Теоретическая физика: Учебное пособие: Для вузов. В 10 томах. Том III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). - Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.

Автор: Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М.
Теги: физика квантовая механика
ISBN: 5-9221-0057-2
Год: 2002
Похожие
Теоретическая физика. Том 10. Физическая кинетика
Теоретическая физика. Том 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория)
Теоретическая физика. Том 1. Механика
Теоретическая физика. Том 4. Квантовая электродинамика
Текст
                    УДК 530.1@75.8)
Л22
ББК 22.31
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика:
Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. III. Квантовая механика
(нерелятивистская теория). — 5-е изд., стереот. — М.:
ФИЗМАТ ЛИТ, 2002. - 808 с. - ISBN 5-9221-0057-2 (Т. III).
Пятое издание третьего тома курса теоретической физики,
заслужившего широкую известность в нашей стране и за рубе-
рубежом. Книга содержит систематическое изложение основ нереля-
нерелятивистской квантовой механики и наиболее существенные при-
приложения теории к разнообразным физическим задачам.
Для студентов старших курсов физических специальностей
вузов, а также аспирантов и научных равотников, специализи-
специализирующихся в области теоретической физики.
Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН, доктор физико-математических наук Л. П. Питаевский
ISBN 5-9221-0057-2 (т. III)
ISBN 5-9221-0053-Х	© ФИЗМАТЛИТ, 1989, 2001, 2002

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора к четвертому изданию		9
Предисловие к третьему изданию		9
Из предисловия к первому изданию		10
Некоторые обозначения		12
Г л а в а I. Основные понятия квантовой механики
1.	Принцип неопределенности 		13
2.	Принцип суперпозиции		19
3.	Операторы		22
4.	Сложение и умножение операторов 		28
5.	Непрерывный спектр		32
6.	Предельный переход 		37
7.	Волновая функция и измерения 		39
Г л а в а П. Энергия и импульс
8.	Гамильтониан 		44
9.	Дифференцирование операторов по времени 		45
10.	Стационарные состояния 		47
11.	Матрицы		51
12.	Преобразование матриц 		57
13.	Гейзенберговское представление операторов 		60
14.	Матрица плотности		61
15.	Импульс 		65
16.	Соотношения неопределенности 		70
Глава III. "Уравнение Шредингера
17.	Уравнение Шредингера 		74
18.	Основные свойства уравнения Шредингера		77
19.	Плотность потока		81
20.	Вариационный принцип 		84
21.	Общие свойства одномерного движения		87
22.	Потенциальная яма		91
23.	Линейный осциллятор 		95
24.	Движение в однородном поле		103
25.	Коэффициент прохождения		105
Глава IV. Момент импульса
26.	Момент импульса		112
27.	Собственные значения момента		116
28.	Собственные функции момента		121
29.	Матричные элементы векторов		124
30.	Четность состояния		129
31.	Сложение моментов 		132
Г л а в а V. Движение в центрально-симметричном поле
32.	Движение в центрально-симметричном поле 		136
33.	Сферические волны 		140
34.	Разложение плоской волны 		147

ОГЛАВЛЕНИЕ
35.	Падение частицы на центр 		150
36.	Движение в кулоновом поле (сферические координаты) ...	154
37.	Движение в кулоновом поле (параболические координаты) .	166
Глава VI. Теория возмущений
38.	Возмущения, не зависящие от времени 		171
39.	Секулярное уравнение 		177
40.	Возмущения, зависящие от времени 		182
41.	Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение
конечного времени 		186
42.	Переходы под влиянием периодического возмущения		193
43.	Переходы в непрерывном спектре 		196
44.	Соотношение неопределенности для энергии 		199
45.	Потенциальная энергия как возмущение 		203
Глава VII. Квазиклассический случай
46.	Волновая функция в квазиклассическом случае 		208
47.	Граничные условия в квазиклассическом случае		212
48.	Правило квантования Бора-Зоммерфельда		215
49.	Квазиклассическое движение в центрально-симметричном по-
поле 		222
50.	Прохождение через потенциальный барьер 		226
51.	Вычисление квазиклассических матричных элементов ....	232
52.	Вероятность перехода в квазиклассическом случае 		239
53.	Переходы под влиянием адиабатических возмущений		244
Глава VIII. Спин
54.	Спин 		249
55.	Оператор спина		254
56.	Спиноры 		258
57.	Волновые функции частиц с произвольным спином		262
58.	Оператор конечных вращений 		269
59.	Частичная поляризация частиц		275
60.	Обращение времени и теорема Крамерса 		277
Глава IX. Тождественность частиц
61.	Принцип неразличимости одинаковых частиц 		281
62.	Обменное взаимодействие 		285
63.	Симметрия по отношению к перестановкам		290
64.	Вторичное квантование. Случай статистики Бозе 		298
65.	Вторичное квантование. Случай статистики Ферми		305
Г л а в а X. Атом
66.	Атомные уровни энергий 		309
67.	Состояния электронов в атоме 		311
68.	Водородоподобные уровни энергии		315
69.	Самосогласованное поле		317
70.	Уравнение Томаса-Ферми		321
71.	Волновые функции внешних электроноввблизи ядра 		328
72.	Тонкая структура атомных уровней 		329
73.	Периодическая система элементов Менделеева		334
74.	Рентгеновские термы		343
75.	Мультипольные моменты 		345
76.	Атом в электрическом поле 		350
77.	Атом водорода в электрическом поле 		355

ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а XI. Двухатомная молекула
78.	Электронные термы двухатомной молекулы 		367
79.	Пересечение электронных термов 		370
80.	Связь молекулярных термов с атомными		374
81.	Валентность		378
82.	Колебательная и вращательная структуры синглетных термов
двухатомной молекулы		386
83.	Мультиплетные термы. Случай а 		392
84.	Мультиплетные термы. Случай Ь		397
85.	Мультиплетные термы. Случаи cud 		401
86.	Симметрия молекулярных термов 		404
87.	Матричные элементы для двухатомной молекулы		408
88.	Л-удвоение		412
89.	Взаимодействие атомов на далеких расстояниях		416
90.	Предиссоциация		420
Глава XII. Теория симметрии
91.	Преобразования симметрии 		433
92.	Группы преобразований 		436
93.	Точечные группы		441
94.	Представления групп		449
95.	Неприводимые представления точечных групп		459
96.	Неприводимые представления и классификация термов . . .	463
97.	Правила отбора для матричных элементов 		466
98.	Непрерывные группы 		471
99.	Двузначные представления конечных точечных групп ....	476
Глава XIII. Многоатомные молекулы
100.	Классификация молекулярных колебаний		481
101.	Колебательные уровни энергии		488
102.	Устойчивость симметричных конфигураций молекулы ....	491
103.	Квантование вращения волчка 		498
104.	Взаимодействие колебаний и вращения молекулы		508
105.	Классификация молекулярных термов 		514
Глава XIV. Сложение моментов
106.	3.7-символы		523
107.	Матричные элементы тензоров 		532
108.	б^-символы		536
109.	Матричные элементы при сложении моментов		543
110.	Матричные элементы для аксиально-симметричных систем .	546
Глава XV. Движение в магнитном поле
111.	Уравнение Шредингера в магнитном поле 		550
112.	Движение в однородном магнитном поле 		554
113.	Атом в магнитном поле 		559
114.	Спин в переменном магнитном поле 		568
115.	Плотность тока в магнитном поле 		570
Глава XVI. Структура атомного ядра
116.	Изотопическая инвариантность		572
117.	Ядерные силы		578
118.	Модель оболочек 		583
119.	Несферические ядра 		593
120.	Изотопическое смещение		600

ОГЛАВЛЕНИЕ
121.	Сверхтонкая структура атомных уровней		602
122.	Сверхтонкая структура молекулярных уровней 		606
Глава XVII. "Упругие столкновения
123.	Общая теория рассеяния		609
124.	Исследование общей формулы 		614
125.	Условие унитарности для рассеяния 		617
126.	Формула Борна		622
127.	Квазиклассический случай 		630
128.	Аналитические свойства амплитуды рассеяния		635
129.	Дисперсионное соотношение		642
130.	Амплитуда рассеяния в импульсном представлении		645
131.	Рассеяние при больших энергиях		649
132.	Рассеяние медленных частиц 		657
133.	Резонансное рассеяние при малых энергиях 		666
134.	Резонанс на квазидискретном уровне 		674
135.	Формула Резерфорда		680
136.	Система волновых функций непрерывного спектра 		684
137.	Столкновения одинаковых частиц 		689
138.	Резонансное рассеяние заряженных частиц		692
139.	Упругие столкновения быстрых электронов с атомами ....	697
140.	Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии 		702
141.	Полюсы Редже 		709
Глава XVIII. Неупругие столкновения
142.	Упругое рассеяние при наличии неупругих процессов		717
143.	Неупругое рассеяние медленных частиц		724
144.	Матрица рассеяния при наличии реакций		727
145.	Формулы Брейта и Вигнера		731
146.	Взаимодействие в конечном состоянии при реакциях 		740
147.	Поведение сечений вблизи порога реакции 		743
148.	Неупругие столкновения быстрых электронов с атомами . . .	750
149.	Эффективное торможение		761
150.	Неупругие столкновения тяжелых частиц с атомами 		765
151.	Рассеяние нейтронов 		769
152.	Неупругое рассеяние при больших энергиях 		774
Математические дополнения
a.	Полиномы Эрмита 		781
b.	Функция Эйри 		783
c.	Полиномы Лежандра1) 		786
d.	Вырожденная гипергеометрическая функция 		789
e.	Гипергеометрическая функция 		794
f.	Вычисление интегралов с вырожденными гипергеометриче-
гипергеометрическими функциями 		796
Предметный указатель		801

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К ЧЕТВЕРТОМУ
ИЗДАНИЮ
В настоящем издании «Квантовой механики» исправлены
опечатки и неточности, замеченные с момента выхода третье-
третьего издания. Внесены также небольшие уточнения и добавлено
несколько задач.
Я благодарен всем читателям книги, сообщившим мне свои
замечания.
Май 1988 г.	Л. Л. Питаевский
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Предыдущее издание этого тома было последней книгой,
над которой мне довелось работать совместно с моим учителем
Л. Д. Ландау. Произведенная в то время переработка и допол-
дополнение книги были весьма значительными и коснулись всех ее
глав.
Естественно, что для этого нового издания потребовалась су-
существенно меньшая переработка. Тем не менее добавлено (в том
числе в виде задач) заметное количество нового материала: он
относится как к результатам последних лет, так и к тем из бо-
более старых результатов, которые в последнее время привлекли к
себе повышенное внимание.
Феноменальное владение Львом Давидовичем аппаратом те-
теоретической физики позволяло ему сплошь и рядом обходиться
без обращения к оригинальным работам для воспроизведения
тех или иных результатов своим путем. Это могло стать причи-
причиной отсутствия в книге некоторых необходимых ссылок; я поста-
постарался в этом издании по возможности добавить их. В то же время
я добавил ссылки на самого Льва Давидовича в тех местах, где
излагаются результаты или методы, принадлежащие ему лично
и не публиковавшиеся в самостоятельном виде.
Как и в работе над переизданием других томов этого Курса,
я имел помощь со стороны своих многочисленных товарищей,

10	ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
указывавших мне как на допущенные ранее дефекты изложения,
так и на желательность тех или иных добавлений. Ряд полезных
указаний, учтенных в этой книге, я получил от A.M. Бродского,
Г. Ф. Друкарева, И. Г. Каплана, В. П. Крайнова, И. Б. Левинсона,
П. Э. Немировского, В.Л.Покровского, И. И. Собельмана, И. С.
Шапиро; всем им я хотел бы выразить свою искреннюю благо-
благодарность.
Вся работа над новым изданием этого тома произведена мной
при близком участии Л. П. Питаевского. В его лице мне посчаст-
посчастливилось найти товарища по работе, прошедшего ту же школу
Ландау и воодушевленного теми же научными идеалами.
Институт физических проблем АН СССР
Москва, ноябрь 1973 г.	Е. М. Лифшиц
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемый том Курса теоретической физики посвящен
изложению квантовой механики. Ввиду очень большого объема
относящегося сюда материала представилось целесообразным
разделить его на две части. Публикуемая первая часть содержит
нерелятивистскую теорию, а релятивистская теория составит со-
содержание второй части.
Под релятивистской теорией мы подразумеваем, в самом ши-
широком смысле, теорию всех квантовых явлений, существенно за-
зависящих от скорости света. Соответственно этому в нее будет
включена не только релятивистская теория Дирака и связанные
с нею вопросы, но и вся квантовая теория излучения.
Наряду с основами квантовой механики в книге изложены
также и многочисленные ее применения — в значительно большей
степени, чем это обычно делается в общих курсах квантовой ме-
механики. Мы исключали из рассмотрения, только такие вопросы,
исследование которых требовало бы существенным образом од-
одновременного подробного анализа экспериментальных данных,
что неизбежно вышло бы за рамки книги.
Изложение конкретных вопросов мы стремились вести с наи-
наибольшей полнотой. В связи с этим мы считали излишними ссыл-
ссылки на оригинальные работы, ограничиваясь указанием их авто-
авторов.
Как и в предыдущих томах, изложение общих вопросов мы
старались вести таким образом, чтобы по возможности ясно
выявить физическую сущность теории и на ее основе строить
математический аппарат. Это в особенности сказалось на пер-
первых параграфах книги, посвященных выяснению общих свойств

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ	11
квантовомеханическмх операторов. В противоположность обыч-
обычно принятой схеме изложения, исходящей из математических
теорем о линейных операторах, мы, наоборот, выводим матема-
математические требования, предъявляемые к операторам и собствен-
собственным функциям, исходя из физической постановки вопроса.
Нельзя не отметить, что во многих курсах квантовой меха-
механики изложение существенно усложнилось по сравнению с ори-
оригинальными работами. Хотя такое изложение обычно аргумен-
аргументируется общностью и строгостью, но при внимательном рас-
рассмотрении легко заметить, что и та и другая в действительности
часто иллюзорны до такой степени, что заметная часть «стро-
«строгих» теорем является ошибочной. Поскольку такое усложнение
изложения представляется нам совершенно неоправданным, мы,
наоборот, стремились к возможной простоте и во многом верну-
вернулись к оригинальным работам.
Некоторые чисто математические сведения вынесены нами в
конец книги в виде «Математических дополнений», чтобы, по
возможности, не прерывать изложения в тексте отвлечением в
вычислительную сторону. Эти дополнения преследуют также и
справочные цели.
Москва, май 1847 г.	Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Операторы обозначаются буквами со шляпкой: /
Элемент объема: пространства — dV', конфигурационного
пространства — dq, импульсного пространства — dsp
Матричные элементы величины / (см. определение на с. 51) —
fnrn или (n\f\m)
Частота переходов шпт = (Еп - Ет)/Н
Коммутатор двух операторов {/,g} = fg — gf
Гамильтониан — Н
Фазовые сдвиги волновых функций — Si
Атомные и кулоновы единицы —см. определение на с. 154, 155
Векторные и тензорные индексы обозначаются латинскими
буквами г, к, I
Антисимметричный единичный тензор — e^i (см. определе-
определение на с. 114)
Ссылки на номера параграфов и формул в других томах это-
этого Курса снабжены римскими цифрами: I — том I, «Механика»,
1988; II — том II, «Теория поля», 1989; IV —том IV, «Квантовая
электродинамика», 1989.

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Принцип неопределенности
Классические механика и электродинамика при попытке
применить их к объяснению атомных явлений приводят к ре-
результатам, находящимся в резком противоречии с опытом. Наи-
Наиболее ясно это видно уже из противоречия, получающегося при
применении обычной электродинамики к модели атома, в кото-
которой электроны движутся вокруг ядра по классическим орбитам.
При таком движении, как и при всяком ускоренном движении
зарядов, электроны должны были бы непрерывно излучать элек-
электромагнитные волны. Излучая, электроны теряли бы свою энер-
энергию, что должно было бы привести в конце концов к их падению
на ядро. Таким образом, согласно классической электродина-
электродинамике, атом был бы неустойчивым, что ни в какой степени не
соответствует действительности.
Такое глубокое противоречие теории с экспериментом свиде-
свидетельствует о том, что построение теории, применимой к атомным
явлениям — явлениям, происходящим с частицами очень малой
массы в очень малых участках пространства, — требует фунда-
фундаментального изменения в основных классических представлени-
представлениях и законах.
В качестве отправной точки для выяснения этих изменений
удобно исходить из наблюдаемого на опыте явления так назы-
называемой дифракции электронов1). Оказывается, что при пропус-
пропускании однородного пучка электронов через кристалл в прошед-
прошедшем пучке обнаруживается картина чередующихся максимумов
и минимумов интенсивности, вполне аналогичная дифракцион-
дифракционной картине, наблюдающейся при дифракции электромагнитных
волн. Таким образом, в некоторых условиях поведение матери-
материальных частиц—электронов—обнаруживает черты, свойствен-
свойственные волновым процессам.
х) Явление дифракции электронов было в действительности открыто после
создания квантовой механики. В нашем изложении, однако, мы не придер-
придерживаемся исторической последовательности развития теории, а пытаемся
построить его таким образом, чтобы наиболее ясно показать, каким образом
основные принципы квантовой механики связаны с наблюдаемыми на опыте
явлениями.

14	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
Насколько глубоко противоречит это явление обычным пред-
представлениям о движении, лучше всего видно из следующего мыс-
мысленного эксперимента, представляющего собой идеализацию
опыта с электронной дифракцией от кристалла. Представим се-
себе непроницаемый для электронов экран, в котором прорезаны
две щели. Наблюдая прохождение пучка электронов1) через од-
одну из щелей, в то время как другая щель закрыта, мы получим
на поставленном за щелью сплошном экране некоторую карти-
картину распределения интенсивности, таким же образом получим
другую картину, открывая вторую щель и закрывая первую.
Наблюдая же прохождение пучка одновременно через обе ще-
щели, мы должны были бы, на основании обычных представлений,
ожидать картину, являющуюся простым наложением обеих пре-
предыдущих, — каждый электрон, двигаясь по своей траектории,
проходит через одну из щелей, не оказывая никакого влияния на
электроны, проходящие через другую щель. Явление электрон-
электронной дифракции показывает, однако, что в действительности мы
получим дифракционную картину, которая благодаря интерфе-
интерференции отнюдь не сводится к сумме картин, даваемых каждой
из щелей в отдельности. Ясно, что этот результат никаким об-
образом не может быть совмещен с представлением о движении
электронов по траектории.
Таким образом, механика, которой подчиняются атомные
явления, — так называемая квантовая или волновая механи-
механика, — должна быть основана на представлениях о движении,
принципиально отличных от представлений классической ме-
механики. В квантовой механике не существует понятия траек-
траектории частиц. Это обстоятельство составляет содержание так
называемого принципа неопределенности— одного из основ-
основных принципов квантовой механики, открытого Гейзенбергом
(W. Heisenberg, 1927J). Отвергая обычные представления клас-
классической механики, принцип неопределенности обладает, можно
сказать, отрицательным содержанием. Естественно, что сам по
себе он совершенно недостаточен для построения на его основе
новой механики частиц. В основе такой теории должны лежать,
конечно, какие-то положительные утверждения, которые будут
рассмотрены ниже (§2). Однако для того чтобы сформулиро-
сформулировать эти утверждения, необходимо предварительно выяснить ха-
характер постановки задач, стоящих перед квантовой механикой.
1)	Пучок предполагается настолько разреженным, что взаимодействие ча-
частиц в нем не играет никакой роли.
2)	Интересно отметить, что полный математический аппарат квантовой
механики был создан В. Гейзенбергом и Э. Шредингером в 1925-1926 гг., до
открытия принципа неопределенности, раскрывающего физическое содер-
содержание этого аппарата.

§ 1	ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ	15
Для этого прежде всего остановимся на особом характере вза-
взаимоотношения, в котором находятся квантовая и классическая
механики.
Обычно более общая теория может быть сформулирована
логически замкнутым образом независимо от менее общей те-
теории, являющейся ее предельным случаем. Так, релятивистская
механика может быть построена на основании своих основных
принципов без всяких ссылок на ньютоновскую механику. Фор-
Формулировка же основных положений квантовой механики принци-
принципиально невозможна без привлечения механики классической.
Отсутствие у электрона1) определенной траектории лишает
его самого по себе также и каких-либо других динамических ха-
характеристик 2). Ясно поэтому, что для системы из одних только
квантовых объектов вообще нельзя было бы построить никакой
логически замкнутой механики. Возможность количественного
описания движения электрона требует наличия также и физиче-
физических объектов, которые с достаточной точностью подчиняются
классической механике. Если электрон приходит во взаимодей-
взаимодействие с «классическим объектом», то состояние последнего, во-
вообще говоря, меняется. Характер и величина этого изменения
зависят от состояния электрона и поэтому могут служить его
количественной характеристикой.
В этой связи «классический объект» обычно называют «при-
«прибором», а о его процессе взаимодействия с электроном говорят,
как об «измерении». Необходимо, однако, подчеркнуть, что при
этом отнюдь не имеется в виду процесс «измерения», в кото-
котором участвует физик-наблюдатель. Под измерением в квантовой
механике подразумевается всякий процесс взаимодействия меж-
между классическим и квантовым объектами, происходящий помимо
и независимо от какого-либо наблюдателя. Выяснение глубокой
роли понятия измерения в квантовой механике принадлежит Бо-
Бору (N. Bohr).
Мы определили прибор как физический объект, с достаточ-
достаточной точностью подчиняющийся классической механике. Таковым
является, например, тело достаточно большой массы. Однако не
следует думать, что макроскопичность является обязательным
свойством прибора. В известных условиях роль прибора может
играть также и заведомо микроскопический объект, поскольку
1) В этом и следующем параграфах мы говорим для краткости об элек-
электроне, имея в виду вообще любой квантовый объект, т. е. частицу или систе-
систему частиц, подчиняющихся квантовой и не подчиняющихся классической
механике.
2
) Речь идет о величинах, характеризующих движение электрона, а не о
величинах, характеризующих электрон как частицу (заряд, масса) и являю-
являющихся параметрами.

16	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
понятие «с достаточной точностью» зависит от конкретно по-
поставленной задачи. Так, движение электрона в камере Вильсо-
Вильсона наблюдается по оставляемому им туманному следу, толщина
которого велика по сравнению с атомными размерами; при та-
такой степени точности определения траектории электрон являет-
является вполне классическим объектом.
Таким образом, квантовая механика занимает очень свое-
своеобразное положение в ряду физических теорий — она содержит
классическую механику как свой предельный случай и в то же
время нуждается в этом предельном случае для самого своего
обоснования.
Мы можем теперь сформулировать постановку задачи кван-
квантовой механики. Типичная постановка задачи заключается в
предсказании результата повторного измерения по известному
результату предыдущих измерений. Кроме того, мы увидим в
дальнейшем, что квантовая механика, вообще говоря, ограничи-
ограничивает, по сравнению с классической механикой, набор значений,
которые могут принимать различные физические величины (на-
(например, энергия) т. е. значений, которые могут быть обнаружены
в результате измерения данной величины. Аппарат квантовой
механики должен дать возможность определения этих дозволен-
дозволенных значений.
Процесс измерения обладает в квантовой механике очень су-
существенной особенностью — он всегда оказывает воздействие на
подвергаемый измерению электрон, и это воздействие при дан-
данной точности измерения принципиально не может быть сделано
сколь угодно слабым. Чем точнее измерение, тем сильнее ока-
оказываемое им воздействие, и лишь при измерениях очень малой
точности воздействие на объект измерения может быть слабым.
Это свойство измерений логически связано с тем, что динамиче-
динамические характеристики электрона появляются лишь в результате
самого измерения; ясно, что если бы воздействие процесса из-
измерения на объект могло быть сделано сколь угодно слабым, то
это значило бы, что измеряемая величина имеет определенное
значение сама по себе, независимо от измерения,
Среди различного рода измерений основную роль играет из-
измерение координат электрона. Над электроном, в применимости
квантовой механики, всегда может быть произведено1) измере-
измерение его координат с любой точностью.
Предположим, что через определенные интервалы време-
времени At производятся последовательные измерения координат
г) Еще раз подчеркнем, что, говоря о «произведенном измерении», мы име-
имеем в виду взаимодействие электрона с классическим «прибором», отнюдь не
предполагающее наличия постороннего наблюдателя.

§ 1	ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ	17
электрона. Их результаты, вообще говоря, не лягут на какую-
либо плавную кривую. Напротив, чем точнее производятся из-
измерения, тем более скачкообразный, беспорядочный ход обнару-
обнаружат их результаты в соответствии с отсутствием для электрона
понятия траектории. Более или менее плавная траектория полу-
получится лишь, если измерять координаты электрона с небольшой
степенью точности, например, по конденсации капелек пара в
камере Вильсона.
Если же, оставляя точность измерений неизменной, умень-
уменьшать интервалы At между измерениями, то соседние измерения
дадут, конечно, близкие значения координат. Однако результаты
ряда последовательных измерений хотя и будут лежать в малом
участке пространства, но в этом участке будут расположены со-
совершенно беспорядочным образом, отнюдь не укладываясь на
какую-либо плавную кривую. В частности, при стремлении At к
нулю результаты близких измерений вовсе не стремятся лечь на
одну прямую.
Последнее обстоятельство показывает, что в квантовой меха-
механике не существует понятия скорости частицы в классическом
смысле этого слова, т. е. как предела, к которому стремится раз-
разность координат в два момента времени, деленная на интер-
интервал At между этими моментами. Однако в дальнейшем мы уви-
увидим, что в квантовой механике тем не менее может быть дано
разумное определение скорости частицы в данный момент вре-
времени, которая при переходе к классической механике переходит
в классическую скорость.
Но в то время как в классической механике в каждый дан-
данный момент частица обладает определенными координатами
и скоростью, в квантовой механике дело обстоит совершенно
иным образом. Если в результате измерения электрон получил
определенные координаты, то при этом он вообще не облада-
обладает никакой определенной скоростью. Наоборот, обладая опре-
определенной скоростью, электрон не может иметь определенного
местоположения в пространстве. Действительно, одновремен-
одновременное существование в любой момент времени координат и ско-
скорости означало бы наличие определенной скорости, которой
электрон не обладает. Таким образом, в квантовой механике
координаты и скорость электрона являются величинами, кото-
которые не могут быть одновременно точно измерены, т. е. не могут
одновременно иметь определенных значений. Можно сказать,
что координаты и скорость электрона суть величины, не суще-
существующие одновременно. В дальнейшем будет выведено коли-
количественное соотношение, определяющее возможность неточно-
неточного измерения координат и скорости в один и тот же момент
времени.

18	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
Полное описание состояния физической системы в класси-
классической механике осуществляется заданием в данный момент
времени всех ее координат и скоростей; по этим начальным
данным уравнения движения полностью определяют поведение
системы во все будущие моменты времени. В квантовой меха-
механике такое описание принципиально невозможно, поскольку ко-
координаты и соответствующие им скорости не существуют одно-
одновременно. Таким образом, описание состояния квантовой системы
осуществляется меньшим числом величин, чем в классической
механике, т. е. является менее подробным, чем классическое.
Отсюда вытекает очень важное следствие относительно ха-
характера предсказаний, делаемых в квантовой механике. В то
время как классическое описание достаточно для того, чтобы
предсказывать движение механической системы в будущем со-
совершенно точным образом, менее подробное описание в кванто-
квантовой механике, очевидно, не может быть достаточным для этого.
Это значит, что если электрон находится в состоянии, описан-
описанном наиболее полным образом, то тем не менее его поведение в
следующие моменты времени принципиально неоднозначно. По-
Поэтому квантовая механика не может делать строго определенных
предсказаний относительно будущего поведения электрона. При
заданном начальном состоянии электрона последующее измере-
измерение может дать различные результаты. Задача квантовой меха-
механики состоит лишь в определении вероятности получения того
или иного результата при этом измерении. Разумеется, в неко-
некоторых случаях вероятность некоторого определенного резуль-
результата измерения может оказаться равной единице, т. е. перейти
в достоверность, так что результат данного измерения будет
однозначным.
Все процессы измерения в квантовой механике можно раз-
разбить на две категории. В одну из них, обнимающую большин-
большинство измерений, входят измерения, которые ни при каком состоя-
состоянии системы не приводят с достоверностью к однозначному
результату. В другую же входят измерения, для каждого ре-
результата которых существует состояние, в котором измерение
приводит с достоверностью к данному результату. Именно эти
последние измерения, которые можно назвать предсказуемыми,
играют в квантовой механике основную роль. Определяемые та-
такими измерениями количественные характеристики состояния
суть то, что в квантовой механике называют физическими ве-
величинами. Если в некотором состоянии измерение дает с до-
достоверностью однозначный результат, то мы будем говорить,
что в этом состоянии соответствующая физическая величина
имеет определенное значение. В дальнейшем мы будем везде

§ 2	ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ	19
понимать выражение «физическая величина» именно в указан-
указанном здесь смысле.
В дальнейшем мы неоднократно убедимся, что далеко не вся-
всякая совокупность физических величин в квантовой механике мо-
может быть измерена одновременно, т. е. может иметь одновре-
одновременно определенные значения (об одном примере — скорости и
координатах электрона мы уже говорили).
Большую роль в квантовой механике играют наборы физиче-
физических величин, обладающие следующим свойством: эти величины
измеримы одновременно, причем если они имеют одновремен-
одновременно определенные значения, то уже никакая другая физическая
величина (не являющаяся их функцией) не может иметь в этом
состоянии определенного значения. О таких наборах физических
величин мы будем говорить как о полных наборах.
Всякое описание состояния электрона возникает в результате
некоторого измерения. Мы сформулируем теперь, что означа-
означает полное описание состояния в квантовой механике. Полным
образом описанные состояния возникают в результате одновре-
одновременного измерения полного набора физических величин. По
результатам такого измереня можно, в частности, определить ве-
вероятность результатов всякого последующего измерения незави-
независимо от всего, что происходило с электроном до первого
измерения.
В дальнейшем везде (за исключением только § 14) под состо-
состояниями квантовой системы мы будем понимать состояния, опи-
описанные именно полным образом.
§ 2. Принцип суперпозиции
Радикальное изменение физических представлений о движе-
движении в квантовой механике по сравнению с классической требует,
естественно, и столь же радикального изменения математическо-
математического аппарата теории. В этой связи прежде всего возникает вопрос
о способе описания состояния в квантовой механике.
Условимся обозначать буквой q совокупность координат
квантовой системы, a dq — произведение дифференциалов этих
координат (его называют элементом объема конфигурационно-
конфигурационного пространства системы); для одной частицы dq совпадает с
элементом объема dV обычного пространства.
Основу математического аппарата квантовой механики со-
составляет утверждение, что состояние системы может быть описа-
описано определенной (вообще говоря, комплексной) функцией
координат Ф(#), причем квадрат модуля этой функции определя-
определяет распределение вероятностей значений координат: |Ф|2б?д есть

20	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
вероятность того, что произведенное над системой измерение
обнаружит значения координат в элементе dq конфигурацион-
конфигурационного пространства. Функция Ф называется волновой функцией
системыг).
Знание волновой функции позволяет в принципе вычислить
вероятности различных результатов также и вообще всякого из-
измерения (не обязательно измерения координат). При этом все
эти вероятности определяются выражениями, билинейными по Ф
и Ф*. Наиболее общий вид такого выражения есть
B.1)
где функция (f(q^qf) зависит от рода и результата измерения, а
интегрирования производятся по всему конфигурационному про-
пространству. Сама вероятность ФФ* различных значений коорди-
координат тоже является выражением такого типа2).
С течением времени состояние системы, а с ним и волновая
функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую
функцию можно рассматривать как функцию также и от вре-
времени. Если волновая функция известна в некоторый начальный
момент времени, то по самому смыслу понятия полного описа-
описания состояния она тем самым в принципе определена и во все
будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой
функции от времени определяется уравнениями, которые будут
выведены в дальнейшем.
Сумма вероятностей всех возможных значений координат си-
системы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому
нужно, чтобы результат интегрирования |Ф|2 по всему конфигу-
конфигурационному пространству был равен единице:
B.2)
Это равенство представляет собой так называемое условие нор-
нормировки волновых функций. Если интеграл от |Ф|2 сходится,
то выбором соответствующего постоянного коэффициента функ-
функция Ф всегда может быть, как говорят, нормирована. Мы уви-
увидим, однако, в дальнейшем, что интеграл от |Ф|2 может рас-
расходится и тогда Ф не может быть нормирована условием B.2).
1)	Она была впервые введена в квантовую механику Шредингером
(E.Schrodinger, 1926).
2)	Оно получается из B.1) при ip(q,q') = S(q — qo)S(q' — qo), где S обозначает
так называемую E-функцию, определяемую ниже, в § 5; через qo обозначено
значение координаты, вероятность которого мы ищем.

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ
21
В таких случаях |Ф|2 не определяет, конечно, абсолютные значе-
значения вероятности координат, но отношение квадратов |Ф|2 в двух
различных точках конфигурационного пространства определяет
относительную вероятность значений координат.
Поскольку все вычисляемые с помощью волновой функции
величины с непосредственным физическим смыслом имеют
вид B.1), в котором Ф входит умноженной на Ф*, то ясно, что
нормированная волновая функция определена лишь с точностью
до постоянного фазового множителя вида ега, где а — любое ве-
вещественное число. Эта неоднозначность принципиальная и не
может быть устранена; однако она несущественна, так как не
отражается ни на каких физических результатах.
В основе положительного содержания квантовой механики
лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функ-
функции, заключающихся в следующем.
Пусть в состоянии с волновой функцией ^i(q) некоторое из-
измерение приводит с достоверностью к определенному результа-
результату—результату 1, а в состоянии Ф2(д) —к результату 2. Тогда
принимается, что всякая линейная комбинация Фх и Ф2, т. е. вся-
всякая функция вида С1Ф1 + С2Ф2 (ci, C2 — постоянные), описывает
состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1,
либо результат 2. Кроме того, можно утверждать, что если нам
известна зависимость состояний от времени, которая для одного
случая дается функцией Ф].(д, ?), а для другого — Ф2(<7? t), то лю-
любая их линейная комбинация тоже дает возможную зависимость
состояния от времени.
Эти утверждения составляют содержание так называемого
принципа суперпозиции состояний — основного положительно-
положительного принципа квантовой механики. Из него следует, в частности,
что все уравнения, которым удовлетворяют волновые функции,
должны быть линейными по Ф.
Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, и предпо-
предположим, что состояние этой системы задано так, что каждая
из частей записана полным образомх). Тогда можно утвер-
утверждать, что вероятности координат q\ первой части независимы
от вероятностей координат #2 второй части, и потому распре-
распределение вероятностей для системы в целом должно быть рав-
равно произведению вероятностей для ее частей. Это значит, что
волновая функция Ф 12(<7ь Я2) системы может быть представле-
представлена в виде произведения волновых функций ^i(qi) и Ф2(<?2) ее
1)Тем самым, конечно, дано и полное описание состояния системы в це-
целом. Подчеркнем, однако, что обратное утверждение отнюдь не справедли-
справедливо: полное описание состояния системы как целого еще не определяет, вооб-
вообще говоря, полным образом состояний ее отдельных частей (см. также § 14).

22	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
частей:
*12(«1,«2) = Ф1ЫФ2Ы.	B.3)
Если обе части не взаимодействуют друг с другом, то такое со-
соотношение между волновыми функциями системы и ее частей
сохранится и в будущие моменты времени:
§ 3. Операторы
Рассмотрим некоторую физическую величину /, характери-
характеризующую состояние квантовой системы. Строго говоря, в ниже-
нижеследующих рассуждениях следовало бы говорить не об одной
величине, а сразу о целом полном их наборе. Однако все рассу-
рассуждения от этого по существу не меняются, и в целях краткости
и простоты мы говорим ниже всего лишь об одной физической
величине.
Значения, которые может принимать данная физическая
величина, называют в квантовой механике ее собственными
значениями, а об их совокупности говорят как о спектре соб-
собственных значений данной величины. В классической механике
величины пробегают, вообще говоря, непрерывный ряд значений.
В квантовой механике тоже существуют физические величины
(например, координаты), собственные значения которых запол-
заполняют непрерывный ряд; в таких случаях говорят о непрерывном
спектре собственных значений. Наряду с этими величинами в
квантовой механике существуют, однако, и другие, собственные
значения которых образуют некоторый дискретный набор; в та-
таких случаях говорят о дискретном спектре.
Будем считать сначала для простоты, что рассматриваемая
величина / обладает дискретным спектром; случай непрерыв-
непрерывного спектра рассмотрен в §5. Собственные значения величи-
величины / обозначим как /п, где индекс п пробегает значения 0, 1, 2,
3, ... Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в ко-
котором величина / имеет значение /п, через Фп. Волновые функ-
функции Фп называют собственными функциями данной физической
величины /. Каждая из этих функций предполагается нормиро-
нормированной, так что
j\Vn\2dq=l.	C.1)
Если система находится в некотором произвольном состоянии
с волновой функцией Ф, то произведенное над нею измерение
величины / даст в результате одно из собственных значений /п.

ОПЕРАТОРЫ
23
В соответствии с принципом суперпозиции можно утверждать,
что волновая функция Ф должна представлять собой линейную
комбинацию тех из собственных функций Фп, которые соответ-
соответствуют значениям /п, могущим быть обнаруженными с отлич-
отличной от нуля вероятностью при измерении, произведенном над
системой, находящейся в рассматриваемом состоянии. Поэтому
в общем случае произвольного состояния функция Ф может быть
представлена в виде ряда
А,	C.2)
где суммирование производится по всем п, а ап — некоторые по-
постоянные коэффициенты.
Таким образом, мы приходим к выводу, что всякая волновая
функция может быть, как говорят, разложена по собственным
функциям любой физической величины. О системе функций, по
которым можно провести такое разложение, говорят как о пол-
полной системе функций.
Разложение C.2) дает возможность определить вероятности
обнаружения (путем измерений) у системы в состоянии с волно-
волновой функцией Ф того или иного значения fn величины /. Дей-
Действительно, согласно сказанному в предыдущем параграфе, эти
вероятности должны определяться некоторыми билинейными
по Ф и Ф* выражениями и потому должны быть билинейными
по ап и а^. Далее, эти выражения, разумеется, должны быть
положительными. Наконец, вероятность значения fn должна
обращаться в единицу, если система находится в состоянии с
волновой функцией Ф = Фп, и должна обращаться в нуль, ес-
если в разложении C.2) волновой функции Ф отсутствует член с
данной Фп. Единственной существенно положительной величи-
величиной, удовлетворяющей этому условию, является квадрат модуля
коэффициента ап. Таким образом, мы приходим к результату,
что квадрат модуля |ап|2 каждого из коэффициентов разложе-
разложения C.2) определяет вероятность соответствующего значения /п
величины / в состоянии с волновой функцией Ф. Сумма вероят-
вероятностей всех возможных значений fn должна быть равна единице;
другими словами, должно иметь место соотношение
= 1.	C.3)
Если бы функция Ф не была нормирована, то не имело бы
места также и соотношение C.3). Сумма ^2п |ап|2 должна была
бы при этом определяться некоторым выражением, билинейным
по Ф и Ф* и обращающимся в единицу при нормированном Ф.

24	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
Таковым является только интеграл J ФФ* dq. Таким образом,
должно иметь место равенство
/Wdg.	C.4)
С другой стороны, умножив на Ф разложение Ф* = Ylm an^n
комплексно сопряженной с Ф функции Ф* и проинтегрировав,
получим
Сравнивая это с C.4), имеем
откуда находим следующую формулу, определяющую коэффи-
коэффициенты ап разложения функции Ф по собственным функци-
функциям Ф^
*п-
dq.	C-5)
Если подставить сюда C.2), то получим
откуда видно, что собственные функции должны удовлетворять
условиям
/ ФтФ* dq = Snm	C-6)
где Snrn = 1 при п = гаи 5пш = 0 при п ф т. О факте обращения
в нуль интегралов от произведений ФШФ^ с га ф п говорят как
о взаимной ортогональности функций Фп. Таким образом, со-
совокупность собственных функций Фп образует полную систему
нормированных и взаимно ортогональных (или, как говорят для
краткости, — ортонормированных) функций.
Введем понятие о среднем значении f величины / в данном
состоянии. Соответственно обычному определению средних зна-
значений определим / как сумму всех собственных значений fn
данной величины, умноженных каждое на соответствующую

§ 3	ОПЕРАТОРЫ	25
вероятность |ап|2	_
Запишем / в виде выражения, которое содержало бы не ко-
коэффициенты разложения функции Ф, а самую эту функцию. По-
Поскольку в C.7) входят произведения апа^ то ясно, что искомое
выражение должно быть билинейным по Ф и Ф*. Введем некото-
некоторый математический оператор, который мы обозначим как f1),
и определим следующим образом. Пусть (/Ф) обозначает резуль-
результат воздействия оператора / на функцию Ф. Мы определим /
так, чтобы интеграл от произведения (/Ф) на комплексно сопря-
сопряженную функцию Ф* был равен среднему значению /:
C.8)
Легко видеть, что в общем случае оператор / представляет
собой некоторый линейный2) интегральный оператор. Действи-
Действительно, воспользовавшись выражением C.5) для ап, мы можем
переписать определение C.7) среднего значения в виде
7 = J2 bWn = [ ** ( J2 anfn^n) dq.
п	**	^ п	'
Сравнивая с C.8), мы видим, что результат воздействия опера-
оператора / на функцию Ф имеет вид
anfnVn.	C.9)
Если подставить сюда выражение C.5) для ап, то мы найдем,
что / есть интегральный оператор вида
(/Ф) = jK(q,q')V(q')dq',	C.10)
где функция K(q,q') (так называемое ядро оператора) есть
nK(q')*n(q)-	(з.п)
х) Мы условимся обозначать везде операторы буквами со шляпкой.
2) Линейным называется оператор, обладающий свойствами: /(^i +Ф2) =
= /Ф1 + /Ф2, /(яФ) = а/Ф, где Ф]., ^2—произвольные функции, а а —
произвольная постоянная.

26	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
Таким образом, каждой физической величине в квантовой
механике приводится в соответствие определенный линейный
оператор.
Из C.9) видно, что если функцией Ф является одна из соб-
собственных функций Фп (так что все ап, кроме одного, равны ну-
нулю) , то в результате воздействия на нее оператора / эта функция
просто умножается на собственное значение /пх):
/Фп = /ПФП.	C.12)
Таким образом, собственные функции данной физической ве-
величины / являются решениями уравнения
где / — постоянная, а собственные значения—это те значения
постоянной /, при которых написанное уравнение имеет реше-
решения, удовлетворяющие требуемым условиям. Как мы увидим ни-
ниже, вид операторов для различных физических величин может
быть определен из прямых физических соображений, и тогда
указанное свойство операторов дает возможность находить соб-
собственные функции и собственные значения посредством решения
уравнений /Ф = /Ф.
Как собственные значения вещественной физической величи-
величины, так и ее средние значения во всяком состоянии — веществен-
вещественны. Это обстоятельство накладывает определенное ограничение
на свойства соответствующих операторов. Приравняв выраже-
выражение C.8) комплексно ему сопряженному, получим соотношение
C.13)
где /* обозначает оператор, комплексно сопряженный с /2).
Для произвольного линейного оператора такое соотношение, во-
вообще говоря, не имеет места, так что оно представляет собой
некоторое ограничение, накладываемое на возможный вид опе-
операторов /. Для произвольного оператора / можно указать, как
говорят, транспонированный с ним оператор /, определяемый
1)Ниж:е мы будем везде, где это не может привести к недоразумению,
опускать скобки в выражении для (/Ф), причем оператор предполагается
действующим на написанное вслед за ним выражение.
2)По определению, если для оператора / имеем fx/j = <?, то комплекс-
комплексно сопряженным оператором /* будет оператор, для которого имеет место

§ 3	ОПЕРАТОРЫ	27
так, чтобы
j	j	C.14)
где Ф, Ф — две различные функции. Если выбрать в качестве
функции Ф сопряженную с Ф функцию Ф*, то сравнение с C.13)
показывает, что должно быть
/=/*•	C-15)
Операторы, удовлетворяющие этому условию, называют эрми-
эрмитовыми1) . Таким образом, операторы, соответствующие в ма-
математическом аппарате квантовой механики вещественным фи-
физическим величинам, должны быть эрмитовыми.
Формально можно рассматривать также и комплексные фи-
физические величины, т. е. величины, собственные значения кото-
которых комплексны. Пусть / есть такая величина. Тогда можно
ввести комплексно сопряженную с ней величину /*, собствен-
собственные значения которой комплексно сопряжены с собственными
значениями /. Оператор, соответствующий величине /*, обо-
обозначим через /+. Его называют сопряженным оператору / и
его необходимо, вообще говоря, отличать от комплексно сопря-
сопряженного оператора /*. Действительно, по определению операто-
оператора /+, среднее значение величины /* в некотором состоянии Ф
есть
7* =
С другой стороны, имеем
(/)*= |"/V/*dg| = /ф/*Ф*^= /ф*
Приравняв оба выражения, найдем, что
/+ = Г,	(зле)
откуда ясно, что /+, вообще говоря, не совпадает с /*. Условие
C.15) можно написать теперь в виде
/ = /+,	C.17)
х)Для линейного интегрального оператора вида C.10) условие эрмито-
вости означает, что ядро оператора должно быть таким, чтобы K(q,q) =

28	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
т. е. оператор вещественной физической величины совпадает со
своим сопряженным (эрмитовы операторы называют также са-
самосопряженными) .
Покажем, каким образом можно непосредственно доказать
взаимную ортогональность собственных функций эрмитова опе-
оператора, соответствующих различным собственным значениям.
Пусть /п, /ш — два различных собственных значения веществен-
вещественной величины /, а Фп, Фш — соответствующие им собственные
функции:	^	^
/Фп = /ПФП, /Фт = /тФт.
Умножив обе части первого из этих равенств на Ф^, а равенство,
комплексно сопряженное второму,— на Фп и, вычтя эти произ-
произведения почленно друг из друга, получим
Ф^/Фп - Фп/*Ъ*т = (/„ - /т)Ф„Ф^.
Проинтегрируем обе части этого равенства по dq. Поскольку
/* = /, то в силу C.14) интеграл от левой части равенства обра-
обращается в нуль, так что получим
откуда, ввиду fn ^ /ш, следует искомое свойство ортогонально-
ортогональности функций Фп и Фш.
Мы все время говорим здесь только об одной физической
величине /, между тем как следовало бы говорить, как было
отмечено в начале параграфа, о полной системе одновременно
измеримых физических величин. Тогда мы нашли бы, что каж-
каждой из этих величин /, g, ...соответствует свой оператор /,
g, ... Собственные функции Фп соответствуют состояниям, в
которых все рассматриваемые величины имеют определенные
значения, т. е. соответствуют определенным наборам собствен-
собственных значений /n, gn, ... и являются совместными решениями
системы уравнений
/Ф = /Ф, g* =
§ 4. Сложение и умножение операторов
Если / и g—операторы, отвечающие двум физическим ве-
величинам / и g, то сумме / + g отвечает оператор / + g. Смысл
сложения различных физических величин в квантовой механике,
однако, существенно различен в зависимости от того, измеримы
ли эти величины одновременно или нет. Если величины / и g

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
29
одновременно измеримы, то операторы / и g имеют совместные
собственные функции, которые являются в то же время и соб-
собственными функциями оператора / + g, а собственные значения
последнего оператора равны суммам fn + gn.
Если же величины / и g не могут иметь одновременно опре-
определенных значений, то смысл их суммы / + g более ограничен.
Можно лишь утверждать, что среднее значение этой величины в
произвольном состоянии равно сумме средних значений каждого
из слагаемых в отдельности:
f + g = f + g-	D-1)
Что же касается собственных значений и функций оператора
/ + g, то здесь они, вообще говоря, не будут иметь никакого от-
отношения к собственным значениям и функциям величин / и g.
Очевидно, что если операторы / и g — эрмитовы, то эрмитовым
будет и оператор / + g, так что его собственные значения — ве-
вещественны и представляют собой собственные значения опреде-
определенной таким образом новой величины / + g.
Отметим следующую теорему. Пусть /о, go — наименьшие соб-
собственные значения величин /, g, а (/ + g)o — тоже для величи-
величины / + g. Тогда можно утверждать, что
(/ + g)o^/o + go-	D.2)
Знак равенства имеет место, если величины / и g одновремен-
одновременно измеримы. Доказательство следует из очевидного факта, что
среднее значение величины во всяком случае больше или равно
ее наименьшему собственному значению. В состоянии, в котором
величина (/+g) имеет значение (/+g)o, имеем (/ + g) = (/+g)o
и поскольку, с другой стороны, (/ + g) = / + g ^ /o+gCh мы при-
приходим к неравенству D.2).
Пусть теперь снова / и g — одновременно измеримые величи-
величины. Наряду с их суммой можно ввести понятие и об их произве-
произведении как о величине, собственные значения которой равны про-
произведениям собственных значений величин / и g. Легко видеть,
что такой величине соответствует оператор, действие которого
состоит в последовательном действии на функцию сначала од-
одного, а затем другого оператора. Такой оператор изображается
математически как произведение операторов / и g. Действитель-
Действительно, если Фп — общие собственные функции операторов / и g, то
имеем
/g*n = /(g*n) = fgn^n = gnf^n = gnfn^n

30	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
(символ /g обозначает оператор, действие которого на функ-
функцию Ф заключается в последовательном действии сначала опе-
оператора g на функцию Ф, а затем оператора / на функцию g*).
С тем же успехом мы могли бы взять вместо оператора /g
оператор g/, отличающийся от первого порядком множителей.
Очевидно, что результат воздействия обоих этих операторов на
функции Фп будет одинаковым. Но поскольку всякая волновая
функция Ф может быть представлена в виде линейной комби-
комбинации функций Фп, то отсюда следует, что одинаковым будет
результат воздействия операторов /g и g/ и на произвольную
функцию. Этот факт может быть записан в виде символического
равенства /g = g/ или
/g-g/ = 0.	D.3)
О таких двух операторах / и g говорят, как о коммутатив-
коммутативных друг с другом. Таким образом, мы приходим к важному
результату: если две величины / и g могут иметь одновременно
определенные значения, то их операторы коммутативны друг с
другом.
Может быть доказана и обратная теорема (см. § 11): если опе-
операторы / и g коммутативны, то у них все собственные функции
можно выбрать общими, что физически означает одновремен-
одновременную измеримость соответствующих физических величин. Таким
образом, коммутативность операторов является необходимым и
достаточным условием одновременной измеримости физических
величин.
Частным случаем произведения операторов является опера-
оператор, возведенный в некоторую степень. На основании сказанного
можно сделать вывод, что собственные значения оператора fp
(р — целое число) равны собственным значениям оператора /,
возведенным в ту же р-ю степень. Вообще, можно определить
любую функцию оператора (f(f) как оператор, собственные зна-
значения которого равны такой же функции (f(f) собственных зна-
значений оператора /. Если функция ip(f) разложима в ряд Тэйло-
ра, то таким разложением действие оператора (f(f) сводится к
действию различных степеней fp.
В частности, оператор /-1 называется обратным операто-
оператору /. Очевидно, что в результате последовательного воздействия
операторов / и /-1 на произвольную функцию последняя оста-
остается неизменной, т.е. //-1 = /-1/ = 1-

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
31
Если же величины / и g не измеримы одновременно, то по-
понятие их произведения не имеет указанного выше прямого смыс-
смысла. Это проявляется уже в том, что оператор fg в этом случае
не будет эрмитовым, а поэтому не может соответствовать веще-
вещественной физической величине. Действительно, по определению
транспонированного оператора, пишем
1 Ф/?Ф dq= Г Ф/(?Ф) dq = /
Здесь оператор / действует только на функцию Ф, а оператор
g на Ф, так что под интегралом стоит просто произведение двух
функций: ^Ф и /Ф. Применив еще раз определение транспони-
транспонированного оператора, пишем
Vfgbdq = / (/Ф)(?Ф) dq=
Таким образом, мы получили интеграл, в котором по срав-
сравнению с первоначальным функции Ф и Ф поменялись местами.
Другими словами, оператор g/ есть оператор, транспонирован-
транспонированный с /g, и мы можем написать
fg = fg,	D.4)
т. е. оператор, транспонированный с произведением /g, есть про-
произведение транспонированных множителей, написанных в об-
обратном порядке. Взяв комплексно сопряженное от обеих сторон
равенства D.4), найдем, что
(fg)+ = g+f+-	D-5)
Если каждый из операторов / и g —эрмитов, то (/g)+ = g/.
Отсюда следует, что оператор /g будет эрмитовым, только если
множители / и g — коммутативны.
Отметим, что из произведений /g и g/ двух некоммутатив-
некоммутативных эрмитовых операторов можно составить эрмитов же опера-
оператор—их симметризованное произведение
\	D-6)
Легко также убедиться в том, что разность /g — g/ есть
«антиэрмитов» оператор (т. е. такой, для которого транспониро-
транспонированный оператор равен взятому с обратным знаком комплексно

32	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
сопряженному). Он может быть сделан эрмитовым умножением
на г; таким образом,	^ ^
i(fg ~ gf)	D.7)
есть тоже эрмитов оператор.
В дальнейшем мы будем иногда пользоваться для краткости
обозначением	^	^ ^
{f,g} = fg~gf	D-8)
для так называемого коммутатора операторов. Легко убедиться
в том, что имеет место соотношение
}	D.9)
Заметим, что если {/, h] = 0 и {g, h] = 0, то отсюда, вообще
говоря, отнюдь не следует, что и / и g коммутативны.
§ 5. Непрерывный спектр
Все выведенные в §3,4 соотношения, описывающие свойст-
свойства собственных функций дискретного спектра, без труда могут
быть обобщены на случай непрерывного спектра собственных
значений.
Пусть / — физическая величина, обладающая непрерывным
спектром. Ее собственные значения мы будем обозначать просто
той же буквой / без индекса, а соответствующие собственные
функции будем обозначать Ф^. Подобно тому как произволь-
произвольная волновая функция Ф может быть разложена в ряд C.2) по
собственным функциям величины с дискретным спектром, она
может быть также разложена — на этот раз в интеграл — и по
полной системе собственных функций величины с непрерывным
спектром. Такое разложение имеет вид
E.1)
где интегрирование производится по всей области значений, ко-
которые может принимать величина /.
Более сложным, чем в случае дискретного спектра, является
вопрос о нормировке собственных функций непрерывного спек-
спектра. Требование равенства единице интеграла от квадрата моду-
модуля функции здесь, как мы увидим далее, невыполнимо. Вместо
этого поставим себе целью пронормировать функции Ф^ таким
образом, чтобы |а/|2 df представляло собой вероятность рассмат-
рассматриваемой физической величине иметь в состоянии, описываю-
описывающемся волновой функцией Ф, значение в заданном интервале

НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР	33
между / и f+df. Поскольку сумма вероятностей всех возможных
значений / должна быть равна единице, то имеем
af\2df = l	E.2)
(аналогично соотношению C.3) для дискретного спектра).
Поступая в точности аналогично тому, как мы делали при
выводе формулы C.5), и используя те же соображения, пишем,
с одной стороны,
= J\af\2df,
и, с другой стороны,
/фф*^ = Г Г а}ЩЪ df dq.
Из сравнения обоих выражений находим формулу, опреде-
определяющую коэффициенты разложения
q)*}(q)dq,	E.3)
в точности аналогичную C.5).
Для вывода условия нормировки подставим теперь E.1)
в E.3):
af = / a// {4!fi4!*fdq) df.
Это соотношение должно иметь место при произвольных af и по-
потому должно выполняться тождественно. Для этого необходимо
прежде всего, чтобы коэффициент при а^ под знаком интеграла
(т. е. интеграл f Ф/'Ф* dq) обращался в нуль при всех /' ф /. При
f = f этот коэффициент должен обратиться в бесконечность (в
противном случае интеграл по df1 будет равен просто нулю). Та-
Таким образом, интеграл / Ф^/Ф^йд есть функция разности / - /',
обращающаяся в нуль при отличных от нуля значениях аргумен-
аргумента и в бесконечность при равном нулю аргументе. Обозначим эту
функцию через 8{f — /):
V*fdq = S(f'-f).	E.4)
Способ обращения функции 6(f — /) в бесконечность при
/' — / = 0 определяется тем, что должно быть
J'6(f'-f)af,df' =

34	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
Ясно, что для этого должно быть
s(f -f)df = i.
J
Определенная таким образом функция называется 6- функци-
функцией х). Выпишем еще раз определяющие ее формулы. Имеем
6(х) = О при х ф О, 6@) = ос,	E.5)
причем так, что
Г S(x)dx = 1.	E.6)
—оо
В качестве пределов интегрирования можно написать любые
другие, между которыми находится точка х = 0. Если f(x) есть
некоторая функция, непрерывная при х = 0, то
+ ОО
6{x)f(x)dx = f{0).	E.7)
— ОО
В более общем виде эта формула может быть написана как
+ ОС
/
J
s(x-a)f(x)dx = f(a),	E.8)
где область интегрирования включает точку х = a, a f(x) —
непрерывна при х = а. Очевидно также, что ^-функция четна,
т. е.
6(-х) = 6(х).	E.9)
Наконец, написав
6(ax)dx= Г 6(у)^-.=±
J	а \а\
—оо	—оо
приходим к выводу, что
6 (ах) = 7^5(х),	E.10)
\а\
где а — любая постоянная.
1) Дельта-функция была введена в теоретическую физику Дираком
(P.A.M.Dirac).

НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР	35
Формула E.4) выражает собой правило нормировки соб-
собственных функций непрерывного спектра; она заменяет собой
условие C.6) дискретного спектра. Мы видим, что функции Ф^
и Ф^/ с / ф f по-прежнему ортогональны друг к другу. Ин-
Интегралы же от квадратов |Ф/|2 функций непрерывного спектра
расходятся.
Функции Ф/(д) удовлетворяют еще одному соотношению,
сходному с E.4). Для его вывода подставляем E.3) в E.1), что
дает
откуда сразу заключаем, что должно быть
q').	E.11)
/
Аналогичное соотношение может быть, разумеется, выведено и
для дискретного спектра, где оно имеет вид
q).	E.12)
Сравнив пару формул E.1) и E.4) с парой E.3) и E.11), мы
видим, что, с одной стороны, функции Ф/(д) осуществляют раз-
разложение функции Ф(д) с коэффициентами разложения а/, а, с
другой стороны, формулу E.3) можно рассматривать как совер-
совершенно аналогичное разложение функции af = a(f) по функци-
функциям Фг(#), причем роль коэффициентов разложения играет Ф(д).
Функция а(/), как и Ф(д), вполне определяет состояние систе-
системы; о ней говорят как о волновой функции в f-представлении
(а о функции Ф(д) — как о волновой функции в д-представле-
нии). Подобно тому как |Ф(д)|2 определяет вероятность для си-
системы иметь координаты в заданном интервале dq, так |а(/)|2
определяет вероятность значений величины / в заданном ин-
интервале df. Функции же Ф/(#) являются, с одной стороны, соб-
собственными функциями величины / в ^-представлении и, с дру-
другой стороны, их комплексно сопряженные Ф^(^) представляют
собой собственные функции координаты q в /-представлении.
Пусть (f(f)—некоторая функция величины /, причем такая,
что <р и / связаны друг с другом взаимно однозначным образом.
Каждую из функций Ф/(д) можно тогда рассматривать и как
собственную функцию величины (р. При этом, однако, необхо-
необходимо изменить нормировку этих функций. Действительно, соб-

36	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
ственные функции Ф <?>(#) величины <р должны быть нормирова-
нормированы условием
между тем как функции Ф^ нормированы условием E.4). Аргу-
Аргумент ^-функции обращается в нуль при f = f. При /', близком
к /, имеем
Используя выражение E.10), можно написать1)
*(/>л	EЛЗ)
Сравнение E.13) с E.4) показывает теперь, что функции Ф<^ и Ф^
связаны друг с другом соотношением
г	E.14)
Существуют такие физические величины, которые обладают
в некоторой области своих значений дискретным спектром, а в
другой—непрерывным. Для собственных функций такой вели-
величины имеют, разумеется, место все те же соотношения, которые
были выведены в этом и предыдущих параграфах. Надо только
отметить, что полную систему функций образует совокупность
собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложе-
разложение произвольной волновой функции по собственным функциям
такой величины имеет вид
[	E.15)
где сумма берется по дискретному, а интеграл — по всему непре-
непрерывному спектру.
Примером величины, обладающей непрерывным спектром,
является сама координата q. Легко видеть, что соответствующим
ей оператором является простое умножение на q. Действительно,
1) Вообще, если <р(х) есть некоторая однозначная функция (однако обрат-
обратная ей функция может быть неоднозначной), то имеет место формула
] ? 6( )	(
] = ? г*
где OLi — корни уравнения (р(х) = 0.

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД	37
поскольку вероятность различных значений координаты опреде-
определяется квадратом |Ф(д)|2, то среднее значение координаты
q= f q\^\2dq= [v
Сравнив это выражение с определением операторов соглас-
согласно C.8), мы видим, что1)
q = q.	E.16)
Собственные функции этого оператора должны определяться,
согласно общему правилу, уравнением q^qo = qo^qo, где посред-
посредством до временно обозначены конкретные значения координа-
координаты в отличие от переменной q. Поскольку это равенство может
удовлетворяться либо при Ф^о = 0, либо при q = go> то ясно,
что удовлетворяющие условию нормировки собственные функ-
функции есть2)
*S(q0).	E.17)
§ 6. Предельный переход
Квантовая механика содержит в себе классическую механику
в качестве предельного случая. Возникает вопрос о том, каким
образом осуществляется этот предельный переход.
В квантовой механике электрон описывается волновой функ-
функцией, определяющей различные значения его координаты; об
этой функции нам известно пока лишь то, что она является ре-
решением некоторого линейного дифференциального уравнения в
частных производных. В классической же механике электрон
рассматривается как материальная частица, движущаяся по
траектории, вполне определяющейся уравнениями движения.
Взаимоотношение, в некотором смысле аналогичное взаимоот-
взаимоотношению между квантовой и классической механикой, имеет
место в электродинамике между волновой и геометрической оп-
оптикой. В волновой оптике электромагнитные волны описывают-
описываются векторами электрического и магнитного полей, удовлетво-
удовлетворяющими определенной системе линейных дифференциальных
уравнений (уравнений Максвелла). В геометрической же оптике
1)	В дальнейшем мы условимся для простоты обозначений писать везде
операторы, сводящиеся к умножению на некоторую величину, просто в виде
самой этой величины.
2)	Коэффициенты разложения произвольной функции Ф по этим собствен-
собственным функциям равны aqo = J^(q)S(q — qo) dq = Ф(#о)- Вероятность значе-
значений координаты в данном интервале dqo равна \aqo\2 dqo = \^(qo)\2 dqo, как
и должно было быть.

38	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
рассматривается распространение света по определенным тра-
траекториям—лучам. Подобная аналогия приводит к заключению,
что предельный переход от квантовой механики к классической
происходит аналогично переходу от волновой оптики к геомет-
геометрической.
Напомним, каким образом математически осуществляется
этот последний переход (см. II, §53). Пусть и — какая-нибудь из
компонент поля в электромагнитной волне. Ее можно предста-
представить в виде иг(р с вещественными амплитудой а и фазой <р (по-
(последнюю называют в геометрической оптике эйконалом). Пре-
Предельный случай геометрической оптики соответствует малым
длинам волн, что математически выражается большой величи-
величиной изменения (р на малых расстояниях; это означает, в част-
частности, что фазу можно считать большой по своей абсолютной
величине.
Соответственно этому, исходим из предположения, что пре-
предельному случаю классической механики соответствуют в кван-
квантовой механике волновые функции вида Фг<^, где а—медленно
меняющаяся функция, а <р принимает большие значения. Как
известно, в механике траектория частиц может быть определе-
определена из вариационного принципа, согласно которому так назы-
называемое действие S механической системы должно быть мини-
минимальным (принцип наименьшего действия). В геометрической
же оптике ход лучей определяется так называемым принципом
Ферма, согласно которому должна быть минимальной «оптиче-
«оптическая длина пути» луча, т. е. разность его фаз в конце и в начале
пути.
Исходя из этой аналогии, мы можем утверждать, что фаза (р
волновой функции в классическом предельном случае должна
быть пропорциональна механическому действию S рассматрива-
рассматриваемой физической системы, т.е. должно быть S = const (p. Коэф-
Коэффициент пропорциональности называется постоянной Планка и
обозначается буквой К1). Она имеет размерность действия (по-
(поскольку (р безразмерно) и равна
П= 1,055-1(Г27эрг-с.
волновая функция «п
зазиклассической) физи1
ет вид	c/fe
Ф = aelS'n.	F.1)
Таким образом, волновая функция «почти классической»
(или, как говорят, квазиклассической) физической системы име-
1) Она была введена в физику Планком (М. Planck, 1900). Постоянная Л,
которой мы пользуемся везде в этой книге, есть, собственно говоря, посто-
постоянная Планка h, деленная на 2тг (обозначение Дирака).

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ
39
Постоянная Планка играет фундаментальную роль во всех
квантовых явлениях. Ее относительная величина (по сравнению
с другими величинами той же размерности) определяет «сте-
«степень квантовости» той или иной физической системы. Переход
от квантовой к классической механике соответствует большой
фазе и может быть формально описан как переход к пределу
h —>• 0 (подобно тому как переход от волновой к геометрической
оптике соответствует переходу к пределу равной нулю длины
волны, Л —»> 0).
Мы выяснили предельный вид волновой функции, но еще
остается вопрос о том, каким образом она связана с классическим
движением по траектории. В общем случае движение, описыва-
описываемое волновой функцией, отнюдь не переходит в движение по
определенной траектории. Ее связь с классическим движением
заключается в том, что если в некоторый начальный момент вол-
волновая функция, а с нею и распределение вероятностей координат
заданы, то в дальнейшем это распределение будет «перемещать-
«перемещаться» так, как это полагается по законам классической механики
(подробнее об этом см. конец § 17).
Для того чтобы получить движение по определенной траек-
траектории, надо исходить из волновой функции особого вида, замет-
заметно отличной от нуля лишь в очень малом участке пространства
(так называемый волновой пакет)] размеры этого участка мож-
можно устремить к нулю вместе с Н. Тогда можно утверждать, что
в квазиклассическом случае волновой пакет будет перемещаться
в пространстве по классической траектории частицы.
Наконец, квантовомеханические операторы в пределе долж-
должны сводиться просто к умножению на соответствующую физи-
физическую величину.
§ 7. Волновая функция и измерения
Вернемся снова к процессу измерения, свойства которого бы-
были качественно рассмотрены в § 1, и покажем, каким образом
эти свойства связаны с математическим аппаратом квантовой
механики.
Рассмотрим систему, состоящую из двух частей — классиче-
классического прибора и электрона (рассматриваемого как квантовый
объект). Процесс измерения заключается в том, что эти две
части приходят во взаимодействие друг с другом, в результа-
результате чего прибор переходит из начального в некоторое другое
состояние, и по этому изменению состояния мы судим о со-
состоянии электрона. Состояния прибора различаются значени-
значениями некоторой характеризующей его физической величины (или

40	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
величин) — «показаниями прибора». Обозначим условно эту ве-
величину через g, а ее собственные значения через gn; последние
пробегают, соответственно классичности прибора, вообще гово-
говоря, непрерывный ряд значений, но мы будем — исключительно в
целях упрощения написания нижеследующих формул — считать
спектр дискретным. Описание состояний прибора осуществляет-
осуществляется квазиклассическими волновыми функциями, которые будем
обозначать через Фп(?), где индекс п отвечает «показанию» gn
прибора, а ? обозначает условно совокупность его координат.
Классичность прибора проявляется в том, что в каждый дан-
данный момент времени можно с достоверностью утверждать, что
он находится в одном из известных состояний Фп с каким-либо
определенным значением величины g, для квантовой системы
такое утверждение было бы, разумеется, несправедливым.
Пусть Фо@ есть волновая функция начального (до измере-
измерения) состояния прибора, а Ф(#) — некоторая произвольная нор-
нормированная начальная волновая функция электрона (q обознача-
обозначает его координаты). Эти функции описывают состояние прибора
и электрона независимым образом, и потому начальная волновая
функция всей системы есть произведение
*(д)Фо(О-	G-1)
Далее, прибор и электрон приходят во взаимодействие друг с
другом. Применяя уравнения квантовой механики, можно, прин-
принципиально, проследить за изменением волновой функции систе-
системы со временем. После процесса измерения она, разумеется, уже
не будет произведением функций от ? и q. Разлагая ее по соб-
собственным функциям Фп прибора (образующим полную систему
функций), мы получим сумму вида
Ю,	G.2)
где An(q) —некоторые функции от q.
Теперь выступает на сцену «классичность» прибора и двой-
двойственная роль классической механики как предельного случая и
в то же время основания квантовой механики. Как уже указы-
указывалось, благодаря классичности прибора в каждый момент вре-
времени величина g («показание прибора») имеет некоторое опре-
определенное значение. Это позволяет утверждать, что состояние
системы прибор + электрон после измерения будет в действи-
действительности описываться не всей суммой G.2), а лишь одним чле-
членом, соответствующим «показанию» gn прибора:
-	G-3)

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ
41
Отсюда следует, что An(q) пропорциональна волновой функции
электрона после измерения. Это не есть еще сама волновая функ-
функция, что видно уже из того, что функция An(q) не нормирована.
Она включает в себя как сведения о свойствах возникшего со-
состояния электрона, так и определяемую начальным состоянием
системы вероятность появления n-го «показания» прибора.
В силу линейности уравнений квантовой механики связь
между An(q) и начальной волновой функцией электрона Ф(д)
выражается, вообще говоря, некоторым линейным интеграль-
интегральным оператором
An(q) = jKn(q,q')V(q')dq'	G.4)
с ядром Kn(q,q'), которое характеризует данный процесс изме-
измерения.
Мы предполагаем, что рассматриваемое измерение таково,
что в результате него возникает полное описание состояния элек-
электрона. Другими словами (см. § 1), в возникшем состоянии веро-
вероятности для всех величин должны быть независимыми от пре-
предыдущего (до измерения) состояния электрона. Математически
это означает, что вид функций An(q) должен определяться са-
самим процессом измерения и не должен зависеть от начальной
волновой функции Ф(д) электрона.
Таким образом, Ап должны иметь вид
An(q) = an(fn(q),	G.5)
где (рп — определенные функции, которые будем предполагать
нормированными, а от начального состояния Ф(д) зависят толь-
только постоянные ап. В интегральной связи G.4) этому соответству-
соответствует ядро Kn(q, q1), разбивающееся на произведение функций толь-
только от q и от qr:
к„Ы) = МяЖМ)-	G-6)
Тогда линейная связь постоянных ап с функцией Ф(д) дается
формулами вида
an = J*(q)**n(q)dq,	G.7)
где Фп(д)— некоторые определенные функции, зависящие от
процесса измерения.
Функции (pn(q) —нормированные волновые функции электро-
электрона после измерения. Таким образом, мы видим, как математиче-
математический формализм теории отражает возможность получить путем
измерения состояние электрона, описанное определенной волно-
волновой функцией.

42	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ	ГЛ. I
Если измерение производится над электроном с заданной вол-
волновой функцией Ф(д), то постоянные ап имеют простой физи-
физический смысл—в соответствии с общими правилами |ап|2 есть
вероятность того, что измерение даст n-й результат. Сумма ве-
вероятностей всех результатов есть единица:
|2 = 1-	G-8)
Справедливость формул G.7) и G.8) при произвольной (норми-
(нормированной) функции Ф(#) эквивалентна (ср. §3) утверждению,
что произвольная функция Ф(#) может быть разложена по функ-
функциям Фп(д). Это значит, что функции Фп(<?) образуют полный
набор нормированных и взаимно ортогональных функций.
Если начальная волновая функция электрона совпадает с од-
одной из функций Фп(д), то, очевидно, соответствующая постоян-
постоянная ап равна единице, а все остальные — нулю. Другими словами,
произведенное над электроном в состоянии Фп(<?) измерение даст
с достоверностью определенный (n-й) результат.
Все эти свойства функций Фп(<?) показывают, что они яв-
являются собственными функциями некоторой характеризующей
электрон физической величины (обозначим ее /), а о рассматри-
рассматриваемом измерении можно говорить, как об измерении этой вели-
величины.
Очень существенно, что функции Фп(д), вообще говоря, не
совпадают с функциями (fn(q) (последние, вообще говоря, даже
не взаимно ортогональны и не являются системой собствен-
собственных функций какого-либо оператора). Это обстоятельство пре-
прежде всего выражает невоспроизводимость результатов измере-
измерений в квантовой механике. Если электрон находился в состо-
состоянии Фп(д), то произведенное над ним измерение величины /
обнаружит с достоверностью значение /п. Но после измерения
электрон окажется в состоянии (pn(q), отличном от исходного,
в котором величина / уже вообще не имеет какого-либо опре-
определенного значения. Поэтому, произведя над электроном непо-
непосредственно вслед за первым повторное измерение, мы полу-
получили бы для / значение, не совпадающее с обнаруженным в
результате первого измеренияг). Для предсказания (в смысле
х)Из невоспроизводимости измерений существует, однако, важное исклю-
исключение — единственной величиной, измерение которой повторимо, является
координата. Два измерения координаты электрона, произведенные через до-
достаточно короткий промежуток времени, должны дать близкие значения;
противное означало бы, что электрон имеет бесконечную скорость. Матема-
Математически это связано с тем, что координата коммутативна с оператором энер-
энергии взаимодействия электрона и прибора, являющейся (в нерелятивистской
теории) функцией только от координат.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ
43
вычисления вероятности) результата повторного измерения при
известном результате первого измерения надо от первого из-
измерения взять волновую функцию (pn{q) созданного им состо-
состояния, а от второго—волновую функцию Фп(<?) того состояния,
вероятность которого нас интересует. Это означает следующее.
Из уравнений квантовой механики определяем волновую функ-
функцию (^n(g,?), которая в момент времени первого измерения рав-
равна (pn(q). Вероятность га-го результата второго измерения, про-
произведенного в момент времени ?, дается квадратом модуля инте-
интеграла / (pn(q, t)y*m(q) dq.
Мы видим, что процесс измерения в квантовой механике име-
имеет «двуликий» характер —его роли по отношению к прошлому
и будущему не совпадают. По отношению к прошлому оно «ве-
«верифицирует» вероятности различных возможных результатов,
предсказываемые по состоянию, созданному предыдущим изме-
измерением. По отношению же к будущему оно создает новое состо-
состояние (см. также §44). В самой природе процесса измерения за-
заложена, таким образом, глубокая необратимость.
Эта необратимость имеет важное принципиальное значение.
Как мы увидим в дальнейшем (см. конец § 18), основные уравне-
уравнения квантовой механики сами по себе обладают симметрией по
отношению к изменению знака времени; в этом отношении кван-
квантовая механика не отличается от классической. Необратимость
же процесса измерения вносит в квантовые явления физическую
неэквивалентность обоих направлений времени, т. е. приводит к
появлению различия между будущим и прошедшим.

ГЛАВА II
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС
§ 8. Гамильтониан
Волновая функция Ф полностью определяет состояние физи-
физической системы в квантовой механике. Это означает, что задание
этой функции в некоторый момент времени не только описывает
все свойства системы в этот момент, но определяет ее поведение
также и во все будущие моменты времени —конечно, лишь с той
степенью полноты, которая вообще допускается квантовой меха-
механикой. Математически это обстоятельство выражается тем, что
значение производной 5Ф /dt от волновой функции по времени
в каждый данный момент времени должно определяться значе-
значением самой функции Ф в тот же момент, причем зависимость
эта должна быть, согласно принципу суперпозиции, линейной. В
наиболее общем виде можно написать
%П^ = ЯФ,	(8.1)
где Я— некоторый линейный оператор; множитель гh введен
здесь с целью, которая выяснится ниже.
Поскольку интеграл J Ф*Фс?д есть постоянная, не зависящая
от времени величина, то имеем
Подставив сюда (8.1) и применив в первом интеграле опреде-
определение транспонированного оператора, получим (опустив общий
множитель г/Н):
Г ФЯ*Ф* dq - Г Ф*ЯФ dq =
= /"ф*Я*Фс/д- /ф*ЯФ^= /ф*
Поскольку это равенство должно выполняться для произ-
произвольной функции Ф, то отсюда следует, что должно быть тож-
тождественно Я+ = Я, т. е. оператор Я эрмитов.

§ 9	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ ПО ВРЕМЕНИ	45
Выясним, какой физической величине он соответствует. Для
этого воспользуемся предельным выражением волновой функ-
функции F.1) и запишем
<9Ф г dS т
dt ~ П dt
(медленно меняющуюся амплитуду а можно не дифференциро-
дифференцировать). Сравнив это равенство с определением (8.1), мы видим,
что в предельном случае оператор Н сводится к простому умно-
умножению на величину —dS/dt. Это значит, что последняя и есть
та физическая величина, в которую переходит эрмитов опера-
оператор Н.
Но производная —dS/dt есть не что иное, как функция Га-
Гамильтона Н механической системы. Таким образом, Н есть опе-
оператор, соответствующий в квантовой механике функции Гамиль-
Гамильтона. Его называют гамильтоновым оператором или, короче,
гамильтонианом системы. Если вид гамильтониана известен, то
уравнение (8.1) определяет волновые функции данной физиче-
физической системы. Это основное уравнение квантовой механики на-
называется волновым уравнением.
§ 9. Дифференцирование операторов по времени
Понятие о производной физической величины по времени не
может быть определено в квантовой механике в том смысле, ка-
какой оно имеет в классической механике. Действительно, опреде-
определение производной в классической механике связано с рассмот-
рассмотрением значений величины в два близких, но различных момента
времени. Но в квантовой механике величина, имеющая в некото-
некоторый момент времени определенное значение, не имеет в следую-
следующие моменты вообще никакого определенного значения; подроб-
подробнее об этом шла речь в § 1.
Поэтому понятие производной по времени должно быть опре-
определено в квантовой механике иным образом. Естественно опре-
определить производную / от величины / как величину, среднее
значение которой равно производной по времени от среднего
значения /. Таким образом, имеем, по определению,
7=7-	(9.1)
Исходя из этого определения, нетрудно получить выраже-
выражение для квантовомеханического оператора /, соответствующего

46
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
величине /:
Здесь df /dt есть оператор, получающийся дифференцированием
оператора / по времени, от которого последний может зависеть,
как от параметра. Подставляя для производных d^/dt, ЭФ*/dt
их выражения согласно (8.1), получим
Поскольку оператор Н эрмитов, то
таким образом имеем
Поскольку, с другой стороны, должно быть, по определению
средних значений, / = /Ф*/Фс?д, то отсюда видно, что выра-
выражение, стоящее в скобках под интегралом, представляет собой
искомый оператор f1):
j=dl+l-(Hf-fH).	(9.2)
) В классической механике имеем для полной производной по времени
от величины /, являющейся функцией обобщенных координат qi и импуль-
импульсов pi системы:
dt dt ^Kdqi dPi
л	r	. он . он
Подставляя, согласно уравнениям Гамильтона, qi = 	, р% =	, полу-
d	d
[H,f] есть так называемая скобка Пуассона для величин / и Н (см. I, §42).
Сравнив с выражением (9.2), мы видим, что при переходе к классическому
пределу оператор i(Hf — fH) в первом приближении обращается, как и сле-
следовало, в нуль, а в следующем (по Н) приближении—в величину H[H,f].

§ 10	СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ	47
Если оператор / не зависит от времени явно, то / сводится, с
точностью до множителя, к коммутатору оператора / с гамиль-
гамильтонианом.
Очень важной категорией физических величин являются те,
операторы которых не зависят явно от времени и, кроме того,
коммутативны с гамильтонианом, так что / = 0. Такие величины
называют сохраняющимися. Для них / = / = 0, т. е. / = const.
Другими словами, среднее значение величины остается постоян-
постоянным во времени. Можно также утверждать, что если в данном
состоянии величина / имеет определенное значение (т. е. волно-
волновая функция является собственной функцией оператора /), то и
в дальнейшие моменты времени она будет иметь определенное—
то же самое—значение.
§ 10. Стационарные состояния
Гамильтониан замкнутой системы (а также системы, находя-
находящейся в постоянном — но не в переменном — внешнем поле) не
может содержать времени явно. Это следует из того, что по от-
отношению к такой физической системе все моменты времени эк-
эквивалентны. Поскольку, с другой стороны, всякий оператор, ко-
конечно, коммутативен сам с собой, то мы приходим к выводу, что
у систем, не находящихся в переменном внешнем поле, функция
Гамильтона сохраняется. Как известно, сохраняющаяся функ-
функция Гамильтона называется энергией. Смысл закона сохранения
энергии в квантовой механике состоит в том, что если в данном
состоянии энергия имеет определенное значение, то это значение
остается постоянным во времени.
Состояния, в которых энергия имеет определенные значения,
называются стационарными состояниями системы. Они опи-
описываются волновыми функциями Фп, являющимися собствен-
собственными функциями оператора Гамильтона, т. е. удовлетворяющи-
удовлетворяющими уравнению Н^п = Еп^п, где Еп— собственные значения
энергии. Соответственно этому, волновое уравнение (8.1) для
Этот результат справедлив и для любых двух величин / и g: оператор
i(fg-gf) в пределе переходит в величину h[f,g], где [/,g] есть скобка Пуас-
Пуасqidp. dp.dq.
Это следует из того, что мы всегда можем формально представить себе си-
систему, гамильтониан которой совпадает с g.

48
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
функции Фп
dt
может быть непосредственно проинтегрировано по времени и
дает
A0.1)
где фп — функция только координат. Этим определяется зависи-
зависимость волновых функций стационарных состояний от времени.
Малой буквой ф мы будем обозначать волновые функции ста-
стационарных состояний без временного множителя. Эти функции,
а также сами собственные значения энергии, определяются урав-
уравнением	^
Нф = Еф.	A0.2)
Стационарное состояние с наименьшим из всех возможных
значением энергии называется нормальным или основным со-
состоянием системы.
Разложение произвольной волновой функции Ф по волновым
функциям стационарных состояний имеет вид
?()п(д).	A0.3)
П
Квадраты |ап|2 коэффициентов разложения, как обычно, опреде-
определяют вероятности различных значений энергии системы.
Распределение вероятностей для координат в стационарном
состоянии определяется квадратом |ФП|2 = \Фп\2\ мы видим, что
оно не зависит от времени. То же самое относится и к средним
значениям f = J Ф^/Фп dq = f ф^/фп dq всякой физической ве-
величины / (оператор которой не зависит от времени явно).
Как указывалось, оператор всякой сохраняющейся величины
коммутативен с гамильтонианом. Это значит, что всякая сохра-
сохраняющаяся физическая величина может быть измерена одновре-
одновременно с энергией.
Среди различных стационарных состояний могут быть и та-
такие, которые соответствуют одному и тому же собственному
значению энергии (или, как говорят, энергетическому уров-
уровню системы), отличаясь значениями каких-либо других физи-
физических величин. О таких уровнях, которым соответствует по
нескольку различных стационарных состояний, говорят как о
вырожденных. Физически возможность существования выро-
вырожденных уровней связана с тем, что энергия, вообще говоря,
не составляет сама по себе полной системы физических величин.

§ 10	СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ	49
Уровни энергии системы, вообще говоря, вырождены, если
имеются две сохраняющиеся физические величины / и g, опе-
операторы которых некоммутативны. Действительно, пусть ф есть
волновая функция стационарного состояния, в котором, наряду
с энергией, имеет определенное значение величина /. Тогда мож-
можно утверждать, что функция g-0 не совпадает (с точностью до
постоянного множителя) с ф\ противное означало бы, что име-
имеет определенное значение также и величина g, что невозможно,
так как / и g не могут быть измерены одновременно. С другой
стороны, функция g-0 есть собственная функция гамильтониана,
соответствующая тому же значению Е энергии, что и ф:
Таким образом, мы видим, что энергии Е соответствуют более
чем одна собственная функция, т. е. уровень вырожден.
Ясно, что любая линейная комбинация волновых функций,
соответствующих одному и тому же вырожденному уровню энер-
энергии, есть тоже собственная функция того же значения энергии.
Другими словами, выбор собственных функций вырожденного
значения энергии неоднозначен. Произвольно выбранные соб-
собственные функции вырожденного уровня, вообще говоря, не
взаимно ортогональны. Надлежащим подбором их линейных
комбинаций можно, однако, всегда получить набор взаимно ор-
ортогональных (и нормированных) собственных функций1).
Эти утверждения относительно собственных функций вы-
вырожденного уровня относятся, разумеется, не только к собствен-
собственным функциям энергии, но и к собственным функциям всяко-
всякого оператора. Автоматически ортогональными являются лишь
функции, соответствующие различным собственным значениям
данного оператора; функции же, соответствующие одному и то-
тому же вырожденному собственному значению, вообще говоря, не
ортогональны.
Если гамильтониан системы представляет собой сумму двух
(или нескольких) частей, Н = Н\ + H2, одна из которых со-
содержит только координаты q\, а другая— координаты q<i, то соб-
собственные функции оператора Н могут быть написаны в виде
произведений собственных функций операторов Н\ и i^2, а соб-
собственные значения энергии равны суммам собственных значений
этих операторов.
1) Причем это может быть сделано бесчисленным множеством способов;
действительно, число независимых коэффициентов в линейном преобразо-
преобразовании п функций равно п2, а число условий нормировки и ортогональности
п функций равно п(п + 1)/2, т. е. меньше п2.

50
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
Спектр собственных значений энергии может быть как дис-
дискретным, так и непрерывным. Стационарное состояние дискрет-
дискретного спектра всегда соответствует финитному движению систе-
системы, т. е. движению, при котором система или какая-либо ее часть
не уходит на бесконечность. Действительно, для собственных
функций дискретного спектра интеграл f |Ф|2 dq, взятый по все-
всему пространству, конечен. Это, во всяком случае, означает, что
квадрат |Ф|2 достаточно быстро убывает, обращаясь на бесконеч-
бесконечности в нуль. Другими словами, вероятность бесконечных зна-
значений координат равна нулю, т. е. система совершает финитное
движение или, как говорят, находится в связанном состоянии.
Для волновых функций непрерывного спектра интеграл
f \Ч?\2 dq расходится. Квадрат волновой функции |Ф|2 не опре-
определяет здесь непосредственно вероятности различных значе-
значений координат и должен рассматриваться лишь как величина,
пропорциональная этой вероятности. Расходимость интеграла
f \ty\2 dq всегда бывает связана с тем, что |Ф|2 не обращается
на бесконечности в нуль (или обращается в нуль недостаточно
быстро). Поэтому можно утверждать, что интеграл J|\I/|2<ig,
взятый по области пространства, внешней по отношению к лю-
любой сколь угодно большой, но конечной замкнутой поверхно-
поверхности, будет все же расходиться. Это значит, что в рассматрива-
рассматриваемом состоянии система (или какая-либо ее часть) находится
на бесконечности. Для волновой функции, представляющей со-
собой суперпозицию волновых функций различных стационарных
состояний непрерывного спектра, интеграл f |Ф|2б?д может ока-
оказаться сходящимся, так что система находится в конечной обла-
области пространства. Однако с течением времени эта область будет
неограниченно смещаться, и в конце концов система уходит на
бесконечность.
Действительно, произвольная суперпозиция волновых функ-
функций непрерывного спектра имеет вид
= I
Квадрат модуля Ф может быть написан в виде двойного инте-
интеграла
Если усреднить это выражение по некоторому промежутку вре-
времени Г и затем устремить Г к бесконечности, то средние зна-
значения осциллирующих множителей exp{i(Ef — E)t/K}, а с ними

§ 11	МАТРИЦЫ	51
и весь интеграл обратятся в пределе в нуль. Другими словами,
среднее по времени значение вероятности нахождения системы
в любом заданном месте конфигурационного пространства обра-
обращается в нуль; но это возможно только, если движение происхо-
происходит во всем бесконечном пространстве1).
Таким образом, стационарные состояния непрерывного спек-
спектра соответствуют инфинитному движению системы.
§ 11. Матрицы
Предположим для удобства, что рассматриваемая система
обладает дискретным энергетическим спектром (все получаемые
ниже соотношения непосредственным образом обобщаются и на
случай непрерывного спектра). Пусть Ф = ^апФп есть разло-
разложение произвольной волновой функции по волновым функци-
функциям Фп стационарных состояний. Если подставить это разложение
в определение C.8) среднего значения некоторой величины /, то
получим
fnm(t) обозначают интегралы
fnm(t) = JKf^mdq.	A1.2)
Совокупность величин /nm(t) со всеми возможными n, m назы-
называют матрицей величины /, а о каждом из /nm(t) говорят как
о матричном элементе, соответствующем переходу из состоя-
состояния т в состояние п2).
Зависимость матричных элементов fnrn(t) от времени опре-
определяется (если оператор / не содержит t явно) зависимостью
от времени функций Фп. Подставляя для них выражения A0.1),
г) Заметим, что для функции Ф, представляющей собой суперпозицию
функций дискретного спектра, было бы
пф^ = ^ \апфп(д)\\
п
т. е. плотность вероятности остается при усреднении по времени конечной.
2) Матричное представление физических величин было введено Гейзенбер-
гом (W. Heisenberg) в 1925 г., еще до открытия Шредингером волнового
уравнения, «Матричная механика» была затем развита Борном, Гейзенбер-
гом и Иорданом (М. Born, P. Jordan).

52
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
найдем, что
где
t^n ±Lm	/1-1 л \
Vnm = 	"		A1.4)
П
есть частота перехода между состояниями п и т, а величины
/п
= / ФпТфтЛЦ	(И-5)
составляют не зависящую от времени матрицу величины /, ко-
которой обычно и приходится пользоватьсях).
Матричные элементы производной / получаются дифферен-
дифференцированием по времени матричных элементов величины /; это
следует непосредственно из того, что
namfnm(t).	A1.6)
Ввиду A1.3) имеем, таким образом, для матричных элементов /:
fnm(t) = iWnmfnm(t)	(П.7)
или (сокращая с обеих сторон временной множитель exp(icjnmt))
для не зависящих от времени матричных элементов:
\J JTIUI	Ь\А) лтп j лтп	~у11/л	-*-/77i / J ТЫЛ'	V	/
а
В целях упрощения обозначений в формулах мы выводим ни-
ниже все соотношения для не зависящих от времени матричных
элементов; в точности такие же соотношения имеют место и для
зависящих от времени матриц.
Для матричных элементов комплексно сопряженной с / вели-
величины /* с учетом определения сопряженного оператора получим
(Ппт = [ Фп7+Фт dq= [ ф*п?*фт dq =
т.е.
(Ппт = (fmn)*.	(И.9)
х) В связи с неопределенностью фазового множителя в нормированных
волновых функциях (см. § 2) матричные элементы fnm (и fnrn(t)) тоже опре-
определены лишь с точностью до множителей вида ехр[г(ат — ап)]. И здесь эта
неопределенность не отражается на физических результатах.

§ 11	МАТРИЦЫ	53
Для вещественных физических величин, которые мы обычно
только и рассматриваем, имеем, следовательно,
fnm = Гтп	A1-Ю)
(/ran стоит вместо (/mn)*)- Такие матрицы, как и соответствую-
соответствующие им операторы, называют эрмитовыми.
Матричные элементы с п = т называют диагональными. Эти
элементы вообще не зависят от времени, а из A1.10) ясно, что они
вещественны. Элемент fnn представляет собой среднее значение
величины / в состоянии фп.
Нетрудно получить правило умножения матриц. Для этого
заметим предварительно, что имеет место формула
Это есть не что иное, как разложение функции ]фп по функ-
функциям фш с коэффициентами, определяемыми согласно общему
правилу C.5). Имея в виду эту формулу, запишем для результа-
результата воздействия на функцию фп произведения двух операторов:
ТёФп =
к	к	k,m
Поскольку, с другой стороны, должно быть
га
то мы приходим к результату, что матричные элементы произ-
произведения fg определяются формулой
(fg)mn = ^2 frnkgkn-	(И-12)
к
Это правило совпадает с принятым в математике правилом пе-
перемножения матриц: строки первой в произведении матрицы пе-
перемножаются со столбцами второй.
Задание матрицы эквивалентно заданию самого оператора.
В частности, оно позволяет в принципе определить собственные
значения данной физической величины и соответствующие им
собственные функции.
Будем рассматривать значения всех величин в некоторый
определенный момент времени и разложим произвольную волно-
волновую функцию Ф (в этот момент времени) по собственным функ-
функциям гамильтониана, т. е. по не зависящим от времени волновым
функциям фт стационарных состояний:
m</>m,	A1.13)

54
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
где коэффициенты разложения обозначены через ст. Подставим
это разложение в уравнение /Ф = /Ф, определяющее собствен-
собственные значения и собственные функции величины /. Имеем
Умножим это уравнение с обеих сторон на ф^ и проинтегрируем
по dq. Каждый из интегралов f V^/VVn dq в левой части равен-
равенства есть соответствующий матричный элемент fnm. В правой
же части все интегралы J ф^1фш dq с m ф п исчезают в силу
ортогональности функций фш, a f ф^Фп dq = 1 в силу их норми-
нормировки1) :
^2	(И-14)
ИЛИ
Е<
где
, п ф га,
? п = т.
Таким образом, мы получили систему алгебраических одно-
однородных уравнений первой степени (с неизвестными сш). Как из-
известно, такая система обладает отличными от нуля решениями
лишь при условии обращения в нуль определителя, составленно-
составленного из коэффициентов в уравнениях, т. е. при условии
\fnrn - fSnm\ = 0.	A1.15)
Корни этого уравнения (в котором / рассматривается как неиз-
неизвестное) и представляют собой возможные значения величи-
величины /. Совокупность же величин сш, удовлетворяющих уравнени-
уравнениям A1.14) с /, равным какому-либо из этих значений, определяет
соответствующую собственную функцию.
1) В соответствии с общим правилом (§5) совокупность коэффициентов сп
разложения A1.13) можно рассматривать как волновую функцию в «энерге-
«энергетическом представлении» (причем переменной является индекс п, нумерую-
нумерующий собственные значения энергии). Матрица же /nm играет при этом роль
оператора / в этом представлении, действие которого на волновую функ-
функцию определяется выражением в левой части уравнения A1.14). Формула
/ = ^2^2cn(fnmCm) соответствует тогда общему выражению среднего зна-
значения величины через ее оператор и волновую функцию данного состояния.

§ 11	МАТРИЦЫ	55
Если в определении A1.5) матричных элементов величины /
взять в качестве фп собственные функции этой же величины, то
в силу уравнения ]фп = $пфп будем иметь
fn
= / ФпТфт dq = fm Фп
Ввиду ортогональности и нормировки функций фт это дает
fnm = 0 при п ф т и fmm = fm. Таким образом, оказываются
отличными от нуля только диагональные матричные элементы,
причем каждый из них равен соответствующему собственному
значению величины /; о матрице, у которой отличны от нуля
лишь эти элементы, говорят, как о приведенной к диагональ-
диагональному виду. В частности, в обычном представлении, с волновы-
волновыми функциями стационарных состояний в качестве функций фп
диагональна матрица энергии (а также матрицы всех других
физических величин, которые имеют в стационарных состоя-
состояниях определенные значения). Вообще, о матрице величины /,
определенной с помощью собственных функций некоторого опе-
оператора g, говорят, как о матрице / в представлении, в котором g
диагонально. Везде, где это не оговорено особо, под матрицей
физической величины мы будем в дальнейшем понимать матри-
матрицу в обычном представлении, в котором диагональна энергия.
Все, что сказано выше о зависимости матриц от времени, отно-
относится, разумеется, только к этому обычному представлению1).
С помощью матричного представления операторов можно
доказать упомянутую в §4 теорему: если два оператора ком-
коммутативны друг с другом, то они обладают общей полной си-
системой собственных функций. Пусть / и g будут двумя такими
операторами. Из /g = g/ и правила умножения матриц A1.12)
следует, что
/ j Jmkgkn = / ^ emkjkri'
к	к
Взяв в качестве системы функций фп, с помощью которых вы-
вычисляются матричные элементы, собственные функции опера-
оператора /, будем иметь fmk = 0 при т ф к, так что написанное
равенство сведется к равенству /mmgmn = gmnfnn или
gmn(fm- fn) =0.
Если все собственные значения /п величины / различны, то при
всех т ф п имеем /ш — fn Ф 0, так что должно быть gmn = 0.
1)Имея в виду диагональность матрицы энергии, легко убедиться в том,
что равенство A1.8) есть написанное в матричном виде операторное соот-
соотношение (9.2).

56
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
Таким образом, матрица gmn тоже оказывается диагональной,
т. е. функции фп являются собственными функциями также и
физической величины g. Если же среди значений /п есть оди-
одинаковые (т. е. если есть такие собственные значения, которым
соответствуют по нескольку различных собственных функций),
то соответствующие каждой такой группе функций фп матрич-
матричные элементы gmn окажутся, вообще говоря, отличными от нуля.
Однако линейные комбинации функций фп, соответствующих од-
одному собственному значению величины /, тоже являются ее соб-
собственными функциями; можно всегда выбрать эти комбинации
таким образом, чтобы обратить в нуль соответствующие недиа-
недиагональные матричные элементы gmn, и, таким образом, мы и в
этом случае получим систему функций, являющихся собствен-
собственными функциями одновременно для операторов / и g.
Отметим полезную в приложениях формулу
(%) ^г,	A1.16)
\ О А / пп О А
где Л—некоторый параметр, от которого зависит гамильтони-
гамильтониан Н (а с ним и собственные значения энергии Еп). Действи-
Действительно, продифференцировав уравнение (Н — Еп)фп = 0 по Л и
затем умножив его слева на ф1^, получим
При интегрировании по dq левая часть этого равенства обраща-
обращается в нуль, поскольку
ввиду эрмитовости оператора Н. Правая же часть дает искомое
равенство.
В современной литературе широко применяется система обо-
обозначений (введенная Дираком), в которой матричные элемен-
элементы fnrn записываются как1)
(n\f\m).	A1.17)
Этот символ построен так, что его можно рассматривать как «со-
«составленный» из обозначения величины / и символов \т) и |п),
) Мы будем пользоваться в этой книге обоими способами обозначения мат-
матричных элементов. Обозначение A1.17) в особенности удобно, когда каждый
из индексов надо писать в виде совокупности нескольких букв.

§ 12	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦ	57
обозначающих соответственно начальное и конечное состояния
как таковые (вне зависимости от того, в каком представлении ис-
используются волновые функции состояний). С помощью этих же
символов «составляются» обозначения для коэфициентов разло-
разложения волновых функций: если мы имеем полный набор вол-
волновых функций, отвечающих состояниям |ni), ^2), ..., то ко-
коэффициенты разложения по ним волновой функции некоторого
состояния
га) обозначаются как (щ\т):
(гц\т)= [il>Zrfmdq.	A1.18)
§ 12. Преобразование матриц
Матричные элементы одной и той же физической величи-
величины могут определяться по отношению к различным совокупно-
совокупностям волновых функций. Это могут быть, например, волновые
функции стационарных состоянии, описывающихся различны-
различными наборами физических величин, или волновые функции ста-
стационарных состояний одной и той же системы, находящейся в
различных внешних полях. В связи с этим возникает вопрос
о преобразовании матриц от одного представления к другому.
Пусть ipn(q) и ipfn(q) (п = 1,2,...) —две полные системы орто-
нормированных функций. Они связаны друг с другом некоторым
линейным преобразованием
™^™>	A2Л)
представляющим собой просто разложение функций ф'п по пол-
полной системе функций фп. Это преобразование можно записать в
операторном виде
Фп = Яфп-	A2.2)
Оператор S должен удовлетворять определенному условию,
для того чтобы обеспечить ортонормированность функций фгп,
если таковыми являются функции фп. Действительно, подста-
подставив A2.2) в условие f ф^ф^ dq = 8шп и учитывая определение
транспонированного оператора C.14), получим
f
dqSn

58
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
Для того чтобы это равенство имело место при всех т, п, должно
быть 5*5 = 1, или
?* = ?+ = S~\	A2.3)
т. е. обратный оператор совпадает с сопряженным. Операторы,
обладающие таким свойством, называют унитарными. В силу
этого свойства преобразование фп = S~1ip!n, обратное преобразо-
преобразованию A2.1), дается формулой
Написав равенства S+S = 1 или SS+ = 1 в матричном виде,
получим условия унитарности в виде
Ее* с. _ я	(lO ^
ulmuin — итп	y±^.<jj
I
ИЛИ
ЕС* С	?	/^л л\
^ml^nl = Отп-	{LZ.b)
I
Рассмотрим теперь какую-либо физическую величину / и на-
напишем ее матричные элементы в «новом» представлении, т. е. по
отношению к функциям ф'п. Они даются интегралами
'n) dq =
^ j I i * с—1 Т о / j
do I w о t bwn do.
Отсюда видно, что матрица оператора / в новом представлении
совпадает с матрицей оператора
Т = S^fS	A2.7)
в старом представлении1).
х) Если {/,g} = —ifie есть правило коммутации двух операторов / и g, то
после преобразования A2.7) получим {f',gr} = —ific, т.е. правило остается
прежним. В примеч. на с. 46 было отмечено, что с* есть квантовый аналог
классической скобки Пуассона [/, g]. Но в классической механике скобки
Пуассона инвариантны по отношению к каноническим преобразованиям пе-
переменных (обобщенных координат и импульсов) — см. I, § 45. В этом смысле
можно сказать, что унитарные преобразования в квантовой механике игра-
играют роль, аналогичную роли канонических преобразований в классической
механике.

' 12	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦ	59
Сумму диагональных элементов матрицы называют ее сле-
следом и обозначают как Sp /х):
Отметим прежде всего, что след произведения двух матриц не
зависит от порядка множителей
Sp(/g) = Sp(g/).	A2.9)
Действительно, по правилу умножения матриц имеем
Sp(/g) = ^2^2fnkgkn= ^2^2gknfnk = Sp(g/).
n к	к п
Аналогичным образом легко убедиться в том, что для произ-
произведения нескольких матриц след не меняется при циклической
перестановке множителей; так,
Sp(fgh) = Sp(hfg) = Sp(ghf).	A2.10)
Важнейшим свойством следа является его независимость от
выбора системы функций, по отношению к которым определя-
определяются матричные элементы. Действительно,
sP/' = sP(s-7s) = Sp(ss-7) = sP/.	(i2.il)
Отметим также, что унитарное преобразование оставляет ин-
инвариантной сумму квадратов модулей преобразуемых функций.
Действительно, учитывая A2.6), имеем
^i2- A2Л2)
i	k,l,i	k,l	к
Всякий унитарный оператор можно представить в виде
S = eiu,	A2.13)
где Л—эрмитов оператор; действительно, из i?+ = R следует,
что
S+ = e-iit?=e-i* = S-1.
Отметим разложение
>	1	1	.., A2.14)
г) От немецкого слова Spur — след. Используется также обозначение Тг от
английского trace. Разумеется, рассмотрение следа матрицы предполагает
сходимость суммы по п.

60
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
в котором легко убедиться прямой проверкой путем разложения
множителей exp(±ii?) по степеням оператора R. Это разложение
может оказаться полезным, когда R пропорционален малому па-
параметру, так что A2.14) становится разложением по степеням
этого параметра.
§ 13. Гейзенберговское представление операторов
В излагаемом математическом аппарате квантовой механи-
механики операторы, соответствующие различным физическим вели-
величинам, действуют на функции координат и сами по себе явной
зависимости от времени обычно не содержат. Зависимость сред-
средних значений физических величин от времени возникает лишь
через временную зависимость волновой функции состояния со-
согласно формуле
/(*) = Jv*(q,t)fV(q,t)dq.	A3.1)
Аппарат квантовой механики можно, однако, сформулиро-
сформулировать и в несколько другом, эквивалентном, виде, в котором за-
зависимость от времени перенесена с волновых функций на опе-
операторы. Хотя в этой книге мы не будем пользоваться таким
представлением (так называемым гейзенберговским в отличие
от шредингеровского) операторов, мы сформулируем его здесь,
имея в виду дальнейшие применения в релятивистской теории.
Введем унитарный (ср. A2.13)) оператор
A3.2)
где Н — гамильтониан системы. По определению, его собствен-
собственные функции совпадают с собственными функциями операто-
оператора Н, т. е. с волновыми функциями стационарных состояний
ipn(q), причем
Si/>n(q) = exp(-^Snt)^n(g).	A3.3)
Отсюда следует, что разложение A0.3) произвольной волновой
функции Ф по волновым функциям стационарных состояний мо-
может быть записано в операторной форме как
Ф(д,*) = 5Ф(д,0),	A3.4)
т. е. действие оператора S приводит к переводу волновой функ-
функции системы в некоторый начальный момент времени в волновую
функцию в произвольный момент времени.

§ 14	МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ	61
Введя, в соответствии с A2.7), зависящий от времени опера-
оператор
/(*) = 5/5,	A3.5)
будем иметь
J(t) = I Ф*(д, 0)/(*)Ф(д, 0) dq,	A3.6)
т. е. представим формулу для среднего значения величины /
(являющуюся определением операторов) в виде, в котором зави-
зависимость от времени полностью перенесена на оператор.
Очевидно, что матричные элементы оператора A3.5), по от-
отношению к волновым функциям стационарных состояний совпа-
совпадают с зависящими от времени матричными элементами /nm(t),
определяемыми формулой A1.3).
Наконец, продифференцировав выражение A3.5) по времени
(предполагая при этом сами операторы / и Н не содержащими ?),
получим уравнение
f(t) ;[Hf(t)№H],	A3.7)
аналогичное формуле (9.2), но имеющее несколько иной смысл:
выражение (9.2) представляет собой определение оператора /,
соответствующего физической величине /, между тем как в ле-
левой части уравнения A3.7) стоит производная по времени от опе-
оператора самой величины /.
§ 14. Матрица плотности
Описание системы с помощью волновой функции соответ-
соответствует наиболее полному возможному в квантовой механике опи-
описанию—в смысле, указанном в конце § 1.
С состояниями, не допускающими такого описания, мы
столкнемся, рассмотрев систему, являющуюся частью некото-
некоторой большей замкнутой системы. Предположим, что замкнутая
система в целом находится в некотором состоянии, описывае-
описываемом волновой функцией Ф(д,ж), где х обозначает совокупность
координат рассматриваемой системы, a q— остальные коор-
координаты замкнутой системы. Эта функция, вообще говоря, от-
отнюдь не распадается на произведение функций только от ж и

62
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
только от д, так что система не обладает своей волновой функ-
функцией1) .
Пусть / есть некоторая физическая величина, относящаяся
к нашей системе. Ее оператор действует поэтому только на ко-
координаты ж, но не на q. Среднее значение этой величины в рас-
рассматриваемом состоянии есть
J=JJ**(q,x)f*(q,x)dqdx.	A4.1)
Введем функцию р(х,х'), определяемую соотношением
р(х, х1) = I Щд, ж)Ф*(9, х1) dq,	A4.2)
где интегрирование производится только по координатам q\ ее
называют матрицей плотности системы. Из определения A4.2)
очевидно, что она обладает свойством «эрмитовости»
р*(ж,ж') = р(х',х).	A4.3)
«Диагональные элементы» матрицы плотности
р(х,х) =
определяют распределение вероятности для координат системы.
С помощью матрицы плотности среднее значение / можно
написать в виде
7 = j[fp(x,x')]x,=xdx.	A4.4)
Здесь / действует в функции р(х,х') только на переменные х\
после вычисления результата воздействия надо положить х' = х.
Мы видим, что, зная матрицу плотности, можно вычислить
среднее значение любой величины, характеризующей систему.
Отсюда следует, что с помощью р{х,х!) можно определить так-
также и вероятности различных значений физических величин
системы. Таким образом, состояние системы, не обладающей
волновой функцией, может быть описано матрицей плотности.
Матрица плотности не содержит координат д, не относящихся
х)Для того чтобы Ф(д,ж) распалось (в данный момент времени) на та-
такое произведение, измерение, в результате которого было создано данное
состояние, должно полным образом описывать рассматриваемую систему
и остальную часть замкнутой системы в отдельности. Для того же чтобы
Ф(д, х) продолжало иметь такой вид в будущие моменты времени, необходи-
необходимо также, чтобы эти части замкнутой системы не взаимодействовали друг
с другом (см. § 2). Ни то, ни другое нами теперь не предполагается.

§ 14	МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ	63
к данной системе, хотя, разумеется, по существу зависит от со-
состояния замкнутой системы в целом.
Описание с помощью матрицы плотности является наиболее
общей формой квантовомеханического описания систем. Описа-
Описание же с помощью волновой функции является частным случа-
случаем, отвечающим матрице плотности вида р{х,х') = Ф(ж)Ф*(ж').
Между этим частным случаем и общим случаем имеется сле-
следующее важное различие. Для состояния, обладающего вол-
волновой функцией (такое состояние называют чистым), всегда
существует такая полная система измерительных процессов, ко-
которые приводят с достоверностью к определенным результатам
(математически это означает, что Ф есть собственная функция
какого-либо оператора). Для состояний же, обладающих лишь
матрицей плотности (их называют смешанными), не существует
полной системы измерений, которые приводили бы к однозначно
предсказуемым результатам.
Предположим, что рассматриваемая система замкнута или
стала таковой, начиная с некоторого момента времени; выведем
уравнение, определяющее изменение ее матрицы плотности со
временем, аналогичное волновому уравнению для Ф-функции.
Вывод можно упростить, заметив, что искомое линейное диф-
дифференциальное уравнение для р(х, х1, t) должно удовлетворяться
и в том частном случае, когда система обладает волновой функ-
функцией, т. е.
Дифференцируя по времени и воспользовавшись волновым урав-
уравнением (8.1), имеем
dt v ' } dt	v ' } dt
= Ф*(ж', *)ЯФ(ж, t) - Ф(
где Н — гамильтониан системы, действующий на функции от ж,
а Н' — тот же оператор, действующий на функции от х'. Функ-
Функции Ф*(ж',?) и Ф(ж,?) можно ввести под знаки операторов соот-
соответственно Н и Н1', и, таким образом, получим искомое уравне-
уравнение
Пусть Фп(ж,?)—волновые функции стационарных состоя-
состояний системы, т. е. собственные функции гамильтониана. Раз-
Разложим матрицу плотности по этим функциям; разложение

64
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
представляет собой двойной ряд
(ж, t) =
(х')фт(х)ехр(^(Еп - Em)t). A4.6)
Это разложение играет для матрицы плотности роль, аналогич-
аналогичную роли разложения A0.3) для волновых функций. Вместо со-
совокупности коэффициентов ап мы имеем здесь двойную совокуп-
совокупность коэффициентов ашп. Эти величины обладают, очевидно,
как и сама матрица плотности, свойством эрмитовости
<т = Яти-	A4.7)
Для среднего значения некоторой величины / имеем, подставляя
A4.6) в A4.4):
7 = J2 Л а™ [ ф"(ж' *)/фт(ж, t) dx,
или
где fnm—матричные элементы величины /. Это выраж:ение ана-
аналогично формуле A1ЛI).
Величины ашп должны удовлетворять определенным нера-
неравенствам. «Диагональные элементы» р(ж, х) матрицы плотно-
плотности, определяющие распределение вероятности для координат,
должны, очевидно, быть величинами положительными. Из вы-
выражения A4.6) (с х' = х) поэтому следует, что построенная на
коэффициентах атп квадратичная форма вида
(где ?n — произвольные комплексные величины) должна быть су-
существенно положительной. Это накладывает на величины ашп
известные из теории квадратичных форм условия. В частности,
должны быть положительными все диагональные элементы
апп > 0,	A4.9)
1) Величины атп составляют матрицу плотности в энергетическом пред-
представлении. Описание состояний системы с помощью такой матрицы было
введено независимо Ландау и Блохом (F. Block) в 1927 г.

15	импульс	65
а каждые три величины апп, ашш, атп должны удовлетворять
неравенству
^^ ^ \0>тп\ •	A4.10)
«Чистому» случаю, в котором матрица плотности сводится к
произведению функций, соответствует матрица ашп вида
^77177- ^771 ^72*	V	/
Укажем простой критерий, позволяющий легко определить по
матрице ашп имеем ли мы дело с «чистым» или «смешанным»
состоянием. В чистом случае имеем
= ^2а1ашапакашап ^ \ак\2 = ашап
к	к	к
ИЛИ
(пЪ\ _	(л л io\
I \Jb 1777/77/ 	 ^^777/77/ ^	V ^^ * /
т. е. квадрат матрицы плотности совпадает с ней самой.
§ 15. Импульс
Рассмотрим замкнутую систему частиц, не находящуюся во
внешнем поле. Поскольку все положения такой системы как це-
целого в пространстве эквивалентны, то можно утверждать, что
гамильтониан системы не изменится при параллельном перено-
переносе системы на произвольное расстояние. Достаточно потребовать
выполнения этого условия для произвольного бесконечно малого
смещения; тогда оно будет выполняться и для всякого конечного
смещения.
Бесконечно малое параллельное смещение на расстояние 6г
означает преобразование, при котором радиусы-векторы та всех
частиц (а— номер частицы) получают одинаковое прираще-
приращение 6г: га —)> гс + 6г. Произвольная функция ^(ГЪ Г25 • • •) коор-
координат частиц при таком преобразовании переходит в функцию
$Г, Г2 + $Г, . . . )^(Г1, Г2, . . . ) + 6
(Va —оператор дифференцирования по га). Выражение

66
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
есть оператор бесконечно малого переноса, переводящий функ-
функцию ^(ГЪ Г2? • • •) в функцию ф(т\ + 5г, Г2 + 5г,...).
Утверждение, что некоторое преобразование не меняет га-
гамильтониана, означает, что если произвести это преобразование
над функцией Нф, то результат будет таким же, как если произ-
произвести его только над функцией ф и лишь затем применить к ней
оператор Н. Математически это может быть записано следую-
следующим образом. Пусть О есть оператор, «производящий» рассмат-
рассматриваемое преобразование. Тогда имеем О(Нф) = Н(Оф), откуда
дн-нд = о,
т.е. гамильтониан должен быть коммутативен с оператором О.
В данном случае оператором О является оператор бесконеч-
бесконечно малого переноса. Поскольку единичный оператор (оператор
умножения на 1) коммутативен, конечно, со всяким вообще опе-
оператором, а постоянный множитель 5г может быть вынесен из-под
знака Д", то условие ОН — НО = 0 сводится здесь к условию
= 0.	A5.1)
Как мы уже знаем, коммутативность некоторого оператора
(не содержащего времени явно) с гамильтонианом означает, что
соответствующая этому оператору физическая величина сохра-
сохраняется. Величина, сохранение которой для замкнутой системы
следует из свойства однородности пространства, есть импульс
системы (ср. I, § 7). Таким образом соотношение A5.1) выражает
собой закон сохранения импульса в квантовой механике; опера-
оператор ^2 Va должен соответствовать, с точностью до постоянно-
постоянного множителя, полному импульсу системы, а каждый из членов
суммы — импульсу отдельной частицы.
Коэффициент пропорциональности между оператором им-
импульса р и оператором V может быть определен с помощью пре-
предельного перехода к классической механике и равен —гН:
р = -iftV,	A5.2)
или в компонентах:
^	д ^	д ^	д
дх' у	ду'	dz
Действительно, воспользовавшись предельным выражением
волновой функции F.1), имеем

§ 15	импульс	67
т. е. в классическом приближении действие оператора р сводится
к умножению на VS\ Но градиент действия и есть классический
импульс частицы р (см. I, §43).
Легко убедиться в том, что оператор A5.2), как и следова-
следовало, эрмитов. Действительно, для произвольных функций ф(х)
и (^(ж), обращающихся на бесконечности в нуль, имеем
/ifPx'ibdx — ih \ if—dxih I ф—dx I ibpttpdx,
J dx	J dx J
что и является условием эрмитовости оператора.
Поскольку результат дифференцирования функций по двум
различным переменным не зависит от порядка дифференциро-
дифференцирования, то ясно, что операторы трех компонент импульса комму-
коммутативны:
РхРу - РуРх = 0, pxpz - pzpx = 0, Pyjpz - pzpy = 0. A5.3)
Это значит, что все три компоненты импульса частицы могут
одновременно иметь определенные значения.
Найдем собственные функции и собственные значения опера-
операторов импульса. Они определяются векторным уравнением
-iHX/ф = рф.	A5.4)
Его решения имеют вид
ф = const -eipr/h.	A5.5)
Одновременное задание всех трех компонент импульса полно-
полностью определяет, как мы видим, волновую функцию частицы.
Другими словами, величины рж, ру, pz составляют для части-
частицы один из возможных полных наборов физических величин.
Их собственные значения образуют непрерывный спектр, про-
простирающийся от —ос до ос.
Согласно правилу нормировки собственных функций непре-
непрерывного спектра E.4) интеграл J^p/^pdF, взятый по всему
пространству (dV = dxdydz), должен быть равен ^-функции
^р'-рI).
По причинам, которые станут ясными из дальнейших при-
применений, более естественна, однако, нормировка собственных
функций импульса частицы на ^-функцию от разности импуль-
импульсов, деленных на 2тгН:
г) Дельта-функция от векторного аргумента а (трехмерная E-функция)
определяется как произведение E-функций от каждой из компонент вектора:
8 (а) = 8(ax)8(ay)8(az).

68
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
или, что то же,
Г ф*р,фр dVB7rH)s5(pf - p)	A5.6)
(поскольку каждый из трех множителей, на которые распадается
трехмерная ^-функция, 5[(рх—рх)/B7гН)]=2тгН5(рх—рх) и т.п.).
Интегрирование производится с помощью формулых)
= 6(а).	A5.7)
Из нее очевидно, что для нормировки, согласно A5.6), в функ-
функциях A5.5) надо положить const = I2):
фр = eipr/n.	A5.8)
Разложение произвольной волновой функции ^(г) по соб-
собственным функциям ее импульса представляет собой не что иное,
как разложение в интеграл Фурье:
(dsp = dpxdpydpz). В соответствии с формулой E.3) коэффици-
коэффициенты разложения равны
а(р) = Гф(т)ф*(т)<1У f\p(r)e-ipr/ndV.	A5.10)
Функцию а(р) можно рассматривать (см. § 5) как волновую
функцию частицы в импульсном представлении:
— вероятность импульсу иметь значения в интервале dsp.
х) Условный смысл этой формулы состоит в том, что функция, стоящая
в левой части равенства, обладает присущим E-функции свойством E.8).
Действительно, подставив функцию S(х — а), выраженную в виде A5.7),
в E.8), получим известную интегральную формулу Фурье
2) Обратим внимание на то, что при такой нормировке плотность вероят-
вероятности \ф\2 = 1, т.е. функция нормирована на «одну частицу в единичном
объеме». Это совпадение, разумеется, не случайно—ср. ниже примечание
на с. 221.

§ 16	ИМПУЛЬС	69
Подобно тому как оператор р соответствует импульсу, опре-
определяя его собственные функции в координатном представлении,
можно ввести оператор ? координат частицы в импульсном пред-
представлении. Он должен быть определен так, чтобы среднее значе-
значение координат могло быть записано в виде
A5.11)
С другой стороны, это же среднее значение определяется по вол-
волновой функции ^(г) выражением
г = / ф*гф dV.
Подставив ф(г) в виде A5.9) и интегрируя по частям, имеем
T")/il Т» I 	 I Г*П (ТЛ 1 /Э^Р *¦ / П 	¦*	/ /Э^}/Э^Р /	VJ/ 	¦*
л. ц/ \ L \ 	 / 1 (XI U 1С	oft'' IjKZ'	о .
У	Bтг^K J	dp Bтг^K
С помощью этого выражения и учитывая A5.10), находим
ч да(р) d3p
Г =
*} др BтгПK'
Сравнив с A5.11), мы видим, что оператор радиуса-вектора в
импульсном представлении имеет вид
г = гяА.	A5.12)
Оператор же импульса в этом представлении сводится к умно-
умножению на р.
Наконец, выведем формулу, выражающую через р оператор
параллельного переноса в пространстве на любое конечное (а не
только бесконечно малое) расстояние а. По определению такого
оператора (обозначим его через Га) должно быть
Разлагая функцию ф(т + а) в ряд Тэйлора, имеем
+ а^
or
или, введя оператор р = —ifiV:
Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой
оператор
f	Q)	A5.13)
Это и есть искомый оператор конечного смещения.

70
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
§ 16. Соотношения неопределенности
Выведем правила коммутации между операторами импуль-
импульса и координат. Поскольку результат последовательного диффе-
дифференцирования по одной из переменных ж, у, z и умножения на
другую из них не зависит от порядка этих операций, то
РхУ~УРх = 0, pxz-zpx = 0	A6.1)
и аналогично для ру, pz.
Для вывода правила коммутации рх с х пишем
(рхх - хрх)ф = -Ш—(хф) + ihx^- = -Иъф.
ох	ох
Мы видим, что результат воздействия оператора рхх — хрх сво-
сводится к умножению функции на —гН] то же самое относится,
конечно, к коммутации ру с у и pz с z. Таким образом, имеем1)
рхх - хрх = -iH, руу - уру = -iH, pzz - zpz = -ih. A6.2)
Все соотношения A6.1) и A6.2) можно записать вместе в виде
PiXk - xkpi = -iHSik, i,k = x,y,z.	A6.3)
Прежде чем перейти к выяснению физического смысла этих
соотношений и следствий из них, напишем две полезные для
дальнейшего формулы. Пусть /(г) — некоторая функция коор-
координат, тогда
p/(r)-/(r)p = -iftV/.	A6.4)
Действительно,
(Р/ - /Ш = -ift\y(fil>) ~ ИФ] ~ гПф^/.
Аналогичное соотношение имеет место для коммутатора г с
функцией оператора импульса:
/(р)г-г/(р) = -гй|А	A6.5)
Его можно вывести так же, как A6.4), если производить вычис-
вычисления в импульсном представлении, воспользовавшись для опе-
операторов координат выражением A5.12).
Соотношения A6.1) и A6.2) показывают, что координата ча-
частицы вдоль одной из осей может иметь определенное значение
одновременно с компонентами импульса по двум другим осям;
координата же и компонента импульса вдоль одной и той же оси
1) Эти соотношения, открытые в матричной форме Гейзенбергом в 1925 г.,
послужили отправной точкой в создании квантовой механики.

§ 16	СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ	71
не существуют одновременно. В частности, частица не может
находиться в определенной точке пространства и в то же время
иметь определенный импульс р.
Предположим, что частица находится в некоторой конечной
области пространства, размеры которой вдоль трех осей порядка
величины Дж, Ду, Az. Пусть, далее, среднее значение импуль-
импульса частицы есть ро- Математически это означает, что волновая
функция имеет вид ф = и(г)егр°г' , где и(г) —функция, заметно
отличная от нуля только в указанной области пространства.
Разложим функцию ф по собственным функциям операто-
оператора импульса (т.е. в интеграл Фурье). Коэффициенты а(р) этого
разложения определяются интегралами A5.10) от функций вида
г?(г)ег(ро~р)г/^. Для того чтобы такой интеграл был заметно от-
отличен от нуля, периоды осциллирующего множителя ег(ро~р)г/^
должны быть не малыми по сравнению с размерами Дж, Ду, Az
области, в которой отлична от нуля функция г/(г). Это значит,
что а(р) будет заметно отличным от нуля лишь для значений р
таких, что (рож — Рх)Ах/Н < 1,... Поскольку |а(р)|2 определяет
вероятность различных значений импульса, то интервалы значе-
значений рж, ру, pz, в которых а(р) отлично от нуля, —не что иное, как
те интервалы значений, в которых могут оказаться компоненты
импульса частицы в рассматриваемом состоянии. Обозначая эти
интервалы через Држ, Ару, Apz, имеем, таким образом,
АрхАх ~ Н, АруАу ~ Н, ApzAz ~ H.	A6.6)
Эти соотношения неопределенности были установлены Гейзен-
бергом в 1927 г.
Мы видим, что чем с большей точностью известна коорди-
координата частицы (т.е. чем меньше Дж), тем больше неопределен-
неопределенность Арх в значении компоненты импульса вдоль той же оси,
и наоборот. В частности если частица находится в некоторой
строго определенной точке пространства (Дж = Ay = Az = 0),
то Арх — Ару = Apz = оо. Это значит, что все значения им-
импульса при этом равновероятны. Наоборот, если частица имеет
строго определенный импульс р, то равновероятны все ее поло-
положения в пространстве (это видно и непосредственно из волновой
функции A5.8), квадрат модуля которой не зависит вовсе от ко-
координат) .
Если характеризовать неопределенности координат и им-
импульсов средними квадратичными флуктуациями
5х = у (ж - жJ, 5рх = у (рх - ржJ,

72
ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	ГЛ. II
то можно дать точную оценку наименьшего возможного значе-
значения их произведения (Н. Weyl).
Рассмотрим одномерный случай — пакет с волновой функци-
функцией ф(х), зависящей только от одной координаты; предположим
для простоты, что средние значения х и рх в этом состоянии
равны нулю. Исходим из очевидного неравенства
/ I #
axip H—-
dx ^ О,
dx
—оо
где а — произвольная вещественная постоянная. При вычислении
этого интеграла замечаем, что
[
^ + xr)dx \x
dx	dx J J dx
J
и получаем
Для того чтобы этот квадратичный (по а) трехчлен был поло-
положительным при любых значениях а, его дискриминант должен
быть отрицательным. Отсюда получаем неравенство
5х5рх ^ П/2.	A6.7)
Наименьшее возможное значение произведения равно Н/2.
Это значение достигается в волновых пакетах, описываемых
функциями вида
где ро и $х — постоянные. Вероятности различных значений ко-
координаты в таком состоянии
т. е. распределены вокруг начала координат (среднее значение
х = 0) по закону Гаусса со средней квадратичной флуктуаци-
флуктуацией 6х. Волновая функция в импульсном представлении
= /

§ 16	СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ	73
Вычисление интеграла приводит к выражению вида
а(рх) = const -exp(^-v Vi^2	j.
Распределение вероятностей значений импульса, |а(рж)|2, то-
тоже является гауссовым вокруг среднего рж = ро и со средней
квадратичной флуктуацией 6рх = K/2Sx, так что произведение
6рх6х имеет как раз значение К/2.
Наконец, выведем еще одно полезное соотношение. Пусть /
и g — две физические величины, операторы которых удовлетво-
удовлетворяют правилу коммутации
fg-gf = -ihc,	A6.9)
где сГ— оператор некоторой физической величины с. В правой
части равенства введен множитель К в соответствии с тем, что
в классическом пределе (т. е. при Н —> 0) все вообще операторы
физических величин сводятся к умножению на эти величины и
коммутативны друг с другом. Таким образом, в «квазиклассиче-
«квазиклассическом» случае можно в первом приближении правую часть равен-
равенства A6.9) считать равной нулю. В следующем же приближении
можно заменить оператор д оператором простого умножения на
величину с. Тогда получится
?g-g?= ~inc-
Это равенство в точности аналогично соотношению рхх — хрх =
= —гН с той лишь разницей, что вместо постоянной К в нем сто-
стоит величина Не1). В связи с этим по аналогии с соотношени-
соотношением АхАрх ~ К мы приходим к выводу, что в квазиклассическом
случае для величин /, g имеет место соотношение неопределен-
неопределенности
AfAg~hc.	A6.10)
В частности, если одной из величин является энергия (/ = i7),
а оператор другой (g) не зависит явно от времени, то, соглас-
согласно (9.2), с = g и соотношение неопределенности в квазикласси-
квазиклассическом случае
AEAg~hg.	A6.11)
х) Классическая величина с есть скобка Пуассона величин / и g (см. при-
примеч. на с. 46).

ГЛАВА III
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
§ 17. Уравнение Шредингера
Вид волнового уравнения физической системы определяет-
определяется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундамен-
фундаментальное значение во всем математическом аппарате квантовой
механики.
Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже
общими требованиями, связанными с однородностью и изо-
изотропией пространства и принципом относительности Галилея.
В классической механике эти требования приводят к квадратич-
квадратичной зависимости энергии частицы от ее импульса: Е = р2/2га,
где постоянная га называется массой частицы (см. I, § 4). В кван-
квантовой механике те же требования приводят к такому же соот-
соотношению для собственных значений энергии и импульса — одно-
одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы)
величин.
Но для того чтобы соотношение Е = р2 /2га имело место для
всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть
справедливым и для их операторов:
I	A7.1)
Подставив сюда A5.2), получим гамильтониан свободно движу-
движущейся частицы в виде
Н = -—А,	A7.2)
где А = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/dz2 — оператор Лапласа. Гамиль-
Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме га-
гамильтонианов каждой из них:
* ??	A7-3>
где индекс а нумерует частицы; Аа —оператор Лапласа, в кото-
котором дифференцирование производится по координатам а-й ча-
частицы.

§ 17	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	75
В классической (нерелятивистской) механике взаимо-
взаимодействие частиц описывается аддитивным членом в функ-
функции Гамильтона— потенциальной энергией взаимодействия
U(ri, Г2,...), являющейся функцией координат частиц. Прибав-
Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается
и взаимодействие частиц в квантовой механике1):
-2,...);	A7-4)
первый член можно рассматривать как оператор кинетической
энергии, второй — как оператор потенциальной энергии. В част-
частности, гамильтониан для одной частицы, находящейся во внеш-
внешнем поле,
Н = J- + U(x, у, z) = -^-А + U(x, у, я),	A7.5)
Zm	Zm
где С/(ж, у, z) — потенциальная энергия частицы во внешнем
поле.
Подстановка выражений A7.2)—A7.5) в общее уравнение (8.1)
дает волновые уравнения для соответствующих систем. Выпи-
Выпишем здесь волновое уравнение для частицы во внешнем поле
Уравнение же A0.2), определяющее стационарные состояния,
принимает вид
^Аф + [Е-и(х,у,г)]ф = 0.	A7.7)
Уравнения A7.6), A7.7) были установлены Шредингером в
1926 г. и называются уравнениями Шредингера.
Для свободной частицы уравнение A7.7) имеет вид
—Д^ + ?^ = 0.	A7.8)
ZTYI
Это уравнение имеет конечные во всем пространстве решения
при любом положительном значении энергии Е. Для состоя-
состояний с определенными направлениями движения этими решения-
решениями являются собственные функции оператора импульса, причем
г) Это утверждение не является, конечно, логическим следствием основ-
основных принципов квантовой механики и должно рассматриваться как след-
следствие опытных данных.

76
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
Е = р2 /2т. Полные (зависящие от времени) волновые функции
таких стационарных состояний имеют вид
Ф = const-exp(--(??-pr)Y	A7.9)
Каждая такая функция — плоская волна — описывает состоя-
состояние, в котором частица обладает определенными энергией х и
импульсом р. Частота этой волны равна Е/Н, а ее волновой
вектор к = р/Н\ соответствующую длину волны Л = 2тгН/р на-
называют дебройлевской длиной волны частицы1).
Энергетический спектр свободно движущейся частицы ока-
оказывается, таким образом, непрерывным, простираясь от нуля
до +ос. Каждое из этих собственных значений (за исключени-
исключением только значения Е = 0) вырождено, причем вырождение —
бесконечной кратности. Действительно, каждому отличному от
нуля значению Е соответствует бесконечное множество собствен-
собственных функций A7.9), отличающихся направлениями вектора р
при одинаковой его абсолютной величине.
Проследим, каким образом происходит в уравнении Шредин-
гера предельный переход к классической механике, рассматри-
рассматривая для простоты всего одну частицу во внешнем поле. Подста-
Подставив в уравнение Шредингера A7.6) предельное выражение F.1)
волновой функции Фг^/^, получим, произведя дифференци-
дифференцирования,
а	гН	|	(V5)	aAS	VSVa	Аа + Ua = 0.
dt	dt 2m	J 2m	m	2m
В этом уравнении имеются чисто вещественные и чисто мнимые
члены (напомним, что S и а вещественны); приравнивая те и
другие в отдельности нулю, получим два уравнения:
dt 2m
Пренебрегая в первом из этих уравнений членом, содержа-
содержащим Я2, получим
M i> + ff = o,	A7.10)
т.е., как и следовало, классическое уравнение Гамильтона -Яко-
би для действия S частицы. Мы видим, кстати, что при К —»> 0
х) Понятие о волне, связанной с частицей, было впервые введено
деБройлем (L.deBroglie) в 1924 г.

§ 18	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА	77
классическая механика справедлива с точностью до величин пер-
первого (а не нулевого) порядка по h включительно.
Второе из полученных уравнений после умножения на 2а мо-
может быть переписано в виде
+ div(aH.	A7.11)
8t	V т )	V	J
Это уравнение имеет наглядный физический смысл: а2 есть
плотность вероятности нахождения частицы в том или ином
месте пространства (|Ф|2 = a2); VS/m = р/га есть классическая
скорость v частицы. Поэтому уравнение A7.11) есть не что иное,
как уравнение непрерывности, показывающее, что плотность ве-
вероятности «перемещается» по законам классической механики с
классической скоростью v в каждой точке.
Задача
Найти закон преобразования волновой функции при преобразовании Га-
Галилея.
Решение. Произведем преобразование над волновой функцией сво-
свободного движения частицы (плоской волной). Поскольку всякая функция Ф
может быть разложена по плоским волнам, то тем самым будет найден закон
преобразования и для произвольной волновой функции.
Плоские волны в системах отсчета К и К' (К' движется относительно К
со скоростью V):
Ф(г,?) = const -ехр[г(рг - Ei)/fh],
Ф'(г'> t) = const • ехр[г(р'г' - E't)/H],
причем г = r'+Vt, а импульсы и энергии частицы в обеих системах связаны
друг с другом формулами
р = р' + mV, Е = Е' + Vp; + mV2/2
(см. I, § 8). Подставив эти выражения в Ф, получим
Ф(г,«) = Ф'(г',*)ехр [j (mVr'
A)
В таком виде эта формула уже не содержит величин, характеризующих сво-
свободное движение частицы, и устанавливает искомый общий закон преобра-
преобразования волновой функции произвольного состояния частицы. Для системы
частиц в показателе экспоненты в A) должна стоять сумма по частицам.
§ 18. Основные свойства уравнения Шредингера
Условия, которым должны удовлетворять решения уравне-
уравнения Шредингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего
волновая функция должна быть однозначной и непрерывной во

78
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в
тех случаях, когда само поле U(x,y,z) имеет поверхности раз-
разрыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными
как волновая функция, так и ее производные. Непрерывность по-
последних, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью
потенциальная энергия U обращается в бесконечность. В область
пространства, где U = ос, частица вообще не может проникнуть,
т. е. в этой области должно быть везде ф = 0. Непрерывность ф
требует, чтобы на границе этой области ф обращалось в нуль;
производные же от ф в этом случае испытывают, вообще говоря,
скачок.
Если поле U(x,y,z) нигде не обращается в бесконечность,
то волновая функция тоже должна быть конечной во всем про-
пространстве. Это же условие должно соблюдаться и в тех случаях,
когда U обращается в некоторой точке в бесконечность, но не
слишком быстро — как l/rs с s < 2 (см. также §35).
Пусть Um[n есть минимальное значение функции U(x,y,z).
Поскольку гамильтониан частицы есть сумма двух членов —
операторов кинетической Г и потенциальной U энергий, то
среднее значение энергии в произвольном состоянии равно сум-
сумме Е = Т + U. Но так как все собственные значения опера-
оператора Г (совпадающего с гамильтонианом свободной частицы)
положительны, то и среднее значение Г > 0. Имея также в ви-
виду очевидное неравенство U > Um{n, найдем, что и Е > Um{n.
Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния,
то ясно, что оно справедливо и для всех собственных значений
энергии
Еп > Umin.	A8.1)
Рассмотрим частицу, движущуюся в силовом поле, исчезаю-
исчезающем на бесконечности; функцию U(x,y,z), как обычно принято,
определим так, чтобы на бесконечности она обращалась в нуль.
Легко видеть, что спектр отрицательных собственных значений
энергии будет тогда дискретным, т. е. все состояния с Е < 0 в
исчезающем на бесконечности поле являются связанными. Дей-
Действительно, в стационарных состояниях непрерывного спектра,
соответствующих инфинитному движению, частица находится
на бесконечности (см. §10). Но на достаточно больших рассто-
расстояниях наличием поля можно пренебречь, и движение частицы
может рассматриваться как свободное; при свободном же дви-
движении энергия может быть только положительной.
Напротив, положительные собственные значения образуют
непрерывный спектр и соответствуют инфинитному движению;
при Е > 0 уравнение Шредингера, вообще говоря, не имеет

§ 18	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА	79
(в рассматриваемом поле) решений, для которых бы интеграл
f \ф\2 dV сходился1).
Обратим внимание на то, что в квантовой механике при фи-
финитном движении частица может находиться и в тех областях
пространства, в которых Е < С/, вероятность \ф\2 нахождения
частицы хотя и стремится быстро к нулю в глубь такой обла-
области, но на всех конечных расстояниях все же отлична от нуля.
В этом отношении имеется принципиальное отличие от клас-
классической механики, в которой частица вообще не может про-
проникнуть в область где U > Е. В классической механике невоз-
невозможность проникновения в эту область связана с тем, что при
Е < U кинетическая энергия была бы отрицательной, т. е. ско-
скорость—мнимой. В квантовой механике собственные значения
кинетической энергии тоже положительны; тем не менее мы не
приходим здесь к противоречию, так как если процессом из-
измерения частица локализуется в некоторой определенной точке
пространства, то в результате этого же процесса состояние ча-
частицы нарушается таким образом, что она вообще перестает
обладать какой-либо определенной кинетической энергией.
Если во всем пространстве U(x,y,z) > 0 (причем на беско-
бесконечности U —>• 0), то в силу неравенства A8.1) имеем Еп > 0.
Поскольку, с другой стороны, при Е > 0 спектр должен быть
непрерывным, то отсюда следует, что в рассматриваемом случае
дискретный спектр вообще отсутствует, т. е. возможно только ин-
финитное движение частицы.
Предположим, что U в некоторой точке (которую выберем в
качестве начала координат) обращается в —ос по закону
U « -a/rs, a>0.	A8.2)
Рассмотрим волновую функцию, конечную в некоторой малой
области (радиуса г о) вокруг начала координат и равную ну-
нулю вне ее. Неопределенность в значениях координат частицы в
таком волновом пакете порядка го; поэтому неопределенность
в значении импульса ~ ti/r$. Среднее значение кинетической
энергии в этом состоянии порядка величины Н2 /гпг^, а среднее
значение потенциальной энергии порядка —а/г^. Предположим
сначала, что s > 2. Тогда сумма Н2 jmr\ — а/г$ при достаточно
малых го принимает сколь угодно большие по абсолютной вели-
величине отрицательные значения. Но если средняя энергия может
принимать такие значения, то это во всяком случае означает,
что существуют отрицательные собственные значения энергии,
1) С чисто математической точки зрения надо, однако, оговориться, что
при некоторых видах функции U(x,y,z) (не имеющих физического значе-
значения) из непрерывного спектра может выпадать дискретный набор значений.

80
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
сколь угодно большие по абсолютной величине. Уровням энер-
энергии с большим \Е\ соответствует движение частицы в очень ма-
малой области пространства вокруг начала координат. «Нормаль-
«Нормальное» состояние будет соответствовать частице, находящейся в
самом начале координат, т. е. произойдет «падение» частицы в
точку г = 0.
Если же s < 2, то энергия не может принимать сколь угод-
угодно больших по абсолютной величине отрицательных значений.
Диагональный спектр начинается с некоторого конечного отри-
отрицательного значения. Падения частицы на центр в этом случае
не происходит. Обратим внимание на то, что в классической ме-
механике падение частицы на центр в принципе возможно во вся-
всяком поле притяжения (т. е. при любом положительном s). Случай
5 = 2 будет рассмотрен особо в §35.
Далее, исследуем характер энергетического спектра в зави-
зависимости от поведения поля на больших расстояниях. Предпо-
Предположим, что при г —»> ос потенциальная энергия, будучи от-
отрицательной, стремится к нулю по степенному закону A8.2)
(в этой формуле теперь г велико). Рассмотрим волновой пакет,
«заполняющий» шаровой слой большого радиуса г о и толщины
Аг <С го- Тогда снова порядок величины кинетической энер-
энергии будет Н2/га(ДгJ, а потенциальной: —а/г$. Будем увеличи-
увеличивать го, увеличивая одновременно и Аг (так, чтобы Аг росло
пропорционально го). Если s < 2, то при достаточно больших г о
сумма Н2/т(АгJ — а/г$ станет отрицательной. Отсюда следу-
следует, что существуют стационарные состояния с отрицательной
энергией, в которых частица может с заметной вероятностью
находиться на больших расстояниях от начала координат. Но
это означает, что существуют сколь угодно малые по абсолют-
абсолютной величине отрицательные уровни энергии (надо помнить, что
в области пространства, где U > Е, волновые функции быстро
затухают). Таким образом, в рассматриваемом случае дискрет-
дискретный спектр содержит бесконечное множество уровней, которые
сгущаются по направлению к уровню Е = 0.
Если же на бесконечности поле спадает, как —l/rs с s > 2,
то сколь угодно малых по абсолютной величине отрицательных
уровней нет. Дискретный спектр кончается уровнем с отличным
от нуля абсолютным значением, так что общее число уровней
конечно.
Уравнение Шредингера для волновых функций ф стационар-
стационарных состояний, как и накладываемые на его решения условия,—
вещественно. Поэтому его решения всегда могут быть выбра-
выбраны вещественнымих). Что касается собственных функций невы-
) Это не справедливо для систем, находящихся в магнитном поле.

§ 19	ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА	81
рожденных значений энергии, то они автоматически оказыва-
оказываются вещественными с точностью до несущественного фазового
множителя. В самом деле, ф* удовлетворяет тому же уравне-
уравнению, что и ф, и потому тоже есть собственная функция для
того же значения энергии; поэтому если это значение не вы-
вырождено, то ф и ф* должны быть по существу одинаковыми,
т. е. могут отличаться лишь постоянным множителем (с модулем,
равным единице). Волновые же функции, соответствующие од-
одному и тому же вырожденному уровню энергии, не обязательно
вещественны, но путем соответствующего выбора их линейных
комбинаций всегда можно получить набор вещественных функ-
функций.
Полные же (зависящие от времени) волновые функции Ф
определяются уравнением, в коэффициенты которого входит г.
Это уравнение, однако, сохраняет свой вид, если в нем заменить t
на —t и одновременно перейти к комплексно сопряженному1).
Поэтому можно всегда выбрать функции Ф такими, чтобы Ф
и Ф* отличались только знаком у времени.
Как известно, уравнения классической механики не меняются
при обращении времени, т. е. при изменении его знака. В кванто-
квантовой механике симметрия по отношению к обоим направлениям
времени выражается, как мы видим, в неизменности волново-
волнового уравнения при изменении знака t и одновременной замене Ф
на Ф*. Надо, однако, помнить, что эта симметрия относится здесь
только к уравнениям, но не к самому понятию измерения, играю-
играющему фундаментальную роль в квантовой механике (как об этом
подробно шла речь в § 7).
§ 19. Плотность потока
В классической механике скорость частицы v связана с ее
импульсом соотношением р = rav. В квантовой механике, как
и следовало ожидать, такая же связь имеет место между соот-
соответствующими операторами. В этом легко убедиться, вычислив
оператор v = г по общему правилу дифференцирования опера-
операторов по времени (9.2):
v= -(Яг-гЯ).
Воспользовавшись выражением A7.5) для Я и формулой A6.5),
) Предполагается, что потенциальная энергия U не зависит явно от вре-
времени — система либо замкнута, либо находится в постоянном (не магнитном)
поле.

82
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
получим
v = p/ra.	A9.1)
Такие же соотношения будут, очевидно, иметь место и между
собственными значениями скорости и импульса и между их сред-
средними значениями в любом состоянии.
Скорость, как и импульс частицы, не может иметь опреде-
определенного значения одновременно с ее координатами. Но скорость,
умноженная на бесконечно малый элемент времени dt, опреде-
определяет смещение частицы за время dt. Поэтому факт несущество-
несуществования скорости одновременно с координатами означает, что если
частица находится в определенной точке пространства в некото-
некоторый момент времени, то она не будет иметь определенного поло-
положения уже в следующий бесконечно близкий момент времени.
Отметим полезную формулу для оператора / производной по
времени от некоторой величины /(г), являющейся функцией ра-
радиуса-вектора частицы. Имея в виду, что / коммутативно с С/(г),
находим
;
а с помощью A6.4) имеем
Р2/ = Р(/Р - Ш/), /Р2 = (Р/ +
и находим искомое выражение
/=^(pV/ + V/-p).	A9.2)
Далее, найдем оператор ускорения. Имеем
Воспользовавшись формулой A6.4), находим
nri = -VC/.	A9.3)
Это операторное уравнение по форме в точности совпадает с
уравнением движения (уравнением Ньютона) классической ме-
механики.
Интеграл /|Ф|2сП^, взятый по некоторому конечному объ-
объему V, представляет собой вероятность нахождения частицы в
этом объеме. Вычислим производную от этой величины по вре-
времени. Имеем
- fm2dv [(v— + v*—)dv- Л
dt J ' ' J V dt	dt J П J

§ 19	ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА	83
Подставив сюда
и использовав тождество
получим
где j обозначает вектор1)
iti	1
j = —(*grad** - Ф* grad*) —(Фр*Ф* + Ф*рФ). A9.4)
2т	2т
Интеграл от divj может быть преобразован, согласно теоре-
теореме Гаусса, в интеграл по замкнутой поверхности, окружающей
объем V:
±J	j	A9.5)
Отсюда видно, что вектор j может быть назван вектором плот-
плотности потока вероятности или просто плотностью потока.
Интеграл от этого вектора по поверхности есть вероятность то-
того, что в течение единицы времени частица пересечет эту по-
поверхность. Вектор j и плотность вероятности |Ф|2 удовлетворяют
уравнению
^	A9.6)
аналогичному классическому уравнению непрерывности.
Волновая функция свободного движения— плоская волна
A7.9) — может быть пронормирована так, чтобы она описыва-
описывала поток частиц с равной единице плотностью (поток, в котором
через единичную площадку его поперечного сечения проходит в
среднем по одной частице в единицу времени). Такая функция
A9.7)
где v — скорость частицы. Действительно, подставив ее в A9.4),
получим j = р/гаи, т. е. единичный вектор в направлении дви-
движения.
) Если представить ф в виде |^|ега, то
j = — |^|grada.	A9.4a)
т

84
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
Полезно показать, каким образом непосредственно из урав-
уравнения Шредингера следует взаимная ортогональность волновых
функций состояний с различной энергией. Пусть фш и фп— две
такие функции; они удовлетворяют уравнениям
Н2
2т
Умножим первое из них на ф^, а второе —на фш и вычтем по-
почленно друг из друга; это дает
(Егп-Еп)фгпф1 = ^(фгпАф1-ф^Афгп)^а[у(фгп^ф^-ф^фгп)'
Если теперь проинтегрировать обе части уравнения по всему
пространству, то правая часть, будучи преобразована по теореме
Гаусса, обратится в нуль, и мы получим
{Ет — Еп)
откуда, ввиду предполагаемого Еш ф Еп, следует искомое соот-
соотношение ортогональности
фтф^AУ = 0.
§ 20. Вариационный принцип
Уравнение Шредингера в общем виде Нф = Еф может быть
получено из вариационного принципа
6 f ф*(Н -E)ipdq = O.	B0.1)
Ввиду комплексности ф варьирование по ф и ф* можно произ-
производить независимо. Варьируя по ф*, имеем
6ф* (Н — Е)ф dq = 0,
откуда, ввиду произвольности 6ф*, получаем искомое уравне-
уравнение Нф = Еф. Варьирование по ф не дает ничего нового. Дей-
Действительно, варьируя по ф и воспользовавшись эрмитовостью

§ 20	ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП	85
оператора Н, имеем
[ф*(Н- E)S^dq Г 6ф(Н* - Е)ф* dq = 0,
откуда получается комплексно сопряженное уравнение Н*ф* =
= Еф*.
Вариационный принцип B0.1) требует безусловного экстре-
экстремума интеграла. Его можно представить в другом виде, рас-
рассматривая Е как множитель Лагранжа в задаче об условном
экстремуме
S (\l>*Hi/>dq = 0	B0.2)
при дополнительном условии
i/>il)*dq= 1.	B0.3)
Минимальное (при дополнительном условии B0.3)) значе-
значение интеграла B0.2) представляет собой первое из собственных
значений энергии, т. е. энергию Eq нормального состояния. Осу-
Осуществляющая этот минимум функция ф есть соответственно
волновая функция ^о нормального состояния1). Волновые же
функции фп (п > 0) следующих стационарных состояний соот-
соответствуют лишь экстремуму, а не истинному минимуму инте-
интеграла.
Для того чтобы получить из условия минимальности инте-
интеграла B0.2) волновую функцию ф\ и энергию Е\ следующего
после нормального состояния, надо допускать в качестве кон-
конкурирующих функций ф только те, которые удовлетворяют не
только условию нормировки B0.3), но и условию ортогонально-
ортогональности к волновой функции фо нормального состояния J ффо dq = 0.
Вообще, если известны волновые функции ^сь^ъ • • • ? V*n-i пер-
первых п состояний (состояния расположены в порядке возраста-
возрастания их энергий), то волновая функция следующего состояния
осуществляет минимум интеграла B0.2) при дополнительных
условиях:
fip2dq=l, j ффт dq = O, т = 0,1, 2,..., п - 1. B0.4)
1)Ниж:е в этом параграфе мы будем считать волновые функции ф веще-
вещественными, каковыми их всегда можно выбрать (если нет магнитного поля).

60	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
Приведем здесь некоторые общие теоремы, которые могут
быть доказаны на основании вариационного принципах).
Волновая функция ^о нормального состояния не обращается
в нуль (или, как говорят, не имеет узлов) ни при каких конечных
значениях координат2). Другими словами, она имеет одинако-
одинаковый знак во всем пространстве. Отсюда следует, что волновые
функции фп (п > 0) других стационарных состояний, ортого-
ортогональные к -00? непременно имеют узловые точки (если фп — тоже
постоянного знака, то интеграл f фофп dq не может обратиться
в нуль).
Далее, из факта отсутствия узлов у ^о следует, что нор-
нормальный энергетический уровень не может быть вырожденным.
Действительно, предположим противное, и пусть ф$, ф'$ — две
различные собственные функции, соответствующие уровню Eq.
Всякая линейная комбинация сфо + с'ф$ тоже будет собствен-
собственной функцией; но, выбирая соответствующим образом постоян-
постоянные с, с', всегда можно добиться обращения этой функции в
нуль в любой заданной точке пространства, т. е. мы получили
бы собственную функцию с узлами.
Если движение происходит в ограниченной области простран-
пространства, то на границе этой области должно быть ф = 0 (см. § 18).
Для определения уровней энергии нужно найти из вариацион-
вариационного принципа минимум интеграла B0.2) при этом граничном
условии. Теорема об отсутствии узлов у волновой функции нор-
нормального состояния гласит здесь, что ^о не обращается в нуль
нигде внутри указанной области.
Отметим, что при увеличении размеров области движения
все уровни энергии Еп уменьшаются; это следует непосредствен-
непосредственно из того, что возрастание области увеличивает круг
конкурирующих функций, осуществляющих минимум интегра-
интеграла, в результате чего минимальное значение интеграла может
только уменьшиться. Выражение
J
dq
для состояний дискретного спектра системы частиц может быть
1)	Доказательство теорем (см. также следующий параграф) о ну-
нулях собственных функций можно найти в книгах: М. А. Лаврентьев и
Л. А. Люстерник. Курс вариационного исчисления. — М.: Гостехиздат, 1950.
Гл. IX; Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики. — М.: Го-
Гостехиздат, 1951. Т. I, гл. VI.
2)	Эта теорема (как и дальнейшие следствия из нее), вообще говоря,
несправедлива для волновых функций систем, состоящих из нескольких
тождественных частиц (см. конец §63).

§ 21	ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ	87
преобразовано к другому виду, более удобному для фактическо-
фактического варьирования. В первом члене подынтегрального выражения
пишем
2
Интеграл от (Цуа(ф\/аф) по dVa преобразуется в интеграл по
бесконечно удаленной замкнутой поверхности, и поскольку на
бесконечности волновые функции состояний дискретного спек-
спектра обращаются в нуль достаточно быстро, то этот интеграл
исчезает. Таким образом,
?	Ь<?.	B0.5)
§ 21. Общие свойства одномерного движения
Если потенциальная энергия частицы зависит только от од-
одной координаты ж, то волновую функцию можно искать в виде
произведения функции у, z на функцию только х. Из них первая
определяется уравнением Шредингера свободного движения, а
вторая — одномерным уравнением Шредингера
-^[Е-и(х)]ф = 0.	B1.1)
К таким же одномерным уравнениям приводится, очевидно, за-
задача о движении в поле с потенциальной энергией U(x,y,z) =
= Ui(x) + U2(y) + Us(z), разбивающейся на сумму функций, каж-
каждая из которых зависит только от одной из координат. В § 22-24
мы рассмотрим ряд конкретных примеров такого «одномерно-
«одномерного» движения. Здесь же мы предварительно выясним некоторые
общие его свойства.
Прежде всего покажем, что в одномерной задаче все энерге-
энергетические уровни дискретного спектра не вырождены. Для дока-
доказательства предположим противное, и пусть ф\ и ф2 — две раз-
различные собственные функции, соответствующие одному и тому
же значению энергии. Поскольку обе они удовлетворяют одному
и тому же уравнению B1.1), то имеем
<фг Н2 К	J <ф2
или V*i V*2 — ^1^2 — 0 (штрих означает дифференцирование по х).
Интегрируя это соотношение, находим
ф[ф2 ~ ^1^2 = const •	B1-2)

Об	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
Поскольку на бесконечности ф\ = ф2 — 0, то const должна быть
равной нулю, так что
ф!ф'2 - ф2ф[ = О,
или ф[/ф! = -02/^2- Интегрируя еще раз, получим ф\ = const -ф2^
т. е. обе функции по существу совпадают.
Для волновых функций фп(х) дискретного спектра может
быть высказана следующая (так называемая осцилляционная)
теорема: функция фп(х), соответствующая п + 1-му по величине
собственному значению Еп, обращается в нуль (при конечных
значениях х) п раз1).
Будем считать, что функция U(х) стремится при х —>• ±ос
к конечным пределам (но отнюдь не должна быть монотонной
функцией). Предел С/(+ос) примем за начало отсчета энергии
(т.е. положим С/(+ос) = 0), a С/( —ос) обозначим через С/о и бу-
будем считать, что С/о > 0. Дискретный спектр лежит в области
таких значений энергии, при которых частица не может уйти
на бесконечность; для этого энергия должна быть меньше обоих
пределов С/(+ос), т.е. должна быть отрицательной:
Е < 0,	B1.3)
при этом, конечно, во всяком случае должно быть Е > C/min, т. е.
функция U(х) должна иметь по крайней мере один минимум с
C/min < 0.
Рассмотрим теперь область положительных значений энер-
энергии, меньших чем С/о:
0 < Е < С/о.	B1.4)
В этой области спектр будет непрерывным, а движение частицы
в соответствующих стационарных состояниях— инфинитным,
причем частица уходит в сторону х = +ос. Легко видеть, что
все собственные значения энергии в этой части спектра тоже не
вырождены. Для этого достаточно заметить, что для приведен-
приведенного выше (для дискретного спектра) доказательства достаточ-
достаточно, чтобы функции -01, fa обращались в нуль хотя бы на одной
из бесконечностей (в данном случае они обращаются в нуль при
х —)> —ос).
При достаточно больших положительных значениях х в урав-
уравнении Шредингера B1.1) можно пренебречь С/(х):
ф" + *?Щ = 0.
1)Если частица может находиться лишь на ограниченном отрезке оси ж,
то надо говорить о нулях функции фп(х) внутри этого отрезка.

§ 21	ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ	89
Это уравнение имеет вещественные решения вида стоячей плос-
плоской волны
ф = acos(kx + о),	B1.5)
где a, S — постоянные, а «волновой вектор» к = р/Н = у/2тЕ/Н.
Этой формулой определяется асимптотический вид (при
х —>• +ос) волновых функций невырожденных уровней энергии
на участке B1.4) непрерывного спектра. При больших отрица-
отрицательных значениях х уравнение Шредингера принимает вид
Решение, не обращающееся при х —> — оо в бесконечность, есть
ф = Ье>сх, х= -y/2m(U0-E).	B1.6)
п
Это есть асимптотический вид волновой функции при х —»> — ос.
Таким образом, волновая функция экспоненциально затухает
в глубь области, где Е < U.
Наконец, при
'	Е>Щ	B1.7)
спектр будет непрерывным, а движение — инфинитным в обе сто-
стороны. В этой части спектра все уровни двукратно вырождены.
Это следует из того, что соответствующие волновые функции
определяются уравнением второго порядка B1.1), причем оба
независимых решения этого уравнения удовлетворяют должным
условиям на бесконечности (между тем как, например, в пре-
предыдущем случае одно из решений обращалось при х —»> — ос в
бесконечность и потому должно было быть отброшено). Асим-
Асимптотический вид волновой функции при х —>• +ос есть
ф = aieikx + a2e~ikx	B1.8)
и аналогично для х —>• — ос. Член с егкх соответствует частице,
движущейся вправо, а член с е~кх —частице, движущейся влево.
Предположим, что функция U(x) — четная (U(—x) = U(x)).
Тогда при изменении знака координаты уравнение Шрединге-
Шредингера B1.1) не меняется. Отсюда следует, что если ф(х) есть неко-
некоторое решение этого уравнения, то ф(—х) тоже есть решение,
совпадающее с ф(х) с точностью до постоянного множителя:
ф(—х) = сф(х). Меняя знак х еще раз, получим ф(х) = с2ф(х),
откуда с = 1. Таким образом, при симметричной (относительно
точки х = 0) потенциальной энергии волновые функции стаци-
стационарных состояний могут быть либо четными (ф(—х) = ф{х)\

90
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
либо нечетными (ф(—х) = —^(х)I). В частности, волновая
функция основного состояния четна: действительно, она не мо-
может иметь узлов, а нечетная функция во всяком случае обраща-
обращается в нуль при х = 0 (ф@) = —ф@) = 0).
Для нормировки волновых функций одномерного движения
(в непрерывном спектре) существует простой способ, позволяю-
позволяющий определить нормировочный коэффициент непосредственно
по асимптотическому выражению волновой функции для боль-
больших значений |ж|.
Рассмотрим волновую функцию движения, инфинитного в
одну сторону (х —»> +ос). Нормировочный интеграл расходится
при х —>• ос (при х —>• — ос функция экспоненциально затухает,
так что интеграл быстро сходится). Поэтому при определении
нормировочной постоянной можно заменить ф ее асимптотиче-
асимптотическим значением (для больших х > 0) и производить интегриро-
интегрирование, выбрав в качестве нижнего предела любое конечное зна-
значение ж, скажем, нуль; это сводится к пренебрежению конечной
величиной по сравнению с бесконечно большой. Покажем, что
волновая функция, нормированная условием
ф*рфр, dx = 8{^?JШ[р - р')	B1.9)
(р — импульс частицы на бесконечности), должна иметь асим-
асимптотический вид B1.5) с коэффициентом а = 2:
+ S) = е*кх+^ + е~*кх+8\	B1.10)
Поскольку мы не имеем в виду проверять взаимную ортогональ-
ортогональность функций, соответствующих различным р, то при подста-
подстановке функций B1.10) в нормировочный интеграл считаем им-
импульсы рир' сколь угодно близкими; поэтому можно положить
S = 51 F является, вообще говоря, функцией р). Далее, в подын-
подынтегральном выражении оставляем лишь те члены, которые при
р = р' расходятся; другими словами, опускаем члены, содержа-
содержащие множители е±г(к+к )ж. Таким образом, получаем
оо	оо	оо
[ Ф1<фр,Aх I e^k'-k^xdx+ f e-W-k>dx Г e^k'-k>dx,
0	0	-оо
что в силу A5.7) совпадает с B1.9).
Х)В этих рассуждениях предполагается, что стационарное состояние не
вырождено, т. е. не инфинитно в обе стороны. В противном случае, при из-
изменении знака х две волновые функции, относящиеся к данному уровню
энергии, могут преобразовываться друг через друга. Однако в этом случае

§22	ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА	91
Переход к нормировке на ^-функцию от энергии совершается,
согласно E.14), умножением фр на
V dE J	л/2ттНу
где г' —скорость частицы на бесконечности. Таким образом,
B1.11)
Заметим, что плотность потока в каждой из двух бегущих волн,
на которые разделяется стоячая волна B1.11), равна 1/BтгН).
Таким образом, можно сформулировать следующее правило
для нормировки волновой функции инфинитного в одну сторо-
сторону движения на ^-функцию от энергии: представив асимптотиче-
асимптотическое выражение волновой функции в виде суммы двух бегущих
противоположные стороны плоских волн, надо выбрать норми-
нормировочный коэффициент таким образом, чтобы плотность потока
в волне, бегущей по направлению к началу координат (или в на-
направлении от начала координат), была равна 1/BтгН).
Аналогичным образом можно получить такое же правило для
нормировки волновых функций движения, инфинитного в обе
стороны. Волновая функция будет нормирована на ^-функцию
от энергии, если сумма потоков в волнах, бегущих по напра-
направлению к началу координат с положительной и отрицательной
сторон оси х, равна 1/BтгН).
§ 22. Потенциальная яма
В качестве простого примера одномерного движения рас-
рассмотрим движение в прямоугольной потенциальной яме, т. е. в
поле с функцией U(x), изображенной на
рис. 1: U(x) = 0 при 0 < х < a, U(x) = Щ	и(х)
при х < 0, х > а. Заранее очевидно, что
при Е < Uq спектр будет дискретным, а
при Е > С/о имеется непрерывный спектр
двукратно вырожденных уровней.
В области 0 < х < а имеем уравнение
Шредингера
ф" + ^Еф = о	B2.1)	РИС- Х
волновые функции стационарных состояний хотя и не обязательно четны
или нечетны, но всегда могут быть сделаны таковыми (путем выбора соот-
соответствующих линейных комбинаций исходных функций).

92
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
(штрих означает дифференцирование по ж), а в области вне ямы
^	О.	B2.2)
При х = О, а решения этих уравнений должны переходить друг
в друга непрерывно и с непрерывной производной, а при х =
= ±ос решение уравнения B2.2) должно оставаться конечным
(для дискретного спектра, Е < Щ — обращаться в нуль).
При Е < С/о обращающееся на бесконечности в нуль решение
уравнения B2.2) есть ф = const -ет^ж,
х = -y/2m(Uo-E)	B2.3)
(знаки — и + в показателе относятся соответственно к областям
х > а и х < 0. Вероятность \ф\2 нахождения частицы экспонен-
экспоненциально затухает в глубь области, в которой Е < U(x). Вместо
непрерывности ф и ф1 на границе потенциальной ямы удобно
потребовать непрерывности ф и логарифмической производной
ф'/ф. Учитывая B2.3), получаем граничное условие в виде
\ф'\/ф = т*.	B2.4)
Мы не станем останавливаться здесь на определении уровней
энергии в яме произвольной глубины С/о (см. задачу 2) и разбе-
разберем полностью только предельный случай бесконечно высоких
стенок (С/о —» ос).
При С/о = ос движение происходит лишь на ограниченном
точками х = 0, а отрезке, и, как было указано в § 18, граничное
условие в этих точках
ф = 0.	B2.5)
(Легко видеть, что это условие получается и из общего усло-
условия B2.4). Действительно, при С/о —» ос имеем также ихчсх)
и потому ф1 /ф —>> ос; поскольку ф1 не может обращаться в бес-
бесконечность, то отсюда следует ^ = 0.) Ищем решение уравне-
уравнения B2.1) внутри ямы в виде
ф = сзш(кх + S), к= ^*™Е.	B2.6)
Условие ф = 0 при х = 0 дает 6 = 0, после чего то же условие при
х = а дает sin ка = 0, откуда ка = птг (п — целые положительные
числа, начиная с единицы1)) или
^\ п = 1,2,3,...	B2.7)
) При п = 0 получилось бы тождественно '0 = 0.

§ 22	ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА	93
Этим определяются уровни энергии частицы в потенциальной
яме. Нормированные волновые функции стационарных состоя-
состояний—
На основании этих результатов можно непосредственно написать
уровни энергии для частицы в прямоугольном «потенциальном
ящике», т. е. для трехмерного движения в поле с потенциальной
энергией U = 0 при 0 < ж < a, 0 < у < 6, 0<z<cnU = oo вне
этой области. Именно, эти уровни представляются суммами
П1,П2,п3 = 1,2,3,..., B2.9)
а соответствующие волновые функции — произведениями
. / 7ГП2 \ . / ТГПз \	/оо 1Лх
sm ~гУ sm 	z • B2.10)
\ " /	Vе/
Отметим, что энергия основного состояния оказывается, со-
согласно B2.7) или B2.9), порядка Eq ~ Н2/т12, где / — линейные
размеры области движения частицы. Этот результат находится
в соответствии с соотношениями неопределенности: при неопре-
неопределенности координаты ~ / неопределенность импульса, а с нею
и порядок величины самого импульса ~ К/1] соответствующая
энергия ~ (Н/1J/т.
Задачи
1. Определить распределение вероятности различных значений импуль-
импульса для нормального состояния частицы, находящейся в бесконечно глубокой
прямоугольной потенциальной яме.
Решение. Коэффициенты а(р) разложения функции ф\ B2.8) по
собственным функциям импульса равны
I— а
( \ f /* / А	/2 f ' fn \	( РХ\а
а[р) = / грр1р1 ах = л — / sm I —x I expl —г— )ах.
J	у a J \а ) ^ h '
v о
Вычислив интеграл и возведя его модуль в квадрат, получим искомое рас-
распределение вероятностей
, , ,|2 ф
\<V)\ ^Z = y
2-кй {p
2. Определить уровни энергии для потенциальной ямы, изображенной
на рис. 2.
Решение. Дискретным является спектр энергий Е < t/i, который
мы и рассматриваем. В области х < 0 волновая функция
ф = Cle"ix, xi = (l/ti)y/2m(Ui - Е),

94
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
ГЛ. III
а в области х > а
ф = с2е-Х, х2 = A/П)у/2т(и2 - Е).
Внутри ямы @ < х < а) ищем ф в виде
Щх)
и2
ф = csin(kx + 5), к =
Условие непрерывности ф' /ф на границах
ямы дает уравнения
7 х Г	1^ГПТТ	7 9
kctgo = xi = i / —2-C7i — & ,
kctg(ak + 5) = —x2 = —\^~U2 — &2,
Рис. 2
sin E =
fca + S) = — -
fcfi
/2rnU2
Исключая E, получим трансцендентное уравнение
кП	. ifefi
ка = пп — arcsin
— arcsin
A)
(где п = 1, 2, 3,..., а значения arcsin берутся между 0 и тг/2), корни которого
определяют уровни энергии Е = к2Н2 /2т. Для каждого п имеется, вообще
говоря, один корень; значения п нумеруют уровни в порядке их возрастания.
Поскольку аргумент у arcsin не может превышать 1, то ясно, что значе-
значения к могут лежать только в интервале между 0 и y/2mUi/H. Левая часть
уравнения A) есть монотонно возрастающая, а правая — монотонно убываю-
убывающая функции к. Поэтому для существования корня уравнения A) необходи-
необходимо, чтобы при к = ^/2mUi/H правая часть была меньше левой. В частности,
неравенство
\j2m\J\ тг	. \U\	, х
а	 >	arcsm К \ —,	B)
П	2	у U2	V }
получающееся при п = 1, есть условие того, чтобы в яме существовал по
крайней мере один уровень энергии. Мы видим, что при данных U\ ф U2
всегда существуют настолько малые значения ширины а ямы, при которых
не будет существовать ни одного дискретного уровня энергии. При JJ\ = U2
условие B), очевидно, всегда выполняется.
При U\ = U2 = С/о (симметричная яма) уравнение A) сводится к
hk птг — ка	/оЧ
ЯГГЯ1Л		.	C)
V2mC/0 2
Вводя переменную ? = ка/2, получим при нечетном п уравнение
cos? =
D)
причем должны браться те корни этого уравнения, для которых tg? > 0.
При четном п получим уравнение
E)

§ 23	ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР	95
причем надо брать корни, для которых tg? < 0. По корням этих двух урав-
уравнений определяются уровни энергии Е = 2?2Н2/та2, число уровней (при
7/0) конечно.
В частности, для мелкой ямы, в которой Uq <С Л /та , имеем j ^> 1, и
уравнение E) не имеет корней вовсе. Уравнение же D) имеет один корень
(при верхнем знаке в правой части), равный ? « A/7)A — I/272). Таким
образом, в яме имеется всего один уровень энергии
т? ~ тт ша2 тт2
2п
расположенный вблизи ее «верха».
3. Определить давление, оказываемое на стенки прямоугольного «по-
«потенциального ящика» находящейся в нем частицей.
Решение. Сила, действующая на стенку, перпендикулярную к оси ж,
есть среднее значение производной —дН/да от гамильтоновой функции
частицы по длине ящика вдоль оси х\ давление же получается делени-
делением этой силы на площадь be стенки. Согласно формуле A1.16) искомое
среднее значение находится дифференцированием собственного значения
энергии B2.9). В результате получим давление
ma
§ 23. Линейный осциллятор
Рассмотрим частицу, совершающую одномерные малые коле-
колебания (так называемый линейный осциллятор). Потенциальная
энергия такой частицы равна тиР'х2/2, где ио — в классической
механике собственная частота колебаний. Соответственно этому,
гамильтониан осциллятора
Поскольку потенциальная энергия обращается в бесконечность
при х = ±ос, то частица может совершать лишь финитное дви-
движение. В соответствии с этим весь энергетический спектр осцил-
осциллятора будет дискретным.
Определим уровни энергии осциллятора с помощью матрич-
матричного метода1). Будем исходить из уравнений движения в фор-
форме A9.3); в данном случае они дают
? + ш2х = 0.	B3.2)
В матричном виде это уравнение имеет вид
(х)тп + U2Xmn = 0.
х) Это было сделано Гейзенбергом A925) еще до открытия Шредингером
волнового уравнения.

96
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
Для матричных элементов ускорения имеем, согласно A1.8),
{х)тп = ib>mn{x)mn = -^тпХтп- ПоЭТОМу ПОЛучаем
Отсюда видно, что равны нулю все матричные элементы жшп,
за исключением тех, для которых cjmn = ±ш. Пронумеруем все
стационарные состояния таким образом, чтобы частоты ±ои со-
соответствовали переходам п —»> п =р 1, т. е. uin^nTi = ±ш. Тогда
отличными от нуля матричными элементами будут лишь xn^nTi.
Будем предполагать, что волновые функции фп выбраны
вещественными. Поскольку х есть величина вещественная, то
такими же будут и все матричные элементы хшп. Условие эр-
митовости A1.10) приводит теперь к тому, что матрица хшп
симметрична:
Для вычисления отличных от нуля матричных элементов ко-
координаты воспользуемся правилом коммутации
/уъ /уъ 	 /уъ /уъ 	 	л
«А/ «А/ 	 «А/ «А/ 		I/	•
т
написав его в матричном виде
гН
yXX)rnn yXX)rnn =	v-mn-
ТП
С помощью правила умножения матриц A1.12) имеем отсюда
для m = п
2	.Н
l	l
В этой сумме отличны от нуля только члены с / = п ± 1, так что
получаем
(гр л ^2 (гр Л2 _ ^	(по о\
2muj
Из этого равенства видно, что величины (жп+15ПJ образу-
образуют арифметическую прогрессию, неограниченную сверху, но
непременно ограниченную снизу, так как в ней могут содер-
содержаться только положительные члены. Поскольку мы пока уста-
установили только относительное расположение номеров состояний
п, но не их абсолютные значения, то мы можем произвольно вы-
выбрать значение п, соответствующее первому—нормальному —
состоянию осциллятора. Положим его равным нулю. Соответ-
Соответственно этому, жо,-1 надо считать тождественно равным нулю,

§ 23	ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР	97
и последовательное применение уравнений B3.3) с п = 0,1,...
приводит к результату:
/	\2	пН
{Хщп-1) = ^J.
Таким образом, окончательно получаем следующее выражение
для отличных от нуля матричных элементов координаты1):
Хщп-i = xn-in = а -—.	B3.4)
у Zmoj
Матрица оператора Н диагональна и матричные элемен-
элементы Нпп представляют собой искомые собственные значения
энергии Еп осциллятора. Для их вычисления имеем
Нпп = Еп = j[(x2)nn + ш2(х2)пп] =
т fv-^v .	.	. 2V^	I m
= — [2^ XLUnlXnl^lnXln + U 2^ XnlXln\ = у
I	I	I
В сумме по / отличны от нуля только члены с / = п ± 1; подста-
подставляя B3.4), получаем
Еп = (п + 1/2)Йо;, п = 0,1, 2,...	B3.5)
Таким образом, уровни энергии осциллятора расположены
через равные интервалы Нои. Энергия нормального состояния
(п = 0) равна fvuo/2\ подчеркнем, что она оказывается отличной
от нуля.
Результат B3.5) можно получить и путем решения уравнения
Шредингера. Это уравнение для осциллятора имеет вид
ц + щЕф ^	B3.б)
CLX	It \	А /
Здесь удобно ввести вместо координаты х безразмерную пере-
переменную ? согласно соотношению
t = М*.	B3.7)
x)Mbi выбираем неопределенные фазы ап (см. примеч. на с. 52) таким
образом, чтобы получить во всех матричных элементах B3.4) знак + перед
корнем. Такой выбор всегда возможен для матрицы, в которой отличны
от нуля только элементы для переходов между состояниями с соседними
номерами.

98
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
Тогда получим уравнение
(f ф = 0.	B3.8)
(Здесь штрих означает дифференцирование по ?.)
При больпгих ? можно опустить 2E/fvuj по сравнению с ?2;
уравнение ф" = ?2ф имеет асимптотические интегралы ф =
= е^ /2. (Дифференцирование этой функции действительно да-
дает, при пренебрежении членами более низкого порядка по ?,
ф" = ^2ф.) Поскольку волновая функция ф должна оставаться
при ? = ±ос конечной, то в показателе должен быть выбран знак
минус. В связи с этим естественно сделать в уравнении B3.8)
подстановку
Ф = е-а\(О-	B3.9)
Для функции х(?) получаем уравнение (вводим обозначение
2Е/Нои — 1 = 2п; поскольку нам заранее известно, что Е > О,
то п > -1/2)
X" ~ 2& + 2пХ = 0,	B3.10)
причем функция х должна быть конечной при всех конечных ?,
а при ? = ±ос мож:ет обращаться в бесконечность не быстрее
конечной степени ? (так, чтобы функция ф обращалась в нуль).
Такие решения уравнения B3.10) существуют лишь при це-
целых положительных (включая значение нуль) значениях чис-
числа п (см. §а математических дополнений); это дает для энергии
известные уже нам собственные значения B3.5). Соответствую-
Соответствующие различным целым значениям п решения уравнения B3.10)
имеют вид
X = const -Яп(?),
где Нп(^) —так называемые полиномы Эрмита, представляющие
собой полиномы n-й степени по ?, определяемые формулой
tfn@ = (-l)V2^.	B3.11)
Определяя const так, чтобы функции фп удовлетворяли условию
нормировки
j ф2п(х)Aх = 1,
— ОО
получим (см. (а.7))
f —т2\н (т f^-\	Г2Я 12^1

§ 23	ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР	99
Так, волновая функция нормального состояния есть
B3ЛЗ)
Как и следовало ожидать, она не имеет нулей при конечных х.
Вычисляя интегралы J фпфтС ^?? можно определить мат-
—оо
ричные элементы координаты; такое вычисление приводит,
разумеется, к тем же значениям B3.4).
В заключение покажем, каким образом можно вычислить
волновые функции фп матричным методом. Замечаем, что в
матрицах операторов х ± гиох отличны от нуля только элементы
(х - iux)n-^n = -(х + гих)щп-х - гх 	.	B3.14)
у т
Исходя из общей формулы A1.11) и учитывая, что ф-\ = О,
получаем
(ж — шх)фо = 0.
После подстановки выражения х = —г	получаем отсюда
777- dx
уравнение
— = ——хфо,
ах	п
нормированное регпение которого есть B3.13). Далее, поскольку
(х
получаем рекуррентную формулу
1
/
Фп =
п-кратное применение которой к функции B3.13) приводит к вы-
выражению B3.12) для нормированных функций фп.
Задачи
1. Определить распределение вероятностей различных значений им-
импульса для осциллятора.
Решение. Вместо того чтобы разлагать волновую функцию стаци-
стационарного состояния по собственным функциям импульса, в случае осцил-
осциллятора проще исходить непосредственно из уравнения Шредингера в им-
импульсном представлении. Подставляя в B3.1) оператор координаты A5.12)

100	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
х = iHd/dp, получим гамильтониан в импульсном представлении
2	2 f-2 i2
тт _ р тпио и а
2т	2 dp2'
Соответствующее уравнение Шредингера На(р) = Еа(р) для волновой
функции а(р) в импульсном представлении будет иметь вид
d2a(p)
j 2	2 j-2
dp	тио п
Это уравнение—в точности такого же вида, как и B3.6); поэтому его ре-
решения могут быть написаны непосредственно по аналогии с B3.12). Таким
образом, находим искомое распределение вероятностей в виде
I / \|2 dp	1	/ р2 \ ТТ2 ( Р \ ,
К(р)\ -*- =	,	 ехр	?— Нп -т= dp.
2тгп 2 п\у-ктиоп \ тип/ \ymujn/
2.	Определить нижний предел для возможных значений энергии осцил-
осциллятора с помощью соотношения неопределенности A6.7).
Решение. Замечая, что х2 = х2 + (SxJ, р2р2 + (SpJ и исполь-
используя A6.7), имеем для среднего значения энергии осциллятора
— _ тио2 —2 р2 muj2 ,~ .2 1 ц х2. тш2Н2 (SpJ
~ 2	2т " 2	2т	S(SpJ 2m
Найдя минимальное значение этого выражения (как функция от Sp), полу-
получим нижний предел для средних, а потому и для всех вообще возможных
значений энергии: Е ^ fvuj/2.
3.	Найти волновые функции состояний линейного осциллятора, мини-
минимизирующих соотношение неопределенностей, т. е. состояний, в которых
средние квадратичные флуктуации координаты и импульса в волновом па-
пакете связаны равенством SpSx = Н/2 (Е. Schrodinger, 1926I) .
Решение. Искомые волновые функции должны иметь вид
Их координатная зависимость в каждый данный момент времени соответ-
соответствует формуле A6.8), причем х = x(t) и р = p(t) = mx(t) — средние зна-
значения координаты и импульса; согласно A9.3) для линейного осциллято-
осциллятора (U = muj2x2/2) имеем р = —тои2х, а потому и для средних значений
р = -тш2х или	-2
х + ш2х = 0,	B)
т. е. функция x(t) удовлетворяет классическому уравнению движения.
Постоянный коэффициент в A) определяется условием нормировки
оо
f \^\2dx = 1; помимо этого множителя Ф может содержать еще фазовый
— оо
множитель с зависящей от времени фазой ip(t). Неизвестные постоянная Sx
и функция (p(t) определяются подстановкой A) в волновое уравнение
П2 82Ъ тш2х2 т .^дЪ
2т дх2	2	dt
Эти состояния называют когерентными.

§23	ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР	101
С учетом B) подстановка дает
х2 _\ (т2ш2	1 \ \т2х~2	х2	1	т 1
Отсюда находим EхJ = Н/Bтои) и затем
2h	2'	2ft	2
Таким образом, окончательно
/	\ 1/4	( —	/	—\2 "ч	( ¦ .		"ч
т , ч / ти \	[ грх muj(x — х) I	I zo;t гюж 1	/оЧ
Ф(ж, t) = 	 ехр <	^— > ехр <	> . C)
; \-кП)	\ П	2П / \ 2 2П j	W
При х = 0, р = 0 эта функция переходит в фо(х)е~гшг'2 — волновую функцию
основного состояния осциллятора.
Средняя энергия осциллятора в когерентном состоянии
— р2 ти2х2 р2 ти2х2 Пш	(_ 1\	,лЛ
Е = —	\	—	\	\	= fvuj[n-\--)\	D)
2т	2 2т	2	2	\ 2)
введенная здесь величина п есть среднее «число квантов» huu в данном со-
состоянии. Мы видим, что когерентное состояние полностью определяется за-
заданием той или иной зависимости x(t), удовлетворяющей классическому
уравнению B). Общий вид такой зависимости можно записать в виде
тих + гр -iu}t
-ае
E)
Функция C) мож:ет быть разложена по волновым функциям стационар-
стационарных состояний осциллятора
Коэффициенты этого разлож:ения х)
оо
ап= J V*nVdx.	F)
— оо
Отсюда вероятность осциллятору находиться в п-м состоянии
™п = |ап|2 = е2=е-^,	G)
т. е. дается известным распределением Пуассона.
4. Определить уровни энергии для частицы, движущейся в поле с по-
потенциальной энергией (рис.3; Ph. Morse, 1929).
Решение. Спектр положительных собственных значений энергий —
непрерывен (причем уровни не вырождены), а спектр отрицательных зна-
значений — дискретен.
Уравнение Шредингера гласит:
Ц + ^(Е Ае + 2Ае™)ф = 0.
ах п
) Ср. вычисления в задаче 1 § 41.

102
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
ГЛ. III
Вводим новую переменную
. _ 2у/2тА -ах
ah
(пробегающую значения от 0 до +оо) и обозначения (рассматриваем дис-
дискретный спектр, так что Е < 0)
ah ' "	ah	I"'"	A)
Тогда уравнение Шредингера приобретает вид
гЬ" -гЬ' (-- n + g + 1/2
1 V 4	?
При ? —»> оо функция -0 ведет себя асимптотически как е'", а при
? —»¦ 0 функция ф пропорциональна ?±s. Из соображений конечности долж-
должно быть выбрано решение, ведущее себя
как е~^/2 при ? —»> оо и как ?s при ? —»> 0.
Делаем подстановку
и получаем для w уравнение
&" + Bs + 1 - i)w' +nw = 0, B)
которое должно быть решено при услови-
условиях: w конечно при ? = 0, а при ? —>> оо
и> обращается в бесконечность не быстрее
конечной степени ?. Уравнение B) есть
уравнение вырожденной гипергеометрической функции (см. § d математи-
математических дополнений)
Решение, удовлетворяющее требуемому условию, получается при целом
неотрицательном п (причем функция F сводится к полиному). Согласно
определениям A) получаем, следовательно, для уровней энергии значения
-Еп = А 1
L
, 1
п + -
2
/2тА
где п пробегает целые положительные значения, начиная от нуля и до наи-
наибольшего значения, при котором еще
1
2
(так что параметр s, в соответствии с его определением, положителен). Та-
Таким образом, дискретный спектр содержит ограниченный ряд уровней. Если
а!
1
< 2'
то дискретный спектр вообще отсутствует.
5. То же при U =	^— (рис.4).
ch ax
Решение. Спектр положительных энергии непрерывен, а отрица-
отрицательных— дискретен; рассматриваем последний. Уравнение Шредингера
dx
h

24
ДВИЖЕНИЕ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ
103
Делаем замену переменной ? = th ах и, вводя обозначения
/-2тЕ
г =
получаем
2mU0
Это — уравнение обобщенных функций Лежан-
дра. Приводим его к гипергеометричестому ви-
виду подстановкой
и временной заменой переменной -A — ?) = и:
иA - u)w" + (е + 1)A - 2u)wr -{e- s)(e + s + l)w = 0.
Решение, конечное при ? = 1 (т. е. при ж = оо), есть
V = A - ,f r/2F[? - в, е + s + 1, е + 1, A - 0/2].
Для того чтобы ф оставалось конечным и при ? = —1(т. е. при х = — оо),
должно быть s — s = —п, где п = 0,1, 2,... (тогда .F есть полином степени п,
конечный при ? = —1).
Таким образом, уровни энергии определяются условием s — s = n, откуда
8m
Имеется конечное число уровней, определяемое условием ?>0, т. e.n<s.
§ 24. Движение в однородном поле
Рассмотрим движение частицы в однородном внешнем по-
поле. Направление поля выберем в качестве оси ж, и пусть F есть
сила, действующая в поле на частицу; в электрическом поле
напряженности Е эта сила равна FH, где е—заряд частицы.
Потенциальная энергия частицы в однородном поле имеет
вид U = —Fx + const; выбирая постоянную так, чтобы было
U = 0 при х = 0, имеем U = —Fx. Уравнение Шредингера рас-
рассматриваемой задачи имеет вид
B4.1)
Поскольку U стремится к +ос при ж—)-— оо и [/ ч - ос
при х —)> ос, то заранее очевидно, что уровни энергии образу-
образуют непрерывный спектр, заполняющий весь интервал значений
от —ос до +ос. Все эти собственные значения не вырождены и

104	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
соответствуют движению, финитному со стороны х = — ос и ин-
финитному в направлении х —»> +ос.
Введем вместо координаты х безразмерную переменную
Тогда уравнение B4.1) принимает вид
ф" + ?ф = 0.	B4.3)
Это уравнение вовсе не содержит параметра энергии. Поэтому,
получив его решение, удовлетворяющее необходимым условиям
конечности, мы тем самым получим собственную функцию для
произвольных значений энергии.
Решение уравнений B4.3), конечное при всех ж, имеет вид
(см. §Ь математических дополнений)
где
= -^ I cos(y
du
о
есть так называемая функция Эйри, а А — нормировочный мно-
множитель, который мы определим ниже.
При ? —»> — ос функция 1р(?) стремится к нулю экспоненциаль-
экспоненциально. Асимптотическое выражение, определяющее ф(?) ПРИ боль-
П1их по абсолютной величине отрицательных значениях ?, имеет
вид (см. (Ь.4))
B4.5)
При больших же положительных значениях ? асимптотическое
выражение функции V*@ будет следующим (см. (Ь.5I)):
B4.6)
Согласно общему правилу E.4) нормировки собственных
функций непрерывного спектра, приведем функции B4.4) к нор-
нормированному на ^-функцию от энергии виду
B4.7)
1) Отметим, забегая вперед, что асимптотические выражения B4.5)
и B4.6) как раз соответствуют квазиклассическим выражениям волновой
функции в классически недоступной и доступной областях (§47).

§ 25	КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ	105
В § 21 был указан простой способ определения нормировоч-
нормировочного коэффициента с помощью асимптотического выражения
волновых функций. Следуя этому способу, представляем функ-
функцию B4.6) в виде суммы двух бегущих волн:
Плотность потока, вычисленная для каждого из этих двух чле-
членов, есть
., ^2 ^
4ш2/3 '
Приравняв ее 1/BтгЯ), находим
А =
Задача
Определить волновые функции в импульсном представлении для части-
частицы в однородном поле.
Решение. Гамильтониан в импульсном представлении
H=!--iRF±,
2т	dp
так что уравнение Шредингера для волновой функции а(р) имеет вид
dp \2m
Решив это уравнение, получим искомые функции
аЕ(р) =
Эти функции нормированы условием
о
аЕ(р)аЕ>(р) dp = 8(Е' — Е).
+
/
§ 25. Коэффициент прохождения
Рассмотрим движение частиц в поле изображенного на рис. 5
типа: U(x) монотонно возрастает от одного постоянного преде-
предела (U = 0 при х —)> —ос до другого (U = С/о при х —»> +ос).
Согласно классической механике частица с энергией Е < С/о,
движущаяся в таком поле слева направо, дойдя до потенциаль-
потенциальной стенки, отражается от нее, начиная двигаться в обратном

106	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
направлении; если же Е > С/о, то частица продолжает двигаться
в прежнем направлении с уменьшенной скоростью. В квантовой
механике возникает новое явление —
даже при Е > С/о частица может
отразиться от потенциальной стенки.
Вероятность отражения должна вы-
вычисляться в принципе следующим об-
образом.
рис 5	Пусть частица движется слева на-
направо. При больших положительных
значениях х волновая функция должна описывать частицу, про-
прошедшую «над стенкой» и движущуюся в положительном направ-
направлении оси ж, т. е. должна иметь асимптотический вид
при х —>> ос : ф « Ае 2Ж, к2 = -у/2т(Е - С/о) B5.1)
(А — постоянная). Найдя решение уравнения Шредингера, удо-
удовлетворяющее этому предельному условию, вычисляем асимпто-
асимптотическое выражение при х —>• — ос; оно является линейной комби-
комбинацией двух решений уравнения свободного движения, т. е. имеет
вид
при х -> -ос : ф « егк1Х + Be~lklX, к\ = -V2mE. B5.2)
п
Первый член соответствует падающей на стенку частице
(предполагаем ф нормированной таким образом, чтобы коэф-
коэффициент при этом члене был равен единице); второй же член
изображает отраженную от стенки частицу. Плотность потока
в падающей волне пропорциональна fei, в отраженной: &i|i3|2, a
в прошедшей: &2|^4|2. Определим коэффициент прохождения D
частицы как отношение плотности потока в прошедшей волне к
плотности потока в падающей:
U — —|-г!| .	yZD.OJ
Аналогично можно определить коэффициент отражения R как
отношение плотности отраженного потока к падающему; очевид-
очевидно, что R = 1 — D:
Д= \В\2 = 1- ^\А\2	B5.4)
(это соотношение между А и В выполняется автоматически в
силу постоянства потока вдоль оси х).
Если частица движется слева направо с энергией Е < С/о,
то &2 чисто мнимо и волновая функция экспоненциально зату-
затухает при х —>• +ос. Отраженный поток равен падающему, т.е.

§ 25	КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ	107
происходит полное отражение частицы от потенциальной стен-
стенки. Подчеркнем, однако, что и в этом случае вероятность нахо-
нахождения частицы в области, где Е < U, все же отлична от нуля,
хотя и быстро затухает с увеличением х.
В общем случае произвольного стационарного состояния
(с энергией Е > С/о) асимптотический вид волновой функции
как при х —»> — ос, так и при х —»> +ос представляет собой сумму
двух волн, распространяющихся в обе стороны оси х:
ф = AieiklX + Bie~iklX при х -> -ос,
ф = A2eik2X + B2e~ik2X при х -> +ос.
Поскольку оба эти выражения представляют собой асимптоти-
асимптотические формы одного и того же решения линейного дифферен-
дифференциального уравнения, между коэффициентами А\, В\ и А2, В2
существует линейная связь. Пусть А2 = aAi+/3Bi, где а, /3 —по-
—постоянные (вообще говоря, комплексные), зависящие от конкрет-
конкретного вида поля U(x). Аналогичное соотношение для В2 можно
тогда написать на основании соображений, связанных с веще-
вещественностью уравнения Шредингера. В силу последней, если ф
есть решение данного уравнения Шредингера, то и комплекс-
комплексно сопряженная функция ф* есть решение того же уравнения.
Асимптотический вид
ф* = Ale~iklX + BleiklX при х -> -ос
^* = A\e~ik2* + B%eik2X при х -> +ос
отличается от B5.5) лишь обозначением постоянных коэффици-
коэффициентов; поэтому имеем В\ = аВ\ + (ЗА\ или В2 = а*В\ + Р*А\.
Таким образом, коэффициенты в B5.5) связаны друг с другом
соотношениями вида
А2 = аА1 + /ЗВЪ В2 = р*А1 + а*Въ	B5.6)
Условие постоянства потока вдоль оси х приводит для коэф-
коэффициентов в B5.5) к соотношению
Выразив здесь A<i, B2, через Ai, B\ согласно B5.6), получим
\а\2 - \Р\2 = f.	B5.7)
С помощью соотношений B5.6) можно показать, что коэф-
коэффициенты отражения одинаковы (при заданной энергии Е > С/о)
для частиц, движущихся в положительном или отрицательном

108	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА	ГЛ. III
направлении оси х. Действительно, первый случай мы получим,
положив в функциях B5.5) В2 = 0; при этом B\jA\ = —C*/а*.
Во втором случае полагаем А\ = 0, тогда А2/В2 = /3/а*. Соот-
Соответствующие коэффициенты отражения
Ri =
^i2 Ё12 R = л* ?
Аг а* '	2 В2 а*
откуда ясно, что R\ = i?2-
Величины же В\/А\ = —/3*/а* и А2/В2 = /3/а* естественно
назвать амплитудами отражения соответственно для движе-
движения в положительном и отрицательном направлениях. Эти ам-
амплитуды равны по модулю, но могут отличаться фазовым мно-
множителем.
Задачи
1. Определить коэффициент отражения частицы от прямоугольной по-
потенциальной стенки (рис.6); энергия частицы Е > Uo-
Решение. Во всей области х > О волновая
U(x)	функция имеет вид B5.1), а в области х < 0 —
B5.2). Постоянные Аи В определяются из условия
непрерывности ф и Aф/Aх при х = 0:
1 + Б = A, fci(l-S) = k2A,
откуда
А =	—, В = —	-.
Коэффициент отражения B5.4I)
R=fk1-k2\2 /Р1
\Pl +P2/
При Е = Uo (k2 = 0) R обращается в единицу, а при Е —>> 00 стремится к
нулю как R = (Uo/Щ2.
2. Определить коэффициент прохождения частицы через прямоуголь-
прямоугольный потенциальный барьер (рис.7).
Решение. Пусть Е>[/ои падающая частица движется слева напра-
направо. Тогда имеем для волновой функции в различных областях выражения
вида
ф = eiklX + Ae~iklX	при х < 0,
ф = Beik2X + B'e~ik2X	при 0 < х < а,
ф = Ceikix	при х > а
1) В предельном случае классической механики коэффициент отражения
должен обратиться в нуль. Между тем полученное выражение вовсе не со-
содержит квантовой постоянной. Это кажущееся противоречие разъясняется
следующим образом. Классическому пределу соответствует случай, когда
дебройлевская длина волны частицы Л ~ h/p мала по сравнению с характе-
характеристическими размерами задачи, т. е. по сравнению с расстояниями, на ко-
которых заметно меняется поле U(x). В рассматриваемом же схематическом
примере это расстояние равно нулю (в точке х = 0), так что предельный
переход не может быть произведен.

§ 25	КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ	109
(со стороны х > а должна быть только прошедшая волна, распространяю-
распространяющаяся в положительном направлении оси х). Постоянные А, В, В', С опре-
определяются из условий непрерывности ф и dф/dx в	U(x)
точках х = 0, а. Коэффициент прохождения опреде-
определяется как D = ki\C\2/ki = \С\2. Вычисление при- ?
водит к результату:
a
(кг - к2) sin ак2 + _..х..л
Рис. 7
При Е < Uo к2 — чисто мнимая величина; соот-
соответствующие выражения для D получаются заменой к2 на гх2, где
= у/2т(Уо-Е):
3. Определить коэффициент отражения частицы от потенциальной
стенки, определяемой формулой
(см. рис. 5); энергия частицы Е > Щ.
Решение. Уравнение Шредингера гласит:
dx h
Мы должны найти решение, которое при х —»> +оо имеет вид
ф = const -eik2X.
Вводим новую переменную
(пробегающую значения от —оо до 0) и ищем решение в виде
ф = cik2/a™(Z),
где w(?) стремится к постоянной при ? —>> 0 (т.е. при ж —»> оо). Для
получаем уравнение гипергеометрического типа
~ -k2)w = 0,
a J	а
имеющее решением гипергеометрическую функцию
[i i 1%
— {к\ — к2),	(к\ + к2),	к2 4
а а а
(постоянный множитель не пишем). При ? —>> 0 эта функция стремится к 1,
т. е. удовлетворяет поставленному условию.
Асимптотический вид функции ф при ? —>> —оо (т.е. х —»> —оо) есть1)
1) См. формулу (е.6), в каж:дом из двух слагаемых которой надо брать
лишь первый член разложения, т. е. заменить гипергеометрические функции
от 1/z единицей.

по
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
ГЛ. III
где
r(-Bt/g)fci)r(-Bi/g)fca
r(-(i/a)(fci + fa))r(-(i/a)(fci + k2) + 1)
c =	T(Bi/a)k1)r(-Bi/a)k2 + 1)
2 Г((г/а)(кг - k2))T((i/a)(k1 - fa) + 1)'
Искомый коэффициент отражения есть R = |C2/Ci|2; вычисление с помо-
помощью известной формулы
вттгж
приводит к результату:
f sh[Gr/a)(fc1-fc2)]]2
\sh[(jr/o)(fci + fa)]J
При Е = Uo (k2 = 0) R обращается в единицу, а при Е
нулю по формуле
оо стремится к
2m
аП J Е
ехр
U(x)
При предельном переходе к классической механике R обращается, как и
следовало, в нуль.
4. Определить коэффициент прохождения
частицы через потенциальный барьер, опреде-
определяемый формулой
Щх) =
ch2 ax
(рис. 8); энергия частицы Е < Щ.
Решение. Уравнение Шредингера для этой задачи получается из
рассмотренного в задаче 5 § 23 примера изменением знака Uo, причем энер-
энергию Е считаем теперь положительной.
Тем же способом получаем решение
гк
A)
где
= thax,
к= -V2mE, s= - -
Это решение уже удовлетворяет условию, чтобы при х —>¦ оо (т. е. при ?—>¦!.,
A — ?) « 2е~2х) волновая функция содержала только прошедшую волну
(<~ ег х). Асимптотический вид волновой функции при х —>¦ —оо (^ —>¦ —1)
находится путем преобразования гипергеометрической функции с помощью
формулы (е.7)
^ e_ikx T(ik/a)T(l - ik/a) eikx
T(-s)r(l + s)
T(-ik/a)T(l - ik/a)
T(-ik/a-s)T(-ik/a + s
B)

§25	КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ	111
Вычислив квадрат модуля отношения коэффициентов в этой функции, по-
получим следующее выражение для коэффициента прохождения D = 1 — R:
sh2 —
^ a	8mUo 1
D =	7	/	\ ПРИ Т2"^
,2 як	2 / тг / SmUo \	п а
sh	h cos — 4 /1 —
а	V 2 V	^с.2 7
8mt/0
Й а
ПРИ
Первая из этих формул относится также и к случаю С/о < О? т- е. когда
частица проходит не над потенциальным барьером, а над потенциальной
ямой. Интересно, что при этом D = 1, если 1 + (Sm\Uo\/h2a2) = Bn + IJ,
т.е. при определенных значениях глубины ямы |С7о| проходящие над ней
частицы не отражаются. Это видно уже из выражения B), в котором при
целом положительном s член с е~гкх вообще отсутствует.
5. Определить закон обращения в нуль коэффициента прохождения при
Е —>> 0, считая, что потенциальная энергия U(x) быстро убывает на рассто-
расстояниях |ж| ^> а, где а — характерный размер области взаимодействия.
Решение. В области расстояний к\х\ ^С 1 можно пренебречь энерги-
энергией Е в уравнении Шредингера. Если при этом |ж| ^> а, то можно пренебречь
и потенциальной энергией, и уравнение сводится к
0;
2т dx2
решение которого мы запишем как
ф = а\ + Ъ\х, х < 0, ф = п2 + &2Ж, х > 0.	A)
Решая уравнение на расстояниях \х ~ а, можно найти связь между ai,
Ъ\ и п2, Ьч. Эта связь линейна и имеет вид
ai = ра>2 + /л&2, Ъ\ = va2 +T&2.	B)
Коэффициенты р, //, и, г вещественны и не зависят от энергии, так как энер-
энергия уже не входит в уравнениех) . Решение A) должно совпадать с первыми
двумя членами разложения функций B5.1), B5.2) по степеням ж, откуда
ах = 1 + Б, &1=г&A-Б), а2 = А, Ъ2 = гкА.
Подставляя эти выражения в B) и решая уравнения относительно А,
находим при малых к : А ~ 2ik/v, откуда
D « —г- ~ Е.
v
Таким образом, коэффициент прохождения обращается в нуль пропорцио-
пропорционально энергии частицы. В примерах, рассмотренных в задачах 2 и 4, это
общее соотношение, разумеется, выполняется.
) В силу постоянства потока они удовлетворяют соотношению рт—fiv^l.

