массы перенормировка в модели Ли 344,
345
— — — псевдоскалярной мезонной тео-
теории 542—546
— — — релятивистских теориях поля
482—486
— — — теории скалярного поля, взаи-
взаимодействующего с фиксированными
нуклонами 331
Массы перенормировка выражение
через спектральные функции 630, 638
— — контрчлены в лагранжиане 484,
485 »
— — и нерелятивистский лэмбовский
сдвиг 498—503 . ;
Мезоны; см. также я-мезоны
— и ядерные силы 383, 384
— рассеяние на нуклонах 366—392,
772—780
Мёллера волновой оператор 315, 316
— — — свойства 316, 317
Момента количества движения оператор;
см. также Спин
— — — — в нерелятивистской теории
39—41
— — — — — теории Дирака 89, 101
поля 187, 205
— — — — и группа вращений 32—36
Нейтрино двухкомпонентное, уравнение
114—118
— и несохранение четности 114, 291—
293
— нормировка спиноров, описывающих
нейтрино 471
Нейтрона вероятность распада 473—475
Неприводимые представления неодно-
неоднородной группы Лоренца 55—57, 59—61
— — однородной группы Лоренца 50—
52
— —¦ трехмерной группы вращений
34—36
— — четырехмерной группы вращений
42, 43
Неразличимость частиц.127
Нерелятивистский предел в псевдоска-
псевдоскалярной мезонной теории 359
— — комптоновское рассеяние 467, 663,
664
— — рассеяние нуклона на нуклоне
548
— — уравнения Дирака 92, 98—102
— — — Клейна—Гордона 63
Нормальное произведение операторов
поля со спином 0 182, 183, 416, 417
. 1/2 223, 224, 416, 417
—¦ ¦— представление диаграммами Фейн-
мана 428—431
Нормировка; см. также Константы пере-
перенормировки волновой функции
— антисимметричной волновой функ-
функции, в пространстве чисел заполнения
140
— волновых функций Дирака 92 93
Клейна—Гордона 67, 157
— симметричной волновой функции
в пространстве чисел заполнения 130—
133
Нуклонов описание в теории поля 231—
233, 273, 274
Обобщенные функции 683
Оператор; см. также Гамильтониан;
Координаты оператор; Момента коли-

834
Предметный указатель
чества движения оператор; Рождения
оператор; Уничтожения оператор; Чис-
Числа частиц оператор
Операторы проектирования выделяющие
, решения с положительной и отрица-
отрицательной энергией уравнения Дирака
95, 96
— — выделяющие состояния системы
из я-мезона и нуклона с определенны-
определенными моментом количества движения
и изотопическим спином 369—372,
387
Оптическая теорема 315
— — и амплитуда комптоновского рас-
сенния 739, 740 *
— — — — рассеяния мезона на нук-
нуклоне 779
Ортогональности соотношения для век-
векторов состояния в теории поля 158, 159
— — — решений уравнения Дирака
92—95
— — — — — Клейна—Гордона 67
— — — волновых функций Шредин-
гера 20, 21
Отрицательно-частотные одночастичные
состояния в теории Дирака 90—92,
102—105
— — — — — — Клейна — Гордона
63, 64, 71
— — состояния в теории поля 616, 617
Паули принцип исключения; см. Исклю-
Исключения принцип
— спиновые матрицы 34
Перекрывающиеся расходимости 586
Перенормировки константы, величина
639—645
— — и асимптотическое поведение одно-
частичных функций распространения
i 633
— — — вершинный оператор 599
— — — одночастичные функции рас-
распространения 599, 627—634
Перенормированные константы связи
i в квантовой электродинамике 599—602
— — — — псевдоскалярной мезонной
теории 639
— операторы в релятивистских теориях
поля 634, 639
— — уравнения движения 639
Перенормировка; см. также Связи кон-
I станта; Массы перенормировка