ГЛАВА IV
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
§ 26. Момент импульса
В § 15 при выводе закона сохранения импульса мы воспользо-
воспользовались однородностью пространства по отношению к замкнутой
системе частиц. Наряду с однородностью пространство
обладает также и свойством изотропии— все направления в
нем эквивалентны. Поэтому гамильтониан замкнутой системы
должен не меняться при повороте всей системы как целого на
произвольный угол вокруг произвольной оси. Достаточно по-
потребовать выполнения этого условия для произвольного беско-
бесконечно малого поворота.
Пусть 5<р есть вектор бесконечно малого поворота, равный
по величине углу Sip поворота и направленный по оси, вокруг
которой производится поворот. Изменения 6га (радиусов-век-
(радиусов-векторов частиц га) при таком повороте равны
5га =
Произвольная функция ^(ГЪ Г2? • • •) ПРИ этом преобразовании
переходит в функцию
Г2 + ?Г2, . . . ) = ф(ти Г2, . . .
ъ г2,...)
Выражение
есть оператор бесконечно малого поворота. Тот факт, что бес-
бесконечно малый поворот не меняет гамильтониан системы, вы-
выражается (ср. § 15) коммутативностью оператора поворота с
оператором Н. Поскольку 5<р есть постоянный вектор, то это

§26	МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	113
условие сводится к соотношению
(E0 °> B6Л)
выражающему собой некоторый закон сохранения.
Величина, сохранение которой для замкнутой системы следу-
следует из свойства изотропии пространства, есть момент импульса
системы (ср. I, §9). Таким образом, оператор Х][г«^а] должен
соответствовать, с точностью до постоянного множителя, полно-
полному моменту импульса движения системы, а каждый из членов
суммы [raVa]—моменту отдельной частицы.
Коэффициент пропорциональности должен быть положен
равным — ih\ тогда выражение для оператора момента частицы
—ift[rV] = [гр] будет в точности соответствовать классическому
выражению [гр]. В дальнейшем мы будем всегда пользоваться
моментом, измеренным в единицах Н. Оператор определенного
таким образом момента отдельной частицы будем обозначать
через I, а оператор момента всей системы — через L. Таким об-
образом, оператор момента частицы:
fa = [Гр] = -iH[rV]	B6.2)
или в компонентах:
fux = VPz ~ zpy, Шу = zpx - xpz, mz = xpy - ypx.
Для системы, находящейся во внешнем поле, момент импуль-
импульса в общем случае не сохраняется. Однако сохранение момента
все же может иметь место при определенной симметрии поля.
Так, если система находится в центрально-симметричном поле,
то все направления в пространстве, исходящие из центра, эквива-
эквивалентны, и поэтому будет сохраняться момент количества движе-
движения относительно этого центра. Аналогично, в аксиально-сим-
аксиально-симметричном поле сохраняется составляющая момента вдоль оси
симметрии. Все эти законы сохранения, имеющие место в клас-
классической механике, остаются в силе и в квантовой механике.
У системы с несохраняющимся моментом в стационарных
состояниях момент не имеет определенных значений. В таких
случаях иногда представляет интерес среднее значение момен-
момента в данном стационарном состоянии. Легко видеть, что во вся-
всяком невырожденном стационарном состоянии среднее значение
момента равно нулю. Действительно, при изменении знака вре-
времени энергия не меняется, и поскольку данному уровню энергии
соответствует всего одно стационарное состояние, то, следова-
следовательно, при замене t на —t состояние системы должно остаться

114	МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
неизменным. Это значит, что должны остаться неизменными и
средние значения всех величин, в частности момента. Но при
изменении знака времени момент импульса меняет знак, и мы
получили бы L = — L; отсюда следует, что L = 0. Тот же резуль-
результат можно получить и исходя из математического определения
среднего значения L как интеграла от ip*Ijip. Волновые функции
невырожденных состояний вещественны (см. конец § 18). Поэто-
Поэтому выражение
чисто мнимо, а поскольку L должно быть, разумеется, веще-
вещественной величиной, то L = 0.
Выясним правила коммутации операторов момента с опера-
операторами координат и импульсов. С помощью соотношений A6.2)
легко находим
{Ту, у} = 0, {Ту, z) = ix, {Ту, х} = -iz,	B6.3)
{Tz, z] = 0, {Tz, x} = iy, {Tz, у} = -ix.
Так,
Txy - уТх = -(ypz - zpy)y - y(ypz - zpy)- = -^{py,y} = iz.
Все соотношения B6.3) могут быть написаны в тензорном
виде	^
{k,xk} = ieiUxh	B6.4)
где eiki — антисимметричный единичный тензор третьего ран-
ранга1), а по дважды повторяющимся «немым» индексам подра-
подразумевается суммирование.
г) Антисимметричный единичный тензор третьего ранга еш (называемый
также единичным аксиальным тензором) определяется как тензор, антисим-
антисимметричный по всем трем индексам, причем ei23 = 1. Очевидно, что из 27 его
компонент отличны от нуля только те 6, у которых индексы г, /г, / образуют
какую-либо перестановку чисел 1, 2, 3. При этом компоненты равны +1, если
перестановка г, к, I получается из 1, 2, 3 четным числом парных перестано-
перестановок чисел (транспозиций), и равны —1 при нечетном числе транспозиций.
Очевидно, что
eikieikm = 2^m, eikieiki = 6.
Компоненты вектора С = [АВ], являющегося векторным произведением
двух векторов А и В, могут быть написаны с помощью тензора еш в виде
Сi = e

§26	МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	115
Легко убедиться, что аналогичные соотношения коммутации
имеют место для операторов момента и импульса
{к,Рк} = ieiklPl-	B6.5)
При помощи этих формул легко найти правила коммутации
для операторов компонент момента друг с другом. Имеем
h(lxly - lylx) = lx(zpx - xpz) - (zpx - xpz)lx =
= (lxz - zlx)px - x(lxpz - pzlx) = -iypx + ixpy = ihlz.
Таким образом,
ИЛИ
{hX} = ieikih-	B6.7)
В точности такие же соотношения имеют место и для опе-
операторов 1/ж, Ly, Lz полного момента системы. Действительно,
поскольку операторы моментов различных частиц коммутатив-
коммутативны друг с другом, то, например,
/ ^ 1>ау / ^ ^az / ^ ^az / ^ ^ау == / ^ay^az ^az^ay) = ^ / ^ ^ах-
а	а	а	а	а	а
Таким образом,
{Ly, Lz} = ilx, {Lz, Lx} = iLy, {Lx, Ly} = %LZ. B6.8)
Соотногпения B6.8) показывают, что три компоненты мо-
момента не могут одновременно иметь определенные значения (за
исключением только случая, когда все три компоненты одно-
одновременно равны нулю—см. ниже). В этом отношении момент
существенно отличается от импульса, у которого три компонен-
компоненты одновременно измеримы.
Из операторов Lx, Ly, Lz составим оператор квадрата абсо-
абсолютной величины вектора момента:
L2 = L2X + L2y + L2z.	B6.9)
Этот оператор коммутативен с каждым из операторов Lx, L^,
{L2,Lx} = 0, {L2,Ly} = 0, {L2,L,} = 0.	B6.10)
Действительно, используя B6.8), имеем, например,
\LX Lz} = LX{LX, Lz} + \LX, LZ}LX = —i[LxLy + LyLx),
{L2y,Lz} = i(LxLy + LyLx),
{L2z,Lz} = 0.

116
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
Складывая эти равенства, получим последнее из соотношений
B6.10)
Физически соотношения B6.10) означают, что квадрат мо-
момента (т. е. его абсолютная величина) может иметь определенное
значение одновременно с одной из его составляющих.
Вместо операторов Lx, Ly часто бывает удобнее пользоваться
их комплексными комбинациями
L+ = lx + iLy, L- = LX- ily.	B6.11)
Легко убедиться прямым вычислением с помощью B6.8), что для
этих комбинаций справедливы следующие правила коммутации:
{L+, L_} = 2LZ, {Lz, L+} = L+, {Lz, L_} = -L_. B6.12)
Нетрудно также проверить, что
L2 = 1+1- + 12Z-1Z = 1-1+ + 4 + Lz.	B6.13)
Наконец, выпишем часто используемые выражения для опе-
оператора момента отдельной частицы в сферических координатах.
Вводя последние, согласно обычным соотношениям
х = г sin в cos (?, у = г sin в sin у?, z = r cos б,
получим после простого вычисления следующие выражения:
Tz = -i±,	B6.14)
Подставив их в B6.13), получим оператор квадрата момента ча-
частицы в виде
Т	[^4 + — ^(sme^)].	B6.16)
n20<V sin 0 00 V dtp Jl	V	J
Обратим внимание на то, что это есть, с точностью до множите-
множителя, угловая часть оператора Лапласа.
§ 27. Собственные значения момента
Для определения собственных значений проекции момента
импульса частицы на некоторое направление удобно воспользо-
воспользоваться выражением для ее оператора в сферических координа-
координатах, выбрав полярную ось вдоль рассматриваемого направления.
Согласно формуле B6.14) уравнение 1гф = 1гф запишем в виде
-if* = ^-	B7.1)

§ 27	СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТА	117
Его решение есть
где /(г, в)—произвольная функция от г и в. Для того чтобы
функция ф была однозначной, необходимо, чтобы она была пе-
периодична по <р с периодом 2тг. Отсюда находим1)
lz = m, m = 0,±l,±2,...	B7.2)
Таким образом, собственные значения lz равны положи-
положительным и отрицательным целым числам, включая значение
нуль. Зависящий от <р множитель, характерный для собствен-
собственных функций оператора lz, обозначим через
^	B7.3)
Эти функции нормированы так, что
2тг
'{<р)<Ьр = бтт,.	B7.4)
/¦
Собственные значения ^-компоненты полного момента систе-
системы, очевидно, тоже равны положительным и отрицательным це-
целым числам:
LZ = M, М = 0,±1,±2,...	B7.5)
(это следует из того, что оператор Lz есть сумма коммутативных
друг с другом операторов lz для отдельных частиц).
Поскольку направление оси z заранее ничем не выделено, то
ясно, что тот же результат получится для Lx, Ly, и вообще для
составляющей момента по любому направлению, — все они мо-
могут принимать лишь целые значения. Этот результат может
показаться, на первый взгляд, парадоксальным, особенно, ес-
если применить его к двум бесконечно близким направлениям. В
действительности, однако, надо иметь в виду, что единственная
общая собственная функция операторов Lx, Ly, Lz соответствует
одновременным значениям
Lx = Ly = Lz = 0;
в этом случае вектор момента импульса, а поэтому и его про-
проекция на любое направление равны нулю. Если же хотя бы одно
г) Общепринятое обозначение собственных значений проекции момента бу-
буквой т — той же, которой обозначается и масса частицы, — фактически не
может привести к недоразумениям.

118
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
из собственных значений Lx, L^, Lz отлично от нуля, то об-
общих собственных функций у соответствующих операторов нет.
Другими словами, не существует такого состояния, в котором
две или три составляющие момента по различным направлени-
направлениям имели бы одновременно определенные (отличные от нуля)
значения, так что мы можем говорить лишь о целочисленности
одной из них.
Стационарные состояния системы, отличающиеся только
значением М, обладают одинаковой энергией— это следует
уже из общих соображений, связанных с тем, что направление
оси z заранее ничем не выделено. Таким образом, энергети-
энергетические уровни системы с сохраняющимся (отличным от нуля)
моментом во всяком случае вырождены1).
Перейдем теперь к отысканию собственных значений квад-
квадрата момента и покажем, каким образом можно найти эти зна-
значения, исходя из одних только правил коммутации B6.8). Обо-
Обозначим через фм волновые функции стационарных состояний с
одинаковым значением квадрата L2, относящихся к одному вы-
вырожденному уровню энергии и отличающихся значением М2).
Прежде всего замечаем, что поскольку оба направления оси z
физически эквивалентны, то для каждого возможного положи-
положительного значения М = \М\ существует такое же отрицатель-
отрицательное М = —\М\. Обозначим через L (целое положительное чис-
число или нуль) наибольшее возможное (при заданном L2) значе-
значение \М\. Самый факт существования такого верхнего предела
следует из того, что разность L2 — L2 = L2 + L2 есть опера-
оператор существенно положительной физической величины L2 + L2,
) Это обстоятельство является частным случаем указанной в § 10 общей
теоремы о вырождении уровней при наличии по крайней мере двух сохра-
сохраняющихся величин с некоммутирующими операторами. Здесь такими вели-
величинами являются компоненты момента.
2) Здесь подразумевается, что нет никакого дополнительного вырождения,
приводящего к одинаковости значений энергии при различных значениях
квадрата момента. Это справедливо для дискретного спектра (за исключе-
исключением случая так называемого «случайного вырождения» в кулоновом по-
поле, см. § 36) и, вообще говоря, несправедливо для энергетических уровней
непрерывного спектра. Однако и при наличии дополнительного вырожде-
вырождения всегда можно выбрать собственные функции так, чтобы они соответ-
соответствовали состояниям с определенными значениями L2 и из них затем вы-
выбрать состояния с одинаковыми значениями Е и L2. Математически это
выражается в том, что матрицы коммутативных операторов всегда мож-
можно привести одновременно к диагональному виду. В дальнейшем мы будем
в аналогичных случаях для краткости говорить так, как если бы никакого
дополнительного вырождения не было, имея в виду, что получаемые резуль-
результаты в действительности, согласно сказанному, от этого предположения не
зависят.

§ 27	СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТА	119
и потому его собственные значения не могут быть отрицатель-
отрицательными.	^ ^
Применив оператор LZL± к собственной функции фм опе-
оператора Lz и воспользовавшись правилами коммутации B6.12),
получим	^ ^	^
LZL±^M = (М ± 1)L±^M.	B7.6)
Отсюда видно, что функция Ь±фм есть (с точностью до норми-
нормировочной постоянной) собственная функция, соответствующая
значению М ± 1 величины Lz
Фм+i = const -L+фм, Фм-i = const -L-фм-	B7'.7)
Если в первом из этих равенств положить М = L, то должно
быть тождественно	?^ = ^	B? g)
поскольку состояний с М > L, по определению, нет. Приме-
Применяя к этому равенству оператор L_ и воспользовавшись равен-
равенством B6.13), получим
= (L2 - 1\ - Ьх)фь = 0.
2
Но поскольку фм — общие собственные функции операторов L
и Lz, то
так что полученное уравнение дает
L2 = L(L+1).	B7.9)
Формулой B7.9) определяются искомые собственные значе-
значения квадрата момента; число L пробегает все целые положи-
положительные значения, включая значение нуль. При заданном значе-
значении числа L компонента Lz = М момента может иметь значения
M = L,L-1,...,-L,	B7.10)
т. е. всего 2L + 1 различных значений. Уровень энергии, соот-
соответствующий моменту L, таким образом, BL + 1)-кратно выро-
вырожден; об этом вырождении обычно говорят как о вырождении
по направлениям момента. Состояние с равным нулю моментом,
L = 0 (при этом все его три компоненты равны нулю), не выро-
вырождено. Отметим, что волновая функция такого состояния сфе-
сферически-симметрична; это ясно уже из того, что ее изменение
при любом бесконечно малом повороте, даваемое выражением
обращается в данном случае в нуль.

120
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
Мы будем часто говорить для краткости, как это принято, о
«моменте L» системы, подразумевая при этом момент с квад-
квадратом, равным L(L + 1); о ^-компоненте же момента говорят
обычно просто как о «проекции момента».
Момент одной частицы будем обозначать малой буквой /,
т. е. будем писать для нее формулу B7.9) в виде
12 = /(/ + 1).	B7.11)
Вычислим матричные элементы величин Lx и Ly в представ-
представлении, в котором, наряду с энергией, диагональны L2 и Lz
(М. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, 1926). Заметим, что посколь-
поскольку операторы Lx, Ly коммутативны с гамильтонианом, то их
матрицы диагональны по отношению к энергии, т. е. все ма-
матричные элементы для переходов между состояниями с различ-
различной энергией (и различными моментами L) равны нулю. Таким
образом, достаточно рассмотреть матричные элементы для пе-
переходов внутри группы состояний с различными значениями М,
соответствующих одному вырожденному уровню энергии.
Из формул B7.7) видно, что в матрице оператора L+ от-
отличны от нуля только элементы, соответствующие переходам
М — 1 —»> М, а в матрице оператора L_ —элементы сМ->М-1.
Учитывая это, находим диагональные матричные элементы в
обеих частях равенства B6.13) и получаем1)
L(L + 1) = (M\L+\M - 1)(М - 1|L_|M> + М2 -М.
Замечая, что в силу эрмитовости операторов Lx, Ly
(М - 1|L_|M> = (M\L+\M - 1)*,
переписываем это равенство в виде
|(M|L+|M - 1)|2 = L(L + 1) - М(М -1) = (L-M + 1)(L + М),
откуда2)
(M\L+\M-1) = (М - 1\L- \М) = V/(L + M)(L-M + 1). B7.12)
Для отличных от нуля матричных элементов самих Lx и Ly от-
отсюда имеем
±/	B7.13)
1)	В обозначениях матричных элементов мы опускаем для краткости все
индексы, по которым они диагональны (в том числе индекс L).
2)	Выбор знака в этой формуле согласован с выбором фазовых множителей
в собственных функциях момента.

§ 28	СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТА	121
Обратим внимание на отсутствие диагональных элементов в
матрицах величин Lx, Ly. Поскольку диагональный матричный
элемент дает среднее значение величины в соответствующем со-
состоянии, то это значит, что в состояниях с определенными зна-
значениями Lz средние значения Lx = Ly = 0. Таким образом, если
имеет определенное значение проекция момента на какое-либо
направление в пространстве, то в этом же направлении лежит и
весь вектор L.
§ 28. Собственные функции момента
Заданием значений / и т волновая функция частицы не опре-
определяется полностью. Это видно уже из того, что выражения
для операторов этих величин в сферических координатах содер-
содержат только углы в и <р, так что их собственные функции могут
содержать произвольный, зависящий от г множитель. Мы бу-
будем рассматривать здесь только характерную для собственных
функций момента угловую часть волной функции. Обозначим
ее как Y/m@,p) и нормируем условием:
/'
\Ylm\2do = l
(do = sin в d6 dip — элемент телесного угла).
Как показывают дальнейшие вычисления, задача об опреде-
определении общих собственных функций операторов 1 и lz допускает
разделение переменных 0 и р, и эти функции можно искать в
виде
У\ш = ФШ((/?)Э/Ш(#)	B8.1)
где Фш(р) — собственные функции оператора lz, определяемые
формулой B7.3). Поскольку функции Фш уже нормированы
условием B7.4), то 0/ш должны быть нормированы согласно
условию
)/m|2 sin в d9 = 1.	B8.2)
о
Функции У\ш с различными / или т автоматически оказыва-
оказываются взаимно ортогональными:
2тг тг
B8.3)
о о
zn тг
II-

122
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
как собственные функции операторов момента, соответствую-
соответствующие различным собственным значениям. В отдельности ортого-
ортогональны также и функции Фт((р) (см. B7.4)) как собственные
функции оператора lz, соответствующие различным его соб-
собственным значениям га. Функции же Э/ш(#) сами по себе не
являются собственными функциями какого-либо из операторов
момента; они взаимно ортогональны при различных /, но не при
различных га.
Наиболее прямой способ вычисления искомых функций есть
непосредственное решение задачи об отыскании собственных
функций оператора 1 , написанного в сферических координатах
(формула B6.16)). Уравнение гф = \2ф гласит:
00\ дв) sin2 в dip2 v JY
sin2 в dip
Подставив в это уравнение ф в виде B8.1), получим для функ-
функции в/ш уравнение
sin0 й
Это уравнение хорошо известно из теории шаровых функций.
Оно имеет решения, удовлетворяющие условиям конечности и
однозначности, при целых положительных значениях / ^ |га|,
в согласии с полученными выше матричным методом собствен-
собственными значениями момента. Соответствующие решения представ-
представляют собой так называемые присоединенные полиномы Лежан-
дра Pj71 (cosв) (см. §с математических дополнений). Нормируя
решение условием B8.2), получим1)
^^РГ (cose).	B8.5)
Здесь предполагается, что га ^ 0. Для отрицательных га опреде-
определим @1т соотношением
e,,_M = (-i)me/M,	B8.6)
т.е. 0/ш с га < 0 дается формулой B8.5), в которой надо напи-
написать |га| вместо га и опустить множитель (—1)ш.
х) Выбор фазового множителя, разумеется, не определяется условием нор-
нормировки. Определение, которым мы будем пользоваться в этой книге, наи-
наиболее естественно с точки зрения общей теории сложения моментов: оно
отличается от обычно применяемого множителем г1. Преимущества такого
выбора будут очевидны из примеч. на с. 278, 527, 533.

§ 28	СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТА	123
Таким образом, собственные функции момента оказывают-
оказываются, с математической точки зрения, определенным образом нор-
нормированными сферическими функциями. Выпишем, для удоб-
удобства дальнейших ссылок, полное их выражение, учитывающее
все указанные определения:
1 /О
+ ^Н);]
^;] p(coS0)e.
B8.7)
В частности,
lJ^	B8.8)
Очевидно, что функции, отличающиеся знаком т, связаны друг
с другом соотношениями
(-l)l-mYlt-m = Yl*m.	B8.9)
При / = 0 (так что и т = 0) шаровая функция сводится
к постоянной. Другими словами, волновые функции состояний
частицы с равным нулю моментом зависят только от г, т. е. об-
обладают полной шаровой симметрией — в соответствии со сде-
сделанным в § 27 общим утверждением.
При заданном т значения /, начинающиеся с |га|, нумеру-
нумеруют последовательные собственные значения величины I2 в по-
порядке их возрастания. Поэтому на основании общей теоремы о
нулях собственных функций (§21) мы приходим к выводу, что
функция ®im обращается в нуль при / — \т\ различных значени-
значениях угла 0; другими словами, она имеет в качестве узловых ли-
линий / — \т\ «кругов широт» шара. Что касается полных угловых
функций, то, если выбрать их с вещественными множителями
cosrrup или sinrrup вместо е^И^1) ? они будут иметь в качестве
узловых линий еще \т\ «меридианных кругов»; общее число уз-
узловых линий будет, таким образом, равно /.
Наконец, покажем, каким образом можно вычислить функ-
функции 0/ш матричным методом. Это делается аналогично тому,
как были вычислены в § 23 волновые функции осциллятора. Ис-
Исходим из равенства B7.8) /+У// = 0. Воспользовавшись выраже-
выражением B6.15) для оператора /+ и подставляя
х) Каждая такая функция соответствует состоянию, в котором lz не име-
имеет определенного значения, а может иметь, с равной вероятностью, значе-
значения ±771.

124
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
получаем для @ц уравнение
аи
откуда @ц = const • sin* 9. Определив постоянную из условия нор-
нормировки, получим
Далее, используя B7.12), пишем
Повторное применение этой формулы дает
l(l-m)\v	1 Ъ-т
¦ Ylm. = 	г-.	— L_
Вычисление правой части равенства легко производится с помо-
помощью выражения B6.15) для оператора /_, согласно которому
] esin^
Повторное применение этой формулы дает
sin— в *™(Вш1 в ¦ в„).
Наконец, используя эти соотношения и выражение B8.10) для
в//, получим формулу
, B8.п)
совпадающую с B8.5).
§ 29. Матричные элементы векторов
Рассмотрим снова замкнутую систему частиц1), и пусть /
есть любая характеризующая ее скалярная физическая вели-
величина, а /—соответствующий этой величине оператор. Всякий
1) Все результаты этого параграфа справедливы и для частицы в централь-
центрально-симметричном поле (вообще всегда, когда имеет место сохранение пол-
полного момента системы).

§ 29	МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ	125
скаляр инвариантен по отношению к повороту системы коорди-
координат. Поэтому скалярный оператор / не меняется под влиянием
операции поворота, т. е. коммутирует с оператором поворота.
Но мы знаем, что оператор бесконечно малого поворота с точ-
точностью до постоянного множителя совпадает с оператором мо-
момента, так что	^ ^
{/,L} = 0.	B9.1)
Из коммутативности / с оператором момента следует, что мат-
матрица величины / по отношению к переходам между состояния-
состояниями с определенными значениями L и М диагональна по этим
индексам. Более того, поскольку задание числа М определя-
определяет лишь ориентацию системы по отношению к координатным
осям, а значение скалярной величины от этой ориентации во-
вообще не зависит, то можно утверждать, что матричные элемен-
элементы (n'LM\f\nLM) не зависят от значения М (буквой п условно
обозначена совокупность всех остальных, помимо LhM, кван-
квантовых чисел, определяющих состояние системы). Формальное
доказательство этого утверждения можно получить, воспользо-
воспользовавшись коммутативностью операторов / и Ly.
fL+ - L+f = 0.	B9.2)
Напишем матричный элемент этого равенства для перехода
n,L,M —»> n',L,M + 1. Учитывая, что матрица величины L+
имеет только элементы с n, L, М —»> n, L, М + 1, находим
|n, L, M) =
= (п', ЦМ + l|L+|n', L, M){ri, L, M|/|n, L, M),
и поскольку матричные элементы L+ не зависят от индекса п,
то
(п', ЦМ + l|/|n, L, М + 1) = (n', L, M|/|n, L, М), B9.3)
откуда следует, что вообще все (?т/, L, M|/|n, L, М) с различны-
различными М (и одинаковыми остальными индексами) равны между
собой.
Если применить этот результат к самому гамильтониану,
то мы получим известную уже нам независимость энергии ста-
стационарных состояний от М, т.е. BL + 1)-кратное вырождение
энергетических уровней.
Пусть, далее, А — некоторая векторная физическая величи-
величина, характеризующая замкнутую систему. При повороте систе-
системы координат (в частности, бесконечно малом повороте, т. е.

126
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
при воздействии оператора момента) компоненты вектора пре-
преобразуются друг через друга. Поэтому и в результате коммути-
коммутирования операторов Li с операторами А{ должны получиться
вновь компоненты того же вектора Ai. Какие именно — мож-
можно найти, замечая, что в частном случае, когда А есть ради-
радиус-вектор частицы, должны получиться формулы B6.4). Таким
образом, находим правила коммутации:
{Li,Ak} = ieikiAi.	B9.4)
Эти соотношения позволяют получить ряд результатов
относительно формы матриц компонент вектора А (М. Борн,
В. Гейзенберг, П. Иордан, 1926). Прежде всего оказывается воз-
возможным найти правила отбора, определяющие, для каких пере-
переходов матричные элементы могут быть отличны от нуля. Мы,
однако, не станем приводить здесь соответствующих, довольно
громоздких, вычислений, поскольку в дальнейшем выяснится
(§ 107), что эти правила являются в действительности непосред-
непосредственным следствием общих трансформационных свойств век-
векторных величин и могут быть получены из них по существу
без всяких вычислений. Здесь же мы приведем эти правила без
вывода.
Матричные элементы всех компонент вектора могут быть от-
отличны от нуля только для таких переходов, в которых момент L
меняется не более чем на единицу:
L->L,L±1.	B9.5)
Кроме того, имеет место дополнительное правило отбора, запре-
запрещающее переходы между всякими двумя состояниями с L = 0;
это правило является очевидным следствием полной сфериче-
сферической симметрии состояний с равным нулю моментом.
Правила отбора по проекции момента М различны для раз-
разных компонент вектора. Именно, могут быть отличны от нуля
матричные элементы для переходов со следующими изменения-
изменениями значения М:
М -у М + 1 для А+ = Ах + гАу,
М->М-1 для А- = Az-iAy,	B9.6)
М -> М	для Az.
Далее, оказывается возможным определить в общем виде
зависимость матричных элементов вектора от числа М. Эти
важные, часто используемые формулы мы приведем здесь то-
тоже без вывода, поскольку и они являются в действительности
частным случаем более общих (относящихся к любым тензор-
тензорным величинам) соотношений, которые будут получены в § 107.

§ 29	МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРОВ	127
Отличные от нуля матричные элементы величины Az опре-
определяются следующими формулами:
М	(
(n'LM\Az\nLM) =
n,L-l), B9.7)
(n',L-l\\A\\nL).
здесь символ
(n'L'\\A\\\nL)
обозначает так называемые приведенные матричные элемен-
элементы— величины, не зависящие от квантового числа М1). Они
связаны друг с другом соотношениями
(riti\\A\\nL) = (nL\\A\\riL')\	B9.8)
непосредственно следующими из эрмитовости оператора Az.
Через те же приведенные элементы выражаются матрич-
матричные элементы величин Л_ и А+. Отличные от нуля матричные
элементы А- равны
(»', L, М - ЦААпЬМ) =
(n',L,M-l\A-\n,L-l,M) =
L-M + 1){L-™±(n>L\\A\\n,L-l), B9.9)
LBL-1)BL+1) X " " '	h У )
Матричные элементы А+ не требуют особых формул, поскольку
в силу вещественности Ах и Ау имеем
(riL'M'\A+\nLM) = (nLM\A-\riL'M')*.	B9.10)
х) Появление в формулах B9.7), B9.9) зависящих от L знаменателей соот-
соответствует общим обозначениям, введенным в § 107. Целесообразность этих
знаменателей проявляется, в частности, в простом виде, который принимает
формула B9.12) для матричных элементов скалярного произведения двух
векторов.
Символ приведенного матричного элемента надо понимать как единое це-
целое (в отличие от того, что было сказано в связи с символом матричного
элемента A1.17)).

128
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
Отметим формулу, выражающую матричные элементы ска-
скаляра АВ через приведенные матричные элементы двух вектор-
векторных величин А и В. Вычисление удобно производить, представив
оператор АВ в виде
АВ = \{А+В- + А_В+) + AZBZ.	B9.11)
Матрица величины АВ (как и всякого скаляра) диагональна
по L и М. Вычисление с помощью B9.7)-B9.9) приводит к ре-
результату:
(n'LM\AB\nLM) = ^— J2 (n9L\\A\\nNLN)(nNLN\\B\\nL),
n",L"
B9.12)
где L" пробегает значения L,L ± 1.
Выпишем, для справок, приведенные матричные элементы
для самого вектора L. Из сравнения формул B9.9) и B7.12) на-
находим
(L\\L\\L) = /
(L-1\\L\\L) = (L\\L\\L-1) = O.	B9.13)
Часто встречающейся в применениях величиной является
единичный вектор п в направлении радиуса-вектора частицы;
найдем его приведенные матричные элементы. Для этого доста-
достаточно вычислить, например, матричные элементы от nz = cos 9
при равной нулю проекции момента: т = 0. Имеем
7Г
(/- l,0|nz|/0) = / 6jr_ljO cos в -в/о sin в d9
о
с функциями Э/о из B8.11). Вычисление интеграла приводит к
результатух)
Матричные же элементы для переходов I —> I равны нулю (как
и для всякого полярного вектора, относящегося к отдельной ча-
частице—см. ниже C0.8)). Сравнение с B9.7) дает теперь
(/ - 1||п||/) = -(/||п||/ - 1) = n//, (l\\n\\l) = 0.	B9.14)
х) Вычисление осуществляется (/ — 1)-кратным интегрированием по частям
по dcosO. Общую формулу для интегралов такого вида — см. A07.14).

§30	ЧЕТНОСТЬ СОСТОЯНИЯ	129
Задача
Усреднить тензор щпк — (l/3)Sik (где п—единичный вектор в напра-
направлении радиуса-вектора частицы) по состоянию с заданной абсолютной ве-
величиной вектора 1, но не его направлением (т.е. неопределенным lz).
Решение. Искомое среднее значение есть оператор, который может
выражаться лишь через оператор 1. Ищем его в виде
1	П^^. ^^ 2
Щпк	Sik = a lilk + hh	Sikl(l +
о	|_	о
это есть наиболее общий вид составленного из компонент 1 симметрично-
симметричного тензора второго ранга с равным нулю следом. Для определения постоян-
постоянной а умножаем написанное равенство слева на h, и справа на 1к (с суммиро-
суммированием по г и к). Поскольку вектор п перпендикулярен к вектору Н\ = [гр],
то rbiU = 0. Произведение Uhlklk = (I2J заменяем его собственным значе-
значением 12{1 + IJ, а произведение hlkhh преобразуем с помощью соотношений
коммутации B6.7) следующим образом:
Уй = ШЛ - ieiulMh = (Т2J - l-eikiTi(T,Tk - hh) =
= (Т2J + ^eikle,kmUm = (Т2J -Т2 = /2(/ + IJ - /(/ + 1)
(мы воспользовались тем, что eikiCmki = 2?im). После простого приведения
получим в результате
1
§ 30. Четность состояния
Наряду с параллельными переносами и поворотами систе-
системы координат (инвариантность по отношению к которым выра-
выражает соответственно однородность и изотропию пространства)
существует еще одно преобразование, оставляющее неизменным
гамильтониан замкнутой системы. Это—так называемое пре-
преобразование инверсии, заключающееся в одновременном изме-
изменении знака всех координат, т. е. изменении направления всех
осей на обратное; правовинтовая система координат переходит
при этом в левовинтовую, и наоборот. Инвариантность гамиль-
гамильтониана по отношению к этому преобразованию выражает собой
симметрию пространства по отношению к зеркальным отраже-
отражениям г). В классической механике инвариантность функции Га-
Гамильтона по отношению к инверсии не приводит к каким-либо
г) Инвариантен по отношению к инверсии также и гамильтониан систе-
системы частиц, находящихся в центрально-симметричном поле (причем начало
координат должно совпадать с центром поля).

130
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
новым законам сохранения. В квантовой же механике ситуация
существенно иная.
Введем оператор инверсии Р1), действие которого на волно-
волновую функцию ^(г) заключается в изменении знака координат:
Рф{т) = ф{-т).	C0.1)
Легко найти собственные значения Р этого оператора, опре-
определяемые уравнением
Рф(г) = Рф(г).	C0.2)
Для этого замечаем, что двукратное воздействие оператора ин-
инверсии приводит к тождеству — аргументы функции вообще не
меняются. Другими словами, имеем Р2ф = Р2ф = Ф, т.е. Р2=1,
откуда
У	Р = ±1.	C0.3)
Таким образом, собственные функции оператора инверсии
либо не меняются вовсе под его воздействием, либо меняют свой
знак. В первом случае волновую функцию (и соответствующее
состояние) называют четной, а во втором — нечетной.
Инвариантность гамильтониана по отношению к инверсии
(т. е. коммутативность операторов Н и Р) выражает собой, сле-
следовательно, закон сохранения четности: если состояние замкну-
замкнутой системы обладает определенной четностью (т. е. если оно
четно или нечетно), то эта четность сохраняется со временем2).
По отношению к инверсии инвариантен также и оператор
момента: инверсия меняет знак как координат, так и операто-
операторов дифференцирования по ним, а потому оператор B6.2) оста-
остается неизменным. Другими словами, оператор инверсии комму-
коммутативен с оператором момента, а это значит, что система может
обладать определенной четностью одновременно с определенны-
определенными значениями момента L и его проекции М. При этом мож-
можно утверждать, что все состояния, отличающиеся только значе-
значением М, обладают одинаковой четностью. Это обстоятельство
очевидно уже из независимости свойств замкнутой системы от
ее ориентации в пространстве, а формально может быть доказа-
доказано исходя из коммутации L+P — PL+ = 0 тем же путем, каким
было получено B9.3) из B9.2).
) От английского слова parity — четность.
2) Во избежании недоразумений напомним, что речь идет о нерелятивист-
нерелятивистской теории. В природе существуют взаимодействия (рассматриваемые в
релятивистской теории), нарушающие сохранение четности.

§30	ЧЕТНОСТЬ СОСТОЯНИЯ	131
Для матричных элементов различных физических величин
существуют определенные правила отбора по четности.
Рассмотрим сначала скалярные величины. При этом надо
различать истинные скаляры — не меняющиеся вовсе при инвер-
инверсии, и псевдоскаляры — величины, меняющие знак при инверсии
(псевдоскаляром является скалярное произведение аксиального
и полярного векторов). Оператор истинного скаляра / коммута-
коммутативен с Р, отсюда следует, что если матрица Р диагональна, то
и матрица / диагональна по индексу четности, т. е. отличны от
нуля матричные элементы только для переходов g —> g и и —>• и
(индексы g и и означают соответственно четные и нечетные со-
состояния). Для оператора же псевдоскалярной величины имеем
Pf = —fP\ операторы Ри/ «антикоммутативны». Матричный
элемент этого равенства для перехода g —>• g есть
и поскольку Pgg = 1, то fgg = 0; таким же образом находим,
что и fuu = 0. Таким образом, матрица псевдоскалярной вели-
величины имеет отличные от нуля элементы только для переходов,
с изменением четности. Итак, правила отбора для матричных
элементов скалярных величин:
истинные скаляры: g —»> g, и —»> и,
псевдоскаляры:	g —»> и, и —»> g,	^ '
Эти правила можно получить и другим способом, прямо
из определения матричных элементов. Рассмотрим, например,
интеграл fug = J ip^ftpg dq, гДе функция фё — четна, а фи —
нечетна. При изменении знака всех координат подынтегральное
выражение меняет знак, если / есть истинный скаляр; с другой
стороны, интеграл, взятый по всему пространству, не может
измениться от изменения обозначения переменных интегрирова-
интегрирования. Отсюда следует, что fug = —fug, т.е. fug = 0.
Аналогичным образом можно получить правила отбора для
векторных величин. При этом надо помнить, что обычные, по-
полярные, векторы при инверсии меняют знак, а аксиальные век-
векторы при этом преобразовании не меняются (таков, например,
вектор момента — векторное произведение двух полярных векто-
векторов риг). Учтя это, найдем правила отбора:
полярные векторы: g —> и, и —>• g,
(oU.o)
аксиальные векторы: g ^ g, и —»> и.	v '
Определим четность состояния одной частицы с моментом /.
Преобразование инверсии (х —»> —ж, у —»> —у, z —» —z) состоит,

132
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
для сферических координат, в преобразовании
Г -> Г, 0^7Г-0, (р^(р + 7Г.	C0.6)
Зависимость волновой функции частицы от углов задается сфе-
сферической функцией У/ш, которая, с точностью до несуществен-
несущественной для нас здесь постоянной, имеет вид P[n(cos6)eirrilf>. При
замене <р на <р + тг множитель егт1р умножается на (—l)m, a
при замене в на тг - в P^^osO) переходит в Pzm(-cos0) =
= ( — l)/~mP/m(cos0). Таким образом, вся функция умножится
на число ( — II (не зависящее от га, в согласии со сказанным
выше), т.е. четность состояния с данным значением / есть
Р= (-1)'.	C0.7)
Мы видим, что все состояния с четным / четны, а с нечетным /
нечетны.
Векторная физическая величина, относящаяся к отдельной
частице, может иметь матричные элементы лишь для переходов
с / —»> /, /±1 (§ 29). Имея это в виду и сопоставляя формулу C0.7)
со сказанным выше относительно изменения четности в матрич-
матричных элементах векторов, мы приходим к выводу, что матричные
элементы векторных величин, относящихся к отдельной частице,
отличны от нуля только для переходов:
полярные векторы: / —»> / ± 1,
7	7
аксиальные векторы: /—>•/.
§ 31. Сложение моментов
Рассмотрим систему, состоящую из двух слабо взаимодей-
взаимодействующих частей. При полном пренебрежении взаимодействием
для каждой из них справедлив закон сохранения момента им-
импульса, а полный момент L всей системы можно рассматривать
как сумму моментов Li и L»2 ее частей. В следующем прибли-
приближении при учете слабого взаимодействия законы сохранения Li
и L»2 уже не выполняются строго, но определяющие их квадра-
квадраты чисел Li и L/2 остаются «хорошими» квантовыми числами,
пригодными для приближенного описания состояния системы.
Наглядно, т. е. рассматривая моменты классически, можно ска-
сказать, что в этом приближении Li и L/2 вращаются вокруг на-
направления L, оставаясь неизменными по величине.
В связи с рассмотрением таких систем возникает вопрос о
законе сложения моментов. Каковы возможные значения L при
заданных значениях L\ и L^l Что касается закона сложения для

31	СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	133
проекций момента, то он очевиден: из Lz = L\z + L^z следует,
что и
М = Mi + M2.	C1.1)
Для операторов же квадратов моментов такого простого со-
соотношения нет и для вывода их «закона сложения» рассуждаем
следующим образом.
Если выбрать в качестве полной системы физических вели-
величин величины L^, L|, L\z, L22;1) ? то каждое состояние будет
определяться значениями чисел Li, Z/2, Л^ъ ^2- При заданных
L\ и Z/2 числа Mi, М2 пробегают соответственно по BLi + 1)
и BZ/2 + 1) значений, так что всего имеется BLi + l)BZ/2 + 1)
различных состояний с одинаковыми Li, L2. Волновые функции
состояний в этом описании обозначим как <рь1ь2м1м2-
Вместо четырех указанных величин в качестве полной си-
системы можно выбрать четыре величины L^, L|, L2, Lz. Тог-
Тогда каждое состояние будет характеризоваться значениями чи-
чисел Li, Z/2> L, М (соответствующие волновые функции обозначим
как фь1ь2м1м2)- При заданных L\ и Z/2 должно быть, разумеется,
по-прежнему BLi + l)BZ/2 + l) различных состояний, т.е. при за-
заданных Li, Z/2 пара чисел L, М может пробегать BLi + l)BZ/2 + l)
пар значений. Эти значения можно определить следующими рас-
рассуждениями.
Складывая друг с другом различные допустимые значе-
значения М\ и М2, получим соответствующие значения М:
М\	М2	Ms
Li
Li
Li
Li
Li
-1
-1
-2
L2
L2
L2
L2
L2
L2
-1 1
-1 )
1
Li+L2
Lj+L2
Lj+L2
-1
-2
Мы видим, что наибольшее возможное значение М есть М =
= Li+L/2, причем ему отвечает одно состояние (р (одна пара зна-
значений Mi, M2). Поэтому и наибольшее возможное значение М
в состояниях ф, а следовательно, и наибольшее L, есть L\ +I/2-
Далее, имеются два состояния (pcM = Li + L/2 — l. Следователь-
Следовательно, должны быть и два состояния ф с этим значением М; одно
1) И ряд других величин, которые вместе с четырьмя указанными образу-
образуют полную систему. Эти остальные величины не играют роли в дальнейших
рассуждениях, и для краткости выражений мы о них не говорим вовсе, на-
называя условно полной систему четырех указанных величин.

134
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	ГЛ. IV
из них есть состояние с L = L\ + L2 (л М = L — 1), а другое —
с L = L\ +Z/2 — 1 (причем М = L). Для значения М = L\ + L2—2
есть три различных состояния (р. Это значит, что наряду со зна-
значениями L = Li+L/2, L = L1+L2 — I возможно также и значение
L = Li + L2 - 2.
Эти рассуждения можно продолжать в таком же виде, пока
при уменьшении М на 1 увеличивается на 1 число состояний с
заданным значением М. Легко сообразить, что это будет иметь
место до тех пор, пока М не достигнет значения \L\ — Х/21• При
дальнейшем уменьшении М число состояний перестанет возра-
возрастать, оставаясь равным 2Z/2 + 1 (если Z/2 ^ ^l)- Это значит,
что \L\ — L2I есть наименьшее возможное значение L.
Таким образом, мы приходим к результату, что при задан-
заданных L\ и Z/2 число L может пробегать значения
L = Li + L2, ii + L2 - 1,..., |Li - L2|,	C1.2)
всего 2Z/2 + 1 (считая, что Z/2 ^ ^l) различных значений.
Легко проверить, что получается действительно BLi + 1) х
xBZ/2 + l) различных значений пары чисел М, L. При этом
существенно отметить, что (если отвлечься от 2L + 1 различных
значений М при заданном L) каждому из возможных значений L
C1.2) соответствует всего по одному состоянию.
Этот результат можно наглядно изобразить с помощью так
называемой векторной модели. Если ввести два вектора Li, L2
с длинами Li и L2, то значения L изобразятся как целочислен-
целочисленные длины векторов L, получающихся в результате векторного
сложения Li и L2; наибольшее (L\ + L2) значение L получается
при параллельных, а наименьшее (|Li — L2I) —при антипарал-
антипараллельных Li и L/2-
В состояниях с определенными значениями моментов Li, L2
и полного момента L имеют определенные значения также и
скалярные произведения L1L2, LLi, LL2. Легко найти эти зна-
значения. Для вычисления LiL»2 пишем L = Li + L2 или, возводя в
квадрат и перенося члены,
L L L
Заменяя операторы в правой части равенства их собственными
значениями, получим собственное значение оператора в левой
части равенства
LiL2 = \{L(L + 1) - Li(Li + 1) - L2(L2 + 1)}.	C1.3)
Аналогичным образом найдем
LLi = ±{L(L + 1) + Li(Li + 1) - L2(L2 + 1)}.	C1.4)

§ 31	СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	135
Выясним теперь правило сложения четностей. Волновая
функция Ф системы, состоящей из двух независимых частей,
представляет собой произведение волновых функций Фх и $2
этих частей. Ясно поэтому, что если обе последние обладают
одинаковой четностью (т. е. обе меняют или обе не меняют свой
знак при изменении знака всех координат), то волновая функция
всей системы будет четной. Напротив, если $i и $2 обладают
различной четностью, то функция Ф будет нечетной. Эти утвер-
утверждения можно выразить равенством
Р = Р1Р2,	C1.5)
где Р—четность системы в целом, a Pi, Р2— четности ее ча-
частей. Это правило, разумеется, непосредственно обобщается на
случай системы, состоящей из произвольного числа невзаимо-
невзаимодействующих частей.
В частности, если речь идет о системе частиц, находящихся в
центрально-симметричном поле (причем взаимодействие частиц
друг с другом можно считать слабым), то четность состояния
системы в целом	р _ ,
(см. C0.7)). Подчеркнем, что здесь в показателе стоит алгебра-
алгебраическая сумма моментов частиц, вообще говоря, отличная от их
«векторной суммы» т. е. момента L системы.
Если замкнутая система распадается на части (под влияни-
влиянием действующих в ней самой сил), то ее полные момент и чет-
четность должны сохраняться. Это обстоятельство может сделать
невозможным распад системы, даже если он возможен в энерге-
энергетическом отношении.
Рассмотрим, например, атом, находящийся в четном состо-
состоянии с моментом L = 0, причем энергетически он мог бы рас-
распасться на свободный электрон и ион в нечетном состоянии с
тем же моментом L = 0. Легко видеть, что фактически та-
такой распад не может произойти (будет, как говорят, запрещен).
Действительно, в силу закона сохранения момента свободный
электрон должен был бы тоже обладать равным нулю моментом
и потому находиться в четном состоянии (Р = ( — 1)° = +1), но
в этом случае состояние системы ион+свободный электрон был
бы нечетным, между тем как первоначальное состояние атома
было четным.

ГЛАВА V
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ
ПОЛЕ
§ 32. Движение в центрально-симметричном поле
Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом
частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об
одной частице, — аналогично тому, как это может быть сделано
в классической механике. Гамильтониан двух частиц (с масса-
массами TTii, 7^2), взаимодействующих по закону U(r) (r — расстояние
между частицами), имеет вид
Н = --^Ai - -^А2 + Щг),	C2.1)
2m	2m2
где Ai, A2 — операторы Лапласа по координатам частиц. Вве-
Введем вместо радиусов-векторов частиц Г2 и гх новые переменные
R и г:
г = г2-п, К=Ш1Г1+Ш2Г2;	C2.2)
ТПг + 1712
г—вектор взаимного расстояния, a R—радиус-вектор центра
инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату;
Н = - П1 Ад - f-Д + Щг)	C2.3)
2(mi + ГП2)	2т
(Ад и А—операторы Лапласа соответственно по компонен-
компонентам векторов R и г; mi + 7712 — полная масса системы; т =
= гахга2/(гах + 777,2) — приведенная масса). Таким образом, га-
гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей.
Соответственно этому, можно искать ^(гх,^) в виде произведе-
произведения (^(R)'0(r), где функция (^(R) описывает движение центра
инерции (как свободное движение частицы с массой гах + 777,2), a
^(г) описывает относительное движение частиц (как движение
частицы массы ттт, в центрально-симметричном поле U = U(r)).
Уравнение Шредингера для движения частицы в централь-
центрально-симметричном поле имеет вид
^[Е-и(г)]ф = 0.	C2.4)

§ 32	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	137
Воспользовавшись известным выражением для оператора Ла-
Лапласа в сферических координатах, напишем это уравнение в
виде
д/2д±\
Г
i_ д_/Г2д_±
г2дг\ дг
Если ввести сюда оператор B6.16) квадрата момента, то мы по-
получим 1)
При движении в центрально-симметричном поле момент им-
импульса сохраняется. Будем рассматривать стационарные состоя-
состояния с определенными значениями момента / и его проекций га.
Заданием значений / и га определяется угловая зависимость вол-
волновых функций. Соответственно этому, ищем решения уравне-
уравнения C2.6) в виде
ф = Щг)?1т(в,<р),	C2.7)
где YimF,(p)— сферические функции. Поскольку VYirn =
= 1A + 1)У/Ш, то для «радиальной функции» R(r) получаем
уравнение
(§R) ll+A ^[E_ U{r)]R = о.	C2.8)
)	R +
dr /	г	Н
Это уравнение не содержит вовсе значения lz = га, что соот-
соответствует известному уже нам B/ + 1)-кратному вырождению
уровней по направлениям момента.
Займемся исследованием радиальной части волновых функ-
функций. Подстановкой
R(r) = ^	C2.9)
х) Если ввести оператор радиальной компоненты импульса рг в виде
ргф = -1П- — [гф) = -ih ( — + -
г or	\ог г
то гамильтониан запишется в виде
1
Н= —
zm
совпадающем по форме с классической функцией Гамильтона в сферических
координатах.

138
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
уравнение C2.8) приводится к виду
«±Щ = 0. C2.10)
Если потенциальная энергия U(r) везде конечна, то должна
быть конечной во всем пространстве, включая начало коорди-
координат, также и волновая функция ф, а следовательно, и ее ради-
радиальная часть R(r). Отсюда следует, что %(г) должна обращаться
при г = 0 в нуль:
Х(О) = 0.	C2.11)
В действительности это условие сохраняется (см. § 35) также и
для поля, обращающегося при гчОв бесконечность.
Уравнение C2.10) по форме совпадает с уравнением Шредин-
гера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией
Щг) = U (г) + |^^А	C2.12)
равной сумме энергии U(r) и члена
П21A + 1) _ П2\2
2mr2 ~ 2тг2'
который можно назвать центробежной энергией. Таким образом,
задача о движении в центрально-симметричном поле сводится
к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с
одной стороны (граничное условие при г = 0). «Одномерный
характер» имеет также и условие нормировки для функций х->
определяющееся интегралом
J\R\2r2dr = J\X\2dr.
При одномерном движении в ограниченной с одной стороны
области уровни энергии не вырождены (§21). Поэтому мож-
можно сказать, что заданием значения энергии решение уравне-
уравнения C2.10), т.е. радиальная часть волновой функции, определя-
определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой
функции полностью определяется значениями / и га, мы прихо-
приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном
поле волновая функция полностью определяется значениями Е,
/, га. Другими словами, энергия, квадрат момента и его проек-
проекция составляют вместе полный набор физических величин для
такого движения.

§ 32	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	139
Сведение задачи о движении в центрально-симметричном по-
поле к одномерному позволяет применить осцилляционную теоре-
теорему (§21). Расположим собственные значения энергии (дискрет-
(дискретного спектра) при заданном / в порядке возрастания, перенуме-
перенумеровав их порядковыми номерами пг, причем наиболее низкому
уровню приписывается номер пг = 0. Тогда пг определяет число
узлов радиальной части волновой функции при конечных значе-
значениях г (не считая точки г = 0). Число пг называют радиальным
квантовым числом. Число / при движении в центрально-симме-
центрально-симметричном поле иногда называют азимутальным квантовым чи-
числом, а т — магнитным квантовым числом.
Для обозначения состояний с различными значениями мо-
момента / частицы существует общепринятая символика; состоя-
состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим
соответствием:
/=01234567...	C2 131
spdfghik...	\ • )
Нормальным состоянием при движении частицы в централь-
центрально-симметричном поле всегда является s-состояние; действитель-
действительно, при / ф 0 угловая часть волновой функции во всяком слу-
случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального
состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утвер-
утверждать, что наименьшее возможное при заданном / собственное
значение энергии растет с увеличением /. Это следует уже из
того, что наличие момента связано с добавлением в гамиль-
гамильтониане существенно положительного члена Я2/(/ + l)/Bmr2),
растущего с увеличением /.
Определим вид радиальной функции вблизи начала коорди-
координат. При этом будем считать, что
lim U(r)r2 = 0.	C2.14)
г—И)
Ищем R(r) в виде степенного ряда по г, оставляя при малых г
только первый член разложения; другими словами, ищем R(r) в
виде R = const -rs. Подставляя это в уравнение
= о,
получающееся из C2.8) умножением последнего на г2 и перехо-
переходом кгчО, найдем
ф + 1) = /(/ + 1).
Отсюда
s = I или s = — (I + 1).

140
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Решение с s = —(/ + 1) не удовлетворяет необходимым услови-
условиям; оно обращается в бесконечность при г = 0 (напомним, что
/ ^ 0). Таким образом, остается решение с s = 1, т.е. вблизи
начала координат волновые функции состояний с данным / про-
пропорциональны г1:
Rl «const-r*.	C2.15)
Вероятность частице находиться на расстоянии от центра
между г и г + dr определяется величиной r2|i?2| и поэтому про-
пропорциональна r2(/+1). Мы видим, что она тем быстрее обращает-
обращается в нуль в начале координат, чем больше значение /.
§ 33. Сферические волны
Плоская волна
<фр = const • ехр ( -pr ]
описывает стационарное состояние, в котором свободная ча-
частица обладает определенным импульсом р (и энергией Е =
= р2/2т). Рассмотрим теперь такие стационарные состояния
свободной частицы, в которых она обладает, наряду с энергией,
определенными величиной и проекцией момента. Вместо энергии
нам будет удобно ввести волновой вектор
к = Е = ^р.	C3.1)
Волновая функция состояния с моментом / и его проекцией га
имеет вид
ipklm = Rkl(r)Ylm(e,<p),	C3.2)
где радиальная функция определяется уравнением
0	C3.3)
(уравнение C2.8) без U(r)). Волновые функции фыпп относя-
относящиеся к непрерывному (по к) спектру, удовлетворяют условиям
нормировки и взаимной ортогональности:
/ ^k'
Взаимная ортогональность при различных /, /' и га, тг обеспечи-
обеспечивается угловыми функциями. Радиальные же функции должны

33	СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ	141
быть нормированы условием
r2
f
r2RmRki dr = S[^^ ) = 2nS(kf - к).	C3.4)
о
Если нормировать волновые функции не «по шкале &/2тг», а «по
шкале энергии», т. е. условием
оо
/¦
о
то, согласно общей формуле E.14),
1 dfc\V2 1
)
C3-5)
При / = 0 уравнение C3.3) можно написать в виде
dr2
его решение, конечное при г = 0 и нормированное условием
C3.4) (ср. B1.9)), есть
Rk0 = 2^.	C3.6)
Для решения уравнения C3.3) с / ф 0 делаем подстановку:
Rki = rlxki-	C3.7)
Для хы будем иметь уравнение
X'li + 2-^х'м + к\к1 = 0.
Если продифференцировать это уравнение по г, то получим
,„ 2A + 1) „ Г 2 2A + 1I , _ п
Хм "^	"—Хм + [я	~2—\Хм - и-
Подстановкой Хм = rX/c,/+i OHO приводится к виду
Xk,l+i + ^xi.i+1 + A: Wi = 0,
действительно совпадающему с тем, которому должна удо-
удовлетворять функция Xk,l+i Таким образом, последовательные
функции хм связаны друг с другом соотношением
Xk,i+i = -Хш,	C3.8)

142
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
а потому
Хы
/1 d\l
= (-3") Xko,
\r dr/
где х/сО — RkO определяется формулой C3.6) (это выражение
может быть, разумеется, умножено еще на произвольную по-
постоянную) .
Таким образом, окончательно находим следующее выраже-
выражение для радиальных функций свободного движения частицы:
(множитель к~1 введен для нормировки —см. ниже; множитель
( —1)г — из соображений удобства). Функции C3.9) могут быть
выражены через функции Бесселя полуцелого порядка:
Rkl = J^Ji+i/2(kr) = 2kjt(kr);	C3.10)
вводимые в этой связи функции
C3.11)
называют сферическими функциями Бесселя1).
Для получения асимптотического выражения радиальной
функции C3.9) на больших расстояниях замечаем, что член,
наименее быстро убывающий с г при г —»> ос, получается при
/-кратном дифференцировании синуса. Поскольку каждое диф-
дифференцирование, —d/dr, синуса прибавляет член —тг/2 в его
аргументе, то получаем следующее асимптотическое выражение:
RM « -sniffer- —V	C3.12)
г \	2 /
Нормировку функций Rki можно производить по их асимп-
асимптотическим выражениям, как это было объяснено в §21. Срав-
Сравнив асимптотическую формулу C3.12) с нормированной функ-
функцией Rko C3.6), видим, что функции Лд./ с выбранным в C3.9)
коэффициентом действительно нормированы должным образом.
1) Первые несколько функций ji:
. _ sin x . _ sin x cos x . _ ( 3 1 \ .	3 cos x
В литературе встречается также определение функций jt, отличающееся
от C3.11) множителем х.

§ 33	СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ	143
Вблизи начала координат (малые г) находим, разложив sin кг
в ряд и сохранив только член, дающий после дифференцирова-
дифференцирований наиболее низкую степень г1):
/1 d \1 si
\г dr)
sinkr /1 d\l( лЛ\ (krJl+1
•dr/ v J rBZ + l)! BZ + 1)!!
Таким образом, вблизи начала координат функции R^i имеют
вид
RH « —	г1	C3.13)
в согласии с общим результатом C2.15).
В некоторых задачах (в теории рассеяния) приходится рас-
рассматривать волновые функции, не удовлетворяющие обычным
условиям конечности, а соответствующие потоку частиц, выле-
вылетающих из центра или, напротив, падающих на него. Волновая
функция, описывающая такой поток частиц с моментом / = О,
получится, если взять вместо стоячей сферической волны C3.6)
решение в виде расходящейся (Л^о) или сходящейся (Л^"о) сФе"
рической волны:
Д*о = -e±ikr.	C3.14)
В общем случае для отличного от нуля момента / получим
решение уравнения C3.3) в виде
dr) г	(
Эти функции могут быть выражены через функции Ганкеля
C3.16)
(первого и второго рода — соответственно для знаков	+ и —).
Асимптотическое выражение функции C3.15)
Ru ~ -exp\±i(kr- —)}.	C3.17)
Вблизи же начала координат она имеет вид
^«А^Ь^г-'-1.	C3.18)
1) Знак !! означает произведение всех чисел одинаковой четности до дан-
данного включительно.

144
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Нормируем эти функции так, чтобы они соответствовали
испусканию (или поглощению) в единицу времени одной части-
частицы. Для этого заметим, что на больших расстояниях сфериче-
сферическая волна в каждом небольшом участке может рассматривать-
рассматриваться как плоская и плотность потока в ней равна j = уфф*, где
v = кН/т — скорость частиц. Нормировка определяется услови-
условием § j df = 1, где интегрирование производится по сферической
поверхности большого радиуса г, т.е. f jr2 do = 1, где do —эле-
—элемент телесного угла. Оставляя нормировку угловых функций
прежней, мы должны, следовательно, положить коэффициент А
в радиальной функции равным
.	C3.19)
Асимптотическое выражение, аналогичное C3.12), имеет ме-
место не только для радиальной части волновой функции свобод-
свободного движения, но и при движении (с положительной энергией)
в любом поле, достаточно быстро убывающем с расстоянием1).
На больших расстояниях можно пренебречь в уравнении Шре-
дингера как полем, так и центробежной энергией, и остается
приближенное уравнение
1 d2(rRkl) 2
71
г аг
Общее решение этого уравнения
Rkl » 2»b(fa-fa/2 + ft)|	(зз.2О)
где 6— постоянная (фазовый сдвиг), а общий множитель вы-
выбран в соответствии с нормировкой волновой функции «по шка-
шкале &/2тг»2). Постоянная фаза Si определяется граничным усло-
условием (конечность R^i при г —»> 0), при котором должно решаться
точное уравнение Шредингера, и не может быть вычислена в
общем виде. Фазы 5\ являются, разумеется, функциями как от /,
так и от & и представляют собой существенную характеристику
собственных функций непрерывного спектра.
Задачи
1. Определить уровни энергии для движения частицы с моментом / = 0
в сферической прямоугольной потенциальной яме: U(r) = — Uq при г < а,
U(r) = 0 при г > а.
1)	Как будет показано в § 124, поле должно убывать быстрее, чем 1/г.
2)	Член —In/2 в аргументе синуса прибавлен для того, чтобы в отсутствие
поля было Si = 0. Поскольку общий знак волновой функции несуществен,
фазы Si определены с точностью до тгп (а не 2тт); поэтому их значения
всегда могут быть приведены к интервалу между 0 и тг.

\ 33	СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ	145
Решение. При / = 0 волновые функции зависят только от г. Внутри
ямы уравнение Шредингера имеет вид
--^ИО + *V = 0, к = \y/2m(U0-\E\).
г аг	п
Решение, конечное при г = О,
ф = A(sinkr)/r.
При г > а имеем уравнение
Решение, обращающееся в нуль на бесконечности,
ф = А'е-"г/г.
Условие непрерывности логарифмической производной от гф при г=а дает
kctgka= -x= -^2mU0/H2 -к2,	A)
sin ka = ±л/П2/{2та2и0)ка.	B)
Этим уравнением определяются, неявным образом, искомые уровни энергии
(должны быть взяты те корни уравнения, для которых ctgka < О, как это
следует из A)). Первый из этих уровней (уровни с / = 0) является в то же
время самым глубоким из всех вообще уровней энергии, т. е. соответствует
нормальному состоянию частицы.
При слишком малой глубине С/о потенциальной ямы уровни отрицатель-
отрицательной энергии вообще отсутствуют, частица не может «удержаться» ямой. Это
легко видеть из уравнения B) с помощью
следующего графического построения. Корни
уравнения вида ± sin х = ах изображаются
точками пересечения прямой у = ах кривы-
кривыми у = zbsina;, причем мы должны рассматри-
рассматривать только те точки пересечения, в которых
ctga; < 0; соответствующие участки кривых
у = zbsina; изображены на рис. 9 сплошной ли-	Рис. 9
нией. Мы видим, что при слишком больших а
(малых С/о) таких точек пересечения вообще нет. Первая такая точка по-
появляется, когда прямая у = ах занимает показанное на рис. 9 положение,
т.е. при а=2/тг, и находится при х=тт/2. Полагая a=h/\/2ma2Uo, х=ка,
получаем отсюда для минимальной глубины ямы, при которой появляется
первый отрицательный уровень,
U0min = 7v2n2/(8ma2).	C)
Эта величина тем больше, чем меньше радиус ямы а. Положение первого
уровня Ег в момент его появления определяется из ка = тг/2 и равно Е\ = 0,
как и естественно было ожидать. По мере дальнейшего увеличения глубины
ямы нормальный уровень Е\ тоже понижается. При малой разности А =
= C/o/C/omin — 1 это понижение происходит по закону
-Ег = Gr2/16)%minA2.	D)
2. Определить порядок расположения уровней энергии с различными
значениями момента / в очень глубокой (С/о ^> Н2/та2) сферической потен-
потенциальной яме (W. Elsasser, 1933).

146
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Решение. Условие на границе ямы требует, при Uo —> оо, обраще-
обращения ф в нуль (см. §22). Написав радиальную волновую функцию внутри
ямы в виде C3.10), получим уравнение
Ji+1/2(ka) = 0,
корни которого определяют положение уровней над дном ямы
(Uo — \E\ = h2k2 /2m) при различных значениях /. Порядок их расположения,
начиная от основного состояния, оказывается следующим:
Is, lp, Id, 2s, If, 2p, lg, 2d, lh, 3s, 2/,...
Цифра перед буквой нумерует в порядке возрастающей последовательности
уровни с одинаковым / ) .
3. Определить последовательность, в которой появляются уровни с раз-
различными / по мере возрастания глубины ямы С/о.
Решение.В момент своего первого появления новый уровень имеет
энергию Е = 0. Соответствующая волновая функция в области вне ямы,
обращающаяся в нуль при г —>- оо, есть Щ = const-г~^+1^ (решение урав-
уравнения C3.3) с к = 0). Из непрерывности Щ и R[ на границе ямы следует,
в частности, непрерывность производной (г Ri)' •> откуда в данном случае
получается следующее условие для волновой функции внутри ямы:
(rl+1Ri)' = 0 при г = а.
Оно эквивалентно2) условию обращения в нуль функции Ri-i, и, вви-
ввиду C3.10), получаем уравнение
при / = 0 функцию Ji-1/2 надо заменить на cos. Отсюда получается следую-
следующая последовательность появления новых уровней при увеличении С/о:
Is, lp, Id, 2s, 1/, 2p, lg, 2d, 3s, lh, 2/,...
Отметим, что отличия от порядка расположения уровней в глубокой яме
появляются лишь для сравнительно высоких уровней.
4. Определить уровни энергии пространственного осциллятора (частица
в поле U = (l/2)muj2r2), кратности их вырождения и возможные значения
орбитального момента в соответствующих стационарных состояниях.
Решение. Уравнение Шредингера для частицы в поле С/= A/2)тои2х
х (х2 -\-у2 -\-z2) допускает разделение переменных, приводящее к трем урав-
уравнениям типа линейного осциллятора. Поэтому уровни энергии
Е = Пш(щ + п2 + п3 + 3/2) = Пш(п + 3/2).
х) Такое обозначение принято для уровней частиц в ядре (§118).
) Согласно C3.7),C3.8) имеем (r~lRi)' ~ r~lRi+1. Поскольку уравне-
уравнение C3.3) не меняется при замене Z на — Z — 1, имеем также
Наконец, поскольку функции R-i и R-i-i удовлетворяют одному и тому же
уравнению, получаем окончательно
что и использовано в тексте.

\ 34	РАЗЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	147
Кратность вырождения n-го уровня равна числу способов, которыми п мо-
может быть представлено в виде суммы трех целых неотрицательных чисел 1);
оно равно
(	)(	)
2
Волновые функции стационарных состояний
/ а2г2\
фп1П2пз = const-exp I	— I Hni(ax)Hn2(ay)Hn3(az),	E)
где а = у/тш/Н (т— масса частицы). При изменении знака координа-
координаты полином Нп умножается на ( —1)п. Поэтому четность функции E) есть
( —1)П1+П2+Пз = ( —1)п. Составляя линейные комбинации этих функций с
заданной суммой п\ + п^ + пъ = п, можно образовать функции
фп1т = const т'ехр ("^) Ylm@,<p)F (-^'/+ f'aV) , F)
где F—вырожденная гипергеометрическая функция, \т\ = 0,1,...,/, а /
пробегает значения 0, 2,..., п для четных п и 1,3,..., п — для нечетных п,
последнее очевидно из сопоставления четности ( —1)п функций E) и четно-
четности ( — II функций F), которые должны быть одинаковыми. Этим опреде-
определяются возможные значения орбитального момента, соответствующие рас-
рассматриваемым уровням энергии.
Последовательность уровней пространственного осциллятора (в тех же
обозначениях, что и в задачах 2, 3), следовательно, такова:
(Is), (lp), (Id, 2s), (l/,2p), (lg,2d,3s),...,
где в скобки заключены взаимно вырожденные состояния 2).
§ 34. Разложение плоской волны
Рассмотрим свободную частицу, движущуюся с определен-
определенным импульсом р = Ш в положительном направлении оси z.
Волновая функция такой частицы имеет вид
ф = const -elkz.
Разложим эту функцию по волновым функциям фыт свобод-
свободного движения с определенными моментами. Поскольку в рас-
рассматриваемом состоянии энергия имеет определенное значение
Е = к2ft?/2т, то ясно, что в искомое разложение войдут только
функции с тем же к. Далее, поскольку функция elkz обладает
аксиальной симметрией вокруг оси z, то в ее разложение могут
) Другими словами, это есть число способов, которыми п одинаковых ша-
шаров могут быть разложены по трем ящикам.
2) Обратим внимание на взаимное вырождение уровней с различными мо-
моментами /; см. по этому поводу примеч. на с. 164.

148
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
войти только функции, не зависящие от угла <р, т.е. функции
с га = 0. Таким образом, должно быть:
eikz =
1=0	1=0
где а\ — постоянные. Подставив выражения B8.8) и C3.9) для
функций У/о и Rku получим
1=0
где С\ — другие постоянные. Эти постоянные удобно опреде-
определить, сравнив коэффициенты при (г cos 9)п в разложениях обеих
частей равенства по степеням г. В правой части равенства та-
такой член имеется только в п-м слагаемом; при I > п разложение
радиальной функции начинается с более высоких степеней г,
а при п > I полином Pi(cos9) содержит более низкие степени
cos0. Член с cos1 в в Pi (cos в) имеет коэффициентом B/)!/2г(/!J
(см. формулу (с.1)). Пользуясь также формулой C3.13), найдем
интересующий нас член разложения правой части равенства
,-Ыс BQ!(fcr cos вI
с
У } *2Z(Z!J1-3...BZ + 1)'
В левой части равенств соответствующий (в разложении
ex.p(ikr cos 9)) член есть
(ikr cos вI
Т\ '
Приравнивая обе величины, найдем G/ = (—гI B1 + 1). Таким
образом, окончательно получаем искомое разложение
1=0
На больших расстояниях оно принимает асимптотическую
форму
eikz ~±у2{1B1 + i)fl(cos0) sin
1=0
in(kr - -) .	C4.2)
В C4.1) ось z выбрана в направлении волнового вектора
плоской волны к. Это разложение можно записать и в более

§ 34	РАЗЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ	149
общем виде, не предполагающем определенного выбора коорди-
координатных осей. Для этого надо воспользоваться теоремой сложе-
сложения шаровых функций (см. (с.11)), выразив с ее помощью по-
полиномы P/(cos#) через шаровые функции от направлений к и г
(угол между которыми и есть в):
ffl^)	C4.3)
=0 т=-1
Функции ji(kr) (определенные согласно C3.11)) зависят только
от произведения fcr, и тем самым ясно видна симметрия форму-
формулы по отношению к векторам к и г (у которой из двух шаровых
функций стоит знак комплексного сопряжения — безразлично).
Нормируем волновую функцию е на равную единице плот-
плотность потока вероятности, т. е. так чтобы она соответствовала
потоку частиц (параллельному оси z), через единицу площа-
площади сечения которого в единицу времени проходит одна частица.
Такая функция есть
±	M	C4.4)
(г> — скорость частиц; см. A9.7)). Умножая обе части равен-
равенства C4.1) на л/rnjkh и вводя в правой его части нормированные
функции ф±т = R^(r)Yim(e,(p), получим
1=0
Квадрат модуля коэффициента при V^o (или *Фыо) в этом
разлож:ении определяет, согласно общим правилам, вероятность
того, что частица в падающем на центр (или расходящемся из
центра) потоке будет обладать моментом / (относительно начала
координат). Поскольку волновая функция elkz/y/v соответству-
соответствует потоку частиц с равной единице плотностью, то эта «вероят-
«вероятность» обладает размерностью квадрата длины; она может быть
наглядно истолкована как величина «прицельной площади» (в
плоскости жу), на которую должна попасть падающая части-
частица, в случае если ее момент равен /. Обозначая эту величину
через сг/, имеем
a, = JBZ + l).	C4.5)

150
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
При больших значениях / сумма прицельных площадей по ин-
интервалу А/ значений / (такому, что 1 ^С А/ ^С /) равна
А/
При подстановке классического выражения для момента Ш = рр
(где р — так называемое прицельное расстояние) это выражение
переходит в
что совпадает с классическим выражением. Это обстоятельство
не случайно: мы увидим в дальнейшем, что при больших значе-
значениях / движение квазиклассично (§49).
Задача
Разложить плоскую волну по волновым функциям состояний с опреде-
определенными значениями проекции m момента на ось у и проекцией ру импульса
на ту же ось.
Решение. Введем цилиндрическую систему координат у, р, <р с осью
вдоль оси у. Волновые функции указанных состояний будут иметь вид
Qm(p)eirnipel'Pyy/n. Если отсчитывать угол <р от оси z, разложение можно
записать в виде:
га= — оо
(в данном случае ру =0), откуда
2тг
Qm(p) = — / exp[z(&pcos<? — m(f)]d(f = zmJm(&p),
о
где Jm(x) — функция Бесселя. При кр ^> 1 для Qm справедливо асимптоти-
асимптотическое выражение:
* , ч	-ш Г^~ • Г7	7Г /	1
Qm(p)~i a ——smlkp- - [т- -
у тг/ср L	2 V 2
§ 35. Падение частицы на центр
Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханиче-
ского движения полезно изучить случай, не имеющий, правда,
непосредственного физического смысла, — движение частицы в
поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой точ-
точке (начале координат) в бесконечность по закону U(r) ~ —/3/г2
(/3 > 0); вид поля вдали от начала координат нас не будет ин-
интересовать. Мы видели в § 18, что этот случай —как раз проме-
промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные

§ 35	ПАДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ НА ЦЕНТР	151
состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы в
начало координат.
Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассма-
рассматриваемом случае будет следующим:
it -\- —it -\- —^rt — U	^oo.lj
г	г
(R(r) — радиальная часть волновой функции), где введена по-
постоянная	9 о
7 = —2	Н^ + -U	(oo.zj
и опущены все члены более низкого порядка по 1/г; значение
энергии Е предполагается конечным, и потому соответствующий
член в уравнении тоже опущен.
Ищем R в виде R ~ г5; тогда получаем для 5 квадратное
уравнение
s(s + 1) + 7 — О
с двумя корнями
tit	tit
C5.3)
Для дальнейшего исследования удобно поступить следую-
следующим образом. Выделим вокруг начала координат малую область
радиуса го и заменим функцию —j/r2 в этой области постоянной
величиной —7/го- Определив волновые функции в таком «обре-
«обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что получается при переходе
к пределу г о —»> 0.
Предположим сначала, что 7 < 1/4. Тогда si и 52 — веще-
вещественные отрицательные числа, причем si > 52- При г > го об-
общее решение уравнения Шредингера имеет вид (речь идет везде
о малых г)
R = ArSl + BrS2	C5.4)
{А, В — постоянные). При г < tq решение уравнения
R" + -R! + ^R = 0,
г	г0
конечное в начале координат, имеет вид
^.	C5.5)
Г	Го
При г = го функция R и ее производная R1 должны быть непре-
непрерывными функциями. Удобно написать одно из условий в виде

152
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
условия непрерывности логарифмической производной от rR.
Это приводит к уравнению
Ars01+1 + Brs02+1
или
Решенное относительно отношения В /А, это уравнение дает вы-
выражение вида
- = const -rg1-*3.	C5.6)
Переходя теперь к пределу г о —»> 0, находим, что Б/Л —»> О
(напоминаем, что si > 52). Таким образом, из двух расходящих-
расходящихся в начале координат решений уравнения Шредингера C5.1)
должно быть выбрано то, которое обращается в бесконечность
менее быстро:
R = A-^.	C5.7)
Пусть теперь 7 > 1/4. Тогда si и S2 комплексны:
Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству
C5.6), которое при подстановке значений s\ и 52 дает
C5.8)
При го —>• 0 это выражение не стремится ни к какому определен-
определенному пределу, так что прямой переход к пределу го —» 0 невозмо-
невозможен. С учетом C5.8) общий вид вещественного решения может
быть написан следующим образом:
R = const • — cos D/7	In — + const).	C5.9)
л/г- \у	4 r0	/
Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно
растет с уменьшением го- Поскольку, с одной стороны, выраже-
выражение C5.9) справедливо для волновой функции (при достаточно
малых г) при любом конечном значении энергии Е частицы, а,
с другой стороны, волновая функция нормального состояния со-
совсем не должна иметь нулей, то мы приходим к выводу, что

§ 35	ПАДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ НА ЦЕНТР	153
«нормальное состояние» частицы в рассматриваемом поле соот-
соответствует энергии Е = — ос. Но во всяком состоянии дискретного
спектра частица находится, в основном, в области пространства,
в которой Е > U. Поэтому при Е —> — ос частица находится в
бесконечно малой области вокруг начала координат, т. е. проис-
происходит «падение» частицы на центр.
«Критическое» поле С/кр, при котором становится возмож-
возможным падение частицы на центр, соответствует значению 7=1/4.
Наименьшее значение коэффициента при — 1/г2 получается, ко-
когда / = 0, т. е.	2
Ъ	.	C5.10)
Из формулы C5.3) (для si) видно, что допускаемое решение
уравнения Шредингера (вблизи точки, где U ~ 1/г2) расходит-
расходится при г —»> 0 не быстрее чем 1/\/г. Если поле обращается при
г —>• 0 в бесконечность медленнее чем 1/г2, то в уравнении Шре-
Шредингера в области вблизи начала координат можно вовсе прене-
пренебречь U(г) по сравнению с остальными членами, и мы получим
те же решения, что и для свободного движения, т. е. ф ~ г1
(см §33). Наконец, если поле обращается в бесконечность бы-
быстрее чем 1/г2 (как —1/г5 с s > 2 ), то волновая функция вблизи
начала координат пропорциональна г5/4 (см. задачу к § 49). Во
всех этих случаях произведение гф обращается при г = 0 в нуль.
Далее, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в
поле, спадающем на больших расстояниях по закону U ~ —/3/г2
при произвольном его виде на малых расстояниях. Предполо-
Предположим сначала, что 7 < 1/4. Легко видеть, что в этом случае
может существовать лишь конечное число отрицательных уров-
уровней энергии1). Действительно, при энергии Е = 0 уравнение
Шредингера на больших расстояниях имеет вид C5.1) с общим
решением C5.4). Но функция C5.4) не имеет (при г ф 0) нулей;
поэтому все нули искомой радиальной волновой функции лежат
на конечных расстояниях от начала координат и их число, во
всяком случае, конечно. Другими словами, порядковый номер
уровня Е = 0, замыкающего дискретный спектр, конечен.
Если же 7 > 1/4, то дискретный спектр содержит бесконеч-
бесконечное число отрицательных уровней энергии. Действительно, вол-
волновая функция состояния с Е = 0 имеет на больших расстояниях
вид C5.9) с бесконечным числом нулей, так что ее порядковый
номер во всяком случае бесконечен.
х) Предполагается, что при малых г поле таково, что падения частицы не
происходит.

154	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Наконец, пусть поле U = —/3/г^ во всем пространстве. Тог-
Тогда при 7 > 1/4 происходит падение частицы. Если же 7 < 1/4,
то отрицательные уровни энергии отсутствуют вовсе. Действи-
Действительно, волновая функция состояния с Е = 0 будет во всем про-
пространстве вида C5.7); она не имеет вовсе нулей на конечных рас-
расстояниях, т. е. соответствует наиболее низкому (при данном /)
уровню энергии.
§ 36. Движение в кулоновом поле
(сферические координаты)
Очень важным случаем движения в центрально-симметрич-
центрально-симметричном поле является движение в кулоновом поле
и = ±-
г
(а — положительная постоянная). Мы будем рассматривать сна-
сначала кулоново притяжение, соответственно чему будем писать
U = —а/г. Из общих соображений заранее очевидно, что спектр
отрицательных собственных значений энергии будет дискрет-
дискретным (с бесконечным числом уровней), а спектр положительных
энергий — непрерывным.
Уравнение C2.8) для радиальных функций имеет вид
d2!! 2dR
dr2 r dr	r2	h'
Если речь идет об относительном движении двух притягиваю-
притягивающихся частиц, то под га надо подразумевать их приведенную
массу.
В вычислениях, связанных с кулоновым полем, удобно поль-
пользоваться вместо обычных особыми единицами для измерения
всех величин, которые мы будем называть кулоновыми единица-
единицами. Именно, в качестве единиц измерения массы, длины и вре-
времени выберем соответственно
П2 П3
га, —, —з
TYIOL	TYIOL
Все остальные единицы выводятся отсюда; так, единицей энер-
энергии будет то? If?. Ниже в этом и следующем параграфах мы
везде (где это не оговорено особо) пользуемся этими единица-
единицами1) .
х) Если т = 9,11 -10 28 г есть масса электрона, а а = е2 (е — заряд элек-
электрона), то кулоновы единицы совпадают с так называемыми атомными

§36	КУЛОНОВО ПОЛЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ)	155
Уравнение C6.1) в новых единицах принимает вид
** + Н«-!? + 1>Д + 2(е + ±)д = 0.	C6.2)
dr	г dr	r	\	г/
Дискретный спектр. Введем вместо параметра Е и пере-
переменной г новые величины:
п=^^, Р=—•	C6.3)
При отрицательных энергиях п есть вещественное положитель-
положительное число. Уравнение C6.2) после подстановки новых вели-
величин C6.3) приобретет вид
R» + 2д/ + Г I + п _ /([+1I R =
р	L 4 р	р J
(штрихи означают дифференцирование по р).
При малых р решение, удовлетворяющее необходимым усло-
условиям конечности, пропорционально р1 (см. C2.15)). Для выяс-
выяснения асимптотического поведения R при больших р опускаем
в C6.4) члены с 1/р и 1//э2 и получаем уравнение
R" = R/4,
откуда R = е^/2. Интересующее нас исчезающее на бесконечно-
бесконечности решение, следовательно, при больших р ведет себя, как е~р12.
Ввиду этого естественно сделать подстановку
R = ple-p/2ou(p),	C6.5)
после чего уравнение C6.4) принимает вид
рш" + B/ + 2 - p)J + (п - I - 1)ш = 0.	C6.6)
Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечно-
бесконечности не быстрее конечной степени /э, а при р = 0 должно быть
единицами. Атомная единица длины
П2/те2 = 0,529 • 10~8 см
(так называемый боровский радиус). Атомная единица энергии равна
те4/П2 = 4,36 • КГ11 эрг = 27,21 эВ
(половину этой величины называют ридбергом, Ry). Атомная единица за-
заряда есть е = 4,80 • 10~10 эл.-стат. единиц. Переход в формулах к атомным
единицам производится, формально, положив е = 1, т = 1, fh = 1. При
ol = Ze кулоновы единицы отличаются от атомных.

156
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
конечным. Удовлетворяющее последнему условию решение есть
вырожденная гипергеометрическая функция
оо = F(-n + / + 1, 2/ + 2, р)	C6.7)
(см. § d математических дополнений)г). Решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию на бесконечности, получится лишь при целых от-
отрицательных (или равном нулю) значениях (—п + / + 1), когда
функция C6.7) сводится к полиному степени (п —/ —1). В против-
противном случае она расходится на бесконечности, как ер (см. (d.14)).
Таким образом, мы приходим к выводу, что число п должно
быть целым положительным, причем при данном / должно быть
n^Z + 1.	C6.8)
Вспоминая определение C6.3) параметра п, находим
Е = -??> п = 1,2,...	C6.9)
Этим решается задача об определении уровней энергии дис-
дискретного спектра в кулоновом поле. Мы видим, что имеется бес-
бесконечное множество уровней между нормальным уровнем Е\ =
= —1/2 и нулем. Интервалы между каждыми двумя последо-
последовательными уровнями уменьшаются с увеличением п; уровни
сгущаются по мере приближения к значению Е = 0, при кото-
котором дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных
единицах формула C6.9) имеет следующий вид2):
Целое число п называется главным квантовым числом. Ра-
Радиальное же квантовое число, определенное в § 32, равно
пг = п — I — 1.
При заданном значении главного квантового числа число /
может принимать значения
/ = 0,1,...,п-1,	C6.11)
всего п различных значений. В выражение C6.9) для энергии
входит только число п. Поэтому все состояния с различными /,
1)	Второе решение уравнения C6.6) расходится при р —>> 0, как р 2l 1.
2)	Формула C6.10) была получена впервые Н. Бором в 1913 г. до создания
квантовой механики. В квантовой механике она была выведена В. Паули
в 1926 г. матричным методом, а через несколько месяцев — Шредингером
с помощью волнового уравнения.

§36	КУЛОНОВО ПОЛЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ)	157
но одинаковыми п обладают одинаковой энергией. Таким об-
образом, каждое собственное значение оказывается вырожденным
не только по магнитному квантовому числу т (как при всяком
движении в центрально-симметричном поле), но и по числу /.
Это последнее вырождение (о нем говорят, как о случайном или
кулоновом) специфично именно для кулонова поля. Каждому
данному значению / соответствует 2/ + 1 различных значений т,
поэтому кратность вырождения п-то уровня энергии равна
п-1
2
21 + 1) =п2.	C6.12)
1=0
Волновые функции стационарных состояний определяются
формулами C6.5), C6.7). Вырожденная гипергеометрическая
функция с целыми значениями обоих параметров совпадает,
с точностью до множителя, с так называемыми обобщенными
полиномами Лагерра (см. §d математических дополнений). По-
Поэтому
Rnl = const -p'e
Радиальные функции должны быть нормированы условием
ldr = 1.
Их окончательный вид следующий1):
t-Z-1)! г/пBг\ 1г21+1 Bг\ _
' ?) C6ЛЗ)
г) Приведем в явном виде несколько первых функций Rni\
-г/2
Зл/3	V 3 27
4
27л/б	V 6/	81л/30

158
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
(вычисление нормировочного интеграла см. §f, интеграл (f.6)x).
Вблизи начала координат Rni имеет вид
V	<3614>
На больших расстояниях
(—l)^ ^ , Т 	rn~1e~r/n.	C6.15)
У }	nn+1/(n + l)\(nll)\	V	J
Волновая функция Дю нормального состояния затухает экспо-
экспоненциально на расстояниях порядка г ~ 1, т.е. в обычных еди-
единицах, г ~ Н2/та.
Средние значения различных степеней г вычисляются по
формуле
оо
-k=j
rk+2Rl,dr.
О
Общая формула для гк может быть получена с помощью фор-
формулы (f.7). Приведем здесь несколько первых величин гк (с по-
положительными и отрицательными А;):
г = -[Зп2 - 1A + 1)], ^ = —[5п2 + 1 - 31A + 1)],
2 _ ! _ 2 !	C6.16)
1	1	9	А
n21	n3(l + 1/2)
Непрерывный спектр. Спектр положительных собствен-
собственных значений энергии непрерывен и простирается от нуля до
бесконечности. Каждое из этих собственных значений выро-
вырождено с бесконечной кратностью; каждому значению Е соот-
соответствует бесконечное множество состоянии с /, пробегающими
все целые значения от 0 до ос (и со всеми возможными, при
данных /, значениями га).
Определяемое формулами C6.3) число п и переменная р те-
теперь чисто мнимы:
-, Р = 2гкг,	C6.17)
г) Нормировочный интеграл можно вычислить также, подставляя выра-
выражение (d.13) для полиномов Лагерра и интегрируя по частям (подобно тому
как вычислен интеграл (с.8) для полиномов Лежандра).

5 36	КУЛОНОВО ПОЛЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ)	159
где к = у 2-Е). Радиальные собственные функции непрерывного
спектра имеют вид
Rkl = J^yBkr)le~ikrF(i + ^ + 1,2/ + 2, 2*Ах) , C6.18)
где Cki — нормировочный множитель. Они могут быть представ-
представлены в виде комплексного интеграла (см. § d)
Rkl = Ckl{2kr)le-^ ~f^(l- ^)^Г2/-2^, C6.19)
который берется по контуру, изображенному на рис. 102). Под-
Подстановкой ? = 2ikr(t + 1/2) этот интеграл приводится к более
симметричному виду
(путь интегрирования обходит в положительном направлении
точки t = ±1/2). Из этого выражения непо- |
средственно видно, что функции R^i веще- : ^ _ \^т
ственны. ? — о
Асимптотическое разложение (d.14) выро-	¦¦
жденной гипергеометрической функции поз-
позволяет непосредственно получить такое же	Рис Ю
разложение для волновой функции R^.
Два члена в (d.14) приводят в функции R^i к двум комплекс-
комплексно сопряженным выражениям, и в результате получается
е-ж/2к
X
:
кг
xRe { ех
C6.21)
Если нормировать волновые функции «по шкале к/2тт» (т. е.
условием C3.4)), то нормировочный коэффициент Сы равен
Сш = 2ке*/2к\ТA + 1 - i/k)\.	C6.22)
х) Мож:но было бы определить пир комплексно сопряженными выражени-
выражениями п = г/А;, р = —2ikr\ вещественные функции Rki от способа определения
пир, конечно, не зависят.
2) Вместо этого контура можно воспользоваться также любой замкнутой
петлей, обходящей особые точки ? = 0 и ? = 2ikr в положительном направ-
направлении. При целом / функция V(?) = ?~n~*(? — 2ikr)n~l (см. § d) возвращается
к исходному значению при обходе вдоль такого контура.

160
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Действительно, асимптотическое выражение Rm при больших г
(первый член разложения C6.21)) тогда имеет вид
- sin( кг + -1п2кг — -l + Si),
" 2
в согласии с общим видом C3.20) нормированных волновых
функций непрерывного спектра в центрально-симметричном
поле. Выражение C6.23) отличается от C3.20) наличием лога-
логарифмического члена в аргументе у синуса; поскольку, однако,
In г растет при увеличении г медленно по сравнению с самим г,
то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося
на бесконечности, наличие этого члена несущественно.
Модуль Г-функции, входящий в выражение C6.22) для нор-
нормировочного множителя, может быть выражен через элемен-
элементарные функции. Воспользовавшись известными свойствами
Г-функции
) ^,
SlUTVZ
имеем
и далее
Таким образом,
Г О_7. 1 1/2-1- /	1~
^	C6.24)
(при / = 0 произведение заменяется на 1).

§36	КУЛОНОВО ПОЛЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ)	161
Предельным переходом к —>• 0 можно получить радиальную
функцию для особого случая равной нулю энергии. При к —»> О
2r
где J2/+1 — функция Бесселя. Коэффициенты Сы C6.24) при
к —>• 0 сводятся к
Сы
Отсюда находим
C6.25)
Асимптотический вид этой функции при больших г1)
Rki
1/4
C6.26)
Множитель \[к исчезает при переходе к нормировке «по шкале
энергии», т.е. от функций R^i к функции Rei согласно C3.5);
именно функция Rei остается конечной в пределе Е —»> 0.
В кулоновом поле отталкивания (U = а/г) имеется толь-
только непрерывный спектр положительных собственных значений
энергии. Уравнение Шредингера в этом поле может быть фор-
формально получено из уравнения для поля притяжения изменени-
изменением знака у г. Поэтому волновые функции стационарных состоя-
состояний получаются непосредственно из C6.18) посредством этой же
замены. Нормировочный коэффициент снова определяется по
асимптотическому выражению и в результате получается
Rkl = Сы^ ^2kr)leikrF(- + I + 1, 2/ + 2, -2ikr),
i
C6.27)
г) Отметим, что эта функция соответствует квазиклассическому прибли-
приближению (§ 49), примененному к движению в области (/ + 1/2) <г С к~ .

162
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
Асимптотическое выражение этой функции при больших г
имеет вид
~ sm(кг	In2кг —- + Si).
"	2	C628)
Природа кулонова вырождения. При классическом дви-
движении частицы в кулоновом поле имеет место специфический
для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения
А = - - [pi] = const	C6.29)
(см. I, § 15). В квантовой механике этой величине отвечает опе-
оператор
А=г--1-([р1]-№),	C6.30)
коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом
Н=р2/2 - 1/г.
Прямое вычисление приводит к следующим правилам комму-
коммутации для операторов Ai друг с другом и с операторами момента:
{Ц, Ak} = ieiklAh {At, Ак} = -2iHeikl%.	C6.31)
Некоммутативность операторов Ai друг с другом означает,
что величины Ах, Ау, Az не могут иметь в квантовой меха-
механике одновременно определенных значений. Каждый из этих
операторов, скажем Az, коммутативен с такой же компонентой
момента lz, но некоммутативен с оператором квадрата момен-
момента Р. Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой
одновременно с другими сохраняющимися величинами, приво-
приводит (§ 10) к дополнительному вырождению уровней, — это и есть
специфическое для кулонова поля «случайное» вырождение дис-
дискретных уровней энергии.
Происхождение этого вырождения можно сформулировать
также и в терминах той повышенной симметрии (по сравне-
сравнению с симметрией по отношению к пространственным враще-
вращениям), которой обладает кулонова задача в квантовой механике
(В.А.Фок, 1935).
Для этого замечаем, что для состояний дискретного спектра
с фиксированной отрицательной энергией можно заменить Н в
правой части последнего соотношения C6.31) на Е и ввести вме-
вместо Ai операторы щ = A^j\/—2Е. Для них правила коммутации

§ 36	КУЛОНОВО ПОЛЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ)	163
принимают вид
{k,uk} = ieikiuh {uh ик} = ieikik.	C6.32)
Вместе с правилом {h,lk} = i^iuh эти соотношения формаль-
формально совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно
малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве1).
Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике2).
Из соотношений коммутации C6.32) можно снова получить
выражение для уровней энергии в кулоновом поле3). Перепишем
их, введя вместо 1 и й операторы
ji = i(T+u), J2 = i(T-u).	C6.33)
Для них имеем
{ЗиJi/c} = геш3и, (j2i,j2fe} = ieikij2h {jit,J2*} = 0. C6.34)
Эти правила формально совпадают с правилами коммутации
двух независимых векторов трехмерного момента импульса. По-
Поэтому собственные значения каждого из квадратов jf и j| равны
ji(ji + 1) и j2(j2 + 1), где juj2 = 0, l/2ul,3/2,... 4). С другой
стороны, по определению операторов й и 1 = [гр], находим после
простого вычисления:
(при вычислении суммы V +й2 снова заменено Н на Е). Отсюда
(где j = ji = J2) и затем Е = — Bj + lJ. Обозначив
2j + l = n, n = 1,2,3,...,	C6.35)
1)При этом lx, ly, lz играют роль операторов бесконечно малых поворо-
поворотов в плоскостях yz, xz, xy четырехмерной декартовой системы координат
ж, у, z, и, а их, иу, uz — роль операторов бесконечно малых поворотов в
плоскостях хи, у и, zu.
2) В явном виде эта симметрия проявляется в волновых функциях в им-
импульсном представлении: см. В. А. Фок//Изв. АН СССР: серия физ., 1935.
№2. С. 169; Zs. f. Physik. 1935. V. 98, 145.
) Этот вывод в основном совпадает с выводом Паули A926).
4) Здесь мы несколько забегаем вперед и используем свойства момента, о
которых будет идти речь в § 54 (возможность существования целых и полу-
полуцелых значений j).

164
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
приходим к требуемому результату Е =	^. Кратность вы-
2п
рождения уровней равна, как и следовало: Bji + 1)BJ2 + 1) =
= Bj + IJ = n2. Наконец, поскольку 1 = ji + J2, то при заданном
ji = J2 = (п — l)/2 орбитальный момент / пробегает значения
от 0 до 2j = п — I1).
Задачи
1. Определить распределение вероятностей различных значений им-
импульса в основном состоянии атома водорода.
Решение2). Волновая функция основного состояния
ф = RwY00 = ~^е~г.
Волновая функция этого же состояния в р-представлении получается отсю-
отсюда как интеграл
а(р) = f x
(см. A5.10)). Интеграл вычисляется путем перехода к сферическим коорди-
координатам с полярной осью вдоль р; в результате получаем
а(р) = oW
а плотность вероятности в р-пространстве есть |а(р)|2/BтгK.
2. Определить средний потенциал поля, создаваемого ядром и электро-
электроном в основном состоянии атома водорода.
) «Случайное» вырождение уровней с различными значениями момен-
момента / имеет место также и для движения в центрально-симметричном по-
поле U = ти2г2/2 (пространственный осциллятор, см. задачу 4 §33). Это
вырождение тоже связано с дополнительной симметрией гамильтониана.
В данном случае эта симметрия возникает в результате того, что в Н =
= р2 /2т + та;2г2 /2 как операторы р^, так и координаты Хг входят в виде
суммы квадратов. Введя вместо них операторы
получим
Г , з1
L	2J
Это выражение инвариантно по отношению к любым унитарным преобра-
преобразованиям операторов af и а^, составляющим совокупность (группу) более
широкую, чем группа трехмерных вращений (по отношению к которой инва-
инвариантен гамильтониан частицы во всяком центрально-симметричном поле).
Отметим также, что специфике кулонова и осцилляторного полей в кван-
квантовой механике (наличие случайного вырождения) отвечает в классической
механике специфика, состоящая в существовании в этих (и только в этих)
полях замкнутых траекторий частиц.
) В задачах 1 и 2 пользуемся атомными единицами.

5 36
КУЛОНОВО ПОЛЕ (СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ)
165
Решение. Средний потенциал (ре, создаваемый «электронным об-
облаком» в произвольной точке г, проще всего определяется как сфери-
сферически-симметричное решение уравнения Пуассона с плотностью заряда
Интегрируя это уравнение, выбирая постоянные так, чтобы <ре@) было ко-
конечным, a (fe(oo) = 0 и прибавляя потенциал поля ядра, получим
При г < 1 имеем ip « 1/г (поле ядра), а при г ^> 1
потенциал (р ~ е~2г (экранирование ядра электроном).
3.Определить уровни энергии частицы, движу-
движущейся в центрально-симметричном поле с потенциаль-
потенциальной энергией U = А/г2 — В/г (рис. 11).
Решение. Спектр положительных энергий не-
непрерывен, а отрицательных — дискретен; рассматрива-
рассматриваем последний. Уравнение Шредингера для радиальной
функции:
d2R 2dR 2m (^ П2
dr2 r dr П2
Вводим новую переменную
и обозначения:
Р =
+1A
В
П у -2Е
Тогда уравнение A) приобретает вид
B)
C)
Р	V 4 Р	Р
формально совпадающий с C6.4). Поэтому сразу делаем вывод, что удовле-
удовлетворяющее необходимым условиям решение есть
R = pse-p/2F(-n + s + 1, 2s + 2, р),
причем п — s — 1 = р должно быть целым положительным числом (или ну-
нулем), а под s надо понимать положительный корень уравнения B). Согласно
определению C) получаем, следовательно, уровни энергии
2iM2P+i+A- — ¦8тЛ[2
-Ер =
П2
К2
4. То же при J7 = — + Вг2 (рис. 12).
г
Решение. Имеется только дискретный
Шредингера будет следующим:
спектр. Уравнение
dr2
r dr

166
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
ГЛ. V
Вводя переменную
и обозначения:
c= /2mBr2
получаем уравнение
2
4 4
= 0.
Искомое решение ведет себя при ? —»> оо асимптотически, как е ^'2, а при
малых ? пропорционально ?s, где под s надо понимать положительное зна-
значение
U(r)
1 9
Поэтому ищем решение в виде
R = е"«/2?2 w
и получаем для о; уравнение
?w" + Bs + 3/2 -
откуда
= О,
гу = F(-n, 2s+ 3/2,?),
причем п должно быть целым неотрицательным числом. Для уровней энер-
энергии получаем, следовательно, бесконечное множество равноотстоящих зна-
значений
§ 37. Движение в кулоновом поле
(параболические координаты)
Разделение переменных в уравнении Шредингера, написан-
написанном в сферических координатах, всегда возможно для движения
в любом центрально-симметричном поле. В случае кулонова по-
поля разделение переменных оказывается возможным также и в
так называемых параболических координатах. Решение задачи
о движении в кулоновом поле в параболических координатах
полезно при исследовании ряда задач, в которых определенное
направление в пространстве является выделенным, например,
благодаря наличию внешнего (помимо кулонова) электрическо-
электрического поля (§ 77).

§ 37	КУЛОНОВО ПОЛЕ (ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ)	167
Параболические координаты ?,77, <р определяются форму-
формулами
'	г	'	2	C7.1)
г = \/x2 + y2 + z1 = -(€ + rf)
или обратно:
t — г _|_ у п — г 	 у	,п — urricr — •	D7 0\
(^ — / \ /6, I/ — / — /6, <fy — dlL/L^ ,	V	/
? и 77 пробегают значения от 0 до ос, (р — от 0 до 2тг. Поверх-
Поверхности ? = const и 77 = const представляют собой параболоиды
вращения с осью вдоль оси z и фокусом в начале координат. Эта
система координат ортогональна. Элемент длины определяется
выражением
dl2 = ^^- d?2 + ^^-dri2 + ?r)d(iJ,	C7.3)
а элемент объема:
4
Из C7.3) следует для оператора Лапласа выражение
Уравнение Шредингера для частицы в кулоновом поле при-
притяжения
приобретает вид
dt-Г dr,V дг,
Ищем собственные функции ф в виде
Ф = МШ2Штр,	C7.7)
где т — магнитное квантовое число. Подставляя это выражение
в уравнение C7.6), умноженное на (? + 77)/4, и разделяя перемен-
переменные ? и 77, получим для /i и /2 уравнения

168
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
где «параметры разделения» /?i, /?2 связаны друг с другом соот-
соотношением	/Зх + /32 = 1.	C7.9)
Рассмотрим дискретный спектр энергии (Е < 0). Вводим
вместо Е, ?, г] величины
п =	, pi = ?v—2Ь = —, Р2 — —,	(o7.1U)
после чего получаем уравнение для Д:
Г "^	~,	Ь —т "•	1—о	l-ni J - —j /i = 0 C7.11)
1 pi dpi L 4 pi V 2	/ 4pf J
и такое же уравнение для /2, причем мы ввели также обозначе-
обозначения
' ^ + п/32.	C7.12)
dp
Подобно тому как было сделано для уравнения C6.4), нахо-
находим, что /i ведет себя при больших pi, как е"^1/2, а при малых
р\ — как Pi . Соответственно этому, ищем решение уравне-
уравнения C7.11) в виде
(и аналогично для /2) и получаем для w\ уравнение
piw'l + (\т\ + 1 - pi)w[ + niwi = 0.
Это— снова уравнение вырожденной гипергеометрической
функции. Решение, удовлетворяющее условиям конечности, бу-
будет
wi = F{-ni, \m\ + 1,р),
причем п\ должно быть целым неотрицательным числом.
Таким образом, каждое стационарное состояние дискретно-
дискретного спектра определяется в параболических координатах тремя
целыми числами: «параболическими квантовыми числами» п\
и П2 и магнитным квантовым числом т. Для числа п («глав-
(«главное квантовое число») имеем из C7.9) и C7.12)
п = щ + п2 + \т\ + 1.	C7.13)
Для уровней энергии получается, разумеется, прежний резуль-
результат C6.9).
При заданном п число \т\ может принимать п различных
значений от 0 до п — 1. При фиксированных пи \т\ число ni

§ 37	КУЛОНОВО ПОЛЕ (ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ)	169
пробегает п — \т\ значений от 0 до п — \т\ — 1. Учитывая также,
что при заданном \т\ можно еще выбрать функции с т = ±|га|,
найдем, что всего для данного п имеется
п-1
2^2(п - т) + (п - 0) = п2
т=1
различных состояний в согласии с полученным в § 36 результа-
результатом.
Волновые функции фП1П2Ш дискретного спектра должны
быть нормированы условием
оо оо 2тг
f
= 1. C7.14)
0 0 0
Нормированные функции имеют вид
-^Lf (l\f (iV^l	C7 Ш
— 2 Jnim\ )Jn2m\ ) гр—•>	\O1.1O)
~Р, H
C7.16)
Волновые функции в параболических координатах, в проти-
противоположность волновым функциям в сферических координатах,
не симметричны относительно плоскости z = 0. При п\ > П2
вероятность нахождения частицы на стороне z > 0 больше, чем
на стороне z < 0, а при п\ < П2 —наоборот.
Непрерывному спектру (Е > 0) соответствует непрерыв-
непрерывный спектр вещественных значений параметров /?i, /?2 в урав-
уравнениях C7.8) (разумеется, по-прежнему связанных соотноше-
соотношением C7.9)); мы не станем выписывать здесь соответствую-
соответствующих волновых функций. Уравнения C7.8), рассматриваемые как
уравнения для «собственных значений» величин /?i, /З2, облада-
обладают (при Е > 0) также и спектром комплексных значений. Соот-
Соответствующие волновые функции будут выписаны в § 135, где мы
воспользуемся ими для решения задачи о рассеянии в кулоно-
вом поле.
Существование стационарных состояний \niri2m) связано с
наличием дополнительного закона сохранения C6.29). В этих
состояниях имеют определенные значения, наряду с энергией,
величины lz = т и Az. Вычислив диагональные матричные эле-
элементы оператора Az, найдем, что
Az = 5l^i.	C7.17)

170
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	ГЛ. V
При этом uz = п\ — П2, а проекции «моментов» ji и J2:
т-\-п1-п2 _ . т-п1+п2 _	/от i о\
Jlz = 	"	 = Mb J2z = 	"	 = М2.	C7.18)
Эти свойства состояний \niri2m) (или, что то же, |n/ii/i2))
позволяют легко установить связь между их волновыми функ-
функциями и волновыми функциями состояний \nlm). Поскольку
1 = ji + J2, то переход от одного из этих способов описания к
другому сводится к задаче о составлении волновых функций
при сложении двух моментов (рассмотренной ниже, в §106). В
терминах «моментов» ji и J2 состояния \rilm) и \niri2m) описы-
описываются как |jiJ2^) и IJ1J2M1M2), где, согласно C6.35) и C7.13),
C7-19)
° ^ °	2	2
Согласно общим формулам A06.9)-A06.11) имеем
ih 7 — Л	Aтп 111 //о >?/?
"n-Г m	C7.20)
1=0
(D.Park, 1960).

ГЛАВА VI
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 38. Возмущения, не зависящие от времени
Точное решение уравнения Шредингера может быть найде-
найдено лишь в сравнительно небольшом числе простейших случаев.
Большинство задач квантовой механики приводит к слишком
сложным уравнениям, которые не могут быть решены точным
образом. Часто, однако, в условиях задачи фигурируют вели-
величины разного порядка; среди них могут оказаться малые вели-
величины, после пренебрежения которыми задача упрощается на-
настолько, что делается возможным ее точное решение. В таком
случае первый шаг в решении поставленной физической зада-
задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, а второй —
в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми
членами, отброшенными в упрощенной задаче. Общий метод для
вычисления этих поправок называется теорией возмущений.
Предположим, что гамильтониан данной физической систе-
системы имеет вид
Н = Но + V,
где V представляет собой малую поправку (возмущение) к «не-
«невозмущенному» оператору Н$. В §38, 39 мы будем рассматри-
рассматривать возмущения V, не зависящие явно от времени (то же самое
предполагается и в отношении Щ). Условия, необходимые для
того, чтобы можно было рассматривать оператор V как «ма-
«малый» по сравнению с оператором До, будут выяснены ниже.
Задача теории возмущений для дискретного спектра мо-
может быть сформулирована следующим образом. Предполага-
Предполагается, что собственные функции фп ' и собственные значения
оператора Но известны, т. е. известны точные решения уравне-
уравнения
Ноф^=Е^°\	C8.1)
Требуется найти приближенные решения уравнения
Нф = (Но + ?)ф = Еф,	C8.2)

172	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
т. е. приближенные выражения для собственных функций фп и
значений Еп возмущенного оператора Н.
В этом параграфе мы будем предполагать, что все собствен-
собственные значения оператора Н$ не вырождены. Кроме того, для
упрощения выводов будем считать сначала, что имеется только
дискретный спектр уровней энергии.
Вычисления удобно производить с самого начала в матрич-
матричном виде. Для этого разложим искомую функцию ф по функци-
/@)
Подставляя это разложение в C8.2), получим
а умножив это равенство с обеих сторон на Щ и интегрируя,
найдем
^	^	C8.4)
Здесь введена матрица Т4Ш оператора возмущения F, опре-
определенная с помощью невозмущенных функций Щп \
Vkm = f^V^dq.	C8.5)
Будем искать значения коэффициентов сш и энергии Е в виде
рядов
Е = Е@) + ЕA) + ЕB) + ; Ст = с@)+сA)+сB) + ...,
где величины Е^\ с\п —того же порядка малости, что и возму-
возмущение V, величины .Ел2', с\п —второго порядка малости, и т.д.
Определим поправки к n-му собственному значению и соб-
собственной функции, соответственно чему полагаем: Сп = 1,
c\J = 0, т ^ п. Для отыскания первого приближения подставим
в уравнение C8.4) Е = Е^ + Е^\ ск = с{^ + с?\ сохранив
только члены первого порядка. Уравнение с к = п дает
=Vnn = J №*9№dq. C8.6)

38	ВОЗМУЩЕНИЯ, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ	173
Таким образом, поправка первого приближения к собственному
чению Еп равна среднему зн
,@)
I Фп-
Уравнение C8.4) с к ф п дает
значению Еп равна среднему значению возмущения в состоя-
состояло)
НИИ фп .
а сп' остается произвольным и оно должно быть выбрано так,
чтобы функция фп = Фп +Фп была нормирована с точностью
до членов первого порядка включительно. Для этого надо поло-
положить сп = 0. Действительно, функция
(штрих у знака суммы означает, что при суммировании по т
надо опустить член с т = п) ортогональна к ф^ а поэтому инте-
2
грал от \фп + Фп отличается от единицы лишь на величину
второго порядка малости.
Формула C8.8) определяет поправку первого приближения
к волновым функциям. Из нее, кстати, видно, каково условие
применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь
место неравенство
\Vmn\<\E^-E^\,	C8.9)
т. е. матричные элементы возмущения должны быть малы по
сравнению с соответствующими разностями невозмущенных
уровней энергии.
Определим еще поправку второго приближения к собствен-
собственному значению Еп К Для этого подставляем в C8.4) Е = Еп' +
+ Еп + Еп , Cfc = cjfe + cjfe + cjfe и рассматриваем члены второго
порядка малости. Уравнение с к = п дает
откуда
^ = ?'^H^	C8Л0)
(мы подставили Cm из C8.7) и воспользовались тем, что в силу
эрмитовости оператора V: Ушп — КГш)-

174	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
Отметим, что поправка второго приближения к энергии нор-
нормального состояния всегда отрицательна. Действительно, если
Еп соответствует наименьшему значению, то все члены в сум-
сумме C8.10) отрицательны.
Дальнейшие приближения можно вычислить аналогичным
образом.
Полученные результаты непосредственно обобщаются на
случай наличия у оператора Hq также и непрерывного спек-
спектра (причем речь идет по-прежнему о возмущенном состоянии
дискретного спектра). Для этого надо только к суммам по дис-
дискретному спектру прибавить соответствующие интегралы по
непрерывному спектру. Будем отличать различные состояния
непрерывного спектра индексом z/, пробегающим непрерывный
ряд значений; под v условно подразумевается совокупность зна-
значений величин, достаточных для полного определения состояния
(если состояния непрерывного спектра вырождены, что почти
всегда и бывает, то задания одной только энергии недостаточно
для определения состоянияI). Тогда, например, вместо C8.8)
надо будет писать
= ?'
C8.11)
и аналогично для других формул.
Полезно привести также формулу для возмущенных значе-
значений матричных элементов какой-либо физической величины /,
вычисленных с точностью до членов первого порядка с помо-
помощью функций фп = Фп + Фп с фп из C8.8). Легко получить
следующее выражение:
f - f@) _l V' Vnkf*™ + V' Vkmf™	C8 12^
Jnm - Jnm + 2^ F(o) „(o) + Z^ F(o) F(o) '	{M.LZ)
В первой сумме к ф п, а во второй к ф т.
Задачи
1. Определить поправку второго приближ:ения к собственным функ-
функциям.
Решение. Коэффициенты ск (кфп) вычисляем из уравнений C8.4)
с к ф п, написаных с точностью до членов второго порядка, а коэффи-
коэффициент Сп подбираем так, чтобы функция фп = фп + фп + фп была
1) При этом волновые функции ф1 ' долж:ны быть нормированы на E-функ-
цию от величин v.

§ 38	ВОЗМУЩЕНИЯ, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ	175
нормирована с точностью до членов второго порядка. В результате находим
7/,B) _ V-' V-' УткУкп ,@) _ W УппУтп , @) _ Ф^_ ^' \Утп\2
^^ tfJ™	tT К2	^	2 ^
где мы ввели частоты
п
2. Определить поправку третьего приближения к собственным значе-
значениям энергии.
Решение. Выписывая в уравнении C8.4) с к = п члены третьего
порядка малости, получим
Укп v V^' \Упт\
_ V^' V^' Уп
Л2
3. Определить уровни энергии ангармонического линейного осциллято-
осциллятора с гамильтонианом
^2	2 2
Н = —	\	h ах + вх .
2т	2
Решение. Матричные элементы от ж и х можно получить непо-
непосредственно согласно правилу умножения матриц, используя выраже-
выражение B3.4) для матричных элементов от х. Для отличных от нуля матричных
элементов от х3 найдем
,3ч	,3ч	( П V/2 /n(n-l)(n-2)
(х )n_3,n = (^ )n,n-3 = 		W—	^	-,
Диагональные элементы в этой матрице отсутствуют, так что поправка пер-
первого приближения от члена ах3 в гамильтониане (рассматриваемого как
возмущение к гармоническому осциллятору) отсутствует. Поправка же вто-
второго приближения от этого члена — того же порядка, что и поправка пер-
первого приближения от члена /Зх4. Диагональные матричные элементы от х4
имеют вид
(х4)п,п= (—) ЛBп2 + 2п + 1).
\muj J 4
С помощью общих формул C8.6) и C8.10) находим в результате следующее
приближенное выражение для уровней энергии ангармонического осцилля-
осциллятора:
4 Пш \mojj V	30/ 2 \тиJ \	2
4. Сферическая потенциальная яма с бесконечно высокими стенками
подвергается малой деформации (без изменения объема), принимая форму
слабо вытянутого или сплюснутого эллипсоида вращения с полуосями а = Ь
и с. Найти расщепление уровней энергии частицы в яме при такой дефор-
деформации (А. Б. Мигдал, 1959).

176	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
Решение. Уравнение границы ямы
а2 + с2
путем замены переменных ж —»> ax/R, у —»> ay/R, z —»> С2;/Д превращается в
уравнение сферы радиуса i?: ж2 + у2 + z2 = R2. Этой же заменой гамиль-
гамильтониан частицы Н = р2/2М = —Н2А/2М (М—масса частицы; энергия
отсчитывается от дна ямы) преобразуется в Н = i7o + V, где
^	^2	^	^2 Г/^2 \ { д2 д2 \ (R2 \ д2 1
Таким образом, задача о движении в эллипсоидальной яме сводится к задаче
о движении в сферической яме. Если эллипсоид мало отличается от сферы
радиуса R = (а с) ' , то V можно рассматривать как малое возмущение.
Введя «степень эллипсоидальности» /3(\/3\ ^С 1), согласно
представим оператор возмущения в виде
<>-&*•-*:>¦
В первом порядке теории возмущений изменение уровней энергии частицы,
по сравнению с уровнями в сферической яме:
АЕп1т = Еп1т - Е$ = (nlm\V\nlm)
(I и т — величина момента частицы и его проекция на ось эллипсоида; п
нумерует уровни в сферической яме при заданном /; последние от числа т
не зависят). Заметив, что выражение р —Spz представляет собой zz-компо-
zz-компоненту неприводимого тензора (тензор с равным нулю следом) dikp2 — SpiPk,
согласно A07.2) и A07.6), найдем, что матричный элемент {nlm\V\nlm) про-
пропорционален (-1)т (_ш q mJ , и потому
(nlm\V\nlm) = (l - ЗШ
(таблица 3j-символов дана на с. 530).
Далее пишем
<п/0|У|п/0> = -0E%> +0—(nlO
д
пЮ) =
г2 dr do
(в первом члене использовано уравнение Шредингера Нофп1т = Е^'ф^т
для сферической ямы, а во втором произведено интегрирование по частям).

§39	СЕКУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ	177
Для производной от функции фпю = Rni(r)YioF, (p) находим, используя вы-
выражение Ую в виде B8.11),
д .	( п д sinO д
Ф	(	в
д .	( п д sinO д
— ФпЮ = (COS в-	^
+ [4/2 - 1]1
Радиальные интегралы вычисляются по формулам
оо	оо
JRnlR'nlr dr =-^ JR2nldr,
RZr'dr = ^S<°> - /(/ + 1) I R2nl dr,
0	0
получающимся путем интегрирования по частям и использования радиаль-
радиального уравнения Шредингера C3.3)
о» , 2р» /(/ + !)„ _ 2М (о)
Члены с интегралами от R^ в ответе взаимно сокращаются, и окончатель-
окончательный результат
Отметим, что
2/ + 1 ^,
т. е. «центр тяжести» мультиплета не смещается.
§ 39. Секулярное уравнение
Обратимся теперь к случаю, когда невозмущенный опера-
оператор Но имеет вырожденные собственные значения. Будем обо-
обозначать посредством фп \vni\ • • • собственные функции, от-
относящиеся к одному и тому же собственному значению энер-
энергии Еп . Выбор этих функций, как мы знаем, неоднозначен —
вместо них можно выбрать любые s (s — кратность вырожде-
вырождения уровня Еп ^) независимых линейных комбинаций этих же
функций. Он перестает, однако, быть произвольным, если мы
подчиним волновые функции требованию, чтобы их изменение
под влиянием приложенного малого возмущения было малым.

178	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
Пока что будем подразумевать под ^4 ,Vv ?••• некоторые
произвольно выбранные невозмущенные собственные функции.
Правильные функции нулевого приближения —линейные комби-
комбинации вида
Коэффициенты в этих комбинациях определяются, вместе с по-
поправками первого приближения к собственным значениям, сле-
следующим образом.
Выпишем уравнения C8.4) с к = п, п',..., подставив в них
в первом приближении Е = Еп + Е^\ причем для величин с/~
@)
достаточно ограничиться нулевыми значениями сп = сп , сп/ =
= (уп, ,...; сш = 0 при тф п,п!, ... Тогда получим
/c@)
пп п'
ИЛИ
^,(Упп'-ЕМбПп')$=0,	C9.1)
п'
где п, п1 пробегают все значения, нумерующие состояния, от-
относящиеся к данному невозмущенному собственному значе-
значению Еп . Эта система однородных линейных уравнений для
@)	,-
величин Сп J имеет отличные от нуля решения при условии об-
обращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов
при неизвестных. Таким образом, получаем уравнение
\Vnnf-E^snn'\ = o.	C9.2)
Это уравнение — s-степени по Е^ и имеет, вообще говоря, s раз-
различных вещественных корней. Эти корни и представляют собой
искомые поправки первого приближения к собственным значе-
значениям. Уравнение C9.2) называют секулярным1). Отметим, что
сумма его корней равна сумме диагональных матричных элемен-
элементов Vnn, Vn'nr,... —это есть коэффициент при E^s~1 в уравне-
уравнении.
Подставляя поочередно корни уравнения C9.2) в систему
C9.1) и решая последнюю, найдем коэффициенты с^ и таким
образом определим собственные функции нулевого приближе-
приближения.
1) Или вековым (французское слово siecle — век); название заимствовано
из небесной механики.

§39	СЕКУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ	179
В результате возмущения первоначально вырожденный уро-
уровень энергии перестает, вообще говоря, быть вырожденным
(корни уравнения C9.2), вообще говоря, различны); как гово-
говорят, возмущение «снимает» вырождение. Снятие вырождения
может быть как полным, так и частичным (в последнем слу-
случае после наложения возмущения остается вырождение меньшей
кратности, чем первоначальная).
Может оказаться, что по тем или иным причинам все мат-
матричные элементы для переходов внутри одной группы взаимно
вырожденных состояний п, ?т/,... особенно малы (или даже во-
вообще равны нулю). Тогда может иметь смысл вместе с учетом
в первом порядке матричных элементов Vnnt учесть в более вы-
высоких порядках матричные элементы Vnrn (га ф п, ?т/, ...) для
переходов в состояния с другими энергиями. Сделаем это с уче-
учетом матричных элементов Ушп во втором порядке.
В уравнении C8.4) с к = п в левой части равенства полагаем
Е = Еп *+Е^ (сохраняем обозначение Е^ для поправки к энер-
энергии в рассматриваемом приближении), а вместо сп пишем Сп .
Имея в виду, что c^J = 0 для всех га ф п, пг, ... имеем
^пп^).	C9.3)
т	п'
Уравнения же C8.4) с к = т ф п^п',... дают, с точностью до
членов первого порядка,
/С@)
откуда
VmW	@)
-,@) _ ^@)
Подставив это в C9.3), находим
ЯA)С(О) - Vc@)
Эта система уравнений заменяет теперь систему C9.1); усло-
условие их совместности снова приводит к секулярному уравнению,
отличающемуся от C9.2) заменой
vnn. -+ vnn, + J2 ^оГЪо) •	C9-4)

180	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
Задачи
1. Определить поправки первого приближения к собственному значе-
значению и правильные функции нулевого приближения для двукратно выро-
вырожденного уровня.
Решение. Уравнение C9.2) имеет здесь вид
^ =0
(индексы 1, 2 соответствуют двум произвольно выбранным невозмущенным
собственным функциям щ' и щ данного вырожденного уровня). Решая
его, находим
2
где введено обозначение
для разности двух значений поправки Е^ К Реп1ая, далее, уравнения C9.1) с
этими значениями Е^ \ получим для коэффициентов в нормированных пра-
правильных функциях нулевого приближения ф^ = с\ щ -\-с2 ф2 значения
c(o)_f Via Г1±К1-Ц»"П1/а
С2 "М^
2. Вывести формулы для поправок первого приближения к собственным
функциям и второго приближения для собственных значений.
Решение. Будем считать, что в качестве функций ф„ выбраны пра-
правильные функции нулевого приближения. Определенная с их помощью ма-
матрица Vnn/, очевидно, диагональна по индексам п,п (относящимся к одной
и той же группе функций вырожденного уровня), причем диагональные эле-
элементы Vnn, Vnini равны соответствующим поправкам первого приближения
¦&П 5 &nl 5 • • •
Рассматриваем возмущение собственной функции фп ', так что в ну-
нулевом приближении Е = Еп , сп = 1, Cm = 0 при га ф п. В первом
приближ:ении Е = Еп ' + Vnn, сп = 1 + сп , ст = Cm • Выпишем из общей
системы C8.4) уравнение с к ф п, п7, ..., сохраняя в нем члены первого
порядка:
(Е{0) - Е@))сA) - Vu r@) - Vu
\Л/п	Л/к )Ск — Vkn^n — vkn,
откуда
&	Jk	*/„,„',..•	A)
ьп - ьк
Далее, выписываем уравнение с к = гг/, сохранив в нем члены второго по-
порядка:
ЕA)сA) -у , A), VV/ СA)
п п' — vn'n'cn' 1 / v vn'mcm

§39	СЕКУЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ	181
(в сумме по т опускаются члены с т = п, п', ...). Подставляя En = Vnn и
выражение A) для cL , получим при п' ф п
A) _ 	1	 V^' Уп'тУтп	/рч
{Vnn Уп'п') т Ьп — Ьт
(коэффициент же сп' в этом приближении равен нулю). Формулы A), B)
определяют поправку фп = ^2т Cm фт первого приближения к собствен-
собственным функциям 1) .
Наконец, выписывая члены второго порядка в уравнении C8.4) с к = п,
получим для поправки второго порядка к энергии формулу
формально совпадающую с C8.10).
3. В начальный момент времени t = 0 система находится в состоя-
состоянии ф\ , относящемся к двукратно вырожденному уровню. Определить ве-
вероятность того, что в дальнейший момент времени t система будет нахо-
находиться в другом состоянии ф% той же энергии; переход происходит под
влиянием постоянного возмущения.
Решение. Составляем правильные функции нулевого приближения:
Ф = С\ф\ + С2-02, ф' = С\ф\ + С2ф2,
где ci,C2 и 01,0*2 — две пары коэффициентов, определяемые формулами B)
задачи 1 (верхние индексы @) у всех величин для краткости опускаем).
Обратно:
Функции фиф1 относятся к состояниям с возмущенными энергиями
и Е + Е^ , где Е^\ Е^ —два значения поправки A) задачи 1. Вводя вре-
временные множители, переходим к волновой функции, зависящей от времени:
7?
CiC2 — C1C2
(в момент t = 0 ^i = фг). Наконец, выражая снова ф, ф' через фг, ф2,
получим Фх в виде линейной комбинации от ф\, ф2 с коэффициентами, за-
зависящими от времени. Квадрат модуля коэффициента при ф2 определяет
искомую вероятность перехода W2i- Вычисление с использованием A) и B)
задачи 1 дает
Мы видим, что вероятность периодически колеблется с частотой а/1). Для
времен ?, малых по сравнению с соответствующим периодом, выражение в
г) Обратим внимание на то, что условие малости величин A) и B) (а тем
самым и условие применимости рассматриваемого метода теории возмуще-
возмущений) требует по-прежнему соблюдения условий C8.9) лишь для переходов
между состояниями, относящимися к различным уровням энергии. Перехо-
Переходы же между состояниями, относящимися к одному и тому же вырожденно-
вырожденному уровню, учитываются секулярным уравнением в известном смысле точ-
точным образом.

182	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
фигурных скобках, а с ним и вероятность W21 пропорциональны t :
w21	\V12\t;
it
эту формулу можно совсем просто получить изложенным в следующем па-
параграфе методом (с помощью уравнения D0.4)).
§ 40. Возмущения, зависящие от времени
Перейдем к изучению возмущений, зависящих явно от вре-
времени. Говорить о поправках к собственным значениям энергии
в этом случае вообще нельзя, поскольку при зависящем от вре-
времени гамильтониане (каковым будет возмущенный оператор
Н=Но + V(t)) энергия вообще не сохраняется, так что стаци-
стационарных состояний не существует. Задача заключается здесь
в приближенном вычислении волновых функций по волновым
функциям стационарных состояний невозмущенной системы.
Для этой цели мы применим метод, соответствующий из-
известному методу вариации постоянных для решения линей-
линейных дифференциальных уравнений (P. A. M. Dirac, 1926). Пусть
Ф^, ^ — волновые функции (включающие временной множитель)
стационарных состояний невозмущенной системы. Тогда про-
произвольное решение невозмущенного волнового уравнения мо-
может быть написано в виде суммы Ф = Х}а/с^& • Будем теперь
искать решение возмущенного уравнения
Ш^ = (Но + У)Ф	D0.1)
в виде суммы
10),	D0.2)
где коэффициенты разложения являются функциями времени.
Подставив D0.2) в D0.1) и помня, что функции Ф^. удовлетво-
удовлетворяют уравнению
получим

§40 ВОЗМУЩЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ	183
Умножив обе части равенства слева на Фт	и интегрируя,
получим
^ J2,	D0.3)
где
V u(t) — I Ф^*УФ1^ da — V uetuJmkt lj и —
vmk\L) — / ^rn v ^h " — утк^	•> ^mk —
— матричные элементы возмущения, включающие временной
множитель (надо, впрочем, иметь в виду, что при зависящем
явно от времени V величины Vmk тоже являются функциями
времени).
В качестве невозмущенной волновой функции выберем вол-
волновую функцию n-го стационарного состояния, чему соответ-
соответствуют значения коэффициентов в D0.2): аЬ — 1, ак — 0 при
к ф п. Для определения первого приближения ищем ак в виде
ак = ак + (гк\ причем в правую часть уравнения D0.3) (уже
содержащую малые величины Vmk) подставляем ак = ак. Это
дает	A)
iH^ = Vkn(t).	D0.4)
at
Для того чтобы указать, к какой из невозмущенных функций
вычисляется поправка, введем второй индекс у коэффициен-
коэффициентов а&, написав
к
Соответственно этому, напишем результат интегрирования
уравнения D0.4) в виде
{f ^dt.	D0.5)
Этим определяются волновые функции первого приближения.
Рассмотрим более подробно важный случай периодического
по времени возмущения, имеющего вид
V = Fe~iujt + Geiuj\	D0.6)
где F и G — операторы, не зависящие от времени. В силу эрми-
товости V должно быть
= F+e
iujt

184	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
откуда находим G = .F+, т. е.
С„т = F*mn.	D0.7)
Используя это соотношение, имеем
Vkn(t) = Vfa.e*"*»* = Fkne^^)t + ^е<(«*п+«)*.	D0.8)
Подставляя в D0.5) и интегрируя, получаем следующее вы-
выражение для коэффициентов разложения волновых функций
Ы	H(LJkLj)	H(LJk+Lj) *	V ' J
Эти выражения применимы, если ни один из знаменателей не
обращается в нуль1), т. е. если для всех к (при данном п)
Е*® -Е<рф±Гш).	D0.10)
Для ряда применений полезно иметь выражения для матрич-
матричных элементов произвольной величины /, определенных с помо-
помощью возмущенных волновых функций. В первом приближении
/nm(*) =$	$
где
Подставив сюда
к
с aj^J, определяющимися формулой D0.9), легко получить иско-
искомое выражение
— _JUnmt Xf Г fnkFkm	fkrnFnk 1 -iujt_,
г АО) р*	АО) ci* -,	"|
Jnkrmk	|	Jkmrnk \iut \
D0.11)
Эта формула применима, если ни один из членов не становится
большим, т. е. если все частоты иокп, иок-т не слишком близки к ш.
При uj = 0 мы возвращаемся к формуле C8.12).
1) Точнее—не должны быть настолько малыми, чтобы величины ак^ пе-
перестали быть малыми по сравнению с единицей.

§40	ВОЗМУЩЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ	185
Во всех написанных здесь формулах подразумевается, что
имеется только дискретный спектр невозмущенных уровней
энергии. Они, однако, непосредственно обобщаются на случай
наличия также и непрерывного спектра (причем речь по-
прежнему идет о возмущении состояний дискретного спектра),
что достигается просто прибавлением к суммам по уровням дис-
дискретного спектра соответствующих интегралов по непрерывно-
непрерывному спектру. При этом необходимо, чтобы в формулах D0.9),
D0.11) знаменатели ио^п ±^ были отличны от нуля при пробега-
нии энергией Е^ ' всех значений не только дискретного, но и не-
непрерывного спектров. Если, как это обычно имеет место, непре-
непрерывный спектр лежит выше всех уровней дискретного спектра,
то, например, условие D0.10) должно быть дополнено условием
Е^п - Е^ > Пио,	D0.12)
где -Ejn/n — энергия наиболее низкого уровня непрерывного спек-
спектра.
Задачи
1. Определить изменение n-го и m-го решений уравнения Шредингера
при наличии периодического возмущения (вида D0.6)) с частотой и такой,
что Ет — Еп ' = h(w + е) где г— малая величина.
Решение. Развитый в тексте метод здесь неприменим, так как ко-
коэффициент атп D0.9) становится большим. Исходим снова из точных урав-
уравнений D0.3) с Vmk(t) из D0.8). Очевидно, что наиболее существенный эф-
эффект возникает от тех членов в суммах в правой части уравнений D0.3),
в которых зависимость от времени определяется малой частотой итп — и.
Опуская все остальные члены, получим систему из двух уравнений
гН—— = .Ртпе mn ш) ап = Fmnet? ап, гН—— = F^ne г? ат-
dt	dt
Делаем подстановку
iet 1
апе = оп
и получаем уравнения
гНат = Fmnbn, iH(bn — isbn) = F^nUm-
Исключая из них ат, получим
В качестве двух независимых решений этих уравнений можно выбрать
ап = Аега*\ ат = -А^егаН	A)
И
^ тп
где А, В — постоянные (которые должны быть определены из условия

186	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
нормировки) и введены обозначения
ai = — е/2 + Q, а2 = е/2 + П, Q = \/г2 /А + |77|2, 77 = Fmn/h.
Таким образом, под влиянием возмущения функции Ф„ , Ф^ перейдут
в функции ап^п + ат^гп с ап, ат из A) или B).
Пусть в начальный момент времени (t = 0) система находилась в состоя-
состоянии Фга . Состояние системы в последующие моменты времени определяется
линейной комбинацией двух полученных нами функций, обращающейся при
Ф = ei?t/2 (cos Ш - — sin Qt) Ф^} - —е i?t/2 sin Ш • Ф^о).	C)
Квадрат модуля коэффициента при Ф„ ^ равен
D)
Он определяет вероятность нахож:дения системы в момент времени t в со-
состоянии Ф^ . Мы видим, что это есть периодическая функция с частотой 2Q,
меняющаяся в пределах от 0 до |77|2/^2.
При г = 0 (точный резонанс) вероятность D) обращается в
A/2)[1 - cosB|t||t)].
Она периодически меняется в пределах между 0 и 1; другими словами, си-
система периодически переходит из состояния Ф^/ в состояние Фп ^.
§ 41. Переходы под влиянием возмущения,
действующего в течение конечного времени
Предположим, что возмущение V(t) действует всего лишь
в течение некоторого конечного промежутка времени (или же,
что V(t) достаточно быстро затухает при t —»> ±ос. Пусть перед
началом действия возмущения (или в пределе при t —>• — ос) си-
система находилась в п-ы стационарном состоянии (дискретного
спектра). В произвольный последующий момент времени состо-
состояние системы будет определяться функцией
к
где в первом приближении
t
акп = 41 = -[ J Укпе{ш^сИ, кфп,
~°° t	D1.1)
апп = 1 + а^ = 1- г- J Vnndt-

§ 41	ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВОЗМУЩЕНИЯ	187
пределы интегрирования в D0.5) выбраны таким образом, чтобы
при t —»> — ос все aj^J обращались в нуль. По истечении времени
действия возмущения (или в пределе t —»> ос) коэффициенты a^n
принимают постоянные значения a/cn(oc), и система будет нахо-
находиться в состоянии с волновой функцией
к
снова удовлетворяющей невозмущенному волновому уравнению,
но отличной от первоначальной функции Ф^ ^. Согласно общим
правилам квадрат модуля коэффициента а/сп(ос) определяет ве-
вероятность системе иметь энергию Е^ , т.е. оказаться в к-м ста-
стационарном состоянии.
Таким образом, под влиянием возмущения система может
перейти из первоначального стационарного состояния в любое
другое. Вероятность перехода из первоначального (г-го) в ко-
конечное (/-е) стационарное состояние равна1)
I'
D1.2)
Рассмотрим теперь возмущение, которое, раз возникнув,
продолжает затем действовать неограниченно долго (оставаясь,
разумеется, все время малым). Другими словами, стремится к
нулю при t —>• — ос и к конечному, отличному от нуля, пределу
при t —»> ос. Формула D1.2) здесь непосредственно неприменима,
так как стоящий в ней интеграл расходится. Эта расходимость,
однако, с физической точки зрения несущественна и может быть
легко устранена. Для этого напишем, интегрируя по частям:
t	,	t
I
+ / =5^*.
Значение первого члена на нижнем пределе исчезает, а на верх-
верхнем пределе формально совпадает с коэффициентами разложе-
разложения в формуле C8.8) (наличие лишнего периодического множи-
множителя связано просто с тем, что а/^ — коэффициенты разложения
г) Для единообразия, условимся обозначать в дальнейшем (когда речь
идет о вероятностях переходов) начальное и конечное состояния соответ-
соответственно индексами inf. Кроме того, условимся писать индексы у вероят-
вероятностей перехода именно в порядке /г, в соответствии с порядком, принятым
для индексов матричных элементов.

188
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ГЛ. VI
полной волновой функции Ф, a Cfi в §38 — коэффициенты раз-
разложения не зависящей от времени функции ф). Поэтому ясно,
что его предел при t —»> ос определяет просто изменение пер-
первоначальной волновой функции Фг- ^ под влиянием «постоянной
части» F(+oc) возмущения и не имеет, следовательно, отноше-
отношения к переходам в другие состояния. Вероятность же перехода
определяется квадратом второго члена и равна
+00
/
at
D1.3)
Полученные формулы справедливы и в том случае, когда пе-
переход совершается из состояния дискретного в состояние непре-
непрерывного спектра. Разница состоит лишь в том, что речь идет
при этом о вероятности перехода из заданного (г-го) состояния
в состояния, находящиеся в интервале значений величин Vf (см.
конец § 38) от Vf до Vf + dvf, так что, например, формулу D1.2)
надо написать в виде
dt
dvt
D1.4)
Если возмущение V(t) мало меняется за промежутки времени
~ 1/cjfi, то значение интеграла в D1.2) или в D1.3) будет очень
малым. В пределе при сколь угодно медленном изменении при-
приложенного возмущения вероятность всякого перехода с измене-
изменением энергии (т.е. с отличной от нуля частотой uofi) стремит-
стремится к нулю. Итак, при достаточно медленном {адиабатическом)
изменении приложенного возмущения система, находившаяся в
некотором невырожденном стационарном состоянии, будет про-
продолжать оставаться в том же состоянии (см. также §53).
В обратном предельном случае очень быстрого, внезапно-
внезапного, включения возмущения производные dVfi/dt обращаются в
dVfj
at '
можно тогда вынести из-под знака интеграла сравнительно мед-
медленно меняющийся множитель еги;-^, взяв его значение в этот
момент. После этого интеграл сразу берется, и мы получаем
wfi = Щ".	D1.5)
бесконечность в «момент включения». В интеграле от
Вероятности перехода при внезапных возмущениях могут быть
найдены и в тех случаях, когда возмущение не является малым.

§ 41	ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВОЗМУЩЕНИЯ	189
Пусть система находится в состоянии, описывающемся одной из
собственных функций щ первоначального гамильтониана Hq.
Если изменение гамильтониана происходит внезапно (т. е. за
время, малое по сравнению с периодами l/oofi переходов из дан-
данного состояния г в другие), то волновая функция системы не
успевает измениться и остается той же, что и до возмущения.
Она, однако, уже не будет являться собственной функцией ново-
нового гамильтониана системы Н, т.е. состояние щ не будет ста-
стационарным. Вероятности же Wfi перехода системы в какое-либо
из новых стационарных состояний определяются, согласно об-
общим правилам квантовой механики, коэффициентами разложе-
разложения функции щ по собственным функциям г/jf гамильтониа-
гамильтониана Я:
wfi =
D1.6)
Покажем, каким образом эта общая формула переходит в
формулу D1.5), если изменение гамильтониана V = Н — Но явля-
является малым. Умножим уравнения
соответственно на ф** и щ , проинтегрируем по dq и вычтем
почленно одно из другого. Использовав также свойство самосо-
самосопряженности оператора Я", получим
(Ef - 40
Если возмущение V мало, то в первом приближении мож-
можно заменить Ef, близким к нему невозмущенным уровнем Е\ ,
а волновую функцию ipf (в правой части равенства) — соответ-
соответствующей функцией *фх . Тогда получим
Wfi J
и формула D1.6) переходит в D1.5).
Задачи
1. На заряженный осциллятор, находящийся в основном состоянии, вне-
внезапно накладывается однородное электрическое поле. Определить вероят-
вероятности перехода осциллятора в возбужденные состояния под влиянием этого
возмущения.

190	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
Решение. Потенциальная энергия осциллятора в однородном поле
(действующем на него с силой F) есть
тт1 ч moo2 2 -п тш2 ,	ч2 .
и(х) = 	х — Fx	[х — хо) + const,
(где хо = F/muj2), т.е. снова имеет чисто осцилляторный вид (со смещен-
смещенным положением равновесия). Поэтому волновые функции стационарных со-
состояний возмущенного осциллятора суть фк(х-хо), где фк(%) — осциллятор-
ные функции B3.12); начальная же волновая функция есть фо(х) из B3.13).
С помощью этих функций и выражения B3.11) для полиномов Эрмита на-
находим
где введено обозначение ?о = xo^moj/H. Стоящий здесь интеграл путем
^-кратного интегрирования по частям приводится к интегралу
оо
J
В результате для искомой вероятности перехода D1.6) получим формулу
Р -и -г U	F2
Как функция числа к она представляет собой распределение Пуассона со
средним значением к.
Случаю применимости теории возмущений соответствуют малые F та-
такие, что к <С 1. Тогда вероятности возбуждения малы и быстро убывают с
увеличением к. Наибольшая из них w\q ~ к.
В обратном случае больших F (к ^> 1) возбуждение осциллятора про-
происходит с подавляющей вероятностью: вероятность осциллятору остаться в
нормальном состоянии есть woo = e~k.
2. Ядро атома, находящегося в нормальном состоянии, испытывает вне-
внезапный толчок, в результате которого оно приобретает скорость г>, дли-
длительность толчка т предполагается малой как по сравнению с электронными
периодами, так и по сравнению с a/v, где а—атомные размеры. Опреде-
Определить вероятность возбуждения атома под влиянием такого «встряхивания»
(А.Б.Мигдал, 1939).
Решение. Переходим к системе отсчета К\ движущейся вместе с
ядром после удара. В силу условия т <С a/v ядро можно считать прак-
практически не сместившимся за время удара, так что координаты электронов
в системе Х; ив исходной системе К непосредственно после возмущения
совпадают. Начальная волновая функция в системе К' есть
// /	/ ¦ v~^ Л	f^v
ф0 = ф0 ехр ( — zq у ra I, q= 	,
v « ' п
где фо — волновая функция нормального состояния при неподвижном ядре,
а суммирование в экспоненте производится по всем Z электронам в атоме.
Искомая вероятность перехода в k-е возбужденное состояние определяется

§ 41	ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВОЗМУЩЕНИЯ	191
теперь, согласно D1.6), формулой
В частности, если qa <C 1, то, разлагая экспоненциальный множитель под
знаком интеграла и замечая, что интеграл от ф^фо обращается в нуль в
силу ортогональности функций фо и фк, получим
3. Определить полную вероятность возбуждения и ионизации атома во-
водорода при внезапном «встряхивании» (см. предыдущую задачу).
Решение. Искомую вероятность можно вычислить как разность
1-1000 = 1-1 I ф1е-{*г <W
где и>оо — вероятность атому остаться в основном состоянии (фо =
= (-каъ)~1'2е~г'а— волновая функция основного состояния атома водорода;
а— боровский радиус). Вычислив интеграл, получим
1 — и>оо = 1 —
4
В предельном случае qa <С 1 эта вероятность стремится к нулю как
1 — u>oo ~ g2a2, а при qa > 1 — к единице как 1 — woo « 1 — B/qa)8.
4. Определить вероятность вылета электрона из if-оболочки атома
с большим атомным номером Z при /3-распаде ядра. Скорость /3-части-
цы предполагается большой по сравнению со скоростью if-электрона
(А.Б.Мигдал, 1941; Е.Л. Фейнберг, 1939).
Решение1). В указанных условиях длительность прохождения /3-ча-
стицы через if-оболочку мала по сравнению с периодом обращения элек-
электрона, так что изменение заряда ядра можно считать мгновенным. Роль
возмущения играет при этом изменение V = 1/г поля ядра при малом
A по сравнению с Z) изменении его заряда. Согласно D1.5) вероятность пе-
перехода одного из двух электронов if-оболочки с энергией Ео = —Z2/22) в
состояние непрерывного спектра с энергией Е = к2 /2 в интервале dE = kdk
есть
4|Vbfc|2 JU
В интеграле, определяющем матричный элемент Vbfc, существенна об-
область близких (<~ 1/Z) расстояний от ядра, в которой для волновой функ-
функции состояния непрерывного спектра тоже можно пользоваться водородопо-
добным выражением. Конечное состояние электрона должно иметь момент
/ = 0 (совпадающий с моментом начального состояния). С помощью функ-
функции i?io и нормированной по шкале к/2тт функции Rko, полученных в §36,
) В задачах 4 и 5 пользуемся атомными единицами.
2) Здесь и ниже используется водородоподобность состояния if-электронов
(см. §74).

192	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
и формулы (f.3) математических дополнений найдем )
и, поскольку
окончательно получим
где введено обозначение
х( \ ! (л arctga\
f(a) = 	=—г- ехр —4	^— .
Предельные значения функции f(a):
f = е~4 при а ^С 1, / = а/2тг при а ^> 1.
Полная вероятность ионизации if-оболочки получается интегрировани-
интегрированием dw по всем энергиям вылетающего электрона. Численный расчет дает
5. Определить вероятность вылета электрона из if-оболочки атома с
большим Z при а-распаде ядра. Скорость а-частицы мала по сравнению со
скоростью if-электрона, но время ее выхода из ядра мало по сравнению со
временем обращения электрона (А. Б. Мигдал, 1941; J. Levinger, 1953).
Решение. После вылета а-частицы действующее на электрон воз-
возмущение имеет адиабатический характер. Поэтому искомый эффект опре-
определяется в основном временем, близким к нарушающему адиабатичность
«моменту включения» возмущения, когда а-частица, выйдя из ядра и дви-
двигаясь как свободная, находится еще на расстояниях, малых по сравнению с
радиусом if-орбиты. Роль возмущения V, вызывающего ионизацию атома,
играет при этом отклонение совместного поля ядра и а-частицы от чисто
кулонова поля Z/r. Дипольный момент двух частиц с атомными весами 4 и
А — 4 и зарядами 2 и Z—2, находящимися на расстоянии vt друг от друга
(г> — относительная скорость ядра и а-частицы), равен
2(А - 4) - (Z - 2L _ 2Q4-2Z)
A	V	A
Поэтому дипольный член поля ядра и а-частицы есть )
А	г3
где ось z направлена вдоль скорости v. Матричный элемент этого возму-
возмущения сводится к матричному элементу от z: взяв матричный элемент от
уравнения движения электрона z = —Zz/r3, получим
z\ (E - ДоJ
Is = 	™	Zok-
) При вычислении удобно пользоваться кулоновыми единицами, перейдя
затем к атомным единицам в окончательном результате.
2) Если разность А — 2Z мала, может оказаться необходимым учет также
и следующего, квадрупольпого члена.

§ 42	ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ	193
Искомая вероятность перехода одного из двух электронов if-оболочки
равна, согласно D1.2),
а о 7 т/ *(j?0-i?)t^2^8(A-2Z)V, 2dk
aw = Z / vofce	at ак	^—2	\zQk —
J	A Z	2тг
о
(для вычисления интеграла вводим в подынтегральное выражение дополни-
дополнительный затухающий множитель е~ г (А > 0), после чего в получающем-
получающемся результате полагаем Л —»> 0). Для вычисления матричного элемента от
z = г cos в замечаем, что поскольку орбитальный момент в начальном со-
состоянии / = 0, то cos0 имеет отличный от нуля матричный элемент лишь
для перехода в состояние с / = 1; при этом
Вычисляя rok с помощью радиальных функций i^oo и Rki, получим в резуль-
результате
dw = 	^—^	f—з~5 /1 —)kdk
(функция / определена в задаче 4).
§ 42. Переходы под влиянием периодического
возмущения
Другого рода результаты получаются для вероятности пе-
перехода в состояния непрерывного спектра, происходящего под
влиянием периодического возмущения. Предположим, что в не-
некоторый начальный момент времени t = 0 система находится
в г-м стационарном состоянии дискретного спектра. Частоту ио
периодического возмущения будем предполагать такой, что
Пии > Ет[п - Ef\	D2.1)
где i?min — значение энергии, с которого начинается непрерыв-
непрерывный спектр.
Из результатов §40 заранее очевидно, что основную роль
будут играть состояния непрерывного спектра со значениями
энергии Ef в непосредственной близости к «резонансной» энер-
энергии Е\ + Нои, т. е. такие, для которых разность uofi — 00 мала. По
этой же причине в матричных элементах возмущения D0.8) до-
достаточно рассматривать только первый член (с близкой к нулю
частотой ооfi — 00). Подставляя этот член в D0.5) и интегрируя,
получим
t
'	•	D2.2)

194	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
Нижний предел интегрирования выбран таким образом, чтобы
при t = 0 было dfi = 0 в соответствии с поставленным начальным
условием.
Для квадрата модуля ctfi отсюда находим
4siir —^	t
V
Легко видеть, что при больших t стоящая здесь функция может
быть представлена как пропорциональная t.
Для этого замечаем, что имеет место следующая формула:
sin at
-,. sin at с/ \	/ ле\ л\
hm 	=- = На)-	D2.4)
Действительно, при а ф 0 написанный предел равен нулю, а при
а = 0 имеем 	^— = t. так что предел равен бесконечности.
tor
Интегрируя же по da в пределах от —ос до +ос (делаем подста-
подстановку at = ?), получим
n2
1	f sin2 at 7 1 f sin2 ?
it J ta	* J ?
Таким образом, функция, стоящая в левой части равенства
D2.4), действительно удовлетворяет всем требованиям, опре-
определяющим ^-функцию.
Соответственно этой формуле мы можем написать при боль-
больших t
или, подставив nuofi = Ef — E^ и воспользовавшись тем, что
8 {ах) = 8{х)/а:
Выражение \afi\2duf есть вероятность перехода из первона-
первоначального состояния в состояния, находящиеся в заданном ин-
интервале dvf. Мы видим, что при больших t она оказывается
пропорциональной истекшему с момента t = 0 промежутку

§ 42	ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ	195
времени. Вероятность же dwfi перехода в течение единицы вре-
времени равна1)
dwfi = ^-\Ffi\2S(Ef - Ef] - Пии) dvf.	D2.5)
В соответствии с тем, что и ожидалось, она отлична от нуля
лишь для переходов в состояния с энергией Ef = Е^ + Нои. Ес-
Если энергетические уровни непрерывного спектра не вырождены,
так что под Vj можно понимать значения одной только энергии,
то весь «интервал» состояний dvf сводится к одному состоянию
с энергией Е = Е^ +Нои, и вероятность перехода в это состояние
есть
= f \FEi\2.	D2.6)
Методически поучителен также и другой способ вывода
формулы D2.5), в котором периодическое возмущение пред-
предполагается включающимся не в дискретный момент t = 0, а
медленно нарастает от t = —ос по экспоненциальному зако-
закону е^ с положительной постоянной Л, которую затем устрем-
устремляют к нулю (адиабатическое включение). Соответственно и
начальное условие a,fi = 0 ставится при этом в момент t = — ос.
Матричный элемент возмущения имеет теперь вид
и вместо D2.2) пишем
t
* /	лт 14-\ ло- гг1 exp[z(^cjji LU)t -\- At\ //io т\
dfi =	I Vfi[t) at — г fi	——.	Dz./J
H J	h(cjfi — и — i\)
—oo
Отсюда
\n ,2 _ J_,p ,2
\Ufi\ — t2\rfi\ ,	42 , ,2-
Вероятность же перехода в единицу времени определяется про-
производной
Теперь замечаем, что имеет место формула
lim / 2Л 2ч = 6(а),	D2.8)
г) Легко проверить, что при учете опущенного второго члена в D0.8) по-
получились бы дополнительные выражения, которые, будучи поделены на ?,
стремятся при t Ч +оо к нулю.

196	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
справедливая в том же смысле, что и D2.4). С ее помощью на-
находим, переходя к пределу Л —»> 0:
и мы вновь возвращаемся к формуле D2.5).
§ 43. Переходы в непрерывном спектре
Одним из важнейших применений теории возмущений явля-
является вычисление вероятности перехода в непрерывном спектре
под влиянием постоянного (не зависящего от времени) возмуще-
возмущения. Мы уже упоминали, что состояния непрерывного спектра
практически всегда вырождены. Выбрав определенным образом
совокупность невозмущенных волновых функций, соответствую-
соответствующих некоторому данному уровню энергии, мы можем поста-
поставить задачу следующим образом: известно, что в начальный
момент времени система находилась в одном из этих состояний;
требуется определить вероятность перехода в другое состояние
той же энергии. Для переходов из начального состояния г в со-
состояния в интервале между Vj и Vj + dvj имеем непосредственно
из D2.5) (полагая си = 0 и меняя обозначения)
dwfi = ^-\Vfi\26(Ef - Ei)duf.	D3.1)
Это выражение, как и следовало, отлично от нуля лишь при
Ef = E{\ под влиянием постоянного возмущения переходы про-
происходят лишь между состояниями с одинаковой энергией. Необ-
Необходимо отметить, что для переходов из состояний непрерыв-
непрерывного спектра величина dwfi не может рассматриваться непо-
непосредственно как вероятность перехода; она даже не обладает
соответствующей размерностью A/с). Выражение D3.1) изоб-
изображает число переходов в единицу времени, причем его раз-
размерность зависит от выбранного способа нормировки волновых
функций непрерывного спектра1).
Вычислим возмущенную волновую функцию, которая до на-
начала действия возмущения совпадает с исходной невозмущенной
1) К категории явлений, охватываемых излагаемой теорией, относятся, на-
например, различные столкновения; при этом система в начальном и конечном
состояниях представляет собой совокупность свободных частиц, а роль воз-
возмущения играет взаимодействие между ними. При надлежащей нормиров-
нормировке волновых функций величина D3.1) может оказаться при этом сечением
столкновений (см. §126).

§ 43	ПЕРЕХОДЫ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ	197
функцией щ ' Следуя указанному в конце предыдущего пара-
параграфа способу, будем рассматривать возмущение как включа-
включаемое адиабатически по закону ext с Л —»> 0. Согласно форму-
формуле D2.7) (в которой полагаем си = 0 и меняем обозначения) име-
имеем
D3.2)
*г	J°	Ei-Ef+iX
Возмущенная волновая функция имеет вид
ф< = *i0) +
где интегрирование производится по всему непрерывному спек-
спектру1) . Подставив сюда D3.2), находим
НЧ	D3.3)
В пределе Л —»> 0 множитель ext заменен единицей. Член же
+г0 (означающий предел гЛ при стремлении к нулю положи-
положительной величины Л) определяет способ интегрирования по пере-
переменной Ef, дифференциал которой входит как множитель в dvf
(наряду с дифференциалами других величин, характеризующих
состояния непрерывного спектра). Без члена г А подынтеграль-
подынтегральное выражение в D3.3) имело бы полюс при Ef = E{, вблизи
которого интеграл расходился бы. Член г А смещает этот полюс
в верхнюю полуплоскость комплексного переменного Ef. После
перехода к пределу А —»> 0 полюс снова возвращается на ве-
вещественную ось, но мы знаем теперь, что путь интегрирования
должен обходить полюс снизу:
'	щ	D3.4)
Временной множитель в D3.3) показывает, что эта функция
относится, как и следовало, к той же энергии Е{, что и начальная
невозмущенная функция. Другими словами, функция
г) Если имеется также и дискретный спектр, то в этой и следующих фор-
формулах к интегралу надо добавить соответствующую сумму по состояниям
дискретного спектра.

198	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
удовлетворяет уравнению Шредингера
В связи с этим естественно, что это выражение в точности со-
соответствует формуле C8.8)х).
Произведенные выше вычисления соответствуют первому
приближению теории возмущений. Нетрудно вычислить и вто-
второе приближение. Для этого надо вывести формулу следующего
приближения для Ф^ что легко сделать, воспользовавшись мето-
методом § 38 (зная теперь способ, которым должны браться «расхо-
«расходящиеся» интегралы). Простое вычисление приводит к формуле
f \
J I
vfi+ [ V'"V« A,
Сравнивая это выражение с формулой D3.3), мы можем
написать соответствующую формулу для вероятности (точнее,
для числа переходов) непосредственно по аналогии с D3.1):
2тг
Vfi+f V'"V«
du
6(Ei-Ef)dvf. D3.6)
Может оказаться, что матричный элемент Vfi для рассмат-
рассматриваемого перехода обращается в нуль. Тогда эффект первого
приближения вообще отсутствует и выражение D3.6) сводится к
2тг
П
[ VfuVui
dv
D3.7)
при применениях этой формулы точка Еи = Е{ не является
обычно полюсом подынтегрального выражения; тогда способ
интегрирования по dEv вообще не существен и его можно про-
производить непосредственно вдоль вещественной оси.
О состояниях z/, для которых Vjv и Vyi отличны от нуля, часто
говорят, как о промежуточных для перехода г —» /'. Наглядно
можно сказать, что этот переход осуществляется как бы в два
этапа: г —»> v и v —)> / (разумеется, однако, такому описанию не
следует придавать буквального смысла). Может оказаться, что
переход i —> f возможен не через одно, а лишь через несколь-
несколько последовательных промежуточных состояний. Формула D3.7)
г) Способ взятия интеграла в D3.5) можно установить, исходя из требо-
требования, чтобы асимптотическое выражение для фг на больших расстояниях
содержало лишь расходящуюся, но не сходящуюся волну (см. § 136).

§44	СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ЭНЕРГИИ	199
непосредственно обобщается на такие случаи. Так, если необхо-
необходимы два промежуточных состояния, то
А	27Г
dwfi = —
п
[
J
, d ,
* Е ME E\— d(Ef-E^d»f- D3-8)
¦Li — but){bi — Ьи)
Наконец, для уяснения математического смысла интегралов,
взятых по пути вида D3.4), укажем формулу
Г J(x)dx_ = L Hx^l + i7rf{a)
J х — а — гО J х — а
где интегрирование производится по отрезку вещественной оси,
включающему в себя точку х = а. Действительно, производя об-
обход полюса х = а по полуокружности (радиуса р), найдем, что
весь интеграл равен сумме интегралов по вещественной оси от
нижнего предела до а — р и от а + р до верхнего предела и (умно-
(умноженного на гтг) вычета подынтегрального выражения в полюсе.
В пределе р —>• 0 интегралы по вещественной оси складывают-
складываются в интеграл по всему отрезку, понимаемый в смысле главного
значения (что и отмечено перечеркнутым знаком интегрирова-
интегрирования), и мы приходим к D3.9). Эту формулу записывают также
и в символическом виде
	= Р	Ь гтго(ж — а);	D3.10)
х — а — гО	х — а
символ Р означает, что при интегрировании функции
f(x)/(x — а) должно быть взято главное значение интеграла.
§ 44. Соотношение неопределенности для энергии
Рассмотрим систему, состоящую из двух слабовзаимодей-
ствующих частей. Предположим, что в некоторый момент време-
времени известно, что эти части обладают определенными значениями
энергии, которые мы обозначим соответственно как Еле. Пусть
через некоторый интервал времени At производится снова из-
измерение энергии; оно дает некоторые значения Е\ е\ вообще
говоря, отличные от Е, е. Легко определить, каков порядок ве-
величины наиболее вероятного значения разности Е' + е' — Е — е,
которая будет обнаружена в результате измерения.
Согласно формуле D2.3) (с си = 0) вероятность перехода си-
системы (за время t) под влиянием не зависящего от времени воз-
возмущения из состояния с энергией Е в состояние с энергией Е1
пропорциональна

200	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
Отсюда видно, что наиболее вероятное значение разности Е' — Е
порядка величины H/t.
Применив этот результат к рассматриваемому нами случаю
(возмущением является взаимодействие между частями систе-
системы), мы получим соотношение
\Е + е-Е' -e'\At~H.	D4.1)
Таким образом, чем меньше интервал времени At, тем боль-
большее изменение энергии будет обнаружено. Существенно, что его
порядок величины Н/ At не зависит от величины возмущения.
Определяемое соотношением D4.1) изменение энергии бу-
будет обнаружено даже при сколь угодно слабом взаимодействии
между обеими частями системы. Этот результат является чисто
квантовым и имеет глубокий физический смысл. Он показыва-
показывает, что в квантовой механике закон сохранения энергии может
быть проверен посредством двух измерений лишь с точностью
до величины порядка К/At, где At —интервал времени между
измерениями.
О соотношении D4.1) часто говорят, как о соотношении не-
неопределенности для энергии. Необходимо, однако, подчеркнуть,
что его смысл существенно отличается от смысла соотношения
неопределенности Ар Ах ~ К для координаты и импульса. В по-
последнем Ар и Ах — неопределенности в значениях импульса и
координаты в один и тот же момент; оно показывает, что эти
две величины вообще не могут иметь одновременно строго опре-
определенных значений.
Энергии же Е, е, напротив, могут быть измерены в каждый
данный момент времени с любой точностью. Величина (Е + е) —
— (Ег+?г) в D4.1) есть разность двух точно измеренных значений
энергии Е + s в два различных момента времени, а отнюдь не
неопределенность в значении энергии в определенный момент
времени.
Если рассматривать Е как энергию некоторой системы,
а ? — как энергию «измерительного прибора», то мы можем
сказать, что энергия взаимодействия между ними может быть
учтена лишь с точностью до К/At. Обозначим через АЕ, As,...
погрешности в измерениях соответствующих величин. В благо-
благоприятном случае, когда е, е' известны точно (As = As' = 0),
имеем
Е')~^.	D4.2)
Из этого соотношения можно вывести важные следствия от-
относительно измерения импульса. Процесс измерения импуль-
импульса частицы (будем говорить для определенности об электроне)

§44	СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ЭНЕРГИИ	201
включает в себя столкновение электрона с некоторой другой
(«измерительной») частицей, импульсы которой до и после
столкновения могут считаться известными точно1). Если при-
применить к этому столкновению закон сохранения импульса, то
мы получим три уравнения (три компоненты одного векторно-
векторного уравнения) с шестью неизвестными — компонентами импуль-
импульса электрона до и после столкновения. Для увеличения числа
уравнений можно произвести ряд последовательных столкно-
столкновений электрона с «измерительными» частицами и применить
закон сохранения импульса к каждому из них. При этом, од-
однако, увеличивается и число неизвестных (импульсы электрона
между столкновениями), и легко сообразить, что при любом чи-
числе столкновений число неизвестных будет превышать на три
число уравнений. Поэтому для измерения импульса электрона
необходимо привлечь, наряду с законом сохранения импульса,
также и закон сохранения энергии в каждом столкновении. По-
Последний, однако, может быть применен, как мы видели, лишь
с точностью до величины порядка Н/At, где At — время между
началом и концом рассматриваемого процесса.
Для упрощения дальнейших рассуждений удобно рассмо-
рассмотреть идеализированный мысленный эксперимент, в котором
«измерительной частицей» является идеально отражающее плос-
плоское зеркало; тогда играет роль лишь одна компонента импульса,
перпендикулярная к плоскости зеркала. Для определения им-
импульса Р частицы законы сохранения импульса и энергии дают
уравнения
р' + Р'-р-Р = 0,	D4.3)
\е' + Е'-е-Е\ ~ -^	D4.4)
(Р, Е— импульс и энергия частицы; р, е — тоже для зерка-
зеркала; величины без и со штрихами относятся соответственно к
моментам до и после столкновения). Величины р, р', е, s1', от-
относящиеся к «измерительной частице», могут рассматриваться
как известные точно, т. е. их погрешности равны нулю. Тогда
для погрешностей в остальных величинах имеем из написанных
уравнений
АР = АР', \АЕ' - АЕ\ ~ ^.
Но
АЕ = —АР = vAP,
дР
1) Для производимого здесь анализа несущественно, каким образом стано-
становится известной энергия «измерительной» частицы.

202	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
где v — скорость электрона (до столкновения), и аналогично
АЕ' = v'AP' = г/ДР.
Поэтому получаем
!	D4.5)
Мы приписали здесь индексы х у скоростей и импульса, с целью
подчеркнуть, что это соотношение относится к каждой из их
компонент в отдельности.
Это и есть искомое соотношение. Оно показывает, что изме-
измерение импульса электрона (при заданной степени точности АР)
неизбежно связано с изменением его скорости (т. е. и самого им-
импульса) .
Это изменение тем больше, чем короче длится самый процесс
измерения. Изменение скорости может быть сделано сколь угод-
угодно малым лишь при At —»> ос, но измерения импульса, длящиеся
в течение большого времени, вообще могут иметь смысл лишь
для свободной частицы. Здесь в особенности ярко проявляется
неповторимость измерения импульса через короткие промежут-
промежутки времени и «двуликая» природа измерения в квантовой меха-
механике—необходимость различать между измеряемым значением
величины и значением, создаваемым в результате процесса из-
измерения г).
К приведенному в начале этого параграфа выводу, основан-
основанному на теории возмущений, можно подойти с другой точки зре-
зрения, применив его к распаду системы, происходящему под влия-
влиянием какого-либо возмущения. Пусть Eq есть некоторый уровень
энергии системы, вычисленный при полном пренебрежении воз-
возможностью ее распада. Обозначим продолжительность жиз-
жизни этого состояния системы через т, т. е. величину, обратную
вероятности распада в единицу времени. Тогда тем же способом
найдем, что
\Е0-Е-е\ ~П/т,	D4.6)
где Е, е — энергии обеих частей, на которые распалась система.
Но по сумме Е + е можно судить об энергии системы до рас-
распада. Поэтому полученное соотношение показывает, что энергия
способной к распаду системы в некотором квазистационарном
состоянии может быть определена лишь с точностью до вели-
величины порядка К/т. Эту величину обычно называют шириной Г
уровня. Таким образом,
Г ~ П/т.	D4.7)
г) Соотношение D4.5), как и выяснение физического смысла соотношения
неопределенности для энергии, принадлежит Н. Бору A928).

§ 45	ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ КАК ВОЗМУЩЕНИЕ	203
§ 45. Потенциальная энергия как возмущение
Особого рассмотрения заслуживает случай, когда в каче-
качестве возмущения может рассматриваться полная потенциальная
энергия частицы во внешнем поле. Невозмущенное уравнение
Шредингера есть тогда уравнение свободного движения части-
частицы
Аф^ + к2ф^=0, к=^^ = р-	D5.1)
и имеет решениями плоские волны. Энергетический спектр сво-
свободного движения непрерывен, так что мы имеем дело со свое-
своеобразным случаем теории возмущений в непрерывном спектре.
Решение задачи удобнее получить здесь непосредственно, не
прибегая к общим формулам.
Уравнение для поправки ф^ первого приближения к волно-
волновой функции гласит:
(U — потенциальная энергия). Решение этого уравнения, как из-
известно из электродинамики, может быть написано в виде «запаз-
«запаз1)
дывающих потенциалов», т.е. в виде1)
,^К^, D53)
dV = dx' dy' dz', r2 = (x- x'f + (y- у'J + (z- z'f.
Выясним, каким условиям должно удовлетворять поле U для
того, чтобы его можно было рассматривать как возмущение.
Условие применимости теории возмущений заключается в тре-
требовании ф^ <С ф(°\ Пусть а есть порядок величины размеров
области пространства, в котором поле заметно отличается от
нуля. Предположим сначала, что энергия частицы настолько ма-
мала, что ак меньше или порядка единицы. Тогда множитель е
в подынтегральном выражении в D5.3) несуществен при оценке
порядка величины, и весь интеграл будет порядка ф^>\и\а?, так
что ф^ ~ (та2\и\/К2)ф(°\ и мы получаем условие
^ (приА;а<1).	D5.4)
та
г) Это есть частный интеграл уравнения D5.2), к которому может быть
прибавлено еще любое решение уравнения без правой части (т. е. невозму-
невозмущенного уравнения D5.1)).

204	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
Отметим, что выражение fi?/то? имеет простой физический
смысл—это есть порядок величины кинетической энергии, ко-
которой обладала бы частица, заключенная в объеме с линейными
размерами а (поскольку, согласно соотношению неопределенно-
неопределенности, ее импульс был бы ~ Н/а).
Рассмотрим, в частности, потенциальную яму настолько не-
неглубокую, что для нее выполняется условие D5.4). Легко видеть,
что в такой яме не существует отрицательных уровней энергии
(R. Peierls, 1929); мы видели это уже в задаче к § 33 для частно-
частного случая сферически-симметричной ямы. Действительно, при
Е = 0 невозмущенная волновая функция сводится к постоянной,
которую можно условно принять равной единице: ф^ = 1. По-
Поскольку -i/Д1) <С ф(°\ то ясно, что волновая функция движения в
яме, ф = 1 + ^ , нигде не обращается в нуль; собственная же
функция, не имеющая узлов, относится к нормальному состоя-
состоянию, так что Е = 0 остается наименьшим возможным значением
энергии частицы.
Таким образом, если яма недостаточно глубока, то возможно
только инфинитное движение частицы — частица не может «за-
хватиться» ямой. Обратим внимание на то, что этот результат
имеет специфически квантовый характер — в классической ме-
механике частица может совершать финитное движение в любой
потенциальной яме.
Необходимо подчеркнуть, что все сказанное относится толь-
только к трехмерной яме. В одно- и двумерной яме (т. е. в которой
поле есть функция только от одной или двух координат) всегда
имеются уровни отрицательной энергии (см. задачи к этому па-
параграфу). Это связано с тем, что в одно- и двумерном случаях
рассматриваемая теория возмущений вообще неприменима при
равной нулю (или очень малой) энергии Е1).
В случае больших энергий, когда ка ^> 1, множитель егкг в
подынтегральном выражении играет существенную роль, силь-
сильно уменьшая величину интеграла. Решение D5.3) может быть
1) В двумерном случае ф^1' выражается (как известно из теории двумер-
двумерного волнового уравнения) в виде аналогичного D5.3) интеграла, в котором
вместо 	dx'dy'dz' стоит г-кН^ \kr)dx' dy' (Hq ' — функция Ганкеля), а
г
г = л/(х' — хJ + {у' — уJ. При к —»> 0 функция Ганкеля, а с нею и весь
интеграл стремятся логарифмически к бесконечности.
Аналогично, в одномерном случае под знаком интеграла, определяющего
ф^\ стоит 2тгг	dx' (где г = \х' — х\) и при к —»> 0 ^ стремится к
к
бесконечности, как 1/к.

§ 45	ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ КАК ВОЗМУЩЕНИЕ	205
в этом случае преобразовано к другому виду, для вывода ко-
которого, однако, удобнее обратиться непосредственно к уравне-
уравнению D5.2). Выберем направление невозмущенного движения в
качестве оси х\ тогда невозмущенная волновая функция имеет
вид ч/А™ = егкх (постоянный множитель условно полагаем рав-
равным единице). Ищем решение уравнения
Д^A) + к2фA) = 2™Ueikx
h
в виде ijjd' = е /, причем ввиду предполагаемой большой вели-
величины к достаточно сохранить в Дч/А1) только те члены, в которых
дифференцируется (хотя бы один раз) множитель егкх. Тогда мы
получим для / уравнение
2rnU
х Г?
откуда
it К*	J
Оценка этого интеграла дает l^1^ ~ m\U\a/h2k, так что
условием применимости теории возмущений в этом случае будет
\U\<^-^1ka=—, fea»l	D5.6)
та	а
(г; = кН/т — скорость частицы). Обратим внимание на то, что
это условие — более слабое, чем D5.4). Поэтому, если можно рас-
рассматривать поле как возмущение при малых энергиях частицы,
то это во всяком случае возможно и при больших энергиях, меж-
между тем как обратное, вообще говоря, не имеет места1).
Применимость развитой здесь теории возмущений к кулоно-
ву полю требует особого рассмотрения. В поле U = а/г нельзя
выделить конечной области пространства, вне которой U было
бы значительно меньше, чем внутри нее. Искомое условие мож-
можно получить, написав в D5.6) переменное расстояние г вместо
параметра а; это приводит к неравенству
fv « 1.	D5.7)
1) В одномерном случае условие применимости теории возмущений дается
неравенством D5.6) при всех ка. Вывод условия D5.4), проведенный выше
для трехмерного случая, в одномерном случае невозможен ввиду отмечен-
отмеченной в примеч. на с. 204 расходимости построенной таким способом функ-
функции ф^\

206	ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VI
Таким образом, при больших энергиях частицы кулоново поле
можно рассматривать как возмущениех).
Наконец, выведем формулу, приближенно определяющую
волновую функцию частицы с энергией Е, везде значительно
превышающей потенциальную энергию U (выполнения каких-
либо других условий при этом не требуется). В первом прибли-
приближении зависимость волновой функции от координат такая же,
как и для свободного движения (направление которого выбе-
выберем в качестве оси х). Соответственно этому, ищем ф в виде
ф _ eikxj?^ Где р есть функция координат, меняющаяся мед-
медленно по сравнению со множителем егкх (о ней, однако, нельзя,
вообще говоря, утверждать, что она близка к единице). Подста-
Подставляя в уравнение Шредингера, получим для F уравнение
откуда
.. _ _ ,	D5.8)
ф = eikxF = const -eikx expf-— fudx).	D5.9)
v hv j /
Это и есть искомое выражение. Следует, однако, иметь в виду,
что оно неприменимо на слишком больших расстояниях. В урав-
уравнении D5.8) опущен член AF, содержащий вторые производ-
производные от F. Производная d2F/dx2, вместе с первой производной
dF/dx, стремится на больших расстояниях к нулю. Производ-
Производные же по поперечным координатам у, z к нулю не стремятся,
и пренебрежение ими возможно лишь при условии х <С ка2.
Задачи
1. Определить уровень энергии в одномерной потенциальной яме малой
глубины; предполагается, что условие D5.4) выполнено.
Решение. Делаем предположение, подтверждающееся результатом,
что уровень энергии \Е\ <^ \U\. Тогда в правой части уравнения Шредингера
d xb ^iin
dx H
можно в области ямы пренебречь Е, а также считать ф постоянной, которую
без ограничения общности можно положить равной единице:
_ 2гп
dx H
1) Надо иметь в виду, что интеграл D5.5) с полем U = а/г расходится (ло-
(логарифмически) при больших х/\/у2 + z2. Поэтому получаемая с помощью
теории возмущений волновая функция в кулоновом поле неприменима вну-
внутри узкого конуса вокруг оси х.

§ 45	ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ КАК ВОЗМУЩЕНИЕ	207
Проинтегрируем это равенство по dx между двумя точками zbsci такими, что
а <^ xi <^i 1/х, где а—ширина ямы, а х = у/2т\Е\/Н. Ввиду сходимости
интеграла от U(x) можно распространить интегрирование справа по всей
области от — оо до +оо:
dx
— оо
Вдали от ямы волновая функция имеет вид ф = е±>сх. Подставляя это в A),
найдем
-2х = |? | Udx
+ оо	2
=MIudx)-
— оо	—оо
Мы видим, в согласии со сделанным предположением, что величина уровня
оказывается малой величиной более высокого (второго) порядка, чем глуби-
глубина ямы.
2. Определить уровень энергии в двумерной потенциальной яме U(r)
(г — полярная координата в плоскости) малой глубины; предполагается, что
оо
интеграл f rll dr сходится.
о
Решение. Поступая, как и в предыдущей задаче, получим в области
ямы уравнение
ld_ ( di/Л _ 2т
г dr \ dr J H2
Интегрируя его по dr от 0 до п (где а <^С r\ <?L 1/х), имеем
_ 2т
dr
frU{r)dr.	A)
r=r\
Вдали от ямы уравнение двумерного свободного движения
1 d
(
г\
г dr \ dr J h
имеет решение (обращающееся на бесконечности в нуль) i/;=const-i7Q '(гкг)\
при малых значениях аргумента главный член в этой функции пропорци-
пропорционален lnxr. Имея это в виду, приравниваем при г ~ а логарифмические
производные от ф, вычисленные в яме (правая часть равенства A)) и вне
ее, и получаем
alntca
откуда
1	2т f m v
	~ 72~ / U(r)rdr,
ха п a J
оо
/
Urdr
|Я|~-^ехр --
та	т
L о
Мы видим, что уровень энергии оказывается экспоненциально малым по
сравнению с глубиной ямы.

ГЛАВА VII
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
§ 46. Волновая функция в квазиклассическом случае
Если дебройлевские длины волн частиц малы по сравнению
с характеристическими размерами L, определяющими условия
данной конкретной задачи, то свойства системы близки к клас-
классическим. (По аналогии с тем, как волновая оптика переходит в
геометрическую при стремлении длины волны к нулю.)
Произведем теперь более подробное исследование свойств
квазиклассических систем. Для этого в уравнении Шредингера
сделаем формальную подстановку
ф = expl -си.	D6.1)
Для функции а получаем уравнение
^^-"' D6-2)
Соответственно тому, что система предполагается почти класси-
классической по своим свойствам, будем искать а в виде ряда
Т2 + ...,	D6.3)
\ г /
расположенного по степеням Н.
Начнем с рассмотрения наиболее простого случая — одномер-
одномерного движения одной частицы. Уравнение D6.2) сводится тогда
к уравнению
J.^/2_i^ // = E_щ^	D64)
2т	2т	V J	V J
(где штрих означает дифференцирование по координате х).
В первом приближении пишем а = сто и опускаем в уравнении
член, содержащий Н:
±og = E-U(x).

§ 46	ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ	209
Отсюда находим
сг0 = ± I ^2m[E - U(x)] dx.
Подынтегральное выражение представляет собой не что иное,
как классический импульс р{х) частицы, выраженный в функ-
функции от координаты. Определив функцию р(х) со знаком + перед
корнем, будем иметь
<го = ± pdx, p= ^/2m(E - [/),	D6.5)
что и следовало ожидать в соответствии с предельным выраже-
выражением F.1) для волновой функции1).
Сделанное в уравнении D6.4) пренебрежение законно только
в том случае, если второй член в левой части равенства мал по
сравнению с первым, т.е. должно быть H\<j"/<j'2\ <С 1 или
dxWj\
1.
1,	D6.6)
В первом приближении имеем, согласно D6.5), а1 = р, так что
полученное условие можно написать в виде
dk
dx
где Л = Л/2тг, а Л(ж) = 2тгН/р(х) — дебройлевская длина вол-
волны частицы, выраженная как функция от ж с помощью клас-
классической функции р(х). Таким образом, мы получили количе-
количественное условие квазиклассичности — длина волны частицы
должна мало меняться на протяжении расстояний порядка ее
самой. Приближение становится неприменимым в тех областях
пространства, где это условие не выполняется.
Условие D6.6) можно написать и в ином виде, заметив, что
dp d rz ~гр^ 77T	m dU mF
где F = —dU/dx есть классическая сила, действующая на ча-
частицу во внешнем поле. Вводя эту силу, находим
« 1.	D6.7)
х) Как известно, J pdx есть не зависящая от времени часть действия. Пол-
Полное механическое действие S частицы есть S = —Et±fpdx. В выражении
для его член —Et отсутствует в соответствии с тем, что мы рассматриваем
не зависящую от времени волновую функцию ф.

210	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
ГЛ. VII
Отсюда видно, что квазиклассическое приближение становится
неприменимым при слишком малом импульсе частицы. В част-
частности, оно заведомо неприменимо вблизи точек поворота, т. е.
вблизи тех точек, в которых частица, согласно классической
механике, остановилась бы, после чего начала бы двигаться в
обратном направлении. Эти точки определяются из равенства
р(х) = 0, т. е. Е = U(x). При р —»> 0 дебройлевская длина волны
стремится к бесконечности и ясно, что она не может считаться
малой.
Подчеркнем, однако, что условие D6.6) или D6.7) само по
себе может оказаться недостаточным для допустимости ква-
квазиклассического приближения. Дело в том, что оно получено
путем оценки различных членов в дифференциальном уравне-
уравнении D6.4), причем отбрасываемый член содержит старшую про-
производную. Между тем в действительности надо требовать мало-
малости последовательных членов разложения в решении этого урав-
уравнения, и она может не обеспечиваться малостью отбрасываемого
члена в уравнении. Так, если в решении для а(х) содержится
член, возрастающий с координатой х по закону, близкому к ли-
линейному, то малость второй производной в уравнении не мешает
тому, что на достаточно больших расстояниях этот член может
«набрать» большую величину. Такая ситуация возникает, вооб-
вообще говоря, когда поле простирается на расстояния, большие по
сравнению с характерной длиной L, на которой оно испытыва-
испытывает заметное изменение (см. ниже замечание в связи с форму-
формулой D6.11)); квазиклассическое приближение оказывается тог-
тогда неприменимым для прослеживания за поведением волновой
функции на больших расстояниях.
Перейдем к вычислению следующего члена в разложении
D6.3). Члены первого порядка по h в уравнении D6.4) дают
^0^1 + ао/2 = °> откуда
а[ = -4 = -Р~.
1	2а'о	2р
Интегрируя, находим
G1 = -- lnp	D6.8)
(постоянную интегрирования опускаем).
Подставляя полученное выражение в D6.1), D6.3) получим
волновую функцию в виде
) ^iU) D6-9)
Множитель 1/у/р в этой функции допускает простое истол-
истолкование. Вероятность нахождения частицы в точках с коорди-

§ 46	ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ	211
натами между х и х + dx определяется квадратом |^|2, т.е. в
основном пропорциональна 1/р. Это как раз то, что и следовало
ожидать для «квазиклассической частицы», поскольку при клас-
классическом движении время, проводимое частицей на отрезке dx,
обратно пропорционально скорости (или импульсу) частицы.
В классически недоступных участках пространства, где
Е < U(x), функция р(х) — чисто мнимая, так что показатели
вещественны. Общий вид решения волнового уравнения в этих
областях
ф ехр В / и dx)+ Шехр (* /|р| dx) ¦ D6Л0)
Следует, однако, иметь в виду, что точность квазиклассическо-
квазиклассического приближения не дает права сохранять в волновой функции
экспоненциально малые члены «на фоне» экспоненциально боль-
больших, и в этом смысле одновременное сохранение обоих членов
в D6.10), как правило, недопустимо.
Хотя обычно нет необходимости в использовании членов бо-
более высоких порядков малости в волновой функции, получим
здесь еще и следующий член разложения D6.3), имея в виду
отметить некоторые моменты, относящиеся к точности квази-
квазиклассического приближения.
Члены порядка Н2 в уравнении D6.4) дают
а'0а2 + A/2)о? + A/2К = 0,
откуда (подставляя D6.5) и D6.8) для ctq и а\)
i _ р" Зр/2
4р2 8р3
Интегрируя (причем первый член интегрируется по частям) и
вводя силу F = ррг/га, получим
mF m2 [ F2 ,
сг2 = —о- Н	/ —г ах.
4р3 8 J р5
Волновая функция в рассматриваемом приближении имеет вид
или
, const L imh F ihm2 f F2 7 1	f^f i\ /л^п\
i; = — \l-—?-—j7dX^-jPdX). D6.11)
Появление мнимых поправочных членов в предэкспоненци-
альном множителе эквивалентно появлению вещественной по-
поправки в фазе волновой функции (т. е. добавки к интегралу

212	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
ГЛ. VII
- f pdx в ее экспоненте). Эта поправка оказывается пропорцио-
пропорциональной Я, т. е. имеющей порядок величины X/L.
Второй и третий члены в квадратной скобке в D6.11) должны
быть малы по сравнению с 1. Для первого из них это условие
совпадает с D6.7), но во втором оценка интеграла приводит к
условию D6.7), лишь если F2 достаточно быстро стремится к
нулю на расстояниях ~ L.
§ 47. Граничные условия в квазиклассическом случае
Пусть х = а есть точка поворота (так что U(a) = Е), и пусть
U > Е при всех х > а, так что область справа от точки поворо-
поворота классически недоступна. Волновая функция должна затухать
в глубь этой области. В достаточном удалении от точки поворота
она имеет вид
х
\
при х > а,	D7.1)
соответствующий первому члену в D6.10). Слева же от точки
поворота волновая функция должна изображаться веществен-
вещественной комбинацией D6.9) двух квазиклассических решений урав-
уравнений Шредингера:
X	X
ф = — ехр ( - pdx) -\	 ехр ( — - pdx) при х < а. D7.2)
у/Р \П J	) у/Р \ П J	J
а	а
Для определения коэффициентов в этой комбинации надо
проследить за изменением волновой функции от положительных
х — а (где справедливо выражение D7.1)) к отрицательным х — а.
При этом, однако, приходится пройти через область вблизи точ-
точки остановки, где квазиклассическое приближение неприменимо
и необходимо рассматривать точное решение уравнения Шре-
Шредингера. При малых \х — а\ имеем
E-U(x)ttF0(x-a), Fo = -— < 0;	D7.3)
ах х—а
другими словами, в этой области мы имеем дело с задачей о
движении в постоянном поле. Точное решение уравнения Шре-
Шредингера для этой задачи было найдено в § 24, и связь между
коэффициентами в D7.1) и D7.2) может быть найдена сравнени-
сравнением с асимптотическими выражениями B4.5) и B4.6) указанного

§ 47	ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ	213
точного решения по обе стороны от точки поворота. При этом
надо заметить, что из D7.3) следует р(х) = ^2mFo(x — а), так
что интеграл
1 /	2 /		я/о
H J	3H
a
совпадает с выражением в аргументе ехр или sin в B4.5) или
B4.6). В этих рассуждениях существенно, что область примени-
применимости разложения D7.3) и область квазиклассичности частично
перекрываются: если движение квазиклассично почти во всей
области поля (что и предполагается), то существуют значения
\х — а\ настолько малые, что допустимо разложение D7.3), и в
то же время настолько большие, что удовлетворяется условие
квазиклассичности и применимы асимптотики B4.5), B4.6I).
Методически более поучителен, однако, другой способ, поз-
позволяющий вообще избежать необходимости прибегать к точно-
точному решению. Для этого надо рассматривать формально ф(х)
как функцию комплексного переменного х и произвести пере-
переход от положительных к отрицательным х — а по пути, цели-
целиком расположенному вдали от точки х = а, так что на всем
этом пути формально удовлетворяется условие квазиклассич-
квазиклассичности (A. Zwaan, 1929). При этом снова рассматриваем такие
значения \х — а|, для которых в то же время допустимо разло-
разложение D7.3), так что волновая функция D7.1) принимает вид
х
Г 1 Г I / 	 1
ехр<— y^/2m\Fo\(x-a)dx>. D7.4)
Проследим сначала за изменением этой функции при обходе
вокруг точки х = а справа налево по полуокружности (радиу-
(радиуса р) в верхней полуплоскости комплексного х. На этой полу-
полуокружности
icn	f /	 7	2 3/2 ( 3<р . . . 3(p\
x — a = pe*.	/ yx — a ax = -p ' cos — + г sin — ,
J	3И V 2	2 /'
a
причем фаза <р меняется от 0 до тт. При этом экспоненциальный
множитель в D7.4) сначала (при 0 < (р < 2тг/3) возрастает по
х) Действительно, разложение D7.3) применимо при \х — а\ <^i L, где L —
характерное расстояние изменения поля U(x). Условие же квазиклассич-
квазиклассичности D6.7) требует \х — а\3^2 > h/^m\F0\. Оба эти условия совместны,
поскольку квазиклассичность движения вдали от точки поворота (т. е. при
х — а\ ~ L) означает, что L3/2 > h/^m\F0\.

214	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
ГЛ. VII
модулю, а затем падает по модулю до 1. В конце перехода пока-
показатель экспоненты становится чисто мнимым, равным
X	X
— - ^2m\Fo\(a — х) dx = —- р(х) dx.
Ъ J	n J
а	а
В предэкспоненциальном же множителе в D7.4) в результате об-
обхода
(х - a)'1'4 ^ (а - х)-1/^-™/4.
Таким образом, вся функция D7.4) переходит во второй член
в D7.2) с коэффициентом С2 = A/2)Се~г7Г/4.
Тот факт, что путем обхода через верхнюю полуплоскость
оказалось возможным определить лишь коэффициент Съ в D7.2),
имеет простое объяснение. Если проследить за изменением
функции D7.2) при обходе по той же полуокружности в обрат-
обратном направлении (слева направо), то мы увидим, что в начале
обхода первый член быстро становится экспоненциально малым
по сравнению со вторым. Но квазиклассическое приближение не
дает возможности заметить экспоненциально малые члены в ф
«на фоне» большого основного члена, что и является причиной
«потери» первого члена в D7.2) при произведенном обходе.
Для определения же коэффициента С\ надо произвести об-
обход справа налево по полуокружности в нижней полуплоскости
комплексного х. Аналогичным образом найдем, что при этом
функция D7.4) переходит в первый член в D7.2) с коэффициен-
коэффициентом d = A/2)CW4.
Таким образом, волновой функции D7.1) при х > а соответ-
соответствует при х < а функция
х
ф = — cos[ - I pdx -\— I.
а
Полученное правило соответствия можно записать в виде, не
зависящем от того, с какой именно стороны от точки поворота
лежит классически недоступная область
X	X
<	pdx > —)> —cos	< - pdx — - > D7.5)
a	a
при U(x) > E	при U(x) < E
{H.A.Kramers, 1926).

§48	ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА	215
Подчеркнем лишний раз очевидное из вывода обстоятель-
обстоятельство, что это правило связано с определенным граничным усло-
условием, поставленным с одной из сторон от точки поворота, и в
этом смысле должно применяться лишь в определенном направ-
направлении. Именно, правило D7.5) получено при граничном условии
ф —>• 0 в глубь классически недоступной области и должно при-
применяться для перехода от последней к классически разрешенной
области (как и указано в D7.5) стрелкойI).
Если классически доступная область ограничена (при х = а)
бесконечно высокой потенциальной стенкой, то граничное усло-
условие для волновой функции при х = а есть ф = 0 (см. §18).
Квазиклассическое приближение при этом применимо вплоть до
самой стенки и волновая функция
Ж<°'	D7.6)
ф = 0	при х > а.
§ 48. Правило квантования Бора—Зоммерфельда
Состояния, относящиеся к дискретному спектру энергии, ква-
зиклассичны при больших значениях квантового числа п — по-
порядкового номера состояния. Действительно, это число опреде-
определяет число узлов собственной функции (см. §21). Но рассто-
расстояние между соседними узлами совпадает по порядку величины
с дебройлевской длиной волны. При больших п это расстояние
мало, так что длина волны мала по сравнению с размерами
области движения.
Выведем условие, определяющее квантовые уровни энергии в
квазиклассическом случае. Для этого рассмотрим финитное од-
одномерное движение частицы в потенциальной яме; классически
доступная область Ъ ^ х ^ а ограничена двумя точками пово-
поворота2) .
) Переход же в обратном направлении теряет смысл в том отношении, что
уже небольшое изменение волновой функции справа в D7.5) может привести
к появлению экспоненциально возрастающего члена в функции слева.
2) В классической механике в таком поле частица совершала бы периоди-
периодическое движение с периодом (время движения от точки Ъ до а и обратно)
(v — скорость частицы).

216	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
ГЛ. VII
Согласно правилу D7.5) граничное условие в точке х = Ъ
приводит (в области справа от нее) к волновой функции
D8Л)
Применив это же правило к области слева от точки х = а, полу-
получим ту же волновую функцию в виде
а
С"	(\ [	тЛ
ц) —	COS I IP CL^C	I .
х
Для того чтобы эти два выражения совпадали во всей области,
сумма их фаз (которая есть величина постоянная) должна быть
целым кратным от тг:
а
- pdx — - = птг
h J	2
ъ
(причем С = (-1)ПС). Отсюда
1 / 7	.1
2'
D8.2)
V J
a
где интеграл § pdx = 2 f pdx взят по полному периоду класси-
b
ческого движения частицы. Это и есть условие, определяющее
в квазиклассическом случае стационарные состояния частицы.
Оно соответствует правилу квантования Бора-Зоммерфельда
старой квантовой теории
Величина / = — § pdx называется адиабатическим инвари-
антом (см. I, §49), так что условие квантования D8.2) можно
записать как
1(Е) = П(п+1/2).
В §41 уже упоминалось, что при достаточно медленном,
«адиабатическом», изменении параметров система остается в
том же квантовом состоянии, в данном случае в состоянии с
некоторым п. Мы видим, что в квазиклассическом пределе это
утверждение совпадает с классической теоремой о постоянстве
адиабатического инварианта при медленном изменении парамет-
параметров.

§48	ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА	217
Легко видеть, что целое число п равно числу нулей волновой
функции, а потому есть порядковый номер стационарного со-
состояния. Действительно, фаза волновой функции D8.1) растет
от —тг/4 в точке х = Ъ до (п + 1/4)тг в точке х = а, так что
косинус обращается в этом интервале в нуль п раз (вне интер-
интервала Ъ <С х <С а волновая функция затухает монотонно, не имея
нулей на конечных расстоянияхI).
Согласно сказанному выше в квазиклассическом случае чис-
число п велико. Подчеркнем, однако, что сохранение члена 1/2 ря-
рядом с п в D8.2) тем не менее законно: учет следующих поправоч-
поправочных членов в фазе волновых функций привел бы к появлению
в правой части выражения D8.2) лишь членов ~ A/L, малых по
сравнению с 1 (см. замечание в конце § 46J).
Для нормировки волновой функции достаточно интегриро-
интегрировать \ф\^ лишь в интервале Ъ ^ х ^ а, так как вне его ф(х)
экспоненциально затухает. Поскольку аргумент косинуса в D8.1)
есть быстро меняющаяся функция, можно с достаточной точно-
точностью заменить квадрат косинуса его средним значением, т. е. 1/2.
Тогда получим
[\ I 12 А	С2 f dx	пС2 л
I уф\ dx « — / 	= 	= 1,
J	2 J р(х) 2гпи
ъ
где uj = 2тг/Г— частота классического периодического дви-
движения. Таким образом, нормированная квазиклассическая
функция
		х
ф = а — cos - pdx	.	D8.3)
V ttv \nj	4J
b
Следует помнить, что частота си — функция энергии и, вообще
говоря, различна для разных уровней.
Соотношение D8.2) можно истолковать еще и другим об-
образом. Интеграл §pdx есть площадь, охватываемая замкнутой
х) Строго говоря, подсчет числа нулей должен производиться с учетом точ-
точного вида волновой функции вблизи точек поворота. Такое исследование
подтверждает указанный результат.
2) В некоторых случаях точное выражение для уровней энергии Е{п) (как
функции квантового числа п), получающееся из точного уравнения Шре-
дингера, таково, что при п —»> оо оно сохраняет свой вид; примерами яв-
являются уровни энергии в кулоновом поле и уровни энергии гармонического
осциллятора. Естественно, что в этих случаях правило квантования D8.2),
применимое при больших п, дает для функции Е(п) выражение, совпадаю-
совпадающее с точным.

218	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
ГЛ. VII
классической фазовой траекторией частицы (т. е. кривой в плос-
плоскости р, х — фазовом пространстве частицы). Разделив эту пло-
площадь на клетки площадью 2тгЯ каждая, мы получим всего п
клеток. Но п есть число квантовых состояний с энергиями, не
превышающими заданного ее значения (соответствующего рас-
рассматриваемой фазовой траектории). Таким образом, мы можем
сказать, что в квазиклассическом случае каждому квантовому
состоянию соответствует клетка в фазовом пространстве пло-
площадью 2тгН. Иначе, число состояний, отнесенное к элементу объ-
объема Ар Ах фазового пространства, есть
АрАх/BтгН).	D8.4)
Если ввести вместо импульса волновой вектор к = р/Н, то это
число напишется, как АкАх/2т:. Оно совпадает, как и следова-
следовало ожидать, с известным выражением для числа собственных
колебаний волнового поля (см. II, §52).
Исходя из правила квантования D8.2) можно выяснить об-
общий характер распределения уровней в энергетическом спектре.
Пусть АЕ есть расстояние между двумя соседними уровнями,
т. е. уровнями с отличающимися на единицу квантовыми числа-
числами п. Поскольку АЕ мало (при больших п) по сравнению с самой
энергией уровней, то на основании D8.2) можно написать
АЕ I ^- dx = 2тгН.
J оЕ
Но дЕ/др = v, так что
Поэтому получаем
АЕ= —П = Нои.	D8.5)
Таким образом, расстояние между соседними уровнями ока-
оказывается равным fku. Для целого ряда соседних уровней (раз-
(разность номеров п которых мала по сравнению с самими п) соот-
соответствующие частоты uj можно приближенно считать одинако-
одинаковыми. Поэтому мы приходим к выводу, что в каждом небольшом
участке квазиклассической части спектра уровни расположены
эквидистантно, через одинаковые интервалы Нои. Этот результат,
впрочем, можно было ожидать заранее, так как в квазикласси-
квазиклассическом случае частоты, соответствующие переходам между раз-
различными уровнями энергии, должны быть целыми кратными
классической частоты си.

§48	ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА	219
Представляет интерес проследить, во что переходят в клас-
классическом пределе матричные элементы какой-либо физической
величины /. Для этого исходим из того, что среднее значение /
в некотором квантовом состоянии в пределе должно перейти
просто в классическое значение этой величины, если только са-
само состояние в пределе дает движение частицы по определен-
определенной траектории. Такому состоянию соответствует волновой па-
пакет (см. §6), получающийся суперпозицией ряда стационарных
состояний с близкими значениями энергии. Волновая функция
такого состояния имеет вид
где коэффициенты ап заметно отличны от нуля только в не-
некотором интервале An значений квантового числа п—таком,
что 1 <С An <С щ числа п предполагаются большими соответ-
соответственно квазиклассичности стационарных состояний. Среднее
значение / равно, по определению,
/
= /"ф*
или, заменив суммирование по п, т суммированием по п и раз-
разности s = т — п, получим
7 =
где иошп = cos в соответствии с D8.5).
Матричные элементы /mn, вычисленные с помощью квази-
квазиклассических волновых функций, быстро падают по величине с
увеличением разности т — п, являясь в то же время медленно
меняющимися функциями самого числа п (при заданном т — п).
Ввиду этого приближенно можно написать
/ = Е Е a>nfseiust = J2 к\2 Е
п s	п	s
где введено обозначение
Js = jn-\-s,n->
а п—некоторое среднее значение квантового числа в интерва-
интервале An. Но 2
а
р
2
— 1; ПОЭТОМУ

220	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	ГЛ. VII
Получившаяся сумма имеет вид обычного ряда Фурье. Посколь-
Поскольку / должно в пределе совпадать с классической величиной /(?),
то мы приходим к результату, что матричные элементы fmn в
пределе переходят в компоненты /m-n разложения классической
функции /(?) в ряд Фурье.
Аналогично, матричные элементы для переходов между со-
состояниями непрерывного спектра переходят в компоненты раз-
разложения /(?) в интеграл Фурье. При этом волновые функции
стационарных состояний должны быть нормированы на 5-функ-
цию от энергии, деленной на Н.
Все изложенные результаты непосредственно обобщаются
на системы со многими степенями свободы, совершающие фи-
финитное движение, для которого механическая (классическая) за-
задача допускает полное разделение переменных в методе Гамиль-
тона-Якоби (так называемое условно-периодическое движение,
см. I, §52). После разделения переменных для каждой степени
свободы задача сводится к одномерной и соответствующие усло-
условия квантования имеют вид
Г
Ф pi dqi = 2тгН(щ + 7t)?	D8.6)
j
где интеграл берется по периоду изменения обобщенной коорди-
координаты qi а 7г — число порядка единицы, зависящее от характера
граничных условий для данной степени свободыг).
В общем случае произвольного (не условно-периодическо-
условно-периодического) многомерного движения формулировка квазиклассических
условий квантования требует более глубоких рассуждений2).
Понятие же о «клетках» в фазовом пространстве применимо
(в квазиклассическом приближении) всегда в одинаковом ви-
виде. Это ясно из отмеченной выше его связи с числом собствен-
собственных колебаний волнового поля в заданном объеме пространства.
В общем случае системы с s степенями свободы на элемент
1) Так, для движения в центрально-симметричном поле
/	( Л
(b pr dr = 2-кй ( пг -\— ),
J	V	2/
/ре dO = 2тт!г ll — m -\— 1, Ф p^dtp = 2-кйт
\	? J J
(где пг = п — I — 1 — радиальное квантовое число). Последнее равен-
равенство связано просто с тем, что р^ есть ^-компонента момента, равная hm.
2) См. J. В. Keller// Ann. Phys. 1958. V. 4. P. 180.

§49	ПРАВИЛО КВАНТОВАНИЯ БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА	221
объема фазового пространства приходится
л лт Agi ... AqsAp! ... Aps	/ ло >7\
AN =	—		D8.7)
квантовых состоянийх).
Задачи
1.	Определить (приближенно) число дискретных уровней энергии ча-
частицы, движущейся в поле ?/(г), удовлетворяющем условию квазиклассич-
квазиклассичности.
Решение. Число состояний, «приходящихся» на объем фазового
пространства, соответствующий импульсам в интервале О $С р <С ртах и
координатам частицы в элементе объема dV, равно
(йгй)» ^
При заданном г частица может обладать (в своем классическом движе-
движении) импульсом, удовлетворяющим условию Е = (р /2т) + ?/(г) $С 0. Под-
Подставляя ртах = V—2mU(r), получим полное число состояний дискретного
спектра
V2 2m3/2 Г 3/2
^-?г}{-и) dV'
где интегрирование производится по той области пространства, в которой
U < 0. Этот интеграл расходится (число уровней бесконечно), если U убы-
убывает на бесконечности, как r~scs<2B согласии с результатами в § 18.
2.	То же в квазиклассическом центрально-симметричном поле U(r)
(В. Л. Покровский).
Решение.В центрально-симметричном поле число состояний не со-
совпадает с числом уровней энергии ввиду вырождения последних по напра-
направлениям момента. Искомое число можно найти, заметив, что число уров-
уровней с заданным значением момента М совпадает с числом уровней (невы-
(невырожденных) для одномерного движения в поле с потенциальной энергией
[7ef = U(г) + М2/Bmr2). Максимально возможное значение импульса рг
при данном г и энергиях Е $С 0 есть pr max = V—2mUef. Поэтому число
состояний (т. е. число уровней) равно
J 2ттП 2ттП J у
2mr2
Искомое полное число дискретных уровней получается отсюда интегри-
интегрированием по dM/H (заменяющим в квазиклассическом случае суммирование
по /) и равно
1) В частности, для одной частицы с?3р/Bтг^K есть число состояний, при-
приходящихся на интервал d3p значений импульса в единичном объеме про-
пространства. Этим объясняется совпадение двух истолкований нормировки
плоской волны A5.8), отмеченное в примеч. на с. 68.

ГЛ. VII
222	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
§ 49. Квазиклассическое движение
в центрально-симметричном поле
При движении в центрально-симметричном поле волновая
функция частицы распадается, как мы знаем, на угловую и ра-
радиальную части. Рассмотрим сначала первую из них.
Зависимость угловой волновой функции от угла (р (опреде-
(определяющаяся квантовым числом га) настолько проста, что вопрос о
нахождении для нее приближенных формул вообще не возника-
возникает. Что же касается зависимости от полярного угла 0, то, соглас-
согласно общему правилу, она квазиклассична, если соответствующее
ей квантовое число / велико (более точная формулировка этого
условия будет дана ниже).
Мы ограничимся здесь выводом квазиклассического выра-
выражения угловой функции лишь для наиболее важного в приме-
применениях случая состояний с равным нулю магнитным кванто-
квантовым числом (га = ОI). Эта функция совпадает с точностью
до постоянного множителя с полиномом Лежандра P/(cos#)
(см. B8.8)) и удовлетворяет дифференциальному уравнению
%	0.	D9.1)
Подстановкой
D9.2)
VS1I10
оно приводится к уравнению
не содержащему первой производной и по виду аналогичному
одномерному уравнению Шредингера.
В уравнении D9.3) роль «дебройлевской длины волны» иг-
играет
,-1/2
4sin20
1) Противоположный случай, т = /, в пределе должен соответствовать
движению по классической орбите, лежащей в экваториальной плоскости
в = тг/2. Действительно,
P/(cos0) = const-sin* 0;
при / —>¦ оо эта функция (а с нею и \ф\ ) стремится к нулю при всех в ф тг/2.

§ 49	КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ	223
Требование малости производной dX/dx (условие D6.6)) приво-
приводит к неравенствам
0/>1, (тг-0)/>1	D9.4)
(условия квазиклассичности угловой части волновой функции).
При больших / эти условия выполняются почти во всем интерва-
интервале значений 0, за исключением лишь области углов, очень близ-
близких к нулю или к тг.
При выполнении условия D9.4) в D9.3) можно пренебречь
вторым членом в квадратных скобках по сравнению с первым:
Решение этого уравнения:
X = V^ePi(cos9) = Asm\(l + ^\e + a\	D9.5)
(Л, а — постоянные).
Для углов в <С 1 в уравнении D9.1) можно положить ctg0 ~
« 1/0; заменяя также приближенно /(/ + 1) на (Z + 1/2J, получим
уравнение
dO2 в dO
которое имеет решением функцию Бесселя нулевого порядка
P/(cos0) = Jo (/ + ^0 , 0< 1.	D9.6)
Постоянный множитель положен равным единице, так как при
0 = 0 должно быть Pi = 1. Приближенное выражение D9.6)
для Pi справедливо при всех углах 0 <С 1. В частности, его мож-
можно применить и для углов в области 1/1 <С 0 <С 1, где оно должно
совпадать с выражением D9.5), справедливым при всех 0 ^> 1/1.
При 0/ ^> 1 бесселеву функцию можно заменить ее асимпто-
асимптотическим выражением для больших значений аргумента, и мы
получим
тг/	у/в
(в коэффициенте можно пренебречь 1/2 по сравнению с /). Срав-
Сравнивая с D9.5), находим, что А = у2/тг/, а = тг/4. Таким обра-
образом, получаем окончательно следующее выражение для Pi (cos в),

224	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	ГЛ. VII
применимое в квазиклассическом случае1):
РЦссвв) « , Д Ь J- -J.	D9.7)
у 7Г/	VS1I10
Нормированная же сферическая функция У/о получается отсюда
в виде (ср. B8.8))
Перейдем к радиальной части волновой функции. В § 32 было
показано, что функция x(r) — rR(r) удовлетворяет уравнению,
тождественному одномерному уравнению Шредингера с потен-
потенциальной энергией
Ul(r) U(r) +	^.
Поэтому мы можем применить полученные в предыдущих пара-
параграфах результаты, понимая под потенциальной энергией функ-
функцию Ui(r).
Наиболее прост случай / = 0. Центробежная энергия от-
отсутствует, и если поле U(r) удовлетворяет необходимому усло-
условию D6.6), то радиальная волновая функция будет квазиклас-
квазиклассической во всем пространстве. При г = 0 должно быть \ — 0>
поэтому квазиклассическая функция %(г) определяется в соот-
соответствии с формулами D7.6).
Если же / т^ 0, то условию D6.6) должна удовлетворять
также и центробежная энергия. В области небольших г, где
центробежная энергия порядка величины полной энергии, дли-
длина волны Л = Н/р ~ г/1 и условие D6.6) дает / > 1. Та-
Таким образом, если / невелико, в области небольших г условие
квазиклассичности нарушается центробежной энергией. Мож-
Можно легко убедиться в том, что мы получим правильное зна-
значение фазы квазиклассической волновой функции х(г)> если
будем вычислять ее по формулам одномерного движения, за-
заменив в потенциальной энергии С//(г) коэффициент /(/ + 1)
) Обратим внимание на то, что именно в результате замены /(/ + 1) на
(/ +1/2J мы получили выражение, умножающееся на ( — II при замене в на
тг — в, как и должно быть для функции Pj(cos0).

49	КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ	225
Щг) Щг)+	.	D9.9)
Вопрос о применимости квазиклассического приближения к
кулонову полю U = ±а/г требует особого рассмотрения. Из всей
области движения наиболее существенна часть, соответствую-
соответствующая расстояниям г, при которых \U\ ~ \Е\, т.е. г ~ а/\Е\.
Условие квазиклассичности движения в этой области сводится
к требованию малости длины волны Л ~ Н/ у/2т\Е\ по сравне-
сравнению с размерами а/\Е\ области; это дает
\Е\ « ?f,	D9.10)
т. е. абсолютное значение энергии должно быть мало по срав-
сравнению с энергией частицы на первой боровской орбите. Усло-
Условие D9.10) можно написать также и в виде
Г > 1,	D9.11)
nv
где v ~ у/\Е\/т — скорость частицы. Обратим внимание на то,
что это условие обратно условию D5.7) применимости теории
возмущений к кулонову полю.
Что касается области малых расстояний (|C/(r)| ^ Е), то
в кулоновом поле отталкивания она вообще не представляет
интереса, поскольку при U > Е квазиклассические волновые
функции затухают экспоненциально. В поле же притяжения
при малых / возможно проникновение частицы в область, где
\U\ ^> \Е\, так что возникает вопрос о границах применимости
здесь квазиклассического приближения. Воспользуемся общим
условием D6.7), положив в нем
В результате найдем, что область применимости квазикласси-
квазиклассического приближения ограничивается расстояниями
г > П2/та2,	D9.12)
т. е. расстояниями, большими по сравнению с «радиусом» первой
боровской орбиты.
х) Так, в простейшем случае свободного движения (U = 0) фаза функции,
вычисленной по формуле D8.1) с Ui из D9.9), при больших г совпадает, как
и следовало, с фазой функции C3.12).

226	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	ГЛ. VII
Задача
Определить поведение волновой функции вблизи начала координат, если
при г —»> 0 поле обращается в бесконечность, как ±a/rs с s > 2.
Решение. При достаточно малых г длина волны
П	hrs/2
так что
Vs'2-1 « 1;
/та
таким образом выполняется условие квазиклассичности. В поле притяжения
Ui —»¦ — оо при г —»> 0. Область вблизи начала координат в этом случае
классически доступна и радиальная волновая функция \ ~ V\/P' откУДа
<ф~гз/4-\
В поле отталкивания область малых г классически недоступна. В этом слу-
случае волновая функция при г —»> 0 экспоненциально стремится к нулю. Опус-
Опуская множитель при экспоненциальной функции, имеем
'HIM1
( Х I f a \\	i	Г
ехр	/ р dr\ или гр ~ ехр —
(s-2)H
§ 50. Прохолсдение через потенциальный барьер
Рассмотрим движ:ение частицы в поле типа, изображенно-
изображенного на рис. 13, характеризующегося наличием потенциального
барьера, — участка, в котором потенциальная энергия U(x) пре-
превышает полную энергию Е частицы. В классической механике
потенциальный барьер непрони-
непроницаем для частицы; в кванто-
квантовой же механике частица может,
с отличной от нуля вероятно-
вероятностью, пройти «сквозь барьер» (об
этом явлении говорят также, как
о туннельном эффектеI). Если
Рис. 13	поле U(х) удовлетворяет услови-
условиям квазиклассичности, то коэф-
коэффициент прохождения через барьер может быть вычислен в об-
общем виде. Заметим, что эти условия приводят, в частности, к
тому, что барьер должен быть широким и потому коэффициент
прохождения в квазиклассическом случае мал.
Чтобы не прерывать дальнейших вычислений, решим пред-
предварительно следующую задачу. Пусть квазиклассическая волно-
волновая функция в области справа от точки поворота х = Ъ (где
) Примеры такого рода уже рассматривались в задачах 2 и 4 к § 25.

§ 50	ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР	227
U(х) < Е) имеет вид бегущей волны:
X
ф = — expl - pdx -\	).	E0.1)
b
Требуется найти волновую функцию этого же состояния в об-
области х < Ь. Сделаем это тем же способом обхода в плоскости
комплексного ж, который был применен в § 47.
Положив
Е - U(x) « F0(x - 6), Fo > 0,
напишем функцию E0.1) в виде
ъ
и произведем в ней обход справа налево по полуокружности в
верхней полуплоскости:
х
= -p3/2 f- sin ^ + г cos Щ,
о	\	Z	Z /
ъ
причем фаза <р меняется от 0 до тг. В течение обхода функ-
функция ф(х) сначала убывает, а затем возрастает по модулю, ста-
становясь в конце обхода равной
ъ
{
х
-Ь = ре<*, г f V^
J
(Ь - -Г."" ехр{ /B^„)У(^) &+
X
Таким образом, находим следующее правило соответствия1):
ЬЧ
ъ	ъ
х > Ъ	х < Ъ
1)При обходе же справа налево через нижнюю полуплоскость функция
ф(х) сначала возрастает, а затем убывает по модулю, превращаясь на левой
полуоси ((р —>> —тг) в экспоненциально малую величину, сохранение которой
«на фоне» экспоненциально большой функции E0.2) было бы незаконным.
На том участке обхода, где ф(х) экспоненциально велико, из-за неточности
квазиклассического приближения теряется экспоненциально малая добавка,
которая при (^? —>> —тг могла бы превратиться в экспоненциально большой
член, тем самым тоже теряющийся.

228
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
ГЛ. VII
Подчеркнем, что это правило предполагает определенный вид
волновой функции (бегущая направо волна) в классически раз-
разрешенной области и должно применяться именно для перехода
от последней к классически недоступной области.
Вернемся теперь к вычислению коэффициента прохождения
через потенциальный барьер. Пусть частица падает на барьер
из области / слева направо. Тогда в области /// позади барьера
будет иметься лишь прошедшая через барьер волна, распростра-
распространяющаяся вправо; волновую функцию в этой области напишем
в виде
х
E0.3)
где v = р/т — скорость частиц, a D — плотность потока в волне.
По правилу E0.2) находим теперь волновую функцию в области
// внутри барьера:
/Н)=У1ехр()
х	а	а
E0.4)
Наконец, применив правило D7.5), получим в области / перед
барьером:
Эта функция, если положить в ней
ь
-^ / \p\
dx
E0.5)
принимает вид
х	х
1	(г [ , , гтЛ , 1	/ г f , гтЛ
^ехр - / pdx + — + ^ехр -- / pdx- —

§ 50	ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР	229
Первый член в ней (сводящийся при х —>• — ос к плоской волне
ф ~ егрх/ъ^ описывает падающую на барьер волну, а второй — от-
отраженную волну. Выбранная нормировка отвечает равной едини-
единице плотности потока в падающей волне, а потому величина D —
плотность потока в прошедшей волне — совпадает с искомым ко-
коэффициентом прохождения через барьер. Подчеркнем, что эта
формула применима лишь, если показатель экспоненты велик,
так что само D мало1).
До сих пор предполагалось, что поле U(х) удовлетворяет
условию квазиклассичности на всем протяжении барьера (за ис-
исключением только непосредственной окрестности точек поворо-
поворота). Фактически же часто приходится иметь дело с барьерами, в
которых кривая потенциальной энергии с одной из сторон идет
настолько круто, что квазиклассическое приближение непри-
неприменимо. Основной экспоненциальный множитель в D остается
здесь тем же, что и в формуле E0.5), но предэкспоненциаль-
ный множитель (равный в E0.5) единице) меняется. Для его
вычисления необходимо в принципе вычислить точную волно-
волновую функцию в неквазиклассической области и по соответствию
с ней определить квазиклассическую волновую функцию внутри
барьера.
Задачи
1.	Определить коэффициент прохождения через потенциальный барьер,
изображенный на рис. 14: U(x) = 0 при х < 0, U(x) = Uq — Fx при х > 0;
вычислить только экспоненциальный множитель.
Решение. Простое вычисление приводит к результату
7о - Ef'2
2.	Определить вероятность выхода частицы (с равным нулю моментом)
из центрально-симметричной потенциальной ямы: U(r) = —Uq при г < го,
U(г) = а/г при г > го (рис. 15) 2).
Решение. Центрально-симметричная задача сводится к одномерной,
так что можно применять полученные выше формулы. Имеем
г	ос/Е
w ~ ехр
1)	С экспоненциальной малостью D связан и тот факт, что амплитуды
падающей и отраженной волн в области / оказались одинаковыми; экспо-
экспоненциально малая разница между ними в квазиклассическом приближении
теряется.
2)	Эта задача впервые рассматривалась Г. Ф. Гамовым A928) и Герни и
Кондоном (R. W. Gurney, E. U. Condon, 1929) в связи с теорией радиоактив-
радиоактивного а-распада.

230
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
ГЛ. VII
Вычисляя интеграл, окончательно получим
2а /2т Г	I Ег0
w ~ ехр ^	а /	 arccos л / —
Н \ Е I	\/ а
U(x)
U (r)
Е
Рис. 14
В предельном случае
Рис. 15
0 эта формула переходит в формулу
/ па [2т\ ( 2тгсЛ
ехр	а /	 = ехр	.
*Л n у Е ) \ nv J
Щх)
W '
Эти формулы применимы, когда показатель велик, т. е. a/Hv ^> 1. Это усло-
условие, как и должно быть, совпадает с условием D9.11) квазиклассичности
движения в кулоновом поле.
3. Поле U(x) представляет собой две симметричные потенциальные ямы
(/ и //, рис. 16), разделенные барьером. Если бы барьер был непроницаем
для частицы, то существовали бы уровни
энергии, отвечающие движению частицы
только в одной или в другой яме, одина-
одинаковые для обеих ям. Возможность пере-
перехода через барьер приводит к расщепле-
расщеплению каждого из этих уровней на два близ-
близких уровня, соответствующих состояниям,
в которых частица движется одновременно
в обеих ямах. Определить величину рас-
расщепления (поле U(x) предполагается ква-
квазиклассическим) .
Решение. Приближенное решение
уравнения Шредингера в поле U(x), отве-
отвечающее пренебрежению вероятностью пе-
перехода через барьер, строим с помощью квазиклассической волновой функ-
функции фо(х), описывающей движение (с некоторой энергией Ео) в одной яме
(скажем, в яме /), т.е. экспоненциально затухающей в обе стороны от гра-
границ этой ямы; функция фо(х) предполагается нормированной так, что инте-
интеграл от фо по области ямы / равен единице. При учете малой вероятности
туннелирования уровень Ео расщепляется на уровни Е\ и Е^. Правильные
волновые функции нулевого приближения, отвечающие этим уровням, пред-
представляют собой симметричную и антисимметричную комбинации функций
фо(х) и фо(-х):
Рис. 16
A)

§ 50	ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР	231
В области ямы / функция ф(—х) исчезающе мала по сравнению с фо(х),
а в яме // — наоборот. Поэтому произведение фо(х)фо(—х) исчезающе мало
везде, и функции A) нормированы так, что равны единице интегралы от их
квадратов по ямам I и II.
Пишем уравнения Шредингера
умножаем первое на фг, второе на фо, вычитаем почленно и интегрируем
по dx в пределах от 0 до оо. Имея в виду, что при х = 0 ф\ = у/2фо, ф[ = О
и что
находим
Е1-Ео = -— фо@)ф'о@).
т
Аналогичным образом находим для Е2 — Ео такое же выражение с обратным
знаком. Таким образом,
Е2-Е1 = ^фо@)ф'о@).
т
С помощью формулы D7.1) с коэффициентом С из D8.3) находим, что
| dx 1, фо@) = 	фо(и),
/	?*>
где vo = д/2(С/о — Ео)/т. Таким образом,
а
Е2 — Ег = — ехр (	/ |р| dx )
тг	\ Н J	)
(а — точка поворота, отвечающая энергии Ео — см. рис. 16).
4. Определить точное значение коэффициента прохождения D (не пред-
предполагая его малым) через параболический потенциальный барьер U(x) =
= -кх2/2 (Е. С. КетЫе, 1935)х).
Решение. При любых значениях к и Е движение квазиклассично на
достаточно больших расстояниях |ж|, где
—-
к х
и асимптотический вид решения уравнения Шредингера есть
р= А2т(Е+-кхА ъх
V V 2 /
ф = const .^±i?-1/2 ехр(±г?2/2)>
) Решение этой задачи можно применить также к прохождению в доста-
достаточной близости к вершине любого барьера U(x), квадратично зависящего
от х вблизи своего максимума.

232	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	ГЛ. VII
где введены обозначения:
fmk\1/4	E
Нас интересует решение, которое при х —»> +оо содержит лишь прошед-
прошедшую через барьер волну, т. е. распространяющуюся слева направо. Положим
ф = вС?~1/2 ехр(г?2/2) при х -> оо,	A)
ф = (_?)-«-V2 exp(-zf/2) + A(-0ie/2 ехр(г^2/2) при х -+ -оо. B)
Первый член в B) представляет собой падающую, а второй—отраженную
волну (направлением распространения волны является то, в котором возра-
возрастает ее фаза). Связь между А и В может быть найдена, исходя из того, что
асимптотическое выражение ф справедливо во всей достаточно удаленной
области плоскости комплексного переменного ?. Проследим за изменением
функции A) при обходе вдоль полуокружности большого радиуса р в верх-
верхней полуплоскости ?:
? = рег1р, г?2 = р2(— sin2<? + icos2ip),
причем (р меняется от 0 до тт. В результате обхода функция A) переходит
во второй член в B) с коэффициентом
А = B(einf-1/2 = -iBe-*s;	C)
на участке пути (тг/2 < <р < тг), где модуль |ехр(г?2/2)| экспоненциально
велик, теряется экспоненциально малая величина, которая должна была бы
дать первый член в B) ).
При выбранной в B) нормировке падающей волны условие сохранения
числа частиц имеет вид
|А|2 + |В|2 = 1.	D)
Из C) и D) находим искомый коэффициент прохождения
D=\B\2 = 1/A + e7re).
Эта формула справедлива при любых Е. Если энергия отрицательна и ве-
велика по абсолютной величине, получаем D « е~27Г'е' в согласии с форму-
формулой E0.5). При Е > 0 величина
есть коэффициент надбарьерного отражения.
§ 51. Вычисление квазиклассических
матричных элементов
Непосредственное вычисление матричных элементов какой-
либо физической величины / с помощью квазиклассических вол-
волновых функций представляет большие трудности. Мы предпо-
предполагаем, что энергии состояний, для перехода между которыми
) Обход же через нижнюю полуплоскость для определения А был бы
непригоден, так как на участке пути (—тг < ip < —тг/2), примыкающем к
его левому краю (где ф дается формулой B)), член с ехр(г?2/2) экспонен-
экспоненциально мал по сравнению с членом с ехр(—г?2/2).

5 51
ВЫЧИСЛЕНИЕ КАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
233
U(x)
вычисляется матричный элемент, не близки друг к другу, так
что последний не сводится к компоненте Фурье от величины /
(§ 48). Трудности связаны с тем, что в си-
силу экспоненциального (с большой мнимой
экспонентой) характера волновых функ-
функций, подынтегральное выражение оказы-
оказывается быстро осциллирующей величи-
величиной.
Будем рассматривать одномерный
случай (движение в поле U(х)) и предпо-
предположим для простоты, что оператор фи-
физической величины / есть просто функ-
функция координаты х. Пусть ф\ и ф2 вол-
волновые функции, соответствующие неко-
некоторым значениям Е\ и Е2 энергии частицы (причем Е2 > -E"i,
рис. 17); будем считать, что ф\, ф2 выбраны вещественными. Мы
должны вычислить интеграл
bifibodx.
/12
-I
E1.1)
Согласно D7.5) волновая функция ф\ в областях по обе сто-
стороны от точки поворота х = а\ (в достаточном удалении от нее)
имеет вид
С
при х <
при х > а\
E1.2)
и аналогично для ф2 (с заменой индекса 1 индексом 2).
Однако вычисление интеграла E1.1) путем подстановки в
него этих асимптотических выражений для волновых функций
дало бы неправильный результат. Дело в том, что, как мы уви-
увидим ниже, этот интеграл является экспоненциально малой вели-
величиной, между тем как подынтегральная функция сама по себе
не мала. Поэтому уже относительно малое изменение послед-
последней изменяет, вообще говоря, порядок величины интеграла. Эта
трудность может быть обойдена следующим образом.
Функцию ф2 представим в виде суммы ф2 = ф? + Ф2 ? Разло-
жив косинус (в области х > п2) на сумму двух экспоненциальных

234	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	ГЛ. VII
выражений. Согласно E0.2) будем иметь
/+ -*С2 (l ? j \
Щ = wr=f ехр * / Р2 dx	при ж < а2,
E1.3)
Ф1 = jj= ехр ( - / р2 dx - — ] при ж > а2;
функция -0^" комплексно сопряж:ена с ф2 [Ф2 — (^2~)*]-
Интеграл E1.1) тоже разобьется на сумму двух комплексно
сопряженных интегралов, /12 = /^ + /i2? вычислением которых
мы и займемся. Предварительно заметим, что интеграл
= /
сходится. Действительно, хотя функция ф2 в области х < а 2 экс-
экспоненциально возрастает, но зато функция ф\ в области х < а\
еще быстрее экспоненциально убывает (поскольку везде в обла-
области х < п2 имеем |pi| > |р2|)-
Будем рассматривать координату х как комплексную пере-
переменную и сместим путь интегрирования с вещественной оси в
верхнюю полуплоскость. Когда х получает положительное мни-
мнимое приращение, в функции ф\ (в области х > а\) появляется
возрастающий член, но зато функция ф^ убывает быстрее, так
как везде в области х > а\ имеем р2 > Pi- Поэтому подынте-
подынтегральное выражение убывает.
Смещенный путь интегрирования не проходит уже через
точки х = ai,a2 на вещественной оси, вблизи которых квази-
квазиклассическое приближение неприменимо. Поэтому на всем пути
можно пользоваться для ф\ и ф^ функциями, являющимися их
асимптотическими выражениями в верхней полуплоскости. Это
будут функции
Ф1 =
2[2m(U -

§ 51	ВЫЧИСЛЕНИЕ КАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ	235
где корни определяются так, что на вещественной оси в области
х < а они положительны.
В интеграле
^-^д.-^jp EL5)
поставим себе целью сместить путь интегрирования таким
образом, чтобы, по возможности, уменьшить экспоненциальный
множитель. Экспонента имеет экстремум лишь в точках, где
U(x) = ос (при Ei ^ Е2 ее производная по х
не обращается в нуль ни в каких других точ-
точках). Поэтому смещение контура интегрирова-
интегрирования в верхнюю полуплоскость ограничивается
лишь необходимостью обходить особые точки
функции U(x)\ согласно общей теории линей-
линейных дифференциальных уравнений они совпада- 	—	>. х
ют с особыми точками волновых функций ф(х).
Конкретный выбор контура зависит от конкрет-	Рис> 18
ного вида поля U(x). Так, если функция U(x) имеет в верх-
верхней полуплоскости всего одну особую точку х = хо, то ин-
интегрирование можно производить по пути изображенного на
рис. 18 типа. Главную роль в интеграле играет непосредствен-
непосредственная окрестность особой точки, так что искомый матричный эле-
элемент /12 = 2 Re f^ в основном пропорционален экспоненциально
малому выражению, которое можно представить в виде
хо
- f
-^ Im [ f ^2m(E2 -U)dx- f ^2т(Ег - U) dx\ )
E1.6)
{Л. Д. Ландау, 1932I). В качестве нижних пределов интегралов
можно выбрать любые точки в классически доступных обла-
областях; конкретный их выбор не влияет, очевидно, на мнимую
1) Произведенная при выводе E1.5), E1.6) замена волновых функций их
асимптотическими выражениями законна, поскольку порядок величины
интеграла, взятого по изображенному на рис. 18 контуру, определяется
порядком величины подынтегрального выражения, и потому относительно
малое изменение последнего не имеет существенного влияния на значение
интеграла.

236	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	ГЛ. VII
часть интегралов. Если функция U(х) имеет несколько особых
точек в верхней полуплоскости, то в качестве xq в E1.6) надо
выбрать ту, для которой экспонента имеет наименьшее по абсо-
абсолютной величине значение1).
Формула E1.6) упрощается в случае, когда энергии Е\ и E<i
близки, так что матричный элемент сводится, согласно результа-
результатам § 48, к компоненте Фурье по времени классической величины
f[x(t)]. Полагая Е^д = Е ± —— и разлагая по fto^b получаем
XQ
exp -CJ21 Ьп / 4/г7=—TRdx\ = exP(~^2i Im т). E1.6а)
у	J у 2(Е -и) )
Величину
dx
т= ' J4^W)dx
- Г dx
J v(x)
можно рассматривать как комплексное время, за которое части-
частица достигает точки хо в комплексной плоскости х. (Величина же
v(x) = ^B(U — Е(х)))/т есть соответствующая «комплексная
скорость».) Легко убедиться в том, что E1.6 а) действительно
дает приближенное выражение для компоненты Фурье f[x(t)]
при условии c«J2i Im т ^> 1.
Вычисление квазиклассических матричных элементов для
движения в центрально-симметричном поле производится тем
же способом. Однако под U(r) надо теперь понимать эффектив-
эффективную потенциальную энергию (сумма потенциальной и центро-
центробежной энергий), и для состояний с различными значениями /
она будет различной. Имея в виду дальнейшие применения из-
излагаемого метода, будем писать эффективные потенциальные
энергии в двух состояниях в общем виде, как некоторые U\(r)
и С/2 (г). Тогда показатель экспоненциального множителя в по-
подынтегральном выражении в E1.5) будет иметь экстремум не
только в точках, где U\(r) или С/2 (г) обращаются в бесконеч-
бесконечность, но еще и в точках, где
U2(r)-U1(r) = E2-E1.	E1.7)
) Мы предполагаем, что сама величина f(x) особых точек не имеет.
Отметим также, что оценкаE1.6) для матричного элемента предполагает
«нормальный» порядок величины предэкспоненциального множителя. Воз-
Возможна, конечно, ситуация, когда этот множитель аномально мал в силу спе-
специфики задачи. Простейшим примером является f(x) = const. В этом случае
матричный элемент равен нулю из-за ортогональности волновых функций,
что не видно из выражения E1.6).

§ 51	ВЫЧИСЛЕНИЕ КАЗИКЛАССИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ	237
Поэтому в формуле
J
- Ui) dr\
/i2~expl -Jim / ^2т{Е2 - U2) dr - j
E1.8)
среди конкурирующих значений го надо иметь в виду не только
особые точки U\{r) и [/2G"), но и корни уравнения E1.7).
Центрально-симметричный случай отличается еще и тем,
что интегрирование по dr в E1.1) производится в пределах от О
(а не от —ос) до +ос:
/i2 = / Xi/'X2 dr.
В этом отношении надо различать два случая. Если подынте-
подынтегральное выражение есть четная функция от г, то интегриро-
интегрирование можно формально распространить на всю область от —ос
до +ос, так что никаких отличий от предыдущего не возника-
возникает. Этот случай может иметь место, если Ui(r) и U2 (г) —четные
функции г [U(—г) = U(г)]. Тогда волновые функции Xi(r) и
Х2{г) —либо четные, либо нечетные функции (см. § 21I), и если
функция /(г) тоже четна или нечетна, то произведение xi/X2
может оказаться четным.
Если же подынтегральное выражение не является четным
(что во всяком случае имеет место, если U(r) не является чет-
четной), то начало пути интегрирования не может быть сдвинуто
из точки г = 0, и в число конкурирующих в E1.8) значений г о
надо включить также и значение го = 0.
Задачи
1. Вычислить квазиклассические матричные элементы (ограничиваясь
экспоненциальным множителем) в поле U = Uoe~ax.
Решение. U(x) обращается в бесконечность только при х —»> — оо.
Соответственно этому, полагаем в E1.6) хо = —оо. Интегрирование можно
распространить до +оо. Каждый из двух интегралов в отдельности расхо-
расходится на пределе — оо. Поэтому вычисляем их сначала в пределах от —ж
до +оо и затем переходим к пределу х —»> оо. В результате получим
,	Г пт (	Л
/12 ~ ехр	-(V2 -VI) ,
I ah	I
) При четном U{г) радиальная волновая функция R(r) четна (нечетна)
при четном (нечетном) /, как это видно из ее поведения при малых г (где
l

238	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	ГЛ. VII
где Vi = л/2Е1/т, v2 = ^/2Е2/т — скорости частицы на бесконечности (х —>-
оо), где движение является свободным,
2.	То же в кулоновом поле U = а/г для переходов между состояниями
с 1 = 0.
Решение. Единственной особой точкой функции U(r) является точ-
точка г = 0. Соответствующий интеграл вычислен в задаче 2 § 50. В результате
получаем по формуле E1.8)
, Гтга / 1 1
/12 ~ ехр — I
I П \V2 V!
3.	То же для ангармонического осциллятора с потенциальной энергией
( . ти2 2 , Q 4
U(x) = 	ж + рж
А
при условии
fiw<Bi,Ba<^-.	A)
Решение. Обобщение рассуждений в тексте на случай финитного
движения показывает, что формула E1.6) по-прежнему справедлива. В ка-
качестве хо следует выбрать точки х —»> ±оо, причем обе дают вклад одного
порядка. Имеем
(—оо	—оо	ч
1 Г Г	Г	1 \
-- / л/2т(и - Е2) dx - / y/2m{U-E1)dx\ .
HlJ	J	\ I
При условии A) главный вклад дает область
B)
у той у той	у р
в которой
Разлагая показатель экспоненты по степеням (Ei^/U) (причем члены нуле-
нулевого порядка сокращаются) и пренебрегая /Зх4, имеем
\х\ пи J \х
Логарифмически расходящиеся интегралы следует обрезать на границах
области B), т.е. при х ~ л/(ти2)//3 сверху и х ~ а2
х ~ а\ ~ ^/Е\/(тш2) снизу. В результате
( Е	2 4 Е . ~ "
Да - ехр -—^ In ——- + —L In ¦
/ЗЕ2 2Пии fiEx
Вводя номера состояний
запишем ответ в виде
n2/2 / a* \ (п2-п1)/2
р п2 I РГ
/12	—7^

§ 52 ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 239
Поскольку в решении существенны большие значения х, ответ справедлив
для /(ж), не слишком быстро растущей на бесконечности. Если f(x) пред-
представляет собой полином, то его степень должна быть мала по сравнению
С (п2 - П\).
§ 52. Вероятность перехода в квазиклассическом случае
Прохождение через потенциальный барьер является приме-
примером процесса, который в классической механике вообще невоз-
невозможен. В квазиклассическом случае вероятность таких процес-
процессов экспоненциально мала. Соответствующий показатель экспо-
экспоненты может быть определен следующим образом.
Рассматривая переход какой-либо системы из одного состоя-
состояния в другое, решаем соответствующие классические уравнения
движения и находим «траекторию» перехода, оказывающуюся,
однако, комплексной в соответствии с неосуществимостью про-
процесса в классической механике. В частности, оказывается, вооб-
вообще говоря, комплексной «точка перехода» дсь в которой имеет
место формальный переход системы из одного состояния в дру-
другое; положение этой точки определяется классическими закона-
законами сохранения. Далее, вычисляем действие Si(gi, qo) + ?2(go? Ч2)
для движения системы в первом состоянии от некоторого исход-
исходного положения qi до «точки перехода» qo и затем во втором
состоянии от до ДО окончательного положения q2. Искомая веро-
вероятность процесса определится тогда формулой
w ~exp|--Im[Si(gi,go) + #2(90, 92)]].	E2.1)
Если положение «точки перехода» неоднозначно, должно
быть выбрано то из них, для которого показатель в E2.1) имеет
наименьшее по абсолютной величине значение (в то же время,
разумеется, это значение должно быть достаточно велико для
того, чтобы формула E2.1) была вообще применимаI).
Формула E2.1) находится в соответствии с полученным в пре-
предыдущем параграфе правилом вычисления квазиклассических
матричных элементов. Следует, однако, подчеркнуть, что вы-
вычисление предэкспоненциального коэффициента в вероятности
такого рода переходов по квадрату соответствующего матрично-
матричного элемента было бы неправильным.
Основанный на формуле E2.1) метод комплексных классиче-
классических траекторий имеет общий характер и применим к перехо-
переходам в системах с любым числом степеней свободы (Л. Д. Ландау,
1)Если потенциальная энергия системы сама имеет особые точки, то эти
точки тоже должны входить в число конкурирующих значений qo.

240	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	ГЛ. VII
1932). Если точка перехода вещественна, но лежит в классиче-
классически недоступной области, то (в простейшем случае одномерного
движения) формула E2.1) совпадает с выражением E0.5) для
вероятности прохождения через потенциальный барьер.
Надбарьерное отражение. Применим E2.1) к одномер-
одномерной задаче о надбарьерном отражении — отражению частицы с
энергией, превосходящей высоту барьера. В этом случае под до
надо понимать комплексную координату хо «точки останов-
остановки» , в которой частица меняет направление своего движения
на обратное, т.е. комплексный корень уравнения U(х) = Е.
Покажем, каким образом в этом случае можно вычислить ко-
коэффициент отражения также и с большей точностью — вместе
с предэкспоненциальным коэффициентом.
Мы снова (как и в § 50) должны установить соответствие
между волновыми функциями далеко справа (прошедшая волна)
и далеко слева от барьера (падающая + отраженная волны). Это
легко сделать способом, аналогичным примененному уже в § 47,
50, рассматривая ф как функцию комплексной переменной х.
Напишем прошедшую волну в виде
(X	^
ifpdx
(где х\ — какая-либо точка на вещественной оси) и проследим
за ее изменением при обходе в верхней полуплоскости по пу-
пути С, огибающему (на достаточном удалении) точку поворо-
поворота xq (рис. 19); последняя часть этого пути должна проходить
целиком в настолько удаленной вле-
влево области, чтобы вдоль нее по-
погрешность приближенной (квази-
(квазиклассической) волновой функции
падающей волны была меньше ис-
искомой малой величины ф_. 06-
Xl	ход точки хо приводит к измене-
Рис- 19	нию знака корня ^Е — U(x) и по
возвращении на вещественную ось
функция ф+ перейдет, следовательно, в волну ф_, распростра-
распространяющуюся влево, т. е. в отраженную волну1) .Поскольку ампли-
амплитуды падающей и прошедшей волн можно считать совпадаю-
совпадающими, искомый коэффициент отражения R определится просто
х) Обход же по пути, проходящему под точкой xq (например, просто вдоль
самой вещественной оси), переведет функцию ф+ в падающую волну.

52 ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 241
как отношение квадратов модулей ф- и
R =
Ф+
= ехр( --Im Гpdx\	E2.2)
После того, как эта формула получена, можно любым обра-
образом деформировать путь интегрирования в экспоненте; если
превратить его в указанный на рис. 19 путь С", то интеграл
сведется к удвоенному интегралу по пути от х\ до хо и мы
получим
х
R =
хо
= Im Гф^ dx.	E2.3)
поскольку на всей вещественной оси функция р(х) вещественна,
то выбор х\ несуществен1). Обратим внимание на то, что пред-
экспоненциальный множитель в E2.3) оказывается равным еди-
единице (В. Л. Покровский, С. К. Саввиных, Ф. Р. Улинич, 1958J).
Как уже указывалось, из всех возможных значений хо долж-
должно быть выбрано то, для которого показатель в E2.3) имеет
наименьшее по абсолютной величине значение, причем это зна-
значение должно еще быть достаточно большим по сравнению с еди-
единицей. (Разумеется, должны рассматриваться лишь точки жо,
для которых а > 0, т. е. точки, лежащие в верхней полуплос-
полуплоскости.) Подразумевается также, что если сама потенциальная
энергия U(х) имеет особые точки в верхней полуплоскости, то
для них интеграл cr(xi,xo) имеет большие значения3). В против-
противном случае именно такая точка определит значение показателя,
но предэкспоненциальный коэффициент будет уже не тем, что
в E2.3). Последнее условие заведомо нарушается при увеличе-
увеличении энергии Е, если U(х) обращается в бесконечность где-либо
1) В некоторых случаях интересны не только амплитудные, но и фазовые
соотношения между падающей и отраженной волнами. Эти соотношения
характеризуются амплитудой отражения, выражающейся через введенные в
§ 25 коэффициенты а и /3. С помощью проведенных выше рассуждений легко
показать, в частности, что амплитуда отражения падающей слева волны
есть
	-1=-гехр
— I pdx-\-p1x1\ ,
(Множитель (—г) связан с изменением фазы предэкспоненциального мно-
множителя при обходе точки ветвления, ср. §47.)
2)	Изложенный вывод этого результата принадлежит Л. Д. Ландау A961).
3)	Отметим, что контур С на рис. 19 должен проходить ниже особых точек
функции U(x).

242	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
ГЛ. VII
в верхней полуплоскости: наступает момент, когда точка жо, в
которой U = Е, настолько сближается с точкой х^^ в которой
U = ос, что обе дают сравнимый вклад в коэффициент отраже-
отражения (интеграл а(хОО: xq) ~ 1) и формула E2.3) становится непри-
неприменимой. В предельном случае, когда Е настолько велико, что
указанный интеграл мал по сравнению с единицей, становится
применимой теория возмущений (см. задачу 2I).
Задачи
1. В квазиклассическом приближении с экспоненциальной точностью
определить вероятность распада дейтрона при столкновении с тяжелым
ядром, рассматриваемым как неподвижный центр кулонова поля (Е. М. Лиф-
шиц, 1939).
Решение. Наибольший вклад в вероятность реакции вносят столк-
столкновения с нулевым орбитальным моментом. В квазиклассическом прибли-
приближении это — «лобовые» столкновения, в которых движение частиц сводится
к одномерному.
Пусть Е — энергия дейтрона, измеренная в единицах ? — энергии связи
протона и нейтрона в нем; Еп и Ер — энергии освободившихся нейтрона
и протона (в тех же единицах). Введем также безрамерную координату
q = r/(Ze2/г) {Ze— заряд ядра), а ее значение (вообще говоря, комплекс-
комплексное) в «точке перехода», т. е. в «момент распада» дейтрона, обозначим че-
через до- Представим Еп, Ер, Е в виде
Еп = v2n/2, Ер = v2p/2 + I/go, E = v% + I/go;	A)
^n, Vp, Vd— «скорости» частиц в момент распада, измеренные в единицах
\fsjm (т — масса нуклона); vn вещественна и совпадает со скоростью осво-
освободившегося нейтрона, a vp и va комплексны. Условия сохранения энергии
и импульса в точке перехода дают
Ер + Еп = Е-1, vp + vn = 2vd,	B)
откуда
vp = 2г + vn, Vd = г + vn, I/go = Е + 1 — v2n + 2ivn.
Действие системы до перехода отвечает движению дейтрона в поле ядра до
точки распада; его мнимая часть
ImSi =Ze2J — Im
= Ze2J—lm <2qovd- -?= Arch J^e\ . C)
Vе I	v E	)
После перехода действие отвечает движению нейтрона и протона от точки
1) Промежуточный случай рассмотрен В. Л. Покровским и И. М. Халатни-
ковым (ЖЭТФ. 1961. Т.40. С. 1713).

5 52
ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
243
распада:
I	 (	/	 ^
Im S2 = Z^\\ — Im \ f vndq+ Г W2 ( Ep - - J dq I =
= Ze2J—lm ^ -vnq0 - vpq0
Согласно E2.1) вероятность процесса
ехр < —
2Ze2
П
m I / 2
— Im L / — Arch -
	-1= Arch л/qoE
• D)
E)
В соответствии с происхождением первого и второго Arch в квадратных
скобках из выражений D) и C) знаки их мнимых частей должны совпадать
со знаками соответственно Im vp и Im Vd (знаки же последних в решении
уравнений B) выбраны так, чтобы в результате получилось Im (S1 + S2) > 0).
В виду экспоненциального характера зависимости w от Еп суммарная
вероятность распада (со всеми значениями Еп и Ер = Е — 1 — Еп) определя-
определяется минимальным (по абсолютной величине) значением показателя экспо-
экспоненты как функции от Еп. Анализ показывает, что это значение достигается
при Еп —>> 0. При этом qo = 1/(Е + 1) и из E) находим
u> ~ exp
arccos
arccos
Е
Условие применимости этой формулы состоит в большой (по сравнению с
единицей) величине показателя экспоненты.
Вычислив мнимую часть действия S = Si + S2 при отличных от ну-
нуля значениях Еп, можно найти распределение освобождающихся частиц по
энергиям. Вблизи значения Еп = 0 имеем1)
Im 5(^n) - Im 5@) « En
/dlmS
V dEn
'n / ?;n=o
Вычисление производной приводит к результату:
dw
ехр< -
3-Е
arccos
2. Определить коэффициент надбарьерного отражения при таких энер-
энергиях частицы, когда применима теория возмущений.
Решение получается по формуле D3.1), в которой начальная и ко-
конечная волновые функции — плоские волны, распространяющиеся в проти-
противоположных направлениях и нормированные соответственно на единичную
г) При Еп = 0 функция Im S(En) имеет угловую точку, от которой возрас-
возрастает в обе стороны — положительных и отрицательных Еп (значения Еп < 0
отвечали бы захвату нейтрона ядром).

244	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
ГЛ. VII
плотность потока и на E-функцию импульса, деленного на 2тгН. При этом
dv = dp'/2тгН, где р—импульс после отражения. Произведя в D3.1) инте-
интегрирование по dp' (с учетом наличия E-функции), получим
2
R
П2р2
Г U(x)e2ipx/n
dx
(i)
Эта формула справедлива, если выполняется условие применимости теории
возмущений: Ua/hv <С 1, где а—ширина барьера (см. примеч. на с. 205), и
в то же время pa/h < 1. Последнее условие обеспечивает неэкспоненциаль-
неэкспоненциальный характер зависимости R(p)\ в противном случае вопрос о применимости
формулы A) требует дальнейшего исследования.
3. Определить коэффициент надбарьерного отражения от квазикласси-
квазиклассического барьера в случае, когда функция U(x) при х = xq имеет излом.
Решение. Если функция U(x) имеет какую-либо особенность при
вещественном ж, коэффициент отражения определяется в основном полем
вблизи этой точки и для его вычисления можно формально применить тео-
теорию возмущений, не требуя при этом соблюдения условия ее применимости
при всех х\ достаточно выполнения условия квазиклассичности. Мы прихо-
приходим тогда к формуле A) задачи 2 с той лишь разницей, что вместо импульса
падающей частицы в ней должно стоять значение функции р{х) при х = xq.
Выбирая в данном случае точку излома в качестве точки х = 0, имеем
вблизи нее:
U = —Fix при х > 0, U = —Fix при х < 0
с различными F\ и^2. Интегрирование по dx производится путем введения
в подынтегральное выражение затухающего множителя е х (после чего
полагаем Л —»> 0). В результате найдем
гдеро =р@).
§ 53. Переходы под влиянием
адиабатических возмущений
Мы уже упоминали в §41, что в пределе сколь угодно мед-
медленно меняющегося со временем возмущения вероятность пере-
перехода системы из одного состояния в другое стремится к нулю.
Рассмотрим теперь этот вопрос количественно, вычислив веро-
вероятность перехода под влиянием медленно меняющегося (адиаба-
(адиабатического) воозмущения (Л.Д.Ландау, 1961).
Пусть гамильтониан системы есть медленно меняющаяся
функция времени, стремящаяся к определенным пределам при
t —)> ±ос. Пусть, далее, ^n(q,t) и En{t) — собственные функции
и собственные значения энергии (зависящие от времени, как
от параметра), получающиеся в результате решения уравнения
Шредингера H(t)ipn = Епфп\ ввиду адиабатического характера
временного изменения Н зависимости Еп и фп от времени также

§ 53	ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ АДИАБАТИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ	245
являются медленными. Стоящая перед нами задача состоит в
определении вероятности W21 нахождения системы при t —»> +ос
в некотором состоянии ^2? если при t —>• — ос она находилась в
состоянии ф\.
Медленность возмущения приводит к большой длительности
«процесса перехода», и потому изменение действия за это время
(даваемое интегралом — J E(t)dt) велико. В этом смысле постав-
поставленная задача имеет квазиклассический характер и в определе-
определении искомой вероятности перехода существенную роль играют
те значения t = to, для которых
E^to) = E2(t0)	E3.1)
и которые как бы соответствуют «моменту перехода» в клас-
классической механике (ср. §52); в действительности, разумеется,
такой переход классически невозможен, что выражается ком-
комплексностью корней уравнения E3.1). В связи с этим возникает
необходимость в исследовании свойств решений уравнения Шре-
дингера при комплексных значениях параметра t в окрестности
точки t = to, в которой два собственных значения энергии ста-
становятся равными.
Как мы увидим, вблизи этой точки собственные функции ф\,
if>2 сильно зависят от t. Для определения этой зависимости вве-
введем предварительно их линейные комбинации (обозначим их че-
через (pi, (?2M удовлетворяющие условиям
I \>\dq = I (f22dq = 0, I if1if2 dq = 1.	E3.2)
Этого всегда можно достичь надлежащим выбором комплексных
коэффициентов (функций от t). Функции <^i, у?2 уже не имеют
особенности при t = to-
Будем теперь искать собственные функции в виде линейных
комбинаций
W — ai^i + а2^2-	E3.3)
При этом надо иметь в виду, что при комплексных значени-
значениях «времени» t зависящий от него оператор H(t) (вида A7.4))
по-прежнему совпадает со своим транспонированным (Н = Н),
но уже не является эрмитовым (Н ф iiP), поскольку потенци-
потенциальная энергия U(t) ф U(t)*.
Подставим E3.3) в уравнение Шредингера и, умножив его
слева один раз на <^i, а другой раз на <^2? проинтегрируем по dq.
Введя обозначения
Hik{t)= JcpiHcpkdq	E3.4)

246	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	ГЛ. VII
и учитывая, что Hyi — ^21 ВВИДУ указанного свойства гамиль-
гамильтониана, получим систему уравнений:
Условие разрешимости этой системы дает уравнение {Н\2—ЕJ =
=НцН22, корни которого определяют собственные значения
энергии
Е = Н12± у/НпН22.	E3.6)
После этого из E3.5) находим
= ±^Нп/Н22.	E3.7)
Из E3.6) видно, что для совпадения в точке t = to двух соб-
собственных значений в ней должно обращаться в нуль Нц или Н22\
пусть это будет Нц. Обращение функции в нуль в регулярной
точке происходит, вообще говоря, пропорционально t — to. По-
Поэтому
E(t) - E(t0) = ± const V* - to,	E3.8)
т. e. E(t) имеет при t = to точку ветвления. При этом и a2 ~
~ y/t — ^0> так что в точке t = to имеется всего одна собственная
функция, совпадающая с ip\.
Мы видим теперь, что поставленная задача формально пол-
полностью аналогична рассмотренной в § 52 задаче о надбарьер-
ном отражении. Мы имеем дело с «квазиклассической по вре-
времени» волновой функцией Ф(?) (вместо квазиклассической по
координате функции в §52), и требуется определить член ви-
вида С2Ф2 ex.p(—iE2t/fi) в волновой функции при t —»> +ос, если при
t —)> —ос волновая функция Ф(^) = ipiexp(—iEit/fi) (аналогич-
(аналогично задаче об определении отраженной волны при х —»> —ос по
прошедшей волне при х —>• +ос); искомая вероятность перехода
^21 — \С2\2- При этом действие S = — f E(t) dt выражается ин-
интегралом по времени от функции, имеющей комплексные точки
ветвления (подобно тому, как имела комплексные точки ветвле-
ветвления функция р(х) в интеграле fpdx). Поэтому рассматривае-
рассматриваемая задача решается путем обхода в плоскости комплексного
переменного t (от больших отрицательных к большим положи-
положительным значениям), полностью аналогично тому, как это было
сделано в § 52 в плоскости переменного ж, и мы не будем повто-
повторять здесь соответствующих рассуждений.
Будем считать, что на вещественной оси Е2 > Е\\ тогда
обход должен совершаться в верхней полуплоскости комплекс-

53	ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ АДИАБАТИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ	247
ного t (при смещении в которую отношение е-г
растет). В результате получим формулу (аналогичную форму-
формуле E2.2))
w2i = exp f - Im / E(t) dt j,	E3.9)
\ c,	/
где интегрирование производится по изображенному на рис. 19
контуру, но в направлении слева направо.
На левой ветви этого контура Е = Е\, а на правой Е = Е^-
Поэтому можно переписать E3.9) в виде
(
-2Im / uJi{t)dt\,	E3.10)
где CU21 = (Е2 —Ei)/H] t — любая точка на вещественной оси ?, а в
качестве to должен быть взят тот из находящихся в верхней по-
полуплоскости корней уравнения E3.1), для которого показатель
экспоненты в E3.10) имеет наименьшее по абсолютной величине
значение1). Кроме того, с прямым переходом из состояния 1
в состояние 2 могут конкурировать также «пути перехода» че-
через различные промежуточные состояния, вероятности которых
выражаются аналогичными формулами. Так, для перехода по
«пути» 1^3^2 интеграл в E3.10) заменяется суммой интегра-
интегралов
C1)	B3)
Г U31(t)dt+ Г LO23(t)dt,
в верхних пределах которых стоят «точки пересечения» соот-
соответственно термов E\(t), Es(t) и E2(t), E$(t)\ этот результат
получается путем обхода по контуру, охватывающему обе эти
комплексные точки2).
Задача
Определить изменение адиабатического инварианта классического ос-
осциллятора, подчиняющегося уравнению
*Z+lS(t)x-0	A)
dt
1)	В числе конкурирующих значений to должны учитываться также и точ-
точки, в которых E(t) обращается в бесконечность (но для таких точек пред-
экспоненциальный коэффициент в E3.10) был бы другим).
2)	Случай промежуточных состояний, относящихся к непрерывному спек-
спектру, требует особого рассмотрения.

248	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	ГЛ. VII
при медленном изменении частоты oo(t) от ее значения ио\ при t —>¦ — оо до UJ2
при t —»> оо ( А. М. Дыхне, 1960),
Решение. Уравнение A) получается из уравнения Шредингера пе-
переобозначениями
ф —»> х, х —ь t\ p(x)/h = к(х) —>¦ c*;(t),
после чего задача оказывается формально эквивалентной задаче об отраже-
отражении от потенциального барьера, рассмотренной в § 25. Это позволяет свести
вычисление изменения адиабатического инварианта к вычислению ампли-
амплитуды отражения.
Запишем решение A) при t —>¦ =роо как
х = AieiuJlt + Ale~iuJlt, x -+ -оо,
х = A2eiuJ2t + Ale~iuJ2t, x -+ оо.
Согласно B5.6)
A2 = aA1+f3At	B)
Адиабатический инвариант для осциллятора равен Е/ш, так что
Ii = mujix~2 = 2muJi\Ai\ , /2 = 2ma;21^4.21 ,
или, подставляя B):
h = 2mw2[(|a|a + |/3|2 |Ai|a + 2Re (a/3*A\)\.
Используя соотношение B5.7), имеющее в наших обозначениях вид \а\2 =
= |/3|2 +0J1/0J2, находим
|2
2
I2-h= 4m«2[|/3|2 И!|2 + Re (о/З*А?)].	C)
Рассматриваемый случай медленного изменения w(t) соответствует в
задаче об отраж:ении от барьера квазиклассической ситуации предыдуще-
предыдущего параграфа. В такой ситуации /3 экспоненциально мало, а \а\2 « u\/u2-
(Предполагается, что oo2{t) не имеет особенностей или нулей на веществен-
вещественной оси t.) Изложенный в предыдущем параграфе метод вычисления ампли-
амплитуды отражения дает для 1ч — 1\ оценку
AI = I2-
Щ ~ехр( -2Im / oj(t)dt\,
где to — особая точка в верхней полуплоскости ?, дающая наибольший вклад
в А/. Эта формула совпадает с результатами § 51 (см. т. I) для рассматри-
рассматриваемого случая гармонического осциллятора. В случае, когда uo2(t) имеет в
верхней полуплоскости простой нуль, формулы предыдущего параграфа по-
позволяют найти и предэкспоненциальный множитель. (См. примеч. на с. 241.)
Отметим, что второй — главный — член в C) зависит от начальной фазы
колебаний. При усреднении по этой фазе он обращается в нуль, так что
где R « —1/3|2— «коэффициент отражения».

ГЛАВА VIII
СПИН
§ 54. Спин
Как в классической, так и в квантовой механике закон со-
сохранения момента возникает как результат изотропии простран-
пространства по отношению к замкнутой системе. Уже в этом проявля-
проявляется связь момента со свойствами симметрии по отношению к
вращениям. Но в квантовой механике эта связь становится в
особенности глубокой, делаясь по существу основным содержа-
содержанием понятия о моменте, тем более, что классическое определе-
определение момента частицы как произведения [гр] теряет здесь свой
непосредственный смысл в виду одновременной неизмеримости
радиуса-вектора и импульса.
Мы видели в § 28, что задание значений / и т определя-
определяет угловую зависимость волновой функции частицы, а тем са-
самым— все ее свойства симметрии по отношению к вращениям. В
наиболее общем виде формулировка этих свойств сводится к ука-
указанию закона преобразования волновых функций при поворотах
системы координат.
Неизменной1) волновая функция фьм системы частиц (с за-
заданными значениями момента L и его проекции М) остается
лишь при повороте системы координат вокруг оси z. Всякий
же поворот, меняющий направление оси z, приводит к тому, что
проекция момента на ось z уже не будет иметь определенного
значения. Это значит, что в новых координатных осях волновая
функция превратится, вообще говоря, в суперпозицию (линей-
(линейную комбинацию) 2L + 1 функций, отвечающих различным воз-
возможным (при заданном L) значениям М. Можно сказать, что
при поворотах системы координат 2L + 1 функций фьм преоб-
преобразуются друг через друга2). Закон этого преобразования, т.е.
коэффициенты суперпозиции (как функции углов поворота ко-
1) С точностью до несущественного фазового множителя.
) По математической терминологии, эти функции осуществляют собой так
называемые неприводимые представления группы вращений. Число преоб-
преобразующихся друг через друга функций называют размерностью представ-
представления, причем предполагается, что это число не может быть уменьшено ни-
никаким выбором каких-либо других линейных комбинаций этих функций.

250
СПИН	ГЛ. VIII
ординатных осей), полностью определяется заданием значения
L. Таким образом, момент приобретает смысл квантового числа,
классифицирующего состояния системы по их трансформацион-
трансформационным свойствам по отношению к вращениям системы координат.
Этот аспект понятия момента в квантовой механике в особенно-
особенности существен в связи с тем, что он не связан непосредственно с
явной зависимостью волновых функций от углов; закон их пре-
преобразования друг через друга может быть сформулирован сам
по себе, без ссылки на эту зависимость.
Рассмотрим сложную частицу (скажем, атомное ядро), по-
покоящуюся как целое и находящуюся в определенном внутрен-
внутреннем состоянии. Помимо определенной внутренней энергии она
обладает также и определенным по своей величине L моментом,
связанным с движением частиц внутри нее; этот момент может
еще иметь 2L + 1 различных ориентации в пространстве. Други-
Другими словами, при рассмотрении движения сложной частицы как
целого мы должны, наряду с ее координатами, приписывать ей
еще и одну дискретную переменную — проекцию ее внутренне-
внутреннего момента на некоторое избранное направление в пространстве.
Но при указанном выше понимании смысла момента стано-
становится несущественным вопрос о его происхождении, и мы при-
приходим естественным образом к представлению о «собственном»
моменте, который должен быть приписан частице вне зависи-
зависимости от того, является ли она «сложной» или «элементарной».
Таким образом, в квантовой механике элементарной части-
частице следует приписывать некоторый «собственный» момент, не
связанный с ее движением в пространстве. Это свойство элемен-
элементарных частиц является специфически квантовым (исчезающим
при переходе к пределу Н —>• 0) и поэтому принципиально не
допускает классической интерпретациих).
Собственный момент частицы называют ее спином, в отличие
от момента, связанного с движением частицы в пространстве, о
котором говорят как об орбитальном моменте2). Речь может
идти при этом как об элементарной частице, так и о частице,
хотя и составной, но ведущей себя в том или ином рассматри-
рассматриваемом круге явлений как элементарная (например, об атомном
ядре). Спин частицы (измеренный, как и орбитальный момент,
в единицах К) будем обозначать буквой s.
1)	В частности было бы совершенно бессмысленным представлять себе
«собственный» момент элементарной частицы как результат ее вращения
«вокруг своей оси».
2)	Физическая идея о наличии у электрона собственного момента была вы-
высказана Уленбеком и Гаудсмитом (G. Uhlenbeck, S. Goudsmit, 1925). В кван-
квантовую механику спин был введен Паули (W. РаиЫ, 1927).

§54	спин	251
Для частиц, обладающих спином, описание состояния с по-
помощью волновой функции должно определять не только вероят-
вероятности ее различных положений в пространстве, но и вероятности
различных возможных ориентации ее спина. Другими словами,
волновая функция должна зависеть не только от трех непрерыв-
непрерывных переменных — координат частицы, но и от одной дискретной
спиновой переменной, указывающей значение проекции спина на
некоторое избранное направление в пространстве (ось z) и пробе-
пробегающей ограниченное число дискретных значений (которые мы
будем обозначать далее буквой а).
Пусть ф(х,у, z\g) — такая волновая функция. По существу
она представляет собой совокупность нескольких различных
функций координат, отвечающих различным значениям <т; об
этих функциях мы будем говорить как о спиновых компонентах
волновой функции. При этом интеграл
\){x,y,z\(j)fdV
определяет вероятность частице иметь определенное значение а.
Вероятность же частице находиться в элементе объема dV, имея
произвольное значение сг, есть
Квантовомеханический оператор спина при применении его
к волновой функции действует именно на спиновую перемен-
переменную а. Другими словами, он каким-то образом преобразует
друг через друга компоненты волновой функции. Вид этого опе-
оператора будет установлен ниже. Но, уже исходя из самых об-
общих соображений, легко убедиться в том, что операторы s^,
5^, *sz удовлетворяют таким же условиям коммутации, как и
операторы орбитального момента.
Оператор момента в основном совпадает с оператором бес-
бесконечно малого поворота. При выводе в § 26 выражения для
оператора орбитального момента мы рассматривали результат
применения операции поворота к функции координат. В случае
спинового момента такой вывод теряет смысл, поскольку опера-
оператор спина действует на спиновую переменную, а не на координа-
координаты. Поэтому для получения искомых соотношений коммутации
мы должны рассматривать операцию бесконечно малого пово-
поворота в общем виде, как поворот системы координат. Производя
последовательно бесконечно малые повороты вокруг оси х и
оси у, а затем вокруг этих же осей в обратном порядке, легко
убедиться непосредственным вычислением, что разница между
результатами обеих этих операций эквивалентна бесконечно ма-

252
СПИН	ГЛ. VIII
лому повороту вокруг оси z (на угол, равный произведению углов
поворота вокруг осей х и у). Мы не станем производить здесь
этих простых вычислений, в результате которых вновь полу-
получаются обычные соотношения коммутации между операторами
компонент момента импульса, которые, следовательно, должны
иметь место и для операторов спина:
{syi'sz} = isx, {sz^x} = isy, {$x,'sy} = isz	E4.1)
со всеми вытекающими из них физическими следствиями.
Соотношения коммутации E4.1) дают возможность опре-
определить возможные значения абсолютной величины и компо-
компонент спина. Весь вывод, произведенный в § 27 (формулы B7.7)-
B7.9)), был основан только на соотношениях коммутации и
потому полностью применим и здесь; надо только вместо L в
этих формулах подразумевать s. Из формул B7.7) следует, что
собственные значения проекции спина образуют последователь-
последовательность чисел, отличающихся на единицу. Мы не можем, однако,
теперь утверждать, что сами эти значения должны быть целы-
целыми, как это имело место для проекции Lz орбитального момента
(приведенный в начале § 27 вывод здесь неприменим, поскольку
он основан на выражении B6.14) для оператора /z, специфиче-
специфическом для орбитального момента).
Далее, последовательность собственных значений sz ограни-
ограничена сверху и снизу значениями, одинаковыми по абсолютной
величине и противоположными по знаку, которые мы обозначим
через ±5. Разность 2s между наибольшим и наименьшим значе-
значениями sz должна быть целым числом или нулем. Следовательно,
число s может иметь значения 0,1/2,1,3/2,...
Таким образом, собственные значения квадрата спина равны
82 = ф + 1),	E4.2)
где s может быть либо целым числом (включая значение нуль),
либо полуцелым. При заданном s компонента sz спина может
пробегать значения s, s — 1,..., —s — всего 2s + 1 значений. Со-
Соответственно этому, и волновая функция частицы со спином s
имеет 2^ + 1 компонент1).
Опыт показывает, что большинство элементарных частиц —
электроны, позитроны, протоны, нейтроны, //-мезоны и все
г) Поскольку s есть для каждого рода частиц заданное число, то при пре-
предельном переходе к классической механике (Н —>¦ 0) спиновый момент Hs
обращается в нуль. Для орбитального момента такое рассуждение не имеет
смысла, поскольку / может иметь произвольные значения. Переходу к клас-
классической механике соответствует одновременное стремление h к нулю и / к
бесконечности, так что произведение Ш остается конечным.

§ 54	спин	253
гипероны (Л, S, S) — обладают спином 1/2. Кроме того, суще-
существуют элементарные частицы — тг-мезоны и К -мезоны, — обла-
обладающие спином 0.
Полный момент импульса частицы складывается из ее орби-
орбитального момента 1 и спина s. Их операторы, действуя на функ-
функции совершенно различных переменных, разумеется, коммута-
коммутативны друг с другом.
Собственные значения полного момента
j = 1 + s	E4.3)
определяются тем же правилом «векторной модели», что и сум-
сумма орбитальных моментов двух различных частиц (§31). Имен-
Именно, при заданных значениях / и s полный момент может иметь
значения / + s, / + s — 1,..., \l — s\. Так, у электрона (спин 1/2) с
отличным от нуля орбитальным моментом / полный момент мо-
может быть равен j = I ± 1/2; при / = 0 момент j имеет, конечно,
лишь одно значение j = 1/2.
Оператор полного момента J системы частиц равен сумме
операторов моментов j каждой из них, так что его значения опре-
определяются снова правилами векторной модели. Момент J можно
представить в виде
J = L + S, L = ^la, S = J>a,	E4.4)
где S можно назвать полным спином, а L — полным орбитальным
моментом системы.
Отметим, что если полный спин системы — полуцелый (или
целый), то то же самое будет иметь место и для полного момен-
момента, поскольку орбитальный момент всегда целый. В частности,
если система состоит из четного числа одинаковых частиц, то ее
полный спин во всяком случае целый, а потому будет целым и
полный момент.
Операторы полного момента частицы j (или системы ча-
частиц J) удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и
операторы орбитального момента или спина, поскольку эти пра-
правила являются вообще общими правилами коммутации, справед-
справедливыми для всякого момента импульса. Следующие из правил
коммутации формулы B7.13) для матричных элементов момента
тоже справедливы для всякого момента, если матричные элемен-
элементы определять по отношению к собственным функциям этого же
момента. Остаются справедливыми (с соответствующим измене-
изменением обозначений) также и формулы B9.7)-B9.10) для матрич-
матричных элементов произвольных векторных величин.

254
СПИН	ГЛ. VIII
Задача
Частица со спином 1/2 находится в состоянии с определенным значением
sz = 1/2. Определить вероятности возможных значений проекции спина на
ось z1, наклоненную под углом в к оси z.
Решение. Средний вектор спина s направлен, очевидно, по оси z и
равен по величине 1/2. Проецируя его на ось z', найдем, что среднее значение
спина в направлении z есть ~§zi = A/2) cos в. С другой стороны, имеем ~§zi =
A/2)(ги+— W-), где w± —вероятности значений sz> = ±1/2. Учитывая также,
что w+ + W- = 1, найдем
w+ = cos2(<9/2), w- = sin2@/2).
§ 55. Оператор спина
Ниже, в этой главе, мы не будем интересоваться зависимо-
зависимостью волновых функций от координат. Говоря, например, о по-
поведении функций ip(x,y,z;(r) при повороте системы координат,
можно подразумевать, что частица находится в начале коорди-
координат, так что ее координаты при таком повороте останутся неиз-
неизменными и полученные результаты будут характерны именно
для поведения функции ф в зависимости от спиновой перемен-
переменной а.
Переменная а отличается от обычных переменных (коорди-
(координат) своей дискретностью. Наиболее общий вид линейного опе-
оператора, действующего на функции от дискретной переменной сг,
запишем в виде
^И	E5.1)
где fa(ji — постоянные; заключив fxf> в скобки, мы тем самым
хотим подчеркнуть, что следующий далее спиновый аргумент
относится уже не к начальной функции ф, а к функции, воз-
возникшей под действием оператора /. Легко видеть, что величи-
величины faa/ совпадают с матричными элементами оператора, опре-
определенными по обычному правилу A1.5I). Интегрирование по
координатам в A1.5) заменяется теперь суммированием по дис-
дискретной переменной, так что определение матричного элемента
принимает вид
)].	E5.2)
г) Обратим внимание на то, что при этом индексы у матричных элементов
в правой части E5.1) записаны в последовательности, в известном смысле
обратной обычной последовательности в A1.11).

§ 55	ОПЕРАТОР СПИНА	255
Здесь фа1(а) и фа2 (а) — собственные функции оператора 3^, от-
отвечающие собственным значениям sz = <j\ и sz = <J2\ каждая
такая функция отвечает состоянию, в котором частица облада-
обладает определенным значением sz, т.е. из всех компонент волновой
функции отлична от нуля лишь одна1):
Фсп (сг) = 5а(Т1, фст2 (о-) = <Wa •	E5.3)
Согласно E5.1) имеем
и после подстановки, вместе с фа2(а), в E5.2) последнее равен-
равенство удовлетворяется автоматически, чем и доказывается сде-
сделанное утверждение.
Таким образом, операторы, действующие на функции от сг,
могут быть представлены в виде Bs + 1)-рядных матриц. Это
относится, в частности, к оператору самого спина, действие ко-
которого на волновую функцию выражается, согласно E5.1), фор-
формулой
5>И	E5.4)
Согласно сказанному выше (конец §54) матрицы Зж, s^, s^ сов-
совпадают с полученными в § 27 матрицами Lx, Ly, Lz, в которых
надо лишь заменить буквы L и М буквами s и а:
(*х)<т,<т-1 = (Sx)<t-1,<t = -y/(s + (T)(s-<T + l),
(SyUa-1 = -(Sy)a-l,* = -l-V(s + *)(s-* + l),
(SZ)(T(T = V-
Тем самым мы определили оператор спина.
В важнейшем случае спина 1/2 (s = 1/2, сг = ±1/2) эти ма-
матрицы двухрядны. Их записывают в виде
s=\a,	E5.6)
г) Более точно надо было бы писать: фа1(а) = ip(x,y,z)S(T1(T] в E5.3) опу-
опущены несущественные в данной связи координатные множители.
Подчеркнем лишний раз необходимость отличать заданное собственное
значение sz (<л или сг2) от независимой переменной а\ Именно с этим связано
различие записей A1.11) и E5.1).

256	СПИН	ГЛ. VIII
где1)
О 1\	/О -г
Матрицы E5.7) называют матрицами Паули. Матрица ^sz = —
диагональна, как и должно быть для матрицы, определенной по
собственным функциям самой величины sz2).
Отметим некоторые специфические свойства матриц Паули.
Непосредственно перемножая матрицы E5.7), получим равен-
равенства
.^(TxlZy = (T^ = \ ^ _	E5.8)
Комбинируя их с общими правилами коммутации E4.1), найдем,
что
т. е. матрицы Паули антикоммутативны. С помощью этих ра-
равенств легко убедиться в справедливости следующих полезных
формул:
Э2 = 3, (?a)(?b) = ab + г?[аЬ],	E5.10)
где а и b — два произвольных вектора3). В силу этих соотноше-
соотношений всякое скалярное полиномиальное выражение, составленное
из матриц &i, сводится к не зависящим от сг членам и членам пер-
первой степени по <т; отсюда следует, что всякая вообще скалярная
функция оператора сг сводится к линейной функции (см. зада-
задачу 1). Наконец, отметим значения следов (сумм диагональных
компонент) матриц Паули и их произведений:
= 0, SpS^S^ = 2Sik.	E5.11)
) В записи матриц в виде E5.7) строки и столбцы нумеруются значения-
значениями сг, причем номер строки соответствует первому, а номер столбца—вто-
столбца—второму индексу матричного элемента. В данном случае эти номера пробегают
значения +1/2,-1/2. Действие оператора, согласно E5.4), означает пере-
перемножение сг-й строки матрицы с компонентами волновой функции, располо-
расположенными в столбик
/
2)	Обозначение проекции спина и матриц Паули одинаковой буквой не мо-
может повлечь недоразуменения: матрицы Паули снабжены крышечкой над
буквой.
3)	Не зависящие от а члены в правых частях равенств E5.8)-E5.10) надо,
конечно, понимать как константы, умноженные на единичную двухрядную
матрицу.

§ 55	ОПЕРАТОР СПИНА	257
Подробному изучению спиновых свойств волновых функций,
в том числе их поведения при произвольных вращениях систе-
системы координат, посвящены следующие параграфы этой главы. Но
уже здесь сразу же отметим важное свойство этих функций —
поведение относительно поворотов вокруг оси z.
Произведем бесконечно малый поворот на угол Sip вокруг оси
z. Оператор такого поворота выражается с помощью оператора
момента (в данном случае — спина) в виде 1 + i8(psz. Поэтому в
результате поворота функции ф(а) перейдут в ф(а) + 5ф(а), где
6ф(а) = i8ipszij)((j) = гаф(аN(р.
Переписав это соотношение в виде dip/dip = icrip(<j) и интегрируя,
находим, что при повороте на конечный угол (р функции ip(cr)
перейдут в функции
ф(а)' = ф(а)е^.	E5.12)
В частности, при повороте на угол 2тг они умножаются на мно-
множитель е2пгст , одинаковый для всех а и равный (—IJ5 (число 2а
всегда имеет ту же четность, что и 2s). Таким образом, при пол-
полном повороте системы координат вокруг оси z волновые функции
частицы с целым спином возвращаются к своему первоначально-
первоначальному значению, а волновые функции частиц с полу целым спином
меняют свой знак.
Задачи
1. Свести произвольную функцию линейного по матрицам Паули ска-
скаляра а + Ь<т к линейной функции.
Решение. Для определения коэффициентов в искомой формуле
замечаем, что при выборе оси z вдоль направления b собственные значения
оператора а + ЪЭ равны а ± 6, а соответствующие собственные значения
оператора /(а + Ь<т) равны /(а ± Ъ). Отсюда находим
А = \[f{a + Ъ) + /(а - Ь)], В = ?[/(а + 6) - /(а - 6)].
Z	Z0
2.	Определить значения скалярного произведения S1S2 спинов A/2) двух
частиц в состояниях, в которых суммарный спин системы S = si + S2 имеет
определенные значения @ или 1).
Решение. По общей формуле C1.3), справедливой при сложении лю-
любых двух моментов, найдем
SXS2 = 1/4 при 5 = 1, S1S2 = —3/4 при 5 = 0.
3.	Какие степени оператора Is произвольного спина s являются незави-
независимыми?
Решение. Оператор
(sz - s)(sz - s + 1) ... (sz + s),
составленный из разностей 7sz и всех возможных собственных значений sz,
дает нуль при воздействии на любую волновую функцию, а потому сам

258
СПИН	ГЛ. VIII
равен нулю. Отсюда следует, что (szJs+1 выражается через более низкие
степени оператора s^, так что независимыми являются лишь его степени от
1 до 2s.
§ 56. Спиноры
При равном нулю спине волновая функция имеет всего одну
компоненту: ф@). При воздействии оператора спина она обра-
обращается в нуль: s^ = 0. Ввиду связи 1з с оператором бесконечно
малых поворотов, это значит, что волновая функция частицы с
нулевым спином не меняется при поворотах системы координат,
т. е. является скаляром.
Волновая функция частицы со спином 1/2 имеет две компо-
компоненты: ф{1/2) и ф(—1/2). Для удобства дальнейших обобщений
будем отличать эти компоненты соответственно индексами 1 и 2,
написанными у буквы сверху; двухкомпонентную величину
называют спинором.
При произвольном повороте системы координат компоненты
спинора подвергаются линейному преобразованию
ф1' = аф1 + Ъф2, ф2' = сф1 + йф2.	E6.2)
Его можно записать в виде
фх' = {Щ)\ U = (° J),	E6.3)
где U — матрица преобразования1). Элементы этой матрицы, во-
вообще говоря, комплексны и являются функциями углов пово-
поворота осей координат. Они связаны друг с другом соотношени-
соотношениями, непосредственно следующими из физических требований,
предъявляемых к спинору, как к волновой функции частицы.
Рассмотрим билинейную форму
ф1^2 -ф2<р\	E6.4)
где ф и (р — два спинора. Простое вычисление дает
ф1'^2' - ф2'^1' = (ad -
т. е. величина E6.4) при повороте системы координат преобра-
преобразуется сама через себя. Но если имеется всего одна преобразую-
преобразующаяся сама через себя функция, то она может рассматриваться
) Запись иф предполагает перемножение строк матрицы U со столбцом ф.

§ 56	спиноры	259
как соответствующая спину нуль и, следовательно, должна быть
скаляром, т. е. должна вообще оставаться неизменной при пово-
поворотах системы координат. Отсюда получаем равенство
ad-bc= 1;	E6.5)
определитель матрицы преобразования равен единице1).
Дальнейшие соотношения возникают из требования, чтобы
было скаляром выражение
фхфи +ф2ф2\	E6.6)
определяющее вероятность нахождения частицы в данной точке
пространства. Преобразование, оставляющее инвариантной сум-
сумму квадратов модулей преобразуемых величин, есть унитарное
преобразование, т. е. должно быть С/+ = U~1 (см. § 12). При усло-
условии E6.5) обратная матрица
-с а
Приравняв ее сопряженной матрице
Гт+ - (а*
U ~ [Ъ*
найдем соотношения
a = d\ Ъ = -с\	E6.7)
В силу соотношений E6.5) и E6.7) четыре комплексные ве-
величины а, 6, с, d содержат в действительности всего три незави-
независимых вещественных параметра, что соответствует трем углам,
определяющим поворот трехмерной системы координат.
Сравнив выражения скаляров E6.4) и E6.6), мы видим, что
величины -01*, ф2* должны преобразовываться как ф2, —ф1] лег-
легко проверить, что в силу соотношений E6.5) и E6.7) это дей-
действительно так2).
Алгебре спиноров можно придать форму, аналогичную тен-
тензорной алгебре. Это достигается введением, наряду с контра-
вариантными компонентами спинора ф1, ф2 (индексы сверху),
х) Такое преобразование двух величин называют бинарным.
2) Это свойство тесно связано с симметрией по отношению к обращению
времени. Последнему соответствует (см. § 18) замена волновой функции на
ее комплексно сопряженную. Но при обращении времени меняют знак так-
также и проекции момента. Поэтому функции, комплексно сопряженные ком-
компонентам ф1 = ^A/2) и ф2 = ^( — 1/2), по своим свойствам должны быть
эквивалентны компонентам, отвечающим соответственно проекциям спина
-1/2 и 1/2.

260
СПИН	ГЛ. VIII
также и ковариантных компонент (индексы снизу) согласно
определению
Ф1=Ф2, Ф2 = -Фг-	E6.8)
Инвариантная комбинация двух спиноров E6.4) запишется тогда
в виде скалярного произведения
фх<рх = фг<р1 + ф2у>2 = </>V - </>V;	E6.9)
здесь и ниже по дважды повторяющимся (немым) индексам под-
подразумевается суммирование подобно тому, как это принято в
тензорной алгебре. Заметим следующее правило, которое надо
иметь в виду в спинорной алгебре. Имеем фх<р\ = ф1^! + ф2Ц>2 =
= —ф2(р2 — Фир1, т.е.
ФХЧ>\ = ~Ф\Ч>Х-	E6.10)
Отсюда очевидно, что скалярное произведение всякого спинора
самого на себя равно нулю:
фхфх = 0.	E6.11)
Согласно сказанному выше величины ф\, ф2 преобразуются
как ф1*, ф2*, т.е.
Фх = (?»а.	E6.12)
Произведение и*ф можно написать также и в виде ipU* с транс-
транспонированной матрицей С/*. Ввиду унитарности матрицы U име-
имеем С/* = С/, так что ф'х = ('0С/~1)д или1)
^л = {ф'и)\.	E6.13)
Подобно переходу от векторов к тензорам в обычной тензор-
тензорной алгебре, можно ввести понятие о спинорах высших рангов.
Так, спинором второго ранга назовем четырехкомпонентную
величину -0Л/Х, компоненты которой преобразуются как произве-
произведения ф (р^ компонент двух спиноров (спиноров первого ранга).
Наряду с контравариантными компонентами фх^ можно рас-
рассматривать ковариантные ф\^ и смешанные ф\^ компоненты,
преобразующиеся соответственно как фх^р^ и ф\(р^. Аналогич-
Аналогичным образом определяются спиноры любого ранга.
) Запись вида фи (ф слева от U) означает перемножение расположенных
в строку компонент {ф\^ф2) со столбцами матрицы U.

§56	спиноры	261
Переход от контра- к ковариантным компонентам спиноров
и обратно можно представить в виде
E6.14)
где
А	/0 1\
\—1 U/
— метрический спинор в векторном пространстве двух измере-
измерений1) . Таким же образом имеем, например,
так что -012 = — фг1 = —ф21, фп = ф\2 = ф22 и т. п.
Сами gx^ составляют антисимметричный единичный спинор
второго ранга. Легко убедиться в том, что при преобразованиях
координат его компоненты остаются неизменными и что
?А„йГ = «?,	E6.16)
где 8\ = 5l = l, 8\ = 8f = 0.
Как и в обычной тензорной алгебре, в спинорной алгебре
имеются две основные операции — умножение и упрощение (или
свертывание) по паре индексов. Умножение двух спиноров да-
дает спинор более высокого ранга; так, из двух спиноров второго
и третьего рангов и фх^ и фирсг можно образовать спинор пято-
пятого ранга фх^фУро'• Упрощение по паре индексов (т.е. суммиро-
суммирование компонент по одинаковым значениям одного ко- и одно-
одного контравариантного индексов) понижает ранг спинора на две
единицы. Так, упрощение спинора фх^р<Т по индексам //и v да-
дает спинор третьего ранга фху^р<7\ упрощение спинора фх^ дает
скаляр фх • При этом имеет место правило, аналогичное выра-
выражаемому формулой E6.10): если переменить положения (верхнее
и нижнее) индексов, по которым производится упрощение, то
изменится знак величины (т.е. фх = —фх)- Отсюда, в частно-
частности, следует, что если спинор симметричен по каким-либо двум
своим индексам, то в результате упрощения по этим индексам
получим нуль. Так, для симметричного спинора второго ран-
ранга фхп имеем фхХ = 0.
Симметричным спинором п-го ранга назовем спинор, сим-
симметричный по всем своим индексам. Из асимметричного спинора
можно составить симметричный спинор путем симметризации —
суммированием компонент, получающихся при всех возможных
перестановках индексов. В силу сказанного выше из компонент
Заметим, что матрица E6.15) совпадает с гЭу.

262
СПИН	ГЛ. VIII
симметричного спинора невозможно составить (путем упроще-
упрощения) спинор более низкого ранга.
Что касается антисимметричного (по всем своим индексам)
спинора, то таковым может быть только спинор второго ран-
ранга. Действительно, поскольку каждый индекс может пробегать
всего два значения, то при трех или большем числе индексов
по крайней мере два индекса будут иметь одинаковые значения,
а потому компоненты спинора тождественно обратятся в нуль.
Всякий антисимметричный спинор второго ранга сводится к ска-
скаляру, умноженному на единичный спинор gx^. Отметим здесь
следующее, вытекающее из сказанного, соотношение:
gA/x^i/ + g/xi/^A + gi/A^/x = 0,	E6.17)
где ф\ — произвольный спинор; это правило является следствием
просто того, что стоящее в левой части равенства выражение
представляет собой (как легко проверить) антисимметричный
спинор третьего ранга.
Спинор, составленный как произведение спинора ф\^ на са-
самого себя, упрощенный по одной паре индексов, антисимметри-
антисимметричен по другой; действительно,
Поэтому в силу сказанного выше этот спинор должен сводиться к
спинору gx^, умноженному на скаляр. Определяя последний так,
чтобы упрощение по второй паре индексов давало правильный
результат, найдем
Фх,Ф/ = -A/2) V^gAp-	E6.18)
Компоненты спинора ф^ , комплексно сопряженного со
спинором фхц..., преобразуются как компоненты контравари-
антного спинора (^ ^", и наоборот. Сумма квадратов модулей
компонент любого спинора является, следовательно, инвариан-
инвариантом.
§ 57. Волновые функции частиц с произвольным спином
Развив формальную алгебру спиноров произвольного ранга,
мы можем перейти к наглей непосредственной задаче — изучению
свойств волновых функций частиц с произвольным спином.
К этому вопросу удобно подойти, рассматривая совокупность
п частиц со спином 1/2. Максимальное возможное значение
^-компоненты полного спина системы равно п/2, что получается,
когда для каждой из частиц sz = 1/2 (все спины направлены в
одну сторону — вдоль оси z). В этом случае можно утверждать,
что и полный спин S системы равен п/2.

§ 57	ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ	263
Все компоненты волновой функции ф{сг\^ <72,..., ап) системы
частиц равны при этом нулю, за исключением только одной —
'0A/2,1/2, ...,1/2). Если написать волновую функцию в виде
произведения п спиноров ф ф^1..., из которых каждый отно-
относится к одной из частиц, то у каждого из них будет отлична от
нуля только компонента с А, //,... = 1. Таким образом, будет от-
отличным от нуля только произведение ф1^1 ... Но совокупность
всех этих произведений представляет собой некоторый спинор
п-то ранга, симметричный по всем своим индексам. Если произ-
произвести преобразование системы координат (так, что спины ока-
окажутся направленными не по оси z\ то мы получим некоторый
спинор n-го ранга общего вида, но по-прежнему симметричный.
Спиновые свойства волновых функций, будучи по существу
их свойствами по отношению к поворотам системы координат,
тождественны для частицы со спином s и для системы из п = 2 s
частиц со спинами 1/2, направленными так, что полный спин
системы равен 5. Отсюда следует, что волновая функция части-
частицы со спином s представляет собой симметричный спинор ранга
п = 2s.
Легко видеть, что число независимых компонент симметрич-
симметричного спинора 25-го ранга равно, как и должно было быть, тоже
25 + 1. Действительно, различными будут лишь компоненты, сре-
среди индексов которых имеется 25 единиц и 0 двоек, 25 — 1 единиц
и одна двойка и т. д. до 0 единиц и 25 двоек.
С математической точки зрения, симметричные спиноры да-
дают классификацию возможных типов преобразования величин
при поворотах системы координат. Если имеется 25 + 1 раз-
различных величин, линейно преобразующихся друг через друга
(причем число этих величин не может быть уменьшено никаким
выбором из линейных комбинаций), то можно утверждать, что
закон их преобразования эквивалентен закону преобразования
компонент симметричного спинора ранга 25. Всякая совокуп-
совокупность любого числа функций, линейно преобразующихся друг
через друга при поворотах системы координат, может быть све-
сведена (надлежащим линейным преобразованием) к одному или
нескольким симметричным спинорам1).
Так, произвольный спинор n-го ранга фх^и... может быть све-
сведен к симметричным спинорам рангов п, п — 2, п — 4,... Фак-
Фактически такое приведение может быть произведено следующим
образом. Симметризуя спинор фх^и... по всем индексам, образу-
образуем симметричный спинор того же n-го ранга. Далее, упрощая
г) Другими словами, симметричные спиноры осуществляют неприводимые
представления группы вращений (см. §98).

264
СПИН	ГЛ. VIII
исходный спинор ip\fj,u... по различным парам индексов, полу-
получим спиноры (п — 2)-го ранга вида ф \и , которые в свою оче-
очередь симметризуем, так что получаем симметричные спиноры
(п — 2)-го ранга. Симметризуя спиноры, получающиеся после
упрощения V'A/tf...? по ДВУМ парам индексов, получим симметрич-
симметричные спиноры (п — 4)-го ранга, и т. д.
Нам остается еще установить связь между компонентами сим-
симметричного спинора 25-го ранга и 2s + 1 функциями ф(сг) (где
а = 5, s — 1,..., — s). Компонента
среди индексов которой 1 повторяется s + а раз, а 2 встречается
(s — а) раз, соответствует равной а проекции спина на ось z.
Действительно, если опять рассматривать систему п = 2s частиц
со спином 1/2 вместо одной частицы со спином 5, то написанной
компоненте будет соответствовать произведение
5+СГ
такое произведение отвечает состоянию, в котором (s + а) ча-
частиц имеют проекцию спина, равную +1/2 и (s — а) —проекцию,
равную —1/2, так что суммарная проекция равна A/2)(s + а) —
— A/2) (s — а) = а. Наконец, коэффициент пропорциональности
между написанной компонентой спинора и ф(а) подберем так,
чтобы имело место равенство
= Е
(эта сумма является скаляром, как и должно быть, поскольку
она определяет вероятность нахождения частицы в данной точке
пространства). В сумме в правой части равенства компоненты с
(s + а) индексами 1 встречаются
B*)!
(8 + <Т)\(8 - *)\
раз. Поэтому ясно, что соответствие между функциями ф(а) и
компонентами спинора устанавливается формулой
(s + <t)\(s — <т)\

§ 57	ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ	265
Соотношением E7.2) обеспечивается соблюдение не только
условия E7.1), но, как легко убедиться, также и более общего
условия
^	Х)()в^(М)	E7.3)
где фх^~- и (^а^... — два различных спинора одинакового ранга,
а ф(сг), (р(а) — функции, сопоставляемые с этими спинорами по
формуле E7.2) (множитель (—1)S~<J связан с тем, что при подни-
поднимании всех индексов у компонент спинора знак меняется столько
раз, сколько имеется двоек среди индексов).
Формулами E5.5) определяется результат воздействия опе-
оператора спина на волновые функции ф(сг). Не представляет тру-
труда установить, каким образом воздействуют эти операторы на
волновую функцию, написанную в виде спинора 25-го ранга. В
случае спина 1/2 функции ^(+1/2), ^(—1/2) совпадают с ком-
компонентами ф1, ф2 спинора. Согласно E5.6) и E5.7) результатом
воздействия на них операторов спина будет
Y = (\/2)il>\
Для перехода к общему случаю произвольного спина снова
рассматриваем систему из 2s частиц со спином 1/2 и пишем ее
волновую функцию в виде произведения 2s спиноров. Опера-
Оператор спина системы частиц представляет собой сумму операторов
спинов каждой из частиц, действующих только на соответст-
соответствующий спинор, причем результат их воздействия определяет-
определяется формулами E7.4). Переходя затем обратно к произвольным
симметричным спинорам, т. е. к волновым функциям частицы
со спином s, получим следующие формулы:
s-\-a s — ст	s+cr —I s — а-\-1	s + cr + 1 s — a — 1
s-\-a s — ct	s+cr —1 s — a-\-l	s+cr + 1 s — a — 1
s-\-a s — a	s-\-a s — a
(ЗД"^^ = аф^-™^.	E7.5)
До сих пор мы говорили о спинорах как о волновых функциях
собственного момента элементарных частиц. Однако с формаль-
формальной точки зрения нет никакой разницы между спином отдель-
отдельной частицы и полным моментом любой системы, рассматри-

266
СПИН	ГЛ. VIII
ваемой как целое, отвлекаясь от ее внутренней структуры. По-
Поэтому очевидно, что трансформационные свойства спиноров в
той же степени относятся и к поведению по отношению к про-
пространственным поворотам волновых функций ijjjm любой части-
частицы (или системы частиц) с полным моментом j вне зависимости
от его природы (орбитальной или спиновой). Должно поэтому
существовать определенное соответствие между законами пре-
преобразования собственных функций ipjm при поворотах системы
координат и законами преобразования компонент симметрично-
симметричного спинора ранга 2j.
При установлении этого соответствия необходимо, однако,
четко различать два аспекта зависимости волновых функций
от проекции момента т (при заданном значении j). Речь мо-
может идти о волновой функции, как об амплитуде вероятности
для различных значений т, и речь может идти о собственной
функции для заданного значения га.
С этими двумя аспектами мы имели уже дело в начале § 55,
где рассматривалась собственная функция 6аао оператора 3^,
соответствующая значению sz = aQ. Математическое отличие
между ними в особенности ясно видно на примере частицы со
спином s = 1/2. В этом случае спиновая функция есть, по от-
отношению к переменной <т, контравариантный спинор 1-го ран-
ранга, т. е. должна быть написана, в соответствии со спинорными
обозначениями, как S°Q. По отношению к сто она является, сле-
следовательно, ковариантным спинором.
Это обстоятельство имеет, очевидно, общий характер: соб-
собственные функции ipjm могут быть приведены в соответствие
с компонентами ковариантного симметричного спинора ранга 2j
по формулам, аналогичным E7.2I):
. 22 .
- т)\
j+m j — m
E7.6)
Собственными функциями целочисленного момента j явля-
являются шаровые функции Yjm. В особенности важен случай j = 1.
) К этому результату можно подойти также и несколько иным путем.
Если разложить волновую функцию ф частицы в состоянии с моментом j
по собственным функциям ф3-т\ ф = 2mam^"m> то коэФФиЦиенты ат
представляют собой амплитуды вероятности для различных значений т.
В этом смысле они соответствуют «компонентам» ф(т) спиновой волновой
функции, чем устанавливается закон их преобразования. С другой сторо-
стороны, значение ф в данной точке пространства не может зависеть от выбора
системы координат, т. е. сумма JJ атФзт должна быть скаляром. Сравни-
Сравнивая со скаляром E7.3), мы видим, что ат должны преобразовываться как

§ 57	ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ	267
Три шаровые функции У\ш\
/~~3~~	/ 3
^10 = гА/-—cos 19 = iJ—nz,
у 4тг	у 4тг
Yi,±i = ТЧ — sin 19 -е±г<^ = ТЧ — {пх ±гпу)
У О7Г	У О7Г
(п — единичный вектор в направлении радиуса-вектора). Видно,
что по своим трансформационным свойствам эти три функции
эквивалентны компонентам некоторого вектора а по формулам
соответствия, которые запишем в виде
ф10 = iaz, фп = ~^(а* + iay)i ^1,-1 = ~!д(пх
Сравнение этих выражений с формулой E7.6) показывает, что
компонентам симметричного спинора второго ранга можно при-
привести в соответствие компоненты некоторого вектора по форму-
формулам
E7.8)
ау).
E7.9)
\а^ Ф = J^ax iay)> ^ = ~~J^ax + i(ly^'
Обратно:
az = iV24>12, ax = -±=(ф22 - ф11), ау = -±=(фп + ф22). E7.10)
Легко проверить, что при таком определении имеет место ра-
равенство
фх^ = аЪ,	E7.11)
где а и Ь —векторы, соответствующие симметричным спинорам
ф ^ и (р Р. Нетрудно такж:е убедиться в соответствии меж:ду спи-
спинором и вектором1)
ф№и + ф»<рХи и V2[ab].	E7.12)
Формулы E7.10) можно записать в компактном виде с по-
помощью матриц Паули
а=^ХЖ € = -j=2^x	E7-13)
х) Смешанные компоненты симметричного спинора можно писать в ви-
виде ф* не различая фх1Л и ¦

268
СПИН	ГЛ. VIII
(матричные индексы у ст написаны сверху и снизу в соответ-
соответствии с расположением спинорных индексов у ф1^)- Происхожде-
Происхождение этой формулы легко понять, если рассмотреть частный слу-
случай, когда спинор второго ранга ф^ сводится к произведению
некоторого спинора первого ранга ip^ и его комплексно сопря-
сопряженного -0Л*; тогда величина
есть среднее значение спина (для частицы с волновой функци-
функцией ф^), так что ее векторный характер очевиден.
Соответствие E7.8) или E7.9) является частным случаем об-
общего правила: всякому симметричному спинору четного ранга 2j
(где j — целое) можно привести в соответствие симметричный
тензор вдвое меньше ранга (j), дающий нуль при упрощении по
любой паре индексов (такой тензор будем называть неприводи-
неприводимым). Это следует уже из того, что число независимых ком-
компонент у таких спинора и тензора одинаково (равно 2j + 1), в
чем легко убедиться простым подсчетомг). Соответствие между
компонентами спинора и тензора может быть найдено с помо-
помощью формул E7.8)-E7.10), если рассматривать спинор данного
ранга как произведение нескольких спиноров второго ранга, а
тензор — как произведение векторов.
Задачи
1. Переписать определение E7.4) оператора спина 1/2 с помощью спи-
спинорных компонент вектора s~.
Решение. С учетом формул E7.9), устанавливающих связь между
вектором s4 и спинором s^, определение E7.4) записывается в виде
2. Написать формулы, определяющие действие оператора спина на век-
векторную волновую функцию частицы со спином 1.
Решение. Связь компонент векторной функции ф с компонентами
спинора фХ(Л дается формулами E7.9), а последняя из формул E7.5) дает
7}гф+ = -ф+, ^гф- = Ф-, ^гфг = О
(где ф± = фх ± гфу) или
%фх = —гфу, %Фу = гфх, %Фг = 0.
Остальные формулы получаются из этих циклической перестановкой индек-
индексов х, у, z. Все вместе они могут быть написаны в виде
х) Другими словами, 2j + 1 (j — целое) компонент неприводимого тензора
ранга j, как и совокупность 2j + 1 шаровых функций У^т, как и 2j; + 1
компонент симметричного спинора ранга 2j, осуществляют одно и то же
неприводимое представление группы вращений.

58	ОПЕРАТОР КОНЕЧНЫХ ВРАЩЕНИЙ	269
Комплексный вектор ф может быть представлен в виде ф = e*a(u ),
где и и v — вещественные векторы, которые путем надлежащего выбора об-
общей фазы а могут быть определены как взаимно перпендикулярные. Два
вектора и и v определяют плоскость, обладающую тем свойством, что проек-
проекция спина на перпендикулярное к ней направление может принимать лишь
значения ±1.
§ 58. Оператор конечных вращений
Вернемся к вопросу о преобразовании спиноров и покажем,
каким образом коэффициенты этого преобразования могут быть
фактически выражены через углы поворота координатных осей.
По определению оператора момента (в данном случае спина),
выражение 1 + iSip • us есть оператор поворота на угол Sip вокруг
направления, задаваемого единичным вектором п; в применении
к волновой функции частицы со спином 1/2, т.е. к спинору пер-
первого ранга, надо положить в этом операторе 1з = <т/2. Оператор
же поворота на конечный угол <р вокруг того же направления
будет соответственно даваться формулой
E8.1)
(ср. A5.13)). Как и всякая функция матриц Паули (см. задачу 1,
§55), это выражение сводится к линейному по этим матрицам
выражению
Un = cos((p/2) + ina • sin(<p/2).	E8.2)
Так, для поворота вокруг оси z находим
Uz(<p) = cos | + zaz вш | = ^ *у' > expHW2)J • E8-3)
Это значит, что компоненты спинора при таком повороте преоб-
преобразуются по закону
В частности, при повороте на угол 2тг компоненты спинора ме-
меняют знак; таким же свойством будут, следовательно, обладать
также и спиноры любого нечетного ранга (ср. конец §55).
Аналогичным образом найдем матрицы преобразований, со-
состоящих в повороте на угол (р вокруг оси х или оси у:
^ , ч /cos(W2) isin(W2)\ f> / \ ( cos(W2) si
\ Ъ SlU. I ID I Zi) COS I (p I Zi\ ]	\ — SlU. I (p I Zi) COS I {D
' E8.4)

270
СПИН
ГЛ. VIII
Отметим частный случай поворота на угол тг вокруг оси у, при
котором
5а
т. е.
ф = ^i, ф = ^2-	E8.5)
Легко написать теперь матрицу преобразования при произ-
произвольном повороте координатных осей в зависимости от углов Эй-
Эйлера, определяющих этот поворот.
Вращение осей, определяемое углами Эйлера а, /3, 7? произ-
производится в три приема: 1) поворот на угол а @ ^ а ^ 2тг) вокруг
оси ?, 2) поворот на угол /3 @ ^ /3 ^ тг)
вокруг нового положения оси у (ON на
рис.20, так называемая линия узлов),
3) поворот на угол 7 @ ^ 7 ^ 2тг) во-
вокруг получившегося окончательного по-
положения (zf) оси z1).
Очевидно, что углы а, /3 совпадают со
сферическими углами (р, в новой оси zf по
отношению к осям xyz: а = (р, C = в.
Соответственно такому способу по-
поворота осей, матрица полного преобра-
преобразования равна произведению трех мат-
матриц E8.3), E8.4):
Рис. 20
Непосредственным перемножением матриц окончательно нахо-
находим
I58'6)
U(а В <*)- ( cos(/?/2)e^)/2 sin(/3/2)e-^)/2\
U(а, /3,7)- ^_ sin(/3/2)ei(a-7)/2 cos(/3/2)e-^+7)/2) •
Спиноры высших рангов преобразуются, по определению,
как произведения компонент спинора первого ранга. В физи-
физических применениях, однако, представляют интерес не столько
х) Системы xyz и xyz , как всегда, — правовинтовые, а положительное на-
направление отсчета углов отвечает направлению буравчика, завинчиваемого
в положительном направлении оси поворота.
Данное здесь определение углов Эйлера (принятое в квантовомеханиче-
ских применениях) отличается от определения в § 35 (см. т. I) тем, что второй
поворот производится вокруг оси у, а не вокруг оси х. Углы а, /3, j связа-
связаны с углами (р, 0, ф в т. 1 (не смешивать со сферическими углами <?, 0\)
посредством
ТГ	п п	I	7Г

§ 58	ОПЕРАТОР КОНЕЧНЫХ ВРАЩЕНИЙ	271
законы преобразования самих спиноров, сколько отвечающих им
волновых функций ipjm.
Пусть функции ipjm (га = j, j — 1,..., —j) описывают в ко-
координатной системе xyz состояние с определенным значением
момента j, а функции ф^т' — то же состояние по отношению к
осям x'y'zf\ в первом случае га есть значение jz, а во втором:
т! = jz>. Те и другие функции связаны друг с другом линейны-
линейными соотношениями, которые запишем в виде
'.	E8.7)
Коэффициенты D^Jm составляют (по отношению к индексам
га/га) матрицу ранга 2j + 1 —матрицу конечных вращений D^\
ее элементы являются функциями углов поворота а, /3, 7 систе-
системы х'у'z' относительно xyz.
Конструктивное построение матрицы конечных вращений
может быть произведено с помощью спинорного представления
функций ipjm.
При j = 1/2 две функции ^1/2т (т — ±1/2) составляют
ковариантный спинор первого ранга. Согласно E6.13) его пре-
преобразование (от системы х'у1z1 к системе xyz) осуществляется
матрицей U E8.6), так что Z^1/2) = U1). Запишем ее элементы
в виде
_ Jm'-f A1/2) ( o\Jma
е ат'т ^PJe
где
1/2	-1/2
-1/2
cos(/9/2) sin(/3/2),	E8.8)
-sin(/3/2) cos(/3/2).
При произвольном значении j функции ф^ш связаны с ком-
компонентами симметричного ковариантного спинора ранга 2j фор-
формулой E7.6). Матрица преобразования компонент спинора ран-
ранга 2j есть произведение 2j матриц D^^2\ каждая из которых
х) Обратим внимание на то, что матричные индексы в E8.7) как раз рас-
пол ожены в порядке, отвечающем перемножению столбцов матрицы D^' с
расположенными в строку функциями i/jjm'. В символической записи ра-
равенство E8.7) должно было бы быть написано как tpjm = {
соответствии с записью в E6.13).

272
СПИН	ГЛ. VIII
действует на один из спинорных индексов. Произведя перемно-
перемножение и вернувшись снова к функциям ^jm, получим матрицу
преобразования последних в виде
Л?'т(«> Р, 7) = e^iJujle*™,	E8.9)
причем функции %^,ш(/3) даются формулой1)
cos - )	x
V 2 J
V 2 J	3	)' E8Л0)
где
Pj?'b\cosC) = Ь^A - cos/3)-a(l + cos/3)-bx
- cos/3)a+n(l + cos/3N+n] E8.11)
d cos p
— так называемые полиномы Якоби2). Отметим, что
Pla'b\-совР) = (-l)nPib'a)(cos/3).	E8.12)
Функции d^lrn обладают рядом свойств симметрии, которые
можно было бы усмотреть из выражений E8.11) и E8.12), но
проще вывести непосредственно из их определения как коэффи-
коэффициентов вращательного преобразования.
Матрица D^ как матрица вращательного преобразования
унитарна. Поскольку преобразование, обратное повороту
(а,/3,7)? есть поворот (— 7, — /3, — а) то для вещественной мат-
матрицы фэ) отсюда получаются соотношения
€L(-P) = d(±W)-	E8-13)
х) Проведение вычислений можно найти в книге: Л. R. Edmonds. Angular
momentum in quantum mechanics. —Princeton, 1957 (см. также перевод статьи
того же автора в сб.: Деформация атомных ядер. —М.: ИЛ, 1958). Опреде-
Определение функций ?>^)т, согласно E8.9), E8.10), отличается от принятого в
книге Эдмондса перестановкой а и 7 (что более естественно в излагаемом
подходе), а от принятого в статье еще и изменением знаков всех углов.
2) Связь этих полиномов с гипергеометрическим рядом—см. §е (форму-
(формула (е.11)).

58	ОПЕРАТОР КОНЕЧНЫХ ВРАЩЕНИЙ	273
Далее, справедливы равенства
.r	E8Л5)
При j = 1/2 они очевидны из (E8.8)), а их обобщение для про-
произвольных j очевидно из описанного выше способа построения
матрицы преобразования.
Произведем поворот на угол тг — /3 как два последовательных
поворота на углы тг и — /3:
или, используя E8.13),
Результат двух поворотов вокруг одной и той же оси не зависит
от их последовательности. Поэтому мы должны получить тот
же результат, произведя повороты —/3 и тг в обратном порядке.
Сделав это и сравнив ответ с E8.16), получим соотношение
Из E8.17), E8.14) и E8.13) следует, что
$JP) = (-l)m'"m^L'(/3) = (-1Г'-га<$то(-0). E8.18)
На основании E8.13)—E8.18) могут быть написаны различ-
различные свойства симметрии полных функций D^Jm- Отметим, в
частности, выражение комплексно сопряженной функции
E8.19)
С математической точки зрения, матрицы D^' дают унитарные
неприводимые представления группы вращений с размерностью
2j + 1 (см. ниже, §98). Отсюда сразу следует соотношение орто-
ортогональности и нормировки
E8.20)
где duj = sin /3 da df3 d'y.

274
спин
ГЛ. VIII
Ортогональность функций по индексам т и ттт/ обеспечива-
обеспечивается множителем ехр{г(гаск + 777/7)}. Ортогональность же по ин-
индексу j связана с функциями
Лз)
для которых имеем
7Г
sin/3d/3
2ii
Наконец, приведем, для справок, выражения функций (а^,ш
для некоторых частных значений параметров. При j = 1 имеем
1
-1
|A + cos/3)	-^ sin/3	i(l-cos/3),
	— sin /3	cos /3	—= sin /3,
\/2	\/2
1A-cos/3)	--^ sin/3	1A + cos/3).
E8.22)
При целом j = I и т! = 0 формулы E8.10) и E8.11) дают
E8.23)
Происхождение этой формулы легко проследить из исходного
определения E8.7). Будем относить значения функций ^ш/ в
правой части E8.7) к оси z\ на которой имеем (при j = I)
E8.24)
Функция же ipjm в левой части будет тогда шаровой функцией
Yim(C, а) от сферических углов <р = а, в = C направления оси z'.
Подставив E8.24) в E8.7), получим
E8.25)
что эквивалентно E8.23).

§ 59	ЧАСТИЧНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЧАСТИЦ	275
Наконец, приведем выражение функции при наибольшем воз-
возможном значении одного из индексов га, га/:
-[«
¦ т)! (j — т)!
E8.26)
§ 59. Частичная поляризация частиц
Надлежащим выбором направления оси z всегда можно обра-
обратить в нуль одну из компонент (например, ф2) заданного спино-
спинора ф —волновой функции частицы со спином 1/2. Это очевидно
уже из того, что направление в пространстве определяется двумя
величинами (углами), т.е. число имеющихся в нагнем распоря-
распоряжении параметров как раз равно числу величин (вещественная
и мнимая части комплексного ф2), которые мы хотим обратить
в нуль.
Физически это значит, что если частица со спином 1/2 (будем
говорить для определенности об электроне) находится в состо-
состоянии, описываемом некоторой спиновой волновой функцией, то
существует такое направление в пространстве, вдоль которого
проекция спина частицы имеет определенное значение а = 1/2.
Можно сказать, что в таком состоянии электрон полностью по-
поляризован.
Существуют, однако, и такие состояния электрона, которые
можно назвать частично поляризованными. Эти состояния опи-
описываются не волновыми функциями, а лишь матрицами плотно-
плотности, т. е. они являются смешанными (по спину) состояниями (см.
§14).
Спиновая (или поляризационная) матрица плотности элек-
электрона представляет собой спинор второго ранга р ^, нормиро-
нормированный условием
Л = Л + Л = 1	E9.1)
и удовлетворяющий условию «эрмитовости»
(Р\У = Р\-	E9.2)
В случае чистого (т. е. вполне поляризованного) спинового состо-
состояния электрона спинор
волновой функции фх:
яния электрона спинор р ^ сводится к произведению компонент
E9.3)

276
СПИН	ГЛ. VIII
Диагональные компоненты матрицы плотности определяют
вероятности значений +1/2 и — 1/2 проекции спина электрона
на ось z. Поэтому среднее значение этой проекции
зг = 1/2(р\-р22),
или, учитывая E9.1),
p\ = l + sz, p22 = \-Sz.	E9.4)
В чистом состоянии среднее значение величин s± = sx ± isy
вычисляется как
Так как согласно E5.6) и E5.7), операторы s± выражаются мат-
матрицами
- _/0 1\ - _ /0 0\
s+ — [о о)' s- — \i о)'
то находим
s+ = ipuip2, s- =^2V-
Соответственно в смегпанном состоянии будет
Д = 5_, p21 = s+.	E9.5)
С помощью матриц Паули формулы E9.4) и E9.5) могут быть
записаны совместно в виде
p\ = \(S\ + 2cr\s).	E9.6)
Таким образом, все компоненты поляризационной матрицы
плотности электрона выражаются через средние значения ком-
компонент его вектора спина. Другими словами, вещественный век-
вектор s полностью определяет свойства поляризации частицы со
спином 1/2. В предельном случае полной поляризации одна из
компонент этого вектора (при соответствующем выборе направ-
направления осей) равна 1/2, а две другие —нулю. В обратном случае
неполяризованного состояния все три компоненты равны нулю.
В общем же случае произвольной частичной поляризации и про-
произвольном выборе системы координат имеет место неравенство
О < р < 1, где
есть величина, которую можно назвать степенью поляризации
электрона.
Для частицы с произвольным спином s матрица плотности
есть спинор рх^"' G ранга 4s, симметричный по первым 2s и по

§ 60 ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ТЕОРЕМА КРАМЕРСА	277
последним 2 s индексам и удовлетворяющий условиям
/""V.. = 1,	E9-7)
х,..,	E9.8)
Для подсчета числа независимых компонент матрицы плотно-
плотности замечаем, что среди возможных наборов значений индексов
А, //,... (или индексов р, <т,...) имеется лишь 25 + 1 существенно
различных. Учитывая также, что компоненты спинора pXfJ""pa...
связаны одним соотношением E9.7), найдем, что число различ-
различных компонент равно B s + IJ — 1 = As(s + 1). Хотя эти ком-
компоненты являются комплексными величинами, но в силу соот-
соотношений E9.8) это обстоятельство не увеличивает общего числа
независимых величин, характеризующих состояние частичной
поляризации частицы и равного, таким образом, 4s(s + II).
Для сравнения укажем, что состояние полной поляризации ча-
частицы описывается всего 4s величинами Bs + 1 комплексных
компонент волновой функции ф^ш", связанных одним условием
нормировки и содержащих одну несущественную для описания
состояния общую фазу).
Как и всякий спинор ранга 4s, спинор р ^""р(Тшшш эквивалентен
совокупности неприводимых тензоров рангов 4s, 4s — 2,..., 0. В
данном случае имеется всего по одному тензору каждого из этих
рангов, поскольку в силу свойств симметрии спинора рХ^'"р<7 ка-
каждое его упрощение может происходить лишь одним способом —
по одному (любому) из индексов А, //,... и одному из р, сг,...
Кроме того, скаляр (тензор ранга 0) вообще отсутствует, сводясь
в силу условия E9.7) к единице.
§ 60. Обращение времени и теорема Крамерса
Симметрия движения по отношению к изменению знака вре-
времени в квантовой механике выражается в том, что если ф есть
волновая функция некоторого стационарного состояния систе-
системы, то и «обращенная по времени» волновая функция (обозна-
(обозначим ее через ф°^р) описывает некоторое возможное состояние с
той же энергией. В конце § 18 было указано, что фобр совпадает
с комплексно сопряженной функцией ф*. В таком простом ви-
1) Задание этих величин эквивалентно заданию средних значений компо-
компонент вектора s и всех их степеней и произведений по 2, 3,..., 2s, которые не
сводятся к еще более низким степеням (см. задачу 3 § 55).

278
СПИН	ГЛ. VIII
де это утверждение относится к волновым функциям без учета
спина частиц. При наличии спина оно требует уточнения.
Представим волновую функцию частицы со спином s в ви-
виде контравариантного спинора фх^-~ (ранга 2s). При переходе
к комплексно сопряженным функциям ф^'"* мы получим, од-
однако, совокупность величин, преобразующихся как компоненты
ковариантного спинора. Поэтому операции обращения времени
соответствует переход от волновой функции фх^- к новой волно-
волновой функции, ковариантные компоненты которой определяются
согласно
iC. = ^"""*-	F0Л)
При заданной совокупности значений индексов Л, //,... ком-
компоненты ко- и контравариантных спиноров соответствуют отли-
отличающимся по знаку значениям проекции момента. Поэтому в
терминах функций ф8G обращению времени соответствует пере-
переход от ф8а к ^5,-0-, как и должно было быть, поскольку изменение
знака времени меняет направление момента. Точное соответствие
устанавливается согласно F0.1):
<^ = ^(-1)в"'-	F0.2)
Другими словами, замена ф8G —»> ф*а^ требуемая операцией обра-
обращения времени, означает замену1)
Vw ->• фа,-А-1)'~а-	F0-3)
При двукратном повторении этой операции имеем
Таким образом, двукратное обращение времени возвращает вол-
волновую функцию к исходному значению лишь при целом спине,
а при полуцелом спине оно меняет знак волновой функции.
Рассмотрим произвольную систему взаимодействующих ча-
частиц. Орбитальный и спиновый моменты такой системы, каждый
в отдельности, при учете релятивистских взаимодействий, вооб-
вообще говоря, не сохраняются. Сохраняется лишь полный момент J.
Если никакого внешнего поля нет, то каждый уровень энергии
системы Bj + 1) кратно вырожден. При включении внешнего
поля это вырождение, вообще говоря, снимается. Возникает во-
вопрос о том, может ли вырождение быть снятым полностью, т. е.
так, чтобы система имела только простые уровни. Этот вопрос
тесно связан с симметрией по отношению к обращению времени.
г) Обратим внимание на соответствие правила комплексного сопряжения
сферической функции, согласно B8.9), с общим правилом F0.3).

§ 60	ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ТЕОРЕМА КРАМЕРСА	279
В классической электродинамике имеет место инвариант-
инвариантность уравнений по отношению к изменению знака времени,
если при этом оставить неизменным электрическое поле и из-
изменить знак магнитного поляг). Это фундаментальное свойство
движения должно сохраняться и в квантовой механике. Поэтому
симметрия по отношению к обращению времени имеет место не
только для замкнутой системы, но и во всяком внешнем элек-
электрическом поле (при отсутствии магнитного поля).
Волновые функции системы представляют собой спиноры
ф'", ранг п которых равен удвоенной сумме спинов всех частиц
(п = 2^sa); эта сумма может не совпадать с полным спином
S системы. Согласно сказанному выше мы можем утверждать,
что в произвольном электрическом поле волновая функция и об-
обращенная к ней по времени функция должны соответствовать
состояниям с одинаковой энергией. Для того чтобы уровень был
невырожденным, во всяком случае необходимо, чтобы эти со-
состояния были тождественными, т. е. соответствующие волновые
функции должны совпадать с точностью до постоянного мно-
множителя. При этом, конечно, обе должны быть выражены в виде
одинаковых (ко- или контравариантных) спиноров.
Напишем ф^ р = Сф\^ттт, или, согласно F0.1),
ф^~* = CVv..,	F0.4)
где С — постоянная. Взяв комплексно сопряженное от обеих час-
частей этого равенства, получим
Опустим индексы в левой части равенства, соответственно под-
подняв их в правой. Это значит, что мы умножаем обе части равен-
равенства на g(x\8Cti... и суммируем по индексам А, //,...; при этом в
правой части надо воспользоваться тем, что
В результате получим
Подставив фх^"~* из F0.4), найдем
) См. II, § 17; см. также замечание в конце § 111.

280
СПИН	ГЛ. VIII
Это равенство должно выполняться тождественно, т. е. должно
быть ( — 1)ПСС* = 1. Но поскольку \С\2 во всяком случае положи-
положительно, то ясно, что это возможно лишь при четном п (т. е. при
целочисленном значении суммы ^2sa). При нечетном п (при по-
полуцелом значении J^ sa)г) условие F0.4) не может выполняться.
Таким образом, мы приходим к результату, что электриче-
электрическое поле может полностью снять вырождение только у системы
с целочисленным значением суммы спинов частиц. У системы с
полуцелой суммой спинов в произвольном электрическом поле
все уровни должны быть двукратно вырождены, причем двум
различным состояниям с одинаковой энергией соответствуют
комплексно сопряженные спиноры2) (Н. A. Kramers, 1930).
Сделаем еще одно замечание математического характера.
Соотношение вида F0.4) с вещественной постоянной С пред-
представляет собой, с математической точки зрения, условие того,
чтобы компонентам спинора можно было поставить в соответ-
соответствие набор каких-либо вещественных величин; такое условие
можно назвать условием «вещественности» спинора3). Невоз-
Невозможность выполнения соотношения F0.4) при нечетном п озна-
означает, что никакому спинору нечетного ранга не может быть
сопоставлена вещественная величина. Напротив, при четном п
условие F0.4) может выполняться, причем С может быть веще-
вещественной. В частности, симметричному спинору второго ранга
может быть приведен в соответствие вещественный вектор, если
выполняется условие F0.4) с С = 1:
(в чем легко убедиться с помощью формул E7.8), E7.9)). Вооб-
Вообще, условие F0.4) с С = 1 является условием «вещественности»
симметричного спинора любого четного ранга.
1)	При целой (полуцелой) сумме ^2 s« целыми (полуцелыми) являются так-
также и все возможные значения полного спина S системы.
2)	Если электрическое поле обладает высокой симметрией (кубической),
то может иметь место и четырехкратное вырождение (см. § 99 и задачу к
нему).
3)	Говорить о вещественности спинора в буквальном смысле вообще не име-
имеет смысла, поскольку комплексно сопряженные спиноры имеют различные
законы преобразования.

ГЛАВА IX
ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ
§ 61. Принцип неразличимости одинаковых частиц
В классической механике одинаковые частицы (скажем, элек-
электроны), несмотря на тождественность их физических свойств, не
теряют все же своей «индивидуальности»: можно представить
себе частицы, входящие в состав данной физической системы, в
некоторый момент времени «перенумерованными» и в дальней-
дальнейшем следить за движением каждой из них по своей траектории;
тогда в любой момент времени частицы можно будет иденти-
идентифицировать.
В квантовой же механике положение совершенно меняется.
Уже неоднократно указывалось, что в силу принципа неопре-
неопределенности понятие о траектории электрона полностью теряет
смысл. Если положение электрона точно известно в настоящий
момент времени, то уже в следующий момент его координаты
вообще не имеют никакого определенного значения. Поэтому,
локализовав электроны и перенумеровав их в некоторый момент
времени, мы этим ничего не добьемся для целей их инденти-
фикации в дальнейшие моменты времени; локализовав один из
электронов в другой момент времени в некоторой точке про-
пространства, мы не сможем указать, какой именно из электро-
электронов попал в эту точку. Таким образом, в квантовой механи-
механике принципиально не существует никакой возможности следить
в отдельности за каждой из одинаковых частиц и тем самым
различать их. Можно сказать, что в квантовой механике оди-
одинаковые частицы полностью теряют свою «и диви дуальность».
Одинаковость частиц по их физическим свойствам имеет здесь
весьма глубокий характер — она приводит к их полной нераз-
неразличимости.
Этот, как говорят, принцип неразличимости одинаковых ча-
частиц играет основную роль в квантовой теории систем, состо-
состоящих из одинаковых частиц. Начнем с рассмотрения системы,
состоящей всего из двух частиц. В силу их тождественности
состояния системы, получающиеся друг из друга просто пере-
перестановкой обеих частиц, должны быть физически полностью
эквивалентными. Это значит, что в результате такой переста-
перестановки волновая функция системы может измениться только на

282	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
несущественный фазовый множитель. Пусть ^(СъЙ)— волно-
волновая функция системы, причем ?i, ?2 условно обозначают сово-
совокупности трех координат и проекции спина каждой из частиц.
Тогда должно быть:
где а—некоторая вещественная постоянная. В результате по-
повторной перестановки мы вернемся к исходному состоянию, меж-
между тем как функция ф окажется умноженной на е2га. Отсюда
следует, что е2га = 1 или ега = ±1. Итак, ^(?i, ?2) = =МК?2? ?i).
Мы приходим к результату, что имеется всего две возможно-
возможности—волновая функция либо симметрична (т.е. совершенно не
меняется в результате перестановки частиц), либо антисиммет-
антисимметрична (т.е. при перестановке меняет знак). Очевидно, что вол-
волновые функции всех состояний одной и той же системы долж-
должны иметь одинаковую симметрию; в противном случае волно-
волновая функция состояния, представляющего собой суперпозицию
состояний различной симметрии, была бы ни симметрична, ни
антисимметрична.
Этот результат непосредственно обобщается на системы, со-
состоящие из произвольного числа одинаковых частиц. Действи-
Действительно, в силу одинаковости частиц ясно, что если какая-либо
их пара обладает свойством описываться, скажем, симметрич-
симметричными волновыми функциями, то и всякая другая пара таких
же частиц будет обладать тем же свойством. Поэтому волно-
волновая функция одинаковых частиц должна либо совершенно не
меняться при перестановке любой пары частиц (а потому и
при всякой вообще взаимной перестановке частиц), либо менять
знак при перестановке каждой пары. В первом случае говорят
о симметричной, а во втором случае — об антисимметричной
волновой функции. Свойство описываться либо симметричны-
симметричными, либо антисимметричными волновыми функциями зависит
от рода частиц. О частицах, описывающихся антисимметрич-
антисимметричными функциями, говорят, как о подчиняющихся статистике
Ферми-Дирака или о фермионах, а о частицах, описывающихся
симметричными функциями, — как подчиняющихся статисти-
статистике Бозе-Эйнштейна или о бозонах1).
1) Эта терминология связана с названием статистик, которыми описыва-
описывается идеальный газ, состоящий из частиц соответственно с антисимметрич-
антисимметричными или симметричными волновыми функциями. В действительности мы
имеем здесь дело не только с различными статистиками, но и по суще-
существу с различными механиками. Статистика Ферми была предложена Ферми
(Е. Fermi) для электронов в 1926 г., а ее связь с квантовой механикой была
выяснена Дираком A926). Статистика Бозе была предложена Возе (S. Bose)
для световых квантов и обобщена Эйнштейном A924).

§ 61	ПРИНЦИП НЕРАЗЛИЧИМОСТИ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ	283
Из законов релятивистской квантовой механики оказывается
возможным показать (см. IV, §25), что статистика, которой под-
подчиняются частицы, однозначно связана с их спином: частицы с
полу целым спином являются фермионами, а с целым спином —
бозонами.
Статистика сложных частиц определяется четностью числа
входящих в их состав элементарных фермионов. Действитель-
Действительно, перестановка двух одинаковых сложных частиц эквивалент-
эквивалентна одновременной перестановке нескольких пар одинаковых эле-
элементарных частиц. Перестановка бозонов не изменяет волновой
функции вообще, а перестановка фермионов меняет ее знак. По-
Поэтому сложные частицы, содержащие нечетное число элементар-
элементарных фермионов, подчиняются статистике Ферми, а содержащие
четное число их, — статистике Бозе. Этот результат находится,
конечно, в согласии с указанным выше общим правилом: слож-
сложная частица имеет целый или полуцелый спин в зависимости от
того, четно или нечетно число входящих в ее состав частиц с
полу целым спином.
Так, атомные ядра с нечетным атомным весом (т. е. состо-
состоящие из нечетного числа протонов и нейтронов) подчиняются
статистике Ферми, а с четным весом — статистике Бозе. Для ато-
атомов же, содержащих наряду с ядрами также и электроны, стати-
статистика определяется, очевидно, четностью или нечетностью сум-
суммы атомного веса и атомного номера.
Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц,
взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь.
Пусть V*i? V*2? • • • —волновые функции различных стационарных
состояний, в которых может находиться каждая из частиц в
отдельности. Состояние системы в целом можно определять пе-
перечислением номеров состояний, в которых находятся отдель-
отдельные частицы. Возникает вопрос о том, каким образом должна
быть составлена из функций V>i, V>2? • • • волновая функция ф всей
системы в целом.
Пусть pi,p2? • • • iPN — номера состояний, в которых находятся
отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинако-
одинаковые). Для системы бозонов волновая функция V*(?i? ?2? • • • -> ?/v)
выражается суммой произведений вида
<ЫЫ<Ы6) ---ФрАМ	F1.1)
со всеми возможными перестановками различных индексов
pi,P25---5 такая сумма обладает, очевидно, требуемым свойст-
свойством симметрии. Так, для системы из двух частиц, находящихся
в различных (pi 7^ Р2) состояниях:
6) = j= [Фп (W» F) + Фп {Шт F)]-	F1-2)

284	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
Множитель 1/\/2 введен для нормировки (все функции
^ъ^2?--- взаимно ортогональны и предполагаются нормиро-
нормированными). В общем же случае системы произвольного числа
частиц N нормированная волновая функция
где сумма берется по всем перестановкам различных из индек-
индексов pi,P2? • • • ,Pn, а числа Ni указывают, сколько из всех этих
индексов имеют одинаковые значения г (при этом ^Ni = N).
При интегрировании квадрата \ф2\ по d^id^2 • • • c^/v1) обраща-
обращаются в нуль все члены, за исключением только квадратов моду-
модулей каждого из членов суммы; поскольку общее число членов в
сумме F1.3) равно, очевидно, N\/(Ni\N2\...), то отсюда и полу-
получается нормировочный коэффициент в F1.3).
Для системы фермионов волновая функция ф есть антисим-
антисимметричная комбинация произведений F1.1). Так, для системы
из двух частиц имеем
В общем же случае N частиц волновая функция системы запи-
записывается в виде определителя
F1.5)
1
y/N\
ih (Рл \ i
ФрЛЬ) •••
ФрЛЬ) ¦¦¦
l>PN(b) ¦¦¦
ФР1
фт
Fv)
Перестановке двух частиц соответствует здесь перестановка
двух столбцов определителя, в результате чего последний ме-
меняет знак.
Из выражения F1.5) следует важный результат: если среди
номеров pi,p2?--- есть два одинаковых, то две строки опреде-
определителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратится
тождественно в нуль. Он будет отличным от нуля только в тех
случаях, когда все номера pi,P2? • • • различны. Таким образом,
в системе одинаковых фермионов не могут одновременно нахо-
находиться в одном и том же состоянии две (или более) частицы.
Это —так называемый принцип Паули (W. РаиХц 1925).
1) Под интегрированием по d? условно подразумевается (здесь и в § 64, 65)
интегрирование по координатам вместе с суммированием по а.

§ 62	ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ	285
§ 62. Обменное взаимодействие
Тот факт, что в уравнении Шредингера не учитывается на-
наличие у частиц спина, отнюдь не обесценивает это уравнение
и все получающиеся с его помощью результаты. Дело в том,
что электрическое взаимодействие частиц не зависит от их спи-
спинов х).
Математически это означает, что гамильтониан системы
электрически взаимодействующих частиц (в отсутствие маг-
магнитного поля) не содержит операторов спина и потому при
применении его к волновой функции никак не воздействует
на спиновые переменные. Поэтому уравнению Шредингера удо-
удовлетворяет в действительности каждая из компонент волновой
функции; другими словами, волновая функция системы частиц
может быть написана в виде произведения
Ф(€ъ&) = х(°Ъ ^2,... Мгь г2,...),
где функция (р зависит только от координат частиц, а функ-
функция х~только от их спинов; о первой будем говорить как о
координатной или орбитальной, а о второй — как о спиновой
волновой функции.
Уравнение Шредингера определяет по существу только ко-
координатную функцию (р, оставляя функцию \ произвольной. Во
всех случаях, когда сам спин частиц нас не интересует, можно,
следовательно, применять уравнение Шредингера, рассматривая
в качестве волновой функции одну только координатную функ-
функцию, что и делалось в предыдущих главах.
Однако оказывается, что, несмотря на указанную незави-
независимость электрического взаимодействия частиц от их спина,
существует своеобразная зависимость энергии системы от ее
полного спина, проистекающая в конечном итоге из принципа
неразличимости одинаковых частиц.
Рассмотрим систему, состоящую всего из двух одинаковых
частиц. В результате решения уравнения Шредингера мы най-
найдем ряд уровней энергии, каждому из которых соответствует
определенная симметричная или антисимметричная координат-
координатная волновая функция <р(гх,Г2).
Действительно, в силу одинаковости частиц гамильтониан (а
с ним и уравнение Шредингера) системы инвариантен по отно-
отношению к их перестановке. Если уровни энергии не вырождены,
то при перестановке координат гх и г2 функция у?(гх,Г2) может
г) Это справедливо лишь постольку, поскольку речь идет о нерелятивист-
нерелятивистском приближении. При учете релятивистских эффектов взаимодействие
заряженных частиц оказывается зависящим от спина.

286	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
измениться только на постоянный множитель; производя же пе-
перестановку еще раз, убедимся, что этот множитель может быть
равен только =Ы *).
Предположим сначала, что частицы имеют спин нуль. Спи-
Спиновый множитель для таких частиц вообще отсутствует, и вол-
волновая функция сводится к одной лишь координатной функции
<р(г1,Г2), которая должна быть симметричной (поскольку ча-
частицы со спином нуль подчиняются статистике Бозе). Таким
образом, не все из уровней энергии, получающихся при фор-
формальном решении уравнения Шредингера, могут в действитель-
действительности осуществляться; те из них, которым соответствуют ан-
антисимметричные функции <р, для рассматриваемой системы не-
невозможны.
Перестановка двух одинаковых частиц эквивалентна опера-
операции инверсии системы координат (начало которой выбрано по-
посередине прямой, соединяющей обе частицы). С другой стороны,
в результате инверсии волновая функция <р должна умножиться
на ( — 1)г, где / — орбитальный момент относительного движения
обеих частиц (см. §30). Сопоставляя эти соображения со сказан-
сказанным выше, мы приходим к выводу, что система из двух одина-
одинаковых частиц со спином нуль может обладать только четным
орбитальным моментом.
Далее, пусть система состоит из двух частиц со спином 1/2
(скажем, электронов). Тогда полная волновая функция систе-
системы (т.е. произведение функции (^(гх,Г2) и спиновой функции
х(<71,<72)) должна быть непременно антисимметричной по отно-
отношению к перестановке обеих частиц. Поэтому при симметричной
координатной функции спиновая функция должна быть анти-
антисимметричной, и наоборот. Будем писать спиновую функцию в
спинорном виде, т.е. в виде спинора второго ранга х ? каж-
каждый из индексов которого соответствует спину одного из элек-
электронов. Симметричной по спинам обеих частиц функции соот-
соответствует симметричный спинор (%A/X = х^А), а антисимметрич-
антисимметричной— антисимметричный спинор (х^ — ~Х^)- Но мы знаем,
что симметричный спинор второго ранга описывает систему с
равным единице полным спином, а антисимметричный спинор
сводится к скаляру, что соответствует равному нулю спину.
Таким образом, мы приходим к следующему результату. Те
уровни энергии, которым соответствуют симметричные реше-
решения <р(г1,Г2) уравнения Шредингера, могут фактически осуще-
1) При наличии же вырождения можно всегда выбрать такие линейные
комбинации функций, относящихся к данному уровню, которые тоже удо-
удовлетворяют этому условию.

] 62	ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ	287
да спины обоих электронов «антипараллельны», давая в сумме
нуль. Значения же энергии, связанные с антисимметричными
функциями (^(гх,Г2), требуют равного единице полного спина,
т. е. спины обоих электронов должны быть «параллельными».
Другими словами, возможные значения энергии системы
электронов оказываются зависящими от ее полного спина. На
этом основании можно говорить о некотором своеобразном вза-
взаимодействии частиц, приводящем к этой зависимости. Это взаи-
взаимодействие называют обменным. Оно представляет собой чисто
квантовый эффект, полностью исчезающий (как и самый спин)
при предельном переходе к классической механике.
Для разобранного нами случая системы двух электронов
характерно следующее обстоятельство. Каждому уровню энер-
энергии соответствует одно определенное значение полного спина: О
или 1. Такое однозначное соответствие значений спина уровням
энергии сохраняется, как мы увидим ниже (§63), и в системах
из произвольного числа электронов. Оно, однако, не имеет места
для систем, состоящих из частиц со спином, превышающим 1/2.
Рассмотрим систему из двух частиц с произвольным спи-
спином s. Ее спиновая волновая функция есть спинор ранга 4s:
половина Bs) индексов которого соответствует спину одной, а
другая половина— спину другой частицы. По индексам каж-
каждой из этих групп индексов спинор симметричен. Перестановке
обеих частиц соответствует перестановка всех индексов А, //,...
первой группы с индексами /э, <т,... второй группы. Для того
чтобы получить спиновую функцию состояния системы с пол-
полным спином 5, надо упростить этот спинор по 2s — S парам
индексов (каждая пара содержит один индекс из А, //,... и один
из р, сг,...) и симметризовать по остальным; в результате полу-
получится симметричный спинор ранга 25.
Но, как мы знаем, упрощение спинора по паре индексов озна-
означает составление комбинации, антисимметричной по этим ин-
индексам. Поэтому при перестановке частиц спиновая волновая
функция умножится на (—IJ5 .
С другой стороны, полная волновая функция системы двух
частиц при их перестановке должна умножаться на (—IJ5 (т.е.
на +1 при целом s и на — 1 при полуцелом). Отсюда следует, что
симметрия координатной волновой функции по отношению к пе-
перестановке частиц определяется множителем ( —1)^, зависящим
только от S.

288	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
Таким образом, мы приходим к результату, что координатная
волновая функция системы двух одинаковых частиц симметрич-
симметрична при четном и антисимметрична при нечетном полном спине.
Вспоминая сказанное выше о связи между перестановкой ча-
частиц и инверсией системы координат, заключаем также, что при
четном (нечетном) спине S система может обладать только чет-
четным (нечетным) орбитальным моментом.
Мы видим, что и здесь обнаруживается некоторая зависи-
зависимость между возможными значениями энергии системы и полным
спином, но эта зависимость не вполне однозначна. Уровни энер-
энергии, которым соответствуют симметричные (антисимметричные)
координатные волновые функции, могут осуществляться при
всех четных (нечетных) значениях S.
Подсчитаем, сколько имеется всего различных состояний си-
системы двух частиц с четными и нечетными значениями S. Вели-
Величина S пробегает 2s + 1 значений: 2s,2s — 1,...,0. Для каждого
данного S имеется 25 + 1 состояний, отличающихся значени-
значением ^-компоненты спина (всего Bs + IJ различных состояний).
Пусть s — целое. Тогда среди 2s + 1 значений S есть s + 1 четных
и s нечетных. Полное число состояний с четными S равно сумме
B5 + 1) = Bs + l)(s + l);
5=0,2,...,25
остальные sBs + 1) состояний обладают нечетными S. Подоб-
Подобным же образом найдем, что при полу целом s имеется sBs + 1)
состояний с четными и (s + l)Bs + l) с нечетными значениями S.
Задачи
1. Определить обменное расщепление уровней энергии системы двух
электронов; взаимодействие электронов рассматривается как возмущение.
Решение. Пусть частицы находятся (без учета их взаимодействия) в
состояниях с орбитальными волновыми функциями <?>i(ri) и (^2A*2). Состоя-
Состояниям системы с полным спином S = 0 и S = 1 отвечают соответственно
симметризованное и антисимметризованное произведения:
1
Средние значения оператора взаимодействия частиц С7(гг — ri) в этих со-
состояниях равны А ± J, где
А =
J
= №
(интеграл J называют обменным). Опуская не имеющую обменного харак-
характера аддитивную постоянную А, находим, таким образом, смещения уров-
уровней: А-Ео = J•> A?"i = — J (индекс указывает значение S). Эти величины

§ 62	ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ	289
можно представить как собственные значения спинового обменного опера-
оператора 1)	^
K6m = -A/2)JA + 4s1s2)	A)
(собственные значения произведения S1S2 — см. задачу 2 §55).
Если электроны относятся, например, к различным атомам, то обмен-
обменный интеграл экспоненциально убывает при увеличении расстояния R меж-
между атомами. Из структуры подынтегрального выражения ясно, что этот
интеграл определяется «перекрытием» волновых функций состояний (fi(ri)
и (^2A*2); учитывая асимптотический закон убывания волновых функций со-
состояний дискретного спектра (ср. B1.6)), найдем, что
J rsj exp( —(
где Ei, E2 — уровни энергии электрона в обоих атомах.
2. То же для системы трех электронов.
Решение. Учитывая формулу A) задачи 1, пишем оператор попар-
попарного обменного взаимодействия системы трех электронов в виде
Vo6m =Y1 J«b(V2 + 2sasb),	A)
где суммирование производится по парам частиц 12, 13 и 23. Матричные
элементы операторов $ГаБь между состояниями с различными значениями
пар чисел сга, аь определяются с помощью формул E5.6) и равны
A/2,1/2|В„вь|1/2,1/2) = 1/4, A/2, -1/2|в„вь|1/2, -1/2) = -1/4,
<1/2, -l/2|sesb| - 1/2,1/2) = 1/2.
Начинаем с определения энергии, отвечающей наибольшему возможно-
возможному значению проекции полного спина Ms = <ti + сг2 + сг3, т.е. значению
Ms = 3/2; тем самым мы определим энергию состояния с полным спи-
спином S = 3/2. Вычисляя соответствующий диагональный матричный элемент
оператора A), найдем
АЕ3/2 = — (Jl2 + Jl3 + Лз)-
Далее переходим к состояниям с Ms = 1/2. Это значение Ms может
осуществиться тремя способами, в зависимости от того, какое из чисел <7i,
0j сгз равно —1/2 (а два других 1/2). Поэтому мы получили бы для этих
состояний секулярное уравнение третьей степени. Однако вычисление может
быть сразу упрощено, если заметить, что один из корней этого уравнения
должен отвечать найденной уже энергии состояния с S = 3/2, и потому
секулярное уравнение должно делиться на Д.Е — А?"з/2 5 это обстоятельство
позволяет в данном случае обойтись без вычисления свободного члена в
кубическом уравнении ) .
Именно, вычисляя старшие члены уравнения, получим
(АЕK + (J12 + J13 + J23)(A?02+
+ [Jl2Jl3 + Jl2J23 + «/]
и разделив на АЕ + J12 + J13 + J23, найдем два уровня энергии, отвечающие
J13J23 - (J12 + J13 + ./!з)]ДЯ + • • • = О,
Этот оператор был введен Дираком.
) Такой прием в особенности п
систем с большим числом частиц.
)
2) Такой прием в особенности полезен при аналогичных вычислениях для
б

290	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
состояниям со спином S = 1/2:
AEi/2 = ±[«/12 + J13 + «^23 ~~ J12J13 — J12J23 — J13J23]
Таким образом, имеется всего три уровня энергии в соответствии с под-
подсчетом, произведенным в задаче 1 § 63.
3. В каких состояних ядро Be может распасться на две а-частицы?
Решение. Поскольку а-частица не обладает спином, система двух
а-частиц может обладать лишь четным орбитальным моментом (совпадаю-
(совпадающим с полным моментом), и ее состояния четны. Поэтому указанный распад
возможен лишь из четных состояний ядра 8Ве с четным полным моментом.
§ 63. Симметрия по отношению к перестановкам
Рассматривая систему, состоящую всего из двух частиц, мы
могли утверждать, что ее координатные волновые функции ста-
стационарных состояний ??(ri, Г2) должны быть либо симметричны,
либо антисимметричны. В общем же случае системы из произ-
произвольного числа частиц решения уравнения Шредингера (коор-
(координатные волновые функции) отнюдь не должны непременно
быть симметричными или антисимметричными по отношению
к перестановке любой пары частиц, как это имеет место для
полных волновых функций (включающих спиновой множитель).
Это связано с тем, что перестановка одних только координат
двух частиц еще не соответствует их физической перестановке.
Физическая одинаковость частиц приводит здесь лишь к тому,
что гамильтониан системы инвариантен по отношению к пере-
перестановке частиц, и потому если некоторая функция есть решение
уравнения Шредингера, то решениями являются и функции, по-
получающиеся из исходной посредством различных перестановок
переменных.
Предварительно сделаем несколько замечаний о перестанов-
перестановках вообще. В системе из N частиц возможны всего N\ раз-
различных перестановок. Если представить себе все частицы пе-
перенумерованными, то каждую перестановку можно изобразить
определенной последовательностью чисел 1, 2,3,... Каждая та-
такая последовательность может быть получена из натуральной
последовательности 1, 2, 3,... последовательными перестановка-
перестановками пар частиц. Перестановку называют четной или нечетной в
зависимости от того, осуществляется ли она четным или нечет-
нечетным числом парных перестановок. Обозначим через Р операто-
операторы перестановок N частиц и введем величину <$р, равную +1, ес-
если Р есть четная перестановка, и —1, если перестановка нечет-
нечетная. Если <р есть симметричная по всем частицам функция, то
Pip = ц>,

§ 63	СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ	291
а если функция антисимметрична по всем частицам, то
Pip = 8р(р.
Из произвольной функции <p(ri, Г2,..., rjv) можно образо-
образовать симметричную функцию посредством операции симметри-
симметризации, которую можно записать так:
^сим = const ^ ??•>	F3.1)
где суммирование производится по всем возможным переста-
перестановкам. Образование же антисимметричной функции (эту опе-
операцию иногда называют альтернированием) может быть запи-
записано в виде
^анти = COnst J2 SPP<P-	F3-2)
р
Возвратимся к вопросу о поведении волновых функций (р
системы одинаковых частиц по отношению к перестановкамх).
Тот факт, что гамильтониан системы Н симметричен по всем
частицам, означает, математически, что он коммутативен со
всеми операторами перестановок Р. Однако эти операторы не
коммутативны друг с другом и поэтому не могут быть приве-
приведены одновременно к диагональному виду. Это значит, что вол-
волновые функции if не могут быть выбраны так, чтобы каждая
из них была симметрична или антисимметрична по отношению
ко всем отдельным парным перестановкам2).
Поставим задачу об определении возможных типов симмет-
симметрии функций ??(ri, ri,..., гд/О от N переменных (или совокупно-
совокупностей нескольких таких функций) по отношению к перестановкам
переменных.
Симметрия должна быть такой, чтобы она не могла быть по-
повышена, т. е. чтобы всякая дополнительная операция симметри-
симметризации или альтернирования при применении к этим функциям
обращала бы их либо в линейные комбинации их же самих, либо
тождественно в нуль.
1)	С математической точки зрения задача состоит в нахождении неприво-
неприводимых представлений группы перестановок. Подробное изложение матема-
математической теории групп перестановок см. в книгах: Г. Вейль. Теория групп
и квантовая механика. —М.: Наука, 1985; М.Хамермеш. Теория групп и ее
применения к физическим проблемам. —М.: ИЛ, 1966; И. Г. Каплан. Сим-
Симметрия многоэлектронных систем. —М.: Наука, 1969.
2)	Лишь для системы из двух частиц имеется всего один оператор переста-
перестановки, который может быть приведен к диагональному виду одновременно
с гамильтонианом.

292	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
Мы знаем уже две операции, которые приводят к функциям
максимальной симметрии: симметризация по всем переменным и
альтернирование по всем переменным. Эти операции могут быть
обобщены следующим образом.
Разобьем совокупность всех N переменных ri, Г2,..., rjy
(или, что то же самое, индексов 1,2,3,...,iV) на несколько
рядов, содержащих iVx,iV2,... элементов (переменных): Ni +
+ N2 + ... = N. Такое разбиение можно изобразить наглядно
схемой (так называемая схема Юнга), в которой каждое из чи-
чисел iVx, -ZV2,... представлено строкой из нескольких клеток (так,
на рис. 21 представлена схема разбиений 6 + 4 + 4 + 3 + 3 + 1 + 1
и 7 + 5 + 5 + 3 + 1 + 1 для N"); в каждом из квадратов следует
поместить одно из чисел 1, 2, 3,... Если расположить строки в
порядке их укорочения (так это и сделано на рис. 21), то схема
будет содержать не только последовательные горизонтальные
строки, но и вертикальные столбцы.
Произведем симметризацию некоторой произвольной функ-
функции <??(гх, Г2,..., r^v) по переменным, входящим в состав каждой
из строк. После этого операция
альтернирования может произво-
производиться только по отношению к
переменным, входящим в различ-
различные строки; альтернирование по
паре переменных, находящихся в
одной строке, даст, очевидно, тож-
дественно нуль.
Выбрав из каждой строки по
одной переменной, мы можем, не ограничивая общности, счи-
считать их находящимися в первых клетках строк (после симмет-
симметризации порядок расположения переменных по клеткам каждой
строки несуществен); произведем альтернирование по этим пе-
переменным. Вычеркнув затем первый столбец, произведем аль-
альтернирование по переменным, выбранным по одному из каждой
строки укороченной таким образом схемы; теперь эти перемен-
переменные можно снова считать находящимися в первых клетках уко-
укороченных строк. Продолжая этот процесс, мы придем к функ-
функции, сначала симметризованной по переменным каждой стро-
строки, а затем альтернированной по переменным каждого столбца
(разумеется, после альтернирования функция, вообще говоря,
перестает быть симметричной по переменным каждой строки;
симметричность сохраняется лишь по отношению к перемен-
переменным, находящимся в клетках первой строки, выступающих за
остальные строки).
Распределяя N переменных различным образом по стро-
строкам схемы Юнга (распределение по клеткам каждой строки

§ 63	СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ	293
несущественно), мы получим таким способом ряд функций, кото-
которые при произвольной перестановке переменных преобразуются
друг через друга1). Необходимо, однако, подчеркнуть, что не все
эти функции линейно независимы; число независимых функций,
вообще говоря, меньше числа возможных распределений пере-
переменных по строкам схемы; мы не станем останавливаться здесь
на этом подробнее2).
Таким образом, каждая юнговская схема определяет неко-
некоторый тип симметрии функций по отношению к перестановкам.
Составляя все возможные (для данного N) юнговские схемы, мы
найдем все возможные типы симметрии. Это сводится к разби-
разбиению числа N всеми возможными способами на сумму несколь-
нескольких меньших слагаемых, причем в число возможных разбиений
включается также и само число N (так, для N = 4 возможны
разбиения: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1).
Каждому уровню энергии системы можно привести в со-
соответствие некоторую юнговскую схему, определяющую пере-
перестановочную симметрию соответствующих решений уравнения
Шредингера; при этом каждому значению энергии соответству-
соответствует, вообще говоря, несколько различных функций, при пере-
перестановках преобразующихся друг через друга. Наличие этого
«перестановочного вырождения» связано с у поминав шейся уже
некоммутативностью операторов Р, каждый из которых ком-
коммутативен с гамильтонианом (ср. §10, с. 48). Подчеркнем, од-
однако, что оно не означает наличия какого-либо дополнительно-
дополнительного физического вырождения уровней энергии. Все эти различ-
различные координатные волновые функции, умноженные на спино-
спиновые функции, входят в одну определенную комбинацию — пол-
полную волновую функцию, — удовлетворяющую (в зависимости от
спина частиц) условию симметричности или антисимметрично-
антисимметричности.
Среди различных типов симметрии всегда существует (при
данном N) два, которым соответствуют всего по одной функ-
функции. Одному из них отвечает функция, симметричная по всем
переменным, а другому—антисимметричная (в первом случае
1)	Можно было бы производить симметризацию и альтернирование в
обратном порядке— сначала альтернировать по переменным в каждом
столбце, а затем симметризовать по переменным в строках. Это, однако, не
дало бы ничего нового, так как получающиеся обоими способами функции
являются линейными комбинациями друг друга.
2)	Преобразующиеся друг через друга независимые функции составляют
базис неприводимого представления группы перестановок. Число этих функ-
функций есть размерность представления. Для случая частиц со спином 1/2 оно
определено в задаче 1 к этому параграфу.

294	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
юнговская схема состоит всего из одной строки из N клеток, а
во втором — из одного столбца).
Перейдем к спиновым волновым функциям x(<ti, a2^ • • • -> ^n)-
Их типы симметрии по отношению к перестановкам частиц
определяются теми же юнговскими схемами, причем роль пе-
переменных играют проекции спинов частиц. Возникает вопрос
о том, какая схема должна соответствовать спиновой функ-
функции при заданной схеме координатной функции. Предположим
сначала, что частицы обладают целым спином. Тогда полная
волновая функция ф должна быть симметрична по всем части-
частицам. Для этого симметрия спиновых и координатных функций
должна определяться одной и той же юнговской схемой, а полная
волновая функция ф выражается в виде определенных билиней-
билинейных комбинаций тех и других; мы не станем останавливаться
здесь на вопросе о составлении этой комбинации.
Пусть теперь частицы обладают полу целым спином. Тогда
полная волновая функция должна быть антисимметричной по
всем частицам. Можно показать, что для этого юнговские схе-
схемы координатной и спиновой функций должны быть дуальными:
получаться друг из друга заменой строк столбцами и обратно
(таковы, например, две схемы, изображенные на рис. 21).
Остановимся подробнее на важном случае частиц со спи-
спином 1/2 (например, электронов). Каждая из спиновых перемен-
переменных сг1,сг2,... пробегает здесь всего два значения ±1/2. По-
Поскольку функция, антисимметричная по каким-либо двум пере-
переменным, обращается в нуль, когда эти переменные имеют оди-
одинаковые значения, то ясно, что функция х может быть альтер-
альтернирована лишь по парам переменных; уже при альтернирова-
альтернировании по трем переменным две из них во всяком случае будут
иметь одинаковые значения, так что получится тождественно
нуль.
Таким образом, для системы электронов юнговские схемы
спиновых функций могут содержать столбцы длиной лишь в од-
одну или две клетки (т. е. всего одну или две строки); в юнговских
же схемах координатных функций то же самое относится к длине
строк. Число возможных типов перестановочной симметрии для
системы из N электронов равно, следовательно, числу возмож-
возможных разбиений числа N на сумму единиц и двоек. При четном N
это число равно N/2 + 1 (разбиения с 0,1,..., N/2 двоек), а при
нечетном оно равно (N + 1)/2 (разбиения с 0,1,..., (N — 1)/2
двоек). Так, на рис. 22 изображены возможные юнговские схемы
(координатные и спиновые) для N = 4.
Легко видеть, что каждый из этих типов симметрии (т. е.
каждая из юнговских схем) соответствует определенному пол-
полному спину S системы электронов. Будем рассматривать

§ 63	СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ	295
спиновые функции в спинорном виде, т. е. в виде спинора х^'"
N-ro ранга, причем его индексы (каждый из которых соот-
соответствует спину отдельной частицы) будут теми переменными,
которые располагаются в клетках
юнговских схем. Рассмотрим спино-
спиновую юнговскую схему, состоящую из
двух строк, имеющих по iVi и N2 кле-
клеток (iVi + N2 = N, iVi ^ N2). В
первых N столбцах имеется по две
клетки, и по соответствующим парам	5 = 2 5 = 1 5 = 0
индексов спинор должен быть анти-
симметричен. По индексам же, нахо-	ис>
дящимся в последних п = Ni — N2
клетках первой строки, спинор должен быть симметричен. Но,
как мы знаем, такой спинор iV-ro ранга сводится к симмет-
симметричному спинору n-го ранга, которому соответствует полный
спин, равный S = п/2. Возвращаясь к юнговским схемам ко-
координатных функций, мы можем сказать, что схема с п стро-
строками, содержащими по одной клетке, соответствует состоянию
с полным спином S = п/2. При четном N полный спин
может иметь целые значения от 0 до iV/2, а при нечетном
N — полу целые значения от 1/2 до iV/2, как и должно было
быть.
Подчеркнем, что такое однозначное соответствие юнговских
схем полному спину имеет место только для систем частиц со
спином 1/2; для системы всего из двух частиц мы убедились
в этом уже в предыдущем параграфе. Для системы N частиц
со спином s спиновая волновая функция строится из произве-
произведения N симметричных спиноров ранга 2s, т. е. является спи-
спинором ранга 2Ns. Если этот спинор симметризовать в соответ-
соответствии с определенной схемой Юнга из N клеток, то из неза-
независимых компонент такого симметризованного спинора можно
образовать обычно несколько наборов линейных комбинаций,
отвечающих каждый различным значениям полного спина си-
системы S.
Подобно тому как для частиц со спином 1/2 схема Юнга спи-
спиновых функций не может содержать столбцы с более чем дву-
двумя клетками, так для частиц с произвольным спином s длина
столбцов не должна превышать 2s + 1 клеток.
Если число частиц в системе N есть целое кратное от 2s + 1,
то среди возможных юнговских схем есть прямоугольная схе-
схема, все столбцы которой содержат по 2s + 1 клеток. Такой схе-
схеме отвечает одно определенное значение полного спина: S = 0.
Отсюда следует, что всяким вообще двум (спиновым) юнгов-
юнговским схемам, которые можно сложить вместе в прямоугольник

296	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
высотой 2^ + 1, отвечают одинаковые значения S1). Этот вывод
есть просто следствие того факта, что при сложении двух мо-
моментов суммарный момент может оказаться равным нулю, лишь
если складываемые моменты одинаковы по величине.
В заключение этого параграфа вернемся к отмеченному уже
ранее (см. примеч. на с. 86) обстоятельству, что для систем из
нескольких одинаковых частиц нельзя утверждать, что волно-
волновая функция ее стационарного состояния с наименьшей энерги-
энергией не имеет узлов. Теперь мы можем уточнить это замечание и
выяснить его происхождение.
Волновая функция (речь идет о координатной функции), не
имеющая узлов, непременно должна быть симметрична по всем
частицам; если бы она была антисимметрична по отношению к
перестановке какой-либо пары частиц 1, 2, то она обратилась бы
в нуль при гх = Г2. Но если система состоит из трех или более
электронов, то полностью симметричная координатная волновая
функция вообще не допускается (юнговская схема координатной
функции не может иметь строки с более чем двумя клетками).
Таким образом, хотя решение уравнения Шредингера, соответ-
соответствующее наименьшему собственному значению, и не имеет уз-
узлов (согласно теореме вариационного исчисления), однако это
решение может оказаться физически недопустимым; тогда нор-
нормальному состоянию системы будет соответствовать не наимень-
наименьшее из собственных значений уравнения Шредингера, и волновая
функция этого состояния будет, вообще говоря, иметь узлы. Во-
Вообще, для частиц с полуцелым спином s такое положение имеет
место в системах с более чем 25 + 1 частицами. Для систем же,
состоящих из бозонов, полностью симметричная координатная
волновая функция всегда возможна.
Задачи
1. Определить число уровней энергии с различными значениями полно-
полного спина S для системы из N частиц со спином 1/2 (F. Block, 1929).
Решение. Заданное значение проекции полного спина системы
Ms = ^2 сг молено осуществить
ДГ!
f(Ms) =
г) Таковы, например, следующие пары схем (при s = 1):
Дополнительные друг к другу схемы изображены сплошными и штриховы-
штриховыми линиями.

5 63
СИММЕТРИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ К ПЕРЕСТАНОВКАМ
297
способами {N/2 + Ms частицам приписываем а = 1/2, а остальным а =
= —1/2). Каждому уровню энергии с заданным значением S соответствует
2S + 1 состояний со значениями Ms = S, S — 1,..., —S. Поэтому легко
сообразить, что число различных уровней с заданным значением S равно
«И = Я5) -
— -.<?!
Полное число n =
при четном iV, или
различных уровней энергии равно
= /@) =
(:2
N1
п = f -
(N + l
V 2
при нечетном N.
2. Найти значения полного спина S, осуществляющиеся при различных
типах симметрии спиновых функций системы из двух, трех или четырех
частиц со спинами 1.
Решение. Для двух частиц соответствие устанавливается тем, что
множитель, на который умножается спиновая функция при перестановке
частиц, должен быть равен ( —lJs~5 (см. конец § 62). Для частиц со спином
s = l отсюда получается соответствие:
5 = 0,2 П
5 = 1
Схемы Юнга для системы из трех частиц получаются добавлением к
схемам A) одной клетки всеми возможными способами. Это можно записать
в виде символических равенств:
б
0,1,2
Под схемами указаны значения S, причем значения полного спина систе-
системы трех частиц (схемы справа) получаются из спинов систем двух и од-
одной частиц (схемы слева) по правилу сложения моментов1) . Распределение
1) Повторение дважды цифры 1 под схемами справа связано с возникно-
возникновением этого значения момента один раз от сложения моментов 0 и 1, а
другой — от сложения моментов 2 и 1.

298
ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ
ГЛ. IX
получающихся значений 5 между отдельными схемами справа можно уста-
установить, заметив, что схеме в (столбик из трех клеток) отвечает 5 = 0; по-
поэтому схеме б отвечают оставшиеся (во втором равенстве) значения 1 и 2, а
схеме а — оставшиеся после б (в первом равенстве) значения 1 и 3:
5 = 1,3
•I
5 = 1,2
5 = 0
Схемы Юнга для системы из четырех частиц получаются прибавлением од-
одной клетки к схемам B) (с соблюдением условия, чтобы столбцы не содер-
содержали более трех клеток):
1,3
1,2
? =
Y
0,1,2,2,3,4,
Y
0,1,1,2,2,3
0
Схема в складывается со схемой 1а в прямоугольник со столбцами из трех
клеток; поэтому ей отвечают те же значения 5 = 0, 2, что и для 1а. Значе-
Значения 5 для схемы б определяются по остатку во втором равенстве, а затем
для схемы а— по остатку в первом равенстве; значение спина для схемы г
однозначно определяется третьим равенством:
5 = 0,2,4
5 = 0,2
5 = 1
§ 64. Вторичное квантование. Случай статистики Бозе
В теории систем, состоящих из большого числа одинако-
одинаковых частиц, широко применяется особый метод рассмотрения,
известный под названием вторичного квантования. Этот ме-
метод в особенности необходим в релятивистской теории, где

\ 64	ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ БОЗЕ	299
приходится иметь дело с системами, в которых самое число ча-
частиц является переменнымх).
Пусть V*i(Oj V*2@? ••• —некоторая полная система ортого-
ортогональных и нормированных волновых функций стационарных
состояний одной частицы2). Это могут быть состояния частицы
в некотором произвольно выбранном внешнем поле, но обычно
выбираются просто плоские волны — волновые функции свобод-
свободной частицы с определенными значениями импульса (и проекции
спина). При этом с целью сведения спектра состояний к дис-
дискретному рассматривают движение частиц в большой, но огра-
ограниченной области пространства; для движения в ограниченном
объеме собственные значения компонент импульса пробегают
дискретный ряд (причем интервалы между соседними значени-
значениями обратно пропорциональны линейным размерам области и
стремятся к нулю при их увеличении).
В системе свободных частиц импульсы частиц сохраняют-
сохраняются по отдельности. Тем самым сохраняются и числа заполнения
состояний — числа iVi, ЛГ2,..., указывающие, сколько частиц на-
находится в каждом из состояний ф\, ip21 - - • В системе взаимодей-
взаимодействующих частиц импульсы каждой из них уже не сохраняются,
а потому не сохраняются и числа заполнения. Для такой систе-
системы можно говорить лишь о распределении вероятностей различ-
различных значений чисел заполнения. Поставим себе целью построить
математический аппарат, в котором именно числа заполнения
(а не координаты и проекции спинов частиц) играли бы роль
независимых переменных.
В таком аппарате удобно пользоваться обозначениями Дира-
Дирака (см. конец § 11), выбирая iVi, ЛГ2,... в качестве определяющих
состояние квантовых чисел. Состояния, отвечающие волновым
функциям F1.3) и F1.5), будут обозначаться через |iVi, ЛГ2,...).
При этом координатные и спиновые переменные уже не фигури-
фигурируют в явном виде.
Соответственно такому выбору независимых переменных, так
же и операторы различных физических величин (в том числе
гамильтониан системы) должны формулироваться в терминах
их воздействия на функции чисел заполнения. К такой фор-
формулировке можно прийти, отправляясь от обычного матрич-
матричного представления операторов. При этом надо рассмотреть
г) Метод вторичного квантования был развит Дираком для фотонов в при-
применении к теории излучения A927 г.) и затем распространен на фермионы
Вигнером и Иорданом (Е. Wigner, P. Jordan, 1928).
2) Как и в § 61, ? обозначает совокупность координат и проекции спина а
частицы, а под интегрированием по d? будет подразумеваться интегрирова-
интегрирование по координатам вместе с суммированием по а.

300	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
матричные элементы операторов по отношению к волновым
функциям стационарных состояний системы невзаимодействую-
невзаимодействующих частиц. Поскольку эти состояния можно описывать зада-
заданием определенных значений чисел заполнения, то тем самым
выяснится характер воздействия операторов на эти перемен-
переменные.
Рассмотрим сначала системы частиц, подчиняющихся ста-
статистике Бозе.
Пусть fa есть оператор какой-либо величины, относящейся
к одной (а-й) частице, т.е. действующий только на функции пе-
переменных ?а. Введем симметричный по всем частицам оператор
F4.1)
(суммирование по всем частицам) и определим его матричные
элементы по отношению к волновым функциям F1.3). Пре-
Прежде всего легко сообразить, что матричные элементы будут
отличны от нуля только для переходов без изменения чисел
iVi,iV2,... (диагональные элементы) и для переходов, при ко-
которых одно из этих чисел увеличивается, а другое уменьша-
уменьшается на единицу. Действительно, поскольку каждый из опера-
операторов fa действует только на одну функцию в произведении
Фрг(^1)^2(^2) ••• Vw(?w)j то его матричные элементы
могут быть отличны от нуля только для переходов с изменени-
изменением состояния одной частицы; но это означает, что число частиц,
находящихся в одном состоянии, уменьшается, а в другом —уве-
—увеличивается на единицу. Вычисление этих матричных элементов
по существу очень просто; его легче произвести самому, чем
проследить за его изложением. Поэтому мы приведем только
результат вычисления. Недиагональные элементы равны
/ /V- 7V, _ 1 I ТуЧ1) I Ы- — 1 7V, \ — f№ л /N- N1	(fid 9)
Мы указываем только те индексы, по которым матричный эле-
элемент не диагоналей, опуская для краткости остальные. Здесь
цк — матричный элемент
/»
f\k' = / V^@./ V'fcCO <i?;	F4.3)
поскольку операторы fa отличаются только обозначением пе-
переменных, на которые они действуют, то интегралы F4.3) от ин-
индекса а не зависят и этот индекс опущен. Диагональные мат-
матричные элементы от F^ представляют собой средние значения

64	ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ БОЗЕ	301
величины F^1) в состояниях Ф^л^...- Вычисление дает
iPNi-	F4-4)
Введем теперь основные в методе вторичного квантования
операторы а^, действующие уже не на функции координат, а на
функции чисел заполнения. По определению, оператор а^, дей-
действуя на состояние |iVi, JV2,...), уменьшает на единицу значение
переменной iV^, одновременно умножая функцию на
ai\Nu N2,...,Ni,...) = y/Ni\NuN2,...,Ni-l,...). F4.5)
Можно сказать, что оператор щ уменьшает на единицу число ча-
частиц, находящихся в г-м состоянии; его называют поэтому опе-
оператором уничтожения частиц. Его можно представить в виде
матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть
{Ni - l\<H\Ni) = y/N~i.	F4.6)
Сопряженный с а^ оператор а^~ изображается, по определе-
определению (см. A1.9)), матрицей с единственным элементом
(Ni\a+\Ni - 1) = (Ni - 1\щ\Щ* = уЩ.	F4.7)
Это значит, что при воздействии на функцию |iVi, ЛГ2,...) он
увеличивает число Ni на 1:
Другими словами, оператор а^~ увеличивает на 1 число частиц в
г-м состоянии; его называют оператором рождения частиц.
Произведение операторов a^i при воздействии на волновую
функцию может лишь умножить ее на постоянную, оставляя все
переменные iVi, JV2,... неизменными: оператор а^ уменьшает пе-
переменную N{ на 1, после чего а^~ возвращает ее к исходному зна-
значению. Непосредственное перемножение матриц F4.6) и F4.7)
действительно показывает, что а^~щ изображается диагональной
матрицей с диагональными элементами, равными JV^:
а+щ = Ni.	F4.9)
Аналогичным образом найдем
= Ni + l.	F4.10)
х) Введено естественное обозначение а\п) для результата воздействия опе-
оператора а на волновую функцию состояния \п).

302	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
Разность этих выражений дает правило коммутации между
операторами щ и а^~:
Ziaj -ajai = l.	F4.11)
Операторы же с различными индексами г и fc, действующие на
различные переменные (Ni и iV^), коммутативны:
щак — CLkCLi = 0, d,ia~^ — a^cti = 0, г фк.	F4.12)
Исходя из описанных свойств операторов а^, а^~, легко видеть,
что оператор
г,/с
совпадает с оператором F4.1). Действительно, все матричные
элементы, вычисленные с помощью F4.6), F4.7), совпадают с
элементами F4.2) и F4.4). Этот результат очень важен. В фор-
формуле F4.13) величины f\k просто числа. Таким образом, нам
удалось выразить обычный оператор, действующий на функции
координат, в виде оператора, действующего на функции новых
переменных — чисел заполнения JV^.
Полученный результат легко обобщается и на операторы дру-
другого вида. Пусть
?B) ЕЙ?>	F4-14)
а>Ъ
где f^bJ — оператор физической величины, относящейся сразу к
паре частиц и поэтому действующей на функции от ?а и ?&. Ана-
Аналогичные вычисления покажут, что такой оператор может быть
выражен через операторы а^, а^~ посредством
= \ Y1 Щ1{2)\1гп)а1а1ашаи	F4.15)
Обобщение этих формул на симметричные по всем частицам опе-
операторы любого другого вида (F^ = Yl f\bc и Т>Д-) очевидно.
С помощью этих формул можно выразить через операто-
операторы а^, а^ также и гамильтониан исследуемой физической систе-
системы из N взаимодействующих одинаковых частиц. Гамильтони-
Гамильтониан такой системы, разумеется, симметричен по всем частицам.
В нерелятивистском приближении1) он не зависит от спинов
) В отсутствие магнитного поля.

§ 64	ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ БОЗЕ	303
частиц и может быть представлен в общем виде следующим об-
образом:
,rb,rc) + ... F4.16)
a	a>b	a>b>c
Здесь На есть часть гамильтониана, зависящая от координат
только одной (а-й) частицы:
^	.	F4.17)
где U^(ra) — потенциальная энергия одной частицы во внеш-
внешнем поле. Остальные члены в F4.16) отвечают энергии взаимо-
взаимодействия частиц друг с другом, причем отделены друг от друга
члены, зависящие соответственно от координат двух, трех и т. д.
частиц.
Представление гамильтониана в такой форме позволяет непо-
непосредственно применить формулы F4.13), F4.15) и аналогичные
им. Таким образом,
.. F4.18)
i, к	i,k,l,m
Этим осуществляется искомое выражение гамильтониана в виде
оператора, действующего на функции от чисел заполнения.
Для системы невзаимодействующих частиц в выражении
F4.18) остается только первый член:
.	F4.19)
г,/с
Если в качестве функций ф{ выбраны собственные функции га-
гамильтониана Н^1) отдельной частицы, то матрица Н^к диа-
гональна и ее диагональные элементы — собственные значения
энергии частицы Е{. Таким образом,
Н =
заменяя оператор а^~щ его собственными значениями F4.9), по-
получим для уровней энергии системы выражение
— тривиальный результат, который и должен был получиться.

304	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
Развитый здесь аппарат можно представить в более ком-
компактном виде, введя так называемые ф-операторы1)
#	^	*№+,	F4.20)
где переменные ? рассматриваются как параметры. В силу ска-
сказанного выше об операторах а^, а^~ ясно, что оператор ф умень-
уменьшает, а ф+ увеличивает полное число частиц в системе на еди-
единицу.
Легко видеть, что оператор ^+(?о) создает частицу, находя-
находящуюся в точке ?о- Действительно, в результате действия операто-
оператора а^~ создается частица в состоянии с волновой функцией ф{ (?).
Отсюда следует, что в результате воздействия оператора фг(?о)
создается частица в состоянии с волновой функцией
= <*(?-Со)
(использована формула E.12), что и соответствует частице с
определенными значениями координат и спина2)).
Правила коммутации -^-операторов получаются непосред-
непосредственно из правил коммутации операторов а^, а^:
о,	F4.21)
е) = «не - о- F4.22)
Вторично-квантованный оператор F^ напипгется с помощью
-0-операторов в виде
I $рЩ	F4.23)
(здесь подразумевается, что оператор jn1' действует в
на функции параметров ?). Действительно, подставив сюда ф
и ф+ в виде F4.20) и используя определение F4.3), вернемся
) Обратим внимание на аналогию между выражением F4.20) и разло-
разложением ф = ^агфг произвольной волновой функции по некоторой полной
системе функций. Здесь оно как бы снова квантуется, откуда и происходит
название всего метода — вторичное квантование.
2) <К? ~~ ?о) обозначает условно произведение
8(х - хоM(у - yo)S(z -

§ 65	ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ ФЕРМИ	305
к формуле F4.13). Аналогичным образом вместо F4.15) будем
иметь
\ jj ^№Ф+(ОРЩ'Ш) didi1	F4.24)
\
В частности, гамильтониан системы, выраженный через
^-операторы, напишется в виде
н = 1{-^
\ ff
F4.25)
Оператор ф @^@? построенный из ^-операторов подобно
произведению ф*ф, определяющему плотность вероятности для
частицы в состоянии с волновой функцией ф, называют опера-
оператором плотности частиц. Интеграл же
N = ф+фй^	F4.26)
играет в аппарате вторичного квантования роль оператора пол-
полного числа частиц в системе. Действительно, подставив в него
^-операторы в виде F4.20) и приняв во внимание нормирован-
ность и взаимную ортогональность волновых функций, получим
N = ^2^1^' Каждый член этой суммы есть оператор числа ча-
частиц в г-м состоянии — согласно F4.9) его собственные значения
равны числам заполнения iV^; сумма же всех этих чисел есть
полное число частиц в системе1).
Наконец, отметим, что если система состоит из бозонов раз-
различного рода, то в методе вторичного квантования должны быть
введены свои операторы а, а+ для каждого рода частиц. При
этом, очевидно, операторы, относящиеся к различным родам
частиц, коммутативны друг с другом.
§ 65. Вторичное квантование.
Случай статистики Ферми
Вся принципиальная сторона метода вторичного квантова-
квантования остается без изменений для систем, состоящих из одинако-
одинаковых фермионов. Конкретные же формулы для матричных эле-
элементов величин и для операторов а^, конечно, меняются.
х) Для систем с заданным числом частиц эти утверждения (как и свойства
гамильтониана системы свободных частиц F4.19)) представляются триви-
тривиальными. Их обобщение в релятивистской теории приводит, однако, к но-
новым, отнюдь не тривиальным результатам (ср. IV, § 11).

306	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
Волновая функция ^n1n2... имеет теперь вид F1.5). В связи
с антисимметричностью этой функции прежде всего возникает
вопрос о выборе ее знака. В случае статистики Бозе этого во-
вопроса не было, так как, ввиду симметричности волновой функ-
функции, раз выбранный ее знак сохранялся при всех перестановках
частиц.
Для того чтобы сделать знак функции F1.5) определенным,
условимся устанавливать его следующим образом. Перенумеруем
раз и навсегда все состояния ф{ последовательными номерами.
После этого будем заполнять строки определителя F1.5) всегда
таким образом, чтобы было
Pi <Р2 <Рз < ... <PN,	F5.1)
причем в столбцах стоят функции различных переменных в по-
последовательности ?i, ?2? • • • ? ?zv- Среди чисел pi,P2? • • • не может
быть равных, так как в противном случае определитель обра-
обратится в нуль. Другими словами, числа заполнения Ni могут
иметь только значения 0 или 1.
Рассмотрим снова оператор вида F4.1): F^ = ^2fa • По
тем же причинам, что и в § 64, его матричные элементы будут
отличны от нуля только для переходов без изменения всех чи-
чисел заполнения и для переходов, при которых одно из них (Ni)
уменьшается на единицу (становясь равным нулю вместо еди-
единицы), а другое (N^) увеличивается на единицу (переходит из
нуля в единицу). Легко найти, что при г < к
1'fc-1)-	F5.2)
Здесь символами 0^, 1г обозначены значения N\ = 0, Ni = 1, а
символом ^2(к,1) — сумма чисел заполнения всех состояний от
к-то до /-го1):
I
п=к
Для диагональных же элементов получается прежняя форму-
формула F4.4)
J2iPNi-	F5-3)
Для того чтобы оператор F^ мог быть представлен в фор-
форме F4.13), операторы а^ должны определяться как матрицы
1) При г > к в показателе в F5.2) надо писать ^2(к-\- 1,г — 1). При г = к ±1
эти суммы надо заменять нулями.

§ 65	ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ. СЛУЧАЙ СТАТИСТИКИ ФЕРМИ	307
с элементами:
{Oiloiiu) = (u\4\0i) = (-i)E(m-d. F5>4)
Перемножив эти матрицы, найдем (при к > г)
(lh0k\a+ak\0hlk) = Aи0к\аЦ0и
или
<1*,0л|а,+а*|0,,1*> = (-l)^*1'*-1).	F5.5)
Если же г = к, то матрица а^~щ диагональна, причем ее элемен-
элементы равны единице при JV^ = 1 и нулю при JV^ = 0; это можно
написать в виде
а+щ = Ni.	F5.6)
При подстановке этих выражений в F4.13) мы действительно
получим F5.2), F5.3).
Перемножая а^~, а^ в обратном порядке, будем иметь
{U,0k\aka+\0i, lk) = {U, 0k\ak\lh
(Ъ0\4\01) (l)S«+i*-D	F5.7)
Сравнив F5.7) с F5.5), мы видим, что эти величины противопо-
противоположны по знаку, так что
а^ак + ака1 = 0, г ф к.
Для диагональной матрицы d^i^ найдем
ща+ = 1-Щ.	F5.8)
Слож:ив с F5.6), получим
ща^~ + а^~щ = 1.
Оба полученных равенства можно написать вместе в виде
^ а^щ = Sik.	F5.9)
Произведя аналогичные вычисления, получим для произведений
а*, ак соотношения	_
aa
= 0	F5.10)
(в частности, а^ = 0).

308	ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ	ГЛ. IX
Таким образом, мы видим, что операторы щ и а/~ (или а?)
с г ф к оказываются антикоммутативными, между тем как в
случае статистики Бозе они коммутировали друг с другом. Это
различие вполне естественно. В случае статистики Бозе опера-
операторы а^ и а/с были совершенно независимыми; каждый из опе-
операторов щ действовал только на одну переменную iV^, причем
результат воздействия не зависел от значений остальных чисел
заполнения. В случае же статистики Ферми результат воздей-
воздействия оператора щ зависит не только от самого числа iV^, но и
от чисел заполнения всех предыдущих состояний, как это видно
из определения F5.4). Поэтому действие различных операторов
а^, cik не может рассматриваться как независимое.
После того как свойства операторов а^, а^~ таким образом
определены, все остальные формулы F4.13)-F4.18) остаются
полностью в силе. Остаются также и формулы F4.23)-F4.25),
выражающие операторы физических величин через ^-операто-
^-операторы, определяемые посредством F4.20). Правила же коммута-
коммутации F4.21) и F4.22) заменяются теперь равенствами
?) = «(С - О, F5.li)
= 0-	F5-12)
Если система состоит из различных частиц, то для каждого
рода частиц должны быть введены свои операторы вторичного
квантования (как уже упоминалось в конце предыдущего пара-
параграфа). Операторы, относящиеся к бозонам и фермионам, при
этом коммутативны друг с другом. Что же касается операторов,
относящихся к различным фермионам, то в пределах нереляти-
нерелятивистской теории их формально можно считать либо коммута-
коммутативными, либо антикоммутативными; в обоих предположениях
применение метода вторичного квантования приводит к одина-
одинаковым результатам.
Имея, однако, в виду дальнейшее применение в релятивист-
релятивистской теории, допускающей взаимные превращения различных
частиц, мы должны считать операторы рождения и уничтоже-
уничтожения различных фермионов антикоммутативными. Это обстоя-
обстоятельство становится очевидным, если рассматривать в качестве
различных частиц два разных внутренних состояния одной и той
же сложной частицы.

ГЛАВА X
ATOM
§ 66. Атомные уровни энергий
В нерелятивистском приближении стационарные состояния
атома определяются уравнением Шредингера для системы элек-
электронов, движущихся в кулоновом поле ядра и электрически вза-
взаимодействующих друг с другом; в это уравнение вовсе не входят
операторы спина электронов. Как мы знаем, для системы частиц
в центрально-симметричном внешнем поле сохраняется полный
орбитальный момент L, а также четность состояния. Поэтому
каждое стационарное состояние атома будет характеризовать-
характеризоваться определенным значением момента L и своей четностью. Кро-
Кроме того, координатные волновые функции стационарных состо-
состояний системы одинаковых частиц обладают определенной пе-
перестановочной симметрией. Мы видели в § 63, что для систе-
системы электронов каждому определенному типу перестановочной
симметрии (т. е. определенной юнговской схеме) соответствует
определенное значение полного спина системы. Поэтому каждое
стационарное состояние атома будет характеризоваться также
и полным спином S электронов.
Энергетический уровень с заданными значениями S и L вы-
вырожден соответственно различным возможным направлениям
векторов S и L в пространстве. Кратность вырождения по на-
направлениям L и S равна соответственно 2L + 1 и 2S + 1. Всего,
следовательно, кратность вырождения уровня с заданными L
и S равна произведению BL + 1)BS + 1).
В действительности, однако, в электромагнитном взаимодей-
взаимодействии электронов существуют релятивистские эффекты, зави-
зависящие от их спинов. Они приводят к тому, что энергия ато-
атома оказывается зависящей не только от величины векторов L
и S, но и от их взаимного расположения. Строго говоря, при
учете релятивистских взаимодействий орбитальный момент L и
спин S атома уже не сохраняются каждый по отдельности. Оста-
Остается лишь закон сохранения полного момента J = L + S, являю-
являющийся универсальным точным законом, следующим из изотро-
изотропии пространства по отношению к замкнутой системе. Поэтому
точные уровни энергии должны характеризоваться значения-
значениями J полного момента.

310
АТОМ	ГЛ. X
Однако если релятивистские эффекты относительно малы
(как это часто имеет место), то их можно учесть в качестве воз-
возмущения. Под влиянием этого возмущения вырожденный уро-
уровень с заданными L и S «расщепляется» на ряд различных (близ-
(близких друг к другу) уровней, отличающихся значениями полного
момента J.
Эти уровни определяются (в первом приближении) соответ-
соответствующим секулярным уравнением (§39), а их волновые функ-
функции (нулевого приближения) представляют собой определенные
линейные комбинации волновых функций исходного вырожден-
вырожденного уровня с данными L и S.
В этом приближении можно, следовательно, по-прежнему
считать абсолютные величины орбитального момента и спина (но
не их направления) сохраняющимися и характеризовать уровни
также и значениями L и S.
Таким образом, в результате релятивистских эффектов уро-
уровень с данными значениями L и S расщепляется на ряд уровней
с различными значениями J. Об этом расщеплении говорят как
о тонкой структуре (или мулътиплетном расщеплении) уров-
уровня. Как мы знаем, J пробегает значения от L + S до \L — S\]
поэтому уровень с данными L и S расщепляется на 25 + 1 (ес-
(если L > S) или 2L + 1 (если L < S) различных уровней. Каждый
из этих уровней остается вырожденным по направлениям векто-
вектора J; кратность этого вырождения равна 2 J+1. Легко проверить,
что сумма чисел 2J + 1 со всеми возможными значениями J рав-
равна, как и должно было быть, BL + 1)BS + 1).
Атомные уровни энергии (или, как говорят, спектральные
термы атомов) принято обозначать символами, аналогичными
тем, которые используются для обозначения состояний отдель-
отдельных частиц с определенными значениями момента (§32). Имен-
Именно, состояния с различными значениями полного орбитального
момента L обозначаются большими буквами латинского алфави-
алфавита со следующим соответствием:
L = 012 34 5678 9 10...
SPDFGHIKLMN...
Слева вверху от символа указывается число 25+1, называе-
называемое мультиплетностью терма (надо, однако, помнить, что это
число совпадает с числом компонент тонкой структуры уров-
уровня лишь при L ^ SI). Справа внизу указывается значение
1) При 25 + 1 = 1, 2, 3,... говорят соответственно о сингл етном, дублетном,
триплетном уровнях.

§ 67	СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В АТОМЕ	311
полного момента J. Так, символы 2Pi/2, 2-Рз/2 обозначают уровни
cL = l, 5 = 1/2, J = 1/2,3/2.
§ 67. Состояния электронов в атоме
Атом с более чем одним электроном представляет собой слож-
сложную систему взаимодействующих друг с другом электронов, дви-
движущихся в поле ядра. Для такой системы можно, строго гово-
говоря, рассматривать только состояния системы в целом. Тем не
менее оказывается, что в атоме можно, с хорошей точностью,
ввести понятие о состояниях каждого электрона в отдельности,
как о стационарных состояниях движения электрона в некото-
некотором эффективном центрально-симметричном поле, созданном
ядром вместе со всеми остальными электронами. Для различ-
различных электронов в атоме эти поля, вообще говоря, различны,
причем определяться они должны одновременно все, поскольку
каждое из них зависит от состояний всех остальных электронов.
Такое поле называется самосогласованным.
Поскольку самосогласованное поле центрально-симметрично,
то каждое состояние электрона характеризуется определенным
значением его орбитального момента /. Состояния отдельного
электрона при заданном / нумеруются (в порядке возрастания
их энергии) с помощью главного квантового числа п, пробе-
пробегающего значения п = / + 1,/ + 2,...; такой выбор порядка
нумерации устанавливают в соответствии с тем, который при-
принят для атома водорода. Но последовательность возрастания
уровней энергии с различными / в сложных атомах, вообще го-
говоря, отличается от имеющей место у атома водорода. В по-
последнем энергия вообще не зависит от /, так что состояния с
большими п всегда обладают большей энергией. В сложных же
атомах уровень, например, с п = 5, / = 0 оказывается лежащим
ниже уровня с п = 4, / = 2 (см. об этом подробнее в § 73).
Состояния отдельных электронов с различными п и I при-
принято обозначать символом, состоящим из цифры, указывающей
значение главного квантового числа, и буквы, указывающей зна-
значение Z1). Так, Ad обозначает состояние с п = 4, / = 2. Полное
описание состояния атома требует, наряду с указанием значе-
значений полных L, 5, J', также и перечисления состояний всех элек-
электронов. Так, символ ls2p3Po обозначает состояние атома гелия,
в котором L = l,S'=l,J = 0,a два электрона находятся
г) Употребительна также терминология, согласно которой об электронах
с главными квантовыми числами п = 1, 2, 3, ... говорят как об электронах
соответственно К-, L-, М-,... оболочек (см. § 74).

312
АТОМ	ГЛ. X
в состояниях Is и 2р. Если несколько электронов находится в
состояниях с одинаковыми / и п, то это принято обозначать для
краткости в виде показателя степени; так, Зр2 обозначает два
электрона в состояниях Зр. О распределении электронов в атоме
по состояниям с различными /, п говорят, как об электронной
конфигурации.
При заданных значениях п и / электрон может обладать
различными значениями проекций орбитального момента (т)
и спина (а) на ось z. При заданном / число т пробегает 2/ + 1
значений; число же а ограничено всего двумя значениями ±1/2.
Поэтому всего имеется 2B/ + 1) различных состояний с одина-
одинаковыми п, /; такие состояния называют эквивалентными. В ка-
каждом из них может находиться, согласно принципу Паули, по
одному электрону. Таким образом, в атоме может одновременно
иметь одинаковые п, / не более 2B/ + 1) электронов. О сово-
совокупности электронов, заполняющих все состояния с данными п,
/ говорят как о замкнутой оболочке данного типа.
Различие в энергии атомных уровней, обладающих различ-
различными L, S при одинаковой электронной конфигурации1), связа-
связано с электростатическим взаимодействием электронов. Обычно
разности этих энергий сравнительно малы — в несколько раз
меньше расстояний между уровнями с различными конфигура-
конфигурациями. По поводу взаимного расположения уровней с одинако-
одинаковой конфигурацией, но различными L, S существует следующее
эмпирически установленное правило Хунда {F.Hund, 1925):
Наименьшей энергией обладает терм с наибольшим воз-
возможным при данной электронной конфигурации значением S и
наибольшим {возможным при этом S) значением L2).
Покажем, каким образом можно найти возможные для дан-
данной электронной конфигурации атомные термы. Если электро-
электроны не эквивалентны, то определение возможных значений L, S
производится непосредственно по правилу сложения моментов.
Так, при конфигурации пр, п'р (с различными п, п') суммарный
) От тонкой структуры каждого мультиплетного уровня мы здесь отвле-
отвлекаемся.
2) Требование максимальности S может быть обосновано следующим обра-
образом. Рассмотрим, например, систему из двух электронов. Здесь может быть
S = О или 5 = 1, причем спину 1 соответствует антисимметричная коорди-
координатная волновая функция <^(г1,Г2). При ri = Г2 такая функция обращается
в нуль; другими словами, в состоянии с S = 1 вероятность нахождения обо-
обоих электронов вблизи друг от друга мала. Это приводит к сравнительно
меньшему их электростатическому отталкиванию, а потому и к меньшей
энергии. Аналогично, для системы из нескольких электронов наибольшему
спину соответствует «наиболее антисимметричная» координатная волновая
функция.

§ 67	СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В АТОМЕ	313
момент L может иметь значения 2, 1, 0, а суммарный спин
S = О,1; комбинируя их друг с другом, получим термы /
V /
Если же мы имеем дело с эквивалентными электронами, то
появляются ограничения, налагаемые принципом Паули. Рас-
Рассмотрим, например, конфигурацию из трех эквивалентных
р-электронов. При 1 = 1 (р-состояние) проекция т орбитального
момента может иметь значения т = 1,0,-1, так что возможны
шесть состояний со следующими парами чисел т, а:
а) 1,1/2, Ъ) 0,1/2 с) -1,1/2
а') 1,-1/2 Ь') 0,-1/2 с') -1,-1/2.
Три электрона можно расположить по одному в трех любых из
этих состояний. В результате получим состояния атома со сле-
следующими значениями проекций Ml = ^2m, Ms = ^2 сг полного
орбитального момента и спина:
а + а' + Ь) 2, 1/2, а + а' + с) 1, 1/2, а + b + с) 0, 3/2,
а + b + b') I, 1/2, а + b + с') 0, 1/2,
а + Ь' + сH, 1/2,
а' + b + с) 0, 1/2
(состояний с отрицательными значениями Ml, Ms можно не
выписывать, так как они не дают ничего нового). Наличие со-
состояния с Ml = 2, Ms = 1/2 показывает, что должен иметься
терм 2D] этому терму должны соответствовать еще и по одному
состоянию A,1/2), @,1/2). Далее, остается еще одно состояние
с A,1/2), так что должен иметься терм 2Р; ему отвечает также
и одно из состояний с @,1/2). Наконец, остаются еще состояния
@,3/2) и @,1/2), которые соответствуют терму 45\ Таким об-
образом, для конфигурации из трех эквивалентных р-электронов
возможны лишь по одному терму типов 2Д, 2Р, 4S.
В табл. 1 перечислены возможные термы для различных кон-
конфигураций из эквивалентных р- и d-электронов. Числа под сим-
символами термов указывают число термов данного типа, имею-
имеющихся для данной конфигурации, если это число превышает
единицу. Для конфигурации из наибольшего возможного чис-
числа эквивалентных электронов (s2, р6, б?10,...) терм есть все-
всегда 1S. Обратим внимание на совпадение характера термов,
отвечающих конфигурациям, из которых одна имеет столько
электронов, сколько не хватает другой для заполнения оболоч-
оболочки. Это является очевидным результатом того, что отсутствие
электрона в оболочке можно рассматривать как дырку, состоя-
состояние которой определяется теми же квантовыми числами, что и
состояние отсутствующего электрона.

314
ATOM
ГЛ. X
При применении правила Хунда для определения нормаль-
нормального терма атома по известной электронной конфигурации на-
надо рассматривать только незаполненную оболочку, поскольку
моменты электронов в заполненных оболочках взаимно компен-
компенсируются. Пусть, например, вне замкнутых оболочек в атоме
имеется четыре d-электрона. Магнитное квантовое число б?-элек-
трона может принимать пять значений: 0, ±1, ±2. Поэтому все
четыре электрона могут иметь одинаковую проекцию спина а =
= 1/2, так что максимальный возможный полный спин есть
S = 2. После этого мы должны приписать электронам различ-
различные значения числа т, которые дали бы наибольшее значение
Ml = 5^m; это 2,1,0,-1, так что Ml = 2. Это значит, что и
наибольшее возможное при S = 2 значение L равно 2 (терм 5
Таблица 1
Всевозможные термы для конфигураций
из эквивалентных электронов
р,
р\
Р3
р5,
Р4,
2р
1SD
2PD
Зр
4S
d,	d9
d\	d8
d\	d7
d\	d6
d5
2D
1SDG
2PDFGH
1SDFGI
2SPDFGHI
3 2 2
3PF
4PF
3PDFGH
л 2 2
4PDFG
Задача
Найти орбитальные волновые функции возможных состояний системы
трех эквивалентных р-электронов.
Решение.В состоянии 4S проекции спинов а всех электронов одина-
одинаковы, а потому значения т различны. Волновая функция дается определи-
определителем вида F1.5), составленным из функций фо, -01, ф-i (индекс указывает
значение т).
Для терма 2D рассмотрим состояние с наибольшим возможным значе-
значением Ml = 2. При этом две из проекций т должны быть равны 1, а одна
0. Пусть электроны 2,3 имеют сг = +1/2, а электрон 1: сг = —1/2 (в соответ-
соответствии с полным спином S = 1/2). Соответствующая орбитальная волновая
функция, обладающая требуемым свойством симметрии, есть
(цифра в аргументе функции указывает номер электрона, к которому она
относится).
Для терма 2Р рассматриваем состояние с Ml = 1 и теми же, что и выше,
значениями проекций спина электронов. Это состояние можно осуществить

§68	ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ	315
с двумя различными наборами значений т, так что орбитальная волновая
функция дается линейной комбинацией
ф = аф-ш +6-0100,
0ioo = 0оA)[0iBHoC) -
Для определения коэффициентов воспользуемся соотношением
ь+ф = (??+??+??),/, = о,
которому должна удовлетворять волновая функция с Ml = L (см.B7.8)).
С помошью матричных элементов B7.12) найдем, что
7+фг = 0, Ч+ф-i = уДфо, 1+фо = у/2фг
и затем	^
L+ф = V2(a - Ъ)фОц = 0.
Отсюда а — Ъ = 0; учитывая также условие нормировки, имеем а = Ъ = 1/2.
Волновые функции состояний с Ml < L получаются из найденных нами
функций воздействием на них оператора L_.
§ 68. Водородоподобные уровни энергии
Единственным атомом, для которого уравнение Шредингера
может быть решено точно, является простейший из всех ато-
атомов — атом водорода. Уровни энергии атома водорода, а также
ионов Не+, Li++,..., содержащих всего по одному электрону,
определяются формулой Бора C6.10):
Здесь Ze — заряд ядра; М — масса ядра; т — электронная масса.
Отметим, что зависимость от массы ядра очень слаба.
Формула F8.1) не учитывает никаких релятивистских эф-
эффектов. В этом приближении имеет место специфическое для
атома водорода дополнительное (случайное) вырождение, о ко-
котором уже шла речь в § 36: при заданном главном квантовом
числе п энергия не зависит от орбитального момента /.
У других атомов существуют состояния, по своим свойствам
напоминающие водородные. Речь идет о сильно возбужденных
состояниях, в которых один из электронов обладает большим
главным квантовым числом и потому находится в основном на
больших расстояниях от ядра. Движение такого электрона мож-
можно рассматривать, в некотором приближении, как движение в
кулоновом поле атомного остатка с эффективным зарядом,
равным единице. Получающиеся, таким образом, значения уров-
уровней энергии оказываются, однако, слишком неточными, и в них

316
АТОМ	ГЛ. X
надо ввести поправку, учитывающую отклонение поля на малых
расстояниях от чисто кулонова. Характер этой поправки легко
выяснить из следующих соображений.
Ввиду квазиклассичности состояний с большими квантовыми
числами уровни энергии могут определяться из правил кванто-
квантования Бора-Зоммерфельда D8.6). Отклонение поля от кулоно-
кулонова на малых (по сравнению с «радиусом орбиты») расстояни-
расстояниях от ядра можно учесть формально как изменение наклады-
накладываемого на волновую функцию граничного условия при г = 0.
Это приведет к изменению постоянной 7 B условии квантова-
квантования радиального движения. Поскольку в остальном это условие
останется неизменным, мы можем заключить, что для уровней
энергии получится выражение, отличающееся от водородного за-
заменой радиального, или, что то же, главного квантового чис-
числа п на п + А/, где А/ —некоторая постоянная (так называемая
поправка Ридберга):
Поправка Ридберга не зависит (по самому своему определе-
определению) от п, но является, конечно, функцией азимутального кван-
квантового числа / возбужденного электрона (которые мы приписы-
приписываем к А в виде индекса), а также от моментов L и S атома в
целом. При заданных L и S А/ быстро убывает с увеличением /.
Чем больше /, тем меньше времени электрон проводит вблизи яд-
ядра, а потому уровни энергии должны все больше приближаться
к водороднымг).
Задача
Найти асимптотическое выражение волновой функции водородоподоб-
ного s-состояния электрона на больших расстояниях от атомного остатка.
Решение. На больших расстояниях, где поле U = — 1/г (в атомных
единицах), искомая функция ф(г) удовлетворяет уравнению Шредингера
<ф" + -г/;' - х2ф + -<ф = 0,
г	г
1) Для иллюстрации приведем эмпирические значения поправки Ридберга
для сильно возбужденных состояний атома гелия. Полный спин атома гелия
может иметь значения S = 0,1, а полный орбитальный момент L совпадает в
рассматриваемых состояниях с моментом / возбужденного электрона (вто-
(второй электрон находится в состоянии Is). Поправки Ридберга равны: при
5 = 0
До = -0,140, Дх =+0,012, Д2 =-0,0022,
а при S = 1
До = -0, 296, Дх = -0,068, Д2 = -0,0029.

§69	САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ	317
где ус = д/2|?7|. Ищем решение в виде ф = const -rve~ycr\ пренебрегая в
уравнении членами, убывающими быстрее, чем ф/r, найдем
1
—-1
ф = const -r™ e
§ 69. Самосогласованное поле
Уравнение Шредингера для атомов, содержащих более одно-
одного электрона, не может быть решено в аналитическом виде. В
связи с этим приобретают значение приближенные методы вы-
вычисления энергий и волновых функций стационарных состояний
атомов. Наиболее существенным из них является так называе-
называемый метод самосогласованного поля. Идея этого метода заклю-
заключается в том, что каждый электрон в атоме рассматривается как
движущийся в самосогласованном поле, создаваемом ядром вме-
вместе со всеми остальными электронами.
Рассмотрим в качестве примера атом гелия, причем огра-
ограничимся теми его термами, в которых оба электрона находят-
находятся в 5-состояниях (с одинаковыми или различными п); тогда
и состояния всего атома будут ^-состояниями. Пусть ^\{r\) и
^2(^2) —волновые функции электронов; в s-состояниях они явля-
являются функциями только от расстояний ri, г2 электронов от ядер.
Волновая функция ip(ri,r2) атома в целом изобразится симмет-
ризованным
<ф = 1pl(ri)ip2(r2) + 1pl(r2)ip2(ri)	F9.1)
или антисимметризованным
<ф = ipi(ri)ip2(r2) - ipi(r2)ip2(ri)	F9.2)
произведением обеих функций в зависимости от того, имеем ли
мы дело с состояниями с полным спином S = 0 или S = 11). Бу-
Будем рассматривать второе из них; тогда функции ф\ и ф2 можно
считать взаимно ортогональными2).
Поставим себе целью определить такую функцию вида
F9.2), которая являлась бы наилучшим приближением к истин-
истинной волновой функции атома. Для этого естественно исходить
) Состояние атома гелия с S = 0 принято называть состоянием парагелия,
а состояние с5 = 1 — состоянием ортогелия.
2) Волновые функции x/ji, фч, ... различных состояний электрона, получаю-
получающиеся методом самосогласованного поля, вообще говоря, не ортогональны
друг другу, поскольку они являются решениями не одного и того же, а раз-
различных уравнений. Однако в F9.2) можно, не изменяя функции ф всего
атома, заменить фч на ф'2 + const -ф\\ подбирая соответствующим образом
постоянную, всегда можно добиться того, чтобы ф\ и ф'2 были взаимно ор-
ортогональны.