— доказательство перенормируемости
сшшорной электродинамики 595—602
— мезонной теории 542—550
— скалярной электродинамики 563—567
— спинорной электродинамики 573—
602 а
Перенормируемость доказательство для
сшшорной электродинамики 593—602
— критерий для классификации теорий
поля 569—573
— условия 553, 554
Перестановочные соотношения; см. также
Антикоммутационные соотношения;
Канонические перестановочные соотно"
шения
— — для частиц в нерелятивистской
квантовой механике 16
— — — поля со спином 0 181, 183
— — ковариантные неодновременные
для невзаимодействующего поля со
спином 0 176—179
я-мезон, вероятность распада 471—473
¦ — эффективное сечение фотообразова-
фотообразования в борновском приближении 469,
470
— описание в теории поля 207—212
Позитрон 103, 104
— операторы рождения и уничтожения
215—220
— рассеяние на внешнем поле 432—434
Позитроний 163
— акнигиляционные свойства и С-ин-
вариантность квантовой электродина-
электродинамики 476, 477
Полей квантование 188—190
Полного заряда оператор для нуклонного
поля 232
— — — — поля со спином 0 193, 196
. ' 1/2 216, 217
Полноты соотношение для векторов со-
состояния в теории поля 158, 159, 616
— — — решений уравнения Дирака
92—95
— — — — — Клейна—Гордона 67
— — — — — Шредингера 20, 21
Поляризация вакуума 103—105, 520—529
— — и перенормировка заряда 520—529,
602, 633, 634
— — — лэмбовский сдвиг 104, 517—519
Померанчука теорема 780
Потенциала определение в теории поля
547—549
Потенциальное рассеяние нерелятивист-
нерелятивистской частицы 300—305
Предельные теоремы малых энергий для
комптоновского рассеяния на нуклонах
658—665
Представление, определение в квантовой
механике 19
— в пространстве Фока операторов поля
нерелятивистских частиц 137—147
— — — — — релятивистских частиц
со спином 0 162, 170, 171
. I 239
Представления группы 28
— — неоднородных преобразований Ло-
Лоренца 53—61
— — однородных преобразований Ло-
Лоренца 50—53
— — трехмерных вращений 27—39
— — четырехмерных вращений 41—44
Приведение 5-матрицы к нормальной
форме 398
Примитивно расходящиеся диаграммы
554
— — — в мезонной теории 555—562
— — — — скалярной электродинами-
электродинамике 563—566

Предметный указатель
835
Примитивно расходящиеся диаграммы
в спинорной электродинамике 579
Причинности условие и дисперсионные
соотношения 735—784
теория Чу—Лоу 395, 396
— — определение макропричинности
394
— — — микропричинности 217, 736
Пространственное отражение, свойства
решений уравнения Дирака 85, 86, 112
— — — — — Клейна—Гордона 172
Пространственное отражение. Трансфор-
Трансформационные свойства операторов заря-
заряженного поля со спином 0 199—202
— — — — — нейтрального поля со
спином 0 261
— — — — — поля со спином У2 228,
229, 261
1 246
Пространственно-подобная поверхность
65, 402
Пуппи треугольник 288
Радиационные поправки в квантовой элек-
электродинамике 503—542
— — — мезоиной теории 542—547
— — и рассеяние электронов в куло-
новском поле 529—534
Распространения функция двухчастичная
671—675
— — одночастичпая 667—669
Рассеяние бозона на фермионе 409—415
— борновское приближение 324
— и 5-матрица 309—320
— как испускание и поглощение кван-
квантов 406, 407
— комптоновское 463—469, 603—605,
658—665
— мезона на мезоне 561, 562, 652—657
— позитрона на внешнем поле 432—435
— резерфордовское 436
— релеевское 542
— света в кулоновском поле 560, 561
— света на свете 559
— фермиона на фермионе 450—452
— электронов с высокой энергией на
ядрах 110, 111
Рассеяния матрица; см. также 5-матрица
— процесс, зависящее от времени опи-
описание 300—305
—, — и измерения в квантовой меха-
механике 14, 15
Расходимости; см. также Перенормиров-
Перенормировка; 6-расходимости 586
— вакуумных процессов 405, 406, 436—
440, 555
— вершинного оператора 556
— в квантовой электродинамике 503—
529, 573—580
— — псевдоскалярной мезонной теории
542—550, 555—558
— — разложении 5-матрицы в ряд тео-
теории возмущений 551—568
— — скалярной мезонной теории 555—
555
Расходимости инфракрасные 519, 520,
630—533
— общий анализ 551—573
— отделение 580—590, 594
— перекрывающиеся 556
— примитивные 554, 579
— собственной энергии бозона 555
— — — фермиона 493—496
фотона 527, 528
Реактанса матрица 318, 319
Реакции матрица 318, 319
Регуляризации метод 496, 497
Релятивистская инвариантность;-^, так-
также Лоренца инвариантность
Релятивистские волновые уравнения для
частицы со спином 0 62—72
1/2 73—118, 669
— — — и вопросы инвариантности 54—
60
Релятивистские обозначения 45, 46
— уравнения для связанных состоя-
состояний двухчастичной системы 671—675
— — — — одночастичной системы
667—669
Рождения оператор, графическое пред-
представление 407, 428, 445
— — для квантов со спипом 0 157,
192—195
1/2 215—219
1 237—239
— — определение 133, 141
Руигрока—Ван Хова модель 357, 358
Связанные состояния; см. также Реля-
Релятивистские уравнения для связанных
состояний; Бете—Солпитера уравнения
— — и сходимость 5-матрицы 607, 608
— — — теория рассеяния 316—318
Связи константа 252
— — для различных видов взаимодей-
взаимодействий 256
— — перенормировка в мезонной тео-
теории 544
Связь между полями; см. также Взаимо-
Взаимодействие между полями
— — — локальная 252
— — —• нелокальная 252
— — — прямая 252
— — — псевдовекторная 260
— — — псевдоскалярная 253, 260
— — — скалярная 260
_ — — с производными 252
— — — тензорная 2иО
Сильные взаимодействия 256
— — описание в теории поля 252—286
Симметризатор 128
— свойства 129
Симметрии принципы и квантовая меха-
механика 23—27
— — — лагранжиан взаимодействия
255—295
5-матрица 475—480
Симметричные волновые функции и про-
пространство чисел заполнения 128—130
— — — — статистика Бозе—Эйнштей-
Бозе—Эйнштейна 132—134

836
Предметный указатель
Скалярное поле, взаимодействующее
с фиксированными нуклонами 328—340
— — — — — —' облаченные опера-
операторы 336
— — — — — — перенормировка вол-
волновой функции 331, 332
— — — — — — перенормировка мас-
массы 331
— — — — — — потенциал взаимо-
взаимодействия между двумя нуклонами 337
Слабая локальная коммутативность 692
Слабые взаимодействия 256
— — описание в теории поля 286—293
Следов произведений v-матриц вычисление
97, 98
5-матрица
— — в картине Дирака 309, 313
Гейзенберга 401, 402, 645—
657
— — и адиабатическая гипотеза 323,
324, 607, 008
— — — диаграммы Фейнмана 428—463
— — — «ии-аут» формализм 400—403
— — — принципы симметрии 475—480
— — — расходимости в теории поля
551—573
— — — связанные состояния 317, 318,
325—327, 607
— — — теория рассеяния 309—320
— — сходимость разложения в ряд
теории возмущений 608, 609
— — унитарность 315—317
Собственная энергия бозона 555
вакуума 405, 406, 436, 437, 447,
448
— — и перенормировка массы 484
— — попытки сделать ее конечной 486—
492 .