318
АТОМ	ГЛ. X
из вариационного принципа, допуская в нем конкурировать
лишь функции вида F9.2) (излагаемый метод был предложен
В. А. Фоком, 1930).
Как мы знаем, уравнение Шредингера может быть получено
из вариационного принципа
//¦
_ = mm
при дополнительном условии
1 dVi dV2 = 1
(интегрирование производится по координатам обоих электронов
в атоме гелия). Варьирование приводит к уравнению
5ф* (Н - Е)ф dVi dV2 = 0,	F9.3)
откуда, при произвольной вариации волновой функции ф, полу-
получается обычное уравнение Шредингера. В методе же самосогла-
самосогласованного поля в F9.3) подставляется выражение F9.2) для ф и
варьирование производится по функциям ф\ и ф2 в отдельности.
Другими словами, ищется экстремум интеграла по отноше-
отношению к функциям ф вида F9.2); в результате получается, конеч-
конечно, неточное собственное значение энергии и неточная волновая
функция, но лучшая из всех функций, которые могут быть пред-
представлены в таком виде.
Гамильтониан атома гелия имеет вид1)
Н = Н1 + Н2 + —, Н1 = --Ai - -	F9.4)
7*12	2	7*1
(ri2—расстояние между электронами). Подставляя F9.2) в
F9.3), производя варьирование и приравнивая нулю коэффи-
коэффициенты при 5ф\ и 5ф2 в подынтегральном выражении, получаем
следующие уравнения:
) В этом параграфе и в задачах к нему пользуемся атомными единицами.

5 69	САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ	319
где
F9.6)
r, а, Ъ =1,2.
Это и есть те окончательные уравнения, к которым приводит ме-
метод самосогласованного поля; их решение возможно, разумеется,
лишь в численном виде1).
Аналогичным образом должен производиться вывод уравне-
уравнений в более сложных случаях. Волновая функция атома, которая
должна быть подставлена в интеграл вариационного принципа,
составляется в виде линейной комбинации произведений волно-
волновых функций отдельных электронов. Эта комбинация должна
быть выбрана так, чтобы, во-первых, ее перестановочная сим-
симметрия соответствовала полному спину S рассматриваемого со-
состояния атома и, во-вторых, она должна соответствовать дан-
данному значению полного орбитального момента L атома2).
Пользуясь в вариационном принципе волновой функцией,
обладающей должной перестановочной симметрией, мы тем са-
самым производим учет обменного взаимодействия электронов в
атоме. Более простые (но приводящие к менее точным резуль-
результатам) уравнения получаются, если пренебречь обменным взаи-
взаимодействием, а также и зависимостью энергии атома от L при
данной электронной конфигурации (D. R. Hariree, 1928). Рас-
Рассматривая снова, в качестве примера, атом гелия, мы можем
тогда написать уравнения для волновых функций электронов
непосредственно в виде обычных уравнений Шредингера
Еа ~ Va(raj\ фа(га) = О, а = 1, 2,	F9.7)
в которых Va есть потенциальная энергия одного электрона, дви-
движущегося в поле ядра и в поле распределенного заряда второго
электрона:
Vi(ri) = -- + / — Ф1Ы dV2	F9.8)
ri	J Г12
x) Сравнение вычисленных методом самосогласованного поля уровней
энергии легких атомов со спектроскопическими данными позволяет оце-
оценить точность метода примерно в 5% (а в некоторых случаях даже выше).
Для сложных атомов, однако, ошибка может оказаться сравнимой с интер-
интервалами между соседними уровнями и в результате привести к неправильной
последовательности уровней.
2) Изложение общих методов составления волновых функций системы
электронов в центральном поле можно найти в указанной на с. 291 книге
И. Г. Каплана.

320
АТОМ	ГЛ. X
(и аналогично для V2). Для того чтобы найти энергию Е все-
всего атома, надо заметить, что в сумме Е\ + Е2 электростатиче-
электростатическое взаимодействие обоих электронов друг с другом учитыва-
учитывается дважды, поскольку оно входит в потенциальную энергию
как первого электрона, Vi(ri), так и второго, V2(r2). Поэтому Е
получится из суммы Е\ + Е2 однократным вычитанием среднего
значения этого взаимодействия, т. е.
Е = Е1+Е2- [[ ^-ф1(Г1)ф22(г2) dVx dV2.	F9.9)
JJ П2
Для уточнения результатов, получаемых с помощью тако-
такого упрощенного метода, обменное взаимодействие и зависимость
энергии от L могут быть учтены затем в качестве возмущения.
Задачи
1. Определить приближенно энергию основного уровня атома гелия и
гелиеподобных ионов (ядро с зарядом Z и два электрона), рассматривая
взаимодействие между электронами как возмущение.
Решение.В основном состоянии иона оба электрона находятся в
5-состояниях. Невозмущенное значение энергии равно удвоенному (два
электрона) основному уровню водородоподобного иона:
Е(о) = 2(-Z2/2) = -Z2.
Поправка первого приближения дается средним значением энергии взаимо-
взаимодействия электронов, взятым по состоянию с волновой функцией
ф = МЫМЫ = —e-z(ri+r2)	A)
7Г
(произведение двух водородных функций с / = 0). Интеграл
dVdV
[Г
J J
Г12
проще всего вычисляется как
[
/1 Г
dV2 • р2— pi dVi, dVi = A-Krldn, dV2 = ^r\dr2
r2 J
о	о
(энергия распределения зарядов р2 = \ф2\2 в поле сферически-симметрично-
сферически-симметричного распределения pi = l^il2; подынтегральное выражение интеграла по dV2
есть энергия заряда р2(г2) в поле сферы ri < r2\ множ:итель 2 перед ин-
интегралом учитывает вклад от конфигураций, в которых ri > r2). Таким
образом, получим Е^1' = 5Z/8, окончательно,
8
Для атома гелия это дает — Е = 11/4 = 2,75 (фактическое же значе-
значение энергии основного состояния этого атома составляет —Е = 2,90 ат. ед.=
78,9 эВ).
2. То же, с помощью вариационного принципа, аппроксимируя волно-
волновую функцию в виде произведения двух водородных функций с некоторым
эффективным зарядом ядра.

5 70	УРАВНЕНИЕ ТОМАСА-ФЕРМИ	321
Решение. Вычисляем интеграл
фНфвУ1вУ2, Н = --(Ai + A2)- — - — + —
2	7*1	7*2 Т2
с функцией ф из выражения A) предыдущей задачи, написав в ней Z9$
ф2	, * ,
вместо Z. Интеграл от J— вычисляется, как и в задаче 1; интеграл от ф/\\ф
Г12
ф2
мож:но свести к интегралу от —, заметив, что в силу уравнения Шредингера
2
В результате получаем
Это выражение, как функция Д,ф, имеет минимум при Zs$ = Z	. Со-
16
ответствующее значение энергии
Для атома гелия это дает — Е = 2,85.
Заметим, что волновая функция A) с найденным значением Д,ф, явля-
является в действительности наилучшей не только из всех функций вида A), но
и из всех вообще функций, зависящих только от суммы п + г2.
§ 70. Уравнение Томаса—Ферми
Численные расчеты распределения заряда и поля в атоме ме-
методом самосогласованного поля чрезвычайно громоздки, в осо-
особенности для сложных атомов. Но как раз для сложных ато-
атомов существует другой приближенный метод, ценность которого
заключается в его простоте; правда, он приводит к значитель-
значительно менее точным результатам, чем метод самосогласованного
поля.
В основе этого метода (Е. Fermi, L. Thomas, 1927) лежит
тот факт, что в сложных атомах с большим числом электро-
электронов большинство электронов обладает сравнительно большими
главными квантовыми числами. В этих условиях применимо ква-
квазиклассическое приближение. Поэтому мы можем применить к
состояниям отдельных электронов в атоме понятие о «клетках
в фазовом пространстве» (§48).
Объем фазового пространства, соответствующий электро-
электронам, обладающим импульсом, меньшим чем р, и находящимся в
элементе объема dV физического пространства, равен -7rpsdV.
о

АТОМ	ГЛ. X
322
Этому объему соответствует 	<р клеток1), т.е. возможных
состояний, в которых может одновременно находиться не более
3BтгK	Зтг2
электронов (в каждой клетке по два электрона со взаимно про-
противоположными спинами). В нормальном состоянии атома элек-
электроны, находящиеся в каждом элементе объема dV, должны
заполнять (в фазовом пространстве) клетки, соответствующие
импульсу от нуля до некоторого максимального значения ро-
Тогда кинетическая энергия электронов будет иметь в каждой
точке по возможности меньшее значение. Если написать чис-
число электронов в объеме dV, как ndV (где п— плотность числа
электронов), то можно утверждать, что максимальное значе-
значение ро импульса электронов в каждой точке связано с п посред-
посредством соотношения
Максимальное же значение кинетической энергии электрона в
месте, где электронная плотность есть п, равно, следовательно,
Р° = -(Зтг2пJ/3.	G0.1)
Пусть, далее, (р(г)—электростатический потенциал, который
мы принимаем равным нулю на бесконечности. Полная энергия
электрона есть р2/2 — ср. Очевидно, что полная энергия каждо-
каждого электрона должна быть отрицательной; в противном случае
электрон уйдет на бесконечность. Обозначим максимальное зна-
значение полной энергии электрона в каждой точке через — <^о? где
(ро — положительная постоянная (если бы эта величина была не
постоянной, то электроны переходили бы из точек с меньшим (ро
в точки с большим (ро).
Таким образом, можно написать
f = ?> - ?>о.	G0.2)
Приравнивая выражения G0.1) и G0.2), получим
п= [2((р-(ро)}3/2^	G0.3)
— соотношение, связывающее электронную плотность и потенци-
потенциал в каждой точке атома.
) В этом параграфе пользуемся атомными единицами.

§ 70	УРАВНЕНИЕ ТОМАСА-ФЕРМИ	323
При <р = <pq плотность п обращается в нуль; п должно быть,
очевидно, положено равным нулю и во всей области, где (р < <^о?
и соотношение G0.2) привело бы к отрицательной максимальной
кинетической энергии.
Таким образом, уравнением <р = <р$ определяется граница
атома. Но вне центрально-симметричного распределения заря-
зарядов с равным нулю полным зарядом поле отсутствует. Поэтому
на границе нейтрального атома должно быть (р = 0. Отсюда сле-
следует, что для нейтрального атома постоянная <ро должна быть
положена равной нулю. Напротив, для иона постоянная (ро от-
отлична от нуля.
Ниже мы рассматриваем нейтральный атом и соответственно
этому полагаем <ро = 0. Согласно электростатическому уравне-
уравнению Пуассона имеем Aip = 4тгп; подставляя сюда G0.3), получа-
получаем основное уравнение Томаса-Ферми
^/2.	G0.4)
Распределение поля в нормальном состоянии атома определя-
определяется центрально-симметричным решением этого уравнения, удо-
удовлетворяющим следующим граничным условиям: при г —»> 0 по-
поле должно переходить в кулоново поле ядра, т. е. <рг —» Z\ при
г -л ос (рг —>• 0. Вводя вместо переменной г новую переменную х
согласно определениям
г = xbZ'1/3, Ъ=Ц^) /30, 885,	G0.5)
а вместо (р новую неизвестную функцию х:
получим уравнение
с граничными условиями х — 1 ПРИ х — 0 и X — 0 ПРИ х — °°-
Это уравнение не содерж:ит уже никаких параметров и опреде-
определяет, таким образом, универсальную функцию х(х)- В табл. 2
приведена эта функция, полученная путем численного интегри-
интегрирования уравнения G0.7).
) В обычных единицах:
, ч Ze (rZ1/2> me2

324
ATOM
ГЛ. X
Функция х{х) монотонно убывает, обращаясь в нуль лишь
на бесконечности1). Другими словами, в модели Томаса-Ферми
атом не имеет границы, а формально простирается до беско-
бесконечности. Значение производной х'(х) ПРИ х = 0 равно х'@) =
= —1,59. Поэтому при х —»> 0 функция х(х) имеет вид %«1 —1,59ж
и соответственно потенциал (р(г):
(p(r)
G0.8)
Таблица 2
X
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,000
0,972
0,947
0,924
0,902
0,882
0,793
0,721
0,660
0,607
0,561
0,521
0,485
0,453
0,424
0,374
Значения
X
М
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,5
5,0
функции х(ж)
Х(х)
0,333
0,298
0,268
0,243
0,221
0,202
0,185
0,170
0,157
0,145
0,134
0,125
0,116
0,108
0,0919
0,0788
X
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
25
30
40
50
60
Х(х)
0,0594
0,0461
0,0366
0,0296
0,0243
0,0202
0,0171
0,0145
0,0125
0,0108
0,0058
0,0035
0,0023
0,0011
0,00063
0,00039
Первый член есть потенциал поля ядра, а второй есть потенциал,
создаваемый электронами в начале координат. Подставляя G0.6)
в G0.3), найдем для электронной плотности выражение вида
„=
Мы видим, что в модели Томаса-Ферми распределение плот-
плотности заряда в различных атомах оказывается подобным, при-
1) Уравнение G0.7) имеет точное решение х(х) = 144ж 3, обращающееся
на бесконечности в нуль, но не удовлетворяющее граничному условию при
х = 0. Им можно было бы пользоваться в качестве асимптотического вы-
выражения функции х(х) ПРИ больших х. Однако более или менее точные
значения это выражение дает лишь при очень больших ж, между тем как на
больших расстояниях уравнение Томаса-Ферми вообще становится непри-
неприменимым (см. ниже).

§ 70	УРАВНЕНИЕ ТОМАСА-ФЕРМИ	325
чем роль характеристического параметра длины играет Z/3
(в обычных единицах: Н2/(гае2/?1/3), т.е. деленный на Z1/3 бо-
ровский радиус). Если измерять расстояния в атомных едини-
единицах, то, в частности, расстояния, на которых электронная плот-
плотность максимальна, будут одинаковыми для всех Z. Поэтому
можно утверждать, что большая часть электронов в атоме с но-
номером Z находится на расстояниях от ядра порядка величины
Z ' . Расчет показывает, что половина полного электронного
заряда атома находится внутри сферы радиуса 1,33 Z/3.
Аналогичные рассуждения показывают, что средняя ско-
скорость электронов в атоме (рассматриваемая по порядку вели-
величины, как корень квадратный из энергии) порядка Z2/3.
Уравнение Томаса-Ферми становится неприменимым как на
слишком малых, так и на слишком больших расстояниях от ядра.
Область его применимости при малых г ограничивается нера-
неравенством D9.12); при меньших расстояниях в кулоновом поле
ядра становится непригодным квазиклассическое приближение.
Полагая в D9.12) а = Z, находим в качестве нижней границы
расстояний величину 1/Z. Квазиклассическое приближение ста-
становится непригодным в сложном атоме также и при больших г.
Именно, легко видеть, что при г ~ 1 дебройлевская длина волны
электрона становится порядка величины самого этого расстоя-
расстояния, так что условие квазиклассичности полностью нарушается.
В этом можно убедиться оценкой членов в уравнениях G0.2),
G0.4); впрочем, результат очевиден и заранее, без вычислений,
поскольку уравнение G0.4) не содержит Z.
Таким образом, применимость уравнения Томаса-Ферми
ограничена областью расстояний, больших по сравнению с 1/Z
и малых по сравнению с 1. Однако в сложных атомах в этой
области находится большая часть электронов.
Последнее обстоятельство означает, что «внешняя граница»
атома в модели Томаса-Ферми находится при г ~ 1, т. е. размеры
атомов не зависят от Z. Вместе с ними оказывается не завися-
зависящей от Z также и энергия внешних электронов, т. е. потенциал
ионизации атома1).
С помощью метода Томаса-Ферми можно вычислить пол-
полную энергию ионизации Е, т.е. энергию, необходимую для уда-
удаления всех электронов из нейтрального атома. Для этого надо
х) Эта модель не отражает, конечно, периодической зависимости размеров
атомов и их потенциалов ионизации от Z, проявляющейся в периодической
системе элементов. Кроме того, эмпирические данные обнаруживают также
существование и незначительного систематического увеличения размеров
атомов и уменьшения потенциалов ионизации при увеличении Z.

326
АТОМ	ГЛ. X
вычислить электростатическую энергию распределения Томаса-
Ферми для зарядов в атоме; искомая полная энергия будет равна
половине этой электростатической энергии, поскольку в системе
частиц, взаимодействующих по закону Кулона, средняя кинети-
кинетическая энергия равна (по теореме вириала—см. I, §10) минус
половине средней потенциальной энергии.
Зависимость Е от Z можно определить заранее из простых
соображений: электростатическая энергия Z электронов в поле
ядра с зарядом Z, находящихся на среднем расстоянии Z/3 от
ядра, пропорциональна Z • Z/Z~1^ = Z7/3. Численный расчет
приводит к результату: Е = 20,8 Z7/3 эВ.
Зависимость от Z оказывается в хорошем согласии с экспери-
экспериментальными данными; эмпирическое же значение коэффициен-
коэффициента ближе к 16.
Мы уже упоминали, что отличные от нуля положительные
значения постоянной (р$ соответствуют ионизованным атомам.
Если определить функцию х через (р — (ро = Zx/r, то для х по-
получим прежнее уравнение G0.7). Нас должны, однако, интересо-
интересовать теперь решения, обращающиеся в нуль не на бесконечности,
как для нейтрального атома, а при конечных значениях х = х$\
такие решения существуют для любого хо. В точке х = хо плот-
плотность заряда обращается вместе с х в НУЛЬ5 а потенциал остается
конечным.
Значение хо связано со степенью ионизации следующим обра-
образом. Полный заряд внутри сферы радиуса г, по теореме Гаусса,
равен
Полный заряд иона z получится, если положить здесь х = х$\
поскольку х(хо) — 0, то
z = -Zxox!(xo).	G0.10)
На рис. 23 жирной линией изображена кривая х — х(х) Для
нейтрального атома, а под нею —две кривые для ионов с раз-
различными степенями ионизации. Графически z/Z изображается
длиной отрезка, отсекаемого от оси ординат касательной к кри-
кривой в точке х = xq.
Уравнение G0.7) имеет также решения, не обращающиеся ни-
нигде в нуль; на бесконечности эти решения расходятся. Их можно
рассматривать как соответствующие отрицательным значениям
постоянной (fQ. На том же рис. 23 изображены две такие кривые
X = х(х)'-} они проходят над кривой для нейтрального атома. В
точке х = х\, в которой
0,	G0.11)

i 70
УРАВНЕНИЕ ТОМАСА-ФЕРМИ
327
полный заряд, заключенный внутри сферы х < х\, обращает-
обращается в нуль (графически эта точка есть, очевидно, та, в которой
касательная к кривой проходит через начало координат). Обо-
Оборвав кривую в этой точке, мы можем сказать, что она определя-
определяет х(х) Для нейтрального атома, на границе которого плотность
заряда остается отличной от нуля. Физически это соответству-
соответствует как бы «сжатому» атому, заключенному в некоторый задан-
заданный конечный объем1).
1,0
х
0,8
0,6
0,4
0,2
0
\
\
/
У
\
XI

	i
9 10
11 12
х
12 3 4 5 6 7
Рис. 23
Уравнение Томаса-Ферми не учитывает обменное взаимо-
взаимодействие между электронами. Связанные с ним эффекты —сле-
—следующего порядка величины по Z~2/3. Поэтому учет обменного
взаимодействия в методе Томаса-Ферми требует одновременного
учета всех эффектов этого порядка2).
Задача
Найти соотношение между энергией электростатического взаимодей-
взаимодействия электронов друг с другом и энергией их взаимодействия с ядром в
нейтральном атоме в модели Томаса-Ферми.
Решение. Потенциал ipe поля, создаваемого электронами, получает-
получается вычитанием из общего потенциала (р потенциала поля ядра Z/r. Поэтому
энергия взаимодействия между электронами
- [vendV=- f-
2 J *	2 J r
=- f-dV--
2 J r	2
_ Z_ f n
~ 2 J r
dV -
(Зтг2)
,2ч2/3
n5/3dV
x) Такое рассмотрение может быть полезным при изучении уравнения со-
состояния вещества при больших степенях сжатия.
2) Это сделано А. С. Компанейцем и Е. С. Павловским (ЖЭТФ. 1956. Т. 31.
С. 427) иД.А.Кирясницем (ЖЭТФ. 1957. Т. 32. С. 115).

328
АТОМ	ГЛ. X
(мы выразили if через п согласно G0.3)). С другой стороны, энергия взаи-
взаимодействия электронов с ядром Uen и их кинетическая энергия Т равны
РО
[п а [ [ р2 W dpdV3Cтг2J/3 Г 5/3
Uen = -Zj-dV, T = 2J j-^-^	— jn dV.
О
Сравнивая эти выражения с предыдущим равенством, получим соотношение
Uee = ~-Uen - -Т.
2	6
В то же время, согласно теореме вириала (см. I, § 10), для системы частиц,
взаимодействующих по закону Кулона, имеем 2Т = —U = —Uen — Uee.
В результате находим
§ 71. Волновые функции внешних электронов
вблизи ядра
Мы видели (на основании модели Томаса-Ферми), что внеш-
внешние электроны в сложных атомах (большие Z) находятся в
основном на расстояниях г ~ 1 от ядра1). Ряд атомных свойств,
однако, существенно зависит от электронной плотности вбли-
вблизи ядра (мы встретимся с такими свойствами в § 72 и 120).
Для определения порядка величины этой плотности проследим
за изменением волновой функции электрона в атоме ф(г) при
изменении г от больших (г ~ 1) расстояний к малым.
В области г rsj 1 поле ядра экранировано остальными электро-
электронами, так что потенциальная энергия U(r) ~ 1/r ~ 1. Энергия
уровня электрона в этом поле Е ~ 1. На расстояниях же по-
порядка величины боровского радиуса в поле заряда Z(r ~ 1/^)
поле ядра можно считать неэкранированным: U = —Z/г. В пе-
переходной области, 1/Z <С г ^С 1, потенциальная энергия \U\
уже велика по сравнению с энергией электрона Е и выполняет-
выполняется условие
d 1 & \
^ 1
dr p dr
(р— импульс), так что движение электрона квазиклассично.
Сферически-симметричная квазиклассическая волновая функ-
функция	111
) В этом параграфе пользуемся атомными единицами.

§ 72	ТОНКАЯ СТРУКТУРА АТОМНЫХ УРОВНЕЙ	329
порядок величины коэффициента в ней (~ 1) определяется усло-
условием ф ~ 1 «сшивания» с волновой функцией при г ~ 1.
Применяя выражение G1.1) по порядку величины при r~l/Z
(подставив в него U = —Z/r), получим искомое значение волно-
волновой функции вблизи ядра1)
ф (|) ~ VZ.	G1.2)
В соответствии с общими свойствами волновых функций в цен-
центральном поле (§ 32) при дальнейшем уменьшении рассто-
расстояния ф(г) либо остается по порядку величины постоянной (для
5-электрона), либо начинает убывать (при / ф 0).
Вероятность нахождения электрона в области г < 1/Z:
w ~ \Ф?гг ~ Jj.	G1.3)
Разумеется, формулы G1.2), G1.3) определяют лишь систе-
систематический ход изменения величин с увеличением Z, без учета
несистематических изменений при переходе от одного элемента
к следующему.
§ 72. Тонкая структура атомных уровней
Последовательный вывод формул для релятивистских эф-
эффектов во взаимодействии электронов относится к другому тому
этого курса (см. IV, §33, 83). В настоящем же параграфе дается
лишь общее описание этих эффектов в применении к изучению
атомных термов.
Оказывается, что релятивистские члены в гамильтониане
атома распадаются на две категории— одни из них линейны
относительно операторов спинов электронов, а другие квадра-
квадратичны по ним. Первые соответствуют как бы взаимодействию
орбитального движения электронов с их спинами; его назы-
называют спин-орбитальным взаимодействием. Вторые же отве-
отвечают взаимодействию между спинами электронов [взаимодей-
[взаимодействие спин-спин). Оба вида взаимодействий одинакового поряд-
порядка (второго) по v/c— отношению скорости электронов к
скорости света. Фактически, однако, в тяжелых атомах взаимо-
взаимодействие спин-орбита значительно превышает взаимодействие
1) Для определения коэффициента в этой формуле (при известной волно-
волновой функции в области г ~ 1) надо было бы воспользоваться в области
г < 1/Z выражением C6.25).

330
АТОМ	ГЛ. X
спин-спин. Это связано с тем, что спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие быстро растет с увеличением атомного номера, между
тем как спин-спиновое в основном вообще не зависит от Z (см.
ниже).
Оператор взаимодействия спин-орбита имеет вид
aSa	G2.1)
(суммирование по всем электронам в атоме), где 1$а — операторы
спинов электронов, а Аа — некоторые «орбитальные» операто-
операторы, т. е. операторы, действующие на функции координат. В при-
приближении самосогласованного поля операторы Аа оказываются
пропорциональными операторам 1а орбитального момента элек-
электронов, и тогда можно написать Vs\ в виде
U	Tasa.	G2.2)
При этом коэффициенты суммы выражаются через потенциаль-
потенциальную энергию U(г) электрона в самосогласованном поле следую-
следующим образом:
а - П dU{Ta)	G2 3)
aa-2mVra dra '	[72'6)
Поскольку |С/(г)| убывает с отдалением от ядра, все аа > 0.
Рассматривая взаимодействие G2.2) как возмущение, мы
должны, для вычисления энергии, усреднить его по невозму-
невозмущенному состоянию. Основной вклад в эту энергию дает при
этом область близких к ядру расстояний — расстояния порядка
величины боровского радиуса (~ H2/Zme2) для ядра с заря-
зарядом Ze. В этой области поле ядра практически не экранировано
и потенциальная энергия
так что
H2U
а~ т2с2т2 " " \HcJ П2
Среднее значение а получится отсюда умножением на вероят-
вероятность w нахождения электрона вблизи ядра. Согласно G1.3)
w~Z~2, так что окончательно находим, что энергия спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия электрона

§ 72	ТОНКАЯ СТРУКТУРА АТОМНЫХ УРОВНЕЙ	331
т. е. отличается от основной энергии внешнего электрона в атоме
(~ те^/Н2) только множителем (Ze2/HcJ. Этот множитель бы-
быстро растет с увеличением атомного номера и в тяжелых атомах
оказывается порядка единицы.
Фактическое усреднение оператора возмущения G2.2) по не-
невозмущенным состояниям электронной оболочки производится
в два этапа. Прежде всего усредняем по электронному состоя-
состоянию атома с заданными величинами L и S полных орбитального
момента и спина атома, но не по их направлениям. После та-
такого усреднения Vsi остается еще оператором, который, однако,
должен уже выражаться лишь через операторы величин, харак-
характеризующих атом в целом (а не отдельные электроны в нем).
Таковыми являются операторы L и S.
Обозначим оператор усредненного таким образом спин-ор-
спин-орбитального взаимодействия через Vsl- Оператор, будучи линеен
по S, имеет вид
VSL = ASL,	G2.4)
где А — постоянная, характерная для данного (нерасщепленного)
терма, т. е. зависящая от S и L, но не от полного момента J
атома1).
Для вычисления энергии расщепления вырожденного уров-
уровня надо теперь решить секулярное уравнение, составленное из
матричных элементов оператора G2.4). В данном случае, одна-
однако, мы заранее знаем правильные функции нулевого приближе-
приближения, в которых матрица Vsl диагональна. Это —волновые функ-
функции состояний с определенными значениями полного момента J.
Усреднение по такому состоянию означает замену оператора SL
его собственным значением, равным, согласно C1.3),
LS = l-[J(J + 1) - L(L + 1) - S(S + 1)].
) Для лучшего уяснения смысла описанной операции напомним, что
усреднение означает вообще в квантовой механике взятие соответствующе-
соответствующего диагонального матричного элемента. Частичное же усреднение состоит
в составлении совокупности матричных элементов, диагональных лишь по
некоторым из всех квантовых чисел, определяющих состояние системы. Так,
в данном случае усреднение оператора G2.2) означает составление матрицы
из элементов (nM'LM's\V8i\nMLMs) со всеми возможными Ml, M'l и Ms,
M's и диагональных по всем остальным квантовым числам (совокупность
которых обозначена через п). Соответственно и операторы S и L надо по-
понимать как матрицы (M's\S\Ms) и (Ml|L|M.l), элементы которых даются
формулами B7.13). Подобным приемом поэтапного усреднения нам придет-
придется еще неоднократно пользоваться в дальнейшем.

332
АТОМ	ГЛ. X
Поскольку у всех компонент мультиплета значения L и S одина-
одинаковы, а мы интересуемся лишь их относительным расположени-
расположением, то можно написать энергию расщепления в виде
\AJ{J + \).	G2.5)
Интервалы между соседними компонентами (характеризуемыми
числами J и J — 1) равны, следовательно,
A?j,j_i = AJ.	G2.6)
Эта формула выражает так называемое правило интервалов
Лайде (A.Lande, 1923).
Постоянная А может быть как положительной, так и отри-
отрицательной. При А > 0 наиболее низкой из компонент мульти-
плетного уровня является уровень с наименьшим возможным J,
т.е. J = \L — S\] такие мультиплеты называют нормальными. Ес-
Если же А < 0, то наиболее низким является уровень с J = L + S
(обращенный мультиплет).
Легко определить знак А для нормальных состояний атомов,
если электронная конфигурация такова, что имеется всего одна
не вполне заполненная оболочка. Если эта оболочка заполнена не
более чем наполовину, то, согласно правилу Хунда (§67), все п
электронов в ней имеют параллельные спины так, чтобы полный
спин имел наибольшее возможное значение S = п/2. Подставив
в G2.2) sa = S/n и вынеся аа (одинаковое для всех электронов
в одной оболочке) за знак суммы, получим
т.е. А = a/2S > 0. Если же оболочка заполнена более чем напо-
наполовину, то предварительно прибавим и вычтем из G2.2) такую
же сумму, взятую по свободным вакансиям — дыркам в незапол-
незаполненной оболочке. Поскольку для полностью заполненной оболоч-
оболочки было бы Vsi = 0, то в результате оператор Vsi представит-
представится в виде суммы Vsi = —Ylaa\aSai взятой только по дыркам,
причем полные спин и орбитальный момент атома S = — У^ sa,
L = — 5^1а. Тем же способом, что и выше, получим поэтому
А = -a/2S, т.е. А < 0.
Из сказанного вытекает простое правило, определяющее зна-
значение J в нормальном состоянии атома с одной не вполне за-
заполненной оболочкой. Если в последней находится не более по-
половины максимально возможного для нее числа электронов, то
J = \L — S\. Если же оболочка заполнена более чем наполовину,
то J = L + S.

§ 72	ТОНКАЯ СТРУКТУРА АТОМНЫХ УРОВНЕЙ	333
Как уже упоминалось, взаимодействие спин-спин, в проти-
противоположность спин-орбитальному, в основном не зависит от Z.
Это очевидно уже из самой его природы, как непосредствен-
непосредственного взаимодействия электронов друг с другом, не имеющего
отношения к полю ядра.
Для усредненного оператора взаимодействия спин-спин
должно получиться, аналогично формуле G2.4), выражение,
квадратичное по S. Квадратичными по S выражениями явля-
являются S2 и (LSJ. Из них первое имеет собственные значения, не
зависящие от J, и потому не приводит к расщеплению терма.
Поэтому его можно опустить и написать
VSS = B(SLJ,	G2.7)
где В — постоянная. Собственные значения этого оператора со-
содержат члены, не зависящие от J, члены, пропорциональные
J(J + 1), и, наконец, член, пропорциональный J2(j + IJ. Из них
первые не дают расщепления и потому не интересны, вторые
же могут быть включены в выражение G2.5), что эквивалентно
просто некоторому изменению постоянной А. Наконец, третьи
дают в энергии терма выражение
|j2(J + lJ.	G2.8)
Изложенная в § 66, 67 схема построения атомных уровней
основана на представлении, что орбитальные моменты электро-
электронов складываются в полный орбитальный момент L атома, а
их спины —в полный спин S. Как уже указывалось, такое рас-
рассмотрение возможно лишь при условии малости релятивистских
эффектов; точнее, интервалы тонкой структуры должны быть
малы по сравнению с разностями уровней с различными L, S.
Такое приближение называют расселъ-саундеровским случаем
(Н. Russel, F. Sounders, 1925); говорят также об LS-mune связи.
Фактически, однако, область применимости этого приближе-
приближения ограничена. По LiS-типу построены уровни легких атомов,
а по мере увеличения атомного номера релятивистские взаи-
взаимодействия в атоме усиливаются и рассель-саундеровское при-
приближение становится неприменимым1). Надо также отметить,
что это приближение неприменимо, в частности, к сильно воз-
возбужденным уровням, в которых атом содержит один электрон
в состоянии с большим п и потому находящийся в основном на
1)Хотя количественные формулы, описывающие этот тип связи, и стано-
становятся неприменимыми, но самый способ классификации уровней по этой
схеме может иметь смысл и для более тяжелых атомов, в особенности для
наиболее низких состояний (в том числе для нормального состояния).

334
АТОМ	ГЛ. X
больших расстояниях от ядра (§68). Электростатическое вза-
взаимодействие этого электрона с движением остальных сравни-
сравнительно слабо; релятивистское же взаимодействие в «атомном
остатке» не уменьшается.
В противоположном предельном случае релятивистское вза-
взаимодействие велико по сравнению с электростатическим (точ-
(точнее, по сравнению с той частью последнего, с которой связана
зависимость энергии от L и S). В этом случае нельзя говорить
об орбитальном моменте и спине в отдельности, поскольку они
не сохраняются. Отдельные электроны характеризуются свои-
своими полными моментами j, складывающимися в общий полный
момент атома J. : О такой схеме построения атомных уровней
говорят, как о jj-mune связи. Фактически в чистом виде этот
тип связи не встречается; среди уровней очень тяжелых атомов
наблюдаются различные промежуточные между LS- и jj-типа-
ми виды связи1).
Своеобразный тип связи наблюдается в некоторых сильно
возбужденных состояниях. Атомный остаток может находиться
здесь в рассель-саундеровском состоянии, т. е. характеризовать-
характеризоваться значениями L, S] связь же его с сильно возбужденным элек-
электроном происходит по jj-тииу (это снова связано со слабостью
электростатического взаимодействия для этого электрона).
Некоторыми специфическими особенностями обладает тон-
тонкая структура уровней энергии атома водорода; она будет вы-
вычислена в другом томе этого курса (см. IV, § 34). Здесь мы только
укажем, что при данном главном квантовом числе п энергия за-
зависит только от полного момента j электрона. Таким образом,
вырождение уровней снимается не полностью; уровню с данны-
данными п и j соответствуют два состояния с орбитальными момента-
моментами I = j ± 1/2 (если только j не имеет наибольшего возможного
при данном п значения j = п — 1/2). Так, уровень с п = 3
расщепляется на три уровня, из которых одному соответствуют
состояния 51/2, Pi/2, другому — рз/2, ^3/2 и третьему — d5/2.
§ 73. Периодическая система элементов Менделеева
Выяснение природы установленной Д. И. Менделеевым
A869) периодичности изменения свойств, обнаруживаемой в ря-
ряду элементов, расположенных в порядке увеличения атомного
номера, требует рассмотрения особенностей в последователь-
последовательном заполнении электронной оболочки атомов (N.Bohr, 1922).
1) Подробнее о типах связи и о количественной стороне вопроса см. книгу:
Е. Кондон, Г. Шортпли. Теория атомных спектров. — М.: ИЛ, 1949.

§ 73	ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ МЕНДЕЛЕЕВА	335
При переходе от одного атома к следующему увеличивает-
увеличивается на единицу заряд и к оболочке добавляется один электрон.
На первый взгляд можно было бы ожидать, что энергии свя-
связи каждого из последовательно добавляемых электронов обна-
обнаружат монотонное изменение с увеличением атомного номера. В
действительности, однако, это не так.
В нормальном состоянии атома водорода имеется всего один
электрон в состоянии Is. В атоме следующего элемента— ге-
гелия— добавляется еще один электрон в том же состоянии Is.
Энергия связи каждого из ls-электронов в атоме гелия, однако,
значительно больше, чем энергия связи электрона в атоме во-
водорода. Это обстоятельство является естественным следствием
различия между полем, в котором находится электрон в ато-
атоме Н, и полем, в которое попадает электрон, добавляемый к
иону Не+: на больших расстояниях эти поля примерно совпада-
совпадают, но вблизи ядра с зарядом Z = 2 поле иона Не+ сильнее, чем
поле ядра атома водорода с Z = 1.
В атоме лития (Z = 3) третий электрон попадает в со-
состояние 2s, поскольку в состояниях Is не может находиться
одновременно более двух электронов. При заданном Z уро-
уровень 25 расположен выше уровня 15; по мере увеличения за-
заряда ядра тот и другой понижаются. Однако при переходе от
Z = 2 к Z = 3 первый эффект значительно преобладает над
вторым, и потому энергия связи третьего электрона в ато-
атоме Li значительно меньше энергии связи электронов в атоме
гелия. Далее, в атомах от Be (Z = 4) до Ne (Z = 10) после-
последовательно добавляются сначала еще один 25-электрон, а затем
шесть 2р-электронов. Энергии связи прибавляемых в этом ря-
ряду электронов, ввиду увеличения заряда ядра, в общем рас-
растут. Следующий же добавляемый при переходе к атому Na
[Z = 11) электрон попадает в состояние 35; эффект перехо-
перехода в более высокую оболочку при этом преобладает над эф-
эффектом увеличения заряда ядра, и энергия связи снова сильно
падает.
Такая картина заполнения электронных оболочек характер-
характерна для всей последовательности элементов. Все электронные
состояния можно распределить по последовательно заполняю-
заполняющимся группам: по мере заполнения в ряду элементов каж-
каждой из них энергия связи в общем растет, но в момент начала
заполнения состояний следующей группы энергия связи сильно
падает.
На рис. 24 нанесены известные из спектроскопических дан-
данных ионизационные потенциалы элементов; они определяют
энергии связи электронов, добавляемых при переходе от ка-
каждого элемента к следующему.

336
ATOM
ГЛ. X

§ 73	ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ МЕНДЕЛЕЕВА	337
Различные состояния распределяются на последовательно за-
заполняющиеся группы следующим образом:
Is 		2	электрона,
25,	2р 		8	электронов,
35,	Зр 		8	электронов,
45,	3d, 4р 		18	электронов, G3.1)
55,	4d, 5р ....	18	электронов,
65,	4/, 5d, 6р	32	электрона,
75,	6d, 5/ ...
Первая группа заполняется в Н и Не; заполнение второй и
третьей соответствует двум первым (малым) периодам перио-
периодической системы, содержащим по 8 элементов. Далее следуют
два больших периода по 18 элементов и большой период, вклю-
включающий редкоземельные элементы и содержащий всего 32 эле-
элемента. Последняя группа состояний не заполняется полностью в
существующих в природе (и искусственных трансурановых) эле-
элементах.
Для понимания хода изменения свойств элементов при запол-
заполнении состояний каждой группы существенна следующая осо-
особенность d- и /-состояний, отличающая их от состояний 5 и р.
Кривые эффективной потенциальной энергии центрально-сим-
центрально-симметричного поля (складывающегося из электростатического по-
поля и центробежного поля) для электрона в тяжелом атоме после
быстрого, почти вертикального, спадания вблизи начала коор-
координат имеют глубокий минимум, вслед за чем начинают под-
подниматься, асимптотически приближаясь к нулю. Для 5- и р-со-
стояний эти кривые идут в своей возрастающей части очень
близко друг к другу. Это значит, что в этих состояниях элек-
электрон находится примерно на одинаковых расстояниях от ядра.
Кривые же для d- и, в особенности, для /-состояний проходят
значительно левее; ограничиваемая ими классически доступная
область заканчивается значительно ближе, чем в 5- и р-состоя-
ниях при той же полной энергии электрона. Другими словами,
в d- и /-состояниях электрон находится в основном значительно
ближе к ядру, чем в 5- и р-состояниях.
Ряд свойств атомов (в том числе химические свойства эле-
элементов—см. §81) зависит главным образом от внешних обла-
областей электронных оболочек. В этой связи весьма существенна
описанная особенность d- и /-состояний. Так, при заполнении
состояний 4/ (у редкоземельных элементов—см. ниже) доба-
добавляемые электроны располагаются значительно ближе к ядру,
чем электроны в ранее заполнившихся состояниях. В результате

338
ATOM
ГЛ. X
эти электроны почти не сказываются на химических свойствах,
и все редкоземельные элементы оказываются химически очень
сходными.
Элементы, содержащие заполненные d- и /-оболочки (или
не содержащие их вовсе), называют элементами главных групщ
элементы же, в которых как раз происходит заполнение этих
состояний, называют элементами промежуточных групп. Эле-
Элементы этих групп удобно рассматривать раздельно.
Начнем с элементов главных групп. Водород и гелий облада-
обладают нормальными состояниями:
iH:
21
2Не: ls21S0
(индекс слева у химического символа обозначает везде атомный
номер). Электронные конфигурации остальных элементов глав-
главных групп представлены в табл. 3.
Таблица 3
Электронные конфигурации элементов главных групп
п = 2
3
4
4
5
5
6
6
7
s
3Li
nNa
19К
29С11
37Rb
47Ag
55CS
79 Au
87Fr
2 Q
O1/2
s2
4Be
12Mg
2oCa
30Z11
38 Sr
48Cd
56Ba
80Hg
88 Ra
1 Q
2
s p
5B
isAl
3iGa
49 In
81T1
2Pl/2
eC
uSi
32Ge
50 Sn
82Pb
3Po
s2p3
7N
15P
33AS
51 Sb
83Bi
^3/2
8o
ieS
34Se
S2Te
84P0
3P2
S2/
9F
17CI
3SBr
53I
85 At
2P3/2
s2pe
10 Ne
isAr
зеКг
54 Xe
86 Rn
^0
Is2
2s22p6
3s23p6
3d10
4s24p6
4d10
5s25p6
4/145d10
6s26p6
В каждом атоме полностью заполнены оболочки, указанные в
правом столбце таблицы в той же строчке, а также во всех более
высоких. Электронная конфигурация в заполняющихся оболоч-
оболочках указана сверху, причем главное квантовое число электронов
в этих состояниях указано цифрой, стоящей в левом столбце та-
таблицы в той же строчке. Снизу указаны нормальные состояния
атома в целом. Так, атом А1 имеет электронную конфигурацию
b22s22p63s23p2P1/2.
Значения L и S в нормальном состоянии атома могут быть
определены (при известной электронной конфигурации) с помо-

§ 73	ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ МЕНДЕЛЕЕВА	339
щью правила Хунда (§ 67), а значение J определяется правилом,
указанным в § 72.
Атомы благородных газов (Не, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn) занимают
в таблице особое положение — в каждом из них заканчивается за-
заполнение перечисленных в G3.1) групп состояний. Их электрон-
электронные конфигурации обладают особой устойчивостью (потенциалы
ионизации — наибольшие в соответствующих рядах). С этим свя-
связана и химическая инертность этих элементов.
Мы видим, что заполнение различных состояний происходит
в ряду элементов главных групп очень закономерно — заполня-
заполняются сначала s-, а затем р-состояния каждого главного кван-
квантового числа п. Также закономерны и электронные конфигура-
конфигурации ионов этих элементов (до тех пор, пока при ионизации не
затрагиваются электроны d- и /-оболочек) — каждый ион име-
имеет конфигурацию, соответствующую предыдущему атому. Так,
ион Mg+ имеет конфигурацию атома Na, ион Mg++ — конфигу-
конфигурацию Ne.
Далее, перейдем к элементам промежуточных групп. Запол-
Заполнение оболочек 3d, 4d, bd происходит в группах элементов, назы-
называемых соответственно группами железа, палладия и платины.
В табл. 4 приведены электронные конфигурации и термы
атомов этих групп, известные из экспериментальных спектро-
спектроскопических данных. Как видно из этих таблиц, заполнение
d-оболочек происходит значительно менее закономерно, чем
заполнение 5-и р-оболочек в атомах элементов главных групп.
Характерной чертой является здесь «соревнование» между s-
и d-состояниями. Оно проявляется в том, что вместо законо-
закономерной последовательности конфигураций типа dps2 с возрас-
возрастающими р часто более выгодными оказываются конфигурации
типа dp+1s или dp+2. Так, в группе железа атом Сг имеет кон-
конфигурацию 3g?54s, а не 3d44s2; после Ni с восемью d-электронами
следует сразу атом Си с полностью заполненной d-оболочкой
(и потому отнесенный нами к главным группам). Такое же от-
отсутствие закономерности наблюдается и в отношении термов
ионов — электронные конфигурации ионов обычно не совпада-
совпадают с конфигурацией предыдущих атомов. Например, ион V+
имеет конфигурацию 3d4 (а не 3d24s2, как Ti), ион Fe+—конфи-
Fe+—конфигурацию 3<i24s (вместо конфигурации 3<i54s2 атома Мп). От-
Отметим, что все ионы, встречающиеся в естественном виде в
кристаллах и растворах, содержат в незаполненных оболочках
только d- (но не s- и р-) электроны. Так, железо встречается в
кристаллах или растворах только в виде ионов Fe++ и Fe+++, с
конфигурациями соответственно 3d6 и 3d5.

340
ATOM
ГЛ. X
Таблица 4
Электронные конфигурации атомов элементов групп
железа, палладия и платины
Группа железа
Оболочка
Ar+
Оболочка
Kr+
Оболочка
Хе+
si
VD ^
° X
21SC
3d4s2
39Y
D3/2
57La
2^3/2
7iLu
2Я3/2
22Ti
3 jp
Г2
23V
3d34s2
4 тр
^3/2
Труп
40zr
4f;;2
4iNb
24 СГ
ЗЛ,
25 МП
6 Q
^5/2
26 Fe
3fpf
па п алл адия
42М0
43 Те
6 Q
^5/2
44 Ru
Группа платины
72Hf
73Та
bds6s2
F3/2
74W
75 Re
76 OS
27Со
28Ni
3d84s2
45 Rb
4^9/2
4eRd
77ir
4 771
^9/2
78P
3D3
Аналогичное положение имеет место и при заполнении
4/-оболочки, происходящем в ряду элементов, известных под
названием редкоземельных (табл. 5I). Заполнение 4/-оболочки
тоже происходит не вполне закономерным образом, характери-
характеризуясь соревнованием между 4/-, bd- и бз-состояниями.
Последняя группа промежуточных элементов начинается с
актиния. В ней происходит заполнение 6d- и 5/-оболочек, анало-
аналогичное заполнению в ряду редкоземельных элементов (табл. 6).
1) В курсах химии Lu обычно тоже причисляется к редкоземельным эле-
элементам. Это, однако, неправильно, так как в нем оболочка 4/ уже заполнена;
Lu должен быть отнесен к группе платины, что и сделано в табл. 4.

j 73
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ МЕНДЕЛЕЕВА
341
Таблица 5
Электронные конфигурации атомов редкоземельных
элементов
Оболочка
Хе+
5sCe
4/5d6s2
64Gd
AfbdQs2
9D2
59РГ
4/36s2
4 j
J-Q/2
6STb
4/96s2
6 TT
-5/2
eoNd
4/46s2
5 т
eeDy
4/106s2
5 т
6iPm
4/56s2
6H5/2
67HO
4/n6S2
4т
-«15/2
62Sm
4/66s2
7 jp
-TO
esEr
4/126s2
3He
63 Eu
4/76s2
8 Q
O7/2
69Tu
4/136s2
2 jp
^7/2
70^6
4/146s2
Таблица 6
Электронные конфигурации атомов группы актинидов
Оболочка
Rn+
sgAc
6d7s2
2D3/2
90 Th
6d27s2
3F2
91 Pa
5/26d7s2
-K"ll/2
92U
5/36d7s2
93Np
5/46d7s2
-^11/2
94PU
5/67s2
7F0
95Am
5/77S2
8s7/2
96 Cm
Sf76d7s2
9D2
В заключение этого параграфа остановимся на одном ин-
интересном применении метода Томаса-Ферми. Мы видели, что
электроны в р-оболочке появляются впервые в пятом элемен-
элементе (В), d-электроны появляются при Z\ (Sc), а /-электроны —
при ZX(Ce). Эти значения Z могут быть предсказаны с помо-
помощью метода Томаса-Ферми следующим образом.
Электрон с орбитальным моментом / в сложном атоме дви-
движется, имея «эффективную потенциальную энергию», равную
ад—
Первый член есть потенциальная энергия в электрическом поле,
описываемом потенциалом Томаса-Ферми <р(г). Второй же член
) Как и в § 70, используются атомные единицы.

342
АТОМ	ГЛ. X
есть центробежная энергия, в которой мы пишем (/ + 1/2J вме-
вместо /(/ + 1) ввиду квазиклассичности движения. Поскольку пол-
полная энергия электрона в атоме отрицательна, то ясно, что если
(для данных значений Z и /) С//(г) > 0 при всех г, то в данном
атоме вообще не может быть электронов с рассматриваемым зна-
значением момента /. Если рассматривать какое-либо определенное
значение / и менять Z, то окажется, что при слишком малых Z
действительно будет везде С//(г) > 0. При увеличении Z насту-
наступает момент, когда кривая XJ\ = Ui(r) касается оси абсцисс, а
при больших Z имеется уже область, в которой С//(г) < 0. Та-
Таким образом, момент появления в атоме электронов с данным /
определяется условием касания кривой С//(г) оси абсцисс, т.е.
уравнениями
Подставив сюда выражение G0.6) для потенциала, получим
уравнения
1 (х) - Х(х) = о / 4 \ 2/3 (I + 1/2J ^
= о / 4
х	\3тг/
Разделив второе из этих уравнений почленно на первое, найдем
для х уравнение
Х(х)	х'
после чего по первому из уравнений G3.2) вычисляем Z. Чис-
Численный расчет дает
Z = 0,155B/ + 1K.
Эта формула определяет значения Z, при которых в атоме впер-
впервые появляются электроны с данным / (с погрешностью око-
около 10%). Совсем точные значения получаются, если вместо ко-
коэффициента 0,155 выбрать 0,17:
Z = 0,17B/ + 1K.	G3.3)
Для / = 1,2,3 эта формула дает, после округления до ближай-
ближайших целых чисел, как раз правильные значения 5, 21, 58. Для
/ = 4 формула G3.3) дает Z = 124; это значит, что g-электроны
должны были бы впервые появиться лишь в 124-м элементе.

§ 74	РЕНТГЕНОВСКИЕ ТЕРМЫ	343
§ 74. Рентгеновские термы
Энергия связи внутренних электронов в атоме настолько ве-
велика, что если такой электрон переходит во внешнюю незапол-
незаполненную оболочку (или вообще удаляется из атома), то возбуж-
возбужденный атом (или ион) оказывается механически неустойчивым
по отношению к ионизации, сопровождающейся перестройкой
электронной оболочки и образованием устойчивого иона. Одна-
Однако, ввиду сравнительной слабости электронных взаимодействий
в атоме, вероятность такого перехода все же сравнительно ма-
мала, так что продолжительность жизни т возбужденного состоя-
состояния велика. Поэтому «ширина» уровня Н/т (см. § 44) оказывается
достаточно малой для того, чтобы имело смысл рассматривать
энергии атома с возбужденным внутренним электроном как дис-
дискретные уровни энергии «квазистационарных» состояний атома.
Эти уровни называются рентгеновскими термами1).
Рентгеновские термы классифицируются прежде всего указа-
указанием оболочки, из которой удален электрон, или, как говорят, в
которой образовалась дырка. Куда именно при этом попал элек-
электрон — почти не отражается на энергии атома и поэтому несуще-
несущественно.
Полный момент совокупности электронов, заполняющих не-
некоторую оболочку, равен нулю. После удаления из нее одного
электрона оболочка приобретет некоторый момент j. Для обо-
оболочки (п, /) момент j может принимать значения / ± 1/2. Таким
образом, мы получим уровни, которые можно было бы обозна-
обозначать через lsi/2, 2si/2? %Pi/2i 2рз/2> • • • •> гДе значение j приписыва-
приписывается в виде индекса к символу, указывающему местонахождение
дырки. Общеприняты, однако, специальные символы со следую-
следующим соответствием:
Sl/2,
К
/	/	/	/	/	/	/	/
L\ L\\ Liu Mi Мц Mill Miv My
Уровни с п = 4, 5,6 обозначаются аналогичным образом буква-
буквами N, О, Р.
Уровни с одинаковыми п (обозначаемые одинаковой большой
буквой) расположены близко друг от друга и далеко от уровней
с другими п. Причина этого заключается в том, что, благода-
благодаря относительной близости внутренних электронов к ядру, поле,
в котором они находятся, является почти не экранированным
полем ядра. В связи с этим их состояния водородоподобны и
х) Название связано с тем, что переходы между этими уровнями приводят
к испусканию атомом рентгеновских лучей.

344
АТОМ	ГЛ. X
их энергия, в первом приближении, равна —Z2/2n? (в атомных
единицах), т.е. зависит только от п.
Учет релятивистских эффектов приводит к отделению друг
от друга термов с различными j (ср. сказанное в § 72 о тонкой
структуре водородных уровней), как, например, L\ и Ьц от L\\\\
М\ и М\\ от М\\\ и Miy. Такие пары уровней называют реляти-
релятивистскими дублетами.
Разделение же термов с различными / при одинаковом j (на-
(например L\ от Ьц, М\ от М\\) связано с отклонением поля, в ко-
котором находятся внутренние электроны, от кулонова поля ядра,
т. е. с учетом взаимодействия электрона с другими электронами.
Такие дублеты называют экранировочными. Главный поправоч-
поправочный член к «водородоподобной» энергии электрона возникает
от потенциала, создаваемого остальными электронами в области
вблизи ядра; он пропорционален (Z4/3 (см. G0.8)). Однако по-
поскольку эта поправка не зависит ни от п, ни от /, она не отра-
отражается на интервалах между уровнями. Поэтому главные попра-
поправочные члены в разностях уровней связаны с взаимодействием
одного электрона с ближайшими к нему электронами. Посколь-
Поскольку расстояния между внутренними электронами г ~ 1/Z (бо-
ровский радиус в поле заряда Z\ энергия указанного взаимо-
взаимодействия ^ \/r ~ Z. С учетом этой поправки энергию рент-
рентгеновского терма можно написать, с той же точностью, в виде
— (Z — 5J/2п2, где S = <$(п,/) — малая (по сравнению с Z) ве-
величина, которую можно рассматривать как меру экранировки
заряда ядра.
Наряду с рентгеновскими термами с одной дыркой в элек-
электронных оболочках могут существовать также и термы с двумя
и тремя дырками. Поскольку у внутренних электронов взаимо-
взаимодействие спин-орбита является сильным, то связь дырок друг с
другом осуществляется по типу jj-связи.
Ширина рентгеновского терма определяется суммарной ве-
вероятностью всех возможных процессов перестройки электрон-
электронной оболочки атома с заполнением данной дырки. В тяжелых
атомах основную роль играют при этом переходы дырки из дан-
данной оболочки в более высокую (т. е. обратные переходы электро-
электронов), сопровождающиеся испусканием рентгеновского кванта.
Вероятности этих «радиационных» переходов, а с ними и со-
соответствующая часть ширины уровня, очень быстро — как Z4—
растут с увеличением атомного номера, но падают (при задан-
заданном Z) в последовательности от более к менее глубоким уров-
уровням.
Для более легких атомов (и для более высоких уровней)
существенную, или даже преобладающую, роль играют

§ 75	МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ	345
безызлунательные переходы, в которых энергия, освобождающа-
освобождающаяся при заполнении дырки более высоким электроном, исполь-
используется для вырывания из атома другого внутреннего электрона
(так называемый эффект Оэюе)\ в результате такого процесса
атом остается в состоянии с двумя дырками. Вероятности этих
процессов и соответствующий им вклад в ширину уровня, в пер-
первом приближении (по 1/Z), не зависят от атомного номера (см.
задачуI).
Задача
Найти предельный закон зависимости оже-ширины рентгеновских тер-
термов от атомного номера при достаточно больших значениях последнего.
Решение. Вероятность оже-перехода пропорциональна квадрату
матричного элемента вида
м
= I I ipi гр2 '
JJ
где фг, ф2 и. ф[, ф2 — начальные и конечные волновые функции двух участ-
участвующих в переходе электронов, а V = е2/пг — энергия их взаимодействия.
При достаточно больших Z можно считать волновые функции внутренних
электронов водородоподобными и пренебречь экранировкой поля ядра дру-
другими электронами (водородоподобной является также и волновая функция
ионизационного электрона в существенной для интеграла М области в глу-
глубине атома). Если производить вычисления, выражая все величины в куло-
новых единицах (с постоянной а = Ze2, см. §36), то единственной завися-
зависящей от Z величиной в интеграле М будет V = 1/Zri2, так что М ~ 1/Z.
Вероятность перехода, а с нею и оже-ширина уровня АЕ будет пропорцио-
пропорциональна Z~2. Возвращаясь к обычным единицам (кулонова единица энергии
есть Z2me4:/h2), найдем, что АЕ не зависит от Z.
§ 75. Мультипольные моменты
В классической теории электрические свойства системы ха-
характеризуются ее мультипольными моментами различных по-
порядков, выражающимися через заряды и координаты частиц. В
квантовой теории определения этих величин сохраняют тот же
вид, но должны рассматриваться как операторные.
Первым из мультипольных моментов является дипольный
момент, определяемый как вектор
= > ег
(суммирование производится по всем частицам в системе; ин-
индекс, нумерующий частицы, для краткости опускаем). Матрица
1) Для примера укажем, что оже-ширина if-уровня составляет около 1 эВ,
а для более высоких уровней она достигает значений около 10 эВ.

346
АТОМ	ГЛ. X
этого оператора—как и всякого полярного вектора (см. §30) —
имеет отличные от нуля элементы только для переходов меж-
между состояниями различной четности. Поэтому, во всяком случае,
равны нулю все диагональные элементы. Другими словами, рав-
равны нулю средние значения дипольного момента любой системы
частиц (например, атома) в стационарных состояниях1).
То же самое относится, очевидно, вообще ко всем 2г-польным
моментам с нечетными значениями /. Компоненты такого момен-
момента представляют собой полиномы нечетной (/-й) степени по ко-
координатам, меняющие — как и компоненты полярного вектора —
знак при инверсии координат; поэтому и для них справедливо то
же самое правило отбора по четности.
Квадруполъный момент системы определяется как симмет-
симметричный тензор
Q ^>(	52)	G5Л)
с равной нулю суммой диагональных членов. Определение зна-
значений этих величин в том или ином состоянии системы (скажем,
атома) требует усреднения оператора G5.1) по соответствующей
волновой функции. Это усреднение целесообразно производить
в два этапа (ср. § 72).
Обозначим через Q^ оператор квадрупольного момента,
усредненный по электронным состояниям с заданным значением
полного момента J (но не его проекции Mj).
Усредненный таким образом оператор может выражаться
лишь через операторы величин, характеризующих состояние
атома в целом. Единственным таким вектором является «век-
«вектор» J. Поэтому оператор Qik должен иметь вид
где выражение в скобках составлено так, чтобы быть симмет-
симметричным по индексам г, А: и давать нуль при упрощении по этой
паре индексов (о смысле коэффициента Q см. ниже). Операто-
1)Во избежание недоразумений подчеркнем, что речь идет о замкнутой
системе частиц, или о системе частиц в центрально-симметричном внешнем
электрическом поле. Так, если рассматривать ядра как «закрепленные», то
сделанное общее утверждение справедливо для электронной системы атома,
но не молекулы.
Предполагается также, что нет никакого дополнительного («случайного»)
вырождения уровня энергии, помимо вырождения по направлениям полного
момента. В противном случае можно составить такие волновые функции ста-
стационарных состояний, которые не обладали бы определенной четностью, и
соответствующие им диагональные элементы дипольного момента не долж-
должны обращаться в нуль.

§ 75	МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ	347
ры Ji надо понимать здесь как известные нам (§ 27, 54) матри-
матрицы по отношению к состояниям с различными значениями Mj\
оператор J2 можно, конечно, заменить просто его собственным
значением J(J + 1).
Поскольку три компоненты момента J не могут одновремен-
одновременно иметь определенные значения, то то же самое относится и к
компонентам тензора Q^. Для компоненты Qzz имеем
о
Qzz JBJ-1)
В состоянии с заданными значениями J2 = J(J + 1) и Jz = Mj
имеет определенное значение также и Qzz\
При Mj = J (момент направлен «целиком» по оси z) имеем
Qzz = Q\ эту величину и называют обычно просто квадруполь-
ным моментом.
При J = 0 все элементы матриц момента равны нулю, так
что исчезают и операторы G5.2). Они тождественно обращают-
обращаются в нуль также и при J = 1/2. В этом легко убедиться, непо-
непосредственно перемножая матрицы Паули E5.7), представляю-
представляющие собой матрицы компонент всякого момента, равного 1/2.
Это обстоятельство не случайно, а является частным случаем
общего правила: тензор 2г-польного момента (с четным /) отли-
отличен от нуля только для состояний системы с полным моментом
импульса
J ^ 1/2.	G5.4)
Тензор 2г-польного момента есть неприводимый тензор ранга /
(см. II, §41), и условие G5.4) является следствием общих правил
отбора по моменту для матричных элементов таких тензоров —
условие, при котором могут быть отличны от нуля диагональ-
диагональные матричные элементы (§ 107). Как уже было отмечено выше,
правило отбора по четности требует при этом, чтобы / было
четным числом.
Следует также учесть, что электрические мультипольные мо-
моменты являются чисто «орбитальными» величинами (их опе-
операторы не содержат операторов спина). Поэтому если спин-
орбитальным взаимодействием можно пренебречь, так что L
и S сохраняются по отдельности, матричные элементы муль-
типольных моментов подчиняются правилам отбора не только
по квантовому числу J, но и по L.

348
АТОМ	ГЛ. X
Задачи
1. Найти связь между операторами квадрупольного момента атома в
состояниях, отвечающих различным компонентам тонкой структуры уровня
(т. е. состояниям с различными значениями J при заданных значениях L
и S).
Решение.В состояниях с заданными значениями L и S оператор
квадрупольного момента, как чисто орбитальной величины, зависит лишь
от оператора L и потому выражается такой же формулой G5.2) с заменой J
на L (и с другой постоянной Q). Оператор G5.2) получится из него путем
дополнительного усреднения по состоянию с данным значением J:
j
jk + jkji
2J(J — 1) L	3
Требуется найти связь между коэффициентами Qj и Ql- Для этого
умножим равенство A) слева на J и справа на J& (с суммированием по г
и к) и перейдем к собственным значениям диагональных операторов. При
этом
JiLiLkJk = (JLJ,
где, согласно формуле C1.4),
2JL = J(J + 1) + L(L + 1) - S(S + 1).
Произведение же JiLkLiJk преобразуется с помощью формул
подобно тому как это было сделано в задаче к § 29, и дает
JiLkLiJk = (JLJ - (JL).
Аналогичным образом
JijJJk = (j2J, jJJiJk = j2(j2 -1).
В результате получим из A) следующее соотношение:
3(JL)BJL - 1) - 2J(J + 1)L(L + 1
(J+1)BJ + 3)LBL-1)	'
В частности, для S = 1/2 эта формула дает
Qj = Ql	при J = L+-,
п	(L-l)BL + 3)
Qj = QL
2. Выразить квадрупольный момент электрона (заряд— |е|) с орбиталь-
орбитальным моментом / через средний квадрат его расстояния до центра.
Решение. Мы должны усреднить выражение
2/о 2
2/о 2
Qzz = -\e\rCcos2 в - 1) = -\e\rCnz -

§ 76	МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ	349
по состоянию с данным моментом / и проекцией момента т = Z. Среднее
значение углового множителя непосредственно определяется по полученной
в задаче к § 29 формуле (в которой надо заменить 1г на I), и в результате
найдем
Q« = |eF^.	A)
Знак этой величины противоположен знаку заряда электрона, как и
должно было быть: частица, движущаяся с моментом, направленным вдоль
оси z, находится в основном вблизи плоскости z = 0 и потому cos2 в < 1/3.
Для электрона с заданным значением j = / ± 1/2 переход с помощью
формул C) дает
Qj = |e|H^i.	B)
3 ' ' 2J + 2	У J
3. Определить квадрупольный момент атома (в основном состоянии), в
котором все v электронов сверх заполненных оболочек находятся в эквива-
эквивалентных состояниях с орбитальным моментом /.
Решение. Поскольку суммарный квадрупольный момент заполнен-
заполненных оболочек равен нулю, оператор квадрупольного момента атома есть
сумма
взятая по v внешним электронам (здесь использована формула D)).
Предположим сначала, что v $С 21 + 1, т. е. заполнена половина или ме-
менее мест в оболочке. Тогда по правилу Хунда (§ 67) спины всех v электронов
параллельны (так что S = v/2). Это значит, что спиновая волновая функ-
функция атома симметрична, а потому координатная волновая функция анти-
антисимметрична по этим электронам. Следовательно, все электроны должны
иметь различные значения т, так что наибольшее возможное значение Ml
(и совпадающее с ним L) равно
L = (Mb)max= ^Г т= ii/BZ-i/ + l).
m=l-u-\-\
Искомое Ql есть собственное значение Qzz при Ml = L. Имеем поэтому
откуда, после вычисления суммы,
Окончательный переход от Ql к Qj производится по формуле B).
Случай атома с более чем наполовину заполненной внешней оболочкой
сводится к предыдущему путем перехода к рассмотрению дырок вместо
электронов; поэтому ответ дается той же формулой F) с измененным об-
общим знаком (заряд дырки равен +|е|), причем под v надо понимать теперь
не число электронов, а число свободных вакансий в оболочке.

350
АТОМ	ГЛ. X
§ 76. Атом в электрическом поле
Если поместить атом во внешнее электрическое поле, то его
уровни энергии изменяются; это явление называют эффектом
Штарка.
В атоме, помещенном в однородное внешнее электрическое
поле, мы имеем дело с системой электронов, находящихся в акси-
аксиально-симметричном поле (поле ядра вместе с внешним полем).
В связи с этим полный момент импульса атома, строго говоря,
перестает сохраняться; сохраняется лишь проекция Mj полного
момента J на направление этого поля. Состояния с различны-
различными значениями Mj будут обладать различными энергиями, т. е.
электрическое поле снимает вырождение по направлениям мо-
момента. Это снятие, однако, неполное: состояния, отличающиеся
лишь знаком Mj, по-прежнему имеют одну и ту же энергию.
Действительно, атом в однородном внешнем электрическом по-
поле симметричен по отношению к отражению в любой плоскости,
проходящей через ось симметрии (ось, проходящая через ядро
в направлении поля; ниже мы выбираем ее в качестве оси z).
Поэтому состояния, получающиеся друг из друга посредством
такого отражения, должны обладать одинаковой энергией. Но
при отражении в плоскости, проходящей через некоторую ось,
момент импульса относительно этой оси меняет свой знак (на-
(направление положительного обхода вокруг оси переходит в отри-
отрицательное) .
Будем предполагать электрическое поле достаточно сла-
слабым—настолько, что обусловленная им дополнительная энергия
мала по сравнению с расстояниями между соседними уровнями
энергии атома, в том числе по сравнению с интервалами тонкой
структуры. Тогда для вычисления смещения уровней в элек-
электрическом поле можно воспользоваться теорией возмущений,
развитой в § 38, 39. Оператором возмущения является при этом
энергия системы электронов в однородном поле ?, равная
V = -dS = -?dz,	G6.1)
где d—дипольный момент системы. В нулевом приближении
уровни энергии вырождены (по направлениям полного момен-
момента); однако в данном случае это вырождение несущественно, и
при применении теории возмущений можно поступать так, как
если бы мы имели дело с невырожденными уровнями. Это сле-
следует из того, что в матрице величины dz (как и ^-компоненты
всякого другого вектора) отличны от нуля только элементы для
переходов без изменения Mj (см. §29), а потому состояния, от-
отличающиеся значениями Mj, ведут себя при применении теории
возмущений независимо друг от друга.

§ 76	АТОМ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	351
Смещение уровней энергии в первом приближении опреде-
определяется соответствующими диагональными матричными элемен-
элементами возмущения. Однако диагональные матричные элементы
дипольного момента равны нулю (§75). Поэтому расщепление
уровней в электрическом поле является эффектом второго по-
порядка по полю1). Как квадратичная по полю величина, смеще-
смещение АЕп уровня Еп должно выражаться формулой вида
АЕп = -1а^?А,	G6.2)
где а^ — симметричный тензор; выбрав ось z в направлении
поля, получим
АЕп = -\a^S\	G6.3)
Тензор а^к представляет собой в то же время поляризуе-
поляризуемость атома во внешнем электрическом поле. Действительно,
понимая в общей формуле A1.16) под параметрами Л компонен-
компоненты вектора ?{ и полагая Н = Щ — ?{di, найдем, что среднее
значение индуцируемого полем дипольного момента атома есть
-i(n) _ 8АЕп
Подставив сюда G6.2), получим
4П) = с$?к.	G6.4)
Вычисление поляризуемости должно производиться по об-
общим правилам теории возмущений. Согласно формуле второго
приближения C8.10) имеем
(П)	О V^' (di)nm(dk)mn	/7л г\
агк =~21^ Еп-Ет '	G6'5)
т
Поляризуемость атома зависит от его (невозмущенного) со-
состояния, в том числе от квантового числа Mj. Эта последняя
зависимость может быть установлена в общем виде. Значе-
(п)	„ Л/Г
ния а^к для различных значении Mj можно рассматривать как
собственные значения оператора
^ik = an$ik + PniJiJk + JjzJ% ~ ~^ik^ )\	G6.6)
о
x) Исключение составляет атом водорода, у которого штарк-эффект ли-
линеен по полю (см. следующий параграф). Подобно водороду ведут себя в
достаточно сильных полях также и атомы других элементов, находящиеся
в сильно возбужденных (и потому водородоподобных, см. § 68) состояниях.

352
АТОМ	ГЛ. X
это есть общий вид симметричного тензора второго ранга, зави-
зависящего от вектора J (ср. §75). Из G6.3) и G6.6) имеем
АЕп = -у {«n + Wn [Mj - \j{J + 1)] }.	G6.7)
При суммировании по всем значениям Mj второй член в фи-
фигурных скобках обращается в нуль, так что первый член пред-
представляет собой общее смещение «центра тяжести» расщеплен-
расщепленного уровня. Отметим также, что, согласно G6.7), уровень с
J = 1/2 остается нерасщепленным в согласии с теоремой Кра-
мерса (§60).
Если атом находится в неоднородном внешнем поле (мало ме-
меняющемся на протяжении размеров атома), то может существо-
существовать также и линейный по полю эффект расщепления, связанный
с квадрупольным моментом атома. Оператор квадрупольного
взаимодействия системы с полем имеет вид, соответствующий
классическому выражению квадрупольной энергии (см. II, §42):
где (р — потенциал электрического поля (подразумеваются значе-
значения производных в месте нахождения атома).
Задачи
1. Определить зависимость штарковского расщепления различных ком-
компонент мультиплетного уровня от J.
Решение. Задачу удобно решать, переставляя порядок наложения
возмущений; сначала рассматриваем штарковское расщепление уровня без
тонкой структуры, а затем вводим взаимодействие спин-орбита. Поскольку
спин атома не взаимодействует с внешним электрическим полем, штарков-
штарковское расщепление уровня с данным орбитальным моментом L определяется
формулой того же вида G6.2) с тензором а?^, выражающимся через опера-
оператор L так же, как в G6.6) он выражается через J:
(^ ^ ^ ^ о
LL + LL
(индексы п везде опускаем). После введения взаимодействия спин-орбита
состояния атома должны характеризоваться полным моментом J. Усред-
Усреднение оператора oHik по состояниям с заданным значением момента J (но
не его проекции Mj) формально совпадает с усреднением, произведенным в
задаче 1 § 75. В результате мы вернемся к формулам G6.6), G6.7) с постоян-
постоянными а, /3, выражающимися через постоянные а, Ъ согласно соотношениям
- 1] - 2J(J + 1)L(L + 1)
а~п'	J(J + l)BJ-l)BJ + 3)
Тем самым определяется зависимость расщепления от J (но, разумеется,
не от L и 5, от которых—как от характеристик нерасщепленного терма —
зависят также и постоянные а, Ъ).

§ 76	АТОМ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	353
2. Определить расщепление дублетного уровня (спин S = 1/2) в произ-
произвольном (не слабом) электрическом поле.
Решение. Если величина расщепления не мала по сравнению с ин-
интервалом между компонентами дублета, возмущение от электрического по-
поля и взаимодействие спин-орбита должны учитываться одновременно, т. е.
оператором возмущения является сумма:
V = ASL - -S2 [а + 26 \l2z - -L(L + 1)
2 1	L	3
(ср. G2.4) и предыдущую задачу). Опустив несущественные для расщепле-
расщепления постоянные члены, перепишем этот оператор в виде (см. B9.11))
V = - [S+L- + S-L+ + 2SZLZ] - bS2L2z.
При каждом заданном значении М = Mj собственные значения это-
этого оператора определяются корнями секулярного уравнения, составлен-
составленного из матричных элементов по отношению к состояниям \MlMs) =
= \М =р 1/2, ±1/2). С помощью формул B7.12) находим
(М - 1/2,1/2\V\M - 1/2,1/2) = -
(М + 1/2, -1/2\V\M + 1/2, -1/2) = --
л г/	1 \ /	~\\~\1/2
(М - 1/2,1/2|У|М+ 1/2,-1/2) = -(L + M+-j(L-M+-J
В результате (см. задачу 1 § 39) для смещения уровней получим
АЕ = -Ъ82М2±Х\— f L+-J +Ъ82(Ъ82 + А)М2-	A)
здесь опущены все члены, одинаковые для всех компонент расщепляюще-
расщепляющегося дублета. Эта формула (с обоими знаками перед корнем) относится ко
всем уровням с \М\ $С L — 1/2. Значению \М\ = L — 1/2 отвечает лишь
одно состояние \MlMs), и смещение уровня дается просто соответствую-
соответствующим диагональным матричным элементом. С тем же выбором аддитивной
постоянной, что и A), находим
)A)AJ	B)
(что совпадает с результатом, получаемым по формуле A) с одним знаком
перед корнем).
3. Определить квадрупольное расщепление уровней в аксиально-сим-
аксиально-симметричном электрическом полех) .
Решение. В поле, симметричном относительно оси z, имеем
дх2 ду2 ~ а' dz
_
2 ~ '
х) Аналогичная задача для произвольного поля — см. задачу 6, § 103.

354
АТОМ	ГЛ. X
остальные вторые производные равны нулю. Оператор G6.8) квадрупольной
энергии имеет вид
Заменяя операторы их собственными значениями, получим для смещения
уровней
4. Вычислить поляризуемость атома водорода в основном состоянии.
Решение. Ввиду сферической симметрии s-состояния тензор поля-
поляризуемости сводится к скаляру (а^ = &Sik), для которого имеем, соглас-
согласно G6.5),
(дипольный момент электрона dz = ez\ Eq—энергия основного уровня).
Введем вспомогательный оператор Ъ согласно определению
_ т db
Z ~ П dt
(т — масса электрона). Тогда zok = (гт/Н2)(Ео — Ек)Ьок и затем
2ime2 v-^	2ime2 , .
2b(j
П к	П
Для вычисления этой величины достаточно знать результат действия Ь на
волновую функцию фо(г).
Согласно (9.2) имеем
т db	^m
п dt	n
Обозначив функцию Ьфо через Ь(г)фо и учтя, что фо удовлетворяет уравне-
уравнению Нфо = Еофо, где Н = — Н2А/2т-\- ?/(г), получим для Ь(г) дифференци-
дифференциальное уравнение
Подстановкой b = cos Of (r) (где в—полярный угол в сферических коорди-
координатах, z = г cos в) оно приводится к виду
fl + L.L + ^f = ir.	B)
2 г г фо
Его решение должно удовлетворять условию конечности fx/jo при г —»> О
и г —»> оо.
Для основного состояния атома водорода фо = ехр(—г/ав)/у/к {ав =
= h2/те2 — боровский радиус). Решение уравнения B), удовлетворяющее
поставленному условию, есть / = —ъгав{о>в -\-г/2). По формуле A) находим
теперь х)
2г , Р 2 л\ ^г . ГЧ	9 з
" = —(rfcos 0)оо-—(г/)оо = -ав-
1) В следующем параграфе этот результат будет найден другим путем.

§ 77	АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	355
5. Вычислить поляризуемость электрона, находящегося в связанном
s-состоянии в потенциальной яме с радиусом действия сил а таким, что
аус <С 1, где ус = л/2т\Ео\/Н, \Ео\ — энергия связи электрона.
Решение. Ввиду условия уса <С 1 при вычислении матричного эле-
элемента (zb)оо областью внутри ямы можно пренебречь и пользоваться во всем
пространстве волновой функцией
2тг г
относящейся к области вне ямы (нормировка этой функции тоже учитывает
условие уса <С 1; см. об этом подробнее в § 133). Уравнение B) предыдущей
задачи принимает вид
У " ^ ~ ^2 - гг
и его решение, удовлетворяющее граничным условиям: / = — гг /2ус. Вы-
Вычисление по формуле A) приводит к результату:
о
те
& = —^—г-
§ 77. Атом водорода в электрическом поле
Уровни атома водорода, в отличие от уровней других ато-
атомов, в однородном электрическом поле испытывают расщепле-
расщепление, пропорциональное первой степени поля (линейный эффект
Штарка). Это связано с наличием у водородных термов слу-
случайного вырождения, в силу которого состояния с различными
значениями / (при заданном главном квантовом числе п) обла-
обладают одинаковыми энергиями. Матричные элементы дипольно-
го момента для переходов между этими состояниями отнюдь не
равны нулю, а потому секулярное уравнение дает уже в первом
приближении отличное от нуля смещение уровней1).
Для вычисления удобно выбрать невозмущенные волновые
функции таким образом, чтобы матрица возмущения была диа-
гональна по отношению к каждой группе взаимно вырожденных
состояний. Оказывается, что это осуществляется путем кванто-
квантования атома водорода в параболических координатах. Волно-
Волновые функции фп1П2т стационарных состояний атома водорода в
параболических координатах определяются формулами C7.15),
C7.16).
) В нижеследующих вычислениях мы не учитываем тонкой структуры во-
водородных уровней. Поэтому поле должно быть хотя и не сильным (условие
применимости теории возмущений), но в то же время таким, чтобы штарков-
ское расщепление было велико по сравнению с тонкой структурой. Обрат-
Обратный случай — см. задачу 1 в т. IV, § 52.

356
АТОМ	ГЛ. X
Оператор возмущения (энергия электрона в поле ?) есть
?z = ?(? — т})/2 (поле направлено в положительном, а дей-
действующая на электрон сила— в отрицательном направлении
оси zI). Нас интересуют матричные элементы для переходов
П1П2ГП —»> п^тт^га', при которых энергия (т.е. главное квантовое
число п) не меняется. Легко видеть, что из них оказываются
отличными от нуля только диагональные матричные элементы
оо оо 2тг
/ \Фп1п2т\2?^AУ = ~ / / (?2 ~
0 0 0
оо оо
-VI*
,Zim(Pi)&m(P2№ ~ P\) dpi dP2 G7.1)
0 0
(мы произвели подстановку ? = npi, 77 = np2). В отношении чи-
числа т диагональность рассматриваемой матрицы очевидна; что
касается чисел ni, 712, то диагональность по отношению к ним
следует из взаимной ортогональности функций fnim с различ-
различными ni и одинаковыми т (см. ниже). Интегрирования по dpi
и по dp2 в G7.1) разделяются; получающиеся интегралы вычис-
вычислены в § f математического дополнения (интеграл (f.6)). После
простого вычисления получим в результате для поправки перво-
первого приближения к уровням энергии2)
- п2)	G7.2)
или в обычных единицах
Две крайние компоненты расщепившегося уровня соответствуют
ni = п — 1, П2 = 0 и ni = 0, П2 = п — 1. Расстояние между этими
двумя крайними уровнями есть, согласно G7.2),
3?п(п — 1),
т. е. общее расщепление уровня при эффекте Штарка примерно
пропорционально т?. Увеличение расщепления с главным кван-
квантовым числом естественно: чем дальше от ядра находятся элек-
электроны, тем больше дипольный момент атома.
) В этом параграфе мы пользуемся атомными единицами.
2) Этот результат был получен Шварцшилъдом и Эпштейном {К. Shfwarz-
schild, P. Epstein, 1916) на основании старой квантовой теории и Паули и
Шредингером A926) с помощью квантовой механики.

§ 77	АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	357
Наличие линейного эффекта означает, что в невозмущенном
состоянии атом обладает дипольным моментом со средним зна-
значением
3z = --rc(rci-rc2).	G7.3)
Это находится в согласии с тем, что в состоянии, определяемом
параболическими квантовыми числами, распределение зарядов
в атоме не симметрично относительно плоскости z = 0 (см. § 37).
Так, при ni > П2 электрон находится преимущественно на сто-
стороне положительных z, а потому дипольный момент атома про-
противоположен внешнему полю (заряд электрона отрицателен!).
В предыдущем параграфе было указано, что снятие вы-
вырождения однородным электрическим полем не может быть пол-
полным — остается во всяком случае двукратное вырождение состо-
состояний, отличающихся знаком проекции момента на направление
поля (в данном случае — состояний с проекциями момента, рав-
равными ±га). Однако из формулы G7.2) видно, что в линейном
штарк-эффекте у водорода даже такое снятие вырождения не
достигается, — смещение уровней (при данных п и ni — 712) во-
вообще не зависит от т и П2- Дальнейшее снятие вырождения
происходит в эффекте второго приближения; вычисление это-
этого эффекта представляет интерес тем более, что в состояниях с
щ = П2 линейный эффект Штарка вообще отсутствует.
Для вычисления квадратичного эффекта неудобно пользо-
пользоваться обычной теорией возмущений, так как при этом при-
пришлось бы иметь дело с бесконечными суммами сложного вида.
Вместо этого воспользуемся следующим несколько видоизменен-
видоизмененным методом.
Уравнение Шредингера для атома водорода в однородном
электрическом поле имеет вид
E
+--?z)ip = 0.
г	/
Как и уравнение с ? = 0, оно допускает разделение переменных
в параболических координатах. Та же подстановка C7.7), что и
в § 37, приводит к двум уравнениям
G7.4)
отличающимся от C7.8) наличием членов с ?. Будем рассматри-
рассматривать в этих уравнениях энергию Е как параметр, имеющий дан-
данное определенное значение, а величины /?i, /З2 —как собственные

358
АТОМ	ГЛ. X
значения соответствующих операторов (легко убедиться в том,
что эти операторы самосопряженные). Эти величины определя-
определяются при решении уравнений как функции от Е и ?, после чего
условие /?i + /?2 = 1 определит энергию как функцию внешнего
поля.
При приближенном решении уравнений G7.4) рассматрива-
рассматриваем члены, содержащие поле ?, как малое возмущение. В нулевом
приближении {? = 0) уравнения имеют известные уже нам ре-
решения
/i = y/efnim(&), h = Ve/n2mfae),	G7.5)
где функции fnim те же, что и в C7.16), а вместо энергии введен
параметр
е = V-2E.	G7.6)
Соответствующими значениями величин /?i, /З2 (согласно равен-
равенствам C7.12), в которых надо заменить п на 1/s) будут
= (п2 + ^>-	G7.7)
Функции /i с различными значениями n\ при заданном е взаим-
взаимно ортогональны, как собственные функции всякого самосопря-
самосопряженного оператора (мы пользовались уже этим фактом выше
при рассмотрении линейного эффекта); в G7.5) они нормирова-
нормированы условиями
о	о
Поправки первого приближения для C\ и 02 определяются
диагональными матричными элементами возмущения
Вычисление дает
р) = —rFn-i + 0П1 771 + 771 + 0П1 + 3 771 + 2).
^1	4?2V 1	HI	I I	)
Выражение для р\ ' отличается заменой п\ на П2 и переменой
знака.
Во втором приближении имеем, согласно общим формулам
теории возмущений,
.о	1/^2\	|2

§ 77	АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	359
Интегралы, входящие в матричные элементы (?2)П1П', вычисле-
вычислены в § i математического дополнения. Отличны от нуля только
элементы
(?2)	(?2)
^	\т\)(п1 + \т\ ~ 1).
Стоящие в знаменателях разности равны
В результате вычисления получается
/3{2) = --f^(|m| + 2щ + 1)[4т2 + 17B|т|т+
+ 2п? + |т| + 2щ) + 18]
(выражение для /3^ отличается заменой п\ на пъ). Собирая по-
полученные выражения и подставляя в соотношение C\ + /?2 — 1,
получим уравнение
еп - ^[17п2 + 51(ni - п2J - 9ш2 + 19] + -?^(гц - п2) = 1.
Решая его последовательными приближениями, получим во вто-
втором приближении для энергии Е = — ?2/2 выражение
Е = —1- + -?п(п1-п2)-— n4[17n2-3(m-n2J-9m2 + 19].
2п 2	16
G7.8)
Второй член представляет собой известный уже нам линейный
эффект Штарка, а третий— искомый квадратичный эффект
(G. Wentzel, I. Waller, P.Epstein, 1926). Отметим, что эта вели-
величина всегда отрицательна, т. е. благодаря квадратичному эф-
эффекту термы всегда смещаются вниз. Среднее значение диполь-
ного момента получается дифференцированием G7.8) по полю;
в состояниях с ni = П2 оно равно
dz = (n4/8)A7n2 - 9ш2 + 19)?.	G7.9)
Так, поляризуемость атома водорода в нормальном состоянии
(п = 1, т = 0) равна 9/2 (см. также задачу 4 § 76).
Абсолютное значение энергии водородных термов быстро па-
падает с увеличением главного квантового числа п, а штарковское
расщепление возрастает. В связи с этим представляет интерес
рассмотрение штарк-эффекта сильно возбужденных уровней в
полях настолько сильных, что произведенное ими расщепление

360
АТОМ	ГЛ. X
сравнимо по величине с энергией самого уровня и потому теория
возмущений неприменима1). Это можно сделать, воспользовав-
воспользовавшись квазиклассичностью состояний с большими значениями п.
Подстановкой
/i = Xi/уД, h = X2/VV	G7-10)
уравнения G7.4) приводятся к виду
'е , 0! тп2-\ е.
E
dr]2
Но каждое из этих уравнений имеет вид одномерного уравнения
Шредингера, причем роль полной энергии частицы играет Е/4,
а роль потенциальной энергии — соответственно функции
2rj	Srj2
На рисунках 25 и 26 изображен примерный вид этих функ-
функций (для га > 1). Согласно правилу квантования Бора-Зоммер-
фельда D8.2) имеем
Ь
" 1/2)тг,
/
/
G7.13)
= (п2 + 1/2)тг
(ni, П2—целые числаJ). Эти уравнения определяют в неявном
виде зависимость параметров /?i, 02 от Е1. Вместе с равенством
) Применимость теории возмущений к высоким уровням требует малости
возмущения лишь по сравнению с энергией самого уровня (энергией связи
электрона), а не с интервалами между уровнями. Действительно, в квази-
квазиклассическом случае (который как раз представляют сильно возбужденные
состояния) возмущение может считаться малым, если вызываемая им сила
мала по сравнению с силами, действующими на частицу в невозмущенной
системе; но это условие эквивалентно указанному выше.
) Подробное исследование показывает, что более точный результат полу-
получается, если в выражениях для t/i, U2 вместо т2 — 1 писать т2. Целые
числа ni, 77-2 совпадают тогда с параболическими квантовыми числами.

j 77
АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
361
Рис. 25
/?1 + /?2 = 1 они определяют, следовательно, энергии смещенных
электрическим полем уровней. Интегралы в уравнениях G7.13)
могут быть приведены к эллиптическим; решение этих уравне-
уравнений возможно лишь в численном виде.
Штарк-эффект в сильных полях осложняется еще и другим
явлением — ионизацией атома электрическим полем (С. Lanczos,
1931). Потенциальная энергия электрона
во внешнем поле ?z принимает при z —»> — ос
сколь угодно большие отрицательные зна-
значения. Накладываясь на потенциальную
энергию электрона внутри атома, она при-
водит к тому, что областью возможного
движения электрона (полная энергия Е
которого отрицательна) становится, наря-
наряду с областью внутри атома, также и область больших расстоя-
расстояний от ядра по направлению к аноду. Эти две области разделены
потенциальным барьером, ширина которого
уменьшается с увеличением поля. Но в кван-
квантовой механике всегда существует некото-
некоторая отличная от нуля вероятность частице
пройти через потенциальный барьер. В дан-
данном случае выход электрона из области вну-
внутри атома через барьер наружу представля-
представляет собой не что иное, как ионизацию атома.
В слабых полях вероятность такой ионизации исчезающе мала.
Она, однако, экспоненциально растет с полем и в достаточно
сильных полях становится значительнойг).
Задачи
1. Определить вероятность (в единицу времени) ионизации атома водо-
водорода (в основном состоянии) в электрическом поле, удовлетворяющем усло-
условию S <С 1 {? <С т2\е\5/Н4 в обычных единицах).
Рис. 26
х) Описываемое явление служит иллюстрацией того, как малое возмуще-
возмущение может изменить характер энергетического спектра. Уже слабое поле S
достаточно для того, чтобы создать потенциальный барьер и сделать об-
область вдали от ядра принципиально доступной для электрона. В результа-
результате движение электрона становится, строго говоря, инфинитным, и потому
энергетический спектр из дискретного превращается в непрерывный. Тем
не менее формальное решение, получаемое по методу теории возмущений,
имеет физический смысл: оно определяет уровни энергии состояний, кото-
которые если и не вполне, то «почти стационарны». Атом, находящийся в таком
состоянии в некоторый начальный момент времени, останется в нем в те-
течение длительного промежутка времени. В то же время весь ряд теории
возмущений для штарковского расщепления уровней не может быть сходя-
сходящимся в строгом смысле слова, а является лишь асимптотическим: начиная
с определенного места в ряде (тем более далекого, чем меньше величина
возмущения) дальнейшие его члены возрастают, а не убывают.

362
АТОМ	ГЛ. X
Решение ). В параболических координатах потенциальный барьер
имеется «вдоль координаты 77» (рис. 26); вытягиванию электрона из атома в
направлении к z —>¦ — 00 соответствует его переход в область больших rj.
Для определения вероятности ионизации надо исследовать вид волновой
функции при больших г\ (и небольших ?; мы увидим ниже, что в интеграле,
определяющем полный поток вероятности выходящего электрона, играют
роль малые ?). Волновая функция электрона в нормальном состоянии (в
отсутствие поля) есть
При наличии поля зависимость ф от ? в интересующей нас области можно
считать той же, что и в A), а для определения зависимости от г\ имеем
уравнение
о 2 ' \ л ' о ' л 2 ' л I /к- ~'	\ )
от) V 4 277 4т7 4
где х = y/rji/j (это— второе из уравнений G7.11), в котором положено
Е = —1/2, т = 0, 02 = 1/2). Пусть 770 — некоторое значение 77 (располо-
(расположенное внутри барьера) такое, что 1 ^С щ/S. При г]^щ волновая функция
квазиклассична. Поскольку, с другой стороны, уравнение B) имеет вид
одномерного уравнения Шредингера, то можно воспользоваться формула-
формулами E0.2). Потребовав, в качестве граничного условия, совпадения ф с вол-
волновой функцией A) при 77 = 77о, получим в области вне барьера выражение
где
Х= ——1 ехР ~ п +г / pdr)+ —
4
4 2rj 4rj2 4
Нас интересует только квадрат |х|2. Поэтому мнимая часть экспоненты
несущественна. Обозначив через rji корень уравнения p(rj) = 0, имеем
C)
В предэкспоненциальном множителе полагаем при 77 ^> 1
II1	г /р	л
|ро|«-, р^ -л/Srj-l;
в экспоненте же надо сохранить также и следующий член разложения функ-
функции p{rj)\
[—p=-vo),
J 77V1 — crj	I
) В этой задаче пользуемся атомными единицами.

§ 77	АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	363
причем rji = 1/8. Произведя интегрирование и пренебрегая везде, где это
возможно, rjoS по сравнению с единицей, получим
V	D)
Полный поток вероятности через плоскость, перпендикулярную к оси z,
т.е. искомая вероятность ионизации w, есть
)\2vz • 2-Kpdp
о
(р — цилиндрический радиус в указанной плоскости). При больших rj и ма-
малых ? можно положить
Подставив также для скорости электрона
получим
откуда окончательно
w = — ехр (	)	E)
8 V 3?/	У
или, в обычных единицах,
4ш3|е|9 / 2ш2|е|'
^ч ехР "-
2. Определить вероятность вырывания электрона электрическим полем
из потенциальной ямы короткодействующих сил, в которой электрон нахо-
находится в связанном s-состоянии. Электрическое поле предполагается слабым
в том смысле, что \е\8 <?L h2>c3/m, где х = ^2т\Е\/Н, \Е\ — энергия связи
электрона в яме, т — его масса (Ю. Н. Демков, Г. Ф. Друкарев, 1964).
Решение. Как и в задаче 1, в случае слабого электрического поля
существенны большие расстояния от центра [уст ^> 1). На этих расстояниях
волновая функция связанного состояния электрона в яме (без поля ?) имеет
асимптотический вид
Г
где А — безразмерная постоянная, зависящая от конкретного вида ямы1). В
параболических координатах имеем г = (?+??) /2, и в области rj ^> ? волновая
функция принимает вид
. 2Ал/>с Г ус. Л	. ч
Ф~ —^—ехр—-(? + 17) .	F)
•ц	L 2	J
1) Так, если радиус ямы а настолько мал, что ах <С 1, то А = Bтг) ^2; см.
подробнее в § 133.

364
АТОМ	ГЛ. X
Ниже в этой задаче массы, длины и времена будут измеряться соответ-
соответственно в единицах т, 1/х и m/ftx2.
Функция F) распадается на произведение функций от ? и rj. При на-
наличии электрического поля зависимость ф от ? можно считать (как и в
задаче 1) той же, что ив F). Для определения же ее зависимости от ц обра-
обращаемся к уравнению Шредингера в параболических координатах. При этом
(в отличие от случая кулонова поля), ввиду быстрого убывания поля ямы, на
существенных для задачи больших расстояниях этим полем можно вообще
пренебречь. Разделение переменных в уравнении Шредингера приводит то-
тогда снова к уравнениям G7.11), в которых надо положить Е = —1/2, т = О,
а параметры разделения удовлетворяют теперь условию
01 + 02 = 0.
Параметр 0i надо положить равным 1/2 (так, чтобы зависимость ф со е~^'2
удовлетворяла первому из уравнений G7.11) —приближенно, при малых ??);
тогда 02 = —1/2 и для определения зависимости ф от ц имеем уравнение
4 2ц 4:7] 4
Решая его так же, как решалось уравнение B), получим теперь вместо C)
причем
4 2ц
Далее, вместо D) получается
1х12 =
и, наконец, вместо E)
w = тгА2?ехр (
или, в обычных единицах,
тт\е\8А2 ( 2П27
- их ехЧ"
3. Оценить с экспоненциальной точностью вероятность вырывания
электрона из потенциальной ямы под действием однородного переменного
электрического поля S = Sq cos ujt\ предполагается, что частота и амплитуда
поля удовлетворяют условиям
Пи < \Е\, \e\So < Н2х3/т,
где х = <\/2т\Е\/Н, \Е\— энергия связи электрона в яме (Л. В. Келдыш,
1964х).
) Речь может идти, например, об ионизации однозарядного отрицательно-
отрицательного иона сильной световой волной; потенциальная яма создается в этом слу-
случае взаимодействием электрона с нейтральным атомным остатком. Условие
huj <^i \E\ обеспечивает при этом допустимость классического рассмотрения
поля электромагнитной волны.

§ 77	АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	365
Решение. При поставленных условиях вероятность вырывания w
экспоненциально мала. Для вычисления одного лишь показателя экспо-
экспоненты (без предэкспоненциального множителя) достаточно рассматривать
движение как одномерное — в направлении поля, ось z.
Здесь будет удобным описывать электрическое поле не скалярным, а
векторным потенциалом: Az = А = — (с?о/ш) smwt. Тогда гамильтониан
электрона в области вне ямы примет вид
О	I I С	\ 2
Н = — -ш— + ^^- smut
2т\ dz и	)
(см. ниже A11.3)) и не содержит координаты z. Введя безразмерные пере-
переменные и безразмерные параметры
о _ 2muj _ fajj _ \e\mSo
напип1ем уравнение Шредингера в виде
	sin Qt )
4 О \d Q	)
4 дт \дг) П	)
Граничное условие к этому уравнению состоит в требовании, чтобы при
77 —^ 0 его решение Ф(^, т) совпадало с невозмущенной полем волновой функ-
функцией электрона (с энергией Е = — \Е\) в яме:
Ф -»> егт при г) -»> 0.	G)
Ввиду квазиклассичности задачи ищем решение (с экспоненциальной точ-
точностью) в виде Ф = ехрг5, где S(rf,r)—классическое действие. Так как
гамильтониан не зависит от координаты 77, обобщенный импульс pv = р
сохраняется вдоль классической траектории, так что
D	\ 2
(8)
где Л, то — постоянные. При этом, по смыслу действия как функции коор-
координат (см. I, §43), надо под р понимать значение, приводящее траекторию
в заданную точку г\ в момент т, т. е. считать р функцией от г\ и т, опреде-
определяемой уравнением движения dS/др = const, т.е.
S = - H(p,Tf)drf + ЧР + А, Я(р,т) = 4 p+^sinQr
(постоянная выбрана так, что rj = 0 при т = то). Формулы (8), (9) дают
действие, зависящее от двух постоянных: то и А. Чтобы получить решение,
удовлетворяющее условию A), надо (как при нахождении общего интеграла
уравнения Гамильтона-Якоби—см. I, §47) считать А функцией от то, а то —
функцией координаты и времени, определяемой условием
f = o.	(ю)
ото
Очевидно, что надо положить А (то) = то; тогда при rj = 0 вместе с т = то
будет и S = то, т.е. S = т в согласии с условием G). Равенство A0) теперь
переписывается как
Я(р,то) + 1 = 0.	A1)

366
АТОМ	ГЛ. X
Уравнения (9) и A1) совместно определяют функции to(tj,t) нр(г},т), а тем
самым (после подстановки в (8)) и волновую функцию ФG7,т).
Искомая вероятность w пропорциональна плотности потока вдоль оси z.
В классически доступной области эта плотность есть г>г|Ф|2. Начало этой
области определяется точкой, где перестает возрастать Im S. В этой точке
(<9Im S/drj)T = 0, а поскольку dS/drj = р, то Im p = 0; из (9), A1) следует
тогда, что здесь же и Re p = 0. Из этого условия определяется значение то:
положив вA1)р = 0, получим
2
4F 2
in
4F 2
—— sin Qto = —1,
откуда
\e\So
(мнимость «момента времени» то выражает собой классическую неосуще-
неосуществимость процесса). Окончательно
(	Г г° 4
w rsj ехр< —2 Im / —— sin2 Qt' dr + то |
I	l{ п
причем в качестве т можно взять любое вещественное значение (мнимая
часть интеграла от него не зависит). Вычислив интеграл, получим
A2)
27 V	27
Предельные выраж:ения функции /G):
27	1
/G) « — при 7 < 1, /G) « Ь 27 - - при 7 > 1.
о	^
Предельное выраж:ение и> при 7^0 отвечает вероятности вырывания ча-
частицы из потенциальной ямы постоянным полем.
Формула A2) применима, если показатель экспоненты велик. Для этого
во всяком случае должно быть Ни <С \Е\.

ГЛАВА XI
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА
§ 78. Электронные термы двухатомной молекулы
В теории молекул основную роль играет тот факт, что мас-
массы ядер атомов очень велики по сравнению с массой электронов.
Благодаря такой разнице в массах скорости движения ядер в мо-
молекуле малы по сравнению со скоростями электронов. Это дает
возможность рассматривать электронное движение при непо-
неподвижных ядрах, расположенных на заданных расстояниях друг
от друга. Определяя уровни энергии Un такой системы, мы най-
найдем, как говорят, электронные термы молекулы. В противо-
противоположность атомам, где энергетические уровни представляли
собой определенные числа, здесь электронные термы являются
не числами, а функциями от параметров — расстояний между
ядрами в молекуле. В энергию Un включается также и элек-
электростатическая энергия взаимодействия ядер друг с другом, так
что Un представляет собой по существу полную энергию моле-
молекулы при заданном расположении неподвижных ядер.
Мы начнем изучение молекул с наиболее простого типа —
двухатомных молекул, допускающего наиболее полное теорети-
теоретическое исследование. Электронные термы двухатомной молеку-
молекулы являются функциями всего одного параметра — расстояния г
между ядрами.
Одним из основных принципов классификации атомных тер-
термов была классификация по значениям полного орбитального
момента L. В молекулах же вообще не имеет места закон со-
сохранения полного орбитального момента электронов, поскольку
электрическое поле нескольких ядер не обладает центральной
симметрией.
В двухатомных молекулах, однако, поле обладает аксиаль-
аксиальной симметрией относительно оси, проходящей через оба яд-
ядра. Поэтому здесь сохраняется проекция орбитального момента
на эту ось, и мы можем классифицировать электронные тер-
термы молекул по значениям этой проекции. Абсолютную величи-
величину проекции орбитального момента на ось молекулы принято
обозначать буквой Л; она пробегает значения 0,1, 2,... Термы
с различными значениями Л обозначают большими гречески-
греческими буквами, соответствующими латинским символам атомных

368
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
термов с различными L. Так, при Л = 0,1,2 говорят соответ-
соответственно о S-, П-, А-термах; большие Л обычно не приходится
рассматривать.
Далее, каждое электронное состояние молекулы характери-
характеризуется полным спином S всех электронов в молекуле. При от-
отличном от нуля S имеет место вырождение по направлениям
полного спина кратности 2S +11). Число 25+1, как и в атомах,
называется мультиплетностью терма и пишется вверху слева
от символа терма; так, 3П обозначает терм с Л = 1, S = 1.
Наряду с поворотами на произвольный угол вокруг оси, сим-
симметрия молекулы допускает также и отражение в любой плоско-
плоскости, проходящей через эту ось. Если произвести такое отраже-
отражение, то энергия молекулы останется неизменной. Получающееся
же в результате состояние не будет, однако, вполне тождествен-
тождественным с исходным. Именно, при отражении в плоскости, проходя-
проходящей через ось молекулы, изменится знак момента (аксиальный
вектор!) относительно этой оси. Таким образом, мы приходим
к результату, что все электронные термы с отличным от нуля
значением Л двукратно вырождены — каждому значению энер-
энергии соответствуют два состояния, отличающиеся направлением
проекции орбитального момента на ось молекулы. Что же каса-
касается случая Л = 0, то здесь при отражении состояние молеку-
молекулы вообще не меняется, так что S-термы не вырождены. Вол-
Волновая функция S-терма в результате отражения может лишь
умножиться на постоянную. Поскольку двукратное отражение
в одной и той же плоскости сводится к тождественному преоб-
преобразованию, то эта постоянная равна ±1. Таким образом, надо
различать S-термы, волновая функция которых не меняется во-
вовсе при отражении, и термы, волновая функция которых меняет
знак. Первые обозначаются через S+, а вторые через Е~.
Если молекула состоит из двух одинаковых атомов, то по-
появляется новая симметрия, а с нею и дополнительная характе-
характеристика электронных термов. Именно, двухатомная молекула с
одинаковыми ядрами обладает еще и центром симметрии отно-
относительно точки, делящей пополам линию, соединяющую ядра
(начало координат выбираем в этой точкеJ). Поэтому гамильто-
гамильтониан инвариантен относительно одновременного изменения зна-
знака координат всех электронов в молекуле (при неизменных ко-
) От тонкой структуры, связанной с релятивистскими взаимодействиями,
мы здесь отвлекаемся (см. ниже §83, 84).
2) Она обладает также и плоскостью симметрии, перпендикулярной к оси
молекулы и делящей ее пополам. Однако нет необходимости рассматривать
этот элемент симметрии особо, так как наличие такой плоскости автомати-
автоматически следует из факта наличия центра и оси симметрии.

§ 78	ЭЛЕКТРОННЫЕ ТЕРМЫ ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ	369
ординатах ядер). Поскольку оператор этого преобразования1)
коммутативен также и с оператором орбитального момента, то
мы получаем возможность классифицировать термы с опреде-
определенными значениями Л еще и по их четности: волновая функция
четных (g) состояний не меняется при изменении знака коор-
координат электронов, а нечетных (и) — меняет знак. Индексы и, g,
указывающие четность, принято писать внизу при символе тер-
терма: Пи, ng и т.п.
Эмпирически известно, что у подавляющего большинства
химически устойчивых двухатомных молекул нормальное элек-
электронное состояние обладает полной симметрией — электронная
волновая функция инвариантна по отношению ко всем преобра-
преобразованиям симметрии молекулы. В подавляющем большинстве
случаев в нормальном состоянии также равен нулю полный
спин S. Другими словами, основной терм молекулы есть XS+,
а если молекула состоит из одинаковых атомов, то 1^t- Из-
Известными исключениями из этих правил являются молекулы О2
(нормальный терм 3S~) и N0 (нормальный терм 2П).
Задача
Произвести разделение переменных в уравнении Шредингера для элек-
электронных термов иона Hj, воспользовавшись эллиптическими координатами.
Решение. Уравнение Шредингера для электрона в поле двух непо-
неподвижных протонов:
Аф + 2{Е + 1/п + 1/г2)ф = О
(пользуемся атомными единицами). Эллиптические координаты ?, г\ опре-
определяются как
а третья координата (р есть угол поворота вокруг оси, проходящей через два
ядра, находящихся на расстоянии R друг от друга (см. I, § 48). Оператор
Лапласа в этих координатах
Полагая
ф = X{i)Y{ri)eiKv,
получим для X и Y следующие уравнения:
,dFl , ( ER? 2_A_ Л2
dn\ V 2 '	1-^
х) Не смешивать его с преобразованием инверсии координат всех частиц в
системе (ср. §86)!

370
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
где А — параметр разделения. Каждый электронный терм E(R) характери-
характеризуется тремя квантовыми числами: Л и двумя «эллиптическими квантовыми
числами» П?, Пгу, определяющими число нулей функций Х(?) и Y(r)).
§ 79. Пересечение электронных термов
Электронные термы двухатомной молекулы как функции
расстояния г между ядрами можно изображать графически,
откладывая энергию как функцию от г. Существенный инте-
интерес представляет вопрос о пересечении кривых, изображающих
различные термы.
Пусть C/i(r), С/2 (г)— два различных электронных терма. Ес-
Если они пересекаются в некоторой точке, то вблизи этой точки
функции C/i, С/2 будут иметь близкие значения. Для решения
вопроса о возможности такого пересечения удобно поставить
задачу следующим образом.
Рассмотрим точку го, в которой функции C/i(r), С/2 (г) име-
имеют очень близкие, но не совпадающие значения (обозначим их
через Е\ и -Е^)} и посмотрим, нельзя ли сделать U\ и С/2 рав-
равными, сместив точку на малую величину Sr. Энергии Е\ и Е^
представляют собой собственные значения гамильтониана Щ —
системы электронов в поле ядер, находящихся на расстоянии г о
друг от друга. Если дать расстоянию г приращение ?г, то га-
гамильтониан перейдет в Н$ + У, где V = SrdHo/dr есть
малая поправка; значения функций U\, С/2 в точке tq + Sr можно
рассматривать как собственные значения нового гамильтониана.
Такой способ рассмотрения позволяет определить значения тер-
термов C/i(r), С/2 (г) в точке го + Sr с помощью теории возмущений,
причем V рассматривается как возмущение к оператору Hq.
Обычный метод теории возмущений здесь, однако, неприме-
неприменим, так как собственные значения энергии Е\, Е^ невозмущен-
невозмущенной задачи очень близки друг к другу и их разность, вообще
говоря, не велика по сравнению с величиной возмущения (усло-
(условие C8.9) не выполнено). Поскольку в пределе равной нулю раз-
разности Еъ — Е\ мы придем к случаю вырожденных собственных
значений, то естественно применить к случаю близких собствен-
собственных значений метод, аналогичный развитому в § 39.
Пусть ф\, ip2 — собственные функции невозмущенного опера-
оператора Hq, соответствующие энергиям Е\, Е^. В качестве исход-
исходного нулевого приближения возьмем вместо самих ф\ и fa их
линейные комбинации вида
<ф = ci^i + c2^2.	G9.1)

§ 79	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ТЕРМОВ	371
Подставляя это выражение в возмущенное уравнение
(Яо + 9)ф = Еф,	G9.2)
получим
+ V- Е)фх + с2(Е2 + V- Е)ф2 = 0.
Умножая это уравнение слева поочередно на ф* и ф\ и интегри-
интегрируя, получим два алгебраических уравнения
0,
c2(E2 + V22-E) = 0.	[ ' '
В силу эрмитовости оператора V матричные элементы Уц и V22
вещественны, a V\2 = V21. Условие совместимости этих уравне-
уравнений гласит:
Vn-E	V12
V21	Е2 + V21-E
= 0,
откуда
Тр 	 _ / Тр I тр _i_ Т Т _|_ Т Т \ _|_
± х -(Ei -E2 + Vn - V22J + \V12 2. G9.4)
V ^
Этой формулой и определяются искомые собственные значения
энергии в первом приближении.
Если значения энергии обоих термов в точке го + Sr стано-
становятся равными (термы пересекаются), то это значит, что оба зна-
значения Е, определяемые формулой G9.4), совпадают. Для этого
необходимо, чтобы подкоренное выражение в G9.4) обратилось
в нуль. Поскольку оно является суммой двух квадратов, то мы
получаем в качестве условия наличия точки пересечения термов
уравнения
Ei - Е2 + Vn - V22 = 0, Vi2 = 0.	G9.5)
Между тем в нагнем распоряжении имеется всего один про-
произвольный параметр, определяющий возмущение V— величи-
величина Sr смещения. Поэтому два (предполагаем, что функции ф\,
ф2 выбраны вещественными; тогда V\2 тоже вещественно) урав-
уравнения G9.5) не могут быть, вообще говоря, удовлетворены одно-
одновременно.
Может, однако, случиться, что матричный элемент V\2 обра-
обращается в нуль тождественно; тогда остается всего одно

372
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
уравнение G9.5), которое может быть удовлетворено надлежа-
надлежащим подбором 6г. Это имеет место во всех случаях, когда два
рассматриваемых терма обладают различной симметрией. Под
симметрией мы подразумеваем здесь все возможные виды сим-
симметрии—по отношению к вращениям вокруг оси, отражениям
в плоскостях, инверсии, а также по отношению к перестанов-
перестановкам электронов. У двухатомной молекулы это значит, что речь
может идти о термах с различными Л, различной четности или
мультиплетности, а для S-термов — еще S+ и Е~.
Справедливость этого утверждения связана с тем, что опе-
оператор возмущения (как и сам гамильтониан) коммутативен со
всеми операторами симметрии молекулы — оператором момен-
момента относительно оси, операторами отражений и инверсии, опе-
операторами перестановок электронов. В § 29, 30 было показано,
что для скалярной величины, оператор которой коммутативен
с операторами момента и инверсии, отличны от нуля матричные
элементы только для переходов между состояниями одинаково-
одинакового момента и четности. Это доказательство по существу в том
же виде сохраняется и в общем случае произвольного оператора
симметрии. Мы не станем повторять его здесь, тем более, что в
§ 97 будет дано еще и другое общее доказательство, основанное
на теории групп.
Таким образом, мы приходим к результату, что у двух-
двухатомной молекулы могут пересекаться лишь термы различной
симметрии, пересечение же термов одинаковой симметрии невоз-
невозможно (Е. Wigner, J. von Neumann, 1929). Если в результате
какого-либо приближенного расчета мы получили бы два пе-
пересекающихся терма одинаковой симметрии, то при вычислении
следующего приближения они окажутся раздвинутыми, как это
показано на рис. 27 сплошными линиями.
Подчеркнем, что этот результат относится не только
к двухатомной молекуле, но является в действительности общей
квантовомеханической теоремой, справедливой в любом случае,
когда гамильтониан содержит некоторый параметр, в результа-
результате чего и его собственные значения являются функциями этого
параметра.
В терминах теории групп (см. § 96) общее требование, опре-
определяющее возможность пересечения термов, состоит в том, что
термы должны относиться к различным неприводимым пред-
представлениям группы симметрии гамильтониана системы1).
) Кажущееся исключение из этого правила составляют электронные тер-
термы иона Н^ • Эти термы характеризуются проекцией момента Л и двумя
эллиптическими квантовыми числами п^, пц (см. задачу к §78). Посколь-
Поскольку все эти числа связаны с функциями различных переменных, нет, вообще

j 79
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ТЕРМОВ
373
рис 27
В многоатомной молекуле электронные термы являются
функциями не от одного, а от нескольких параметров — рас-
расстояний между различными ядрами.
Пусть s есть число независимых расстояний между ядрами;
в iV-атомной (N > 2) молекуле при произвольном расположении
ядер это число равно s = 3N — 6. Каждый
терм C/n(ri,..., rs) представляет собой, с
геометрической точки зрения, поверхность
в пространстве 5 + 1 измерений, и можно
говорить о пересечениях этих поверхностей
по многообразиям различного числа изме-
измерений—от 0 (пересечение в точке) до s — 1.
Весь произведенный выше вывод полно-
полностью сохраняет силу с той лишь разницей,
что возмущение V определяется теперь не
одним, a s параметрами— смещениями <$ri,..., 6rs. Но уже при
двух параметрах два уравнения G9.5) могут, вообще говоря,
быть удовлетворены. Таким образом, мы приходим к результа-
результату, что в многоатомных молекулах всякие два терма могут пе-
пересечься друг с другом. Если термы имеют одинаковую сим-
симметрию, то пересечение определяется двумя условиями G9.5),
откуда следует, что число измерений много-
многообразия, по которому происходит пересечение,
равно 5 — 2. Если же термы — различной сим-
симметрии, то остается всего одно условие, и пе-
пересечение происходит по многообразию 5 — 1
измерений.
Так, при 5 = 2 термы изображаются по-
верхностями в трехмерной системе коорди-
координат. Пересечение этих поверхностей происхо-
происходит при различной симметрии термов по линиям E — 1 = 1),
а при одинаковой симметрии—в точках E — 2 = 0). Нетрудно
выяснить, какой формой обладают в последнем случае поверх-
поверхности вблизи точки пересечения. Значения энергии вблизи то-
точек пересечения термов определяются формулой G9.4). В этом
выражении матричные элементы Vn, V22, Vyi представляют со-
собой линейные функции смещений <$ri, #Г2, а потому и линейные
и
72
Рис. 28
говоря, никаких причин, препятствующих пересечению термов E(R), разли-
различающихся значениями пары п^, щ при одинаковом Л, хотя такие термы и
имеют одинаковую симметрию по отношению к вращениям и отражениям.
В действительности, однако, факт разделимости переменных в уравнении
Шредингера данной системы означает, что ее гамильтониан имеет более вы-
высокую симметрию, чем это следует из ее геометрических свойств; по отноше-
отношению к этой полной группе симметрии состояния, отличающиеся значениями
чисел П?, 77,77, относятся к различным типам.

374
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
функции самих расстояний ri, Т2- Но такое уравнение опреде-
определяет, как известно из аналитической геометрии, эллиптический
конус. Таким образом, вблизи точек пересечения термы изоб-
изображаются поверхностью произвольно расположенного двуполого
эллиптического конуса (рис. 28).
§ 80. Связь молекулярных термов с атомными
Увеличивая расстояние между ядрами в двухатомной мо-
молекуле, мы получим в пределе два изолированных атома (или
иона). В связи с этим возникает вопрос о соответствии меж-
между электронным термом молекулы и состояниями атомов, по-
получающимися при их разведении (Е. Wigner, E. Witmer, 1928).
Эта связь неоднозначна: если сближать два атома, находящих-
находящихся в определенных состояниях, то может получиться молекула в
различных электронных состояниях.
Предположим сначала, что молекула состоит из двух раз-
различных атомов. Пусть изолированные атомы находятся в состо-
состояниях с орбитальными моментами Li, L2 и спинами Si, ?2, и
пусть L\ ^ Z/2- Проекции моментов на соединяющую ядра пря-
прямую пробегают значения М\ = —Li, —L\ + 1,..., L\ и М.2 =
= — L/2i —L/2 + 1,..., i/2- Абсолютное значение суммы М\ + М2
определяет момент Л, получающийся при сближении атомов.
Комбинируя все возможные значения М\ и М2, найдем, что раз-
различные значения Л = \М\ + М.^ получаются следующее число
раз:
Л = L\ + Z/2	2 раза,
Li + Z/2 — 1	4 раза,
Li -Z/2	2B1,2+1) раз,
Li - L2 - 1	2B1,2+1) раз,
1	2BL2+lj раз,'
О	21,2 + 1 раз.
Помня, что все термы с Л ф 0 двукратно вырождены, а с
Л = 0 — не вырождены, находим,что могут получиться:
1	терм с A = Li+Z,2,
2	терма с Л = L\ + L2 — 1,
2L2+1 термов с Л = Li - L2,	(80.1)
2L2+I термов с Л = L\ — L2 — 1,
2L2+I термов с Л = 0;
всего BZ/2 + 1)(^1 + 1) термов со значениями Л от 0 до L\ + L2.
Спины Si, S2 обоих атомов складываются в полный спин мо-
молекулы по общему правилу сложения моментов, давая следующие

§ 80	СВЯЗЬ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕРМОВ С АТОМНЫМИ	375
возможные значения S:
S = Si + S2, Si + S2 - 1, ..., |Si - S2|.	(80.2)
Комбинируя каждое из этих значений со всеми значениями Л
(80.1), мы получим полный список всех возможных термов обра-
образующейся молекулы.
Для S-термов возникает еще вопрос об их знаке. Его легко
решить, замечая, что волновые функции молекулы при г —>• ос
могут быть написаны в виде произведений (или суммы произ-
произведений) волновых функций обоих атомов. Значение Л = 0 мо-
может получиться либо в результате сложения отличных от нуля
проекций Mi = —М2, либо при М\ = М2 = 0. Волновые функ-
функции первого и второго атомов обозначим через ф^м, ф^м . При
М = \Mi\ = \М2\ "ф 0 составляем симметризованные и антисим-
метризованные произведения
w — Wm у-м + У-мУм ' у — ум у-м у-шум -
Отражение в вертикальной (проходящей через ось молекулы)
,A)
плоскости меняет знак проекции момента на ось, так что ipM ,
Щд переходят соответственно в ф_м, Ф-м и наоборот. При этом
функция ф+ остается неизменной, а ф~ — меняет знак; первая
соответствует, следовательно, терму S+, а вторая—терму Е~.
Таким образом, для каждого значения М получается по од-
одному S+- и Е~-терму. Поскольку М мож:ет иметь L2 различ-
различных значений (М = 1,...,L2), то мы получаем всего по L2
термов S+ и Е~.
Если же Mi = М2 = 0, то волновая функция молекулы состав-
составляется в виде ф = ф$ ф$ • Чтобы выяснить поведение функ-
функции ф$ ' при отражении в вертикальной плоскости, выбираем
систему координат с началом в центре первого атома с осью z
вдоль оси молекулы и замечаем, что отражение в вертикальной
плоскости xz эквивалентно последовательно произведенной ин-
инверсии относительно начала координат и повороту на 180° во-
вокруг оси у. При инверсии функция ^q умножится на Pi, где
Pi = ±1 —четность данного состояния первого атома. Далее,
результат применения к волновой функции операции бесконеч-
бесконечно малого (а потому и всякого конечного) поворота полностью
определяется полным орбитальным моментом атома. Поэтому
достаточно рассмотреть частный случай атома с одним элек-
электроном с орбитальным моментом / (и ^-компонентой момента
т = 0); написав в результате L вместо /, мы получим иско-

376
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
мый ответ для произвольного атома. Угловая часть волновой
функции электрона с т = 0 есть, с точностью до постоянного
коэффициента, P/(cos#) (см. B8.8)). Поворот на 180° вокруг оси
у есть преобразование х —»> —ж, у —»> у, z —» —z или, в сфери-
сферических координатах, г—)-г,0—)-тг — 0,(^—)-тг — (^. При этом
cos в —»> —cos б, а функция P/(cos0) умножается на (—II.
Таким образом, в результате отражения в вертикальной
плоскости функция -0Q умножается на ( — l)LlPi. Аналогич-
Аналогично, ф$ умножается на (—1)L<2P2, так что волновая функция
ф = щ 'щ ' умножается всего на ( — l)Ll+L<2PiP2. Терм будет S+
или Е~, смотря по тому, равен ли этот множитель +1 или —1.
Сводя полученные результаты, мы находим, что из общего
числа BZ/2 + 1) S-термов (каждой из возможных мультиплетно-
стей) Z/2 + 1 термов будет Е+-термами, а 1/2 будет Е~-термами
(если (-l)Ll+L2PiP2 = +1), или наоборот (если (-l)Ll+L2PiP2 =
= -1).
Перейдем теперь к молекуле, состоящей из одинаковых ато-
атомов. Правила сложения спинов и орбитальных моментов атомов
в полные S и Л для молекулы остаются здесь теми же, что и мо-
молекулы, состоящей из различных атомов. Новое состоит в том,
что термы могут быть четными и нечетными. При этом надо
различать два случая: соединение атомов, находящихся в одина-
одинаковых или различных состояниях.
Если атомы находятся в различных состояниях1), то общее
число возможных термов удваивается (по сравнению с тем, ко-
которое было бы для различных атомов). Действительно, отраже-
отражение в начале координат (находящемся в точке, делящей пополам
ось молекулы) приводит к перестановке состояний обоих атомов.
Симметризуя или антисимметризуя волновую функцию молеку-
молекулы по перестановке состояний атомов, мы получим два терма (с
одинаковыми Л и 5), из которых один будет четным, а другой
нечетным. Таким образом, мы получаем всего по одинаковому
числу четных и нечетных термов.
Если же оба атома находятся в одинаковых состояниях, то
общее число состояний остается тем же, что и у молекулы с
различными атомами. Что касается четности этих состояний,
то исследование (которое мы здесь не приводим ввиду его гро-
громоздкостиJ) приводит к следующим результатам.
1) В частности, речь может идти о соединении нейтрального атома с иони-
занным.
) См. Е. Wigner, E. Witmer//Zs. Physik. 1928. V. 51 S. 850.
зованным.
2

§ 80	СВЯЗЬ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕРМОВ С АТОМНЫМИ	377
Пусть Ng, Nu — числа четных и нечетных термов с данными
значениями А и S. Тогда:
если Л нечетно, то Ng = Nu,
если Л четно и S четно (S = 0, 2,4,...), то Ng = Nu + 1,
если Л четно, a S нечетно E = 1,3,...), то Nu = Ng + 1.
Наконец, среди S-термов надо различать еще S+ и Е~. Здесь
имеет место правило:
если S четно, то N+ = N~ + 1 = L + 1,
если S нечетно, то N+ = Ng + 1 = L + 1
(где L\ = L/2 = L). Все термы S+ имеют четность ( —1) , а все
термы S~— четность ( —1)^+1.
Наряду с разобранным нами вопросом о связи между мо-
молекулярными термами и термами атомов, получающихся при
г —>• ос, можно поставить также вопрос о связи молекулярных
термов с термами «составного атома», который получился бы
при г —)> 0, т. е. при сведении обоих ядер в одну точку (напри-
(например, связь между термами молекулы Н2 и атома Не). По этому
поводу могут быть без труда получены следующие правила. Из
терма «составного» атома со спином 5, орбитальным моментом
L и четностью Р могут получиться при разведении составляю-
составляющих атомов молекулярные термы со спином, равным 5, и мо-
моментом относительно оси, равным Л = 0,1,..., L, причем для
каждого из этих значений Л получается по одному терму. Чет-
Четность молекулярного терма совпадает с четностью Р атомного
терма (g при Р = +1 и и при Р = —1). Молекулярный терм
с Л = 0 будет Е+-термом, если ( — 1)LP = +1, или Е~-термом,
если (-1)LP = -1.
Задачи
1. Определить возможные термы молекул Н2, N2, СЬ, СЬ, которые могут
получиться при соединении атомов в нормальных состояниях.
Решение. Согласно изложенным в тексте правилам находим следую-
следующие возможные термы:
молекула Н2 (атомы в состояниях 2S): Х5]^, 3Sj;
N2 ( » »	»	4S): Ъ+, 3Е+, 5Е+, 7Е+;
» С12 ( » »	»	2Р): 2^+, 1Е", гПе, 1П„, X,
3P): 2E,	8
Зу- Зтт Зтт З
- 5тт 5тт 5
ll	ll	L
O2 ( » »	»	3P):
23v-i+ Зу- Зтт	Зтт
5+ 5	5	5	5д
\g
(цифры перед символом терма указывают число термов данного типа, если
это число превышает единицу).
2. То же для молекул НС1, СО.

378
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
Решение. При соединении различных атомов существенна также и
четность их состояний. Согласно формуле C1.6) находим, что нормальные
состояния атомов Н, О, С четны, а атомов С1—нечетны (электронные кон-
конфигурации атомов — см. табл. 3). По изложенным в тексте правилам находим
молекула НС1 (атомы в состояниях 2Sg, 2PU):1KE+, 1KП;
»	СО ( »	»	»	3Pg3Pg): 21'3^+, 1-3'5Е",
91,3,5д 1,3,5 д
§ 81. Валентность
Свойство атомов соединяться друг с другом, образуя моле-
молекулу, описывается с помощью понятия о валентности. Каж-
Каждому атому приписывается определенная валентность и при со-
соединении атомов их валентности должны взаимно насыщаться,
т. е. каждой валентной связи атома должна соответствовать ва-
валентная связь другого атома. Например, в молекуле метана СЕЦ
четыре валентные связи четырехвалентного атома углерода на-
насыщаются валентными связями четырех одновалентных атомов
водорода. Приступая к физическому истолкованию валентно-
валентности, начнем с простейшего примера — соединения двух атомов
водорода в молекулу Н2.
Рассмотрим два атома водорода, находящихся в основном со-
состоянии B5). При их сближении может получиться система, на-
находящаяся в молекулярном состоянии ХЕ+ или 3S+. Синглет-
ный терм соответствует антисимметричной спиновой волновой
функции, а триплетный терм—симметричной функции. Коор-
Координатная же волновая функция, напротив, у терма *Е симме-
симметрична, а у терма 3S антисимметрична. Очевидно, что основ-
основным термом молекулы Н2 может быть только терм 1Т,. Действи-
Действительно, антисимметричная волновая функция ^(гх,Г2) (гх, Г2 —
радиусы-векторы обоих электронов) во всяком случае обладает
узлами (она обращается в нуль при гх = Г2), а потому не может
относиться к наиболее низкому состоянию системы.
Численный расчет показывает, что электронный терм ХЕ дей-
действительно имеет глубокий минимум, соответствующий
образованию устойчивой молекулы Н2. В состоянии же 3S энер-
энергия U(г) монотонно падает с увеличением расстояния между
ядрами, что соответствует взаимному отталкиванию обоих ато-
атомов Н1) (рис. 29).
1) Мы отвлекаемся здесь от сил ван-дер-ваальсового притяжения между
атомами (см. §89). Существование этих сил означает наличие минимума

3 81
ВАЛЕНТНОСТЬ
379
Таким образом, в основном состоянии полный спин молеку-
молекулы водорода равен нулю, S = 0. Оказывается, что этим свой-
свойством обладают молекулы практически всех химически устой-
устойчивых соединений элементов главных групп. Среди неорганиче-
неорганических молекул исключение представляют двухатомные молеку-
молекулы О2 (основное состояние 3S) и N0 (основное состояние 2П)
и трехатомные молекулы NO2, CIO2 (пол-
(полный спин S = 1/2). Что касается элемен-
элементов промежуточных групп, то они облада-
обладают особыми свойствами, о которых речь
будет идти ниже, после того как мы изу-
изучим валентные свойства элементов глав-
главных групп.
Способность атомов соединяться друг с
другом связана, таким образом, с их спи-
спином (W.Heitler, H.London, 1927). Соеди-
Соединение происходит так, чтобы спины ато-
атомов взаимно скомпенсировались. В каче-
качестве количественной характеристики спо-
способности атомов к взаимному соедине-
соединению удобно пользоваться целым числом —
удвоенным спином атома. Это число совпадает с химической ва-
валентностью атома. При этом надо иметь в виду, что один и тот
же атом может обладать различной валентностью в зависимости
от того, в каком состоянии он находится.
Рассмотрим с этой точки зрения элементы главных групп пе-
периодической системы. Элементы первой группы (первый столбец
в табл. 3, группа щелочных металлов) обладают в нормальном
состоянии спином S = 1/2, и соответственно их валентность рав-
равна единице. Возбужденное состояние с большим спином может
быть получено только за счет возбуждения электрона из запол-
заполненной оболочки. Соответственно этому, эти состояния находят-
находятся настолько высоко, что возбужденный атом не может образо-
образовать устойчивую молекулу1).
Атомы элементов второй группы (второй столбец в табл. 3,
группа щелочноземельных металлов) обладают в нормальном
состоянии спином S = 0. Поэтому в нормальном состоянии
эти атомы не могут вступать в химические соединения. Одна-
Однако сравнительно близко к основному состоянию расположено
Рис. 29
(расположенного на больших расстояниях) и на кривой U{r) терма 3Е. Этот
минимум, однако, очень неглубок по сравнению с минимумом на кривой 1Т>
и в масштабе рис. 29 вообще не был бы заметен.
х) Об элементах Си, Ag, Аи —см. в конце этого параграфа.

380
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
возбужденное, имеющее в незаполненной оболочке конфигура-
конфигурацию sp вместо s2 и полный спин S = 1. Валентность атома в этом
состоянии равна 2; это и есть основная валентность элементов
второй группы.
Элементы третьей группы обладают в нормальном состоя-
состоянии электронной конфигурацией s2p со спином S = 1/2. Однако
путем возбуждения электрона из заполненной s-оболочки полу-
получается возбужденное состояние с конфигурацией sp2 и спином
S = 3/2, расположенное близко к нормальному. Соответственно
этому, элементы этой группы ведут себя и как одновалентные,
и как трехвалентные. При этом первые элементы этой группы
(В, А1) ведут себя только как трехвалентные. Наклонность к
проявлению валентности 1 растет с увеличением атомного но-
номера, и Т1 ведет себя уже в равной степени как одновалентный и
трехвалентный элемент (например, в соединениях Т1С1 и Т1С1з).
Это связано с тем, что в первых элементах группы энергетиче-
энергетическое преимущество большей энергии связи в соединениях трех-
трехвалентного элемента (по сравнению с соединениями одновалент-
одновалентного элемента) преобладает над энергией возбуждения атома.
В элементах четвертой группы основное состояние имеет кон-
конфигурацию s2p2 со спином 1, а близкое к нему возбужденное
состояние — конфигурацию sp3 со спином 2. Этим состояниям
соответствуют валентности 2 и 4. Как и в третьей группе, пер-
первые элементы четвертой группы (С, Si) проявляют в основном
высшую валентность (исключение представляет, например, со-
соединение СО), а склонность к проявлению низшей валентности
возрастает с увеличением атомного номера.
В атомах элементов пятой группы основное состояние обла-
обладает конфигурацией s2p3 и спином S = 3/2, так что соответ-
соответствующая валентность равна трем. Возбужденное состояние с
большим спином может получиться только путем перехода од-
одного из электронов в оболочку со следующим значением главного
квантового числа. Ближайшее такое состояние имеет конфигу-
конфигурацию spssr и спин S = 5/2 (символом sr мы условно обозначаем
здесь 5-состояние электрона с главным квантовым числом, на
единицу большим, чем в состоянии s). Хотя энергия возбужде-
возбуждения этого состояния сравнительно велика, но все же возбужден-
возбужденный атом может вступить в устойчивое соединение. Соответ-
Соответственно этому, элементы пятой группы ведут себя как трех-
и пятивалентные (так, азот в NH3 трехвалентен, а в HNO3 —
пятивалентен).
В шестой группе элементов в основном состоянии (конфи-
(конфигурация 52р4) спин равен 1, так что атом двухвалентен. Возбу-
Возбуждение одного из р-электронов приводит к состоянию s2pssr со
спином 2, а возбуждение еще одного s-электрона приводит к со-

§81	ВАЛЕНТНОСТЬ	381
стоянию sp^s'p' со спином 3. В обоих возбужденных состояниях
атом может вступать в устойчивые молекулы, проявляя соот-
соответственно валентности 4 и 6. При этом первый элемент шестой
группы (кислород) проявляет только валентность 2, а следую-
следующие элементы группы проявляют также и высшие валентности
(так, сера в H2S, SO2, SO3 соответственно двух-, четырех- и
шестивалентна).
В седьмой группе (группа галоидов) в основном состоянии
(конфигурация s2p5, спин S = 1/2) атомы одновалентны. Они
могут, однако, вступать в устойчивые соединения и в возбу-
возбужденных состояниях с конфигурациями s2p4:sr, s2pss'pr, spssrpr2
со спинами, соответственно равными 3/2, 5/2, 7/2, что соот-
соответствует валентностям 3, 5, 7. При этом первый элемент груп-
группы (F) всегда одновалентен, а следующие элементы проявляют
также и высшие валентности (так, хлор в НС1, НСЮ2, НСЮз,
НСЮ4 соотственно одно-, трех-, пяти- и семивалентен).
Наконец, атомы элементов группы благородных газов обла-
обладают в основном состоянии полностью заполненными оболочка-
оболочками (так что спин S = 0), а их энергии возбуждения велики.
Соответственно этому, валентность равна нулю и эти элементы
химически инертныг).
По поводу всех этих рассуждений необходимо сделать сле-
следующее общее замечание. Утверждение о том, что атом входит в
молекулу с валентностью, свойственной его возбужденному со-
состоянию, отнюдь не означает, что при разведении атомов на боль-
большие расстояния мы непременно получим возбужденный атом.
Оно означает лишь, что распределение электронной плотности
в молекуле таково, что вокруг ядра данного атома оно близко
к электронному распределению в изолированном возбужденном
атоме. Предел же, к которому стремится электронное распре-
распределение при увеличении расстояния между ядрами, может при
этом соответствовать невозбужденным атомам.
х) Некоторые из них все же образуют устойчивые соединения (с фтором,
кислородом). Возможно, что эти валентности связаны с переходом электро-
электронов из внешней заполненной оболочки в энергетически сравнительно близ-
близкие незаполненные /- (или d-) состояния.
Упомянем также о своеобразном эффекте притяжения, возникающем при
взаимодействии атома благородного газа с возбужденным атомом того же
элемента. Этот эффект связан с удвоением числа возможных состояний, по-
получающихся при сведении двух одинаковых атомов, находящихся в различ-
различных состояниях (см. § 80). Переход возбуждения от одного атома к другому
заменяет в этом случае обменное взаимодействие, приводящее к обычной
валентности. Примером такой молекулы является молекула Нв2. Такого же
типа связь имеет место в молекулярных ионах, состоящих из двух одинако-
одинаковых атомов (например,

382
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
При соединении атомов в молекулу заполненные электрон-
электронные оболочки атомов мало меняются. Распределение же элек-
электронной плотности в незаполненных оболочках может суще-
существенно измениться. В наиболее резко выраженных случаях
так называемой гетерополярной связи все валентные электроны
переходят от одних атомов к другим, так что можно сказать,
что молекула состоит из ионов с зарядами, равными (в едини-
единицах е) их валентности. Элементы первой группы электрополо-
электроположительны — в гетерополярных соединениях они отдают электро-
электроны, образуя положительные ионы. При переходе к следующим
группам электроположительность постепенно падает, перехо-
переходя в электроотрицательность, в наибольшей степени присущую
элементам седьмой группы. По поводу гетерополярности надо
сделать такое же замечание, которое было сделано выше о воз-
возбужденных атомах в молекуле. Если молекула гетерополярна,
то это отнюдь не означает, что при разведении атомов мы непре-
непременно получим два иона. Так, из молекулы CsF мы действи-
действительно получили бы ионы Cs+ и F~, но молекула NaF дает в
пределе нейтральные атомы Na и F (поскольку сродство фто-
фтора к электрону больше ионизационного потенциала цезия, но
меньше ионизационного потенциала натрия).
В противоположном предельном случае так называемой го-
меополярной связи атомы в молекуле остаются в среднем ней-
нейтральными. Гомеополярные молекулы, в противоположность ге-
терополярным, не обладают значительным дипольным момен-
моментом. Разница между гетеро- и гомеополярными типами связи
чисто количественная, и могут осуществляться все переходные
случаи.
Перейдем теперь к элементам промежуточных групп. Эле-
Элементы групп палладия и платины по характеру своих валентных
свойств мало отличаются от элементов главных групп. Разница
заключается в том, что благодаря сравнительно глубокому рас-
расположению d-электронов в атоме они слабее взаимодействуют с
другими атомами в молекуле. В результате этого среди соеди-
соединений этих элементов относительно часто встречаются «нена-
«ненасыщенные» соединения с молекулами, обладающими отличным
от нуля спином (фактически не превышающим 1/2). Каждый
из элементов может проявлять различные валентности, причем
они могут отличаться здесь и на единицу, а не только на два,
как у элементов главных групп (где изменение валентности свя-
связано с возбуждением какого-либо электрона с компенсирован-
компенсированным спином, в результате чего освобождаются сразу спины пары
электронов).
Элементы группы редких земель характеризуются наличием
незаполненной /-оболочки, /-электроны расположены гораздо

§ 81	ВАЛЕНТНОСТЬ	383
глубже d-электронов и в связи с этим вовсе не принимают уча-
участия в валентности. Таким образом, валентность редкоземель-
редкоземельных элементов определяется только s- и р-электронами незапол-
незаполненных оболочек1). Надо, однако, иметь в виду, что при возбу-
возбуждении атома /-электроны могут переходить в s- и р-состояния,
увеличивая тем самым валентность на единицу. Поэтому и ред-
редкоземельные элементы проявляют валентности, отличающиеся
на единицу (фактически все они трех- и четырехвалентны).
Своеобразное положение занимают элементы группы акти-
актиния. Ас и Th вообще не содержат /-электронов, а в их валент-
валентности участвуют d-электроны; поэтому по своим химическим
свойствам они аналогичны элементам групп палладия и пла-
платины, а не редкоземельным элементам. Что касается урана, то
хотя в нормальном состоянии атом U содержит /-электроны, но
в соединениях у него тоже нет /-электронов. Наконец, атомы
элементов Np, Pu, Am, Cm сохраняют /-электроны и в соедине-
соединениях, но участвующие в валентности электроны и у них являют-
являются s- и d-электронами. В этом смысле они гомологичны урану.
Максимальное возможное число «неспаренных» s- и d-электро-
d-электронов равно соответственно 1 и 5; поэтому максимальная валент-
валентность элементов группы актиния равна шести (между тем как
максимальная валентность редкоземельных элементов, с участ-
участвующими в валентности s- и р-электронами, равна 1 + 3 = 4).
Элементы группы железа занимают по своим валентным
свойствам промежуточное положение между редкоземельными
элементами и элементами групп палладия и платины. В их ато-
атомах d-электроны расположены сравнительно глубоко и в целом
ряде соединений вовсе не принимают участия в валентной свя-
связи. В этих соединениях, следовательно, элементы группы железа
ведут себя подобно редкоземельным элементам. Сюда относятся
соединения ионного типа (например, FeC^, FeCls), в которые
атом металла входит в виде простого катиона. Подобно редкозе-
редкоземельным элементам, элементы группы железа в этих соединени-
соединениях могут проявлять самые различные валентности.
Другим типом соединений элементов группы железа явля-
являются так называемые комплексные соединения. Они характе-
характеризуются тем, что атом промежуточного элемента входит в
молекулу не в виде простого иона, а составляет часть слож-
сложного, комплексного, иона (например, ион МпО^ в КМпО4, ион
Fe(CN)g~ в K4Fe(CN)e). В таких комплексных ионах атомы
г) d-электроны, имеющиеся в незаполненых оболочках атомов некоторых
из редкоземельных элементов, несущественны, так как фактически эти ато-
атомы всегда вступают в соединение в таких возбужденных состояниях, в ко-
которых с?-электронов нет.

384
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
расположены ближе друг к другу, чем в простых ионных со-
соединениях, и в них d-электроны принимают участие в валент-
валентной связи. Соответственно этому, в комплексных соединениях
элементы группы железа ведут себя подобно элементам групп
палладия и платины.
Наконец, необходимо оговорить, что элементы Си, Ag, Аи,
отнесенные в § 73 к главным группам, в ряде соединений ве-
ведут себя как промежуточные. Эти элементы способны проявлять
валентность, превышающую единицу, за счет перехода электро-
электронов из d-оболочки в близкую по энергии р-оболочку (например,
у Си из 3d в Ар). В таких соединениях атомы имеют незапол-
незаполненную d-оболочку и ведут себя как промежуточные (Си — как
элементы группы Fe, a Ag, Аи — как элементы группы Pd и Pt).
Задача
Определить электронные термы молекулярного иона Н^~, получающе-
получающегося при соединении атома водорода в нормальном состоянии с ионом Н+,
при больших (по сравнению с боровским радиусом) расстояниях R между
ядрами {Л. Д. Ландау, 1961; С. Herring, 1961)х) .
Решение. Эта задача, по своей постановке, аналогична задаче 3 § 50:
вместо двух одномерных потенциальных ям мы имеем здесь две трехмер-
трехмерные ямы (вокруг двух ядер) с общей аксиальной симметрией относительно
линии, соединяющей ядра. Уровень Eq = —1/2 (основной уровень атома во-
водорода) 2) расщепляется на два уровня Ug(R) и UU(R) (термы 2Е+ и
отвечающих электронным волновым функциям
Ф8,и(х,у,г) = —=
V2
симметричной и антисимметричной относительно плоскости х = 0, делящей
пополам расстояние между ядрами (находящимися в точках х = ±R/2 на
оси х). Здесь фо(х,у,г)—волновая функция электрона в одной из потенци-
потенциальных ям. Полностью аналогично тому, как это было сделано в задаче 3
§ 50, получим
UglU (R) - Ео = Т jj Фо ^ dy dz,	A)
где интегрирование производится по плоскости х = О3) .
г) Решение аналогичной задачи для молекулы Н2— см. Л. П. Горькое,
Л. П. Питаевский// ДАН СССР. 1963. Т. 151. С. 822; С. Herring, M. Flicker//
Phys. Rev. 1964. V. 134А. P. 362 (при этом во второй статье исправлена до-
допущенная в первой вычислительная ошибка).
) В этой задаче пользуемся атомными единицами.
3) Подчеркнем, что искомый эффект определяется, таким образом, обла-
областью расстояний, на которых электрон одинаково взаимодействует с обоими
ядрами.

§ 82	ВАЛЕНТНОСТЬ	385
Функцию фо (соответствующую движению, скажем, вокруг ядра 1, на-
находящегося в точке х = R/2) ищем в виде
где а — медленно меняющаяся функция (в атоме водорода было бы а = 1).
Функция фо должна удовлетворять уравнению Шредингера
д^+(_1_1 + ! + Ги = 0	(з)
2	V 2 R п т-2 /
(гь f2 — расстояния электрона от ядер 1 и 2); в качестве полной энергии
электрона в этом уравнении стоит разность Eq — 1/R, так как само Eq со-
содержит в себе также и энергию 1/R кулонова отталкивания ядер.
Поскольку функция фо быстро убывает при удалении от оси х, в инте-
интеграле A) существенна лишь область малых (по сравнению с R) значений у, z.
При y,z <?i R подстановка B) в C) дает
+	0
дх R/2 + x R
(мы пренебрегли вторыми производными медленно меняющейся функции
а и положили гч « R/2 + х). Решение этого уравнения, обращающееся в
единицу при х —»> R/2 (т.е. вблизи ядра 1), есть
2R	(х 1
а = 	ехр
R + 2x \R 2
Формула A) дает теперь
оо
Ug u - EQ = =F— / eri • 2тгп dn =
тге J
R/2
Величина расщепления1)
Ug-Uu = -4Re-R-\	D)
На достаточно больших расстояниях это экспоненциально убывающее
выражение становится меньше эффекта второго приближения по дипольно-
му взаимодействию атома Н с ионом Н+. Поскольку поляризуемость атома
водорода в нормальном состоянии равна 9/2 (см. G7.9)), а поле иона Н+
есть S = 1/R2, соответствующая энергия взаимодействия равна — 9/DR4) и
с ее учетом
Ug,n(R) -Ео = тле"* - JL.	E)
Второй член сравнивается с первым лишь при R = 10,8. Укажем также,
что терм UU(R) имеет при R = 12,6 минимум, равный —5,8 • 10 ат. ед.
(-1,6-КГ3 эВJ).
) Аналогичный результат для молекулы Н2 (см. указанные выше статьи):
2) Этот минимум, связанный с ван-дер-ваальсовыми силами, очень неглу-
неглубок по сравнению с минимумом терма Ug(R), соответствующего нормаль-
нормальному состоянию устойчивого иона Н^; этот основной минимум находится
при Д=2,0и составляет —0,60 ат. ед. ( — 16,3 эВ).

386
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
§ 82. Колебательная и вращательная структуры
синглетных термов двухатомной молекулы
Как уже указывалось в начале этой главы, большая разница
в массах ядер и электронов дает возможность разделить задачу
об определении энергетических уровней молекулы на две части.
Сначала определяются уровни энергии системы электронов при
неподвижных ядрах как функции расстояния между последни-
последними (электронные термы). Вслед за тем можно рассмотреть дви-
движение ядер при заданном электронном состоянии; это сводит-
сводится к тому, что ядра рассматриваются как частицы, взаимодей-
взаимодействующие друг с другом по закону Un(r), где Un — соответствую-
соответствующий электронный терм. Движение молекулы складывается из ее
поступательного перемещения как целого и из движения ядер
относительно их центра инерции. Поступательное движение не
представляет, разумеется, интереса, и мы можем считать центр
инерции неподвижным.
Для удобства изложения рассмотрим сначала электронные
термы, в которых полный спин S молекулы равен нулю (син-
глетные термы). Задача об относительном движении двух частиц
(ядер), взаимодействующих по закону С/(г), сводится к задаче о
движении одной частицы с массой М (приведенная масса обе-
обеих частиц) в центрально-симметричном поле U(r). (Буквой U(r)
мы обозначаем энергию рассматриваемого электронного терма.)
Задача же о движении в центрально-симметричном поле U(r)
сводится в свою очередь к задаче об одномерном движении в по-
поле с эффективной энергией, равной сумме U(r) и центробежной
энергии.
Обозначим через К полный момент импульса молекулы,
складывающийся из орбитального момента электронов L и мо-
момента вращения ядер. Тогда оператор центробежной энергии
ядер будет
Б(г)(К-ЬJ,
где введено обозначение
принятое в теории двухатомных молекул. Усреднив эту величину
по электронному состоянию (при заданном г), мы получим цен-
центробежную энергию как функцию г, которая и должна войти в
эффективную потенциальную энергию [/# (г). Таким образом,
L)^	(82.2)
где черта обозначает указанное усреднение.

§ 82	КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ И ВРАЩАТЕЛЬНАЯ СТРУКТУРЫ	387
Произведем усреднение для состояния, в котором молеку-
молекула обладает определенным значением квадрата полного момента
К2 = К (К + 1) (К — целое число) и определенным значением
проекции электронного момента на ось молекулы (ось z)\ Lz = А.
Раскрыв скобки в (82.2), имеем
UK(r) = U(г) + В(г)К(К + 1) - 2Б(г)ЬК + Б(г)Р. (82.3)
Последний член зависит только от электронного состояния и не
содержит вовсе квантового числа К] этот член можно просто
включить в энергию U(r). Покажем, что то же самое относится
и к предпоследнему члену.
Вспомним, что если проекция момента на какую-либо ось
имеет определенное значение, то вдоль этой же оси направле-
направлено и среднее значение всего вектора момента (см. замечание в
конце §27). Обозначим через п единичный вектор вдоль оси z:
L = Лп. Далее, в классической механике момент вращения си-
системы из двух частиц (ядер) равен [гр], где г = т— радиус-
вектор между обеими частицами, а р — импульс их относитель-
относительного движения; эта величина перпендикулярна к направлению п.
В квантовой механике то же самое будет относиться и к опе-
оператору момента вращения ядер: (К — L)n = 0 или Kn = Ln.
Из равенства операторов следует, конечно, и равенство их соб-
собственных значений, а поскольку nL = Lz = Л, то и
Кп = Л.	(82.4)
Таким образом, в предпоследнем члене в (82.3) величина LK =
= пКЛ = Л2, т. е. не зависит от К. С новым определением функ-
функции U(г) можно написать окончательно эффективную потенци-
потенциальную энергию в виде
UK(r) = U (г) + В(г)К(К + 1).	(82.5)
Заметим также, что из равенства Кх = Л следует, что при
заданном значении Л квантовое число К может пробегать лишь
значения
К^А.	(82.6)
Решая одномерное уравнение Шредингера с потенциальной
энергией (82.5), мы получим ряд энергетических уровней. Усло-
Условимся нумеровать эти уровни (при каждом данном К) в порядке
их возрастания номером v, пробегающим значения и=0,1,2,...;
v = 0 соответствует наиболее низкому уровню. Таким образом,
движение ядер приводит к расщеплению каждого электронно-
электронного терма на ряд уровней, характеризующихся значениями двух
квантовых чисел К и v.

388
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
Число этих уровней (для данного электронного терма) мо-
может быть как конечным, так и бесконечным. Если электронное
состояние таково, что в пределе г —>• ос молекула превращает-
превращается в два изолированных нейтральных атома, то потенциальная
энергия U(г) (а с нею и [/# (г)) стремится при г —»> ос к посто-
постоянному предельному значению U(ос) (сумма энергий двух изо-
изолированных атомов) быстрее, чем 1/г2 (см. §89). Число уровней
в таком поле конечно (см. § 18); фактически оно, правда, ока-
оказывается у молекул очень большим. Уровни распределены при
этом таким образом, что для каждого данного значения К име-
имеется определенное число уровней (отличающихся значениями г>),
причем число уровней с одинаковыми К уменьшается с увели-
увеличением К, пока не достигается такое значение К, при котором
вообще больше нет уровней.
Если же при г —»> ос молекула распадается на два иона, то
на больших расстояниях U(r) — U(ос) переходит в энергию при-
притяжения ионов по закону Кулона (~ 1/г). В таком поле имеется
бесконечное число уровней, сгущающихся по мере приближения
к предельному значению [/(ос). Отметим, что для большинства
молекул в нормальном состоянии имеет место первый случай;
лишь сравнительно небольшое число молекул дает при разведе-
разведении ядер ионы.
Зависимость энергетических уровней от квантовых чисел
не может быть полностью вычислена в общем виде. Такое вы-
вычисление возможно лишь для сравнительно слабо возбужденных
уровней, лежащих не слишком высоко над основным уровнем1).
Этим уровням соответствуют небольшие значения квантовых
чисел К и v. Именно с такими уровнями обычно приходится
иметь дело при изучении молекулярных спектров, и потому они
представляют особый интерес.
Движение ядер в слабо возбужденных состояниях можно ха-
характеризовать как малые колебания относительно положения
равновесия. Соответственно этому, можно разложить U(r) в ряд
по степеням разности ? = г — ге, где ге — значение г, при ко-
котором U(г) имеет минимум. Поскольку U'(re) = 0, то, с точно-
точностью до членов второго порядка, имеем U(r) = Ue + Mcjg?2/2,
где Ue = U(re), a coe — частота колебаний. Во втором члене в
(82.5) — центробежной энергии — достаточно положить г = ге,
так как он уже содержит малую величину К(К + 1). Таким обра-
образом, имеем
UK(r) = Ue + ВеК(К + 1) + Mu2ef/2,	(82.7)
1) Речь идет везде об уровнях, получающихся из одного и того же задан-
заданного электронного терма.

§ 82	КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ И ВРАЩАТЕЛЬНАЯ СТРУКТУРЫ	389
где Ве = Н2/BМг2) = Н2/21— так называемая ротационная
постоянная (I = Mr2—момент инерции молекулы).
Первые два члена в (82.7) — постоянные, а третий соот-
соответствует одномерному гармоническому осциллятору. Поэтому
можно сразу написать для искомых уровней энергии
E = Ue + ВеК(К + 1) + Гш)е(у + ^.	(82.8)
Таким образом, в рассматриваемом приближении энергетиче-
энергетические уровни складываются из трех независимых частей:
E = Eel + Er + EV.	(82.9)
Первый член (Eel = Ue) — электронная энергия (включая энер-
энергию кулонова взаимодействия ядер при г = ге). Второй член
Ет = ВеК(К + 1)	(82.10)
—	вращательная (или ротационная) энергия, связанная с враще-
вращением молекулы1). Наконец, третий член
Ev = Пи>е(у+^\	(82.11)
—	энергия колебаний ядер внутри молекулы. Число v нумерует,
в соответствии с принятым определением, уровни с данным К
в порядке их возрастания; это число называют колебательным
(или вибрационным) квантовым числом.
При данной форме кривой потенциальной энергии U(r) ча-
частота иое обратно пропорциональна \[М. Поэтому и интерва-
интервалы AEV между колебательными уровнями пропорциональны
1/\/М. Интервалы АЕГ между вращательными уровнями со-
содержат в знаменателе момент инерции /, т. е. пропорциональ-
пропорциональны 1/М. Интервалы же AEel между электронными уровнями,
г) Волновая функция, описывающая вращение двухатомной молекулы
(без спина) в основном совпадает с волновой функцией симметричного волч-
волчка (§ 103). В отличие от волчка, вращение молекулы описывается всего двумя
углами (а = <р, /3 = в), определяющими направление ее оси. Вращательная
волновая функция отличается от A03.8) отсутствием множителя elkl/л/2тг,
а также обозначением квантовых чисел. Поскольку в силу (82.4) число Л
совпадает с проекцией полного момента К на ось молекулы (ось ? в § 103),
то надо заменить обозначения J,M,k —»> К, М, Л (где теперь М = Kz). Та-
Таким образом,

390
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА
ГЛ. XI
как и сами эти уровни, не содержат М вовсе. Поскольку т/М
(т — масса электрона) есть малый параметр теории двухатом-
двухатомных молекул, то мы видим, что
AEel > AEV > AEr.	(82.12)
Эти неравенства отражают своеобразный характер распределе-
распределения энергетических уровней молекулы. Колебательное движение
ядер расщепляет электронные термы на сравнительно близко
расположенные друг от друга уровни. Эти уровни испытыва-
испытывают в свою очередь еще более тонкое расщепление под влиянием
вращательного движения молекулы1).
В следующих приближениях разделение энергии на незави-
независимые колебательную и вращательную части оказывается уже
невозможным; появляются вращательно-колебательные члены,
содержащие одновременно К и v. Вычисляя последовательные
приближения, мы получили бы уровни Е в виде разложения в
ряд по степеням квантовых чисел К и v.
Вычислим здесь следующее после (82.8) приближение. Для
этого надо продолжить разложение U(r) по степеням ? до чле-
членов четвертого порядка (ср. задачу об ангармоничном осцилля-
осцилляторе в §38). Соответственно разложение центробежной энергии
производим до членов с ?2. Тогда получаем
IMrl
\ (82.13)
Вычисляем теперь поправку к собственным значениям (82.8),
рассматривая четыре последних члена в (82.13) как оператор
возмущения. При этом для членов с ?2 и ?4 достаточно ограни-
ограничиться первым приближением теории возмущений, а для членов
с ? и ?3 надо вычислить второе приближение, так как диаго-
диагональные матричные элементы от ? к ?3 тождественно исчезают.
Все нужные для вычисления матричные элементы вычислены
1) Для примера укажем значения Ue, Ноие и Ве (в электрон-вольтах) для
нескольких молекул:
-Ue
ti0Je
W3Be
н2
4,7
0,54
7,6
N2
7,5
0,29
0,25
о2
5,2
0,20
0,18

§ 82	КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ И ВРАЩАТЕЛЬНАЯ СТРУКТУРЫ	391
в § 23 и в задаче 3 § 38. В результате вычисления получается
выражение, которое принято записывать в виде
E = Eel + ftue(y + \)- хеПи>е(у + ^J+
l)-DeK\K + lJ, (82.14)
где
Bv = Bv - ae (v + -) = Bo - aev.	(82.15)
Постоянные же, Se, ске, De связаны с постоянными, входящими
в (82.14), следующими соотношениями:
2Г ° Г?и\
;2, ,2 '
3 / Я
же = 	 —
2fajJe \MuJe
Не зависящие от г> и if члены включены в Eel.
Задача
Оценить точность приближ:ения, приводящего к разделению электрон-
электронного и ядерного движения в двухатомной молекуле.
Решение. Полный гамильтониан молекулы представим в виде Н =
= Tr + Hei, где Тг = р2/2М—оператор кинетической энергии относитель-
относительного движения ядер (р = —ihd/dr ; г — вектор расстояния между ядрами;
М — их приведенная масса). Гамильтониан же Hei включает в себя операто-
операторы кинетической энергии электронов, потенциальную энергию их кулонова
взаимодействия друг с другом и с ядрами, а также энергию кулонова взаи-
взаимодействия ядер х). Решение уравнения Шредингера
Н<ф = (Тг + Не1)ф = Е<ф	A)
ищем в виде
г) Гамильтониан Н относится к системе отсчета, в которой покоится центр
инерции всей молекулы (Рп + Ре = 0, где Рп — суммарный импульс двух
ядер, а Ре—суммарный импульс электронов). В нем, однако, уже опу-
опущен член, отвечающий кинетической энергии движения центра инерции
ядер: P^/2(Mi + М2) = pl/2(Mi + M2). Этот член заведомо мал в отно-
отношении т/М по сравнению с кинетической энергией электронов.

392
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
где функции ^Pm(Qjf) — ортонормированные решения уравнения
Hel<pm(q,r) = Um(r)<pm(q,r)	C)
(q обозначает совокупность координат электронов); Um(r)—собственные
значения гамильтониана Hei, зависящие от г как от параметра. Подставив
B) в уравнение A), умножив его слева на <Pn(Qir) и проинтегрировав по dq,
получим
L	J	m
где
M	2M
a Pnm = / (РпРФт dq и (p2)nm — матричные элементы по отношению к элек-
электронным волновым функциям; диагональный элемент рпп обращается в
нуль в силу соображений симметрии.
Электронные функции <рп существенно меняются лишь на протяжении
расстояний порядка атомных; поэтому их дифференцирование по г не вно-
вносит большого параметра М/т (т — масса электрона). Величина V^'n, следо-
следовательно, мала по сравнению с Un(r) в отношении т/М и может быть опу-
опущена. Если рассматривать члены в правой части выражения D) как малое
возмущение, то в нулевом приближении функции xn(R) даются решениями
уравнения
~	nv — EnvXnv,	E)
описывающего движение ядер в поле Un(r) (v — квантовые числа этого дви-
движения). Условие применимости теории возмущений состоит в требовании
\(ni)'\V' -\-V" \mv\\ <?Г \Е i — Е I
В правой части неравенства стоят разности энергий, относящихся к раз-
разным электронным термам; эти величины — нулевого порядка по параметру
малости т/М. Слева стоят матричные элементы по отношению к ядерным
волновым функциям. Член с V^'m содержит т/М и заведомо мал. В матрич-
матричном элементе от V^m оператор р, действуя на функцию Xmv, умножает ее на
величину порядка импульса ядер. Если ядра совершают малые колебания,
то их импульс ~ \/Mhuje; поскольку в то же время частота uje обратно про-
пропорциональна \ЛМ, то матричный элемент (пг^У^^тш;)—порядка малости
§ 83. Мультиплетные термы. Случай а
Перейдем теперь к вопросу о классификации молекулярных
уровней с отличным от нуля спином S. В нулевом приближе-
приближении, при полном пренебрежении релятивистскими эффектами,
энергия молекулы, как и всякой вообще системы частиц, не за-
зависит от направления спина (спин «свободен»), что приводит к

§ 83	МУЛЬТИПЛЕТНЫЕ ТЕРМЫ. СЛУЧАЙ п	393
BS + 1)-кратному вырождению уровней. При учете же реляти-
релятивистских взаимодействий вырожденные уровни расщепляются,
в результате чего энергия становится зависящей от величины
проекции спина на ось молекулы. О релятивистских взаимодей-
взаимодействиях в молекулах мы будем говорить как о взаимодействии
спин-ось. Основную роль в нем играет (как и у атомов) взаимо-
взаимодействие спинов с орбитальным движением электроновг).
Характер и классификация молекулярных уровней суще-
существенно зависят от относительной роли, которую играют вза-
взаимодействие спина с орбитальным движением, с одной стороны,
и вращение молекулы —с другой. Роль последнего характеризу-
характеризуется расстояниями между соседними вращательными уровнями.
Соответственно этому надо рассмотреть два предельных слу-
случая. В одном из них энергия взаимодействия спин-ось велика по
сравнению с разностями вращательных уровней, а в другом —
мала. Первый случай принято называть случаем (или типом
связи) а, а второй — случаем Ъ (F. Hund, 1933).
Чаще всего встречается случай а. Исключение представляют
S-термы, у которых в основном имеет место случай 6, посколь-
поскольку эффект взаимодействия спин-ось для них мал (см. нижеJ).
Для других термов случай Ъ иногда встречается у самых лег-
легких молекул соответственно тому, что взаимодействие спин-ось
здесь сравнительно слабо, а расстояния между вращательными
уровнями велики (момент инерции мал).
Разумеется, возможны также и промежуточные между а и Ъ
случаи. Надо также иметь в виду, что одно и то же электрон-
электронное состояние может при изменении вращательного квантового
числа непрерывным образом перейти из случая а в случай Ъ. Это
связано с тем, что расстояния между соседними вращательными
уровнями возрастают при увеличении вращательного квантово-
квантового числа и потому при больших его значениях могут стать боль-
большими по сравнению с энергией связи спин-ось (случай 6), даже
если для низких вращательных уровней имел место случай а.
В случае а классификация уровней в принципе мало отлича-
отличается от классификации термов с равным нулю спином. Снача-
Сначала рассматриваем электронные термы при неподвижных ядрах,
т. е. пренебрегая полностью вращением; наряду с проекцией Л
1)	Помимо взаимодействий спин-орбита и спин-спин существует еще взаи-
взаимодействие спина и орбитального движения электронов с вращением моле-
молекулы. Однако эта часть взаимодействия очень мала, ее рассмотрение может
представлять интерес лишь для термов со спином S = 1/2 (см. §81).
2)	Особый случай представляет нормальный электронный терм молеку-
молекулы О2 (терм 3Е). Для него имеет место тип связи, промежуточный между
а и Ъ (см. задачу 3 к § 84).

394
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
орбитального момента электронов надо теперь рассматривать
проекцию полного спина на ось молекулы; эту проекцию обозна-
обозначают буквой S1), она пробегает значения S, S — 1, ...,—?. Мы
условимся считать S положительной, когда направление про-
проекции спина совпадает с направлением орбитального момента
относительно оси (напомним, что Л обозначает абсолютную ве-
величину последнего). Величины Л и S складываются в полный
момент импульса электронов относительно оси молекулы:
^ = Л + Е;	(83.1)
он пробегает значения Л + 5, А + S — 1,...,Л — S. Таким образом
электронный терм с орбитальным моментом Л расщепляется на
25 + 1 термов, отличающихся значениями $1 (об этом расщеп-
расщеплении говорят, как и в случае атомных термов, как о тонкой
структуре или мультиплетном расщеплении электронных уров-
уровней). Значение ft указывают в виде нижнего индекса у символа
терма; так, при Л = 1, S = 1/2 получаем термы 2П1/2, 2Пз/2-
Учет движения ядер приводит для каждого из этих тер-
термов к возникновению колебательной и вращательной структур.
Различные вращательные уровни характеризуются значениями
квантового числа J — полного момента молекулы, включающего
в себя орбитальный и спиновый моменты электронов и момент
вращения ядер2). Это число пробегает целые значения, начиная
от Ifil:
11	J^\U\	(83.2)
(очевидное обобщение правила (82.6)).
Выведем количественные формулы, определяющие молеку-
молекулярные уровни в случае а. Прежде всего рассмотрим тонкую
структуру электронного терма. При изучении тонкой структу-
структуры атомных термов в § 72 мы пользовались формулой G2.4),
согласно которой среднее значение взаимодействия спин-орби-
спин-орбита пропорционально проекции полного спина атома на вектор
орбитального момента. Совершенно аналогично, взаимодействие
спин-ось в двухатомной молекуле (усредненное по электронно-
электронному состоянию при данном расстоянии г между ядрами) про-
пропорционально проекции S полного спина молекулы на ее ось,
так что мы можем написать расщепленный электронный терм в
виде
) Не смешивать с символом термов с Л = О!
2) Обозначение К остается, как это принято, за полным моментом молеку-
молекулы без учета ее спина. В случае а квантового числа К не существует, так
как момент К не сохраняется даже приближенно.

§ 83	МУЛЬТИПЛЕТНЫЕ ТЕРМЫ. СЛУЧАЙ п	395
где U(r)— энергия исходного (нерасщепленного) терма, а
А (г) — некоторая функция от г; эта функция зависит от исход-
исходного терма (в частности, от значения Л), но не зависит от S.
Поскольку обычно пользуются квантовым числом fi, а не S, то
вместо АЕ удобнее писать Aft] эти выражения отличаются на
величину АЛ, которую можно включить в U(r). Таким образом,
имеем для электронного терма выражение
U(r) + A(r)u.	(83.3)
Отметим, что компоненты расщепленного терма оказыва-
оказываются равноудаленными друг от друга — расстояние между со-
соседними компонентами (со значениями Г2, отличающимися на
единицу) равно А(г) и не зависит от О..
Легко видеть из общих соображений, что для S-термов вели-
величина А равна нулю. Для этого произведем операцию изменения
знака времени. При этом энергия должна остаться неизменной,
состояние же молекулы изменится в том отношении, что на-
направление орбитального и спинового момента относительно оси
переменится на противоположное. В энергии А(г)Е изменяет-
изменяется знак S, и для того, чтобы она осталась неизменной, необ-
необходимо, чтобы и А (г) изменила знак. Если Л ф 0, то отсюда
нельзя сделать никаких заключений относительно значения ве-
величины А (г), поскольку последняя зависит от орбитального мо-
момента, который сам меняет знак. Если же Л = 0, то можно во
всяком случае утверждать, что А{г) не изменится, а следователь-
следовательно, должна тождественно обращаться в нуль. Таким образом,
для S-термов взаимодействие спин-орбита в первом прибли-
приближении не приводит к расщеплению; расщепление (пропорцио-
(пропорциональное S2) появилось бы лишь при учете этого взаимодействия
во втором приближении или взаимодействия спин-спин в пер-
первом приближении и потому сравнительно мало. С этим свя-
связан упоминавшийся уже факт, что для S-термов обычно имеет
место случай Ъ.
После того как определено мультиплетное расщепление, мож-
можно учесть вращение молекулы как возмущение совершенно ана-
аналогично выводу, произведенному в начале предыдущего пара-
параграфа. Момент вращения ядер получается из полного момента
вычитанием орбитального момента и спина электронов. Поэтому
оператор центробежной энергии теперь имеет вид
B(r)C -L-SJ.
Усреднив эту величину по электронному состоянию и склады-
складывая с (83.3), получим искомую эффективную потенциальную

396
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
энергию Uj(r):
Uj(r) = U(r) + А(г)п + В(г)C - L - SJ =
= U(r) + А(г)П + В (г) [J2 - 2J(L + S) + I? + 2LS + S2].
Собственное значение J2 есть J(J +1). Далее, по тем же сообра-
соображениям, что и в § 82, имеем
L = пЛ, S = nS,	(83.4)
а также (J — L — S)n = 0, откуда для собственных значений
получим
Jn = (L + S)n = Л + S = П.	(83.5)
Подставив эти значения, находим
Uj(r) = U (г) + А(г)п + В (г) [J(J + 1) - 2П2 + L2 + 2LS + S2].
Усреднение по электронному состоянию производится с помо-
помощью волновых функций нулевого1) приближения. Но в этом
приближении величина спина сохраняется; поэтому S2 = 5E+1).
Волновая же функция есть произведение спиновой функции на
координатную; поэтому усреднение моментов L и S производит-
производится независимо друг от друга, и мы получаем
Наконец, среднее значение квадрата орбитального момента L2
не зависит от спина и представляет собой некоторую характер-
характерную для данного (нерасщепленного) электронного терма функ-
функцию от г. Все члены, представляющие собой функции от г, не
зависящие от J и S, могут быть включены в U(r), а член, про-
пропорциональный S (или, что то же, П), можно включить в вы-
выражение A(r)Q. Таким образом, получаем для эффективной по-
потенциальной энергии формулу
Uj(r) = U(г) + А(г)П + B(r)[J(J + 1) - 2fi2].	(83.6)
Уровни энергии молекулы могут быть получены отсюда тем
же способом, как и в §82 из формулы (82.5). Разложив U(r) и
А{г) в ряд по степеням ? и сохранив в разложении U(r) члены до
второго порядка включительно, а в разложении второго и тре-
третьего членов — только члены нулевого порядка, получим уровни
энергии в виде
E = Ue + АеП + Поие(у + ^\ + Be[J(J + 1) - 2fi2], (83.7)
х) Нулевого как по эффекту вращения молекулы, так и по взаимодействию
спин—ось.

§ 84	МУЛЬТИПЛЕТНЫЕ ТЕРМЫ. СЛУЧАЙ Ь	397
где Ае = А(ге), Ве — постоянные, характерные для данного
(нерасщепленного) электронного терма. Продолжая разложение
дальше, мы получили бы еще ряд членов более высоких степеней
по квантовым числам; мы не станем выписывать их здесь.
§ 84. Мультиплетные термы. Случай Ъ
Перейдем теперь к случаю Ъ. Здесь эффект вращения моле-
молекулы преобладает над мультиплетным расщеплением. Поэтому
в первую очередь мы должны рассмотреть эффект вращения,
пренебрегая взаимодействием спин-ось, а уже затем последнее
должно быть учтено как возмущение.
У молекулы со «свободным» спином сохраняется не только
полный момент J, но и сумма К орбитального момента электро-
электронов и момента вращения ядер, связанная с J посредством
J = K + S.	(84.1)
Квантовое число К отличает различные состояния вращающейся
молекулы со свободным спином, получающиеся из данного элек-
электронного терма. Эффективная потенциальная энергия Uk(j) b
состоянии с данным значением К определяется, очевидно, той
же формулой (82.5), что и для термов с S = 0:
UK(r) = U (г) + В(г)К(К + 1),	(84.2)
где К пробегает значения Л, Л + 1,...
Включение взаимодействия спин-ось приводит к расщепле-
расщеплению каждого терма, вообще говоря, на 2S + 1 термов (или на
2К +1, если К < 5), отличающихся значениями полного момен-
момента J1). Согласно общему правилу сложения моментов число J
пробегает (при данном К) значения от К + S до \К — S\\
\К -S\^J ^K + S.	(84.3)
Для вычисления энергии расщепления (в первом приближе-
приближении теории возмущений) надо определить среднее значение опе-
оператора энергии взаимодействия спин-ось по состоянию нулево-
нулевого (по этому взаимодействию) приближения. В рассматривае-
рассматриваемом случае это означает усреднение как по электронному со-
состоянию, так и по вращению молекулы (при заданном г). В ре-
результате первого усреднения получается оператор вида A(r)nS,
пропорциональный проекции оператора спина на ось молекулы.
1) В случае Ъ проекция nS спина на ось молекулы не имеет определенного
значения, так что квантового числа S (иП) не существует.

398
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
Далее, усредним этот оператор по вращению молекулы, при-
причем считаем направление вектора спина произвольным; тогда
nS = nS. Среднее значение п есть вектор, который в силу со-
соображений симметрии должен иметь то же направление, что и
«вектор» К — единственный вектор, характеризующий вращение
молекулы. Таким образом, можно написать
n = const -К.
Коэффициент пропорциональности легко определить, умножив
обе части этого равенства на К и заметив, что собственные зна-
значения пК = Л (см. (82.4)), К2 = К(К + 1). Таким образом,
nS =	KS.
Наконец, собственное значение произведения KS, согласно об-
общей формуле C1.3), равно
KS = -[J(J + 1) - К (К + 1) - S(S + 1)].	(84.4)
В результате мы приходим к следующему выражению для
искомого среднего значения энергии взаимодействия спин-ось:
lJ{J + 1)~ S{S + 1)~ К{К + 1)] =
Это выражение должно быть прибавлено к энергии (84.2). При
этом член A/2)Л(г)Л, как не зависящий от К и J, может быть
включен в U(г), так что окончательно для эффективной потен-
потенциальной энергии получаем выражение
ВДг) = U(r) + В(т)К(К + 1) + ^(r)A(J-JW + * + 1). (84.5)
Разложение по степеням ? = г — ге приводит обычным обра-
образом к выражению для уровней энергии молекулы в случае Ъ\
E = Ue + fae(v + l/2) + BeK(K + l)+AeA{J-f^J+S + 1). (84.6)
2К (К +1)
Как уже указывалось в предыдущем параграфе, у Е-термов
взаимодействие спин-орбита не приводит в первом приближе-
приближении к мультиплетному расщеплению и для определения тон-
тонкой структуры надо учесть взаимодействие спин-спин, оператор

§ 84	МУЛЬТИПЛЕТНЫЕ ТЕРМЫ. СЛУЧАЙ Ь	399
которого квадратичен по спинам электронов. Нас интересует
сейчас не самый этот оператор, а результат его усреднения по
электронному состоянию молекулы, подобно тому как это было
сделано для оператора взаимодействия спин-орбита. Из сообра-
соображений симметрии очевидно, что искомый усредненный оператор
должен быть пропорционален квадрату проекции полного спина
молекулы на ось, т. е. может быть написан в виде
«(r)(SnJ,	(84.7)
где а(г) — опять некоторая характерная для данного электрон-
электронного терма функция расстояния г (симметрия допускает также
член, пропорциональный S2; он не представляет, однако, инте-
интереса, так как абсолютная величина спина есть просто постоян-
постоянная). Мы не станем здесь останавливаться на выводе громозд-
громоздкой общей формулы для расщепления, обусловливаемого опе-
оператором (84.7); в задаче 1 к этому параграфу приведен вывод
формулы для триплетных Е-термов.
Особый случай представляют дублетные S-термы. Соглас-
Согласно теореме Крамерса (§ 60) у системы частиц с полным спином
S = 1/2 двукратное вырождение непременно остается даже при
полном учете внутренних релятивистских взаимодействий в си-
системе. Поэтому 2Е-термы остаются нерасщепленными даже при
учете (в любом приближении) взаимодействий как спин-орбита,
так и спин-спин.
Расщепление получилось бы здесь лишь при учете реляти-
релятивистского взаимодействия спина с вращением молекулы; этот
эффект очень мал. Усредненный оператор этого взаимодействия
должен, очевидно, иметь вид 7KS, и его собственные значе-
значения определяются формулой (84.4), в которой надо положить
S = 1/2, J = К ± 1/2. В результате получим для 2Е-термов
формулу
Е = Ue + Псие(у + 1/2) + ВеК(К + 1) ± (-у/2)(К + 1/2) (84.8)
(в Ue мы включили постоянную— 7/4) •
Задачи
1. Определить мультиплетное расщепление 3Е-терма в случае Ъ (Н. Kra-
Kramers, 1929).
Решение. Искомое расщепление определяется оператором (84.7), ко-
который должен быть усреднен по вращению молекулы. Пишем его в виде
aenirikSiSk, где обозначено ае = а(го). Поскольку S — сохраняющийся век-
вектор, то усредняться должно только произведение ПгПк. Согласно аналогич-
аналогичной формуле, полученной в задаче к § 29, имеем
BК-1)BК
|

400
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
здесь не выписаны члены (пропорциональные Sik), которые дали бы в энер-
энергии вклад, не зависящий от J и потому не приводящий к интересующему
нас расщеплению. Таким образом, расщепление определяется оператором
BК-1)BК + 3)
Поскольку S коммутативен с К, то
= (SKJ,
где собственное значение SK дается формулой (84.4). Далее, имеем
SiSkKuKiSiSkKiKu + iSiSkekaKt =
= (SKJ - (l/2)(SiSk -
= (SKJ + (l/2)eikieikmSmKi = (SKJ + SK.
Трем компонентам Ек триплета 3ЕE = 1) соответствуют J = К, К±1.
Для интервалов между этими компонентами получим значения
ТС -4- 1	ТС
К ~ ~ае2К + 3' К~г~ К ~ ~ае 2К-1
2. Определить энергию дублетного терма (с Л / 0) для случаев, проме-
промежуточных между а и Ъ (Е. Hill, J. van Vleck, 1928).
Решение. Поскольку вращательная энергия и энергия взаимодей-
взаимодействия спин-ось предполагаются одного порядка величины, то их надо рас-
рассматривать в теории возмущений одновременно, так что оператор возмуще-
возмущения имеет вид1)
V = BeK2 +AenS.
В качестве волновых функций нулевого приближения удобно пользоваться
волновыми функциями состояний, в которых имеют определенное значе-
значение моменты К и J (т.е. функции случая Ь). Поскольку для дублетного
терма S = 1/2, то при данном J квантовое число К может иметь значе-
значения К = J ± 1/2. Для составления секулярного уравнения надо вычислить
матричные элементы {nSKJ\V\nSK'J) (n обозначает совокупность кванто-
квантовых чисел, определяющих электронный терм), где К, К принимают ука-
указанные значения. Матрица оператора К диагональна (диагональные эле-
элементы равны К (К + 1)). Матричные же элементы от (nS) вычисляются с
помощью общей формулы A09.5) (в которой роль ji,J2,J играют 5, К, J);
приведенные матричные элементы от п даются формулами (87.4). В резуль-
результате вычисления получим секулярное уравнение
Be(J + l/2)(J + 3/2) -Ае	E{i) 	^V(J + l/2J -A2
-**-е	/ / т '. Z /л\ О	1 о	т-» / т . -• /л\ / т	-л /л\ .	Л	¦**¦	j—j A)
Be(J+ 1/2)(J-1/2)
2J+1	' '	' /ч	' '	2J+1
1) Усреднение по колебаниям должно быть произведено до усреднения по
вращению. Поэтому мы заменили (ограничиваясь первыми членами раз-
разложения по ?) функции В(г) и А(г) значениями Ве, Ае. Невозмущенные
уровни энергии: Е^ = Ue + huje(v + 1/2).

85	МУЛЬТИПЛЕТНЫЕ ТЕРМЫ. СЛУЧАИ С И d	401
Решив это уравнение и сложив Е^ ' с невозмущенной энергией, получим
E = Ue + Пие(у + 1/2) + BeJ(J + 1) ± VBI(J + V2J " АеВеА
(в С7е включена постоянная Ве/4). Случаю а соответствует Ае ^> SeJ, a
случаю Ь — обратное неравенство.
3. Определить интервалы между компонентами триплетного уровня 3Е
в случае, промежуточном между а и Ь.
Решение. Как и в задаче 2, вращательная энергия и энергия взаимо-
взаимодействия спин-спин рассматриваются в теории возмущений одновременно.
Оператор возмущения имеет вид
V = БеК2+ае(п§J.
В качестве волновых функций нулевого приближения пользуемся функ-
функциями случая Ь. Матричные элементы (.K^nSI-K"') (все индексы, по которым
матрица диагональна, опускаем) вычисляем снова по формулам A09.5) и
(87.4), на этот раз с Л = 0, S = 1. Отличными от нуля будут элементы вида
<J|nS|J-l> = . -^-, <J|nS|J+l> =
При данном J число К может иметь значения К = J, J± 1. Для матричных
элементов (if ^Х7) находим
(J\V\J) = 5eJ(J + l) + ae, (J-1\V\J-1) = Be(J -
(J + 1|V| J + 1) = Be(J + 1)(J + 2) + a
)J + ae	,
J
(J - 1|V|J + 1) = (J
Мы видим, что между состояниями с К = J и состояниями с К = J dz I
нет переходов. Поэтому один из уровней есть просто Е\ = (J|V|J). Два
других (й,й) получаются в результате решения квадратного секулярно-
го уравнения, составленного из матричных элементов для переходов меж-
между состояниями J ± 1. Интересуясь лишь относительным расположением
компонент триплета, вычтем из всех трех энергий ?а,2,з постоянную ае. В
результате получим
E1=BeJ(J + l),
а
Е2,3 = Se(J2 + J + 1) - у ± л/Sf BJ + IJ - аеВе + (а§/4).
В случае Ъ (а мало), рассматривая три уровня с одинаковыми К и раз-
различными J (J = К, if dz 1), получим снова формулы, найденные в задаче 1.
§ 85. Мультиплетные термы. Случаи end
Кроме случаев связи а и Ъ и промежуточных между ними
существуют также и другие типы связи. Происхождение этих
типов заключается в следующем. Возникновение квантового

402
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
числа Л связано, в конечном итоге, с электрическим взаимо-
взаимодействием обоих атомов в молекуле, приводящим к аксиальной
симметрии задачи об определении электронных термов (об этом
взаимодействии в молекуле говорят, как о связи орбитального
момента с осью). Мерой величины этого взаимодействия явля-
являются расстояния между термами с различными значениями Л.
Во всем предыдущем это взаимодействие молчаливо предпола-
предполагалось настолько сильным, что эти расстояния велики как по
сравнению с интервалами в мультиплетном расщеплении, так
и по сравнению с интервалами вращательной структуры тер-
термов. Существуют, однако, и обратные случаи, когда взаимодей-
взаимодействие орбитального момента с осью сравнимо или даже мало по
сравнению с другими эффектами; в таких случаях, разумеется,
нельзя говорить, ни в каком приближении, о сохранении проек-
проекции орбитального момента на ось, так что число А теряет смысл.
Если связь орбитального момента с осью мала по сравнению
со связью спин-орбита, то говорят о случае с. Он осуществля-
осуществляется в молекулах, содержащих атом редкоземельного элемента.
Эти атомы характеризуются наличием /-электронов с некомпен-
некомпенсированными моментами; их взаимодействие с осью молекулы
ослаблено в связи с глубоким расположением /-электронов в
атоме. Промежуточные между а и с типы связи встречаются в
молекулах, состоящих из тяжелых атомов.
Если связь орбитального момента с осью мала по сравне-
сравнению с интервалами вращательной структуры, то говорят о слу-
случае d. Этот случай встречается для высоких (с большими J)
вращательных уровней некоторых электронных термов самых
легких молекул (Н2, Не2). Эти термы характеризуются наличи-
наличием в молекуле сильно возбужденного электрона, взаимодействие
которого с остальными электронами (или, как говорят, с «осто-
«остовом» молекулы) настолько слабо, что его орбитальный момент не
квантуется вдоль оси молекулы (между тем как остов обладает
определенным моментом Лост относительно оси).
При увеличении расстояния г между ядрами взаимодей-
взаимодействие атомов ослабляется и в конце концов становится малым
по сравнению с взаимодействием спин-орбита в атомах. Поэто-
Поэтому рассматривая электронные термы при достаточно больших
г, мы будем иметь дело со случаем с. Это обстоятельство надо
иметь в виду при выяснении соответствия между электронными
термами молекулы и состояниями атомов, получающимися при
г —»> ос.
В § 80 мы рассматривали это соответствие, пренебрегая вза-
взаимодействием спин-орбита. При учете же тонкой структуры
термов возникнет дополнительно вопрос о соответствии меж-
между значениями J\ и J2 полных моментов изолированных атомов

§ 85	МУЛЬТИПЛЕТНЫЕ ТЕРМЫ. СЛУЧАИ С И d	403
и значениями квантового числа Л молекулы. Мы приведем здесь
результаты, не повторяя рассуждений, вполне аналогичных при-
применявшимся в § 80.
Если молекула состоит из различных атомов, то возможные
значения fi1), получающиеся при соединении атомов с момен-
моментами J\ и J2 (Ji ^ J2), определяются той же схемой (80.1), в
которой надо вместо Li, L2 писать Ji, J2, а вместо Л подставить
\Щ. Разница состоит только в том, что при полу цел ом J\ + J2
наименьшее значение |П| будет не нулем, как указано в схеме,
а 1/2. При целом же J\ + J2, имеется 2J2 + 1 термов с $1 = 0,
для которых (как и для S-термов при пренебрежении тонкой
структурой) возникает вопрос об их знаке. Если J\ и J<i — оба
полуцелые, то число BJ2 + 1) четно, и имеется равное количество
термов, которые мы обозначаем условно как 0+ и 0~. Если же J\
и J2 — оба целые, то J2 + 1 термов будут 0+, a J2 будут 0~ (если
(-l)Jl+j2PiP2 = 1), или наоборот (если (-l)Jl+j2PiP2 = -1).
Если молекула состоит из одинаковых атомов, находящихся
в различных состояниях, то результирующие молекулярные со-
состояния те же, что и в случае различных атомов, с той лишь
разницей, что общее число термов удваивается, причем каждый
терм входит один раз как четный, а другой раз —как нечетный.
Наконец, если молекула состоит из одинаковых атомов, на-
находящихся в одинаковых состояниях (с моментами J\ = J2 = J),
то общее число состояний остается тем же, что и в случае раз-
различных атомов, а их распределение по четности таково, что
если	J целое,	ft четно:	Ng = Nu + 1,
»	J	»,	fi нечетно:	Ng = Nu,
»	J	полу целое,	Q четно:	Nu = Ng,
»	J	»,	fi нечетно:	Nu = Ng + 1.
При этом все 0+-термы четны, а все 0~-термы нечетны.
По мере сближения ядер связь типа с переходит обычно в
связь типа а2). При этом может иметь место следующая инте-
интересная ситуация.
Как уже говорилось, терм с Л = 0 относится к случаю Ъ\
с точки же зрения классификации случая а это значит, что
уровням мультиплета с различными значениями ?1 (и одинако-
одинаковым Л = 0) соответствует одинаковая энергия. Но такие уровни
1)	При сложении двух полных моментов атомов J\ и Ji в результирующий
момент Q знак Q, очевидно, несуществен.
2)	Соответствие между классификацией термов типа а и типа с не может
быть произведено в общем виде. Оно требует конкретного рассмотрения
кривых потенциальной энергии с учетом правила непересекаемости уровней
одинаковой симметрии (§79).

404
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
могут возникать при сближении атомов, находящихся в различ-
различных состояниях тонкой структуры.
Таким образом, может оказаться, что различным парам
атомных состояний тонкой структуры соответствует один и
тот же молекулярный терм. Аналогичная ситуация может иметь
место для таких термов с ft = 0, которые переходят при сбли-
сближении ядер в молекулярный терм с А ф 0 (и соответственно
S = —Л); такие уровни получаются двукратно вырожденны-
вырожденными, поскольку термам 0+ и 0~ (которые могут возникать из
различных пар атомных состояний) в случае а соответствует
одинаковая энергиях).
§ 86. Симметрия молекулярных термов
В § 78 мы уже рассмотрели некоторые свойства симметрии
термов двухатомной молекулы. Эти свойства характеризовали
поведение волновых функций при преобразованиях, не затраги-
затрагивающих координат ядер. Так, симметрия молекулы по отноше-
отношению к отражению в плоскости, проходящей через ее ось, приво-
приводит к различию между S+- и Е~-термами; симметрия по отно-
отношению к изменению знака координат всех электронов (для моле-
молекулы из одинаковых атомовJ) приводит к разделению термов
на четные и нечетные.
Эти свойства симметрии характеризуют электронные термы
и одинаковы у всех вращательных уровней, относящихся к одно-
одному и тому же электронному терму.
Далее, состояния молекулы (как и всякой вообще системы ча-
частиц— см. §30) характеризуются своим поведением по отноше-
отношению к инверсии — одновременному изменению знака координат
всех электронов и ядер.
В связи с этим все термы молекулы делятся на положитель-
положительные — волновые функции которых не меняются при изменении
знака координат электронов и ядер, и отрицательные — волно-
волновые функции которых меняют знак при инверсии3).
При Л ф 0 каждый терм двукратно вырожден соответствен-
соответственно двум возможным направлениям момента относительно оси
1)	Мы пренебрегаем здесь так называемым Л-удвоением (см. §88).
2)	Начало координат предполагается выбранным на оси молекулы, посре-
посредине между обоими ядрами.
) Мы придерживаемся принятой терминологии. Она неудачна, так как в
случае атома о поведении термов по отношению к операции инверсии гово-
говорят как об их четности, а не знаке.
Для Е-термов не смешивать знак, о котором здесь идет речь, со знаками
+ и —, указываемыми в виде индекса сверху!

§ 86	СИММЕТРИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕРМОВ	405
молекулы. В результате операции инверсии момент сам по се-
себе не меняет знака, но зато меняется на обратное направление
оси молекулы (атомы меняются местами!), а потому меняется
на обратное и направление момента Л относительно молекулы.
Поэтому две волновые функции, относящиеся к данному уров-
уровню энергии, преобразуются друг через друга, и из них можно
всегда составить линейную комбинацию инвариантную по отно-
отношению к инверсии, и комбинацию, меняющую при этом преоб-
преобразовании знак. Таким образом, мы получим для каждого терма
два состояния, из которых одно будет положительным, а дру-
другое отрицательным. Фактически каждый терм с Л ф 0 все же
расщепляется (см. §88), так что эти два состояния будут соот-
соответствовать различным значениям энергии.
S-термы требуют особого рассмотрения для определения их
знака. Прежде всего ясно, что спин не имеет отношения к зна-
знаку терма; операция инверсии затрагивает только координаты
частиц, оставляя спиновую часть волновой функции неизмен-
неизменной. Поэтому все компоненты мультиплетной структуры каж-
каждого данного терма имеют одинаковый знак. Другими словами,
знак терма будет зависеть только от К, но не от J1).
Волновая функция молекулы представляет собой произведе-
произведение электронной и ядерной волновых функций. В § 82 было пока-
показано, что в S-состоянии движение ядер эквивалентно движению
одной частицы с орбитальным моментом К в центрально-сим-
центрально-симметричном поле U(г). Поэтому можно утверждать, что при изме-
изменении знака координат ядерная волновая функция умножается
на (-1)к (см. C0.7)).
Электронная волновая функция характеризует электронный
терм, и для выяснения ее поведения при инверсии надо рас-
рассмотреть ее в системе координат, жестко связанной с ядрами
и вращающейся вместе с ними. Пусть xyz есть неподвижная в
пространстве система координат, а ^С — вращающаяся система
координат, в которой молекула как целое неподвижна. Напра-
Направление осей ??7С зададим таким образом, чтобы ось ? совпадала
с осью молекулы, будучи направлена, скажем, от ядра 1 к ядру 2,
а взаимное расположение положительных направлений осей ?rj(
должно быть таким же, как и в системе xyz (т. е. если систе-
система xyz — правая, то правой должна быть и система CvO- В ре-
результате инверсии направление осей xyz меняется на обратное,
и система из правой становится левой. При этом и система ^С
должна стать левой. Но ось ?, будучи жестко связана с ядра-
ядрами, сохраняет прежнее направление; поэтому надо направление
х) Напоминаем, что для Е-термов обычно имеет место случай 6, и потому
надо пользоваться квантовыми числами К и J.

406
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
какой-либо одной из осей ? или т\ изменить на обратное. Таким
образом, операция инверсии в неподвижной системе координат
эквивалентна в движущейся системе отражению в плоскости,
проходящей через ось молекулы. Но при таком отражении элек-
электронная волновая функция Е+-терма не меняется, а Е~-терма
меняет знак.
Таким образом, знак вращательных компонент Е+-терма
определяется множителем ( —1) ; все уровни с четным К по-
положительны, а с нечетным — отрицательны. Для Е~-терма знак
вращательных уровней определяется множителем (—1)^+1 и все
уровни с четными К отрицательны, а с нечетными—положи-
нечетными—положительны.
Если молекула состоит из одинаковых атомов1), то ее га-
гамильтониан инвариантен также и по отношению ко взаимной
перестановке координат обоих ядер. Терм называется симмет-
симметричным относительно ядер, если его волновая функция не ме-
меняется при перестановке ядер, и антисимметричным — если вол-
волновая функция меняет знак. Симметрия относительно ядер тес-
тесно связана с четностью и знаком терма. Перестановка коорди-
координат ядер эквивалентна изменению знака координат всех частиц
(электронов и ядер) и последующему изменению знака коорди-
координат только у электронов. Отсюда следует, что если терм четен
(нечетен) и в то же время положителен (отрицателен), то он
симметричен относительно ядер. Если же терм четен (нечетен)
и в то же время отрицателен (положителен), то он антисимме-
антисимметричен относительно ядер.
В конце § 62 была установлена общая теорема о том, что
координатная волновая функция системы из двух одинаковых
частиц симметрична при четном и антисимметрична при нечет-
нечетном полном спине системы. Если применить этот результат к
двум ядрам молекулы из одинаковых атомов, то мы найдем, что
симметрия терма связана с четностью суммарного спина /, по-
получающегося в результате сложения спинов г обоих ядер. Терм
симметричен при четном и антисимметричен при нечетном /2).
В частности, если ядра не обладают спином (г = 0), то равно
нулю и /; поэтому молекула не будет вовсе иметь антисиммет-
антисимметричных термов. Мы видим, что ядерный спин оказывает суще-
существенное косвенное влияние на молекулярные термы, хотя его
1)	Необходимо, чтобы оба атома относились не только к одному и тому же
элементу, но и к одному его изотопу
2)	Имея в виду связь между четностью, знаком и симметричностью термов,
заключаем, что при четном суммарном спине ядер / положительные уровни
четны, а отрицательные нечетны; при нечетном / — наоборот.

§ 87	СИММЕТРИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕРМОВ	407
непосредственное влияние (сверхтонкая структура термов) со-
совершенно ничтожно.
Учет спина ядер приводит к дополнительному вырождению
уровней. В том же § 62 было подсчитано число состояний с чет-
четными и нечетными значениями /, получающихся при сложении
двух спинов г. Так, при полу цел ом г число состояний с четны-
четными / равно iBi + 1), а с нечетными: (г + 1)Bг + 1). В связи со
сказанным выше заключаем, что отношение кратностей g5, ga
вырождения1) симметричного и антисимметричного термов при
полуцелом г равно
gs/ga = i/(i + l)	(86.1)
При целом же г аналогично найдем, что это отношение равно
gs/ga = (i + l)/i.	(86.2)
Мы видели, что знак вращательных компонент терма S+
определяется числом (—1)^. Поэтому, например, вращательные
компоненты терма S+ при четном К положительны и потому
симметричны, а при нечетном К отрицательны и, следователь-
следовательно, антисимметричны. Имея в виду полученные выше результа-
результаты, заключаем, что ядерные статистические веса вращательных
компонент уровня S,jr с последовательными значениями К по-
попеременно меняются в отношении (86.1) или (86.2). Аналогич-
Аналогичное положение имеет место для уровней S+, а также S~, S~.
В частности, при г = 0 равны нулю статистические веса уров-
уровней с четными К у термов S+, S~ и уровней с нечетными К
у термов S+, S~. Другими словами, в электронных состояниях
S+, S~ не существует вращательных состояний с четными К,
а в состояниях S,jr, S~ не существует вращательных состояний
с нечетными К.
Ввиду чрезвычайной слабости взаимодействия ядерных спи-
спинов с электронами вероятность изменения / очень мала даже
при столкновениях молекул. Поэтому молекулы, отличающие-
отличающиеся четностью / и соответственно обладающие только симмет-
симметричными или только антисимметричными термами, ведут се-
себя практически как различные модификации вещества. Тако-
Таковы, например, так называемые орто- и параводород] в молекуле
первого спины г = 1/2 обоих ядер параллельны (/ = 1), а во
втором — антипараллельны (/ = 0).
) О кратности вырождения уровня в этой связи часто говорят, как о
его статистическом весе. Формулы (86.1), (86.2) определяют отношения
ядерных статистических весов симметричных и антисимметричных уровней.

408
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
§ 87. Матричные элементы для двухатомной молекулы
В этом параграфе приведены некоторые общие формулы для
матричных элементов физических величин двухатомной моле-
молекулы. Рассмотрим сначала матричные элементы для переходов
между состояниями с равным нулю спином.
Пусть А — некоторая векторная физическая величина, ха-
характеризующая молекулу при неподвижных ядрах (например,
ее дипольный электрический или магнитный момент). Рассмо-
Рассмотрим сначала эту величину в системе координат ^т/С вращаю-
вращающейся вместе с молекулой, причем ось ? совпадает с осью мо-
молекулы. Момент импульса молекулы относительно этой системы
(т. е. электронный момент L) не сохраняется полностью, но со-
сохраняется его ("-компонента. Поэтому остаются в силе правила
отбора по квантовому числу L^ = А (совпадающие с правилами
отбора по числу М в § 29). Таким образом, отличными от нуля
матричными элементами вектора будут
(п'А\А(\пА), (п'А\А? + гА^щ А - 1),
iAlnA)	[ ' }
(п нумерует электронные термы при заданном Л).
Если оба терма являются S-термами, то надо иметь в ви-
виду также и правило отбора, связанное с симметрией по отноше-
отношению к отражению в плоскости, проходящей через ось молеку-
молекулы. При таком отражении ("-компонента обычного (полярного)
вектора не меняется, а у аксиального вектора меняется знак.
Отсюда следует, что у полярного вектора А^ имеет отличные
от нуля матричные элементы только для переходов S+ —> S+
и S~ —> S~, а у аксиального вектора — для переходов S+ —> S~.
О компонентах А^ Av мы не говорим, так как для них переходы
без изменения Л вообще невозможны.
Если молекула состоит из одинаковых атомов, то имеется
еще правило отбора по отношению к четности. Компоненты по-
полярного вектора меняют знак при инверсии. Поэтому его мат-
матричные элементы отличны от нуля только для переходов между
состояниями различной четности (для аксиального вектора —
наоборот). В частности, тождественно исчезают все диагональ-
диагональные матричные элементы компонент полярного вектора.
Вопрос о связи матричных элементов (87.1) с матричными
элементами того же вектора в неподвижной системе координат
xyz решается общими формулами, полученными ниже (в §110)
для любой аксиально-симметричной физической системы.
После отделения общей для всякого вектора зависимости от
квантового числа Мк (^-проекция полного момента импульса

§ 87 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ 409
молекулы К) остаются приведенные матричные элементы
(п'К'А'1|А||пКЛ). Их связь с матричными элементами (87.1)
определяется формулой A10.7) со значением к = к1 = 1 (отве-
(отвечающим вектору) и соответствующим изменением обозначений
квантовых чисел (напомним, что в силу (82.4) число Л совпа-
совпадает с ("-компонентой полного момента К). Приняв во внимание
связь A07.1)между компонентами сферического тензора перво-
первого ранга и декартовыми компонентами вектора и взяв значения
З^'-символов из табл. 9 (с. 530), получим следующие формулы для
диагональных по Л матричных элементов:
(п'КА\\А\\пКА) = A l-^±L-(n>A\Ac\nA),
12	2
(п'К-1,А\\А\\пКА) =iJK 2~A2 (п'А\Ас\пА)
и для недиагональных по Л элементов:
(п'КА\\А\\пК,А-1) =
(п'КА\\А\\щК - 1,А - 1) =
1I1/2/ , ,	.
(п А\А? + lAqlriiA - 1),
{п',К-1,А\\А\\пК,А-1) =
Остальные отличные от нуля элементы получаются из написан-
написанных с учетом соотношений эрмитовости для приведенных мат-
матричных элементов:
(пКА\\А\\п'К'А')(п'К'А'\\А\\пКА)*
и матричных элементов в системе ?rj(:
- гАп\п'А'){п'А'\А^ + гД,|пА)*,

410
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
Выпишем особо формулы для матричных элементов вектора
А = п —единичного вектора вдоль оси молекулы. В этом случае
имеем просто А^ = А^ = 0, А^ = 1, так что в системе ^С от-
отличны от нуля только диагональные элементы: (пА\А^\пА) = 1.
Приведенные матричные элементы диагональны по всем индек-
индексам, кроме К] выписывая лишь этот индекс, имеем
(К\\п\\К) = А^^-у {K-l\\n\\K)=i^-^ (87.4)
(Н. Honl, F. London, 1925). При Л = 0 эти формулы дают
(К\\п\\К) = 0, (K-l\\n\\K) = i
что как раз соответствует, как и следовало ожидать, матричным
элементам единичного вектора при движении в центрально-сим-
центрально-симметричном поле (см. B9.14)).
Укажем теперь, каким образом должны быть видоизмене-
видоизменены полученные формулы для переходов между состояниями с
отличным от нуля спином. Здесь существенно, относятся ли со-
состояния к случаю а или же к случаю Ъ.
Если оба состояния относятся к случаю а, формулы меня-
меняются по существу лишь в обозначениях. Квантовых чисел К и
Мк не существует, а вместо них имеется полный момент J и его
^-проекция Mj. Кроме того, добавляются числа S и fi = Л + S,
так что приведенные матричные элементы записываются как
(riJ'S'u'A'\\A\\nJSuA).
Пусть А — какой-либо орбитальный (т.е. не зависящий от спи-
спина) вектор. Его оператор коммутативен с оператором спина S,
так что его матрица диагональна по квантовым числам S и
S^ = S, квантовое число Л = Л + S меняется поэтому вместе
с Л (т. е. п' - п = Л' - Л). Формулы (87.2)-(87.4) меняются лишь
в том отношении, что в матричных элементах добавляются ин-
индексы, а в остальных множителях надо заменить К, Л на J, $1.
Например, вместо первой из формул (87.2) надо писать
(riJuA\\A\\nJuA) = uj 2J + 1 (гь'пА\Ас\ппА)
(диагональный индекс S опущен).
Пусть теперь А = S. Поскольку оператор спина коммута-
коммутативен с орбитальным моментом, а также с гамильтонианом, его
матрица диагональна по п, Л. Она, однако, не диагональна по S
и S (или $1). Матричные элементы компонент А^ А^, А^ для

§ 87	МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ДВУХАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ	411
переходов 5, S —»> 5",Е' определяются формулами B7.13), в ко-
которых надо писать 5, S вместо L, М. После этого переход к
системе координат xyz совершается по формулам (87.2), (87.3) с
заменой К, Л на J, ft. Таким способом получим, например,
4J(J + 1)
(87.5)
(диагональные индексы п, 5, Л опущены).
Далее, пусть оба состояния относятся к случаю 6, а А —
орбитальный вектор. Вычисление матричных элементов про-
производится в два этапа. Сначала рассматриваем вращающуюся
молекулу без учета сложения S и К; матричные элементы диа-
гональны по числу S и определяются теми же формулами (87.2),
(87.3). На втором этапе момент К складывается с S в суммар-
суммарный момент J и переход к новым матричным элементам про-
производится по общим формулам A09.3) (причем роль ji, J2, J в
этих формулах играют if, 5, J). Так, для диагональных по J,
if, Л элементов получим сначала
(riJKA\\A\\nJKA) =
= (-1)^+^+1B.7 + 1) {5 Зк f} {п'КА\\А\\пКА)
и затем, взяв значение б^'-символа из табл. 10 (с. 542) и приве-
приведенный матричный элемент из (87.2), окончательно имеем
(n'JKA\\A\\nJKA) =
|_J(J + 1)J	2K(K + l)	\ I Cl /
Вычисление матричных элементов для переходов между со-
состояниями, из которых одно относится к случаю а, другое к
случаю 6, производится аналогичным образом; мы не станем
останавливаться здесь на этом вычислении.
Задачи
1. Определить штарковское расщепление термов для двухатомной мо-
молекулы, обладающей постоянным дипольным моментом; терм относится к
случаю а.

412
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
Решение. Энергия диполя d в электрическом поле Е равна — d.?. В
силу симметрии очевидно, что дипольный момент двухатомной молекулы
направлен по ее оси: d = dn (d — постоянная). Выбирая направление поля в
качестве оси z, получим оператор возмущения в виде —dnzS.
Определяя диагональные матричные элементы от nz согласно выведен-
выведенным в тексте формулам, находим, что в случае а расщепление уровней опре-
определяется формулой 1)
= -?dMj
J(J + 1)
2.	То же, но для терма, относящегося к случаю Ь (причем Л ф 0).
Решение. Тем же способом находим
АЕ = -
3.	То же для терма 1Е.
Решение. При Л = 0 линейный эффект отсутствует, и надо обра-
обратиться ко второму приближению теории возмущений. При суммировании
в общей формуле C8.10) достаточно оставить лишь члены, соответствую-
соответствующие переходам между вращательными компонентами данного электронного
терма (в других членах стоящие в знаменателях разности энергии велики).
Таким образом, находим
АЕ = d2S2 [\^КМкЫК-1,Мк)\2 | \(KMK\nz\K + l,MK)\
\	Ек - Ек-1	Ек - Ек+1
где Ек = В К {К + 1). Простое вычисление приводит к результату
1)-3M2K]
1)BК-1)BК + 3)'
§ 88. Л-удвоение
Двукратное вырождение термов с Л ф 0 (см. § 78) являет-
является в действительности приближенным. Оно имеет место лишь
постольку, поскольку мы пренебрегаем влиянием вращения мо-
молекулы на электронное состояние (а также высшими прибли-
приближениями по взаимодействию спин-орбита), как это делалось во
всей предыдущей теории. Учет взаимодействия между электрон-
электронным состоянием и вращением приводит к расщеплению терма
с Л ф 0 на два близких уровня. Это явление называют К-удво-
К-удвоением (Е. Hill, J. van Vleck, R. Kronig, 1928).
) Может показаться, что здесь имеется противоречие с общим утвержде-
утверждением (см. § 76) об отсутствии линейного эффекта Штарка. В действитель-
действительности, разумеется, такого противоречия нет, так как наличие линейного
эффекта связано в данном случае с двукратным вырождением уровней с
О, ф 0; полученная формула применима поэтому при условии, что энергия
штарковского расщепления велика по сравнению с энергией так называемо-
называемого Л-удвоения (см. § 88).

Л-УДВОЕНИЕ	413
Количественное рассмотрение этого эффекта начнем снова с
синглетных термов E = 0). Вычисление энергии вращательных
уровней мы провели в § 82 в первом приближении теории возму-
возмущений, определяя диагональные матричные элементы (среднее
значение) оператора
B(r)(K-LJ.
Для вычисления следующих приближений надо рассмотреть
недиагональные по Л элементы этого оператора. Операторы К2
и L2 диагональны по Л, так что надо рассматривать только
оператор 2.BKL.
Вычисление матричных элементов от KL удобно произво-
производить с помощью формулы B9.12), в которой надо положить
А = К, В = L; роль L, М играют if, Mr, а вместо п на-
надо писать п, Л, где п обозначает совокупность квантовых чи-
чисел (исключая Л), определяющих электронный терм. Поскольку
матрица сохраняющегося вектора К диагональна по п, Л, а мат-
матрица вектора L содержит недиагональные элементы только для
переходов с изменением Л на единицу (ср. сказанное в § 87 о про-
произвольном векторе А), то находим, используя формулы (87.3),
(nfAKMK\KL\n,A-l,KMK) =
= -(riA\L{: + iLrj\n, Л - I)у/(К + А)(К + 1 - Л). (88.1)
Матричных элементов, отвечающих большему изменению Л, нет.
Возмущающее действие матричных элементов с Л —> Л — 1
может сказаться на появлении разности энергий между состо-
состояниями с ±Л только в 2Л-м приближении теории возмущений.
Соответственно этому, эффект будет пропорционален В , т.е.
(га/МJЛ (М — масса ядер; т — масса электрона). При Л > 1 эта
величина настолько мала, что не представляет никакого инте-
интереса. Таким образом, эффект Л-удвоения существен только для
П-термов (Л = 1), которые и рассматриваются ниже.
При Л = 1 надо обратиться ко второму приближению. По-
Поправки к собственным значениям энергии могут быть определе-
определены согласно общей формуле C8.10). В знаменателях слагаемых
суммы в этой формуле стоят разности энергий вида Еп^к —
— -Еп',Л-1,к• В этих разностях члены, содержащие if, взаимно
сокращаются, так как при заданном расстоянии г между ядрами
вращательная энергия есть одна и та же величина В (г) К (К + 1)

414
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
для всех термов. Поэтому зависимость искомого расщепления
АЕ от К целиком определяется стоящими в числителях квадра-
квадратами матричных элементов. Среди них будут квадраты элемен-
элементов для переходов с изменением Л от 1 к 0 и от 0 к -1; те и
другие дают, согласно (88.1), одинаковую зависимость от if, и
мы найдем, что расщепление "^П-терма имеет вид
АЕ = const -K(K + 1),	(88.2)
причем (по порядку величины) const ~ В2/е, где ? есть порядок
величины разностей между соседними электронными термами.
Переходим к термам с отличным от нуля спином BП- и
3П-термы; более высокие значения S практически не встреча-
встречаются). Если терм относится к случаю 6, то мультиплетное рас-
расщепление вообще не сказывается на Л-удвоении вращательных
уровней, которое по-прежнему определяется формулой (88.2).
В случае же а влияние спина, напротив, существенно. Каж-
Каждый электронный терм характеризуется здесь, кроме числа Л,
еще и числом ft. Если просто заменить Л на —Л, то изменится
fi = Л + S, так что мы получим совсем другой терм. Взаим-
Взаимно вырожденными являются состояния с Л, $1 и —Л, — $1. Сня-
Снятие этого вырождения может произойти здесь не только под
влиянием рассмотренного выше эффекта взаимодействия орби-
орбитального момента с вращением молекулы, но и под влиянием
взаимодействия спин-орбита. Дело в том, что сохранение про-
проекции J1 полного момента на ось молекулы есть (при неподвиж-
неподвижных ядрах) точный закон сохранения и потому не может быть
нарушено взаимодействием спин-орбита; последнее может, од-
однако, изменить (т. е. имеет матричные элементы для соответ-
соответствующих переходов) одновременно Л и S так, чтобы ft остава-
оставалось неизменным. Этот эффект может сам или в комбинации со
взаимодействием орбита-вращение (изменяющим Л без измене-
изменения S) привести к Л-удвоению.
Рассмотрим сначала термы 2П. Для терма 2П]у2 (Л = 1,
? = — 1, fi = 1/2) расщепление получается при учете одновре-
одновременно взаимодействий спин-орбита и орбита-вращение (каж-
(каждое— в первом приближении). Действительно, первое дает пе-
переход Л = 1, S = -1/2 —>> Л = О, S = 1/2, после чего второе
переводит состояние А = О, Е = 1/2 в состояние с Л = —1,
S = 1/2, отличающееся от исходного изменением знака у Л и
J1. Матричные элементы взаимодействия спин-орбита не зави-
зависят от вращательного квантового числа J, а для взаимодействия
орбита-вращение их зависимость определяется формулой (88.1),
в которой надо заменить (под корнем) К и Л на J и $1. Таким

§89	Л-УДВОЕНИЕ	415
образом, получим для Л-удвоения терма 2П]у2 выражение
АЕ1/2 = const •( J + 1/2),	(88.3)
где const ~ АВ/е. Для терма же 2П3/2 расщепление может по-
получиться только в высших приближениях, так что практически
ДЯз/2 = О
Наконец, рассмотрим 3П-термы. У терма 3По (Л = 1, Е = — 1)
расщепление получается при учете во втором приближении вза-
взаимодействия спин-орбита (за счет переходов Л = 1,? = — 1 —>•
—»Л = 0,? = 0—»Л = —1,? = 1). Соответственно Л-удвоение в
этом случае совершенно не зависит от J:
АЕ0 = const,	(88.4)
где const ~ А2/е. Для 3Пх-терма S = 0, и потому спин вообще не
влияет на расщепление, соответственно чему получается снова
формула вида (88.2) с if, замененным на J:
A#i = const -J(J + 1).	(88.5)
Для терма же 3П2 требуются более высокие приближения, так
что можно считать АЕ2 = 0.
Один из уровней дублета, возникшего в результате Л-удвое-
Л-удвоения, всегда является положительным, а другой отрицательным;
об этом говорилось уже в § 6. Исследование волновых функ-
функций молекулы позволяет установить закономерности чередова-
чередования положительных и отрицательных уровней. Мы укажем здесь
лишь результаты такого исследования1). Оказывается, что ес-
если при некотором значении J положительный уровень ниже
отрицательного, то в дублете с J + 1 порядок будет обрат-
обратным— положительный уровень выше отрицательного и т.д.;
порядок расположения поочередно меняется с последователь-
последовательными значениями полного момента (речь идет о термах случая
а; в случае Ъ то же самое имеет место для последовательных
значений момента К).
Задача
Определить Л-расщепление для терма 1Д.
Решение. Здесь эффект появляется в четвертом приближении тео-
теории возмущений. Его зависимость от К определяется произведениями по
четыре матричных элемента (88.1) для переходов с изменением Л: 2 —>¦ 1,
1 -> 0, 0 -> -1, -1 -> -2. Это дает
АЕ = const -(К - 1)К(К + 1)(К + 2),
где const ~ B4/s3.
См. указанную на с. 376 статью Вигнера и Витмера.

416
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
§ 89. Взаимодействие атомов на далеких расстояниях
Рассмотрим два атома, находящихся на большом (по сравне-
сравнению с их размерами) расстоянии друг от друга, и определим
энергию их взаимодействия. Другими словами, речь идет об
определении вида электронных термов при больших расстоя-
расстояниях между ядрами.
Для решения этой задачи применим теорию возмущений,
рассматривая два изолированных атома как невозмущенную си-
систему, а потенциальную энергию их электрического взаимодей-
взаимодействия как оператор возмущения. Как известно (см. II, §41, 42),
электрическое взаимодействие двух систем зарядов, находящих-
находящихся на большом расстоянии г друг от друга, можно разложить
по степеням 1/г, причем последовательные члены этого разло-
разложения соответствуют взаимодействию полных зарядов, диполь-
ных, квадрупольных и т.д. моментов обеих систем. У нейтраль-
нейтральных атомов полные заряды равны нулю. Разложение начинает-
начинается здесь с диполь-дипольного взаимодействия (~ 1/г3); за ним
следуют диполь-квадрупольные члены (~ 1/г4), квадруполь-
квадрупольные (и диполь-октупольные) члены (~ 1/г5) и т.д.
Предположим сначала, что оба атома находятся в 5-состо-
яниях. Легко видеть, что тогда в первом приближении тео-
теории возмущений эффект взаимодействия атомов отсутствует.
Действительно, в первом приближении энергия взаимодействия
определяется как диагональный матричный элемент оператора
возмущения, вычисленный по невозмущенным волновым функ-
функциям системы (которые сами выражаются произведениями вол-
волновых функций двух атомовI). Но в 5-состояниях диагональ-
диагональные матричные элементы, т. е. средние значения дипольного,
квадрупельного и т.д. моментов атомов, равны нулю, как это
следует непосредственно из сферической симметрии распреде-
распределения плотности зарядов в атомах. Поэтому каждый из членов
разложения оператора возмущения по степеням 1/г в первом
приближении теории возмущений дает нуль2).
1)	При этом отбрасываются экспоненциально убывающие с расстоянием
(ср. задачу 1 § 62 и задачу § 81) обменные эффекты.
2)	Это, разумеется, не означает, что среднее значение энергии взаимо-
взаимодействия атомов равно в точности нулю. Оно убывает с расстоянием экс-
экспоненциально, т. е. быстрее всякой конечной степени 1/г, с чем и связано
обращение в нуль каждого из членов разложения. Дело в том, что само раз-
разложение оператора взаимодействия по мультипольным моментам связано с
предположением о том, что заряды обоих атомов удалены друг от друга
на большое расстояние г. Между тем квантовомеханическое распределение
электронной плотности имеет конечные (хотя и экспоненциально малые)
значения и на больших расстояниях.

§ 89	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ	417
Во втором приближении достаточно ограничиться диполь-
ным взаимодействием в операторе возмущения, как наиболее
медленно убывающим с увеличением г, т. е. членом
V = di<fa
(п—единичный вектор в направлении от атома 1 к атому 2).
Поскольку недиагональные матричные элементы дипольного мо-
момента, вообще говоря, отличны от нуля, то во втором приближе-
приближении теории возмущений мы получаем отличный от нуля резуль-
результат, который, будучи квадратичным по V, пропорционален 1/г6.
Поправка второго приближения к наиболее низкому собствен-
собственному значению всегда отрицательна (см. §38). Поэтому мы по-
получим для энергии взаимодействия атомов, находящихся в нор-
нормальных состояниях, выражение вида
U (г) = -^,	(89.2)
где const — положительная постоянная1) (F. London, 1928).
Таким образом, два атома в нормальных ^-состояниях, нахо-
находящихся на большом расстоянии друг от друга, притягиваются
с силой (—dU/dr), обратно пропорциональной седьмой степени
расстояния. Силы притяжения между атомами на больших рас-
расстояниях называют обычно ван-дер-ваальсовыми силами. Эти
силы приводят к появлению ямы и на кривых потенциальной
энергии электронных термов атомов, не образующих устойчи-
устойчивой молекулы. Эти ямы, однако, очень пологи (их глубины из-
измеряются всего десятыми или даже сотыми долями электрон-
вольта), и они расположены на расстояниях, в несколько раз
больших, чем межатомные расстояния в устойчивых молекулах.
Если в ^-состоянии находится только один из атомов, то для
энергии их взаимодействия получается тот же результат (89.2),
так как для обращения в нуль первого приближения достаточ-
достаточно исчезновения дипольного и т. д. моментов уже одного атома.
Постоянная в числителе (89.2) зависит при этом не только от
состояний обоих атомов, но и от их взаимной ориентации, т. е.
от величины Л проекции момента на соединяющую атомы ось.
Если же оба атома обладают отличными от нуля орбиталь-
орбитальными и полными моментами, то положение меняется. Что каса-
касается дипольного момента, то его среднее значение равно нулю во
всяком состоянии атома (см. § 75). Средние же значения квадру-
польного момента (в состояниях с L ф О, J ф 0,1/2) отличны от
х) Для примера приведем значения этой постоянной (в атомных единицах)
для двух атомов: водорода—6,5, гелия—1,5, аргона — 68, криптона—130.

418
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
нуля. Поэтому квадруполь-квадрупольный член в операторе воз-
возмущения даст отличный от нуля результат уже в первом прибли-
приближении, и энергия взаимодействия атомов убывает не с шестой, а
с пятой степенью расстояния:
U {г) = ^.	(89.3)
Постоянная здесь может быть как положительной, так и отри-
отрицательной, т. е. может иметь место как притяжение, так и оттал-
отталкивание. Как и в предыдущем случае, эта постоянная зависит
не только от состояний атомов, но и от состояния образуемой
обоими атомами системы.
Особый случай представляет взаимодействие двух одинако-
одинаковых атомов, находящихся в различных состояниях. Невозмущен-
Невозмущенная система (два изолированных атома) обладает здесь дополни-
дополнительным вырождением, связанным с возможностью перестанов-
перестановки состояний между атомами. Соответственно этому, поправка
первого приближения будет определяться секулярным уравне-
уравнением, в которое входят не только диагональные, но и недиа-
недиагональные матричные элементы возмущения. Если состояния
обоих атомов обладают различной четностью и моментами L,
отличающимися на ±1 или 0, но не равными оба нулю (то же са-
самое требуется и для J), то недиагональные матричные элементы
дипольного момента для переходов между этими состояниями,
вообще говоря, отличны от нуля. Эффект первого приближения
получится поэтому уже от дипольного члена в операторе воз-
возмущения. Таким образом, энергия взаимодействия атомов будет
здесь пропорциональна 1/г3:
U(r) = ^р;	(89.4)
г
постоянная может иметь оба знака.
Обычно, однако, представляет интерес взаимодействие ато-
атомов, усредненное по всем возможным ориентациям их момен-
моментов (такая постановка вопроса соответствует, например, задаче о
взаимодействии атомов в газе). В результате такого усреднения
средние значения всех мультипольных моментов обращаются в
нуль. Вместе с ними обращаются в нуль также и все линейные
по этим моментам эффекты первого приближения теории воз-
возмущений во взаимодействии атомов. Поэтому усредненные силы
взаимодействия между атомами на больших расстояниях во всех
случаях следуют закону (89.2)г).
1)Этот закон, полученный на основании нерелятивистской теории, спра-
справедлив лишь до тех пор, пока несущественны эффекты запаздывания

§ 89	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ	419
Остановимся еще на родственном вопросе о взаимодействии
нейтрального атома и иона.
В первом приближении теории возмущений это взаимодей-
взаимодействие дается средним значением оператора G6.8) —энергии квад-
руполя в кулоновом поле иона. Поскольку потенциал последне-
последнего (р ~ 1/г, то энергия взаимодействия атома с ионом оказыва-
оказывается пропорциональной 1/г3. Этот эффект существует, однако,
лишь если атом обладает средним квадрупольным моментом. Но
и в этих случаях он исчезает при усреднении по всем направле-
направлениям момента атома J.
Следующим по степеням 1/г, всегда отличным от нуля, яв-
является взаимодействие во втором порядке теории возмущений
по дипольному оператору G6.1). Поскольку напряженность поля
иона ~ 1/^2, то энергия этого взаимодействия пропорциональ-
пропорциональна 1/г4. Она выражается через поляризуемость атома а (в S-co-
стоянии) согласно	о „
}	U = -ае2/2г4.	(89.5)
Если атом находится в своем нормальном состоянии, то эта
энергия (как и всякая поправка к энергии основного состоя-
состояния) отрицательна, т. е. между атомом и ионом действует сила
притяжения1).
Задача
Для двух одинаковых атомов, находящихся в 5-состояниях, получить
формулу, определяющую ван-дер-ваальсовы силы по матричным элементам
их дипольных моментов.
Решение. Ответ получается из общей формулы теории возмуще-
возмущений C8.10), примененной к оператору (89.1). Ввиду изотропии атомов в
5-состоянии заранее очевидно, что при суммировании по всем промежуточ-
промежуточным состояниям квадраты матричных элементов трех компонент каждого
из векторов di и d2 дают одинаковые вклады, а члены, содержащие произ-
произведения различных компонент, обращаются в нуль.
В результате получим
1V (n\dz\0J(n'\dz\0J
U(r) = _1
г6
Еп + Еп, - Ео
электромагнитных взаимодействий. Для этого расстояние г между атома-
атомами должно быть мало по сравнению с с/оооп, где оооп — частоты переходов
между основным и возбужденными состояниями атома. О взаимодействии
атомов с учетом запаздывания см. IV, §85.
) Такое же притяжение имеет место на больших расстояниях между ато-
атомом и электроном. Это притяжение является причиной способности атомов
образовывать отрицательные ионы, присоединяя к себе электрон (с энерги-
энергией связи от долей до нескольких электрон-вольт). Этим свойством, однако,
обладают не все атомы. Дело в том, что в поле, убывающем на больших
расстояниях как 1/г4 (или 1/г3), число уровней (отвечающих связанным
состояниям электрона) во всяком случае конечно и, в частных случаях, их
может не оказаться вовсе.

420
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
где Eq , Еп — невозмущенные значения энергии основного и возбужденных
состояний атома. Поскольку, по предположению, в основном состоянии
L = О, матричные элементы (dz)on отличны от нуля только для перехо-
переходов в Р-состояния (L = 1). С помощью формул B9.7) перепишем U(r) в
окончательном виде:
тт/ \	2 v—>
где в индексах nL уровней энергии и приведенных матричных элементов
второе число дает значение L, а первое представляет собой совокупность
остальных квантовых чисел, определяющих уровень энергии.
§ 90. Предиссоциация
Основным предположением изложенной в этой главе теории
двухатомных молекул является допущение, что волновая функ-
функция молекулы разбивается на произведение электронной волно-
волновой функции (зависящей от расстояния между ядрами, как от
параметра) и волновой функции движения ядер. Такое пред-
предположение эквивалентно пренебрежению в точном гамильтони-
гамильтониане молекулы некоторыми малыми членами, соответствующими
взаимодействию ядерного движения с электронным.
Учет этих членов приводит, при применении теории возмуще-
возмущений, к появлению переходов между различными электронными
состояниями. Физически в особенности существенны переходы
между состояниями, из которых по крайней мере одно относит-
относится к непрерывному спектру.
На рис. 30 изображены кривые потенциальной энергии для
двух электронных термов (точнее, эффективной потенциаль-
потенциальной энергии Uj в данных вращательных состояниях молекулы).
Энергия Е' есть энергия некоторого ко-
колебательного уровня устойчивой молеку-
молекулы в электронном состоянии 2. В состоя-
состоянии 1 эта энергия попадает в область
непрерывного спектра. Другими словами,
при переходе из состояния 2 в состоя-
состояние 1 произойдет самопроизвольный рас-
а<2 ai	пад молекулы; это явление называют пре-
Рис зо	диссоциацией1). В результате предиссо-
циации состояние дискретного спектра,
соответствующее кривой 2, обладает в действительности конеч-
конечной продолжительностью жизни. Это значит, что дискретный
1) Кривая 1 может не иметь минимума вовсе, если она отвечает чисто от-
отталкивающим силам между атомами.

§90	ПРЕДИССОЦИАЦИЯ	421
уровень энергии размывается — приобретает некоторую ширину
(см. конец §44).
Если же полная энергия Е лежит выше предела диссоциации
в обоих состояниях, то переход из одного состояния в другое
соответствует так называемому столкновению второго рода.
Так, переход 1—^2 означает столкновение двух атомов, в ре-
результате которого атомы переходят в возбужденные состояния
и расходятся с уменьшенной кинетической энергией (при г —>• ос
кривая 1 проходит ниже кривой 2; разность [/2@0) — Ui(oo) есть
энергия возбуждения атомов).
Ввиду большой величины массы ядер их движение квази-
классично. Поэтому задача об определении вероятности рассмат-
рассматриваемых переходов относится к категории задач, о которых
шла речь в §52. В свете изложенных там общих соображений
можно утверждать, что определяющую роль для вероятности
перехода будет играть точка, в которой переход мог бы осу-
осуществиться классическим образом1). Поскольку полная энергия
системы двух атомов (молекулы) при данном переходе сохра-
сохраняется, условие его «классической осуществимости» требует ра-
равенства эффективных потенциальных энергий: Uji(r) = Uj2{r).
Ввиду сохранения также и полного момента молекулы центро-
центробежные энергии в обоих состояниях одинаковы, и потому напи-
написанное условие сводится к равенству потенциальных энергии:
= U2(r),	(90.1)
не содержащему вовсе величины момента.
Если уравнение (90.1) не имеет вещественных корней в клас-
классически доступной области (область, где Е > Uji,Uj2), то ве-
вероятность перехода, согласно §52, экспоненциально мала2). Пе-
Переходы будут происходить с заметной вероятностью, лишь если
кривые потенциальной энергии пересекаются в классически до-
доступной области (как это и изображено на рис. 30). В таком
случае экспонента в формуле E2.1) обращается в нуль (так что
эта формула, разумеется, неприменима), соответственно чему
вероятность перехода определяется неэкспоненциальным выра-
выражением (которое будет получено ниже). Условие (90.1) можно
1)Либо точка г = 0, в которой потенциальная энергия обращается в бес-
бесконечность.
2) Своеобразная ситуация имеет место в случае перехода с участием моле-
молекулярного терма, который может быть осуществлен из двух различных пар
атомных состояний (см. конец §85), т.е. когда кривая потенциальной энер-
энергии как бы расщепляется в сторону возрастающих расстояний на две ветви.
В такой ситуации вероятность перехода существенно возрастает; пример та-
такого случая—см. Л. И. Воронин, Е. Е. Никитин // Оптика и спектр. 1968.
Т. 25. С. 803.

422
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
при этом истолковать наглядно следующим образом. При оди-
одинаковой потенциальной (и полной) энергии одинаковы также и
импульсы. Поэтому вместо (90.1) можно написать
ri=r2, Р1=Р2,	(90.2)
где р — импульс относительного радиального движения ядер, а
индексы 1 и 2 относятся к двум электронным состояниям. Та-
Таким образом, можно сказать, что в момент перехода взаимное
расстояние и импульс ядер остаются неизменными (так называ-
называемый принцип Франка-Кондона). Физически это связано с тем,
что электронные скорости велики по сравнению с ядерными и
«в течение электронного перехода» ядра не успевают заметно
изменить своего положения и скорости.
Не представляет труда установить правила отбора для рас-
рассматриваемых переходов. Прежде всего имеют место два очевид-
очевидных точных правила. При переходе не должны меняться пол-
полный момент J и знак (положительность или отрицательность,
см. § 86) терма. Это следует непосредственно из того, что сохра-
сохранение полного момента и сохранение характера волновой функ-
функции по отношению к инверсии системы координат — точные за-
законы для любой (замкнутой) системы частиц.
Далее, с большой точностью имеет место правило, запрещаю-
запрещающее (у молекулы из одинаковых атомов) переходы между со-
состояниями различной четности. Действительно, четность состо-
состояния однозначно определяется ядерным спином и знаком терма.
Но сохранение знака терма есть точный закон, а ядерный спин
сохраняется с большой точностью ввиду слабости его взаимо-
взаимодействия с электронами.
Требование наличия точки пересечения кривых потенциаль-
потенциальной энергии означает, что термы должны обладать различной
симметрией (см. §79). Рассмотрим переходы, возникающие уже
в первом приближении теории возмущений (вероятность пере-
переходов, возникающих в высших приближениях, относительно ма-
мала). Предварительно замечаем, что члены в гамильтониане, при-
приводящие к рассматриваемым переходам, — как раз те, которые
обусловливают Л-удвоение уровней. Среди них имеются прежде
всего члены, изображающие взаимодействие спин-орбита. Они
представляют собой произведение двух аксиальных векторов, из
которых один имеет спиновый характер (т. е. составляется из
операторов спинов электронов), а другой —координатный; под-
подчеркнем, однако, что эти векторы отнюдь не являются просто
векторами S и L. Поэтому они имеют отличные от нуля мат-
матричные элементы для переходов, при которых S и Л меняются
на 0, ±1.

§ 90	ПРЕДИССОЦИАЦИЯ	423
Случай, когда одновременно AS = АЛ = 0 (причем Л ф 0),
должен быть отброшен, так как в таком случае симметрия тер-
терма при переходе вообще не менялась бы. Переход между двумя
S-термами возможен, если один из них есть Е+-терм, а дру-
другой— Е~-терм (аксиальный вектор имеет матричные элементы
только для переходов между S+ и S~, см. §87).
Член в гамильтониане, соответствующий взаимодействию
вращения молекулы с орбитальным моментом, пропорциона-
пропорционален JL. Его матричные элементы отличны от нуля для пере-
переходов с АЛ = ±1 без изменения спина (матричные же элементы
с АЛ = 0 имеет только ("-компонента вектора, т.е. L^; но L^
диагонально по электронным состояниям).
Наряду с рассмотренными членами существует еще возму-
возмущение, обязанное тому, что оператор кинетической энергии ядер
(дифференцирование по координатам ядер) действует не только
на волновую функцию ядер, но и на электронную функцию,
зависящую от г, как от параметра. Соответствующие члены
в гамильтониане имеют ту же симметрию, что и невозмущен-
невозмущенный гамильтониан. Поэтому они могут привести лишь к пере-
переходам между электронными термами одинаковой симметрии,
вероятность которых ничтожна ввиду отсутствия пересечения
термов.
Перейдем к конкретному вычислению вероятности перехо-
перехода. Для определенности будем говорить о столкновении второ-
второго рода. Согласно общей формуле D3.1) искомая вероятность
определяется выражением
2тг
(90.3)
где Хяд = гфяд (фЯд — волновая функция радиального движения
ядер), а V(г) — возмущающая энергия (в качестве величины Vf
в D3.1) выбираем энергию Е и производим интегрирование по
ней). Конечная волновая функция Хяд2 должна быть нормиро-
нормирована на ^-функцию от энергии. Нормированная таким образом
квазиклассическая функция D7.5) имеет вид
ХяД2 = J — cos - / р2 dr - -	(90.4)
(нормировочный множитель определяется по правилу, указанно-
указанному в конце §21). Волновую же функцию начального состояния

424
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
пишем в виде
/ r	\
(90.5)
Она нормирована таким образом, чтобы была равна единице
плотность потока в каждой из двух бегущих волн, на которые
разлагается стоячая волна (90.5); v\ и V2~ скорости радиально-
радиального относительного движения ядер. При подстановке этих функ-
функций в (90.3) получается безразмерная вероятность перехода w.
Ее можно рассматривать как вероятность перехода при дву-
двукратном прохождении ядрами точки г = го (точки пересечения
уровней); надо иметь в виду, что волновая функция (90.5) в неко-
некотором смысле соответствует двукратному прохождению этой
точки, так как она содержит как падающую, так и отраженную
бегущие волны.
Матричный элемент от V(r), вычисляемый с помощью функ-
функций (90.4), (90.5), содержит в подынтегральном выражении про-
произведение косинусов, которое можно разложить на косинусы
суммы и разности аргументов. При интегрировании вокруг точ-
точки г = го существен только второй косинус, так что получается:
(г	г
\fp1dr-\fp2dr
V[r) dr
«2
Интеграл быстро сходится при удалении от точки пересече-
пересечения. Поэтому можно разложить аргумент косинуса по степеням
? = г — го и производить интегрирование по dt; в пределах от
—ос до +ос (заменив при этом медленно меняющийся множи-
множитель при косинусе его значением при г = го). Имея в виду, что в
точке пересечения р\ = Р2, находим
-/„*„* +!(?-?
«1	«2
где So — значение разности интегралов в точке г = tq . Произ-
Производную от импульса можно выразить через силу F = —dU/dr\
дифференцируя равенство Pi/2/i + U\ = p^/^jjl + U2 (// — приве-
приведенная масса ядер), получим
dpi	dp2 т-, т-,
«i^--«2-j- = Fi -F2.
dr	dr

90	ПРЕДИССОЦИАЦИЯ	425
Таким образом,
г	г
Jp1dr-Jp2dr*S0
«2
(v — общее значение v\ и V2 в точке пересечения). Интегрирова-
Интегрирование производится с помощью известной формулы
+ ОО
—оо
и в результате получаем
SttV2
(90-6)
Величина So/H велика и быстро меняется при изменении
энергии Е. Поэтому при усреднении уже по небольшому ин-
интервалу энергий квадрат косинуса можно заменить его средним
значением. В результате получается формула
(90.7)
Hv\F2 -1
(Л. Д. Ландау, 1932). Все величины в правой части равенства бе-
берутся в точке пересечения кривых потенциальной энергии.
В применении к предиссоциации нас интересует вероятность
распада молекулы в течение единицы времени. В единицу вре-
времени ядра при своих колебаниях 2 • ои/2тг раз проходят через
точку г = го Поэтому вероятность предиссоциации получится
умножением w (вероятность при двукратном прохождении) на
си/2тг, т.е. она равна
от/2 ,
*-.	(90.8)
По поводу произведенных вычислений необходимо сделать
следующее замечание. Говоря о пересечении термов, мы имели
в виду собственные значения «невозмущенного» гамильтониа-
гамильтониана Н$ электронного движения в молекуле, в котором не учиты-
учитываются члены V, приводящие к рассматриваемым переходам.
Если же включить эти члены в гамильтониан, то пересечение
термов будет невозможно, и кривые несколько раз разойдутся
(как это показано на рис. 31). Это следует из результатов §79,
рассматриваемых с несколько иной точки зрения.

426
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
Пусть Uл (г) и Uj2[r)—Два собственных значения гамильто-
гамильтониана Но (в котором г рассматривается как параметр). В обла-
области, близкой к точке tq пересечения кривых Uj\(r) и С//2(г), для
Е определения собственных значений U(r)
возмущенного оператора Но + V надо вос-
воспользоваться изложенным в § 79 методом, в
результате чего получится формула
Vu + V22)±
z
/1
±
.A(C/ji-C/j2 + Fii-
Рис. 31	V 4
где все величины— функции г; функция
Ub(r) (верхний знак в формуле) отвечает верхней (!' 2), а функ-
функция Ua(r) — нижней B11) сплогпной кривой на рис.31. Матрич-
Матричные элементы Vn и V22 можно включить в определение соответ-
соответственно функций Uл и С//2, элемент же Vi2 обозначим просто
через V(г). Тогда формула запишется в виде
Ub,a(r) = \(и^ + ил) ± IV(Uji-Uj2J + 4V2. (90.9)
Интервал мелсду двумя уровнями теперь равен
(90.10)
Таким образом, если между обоими состояниями есть переходы
{у ф 0), то пересечение уровней исчезает. Минимальное рассто-
расстояние между кривыми достигается в точке г = го, где Uj\ = Uj2'.
(АЕ/)тш = 2|У(го)|.	(90.11)
Вблизи этой точки можно разложить разность Uj\ — Uj2 по сте-
степеням малой разности ? = г — го, написав
где F = -(dV/dr)ro. Тогда
АС/ = v/№-i?iJ?2+4F2(r0).	(90.12)
Для справедливости формул (90.11) и (90.12), полученных
при учете лишь двух состояний, необходима малость (AC/)min по
сравнению с расстоянием до других термов. Справедливость же
формулы (90.7) для вероятности перехода требует выполнения
указанного ниже условия (90.19),—вообще говоря, более жестко-
жесткого. Если это условие не выполняется, то допустимо по-прежнему
рассматривать только два терма, но для вычисления вероятно-
вероятности перехода обычная теория возмущений неприменима. В таком
случае требуется более общее рассмотрение.

§ 90	ПРЕДИССОЦИАЦИЯ	427
Ограничиваясь окрестностью точки пересечения и рассмат-
рассматривая движение ядер квазиклассическим образом, можно заме-
заменить в гамильтониане системы оператор скорости ядер постоян-
постоянной величиной v, а координату г — функцией времени, определя-
определяемой классическим уравнением dr/dt = v, т. е. ? = г — го = vt.
После этого задача о вычислении вероятности перехода сводит-
сводится к решению волнового уравнения для электронных волновых
функций с гамильтонианом, явно зависящим от времени:
ih^ = [H0(t) + V(t)]V.	(90.13)
Пусть фа и фъ —волновые функции электронных состояний, соот-
соответствующих кривым а и 5; они являются решениями уравнений
в котором t играет роль параметра. Решение же уравнения
(90.13) ищем в виде
Ф = а(г)фа + ЪA)фъ.	(90.14)
Если решать уравнение с граничным условием а = 1, Ъ = 0
при t —»> —ос, то |Ь(ос)|2 определит вероятность того, что при
прохождении ядер через точку г = го молекула перейдет в со-
состояние фь, что означает переход с кривой а на кривую Ъ. Анало-
Аналогично, |а(ос)|2 = 1 — |Ь(ос)|2 есть вероятность молекуле остаться
на кривой а. Переход же с кривой а на кривую Ъ при двукратном
прохождении через точку го (при сближении и последующем рас-
расхождении ядер) может быть осуществлен двумя способами: либо
путем а —»> Ъ —»> Ъ (при сближении происходит переход 1 —»> lf, a
при расхождении молекула остается на кривой 1Г 2), либо путем
а —)> а —)> Ъ A —)> 21 при сближении и2'ч2 при расхождении).
Поэтому искомая вероятность такого перехода есть
^ = 2|Ь(оо)|2[1 - |Ь(ос)|2]	(90.15)
(здесь учтено, что вероятность перехода при прохождении точки
г -л го не зависит, очевидно, от направления движения).
Значение Ь(оо) можно определить изложенным в § 53 спосо-
способом, не прибегая непосредственно к уравнению (90.13I).
Х)В §53 процесс предполагался целиком адиабатическим, соответственно
чему его вероятность оказывалась экспоненциально малой. В данном же
случае это условие может нарушаться при прохождении ядер в непосред-
непосредственной близости точки го (если их скорость v недостаточно мала). Однако
из изложенного в § 52, 53 вывода ясно, что для применимости самого метода
существенны лишь адиабатичность при больших \t\ и возможность ограни-
ограничиться только двумя уровнями системы.

428
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
Для этого замечаем, что кривые Ua(i) и Ub(i) пересекаются в
мнимых точках
При больших по абсолютной величине отрицательных значени-
значениях t коэффициент a(t) в (90.14) имеет «квазиклассический по
времени» вид
a(t) = ехр
Перейдем теперь с левой вещественной полуоси в плоскости ком-
комплексной переменной t на правую полуось по контуру, на кото-
котором условие «квазиклассичности» выполняется везде; поскольку
Uа < Ub, то переход должен совершаться в верхней полуплос-
полуплоскости, обходя точку ц ' (ср. §53). После обхода функция a(t)
перейдет в Ь(?), причем
|6(oc)|2 = expJ |lm fua(t)dt+ f Ub(t) dt I =
Г AUdty
где в качестве t\ можно выбрать любую точку на вещественной
оси, например t\ = 0. Согласно (90.12) имеем
гт0
AU = ^/(F2-F1Jv42+4V2	(90.17)
и требуемый интеграл (с подстановкой t = гт)
то
г [ y/W*-{F2-F{L*T*dT = г \
V\1'2 - *l\
о
Таким образом, находим окончательно следующее выраже-
выражение для вероятности перехода:
w = 2ехр(	2-^-) h - ехр(	*^-I	(90.18)
(C. Zener, 1932). Мы видим, что вероятность перехода становится
малой в обоих предельных случаях. При V2 ^> Hv\F2 — F\\ она

§ 90	ПРЕДИССОЦИАЦИЯ	429
экспоненциально мала (адиабатический случай), а при
V2 <HF2-Fi|	(90.19)
формула (90.18) переходит в (90.7). Из (90.17) видно, что т ~
~ \V\/\F2 — Fi\v и есть «время прохождения ядер» мимо точки
пересечения; соответствующая частота иот ~ 1/т. Поэтому осу-
осуществление двух указанных предельных случаев определяется
соотношением между Нсот и характерной энергией задачи |V|.
Наконец, остановимся на родственном предиссоциации явле-
явлении так называемых возмущений в спектре двухатомных моле-
молекул. Если два дискретных молекулярных уровня ?i и ?2, соот-
соответствующих двум пересекающимся электронным термам, близ-
близки друг к другу, то возможность перехода между обоими элек-
электронными состояниями приводит к смещению уровней. Согласно
общей формуле теории возмущений G9.4) имеем для смещенных
уровней выражение
Ei^E, ± ^(EL-Ъу + |у12яд|2,	(90.20)
где Т^12яд — матричный элемент возмущения для перехода меж-
между молекулярными состояниями 1 и 2 (матричные же элементы
Упяд и ^22яд должны, очевидно, быть включены в Ei и Е2). Из
этой формулы видно, что оба уровня раздвигаются, смещаясь
в противоположные стороны (больший уровень увеличивается,
а меньший — уменьшается). Величина раздвижения тем больше,
чем меньше разность \Е\ — Е%\.
Матричный элемент Ух2яд вычисляется в точности так, как
это было сделано выше при определении вероятности столкно-
столкновения второго рода. Разница заключается лишь в том, что вол-
волновые функции Хяд1 и Хяд2 относятся к дискретному спектру и
потому должны быть нормированы на единицу. Согласно D8.3)
имеем
/	 / Гп
= \ — cos - /
\ «1
Хяд1 = \1^соб[ 1 \vidr--A
и аналогично для Хяд2- Сравнение с формулами (90.3)-(90.5) по-
показывает, что рассматриваемый теперь матричный эле-
элемент Ух2яд связан с вероятностью w перехода при двукратном
прохождении через точку пересечения соотношением
= ^^^.	(90.21)

430
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
Задачи
1. Определить полное сечение столкновений второго рода как функцию
от кинетической энергии Е сталкивающихся атомов для переходов, связан-
связанных со взаимодействием спин-орбита (Л. Д. Ландау, 1932).
Решение. Ввиду квазиклассичности движения ядер можно ввести
понятие о прицельном расстоянии р (расстояние, на котором ядра прошли
бы друг мимо друга при отсутствии взаимодействия между ними) и опре-
определить сечение da как произведение прицельной площади 2тгр dp на вероят-
вероятность перехода w(p) при одном столкновении (ср. I, § 18). Полное сечение а
получается интегрированием по р.
Для взаимодействия спин—орбита матричный элемент V(r) не зависит
от момента импульса М сталкивающихся атомов. Запишем скорость v в
точке г = го пересечения кривых в виде
Здесь U — общее значение U\ и С7г в точке пересечения, /л — приведенная
масса атомов, а момент М = fipvoo (г>оо — относительная скорость атомов
на бесконечности). Начало отсчета энергии выбираем так, чтобы энергия
взаимодействия атомов в исходном состоянии была равна нулю на беско-
бесконечности; тогда Е = fiv^o/2. Подставляя в (90.7), находим
da = 2тгр dp • uj =
Интегрирование по dp надо производить в пределах от нуля до значения,
при котором скорость v обращается в нуль. В результате получим
E
2. То же для переходов, связанных со взаимодействием вращения моле-
молекулы с орбитальным моментом {Л. Д. Ландау, 1932).
Решение. Матричный элемент V имеет вид V (г) = MD/fir2, где
D(r) —матричный элемент электронного орбитального момента. Тем же спо-
способом, что и в задаче 1, получим
(Е - UK/2
E
3. Определить вероятность перехода для энергий Е, близких к значению
Uj потенциальной энергии в точке пересечения.
Решение. При малых значениях Е — Uj формула (90.7) непримени-
неприменима, так как скорость ядер v нельзя считать постоянной вблизи точки пере-
пересечения и поэтому нельзя выносить ее из-под знака интеграла, как это было
сделано при выводе (90.7).
Вблизи точки пересечения заменяем кривые Uji, Uj2 прямыми
Uji = Uj- Fjit, UJ2 = Uj- FM, ? = r - ro.
Волновые функции Хяд1 и Хяд2 в этой области совпадают с волновыми
функциями одномерного движения в однородном поле (см. §24). Вычисле-
Вычисления удобно производить с помощью волновых функций в импульсном пред-
представлении. Волновая функция, нормированная на (^-функцию от энергии,

5 90
ПРЕДИССОЦИАЦИЯ
431
имеет вид (см. задачу к § 24)
1 .(¦
а2 =
: ехр
\HFj2
а функция, нормированная на равную единице плотность потока в падаю-
падающей и отраженной волнах, получается умножением на у/2тт!г:
1
заменив ее значением в точке
При интегрировании возмущающую энергию (матричный элемент) V мож-
можно снова вынести из-под знака интеграла
пересечения:
+ ОО
2тг
W =
П
V
I
В результате получим
ч 2/3
тН 1> (90-22)
\П2 J \Fj2
где Ф(?)— функция Эйри (см. §Ь математических дополнений). При боль-
больших Е — Uj эта формула переходит в (90.7).
4. Определить вероятность перезарядки при далеком медленном (отно-
(относительная скорость v <^ 1) столкновении атома водорода с ионом водорода —
протоном (О. Б. Фирсов, 1951)х) .
Решение. Будем рассматривать систему Н + Н+ как молекулярный
ион водорода (см. задачу к § 81). Перезарядка состоит в переходе электрона
из состояния фх, локализованного на первом ядре, в состояние фч вблизи
второго ядра. Эти состояния не являются стационарными даже при непо-
неподвижных ядрах; стационарны состояния
1
ё'и ~ у/2
Их энергии как функции расстояния R между ядрами: Ug,u(R). Когда яд-
ядра совершают заданное медленное движение (которое рассматриваем как
классическое), эти энергии являются медленно меняющимися функциями
времени, а временная зависимость волновых функций дается «квазикласси-
«квазиклассическими по времени» множителями
( f
ехр ( —г / Ug,u(i) dt
)ОИХ СОСТОЯНИЙ, СОВЕ
} \ If
—г \ Ug dt I + фи ехр I —г
J	I	\ J
(ср. §53). Суперпозиция обоих состояний, совпадающая при t = — оо с
есть
Uudt
) В этой задаче пользуемся атомными единицами.

432
ДВУХАТОМНАЯ МОЛЕКУЛА	ГЛ. XI
При t —>¦ оо эта функция представляет собой линейную комбинацию вида
сгфг + С2Ф2, а вероятность перезарядки w = |с212• Простое вычисление дает
w = sin
00
in2 77, 77 = I f{Uu-Ug)dt.
При столкновениях с большими прицельными расстояниями р (существен-
(существенными при достаточно малой скорости г>) движение ядер можно считать пря-
прямолинейным, т. е. положить R = \Jр1 + v2t2. Разность же Uu — Ug при R^$> 1
дается формулой D) из задачи к §81. Тогда
оо
4 f
Г]= ~
V J
-dR.
При р > 1 в интеграле существенна область значений R вблизи нижнего
предела; положив R = рA + ж), получим
e-	dx= ^V/V
л/ж	ег>
о

ГЛАВА XII
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ
§ 91. Преобразования симметрии
Классификация термов многоатомной молекулы существенно
связана, как и у двухатомной молекулы, с ее симметрией. Поэто-
Поэтому мы начинаем с изучения типов симметрии, которыми может
обладать молекула.
Симметрия тела определяется совокупностью тех переме-
перемещений, которые совмещают тело с самим собой; об этих пере-
перемещениях говорят, как о преобразованиях симметрии. Каждое
из возможных преобразований симметрии можно представить
в виде комбинации одного или нескольких из трех основных
типов преобразований. Этими тремя существенно различными
типами являются: поворот тела на определенный угол вокруг
некоторой оси, зеркальное отражение в некоторой плоскости
и параллельный перенос тела на некоторое расстояние. Из них
последним типом может обладать, очевидно, только неограни-
неограниченная среда (кристаллическая решетка). Тело же конечных раз-
размеров (в частности, молекула) может быть симметрично только
по отношению к поворотам и отражениям.
Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг
некоторой оси на угол 2тг/п, то такая ось называется осью сим-
симметрии п-то порядка. Число п может иметь любое целое значе-
значение: п = 2, 3, ...; значение п = 1 соответствует повороту на
угол 2тг или, что то же, на 0, т. е. соответствует тождествен-
тождественному преобразованию. Операцию поворота вокруг данной оси
на угол 2тг/п мы будем обозначать символом Сп. Повторяя эту
операцию два, три, ... раза, мы получим повороты на углы
2Bтг/п), 3Bтг/п),..., которые тоже совмещают тело с самим со-
собой; эти повороты можно обозначать как G^,G^*,... Очевидно,
что если п кратно р, то
С1 = Сп/р.	(91.1)
В частности, произведя поворот п раз, мы вернемся в исход-
исходное положение, т.е. произведем тождественное преобразование]
последнее принято обозначать буквой Е, т. е. можно написать
С1 = Е.	(91.2)

434
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ
ГЛ. XII
Рис. 32
Если тело совмещается с самим собой при зеркальном отра-
отражении в некоторой плоскости, то такая плоскость называется
плоскостью симметрии. Операцию отражения в плоскости мы
будем обозначать символом а. Очевидно, что двукратное отра-
отражение в одной плоскости есть тождественное преобразование
а2 = Е.	(91.3)
Одновременное применение обоих преобразований— пово-
поворота и отражения — приводит к так называемым зеркально-по-
зеркально-поворотным осям. Тело обладает зеркально-поворотной осью п-то
порядка, если оно совмещается с са-
самим собой при повороте вокруг этой
оси на угол 2тг/п и последующем от-
отражении в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной к оси (рис. 32). Легко сообразить,
что это есть некоторый новый вид
симметрии только в том случае, ес-
если п—четное число. Действительно,
если п— нечетное число, то п-крат-
п-кратное повторение зеркально-поворотно-
зеркально-поворотного преобразования будет равносильно
простому отражению в плоскости, пер-
перпендикулярной к оси (поскольку угол
поворота будет равен 2тг, а нечетное число отражений в од-
одной и той же плоскости есть простое отражение). Повторяя это
преобразование еще п раз, найдем в результате, что зеркаль-
зеркально-поворотная ось сводится к одновременному наличию незави-
независимых оси симметрии n-го порядка и перпендикулярной к ней
плоскости симметрии. Если же п — четное число, то п-кратное
повторение зеркально-поворотного преобразования возвращает
тело в исходное положение.
Зеркально-поворотное преобразование обозначаем симво-
символом Sn. Обозначая отражение в плоскости, перпендикулярной
к данной оси, через сг^, можем написать, по определению
Sn = Cnah = ahCn	(91.4)
(порядок, в котором производятся операции Сп и сг^, очевидно,
не влияет на результат).
Важным частным случаем является зеркально-поворотная
ось второго порядка. Легко сообразить, что поворот на угол тг с
последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к оси
вращения, представляет собой преобразование инверсии, при ко-
котором точка Р тела переводится в другую точку Р1, лежащую
на продолжении прямой, соединяющей Р с точкой О пересече-
пересечения оси с плоскостью, так что расстояния ОР и ОР! одинаковы.

§ 91	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ	435
О теле, симметричном относительно этого преобразования, го-
говорят, что оно обладает центром симметрии (операцию инверсии
мы будем обозначать буквой /):
I = S2 = C2<Th.	(91.5)
Очевидно также, что la^ = C2, IC2 = (Jh\ другими словами, ось
второго порядка, перпендикулярная к ней плоскость симметрии
и центр симметрии в точке их пересечения взаимно зависимы —
наличие любых двух из этих элементов автоматически приводит
к наличию также и третьего.
Укажем здесь ряд чисто геометрических свойств, присущих
поворотам и отражениям, которые полезно иметь в виду при изу-
изучении симметрии тел.
Произведение двух поворотов вокруг осей, пересекающихся
в некоторой точке, есть поворот вокруг некоторой третьей оси,
проходящей через ту же точку. Произведение двух отражений
в пересекающихся друг с другом плоскостях эквивалентно пово-
повороту; ось этого поворота, очевидно, совпадает с линией пересе-
пересечения плоскостей, а угол поворота равен, как легко убедиться
простым геометрическим построением, удвоенному углу меж-
между обеими плоскостями. Если обозначить поворот вокруг оси на
угол (f через С(<р), а отражения в двух плоскостях, проходящих
через ось, символами av и сг^1), то высказанное утверждение
можно записать в виде
ava'v = CB<p),	(91.6)
где (р — угол между обеими плоскостями. Необходимо отметить,
что порядок, в котором производятся оба отражения, не без-
безразличен: преобразование avafv дает поворот в направлении от
плоскости a'v к crv, а при перестановке множителей мы получим
поворот в обратном направлении. Умножая равенство (91.6) сле-
слева на <jv, получим
a'v = avC{2<p);	(91-7)
другими словами, произведение поворота и отражения в плос-
плоскости, проходящей через ось, эквивалентно отражению в другой
плоскости, пересекающейся с первой под углом, равным поло-
половине угла поворота. В частности, отсюда следует, что ось сим-
симметрии второго порядка и две проходящие через нее взаимно
перпендикулярные плоскости симметрии взаимно зависимы: на-
наличие двух из них требует также наличия третьей.
г) Индексом v обычно отличают отражение в плоскости, проходящей че-
через данную ось («вертикальная» плоскость), а индексом h—в плоскости,
перпендикулярной к оси («горизонтальная» плоскость).

436
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
Покажем, что произведение поворотов на угол тг вокруг двух
пересекающихся под углом ц> осей (Оа и Ob на рис. 33) есть по-
поворот па угол 2<р вокруг оси, перпендикулярной к первым двум
(РР1 на рис. 33). Действительно, заранее ясно, что результи-
результирующее преобразование есть тоже поворот; после первого пово-
поворота (вокруг О а) точка Р переходит в Р', а после второго (во-
(вокруг Ob) она возвращается в исходное положение. Это значит,
что линия РР' остается неподвижной
и, следовательно, является осью пово-
поворота. Для определения угла поворота
достаточно заметить, что при первом
повороте ось Оа остается на месте,
а после второго переходит в положе-
положение Оа!, образующее с О а угол 2(р. Та-
Таким же способом можно убедиться в
том, что при перемене порядка обоих
преобразований мы получим поворот в
противоположном направлении.
Хотя результат двух последовательных преобразований за-
зависит, вообще говоря, от порядка, в котором они производят-
производятся, однако в ряде случаев порядок операций несуществен — пре-
преобразования коммутативны. Это имеет место для следующих
преобразований:
1} два поворота вокруг одной и той же оси;
2)	два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях
(они эквивалентны повороту на угол тг вокруг линии пересечения
плоскостей);
3)	два поворота на угол тг вокруг взаимно перпендикулярных
осей (они эквивалентны повороту на тот же угол вокруг третьей
перпендикулярной оси);
4)	поворот и отражение в плоскости, перпендикулярной к оси
поворота;
5)	любой поворот (или отражение) и инверсия в точке, лежа-
лежащей на оси вращения (или в плоскости отражения); это следует
из 1) и 4).
§ 92. Группы преобразований
Совокупность всех преобразований симметрии данного тела
называют его группой преобразований симметрии, или просто
группой симметрии. Выше мы говорили об этих преобразова-
преобразованиях, как о геометрических перемещениях тела. В квантовоме-
ханических применениях удобнее, однако, рассматривать преоб-

§ 92	ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	437
разования симметрии как преобразования координат, оставля-
оставляющие инвариантным гамильтониан данной системы. Очевидно,
что если система совмещается сама с собой при некотором по-
повороте или отражении, то соответствующее преобразование ко-
координат не изменит ее уравнения Шредингера. Таким образом,
мы будем говорить о группе преобразований, по отношению к
которым инвариантно данное уравнение Шредингерах).
Изучение групп симметрии удобно производить с помощью
общего математического аппарата так называемой теории групп,
основы которого излагаются ниже. Мы будем рассматривать
сначала группы, каждая из которых содержит конечное чис-
число различных преобразований (так называемые конечные груп-
группы). О каждом из преобразований, входящих в состав группы,
говорят, как об элементе группы.
Группы симметрии обладают следующими очевидными свой-
свойствами. В состав всякой группы входит тождественное преоб-
преобразование Е (о нем говорят, как о единичном элементе груп-
группы). Элементы группы можно перемножать друг с другом; под
произведением двух (или нескольких) преобразований подразу-
подразумевается результат их последовательного применения. Очевид-
Очевидно, что произведение всяких двух элементов группы есть эле-
элемент той же группы. Для умножения элементов имеет место
закон ассоциативности (АВ)С = А(ВС), где Д Б, С — элемен-
элементы группы. Закон коммутативности, однако, не имеет, вообще
говоря, места; в общем случае АВ ф В А. Для каждого элемен-
элемента группы А имеется в той же группе обратный элемент А~х
(обратное преобразование) такой, что АА~г = Е. В некоторых
1) Такая точка зрения позволяет включить в рассмотрение не только груп-
группы поворотов и отражений, о которых идет здесь речь, но и другие типы
преобразований, оставляющих неизменным уравнение Шредингера. К ним
относятся перестановки координат тождественных частиц, входящих в со-
состав данной системы (молекулы или атома). О совокупности всех возмож-
возможных в данной системе перестановок тождественных частиц говорят, как о
ее группе перестановок (мы имели уже с ними дело в § 63). Излагаемые
ниже общие свойства групп относятся и к группам перестановок; более по-
подробным изучением этого вида групп мы не станем заниматься.
По поводу применяемых в этой главе обозначений надо сделать следую-
следующее замечание. Преобразования симметрии представляют собой по суще-
существу такие же операторы, какие мы рассматриваем на протяжении всей
книги, и их следовало бы обозначать буквами со шляпками. Мы не дела-
делаем этого, имея в виду общепринятые обозначения, а также учитывая, что
это не может привести в настоящей главе к недоразумениям. По той же
причине мы пользуемся для обозначения тождественного преобразования
общепринятым символом Е, а не 1, как это соответствовало бы обозначе-
обозначениям в остальных главах. Наконец, оператор инверсии обозначается в этой
главе символом / вместо использованного в § 30 символа Р, принятого в
современной литературе по квантовой механике.

438
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
случаях элемент может совпадать со своим обратным, в част-
частности, Е~х = Е. Очевидно, что взаимно обратные элементы А
и Л коммутативны.
Элемент, обратный произведению А В двух элементов, равен
(АВ)-1 = В'1 А'1
и аналогично для произведения большего числа элементов; в
этом легко убедиться, производя перемножение и используя за-
закон ассоциативности.
Если все элементы группы коммутативны, то такая группа
называется абелевой. Частным случаем абелевых являются так
называемые циклические группы. Под циклической понимают
группу, все элементы которой могут быть получены путем воз-
возведения одного из них в последовательные степени, т. е. группу,
состоящую из элементов
А,А2,А3,...,Ап = Е,
где п есть некоторое целое число.
Пусть G есть некоторая группах). Если из нее можно выде-
выделить некоторую совокупность элементов Н такую, что она сама
тоже будет составлять группу, то группу Н называют подгруп-
подгруппой группы G. Один и тот же элемент группы может входить в
различные ее подгруппы.
Взяв любой элемент А группы и возводя его в последова-
последовательные степени, мы получим в конце концов единичный эле-
элемент (поскольку полное число элементов в группе конечно).
Если п есть наименьшее число, при котором Ап = Е, то п
называется порядком элемента А, а совокупность элементов
Д Л2,..., Ап = Е— периодом А. Период обозначают симво-
символом {^4}; он составляет сам по себе группу, т.е. является под-
подгруппой исходной группы, причем подгруппой циклической.
Для того чтобы проверить, является ли данная совокупность
элементов группы ее подгруппой, достаточно убедиться в том,
что при умножении всяких двух ее элементов получается эле-
элемент, содержащийся в той же совокупности. Действительно, то-
тогда вместе со всяким элементом А будут иметься и все его сте-
степени, в том числе Ап~1 (п—порядок элемента), играющий роль
обратного (так как Ап~1А = Ап = Е)\ будет иметься, очевидно,
и единичный элемент.
Полное число элементов группы называют ее порядком. Лег-
Легко видеть, что порядок подгруппы есть делитель порядка всей
) Мы будем обозначать группы курсивными жирными буквами.

§ 92	ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	439
группы. Для этого рассмотрим подгруппу Н группы G, и
пусть G\ есть некоторый элемент группы G, не принадлежа-
принадлежащий Н. Умножая все элементы Н на G\ (например, справа),
мы получим совокупность (или, как говорят, комплекс) элемен-
элементов, обозначаемый как HG\. Все элементы этого комплекса
принадлежат, очевидно, группе G. Однако ни один из них не
принадлежит Н\ действительно, если бы для каких-либо двух
элементов На, Щ, принадлежащих Н, было HaG\ = Щ, то от-
отсюда следовало бы G\ = Н^Щ, т.е. G\ тоже принадлежало бы
подгруппе Н в противоречии с предположением. Аналогично
можно показать, что если G?2 есть элемент группы G, не принад-
принадлежащий ни Н, ни HGi, то все элементы комплекса HG2, не
будут принадлежать ни Н, ни HG\. Продолжая этот процесс,
мы в конце концов исчерпаем весь запас элементов конечной
группы G. Таким образом все элементы окажутся разбитыми
по множествам (называемым смежными классами Н в G)
Н, HGi, HG2,..., HGm,
каждое из которых содержит по h элементов, где h— порядок
подгруппы Н. Отсюда следует, что порядок группы G равен
g = km, чем и доказывается сделанное утверждение. Целое чис-
число m = g/h называют индексом подгруппы Н в группе G.
Если порядок группы есть простое число, то из доказанного
непосредственно следует, что такая группа вообще не обладает
никакими подгруппами (за исключением Е и самой себя). Спра-
Справедливо и обратное утверждение: всякая группа, не имеющая
подгрупп, непременно простого порядка и к тому же должна
быть циклической (в противном случае она содержала бы эле-
элементы, период которых составлял бы подгруппу).
Введем важное понятие о сопряженных элементах. Два эле-
элемента А и В называются сопряженными друг с другом, если
А = СВС~\
где С есть тоже элемент группы (умножив написанное равен-
равенство справа на С и слева на С, получим обратное равенство
В = С~1АС). Существенным свойством сопряженности явля-
является то, что если А сопряжено с В, а Б с С, то и i сопря-
сопряжено с С; действительно, из В = Р~1АР1 С = Q~1BQ (где
Р, Q — элементы группы) следует, что С = (PQ)~1A(PQ). По
этой причине можно говорить о совокупности элементов груп-
группы, сопряженных друг с другом. Такие совокупности называ-
называются классами сопряженных элементов или просто классами
группы. Каждый класс вполне определяется одним каким-либо
своим элементом А] действительно, задав Л, мы получим весь

440
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
класс, составляя произведения GAG 1, где G пробегает все эле-
элементы группы (при этом, конечно, каждый элемент класса мо-
может получиться и по нескольку раз). Таким образом, мы можем
разбить всю группу на классы; каждый элемент группы может
входить, очевидно, только в один из классов. Единичный эле-
элемент группы сам по себе составляет класс, так как для всякого
элемента группы GEG~X = Е. Если группа абелева, то то же
самое имеет место для каждого ее элемента; поскольку все эле-
элементы такой группы, по определению, коммутативны, то каж-
каждый элемент сопряжен только самому себе и потому сам по себе
составляет класс. Подчеркнем, что класс группы (не совпадаю-
совпадающий с Е) отнюдь не является ее подгруппой; это видно уже из
того, что он не содержит единичного элемента.
Все элементы одного и того же класса имеют одинаковый
порядок. Действительно, если п есть порядок элемента А (так
что Ап = Е), то и для сопряженного с ним элемента В = САС~^
имеет место (САС'1O1 = САпС~1 = Е.
Пусть Н есть подгруппа G, a G\ — элемент G, не принадле-
принадлежащий Н. Легко убедиться в том, что совокупность элементов
GiHG^1 удовлетворяет всем требуемым для группы свойствам,
т.е. тоже есть подгруппа группы G. Подгруппы Н и GiHG^1
называются сопряженными; каждый элемент одной из них со-
сопряжен одному из элементов другой. Давая G\ различные зна-
значения, мы получим ряд сопряженных подгрупп, которые могут
оказаться частично совпадающими друг с другом. Может слу-
случиться, что все сопряженные с Н подгруппы совпадают с Н.
В таком случае Н называют нормальным делителем (или ин-
инвариантной подгруппой) группы G. Так, например, всякая под-
подгруппа абелевой группы является, очевидно, ее нормальным де-
делителем.
Рассмотрим группу А с п элементами А, А1 А",... и груп-
группу В с т элементами В, В', В",..., и пусть все элементы А
(кроме единичного Е) отличны от элементов В и коммутативны
с ними. Если перемножить каждый элемент группы А с каж-
каждым элементом группы S, то мы получим совокупность пт эле-
элементов, которые тоже составляют группу. Действительно, для
всяких двух элементов этой совокупности имеем А В - А' В' =
= АА! • ВВ1 = А"В", т.е. опять элемент той же совокупности.
Получившуюся группу порядка пт обозначают через АхВи
называют прямым произведением групп А л В.
Наконец, введем понятие изоморфизма групп. Две группы А
и В одинакового порядка называются изоморфными, если меж-
между их элементами можно установить взаимно однозначное соот-
соответствие такое, что если элементу А соответствует элемент Б,

§ 93	ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ	441
а элементу А'—элемент В', то элементу А" = А А' соответ-
соответствует элемент В" = В В''. Такие две группы, рассматриваемые
абстрактно, обладают, очевидно, тождественными свойствами,
хотя конкретный смысл их элементов различен.
§ 93. Точечные группы
Преобразования, входящие в состав группы симметрии тела
конечных размеров (в частности, молекулы), должны быть та-
такими, чтобы по крайней мере одна точка тела оставалась непо-
неподвижной при применении любого из этих преобразований. Дру-
Другими словами, все оси и плоскости симметрии молекулы должны
иметь по крайней мере одну общую точку пересечения. Действи-
Действительно, последовательный поворот тела вокруг двух непересе-
непересекающихся осей или отражение в непересекающихся плоскостях
приводит к поступательному перемещению тела, которое, оче-
очевидно, не может совместить его с самим собой. Группы симмет-
симметрии, обладающие указанным свойством, называются точечными
группами.
Перед тем как перейти к построению возможных типов то-
точечных групп, изложим простой геометрический способ, позво-
позволяющий легко произвести распределение элементов группы по
классам. Пусть О а есть некоторая ось, а элемент группы А есть
поворот вокруг этой оси на определенный угол. Пусть, далее, G
есть преобразование из той же группы (поворот или отражение),
которое, будучи применено к самой оси Оа, переводит ее в по-
положение Ob. Покажем, что элемент В = GAG~X отвечает тогда
повороту вокруг оси Ob на тот же угол, на который элемент
А поворачивает вокруг Оа. Действительно, рассмотрим воздей-
воздействие преобразования GAG~X на саму ось Ob. Преобразование
G, обратное G, переводит ось Ob в положение Оа, так что по-
последующий поворот А оставляет ее в этом положении; наконец,
G переведет ее обратно в исходное положение. Таким образом,
ось Ob остается в результате на месте, так что В есть поворот
вокруг этой оси. Поскольку А л В относятся к одному клас-
классу, то порядок этих элементов одинаков; это значит, что они
производят поворот на одинаковый угол.
Таким образом, мы приходим к результату, что два поворо-
поворота на одинаковый угол относятся к одному классу, если в числе
элементов группы имеется преобразование, с помощью которо-
которого можно совместить одну ось поворота с другой. Точно таким
же образом можно показать, что и два отражения в различных
плоскостях относятся к одному классу, если какое-либо преоб-
преобразование группы переводит одну плоскость в другую. О самих

442
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
осях или плоскостях симметрии, направления которых могут
быть совмещены друг с другом, говорят как об эквивалентных.
Некоторые дополнительные замечания требуются для слу-
случая, когда оба поворота производятся вокруг одной и той же
оси. Элементом, обратным повороту Ск (&=1, 2,..., п — 1) во-
вокруг оси симметрии n-го порядка, является элемент С~к=С™~к,
т.е. поворот на угол (п — к)Bтг/п) в том же направлении, или,
что то же, поворот на угол 2ктг/п в обратном направлении. Если
в числе преобразований группы имеется поворот на угол тг во-
вокруг перпендикулярной оси (такой поворот меняет направление
рассматриваемой оси на противоположное), то, согласно дока-
доказанному общему правилу, повороты Ск и С~ будут относиться
к одному классу. Отражение а^ в плоскости, перпендикулярной к
оси, тоже меняет ее направление на обратное; однако надо иметь
в виду, что отражение меняет также и направление вращения.
Поэтому наличие а^ не сделает элементы Ск и С~ сопряжен-
сопряженными. Отражение же а^ в плоскости, проходящей через ось, не
меняет направления оси, но меняет направление вращения, и
потому С~к = avCkav, так что при наличии такой плоскости
симметрии Ск и С~ относятся к одному классу. Если повороты
вокруг оси на одинаковый угол в противоположных направле-
направлениях сопряжены, то мы будем называть ось двухсторонней.
Определение классов точечной группы часто облегчается
следующим правилом. Пусть G есть некоторая группа, не со-
содержащая инверсии /, а С^ —группа из двух элементов: / и
Е. Тогда прямое произведение G x d есть группа, содержа-
содержащая вдвое больше элементов, чем G; половина из них совпадает
с элементами группы G, а остальные получаются умножени-
умножением последних на /. Поскольку / коммутирует с любым другим
преобразованием точечной группы, то ясно, что группа G х С{
содержит вдвое больше классов, чем G; каждому классу А груп-
группы G соответствуют в группе G х С^, два класса: А и AI. В
частности, инверсия / всегда составляет сама по себе класс.
Перейдем теперь к перечислению всех возможных точечных
групп. Мы будем строить их, начиная от простейших и прибав-
прибавляя к ним новые элементы симметрии. Точечные группы будем
обозначать жирными латинскими буквами с соответствующими
индексами.
I. Группы Сп
Простейший тип симметрии содержит всего одну ось сим-
симметрии n-го порядка. Группа Сп есть группа поворотов вокруг
оси n-го порядка. Эта группа, очевидно, циклическая. Каждый
из ее п элементов составляет сам по себе класс. Группа С\

§ 93	ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ	443
содержит только тождественное преобразование Е и соответ-
соответствует отсутствию какой бы то ни было симметрии.
П. Группы S2n
Это — группа поворотов вокруг зеркально-поворотной оси
четного порядка Ъп. Она содержит Ъп элементов и является,
очевидно, циклической. В частности, группа S2 содержит все-
всего два элемента: Е и /; ее обозначают также через С{. Отме-
Отметим также, что если порядок группы есть число вида 2п =
= 4р + 2, то среди ее элементов имеется инверсия; очевидно,
что (S4p+2Jp+1 = Съ^к — 1- Такую группу можно написать в
виде прямого произведения: ?4^+2 = C?2p+i x Cf. ее обозначают
также и через &2р+1,{-
III.	Группы Cnh
Эти группы получаются присоединением к оси симметрии п-
го порядка перпендикулярной к ней плоскости симметрии. Груп-
Группа Cnh содержит 2п элементов: п поворотов группы Сп и п
зеркально-поворотных преобразований С^а^ (к = 1, 2, 3,..., п)
(в том числе отражение C^cr^ = 07J. Все элементы группы ком-
коммутативны, т. е. группа абелева; число классов равно числу эле-
элементов. Если п — четно (п = 2р), то группа содержит центр сим-
симметрии (так как С\ а^ = С^сг^ = /). Простейшая группа Cih
содержит всего два элемента: Е и сг^; ее обозначают также че-
через Cs.
IV.	Группы Cnv
Если присоединить к оси симметрии n-го порядка прохо-
проходящую через нее плоскость симметрии, то это автоматически
приведет к появлению еще (п — 1) плоскостей, пересекающихся
друг с другом вдоль оси под углами тг/п (это следует непосред-
непосредственно из геометрической теоремы (91.7I)). Получающаяся
при этом группа Cnv содержит, следовательно, 2п элементов: п
поворотов вокруг оси n-го порядка и п отражений av в верти-
вертикальных плоскостях. На рис. 34 изображены в качестве примера
системы осей и плоскостей симметрии групп С%у и C^v
Для определения классов замечаем, что благодаря наличию
проходящих через ось симметрии плоскостей симметрии эта ось
1) В конечной группе не может быть двух плоскостей симметрии, пересе-
пересекающихся под углом, не равным рациональной части от 2тг. Из факта нали-
наличия двух таких плоскостей следовало бы наличие бесконечного числа других
плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль одной и той же прямой и по-
получающихся путем отражения неограниченное число раз одной плоскости в
другой. Другими словами, наличие двух таких плоскостей приводит сразу
к полной аксиальной симметрии.

444
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ
ГЛ. XII
двусторонняя. Фактическое распределение элементов по классам
различно при четных и нечетных п.
Рис. 34
Если п нечетно (п = 2р + 1), то последовательные пово-
повороты С2р+1 совмещают каждую из плоскостей последователь-
последовательно со всеми остальными 2р плоскостями, так что все плоско-
плоскости симметрии эквивалентны и отражения в них входят в один
класс. Среди поворотов вокруг оси имеется 2р операций, отлич-
отличных от тождественной, которые попарно сопряжены друг с дру-
другом, образуя р классов по два элемента (C^p+i и C^L^, к = 1,
2, ..., р); кроме того, Е составляет еще один отдельный класс.
Таким образом, имеется всего р + 2 классов.
Если же п четно (п = 2р), то последовательными поворотами
С2Р можно совместить лишь чередующиеся через одну плоско-
плоскости; две соседние плоскости не могут быть совмещены друг с
другом. Таким образом, имеются два набора по р эквивалент-
эквивалентных плоскостей и соответственно два класса по р элементов
(отражений) в каждом. Что касается поворотов вокруг оси, то
С2р = Е и С\ = С2 составляют каждый сам по себе класс, а
остальные 2р — 2 поворотов попарно сопряжены и дают еще р — 1
классов по два элемента. Всего группа C2P,v имеет, следователь-
следовательно, р + 3 классов.
V. Группы Dn
Если к оси симметрии n-го порядка присоединить перпенди-
перпендикулярную ей ось второго порядка, то это приведет к появлению
еще (п — 1) таких же осей, так что будет всего п горизонтальных
осей второго порядка, пересекающихся под углами тг/n. Полу-
Получающаяся группа Dn содержит 2п элементов: п поворотов во-
вокруг
оси n-го порядка и п поворотов на угол тг вокруг горизонталь-
горизонтальных осей (условимся обозначать последние через С/2, оставив
обозначение С2 для поворота на угол тг вокруг вертикальной

5 93
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
445
оси). На рис.34 изображены в качестве примера системы осей
групп D% и Z?4.
Совершенно аналогично предыдущему случаю, убеждаем-
убеждаемся, что ось n-го порядка является двусторонней, а горизонталь-
горизонтальные оси второго порядка все эквивалентны, если п нечетно, или
образуют два неэквивалентных набора, если п четно. Следова-
Следовательно, группа D2P имеет следующие р + 3 классов: Е, 2 класса
по р поворотов U2 в каждом, поворот С2 и (р — 1) классов по
два поворота вокруг вертикальной оси. Группа же Z?2p+i имеет
р + 2 классов: Е, 2р+ 1 поворотов U2 и р классов по два поворота
вокруг вертикальной оси.
Важным частным случаем является группа Х?2- Ее система
осей складывается из трех взаимно перпендикулярных осей вто-
второго порядка. Эту группу обозначают также буквой V.
VI. Группы Dnh
Если добавить к системе осей группы Dn горизонтальную
плоскость симметрии, проходящую через п осей второго поряд-
порядка, то при этом автоматически появится п вертикальных плос-
плоскостей, каждая из которых проходит через вертикальную ось
и одну из горизонтальных осей. Получающаяся при этом груп-
группа Dnh содержит 4п элементов; кроме 2п элементов группы Dn
в нее входят еще п отражений av и п зеркально-поворотных пре-
преобразований С^сги- На рис.35 изображена система осей и плос-
плоскостей группы X?3/i-
\
г
к
г
\
\
\
л
у
-•
Г
А \ \ "
Г
\^
\
Рис. 35
Отражение а^ коммутативно со всеми остальными элемента-
элементами группы; поэтому можно написать Dnh в виде прямого произ-
произведения Dnh = Dn х Сs, где Сs есть группа из двух элементов Е
и ah- При четном п в числе элементов группы имеется инверсия,
и можно написать также D2p,h — J^2p x Ci-
Отсюда следует, что число классов в группе Dnh равно удво-
удвоенному числу классов в группе Dn. Половина из них совпадает

446
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
с классами группы Dn (повороты вокруг осей), а остальные по-
получаются из них умножением на а^. Отражения <jv в вертикаль-
вертикальных плоскостях относятся все к одному классу (если п нечетно)
или образуют два класса (при четном п). Зеркально-поворот-
Зеркально-поворотные преобразования сг^С^ и аьС~к попарно сопряжены друг с
другом.
VII. Группы Dnd
Присоединить плоскости симметрии к системе осей груп-
группы Dn можно еще одним способом. Именно, можно провести их
вертикально через ось n-го порядка посредине между каждыми
двумя соседними горизонтальными осями второго порядка.
Опять присоединение одной такой плоскости влечет за собой
появление еще (п — 1) плоскостей. Получающаяся система осей
и плоскостей симметрии определяет группу Dnd (на рис. 35
изображены оси и плоскости групп T>2d и D^d)-
Группа Dnd содержит An элементов. К Ъп элементам груп-
группы Dn присоединяется п отражений в вертикальных плоскостях
(обозначаемых через О& — «диагональные» плоскости) и п пре-
преобразований вида G = U2<Jd- Для того чтобы выяснить характер
последних, замечаем, что поворот С/2 можно, согласно (91.6),
написать в виде С/2 = &h(Jvi гДе &v — отражение в вертикаль-
вертикальной плоскости, проходящей через данную ось второго порядка;
тогда G = ahcrv(Jh (преобразований av, ah самих по себе в чи-
числе элементов группы, разумеется, нет). Поскольку плоскости
отражений av и а^ пересекаются друг с другом вдоль оси п-го
порядка, образуя угол (тг/2п)Bк + 1), где к = 1,..., (п — 1) (по-
(поскольку здесь угол между соседними плоскостями равен тг/2п),
то, согласно (91.6), имеем gvg^ = C|^+1 . Таким образом, нахо-
находим, что G = GhC%n+1 = ?f^+1, т.е. эти элементы представляют
собой зеркально-поворотные преобразования вокруг вертикаль-
вертикальной оси, оказывающейся, следовательно, не простой осью симме-
симметрии n-го порядка, а зеркально-поворотной осью 2п-го порядка.
Диагональные плоскости отражают две соседние горизон-
горизонтальные оси второго порядка друг в друга; поэтому в рассмат-
рассматриваемых группах все оси второго порядка эквивалентны (как
при четных, так и при нечетных п). Аналогично, эквивалентны
все диагональные плоскости. Зеркально-поворотные преобразо-
преобразования Sfn+1 и iS^2 -1 попарно сопряжены друг с другом1).
х) Действительно, имеем
CTd = O-hO-dC2n+ CTd =

§ 93	ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ	447
Применяя эти соображения к группе D2p,di находим, что она
содержит следующие 2р + 3 классов: Е, поворот С2 вокруг оси п-
го порядка, (р — 1) классов по два сопряженных поворота вокруг
той же оси, класс 2р поворотов С/2, класс 2р отражений а^ и р
классов по два зеркально-поворотных преобразования.
При нечетном п (п = 2р + 1) в числе элементов группы име-
имеется инверсия (это видно из того, что одна из горизонтальных
осей в этом случае перпендикулярна к вертикальной плоскости).
Поэтому можно написать i?2p+i,d — ^>2p+i x Cii так что группа
D2p+i,d содержит 2р+4 классов, получающихся непосредственно
из р + 2 классов группы Х?2р+1-
VIII.	Группы Т (группа тетраэдра)
Система осей этой группы есть система осей симметрии тет-
тетраэдра. Она может быть получена добавлением к системе осей
группы V четырех наклонных
осей третьего порядка, повороты
вокруг которых переводят три оси
второго порядка друг в друга.
Эту систему осей удобно предста-
представить, изображая три оси второ-
второго порядка как проходящие через
центры противоположных граней
куба, а оси третьего порядка—	Рис. 36
как пространственные диагонали
этого куба. На рис. 36 изображено расположение этих осей в кубе
и в тетраэдре (по одной оси каждого типа).
Три оси второго порядка эквивалентны между собой. Оси
третьего порядка тоже эквивалентны, так как переводятся друг в
друга поворотами С2, но они не являются двусторонними осями.
Отсюда следует, что 12 элементов в группе Т распределяются
по четырем классам: Е, три поворота G2, четыре поворота С% и
четыре поворота С\.
IX.	Группы Td
Эта группа содержит все преобразования симметрии тетра-
тетраэдра. Систему ее осей и плоскостей можно получить, добавляя к
осям группы Т плоскости симметрии, каждая из которых про-
проходит через одну ось второго и две оси третьего порядков. При
этом оси второго порядка становятся зеркально-поворотными
осями четвертого порядка (подобно тому как это имеет место
в группе D2d)- Эту систему удобно представить, рисуя три
зеркально-поворотные оси, проходящими через центры проти-
противоположных граней куба; четыре оси третьего порядка, как
его пространственные диагонали; шесть плоскостей симметрии

448
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ
ГЛ. XII
проходящими через каждую пару противоположных ребер (на
рис. 37 изображено по одному из каждого рода осей и плоско-
плоскостей).
Поскольку плоскости симметрии вертикальны по отношению
к осям третьего порядка, то последние являются двусторонними
осями. Все оси и плоскости каждого рода эквива-
^_-с	л лентны. Поэтому 24 элемента группы распреде-
распределяются по следующим 5 классам: Е, восемь по-
поворотов С% и С|, шесть отражений в плоскостях,
шесть зеркально-поворотных преобразований S^
и 5|, три поворота С*2 = S\.
X. Группы Th
Эта группа получается из Т добавлением
центра симметрии Т^ = Т х С{. В результа-
результате появляются три взаимно перпендикулярные
плоскости симметрии, проходящие через каж-
каждые две оси второго порядка, а оси третьего по-
порядка становятся зеркально-поворотными осями
шестого порядка (на рис. 38 изображено по одной
из этих осей и плоскостей).
Группа содержит 24 элемента, распределен-
распределенных по 8 классам, непосредственно получающим-
получающимся из классов группы Т.
XI. Группы О (группа октаэдра)
Системой осей этой группы является система осей симмет-
симметрии куба: три оси четвертого порядка проходят через центры
противоположных граней, четыре оси третьего порядка—через
противоположные вершины и шесть осей второго порядка —че-
—через середины противоположных ребер (рис.39).
Съ
Рис. 37
С2 //
Щи
W I/
Рис. 38
Легко видеть, что все оси одинакового порядка эквивалент-
эквивалентны и каждая из них —двусторонняя. Поэтому 24 элемента рас-
распределяются по 5 классам: Е, восемь поворотов С% и С|, шесть
поворотов С4 и Cf, три поворота С\ и шесть поворотов С^-

§ 94	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП	449
XII.	Группы Oh
Это есть группа всех преобразований симметрии куба1).
Она получается добавлением к группе О центра симметрии:
Oh = О х С{. Оси третьего порядка группы О превращают-
превращаются при этом в зеркально-поворотные оси шестого порядка (про-
(пространственные диагонали куба); кроме того, появляются еще
шесть плоскостей симметрии, проходящих через каждую пару
противоположных ребер, и три плоскости, параллельные граням
куба (рис. 40). Группа содержит 48 элементов, распределенных
по 10 классам, которые могут быть непосредственно получены
из классов группы О. Именно, 5 совпадают с классами груп-
группы О, а остальными являются: /; восемь зеркально-поворотных
преобразований Sq и 5|; шесть зеркально-поворотных преобра-
преобразований С^&н, Cfcrh вокруг осей четвертого порядка; три отра-
отражения cr/j, в плоскостях, горизонтальных по отношению к осям
четвертого порядка; шесть отражений <jv в плоскостях, верти-
вертикальных по отношению к этим осям.
XIII,	XIV. Группы У, Yh (группы икосаэдра)
Эти группы осуществляются в природе в качестве групп сим-
симметрии молекул лишь в исключительных случаях. Поэтому мы
ограничимся здесь указанием, что Y есть группа 60 поворо-
поворотов вокруг осей симметрии икосаэдра (правильного 20-гран-
ника с треугольными гранями) или пентагонального додека-
додекаэдра (правильного 12-гранника с пятиугольными гранями), при-
причем имеется 6 осей пятого порядка, 10—третьего и 15—вто-
15—второго. Группа Y\ получается добавлением центра симметрии:
Yh = Y х Ci, и представляет собой полную группу преобразо-
преобразований симметрии указанных многогранников.
Этим исчерпываются все возможные типы точечных групп,
содержащих конечное число элементов. В дополнение к ним на-
надо рассмотреть так называемые непрерывные точечные груп-
группы, содержащие бесконечное число элементов. Это будет сделано
в §98.
§ 94. Представления групп
Рассмотрим какую-либо группу симметрии, и пусть ф\ есть
некоторая однозначная функция координат (в конфигураци-
конфигурационном пространстве данной физической системы). При пре-
преобразовании системы координат, соответствующем элементу G
Группы Т, Тл, Th, О, Он называют кубическими.

450
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
группы, эта функция перейдет в некоторую другую функцию.
Производя поочередно все g преобразований группы (g — по-
порядок группы), мы получим из ipi в общем случае g различ-
различных функций. При определенных выборах ф\ некоторые из этих
функций могут, однако, оказаться линейно-зависимыми. В ре-
результате мы получим некоторое число /(/ ^ g) линейно-неза-
линейно-независимых функций ф\, ip2, • • • •> ipf, которые при преобразованиях
симметрии, входящих в рассматриваемую группу, преобразуют-
преобразуются линейно друг через друга. Другими словами, в результате
преобразования G каждая из функций ф{ (г = 1, 2, ...,/) пере-
переходит в линейную комбинацию вида
где Gki — постоянные, зависящие от преобразования G. О сово-
совокупности этих постоянных говорят, как о матрице преобразо-
преобразования1) .
В этой связи удобно рассматривать элементы G группы как
операторы, воздействующие на функции ^, так что можно будет
написать
бфг = ^СыФк-	(94.1)
к
Функции фг всегда можно выбрать таким образом, чтобы они
были взаимно ортогональны и нормированы. Тогда понятие о
матрице преобразования совпадает с понятием о матрице опера-
оператора в том виде, как оно было определено в § 11:
= j ifiWadq.	(94.2)
Gik
Произведению двух элементов G и Н группы соответствует
матрица, определяющаяся по матрицам G и Н с помощью обыч-
обычного правила перемножения матриц A1.12):
(94.3)
О совокупности матриц всех элементов группы говорят, как о
представлении группы. Функции же ф\,..., ^, с помощью кото-
которых определены эти матрицы, называют базисом представления.
Число / этих функций определяет размерность представления.
1) Поскольку функции фг предполагаются однозначными, то каждому эле-
элементу группы соответствует одна определенная матрица.

§94	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП	451
Рассмотрим интегралы f ip*ipkdq. Поскольку интегрирова-
интегрирование производится по всему пространству, то очевидно, что при
любом повороте или отражении системы координат значения
интегралов не изменятся. Другими словами, преобразования
симметрии не нарушают ортонормированности функций бази-
базиса, а это значит (см. § 12), что операторы G унитарны1).
Соответственно унитарны и матрицы, представляющие эле-
элементы группы в представлении с ортонормированным базисом.
Произведя над функциями ф\,..., *ф$ линейное унитарное
преобразование
Ф'г = Эфг,	(94.4)
мы получим новую систему функций ?/^,... ,?/Л, которые то-
тоже будут ортонормированы (см. § 12J). Взяв в качестве базиса
представления функции ф^ мы будем иметь новое представление
той же размерности. Такие представления, которые получаются
друг из друга путем линейного преобразования функций из ба-
базиса, называются эквивалентными] они, очевидно, не являются
существенно различными.
Матрицы эквивалентных представлений связаны друг с дру-
другом простым соотношением: согласно A2.7) матрица операто-
оператора G в новом представлении равна матрице оператора
б' = S^GS	(94.5)
в старом представлении.
Сумма диагональных элементов (т. е. след) матрицы, пред-
представляющей элемент G группы, называется ее характером] мы
будем обозначать характеры через x{G). Очень существенно,
что характеры матриц эквивалентных представлений совпада-
совпадают (см. A2.11)). Это обстоятельство придает особую важность
описанию представления группы с помощью задания его харак-
характеров; оно позволяет сразу отличать существенно различные
представления от представлений эквивалентных. Ниже мы бу-
будем говорить как о различных лишь о неэквивалентных пред-
представлениях.
Если понимать под S в (94.5) элемент группы, связываю-
связывающий сопряженные элементы G и G', то мы придем к результату,
1)	В этом рассуждении существенно, что интегралы либо равны нулю (при
г ф &), либо заведомо отличны от нуля (при г = к) ввиду положительности
интегрируемого выражения IV^I2-
2)	Напомним (см. A2.12)), что, ввиду унитарности преобразований, сумма
квадратов модулей функций базиса инвариантна.

452
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
что в каждом данном представлении группы характеры матриц,
представляющих элементы одного класса, одинаковы.
Единичному элементу группы Е соответствует тождествен-
тождественное преобразование. Поэтому представляющая его матрица во
всяком представлении диагональна, причем диагональные эле-
элементы равны единице. Характер х(-Ё) равен, следовательно, про-
просто размерности представления
Х(Е) = /•	(94.6)
Рассмотрим некоторое представление размерности /. Мо-
Может оказаться, что в результате соответствующего линейного
преобразования (94.4) функции базиса разбиваются на наборы
по /ъ /2? • • • функций (/i + /2 + ... = /) таким образом, что при
воздействии всех элементов группы функции каждого набора
преобразуются только друг через друга, не затрагивая функ-
функций из других наборов. В таком случае говорят, что данное
представление приводимо.
Если же число преобразующихся друг через друга функций
базиса не может быть уменьшено никаким их линейным пре-
преобразованием, то осуществляемое ими представление называ-
называется неприводимым. Всякое приводимое представление может
быть, как говорят, разложено на неприводимые представления.
Это значит, что соответствующим линейным преобразовани-
преобразованием функции базиса разбиваются на ряд наборов, из которых
каждый преобразуется при воздействии элементов группы по
какому-либо неприводимому представлению. При этом может
оказаться, что несколько различных наборов преобразуется по
одному и тому же неприводимому представлению; в таком слу-
случае говорят, что это неприводимое представление содержится в
приводимом соответствующее число раз.
Неприводимые представления являются существенной ха-
характеристикой группы и играют основную роль во всех кван-
товомеханических применениях теории групп. Укажем главные
свойства неприводимых представлений1).
Можно показать, что число различных неприводимых пред-
представлений группы равно числу г классов в группе. Мы будем
отличать характеры различных неприводимых представлений
верхними индексами; характеры матриц элемента G в различ-
различных представлениях будут x^\G), X^2\G),..., X^r\G).
Матричные элементы неприводимых представлений удовле-
удовлетворяют ряду соотношений ортогональности. Прежде всего для
двух различных неприводимых представлений имеют место
1) Доказательство этих свойств можно найти в любом специальном курсе
теории групп.

§ 94	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП	453
соотношения
?#><?<«• = О,	(W-7)
где а ф /3 отличают два неприводимых представления, а сумми-
суммирование производится по всем элементам группы. Для каждого
же неприводимого представления имеют место соотношения
fj,	(94.8)
т. е. отличны от нуля лишь суммы квадратов модулей матричных
элементов
Е|^(а)|2 - 8
а ' " ' " Т.'
Соотношения (94.7), (94.8) можно записать вместе в виде
fj.	(94.9)
В частности, отсюда можно получить важное соотношение
ортогональности для характеров представлений; суммируя обе
части равенства (94.9) по парам индексов г, А: и Z,ra, получим
=g^.	(94.10)
G
При а = /3 имеем
G
— сумма квадратов модулей характеров неприводимого пред-
представления равна порядку группы. Заметим, что этим соотноше-
соотношением можно пользоваться как критерием неприводимости пред-
представления—для приводимого представления эта сумма во всяком
случае больше g (так она равна ng, если представление содер-
содержит в себе п неприводимых частей, которые все различны между
собой).
Из (94.10) следует также, что равенство характеров двух
неприводимых представлений является не только необходимым,
но и достаточным условием их эквивалентности.
Поскольку характеры, относящиеся к элементам одного
класса одинаковы, то в сумме (94.10) в действительности имеется
всего г независимых членов, и ее можно переписать в виде
= g6ap,	(94.11)

454
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
где суммирование производится по г классам группы (обозна-
(обозначаемым условно буквами С), a gc— число элементов в классе С.
Поскольку число неприводимых представлений совпадает с
числом классов, то величины fac = \/gc / gX^a\C) образуют
квадратную матрицу г2 величин.
Из имеющих место соотношений ортогональности по первому
индексу \У2,с fa.cf%c^<xp] автоматически следуют тогда соотно-
соотношения ортогональности по второму индексу: ^2а facfaC =
Поэтому наряду с (94.11) имеют место формулы
cc	(94.12)
a	gc
Среди неприводимых представлений всякой группы всегда
имеется одно тривиальное, осуществляющееся одной функцией
базиса, инвариантной по отношению ко всем преобразованиям
группы. Это одномерное представление называется единичным',
все характеры в нем равны единице. Если в соотношении орто-
ортогональности (94.10) или (94.11) одно из представлений — единич-
единичное, то для другого получим
o, (94ЛЗ)
т. е. сумма характеров всех элементов группы для всякого нееди-
неединичного представления равна нулю.
Соотношение (94.10) позволяет очень просто произвести раз-
разложение всякого приводимого представления на неприводимые,
если известны характеры тех и других.
Пусть x(G) —характеры некоторого приводимого представле-
представления размерности /, и пусть числа а^\ а^2\ ..., а^ показывают,
сколько раз содержатся в нем соответствующие неприводимые
представления, так что
= f	(94Л4)
/3=1
(f/З~~размерности неприводимых представлений). Тогда харак-
характеры x(G) можно написать в виде
(94.15)
=1

§ 94	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП	455
Умножая это равенство на X {(*)* и суммируя по всем G, по-
получим в силу (94.10)
g G
Рассмотрим представление размерности / = g, осуществляе-
осуществляемое g функциями G-0, где ф есть некоторая функция координат
общего вида (так что все получающиеся из нее g функций Gip
линейно независимы); такое представление называется регуляр-
регулярным. Ясно, что все матрицы этого представления не будут со-
содержать вовсе диагональных элементов, за исключением толь-
только матрицы, соответствующей единичному элементу; поэтому
будет x(G) = 0 при G ф Е и х(-Е) = g. Разлагая это пред-
представление на неприводимые, получим, согласно (94.16), для чи-
чисел a(a) значения а^ = (l/g)g/a = f^a\ т.е. каждое неприводи-
неприводимое представление содержится в рассматриваемом приводимом
число раз, равное его размерности. Подставив это в (94.14), най-
найдем соотношение
Й + Й + ... + /r2 = g;	(94.17)
сумма квадратов размерностей неприводимых представлений
группы равна ее порядкуг).
Отсюда следует, в частности, что у абелевых групп (где
г = g) все неприводимые представления одномерны (Д = /2 = ...
... = /г = 1).
Укажем также, без доказательства, что размерности неприво-
неприводимых представлений группы являются делителями ее порядка.
Фактическое разложение регулярного представления на не-
неприводимые части осуществляется формулой
4) k^	(94.18)
Легко проверить, что функции щ*' (г = 1, 2,..., /а), определя-
определяемые этой формулой при заданном значении к, преобразуются
друг через друга согласно
г) Отметим, что для точечных групп уравнение (94.17) при данных г и g
фактически может быть удовлетворено набором целых чисел Д,..., fr лишь
одним единственным образом.

456
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
т. е. являются базисом а-то неприводимого представления. Да-
Давая к различные значения, получим, таким образом, /а раз-
различных наборов базисных функций ща' для одного и того же
неприводимого представления, в соответствии с тем, что каждое
неприводимое представление входит в регулярное представле-
представление fa раз.
Произвольную функцию ф можно представить в виде суммы
функций, преобразующихся по неприводимым представлениям
группы. Эта задача решается формулами
^ #^4)	(94.19)
а г	g G
Для доказательства подставим вторую формулу в первую и,
произведя суммирование по г, получим
д	(94.20)
Заметив, что размерности fa совпадают с характерами х
единичного элемента группы, и воспользовавшись соотношени-
соотношением ортогональности (94.12), найдем, что сумма ^2а faX^*(G)
отлична от нуля (и равна g), лишь если G— единичный эле-
элемент группы. Поэтому правая часть (94.20) тождественно сов-
совпадает с ф.
Рассмотрим две различные системы функций ф[а\...,ф^а'
i (Р)	i (Р)
и ф]_ , ...,ф\, осуществляющие два неприводимых представ-
ления группы. Составляя произведения ф^ ф? , мы получим
систему fafj3 новых функций, которые могут служить базисом
нового представления размерности faf/3- Это представление на-
называется прямым (или кронекеровским) произведением первых
двух; оно неприводимо, лишь если по крайней мере одно из /а
или /^ равно единице. Легко видеть, что характеры прямого про-
произведения равны произведениям характеров обоих составляю-
составляющих представлений. Действительно, если
= 7 Gj- Ф) 1
I
ТО

§ 94	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП	457
отсюда для характеров, которые обозначим как (х^ х
получим
г, к	г	к
(Х{а) х xm)(G)x{a\G)X^(G).	(94.21)
Оба перемножаемые неприводимые представления могут, в
частности, совпадать; в этом случае мы имеем два различных
набора функций ^i,...,^ nipi,...,^, осуществляющих одно и
то же представление, а прямое произведение представления само
на себя осуществляется /2 функциями VWfc? и имеет характеры
Это приводимое представление можно сразу разбить на два пред-
представления меньшей размерности (но, вообще говоря, все еще
приводимые). Одно из них осуществляется /(/ + 1)/2 функци-
функциями фцрк + фкфг, а другое /(/ - 1)/2 функциями фцрк - фкщ
(г ф к) (очевидно, что функции каждого из этих наборов пре-
преобразуются только друг через друга). Первое называется сим-
симметричным произведением представления самого на себя (его
характеры обозначаются символом [х2](^)), а второе— анти-
антисимметричным произведением (его характеры обозначаются
символом {x2}(G)).
Для определения характеров симметричного произведения
пишем
_ 1
~ 2
Отсюда имеем для характера
Но
Е u = X(G),
таким образом, окончательно получим формулу
212	2},	(94.22)

458
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
позволяющую определить характеры симметричного произве-
произведения представления самого на себя по характерам исходного
представления. Совершенно аналогичным образом найдем для
характеров антисимметричного произведения формулу1)
{X2}(G)=1-{[X(G)]2-X(G2)}.	(94.23)
Если функции фг и (fi совпадают, то с их помощью можно,
очевидно, определить лишь симметричное произведение, осуще-
осуществляемое квадратами ф? и произведениями фъфк (* Ф &)• В при-
применениях приходится встречаться и с симметричными произве-
произведениями более высоких степеней; их характеры можно получить
аналогичным образом.
Отметим важное для дальнейшего свойство прямых про-
произведений. Разложение прямого произведения двух различных
неприводимых представлений на неприводимые части содержит
единичное представление (причем один только раз), лишь если
перемножаемые представления являются комплексно сопряжен-
сопряженными. В случае вещественных представлений единичное пред-
представление содержится лишь в прямом произведении неприводи-
неприводимого представления самого на себя (причем, очевидно, в его сим-
симметричной части). Действительно, чтобы узнать, содержится ли
в представлении (94.21) единичное представление, надо (соглас-
(согласно (94.16)) просто просуммировать его характеры по G (и разде-
разделить результат на порядок группы g). Сделанное утверждение
следует тогда прямо из соотношений ортогональности (94.10).
Итак, сделаем несколько замечаний о неприводимых пред-
представлениях группы, являющейся прямым произведением двух
других групп (не смешивать с прямым произведением двух
представлений одной и той же группы!). Если функции ща
осуществляют неприводимое представление группы А, а функ-
функции щ — то же для группы В, то произведения щ щ бу-
будут базисом faf/з-мерного представления группы А х В, при-
причем представления неприводимого. Характеры этого представ-
представления получаются перемножением соответствующих характеров
исходных представлений (ср. вывод формулы (94.21)); элементу
С = АВ группы Ах В соответствует характер
(94.24)
) Полезно заметить, что для представлений с размерностью 2 характеры
{"X2}(G) совпадают с определителями линейных преобразований G, в чем
легко убедиться прямым вычислением.

§ 95	НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП	459
Перемножив, таким образом, друг с другом все неприводимые
представления групп А и В, мы получим все неприводимые
представления группы А х В.
§ 95. Неприводимые представления точечных групп
Перейдем теперь к конкретному определению неприводимых
представлений точечных групп. Огромное большинство молекул
обладает лишь осями симметрии второго, третьего, четвертого и
шестого порядков. Поэтому мы не будем рассматривать группы
икосаэдра Y, Yh\ группы Cn, Cnh, Cnv, Dn, Dnh будем рас-
рассматривать лишь со значениями п=1,2,3,4,6,а группы S^n?
Dnd-cn = l, 2, 3.
Характеры представлений этих групп даны в табл. 7. Изо-
Изоморфные группы имеют одинаковые представления и приводят-
приводятся вместе в одной таблице. Числа перед символами элементов
группы в первых строках указывают числа элементов в соответ-
соответствующих классах (см. §93). В первых столбцах указаны при-
принятые условные обозначения представлений. Одномерные пред-
представления обозначаются буквами А, В, двумерные — буквой Е,
а трехмерные — F (обозначение Е для двумерного неприводи-
неприводимого представления не смешивать с обозначением Е для еди-
единичного элемента группы!I). Функции базисов представлений
А симметричны, а функции В — антисимметричны по отноше-
отношению к поворотам вокруг главной оси n-го порядка. Функции
различной симметрии по отношению к отражению а^ отлича-
отличаются количеством штрихов (один или два), а индексы g и и
указывают на симметрию по отношению к инверсии. Вместе с
обозначениями представлений буквами ж, у, z указано по како-
какому представлению преобразуются сами координаты; ось z везде
выбрана вдоль главной оси симметрии. Буквы е и ио обозначают:
Наиболее просто определение неприводимых представлений
для циклических групп (группы Cn, Sn). Циклическая группа,
как и всякая абелева группа, имеет лишь одномерные представ-
представления. Пусть G — производящий элемент группы (т.е. элемент,
возведение которого в последовательные степени дает все эле-
элементы группы). Поскольку Ge = E (g—порядок группы), то
х) Причина, по которой два комплексно сопряженных одномерных пред-
представления обозначаются как одно двумерное, выяснится в § 96.

460
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ
ГЛ. XII
Таблица 7
Характеры неприводимых представлений точечных групп
Ci
Ag
Au\x\y\z
c2
A;z
B\x\y
Cs
A';x;y
A"-z
E
E
E
1
1
I
c2
a
-1
-1
C3
A;z
E\x ±iy <
E
1
1
1
C3
1
e
e2
d
i
e2
e
C2h
Ag
Bg
Ащ z
Bu\x\y
C2v
Ax\z
B2\y
A2
Bx\x
D2
A
Bs\x
Buz
B2\y
E
E
E
1
1
1
1
c2
c2
CZ2
1
-1
1
-1
<Th
(Tv
ci
1
-1
-1
1
<
ci
1
1
-1
-1
Csv
Auz
A2
E\x,y
Ds
Аг
A2\z
E\x,y
E
E
1
1
2
2Cs
2Cs
1
1
-1
3*v
3U2
1
-1
0
c4
A;z
В
E;x±iy
s4
A
B\
E;
z (
x ±iy{
\
E
E
1
1
1
1
c4
s4
1
-1
i
—i
c2
c2
1
1
-1
-1
c3
s'i
l
-i
—i
i
C6
A;z
В
(
\
Z. _L- J
E2\x±iy <
E
1
1
1
1
1
1
C6
1
-1
uj2
—UJ
UJ
-uj2
Cs
1
1
— UJ
u2
ш2
— UJ
c2
1
-1
1
1
-1
-1
ci
1
1
uj2
— UJ
— UJ
UJ2
ci
1
-1
— UJ
UJ2
-ш2
UJ
A\\z
A2
Bx
B2
E\x,y
D4
A1
A2;z
Bx
B2
E]x,y
D2d
A1
A2
Si
B2]z
E\x,y
E
E
E
1
1
1
1
2
c2
c2
c2
1
1
1
1
-2
2C4
2C4
2S4
1
1
-1
-1
0
2av
2U2
2U2
1
-1
1
-1
0
2cj'v
2UI2
2(Jd
1
-1
-1
1
0

5 95
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
461
Таблица 7 (продолжение)
A-y
A2\z
B\
B2
E2
Ei\x,y
A1]Z
A2
B2
By
E2
Ei\x,y
T
A
zp )
F\x,y,z
E 3C2
1 1
1 1
1 1
3 -1
Ds)
A[
A2
A'i
A!2\
E'\
E"
4C3 <
1
e
г
0
г
z
x,y
id
1
e2
г
0
E
E
E
1
1
1
1
2
2
О
Ay
A2
E
F2
Fi;x,i
c2
c2
1
1
-1
-1
2
-2
Td
Ay
A2
E
F2V,
Fy
2Cs
2C3
2C3
1
1
1
1
-1
-1
c,y,z
E
E
1
1
2
3
3
2C6
2C6
2S3
1
1
-1
-1
-1
1
8C3
8С3
1
1
-1
0
0
зи2
3<
tv
зи2
зс2
зс2
1
1
2
-1
-1
1
-1
1
-1
0
0
6С2
Qo-d
1
-1
0
1
-1
зи'2
3gv
3av
1
-1
-1
1
0
0
6С4
6S4
1
-1
0
-1
1
ясно, что при воздействии оператора G на функцию базиса
последняя может умножиться только на yl, т.е.1)
Группа С2Н (и изоморфные с ней C2v и -^2) абелева, так что
все ее неприводимые представления тоже одномерны, причем ха-
характеры могут быть равны только ±1 (так как квадрат каждого
элемента есть Е).
Далее, рассмотрим группу С%у. По сравнению с группой Сз
здесь прибавляются отражения av в вертикальных плоскостях
(относящиеся все к одному классу). Функция, инвариантная по
отношению к повороту вокруг оси (функция базиса представ-
представления А группы Сз), может быть симметричной или антисим-
антисимметричной по отношению к отражениям av. Функции же, умно-
умножающиеся при повороте Сз на е и е2 (функции базисов комплекс-
комплексно сопряженных представлений ?"), при отражении переходят
друг в друга2). Из этих рассуждений следует, что группа Сз^
(и изоморфная с ней D%) имеет два одномерных и одно двумер-
двумерное неприводимое представление с характерами, указанными в
1)	Для точечной группы Сп в качестве функций ф можно, например, вы-
выбрать функции ф = егк(р (к = 1, 2,... ,п), где ф — угол поворота вокруг оси,
отсчитываемый от некоторого определенного направления,
2)	Эти функции можно взять, например, в виде ф\ = ег(р, ф2 = е~г(р. При
отражении в вертикальной плоскости (р меняет знак.

462
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
таблице. В том, что мы действительно нашли все неприводимые
представления, можно убедиться, из того, что сумма I2 + I2 +
+ 22 = 6, т. е. равна порядку группы.
Аналогичными рассуждениями находятся характеры пред-
представлений других групп такого же типа (Сфу, Cqv).
Группа Т получается из группы Z?2 = V добавлением пово-
поворотов вокруг четырех наклонных осей третьего порядка. Функ-
Функция, инвариантная по отношению к преобразованиям группы V
(базис представления Л), может умножаться при повороте Сз
на 1, е или е1. Функции же базиса трех одномерных представ-
представлений Bi, B2, В% группы V при поворотах вокруг осей третьего
порядка переходят друг в друга (что видно, если взять, напри-
например, в качестве этих функций сами координаты ж, у, z). Таким
образом, получаем три одномерных и одно трехмерное неприво-
неприводимое представление A2 + 12 + 12 + 32 = 12).
Наконец, рассмотрим изоморфные группы О и Т^. Груп-
Группа Т^ получается из группы Т добавлением отражений а^ в
плоскостях, каждая из которых проходит через две оси тре-
третьего порядка. Функция базиса единичного представления А
группы Т может быть симметричной или антисимметричной
по отношению к этим отражениям (относящимся все к одному
классу), что дает два одномерных представления группы Т^.
Функции, умножающиеся на е или е1 при повороте вокруг оси
третьего порядка (базис комплексно сопряженных представле-
представлений Е группы Т), при отражении в плоскости, проходящей че-
через эту ось, переходят друг в друга, так что получается одно
двумерное представление.
Наконец, из трех функций базиса представления F группы
Т одна преобразуется при отражении сама через себя (причем
может остаться неизменной или изменить знак), а две другие —
переходят друг в друга. Таким образом, получаем всего два од-
одномерных, одно двумерное и два трехмерных представления1).
Что касается остальных интересующих нас точечных групп,
то их представления можно получить непосредственно из уже
выписанных, если заметить, что эти группы являются прямы-
прямыми произведениями рассмотренных уже групп на группу d
(или С5). Именно,
= C3xCs, D2h = D2xCi, Dsd = D3xCh Oh = OxCh
= C4xCi, D4h
= C6xCh S6
x) Упомянем, что неприводимые представления большей размерности D-й
и 5-й) имеются в группах икосаэдра.

5 96
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕРМОВ
463
Каждое из этих прямых произведений имеет вдвое больше
неприводимых представлений, чем исходная группа, причем по-
половина из них симметрична (обозначаются индексом g), а дру-
другая половина антисимметрична (индекс и) по отношению к ин-
инверсии.
Характеры этих представлений получаются из характеров
представлений исходной группы умножением на ±1 (в соответ-
соответствии с правилом (94.24)). Так, для группы D^d получим пред-
представления:
D3d
Alg
A2g
Е,
Alu
А2и
Еи
Е
1
1
2
1
1
2
2С3
1
1
-1
1
1
-1
ЗС/2
1
-1
0
1
-1
0
I
1
1
2
-1
-1
-2
2?6
1
1
-1
-1
-1
1
3ad
1
-1
0
-1
1
0
§ 96. Неприводимые представления
и классификация термов
Квантовомеханические применения теории групп основаны
на том, что уравнение Шредингера для физической системы
(атома, молекулы) инвариантно по отношению к преобразова-
преобразованиям симметрии этой системы1). Из этого обстоятельства непо-
непосредственно следует, что после применения элементов группы к
функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера при неко-
некотором значении энергии (собственное значение), должны сно-
снова получаться решения того же уравнения с тем же значением
энергии. Другими словами, при преобразовании симметрии вол-
волновые функции стационарных состояний системы, относящихся
к одному и тому же уровню энергии, преобразуются друг через
друга, т. е. осуществляют некоторое представление группы. Су-
Существенно, что это представление неприводимо. Действительно,
функции, непременно преобразующиеся друг через друга при
преобразованиях симметрии, во всяком случае должны отно-
относиться к одному и тому же уровню энергии; совпадение же соб-
собственных значений энергий, относящихся к нескольким груп-
группам функций (на которые можно разбить базис приводимого
г) Методы теории групп были впервые введены в квантовую механику Виг-
нером (Е.Р. Wigner, 1926).

464
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
представления), не преобразующихся друг через друга, было бы
невероятной случайностьюг).
Таким образом, каждому уровню энергии системы соответ-
соответствует некоторое неприводимое представление ее группы
симметрии. Размерность этого представления определяет крат-
кратность вырождения данного уровня, т. е. число различных со-
состояний с данной энергией. Заданием неприводимого представ-
представления определяются все свойства симметрии данного состоя-
состояния — его поведение по отношению к различным преобразова-
преобразованиям симметрии.
Неприводимые представления с размерностью, большей чем
единица, имеются только в тех группах, которые содержат не-
некоммутативные элементы (абелевы группы имеют лишь одно-
одномерные неприводимые представления). Уместно по этому пово-
поводу напомнить, что связь вырождения с наличием некоммута-
некоммутативных друг с другом (но коммутативных с гамильтонианом)
операторов была выяснена уже раньше из соображений, не свя-
связанных с теорией групп (см. § 10).
Ко всем этим утверждениям необходимо сделать существен-
существенную оговорку. Как уже в свое время указывалось (см. § 18), сим-
симметрия по отношению к изменению знака времени (имеющая
место в отсутствие магнитного поля) приводит в квантовой ме-
механике к тому, что комплексно сопряженные волновые функции
должны относиться к одному и тому же собственному значению
энергии. Отсюда следует, что если некоторый набор функций и
набор комплексно сопряженных с ними функций осуществля-
осуществляют различные (не эквивалентные) неприводимые представле-
представления группы, то эти два комплексно сопряженных представления
должны рассматриваться вместе как одно «физически непри-
неприводимое» представление с удвоенной размерностью (что и бу-
будет подразумеваться везде ниже). В предыдущем параграфе
мы имели примеры таких представлений. Так, группа Сз име-
имеет только одномерные представления; однако два из них ком-
комплексно сопряжены и физически соответствуют двукратно вы-
вырожденным уровням энергии. (При наличии магнитного поля
симметрия по отношению к изменению знака времени не име-
имеет места, и потому комплексно сопряженным представлениям
соответствуют различные уровни энергии2).)
) Если только на это нет особых причин. Напомним в этой связи о «слу-
«случайном» вырождении, возникающем в результате того, что гамильтониан
системы может иметь симметрию более высокую, чем чисто геометрическая
симметрия, о которой идет речь в этой главе (ср. конец §36).
2) Строго говоря, вещественность характеров (т.е. эквивалентность ком-
комплексно сопряженных представлений) не является достаточным условием

§ 96	НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕРМОВ	465
Предположим, что физическая система подвергается воздей-
воздействию некоторого возмущения (система помещается во внешнем
поле). Возникает вопрос о том, в какой мере может возмущение
привести к расщеплению вырожденных уровней. Внешнее поле
имеет, само по себе, некоторую собственную симметрию1). Ес-
Если эта симметрия —та же или более высокая2), чем симметрия
невозмущенной системы, то симметрия возмущенного гамиль-
гамильтониана Н = Н$ + V совпадает с симметрией невозмущенного
оператора Щ. Ясно, что в этом случае никакого расщепления
вырожденных уровней не произойдет. Если же симметрия воз-
возмущения ниже симметрии невозмущенной системы, то симмет-
симметрия гамильтониана Н будет совпадать с симметрией возмуще-
возмущения V. Волновые функции, которые осуществляли неприво-
неприводимое представление группы симметрии оператора Н$, будут
осуществлять также и представление группы симметрии возму-
возмущенного оператора Н, но это представление может оказаться
приводимым, что означает расщепление вырожденного уровня.
Покажем на примере, каким образом математический аппарат
теории групп позволяет решить конкретно вопрос о расщепле-
расщеплении того или иного уровня.
Пусть невозмущенная система обладает симметрией Т^. Рас-
Рассмотрим трехкратно вырожденный уровень, соответствующий
неприводимому представлению F<i этой группы; характеры этого
представления равны
Е 8С3 ЗС2 6ad
3 0-11-1'
Предположим, что система подвергается воздействию возмуще-
возмущения с симметрией C%v (с осью третьего порядка, совпадающей
с одной из таких осей группы Т^). Три волновые функции вы-
вырожденного уровня осуществляют представление группы С
для обеспечения возможности выбора вещественных функций базиса пред-
представления группы. Для неприводимых представлений точечных групп это,
однако, так (но это уже не так для «двойных» точечных групп — см. §99).
х) Речь может идти, например, об уровнях энергии d- и /-оболочек ионов в
кристаллической решетке, слабо взаимодействующих с окружающими ато-
атомами. Возмущением (внешним полем) является в этом случае поле, дей-
действующее на ион со стороны остальных атомов.
) Если группа симметрии Н является подгруппой группы 6г, то говорят,
что Н соответствует симметрии более низкой, чем более высокая симметрия
группы G. Очевидно, что симметрия суммы двух выражений, из которых
одно обладает симметрией G, а другое — Н, совпадает с более низкой сим-
симметрией Н.

466
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
(являющейся подгруппой группы Т^), причем характеры это-
этого представления просто равны характерам тех же элементов в
исходном представлении группы Т^, т. е.
Е 2С3 3(jv
3 0 1 '
Однако это представление приводимо. Зная характеры неприво-
неприводимых представлений группы Сзг>, легко произвести его разло-
разложение на неприводимые части (по общему правилу (94.16)). Та-
Таким образом, найдем, что оно распадается на представления А\
и Е группы Csv Трехкратно вырожденный уровень F*i расщеп-
расщепляется, следовательно, на один невырожденный уровень А\ и
один двукратно вырожденный уровень Е. Если та же система
подвергается воздействию возмущения с симметрией C2v (тоже
являющейся подгруппой группы Т^), то волновые функции того
же уровня i*2 дадут представление с характерами
Е G2 О у <7у
3-11 1 "
Разлагая его на неприводимые части, найдем, что оно содер-
содержит представления Ai, B\ B2. Таким образом, в этом случае
произойдет полное расщепление уровня на три невырожденных.
§ 97. Правила отбора для матричных элементов
Теория групп позволяет не только произвести классифика-
классификацию термов любой симметричной физической системы, но и дает
простой метод нахождения правил отбора для матричных эле-
элементов различных величин, характеризующих систему.
Этот метод основан на следующей общей теореме. Пусть
ща — одна из функций базиса неприводимого (неединичного)
представления группы симметрии. Тогда ее интеграл по всему
пространству1) тождественно обращается в нуль:
/¦
(97.1)
Доказательство основано на очевидном обстоятельстве, что взя-
взятый по всему пространству интеграл инвариантен по отноше-
отношению к любому преобразованию системы координат, в том числе
1) Подразумевается конфигурационное пространство данной физической
системы.

§ 97	ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ	467
по отношению к любому преобразованию симметрии. Поэтому
Просуммируем это равенство по всем элементам группы. Ин-
Интеграл слева просто умножается на порядок группы g, и мы
получаем
к J	G
Но для всякого неединичного неприводимого представления
имеем тождественно ^2q Gj^ = 0 (это — частный случай соот-
соотношений ортогональности (94.7), когда одно из неприводимых
представлений единичное). Тем самым теорема доказана.
Если ф — функция, относящаяся к базису некоторого приво-
приводимого представления группы, то интеграл J ф dq будет отличен
от нуля, лишь если это представление содержит в себе единич-
единичное. Эта теорема непосредственно следует из предыдущей.
Матричные элементы физической величины / даются инте-
интегралами
{0k\f\ai) = J ф^Ма)Aд,	(97.2)
где индексы а, /3 отличают различные уровни энергии систе-
системы, а индексы г, к нумеруют волновые функции, относящие-
относящиеся к одному и тому же вырожденному уровню1). Обозначим
неприводимые представления группы симметрии данной физи-
физической системы, осуществляемые функциями ща и ф^, сим-
символами ?Да) и д(р). Символом же Df обозначим представление
той же группы, отвечающее симметрии величины /; оно зави-
зависит от тензорного характера /. Так, если / — истинный скаляр,
то ее оператор / инвариантен по отношению ко всем преобра-
преобразованиям симметрии, так что Df—единичное представление. То
же самое относится и к псевдоскалярной величине, если груп-
группа содержит только оси симметрии; если же группа содержит
также и отражения, то Df — одномерное, но неединичное пред-
представление. Если /—векторная величина, то Df — представле-
представление, осуществляемое тремя преобразующимися друг через друга
х) Поскольку после перехода к «физически неприводимым» представле-
представлениям функции базиса могут быть выбраны вещественными, мы не делаем
в (97.2) различия между волновыми функциями и их комплексно сопряжен-

468
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
компонентами вектора; это представление, вообще говоря, раз-
различно для полярных и аксиальных векторов.
Произведения щfwi осуществляют представление груп-
группы, выражающееся прямым произведением D^ x Df x D^a\
Матричные элементы отличны от нуля, если это представление
содержит в себе единичное, или, что то же, если прямое произ-
произведение d№' х ?Да) содержит в себе Df. Практически удобнее
разлагать на неприводимые части произведение ?да) х Df] тем
самым мы сразу узнаем все типы D^' состояний, для переходов
в которые (из состояния типа D^) матричные элементы отлич-
отличны от нуля.
В простейшем случае скалярной величины, когда Df — еди-
единичное представление, отсюда сразу следует, что отличны от
нуля матричные элементы лишь для переходов между состоя-
состояниями одинакового типа (действительно, прямое произведение
]j(a) х D^ двух различных неприводимых представлений не со-
содержит единичное представление, но оно всегда содержится в
прямом произведении неприводимого представления самого на
себя). Это есть наиболее общая формулировка теоремы, с част-
частными случаями которой мы уже неоднократно встречались.
Особого рассмотрения требуют диагональные по энергии
матричные элементы, т. е. элементы для переходов между со-
состояниями, относящимися к одному и тому же терму (в отличие
от переходов между состояниями, относящимися к двум различ-
различным термам одинакового типа). В этом случае мы имеем всего
одну (а не две различные) систему функций Vi , ^2 > • • • Пра-
Правила отбора находятся здесь различным образом в зависимости
от поведения величины / при обращении времени.
Рассмотрим состояние, описывающееся волновой функцией
вида ф = ^2i сгф\ • Среднее значение величины / в этом состо-
состоянии дается суммой
В состоянии же с комплексно сопряженной волновой функцией
Ф* = Е c*V>Ja) имеем
7 = ^2ckc*{ak\f\ai)^2ciC%{ai\f\ak).
Если величина / инвариантна по отношению к обращению вре-
времени, то оба состояния не только относятся к одному и тому же

§ 97	ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ	469
уровню энергии, но должны иметь также и одинаковое значе-
значение /. Ввиду произвольности коэффициентов q это значит, что
(ak\f\ai) = (ai\f\ak).
Легко показать, что тогда для нахождения правил отбора на-
надо рассматривать не прямое произведение ?)(а) х D^a\ a лишь
его симметричную часть [ZJW ], отличные от нуля матричные
элементы существуют, если [D^ ] содержит в себе Df1).
Если же величина / меняет знак при обращении времени,
то замена ф —>• ф* должна сопровождаться изменением знака /.
Отсюда тем же способом находим, что
(ak\f\ai) = -(ai\f\ak).
В этом случае правила отбора определяются разложением анти-
антисимметричной части прямого произведения: {D^ }.
Задачи
1. Найти правила отбора для матричных элементов электрического d и
магнитного /и, дипольных моментов при наличии симметрии О.
Решение. Группа О не содержит отражений; поэтому полярные (d)
и аксиальные (/л) векторы преобразуются по одному и тому же неприводи-
неприводимому представлению — F\. Разложения прямых произведений F\ с другими
представлениями группы О:
Fi х Ах = F2, Fi x А2 = Fi, Fi x E = Fi + F2,
Fi xFi = Ax +E + Fi +F2, FixF2 = A2 + E + Fi + F2. ^
Поэтому отличны от нуля недиагональные (по энергии) матричные элемен-
элементы для переходов
Fi ** AUE,FUF2] F2 <*A2,E,FUF2.
Симметричные и антисимметричные произведения неприводимых пред-
представлений группы О равны
[AJ] = [Al] = A1, [E2] = A1+E, [F?] = [Fl] = A1
Симметричные произведения не содерж:ат F\\ поэтому диагональные (по
энергии) матричные элементы вектора d (инвариантного по отношению к
обращению времени) отсутствуют. Магнитный же момент (меняющий знак
при обращении времени) имеет диагональные матричные элементы для со-
состояний F\ И^2.
2. То же при симметрии Dsd-
Решение. Законы преобразований векторов d и /л в группе Dsd раз-
различны:
dx,dy ~ Eu, dz ~ А2и,
1лх,1лу~Её, fiz ~ A2g
]
1) Произведение [D^ ] всегда содерж:ит в себе единичное представление,
так что диагнональные элементы (как и не диагональные между состояни-
состояниями одинакового типа) для скалярной величины отличны от нуля.

470
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
(здесь и ниже в задачах знак ~ означает слова «преобразуется по предста-
представлению»). Имеем
Еи х Alg = Еи х A2g = Еи, Еи х А1и = Еи х А2и = Eg,
Еи х Еи = Alg + A2g + Egi EuxEg = Alu + A2u + Еи. U
Поэтому отличны от нуля недиагональные матричные элементы от dx, dy
для переходов Еи <н> Aig,A2g,Eg; Eg <H> Aiu,A2u,Eu. Таким же образом
найдем правила отбора
для dz\	Alg <-> А2и] A2g <-> Alu; Eg <-> Еи]
для цх, j2y: Eg ++ Alg,A2g,Eg; Eu ++ Alu,A2u,Eu;
для fiz:	Alg <-> A2g\ Alu <-> A2u\ Eg <-> Eg\ Eu <-> Eu.
Симметричные и антисимметричные произведения неприводимых пред-
представлений группы Dsd равны
[А%] = [А\и\ = [А%] = [AU = Alg,
[E2g] = [El] = Eg + Alg,	D)
{El} = {El} = A2g.
Отсюда видно, что диагональные (по энергии) матричные элементы отсут-
отсутствуют у всех компонент d; для вектора ц диагональные матричные эле-
элементы имеются у fiz для переходов между состояниями, относящимися к
вырожденному уровню типа Eg или Еи.
3.	Найти правила отбора для матричных элементов тензора электриче-
электрического квадрупольного момента Qik при симметрии О.
Решение. Компоненты тензора Qik (симметричный тензор с равной
нулю суммой Qa) по отношению к группе О преобразуются по законам:
Qxy, Qxz, Qyz ~ F2,
Qxx + sQyy + s2Qzz, Qxx + s2Qyy + sQzz ~E (e = e2ni/s).
Разлагая прямые произведения F2 и Е со всеми представлениями группы,
найдем правила отбора для недиагональных матричных элементов:
для Qxy,Qxz,Qyz: Fi <*A2,E,F1,F2]F2 <* A1,E,F1,F2]
для Qxx, Qyy, Qzz: E^A1,A2,E-,F1 <^ FUF2; F2 ^ F2.
Диагональные матричные элементы имеются (как видно из B)) в сле-
следующих состояниях:
для Qxy, Qxz, Qyz: Flf F2,
для Qxx,Qyy,Qzz: E,FUF2.
4.	To же при симметрии Dsd-
Решение. Законы преобразования компонент Qik по отношению к
группе Dsd'-
Qzz ~ Aig] Qxx — Qyy, Qxy rsj Eg] Qxz, Qyz ~ Eg.
Компонента Qzz ведет себя как скаляр. Разлагая прямые произведения
Её со всеми представлениями группы, найдем правила отбора для недиаго-
недиагональных матричных элементов остальных компонент Qik'.
hjg ^-^ J\.\g, J\.2g, tLig] -tju ^~^ -A-iu) A-2u, hju.
Диагональные элементы отличны от нуля (как видно из D)) только для
состоянии Eg и Еи.

§ 98	НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ	471
§ 98. Непрерывные группы
Помимо конечных точечных групп, перечисленных в § 93, су-
существуют непрерывные точечные группы с бесконечным числом
элементов. Это —группы аксиальной и сферической симметрии.
Простейшей из групп аксиальной симметрии является груп-
группа Соо, содержащая повороты С(ф) на произвольный угол (р
вокруг оси симметрии (ее называют двумерной группой враще-
вращений). Эту группу можно рассматривать как предельный случай
групп Сп при п —»> ос. Аналогично, в качестве предельных слу-
случаев групп Cnh, Cnv, Dn, Dnh получаются непрерывные группы
Молекула обладает аксиальной симметрией только в том
случае, если она состоит из атомов, расположенных по одной
прямой. Если она при этом несимметрична относительно своей
середины, то ее точечной группой будет группа CooV, содержа-
содержащая, помимо поворотов вокруг оси, также и отражения <jv в
любой плоскости, проходящей через ось. Если же молекула сим-
симметрична относительно своей середины, то ее точечной груп-
группой будет группа D^ — Coov х С{. Что же касается групп Соо,
Cqo/j,, -D005 то они вообще не могут осуществляться в качестве
групп симметрии молекулы.
Группа полной сферической симметрии содержит поворо-
повороты на произвольный угол вокруг любой оси, проходящей через
центр, и отражения в любой плоскости, проходящей через ту
же точку; эта группа (которую обозначим через К и) является
группой симметрии отдельного атома. Она содержит в каче-
качестве подгруппы группу К всех пространственных поворотов
(ее называют трехмерной группой вращений, или просто груп-
группой вращении). Группа К^ может быть получена из группы К
добавлением центра симметрии (Kh = К х Ci).
Элементы непрерывной точечной группы можно различать
одним или несколькими параметрами, пробегающими непре-
непрерывный ряд значений. Так, в группе вращений параметрами
могут быть три угла Эйлера, определяющие поворот системы
координат.
Описанные в § 92 общие свойства конечных групп и относя-
относящиеся к ним понятия (как-то: понятия подгруппы, сопряженных
элементов, классов и т.п.) непосредственно обобщаются на не-
непрерывные группы. Теряют, разумеется, смысл те утверждения,
которые непосредственно связаны с порядком группы (напри-
(например, утверждение о том, что порядок подгруппы есть делитель
порядка группы).
В группе Сооу все плоскости симметрии эквивалентны, так
что все отражения av составляют один класс с непрерывным

472
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
рядом элементов; ось симметрии двусторонняя, так что имеется
непрерывный ряд классов, содержащих каждый по два элемен-
элемента С(±<р). Классы группы Dqo/i получаются непосредственно из
классов группы CoqV, так как D^h = CoqV х С{.
В группе вращений К все оси эквивалентны и двусторонни;
поэтому классами этой группы являются повороты на задан-
заданный по абсолютной величине \(р\ угол вокруг любой оси. Классы
группы Кh получаются непосредственно из классов группы К.
Понятие представлений— приводимых и неприводимых —
тоже непосредственно обобщается на случай непрерывных
групп. Каждое неприводимое представление содержит непре-
непрерывный ряд матриц, но число преобразующихся друг через
друга функций базиса (размерность представления) конечно.
Эти функции могут быть всегда выбраны таким образом, что-
чтобы представление было унитарным. Число различных непри-
неприводимых представлений непрерывной группы бесконечно, но
они составляют дискретный ряд, т. е. могут быть перенумеро-
перенумерованы последовательными номерами. Для матричных элемен-
элементов и характеров этих представлений имеют место соотношения
ортогональности, обобщающие аналогичные соотношения для
конечных групп. Вместо (94.9) имеем теперь
J
ik?2 jJ	JdrG,	(98.1)
а вместо (94.10) —
I X{a) {G)xm (G)* drG = 6ap jdrG.	(98.2)
Интегрирование в этих формулах есть так называемое ин-
инвариантное интегрирование по группе; элемент интегрирова-
интегрирования dro выражается через параметры группы и их дифферен-
дифференциалы, причем таким образом, что при воздействии на него
всех преобразований группы снова получается элемент инте-
интегрирования *). Так, в группе вращений можно выбрать drQ =
= sin/3 da dCdj, где ск, /3, 7— углы Эйлера, определяющие пово-
поворот системы координат (§58); при этом fdrc = 8тг2.
Неприводимые представления трехмерной группы враще-
вращений мы по существу уже нашли (не пользуясь при этом тер-
1) Высказанные утверждения о свойствах неприводимых представлений
непрерывных групп справедливы лишь при условии сходимости интегра-
интегралов (98.1), (98.2); в частности, должен быть конечен «объем группы» f utg-
Для непрерывных точечных групп это условие выполняется (оно не выпол-
выполняется, например, для так называемой лоренцевой группы, с которой мы
встретимся в релятивистской теории).

§ 98	НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ	473
минологией теории групп), когда определяли собственные зна-
значения и собственные функции полного момента. Операторы
компонент момента совпадают (с точностью до постоянного
множителя) с операторами бесконечно малых поворотовг), и
собственные значения момента характеризуют поведение вол-
волновых функций по отношению к пространственным вращени-
вращениям. Значению момента j соответствует 2j + 1 различных соб-
собственных функций V^mj отличающихся значениями проекции т
момента и относящихся к одному Bj + 1)-кратно вырожден-
вырожденному уровню энергии. При поворотах системы координат эти
функции преобразуются друг через друга, осуществляя, таким
образом, неприводимые представления группы вращения.
Следовательно, с точки зрения теории групп числа j нуме-
нумеруют неприводимые представления группы вращений, причем
каждому j соответствует одно Bj + 1)-мерное представление.
Число j пробегает целые и полуцелые значения, так что раз-
размерность 2j + 1 представлений пробегает все целые значения
1,2,3,...
Функции базиса этих представлений были уже по существу
исследованы в § 56, 57 (а матрицы представлений были найдены
в § 58). Базисом представления с данным j являются 2j + 1 неза-
независимых компонент симметричного спинора ранга 2j (которым
эквивалентна совокупность 2j + 1 функций ipjm).
Неприводимые представления группы вращений, соответ-
соответствующие полуцелым значениям j, отличаются существенной
особенностью. Дело в том, что при повороте на угол 2тг функ-
функции их базиса (компоненты спинора нечетного ранга) меня-
меняют знак. Но поскольку поворот на 2тг совпадает с единичным
элементом группы, то мы приходим к выводу, что предста-
представления с полуцелыми j являются, как говорят, двузначными:
каждому элементу группы (повороту вокруг некоторой оси на
угол <р, 0 ^ <р ^ 2тг) соответствует в таком представлении не
одна, а две матрицы с противоположными по знаку характера-
характерами2) .
Изолированный атом обладает, как уже отмечалось, симмет-
симметрией Kh = К х С{. Поэтому, с точки зрения теории групп,
каждому терму атома соответствует некоторое неприводимое
представление группы вращений К (им определяется значение
х) По математической терминологии эти операторы называют генератора-
генераторами группы вращений.
2) Необходимо сказать, что двузначные представления группы не явля-
являются представлениями в истинном смысле слова, так как осуществляются
неоднозначными функциями базиса; см. также § 99.

474
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
полного момента J атома и неприводимое представление груп-
группы Cj) (чем определяется четность состояния)х).
При помещении атома во внешнее электрическое поле его
уровни энергии расщепляются. Число возникающих при этом
различных уровней и симметрия соответствующих состояний
могут быть определены способом, описанным в § 96. Для этого
надо разложить приводимое BJ + l)-MepHoe представление груп-
группы симметрии внешнего поля (осуществляемое функциями ^jm)
по неприводимым представлениям этой группы. В связи с этим
возникает необходимость в знании характеров представления,
осуществляемого функциями iJjjm • Поскольку характеры непри-
неприводимых представлений элементов одного класса одинаковы, до-
достаточно рассмотреть повороты вокруг одной оси—оси z. При
повороте на угол <р вокруг оси z волновые функции ipjM умно-
умножаются, как мы знаем, на егМ(р, где М — проекция момента на
данную ось. Поэтому матрица преобразования функций i\)jm
будет диагональна с характером
ег(р — '
M=-J
или2)
• т\	ni ¦*-» I # I I / " J 1 / л
(98.3)
По отношению же к инверсии / все функции ipjM c различ-
различными М ведут себя одинаковым образом — умножаются на +1
или на —1, смотря по тому, четно или нечетно состояние атома.
х) Кроме того, гамильтониан атома инвариантен по отношению к пере-
перестановкам электронов. В нерелятивистском приближении координатные и
спиновые волновые функции разделяются, и можно говорить о представ-
представлениях группы перестановок, осуществляемых координатными функциями.
Заданием неприводимого представления группы перестановок определяется
полный спин атома S (см. §63). При учете же релятивистских взаимодей-
взаимодействий разделение волновых функций на координатную и спиновую части
невозможно. Симметрия по отношению к перестановкам одновременно ко-
координат и спинов частиц не приводит к какой-либо характеристике терма,
так как принципом Паули допускаются лишь антисимметричные по всем
электронам полные волновые функции. Это соответствует тому, что при
учете релятивистских взаимодействий спин, строго говоря, не сохраняется
(сохраняется лишь полный момент J).
2)Во избежание недоразумений подчеркнем, что эта формула отвечает
параметризации элементов группы, отличной от параметризации углами
Эйлера; преобразование задается направлением оси вращения и углом (р
поворота вокруг нее. Можно показать, что при такой параметризации инте-
интегрирование, например, в (98.2) должно производиться по 2A — cos ф) dtp do,
где do — элемент телесного угла для направления оси вращения.

§ 99	НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ	475
Поэтому характер
X(J)(/) = ±BJ + 1).	(98.4)
Наконец, характеры, соответствующие отражению в плоско-
плоскости а и зеркальному повороту на угол <р, вычисляются путем
представления этих преобразований симметрии в виде
Остановимся еще на неприводимых представлениях группы
аксиальной симметрии С^у. Этот вопрос был по существу уже
решен, когда мы выясняли классификацию электронных термов
двухатомной молекулы, обладающей как раз симметрией С^у
(если оба атома различны). Термам 0+ и 0~ (термы с Л = 0)
соответствуют два одномерных представления: единичное пред-
представление А\ и представление А*ъ, в котором функция базиса
инвариантна по отношению ко всем поворотам и меняет знак
при отражениях в плоскостях av. Двукратно вырожденным же
термам с ft = 1,2,... соответствуют двумерные представления,
которые обозначают как Е\, Е*ъ, • • • Функции их базиса умножа-
умножаются на Е^1^ при повороте вокруг оси на угол <р, а при от-
отражении в плоскостях av — переходят друг в друга. Характеры
всех этих представлений:
(98.5)
Неприводимые представления группы -Dqo/i — Сооу х С{ по-
получаются непосредственно из представлений группы С^у (и со-
соответствуют классификации термов двухатомной молекулы с
одинаковыми ядрами).
Если взять для Л полуцелые значения, то функции е±г ^ осу-
осуществят двузначные неприводимые представления группы С^у,
соответствующие термам молекулы с полуцелым спином1).
С oov
Аг
А2
Ек
Е
1
1
2
2С(<р)
1
1
2 cos k(f
ooav
1
-1
0
Х)В отличие от трехмерной группы вращений, здесь можно было бы со-
соответствующим выбором дробных значений Q получить не только одно- и
двузначные представления, но и представления трехзначные и выше. Од-
Однако физически возможные собственные значения момента импульса, как
оператора трехмерного бесконечно малого поворота, определяются пред-
представлениями именно трехмерной группы вращений. Поэтому трехзначные
(и выше) представления двумерной группы вращений (а также любой ко-
конечной группы симметрии), хотя и могут быть математически определены,
но не имеют физического смысла.

476
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
§ 99. Двузначные представления
конечных точечных групп
Состояниям системы с полуцелым спином (а потому и полу-
полуцелым полным моментом) соответствуют двузначные представ-
представления точечной группы симметрии этой системы. Это является
общим свойством спиноров и потому справедливо как для непре-
непрерывных, так и для конечных точечных групп. В связи с этим
возникает необходимость в отыскании двузначных неприводи-
неприводимых представлений конечных точечных групп.
Как уже отмечалось, двузначные представления по суще-
существу вообще не являются истинными представлениями группы.
К ним не относятся, в частности, соотношения, о которых шла
речь в § 94, и когда в этих соотношениях (например, в соотноше-
соотношении (94.17) для суммы квадратов размерностей неприводимых
представлений) речь шла о всех неприводимых представлениях,
то в их числе подразумевались только истинные, однозначные
представления.
Для отыскания двузначных представлений удобно приме-
применять следующий искусственный прием (Н. A. Bethe, 1929). Вве-
Введем чисто формальным образом понятие о новом элементе груп-
группы (обозначим его через Q) — повороте на угол 2тг вокруг про-
произвольной оси—как об элементе, отличном от единичного, но
совпадающем с Е при своем двукратном применении: Q2 = Е.
В соответствии с этим повороты Сп вокруг осей симметрии п-
го порядка будут давать тождественные преобразования лишь
после 2п-кратного (а не n-кратного) своего применения:
Cl = Q, Cln = Е.	(99.1)
Инверсия / как элемент, коммутативный со всяким пово-
поворотом, должна при двукратном применении по-прежнему да-
давать Е. Но двукратное отражение в плоскости будет равно Q, а
не Е:
а2 = Q, а4 = Е	(99.2)
(это следует из того, что отражение может быть написано в ви-
виде а = 1С2)- В результате мы получим совокупность элементов,
составляющих некоторую фиктивную точечную группу симмет-
симметрии, порядок которой вдвое больше порядка исходной группы;
об этих группах мы будем говорить как о двойных точечных
группах. Двузначные представления действительной точечной
группы будут, очевидно, однозначными, т. е. истинными пред-
представлениями соответствующей двойной группы, так что для их
отыскания можно применить обычные приемы.

§ 99	ДВУЗНАЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП	477
Число классов в двойной группе больше, чем в исходной груп-
группе (но, вообще говоря, не вдвое). Элемент Q коммутативен со
всеми другими элементами группы1) и потому всегда состав-
составляет сам по себе класс. Если ось симметрии двусторонняя, то
в двойной группе это означает сопряженность элементов С% и
(j^ri-k _ Q(jn-k g связи с этим при наличии осей второго по-
порядка распределение элементов по классам зависит также и от
того, являются ли эти оси двусторонними (в обычных точечных
группах это несущественно, так как С2 совпадает с обратным
поворотом С^1-
Так, в группе Т оси второго порядка эквивалентны, и каж-
каждая из них двусторонняя, а оси третьего порядка эквивалентны,
но не являются двусторонними. Поэтому 24 элемента двойной
группы Т'2) распределяются по 7 классам: Е, Q, класс из трех
поворотов С*2 и трех C2Q, классы 4Сз, 4Cf, 4C3Q, 4C|Q.
В число всех неприводимых представлений двойной точеч-
точечной группы входят, во-первых, представления, совпадающие с
однозначными представлениями простой группы (причем эле-
элементу Q, как и Е, соответствует единичная матрица), и, во-
вторых, двузначные представления простой группы, причем
элементу Q соответствует отрицательная единичная матрица;
нас интересуют сейчас именно эти последние представления.
Двойные группы С'п (п = 1, 2, 3, 4, 6) и Sr4, как и соответ-
соответствующие им простые группы, являются циклическими группа-
группами3) . Все их неприводимые представления одномерны и могут
быть найдены без всякого труда, как это было объяснено в §95.
Неприводимые представления групп D'n (или изоморфных
им Cnv) можно найти тем же способом, как и для соответ-
соответствующих простых групп. Эти представления осуществляются
функциями вида е^гк(р, где ц> — угол поворота вокруг оси п-го
порядка, а для к берутся полуцелые значения (целые значения
соответствуют обычным однозначным представлениям). Пово-
Повороты вокруг горизонтальных осей второго порядка переводят
эти функции друг в друга, а поворот Сп умножает на е±2пгк/п.
Несколько труднее нахождение представлений двойных ку-
кубических групп. 24 элемента группы Т! распределяются по семи
) Для поворотов в инверсии это очевидно; для отражения в плоскости
это следует из того, что отражение можно представить в виде произведения
инверсии и поворота.
) Двойные группы мы будем отличать штрихом у символа обычной груп-
группы.
3\
Группы же S'2 = C'i, Sq = Сзг, содержащие инверсию /, являются абе-
левыми группами, но не циклическими.

478
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ	ГЛ. XII
классам. Поэтому имеется всего семь неприводимых представ-
представлений, из которых четыре совпадают с представлениями про-
простой группы Т. Сумма квадратов размерностей остальных трех
представлений должна быть равна 12, откуда находим, что все
они двумерны. Поскольку элементы С2 и C2Q находятся в од-
одном классе, то xiPz) — x(C2Q) = — х(С2), откуда следует, что
во всех трех представлениях х(^2) — 0. Далее, из трех представ-
представлений по крайней мере одно должно быть вещественным, так
как комплексные представления могут встречаться лишь вза-
взаимно сопряженными парами. Рассмотрим это представление и
предположим, что матрица элемента Сз приведена к диагональ-
диагональному виду (пусть ai, 0,2— ее диагональные элементы). Посколь-
Поскольку G| = Q, то а\ = а3 = — 1. Для того чтобы х(Сз) = а>\ + «2
было вещественным, надо взять а\ = е7™/3, аз = е™/3. Отсюда
находим, что х(Сз) = 1, х(С|) = а{ + а| = —1. Таким образом,
одно из искомых представлений найдено. Составляя его прямые
произведения с двумя комплексно сопряженными одномерными
представлениями группы Т, найдем два остальных представле-
представления.
Аналогичными рассуждениями, которые мы не станем при-
приводить здесь, можно найти представления группы О'. В сводной
табл. 8 даны характеры представлений перечисленных двойных
групп (приведены лишь представления, соответствующие дву-
двузначным представлениям обычных групп). Те же представления
имеют изоморфные с ними двойные группы.
Остальные точечные группы либо изоморфны с рассмотрен-
рассмотренными, либо получаются в результате прямого умножения по-
последних на группу Ci, так что их представления не нуждаются
в особом вычислении.
По тем же причинам, что и для обычных представлений, два
комплексно сопряженных двузначных представления должны
рассматриваться как одно физически неприводимое представ-
представление с удвоенной размерностью. Одномерные же двузначные
представления надо удваивать даже, если их характеры веще-
вещественны. Дело в том (см. § 60), что у систем с полуцелым спином
комплексно сопряженные волновые функции линейно независи-
независимы. Поэтому, если мы имеем двузначное одномерное представ-
представление с вещественными характерами1) (осуществляемое некото-
некоторой функцией ф), то хотя комплексно сопряженная функция ф*
преобразуется по эквивалентному представлению, можно все
же утверждать, что фиф* линейно независимы. Поскольку,
1) Такие представления есть у групп С'п с нечетными щ характеры в них
равны Х(С*) = (-1)*.

] 99	ДВУЗНАЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП	479
Таблица 8
Двузначные представления точечных групп
E'
J
Eiy
E2
D'
6
E[
E2
E'z
D't
E[
r
E1
,f
\
O'
E[
Ef2
G
E
2
E
1
1
2
E
2
2
2
E
2
2
E
2
2
2
?
2
2
4
Q
-2
Q
-l
-l
-2
n
-2
-2
-2
Q
-2
-2
Q
-2
-2
-2
n
-2
-2
-4
c2
C2Q
0
0
0
c2
C2Q
0
0
4C3 4C|
1 -1
e -e2
e2 -e
4C3 4C|
AClQ 4C3Q
1 -1
1 -1
-1 1
%Q
0
C3
ClQ
-1
-1
1
C3
ClQ
1
1
-2
c4
ClQ
л/2
4C3Q
-1
-?
-?2
3C|
3C|<5
0
0
0
C32
CzQ
-1
-1
2
C4Q
-\/2
V2
*CIQ
1
?2
?
3C4
3C43Q
\/2
-V2
0
%
1
с
с
c6
ClQ
\/3
-V3
0
2?
0
0
3C2
3C2Q
0
0
0
3C|
3C4Q
-V2
л/2
0
v)
D
2
3
3Q
l
l
-l
cl
C6Q
-\/3
V3
0
2Щ
0
0
6C2
6C2Q
0
0
0
a
3U2
i
—i
0
3U2
3U2Q
0
0
0
[Z)Q
{i]Q
0
3U2Q
—i
i
0
Щ
} 3U^Q
0
0
0

480
ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ
ГЛ. XII
с другой стороны, комплексно сопряженные волновые функции
должны принадлежать одному и тому же уровню энергии, то
мы видим, что в физических применениях такое представление
должно быть удвоено.
Все сказанное в § 97 о способе нахождения правил отбора для
матричных элементов различных физических величин / остает-
остается в силе и для состояний системы с полуцелым спином, с измене-
изменением лишь для диагональных (по энергии) матричных элемен-
элементов. Повторив изложенные в конце § 97 рассуждения с учетом
на этот раз формул F0.2), F0.3), найдем, что если величина /
четна или нечетна по отношению к обращению времени, то для
отыскания правил отбора надо рассматривать соответственно
антисимметричное {D^ } или симметричное [D^ ] произведе-
произведение представления ?Да) самого на себя — обратно по сравнению
со сформулированным в § 97 правилом, справедливым для си-
систем с целым спином1).
Задача
Определить, каким образом расщепятся уровни атома (с данными зна-
значениями полного момента J), помещенного в поле, обладающее кубической
симметрией О2) .
Решение. Волновые функции состояний атома с моментом J и раз-
различными значениями Mj осуществляют B J + 1)-мерное приводимое пред-
представление группы О с характерами, определяемыми формулой (98.3). Раз-
Разлагая это представление на неприводимые части (однозначные при целом
J или двузначные при полуцелом J), мы тем самым определим искомое
расщепление (ср. §96). Перечислим неприводимые части представлений, со-
соответствующих нескольким первым значениям J:
J = 0
Ai
1/2
Е[
1
Fi
3/2
G'
2
E + F2
5/2
E'2 + G'
3
A2 + Fi + F2
1)	В связи с применением этих правил отметим, что в случае двузначных
представлений единичное представление содержится не в симметричном, а
в антисимметричном произведении представления самого на себя. Для дву-
двузначного представления с размерностью 2 произведение {D^2} просто сов-
совпадает с единичным.
2)	Речь может идти, например, об атоме в кристаллической решетке. За-
Заметим также, что наличие или отсутствие центра симметрии в группе сим-
симметрии внешнего поля для рассматриваемого вопроса не имеет значения,
так как поведение волновой функции при инверсии (четность или нечет-
нечетность уровня) не имеет отношения к моменту J.

ГЛАВА XIII
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ
§ 100. Классификация молекулярных колебаний
В применении к многоатомным молекулам теория групп пре-
прежде всего решает вопрос о классификации их электронных тер-
термов, т. е. уровней энергии при заданном расположении ядер. Они
классифицируются по неприводимым представлениям точечной
группы симметрии, которой обладает рассматриваемая конфи-
конфигурация ядер. При этом, однако, надо подчеркнуть очевидный
факт, что получаемая таким образом классификация относится
именно к данному определенному расположению ядер, так как
при их смещении симметрия конфигурации, вообще говоря, на-
нарушается. Обычно речь идет о расположении, соответствующем
положению равновесия ядер. В этом случае классификация про-
продолжает иметь известный смысл и при малых колебаниях ядер,
но, конечно, теряет смысл, если колебания нельзя рассматривать
как малые.
В двухатомной молекуле мы не сталкивались с таким вопро-
вопросом, так как ее аксиальная симметрия сохраняется, разумеется,
при любом перемещении ядер. Аналогичное положение имеет
место и для трехатомных молекул. Три ядра всегда находятся
в одной плоскости, являющейся плоскостью симметрии молеку-
молекулы. Поэтому классификация электронных термов трехатомной
молекулы по отношению к этой плоскости (симметрия или ан-
антисимметрия волновых функций по отношению к отражению в
плоскости) возможна всегда.
Для нормальных электронных термов многоатомных моле-
молекул имеет место эмпирическое правило, согласно которому у по-
подавляющего большинства молекул волновая функция нормаль-
нормального электронного состояния обладает полной симметрией (для
двухатомных молекул это правило уже упоминалось в § 78). Дру-
Другими словами, она инвариантна по отношению ко всем элемен-
элементам группы симметрии молекулы, т. е. относится к единичному
неприводимому представлению группы.
Применение методов теории групп особенно существенно
при исследовании молекулярных колебаний (Е. Wigner, 1930).
Квантовомеханическому изучению этого вопроса необходимо
предпослать чисто классическое рассмотрение колебаний

482
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
молекулы, как системы из некоторого числа взаимодействую-
взаимодействующих частиц (ядер).
Как известно из механики (см. I, §23, 24), система из N ча-
частиц (не расположенных на одной прямой) обладает 3N — 6 ко-
колебательными степенями свободы; из общего числа 3N степеней
свободы три соответствуют поступательному и три— враща-
вращательному движению системы как целого1). Энергия системы
частиц, совершающих малые колебания, может быть записана
следующим образом:
Е = 2^2 mikUiUk + ~ ^ кгкЩик,	A00.1)
г, к	г, к
где т^, к{]~—постоянные коэффициенты, а щ—компоненты
векторов смещения частиц от их положения равновесия (ин-
(индексы г, к нумеруют как компоненты вектора, так и номера
частиц). Соответствующим линейным преобразованием вели-
величин щ можно исключить из A00.1) координаты, соответствую-
соответствующие поступательному движению и вращению системы, а коле-
колебательные координаты выбрать таким образом, чтобы обе квад-
квадратичные формы в A00.1) превратились в суммы квадратов.
Нормируя эти координаты так, чтобы обратить все коэффици-
коэффициенты в выражении кинетической энергии в единицу, получим
колебательную энергию в виде
* = iE<& + i?w«E<&- (юо.2)
г,а	а	г
Колебательные координаты Qai называются нормальными]
оиа— частоты соответствующих им независимых колебаний.
Может оказаться, что нескольким нормальным координатам со-
соответствует одна и та же частота (о ней говорят тогда, как о
кратной)] индекс а у нормальной координаты соответствует
номеру частоты, а индекс г = 1, 2,..., fa нумерует координа-
координаты, относящиеся к одной и той же частоте (fa — кратность
частоты).
Выражение A00.2) для энергии молекулы должно быть ин-
инвариантным по отношению к преобразованиям симметрии. Это
значит, что при всяком преобразовании, относящемся к точеч-
точечной группе симметрии молекулы, нормальные координаты Qai,
г = 1 2,..., /а (с каждым данным а) преобразуются линейно
1)Если все частицы расположены по одной прямой, то число колебатель-
колебательных степеней свободы есть 3N — 5 (вращению соответствует в этом случае
всего две координаты, так что говорить о вращении линейной молекулы
вокруг своей оси не имеет смысла).

§ 100	КЛАССИФИКАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ	483
друг через друга, причем так, что сумма квадратов J^ Q2ai
остается неизменной. Другими словами, нормальные координа-
координаты, относящиеся к каждой данной собственной частоте коле-
колебаний молекулы, осуществляют некоторое неприводимое пред-
представление ее группы симметрии; кратность частоты определяет
размерность представления. Неприводимость следует из тех же
соображений, которые были высказаны в § 96 по поводу решений
уравнения Шредингера. Совпадение частот, соответствующих
двум различным неприводимым представлениям, было бы неве-
невероятной случайностью. При этом снова должна быть сделана
оговорка: поскольку физические нормальные координаты явля-
являются по самому своему существу вещественными величинами,
то два комплексно сопряженных представления соответствуют
одной собственной частоте вдвое большей кратности.
Эти соображения дают возможность произвести классифи-
классификацию собственных колебаний молекулы без того, чтобы ре-
решать сложную задачу о конкретном определении ее нормаль-
нормальных координат. Для этого надо сначала найти (описанным ниже
способом) представление, осуществляемое сразу всеми колеба-
колебательными координатами (мы будем говорить о нем, как о пол-
полном колебательном представлении)', это представление приво-
приводимо, и разлагая его на неприводимые части, мы тем самым
определим кратность собственных частот и свойства симме-
симметрии соответствующих колебаний. При этом может оказаться,
что одно и то же неприводимое представление входит в пол-
полное представление несколько раз; это означает, что имеется не-
несколько различных частот одинаковой кратности с колебаниями
одинаковой симметрии.
Для нахождения полного колебательного представления ис-
исходим из того, что характеры представления инвариантны отно-
относительно линейного преобразования функций базиса. Поэтому
для их вычисления можно воспользоваться в качестве функций
базиса не нормальными координатами, а просто компонентами
щ векторов смещения ядер от их положений равновесия.
Прежде всего очевидно, что при вычислении характера неко-
некоторого элемента G точечной группы надо рассматривать толь-
только те ядра, которые (точнее — положения равновесия которых)
остаются на месте при данном преобразовании симметрии. Дей-
Действительно, если при рассматриваемом повороте или отраже-
отражении G ядро 1 перемещается в новое положение, где до этого
находилось другое такое же ядро 2, то это значит, что при опе-
операции G смещение ядра 1 преобразуется через смещение ядра 2.
Другими словами, в соответствующих этому ядру (т. е. его сме-
смещению щ) строках матрицы G^ во всяком случае не будет диа-
диагональных элементов. Компоненты же вектора смещения ядра,

484
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
положение равновесия которого не затрагивается операцией G,
преобразуются только друг через друга, так что их можно рас-
рассматривать независимо от векторов смещения остальных ядер.
Рассмотрим сначала поворот С((р) на угол (р вокруг неко-
некоторой оси симметрии. Пусть их, иу, г^ — компоненты вектора
смещения некоторого ядра, положение равновесия которого на-
находится на самой оси и потому не затрагивается поворотом.
При повороте эти компоненты преобразуются, как и компонен-
компоненты всякого обычного (полярного) вектора, по формулам (ось z
совпадает с осью симметрии)
и'х = их cos <р + иу sin (?,
ur = —их sin if + иу cos <p,
u'z =uz.
Характер, т. е. сумма диагональных членов матрицы преобразо-
преобразования, равен 1 + 2cos(^. Если всего на данной оси расположе-
расположено Nq ядер, то суммарный характер равен
Nc(l + 2cos(p).	A00.3)
Однако этот характер отвечает преобразованию всех 3N сме-
смещений щ\ поэтому надо отделить часть, соответствующую пре-
преобразованиям поступательного перемещения и поворота (мало-
(малого) молекулы в целом. Поступательное перемещение определя-
определяется вектором смещения U центра инерции молекулы; соответ-
соответствующая часть характера, следовательно, равна 1 + 2cos(^. По-
Поворот же молекулы как целого определяется вектором SQ угла
поворотаг).
Вектор 6ft есть аксиальный вектор; но по отношению к по-
поворотам системы координат аксиальный вектор ведет себя так
же, как и полярный вектор. Поэтому вектору 5П тоже соответ-
соответствует характер, равный 1 + 2cos<?. Всего, следовательно, мы
должны вычесть из A00.3) величину 2A + 2cosc^). Таким об-
образом, окончательно находим характер х(С) поворота С(ф) в
полном колебательном представлении:
Х(С) = (Nc - 2)A + 2cos(^).	A00.4)
Характер единичного элемента Е равен, очевидно, просто пол-
полному числу колебательных степеней свободы: х(-Е) = SN — 6
(что получается и из A00.4) при Nc = N, <р = 0).
х)Как известно, угол малого поворота можно рассматривать как век-
вектор (Ш, по абсолютной величине равный углу поворота и направленный
вдоль оси поворота в направлении, определяемом по правилу винта. Опре-
Определенный таким образом вектор Sfl является, очевидно, аксиальным.

§ 100	КЛАССИФИКАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ	485
Аналогичным образом вычисляем характер зеркально-пово-
зеркально-поворотного преобразования S((p) (поворот на угол (р вокруг оси z
и отражение в плоскости ху). При этом преобразовании вектор
преобразуется согласно формулам
и'х = их cos <р + иу sin <p,
иг = —их sin if + иу cos <p,
v!z = -uz
чему соответствует характер, равный ( —1 + 2cos(^). Поэтому
характер представления, осуществляемого всеми 3N смещения-
ми «ь равен	7V5(-1 + 2coS<,);	A00.5)
где N$— число ядер, не затрагиваемых операцией S(<p) (это
число, очевидно, может быть либо нулем, либо единицей). Векто-
Вектору L смещения центра инерции соответствует характер
(—1 + 2cos(^). Что же касается вектора <$П, то, будучи аксиаль-
аксиальным вектором, он не меняется при инверсии системы координат;
с другой стороны, зеркально-поворотное преобразование S(<p)
можно представить в виде
S(<p) = C(<p)ah = C{y)C2I = С(тг
т. е. как поворот на угол тг + (р вместе с последующей инверсией.
Поэтому характер преобразования S(<p), примененного к векто-
вектору <$П, равен характеру преобразования С(тг + <р), примененному
к обычному вектору, т. е. равен 1 + 2 cos(tt + ф) = 1 — 2 cos (p. Сум-
Сумма ( — l + 2cos(^) + (l — 2cos(^) = 0, так что мы приходим к резуль-
результату, что выражение A00.5) непосредственно равно искомому
характеру хE) зеркально-поворотного преобразования S(<p) в
полном колебательном представлении:
X(S) = Ns(-1 + 2 cos <p).	A00.6)
В частности, характер отражения в плоскости ((р = 0) равен
x(cr) = Na, а характер инверсии (<р = тг) равен %(/) = —3iV/.
После того как определены характеры х полного колебатель-
колебательного представления, остается только разложить его на неприво-
неприводимые представления, что осуществляется по формуле (94.16) с
помощью таблиц характеров, приведенных в § 95 (см. задачи к
этому параграфу).
Для классификации колебаний линейной молекулы нет необ-
необходимости прибегать к теории групп. Полное число колебатель-
колебательных степеней свободы равно 3N — 5. Среди колебаний надо раз-
различать такие, при которых атомы остаются на одной прямой, и

486
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ
ГЛ. XIII
такие, при которых это не выполняется1). Число степеней сво-
свободы при движении N частиц вдоль прямой равно iV; из них од-
одна соответствует поступательному перемещению молекулы как
целого. Поэтому число нормальных координат колебаний, остав-
оставляющих атомы на прямой, равно N — 1; им соответствуют, во-
вообще говоря, N — 1 различных собственных частот. Остальные
CN — 5) — (N — 1) = 2N — 4 нормальных координат относят-
относятся к колебаниям, нарушающим прямолинейность молекулы; им
соответствуют N — 2 различные двукратные частоты (каждой
частоте отвечают две нормальные координаты, соответствую-
соответствующие одинаковым колебаниям в двух взаимно перпендикулярных
плоскостяхJ).
Задачи
1. Произвести классификацию нормальных колебаний молекулы NH2
(правильная пирамида с атомом N в вершине и атомами Н в углах основа-
основания, рис. 41.)
Решение. Точечная группа симметрии молекулы— Сзу Повороты
вокруг оси третьего порядка оставляют на месте только один атом (N),
а отражения в плоскостях — по два атома (N и один
из Н). По формулам A00.4), A00.6) находим харак-
характеры полного колебательного представления:
Е 2С3 3av
6 0 2 "
Разлагая это представление на неприводимые ча-
части, найдем, что в нем содержится дважды пред-
представление А\ и дважды Е. Таким образом, имеются
две простые частоты, соответствующие колебаниям типа Ai, сохраняющим
полную симметрию молекулы (так называемые полно-симметричные коле-
колебания), и две двукратные частоты, соответствующие нормальным коорди-
координатам, преобразующимся друг через друга по представлению Е.
2. То же для молекулы Н2О (рис. 42).
О
Решение. Группа симметрии— Civ- Преобразование Съ оставляет
на месте атом О, преобразование av (отражение в плоскости молекулы) —
все три атома, а отражение cr'v —только атом О. Характеры полного колеба-
колебательного представления будут равны
Е Съ <jv crv
3
3
) Если молекула симметрична относительно своей середины, то появляет-
появляется еще одна дополнительная характеристика колебаний, по поводу которой
см. задачу 10 к этому параграфу.
) Пользуясь обозначениями неприводимых представлений группы Coov
(§98), можно сказать, что имеется N — 1 колебаний типа А\ и N — 2 ко-
колебаний типа Е±.

i 100
КЛАССИФИКАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ
487
Это представление разбивается на неприводимые представления: 2Ai, lBi,
т. е. имеются два полно-симметричных колебания и одно с симметрией,
определяемой представлением В\\ все частоты—простые (на рис.42 изо-
изображены соответствующие нормальные колебания).
3. То же для молекулы СН3С1 (рис. 43 а).
Решение. Группа симметрии молекулы —Сзу Тем же способом на-
находим, что имеются три полно-симметричных колебания А\ и три двукрат-
двукратных колебания типа Е.
Н	Н
F
/Л
F
Os
о
^F
7 \
/---*> \
Г -U/ "Л
\ ' /
^F
H
H
H
i
i
i
i
/
/
r1
с
с
S.
H
H
C/
H
Рис. 43
4.	То же для молекулы СЩ (атом С в центре, а атомы Н — в вершинах
тетраэдра; рис. 43 б).
Решение. Симметрия молекулы — Та- Колебания lAi, IE, 2F2.
5.	То же для молекулы СбНб (рис. 43 в).
Решение. Симметрия молекулы — Dqh- Колебания:
6.	To ж:е для молекулы OsFs (атом Os — в центре, атомы F — в вершинах
куба, рис.43 г).
Решение. Симметрия молекулы — Oh- Колебания:
lAig, 1А2„, lEg, 1EU, 2Flu, 2F2g, 2F2u.
7.	То ж:е для молекулы UF6, (атом U — в центре, атомы F — в вершинах
октаэдра, рис. 43 д).

488
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
Решение. Симметрия молекулы— Oh- Колебания:
lAlg,lEg,2Flu,lF2g,lF2u.
8.	То же для молекулы C2Hq (рис.43 е).
Решение. Симметрия молекулы — Dsd- Колебания:
SAlg,lAlu,2A2u,SEg,SEu.
9.	То же для молекулы С2Н4, (рис. 43 э/с; все атомы в одной плоскости).
Решение. Симметрия молекулы — D2h- Колебания:
SAig, lAiu, 2Big, lBiu, 2Взи, lB2g, 2B2u
(оси координат выбраны, как указано на рисунке).
10.	То же для линейной молекулы из N атомов, симметричной относи-
относительно своей середины.
Решение.К рассмотренной в тексте классификации колебаний ли-
линейной молекулы присоединяется классификация по поведению относитель-
относительно инверсии в центре. Надо различать случаи, когда N четно или нечетно,
Если N четно (N = 2р), то в середине молекулы нет атома. Давая р
атомам одной из половин молекулы независимые смещения вдоль прямой, а
р остальным атомам — равные и противоположные смещения, найдем, что р
из колебаний, оставляющих атомы на прямой, симметричны относительно
центра, а остальные Bр — 1) — р = р — 1 колебаний этого типа антисим-
антисимметричны относительно центра. Далее, р атомов имеет 2р степеней свободы
для движений, при которых атомы не удерживаются на прямой. Давая сим-
симметрично расположенным атомам равные и противоположные смещения,
мы получили бы 2р симметричных колебаний; из этого числа надо, однако,
вычесть две соответствующие вращению молекулы. Таким образом, имеется
р — 1 двукратных частот колебаний, выводящих атомы с прямой и симмет-
симметричных относительно центра, и столько же (Bр — 2) — (р — 1) = р — 1) —
антисимметричных. Пользуясь обозначениями неприводимых представле-
представлений группы Dooh (см. конец §98), можно сказать, что имеется р колебаний
типа Aig и по (р — 1) колебаний типов Aiu, Eig, E\u.
Если N нечетно (N = 2р+1), то аналогичные рассуждения показывают,
что имеется пор колебаний типов: Aig, A\u, Е\и и (р — 1) колебаний типа E\g.
§ 101. Колебательные уровни энергии
При квантовомеханическом рассмотрении колебательная
энергия молекулы определяется собственным значениями га-
гамильтониана
где Pai = —iHd/dQai — операторы импульсов, соответствующих
нормальным координатам Qai. Поскольку этот гамильтониан
распадается на сумму независимых слагаемых (выражение в
скобках), то уровни энергии представляются суммами
A01.2)
где va = YlivoLii a fa —кратность частоты ша. Волновые же

§ 101	КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ	489
функции представляются произведениями соответствующих
волновых функций линейных гармонических осцилляторов
где
Hv обозначает полином Эрмита v-й степени, а са = ^оиа/Н.
Если среди частот оиа имеются кратные, то колебательные
уровни энергии, вообще говоря, вырождены. Энергия A01.2) за-
зависит только от суммы va = ^2i vai. Поэтому кратность выро-
вырождения уровня равна числу способов, которыми можно соста-
составить данный набор чисел va из чисел va{. Для одного числа va
оно равно1)
= const-exp^c^Q^) Y[HVai(caQai)-	A01.4)
««!(/«-1)! "
Поэтому полная кратность вырождения равна
п
A01.5)
Для двукратных частот множители этого произведения равны
va + 1, а для трехкратных A/2) (va + l)(va + 2).
Надо иметь в виду, что это вырождение имеет место лишь
постольку, поскольку рассматриваются чисто гармонические
колебания. При учете в гамильтониане членов более высоких
степеней по нормальным координатам (ангармоничность коле-
колебаний) вырождение, вообще говоря, снимается, хотя и не пол-
полностью (см. об этом подробнее в § 104).
Волновые функции A01.3), относящиеся к одному и тому же
вырожденному колебательному терму, осуществляют некоторое
представление (вообще говоря, приводимое) группы симметрии
молекулы. Но функции, относящиеся к различным частотам,
преобразуются независимо друг от друга. Поэтому представле-
представление, осуществляемое всеми функциями A01.3), является произ-
произведением представлений, осуществляемых функциями A01.4),
так что достаточно рассмотреть только последние.
Экспоненциальный множитель в A01.4) инвариантен по от-
отношению ко всем преобразованиям симметрии. В полиномах
х) Это есть число способов, которыми можно распределить va шаров по fa
ящикам.

490
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
Эрмита члены каждой данной степени преобразуются только
друг через друга (преобразование симметрии не меняет, оче-
очевидно, степени каждого члена). Поскольку, с другой стороны,
каждый полином Эрмита вполне определяется своим высшим
членом, то, написав
U
Y[HVai(caQai) = const -QVaiQVa2 • • • Q^fJ* + чл- низших степеней,
t=l
достаточно рассматривать только высший член.
К одному и тому же терму относятся функции, для которых
сумма va = ^2i vai имеет одинаковое значение. Таким образом,
мы имеем представление, осуществляемое произведениями по va
величин Qai] эт° есть не что иное, как симметричное произведе-
произведение (см. § 94) va раз самого на себя неприводимого представле-
представления, осуществляемого величинами Qai (L. Tisza, 1933).
Для одномерных представлений нахождение характеров их
симметричных произведений v раз само на себя тривиальнох):
Xv(G) = [x(G)]v.
Для дву- и трехмерных представлений удобно воспользовать-
воспользоваться следующим математическим приемом2). Сумма квадратов
функций базиса неприводимого представления инвариантна от-
относительно всех преобразований симметрии. Поэтому можно
формально рассматривать их как компоненты дву- или трех-
трехмерного вектора, а преобразования симметрии — как некоторые
повороты (или отражения), производимые над этими векторами.
Подчеркнем, что эти повороты и отражения, вообще говоря, не
имеют ничего общего с фактическими преобразованиями сим-
симметрии и зависят (для каждого данного элемента группы G)
также и от конкретного рассматриваемого представления.
Рассмотрим подробнее двумерные представления. Пусть
x(G) есть характер некоторого элемента группы в данном дву-
двумерном представлении, причем x(G) ^ 0. Сумма диагональных
элементов матрицы преобразования компонент ж, у двумерно-
двумерного вектора при повороте в плоскости на угол (р равна 2cosc^.
Приравняв
2cosip = X(G),	A01.6)
мы найдем угол поворота, формально соответствующего эле-
элементу G в данном неприводимом представлении. Симметричное
произведение представления v раз само на себя есть представ-
представление с базисом из v + 1 величин xv, xv~1^y^... ,yv. Характеры
x)Mbi пользуемся здесь обозначением Xv(G) вместо громоздкого
) Примененным для этой цели А. С. Компанейцем A940).

§ 102	УСТОЙЧИВОСТЬ СИММЕТРИЧНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ МОЛЕКУЛЫ	491
этого представления равны1)
Xv(G) = sin(s^1)y.	A01.7)
Случай x(G) = 0 требует особого рассмотрения, так как рав-
равный нулю характер отвечает как повороту на угол тг/2, так и
отражению. Если x(G2) = —2, то мы имеем дело с поворотом на
угол тг/2 и для Xv(G) получим
(-1)"/21±^.	A01.8)
Если же x{G2) = 2, то x(G) надо рассматривать как характер
отражения (т.е. преобразования х —»> ж, у —»> —у); тогда
i±^.	A01.9)
Аналогичным образом можно получить формулы для симме-
симметричных произведений трехмерных представлений. Нахождение
поворота (или отражения), который формально соответствует
элементу группы в данном представлении, легко осуществляется
с помощью табл. 7. Это будет то преобразование, которое соот-
соответствует данному x(G) в той из изоморфных групп, в которой
координаты преобразуются по этому представлению. Так, для
представления F\ групп О и Т^ надо брать преобразование из
группы О, а для представления i^ —из группы Т^. Мы не ста-
станем останавливаться здесь на выводе соответствующих формул
для характеров Xv{G).
§ 102. Устойчивость симметричных
конфигураций молекулы
При симметричном расположении ядер электронный терм
молекулы может быть вырожденным, если среди неприводимых
представлений группы симметрии есть представления с размер-
размерностью, большей чем единица.
Поставим вопрос о том, может ли такая симметричная кон-
конфигурация являться устойчивой равновесной конфигурацией
1) Для вычисления удобно выбрать функции базиса в виде
(х + iy)v, (x + iy)v~1(x - iy), ...,(x- iy)v';
тогда матрица поворота диагональна, а сумма диагональных элементов име-
имеет вид
eiv(p _|_ e*(v-2)^ _|_..._|_ eiv(p

492
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
молекулы. При этом мы будем пренебрегать влиянием спина (ес-
(если таковой вообще имеется), которое у многоатомных молекул,
вообще говоря, ничтожно. Вырождение электронных термов,
о котором будет идти речь, есть поэтому только орбитальное
вырождение, не связанное со спином.
Для того чтобы данная конфигурация была устойчивой,
энергия молекулы, как функция расстояний между ядрами,
должна иметь при этом расположении ядер минимум. Это зна-
значит, что изменение энергии при малом смещении ядер не должно
содержать линейных по величине смещений членов.
Пусть Н — гамильтониан электронного состояния молекулы,
в котором расстояния между ядрами рассматриваются как па-
параметры. Посредством Но обозначим этот гамильтониан при
заданной симметричной конфигурации. В качестве величин,
определяющих малые смещения ядер, можно воспользовать-
воспользоваться нормальными колебательными координатами Qai- Разложе-
Разложение Н по степеням Qai имеет вид
а,г	а,C,г,к
Коэффициенты V, W,... разложения — функции только от ко-
координат электронов. При преобразовании симметрии величи-
величины Qai преобразуются друг через друга. Суммы в A02.1) пе-
переходят при этом в другие суммы того же вида. Мы можем
поэтому формально рассматривать преобразование симметрии
как преобразование коэффициентов в этих суммах при неизмен-
неизменных Qai. При этом, в частности, коэффициенты Vai (с каждым
данным а) будут преобразовываться по тому же представлению
группы симметрии, по которому преобразуются соответствую-
соответствующие координаты Qai- Это непосредственно следует из того, что,
в силу инвариантности гамильтониана по отношению ко всем
преобразованиям симметрии, то же самое должно иметь ме-
место для совокупности членов каждого данного порядка в его
разложении, в частности для линейных членов разложения1).
Рассмотрим некоторый вырожденный (при симметричной
конфигурации) электронный терм Eq. Смещение ядер, нарушаю-
нарушающее симметрию молекулы, приведет, вообще говоря, к расщеп-
расщеплению терма. Величина расщепления определится, с точностью
х) Строго говоря, величины Vai должны преобразовываться по представ-
представлению, комплексно сопряженному с представлением, по которому преобра-
преобразуются Qai. Однако, как указывалось, если два комплексно сопряженных
представления не совпадают друг с другом, то физически их все равно надо
рассматривать вместе как одно представление вдвое большей размерности.
Поэтому указанная оговорка не существенна.

§ 102	УСТОЙЧИВОСТЬ СИММЕТРИЧНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ МОЛЕКУЛЫ	493
до членов первого порядка относительно смещений ядер, секу-
лярным уравнением, составленным из матричных элементов от
линейного члена разложения A02.1)
'pVaiipadq,	A02.2)
где фр, фа— волновые функции электронных состояний, отно-
относящихся к данному вырожденному терму (причем эти функции
выбраны вещественными). Устойчивость симметричной конфи-
конфигурации требует, чтобы линейное по Q расщепление отсутствова-
отсутствовало, т. е. все корни секулярного уравнения должны тождественно
обратиться в нуль, а это значит, что должна исчезнуть и вся
матрица Vpa. При этом, разумеется, мы должны рассматривать
только те из нормальных колебаний, которые нарушают сим-
симметрию молекулы, т. е. должны отбросить полно-симметричные
колебания (соответствующие единичному представлению груп-
группы).
Поскольку Qai произвольны, то матричные элементы A02.2)
исчезают только, если исчезают все интегралы
dq.	A02.3)
Пусть ?ле0 —неприводимое представление, по которому пре-
преобразуются электронные волновые функции фр a Da— то
же для величин Vai] как уже указывалось, представления Da
совпадают с теми, по которым преобразуются соответствую-
соответствующие нормальные координаты Qai. Согласно результатам §97
интегралы A02.3) будут отличны от нуля, если произведение
[?)(е02] х Da содержит в себе единичное представление, или, что
то же, если [?)(е/J] содержит в себе Da. В противном случае все
интегралы обратятся в нуль.
Таким образом, симметричная конфигурация устойчива, ес-
если представление [?)(е/J] не содержит в себе ни одного (за ис-
исключением единичного) из неприводимых представлений Da,
характеризующих колебания молекулы. Для невырожденных
электронных состояний это условие всегда выполняется, так как
симметричное произведение одномерного представления самого
на себя есть единичное представление.
Рассмотрим, например, молекулу типа СЕЦ, в которой один
атом (С) находится в центре, а четыре (Н) — в вершинах тет-
тетраэдра. Такая конфигурация имеет симметрию Т^. Вырожден-
Вырожденные электронные термы соответствуют представлениям Е, F\, F2
этой группы. Молекула обладает одним нормальным колебани-
колебанием А\ (полно-симметричное колебание), одним двукратным Е

494
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
и двумя трехкратными F<i (см. задачу 4 § 100). Симметричные
произведения представлений Е, F\, F2 самих на себя равны
[Е2] = Аг + Е, [F2] = [F2] = At + E + F2.
Мы видим, что каждое из них содержит по крайней мере одно
из представлений Е, i^, и потому рассматриваемая тетраэдриче-
ская конфигурация при вырожденных электронных состояниях
оказывается неустойчивой.
Этот результат является общим правилом, составляющим
содержание так называемой теоремы Яна-Теллера (Н. A. Jahn,
Е. Teller, 1937): при вырожденном электронном состоянии вся-
всякое симметричное расположение ядер (за исключением только
расположения на одной прямой) неустойчиво. В результате этой
неустойчивости ядра смещаются так, что симметрия их конфи-
конфигурации нарушается настолько, что вырождение терма оказы-
оказывается полностью снятым. В частности, можно утверждать, что
нормальным электронным термом симметричной (нелинейной)
молекулы может быть только невырожденный терм1).
Исключение, как уже упомянуто, представляют только ли-
линейные молекулы. В этом легко убедиться даже без помощи
теории групп. Смещение ядра, при котором последнее покида-
покидает ось молекулы, представляет собой обычный вектор с ?- и
^-компонентами (ось ? направлена по оси молекулы). Мы виде-
видели в § 87, что такие векторы имеют матричные элементы только
для переходов с изменением момента Л относительно оси на
единицу. Между тем вырожденному терму линейной молекулы
соответствуют состояния с моментами Л и —Л относительно оси
(причем Л ^ 1). Переход между ними сопровождается изменени-
изменением момента по крайней мере на 2, и следовательно, матричные
элементы во всяком случае обратятся в нуль. Таким образом, ли-
линейное расположение ядер в молекуле может быть устойчивым
и при вырожденном электронном состоянии.
Конструктивное общее доказательство теоремы основано на
следующем замечании (Е. Ruch, 1957).
Вырождение электронных состояний, связанное с симме-
симметрией расположения ядер, может существовать только в таких
точечных группах симметрии молекулы, которые содержат по
крайней мере одну поворотную (Сп) или зеркально-поворотную
(Sn) ось порядка п > 2. В таком случае среди волновых функций
) Физическая идея о разрушении симметрии в электронном состоянии,
вырожденном в силу самой этой симметрии, была высказана Ландау A934).
Теорема была доказана Яном и Теллером A937) путем перебора всех воз-
возможных типов симметричных расположений ядер в молекуле и исследова-
исследования каждого из них указанным выше способом.

§ 102	УСТОЙЧИВОСТЬ СИММЕТРИЧНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ МОЛЕКУЛЫ	495
взаимно вырожденных состояний (т. е. функций базиса соответ-
соответствующего представления D^) имеется по крайней мере одна,
для которой электронная плотность р = \ф\^ = ф^ не инва-
инвариантна по отношению к поворотам вокруг этой оси; вместе с
электронной плотностью не будет симметрично по отношению к
оси также и создаваемое электронами электрическое поле. В то
же время в молекуле (нелинейной) существуют расположенные
не на оси эквивалентные ядра —ядра, переводящиеся друг в дру-
друга поворотами Сп (или Sn). Таким образом, эквивалентные ядра
оказываются лежащими в неэквивалентных точках электриче-
электрического поля. Но не требуемая симметрией поля эквивалентность
положений равновесия заряженных частиц в нем невозможна в
том смысле, что она могла бы быть связана лишь с невероятной
случайностью.
Последовательное проведение доказательства представля-
представляет собой конкретное математическое воплощение этой физи-
физической ситуации. Покажем, как строится такое доказательство
(Е. Ruch, A. Schonhofer, 1965)х).
Рассмотрим (в нелинейной молекуле) какое-либо ядро (назо-
(назовем его а), лежащее вне «центра» молекулы (т.е. вне неподвиж-
неподвижной точки преобразований ее группы симметрии) и не на глав-
главной оси симметрии, если таковая имеется2). Пусть Н есть со-
совокупность тех преобразований симметрии молекулы, которые
оставляют ядро а неподвижным; Н является одной из подгрупп
полной группы симметрии молекулы G и может представлять
собой одну из точечных групп Ci, C5, Cn, Cnv. Преобразования
из G, не входящие в Н, переводят ядро а в другие, эквивалент-
эквивалентные ему ядра а', а",...; пусть s — число ядер в этой совокупно-
совокупности. Очевидно, что порядок подгруппы Н равен g/s, где g —
порядок всей группы G (т.е. s — индекс подгруппы Н в груп-
группе GK).
Заведомо число s ^ 3, так как для предполагаемого суще-
существования неодномерного неприводимого представления D^• '
необходимо (как уже было отмечено выше) наличие по край-
крайней мере одной оси симметрии порядка более высокого, чем 2,
причем ядро а по условию на ней не находится.
г) Подробнее см. Е. Ruch, A. Schonhofer, Theoret. chim. acta (Berl.) 3, 291
A965).
2) Под главной осью подразумевается (в не кубических и не икосаэдриче-
ских группах симметрии) ось Сп или Sn порядка п > 2.
) Все элементы группы G можно разбить на s смежных классов
H,G'H,G"H,..., где G', G"—элементы группы, переводящие ядро а в
а',а",...

496
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
Представление D^ группы G по отношению к группе Н
более низкой симметрии, вообще говоря, приводимо. Предполо-
Предположим, что в его разложении по неприводимым представлениям
группы Н имеется одномерное представление; обозначим его
ф.еч ш Оно осуществляется электронной волновой функцией ф —
одной из функций базиса представления D^el>. Поскольку пред-
представление с?(е/) одномерно, квадрат р = ф2 инвариантен по отно-
отношению ко всем преобразованиям из Н, т. е. осуществляет еди-
единичное неприводимое представление этой группы.
Такое же (единичное) представление группы Н можно осу-
осуществить, взяв в качестве базиса одно из смещений Qa ато-
атома а — смещение в направлении вдоль радиуса-вектора, прове-
проведенного к ядру а из центра молекулы.
Применив теперь к этому смещению все операции группы G,
мы получим базис некоторого (вообще говоря, приводимого)
представления этой группы; обозначим его через Dq. Посколь-
Поскольку всякое преобразование из G, не входящее в Н, переводит
смещение Qa в смещение одного из других 5 — 1 эквивалентных
ядер а', а",..., а смещения различных ядер, разумеется, линей-
линейно независимы, то размерность Dq равна s. При этом смещения
Qa: Qa': - - •> образующие базис Dq, заведомо не могут отвечать
ни чистому переносу, ни чистому повороту молекулы как целого:
при наличии трех или более эквивалентных ядер из их радиаль-
радиальных смещений нельзя составить таких перемещений.
Таким же путем можно получить представление группы G,
применив все ее преобразования к функции р = ф2\ назовем это
представление Dp. Размерность Dp может быть равной s, но мо-
может оказаться и меньшей, так как нет заведомых оснований по-
полагать, что все s функций р, G' p, G" р,... линейно независимы.
Можно, однако, утверждать, что представление Dp, если и не
будет совпадать с Dq, то во всяком случае будет целиком содер-
содержаться в нем1). Кроме того, оно не является единичным, так как
квадрат ф2 заведомо не инвариантен по отношению ко всей груп-
группе G (инвариантна лишь сумма квадратов всех функций базиса
неодномерного неприводимого представления D^).
1) Утверждение состоит вообще в следующем. Пусть одно и то же пред-
представление (размерности /) подгруппы Н осуществляется различными набо-
наборами базисных функций, и пусть один из этих наборов при применении к
нему всех преобразований группы G порождает представление последней с
размерностью sf (где s — индекс подгруппы Н в группе G). Тогда можно
утверждать, что представление группы G, порождаемое тем же способом из
любого другого из указанных наборов функций, либо совпадает с первым,
либо целиком содержится в нем. Строгое доказательство этого утверждения
дано в цитируемой на предыдущей странице статье.

§ 102	УСТОЙЧИВОСТЬ СИММЕТРИЧНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ МОЛЕКУЛЫ	497
Установленные таким образом свойства представлений Dq
и Dp сразу дают требуемый результат. Действительно, Dq —
часть полного колебательного представления, a Dp—часть пред-
представления [?)(е/J], причем не содержащая единичного представ-
представления. Тот факт, что Dp содержится в Dq, означает, следова-
следовательно, что [D^e J] содержит в себе по крайней мере одно из
неединичных колебательных представлений Da, что и требова-
требовалось доказать.
В изложенных рассуждениях, однако, еще предполагалось,
что в разложении представления D^¦ ' по неприводимым пред-
представлениям подгруппы Н имеется одномерное. Это предполо-
предположение выполняется в подавляющем большинстве случаев. Так,
оно заведомо справедливо, если Н = С\, С5, С2, С^, (поскольку
все неприводимые представления этих групп одномерны). Оно
заведомо справедливо и при Н = Cn,Cnv с п > 2, если раз-
размерность ?)(е/) нечетна (поскольку группы Cn, Cnv имеют лишь
одно- и двумерные неприводимые представления). Рассмотре-
Рассмотрение таблиц характеров неприводимых представлений точечных
групп показывает, что исключением являются двумерные пред-
представления кубических групп G = О, Т^, Oh по отношению к
подгруппам Н = Сз, C%v.
Будем говорить для определенности о группе G = О и
подгруппе Н = С% (что отражается только на обозначениях
представлений). Две электронные функции ф\, fa осуществля-
осуществляют представление D^¦ ' = Е группы О, и они же — представле-
представление с?(е/) = Е подгруппы Сз- Представление же подгруппы Сз,
осуществляемое произведениями ф\, ф^ ФхФъч есть [Е2] = А + Е.
Такое же представление подгруппы Сз осуществляется тремя
компонентами векторов произвольного смещения Qa ядра а в
качестве базиса. Представление Dp группы О есть в данном слу-
случае Dp = [D^2] = A\ + Е\ оно не содержит в себе представле-
представления i^2, отвечающего вектору переноса или поворота молекулы
как целого, и содержит (наряду с единичным) также и нееди-
неединичное представление. Поэтому тот факт, что Dp содержится
(по тем же причинам, что и выше) в представлении Dq (в дан-
данном случае 35-мерном), доказывает неустойчивость молекулы и
в этом случае1).
В соответствии с оговоркой в начале этого параграфа во
всем предыдущем изложении вырождение электронных состоя-
1) Еще один исключительный случай составляют четырехмерные пред-
представления икосаэдрических групп. Этот случай рассматривается аналогич-
аналогичным образом и приводит к тому же результату.

498
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
ний подразумевалось имеющим чисто орбитальное происхожде-
происхождение. Укажем, однако, что теорема Яна-Теллера остается спра-
справедливой и при учете спин-орбитальных и спин-спиновых вза-
взаимодействий, с тем лишь отличием, что в молекулах (нелиней-
(нелинейных) с полуцелым спином не приводит к неустойчивости дву-
двукратное крамерсовское вырождение — в соответствии с общей
теоремой, доказанной в § 60. Последнему случаю отвечают дву-
двумерные двузначные неприводимые представления двойных то-
точечных групп. В отсутствие неустойчивости в этом случае мож-
можно убедиться уже следующим формальным образом. Для вы-
выяснения правил отбора матричных элементов A02.3) в случае
двузначных представлений D^ ' надо рассматривать не симме-
симметричные, а антисимметричные произведения {Z)(e^2} (см. §99).
Но для всех двузначных неприводимых представлений с размер-
размерностью 2 эти произведения совпадают с единичным представле-
представлением, т. е. заведомо не содержат в себе представлений, отвечаю-
отвечающих каким-либо не полно-симметричным колебаниям молекулы.
§ 103. Квантование вращения волчка
Исследование вращательных уровней многоатомной молеку-
молекулы часто затрудняется необходимостью рассматривать враще-
вращение одновременно с колебаниями. В качестве предварительной
задачи мы рассмотрим вращение молекулы как твердого тела,
т.е. с «жестко закрепленными» атомами {волчок).
Пусть ??7С— система координат с осями, направленными
вдоль трех осей инерции волчка и вращающаяся вместе с ним.
Соответствующий гамильтониан получается заменой компо-
компонент J^, Jjj , J^ его момента вращения в классическом выражении
для энергии соответствующими операторами:
2 \Ia Ib Icj
где Ia-> Ib, Ic~главные моменты инерции волчка.
Правила коммутации для операторов J^, J^, J^ компонент мо-
момента во вращающейся системе координат не очевидны, так как
обычный вывод правила коммутации относится к компонентам
Jxi Jy> Jz B неподвижной системе координат. Их, однако, легко
получить, воспользовавшись формулой
(Ja)(Jb) - (Jb)(Ja) = -iJ[ab],	A03.2)
где a, b — два произвольных вектора, характеризующих дан-
данное тело (и коммутативных друг с другом). Эту формулу легко

§ 103	КВАНТОВАНИЕ ВРАЩЕНИЯ ВОЛЧКА	499
проверить, производя вычисление левой части равенства в непо-
неподвижной системе координат xyz с помощью общих правил ком-
коммутации компонент момента друг с другом и с компонентами
произвольного вектора.
Пусть а и Ь—единичные векторы вдоль осей ? и т\. Тогда
[ab]—единичный вектор вдоль оси ?, и A03.2) дает
JjrJrj - JVJ{: = -iJc.	A03.3)
Аналогично получаются еще два соотношения.
Таким образом, правила коммутации операторов компонент
момента во вращающейся системе координат отличаются от пра-
правил коммутации в неподвижной системе лишь знаком в пра-
правой части равенства1). Отсюда следует, что и все полученные
ранее из правил коммутации результаты для собственных зна-
значений и матричных элементов имеют место и для J^, J^, J^
с той лишь разницей, что все выражения надо заменить ком-
комплексно им сопряженными. В частности, собственные значения
J^ (которые будем обозначать в этом параграфе буквой к в
отличие от собственных значений Jz = М) пробегают значе-
значения к = — J,..., + J, где J (целое число!) — величина момента
волчка.
Шаровой волчок. Нахождение собственных значений энер-
энергии вращающегося волчка наиболее просто для случая, когда все
его три главных момента инерции одинаковы: 1д = 1в = 1с = I-
Для молекулы это имеет место в тех случаях, когда она обладает
симметрией одной из кубических точечных групп. Гамильтони-
Гамильтониан A03.1) принимает вид
tf=^J2,
2/ '
и его собственные значения равны
E=^J(J + 1).	A03.4)
Каждый из этих уровней энергии вырожден по 2 J + 1 направ-
направлениям момента относительно самого волчка (т. е. по значениям
1)	Это обстоятельство—выражение того факта, что в отношении воздей-
воздействия на волновую функцию волчка поворот системы xyz эквивалентен
обратному повороту системы ?rj?.
2)	Здесь и ниже мы отвлекаемся от всегда имеющего место физически
несущественного BJ + 1)-кратного вырождения по направлениям момента
относительно неподвижной системы координат. С его учетом полная крат-
кратность вырождения уровней энергии шарового волчка есть B J + 1) .

500
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
Симметричный волчок. Не представляет труда также и
вычисление уровней энергии в случае, когда лишь два из мо-
моментов инерции волчка совпадают: 1а = 1в Ф 1с- Это имеет
место для молекул, обладающих одной осью симметрии более
чем второго порядка. Гамильтониан A03.1) приобретает вид
Отсюда видно, что в состоянии с определенными значения-
значениями J и к энергия равна
(ЪкУ- A0М)
чем и определяются уровни энергии симметричного волчка.
Вырождение по значениям А;, имевшее место для шарово-
шарового волчка, здесь оказывается частично снятым. Значения энер-
энергии совпадают лишь для значений к, отличающихся только зна-
знаком, что соответствует взаимно противоположным направлени-
направлениям момента относительно оси волчка. Поэтому уровни энергии
симметричного волчка при к ф 0 двукратно вырождены.
Стационарные состояния симметричного волчка характери-
характеризуются, таким образом, тремя квантовыми числами: момен-
моментом J и его проекциями на ось волчка (J^ = к) и на фикси-
фиксированную в пространстве ось z(Jz = М); от последнего числа
энергия волчка не зависит. Отметим в этой связи, что сам факт
одновременной измеримости величины момента и его проекций
на фиксированную в пространстве и на жестко связанную с
физической системой оси1) следует из того, что операторы J2
и Jz коммутативны не только друг с другом, но и с оператором
J^ = Jn (n—единичный вектор вдоль оси ?). Это обстоятель-
обстоятельство легко проверить непосредственным вычислением, но оно
очевидно и заранее. Оператор момента сводится к оператору
бесконечно малого поворота, а скалярное произведение Jn двух
связанных с волчком векторов инвариантно по отношению к
любому повороту системы координат.
Задача об определении волновых функций стационарных
состояний симметричного волчка сводится, следовательно, к
нахождению общих собственных функций операторов J2, Jz,
J^. В свою очередь этот вопрос математически тесно связан
с законом преобразования собственных функций момента при
1) Не смешивать с проекциями (не измеряемыми одновременно) на две
фиксированные в пространстве оси!