— — степень расходимости 486, 487,
580—584
фермиона 482, 493—496
фотона 527, 528, 582
— — электрона 485, 486, 581
Собственно-энергетическая часть 574
— — — отделение расходимостей не-
неприводимых диаграмм 580—584
— — — — — приводимых диаграмм
584—590
Собствеишле функции оператора заряда270
— — — импульса 615, 616
— — — координаты 69, 70
Сохранения законы изотопического спина
209, 210, 233
— — и классификация взаимодействий
256, 257
— — — принципы инвариантности
204—207
тензора момента количества дви-
движения 205
— — электрического заряда 206, 207
Спектральные условия в релятивистских
теориях поля 616, 617, 625, 626
— — — теории Чу—Лоу 381
Спин и вращения 39, 89
— — перенормируемость 567, 568
— — статистика 695, 696
Спина оператор для нерелятивистской
частицы со спином 1/2 39—41
— — — релятивистской частицы со спи-
иом 1/г S9, 90, 101
Спиноры и группа вращений 35—37
— — однородная группа Лоренца 52
СРГ-теорема 261, 262, 478, 479
— — и аксиоматическая формулиров-
формулировка теории поля 690—693
— — — 5-матрица 479, 480
Странности квантовое число 279
Тока 4-вектор для комплексного скаляр-
скалярного поля 196, 208 ¦
' — — — — — — со спином 1/2 223,
270
— — — уравнения Дирака 75, 78
— — — — Клейна—Гордона 63, 71
— — определение через плотность лаг-
лагранжиана 206, 207, 205, 206
Томонага—Швингера уравнение 402—
404
Томсона рассеяние 467
— — и перенормировка заряда в кван-
квантовой электродинамике 603, 605
Трансформационные свойства операторов
¦ поля со спином 0 при зарядовом сопря-
сопряжении 202, 203
— — — — — — — — неоднородных
преобразованиях Лоренца 165, 166,
175, 259
— — — — — — — — обращении
времени 174, 175, 202
— — — — — — — — пространст-
пространственном отражении 172, 173, 175
— — — — — — !/2 при зарядовом
сопряжении 229, 230
— — — — — — — — неоднородных
преобразованиях Лоренца 226, 227, 259
— ¦— — — — обращении вре-
времени 230, 231
— — — —¦. — — — — пространствен-
пространственном отражении 225, 229
— — — — — — 1 при зарядовом со-
сопряжении 247
— ___ — — — — — неоднородных
преобразованиях Лоренца 246
— — — — — — — — обращении
времени 247
— — — — — — — — пространст-
пространственном отражении 246
Труба будущего 685, 686
— расширенная 687
— — действительные точки 655, 655
Уайтмана формулировка теории поля
682—701
— функции 682
— — свойства 682—685
Универсальное взаимодействие Ферми
257, 288
Унитарности условие и дисперсионные
соотношения 754—756
— — — оптическая теорема 315, 739,
779

Предметный указатель
837
Унитарности условие и теория Чу—Лоу
380, 386, 387
— обобщенные условия для запаздываю-
запаздывающих функций 716
— — — для т-функций 721
— — — и дисперсионные соотношения
764, 755
Унитарность iS-матрицы 315—317
Унитарные теории поля 489, 490
Уничтожения оператор 133—137
— — для квантов со спином 0 157,
192
1/г 215, 216
• 1 (фотонов) 237,
238
— — графическое представление 407,
428, 429, 442
Уорда тождество 590—593
— — и калибровочная инвариантность
592, 593
Уравнение для частиц со спином 0; см.
также Клейна—Гордона уравнение
— — — — — — ковариантная форма
62
— — — — — — при наличии элек-
электромагнитного поля 71, 72
Уравнение для частиц со спином 1/%;
см. также Дирака уравнение
— — — — — — во внешнем электро-
электромагнитном поле 105—110
— — — — — — как уравнение для
операторов поля 213—226
— — — — — — ковариантная форма
77, 78
?/-матрица 308
— — и связанные состояния 317, 318,
325—327
— — разложение в ряд теории возму-
возмущений 320—324
свойства 320—322
— — связь с 5-матрицей 313
Фарри картина ваимодействия для свя-
связанных состояний 534—536
— — — — — перенормировка 538,
539
— теорема 439, 557
Фейнмана диаграммы 428—461
— — в квантовой электродинамике
428—445
— — — мезонной теории 445—450
— — для вершинной части 573
— — — собственно-энергетической
части 574
— — и правила для получения матрич-
матричных элементов 449, 450, 455, 456, 459,
460
— — — разложение iS-матрицы 428—
461
— — неприводимые 576
— — несобственные 576
— — примитивно расходящиеся 554
— — приводимые 576
— — связные 573
— — скелетные 576
Фейнмана диаграммкГсобственные 576
.— — хронологически упорядоченные
407, 408
— обозначения, определение перечерк-
перечеркнутого символа 77
Ферми—Дирака статистика и антисим-
антисимметрия волновой функции 127
— — — и перестановочные соотноше-
соотношения 140—142
Фока пространство; см. также Представ-
Представление операторов поля в пространстве
Фока
— — для нерелятивистских частиц
137—140
— — — частиц со спином 0 158—162,
170—172
1/2 225, 226
1 239, 240
Фолди—Вотхойзена представление урав-
уравнения Дирака 98—102
— — — — для нейтрино 118
Фотон; см. такмсе Квантование электро-
электромагнитного поля
— дельбрюковское рассеяние 561
— комптоновское рассеяние 463—469,
658—664
— уравнения Движения 122, 235
Формальная теория рассеяния 299—320
Форм-фактор мезона 741—745
нуклона 663, 664
— — электрона 514, 515
Хартри—Фока метод 151—155
Холла—Уайтмана теорема 689, 690
Хронологический оператор Вика 417
- Дайсона 321, 322
Хронологическое произведение операто-
операторов и определение волновых функций
частиц 667
— — — — — — распространения ча-
частиц 441—445, 667, 671
— — — — — т-функций 719, 720
Частицы с нулевой массой покоя состоя-
состояния поляризации 119—121
— — — — ¦— уравнение для случая
спина 1/2 114—118
1 122
— со спином 0, нерелятивистское урав-
уравнение для невзаимодействующих ча-
частиц 22, 23
— ¦— — •— оператор координаты для
релятивистских частиц 68—70
— — — — релятивистское уравнение
для невзаимодействующих частиц 62
— статистика 695, 696
— — — — формализм вторичного кван-
квантования 156—163
— — — 1/2, релятивистское уравнение
73, 74, 77, 78
свойства 39, 40, 88, 89
— — — — статистика 695, 696
— — — — электромагнитные свой-
свойства релятивистских частиц 105—109

838
Предметный указатель
Четности несохранение и двухкомпонент-
ное нейтрино 114
— — — слабые взаимодействия 256,
257, 291
Четность; см. также Трансформацион-
Трансформационные свойства операторов поля 4-век-
тор 45
Чисел заполнения пространство 129—133
Числа частиц оператор для системы нере-
нерелятивистских частиц 134—136, 141, 150
— — — — — релятивистских частиц
со спином 0 160, 192, 193
1/ 215,
216, 223
— — — — — фотонов 238
Чу—Лоу теория 358—397
— — — однонуклонное состояние
362—366
— — — перенормировка константы
связи 382—384
массы 363—365
— — — приближение эффективного
радиуса 391, 392
— — — причинность и уравнения Лоу
394—397
. — — — операторы проектирования
выделяющие состояния с определенны-
определенными значениями операторов Т и J
370, 371
— — — рассеяние мезона на нуклоне
366—369
уравнения Лоу 376—386
— — — учет изотопического спина
362, 366—368
— — — фазы в борновском прибли-
приближении '374, 375
Шредингера картина 18
— уравнение; см. также Томонага—
Швингера уравнение
— — для нерелятивистской системы 16,
17, 21
— — — системы нерелятивистских вза-
взаимодействующих частиц при описании
в пространстве Фока 144—147
Шура лемма 33
Эквивалентности теорема для псевдоска-
псевдоскалярного и псевдовекторного взаимо-
взаимодействий 293—298
Электромагнитного поля квантование
236—246
Электроны, рассеяние на внешней поле
432—435, 530—533
— собственная энергия 484—486, 581,
582
— теория свободного электронно-пози-
тронного поля 213—226
Элементарные системы 57
— — и представления группы Лоренца
58
Энергии-импульсу оператор для поля со
спином 0 161
1/2 214
— — — — системы невзаимодействую-
невзаимодействующих нерелятивистских частиц 150
— — — — — — релятивистских ча-
частиц со спином 0 182, 183
— — — — электромагнитного поля
242
определение 186, 187, 190, 205
Энергии-импульса тензор для скалярного
поля 188
— — — — спинорного поля 214
— — — и трансляционная инвариант-
инвариантность лагранжиана 205
— — — определение 186
— — — симметризация 206
Эффективное сечение потенциального рас-
рассеяния 304
— — процесса общего вида 314, 315,
461—463
Ядерные силы в псевдоскалярной мездн-
ной теории 547—550
теории Чу—Лоу 383, 384
Янга—Фелдмана формализм 714, 715; см.