§ 103	КВАНТОВАНИЕ ВРАЩЕНИЯ ВОЛЧКА	501
конечных вращениях. Изменив обозначение квантовых чисел,
напишем этот закон E8.7) в виде
фзм = J2 °ш(а> & 7^Jfc.	(Ю3.7)
к
Будем понимать под фзм волновую функцию состояния волч-
волчка, описываемого по отношению к неподвижным координатным
осям xyz, а под ipjk — волновые функции состояний, описывае-
описываемых по отношению к связанным с волчком осям ?rj(. Но в ко-
координатах, жестко связанных с физической системой (волчком),
величины ij)jk имеют определенные значения, не зависящие от
ориентации системы в пространстве; обозначим их как фjk,.
Формула же A03.7) будет давать угловую зависимость функ-
функций фзм- Пусть теперь состояние \JM) обладает также и опре-
определенным значением к проекции момента на ось ?. Это значит,
что из всех величин ф^ будет отлична от нуля лишь одна — с
заданным значением к. Тогда сумма в A03.7) сведется к одному
члену:
Тем самым найдена зависимость волновых функций состоя-
состояний \JMk) от углов Эйлера, определяющих поворот осей волч-
волчка по отношению к неподвижным осям. Нормируя волновую
функцию условием
\фзмк I sin /3 da d/3 dj = 1,
будем иметь
\[Щ±±^	(Ю3.8)
фазовый множитель выбран так, чтобы при к=0 функция A03.8)
переходила в собственную функцию свободного (никак не свя-
связанного с осью ?) целочисленного момента J с проекцией М,
т.е. в обычную (сферическую) функцию (ср. E8.25)х)).
х) Прямой вывод выражения A03.8), без обращения к теории конечных
вращений, см. в задаче 1 к этому параграфу. О вычислении матричных
элементов различных величин по волновым функциям A03.8) см. § 110, 87
(соответствующие формулы отличаются от формул для двухатомной мо-
молекулы (без спина) лишь обозначением квантовых чисел—ср. примеч. на
с. 389).

502
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
Асимметричный волчок. При 1а ф 1в ф 1с вычисле-
вычисление уровней энергии в общем виде невозможно. Вырождение
по направлениям момента относительно волчка здесь снимается
полностью, так что данному J соответствует 2 J + 1 различных
невырожденных уровней. Для вычисления этих уровней (при за-
заданном J) следует исходить из уравнения Шредингера, записан-
записанного в матричном виде (О. Klein, 1929). Это делается следующим
образом.
Волновые функции ijjjk состояний волчка с определенны-
определенными значениями J и ("-проекции момента — это найденные выше
функции A03.8) (индекс ^-проекции момента М, от которой
энергия не зависит, для краткости ниже опускаем); в этих со-
состояниях энергия асимметричного волчка не имеет определен-
определенных значений. Напротив, в стационарных состояниях не имеет
определенных значений проекция J^, т. е. уровням энергии нельзя
приписать определенных значений к. Волновые функции
этих состояний ищем в виде линейных комбинаций
(подразумевается, что все функции —с каким-либо одинаковым
для всех значением М). Подстановка в уравнение Шредингера
Hipj = Ejipj приводит к системе уравнений
J2((Jk\H\Jkf) - Е5ш)ск, = 0,	A03.10)
к'
а условие разрешимости этой системы дает секулярное уравне-
уравнение
\(Jk\H\Jkf) -Е8Ш\ = 0.	A03.11)
Корни этого уравнения определяют уровни энергии волчка, по-
после чего система уравнений A03.10) позволит найти линейные
комбинации A03.9), диагонализующие гамильтониан, т.е. вол-
волновые функции стационарных состояний волчка с заданным
значением J (и М). Вычисление же матричных элементов ка-
какой-либо физической величины по этим волновым функциям
сводится, таким образом, к матричным элементам симметрич-
симметричного волчка. ^ ^
Операторы J^, J^ имеют матричные элементы только для пе-
переходов с изменением к на единицу, aJ^ — только диагональные
элементы (см. формулы B7.13), в которых надо писать J, к вме-
вместо L, М). Поэтому операторы J?, Jr, J?, ас ними и Н имеют

§ 103	КВАНТОВАНИЕ ВРАЩЕНИЯ ВОЛЧКА	503
матричные элементы лишь для переходов с к —>• fc, к ± 2. От-
Отсутствие матричных элементов для переходов между состояни-
состояниями с четными и нечетными к приводит к тому, что секулярное
уравнение степени 2 J + 1 сразу распадается на два независи-
независимых уравнения степеней J и J + 1. Одно из них составляется
из матричных элементов для переходов между состояниями с
четными, а другое —с нечетными значениями к.
Каждое из этих уравнений в свою очередь может быть при-
приведено к двум уравнениям более низкой степени. Для этого надо
пользоваться матричными элементами, определенными не с по-
помощью функций V\7fc? a c помощью функций
A03-12)
Функции, отличающиеся индексом + и —, обладают различ-
различной симметрией (по отношению к меняющему знак к отраже-
отражению в плоскости, проходящей через ось ?), а потому матричные
элементы для переходов между ними исчезают. Следовательно,
можно составлять секулярные уравнения в отдельности для со-
состояний + и состояний —.
Гамильтониан A03.1) (вместе с правилами коммутации
A03.3)) обладает специфической симметрией— он инвариан-
инвариантен по отношению к одновременному изменению знака любых
двух из операторов J^, J^, J^. Такая симметрия формально со-
соответствует группе Х?2- Поэтому уровни асимметричного волч-
волчка можно классифицировать по неприводимым представлениям
этой группы. Таким образом, имеется четыре типа невырож-
невырожденных уровней, соответствующих представлениям Д В\, i?2,
Б3 (см. табл.7, с.460).
Легко установить, какие именно состояния асимметричного
волчка относятся к каждому из этих типов. Для этого надо выя-
выяснить свойства симметрии функций ^j^ и составленных из них
функций A03.12). Это можно было бы сделать непосредствен-
непосредственно на основании выражений A03.8). Проще, однако, исходить
из более обычных сферических функций, заметив, что по своим
свойствам симметрии волновые функции состояний с опреде-
определенными значениями проекции момента на ось ? совпадают с
собственными функциями момента
@),	(юз.13)

504
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ
ГЛ. XIII
где 0, (f — сферические углы в осях ^т/С а знак ~ означает здесь
слова «преобразуется как»; комплексное сопряжение в A03.13)
связано с измененным знаком в правых частях соотношений
коммутации A03.3).
Поворот на угол тг вокруг оси ? (т. е. операция симметрии С\ )
умножает функцию A03.13) на ( — 1)к:
МО.
Операцию С^ можно рассматривать как результат после-
последовательно проведенных инверсии и отражения в плоскости ??;
первая операция умножает ipj^ на (—1) , а вторая (изменение
знака (f) эквивалентна изменению знака к. Учитывая определе-
определение функции @j,-k B8.6), получим поэтому
а
fa).
Наконец, при преобразовании df — ^2^2) имеем
Учитывая эти законы преобразования, найдем, что состо-
состояния, отвечающие функциям A03.12), относятся к следующим
типам симметрии:
четные J,	четные
четные J,	нечетные
четные
нечетные
четные
нечетные
четные
нечетные
* jk
нечетные J,
нечетные J,
четные J,
четные J,
нечетные J,
, нечетные J,
к — А,
к — Bs,
к — Bi,
к — Въ,
к — Bi,
к — Въ,
к — А,
к — В%.
A03.14)
Путем простого подсчета легко найти число состояний каж-
каждого типа при заданном значении J. Именно, типу А и каждому
из типов Si, Б2, В^ соответствуют следующие числа состояний:
A03.15)
Четные J
Нечетные J
А
J-1
2
Bi, B2, Bs
J
2
J + 1
2

§ 103	КВАНТОВАНИЕ ВРАЩЕНИЯ ВОЛЧКА	505
У асимметричного волчка имеют место правила отбора для
матричных элементов по отношению к переходам между состоя-
состояниями типов Л, Bi, i?2, B%, которые легко получить обычным
способом из воображений симметрии. Так, для компонент век-
векторной физической величины А имеют место правила отбора:
л • л ^ д(^) д@ ^ д(?)	AГ\ч 1&\
^	-?3-/~ • -/i л / -L? 1 1	J-3r\	л Г -Do
S	1 '	Z	О
(для ясности указываем в виде индекса у символа представле-
представления ось, поворот вокруг которой имеет в данном представлении
характер +1).
Задачи
1. Найти волновые функции состояний \JMk) симметричного волч-
волчка прямым вычислением как собственных функций операторов J2, Jz, J^
(F.Reiche, H. Rademacher, 1926).
Решение. Имея в виду получить i/jjMk в функции углов Эйле-
Эйлера а, /3, 7? надо выразить через них операторы проекций момента на непо-
неподвижные оси х, у, z. Поскольку оператор проекции момента на какую-либо
ось есть —гд/д(р, где (р — угол поворота вокруг этой оси, то можно написать,
T---JL T--J- T---JL
д(рх	д(ру	d(pz
где (рх, ipy, 4>z —углы поворотов вокруг соответствующих осей. Производные
по этим углам можно выразить через производные по а, /3, 7? вспомнив,
что бесконечно малые повороты складываются как векторы (направленные
вдоль осей поворотов). Направления векторов да, д/3, #7 бесконечно малых
поворотов, описываемых в эйлеровых углах, показаны на рис.20 (с. 270).
Проецируя их на неподвижные оси xyz, найдем углы поворотов вокруг этих
осей в виде
dipx = — sin а д/3 + cos a sin /3 dj,
S(fy = cos a d/3 + sin a sin /3 5j,
dipz = Sa + cos /3Sj.
Отсюда обратно
Sa = — ctg /3 cos a S<px — ctg /3 sin a S<py + 6<pz,
S/3 = — sin a S(fx + cos a S<py,
c cos a c	sin a c
01 = -—- O(fx + —— Oify.
sin p	sin p
С помощью этих выражений находим
7	(	± а д	•	д , COSa д \
J = — г — cos a ctg В	sin а	,
V	да	д/3 sin /3 07/
7	(	j. о д	д t smoL д \
Jy = -г -cosactg/3— -cosa— + ^— —I ,
V	да	д/3 sin /3 dj J
Jz = -г — .
да

506
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
При воздействии на функцию фзмк операторы Jz = —id/да и J( = —id/dj
G есть угол поворота вокруг оси ?!) заменяются на М и к (соответствую-
(соответствующая зависимость волновой функции от углов Эйлера а и 7 дается множи-
множителем ехр(гаМ + г^ук)). После этого будет
Uy = eia(-?--Mctgf3 + -±-
V д/3	sin /3
J_ = JX- Uy = e~ia (-A - Mctg/3 + -
V d/3	s
Дальнейший вывод в точности соответствует выводу, произведенному в
конце § 28. Исходим из равенства J+ipjjk = 0, имеющего место для волновой
функции с М = J. Отсюда имеем уравнение
кд/3	° sin/3
Нормированное реп1ение этого уравнения
х I cos — ) I sin —
2 У V 2 У	2тг
(нормировочный интеграл сводится к S-интегралу Эйлера). Это выражение
действительно совпадает, с точностью до фазового множителя, с функцией
(ср. E8.26)); фазовый множитель выбран в соответствии с определением
в A03.7).
Волновые функции с М < J вычисляются затем путем повторного при-
применения к ipjjk формулы
- M)(J + м + 1
Окончательный ответ совпадает с A03.8), где функции D^ даются фор-
формулами E8.9)-E8.11) (причем надо учесть свойство симметрии этих функ-
функций E8.18)).
2. Вычислить матричные элементы (Jk'\H\Jk) для асимметричного
волчка.
Решение. С помощью формул B7.13) находим
k)
(k\jl\k + 2) = (k + 2| J||fc) = -{k\J^\k + 2) = -(k + 2|J^|fc) =
= -y/(J - k)(J -k- 1)(J + k + 1)(J + k + 2)
4
(диагональные индексы J, J у матричных элементов для краткости везде
опускаем). Отсюда получаем для искомых матричных элементов

§ 103	КВАНТОВАНИЕ ВРАЩЕНИЯ ВОЛЧКА	507
гамильтониана )
{к\Н\к) = —(a + b)[J{J + 1) - к2] + — ск2,
(к\Н\к + 2) = (к + 2\Н\к) =
п2
= —(а - b)y/(J - k){J -к- 1)(J + к + 1)(J + A; + 2). A)
8
Матричные элементы по отношению к функциям A03.12) выражаются
через элементы A) согласно соотношениям
{к±\Н\к±) = {к\Н\к), fc/1,
= \/2@|Я|2).
3. Определить уровни энергии асимметричного волчка при J = 1.
Решение. Секулярное уравнение третьей степени распадается на
три уравнения первой степени. Одно из них дает
Ег = @+|Я|0+) = —(а+ 6).	C)
Отсюда можно сразу написать два других уровня энергии, так как заранее
очевидно, что три параметра а, 6, с входят в задачу симметричным образом.
Поэтому
( + ) E	(b + ).	D)
Уровни Ei, E2, Es относятся соответственно к типам симметрии Bi, B2,
В3 ) . Волновые функции этих состояний
Ф1=Ф1О, Ф2=Ф11, Фз=Фг1-
4. То же при J = 2.
Решение. Секулярное уравнение пятой степени распадается на три
уравнения первой и одно второй степени. Одно из уравнений первой степени
дает
E1 = {2-\H\2-) = 2t?c+— (а + Ь)	E)
(уровень типа В\ ). Отсюда делаем вывод, что должны быть еще два уровня
(типов Въ и 5з):
Е2 = 2Н2Ъ + —(а + с), Е3 = 2П2а + — (Ь + с).
Х)В задачах 2-5, с целью упрощения записи формул, пользуемся обозна-
обозначениями
а = 1/1А, Ь=1/1В, с=1/1с.
2) Это следует непосредственно из соображений симметрии. Так, энер-
энергия Ei симметрична по отношению к параметрам а и 6; такой должна быть
энергия состояния, симметрия которого по отношению к осям ? и ц одина-
одинакова (состояние типа В\).

508
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
Этим трем уровням отвечают волновые функции
Уравнение второй степени будет следующим:
„ = °-	F)
Решив его, получим
?/4,5 = fi {a -\- b -\- с) z^z Н [(а -\- Ъ -\- с) — 2>{оЪ -\- Ъс -\- &с)\ .	G)
Эти уровни относятся к типу А. Соответствующие им волновые функции —
линейные комбинации функций ф^о и ^22 •
5.	То же для J = 3.
Решение. Секулярное уравнение седьмой степени распадается на
одно первой и три второй степени. Уравнение первой степени дает
Ех = B - \H\2-) = 2П2(а + Ъ + с)	(8)
(уровень типа А). Одно из уравнений второй степени есть уравнение F)
предыдущей задачи (с другим значением J). Его корни
Е2,з = {ЪП2/2)(а + Ь) + П2с ± П2[Ца - ЬJ + с2 + аЪ-ас- Ьс]1/2 (9)
(уровни типа В\). Остальные уровни получаются отсюда перестановкой
параметров а, 6, с.
6.	Определить расщепление уровней системы, обладающей квадруполь-
ным моментом, в произвольном внешнем электрическом поле.
Решение. Выбрав в качестве осей координат главные оси тензора
д2(р/дхгдхк (ср. задачу 3, §76), приведем квадрупольную часть гамильто-
гамильтониана системы к виду
Н = AJl + BJl + CJl, А + В + С = 0.
Ввиду полной формальной аналогичности этого выражения с гамильтониа-
гамильтонианом A03.1) поставленная задача эквивалентна задаче о нахождении уровней
энергии асимметричного волчка, с тем лишь отличием, что теперь сумма
коэффициентов А + В + С = 0, а момент может иметь и полу целые зна-
значения. Для последних вычисления должны быть произведены тем же спо-
способом заново, а для целых J можно воспользоваться результатами задач
3—5. Окончательно получим следующие значения смещения энергии АЕ для
нескольких первых значений J:
J = 1 :	АЕ = -А, -В, -С,
J = 3/2 : АЕ = ±^/C/2H42 +Б2 + С2),
J = 2 :	АЕ :, ЗБ, ЗС, ±л/б(А2 + В2 + С2).
При J = 3/2 уровни энергии остаются двукратно вырожденными в соответ-
соответствии с теоремой Крамерса (§60).
§ 104. Взаимодействие колебаний и вращения молекулы
До сих пор мы рассматривали вращение и колебания как
независимые движения молекулы. В действительности же од-
одновременное наличие того и другого приводит к своеобразно-
своеобразному взаимодействию между ними (Е. Teller, L. Tisza, О. Placzek,
1932-1933).

§ 104	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕБАНИЙ И ВРАЩЕНИЯ МОЛЕКУЛЫ	509
Начнем с рассмотрения линейных многоатомных молекул.
Линейная молекула может совершать колебания двух типов (см.
конец § 100) — продольные с простыми частотами и поперечные
с двукратными частотами. Нас будут интересовать сейчас по-
последние.
Молекула, совершающая поперечные колебания, обладает,
вообще говоря, некоторым моментом импульса. Это очевидно
уже из простых механических соображений1), но может быть
показано и квантовомеханическим рассмотрением. Последнее
позволяет также определить и возможные значения этого мо-
момента в данном колебательном состоянии.
Предположим, что в молекуле возбуждена какая-либо одна
двукратная частота сиа. Уровень энергии с колебательным кван-
квантовым числом va вырожден (va + 1)-кратно. Ему соответствует
va + 1 волновых функций
(где fai+^a2 — ^a) или какие-либо любые независимые линейные
комбинации. Общая (по Qa\ и Qa2) старшая степень полинома,
на который умножается экспоненциальный множитель, во всех
этих функциях одинакова и равна va. Очевидно, что всегда мож-
можно выбрать в качестве основных функций линейные комбинации
функций ipValVa2 вида
уа1а = const -exp[-ic2(Qai +
X [(Q
ai + iQo2){Va+
В квадратных скобках стоит определенный полином, из которо-
которого мы выписали только старший член; 1а есть целое число, мо-
могущее принимать va + 1 различных значений: la = va, va — 2,
va -4, ...,-va.
Нормальные координаты Qai, Qo2 поперечного колебания
представляют собой два взаимно перпендикулярных смещения
от оси молекулы. При повороте вокруг этой оси на угол (р стар-
старший член полинома (а с ним и вся функЦия Фуа1а) умножится
на
) Так, два взаимно перпендикулярных поперечных колебания с разностью
фаз в тг/2 можно рассматривать как чистое вращение изогнутой молекулы
вокруг продольной оси.

510
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
Отсюда видно, что функция A04.1) соответствует состоянию с
моментом 1а относительно оси.
Таким образом, мы приходим к результату, что в состоя-
состоянии, в котором возбуждена (с квантовым числом va) двукратная
частота сиа, молекула обладает моментом (относительно своей
оси), пробегающим значения
la = va, va - 2, va - 4,..., -va.	A04.2)
О нем говорят, как о колебательном моменте молекулы. Если
возбуждено одновременно несколько поперечных колебаний, то
полный колебательный момент равен сумме ^2 ^ • Сложенный с
электронным орбитальным моментом, он дает полный момент /
молекулы относительно ее оси.
Полный момент импульса молекулы J (как и у двухатомной
молекулы) не может быть меньше момента относительно оси,
т. е. J пробегает значения
Другими словами, состояний cJ = O,l,...,|Z| — 1не существует.
При гармонических колебаниях энергия зависит только от
чисел va и не зависит от 1а. Вырождение колебательных уров-
уровней (по значениям 1а) снимается при наличии ангармоничности.
Снятие, однако, неполное: уровни остаются двукратно выро-
вырожденными, причем одинаковой энергией обладают состояния,
отличающиеся одновременным изменением знака всех 1а и /; в
следующем (после гармонического) приближении в энергии по-
появляется квадратичный по моментам 1а член вида
/ jgaplgl
(ga/3 — постоянные). Это остающееся двукратное вырождение
снимается эффектом, аналогичным Л-удвоению у двухатомных
молекул.
Переходя к нелинейным молекулам, необходимо прежде все-
всего сделать следующее замечание чисто механического характе-
характера. Для произвольной (нелинейной) системы частиц возникает
вопрос о том, каким образом можно вообще отделить колеба-
колебательное движение от вращения, другими словами, что следует
понимать под «невращающейся системой». На первый взгляд,
можно было бы подумать, что критерием отсутствия вращения
может являться равенство нулю момента импульса:
[rv] =0	A04.3)

§ 104	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕБАНИЙ И ВРАЩЕНИЯ МОЛЕКУЛЫ	511
(суммирование по частицам системы). Однако стоящее слева
выражение не является полной производной по времени ка-
какой-либо функции координат. Поэтому написанное равенство
не может быть проинтегрировано по времени так, чтобы быть
сформулированным в виде равенства нулю некоторой функции
координат. Между тем именно это необходимо для того, что-
чтобы можно было разумным образом сформулировать понятие о
«чистых колебаниях» и «чистом вращении».
Поэтому в качестве определения отсутствия вращения надо
взять условие
^[rov] =0,	A04.4)
где го — радиус-вектор положения равновесия частиц. Написав
г = го + и, где и — смещения при малых колебаниях, имеем
v = г = й. Уравнение A04.4) интегрируется по времени, в ре-
результате чего получаем
= 0.	A04.5)
Движение молекулы мы будем рассматривать как совокупность
чисто колебательного движения, при котором удовлетворяется
условие A04.5), и вращения молекулы как целого1). Написав мо-
момент импульса в виде
мы видим, что, в соответствии с определением A04.4) отсут-
отсутствия вращения, под колебательным моментом надо понимать
сумму ^m[uv]. Необходимо, однако, иметь в виду, что этот
момент, являясь лишь частью полного момента системы, сам по
себе отнюдь не сохраняется. Поэтому каждому колебательному
состоянию можно приписать лишь среднее значение колебатель-
колебательного момента.
Молекулы, не обладающие ни одной осью симметрии более
чем второго порядка, относятся к типу асимметричного волч-
волчка. У молекул этого типа все частоты колебаний — простые (их
группы симметрии обладают только одномерными неприводи-
неприводимыми представлениями). Поэтому все колебательные уровни не
вырождены. Но во всяком невырожденном состоянии средний
момент импульса обращается в нуль (см. §26). Таким образом,
у молекул типа асимметричного волчка средний колебательный
момент во всех состояниях отсутствует.
1) Поступательное движение предполагается отделенным с самого начала
выбором системы координат, в которой центр инерции молекулы покоится.

512
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
Если в числе элементов симметрии молекулы имеется одна
ось более чем второго порядка, молекула относится к типу сим-
симметричного волчка. Такая молекула обладает колебаниями как
с простыми, так и с двукратными частотами. Средний колеба-
колебательный момент первых снова обращается в нуль. Двукратным
же частотам соответствует отличное от нуля среднее значение
проекции момента на ось молекулы.
Легко найти выражение для энергии вращательного движе-
движения молекулы (типа симметричного волчка) с учетом колеба-
колебательного момента. Оператор этой энергии отличается от A03.5)
заменой вращательного момента волчка разностью между пол-
полным (сохраняющимся) моментом молекулы J и ее колебатель-
колебательным моментом J^:
н,г = §-/- змр + ?(?-?) $ - J?Y (Ю4.6)
Искомая энергия есть среднее значение Нвр. Члены в A04.6),
содержащие квадраты компонент J, дают чисто вращательную
энергию, совпадающую с A03.6). Члены, содержащие квадраты
компонент JW, дают не зависящие от вращательных квантовых
чисел постоянные; их можно опустить. Члены же, содержащие
произведения компонент J и j(v\ представляют собой интере-
интересующий нас здесь эффект взаимодействия колебаний молекулы
с ее вращением; его называют кориолисовым взаимодействи-
взаимодействием (имея в виду его соответствие кориолисовым силам в клас-
классической механике). При усреднении этих членов надо иметь в
виду, что средние значения поперечных (?, 77) компонент колеба-
колебательного момента равны нулю. Поэтому для среднего значения
энергии кориолисового взаимодействия получаем
Кор = -y-kk,,,	A04.7)
где к (целое число) есть, как и в § 103, проекция полного момен-
та на ось молекулы, a kv = J> — среднее значение проекции
колебательного момента, характеризующее данное колебатель-
колебательное состояние; kv, в противоположность к, отнюдь не является
целым числом.
Наконец, рассмотрим молекулы типа шарового волчка. Сю-
Сюда относятся молекулы с симметрией какой-либо из кубиче-
кубических групп. Такие молекулы обладают одно-, дву- и трехкрат-
трехкратными частотами (соответственно тому, что среди неприводи-
неприводимых представлений кубических групп имеются одно-, дву- и
трехмерные). Вырождение колебательных уровней, как всегда,

§ 105	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕБАНИЙ И ВРАЩЕНИЯ МОЛЕКУЛЫ	513
частично снимается ангармоничностью; после учета этих эф-
эффектов остаются, помимо невырожденных, лишь дву- и трех-
трехкратно вырожденные уровни. Мы будем сейчас говорить именно
об этих расщепленных ангармоничностью уровнях.
Легко видеть, что у молекул типа шарового волчка средний
колебательный момент отсутствует не только в невырожден-
невырожденных, но и в двукратно вырожденных колебательных состояни-
состояниях. Это следует уже из простых соображений, основанных на
свойствах симметрии. Действительно, векторы средних момен-
моментов в двух состояниях, относящихся к одному вырожденному
уровню энергии, должны были бы преобразовываться друг в
друга при всех преобразованиях симметрии молекулы. Но ни
одна из кубических групп симметрии не допускает существо-
существования двух преобразующихся лишь друг в друга направлений;
преобразуются друг в друга лишь совокупности не менее чем
трех направлений.
Из этих же соображений следует, что в состояниях, соответ-
соответствующих трехкратно вырожденным колебательным уровням,
средний колебательный момент отличен от нуля. После усред-
усреднения по колебательному состоянию этот момент представится
оператором, изображающимся матрицей, элементы которой со-
соответствуют переходам между тремя взаимно вырожденными
состояниями. В соответствии^с числом таких состояний этот
оператор должен иметь вид ?1, где I — оператор момента, рав-
равного единице (для которого 2/ + 1 = 3), а ? — характерная для
данного колебательного уровня постоянная. Гамильтониан вра-
вращательного движения молекулы
после такого усреднения превращается в оператор
H»P = p2 + P^-jCM.	A04.8)
Собственные значения первого члена —это обычная вращатель-
вращательная энергия A03.4), а второй член дает несущественную посто-
постоянную, не зависящую от вращательного квантового числа. По-
Последний же член в A04.8) дает искомую энергию кориолисова
расщепления колебательного уровня. Собственные значения ве-
величины Л вычисляются обычным образом; она может иметь
(при заданном J) три различных значения (соответствующих
значениям вектора I + J, равным J + 1, J — 1, J):
?	= уС (Ю4.9)

514	МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
§ 105. Классификация молекулярных термов
Волновая функция молекулы представляет собой произве-
произведение электронной волновой функции, волновой функции коле-
колебательного движения ядер и вращательной волновой функции.
О классификации и типах симметрии этих функций в отдель-
отдельности мы уже говорили. Теперь остается рассмотреть вопрос о
классификации молекулярных термов в целом, т. е. о возможной
симметрии полной волновой функции.
Ясно, что задание симметрии всех трех множителей по от-
отношению к тем или иным преобразованиям определяет также и
симметрию произведения по отношению к этим же преобразо-
преобразованиям. Для полной характеристики симметрии состояния надо
еще указать поведение полной волновой функции при одновре-
одновременной инверсии координат всех частиц (электронов и ядер) в
молекуле. Состояние называют отрицательным или положи-
положительным, смотря по тому, меняет ли волновая функция свой
знак или остается неизменной при этом преобразовании1).
Необходимо, однако, иметь в виду, что характеристика со-
состояния по отношению к инверсии имеет смысл только для моле-
молекул, не обладающих стереоизомерами. Наличие стереоизомерии
означает, что при инверсии молекула принимает конфигурацию,
которая никаким поворотом в пространстве не может быть сов-
совмещена с исходной (молекулы «правой» и «левой» модификаций
веществаJ). Поэтому волновые функции, получающиеся друг
из друга при инверсии, при наличии стереоизомерии относятся
по существу к различным молекулам и сравнивать их не имеет
смысла3).
Мы видели в § 86, что у двухатомных молекул спин ядер ока-
оказывает существенное косвенное влияние на схему молекулярных
термов, определяя кратности их вырождения, а в некоторых
случаях вовсе запрещая уровни той или иной симметрии. То же
самое имеет место у многоатомных молекул. Однако здесь ис-
исследование вопроса значительно сложнее и требует применения
методов теории групп в каждом конкретном случае.
Идея метода заключается в следующем. Полная волновая
функция должна содержать, наряду с координатной частью
г) Мы пользуемся, как это принято, той же неудачной терминологией, что
и для двухатомных молекул (см. § 86).
2)	Для возможности наличия стереоизомерии необходимо, чтобы молекула
не обладала никаким элементом симметрии, связанным с отражением (центр
инверсии, плоскость симметрии, зеркально-поворотная ось).
3)	Строго говоря, квантовая механика всегда приводит к отличной от нуля
вероятности перехода из одной модификации в другую. Однако эта вероят-
вероятность, связанная с переходом ядер через барьер, крайне мала.

§ 105	КЛАССИФИКАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕРМОВ	515
(которую мы до сих пор только и рассматривали), также и спи-
спиновый множитель, являющийся функцией от проекций спинов
всех ядер на какое-либо выбранное направление в пространстве.
Проекция а спина ядра пробегает 2г + 1 значений (г — спин яд-
ядра); давая всем cri, ст2,..., &N (iV —число атомов в молекуле) все
возможные значения, получим всего Bii + 1)Bг2 + 1)... Bijv + 1)
различных значений спинового множителя. При каждом преоб-
преобразовании симметрии те или другие ядра (одинакового сорта)
меняются местами, и если представлять себе значения спинов
«остающимися на местах», то преобразование будет эквивалент-
эквивалентно перестановке значений спинов между ядрами. Соответственно
различные спиновые множители будут преобразовываться друг
через друга, осуществляя, таким образом, некоторое (вообще го-
говоря, приводимое) представление группы симметрии молекулы.
Разлагая его на неприводимые части, мы тем самым найдем
возможные типы симметрии спиновой волновой функции.
Для характеров Xcn(G) представления, осуществляемого спи-
спиновыми множителями, легко написать общую формулу. Для это-
этого достаточно заметить, что при преобразовании не меняются
только те спиновые множители, в которых меняющиеся местами
ядра имеют одинаковые аа\ в противном случае один спиновый
множитель переходит в другой и ничего не дает для характера.
Имея в виду, что аа пробегает 2га + 1 значений, находим, что
га + 1),	A05.1)
где произведение берется по группам атомов, меняющихся друг
с другом местами при данном преобразовании G (по одному мно-
множителю в произведении от каждой группы).
Нас, однако, интересует не столько симметрия спиновой
функции, сколько симметрия координатной волновой функции
(речь идет о симметрии по отношению к перестановкам коорди-
координат ядер при неизменных координатах электронов). Но эти сим-
симметрии непосредственно связаны друг с другом тем, что полная
волновая функция должна оставаться неизменной или менять
знак при перестановке каждой пары ядер, подчиняющихся со-
соответственно статистике Бозе или Ферми (другими словами,
должна умножаться (—1Jг, где г —спин переставляемых ядер).
Вводя соответствующий множитель в характеры A05.1), мы
получим систему характеров x(G) представления, содержаще-
содержащего в себе все неприводимые представления, по которым преобра-
преобразуются координатные волновые функции:
X(G) = ЦBга + lX-lJ^»-)	A05.2)

516
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
(па — число ядер в каждой группе ядер, меняющихся друг с дру-
другом местами при данном преобразовании). Разлагая это пред-
представление на неприводимые части, мы получим возможные типы
симметрии координатных волновых функций молекулы вместе
с кратностями вырождения соответствующих уровней энергии
(здесь и ниже речь идет о вырождении по отношению к различ-
различным спиновым состояниям системы ядерI).
Каждый тип симметрии состояний связан с определенными
значениями суммарных спинов групп эквивалентных ядер в мо-
молекуле (т. е. групп ядер, меняющихся друг с другом местами при
каких-либо преобразованиях симметрии молекулы). Связь эта
не взаимно однозначна: каждый тип симметрии состояний мо-
может осуществляться, вообще говоря, с различными значениями
спинов групп эквивалентных ядер. Установление этой связи в
каждом конкретном случае тоже возможно с помощью методов
теории групп.
Рассмотрим в качестве примера молекулу типа асимметрич-
асимметричного волчка — молекулу этилена 12С21Н4 (рис.43 о/с, группа сим-
симметрии X?2/i)- Верхний индекс у химического символа указыва-
указывает, к какому изотопу относится ядро; такое указание необходи-
необходимо, поскольку ядра различных изотопов могут обладать различ-
различным спином. В данном случае спин ядра *H равен половине, а
ядро 12С не имеет спина. Поэтому надо рассматривать только
атомы водорода.
Выберем систему координат, как указано на рис. 43, ж (ось z
перпендикулярна к плоскости молекулы, ось х направлена по
ее оси). Отражение в плоскости сг(ху) оставляет все атомы на
местах, а остальные отражения и повороты меняют атомы водо-
водорода попарно местами. По формуле A05.2) получаем следующие
характеры представления:
Е а(ху) a(xz) a(yz) I C2(z) C2(y) C2(x)
16 16	4	4 4 4	4	4 '
Разлагая это представление на неприводимые части, найдем,
что в нем содержатся следующие неприводимые представления
группы X?2/i: 7^4g, 3.Big, 3B2u, ЗВ%и. Цифра указывает на крат-
кратность, с которой данное неприводимое представление входит в
приводимое; эти числа и являются ядерными статистическими
весами уровней соответствующей симметрии2).
1)	О кратности вырождения уровня в этой связи часто говорят, как о его
ядерном статистическом весе (ср. примеч. на с. 407).
2)	Установление связи симметрии состояний со значениями суммарного
спина четырех ядер Н в молекуле этилена — см. задачу 1.

§ 105	КЛАССИФИКАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕРМОВ	517
Полученная классификация состояний молекулы этилена от-
относится к симметрии полной (координатной) волновой функции,
содержащей электронную, колебательную и вращательную ча-
части. Обычно, однако, представляет интерес подходить к этим
результатам с другой точки зрения. Именно, зная возможные
симметрии полной волновой функции, можно непосредственно
найти, какие вращательные уровни возможны (и с какими ста-
статистическими весами) при том или другом заданном электрон-
электронном и колебательном состоянии.
Рассмотрим, например, вращательную структуру низшего
колебательного уровня (колебания не возбуждены) нормального
электронного терма, предполагая электронную волновую функ-
функцию нормального состояния полностью симметричной (что име-
имеет место практически для всех многоатомных молекул). Тогда
симметрия полной волновой функции по отношению к пово-
поворотам вокруг осей симметрии совпадает с симметрией враща-
вращательной волновой функции. Сопоставляя с полученными вы-
выше результатами, мы приходим, следовательно, к выводу, что
у молекулы этилена вращательные уровни типов А и В\ (см.
§ 103) положительны и имеют статистические веса 7 и 3, а
уровни типов В2 и В% отрицательны и имеют статистический
вес 3.
Как и у двухатомных молекул (см. конец § 86), ввиду чрезвы-
чрезвычайной слабости взаимодействия ядерных спинов с электрона-
электронами, переходы между состояниями молекулы этилена с различной
ядерной симметрией практически не имеют места. Поэтому моле-
молекулы, находящиеся в этих состояниях, ведут себя как различные
модификации вещества, так что этилен 12С21Н4, имеет четыре
модификации с ядерными статистическими весами 7, 3, 3, 3. В
этом заключении существенно, что состояния с различной сим-
симметрией относятся к различным уровням энергии (интервалы
между которыми велики по сравнению с энергией взаимодей-
взаимодействия ядерных спинов). Оно несправедливо поэтому для таких
молекул, у которых существуют состояния различной ядерной
симметрии, относящиеся к одному и тому же вырожденному
уровню энергии.
Рассмотрим молекулу аммиака 14N1H3 типа симметричного
волчка (рис. 41, группа симметрии C^v). Спин ядра 14N равен 1,
спин *H— половине. С помощью формулы A05.2) находим ха-
характеры интересующего нас представления группы C%v\
Е 2(_7з 3G v
24 6 ^12'
Оно содержит следующие неприводимые представления группы

518
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ	ГЛ. XIII
Csv'- 12^25 6.Е1. Таким образом, возможны уровни двух типов; их
ядерные статистические веса равны 12 и б1).
Вращательные уровни симметричного волчка классифициру-
классифицируются (при данном J) по значениям квантового числа к. Рас-
Рассмотрим, как и в предыдущем примере, вращательную струк-
структуру нормального электронного и колебательного состояний мо-
молекулы NH3 (т. е. предполагаем электронную и колебательную
волновые функции полностью симметричными). При определе-
определении симметрии вращательной волновой функции надо иметь в
виду, что имеет смысл говорить о ее поведении лишь по отно-
отношению к поворотам вокруг осей. Поэтому плоскости симметрии
заменяем перпендикулярными им осями симметрии второго по-
порядка (отражение в плоскости эквивалентно повороту вокруг
такой оси вместе с последующей инверсией). В данном случае,
следовательно, надо рассматривать вместо C%v изоморфную с
ней точечную группу D%.
Вращательные волновые функции с к = dz|fe| при поворо-
повороте Сз вокруг вертикальной оси третьего порядка умножают-
умножаются на е±2пг\к\/з^ а при повороте С/2 вокруг горизонтальной оси
второго порядка переходят друг в друга, осуществляя таким
образом двумерное представление группы D%. При |fc|, не крат-
кратном трем, это представление неприводимо — представление Е.
Представление группы C%v, соответствующее полной волновой
функции, получится умножением характера х(Е^) на +1 или —1,
смотря по тому, является ли терм положительным или отрица-
отрицательным. Но поскольку в представлении Е имеем х(^) — 0, то
в обоих случаях мы получаем снова то же представление Е (на
этот раз уже как представление группы Сз^, а не D%). Имея в
виду полученные выше результаты, заключаем, таким образом,
что при |fc|, не кратном трем, возможны как положительные,
так и отрицательные уровни с ядерными статистическими ве-
весами, равными 6 (уровни с симметрией полной координатной
волновой функции типа Е). При |fc|, кратном трем (но отличном
от нуля), вращательные функции осуществляют представление
(группы D%) с характерами
Е 2С3 3L/2
О
х) Термам симметрии Аъ соответствует суммарный спин ядер водорода,
равный 3/2, а термам Е — спин 1/2.
Отметим, что наличие среди неприводимых представлений двумерного
представления Е не означает дополнительного вырождения уровней энер-
энергии молекулы. Это — проявление перестановочного вырождения, о котором
говорилось в § 63.

§ 105	КЛАССИФИКАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕРМОВ	519
Это представление приводимо и разбивается на представле-
представления Ai, A2. Для того чтобы полная волновая функция относи-
относилась к представлению Аъ группы Сзг>, вращательный уровень
А\ должен быть отрицательным, а А2—положительным. Таким
образом, при отличном от нуля кратном трем |А;| возможны как
положительные, так и отрицательные уровни с ядерными ста-
статистическими весами, равными 12 (уровни типа A<i).
Проекции момента к = 0 соответствует всего одна враща-
вращательная функция, осуществляющая представление с характера-
характерами1)
Е 2С3 SU2
Для того чтобы полная волновая функция имела симме-
симметрию ^2, ее поведение по отношению к инверсии должно, сле-
следовательно, определяться множителем — (—1)J. Таким образом,
при к = 0 уровни с четным (нечетным) J могут быть только от-
отрицательными (положительными); статистический вес в обоих
случаях равен 12 (уровни типа А2).
Суммируя эти результаты, получаем следующую таблицу
возможных состояний при различных значениях квантового чи-
числа к для нормального электронного и колебательного терма
молекулы 14N1H3 (+ и — обозначают положительные и отрица-
отрицательные состояния):
1*1
1*1
к =
не кратно трем
кратно трем
\J четно
-Us T
\J нечетно
(+)
6Е
12А2
—
12А2
(")
6Е
12А2
12А2
—
При заданных J и к уровни энергии молекулы NH3 ока-
оказываются, вообще говоря, вырожденными (см. также таблицу
для ND3 в задаче 3). Это вырождение частично снимается в
силу своеобразного эффекта, связанного с уплощенной фор-
формой молекулы аммиака и небольшой массой атомов водорода.
Путем сравнительно небольшого вертикального перемещения
атомов в этой молекуле может осуществиться переход между
двумя конфигурациями, получающимися друг из друга зеркаль-
зеркальным отражением в плоскости, параллельной основанию пирами-
пирамиды (рис. 44). Эти переходы приводят к расщеплению уровней,
х) При повороте на угол тг собственная функция момента с величиной J и
равной нулю проекцией умножается на ( — 1) .

520
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ
ГЛ. XIII
N
Рис. 44
причем разделяются положительные и отрицательные уровни
(эффект, аналогичный одномерному случаю, рассмотренному в
задаче 3 §50). Величина расщеп-
расщепления пропорциональна вероят-
вероятности прохождения атомов через
«потенциальный барьер», разде-
разделяющий обе конфигурации моле-
молекулы. Хотя в молекуле аммиака,
благодаря указанным выше ее
свойствам, эта вероятность срав-
сравнительно велика, но все же вели-
величина расщепления мала A • 10~4эВ). Пример молекулы типа ша-
шарового волчка разобран в задаче 5 к этому параграфу.
Задачи
1. Установить связь между симметрией состояний молекулы 12С2*Н4 и
суммарным спином ядер водорода в ней.
Решение1). Суммарный спин четырех ядер ХН может иметь значе-
значения / = 2,1, 0, а его проекция Mi пробегает значения от 2 до —2. Рассмотрим
представления, осуществляемые спиновыми множителями, относящимися к
каждому отдельному значению Mi, начиная с максимального.
Значению Mi = 2 соответствует всего один спиновый множитель, в ко-
котором все ядра имеют проекцию спина +1/2. Значению Mi = 1 отвечают 4
различных спиновых множителя, отличающиеся друг от друга тем, какому
из четырех ядер приписана проекция спина —1/2. Наконец, значение Mi = 0
осуществляется шестью спиновыми множителями, в зависимости от того,
какой паре ядер приписаны проекции спина —1/2. Характеры соответствую-
соответствующих трех представлений таковы:
Mi = 2
Mi = l
Mi = 0
Е
1
4
6
а(ху)
1
4
6
<t{xz)
1
0
2
a(yz)
1
0
2
I
1
0
2
C2(z)
1
0
2
C*(y)
1
0
2
C2(x)
1
0
2
Первое из этих представлений есть единичное представление Аё\ по-
поскольку значение Mi = 2 может осуществляться только при / = 2, то отсюда
следует, что спину 1 = 2 отвечает состояние с симметрией Ag.
Значение Mi = 1 может осуществляться как при / = 1, так и при 1 = 2.
Вычтя соответственно этому из второго представления первое и разлагая
результат на неприводимые части, найдем, что спину / = 1 соответствуют
состояния Big, В2и, Взи-
Наконец, значение Mi = 0 может осуществляться во всех случаях, когда
возможно Mi = 1 и, кроме того, при / = 0. Вычитая соответственно этому из
третьего представления второе, найдем два состояния Ag, соответствующие
спину / = 0.
2. Определить типы симметрии полных (координатных) волновых
функций и статистические веса соответствующих уровней для молекул
) Метод решения подобных задач, основанный на теории групп переста-
перестановок см. в указанной на с. 291 книге И. Г. Каплана, гл. VI, § 2.

? 105
КЛАССИФИКАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕРМОВ
521
12С22Н4, 13С21Н4, 14N216O4 (все молекулы имеют одинаковую форму); спи-
спины гBН) = 1, гA3С) = 1/2, zA4N) = 1).
Решение. Тем же способом, который был применен в тексте к мо-
молекуле 12С21Н4, найдем следующие состояния (оси координат выбраны так
же, как и в тексте):
Молекула
2^4
14N216O4
(+)
27Ag, 18Sig
16Ag, 12Blg
6Ag,
(")
18B2u, lSB3u
\2B2u, 24B2u
ЗВзи
3. To же для молекулы 14№Нз
Решение. Подобно тому как это было сделано в тексте для молекулы
14NXH3 находим состояния: 30Ai, ЗА2, 2АЕ. Для нормального электронно-
электронного и колебательного терма при различных значениях квантового числа к
возможны следующие состояния:
\к\ не кратно трем
\к\ кратно трем
\J четно
IJ нечетно
= 0<
4. То же для молекулы 12С21Нб (см. рис.43 е, симметрия D
Решение. Возможны состояния следующих типов: 7Aig,
13А2и, 9Eg, 11EU.
Для нормального электронного и колебательного терма получаются сле-
следующие состояния:
\к\ не кратно трем
\к\ кратно трем
\J четно
I J нечетно
к = \
5. То же для молекулы метана С Н4 (атомы Н в вершинах, атом С —
в центре тетраэдра).
Решение. Молекула относится к типу шарового волчка и имеет сим-
симметрию Та- Следуя тому же методу, найдем, что возможны состояния ти-
типов: 5^2, IE, 3Fi (им соответствует полный спин молекулы, равный соот-
соответственно 2, 0, 1). Вращательные состояния шарового волчка классифици-
классифицируются по значениям J полного момента. B J + 1) вращательных функций,
относящихся к данному значению J, осуществляют BJ + 1)-мерное пред-
представление группы О, изоморфной группе Т^, из которой она получается

522
МНОГОАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ
ГЛ. XIII
заменой всех плоскостей симметрии перпендикулярными им осями второго
порядка. Характеры этого представления определяются по формуле (98.3).
Так, например, для J = 3 получаем представление с характерами
Е
8С3 6C2 6C4 ЗС4
7 1 -1-1 -1
В нем содержатся следующие неприводимые представления группы О: Аъ,
F\, F2. Рассматривая снова вращательную структуру нормального элек-
электронного и колебательного терма, имеем отсюда, что при J = 3 состояния
с симметрией А2 полной волновой функции могут быть только положитель-
положительными, а уровни состояния F\ — как положительными, так и отрицатель-
отрицательными. Для нескольких первых значений J получаются таким же образом
следующие состояния (пишем их вместе с их ядерными статистическими
весами):
J = 0
J = l
J = 2
J = 3
J = 4
(
3F]
IE
IE
+)
—
L
2,3Fi
,3Fi
(")
ЪА2
-
IE, 3Fi
3Fi
5-Л2, IE, 3-Fi

ГЛАВА XIV
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
§ 106. З^-символы
Полученное в § 31 правило сложения моментов определяет
возможные значения полного момента системы, состоящей из
двух частиц (или более сложных частей), обладающих момен-
моментами ji и J2 x). Это правило в действительности тесно связано со
свойствами волновых функций по отношению к пространствен-
пространственным вращениям и непосредственно следует из свойств спиноров.
Волновые функции частиц с моментами ji и J2 представля-
представляют собой симметричные спиноры рангов 2 л и 2J2, а волновая
функция системы дается их произведением
в	A06.1)
Симметризуя это произведение по всем индексам, получим сим-
симметричный спинор ранга 2 (л + 32), отвечающий состоянию с
полным моментом л + 32- Далее, упростим произведение A06.1)
по одной паре индексов, из которых один должен принадле-
принадлежать ^ , а ДРУГОИ — Ф (в противном случае получится нуль);
при этом, в силу симметрии каждого из спиноров ф^ и ф^2\ без-
безразлично, какие именно индексы берутся из Л, //,..., и р, сг,...
После симметризации получим симметричный спинор ранга
2 (л +32 — 1) ? отвечающий состоянию с моментом л + 32 — 12) •
г) Строго говоря, мы везде будем иметь в виду, не оговаривая этого каж-
каждый раз особо, систему, состоящую из частей, взаимодействие которых на-
настолько слабо, что в первом приближении их моменты можно считать со-
сохраняющимися .
Все излагаемые ниже результаты относятся, конечно, не только к сложе-
сложению полных моментов двух частиц (или систем), но и к сложению орбиталь-
орбитального момента и спина одной и той же системы в предположении достаточной
слабости спин-орбитальной связи.
2) Во избежание недоразумений полезно сделать следующее замечание.
Волновая функция системы из двух частиц есть всегда спинор ранга
2(ji +J2), вообще говоря, отличного от 2j, где j — полный момент системы.
Такой спинор, однако, может быть эквивалентен спинору более низкого ран-
ранга. Так, волновая функция системы двух частиц с моментами j\ = J2 = 1/2
есть спинор второго ранга; но если полный момент j = 0, то этот спинор

524
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
Продолжая этот процесс, мы найдем в соответствии с извест-
известным уже нам правилом, что j пробегает значения от j\ + 32 до
\ji — H\-> причем каждое по одному разу.
С математической точки зрения, речь идет здесь о разло-
разложении прямого произведения D^1' x D^2^ двух неприводимых
представлений группы вращений (с размерностями 2ji + 1 и
2J2 + 1) на неприводимые части. В этих терминах правило сло-
сложения моментов записывается в виде разбиения
Для полного решения задачи о сложении моментов мы долж-
должны еще рассмотреть вопрос о составлении волновой функции
системы с заданным значением полного момента по волновым
функциям составляющих ее двух частиц.
Начнем с наиболее простого случая сложения двух моментов
в равный нулю суммарный момент. При этом, очевидно, долж-
должно быть ji = J2, а, проекции моментов mi = —7712. Пусть ipjm —
нормированные волновые функции состояний одной частицы с
моментом j и его проекцией т (в неспинорном представлении).
Искомая волновая функция системы ^о представляет собой сум-
сумму произведений волновых функций обеих частиц с противопо-
противоположными значениями т:
"tymty,-™	(I06-2)
m=—j
(j—общее значение j\ и J2). Множитель перед суммой есть
результат нормировки. Что касается коэффициентов в сумме,
то все они должны быть одинаковы по своей абсолютной ве-
величине— уже в силу того, что все значения проекций т мо-
моментов частиц равновероятны. Порядок же чередования зна-
знаков в A06.2) легко найти с помощью спинорного представления
волновых функций. В спинорных обозначениях сумма в A06.2)
представляет собой скаляр (полный момент системы равен ну-
лю!)	Ф{1)Х^"'Ф^ >	A06.3)
составленный из двух спиноров ранга 2j. Заметив это, мы найдем
знаки в A06.2) непосредственно из формулы E7.3).
Следует, однако, иметь в виду, что однозначными явля-
являются, вообще говоря, лишь относительные знаки членов сум-
суммы A06.2), общий же знак может оказаться зависящим от
антисимметричен и потому сводится к скаляру. Вообще полным моментом j
определяется симметрия спинорной волновой функции системы: она сим-
симметрична по 2j индексам и антисимметрична по остальным индексам.

§ 106	З^'-символы	525
«порядка сложения» моментов. Действительно, если опустить
все спинорные индексы (среди которых j + m единиц и j — га
двоек) у ч/А1) и поднять у ^ , то скаляр A06.3) умножится на
(—IJ-7, т.е. при полу целом j изменит знак.
Далее, рассмотрим систему с равным нулю полным момен-
моментом, составленную из трех частиц с моментами ji, J2, js и их
проекциями TTii, ?^2 ? ?^з- Условие равенства полного момента ну-
нулю подразумевает, что rai + Ш2 + шз = 0, a ji, J2, js имеют
такие значения, что каждое из них может получиться в резуль-
результате векторного сложения двух других, т.е. геометрически ji,
J2, js должны быть сторонами замкнутого треугольника; дру-
другими словами, каждое из них не меньше разности и не больше
суммы двух других:
|л - J2| < js < л + h и т- д-
Очевидно, что алгебраическая сумма j\ + J2 + js является при
этом целым числом.
Волновая функция рассматриваемой системы имеет вид сум-
суммы
взятой по значениям каждого из raj в пределах от — j\ до ji. Ко-
Коэффициенты в этой формуле называют 3j -символами Вагнера.
По определению, они отличны от нуля только при условии
rai + га2 + газ = 0.
При перестановке индексов 1, 2, 3 волновая функция A06.4)
может измениться лишь на несущественный фазовый множи-
множитель. Фактически З^'-символы могут быть определены как чи-
чисто вещественные (см. ниже) и тогда неоднозначность ^о может
заключаться лишь в неопределенности ее общего знака (как это
имеет место и для функции A06.2)). Это значит, что перестанов-
перестановка колонок З^'-символа может либо оставлять его неизменным,
либо менять его знак.
Наиболее симметричный способ определения коэффициентов
в сумме A06.4), которым и принято определять З^'-символы, за-
заключается в следующем. В спинорных обозначениях ^о пРеД~
ставляет собой скаляр, составленный как произведение трех спи-
спиноров -г/Д1)^--, фB)х^--^ <0C)л^- упрощенное по всем парам индек-
индексов, каждая из которых относится к двум различным спинорам.
Условимся, что в каждой паре, относящейся к частицам 1 и 2,
спинорный индекс будет писаться сверху у ч/А1) и снизу у ф^\
в паре, относящейся к частицам 2 и 3, — сверху у V* и снизу

526
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
у ф№)] в паре, относящейся к частицам 3 и 1, — сверху у ф№' и
снизу у ф^ (легко подсчитать, что всего имеется соответствен-
соответственно ji + j2 - J3j h + h - h и h + 33 - h паР каждого из этих
«сортов»). Этим правилом знак ^о устанавливается однозначно.
Очевидно, что при таком определении циклическая переста-
перестановка индексов 1, 2, 3 оставляет ^о неизменной. Это значит,
что З^'-символ не меняется при циклической перестановке его
столбцов. Перестановка же двух (любых) индексов приведет,
как легко сообразить, к необходимости поднять нижние и опу-
опустить верхние индексы во всех j\ + j2 + js парах. Это значит,
что фо умножится на (—1)^1+^2+^3; другими словами, З^'-символы
обладают свойством
h Л Зз \ _ /_1yi+j2+A (Л h h
т. е. меняют знак при перестановке двух колонок, если j\ +
+ J3 — нечетное число.
Наконец, легко видеть, что
h h \ = ,l)h+h+h(h h h\ A066)
—m\ —?
Действительно, изменение знака ^-компонент всех моментов
может рассматриваться как результат поворота на угол тг во-
вокруг оси у. Но такое преобразование эквивалентно поднятию
всех нижних и опусканию всех верхних спинорных индексов
(см. E8.5)).
От выражения A06.4) можно перейти к важной формуле,
определяющей волновую функцию ijjjm системы, состоящей из
двух частиц и обладающей заданными значениями j и га. Для
этого будем рассматривать совокупность частиц 1 и 2 как од-
одну систему. Поскольку момент j этой системы вместе с момен-
моментом J3 частицы 3 складывается в равный нулю суммарный мо-
момент, должно быть j' = js, тп = — газ- Согласно A06.2) можно
тогда написать
^	^3	(Ю6.7)
Эту формулу надо сравнить с выражением A06.4) (в котором
пишем j, — га вместо js, гпз)- При этом, однако, надо предвари-
предварительно учесть, что правило составления суммы в A06.7) соглас-
согласно A06.3) не соответствует правилу составления суммы A06.4):
для приведения A06.7) к A06.4) надо, как легко сообразить, пе-
переставить верхние и нижние индексы в парах, соответствующих

§ 106	З^'-символы	527
частицам 1 и 3; это приводит к появлению дополнительного мно-
множителя ( — 1)^1~^2+J3> g результате получим1)
7712 —1
A06.8)
где суммирование по rai и тп2 производится с учетом условия
Формула A06.8) дает искомое разложение волновой функ-
функции системы по волновым функциям обеих частиц, обладающих
определенными моментами j\ и j2- Ее можно записать в виде
ji1^22 m2 = m- пц. A06.9)
77117712
Коэффициенты
(m1m2\jm) = (-ir-^m^ITT(^1 ^ Jm) A06.10)
составляют матрицу преобразования от полной ортонормиро-
ванной системы Bji + I)Bj2 + 1) волновых функций состояний
\mim2) к такой же системе волновых функций состояний \jm)
(при заданных значениях ji, J2). Их называют коэффициента-
коэффициентами векторного сложения или коэффициентами Клебша-Гор-
дана. Обозначение символом (mim2\jrn) соответствует общему
способу обозначений коэффициентов разложения одной систе-
системы функций по другой согласно A1.18). Для упрощения запи-
записи мы опустили в этом символе совпадающие в обеих системах
функций квантовые числа ji, J2; при необходимости эти числа
включаются в обозначение: (jimiJ2m2\jiJ2JmJ) •
Матрица преобразования A06.9) унитарна (см. § 12). Поэтому
коэффициенты обратного преобразования
J1+J2
fi^i = J2 ^'Ш1 + m2lmlm2)^,rn1+m2	A06.11)
j = \J2~jl\
комплексно сопряжены с коэффициентами преобразования
A06.9). Мы увидим ниже, что эти коэффициенты вещественны;
х) При обращении времени волновые функции заменяются, согласно F0.2):
i>jm -»¦ (-1)'-"^,-.».
Легко проверить, что при таком преобразовании функций ^jimi, ^2^2 в
правой части A06.8) таким же образом преобразуется и функция tpjm в
левой части.
2) В литературе используется также обозначение С°Г^ГП2 или С^п^2ГП2 для
коэффициентов Клебша-Гордана.

528
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
поэтому просто
Согласно общим правилам квантовой механики квадраты коэф-
коэффициентов разложения A06.11) определяют вероятности системе
иметь те или иные значения j, m (при заданных ji, 7774 и ^2-> ^2)-
Унитарность преобразования A06.9) означает, что его коэф-
коэффициенты удовлетворяют определенным условиям ортогональ-
ортогональности. Согласно формулам A2.5), A2.6) имеем
^2 (mim2\jm)(raira2|j'W) =
777-1777-2
= Bi + l) ? (? t -m)(? S2 -m) =д^тт, (Ю6.12)
7711,7712
i m2 -т)\т[ т!2 -
A06.13)
Явное общее выражение 3j-символов довольно громоздко.
Оно может быть представлено в виде1)
(ji h h\ = r0'i+J2-J3)!(ji-J2+J3)!(-ji+J2+J3)!l
\ггы т2 ms) [	(J1+J2+J3 + I)!	J
)\] X}. A06.14)
Суммирование производится по всем целым числам z\ одна-
однако, поскольку факториал отрицательного числа равен ос, число
1) Коэффициенты разложения A06.9) были впервые вычислены Вигнером
A931). Свойства же симметрии этих коэффициентов и симметричное выра-
выражение A06.14) для них найдены Рака (G. Racah, 1942). Наиболее прямым
путем вычисления является, вероятно, прямой переход от спинорного пред-
представления фо (надлежащим образом нормированного) к представлению в
виде суммы A06.4) с помощью формулы соответствия E7.6) (заметим, что
вещественность коэффициента в этой формуле автоматически приводит к
вещественности 3j-символов). Другой вывод дан в книге Эдмондса (см. при-
примеч. на с. 272). Из этой же книги взята приведенная ниже таблица З^'-сим-
волов.

§ 106	3.7-символы	529
членов в сумме фактически конечно. Коэффициент перед сум-
суммой явно симметричен по индексам 1, 2, 3; симметрия же суммы
выявляется после соответствующего переобозначения перемен-
переменной суммирования z.
Помимо свойств симметрии A06.5), A06.6), следующих про-
простым образом из определения 3j-символов, последние обладают
еще и другими свойствами симметрии, вывод которых, однако,
более сложен, и мы его здесь не приводим. Эти свойства удобно
формулировать, если ввести квадратную C х 3) таблицу чисел,
связанных с параметрами З^'-символа следующим образом:
( Л h h \ =
\mi га2 m3y
h + J3 - Л J3 + Л - h Л + h - 33
ji-mi h-m2 js-ms
A06.15)
(сумма чисел в каждой строке и каждом столбце этой таблицы
равна 31 + 32 + js)- Тогда: 1) перестановка любых двух столб-
столбцов таблицы умножает З^'-символ на (—l)^i+^+J3 (это свойство
совпадает с A06.5)); 2) то же справедливо для перестановки лю-
любых двух строк (в отношении двух нижних строк это свойство
совпадает с A06.6)); 3) 3j-символ не меняется при замене строк
таблицы ее столбцамих).
Выпишем ряд более простых формул для некоторых частных
случаев. Значение
(
L
соответствует формуле A06.2). Формулы
(Л 32	Л +32 \= (_1\ji-J2+m1+m2
V?Tli 7712 —mi— 7712/ ^ '
i h
l -jl-™>3 m
Bj1y(-j1-\-J2+J3)Kji+J2+m3y(h-m3y1 2
x) Cm. T.Regge// Nuovo Cimento. 1958. V. 10. P. 544; 1959. V. 11. P. 116.
Более глубокие математические аспекты свойства симметрии A06.15) (как
и указанного ниже свойства A08.3) б^'-символов) см. в обзорной статье
Я. А. Смородинского и Л. А. Шелепина/'/ УФН. 1972. Т. 106. С. 3.

530
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
ГЛ. XIV
получаются непосредственно из A06.14). Вывод же формулы
C1 h Зг\_( л\р\^1-
Bр + 1)!
—, A06.18)
где
2р = Л + 32 + h
есть четное число, требует ряда дополнительных вычислений1)
(при нечетном 2р этот З^-символ равен нулю в силу свойства
симметрии A06.6)).
В табл. 9 приведены, для справок, значения З^-символов для
js = 1/2, 1, 3/2, 2. Для каждого js указано минимальное число
3j-символов, из которых с помощью соотношений A06.5), A06.6)
можно получить остальные.
Таблица 9
Формулы З^'-символов
j + 1/2
= (_i)J—»-i/a Г З-т-1/2 11/2
h
3
h
3
h
777,3 = 0
2ra
r2^ra^--+V/2
[Bj + 1)Bj + 2)Bj + 3)J
газ = 1
L 2jBj + l)Bj+ 2) J
Г (j -m)(j -m + 1) j1/2
1B j + l)Bj+ 2)Bj+ 3)J
/_iy-m+l/2 ( 3l 3 3/Z\
\m —777- — 777-3 га-з /
ra3 = 1/2
) См. указанную выше книгу Эдмондса.

i 106
З^'-СИМВОЛЫ
531
Таблица 9 {продолжение)
j -т + 1/2
1/2
f3Q - го +
L
+ го + 3/2)
т3 = 3/2
30 - го - 1/2H ~т+ 1/2H + т + 3/2I1/2
[0 - го - 1/2H ~т+ 1/2H - "» + 3/2I
1/2
J
(-I)''
3	2
777- —777- — 777-3 fT^c
тез = 0
2[3roa-j(j
+ 2)Bj
-2та
- m + 2)(j - m
2)Bj + 3)Bj + 4)Bj + 5)
777,3 = 1
A + 2rn)
1/2
-2(j + 2m + 2)
-m)
1/2
j + m + 2)(j - ш + 2)(j - m + l)(j - m
+ 2)Bj + 3)Bj + 4)Bj + 5)
1/2
3i
m3 = 2
/ + m + 2I1/2
-2
{j -m-
- rn)(j -m + l)(j + m + 2I1/2
(j-m-
2I
J
2)Bj + 3)Bj + 4)Bj + 5) J

532
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
Задача
Определить угловую зависимость волновых функций частицы со спи-
спином 1/2 в состояниях с заданными значениями орбитального момента /,
полного момента j и его проекции т.
Решение. Задача решается общей формулой A06.8), в которой надо
под ф^ ' понимать собственные функции орбитального момента (т. е. сфе-
сферические функции Yimi), а под ф^2'— спиновую волновую функцию х(а)
(где а = ±1/2):
-т
Подставив значения 3j-символов, получим
§ 107. Матричные элементы тензоров
В § 29 были получены формулы, определяющие зависимость
матричных элементов векторной физической величины от зна-
значения проекции момента. Эти формулы являются в действи-
действительности частным случаем общих формул, решающих такую
же задачу для неприводимого (см. с. 268) тензора любого ран-
ранга1).
Совокупность 2к + 1 компонент неприводимого тензора ран-
ранга к (к — целое число) по своим трансформационным свойст-
свойствам эквивалентна совокупности 2к + 1 сферических функций Y^q
(g = — fc,. ..,fe) (см. примеч. на с. 268). Это значит, что путем
составления соответствующих линейных комбинаций компонент
тензора можно получить набор величин, преобразующихся при
вращениях как функции Y^q. Совокупность таких величин, кото-
которые мы будем обозначать здесь через fkq, назовем сферическим
тензором ранга к.
Так, вектору соответствует значение к = 1, а величины f\q
связаны с компонентами вектора следующими формулами:
/ю = iaz, /i,±i = T(i/V2)(ax ± iay)	A07.1)
(ср. E7.7)). Аналогичные формулы для тензора второго ранга
х) Разработка вопросов, рассматриваемых в §107-109, и большинство из-
излагаемых в них результатов принадлежат Рака A942/1943).

§ 107	МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРОВ	533
имеют вид
/20 = -\fbf7lazz, /2j±i = ±(axz ± iayz),	. ^\
/2,±2 = -A/2)(ажж - ауу ± 2гаху).
причем ахх + ауу + azz = О1).
Составление тензорных произведений из двух (или больше-
большего числа) сферических тензоров fkiqi, fk2q2 происходит в соот-
соответствии с правилами сложения моментов, причем fei, &2 игра-
играют формально роль «моментов», соответствующих этим тензо-
тензорам. Таким образом, из двух сферических тензоров рангов к\
и &2 можно образовать сферические тензоры рангов К = к\ +
+ &2,..., |fci — Ай| по формулам
{fk1gk2)KQ = ^2(qiQ2\KQ) fkiqigk2q2 =
K)	2 (Ю7.3)
(cp. A06.9)). Скалярное произведение двух сферических тензо-
тензоров одинакового ранга к принято, однако, определять как
(fkgk)oo = Х)(-1)*"9/*,аь,-„	(Ю7.4)
Q
что отличается от определения по формуле A07.3) с К = Q = 0
множителем \/2к + 1 (ср. A06.2)J). Это определение можно
представить также в виде
(fkgkH0 = yZfkqekqi
q
если заметить, что комплексное сопряжение сферического тен-
тензора производится по правилу
f*kq = (-i)k-qfk,-q
(ср. B8.9K).
х) Подразумевается, что комплексность величин Дд связана только с пе-
переходом к сферическим координатам, т. е. исходные декартовы компоненты
тензора вещественны.
2)Если А и В — два вектора, соответствующих по формулам A07.1) сфе-
сферическим тензорам f\q и gig, то
(/igi)oo = АВ.
3) Повторим здесь замечание, сделанное выше в связи с формулой A06.8):
при таком правиле комплексное сопряжение тензоров рангов fci и fo в правой
части равенства A07.3) приводит к такому же сопряжению тензора ранга К
в его левой части.

534
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
Представление физических величин в виде сферических тен-
тензоров в особенности удобно при вычислении их матричных эле-
элементов, так как позволяет воспользоваться для этой цели ре-
результатами теории сложения моментов.
По определению матричных элементов, имеем
T	jfrn4	A07.5)
где фщШ — волновые функции стационарных состояний систе-
системы, характеризуемых величиной ее момента j, его проекцией га
и набором остальных квантовых чисел п. По своим трансфор-
трансформационным свойствам функции в правой и левой частях равен-
равенства A07.5)) соответствуют функциям в правой и левой частях
равенства A06.11). Отсюда сразу следуют правила отбора.
Матричные элементы компонент fkq неприводимого тензо-
тензора ранга к отличны от нуля лишь для переходов jm —»> /га',
удовлетворяющих «правилу сложения моментов» У = j + k; при
этом числа У, j, к должны удовлетворять «правилу треуголь-
треугольника» (т.е. могут измерять стороны замкнутого треугольника),
а га/ = га + q. В частности, диагональные матричные элементы
могут быть отличны от нуля только при условии 2j ^ к.
Далее, из той же трансформационной аналогии следует, что
коэффициенты в сумме A07.5) должны быть пропорциональны
коэффициентам в A06.11) (теорема Вагнера-Эккарта). Этим
определяется зависимость коэффициентов от чисел га, га/, в со-
соответствии с чем представим матричные элементы в виде
A07.6)
(jmax — большее из чисел j и У), где {п'j'\\fk\\nj) — величины,
не зависящие от га, га/, q'\ их называют приведенными матрич-
матричными элементами. Эта формула решает поставленный вопрос
об определении зависимости матричных элементов от проек-
проекций моментов. Эта зависимость оказывается полностью связан-
связанной со свойствами симметрии по отношению к группе враще-
вращений, между тем как зависимость от остальных квантовых чисел
определяется уже физической природой самих величин f^q г).
) Из полученных результатов, в частности, следуют указанные в § 29 пра-
правила отбора для матричных элементов вектора и формулы B9.7)-B9.9) для

§ 107	МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРОВ	535
Операторы fkq связаны друг с другом соотношениями
/? = i-l)k-qh-q-	(Ю7.7)
Поэтому для их матричных элементов имеет место равенство
(n'j'm'\fkq\njm)* = (-l)fc-^(njm|/fci_Jn'jW).	A07.8)
Подставив сюда A07.6) и воспользовавшись свойствами 3j-chm-
волов A06.5), A06.6), получим для приведенных матричных эле-
элементов соотношение «эрмитовости» х)
(n'j'\\fk\\nj) = (nj\\h\\n'j'Y-	(Ю7.9)
Матричные элементы скаляра A07.4) диагональны по j и га.
Согласно правилу умножения матриц имеем
(nrjm\(fkgk)oo\njm) =
Подставив сюда выражения A07.6) и произведя суммирование
по q и т" с помощью соотношения ортогональности 3j-chmbo-
лов A06.12), получим следующую формулу:
(nfjm\(fkgk)oo\njm) = ^— ? (nfj\\fk\\n"j")(n"j"\\gk\\nj).
3
j
A07.10)
Аналогичным образом легко получить следующие формулы
суммирования квадратов матричных элементов:
2j +
qm'
\{n'j'm'\fkq\njm)\2 = -±-\(n'j'\\fk\\nj)\2,
A07.12)
В первой из них суммирование производится по q и га/ при за-
заданном га, а во второй—по га и га/ при заданном q (причем
всегда га/ = га + q).
Рассмотрим, со справочными целями, случай, когда величи-
величинами fkq являются сами шаровые функции Ykq, и дадим выраже-
выражения их матричных элементов для переходов между состояниями
х) Фазовый множитель в определении A07.6) выбран именно так, чтобы
обеспечить это равенство.

536
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
одной частицы с целочисленными орбитальными моментами 1\
и /2, т.е. интегралов
(hm1\Ylm\l2m2) = JV,*TOiy/TOy/ama do.	A07.13)
Помимо правила отбора, соответствующего правилу сложения
моментов A + I2 = li), для этих матричных элементов имеет ме-
место также правило, согласно которому сумма I + l\ +fa должна
быть четным числом. Оно связано с сохранением четности, в си-
силу которого произведение четностей ( — l)/l+/2 обоих состояний
должно совпадать с четностью ( —1) рассматриваемой физиче-
физической величины (см. §30).
Матричные элементы A07.13) являются частным случаем бо-
более общего интеграла, который будет вычислен в § 110 (см. при-
примеч. на с. 547). Они даются формулой
h	l fa\(h I
В частности, при mi = rri2 = тп = 0 находим значение интеграла
от произведения трех полиномов Лежандра
1
J Pl{^)Ph^)Ph^)d^ = 2^ lQ г02J.	A07.15)
-1
§ 108. б^-символы
Мы определили в § 106 З^'-символы как коэффициенты в сум-
сумме A06.4), представляющей собой волновую функцию системы
трех частиц с равным нулю полным моментом. С точки зрения
трансформационных свойств по отношению к вращениям эта
сумма является скаляром. Отсюда следует, что набор 3j-chmbo-
лов с заданными значениями ji, J2, js (и всеми возможными mi,
?Ti2, rns) можно рассматривать как совокупность величин, пре-
преобразующихся при вращениях по закону, контраградиентно-
му закону преобразования произведений 4)j1mi^j2m2^j3m3—такэ
чтобы обеспечить инвариантность всей суммы.
В связи с такой точкой зрения можно поставить вопрос о
построении скаляра, составленного из одних только 3j-chmbo-
лов. Такой скаляр должен зависеть только от чисел j, но не от

§ 108	б^'-символы	537
чисел га, меняющихся при вращениях. Другими словами, он дол-
должен выражаться в виде сумм по всем числам га. Каждое такое
суммирование состоит в «упрощении» произведения двух 3j-сим-
3j-символов по правилу
{-'т.)
(ср. способ составления скаляра A06.2)).
Поскольку в каждом «упрощении» фигурирует пара чисел га,
для составления полного скаляра надо рассматривать произве-
произведения четного числа З^'-символов. Упрощение произведения двух
3j-символов приводит, в силу свойства их ортогональности, к
тривиальному результату:
Е( л к к \ ( к к к \
\mi ГП2 газ/ \-rai -га2 —газ/
777,1777,2 777-3
(• \ 2
Jl J2 33 \ _ -I
^v-. ,™-. ^v-. 1 — -"-
7774 7712 ^'З/
77117712^^3
(здесь использовано равенство rai + 7712 + газ = 0 и формулы
A06.6) и A06.12)). Поэтому наименьшее число сомножителей,
необходимое для получения нетривиального скаляра, равно че-
четырем. В каждом 3j-символе три числа j составляют геометри-
геометрически замкнутый треугольник. Поскольку каждое число j долж-
должно фигурировать, при «упрощении», в двух 3j-символах, то ясно,
что при составлении скаляра из произведений четырех 3j-chm-
волов имеется 6 чисел j, которые геометрически должны изо-
изображаться длинами ребер неправильного тетраэдра (рис. 45);
каждому из З^'-символов соответствует одна из его граней. В
определении искомого скаляра принято определенное условие в
отношении произведения процесса упрощения, выражаемое сле-
следующей формулой:
/Л к Зз\ = V^ (_i)^ji~mi) ( Л к 33 \
Ш 35 36) ^К }	\-rni -гп2 -гп3)
все ттг
х C1 зъ к\ C4 к к \ ( к зъ к\
Суммирование производится здесь по всем возможным значе-
значениям всех чисел га; поскольку, однако, сумма трех га в каж-
каждом 3j-символе должна быть равна нулю, фактически лишь

538
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
ГЛ. XIV
три из шести т независимы. Величины, определенные фор-
формулой A08.2), называют 6 j-символами или коэффициентами
Рака1).
Из определения A08.2), с учетом свойств симметрии 3j-сим-
3j-символов, легко убедиться в том, что 6j-символ не меняется при
любой перестановке трех его столбцов, а в каж-
каждой паре столбцов можно переставить верхнее и
нижнее числа. В силу этих свойств симметрии
последовательность чисел л ... Jq в 6j-символе
можно представить в 24 эквивалентных видах2).
Кроме того, б^'-символы обладают еще одним, ме-
менее очевидным, свойством симметрии, устанавли-
устанавливающим равенство между символами с различны-
различными наборами чисел j:
с>
IЛ 32 33 \
U4J5J6J
(T.Regge, 1959K).
Укажем полезное соотногпение меж:ду 6j- и 3j-символами, ко-
которое можно получить с помощью определения A08.2):
Е (-1)*
34+35+3б-т4-т5-тв
777-4 777-57716
(jl ЗЪ Л \(
\mi —7715 тб) \
Н П Л
( j
и Зъ
m4 m5
= ( л h h
\ f л h h\ /108 4ч
Выражение, суммируемое в левой части равенства, отличается
от суммы в A08.2), отсутствием одного множителя Cj-chmbo-
ла). Можно сказать поэтому, что сумма в A08.4) изображает-
изображается тетраэдром (рис. 45) без одной из его граней; этим опреде-
определяется отличие суммы от скаляра. Другими словами, по сво-
В литературе используется также обозначение
2)	Если представить себе четырехгранник рис. 45 как правильный тетра-
тетраэдр, то 24 эквивалентные перестановки чисел j могут быть получены как
результат применения 24 преобразований симметрии (поворотов и отраже-
отражений) тетраэдра.
3)	См. примеч. на с. 529.

§ 108	б^'-символы	539
им трансформационным свойствам она соответствует одному
З^'-символу — стоящему в правой части равенства A08.4), кото-
которому она должна быть пропорциональна. Коэффициент же про-
пропорциональности (б^'-символ в правой части равенства) легко
получить, умножив обе части равенства на
(Л h h \
Vrai т2 msj
и просуммировав по оставшимся числам rai, 7712, газ-
б^'-символы появляются естественным образом при рассмот-
рассмотрении следующего вопроса, связанного со сложением трех мо-
моментов.
Пусть три момента j\, 22, js складываются в результирующий
момент J. Заданием момента J (и его проекции М) состояние
системы, однако, еще не определяется однозначным образом; оно
зависит и от способа сложения моментов (или, как говорят, от
схемы их связи).
Рассмотрим, например, такие две схемы связи: 1) сначала
моменты ji и J2 складываются в суммарный момент ji2, а за-
затем ji2 и J3 складываются в окончательный момент J; 2) момен-
моменты J2 и j3 складываются в j23? а затем j2s и Л — в J- Первой
схеме соответствуют состояния, в которых (наряду с ji, J2 J3,
J, M) имеет определенное значение величина ji2] их волновые
функции обозначим через ipj12jM (опуская, для краткости, по-
повторяющиеся индексы jiJ2Js)- Аналогично, волновые функции
второй схемы связи обозначим через ipj23jM В обоих случаях
значения «промежуточного» момента (ji2 или ^2з)> вообще го-
говоря, неоднозначны, так что мы имеем (при заданных J, M)
два различных набора состояний, различающихся значениями
ji2 или ji3. Согласно общим правилам функции этих двух набо-
наборов связаны друг с другом определенным унитарным преобра-
преобразованием
A08.5)
312
Из физических соображений очевидно, что коэффициенты
этого преобразования не зависят от числа М— они не мо-
могут зависеть от ориентации всей системы в пространстве. Та-
Таким образом, они зависят лишь от значений шести моментов
Л 32 js 312 J23 J•> но не от их проекций, т. е. являются ска-
скалярными (в указанном выше смысле) величинами. Фактическое
вычисление этих коэффициентов легко произвести следующим
образом.

540
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
Путем двукратного применения формулы A06.9) находим
(го)
(знак (га) под знаком суммы означает, что суммирование про-
производится по всем входящим в выражение числам mi,m2, ¦ ¦ ¦)¦
Используя ортонормированность функций фут, найдем теперь
, , v f ,*
0l2b23> = I ^j12JM^J23JM dq =
11 JM) G774771231 JM) G774777,2 I Jl2^'12) G77,2777,3 |.723^'2з) •
(m)
Сумма в правой части равенства берется при заданном значе-
значении М, но результат суммирования в действительности (по ука-
указанной выше причине) от М не зависит. Поэтому суммирование
можно распространить и по значениям М, введя при этом перед
суммой множитель 1/BJ + 1). Выражая затем коэффициенты
(mim2\jm) через З^'-символы согласно A06.10), получим:
j] g}. (Ю8.6)
Связь 6j-символов с коэффициентами преобразования A08.5)
позволяет легко получить некоторые полезные формулы для
суммирования произведений 6j-символов.
Прежде всего, в силу унитарности преобразования A08.5) (и
вещественности его коэффициентов), имеет место соотношение
Далее рассмотрим три схемы связи трех моментов — с про-
промежуточными суммами соответственно J12, J23 и jsi- Коэффици-
Коэффициенты соответствующих преобразований A08.6) связаны между
собой, согласно правилу умножения матриц, соотношением
( 7*1 9 7*94 ) ( 7*94 7*41 ) = G*19 7*41).
J23

§ 108	б^'-символы	541
Подставив сюда A08.6) и изменив обозначение индексов, полу-
получим
(-1)	W + ^tji j5 jj\j2 j5 hJ-\H h h)'
A08.8)
Наконец, путем рассмотрения различных схем связи четырех
моментов можно получить1) следующую формулу сложения для
произведений трех 6j-символов:
Ef-lV+SiifO'j + ri/-3!4 P ^\iP ft Р\№4 P te\ =
К ) 1 К JT )\jQ js jj\j7 j jgJXJr jS j)
A08.9)
(L. C. Biedenharn, J.P.Elliott, 1953).
Приведем, для справок, некоторые явные выражения для
б^'-символов. б^'-символ может быть представлен в общем случае
в виде следующей суммы:
A08.10)
где
а сумма берется по всем положительным целым значениям z,
при которых ни один из факториалов в знаменателе не имеет
отрицательного аргумента. В табл. 10 даны формулы 6j-chmbo-
лов для случаев, когда один из параметров равен 0, 1/2 или 1.
В заключение сделаем несколько замечаний о составляемых
из 3j-символов скалярах более высокого порядка.
Следующим по сложности после 3j-символа является скаляр,
составляемый путем упрощения произведений шести 3j-chmbo-
лов. Эти З^'-символы содержат 18 попарно совпадающих чисел j,
) См. цитированную выше книгу Эдмондса.

542
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
так что возникающий в результате скаляр зависит от 9 параме-
параметров j. Его принято называть 9j- символом и определять следую-
следующим образом (Е. Wigner, 1951)х):
х C31 332 Ззз\ (in J21 J31
\77131 77132 77133/ \ГПц 77121 771з]
х C12 322 332\C13 323 333\ (Ю8.11)
\77li2 77122 77132/ \77ll3 77123 77133/
Таблица 10
Формулы для б^'-символов
[а Ъ
} = . v -/	s = a + 6 + c
0 С
а	о с
i	c-i Ь+1-\={-1)
Л	2 2J
а	Ъ ° \ , ,чЛ (s + l)(s-2a)
1	1 , П =(-l)e| V A ;
C2 62J	L26B6 + lJcBc+l)
fa 6	с ]_	Г sfS + nfs-2a-nfS-2a) 11/2
1 c_i &_iJ	[B6- 1J6B6+ l)Bc-lJcBc+l)J
~ L 26B6+ l)B6 + 2)Bc-lJcBc+l)J
\a b с I	F2(s +l)(s - 2a)(s - 26)(s - 2c+1Iv
ll c-1 6 J~	L 26B6 + 1)B6 + 2)Bc - lJcBc + 1).
6	с \	r(s-26-l)(s-26)(s-2c+l)(s-2c +
+ 3)Bc-lJcBc+l) J
\a b c\ = / ir+i 2[&(b + 1) + Ф + 1) - a(a + 1)]
!l с 6j	[26B6+l)B6 + 2JcBc+l)Bc + 2)
1)По общему правилу упрощения A08.1) надо было бы писать аргу-
аргументы т в последних трех З^'-символах со знаком минус и ввести под
знак суммы множитель ( —1)^^~т\ Воспользовавшись, однако, свойст-
свойством A06.6) З^'-символов и учитывая, что в данном случае, как легко со-
сообразить, сумма 5^т всех девяти чисел т равна нулю, мы придем к опре-
определению A08.11).

§ 109	МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ СЛОЖЕНИИ МОМЕНТОВ	543
Эта величина может быть также представлена в виде суммы
произведений трех б^'-символов:
Ь'31 J32 hs) j	^32 JSS 3 *
322 ,7321 /ЛЗ J23
U21 j 32ъ] \ 3 Л1 J12
В эквивалентности A08.11) и A08.12) можно убедиться, подста-
подставив в A08.12) определение A08.2) и воспользовавшись свойства-
свойствами ортогональности 3j-символов.
Э^'-символ обладает высокой симметрией, следующей непо-
непосредственно из определения A08.11) и свойств симметрии
З^'-символов. Легко убедиться, что при перестановке любых его
двух строк или двух столбцов 9j-символ умножается на (—1)^.
Кроме того, Э^-символ не меняется при транспонировании, т. е.
при взаимной замене строк и столбцов.
Скаляры еще более высоких порядков зависят от еще боль-
большего числа параметров j. Очевидно, что это число должно быть
всегда кратно трем (Зп^'-символы). Мы не будем останавливать-
останавливаться здесь на свойствах этих величин. Упомянем лишь, что при
каждом п > 3 имеется более чем по одному различному не сво-
сводящемуся друг к другу типу Зп^-символов. Так, имеется два
различных типа ^'-символов1).
§ 109. Матричные элементы при сложении моментов
Рассмотрим снова систему, состоящую из двух частей (о ко-
которых будем говорить как о подсистемах 1 и 2), и пусть /L
сферический тензор, характеризующий первую из них. Его мат-
матричные элементы по отношению к волновым функциям этой
же подсистемы определяются, согласно A07.6), формулой
х) Более подробное изложение теории ^'-символов, а также о свойст-
свойствах Snj'-символов см. цитированную на с. 272 книгу Эдмондса и книги:
А. П. Юцис, И. Б. Левинсон, В. В. Ванагас. Математический аппарат тео-
теории момента количества движения. — Вильнюс, 1960; Д. А. Варшалович,
А. Н. Москалев, В. К. Херсонский. Квантовая теория углового момента. —
М.: Наука, 1975.

544
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
Возникает вопрос о вычислении матричных элементов этих же
величин по отношению к волновым функциям системы в целом;
покажем, как они могут быть выражены через те же приведен-
приведенные матричные элементы, которые фигурируют в выражени-
выражениях A09.1).
Состояния системы в целом определяются квантовыми чи-
числами jiJ2JMniri2 (J, М — величина и проекция момента всей
системы). Поскольку /^ относится к подсистеме 1, ее оператор
коммутирует с оператором момента подсистемы 2. Поэтому ее
матрица диагональна по J2\ она диагональна также и по осталь-
остальным квантовым числам П2 этой подсистемы. Эти индексы (J2,
712) мы будем для краткости опускать и будем писать искомые
матричные элементы в виде
Согласно A07.6) их зависимость от числа М определяется фор-
формулой
WiJ'M'\fj»\n1j1JM) =
(M' X м) WiJ'WfPWniJiJ)- (Ю9.2)
Для установления связи между приведенными матричными
элементами в правых частях A09.1) и A09.2) пишем, по опреде-
определению матричных элементов:
_
Подставив сюда A09.1), A09.2) и сравнив полученное соотноше-
соотношение с формулой A08.4), мы увидим, что отношение приведен-
приведенных матричных элементов (в A09.1), A09.2)) должно быть про-
пропорционально определенному 67-символу. Тщательное сравнение
обоих указанных соотношений приводит к следующей оконча-

§ 109	МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ СЛОЖЕНИИ МОМЕНТОВ	545
тельной формуле:
¦ 3i ^JK^IIifViii) (Ю9.3)
(здесь jimax — большее из ji, j[] Jmin—меньшее из J, J'). Ана-
Аналогичная формула для приведенных матричных элементов
сферического тензора, относящегося к второй подсистеме:
(Ю9.4)
Отсутствие полной симметрии между выражениями A09.3) и
A09.4) (в показателе степени у —1) связано с зависимостью фазы
волновых функций от порядка сложения моментов. Эту разни-
разницу надо иметь в виду, если приходится вычислять матричные
элементы одновременно для обеих подсистем.
Далее, найдем полезную формулу для матричных элементов
по отношению к волновым функциям всей системы от скаляр-
скалярного произведения (см. определение A07.4)) двух сферических
тензоров одинакового ранга к, относящихся к различным под-
подсистемам (и потому коммутирующих друг с другом). Соглас-
Согласно A07.10) эти матричные элементы выражаются через приве-
приведенные матричные элементы каждого из тензоров (по отноше-
отношению к волновым функциям системы в целом) следующим обра-
образом:
(здесь использовано, что матрица величины, относящейся к од-
одной из подсистем, диагональна по квантовым числам другой
подсистемы). Подставив сюда A09.3), A09.4) и воспользовав-
воспользовавшись формулой суммирования A08.8), получим искомую форму-
формулу, выражающую матричные элементы скалярного произведения
через приведенные матричные элементы каждого из тензоров по

546
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
отношению к волновым функциям соответствующих подсистем:
= /iy'lmin+J2max + J J J 3% 3\ I w
^^h)- (Ю9.5)
§ 110. Матричные элементы
для аксиально-симметричных систем
Основой для вычисления матричных элементов величин, ха-
характеризующих системы типа симметричного волчка, служит
выражение интеграла от произведения трех Д-функций.
Для вывода этой формулы вернемся к разложению A06.11)
и преобразуем обе части равенства конечным поворотом системы
координат. Каждая из -^-функций преобразуется согласно E8.7),
так что получим
Выразив теперь функции ipjm' в правой части равенства в виде
разлож:ения A06.9) и сравнив коэффициенты при одинаковых
произведениях ф^т1, ^2Ш2, получим соотношения
i	A10.1)
(причем т = mi+rri2, m' = т^+т^ а ио обозначает совокупность
трех эйлеровых углов ск, /3, 7- Выраженная через 3j-символы, эта
формула принимает вид
3
X
; m2
m'2 -m'
(здесь использовано также свойство Д-функций E8.19)).

§ 110 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ 547
Умножив равенство A10.2) с обеих сторон на D_m, _m(w)
и проинтегрировав его по duo с помощью соотношения ортого-
ортогональности E8.20), получим
Л h h \ (л h h \
*i rri2 m'J [тг m2 ms)
(для большей симметрии здесь произведено очевидное изменение
обозначений индексов). Это и есть искомая формула1).
Пусть fkqr — сферический тензор ранга к, характеризую-
характеризующий волчок в связанных с ним координатных осях x'y'z' = ^rj(
(ось ? — по оси волчка); это может быть, например, тензор муль-
типольного электрического или магнитного момента. Пусть
fkq — компоненты того же тензора относительно неподвижных
осей координат xyz. Связь между теми и другими определяется
матрицей конечных вращений согласно
q'
Волновые функции, описывающие вращение системы как це-
целого, отличаются от Д-функций лигпь нормировкой:
~т' ч	A10.5)
где j — полный момент системы; т — его проекция на непо-
неподвижную ось z\ \i—проекция на ось системы; фазовый мно-
множитель выбран так, чтобы при целочисленном j и [i = 0 функ-
функция A10.5) переходила в собственную функцию свободного мо-
момента (ср. A03.8)). Вычисляя по этим функциям матричный эле-
элемент величины A10.4) с помощью A10.3) (причем комплексно
сопряженная Д-функция выражается согласно E8.19)), получим
, , Л ( ,
fi q nj \—m q m
(причем q' = jj! — \i, q = m' — m).
k, Л ( jf, k jWl/WIai> (П0.6)
x) При целых значениях j\ = /i, j2 = /2, J3 = /3 и m^ = m2 = mf3 = 0
функции i^Qm сводятся, согласно E8.25), к шаровым функциям, и форму-
формула A10.3) дает выражение для интеграла от произведения трех шаровых
функций A07.14).

548
СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ	ГЛ. XIV
Эта формула решает поставленную задачу. Она определяет
зависимость матричных элементов от моментов j, f и их про-
проекций га, га/. Что касается зависимости от квантовых чисел //,
fi1', то она остается, разумеется, неопределенной: значения этих
чисел зависят от «внутренних» состояний системы, между кото-
которыми берется «внутренний» матричный элемент (/i'|/^/|/i).
Зависимость матричных элементов A10.6) от чисел га, га/,
такая же, как для всякой системы с заданным полным момен-
моментом. Отделив эту зависимость введением приведенных матрич-
матричных элементов согласно A07.6), получим для последних выра-
выражение
1>- (m7)
Квадрат модуля матричного элемента A10.6), просуммиро-
просуммированный по всем значениям конечного числа га/ (и по q = га/ — га)
при заданном га, не зависит от значения га и равен, по общему
правилу A07.11):
|(jV||
qmf
(^ J ?)V- (П0.8)
Соотношения эрмитовости A07.9) для приведенных матрич-
матричных элементов в координатах xyz A10.7), как и следовало, на-
находятся в согласии с соотношениями A07.8)
для матричных элементов в координатах ?](
Вращение таких аксиально-симметричных систем, как двух-
двухатомная молекула (или аксиальное ядро), описывается всего
двумя углами (а = <р, /3 = 0), определяющими направление оси
системы. Вращательная волновая функция отличается в этом
случае от A10.5) отсутствием множителя ег/Х7/у2тг (ср. примеч.
на с. 389). Это изменение, однако, не отражается на матричных
элементах: поскольку зависимость D^Jm(a, /3,j) от 7 сводится

§ 110 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ 549
к множителю егш7, то A10.3) можно переписать в виде
= ( л h h \ ( h h h \
(где m' = vn!x + vn!2 + 777/3) и результат вычисления интеграла не
меняется. При этом правило отбора по проекции момента на ось
системы соблюдается в прежнем виде (// — \i = q'), возникая
(как следствие симметрии молекулы относительно оси ?) в ре-
результате ортогональности электронных волновых функций. В
формулах A10.6), A10.7) под (fif\fkq'\fi) надо понимать теперь
матричные элементы по отношению к электронным состояниям
при неподвижных ядрах.

ГЛАВА XV
ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 111. Уравнение Шредингера в магнитном поле
Частица со спином обладает также и определенным «соб-
«собственным» магнитным моментом (л. Соответствующий ему
квантовомеханический оператор пропорционален оператору
спина 1з, т. е. может быть записан в виде
где s — величина спина частицы, а // — характерная для части-
частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного мо-
момента равны [iz = [igIs. Отсюда видно, что коэффициент [i
(который и называют обычно просто величиной магнитного мо-
момента) представляет собой наибольшее возможное значение \iz,
достигаемое при проекции спина а = s.
Отношение fi/Hs дает отношение собственного магнитного
момента частицы к ее собственному механическому моменту
(когда оба направлены по оси z). Как известно, для обыч-
обычного (орбитального) момента это отношение равно е/Bгас)
(см. II, §44). Коэффициент же пропорциональности между соб-
собственным магнитным моментом и спином частицы оказывает-
оказывается иным. Для электрона он равен— |е|/гас, т.е. вдвое больше
обычного значения (такое значение получается теоретически из
релятивистского волнового уравнения Дирака—см. IV, §33).
Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен,
следовательно, — //#, где
0,92710.	A11.2)
2тс	Гс
Эту величину называют магнетоном Бора.
Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в
ядерных магнетонах, определяемых как еК/Bтрс), где тр —
масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитно-
магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, при-
причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона
направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магне-
магнетона.

§ 111	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	551
Обратим внимание на то, что величины /ins, стоящие в
обоих частях равенства A11.1), как и следовало, одинаковы по
своему векторному характеру: обе являются аксиальными век-
векторами. Аналогичное же равенство для электрического диполь-
ного момента d (d = const -s) противоречило бы симметрии по
отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы от-
относительный знак обеих частей равенствах).
В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле мо-
может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнит-
Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивист-
релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной реляти-
релятивистской теории.
В классической теории функция Гамильтона заряженной ча-
частицы в электромагнитном поле имеет вид
где <р — скалярный, А — векторный потенциал поля, ар — обоб-
обобщенный импульс частицы (см. II, § 16). Если частица не обладает
спином, то переход к квантовой механике производится обыч-
обычным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором
р = —iW, и мы получим гамильтониан2)
Если же частица обладает спином, то такая операция недо-
недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент ча-
частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В
классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще
отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эф-
эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Пра-
Правильное выражение для гамильтониана получится путем вве-
введения (в 111.3) дополнительного члена—/хН, соответствующе-
соответствующего энергии магнитного момента /х в поле Н. Таким образом,
х) Отметим, что это равенство (а тем самым и существование электриче-
электрического момента у элементарной частицы) противоречило бы также и сим-
симметрии по отношению к обращению времени: изменение знака времени не
меняет d, но меняет знак спина (как это очевидно, например, из определе-
определения этих величин при орбитальном движении: в определение d входят лишь
координаты, а в определение момента — также и скорость частицы).
) Мы обозначаем здесь обобщенный импульс той же буквой р, что и обыч-
обычный импульс (вместо Р в II, §16), с целью подчеркнуть, что ему отвечает
тот же оператор.

552	ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. XV
гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид1)
При раскрытии квадрата (р — (е/с)АJ надо иметь в виду, что
оператор р, вообще говоря, не коммутативен с вектором А, яв-
являющимся функцией координат. Поэтому надо писать
Согласно правилу коммутации A6.4) оператора импульса с лю-
любой функцией координат имеем
рА - Ар = -ifidiv А.	A11.6)
Таким образом, р и А коммутативны, если div A = 0. Это, в
частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его
векторный потенциал в виде
А = A/2)[Нг].	A11.7)
Уравнение iHd^/dt = Н^ с гамильтонианом A11.4) пред-
представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай на-
наличия магнитного поля. Волновые функции, на которые дей-
действует гамильтониан в этом уравнении, — симметричные спино-
спиноры ранга 25.
Волновые функции частицы в электромагнитном поле обла-
обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потен-
потенциалов поля. Как известно (см. II, §18), последние определены
лишь с точностью до калибровочного преобразования
A^A + V/, v^v-Щ,	A11.8)
с at
где /—произвольная функция координат и времени. Такое пре-
преобразование не отражается на значениях напряженностей поля.
Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также
и решений волнового уравнения; в частности, должен оставать-
оставаться неизменным квадрат |Ф|2. Действительно легко убедиться в
том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновремен-
одновременно с заменойA11.8) в гамильтониане произвести также и замену
волновой функции согласно
Ф-*>Фехр(—/V	A11.9)
1) Обозначение магнитного поля и гамильтониана одинаковой буквой не
может привести к недоразумениям: гамильтониан снабжен шляпкой над
буквой.

§ 112	УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	553
Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на
какой имеющей физический смысл величине (в определение ко-
которой не входят в явном виде потенциалы).
В классической механике обобщенный импульс частицы свя-
связан с ее скоростью соотношением rav = р — еА/с. Для того
чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо проком-
мутировать вектор г с гамильтонианом. Простое вычисление
приводит к результату
mv = p- -А,	A11.10)
с
в точности аналогичному классическому. Для операторов ком-
компонент скорости имеют место правила коммутации
г^. ^ ^ . eh ту	с^ ^ л . eh ту
К, vy} = »-5-Яг, {vy, vz} = г-т~Нх,
A11.11)
с^ ^ -, . eh TT	v	;
{}	H
которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы
видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скоро-
скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это
значит, что частица не может иметь одновременно определенных
значений скорости по всем трем направлениям.
При движении в магнитном поле симметрия по отношению
к обращению времени имеет место лишь при условии измене-
изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит
(см. § 18 и 60), что уравнение Шредингера Нф = Еф должно
сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным
величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильто-
гамильтониане A11.4), за исключением члена — 1зН, это непосредственно
очевидно. Член же — "sH^ в уравнении Шредингера переходит
при указанном преобразовании в ^*H^*, и на первый взгляд на-
нарушает требуемую инвариантность, поскольку оператор 1з* не
совпадает с —s.
Следует, однако, учесть, что волновая функция есть в дей-
действительности контрвариантный спинор ф^—, который при ком-
комплексном сопряжении переходит в ковариантный фх^-~*
(см. §60). Контрвариантным же является спинор ф^ Нахо-
Находя с помощью определений E7.4), E7.5) компоненты (sH^)* и
выражая их через ф^ , убеждаемся в том, что операция обра-
обращения времени приводит к уравнению Шредингера для компо-
компонент ф^ того же вида, который имело исходное уравнение для
компонент ^

554	ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. XV
§ 112. Движение в однородном магнитном поле
Определим уровни энергии частицы в постоянном однород-
однородном магнитном поле {Л. Д. Ландау, 1930).
Векторный потенциал однородного поля удобно выбрать
здесь не в виде A11.7), а в следующей форме:
Ах = -Ну, Ay = Az = 0	(П2.1)
(ось z выбрана в направлении поля). Тогда гамильтониан при-
приобретает вид
f + f - »~szH.	A12.2)
2m 2m s
Прежде всего замечаем, что оператор ^sz коммутативен с га-
гамильтонианом (поскольку последний не содержит операторов
других компонент спина). Это значит, что ^-проекция спина
сохраняется и потому *sz можно заменить собственным значени-
значением sz = а. После этого спиновая зависимость волновой функции
становится несущественной и ф в уравнении Шредингера мож-
можно понимать как обычную координатную функцию. Для этой
функции имеем уравнение
^	A12.3)
Гамильтониан этого уравнения не содержит явно координат
х и z. Поэтому с ним коммутативны также и операторы рх и
pz (дифференцирования по х и z\ т.е. х- и ^-компоненты обоб-
обобщенного импульса сохраняются. Соответственно этому ищем ф
в виде
[lj\	A12.4)
Собственные значения рх и pz пробегают все значения от —ос
до ос. Поскольку Az = 0, то ^-компонента обобщенного им-
импульса совпадает с компонентой обычного импульса mvz. Таким
образом, скорость частицы в направлении поля может иметь
произвольное значение; можно сказать, что движение вдоль по-
поля «не квантуется».
Подставив A12.4) в A12.3), получим следующее уравнение
для функции х(у)-

§ 112	ДВИЖЕНИЕ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ	555
где введены обозначения у$ = —срх/еН и
шн = !f?.	A12.6)
тс
Уравнение A12.5) по форме совпадает с уравнением Шредин-
гера B3.6) для линейного осциллятора, колеблющегося с часто-
частотой ион- Поэтому мы можем сразу заключить, что выражение в
круглых скобках в A12.5), играющее роль энергии осциллятора,
может принимать значения (п + 1/2)Ноин, где п = 0,1, 2,...
Таким образом, получаем следующее выражение для уровней
энергии частицы в однородном магнитном поле:
= (п + -)Пин + &¦ ~ ^Н.	A12.7)
V 2/	2т s
Е
Первый член в этом выражении дает дискретные значения
энергии, отвечающие движению в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной к полю; их называют уровнями Ландау. Для электрона
ц/s = —\е\Н/тс, и формула A12.7) принимает вид
Е = (п + - + о)Ноин + ^-.	A12.8)
V 2 /	2т
Собственные функции Хп(у), отвечающие уровням энер-
энергии A12.7), даются формулой B3.12) с соответствующим из-
изменением обозначений (ан =
В классической механике движение частиц в плоскости, пер-
перпендикулярной к полю Н (плоскость жу), происходит по окруж-
окружности с неподвижным центром. Сохраняющаяся в квантовом
случае величина уо соответствует классической у-координате
центра окружности. Наряду с ней сохраняется также величи-
величина хо = (сру/еН) + х (легко убедиться в том, что ее оператор
коммутативен с гамильтонианом A12.2)). Эта величина соот-
соответствует классической ж-координате центра окружности1).
г) Действительно, для классического движения по окружности радиуса
cmvt/eH (vt — проекция скорости на плоскость ху, см. II, §21) имеем
уо = -срх/еН = -(cm/eH)vx + у.
Из этого выражения очевидно, что у есть координата центра окружности.
Другой координатой будет
хо = (cm/eH)vy + х = сру/еН + х.

556	ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. XV
Однако операторы xq и уо не коммутативны друг с другом,
так что координаты хо и у$ не могут иметь одновременно опре-
определенных значений.
Поскольку A12.7) не содержит величины рж, пробегающей
непрерывный ряд значений, уровни энергии вырождены с непре-
непрерывной кратностью. Кратность вырождения, однако, становится
конечной, если движение в плоскости ху ограничено большой,
но конечной площадью S = LxLy. Число различных (теперь
дискретных) значений рх в интервале Арж равно (Ьх/2тгН)Арх.
Допустимы все значения рж, для которых центр орбиты нахо-
находится внутри S (мы пренебрегаем радиусом орбиты по сравне-
сравнению с большим Ly). Из условий 0 < уо < Ly имеем Арж =
= eHLy/c. Следовательно, число состояний (для заданных п
и pz) есть eHS/27rHc. Если область движения ограничена так-
также и вдоль оси z (длиной Lz\ то число возможных значений pz
в интервале Apz есть (Lz/27rH)Apz и число состояний в этом
интервале есть
eHS Lz д	еНУ л	.	.
Д	A	A12Л0)
Для электрона имеет место еще дополнительное вырождение:
уровни энергии A12.8) совпадают для состояний с квантовыми
числами п, а = 1/2 и п + 1, а = —1/2.
Задачи
1. Найти волновые функции электрона в однородном магнитном поле в
состояниях, в которых он обладает определенными значениями импульса и
момента вдоль направления поля.
Решение.В цилиндрических координатах р, (р, z с осью z вдоль на-
направления поля векторный потенциал в калибровке A11.7) имеет компо-
компоненты А(р = Нр/2, Az = Ар = 0 и уравнение Шредингера1)
2 VJ	2 d	8 PW W
2М [рдр V dp) Oz2 р2 VJ 2 dip 8
Ищем реп1ение в виде
ф=е
и для радиальной функции получаем уравнение
(V + д	R) + \	р	\
2М V	Р	р2 J [ 2М	8	2 J
R = 0.
г) Заряд электрона пишем как е = — |е|, а его массу обозначаем здесь че-
через М в отличие от момента т. Не существенный для этой задачи член со
спином частицы опускаем.

§ 112	ДВИЖЕНИЕ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ	557
Введя новую независимую переменную ? = (Mljh/2Н)р 5 переписываем это
уравнение в виде
0, p(E)
Нин \ 2MJ 2
При ? —»> оо искомая функция ведет себя как е~^/2, а при ? —»> 0 как
Соответственно этому, ищем решение в виде
и для iu(?) получаем уравнение вырожденной гипергеометрической функ-
функции:
Для того чтобы волновая функция была везде конечной, /3 — (\т\ + 1)/2
должна быть целым неотрицательным числом пр. При этом уровни энергии
даются формулой
/	|m|+m + \	i
эквивалентной формуле A12.7). Соответствующие этим уровням радиаль-
радиальные волновые функции
М
B)
ОО
где ан = s/H/Mujh ; функции нормированы условием f R2pdp = 1. Гипер-
о
геометрическая функция здесь есть обобщенный полином Лагерра.
2. Определить нижний уровень энергии, отвечающий связанному состо-
состоянию электрона в потенциальной яме U(r) малой глубины {\U\ <С И /та ,
а — радиус действия сил в яме), на которую наложено также и однородное
магнитное поле (Ю. А. Бычков, 1960).
Решение. Поставленное для поля U(r) условие обеспечивает (в от-
отсутствие магнитного поля) применимость к нему теории возмущений; при
этом связанные состояния в яме отсутствуют (см. §45). При наличии также
и магнитного поля поле U(r) можно рассматривать как возмущение лишь
для движения в поперечной к Н плоскости, характер (дискретный) энер-
энергетического спектра которого при наложении U не меняется. Характер же
движения в направлении Н меняется — оно становится (как будет видно)
из инфинитного финитным, т. е. спектр — из непрерывного дискретным; по-
поэтому для этого движения поле ямы не может рассматриваться по теории
возмущений.
Соответственно этому, при разделении переменных в уравнении Шре-
дингера (уравнение A) предыдущей задачи, дополненное членом иф в левой
части) радиальные функции R(p) берем в прежнем виде B); низшему уров-
уровню отвечают значения квантовых чисел пр = т = 0. Подставив в уравнение
Шредингера ф = Roo(p)x(z), умножив затем уравнение на Roo(p) и проин-
проинтегрировав его по pdp, получим для x(z) уравнение
-!f-x" + U{z)x = ex,	C)
2

558
ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
ГЛ. XV
где е = Е - Hljh/2,
оо
U(z) = J'
(а т—снова масса частицы). Это уравнение по форме совпадает с урав-
уравнением Шредингера для одномерного движения в потенциальной яме U(z),
причем е — энергия этого движения. Поэтому можно просто воспользоваться
результатом задачи 1 к § 45, согласно которому дискретный уровень энергии
2ft2
D)
-оо О
Волновая функция Roo(p) затухает на расстояниях р ~ ан- Если маг-
магнитное поле настолько слабо, что ан ^> а, то интеграл по dp определяется
областью р < а, в которой можно положить Roo(p) « Rqq@) = 1/ан- Тогда
те2Н2
U(r) dV
E)
8тг2Й4с2
(dV = 2npdpdz —»> 4:7гг2 dr). В обратном случае сильного магнитного поля,
когда ан <С а, интеграл в D) определяется областью р < ан, в которой
можно положить U(л
U(z). Тогда интеграл по dp сводится к
нормировочному интегралу функции Roo и обращается в 1, так что
2
F)
В обоих случаях оценка интегралов показывает, что е <
3. Определить уровни энергии атома водорода в магнитном поле на-
настолько сильном, что ан ^С ав, где ав — боровский радиус (R.J.Elliott,
R.Loudon, 1960).
Решение. При поставленном условии, Тшн ^> те4/Н2, влияние куло-
нова поля ядра на движение электрона в поперечной к Н плоскости можно
рассматривать как малое возмущение. Мы возвращаемся поэтому к рассмо-
рассмотренной в задаче 2 ситуации, и можно применить уравнение C), причем
U(z) = -e
Roo{p)p
dp.
G)
Написав в этом выражении радиальную функцию i?oo, мы ограничиваемся
ниже уровнями энергии продольного движения, относящимися к нулевому
уровню Ландау (Нин/2) поперечного движения.
Волновая функция основного состояния, Xo(zM простирается на рассто-
расстояния \z\ < ав, медленно меняясь на их протяжении (не имея нулей, она не
обращается в нуль при z = 0). Поэтому для основного уровня выполняются
условия, использованные в решении задачи 1 §45, и можно воспользовать-
воспользоваться основанной на этом решении формулой F). При этом логарифмически
расходящийся интеграл «обрезается» сверху на расстояниях \z\ ~ ав, а вни-
внизу— на расстояниях \z\ ~ ан (где \z\ ~ p и замена
G) не

1 113	ATOM В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	559
допустима). В результате находим
п3н
П2	ан	2П2
Эта формула имеет, как говорят, логарифмическую точность: предполага-
предполагается, что не только само отношение ав/ан, но и его логарифм велики; при
этом числовой множитель в аргументе логарифма остается неопределенным.
Возбужденные состояния дискретного спектра получаются как решения
уравнения Шредингера C) с полем U(z) ~ —e2/z (получающимся из G)
при z ~ ав ^> р)- Но это уравнение подстановкой х = Z(f(z) приводится к
виду
П2 1 d ( 2d<p
2m z dz \ dz J
совпадающему по форме с уравнением для радиальных волновых функций
s-состояний в трехмерной кулоновой задаче. Поэтому искомые уровни да-
даются формулой C6.10)
причем п = 1,2,3,... Это выражение тоже имеет лишь логарифмическую
точность — следующий поправочный член был бы мал по сравнению с основ-
основным лишь в отношении 1/\п(ав/о,н)-
Уравнение (9) определяет волновую функций лишь при z > 0; она может
быть продолжена в область z < 0 как x(~z) = x(z) или x(~z) = ~x(z)- ^°"
ответственно этому, в рассмотренном приближ:ении уровни A0) двукратно
вырождены. Это вырождение, однако, снимается в высших приближениях
по ан/ав-
§ 113. Атом в магнитном поле
Рассмотрим атом, находящийся в однородном магнитном по-
поле Н. Его гамильтониан
U + ^HS,	A13.1)
тс
тс
где суммирование производится по всем электронам (заряд
электрона написан как — | е |); и — энергия взаимодействия элек-
электронов с ядром и друг с другом; S = ^2^а — оператор полного
(электронного) спина атома.
Если векторный потенциал поля выбран в виде A11.7), то
как уже было отмечено, оператор р коммутативен с А. Учи-
Учитывая, это обстоятельство при раскрытии квадрата в A13.1)
и обозначив через Но гамильтониан атома в отсутствие поля,

560	ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. XV
находим
тс z—'	2тс z—'	тс
а	а
Подставив сюда А из A11.7), получим
Но векторное произведение [гара] есть оператор орбитального
момента электрона, а суммирование по всем электронам дает
оператор KL полного орбитального момента атома. Таким обра-
образом,
? ?	^V2	A13.2)
отс
а
(Мв — магнетон Бора). Оператор
Дат = -МБ(Ь + 2§)	(ПЗ.З)
можно рассматривать как оператор «собственного» магнитного
момента атома, которым он обладает в отсутствие поля.
Внешнее магнитное поле расщепляет атомные уровни, сни-
снимая вырождение по направлениям полного момента (эффект
Зеемана). Определим энергию этого расщепления для атом-
атомных уровней, характеризующихся определенными значениями
квантовых чисел J, L, S (т. е. предполагая для уровней случай
LiS-связи — см. §72).
Будем считать магнитное поле настолько слабым, что цвН
мало по сравнению с расстояниями между уровнями энергии
атома, в том числе по сравнению с интервалами тонкой струк-
структуры уровней. Тогда второй и третий члены в A13.2) можно
рассматривать как возмущение, причем невозмущенными уров-
уровнями являются отдельные компоненты мультиплетов. В первом
приближении третьим членом, квадратичным по полю, можно
пренебречь по сравнению с линейным вторым членом.
В этом приближении энергия расщепления АЕ определяется
средними значениями возмущения в состояниях (невозмущен-
(невозмущенных), отличающихся значениями проекции полного момента на
направление поля. Выбрав это направление в качестве оси z,
имеем
АЕ = 1лвН(Ьг + 2SZ) = nBH(Jz + Sz).	A13.4)
Среднее значение Jz совпадает просто с заданным собственным
значением Jz = Mj. Среднее же значение Sz можно найти сле-
следующим образом с помощью «поэтапного» усреднения (ср. § 72).

§ 113	АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	561
Усредним сначала оператор S по состоянию атома с заданны-
заданными значениями 5, L и J, но не Mj. Усредненный таким образом
оператор S может быть «направлен» лишь вдоль J—единствен-
J—единственного сохраняющегося «вектора», характеризующего свободный
атом. Поэтому можно написать
S = const J.
В таком виде, однако, это равенство имеет лишь условный смысл,
поскольку три компоненты вектора J не могут иметь одновре-
одновременно определенных значений. Буквальный же смысл имеет его
^-проекция
Sz = const • Jz = const -Mj
и равенство
SJ = const J2 = const -J(J + 1),
получающиеся умножением обеих его частей на J. Внеся сохра-
сохраняющийся вектор J под знак среднего, пишем SJ = SJ. Среднее
же значение SJ совпадает с собственным значением
SJ = ±[J(J + 1) - L(L + 1) + S(S + 1)],
которому оно равно в состоянии с определенными значениями
L2, S2, J2 (ср. C1.4)). Определив const из второго равенства и
подставив в первое, имеем, таким образом,
Sz = Mji|.	A13.5)
Собрав полученные выражения и подставив в A13.4), нахо-
находим следующее окончательное выражение для энергии расщеп-
расщепления:
АЕ = [iBgMjH,	A13.6)
где
Я — 1 +
2J(J + 1)
есть так называемый множитель Лайде или гиромагнитный
множитель. Отметим, что g = 1, если спин отсутствует (S = О,
так что J = L), и g = 2, если L = 0 (так что J = SI).
х) Расщепление, описываемое общей формулой A13.6), A13.7), иногда на-
называют аномальным эффектом Зеемана. Это неудачное название возникло
исторически в связи с тем, что до открытия спина электрона считался нор-
нормальным эффект, описываемый формулой A13.6) с g = 1.

562	ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. XV
Формула A13.6) дает различные значения энергии для всех
2 J + 1 значений Mj = — J, — J + 1,..., J. Другими словами, маг-
магнитное поле полностью снимает вырождение уровней по напра-
направлениям момента — в противоположность электрическому полю,
оставлявшему нерасщепленными уровни с Mj = ±\Mj\ (§ 76)г).
Отметим, однако, что линейное расщепление, определяемое фор-
формулой A13.6), отсутствует, если g = 0 (что возможно и при
J ф 0, например, для состояния 4D1/2)-
Мы видели в § 76, что существует связь между сдвигом уров-
уровня энергии атома в электрическом поле и его средним электри-
электрическим дипольным моментом. Аналогичная связь существует и
в магнитном случае. Потенциальная энергия системы зарядов
в классической теории дается выражением — /хН, где /х- маг-
магнитный момент системы. В квантовой теории она заменяется
соответствующим оператором, так что гамильтониан системы
Н = Н0-р,Н = Н0- jizH.
Применив теперь формулу A1.16) (с полем Н в качестве пара-
параметра Л), найдем, что среднее значение магнитного момента
дАЕ
дн
v J
где АЕ — сдвиг уровня энергии данного состояния атома. Под-
Подставив сюда A13.6), мы видим, что атом в состоянии с опре-
определенным значением Mj проекции момента на некоторое на-
направление z обладает средним магнитным моментом в том же
направлении:
-pz = -VBgMj.	A13.9)
Если атом не обладает ни спином, ни орбитальным момен-
моментом (S = L = 0), то второй член в A13.2) не дает смещения
уровня ни в первом, ни в более высоких приближениях (так как
все матричные элементы от L и S исчезают). Поэтому весь эф-
эффект связан в этом случае с третьим членом в A13.2) и в первом
приближении теории возмущений смещение уровня равно сред-
среднему значению
) Рассуждения, примененные в этой связи в § 76 к электрическому случаю,
для магнитного поля не годятся. Дело в том, что Н — аксиальный вектор
и потому меняет знак при отражении в плоскости, проходящей через его
направление. Поэтому состояния, получающиеся друг из друга в результате
этой операции, относятся по существу к атому в различных полях.

§ 113	АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	563
Написав [Нга]2 = Н2г^ sin2 0, где в — угол между га и Н, и усред-
усреднив по направлениям га, получим: sin2 в = 1 — cos2 9 = 2/3 (вол-
(волновая функция состояния с L = S = 0 сферически-симметрична
и потому усреднение по направлениям производится независимо
от усреднения по расстояниям га). Таким образом,
АЕ = ^-H2Y^.	A13.11)
12mc2 Z^ «	v	>
a
Магнитный момент, вычисленный по формуле A13.8), будет
теперь пропорционален величине поля (атом с L = S = 0 в от-
отсутствие поля магнитным моментом, конечно, не обладает). На-
Написав его в виде хН, мы можем рассматривать коэффициент \
как магнитную восприимчивость атома. Для нее получим сле-
следующую формулу Ланэюевена (P. Langevin, 1905):
<ШЛ2>
Эта величина отрицательна, т.е. атом диамагнитен1).
Если же J = 0, но S = L ^ 0, то линейное по полю смеще-
смещение уровня тоже отсутствует, но квадратичный эффект вто-
второго приближения от возмущения —/хатН превышает эффект
A13.11J). Это связано с тем, что, согласно общей форму-
формуле C8.10), поправка к собственному значению энергии во втором
приближении определяется суммой выражений, в знаменателе
которых стоят разности невозмущенных уровней энергии— в
данном случае интервалы тонкой структуры уровня, являющи-
являющиеся малыми величинами. В § 38 было отмечено, что поправка
второго приближения к нормальному уровню всегда отрица-
отрицательна. Поэтому магнитный момент в нормальном состоянии
будет величиной положительной, т. е. атом, находящийся в нор-
нормальном состоянии cJ = 0,L = iS^0, парамагнитен (J. H. van
Vleck, 1928).
В сильных магнитных полях, когда ц$Н сравнимо с ин-
интервалами тонкой структуры или превышает их, расщепление
уровней отклоняется от предсказываемого формулами A13.6),
A13.7); это явление называют эффектом Пашена-Бака.
) Упомянем, что для вычисления среднего квадрата расстояния электро-
электронов от ядра нельзя пользоваться моделью Томаса-Ферми. Хотя интеграл
f nr2 dr с плотностью Томаса-Ферми п(г) и сходится, но он сходится слиш-
слишком медленно, в связи с чем получающиеся значения сильно отличаются от
эмпирических.
2)При S = L ф 0 недиагональные матричные элементы от Lz, Sz для
переходов S,L,J —>> S,L,J± 1, вообще говоря, отличны от нуля.

564	ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. XV
Вычисление энергии расщепления весьма просто в случае,
когда зеемановское расщепление велико по сравнению с интер-
интервалами тонкой структуры, но, конечно, по-прежнему, мало по
сравнению с расстояниями между различными мультиплетами
(так что в гамильтониане A13.2) можно по-прежнему пренебречь
третьим членом по сравнению со вторым). Другими словами,
энергия в магнитном поле значительно превышает взаимодей-
взаимодействие спин — орбита1). Поэтому в первом приближении мож-
можно этим воздействием пренебречь. Тогда сохраняется не только
проекция полного момента, но и проекции Ml и Ms орбиталь-
орбитального момента и спина, так что расщепление определяется фор-
формулой
АЕ = цвН(Мь + 2MS).	A13.13)
Мультиплетное расщепление накладывается на расщепление
в магнитном поле. Оно определяется средним значением опера-
оператора ALS G2.4) по состоянию с данными Ml, Ms (мы рассма-
рассматриваем мультиплетное расщепление, связанное со взаимодей-
взаимодействием спин — орбита). При заданном значении одной из компо-
компонент момента средние значения двух других равны нулю. По-
Поэтому LS = Ml Ms, так что в следующем приближении энергия
уровней определяется формулой
АЕ = цвН(Мь + 2MS) + AMLMS.	A13.14)
Вычисление зеемановского расщепления в общем случае про-
произвольного (не LS) типа связи невозможно. Можно лишь утвер-
утверждать, что расщепление (в слабом поле) линейно по полю и про-
пропорционально проекции Mj полного момента, т. е. имеет вид
AE = fiBgnJHMj,	A13.15)
где gnj— некоторые коэффициенты, характерные для данного
терма (буквой п обозначаем совокупность квантовых чисел, кро-
кроме J, характеризующих терм). Хотя эти коэффициенты, каждый
в отдельности, и не могут быть вычислены, оказывается возмож-
возможным получить полезную в применениях формулу, определяющую
их сумму, взятую по всем возможным состояниям атома с данной
электронной конфигурацией и данным полным моментом.
По определению,
gnjMj = (nJMj\Lz + 2Sz\nJMj).
1) Для промежуточных случаев, когда влияние магнитного поля сравнимо
со взаимодействием спин — орбита, вычисление расщепления в общем виде
невозможно (для случая 5 = 1/2 расчет приведен в задаче 1).

113	АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	565
Величины же gsbjMj (где gsu — множитель Ланде A13.7), от-
отвечающий LiS-связи) являются диагональными матричными эле-
элементами
gSLjMj = (SLJMj\Lz + 2Sz\SLMj),
вычисленными по другой полной системе волновых функций.
Функции каждой из этих систем получаются из другой систе-
системы линейным унитарным преобразованием. Но такое преобра-
преобразование оставляет неизменной сумму диагональных элементов
матрицы (§ 12). Отсюда следует, что
п	SL
или, поскольку gnj и gsLJ от Mj не зависят,
A13Л6)
п	SL
Суммирование производится по всем состояниям с данным зна-
значением J, которые возможны для данной электронной конфигу-
конфигурации. Это и есть искомое соотношение.
Задачи
1. Определить расщепление терма с S = 1/2 при эффекте Пашена-Бака.
Решение. Магнитное поле и взаимодействие спин-орбита должны
учитываться в теории возмущений одновременно, т. е. оператор возмущения
имеет вид )
V = ALS + fiB(Lz + 2SZ)H.
В качестве исходных волновых функций нулевого приближения мы выбе-
выберем функции, соответствующие состояниям с определенными значениями
L, S = 1/2, Мь, Ms (L задано, ML = -L,..., Ц Ms = ±1/2). В возмущен-
возмущенных состояниях сохраняется лишь сумма М = Mj = Ml + Ms (V коммута-
коммутативно с Jz)-> так что компонентам расщепленного терма можно приписывать
определенные значения М.
Значения М = ±(L + 1/2) могут быть осуществлены лишь одним спосо-
способом— соответственно с \MlMs) = \Ы/2) и | — L, —1/2). Поэтому поправки
к энергии состояний с этими М равны просто диагональным матричным
элементам {MlMs\V\MlMs) с указанными значениями \MlMs)• Осталь-
Остальные значения М могут быть осуществлены двумя способами: \М — 1/2,1/2)
и \М + 1/2,-1/2). Каждому М соответствуют здесь два различных зна-
значения энергии, определяющихся из секулярного уравнения, составленного
из матричных элементов для переходов между этими двумя состояниями.
х)Мы не пишем в V члена, пропорционального (LSJ (взаимодействие
спин—спин). Надо, однако, иметь в виду, что для спина S = 1/2 выраже-
выражение (LS) , в силу специфических свойств матриц Паули (см. § 55), сводится
к выражению LS и поэтому включено в написанную формулу.

566	ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. XV
Матричные элементы от LS вычисляются непосредственным перемножени-
перемножением матриц (ML\L\MrL) и (Ms\S\Mrs) и равны
{MLMs\LS\MLMs) = MLMS,
(М + 1/2, -1/2|LS|M - 1/2,1/2) = {М - 1/2,1/2|LS|M + 1/2, -1/2) =
a/(L + М + 1/2)(L - М + 1/2).
А
В отсутствие магнитного поля терм представляет собой дублет с рассто-
расстоянием между компонентами е = A(L + 1/2) (см. G2.6)). Выберем нижний
из этих уровней в качестве начала отсчета энергии. Тогда окончательные
формулы для уровней в магнитном поле имеют вид
Е = е ± iiBH(L + 1) при M = ±(L + 1/2),
при М = L - 1/2,..., -(L - 1/2).
При цвН/s <С 1 получается
Е~=цвНМ-
2L + 1 '	r	2L + 1
в согласии с формулами A13.6), A13.7) (в которых надо положить S = 1/2,
J = L± 1/2). При цвН/е > 1
Е± = »ВН(М± 1/2)+ Е-±^-
в согласии с A13.14).
2. Определить зеемановское расщепление термов двухатомной молеку-
молекулы в случае а.
Решение. Магнитный момент, происходящий от движения ядер,
очень мал по сравнению с магнитным моментом электронов. Поэтому воз-
возмущение от магнитного поля для молекулы надо писать, как для системы
электронов, т.е. по-прежнему в виде V = /isH(L + 2S), где L, S — электрон-
электронные орбитальный и спиновый моменты.
Усредняя возмущение по электронному состоянию, получим в случае а
fjtBHnz(A + 2Е) = fjLBHnzBQ - Л).
Среднее значение от nz по вращению молекулы есть диагональный матрич-
матричный элемент
где М = Mj (матричный элемент вычисляется по приведенному матрично-
матричному элементу, даваемому формулой (87.4) с заменой К, Л —>> J, Q).
Таким образом, искомое расщепление равно
АЕ = iiBHM^	'-.
J(J + 1)
3. То же в случае Ъ.
Решение. Диагональные матричные элементы {AKJ\V\AKJ), опре-
определяющие искомое расщепление, можно было бы вычислить по общим пра-
правилам, изложенным в § 87. Однако проще произвести вычисление более на-
наглядным образом. Усредняя оператор возмущения по орбитальному и элек-
электронному состояниям, получим
HBH(Anz + 2SZ)

§ 114	АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	567
(оператор спина этим усреднением не затрагивается). Далее, усредняем
по вращению молекулы (среднее значение от nz определяется с помо-
помощью (87.4)):
Наконец, усредняем по спиновой волновой функции; после полного усред-
усреднения средние значения векторов могут быть направлены лишь по един-
единственному сохраняющемуся вектору полного момента J. Поэтому получаем
(ср. A13.5))
Л /т -2(SJ)] M
J(J + 1) [К(К
(М = Mj) или окончательно
+ [j(j +1) - к(к +1) + s(s +1)] Хнм.
4. Диамагнитный атом находится во внешнем магнитном поле. Опре-
Определить напряженность индуцированного магнитного поля в центре атома.
Решение. При S = L = 0 линейное по полю возмущение в гамильто-
гамильтониане вообще отсутствует, и потому в волновой функции атома отсутствует
поправка первого порядка по магнитному полю. Индуцированное внешним
магнитным полем изменение j' электронного тока в атоме связано (в том же
первом приближении по Н) лишь с добавлением члена (|е|/тс)А к опера-
операторам скорости электронов. Поэтому имеем1)
il	^r],	A)
где р—электронная плотность в атоме. Напряженность магнитного поля,
создаваемая этим добавочным током в центре атома, есть
тт	1 /[Ч]
Иинд — - / —з~
С J 7^
(ср. ниже A21.8)). Подставив сюда A) и произведя под знаком интеграла
усреднение по направлениям г, получим
Нинд = - -^Н / р- dV = -Ц^е @)Н,	B)
3mc J r	Зтс
где <?е@) — потенциал поля, создаваемого электронной оболочкой атома в
его центре.
В модели Томаса-Ферми <^е@) = -1, 80Z4/3me3/H2 (см. G0.8)), так что
/ 2 \ 2
Нинд = -0,60 — Z4/3H = -3, 2 • 10Z4/3H.
\hcj
х) Это выражение соответствует ларморовой прецессии электронной обо-
оболочки атома вокруг направления внешнего магнитного поля (см. II, §45).

568	ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. XV
§ 114. Спин в переменном магнитном поле
Рассмотрим электрически нейтральную частицу, обладаю-
обладающую магнитным моментом и находящуюся в однородном, но
переменном (во времени) магнитном поле. Речь может идти как
об элементарной (например, нейтрон), так и о сложной (атом)
частице. Магнитное поле предполагается настолько слабым, что
магнитная энергия частицы в поле мала по сравнению с интерва-
интервалами между ее уровнями энергии. Тогда можно рассматривать
движение частицы как целого при заданном ее внутреннем со-
состоянии.
Пусть 1з есть оператор «собственного» момента частицы —
спина для элементарной частицы или полного момента J для
атома. Оператор магнитного момента представим в виде A11.1).
Гамильтониан для движения нейтральной частицы как целого
записывается в форме
Н = -^sH	(П4.1)
S
(выписана лишь та часть гамильтониана, которая зависит от
спина).
В однородном поле этот оператор не содержит явно коор-
координат 1). Поэтому волновая функция частицы распадается на
произведение координатной и спиновой функций. Из них пер-
первая есть просто волновая функция свободного движения; нас
интересует ниже только спиновая часть. Покажем, что зада-
задача о частице с произвольным моментом s может быть сведе-
сведена к более простой задаче о движении частицы со спином 1/2
(Е. Major ana). Для этого достаточно воспользоваться приемом,
который мы уже применили в § 57. Именно, вместо одной части-
частицы со спином s можно формально ввести систему из 2s «частиц»
со спином 1/2. Оператор 1з при этом представляется в виде сум-
суммы ^2^а операторов спина этих «частиц», а волновая функция —
в виде произведения 2s спиноров первого ранга. Гамильтони-
Гамильтониан A14.1) распадается тогда на сумму 2s независимых гамиль-
гамильтонианов:
J2	^	A14.2)
г) Эти рассуждения можно применить также и к случаю, когда какая-либо
частица (в том числе и заряженная) движется в неоднородном магнитном
поле, причем ее движение можно считать квазиклассическим. Тогда магнит-
магнитное поле, меняющееся по мере передвижения частицы вдоль ее траектории,
можно рассматривать просто как функцию времени и применять к измене-
изменению спиновой волновой функции те же уравнения.

§ 114	СПИН В ПЕРЕМЕННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ	569
так что движение каждой из 2s «частиц» определяется незави-
независимо от других. После того как это сделано, достаточно сно-
снова ввести компоненты произвольного симметричного спинора
ранга 2s вместо произведений компонент 2s спиноров первого
ранга.
Задачи
1. Определить спиновую волновую функцию нейтральной частицы со
спином 1/2, находящейся в однородном магнитном поле, постоянном по на-
направлению, но меняющемся по величине по произвольному закону H(t).
Решение. Волновой функцией будет спинор фи, удовлетворяющий
волновому уравнению
ihipu = -2ц№фи.	A)
Выбирая направление поля в качестве оси z, переписываем это уравнение в
спинорных компонентах
Отсюда
ф2 = С2 ехр ( — — I H dt
Постоянные с\, сч должны быть определены из начальных условий и условия
нормировки IV^I2 + \ф2\2 = 1.
2. То же в однородном магнитном поле, постоянном по величине, но с
направлением, равномерно вращающимся (с угловой скоростью ш) вокруг
оси z, образуя с ней угол в.
Решение. Магнитное поле имеет составляющие
Нх = Н sin в cos wt, Ну = Н sin в sin ut, Hz = Н cos 0,
и из A) получим систему уравнений:
<ф2 =i
где юн = [аН/Н. Подстановка
приводит эти уравнения к системе линейных уравнений с постоянными
коэффициентами, решая которые, получим
где
Q = ^(uj + 2ujh cos вJ + Аш2н sin2 0.

570	ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. XV
§ 115. Плотность тока в магнитном поле
Выведем квантовомеханическое выражение для плотности
тока при движении заряженной частицы в магнитном поле.
Будем исходить из формулы1)
6Н = -- [j6AdV,	A15.1)
с J
определяющей изменение функции Гамильтона распределенных
в пространстве зарядов при варьировании векторного потен-
потенциала2) . В квантовой механике ее надо применять к среднему
значению гамильтониана заряженной частицы:
Произведя варьирование и имея в виду, что 6И = rot 6А,
находим
5Н= /$* —— (р?А + ?Ар) + -^-А?а1 y&dV-
J	[ 2тс	' тс2	\
-^ f TotSA-^s^dV. A15.3)
Член с рбА преобразуем, интегрируя по частям:
I Ф*р?АФ dV = -гП Г Ф*УEАФ) dV = гП Г 5АФУФ* dV
(интеграл по бесконечно удаленной поверхности, как обычно, ис-
исчезает). Интегрирование по частям производим также и в по-
последнем члене в A15.3), воспользовавшись известной формулой
векторного анализа
a rot b = - div[ab] + b rot a.
) В этом параграфе j будет обозначать плотность электрического тока:
плотность потока частиц, умноженную на их заряд е.
2) Функция Лагранжа для заряда в магнитном поле содержит член
(e/c)vA или, представляя заряд распределенным по пространству,
A/cjfjAdV. Изменение функции Лагранжа при варьировании А, следо-
следовательно, равно
SL=1-
С ,
Бесконечно же малое изменение функции Гамильтона равно взятому с
обратным знаком изменению функции Лагранжа (см. I, §40).

§ 115	ПЛОТНОСТЬ ТОКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	571
Интеграл от члена с div исчезает, так что остается
Г Ф*$Ф rot SA dV = Г SA rot(**s*) dV.
В результате окончательно получаем
Дт /А?АФФ* dV - ? [
тс J	s J
Сравнив с A15.1), находим следующее выражение для плот-
плотности тока:
j = !?^[(уф*)Ф - Ф*УФ] - — АФ*Ф + ^crot(**s*). A15.4)
2т	тс	s
Подчеркнем, что хотя это выражение и содержит в явном виде
секторный потенциал, оно, как и следовало, вполне однозначно.
В этом легко убедиться прямым вычислением, заметив, что одно-
одновременно с калибровочным преобразованием векторного потен-
потенциала, согласно A11.8), надо произвести также и преобразование
волновой функции согласно A11.9).
Легко проверить также, что ток A15.4) вместе с плотностью
зарядов р = е|Ф|2 удовлетворяет, как и следовало, уравнению
непрерывности
g + dhrj-O.
Последний член в A15.4) дает вклад в плотность тока, проис-
происходящий от магнитного момента частицы. Он имеет вид crotm,
где
m = ^**s* = Ф*/2Ф	A15.5)
S
есть пространственная плотность магнитного момента.
Выражение A15.4) представляет собой среднее значение
плотности тока. Его можно рассматривать как диагональный
матричный элемент некоторого оператора— оператора плот-
плотности тока j. Этот оператор проще всего записать в предста-
представлении вторичного квантования, что сводится к замене Фи Ф*
операторами Ф и Ф+ (причем, согласно общему правилу, Ф+
должен стоять в каждом члене слева от Ф). Можно определить
и недиагональные матричные элементы этого оператора:
A15.6)

ГЛАВА XVI
СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА
§ 116. Изотопическая инвариантность
В настоящее время еще не существует законченной теории
так называемых ядерных сил — сил, действующих между ядер-
ядерными частицами (нуклонами) и удерживающих их вместе в со-
составе атомного ядра. В связи с этим при описании ядерных сил
приходится пока в значительно большей степени апеллировать
к опыту, чем это было бы необходимо при наличии последова-
последовательной теории.
Два относящихся к нуклонам типа частиц отличаются, преж-
прежде всего, своими электрическими свойствами, поскольку прото-
протоны (р) имеют положительный заряд, а нейтроны (п) электриче-
электрически нейтральны. В то же время те и другие имеют одинаковый
спин 1/2, а их массы почти равны (масса протона составляет
1836,1, нейтрона—1838,6 электронных масс). Это сходство ока-
оказывается не случайным. Несмотря на различие в электрических
свойствах, протон и нейтрон являются частицами, очень похо-
похожими друг на друга, и это сходство имеет фундаментальное
значение.
Оказывается, что если отвлечься от относительно слабых
электрических сил, то силы взаимодействия двух протонов
очень похожи на силы, действующие между двумя нейтронами.
Это свойство называют зарядовой симметрией ядерных сил1).
С точностью до соблюдения этой симметрии можно, в част-
частности, утверждать, что системы двух протонов (рр) и двух
нейтронов (пп) обладают одинаковыми по своим свойствам со-
состояниями. При этом, разумеется, существенно, что как про-
протоны, так и нейтроны подчиняются одинаковой статистике
(статистике Ферми), и потому для систем рр и пп допустимы
лишь состояния с одинаковой симметрией волновых функций
^(ri, cri; Г2, с) — антисимметричные по отношению к одновре-
одновременной перестановке координат и спинов частиц.
) Оно проявляется, в частности, в близости свойств (энергии связи, энер-
энергетического спектра и т. п.) так называемых зеркальных ядер, т. е. ядер, от-
отличающихся друг от друга заменой всех протонов нейтронами и наоборот.

§ 116	ИЗОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ	573
Зарядовая симметрия оказывается, однако, лишь одним из
проявлений еще более глубокого физического сходства между
протоном и нейтроном, получившим название изотопической
инвариантности1). Эта более глубокая закономерность приво-
приводит к существованию аналогии не только между системами рр
и пп (получающимися друг из друга заменой всех протонов на
нейтроны и наоборот), но и системой рп, состоящей из различ-
различных частиц. Разумеется, полной аналогии здесь вообще не может
быть, поскольку возможные состояния системы рп, как состоя-
состоящей из нетождественных частиц, во всяком случае не должны
ограничиваться состояниями с антисимметричными волновы-
волновыми функциями. Оказывается, однако, что среди возможных со-
состояний системы рп имеются состояния, с большой точностью
совпадающие по своим свойствам с состояниями систем двух
одинаковых нуклонов2); эти состояния описываются, естествен-
естественно, антисимметричными волновыми функциями (остальные же
состояния системы рп описываются симметричными волновыми
функциями и отсутствуют у систем рр и пп).
Изотопическая инвариантность, как и зарядовая симметрия,
справедлива лишь при условии пренебрежения электромагнит-
электромагнитным взаимодействием. Другим источником ее приближенности
является отличие, хотя и небольшое, в массах нейтрона и про-
протона; точное соблюдение симметрии между нейтронами и про-
протонами подразумевало бы, разумеется, точное совпадение их
масс3).
Для описания изотопической инвариантности можно ввести
удобный формальный аппарат. Мы перейдем к нему естествен-
естественным образом, если заметим, что изотопическая инвариантность
сводится к установлению возможности классифицировать со-
состояния системы нуклонов по симметрии ее координатно- спино-
спиновых волновых функций ф, вне зависимости от того, к какому
из двух типов относятся нуклоны. Поэтому искомый аппарат
должен дать возможность ввести для характеристики состояний
системы новое квантовое число, задание которого однозначно
определяло бы симметрию функций ф. Но с аналогичной ситуа-
ситуацией мы уже имели дело в связи со свойствами системы частиц
со спином 1/2. Именно, мы видели (см. §63), что задание пол-
полного спина S такой системы однозначно определяет симметрию
) В литературе для этой инвариантности используется также название
изобарической.
2)	Это было показано на основе анализа экспериментальных данные о рас-
рассеянии нейтронов и протонов на протонах Брейтом, Кондоном и Презентом
(O.Breit, E. U. Condon, R. D. Present, 1936).
3)	Надо думать, что в действительности эта разница в массах нейтрона и
протона тоже имеет электромагнитное происхождение.

574	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
ее координатной волновой функции <^, вне зависимости от того,
какие из двух возможных значений (±1/2) имеют проекции а
спинов каждой из частиц.
Естественно поэтому, что для формального описания изото-
изотопической инвариантности надо рассматривать нейтрон и про-
протон как два различных зарядовых состояния одной и той же
частицы (нуклона), отличающихся значением проекции ново-
нового вектора т, по своим формальным свойствам аналогичного
вектору спина 1/2. Эта новая величина, которую принято назы-
называть изотопическим спином (или просто изоспиномI), явля-
является вектором в некотором вспомогательном «изотопическом
пространстве» ^С (не имеющем, разумеется, ничего общего с
реальным пространством).
Проекция изотопического спина нуклона на ось ? может
иметь лишь два значения т^ = ±1/2. Значение +1/2 условно при-
приписывается протону, а значение —1/2 — нейтрону2). Изоспины
нескольких нуклонов складываются в полный изоспин системы
по правилам сложения обычных спинов. При этом ("-компонента
полного изоспина системы равна сумме значений т^ всех соста-
составляющих ее частиц. Для ядра с числом протонов (т. е. атомным
номером) Z, числом нейтронов N и массовым числом А = Z + N
имеем
т. е. Т? определяет, при заданном числе нуклонов, полный за-
заряд системы. Ясно поэтому, что имеет место строгое сохранение
величины Т^, выражающее собой просто сохранение заряда.
Абсолютная же величина полного изотопического спина си-
системы Г определяет симметрию «зарядовой части» си волновой
функции системы, подобно тому, как полный спин S опреде-
определяет симметрию спиновой волновой функции. Тем самым она
определяет и симметрию координатно-спиновой (т. е. обычной)
волновой функции *ф, поскольку полная волновая функция си-
системы нуклонов (т. е. произведение фио должна иметь определен-
определенную симметрию: как и для всяких фермионов, она должна быть
антисимметричной по отношению к одновременной перестанов-
перестановке координат, спинов и «зарядовых переменных» т^ частиц. По-
Поэтому наличие определенной симметрии у волновых функций ф
) Она была введена Гейзенбергом A932) и применена к описанию изото-
изотопической инвариантности Кассеном и Кондоном (В. Cassen, E. U. Condon,
1936).
) В литературе используется также и обратное определение.

§ 116	ИЗОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ	575
любой системы нуклонов как раз и выражается в излагаемой схе-
схеме сохранением величины Т.
Можно также сказать, другими словами, что изотопическая
инвариантность означает инвариантность свойств системы от-
относительно любых поворотов в изотопическом пространстве.
Состояния, отличающиеся лишь значением Т? (при заданных
значениях Г и остальных квантовых чисел), одинаковы по сво-
своим свойствам. В частности, зарядовая симметрия — инвариант-
инвариантность свойств системы относительно замены всех нейтронов
протонами и наоборот, — являющаяся частным случаем изо-
изотопической инвариантности, описывается при этом как ин-
инвариантность относительно одновременного изменения знака
всех Т?, т.е. относительно поворота в изопространстве на угол
180° вокруг оси, лежащей в плоскости ?77.
Отметим также, что очевидное нарушение изотопической
инвариантности кулоновым взаимодействием видно в рассма-
рассматриваемой схеме и формально: кулоново взаимодействие зави-
зависит от заряда, т. е. от ("-компонент изоспина, не инвариантных
относительно поворотов в пространстве ?г](.
Рассмотрим, например, систему из двух нуклонов. Ее пол-
полный изотопический спин может иметь значения Г = 1 и Г = 0.
Для Г = 1 возможны значения проекции Т^ = 1,0,-1. Этим
значениям соответствуют, согласно A16.1), значения заряда 2,
1, 0, т.е. система с Г = 1 может быть реализована как рр, рп
и пп. Зарядовая часть волновой функции ио с Г = 1 является
симметричной (подобно тому, как значению спина S = 1 соот-
соответствует симметричная спиновая функция, ср. §62). Поэтому
значению Г = 1 соответствуют состояния с антисимметричны-
антисимметричными обычными волновыми функциями ф. Для Г = 0 возможно
лишь Т^ = 0 и соответствующая функция си антисимметрична;
сюда относятся, следовательно, состояния системы рп с симме-
симметричными волновыми функциями ф.
Изотопическому спину отвечает оператор т, действующий
на зарядовую переменную т^ в волновой функции, подобно то-
тому, как оператор спина 1з действует на спиновую переменную а.
Ввиду полной формальной аналогии между тем и другим, опе-
операторы Т?, Тту, Т? выражаются теми же матрицами Паули E5.7),
что и операторы 5*ж, s^, ^sz.
Отметим здесь некоторые комбинации этих операторов,
имеющие простой наглядный смысл. Сумма
/0 1\
есть оператор, который при воздействии на нейтронную

576	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
волновую функцию превращает ее в протонную, а при воздей-
воздействии на протонную функцию обращает ее в нуль. Аналогично,
оператор
/О 0\
т_ = Ti - гТг] = ^ j
превращает протон в нейтрон и уничтожает нейтрон. Наконец,
оператор
оставляет неизменной протонную функцию и уничтожает ней-
нейтрон; его можно назвать оператором заряда нуклона (в едини-
единицах е).
Покажем еще, каким образом может быть выражен через
операторы ri, T2 изоспинов двух частиц оператор Р переста-
перестановки этих частиц друг с другом. По определению последнего,
результат его воздействия на волновую функцию системы двух
частиц ^(ri, (Ji; Г2, о) заключается в перестановке координат и
спинов этих частиц, т.е. в перестановке переменных ri, o\ и Г2,
G2- Собственные значения этого оператора равны ±1 и осуще-
осуществляются при воздействии на симметричную или антисимме-
антисимметричную функции ф:
Рфсим = ^сим, Рфънти = -^анти-	A16.2)
Мы видели выше, что функциям ^сим и ^анти соответствуют
зарядовые функции иот со значениями полного изоспина Г = О
и Г = 1. Поэтому если мы хотим представить оператор Р в
форме, в которой он действует на зарядовые переменные, то он
должен обладать свойствами
Ршо = с^о, Pooi = —lui.	A16.3)
Этим условиям удовлетворяет оператор 1 — Т2, в чем легко
убедиться, заметив, что шт есть собственная функция опера-
оператора Т2, соответствующая собственному значению Т(Т + 1).
Наконец, написав Т = т\ + Т2 и учитывая, что т\ и т\ име-
имеют одинаковые определенные значения т(т + 1) =3/4, найдем
искомое окончательное выражение1)
Р = 1 - Т2 = -- - 2riT2.	A16.4)
1) С оператором такого вида, составленным из обычных спинов частиц, мы
уже встречались в задачах к § 62.

§ 117	ИЗОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ	577
Для матричных элементов различных физических величин
системы нуклонов существуют определенные правила отбора
по изотопическому спину (L. A. Radicati, 1952). Пусть F—ка-
F—какая-либо величина (любого тензорного характера), обладающая
свойством аддитивности в том смысле, что ее значение для
системы равно сумме значений для отдельных нуклонов. Пред-
Представим оператор такой величины в виде
где суммирования производятся по всем протонам и нейтронам
в системе. Это выражение можно тождественно переписать в
виде
где суммирование в каждом члене производится по всем ну-
нуклонам (как протонам, так и нейтронам). Первый член в A16.5)
есть скаляр, а второй — ("-компонента вектора в изопространстве.
К ним относятся поэтому те же правила отбора по изотопиче-
изотопическому спину, которые имеют место для скаляров и векторов
в обычном пространстве по орбитальному моменту (см. §29).
Изотопический скаляр допускает лишь переходы без измене-
изменения Г; ("-компонента же изотопического вектора имеет матрич-
матричные элементы лишь для переходов с изменением АГ = 0, ±1,
причем дополнительно запрещены переходы с АГ = 0 между
состояниями с Т^ = 0, т. е. для систем с одинаковым числом
нейтронов и протонов (последнее правило следует из того, что
матричный элемент перехода с АГ = 0 пропорционален Г^ —
см. B9.7)).
Так, для дипольного момента ядра роль величин fp играют
произведения er, a fn = 0. Первый член в A16.5) есть тогда
е v^	e v^
- У Г = 	 > гаг,
т. е. пропорционален радиусу-вектору центра инерции и может
быть обращен в нуль надлежащим выбором начала координат;
другими словами, дипольный момент ядра сводится к ("-компо-
("-компоненте изотопического вектора.

578	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
§ 117. Ядерные силы
Специфические ядерные силы, действующие между нуклона-
нуклонами, характеризуются прежде всего своим малым радиусом дей-
действия; они убывают экспоненциально на расстояниях ~ 10~13см.
В нерелятивистском пределе можно утверждать, что ядер-
ядерные силы не зависят от скоростей нуклонов и имеют потенциал
(скорости нуклонов в ядре составляют примерно 1/4 от скоро-
скорости света, см. ниже). Потенциальная энергия U взаимодействия
двух нуклонов зависит не только от их взаимного расстояния г,
но и от их спинов, причем зависимость от спинов отнюдь не
является слабойг). Точная зависимость от г могла бы быть уста-
установлена, разумеется, лишь последовательной теорией ядерных
сил. Характер же зависимости от спинов может быть найден
уже из простых соображений, связанных со свойствами опера-
операторов спина.
В нашем распоряжении имеется всего три вектора, от кото-
которых может зависеть энергия взаимодействия U: единичный век-
вектор п в направлении радиуса-вектора между двумя нуклонами
и их спины si и S2- По общим свойствам оператора спина 1/2
всякая функция от него сводится к линейной функции (см. § 55).
Кроме того, надо учесть, что произведение ns является не ис-
истинным, а псевдоскаляром (поскольку п—полярный, a s—ак-
s—аксиальный вектор). Ввиду этих обстоятельств очевидно, что из
трех векторов n, si, S2 можно составить всего две независимые
скалярные величины: S1S2 и (nsi)(ns2), линейные по каждому из
спинов2).
Следовательно, в отношении своей зависимости от спинов
оператор взаимодействия двух нуклонов может быть представ-
представлен в виде суммы трех независимых членов
С/обыч = tfi(r) + и2(г)(Ш) + C/3(r)[3(sin)(s2n) - sis2], A17.1)
из которых один не зависит, а два зависят от спинов. Третий
член написан здесь в таком виде, чтобы обращаться в нуль при
усреднении по направлениям п; описываемые этим членом силы
обычно называют тензорными.
Мы приписали взаимодействию A17.1) индекс «обычное»
с целью подчеркнуть тот факт, что этот оператор не меняет
1)	В этом отношении взаимодействие нуклонов существенно отличается
от взаимодействия электронов, у которых спин-спиновое взаимодействие
имеет лишь релятивистское происхождение и является (в атомах) малым.
2)	Здесь подразумевается, что ядерные силы инвариантны по отношению
к пространственной инверсии, т. е. не могут содержать псевдоскалярных
членов. В настоящее время нет экспериментальных данных, которые бы
свидетельствовали об обратном.

§ 117	ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ	579
зарядового состояния нуклонов. Наряду с этим взаимодействи-
взаимодействием допустимо и такое, в результате которого протон превра-
превращается в нейтрон и наоборот. Оператор этого «обменного» вза-
взаимодействия отличается по своему виду от оператора A17.1)
наличием оператора перестановки частиц A16.4):
A17.2)
Полный оператор взаимодействия дается суммой
U = иобыч + Uo6M.	A17.3)
Таким образом, взаимодействие двух нуклонов характеризуется
шестью различными функциями расстояния между ними. Все
эти члены, вообще говоря, одинакового порядка величины1).
Спиновые операторы, входящие в A17.1) и A17.2), могут
быть выражены через оператор полного спина S. Действитель-
Действительно, возводя в квадрат равенства S = si+S2H Sn = sin +^2n и
учитывая, что Щ =Щ = 3/4, (sinJ = (*з2пJ = 1/4 (см. E5.10)),
найдем
= \ (S2 - |), (вт)(82п) = \ [(SnJ - i]. A17.4)
Оператор S2 коммутативен с оператором S, поэтому вза-
взаимодействия, описываемые двумя первыми членами в A17.1)
и A17.2), сохраняют вектор полного спина системы. Тензорное
же взаимодействие содержит оператор (SnJ, коммутативный с
квадратом S2, но не с самим вектором S. В результате оказыва-
оказывается сохраняющейся лишь абсолютная величина полного спина,
но не его направление.
Полный спин S системы двух нуклонов может иметь зна-
значения 0 и 1. Такие же два значения может иметь ее полный
изотопический спин Г. Поэтому все возможные состояния этой
системы распадаются на четыре группы, отличающиеся значе-
значениями пары чисел S, Г. Для состояний каждой из этих групп
х) Укажем также, что взаимодействие, зависящее от скорости нуклонов,
в линейном по скоростям приближении описывается оператором вида
где L = [гр] — орбитальный момент относительного движения нуклонов (р—
его импульс), a S = si +S2; этот оператор содержит две функции от г. Члены
же вида рп и Sn исключаются требованиями инвариантности по отношению
к инверсии и к обращению времени.

580	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
имеется свой оператор взаимодействия вида А (г) (при S = 0)
или A(r) + B(r)[(SnJ - 2/3] (при S = 1), к которому сводится в
этих случаях общий оператор A17.3) (см. задачу II).
При заданных значениях S и Г состояния системы классифи-
классифицируются по значениям полного момента J и четности. Как мы
знаем, значению Г = 0 соответствуют состояния с симметрич-
симметричными, а значению Г = 1 — с антисимметричными волновыми
функциями ф. Поскольку, с другой стороны, значение S опреде-
определяет симметрию волновой функции по отношению к спиновым
переменным (симметричность при S = 1 и антисимметричность
при S = 0), то ясно, что заданием пары чисел 5, Г определит-
определится и характер симметрии волновой функции по отношению к
пространственным переменным, т. е. четность состояния. Оче-
Очевидно, что состояния системы с изотопическим спином Г = 0
могут быть лишь четными триплетами (S = 1) или нечетны-
нечетными синглетами (S = 0); состояния же системы с изотопическим
спином Г = 1 являются нечетными триплетами или четными
синглетами.
Поскольку спин, как вектор, не сохраняется, то не должен,
вообще говоря, сохраняться и орбитальный момент (сохраняется
лишь сумма J = L + S). Тем не менее абсолютная величина L
может оказаться сохраняющейся просто в силу того, что задан-
заданные значения J, S и четности (или J, S и Г) могут оказаться
совместными лишь с одним определенным значением L (напо-
(напомним, что четность системы двух частиц есть ( — 1)L). Так, не-
нечетное состояние с S = 1, J = 1 может иметь лишь L = 1, т.е.
являться состоянием 3Pi. В других же случаях заданным зна-
значениям J, S и четности могут соответствовать два различных
значения L, так что L не сохраняется. Так, в нечетном состо-
состоянии с S = 1, J = 2 может быть L = 1 и L = 3, т. е. такое
состояние является суперпозицией 3Р2 + 3^2-
Таким образом, мы приходим к следующим возможным со-
состояниям системы двух нуклонов (индекс ± указывает чет-
четность):
1) Экспериментальные данные о свойствах дейтрона показывают, что при
Т = 0, S = 1 взаимодействие нуклонов содержит сильное притяжение с глу-
глубокой потенциальной ямой (наличие тензорных сил делает затруднитель-
затруднительным формулировку этого факта в виде свойств функций А (г), В (г))] кроме
того, можно утверждать (исходя из знака наблюдаемого квадрупольного
момента дейтрона), что в этом состоянии коэффициент В (г) в тензорных
силах отрицателен. Из данных о рассеянии нуклонов следует, что при Т = 1,
S = 0 тоже имеется притяжение, но более слабое и не приводящее, в част-
частности, к возникновению устойчивой системы двух частиц.

117	ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ	581
при Г = 1: 3Р0", 3Pi, CР2	3	^ ^ J
при Г = 0: C5Х + 3?>!)+, 3?>2+C?>з + 3G3)+, • • •; ХР{, ^з", ...
Ядерные силы являются, вообще говоря, не аддитивными.
Это значит, что взаимодействие в системе из более чем двух
нуклонов не сводится к сумме взаимодействий всех пар частиц
между собой. По-видимому, однако, тройные и т.д. взаимодей-
взаимодействия играют относительно малую роль по сравнению с парны-
парными и потому при рассмотрении свойств сложных ядер можно в
значительной мере основываться на свойствах парных взаимо-
взаимодействий.
Опытные данные о ядрах показывают, что по мере увели-
увеличения числа частиц А система нуклонов начинает вести себя
как макроскопическое «ядерное вещество», объем и энергия ко-
которого растут пропорционально А (с точностью до эффектов,
связанных с кулоновским взаимодействием протонов и наличи-
наличием свободной поверхности ядра). Свойство ядерных сил, с кото-
которым связанно это явление называют свойством их насыщения.
Существование этого свойства накладывет определенные
ограничения на функции [/]_,..., Щ, определяющие парные вза-
взаимодействия нуклонов. Представим себе, что все частицы скон-
сконцентрированы в объеме размерами порядка радиуса действия
ядерных сил; тогда все пары частиц взаимодействуют друг с
другом. Если при этом существует такая конфигурация ка-
каких-либо нуклонов (и ориентация их спинов), при которой между
всеми парами действуют силы притяжения, то потенци-
потенциальная энергия такой системы будет отрицательной величи-
величиной, пропорциональной А?. Кинетическая же энергия такой си-
системы— величина положительная, пропорциональная Л5/3, т.е.
меньшей степени А1). Ясно, что в таких условиях совокупность
достаточно большого числа нуклонов действительно концентри-
концентрировалась бы в не зависящем от А малом объеме, т. е. не со-
создавала бы ядерного вещества. Поэтому условие насыщения
ядерных сил должно выражаться условиями отсутствия кон-
конфигураций, приводящих к пропорциональной А2 отрицательной
энергии взаимодействия (см. задачу 2).
Пропорциональность объема ядерного вещества числу частиц
выражается соотношением вида
A17.5)
х) Плотность п, с которой частицы сконцентрированы в данном объеме,
пропорциональна их числу А, а кинетическая энергия каждой из них про-
пропорциональна при этом п ' (ср.G0.1)). Поэтому полная кинетическая энер-
энергия пропорциональна АА2^3.

582	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
связывающим радиус ядра R с числом частиц А в нем. Опытные
данные (о рассеянии электронов на ядрах) приводят к значению
го « 1,1-Ю3 см.
Определим предельный импульс нуклонов в ядерном веще-
веществе (ср. §70). Объем фазового пространства, соответствующий
частицам, находящимся в единице объема физического про-
пространства и обладающим импульсами р ^ ро> равен 4тгр[]/3.
Разделив его на BтгН) , получим число «клеток», в каждой
из которых может находиться по два протона и два нейтрона.
Положив число протонов равным числу нейтронов, получим
44тг/^\3 = А
3 \2ttHJ V'
где V — объем ядра. Подставив сюда A17.5), получим
Соответствующая энергия р$/2тр (тр — масса нуклона) соста-
составляет ~ 30 МэВ, а скорость ро/тр « с/4.
Задачи
1.	Найти операторы взаимодействия двух нуклонов в состояниях с опре-
определенными значениями S и Т.
Решение. Искомые операторы Ust получаются из общего выраже-
выражения A17.1)—A17.3) при учете соотношений A16.3) и A17.4):
- _ 3	3
00 - 1 4 2	4 5,
п тт Зтт тт +Зтт
4	4
L710 = иг + -U2 + U4 + -U5 + -(U3 + t/6)[3(SnJ - 2],
Uu = U! + -U2 - 174 - ]u5 + -(U3 - U6)[3(SnJ - 2].
4	4	2
2.	Найти условия насыщения ядерных сил, предполагая тензорные силы
отсутствующими; радиусы действия всех остальных типов сил предполага-
предполагаются одинаковыми.
Решение. Рассмотрим некоторые крайние случаи (между которыми
находятся все другие возможные случаи) для состояния системы из А ну-
нуклонов и напишем условия того, чтобы энергия взаимодействия «средней»
пары нуклонов в этой системе была положительной.
Пусть полный спин и изотопический спин ядра имеют наибольшие воз-
возможные значения: Бяд = Тяд = А/2 (все частицы в системе — протоны с па-
параллельными спинами). Тогда для каждой пары нуклонов имеем S = Т = 1,
и мы получаем условие	ТТ ^> 0	A)

§ 118	МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК	583
Пусть теперь Тяд = А/ 2, 5ЯД = 0. Тогда для каждой пары нуклонов
Т = 1, а для отдельного нуклона равно нулю среднее значение sz. Последнее
означает, что нуклон с равной вероятностью может иметь sz = 1/2 и sz =
= —1/2; в этих условиях вероятности паре нуклонов находиться в состояни-
состояниях с S = 0 или S = 1 равны соответственно 1/2 и 3/4 (они пропорциональны
числу 25 + 1 возможных значений Sz). Поэтому условие положительности
средней энергии пары	.,	о
-UOi + -Uu > 0.	B)
4	4
Аналогично, рассмотрение состояния с Тяд = 0, 5ЯД = ^4/2 приводит к
условию
-t/ю + -t/n > 0.	C)
4 4
В состоянии с Тяд = 5ЯД = 0 вероятность паре нуклонов иметь S = Т = 1
равна 3/4-3/4, вероятность иметь Т = 1, 5 = 0 равна 3/4-1/4, и т.д. Отсюда
находим условие
^-U11 + ^-(Ulo + UOi) + ^-Uoo>0.	D)
16	16	16
Наконец, пусть система состоит из А/2 протонов и А/2 нейтронов,
причем спины всех протонов параллельны друг другу и антипараллельны
спинам всех нейтронов. Отдельный нуклон с равной вероятностью может
оказаться р или п, т.е. иметь т^ = 1/2 или т^ = —1/2; вероятность паре
нуклонов иметь Т = 0 равна 1/4. При этом один из нуклонов пары есть
р, а другой—щ поэтому Sz = 0. Это значение Sz может с равной вероят-
вероятностью осуществляться из состояний с S = 0 или S = 1. Следовательно,
вероятности паре находиться в состоянии с Т = 0, S = 0 или Т = 0, S = 1
равны по 1/4 • 1/2 = 1/8. Такова же вероятность состояния с Т = 1, S = 0,
а остальные 5/8 приходятся на состояние с Т = S = 1. Учитывая все это,
получим условие
J(t/oo + t/oi + t/ю) + 1^11 > 0.	E)
8	8
Неравенства A)-E) и представляют собой искомую систему условий
насыщения ядерных сил.
§ 118. Модель оболочек
Многие свойства ядер могут быть хорошо описаны с помо-
помощью модели оболочек, по своим основным представлениям ана-
аналогичной тому, как описывается строение электронной оболочки
атома. В этом описании каждый нуклон в ядре рассматрива-
рассматривается как движущийся в самосогласованном поле, создаваемом
совокупностью всех остальных нуклонов (ввиду малого ради-
радиуса действия ядерных сил это поле быстро затухает вне объ-
объема, ограниченного «поверхностью» ядра). Соответственно это-
этому, состояние ядра в целом описывается перечислением состоя-
состояний отдельных нуклонов.

584	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
Самосогласованное поле сферически-симметрично, причем
центром симметрии является, естественно, центр инерции яд-
ядра. В связи с этим, однако, возникает следующее затруднение.
В методе самосогласованного поля волновая функция системы
строится как произведение (или должным образом симметризо-
ванная сумма произведений) волновых функций отдельных ча-
частиц. Но такая функция не обеспечивает неподвижности центра
инерции: хотя вычисленное с ее помощью среднее значение ско-
скорости центра инерции и будет равным нулю, однако эта же вол-
волновая функция приведет к конечным вероятностям отличных от
нуля значений скорости1).
Это затруднение может быть обойдено путем предваритель-
предварительного исключения движения центра инерции при вычислении
любой физической величины с помощью волновых функций
V>(ri?..., га) метода самосогласованного поля. Пусть /(г^, р^)
есть какая-либо физическая величина — функция координат и
импульсов нуклонов. Тогда при вычислении ее матричных эле-
элементов с помощью функций ф надо, не меняя ^(гг)? произвести
замену аргументов функции / согласно
г*->г*-Н, Pi^Pi-^	A18.1)
где R — радиус-вектор центра инерции ядра; А — число частиц
в нем; Р — импульс его движения как целого; вторая из за-
замен A18.1) соответствует вычитанию v^ —»> v^ — V из скоростей
нуклонов скорости центра инерции V, с которой импульс Р свя-
связан соотношением Р = ArripV (S. Garienhaus, С. Schwartz, 1957).
Так, оператор дипольного момента ядра есть d = е^гр,
где суммирование производится по всем протонам в ядре. Для
вычисления же матричных элементов в методе самосогласован-
самосогласованного поля этот оператор надо заменить оператором е ^(rp — R).
Координаты центра ядра
р	П
(суммирования по всем протонам и нейтронам). Поскольку число
протонов в ядре есть Z, то окончательно оператор дипольного
момента должен быть заменен согласно
(f)j>-efj>.	A18.2)
р	р	п
1)В случае электронов в атоме такое затруднение вообще не возникало,
так как неподвижность центра инерции автоматически обеспечивалась его
совпадением с положением неподвижного тяжелого ядра.

§ 118	МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК	585
Протоны входят сюда с «эффективным зарядом» еA — Z/A),
а нейтроны — с «зарядом»—eZ/A. Отметим, что относительный
порядок величины возникающих при вычислении дипольного мо-
момента поправочных членов оказывается, как видно из A18.2),
порядка 1. Поправки же при вычислении магнитных и следую-
следующих электрических мультипольных моментов оказываются, как
легко увидеть, относительного порядка ~ 1/А.
В нерелятивистском приближении взаимодействие нуклона
с самосогласованным полем не зависит от спина нуклона: та-
такая зависимость могла бы выражаться лишь членом, пропорци-
пропорциональным 1зп, где п—единичный вектор в направлении радиу-
радиуса-вектора нуклона г; но это произведение является не истин-
истинным, а псевдоскаляром.
Зависимость энергии нуклона от его спина появляется, од-
однако, при учете релятивистских членов, зависящих от скорости
частицы. Наибольшим из них является член, пропорциональный
первой степени скорости. Из трех векторов s, n и v можно со-
составить истинный скаляр: [nv]s. Поэтому оператор спин-орби-
спин-орбитальной связи нуклона в ядре имеет вид
Va = -?>(r)[nv]s,	A18.3)
где (f (r) —некоторая функция от г (ср. также примеч. на с. 579).
Поскольку ?7ip[rv] есть орбитальный момент Ш частицы, то вы-
выражение A18.3) можно написать также и в виде
Vsl = -/(r)K,	A18.4)
где / = hip/rrrip. Подчеркнем, что это взаимодействие—перво-
взаимодействие—первого порядка по г>/с, между тем как спин-орбитальная связь элек-
электрона в атоме—эффект второго порядка (§72); это отличие
связано с тем, что ядерные силы зависят от спина уже в нере-
нерелятивистском приближении, в то время как нерелятивистское
взаимодействие электронов (кулоновы силы) от спинов не зави-
зависит.
Энергия спин-орбитального взаимодействия сосредоточена
в основном вблизи поверхности ядра, т.е. функция /(г) убы-
убывает в глубь ядра. Действительно, в неограниченном ядерном
веществе взаимодействие такого вида вообще не могло бы су-
существовать, как это ясно уже из того, что ввиду однородности
такой системы в ней отсутствует какое-либо выделенное напра-
направление, вдоль которого мог бы быть направлен вектор п.
Взаимодействие A18.4) приводит к расщеплению уровня ну-
нуклона с орбитальным моментом / на два уровня с моментами

586	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
j = I ±1/2. Поскольку
Is = 1/2	при j = 1 + 1/2,
Is = -(Z + 1)/2 при j = 1-1/2	[ '
(по формуле C1.3)), то величина этого расщепления
АЕ = Щ_1/2 - El+1/2 = f(r)(l + 1/2).	A18.6)
Опыт показывает, что уровень j = 1 + 1/2 (параллельные векто-
векторы 1 и s) оказывается глубже уровня с j = I — 1/2; это значит,
что функция /(г) > 0.
Спин-орбитальная связь нуклона в ядре относительно слаба
по сравнению с его взаимодействием с самосогласованным по-
полем. В то же время оно оказывается, вообще говоря, большим
по сравнению с энергией прямого взаимодействия двух нукло-
нуклонов в ядре, в результате более быстрого убывания последнего с
увеличением атомного веса.
Такое соотношение между энергиями различных взаимо-
взаимодействий приводит к тому, что классификация ядерных уров-
уровней должна происходить по типу jj-связи: спины и орбиталь-
орбитальные моменты каждого нуклона складываются в полные момен-
моменты j = 1 + s, оказывающиеся определенными величинами, по-
поскольку связь между 1 и s не разрушается прямым взаимодей-
взаимодействием частиц между собой (М. Goppert-Mayer, 1949; О. Haxel,
J.H.Jensen, Н. Е. Suess, 1949)х). Векторы j отдельных нукло-
нуклонов складываются затем в суммарный момент ядра J (кото-
(который обычно называют просто спином ядра, как если бы ядро
представляло собой элементарную частицу). В этом отноше-
отношении классификация ядерных уровней существенно отличается
от классификации атомных уровней: в электронной оболочке
атома релятивистская спин-орбитальная связь, вообще говоря,
мала по сравнению с прямым электрическим и обменным вза-
взаимодействиями, и потому классификация уровней происходит
обычно по типу LiS-связи.
Состояние каждого нуклона в ядре характеризуется его мо-
моментом j и его четностью. Хотя каждый из его векторов 1 и
s в отдельности не сохраняется, однако абсолютная величина
орбитального момента нуклона тем не менее оказывается опре-
определенной. Действительно, момент j может возникнуть либо из
состояния с / = j — 1/2, либо из состояния с / = j + 1/2. При за-
заданном значении j (полуцелом) оба эти состояния имеют разную
четность ( — 1)г, а потому заданием j и четности определяется и
квантовое число /.
) Лишь для самых легких ядер связь более близка к

§ 118	МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК	587
Состояния нуклонов с одинаковыми / и j принято нумеро-
нумеровать (в порядке увеличения энергии) «главным квантовым чис-
числом» п, пробегающим целые значения, начиная с 1х). Различные
состояния обозначают символами lsi/2, lpi/2? IP3/2 и т.п., где
цифра перед буквой есть главное квантовое число, буквы s, р,
d, ...указывают обычным образом значение /, а индекс у бу-
буквы—значение j. В состоянии с заданными значениями п, /,
j может одновременно находиться не более 2j + 1 нейтронов и
столько же протонов.
Характеристики состояния ядра в целом (при заданной кон-
конфигурации) принято записывать в виде цифры, дающей значе-
значение J, с индексом + или —, указывающим четность состояния
(последняя определяется в модели оболочек четностью или не-
нечетностью алгебраической суммы значений / всех нуклонов).
В результате анализа экспериментальных данных о свойствах
ядер оказывается возможным установить ряд закономерностей в
расположении ядерных уровней.
Прежде всего оказывается, что энергия уровней нуклона воз-
возрастает с увеличением орбитального момента /. Это правило
связано с тем, что с увеличением / возрастает центробежная
энергия частицы, а потому уменьшается ее энергия связи.
Далее, при заданном значении / уровень с j = I + 1/2 (т.е.
отвечающий параллельным векторам Ins) лежит глубже, чем
уровень с j = 1 — 1/2. Это правило уже упоминалось выше в
связи со свойствами спин-орбитальной связи нуклона в ядре.
Следующее правило относится к изотопическому спину ядер.
Напомним, что проекция Т^ изоспина определяется уже весом и
номером ядра (см. A16.1)). При заданном значении Т^ абсолют-
абсолютная величина изоспина может иметь любые значения, удовлетво-
удовлетворяющие неравенству Т ^> \Т^\. Обычно основное состояние ядра
имеет наименьшее из этих допустимых значений изоспина, т. е.
Toch = |Tc| = A/2)(JV-Z).	A18.7)
Это правило связано с характером взаимодействия нейтрона
с протоном, — с тем, что в системе пр состояние с изоспином
Т = 0 (состояние нейтрона) имеет большую энергию связи, чем
состояние с Г = 1 (см. примечание на с. 580).
Можно также сформулировать некоторые правила, относя-
относящиеся к спинам основных состояний ядер. Эти правила опреде-
определяют, каким образом моменты j отдельных нуклонов складыва-
складываются в общий спин ядра. Они являются проявлением стремления
протонов и нейтронов, находящихся в ядре в одинаковых состо-
1) В отличие от принятого для электронных уровней в атоме условия, по
которому число п пробегает значения, начинающиеся с / + 1.

588	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
яниях, к попарному (рр и пп) «спариванию» со взаимно проти-
противоположными моментами (энергия связи таких пар составляет
величину порядка 1-2 МэВ).
Это явление приводит, например, к тому, что если ядро
содержит четное число как протонов, так и нейтронов (чет-
(четно-четные ядра), то моменты всех нуклонов попарно компенси-
компенсируются, так что общий момент ядра обращается в нуль.
Если ядро содержит нечетное число протонов или нейтро-
нейтронов, причем все нуклоны сверх заполненных оболочек находят-
находятся в одинаковых состояниях, то обычно полный момент ядра
совпадает с моментом одного нуклона — как если бы после спа-
спаривания всех возможных пар протонов и нейтронов оставался
всего один нуклон с некомпенсированным моментом (полные же
моменты заполненных оболочек автоматически равны нулю).
Для нечетно-нечетных же ядер (нечетные Z и N) нет како-
какого-либо достаточно общего правила, определяющего спин основ-
основного состояния.
Рассмотрение конкретного хода заполнения оболочек в
ядрах требовало бы детального анализа имеющихся экспери-
экспериментальных данных и выходит за рамки этой книги. Мы огра-
ограничимся здесь лишь еще некоторыми общими указаниями.
При изучении свойств атомов мы видели, что электронные
состояния в них можно разбить на группы такие, что при за-
заполнении каждой из них и переходе к следующей энергия свя-
связи электрона падает. Аналогичная ситуация имеет место для
ядер, причем нуклонные состояния распределяются по следую-
следующим группам:
lsi/2	2 нуклона,
lPl/2	6 НУКЛОНОВ,
/ Щ/2, 2s1/2	12 нуклонов,
1/7/2, 2р3/2, 1/5/2, 2Pl/2, lg9/2	30 нуклОНОВ,
2бг5/2? 1#7/2? 1^11/2? 2бгз/4, 351/2	32 нуклона,
2/7/2, 1^9/2, 1*13/2, 2/5/2, Зрз/2, 3pi/2 44 нуклона.
Для каждой группы указано полное число протонных или ней-
нейтронных вакансий. Соответственно этим числам заполнение ка-
какой-либо из групп заканчивается, когда полное число протонов Z
или нейтронов N в ядре равно одному из следующих чисел:
2,8,20,50,82,126.
Эти числа принято называть магическими1).
1) Состояния I/7/2 с их 8 вакансиями иногда выделяют в особую группу, в
соответствии с тем, что и число 28 в известной степени обладает свойствами
магических чисел.

§ 118	МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК	589
Особой устойчивостью обладают так называемые дважды
магические ядра, в которых как Z, так и N являются магиче-
магическими числами. По сравнению с близкими к ним ядрами они
обладают аномально малым сродством к еще одному нуклону, а
их первые возбужденные уровни лежат аномально высоко1).
Различные состояния в каждой из групп A18.8) перечислены
примерно в порядке их постепенного заполнения в ряду ядер.
В действительности при этом заполнении наблюдаются значи-
значительные иррегулярности. Кроме того, надо иметь в виду, что
в тяжелых ядрах (далеких от магических) расстояния между
различными уровнями могут оказаться сравнимыми с «энергией
спаривания»; в этих условиях само понятие индивидуальных со-
состояний компонент пары в значительной степени теряет смысл.
Сделаем некоторые замечания по поводу вычисления маг-
магнитного момента ядра в модели оболочек. Говоря о магнитном
моменте ядра, мы подразумеваем, естественно, магнитный мо-
момент, усредненный по движению частиц в ядре. Этот средний
магнитный момент /х направлен, очевидно, вдоль спина ядра J,
направление которого является единственным выделенным на-
направлением в ядре; поэтому его оператор
Д^/iogJ,	(П8.9)
где /io — ядерный магнетон, a g — гиромагнитный множитель.
Собственное значение проекции этого момента ~pz = fiQgMj.
Обычно (ср. A11.1)) под магнитным моментом //, ядра понима-
понимают просто максимальное значение его проекции, т. е. \i = fiogJ]
с таким обозначением
A18.10)
Магнитный момент ядра складывается из магнитных момен-
моментов нуклонов, находящихся вне заполненных оболочек, посколь-
поскольку моменты нуклонов в заполненных оболочках взаимно ком-
компенсируются. Каждый нуклон создает в ядре магнитный мо-
момент, складывающийся из двух частей: спиновой и (в случае
протона) орбитальной, т.е. представляющийся суммой ggS + g/1.
(Здесь и ниже мы опускаем множитель //о, подразумевая, как
это обычно делается, что магнитные моменты измерены в еди-
единицах ядерного магнетона.) Орбитальный и спиновый гиромаг-
гиромагнитные множители равны: g\ = 1, gs = 5,585 для протона и
gi = 0, gs = —3,826 для нейтрона.
г) Таковы 2Нв2, ^Os, 2oCa2o, 282Pbi26 5 ядро 4Не вообще неспособно присо-
присоединить к себе еще один нуклон (справа внизу указано значение числа N в
ядре).

590	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
После усреднения по движению нуклона в ядре, его магнит-
магнитный момент становится пропорциональным j; написав его в виде
gjj, имеем
Умножив обе части этого равенства на j = 1 + 1з и переходя к
собственным значениям, получим
gjjti + 1) = \(§1 + es)Jti + 1) + \(8l ~ g,)W + 1) - 8(8 + 1)],
а положив здесь s = 1/2, j = I ± 1/2, найдем
gj=gl±g^- при i = I ± 1/2.	A18.11)
С указанными выше значениями гиромагнитных множителей это
дает для магнитного момента протона \iv = gjj:
B 29
l--jTi)i при J = '-V2,	A18Л2)
HP = j + 2,29 при j = l + 1/2
и для магнитного момента нейтрона
1 91
»п = ~^3 при 3=1-1/2.
^п = -1,91 при j = l + 1/2
{T.Schmidt, 1937).
Если вне заполненных оболочек имеется всего один нуклон,
формулы A18.12) или A18.13) непосредственно дают магнит-
магнитный момент ядра. Для двух нуклонов сложение их магнитных
моментов тоже производится элементарно (см. задачу 1). В слу-
случае большего числа нуклонов усреднение магнитного момента
должно производиться с помощью волновой функции системы,
должным образом составленной из индивидуальных волновых
функций нуклонов. Задание нуклонной конфигурации и состоя-
состояния ядра в целом позволяют сделать это однозначным образом
в тех случаях, когда данной конфигурации может соответство-
соответствовать всего одно состояние системы с заданными значениями J
и Г (см., например, задачу 3); в противном случае состояние яд-
ядра представляет собой смесь нескольких независимых состояний
(с одинаковыми J, Г) и, вообще говоря, остаются неизвестны-
неизвестными коэффициенты в линейной комбинации, дающей волновую
функцию ядра1).
х) Отметим, однако, что точность «одночастичной» схемы вычисления маг-
магнитных моментов ядер фактически оказывается невысокой. Пары значе-
значений A18.12) и A18.13) оказываются скорее верхним и нижним пределами,
чем точными значениями моментов.

§ 118	МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК	591
Наконец укажем, что наличие спин-орбитальной связи ну-
нуклонов в ядре приводит к появлению у протонов в ядре неко-
некоторого дополнительного (по отношению к A18.9)) магнитного
момента (М. Goppert-Mayer, J.H. Jensen, 1952). Дело в том, что
при явной зависимости оператора взаимодействия от скорости
частицы переход к случаю наличия внешнего поля совершает-
совершается путем замены оператора импульса согласно р —>• р — (е/с)А.
Производя эту замену в A18.3) и воспользовавшись выражени-
выражением A11.7) для векторного потенциала, найдем, что в гамильто-
гамильтониане протона появляется дополнительный член
^	^	^
Такой член эквивалентен возникновению дополнительного маг-
магнитного момента с оператором
/2Доп = -^/(r)[r[sr]] = - JLr2/(r){s - (Sh)n}. A18.14)
Задачи
1. Определить магнитный момент системы двух нуклонов (с полным
механическим моментом J =ji +J2), выразив его через магнитные момен-
моменты ii\ и ii2 каждого из нуклонов.
Решение. Аналогично выводу формулы A18.11) получим
J 2 Vji П) 2 \п п)	J(J+1)
2.	Найти возможные состояния системы трех нуклонов с моментами
j = 3/2 (и одинаковыми главными квантовыми числами).
Решение. Поступаем аналогично тому, как было сделано в § 67
при нахождении возможных состояний системы эквивалентных электро-
электронов. Каждый нуклон может находиться в одном из восьми состояний со
следующими парами значений чисел (rrij, т^):
C/2,1/2), A/2,1/2), (-1/2,1/2), (-3/2,1/2),
C/2,-1/2), A/2,-1/2), (-1/2,-1/2), (-3/2,-1/2).
Комбинируя эти состояния по три различных, найдем следующие пары
значений (Mj, Т$) для системы трех нуклонов:
G/2,1/2), 2E/2,1/2), C/2,3/2), 4C/2,1/2),
A/2,3/2), 5A/2,1/2)
(цифра перед скобками указывает число соответствующих состояний; со-
состояний с отрицательными значениями Mj, T^ можно не выписывать). Им
соответствуют состояния системы со следующими значениями чисел (J, T):
G/2,1/2), E/2,1/2), C/2,3/2), C/2,1/2), A/2,1/2).
3.	Определить магнитный момент основного состояния конфигурации
двух нейтронов и одного протона в состояниях р3/2 (с одинаковыми п) с
учетом изотопической инвариантности1) .
) Такую конфигурацию (сверх заполненной оболочки (lsi/2) ) имеет
ядро 7Li.

592	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
Решение. Основное состояние такой конфигурации имеет J = 3/2, а
по указанному в тексте правилу его изоспин имеет наименьшее возможное
значение Т = \ТС\ = 1/2.
Определим волновую функцию системы, соответствующую наибольше-
наибольшему возможному значению Mj = 3/2. Это значение Mj может быть осу-
осуществлено (с учетом требований принципа Паули для двух одинаковых
нуклонов) следующими тройками значений rrij соответственно для нукло-
нуклонов р, п, п:
C/2,3/2,-3/2), C/2,1/2,-1/2), A/2,3/2,-1/2), A/2,3/2,1/2).
Поэтому искомая волновая функция фтт J является линейной комбинацией
вида
_l<l ф_\% ф-\%], A)
где [... ] обозначает нормированное антисимметризованное произведение
(т.е. определитель вида F1.5)) индивидуальных волновых функций фт^
нуклонов.
Функция A) должна обращаться в нуль при воздействии на нее опера-
операторов
г=1	г=1
(ср. задачу к §67). Операторы т(г) превращают протонную функцию г-го
нуклона в нейтронную (а нейтронную функцию — в нуль). Легко видеть по-
поэтому, что оператор Т_ обращает первый член в A) в определитель с двумя
одинаковыми строками, т. е. в нуль, а определители в трех остальных чле-
членах становятся одинаковыми; поэтому получаем условие b-\-c-\-d = 0. Далее,
для отдельного нуклона с моментом j = 3/2 и различными значениями rrij
имеем (согласно B7.12))
Отсюда легко найти, что при воздействии оператора J+ на функцию A)
получается
J+*$-$ = V3(a + Ъ - с) [ф1? ф_1<1 фЦ',2] + 2(с - d) [ф_\% ф\? ф_\%\
(изменение знака некоторых членов связано с перестановкой строк опреде-
определителя). Условие равенства этого выражения нулю дает
a + 6-c = 0, c-d = 0.
Вместе с условием нормировки функции A) полученные соотношения дают
3,2	, 1
л/15	л/15	л/15
Учитывая, что среднее значение проекции магнитного момента протона (или
нейтрона) в состоянии с данным rrij есть jjLpmj/j (или jjinmj/j)j найдем,
что среднее значение момента системы, вычисленное с помощью волновой
функции A), равно

§119	НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ЯДРА	593
По формулам A18.12), A18.13) найдем, что для нуклона в состоянии рз/2-
jin = —1,91, fip = 3, 79. В результате ji = 3,03.
4. Определить магнитный момент ядра, в котором все нуклоны вне
заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях, причем число
протонов равно числу нейтронов.
Решение. Поскольку при N = Z проекция изоспина Т^ = 0, то
диагональные матричные элементы имеет только изотопически-скалярная
часть оператора
п	р
(см. конец §116). Выделяя эту часть в соответствии с формулой A16.5),
найдем, что она равна
-(gn + gP)^i = -(gn
п,р
Поэтому полный средний магнитный момент ядра равен A/2) (gn + gp)J.
5. Вычислить дополнительный магнитный момент нуклона с механиче-
механическим моментом j, выразив его через величину спин-орбитального расщеп-
расщепления A18.6) (М. Goppert-Mayer, J. H. Jensen, 1952).
Решение. Усреднение угловой части оператора A18.14) (выражение
в фигурных скобках в A18.14); обозначим его как Э) производится по фор-
формуле, полученной в задаче к § 29, и дает
l(sl)-B/3)Z(Z
? = s-(sn)n = -s+ v J ' v J	v"'"' v ' J .	B)
V J 3	BZ-l)BZ + 3)	V J
С другой стороны, после полного усреднения по движению нуклона сред-
среднее значение сг может быть направлено лишь по j, т.е. а = aj; отсюда
а = (<rj)/j2. Произведя проецирование вектора B) на j (причем надо учесть,
что оператор j коммутирует с (Is)) и переходя к собственным значениям
величин Is, I2 и т.п., получим, после простого вычисления, следующее вы-
выражение для дополнительного магнитного момента нуклона (в единицах
ядерного магнетона):
при j = l± 1/2	C)
(тр — масса нуклона; R—радиус ядра; при усреднении г2 f множитель г2
заменен на R2 ввиду быстрого убывания /(г) в глубь ядра). Среднее зна-
значение / в C) может быть выражено через спин-орбитальное расщепление
согласно A18.6).
§ 119. Несферические ядра
Система частиц, движущихся в сферически-симметричном
поле, не может иметь вращательного спектра энергий; в кван-
квантовой механике понятие вращения для такой системы вообще
не имеет никакого смысла. Это относится и к рассмотренной в
предыдущем параграфе оболочечной модели ядра со сфериче-
сферически-симметричным самосогласованным полем.

594	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
Разделение энергии системы на внутреннюю и вращатель-
вращательную части в квантовой механике вообще не имеет строгого смы-
смысла. Оно может иметь лишь приближенный характер и возмож-
возможно в тех случаях, когда по тем или иным физическим причинам
является хорошим приближением рассмотрение системы как со-
совокупности частиц, движущихся в заданном поле, не обладаю-
обладающем сферической симметрией. Вращательная структура уров-
уровней появляется тогда как результат учета возможности враще-
вращения указанного поля по отношению к фиксированной системе
координат. С таким случаем мы имели дело, например, в молеку-
молекулах, электронные термы которых можно определять как уровни
энергии системы электронов, движущихся в заданном поле фик-
фиксированных ядер.
Опыт показывает, что большинство ядер действительно не
обладает вращательной структурой. Это означает, что хоро-
хорошим приближением для них является сферически-симметрич-
сферически-симметричное самосогласованное поле, т. е. ядра обладают (с точностью
до квантовых флуктуации) сферической формой.
Существует, однако, и такая категория ядер, которые обла-
обладают энергетическим спектром вращательного типа (сюда отно-
относятся ядра в интервалах атомных весов примерно 150 < А <
< 190 и А > 220). Это их свойство означает, что приближе-
приближение сферически-симметричного самосогласованного поля для
них совершенно непригодно. Самосогласованное поле для этих
ядер должно в принципе искаться без каких-либо предваритель-
предварительных предположений о характере его симметрии с тем, чтобы
форма ядра определилась также «самосогласованным» образом.
Опыт показывает, что правильной моделью для ядер этой кате-
категории оказывается самосогласованное поле, имеющее ось сим-
симметрии и перпендикулярную к ней плоскость симметрии (т. е.
имеющие симметрию эллипсоида вращения). Представление о
несферических ядрах наиболее полно было разработано в ра-
работах О. Бора и Моттелъсона (A.Bohr, В. R. Mottelson, 1952-
1953).
Подчеркнем, что мы имеем дело с двумя качественно различ-
различными категориями ядер. Это проявляется, в частности, в том,
что ядра оказываются либо сферическими, либо несферически-
несферическими с отнюдь не малой «степенью несферичности».
Возникновению несферичности способствует наличие в ядре
незаполненных оболочек; существенную роль в этом явлении иг-
играет, по-видимому, также явление спаривания нуклонов. Напро-
Напротив, замкнутость оболочек способствует сферичности ядра. Ха-
Характерным в этом смысле является дважды магическое ядро
82?Ь; в силу резко выраженной замкнутости его нуклонной кон-
конфигурации это ядро (а также и близкие к нему ядра) является

§119	НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ЯДРА	595
сферическим, что и приводит к появлению разрыва в ряду не-
несферических тяжелых ядер.
Уровни энергии несферического ядра представляются сум-
суммой двух частей: уровней «неподвижного» ядра и энергии его
вращения как целого. У четно-четных ядер интервалы враща-
вращательной структуры уровней оказываются при этом малыми по
сравнению с расстояниями между уровнями «неподвижного» яд-
ядра.
Классификация уровней несферического ядра во многом
аналогична классификации уровней двухатомной молекулы (со-
(состоящей из одинаковых атомов), поскольку симметрия поля, в
котором движутся частицы (нуклоны или электроны) в обоих
случаях одинакова. Мы сможем поэтому непосредственно вос-
воспользоваться рядом результатов, полученных в гл. XI1).
Остановимся сначала на классификации состояний «непо-
«неподвижного ядра». В поле с аксиальной симметрией сохраняется
лишь проекция момента на ось симметрии. Поэтому каждое со-
состояние ядра характеризуется прежде всего величиной Л про-
проекции его полного момента2), которая может иметь как целые,
так и полу целые значения. В зависимости от поведения вол-
волновой функции при изменении знака координат всех нуклонов
(по отношению к центру ядра) уровни делятся на четные (g) и
нечетные (и).
Кроме того, при fi = 0 дополнительно различаются положи-
положительные и отрицательные состояния — в зависимости от поведе-
поведения волновой функции при отражении в плоскости, проходящей
через ось ядра (см. § 78).
Основные состояния четно-четных несферических ядер явля-
являются состояниями 0g (цифра указывает значение П), соответ-
соответствующими равному нулю моменту и наиболее высокой симме-
симметрии волновой функции; это обстоятельство является резуль-
результатом попарного спаривания всех нейтронов и всех протонов.
Если же ядро содержит нечетное число протонов или нейтронов,
то в нем можно рассматривать состояние «нечетного» нуклона
в самосогласованном поле четно-четного «остова» ядра.
х) Подчеркнем, что речь идет об аналогии с классификацией уровней имен-
именно двухатомной молекулы, а не симметричного волчка. Для системы ча-
частиц, движущихся в аксиально-симметричном поле, понятие вращения во-
вокруг оси поля не имеет смысла так же, как не имеет смысла понятие вра-
вращения вокруг любой оси для системы в центрально-симметричном поле.
2)По определению, Q ^ О (подобно положительности квантового числа Л
в двухатомных молекулах). Напомним, что отрицательные значения чис-
числа Q в случае двухатомных молекул могли возникать лишь в связи с тем,
что О, определялось как сумма Л + Е, причем Е могло быть (в зависимости
от относительных направлений орбитального момента и спина) как положи-
положительным, так и отрицательным.

596	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
При этом значение Л определяется проекцией момента это-
этого нуклона. Аналогично, в нечетно-нечетном ядре значение fi
складывается из проекций моментов нечетного нейтрона и не-
нечетного протона (ft = \шр ± шп\).
Следует в то же время подчеркнуть, что нельзя говорить
об определенных значениях проекций орбитального момента и
спина нуклона.
Дело в том, что хотя спин-орбитальная связь нуклона и мала
по сравнению с энергией его взаимодействия с самосогласован-
самосогласованным полем остова, но она не мала по сравнению с расстояниями
между соседними уровнями энергии нуклона в этом поле; между
тем именно последнее условие требовалось бы для применимо-
применимости теории возмущений, позволившей бы в хорошем приближе-
приближении рассматривать раздельно орбитальный момент и спин ну-
нуклона1) .
Перейдем к вращательной структуре уровней несфериче-
несферического ядра. Интервалы этой структуры малы по сравнению со
спин-орбитальным взаимодействием нуклонов в ядре; такая си-
ситуация соответствует случаю а теории двухатомных молекул
(см. §83).
Полный момент вращающегося ядра J, разумеется, сохра-
сохраняется. При заданном fi его величина J пробегает значения,
начинающиеся от О.\
J = n, fi + 1, fi + 2,...	A19.1)
(см. (83.2)). Дополнительное ограничение возможных значе-
значений J имеет место для ядер с ft = 0: в состояниях О^Г и 0~
число J пробегает лишь четные значения, а в состояниях 0~
и 0^ — нечетные (см. §86). В частности, во вращательных уров-
уровнях основного терма четно-четных ядер @+) число J пробегает
значения 0, 2,4,...
Вращательная энергия ядра определяется формулой
?BP = ^J(J + 1),	A19-2)
где / — момент инерции ядра (относительно оси, перпендикуляр-
перпендикулярной к его оси симметрии); эта формула соответствует анало-
аналогичному выражению теории двухатомных молекул (зависящий
1) В сферических ядрах тем не менее оказывалось возможным определить
величину / в результате совместного применения сохранения четности и мо-
момента.

§119	НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ЯДРА	597
от J член в (83.6)). Наиболее низкому уровню соответствует
наименьшее возможное значение J, т. е. J = fi.
В силу A19.2) вращательная структура уровней характери-
характеризуется определенными правилами интервалов, не зависящими
(при заданном П) от других характеристик уровня. Так, компо-
компоненты вращательной структуры основного терма четно-четного
ядра (с J = 2, 4, 6, 8,...) отстоят от наиболее глубокого уровня
(J = 0) на расстояниях, относящихся как 1:3,3:7:12...
Формула A19.2), однако, недостаточна для состояний с
Л = 1/2, которое может иметь место у ядер с нечетным чи-
числом нуклонов.
В этом случае возникает сравнимый с A19.2) вклад в энер-
энергию, связанный со взаимодействием нечетного нуклона с цен-
центробежным полем вращающегося ядра. Его зависимость от J
можно найти следующим образом.
Как известно из механики (см. I, §39), энергия частицы
во вращающейся системе координат содержит дополнительный
член, равный произведению угловой скорости вращения на мо-
момент импульса частицы. Соответствующий член в гамильтони-
гамильтониане ядра можно представить в виде 2ЬК<т, где Ъ—некоторая
постоянная; К — вращательный момент остова ядра (ядро без
последнего нуклона), а Э — момент нуклона; последний надо по-
понимать здесь в чисто формальном смысле (в действительности
вектор момента нуклона в аксиальном поле ядра не существу-
существует), как оператор, аналогичный оператору спина 1/2, дающий
переходы между состояниями со значениями проекции момен-
момента ±1/2 — в соответствии со значением ft = 1/2г). Поскольку
К = J — <т, то собственные значения этого оператора
2Ж<т =
Добавив сюда для удобства не зависящую от J постоянную 6/2,
найдем, что эта величина равна ±b(J + 1/2) при J = К ± 1/2.
Это выражение можно записать в виде ( — l)J~1^b(J + 1/2),
если учесть, что момент К остова (представляющего собой
четно-четное ядро) является четным числом. Таким образом,
г) Специфика случая Q = 1/2 как раз и заключается в существовании мат-
матричных элементов возмущения энергии для переходов между состояниями,
отличающимися лишь знаком проекции момента и потому относящихся к
одинаковой энергии. Это приводит к появлению сдвига энергии уже в пер-
первом порядке теории возмущений.
Рассматриваемое явление аналогично Л-удвоению уровней двухатомной
молекулы с Q = 1/2 (см. § 88).

598	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
окончательно получаем следующее выражение для вращатель-
вращательной энергии ядра с fi = 1/2:
Явр = p(J + 1) + (-1) J/2b( J + I)	A19.3)
(A. Bohr, В. Mottelson, 1953). Отметим, что если постоянная Ъ по-
положительна и достаточно велика, то уровень с J = 3/2 может
оказаться лежащим ниже уровня с J = 1/2, т. е. может нару-
нарушиться нормальный порядок вращательных уровней, при кото-
котором низший уровень соответствует наименьшему возможному
значению J.
Момент инерции несферического ядра не может быть вы-
вычислен как момент инерции твердого тела с заданной формой.
Такое вычисление было бы возможно лишь, если бы нуклоны,
движущиеся в самосогласованном поле ядра, можно было рас-
рассматривать как непосредственно не взаимодействующие друг с
другом. В действительности же явление спаривания приводит к
уменьшению момента инерции по сравнению со значением, со-
соответствующим твердому телу.
Магнитный момент /х несферического ядра складывается из
магнитного момента «неподвижного» ядра и из момента, связан-
связанного с вращением ядра. Первый направлен (после усреднения по
движению нуклонов в ядре) вдоль оси ядра; обозначив величину
этого момента как //, а единичный вектор вдоль оси ядра через
п, напишем его в виде //п. Магнитный же момент, связанный
с вращением, направлен (после того же усреднения) вдоль век-
вектора J — flu — полного механического момента ядра за вычетом
момента нуклонов в «неподвижном ядре» 1).
Таким образом,
/1 = ц'п + gr(J - fin).	A19.4)
Здесь gr есть гиромагнитный множитель вращения ядра. По-
Поскольку вклад в магнитный момент при вращении дают только
протоны, то
Sr = j^-r,	(И9.5)
J-p \ J-n
где In и 1р — нейтронная и протонная части момента инерции
ядра (для системы из одних только протонов должно было бы
быть просто gr = 1). Отношение A19.5), вообще говоря, не со-
совпадает с отношением Z/A числа протонов к полной массе ядра.
х) Такая форма записи может быть применена лишь при Q ф 1/2 (см. за-
задачу 2).

§119	НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ЯДРА	599
После усреднения по вращению ядра магнитный момент на-
направлен по сохраняющемуся вектору J:
= jJ = (// -
gr
Как обычно, умножаем обе части этого равенства на J и пе-
переходим к собственным значениям. В основном состоянии ядра
Л = J в результате находим
Задачи
1. Выразить квадрупольный момент Q вращающегося ядра через ква-
друпольный момент Qo относительно связанных с ядром осей (A.Bohr,
1951).
Решение. Оператор тензора квадрупольного момента вращающего-
вращающегося ядра выражается через Qo посредством
2 /	1
Qik = -Qo ( ПгПк — -S
о \	о
это есть симметричный тензор с равным нулю следом, составленный из ком-
компонент единичного вектора п вдоль оси ядра, причем Qzz = Qo. Усреднение
по вращательному состоянию ядра проводится подобно решению задачи к
§ 29 с тем только отличием, что ni J% = ^, а не нулю и приводит к выраже-
выражению вида G5.2) с
3»2-J(J+l)
QQ0
Для основного состояния ядра с Q = J получим
Q = Q0 С2-7) .
BJ + 3)(J+1)
При возрастании J отноп1ение Q/Qo стремится к 1, но довольно медленно.
2.	Определить магнитный момент в основном состоянии ядра с Q = -.
Решение.В этом случае оператор магнитного момента может быть
записан с помощью введенного в тексте оператора Э в виде
/2 = 2//? + grK, K = J-a\
Дальнейшее вычисление аналогично произведенному в тексте. Если основ-
основному уровню ядра отвечает значение J = — (при этом число К = J	= 0),
3
то получается \i ¦=¦ \i . Если же в основном состоянии J = — (при этом
1	9	3
К = J + - = 2), то fi = -gr - -//.
3.	Определить энергии нескольких первых уровней вращательной
структуры основного состояния четно-четного ядра, имеющего симметрию
трехосного эллипсоида.

600	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
Решение. Основному состоянию четно-четного ядра соответствует
наиболее симметричная волновая функция «неподвижного» ядра, т. е. функ-
функция с симметрией, отвечающей представлению А группы Т>2- Имеется по-
поэтому всего	1-1 (при четном J) или 	 (при нечетном J) различных
уровней при заданном значении J. Для J = 2 они даются полученной в
задачах к § 103 формулой G), а для J = 3 — формулой (8).
§ 120. Изотопическое смещение
Специфические свойства ядра (конечная масса, размеры,
спин), отличающие его от неподвижного точечного центра ку-
лонова поля, оказывают определенное влияние на электронные
уровни энергии атома.
Одним из таких эффектов является так называемое изото-
изотопическое смещение уровней — изменение энергии уровня при пе-
переходе от одного изотопа данного элемента к другому. Факти-
Фактически, конечно, представляет интерес не изменение энергии од-
одного уровня, а изменение разности двух уровней, наблюдаемой
в виде спектральной линии. По этой причине фактически надо
рассматривать не энергию всей электронной оболочки атома в
целом, а лишь ту ее часть, которая связана с электроном, участ-
участвующим в данном спектральном переходе.
В легких атомах основным источником изотопического сме-
смещения является эффект конечности массы ядра. Учет движения
ядра приводит к появлению в гамильтониане атома члена
где М — масса ядра, а р^ — импульсы электроновг). Поэтому
связанное с данным эффектом изотопическое смещение нахо-
находится как среднее значение
вычисленное по волновой функции данного состояния атома
(Mi, M2 —массы ядер изотопов).
) В системе центра инерции атома сумма импульсов ядра и электронов
равна нулю: ряд + ^ Рг = 0. Поэтому их полная кинетическая энергия
Ряд , 1 V^ 2	1 ЛГ^ \2

§ 120	ИЗОТОПИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ	601
В тяжелых атомах основной вклад в изотопическое смеще-
смещение связан с протяженностью ядра. Этот эффект фактически
заметен лишь для уровней внешнего электрона, находящегося в
5-состоянии, поскольку волновая функция 5-состояния (в проти-
противоположность волновым функциям состояний с / ф 0) не обра-
обращается в нуль при г —>• 0 и потому вероятность нахождения
электрона в «объеме ядра» сравнительно велика. Вычислим изо-
изотопическое смещение для этого случая1).
Пусть <р(г) — истинный электростатический потенциал поля
ядра, в отличие от потенциала Ze/r кулонова поля точечного
заряда Ze. Тогда изменение энергии электрона, по сравнению с
ее значением в чисто кулоновом поле Ze/r, дается интегралом
АЕ
= -е [ (у - y)^2(r) dV,	A20.2)
где ф(г)—волновая функция электрона (в s-состоянии эта функ-
функция сферически-симметрична и вещественна). Хотя интегриро-
интегрирование здесь формально распространено по всему пространству,
но фактически стоящая в подынтегральном выражении разность
(f — Ze/r отлична от нуля лишь внутри объема ядра.
С другой стороны, волновая функция s состояния стремится
при г —>• 0 к постоянному пределу (см. § 32), причем это постоян-
постоянное значение практически достигается уже вне ядра. Поэтому
можно вынести ф2 из-под знака интеграла, заменив ф(г) ее зна-
значением при г = 0, вычисленным для кулонова поля точечного
заряда.
Для дальнейшего преобразования интеграла воспользуемся
тождеством Аг2 = 6и перепишем A20.2) в виде
S L-^]Ar2dV = --еф2{0) fr2
J \	Г /	6	J
(при преобразовании объемного интеграла учтено, что возникаю-
возникающий при этом интеграл по бесконечно удаленной поверхности ра-
равен нулю). Но А- = — 4тг?(г), а г26(г) = 0 при всех г. Согласно
г
же электростатическому уравнению Пуассона Аср = — 4тгр, где
в данном случае р — плотность распределения электрического
заряда в ядре. В результате получим окончательно
АЕ = —^2@)Ze2^,	A20.3)
) Излагаемый ниже расчет, не учитывающий релятивистских эффектов
в движении электрона вблизи ядра, справедлив при выполнении условия
2

602	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
где г2 = — f pr2 dV — протонный средний квадратичный ра-
диус ядра (при однородном распределении протонов в ядре бы-
было бы г2 = 3i?2/5, где R — геометрический радиус ядра). Изо-
Изотопическое смещение уровня определяется разностью выраже-
выражений A20.3) для двух изотопов.
В § 71 была произведена оценка величины ф@) и выяснено,
что она зависит от (предполагаемого большим) атомного номе-
номера как y/~Z. Поэтому величина расщепления A20.3) оказывается
пропорциональной ?2
§ 121. Сверхтонкая структура атомных уровней
Другим атомным эффектом, связанным со специфически-
специфическими свойствами ядра, является расщепление атомных уровней
энергии в результате взаимодействия электронов со спином яд-
ядра—так называемая сверхтонкая структура уровней. Ввиду
слабости указанного взаимодействия интервалы этой структуры
очень малы, в том числе по сравнению с интервалами тонкой
структуры. Поэтому сверхтонкая структура должна рассматри-
рассматриваться для каждой из компонент тонкой структуры в отдельно-
отдельности.
Спин ядра будем обозначать в этом параграфе (в соответ-
соответствии с тем, как это принято в атомной спектроскопии) через г,
сохранив обозначение J для полного момента электронной обо-
оболочки атома. Полный момент атома (вместе с ядром) обозначим
как F = J + i. Каждая компонента сверхтонкой структуры ха-
характеризуется определенным значением величины этого момен-
момента. По общим правилам сложения моментов квантовое число F
принимает значения
F = J + i, j + i-l,...,|J-i|,	A21.1)
так что каждый уровень с заданным J расщепляется на 2г + 1
(если г < J) или 2 J + 1 (если г > J) компонент.
Поскольку средние расстояния г электронов в атоме велики
по сравнению с радиусом R ядра, основную роль в сверхтонком
расщеплении играет взаимодействие электронов с мультиполь-
ными моментами ядра наиболее низких порядков. Таковыми яв-
являются магнитный дипольный и электрический квадрупольный
моменты (средний дипольный момент равен нулю — см. §75).
Магнитный момент ядра имеет порядок величины //яд ~
~ еЛг;яд/с, где уяд — скорости нуклонов в ядре. Энергия его
взаимодействия с магнитным моментом электрона (//эл ~ еН/тс)

§ 121	СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА АТОМНЫХ УРОВНЕЙ	603
порядка
/Ляд/^эл е h тСуЯд	/1O1 о\
г3	шс2 г3	v	у
Квадрупольный момент ядра Q ~ ei?2; энергия взаимодей-
взаимодействия создаваемого им поля с зарядом электрона порядка
eQ e2R2	(	.
Сравнивая A21.2) и A21.3), мы видим, что магнитное взаи-
взаимодействие (а потому и вызываемое им расщепление уровней)
в (уяд/с)(Н/тсЯ) ~ 15 раз больше квадрупольного взаимодей-
взаимодействия; хотя отношение уяд/с сравнительно мало, зато отношение
H/mcR велико.
Оператор магнитного взаимодействия электронов с ядром
имеет вид	^
Vu = aiJ	A21.4)
(аналогично спин-орбитальному взаимодействию электронов
G2.4)). Зависимость вызываемого им расщепления уровней от F
дается, следовательно, выражением
^F(F + 1)	A21.5)
(ср. G2.5)).
Оператор же квадрупольного взаимодействия электронов с
ядром составляется из оператора Q^ тензора квадрупольно-
квадрупольного момента ядра и компонент вектора J момента электронов.
Он пропорционален составленному из этих операторов скаляру
т. е. имеет вид
[ь. + ib%i	i(i + l)8jk JiJb\	A21.6)
здесь учтено, что Q^ выражается через оператор спина ядра
формулой вида G5.2). Вычислив собственные значения опера-
оператора A21.6) (это делается в точности аналогично вычислениям
в задаче 1 §84), мы найдем, что зависимость квадрупольного
сверхтонкого расщепления уровней от квантового числа F да-
дается выражением
-F2(F + IJ + -F(F + 1)[1 - 2J(J + 1) - 2г(г + 1)]. A21.7)

604	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
Эффект магнитного сверхтонкого расщепления в особенно-
особенности заметен для уровней, связанных с внешним электроном, на-
находящимся в 5-состоянии, ввиду сравнительно большой вероят-
вероятности нахождения такого электрона вблизи ядра.
Вычислим сверхтонкое расщепление для атома, содержащего
один внешний s-электрон (Е. Fermi, 1930). Этот электрон описы-
описывается сферически-симметричной волновой функцией ф(г) его
движения в самосогласованном поле остальных электронов и яд-
ра1).
Будем искать оператор взаимодействия электрона с ядром
как оператор энергии — /2Н магнитного момента ядра /i = [А/% в
магнитном поле, создаваемом (в начале координат) электроном.
Согласно известной формуле электродинамики это поле
Щ-dV,	A21.8)
где j — оператор плотности тока, создаваемого движущимся
электронным спином, а г = иг—радиус-вектор из центра к
элементу dV2). Согласно A15.4) имеем
dr
(Яв — магнетон Бора). Написав dV = r2 dr do и произведя инте-
интегрирование, находим
Н = —2{1в
о
Окончательно для оператора взаимодействия имеем
^-dr |[n[ns]] do = -
Vis = -/Ш = ^^(Ojis.	A21.9)
Зг
Если полный момент атома J = S = 1/2, то сверхтонкое
расщепление приводит к возникновению дублета (F = г ± 1/2);
согласно A21.5) и A21.9) найдем для расстояния между двумя
уровнями дублета
f	).	A21.10)
) Излагаемый ниже расчет предполагает выполнение условия Ze /He <С 1
(ср. примеч. на с. 601).
2) См. II, §43, формула D3.7); заметим, что в последней вектор R направ-
направлен в обратную сторону — от dV к центру (точке наблюдения поля).

§ 122	СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА АТОМНЫХ УРОВНЕЙ	605
Поскольку значение ^@) пропорционально yZ (см. §71), вели-
величина этого расщепления растет пропорционально атомному но-
номеру.
Задачи
1. Вычислить сверхтонкое расщепление (связанное с магнитным взаи-
взаимодействием) для атома, содержащего сверх замкнутых оболочек один элек-
электрон с орбитальным моментом / {Е. Fermi, 1930).
Решение. Векторный потенциал и напряженность магнитного поля,
создаваемого магнитным моментом ядра //, равны
_ \i*n\ тт _ Зп[ахп] - ах
— О 5 "¦ —	Я
(div A = 0). С помощью этих выражений запишем оператор взаимодействия
в виде
КАр + M^Hs = ^Д[Т + 3(sn)n - в].
тс	тс	г
После усреднения по состоянию с заданным значением j выражение в ква-
квадратных скобках будет направлено вдоль j. Поэтому можно написать
-sj] /¦
Среднее значение гпгТк было вычислено в задаче к § 29. Воспользовавшись
им и переходя к собственным значениям, получим
21A
3) Jj(j + 1
откуда после простого вычисления окончательно находим
где F =j + i, a j = /±1/2. Усреднение г~3 производится по радиальной
части волновой функции электрона.
2. Определить зеемановское расщепление компонент сверхтонкой струк-
структуры атомного уровня (S. Л. Goudsmit, R. F. Backer, 1930).
Решение.В формуле A13.4) (мы предполагаем поле настолько сла-
слабым, что вызываемое им расщепление мало по сравнению с интервала-
интервалами сверхтонкой структуры) усреднение должно теперь производиться не
только по электронному состоянию, но и по направлениям ядерного спи-
спина. В результате первого усреднения получается АЕ = fiBgjJzH с преж-
прежним gj A13.7). Второе усреднение дает, аналогично A13.5),
F2
Таким образом, окончательно получаем
АЕ = flBgFHMF 5 gF = gj

606	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
§ 122. Сверхтонкая структура молекулярных уровней
Сверхтонкая структура уровней энергии молекулы имеет
природу, аналогичную природе сверхтонкой структуры атомных
уровней.
У огромного большинства молекул полный электронный спин
равен нулю. Основным источником сверхтонкого расщепления
уровней является для них квадрупольное взаимодействие ядер
с электронами; при этом, конечно, во взаимодействии участву-
участвуют лишь те из ядер, спин г которых отличен от 0 или 1/2 —в
противном случае квадрупольный момент равен нулю.
Ввиду сравнительной медленности движения ядер в молеку-
молекуле усреднение оператора квадрупольного взаимодействия по со-
состоянию молекулы производится в два этапа: сначала должно
быть произведено усреднение по электронному состоянию при
закрепленных ядрах, а затем — усреднение по вращению моле-
молекулы.
Рассмотрим сначала двухатомную молекулу. В результате
первого этапа усреднения взаимодействие каждого из ядер с
электронами выразится оператором, пропорциональным скаля-
скаляру Qik^i^k, составленному из оператора тензора квадрупольного
момента ядра и единичного вектора п в направлении оси моле-
молекулы— единственной величины, определяющей ориентацию мо-
молекулы относительно направления спина ядра. Учитывая, что
Qa = 0, этот оператор можно представить в виде
Ъцгк[тцпк - -й/cj;	A22.1)
при заданной величине проекции г^ спина ядра на ось молекулы
эта величина равна Ъ г?	г (г + 1) .
В результате же усреднения оператора A22.1) по вращению
молекулы он оказывается выраженным через оператор К сохра-
сохраняющегося вращательного момента. Усреднение произведения
щпь производится по формуле, полученной в задаче к § 29 (с
вектором К вместо 1), и дает в результате
W * ft* + ** I
BК - 1)W + 3) ** ft** + *»* I
Собственные значения этого оператора находятся так же, как это
было указано для оператора A21.6).
В случае многоатомной молекулы вместо A22.1) получается,
вообще говоря, оператор вида
i	A22.3)

§ 122	СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА МОЛЕКУЛЯРНЫХ УРОВНЕЙ	607
где bik — тензор с равным нулю следом, представляющий собой
определенную характеристику электронного состояния молеку-
молекулы. После усреднения по вращению молекулы он оказывается
выраженным через ее полный вращательный момент J форму-
формулой вида
bik = Ъ [jJk + JkJi - 2-J(J + l)Sik\.	A22.4)
Коэффициент b может быть в принципе выражен через ком-
компоненты тензора Ь^ относительно главных осей инерции молеку-
молекулы ?, 77, С5 поскольку эти оси неподвижно связаны с молекулой,
то компоненты 6^,... являются не затрагиваемой усреднением
характеристикой молекулы. Для этого рассмотрим скаляр
- Вычисление с помощью A22.4) дает
= bJ(J + 1) \JJ(J + 1) - l]	A22.5)
(вычисление аналогично произведенному в задаче к § 29). С дру-
другой стороны, раскрывая тензорное произведение в осях ?, 77, ?,
получим
bull + Ът~Ц + bccjf.	A22.6)
Здесь учтено, что средние значения произведений J^J^ ... рав-
равны нулю1). Средние значения квадратов J?,... вычисляются в
принципе по волновым функциям соответствующих вращатель-
вращательных состояний волчка. В частности, для симметричного волчка
имеем просто
Если спины ядер равны 1/2, квадрупольное взаимодействие
отсутствует. Одним из основных источников сверхтонкого рас-
расщепления в этом случае является прямое магнитное взаимодей-
взаимодействие ядерных магнитных моментов друг с другом. Оператор
взаимодействия двух магнитных моментов /i-l = /iiii/ii, ^2 =
— М212Д2 дается формулой
г) Действительно, в представлении, в котором матрица одной из компо-
компонент J (скажем J^) диагональна, матрицы произведений J^J^, JrjJc содержат
элементы лишь с изменением квантового числа к на 1; волновые же функции
стационарных состояний асимметричного волчка содержат функции ipjk со
значениями к, отличающимися на четное число (см. § 103).

608	СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА	ГЛ. XVI
Для вычисления энергии расщепления он должен быть подверг-
подвергнут усреднению по состоянию молекулы, подобному описанному
выше.
При наличии в молекуле тяжелых атомов сравнимый вклад
в сверхтонкое расщепление вносит, наряду с прямым, также и
непрямое взаимодействие ядерных моментов через посредство
электронной оболочки. С формальной точки зрения это взаи-
взаимодействие представляет собой эффект второго приближения
теории возмущений по отношению к взаимодействию ядерного
спина с электронами. С помощью результатов § 121 легко най-
найти, что отношение величины этого эффекта к эффекту прямого
взаимодействия ядерных моментов порядка (Ze2/HcJ] при боль-
больших Z оно сравнимо с единицей.
Наконец, определенный вклад в сверхтонкое расщепление мо-
молекулярных уровней дает эффект взаимодействия ядерного мо-
момента с вращением молекулы. Вращающаяся молекула, как дви-
движущаяся система зарядов, создает определенное магнитное по-
поле; это поле может быть вычислено с помощью известных из
электродинамики формул по заданной плотности тока j = р|Пг|,
где р— плотность зарядов (электронов и ядер) в неподвижной
молекуле, a S1 — угловая скорость ее вращения. Величина рас-
расщепления уровней получается как энергия магнитного момента
ядра в этом поле, причем компоненты угловой скорости молеку-
молекулы должны быть выражены через компоненты ее момента (ср.
§103).

ГЛАВА XVII
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
§ 123. Общая теория рассеяния
В классической механике столкновения двух частиц полно-
полностью определяются их скоростями и прицельным расстоянием
(расстоянием, на котором они прошли бы друг мимо друга при
отсутствии взаимодействия). В квантовой механике меняется
сама постановка вопроса, так как при движении с определен-
определенными скоростями понятие траектории, а с нею и прицельного
расстояния теряет смысл. Целью теории является здесь лишь
вычисление вероятности того, что в результате столкновения
частицы отклонятся (или, как говорят, рассеются) на тот или
иной угол. Мы говорим здесь о так называемых упругих столк-
столкновениях, при которых не происходит никаких превращений ча-
частиц или (если это частицы сложные) не меняется их внутреннее
состояние.
Задача об упругом столкновении, как и всякая задача двух
тел, сводится к задаче о рассеянии одной частицы с приведен-
приведенной массой в поле U(r) неподвижного силового центра1). Сведе-
Сведение осуществляется переходом к системе координат, в которой
покоится центр инерции обеих частиц. Угол рассеяния в этой
системе обозначим через в. Он связан простыми формулами с
углами в\ и 02 отклонения обеих частиц в «лабораторной» систе-
системе координат, в которой одна из частиц (вторая) до столкнове-
столкновения покоилась:
™***о в2= *^е	(Ш1)
mi + rri2 cos 0	2
где mi, ?7i2—массы частиц (см. I, § 17). В частности, если массы
обеих частиц одинаковы (mi = 777,2), то получается просто
9i = °-, 02 = ^;	(Ш.2)
х) Мы пренебрегаем спин-орбитальным взаимодействием частиц (если они
обладают спином). Предполагая поле центрально-симметричным, мы тем
самым исключаем здесь из рассмотрения также и такие процессы, как, на-
например, рассеяние электронов на молекулах.

610
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
сумма 01+92 = тг/2, т. е. частицы разлетаются под прямым углом.
Ниже в этой главе мы пользуемся везде (где противное не ого-
оговорено особо) системой координат, связанной с центром инерции,
а под т подразумевается приведенная масса сталки-
сталкивающихся частиц.
Свободная частица, движущаяся в положительном направле-
направлении оси z, описывается плоской волной, которую мы запишем
в виде ф = elkz, т.е. выберем нормировку, при которой плот-
плотность потока в волне равна скорости частиц v. Рассеянные ча-
частицы описываются вдали от центра расходящейся сфериче-
сферической волной вида f(O)e: /г, где f@) — некоторая функция угла
рассеяния в (угол между осью z и направлением рассеянной
частицы); эту функцию называют амплитудой рассеяния. Та-
Таким образом, точная волновая функция, являющаяся решением
уравнения Шредингера с потенциальной энергией С/(г), должна
иметь на больших расстояниях асимптотический вид
Вероятность рассеянной частице пройти в единицу времени
через элемент поверхности dS = г2 do {do—элемент телесного
угла) равна vr~2\f\2dS = v\f\2do1). Ее отношение к плотности
потока в падающей волне равно
da= \fF)\2do.	A23.4)
Эта величина имеет размерность площади и называется эффек-
эффективным сечением (или просто сечением) рассеяния внутри те-
телесного угла do. Если положить do = 2тг sin в d9, то мы получим
сечение
da = 2тг sm6\fF)\2d6	A23.5)
для рассеяния в интервале углов между в и в + d9.
Решение уравнения Шредингера, описывающее рассеяние
в центральном поле С/(г), должно, очевидно, быть аксиально-
симметричным относительно оси z — направления падающих ча-
частиц. Всякое такое решение может быть представлено в виде
1) В этом рассуждении молчаливо подразумевается, что падающий пучок
частиц ограничен широкой (во избежание дифракционных эффектов), но
конечной диафрагмой, как это и имеет место в реальных экспериментах по
рассеянию. По этой причине нет интерференции между обоими членами в
выражении A23.3); квадрат \ф\2 берется в точках, в которых отсутствует
падающая волна.

§123	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ	611
суперпозиции волновых функций непрерывного спектра, отве-
отвечающих движению в данном поле частиц с заданной энергией
fPk^/2m и орбитальными моментами с различными величина-
величинами / и равными нулю ^-проекциями (эти функции не зависят от
азимутального угла <р вокруг оси z, т.е. аксиально-симметрич-
аксиально-симметричны). Таким образом, искомая волновая функция имеет форму
4
где Ai —постоянные,
ряющие уравнению
1 d ( 2 dRki \ |
т dv \ dv J
) = У ^AiPi(cos6)Rki(r
1=0
a Rki{r) —радиальные
Г 2 /(/ + 1) 2ттт( >
|_ г2 Н2
),
функции,
1
IJ -tiki
A23.6)
удовлетво-
удовлетворяя 7^1
Коэффициенты А\ должны быть выбраны так, чтобы функция
A23.6) имела на больших расстояниях асимптотический вид
A23.3). Покажем, что для этого надо положить
At = ^г{21 + l)il exp(iSi),	A23.8)
где Si — фазовые сдвиги функций R^i. Тем самым будет решена
также и задача о выражении амплитуды рассеяния через эти
фазы.
Асимптотический вид функции R^i дается формулой C3.20)
Rki « - sm(kr - у
Подставив это выражение, а также A23.8) в A23.6), получим
асимптотическое выражение волновой функции в виде
Si)} - il exp[-i(kr + Si)}}.
l)l+1e-ikr + Sleikr}, A23.9)
1=0
где введено обозначение
Si = expBiSi).	A23.10)
С другой стороны, разложение плоской волны C4.2) после такого
же преобразования есть
сю
eikz и J_ у2^21 + 1)^(СО80)[(-1)'+1е-**г + eikr].
1=0

612
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Мы видим, что в разности ф — elkz все члены, содержащие мно-
множители е~гкт, как и следовало, выпадают. Для коэффициента же
при егкг/г в этой разности, т.е. для амплитуды рассеяния, на-
находим
^	).	A23.11)
1=0
Эта формула решает задачу о выражении амплитуды рассеяния
через фазы Si (H. Faxen, J. Holtsmark, 1927)х).
Проинтегрировав da по всем углам, мы получим полное се-
сечение рассеяния сг, представляющее собой отношение полной ве-
вероятности рассеяния частицы (в единицу времени) к плотности
потока в падающей волне. Подставляя A23.11) в интеграл
= 2тг / |/((9) |2 sin 6d6
о
и помня, что полиномы Лежандра с различными / взаимно ор-
ортогональны, а
7Г
1 v	у	2/ + 1
О
получим следующее выражение для полного сечения:
оо
^ ^/о/ I 1 \ * 2 г	/loo 1 о\
(J = —;г > ( Z6 + 1 ) Sin 0/.	( lZo.lZ )
Каждый из членов этой суммы представляет собой парциаль-
парциальное сечение о\ для рассеяния частиц с заданным орбитальным
) Принципиальный интерес представляет вопрос о восстановлении вида
рассеивающего потенциала по предполагаемым известным фазам Si. Этот
вопрос решен И. М. Гельфандом, Б.М.Левитаном и В. А. Марченко. Ока-
Оказывается, что для определения U(r) достаточно в принципе знать So(k) как
функцию волнового вектора во всей области от к = 0 до к = оо, а также
коэффициенты ап в асимптотических (при г —»> оо) выражениях
волновых функций состояний, соответствующих дискретным (отрицатель-
(отрицательным) уровням энергии Еп, если таковые вообще имеются. Определение U(r)
по этим данным сводится к решению определенного линейного интеграль-
интегрального уравнения. Систематическое изложение этого вопроса можно найти в
книге: В. деАльфаро, Т. Pedotce. Потенциальное рассеяние. -М.: Мир, 1966.

§ 123	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ	613
моментом /. Отметим, что максимальное возможное значение
этого сечения есть
I rricix — 9" \ ~т~ /*	l-L^O.J-O)
Сравнив его с формулой C4.5), видим, что число частиц, рассе-
рассеянных с моментом /, может оказаться в 4 раза большим числа
таких частиц в падающем потоке. Это обстоятельство является
чисто квантовым эффектом, связанным с интерференцией меж-
между рассеянными и нерассеянными частицами.
Ниже нам будет удобно пользоваться также парциальными
амплитудами рассеяния //, которые мы определим как коэффи-
коэффициенты разложения
>s0).	A23.14)
1=0
Согласно A23.11) они связаны с фазами Si соотношением
р	(о -|\	/ lid] -i\	/юо 1 с\
Jl = ^~{^l ~ J-J == ^~{е ~ J-J?	[IZo.iO)
а парциальные сечения
A23.16)
Задача
Выразить амплитуду рассеяния через фазовые сдвиги в двумерном слу-
случае. Поле U = U(p), р = у/х2 + z2. Поток частиц в направлении оси z.
Решение.В двумерном случае волновая функция вдали от рассеива-
теля представляет собой суперпозицию плоской и расходящейся цилиндри-
цилиндрической волн:
^	A)
V ~гР
Здесь (р—угол между осью z и направлением рассеяния, f(ip) — амплиту-
амплитуда рассеяния, имеющая в двумерном случае размерность корня из длины.
Множитель —г = ехр(—гтг/2) под корнем введен для упрощения последую-
последующих формул. Сечение рассеяния, отнесенное к единице длины вдоль оси у,
равно
da = \ffdtp.
Оно имеет размерность длины.
Волновую функцию нужно разложить по функциям с определенной про-
проекцией т углового момента на ось у, имеющим вид Qm(p)etm(f • Радиальные
функции на больших расстояниях от рассеивателя отличаются от получен-
полученных в задаче к § 34 функций свободного движения только фазовым сдвигом:
—sin Up- |(m- -) +<5m ,

614
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
причем 8т = 8-т- Повторяя рассуждения настоящего параграфа с исполь-
использованием разложения плоской волны из задачи к § 34, находим, что функция
с асимптотическим видом A) дается рядом
оо
ф = \ е* m Qm(/?)e*m<^,
га = — оо
а амплитуда рассеяния равна
оо
f) (e2iS™ - l)eim*.	B)
га= — оо
Интегрируя, находим полное сечение
2;	ос
= / |
{
ос
9	X—"^	4 О
| dip = 2^ агп, где ат = сг_т = - sin ёт-
Нетрудно убедиться в справедливости соотношения
Im /@) = J|-<т,	C)
выражающего собой оптическую теорему для двумерного случая (см. ниже
формулу A25.9)).
§ 124. Исследование общей формулы
Полученные формулы применимы в принципе к рассеянию в
любом поле U(г), обращающемся на бесконечности в нуль. Ис-
Исследование этих формул сводится к исследованию свойств вхо-
входящих в них фаз Si.
Для оценки порядка величины фаз Si с большими значения-
значениями / воспользуемся тем, что при больших / движение квазиклас-
сично (см. § 49). Поэтому фаза волновой функции определяется
интегралом
79 (Z + l/2J 2mU(r) 7 тг
го
где го есть корень подкоренного выражения (г > го есть класси-
классически доступная область движения). Вычтя отсюда фазу
г	4
волновой функции свободного движения и положив г —)> ос,
мы получим, по определению, величину <5/. При больших / зна-

§ 124	ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕЙ ФОРМУЛЫ	615
чение го тоже велико; поэтому во всей области интегрирова-
интегрирования U(г) мало, и мы получаем приближенно
Г	mU(r)dr =
J *2 L а + 1/2J
П к2
го
к2
По порядку величины этот интеграл (если он сходится) равен
кп2 ¦
Порядок величины г о есть г о ~ 1/к.
Если U(r) обращается на бесконечности в нуль, как т~п с
п > 1, то интеграл A24.1) сходится и фазы Si конечны. На-
Напротив, при п ^ 1 интеграл расходится, так что фазы Si ока-
оказываются бесконечными. Это относится к произвольным /, так
как сходимость или расходимость интеграла A24.1) зависит от
поведения U(r) при больших г, а на больших расстояниях (где
поле U(г) уже слабо) радиальное движение квазиклассично при
любом /. Как надо понимать формулы A23.11), A23.12) при бес-
бесконечных Si, будет указано ниже.
Рассмотрим сначала сходимость ряда A23.12), представля-
представляющего полное сечение рассеяния. При больших / фазы <$/ <С 1,
как это видно из A24.1), если учесть, что U(r) спадает быстрее,
чем 1/г. Поэтому можно положить sin2 Si « Sf, и, таким обра-
образом, сумма далеких членов ряда A23.12) будет порядка Хл>1 ^?-
Согласно известному интегральному признаку сходимости ря-
рядов следует, что рассматриваемый ряд сходится, если сходится
интеграл J ISf dl. Подставив сюда A24.2) и заменив / на кто,
получим интеграл
оо
'U2(r0)r30dr0.
Если U(r) спадает на бесконечности, как т~п с п > 2, то этот
интеграл сходится, и полное сечение конечно. Напротив, если
поле U(г) убывает, как 1/г2, или еще медленнее, то полное сече-
сечение оказывается бесконечным. Физически это связано с тем, что
при медленном убывании поля с расстоянием вероятность рас-
рассеяния на малые углы становится очень большой. Напомним в
этой связи, что в классической механике во в сяком поле, обра-
обращающемся в нуль только при г —>• ос, частица, проходящая на
любом сколь угодно большом, но конечном, прицельном рассто-
расстоянии р, все же испытывает отклонение на некоторый малый,

616
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
но отличный от нуля угол; поэтому полное сечение рассеяния
оказывается бесконечным при всяком законе спадания [/(гI).
В квантовой механике такое рассуждение неприменимо уже по-
потому, что говорить о рассеянии на некоторый угол можно лишь
при условии, чтобы этот угол был велик по сравнению с неопре-
неопределенностью в направлении движения частицы. Если же при-
прицельное расстояние известно с точностью до Ар, то тем самым
создается неопределенность К/Ар в поперечной компоненте им-
импульса, т.е. неопределенность ~ H/(mvAp) в угле.
Ввиду большой роли, которую играет рассеяние на малые
углы при медленном законе убывания С/(г), естественно возни-
возникает вопрос— не будет ли расходиться амплитуда рассеяния
fF) при в = 0 даже при С/(г), убывающем быстрее чем 1/г2.
Положив в A23.11) в = 0, получаем для далеких членов суммы
выражение, пропорциональное Хл>1^/- Рассуждая как в пре-
предыдущем случае, приходим при отыскании критерия конечности
суммы к интегралу
расходящемуся уже при U(r) со г п (п ^ 3). Таким образом,
амплитуда рассеяния обращается в бесконечность при 6 = 0
(п ^ 1) в полях, спадающих как 1/г3 или медленнее.
Наконец, остановимся на случае, когда сама фаза Si беско-
бесконечна, что имеет место при U(r) со г~п(п ^ 1). Заранее очевид-
очевидно из полученных выше результатов, что при таком медленном
убывании поля будет бесконечным как полное сечение, так и
амплитуда рассеяния при в = 0. Остается, однако, вопрос о вы-
вычислении fF) для в ф 0. Прежде всего заметим, что имеет место
формула2)
J2Bl + l)Pt(cos6) = 45A - cos в).	A24.3)
1=0
Другими словами, при всех в ф 0 эта сумма равна нулю. Поэтому
в выражении A23.11) для амплитуды рассеяния можно при в ф 0
1)	Это проявляется в расходимости интеграла f 2тгр dp, которым определя-
определяется в классической механике полное сечение.
2)	Эта формула представляет собой разложение E-функции по полиномам
Лежандра и непосредственно проверяется умножением с обеих сторон на
оо
sin 6Pi (cos в) и интегрированием по d6. При этом интеграл / 5(х) dx от чет-
о
ной функции S(х) принимается равным 1/2.

§ 125	УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ	617
опустить единицу в квадратных скобках в каждом члене суммы,
так что останется
se)e2iSl- A24-4)
1=0
Если умножить правую часть равенства на постоянный множи-
множитель ехр(—2г#о), то это не скажется на сечении, определяемом
квадратом модуля |/@)|2, а фаза комплексной функции fF) из-
изменится лишь на несущественную постоянную. С другой сторо-
стороны, в разности Si — So выражений A24.1) расходящийся интеграл
от U(г) сокращается и остается некоторая конечная величина.
Таким образом, для вычисления амплитуды рассеяния в рассма-
рассматриваемом случае можно пользоваться формулой
/@) = —У2B1 + l)Pl(cose)e2i^-So\	A24.5)
1=0
§ 125. Условие унитарности для рассеяния
Амплитуда рассеяния в произвольном (не обязательно цен-
центральном) поле удовлетворяет определенным соотношениям,
являющимся следствием некоторых общих физических требо-
требований.
Асимптотический вид волновой функции на больших рассто-
расстояниях при упругом рассеянии в произвольном поле
Эта форма записи отличается от A23.3) в том отношении, что
амплитуда рассеяния зависит здесь от направлений двух еди-
единичных векторов — вдоль направления падения частиц (п) и
вдоль направления рассеяния (п'), а не только от угла между
ними.
Любая линейная комбинация функций вида A25.1) с различ-
различными направлениями падения п тоже представляет некоторый
возможный процесс рассеяния. Умножив функции A25.1) на
произвольные коэффициенты F(n) и проинтегрировав по всем
направлениям п (элемент телесного угла do), напишем такую
линейную комбинацию в виде интеграла
Г F(n)eikrnn'do + ^ Г F(n)/(n, n')do.	A25.2)

618
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Поскольку расстояние г сколь угодно велико, множитель егктпп
в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией
направления переменного вектора п. Значение интеграла опре-
определяется поэтому в основном областями вблизи тех значений п,
при которых показатель экспоненты имеет экстремум (n = in').
В каждой из областей множитель F(n) « F(±nf) можно вынести
за знак интеграла, после чего интегрирование дает1)
F(-ri)^- - 2тгг^(п/)— + — //(п, ri)F(n) do.
кг	кг	г J
Перепишем это выражение в компактном операторном виде,
опустив общий множитель 2ттг/к:
—F(-n') - — SF(n'),	A25.3)
Г	Г
где
S = 1 + 2г/с/,	A25.4)
а / — интегральный оператор:
/F(n') = i- j /(n, n')F(n)do.	A25.5)
Оператор S называют оператором (или матрицей) рассеяния,
или просто S-матрицей, он был впервые введен В. Гейзенбергом
A943).
Первый член в A25.3) представляет собой сходящуюся к цен-
центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение чи-
числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством пол-
полных потоков частиц в сходящейся и расходящейся волнах. Дру-
Другими словами, эти две волны должны иметь одинаковую норми-
нормировку. Для этого оператор рассеяния должен быть унитарным
(см. § 12), т.е. должно быть
= 1,	A25.6)
или, подставив A25.4) и произведя перемножение:
f-f+ = 2ikff+.	A25.7)
1) Для вычисления интеграла смещаем путь интегрирования по перемен-
переменной II = cos в (в — угол между п и п') в плоскости комплексного fi так, чтобы
он выгибался в сторону верхней полуплоскости, оставаясь закрепленным на
своих концах /i = ±1. Тогда при удалении от каждого из этих концов функ-
функция егкг^ быстро затухает.

§ 125	УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ	619
Наконец, учитывая определение A25.5), перепишем окончатель-
окончательно условие унитарности для рассеяния в виде
Дп,п') -Г(п',п) = ?-Jf(n,n")f*(n',n")do". A25.8)
При п = п' интеграл в правой части равенства есть не что
иное, как полное сечение рассеяния
а =
2 do".
Разность же в левой части равенства сводится в этом случае
к мнимой части амплитуды /(п, п). Таким образом, получаем
следующее общее соотношение между полным сечением упругого
рассеяния и мнимой частью амплитуды рассеяния на нулевой
угол:	,
Im/(n,n) = -^j	A25.9)
(так называемая оптическая теорема для рассеяния).
Еще одно общее свойство амплитуды рассеяния может быть
получено, исходя из требования симметрии по отношению к
обращению времени. В квантовой механике эта симметрия вы-
выражается в том, что если функция описывает какое-либо воз-
возможное состояние, то и комплексно сопряженная функция ф*
отвечает некоторому возможному состоянию (см. § 18). Поэтому
волновая функция
—F*(-ri) - —S*F*(n'),
Г	Г
комплексно сопряженная функции A25.3), тоже описывает не-
некоторый возможный процесс рассеяния. Введем новую произ-
произвольную функцию — S*F*(n') = Ф(—п'). Учитывая унитарность
оператора 5, имеем
введя оператор Р инверсии координат, меняющий знак векто-
векторов п и п', напишем
F*(-ri)PF*(ri) = -Р5РФ(п').
Таким образом, получаем обращенную по времени волновую
функцию в виде

620
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Она должна по существу совпадать с исходной волновой функ-
функцией A25.3). Сравнение показывает, что для этого должно вы-
выполняться условие
PSP = S,	A25.10)
тогда обе функции отличаются лишь обозначением произволь-
произвольной функции.
Соответствующее соотношение для амплитуды рассеяния
получим, переходя от операторного равенства A25.10) к ма-
матричному. Транспонирование меняет местами начальный и ко-
конечный векторы п и п', а инверсия меняет их знаки. Поэтому
имеем
5(п,п/) = 5(-п/,-п),	A25.11)
или, что то же:
/(n,n') = /(-n',-n).	A25.12)
Это соотношение (так называемая теорема взаимности) вы-
выражает собой естественный результат: совпадение амплитуд
двух процессов рассеяния, являющихся обращенными по време-
времени друг по отношению к другу. Обращение времени переста-
переставляет начальное и конечное состояния и меняет направления
движения частиц в них на обратные.
Для рассеяния в центральном поле полученные общие соот-
соотношения упрощаются. В этом случае амплитуда /(п, п') зависит
только от угла в между п и п'. Поэтому равенство A25.12) пре-
превращается в тождество. Условие же унитарности A25.8) прини-
принимает вид
Im № = А I /G)Г (V)do",	A25.13)
где 75 т' — углы между п, п' и некоторым направлением пп в
пространстве. Если представить fF) в виде разложения
A23.14), то с помощью теоремы сложения для сферических
функции (с.10) из A25.13) получим следующее соотношение для
парциальных амплитуд:
Im /, = кШ2.	A25.14)
Эта формула может быть получена и непосредственно из выра-
выражения A23.15), согласно которому \2ikfi + 1|2 = 1. Оптическую
теорему A25.9) в случае рассеяния в центральном поле тоже
легко получить непосредственно из формул A23.11), A23.12).

§ 125	УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ	621
Переписав A25.14) в виде Im(l///) = —к, мы видим, что ам-
амплитуда // должна иметь вид
где gi = gi(k) — вещественная величина; она связана с фазой 6i
соотношением
gl = kctg6i.	A25.16)
В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться таким
представлением амплитуды.
Проследим — для рассеяния в центральном поле —за связью
между введенным выше понятием оператора рассеяния и вели-
величинами, фигурирующими в изложенной в § 123 теории.
Поскольку орбитальный момент в центральном поле сохра-
сохраняется, оператор рассеяния коммутативен с оператором момен-
момента. Другими словами, ^-матрица диагональна в /-представле-
/-представлении. При этом в силу унитарности оператора S его собственные
значения должны быть по модулю равны единице, т. е. имеют
вид ехрBг^/) с вещественными величинами Si. Легко видеть,
что эти величины совпадают с фазовыми сдвигами волновых
функций, так что собственные значения ^-матрицы совпадают
с введенными в § 123 величинами Si A23.10); собственные же
значения оператора f = (S — 1)/Bгк) соответственно совпадают
с парциальными амплитудами A23.15). Действительно, если в
качестве функции F(n) выбрать P/(cos#) (при этом F(—n) =
= Pi(—cos в) = (-l)lPi(cos6)), то волновая функция A25.3)
должна совпасть с решением уравнения Шредингера, изобра-
изображаемым отдельным членом суммы в A23.9); это и значит, что
se) = SiPi(cos6).
Для плоской волны, падающей вдоль оси z, функция F(n) в
A25.3) есть ^-функция F = 46A — cos б), где в — угол между п
и осью z, ^-функция определена здесь, как указано в примеч.
на с. 616, а коэффициент перед ней выбран так, чтобы при под-
подстановке в правую часть определения A25.5) получалось прос-
просто fF) (где теперь в — угол между п' и осью z). Представив
^-функцию в виде A24.3)
сю
F = 46A - cos в) = J2Bl + l)Pt(cos6)	A25.17)
1=0
и применив к ней оператор /, мы получим, как и следовало,
амплитуду рассеяния в виде A23.14).

622
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Наконец, сделаем еще следующее замечание. С математи-
математической точки зрения, условие унитарности A25.8) показывает,
что не всякая наперед заданная функция /(п, п') могла бы быть
амплитудой рассеяния в каком-либо поле. В частности, не вся-
всякая функция fF) могла бы быть амплитудой рассеяния в ка-
каком-либо центральном поле. В силу A25.13) должно выполнять-
выполняться определенное соотношение между ее вещественной и мнимой
частями. Если написать f(9) = |/|ега, то при заданном для всех
углов модуле |/| соотношение A25.13) даст интегральное урав-
уравнение, из которого в принципе можно определить неизвестную
фазу а(9). Другими словами, по известному для всех углов сече-
сечению рассеяния (квадрату |/|2) можно в принципе восстановить
и амплитуду. Это восстановление, однако, не вполне однозначно
и определяет амплитуду лишь с точностью до замены
№ -+ -Г (в),	A25.18)
оставляющей инвариантным уравнение A25.13) и, конечно, не
меняющей сечения |/|2 (преобразование A25.18) эквивалентно
одновременному изменению знака всех фаз Si в A23.11)). Эта не-
неоднозначность, однако, устраняется, если амплитуда рассеяния
рассматривается не только в зависимости от угла, но и от энер-
энергии. Мы увидим ниже (§ 128,129), что аналитические свойства
амплитуды как функции энергии не инвариантны относительно
преобразования A25.18).
§ 126. Формула Борна
Сечение рассеяния может быть вычислено в общем виде в
очень важном случае, когда рассеивающее поле может рассма-
рассматриваться как возмущение1). В § 45 было показано, что это
возможно при выполнении хотя бы одного из двух условий:
\U\ « ?	A26.!)
или
\U\ < ^ = -^ка,	A26.2)
а тпп
где а —радиус действия поля С/(г), a U — порядок его величины
в основной области его существования. При выполнении первого
1) В развитой в § 123 общей теории это приближение соответствует случаю,
когда все фазы Si малы; сверх того, необходимо, чтобы эти фазы могли быть
вычислены из уравнения Шредингера, в котором потенциальная энергия
рассматривается как возмущение (см. задачу 4).

§ 126	ФОРМУЛА БОРНА	623
условия рассматриваемое приближение применимо при всех ско-
скоростях. Из второго же условия видно, что оно во всяком случае
применимо для достаточно быстрых частиц.
В соответствии с § 45 ищем волновую функцию в виде ф =
— ф{0) _|_ ч/А1), где ф^' = егкг соответствует падающей частице с
волновым вектором к = р/Н. Из формулы D5.3) имеем
.	A26.3)
Выбрав рассеивающий центр в качестве начала координат, вве-
введем радиус-вектор Ro в точку наблюдения ф^ и обозначим че-
через п' единичный вектор в направлении Ro. Пусть радиус-вектор
элемента объема dVf есть г', тогда R = Ro — г'. На больших рас-
расстояниях от центра i?o ^ т\ так что
R= |R0-r'| « До-г'п'.
Подставив это в A26.3), получим следующее асимптотическое
выражение для ^
(где к' = km! — волновой вектор частицы после рассеяния).
Сравнивая с определением амплитуды рассеяния в A23.3), по-
получим для нее выражение
A26.4)
в котором мы произвели переобозначение переменных интегри-
интегрирования и ввели вектор
q = k'-k	A26.5)
с абсолютной величиной
q = 2fcsin -,	A26.6)
где в — угол между к и к', т.е. угол рассеяния.
Наконец, возведя в квадрат модуль амплитуды рассеяния,
получим следующую формулу для сечения рассеяния в элемент
телесного угла do:
2
da =
т2
Ue~ttirdV
do.	A26.7)

624
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Мы видим, что рассеяние с изменением импульса на fiq опре-
определяется квадратом модуля соответствующей компоненты Фу-
Фурье поля U. Формула A26.7) была впервые получена Борном
(М. Вот, 1926); такое приближение в теории столкновений ча-
часто называют борновским приближением.
Отметим, что в этом приближении имеет место соотношение
/(к,к') = Г(к',к)	A26.8)
между амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле
слова) процессов рассеяния, т. е. процессов, отличающихся друг
от друга перестановкой начального и конечного импульсов, без
изменения их знаков, как при обращении времени. Таким обра-
образом, в рассеянии появляется дополнительное (помимо теоремы
взаимности A25.12)) свойство симметрии. Это свойство тесно
связано с малостью амплитуд рассеяния в теории возмущений
и непосредственно следует из условия унитарности A25.8), если
пренебречь в нем интегральным членом, квадратичным по f1).
Формула A26.7) может быть получена также и другим спо-
способом (который, однако, оставляет неопределенной фазу ампли-
амплитуды рассеяния). Именно, мы можем исходить из общей форму-
формулы D3.1), согласно которой вероятность перехода между состо-
состояниями непрерывного спектра дается формулой
В данном случае мы должны применить эту формулу к пере-
переходу из состояния падающей свободной частицы с импульсом р
в состояние частицы с импульсом р', рассеянной в элемент те-
телесного угла do1. В качестве интервала состояний dvf выбираем
б?3р//BтгЯK. Подставив для разности конечной и начальной энер-
энергий Ef — Е{ = (р/2 -р2)/2га, имеем
^	A26.9)
Волновые функции падающей и рассеянной частиц — плоские
волны. Поскольку в качестве интервала состояний dv$ выбран
элемент пространства р/BтгЯ), то конечная волновая функция
должна быть нормирована на ^-функцию от р/BтгЯ):
фр1 = eip'r/n.	A26.10)
г) Отсюда ясно, что это свойство исчезает уже при переходе ко второму
приближению теории возмущений. Мы убедимся в этом непосредственным
образом в § 130 в связи с формулой A30.13).

§ 126	ФОРМУЛА БОРНА	625
Начальную же волновую функцию нормируем на единичную
плотность потока
7	A26.11)
Тогда выражение A26.9) будет иметь размерность площади и
представляет собой дифференциальное сечение рассеяния.
Наличие ^-функции в формуле A26.9) означает, что р1 = р,
т. е. абсолютная величина импульса не меняется, как и должно
быть при упругом рассеянии. Можно исключить ^-функцию, пе-
перейдя к сферическим координатам в импульсном пространстве
(т.е. заменив $р' на р'2dp1do' = (l/2)p'd(p/2)do') и проинтегри-
проинтегрировав по d(p'2). Интегрирование сводится к замене абсолютного
значения р' на р в подынтегральном выражении, и мы получим
da =
тр
2
do1.
Подставив сюда функции A26.10), A26.11), мы снова вернемся
к формуле A26.7).
В виде A26.7) эта формула применима к рассеянию в поле
U(x,y,z), являющемся функцией от координат в любой их ком-
комбинации, а не только от г. Но в случае центрального поля U(r)
она может быть подвергнута дальнейшему преобразованию.
В интеграле
воспользуемся сферическими пространственными координатами
г, $, <р с полярной осью, выбранной в направлении вектора q
(полярный угол обозначаем через $ в отличие от угла рассея-
рассеяния в). Интегрирование по д и <р может быть произведено, и в
результате получим
оо 2тг тг
Г ! [u(r)eiqrcos*r2smtidtid(pdr = 47r f
0 0 0
Подставив это выражение в A26.4), получим следующую форму-
формулу для амплитуды рассеяния в центрально-симметричном поле:
/ = -*? fu(r)^HLrdr_	A26.12)
п J	q

626
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
При в = 0 (т. е. q = 0) стоящий здесь интеграл расходится,
если U(г) убывает на бесконечности, как 1/г3, или медленнее
(в согласии с общими результатами § 124).
Обратим внимание на следующее интересное обстоятель-
обстоятельство. Импульс р частицы и угол рассеяния в входят в A26.12)
только через q. Таким образом, в борновском приближении се-
сечение рассеяния зависит от р и в только в комбинации psin(#/2).
Возвращаясь к общему случаю произвольных полей С/"(ж, у, z),
рассмотрим предельные случаи малых (ка <С 1) и больших
(ка ^> 1) скоростей.
При малых скоростях можно в интеграле A26.4) положить
е~щг « 1, так что амплитуда рассеяния
а если U = С/(г), то
/ = -|? fu(r)r2dr.	A26.14)
Рассеяние оказывается здесь изотропным по направлениям и не
зависящим от скорости, что находится в согласии с общими ре-
результатами § 132.
В обратном предельном случае больших скоростей рассея-
рассеяние резко анизотропно и направлено вперед, в узком конусе с
углом раствора Д0 ~ 1/ка. Действительно, вне этого конуса ве-
величина q велика, множитель е~щг есть быстро осциллирующая
функция и интеграл от его произведения на медленно меняющу-
меняющуюся функцию U близок к нулю.
Закон убывания сечения при больших значениях q не явля-
является универсальным и зависит от конкретного вида поля. Если
поле U(г) имеет какую-либо особенность при г = 0 или при ка-
каком-либо другом вещественном значении г, то определяющую
роль в интеграле в A26.12) играет область вблизи этой точки
и убывание сечения происходит по степенному закону. То же
самое относится и к случаю, когда функция U{r) не имеет осо-
особенности, но не является четной — основную роль в интеграле
играет при этом область вблизи г = 0. Если же U(r) есть четная
функция г, то интегрирование можно формально распростра-
распространить и на отрицательные значения г, т. е. производить его вдоль
всей вещественной оси переменной г, после чего (если U(r) не
имеет особых точек на вещественной оси) можно сместить путь
интегрирования в комплексную область до его «зацепления» за
ближайшую комплексную особую точку. В результате при боль-
больших q интеграл оказывается убывающим по экспоненциальному

§ 126	ФОРМУЛА БОРНА	627
закону. Следует, однако, иметь в виду, что для вычисления этой
экспоненциально малой величины борновское приближение, во-
вообще говоря, непригодно (см. также § 131).
Хотя величина дифференциального сечения рассеяния вну-
внутри конуса Д0 ~ 1/ка от скорости в основном не зависит, но,
благодаря уменьшению угла раствора конуса, полное сечение
рассеяния (если интеграл f da вообще сходится) при больших
энергиях убывает. Именно, полное сечение убывает вместе с
величиной телесного угла, вырезываемого конусом, пропорци-
пропорционально (Д0J rsj l/k2a2, т.е. обратно пропорционально энергии.
Во многих физических применениях теории столкновений
в качестве величины, характеризующей рассеяние, фигурирует
интеграл
crtr = /(l-cos0)d<r,	A26.15)
называемый часто транспортным сечением. Соображения, ана-
аналогичные указанным выше, показывают, что при больших ско-
скоростях эта величина обратно пропорциональна квадрату энер-
энергии.
Задачи
1. Определить в борновском приближении сечение рассеяния сфериче-
сферической потенциальной ямой: U = —С/о ПРИ г < a, U = 0 при г > а.
Решение. Вычисление интеграла в A26.12) приводит к результату:
, Т2{тп11оа\ (sin qa — qa cos qaJ .
daJ 	ъ—	—-т.	— do.
V ft2 J	(N
V П2 )	(qaN
Интегрирование по всем углам (которое удобно произвести, переходя к пе-
переменной q = 2ksm@/2) и заменив do на 2irqdq/k2) дает полное сечение
рассеяния
_ 2тг fmUoa2\ Г	1	sin4&a sin2 2ka~\
а = ? V П2 ) [ ~ BкаJ BкаK ~ BкаL \ '
В предельных случаях эта формула дает
16тга2 fmUoa2^
I 2) ПРИ
2тг
а = 72 \ —Й— ) ПРИ
к2 V ft )
2. То же в поле С/ = С/0е"г2/а2.
Решение. Вычисление удобно производить по формуле A26.7), вы-
выбрав направление q в качестве направления одной из осей координат. В
результате получим

628
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
и полное сечение
О	,		 О ч 2
(л	-2к2а2Л
Условия применимости этих формул даются неравенствами A26.1), A26.2) с
С/о в качестве С/. Кроме того, формула для da неприменима, если показатель
экспоненты велик по своей абсолютной величине 1) .
3.	То же в поле С/ = -е"г/а.
г
Решение. Вычисление интеграла в A26.12) дает
2 (ата\	do
daJ I —^— I -—^—^	—^.
V П2 ) (gV + lJ
Полное сечение
. 2 famaY
а = 16тга I —2~ 1
Условие применимости этих формул получается из A26.1), A26.2) с а/а в
качестве С/: ата/Н2 <^i 1 или a/Hv <^i 1.
4.	Определить фазы Si для рассеяния в центрально-симметричном поле
в случае, соответствующем борновскому приближению.
Решение. Для радиальной волновой функции х = rR движения
в поле U(r) и для функции х свободного движения имеем уравнения
(см. C2.10))
2
Умнож:ив первое уравнение на х ? второе—на х-> вычтя почленно одно из
другого и проинтегрировав затем по dr (с учетом граничного условия х = 0
при г = 0), получим
X(r)x(o)(r) - x(r)x@)'(r)^
О
Рассматривая U как возмущение, можем положить в правой части равенства
X ~ х^. При г —>¦ оо в левой части равенства пользуемся асимптотическими
выражениями C3.12), C3.20), в интеграл же подставляем точное выражение
C3.10). В результате получаем
оо
sin Si « Si = -^ / U(r)[Ji+1/2(kr)]2rdr.
1)В неприменимости теории возмущений в этом случае легко убедиться,
вычислив амплитуду рассеяния во втором приближении (см. ниже A30.13)):
хотя предэкспоненциальный множитель в нем мал по сравнению с коэффи-
коэффициентом в члене первого приближения, но величина отрицательного пока-
показателя экспоненты оказывается в два раза меньшей.

§ 127	ФОРМУЛА БОРНА	629
Эту формулу можно было бы получить также и путем прямого разложения
борновской амплитуды рассеяния A26.4) по полиномам Лежандра в соот-
соответствии с A23.11) (при малых Si).
5. Определить в борновском приближении полное сечение рассеяния в
поле U = а/(г2 + а2O1'2 с п > 2 для быстрых частиц (ка ^> 1).
Решение. Как будет видно, в данном случае в рассеянии основную
роль играют парциальные амплитуды с большими моментами /. Поэтому
сечение можно вычислять по формуле A23.11) с заменой в ней суммиро-
суммирования по / интегрированием; в борновском приближении все Si <С 1, так
что
4тг Г
? J
216? dl.	A)
о
Фазы Si с большими / вычисляются по A24.1):
am [	dr
= ~HF J (r2 + a2)n^(k2-l2/r2I/2'
1/к
Подстановкой г + а = (а + I /к )/? интеграл приводится к известному
интегралу Эйлера и дает
так"-2	ГA/2)Г((п - 1)/2)
' 2u2(aV + O("~1)/2	Г(п/2)	'	()
Интеграл A) определяется областью / ~ ак ^> 1, чем оправдывается сде-
сделанное предположение. Вычисление интеграла приводит к результату:
п2 ГГ((п-1)/2)]2/ та V
п-2 [ Г(п/2) J \кП2ап-2) '	К '
Согласно A26.2) условие применимости борновского приближения в дан-
данном случае дается неравенством та/(Н2кап~1) <^ 1. Обратим внимание на
зависимость а ~ к~2, соответствующую сделанным в тексте общим утвер-
утверждениям.
6. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния в двумерном
случае (поле U = U(x, z); поток частиц падает в направлении оси z).
Решение. Использовав примеч. на с. 204 и известное асимптотиче-
асимптотическое выражение функции Ганкеля
#о1} W « 4 bi(tt-w/4) при ti -^ оо,	D)
у пи
найдем для поправки к волновой функции на больших расстояниях ро от
оси поля (ось у) выражение
где амплитуда рассеяния
(р = (x,z) — двумерный радиус-вектор; d2р = dxdz; ip—угол рассеяния в
плоскости xz). В двумерном случае амплитуда рассеяния имеет размерность
корня из длины, а сечение рассеяния da = \f\2d(p — размерность длины.

630
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
§ 127. Квазиклассический случай
Проследим, каким образом происходит предельный переход
от квантовомеханической теории рассеяния к классической.
Исключив из рассмотрения равный нулю угол рассеяния 0,
мы можем написать амплитуду рассеяния, даваемую точной тео-
теорией, в виде A24.4)
)e2iSl.	A27.1)
1=0
Мы знаем, что квазиклассические волновые функции характе-
характеризуются большой величиной их фазы. Поэтому естественно
предположить заранее, что предельному переходу в теории рас-
рассеяния соответствуют большие фазы Si. Значение суммы A27.1)
определяется в основном членами с большими /. Поэтому можно
заменить P/(cos#) асимптотическим выражением D9.7), кото-
которое напишем в виде
Подставив это выражение в A27.1), получим
-ехр{ф,5,+ (!+!)«+!]}). A27.2)
Экспоненциальные множители, рассматриваемые как функ-
функции от /, являются быстро осциллирующими функциями (по-
(поскольку их фазы велики). В связи с этим большинство членов
суммы A27.2) взаимно уничтожаются. Сумма будет в основном
определяться областью значений /, близких к тому, при котором
показатель одной из экспонент имеет экстремум, т. е. близких к
корню уравнения
2^ ±0 = 0.	A27.3)
dl
В этой области имеется большое число членов ряда, для кото-
которых экспоненциальные множители сохраняют почти постоянные
значения (показатели медленно меняются вблизи точки своего
экстремума) и которые поэтому не будут взаимно уничтожаться.

§ 127	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	631
Фазы Si в квазиклассическом случае могут быть написаны
(см. § 124) как предел, к которому стремится при г —»> ос разность
фазы
го
квазиклассической волновой функции в поле U(г) и фазы волно-
волновой функции свободного движения, равной кг — тг//2 (см. § 33).
Таким образом,
\)-kro. A27.4)
ГО
Это выражение надо подставить в уравнение A27.3). При опре-
определении производной от интеграла надо помнить, что предел
интегрирования г о тоже зависит от /, но получающийся от это-
этого член kdro/dl сокращается с производной от члена — кго в ?/.
Величина НA + 1/2) есть момент импульса частицы. В класси-
классической механике его можно написать в виде mpv, где р—при-
р—прицельное расстояние, а г> —скорость частицы на бесконечности.
Мы сделаем эту подстановку, после чего уравнение A27.3)
примет окончательно вид
/
pdr , = 1M.	A27.5)
U
В поле отталкивания это уравнение имеет корень (для р) лишь
при знаке минус перед в в правой части, а в поле притяжения —
при знаке плюс.
Уравнение A27.5) в точности совпадает с классическим
уравнением, определяющим угол рассеяния по прицельному рас-
расстоянию (см. I, § 18). Легко убедиться и в том, что и для сечения
действительно получается классическое выражение.
Для этого разложим показатель экспоненты в A27.2) по сте-
степеням V = I — IqF), где IqF) определяется уравнениями A27.3)—
A27.5). Будем для определенности рассматривать первый член
в A27.2) и соответственно принимаем нижний знак в A27.3)
(случай отталкивания). Заметив, что, согласно A27.3),
<P6i_ _ Id6_
dl2 i=i0 ~ 2 dl0'

632
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
имеем
Суммирование по / в A27.2) заменяем теперь интегрировани-
интегрированием по dV вблизи точки V = 0. Рассматривая при этом V как
комплексную переменную, направим путь интегрирования вбли-
вблизи указанной точки вдоль направления наиболее крутого спада
показателя экспоненты, т. е. под углом тг/4 или — тг/4 к веще-
вещественной оси, в зависимости от знака d6/dl$. Другими слова-
словами, полагаем V = ?ехр(±гтг/4) и интегрируем по вещественным
значениям ?; ввиду быстрой сходимости интеграла его можно
распространить от —ос до ос:
/2
—оо
В результате получим
Отсюда
d(J = |у|2 . 27rsin0d0 = 2тг^|
CLtf
М,	A27.7)
и после введения прицельного расстояния, согласно р = lo/к, мы
приходим к классической формуле da = 2irpdp.
Таким образом, условие классичности рассеяния при задан-
заданном угле в заключается в том, чтобы было велико значение /,
при котором имеет место A27.3), и чтобы было велико также и
Si при этом значении I1). Это условие имеет простой смысл. Для
того чтобы можно было говорить о классическом рассеянии на
угол в при пролетании частицы на прицельном расстоянии р,
необходимо, чтобы квантовомеханические неопределенности в
значениях того и другого были относительно малы: Ар ^С р,
А9 ^С в. Неопределенность угла рассеяния имеет порядок вели-
величины Ав ~ Ар/р, где р — импульс частицы, а Ар — неопределен-
неопределенность его поперечной составляющей. Так как Ар ~ Н/Ар ^> Н/р,
г) Связь вир (даваемая формулой A27.5)) может оказаться неоднознач-
неоднозначной; тогда одному и тому же значению в отвечают более чем одно значение
р. В таком случае амплитуда fF) дается суммой выражений A27.6) с со-
соответствующими значениями /о- В точках экстремума функции 0(р), про-
производная dp/d6, а с нею и классическое дифференциальное сечение da /do
обращаются в бесконечность; вблизи этого угла классическое приближение,
конечно, недостаточно (см. задачу 2).

§ 127	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ	633
то А9 ^> Н/рр, а потому во всяком случае и
0>—.	A27.8)
pmv
Заменяя момент импульса mpv на Я/, получим 0/^1, что совпа-
совпадает с условием Si ^> 1 (так как Si ~ /0, как это видно из A27.3)).
Классический угол отклонения частицы можно оценить как
отношение поперечного приращения импульса Ар за «время
столкновения» т ~ p/v к первоначальному импульсу mv. Си-
Сила, действующая в поле U(r) на частицу на расстоянии /э, есть
F = —dU(p)/dp, поэтому Ар ~ Fp/v, так что в ~ pF/mv2. Эта
оценка справедлива строго лишь, если угол в <С 1, но по порядку
величины ее можно продлить и до в ~ 1. Подставив это выра-
выражение в A27.8), получим условие квазиклассичности рассеяния
в виде
\F\p2 > Hv.	A27.9)
Это неравенство должно выполняться для всех значений р, при
которых еще |?7(р)| < Е.
Если поле U(r) убывает быстрее, чем 1/г, то условие A27.9)
во всяком случае перестает выполняться при достаточно боль-
больших р. Но большим р соответствуют малые 0; таким образом,
рассеяние на достаточно малые углы во всяком случае не бу-
будет классическим. Если же поле спадает медленнее, чем 1/г, то
рассеяние на малые углы будет классическим; будет ли в этом
случае классическим рассеяние на большие углы, зависит от ха-
характера хода поля на малых расстояниях.
Для кулонова поля U = а/г условие A27.9) выполняется, ес-
если а ^> Hv. Это условие обратно тому, которое позволяет рассма-
рассматривать кулоново поле как возмущение. Мы увидим, впрочем,
что по случайным причинам квантовая теория рассеяния в ку-
лоновом поле приводит к результату, совпадающему с классиче-
классическим во всех случаях.
Задачи
1. Найти полное сечение квазиклассического рассеяния в поле, имеющем
на достаточно больших расстояниях вид U = а/гп с п > 2.
Решение. Имея в виду, что основную роль играют фазы Si с боль-
большими /, вычисляем их по формуле A24.1):
_ та 7	dr	_ так71'2 ГA/2)Г((п - 1)/2)
1 ~ П2 J rnJk2-P/r2 ~ 2ПГ-1	Г(п/2)	( }
i/k

634
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
(вычисление интеграла—ср. задачу 5 к §126). Заменив суммирование в
A23.12) интегрированием, запишем
оо
а=% Г21 sin2 Sidl.
к J
о
После подстановки Si = и и интегрирования по du по частям интеграл при-
приводится к Г-функции. В результате получим
а\п-1
2\n-lJ\ Vn-1/L Г(п/2) J
B)
(при п = 3 раскрытие неопределенности дает а = 2тг2а/Ну).
Условие применимости этого результата заключается прежде всего в
том, чтобы при Si ~ 1 было I ^> 1; отсюда получаем неравенство
такп~2/П2 > 1.
Еще одно условие возникает из требования, чтобы поле U(r) имело рассма-
рассматриваемый вид уже на расстояниях
(/ из соотношения Si ~ 1), которые играют основную роль в интеграле A).
Если этот вид достигается лишь на расстояниях г ^> а (где а — характерные
размеры поля), то отсюда возникает условие
тсх/(Н ко, ) ^> 1,
устанавливающее верхний предел допустимых скоростей. Напомним, что в
этом случае при достаточно больших скоростях (при условии та/Н2кап~1 <^
<^i 1) имеет место зависимость а оо к~2 (ср. задачу 5 § 126).
2. Найти угловое распределение рассеяния вблизи точки экстремума
классического угла рассеяния в(р) как функции прицельного расстояния
р = 1/к.
Решение. Наличие экстремума функции 6A) при некотором I = 1о
означает, согласно A27.3), что фаза Si вблизи этой точки имеет вид
Z° ° 3 '
где во = вAо),1' = l—lo (снова выбираем для определенности случай нижнего
знака в A27.3)); постоянная а < 0 или а > 0 соответственно в случаях мак-
максимума или минимума функции 0A). Для амплитуды рассеяния получаем,
вместо A27.6):
к \27rsin0o
Г ехр |г (-1'в1 + -I'A I di
где в' = в — во. Выразив интеграл через функцию Эйри, согласно (Ь.З),
найдем окончательно для сечения рассеяния 1)
х)Этот тип рассеяния встречается в теории радуги, и его называют по-
поэтому радужным рассеянием.

§ 128	АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ	635
Дифференциальное сечение dcr/d6l затухает в глубь классически недо-
недоступной области рассеяния (в' > 0 при а < О или в' < О при а > 0), а по
другую сторону от точки в' = 0 испытывает колебания между нулем и по-
постепенно убывающей амплитудой. Его максимальное значение достигается
при в'а~1/3 = 1,02; Ф2 = 0,90.
3. Найти угловое распределение квазиклассического рассеяния на ма-
малые углы, если классический угол отклонения в обращается в нуль при
некотором конечном значении р = 1о/к.
Решение. Предположенная квазиклассичность рассеяния в рассма-
рассматриваемом случае означает, что 1о ^$> 1 и Si0 ^> 1. Тогда в рассеянии суще-
существенны значения /, близкие к /о- При малых I' = I — 10 имеем
Si и К + |/'2
(тогда, согласно A27.3), в = 0 при I' = 0). Это выражение надо поставить
в A27.1), причем Pi(cos6) может быть представлено в виде D9.6). Суммиро-
Суммирование по / снова заменяется интегрированием по dl' вокруг точки /' = О1) :
/	г
= -^-ехрBгй0) / Jo
ik	J
Интеграл определяется областью I' ~ /3 1^2. Для углов в ^ у/]3 можно выне-
вынести функцию Jo(W) из-под знака интеграла, заменив ее значением при I = lQ.
Оставшийся интеграл вычисляется, как объяснено в тексте. В результате
находим для сечения )
da^jl(l0e)do.
рк
Аналогичный результат получается для сечения рассеяния на углы,
близкие к тг, если классический угол рассеяния обращается в тг при некото-
некотором конечном (отличном от нуля) значении р.
§ 128. Аналитические свойства амплитуды рассеяния
Ряд важных свойств амплитуды рассеяния может быть уста-
установлен путем изучения ее как функции энергии рассеиваемой
частицы Е, формально рассматриваемой как комплексная пере-
переменная.
Рассмотрим движение частицы в поле U(r), достаточно бы-
быстро обращающемся на бесконечности в нуль, — требуемая сте-
степень быстроты убывания будет указана ниже. Для упрощения
последующих рассуждений будем сначала считать, что орби-
орбитальный момент частицы / = 0. Напишем асимптотический вид
х) Строго говоря, к этой амплитуде следует добавить член, отвечающий
вкладу в рассеяние на малые углы от прицельных расстояний р —>¦ оо. Этот
вклад, однако, вообще говоря, мал по сравнению с написанным.
2) Этот тип рассеяния называют сиянием в связи с определенными метео-
метеорологическими явлениями, в теории которых он встречается.

636
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
волновой функции — решения уравнения Шредингера с / = 0 для
произвольного заданного значения Е — в форме
и будем рассматривать Е как комплексную переменную; будем
при этом определять у/—Е как положительную величину при
вещественных отрицательных значениях Е. Волновая функция
предполагается нормированной каким-либо определенным усло-
условием, скажем, условием ^@) = 1.
На левой части вещественной оси (Е < 0) экспоненциаль-
экспоненциальные множители в первом и втором членах в A28.1) веществен-
вещественны; один из них убывает, а другой возрастает при г —>• ос. Из
условия вещественности х следует, что функции А(Е) и В(Е)
вещественны при Е < 0; в свою очередь отсюда следует, что
эти функции имеют комплексно сопряженные значения в любых
двух точках, расположенных симметрично относительно веще-
вещественной оси:
А(Е*) = А*(Е), В(Е*) = В*(Е).	A28.2)
Совершая переход с левой вещественной полуоси на правую
полуось через верхнюю полуплоскость, мы получим асимптоти-
асимптотическое выражение для волновой функции при Е > 0 в виде
X = А(Е)е1кг + В(Е)е-г"г, к = ^^.	A28.3)
Если же произвести переход через нижнюю полуплоскость, то
мы получим бы
X = A*(E)e~ikr + B*(E)eikr-
Поскольку х должна быть однозначной функцией Е, это значит,
что
А(Е) = В*(Е) при Е > 0	A28.4)
(это соотношение следует также и непосредственно из веще-
вещественности х ПРИ Е > 0). Однако, благодаря неоднозначности
корня у/—Е в A28.1), сами коэффициенты А(Е) и В(Е) неодно-
неоднозначны. Для устранения этой неоднозначности разрежем ком-
комплексную плоскость вдоль правой вещественной полуоси. На-
Наличие разреза делает однозначным yJ—E и тем самым обеспе-
обеспечивает однозначность определения функций А(Е) и В(Е). При
этом на верхнем и нижнем краях разреза эти функции имеют
комплексно сопряженные значения (в выражении A28.3) А(Е) и
В(Е) берутся на верхнем краю разреза).

§ 128	АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ	637
Разрезанную указанным образом комплексную плоскость бу-
будем называть физическим листом римановой поверхности. Со-
Согласно принятому нами определению на всем этом листе имеем
Re у/^Ё > 0.	A28.5)
В частности, на верхнем краю разреза определенный таким
образом у/—Е переходит в —iy/Ё1).
В A28.3) множители егкг и е~г/сг, а с ними и оба члена в
X — одинакового порядка величины; асимптотическое выраже-
выражение вида A28.3) поэтому всегда законно. На всем же остальном
физическом листе первый член в A28.1) экспоненциально зату-
затухает, а второй — возрастает при г —»> ос (ввиду A28.5)). Поэтому
оба члена в A28.1) оказываются различного порядка величины
и это выражение, как асимптотическая форма волновой функ-
функции, может оказаться незаконным — малый член в нем на фоне
большого может оказаться недопустимым превышением точно-
точности. Для законности выражения A28.1) отношение малого члена
к большому не должно быть меньше относительного порядка ве-
величины потенциальной энергии (U/E), которой пренебрегают в
уравнении Шредингера при переходе к асимптотической обла-
области. Другими словами, поле U(r) должно удовлетворять усло-
условию: U(r) убывает при г —»> ос быстрее, чем
exp^--
Если это условие выполняется для любого Re \J—Е > 0, т. е.
если U(г) убывает быстрее, чем
е~сг	A28.6а)
с любой положительной постоянной с, асимптотическое выра-
выражение вида A28.1) справедливо на всем физическом листе. Бу-
Будучи решением уравнения с конечными коэффициентами, оно
не имеет особенностей по Е. Это значит, что функции А(Е)
и В(Е) регулярны на всем физическом листе, за исключением
точки Е = 0; последняя, будучи точкой начала разреза, является
точкой разветвления этих функций.
г) Везде ниже в этом параграфе мы изучаем свойства амплитуды рассея-
рассеяния на физическом листе. В дальнейшем, однако, нам придется в некоторых
случаях рассматривать также и второй, нефизический лист римановой по-
поверхности (см. § 134). На этом листе
0.	A28.5 а)
Переход с правой полуоси на нефизический лист осуществляется непосред-
непосредственно вниз, через разрез.

638
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Связанным состояниям частицы в поле U(r) соответствуют
волновые функции, обращающиеся при г —»> ос в нуль. Это зна-
значит, что второй член в A28.1) должен отсутствовать, т.е. дис-
дискретным уровням энергии соответствуют нули функции В(Е).
Поскольку уравнение Шредингера имеет лишь вещественные
собственные значения, все нули В(Е) на физическом листе ве-
вещественны (и расположены на левой части вещественной оси).
Функции А(Е) и В(Е) при Е > 0 непосредственно связаны
с амплитудой рассеяния в поле U(r). Действительно, сравнив
A28.3) с асимптотическим выражением х-> написанным в форме
C3.20)
X = const .[e^r+<5°) - е-^г+<5°)],	A28.7)
мы видим, что
ЦН2ЗД	A28-8)
Амплитуда же рассеяния с моментом 1 = 0 есть, согласно
A23.15),
при этом А и В берутся на верхнем краю разреза.
Рассматривая теперь амплитуду рассеяния как функцию Е
на всем физическом листе, мы видим, что дискретные уровни
энергии являются ее простыми полюсами. Если поле U(r) удо-
удовлетворяет условию A28.6а), то, согласно сказанному выше, ам-
амплитуда рассеяния не имеет других особых точек1).
Вычислим вычет амплитуды рассеяния относительно полю-
полюса, который она имеет в каком-либо дискретном уровне Е =
= Eq < 0. Для этого напишем уравнения, которым удовлетворя-
удовлетворяют функция % и ее производная по энергии:
х + пл и>х-^ удЕ) -I- П2^ и>дЕ- п*х-
Умножив первое на дх/дЕ, второе — на х, вычтя почленно одно
из другого и проинтегрировав по dr, получим
2dr.	A28.10)
1) За исключением точки Е = 0, являющейся особой ввиду указанной выше
особенности функций А(Е) и В(Е). Амплитуда рассеяния, однако, остается
при Е —>> 0 конечной (см. § 132). Ниже мы, для краткости, не будем каждый
раз делать эту оговорку.

§ 128	АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ	639
Применим это соотношение при Е = Eq и г —>• ос. Интеграл в
правой части равенства при г —»> ос обращается в единицу, если
волновая функция связанного состояния нормирована обычным
условием f x2dr = 1. В левую же часть подставляем х из A28.1),
учитывая при этом, что вблизи точки Е =
А(Е) « А(Е0) = Ао, В(Е) ъ(Е+ \Е0\)™	= C(Е + \Е0\).
E=Eq
В результате получаем /3 = —-—л.
AqU у 2\Ео\
С помощью этих выражений найдем, что вблизи точки Е =
= Ео главный член в амплитуде рассеяния (совпадающий с ам-
амплитудой для / = 0) имеет следующий вид:
Таким образом, вычет амплитуды рассеяния в дискретном уров-
уровне определяется коэффициентом А$ в асимптотическом выраже-
выражении
A28.12)
нормированной волновой функции соответствующего стацио-
стационарного состояния.
Возвращаясь к исследованию аналитических свойств ампли-
амплитуды рассеяния, рассмотрим случаи, когда условие A28.6а) не
выполняется. В таких полях в выражении A28.1) лишь воз-
возрастающий член является корректной частью асимптотической
формы решения уравнения Шредингера на всем физическом ли-
листе.
Соответственно этому, можно по-прежнему утверждать, что
функция В(Е) не имеет особенностей.
Функция же А(Е) в этих условиях может быть определена
в комплексной плоскости лишь как аналитическое продолжение
функции, представляющей собой коэффициент в асимптотиче-
асимптотическом выражении х на правой вещественной полуоси, где оба чле-
члена в х являются законными. Такое продолжение, однако, дает
теперь, вообще говоря, различные результаты в зависимости от
того, производится ли оно с верхней или с нижней стороны раз-
разреза.
Для достижения однозначности мы условимся определять
А(Е) в верхней и нижней полуплоскостях как аналитические
продолжения соответственно с верхней и нижней сторон пра-
правой полуоси; разрез же при этом должен быть, вообще говоря,

640
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
продолжен на всю вещественную ось. Определенная таким обра-
образом функция по-прежнему обладает свойством А(Е*) = А*(Е),
но, вообще говоря, не вещественна ни на правой, ни на левой
части вещественной оси. Она может также в принципе обладать
особенностями.
Покажем, однако, что существует тем не менее категория
полей, для которых функция А(Е) не обладает особенностями
внутри физического листа, хотя условие A28.6а) не выполня-
выполняется.
Для этого будем рассматривать \ как функцию комплекс-
комплексного г при заданном (комплексном) значении Е. При этом до-
достаточно ограничиться значениями Е в верхней полуплоскости,
поскольку значения функции А(Е) в обеих полуплоскостях ком-
комплексно сопряжены друг с другом. Для таких значений г, при
которых Ег2 есть вещественное положительное число, оба члена
в волновой функции A28.1) одинакового порядка, т.е. мы воз-
возвращаемся к той ситуации, которая имеет место для ?>0и ве-
вещественных г, когда оба члена в асимптотическом выражении х
законны при любом стремящемся на бесконечности к нулю по-
поле U(г). Поэтому можно утверждать, что А(Е) не может иметь
особых точек при таких значениях Е, для которых U(r) —»> 0,
когда г стремится к ос вдоль луча, на котором Ег2 > 0. Ко-
Когда Е пробегает все значения в верхней полуплоскости, усло-
условие Ег2 > 0 выделяет правый нижний квадрант плоскости ком-
комплексного г. Таким образом, мы приходим к выводу, что А(Е)
не имеет особенностей внутри физического листа также и в слу-
случаях, когда U(г) удовлетворяет условию1)
U(r) —»> 0, когда г —»> ос в правой полуплоскости A28.13)
(Л.Д.Ландау, 1961).
Условия A28.6а) и A28.13) охватывают очень широкую кате-
категорию полей. Поэтому можно сказать, что амплитуда рассеяния,
как правило, не имеет особенностей внутри обеих полуплоско-
полуплоскостей. На самой же левой полуоси (которая входит в состав физи-
физического листа при отсутствии разреза на ней) амплитуда рассе-
рассеяния имеет полюсы, соответствующие энергиям связанных со-
состояний; при наличии разреза здесь могут находиться и другие
особенности.
1) Ввиду вещественности U(r) на вещественной оси имеет место равенство
U(г*) = U*(г)\ поэтому выполнение условия A28.13) в нижнем правом квад-
квадранте автоматически означает его выполнение во всей правой полуплоско-
полуплоскости.

§ 128	АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ	641
Последнее имеет место, в частности, для полей вида
U = const -rne-r/a	A28.14)
(с любым п). На отрезке 0 < — Е < Н2/(8та2) левой полуоси
выполняется условие A28.6), так что на нем не должно быть
разреза, и амплитуда рассеяния имеет здесь лишь полюсы, со-
соответствующие связанным состояниям. На остальной части ле-
левой полуоси могут иметься также и лишние полюсы и другие
особенности E. Т.Ма, 1946). Их появление связано с тем, что
функция A28.14) перестает стремится к нулю, когда г —»> ос
вдоль луча, на котором Ег2 > 0, сразу же как только Е по-
попадает под левую полуось (т. е. указанный луч попадает влево за
мнимую ось плоскости комплексного г).
Далее, рассмотрим аналитические свойства амплитуды рас-
рассеяния при \Е\ —> ос. Когда Е —> +ос вдоль вещественной оси,
справедливо борновское приближение и амплитуда рассеяния
стремится к нулю. Согласно сказанному выше такая же ситу-
ситуация имеет место при стремлении Е к бесконечности в ком-
комплексной плоскости вдоль какой-либо прямой &rgE = const,
если при этом рассматривать такие комплексные значения г,
для которых Ег2 > 0. Если U —»> 0, когда г —»> ос вдоль пря-
прямой argr = — (l/2)arg?I и никаких особых точек на этой пря-
прямой U(г) не имеет, то выполнено условие применимости борнов-
ского приближения и амплитуда рассеяния по-прежнему стре-
стремится к нулю. Когда aigE пробегает все значения от 0 до тг,
argr пробегает значения от 0 до —тг/2.
В результате мы приходим к заключению, что амплитуда
рассеяния стремится к нулю на бесконечности во всех направ-
направлениях в плоскости Е, если функция U(г) в правой полуплоско-
полуплоскости г не имеет особых точек и стремится к нулю на бесконеч-
бесконечности.
Хотя мы говорили выше все время о рассеянии с моментом
I = 0, но в действительности все изложенные результаты спра-
справедливы и для парциальных амплитуд рассеяния с любым от-
отличным от нуля моментом. Разница в выводах состоит лишь в
том, что вместо множителей е^гкг в асимптотических выраже-
выражениях х надо было бы писать точные радиальные волновые функ-
функции свободного движения C3.16I).
) Пользоваться же предельной формой C3.17) этих функций допустимо
лишь при Е > 0; в остальной плоскости Е, где оба члена в х— различных
порядков величины, использование этих предельных выражений внесло бы
в х ошибку, вообще говоря, большую, чем ошибка, соответствующая прене-
пренебрежению U в уравнении Шредингера.

642
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Некоторые изменения надо ввести, при / ф О, в формулы
A28.9) и A28.11). Вместо A28.7) имеем теперь
XI = rRi = const • < exp \i(kr —-+<$/) — exp — i(kr —- + Si J >
A28.15)
и для парциальной амплитуды // (определенной согласно
A23.15)) получим
П f	l	A28.16)
Главный же член в амплитуде рассеяния вблизи уровня Е = Ео
с моментом / дается, вместо A28.11), формулой
/«(И-
A28.17)
§ 129. Дисперсионное соотношение
В предыдущем параграфе мы изучали аналитические свой-
свойства парциальных амплитуд рассеяния с заданными значения-
значениями /. Мы видели, что эти свойства осложняются возможностью
появления «лишних» особенностей и нерегулярности на беско-
бесконечности. Такими же свойствами обладает, очевидно, и полная
амплитуда, рассматриваемая как функция энергии при задан-
заданных значениях угла рассеяния. Исключение представляет, одна-
однако, амплитуда рассеяния на угол нуль. Как мы сейчас покажем,
ее аналитические свойства значительно проще.
Написав уравнение Шредингера для волновой функции рас-
рассеиваемой частицы в виде
л / т 2 / 2mU i	/-1 г»гч -1 \
/\ip + к ip = —~y->	(lzy.lj
будем рассматривать его формальным образом как волновое
уравнение с правой частью, т. е. как известное из электроди-
электродинамики уравнение запаздывающих потенциалов.
Решение этого уравнения, описывающее «излучение» в неко-
некотором направлении к' на больших расстояниях R$ от центра,
имеет, как известно, следующий вид (см. II, § 66):
^расс — — - - / fc2 V70	","•	A29.2)

§ 129	ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ	643
В данном случае это выражение представляет собой волновую
функцию рассеянной частицы и коэффициент при elkR° /До есть
амплитуда рассеяния f{0,E). В частности, положив к' = к (к —
волновой вектор падающей частицы), получим амплитуду рассе-
рассеяния на угол 0:
f@,E) = -^ ju^e~ikzdV	A29.3)
(ось z направлена вдоль к). Это выражение имеет, конечно,
лишь формальный смысл, поскольку в подынтегральное выра-
выражение снова входит неизвестная волновая функция. Оно позво-
позволяет, однако, сделать определенные заключения об аналитиче-
аналитических свойствах величины f@,E) как функции энергии Е1).
Функция ф под знаком интеграла состоит при больших г из
двух частей — падающей и расходящейся волн. Последняя про-
пропорциональна ег/сг, так что соответствующая часть интеграла
содержит в подынтегральном выражении elk(r-z)t Q другой сто-
стороны, при переходе в комплексную плоскость (с верхнего края
разреза вдоль правой полуоси) гк заменяется на —\/—2тЕ/Н,
причем на всем физическом листе Re \J—Е > 0. Поскольку г ^ z,
то Ke[ik(r — z)] < 0 и интеграл сходится при любом комплекс-
комплексном Е. Что касается падающей волны в ф, пропорциональ-
пропорциональной elkz, то в соответствующей части интеграла экспоненциаль-
экспоненциальные множители вообще сокращаются, так что и эта часть схо-
сходится.
Функция ф в интеграле A29.3) однозначно определена при
любом комплексном Е как решение уравнения Шредингера, со-
содержащее, помимо плоской волны, лишь затухающую (при г —»>
—>• ос) часть. Поэтому однозначно определен и весь сходящий-
сходящийся интеграл A29.2), так что его особенности могут возникать
только в результате обращения ф в бесконечность. Последнее
имеет место в дискретных уровнях энергии2).
х) Подразумевается, конечно, что поле U(r) убывает при г —»> оо достаточно
быстро для того, чтобы /@, Е) (при Е > 0) вообще существовало (см. § 124).
2) Во избежание недоразумений подчеркнем, что здесь речь идет о пол-
полной волновой функции системы ф, нормированной условием равенства еди-
единице коэффициента при плоской волне в ее асимптотическом выражении
(ср. A23.3)). В предыдущем же параграфе рассматривались части {ф{) вол-
волновой функции, отвечающие определенным значениям /, причем ф\ предпо-
предполагались нормированными каким-либо произвольным условием. Если раз-
разложить полную функцию ф по функциям ф\, то последние войдут в ф с
коэффициентами, пропорциональными \fB\\ так, функция A28.3) с Z = 0

644
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
ГЛ. XVII
Легко видеть также, что /@,-Е1) остается конечной при
\Е\ —»> ос. При больших \Е\ в уравнении Шредингера A29.1)
можно пренебречь членом с С/, так что в ф остается лишь плос-
плоская волна: ф ~ elkz. В результате интеграл A29.2) переходит в
Д0,оо) = -
m f
2ттП2 J
UdV,
что совпадает, как и следовало, с борновской амплитудой A26.4)
рассеяния на угол 0 (q = 0); обозначим ее через /в@).
Таким образом, мы приходим к выводу, что амплитуда рас-
рассеяния на угол 0 регулярна на всем физическом листе (в том
числе на бесконечности), за исключением лишь обязательных
полюсов на левой вещественной полуоси в дискретных уровнях
энергиих).
Рассмотрим интеграл
№,E')-fB ^,	(Ш4)
1 f
Е'-Е
взятый по изображенному на рис. 46 контуру, состоящему из бес-
бесконечно удаленной окружности и обхода вокруг разреза
вдоль правой полуоси. Интеграл по
окружности обращается в нуль, посколь-
поскольку /@, ос) — /я = 0. Интегрирование же
по обеим сторонам разреза дает
¦dE;
Рис. 46
Е'-Е
здесь учтено, что по принятому в § 128
определению физическая амплитуда рас-
рассеяния для вещественных положительных
значений Е задается на верхней стороне разреза, а на нижней
стороне имеет комплексно сопряженное значение.
С другой стороны, согласно теореме Коши интеграл A29.4)
равен сумме /@,?") — /б и вычетов Rn подынтегрального вы-
выражения во всех полюсах Е1 = Еп функции f@,Ef)/(Ef — Е),
должна войти в^в виде
I
B)eikr - 2гВ sin fcr].
Поэтому ф обращается в бесконечность в нулях функций Bi(E), т.е. в дис-
дискретных уровнях энергии.
1)Идея изложенного доказательства принадлежит Л. Д. Фаддееву A958).

§ 130	АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ В ИМПУЛЬСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ	645
где Еп—дискретные уровни анергии; эти вычеты определяются
с помощью формулы A28.17) и равны
^	= -(-l)l"Bln + l)^	A29.5)
ZUl
Rn =	, dn = (l)Bln
(ln — момент состояния с энергией Еп).
Таким образом, получаем
о	п
Это так называемое дисперсионное соотношение определяет
/@,-Е1) в любой точке физического листа по значениям ее мни-
мнимой части при Е > 0 (D. Wong, 1957; N. N. Khuri, 1957).
Когда точка Е устремляется к верхней стороне разреза, ин-
интеграл вдоль вещественной оси в A29.6) должен быть взят, об-
обходя полюс Е' = Е снизу; если произвести этот обход по бес-
бесконечно малой полуокружности (рис.47), то соответствующая
(Е*
Е
о	w
Рис. 47
часть интеграла даст в правой части уравнения A29.6) вели-
величину г1т/@,?1), а остающийся интеграл от 0 до ос должен
пониматься в смысле главного значения. В результате получим
формулу
Re
о
определяющую при Е > 0 вещественную часть амплитуды рас-
рассеяния на угол 0 через ее мнимую часть. Напомним, что послед-
последняя, согласно A25.9), непосредственно связана с полным сечени-
сечением рассеяния.
§ 130. Амплитуда рассеяния
в импульсном представлении
В понятии об амплитуде рассеяния фигурируют только на-
направления начального и конечного импульсов рассеиваемой ча-
частицы. Естественно поэтому, что к этому понятию можно

646
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
прийти и при формулировке задачи о рассеянии в импульсном
представлении, где вопрос о пространственном распределении
всей картины процесса вообще не ставится. Покажем, как это
делается.
Прежде всего преобразуем к импульсному представлению ис-
исходное уравнение Шредингера
-^Д^(г) + [С/(г) - ЕЩг) = 0,	A30.1)
перейдя от координатных волновых функций к импульсным, т. е.
к фурье-компонентам
a(q) = /\/;(r)e~*qiW.	A30.2)
Обратно
A30.3)
Умножим уравнение A30.1) на е~щг и проинтегрируем его
по dV. В первом члене после двукратного интегрирования по
частям получим
! e"iqrA^(r) dV = Г ф(г)Ае-^ЧУ - q2a(q).
Во втором члене, подставив в него ф(т) в виде A30.3), получим
/V(r)</>(r)e-*qW = /'/U(r)e~iciTa(q!)ei(i'rdV-dSq' -
B7ГK
где C/(q) — фурье-компонента поля С/(г)х):
E/(q)= f U(r)e-ic*rdV.
Таким образом, уравнение Шредингера в импульсном представ-
представлении принимает вид
? - E)a(q) + fu(q- q')a(q')^ = 0-	A30.4)
1) Для удобства обозначений пишем q в виде аргумента фурье-компоненты
вместо индекса.

§ 130	АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ В ИМПУЛЬСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ	647
Обратим внимание на то, что это уравнение — интегральное, а не
дифференциальное.
Представим волновую функцию, описывающую рассеяние
частиц с импульсом Як, в виде
</>k(r) = eikr + Xk(r),	A30.5)
где Хк(г) — функция, имеющая асимптотически (при г —>• ос)
вид расходящейся сферической волны. Ее фурье-компонента
ak(q) = B7rK<5(q - k) + Xk(q),	A30.6)
и подстановка в A30.4) приводит к следующему уравнению для
функции Xk(qI):
^	- k) + | C/(q - ч')Хк(Ч')|^. A30.7)
Это уравнение целесообразно преобразовать, введя вместо
Xk(q) ДРУГУЮ неизвестную функцию, согласно определению,
Тем самым устраняется особенность при q2 = к2 в коэффициен-
коэффициентах уравнения A30.7) и оно принимает вид
^0. (ИМ)
Член г0 (обозначающий предел iS при S —>• +0) введен в опре-
определение A30.8) для придания определенного смысла интегралу
в A30.9): им устанавливается способ обхода полюса q/2 = к2
(ср. §43). Покажем, что именно такой способ обхода отвечает
требуемому асимптотическому виду функции
~ П2 J q2-k2-i0Bnf
Для этого пигпем d?q = q2dqdoCL и производим прежде все-
всего интегрирование по do4 — по направлениям вектора q относи-
относительно г. Интегрирование такого вида уже производилось при
х) По свойствам E-функции произведение (q2 — &2)E(q — k), будучи умноже-
умножено на произвольную функцию /(q) (не имеющую особенности при q = к) и
проинтегрировано по d3q, дает нуль. В этом смысле произведение (q2 — к2) х
XE(q-k) =0.

648
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
преобразовании первого члена в A25.2); оно приводит (в обла-
области больших г) к выражению
(где п'
= r/r)
2m 2тгг
f? r
или
oo
0
im
,вп')е'«'
fF
rj
—oo
' - F(k, -gn')
- &2 - гО
(k,gn;)eigrgd,
q2 -к2 - гО
B7ГK
q
Подынтегральное выражение имеет полюсы в точках q =
= к + iO и q = — к — гО, которые обходятся при интегрирова-
интегрировании (в плоскости комплексного q) соответственно снизу и сверху
(рис. 48 а). Сместим несколько путь интегрирования в верхнюю
полуплоскость, заменив его прямой линией, параллельной веще-
вещественной оси, и замкнутой петлей, охватывающей полюс q = к
(рис.486). Интеграл по прямой линии обращается при г —»> ос в
нуль (ввиду наличия в подынтегральном выражении множителя
ехр(—rim g)), а интеграл по замкнутой петле определяется вы-
вычетом подынтегрального выражения в полюсе q = к (умножен-
(умноженным на 2тгг); окончательно находим
,/сп')	A30.11)
(п —единичный вектор в направлении к). Мы получили требуе-
требуемый асимптотический вид волновой функции, причем амплитуда
рассеяния
^kn').	A30.12)
Таким образом, амплитуда рассеяния определяется значением
при q = к функции F(k, q), удовлетворяющей интегральному
уравнению A30.9).
©
Рис.48
В случае применимости теории возмущений уравнение
A30.9) легко решается последовательными итерациями. В пер-
первом приближении, опустив интегральный член вовсе, получим

§ 131	РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ	649
-F(k, q) = — C/(q — к). В следующем приближении подставляем
в интегральный член выражение -F(k, q) первого приближения;
для амплитуды рассеяния A30.12) находим тогда (несколько
изменив обозначения переменных)
2Ш f
A30.13)
причем к = fcn, к' = кп'. Первый член совпадает с формулой
A26.4) первого борновского приближения, а второй дает вклад
второго приближения в амплитуду рассеянияг).
Из A30.13) видно упомянутое уже в §126 обстоятельство,
что уже во втором приближении амплитуда рассеяния теряет
свойство симметрии A26.8). На первый взгляд может показать-
показаться, что интегральный член в A30.13) тоже симметричен по от-
отношению к перестановке начального и конечного состояний. В
действительности, однако, такая симметрия отсутствует в свя-
связи с тем, что при переходе к комплексно сопряженному выра-
выражению меняется контур интегрирования (направление обхода
полюса).
§ 131. Рассеяние при больших энергиях
Если потенциальная энергия не мала по сравнению с Н2/та2
(где а, как обычно, радиус действия поля), то возможна ситуа-
ситуация, когда энергия рассеиваемых частиц настолько велика, что
1ЕЛ <Я~ Д-(/саJ,	A31.1)
та
но в то же время еще
\U\ > ~^ка= —;	A31.2)
при этом подразумевается, разумеется, что
fea» 1.	A31.3)
В таком случае мы имеем дело с рассеянием быстрых частиц,
к которому, однако, неприменимо борновское приближение (не
выполняется ни одно из условий A26.1), A26.2)).
г) Этот результат легко получить, конечно, и без перехода к импульсному
представлению: тот факт, что формула второго приближения отличается от
формулы первого приближения заменой U(kf — k) на выражение в фигурных
скобках в A30.13), очевиден из сравнения формул D3.1) и D3.6).

650
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Для исследования этого случая можно воспользоваться вы-
выражением волновой функции в виде D5.9)
Udz],	A31.4)
для применимости которого энергия должна удовлетворять
только условию \U\ <С Е.
В § 45 было отмечено, что это выражение справедливо лишь
при z <С ко?\ поэтому оно не может быть непосредственно про-
продолжено до таких расстояний, где уже справедливо асимптоти-
асимптотическое выражение A23.3). В этом, однако, нет необходимости:
для вычисления амплитуды рассеяния достаточно знать волно-
волновую функцию на расстояниях z таких, что а < 2; < ка2\ при
этом интеграл в показателе в F(r) может быть распространен
до ос:
ф = eikzS(p),	A31.5)
где введено обозначение
S(p) = ехррйОД], 6(р) = ~ j* Udz	A31.6)
— ОО
(р —радиус-вектор в плоскости ху).
Рассеяние быстрых частиц происходит в основном на малые
углы, которые мы и будем рассматривать. При этом изменение
импульса Нс[ относительно мало (q <С к), и потому вектор q
можно считать перпендикулярным к волновому вектору падаю-
падающей частицы к, т. е. лежащим в плоскости ху. Рассеянная волна
получается вычитанием из A31.5) падающей волны elkz (функ-
(функция A31.4) при z = —ос). Амплитуда же рассеяния с волновым
вектором к' = к + q пропорциональна соответствующей компо-
компоненте Фурье рассеянной волны1)
оэ
J[S(p) -
(d2p = dxdy). Коэффициент пропорциональности в этом выра-
выражении можно получить затем сравнением с предельным случаем
борновского приближения (см. ниже).
1) Такой способ определения амплитуды рассеяния аналогичен методу,
применяемому при рассмотрении дифракции Фраунгофера (см. II, §61). За-
Заметим, что именно дифракционные эффекты нарушают применимость фор-
формулы A31.4) при z > ка2.

§ 131	РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ	651
Можно провести вычисление также и другим способом, ко-
который сразу приводит к вполне определенному выражению.
Для этого воспользуемся формулой A29.2), подставив в нее ф
из A31.4). Заметив при этом, что, согласно D5.8),
fi2_ --~dz,
получим для амплитуды рассеяния (коэффициент при е °/Rq)
к f dF _ •	к f
2тгг J dz	2ттг J
-F(z = -oo)}e~icipdxdy.
Подставив выраж;ение для F, окончательно получим1)
к	A31.7)
Если энергия настолько велика, что 6 ~ \U\a/Hv < 1, то
применимо борновское приближение. Действительно, разложив
S — 1 « 2г5, получим из A31.7) в согласии с A26.4)
2ттй J
/ = -
Воспользовавгпись оптической теоремой A25.9), можно по-
получить из A31.7) полное сечение рассеяния. Амплитуда рассея-
рассеяния на нулевой угол есть значение / при q = 0. Поэтому находим
<т= / 2Re(l-S)d2p= Г4sm2S(p)d2p.	A31.8)
Выражение под знаком интеграла можно рассматривать как се-
сечение рассеяния для частиц с прицельным расстоянием в интер-
интервале d2p2).
г) В двумерном случае амплитуда рассеяния в поле U(x,z), определенная
как в задаче к § 123, дается формулой
/=т
~i\rtf[s{x)~1]e~i4Xdx-	(ш-7а)
Величина \f\2d<p есть сечение рассеяния, отнесенное к единице длины вдоль
оси у, а <р — угол рассеяния в плоскости xz (ср. выражение для борновской
амплитуды в задаче 6 § 126).
2) В § 152 будет дано обобщение формул A31.7), A31.8) на случай рассея-
рассеяния на системе частиц.

652
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Формула A31.7) не предполагает центральной симметрии по-
поля. Поучительно увидеть, каким образом для центрально-сим-
центрально-симметричного поля эта формула может быть получена непосред-
непосредственно из точной общей формулы A23.11).
В условиях A31.1)—A31.3) основную роль в рассеянии игра-
играют парциальные амплитуды с большими моментами /. Поэтому
для волновых функций выполняется условие квазиклассичности,
что позволяет воспользоваться для Si формулой A24.1). Поло-
Положив в ней го ~ l/к, г2 = z1 + /2/&2, получим
l/к	О
что совпадает со значением функции S(p) A31.6) при р = l/к1).
Далее, в области малых углов @ <С 1) полиномы Лежандра с
большими / могут быть представлены в виде D9.6)
2тг
P/(cos0) « Jo@/) = — f e-ieicos^d(f.
2тг J
О
Подставив это выражение в формулу A23.11) и перейдя в ней от
суммирования (по большим /) к интегрированию, получим
2тг
f = lf f fie-ieicoa^dbp >ldl = ?; j' fie-wtfp,	A31.9)
о
где q и р — двумерные векторы с абсолютными величинами q =
= кб, р = l/к. Наконец, подставив сюда // в виде A23.15) с
Si = S(l/k), мы вернемся к формуле A31.7).
1) Квазиклассическая функция 2Н5(р) представляет собой связанное с по-
полем U изменение действия при пролетании частицы вдоль классической тра-
траектории. Для быстрой частицы эту траекторию можно считать прямолиней-
прямолинейной, и тогда 2E(р) совпадает с разностью классических интегралов действия
f k2_^L
J у	h
h к
В этом смысле функция 26(р) играет здесь роль, аналогичную роли эйкона-
эйконала в геометрической оптике. В связи с этим рассматриваемое приближение
в теории рассеяния часто называют эйкональным. Подчеркнем, однако, что
амплитуда рассеяния отнюдь не сводится к своему квазиклассическому вы-
выражению, поскольку не выполняются, вообще говоря, условия 61 ^> 1, Si ^> 1.

§ 131	РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ	653
Отметим также, что для рассеяния в центрально-симметрич-
центрально-симметричном поле формула A31.7), после проведения в ней интегрирова-
интегрирования по полярному углу <р в плоскости ху (d2p = p dp dip), прини-
принимает вид
/ = -ik I\exp[2iS(p)} - l}J0(qp)pdp.	A31.10)
В § 126 уже было указано, что борновское приближение не-
неприменимо при рассеянии быстрых частиц на большие углы,
если сечение при этом оказывается экспоненциально малым.
Непригодна в этих условиях также и изложенная здесь методика.
В действительности мы имеем в таких случаях дело с квазиклас-
квазиклассической ситуацией, к которой теория возмущений неприменима.
В соответствии с общими правилами квазиклассического
приближения (ср. § 52,53) показатель степени в экспоненци-
экспоненциальном законе убывания сечений рассеяния можно определить
путем рассмотрения «комплексных траекторий» в классически
недоступной области движения1).
В классической задаче о рассеянии зависимость между уг-
углом в отклонения частицы в поле U(r) и прицельным параме-
параметром р определяется формулой
= / г^	,	A31-11)
J 2 /,	Р2	U
7Г±_ _		,_
Р
где го — минимальное расстояние от центра, являющееся корнем
уравнения
1- 4- - = 0	A31.12)
г2 Е	V	}
(см. A27.5)). Интересующий нас случай соответствует области
углов, на которые классическая частица не могла бы отклонить-
отклониться2) . Этим углам отвечают поэтому комплексные решения р(9)
уравнения A31.11) (с соответственно комплексными значения-
значениями го). По найденной таким образом функции рF) и класси-
классическому орбитальному моменту частицы mvp вычисляется дей-
действие
S@) =mv Г p@)dO	A31.13)
х) Исследование вопроса о предэкспоненциальном множителе в этом
законе— см. А. 3. Паташинский, В.Л.Покровский, И. М. Халатников//
ЖЭТФ. 1963. Т. 45. С. 989.
2) Излагаемый метод применим не только при больших Е, но вообще во
всех случаях экспоненциально малого рассеяния.

654
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
(где v — скорость частицы на бесконечности). Амплитуда же
рассеяния
/~exp(-JlmS@)).	A31.14)
Уравнение A31.12) имеет, вообще говоря, более чем один ком-
комплексный корень. В качестве г о в A31.11) должен быть взят
тот из них, который приводит к наименьшей по величине поло-
положительной мнимай части Im S. Кроме того, если функция U(r)
обладает комплексными особыми точками, то они тоже должны
входить в число конкурирующих значений г о 1).
Основную роль в интеграле A31.11) играет область г ~ tq.
При этом в случае больших энергии Е член U/E под знаком
корня может быть опущен; произведя интегрирование, получим
тогда
р = го cos -.	A31.15)
А
Если го есть особая точка функции С/(г), она зависит лишь от
свойств поля, но не от р или Е. Вычисляя S, согласно A31.13),
найдем, что амплитуда рассеяния в этом случае
/ rsj ехр(—— sin - Im го ).	A31.16)
V Н а	/
Если же в качестве го приходится взять корень уравнения
A31.12), то вид экспоненты зависит от конкретных свойств поля.
Так, для функции
U = Ще^'^
(не имеющей вовсе особых точек на конечных расстояниях) из
уравнения
U л р2 .20
— = 1 — Нг « S1I1 -
Е	г2	2
имеем
/	/ Z7"	_ П\
A31.17)
Ввиду слабости зависимости от в го можно считать постоянным
при интегрировании в A31.13) и для амплитуды рассеяния мы
получим формулу A31.16) с го из A31.17).
г) Напомним (см. §126), что если U{r) имеет особенность при веществен-
вещественном г, то убывание сечения происходит вообще не по экспоненциальному
закону.

§ 131	РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ	655
Задачи
1. Определить полное сечение рассеяния сферической прямоугольной
потенциальной ямой радиуса а и глубины С/о при условии A31.1): С/о <С
< П2к2/т.
Решение. Имеем
оо
/
Udz = -2С/0ЛА2 ~ Р2'
Согласно A31.7) амплитуда рассеяния вперед (q = 0)
а
=	/ exp (	 л/а2 — р2 ) — 1
2тг J I V hv	) \
где v = Uoa/Hv— «борновский параметр». С помощью оптической теоремы
A25.9) находим отсюда полное сечение
п 2 L , 1 sin2i/
В предельном (борновском) случае v <^i 1 это выраж:ение дает а =
= 2тта2и2 в согласии с задачей 1 § 126. В обратном предельном случае v ^> 1
имеем просто а = 2тга2, т.е. удвоенное геометрическое сечение. Этот по-
последний результат имеет простой смысл. При v ^> 1 все частицы с прицель-
прицельным расстоянием р < а рассеиваются, т. е. выбывают из падающего пучка.
В этом смысле яма ведет себя как «поглощающий» шар; при этом, соглас-
согласно принципу Бабине (см. II, конец §61), полное сечение равно удвоенному
сечению «поглощения».
2. То же в поле С/ = С/о ехр(—г2/а2).
Решение. В этом случае имеем
оо
/
Udz = ал/TrUo ехр(—р2/а2).
Подставив в A31.7) и произведя в интеграле очевидную замену переменной,
получим для амплитуды рассеяния на нулевой угол
fT(ei)A
2 У	и
о
где снова v = Uoa/hv. Отсюда полное сечение
/J
A — COS It)	.
U

656
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
При i/< 1 подынтегральное выражение сводится к и/2 и сечение а =
= тта2и2 /2 в согласии с результатом задачи 2 § 126 (при ка ^> 1). При v ^> 1
пишем подынтегральное выражение в виде A — е~ и cos и)/и с малым пара-
параметром Л, устремляемым затем к нулю. Интегрированием по частям нахо-
находим тогда
/I	п
A — cos и) — « 1п(ил/тт) — / In и sin udu = ln^y^) + С
it	У
о	о
(С — постоянная Эйлера). Таким образом,
а = 2тга2 ln^y^e*) при v ^> 1.
3. Определить сечение рассеяния на малые углы электронов в маг-
магнитном поле, сконцентрированном в цилиндрической области радиуса а
(Y. Aharonov, D. Bohm, 1959).
Решение. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси у, совпадаю-
совпадающей с осью цилиндрической области, а направление падения электронов
выберем в качестве оси z. Тогда вся картина рассеяния не зависит от ко-
координаты у, и ниже рассматривается двумерная задача в плоскости xz.
Вне цилиндрической области напряженность Н = 0, но векторный по-
потенциал отличен от нуля и равен
A=^V^,	A)
Z
где <р—полярный угол в плоскости xz, а Ф—поток магнитного поля; дей-
действительно, интегрируя по площади круга (радиуса г > а) в этой плоскости,
имеем
/	Ф 27Г
Н dxdz = ф A d\ = — ю
J	2тг
/¦
= Ф.
о
Потенциал A) меняет фазу волновой функции (плоской волны) электронов;
согласно A11.9) имеем
B)
Это выражение, однако, неприменимо в узкой области вдоль полуоси z > О,
поскольку движение частиц, прошедших через область поля, возмущено
им. Этим объясняется кажущаяся неоднозначность функции B) при обходе
начала координат (угол (р получает приращение 2тг). В действительности
вблизи полуоси z > 0 имеется разрыв (конечной ширины), связанный с
неприменимостью B); по обе стороны разрыва ip имеет значения, отличаю-
отличающиеся на 2тг, например =Ftt.
Для рассеяния на малые углы в с малой передачей импульса q « кв
(qa <С 1, 0 <^i 1) существенны поперечные расстояния х ~ 1/q ^> а и
шириной разреза можно пренебречь. Рассматривая область пространства
z ^> \х\, можно также пренебречь в ней зависимостью ф от х по обе стороны

§ 132	РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ	657
от оси z\ имеем тогда ).
ехр(-—Ф), х > О,
{
ехр(
ехр(-ф),
«Двумерная» амплитуда рассеяния вычисляется по формуле A31.7а) 2)
При q ф О имеем
, 1 Гк\ ( геФ\ 7 -iqx, ,	1
/= -J — iexp [-—) / е tqxdx + K.c.\.
v ^	о	)
Интеграл вычисляется путем введения в него множителя е~Хх с последую-
последующим переходом к пределу Л —»> 0. В результате находим
, i 2к . еФ
qV тг 2Яс
Отсюда сечение рассеяния
и при еФ/hc ^С 1 получается выраж:ение
е2Ф2
отвечающее случаю применимости теории возмущений.
Обратим внимание на периодическую зависимость сечения D) от на-
напряженности магнитного поля, а также на расходимость полного сечения
(за счет в —>> 0), хотя поле сосредоточено в конечной области пространства;
то и другое — специфически квантовые эффекты.
§ 132. Рассеяние медленных частиц
Рассмотрим свойства упругого рассеяния в предельном слу-
случае малых скоростей рассеиваемых частиц. Именно, скорость
предполагается настолько малой, что длина волны частицы
велика по сравнению с радиусом а действия поля U{r) (т.е.
ка ^С 1), а ее энергия мала по сравнению с величиной поля вну-
внутри этого радиуса. Решение этого вопроса требует выяснения
предельного закона зависимости фаз Si от волнового вектора к
при малых значениях последнего.
) Формула C) (как и A31.4)) теряет применимость при слишком больших
z, когда сказываются дифракционные эффекты.
2) Напомним, что эта формула (при q ф 0) может быть получена (как
было объяснено в тексте) и без применения уравнения Шредингера в потен-
потенциальном поле. (Угол рассеяния обозначим через в в отличие от полярного
угла (р.)

658
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
При г < а в точном уравнении Шредингера A23.7) можно
пренебречь лишь членом с к2:
!
A32.1)
В области же a <С г <С 1/k можно опустить также и член с С/(г),
так что остается
^1), = 0.	A32.2)
г	г
Общее решение этого уравнения
Щ = Clrl + -%[.	A32.3)
V
Значения постоянных с\ и С2 могут быть в принципе определе-
определены лишь путем решения уравнения A32.1) с конкретной функ-
функцией U(г)] они, разумеется, различны для разных /.
На еще больших расстояниях, г ~ 1/k, в уравнении Шре-
дингера может быть опущен член с С/(г), но при этом нельзя
пренебрегать А:2, так что имеем
R'l + -R\ + [fc2 - ЩЩ щ = о,	A32.4)
т. е. уравнение свободного движения. Решение этого уравнения
(см. § 33)
Постоянные коэффициенты выбраны здесь таким образом, что-
чтобы при Ь <С 1 это решение переходило в A32.3); тем самым
достигается «сшивание» решения A32.3) в области fcr < 1 с ре-
решением A32.5) в области кг ~ 1.
Наконец, при кг ^> 1 решение A32.5) принимает асимптоти-
асимптотический вид (см. § 33)
„ ciBZ + l)!! . Л тг7\	с2к1	Л тг/
Rl " ^?^ 8ШГ " TJ + R^)ii c°sr " T
Эта сумма может быть представлена в виде
)	A32.6)

§ 132	РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ	659
где фаза Si определяется равенством
**•** = ш^шш* A32'7)
(ввиду малости к все фазы Si оказываются малыми).
Согласно A23.15) парциальные амплитуды рассеяния
и мы приходим к выводу, что в предельном случае малых энер-
ГИЙ	/, со к21.	A32.8)
Таким образом, все парциальные амплитуды с / ф 0 оказы-
оказываются малыми по сравнению с амплитудой рассеяния с / = О
(или, как говорят, s-рассеяния). Пренебрегая ими, имеем для
полной амплитуды
f@) ^fo=5f = - = -a,	A32.9)
к а
так что da = a2d6, а полное сечение
A32.10)
При малых скоростях рассеяние оказывается изотропным по
всем направлениям, а его сечение не зависит от энергии ча-
частиц1). Постоянную величину а называют длиной рассеяния]
она может быть как положительной, так и отрицательной.
В изложенных рассуждениях молчаливо подразумевалось,
что поле U(г) убывает на больших расстояниях (г ^> а) доста-
достаточно быстро для того, чтобы сделанные пренебрежения были
законными. Легко выяснить, какова именно должна быть тре-
требуемая быстрота убывания [/(г). При больших г второй член в
функции Щ A32.3) мал по сравнению с первым. Для того что-
чтобы его сохранение было тем не менее законным, оставленные в
уравнении A32.2) малые члены ~ С2/гг+1г2 должны быть все
же велики по сравнению с членом UR\ ~ Uc\rl, опущенным при
переходе от A32.1) к A32.2). Отсюда следует, что U(r) должно
1)При рассеянии электронов на атомах роль длины а, с которой должно
сравниваться 1/к (условие ка <^ 1), играет атомный радиус, достигающий
для сложных атомов нескольких боровских радиусов (нескольких Н /те ).
Ввиду большой величины этого радиуса постоянство сечения фактически
имеет в этом случае место лишь до энергий порядка долей электрон-воль-
электрон-вольта. При больших же энергиях электронов появляется сильная зависимость
сечения от энергии (так называемый эффект Рамзауэра).

660
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
убывать быстрее, чем 1/г2г+3, для того чтобы был справедли-
справедливым закон A32.8) для парциальной амплитуды //. В частности,
вычисление /о, а потому и результат A32.9) о не зависящем
от энергии изотропном рассеянии справедливы лишь при более
быстром, чем 1/г3, убывании U(r) на больших расстояниях.
Если поле U(г) убывает на больших расстояниях по экспо-
экспоненциальному закону, то можно сделать определенные заключе-
заключения о характере дальнейших членов разложения амплитуд // по
степеням к. Мы видели в § 128, что в этом случае амплитуда //,
рассматриваемая как функция комплексной переменной Е, ве-
вещественна при вещественных отрицательных значениях Е1). То
же самое относится поэтому и к функции gi(E) в выражении
A25.15)
(при Е < 0 гк вещественно). С другой стороны, функция gi(E)
вещественна (по ее определению) при Е > 0. Таким образом,
функция gi(E) оказывается вещественной при всех веществен-
вещественных Е, а потому должна разлагаться по целым степеням Е, т.е.
по четным степеням к. О самой же амплитуде fi(k) можно, сле-
следовательно, сказать, что она разлагается по целым степеням гк\
все члены с четными степенями к вещественны, а члены с нечет-
нечетными степенями к мнимы. Согласно A32.8) разложение fi(k)
начинается с члена ~ Si/к со к21] соответственно этому разло-
разложение gi(k) начинается с члена, пропорционального к~21.
При убывании поля на больших расстояниях по степенному
закону U « (Зг~п сп^З результат A32.9) о постоянной ампли-
амплитуде, как уже было указано, несправедлив.
Рассмотрим ситуацию, возникающую при различных значе-
значениях п. Для п ^ 1 при достаточно малых скоростях, практиче-
практически при всех значениях прицельного параметра р выполняется
условие
p\U(p)\ ^ Hv	A32.11)
и потому рассеяние описывается классическими формулами
(ср. условие A27.9)).
При 1 < п < 2 неравенство A32.11) выполняется в значи-
значительной области не слишком больших р\ соответственно этому
оказывается классическим рассеяние на не слишком малые углы.
) При малых Е условие A28.6) выполняется уже для убывания U по за-
закону е~г1а.

§ 132	РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ	661
В то же время существует область значений /э, для которых
р\Щр)\<&Пю,	A32.12)
т. е. выполняется условие применимости теории возмущений
(ср. A26.2)).
При п > 2 на больших расстояниях имеет место неравенство
\U\ « ?.,	A32.13)
и поэтому вклад в рассеяние, возникающий от взаимодействия
на этих расстояниях, может быть вычислен с помощью теории
возмущений (в то время как на более близких расстояниях усло-
условие применимости теории возмущений может и не выполнять-
выполнятьсяI). Пусть го есть такое значение г, что при г ^ го имеет
место неравенство A32.13), и в то же время г о <С 1/к. Вклад
в амплитуду рассеяния от области расстояний г ^> го, согласно
A26.12), дается интегралом
2т/3 / ± auiqrjij	*-»*^лп-3 / S111<; дс	A32 14)
n J r qr	n
vq	qro
При 2 < n < 3 этот интеграл сходится на нижнем пределе
и для малых скоростей (кго <С 1) можно заменить этот предел
нулем, так что интеграл оказывается пропорциональным q~^~n\
т. е. отрицательной степени скорости. Этот вклад в амплитуду
является, следовательно, в данном случае основным, так что
/ со q~{S~n\ 2 < п < 3.	A32.15)
Тем самым определяется зависимость сечения рассеяния от ско-
скорости частиц и от угла рассеяния.
При п = 3 интеграл A32.14) расходится логарифмически на
нижнем пределе. При этом он все еще является главной частью
амплитуды рассеяния, так что
гс = 3.	A32.16)
ч
При п > 3 вклад от области г ^> го убывает при к —»> О
и рассеяние определяется постоянной амплитудой A32.9). Од-
Однако вклад A32.14) в амплитуду рассеяния, несмотря на свою
1) Рассеяние при малых скоростях нигде не становится в этом случае ква-
квазиклассическим, так как неравенство A32.11) оказывается несовместимым
с одновременно требуемым условием |С/(р)| ^ Е.

662
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
относительную малость, и в этом случае представляет опреде-
определенный интерес в силу его «аномальности». «Нормальной» си-
ситуацией при достаточно быстром убывании U(r) является раз-
разложимость f(k) по целым степеням fc, причем все веществен-
вещественные члены разложения оказываются пропорциональными чет-
четным степеням к. Между тем, взяв интеграл A32.14) несколько
раз по частям (понижая при этом степень ? в знаменателе), мы
выделим из него часть, содержащую четные степени к, после чего
останется сходящийся при qro —»> 0 интеграл, пропорциональный
степени fcn~3, которая, вообще говоря, не является четной1).
Задачи
1. Определить сечение рассеяния медленных частиц сферической пря-
прямоугольной потенциальной ямой глубины С/о и радиуса а.
Решение. Волновой вектор частицы предполагается удовлетворяю-
удовлетворяющим условиям feo С 1 и fc < х, где х = y/2mUo/H. Нас интересует только
фаза So. Поэтому полагаем в уравнении A32.1) / = 0 и получаем для функ-
функции х = rRo(r) уравнение х" + ^2Х = О ПРИ т < а. Решение этого уравнения,
обращающееся в нуль при г = О (х/г должно быть конечным при г = 0),
есть
X = Asinxr, г < а.
При г > а функция х удовлетворяет уравнению х" + ^Х — 0 (уравнение
A32.4) с / = 0), откуда
X = Bsin(kr + So), r > а.
Условие непрерывности х' /х ПРИ т = а дает
к
= kctg(ka + So)
ка + So
откуда определяем So. В результате для амплитуды рассеяния получим 2)
tg ха — ха
х
При ха < 1 (т.е. С/о <^С h2/та2) эта формула дает а = D/9)тга2(хаL в
согласии с результатом борновского приближения (см. задачу 1 §126).
2. То же для рассеяния на прямоугольном сферическом «потенциальном
горбе» высоты С/о-
Решение получается из решения предыдущей задачи заменой С/о
на —С/ (в связи с чем надо заменить х на гх). Амплитуда рассеяния
, _ th xa — ха
1)	Если п — нечетное целое число (п = 2р + 1), то п — 3 = 2р — 2 есть четное
число. Тем не менее интеграл A32.14) имеет и в этом случае «аномальную»
часть, давая вклад в амплитуду рассеяния, пропорциональный q p~ Inq.
2)	Эта формула становится неприменимой, если ширина и глубина ямы
таковы, что ха близко к нечетному кратному от тг/2. При таких значени-
значениях ха среди дискретного спектра отрицательных уровней энергии имеется
уровень, близкий к нулю (см. задачу 1 §33), и рассеяние описывается фор-
формулами, которые будут получены в следующем параграфе.

§ 132	РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ	663
В предельном случае ха ^> 1 имеем
/ = —а, а = 4тга .
Этот результат соответствует рассеянию от непроницаемой сферы радиу-
радиуса а; отметим, что классическая механика дала бы величину, в четыре раза
меньшую (а = па2).
3. Определить сечение рассеяния частиц с малой энергией в поле
U = a/rn, а>0, п>3.
Решение. Уравнение A32.1) с / = О есть
Подстановками
2	X 2/(n-2)
оно приводится к виду
CLX	X CLX	|_	IТЪ ?} X _|
т.е. к уравнению для функции Бесселя порядка 1/G7- — 2) от мнимого аргу-
аргумента ix. Решение, обращающееся в нуль при г = 0 (т.е. при х = оо), есть,
с точностью до постоянного множителя,
С помощью известных формул
41}(г) = -^—[e-^Mz) - J-P(z)], Jp(z) я f , 2 « 1,
smpTT	2^1 A +pj
получаем для функции х на больших расстояниях (*у ^ г ^ 1/&) выраж:ение
вида х = const -(cir+C2) и по отношению сг/ci находим амплитуду рассеяния
= _ /^\2/("-2) Г[(п-3)/(п-2)]
U-2/	Г[(п-1)/(п-2)]"
4. Определить амплитуду рассеяния медленных частиц в поле, убываю-
убывающем на больших расстояниях по закону U = /Зг~п B < п $С 3).
Решение. Главный член в амплитуде рассеяния дается выражени-
выражением A32.14), в котором нижний предел интеграла можно заменить нулем.
Вычисление интеграла приводит к результату:
и при п = 3
, 2т/3 . const	/оЧ
/=-^^-1п	•	B)
ft	q
Разлож:ив A) по полиномам Лежандра, можно получить парциальные
амплитуды рассеяния (определенные согласно A23.14))
= _ У^т/З Г[(п - 1)/2]Гр - (п - 3)/2] з
Jl	2П2 Г(п/2)Г[(п + 1)/2 + /]	'	V '

664
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
При п > 3 та же формула A) определяет «аномальную» часть амплиту-
амплитуды рассеяния. В парциальных же амплитудах величина C) всегда является
основной для таких значений /, для которых 21 > п — 3; вместо A32.8) имеем
при этом fi ос кп~3.
5. Определить амплитуду рассеяния медленных частиц в поле U(r) =
= -C/oexp(-r/a), Uo > 0.
Решение. После замены переменной
ж*хе~г/2а, х = y/2mUo/fi
уравнение A32.1) для функции \ = rRo принимает вид
ах х
Общее реп1ение этого уравнения:
где Jo и TVo —функции Бесселя соответственно первого и второго рода. Усло-
Условие х = 0 при г = 0 дает
А/В = -7VoBxa)/JoBxa).
Области же а <^ г <^ 1/к отвечают х <^ 1 (при этом, конечно, подразумева-
подразумевается, что ахехр( — 1/ак) <^С 1; здесь
х^Л + Б-1п^=Л+— In (xa7) - —г,
тг 2	тг	тга
где 7 = е° = 1,78... (С—постоянная Эйлера). Это выражение отвечает
формуле A32.3) и по полученным таким образом значениям с\ и С2 находим
амплитуду рассеяния
f = ~a(^ + 21n(xa7)) —^— \моBха) - - ln(xa7) JoBxa)l .
\ В	) J0Bxa) |_	тг	J
В предельном случае ха <С 1: / *3 х2 (в согласии с формулой борновского
приближения A26.14)). При ха ^> 1 имеем / = — 2aln(xa7).
6. Во втором приближении теории возмущений определить амплитуду
рассеяния в предельном случае малых энергий (И. Я. Померанчук, 1948).
Решение. При к —»> 0 интеграл во втором члене формулы A30.13)
принимает вид
HI {rWy«'i*-r') <W_ dvdv> =
мы воспользовались здесь формулой
k(r-r') 4тт
к2 BтгK
г-г
(см. II, §51). Таким образом, амплитуда рассеяния

§ 132	РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ	665
В случае центрального поля эта формула дает
, 2т Г 2, , 8т2 Гf ( х ( /ч 2, iii
f =	Т Ur dr -\	-т- \ \ U(r)U(r )r dr • r dr .
H J	H J J
r'>r
Второй член в формуле A) всегда положителен (как это ясно из исход-
исходного выражения интеграла в /^-пространстве). Отсюда следует, что в поле
отталкивания (U > 0) первое борновское приближение дает всегда завы-
завышенный, а в поле притяжения (U < 0) —заниженный результат для сечения
рассеяния при малых энергиях.
7. Определить зависимость от энергии амплитуды рассеяния медленных
частиц в двумерном случае.
Решение. Волновая функция на больших расстояниях дается в дву-
двумерном случае формулой A) задачи к § 124. Рассуждения, аналогичные про-
проведенным в трехмерном случае, показывают, что главный вклад в рассеяние
при малых энергиях вносит состояние с т = 0, так что амплитуда рассе-
рассеяния / не зависит от угла рассеяния ip. Это позволяет записать волновую
функцию на всех расстояниях р ^> а, просто заменив егкр/у/~р на точное ре-
решение уравнения Шредингера свободного движения, имеющее такую асим-
асимптотику. (См. примеч. на с. 204 и задачу 6 к § 126.) Таким образом,
A)
Перейдем в A) к области малых расстояний р <С 1/&, используя приближен-
ное выражение для Hq ' (х) при малых х:
7Г 7Ж
7 = ес, С — постоянная Эйлера. Получаем
• \	/—
—г ~f\— lnP-	B)
7& /	у тг
Формула B), как и должно быть, соответствует общему решению уравне-
П2 1 d # п	.	1
ния	Р = 0? справедливого в области — ^> р ^> а, где в уравне-
2т р dp dp	к
нии Шредингера можно пренебречь членами с U(x) и Е:
Как и в A32.3), A32.9) отношение постоянных ci/сг определяется решением
уравнения Шредингера с Е = 0 в области р ~ а. Это отношение вещественно
и не зависит от энергии. Обозначим
ci/c2 = -In го,	C)
где го — постоянная размерности длины. Сравнивая B) с C), находим
f=- F l
У 2к 1п[г2/GА;го)]'
откуда сечение

666
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Мы видим, что в двумерном случае, в отличие от трехмерного, сечение
рассеяния возрастает с уменьшением энергии.
Заметим, что при рассеянии на бесконечно-высоком цилиндрическом
потенциальном барьере радиуса а постоянная го в C) совпадает с а.
§ 133. Резонансное рассеяние при малых энергиях
Особого рассмотрения требует рассеяние медленных
(ка <С 1) частиц в поле притяжения в случае, когда в дискретном
спектре отрицательных уровней энергии имеется s-состояние
с энергией, малой по сравнению с величиной поля U в преде-
пределах радиуса а его действия; обозначим этот уровень буквой е
(е < 0). Энергия Е рассеиваемой частицы, будучи малой вели-
величиной, близка к уровню е, т. е. находится, как говорят, почти в
резонансе с ним. Это приводит, как мы увидим, к значительному
увеличению сечения рассеяния.
Наличие неглубокого уровня можно учесть в теории рассе-
рассеяния формальным методом, основанным на следующих замеча-
замечаниях.
В точном уравнении Шредингера для функции \ —
(при / = 0)
во «внутренней» области поля (г < а) можно пренебречь Е по
сравнению с U:
x"-^U(r)X = 0, г~а.	A33.1)
Во «внешней» же области (г ^> а), напротив, можно пренебречь
величиной поля U:
х" + ^ЕХ = 0, г^а.	A33.2)
Решение уравнения A33.2) должно было бы быть «сшито» при
некотором ri (таком, что 1/к ^> г\ ^> а) с решением уравнения
A33.1), удовлетворяющим граничному условию х@) — 0; усло-
условие сшивания заключается в непрерывности отношения х'/х,
не зависящего от общего нормировочного множителя волновой
функции.
Однако вместо того, чтобы рассматривать движение в обла-
области г rsj а, мы наложим на решение во внешней области должным
образом подобранное граничное условие для х'/х ПРИ малых г;
поскольку внешнее решение медленно меняется при г —»> 0, мож-
можно формально отнести это условие к точке г = 0. Уравнение

§ 133	РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ	667
A33.1) в области г ~ а не содержит Е\ поэтому заменяющее его
граничное условие тоже не должно зависеть от энергии частицы.
Другими словами, оно должно иметь вид
X
= -х,	A33.3)
где х—некоторая постоянная. Но раз х, не зависит от Е, то
это же условие A33.3) должно относиться и к решению урав-
уравнения Шредингера для малой отрицательной энергии Е = —\е\,
т.е. к волновой функции соответствующего стационарного со-
состояния частицы. При Е = — \е\ имеем из A33.2)
A33.4)
(Aq — постоянная), и подстановка этой функции в A33.3) пока-
показывает, что и есть положительная величина, равная
A33.5)
Применим теперь граничное условие A33.3) к волновой
функции свободного движения
X = const • sin(fcr + <$о),
представляющей собой точное общее решение уравнения A33.2)
при Е > 0. В результате получим для искомой фазы So
ctgoo = — = —4/—.	A33.6)
к	]/ Е
Поскольку энергия Е ограничена здесь лишь условием afc < 1
(но она не должна быть малой по сравнению с |е|), то фаза So,
а с нею и амплитуда s-рассеяния могут оказаться не малыми
величинами.
Фазы же Si с / > 0, а с ними и соответствующие парциаль-
парциальные амплитуды остаются по-прежнему малыми. Поэтому пол-
полную амплитуду можно по-прежнему считать совпадающей с ам-
амплитудой 5-рассеяния
2гку	f k(ctgS0-i)
Подставив сюда A33.6), получим
/ =	^тг	A33.7)
х + гк

668
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
и для полного сечения рассеяния
а=^-2 = 2-^^-.	A33.8)
х2 + &2	т Е+\е\	V	}
Таким образом, рассеяние по-прежнему изотропно, но его сече-
сечение зависит от энергии, и в области резонанса (Е ~ \е\) ока-
оказывается больгпим по сравнению с квадратом радиуса действия
поля а2 (поскольку 1/к ^> а). Подчеркнем, что вид формулы
A33.8) не зависит от деталей взаимодействия частиц на малых
расстояниях между ними и всецело определяется значением ре-
резонансного уровнях).
Полученная формула имеет несколько более общий характер,
чем сделанное при ее выводе предположение. Подвергнем функ-
функцию U(г) небольшому изменению; при этом изменится и значе-
значение постоянной и в граничном условии A33.3). Соответствую-
Соответствующим изменением U(r) можно добиться обращения к в нуль, а
затем сделать малой отрицательной величиной. При этом мы
получим ту же формулу A33.7) для амплитуды рассеяния и ту
же формулу A33.8) для сечения. В последней, однако, величи-
величина \е\ = Н2м:2/2т является теперь просто характерной для по-
поля U(r) постоянной, но отнюдь не уровнем энергии в этом поле.
В таких случаях говорят, что в поле имеется виртуальный уро-
уровень, имея в виду, что хотя в действительности никакого близко-
близкого к нулю уровня нет, но уже небольшого изменения поля было
бы достаточно для того, чтобы такой уровень появился.
При аналитическом продолжении функции A33.7) в плоско-
плоскости комплексного Е на левой вещественной полуоси ik переходит
в —^/—2тЕ/Н (см. § 128), и мы видим, что амплитуда рассеяния
имеет полюс при Е = — \е\ в соответствии с общими результа-
результатами § 128. Напротив, виртуальному уровню, как и следовало, не
соответствует на физическом листе никакой особенности в ам-
амплитуде рассеяния (полюс же Е = —\s\ амплитуда рассеяния
имеет на нефизическом листе — см. примеч. на с. 637).
С формальной точки зрения формула A33.7) соответствует
случаю, когда в выражении A25.15)
г	1
/О — —777	Т
go (к) - гк
первый член разложения функции go (к) отрицателен и аномаль-
аномально мал. Для уточнения формулы можно учесть еще и следующий
г) Формула A33.8) была впервые получена Вигнером (Е. Wigner, 1933);
идея изложенного вывода принадлежит Бете и Пайерлсу (Н. A. Bethe,
R.Peierls, 1935).

§ 133	РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ	669
член разложения, написав
Л = _XQ + {1/2)rok, _ ik	A33-9)
(Л. Д. Ландау, Я. А. Смородинский, 1944); напомним, что при до-
достаточно быстром убывании поля функции gi(k) разлагаются по
четным степеням к— см. § 132. Мы обозначили здесь через — щ
величину go(O), имея в виду сохранить обозначение х, для вели-
величины A33.5), связанной с уровнем энергии е. Согласно сказан-
сказанному выше н определяется как значение —ik = x, обращающее
в нуль знаменатель в A33.9), т.е. корень уравнения
A33.10)
Поправочный член го&2/2 в знаменателе в A33.9) мал по срав-
сравнению с хо в силу предполагаемой малости к, но сам по себе он
имеет «нормальный» порядок величины: коэффициент г о ~ а
(этот коэффициент всегда положителен—см. задачу 1). Следу-
Следует подчеркнуть, что учет этого члена является еще законным
уточнением формулы для амплитуды рассеяния, в которой пре-
небрежено вкладами от моментов / ^ 0: он дает в / поправку
относительного порядка ак, между тем как вклад от рассеяния
с / = 1 имеет относительный порядок (акK.
При к —»> 0 амплитуда /о —» —1/хо, т.е. 1/хо совпадает с
введенной в предыдущем параграфе длиной рассеяния а. Коэф-
Коэффициент го в формуле
go(fe) = kctgSo = -I/a + (l/2)r0k2	A33.11)
называют эффективным радиусом взаимодействия1).
Для сечения рассеяния имеем из A33.9)
4тг
Если пренебречь в знаменателе членом ~ к^ (хотя он и явля-
является законным), то эту формулу можно представить (с учетом
^Укажем значения постоянных а и го для важного случая взаимодей-
взаимодействия двух нуклонов. Для нейтрона и протона с параллельными спинами
(изотопическое состояние с Т = 0) а = 5,4 • 10~13, г0 = 1, 7 • 10~13 см; этим
значениям соответствует истинный уровень с энергией |е| = 2,23 МэВ —
основное состояние дейтрона. Для нейтрона же и протона с антипараллель-
антипараллельными спинами (изотопическое состояние с Т = 1) а = —24 • 10~13, го = 2, 7 •
10~13 см; этим значениям отвечает виртуальный уровень |е| = 0,067 МэВ.
В силу изотопической инвариантности последние значения должны отно-
относиться также и к системе двух нейтронов с антипараллельными спинами
(параллельные спины система пп в s-состоянии вообще не может иметь в
силу принципа Паули).

670
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
A33.10)) в виде
а =
m E+\s\
Вернемся к выражению A33.4) волновой функции связанного
состояния во «внешней» области и свяжем нормировочный ко-
коэффициент в ней с введенными выше параметрами. Определив
вычет функции A33.9) в ее полюсе Е = е и сравнив с формулой
A28.11), найдем
2 = — --•	A33.13)
А. 2х 2
Второй член представляет собой малую поправку к первому,
поскольку кг§ ~ ка <С 1. Без этой поправки Aq = 2х, т. е.
A33.14)
что соответствует такой нормировке, как если бы выражение
A33.14) было справедливым во всем пространстве.
Остановимся кратко на резонансе в рассеянии с не равными
нулю орбитальными моментами.
Разложение функции gi(k) начинается с члена ~ к~21\ сохра-
сохранив два первых члена разложения, напишем парциальную ам-
амплитуду рассеяния в виде
где Ъ и е — две постоянные, причем Ъ > 0 (см. ниже). Резонансно-
Резонансному случаю соответствует аномально малое значение коэффици-
коэффициента при Е~1, т. е. аномально малое е. Однако, ввиду малости Е,
член ЪеЕ все же может быть и велик по сравнению с к.
Если е < 0, то знаменатель выражения A33.15) имеет ве-
вещественный корень Е « —И? так что е есть дискретный уро-
уровень энергии (с моментом II). Однако в противоположность
резонансу в s-рассеянии амплитуда A33.15) при этом нигде не
становится большой по сравнению с а; амплитуда резонансного
рассеяния с моментом / + 1 оказывается лишь того же порядка
величины, что и амплитуда нерезонансного рассеяния с момен-
моментом /.
1) При е < 0 и Е, близком к |е|, имеем
Сравнение с A28.17) показывает, что Ъ > 0.

§ 133	РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ	671
Если же е > 0, то амплитуда A33.15) достигает в обла-
области Е ~ е порядка величины 1/к, т.е. становится большой
по сравнению с а. Относительная ширина этой области мала:
AE/s rsj (afcJ*. Таким образом, в этом случае имеет место
резко выраженный резонанс. Такая картина резонансного рас-
рассеяния связана с тем, что положительный уровень с / ф 0 хотя и
не является истинным дискретным уровнем, но представляет
собой квазидискретный уровень: благодаря наличию центро-
центробежного потенциального барьера вероятность ухода частицы с
малой энергией из этого состояния на бесконечность мала, так
что «продолжительность жизни» состояния велика (см. § 134).
В этом заключается причина отличия характера резонансного
рассеяния при / ф 0 от резонанса в s-состоянии, где центробеж-
центробежный барьер отсутствует.
Знаменатель в A33.15) при е > 0 обращается в нуль при
Е = Е0- гГ/2, где
2/2^	A33.16)
on
Этот полюс амплитуды рассеяния находится, однако, на «нефи-
«нефизическом» листе. Малая величина Г является шириной квази-
квазидискретного уровня (см. § 134).
Наконец, укажем интересное свойство фаз 5/, которое легко
установить на основании изложенных выше результатов.
Будем рассматривать фазы 6i(E) как непрерывные функции
энергии, не приводя их к интервалу между 0 и тг (ср. примеч. на
с. 144). Покажем, что тогда имеет место равенство
Si@)-Si(oo) =п/тг,	A33.17)
где щ — число дискретных уровней с моментом / в поле притя-
притяжения U(r) (N. Levins on, 1949).
Для этого заметим, что в поле, удовлетворяющем условию
\U\ <С fi?/та?, при всех энергиях применимо борновское при-
приближение, так что 6i(E) <С 1 при всех Е. При этом Si (ос) = О,
поскольку при Е —»> ос амплитуда рассеяния стремится к ну-
нулю; значение же 5/@) = 0 в соответствии с общими результа-
результатами § 132. В то же время в таком поле отсутствуют дискрет-
дискретные уровни (см. §45), так что щ = 0. Будем теперь следить за
изменением разности Si (А) — Si (ос) (где А—некоторая задан-
заданная малая величина) при постепенном углублении потенциаль-
потенциальной ямы U(г). По мере углубления у верхнего края ямы после-
последовательно появляются первый, второй и т. д. уровни. При этом

672
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
фаза Si (А) получает каждый раз приращение на тг1). Достиг-
Достигнув заданного U(r) и устремив затем А —> 0, мы и получим
формулу A33.17).
Задачи
1. Выразить эффективный радиус взаимодействия го через волновую
функцию связанного состояния (Е = е) во «внутренней» области, г ~ а
(Я. А. Смородинский, 1948).
Решение. Пусть хо — волновая функция в области г ~ а, нормиро-
нормированная условием хо ^ 1 при г —»> оо. Тогда квадрат волновой функции во
всем пространстве можно написать в виде
(это выражение переходит в А^е~2з<г при хг > 1 и в ^оХо ПРИ хт <^i 1).
Он должен быть нормирован условием
о
и сравнение с A33.13) дает
О
Из уравнения A33.1) с U(r) < О, решением которого является функ-
функция хо, следует, что Хо(^) < Хо(оо) = 1. Поэтому всегда го > 0.
2. Определить изменение фаз Si при варьировании поля U(r).
Решение. Варьируя U(r) в уравнении Шредингера
получим
2m Г^ П2 1A + 1) тт] х	2m
h \_ 2m r
Умножив первое уравнение на Sxi, второе — на Xh вычтя почленно одно из
другого и интегрируя по с?г, найдем
i ~ x!i&Xi)\r^oo = -jif- /
о
Подставив в левую часть равенства асимптотические выражения
Xi = sin ( кг - у + Si J ,
Sxi = S(Si) cos ( кг	h Si
V	2
) В формуле A33.6) этому соответствует изменение So от 0 до тг, когда
при заданном малом значении к величина ус меняется от отрицательного
значения -х > fc до положительного значения ус ^> к. В случае / ф 0 то
же самое следует из формулы к ctg Si = —ЪЕ~1(Е — е), когда при заданном
?7 = А е меняется от е ^> А до — е ^> А.

§ 133	РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ	673
(выбором коэффициента 1 в этом выражении определяется принимаемая
нами здесь нормировка xi)> получаем
На основании этой формулы можно сделать определенные заключения о
знаке фаз Si, рассматриваемых как непрерывные функции энергии. Для
устранения неоднозначности в определении этих функций (аддитивная
постоянная, кратная тг) будем нормировать их условием Si(oo) = 0.
Начав с U = 0, когда все Si = 0, и постепенно увеличивая |С/|, найдем,
что в поле отталкивания (U > 0) все Si < 0, а в поле притяжения (U < 0)
Si > 0. В поле отталкивания Si@) = 0, и потому при малых энергиях Si малы;
амплитуда рассеяния, следовательно, отрицательна: / « So/к < 0. В поле
притяжения аналогичное заключение о положительности / можно сделать
лишь в случае отсутствия уровней; в противном случае при малых Е фазы Si
близки не к нулю, а к птг (см. A33.17)) и никаких заключений о знаке /
сделать нельзя.
3. Найти длину рассеяния а и эффективный радиус взаимодействия
го для сферической прямоугольной потенциальной ямы радиуса а и глу-
глубины С/о, в которой имеется единственный дискретный уровень энергии,
близкий к нулю.
Решение. Поступаем, как в задаче 1 к § 132, с той разницей, однако,
что в области внутри ямы не пренебрегаем энергией частицы Е = Н2к2 /2т
по сравнению с С/о. Для определения фазы So получаем уравнение
к ctg(<50 + ак) = К ctg аК, К = A/П) ^2m(UQ + E).
Для того чтобы в яме имелся лишь один, близкий к нулю уровень, должно
быть
2*-2
ТТ	7Г П ,_	А ч
Uo = -	2-(l + A
Sma
с А < 1 (см. задачу 1 к §33). Разлагая написанное уравнение по степеням
ка и А, получим
kctgSo « -(п2/8а)А + ак2/2,
откуда а = 1/хо/тг2А, го = а. Значение но совпадает, как и следовало, с
величиной yj2m\E\\/ti, где Е\ — энергия уровня в яме (см. задачу 1 к § 33).
а
4. Выразить интеграл J х*Aг от квадрата волновой функции s-состояния
о
через фазу So(k) для поля С/(г), отличного от нуля лишь внутри сферы
радиуса а (О. Luders, 1955).
Решение. Согласно A28.10) имеем
где штрих означает дифференцирование по г (а производные по Е в A28.10)
заменены производными по к = у/2тЕ/Н). Поскольку при г = а поле уже
отсутствует, то в правой части равенства можно использовать волновую
функцию свободного движения \ = 2sin(kr + So) (нормировка согласно

674
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
C3.20)). В результате получаем
а
f X2dr = 2 (а + —^ - - sm[2(ka + So)] > 0.
J	\ dk ) к
о
2
Поскольку интеграл от \ заведомо положителен, то должно быть положи-
положительно и выражение в правой части равенства ).
§ 134. Резонанс на квазидискретном уровне
Система, способная к распаду, не обладает, строго говоря,
дискретным спектром энергий. Вылетающая из нее при распа-
распаде частица уходит на бесконечность; в этом смысле движение
системы инфинитно, а потому энергетический спектр непреры-
непрерывен.
Может, однако, оказаться, что вероятность распада систе-
системы очень мала. Простейший пример такого рода представля-
представляет частица, окруженная достаточно высоким и широким потен-
потенциальным барьером. Другим источником метастабильности со-
состояния может явиться необходимость изменения спина систе-
системы при распаде, осуществляющегося за счет слабого спин-ор-
спин-орбитального взаимодействия.
Для таких систем с малой вероятностью распада можно вве-
ввести понятие о квазистационарных состояниях, в которых части-
частицы движутся в течение длительного времени «внутри системы»,
покидая ее лишь по истечении значительного промежутка вре-
времени т, которое можно назвать продолжительностью жизни
данного почти стационарного состояния (т ~ 1/w? где w — ве-
вероятность распада в единицу времени). Энергетический спектр
этих состояний будет квазидискретным] он состоит из ряда раз-
размытых уровней, ширина которых Г связана с продолжительно-
продолжительностью жизни через Г ~ Н/т (см. D4.7)). Ширины квазидискрет-
квазидискретных уровней малы по сравнению с расстояниями между ними.
При рассмотрении квазистационарных состояний можно
применить следующий формальный метод. До сих пор мы всегда
рассматривали решения уравнения Шредингера с граничным
условием, требующим конечности волновой функции на беско-
бесконечности. Вместо этого будем теперь искать решения, предста-
представляющие собой на бесконечности расходящуюся сферическую
волну; это соответствует частице, вылетающей в конце концов
из системы при ее распаде. Ввиду того, что такое граничное
условие комплексно, нельзя уже утверждать, что собственные
х) Это неравенство ранее было получено другим способом Вигнером A955).

§ 134	РЕЗОНАНС НА КВАЗИДИСКРЕТНОМ УРОВНЕ	675
значения энергии должны быть вещественными. Напротив, в
результате решения уравнения Шредингера мы получим набор
комплексных значений, которые мы будем писать в виде
E = E0-iT/2,	A34.1)
где Ео и Г —две положительные (см. ниже) величины.
Легко видеть, в чем заключается физический смысл ком-
комплексных значений энергии. Временной множитель волновой
функции квазистационарного состояния имеет вид
Поэтому все вероятности, определяющиеся квадратами модуля
волновой функции, затухают со временем по закону e~vt/ni).
В частности, по этому закону затухает и вероятность нахожде-
нахождения частицы «внутри системы».
Таким образом, Г определяет продолжительность жизни со-
состояния; вероятность распада в единицу времени равна
w = Т/П.	A34.2)
На больших расстояниях волновая функция квазистационар-
квазистационарного состояния (расходящаяся волна) содержит множитель
экспоненциально возрастающий при г —»> ос (мнимая часть кор-
корня отрицательна). Поэтому нормировочный интеграл J \if>\2dV
для этих функций расходится. Заметим, кстати, что этим обсто-
обстоятельством разрешается кажущееся противоречие между зату-
затуханием квадрата \ф\2 со временем и тем, что нормировочный
) Заметим, что отсюда видна физическая необходимость положительно-
положительности Г. Выполнение этого требования автоматически обеспечивается постав-
поставленным на бесконечности граничным условием к решению волнового урав-
уравнения или эквивалентным ему (см. § 130) правилом обхода в формулах те-
теории возмущений. Пусть переходы с дискретного уровня п в состояния v
непрерывного спектра вызываются постоянным возмущением V. Тогда по-
поправка второго порядка к уровню энергии
\Vnv\2di>
[
J
(ср. C8.10)). По правилу D3.10) находим отсюда
Г = -2Im Е{2) = 2тг Г \Vnv\25{E{^ - Еи) dv
в согласии с выражением D3.1) для вероятности перехода.

676
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
интеграл должен быть постоянной величиной, как это следует
из волнового уравнения. Выясним вид волновой функции, опи-
описывающей движение частицы с энергией, близкой к одному из
квазидискретных уровней системы.
Как и в § 128, напишем асимптотический (на больших рас-
расстояниях) вид радиальной части волновой функции в форме
A28.1)
A34.3)
и будем рассматривать Е как комплексную переменную. При
вещественных положительных значениях Е
Ri = -[Ai(E)eikr + BAE)e-ikr], к = ^^-,	A34.4)
г	п
причем Ai(E) = Bf(E) (см. A28.3), A28.4)); функция Вг(Е)
берется здесь на верхней стороне разреза, проведенного вдоль
правой вещественной полуоси.
Условие, определяющее комплексные собственные значения
энергии, заключается в отсутствии в асимптотическом выраже-
выражении A34.3) сходящейся волны. Это означает, что при
Е = Eq — гГ/2 должен обратиться в нуль коэффициент В\{Е)\
Bi(e0- -гг) =0.	A34.5)
Таким образом, квазидискретные уровни энергии, как и ис-
истинные дискретные уровни, являются нулями функции В\{Е).
Однако, в отличие от нулей, соответствующих истинным уров-
уровням, они лежат не на физическом листе. Действительно, написав
условие A34.5), мы подразумевали, что искомая волновая функ-
функция квазистационарного состояния возникает из того же члена
в A34.3), который является расходящейся волной (~ егкт) и при
Е > 0 (в A34.4)). Но точка Е = Е$ — гГ/2 расположена под
правой вещественной полуосью. Попасть в нее с верхней сторо-
стороны разреза (на которой определены коэффициенты в A34.4)), не
уходя при этом с физического листа, можно лишь путем обхо-
обхода вокруг точки Е = 0. При этом, однако, \/—Е изменит знак,
так что расходящаяся волна превратится в сходящуюся. Следо-
Следовательно, для сохранения расходящегося характера волны пе-
переход должен совершаться непосредственно вниз через разрез,
так что мы попадем на другой, нефизический, лист.
Рассмотрим теперь вещественные положительные значения
энергии, близкие к квазидискретному уровню (при этом, конеч-
конечно, подразумевается малость Г; в противном случае такая бли-
близость была бы вообще невозможна). Разложив функцию В\(Е)

§ 134	РЕЗОНАНС НА КВАЗИДИСКРЕТНОМ УРОВНЕ	677
по степеням разности Е — (Eq — iT/2) и ограничиваясь членом
первого порядка, напишем
(	),	A34.6)
где bi — постоянная. Подставив это в A34.4), получим следую-
следующее выражение для волновой функции состояния, близкого к
квазистационарному:
Ri = -г [[Е -Eq- ^r)bJV*r + (Е - Ео + ir)b,e"^r]. A34.7)
Фаза Si этой функции дается формулой
где
ехрBг^@)) = (-l)l+1bJ/bi.	A34.9)
При \Е — Eq\ > Г фаза Si совпадает с 5\', так что 5\ есть
значение фазы вдали от резонанса.
В области резонанса Si сильно зависит от энергии. Переписав
A34.8) с помощью формулы
expBiarctgA) = exp(zarctgA) 1+гЛ
^v	to } ехр(-г arctg Л) 1 - гЛ
в виде
^	A34Л0)
видим, что при прохождении через всю резонансную область
(от Е < Eq до Е > Eq) фаза меняется на тт.
При Е = Eq — гГ/2 функция A34.7)сводится к
Rl = -^bteikr.
г
Если нормировать волновую функцию условием равенства еди-
единице интеграла от \ф\2 по области внутри системы, то полный
поток в этой расходящейся волне, равный г^|гГЬ^|2, должен со-
совпадать с вероятностью распада A34.2). Отсюда найдем
).	A34.11)

678
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Полученные результаты позволяют определить амплитуду
упругого рассеяния частицы с энергией Е, близкой к некото-
некоторому квазидискретному уровню составной системы, состоящей
из рассеивающей системы вместе с рассеиваемой частицей. В
общей формуле A23.11) в члене с тем значением /, которому
соответствует уровень Е$, надо подставить выражение A34.8).
Тогда получим
№ = /@)W - "^'е- е!1 гГ/2 еХрB^(° ))P'(COS *>' A34Л2)
где /(°) (в) — амплитуда рассеяния вдали от резонанса, не зави-
зависящая от свойств квазистационарного состояния (она опреде-
определяется формулой A23.11) с Si = 5} во всех членах суммыI).
Амплитуду /(°)@) называют амплитудой потенциального рас-
рассеяния, а второй член в формуле A34.12) — амплитудой резо-
резонансного рассеяния. Последняя имеет полюс при Е = Ео — гГ/2,
находящийся, согласно сказанному выше, на нефизическом ли-
листе2) .
Формула A34.12) определяет упругое рассеяние в области
резонанса на одном из квазидискретных уровней составной си-
системы. Область ее применимости определяется требованием,
чтобы разность \Е — Eq\ была мала по сравнению с расстояни-
расстоянием D до соседних квазидискретных уровней
Е-Ео\ <D.	A34.13)
Эта формула несколько упрощается, если речь идет о рас-
рассеянии медленных частиц, т. е. если длина волны частиц в ре-
резонансной области велика по сравнению с размерами рассеива-
рассеивающей системы. При этом существенно лишь s-рассеяние; будем
считать, что уровень Е$ относится именно к движению с / = 0.
Амплитуда потенциального рассеяния сводится теперь к веще-
вещественной постоянной — а (см. § 132K). В амплитуде же резонанс-
резонансного рассеяния полагаем / = 0 и заменяем ехрBг^ ^) единицей,
1)	Если речь идет о рассеянии заряженной частицы на системе заряженных
частиц, то для фаз 6^ надо воспользоваться выражением A35.11).
2)	Отметим, что формула A33.15) для резонансного рассеяния медленных
частиц на положительном уровне г с / ф 0 при Е, близких к е, полностью
соответствует резонансному члену в A34.12). При этом значения Ео и Г
даются формулами A33.16), а ввиду малости Е фаза д\ мала, так что
ехрBЦ@)) « 1.
3)	Предполагается, что рассеивающее поле достаточно быстро убывает с
расстоянием. В § 145 излагаемые результаты будут применены к рассеянию
медленных нейтронов ядрами.

§ 134	РЕЗОНАНС НА КВАЗИДИСКРЕТНОМ УРОВНЕ	679
поскольку Sq = —ак <С 1. Таким образом, получаем
мт-	<134Л4)
В узкой области \Е — Eq\ ~ Г второй член велик по сравнению
с амплитудой а и последняя должна быть опущена. Однако при
удалении от точки резонанса оба члена могут сравняться.
В приведенных выводах молчаливо подразумевалось, что
величина самого уровня Е$ не слишком мала, и резонансная
область не находится в окрестности точки Е = 0. Если же речь
идет о резонансе на первом квазидискретном уровне составной
системы, расположенном на расстоянии от точки Е = 0, малом
по сравнению с расстоянием до следующего уровня (Ео <С D),
то разложение A34.6) может стать незаконным; это проявляется
уже в том, что амплитуда A34.14) не стремится при Е —»> 0 к
постоянному пределу, как это требовалось бы для s-рассеяния
согласно общей теории.
Рассмотрим случай близкого к нулю квазидискретного уров-
уровня, снова предполагая, что в резонансной области рассеиваемые
частицы настолько медленны, что существенно лишь s-рассея-
ние.
Разложение коэффициентов В\{Е) волновой функции долж-
должно производиться теперь по степеням самой энергии Е. Точка
Е = 0 является точкой разветвления функций B\(E), причем
обход вокруг нее с верхней на нижнюю сторону разреза пре-
превращает Bi(E) в Bf(E). Это значит, что разложение происхо-
происходит по степеням у/—Е, меняющего знак при указанном обходе.
Представим первые члены разложения функции В$(Е) для ве-
вещественных положительных Е в виде
В0(Е) = (Е-ео + ijVE)bo(E),	A34.15)
где so и 7 — вещественные постоянные, а Ьо(Е)— функция энер-
энергии, тоже разлагаемая по степеням у/Е, но не имеющая нулей
вблизи точки Е = О1). Квазидискретному уровню Е = Ео — гГ/2
соответствует обращение в нуль множителя Е — so + i'yy/E, про-
продолженного в нижнюю полуплоскость нефизического листа; по-
поэтому для определения Eq и Г имеем уравнение
Ео - г-Т - so + г^л/Ео - гГ/2 = 0	A34.16)
г) Функция Ьо(Е) определяет, согласно A34.9), фазу потенциального рас-
рассеяния. При рассеянии медленных частиц первые члены ее разложения
bo(E) = const -гA + iak).

680
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
(постоянные ?о и 7 должны быть положительными для того,
чтобы были положительными Eq и Г). Так, уровню с шириной
Г <С Ео соответствует соотношение ?о ^ 72 между постоянны-
постоянными во и 7- При этом из A34.16) имеем Е$ = во, Г = 27у/?о\
Выражение A34.15) заменяет собой в рассматриваемом слу-
случае формулу A34.6); соответствующим образом должны быть
изменены дальнейшие формулы (надо заменить везде Eq на ?о
и Г на 2гуу/Е). Поэтому для амплитуды рассеяния получим
вместо A34.14) следующее выражение:
/ = -а- -==	^	—	A34.17)
V2^(E - го + i-yy/Ё)	V	J
(мы подставили здесь к = у/2тЕ/Н, где т — приведенная масса
частицы и рассеивающей системы). При Е —> 0 эта амплитуда
стремится, как и следует, к постоянному пределу (тем самым
оправдывается форма разложения A34.15)).
Отметим, что выражение вида A34.17) включает в себя так-
также и случай близкого к нулю истинного дискретного уровня
составной системы, получающийся при соответствующем соот-
соотношении между постоянными ?q и 7- Если \sq\ <^ 72> то Для
энергий Е ^С 72 в знаменателе резонансного члена можно пре-
пренебречь первым членом (Е).
Пренебрегая также амплитудой потенциального рассея-
рассеяния а, получим формулу
совпадающую с формулой A33.7) (причем к = — ч
Она соответствует резонансу на уровне Е = ?q/72> являющемся
истинным или виртуальным дискретным уровнем в зависимости
от того, положительна или отрицательна постоянная х.
§ 135. Формула Резерфорда
Рассеяние в кулоновом поле представляет собой интерес с
точки зрения физических применений. Оно интересно также и
в том отношении, что для этого случая квантовомеханическая
задача о столкновениях может быть решена до конца точно.
При наличии выделенного направления (в данном случае —
направление падающей частицы) уравнение Шредингера в ку-
кулоновом поле удобно решать в параболических координатах ?,
?7, <р (см. §37). Задача о рассеянии частицы в центральном поле

§ 135	ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА	681
обладает аксиальной симметрией. Поэтому волновая функция ф
не зависит от угла (р. Частное решение уравнения Шредингера
C7.6) пишем в виде
Ф = fi@h(r])	A35.1)
(C7.7) с т = 0) и, соответственно этому, после разделения пе-
переменных получаем уравнения C7.8) с т = О1):
A35'2>
Энергия рассеиваемой частицы, разумеется, положительна; мы
положили Е = к^/2. Знаки в уравнениях A35.2) соответствуют
случаю поля отталкивания; для сечения рассеяния в поле притя-
притяжения получается в точности тот же окончательный результат.
Мы должны найти такое решение уравнения Шредингера,
которое при отрицательных z и больших г имеет вид плоской
волны:
ф ^ elkz при — ос < ? < 0, г—)-ос,
что соответствует частице, падающей в положительном направ-
направлении оси z. Мы увидим из дальнейшего, что поставленному
условию можно удовлетворить одним частным интегралом
A35.1) (а не суммой интегралов с различными значениями /?i,
ft).
В параболических координатах это условие имеет вид
ф rsj ехр — (? — rj)\ при г\ —)> ос и всех ?.
Ему можно удовлетворить, только если
A35.3)
а /2G7) подчиняется условию
/2fa) ~ e~ikri/2 при г] -> ос.	A35.4)
Подставляя A35.3) в первое из уравнений A35.2), убеждаемся
в том, что эта функция действительно удовлетворяет уравне-
уравнению, если /?i = гк/2. Второе из уравнений A35.2) с /?2 = 1 — /?i
) В этом параграфе пользуемся кулоновыми единицами (см. с. 154).

682
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
приобретает тогда вид
d ( df2\ , (к2	ik
Ищем его решение в виде
J2\'l) — ^	^\'//5	^lOO.OJ
где функция w(rj) стремится к постоянному пределу при т\ —> ос.
Для w(rj) получаем уравнение
r)w" + A - ikrj)w' - w = 0,	A35.6)
которое путем введения новой переменной 771 = гкг] приводится
к уравнению вырожденной гипергеометрической функции с па-
параметрами а = — г/к, 7 — 1- Мы должны выбрать то из решений
уравнения A35.6), которое, будучи умножено на /i(?)? содержит
в себе только расходящуюся (т.е. рассеянную), но не сходящу-
сходящуюся, сферическую волну. Таким решением будет функция
w = const -F( —, 1,ikrj).
Таким образом, собирая полученные выражения, находим
следующее точное решение уравнения Шредингера, описываю-
описывающее рассеяние:
ф = ехр( — — )Г( 1 + - ) ехр — (? — п) \F[ — -. l.ikri). A35.7)
V 2к/ \ к/	L 2	1 \ к	/
Мы выбрали нормировочную постоянную в ф таким образом,
чтобы падающая плоская волна имела единичную амплитуду
(см. ниже).
Для того чтобы выделить в этой функции падающую и рас-
рассеянную волны, надо рассмотреть ее вид на больших расстояниях
от центра. Воспользовавшись первыми двумя членами асимпто-
асимптотического разложения (d.14) вырожденной гипергеометрической
функции, получим при больших г\
*' ' П) Wr(l + /*)V
/k) ikr,
eikr>
Подставив это в A35.7) и переходя к сферическим координа-
координатам (? — г) = 2z, г) = г — z = гA — cos б)), получаем следующее

§ 135	ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА	683
окончательное асимптотическое выражение волновой функции:
ф = 1 -\	z	 ехр< ikz + - ln\kr(l — cos в)} > +
L iksr(l-cos0)l	I	к L v	n)
r	I	k	)
где
ml ГA + г/й) / 2г, .04	/iaKn\
=	5—5	^-exp	In sin - ).	A35.9)
2k2 sin2 (в/2) T(l-i/k) FV к	2)	V	}
Первый член в A35.8) представляет собой падающую волну.
Мы видим, что в связи с медленностью спадания кулонова поля
падающая плоская волна искажается даже на больших расстоя-
расстояниях от центра, как это показывает наличие логарифмического
члена в фазе, а также члена порядка 1/г в амплитуде волны1).
Искажающий логарифмический член в фазе имеется также в
рассеянной сферической волне, изображающейся вторым членом
в A35.8). Эти отличия от обычного асимптотического вида вол-
волновой функции A23.3), однако, несущественны, так как дают для
плотности потока поправки, стремящиеся к нулю при г —>• ос.
Таким образом, получаем для сечения рассеяния dcr=\fF) \2do
формулу
4fc2sin4@/2)'
или, в обычных единицах,
Ш'	A35Л0)
(г? = кН/т—скорость частицы). Эта формула совпадает с из-
известной формулой Резерфорда, к которой приходит классиче-
классическая механика. Таким образом, для рассеяния в кулоновом поле
квантовая и классическая механика дают одинаковый результат
{N.Moii, W. Gordon, 1928). Естественно, что и формула Борна
A26.12) приводит к тому же выражению A35.10).
1) Происхождение этого искажения можно уяснить уже из классической
картины. Если рассмотреть семейство классических кулоновых гипербо-
гиперболических траекторий с одинаковым направлением падения (параллельным
оси z), то уравнение нормальной к ним поверхности на больших расстояних
от рассеивающего центра (z —>¦ — оо) стремится, как легко показать, не к
z = const, а к z + k~2 In k(r — z) = const. Эта поверхность как раз и совпадает
с поверхностью постоянной фазы падающей волны в A35.8).

684
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Приведем для справочных целей выражение амплитуды рас-
рассеяния A35.9), написанное в виде суммы по сферическим функ-
функциям. Оно получается подстановкой в A24.5) фаз из C6.28)х):
A35.11)
l T(l + l-i/k)	V	J
Таким образом, получим
Знаки в амплитуде A35.9) соответствуют кулонову полю от-
отталкивания. Для поля притяжения выражение A35.9) должно
быть заменено комплексно сопряженным. В последнем случае
f(9) обращается в бесконечность в полюсах функции ГA — i/k),
т. е. в точках, где аргумент Г-функции есть отрицательное целое
число или нуль (при этом Im к > 0 и функция гф затухает на
бесконечности). Соответствующие значения энергии
*=--Ц, „ = 1,2,3,...,
2	2п
и совпадают с дискретными уровнями энергии в кулоновом поле
притяжения (ср. §128).
§ 136. Система волновых функций
непрерывного спектра
При изучении движения в центрально-симметричном по-
поле в гл. V рассматривались стационарные состояния, в кото-
которых частица обладает, наряду с определенными значениями
энергии, также и определенными значениями орбитального мо-
момента / и его проекции га. Волновые функции этих состояний
дискретного (фп1т) и непрерывного (фыпп энергия Н2к2/2т)
спектров образуют вместе полную систему, по которой может
быть разложена волновая функция произвольного состояния.
Такая система, однако, не адекватна постановке задач в теории
рассеяния. Здесь удобна другая система, в которой волновые
функции непрерывного спектра характеризуются определенным
асимптотическим поведением: на бесконечности имеется плоская
волна ехр(гкг) и наряду с ней расходящаяся сферическая волна;
в этих состояниях частица имеет определенную энергию, но не
имеет определенных момента и его проекции.
1) Величина dfyJI в этой формуле отличается от истинной (расходящейся)
кулоновой фазы на величину, одинаковую для всех /.

136	СИСТЕМА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА	685
(
значим их здесь как ф^. ^) даются формулой
Согласно A23.6), A23.7) такие волновые функции (мы обо-
обоA36Л)
1=0
Аргумент полиномов Лежандра написан здесь в виде cos в =
= kr/fcr, благодаря чему это выражение уже не связано с ка-
каким-либо определенным выбором осей координат (как это было
в A23.6), где ось z совпадает с направлением распространения
плоской волны). Давая вектору к все возможные значения, мы
получим набор волновых функций, которые, как сейчас будет
показано, взаимно ортогональны и нормированы обычным для
непрерывного спектра правилом
[
= BтгK6(к' - к).	A36.2)
Для доказательства1) замечаем, что произведение щ^, Щ^
выражается двойной суммой по / и /' членов, содержащих про-
произведения
Интегрирование по направлениям г осуществляется формулой
(ср. формулу (с. 12) математических дополнений), после чего
остается
J2&1 + 1)[ОД *(ед() / RmRklr2dr,
Тп
/=о	о
) Специального доказательства требует по существу лишь взаимная ор-
ортогональность функций ф^ . Что касается их нормировки, то она могла
бы быть установлена непосредственно по асимптотическому виду функций
(ср. § 21). В этом смысле выполнение A36.2) очевидно уже из того, что при
г —>¦ оо единственный не убывающий в этих функциях член ф^ ~ ег г.

686
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
где 7 ~угол между кик'. Но радиальные функции R^i ортого-
ортогональны и нормированы согласно
/
Rk'iRkir2dr = 27г5(к' - к).
о
Поэтому в коэффициентах перед интегралами можно положить
к = к'\ воспользовавшись также формулой A24.3), имеем
/
2
^6(к' - к) ^B/ + l)P/(cos7) =
= ^-S(k' -k)S(l-cos j).
Стоящее справа выражение равно нулю при всех к ф к', а при
умножении на 2тг/с2 smjdjdk/B7r)^ и интегрировании по всему
к-пространству дает 1, что и доказывает формулу A36.2).
Наряду с системой функций ф^ , можно ввести также систе-
систему, соответствующую состояниям, в которых на бесконечности
имеется плоская волна и вместе с ней — сходящаяся сфериче-
сферическая. Эти функции, которые обозначим через ф^. , получаются
из функций ф^. ' согласно
ф1-]=ф^.	A36.4)
Действительно, комплексное сопряжение превращает расходя-
расходящуюся волну (е /г) в сходящуюся (е~ /г), а плоская волна
принимает вид е~гкг. Для того чтобы сохранить прежнее опре-
определение к (плоская волна егкг), надо еще заменить к на —к, что
и сделано в A36.4). Заметив, что P/(-cos#) = (-1I Pi (cos в),
получим из A36.1)
1=0
Очень важен случай кулонова поля. Здесь функции ф^ (и
ф-^ ) могут быть написаны в замкнутом виде, непосредствен-
непосредственно по формуле A35.7). Параболические координаты выражаем
посредством
к
~(? "" V) — kz = kr, kr\ = k(r — z) = kr — kr.

136	СИСТЕМА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА	687
Таким образом, получаем для кулонова поля отталкивания1)
A36.6)
^, 1, -i(Ax + kr)) .	A36.7)
Волновые функции для кулонова поля притяжения получа-
получаются отсюда одновременной заменой знака у к и г:
_1? 1? _-^r
Характеристикой воздействия кулонова поля на движение
частицы вблизи начала координат может служить отношение
квадрата модуля ф^ или ф^ в точке г = 0 к квадрату модуля
волновой функции ф\^ = егкг свободного движ:ения. С помощью
формулы
ksh(ir/k)
легко находим для поля отталкивания:
и для поля притяжения:
IVk|2 Mi--
A36.10)
A36.11)
Функции гр^ и гр^ играют существенную роль в задачах,
связанных с применениями теории возмущений в непрерывном
спектре. Предположим, что в результате некоторого возмуще-
возмущения V частица совершает переход между состояниями непре-
непрерывного спектра. Вероятность перехода определяется матрич-
матричным элементом
У.	A36.12)
Возникает вопрос: какие именно решения волнового уравнения
должны быть взяты в качестве начальной (ф^) и конечной
) Пользуемся кулоновыми единицами.

688
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
волновых функций для того, чтобы получить амплитуду пере-
перехода частицы из состояния с импульсом Кк в состояние с им-
импульсом Кк! на бесконечности1). Покажем, что для этого надо
выбрать
Фг=Ф^\ Ь=^	A36ЛЗ)
(A. Sommerfeld, 1931).
Это становится ясным, если рассмотреть, как решался бы
поставленный вопрос методом теории возмущений, применен-
примененной не только по отношению к возмущению У, но и по отно-
отношению к полю U(г), в котором движется частица. В нулевом
(по U) приближении матричный элемент A36.12) имеет вид
¦/¦
:'rvvkw.
В следующих (по U) приближениях этот интеграл заменяется
рядом, каждый из членов которого выражается интегралом ви-
вида
/¦
-dski ... dskn
- Ekl + гО)... (Еъ - Ekn + гО)
(ср. §43, 130); в числителях стоят (расположенные в различных
последовательностях) матричные элементы по отношению к не-
невозмущенным плоским волнам, а все полюсы обходятся при ин-
интегрированиях по одному и тому же определенному правилу. С
другой стороны, этот ряд может быть получен как матричный
элемент A36.12) с волновыми функциями ф{ и ф$, представлен-
представленными в виде рядов теории возмущений по полю U. Тот факт, что
в результате должна получиться сумма интегралов, в которых
все полюсы обходятся по одинаковому правилу, означает, следо-
следовательно, что по такому же правилу обходятся полюсы в членах
рядов, изображающих ф{ и ф%. Но если решать волновое урав-
уравнение по теории возмущений с этим правилом обхода, то авто-
автоматически получится решение, содержащее в своей асимптотике
расходящуюся (наряду с плоской) волну. Другими словами, вол-
волновые функции, которые в нулевом (по U) приближении имели
1) Пример такого процесса: электрон, сталкиваясь с неподвижным тяже-
тяжелым ядром, испускает фотон, меняя при этом свою энергию и направление
движения; возмущением V является взаимодействие электрона с полем из-
излучения, а кулоново поле ядра—полем U, для которого определены функ-
функции V'k и V*k (см# IV, §92, 96). Другим примером является столкновение
электрона с атомом, сопровождающееся ионизацией последнего (см. зада-
задачу 4 § 148).

§ 137	СТОЛКНОВЕНИЯ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ	689
вид
должны быть заменены точными решениями волнового уравне-
(+) (+) / ,(-)\*
ния соответственно ф^ и ф_^ = [ф^г ) ; этим и доказывается
правило (A36.13)).
Выбор ф^.,' в качестве конечной волновой функции относит-
относится также и к случаям перехода из состояния дискретного в со-
состояние непрерывного спектра (вопрос же о способе выбора ф{
в этом случае естественно, не возникает).
§ 137. Столкновения одинаковых частиц
Особого рассмотрения требует случай столкновения двух
одинаковых частиц. Тождественность частиц приводит в кван-
квантовой механике к появлению своеобразного обменного взаимо-
взаимодействия между ними. Оно существенно сказывается и на рас-
рассеянии (N. Mott, 1930)х).
Орбитальная волновая функция системы из двух частиц
должна быть симметричной или антисимметричной относитель-
относительно частиц в зависимости от того, четен или нечетен суммарный
спин последних (см. §62). Поэтому описывающая рассеяние вол-
волновая функция, получающаяся путем решения обычного урав-
уравнения Шредингера, должна быть симметризована или антисим-
метризована по частицам. Перестановка частиц эквивалентна
замене направления соединяющего их радиуса-вектора на обрат-
обратное. В системе координат, в которой покоится центр инерции,
это означает, что г остается неизменным, а угол в заменяется
на тг — в (в связи с чем z = r cos в переходит в —z). Поэтому
вместо асимптотического выражения A23.3) волновой функции
мы должны писать
ф = eikz ± e~ikz + -eikr[f(e) ± (тг - 0I.	A37.1)
Г
В силу тождественности частиц нельзя, конечно, указать, какая
из них есть рассеиваемая, а какая—рассеивающая. В системе
центра инерции мы имеем две одинаковые распространяющиеся
навстречу друг другу падающие волны: elkz и e~lkz. Расходяща-
Расходящаяся же сферическая волна в A37.1) учитывает рассеяние обеих
частиц, и вычисленный с ее помощью поток определяет веро-
вероятность того, что в данном элементе do телесного угла будет
х) Прямое спин-орбитальное взаимодействие здесь по-прежнему не рас-
рассматривается .

690
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
рассеяна какая-либо из частиц. Сечение рассеяния есть отно-
отношение этого потока к плотности потока в каждой из падающих
плоских волн, т. е. по-прежнему определяется квадратом модуля
коэффициента при егкг/г в волновой функции A37.1).
Таким образом, если суммарный спин сталкивающихся ча-
частиц четен, то сечение рассеяния имеет вид
fGr-e)\2do,	A37.2)
а если нечетен, то
d*a = \fF)-f(ir-0)\2do.	A37.3)
Характерно для обменного взаимодействия появление интерфе-
интерференционного члена /@)/*(тг — в) + /*@)/(тг - в). Если бы ча-
частицы были различимы, как в обычной классической механике,
то вероятность рассеяния какой-либо из них в данный элемент
телесного угла do была бы равна просто сумме вероятностей от-
отклонения одной из них на угол 0, а движущейся навстречу ей —
на угол тг — в\ другими словами, сечение было бы равно
В предельном случае малых скоростей амплитуда рассеяния
(при достаточно быстро убывающем с расстоянием взаимодей-
взаимодействии частиц) стремится к постоянному, не зависящему от углов
пределу (§132). Из A37.3) видно, что при этом daa обращается
в нуль, т. е. рассеиваются друг на друге лишь частицы с четным
суммарным спином.
В формулах A37.2), A37.3) предполагается, что суммар-
суммарный спин сталкивающихся частиц имеет определенное значение.
Если же частицы не находятся в определенных спиновых состо-
состояниях, то для определения сечения надо произвести усреднение,
считая все спиновые состояния равновероятными.
В §62 было показано, что из общего числа Bs + IJ раз-
различных спиновых состояний системы двух частиц со спином s
sBs + 1) состояний соответствует четному, a (s + 1) Bs + 1) —не-
—нечетному полному спину (если s — полуцелое), или же наоборот
(если s — целое). Предположим сначала, что спин s частиц — по-
полуцелый. Тогда вероятность системе из обеих сталкивающихся
(	)
s
о sBs + l) s
частиц иметь четное Ь равна —	? = 	, а вероятность
F	Bs + lJ 2s + l'	F
нечетного S равна 	. Поэтому сечение рассеяния равно
da = ^d*. + j±Ld*a.	A37.4)

§ 137	СТОЛКНОВЕНИЯ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ	691
Подставив сюда A37.2), A37.3), получим
7Г - в)*+ /w*/Gr - e)]}do- A37-5)
Аналогичным образом получим при целом s
o- A37-6)
В качестве примера выпишем формулы для столкновения
двух электронов, взаимодействующих по закону Кулона (U =
= е2/г). Подстановка выражения A35.9) в формулу A37.5) с
5 = 1/2 дает (в обычных единицах) после простого вычисления
*	^ / L sin4(^ /оЛ	— 4^/o\	„:^2//з/о\	2/-- X
1_
m0v2J Lsin4F>/2) ' cos4(l9/2) sin2((9/2)Tos2(l9/2) '
X
cosf— lntg2-)! do A37.7)
V ^г>	2 / J
(мы ввели массу гао электрона вместо приведенной массы т =
= то/2). Эта формула заметно упрощается, если скорость на-
настолько велика, что е2 <^ vH (заметим, что это есть как раз
условие применимости к кулоновому полю теории возмущений).
Тогда косинус в третьем члене можно заменить единицей и
получается
,	( 2е2 >t2 4-3sin26> A	(л^о\
da=[	Н 	ГТ-— do.	A37.8)
\mov /	sin 0
Противоположный предельный случай, e2 ^ vH, соответству-
соответствует переходу к классической механике (см. конец § 127). В фор-
формуле A37.7) этот переход происходит весьма своеобразно. При
е2 ^> vH косинус в третьем члене в квадратных скобках есть
быстро осциллирующая функция. При каждом данном в фор-
формула A37.7) дает для сечения рассеяния значение, вообще го-
говоря, заметно отличающееся от резерфордовского. Однако уже
при усреднении по небольшому интервалу значений в осцилли-
осциллирующий член в A37.7) исчезает, и мы приходим к классической
формуле.
Все написанные формулы относятся к системе координат, в
которой центр инерции покоится. Переход к системе, в кото-
которой до столкновения одна из частиц покоилась, осуществляется,

692
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
согласно A23.2), просто путем замены в на 2$. Так, для столк-
столкновения электронов получим из A37.7)
, / 2е2 \2Г 1	1	1
do- = 	а —
/ Lsiir
\mov* J L sin* $ cos4 $ sin2
xcosf—Intg2^lcosi9do, A37.9)
где do есть элемент телесного угла в новой системе координат
(при замене в на 2$ элемент телесного угла do надо заменить на
4 cos $ do, так как sin в d6 dip = 4 cos $ sin d dd dip).
Задача
Определить сечение рассеяния двух одинаковых частиц со спином 1/2,
имеющих заданные средние значения спина si и S2.
Решение. Зависимость сечения от поляризаций частиц должна вы-
выражаться членом, пропорциональным скаляру S1S2. Ищем da в виде a+6siS2.
Для неполяризованных частиц (si = S2 = 0) второй член отсутствует и, со-
согласно A37.4), da = а = (das + 3<icra)/4. Если же обе частицы полностью
поляризованы в одном направлении (siS2 = 1/4), то система заведомо нахо-
находится в состоянии с5 = 1;в этом случае, следовательно, da = а + 6/4 = daa.
Определив из полученных двух равенств а и 6, найдем
da = -(das + 3daa) + (daa — da s
§ 138. Резонансное рассеяние заряженных частиц
При рассеянии заряженных ядерных частиц (например, про-
протонов протонами), наряду с короткодействующими ядерными
силами, имеется также и медленно убывающее кулоново вза-
взаимодействие. Теория резонансного рассеяния строится в этом
случае тем же методом, который был изложен в § 133. Разница
заключается лишь в том, что в качестве волновых функций в
области вне радиуса действия ядерных сил (г ^> а) надо пользо-
пользоваться вместо решения уравнения свободного движения A33.2)
точным общим решением уравнения Шредингера в кулоновом
поле. При этом скорость частиц по-прежнему предполагается
малой лишь настолько, что ка ^С 1; соотношение же между 1/k
и кулоновой единицей длины ас = Т?/(mZiZ2e^) (m—приве-
(m—приведенная масса сталкивающихся частиц) может быть произволь-
произвольным1) .
1) Излагаемая ниже теория была развита Л. Д. Ландау и Я. А. Смородинс-
ким A944).

§ 138	РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ	693
При движении с / = 0 в кулоновом поле отталкивания урав-
уравнение Шредингера для радиальной функции х — г^0 есть
= 0	A38.1)
(мы пользуемся здесь кулоновыми единицами). В § 36 было най-
найдено решение этого уравнения, подчиненное требованию конеч-
конечности xlT ПРИ т — 0- Это решение, которое мы обозначим здесь
через Fq, имеет вид (см. C6.27), C6.28))
1,2,-2ikr), A2 = ^^-i.	A38.2)
Асимптотическое выражение этой функции на больших рассто-
расстояниях есть
Fo « sin [fer - ^ lnBfer) + ?оУЛ], СЛ = argr(l + i), A38.3)
а первые члены разложения при малых г (fer <С 1, г <С 1)
Fo = Akr(l + r + ...).	A38.4)
Теперь, однако, при изменившемся граничном условии поведе-
поведение функции в нуле становится несущественным и нам нужно
общее решение уравнения A38.1), представляющее собой линей-
линейную комбинацию двух его независимых интегралов.
Параметры вырожденной гипергеометрической функции в
A38.2) таковы (целое значение параметра 7 — 2), что мы имеем
дело как раз со случаем, упомянутым в конце § d математиче-
математических дополнений. В соответствии со сделанными там указани-
указаниями мы получим второй интеграл уравнения A38.1), заменив
функцию F в A38.2) какой-либо другой линейной комбинацией
двух членов, сумма которых дает, согласно (d.14), вырожден-
вырожденную гипергеометрическую функцию. Выбрав в качестве такой
комбинации разность этих членов, получим второе независимое
решение уравнения A38.1) (обозначим его как Go) B виде1)
Go = 2 Im WTW) i-^r)-^G(l - j, -J, -Шг) A38.5)
(функция же Fo является вещественной частью стоящего здесь
выражения). Его асимптотический вид на больших расстояниях
Go « cos (ifer - ^ In 2kr + ?оул),	A38.6)
) Функции Fo и Go (как и определенные аналогичным образом функции
Fi и Gi с / ф 0) называют соответственно регулярной и нерегулярной куло-
кулоновыми функциями.

694
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
а первые члены разложения при малых г
Go = -{1 + 2r[ln2т + 2С - 1 + h(k)] + ...},	A38.7)
где С = 0,577... —постоянная Эйлера, a h(k) обозначает функ-
функцию
Цк) = Иеф(-^) + 1пк	A38.8)
(где ip(z) = Г' (z)/Г(z) — логарифмическая производная Г-функ-
цииI).
Общий интеграл уравнения A38.1) напишем в виде суммы
X = const -(Fo ctgSo + Go),	A38.9)
где ctg^o — постоянная. Обозначение этой постоянной выбрано
так, что асимптотический вид этого решения будет
X со sin \кг - i lnBfer) + <^ул + 60].	A38.10)
Таким образом, So есть дополнительный сдвиг фазы волновой
функции, обусловленный короткодействующими силами. Мы
должны связать его с постоянной, фигурирующей в граничном
условии (xVx)lr--H) — const, заменяющем собой рассмотрение
волновой функции в области действия ядерных сил. Однако,
ввиду расходимости (как In г) логарифмической производной
х! 1х ПРИ т ~^ 0 5 это условие должно быть отнесено теперь не к
нулю, а к некоторому сколь угодно малому, но все же конечному
значению г = р. Вычисляя (с помощью формул A38.4) и A38.7))
производную х'{р)/х{р) и приравнивая ее постоянной, получим
граничное условие в виде
к A2 ctg?0 + 2[\п2р + 2С + h(k)] = const.
Выражение в левой части равенства содержит не зависящие от к
постоянные 21n2p + 4G; включим их в const, обозначив ее после
этого через — х. В результате получим окончательное выражение
для ctg^o, которое мы выпишем здесь в обычных единицах:
тг
^'ка^ - l)\h(kac) + ^].	A38.11)
L	2 J
1) Разложение A38.7) получается из A38.5) с помощью разложения (d.17).
При этом использовано известное соотношение
фA + z) = ф(г) + -
Z
(которое легко получить из T(z + 1) = zT(z)) и значения фA) = —С, фB) =
= -С+1.

j 138
РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
695
В пределе 1/ас —>• 0, т. е. при переходе к незаряженным части-
частицам, формула A38.11) переходит в соотношение ctg^o = —x/fc,
совпадающее с A33.6). На рис.49 дан график функции h(xI).
Таким образом, при наличии кулонова
взаимодействия «постоянной» оказывается
следующая величина:
2тг ctg до
h(x)
1,0
+ —h(kac) = -я. A38.12)
0,8
Мы поставили слово «постоянная»
вычки, поскольку к представляет
в ка-
собой
в действительности первый член разложе-
разложения по степени малой величины ка некото-
некоторой функции, зависящей от свойств корот-
короткодействующих сил. Резонансу при малых
энергиях соответствует, как было указано
в § 133, случай аномально малого значения
постоянной к. Ввиду этого для улучшения
точности следует учесть также и следующий (
0,6
0,4
0,2
/
/
/
1
/
/
1
/
/
/
2 3
Рис. 49
к2) член разло-
разложения, содержащий коэффициент «нормального» порядка вели-
величины, т.е. надо заменить в A38.12) — и на2)
-хо + -
) Для вычисления функции h(k) можно пользоваться формулой
которую легко получить с помощью формулы
z ^х п(п + z)
(см. Э. Уиттекер и Дж. Ватсон. Курс современного анализа. Т. II, § 12.16. -
М.: Физматгиз, 1963). Предельные выражения функции h(k):
к
h(k) « — при к < 1,
12
1 2
h(k) = -С + In к + -^ при к > 1
К
(последняя формула дает правильные, с погрешностью < 4%, значения h(k)
уже при к > 2,5).
2) Укажем значения постоянных а = 1/хо и го для рассеяния протона
на протоне: а = —7,8 • 10~13, го = 2,8 • 10~13см (кулонова единица длины
2Н2/mpe2W, 6 • 10~13 см). Эти значения относятся к паре протонов с антипа-
антипараллельными спинами (при параллельных спинах система двух протонов, в
силу принципа Паули, вообще не может находиться в s-состоянии).

696
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Наличие резонанса может быть связано, как было указано
в § 133, с существованием как истинного, так и виртуального
дискретного связанного состояния системы. Можно показать1),
что критерием истинности или виртуальности уровня по-преж-
по-прежнему является знак постоянной к.
Полные фазовые сдвиги волновых функций, согласно
A38.10), равны суммам 6fyJI + Ь\. Поэтому сечение рассеяния
/@) = — Y72Z + 1)[ехрB^кул + 2iSt) - l]i^(cos0). A38.13)
1=0
Разность в квадратных скобках представим в виде
ехрBг^кул + 2iSi) ~ 1 = [ехрBг^кул) - 1] +
+ [ехрBг^кул)(е2^ - 1)]. A38.14)
Кулоновы фазы 6fyJI вносят одинаковый по порядку величины
вклад в амплитуду рассеяния при всех /. Фазы же ?/, связанные
с короткодействующими силами, при / ф 0 малы (при малых
энергиях). Поэтому при подстановке A38.14) в A38.13) первую
скобку оставляем во всех членах суммы; эти члены суммируются
в кулонову амплитуду рассеяния A35.9)
Вторую же скобку в A38.14) сохраняем только в члене с / = 0.
Таким образом, полная амплитуда рассеяния представится в ви-
виде
/О?) = /кулО?) + ^(е2* - 1) ехрB«5ул).	A38.16)
Второй член в этом выражении можно назвать амплитудой
ядерного рассеяния. Следует, однако, подчеркнуть, что такое
разделение условно: ввиду определения <$о, согласно A38.11), на-
наличие кулонова взаимодействия существенно сказывается и на
этом члене, который оказывается совершенно отличным от того,
что было бы при тех же короткодействующих силах для неза-
незаряженных частиц. В частности, при кас —»> 0 фаза <$о, а с нею
и весь второй член в A38.16) стремятся экспоненциально (как
ехр(—2тг/кас)) к нулю, т.е. ядерное рассеяние полностью маски-
маскируется кулоновым отталкиванием.
х) См. Л. Д. Ландау, Я. А. Смородинский// ЖЭТФ. 1944. Т. 14. С. 269.

§ 139	УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ	697
В сечении рассеяния обе части амплитуды интерферируют
друг с другом:
Г 1 ^ка . г / 2 , . в , г \ ,
	т	=	sm ^0 COS 	In Sin - + On +
Lsin4(<9/2) sin2(<9/2)	U Vfcac	2 V
2g] A38.17)
Здесь предполагается, что сталкивающиеся частицы различны;
для одинаковых частиц амплитуда рассеяния должна была бы
быть перед возведением в квадрат предварительно симметри-
зована (ср. § 137).
§ 139. Упругие столкновения быстрых электронов
с атомами
Упругие столкновения быстрых электронов с атомами могут
быть рассмотрены с помощью борновского приближения, если
скорость падающего электрона велика по сравнению со скоро-
скоростями атомных электронов.
Ввиду большой разницы в массах между электроном и ато-
атомом последний можно считать при столкновении неподвижным,
и система координат, в которой неподвижен центр инерции,
совпадает с системой, в которой неподвижен атом. Тогда р и
р' в формуле A26.7) обозначают импульсы электрона до и по-
после столкновения, т—масса электрона, а угол в совпадает с
углом $ отклонения электрона. Потенциальная же энергия U(r)
в формуле A26.7) требует должного определения.
В § 126 мы вычисляли матричный элемент ?7р/р энергии вза-
взаимодействия по отношению к волновым функциям свободной
частицы до и после столкновения. При столкновении с атомом
необходимо учитывать также и волновые функции, описываю-
описывающие внутреннее состояние атома. При упругом рассеянии состо-
состояние атома не меняется. Поэтому С/р/р должно быть определено
как матричный элемент по отношению к волновым функциям
фр и фр! электрона, диагональный по отношению к волновой
функции атома. Другими словами, U в формуле A26.7) надо по-
понимать как потенциальную энергию взаимодействия электрона
с атомом, усредненную по волновой функции последнего. Она
равна е<р(г), где (р(г) — потенциал поля, создаваемый в точке г
средним распределением зарядов в атоме.

698
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Обозначив плотность распределения зарядов в атоме че-
через р(г), имеем для потенциала (р уравнение Пуассона
А<р = —4тгр(г).
Искомый матричный элемент С/р/р есть в основном компонен-
компонента Фурье от U (т.е. от <р), соответствующая волновому вектору
q = k7 — k. Применив уравнение Пуассона к каждой из компо-
компонент Фурье в отдельности, имеем
откуда <?q = 4тгрч/д2, т. е.
Г (pe~ic*rdV = % Г pe-^dV.	A39.1)
Плотность зарядов р(т) составляется из электронных зарядов
и заряда ядра:
р = — en(r) + Ze<$(r),
где еп(г) —плотность электронного заряда в атоме. Умножив на
е~щг и интегрируя, имеем
Г pe~ic*rdV = -е (ne-^dV + Ze.
Таким образом, получаем для интересующего нас интеграла вы-
выражение
Г	* 2
A39.2)
4тге2,
Ч
где величина F(q) определяется формулой
F(q) = Jne-^dV	A39.3)
и называется атомным формфактором. Он является функцией
угла рассеяния, а также скорости падающего электрона.
Наконец, подставив A39.2) в A26.7), получим окончательно
следующее выражение для сечения упругого рассеяния быстрых
электронов атомом1):
4777/6 г	/ \ 19	^iTflX)	i9
da = —т~г\% ~ F\qy[ do, q = 	sin -.	A39.4)
1) Мы пренебрегаем обменными эффектами меж:ду рассеиваемым быстрым
электроном и атомными электронами, т. е. не производим симметризации
волновой функции системы. Законность этого пренебрежения заранее оче-
очевидна: интерференция между быстро осциллирующей волновой функцией
свободной частицы и волновой функцией атомных электронов в «обмен-
«обменном интеграле» приведет к тому, что связанный с ним вклад в амплитуду
рассеяния окажется малым.

§ 139	УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ	699
Рассмотрим предельный случай qao <С 1, где clq — порядок
величины размеров атома. Малым q соответствуют малые углы
рассеяния: д <С vq/v, где vq ~ Л/тао — порядок величины ско-
скоростей атомных электронов.
Разложим F(q) в ряд по степеням q. Член нулевого порядка
равен fndV, т.е. полному числу Z электронов в атоме. Член
первого порядка пропорционален frn(r)dV, т.е. среднему зна-
значению дипольного момента атома; это значение обращается то-
тождественно в нуль (см. §75). Поэтому надо произвести разло-
разложение до члена второго порядка, что дает
подставив в A39.4), получим
da =
те2 [
Wj
2 ту/
nrdV
do.	A39.5)
Таким образом, в области малых углов сечение оказывается не-
независящим от угла рассеяния и определяется средним квадратом
расстояния атомных электронов от ядра.
В обратном предельном случае больших q (qao ^> 1, д ^>
^> vq/v) множитель е~щг в подынтегральном выражении в
A39.3) есть быстро осциллирующая функция, и потому весь ин-
интеграл близок к нулю. Можно, следовательно, пренебречь F(q)
по сравнению с Z\ тогда остается
,	( Ze2 \2 do	(лосла\
da = (w J -^ШУ	A39-6)
т. е. резерфордовское сечение рассеяния на ядре атома.
Вычислим также транспортное сечение
atl= ГA-costf) da.	A39.7)
В области углов д ^С vq/v имеем, согласно A39.5),
da = const • sin д dd w const -д dd,
где const не зависит от $. Поэтому в этой области подынте-
подынтегральное выражение в рассматриваемом интеграле пропорцио-
пропорционально d^dd, так что на нижнем пределе интеграл быстро схо-
сходится. В области же 1 ^> д ^> vq/v имеем
da w const -3

700
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
ГЛ. XVII
подынтегральное выражение пропорционально (I'd/ft, т.е. инте-
интеграл A39.7) расходится логарифмически.
Отсюда видно, что основную роль в интеграле играет имен-
именно эта область углов и можно ограничиться интегрированием
только по ней. Нижний предел интегрирования должен быть
взят порядка vo/v, напишем его в виде e2/(jHv), где 7"безраз-
7"безразмерная постоянная. В результате получим следующую формулу:
A39.8)
Точное вычисление постоянной 7 требует рассмотрения рассе-
рассеяния на углы д > vo/v и не может быть произведено в общем
виде; <7tr слабо зависит от значения этой постоянной, посколь-
поскольку она входит под знаком логарифма, умноженная на большую
величину Hv/e2.
Для численного определения формфактора тяжелых атомов
можно пользоваться распределением Томаса-Ферми плотности
п(г). Мы видели, что в модели Томаса-Ферми п(г) имеет вид
n(r) = Z2f(rZ1/s/b)
(все величины в этой и следующих формулах измеряются в атом-
атомных единицах). Легко видеть, что интеграл A39.3), вычисленный
с такой функцией п(г), будет содержать q лишь в определенной
комбинации с Z\
F(q) = Z(p(bqZ-1/s).	A39.9)
В табл.11 приведены значения универсальной для всех атомов
функции <р(х)г).
Таблица 11
Атомный фактор по Томасу—Ферми
X
0
0,15
0,31
0,46
0,62
0,77
0,93
(р(х)
1,000
0,922
0,796
0,684
0,589
0,522
0,469
X
1,08
1,24
1,39
1,55
1,70
1,86
2,02
(р(х)
0,422
0,378
0,342
0,309
0,284
0,264
0,240
X
2,17
2,32
2,48
2,64
2,79
2,94
(р(х)
0,224
0,205
0,189
0,175
0,167
0,156
г) Надо иметь в виду, что при малых q эта формула неприменима, в соот-
соответствии с тем, что интеграл от пг2 фактически не может быть вычислен
по методу Томаса-Ферми (см. примеч. на с. 563). Следует также помнить,
что модель Томаса-Ферми не отражает индивидуальных свойств атомов,
нарушающих их систематическое изменение с атомным номером.