таксисе «аут»- п «ин»-операторы;
5-матрица в картине Гейзенберга

Оглавление
От редактора русского издания 5
Предисловие . 7
От автора 9
Частъпервая
ОДНОЧАСТИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 1. Квантовая механика н принципы симметрии 13
§ 1. Квантовомеханический формализм t 13
§ 2. Шредингеровская и гейзенберговская картины движения .... 17
§ 3. Нерелятивистское уравнение для свободной частицы 19
§ 4. Симметрии и квантовая механика 23
§ 5. Вращения и внутренние степени свободы 27
§ 6. Четырехмерная группа вращений 41
Глава 2. Группа Лоренца 45
§ 1. Релятивистские обозначения 45
§ 2. Однородная группа Лоренца 46
§ 3. Неоднородная группа Лоренца 53
Глава 3. Уравнение Клейна — Гордона 62
§ 1. Исторический ,рбзор 62
§ 2. Свойства решений уравнения Клейна — Гордона 63
§ 3. Оператор координаты 68
§ 4. Заряженные частицы 70
Глава 4. Уравнение Дирака 73
§ 1. Исторический обзор 73
§ 2. Свойства матриц Дирака 78
§ 3. Релятивистская инвариантность 81
§ 4. Решения уравнения Дирака 90
§ 5. Соотношения нормировки и ортогональности. Следы 92
§ 6. Представление Фолди — Вотхойзена 98
§ 7. Состояния с отрицательной энергией 102
§ 8. Уравнение Дирака во внешнем поле. Зарядовое сопряжение . . . 105
Глава 5. Уравнения для частиц с массой, равной нулю 114
§ 1. Двухкомпонентная теория нейтрино 114
§ 2. Состояния поляризации частиц с массой, равной нулю 118
§ 3. Уравнение для фотона1 122

840 Оглавление
Часть вторая
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ
Глава 6. Вторичное квантование. Нерелятивистская теория 125
§ 1. Перестановки и транспозиции 125
§ 2. Симметричные и антисимметричные волновые функции 127
§ 3. Пространство чисел заполнения 129
§ 4. Случай симметричных волновых функций 131
§ 5. Операторы рождения и уничтожения 133
§ 6. Пространство Фока . . . ., 137
§ 7. Случай антисимметричных волновых функций 140
§ 8. Представление операторов 142
§ 9. Гейзенберговская картина 147
§ 10. Системы из многих невзаимодействующих частиц И9
§ 11. Метод Хартри — Фока 151
Глава 7. Релятивистские методы в пространстве Фока 156
§ 1. Случай нейтральных бозонов со спином, равным нулю . . .' . . 156
§ 2. Лоренц-инвариантность 163
§ 3. Конфигурационное пространство 167
§ 4. Связь с теорией поля 181
§ 5. Квантованное поле 190
§ 6. Заряженное скалярное поле 192
§ 7. Законы сохранения и лагранжев формализм 203
§ 8. и-мезоны 203
Глава 8. Квантование поля Дирака 213
§ 1. Перестановочные соотношения 213
§ 2. Конфигурационное пространство 219
§ 3. Трансформационные свойства 226
§ 4. Описание нуклонов в теории поля 231
Глава 9. Квантование электромагнитного поля . . .• 234
§ 1. Лагранжиан классической теории 234
§ 2. Квантование. Формализм Гупта — Блейлера 236
§ 3. Трансформационные свойства 246
ч
Часть третья
ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОЛЕЙ
Глава 10. Взаимодействие между полями 251
§ 1. Симметрии и взаимодействия 251
§ 2. Ограничения, обусловленные пространственно-временными сим-
метриями 258
§ 3. Электромагнитные взаимодействия 265
§ 4. Взаимодействие мезонов с нуклонами 273
§ 5. Сильные взаимодействия 278
§ 6. Слабые взаимодействия 286
§ 7. Теорема эквивалентности 293
Глава 11. Формальная теория рассеяния 299
§ 1. Потенциальное рассеяние 300

Оглавление 841
§ 2. Уравнения Липпмана — Швингера 305
§ 3. Картина Дирака 307
§ 4. Унитарность ^-матрицы 315
§ 5. Л-матрица 318
§ 6. fZ-матрица 320
Глава 12. Простые модели в тоорин поля 328
§ 1. Скалярное поле 328
§ 2. Модель Ли 340
§ 3. Другие простые модели 357
§ 4. Теория Чу и Лоу 358
Глава 13. Поиведение 5-матрицы к нормальной форме 398
§ 1. Вводные замечания общего характера 398
§ 2. Рассеяние нейтрального мезона на нуклоне 409
§ 3. Теорема Вика 416
§ 4. Интегральные предстэгления для инвариантных функций .... 423
Глава 14. Диаграммы ФеГшмана 428
§ 1. Взаимодействие с внешним электромагнитным полем 428
§ 2. Диаграммы Фейнмапа для взаимодействующих полей 445
§ 3. Диаграммы Фейпмапа в импульсном пространстве 450
§ 4. Эффективные сечения 461
§ 5. Примеры 463
§ 6. Принципы симметрии и б'-матрица 475
Глава 15. Квантовая электродинамика 481
§ 1. Собственная энергия формиона 482
§ 2. Перенормировка массы и лэмбовский сдвиг в нерелятивпстском при-
приближении 497
§ 3. Радиационные поправки к рассеянию .... 503
§ 4. Аномальный магнитный момент и лэмбовский сдвиг 514
§ 5. Поляризации вакуума 520
§ 6. Применения 529
§ 7. Картина Фарри 534
§ 8. Перенормировка в мезонной теория 542
Глава 16. Количественная теории перенормировок 551
§ 1. Примитивно расходящиеся диаграммы 551
§ 2. Перенормируемость квантовой электродинамики 573
§ 3. Отделение расходимостей неприводимых диаграмм 580
§ 4. Отделение расходимостей приводимых диаграмм 584
§ 5. Тождество Уорда 590
§ 6. Доказательство перенормируемости 593
§ 7. Смысл веренормировки заряда 603
§ 8. Общие замечания 605
Ч п с т ъ четвертая
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ФОРМАЛИЗМА .
Глава 17.. Гейзенберговская картина 613
§ 1. Средние по вакууму от гейзенберговских операторов 614

842 'Оглавление
§ 2. Спектральное представление Лемана 622
§ 3. Величина перенормировочных констант ¦ 640
§ 4. ^-матрица в гейзенберговской картине 645
§ 5. Предельные теоремы для низких энергий 65S
§ 6. Проблема связанных состояний 665
Глава 18. Аксиоматическая формулировка 680
Введение 680
§ 1. Формулировка Уайтмана 682
§ 2. Формулировка Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ) .... 701
§ 3. Интегральные представления причинного коммутатора .... 722
§ 4. Дисперсионные соотношения 735
§ 5. Перспективы 784
Вопросы и литература для дальнейшего изучения 786
Литература 805
Предметный указатель 82S>