§ 139	УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ	701
С атомным формфактором A39.9) сечение A39.4) будет иметь
вид
da = **[i - ^{bqZ-^fdo = zWibfz-Wvsml) do, A39.10)
q	\	2 /
где Ф(х) —новая универсальная функция. Интегрированием мож-
можно получить полное сечение. В интеграле основную роль играет
область малых $. Поэтому можно написать
da rr
а интегрирование по dd распространить до бесконечности:
= 2ttZ2/3 ((z-1l^)dd'd=^Zilz [x*(x)dx.
J \	2 /	v	J
a
0
Таким образом, а имеет вид
a = const- ^Ц-.	A39.11)
Аналогичным образом легко убедиться в том, что постоянная 7
в формуле A39.8) будет пропорциональна Z/3.
Задача
Вычислить сечение упругого рассеяния быстрых электронов атомом во-
водорода в основном состоянии.
Решение. Волновая функция нормального состояния атома водоро-
водорода есть ф = е~г/у/тг (в атомных единицах), так что п = е~2г/тг. Интегриро-
Интегрирование в A39.3) по углам производится как при выводе формулы A26.12) и
дает
оо
4тг Г	( а2 \ ~2
F = — / n(r) sin qr • dr I 1 + — I
q J	v 4 /
о
Подставив в A39.4), получим
где g = 2v sin(i9/2). Для вычисления полного сечения пишем
do = 2тг sin # di9 = —^q dq
v
и интегрируем по dq от 0 до 2г>; поскольку, однако, г» предполагается боль-
большим, а интеграл сходится, верхний предел можно заменить бесконечностью.
В результате получим
7тг

702
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Транспортное сечение вычисляется как интеграл
Заменив переменную интегрирования, согласно 4 + q = и, и заменив везде,
кроме члена du/u, верхний предел бесконечностью, получим
_ 4тг
в соответствии с A39.8).
§ 140. Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии
До сих пор мы рассматривали лишь столкновения частиц,
взаимодействие которых не зависит от их спинов. В этих усло-
условиях спины либо вообще не влияют на процесс рассеяния, либо
оказывают косвенное влияние, связанное с обменными эффекта-
эффектами (§137).
Обратимся теперь к обобщению развитой в § 123 общей те-
теории рассеяния на случай, когда взаимодействие частиц суще-
существенно зависит от их спинов, как это имеет место при столкно-
столкновениях ядерных частиц.
Рассмотрим подробно наиболее простой случай, когда одна
из сталкивающихся частиц (для определенности будем считать,
что это—частица падающего пучка) имеет спин 1/2, а другая
(частица-мишень) — спин 0.
При заданном (полуцелом) полном моменте системы j орби-
орбитальный момент может иметь лишь два значения / = j ± 1/2,
которым соответствуют состояния различной четности. Поэто-
Поэтому из сохранения j и четности в этом случае следует также и
сохранение абсолютной величины орбитального момента.
Оператор / (см. § 125) действует теперь не только на орби-
орбитальные, но и на спиновые переменные волновой функции систе-
системы. Он должен быть коммутативен с оператором сохраняющейся
величины I2. Наиболее общий вид такого оператора
f = a + b\s,	A40.1)
где а, Ъ — орбитальные операторы, зависящие только от I2.
5-матрица, а с нею и матрица оператора / диагональны по
отношению к волновым функциям состояний с определенными
значениями сохраняющихся величин / и j (и проекции т полно-
полного момента), причем диагональные элементы выражаются через

§ 140	РАССЕЯНИЕ ПРИ СПИН-ОРБИТАЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ	703
фазы 6 волновых функций формулой A23.15). При заданных / и
полном моменте j = 1 + 1/2 и j = 1 — 1/2 собственные значения Is
равны соответственно 1/2 и —(/ + 1)/2 (см. A18.5)). Поэтому для
определения диагональных матричных элементов операторов а
и Ъ (обозначим их символами щ и Ъ\) имеем соотношения
щ + -Ь, = —(еш1 - 1), щ - 1-±±Ъг = — (ешг - 1), A40.2)
1 2 L 2ikK	h	2 L 2ikK	h V	J
где фазы 6^~ и Sf соответствуют состояниям j = I + 1/2 и j =
= I - 1/2.
Нас интересуют, однако, не сами по себе диагональные эле-
элементы оператора / по отношению к состояниям с заданными /
и j, а амплитуда рассеяния как функция направлений падающей
и рассеянной волн. Эта амплитуда будет все еще оператором, но
уже только по отношению к спиновым переменным — операто-
оператором, недиагональным по проекции спина а. Ниже в этом пара-
параграфе мы будем обозначать буквой / именно такой оператор.
Для его нахождения надо воздействовать оператором A40.1)
на функцию A25.17), соответствующую падающей (вдоль оси z)
плоской волне. Таким образом,
8 0).	A40.3)
1=0
Здесь надо еще вычислить результат воздействия оператора Is
на функцию P/(cos#). Это можно сделать, написав
Is* = -(Z+3L + Z-3+) + Iz'sz
(см. B9.11)) и воспользовавшись формулами B7.12) для мат-
матричных элементов операторов 1±\ еще проще воспользоваться
непосредственно операторными выражениями B6.14), B6.15).
Простое вычисление дает
TslP/ (cos в) = ii/JsP^cosfl),
где Р^ — присоединенный полином Лежандра, а v — единичный
вектор в направлении [пп'], перпендикулярном к плоскости рас-
рассеяния (п — направление падения вдоль оси ?, п'— направление
рассеяния, определяемое сферическими углами в, (р.

704
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Определив а/, Ъ\ из A40.2) и подставив в A40.3), получим
теперь окончательно
А = 5*
A40.4)
C + 1)(е2^+ - 1) + Це2*»" - l)]fl(coe0),
/=0	ос	A40.5)
1 = 1
Матричные элементы этого оператора дают амплитуду рассе-
рассеяния с определенными значениями проекции спина в начальном
(а') и конечном (а') состояниях. Рассмотрим сечение, просум-
просуммированное по всем возможным значениям а и усредненное по
вероятностям различных значений а' в начальном состоянии (в
падающем пучке частиц). Такое сечение вычисляется как
do = (f+f)aado;	A40.6)
взятием диагональных матричных элементов от произведения
/+/ достигается суммирование по конечным состояниям, а чер-
черта означает усреднение по начальному состоянию1). Если в на-
начальном состоянии все направления спина равновероятны, то это
усреднение сводится к взятию следа матрицы (деленного на чи-
число возможных значений проекции спина а)
da = \$V{f+f)do.	A40.7)
При подстановке A40.4) в A40.6) среднее значение квадрата
(i^sJ вычисляется как i/2s2/3 = s(s + l)/3 = 1/4. В результате
получим
— \А\2 + \В\2+ 2Re (AB*)vP,	A40.8)
do
где Р = 2s —начальная поляризация пучка, определенная как
отношение среднего спина в начальном состоянии к его наи-
наибольшему возможному значению A/2). Напомним, что в случае
х) Если квадрат модуля |/оп|2 матричного элемента какого-либо оператора
для перехода 0 —>¦ п суммируется по конечным состояниям п, то получается
Во избежание недоразумений подчеркнем, что знак сопряжения + в A40.6)
и везде ниже относится к / как спиновому оператору и, в частности, не
подразумевает транспонирования п и л'.

§ 140	РАССЕЯНИЕ ПРИ СПИН-ОРБИТАЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ	705
спина 1/2 вектор s полностью характеризует спиновое состоя-
состояние (§59).
Обратим внимание на то, что поляризация падающего пуч-
пучка приводит к азимутальной асимметрии рассеяния: благодаря
множителю 1/Р в последнем члене сечение A40.8) зависит не
только от полярного угла 0, но и от азимута <р вектора п' по
отношению к п (если только поляризация не перпендикулярна
к I/, так что 1/Р ф 0).
Поляризация рассеянных частиц может быть вычислена по
формуле
р, = 2(/+s/)gg>
(f+fU
Так, если начальное состояние не поляризовано (Р = 0), то
простое вычисление дает
wu»- A4оло)
Таким образом, рассеяние приводит, вообще говоря, к появле-
появлению поляризации, перпендикулярной к плоскости рассеяния. От-
Отметим, однако, что этот эффект отсутствует в борновском при-
приближении: если все фазы S малы, то в первом приближении по
ним коэффициент А — вещественный, а В — чисто мнимый, так
что!1е(АВ*) = 0.
Тот факт, что поляризация Р' A40.10) направлена вдоль I/,
заранее очевиден: Р' есть аксиальный вектор, а ^ — единствен-
единственный аксиальный вектор, который может быть составлен из имею-
имеющихся в нашем распоряжении полярных векторов п и п'. Оче-
Очевидно поэтому, что этим свойством будет обладать также и по-
поляризация, возникающая при рассеянии неполяризованного пуч-
пучка частиц со спином 1/2 на неполяризованной мишени из ядер
с любым (а не только нулевым) спином1).
В формулировке теоремы взаимности для рассеяния при на-
наличии спинов следует учесть, что обращение времени меняет
знаки не только импульсов, но и моментов. Поэтому симмет-
симметрия рассеяния по отношению к обращению времени должна вы-
выражаться в этом случае равенством амплитуд процессов, отли-
отличающихся друг от друга не только перестановкой начального и
конечного состояний и изменением направлений движения на
х) Мы имеем здесь в виду мишень из ядер с полностью беспорядочно рас-
распределенными направлениями спинов. Напомним, что при s > 1/2 среднее
значение вектора спина не определяет полностью спиновое состояние и его
равенство нулю не означает еще полного отсутствия упорядочения спинов.

706
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
обратные, но также и изменением знаков проекций спинов ча-
частиц в обоих состояниях. При этом, однако, знаки этих ампли-
амплитуд могут оказаться различными в связи с тем, что обращение
по времени вносит, согласно F0.3), в спиновую волновую функ-
функцию множитель (—1)S~<J. Это обстоятельство приводит к тому,
что теорема взаимности должна формулироваться следующим
образом1):
*)f(-al -с'2, -n'; -au -<т2, -п). A40.11)
Здесь /(ах, сг2, п; с[, с'2, п!) — амплитуда рассеяния с изменением
проекций спинов сталкивающихся частиц от значений си &i K
значениям с[, с'2\ сумма в показателе степени берется по обеим
частицам до и после рассеяния.
В борновском приближении рассеяние обладает дополнитель-
дополнительной симметрией — оказываются одинаковыми вероятности про-
процессов, отличающихся друг от друга перестановкой начального
и конечного состояний, без изменения знаков импульсов и про-
проекций спинов частиц, как при обращении времени (см. § 126).
Комбинируя это свойство с теоремой взаимности, найдем, что
рассеяние симметрично по отношению к изменению знаков всех
импульсов и проекций спинов, без их перестановки. Отсюда сле-
следует, что в борновском приближении невозможно возникновение
поляризации при рассеянии любого неполяризованного пучка на
неполяризованной мишени. Действительно, при указанном пре-
преобразовании вектор поляризации Р меняет знак, а единственный
вектор [kk7], вдоль которого может быть направлен Р, остает-
остается неизменным. Таким образом, свойство, отмеченное выше для
рассеяния частиц со спином 1/2 на частицах со спином 0, имеет
в действительности общий характер.
В случае произвольных спинов сталкивающихся частиц об-
общие формулы для угловых распределений весьма громоздки, и
мы не станем останавливаться здесь на их выводе. Подсчита-
Подсчитаем лишь число параметров, которыми должны определяться эти
распределения.
Рассмотренный выше случай столкновения частиц со спина-
спинами 1/2 и 0 характерен, в частности, тем, что заданным значе-
значениям j и четности соответствует всего одно состояние системы
х) Вывод этого соотношения аналогичен выводу формулы A25.12). При
этом в амплитуды сходящихся и расходящихся волн в волновой функции
должны быть введены спиновые множители и вместо A25.10) получается
условие K~1SK = S, где К — оператор, не только производящий инверсию,
но и преобразующий спиновое состояние согласно F0.3).

§ 140	РАССЕЯНИЕ ПРИ СПИН-ОРБИТАЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ	707
двух частиц (отвлекаясь от несущественной ориентации полного
момента в пространстве). От каждого такого состояния в ампли-
амплитуду рассеяния входит один вещественный параметр (фаза 6). В
случае же других спинов существует, вообще говоря, по несколь-
нескольку различных состояний с одинаковыми полным моментом J и
четностью; эти состояния различаются значениями полного спи-
спина частиц S и орбитального момента их относительного движе-
движения /. Пусть число таких состояний будет п. Легко видеть, что от
каждой такой группы состояний в амплитуду рассеяния входит
п(п + 1)/2 независимых вещественных параметров.
Действительно, по отношению к этим состояниям ^-матрица
представляет собой унитарную симметричную (в силу теоремы
взаимности) матрицу с п • п комплексными элементами. Подсчет
числа независимых величин в этой матрице удобно произвести,
заметив, что если представить оператор S в виде S = ехр(гЛ),
то условие унитарности выполняется автоматически, когда R —
произвольный эрмитов оператор (см. A2.13)). Если матрица S
симметрична, то симметрична и матрица R и, будучи эрмито-
эрмитовой, она вещественна. Вещественная же симметричная матрица
имеет п(п + 1)/2 независимых компонент.
Для примера укажем, что для двух частиц со спинами 1/2
число п = 2. Действительно, при заданном J имеется всего че-
четыре состояния: два состояния с / = J и полным спином S = 0
или 1 и два состояния cl = J±l, S = l. Очевидно, что два из
них четны (/ четно) и два — нечетны (нечетные /).
Общий вид амплитуды рассеяния частиц со спином 1/2, как
оператора по спиновым переменным обеих частиц, легко напи-
написать, исходя из необходимых условий инвариантности: это дол-
должен быть скаляр, инвариантный по отношению к обращению
времени. Для составления этого выражения в нагнем распоря-
распоряжении имеются два аксиальных вектора спинов частиц si и S2
и два обычных (полярных) вектора п и п'. При этом каждый
из операторов Si и ^2 должен входить в амплитуду линейно, по-
поскольку всякая вообще функция оператора спина 1/2 сводится
к линейной. Наиболее общий вид оператора, удовлетворяющего
этим условиям, можно представить в виде
f = A + B(siA)(s2A) + C(
-S2,v). A40.12)
Коэффициенты А, В,.. . — скалярные величины, которые могут
зависеть только от скаляра пп', т. е. от угла рассеяния в (и от

708
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
энергии); Л, /i, v— три взаимно перпендикулярных единич-
единичных вектора, направленных соответственно вдоль n + n', п — п'
и [пп']. Операции обращения времени соответствует замена
Si —»> — Si, S2 —> —S2, П —»> —n', II' —»> —П.
При этом
Л —)> —Л, fjL ^ fjL^ V —»> —V
и инвариантность оператора A40.12) очевидна.
В случае взаимного рассеяния нуклонов (протонов и нейтро-
нейтронов) последний член в A40.12) отсутствует. Это следует уже хо-
хотя бы из того, что действующие между нуклонами ядерные си-
силы сохраняют абсолютную величину полного спина системы S,
оператор же Si — ^2 не коммутирует с оператором S2 (осталь-
(остальные члены в операторе A40.12) выражаются, согласно A17.4),
через оператор полного спина S и потому коммутируют с S2).
При рассеянии одинаковых нуклонов (рр или пп) коэффициен-
коэффициенты А, 5,... как функции угла рассеяния удовлетворяют также
определенным соотношениям симметрии, являющимся следстви-
следствием тождественности обеих частиц (см. задачу 2).
Задачи
1. Для рассеяния частиц со спином 1/2 на частицах со спином 0 опре-
определить поляризацию после рассеяния, если до рассеяния она тоже была от-
отлична от нуля.
Решение. Вычисление по формуле A40.9) удобно производить в
компонентах, выбрав ось z вдоль направления и. В результате получим
р/_ (\А\2 -\B\2)Y	2
2. Найти условия симметрии, которым удовлетворяют как функции
угла в коэффициенты в амплитуде рассеяния двух одинаковых нуклонов
(R. Oehme, 1955).
Решение. Перегруппируем члены в A40.12) таким образом, чтобы
каждый из них был отличен от нуля лишь для синглетных E = 0) или
триплетных (S = 1) состояний системы нуклонов:
/ = (s!S2 - 1/4) + 6(sis2 + 3/4) + с[1/4 + (sii/)(s2i/)] +
+ ^(smXssn7) + (sni/)((s2n))] + e(si + s2, u). A)
С помощью формул A17.4) легко убедиться, что первый член отличен от
нуля лишь при S = 0, а остальные—при S = 1. В силу тождественности
частиц амплитуда рассеяния должна быть симметрична относительно пере-
перестановки координат частиц при S = 0 и антисимметрична при 5 = 1; это
преобразование означает замену в —»> тг — в или, что то же, изменение знака
одного из векторов п и п' (ср. § 137). Из этих условий получаем следующие
соотношения:
а(ж-9) = а(в), Ъ(ж-в) = -Ь(9), с(ж - в) =-с(в)
е(п-в)=е(в).	U

§ 141	ПОЛЮСЫ РЕДЖЕ	709
В силу изотопической инвариантности амплитуда рассеяния одинакова
для рассеяний пп и рр и для рассеяния пр в изотопическом состоянии с
Т = 1. Для системы пр возможно, однако, также и состояние с Т = 0; в
результате амплитуда рассеяния пр характеризуется другими коэффициен-
коэффициентами а, 6,.. .в A), не обладающими свойствами симметрии B).
§ 141. Полюсы Редлее
В § 128 были рассмотрены аналитические свойства амплиту-
амплитуды рассеяния как функции комплексной переменной Е — энергии
частиц; орбитальный момент / играл при этом роль параметра,
пробегающего вещественные целые значения. Дальнейшие су-
существенные с методической точки зрения свойства амплитуды
рассеяния выясняются, если рассматривать теперь / как непре-
непрерывную комплексную переменную, при вещественных значениях
энергии Е1).
Как и в § 128, рассмотрим радиальные волновые функции с
асимптотическим (при г —»> ос) видом
Xi = rRi = A(l, E) ещ>(-^-п	rj +B(l, Е) ехр[^—^	rj.
A41.1)
Эти функции являются решениями уравнения Шредингера
C2.8) (в котором / рассматривается теперь как комплексный
параметр), причем отбор одного из двух независимых решений
производится условием
Щ « const • г1 при г -> 0.	A41.2)
Сразу же отметим, что такое условие накладывает опреде-
определенное ограничение на допустимые значения параметра /. Дей-
Действительно, общий вид решения уравнения C2.8) при малых г
есть
Rl « cir1 + C2T~l~x
(см. конец §32). Для того чтобы второе решение могло быть
однозначным образом выделено «на фоне» первого и исключе-
исключено, член с г~1~1 должен быть при г —»> 0 больше члена с г1.
При комплексных значениях / отсюда возникает условие Re / >
> Re(-Z- 1), т.е.
Re(/ + \) >0-	A41.3)
Везде ниже рассматривается именно эта полуплоскость ком-
комплексного / — справа от вертикальной прямой / = —1/2.
Эти свойства впервые изучались Редже (Т. Regge, 1958).

710
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Будучи решением дифференциального уравнения с анали-
аналитическими по параметру I коэффициентами, волновая функция
R(г; /, -Е") является аналитической функцией этого параметра, не
имеющей особенностей в полуплоскости A41.3). Это относится,
в частности, и к асимптотическому выражению A41.1), а потому
функции А{1, Е) и Б(/, Е) не имеют особенностей по /. При этом,
однако, подразумевается, что сохранение (при г —»> ос) обоих чле-
членов в A41.1) действительно законно. При Е > 0 это всегда так, а
при Е < 0 —справедливо, если поле U(r) удовлетворяет услови-
условиям A28.6) или A28.13). В этих рассуждениях существенно, что
характер асимптотического (по г) поведения волновой функции
зависит только от Е, но не от /; поэтому комплексность / не ме-
меняет условий перехода к асимптотике.
Сравнив A41.1) с асимптотической формулой A28.15), най-
найдем элемент 5-матрицы в виде
S(l, Е) = exp [2iS(l, E)] = eMj?f	A41.4)
справедливом и при комплексных значениях / (при этом, однако,
«фазовый сдвиг» S уже не веществен).
При вещественных значениях / и при Е > 0 функции А и В
связаны соотношением A28.4): АA,Е) = В*A,Е). Отсюда следу-
следует, что при комплексных /
А(Г,Е) = Б*(/,Е) при Е > 0,	A41.5)
а потому S(l, E) удовлетворяет условию комплексной унитарно-
унитарности
S*(l,E)S(l*,E) = 1.	A41.6)
В силу отсутствия особенностей у АA,Е) и ВA,Е) как функ-
функций от / функция S(l, E) (ас нею и парциальная амплитуда
рассеяния /(/,?")) имеет особенности (полюсы) лишь в нулях
функции ВA,Е). Полюсы амплитуды рассеяния в плоскости
комплексного / называют полюсами Редэюе. Их положение зави-
зависит, конечно, от значения вещественного параметра Е. Функции
I = оц(Е),
определяющие положения полюсов, называют траекториями
Редже, при изменении Е полюсы перемещаются в плоскости /
по определенным линиям (индекс г, нумерующий полюсы, мы
будем ниже опускать).
Приступая к изучению свойств траекторий Редже, покажем
прежде всего, что при Е < 0 все а(Е) —вещественные функции.

§141	ПОЛЮСЫ РЕДЖЕ	711
Для этого рассмотрим уравнение
^1} = О,	A41.7)
которому удовлетворяет волновая функция с I = а. Умножив
это уравнение на х* и проинтегрировав его по dr (причем первый
член преобразуется интегрированием по частям), получим
0	0	0
Здесь учтено, что при В = 0 (условие, определяющее полюсы Ре-
дже) волновая функция экспоненциально затухает при г' —»> ос,
так что все интегралы сходятся. Первые два члена в полученном
равенстве вещественны, а в последнем члене веществен интеграл.
Поэтому должно быть
Im [а(а + 1)] =1т(а+-) 2 Re (a+-)lma = 0.
Но поскольку мы рассматриваем лишь полюсы, находящиеся на
полуплоскости A41.3), то заведомо Re (а + 1/2) > 0, и мы при-
приходим к требуемому результату
Im а(Е) = 0 при Е < 0.	A41.8)
Далее, произведем с уравнением A41.7) следующие операции
(аналогичные выводу равенства A28.10)): дифференцируем его
по Е, умножаем полученное уравнение на х, а исходное уравне-
уравнение A41.7) —на дх/дЕ] вычтя затем одно из другого, получим
тождество
ЗЕ X\dEj \ П2Х ^ г2 dE
Проинтегрируем его по dr от 0 до ос, снова учтя при этом обра-
обращение х в нуль при г —> ос. Интеграл от первого члена обраща-
обращается в нуль, и мы находим
— \— ' —/ I	2""	ы'2. I /V ~" "	^±т:±.С/у
О	О
Ввиду известной уже нам вещественности ск, вещественна также
и волновая функция, а потому оба интеграла в A41.9) заведомо
положительны. Следовательно,
IE1

712
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
и ввиду положительности а + 1/2
^ > 0 при Е < 0.
Таким образом, при Е < 0 функции а(.Е) монотонно возрас-
возрастают с увеличением Е.
Отрицательные значения Е, при которых функции а(Е) при-
принимают «физические» значения (т. е. равны целым числам / = 0,
1, 2,...), отвечают дискретным уровням энергии системы. От-
Отметим, что таким образом возникает новый классификационный
принцип для связанных состояний: по траекториям Редже, на
которых они лежат.
В качестве примера рассмотрим траектории Редже для дви-
движения в кулоновом поле притяжения. Элементы матрицы рассе-
рассеяния даются в этом случае выражением1)
(к— в кулоновых единицах). Его полюсы лежат в точках, где
аргумент функции Г(/ + 1 — г/к) равен целому отрицательному
числу или нулю. При Е < 0 имеем к = гу/—2Ё, так что
Ж 0,	A41.11)
где пг = 0, 1, 2,... —число, нумерующее траектории Редже. При-
Приравняв а(Е) целому числу 1 = 0, 1,2, ..., получим известную
формулу Бора для дискретных уровней энергии в кулоновом по-
поле
Е	г
Число пг оказывается при этом совпадающим с радиальным
квантовым числом, определяющим число узлов радиальной вол-
волновой функции. Каждой траектории Редже (т. е. каждому за-
заданному значению пг) отвечает бесконечное множество уровней,
отличающихся значением орбитального момента.
Обратимся к свойствам функций а(Е) при Е > 0. Напо-
Напомним (см. §128), что функции А{1,Е) и ВA,Е) в A41.1) как
функции комплексной переменной Е определены на плоскости
с разрезом на правой вещественной полуоси. Соответственно
х) Ср. формулу A35.11), в которой (для перехода от случая отталкивания
к случаю притяжения) надо изменить знаки перед к.

§ 141	ПОЛЮСЫ РЕДЖЕ	713
такой же разрез имеют и функции / = а(Е)— корни уравнения
ВA,Е) = 0. На верхнем и нижнем краях разреза а(Е) имеют
комплексно сопряженные значения; при этом на верхнем краю
Im a > 0. Не останавливаясь на формальном доказательстве
этого утверждения, приведем более физичные соображения, по-
поясняющие его происхождение.
При комплексном / становится комплексной также и центро-
центробежная энергия, а с нею и эффективная потенциальная энергия
JJ\ = U + 1A + l)/Bmr2). Повторив изложенный в § 19 вывод,
получим теперь вместо A9.6)
ot
При / = a, Im а > 0 имеем также и Im U\ > 0; тогда вы-
выражение в правой части равенства положительно, что озна-
означает как бы испускание новых частиц в объеме поля. Соот-
Соответственно асимптотическое выражение волновой функции (со-
(содержащее при В = 0 лишь первый из двух членов в A41.1))
должно представлять собой расходящуюся волну; именно это
имеет место на верхнем краю разреза—ср. переход от A28.1)
к A28.3).
Поскольку при Е > 0 функции а(Е) комплексны, они не
могут принимать здесь своих «физических» значений I = 0, 1,
2, ... Они могут, однако, оказаться близкими (в плоскости ком-
комплексного /) к таким значениям. Покажем, что в таком случае
в парциальной амплитуде рассеяния (соответствующей данному
целому значению /) возникает резонанс.
Пусть /q—целое значение, к которому близка функция а(Е).
Пусть, далее, Eq — такое (вещественное положительное) значе-
значение энергии, для которого Re а(Ео) = /о- Тогда вблизи этого
значения имеем
а(Е) « /о + гт/ + C(Е - Ео),	A41.12)
где г\ = Im q>(Eq) — вещественная постоянная. Будем рассмат-
рассматривать значения а(Е) на верхнем краю разреза; согласно ска-
сказанному выше тогда т\ > 0 (причем, по предположению о бли-
близости а к /о, т\ ^> 1). Легко видеть, что и постоянную /3 (т.е.
производную da/dE при Е = Е$) можно считать веществен-
вещественной положительной величиной. Действительно, поскольку а(Е)
почти вещественна, то почти вещественна и волновая функция
х(г;а,Е). Пренебрегая величинами высших порядков малости
по 77, можно пренебречь мнимой частью х, тогда положите ль-

714	УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
ность /3 следует из положительности интегралов в соотношении
A41.9I).
Поскольку значение / = а(Е) является нулем функции ВA,Е),
то вблизи точки ск, Eq эта функция пропорциональна а — 1. С
учетом A41.12) имеем поэтому
B(lQ,E) « const • [а(Е - Eq) + irj\.	A41.13)
Но это выражение по форме как раз совпадает с A34.6), при-
причем Eq оказывается энергией, аГ = 2rj/a > 0 —шириной квази-
квазидискретного уровня. Таким образом, близость траектории Редже
(при Е > 0) к целым значениям / отвечает квазистационарным
состояниям системы. Тем самым для этих состояний возникает
тот же классификационный принцип, что и для строго стаци-
стационарных состояний; каждой траектории Редже может отвечать
целое семейство дискретных и квазидискретных уровней.
Рассмотрение / как комплексной переменной позволяет полу-
получить полезное интегральное представление для полной амплиту-
амплитуды рассеяния (при Е > 0), даваемой рядом A23.11)
Ьк	/'Е) ~1]Р/(м)' м=cose- A41Л4)
1=0
Для этого надо прежде всего определить функции P/(/i) не
только при целых / ^ 0, но и при комплексных значениях I. Это
можно сделать, понимая под P/(/i) решение уравнения (с.2)
») + 1A + 1)Р/Ы = 0	A41.15)
х)Для уяснения структуры этих интегралов отметим, что асимптотиче-
асимптотическая область г ^> а (а—радиус действия поля), где справедливо выраже-
выражение A41.1) для волновой функции, вносит лишь малый вклад в интегра-
интегралы, если г] мало. Действительно, если / = а(Е)—нуль функции ВA,Е),
то (в силу A41.5)) / = а*—нуль функции АA,Е). Поэтому А(а,Е) (а
тем самым и х(г; а, Е) в области г ^> а) оказываются малыми величина-
величинами rsj г]1/2 (см. A34.11)). При оценке интегралов существенно также, что на
верхнем краю разреза (по Е) волновая функция содержит множитель ег г:
х(г\а,Е) = А(а, Е)егкг. На этом краю можно понимать Е как Е + 18 (где
8 —>¦ +0), тогда и к получает малую положительную мнимую часть, чем
обеспечивается сходимость интегралов в A41.9). Физически малость вкла-
вклада в интегралы от области г ^> а связана с тем, что энергия Eq отвечает
квазистационарному состоянию (см. ниже); поэтому частица попадает в эту
область лишь в результате маловероятного распада состояния. Основной же
вклад в интегралы возникает от области г ~ а, в которой волновая функция
почти вещественна.

141	ПОЛЮСЫ РЕДЖЕ	715
с граничным условием Р/A) = 1. Определенная таким образом
Р/(//) как функция / не имеет особенностей при конечных значе-
значениях этой переменнойх).
Легко видеть, что ряд A41.14) совпадает с интегралом
взятым по пути С, обходящему в отрицательном направлении
(по часовой стрелке) все точки / = 0, 1, 2, ... на вещественной
оси, и замыкающимся на бесконечности:
-1/2\0
При этом все полюсы / = щ, «2,... функции 5(/, Е) (распо-
(расположенные при Е > 0 не на вещественной оси) должны оставаться
снаружи от контура С.
Действительно, интеграл A41.16) сводится к (умноженной
на — 2тгг) сумме вычетов подынтегрального выражения в точ-
точках / = 0, 1, 2, ... — полюсах функции l/sin7rZ, причем выче-
вычеты самой этой функции равны (—1)г/тг. Заметив также, что при
целых /i: Pt(-fi) = (-1)гР/(м), сведем A41.16) к A41.14J).
Задача
Показать, что фазовые сдвиги, соответствующие последовательным це-
целым значениям /, удовлетворяют неравенству
61+1(Е)-61(Е)<7г/2.
Решение. Будем рассматривать / как непрерывную вещественную
переменную и продифференцируем по / уравнение C2.10):
Умножая это уравнение на х, а исходное — на дх/dl и вычитая одно из дру-
другого находим:
гч /	гч "I /	9
1) Путем сравнения A41.15) с уравнением (е.2), можно выразить Pi(n) че-
через гипергеометрическую функцию
2) Более подробное изложение рассмотренного в этом параграфе круга во-
вопросов (в рамках нерелятивистской теории) можно найти в указанной в при-
примеч. на с. 612 книге деЛльфаро и Редже.

716	УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVII
Проинтегрируем это равенство по г от 0 до оо. При г = О выражение в
квадратных скобках равно нулю, а при г —»> оо можно использовать для х
асимптотическое выражение C3.20). В результате получаем
о
так что dSi/dl < тг/2. Интегрируя это соотношение по / от / до / + 1, получаем
искомое неравенство. Комбинируя его с формулой A33.17), можно доказать,
что число дискретных уровней щ не возрастает с ростом /. Действительно,
при Е —»> оо, когда справедливо борновское приближение, фазы рассеяния
стремятся к нулю, так что ^(оо) = 0. Тогда
~~ щ = ~№+i(o) - ^(о)] ^ 1/2,
7Г

ГЛАВА XVIII
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
§ 142. Упругое рассеяние при наличии
неупругих процессов
Неупругими называют столкновения, сопровождающиеся из-
изменением внутреннего состояния сталкивающихся частиц. Эти
изменения мы понимаем здесь в самом широком смысле, в част-
частности, может меняться и самый род частиц. Так, речь может
идти о возбуждении или ионизации атомов, возбуждении или
распаде ядер. В случаях, когда столкновение (например, ядер-
ядерная реакция) может сопровождаться различными физическими
процессами, говорят о различных каналах реакции.
Наличие неупругих каналов оказывает определенное влияние
также и на свойства упругого рассеяния.
В общем случае наличия различных каналов реакции асим-
асимптотическое выражение волновой функции системы сталкиваю-
сталкивающихся частиц представляет собой сумму, в которой каждому воз-
возможному каналу соответствует по одному члену. Среди них име-
имеется, в частности, и член, описывающий частицы в начальном
неизмененном состоянии (как говорят, во входном канале). Он
представляет собой произведение волновых функций внутренне-
внутреннего состояния частиц и функции, описывающей их относительное
движение (в системе координат, в которой покоится их центр
инерции). Именно эта последняя функция и интересует нас здесь;
обозначим ее буквой ф и выясним ее асимптотический вид.
Волновая функция ф во входном канале складывается из па-
падающей плоской волны и расходящейся сферической волны, от-
отвечающей упругому рассеянию. Ее можно представить также и в
виде суммы сходящейся и расходящейся волн, как это было сде-
сделано в § 123. Разница заключается в том, что асимптотическое
выражение для радиальных функций Ri(r) не может быть взя-
взято в виде стоячей волны. Стоячая волна есть сумма сходящейся
и расходящейся волн с одинаковыми амплитудами. При чисто
упругом рассеянии это соответствует физическому смыслу зада-
задачи, но при наличии неупругих каналов амплитуда расходящейся
волны должна быть меньше амплитуды сходящейся волны. По-
Поэтому асимптотическое выражение ф будет даваться формулой

718
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
A23.9)
ОО
±Y	l)l+1e-ikr + SlJkr] A42.1)
1=0
с той разницей, что Si не определяются теперь выражением
A23.10), а являются некоторыми (вообще говоря, комплексны-
комплексными) величинами с модулями, меньшими единицы. Амплитуда
упругого рассеяния выражается через эти величины формулой
A23.11)
1=0
Для полного сечения ае упругого рассеяния получим вместо
A23.12) формулу
1=0
Полное сечение неупругого рассеяния, или, как говорят так-
также, сечение реакций аг по всем возможным каналам, тоже мож-
можно выразить через величины 5/. Для этого достаточно заметить,
что для каждого значения / интенсивность расходящейся волны
ослаблена по сравнению с интенсивностью сходящейся волны в
отношении \Si\2. Это ослабление должно быть целиком отнесено
за счет неупругого рассеяния. Поэтому ясно, что
- |Sir),	A42.4)
1=0
а полное сечение
-Re Si).	A42.5)
1=0
Парциальная амплитуда упругого рассеяния с моментом /,
определенная согласно A23.15), есть
fl = Щ^Т1,	A42.6)

§ 142	УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ НЕУПРУГИХ ПРОЦЕССОВ	719
а каждый из членов суммы в A42.3) и A42.4) есть парциальное
сечение упругого и неупругого рассеяния частиц с моментом lt:
A42.7)
Значение Si = 1 соответствует полному отсутствию рассея-
рассеяния (с данным /). Случай же Si = 0 отвечает полному «погло-
«поглощению» частиц с моментом / (в A42.1) отсутствует парциальная
расходящаяся волна с этим значением /); при этом сечения упру-
упругого и неупругого рассеяний одинаковы:
_(/) „(I)	^ /Q7 | 1\	(Л /| Q О\
&е = (Ту, = —yZL -\- 1).	ylQZ.o)
Отметим также, что хотя упругое рассеяние может существовать
и без неупругого (при \Si\ = 1), но обратное невозможно: нали-
наличие неупругого рассеяния непременно приводит к одновремен-
тт	(О
ному наличию упругого рассеяния. При заданном значении а г
парциальное сечение упругого рассеяния должно находиться в
интервале
где ctq = B1 + 1)тг/к2.
Взяв значение f(9) из A42.2) при 9 = 0 и сравнив с выраже-
выражением A42.5), получим соотношение
Im /@) = —<ти	A42.10)
обобщающее ранее полученную оптическую теорему A25.9).
Здесь /@) есть по-прежнему амплитуда упругого рассеяния на
нулевой угол, но полное сечение at включает в себя также и
неупругую часть.
Мнимые же части парциальных амплитуд // связаны с пар-
СО
циальным сечением а\ соотношением
v „(О
A42.11)
п 4тг 2Z + 1
непосредственно следующим из A42.6) и A42.7).

720
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
Тот факт, что коэффициенты Si в асимптотическом выраже-
выражении волновой функции по модулю не равны единице, никак не
отражается на сделанных в § 128 заключениях об особых точ-
точках амплитуды упругого рассеяния как функции комплексного
Е\ эти выводы сохраняют свою силу и при наличии неупругих
процессов. Аналитические свойства амплитуды меняются, одна-
однако, в том отношении, что она теперь невещественна на левой
вещественной полуоси [Е < 0), а ее значения на верхнем и ниж-
нижнем краях разреза при Е > 0 не являются комплексно сопря-
сопряженными величинами (соответственно не являются комплексно
сопряженными и вообще все ее значения в симметричных отно-
относительно вещественной оси точках верхней и нижней полуплос-
полуплоскостей) .
При переходе с верхнего края разреза на нижний путем пол-
полного обхода вокруг точки Е = 0 корень л/Ё меняет знак, т. е. в
результате обхода меняет знак вещественная (при Е > 0) величи-
величина к. При этом сходящаяся и расходящаяся волны в A42.1) меня-
меняются ролями, соответственно чему роль нового коэффициента Si
будет играть величина 1/5/, обратная прежнему его значению
(что отнюдь не совпадает с S^). Значения амплитуд // на верх-
верхнем и нижнем краях разреза естественно обозначить как fi(k)
и fi(—k) (физической амплитудой является, разумеется, лишь
). Согласно A42.6) имеем
2гк ' ЛУ }	2гк
Исключив Si из этих двух равенств, получим соотношение:
fl(k) - М-к) = 2ИеЬ(к)Ь(-к)	A42.12)
(в отсутствие неупругих процессов было бы f(—k) = f*(k) и
соотношения A42.12) и A42.11) совпадали бы друг с другом).
Переписав A42.12) в виде
1	г = -2ik,
Ш fi(-k)
мы видим, что сумма 1/fi(k) + ik должна быть четной функци-
функцией к. Обозначив эту функцию через g/(fc2), имеем

142	УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ НЕУПРУГИХ ПРОЦЕССОВ	721
Четная функция gi(k ), однако, не является теперь веще-
вещественной, как это было в A25.15)х).
Когда пучок частиц проходит через рассеивающую среду, со-
состоящую из большого числа рассеивающих центров, он посте-
постепенно ослабевает в связи с выбыванием из него частиц, испы-
испытывающих различные процессы столкновений. Это ослабление
полностью определяется амплитудой упругого рассеяния на ну-
нулевой угол и, при соблюдении определенных условий (см. ниже),
может быть описано следующим формальным методом2).
Пусть /(О, Е) —амплитуда рассеяния на угол нуль на каждой
отдельной частице среды. Будем предполагать, что / мало по
сравнению со средним расстоянием d ~ (V/NI'^ между части-
частицами; тогда можно рассматривать рассеяние на каждой из них в
отдельности. Введем в качестве вспомогательной величины неко-
некоторое эффективное поле С/Эф неподвижного центра, определив
его таким образом, чтобы вычисленная с его помощью борнов-
ская амплитуда рассеяния на угол нуль была бы как раз равна
истинной амплитуде f@,E) (этим отнюдь не подразумевается,
что борновское приближение применимо для вычисления /(О, Е)
по истинному взаимодействию частиц!). Таким образом, по опре-
определению, имеем (см. A26.4))
r3,dV = -—/@,S),	A42.14)
т
где т—масса рассеиваемой частицы. Вместе с амплитудой /
определенное таким образом поле комплексно. Связь между его
радиусом действия а и величиной С/Эф получается из оценки обе-
обеих частей равенства A42.14)
а3иэф ~ H2f/m.	A42.15)
Определение A42.14), конечно, неоднозначно. Наложим на
него еще дополнительное условие, чтобы поле С/Эф удовлетворяло
условию применимости теории возмущений:
\иэф\^П2/та2	A42.16)
1)	Изложенные рассуждения, а с ними и вывод о четности функции gi
предполагают достаточно быстрое убывание взаимодействия при г —»> оо,
которое обеспечивало бы отсутствие разрезов в левой полуплоскости Е и
тем самым дало бы возможность произвести полный обход вокруг точки
Е = 0.
2)	Излагаемые ниже представления применяются, в частности, для описа-
описания рассеяния на ядрах быстрых (с энергией порядка сотен МэВ) нейтронов,
длина волны которых настолько мала, что по отношению к ним ядро может
рассматриваться как неоднородная макроскопическая среда.

722
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
(при этом |/| <С а). Легко видеть, что в таком случае ослабление
рассеиваемого пучка может быть описано как распространение
плоской волны по однородной среде, в которой частица обладает
постоянной потенциальной энергией, равной
),	A42.17)
т. е. получающейся усреднением эффективных полей всех N ча-
частиц среды по ее объему V. Это становится очевидным, если
рассмотреть сначала рассеяние на отдельном участке среды, в
котором хотя и находится уже много рассеивающих центров,
но эффект рассеяния еще мал (возможность выделения таких
участков обеспечивается условием A42.16)). Ослабление пучка
при прохождении через такой участок определяется амплитудой
рассеяния на нулевой угол, которая в свою очередь в борнов-
ском приближении определяется интегралом от рассеивающего
поля по всему объему рассеивающего участка. Это и значит, что
интересующие нас рассеивательные свойства среды полностью
определяются усредненным по ее объему полем A42.17).
Таким образом, проходящий через среду пучок частиц можно
описывать плоской волной ~ е с волновым вектором
Введя волновой вектор ко = V^thE/H падающих частиц, напи-
напишем к в виде пко] величина
) <ШЛ8)
играет роль коэффициента преломления среды по отношению к
проходящему через нее пучку частиц. Он, вообще говоря, ком-
комплексен (амплитуда комплексна!), и его мнимая часть определя-
определяет ослабление интенсивности пучка. Если Е ^> |С/Эф|, то A42.18)
дает, как и следовало,
т	N тгН2 т г/гл п\ N crt
где at — полное сечение рассеяния (мы воспользовались здесь оп-
оптической теоремой A42.10)); это выражение соответствует оче-
очевидному результату: интенсивность волны затухает по закону
N

§ 142	УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ НЕУПРУГИХ ПРОЦЕССОВ	723
Наряду с поглощением комплексный показатель преломле-
преломления A42.18) определяет также (своей вещественной частью) за-
закон преломления пучка при входе и выходе из рассеивающей
среды1).
Задача
Нейтроны рассеиваются тяжелым ядром, причем длина волны нейтро-
нейтронов мала по сравнению с радиусом а ядра (ка ^> 1). Предполагается, что все
нейтроны, падающие с орбитальным моментом I < ка = 1о (т. е. с прицель-
прицельным расстоянием р = hl/mv = 1/к < а), поглощаются ядром, а при I > lo не
взаимодействуют с ним вовсе. Определить сечение упругого рассеяния на
малые углы.
Решение.В указанных условиях движение нейтронов происходит
в основном квазиклассическим образом, а упругое рассеяние представляет
собой результат слабого отклонения, вполне аналогичного фраунгоферов-
ской дифракции света на черном шарике. Поэтому искомое сечение может
быть написано непосредственно по известному решению дифракционной за-
задачи2) :
dcre = тга 	^— do.
Этот же результат можно получить и из A42.3). По условию задачи имеем
Si = О при / < /о и Si = 1 при I > Iq. Поэтому амплитуда упругого рассеяния
1гК i=o
Основную роль в сумме играют члены с большими /. Соответственно этому,
пишем 21 вместо 21 + 1, а для Pi(cos6) при малых в пользуемся приближен-
приближенным выражением D9.6) и переходим от суммирования к интегрированию:
1°
№ = %- flJo(Ol)dl = ±l
™ J	ки
г) Интересный пример применения формулы A42.17) представляет смеще-
смещение высших уровней атома щелочного металла, погруженного в посторон-
посторонний газ. В высоковозбужденном состоянии валентный электрон находится
на среднем расстоянии г от центра атома, большом по сравнению с раз-
размерами а как атомного остатка, так и посторонних нейтральных атомов.
Эти последние атомы, находящиеся внутри сферы радиуса ~ г, играют для
валентного электрона роль центров рассеяния и приводят к сдвигу его уров-
уровня энергии на величину A42.17). При этом поскольку дебройлевская длина
волны возбужденного валентного электрона тоже велика по сравнению с а,
амплитуда /@,Е) « —а, где а —длина рассеяния (ср. A32.9)).
Таким образом, указанный эффект приводит к сдвигу уровней на посто-
постоянную величину 2пН olv/m, где т — масса электрона, a v — плотность числа
частиц постороннего газа (Е. Fermi, 1934).
2) См. II, § 61, задача 3 (задача о дифракции на черном шарике эквивалент-
эквивалентна задаче о дифракции от круглого отверстия, прорезанного в непрозрачном
экране). Сечение рассеяния получается делением интенсивности дифраги-
дифрагированных волн на плотность падающего потока.

724
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
что и требовалось ) . Полное сечение упругого рассеяния
7Г02
О
(ввиду быстрой сходимости интегрирование может быть распространено
до оо); как и следовало в данных условиях (ср. A42.8)), оно совпадает по
величине с сечением поглощения, равным просто площади геометрического
сечения шарика. Полное сечение at = 2тга2.
§ 143. Неупругое рассеяние медленных частиц
Изложенный в § 132 вывод предельного закона упругого рас-
рассеяния при малых энергиях легко обобщается на случай наличия
неупругих процессов.
Как и прежде, основную роль при малых энергиях играет
рассеяние с / = 0. Напомним, что, согласно полученным в § 132
результатам, соответствующий элемент ^-матрицы был равен
So = e2iSo « 1 + 2iS0 = 1 - 2г/са.
Использованные в § 132 свойства волновой функции меняются
только в том отношении, что налагаемое на нее условие на беско-
бесконечности (асимптотический вид A42.1)) теперь комплексно вме-
вместо вещественной стоячей волны в случае чисто упругого рас-
рассеяния. В связи с этим оказывается комплексной и постоянная
а = —С2/с\. При этом модуль |5о| уже не равен единице; условие
|/So| < 1 означает, что мнимая часть а = аг + га" должна быть
отрицательна (а!1 < 0).
Подставив So в A42.7), найдем сечения упругого и неупругого
рассеяний
сге = 4тг|а|2,	A43.1)
аг = Dтт/к)\а"\.	A43.2)
Таким образом, сечение упругого рассеяния по-прежнему
не зависит от скорости. Сечение же неупругих процессов ока-
оказывается обратно пропорциональным скорости частиц— так
1) Аналогичным образом может быть рассмотрена задача о дифракцион-
дифракционном рассеянии на «черном» ядре быстрых заряженных частиц. При этом
граничное значение /о надо определять из условия, чтобы кратчайшее рас-
расстояние между ядром и частицей, движущейся по классической траекто-
траектории в кулоновом поле, было как раз равно радиусу ядра. При I < Iq надо
по-прежнему положить Si = 0, а при / = 0 Si = е2г6г, где Si —кулоновы фазы
из A35.11). См. Л. И. Ахиезер, И. ЯПомеранчук. Некоторые вопросы теории
ядра. -М.: Гостехиздат, 1950, §22; J. Physics USSR. 1945. V.9. P. 471.

§ 143	НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ	725
называемый закон 1/v (H. A. Bethe, 1935). Следовательно, при
уменьшении скорости роль неупругих процессов по сравнению с
упругим рассеянием возрастаетх).
Предельные законы A43.1) и A43.2) являются, конечно, лишь
первыми членами разложения сечений по степеням к. Интерес-
Интересно, что следующий член разложения в обоих этих сечениях не
содержит никаких новых постоянных, помимо фигурирующих
в A43.1), A43.2) величин (Ф. Л. Шапиро, 1958). Это обстоятель-
обстоятельство является следствием четности функции go(k2) в выражении
A42.13) /o(fc) = l/[go(k2) - ik] парциальной амплитуды рассе-
рассеяния (/ = 0). При малых к эта функция разлагается, следова-
следовательно, по четным степеням к, так что следующим за go ~ — 1/а
будет член ~ к2. Пренебрегая этим членом, мы имеем право на-
написать все же в fo(k) два члена разложения fo(k) ~ — аA —ika).
Соответственно можно сохранить следующие члены разложения
и в сечениях, для которых легко получить следующие выраже-
выражения:
ае = 4тг\а\2A-2к\а"\),	A43.3)
аг = Dтг\а"\/к)A - 2к\а"\).	A43.4)
Полученные результаты предполагают достаточно быстрое
убывание взаимодействия на больших расстояниях. Мы видели в
§ 132, что амплитуда упругого рассеяния стремится при fc-^Ок
постоянному пределу, если поле U(r) убывает быстрее, чем г~3.
Это условие требуется и для справедливости аналогичного зако-
закона A43.1) при наличии неупругих каналов2).
Закон же 1/v для сечения реакции требует выполнения более
слабого условия: поле должно убывать быстрее, чем г~2, что ясно
из следующего наглядного обоснования этого закона.
Вероятность осуществления реакции при столкновении про-
пропорциональна квадрату модуля волновой функции падающей
частицы в «зоне реакции» (в области г ~ а). Физически это
утверждение выражает собой тот факт, что, например, сталки-
сталкивающийся с ядром медленный нейтрон может вызвать реакцию,
лишь «проникнув» в ядро. Если взаимодействие убывает бы-
быстрее, чем г~2, то на пути от больших г до г ~ а оно не меняет
х) Аналогичным образом можно определить зависимость от скорости пар-
парциальных сечений реакции для отличных от нуля орбитальных моментов /.
Они оказываются пропорциональными &$. со к21~1. Сечения же упругого
рассеяния ае по-прежнему пропорциональны к41, т.е. убывают при к —»> 0
быстрее, чем ov , с теми же /.
2) Формула же A43.3), учитывающая следующий член разложения по сте-
степеням к, требует убывания U более быстрого, чем г~ .

726
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
порядка величины волновой функции; другими словами, отно-
отношение \ф{а)/ф{оо)\2 стремится при к —»> 0 к конечному пределу
(это видно из того, что в уравнении Шредингера член \]ф ока-
оказывается малым по сравнению с А^). Сечение реакции получит-
получится делением \ф\2 на плотность потока. Взяв ф в виде плоской
волны, нормированной на единичную плотность потока, имеем
\ф\2 ~ 1/v, т.е. искомый результат.
При столкновении заряженных ядерных частиц, наряду с ко-
короткодействующими ядерными силами, имеется также медленно
убывающее кулоново поле. Это поле может существенно изме-
изменить величину падающей волны в зоне реакции. Сечение реак-
реакции получится умножением 1/v на отношение квадратов моду-
модулей кулоновой и свободной волновых функций (при г —>• 0); это
отношение дается формулами A36.10), A36.11). Таким образом,
получим (в кулоновых единицах)
знак плюс в показателе соответствует отталкиванию, а знак
минус—притяжению. Коэффициент А есть постоянная зако-
закона 1/v] если скорость велика по сравнению с кулоновой единицей
{к ^> 1), то кулоново взаимодействие не играет роли, и мы воз-
возвращаемся к закону <уг = А/к.
Если же скорость мала по сравнению с кулоновой единицей
(к <С 1, т.е. в обычных единицах ZiZ2e2/Hv ^> 1, где Zie, ^e —
заряды сталкивающихся частиц), то кулоново взаимодействие
играет доминирующую роль в определении величины волновой
функции в зоне реакции. Для столкновения притягивающихся
частиц имеем при этом
аг = 2тгА/к2,	A43.6)
а для столкновения отталкивающихся частиц
аг = BтгА/к2)е-2п/к.	A43.7)
В последнем случае сечение стремится к нулю при к —>• 0. Экс-
Экспоненциальный множитель, отличающий A43.7) от A43.6), есть
вероятность прохождения через кулонов потенциальный барьер;
в обычных единицах он имеет вид ехр(—2nZiZ2e2/Hv).
Отметим, что предельный закон A43.6) относится не только
к полному, но и к парциальным сечениям с каждым момен-
моментом I1). Это видно из того, что в разложении A36.1) функ-
функций ф-^ ' (фигурирующих в использованных нами формулах
1) То же самое относится к закону A43.7).

144	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ РЕАКЦИЙ	727
A36.10), A36.11)) во всех членах суммы функции Лд./ имеют
одинаковую предельную зависимость от к. Действительно, в пре-
пределе к —>• 0 радиальные функции (в случае притяжения) даются
выражениями C6.25) и вблизи центра имеем Л&/ ~ укг1. Вкла-
Вклады отдельных моментов в квадрат волновой функции в зоне
реакции ~ а?1 /к, т.е. одинаково зависят от к, хотя и ослабляют-
ослабляются малым множителем (а/асJ1 (ас = H2/(mZiZ2e2) — кулонова
единица длины).
§ 144. Матрица рассеяния при наличии реакций
Рассматривавшееся в § 142,143 сечение аг представляло со-
собой суммарное сечение всех возможных неупругих каналов рас-
рассеяния. Покажем теперь, каким образом строится общая теория
неупругих столкновений, в которой каждый канал может рас-
рассматриваться в отдельности.
Пусть в результате столкновения двух частиц возникает сно-
снова две (те же или другие) частицы. Перенумеруем все возмож-
возможные (при заданной энергии) каналы реакции и будем отмечать
относящиеся к ним величины соответствующими индексами.
Пусть канал г является входным. Волновая функция отно-
относительного движения сталкивающихся частиц (в системе центра
инерции) в этом канале представляет собой уже неоднократно
писавшуюся нами сумму падающей плоской волны и упруго рас-
рассеянной расходящейся волны:
fuF) exp(ikir)/r.	A44.1)
Квадрат амплитуды fa дает сечение упругого рассеяния в кана-
Лбг:	d*u = \fii\2do.	A44.2)
В других каналах (индекс /) волновые функции относитель-
относительного движения частиц представляют собой расходящиеся волны.
По причине, которая выяснится ниже, эти волны удобно пред-
представить в виде1)
J(ife)	A44.3)
х) Мы снова (ср. примеч. на с. 187) отмечаем начальное состояние системы
индексом г, а конечное—индексом /. В амплитуде рассеяния индекс ко-
конечного состояния располагается слева от индекса начального состояния в
соответствии с расположением индексов матричных элементов. В таком же
порядке будут располагаться, для единообразия, индексы в обозначениях
сечений.

728
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
где кf — волновой вектор относительного движения продуктов
реакции (в канале /), в — его угол с осью z, a mi и rrif — приве-
приведенные массы двух начальных и двух конечных частиц. Рассеян-
Рассеянный поток в телесном угле do получается умножением квадрата
IV*/12 на Vfr^do, а сечение соответствующей реакции — делением
этого потока на плотность падающего потока, равную V{\
of,	A44.4)
Pi
где импульсы pi = rriiVi, pf = rrifff.
В § 125 был введен оператор рассеяния 5, переводящий схо-
сходящуюся волну в расходящуюся. При наличии нескольких ка-
каналов этот оператор имеет матричные элементы для переходов
между различными каналами. «Диагональные» по каналам эле-
элементы соответствуют упругому рассеянию, а недиагональные —
различным неупругим процессам; все эти элементы остаются еще
операторами по другим переменным. Они определяются следую-
следующим образом.
Подобно тому как это было сделано в § 125, введем операторы
fa, ffi, связанные с амплитудами /^, /^, определив их форму-
Л°Й:	Sfi = Sfi + 2i^Wfffi.	A44.5)
Легко видеть, что именно при таком определении мы по-
получим 5-матрицу, которая должна будет удовлетворять усло-
условию унитарности. Действительно, напишем волновую функцию
во входном канале в виде совокупности сходящейся и расходя-
расходящейся волн, как она была представлена в § 125:
A44б)
(здесь введен, для удобства, лишний множитель vi по срав-
сравнению с выражением A25.3)). Тогда, при принятых нами обо-
обозначениях амплитуд, волновая функция в канале / напишется в
виде
J^J^	^ A44.7)
Поток в сходящихся волнах должен быть равен сумме пото-
потоков в расходящихся волнах во всех каналах; это требование вы-
выражает собой очевидное условие, что сумма вероятностей всех

§ 144	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ РЕАКЦИЙ	729
возможных (упругого и неупругих) процессов, которые могут
возникнуть при столкновении, должна быть равна единице. Бла-
Благодаря введенным в знаменатели сферических волн множите-
множителям л/v скорость выпадает из плотностей потоков в них. Поэто-
Поэтому поставленное условие означает просто требование совпадения
нормировок сходящейся и совокупности расходящихся волн. Оно
выражается, следовательно, по-прежнему условием унитарности
оператора рассеяния, понимаемого как матрица, в частности, и
по номерам различных каналов. Для операторов ffi это условие
выражается равенством
ffi -f+ = 2iJ2knffnft,	A44.8)
П
аналогичным A25.7); индекс + означает здесь комплексное со-
сопряжение и транспонирование по всем остальным (помимо но-
номера канала) матричным индексам.
5-матрица диагональна по отношению к состояниям с опре-
определенными значениями величины орбитального момента /; соот-
соответствующие матричные элементы будем отличать индексом (/).
Воздействовав операторами fa и ffi на функцию A25.17), полу-
получим амплитуды упругих и неупругих процессов в виде
A44.9)
Соответствующие интегральные сечения
J	?	A44.10)
г 1=0	г 1=0
Первая из этих формул совпадает с A42.3). Полное же сечение
реакций аг (из входного канала г) есть сумма <Jr = ^2f 0fi ПО
всем / ф г. В силу унитарности 5-матрицы имеем ^/? |5/^|2 =
= 1 — |5^г|2, и мы возвращаемся к формуле A42.4) для аг.
Симметрия процесса рассеяния по отношению к обращению
времени (теорема взаимности) выражается равенством
Sfi = Si*f*.	A44.11)
или, что то лее:
?fi = ?ff-	A44.12)

730
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
Здесь г* и /* обозначают состояния, отличающиеся от состоя-
состояний г и / изменением знаков импульсов и проекций спинов ча-
частиц1); о них говорят как об обращенных по времени по от-
отношению к состояниям г и /. Соотношения A44.11), A44.12)
обобщают формулы A25.11), A25.12), относящиеся к упругому
рассеянию2).
Равенство A44.12) приводит к следующему соотношению для
сечений реакции:
dafi/p2fdof = dai*f*/pfdoi*.	A44.13)
Оно выражает собой принцип детального равновесия.
Как было указано в § 126, в случае применимости теории воз-
возмущений в первом ее приближении, наряду с теоремой взаимно-
взаимности, имеет место также и дополнительное соотношение между
амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле слова)
процессов: г —»> / и / —»> г. Это свойство, выражающееся равен-
равенством ffj = f*p имеет место (в том же приближении) и для
неупругих процессов. Сечения при этом связаны равенством
dafi/p2fdof = dcTif/pfdoi.	A44.14)
Разница между переходами г —»> / и г* —»> /* исчезает, ес-
если рассматривать интегральные сечения, проинтегрированные
по всем направлениям pj, просуммированные по направлениям
спинов конечных частиц sij, 52/ и усредненные по направлени-
направлениям импульса р^ и спинов su, S2% начальных частиц. Обозначим
такое сечение через Tiff.
/
(ms)
сумма берется по проекциям спинов всех частиц; множитель же
перед знаком сумм и интегралов связан с тем, что по величинам,
относящимся к начальным частицам, производится не суммиро-
суммирование, а усреднение. Написав A44.13) в виде
и произведя указанные действия, получим искомое соотношение
if,	A44.15)
1)	Для сложных частиц (атом, атомное ядро) под «спином» надо понимать
здесь полный собственный момент, составленный как из спинов, так и из
орбитальных моментов внутренних движений составных частей.
2)	Мы отвлекаемся здесь от множителя — 1, который может возникнуть для
столкновений частиц, обладающих спином (ср. A40.11)). Это обстоятельство
не отражается, конечно, на соотношении A44.13) для сечений.

§ 145	ФОРМУЛЫ БРЕЙТА И ВИГНЕРА	731
через gi и gf здесь обозначены величины
gi = BSli + l)Bs2i + 1), gf = B5i/ + 1)B*2/ + 1), A44.16)
определяющие числа возможных ориентации спинов пары на-
начальных и пары конечных частиц; эти числа называют стати-
статистическими весами состояний г и /.
Наконец, отметим следующее свойство амплитуд ffi. Мы ви-
видели в предыдущем параграфе, что сечение реакции меняется
при pi —»> 0 по закону Ofi ~ 1/pi (при достаточно быстром убы-
убывании взаимодействия на больших расстояниях). Согласно фор-
формуле A44.4) это означает, что ffi —»> const при pi —»> 0. В силу
симметрии A44.12) отсюда следует, что ffi стремится к посто-
постоянному пределу также и при pf —> 0. Мы еще вернемся к этому
свойству в § 147.
§ 145. Формулы Брейта и Вигнера
В § 134 было введено понятие о квазистационарных состоя-
состояниях, как о состояниях, обладающих конечной, но сравнительно
большой продолжительностью жизни. С широкой категорией та-
таких состояний мы имеем дело в области ядерных реакций при не
слишком больших энергиях, идущих через стадию образования
составного ядра1).
Наглядная физическая картина происходящих при этом про-
процессов заключается в том, что падающая на ядро частица, вза-
взаимодействуя с нуклонами ядра, «сливается» с ним, образуя со-
составную систему, в которой привнесенная частицей энергия рас-
распределяется между многими нуклонами. Резонансные энергии
соответствуют квазидискретным уровням этой составной систе-
системы. Большая (по сравнению с периодами движения нуклонов
в ядре) продолжительность жизни квазистационарных состоя-
состояний связана с тем, что в течение большей части времени энер-
энергия распределена между многими частицами, так что каждая из
них обладает энергией, недостаточной для того, чтобы вылететь
из ядра, преодолев притяжение остальных частиц. Лишь срав-
сравнительно редко на одной частице концентрируется достаточно
большая для этого энергия. При этом распад составного ядра
может произойти различными способами, отвечающими различ-
различным возможным каналам реакции2).
х) Представление о составном ядре было выдвинуто Н. Бором A936).
2) В число конкурирующих процессов входит также радиационный захват
падающей частицы, при котором возбужденное составное ядро переходит в
свое основное состояние, испуская 7"квант. Этот процесс тоже «медленен»
ввиду сравнительно малой вероятности излучательного перехода.

732
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
Описанный характер таких столкновений позволяет утвер-
утверждать, что возможность неупругих процессов в них не сказыва-
сказывается на потенциальной части амплитуды упругого рассеяния, не
связанной со свойствами составного ядра (см. § 134); они меняют
лишь величину резонансной части амплитуды упругого рассея-
рассеяния. По той же причине амплитуды процессов неупругого рассе-
рассеяния, происходящих через стадию образования составного ядра,
имеют чисто резонансный характер. При этом резонансные зна-
знаменатели всех амплитуд, связанные с обращением в нуль коэф-
коэффициента при сходящейся волне при Е = Е$ — гГ/2, сохраняют
свой прежний вид (Е — ?"о+гГ/2), где Г по-прежнему определяет
полную вероятность распада (любого) данного квазистационар-
квазистационарного состояния составного ядра.
Эти соображения, вместе с условием унитарности, которому
должны удовлетворять амплитуды рассеяния, достаточны для
установления их вида.
Вычисления удобно производить в симметричном виде, пе-
перенумеровав все возможные каналы распада составного ядра и
не фиксируя заранее, который из них будет являться для дан-
данной реакции входным (индексы, указывающие номер канала,
будем обозначать буквами а, 6, с,...). Далее, будем рассмат-
рассматривать парциальные амплитуды рассеяния, отвечающие тому
значению /, которым обладает данное квазистационарное состо-
состояние1). В соответствии со сказанным выше будем искать эти
амплитуды в виде
i(Sa+Sh)	™аЪ
(индекс / у постоянных 5а и Маъ для упрощения записи опуска-
опускаем). Первый член здесь присутствует лишь при а = Ь\ он пред-
представляет собой амплитуду потенциального упругого рассеяния в
канале а (постоянные 6а совпадают с фигурирующими в фор-
формуле A34.12) фазами 6^ ). Второй же член в A45.1) отвечает
резонансным процессам. Форма записи коэффициента при резо-
резонансном множителе в этом члене выбрана так, чтобы упростить
результат применения условий унитарности (см. ниже).
Поскольку мы рассматриваем рассеяние при заданном зна-
значении абсолютной величины орбитального момента, т. е. величи-
величины, не меняющей знака при обращении времени, теорема взаим-
взаимности (симметрия по отношению к обращению времени) выра-
выражается просто симметричностью амплитуд /^ по индексам а, Ъ.
1) Мы будем отвлекаться сначала от усложняющего влияния спинов участ-
участвующих в процессе частиц.

§ 145	ФОРМУЛЫ БРЕЙТА И ВИГНЕРА	733
Отсюда следует, что должны быть симметричными также и ко-
коэффициенты МаЪ (МаЪ = МЪа).
Условия унитарности для амплитуд /^ гласят:
c/?ViT	A45.2)
с
(ср. A44.8)). Подставив сюда выражения A45.1), получим после
простого вычисления
м:ъмаЪ =
=
Е-Ео- A/2)гГ Е - Ео + A/2)гГ {Е - Е0J + A/4)Г2 *
Для того чтобы это равенство выполнялось тождественно при
произвольной энергии Е, прежде всего должно быть Маъ = М*ь,
(т. е. величины Маъ вещественны. После этого найдем, что
A45.3)
т. е. матрица коэффициентов Маъ совпадет со своим квадратом.
Симметричная вещественная матрица Маъ путем надлежа-
надлежащего линейного ортогонального преобразования U может быть
приведена к диагональному виду. Обозначив диагональные эле-
элементы (собственные значения) матрицы через М^а\ напишем это
преобразование в виде
а,Ъ
причем коэффициенты преобразования удовлетворяют соотно-
соотношениям ортогональности
Y,U«cUpc = Sap.	A45.4)
с
Обратно
Mab = J2UaaUabM^.	A45.5)
а
Соотношения A45.3) приводят для собственных значе-
значений М(а) к условиям М(а) = (М(а)J, откуда следует, что эти
значения могут быть равны лишь 0 или 1. Если из всех М^
отлично от нуля лишь одно (пусть М^1) = 1), то из A45.5) имеем
МаЬ = UlaUlb,	A45.6)

734
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
т. е. все элементы матрицы Маъ выражаются через набор величин
JJla (а = 1, 2, ...). Если же отличны от нуля несколько значе-
значений М^а\ то элементы Маъ представляются в виде сумм членов,
выражающихся через различные наборы C/ia, ?/0 ?• •• величин,
связанных друг с другом лишь соотношениями ортогонально-
ортогональности, а в остальном независимых. Такой случай соответствовал
бы случайному вырождению, когда одному и тому же квазидис-
квазидискретному уровню энергии отвечает несколько различных ква-
квазистационарных состояний составного ядра1). Отбрасывая эти
не представляющие интереса случаи, т. е. рассматривая невыро-
невырожденные уровни, мы приходим, следовательно, к выводу, что
элементы матрицы Маъ представляют собой произведения ве-
величин, каждая из которых зависит от номера лишь одного из
каналов.
Введя обозначение
\Uia\ = y/YjY,
перепишем формулу A45.6) в виде
МаЪ = ±v/Tjyr	A45.7)
(знак Маъ зависит от знаков Uia и Uib и остается неопределен-
неопределенным). В силу равенства ^UicUic = 1 введенные таким образом
величины Га удовлетворяют соотношению
а = Г.	A45.8)
Их называют парциальными ширинами различных каналов.
Формулы A45.1), A45.7), A45.8) устанавливают искомый общий
вид амплитуд рассеяния.
Перепишем теперь окончательные формулы, фиксируя один
из каналов как входной2). Парциальную ширину этого канала
обозначим как Ге (упругая ширина), а ширины, отвечающие раз-
различным реакциям, — как ГГ1, ГГ2,...
Полная амплитуда упругого рассеяния
х) Это в особенности ясно видно в случае, когда все М^ = 1. Из A45.4),
A45.5) следует, что тогда и Маъ = 6аь, т.е. переходы между различными
каналами вообще отсутствуют. Другими словами, этот случай соответство-
соответствовал бы нескольким независимым квазидискретным состояниям, каждое из
которых осуществляется при упругом рассеянии в одном из каналов.
2) Эти формулы были впервые получены Брейтом и Вигнером (О. Breit,
Е. Wigner, 1936).

145	ФОРМУЛЫ БРЕЙТА И ВИГНЕРА	735
где к—волновой вектор падающей частицы, a f^ — амплиту-
амплитуда потенциального рассеяния. Эта формула отличается от вы-
выражения A34.12) заменой Г в числителе резонансного члена на
меньшую величину Ге.
Амплитуды неупругих процессов имеют, как уже указыва-
указывалось, чисто резонансный характер. Дифференциальные сечения:
dar = B/ +21)	^ф±	,[Pi(cose)}2do,	A45.10)
а 4к2 (Е - Е0J + A/4)Г2 L ?V yj '	V J
а интегральные сечения:
ft	A45Л1)
Суммарное сечение всех возможных неупругих процессов
~' v ' ^2(Е-Е0J + A/4)Г2'
где Гг = Г — Ге —полная «неупругая ширина» уровня.
Представляет также интерес значение сечения реакций, про-
проинтегрированное по области энергий вокруг резонансного зна-
значения Е = Е$. Поскольку аг быстро падает при удалении от
резонанса, интегрирование по Е — Е$ можно распространить от
—ос до ос, и мы получим
aTdE = B1 + 1)^^.	A45.13)
При рассеянии медленных нейтронов (длина волны велика по
сравнению с размерами ядра) существенно лишь s-рассеяние и
амплитуда потенциального рассеяния сводится к вещественной
постоянной — а. Вместо A34.14) имеем теперь
Полное сечение упругого рассеяния равно
Член 4тга2 можно назвать сечением потенциального рассея-
рассеяния. Мы видим, что в резонансной области имеет место интер-
интерференция между потенциальным и резонансным рассеяниями.
Лишь в непосредственной близости уровня (Е — Ео ~ Г) может
оказаться возможным пренебречь амплитудой а (напомним, что
\ак\ <С 1), и тогда формула для сечения упругого рассеяния мед-
медленных нейтронов принимает вид
Ji	<i4s-i6>

736
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
Полное сечение как упругого, так и неупругого рассеяний при
этом равно
?	A45'17>
В условиях, когда можно пренебречь потенциальным рассея-
рассеянием, сечения <те, аГа можно представить в виде
Ге	Гг
Величину at — сумму сечений всех возможных резонансных про-
процессов — можно при этом рассматривать как сечение образования
составного ядра. Сечения же различных упругого и неупругих
процессов получаются умножением at на относительные вероят-
вероятности того или иного распада составного ядра, которые дают-
даются отношениями соответствующих парциальных ширин к пол-
полной ширине уровня. Возможность такого представления сечений
возникла как следствие факторизации (распадения на множите-
множители) коэффициентов Маъ в числителях амплитуд рассеяния. Оно
соответствует физической картине процесса столкновения, как
происходящего в две стадии: образования составного ядра в опре-
определенном квазистационарном состоянии и его распада по тому
или иному каналуг).
Как уже было указано в § 134, область применимости рас-
рассматриваемых формул ограничивается лишь требованием, что-
чтобы разность \Е — Eq\ была мала по сравнению с расстоянием D
между соседними квазидискретными уровнями составного яд-
ядра (с одинаковыми значениями момента). Там же, однако, было
указано, что в таком виде эти формулы не допускают перехода
к пределу Е —> 0, вопрос о котором возникает, если значение
Е = 0 находится в резонансной области. В этом случае фор-
формулы должны быть видоизменены путем замены энергии Eq на
некоторую связанную с ней постоянную so и упругой ширины Ге
на 7е\Е] неупругая же ширина Гг должна по-прежнему рас-
рассматриваться как постоянная (Н. A. Beihe, G. Placzek, 1937J).
1)	Мы проводили выше все вычисления, имея в виду реакции вида а-\-Х =
= Ь + У, в которых из двух первоначальных частиц (ядро + падающая ча-
частица) возникают снова две частицы. Это предположение, однако, не имеет
фундаментального значения, как ясно из физического характера получен-
полученных результатов. Формулы вида A45.11) для интегральных сечений спра-
справедливы и для реакций с вылетом из ядра более одной частицы.
2)	Существенно, что для неупругих процессов, возможных при малых энер-
энергиях (например, радиационного захвата), значение Е = 0 не является поро-
пороговым. Для парциальных ширин ГГа потребовалась бы замена, аналогичная
указанной для Ге замены, при энергиях, близких к порогу данной реакции,
ниже которого она вообще невозможна.

§ 145	ФОРМУЛЫ БРЕЙТА И ВИГНЕРА	737
В результате этой замены неупругое сечение A45.12) будет воз-
возрастать при Е —> 0 как 1/л/Е в согласии с общей теорией неупру-
неупругого рассеяния медленных частиц (см. § 143).
Учет спинов сталкивающихся частиц приводит, в общем слу-
случае, к довольно громоздким формулам. Мы ограничимся наибо-
наиболее простым, но важным случаем рассеяния медленных нейтро-
нейтронов, когда в рассеянии участвуют лишь орбитальные моменты
/ = 0. Спин составного ядра получается при этом сложением
спина г ядра-мишени со спином s = 1/2 нейтрона, т.е. может
иметь значения j = г ± 1/2 (предполагаем, что г ф 0; в против-
противном случае никакого изменения в формулах вообще не проис-
происходит). Каждый квазидискретный уровень составного ядра от-
относится к одному определенному значению j. Поэтому сечение
реакции получится умножением выражения A45.12) (с / = 0) на
вероятность g(j) системе ядро + нейтрон иметь нужное значе-
значение j — то, для которого имеется резонансный уровень.
Будем считать, что спины нейтронов и ядер мишени ори-
ориентированы беспорядочным образом. Всего имеется Bг + 1) х
х Bs + 1) = 2Bг + 1) возможных ориентации пары спинов ins.
Из них заданному значению j суммарного момента соответству-
соответствует Bj +1) ориентации. Считая все ориентации равновероятными,
найдем, что вероятность данного значения j равна
gfj) = 2^ + 1 .	A45.18)
bKJ) 2Bг + 1)	V	}
Аналогичным образом должна быть изменена формула для
сечения упругого рассеяния. При этом надо учесть, что в потен-
потенциальном рассеянии участвуют оба значения j. Поэтому множи-
множитель g(j) (с j, соответствующим резонансному уровню) должен
быть введен во второй член в A45.15), а член 4тга2 должен быть
заменен суммой V • g(j) • 4тта^2.
Тот факт, что резонансные реакции идут через стадию об-
образования составного ядра, находящегося в определенном ква-
квазистационарном состоянии, позволяет высказать некоторые об-
общие соображения по поводу угловых распределений продуктов
этих реакций. Каждое квазистационарное состояние обладает,
наряду с другими своими характеристиками, определенной чет-
четностью. Той же четностью будет поэтому обладать и система
частиц (Ь + У), образовавшихся при распаде составного ядра.
Это значит, что волновая функция этой системы, а тем самым
и амплитуды реакций, при инверсии системы координат могут
лишь умножаться на ±1; квадраты же амплитуд, т.е. сечения,
остаются, следовательно, при этом неизменными. Инверсия ко-
координат означает (в системе центра инерции частиц) замену

738
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
0 —)> тг — 0, <р —»> тг + <р для полярного угла и азимута, определяю-
определяющих направление рассеяния. Угловое распределение продуктов
реакции должно, следовательно, обладать инвариантностью по
отношению к этой замене. В частности, после усреднения по
направлениям спинов всех участвующих в реакции частиц, се-
сечение зависит только от одного угла рассеяния в. Распределение
по этому углу должно быть симметричным по отношению к за-
замене в —»> тг — 0, т.е. угловое распределение (в системе центра
инерции) симметрично по отношению к плоскости, перпендику-
перпендикулярной к направлению сталкивающихся частиц1).
Вследствие очень большого числа густо расположенных
уровней составного ядра детальный энергетический ход сечений
различных процессов рассеяния очень сложен. Эта сложность
затрудняет, в частности, обнаружение каких-либо систематиче-
систематических изменений в свойствах сечений при переходе от одних ядер
к другим. В связи с этим имеет смысл рассмотрение хода сечений
без деталей резонансной структуры, усредненных по энергетиче-
энергетическим интервалам, большим по сравнению с расстояниями между
уровнями. При таком рассмотрении мы отказываемся также и от
различения между разными типами неупругих процессов, а все
рассеяние делим лишь —в указанном ниже смысле —на «упру-
«упругое» и «неупругое»2).
Для уяснения смысла производимых усреднений снова отвле-
отвлечемся от связанных со спинами усложнений и рассмотрим пар-
парциальные сечения рассеяния с / = 0.
Согласно формулам A42.7)
A45.19)
сечения упругого и неупругого рассеяний, а с ними и полное се-
сечение выражаются через одну и ту же величину S (индексы @)
для краткости опускаем). При усреднении по энергетическому
интервалу полное сечение, зависящее от S линейно, выразится
через среднее значение S согласно
at = ^ * 2(! - ^е 5)	A45.20)
(медленно меняющийся множитель к~2 оставляем незатронутым
усреднением). В качестве же «упругого» сечения в усредненной
1)	Для бесспиновых частиц дифференциальное сечение реакции было бы
пропорционально просто [Pi(cos6)]2 и указанная симметрия очевидна.
2)	Излагаемый ниже способ усреднения (для перехода к так называемой
оптической модели ядерного рассеяния) предложен Вейсскопфом, Порте-
Портером и Фешбахом (V. F. Weisskopf, С. Е. Porter, H. Feshbach, 1954).

§ 145	ФОРМУЛЫ БРЕЙТА И ВИГНЕРА	739
картине введем величину
^р* = (тг/А;2)|5-1|2,	A45.21)
не совпадающую, вообще говоря, со средним значением ае. Дру-
Другими словами, мы определяем упругое рассеяние, произведя
предварительное усреднение амплитуды в расходящейся вол-
волне Selkr/г. При таком определении упругое рассеяние волнового
пакета оставляет неизменной его форму; можно сказать, что се-
сечение A45.21) относится к «когерентной» части рассеяния. Это
значит, что из упругого рассеяния исключена та его часть, кото-
которая осуществляется через стадию образования составного ядра:
при возникновении длительно существующего составного ядра и
последующем его распаде специфика падающего волнового паке-
пакета, естественно, теряется. «Неупругое» же сечение в усредненной
модели определяем теперь естественным образом как разность
—opt — —opt
(Уа = CTt - °е , Т. е.
ff2pt = (Tr/fc2)(l-|5|2).	A45.22)
Сюда отнесены, таким образом, не только различные неупругие
процессы, но и та часть упругого рассеяния, которая идет с об-
образованием промежуточного составного ядра.
Легко видеть, что указанное истолкование правильно отра-
отражает ситуацию, имеющую место в предельных случаях, и потому
имеет разумный интерполяционный характер.
В той области низких энергий, где мы имеем дело с хорошо
разрешенными резонансами (Г ^С Д), вблизи каждого уровня S
дается формулой
Усредняя это выражение, получим
5 = A - 7гГе/?)) ехрBг?@)),	A45.23)
где Ге и D — средняя (по уровням, содержащимся в данном ин-
интервале энергий) упругая ширина и среднее расстояние между
уровнями; медленно меняющуюся функцию S^(E) можно при
усреднении считать постоянной. Отсюда находим
о** = (ir/k2)BirTe/D),	A45.24)
где опущены малые члены ~ (Г/Д)х). Это выражение действи-
действительно совпадает со средним значением сечения A45.17), соот-
соответствующего, как было указано, образованию составного ядра.
х) Такого же порядка были бы и члены, которые возникли бы в результате
учета в области вблизи одного уровня влияния других уровней.

740
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
По мере увеличения энергии возбуждения составного ядра
расстояния между его уровнями уменьшаются, а вероятности
распада (тем самым и полные ширины уровней) возрастают, так
что уровни начинают перекрываться (самое понятие квазидис-
квазидискретных уровней при этом в значительной степени теряет свой
смысл). В результате нерегулярности хода функции S(E) сгла-
сглаживаются, так что разница между точной и усредненной функ-
функциями становится малой, и потому сечение A45.22) совпадает с
аг из A45.19). Это находится в соответствии с тем, что при вы-
высоких энергиях распад составного ядра через входной канал не
играет никакой роли по сравнению с многочисленными другими
возможными при таких энергиях способами распада; поэтому в
этой области все процессы, идущие с образованием составного
ядра, можно считать неупругими.
Таким образом, в усредненной картине рассеяние снова опре-
определяется одной величиной E), являющейся теперь плавной
функцией энергии. В так называемой оптической модели для
вычисления этой функции рассеивающие свойства ядра аппрок-
аппроксимируются силовым полем с комплексным потенциалом. Нали-
Наличие у потенциала мнимой части приводит к тому, что наряду с
упругим рассеянием имеется также и поглощение частиц. Это
поглощение, сечение которого дается выражением A45.22), и
отождествляется с «неупругим» рассеянием в усредненной кар-
картине.
§ 146. Взаимодействие в конечном состоянии
при реакциях
Взаимодействие между частицами, возникающими в резуль-
результате какой-либо реакции, может оказать существенное влияние
на их энергетическое и угловое распределение. Естественно, что
это влияние должно быть особенно заметным в тех случаях, ко-
когда мала относительная скорость взаимодействующих частиц. С
таким явлением мы имеем дело, например, в ядерных реакциях,
сопровождающихся вылетом двух или более нуклонов, причем
эффект связан с ядерными силами, действующими между сво-
свободными нуклонамих).
Пусть ро — импульс центра инерции пары вылетающих ну-
нуклонов, а р —импульс их относительного движения. Предполо-
Предположим, что р <С рсь а потому и относительная энергия Е = р2/т
х) Излагаемые ниже результаты были получены А. Б. Мигдалом A950) и
независимо Ватсоном (К. М. Watson, 1952).

§ 146	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В КОНЕЧНОМ СОСТОЯНИИ ПРИ РЕАКЦИЯХ	741
(т — масса нуклона) мала по сравнению с энергией движения
центра инерции Е$ = Рд/4т. В то же время предположим, что
энергия Е$ велика по сравнению с энергией е уровня (истинного
или виртуального), которым обладает система двух нуклонов.
Другими словами, «медленным» предполагается лишь относи-
относительное движение нуклонов, сами же они являются «быстрыми».
Вероятность реакции пропорциональна квадрату модуля вол-
волновой функции образующихся частиц, когда они находятся в
«зоне реакции», т. е. на расстояниях друг от друга порядка ра-
радиуса а действия ядерных сил (ср. аналогичные соображения в
§143 по отношению к первичным частицам). В данном случае
нагла цель заключается в определении зависимости вероятности
реакции лишь от характеристик относительного движения одной
пары нуклонов. Поэтому достаточно рассматривать лишь волно-
волновую функцию фр(т) этого движения, так что вероятность обра-
образования пары нуклонов с относительным импульсом в интервале
<Рр есть	dWp = const .|^p(a)|2d3p	A46Л)
Как было показано в § 136, для нахождения вероятности пе-
перехода системы при рассеянии в состояние с определенным на-
направлением движения надо пользоваться в качестве волновых
функций конечного состояния функциями фр , содержащими
(на бесконечности), наряду с плоской волной, лишь сходящуюся
волну; эти функции должны быть нормированы на ^-функцию
от импульса. Кроме того, функции ^р ^ непосредственно получа-
получаются (путем комплексного сопряжения и изменения знака р) из
функций ^р , содержащих на бесконечности расходящиеся сфе-
сферические волны, т. е. соответствующих задаче о взаимном рас-
рассеянии двух частиц. При подстановке в A46.1) это различие во-
вообще несущественно, так что можно понимать под фр в A46.1)
функции фр , и, таким образом, задача сводится к уже рассмат-
рассматривавшейся нами задаче о резонансном рассеянии медленных
частиц.
Хотя истинный вид функции фр в области г ~ а неизвестен,
но для определения зависимости вероятности от энергии Е до-
достаточно рассмотреть эту функцию на расстояниях г > 1/к ^> a
(где к = р/Н\ предполагается, что ак <С 1), продлив затем
ее, по порядку величины, к расстояниям г ~ а1). При этом
1) Допустимость такой процедуры связана с тем, что в области г <С 1/к
в уравнении Шредингера, определяющем функцию фр, можно пренебречь
энергией Е. Поэтому зависимость функции ф от Е в этой области полностью
определяется ее «сшивкой» с функцией в области г ~ 1/к.

742
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
основной вклад в фр дает сферическая волна (содержащая мно-
множитель 1/г). Эта волна представляет собой совокупность пар-
парциальных волн с различными значениями /, амплитуды кото-
которых являются соответствующими амплитудами рассеяния. Для
определения квадрата ^(а)]2 достаточно при этом ограничить-
ограничиться лишь 5-волной, поскольку при малых энергиях амплитуды
рассеяния с / ф 0 относительно малы. Согласно формуле A33.7)
имеем, таким образом,
Ь —,	A46.2)
Г
где к = у/т\е\/Н, а е есть энергия связанного (или виртуального)
состояния системы двух нуклонов1). Подставив это выражение
в A46.1), получим
dwv = const .-^-.	A46.3)
р	Е+\е\	v	J
Таким образом, распределение по направлениям импульса
(в системе центра инерции двух нуклонов) изотропно.
Распределение же по энергиям относительного движения да-
дается формулой
dwE = const	.	A46.4)
Е+ \е\
Мы видим, что взаимодействие нуклонов приводит к появлению
в области малых Е максимума в распределении (при Е ~ \е\J).
Малым значениям относительного импульса (р <С ро) отве-
отвечают в лабораторной системе координат малые углы в между
импульсами обоих нуклонов. Поэтому наличию максимума в рас-
распределении по Е соответствует в лабораторной системе угловая
корреляция между направлениями вылета нуклонов, проявляю-
проявляющаяся в повышенной вероятности малых значений 9.
) Мы имеем здесь в виду пару пр с параллельными или антипараллель-
нымн спинами, или пару пп с антипараллельными спинами. В случае же
пары рр ситуация осложняется кулоновым отталкиванием; этот случай дол-
должен рассматриваться на основе теории, изложенной в § 138.
2) Строго говоря, от Е могут зависеть (через посредство остальных частей
волновой функции всей системы продуктов реакции) также и постоянные ко-
коэффициенты в формулах A46.3), A46.4). Эта зависимость, однако, слабая —
как функция от Е этот коэффициент заметно меняется лишь на протяже-
протяжении всего интервала энергий (~ Ео), которую может приобрести в данной
реакции пара нуклонов. Поэтому для распределения в области Е ^ Ео этой
зависимостью можно пренебречь по сравнению с сильной зависимостью, ха-
характеризуемой формулой A46.4).

§ 147	ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РЕАКЦИИ	743
Пусть pi и р2—импульсы нуклонов в лабораторной системе.
Тогда
РО = Pi + Р2, Р = "(Р2 - Pi)
(напомним, что приведенная масса двух одинаковых частиц
есть га/2). Перемножив векторно эти два равенства, получим
[РоР] = [Р1Р2]; ПРИ Р < Ро отсюда имеем
РоР± =	j
или в = 4р±/ро, где р± —поперечная (по отношению к направле-
направлению ро) компонента вектора р, а в — малый угол между направ-
направлениями pi и р2- Переписав формулу A46.3) в виде
27rp±dp±dp\\
dwp = const •	"
р
и проинтегрировав по фц, найдем распределение вероятностей
по углу б. Ввиду быстрой сходимости интеграла интегрирование
можно распространить по области от —ос до ос, и окончательно
находим
= const - .		.	A46.5)
Отнесенное к элементу телесного угла do ~ 2тгв d9 угловое рас-
распределение имеет максимум при в ~ ^/\s\/Eq.
§ 147. Поведение сечений вблизи порога реакции
Если сумма внутренних энергий продуктов реакции превы-
превышает таковую у первоначальных частиц, то реакция имеет по-
порог: она может иметь место, лишь если кинетическая энергия Е
сталкивающихся частиц (в системе центра инерции) превыша-
превышает определенное, пороговое, значение Еи. Рассмотрим характер
энергетической зависимости сечения реакции вблизи ее порога.
При этом будем считать, что в результате реакции образуются
снова всего две частицы (реакция типа А + В = А' + В').
Вблизи порога относительная скорость vr образовавшихся ча-
частиц мала. Такая реакция является обратной по отношению к
реакции, в которой мала скорость сталкивающихся частиц. За-
Зависимость ее сечения от v' может быть поэтому легко найдена
с помощью принципа детального равновесия A44.13) по извест-
известной энергетической зависимости реакции, для которой v' было

744
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
бы скоростью во входном канале (§143). В широкой категории
реакций, когда между частицами А' и В' нет кулонова взаимо-
взаимодействия (таковы, например, ядерные реакции с образованием
медленного нейтрона), мы находим, таким образом, что сечение
реакции пропорционально vr2(l/vr), т.е.1)
ar covf.	A47.1)
Тем самым мы находим и зависимость сечения от энергии стал-
сталкивающихся частиц: скорость ?/, а с ней и сечение реакции про-
пропорциональны корню из разности Е — Еи:
аг = А^Е - Еи.	A47.2)
Амплитуды рассеяния по различным каналам связаны друг
с другом соотношениями унитарности. Благодаря этой связи от-
открытие нового канала приводит к появлению определенных осо-
особенностей в энергетических зависимостях сечений также и дру-
других процессов, в том числе упругого рассеяния (Е. Wigner, 1948;
А. И. Базъ, 1957; G.Breii, 1957). Для выяснения происхождения
и характера этого явления рассмотрим простейший случай, ког-
когда ниже порога реакции возможно лишь упругое рассеяние.
Вблизи порога частицы А' и В' образуются в состоянии с ор-
орбитальным моментом / = 0 (именно этому и соответствует закон
A47.2)). Если участвующие в реакции частицы не имеют спина,
то орбитальный момент сохраняется, и потому система частиц
А + В тоже находится в s-состоянии. Согласно A42.7) парциаль-
парциальное сечение реакции для / = 0 связано с элементом 5-матрицы,
соответствующим упругому рассеянию, формулой
<т<°> = ?A - |50|2),	A47.3)
где к — волновой вектор сталкивающихся частиц. Приравняв
A47.2) и A47.3), найдем, что выше порога реакции, вблизи от
него, модуль |So| с точностью до величин порядка \/Е — Еи равен
E>EU,	A47.4)
где ки = ^2тЕи/Н (га — приведенная масса частиц А и В). В
области ниже порога имеется лишь упругое рассеяние, так что
Е<ЕП.	A47.5)
) Отмеченное в конце § 144 постоянство предела, к которому стремится
амплитуда //« при р/ —>> 0, как раз соответствует этому результату — сечение
A44.4) пропорционально р/.

§ 147	ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РЕАКЦИИ	745
Но амплитуда рассеяния, а с нею и So, должны быть аналити-
аналитическими функциями во всей области изменения энергии. Такая
функция, принимающая значения A47.4) и A47.5) выше и ниже
порога, дается с той же точностью формулой
So = e2iSo (l - yA^/E ~ E*) >	A47.6)
где Sq — постоянная (при Е < Еп корень \JE — Еи становится
мнимым и модуль стоящего в скобках выражения отличается от
единицы лишь на величину более высокого порядка малости).
При всех же / ф 0 неупругое рассеяние отсутствует, так что
о _2г^/ 7 —L п	(л /IT ч\
Ь\ = е , / j^ U,	A4/. ()
причем в области вблизи порога фазы Si следует положить рав-
равными их значению при Е = Еи 1).
Подставив полученные значения Si в формулу A42.2), найдем
следующее выражение для амплитуды рассеяния вблизи порога
реакции:
fF,E) = /п@) - -^:Ay/E-Eue2iSo,	A47.8)
где fn{0) — амплитуда рассеяния при Е = Еи. Отсюда диффе-
дифференциальное сечение рассеяния
^ = |/п@)|2 + wzAVE ~ Еи Im{fuF)e-2iSo} при Е > Еи,
'} при Е < Еи.
Представив амплитуду /п в виде |/п|ега^, запишем окончательно
этот результат в форме
Л Е > Е
A47.9)
В зависимости от того, находится ли угол 26о — а в 1-м,
2-м, 3-м или 4-м квадранте, описываемая этой формулой энер-
энергетическая зависимость сечения имеет вид, изображенный на
рис. 50 а, б, в или г. Во всех случаях мы имеем две ветви, лежа-
лежащие по обе стороны от общей вертикальной касательной.
При интегрировании выражений A47.9) по do в интегралы
от вторых членов отличный от нуля вклад дает только изотроп-
изотропная часть амплитуды /п (в) — парциальная амплитуда упругого
х) Поскольку функции Si(E) вещественны как при Е > Еи, так и при Е <
< Еи, они разлагаются по целым степеням разности Е — Еи.

746
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
5-рассеяния: (е2г<5° — 1)/Bгкп). В результате получим для полного
сечения упругого рассеяния вблизи порога следующее выраже-
выражение:
/ 2	при Е>Еи,
sin do cos до при Е < Еи
гт гт о Л /VR	W~\ / sin(^0	при Е>Еи, (ЛА7ЛСл
а = аи-2А^/\Ь - Ьи\<	A47.10)
{ sin do cos до при Е < Е
:
dE
Эта зависимость имеет вид а или б на рис. 50 соответственно при
положительном или отрицательном знаке sin ^o cos ^о-
Таким образом, существование порога реакции приводит к
появлению характерной особенности в энергетической зависи-
зависимости сечения упругого рассеяния. Наличие
спина у частиц меняет, разумеется, количе-
количественные формулы, но общий характер явле-
явления остается тем же1). Если ниже порога воз-
возможны, наряду с упругим рассеянием, также
Е и другие реакции, то аналогичные особенности
появляются и в их сечениях. Все они имеют при
Е = Еи особенность, вблизи которой являют-
являются линейными функциями корня у\Е — Еи\ с
различными наклонами выше и ниже порога.
В ядерных реакциях с вылетом положи-
Е тельно заряженной частицы имеем дело со слу-
случаем, когда между продуктами реакции (части-
(частицы А1 и В1) действуют силы кулонова оттал-
отталкивания. В этом случае сечение реакции при
v1 —»> 0 (т. е. Е —»> Еп) экспоненциально стре-
стремится к нулю вместе со всеми своими произ-
Е водными по энергии и никакой особенности в
сечениях других процессов не возникает.
da_ I/	Наконец, рассмотрим реакции с образова-
образованием двух разноименно заряженных медлен-
медленных частиц, между которыми действуют си-
силы кулонова притяжения. Сечение такой ре-
	Е акции связано принципом детального равнове-
2	сия с сечением A43.6) обратной реакции между
Рис. 50	двумя медленными притягивающимися части-
частицами. Таким образом, находим, что при vr —»> 0 сечение стремится
к постоянному пределу
ar = const при v1 -> 0,	A47.11)
т. е. за порогом реакция возникает сразу с конечным сечением.
da
dE
1)При отличных от нуля спинах система частиц А' + В' в s-состоянии
может иметь отличный от нуля полный момент, в связи с чем появляется
возможность различных орбитальных состояний системы А + В.

§ 147	ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РЕАКЦИИ	747
Высним характер особенности, которой обладает вблизи по-
порога такой реакции сечение упругого рассеяния (А. И. Базъ, 1959).
Это, однако, не может быть сделано непосредственно по извест-
известному надпороговому закону A47.11) тем простым способом, ко-
который мы использовали выше в случае незаряженных частиц.
По сравнению с последним случаем ситуация осложняется те-
теперь в связи с тем, что система частиц А1 + В1 обладает в око-
околопороговой области (при Е < Еи) связанными состояниями,
соответствующими дискретным уровням энергии в кулоновом
поле притяжения. Эти состояния могут, с энергетической точ-
точки зрения, образоваться при столкновении частиц i и В, но
ввиду возможности упругого рассеяния они будут лишь ква-
квазистационарными. Однако их существование должно привести
к появлению резонансных эффектов в (подпороговом) упругом
рассеянии, аналогичных брейт-вигнеровским резонансам.
Для решения поставленной задачи рассмотрим структуру
волновых функций, описывающих процесс столкновения. В соот-
соответствии с наличием двух каналов уравнение Шредингера систе-
системы взаимодействующих частиц имеет два независимых решения,
конечных во всем конфигурационном пространстве; обозначим
два таких произвольно выбранных (и произвольно нормирован-
нормированных) решения через ф\ и ф2- Из этих функций можно составить
линейные комбинации, описывающие рассеяние в случае, когда
тот или иной из каналов является входным. Обозначим каналы,
соответствующие парам частиц А, В и А', В' буквами а и 6, и
пусть сумма ф = а\ф\ + од^2 отвечает случаю входного кана-
канала а; она описывает упругое рассеяние частиц А и В и реакцию
А + В —»> А' + В'. Вблизи порога реакции коэффициенты щ, од
существенно зависят от малого импульса fc&, между тем как са-
сами произвольно выбранные функции ф\, fa никакой особенности
при кь = 0 не имеют.
На больших расстояниях функция ф должна представлять
собой сумму двух членов, соответствующих движению пар ча-
частиц в каналах а и Ъ. Каждый из них есть произведение «вну-
«внутренних» функций частиц на волновую функцию их относитель-
относительного движения1). В канале а последняя имеет вид R~ — SaaR+,
а в канале Ъ\ —SabR^ где i?+, R~ —расходящаяся и сходящаяся
волны в соответствующих каналах. На расстояниях го, больших
г) Закон A47.11) имеет место не только для полного, но и для парциаль-
парциальных сечений с различными моментами / (ср. конец §143). Поэтому и рас-
рассматриваемая ниже особенность имеет место во всех парциальных сечениях
рассеяния. Ее характер полностью выясняется уже в случае / = 0, кото-
который мы и рассматриваем ниже. Индекс 0 у соответствующих парциальных
амплитуд опускаем для упрощения обозначений.

748
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
по сравнению с радиусом короткодействующих сил и малых по
сравнению с 1/&ь, эти функции (и их производные) должны
«сшиваться» со значениями, вычисляемыми по волновой функ-
функции ф\ в «зоне реакции». Эти условия выражаются равенствами
вида
а2а2 = (R~ - SaaR+)\ro, aibi + a2b2 = -?
a2a2 = (R~ — 5ааЛ+)'|Го, «lbi + Oi2b2 = —S^
где ai, a'1? 6i, b'lr .. — величины, вычисляемые по функциям ф
и ф2\ согласно сказанному выгпе вблизи порога их можно счи-
считать постоянными, не зависящими от къ. Разделив почленно пер-
первую и вторую пару написанных равенств, мы получим систему
двух линейных уравнений для двух неизвестных (а±/а2 и 5aa),
причем в коэффициентах этих уравнений фигурирует лишь од-
одна величина, «критически» зависящая от къ — логарифмическая
производная от расходящейся волны в канале Ь\ определим эту
величину как
2- гЛ+ r=ro
Нет необходимости фактически проводить регпение этих урав-
уравнений. Достаточно заметить, что интересующая нас величи-
на Saa (определяющая амплитуду упругого рассеяния) оказы-
оказывается при этом дробно-линейной функцией от А. Ниже порога
величина А вещественна, так как вещественна волновая функ-
функция R^ — регпение вещественного уравнения Шредингера при
вещественном условии на бесконечности (убывание как е~>€ьГ,
где щ = ^/2тъ(Еи — Е)/К). В то же время ниже порога должно
быть \Saa\ = 1. Отсюда следует, что дробно-линейная функция
5аа(А) должна иметь вид
Saa = ^у-хеЩ,	A47-12)
где г\ — вещественная, /3 — комплексная постоянная.
Определим величину А как функцию импульса къ. Поскольку
между частицами А и В действуют силы кулонова притяжения,
то гК^ дается кулоновой волновой функцией, асимптотически
пропорциональной на бесконечности егкъГ. В кулоновом поле от-
отталкивания эта функция дается суммой Go + iFo c Go и Fq из
A38.4) и A38.7). Переход же к полю притяжения осуществля-
осуществляется одновременным изменением знаков к и г1). Произведя эту
1)Ниж:е мы пользуемся кулоновыми единицами. Изменение знаков к и г
формально соответствует изменению знака кулоновой единицы длины.

§ 147	ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ПОРОГА РЕАКЦИИ	749
замену и вычислив логарифмическую производную (см. § 138),
получимг)
А =	у	—	\\пкь + -\ф( — ) +Ф[- — )\ \- A47.13)
1 — ехр(—2-к/къ) тг I	2\_ \къ/	\ къ/л)
Здесь кь, предполагается вещественной величиной, так что эта
формула относится к области выше порога. При кь —> 0 пер-
первый член в A47.13) обращается в г, а второй стремится к нулю
(см. примеч. на с. 695). Таким образом, выше порога имеем
А = г, Е>Еи.	A47.14)
Переход к области ниже порога осуществляется заменой к на %к.
После этого получим из A47.13) при и —» О2)
A = -ctg—, E<EU.	A47.15)
Полученные формулы решают поставленный вопрос. Сечение
упругого рассеяния
&е = Т5\Ьаа ~ 1 •
ка
Выше порога имеем
Оаа =	*в 7, Ь > Ьи]	A47.16)
как и сечение реакции, сечение рассеяния оказывается в этой
области постоянным. Отметим, что условие \S\aa ^ 1 означает,
что должно быть Im /3 > 0.
Ниже порога находим
П	1 /	I	\
A47.17)
Это выражение имеет бесконечное число резонансов, сгущаю-
сгущающихся по направлению к точке Е = Еп. Резонансные энергии
являются корнями уравнения Saa — ~1? т-е-
1)	В фигурных скобках опущена, для упрощения дальнейших формул, не
зависящая от кь вещественная постоянная (—In2г*о — 2С), что сводится лишь
к несущественному переопределению комплексной величины /3 и веществен-
вещественной величины г\ в A47.12).
2)	Первый член в A47.13) дает —A/2) ctgGr/x&) + г/2, а выражение в фи-
фигурных скобках обращается в (тг/2) ctgGr/x&) +гтг/2. При этом используется
формула ф{х) — ф(—х) = —TrctgTra; — 1/х (которую мож:но получить лога-
логарифмическим дифференцированием известного соотношения Г(ж)Г(—х) =
= — -к/хът-кх) и предельное выражение ф(х) « \пх — 1/2ж при х —>- оо.

750
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
ГЛ. XVIII
они смещены относительно чисто кулоновых уровней (корней
уравнения tg(?r/'щ) = 0) благодаря на-
личию короткодействующих сил. По ме-
мере приближения энергии Е к порогу се-
сечение упругого рассеяния осциллирует
между нулем и 4тг/А^, как это показано
схематически на рис.51. Ширина всей
подпороговой области, в которой об-
обнаруживается резонансная структура,
определяется величиной энергии перво-
го кулонова уровня1).
Рис. 51
§ 148. Неупругие столкновения быстрых электронов
с атомами
Неупругие столкновения быстрых электронов с атомами мо-
могут быть рассмотрены с помощью борновского приближения
аналогично тому, как это было сделано в § 139 для упругих
столкновений2). Условие применимости борновского приближе-
приближения по-прежнему требует, чтобы скорость падающего электрона
была велика по сравнению со скоростями атомных электронов.
Что же касается потери энергии при столкновении, то она может
быть любой. Если электрон теряет значительную часть своей
энергии, то это приводит к ионизации атома, причем энергия
передается одному из его электронов. Но мы всегда можем счи-
считать рассеянным тот из обоих электронов, который имеет после
столкновения большую скорость, и, таким образом, при большой
скорости падающего электрона будет велика также и скорость
рассеянного.
При столкновениях электрона с атомом систему коорди-
координат, в которой покоится их центр инерции, можно считать,
1)	Упомянем еще один интересный случай околопороговых реакций —
ионизация атома электроном, энергия которого лишь немного превосходит
энергию первой ионизации атома. В этих условиях процесс столкновения мо-
может рассматриваться как квазиклассический, но задача очень усложняется
наличием трех заряженных частиц в конечном состоянии. Общее решение
этой трудной задачи дано Ваннье (G. H. Wannier// Phys. Rev. 1953. V90.
P. 817). Вероятность ионизации нейтрального атома оказывается пропорци-
пропорциональной:
(Е - I)",
где а = A/4)(д/91/3 — 1) = 1,13,, Е — I—избыток энергии электрона над
порогом ионизации.
2)	Большинство результатов, излагаемых в § 148-150, было получено Бете
(H.A.Bethe, 1930).

§148	СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ	751
как уже указывалось, совпадающей с системой, в которой по-
покоится атом; ниже мы будем говорить именно об этой последней
системе.
Неупругое столкновение сопровождается изменением вну-
внутреннего состояния атома. Атом может перейти из нормального
состояния в возбужденное состояние дискретного или непрерыв-
непрерывного спектра; в последнем случае это означает ионизацию ато-
атома. При выводе общих формул эти случаи можно рассматривать
вместе.
Исходим (как и в § 126) из общей формулы для вероятности
перехода между состояниями непрерывного спектра, применяя
ее к системе, состоящей из падающего электрона и атома. Пусть
р, р' — импульсы падающего электрона, a Eq, En — энергии ато-
атома соответственно до и после столкновения. Для вероятности
перехода имеем вместо A26.9) выражение
H^, A48.1)
где матричный элемент берется от энергии взаимодействия па-
падающего электрона с атомом
. r-r0
a=l
(г —радиус-вектор падающего электрона, га — атомных электро-
электронов, начало координат выбрано в ядре атома; га — масса элек-
электрона) .
Волновые функции фр, фрг электрона определяются прежни-
прежними формулами A26.10), A26.11); тогда dw есть сечение столк-
столкновения da. Волновые функции атома в исходном и конечном
состояниях обозначим через фо, фп. Если конечное состояние
атома относится к дискретному спектру, то фп (как и ^о) нор-
нормирована обычным образом на единицу. Если же атом перехо-
переходит в состояние непрерывного спектра, то волновая функция
нормируется на ^-функцию от параметров z/, определяющих эти
состояния (этими параметрами могут быть, например, энергия
атома, компоненты импульса вылетевшего из атома при иони-
ионизации электрона). Получающиеся в результате сечения опреде-
определяют вероятность столкновения с переходом атома в состояния
непрерывного спектра, лежащие в интервале значений парамет-
параметров между v и v + dv.
Интегрирование в A48.1) по абсолютной величине р1 дает

752
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
ГЛ. XVIII
где р определяется из закона сохранения энергии
Р^Р- = Еп-Е0.	A48.2)
2т
Подставив в матричный элемент волновые функции электрона
из A26.10), A26.11), получим
2
dan =
т2 р'
//¦
do
A48.3)
(dr = dV\dV2 ... dVz — элемент конфигурационного простран-
пространства Z электронов атома, штрих у do опускаемI). При п = 0 и
р = р' формула A48.3) переходит в формулу для сечения упру-
упругого рассеяния.
В силу ортогональности функций фп и ^о член в С/, содержа-
содержащий взаимодействие Ze2/r с ядром, исчезает при интегрирова-
интегрировании по б?т, и, таким образом, имеем для неупругих столкновений
2
dan =
m2 р'
4тг2П4 р
J J I1 I«l
do.
A48.4)
Интегрирование по dV может быть произведено подобно то-
тому, как это было сделано в § 139. Интеграл
совпадает формально с компонентной Фурье потенциала, созда-
создаваемого в точке г зарядами, распределенными в пространстве с
плотностью р = <$(г — га). Поэтому по A39.1) находим
^q(ra) — ~2е~ЩГа-	A48.5)
Подставив это выражение в A48.4), приходим окончательно к
следующему общему выражению для сечения неупругих столк-
столкновений:
0} do,
A48.6)
где матричный элемент берется по волновым функциям ато-
атома, а вместо импульсов введены волновые векторы к = р/Я,
1) В таком виде это есть общая формула теории возмущений, применимая
не только к столкновениям электронов с атомом, но и к любым неупругим
столкновениям двух частиц, определяющая сечение рассеяния в системе ко-
координат, в которой покоится центр инерции частиц (т есть тогда приведен-
приведенная масса обеих частиц).

§ 148	СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ	753
к' = р'/Н. Эта формула определяет вероятность столкновения,
при котором электрон рассеивается в элемент телесного угла do,
а атом переходит в п-е возбужденное состояние. Вектор — fiq
представляет собой импульс, передаваемый электроном атому
при столкновении.
При вычислениях бывает удобнее относить сечение не к эле-
элементу телесного угла, а к элементу dq абсолютных значений век-
вектора q. Вектор q определен как q = к' — к; для его абсолютной
величины имеем
q2 = к2 + к'2 - 2kkf cos i9.	A48.7)
Отсюда при заданных к, к1, т.е. при заданной потере энергии
электроном,
qdq = kk/sm<dd<d = —do.	A48.8)
2тг
Поэтому формулу A48.6) можно переписать в виде
Вектор q играет существенную роль в дальнейших вычис-
вычислениях. Рассмотрим подробнее его связь с углом рассеяния д
и передаваемой при столкновении энергией Еп — Е$. Мы уви-
увидим ниже, что основную роль играют столкновения, вызываю-
вызывающие рассеяние на малые углы ($ <С 1) с передачей энергии, ма-
малой по сравнению с энергией Е = mv2/2 падающего электрона:
Еп — Ео <С Е. Разность к — к1 при этом тоже мала (к — к1 <С fc),
и потому
Еп-Е0 = —(к2 - к'2) « —*;(*; - к') = Hv(k - к1).
2т	т
В силу малости $ имеем из A48.7) q2 « (к — к1J + (к'дJ и, окон-
окончательно,
Ч = y/(^^) + W-	A48.10)
Минимальное значение q:
9min = ^-^-	A48.11)
nv
При малых углах можно еще различать различные области
в зависимости от соотношения между малыми величинами $
и vq/v (vq — величина порядка скорости атомных электронов).

754	НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
Если рассматривать передачи энергии порядка энергии во атом-
атомных электронов (Еп — Е$ ~ ео ~ mv<o)i то ПРИ (щ/vJ <С $ <С 1
q = kti = mv/fv8	A48.12)
(первый член под знаком корня в A48.10) может быть опущен
по сравнению со вторым); следовательно, в этой области углов q
не зависит от величины передаваемой энергии. При д <С 1 ве-
величина q может быть как большой, так и малой по сравнению
с 1/ао (где ао~величина порядка атомных размеров). При том
же предположении о величине передаваемой энергии имеем
qao rsj 1 при д ~ vo/v.	A48.13)
Вернемся теперь к исследованию общей формулы A48.9) и
рассмотрим случай малых q (qao <C 1, т. е. д <С vq/v).
В этом случае можно разложить экспоненциальные множи-
множители по степеням q: е~ЩТа « 1 — iqra = 1 — iqxa (ось х вдоль
вектора q). При подстановке этого разложения в A48.9) члены с
1 дают нуль в силу ортогональности волновых функций ^о и Фп
и мы получим
|, A48.14)
где dx = е^2,ха — компонента дипольного момента атома. Мы
видим, что сечение рассеяния (при малых q) определяется квад-
квадратом модуля матричного элемента дипольного момента для пе-
перехода, соответствующего изменению состояния атома1).
Может, однако, оказаться, что матричный элемент диполь-
дипольного момента для данного перехода тождественно исчезает в
силу правил отбора (запрещенный переход). Тогда разложение
ехр(—iqra) надо продолжить до следующего члена и мы полу-
получим
dan = 2тг(?J|(п|5>2|о)| W	A48.15)
а
Рассмотрим теперь противоположный предельный случай
больших q (qao ^> 1). Большие q означают, что атому передается
импульс, большой по сравнению с собственным первоначальным
1) Физический интерес представляет обычно сечение dan, просуммирован-
просуммированное по всем направлениям момента атома в конечном состоянии и усред-
усредненное по направлениям момента в начальном состоянии. После такого сум-
суммирования и усреднения квадрат |(п|с?ж|0)|2 уже не зависит от направления
оси х.

§ 148	СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ	755
импульсом атомных электронов. Физически заранее очевидно,
что в этом случае можно рассматривать атомные электроны как
свободные, а столкновение с атомом — как упругое столкновение
падающего электрона с первоначально покоившимися атомными
электронами. Это видно также и из общей формулы A48.9). При
больших q подынтегральное выражение в матричном элементе
содержит быстро осциллирующие множители ехр(—iqra) и ин-
интеграл не близок к нулю, только если фп содержит такой же мно-
множитель. Такая функция фп соответствует ионизированному ато-
атому с электроном, вылетевшим из него с импульсом —fiq = р — р',
определяющимся просто законом сохранения импульса, как это
было бы при столкновении двух свободных электронов.
При столкновении с большой передачей импульса оба элек-
электрона (падающий и атомный) могут в результате приобрести
сравнимые по величине скорости. В связи с этим становятся су-
существенными не принятые во внимание в общей формуле A48.9)
обменные эффекты, связанные с тождественностью сталкиваю-
сталкивающихся частиц. Сечение рассеяния быстрых электронов с учетом
обмена определяется формулой A37.9); эта формула относится
к системе координат, в которой один из электронов до столк-
столкновения покоился. Для быстрых электронов косинус в послед-
последнем члене в A37.9) можно заменить единицей. Умножив также
на число Z электронов в атоме, получим сечение столкновения
электрона с атомом в виде
-^ + —А	2 l 2 )cos?9do. A48.16)
sin4?? cos4tf sin2?? cos2??/	v	}
В этой формуле удобно выразить угол рассеяния через энер-
энергию, приобретаемую электронами после столкновения. Как из-
известно, при столкновении частицы с энергией Е = тш;2/2 с по-
покоящейся частицей той же массы энергия частиц после столкно-
столкновения равна е = Е sin2 $, Е — е = Е cos2 $. Для того чтобы полу-
получить сечение, отнесенное к интервалу cfe, выражаем do через de
согласно соотношению cosddo = 2тгcosдsinдdd = (тг/Е) de.
Подстановка в A48.16) приводит к окончательной формуле
A48Л7)
Если одна из энергий е или Е — е мала по сравнению с другой,
то из трех членов в этой формуле существен лишь один (первый
или второй). Это соответствует тому, что при большой разнице

756
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
в энергиях обоих электронов обменный эффект несуществен и
мы должны вернуться к обычной формуле Резерфордах).
Интегрирование дифференциального сечения по всем углам
(или, что то же, по dq) дает полное сечение ап столкновения
с возбуждением данного состояния атома. Зависимость оп от
скорости падающего электрона существенно связана с наличием
или отсутствием матричного элемента дипольного момента ато-
атома для соответствующего перехода. Предположим сначала, что
этот элемент отличен от нуля. Тогда при малых q сечение dan
определяется формулой A48.14) и мы видим, что с уменьшением
q интеграл по dq логарифмически расходится. В области же боль-
больших q сечение (при заданной передаче энергии Еп—Ео) экспонен-
экспоненциально убывает с увеличением q в связи с уже отмечавшимся
наличием в подынтегральном выражении матричного элемента
в A48.9) быстро осциллирующего множителя. Таким образом,
основную роль в интеграле по dq играет область малых д, и мы
можем ограничиться интегрированием от минимального значе-
значения gmin A48.11) до некоторого значения ~ 1/ао- В результате
получим
(J(^)	A48.18)
где /Зп — безразмерная постоянная, которая не может быть вы-
вычислена в общем виде2).
Если же матричный элемент дипольного момента обращается
для данного перехода в нуль, то интеграл по dq быстро сходит-
сходится как при малых (как это видно из A48.15)), так и при боль-
больших q. Основной для интеграла является в этом случае область
q ~ 1/ао- Общая количественная формула здесь не может быть
получена, и мы приходим к выводу, что оп будет обратно про-
пропорционально квадрату скорости:
const	,л ,о л ~ч
ап = —2-.	A48.19)
V
Это следует непосредственно из общей формулы A48.9), соглас-
согласно которой dan при q ~ 1/ао пропорционально v~2.
1)	Для столкновения позитрона с атомом обменный эффект вообще отсут-
отсутствует, и формула Резерфорда da? = (nZe4 /E) de/e2 имеет место при всех
9> 1/а0.
2)	Мы считаем, что Еп — Ео порядка энергии атомных электронов ео- При
больших передачах энергии (Еп — Ео ~ Е > е0) формулы A48.14) A48.18)
все равно неприменимы, так как матричный элемент дипольного момента
становится очень малым и нельзя ограничиваться первым членом разложе-
разложения по q.

§ 148	СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ	757
Определим сечение dar неупругого рассеяния в данный эле-
элемент телесного угла вне зависимости от того, в какое состоя-
состояние переходит атом. Для этого надо просуммировать выражение
A48.9) по всем п ф 0, т.е. по всем состояниям атома (как дис-
дискретного, так и непрерывного спектров), за исключением нор-
нормального. Мы исключим из рассмотрения область как больших,
так и совсем малых углов и будем считать, что (vo/vJ <C $ <С 1.
Тогда, согласно A48.12), q не зависит от передаваемой энер-
энергии х).
Последнее обстоятельство позволяет легко вычислить полное
сечение неупругих столкновений, т. е. сумму
0) -г =
4s;) |
n/0	n/0
|
n/0
Для этого замечаем, что для всякой величины / имеем по
правилу умножения матриц
Суммирование производится здесь по всем п, включая п = 0.
Поэтому
Е	)оо - 1Ло|2- A48.21)
n/0	n
Применив это соотногпение к / = $^е~гчГа, получим
-KE—)|2}^. (•«¦»)
а
где (...) означает усреднение по нормальному состоянию ато-
атома (т.е. взятие диагонального матричного элемента 00). Сред-
Среднее значение ((^2 е~ЩГа) есть, по определению, атомный фак-
фактор F(q) атома в нормальном состоянии. В первом же члене
х) Суммирование в A48.9) происходит и по состояниям с Еп — Eq ^> ео,
для которых A48.12) не имеет места. Однако для переходов с большой пере-
передачей энергии сечение сравнительно мало, и эти члены играют малую роль
в сумме. Условие $ <С 1 позволяет не учитывать обменных эффектов.

758
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
в фигурных скобках можно написать
Z 2
\ л _—iqra 	 у j_ \ л „iq(ra—r
> е	— /j -\- у е
а=1	афЪ
Таким образом, находим общую формулу
(
афЬ
Эта формула сильно упрощается при малых д, когда мож-
можно произвести разложение по степеням q (vq/v <С qao <С 1, что
соответствует углам (vo/vJ <С 'д <С vq/v). Вместо того что-
чтобы производить разложение в формуле A48.23), удобнее заново
произвести суммирование по п, воспользовавшись для don вы-
выражением A48.14). Суммируя с помощью соотношения A48.21)
с / = dx и помня, что (dx) = 0, получим
Интересно сравнить это выражение с сечением A39.5) упругого
рассеяния при малых углах; в то время как последнее не зависит
от $, сечение неупругого рассеяния в элемент телесного угла do
растет с уменьшением $ как 1/$2.
При углах vq/v <С д ^С 1 (так что qao ^ 1) второй и третий
члены в фигурных скобках в A48.23) малы, и мы имеем просто
%	A48.25)
т. е. резерфордовское рассеяние на Z атомных электронах (без
учета обмена). Напомним, что дифференциальное сечение упру-
упругого рассеяния A39.6) пропорционально Z2, а не Z.
Наконец, интегрируя по углам, мы получим полное сечение аг
неупругого рассеяния под всеми углами и со всеми возбуждени-
возбуждениями атома. В точности таким же образом, как и при вычислении
ап A48.18), получим
сгг = 8тгГ—] (dl)\n(/3^-Y	A48.26)
Задачи1)
1. Определить распределение по углам (при г>~2^$^1) неупру гого
рассеяния быстрых электронов атомом водорода (в нормальном состоянии).
) Во всех задачах пользуемся атомными единицами.

1 148	СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ	759
Решение. Для атома водорода третий член в фигурных скобках
в A48.23) отсутствует, а атомный фактор F(q) был вычислен в задаче к
§ 139. Подставляя его, получим
2. Определить дифференциальное сечение столкновений электронов с
атомом водорода в нормальном состоянии, сопровождающихся возбуждени-
возбуждением n-го уровня дискретного спектра (п — главное квантовое число).
Решение. Вычисление матричных элементов удобно производить в
параболических координатах. Выбираем ось z вдоль направления вектора
q, тогда e*qr = eiqz = eiq^~r]''2. Волновая функция нормального состояния
имеет вид т^ооо = iz~1'2e~^+7"'2. Матричные элементы отличны от нуля
только для перехода в состояния с т = 0. Волновыми функциями этих
состояний являются функции
фП1П2о = ^^exp (-^^й) F f-m,l, i) F f-n2,l, ^
у/7ГП	\ 2n J \	nj \	П
(n = ni + П2 + 1). Искомые матричные элементы даются интегралами
оо
<mn20|eicir|000> = jjexp (i±(t - г,)
О
Интегрирование производится с помощью формул, приведенных в § i мате-
математического дополнения. В результате вычисления получается
Все состояния с одинаковыми п\-\-П2 = п — 1 обладают одинаковой энергией.
Суммируя по всем возможным значениям п\ —п^ при данном п и подставляя
результат в A48.9), получим искомое сечение
- 1	а] [(п - IJ + (gnJ]" dg
Г" + iqn) \	7
3. Определить полное сечение возбуж:дения первого возбуж:денного со-
состояния атома водорода.
Решение. Проинтегрируем выражение
_ 28тг	dq
2" v2 1(д2 + 9/4M
по всем q от qmin = (Е2 — E\)/v = 3/8г> до gmax = 2г;, причем долж:ны
быть сохранены только члены наибольшей степени по v. Интегрирование
производится элементарно и дает1)
25\ 4тг	^2
	= —- • 0,555 In	.
24/ v2	0,50
) Сечение может быть вычислено и для произвольного п. Числовым рас-
расчетом можно получить также и полное сечение неупругого рассеяния атома
водорода: сгг = Dтг/г>2) 1п(г>2/0,160) . В том числе на столкновения с возбу-
возбуждением состояний дискретного спектра и с ионизацией приходится соот-
соответственно
авозб = Dтг/^2) • 0,7151п(^2/0,45), аИОи = Dтг/^2) • 0,2851п(^2/

760
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
4. Определить сечение ионизации атома водорода (в нормальном состоя-
состоянии) с вылетом вторичного электрона в определенном направлении; энергия
вторичного электрона мала по сравнению с энергией первичного электрона,
и потому обменные эффекты несущественны (Н. Massey, С. Mohr, 1933).
Решение. Волновая функция атома в начальном состоянии есть
фо = тг~1'2е~т. В конечном состоянии атом ионизирован, и вылетевший из
него вторичный электрон имеет волновой вектор, который мы обозначим бу-
буквой х (и энергию х2/2). Это состояние описывается функцией ф^ A36.9),
в которой «выходящая» часть состоит (на бесконечности) только из распро-
распространяющейся в направлении х плоской волны. Функция ф\с нормирована
на E-функцию в х/2тг-пространстве; поэтому вычисленное с ее помощью се-
сечение будет отнесено к с?3х/BтгK или к х2dx.do^/BтгK, где do^ — элемент
телесного угла для направления вторичного электрона. Таким образом,
da =
(do — элемент телесного угла для рассеянного электрона), где
= <	/
{ d\J
ехр(—iqr — гхг — Xr)F[ —, 1, г(хг + >cv) 1
\к	) г
Интегрирование производим в параболических координатах с осью z вдоль
направления к и углом <?, отсчитываемым от плоскости (q,yt)\
ОО ОО 27Г
¦—Iff
2OXJ J J
+ 77) - №М?
(т — угол между yt и q). Интегрирование по dip drj легко производится путем
подстановки y/rj cos (p = и, y/rjsimp = v, после чего получается
2тг \аАУеХР\	2[i(x+qcosj)-\]
l Fji/к, 1,гхр ^ \
) [г(х + qcosj) - A] J ^
Стоящий здесь интеграл берется по формуле (f.3) с ^ = 1, п = 0.
Дальнейп1ие вычисления длинны, но элементарны и дают в результате
следующее выражение для сечения:
_	28kfx[q2
a~Vb2
х ехр{-B/х) arctg[2x/(g2 - х2 + 1)]} dodo^dn.
Интегрирование по всем углам испускания вторичного электрона произ-
производится элементарно и дает распределение рассеяния по направлениям при

149	ЭФФЕКТИВНОЕ ТОРМОЖЕНИЕ	761
данной энергии к /2 испущенного электрона
, _ 210fc'x [д2 + A/3)A + х2)] ехр{-B/х) arctg[2x/(g2 - х2 + 1)]}
d"- V	[(e + xJ + i]3[(ff_xJ + 1]sA_e-2^)
При д ^> 1 это выражение имеет острый максимум при х « д; вблизи мак-
максимума
- 5
Зтгх4 [1 + (д - хJ]3 '
Интегрируя по do = 2i:qdq/k2 та Bтгх/k2) d(q — х), получим выражение
8тгс?х//ь2х3, совпадающее, как и следовало, с первым членом по формуле
A48.17).
§ 149. Эффективное торможение
В применениях теории столкновений большое значение имеет
вычисление средней потери энергии сталкивающейся частицей.
Эту потерю удобно характеризовать величиной
dx = J2(En - Ео) dan,	A49.1)
П
которую мы будем называть эффективным торможением (диф-
(дифференциальным); суммирование производится, разумеется, по
состояниям как дискретного, так и непрерывного спектров, dn
отнесено к рассеянию в данный элемент телесного угла1).
Общая формула для эффективного торможения быстрых
электронов имеет вид
?) J2	|(| J>^|)|2^[	A49.2)
= 8тг(?)
(dan из A48.9)). Исключим, как и при выводе A48.23), из рас-
рассмотрения область совсем малых углов и снова будем считать,
что (vq/vJ ^C d ^С 1; тогда q не зависит от величины переда-
передаваемой энергии и сумма по п может быть вычислена в общем
виде.
Сумма вычисляется с помощью теоремы суммирования, ко-
которая выводится следующим образом. Матричные элементы от
некоторой величины / (функции координат) и ее производной
по времени / связаны друг с другом формулой
(Яоп = -{г/П){Еп - Eo)fOn.	A49.3)
х) Если электрон проходит через газ, рассеяние на различных атомах про-
происходит независимо и величина N dx. [N — число атомов в единице объема
газа) есть энергия, теряемая электроном на единице его пути при столкно-
столкновениях, отклоняющих его в данный элемент телесного угла.

762
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
Поэтому имеем
— Eo)\fon\ =
n ~ Eo)fon(f+U = i
п
+U =
Волновые функции стационарных состояний атома можно вы-
выбрать вещественными. Тогда матричные элементы функции ко-
координат / связаны соотношениями /оп = /по, а для матричных
элементов A49.3) имеем соответственно (/)оп — —(/)пО- Поэтому
рассматриваемую сумму можно написать также и в виде
Взяв полусумму обоих выражений, получим искомую теорему
n - E0)\f0n\2 = f (//+ - /+/)оо.	A49.4)
П
Применим ее к величине / = Х^ае~гф*а- Согласно A9.2) ее
производная по времени изобразится оператором
Прямое вычисление дает
т
Подставив в A49.4), получим формулу
* ' = Z,	A49.5)
которая и осуществляет нужное нам суммированиех).
Таким образом, для дифференциального эффективного тор-
торможения находим формулу
,	л Ze4 dq 2Ze4 do	м лп а\
dn = 4тг—ч— = —г-2.	A49.6)
mv q mv v
1) При выводе этого соотношения мы нигде не использовали тот факт, что
состояние, отсеченное индексом 0, есть нормальное состояние атома. Поэто-
Поэтому оно имеет место для любого начального состояния.

149	ЭФФЕКТИВНОЕ ТОРМОЖЕНИЕ	763
Область ее применимости дается неравенством (vq/v)^ <C 'д <С 1,
т. е. vq/v <С aoq <С v/vq.
Далее, определим полное эффективное торможение >c(qi)
для всех столкновений, сопровождающихся передачей импуль-
импульса, не превышающей некоторого значения q\ такого, что vq/v <С
V
A49.7)
<?min
9min дается формулой A48.11). Знак интеграла нельзя вынести
из-под знака суммы, так как gmin зависит от п.
Разобьем область интегрирования на две части — от qm[n до qo
и от до Д° Ях•> гДе ^о~такое значение д, что г>о/г> ^С goao ^ 1-
Тогда во всей области интегрирования от gmin до до можно вос-
воспользоваться для dcrn выражением A48.14):
Qm in
откуда
n
В области же от go ДО Qi можно произвести сначала суммирова-
суммирование по п, приводящее для dn к выражению A49.6), которое при
интегрировании по dq дает
A49.9)
Для преобразования полученных выражений воспользуемся
теоремой суммирования, получающейся из формулы A49.4), ес-
если положить в ней
е ^—'	т
а	а
Коммутирование /+ с / дает (/+ в данном случае совпадает с /)
//+-/+/ = -^^такчто1).
т
Е^0" = Е jSf^n - E0)\(n\dx\0)\2 = Z.	A49.10)
1) К этому соотношению относится то же замечание, которое было сделано
по поводу A49.5).

764
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
Величины iVon называют силами осцилляторов соответствую-
соответствующих переходов. Введем некоторую среднюю атомную энергию /
согласно соотношению
) l-E0). A49.11)
Используя A49.10), формулу A49.8) можно переписать в виде
x(qo) = 9 In ——. Складывая с A49.9), окончательно полу-
mv	I
чаем
хЫ = ^Ь?!^.	A49.12)
mv	I
В эту формулу входит всего одна характерная для данного атома
постоянная1).
Выражая q\ через угол рассеяния $i, согласно q\ = mvdi/H
получим эффективное торможение при рассеянии на все углы
x($i) = 4тг	т In	-.	A49.13)
mv	I
Если qictQ ^> 1 (т.е. $1 ^> vq/v), to можно выразить к в ви-
виде функции от наибольшей передаваемой падающим электроном
атому энергии. В предыдущем параграфе было указано, что при
qao ^> 1 происходит ионизация атома, причем практически весь
импульс fiq и энергия передаются одному атомному электрону.
Поэтому Нс[ и е связаны друг с другом, как импульс и энергия
электрона, т. е. ? = H2q2/2m. Подставляя в A49.12) q\ = 2m?i/H2,
получим эффективное торможение при столкновениях, сопрово-
сопровождающихся передачей энергии ? ^С ?\'.
=	-In—^—.	A49.14)
mv	1
В заключение сделаем следующее замечание. Уровни энергии
дискретного спектра атома связаны в основном с возбуждения-
возбуждениями одного (внешнего) электрона; уже возбуждение двух элек-
электронов связано обычно с энергией, достаточной для ионизации
х)Для водорода / = 0,55те4/^2 = 14,9 эВ. Для тяжелых атомов можно
ожидать хорошей точности, если вычислить постоянную / с помощью ме-
метода Томаса—Ферми. Легко установить, как будут зависеть вычисленные та-
таким образом значения / от Z. В квазиклассическом случае разностям уров-
уровней энергии соответствуют собственные частоты системы частиц. Средняя
собственная частота атома порядка величины vo/ao] поэтому мы можем за-
заключить, что / ~ hvo/ao. Скорости атомных электронов в модели Томаса-
Ферми зависят от Z, как Z2'3, а размеры атома — как Z~1'3. Таким образом,
находим, что / должно быть пропорционально Z: I = const Z. Из экспери-
экспериментальных данных следует, что const ~ 10 эВ.

§ 150	НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ТЯЖЕЛЫХ ЧАСТИЦ С АТОМАМИ	765
атома. Поэтому в сумме интенсивностей осцилляторов перехо-
переходы в состояния дискретного спектра составляют лишь долю по-
порядка единицы; переходы же с ионизацией — порядка Z. Отсюда
следует, что основную роль в торможении (тяжелыми атомами)
играют столкновения, сопровождающиеся ионизацией,
Задача
Определить полное эффективное торможение электрона атомом водо-
водорода (/ = 0,55ат. единицы); при больших передачах энергии более быстрый
из обоих сталкивающихся электронов принимается за первичный.
Решение. Когда первичный и вторичный электроны приобретают
после столкновения сравнимые энергии, надо учитывать обменный эф-
эффект. Поэтому для торможения с передачей энергии от некоторого зна-
значения ei(l <С е\ <С v2) до наибольшего ?тах = Е/2 = v2/4 (принятое нами
определение первичного электрона!) надо пользоваться сечением A48.17):
Е/2
Складывая со A49.14), получим (в атомных единицах)г)
4тг.
2Г ' J v2 0,94
§ 150. Неупругие столкновения тяжелых частиц
с атомами
Условие применимости борновского приближения к столкно-
столкновениям тяжелых частиц с атомами, выраженное через скорость
частицы, остается тем же, что и для электронов: v ^ г>о-
Это непосредственно следует из общего условия A26.2) при-
применимости теории возмущений, Uao/Hv <С 1, если заметить, что
масса частицы в него вообще не входит, a Uao/H есть величина
порядка скорости атомных электронов.
В системе координат, в которой покоится центр инерции ато-
атома и частицы, сечение определяется общей формулой A48.3)
(в которой теперь под т надо понимать приведенную массу
частицы и атома). Удобнее, однако, рассматривать столкнове-
столкновение в системе координат, в которой покоится (до столкновения)
рассеивающий атом. Для этого начинаем с формулы A48.1); в
системе координат, в которой покоился атом до столкновения,
1) Для столкновений позитрона с атомом водорода обменный эффект от-
отсутствует, и полное торможение получается просто подстановкой в A49.14)
?max = E = v2/2 вместо ец к = Dtt/v2) ln(^2/0,55).

766
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
аргумент у ^-функции, выражающий закон сохранения энергии,
имеет вид
! l (L)! + Еп - ЕЬ,	A50.1)
+
2М 2М	2Ма
где М — масса падающей частицы, Ма — масса атома; третий
член представляет собой кинетическую энергию отдачи атома
(которой при столкновении с электроном можно было полностью
пренебречь).
При столкновении быстрой тяжелой частицы с атомом из-
изменение импульса частицы почти всегда мало по сравнению с
ее первоначальным импульсом. Если это условие выполняется,
то в аргументе у ^-функции можно пренебречь энергией отдачи
атома, после чего мы вернемся в точности к формуле A48.3), в
которой только надо заменить т на массу М падающей частицы
(не на приведенную массу частицы и атома!). Имея в виду, что
передача импульса предполагается малой по сравнению с пер-
первоначальным импульсом, полагаем р ~ р'; таким образом, для
сечения в системе координат, в которой атом до столкновения
покоится, получим формулу
dan =
М2
2
do.	A50.2)
Учитывая, что заряд частицы может отличаться от заряда
электрона, будем писать ze2 вместо е2, где ze есть заряд падаю-
падающей частицы. Общая формула для неупругого рассеяния, напи-
написанная в форме A48.9)
Sl(li)f7' (ш-з)
не содержит массу частицы. Отсюда следует, что и все получаю-
получающиеся из нее формулы остаются применимыми и к столкновени-
столкновениям тяжелых частиц, если только эти формулы выражены через
v и q.
Легко сообразить, как должны быть видоизменены фор-
формулы, выраженные через угол рассеяния д (угол отклонения
сталкивающейся с атомом тяжелой частицы). Для этого пред-
предварительно замечаем, что при неупругом столкновении тяже-
тяжелой частицы угол д всегда мал. Действительно, при большой
(по сравнению с импульсами атомных электронов) передаче им-
импульса можно рассматривать неупругое столкновение с атомом
как упругое столкновение со свободными электронами; но при
столкновении тяжелой частицы с легкой (электроном) тяжелая

§ 150	НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ТЯЖЕЛЫХ ЧАСТИЦ С АТОМАМИ	767
частица почти не отклоняется. Другими словами, передача им-
импульса от тяжелой частицы атому мала по сравнению с перво-
первоначальным импульсом частицы (исключение составляет упругое
рассеяние на большие углы, которое, однако, крайне маловеро-
маловероятно) .
Таким образом, во всей области углов можно положить
7)	?J'	A50'4)
что фактически сводится к
qh^Mvd	A50.5)
везде, за исключением только самых малых углов. С другой сто-
стороны, рассматривая столкновения электронов с атомом, мы пи-
писали (для малых углов)
Сравнение обоих выражений позволяет заключить, что форму-
формулы, полученные нами для столкновений электронов с атомами,
выраженные через скорость и угол отклонения, переводятся в
формулы для столкновения тяжелых частиц заменой везде (в
том числе в элементе телесного угла do = 2тгsin$d'd ~ 27rrddrd):
•д -> —0,	A50.6)
т
при той же скорости v налетающей частицы. Качественно это
означает, что вся картина рассеяния на малые углы оказывается
(при заданной скорости) суженной в отношении т/М.
Полученные правила относятся также и к упругому рассея-
рассеянию на малые углы. Произведя преобразование A50.6) в форму-
формуле A39.4) с # «С 1, получим сечение
F\)\ ?¦
Что касается упругого рассеяния тяжелых частиц на углы
$ rsj l? то оно сводится к резерфордовскому рассеянию на ядре
атома.
Особого рассмотрения требует неупругое рассеяние с иони-
ионизацией атома при большой передаче импульса. В отличие от
того, что мы имели при ионизации электроном, здесь никаких
обменных эффектов, разумеется, нет. Для тяжелых частиц ха-
характерно, что большая передача импульса (дао ^ 1) отнюдь не

768
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
означает отклонения на большой угол; $ всегда остается малым.
Сечение ионизации с испусканием электрона с энергией между е
и е + de получится непосредственно из формулы A48.25), кото-
которую мы пишем в виде
Hv
и полагаем H2q2/2m = е (весь импульс Нц передается одному
атомному электрону). Это даст
п 9 А 1
A50.8)
IliU t
При столкновениях тяжелых частиц с атомами особый инте-
интерес представляют интегральные эффективные сечения и тормо-
торможения.
Полное сечение неупругого рассеяния определяется прежней
формулой A48.26). Полное эффективное торможение получает-
получается подстановкой в A49.12) вместо q\ максимальной возможной
передачи импульса gmax- Последнюю легко выразить через ско-
скорость частицы следующим образом. Поскольку %тах все еще ма-
мало по сравнению с первоначальным импульсом Mv частицы, то
изменение ее энергии связано с изменением импульса соотноше-
соотношением АЕ = v • fiq.
С другой стороны при большой передаче импульса вся эта
энергия передается в основном одному атомному электрону, так
что мы можем написать
Н2а2
? = —— = Hvq ^ hvq.
2т
Отсюда имеем Hq ^ 2mv, т. е.
%max = 2mV, ?тах = 2mV2.	A50.9)
Отметим, что наибольший угол отклонения частицы при неупру-
неупругом рассеянии равен
q	fi^max	2т
тах Mv	M '
Подставляя A50.9) в A49.12), получим полное эффективное тор-
торможение тяжелой частицы:
¦In—.	A50.10)
mv

§ 151	РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ	769
§ 151. Рассеяние нейтронов
В ряде физических задач теории столкновений мы встреча-
встречаемся с необходимостью выяснить влияние, которое оказывает
на процесс рассеяния собственное движение рассеивающих цен-
центров. В определенных условиях оказывается возможным приме-
применить к решению таких задач своеобразную теорию возмущений,
развитую Ферми A936), хотя к рассеянию на каждом центре
самом по себе теория возмущений может и не быть примени-
применимой. К такого рода вопросам относится, в частности, задача о
рассеянии медленных нейтронов на системе атомов, скажем, на
молекуле.
Для определенности будем говорить ниже именно об этой
задаче.
Электроны практически не рассеивают нейтронов, так что
все рассеяние фактически происходит на ядрах1). Будем счи-
считать, что амплитуда рассеяния отдельным ядром мала по срав-
сравнению с межатомными расстояниями. Тогда амплитуда волны,
рассеянной каждым из ядер в молекуле, становится малой уже
в точках нахождения других ядер. В этих условиях амплитуда
рассеяния молекулой сводится к сумме амплитуд рассеяния от-
отдельными ядрами.
К столкновению нейтрона с ядром теория возмущений, вооб-
вообще говоря, неприменима; хотя радиус действия ядерных сил мал,
но в пределах этого радиуса силы очень велики. Существенно,
однако, что амплитуда рассеяния медленного нейтрона (длина
волны нейтрона велика по сравнению с размерами ядра) есть
постоянная величина, не зависящая от скорости. Пусть fa — ам-
амплитуда рассеяния на а-м ядре; \fa\2do — дифференциальное се-
сечение упругого рассеяния нейтрона на свободном ядре (в системе
их центра инерции).
Постоянная амплитуда может быть формальным образом по-
получена из теории возмущений, если описывать взаимодействие
нейтрона с ядром «точечной» потенциальной энергией
Щг) = ~2-jffS(r),	A51.1)
где М — приведенная масса нейтрона и ядра. При подстановке
этого выражения в формулу Борна A26.4) ^-функция обращает
интеграл в постоянную величину, не зависящую от q. Опреде-
1) Подразумевается также, что молекула не обладает магнитным момен-
моментом. В противном случае имеется еще специфический эффект рассеяния,
связанного со взаимодействием магнитных моментов молекулы и нейтрона.

770
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
ленное таким образом «поле» U(г) называют псевдопотенциа-
псевдопотенциалом. Подчеркнем, что возможность его введения связана именно
с постоянством /.
В общем случае произвольной энергии нейтрона амплитуда
рассеяния зависит от начального и конечного импульсов рир'в
отдельности, а не только от их разности q; между тем амплитуда,
вычисленная в борновском приближении, может зависеть только
от q1).
Если рассеивающее ядро совершает заданное движение (на-
(например, колебания в молекуле), то при усреднении по этому
движению взаимодействие A51.1) «размазывается» по области
с размерами, вообще говоря, большими по сравнению с ампли-
амплитудой рассеяния /. Для такого «размазанного» взаимодействия
выполняется условие A26.1) применимости борновского прибли-
приближения.
Таким образом, будем описывать взаимодействие нейтрона с
молекулой псевдопотенциалом
U(t) = -2тгП2 ^ — S(t - Ra),	A51.2)
a
где суммирование производится по всем ядрам в молекуле; Ra —
их радиусы-векторы; г— радиус-вектор нейтрона. Подставив
это выражение в формулу теории возмущений A48.3) (с приве-
приведенной массой молекулы и нейтрона Мм в качестве га), получим
следующую формулу для сечения рассеяния нейтрона молеку-
молекулой в системе их центра инерции:
2
dan = Miy-
Р
do.	A51.3)
Матричные элементы берутся здесь по волновым функциям ста-
стационарных состояний движения ядер с энергиями Е$ и Еп, а
импульсы р и р' связаны друг с другом законом сохранения энер-
энергии
2 2
2ММ	п °
Формула A51.3) описывает неупругое столкновение, сопро-
сопровождающееся определенным изменением состояния движения
) Подчеркнем также, что хотя псевдопотенциал дает правильное значение
амплитуды рассеяния при формальном применении теории возмущений, это
отнюдь не означает, что теория возмущений действительно применима к та-
такому полю. Напротив, для потенциальной ямы с глубиной С/о? стремящейся
к бесконечности по закону С/о а3 = const (a—стремящийся к нулю радиус
ямы), условия A26.1), A26.2) заведомо не выполняются.

§ 151	РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ	771
ядер в молекуле (переход 0 —»> п). Она решает поставленную за-
задачу: по амплитудам рассеяния нейтронов на свободных ядрах
(предполагающимся известными) ею определяется сечение рас-
рассеяния на молекуле с учетом собственного движения ядер и с
учетом интерференционных эффектов от рассеяния на различ-
различных ядрах.
Если ядра обладают отличным от нуля спином, то должно
быть еще учтено, что амплитуды рассеяния fa зависят от сум-
суммарного спина рассеивающего ядра и нейтрона. Это может быть
сделано следующим образом.
Суммарный спин ядра и нейтрона может принимать два зна-
значения: ja = ia ± 1/2, где га — спин ядра; соответствующие значе-
значения амплитуды рассеяния обозначим через f?~ и f~. Составим
спиновый оператор, собственные значения которого при опреде-
определенных значениях ja были бы равны соответственно f? и f~.
Таковым является	^	^
fa = aa + basia,	A51.4)
где ia и 1з — операторы спинов ядра и нейтрона, а коэффициенты
аа и Ъа даются формулами
^	+<«/«~]' Ьа = ^тт(/«+-/«")- A5L5)
В этом легко убедиться, заметив, что при заданном значении
j собственное значение оператора i 1з есть
Операторы A51.4) и должны быть подставлены в формулу
A51.3) вместо fa со взятием от них матричных элементов, отве-
отвечающих рассматриваемому переходу. Если падающие нейтроны
и ядра мишени не поляризованы, то сечение рассеяния должно
быть соответствующим образом усреднено.
Задачи
1. Произвести усреднение формулы A51.3), предполагая направление
спинов нейтронов и ядер распределенными полностью беспорядочным об-
образом. Все ядра в молекуле — различные.
Решение. Усреднения по направлениям спинов нейтронов и ядер
независимы, а каждый из них при усреднении дает нуль; поэтому sia = 0.
Если молекула не содержит одинаковых атомов, то обменное взаимодей-
взаимодействие ядерных спинов отсутствует, и в силу ничтожности их непосредствен-
непосредственного взаимодействия направления спинов различных ядер в молекуле можно
считать независимыми; поэтому обращаются в нуль при усреднении также
и произведения вида (sii)(si2). Для квадратов же (siJ имеем
= ig2.2 =
3

772
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
ГЛ. XVIII
В результате получаем следующее выражение для усредненного сечения:
/ .	2 1	' ( ' _1_ 1 ^	"\
Р а Ма	4 а Ма
2. Применить формулу A51.3) к рассеянию медленных нейтронов на
пара- и ортоводороде (J. Schwinger, E. Teller, 1937).
Решение. До вычисления матричных элементов спиновых операто-
операторов выражение A51.3) для рассеяния на молекуле Н2 имеет вид
16р' , , , -гаг/2
9р
2\0)\2do,
A)
(±г/2 — радиусы-векторы двух ядер в молекуле относительно их центра
инерции).
Вращательные и колебательные состояния молекулы определяются
квантовыми числами К, Мк-> v (совокупность которых и надо понимать
под п в A)). В основном электронном состоянии молекулы Н2 четные зна-
значения К возможны лишь при полном ядерном спине 7 = 0 (параводород), а
нечетные К — при 7=1 (ортоводород) (см. § 86). Поэтому следует различать
два случая: 1) переходы между вращательными состояниями со значениями
К одинаковой четности, возможные лишь без изменения 7 (переходы орто-
орто и пара-пара), 2) переходы между состояниями со значениями К раз-
различной четности, возможные лишь с изменением 7 (переходы орто—пара и
пара-орто).
В первом случае имеем
<n|e-i4r/2|0) = <n|ei4r/2|0)(n cos^1"
(следует помнить, что вращательная волновая функция умножается на
( — 1)к при изменении знака г). Спиновый оператор в A) превращается
тогда в 2а + bsl, где I = ii + i2. Этот оператор диагоналей по / в соответ-
соответствии со сказанным выше. Квадрат Bа + bsl) усредняется, как в задаче 1,
и дает
4а2 +-7G + 1).
В результате получим
4р
qr
+ ГJ + 7G + !)(/
- ГJ} do. B)
Во втором случае
<n|eiqr/2|'
2|0)г
qr
и спиновый оператор в A) сводится к ls(ii — i2); он имеет лишь недиаго-
недиагональные по 7 матричные элементы. Квадрат модуля этих элементов, про-
просуммированный по всем возможным значениям проекции полного спина I'
в конечном состоянии, вычисляется как среднее значение (диагональный
элемент) квадрата (s, ii — i2J (см. примеч. на с. 704) и равен
(s,ii-i2J = i • |(ii - i2J|Bi? + 2i| - I2)J[3 - 1A + 1)].

152	РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ	773
В результате получим
^|(|^|)|2/+ - f-fdo,	C)
где коэффициент A) относится к орто-пара-переходам, а коэффициент
C) — к пара-орто-переходам.
Если нейтроны настолько медленны, что их длина волны велика так-
также и по сравнению с размерами молекулы, то в матричных элементах в B)
и C) можно положить cos(qr/2) = 1, sin(qr/2) = 0, в результате чего все
они обращаются в нуль, за исключением диагонального элемента 00; есте-
естественно, что в этих условиях возможно лишь упругое рассеяние. Сечение
упругого рассеяния в этом случае
dcje = -[C/+ + ГJ + 1A + 1)(/+ - ГJ] do.
У
3. Определить сечение рассеяния нейтронов на связанном протоне, рас-
рассматриваемом как изотропный пространственный осциллятор с частотой из
(E.Fermi, 1936).
Решение. Рассматривая протон как колеблющийся вокруг закреп-
закрепленной в пространстве точки, мы должны положить в формуле A51.3), по
смыслу ее вывода, Мм = М и Ма = М/2 (М — масса протона). Тогда
г	\ г	2
.	р (То \"ч / —гаг / / \ /	/ \ itt- i
dcrn =	) е Wooo(r)VJn1n2n3(^)dV do,
p тг \J
где его = 4тг|/|2 — сечение рассеяния на свободном протоне, а фП1п2пз —соб-
—собственные функции пространственного осциллятора, соответствующие уров-
уровням энергии Еп = Низ(п + 3/2); суммирование производится по всем зна-
значениям 77,1, 77,2, Пз С Заданной СуММОЙ 77,1 + 77,2 + 77,3 = 77,. ФуНКЦИИ фП1п2п3
представляют собой произведения волновых функций трехлинейных осцил-
осцилляторов (см. задачу 4 §33). Поэтому нужный нам интеграл разбивается на
произведение трех интегралов вида
оо
/
(а = у/Миз/Н), которые вычисляются путем подстановки Нп(х) в виде (а.4)
и 77,-кратного интегрирования по частям. В результате получим
1 г/ «то v- д1П1д2УП2д1пз
d° =	>	е
тг v 2па *-^ 77,i!77,2!77,3!	V 2а
Суммирование производится по биномиальной формуле, и окончательно на-
находим
/ 771/ / 2 \ П	/	2 \
7Г77,! у Е \2а J	\ 2а J
В частности, сечение упругого рассеяния (тт, = 0, Е = Е')
dcre = — exp (	 ) do, ae = а0 — 1 — exp (
тг V 2а2)	Е [	\ Низ
Если Е/Низ —>- 0, то (те —>- 4<т0-

774	НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
§ 152. Неупругое рассеяние при больших энергиях
Эйкональное приближение, использованное в § 131 для зада-
задачи о взаимном рассеянии двух частиц, может быть обобщено та-
таким образом, чтобы охватить собой также и процессы (в том чи-
числе неупругие) при столкновениях быстрой частицы с системой
частиц—«мишенью» (R.J.Glauber, 1958).
В этом обобщении основные предположения остаются преж-
прежними. Энергия падающей частицы Е предполагается настолько
большой, что Е ^> \U\ и ка ^> 1 , где U — энергия ее взаимодей-
взаимодействия с частицами мишени, а а —радиус этого взаимодействия.
Рассматривается рассеяние с относительно малой передачей им-
импульса: изменение fiq импульса падающей частицы мало по срав-
сравнению с ее первоначальным импульсом Кк: q <С к. Это условие
подразумевает теперь, однако, не только малость угла рассеяния,
но и относительную малость передаваемой энергии.
Кроме того, будем считать, что скорость падающей частицы v
велика по сравнению со скоростями vq частиц внутри мишени:
v^>v0.	A52.1)
Для рассеяния заряженных частиц на атомах это условие
равносильно применимости борновского приближения (ср. § 148,
150): из v > ^о автоматически следует \U\a/Hv <С 1; необходи-
необходимости в развиваемой здесь теории в этом случае, следовательно,
вообще не возникает. Иная ситуация, однако, имеет место для
ядерных мишеней, в которых частицы связаны не кулоновыми,
а ядерными силами. Ниже мы будем, для определенности, гово-
говорить о рассеянии быстрой частицы на ядре1).
Условие A52.1) позволяет рассматривать движение падаю-
падающей частицы при заданных положениях нуклонов в ядре2). Дру-
Другими словами, волновая функция системы частица + мишень
может быть представлена в виде
ф(г, Ri, R2,...) = ?>(г; R-i, R-2, • • • )*<(Ri, R2, • • • )• A52.2)
Здесь ФДКх, R,2,...) —волновая функция некоторого (г-го) вну-
внутреннего состояния ядра (Ri, R2, • • • —радиусы-векторы нукло-
нуклонов в нем). Множитель же <p(r; R1R2, • • •) ~ волновая функция
1)	Для сколько-нибудь тяжелых ядер условие A52.1) приводит к реляти-
релятивистским скоростям v. Излагая в этом параграфе формальный аппарат в
рамках нерелятивистской теории, мы оставляем в стороне вопрос о его фак-
фактической применимости к тем или иным конкретным процессам рассеяния.
2)	Такое приближение аналогично тому, которое лежит в основе теории
молекул, где электронное состояние рассматривается при заданном распо-
расположений ядер.

§ 152	НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ	775
рассеиваемой частицы (г — ее радиус-вектор) при заданных зна-
значениях Ri, R2,..., играющих роль параметров в уравнении Шре-
дингера
где Ua(r — Ra) — энергия взаимодействия частицы с а-м нукло-
нуклоном, Кк — ее импульс на бесконечности1).
Если мы найдем решение уравнения A52.3) с асимптотиче-
асимптотической формой
(n' = r/r, n = k/fe), то волновая функция A52.2)
A52.5)
гкг
p	i	i
Г
будет описывать рассеяние на ядре, находящемся (до столкнове-
столкновения) в своем г-м состоянии; падающая волна егкг входит в A52.5)
в произведении с Ф^. Второй член в A52.5) представляет рассе-
рассеянную волну. Однако это выражение пригодно для определения
амплитуды рассеяния лишь при условии достаточно малого из-
изменения энергии падающей частицы, т. е. малого изменения вну-
внутренней энергии ядра; рассматривая движение частицы в посто-
постоянном поле «неподвижно закрепленных» нуклонов (чему соот-
соответствует уравнение A52.3)), мы тем самым пренебрегаем воз-
возможным изменением энергии этого движения.
Для выделения амплитуды рассеяния с определенным изме-
изменением внутреннего состояния ядра надо представить ф в виде
^,	A52.6)
где суммирование производится по различным состоянием ядра;
//г(п', п) и даст тогда искомую амплитуду рассеяния с заданным
переходом ядра г —»> / как функцию от угла рассеяния (угол
между п и п'). Сравнив A52.6) с A52.5), найдем, что
т,	A52.7)
Х)В A52.3) предполагается, что взаимодействие частицы с ядром сводится
к сумме ее парных взаимодействий с отдельными нуклонами.

776
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
где dr = d3i?id3i?2 • • • —элемент конфигурационного простран-
пространства ядра. Снова подчеркнем, что эта формула применима лишь
при сравнительно малой разности энергий состояний г и /.
Само решение A52.4) уравнения A52.3) находится описан-
описанным в § 131 способом1). Аналогично формуле A31.7) имеем
F(ri, n; Rb R2,...) = A j[s{p, Rb R2,...) - l]e
A52.8)
где введены обозначения
6(р, Ri, R2, • • •) =
Sa(p ~ Ra±) = ~^~ I Ua{T - Ra) dz.
— OO
Напомним, что р — проекция радиуса-вектора г на плоскость ху,
перпендикулярную к k (Ra^ — такая же проекция радиуса-век-
радиуса-вектора Ra); Нс[ = р' — р — изменение импульса рассеиваемой части-
частицы, причем в A52.8) входят лишь поперечные его компоненты.
Функции 6а определяют амплитуды упругого рассеяния частицы
на отдельных свободных нуклонах согласно
/(«) = А /'{еХр[2г5а(р) - l]e-^pd2p.	A52.10)
2ттг J
При г = f находим из A52.7), A52.8) амплитуду упругого рассе-
рассеяния на ядре:
/й(п',п) = ?:f[S(p) ~ l]e~icipd2p,	A52.11)
где черта означает усреднение по внутреннему состоянию ядра:
R-bR-2,...)|2^-	A52.12)
Эта формула обобщает прежнюю формулу A31.7).
) В § 131 было отмечено, что исходное выражение волновой функции
A31.4) применимо лишь на расстояниях а ^ ка2. Это обстоятельство не
было существенно для дальнейшего вывода в § 131. Но при рассеянии на
системе частиц (ядре) оно приводит к дополнительному ограничительному
условию. Необходимо, чтобы выражение A31.4) было применимым во всем
объеме рассеивающей системы, т. е. должно быть i?o ^С ка2, где i?o — радиус
ядра (а а — радиус действия потенциалов U).

§ 152	НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ	777
Положив в A52.11) n' = n и воспользовавшись оптической
теоремой A42.10), получим полное сечение рассеяния
at = 2 ГA - Re ~S)d2p.	A52.13)
Интегральное сечение упругого рассеяния ае получается ин-
интегрированием \fu\2 по направлениям п'. При малых углах рас-
рассеяния в имеем q « кв и элемент телесных углов do « d2q/k2.
Поэтому
- J \М fc2.
Представив f^fa с fa из A52.11) в виде двойного интеграла (по
d2pd2p'), интегрируем по d2q с помощью формулы
Г
= BТГJ6(Р ~ р'),
после чего ^-функция устраняется интегрированием по d2p'.
В результате находим
ае= Г \S-l\2d2p.	A52.14)
Наконец, полное сечение реакций
ar = at - ае = ГA - \S\2) d2p.	A52.15)
Обратим внимание на соответствие выражений A52.13)-
A52.15) с общими формулами A42.3)-A42.5). Переходя в по-
последних от суммирования (по большим /) к интегрированию
по d2p (с р = 1/к) и заменив Si на функцию S(p), мы получим
Задачи
1. Выразить амплитуду упругого рассеяния быстрой частицы на дей-
дейтроне через амплитуды рассеяния на протоне и нейтроне (R. J. Glauber,
1955).
Решение. Согласно A52.11) амплитуда упругого рассеяния на дей-
дейтроне
/d(q) = ^~
+2idJp+ 5^I - l\e~icipd3Rd2p. A)

778
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
Здесь ?/^(R)— волновая функция относительного движения нейтрона (п) и
протона (р) в дейтроне; R = Rn — Rp, a Rj_ — проекция R на плоскость,
перпендикулярную к волновому вектору падающей частицы к. Представим
разность в фигурных скобках в A) в виде
ехрBг?п + 2iSp) - 1 = (e2iSn - 1) + (e2iSp - 1) + (e2iSn - l)(e2iSp - 1).
После этого интегралы преобразуются с учетом определения амплитуд рас-
рассеяния на нейтроне (f^n') и протоне (f^p') согласно A52.10) и обратных
формул
В результате находим
/(d)(q) = /(n)(q)^(q)
где
= f\M^)\2e~i4R/2d3R
— формфактор дейтрона.
Положив в B) q = 0 (причем ^@) = 1) и воспользовавшись оптической
теоремой A42.10), найдем полное сечение рассеяния на дейтроне:
\-4) d\.	C)
A Re f
2. Определить сечение распада быстрого дейтрона на независимые ней-
нейтрон и протон при рассеянии на тяжелом поглощающем ядре; радиус яд-
ядра i?o велик по сравнению с длиной волны дейтрона (кИъ ^> 1, Кк—им-
Кк—импульс дейтрона) и по сравнению с радиусом дейтрона (Е. Л. Фейнберг, 1954;
R. J. Glauber, 1955; А. И. Ахиезер и А. Г. Ситенко, 1955).
Решение. По отношению к падающей дейтронной плоской волне
большое (kRo ^> 1) поглощающее ядро играет роль непрозрачного экра-
экрана, на котором волна дифрагирует. Волновая функция падающих дей-
дейтронов: etciripd(R), где ipd(R)—внутренняя волновая функция дейтрона
(R = Rn — Rp — радиус-вектор между нейтроном и протоном в дейтроне,
г = (Rn + Rp)/2 — радиус-вектор их центра инерции). Наличие поглощаю-
поглощающего ядра приводит к «выеданию» части этой функции, отвечающей попе-
поперечным координатам нейтрона и протона (рп и рр), попадающим в область
«тени» ядра, т.е. внутрь круга радиуса i?o- Другими словами, волновая
функция становится равной
где S = 1 при рп, рр ^ i?o и S = 0, если хотя бы одно из рп или рр мень-
меньше Ro1) . Эта функция (без множителя ipd) отвечает выражению падающей
волны в виде A31.5) (в ней дифракционное искривление лучей не учитыва-
учитывается); поэтому и множитель S имеет тот же смысл, что и в § 131,152.
Аналогично A52.13), A52.14) полное сечение рассеяния дейтрона at
(включающее все неупругие процессы) и сечение упругого рассеяния <те
) Кулоновым взаимодействием дейтрона с ядром пренебрегаем.

§ 152	НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ	779
даются формулами
at = 2 /"A - S) d2p, ae = f(S - IJ d2p,
где p = (pn + pp)/2 и учтена вещественность S] усреднение S производится
по основному состоянию дейтрона:
S(p) = ji
В качестве фа достаточно взять функцию
справедливую на расстояниях R вне радиуса действия ядерных сил, дей-
действующих между нейтроном и протоном (ср. A33.14); ус = л/тЩ/Н, где |е| —
энергия связи дейтрона; т — масса нуклона). По определению S разность
1 — S отлична от нуля, если один или оба из двух нуклонов попадают внутрь
круга радиуса Ro и поглощаются ядром; поэтому
Сзахв = / A — S) d p = (Tt/2	A)
есть сечение захвата одного или обоих нуклонов. С другой стороны, at =
= сгзахв+сге+сграсп, где сграсп —интересующее нас сечение «дифракционного»
распада дейтрона. Отсюда
<трасп = i<
J 5A - 5) d2p.	B)
При Rq>c^> 1 в интеграле B) существенны малые (~ 1/^) расстояния от
края ядра; тогда интегрирование вдоль края дает множитель 2tt.Ro, а инте-
интегрирование в перпендикулярном направлении можно производить так, как
если бы область тени была ограничена прямой линией. Выбрав последнюю
в качестве оси у (а ось х — в направлении наружу от тени), имеем
[1 - S(x)] dx,
j
о
причем интеграл
2тгЯ0 /
оо 2х
S(x) = [[ [ ф2а(Я) dX dY dZ, R =
— 2x
берется по области Xn, Xp ^ 0 при заданном значении х = (Xn + Xp)/2
или, что то ж:е, по области \Х\ = \Хп — Хр\ ^ 2х. Интеграл преобразуется
переходом к переменным X, R и полярному углу в плоскости YZ (причем
dY dZ —>> 2-kR dR) и приводится к виду
S(x) = 1 - е~А>сх +4хх Iе— d?.	C)
4:>СХ
Интеграл B) с этой функцией S(x) вычисляется путем повторных интегри-
интегрирований по частям с использованием формулы

780
НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ	ГЛ. XVIII
В результате получается
7Г	/	1
0"расп —	-*Ь0 I Ш •"
Зх V	4
При этом же условии >cRq ^> 1, сечение захвата
Сзахв = ТГ-Ro Н	~
(интеграл A) по области р > Rq вычисляется с помощью C), и интеграл по
области р < Ro дает tvRq). Это сечение включает в себя как захват дейтрона
в целом, так и захват лишь одного из нуклонов с освобождением другого
(реакция срыва). Сечение последней реакции вычисляется как (усредненная
по ф%) прицельная площадь, отвечающая попаданию лишь одного из двух
нуклонов в область тени, и равно
(R.Serber, 1947).

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
§ а. Полиномы Эрмита
Уравнение
у" - 2ху' + 2пу = 0	(а.1)
относится к типу уравнений, которые могут быть решены с по-
помощью метода Лапласа х).
Этот метод применим вообще к линейным уравнениям вида
га=О
коэффициенты которого не выше первой степени по ж, и заклю-
заключается в следующем. Составляем полиномы
п
P{t) = ^ arntmi	Q(t) =
ra=0	ra=0
и с их помощью функцию
определенную с точностью до постоянного множителя. Тогда ре-
решение рассматриваемого уравнения может быть выражено в ви-
виде комплексного интеграла
у= Z(t)ext dt,
С
где путь интегрирования С выбран так, чтобы интеграл имел
значение конечное и отличное от нуля, причем функция
V = extQZ
должна возвращаться к своему начальному значению, после того
как t опишет всю линию С (контур С может быть как замкну-
замкнутым, так и незамкнутым). В случае уравнения (а.1) имеем
р = t2 + 2п- Q = —2t Z = г с~*2/4 V = —ext~t2^
2t	t
г) См., например, Э. Гурса. Курс математического анализа. Т. П. -М.: Го-
стехиздат, 1933; В. И. Смирнов. Курс высшей математики. Т. III, часть 2.
-М.: Наука, 1974.

782	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ	ГЛ. XVIII
так что его решение имеет вид
у = J exp(zt-j)^.	(а.2)
Для физических применений достаточно ограничиться рас-
рассмотрением значений п > —1/2. Для таких п можно выбрать в
качестве пути интегрирования контуры С\ или С2 (рис. 52), удо-
удовлетворяющие необходимым условиям, поскольку на их концах
(t = +ос или t = —ос) функция V обращается в нуль1).
Выясним, при каких значениях параметра п уравнение (а.1)
имеет решения, конечные при всех конечных значениях х и стре-
стремящиеся при х —»> ±ос к бесконечности не быстрее конечной
степени х. Рассмотрим сначала нецелые значения п. Интегралы
(а.2) по С\ и С*2 дают здесь два независимых решения уравнения
(а.1). Преобразуем интеграл по Ci, введя переменную и согласно
t = 2{х — и). Находим, опуская постоянный множитель,
^TTdu,	(a.3)
где интегрирование производится по контуру С[ в плоскости
комплексного переменного и, изображенному на рис. 53.
Рис. 52	Рис. 53
При х —>• +ос весь путь интегрирования С[ сдвигается на
бесконечность, и интеграл в формуле (а.З) стремится к нулю,
2
как е~х . Но при х —»> —ос путь интегрирования простирается
вдоль всей вещественной оси, и интеграл в (а.З) не стремится к
нулю экспоненциально, так что функция у(х) обращается в бес-
2
конечность в основном, как ех . Аналогично легко убедиться в
том, что интеграл (а.2) по контуру С*2 расходится экспоненци-
экспоненциально при х —>• ос.
При целых же положительных значениях п (включая значе-
значение нуль) интегралы вдоль прямолинейных участков пути ин-
интегрирования взаимно уничтожаются, и оба интеграла (а.З) —
по С[ и С2 — сводятся к интегралу по замкнутому пути вокруг
х)Эти пути непригодны при целых отрицательных п, поскольку при та-
таких п интеграл (а.2) вдоль них обратился бы тождественно в нуль.

ФУНКЦИЯ ЭЙРИ	783
точки и = х. Таким образом, мы получим решение
(и- хГ» ЛЩ
удовлетворяющее поставленным условиям. Согласно известной
формуле Коши для производных от аналитической функции
{Х) ~ 2ш f {t-xT
это есть, с точностью до постоянного множителя, полином Эр-
MUma	Нп{х) = {-1)пех2^е-х\	(а.4)
В раскрытом виде полином Яп, расположенный по убываю-
убывающим степеням ж, имеет вид
ra(^) = Bx)"-^^Bx)"-2+n(n)(^2)(n)Bx)"-4-... (а.5)
Он содержит степени х только той же четности, что и число п.
Выпишем несколько первых полиномов Эрмита
Яо = 1, Нг = 2х, Н2=4х2-2, Hs = 8xs-12x, f ^
л	о	(а.6)
Я4 = 16ж4 - 48ж2 + 12.
Для вычисления нормировочного интеграла заменяем е~х Нп
()
Д	рр	р
выражением из (а.4) и, интегрируя п раз по частям, получим
Hl{x)dx= J(-l)-Hn(x)?,e-x2dx= f
e-*2
—oo
Ho dnHn/dxn есть постоянная, равная 2nn!; в результате полу-
получим	+ ОО
I
—оо
е~х Hl(x)dx = 2nn\^.	(а.7)
§ Ь. Функция Эйри
Уравнение	„
y"-xy = 0	(b.l)
тоже относится к типу Лапласа. Следуя общему методу, состав-
составляем функции
Р = ?2, Q = -1, Z = - ехр(-?3/3), V = exp(xt - ?3/3),

784
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
ГЛ. XVIII
так что решение может быть представлено в виде
у{х) = const • / ехр(ж? — ?3/3) dt.
(b.2)
причем путь интегрирования С должен быть выбран так, чтобы
на обоих его концах функция V обращалась в нуль. Для этого
эти концы должны уходить на бесконеч-
бесконечность в тех областях плоскости комплекс-
комплексного переменного ?, в которых Re (?3) >
> 0 (на рис. 54 эти области заштрихо-
заштрихованы) .
Решение, конечное при всех ж, полу-
получим, выбрав путь С так, как это изоб-
изображено на рисунке. Он может быть сме-
смещен произвольным образом, при условии
только, чтобы его концы уходили на бес-
бесконечность в тех же двух заштрихован-
заштрихованных секторах (I и III на рис. 54). Заметим,
что, выбрав путь, проходящий, например,
в секторах III и Я, мы получили бы решение, обращающееся при
х —>• ос в бесконечность.
Смещая путь С так, чтобы он совпал с мнимой осью, полу-
получаем функцию (Ь.2) в виде (делаем подстановку t = ги)
= —j= / cos ( их -\	] du.
О
(Ь.З)
Постоянную в (Ь.2) мы положили равной —г/2у/тг и обозна-
обозначили определенную таким образом функцию через Ф(ж); ее на-
называют функцией Эйри1).
Асимптотическое выражение для Ф(ж) при больших значени-
значениях х можно получить, вычисляя интеграл (Ь.2) методом перева-
перевала. При х > 0 показатель степени в подынтегральном выраже-
выражении имеет экстремум при t = ±\/ж, а направление его «наиболее
крутого спада» параллельно мнимой оси. Соответственно это-
этому, для получения асимптотического выражения для больших
положительных значений х разлагаем показатель по степеням
x)Mbi следуем определению, предложенному В. Л. Фоком (см. Г.Д.Яко-
Г.Д.Яковлева, Таблицы функций Эйри. -М.: Наука, 1969; Ф(х) — одна из двух вве-
введенных Фоком функций, обозначаемая им как V(х)). В литературе использу-
используется также определение функции Эйри, отличающееся от (Ь.З) постоянным
множителем: Aia; = Ф(ж)/у/тг, так что f Aixdx = 1.

ФУНКЦИЯ ЭЙРИ	785
t + л/х и интегрируем вдоль прямой С\ (см. рис. 54), парал-
параллельной мнимой оси (расстояние О А = у/х). Делая подстановку
t = —у/х + ш, получаем
+ ОО
ФОг)«^=/ехр(-р/2-
откуда	ж,.^_. х ______ ^..з/2 1	/Ь4ч
Таким образом, при больших положительных х функция Ф(ж)
затухает экспоненциально.
Для получения асимптотического выражения при больших
отрицательных значениях х замечаем, что при х < 0 показатель
степени имеет экстремумы при
i = гу\х и t = — г
а направление наиболее крутого спада в этих точках — соответ-
соответственно вдоль прямых под углами =^/4 к вещественной оси.
Выбирая в качестве пути интегрирования ломаную линию Сз
(расстояние О В = у|ж|), получим после простых преобразова-
преобразований
^A3/25)	(ь-5)
Таким образом, в области больших отрицательных х функция
Ф(х) имеет осциллирующий характер. Укажем, что первый (наи-
(наибольший) максимум функции Ф(ж) есть Ф(—1,02) = 0,95.
Функция Эйри может быть выражена с помощью бесселевых
функций порядка 1/3. Уравнение (b.l), как легко убедиться, име-
имеет решение
(
где Zii%(x) —любое решение уравнения Бесселя порядка 1/3. Ре-
Решение, совпадающее с (Ь.З), есть
при х > 0, (Ь.6)
Ф(х) = ^[J_1/3(^|3/2) +Л/з(|к!3/2)] при х < 0,

786
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
ГЛ. XVIII
где
1и(х) = г vJv(ix), Kv[x) = ———
2 Sin VK
С помощью рекуррентных соотношений
2Kv{x) =-Ky-iix) - Kv+1{x)
легко найти для производной функции Эйри выражение
Ф(х
1,0
0,8
0,4
0
-0,4
-0,8
-1,0
А
1 \
I \
v/ v
Л
Л / N
/
j 1 /
\ /
\
V
Ф'(х) = -
при х > 0. (Ь.7)
При х = О
Ф(О) =
32/3ГB/3)
= 0,629,
-8-6-4-2 0 2 ^ 4
Рис. 55	I J ~ 20J7
На рис. 55 дан график функции Эйри.
(Ь.8)
с. Полиномы Лежандра1)
Полиномы Лежандра Pi(cos6) определяются формулой
P/(cos0) = 4
Они удовлетворяют дифференциальному уравнению
sin6 d6\	d6 J
(C.I)
(c.2)
1) В математической литературе есть много хороших излож:ений теории
шаровых функций. Здесь мы приводим для справок лишь некоторые основ-
основные соотношения, совершенно не занимаясь систематическим изложением
теории этих функций.

§ С	ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА	787
Присоединенные полиномы Лежандра определяются формулой
Pjm(cos в) = smm0	- = -^-smm0	т—(cos^0 - lr
1 V	J	(dcos6)m 2ll\	(dcos6)l+my	}
(C.3)
или эквивалентной ей
^	- 1)', (с.4)
причем т = 0,1,...,/. Присоединенные полиномы удовлетворя-
удовлетворяют уравнению
(^r) [	J^|r = o. (с.5)
l	V У
1
Нормировочный интеграл полиномов Лежандра f [P/(//)]2d/i
-l
(// = cos б) вычисляется подстановкой в него выражений (с.1) и
/-кратным интегрированием по частям, после чего он оказывает-
оказывается равным
-1	-1
Подстановкой и = A — /i)/2 этот интеграл приводит к 5-инте-
гралу Эйлера и дает
(с.б)
-1
Аналогичным образом легко убедиться в том, что функции P/(/i)
с различными / взаимно ортогональны:
1
P/(//)P//(/i)d/i = 0, 1ф1'.	(с.7)
-1
Вычисление нормировочного интеграла для присоединен-
присоединенных полиномов легко произвести аналогичным образом, написав
[Ргш(//)]2 в виде произведения выражений (с.З) и (с.4) и интегри-
интегрируя / — т раз по частям; в результате получается
1

788	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ	ГЛ. XVIII
Легко также убедиться в том, что функции Р™ с различными /
(и одинаковыми т) взаимно ортогональны:
O, \ф\\	(с.9)
-1
Вычисление интегралов от произведений трех полиномов Ле-
жандра рассматривалось в § 107.
Для полиномов Лежандра имеет место следующая теорема
сложения. Пусть j — угол между двумя направлениями, опреде-
определяемыми сферическими углами в,(р и б1 ,ip'\ cos 7 = cos в cos в1 +
+ sin в sin в1 cos(<p - (рг). Тогда
P/(cos7) = P/(cos 6)Рг (cos <9')+
+ E 2{^^РГ(cosв)РГ(cosef)cos[m(v - Л (с.10)
ra—1
Эта теорема может быть также записана в терминах шаровых
функций (определенных согласно B8.7)) в виде
Здесь n, n'— два единичных вектора, а У/П(п) означает сфери-
сферическую функцию от полярного угла и азимута направления п
относительно фиксированной системы координат.
Умножим равенство (с.10) на P//(cos0) и проинтегрируем
его по do = sin6d6dip. Интегрирование по dip обращает в нуль
все члены в правой части равенства, содержащие множители
cos[m((p — ip')}\ с учетом (с.6), (с.7) получим
Р/(cos 7) P/'(cos 0) do = 5ц>—-^
Этот результат можно записать в симметричном виде
а
Pj(nin2)Pj/(nin3)doi = Sw—^—j
где ni, П2, пз — три единичных вектора, а интегрирование произ-
производится по направлениям одного из них— ni. Наконец,

ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
789
приведем выражения нескольких первых нормированных сфе-
сферических функций У\ш\
= 4/—A-3cos2 в),
у 16
3,±i = ±4/ — sin 0E cos2
V Ь4тг
> У3,±з = ±^/1
У Ь4ТГ
§ d. Вырожденная гипергеометрическая функция
Вырожденная гипергеометрическая функция определяется
рядом
i-i/	\ 1 , а z , а(а +1) ^2 ,
^,7,,) = ! + -- + -^- + ...,
сходящимся при всех конечных z\ параметр а произволен, а па-
параметр 7 предполагается не равным нулю или целому отрица-
отрицательному числу. Если а есть целое отрицательное число (или
нуль), то F(a,j, z) сводится к полиному степени \а\.
Функция ,Р(ск,7, z) удовлетворяет уравнению
(d.l)
zu"
G - z)v! -au =
(d.2)
в чем легко убедиться непосредственной проверкойг). Подста-
Подстановкой и = z1~1u\ это уравнение преобразуется в уравнение того
же вида
zu" + B - 7 - z)u[ - (а - 7 + 1)г/1 = 0.	(d.3)
Отсюда видно, что при нецелом 7 уравнение (d.2) имеет также
частный интеграл z1~1F(a—7+I, 2—7, z), линейно независимый
г) Уравнение (d.2) с целым отрицательным значением 7 не нуждается в
особом рассмотрении, так как может быть сведено (преобразованием к урав-
уравнению (d.3)) к случаю целых положительных 7-

790	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ	ГЛ. XVIII
от (d.l), так что общее решение уравнения (d.2) имеет вид
и = ClF(a, 7, z) + c2z1^F(a -7 + 1,2-7,*).	(d.4)
Второй член, в противоположность первому, имеет при z = 0
особую точку.
Уравнение (d.2) относится к типу Лапласа, и его решения
могут быть представлены в виде контурных интегралов. Следуя
общему методу, составляем функции
P(t) = jt-a, Q(t) = t(t-1), Z(t) = ta-1(t-iy-a~1,
так что
и = f etzta-x(t - Xy-^dt.	(d.5)
Путь интегрирования должен быть выбран таким образом, что-
чтобы после его прохождения функция V(i) = etzta(t — lI~a возвра-
возвращалась к исходному значению. Применяя тот же метод к урав-
уравнению (d.3), можно получить для и контурный интеграл другого
вида
и =
Г
В этом интеграле удобно сделать подстановку tz —>• ?, приводя-
приводящую его к виду
и
(z) = Г e\t - z)-ata~^dt,	(d.6)
причем соответствующая функция V(t) = Ла~7+1(? — zI~a.
Подынтегральное выражение в (d.6) имеет, вообще говоря,
две особые точки—при t = z и при t = 0. Выберем контур
интегрирования G, приходящий из
к —^	бесконечности (Re t —»> —ос), обходя-
/ t = z~t) сХ	щий обе особые точки в положитель-
! \ ном направлении и уходящий снова
| т на бесконечность (рис. 56). Этот кон-
>< t = Q~Q Сл/ тур удовлетворяет требуемым усло-
	>	'	виям, так как на его концах функ-
функция V(t) обращается в нуль. Инте-
Рис- 56	грал (d.6), взятый по контуру G,
не имеет особой точки при z = 0;
поэтому он должен совпадать, с точностью до постоянного
множителя, с не имеющей особенностей функцией F(a^ry^z).

§ d	ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ	791
При z = 0 обе особые точки подынтегрального выражения сов-
совпадают; согласно известной формуле теории Г-функций
2тгг/ (
Поскольку F(a, 7?0) — 1> то очевидно, что
e\t - z)~ata^dt.	(d.8)
С
В (d.5) подынтегральное выражение имеет особые точки
t = 0 и t = 1. Если Re G — ol) > 0, а 7 — не целое положитель-
положительное число, то в качестве пути интегрирования можно выбрать
контур С", выходящий из точки t = 1,
обходящий в положительном направ-
направлении точку t = 0 и возвращающийся	\^	^^t = l
в t = 1 (рис. 57); при Re G — ol) > 0
в результате обхода вдоль такого кон- Рис. 57
тура функция V(t) возвращается к ис-
исходному значению нульг). Определенный таким образом инте-
интеграл тоже не имеет особенности при z = 0 и связан с F(a,^,z)
соотношением
^(-t^-^l - ty-^dt. (d.9)
с
По поводу интегралов (d.8), (d.9) надо сделать следующее за-
замечание. При нецелых а и 7 подынтегральные выражения этих
интегралов являются неоднозначными функциями. Их значения
в каждой точке предполагаются выбранными условием, что воз-
возводимая в степень комплексная величина берется с наименьшим
по абсолютной величине значением аргумента.
Отметим полезное соотношение
F(a, 7, z) = ezF(j - а, 7, -z),	(d.10)
которое получается непосредственно, если сделать в интегра-
интеграле (d.8) подстановку t —»> t + z.
Мы уже упоминали, что если а = —п, где п— целое поло-
положительное число, то функция i^(a,7, z) сводится к полиному.
Для этих полиномов можно получить короткую формулу. Де-
Делая в интеграле (d.9) подстановку t —»> 1 — (t/z) и применяя к
1)Если 7 — целое положительное число, то в качестве С' можно выбрать
любой контур, обходящий обе точки t = 0 и t = 1.

792	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ	ГЛ. XVIII
получившемуся интегралу формулу Коши, найдем следующую
формулу:
Если к тому же ^у = т, где га — целое положительное число, то
имеет место также и формула
Fi-щ m, z) =	^	ezd + Ae~zzn). (d.12)
V ' ' J m(m + l)...(m + n-l) dzm+n-lK	} V J
Эта формула получается применением формулы Коши к инте-
интегралу, получающемуся из (d.8) подстановкой t —»> z — t.
Полиномы F(—n,m,z) @ ^ т ^ п) совпадают, с точностью
до постоянного множителя, с обобщенными полиномами Лагер-
ра:
(n — m)\ dz	(n — m)\	dz
(d.13)
Полиномы L™ при m = 0 обозначают, как Ln(z), и называют
просто полиномами Лагерра\ согласно (d.13) имеем
Интегральное представление (d.8) удобно для получения асим-
асимптотического разложения вырожденной гипергеометрической
функции при больших z. Деформируем контур так, что он пре-
превращается в два контура С\ и Съ (см. рис.56), обходящих со-
соответственно точки t = 0 и t = z\ нижнюю ветвь пути С2 и
верхнюю ветвь С\ надо представлять себе смыкающимися на
бесконечности. Имея в виду получить разложение по обратным
степеням z, выносим в подынтегральном выражении (—z)~a за
скобку. В интеграле по контуру С2 делаем подстановку t —>• t + z\
тем самым мы преобразуем контур Съ в контур С\. В результате
представляем формулу (d.8) в виде
F(a, 7, z) = ^^(-z)~aG(a, a -

ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ	793
где
Д /Yl +
2тгг J \ z
При возведении в степень в формуле (d.14) —z и z должны брать-
браться с наименьшим по абсолютной величине значением аргумента.
Наконец, разлагая в подынтегральном выражении (l + t/z)~a по
степеням t/z и применяя формулу (d.7), получим в результате
для G(a,C,z) асимптотический ряд
Формулами (d.14) и (d.16) определяется асимптотическое разло-
разложение функции F(a,^,z).
При целом положительном 7 второй член в общем реше-
решении (d.4) уравнения (d.2) либо совпадает с первым (если 7=1),
либо теряет вовсе смысл (если 7 > 1)- В качестве системы двух
линейно независимых решений можно в этом случае выбрать
два слагаемых в формуле (d.14), т.е. интегралы (d.8), взятые
по контурам С\ и Съ (эти контуры, как и контур С, удовлетво-
удовлетворяют требуемым условиям, так что интегралы вдоль них—то-
них—тоже решения уравнения (d.2)). Асимптотический вид этих реше-
решений определяется уже полученными формулами; остается най-
найти их разложение по восходящим степеням z. Для этого исхо-
исходим из равенства (d.14) и аналогичного равенства для функ-
функции z1~^F(a — 7 + 1, 2 — 7, z). Из этих двух равенств выражаем
G(a, а — 7 + 1, —z) через -F(a, 7? z) и F(a — 7 + 1, 2 — 7? 2), по~
еле чего полагаем 7 — Р + ? (р ~ целое положительное число)
и переходим к пределу е —»> 0, раскрывая неопределенности по
правилу Лопиталя. В результате довольно длинного вычисления
получается следующее разложение:
G(a,a-p+l,-z) =
7гГ(Р)
Г(р)Г(а + s)[i/j(a + s) — ф(р + s) — i/j(s + 1)] s
Z "T"
5=0
P-1
где ф обозначает логарифмическую производную от Г-функции:
ф(а) = Т'(а)/Г(а).

794	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ	ГЛ. XVIII
§ е. Гипергеометрическая функция
Гипергеометрическая функция определяется внутри круга
|^| < 1 рядом
а при \z\ > 1 получается аналитическим продолжением этого
ряда (см. (е.6)). Гипергеометрическая функция является одним
из частных интегралов дифференциального уравнения
z(l - z)u" + [7 - (а + /3 + l)z]ur - а/Зи = 0.	(е.2)
Параметры а и /3 произвольны, а 7 "Ф 0,-1,-2,... Функция
F(a, )9,7?^)? очевидно, симметрична по параметрам а и /З1).
Второе независимое решение уравнения (е.2) есть
z1^F{f3 - 7 + 1, а - 7 + 1, 2 - 7,*);
оно имеет особую точку при z = 0.
Мы приведем здесь для справочных целей ряд соотношений,
которым удовлетворяет гипергеометрическая функция.
Функция F{ot, /3,7? z) может быть представлена при всех ?,
если Re G — ot) > 0, в виде интеграла
F(a,C,j,z) =
взятого по контуру С', изображенному на рис. 57. В том, что этот
интеграл действительно удовлетворяет уравнению (е.2), легко
убедиться непосредственной подстановкой; постоянный множи-
множитель подобран так, чтобы при z = 0 получилась единица.
Подстановка
и = A -
х) Вырожденная гипергеометрическая функция получается из F(a,/3,j,z)
предельным переходом F(a,j,z) = lim.Ff а,/3,7? ~) ПРИ /3 —>¦ оо.
В литературе используется такж:е обозначение 2Fi(a,P,j,z) для гипергео-
гипергеометрической и ii*i(a, 7, 2;) для вырож:денной гипергеометрической функций.
Индексы слева и справа от буквы F указывают число параметров, фигури-
фигурирующих соответственно в числителях и знаменателях членов ряда.

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
795
в уравнение (е.2) приводит к уравнению того же вида с пара-
параметрами 7 — ск? 7 ~ А 7 соответственно вместо а, /3, 7- Отсюда
следует равенство
F(a, C,7, *) = (!- ^O"а"^G - а, 7 - 0,7, *) (е.4)
(обе части равенства удовлетворяют одному и тому же уравне-
уравнению и их значения при z = 0 совпадают).
Подстановка t —»> t/(l — ? + zt) в интеграле (е.З) приводит к
следующему соотношению между гипергеометрическими функ-
функциями от переменных z и z/(z — 1):
^	(е.5)
Значение многозначного выражения A — z)~a в этой формуле
(и аналогичных выражений во всех следующих ниже формулах)
определяется условием, что возводимая в степень комплексная
величина берется с наименьшим по абсолютной величине значе-
значением аргумента.
Далее, приведем без вывода важную формулу, связывающую
гипергеометрические функции от переменных z и 1/z:
Эта формула выражает F(a, C,^(,z) в виде ряда, сходящегося
при |^| > 1, т.е. представляет собой аналитическое продолжение
исходного ряда (е.1).
Формула
)Г	~ ^ 7 - А 7 + 1 ~ а - А 1 ~ ^)
(е.7)
связывает гипергеометрические функции от z и 1 — z (мы так-
также приводим ее без вывода). Комбинируя (е.7) с (е.6), получим

796	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ	ГЛ. XVIII
соотношения
(е.9)
Каждый из членов сумм в правых частях равенств (е.6)-(е.9)
представляет сам по себе решение гипергеометрического урав-
уравнения.
Если а (или /3) есть целое отрицательное число (или нуль),
а = —п, то гипергеометрическая функция сводится к полиному
n-й степени и может быть представлена в виде
Эти полиномы совпадают, с точностью до постоянного множи-
множителя, с полиномами Якоби, определяемыми как
)b+n\- (e.ll)
При а = Ъ = 0 полиномы Якоби совпадают с полиномами Ле-
жандра. При п = О Ро = 1.
§ f. Вычисление интегралов с вырожденными
гипергеометрическими функциями
Рассмотрим интеграл вида
сю
Ie-XzzuF(a,j,kz)dz.	(f.l)
= j e
о
Предполагается, что он сходится. Для этого должно быть Re v >
>—lnReA>|Refc|; если а есть целое отрицательное число,

§ f	ИНТЕГРАЛЫ С ВЫРОЖДЕННЫМИ ГИПЕРГЕОМЕТР. ФУНКЦИЯМИ	797
то вместо второго условия достаточно потребовать, чтобы было
Re Л > 0. Воспользовавшись для F(a, 7? kz) интегральным пред-
представлением (d.9) и произведя интегрирование по dz под знаком
контурного интегрирования, получим
X
с
Учитывая (е.З), находим окончательно
Га1 = Г> + 1)А-*-1*1^ i/ + 1,7, к/Х).	(f.2)
В случаях, когда функция F(a, z/ + 1,7? к/Х) сводится к полино-
полиномам, получаем соответственно и для интеграла J^7 выражения
через элементарные функции:
^-[Аа-7(А-А:)-а],	(f.3)
\-y+n-v-l
jn = 	(-I)
am fcm-1(l)B)(l)
+ п\(т - п - 1)... (т - 1)Ха-п-1(Х - fc)+m"n"ax
X 	гп_п_2 [X	\Л — гь)	J / Ч"'-'^/
(га, п — целые числа, 0 ^ п ^ т — 2).
Далее, вычислим интеграл
Jv = Г e-kzz"-1[F(-n,>y,kz)]2dz	(f.6)
о
(п — целое положительное, Re v > 0). Для вычисления исходим
из более общего интеграла, содержащего в подынтегральном вы-
выражении e~Xz вместо e~kz. Одну из функций F(—n,j,kz) пи-
пишем в виде интеграла (d.9), после чего интегрирование по dz с

798	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ	ГЛ. XVIII
помощью формулы (f.3) дает
О
х (Ь (А — Ы —
j
с
Л,	W	rvLj y/\ гьь гъj J tt/t/.
ал
Производную п-го порядка по Л можно, очевидно, заменить, вы-
выразив через производную того же порядка по ?; сделав это, по-
полагаем Л = к, возвращаясь, таким образом, к интегралу Jv\
1 Г(п + 1I>)ГG)
2тгг Г2( + )Г
х у(_tO—i(i _ t)^-^[(l - t)^(-t)^] dt.
С
Производя n-кратное интегрирование по частям, переносим опе-
операцию (d/dt)n на выражение (-tO~^~1(l-tO+n~1 и раскрываем
производную по формуле Лейбница. В результате получаем сум-
сумму интегралов, каждый из которых сводится к известному инте-
интегралу Эйлера. Окончательно получается следующее выражение
для искомого интеграла:
71-1
711
fi, у п(п - 1) ... (п - я) G -у- s- 1)G - v - а) ... G ~ у + 8) \
I 4^	[(S + l)!]27G+l)...G + ^)	J"
(f.7)
Легко видеть, что между интегралами Jv имеет место следующее
соотношение (р — целое число):
т _ G ~ Р ~ 1)G ~ Р) • • • G + Р ~ 1) т
Аналогичным образом вычисляется интеграл
оо
J= I e-Xzz^-1F(a,-f,kz)F(a',^,k'z)dz.	(f.9)
о

§ f	ИНТЕГРАЛЫ С ВЫРОЖДЕННЫМИ ГИПЕРГЕОМЕТР. ФУНКЦИЯМИ	799
Представляем функцию F(a!,7? krz) в виде интеграла (d.9) и по-
после интегрирования по dz с помощью формулы (f.3) (с п = 0)
находим
J = ¦^
х (\-k't-k)-adt.
Подстановкой ? —> \t/(k't + \ — к') этот интеграл приводится
к виду (е.З), давая в результате
J = ГG)Л«+«'-ЧА - Ц-.(Л - k')--'F(a,а',ъ ,,
(f.10)
Если ск (или а') есть целое отрицательное число а = —п, то с
помощью соотношения (е.7) это выражение может быть перепи-
переписано в виде
Наконец, рассмотрим интегралы вида
Jsvp{a, а') = I ехр (- ^«) ^-1+sF(a, 7, kz)F(a', 7 -р, A;'z)d«.
о
(f.12)
Значения параметров предполагаются такими, что интеграл схо-
сходится абсолютно; 5, р—целые положительные числа. Простей-
Простейший из этих интегралов J^°(a^a') равен, согласно (f. 10),
a, a') =
а если а (или а') — целое отрицательное число (а = — п), то,

800	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ	ГЛ. XVIII
согласно (f. 11), можно также написать
~ а')G - а'+ 1) ...(-у-а'+п-1) „
X
7G+1)...G + n-D
+'Цк - к')п-а> х
Общая формула для J^p(a, а1) может быть выведена, но она на-
настолько сложна, что ею неудобно пользоваться. Удобнее пользо-
пользоваться рекуррентными формулами, позволяющими свести инте-
интегралы JjP(a, а') к интегралу с s = р = 0 х) Формула
дает возможность свести J^p(a^af) к интегралу с р = 0. После
этого формула
J°+1'°(a, а') = ^а j [^(к ~ к') -ка + к'а' - k's] J?(a, a')+
+ вG - 1 + s - 2а'р°-г>0(а, а') + 2a'sJ^1'°(a, a' + l)j (f.16)
(а, а) + 2asJ	j
позволяет произвести окончательное приведение к интегралу с
s = р = 0.
х) См. W. Gordon// Ann. d. Phys. 1929. V. 2 P. 1031.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатические возмущения 188,
216, 244
Адиабатический инвариант 216
—	инвариант, изменение 241
Адиабатическое включение возму-
возмущения 195
Амплитуда отражения 108, 240
—	рассеяния 610, 617, 650, 776
	двумерная 613, 629, 651
Атом водорода в магнитном поле 558
Бинарные преобразования 258
Борновское приближение 623, 649
	в двумерном случае 629
Боровский радиус 154
Ван-дер-ваальсовы силы 378, 385,
417
Векторная модель 134
Взаимодействие спин-орбита 329,
393, 398, 585
—	спин-ось 393, 398
—	спин-спин 329, 332, 393
Виртуальный уровень 668, 680, 695
Водород орто- и пара- 407, 772
Возмущение внезапное 188
Волновой пакет 39, 72
«Встряхивание» атома 190
Галилея преобразование волновой
функции 77
Гелий орто- и пара- 317
—	основной уровень атома 320
Гиромагнитный множитель 561
Двукратно вырожденный уровень
180, 181
Двухуровневая система, переходы
185
Дейтрон, распад при столкновениях
242, 778
Дельта-функция 34, 67, 194, 616
Диамагнетизм атома 563, 567
Дипольный момент 345, 411
Дифракционное рассеяние 723
Длина волны дебройлевская 76
—	рассеяния 659, 669
Дуплеты релятивистские и экрани-
ровочные 344
«Дырки» в оболочке 313, 343
Единицы атомные 154
—	кулоновы 154
Закон 1/v 724
Зарядовая симметрия 572
Измерение 15, 39 и д., 200
Изотопический спин 574
Инверсия 129
Ион Н+ 369, 372, 384
Ионизация вблизи порога 751
—	при а- и /3-распаде 191, 192
—	электрическим полем 361—366
Калибровочное преобразование вол-
волновой функции 552
Канал реакции 717, 727
Квадрупольный момент 346, 347,
417, 599
Квазистационарные состояния 202,
674, 714, 731
Квантовые числа в центральном по-
поле 138, 712
Клетки в фазовом пространстве 217,
220, 321
Колебательный момент 510
Комплексное время 366
х) Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В ука-
указатель включены термины и понятия, непосредственно не отраженные в
оглавлении.

802
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Комплексных траекторий метод
239,	653
Конфигурационное пространство 19
Кориолисово взаимодействие 512
Коэффициент преломления 722
—	прохождения медленных частиц
111
Коэффициенты Клебша-Гордана
527
—	Рака 538
Кулоново вырождение 156, 162
Лишние
—	полюсы 640
Магические числа 588
Магнетон Бора 550
Магнитный момент 550, 560 и д.
	ядра 589 и д.
Матрица рассеяния 618, 702, 727
Матрицы Паули 256
Матричны элементы единичного
вектора 128
	квазиклассические 219, 232
	приведенные 127, 534
Множитель Ланде 561
Молекула Н2 378
Молекулярные термы положитель-
положительные и отрицательные 404, 514
	четные и нечетные 368
Мультиплет нормальный и обра-
обращенный 332
Мультиплетность термов 310, 368
Надбарьерное отражение 106, 232,
240,	247
Нефизический лист 637, 676
Обменный интеграл 288
Обращение времени 43, 81, 277, 468,
480, 527, 553, 619, 706
Оператор параллельного переноса
69
—	сопряженный 27
—	транспонированный 26
—	унитарный 58
—	эрмитов 27, 53
Оптическа модель 721, 738
—	теорема 619, 719, 777
	в двумерном случае 614
Осциллятор ангармонический 175,
238
—	во внешнем поле 189
—	пространственный 146
Осциляционная теорема 88
Перезарядка при столкновении 431
Перестановочное вырождение 284
Плоская волна 76, 83, 147
Поляризационная матрица плотно-
плотности 275
Поляризуемость атома 354, 359
Поправка Ридберга 316
Потенциал Морзе 101
Потенциальная стенка 105 и д., 108,
109
—	яма неглубокая 204, 206
	одномерная 91 и д.
	центрально-симметричная 144,
145, 165, 175
Потенциальное рассеяние 678, 735
Потенциальный барьер 108, 110, 226
Правила отбора общие по симмет-
симметрии 466
	по моменту 126
	четности 130
Правило интервалов Ланде 332
—	Хунда 312
Принцип детального равновесия 730
—	Паули 284
—	Франка-Кондона 422
Прицельное расстояние 149, 615, 631
Псевдопотенциал 769
Рассеяние в магнитном поле 656
—	на дейтроне 777
—	радужное 634
Самосогласованное поле 311, 317,
583
Связь гомео- и гетерополярная 382
-33 334
—	LS рассель-саундеровская 333
Сила осцилляторов 764
Сияние 635
Скобки Пуассона 46, 58
След матрицы 58
Смещение атомных уровней в среде
723

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
803
Собственные функции 22
Составное ядро 731
Состояния промежуточные 198
—	чистые и смешанные 63
Статистический вес ядерный 407,
516
Столкновения второго рода 421, 430
Схема Юнга 292
Тензор неприводимый 268
—	сферический 532
Тензорные силы ядерные 578
Теорема взаимности 620, 706, 729
—	суммирования 761
—	Вигнера-Эккарта 534
—	Яна-Теллера 494
Траектория Редже 710
Транспортное сечение 627, 699
Углы Эйлера 270
Уровни Ландау 555
Фазовый сдвиг 144, 611
	в двумерном случае 613
Физический лист 636
Формфактор атомный 698
Числа заполнения 299
Ширина уровня 202, 674, 734
Эйкональное приближение 652, 774
Эквивалентные состояния 312
Эффект Зеемана 560, 566, 605
—	Оже 344
—	Пашена-Бака 563
—	Рамзауэра 659
—	Штарка 350 и д., 355 и д., 412
Эффективный радиус взаимодей-
взаимодействия 672

Учебное издание
ЛАНДАУ Лев Давидович
ЛИФШИЦ Евгений Михайлович
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
(нерелятивистская теория)
(Серия: «Теоретическая физика», том III)
Редактор: Д. А. Миртова
Оригинал-макет: А. С. Переверзева
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 22.05.01. Формат
Бумага офсетная №1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 50,5. Уч.-изд. л. 48,0
Тираж 2000 экз. Заказ №
Издательская фирма
« Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная ул., 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: pfpv@vologda.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0057-2
9785922 100571

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК