Текст
1
CLASSICAL ELECTRODYNAMICS
by
John David Jackson
Professor of Physics,
University of Illinois
JOHN WILEY & SONS, INC.
NEW YORK - LONDON
1962
Дж. ДЖЕКСОН
Классическая
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Г. В. ВОСКРЕСЕНСКОГО и Л. С. СОЛОВЬЕВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Э. Л. БУРШТЕЙНА
19 6 5
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИ Р» МОСКВА
УДК 538
Книга Джексона представляет собой современный курс электроди-
электродинамики. В ее основу положен курс лекций, которые автор читал в те-
течение многих лет в Иллинойсском университете и университете Мак-
Гилла (США).
Благодаря незаурядному педагогическому мастерству, с которым
написана книга, и умелому подбору материала в ней удачно сочетают-
сочетаются четкость и простота изложения со строгостью и глубиной. Автор
ставит перед собой задачу не только дать ясное представление о физи-
физических основах электродинамики, но и привить читателю навыки само-
самостоятельного решения электродинамических задач. Эгому способствуют
хорошо подобранные задачи и упражнения, помещенные в конце каж-
каждой главы.
Наряду с традиционными разделами электродинамики (от электро-
электростатики до специальной теории относительности) в книге рассматрива-
рассматриваются наиболее интересные ее приложения, например в радиотехнике
(теория волноводов и резонаторов, теория излучения) и в ядерной физике
(соударения заряженных частиц, излучение движущихся частиц).
Книга рассчитана на научных работников — физиков, инженеров,
а также аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся
по теоретической физике, ядерной физике, физике плазмы и электронике
(в особенности в области СВЧ).
Редакция литературы по физике
Предисловие редактора перевода
Предлагаемая книга посвящена разделу физики, давно уже
ставшему классическим,— электродинамике. Только за последние
годы советскими издательствами издан и переиздан целый ряд
курсов электродинамики *). Однако это отнюдь не исключает
необходимости издания новых курсов, отличающихся от прежних
объемом материала, уровнем и методикой изложения.
Книга Джексона рассчитана прежде всего на студентов и аспи-
аспирантов физических и технических специальностей, желающих
не только получить ясные физические представления и конкретные
знания природы электромагнитных явлений, но и приобрести навы-
навыки самостоятельного решения прикладных задач в этой области.
Автор уделяет довольно много места описанию различных мето-
методов решения электродинамических проблем, от простейшего метода
зеркальных изображений до метода парных интегральных уравне-
уравнений. К каждой главе подобраны поучительные упражнения и зада-
задачи, являющиеся ценным дополнением к основному тексту и иллю-
иллюстрирующие приложения описываемых методов. Более полно, чем
в других руководствах по электродинамике, здесь представлены
метод функций Грина и метод разложения полей по мультиполям.
Другой особенностью является актуальность материала, вклю-
включенного в книгу. Наряду с традиционными разделами (электро-
(электростатика, магнитостатика, переменные поля, уравнения Максвелла,
электромагнитные волны) здесь рассматривается целый ряд вопро-
вопросов, которые в последние годы приобрели важное значение с при-
прикладной точки зрения. Сюда относятся, с одной стороны, разделы,
*) Та мм И. Е., Основы теории электричества, 3-е переработанное изда-
издание, М., 1946 (то же, 7-е издание, М., 1957); Иваненко Д. Д., Соко-
Соколов А. А., Классическая теория поля, М., 1951; Власов А. А., Макро-
Макроскопическая электродинамика, М., 1955; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.,
Электродинамика сплошных сред, М., 1957; Зоммерфельд А., Электроди-
Электродинамика, ИЛ, 1958; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, М.,
1960; Тоннела М. А., Основы электромагнетизма и теории относительно-
относительности, ИЛ, 1962; Новаку В., Введение в электродинамику, ИЛ, 1963; П а-
новский В., Филипс М., Классическая электродинамика, М., 1964.
Предисловие редактора перевода
посвященные волноводам, резонаторам, излучающим системам и раз-
различным методам расчета излучения. Помимо общефизического инте-
интереса, эти разделы особенно полезны всем специализирующимся
по технике сверхвысоких частот, по антенной технике и в других
смежных областях. С другой стороны, ряд глав книги представляет
особый интерес для физиков-теоретиков и экспериментаторов, зани-
занимающихся изучением частиц высоких энергий. Помимо ставшего
уже традиционным для курсов электродинамики рассмотрения
основ релятивистской механики, здесь имеются специальные главы,
посвященные анализу соударения заряженных частиц, излучения
движущихся частиц, в том числе синхротронного, тормозного
и черенковского излучения и обратной реакции излучения на движе-
движение частиц. Следует также упомянуть краткое, но ясное изложение
основ магнитной гидродинамики и физики плазмы.
Наиболее близкой к настоящему курсу является упомянутая
выше книга В. Пановского и М. Филипс, вышедшая недавно
в русском переводе. Охватывая примерно тот же круг вопросов,
она, однако, отличается конспективностью, рассчитана на хорошо
подготовленного читателя и уступает книге Джексона в детальной
разработке методов решения электродинамических задач.
Третьей характерной особенностью книги Джексона является
педагогическое мастерство, с которым написана книга. Изложение
доступно широкому кругу читателей, весьма ясно, в то же время
достаточно строго и вполне современно. Всюду физическое содержа-
содержание понятий выступает на передний план. В этом отношении пока-
показательны, например, разделы, посвященные соударениям заряжен-
заряженных частиц и излучению частиц. Для получения соответствующих
квантовых соотношений из классических автор использует полу-
полуклассические соображения с учетом принципа неопределенности.
При таком подходе читателю становится особенно ясно, какие
явления относятся к существенно квантовым, а какие — к класси-
классическим.
В целом можно надеяться, что предлагаемый курс электродина-
электродинамики, современный по содержанию, весьма полный и написанный
с высоким педагогическим мастерством, будет ценным и полезным
пособием для всех изучающих электродинамику.
Перевод книги выполнен Э. Л. Бурштейном (предисловие
и гл. 1), Г. В. Воскресенским (гл. 4; гл. 5, § 1—7; гл. 13—17 и при-
приложение) и Л. С. Соловьевым (гл. 2, 3; гл. 5, § 8—12; гл. 6—12).
Э. Л. Бурштейн
Предисловие
Классическая теория электромагнетизма наряду с классической
и квантовой механикой является в настоящее время одной из основ-
основных теоретических дисциплин при подготовке физиков. Серьезное
знание этих предметов — необходимое условие успешного изучения
специальных дисциплин.
Типичная программа по электричеству и магнетизму для высше-
высшего учебного заведения рассчитана на два или три семестра после
изучения курса элементарной физики. Преимущественное внимание
уделяется в ней основным законам электродинамики, их лабора-
лабораторному подтверждению и рассмотрению следствий из них, анализу
цепей, простым волновым явлениям и излучению. Из математиче-
математических средств используются векторное исчисление, обыкновенные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами,
ряды Фурье, иногда преобразования Фурье и Лапласа, уравнения
в частных производных, полиномы Лежандра и функции Бесселя.
Для аспирантов обычно дается двухсеместровый курс теории
электромагнетизма. Именно такому курсу соответствует моя книга.
При обучении аспирантов электродинамике я ставлю перед собой
по крайней мере три цели. Во-первых, все содержание курса должно
быть представлено как единое связное целое. Особенно важно под-
подчеркнуть единство электрических и магнитных явлений как с точки
зрения их физической сущности, так и с точки зрения математиче-
математической трактовки. Во-вторых, не менее важной задачей является
изложение и применение различных методов математической физи-
физики, весьма полезных как в электродинамике, так и в квантовой
механике. Сюда относятся теорема Грина и функции Грина, орто-
нормальные разложения, сферические гармоники, цилиндриче-
цилиндрические и сферические функции Бесселя. Наконец, третьей и, быть
может, важнейшей задачей является изложение нового материала,
в частности вопросов, касающихся взаимодействия релятивистских
заряженных частиц с электромагнитным полем. Здесь, конечно,
Предисловие
в сильной степени сказываются личные вкусы автора. Выбор мате-
материала определяется тем, что, на мой взгляд, наиболее существенно
и полезно для лиц, интересующихся теоретической физикой, экспе-
экспериментальной ядерной физикой, физикой больших энергий и пока
еще недостаточно определенной «физикой плазмы».
Книга начинается по традиции с электростатики. В первых шести
главах последовательно излагается теория электромагнетизма
Максвелла. По ходу изложения вводится необходимый математиче-
математический аппарат, особенно в гл. 2 и 3, где детально рассмотрены гра-
граничные задачи. При этом мы исходим из напряженности электри-
электрического поля Е и магнитной индукции В. Производные макроскопи-
макроскопические характеристики D и Н вводятся путем усреднения по ансамб-
ансамблю атомов и молекул. При рассмотрении диэлектриков даются
простые классические модели поляризации атома, однако при опи-
описании магнитных свойств модельные представления не используют-
используются. Частично это обусловлено недостатком места, но в основном
объясняется тем, что построить чисто классическую модель магнит-
магнитной восприимчивости вообще невозможно. Кроме того, только для
разъяснения такого интересного явления, как ферромагнетизм,
потребовалась бы чуть ли не целая книга.
Следующие три главы (гл. 7—9) посвящены различным электро-
электромагнитным явлениям главным образом макроскопического характе-
характера. В гл. 7 рассматриваются плоские волны в различных средах,
в том числе в плазме, а также дисперсия и распространение эле-
электромагнитных импульсов. В гл. 8 обсуждаются волноводы и резо-
резонаторы произвольного поперечного сечения. Вопрос о затухании
волн в волноводах и о добротности резонаторов решается в весьма
общем виде, что позволяет подчеркнуть физическую суть процессов.
Гл. 9 посвящена элементарной теории мультипольного излучения
ограниченных источников и теории дифракции. Поскольку простая
скалярная теория дифракции излагается во многих учебниках
по оптике и в учебниках по электричеству и магнетизму для
высших учебных заведений, в этой главе дается более строгое,
хотя также приближенное, изложение теории дифракции на основе
не скалярных, а векторных теорем Грина.
В последнее время проблемы магнитной гидродинамики и дина-
динамики плазмы все больше привлекают внимание физиков и астро-
астрофизиков. В гл. 10 дается обзор этого весьма сложного раздела
и излагаются относящиеся сюда основные физические понятия.
Первые девять или десять глав образуют основу классической
теории электричества и магнетизма. Предполагается, что аспиранты
уже знакомы с большей частью этих вопросов, может быть, в более
элементарном изложении. Но изучив эти же вопросы при более
строгом подходе, принятом в настоящей книге, читатель приобретет
более полное представление о предмете, глубже поймет отдельные
Предисловие
вопросы и в значительной степени овладеет техникой применения
различных аналитических методов решения задач. После этого
он сможет воспринять более сложные проблемы, рассматриваемые
в последующих главах. Сюда относятся главным образом вопросы
взаимодействия заряженных частиц друг с другом и с электромаг-
электромагнитным полем (в частности, частиц, движущихся с релятивист-
релятивистскими скоростями).
Специальная теория относительности ведет свое происхождение
от классической электродинамики. И сейчас, через 60 лет, класси-
классическая электродинамика по-прежнему служит блестящим примером
ковариантности законов природы при преобразовании Лоренца.
Специальной теории относительности посвящена гл. 11. В ней опи-
описывается весь необходимый формальный аппарат, исследуются
различные кинематические следствия и устанавливается ковариант-
ковариантность законов электродинамики. Следующая глава посвящена кине-
кинематике и динамике релятивистской частицы. Динамику заряженных
частиц в электромагнитных полях, конечно, можно отнести
к электродинамике. Читатель может, однако, усомниться в том,
насколько правомерно относить к электродинамике, скажем, кине-
кинематические преобразования при соударении. На это следует отве-
ответить, что коль скоро установлен четырехмерный характер импульса
и энергии частицы, использование таких примеров вполне оправ-
оправдано, поскольку при этом у читателя вырабатываются полезные
навыки обращения с преобразованиями Лоренца, а получаемые
результаты весьма полезны и мало где приводятся.
В гл. 13, где обсуждаются соударения заряженных частиц
и их рассеяние, особое внимание уделяется энергетическим потерям
и вводятся понятия, необходимые для последующих глав. Здесь
в первый раз в этой книге я использую полуклассические соображе-
соображения, связанные с принципом неопределенности, чтобы получить
из классического рассмотрения приближенные квантовомеханиче-
ские выражения для энергетических потерь и т. п. Такой подход,
оказавшийся столь плодотворным 6 руках Нильса Бора и Вильям-
са, позволяет ясно понять, где и каким образом квантовомеханиче-
ские эффекты видоизменяют классические представления.
Важному вопросу об излучении движущегося с ускорением
точечного заряда посвящены гл. 14 и 15, причем особое внимание
уделено релятивистским эффектам. Выражения для спектрального
и углового распределения излучения выводятся достаточно общим
путем, а их применение иллюстрируется на столь различных при-
примерах, как синхротронное и тормозное излучение и излучение при
Р-распаде. Обсуждается также излучение Черенкова — Вавилова
и метод виртуальных фотонов Вейцзекера — Вильямса. При рас-
рассмотрении процессов атомных и ядерных соударений для получения
приближенных квантовомеханических соотношений вновь приме-
10 Предисловие
няются полуклассические соображения. Я специально подчерки-
подчеркиваю это, так как считаю весьма существенным, чтобы читатель
понимал, что такие радиационные эффекты, как, например, тор-
тормозное излучение, являются по своему характеру почти полностью
классическими, хотя мы здесь и имеем дело с соударениями на малых
расстояниях. Если же читатель встретится с тормозным излучением
впервые в курсе квантовой теории, он не поймет его физической
сущности.
Предметом гл. 16 являются мультипольные поля. Разложение
скалярного и векторного полей по сферическим волнам производит-
производится на основе самых общих предпосылок, при этом не накладывается
никаких ограничений на соотношения между размером области,
занимаемой источниками, и длиной волны. Затем рассматриваются
свойства электрических и магнитных мультипольных полей излу-
излучения и устанавливается их связь с мультипольными моментами
источника. После этого в качестве примеров обсуждается атомное
и ядерное мультипольное излучение, а также макроскопический
источник, размеры которого сравнимы с длиной волны. Для иллю-
иллюстрации граничной задачи с векторными сферическими волнами
довольно подробно исследована задача о рассеянии плоской эле-
электромагнитной волны на сферическом препятствии.
В последней главе рассмотрен сложный вопрос о реакции излу-
излучения. Рассмотрение здесь скорее физическое, чем математическое.
Особое внимание уделяется определению областей применимости
приближенных выражений для радиационных поправок и выявле-
выявлению случаев, когда существующие теории неприменимы. Здесь
излагается как первоначальная теория Абрагама — Лоренца, так
и более поздний классический подход.
Книга заканчивается приложением, в котором рассматривается
вопрос об единицах и размерностях физических величин, и библио-
библиографией. В приложении я старался показать логику построения
системы единиц, не пытаясь убедить читателя в особых преиму-
преимуществах выбранной нами системы единиц. Здесь приведены две
таблицы, которые, как можно надеяться, окажутся полезными.
Первая служит для перевода формул из одной системы в другую,
вторая — для перевода численных значений физических величин
из гауссовой системы в систему МКС и обратно. В библиографию
включены книги, которые могут, на наш взгляд, пригодиться
читателю для справок или для дальнейшего изучения предмета.
Ссылки на них даются в тексте в квадратных скобках.
Эта книга возникла на основе лекционного курса по классиче-
классической электродинамике, который я читал для аспирантов последние
одиннадцать лет в Иллинойсском университете и в университете
Мак-Гилла. Я хочу поблагодарить моих коллег и слушателей
в обоих университетах за бесчисленные полезные замечания. Особо
Предисловие 11
следует упомянуть профессора Уоллеса (университет Мак-Гилла), ко-
который предоставил мне возможность вести этот весьма неортодок-
неортодоксальный по тем временам курс, и профессоров Уальда и Асколи (Ил-
линойсский университет), которым я обязан многими ценными пред-
предложениями по методике изложения различных вопросов. Я благо-
благодарен также д-ру Кауфману, прочитавшему первоначальный
вариант рукописи и сделавшему ряд замечаний, и м-ру Кэйну за по-
помощь при составлении предметного указателя.
Дж. Джексон
Урбана, Иллинойс
Январь 1962
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕКТРОСТАТИКУ
Хотя янтарь и магнитный железняк были известны еще в древ-
древней Греции, электродинамика как количественная наука возникла
и развилась за какие-нибудь последние восемьдесят лет. Наблю-
Наблюдения Кулона над силами взаимодействия заряженных тел относят-
относятся к 1785 г. Примерно через пятьдесят лет Фарадей исследовал дей-
действие токов и магнитных полей. В 1864 г. Максвелл опубликовал свою
знаменитую работу о динамической теории электромагнитного поля.
Мы начнем наше изложение с электростатики, т. е. с описания
электрических полей, не зависящих от времени. Изложение будет
большей частью весьма кратким, поскольку оно, по существу, носит
обзорный характер. Электростатика послужит нам пробным камнем
для развития и приложения общих математических методов.
§ 1. Закон Кулона
Вся электростатика по существу основана на законе Кулона,
определяющем силу, с которой взаимодействуют заряженные
тела, находящиеся в покое относительно друг друга. Кулон (а еще
раньше Кэвендиш) экспериментально показал, что сила взаимо-
взаимодействия двух небольших заряженных тел, расстояние между
которыми велико по сравнению с их размерами,
1) пропорциональна величине каждого заряда,
2) обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними,
3) направлена вдоль прямой, соединяющей заряды,
4) представляет собой притяжение, если тела заряжены противо-
противоположно, и отталкивание в случае одноименных зарядов.
Кроме того, было показано экспериментально, что полная сила,
с которой совокупность малых заряженных тел действует на какое-
либо одно малое заряженное тело, представляет собой векторную
сумму сил Кулона, соответствующих действию каждого заряда
в отдельности.
14 Гл. 1. Введение в электростатику
§ 2. Напряженность электрического поля
Хотя непосредственно измеряемой величиной является сила,
целесообразно ввести понятие, несколько отличающееся от силы,
а именно понятие о напряженности электрического поля, обусловлен-
обусловленного совокупностью заряженных тел. Мы можем пока определить
электрическое поле, или, точнее, напряженность электрического
поля, как силу, действующую на единицу заряда, помещенного
в данной точке пространства. Она является вектором, зависящем
от координат, и обозначается через Е. Однако применять это оп-
определение следует с осторожностью. Напряженность электрического
поля не всегда совпадает с силой, которая действует на шарик,
заряженный единичным зарядом и внесенный в исследуемую точку
пространства. Дело в том, что единичный заряд (скажем, заряд,
получающийся после того, как сто раз провести кошачьей шкур-
шкуркой по янтарной палочке) может оказаться столь большим, что он
заметно изменит конфигурацию поля. Поэтому следует рассма-
рассматривать предельный процесс, т. е. измерять отношение силы, дей-
действующей на малый пробный заряд, к величине заряда при все
меньшей и меньшей величине заряда. При достаточно малой вели-
величине заряда величина этого отношения и направление силы стано-
становятся практически постоянными. Эти предельные значения величи-
величины отношения и его направления и определяют величину и напра-
направление напряженности электрического поля в рассматриваемой
точке. Математически это соотношение запишется в виде
F = <7E, A.1)
где F — сила, Е — напряженность электрического поля, q —
заряд. В этом соотношении предполагается, что заряд q точеч-
точечный, а сила и напряженность электрического поля вычисляются
для точки, в которой расположен заряд.
Аналогично можно записать и закон Кулона. Если обозначить
через F силу, с которой на точечный заряд <7ь расположенный
в точке хь действует другой точечный заряд q2, расположенный
в х2, то закон Кулона запишется следующим образом:
f=***t5^- (L2)
Заметим, что <7i и Яч — алгебраические величины и могут быть
как положительными, так и отрицательными. Множитель пропор-
пропорциональности k зависит от используемой системы единиц.
Электрическое поле в точке х, создаваемое точечным зарядом qu
расположенным в точке х4 (фиг. 1.1), равно
§ 2. Напряженность электрического поля 15
Постоянная k определяется выбранной единицей заряда. В элек-
электростатической системе единиц (СГСЭ) за единицу заряда принят
заряд, который действует на равный ему заряд, находящийся на рас-
расстоянии 1 см, с силой 1 дин. Таким образом, в системе СГСЭ
коэффициент k равен единице. В рационализированной системе
-*
Б
О
Фиг. 1.1.
МКСА коэффициент k равен 1/4ле0, где е0 = 8,854-10~12 ф/м—
проницаемость свободного пространства. Мы будем пользоваться
системой единиц СГСЭ *).
Экспериментально установлено, что для сил, обусловленных
различными зарядами, выполняется условие линейной суперпози-
суперпозиции; благодаря этому поле в точке х, создаваемое системой точечных
зарядов <7ь расположенных в точках X; (i = 1, 2, . . . , п), можно
записать как векторную сумму
г=1
Если зарядов очень много и они весьма малы, то их можно описы-
описывать объемной плотностью заряда q(x'); при этом Aq = q (х') х
х Ах Ay Az— заряд элементарного объема Ах Ay Az в точке х\
В этом случае сумма A.4) переходит в интеграл
(x') |ххГхХ^з dVt A.5)
где d?xr = dx'dy'dz' — трехмерный элемент объема в точке х\
Сейчас уместно ввести дельта-функцию Дирака. Одномерная
дельта-функция, обозначаемая б (х — а), представляет собой несоб-
несобственную функцию 2), обладающую следующими свойствами:
1) 8 (х — а) = 0 для х Ф а\
1, если область интегрирования содер-
2) [6(x-a)dx= ) *ит ТО™У а>
J j 0, если область интегрирования не содер-
— a) dx = J
жит точки а.
г) Вопрос о системах единиц рассматривается в приложении.
2) В математике функции типа 6-функции относятся к классу «обобщен»
ных функций» (см. [124]).— Прим. ред.
16 Гл. 1. Введение в электростатику
Дельта-функции можно дать строгую интерпретацию, а именно
рассматривать ее как предел, к которому стремится пикообразная
кривая типа гауссовой, когда ее ширина уменьшается, а высота
увеличивается, причем площадь, ограниченная кривой, остается
постоянной. Строгое и всестороннее математическое рассмотрение
б-функций и действий с ними дано в теории распределений Шварца1).
Из приведенного определения следует, что для любой функ-
функции / (х)
3)
4) \f(xN'(x-a)dx=-f'(a).
Здесь штрих означает производную по аргументу функции.
Дельта-функция, аргументом которой служит функция f(x)
от независимой переменной х, может быть преобразована по пра-
правилу
5)
dx
где х0 — значение х, для которого /(x0) = 0. Это соотношение выте-
вытекает из равенства б(/) df ~ 8(x) dx.
В случае нескольких измерений нужно просто взять произве-
произведение б-функций от каждой координаты. Так, например, в трех-
трехмерном случае б-функция равна
6) 6(x-X) = 6(x±-XiN(x2-Xd&(x3-X3).
Она равна нулю всюду, кроме точки х = X, и обладает тем свой-
свойством, что
7) [ 8(x — X)d3x=\ *' если °^ъем ДУ содержит точку х = Х,
ду I 0, если объем AV не содержит точки х = X.
Заметим, что размерность б-функции обратна размерности объема
при любом числе измерений.
С помощью б-функций дискретную совокупность точечных заря-
зарядов можно описать распределением плотности заряда.
Так, например, распределение
Q(x)=S <7,6(х-хО A.6)
г=1
х) Хорошее строгое описание 6-функций приведено в книге Лайтхилла
[66]'. (См. также прекрасную монографию [124]'.— Прим. ред.)
§ 3. Теорема Гаусса 17
соответствует п точечным зарядам qt, расположенным в точках х?.
Подставляя распределение плотности заряда A.6) в A.5) и инте-
интегрируя с учетом свойств б-функций, мы придем к выражению A.4).
§ 3. Теорема Гаусса
Интегральное выражение A.5) не очень удобно для расчета
электрического поля. Существует другое интегральное соотноше-
соотношение, носящее название теоремы Гаусса, которое иногда значительно
удобнее и которое, кроме того, позволяет найти дифференциальное
уравнение для Е (х). Чтобы получить теорему Гаусса, рассмотрим
сначала отдельный точечный заряд q и замкнутую поверхность S
(фиг. 1.2). Пусть г — расстояние от заряда до точки на поверх-
поверхности S, п — единичный вектор, направленный по внешней нормали
к поверхности S в этой точке, г da — элемент площади поверхности.
Если создаваемое зарядом q электрическое поле Е в рассматривае-
рассматриваемой точке поверхности образует угол 9 с единичным вектором нор-
нормали п, то произведение нормальной составляющей вектора Е
на элемент площади равно
q^da. A.7)
Поскольку вектор Е направлен по прямой, соединяющей заряд q
с элементом поверхности da, то cos9 da = r2dQ, где dQ — эле-
элемент телесного угла, под которым видна площадка da из точки
нахождения заряда. Таким образом,
En da^qdQ A.8)
Если теперь проинтегрировать нормальную составляющую Е
по всей поверхности, то легко видеть, что
4яд, если q внутри S,
^ ч J * A9)
% 0, если q вне S. у }
Это и есть теорема Гаусса для единичного точечного заряда. Очевид-
Очевидно, для системы дискретных точечных зарядов она запишется в виде
4ny21qu A.10)
г
где сумма берется лишь по тем зарядам, которые находятся
внутри S. Для непрерывного распределения зарядов с плотностью
q(x) теорема Гаусса имеет вид
J Q(x)d3x, A.11)
S V
где V — объем, ограниченный поверхностью S.
18
Гл. 1. Введение в электростатику
Фиг. 1.2. К выводу теоремы Гаусса.
Нормальная составляющая электрического поля интегрируется по замкнутой поверх-
поверхности S. Если заряд находится внутри S (случай а), тоЕип образуют всегда острый
угол, если же заряд находится вне S (случай б), то угол между Еип иногда острый,
а иногда тупой.
Уравнение A.11) — одно из основных соотношений электроста-
электростатики. Заметим, что его справедливость обусловлена следующими
факторами:
1) обратной пропорциональностью силы взаимодействия заря-
зарядов квадрату расстояния между ними,
2) центральным характером сил взаимодействия,
3) линейной суперпозицией эффектов, обусловленных различ-
различными зарядами.
§ 4. Дифференциальная форма теоремы Гаусса 19
Очевидно, теорема Гаусса справедлива и для ньютоновских
гравитационных сил, конечно, если плотность заряда заменить
плотностью распределения материи.
Интересно заметить, что Кэвендиш еще до опытов Кулона, при-
применив фактически непосредственно теорему Гаусса, поставил опыт
с двумя концентрическими проводящими сферами и показал, что
сила взаимодействия зарядов убывает обратно пропорционально гп,
где п = 2,00 ± 0,02. Усовершенствовав технику эксперимента,
Максвелл показал, что п = 2,0 ±0,00005 (см. книги Джинса [55]
или Максвелла [73]).
§ 4. Дифференциальная форма теоремы Гаусса
Теорему Гаусса можно считать интегральной формулировкой
закона электростатики. Применяя теорему Гаусса—Остроград-
Гаусса—Остроградского из векторного анализа, можно получить соответствующее
дифференциальное соотношение, т. е. дифференциальное уравне-
уравнение для поля. Теорема Гаусса — Остроградского («теорема о дивер-
дивергенции») гласит, что для любого векторного поля А(х), определен-
определенного в объеме У, окруженном поверхностью «S, справедливо следую-
следующее соотношение между объемным интегралом от дивергенции А
и поверхностным интегралом от составляющей А по направлению
внешней нормали к поверхности S:
fA-nda= \ div
J
По существу это соотношение может служить определением дивер-
дивергенции (см., например, книгу Стрэттона* [106]).
Рассмотрим интегральную форму теоремы Гаусса:
= 4n \ Q(x)d3x.
Теорема о дивергенции позволяет записать его в виде
(divE — 4jiQ)d3x = 0 A.12)
v
для любого объема У. Отсюда следует, что подынтегральное выраже-
выражение равно нулю, т. е.
divE = 4ttQ. A 13)
Это и есть дифференциальная форма теоремы Гаусса в электроста-
электростатике. Это уравнение может само по себе применяться для решения
электростатических задач. Однако часто оказывается проще иметь
20 Гл. U Введение в электростатику
дело не с векторной, а со скалярной функцией точки, а векторные
величины в случае необходимости определять уже в конце решения
по этой скалярной функции. Эту скалярную функцию мы рассмо-
рассмотрим ниже.
§ 5. Второе уравнение электростатики
и скалярный потенциал
Одного уравнения A.13) недостаточно для того, чтобы полно-
полностью определить три составляющие электрического поля Е (х).
Читателю, должно быть, известно, что векторное поле определено
полностью, если во всем пространстве заданы его дивергенция
и ротор. Таким образом, нам необходимо еще уравнение, опреде-
определяющее ротор вектора Е в каждой точке. Это уравнение имеет вид
rotE = (h A.14)
Оно вытекает непосредственно из общего выражения A.5) для зако-
закона Кулона
Векторный множитель в подынтегральном выражении, рас-
рассматриваемый как функция от х, равен взятому с обратным знаком
градиенту от 1/| х — х' |
х' ___ а *
|х-х'|3 " ~"g |х —х'| "
Поскольку операция градиента относится к переменной х,
а не к переменной интегрирования х', ее можно вынести за знак
интеграла. Таким образом, поле может быть записано в виде
^n dH'. A.15)
Но ротор градиента любой скалярной функции равен нулю
(rot gradi|) = 0 при любому), так что из A.15) сразу следует A.14).
Заметим, что справедливость соотношения rot E = 0 обуслов-
обусловлена центральным характером сил взаимодействия зарядов и тем,
что эти силы зависят лишь от расстояния между зарядами, но не свя-
связана с законом обратных квадратов.
Соотношение A.15) позволяет выразить с помощью операции гра-
градиента вектор электрического поля через скалярную функцию.
Одной функцией пользоваться удобнее, чем тремя, поэтому введем
скалярный потенциал Ф(х), определяемый соотношением
E=-grad<?. A.16)
§ 5. Второе уравнение электростатики и скалярный потенциал 21
Тогда из A.15) следует, что скалярный потенциал выражается
через плотность распределения заряда следующим образом:
Здесь интегрирование производится по всему бесконечному про-
пространству и величина Ф определяется с точностью до постоянной,
которую можно добавить к правой части равенства A.17).
Фиг. 1.3.
Для пояснения физического смысла скалярного потенциала
рассмотрим работу, совершаемую при перемещении пробного заря-
заряда q из точки А в точку В при наличии электрического поля Е (х)
(фиг. 1.3). Сила, с которой электрическое поле действует на заряд,
в любой точке равна
так что работа по перемещению заряда из Л в В равна
в в
W= - J F-dl= -q J E-dl. A.18)
Знак минус поставлен потому, что мы вычисляем работу, совер-
совершаемую при перемещении заряда против сил электрического поля.
Согласно A.16), эту работу можно записать в виде
<$) = q{Q)B-<$>A), A.19)
так что величину дФ можно считать равной потенциальной энергии
пробного заряда в электростатическом поле.
Из A.18) и A.19) следует, что линейный интеграл.от электриче-
электрического поля, взятый между двумя точками, не зависит от пути инте-
интегрирования и равен взятой с обратным знаком разности потенциалов
22 Гл. 1. Введение в электростатику
между этими точками:
в
E.dl = —(Фв —ФА). A.20)
Это следует, конечно, и непосредственно из определения A.16).
Если интегрирование производится по замкнутому пути, то линей-
линейный интеграл равен нулю
$-dl = 0, A.21)
что может быть непосредственно получено из закона Кулона.
Согласно теореме Стокса, для векторного поля А(х) интеграл
по замкнутому контуру С, ограничивающему незамкнутую поверх-
поверхность S, равен
JA-dl= J (rotA).nda,
где d\ — линейный элемент контура С, п — единичный вектор
нормали к поверхности S, а направление обхода контура С образует
правовинтовую систему с направлением п. По теореме Стокса можно
из A.21) вновь прийти к соотношению rot E = 0.
§ 6. Поверхностные распределения зарядов и диполей.
Скачки электрического поля и потенциала
Одной из общих задач электростатики является определение
электрического поля или потенциала для заданного поверхност-
поверхностного распределения зарядов. Теорема Гаусса A.11) позволяет
сразу написать некоторое частное соотношение для электрического
поля. Если на поверхности S с единичной нормалью п заряд распре-
распределен с поверхностной плотностью о(х), а электрическое поле
по обе стороны поверхности равно соответственно Е4 и Е2 (фиг. 1.4),
то, согласно теореме Гаусса, >
(Е2-Е1).п=4ла. A.22)
Это соотношение еще не определяет самих полей Е4 и Е2; исключе-
исключение составляют лишь те случаи, когда нет других источников поля,
кроме поверхностных зарядов с плотностью а(х), а распределение
а(х) имеет особо простой вид. Соотношение A.22) показывает
только, что при переходе с «внутренней» стороны поверхности,
на которой расположен поверхностный заряд а, на «внешнюю»
сторону нормальная составляющая электрического поля испыты-
испытывает скачок 4ла.
§ 6. Поверхностные распределения зарядов и диполей
23
Используя соотношение A.21) для линейного интеграла от Е
по замкнутому контуру, можно показать, что тангенциальная
составляющая электрического поля непрерывна при переходе
через поверхность.
Фиг. 1.4. Скачок нормальной со-
составляющей электрического поля при
пересечении поверхностного распре-
распределения зарядов.
Общее выражение для потенциала, создаваемого поверхностным
распределением заряда в произвольной точке пространства
(в том числе на самой поверхности S, на которой расположены
заряды), можно найти из A.17), заменяя gd3x на oda:
iar. A.23)
Выражение для электрического поля может быть получено
отсюда дифференцированием.
Представляет интерес также задача о потенциале, создаваемом
двойным слоем, т. е. распределением диполей по поверхности S.
dixl
Фиг. 1.5. Предельный пере-
переход при образовании двойного
слоя.
Двойной слой можно представить себе следующим образом: пусть
на поверхности S заряд расположен с некоторой плотностью о(х),
а на поверхности S', близкой к S, поверхностная плотность в соот-
соответствующих (соседних) точках составляет —а, т. е. равна по вели-
величине и противоположна по знаку (фиг. 1.5). Двойной слой, т. е.
Дипольное распределение с моментом единицы поверхности D(x)f
24 Гл. 1. Введение в электростатику
получится как предельный переход, при котором S' бесконечно
близко приближается к S, а поверхностная плртность сг(х) стре-
стремится к бесконечности так, что произведение а(х) на расстояние
d(x) между S и S' в соответствующей точке стремится к пределу
lim a(x)d(x) = D(x). A.24)
d(x)->0
Дипольный момент слоя перпендикулярен поверхности S и на-
направлен от отрицательного заряда к положительному.
Чтобы найти потенциал, создаваемый двойным слоем, можно
сначала рассмотреть отдельный диполь, а затем перейти к распреде-
распределению диполей по поверхности. К тому же результату можно
прийти, если исходить из потенциала A.23) для поверхностного
распределения заряда, а затем произвести описанный выше пре-
предельный переход. Первый способ расчета, пожалуй, проще,
но зато второй является полезным упражнением в векторном ана-
анализе, так что мы предпочтем здесь именно второй.
Фиг. 1.6. Геометрия двойного слоя.
Пусть единичный вектор нормали п направлен от S' к S
(фиг. 1.6). Тогда потенциал, обусловленный двумя близкими поверх-
поверхностями S и S', равен
= С «(»') da'- \ , а(,*2 H
J х —х' | .1 х — x' + nd
S S'
S S'
При малых d мы можем разложить выражение | х — х' + nd | г
в ряд. Рассмотрим общее выражение | х -)- а |~х, в котором
| а | < | х |. При этом
1 __ 1 !/!_«-,
§ 6. Поверхностные распределения зарядов и диполей 25
Очевидно, это просто разложение в ряд Тейлора в трехмерном
случае. Таким образом, переходя к пределу A.24), получаем для
потенциала выражение
(^)a'. A.25)
Соотношение A.25) может быть очень просто истолковано геоме-
геометрически. Заметим, что
, cos 9 da' Jc>.
где d?l — элемент телесного угла, под которым из точки наблюде-
наблюдения виден элемент площади da' (фиг. 1.7). Величина d?i положи-
положительна, если угол 0 острый, т. е. из точки наблюдения видна
Фиг. 1.7. К выводу потенциала двойного слоя.
Потенциал в точке Р, создаваемый элементом площади da' двойного слоя с момен-
моментом единицы поверхности D, равен взятому с обратным знаком произведению момента
D на телесный угол dQ, под которым виден элемент площади da' из точки Р.
«внутренняя» сторона двойного слоя. Выражение для потенциала
двойного слоя может быть записано в виде
= - J D(x')dQ. A.26)
Если поверхностная плотность дипольного момента D постоянна,
то потенциал просто равен взятому с обратным знаком произве-
произведению дипольного момента на телесный угол, под которым из точки
наблюдения видна вся поверхность независимо от ее формы.
При пересечении двойного слоя потенциал претерпевает скачок,
равный поверхностной плотности дипольного момента, умноженной
на 4л. В этом легко убедиться, если рассмотреть точку наблюдения,
приближающуюся бесконечно близко к поверхности S с внутрен-
внутренней стороны. Тогда, согласно A.26), потенциал на внутренней
26 Гл. 1. Введение в электростатику
стороне будет равен г)
так как почти весь телесный угол 2я опирается на малый участок
поверхности S вблизи точки наблюдения. Аналогично если при-
приближаться к поверхности S с внешней стороны, то потенциал ста-
становится равным
знак меняется на обратный из-за изменения знака телесного угла.
Таким образом, скачок потенциала при пересечении двойного слоя
равен
Ф2 —Ф1==4яО. A.27)
Это соотношение является аналогом формулы A.22) для скачка
нормальной составляющей электрического поля при пересечении
«простого» слоя, т. е. поверхностного распределения заряда.
Соотношение A.27) можно физически интерпретировать как паде-
падение потенциала «внутри» двойного слоя. Это падение потенциала
может быть вычислено (до перехода к пределу) как произведение
напряженности поля между обоими слоями, несущими поверхност-
поверхностный заряд, на расстояние между ними.
? 7. Уравнения Лапласа и Пуассона
В § 4 и 5 было показано, что электростатическое поле описы-
описывается двумя дифференциальными уравнениями:
A.13)
rotE = 0. A.14)
Последнее уравнение эквивалентно утверждению о том, что Е
является градиентом некоторой скалярной функции — скаляр-
скалярного потенциала Ф:
Е=-§гас1Ф. A.16)
Уравнения A.13) и A.16) можно объединить в одно уравнение
в частных производных для единственной функции Ф(х):
У*Ф=— 4jtq. A.28)
Это так называемое уравнение Пуассона. В тех областях про-
пространства, где плотность заряда равна нулю, скалярный потенциал
х) Доказательство автора справедливо лишь для плоских двойных слоев,
но сама формула A.27) верна в общем случае произвольного двойного слоя.—
Прим. ред.
§ 7. Уравнения Лапласа и Пуассона 27
удовлетворяет уравнению Лапласа:
V20) = 0. A.29)
Выше мы уже получили выражение A.17) для скалярного потен-
потенциала
^^^ A.17)
Чтобы убедиться в том, что это выражение действительно удо-
удовлетворяет уравнению Пуассона A.28), подействуем оператором
Лапласа V2 на обе части равенства A.17):
V2<D=V2 \ ^gjgy d*x' = \ е (X') V2 ( ] хJ,x, | ) d'x'. A.30)
Чтобы рассчитать V2(l/|x— х' |), перенесем начало координат
в точку х' (что вполне допустимо); тогда это выражение сведется
к V2 A/г), где г — абсолютная величина х. Непосредственный
расчет показывает, что V2 A /г) = 0 при г Ф 0:
±V- d2 (r±V-—m-o
Однако при г = 0 это выражение остается неопределенным. Поэто-
Поэтому необходимо прибегнуть к предельному переходу. Поскольку
мы можем предполагать, что V2(l if) ведет себя подобно 6-функции,
проинтегрируем это выражение по небольшому объему У, содержа-
содержащему начало координат. Применяя теорему о дивергенции, мы мо-
можем преобразовать этот интеграл к поверхностному
\ V2 (у) d3x ее J div grad (-I) d3x =
= I n-grad (|)dfl= J ^(|)r«dQ= -4я.
s s
Таким образом, V2 A/г) = 0 при г Ф 0, а объемный интеграл
от V2(l/r) равен —4я. Следовательно, мы можем положить, что
V2 A /г) = — 4яб (х), или в более общем случае
= -4я6(х-х'). A-31)
Установив таким образом значение лапласиана от 1 /г, мы можем
закончить доказательство того, что A.17) удовлетворяет уравнению
Пуассона. Действительно, согласно A.30),
= С
')[ — 4яб(х —
что и требовалось доказать.
28 Гл. 1. Введение в электростатику
§ 8. Теорема Грина
Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело
с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких
граничных поверхностей, то общее решение A.17) было бы самой
удобной и непосредственной формой решения таких задач и не нуж-
нужны были бы ни уравнение Лапласа, ни уравнение Пуассона. Однако
в действительности в целом ряде, если не в большинстве, задач:
электростатики мы имеем дело с конечными областями простран-
пространства (содержащими или не содержащими заряд), на граничных по-
поверхностях которых заданы определенные граничные («краевые»)
условия. Эти граничные условия могут быть заменены некоторым
соответственно подобранным распределением зарядов вне рассматри-
рассматриваемой области (в частности, в бесконечности), однако соотношение
A.17) в этом случае уже непригодно для расчета потенциала,
за исключением некоторых частных случаев (например, в методе
изображений).
Для рассмотрения задач с граничными условиями необходимо
расширить используемый нами математический аппарат, а именно
вывести так называемые формулы, или теоремы Грина A824 г.).
Они получаются непосредственно из теоремы о дивергенции
\ div Ad3x=(§ A nda,
v 's
которая справедлива для любого векторного поля А, определенного
в объеме У, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть
А = ф grad i|), где ф и -ф — произвольные скалярные функции.
Тогда
div (ф grad я|з) = фУ2г|) + grad ф • grad i|) A.32)
q>gradiM = <Pg|. A-33)
где д/дп — нормальная производная на поверхности S (по напра-
направлению внешней нормали по отношению к объему V). Подставляя
A.32) и A.33) в теорему о дивергенции, мы придем к первой фор-
формуле Грина
J grad ф • grad -ф) d3x = § ср Ц da. A.34)
v s
Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами ф и яр,
и вычтем ее из A.34). Тогда члены с произведением grad ф- grad i|?
сократятся и мы получим вторую формулу Грина, называемую
§ 8. Теорема Грина 29
иначе теоремой Грина:
J {^-^2<?)d3x= ?[cpg_^] da. A.35)
v s
С помощью теоремы Грина можно представить дифференциаль-
дифференциальное уравнение Пуассона в виде интегрального уравнения. Для этого
рассмотрим какой-либо определенный вид функции г|), например
положим ее равной 1/R == 1/| х — х' |, где х — точка наблюдения,
ах' — переменная интегрирования. Далее функцию ф положим
равной скалярному потенциалу Ф, который, как мы видели, удо-
удовлетворяет уравнению Пуассона У2Ф = —4яд. Согласно A.31),
V2(l /R) = — 4яб (х — х'), так что A.35) дает
S
Отсюда следует, что для точки х, находящейся внутри объема V
V S
Для точки х, находящейся вне поверхности S, правая часть соот-
соотношения A.36) равна нулю. Заметим, что это согласуется с интер-
интерпретацией поверхностного интеграла как потенциала простого
слоя зарядов с плотностью а = A /4я) (дФ/дп) и двойного (диполь-
ного) слоя с плотностью момента D = — A /4я) Ф. Скачки элек-
электрического поля и потенциала A.22) и A.27) на граничной поверх-
поверхности как раз обеспечивают равенство нулю потенциала и поля вне
объема V.
По поводу формулы A.36) следует сделать два замечания.
Во-первых, если поверхность S удаляется в бесконечность и эле-
электрическое поле убывает на ней быстрее, чем i?, то поверхност-
поверхностный интеграл обращается в нуль и A.36) переходит в известное
выражение A.17). Во-вторых, для объема, не содержащего заря-
зарядов, потенциал в любой точке внутри объема (да)ющий решение
уравнения Лапласа), согласно A.36), выражается только через
значение потенциала и его нормальной производной на поверхности,
ограничивающей объем. Этот довольно неожиданный результат
не является, однако, решением граничной задачи, а представляет
собой лишь интегральное уравнение, поскольку, задав и Ф, и дФ Ion
{граничные условия Коши), мы переопределили задачу. Мы обсудим
этот вопрос более подробно в следующих параграфах, в которых
будут рассмотрены методы нахождения решений с помощью теоремы
Грина A.35) при соответствующих граничных условиях.
30 Гл. 1. Введение в электростатику
§ 9. Единственность решения
при граничных условиях Дирихле или Неймана
Представляет интерес вопрос о том, при каких граничных усло-
условиях внутри ограниченного объема существует единственное и физи-
физически разумное решение задачи Пуассона (или Лапласа). На основе
данных физического опыта можно полагать, что задание потенциала
на замкнутой поверхности единственным образом определяет рас-
распределение потенциалов (примером может служить система про-
проводников, на которых поддерживаются различные потенциалы).
Это так называемая задача Дирихле, или граничные условия Дирихле.
Аналогично можно ожидать, что задание электрического поля
(т. е. нормальной производной от потенциала) на граничной поверх-
поверхности (что соответствует заданию распределения поверхностного
заряда) также однозначно определяет решение. Такие граничные
условия носят название граничных условий Неймана. Докажем
теперь справедливость этих предположений с помощью первой
формулы Грина A.34).
Нам нужно доказать единственность решения уравнения Пуас-
Пуассона У2Ф = — 4я(э в объеме V при граничных условиях Дирихле
или Неймана на поверхности S, ограничивающей этот объем. Пред-
Предположим, наоборот, что существуют два решения Oj и Ф2, удо-
удовлетворяющие одним и тем же граничным условиям, и положим
и = ф2 — Ф1. A.37)
Тогда V2U = 0 внутри V и U = 0 или dU /дп = 0 на границе S
объема V соответственно для граничных условий Дирихле или
Неймана. Полагая ф = i|) = U, из первой формулы Грина A.34)
получаем
J §™da. A.38)
Учитывая свойства функции I/, мы придем для обоих граничных
условий к соотношению
откуда следует, что grad U = 0. Таким образом, внутри объема V
функция U постоянна. Для граничных условий Дирихле U = 0
на границе S, так что внутри V всюду Ф4 = Ф2 и решение един-
единственно. Для граничных условий Неймана решение также един-
единственно с точностью до несущественной аддитивной постоянной.
Из вида правой части соотношения A.38) следует, что и сме-
смешанная граничная задача, когда на части граничной поверхности
§ 9. Единственность решения
31
задано условие Дирихле, а на остальной поверхности — условие
Неймана, также имеет единственное решение.
Из сказанного следует, что уравнение Пуассона, вообще говоря,
не имеет решения, принимающего заданные значения Ф и дФ/дп
на ограничивающей поверхности (граничные условия Коши), так
как уже условия Дирихле или Неймана, взятые в отдельности,
определяют единственным образом решение, и эти решения в общем
Вид граничного
условия
Тип уравнения
эллиптический
(уравнение Пуассона)
гиперболический
(волновое уравнение)
параболический
(уравнение теплопро-
теплопроводности)
Условие Дирихле
на незамкнутой
поверхности
на замкнутой
поверхности
Условие Неймана
на незамкнутой
поверхности
на замкнутой
поверхности
Условие Коши
на незамкнутой
поверхности
на замкнутой
поверхности
Недостаточно
Единственное
устойчивое
решение
Недостаточно
Единственное
устойчивое
решение в
общем слу-
случае
Решение не имеет
физического
смысла
Избыточные усло-
условия
Недостаточно
Избыточные усло-
условия
Недостаточно
Избыточные усло-
условия
Единственное
устойчивое
решение
Избыточные усло-
условия
Единствен-
Единственное устой-
устойчивое ре-
решение в
одном на-
направлении
Избыточные усло-
условия
Единственное
устойчивое
решение в
одном на-
направлении
Избыточные усло-
условия
Избыточные усло-
условия
Избыточные усло-
условия
Примечание. Устойчивым называется решение, которое при небольшом изменении
граничных условий меняется заметным образом лишь в окрестности границы.
32 Гл. 1. Введение в электростатику
случае не совпадают. Вопрос о том, определяют ли граничные усло-
условия Коши на незамкнутой поверхности единственным образом реше-
решение электростатической задачи, требует более детального рассмотре-
рассмотрения, выходящего за рамки настоящей книги. Читатель может найти
детальное изложение этих вопросов в работах Морса и Фешбаха [77]
или Зоммерфельда [103]. Морс и Фешбах заменяют уравнение
в частных производных соответствующим уравнением в конечных
разностях, которое затем решают методом итерации. Зоммерфельд
же главным образом пользуется методом характеристик. Резуль-
Результаты исследований достаточности различных граничных условий
сведены в таблице на стр. 31 (основанной на таблице, приведен-
приведенной в книге Морса и Фешбаха [77]); в нее включены различные
типы дифференциальных уравнений в частных производных
и различные виды граничных условий.
Из таблицы следует, что электростатические задачи имеют одно-
однозначное решение лишь при задании граничных условий Дирихле
и Неймана на замкнутой поверхности (которая частично или вся
целиком может, конечно, находиться в бесконечности).
§ 10. Формальное решение граничных задач
электростатики с помощью функции Грина
Решение уравнений Пуассона или Лапласа в конечном объе-
объеме V, если на ограничивающей поверхности S заданы граничные
условия Дирихле или Неймана, можно получить с помощью теоремы
Грина A.35) и так называемых функций Грина.
При выводе соотношения A.36) (которое не является решением
граничной задачи) мы полагали функцию ty равной 1/| х — х' |,
т. е. равной потенциалу единичного точечного заряда, удовлетворяю-
удовлетворяющему уравнению
Функция 1/| х — х' | — лишь одна из множества функций, зави-
зависящих от х и х' и удовлетворяющих A.31) (так называемых функ-
функций Грина). В общем случае
V'2G(x, х')=—4яб(х —х'), A.39)
где
G(x, х') = п—l—j- + F(x, x'). A.40)
Здесь F удовлетворяет уравнению Лапласа
V/2,F(x, x') = 0 A.41)
внутри объема V.
§ 10. Формальное решение граничных задач электростатики 33
При отыскании решения уравнения Пуассона, принимающего
заданное значение Ф или дФ/дп на границе, мы можем исходить
из уравнения A.36). Как мы уже указывали, это соотношение не яв-
является решением, удовлетворяющим корректным граничным усло-
условиям, поскольку в поверхностный интеграл входят и Ф, и дФ/дп.
В лучшем случае это всего лишь интегральное уравнение для Ф.
Однако, если исходить из общего понятия функции Грина и восполь-
воспользоваться свободой в определении этой функции [поскольку функ-
функция F(x, x') не определена однозначно], можно в теореме Грина
принять функцию ij) равной G(x, x') и выбрать F (х, х') так, чтобы
один из двух поверхностных интегралов в формуле Грина обращался
в нуль. Тогда формула Грина будет содержать лишь граничные
условия Дирихле и Неймана. Конечно, если бы вид необходимой
функции G (х, х') очень сложно зависел от граничных условий,
то этот метод нельзя было бы считать общим. Однако мы сейчас
покажем, что это не так: G(x, х') удовлетворяет довольно простым
граничным условиям на S.
Исходя из теоремы Грина A.35), полагая ф = Ф и ty = G (х, х')
и учитывая соотношение A.39) для функции Грина, мы придем
к соотношению
Ф (х) = 5 q (х') G(х, х') сРх' + ± § [ G (х, х') g-
V S
] da\ A.42)
являющемуся обобщением A.36). Пользуясь свободой в опреде-
определении функции Грина, мы можем оставить в поверхностном инте-
интеграле лишь желательные граничные значения. Так, при задании
граничных условий Дирихле мы потребуем, чтобы выполнялось
условие
Gd(x, х') = 0 для х' на S. A.43)
Тогда первый член в поверхностном интеграле в A.42) обратится
в нуль и мы получим решение
Ф(х)=5 Q(x')GD(x, х')(Рх'-±$Ф{х'фAа'. A.44)
у s
Если заданы граничные условия Неймана, то мы должны быть
более осторожны. На первый взгляд может показаться, что условие,
налагаемое на функцию Грина G(x, x'), должно иметь вид
, х') = 0 для х' на S,
34 Гл. 7, Введение в электростатику
поскольку при этом второй член в поверхностном интеграле в A.42)
обращается в нуль. Однако, применяя теорему Гаусса к A.39),
можно убедиться, что
$?*»' =-4*.
S
Поэтому простейшее допустимое граничное условие для GN
имеет вид
^(х, х')= -Щ для х' на S, A.45)
где S — полная площадь граничной поверхности. Тогда решение
запишется следующим образом:
где (Ф>в — среднее значение потенциала на-поверхности S.
Обычно задача Неймана представляет собой так называемую
«внешнюю задачу», когда объем V ограничен двумя поверхностями,
одна из которых замкнута и конечна, а вторая находится в беско-
бесконечности. В этом случае площадь поверхности S бесконечна, гра-
граничное условие A.45) становится однородным и среднее значение
(Ф)в обращается в нуль.
Заметим, что функции Грина удовлетворяют простым гранич-
граничным условиям A.43) или A.45), не зависящим от граничных усло-
условий Дирихле (или Неймана). Тем не менее отыскание функции
G (х, х') представляет собой подчас весьма сложную, а иногда
и невыполнимую задачу из-за зависимости этой функции от формы
поверхности S. С задачами подобного рода мы встретимся в гл. 2 и 3.
Функции Грина, удовлетворяющие граничным условиям A.43)
или A.45), обладают свойством симметрии G(x, х') = G(x', x);
это можно доказать, пользуясь теоремой Грина и полагая ф =
= G(x, у) и г|) = G(x', у), где у — переменная интегрирования.
Поскольку функция Грина, если рассматривать ее как функцию
одной из переменных, описывает потенциал единичного точечного
заряда, свойство симметрии отражает физический факт возможности
перестановки источника и точки наблюдения. Из соотношения A.40)
для G(x, x') следует, что ^(х, х') также является симметричной
функцией аргументов.
В заключение сделаем важное замечание относительно физиче-
физического смысла функции ,F(x, x'). Эта функция представляет собой
решение уравнения Лапласа внутри области V и, следовательно,
описывает потенциал системы зарядов, расположенных вне объе-
объема V. Функцию ,F(x, x') можно представлять себе как потенциал
§ 11. Потенциальная энергия и плотность энергии 35
такого внешнего распределения зарядов, которое в сочетании с точеч-
точечным единичным зарядом, находящимся в точке х', удовлетворяет
на поверхности S однородному граничному условию равенства
нулю потенциала (или его нормальной производной). Поскольку
потенциал в точке х на поверхности S, создаваемый точечным заря-
зарядом, зависит от положения х' этого заряда, потенциал внешнего
распределения зарядов ^(х, х') также должен зависеть от «пара-
«параметра» х'. С этой точки зрения метод изображений, который
мы будем рассматривать ниже, в гл. 2, физически эквивалентен
некоторому способу определения соответствующей функции
f(x, x'), удовлетворяющей граничным условиям A.43) или A.45).
Для граничных условий Дирихле на поверхности проводников
функцию ,F(x, x') можно также интерпретировать как потенциал,
создаваемый поверхностным распределением зарядов, индуцируе-
индуцируемым на проводниках единичным зарядом, находящимся в точке х'.
§ 11. Потенциальная энергия и плотность
энергии электростатического поля
В § 5 было показано, что произведение скалярного потенциала
на величину точечного заряда можно интерпретировать как потен-
потенциальную энергию этого заряда. Более точно, если точечный заряд
цг внести из бесконечности в точку х*, находящуюся в области, где
имеется электрическое поле, описываемое скалярным потенциа-
потенциалом Ф (обращающимся в нуль на бесконечности), то работа, совер-
совершаемая при перемещении заряда (а следовательно, и потенциальная
энергия заряда), равна
A.47)
Считая, что потенциал Ф создается системой (п — 1) зарядов
(/ = 1, 2, . . . , п— 1), находящихся в точках х7-, получаем
(L48)
так что потенциальная энергия заряда qt равна
Очевидно, полная потенциальная энергия всей системы зарядов,
обусловленная силами их взаимодействия, равна
36 Гл. 1. Введение в электростатику
в чем можно убедиться последовательным добавлением по одному
заряду к системе. Это выражение можно записать в более симме-
симметричной форме, сняв ограничение / < i при суммировании и поде-
поделив сумму на 2:
Ш~1 V У ЯгЯз /1 civ
w - 2 Ь h \xt-xj\ ' <ЬМ'
i у
при этом подразумевается, что члены с i = / в двойной сумме
(соответствующие бесконечной «собственной» энергии точечных
зарядов) опускаются.
Для непрерывного распределения зарядов потенциальная энер-
энергия принимает вид
W = \\\*f±^ldW. A.52)
Это выражение можно считать справедливым и в общем случае,
если воспользоваться 6-функцией Дирака A.6) х). Другое выраже-
выражение, эквивалентное A.52), можно получить, если учесть, что вну-
внутренний интеграл в A.52) как раз равен скалярному потенциалу
A.17). Следовательно, мы можем написать
d'x. A.53)
В выражениях A.51) — A.53) электростатическая потенциаль-
потенциальная энергия представлена как функция положения зарядов; это
подчеркивает, что взаимодействие зарядов описывается законом
Кулона. Возможен иной подход, при котором энергия выражается
через электрическое поле; тем самым подчеркивается идея о лока-
локализации энергии в пространстве, окружающем заряды. Чтобы полу-
получить такое выражение для энергии, исключим с помощью уравнения
Пуассона плотность зарядов из A.53)
Интегрируя по частям, получаем
W = ± J |gradФ|2d3A: = ^ J |E|2d3*, A.54)
где интегрирование производится по всему пространству. В A.54)
распределение зарядов явно не входит; энергия выражается через
интеграл от квадрата электрического поля по всему пространству.
х) Выражение A.52) в применении к 6-распределениям дает бесконечные
слагаемые, соответствующие «собственной» энергии точечных зарядов, так
что, строго говоря, для б-распределений интеграл A.52) расходится. При
определении взаимной энергии системы зарядов эти бесконечные слагаемые
следует опускать, что соответствует опущению членов с i = / в A.51). —
Прим. ред.
§ 11. Потенциальная энергия и плотность энергии 37
Поэтому естественно отождествить подынтегральное выражение
с плотностью энергии
»=i|E|"- С1-55)
Это выражение для плотности энергии согласуется с интуитивным
представлением о том, что в областях с большим полем энергия
«должна» быть больше.
Выражение A.55) для плотности энергии может показаться
странным в одном отношении. Оно всегда положительно определе-
определено, так что и объемный интеграл A.54) всегда будет неотрицателен.
Фиг. 1.8.
Это, казалось бы, противоречит тому факту, что, согласно A.51),
потенциальная энергия системы двух зарядов противоположного
знака отрицательна. Причина этого кажущегося противоречия
заключается в том, что выражения A.54) и A.55) включают и «соб-
«собственную» энергию зарядов, тогда как A.51) не включает ее. Рас-
Рассмотрим, например, два точечных заряда q^ и q2, находящихся
в точках хг и х2 (фиг. 1.8). Электрическое поле в точке Р с радиусом-
вектором х равно
так что плотность энергии составляет
W~ 8я|х-Х1 |4^ 8я|х-х2|4 ^ 4я|х — xt |3| х — х2|3 * V
Два первых слагаемых соответствуют, очевидно, собственной энер-
энергии зарядов gi и q2. Чтобы убедиться, что третье слагаемое дает
правильное выражение для потенциальной энергии взаимодей-
взаимодействия, проинтегрируем его по всему пространству:
W ~ Ят \ (X-XlHX-X2) АЪу П 57)
И'взаим- 4я ^ |x_Xl|3|x_x2|3 аХ' \1'0')
Переходя к переменной Q = (х — х4)/| х± — х2 |, получаем
Q3|Q+n|3 d Q' A-58)
38 Гл. 1. Введение в электростатику
где п — единичный вектор в направлении йектора х4 — х2. Непо-
Непосредственным интегрированием можно убедиться, что входящий
в последнее выражение безразмерный интеграл равен 4я, так что
Мы получаем ожидаемое выражение для энергии взаимодействия.
Силы взаимодействия заряженных тел можно найти, определив
изменение полной электростатической энергии системы при малых
виртуальных перемещениях. Несколько примеров такого рода рас-
расчетов приведено ниже (см. задачи к гл. 1). При этом энергию нужно
представить в таком виде, чтобы было видно, какие члены меняются
при изменении конфигурации и какие остаются постоянными.
В качестве простейшего примера рассчитаем силу, действующую
на единицу поверхности проводника с поверхностной плотностью
заряда а (х). Вблизи поверхности проводника плотность энергии
ау = ^|Е|2 = 2зта2. A.59)
Пусть теперь элемент поверхности проводника Да смещается
на величину Ал: наружу. Тогда электростатическая энергия умень-
уменьшается на величину, равную произведению плотности энергии w
на исключаемый объем ДяЛа:
ДГ=-2яа2ДаЛ*. A.60)
Это означает, что на единичную площадку на поверхности провод-
проводника действует сила, равная 2яа2 = до, направленная из провод-
проводника наружу. Обычно это выражение для силы находят как про-
произведение поверхностной плотности заряда о на электрическое
поле, причем при нахождении последнего следует исключить поле,
создаваемое самим рассматриваемым элементом поверхности.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
В книге Лайтхилла [66] с математической точки зрения просто и до-
достаточно строго рассмотрены б-функции.
Различные типы дифференциальных уравнений в частных производных
и соответствующие граничные условия рассмотрены в книгах Морса и Феш-
баха [77], гл. 6, Зоммерфельда [103], гл. 2, и Куранта и Гильберта [32],
гл. 3—6.
Общая теория функций Грина подробно изложена в книгах Фридма-
Фридмана [42], гл. 3, и Морса и Фешбаха [77], гл. 7.
Общие вопросы электростатики рассмотрены во многих старых руко-
руководствах по электростатике, из которых, несмотря на устаревшие обозначе-
обозначения, стоит упомянуть монографии Максвелла [73], т. 1, гл. 2 и 4, и Джинса
[55], гл. 2, 6, 7. Из более поздних работ упомянем обширную монографию
Стрэттона [106], гл. 3, и отдельные части из гл. 2.
Дополнение редактора. Общая математическая теория обобщенных
функций, частным случаем которых является б-функция, изложена в моно-
монографии Гельфанда и Шилова [124]. Краткое изложение свойств б-функций
Задачи 39
и их применения можно найти в книге Иваненко и Соколова [53]. Прекрас-
Прекрасное изложение физических основ электростатики дано в учебнике Там-
ма [130].
ЗАДАЧИ
1.1. С помощью теоремы Гаусса доказать следующие утверждения:
а) Любой заряд, вносимый на проводник, может располагаться лишь
на его поверхности. (По определению, в проводнике заряды могут свободно
перемещаться под действием электрического поля.)
б) Замкнутый полый проводник экранирует внутренний объем от дей-
действия зарядов, расположенных снаружи, но не экранирует внешнего объема
от действия зарядов, расположенных внутри.
в) Электрическое поле на поверхности проводника всегда нормально
этой поверхности и равно 4ясг, где сг— поверхностная плотность заряда.
1.2. Две бесконечные проводящие плоские пластины постоянной тол-
толщины ti и t2 помещены параллельно друг другу на расстоянии L (между
соседними поверхностями). Полный заряд на единицу площади (т* е. сумма
зарядов на обеих сторонах пластины) равен q± для первой пластины и q2
для второй. Используя симметрию задачи1) и теорему Гаусса, показать, что
а) поверхностные плотности зарядов на внутренних поверхностях
пластин равны между собой по величине и противоположны по знаку;
б) поверхностные плотности на внешних поверхностях пластин одина-
одинаковы;
в) значения плотностей зарядов и обусловливаемых ими полей не зави-
зависят от tu t2n L. Найти явное выражение поверхностных плотностей и полей
через qt и q2 и рассмотреть частный случай qi= —q2= Q.
1.3. Даны три заряженные сферы радиусом а. Одна из них проводящая,
другая однородно заряжена по всему объему, а на третьей заряд распределен
сферически симметрично, причем плотность заряда меняется как гп (п > —3).
Полный заряд каждой сферы равен Q. Пользуясь теоремой Гаусса, найти
электрическое поле внутри и вне каждой сферы. Построить графики зависи-
зависимости поля от радиуса для первых двух случаев и для третьего случая при
п = — 2 и я = + 2.
1.4. Усредненное (по времени) значение потенциала для нейтрального
атома водорода описывается формулой
где е — заряд электрона, а ос~1== ао/2 2). Найти распределение зарядов
(непрерывное и дискретное), обеспечивающее такой вид потенциала, и пояс-
пояснить его физический смысл.
1.5. Простейший конденсатор представляет собой два рядом располо-
расположенных изолированных проводника. Если на проводники поместить равные,
но противоположные по знаку заряды, то между ними устанавливается
определенная разность потенциалов. Отношение величины заряда на одном
из проводников к величине разности потенциалов называется емкостью
конденсатора (в электростатической системе единиц емкость измеряется
в сантиметрах). Используя теорему Гаусса, рассчитать емкость для слу-
случаев, когда имеются следующие системы проводников:
х) В этом примере в условия симметрии следует включить и условия
одинаковости полей вдали от пластин (во внешних областях).— Прим. ред.
2) Здесь а0—так называемый радиус электрона, равный е2/тс2 (е —
заряд, т— масса электрона, с— скорость света).— Прим. ред.
40 Гл. 1. Введение в электростатику
а) две большие плоские пластины площадью А на небольшом расстоя-
расстоянии d друг от друга;
б) две концентрические проводящие сферы радиусами а и Ь (Ь > а);
в) два концентрических проводящих цилиндра, длина которых L мно-
много больше их радиусов а и Ь {Ь^> а).
1.6. Два длинных цилиндрических проводника радиусами а4 и а2 рас-
расположены параллельно друг другу на расстоянии d, которое много больше
их радиуса. Показать, что емкость единицы длины приблизительно равна
где а — среднее геометрическое обоих радиусов.
Какого диаметра проволока потребуется для двухпроводной линии
передачи с погонной емкостью 0,1 пф/см, если расстояние между проводами
равно 0,5 см? 1,5 см? 5,0 см?
1.7. а) Для трех вариантов конденсатора, рассмотренных в задаче 1.5,
рассчитать полную электростатическую энергию и выразить ее через заряды
(Q и —Q) на проводниках и через разность потенциалов между ними.
б) Построить графики зависимости плотности энергии от соответствую-
соответствующей линейной координаты для всех трех случаев.
1.8. Рассчитать силу притяжения проводников в плоском конденсаторе
(задача 1.5, п. «а») и цилиндрическом конденсаторе (задача 1.6) в случае:
а) заданных зарядов на обкладках конденсатора,
б) заданной разности потенциалов между обкладками.
1.9. Доказать теорему о среднем значении: значение электростатического'
потенциала в любой точке объема, не содержащего зарядов, равно среднему
значению потенциала на поверхности любой сферы с центром в этой точке.
1.10. С помощью теоремы Гаусса доказать, что на искривленной поверх-
поверхности заряженного проводника нормальная производная электрического
поля удовлетворяет соотношению
Е дп
где Ri n R2— главные радиусы кривизны поверхности.
1.11. Доказать теорему взаимности Грина: если Ф— потенциал, обус-
обусловленный объемным распределением заряда q и поверхностным распреде-
распределением^, а Ф'— потенциал, обусловленный^ другим объемным распределе-
распределением р/ и поверхностным распределением сг', то справедливо соотношение
оФ' da= С д'Ф d*x + [ o'Oda.
v s v s
1.12. Доказать теорему Томсона: при фиксированном положении про-
проводящих поверхностей и заданном полном заряде на каждой поверхности
электростатическая энергия поля в области, ограниченной этими поверх-
поверхностями, минимальна для такого расположения зарядов, при котором каж-
каждая поверхность является эквипотенциальной.
1.13. Доказать следующую теорему: при фиксированном положении
проводящих поверхностей и заданном полном заряде на каждой из них
внесение незаряженного изолированного проводника в область, ограничен-
ограниченную этими поверхностями, снижает электростатическую энергию системы.
Глава 2
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ. I
Во многих задачах электростатики рассматриваются граничные
поверхности, на которых задан потенциал или плотность поверх-
поверхностного заряда. В гл. 1, § 10, дано формальное решение задач
такого типа с помощью функций Грина. В практически встречаю-
встречающихся случаях (даже при весьма сильной идеализации) определе-
определение соответствующей функции Грина подчас весьма затруднитель-
затруднительно. В связи с этим был разработан ряд других методов решения
граничных задач, причем некоторые из них довольно далеки
от метода функций Грина. В этой главе мы познакомимся с двумя
такими методами: 1) методом изображений, весьма тесно связанным
с методом функций Грина, и 2) методом разложения по ортогональ-
ортогональным функциям, в котором используется само дифференциальное
уравнение, а непосредственное построение функции Грина не про-
производится. Другие методы решения электростатических задач,
как, например, метод конформных преобразований в двумерных
задачах, рассматриваться не будут. Читатели, интересующиеся
методом конформных преобразований, могут познакомиться с ним
по литературе, приводимой в конце главы.
§ 1. Метод изображений
Метод изображений применим в тех задачах, где нужно найти
поле одного или нескольких точечных зарядов при наличии гра-
граничных поверхностей, например заземленных или поддерживаемых
при постоянных потенциалах проводников. При определенных
условиях можно подобрать такую систему зарядов, имеющих надле-
надлежащую величину и надлежащим образом расположенных вне инте-
интересующей нас области, что действие этих зарядов обеспечивает
требуемые граничные условия. Эти заряды называются зарядами-
изображениями, а замена истинной задачи с граничными условиями
42
Гл. 2. Граничные задачи электростатики. I
на эквивалентную задачу определения поля в расширенной области
без граничных условий, но с учетом зарядов-изображений назы-
называется методом изображений. Заряды-изображения должны нахо-
находиться вне интересующего нас объема, поскольку потенциал созда-
создаваемого ими поля должен удовлетворять уравнению Лапласа
J
I
Н—Ф=0
"'
Г"
I
I
Ф и г. 2.1. К решению задачи методом изображений.
Слева — исходная задача,
справа — эквивалентная задача,
изображений.
полученная методом
в этом объеме; частное же решение уравнения Пуассона дается
суммой потенциалов, соответствующих реальным зарядам, находя-
находящимся внутри объема.
В качестве простейшего примера рассмотрим точечный заряд,
расположенный у бесконечной проводящей плоскости, имеющей
нулевой потенциал (фиг. 2.1). Очевидно, эта задача эквивалентна
задаче об определении потенциала системы двух зарядов — перво-
первоначального заряда и равного ему по величине, но противоположного
по знаку заряда, расположенного зеркально симметрично первому
относительно поверхности проводника.
§ 2. Точечный заряд вблизи заземленного
сферического проводника
Для иллюстрации метода изображений рассмотрим задачу
о поле точечного заряда q, расположенного в точке у вблизи сфери-
сферического заземленного *) проводника радиусом а с центром в начале
х) Под заземленным мы понимаем проводник, на котором с помощью
тонкого провода поддерживается тот же потенциал, что и на бесконечности.
Предполагается, что этот связующий провод не искажает распределения
потенциала. Однако он позволяет зарядам перемещаться из бесконечности
на проводник и обратно так, чтобы обеспечить на проводнике потенциал
«земли» (принимаемый обычно за нулевой)- Аналогично следует понимать
и проводник, поддерживемый при постоянном потенциале, с той разницей,
что в этом случае между землей и проводником включен источник напряжения.
§ 2. Точечный заряд вблизи заземленного проводника
43
координат (фиг. 2.2). Нужно найти потенциал Ф (х), удовлетворяю-
удовлетворяющий условию Ф(х) — 0 при | х | = а. Из симметрии задачи ясно,
что заряд-изображение q (предполагается, что достаточно одного
заряда-изображения) должен быть расположен на прямой, соеди-
соединяющей начало координат с зарядом q. Если заряд q находится вне
Фиг. 2.2. Заряд ^вблизи сфери-
сферического проводника радиусома
и'изображение этого заряда q'.
сферы, то точка изображения у' должна быть внутри сферы. Потен-
Потенциал поля, создаваемого зарядами q и q\ равен
Я , Я'9
Ф(Х):
I х—у 1
-У1 *
B.1)
Мы должны попытаться подобрать q и | у' | так, чтобы этот потен-
потенциал обращался в нуль при | х J = а. Обозначив через п единичный
вектор в направлении х, а через п' единичный вектор в направле-
направлении у, представим Ф в виде
Я , я'
Ф(х) = -
B.2)
\хп — уп'\ Л|*п — i/'n' ]
Вынося за скобки в первом слагаемом х, а во втором у и полагая
х = а, получаем
п , Я' ' /OQ\
х ' а п — (
Из B.3) следует, что если положить
n' — (a/y')n\
_= _il JL = ±
а у' ' а у' i
то при х = а потенциал Ф равен нулю для всех значений п-п'.
Таким образом, величина и положение заряда-изображения опре-
определяются соотношениями
q =-j
У
B.4)
44
Гл. 2. Граничные задачи электростатики. I
Заметим, что по мере приближения заряда q к поверхности сферы
величина заряда-изображения становится все больше и он все
больше удаляется от центра сферы навстречу заряду q. Когда заряд
q находится у поверхности сферы, его изображение равно ему
по величине и противоположно по знаку и расположено тоже у самой
поверхности сферы.
Фиг. 2.3. Распределение по-
поверхностной плотности заряда
а на заземленной сфере радиу-
радиусом а, индуцированное точеч-
точечным зарядом q, расположенным
на расстоянии у от центра
сферы.
Приведены кривые для двух зна-
значений у. По оси абсцисс отложен
угол Y между радиусами-вектора-
радиусами-векторами, проведенными из центра сферы
к заряду и к точке наблюдения.
Найдя заряд-изображение, мы можем вернуться к первоначаль-
первоначальной задаче о заряде q вне заземленной проводящей сферы. Истин-
Истинную плотность зарядов на поверхности сферы можно найти по нор-
нормальной производной потенциала на поверхности
B.5)
G~ An дх
Я <*
Ana2 у
M2 (а/у) cosyf/2
здесь у — угол между х и у. Зависимость поверхностной плотности
(отнесенной к — q /Ana2) от у для двух значений у 1а приведена
на фиг. 2.3. Как видно из кривых, заряд концентрируется вблизи
направления на точечный заряд д, особенно в случае у = 2а.
Непосредственным интегрированием легко убедиться, что полный
индуцированный заряд на сфере равен по величине заряду-изо-
заряду-изображению, как и должно быть согласно теореме Гаусса.
Силу, действующую на заряд д, можно определять различными
способами. Проще всего непосредственно найти силу взаимодей-
§ 2. Точечный заряд вблизи заземленного проводника 45
ствия заряда q с его изображением q . Расстояние между ними равно
у — у' = у A — а2/у2), так что сила притяжения, согласно закону
Кулона, равна
-S(i)'О-
На далеких расстояниях эта сила убывает обратно пропорционально
кубу расстояния, но вблизи поверхности сферы она меняется обрат-
обратно пропорционально квадрату расстояния от поверхности сферы.
\F=2n<jzda
Фиг. 2.4.
Силу, действующую на заряд q, можно также найти, вычислив
полную силу, действующую на поверхность сферы. На каждый
элемент поверхности da действует сила 2no2da (фиг. 2.4), где а опре-
определяется соотношением B.5). Из симметрии ясно, что полная сила
определяется лишь составляющей, параллельной радиусу-вектору,
проведенному из центра сферы к заряду q. Таким образом, полная
сила, действующая на сферу (равная по величине и противополож-
противоположная по направлению силе, действующей на заряд q), равна инте-
интегралу
^Yfl-^Yf C0SY dCl BЪ
у J \ y*J J [\+а*/у* — 2(а/#) cos у]3 У '
Выполняя интегрирование, непосредственно получаем B.6).
До сих пор мы предполагали, что точечный заряд q находится
вне сферы. Однако все приведенные результаты справедливы и для
случая, когда точечный заряд q находится внутри сферы. В этом
случае нужно лишь изменить знак на обратный в выражении для
поверхностной плотности заряда B.5), поскольку внешняя нормаль
к проводнику направлена теперь к центру сферы. Мы предоставляем
читателю написать все формулы для этого случая с учетом того, что
теперь у<а. Угловое распределение поверхностного заряда ана-
аналогично приведенному на фиг. 2.3, но полный наведенный заряд
равен, конечно, —q независимо от у.
46 Гл. 2. Граничные задачи электростатики. I
§ 3. Точечный заряд вблизи заряженного
изолированного сферического проводника
В предыдущем параграфе мы рассмотрели задачу о поле точеч-
точечного заряда q вблизи заземленной сферы и нашли поверхностную
плотность заряда, индуцируемого на сфере. Полный индуцируемый
заряд, равный qr = — aqly, распределен по поверхности сферы
таким образом, что он находится в равновесии под действием элек-
электрического поля.
Переходя к задаче о точечном заряде q вблизи изолированной
проводящей сферы с заданным полным зарядом Q, мы можем постро-
построить решение путем линейной суперпозиции потенциалов. Для удоб-
удобства расчета представим себе, что сначала проводящая сфера зазем-
заземлена (полный заряд ее поверхности при этом равен q). Разомкнем
теперь заземляющий провод и внесем на сферу дополнительный
заряд Q — q . Полный заряд на сфере станет при этом равным Q,
Чтобы найти потенциал, достаточно заметить, что вносимый допол-
дополнительный заряд Q — q распределяется равномерно по поверхно-
поверхности сферы, поскольку электростатическое поле, обусловленное точеч-
точечным зарядом q, уже уравновешено зарядом q''. Таким образом,
вне сферы потенциал дополнительного заряда Q — qr равен потен-
потенциалу точечного заряда той же величины, помещенного в центре
сферы.
Полный потенциал представляет собой суперпозицию потен-
потенциала B.1) и потенциала точечного заряда Q — q\ находящегося
в начале координат (в центре сферы):
К } |х-у| у\х-(а*/у*)у\
|
Силу, действующую на заряд q, можно найти непосредственна
с помощью закона Кулона. Она направлена вдоль радиуса-вектора
точки нахождения заряда q и равна
ya»By2-fl2)-i у
У{у*-а*)* J у '
В предельном случае у > а соотношение B.9) переходит в обыч-
обычный закон Кулона для силы взаимодействия двух малых заря-
заряженных тел. Если же точечный заряд находится вблизи сферы,
то сказывается влияние заряда, индуцированного на поверхности
сферы. На фиг. 2.5 показана зависимость силы от расстояния для
различных значений Q/q. По оси ординат отложена сила, отнесенная
к q2/y2. Положительные значения соответствуют отталкиванию,
отрицательные — притяжению. Если заряд сферы равен нулю или
противоположен по знаку заряду q, то на всех расстояниях имеет
§ 3. Точечный заряд вблизи заряженного проводника
47
место притяжение. При одноименных зарядах Q и q на достаточна
малых расстояниях также имеет место притяжение. В пределе при
Q > q точка неустойчивого равновесия, в которой сила, действую-
действующая на заряд, равна нулю, очень близка к поверхности сферы:
у ж а [1 + V2 (q/QI/2]. Заметим, что асимптотическое значение
Ф и г. 2.5. Сила, действующая на точечный заряд q вблизи изолированной
проводящей сферы радиусом а с полным зарядом Q.
Положительные значения силы соответствуют отталкиванию, отрицательные — при-
притяжению. При любом значении Q на малых расстояниях всегда имеет место притяже-
притяжение благодаря взаимодействию с индуцированным поверхностным зарядом.
силы достигается уже на расстоянии нескольких радиусов от поверх-
поверхности сферы.
Этот пример поясняет, почему избыточный заряд на поверхности
проводника не покидает тотчас эту поверхность вследствие взаим-
взаимного отталкивания зарядов. При малейшем смещении элементар-
элементарного заряда сила взаимодействия с его изображением стремится
вернуть его назад. Конечно, совершив достаточно большую работу,
можно удалить заряд с поверхности проводника. Работа выхода для
металла в основном и есть работа, совершаемая против сил взаимо-
взаимодействия с изображением при удалении электрона с поверхности
металла.
48 Гл. 2. Граничные задачи электростатики. I
§ 4. Точечный заряд вблизи сферического
проводника с заданным потенциалом
Столь же легко решается и задача о точечном заряде вблизи
проводящей сферы, поддерживаемой при заданном потенциале V.
Выражение для потенциала имеет тот же вид, что и в предыдущем
случае, с той разницей, что заряд Q — q' в центре сферы заменяет-
заменяется на Va. Действительно, как видно из B.8), при | х | = а первые
два слагаемых компенсируют друг друга, а третье слагаемое дает
как раз У, что и требуется. Таким образом, потенциал равен
|x-y|
Сила взаимодействия точечного заряда со сферой с заданным потен-
потенциалом равна
?-=A-\va qayS \ — B 11)
У2 L (у2 —а2J \ у л • /
Для соответствующих значений Va/q и Q/q характер зависимости
этой силы от расстояния близок к приведенному на фиг. 2.5, хотя
приближение к асимптотическому значению (Vaq/y2) происходит
более медленно. При Va > q точка неустойчивого равновесия
определяется координатой у ж а [1 + */2
§ 5. Сферический проводник в однородном
электрическом поле
В качестве последнего примера применения метода изображений
рассмотрим проводящую сферу радиусом а в однородном электриче-
электрическом поле Ео. Можно считать, что однородное поле создано соответ-
соответствующими положительным и отрицательным зарядами на бесконеч-
бесконечности. Если, например, два заряда +Q и —Q находятся в точках
г = =F R, как показано на фиг. 2.6, а, то в близкой к началу коорди-
координат области, размеры которой много меньше R, электрическое поле
имеет почти постоянное значение Ео ж 2Q/R2 и приблизительно
параллельно оси z. В пределе, когда R ->оо, Q -> оо при Q/R2 =
= const, это приближение становится совершенно точным.
Пусть теперь в начало координат помещена проводящая сфера
радиусом а (фиг. 2.6, б); при этом поле будет определяться реаль-
реальными зарядами ± Q, находящимися на расстоянии =F R, и заряда-
зарядами-изображениями, соответственно равными +Qa/R и располо-
расположенными в точках z = ip a2 /R. Полный потенциал равен
Q Q
cos
0I/2 (r2 + #2_2r# cos 0I/2
г -г ~г^г -
§ 5. Сферический проводник в однородном электрическом поле 49
где введены сферические координаты г, G точки наблюдения.
В первых двух слагаемых, учитывая, что, по предположению,
R много больше г, можно разложить корень по степеням rlR,
Ч-гг--"'
z=R
+Q
2=-/?
Фиг. 2.6. Применение метода изображений к проводящей сфере в однородном
электрическом Поле.
вынеся предварительно за скобки R2. Аналогично в третьем и четвер-
четвертом членах можно произвести разложение после вынесения г2.
В результате получим
g5] ... . B.13)
Здесь не выписаны члены, обращающиеся в нуль при R-+oo.
В пределе при R ->оо отношение 2Q/R2 переходит в величину
приложенного электрического поля ?0, так что потенциал равен
Ф=-?0(г—?
B.14)
Первое слагаемое (— Еог) равно, очевидно, просто потенциалу
однородного поля ?@, который можно было бы написать сразу вме-
вместо первых двух слагаемых в B.12). Второе слагаемое описывает
потенциал, создаваемый индуцированными поверхностными заря-
зарядами, или, что то же самое, потенциал, создаваемый зарядами-
изображениями. Заметим, что заряды-изображения образуют
50 Гл. 2. Граничные задачи электростатики. I
диполь с моментом D = (QalR) Ba2/i?) = ?0а3. Поверхностная
плотность индуцируемого заряда равна
1 дФ
о= —
4я дг
г=а
B.15)
Заметим, что интеграл от поверхностной плотности равен нулю,
так что безразлично, считаем ли мы сферу заземленной или изоли-
изолированной.
§ 6. Метод инверсии
Изложенные в предыдущих параграфах примеры применения
метода изображений к сфере наводят на мысль о том, что решения
электростатических задач, связанных обратным преобразованием
радиуса
г^г' = 4' BЛ6>
в каком-то смысле эквивалентны. Эта эквивалентность является
основой так называемого метода инверсии, а преобразование B.16)
называется преобразованием инверсии на сфере. Радиус сферы назы-
называют радиусом инверсии, а ее центр — центром инверсии. Математи-
Математический смысл эквивалентности ясен из следующей теоремы:
Пусть Ф (г, 6, ф)— потенциал, обусловленный системой
точечных зарядов qt в точках (гь 9Ь уг). Тогда функция
ф'(г, е,Ф) = уф(у, 9, Ф) B.17)
является потенциалом системы зарядов
q'i = ~qi, B.18)
расположенных в точках (a2 lri9 9^, ф*).
Докажем эту теорему. Потенциал Ф(г, 6, ф) можно представить
в виде
Ф=У qi
где yt — угол между радиусами-векторами х и хг. При преобразо-
преобразовании B.16) углы не меняются. Следовательно, новый потенциал Ф'
имеет вид
г\ — rjcosYi
§ 6. Метод инверсии
51
Вынося г?/г2 за знак радикала, мы можем переписать Ф' В1 виде
1/2 '
откуда и следует справедливость теоремы.
На фиг. 2.7 показана простая конфигурация зарядов до и после
инверсии. Потенциал Ф' в точке Р9 обусловленный инвертированной
системой зарядов, связан с потенциалом Ф исходной системы в точ-
точке Р' зарядов соотношением B.17).
Фиг. 2.7.
Мы доказали теорему инверсии для системы точечных зарядов.
Предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что если
потенциал Ф удовлетворяет уравнению Пуассона
V2O= — 4jtq,
то новый потенциал Ф', определяемый соотношением B.17), также
удовлетворяет уравнению Пуассона
У2Ф'(Л 6, Ф)= -4лр'(г, в, ф), B.19)
где новая объемная плотность зарядов равна
B.20)
Связь между этим законом преобразования объемной плотности
заряда и законом преобразования величины точечных зарядов
B.18) можно установить, представив плотность распределения
Для системы дискретных зарядов в виде суммы б-функций:
52 Гл. 2. Граничные задачи электростатики. I
В сферических координатах с началом координат в центре инвер-
инверсии объемная плотность заряда запишется в виде
Q(r, е, ф) = 2^в@-а*)^-в(г-го,
г г
где б (Q — й^) — угловая б-функция, интеграл от которой
по телесному углу дает единицу, а б (г — гг) — радиальная
б-функция *). При инверсии угловая зависимость не меняется.
Следовательно,
Как указано в гл. 1, § 2, радиальную б-функцию можно пре-
преобразовать следующим образом:
так что
а новая объемная плотность заряда принимает, согласно B.20), вид
где xj = (а2//ь 6, ф), a q\ = (а/гг) ^, что совпадает с B.18).
Для поверхностной плотности зарядов закон преобразования
при инверсии имеет вид
о'(г, 6, ф) = (^.Kа(-?, в, Ф); B.21)
такую зависимость и следовало ожидать из сопоставления соотно-
соотношений B.18) и B.20).
Прежде чем перейти к примерам применения метода инверсии,
следует остановиться на нескольких вопросах физического и гео-
геометрического характера.
В отношении физических свойств преобразования инверсии
заметим сначала, что, если в первоначальной задаче на некоторых
поверхностях был задан постоянный потенциал, после инверсии
на инвертированных поверхностях потенциал не будет, вообще
х) Множитель г ? перед радиальной 6-функцией компенсирует множи-
множитель г2 в элементе объема d?x = r2dr dQ.
§ 6. Метод инверсии
53
говоря, постоянным. Это видно из соотношения B.17): из-за множи-
множителя а/г потенциал Ф' инвертированной поверхности не будет
постоянным, даже если потенциал Ф первоначальной поверхности
был постоянным. Единственным исключением является случай,
когда потенциал Ф равен нулю на некоторой поверхности; тогда
и потенциал Ф' равен нулю на инвертированной поверхности1).
Может показаться, что, поскольку потенциал Ф содержит
произвольную аддитивную постоянную, мы можем приравнять
Фиг. 2.8. Преобразование
инверсии.
Поверхность S преобразуется в S/,
и наоборот; О — центр инверсии,
а — радиус инверсии.
нулю потенциал произвольной поверхности первоначальной конфи-
конфигурации, обеспечив тем самым нулевой потенциал инвертированной
поверхности. Однако тут мы сталкиваемся со вторым характерным
физическим свойством преобразования инверсии. Оказывается,
потенциалы, получающиеся по методу инверсии для двух задач,
в которых потенциалы первоначальных систем различаются лишь
на постоянную Фо, соответствуют физически различным системам
зарядов, а именно распределение зарядов отличается на точечный
заряд аФ0, расположенный в центре инверсии. Это легко видеть
из B.17): добавление постоянного слагаемого Фо к Ф приводит
к увеличению Ф' на аФ01\г. Соответственно при применении метода
инверсии следует иметь в виду, что при отображении бесконечно
удаленной точки в начало координат там может появиться точечный
заряд. Если он не требуется по условиям задачи, то его следует
убрать надлежащей линейной суперпозицией.
Приведем теперь несколько простых геометрических свойств
преобразования инверсии, в справедливости которых легко убе-
убедиться. Пусть О — центр инверсии, а — радиус инверсии (фиг. 2.8).
Пересечение сферы инверсии с плоскостью чертежа показано
на фиг. 2.8 пунктиром. Пусть кривая АВ — след пересечения
х) Исключением является также мало интересный случай, когда инверти-
инвертируемая поверхность представляет собой сферу с центром в центре инверсии:
в этом случае а/г = const на поверхности.— Прим. ред.
54
Гл. 2. Граничные задачи электростатики. 1
поверхности S с плоскостью чертежа. Инвертированная поверх-
поверхность S', определяемая преобразованием B.16), пересекается с пло-
плоскостью чертежа по кривой А'В'. При инверсии справедливы сле-
следующие положения, доказательства которых мы приводить не будем:
а) углы пересечения не меняются;
б) величина элементарной площадки da на поверхности S свя-
связана с величиной соответствующей площадки da' на инвертирован-
инвертированной поверхности S' соотношением da Ida' = г2 Ir'2;
Фиг, 2.9. Различные варианты инверсии сферы.
Если центр О инверсии расположен на поверхности S сферы, то инвертированная
поверхность 5' представляет собой плоскость, в остальных случаях — сферу. Сфера
инверсии показана пунктиром.
в) сфера переходит в сферу (в частности, бесконечного радиуса,
см. п, «г»);
г) плоскость переходит в сферу, проходящую через центр
инверсии, и наоборот.
На фиг. 2.9 показаны различные варианты инверсии сферы,
соответствующие п. «в» и «г» для случаев, когда центр инверсии
расположен вне сферы, на ее поверхности и внутри сферы.
В качестве простейшего примера решения электростатической
задачи методом инверсии рассмотрим проводящую сферу радиу-
радиусом/?, несущую заряд Q. Внутри этой сферы потенциал постоянен
и равен Q/R, а вне сферы убывает обратно пропорционально рас-
расстоянию от ее центра. Надлежащим выбором центра инверсии
и соответствующих параметров мы можем с помощью метода инвер-
инверсии найти потенциал точечного заряда q, расположенного на рас-
расстоянии d от бесконечной проводящей заземленной плоскости.
Очевидно, если поместить центр инверсии О на поверхности сферы
§ 6. Метод инверсии
55
радиусом R, то в результате преобразования она перейдет в пло-
плоскость (фиг. 2.10). Далее, если принять произвольную постоянную
ф0 в потенциале равной — Q/R, то сфера и получающаяся при
ее преобразовании плоскость будут иметь нулевой потенциал,
а в центре инверсии появится точечный заряд —aQ/R. Чтобы
получить точечный заряд q на расстоянии d от плоскости, следует
положить радиус инверсии а равным BRdI/2y а начальный заряд Q
Фиг. 2.10. Нахождение потенциала
точечного заряда методом инверсии.
Потенциал изолированной заряженной проводя-
проводящей сферы переходит при преобразовании инвер-
инверсии в потенциал точечного заряда, находящегося
на расстоянии d от бесконечной проводящей
плоскости.
\
равным—(R/2dI/2q. Поверхностная плотность заряда, индуцируе-
индуцируемая на плоскости, легко находится с помощью соотношения B.21).
Поскольку на поверхности сферы поверхностная плотность постоян-
постоянна, на плоскости она меняется обратно пропорционально кубу
расстояния от начала координат (это легко проверить методом
изображений; см. задачу 2.1).
Если центр инверсии находится вне изолированной проводящей
сферы, то, как видно из фиг. 2.9, преобразованием инверсии можно
решить задачу о поле точечного заряда вблизи заземленной прово-
проводящей сферы (в § 2 она была решена методом изображений). Предо-
Предоставляем читателю убедиться в этом (см. задачу 2.9).
Весьма интересно применил метод инверсии лорд Кельвин
в 1847 г. Он рассчитал распределение плотности заряда на внутрен-
внутренней и внешней сторонах тонкой заряженной проводящей «чаши»,
получающейся срезанием верхушки у сферической поверхности.
В качестве исходного потенциала, подвергавшегося инверсии, был
принят потенциал тонкого плоского заряженного круглого диска
(см. гл. 3, § 12). По мере изменения формы поверхности от мелкой
56
Гл. 2. Граничные задачи электростатика. I
чаши типа часового стекла до почти замкнутой сферы с небольшим
отверстием распределение заряда также изменяется: сначала оно
близко к распределению на диске, а затем переходит в распределение
на сфере. В первом предельном случае плотность заряда внутри
и снаружи почти одинакова, причем заряды сосредоточены в основ-
основном у краев, во втором случае на внутренней стороне плотность
заряда почти нулевая, а на наружной заряд распределен почти
равномерно. Численные данные приведены в трудах Кельвина [58]
и в книге Джинса [55].
§ 7. Функция Грина для сферы.
Общее выражение для потенциала
Выше задача о точечном заряде вблизи проводящей сферы была
рассмотрена методом изображений. Как указывалось в гл. 1,
§ 10, потенциал единичного заряда и его изображения (или изо-
изображений), удовлетворяющий соответствующим однородным гра-
граничным условиям, как раз является функцией Грина [см. A.43)
Фиг. 2.11.
или A.45)] для граничных условий Дирихле или Неймана. В функ-
функции G(x, x') переменная х' определяет точку Р', в которой нахо-
находится единичный заряд, а переменная х — точку Р, для которой
вычисляется потенциал (фиг. 2.11). Для граничных условий Дирих-
Дирихле на сфере радиусом а потенциал единичного заряда и его изображе-
изображения дается соотношениями B.1) и B.4), в которых следует поло-
§ 8. Две примыкающие проводящие полусферы
57
жить q = 1. Изменив соответственно обозначения, получим функ-
функцию Грина в виде
G(x, х') =
a2 ,
x -г- x
B.5
или в сферических координатах
1
G(x,x') = -
2 — 2хх/ cos
2 \l/2
1 a2— 2xx' cos у
а2
B.23)
здесь у — угол между х и х'. Из формы соотношения B.23) непо-
непосредственно видно, что функция Грина симметрична по отношению
к переменным хих'и равна нулю в случае, если х или х' находится
на поверхности сферы.
Чтобы записать решение A.44) уравнения Пуассона, нужно
знать не только G, но и значение dGldn' на сфере. Учитывая, что
п' означает внешнюю нормаль по отношению к интересующему
нас объему, т. е. нормаль, направленную к центру сферы, найдем
dG
дп'
-2axcosYK/2
B.24)
Заметим, что dGldn' фактически представляет собой распределение
плотности заряда B.5). Отсюда следует, что решение уравнения
Лапласа вне сферы при заданном потенциале на сфере дается, сог-
согласно A.44), выражением
fl(x2~fl2) 37-dQ', B.25)
Ф(х) = -1( Ф(а, 6', ©') fl(x2~fl2) 37-dQ'
где dQ' — элемент телесного угла в точке (а, 0', <р'), a cos у =
= cos 9 cos 9' + sin 9 sin 9rcos (ф — фг). Для внутренней задачи
вектор нормали направлен наружу, так что знак dGldn' обратен
B.24). Это эквивалентно замене множителя (х2 — а2) на (а2 — х2)
в B.25). Если, кроме того, задано некоторое распределение объем-
объемного заряда, то к B.25) следует прибавить соответствующий инте-
интеграл, согласно A.44), с функцией Грина B.23).
§ 8. Две примыкающие проводящие полусферы,
имеющие различный потенциал
В качестве примера применения общего метода нахождения
потенциала вне сферы при заданном потенциале на ее поверхности
рассмотрим задачу о проводящей сфере радиусом а, составленной
из двух полусфер, разделенных тонкой изолирующей прокладкой.
58
Гл. 2. Граничные задачи электростатики. I
Потенциалы полусфер различны. Очевидно, достаточно рассмо-
рассмотреть случай, когда потенциалы равны соответственно V и — V,
поскольку, добавляя к результату решение для сферы, находя-
находящейся под постоянным потенциалом, можно получить решение для
+1/'
Фиг. 2.12.
произвольных потенциалов полусфер. Изолирующая прокладка
расположена в плоскости z = О (фиг. 2.12), потенциал верхней
полусферы 1/, нижней —V.
Согласно B.25), решение Ф (х, 9, ф) представляется интегралом
2я 1 О
B.26)
Соответствующей заменой переменных во втором интеграле
(9' ->я — 9', ф' ->-ф' +я) это выражение можно представить в виде
2я 1
ф(х, 9, <p) = Va{x*~a2) jj Лр' \ d(cos9/)[(a2 + x2-2axcosY)-3/2-
"о о
— (а2 + х2 + 2ах cos y)~3/2] . B.27)
Из-за сложной зависимости cos у от углов (9Г, фг) и (9, ф) инте-
интегралы в выражении B.27) в общем случае не удается вычислить
в замкнутом виде.
В качестве частного случая рассмотрим потенциал на положи-
положительной полуоси г. В этом случае cos у = cos 9', поскольку 9 = 0.
После элементарного интегрирования получим для потенциала
выражение
[2*2 ] B.28)
При z = а, как и следовало ожидать, потенциал Ф равен Vy
а на больших расстояниях он примерно равен 3Va2/2z2.
§ 8. Две примыкающие проводящие полусферы 59
В общем случае B.27), когда интегрирование в замкнутом виде
не производится, можно разложить подынтегральное выражение
в ряд и проинтегрировать каждый член ряда. Вынося за скобки
множитель (а2 + *2), получаем
2я 1
Ф(*' 0' ?) = wX+Jfb S d<f' S d(cose')Kl-2acosY)-^-
'x ' b b
-(l+2acosY)-3/2], B.29)
где a = ax/(a2 +x2). Заметим, что в разложении разности ради-
радикалов останутся лишь нечетные степени a cos у:
[A — 2a cos v)~3/2 — A -f 2a cos y)-3h] = 6a cos у + 35a3 cos3 у + . .. .
B.30)
Интегралы от нечетных степеней cos у по dy'd (cos 0') равны
2я 1
\ dq/ \ d (cos 0') cos у = л cos 9,
t° B.31)
p' ^ d (cos 9') cos3 у =-^- cos 9 C-cos2 0).
0
Подставляя B.30) и B.31) в B.29), найдем потенциал
B.32)
Заметим, что в B.32) входят лишь нечетные степени cos 0, как
и следует из симметрии задачи. Если принять за параметр разложе-
разложения не a2, a a2/*2, то ряд будет иметь следующий вид:
B.33)
Для больших значений х/а это разложение быстро сходится, так
что им очень удобно пользоваться для вычисления потенциала.
Уже при х/а ==5 второй член ряда составляет всего 2% от первого.
Легко убедиться, что для cos 9= 1 выражение B.33) представляет
собой разложение в ряд потенциала B.28) на оси. Угловые множи-
множители в выражении B.33) совпадают с полиномами Лежандра.
Первый множитель — полином Р4 (cos 9), второй — Р3 (cos 9),
а весь ряд в целом представляет собой разложение потенциала
в ряд по полиномам Лежандра нечетного порядка. Мы рассмотрим
этот вопрос более последовательно в гл. 3, § 3.
60 Гл. 2. Граничные задача электростатика. I
§ 9. Разложение по ортогональным функциям
Разложение решения электростатических задач (или других
задач математической физики) в ряд по ортогональным функциям —
один из наиболее эффективных методов, пригодный для решения
широкого класса задач. Конкретный выбор ортогональной системы
функций зависит от симметрии, которой обладает (точно или при-
приближенно) рассматриваемая система. Чтобы напомнить общие свой-
свойства ортогональных функций и разложений по ним, рассмотрим
интервал (а, Ь) изменения переменной ? и совокупность действи-
действительных или комплексных функций Un(Q, п = 1, 2, . . . , орто-
ортогональных на интервале (а, Ь). Условие ортогональности функ-
функций Un(%) выражается соотношением
ъ
фп. B.34)
При п = т интеграл конечен. Мы будем предполагать, что функции
нормированы, так что интеграл равен единице. В этом случае
систему функций Un(?) называют ортонормированной\ она удо-
удовлетворяет условию
ь
\ = bnm. B.35)
Произвольная функция / (?) с интегрируемым квадратом в интер-
интервале (а, Ь) может быть разложена в ряд по ортонормированным
функциями Un(l). Если число членов суммы конечно (скажем,,
равно N), т. е.
/(?)<-- 2 anUnG), B.36)
71=1
то можно поставить вопрос о «наилучшем» выборе коэффициентов ап
так, чтобы ряд «наилучшим» образом воспроизводил функцию /(?).
Если считать наилучшим приближением такое, при котором средне-
среднеквадратичная ошибка
\ B.37)
минимальна, то, как легко видеть, для коэффициентов ап с учетом
условия B.35) получается выражение
<%. B.38)
§ 9. Разложение по ортогональным функциям 61
Это — известное выражение для коэффициентов разложения по
ортонормированной системе функций.
Если увеличивать число членов в сумме B.36), то естественно
ожидать, что представление функции / (?) с помощью ряда будет
становиться все более точным. Это действительно имеет место, если
система ортонормированных функций является полной, т. е. для
любого сколь угодно малого положительного числа существует
такое конечное число No, что при N > N0 среднеквадратичная
ошибка MN может быть сделана меньше этого числа. В этом
случае пишут
S anUn(l) = f(l), B.39)
где ап определяется соотношением B.38), и говорят, что ряд схо-
сходится в среднем к / (?). Физики обычно предоставляют математикам
проводить весьма кропотливые доказательства полноты системы
функций. В математических работах доказано, что все системы
ортонормированных функций, которыми обычно пользуются в ма-
математической физике, представляют собой полные системы функций.
Ряд B.39) можно переписать, подставив явное выражение B.38)
для коэффициентов ап\
п={
B.40)
Поскольку это справедливо для любой функции / (?) на интерва-
интервале (а, Ь), то, очевидно, сумма в фигурных скобках должна быть
отлична от нуля лишь в бесконечно малой окрестности точки ?' = ?,
т, е. должно выполняться соотношение
71=1
B.41)
Это так называемое условие полноты, или замкнутости. Оно анало-
аналогично условию ортонормальности B.35), но непрерывная перемен-
переменная I и дискретный индекс п здесь обменялись ролями.
Наиболее известная система ортогональных функций — это три-
тригонометрические функции синус и косинус; разложение по этим
функциям носит название ряда Фурье. Для интервала (— а/2, а 12)
изменения переменной х система ортонормированных функций
имеет вид
2 V/2 . S2nmx\ /2 у/2 S2nmx\
— sin ( ) , ( — ) cos ( ) ,
a j V a J \aj \ a J
62 Гл. 2. Граничные задача электростатика. I
где т — целое число. Ряд, соответствующий ряду B.39), обычно
записывают в этом случае в виде
_ B.42)
где
а/2
л _ 2 С г/ ч S2nmx\ ,
B.43)
а/2 V '
2
а
-а/2
Обобщение формул B.34) — B.39) на случай нескольких пере-
переменных очевидно. Пусть пространство двумерно, переменная ?
меняется в интервале (а, 6), а переменная т] — в интервале (с, d).
Пусть i/n (|) и Vm (т|) представляют собой системы ортонормиро-
ванных функций для этих интервалов. Тогда разложение произ-
произвольной функции / (|, Г|) имеет вид
nmUn(l)Vm(i\), B.44>
п т
где
Ъ d
аПт = \ d\ J dT|[/* (?) V^ (т|) / (Е, л). B.45>
а с
Если интервал (а, 6) становится бесконечно большим, то мно-
множество функций Un(D становится уже несчетным, а символ Кро-
некера 6пт в B.35) переходит в 6-функцию Дирака. Важным при-
примером является интеграл Фурье. Начнем с ортонормированной
на интервале (— а/2, а 12) системы комплексных экспоненциальных
функций
t/m(x)=4^eiBjtmx/a)' B-46>
У а
где т = 0, ± 1, ± 2, . . . . Разложение в ряд имеет вид
f{x) = -±=- У, Л^а»™*/»), B.47>
у а *""
т=—оо
§ 10. Разделение переменных
где
а/2
А* = -4=- \ е-Ч2пт*''аЧ(х')Aх'. B.48)
V а о
Г -а/2
Примем теперь, что величина интервала неограниченно увеличи-
увеличивается (а ->оо), и произведем замену
оо оо
m = ^i \ dk>
m —оо —оо
2л V/2
В пределе B.47) переходит в интегральное разложение
оо
f(x) = y~ \ A(k)eikxdk, B.50)
— оо
где
оо
A{k) = ^=- J e-^f(x)dx. B.51)
— оо
Условие ортогональности имеет вид
оо
L J e^k-k">xdx 8(kk') B.52)
2я
— оо
а условие полноты есть
2я
—оо
B.53)
Последние интегралы являются удобными представлениями 6-функ-
ции. Заметим, что в B.50) — B.53) непрерывные переменные х и k
совершенно равноправны.
§ 10. Разделение переменных.
Уравнение Лапласа в декартовых координатах
Одним из наиболее удобных и употребительных методов решения
уравнений в частных производных математической физики является
метод разделения переменных. Использование этого метода часто
приводит к построению систем ортогональных функций, имеющих
€4 Гл. 2. Граничные задачи электростатики. I
самостоятельное значение. Как известно, уравнения, содержащие
трехмерный оператор Лапласа, разделяются в одиннадцати раз-
различных системах координат (см. книгу Морса и Фешбаха [77J).
Мы рассмотрим подробно лишь три из них — декартову (прямо-
(прямоугольную), сферическую и цилиндрическую, причем начнем с про-
простейшей — декартовой.
Уравнение Лапласа в декартовых координатах имеет вид
= 0. B.54)
дх2 ' ду2 J dz2
Решение этого уравнения в частных производных может быть
выражено через решения трех обыкновенных дифференциальных
уравнений, имеющих одинаковый вид *), если представить потен-
потенциал как произведение трех функций, каждая из которых зависит
лишь от одной координаты:
Ф (*, y,z) = X (x) Y (у) Z {г). B.55)
Подставляя B.55) в B.54) и деля на Ф, пблучаем
1 d2X I d2Y 1 d2Z _0 (9^\
Х(х) dx2 7" Y(y) ~dy2""^ Z(z) dz2 * * '
Здесь частные производные заменены полными, поскольку каждая
функция зависит лишь от одной переменной. Чтобы соотношение
B.56) было справедливо для произвольных значений аргументов,
каждое слагаемое должно быть в отдельности постоянным:
1 d2X
X dx2
d2Z.-,,2
Z dz2
где а2 + p2 = у2.
Считая совершенно произвольно a2 и Р2 положительными,
мы получаем в качестве решений трех дифференциальных уравне-
уравнений B.57) функции ехр (± ш*), ехр (± i$y) и ехр (± У®2 + Р2^)-
Потенциал B.55) получается как произведение этих функций
ф = e±iaxe±ifive±Yrt+№z m B.58)
Пока числа аир здесь совершенно произвольны, так что линей-
линейной суперпозицией решений типа B.58) можно получить весьма
широкий класс решений уравнения Лапласа.
*) Последнее обстоятельство свойственно только декартовой системе,
и обусловлено тем, что все три координаты здесь равноправны.— Прим. ред.
§ 10. Разделение переменных
65
Чтобы определить аи р, на потенциал нужно наложить опре-
определенные граничные условия. Рассмотрим для примера прямо-
прямоугольный параллелепипед, расположенный, как показано на
фиг. 2.13, с размерами (а, Ь, с) по осям (х, у, г). Пусть на всех
гранях параллелепипеда потенциал равен нулю, за исключением
7
/
z
•Ф= V(x,y)
' /
f /
/
Фиг. 2.13. Полый прямоугольный параллелепипед, на пяти гранях которого
потенциал нулевой, а на шестой (г = с) принимает заданные значения
Ф = V (*, у).
грани z — с, на которой задано значение потенциала V (х, у).
Требуется найти значение потенциала всюду внутри параллелепи-
параллелепипеда. Исходя из требования Ф ^ 0 при * = 0, у = 0 и г = 0у
легко убедиться, что искомые функции X, Y, Z имеют вид
B.59)
Г-sinfc/,
Из условия Ф = 0 при х = а и у = Ь следует, что аа = птс
и рб = пгп. Вводя обозначения
MJt
a
mn
B.60)
мы можем записать частное решение
Фпт = sinartX-si
B.61)
66 Гл. 2. Граничные задачи электростатики. I
которое удовлетворяет граничным условиям на всех гранях, кроме
одной. Искомый потенциал можно разложить в ряд по функциям
Ф„т с первоначально произвольными коэффициентами
оо
Ф(х,у,г)= 2 Anmsinanxsin$myshynmz; B.62)
П, 771=1
коэффициенты должны определяться из последнего граничного
условия. Остается использовать условие Ф = V(x, у) при z = с:
оо
У (*» У) = 2 Aim sin anx sin $ту sh ynmc. B.63)
n, m=l
Полученное соотношение представляет собой разложение функции
V (х, у) в двойной ряд Фурье. Следовательно, коэффициенты этого
ряда равны
а Ъ
c \dx J dyV(x, у) sin anx sin $ту. B.64)
Если потенциал отличен от нуля на всех шести гранях паралле-
параллелепипеда, то искомое решение можно получить как линейную
суперпозицию шести решений типа B.62) и B.64), соответствующих
каждой грани. Чтобы решить уравнение Пуассона, т. е. найти
потенциал внутри параллелепипеда при заданных распределениях
зарядов внутри него и заданных граничных условиях на его поверх-
поверхности, нужно, согласно A.43) и A.44), построить соответствующую
функцию Грина. Мы вернемся к этому вопросу после рассмотрения
уравнения Лапласа в сферической и цилиндрической системах
координат. Здесь же мы заметим лишь, что решение, определяемое
соотношениями B.62) и B.64), эквивалентно поверхностному инте-
интегралу в A.44).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Метод изображений и инверсии рассмотрен во многих книгах. Лучше
или подробнее других он рассмотрен Джинсом [55], гл. 8, Максвеллом
[73], т. I, гл. 11, и Смайтом [100], гл. 4 и 5. Поистине энциклопедическим
источником примеров с многочисленными графиками может служить книга
Дюрана [37], особенно гл. 3 и 4.
Применение метода конформных отображений для решения двумерных
электростатических задач рассмотрено в книгах Дюрана [37], гл. 10, Джин-
Джинса [55], гл. 8, § 306—337, Максвелла [73], т. I, гл. 12, и Смайта [100],
гл. 4, § 9—29. Этому же вопросу посвящено большое число руководств
для инженеров, как, например, монография Роте, Оллендорфа и Поль-
хаузена [88].
Элементарное, но ясное изложение теории рядов и интегралов Фурье
и разложений по ортогональным функциям можно найти в книгах Чер-
Задачи 67
чилла [28] и Хильдебранда [51], гл. 5. Несколько устаревшее изложение
теории рядов и интегралов Фурье, но зато с большим числом примеров и за-
задач дано у Байерли [25].
Дополнение редактора. Довольно подробное рассмотрение различных
методов решения электростатических задач, в том числе метода инверсии,
можно найти в книге Гринберга [127].
ЗАДАЧИ
2.1. Точечный заряд q помещен на расстоянии d от бесконечного плоско-
плоского проводника, имеющего нулевой потенциал. С помощью метода изобра-
изображений найти:
а) поверхностную плотность зарядов (построить график);
б) силу взаимодействия заряда с плоскостью (использовать закон Куло-
Кулона для силы взаимодействия заряда с его изображением);
в) полную силу, действующую на плоскость (определить ее интегри-
интегрированием величины 2яа2 по всей плоскости);
г) работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить заряд q
в бесконечность;
д) потенциальную энергию взаимодействия заряда q с его изображением
(сравнить результат с п. «г» и проанализировать);
е) выразить результат п. «г» в электрон-вольтах^ для случая, когда
электрон находился первоначально на расстоянии 1 А от поверхности.
2.2. С помощью метода изображений рассмотреть задачу о точечном
заряде q, находящемся внутри полой заземленной проводящей сферы с внут-
внутренним радиусом а. Найти:
а) потенциал внутри сферы;
б) поверхностную плотность индуцированных зарядов;
в) величину и направление силы, действующей на заряд.
Меняется ли как-либо решение в случае, когда задан потенциал сферы V?
Когда задан ее полный заряд Q?
2.3. Две бесконечные заземленные проводящие плоскости расположены
при х = а/2 и х = —а/2. Точечный заряд q расположен между плоскостями
в точке (лу, у', г), причем — а/2 < х < а/2.
а) Найти расположение и величину всех зарядов-изображений, необ-
необходимых для того, чтобы удовлетворялись ^граничные условия для потен-
потенциала, и написать функцию Грина G (х, х).
б) Для заряда q, расположенного в точке (х , 0, 0), найти распределение
поверхностной плотности зарядов, индуцируемых на каждой плоскости,
и показать, что сумма зарядов, индуцируемых на обеих плоскостях, рав-
равна — q.
2.4. Рассмотреть задачу об определении потенциала в полупростран-
полупространстве г> 0 по условиям Дирихле в плоскости z = 0 (и по условию в беско-
бесконечности).
а) Написать соответствующую функцию Грина G (х, х').
б) Найти интегральное выражение для потенциала в произвольной
точке Р с цилиндрическими координатами (q, ф, z), если в плоскости г = 0
потенциал Ф равен константе V внутри окружности радиусом а с центром
в начале координат и нулю вне этой окружности.
в) Показать, что на оси окружности (q = 0) потенциал равен
68 Гл. 2. Граничные задачи электростатики. I
г) Показать, что на больших расстояниях (Q2+22 > а2) потенциал может
быть разложен в степенной ряд по (qM-z2) и что первые члены ряда равны
У2 Зд» 5CQ2g2 + fl4) n
4(Q2 + Z2)^ 8(Q2 + Z2J + • • • J •
Показать, что результаты п. «в» и «г» согласуются друг с другом в об-
общей области их применимости.
2.5. Изолированная сферическая проводящая оболочка радиусом а
помещена в однородное электрическое поле Ео. Пусть оболочка разрезана
на две полусферы плоскостью, перпендикулярной электрическому полю.
Найти силу, необходимую для предотвращения разделения полусфер в случае:
а) когда сфера незаряжена;
б) когда полный заряд сферы равен Q.
2.6. Большой плоскопараллельный конденсатор состоит из двух пло-
плоских проводящих пластин, на внутренней поверхности одной из которых име-
имеется маленький полусферический выступ. Проводнике выступом радиусом а
находится под нулевым потенциалом, потенциал второго проводника таков,'
что вдали от выступа электрическое поле между пластинами равно Ео.
а) Найти плотность поверхностного заряда в произвольной точке на пло-
плоскости и на выступе и построить график изменения плотности в зависимости
от расстояния (или от угла).
б) Показать, что полная величина заряда на выступе равна ЗЕ0а2/4.
в) Показать, что если вместо другой проводящей пластины поместить
заряд q как раз над выступом на расстоянии d от его центра, то заряд, инду-
индуцируемый на выступе, будет равен
Г
Я —'¦—Я\
L
2.7. Заряженная нить с линейной плотностью заряда т помещена парал-
параллельно оси проводящего цилиндра радиусом Ъ на расстоянии /^ от оси. Счи-
Считая потенциал цилиндра нулевым, найти методом изображений:
а) величину и положение зарядов-изображений;
б) потенциал в произвольной точке (в полярных координатах; прямую,
соединяющую ось цилиндра с заряженной нитью, принять за ось х)> в том
числе его асимптотическое представление вдали от цилиндра;
в) плотность индуцированного поверхностного заряда (построить график
плотности, отнесенной к х/2лЬ для Rib = 2 и 4);
г) силу, действующую на заряженную нить.
2.8. а) Найти функцию Грина для двумерной электростатической задачи,
если задан потенциал на поверхности цилиндра радиусом Ь, и показать,
что решение внутри цилиндра дается интегралом Пуассона
2я
ф(г, е)==^
б) Длинная проводящая цилиндрическая оболочка радиусом Ъ разделе-
разделена узким продольным зазором на две половины, находящиеся соответственно
под потенциалом V\ и К2. Показать, что потенциал внутри цилиндра равен
где 6 отсчитывается от плоскости, перпендикулярной плоскости зазора.
Задачи 69
в) Рассчитать распределение поверхностной плотности заряда на обеих
половинах цилиндра.
г) Какие изменения следует внести в решение, приведенное в п. «а»,
если требуется найти потенциал в области пространства, внешней по отноше-
отношению к цилиндру?
2.9. а) Изолированная проводящая сфера находится под потенциалом V.
Написать (тривиальное) выражение для потенциала электростатического
поля во всем пространстве.
б) Применить теорему инверсии, взяв центр инверсии вне проводящей
сферы. Убедиться непосредственно, что полученное решение описывает
потенциал заземленной сферы в присутствии точечного заряда —VR, где
R — радиус инверсии.
в) Каков физический смысл инвертированного решения в случае, когда
центр инверсии находится внутри проводящей сферы?
2.10. Зная, что емкость тонкого плоского кругового проводящего диска
радиусом а равна 2аЫ и что поверхностная плотность заряда на изолиро-
изолированном диске, находящемся под определенным потенциалом, пропорцио-
пропорциональна (а2— г2)~1/2, где г— расстояние от центра диска,
а) показать, что методом инверсии можно найти потенциал бесконечной
заземленной проводящей плоскости с круглым отверстием, в произвольной
точке которого находится точечный заряд;
б) показать, что для случая единичного точечного заряда, расположен-
расположенного в центре отверстия, индуцированный заряд на плоскости равен
о (г, Э, Ф) = —
в) показать, что «а» и «б» являются частными случаями более общей
задачи о нахождении потенциала заземленной проводящей сферической чаши
в присутствии заряда, расположенного в некоторой точке срезанной ее
части, которая также решается методом инверсии потенциала диска.
2.11. Полый куб ограничен проводящими гранями, определяемыми
шестью плоскостями х = 0, у = 0, z = 0, х — а> у = a, z = а. Грани z — 0
и z = а находятся под потенциалом V', остальные — под нулевым потен:
циалом.
а) Найти потенциал Ф (х, у, z) в произвольной точке внутри куба.
б) Рассчитать численно потенциал в центре куба с точностью до трех
значащих цифр. Сколько членов ряда нужно удержать, чтобы получить
требуемую точность? Сопоставить полученное численное значение со сред-
средним значением потенциала на гранях.
в) Найти распределение поверхностной плотности заряда на грани
z = а.
Глава 3
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ, II
В этой главе мы продолжим рассмотрение граничных задач
электростатики. Сначала обсудим задачи со сферической и цилин-
цилиндрической симметриями и представим решение уравнения Лапласа
в виде разложений по соответствующим ортонормированным функ-
функциям. Мы лишь кратко остановимся на методах решения различных
обыкновенных уравнений, получающихся при разделении пере-
переменных в уравнении Лапласа, однако дадим достаточно полное
описание свойств получающихся функций.
Проблема представления функции Грина в виде разложения
в ряд по ортонормированным функциям, естественно, возникает
при попытке решить уравнение Пуассона с учетом граничных
условий. Ниже будет приведено несколько примеров нахождения
разложения функции Грина и его применения в различных задачах.
В частности, будет рассмотрен вопрос об эквивалентности различ-
различных методов решения задач электростатики.
§ 1. Уравнение Лапласа в сферических
координатах
В сферических координатах (фиг. 3.1) уравнение Лапласа при-
принимает вид
д2ф л /о ,ч
-щг = °- C.1)
Представим потенциал в виде произведения, т. е. положим
^М C.2)
Подставляя C.2) в C.1), получаем
QdW UQ d / dP\ UP
/-2 sine
Vs dQ У
§ 1. Уравнение Лапласа в сферических координатах
71
или, после умножения на гг sin2 Q/UPQ,
1 d
)]+
Q
= 0. C.3)
От ф зависит здесь только последнее слагаемое. Очевидно, это
слагаемое должно быть постоянным; обозначая постоянную через
z
Фиг. 3.1.
— т2, мы придем к дифференциальному уравнению
_ __ 2
решение которого имеет вид
Q __
C.4)
C.5)
Для того чтобы функция Q была однозначной, величина т долж-
должна быть целой. Аналогично можно получить отдельные уравнения
для Р@) и U {г):
" ' = 0, C.6)
C.7)
sin6
где / (/ -f 1) —другая действительная постоянная разделения.
Из вида уравнения для радиальной функции ясно, что его реше-
решением является простая степенная функция от г (а не ряд по г).
Решение имеет вид
U = Arl+1 + Brl, C.8)
где / пока не определено.
72 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
§ 2. Уравнение Лежандра и полиномы Лежандра
В уравнении для Р F) обычно переходят от переменной 9
к переменной х = cos 0. Тогда уравнение принимает вид
= 0. C.9)
Это уравнение называется обобщенным уравнением Лежандра,
а его решения — присоединенными функциями Лежандра. Прежде
чем анализировать уравнение C.9), найдем решение в виде степен-
степенного ряда для обыкновенного дифференциального уравнения
Лежандра, соответствующего т2 = 0:
0- (ЗЛ0>
Для того чтобы искомое решение имело физический смысл
электростатического потенциала, оно должно быть однозначно,
конечно и непрерывно в интервале — 1 < х < 1. Будем искать
решение в виде ряда
оо
Р(х) = х« %ajx\ C.11)
/=о
где а — пока не определенный параметр. Подставляя это разложе-
разложение в C.10), получаем ряд
0. C.12)
В этом разложении коэффициенты перед всеми степенями х
должны в отдельности обращаться в нуль. Для / = 0 и j = 1
отсюда следует, что:
если а0 Ф 0, то а (а— 1) = 0,
еслия^О, тоа(а+1) = 0. ^3* *
Для остальных j получаем соотношение
(ЗЛ4)
Г
= L
Как легко видеть, оба соотношения C.13) эквивалентны, и доста-
достаточно считать, что лишь один из коэффициентов а0 и ах отличен
от нуля. Считая а0 = 0, мы получаем для а два значения: а = О
и а = 1. Из C.14) следует, что разложение в ряд содержит только
четные степени х (при а = 0) или только нечетные степени х
(при а = 1).
§ 2. Уравнение Лежандра и полиномы Лежандра 7$
Можно показать, что оба полученных ряда (соответствующие
а = 0 и а = 1) обладают следующими свойствами:
а) ряд сходится при х2 < 1 при всех значениях /;
б) ряд расходится при х = ± 1, если только он не обрывается.
Поскольку мы ищем решение, которое конечно при х = ± 1,
так же как и при л:2<1, необходимо потребовать, чтобы ряд
обрывался. Так как аи/ — целые неотрицательные числа или
нуль, то из рекуррентной формулы C.14) следует, что ряд обрывает-
обрывается лишь в том случае, когда / равно нулю или положительному1
целому числу. Но и в этом случае лишь один из двух рядов будет
конечен при х = ± 1. Если / четно, то конечен ряд для а = 0, если
/ нечетно, то конечен ряд для а=^ 1 *). В обоих случаях старший:
член пропорционален х\ следующий xU2 и т. д. до х° при четном / или
до х при нечетном /. Эти многочлены принято нормировать так,
чтобы при х = + 1 они обращались в единицу. Они называются
полиномами Лежандра Pt (x) порядка /. Приведем несколько
первых полиномов Лежандра:
Pi (*) = *,
(*) = ±C*2-1), C.15)
±
Исходя из формул C.11) и C.14), полиномы Лежандра, пред-
представляемые в виде разложения по степеням х, можно преобразовать
к весьма компактному виду, известному под названием формулы
Род рига:
Эта формула может быть получена и другим, более изящным путем,
в частности с помощью /-кратного интегрирования уравнения C.10).
Полиномы Лежандра образуют полную систему функций, орто-
ортогональных на интервале—1<л:<1. Для доказательства ортого-
х) Например, при / = 0 в ряде для а = 1 общее выражение для коэффи-
коэффициентов имеет вид ctj — ao/(j + 1) при / = 0, 2, 4,..., так что ряд записывает-
записывается как а0 {х + 11гхг + 1/6х5+...). Это разложение в степенной ряд функции
Qo (х) — х/2 In A + хI(\ — х)у которая, очевидно, обращается в бесконеч-
бесконечность при * = ±1. Для каждого значения / наряду с ограниченным реше-
решением — полиномом Лежандра — можно построить аналогичное решение
Qi (x) с логарифмической расходимостью на концах интервала (см. книгу-
Магнуса и Оберхеттингера [70]).
/4 Гл. 3, Граничные задачи электростатики. II
нальности можно использовать непосредственно дифференциаль-
дифференциальное уравнение C.10). Напишем дифференциальное уравнение для
Pi (x), умножим его на Рг (х) и проинтегрируем по интервалу
{-U +1):
[^(^g) ]* = 0. C.17)
Интегрируя первый член по частям, находим
S [{*-l)^*jT + l(l + l)Pi'(x)Pi(x)]dx = O. C.18)
-1
Вычитая из C.18) такое же равенство с заменой / на /', и наоборот,
приходим к условию ортогональности
1
[/(/4D-/'(/'+!)] \Pi'(x)Pl(x)dx^0. C.19)
-1
При / Ф V входящий в C.19) интеграл должен быть равен нулю,
а при 1 = 1' он будет конечным. Чтобы вычислить значение этого
интеграла, нужно воспользоваться явным представлением поли-
полиномов Лежандра, например формулой Родрига. При этом интеграл
принимает вид
-1 -1
Интегрируя / раз по частям, получаем
1 1
Pt (x)fdx= {l
v n 2
В результате 2/-кратного дифференцирования величины (х2 — II
получим константу B/)!, так что
1 1
J \Pl(x)?dx= 2#|^ J {\-x*)ldx. C.20)
-1 ' -1
Легко показать, что интеграл в C.20) равен 22i+1 (/!J/B/+1)!;
следовательно, условие ортогональности можно записать так:
1
^Pr(x)Pl(x)dx = ~-Y8Vh C.21)
§ 2. Уравнение Лежандра и полиномы Лежандра
75
а ортонормированные функции (см. гл. 2, § 9) имеют вид
' Pi(x). C.22)
Поскольку полиномы Лежандра образуют полную систему
ортогональных функций, любая функция / (х) может быть разло-
разло-J
х-
Фиг. 3.2.
жена в ряд по полиномам Лежандра на интервале—1<л:<1.
Это разложение имеет вид
го
где
21 + :
C.23)
C.24)
^
Рассмотрим для примера функцию, изображенную на фиг. 3.2:
f(x) = +1 при х>0,
f (х) = - 1 при
В этом случае
1 О
А\ = п \ * I \Х) и>Х \
О -1
Поскольку при нечетных / полином Рг (х) нечетен относительно
х = 0, а при четных / четен, отличны от нудя только коэффициенты
с нечетным /. Таким образом, для нечетных / имеем
C.25)
76 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
Вычисляя последний интеграл с помощью формулы Родрига, найдем
-0/2
где Bл+1)П s Bл + 1) Bл—1) Bл — 3) ... 5-3-1. Таким образом,
ряд для / (х) имеет вид
f(x)=^Pi(x)-^Pt(x) + ^Pi(x)-... . C.27>
Полиномы Лежандра различного порядка связаны определен-
определенными рекуррентными соотношениями, которые оказываются весьма
полезными при вычислении интегралов, нахождении полиномов
высокого порядка по полиномам низкого порядка и т. п. Из фор-
формулы Родрига легко вывести соотношение
= 0. C.28)
Комбинируя это соотношение с дифференциальным уравне-
уравнением C.10), можно получить целый ряд рекуррентных формул,
например:
C.29)
Для иллюстрации применения этих рекуррентных соотноше-
соотношений вычислим интеграл
1
It=\ xPl(x)Pr(x)dx. C.30)
Из первой формулы C.29) найдем выражение для хР(х). Под-
Подставляя его в C.30), приведем интеграл к виду
1
\ p WK' + l) p (*) + lpi-i (х)] dx.
Из условия ортогональности C.21) следует, что интеграл отличен
от нуля лишь при /' = 1*± 1 и равен при этом
2A + 1)
xPi(x)Pv(x)dx =
-1
2/
/'=/+1'
при V = 1-\.
C.31)
:§ 3. Граничные задачи с азимутальной симметрией 77
Правые части в C.31) фактически одинаковы, отличаясь лишь
заменой / на /'. Аналогично можно показать, что
W+3R2I+5) "РИ /< = /+2'
2Bf» + 2/-l) F-6Z>
-i
где предполагается, что /'>/.
§ 3. Граничные задачи с азимутальной
симметрией
Из общего вида C.2) решения уравнения Лапласа в сфериче-
сферических координатах следует, что для задач, обладающих азимуталь-
азимутальной симметрией, нужно в C.5) положить т = 0. Поэтому общее
решение задачи имеет вид
Ф(г, в)= S Hzr4fl*r-<I+14Pi(cose). C,33)
1=0
Коэффициенты Аг и Bt определяются из граничных условий. Допу-
Допустим, что задано значение потенциала V @) на поверхности сферы
радиусом а и требуется найти значение потенциала внутри сферы.
Если в начале координат нет заряда, то потенциал должен быть
^конечен в этой точке, так что Вг = 0 для всех /. Коэффициенты Аг
гможно найти, вычисляя значения ряда C.33) на поверхности сферы:
1/@)= § AlalPl (cos в). C.34)
Соотношение C.34) представляет собой разложение по полиномам
Лежандра типа C.23), так что коэффициенты Аг определяются
следующим образом:
я
V@)Pj(Cos0)sin0d0. C.35)
о
Рассмотрим опять пример, обсуждавшийся в гл. 2, § 8, т. е. две
полусферы, имеющие потенциал V и — V:
2 ' C-36)
-V
в этом случае коэффициенты будут пропорциональны коэффициен-
коэффициентам ряда .C,27). Таким образом, для потенциала внутри сферы
78 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
получается выражение
Ф (г, в) = V [ | Т- Р, (cos 6) - ^(~У Рз (cos 6) +
] C-37>
Чтобы найти потенциал вне сферы, достаточно просто заменить
(ridI на (a/r)[+1. Легко видеть, что получающееся при этом решение
совпадает с выражением B.33), найденным другим методом.
Потенциал может быть единственным образом представлен
в виде ряда C.33), коэффициенты которого определяются гранич-
граничными условиями. Эта однозначность позволяет иногда найти значе-
значение потенциала во всей области по его значению в какой-либо
ее части, например на оси симметрии. На оси симметрии соотноше-
соотношение C.33) принимает вид (при положительных z = r)
(D(z = r)=f] [Л,гЧД1Г-<1+1>]. C.38)
Для отрицательных г каждый член следует умножить на коэффи-
коэффициент (—1)'. Допустим, что мы каким-либо способом можем найти
потенциал Ф (г) для некоторой произвольной точки г на оси сим-
симметрии г. Если эта функция может быть разложена в ряд по г вида
C.38) с известными коэффициентами, то решение для произвольной
точки пространства находится умножением каждого члена вида г1
или г~а+1) на Pt (cos 9).
Рискуя надоесть читателю, вернемся еще раз к задаче о двух
полусферах, находящихся под потенциалами, равными по величине
и противоположными по знаку. Мы уже получили решение этой
задачи двумя способами [см. B.33) и C.37)]. Изложенный выше
метод дает третий способ решения этой же задачи. Для точек
на оси симметрии ранее было получено выражение B.28) для
потенциала
+ -*_ 1
r/r2 + a2 J
Разлагая по степеням а2//*2, получаем
Ф(г = г) У (-ir
Сопоставляя это разложение с ,C.38), мы видим, что в нем содер-
содержатся лишь нечетные значения / (/ = 2/ — 1). Решение, справед*
§ 3. Граничные задачи с азимутальной симметрией
79
ливое для всех точек вне сферы, имеет, очевидно, следующий вид:
C.40)
Это выражение, конечно, совпадает с ранее полученными разложе-
разложениями B.33) и C.37).
Фиг. 3.3.
Важную роль играет разложение потенциала в точке х, созда-
создаваемого единичным точечным зарядом в точке х':
C.41)
1=0
Здесь г< и /*> — соответственно меньшая* и большая из величин
| х | и | х' |, а у — угол между х и х' (фиг. 3.3). Чтобы доказать
соотношение C.41), повернем оси координат так, чтобы вектор х'
был расположен вдоль оси z. Тогда потенциал, удовлетворяя уравне-
уравнению Лапласа, будет обладать азимутальной симметрией, т. е. его
всюду, кроме точки х = х', можно представить в виде C.33):
X—X'
C-42)
1=0
Для точек х на оси г правая часть принимает вид C.38), тогда как
левая часть равна
-->__». C.43)
Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
Разлагая последнее выражение в ряд, получаем
Для точек вне оси достаточно, согласно C.33) и C.38), умножить
каждое слагаемое в C.44) на Рг (cos у). В результате получим тре-
требуемое соотношение C.41).
В качестве второго примера рассмотрим потенциал кругового
кольца радиусом а с равномерно распределенным по нему зарядом q.
Фиг. 3.4. Заряженное кольцо
радиусом а с полным заря-
зарядом q.
Ось кольца совпадает с осью z,
а его центр находится в точке z=b.
X
Пусть ось кольца совпадает с осью z, а его центр находится в точке
г = Ь (фиг. 3.4). Потенциал в точке Р, находящейся на оси симме-
симметрии и имеющей координату z = г, равен просто заряду qf делен-
деленному на расстояние АР:
ФB = г)= * it-, C.45)
(г2 + с2 — 2cr cos а) /2
где с2 = а2 + Ь2, a a = arctg (а/6). Правая часть может быть раз-
разложена согласно C.41). Так, при г>с
/=о
при г
C.46)
C.47)
1=0
$ 4. Присоединенные функции Лежандра 81
Потенциал в любой точке пространства получается умножением
каждого члена этого ряда на Рг (cos Э):
°° г1
Ф(г,в) = дУ} -T^rPz(cos9)Pz(cosa). C.48)
i=o г>
Здесь г^ и /-< — соответственно большая и меньшая из величин.
г и с.
§ 4. Присоединенные функции Лежандра
и сферические гармоники Уш @, <р)
До сих пор мы рассматривали задачи с азимутальной симметрией,
так что решение имело вид C.33) и содержало лишь обычные поли-
полиномы Лежандра. Однако в общем случае может, конечно, иметь место
зависимость потенциала от азимута, так что в C.5) и C.9) т Ф 0.
В этом случае нам необходимо получить решение уравнения C.9)
при произвольных / и т, являющееся обобщением функции
Pi (cos Э). Точно также, как и для обычных функций Лежандра,
можно показать, что, для того чтобы решение было конечным
на интервале —1<х<1, параметр / должен быть нулем или
положительным целым числом и что целое число т может принимать
лишь значения — /, — (/ — 1), . . . , 0, . , . , / — 1, /. Обладаю-
Обладающее этими свойствами решение называется присоединенной функ-
функцией Лежандра и обозначается РТ (х). Для положительных т спра-
справедлива формула х)
p?{x)M-l)n{l-#)m/2-g?nPi{x). C.49)
Если Pi (x) представить с помощью формулы Родрига, то можно
прийти к соотношению
(lx)
2{l\ dxl+
( 2_
справедливому как при положительных, так и при отрицательных т.
Функции РТт (х) и РГ(х) пропорциональны друг другу, поскольку
дифференциальное уравнение содержит лишь m2, am — целое
число. Можно показать, что
^^РТ(х). C.51)
1) Фазу Р™(х) мы выбираем так же, как Кондон и Шортли [29]. Явные
выражения для Р™(х) и рекуррентные формулы см. в книге Магнуса и Обер-
хеттингера [70].
82 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. И
При фиксированном т функции РТ (х) образуют ортогональную
систему по индексу Цна{ интервале — 1<,х<1. Условие орто-
ортогональности может быть получено тем же методом, что и для поли-
полиномов Лежандра, и имеет вид
I P?(x)P?(x)dx= ^.gd»6,4. C.52)
Решение уравнения Лапласа представляется как произведение
трех множителей, зависящих соответственно от г, 0 и ср. Удобно
объединить вместе угловые множители и построить систему орто-
нормированных функций на сфере. Мы будем называть эти функции
сферическими гармониками, хотя так иногда называют общее реше-
решение обобщенного уравнения Лежандра C.9). В более старых руко-
руководствах сферические гармоники называют иногда тессеральными
функциями. Функции Qm (ф) = eimv образуют полную систему
ортогональных функций по индексу т на интервале 0<<р<2л.
Точно так, же функции Р™ (cos 0) образуют полную ортогональную
систему по индексу / для каждого т на интервале —1 <cos 6< 1.
Поэтому их произведение P™Qm образует полную ортогональную
систему на поверхности единичной сферы по двум индексам / и т.
Из условия нормировки C.52) видно, что нормированные функции,
которые мы обозначим через Yim(Qf <p), имеют вид
(^7^|) C-53)
Из C.51) следует, что
Уг,_т@, ф) = (-1)теПп(в, Ф). C.54)
Условие нормировки и ортогональности имеет вид
2я я
Jd<p J sin0d0F?<m'@, ф)Г/т@, <р) = 8пЬт>т. C.55)
о о
Условие полноты, эквивалентное B.41), записывается следующим
образом:
2 S Yfm(Q', Ф')У1т(в, ф) = 6(ф-ф');б(созв-со5в'). C.56)
г=о m=-i
Ниже приводятся сферические гармоники Yim(Q, ф) для не-
нескольких первых значений I и для т>0. Для отрицательных
значений т можно воспользоваться соотношением C.54).
4. Присоединенные функции Лежандра
83
Сферические гармоники FZm (9, ф)
;
У 4я
1=1
1 = 2
К2, =
sin 0 cos 9 еЧ
= V-Zr (-fcos'G—4- ;
l
у Узо== V ^
Следует отметить, что при т = О
К/о (9, ф) =
у cos3 9 2~cos9 ) .
C.57)
Произвольную функцию g (9, ф) можно разложить в ряд по сфе-
сферическим гармоникам:
g(9, ф)= § 2 MmYimib, Ф). C.58)
Коэффициенты ряда равны
Aim= [dQY*m(§, ф)?(9, ф). C.58')
В § 5 нам понадобится разложение для 9 = 0. В соответствии
с C.57) имеем, очевидно:
, ФIе=о =
C.59)
Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
где
А 70 =
= \S2J4~1\dQPl(cosQ)g(Q,
C.60)
Все члены ряда с т Ф 0 обращаются в нуль при 0 = 0.
Общее решение граничной задачи в сферических координатах
имеет вид суммы произведений сферических гармоник на соответ-
соответствующие степени г:
Ф(г, 6, ф)=|] 2 lAlmrl + Bl7nr-v+i)}Ylm(Q, ф). C.61)
1=0 m=-l
Это выражение является обобщением соотношения C.33). Если зна-
значение потенциала задано на некоторой сферической поверхности,
то коэффициенты разложения можно найти, вычисляя значение
потенциала C.61) на поверхности [см. C.58)].
§ 5. Теорема слоэюеная для сферических
гармоник
Весьма интересное и часто используемое математическое свойство
сферических гармоник характеризуется так называемой теоремой
сложения. Пусть даны две точки х и х' со сферическими координата-
координатами соответственно (г, 0, ф) и (г', 0', ф') и пусть у — угол между
радиусами-векторами этих точек (фиг. 3.5). Теорема сложения выра-
выражает полином Лежандра /-го порядка, зависящий от угла у, через
§ 5. Теорема сложения для сферических гармоник 85
произведения сферических гармоник, зависящих от В, ф и 0', ф':
i
2 УТт(В', ф')^т(в.ф). C.62)
Здесь cos у = cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos (ф — ф'). Для доказа-
доказательства этого соотношения будем считать вектор х' фиксирован-
фиксированным в пространстве. Тогда полином Pt(cos у) будет функцией
углов 0, ф, в которую углы 0', ф' входят как параметры. Следова-
Следовательно, Pi (cos y) можно разложить в ряд типа C.58):
оо V
Рг (cosy)- 2 2 Л<'™(9'> Ф')^'т(в, ф). C.63)
/'=0 т=-Г
Сопоставляя это выражение с C.62), мы видим, что в C.63)
должны входить лишь члены с V — /. Чтобы убедиться в этом,
заметим, что если выбрать оси координат так, чтобы вектор х'
был направлен вдоль оси z, то угол у станет обычным полярным
углом и Pi (cos y) будет удовлетворять уравнению
V"PZ (cos y) + / (/,tl) Pi (cosy) = 0, C.64)
где V'2 —оператор Лапласа в новых осях. Если теперь повернуть
оси назад в положение, указанное на фиг. 3.5, то оператор Лапласа
не изменится *), V'2 = V2, и г тоже останется неизменным. Таким
образом, Рг (cos y) по-прежнему удовлетворяет уравнению типа
C.64), т. е. является сферической гармоникой порядка I. Иными
словами, это значит, что Рг (cos у) представляет собой линейную
комбинацию функций Yim порядка /:
2 , ф). C.65)
т = -1
Коэффициенты Ат @',ф') определяются соотношением
Am(Q',q>')=^Y!m(Q,4))Pi(cosy)dQ. C.66)
Чтобы определить коэффициент Ат @Г, ф'), заметим, что его можно
рассматривать, согласно C.60), как соответствующий т! = 0 коэф-
коэффициент разложения функции YAn 1B1 + 1) Y*m(Q,q) в ряд
по Yimf(y>$), где у, р—угловые координаты в штрихованной
г) Инвариантность оператора Лапласа при преобразовании вращения
проще всего доказать, исходя из того, что V2x|) = divgrad if> представляет
собой операторное скалярное произведение, а скалярное произведение
инвариантно при преобразовании вращения.
86 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
системе, в которой получено уравнение C.64). Тогда, согласно C.59),
учитывая, что / принимает лишь одно значение, получаем
4» (в', ф/) = ^Т{Пт[6(у, Р), <P(Y, P)]}V=0. C.67)
В пределе у -*0 углы F, ф), являющиеся функциями (у, Р),
переходят в F', ф'), что и доказывает теорему сложения C.62).
Иногда эту теорему записывают не в функциях У\т, а в функциях
Pf (cos 0). В этом случае она имеет следующий вид:
Рг (cos у) = Pi (cos 9) Pi (cos 0') +
i
+ 2 2 TTj^^cos6)РГ (cos90cos[m(<p-(p')]. C.68)
m=l
В пределе у ->-0 C.62) дает «правило суммирования» квадратов
функции Ylm:
i
^±L C.69)
С помощью теоремы сложения можно записать разложение C.41)
потенциала в точке х, обусловленного единичным зарядом в точке х',
в более общем виде. Подставляя в C.41) выражение C.62) для
Pi (cos y), получаем
i 2 27ТТ^7?т(е'' Ч>')У|т(в, ф). C.70)
1 >
1=0 т=-1
Соотношение C.70) представляет потенциал в виде суммы про-
произведений в координатах х и х'. Такое представление удобно,
когда приходится, например, интегрировать по плотности зарядов
и т. п., т. е. когда одна из переменных является переменной инте-
интегрирования, а вторая — координатой точки наблюдения. Правда,
это удобство достигается ценой замены простой суммы на двойную.
§ 6. Уравнение Лапласа в цилиндрических
координатах. Функции Бесселя
В цилиндрических координатах (q, ф, г)} показанных на фиг. 3.6,
уравнение Лапласа принимает вид
6. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
87
Для разделения переменных произведем подстановку
<D(q, ф, z) = R(q)Q (cp)Z(z). C.72)
Путем обычных преобразований получаем три обыкновенных диф-
дифференциальных уравнения:
-j-2- kzZ^= U, (о. 76)
-Sr + v2Q = 0, C.74)
'-^# = 0. C.75)
Первые два уравнения решаются элементарно:
C.76)
Для того чтобы потенциал был однозначным, параметр разделения v
должен быть целым. Параметр k, пока не наложены граничные
Фиг, 3.6.
условия в направлении г, остается произвольным. Мы будем сначала
предполагать k действительным.
Радиальное уравнение приводится к стандартной форме заменой
переменных х — kq. Оно принимает при этом вид
d*R ,1 dR . f л v2 \ n ,o 77^
Это уравнение называется уравнением Бесселя, а его решения—
функциями Бесселя порядка v. Представляя решение в виде сте-
Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
пенного ряда типа
R(x) = x«f^ajxj, C.78)
находим, что
а= ±v C.79)
и
аа»-2 C-80)
при / = 0, 1, 2, .... Коэффициенты при всех нечетных сте-
степенях х1 равны нулю. Итерация рекуррентной формулы дает
A)г(«+1)
21 2«/!Г(У+а + 1)
Постоянную а0 обычно принимают равной а0 = [2аГ (а + I)].
При этом два решения уравнения записываются в виде
1 )"- C.82,
лЦ++, (т
3=0
x X"J C.83)
2j /!Г(/ — v + 1) V~2
Эти решения называются функциями Бесселя первого рода порядка
v и —v. Если v не целое число, то функции Jv (x) и /_v (x) образуют
пару линейно независимых решений дифференциального уравнения
Бесселя второго порядка. Однако при целых v эти решения, как
известно, линейно зависимы. Действительно, при v = т, как
видно из представления функций Бесселя в виде ряда, имеет место
соотношение
J-m{x) = ( — 1) LJm(x). C.84)
Поэтому при целых v нужно знать еще другое решение, линейно
независимое от Jv (x). Даже при нецелых v принято вместо пары
функций Jv (x) и /_v (x) рассматривать другую пару, а именно
Jv(x) и Nv(x), где Nv(x)—так называемая функция Неймана
(функция Бесселя второго рода), определяемая соотношением
^ . C.85)
Для нецелых v, очевидно, функция Nv (x) линейно независима
от Jv (x). Можно показать, что в пределе, когда v стремится к цело-
целому значению, функция Nv (x) остается линейно независимой от
§ 6. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах 89
Jv (х). Представления функций Nv(x) в виде ряда можно найти
в математических справочниках.
Функциями Бесселя третьего рода, или функциями Ханкеляу
называются следующие линейные комбинации функций Jv(x)
и Nv(x):
C.86)
Ну (х) = Jv (x) — iNv (x).
Так же как и пара функций Jv (x) и Nv (x), пара функций Ханкеля
образует фундаментальную систему решений уравнения Бесселя.
Все эти функции (Jv, Nv, H™, H^) удовлетворяют рекуррент-
рекуррентным соотношениям
.i(*) = -^-Qv(*), C.87)
i(x) = 2 dQ^{x) , C.88)
1 v ; dx v 7
где Qv (x) — любая из цилиндрических функций порядка v.
В справедливости этих соотношений легко убедиться, исходя
из представления решений в виде ряда C.82).
Для удобства мы приведем здесь предельные представления
бесселевых функций различного рода для малых и больших значе-
значений аргумента. Для простоты выпишем лишь первые члены раз-
разложения:
При х < 1
-4г + 0,5772.. Л при v = 0,
г J C.90)
Здесь v считается действительным и неотрицательным.
При х > 1, v
^ V 2 4 У C 91)
Переход от области «малых» значений х, описываемых выражения-
выражениями C.89) и C.90), к области больших значений, где справедливы
асимптотические формулы, имеет место при х ~ v.
90 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
Из асимптотического разложения C.91) видно, что каждая
функция Бесселя имеет бесконечное количество корней г). Нас будут
главным образом интересовать корни функции Бесселя Jv (х):
Jv(xvn) = 0, /г=1, 2, 3,...; C.92)
здесь через xvn обозначен п-й корень функции Jv (x). Ниже
приводятся первые три корня для трех значений v:
v = 0 xon = 2,405; 5,520; 8,654...;
v=l xlrl = 3,832; 7,016; 10,173...;
v = 2 *2rl^5,136; 8,417; 11,620....
Для больших п значения корней (по крайней мере до трех значащих
цифр) можно находить по довольно точной асимптотической формуле
Значения корней приведены, например, втаблицах Янке и Эмде [54].
После того как мы нашли решение радиального уравнения,
выразив его через функции Бесселя, естественно, возникает вопрос
о том, в каком смысле можно считать функции Бесселя ортогональ-
ортогональной полной системой. Будем рассматривать лишь функции Бесселя
первого рода и покажем, что система функций ]/q Jv (XvnQ/a)
с фиксированным v>0 и я = 1, 2, ... представляет собой орто-
ортогональную систему на интервале 0<Q<a. Для доказательства
рассмотрим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет
функция Jv(xvnQ/a):
+
1 d Г dJv(xvnQ/a) |
Умножив его на qJv (xvn>Q/a) и проинтегрировав от 0 до а, получим
\ 1 (х Q Л d
\ J*vxyn'~^J~d^
1
о
Интегрируя по частям и учитывая, что произведение qJvJ'v равно
х) Имеются в виду функции Бесселя первого и второго родов. Функции
Ханкеля корней не имеют, так как их вещественная и мнимая части не обра-
обращаются в нуль одновременно.— Прим. ред.
§ 6. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах 91
нулю (для v > 0) при q == 0 и q = а, получаем
1 dJv (xvnQja) ,
-i
Написав такое же выражение с заменой п на п' и вычтя его из преды-
предыдущего, придем к соотношению ортогональности
а
(x2vn-x2vn>) \ QJv(*vn'^)^(*v*-J-)<*Q = 0. C.94)
С помощью рекуррентных соотношений C.87) и C.88) и дифферен-
дифференциального уравнения для функции Бесселя можно показать, что
!6П,П. C.95)
Предполагая, что система функций Бесселя является полной,
мы можем разложить произвольную функцию от q на интервале
0<Q<a в ряд Фурье — Бесселя
оо
f (р) = V A nJ ( х -^— ) C.96)
n=i
где
Q. C.97)
При выводе соотношения C.96) мы предполагали, что v>0*
Можно, однако, показать, что C.96) справедливо для всех v>— Ь
Разложение C.96) и C.97) —обычное разложение в ряд Фурье —
Бесселя, особенно удобное для функций, обращающихся в нуль
при q = а, т. е. удовлетворяющих однородным условиям Дирихле
на цилиндре (см. § 7). Следует, однако, заметить, что возможно
также представление в виде ряда иного типа, а именно ряда по функ-
функциям Yq J\ (j/v»Q/fl)i где r/vn представляет собой n-й корень уравне-
уравнения dJv (x) Idx — 0. Это связано с тем, что при доказательстве орто-
ортогональности системы функций требуется, собственно говоря, лишь
обращение в нуль величины qJ х(Щ {d/dq) Jv (X'q) в конечных
точках q = 0 и q = а. Это условие удовлетворяется как при
92
Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
Л» = Xvnla, так и при X = yvnla, где Jv (xvn) = 0 и J'v{yvn) = О.
Разложение по функциям ]/q /v (yvnQfa) особенно удобно для функ-
функций, имеющих нулевую производную при q = а (см. задачу 3.8)-
Ряд Фурье — Бесселя — лишь один из типов возможных раз-
разложений по функциям Бесселя. В качестве других примеров упомя-
оо оо
нем ряды Неймана 2 anJv+n (z), Каптейна 2 OnJv+n f(v + n)z]
со
и Шлёмильха 2 anJv (nx). Детальное описание свойств этих рядов
Т1 = 1
можно найти в книге Ватсона [114] (гл. 16—19). Ряды Каптейна
встречаются при исследовании кеплеровского движения планет
и излучения быстро движущихся зарядов (см. задачи 14.7 и 14.8).
В заключение рассмотрения свойств функций Бесселя следует
заметить, что если бы при разделении переменных в уравнении
Лапласа мы положили постоянную разделения в C.73) равной —k2,
то функция Z (г) имела бы вид sin kz или cos kz, а для R (q) мы полу-
получили бы уравнение
^(f> = 0. C.98)
Подстановка kq = х дает
-^-о-Н j 1 Н—г /? = 0. (о.99)
dx2 * х dx \ * х2 у к '
Решения этого уравнения называются модифицированными функ-
функциями Бесселя. Они, очевидно, представляют собой просто функции
Бесселя от чисто мнимого аргумента. Обычно в качестве двух линей-
линейно независимых решений выбирают функции /v (x) и Kv M» опре-
определяемые следующим образом:
C.100)
C.101)
Эти функции действительны при действительных значениях аргу-
аргументов. В пределе для малых и больших значений аргумента спра-
справедливы следующие представления (при действительном v>0):
При х < Г
C.102)
— Aпу + 0,5772...) при v = 0,
(ЗЛ03>
§ 7. Граничные задачи в цилиндрических координатах
93
При х > 1, v
C.104)
§ 7. Граничные задачи в цилиндрических
координатах
Решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах
имеет вид: Ф = R (q) Q (q>)Z(z), где каждый множитель определен
в предыдущем параграфе. Перейдем теперь к конкретной граничной
Фиг. 3.7.
задаче. Пусть рассматриваемая область имеет вид цилиндра радиу-
радиусом а и высотой L (фиг. 3.7); нижняя и верхняя поверхности цилин-
цилиндра задаются уравнениями z = 0 и z = L. Пусть потенциал на боко-
боковой и нижней поверхностях цилиндра равен нулю, а на верхней
поверхности Ф = V (q, cp). Нас интересует потенциал в произволь-
произвольной точке внутри цилиндра. Из условия однозначности потенциала Ф
и его обращения в нуль при z = 0 следует, что
Q (ф) = A sin тф + В cos mq>,
shfe (ЗЛ05)
где v = т — целое, a k — постоянная, подлежащая определению.
94 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
Радиальный множитель имеет вид
C.106)
Чтобы потенциал был конечным при q = 0, коэффициент D должен
быть равен нулю. Из условия обращения потенциала в нуль при
q = а следует, что k может принимать лишь значения
kmn = ^, /1 = 1,2,3, ..., C.107)
где хтп — корни уравнения Jm (хтп) = 0.
Учитывая все эти ограничения, мы получаем общее решение
в виде
оо оо
Ф (е, ср, г) = 2 2 Jm (kmnQ) sh (kmnz) [Amn sin /иф + 5m7l cos /пф]
m=0 n=i
C.108)
При z ~ L оно должно принимать заданное значение V (q, ф),
так что
V F. Ф) = 2! sh (^пЦ ^m (kmnQ) [Атп sin /Пф + Втп COS Шф].
Мы получили ряд Фурье по ф и ряд Фурье — Бесселя по q. Соглас-
Согласно B.43) и C.97), коэффициенты ряда равны
Атп= 2cslh^) С d Г dQQV(Q,
na4m+i (kmna) J J
0 ° C.109)
2я о V 7
\ \ ^Ф \ dQQV(Q, У) Jm(kmnQ) COS my
a) J J
(kmna) J
с той оговоркой, что для т = 0 в ряд входит 1/2В0п.
Частный вид разложения C.108) определяется тем условием, что
потенциал обращается в нуль при z = 0 для всех q и при q = а
для всех z. При других граничных условиях форма ряда будет иной.
В задаче 3.6 рассмотрен пример, когда потенциал равен нулю на тор-
торцовых поверхностях и принимает заданное значение V (ф, z)
на боковой поверхности.
Ряды Фурье — Бесселя типа C.108) пригодны при рассмотрении
конечных интервалов изменения q @<Q<a). Если же a->-oo,
то ряд переходите интеграл подобно тому, как тригонометрический
ряд Фурье переходит в интеграл Фурье. Так, например, если потен-
потенциал в области, свободной от зарядов, конечен при г>0 и стремит-
§ 8. Разложение функций Грина в сферических координатах 95
ся к нулю при г -^,оо, то общее решение для z>0 имеет вид
со со
O(q, ф, z)= 2 ^dke-k4m(kQ)[Am(k)smmq)+Bm(k)cosmq)].CA10)
m=0 0
Если потенциал должен быть равен V (q, ср) на всей плоскости
z = 0, то коэффициенты определяются из соотношения
оо со
v (Q. Ф) = 2 5 dfe J™ (kQ) t^m (A) sin mcp + #m (A) cos mcp].
m=0 0
Зависимость от ф по-прежнему описывается рядом Фурье. Следова-
Следовательно, коэффициенты А т (k) и Вт (k) определяются интегральными
соотношениями
Эти радиальные интегральные уравнения первого рода легко
решаются, поскольку они представляют собой преобразования
Ханкеля. Для обращения уравнений C.111) удобно использовать
интегральное соотношение
оо
J xJm(kx)Jm(k'x)dx = j8(k'-k). C.112)
О
Умножая обе части равенства C.111) на QJm(kQ), интегрируя по q
и учитывая C.112), мы получаем интегральные выражения для
коэффициентов на всей плоскости г = О
со 2я
Как обычно, для m = 0 в ряд C.110) следует подставить 1/2В0
^ 8. Разложение функции Грина
в сферических координатах
Для нахождения потенциала при заданном распределении заря-
зарядов и при заданных граничных условиях (т. е. для решения уравне-
уравнения Пуассона) нужно знать функцию Грина G (х, х ), удовлетворяю-
удовлетворяющую соответствующим граничным условиям. Часто эти условия
задаются на координатных поверхностях какой-либо системы коор-
координат, в которой переменные разделяются, например на сфериче-
сферической или цилиндрической границе. В этом случае удобно предста-
представить функцию Грина в виде разложения по функциям, соответст-
96 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
вующим рассматриваемой системе координат. Проиллюстрируем
сначала характер применяемых разложений на примере сфериче-
сферических координат.
Для случая, когда граничных поверхностей нет (т. е. граница
находится «в бесконечности»), мы уже получили раньше разложение
функции Грина [см. C.70)]:
1=0 т=-1
Предположим, нам нужно найти аналогичное выражение для
функции Грина, соответствующей «внешней» задаче для сферы радиу-
радиусом а. Это выражение легко находится, если исходить из выраже-
выражения B.22) для функции Грина, получающегося методом изображе-
изображений. Используя разложение C.70) для обоих слагаемых в B.22),
получаем
C.114)
Чтобы более ясно представить себе структуру разложения
C.114) и убедиться в выполнении граничных условий, выпишем
радиальные множители отдельно для г < г и г > г':
,2,1+1
при г <С.г\
C.115)
Прежде всего мы видим, что при г = а или г' — а радиальный
множитель обращается в нуль, как и должно быть. Далее при г -^ оо
или г' -+оо радиальный множитель тоже стремится к нулю. Он
симметричен относительно гиг'. Как функция от г (при фиксиро-
фиксированном г') радиальный множитель представляет собой линейную ком-
комбинацию решений г1 и г~A+^ радиальной части C.7) уравнения
Лапласа. Правда, эти линейные комбинации различны при
г < г' и при г > г . Причина этого станет нам ясна ниже; она свя-
связана с тем, что функция Грина является решением уравнения
Пуассона с неоднородностью типа б-функции.
Теперь, получив общее представление о разложении функции
Грина в разделяющихся координатах, перейдем к систематическому
нахождению таких разложений из общих соотношений. Функция
Грина для задачи о потенциале удовлетворяет уравнению
V?G(x, x')= -4я6(х-х') C.116)
§ 8. Разложение функций Грина в сферических координатах 97
и граничным условиям G (х, х') = 0 при х или х', лежащих на гра-
граничной поверхности S. Для сферической граничной поверхности
будем искать разложение типа C.114). В соответствии с этим вос-
воспользуемся представлением б-функции в виде *)
б (х- х') ^-1-6(г-г'N(ф-ф') б (cosЭ-cosB').
Используя условие полноты C.56) для представления угловой
части б-функции, найдем
оо I
6(x-x')=-i-6(r-r'J ^ Нт(в',ф')^т(в,ф). C.117)
1=0 т=-1
Рассматривая функцию Грина как функцию от х, мы можем
представить ее в виде разложения
оо I
G(X, Х')=2 2 Alm(Q''<f')gl(r'r')Ylm(Q>4)- (ЗЛ18)
Z=0 m=-l'
Подставляя разложения C.117) и C.118) в уравнение C.116),
найдем
А?т(в/,ф/) = УГт(в/,ф/) C.119)
И
7~&1г&(г,г')]-ЩУ-&(г,г')=-%-6(г-г'). C.120)
Мы видим, что радиальные множители в функции Грина удовлетво-
удовлетворяют при г Ф г однородному уравнению C.7) для радиальных
функций. Поэтому мы можем написать
+ при г<г\
8i (г, г') = [ A'rl + B'r-«+v при r>rr.
Коэффициенты Л, 5, А\ В' являются функциями от г'\ они опре-
определяются граничными условиями, требованием, налагаемым соотно-
соотношением C.120) с б-функцией в правой части, и условием симметрии
функции gi (г, г') по г и г'. Пусть граничные поверхности представ-
представляют собой концентрические сферы- радиусами г = а и г = Ь.
Чтобы функция G (х, х') обращалась в нуль для точек х на этих
сферах, функция gi (г, г') должна быть равна нулю при г = а
х) Чтобы выразить б (х — х') = б (х{ — *{)б (х2 — ^2N (х3 — х'3) через
координаты (?4, g2» ?з)» связанные с (xif х2, х3) якобианом / (xif |^),
заметим, что физический смысл имеет величина б (х — x')d3x. Отсюда сле-
следует, что
-Ei)«Fа—
98
Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
и г — Ъ. Таким образом, gt (r, г') представляется в виде
при г< г',
gi(r, П =
при г>г'
C.121)
Из условия симметрии по г и г' следует, что коэффициенты А (г)
и В' (/) должны быть таковы, чтобы функцию gi (r, г') можно было
записать следующим образом:
80
A
C.122)
где г<иг> — соответственно меньшая и большая из величин гиг'.
Чтобы найти значение постоянной С, мы должны учесть б-функцию
г.
Фиг. 3.8. График радиальной функ-
функции Грина.
В точке г' наклон кривой претерпевает
скачок.
в C.120). Если обе части C.120) умножить на г и проинтегрировать
по интервалу от г = г' — е до г = г' + е, где е очень мало,
то получим
}+ ^(r, r')]}r,_E•= -?. C.123)
Таким образом, наклон кривой rgt (r, г) претерпевает скачок в точке
г = г (фиг. 3.8).
Если г = г1 + е, то г> = г, а г< = г . Следовательно,
Аналогично найдем
§ 9. Нахождение потенциала с помощью разложений 99
Подставляя эти производные в C.123), получаем
C.124)
Соотношения C.124), C.122), C.119) и C.118) позволяют записать
функцию Грина для сферического слоя, ограниченного поверхно^
стями г = а и г = Ь:
,3..*,
В двух частных случаях, когда а->0, Ъ ->-оо и когда Ъ ->-оо, мы
опять приходим к C.70) или C.114). Чтобы найти функцию Грина
для «внутренней» задачи для сферы радиусом 6, достаточно поло-
положить а = 0 в C.125). Для простой сферы разложение функции
Грина проще всего получить, исходя из решения, полученного мето-
методом изображений. Однако общую формулу C.125) для сферического
слоя довольно трудно получить методом изображений, так как
в этом случае требуется бесконечная совокупность зарядов-изо-
зарядов-изображений.
§ 9. Нахождение потенциала
с помощью разложений для сферических
функций Грина
Общее решение уравнения Пуассона при заданных значениях
потенциала на границе области (см. гл. 1, § 10) представляется
в виде
Ф(х)= Jq(x')G(x, x')d*x'-~§G){x')^daf. C.126)
V S
Рассмотрим для примера потенциал внутри сферы радиусом Ъ.
Прежде всего мы установим эквивалейтность поверхностного инте+
грала в C.126) с выражением, полученным приведенным ранее
методом в § 4 [см. C.61) и C.58)]. Положив а = 0 в C.125), найДеМ
нормальную производную при г' = Ъ
dG dG
дп' ~~ дг1
I, ТО
,=b--F 2 (т) ^(в',ф')Ггго@,Ф). C.127)
100 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
Отсюда следует, что решение уравнения Лапласа внутри сферы
радиусом г = 6, на поверхности которой потенциал Ф = V @', ср'),
представляется, согласно C.126), в виде
I, m
', q/)dQ'] (^-)VZm(9, Ф). C.128)
Это решение фактически представляет собой разложение C.61)
с учетом C.58') для рассматриваемого случая.
Существует еще третья форма представления решения для
сферы, так называемый интеграл Пуассона B.25). Эквивалентность
Фиг. 3.9. Заряженное кольцо радиу-
радиусом а с зарядом Q внутри заземленной
проводящей сферы радиусом Ь.
этого решения и решения, получаемого при использовании разло-
разложения функции Грина, следует из того, что оба эти решения выте-
вытекают из общего соотношения C.126) с функцией Грина, найденной
методом изображений. Прямое доказательство эквивалентности
решений B.25) и C.61) предоставляется провести читателю.
Обратимся теперь к задаче о потенциале заряда, распределен-
распределенного по объему, т. е. к рассмотрению объемного интеграла в (ЗД26).
Достаточно рассмотреть случай нулевого потенциала на граничной
поверхности. Общий случай может быть получен линейной супер-
суперпозицией решения уравнения Лапласа с этим частным решением.
В качестве первого примера рассмотрим поле заряженного кольца
радиусом а с полным зарядом Q, окруженного концентричной ему
полой заземленной сферой радиусом Ь. Пусть заряженное кольцо
расположено в плоскости ху, как показано на фиг. 3.9. Плотность
заряда кольца можно записать с помощью 6-функций от угла
и радиуса:
^. <ЗЛ29>
Вследствие азимутальной симметрии в объемном интеграле от
функции Грина C.125) останутся лишь члены с т = 0. Полагая
§ 9. Нахождение потенциала с помощью разложений
101
a = 0 в C.125) и учитывая C.57), найдем
ф(х)=Л q(x')G(x, x')dsx' =
1=0
r
Pt (cos Q), C.130)
где r< и r> — соответственно меньшая и большая из величин
г и а. Учитывая, что Ргп+i @) = 0 и
d /т„(-1ГBп-1)!!
придем к разложению
п=0
>
. C.131)
Легко видеть, что при Ь -^оо выражение C.130) или C.131) пере-
переходит в потенциал C.48) кольца в свободном пространстве. Эти вы-
выражения можно было бы получить из C.48) с помощью метода
изображений.
В качестве второго примера рассмотрим полую проводящую
сферу, по диаметру которой равномерно распределен заряд Q
Фиг. 3.10. Однородно заряженная
нить длиной 26 с полным зарядом
Q внутри заземленной проводящей
сферы радиусом Ь.
Заряженная нить расположена вдоль оси z.
Плотность заряда равна Q/2b
(фиг. 3.10). Пусть ось z совпадает с заряженной нитью. Распреде-
Распределение заряда запишется с помощью б-функций следующим образом:
Две б-функции от cos 0 соответствуют двум половинам заряженной
нити — верхней (над плоскостью ху) и нижней. Множитель 2яг2
в знаменателе обеспечивает постоянную линейную плотность Q/26.
102 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
Подставляя это распределение плотности заряда в C.126), получаем
оо Ъ i
z=o о
C.133)
Беря интеграл отдельно по интервалам 0<г'<г и г<г'<6,
получаем
<3'134>
При I = 0 это выражение становится неопределенным. Раскрывая
его по правилу Лопиталя, получаем для / = 0
В справедливости этого соотношения можно убедиться и непосред-
непосредственным интегрированием соотношения C.133) при / = 0. Учиты-
Учитывая, что Pi (— 1)= (— 1)', мы можем представить потенциал C.133)
ъ виде
Щ^СТ]} <ЗЛ36>
Член In (b /г) показывает, что при / = 0 потенциал обращается в бес-
бесконечность на оси z. Это видно и из того, что ряд C.136) также
расходится при cos 0 = ± 1, за исключением крайних точек
г - Ъ.
Поверхностную плотность заряда на заземленной сфере легко
найти из C.136) дифференцированием:
w [> + i Шр*^1 ¦ <3-137>
Первое слагаемое определяет полный заряд на сфере, равный —Q,
поскольку интеграл от остальных слагаемых по поверхности сферы
равен нулю.
§ 10. Разложение функций Грина
в цилиндрических координатах
Другим полезным примером разложения функции Грина являет-
является представление потенциала единичного точечного заряда в цилин-
цилиндрических координатах. Сначала рассуждения будут проводиться
§ 10. Разложение функций Грина в цилиндрических координатах 103
в достаточно общем виде, чтобы можно было применить полученные
соотношения для нахождения функций Грина в различных зада-
задачах с цилиндрической граничной поверхностью. Начнем с уравне-
уравнения для функции Грина
VxG(x, х') = —б (q — q') б (ф —ф') 6(z —z'). C.138)
Здесь б-функция выражена в цилиндрической системе координат.
Дельта-функции от ф и z можно выразить через систему ортонор-
мированных функций:
оо
z') = — \ d&cos [k(z~zr)\,
° C.139)
m=—oo
Разложим аналогичным образом и функцию Грина
оо оо
G(x, x') = ^s ^ Jd*e*'»(«p-i'')cos[*(z-z')]gn,(Q,Q'). C.140)
m=—oo 0
Подставляя эти разложения в C.138), получаем уравнение для
радиальной функции Грина gm (q, q'):
При q Ф q' это уравнение совпадает с уравнением C.98) для моди-
модифицированных функций Бесселя Im(ko) и Km(kQ). Пусть
^i(/?q)— некоторая линейная комбинация функций 1т и Кт,
удовлетворяющая требуемым граничным условиям при q <Z q\
a i|J(&q)—другая, линейно независимая комбинация, удовлетво-
удовлетворяющая требуемым граничным условиям при q>q'. Из условия
симметрии функции Грина относительно q и q' следует, что
gm (Q> q') — ^i (^Q<) "Фг (^Q>)« C.142)
Нормировка произведения г^1гр2 определяется скачком производ-
производной в точке q = q', обусловленным б-функцией в C.141):
4л
C.143)
Здесь индексы ± соответствуют q = q' ± e. Из C.142) следует,
что
C.144)
104 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
где штрихи обозначают дифференцирование по аргументу, а
W [г|)ь г|J] — определитель Вронского (вронскиан) функций
г^! и ty2- Уравнение C.141) принадлежит к уравнениям Штур-
Штурма — Лиувилля
(*)-жг+?(*H = °- C.145)
Как известно, вронскиан двух линейно независимых решений
этого уравнения пропорционален \1р(х). Таким образом, усло-
условие C.143) выполняется для всех значений q', если оно выполнено
для какого-либо одного значения. Очевидно, мы должны нормиро-
нормировать функции г^± и г|^2 так, чтобы вронскиан был равен
№[%(*)> Ы*)]= -~- C.146)
Если в задаче нет граничных поверхностей, то необходимо потре-
потребовать, чтобы функция gm (q, q') была конечна при q = 0 и стреми-
стремилась к нулю при q-^oo. Это значит, что ^ (&q) = AIm (&q),
а ^2 {Щ = Km(kQ). Постоянная А должна определяться из усло-
условия C.146) для вронскиана. Поскольку вронскиан пропорционален
1 /х для всех х, не играет роли, при каком значении х мы его будем
вычислять. Пользуясь предельными выражениями C.102) и C.103)
для малых х или же выражениями C.104) для больших х, найдем, что
W[Im(x), tfm(*)] = —7' (ЗЛ47)
так что А = 4л. Таким образом, разложение для 1/| х — х \
имеет вид
т=—со 0
C.148)
или, пользуясь только действительными функциями,
со
|х_^хЧ = ^l dk cos [k (z-z')} {1 /0 (kQ<) Ko (kQ>) +
0
} C.149)
m=l
Это разложение позволяет получить целый ряд полезных матема-
математических соотношений. Если положить х' = 0, то останется
§ 11. Разложение функий Грина по собственным функциям 105
лишь член с т = 0 и мы придем к интегральному соотношению
оо
X-^j- = — \ coskzK0(kQ)dk. C.150)
Если в C.150) заменить q2 на #2 = q2 + е'2 — 2 qq'cos (ф — ф'),
то слева будет стоять обратное расстояние | х — х' I для г' = 0;.
оно должно равняться правой части C.149) при z — 0. Приравни-
Приравнивая правые части соотношений C.149) и C.150) и учитывая, что равен-
равенство должно выполняться для всех значений z, получаем тождество
Ко [k
m=l
C.151)
Из последнего соотношения можно, переходя к пределу k -+0r
получить разложение двумерной функции Грина в полярных коор-
координатах
1
ycos((p — ф')
оо
-Ф')]. C.152)
In
К этому представлению двумерной функции Грина можно прийти
и непосредственно из уравнения Пуассона, применяя тот же метод,
которым было получено уравнение C.148).
§ 11. Разложение функций Грина
по собственным функциям
Для функций Грина применяются также разложения другого
типа — по собственным функциям соответствующей задачи. Такой
подход тесно связан с методами, изложенными в § 8 и 10.
Чтобы определить, что мы понимаем под собственными функция-
функциями, рассмотрим' эллиптическое дифференциальное уравнение вида
(x) = 0. C.153)
Если потребовать, чтобы решение г|> (х) удовлетворяло некоторым
граничным условиям на поверхности S интересующего нас объе-
объема V, то уравнение C.153) будет, вообще говоря, иметь регулярные
(т. е. конечные и непрерывные) решения лишь при некоторых опре-
определенных значениях К. Эти значения X, обозначаемые через Jin>
106 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
называются собственными, или характеристическими, значениями
задачи, а соответствующие им решения г|)п (х) называются соб-
собственными функциями *).
Дифференциальное уравнение для собственных функций
имеет вид
V2^ (х) + [f (x) + Хп] цп (х) = 0. C 154)
Тем же методом, как и при доказательстве ортогональности
функций Лежандра или Бесселя, можно показать, что собственные
функции ортогональны:
4(х)Ых№ = 6„т C.155)
(предполагается, что собственные функции нормированы). Спектр
собственных значений Хп может быть дискретным или непрерывным
или же содержать как дискретную, так и непрерывную части.
Мы будем предполагать, что совокупность всех собственных функций
образует полную систему функций.
Найдем теперь функцию Грина для уравнения
VSG(x, x') + [f(x) + X)G(x, х')=-4я6(х-х'), C.156)
где X, вообще говоря, не совпадает с собственным значением Хп
уравнения C.154). Предположим, что функция Грина должна
удовлетворять тем же граничным условиям, что и собственные
функции уравнения C.154). Тогда функцию Грина можно пред-
представить в виде ряда по собственным функциям:
G(x, х') = 2Мх')Ых). C.157)
п
Подстановка этого ряда в дифференциальное уравнение для функ-
функции Грина дает
^ат(х')(Х-Хт)урт(х)=-4кЬ(х-х'). C.158)
т
Если умножить обе части равенства на ipJJ (x) и проинтегрировать
по объему V, то благодаря условию ортогональности C.155) левая
часть сведется к одному члену и мы получим
а„(х') = 4я-|^. C.159)
х) Читатель, знакомый с квантовой механикой, несомненно, узнает
в уравнении C.153) уравнение Шредингера для частицы в потенциальном
поле.
§ 11. Разложение функций Грина по собственным функциям 107
Таким образом, разложение функции Грина имеет вид
G(x, х')=4я У —4 > • C.160)
п
Для непрерывного спектра сумма заменяется интегралом.
Переходя теперь к частному случаю уравнения Пуассона, поло-
положим / (х) = 0 и 1 = 0 в C.156). В качестве первого, по существу
тривиального, примера примем, что C.154) представляет собой
волновое уравнение в неограниченном пространстве:
2)Mx)=--Q C.161)
с непрерывным спектром собственных значений k2 и с собствен-
собственными функциями вида
^-*. C.162)
\bk(x) ^7<?.
Эти собственные функции нормированы к б-функции
\ фк- (х) г|)к (х) d3x = 6 (к - к'). C.163)
Согласно C.160), функция Грина для бесконечного пространства
представляется в виде
Мы получили просто представление функции 1/|х — х'| в виде
трехмерного интеграла Фурье.
В качестве второго примера рассмотрим функцию Грина для
внутренней задачи Дирихле для прямоугольного параллелепипеда,
ограниченного плоскостями х = у = z = 0, д; = а, у — b, z = с.
Разложение мы будем производить по собственным функциям
волнового уравнения
n)i|w(*, У, г) = 0. C.165)
Собственные функции, обращающиеся в нуль на всех границах
области, имеют вид
4(^)()() C.166)
-а собственные значения равны
108 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
Согласно C.160), функция Грина представляется разложением
nabc
00 Ых Ых' тпу тпу' nnz nnz'
^ sin Т Sin ~~а~ Sin ~6~ sin ~b~ sin ~c~ sin ~T
C.167)
Чтобы связать разложение C.167) с полученными ранее в § 8
и 10, т. е. с разложением C.125) для сферических координат и раз-
разложением C.148) для цилиндрических координат, напишем анало-
аналогичное разложение для прямоугольного параллелепипеда. Если
повторить рассуждения § 8 и 10, рассматривая координаты х и у
подобно координатам @, ф) или (ф, г) и выделяя особо коорди-
координату z, то придем к функции Грина:
оо
X
I, т— 1
Х Klmsh(Klmc) ' (ЗЛ68)
где
Чтобы выражения C.167) и C.168) совпадали, сумма по п в C.167)
должна представлять собой разложение в ряд Фурье на интервале
@, с) одномерной функции Грина от z, входящей в C.168), т. е.
должно выполняться соотношение
га . / nnz' \
sh(/C/mz<)sh(/C/m(c—z>)] _ 2 ^smV с у . Г nnz \ C 169)
С
Предоставляем читателю в качестве упражнения провести доказа-
доказательство справедливости этого фурье-разложения.
Дальнейшие примеры применения описанного метода приведены
в задачах к настоящей главе.
§ 12. Смешанные граничные условия.
Заряженный проводящий диск
Рассмотренные до сих пор задачи принадлежали к обычному
виду: на всей граничной поверхности выполняются однотипные
граничные условия (обычно условие Дирихле). Однако при дока-
§ 12. Смешанные граничные условия
109
зательстве теоремы единственности решения уравнений Лапласа
и Пуассона (см. гл. 1, § 9) было показано, что и при смешанных
граничных условиях, когда на одной части поверхности задан
потенциал, а на другой —его нормальная производная, решение
также является вполне определенным и единственным. Обычно
в учебниках по электростатике, упомянув о возможности смешан-
смешанных граничных задач при доказательстве теоремы единствен-
единственности, больше к ним не возвращаются. Это объясняется тем, что,
Фиг. 3.11.
как мы увидим ниже, задачи со смешанными граничными усло-
условиями значительно труднее задач с граничными условиями обычного
типа.
Чтобы продемонстрировать трудности решения задач со сме-
смешанными граничными условиями, рассмотрим простую на первый
взгляд задачу об изолированном бесконечно тонком плоском круг-
круглом проводящем диске радиусом а с полным зарядом q на нем
(фиг. 3.11). Заряд распределяется по диску так, чтобы его поверх-
поверхность стала эквипотенциальной. Необходимо найти потенциал
во всем пространстве и распределение заряда на диске.
Из геометрии задачи следует, что потенциал должен быть сим-
симметричен относительно оси диска и относительно плоскости, в кото-
которой расположен диск. Выберем цилиндрическую систему координат
с осью z по оси диска и с началом координат в центре диска. Тогда
потенциал, согласно C.110), представится в виде
C.170)
Неизвестная функция f (k) должна быть определена из граничных
условий при z = 0. Если бы потенциал был известен на всей пло-
НО Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
скости г = 0, то функцию / (k) можно было бы найти просто обрат-
обратным преобразованием Ханкеля, как при переходе от C.110) к C.113).
К сожалению, граничные условия при z = 0 носят более сложный
характер. Известно, что при 0<Q<a потенциал Ф постоянен
и равен неизвестной константе: Ф= V= q/C, где С — емкость
диска. Значение потенциала при а < q < оо неизвестно. Но из сим-
симметрии задачи ясно, что нормальная производная потенциала
здесь равна нулю. Таким образом, граничные условия носят сме-
смешанный характер:
O(q, 0) — V при 0<Q<a,
C.171)
-g^- (q, 0) = 0 при а < q < оо.
Потенциал диска V связан с полным зарядом q. Эту связь
можно установить, рассматривая поведение потенциала на больших
расстояниях (q или z > а), где значения потенциала должны быть
близки к q/(Q2 + z2)x/2. Из сопоставления представления C.170)
и тождества, приведенного в задаче 3.12, п. «в», следует, что это сво-
сводится к требованию
\imf(k) = q. C.172)
fc->0
Применяя граничные условия C.171) к решению, записанному
в виде C.170), получаем два интегральных уравнения первого
рода
dkf(k)J0(kQ) = V при 0<Q<a,
C.173)
ОО
[ dk kf (k) Jo (kQ) = 0 при а < q < oo.
0
Такая система двух интегральных уравнений, одно из которых
справедливо на одной части области изменения независимой пере-
переменной, а второе — на другой, называется системой парных инте-
интегральных уравнений. Общая теория парных интегральных уравне-
уравнений весьма сложна и недостаточно еще развита. Но задача о заря-
заряженном диске в различных вариантах уже давно привлекает к себе
внимание. Впервые решил эту задачу Вебер в 1873 г. с помощью
некоторых разрывных интегралов, содержащих функции Бесселя.
Титчмарш [110] для решения несколько более общей системы
парных интегральных уравнений применяет преобразование Мел-
лина. Копсон [30] свел задачу о заряженном диске к интегральному
§ 12. Смешанные граничные условия 111
уравнению абелевского типа для распределения поверхностной
плотности заряда. Трантер [112] рассматривает несколько более
общие уравнения, чем C.173). Он вводит систематический метод
определения наиболее общей формы решения одного из уравнений
пары (однородного) и наложения на него дополнительных условий
подстановкой во второе уравнение. Можно также пользоваться
методикой Винера — Хопфа.
Для наших целей достаточно заметить, что система парных
уравнений
dyg(y)Jn(yx) = xn при
C.174)
n(yx) = O при 1<х<оо
имеет решение
). C-175)
Здесь /п (у) — сферическая функция Бесселя порядка п (см. гл. 16Г
§ 1). Для системы уравнений C.173) следует положить х = q/cl,
у = ka и п = 0. Таким образом, мы приходим к решению
i A^ C.176)
Учитывая соотношение C.172), устанавливающее связь потенциала
V с зарядом д, получаем
2а'
Отсюда следует, что емкость диска радиусом а равна
Это значение емкости было экспериментально с большой степенью
точности установлено Кэвендишем (около 1780 г.) путем сравнения
заряда на диске и на сфере при одинаковом потенциале.
Потенциал в произвольной точке пространства находится по
C.170) и C.176):
со
\^ C.177)
112 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
Легко вычислить значения потенциала на оси диска и в плоскости
диска, положив соответственно q = 0 и z = 0 в C.177):
{ — arcsin — при Q>a,
) = < I n '
{ -j-^ при 0<Q<a.
Для произвольных q и z интеграл может быть преобразован
к виду
<D(q, z) = qarcs\n\ , - 2а г А C.178)
(веберовская форма решения).
Поверхностная плотность распределения заряда на диске опре-
определяется соотношением
оо
Это известный разрывный интеграл, тождественно равный нулю
при q > а. При q < а плотность заряда равна
! C.179)
2Q2 v '
a(Q) =
Интегрируемая особенность в a (q) при q -^a обусловлена пред-
предположением о бесконечно малой толщине диска. Практически
заряды вследствие взаимного расталкивания около периферии
диска действительно распределяются примерно в соответствии
с C.179), но у самого края диска устанавливается конечное, хотя
и большое, значение плотности, зависящее от конкретных особен-
особенностей данного диска.
Мы рассмотрели задачу о распределении заряда на диске
в цилиндрических координатах, чтобы проиллюстрировать слож-
сложность задач со смешанными граничными условиями. В данном
частном случае можно избежать смешанных граничных условий,
производя разделение переменных в уравнении Лапласа в эллип-
эллиптических координатах. Диск можно при этом рассматривать как
предельную форму сплюснутого эллипсоида вращения (см., напри-
например, книги Смайта [100] или Джинса [55]).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Математические методы и специальные функции, применяемые при
нахождении потенциала в сферической, цилиндрической, сфероидальной
и других системах координат, рассмотрены в книге Морса и Фешбаха [77],
Задачи \\ з
гл. 10. Более элементарное рассмотрение с хорошо подобранными примера-
примерами и задачами можно найти в книге Хильдебранда [51], гл. 4, 5 и 8. Несколь-
Несколько старомодным руководством по теории и применению полиномов Лежанд-
ра и сферических гармоник является монография Байерли [25], изобилующая
примерами и задачами.
Чисто математическое описание свойств сферических функций читатель
найдет в весьма полезном однотомном справочнике Магнуса и Оберхеттинге-
ра [70]. Более детальное описание математических свойств этих функций
дано в книге Ватсона [114] (функции Бесселя), а также в книге [9]
(различные специальные функции).
Решение электростатических задач в цилиндрической, сферической
и других системах координат подробно описано в книгах Дюрана [37],
гл. 11, Джинса [55], гл. 8, Смайта [100], гл. 5, и Стрэттона [106], гл. 3.
Дополнение редактора. Описание свойств цилиндрических и сфериче-
сферических функций можно найти также в монографиях Лебедева [129], Грея
и Мэтьюза [126], Гобсона [125] и Гринберга [127] и в общих руководствах
по методам математической физики [128, 131]. Применение аппарата спе-
специальных функций и метода разделения переменных имеется в книге Грин-
Гринберга [127] и в работах [128, 131].
ЗАДАЧИ
3.1. Поверхность полой проводящей сферы с внутренним радиусом а
разделена на четное число равных сегментов совокупностью плоскостей,
проходящих через ось z и равноотстоящих по углу ф. (Сегменты подобны
кожуре на дольках яблока или земной поверхности между двумя меридиа-
меридианами.) Любые два соседних сегмента имеют равный по величине, но проти-
противоположный по знаку потенциал -j- V.
а) Найти представление потенциала внутри сферы в виде ряда в общем
случае 2п сегментов; определить, какие из коэффициентов ряда отличны
от нуля. Для отличных от нуля членов выразить коэффициенты через интег-
интегралы по переменной cos 6.
б) Для частного случая п = 1 (две полусферы) найти потенциал вплоть
до членов с / = 3 (включительно). Преобразованием координат убедиться,
что полученное выражение сводится к C.37) (см. § 3).
3.2. Две концентрические сферы, имеющие радиусы а и Ъ (b > a)t раз-
разделены на полусферы одной и той же горизонтальной плоскостью. Верхняя
внутренняя и нижняя наружная полусферы находятся под потенциалом V.
Две другие полусферы находятся под нулевым потенциалом.
Выразить потенциал в области a^r^b в виде ряда по полиномам
Лежандра, учитывая члены до / = 4. Проверить правильность решения,
переходя к предельным случаям Ь -> оо и а -> 0.
3.3. Заряд равномерно распределен с плотностью Q/Ала2 по всей поверх-
поверхности сферы радиусом а, за исключением сегмента у полюса, ограниченного
конусом 8 = ос.
а) Показать, что потенциал внутри сферической поверхности может
быть представлен в виде
оо
Ф = " 2 27+7 [Pl+i (cos а)"P'-i (cos а>1 ~W+T pi (cos 8),
1=0
где Pi-i (cos а) = — 1 при / = 0. Каков потенциал снаружи?
б) Найти величину и направление электрического поля в центре сферы.
114 Гл. 3. Граничные задачи электростатики, II
в) Рассмотреть предельные значения потенциала и электрического поля
в центре сферы в случаях, когда незаряженный и заряженный участки очень
малы.
3.4. Тонкий плоский проводящий круглый диск радиусом R расположен
в плоскости ху так, что его центр совпадает с началом координат, и нахо
дится под потенциалом V. Зная, что плотность заряда на диске с фиксирован-
фиксированным потенциалом пропорциональна (R2— Q2) 1/^2, где q — расстояние or
центра диска,
а) показать, что при г > R потенциал равен
1=0
б) найти потенциал для г<Я-
3.5. На внутренней поверхности полой сферы радиусом а задано рас-
распределение потенциала Ф = V F, ф). Доказать эквивалентность следующих
двух представлений для потенциала внутри сферы:
1/F', ф')
— 2ar cosyK72
dQ',
где cos у — cos 6 cos 6' + sin 6 sin 6' соБ^ф — ф'), и
1=0 т=-1
где Alm= J dQ'Y*m F', q>') V F', ф').
3.6. Ось полого прямого кругового цилиндра радиусом b совпадает
с осью 2, а его торцы — с плоскостями z = 0 и z = L. На торцовых поверх-
поверхностях потенциал равен нулю, а на цилиндрической поверхности равен
V (ф, z). С помощью метода разделения переменных найти (в виде ряда)
потенциал в произвольной точке внутри цилиндра,
3.7. Пусть в цилиндре, рассмотренном в задаче 3.6, цилиндрическая по-
поверхность состоит из двух равных полуцилиндров, находящихся под.
потенциалами V и — V, так что
п п
V при — -2"<Ф<-2Г,
__1/ при "<Ф<~-
а) Найти потенциал внутри цилиндра.
б) Предполагая L ^> 6, рассмотреть потенциал в плоскости z = L/2
как функцию q и ф. Сравнить его с решением двумерной задачи 2.8.
3.8. Показать, что произвольная функция ft (x) может быть представлена
на интервале 0 < х ^ а модифицированным рядом Фурье — Бесселя
71=1
Задачи 115
гДе tJvn есть л~й корень уравнения djv (x)/dx = О, а коэффициенты Лл равны
а
п = а*A-ч*/у*п)ЩУт) \
3.9. В бесконечном тонком плоском проводящем листе имеется отвер-
отверстие радиусом а. Тонкий плоский проводящий диск чуть меньшего радиуса
расположен в этой же плоскости, почти закрывая отверстие; он отделен,
от остальной плоскости очень тонким изолирующим кольцом. Диск нахо-
находится под потенциалом V, а бесконечный лист— под нулевым потенциалом.
а) Применяя соответствующую систему координат, найти интегральное
представление через функции Бесселя для потенциала в произвольной
точке над плоскостью.
б) Показать, что потенциал на оси диска на расстоянии z от него равен
Ф0(г)=1/^1-
в) Показать, что потенциал на расстоянии z от плоскости диска над
его краем равен
V
где k = 2a/(z2Jr 4а2I^2, а К (k), E (k) — полные эллиптические интегралы
первого и второго родов.
3.10. Решить задачу 3.2 с помощью надлежащей функции Грина, при-
приведенной в тексте, и показать, что полученное решение совпадает с найденным
путем непосредственного решения дифференциального уравнения.
3.11. На отрезке прямой, имеющем длину 2d, распределен заряд Q,
причем линейная плотность пропорциональна d2— z2, где z— расстояние
от середины отрезка. Этот отрезок окружен сферической оболочкой с внут-
внутренним радиусом Ъ (b > d) с центром в середине отрезка.
а) Найти потенциал всюду внутри сферы в виде разложения по поли-
полиномам Лежандра.
б) Рассчитать поверхностную плотность заряда, индуцированного
на сфере.
в) Рассмотреть потенциал и поверхностную плотность в предельном
случае d < Ъ.
3.12. а) Показать справедливость соотношения
б) Доказать, что
со оо
.х_?х,, = 2
т=—со 0
116 Гл. 3. Граничные задачи электростатики. II
в) С помощью надлежащего предельного перехода доказать справедли-
справедливость следующих разложений:
= 2j imelm<pJm(kQ).
m=—co
г) Из последних формул вывести интегральное представление для функ-
функции Бесселя:
2л
: COS ф—гтф
О
Сравнить его с обычным интегральным представлением.
3.13. Единичный точечный заряд расположен в точке (q/, ф', z) внутри
заземленного полого цилиндра, ограниченного поверхностями z = О, z = L,
Q = а. Показать, что потенциал внутри цилиндра можно представить любым
из следующих выражений:
оо оо .
ф х>\ — — V У е Jm(XmnQ/a) Jm(XmnQ' /а) '
а +шД л-± xmnJrn_,^^xinn)sh(xtnnL/a)
m=— оо n=l
4 V ЧЧ imtm-m-, ._fnm\ . /пяг'Л lm(nnQ</L)
\ X
ТП=—ОО 77 = 1
^),.(=?*)].
ОО ОО ОО . f К',
m=-oo k=i n=\ [(^
Проанализировать связь последнего разложения (с тройной суммой) с пер-
первыми двумя.
Задачи 117
3.14. Пусть все границы цилиндра, определенного в предыдущей задаче,
находятся под нулевым потенциалом, за исключением находящегося под по-
потенциалом V диска радиусом q = b на верхнем торце.
а) С помощью различных представлений функции Грина, полученных
в предыдущей задаче, найти три представления потенциала внутри ци-
цилиндра.
б) Для каждого ряда определить численно отношение потенциала в точ-
точке q = О, z = L/2 к потенциалу диска, считая Ь = L/4 — а/2. Попытай-
Попытайтесь получить по крайней мере две верные значащие цифры. Одинаково
ли быстро сходятся все три ряда? Почему? (Таблицы функций Jo, Jit /0, /ь
B/я)/С0 и B/jt)/Ci приведены в книге Янке и Эмде [54]. Различные табли-
таблицы цилиндрических функций имеются также в книге Ватсона [114].)
Глава 4
МУЛЬТИПОЛИ.
МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКА
МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕД.
ДИЭЛЕКТРИКИ
В этой главе основное внимание уделяется рассмотрению потен-
потенциала, обусловленного ограниченным распределением заряда,
и дается его представление в виде разложения по мультиполям.
В основном разложение проводится по сферическим гармоникам,
но для нескольких первых мультиполей обсуждается их предста-
представление и в декартовых координатах. Затем вычисляется энергия
мультиполя во внешнем электрическом поле. Путем рассмотрения
поведения атомов в приложенном внешнем поле в сочетании с под-
подходящей процедурой усреднения выводятся макроскопические
уравнения электростатики. Затем описываются свойства диэлект-
диэлектриков, устанавливаются граничные условия для них и решаются
некоторые типичные краевые задачи при наличии диэлектриков.
На простых классических моделях иллюстрируются основные свой-
свойства диэлектриков: поляризуемость и диэлектрическая восприим-
восприимчивость. В заключение рассматривается вопрос об электростатиче-
электростатической энергии при наличии диэлектриков.
§ 1. Разложение по мультиполям
Ограниченное распределение заряда описывается плотностью
заряда q (х'), отличной от нуля лишь внутри сферы радиусом R
с центром в начале отсчета *).
Потенциал вне сферы можно представить в виде разложения
по сферическим гармоникам:
х) Введение сферы радиусом R—произвольная вспомогательная операция,
позволяющая разделить пространство на две области: с зарядами и без них.
§ 1. Разложение по мулътиполям 119
где вид постоянных коэффициентов выбран из соображения удоб-
удобства при дальнейшем рассмотрении. Выражение D.1) называют
обычно разложением по мультиполям; член, соответствующий
/ = 0, называется монополем, член с / — 1 — дипольным момен-
моментом и т. д. Смысл этих терминов станет ясным из дальнейшего..
Задача состоит в том, чтобы выразить постоянные qim через функ-
функцию распределения плотности заряда q (x'). Искомое решение
легко получается с помощью интегрального представления A.17)
для потенциала
и разложения C.70) для 1/| х — х' |. Так как в данном случае
нас интересует потенциал вне области, занятой распределением
заряда, то следует положить г<=г' иг> = г. При этом получаем
ф 00 = 4*2 -2/тт [$ гг™<9'' q>V'Q(x')dv] Yj^r1- D-2)
I, m
Таким образом, коэффициенты в D.1) оказываются равными
Пп(в', <p')r'lQ(x')(Px'. D.3)
Эти коэффициенты называют мультипольными моментами. Для
их физического истолкования выпишем в явном виде выражения
нескольких первых моментов в декартовых координатах:
D-4)
у 4я
D>5)
Ц \ (x'-iy'JQ(*')dsx' = ±
z'(x'-iy')Q(x')dsx' = -± |/^-(Qls-«Q23), D.6)
Здесь выписаны моменты лишь для m>0, так как согласно
<3.54) при действительной плотности заряда моменты с т < 0
можно найти из соотношений
<7z,-m = (-l)m</*m. D.7)
120 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
В выражениях D.4)—D.6) скаляр q определяет полный заряд,
или момент нулевого порядка (монополь), вектор р есть электри-
электрический дипольный момент:
р= J x'Q(x')ds*\ D.8)
Qu— составляющие тензора квадрупольного момента:
)с1*х'. D.9)
Мы видим, что /-е мультипольные коэффициенты (число кото-
которых равно 2/ + 1) представляются линейной комбинацией декар-
декартовых составляющих соответствующих мультиполей. Предоста-
Предоставляем читателю в качестве упражнения провести вывод разложе-
разложения для потенциала Ф (х) в декартовых координатах:
o(X)=-i+J^+i-2Q«iSn+ ¦ • • • <4Л0>
г, j
которое можно получить непосредственно, из разложения
1/| х — х' | в ряд Тейлора. Получение членов разложения D.10)
выше квадрупольного оказывается гораздо более сложной задачей.
Составляющие вектора напряженности электрического поля,
обусловленного данным мультиполем, легче всего выразить в сфе-
сферических координатах. Взятый со знаком минус градиент члена
суммы D.1), соответствующего фиксированным / и /л, имеет
следующие составляющие в сферической системе координат:
2/ + 1 qim г
~2ггт9/™7ткжг^(е' ф)' DЛ1)
Функции dYim/dQ и FZm/sin0 можно представить как линейные
комбинации других функций FZm, однако соответствующие выра-
выражения не обладают достаточной наглядностью, и поэтому мы их
не будем приводить. Векторное мультипольное поле лучше всего
представлять с помощью векторных сферических гармоник, как
это рассмотрено в гл. 16.
Для диполя р, ориентированного вдоль оси z, составляющие
поля D.11) принимают простой вид:
F __2PCOs0
!, D.12)
§ 2. Разложение по мультиполям энергии зарядов 121
Это поле можно записать в векторной форме, либо исходя из
выражений D.12), либо непосредственно вычисляя градиент от
дипольного члена разложения в D.10). Поле в точке х, обусловлен-
обусловленное диполем р, расположенным в точке х', оказывается равным
где n — единичный вектор, направленный из точки х' в точку х.
§ 2. Разложение по мультиполям
энергии распределения зарядов во внешнем поле
Если ограниченное распределение заряда с плотностью q (х)*
находится во внешнем поле с потенциалом Ф (х), то электростати-
электростатическая энергия системы равна
W= J д(х)Ф(х)й3х. D.14)
При медленном изменении потенциала Ф в области, где плот-
плотность q (х) отлична от нуля, его можно представить в виде разло-
разложения в ряд Тейлора в окрестности некоторого соответствующим,
образом выбранного начала отсчета:
г j
Воспользовавшись определением напряженности электриче-
электрического поля Е = — grad Ф, два последних члена можно переписать
в иной форме. При этом D.15) примет вид
= Ф@)-х-Е@)-1 ^ 2
1 ^ 2
г о
Так как div E = 0 для внешнего поля, то можно вычесть из послед-
последнего слагаемого величину
i-r'divE(O),
в результате чего получим разложение
ф(х) = ф@)-х-Е@)-^У}^(Зх^-гЧи)Щ@)+... . D.16)
г 3
Подставляя полученное разложение в D.14) и используя определе-
определения полного заряда, дипольного момента D.8) и квадрупольного
момента D.9), можно представить выражение для энергии в виде
{ |^.. • D.17)
122 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
Из этого разложения ясен характер взаимодействия различных
мультиполей с внешним полем: энергия заряда определяется
потенциалом, диполя — электрическим полем, квадруполя — гра-
градиентом поля и т. д.
В ядерной физике особый интерес представляет квадрупольное
взаимодействие. Атомные ядра могут обладать электрическим
квадрупольным моментом, причем величина и знак момента свя-
связаны с силами взаимодействия нейтронов и протонов и формой
самого ядра. Энергетические уровни, или состояния, ядер описы-
описываются квантовыми числами полного момента количества движе-
движения J, его составляющей М вдоль оси z и другими величинами,
которые мы обозначим общим индексом а. Данному состоянию ядра
соответствует квантовомеханическая плотность заряда *) QjMa (x)>
зависящая от квантовых чисел (J, М, а) и обладающая цилиндри-
цилиндрической симметрией относительно оси г. Таким образом, единствен-
единственным отличным от нуля квадрупольным моментом является #20
в D.6) или Q33 в D.9) 2). Квадрупольный момент ядерного состоя-
состояния определяется величиной A1ё) Q33 (е — заряд протона), вычи-
вычисленной для плотности заряда QJMa (х)-
d*X. D.18)
Величина QjMa имеет, следовательно, размерность квадрата длины.
Если не рассматривать каких-либо особых исключительных
случаев (например, ядра в атомах с полностью заполненными
электронными оболочками), то ядра оказываются подверженными
действию внутренних полей, градиент которых в окрестности ядра
отличен от нуля. Следовательно, согласно D.17), квадрупольное
взаимодействие дает вклад в энергию ядра. Состояния, характе-
характеризуемые различными значениями М при одинаковом /, имеют
разные квадрупольные моменты QJMa, и, следовательно, вырожде-
вырождение по М, если оно имело место, снимается из-за квадрупольной
связи с «внешним» электрическим полем (молекулярным или полем
кристаллической решетки). Обнаружение этих малых различий
в уровнях энергии, проводимое радиотехническими методами,
позволяет определить квадрупольные моменты ядер 3).
Энергию взаимодействия двух диполей pi и р2 можно опреде-
определить непосредственно из D.17), используя выражение для поля
х) Элементарное рассмотрение квантовых аспектов проблемы можно
найти в книге Блатта и Вайскопфа [13].
2) В действительности моменты Qn и Q22 отличны от нуля, но зависят
от Q33 и определяются соотношениями Qn = Q22 = — 1/2Сзз-
3) «Квадрупольным моментом ядра», обозначаемым Q, принято называть
величину Qjmoc в состоянии М = J\ см. Блатт и Вайскопф [13].
§ 3. Макроскопическая электростатика 123
диполя D.13). Взаимная потенциальная энергия оказывается
равной
W/ РГР2 —3(n'Pl) ("-Р2) (л iQv
Wl2= |Х± —Х2|8 ' DЛ9)
где п —единичный вектор в направлении (xt — х2). В зависимости
от взаимной ориентации диполей они могут притягиваться или
отталкиваться.
При заданных ориентации диполей и расстоянии между ними
величина энергии взаимодействия, усредненная по всем относи-
относительным положениям диполей, равна нулю. Если моменты парал-
параллельны друг другу и ориентированы примерно параллельно линии,
соединяющей их центры, то диполи притягиваются, если же они
ориентированы приблизительно перпендикулярно соединяющей их
линии, то диполи отталкиваются. Для антипараллельных моментов
имеет место обратное соотношение. По абсолютной величине
экстремальные значения потенциальной энергии равны между
собой.
§ 3. Макроскопическая электростатика.
Эффекты совокупного действия атомов
Все многообразие электростатических явлений можно описать
уравнениями
tot 8 = О, V ;
где «микроскопическое» электростатическое поле г обусловлено
полной «микроскопической» плотностью заряда q'. При небольшом
числе идеализированных точечных зарядов, расположенных вблизи
математически определенных граничных поверхностей, вполне
достаточно уравнений D.20). Однако в очень многих физических
задачах полностью невозможно задать распределения отдельных
индивидуальных зарядов. Любая задача о полях в присутствии
материальной среды относится к указанному классу. В макроско-
макроскопических объемах вещества содержится порядка Ю23±3 зарядов,
причем каждый из них в большей или меньшей степени подвижен
вследствие теплового возбуждения или нулевых колебаний.
Не касаясь пока вопроса о правомерности применения электро-
электростатики для описания явлений, в которых заряды находятся в непре-
непрерывном движении, обратимся к задаче исследования макроскопи-
макроскопических проблем, когда число атомов или молекул велико.
Очевидно, интегральное представление электрического поля в виде
о (х\ \ Х Х п' /у'\ ЛЪГ' (Л 014
124 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
мало пригодно, так как: а) оно содержит плотность распределения
зарядов q' (х'), для определения которой нужно знать точное поло-
положение огромного числа зарядов, и б) это выражение весьма сильно
флуктуирует при перемещении точки наблюдения даже на очень
малые расстояния (порядка размеров атома). Но, к счастью,
в макроскопической электростатике нам не нужна такая подробная
информация, которая содержится в D.21). Вполне достаточно
знать среднюю напряженность электрического поля по областям
с размерами порядка \0~6см3 (т. е. с линейными размерами порядка
\0~2см) или даже больше. Так как объем атома по порядку вели-
величины равен 104 см3, то в указанном макроскопическом объеме
содержится порядка 1018 или более атомов. Это означает, что микро-
микроскопические флуктуации полностью усерднятся. Таким образом,
следует иметь дело со средними значениями г (х) и q' (x). Усреднение
проводится по макроскопически малому объему AV, содержащему,
однако, очень много атомов или молекул:
j AJ D-22)
AV
Усреднение мы обозначаем ломаными скобками; переменная
| изменяется в пределах объема AV.
Применение усреднения позволяет ответить на вопрос о закон-
законности рассмотрения статического решения при наличии теплового
движения в материальной среде. В любой момент времени в объеме
AV находится очень большое число зарядов во всех возможных
состояниях движения. Усреднение по этим состояниям в рассма-
рассматриваемый момент даст такой же результат, как и усреднение
в какой-либо более поздний момент времени. Следовательно, по
отношению к усредненным величинам вполне законно говорить
о статических полях и зарядах х). Более того, при усреднении
можно считать распределение атомных зарядов фиксированным
в пространстве (т. е. не меняющимся во времени) и совпадающим
с реальным распределением в какой-то произвольный момент
времени. Поэтому при вычислениях можно рассматривать задачу
как электростатическую даже на микроскопическом уровне.
В макроскопической электростатике удобно разбить усреднен-
усредненную плотность заряда (q' (х)) на две части, одна из которых —
средний заряд атомных или молекулярных ионов, т. е. избыток
г) Такое рассмотрение не учитывает весьма малые (при комнатной тем-
температуре) поля индукции и поля излучения, обусловленные ускорением за-
зарядов при их тепловом движении.
§ 3. Макроскопическая электростатика 125
свободных зарядов, расположенных внутри или на поверхности
макроскопического тела, а вторая — наведенный, или связанный
заряд. В отсутствие внешних полей электрические моменты атомов
или молекул могут быть как равными, так и не равными нулю,
но даже если моменты отличны от нуля, они ориентированы совер-
совершенно хаотически. При наличии поля атомы поляризуются (или
мх постоянные моменты стремятся ориентироваться по полю)
Молекула
Фиг. 4.1. К расчету потенциала, создаваемого в точке наблюдения Р
с радиусом-вектором х молекулой с центром масс в точке xj.
Локальная координата х' отсчитывается от центра масс.
и появляется средний дипольный момент. Эти дипольные моменты
могут вносить вклад в усредненную плотность заряда (q' (x)).
Поскольку наводимые дипольные моменты обычно пропорцио-
пропорциональны приложенному полю, то, как мы увидим ниже, макроско-
макроскопический аналог уравнений D.20) должен содержать лишь одну
постоянную, характеризующую среднюю поляризуемость иссле-
исследуемой среды.
Чтобы понять, как появляется зависимость от наведенных
дипольных моментов, рассмотрим сначала микроскопическое поле
в точке наблюдения х, создаваемое одной молекулой с центром
масс в точке Xj (фиг. 4.1). Пусть плотность заряда молекулы равна
q) (х'), где х' отсчитывается от центра масс молекулы. Следует
заметить, что q} в общем случае зависит от положения молекулы Ху,
так как искажение распределения заряда в молекуле определяется
локальным полем. Микроскопическое электрическое поле моле-
молекулы с номером / имеет вид
8>(x)=—grad ^ Qj(x') 1х__х._х,^3х'. D23)
МОЛ
Для точек наблюдения, лежащих вне молекулы, можно исполь-
использовать разложение по мультиполям в окрестности центра масс
126 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
молекулы. При этом, согласно D.10), получим
?Hx)=-grad[T^^+grad,-(T^7r).p,+ ...] , D.24>
где
D.25>
Pj= ) '(')d3'
— соответственно полный заряд и дипольный момент молекулы.
В разложении D.10) можно было бы удержать и квадрупольный
момент, но так как макроскопические изменения поля происходят
на расстояниях, больших по сравнению с молекулярными разме-
размерами, относительный вклад этого момента в среднее поле пренебре-
пренебрежимо мал по сравнению с дипольным членом. Величины ej и р/-
являются функциями положения молекулы.
Микроскопическое поле всех молекул определяется суммиро-
суммированием по /:
e(x)=-grad2 [T^T + Pi-grad/TII^7r)] . D.26>
3
Для получения макроскопического поля следует произвести
усреднение согласно D.22). Чтобы облегчить процедуру усредне-
усреднения, заменим дискретную сумму по молекулам интегралом, введя
распределение плотности заряда и поляризации:
Pj (х —
3
Выражение D.26) при этом можно формально переписать в виде
в(х)= -grad \ d*x" f^^:i + ^MOJI(x")-grad" (-^r,-)] •
D.28)
Проиллюстрируем процесс усреднения на первом слагаемом в D.28К
Усредненное значение, согласно D.22), равно
(в, (х)>= -grad [^ \
AV
где учтено, что порядок операций дифференцирования и усредне-
усреднения может быть изменен. Заменим переменную интегрирования
§ 3. Макроскопическая электростатика 127
х" на х" = х' + 1:
<Мх)>= -grad [^y\d%\ d*x' Qm|°^XxMI)] * D'30)
AV
Сопоставление выражений D.29) и D.30) показывает очевидную»
эквивалентность усреднения путем перемещения точки наблюдения
в объеме A Vc центром в точке х и усреднения путем перемещения
точки интегрирования в объеме AV с центром в х\ Как ясно из опре-
определения D.27), интеграл от qmoji по объему AV в окрестности хг
сводится к сумме зарядов ej всех молекул в объеме AV:
AV
AV AV
Пусть макроскопическая плотность распределения молекул
(число молекул в единице объема) в точке х' равна N (х), а
(?мол (*'))—средний заряд молекулы в объеме AV в точке х'; тогда
AV
В результате выражение D.30) принимает вид
Совершенно аналогично можно исследовать второе слагаемое
в D.28). Пользуясь тем же определением усреднения, получаем
^ ^|ямол(х' + 1)^^(х')(Рмол(х/)>. D.32)
AV
Усредненное поле D.28) определяется, таким образом, формулой
(в(х)>= -grad J JV(x')
Для получения макроскопического эквивалента первого из
уравнений D.20) вычислим дивергенцию от обеих частей выраже-
выражения D.33).
Учитывая равенство
V2-j—1—ТТ= -4яб(х — х'),
| х—х' | v п
находим
128 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
Используя свойства б-функции (см. гл. 1, § 2), получаем
div (8 (х)) - 4яЛ/ (х) (ешол (х)> -4jt div [N (х) (рмол (х))]. D.34)
Такой вид принимает первое из уравнений D.20). Плотность
заряда q', входящая в D.20), заменена здесь двумя слагаемыми:
первое — средний заряд молекул в единице объема, второе —
связанный заряд в единице объема. Появление дивергенции плот-
плотности поляризации представляется весьма естественным, если
вспомнить, как возникает эта часть плотности заряда.
Рассмотрим малый объем в среде. Часть полного заряда внутри
объема обусловлена свободными зарядами молекул. Кроме этого,
Фиг. 4.2. К объяснению возникновения свя-
связанного заряда.
Из-за пространственного изменения поляризации
может оказаться, что молекулярный заряд, вышед-
вышедший из данного малого объема, больше заряда,
вошедшего в объем.
определенный вклад в полный заряд может быть обусловлен поля-
поляризацией молекулы во внешнем поле. Так, например, для молекул,
у которых область, занятая зарядом, раньше находилась полностью
внутри объема, часть заряда может выйти за пределы рассматри-
рассматриваемого объема. Если поляризация однородна в пределах нашего
малого объема, то за счет поляризации в рассматриваемый объем
через его поверхность вводится такой же заряд, как и выводится
из него, и суммарное изменение заряда за счет поляризации равно
нулю. Если же поляризация объема неоднородна, то может про-
произойти увеличение или уменьшение заряда в объеме, как схема-
схематически показано на фиг. 4.2. Такова физическая причина возник-
возникновения связанного заряда.
В уравнении D.34) можно объединить члены с дивергенцией
и переписать его в виде
div [(в) + 4jtiV (рмол)] = 4jt/V (еМол>.
D.35)
Обычно принято вводить следующие макроскопические величины:
напряженность электрического поля Е, поляризацию Р (электри-
§ 3. Макроскопическая электростатика 129
ческий дипольный момент единицы объема), плотность заряда q
и электрическую индукцию D, определяемые соотношениями
D.36,
Если в среде имеется несколько различных видов атомов или моле-
молекул и, кроме того, могут быть избыточные свободные заряды,
то приведенные определения можно очевидным образом обобщить:
D-37)
где Nt — число молекул i-го типа в единице объема, (ег) — их сред-
средний заряд, (pi) — их средний дипольный момент, qcb — плотность
избыточного (свободного) заряда. Обычно молекулы электроней-
электронейтральны и полная плотность заряда совпадает с плотностью сво-
свободного заряда.
Используя определения D.36) и D.37), макроскопическое урав-
уравнение для дивергенции поля можно записать в виде
divD = 4jTQ. D.38)
Макроскопический эквивалент второго уравнения из D.20) можно
получить, взяв ротор от обеих частей равенства D.33). Это, оче-
очевидно, дает
rotE = 0. D.39)
Таким образом, в макроскопической электростатике диэлектрических
сред микроскопические уравнения D.20) заменяются уравнениями
D.38) и D.39).
Выражение D.33) для напряженности электрического поля
записывается в макроскопических переменных следующим образом:
E(x)=-grad ^ d%x> \ | х-2 | +P(*')-gracT (--L^-) ] . D.40)
Второе слагаемое, описывающее поле диполя, уже было исследовано
в гл. 1, § 6.
130 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
§ 4. Изотропные диэлектрики и граничные условия
Как уже упоминалось выше, поляризация молекул зависит
от локального электрического поля вблизи молекулы. При отсут-
отсутствии внешнего поля средняя поляризация равна нулю1). Поэтому
вектор поляризации Р, являющийся в общем случае некоторой
функцией от Е, может быть представлен в виде ряда по степеням
поля, по крайней мере в случае малых полей. Любая составляющая
Р будет при этом представляться разложением вида
P* = 2a«;?j+2 biJhEjEh+... .
Заранее не ясно, насколько практически существенны высшие
члены разложения. Но эксперименты показали, что зависимость
поляризации от приложенного поля имеет вид, изображенный
Фиг. 4.3. Зависимость состав-
составляющих вектора поляризации
от приложенного электричес-
электрического поля.
на фиг. 4.3. При нормальных температурах для полей, достижимых
в лабораторных условиях, линейного приближения совершенно
достаточно. Это и не удивительно, если вспомнить, что внутри-
внутриатомные электрические поля по порядку величины равны 109 в 1см.
По сравнению с ними любое внешнее поле, обусловливающее поля-
поляризацию, является лишь малым возмущением.
В общем случае анизотропные среды (например, кристаллы
кальцита или кварца) характеризуются шестью независимыми коэф-
коэффициентами аи. Однако для простых веществ, называемых изо-
изотропными, вектор Р параллелен Е и линейно связан с полем, причем
коэффициент пропорциональности %е не зависит от направления Е:
Р = ХеЕ. D.41)
Постоянная %е называется диэлектрической восприимчивостью
среды. В этом случае электрическая индукция пропорциональна Е:
D = eE, D.42)
*) Это утверждение не относится к электретам, обладающим постоянной
электрической поляризацией.
§ 4. Изотропные диэлектрики и граничные условия 131
где диэлектрическая проницаемость 8 (называемая также диэлектри-
диэлектрической постоянной) равна
8 = 1+4лХе. D.43).
Если диэлектрик не только изотропен, но и однороден, то г1
не зависит от координат. В этом случае уравнение D.38) можно
записать в виде
4тт
divE=—Q. D.44)
Все задачи для таких сред, очевидно, сводятся к уже рассмотрен-
рассмотренным в предыдущих главах с тем отличием, что электрические поля,
возбуждаемые зарядами, уменьшены в 8 раз. Это уменьшение поля
Область Z
Область 1
Фиг. 4.4.
можно физически объяснить поляризацией атомов, приводящей
к появлению поля, направленного противоположно полю заданных
внешних зарядов. Прямым следствием указанного факта является
увеличение в 8 раз емкости конденсатора при заполнении зазора
между его пластинами диэлектриком с диэлектрической прони-
проницаемостью 8 (это справедливо лишь в случае, когда можно пре-
пренебречь полями рассеяния).
Весьма важны граничные условия для векторов Е и D на поверх-
поверхностях, где свойства диэлектрика изменяются скачком. Рассмотрим
поверхность S, изображенную на фиг. 4.4. Единичный вектор п
нормален к поверхности и направлен из области / с диэлектриче-
диэлектрической проницаемостью et в область 2 с диэлектрической проницае-
проницаемостью 82. Совершенно так же, как описано в гл. 1, § 6, рассмотрим
маленький параллелепипед, грани которого в областях 1 и 2 парал-
параллельны граничной поверхности S; при этом находим
(D2~D1).n-4jta, D.45)
где a — плотность поверхностных зарядов [без учета связанных
зарядов). Аналогично, применяя теорему Стокса к уравнению
rot E = 0, находим
(Е1-Е2)хп = 0. D.46)
132 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
Полученные граничные условия для нормальной составляю-
составляющей D и тангенциальной составляющей Е заменяют микроскопиче-
микроскопические условия A.22) и последующие, приведенные в гл. 1, § 6. Макро-
Макроскопические граничные условия можно написать и в виде, эквива-
эквивалентном A.22), если включить в правую часть D.45) плотность
связанных зарядов.
§ 5. Граничные задачи при наличии диэлектриков
Методы решения граничных задач электростатики, развитые
в предыдущих главах, легко можно обобщить и на случай диэлект-
диэлектрических тел. В этом параграфе мы рассмотрим несколько примеров
различных методов решения задач в применении к диэлектрическим
средам.
Для иллюстрации метода изображений для диэлектриков рас-
рассмотрим точечный заряд q, расположенный в полубесконечной
Фиг. 4.5.
среде с диэлектрической проницаемостью е* на расстоянии d от
плоской границы, отделяющей эту среду от другого полубесконеч-
полубесконечного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е2. Примем
граничную поверхность за плоскость г = О, как показано на
фиг. 4.5. Нас^интересует решение уравнений
D.47)
при
e2divE = 0 при z<0,
rot E = 0 везде,
удовлетворяющее следующим граничным условиям при z = 0:
lim
z->0 +
Ех
D.48)
§ 5. Граничные задачи при наличии диэлектриков
133
Так как rot Е = О во всем пространстве, то поле Е, как обычно,
выражается через потенциал Ф. При использовании метода изобра-
изображений естественно поместить заряд-изображение q' в точке А\
Фиг. 4.6.
симметричной А (фиг. 4.6). Тогда для z > 0 потенциал в точке Ру
характеризуемой цилиндрическими координатами (q, ср, «г), опре-
определяется выражением
D.49)
где Ri=y Q2 + {d — zJ, R2 = V Q2+ {d-\-zf. До сих пор ход
решения задачи был совершенно таким же, как и в том случае,
когда в области z < 0 вместо диэлектрика находилась прово-
проводящая среда. Теперь нужно определить потенциал при z < 0.
Так как в области z < 0 заряды отсутствуют, решение
уравнения Лапласа в этой области не должно иметь особенностей.
Естественно предположить, что потенциал в области z < 0 экви-
эквивалентен потенциалу некоторого фиктивного заряда q", располо-
расположенного в точке Л, где находится истинный заряд q:
D.50)
При
и
учете соотношений
д (
S<
д /
до \
kRiJ
2=0
'1 Л
z=0
д
"до
-
dz
2 = 0
из граничных условий D.48) получаем требования
134 Гл. 4. Мулыпиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
Решая эти уравнения, находим величины зарядов-изображений
Я' и д":
Характер силовых линий в случаях е2>е! и е2<е1 каче-
качественно показан на фиг. 4.7.
Фиг. 4.7. Силовые линии поля точечного заряда, находящегося в диэлект-
диэлектрике с проницаемостью е4 вблизи плоской границы с полупространством,
заполненным средой с диэлектрической проницаемостью е2.
Плотность связанных зарядов равна —div P. Во внутренних
точках обеих диэлектрических сред Р = %е Е, так что —div P =
= —Xediv E = 0 везде, кроме точки нахождения заряда q.
Но на граничной поверхности z = 0 величина %е претерпевает
скачок Afte^ A/4я)(е1 — е2). Поэтому на плоскости z = 0 су-
существует поверхностный связанный заряд с плотностью
(W=-(P2-Pi)-n, D.52)
где п —единичная нормаль, направленная из области 1 в область 2,
а Р| — поляризация 1-го диэлектрика вблизи границы z = 0.
Поскольку
§ 5. Граничные задачи при наличии диэлектриков
135
то, как легко убедиться, плотность связанных зарядов равна
П _ Я ?2 — Чd u ,-
В предельном случае, когда е2 > еь диэлектрик 2 ведет себя
подобно проводнику: поле внутри него становится весьма слабым,
а плотность поверхностных зарядов D.53) стремится к значению
плотности зарядов на проводящей поверхности.
Фиг. 4.8.
В качестве второго примера рассмотрим задачу о диэлектриче-
диэлектрической сфере радиусом а с диэлектрической проницаемостью е, поме-
помещенной в первоначально однородное электрическое поле, которое
на больших расстояниях от сферы направлено вдоль оси z и равно Ео
(фиг. 4.8). Как внутри, так и вне сферы свободных зарядов нет,
поэтому следует решать уравнение Лапласа с соответствующими
граничными условиями на поверхности г = а. Учитывая аксиаль-
аксиальную симметрию задачи, можно искать решение в виде:
внутри сферы
вне сферы
3
1=0
1=0
D.54)
D.55)
Из условия на бесконечности (Ф -э Еог = — Eor cos 0) нахо-
находим, что единственным отличным от нуля коэффициентом Вг
является Bi = — Ео- Остальные коэффициенты разложения опре-
определяются из граничных условий при г = а:
тангенциальное Е:
нормальное D:
1 дФг
а ае
дФе
—г
дг
а ае
дг
D.56)
136 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
Первое граничное условие приводит к соотношениям
С D-57)
ПРИ *=*!;
второе условие дает
Рл р о ^
D.58)
^ при 1Ф\.
Вторые уравнения в D.57) и D.58) могут удовлетворяться одно-
одновременно лишь в том случае, если положить Ai = Ci— 0 для всех
I Ф\. Оставшиеся коэффициенты выражаются через значения
приложенного электрического поля Ео
А - ( 3 Л Е
1 — V 9 Д-р У °'
V2+8^ D.59)
В результате решение для потенциала имеет вид
forces в,
/-6-1Л аз D'60>
Фе= — ?0^cose+^e-j-2J)?o/^ cose.
Потенциал внутри диэлектрической сферы соответствует одно-
однородному электрическому полю, направленному параллельно при-
приложенному и имеющему величину
Ei=^IE0<E0. D.61)
Вне сферы поле равно сумме приложенного поля Ео и поля рас-
расположенного в начале координат электрического диполя с моментом
D-62)
ориентированным в направлении приложенного внешнего поля.
Дипольный момент равен интегралу от поляризации Р по объему
сферы. Вектор поляризации равен
(jE°- ( 3)
Он постоянен внутри сферы; интеграл от него по объему дает D.62).
Плотность связанного поверхностного заряда, согласно D.52),
§ 5. Граничные задачи при наличии диэлектриков
137
равна а110Л = (P-r)/r, т. е.
0ПОЛ = 4я
)Е0 cos 6.
D.64)
Можно считать, что поверхностные заряды создают внутреннее
поле, противоположное внешнему и уменьшающее значение пол-
полного поля внутри сферы до величины D.61), как схематически
показано на фиг. 4.9.
Фиг. 4.9. Диэлектрическая сфера в однородном электрическом поле Ео.
Слева показано распределение вектора поляризации, справа — наведенный заряд
и соответствующее ему электрическое поле, противоположное внешнему. ж ч
Задача о сферической полости радиусом а в диэлектрической
среде с проницаемостью е при внешнем электрическом поле ?0,
параллельном оси z (фиг. 4.10), решается совершенно аналогично
Фиг. 4.10. Сферическая полость в диэлектрике в однородном внешнем поле.
предыдущей. Фактически, как показывает анализ граничных
условий D.56), чтобы получить решение для полости, достаточно
в решении для сферы заменить е на A/е). Так, в частности, поле
в полости оказывается однородным, параллельным Ео и равным
^E0>E0. D.65)
Аналогично поле вне полости равно сумме приложенного поля
и поля диполя, расположенного в центре полости, ориентирован-
ориентированного противоположно внешнему полю и имеющего дипольный момент
V28 + 1
а3Е0.
D.66)
138 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
§ 6. Поляризуемость молекул
и диэлектрическая восприимчивость
В этом и следующем параграфах мы рассмотрим связь между
молекулярными свойствами и макроскопическим параметром —
диэлектрической восприимчивостью %е. При анализе мы будем
пользоваться простыми классическими моделями, описывающими
свойства молекул, хотя, конечно, при строгом подходе к проблеме
необходимо квантовомеханическое рассмотрение. К счастью, про-
простейшие свойства диэлектриков поддаются классической интер-
интерпретации.
Прежде чем перейти к детальному обсуждению вопроса о связи
свойств молекул с диэлектрической восприимчивостью, следует
установить различие между внешним полем и полем, действующим
на молекулу в среде.
Диэлектрическая восприимчивость определяется соотношением
Р = %еЕ, где Е — макроскопическое электрическое поле. В раз-
разреженных средах, где расстояния между молекулами велики,
макроскопическое поле мало отличается от поля, действующего
на любую молекулу или группу молекул. В плотных же средах
с «тесной упаковкой молекул» поляризация соседних молекул
приводит к появлению дополнительного внутреннего поля Eif
действующего на каждую молекулу наряду с усредненным макро-
макроскопическим полем Е; результирующее полное поле, действующее
на молекулу, равно, таким образом, сумме Е + Et. Внутреннее
поле можно представить в виде
где sP — вклад молекул, расположенных вблизи рассматриваемой,
а Dя/3) Р — вклад более удаленных молекул. Обычно рассмат-
рассматривают оба слагаемых в отдельности, окружая исследуемую моле-
молекулу воображаемой сферой, размеры которой можно считать микро-
микроскопически большими, но макроскопически малыми (фиг. 4.11).
Поле в центре сферы, обусловленное поляризацией молекул вне
сферы, можно найти по плотности зарядов, наведенных на поверх-
поверхности сферы. Она равна —Р-n, где п — внешняя нормаль к сфе-
сферической поверхности. Результирующее поле в центре, очевидно,
параллельно Р, а его величина равна
сфера
что совпадает с первым слагаемым в D.67).
Поле sP, обусловленное близкими молекулами, определить
труднее. Как показал Лоренц [69], для атомов в простой кубиче-
§ 6. Поляризуемость молекул и диэлектрическая восприимчивость 139
ской решетке s == 0 в любой точке ячейки. Это вытекает из симмет-
симметрии задачи, в чем можно убедиться из следующего рассуждения.
Пусть внутри сферы расположена кубическая решетка диполей
Сферическая
поверхность
Фиг. 4.11. К вычислению влияния
дальних молекул на внутреннее поле.
\ Молекула I
Ч
(фиг. 4.12) с равными по величине и одинаково ориентированными
моментами (напомним, что сфера считается макроскопически малой).
Положения диполей определяются радиусами-векторами xijk
с составляющими (ia,jayka) вдоль координатных осей, где а —
Фиг. 4.12. К вычислению
влияния ближних молекул в
простой кубической решетке
на внутреннее поле.
постоянная решетки, а индексы i, /, k принимают положительные
и отрицательные целые значения. Поле в начале координат, поро-
порождаемое всеми диполями, согласно D.13), равно
D.69)
Составляющую поля вдоль оси х можно представить в виде
3('2pi + '7p2-
- V2 + /2 4- Щ Pl
ijk
D.70)
Так как индексы пробегают и положительные, и отрицательные
значения, то сумма перекрестных членов (ijp2 + ikps) обращается
140 Гл. 4. Мультиполи., Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
в нуль. Из симметрии решетки следует равенство сумм
у *2 ^ у /2 = у fe2
В результате получаем
Совершенно аналогично можно показать, что составляющие
поля вдоль осей у и г также равны нулю. Следовательно, s = О
для простой кубической решетки.
Поскольку s = 0 для системы с высокой степенью симметрии,
представляется правдоподобным, что и для полностью хаотического'
расположения молекул также s = 0. Поэтому можно ожидать,
что в аморфных веществах, подобных стеклу, внутреннее поле,
обусловленное близлежащими молекулами, т$кже не возникает.
Хотя точный ответ может быть получен лишь при учете детального
строения вещества, предположение, что s« 0, можно принять
почти для всех материалов.
Согласно D.36), вектор поляризации Р определяется равенством
где <рМол) — средний дипольный момент молекул. Дипольный
момент приближенно пропорционален электрическому полю, дей-
действующему на молекулу. Чтобы отразить эту зависимость, опреде-
определим поляризуемость молекулы умол как отношение среднего диполь-
ного момента молекулы к действующему на нее полю. Учитывая
наличие внутреннего поля D.67), получаем
з). D.72)
Коэффициент умол зависит, строго говоря, от величины электриче-
электрического поля, но для широкой области значений напряженности
поля он является постоянной, характеризующей реакцию молекул
на приложенное поле (см. § 4). Комбинируя соотношение D.72)
с D.36) и D.67), получаем
Р = Л/умол(Е + ^Р) , D.73)
где принято, что s = 0. Выражая Р через Е и пользуясь равенством:
Р = %еЕ, определяющим диэлектрическую восприимчивость веще-
вещества, находим
D.74)
§ 7. Модели поляризуемости молекул 141
Это соотношение связывает восприимчивость (макроскопический
параметр) и поляризуемость молекул (микроскопический параметр).
Поскольку диэлектрическая проницаемость равна 8=1+ 4я%е,
ее также можно выразить через Умол- Наоборот, поляризуемость
молекул может быть выражена через диэлектрическую проницае-
проницаемость вещества:
(О- D-75)
Соотношение D.75) называют уравнением Клаузиуса — Мое-
сотти, так какМоссотти (в 1850г.) и Клаузиус (в 1879г.) независимо
установили, что для данного вещества величина (е—1)/(е + 2)
пропорциональна плотности вещества1). Это соотношение лучше
всего выполняется для веществ с малой плотностью, например для
газов. Для жидкостей и твердых тел формула D.75) справедлива
лишь приближенно, особенно если диэлектрическая проницаемость
велика. Дальнейшие подробности читатель может найти в книгах
Бётхера [18], Дебая [35] и Фрёлиха [43].
§ 7. Модели поляризуемости молекул
Существует два механизма возникновения поляризации системы
атомов или молекул:
а) внешнее поле изменяет распределение заряда, индуцируя
в каждой молекуле дипольный момент;
б) внешнее поле вызывает упорядочение первоначально хаоти-
хаотически ориентированных постоянных дипольных моментов молекул.
Для оценки индуцированных моментов рассмотрим простую
модель упруго связанных зарядов (электронов). На каждый заряд е
действует упругая удерживающая сила
F=— mco^x, D.76)
где т — масса заряда, а соо — частота колебаний вблизи положе-
положения равновесия. Под действием электрического поля Е заряд сме-
смещается из положения равновесия, причем величина смещения х
определяется соотношением
В результате наведенный дипольный момент оказывается равным
п __ Рх _ g2 p /4 77^
УИПД СЛ п Ш~1 ш I i. Ill
к тсо§
*) В области оптических частот е = м2, где п — показатель преломления.
Соотношение D.75), в котором 8 заменено на п2, называют иногда формулой
Лорентц — Лоренца A880 г.).
142 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
Отсюда для поляризуемости молекулы получаем у = e2/ma>J.
Если молекула имеет Z электронов, причем для frro электрона
упругая сила равна та))х (?fj = Z), то поляризуемость молекулы,
о
обусловленная электронами, оказывается равной
Ъ* = шЪщ- D.78)
Чтобы представить себе порядок величины уэл, проведем две
различные оценки. Так как у имеет размерность объема, ее вели-
величина должна быть порядка молекулярных размеров или меньше,
т. е. уэл =С 103 см3. С другой стороны, частоты связи для атом-
атомных электронов должны иметь порядоко оптических частот. Приняв
за типичную длину световой волны 3000 А, получаем со « 6- Ю^сек'1.
В результате удл « (е2/тсо2) « 6-Ю4 см3, что согласуется с пре-
предыдущей оценкой, основанной на величине молекулярного объема.
Для газов, находящихся при нормальных температуре и дав-
давлении, число N молекул в 1 см3 составляет 2,7-1019, и, таким
образом, диэлектрическая восприимчивость %е по порядку вели-
величины меньше или примерно равна 10. Это значит, что диэлектри-
диэлектрическая проницаемость отличается от единицы на несколько тысячных
или еще меньше. В качестве типичных экспериментально найденных
значений диэлектрической проницаемости можно привести значения
е для воздуха A,00054), паров аммиака A,0072), метилового
спирта A,0057), гелия A,000068). Для твердых или жидких
диэлектриков N составляет 1022—1023 молекул в 1 см3, так что
диэлектрическая восприимчивость может быть порядка единицы
(с точностью до множителя ~ Ю*1), что и наблюдается на опыте 1).
При выводе D.78) мы не учитывали теплового движения моле-
молекул. Следует еще рассмотреть, не меняет ли учет теплового движе-
движения найденного значения наведенной дипольной поляризуемости.
Согласно статистической механике, функция распределения
частиц в фазовом пространстве (в пространстве р, q) пропорцио-
пропорциональна множителю Больцмана
e~?'kT, D.79)
где Я — гамильтониан. Для гармонически связанного электрона
при наличии поля, направленного по оси г, гамильтониан имеет вид
H = Lp2 + Y <^-еЕг, D.80)
где р — импульс электрона. Усредненное значение дипольного
г) Таблицы диэлектрических проницаемостей различных веществ
можно найти в [5] или [49].
§ 7. Модели поляризуемости молекул 143
момента определяется выражением
Г d*p \ d*x (ez) e~H/hT
Интегрирование по dsp и dxdy может быть проведено сразу
и дает
5
Интегрируя числитель по частям, окончательно получаем
что совпадает с выражением D.77), найденным ранее элементарным
способом без учета теплового движения. Таким образом, выраже-
выражение D.78) для поляризуемости молекул справедливо и при наличии
теплового движения.
Второй вид поляризуемости обусловлен частичной ориентацией
постоянных дипольных моментов, первоначально ориентированных
хаотически. Такая ориентационная поляризация, существенная
для веществ с полярными молекулами типа НС1 и Н2О, впервые
была исследована Дебаем A912 г.). Пусть все молекулы обладают
постоянным дипольным моментом ро, который может быть ориен-
ориентирован в любом направлении. Если внешнего поля нет, то вслед-
вследствие теплового возбуждения молекулы ориентированы хаотически,
так что результирующий дипольный момент равен нулю. Если же
приложено электрическое поле, то диполи стремятся ориентиро-
ориентироваться по полю, поскольку эта ориентация соответствует положению
с наименьшей энергией. Поэтому средний дипольный момент стано-
становится отличным от нуля. Для его нахождения заметим, что гамиль-
гамильтониан молекулы определяется формулой
tf=tfo-po.E, D.82)
где #0 — функция лишь «внутренних» координат молекулы.
Учитывая множитель Больцмана D.79), можно найти средний
дипольный момент:
[ dQp0 cos 9 ехр (РоЕ cos Q/kT)
(Рм0Л> -
где поле Е выбрано вдоль оси г. Здесь уже проведено интегрирова-
интегрирование по всем несущественным переменным и учтено, что лишь соста-
составляющая ро, параллельная направлению поля, отлична от нуля.
144 Гл. 4. Мулыпиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
Величина p0E/kT обычно весьма мала по сравнению с единицей,
за исключением случая очень низких температур. Поэтому можно
воспользоваться степенным разложением экспоненциальных функ-
функций, что приводит к соотношению
(Рмол) ^ ~гГ ит'
D.84)
Из D.84) видно, что ориентационная поляризация обратно пропор-
пропорциональна температуре; этого и следовало ожидать, поскольку
приложенное поле преодолевает разупорядочивающее влияние
теплового движения.
Полярные
молекулы
Гмол
Неполярные
молекулы
Фиг. 4.13. Температурная зависимость поляризуемости
для полярных и неполярных диэлектриков.
молекул
В общем случае существуют оба типа поляризации — индуци-
индуцируемая (электронная) и ориентационная, так что общее выражение
для поляризуемости молекул имеет вид
Умол
1 Pi
D.85)
При этом зависимость от температуры имеет вид (а + Ъ/Г), так что
экспериментально оба типа поляризации легко разделить (фиг. 4.13).
Для полярных молекул, например НС1 и Н2О, измеренное значе-
значение постоянного дипольного момента равно по порядку величины
произведению заряда электрона на 10"8 см, что согласуется с моле-
молекулярными размерами.
§ 8. Энергия электрического поля в диэлектрике
В гл. 1, § 11, была исследована энергия системы зарядов в сво-
свободном пространстве. Полученное выражение для энергии системы
§ 8. Энергия электрического поля в диэлектрике 145
с распределением плотности заряда q (х) и потенциалом Ф (х)
W = l J Q(x)O>(x)d3x D.86)
не может быть, вообще говоря, принято без изменения при макро-
макроскопическом описании диэлектрических сред. Причина этого ста-
станет более ясной, если напомнить, как было получено выражение
D.86).
Данное распределение заряда мы представляли себе как резуль-
результат постепенного накопления элементарных зарядов, которые
вносятся из бесконечно удаленной точки, причем преодолевается
противодействие электрического поля уже существующего заряда.
При этом полная работа, совершенная при накоплении заряда,
описывается соотношением D.86). При наличии диэлектрической
среды совершаемая работа тратится не только на перенос свобод-
свободного (макроскопического) заряда в его окончательное положение,
но и на увеличение поляризации диэлектрика. Поэтому если пони-
понимать под q и Ф в D.86) макроскопические величины, то заранее
не очевидно, что выражение D.86) определяет полную затраченную
работу, включающую и работу на поляризацию диэлектрика.
Для общности рассмотрения мы вначале не будем делать каких-
либо допущений о линейности, однородности и тому подобных
свойствах реакции диэлектрика на приложенное поле. Рассмотрим
малое изменение энергии 6№, обусловленное некоторым измене-
изменением 8q распределения плотности заряда q, существующего во всем
пространстве.
Работа, требуемая для совершения этого изменения, равна
8W= J 8Q(x)<D(x)ds*, D.87)
где Ф (х) — потенциал, создаваемый уже существующим распре-
делением заряда q (х). Так как div D = 4яд, то 8q можно связать
с изменением электрической индукции SD
^ D.88)
В результате изменение энергии 8W может быть представлено в виде
, D.89)
где мы воспользовались соотношением Е = —grad Ф и приняли,
что q(x) описывает ограниченное распределение заряда. Полную
электростатическую энергию можно найти, по крайней мере фор-
формально, рассмотрев изменение D от начального значения D = О
146 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
до некоторой конечной величины D:
D
1*х [ Е 8D. D.90)
о
Для линейной среды
E-6D = y S(E-D) D.91)
и полная электростатическая энергия оказывается равной
№ = J- J E Dd*x. D.92)
Последний результат можно преобразовать к виду D.86), восполь-
воспользовавшись соотношениями Е = — grad Ф и div D = 4яд или же
возвращаясь к D.87) и принимая линейную связь между q и Ф.
Таким образом, мы видим, что выражение D.86) выполняется для
макроскопических характеристик лишь в случае линейных сред.
В противном случае энергия окончательной конфигурации зарядов
должна вычисляться согласно D.90) и может зависеть от предысто-
предыстории системы (гистерезис).
Представляет интерес задача об изменении энергии при внесении
диэлектрических тел в электрическое поле фиксированных источ-
источников. Пусть первоначально электрическое поле Ео создается неко-
некоторым распределением зарядов q0 (x) в среде с диэлектрической
проницаемостью е0, которая может зависеть от координат. При
этом начальная электростатическая энергия равна
== ^j
где D, = воЕо- Пусть теперь при фиксированном положении
источников в поле вносится диэлектрическое тело объемом У1?
что приводит к изменению поля от Ео до Е. При наличии тела
диэлектрическая проницаемость е (х) равна 84 в объеме Vt и е0
вне Vi. Чтобы обойти математические трудности, будем считать
функцию 8 (х) достаточно плавной функцией координат, спадаю-
спадающей от 84 до 80 вблизи границы объема Vi быстро, но непре-
непрерывно. При наличии тела величина энергии будет равна
где D = еЕ. Разность энергий можно записать в виде
W = ~ *\(E-D-Eo-Do)d3x =
+ 8^ \ (E + Eo)-(D-Do)dsx. D.93)
§ 8. Энергия электрического поля в диэлектрике 147
Можно показать, что второй интеграл равен нулю. Действительно,
так как rot (Е + Ео) = 0, то
так что второй интеграл может быть представлен в виде
Интегрирование по частям дает
так как div (D — Do) = 0 в силу предположения о том, что рас-
распределение плотности заряда q0 (x) не изменилось при внесении
диэлектрического тела. Таким образом, изменение энергии опре-
определяется выражением
Интегрирование, которое, казалось бы, надо распространять
на все пространство, в действительности следует проводить лишь
по объему Vi, занятому телом, так как вне этого объема D = е0Е.
Таким образом,
^\ D.95)
Если диэлектрическое тело расположено в свободном простран-
пространстве, то е0 = 1. Учитывая определение вектора поляризации Р,
можно записать D.95) в виде
$ D.96)
где Р — поляризация диэлектрика. Отсюда следует, что плотность
энергии в диэлектрике,, расположенном в поле Ео, источники кото-
которого фиксированы, описывается формулой
ш=—ip.E0. D.97)
Это выражение аналогично дипольному члену в разложении
D.17) для энергии распределения зарядов во внешнем поле. Нали-
Наличие коэффициента х/2 связано с тем, что D.97) представляет плот-
плотность энергии для поляризуемого диэлектрика во внешнем поле,
а не для постоянного диполя. Этот коэффициент имеет то же про-
происхождение, что и в формуле D.91).
10*
148 Гл. 4. Мулыпиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
Из выражений D.95) и D.96) следует, что при гх > е0 диэлектри-
диэлектрическое тело стремится переместиться в область с большим значением
поля Ео. Для вычисления действующей на тело силы рассмотрим
малое обобщенное смещение тела 8?. Оно приведет к изменению *
энергии 8W. Так как распределение зарядов фиксировано, то внеш-
внешние источники энергии отсутствуют и изменение энергии поля
должно компенсироваться изменением механической энергии тела.
Это значит, что действующая на тело сила определяется выражением
где индекс Q у частной производной показывает, что источники
поля остаются неизменными.
В практических задачах с перемещением диэлектриков электри-
электрическое поле часто создается заданной конфигурацией электродов,
на которых с помощью внешнего источника, например батареи,
поддерживается постоянный потенциал. При перемещении диэлек-
диэлектрика заряд будет течь к батарее или от нее та'к, чтобы потенциал
оставался постоянным. Это означает, что внешний источник в дан-
данном случае затрачивает некоторую энергию. Интересно сравнить
эту энергию с найденным выше изменением энергии для фиксиро-
фиксированных источников поля. Будем рассматривать лишь линейные
среды, для которых справедливо выражение D.86). При этом доста-
достаточно рассмотреть лишь малые изменения первоначально суще-
существовавшей конфигурации. Как видно из D.86), изменение энергии,
соответствующее изменению плотности заряда 6q (x) и изменению
потенциала 6Ф (х), равно
8W = ~ jj [qSO + OSq]^. D.99)
Сопоставление с выражением D.87) показывает, что при неиз-
неизменных свойствах диэлектрика оба слагаемых в D.99) равны.
Если, однако, свойства диэлектрика меняются:
е(х)->е(х) + 6е(х), D.100)
то слагаемые D.99) могут быть не равными.
Действительно, мы сейчас нашли изменение энергии, обусло-
обусловленное введением диэлектрического тела в электрическое поле,
создаваемое фиксированными источниками (Sq = 0). Это изменение
энергии объясняется появлением наведенных зарядов. Изменение
свойств диэлектрика в соответствии с D.100) вызывает изменение
плотности связанного заряда. Поэтому если интерпретировать
соотношение D.99) как интеграл от плотности и свободного, и свят
занного зарядов (т. е. как микроскопическое уравнение), то оба
§ 8. Энергия электрического поля в диэлектрике 149
слагаемых оказываются всегда равными. Однако часто удобно
иметь дело с макроскопическими величинами. При этом указанное
равенство обоих слагаемых имеет место лишь при неизменных
свойствах диэлектрика.
Можно считать, что любой процесс изменения свойств диэлек-
диэлектрика (перемещением диэлектрических тел, изменением их вос-
приимчивостей и т. д.) при заданных потенциалах на электродах
совершается в два этапа. На первом этапе электроды отсоединены
от батарей и заряд на них поддерживается постоянным (Sq = 0).
Изменение энергии при изменении свойств диэлектрика D.100)
выражается формулой
1^ D.101)
где SCDj — изменение потенциала. Можно показать, что это соот-
соотношение приводится к D.95). На втором этапе батареи подклю-
подключаются к электродам и на электродах вновь восстанавливается
первоначальный потенциал. Изменение потенциала1) 6Ф2 = — 8ФЛ
сопровождается потоком заряда Sq2 от батареи. Изменение энергии
на втором этапе равно
D.102)
так как оба слагаемых равны друг другу. Мы видим, что изменение
энергии, обусловленное внешними источниками на втором этапе,
вдвое больше, чем на первом, и имеет противоположный знак.
В результате полное изменение энергии
8W= —I J QfiOid3*. D.103)
Символически можно, записать
8Wv=—8Wq, D.104)
где индекс соответствует фиксированному параметру.
Если диэлектрик с 8 > 1 вносится в область с большей напря-
напряженностью поля, то в случае фиксированных потенциалов энергия
возрастает, а не убывает. При этом действующая на тело механи-
механическая сила, соответствующая обобщенному смещению rfg, равна
*) Заметим, что необходимо знать лишь изменение потенциала 6Ф2 —
= — 6Ф4 на электродах, так как это единственное место, где присутствуют
с вободные заряды.
150 Гл. 4. Мулыпиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Вывод макроскопических уравнений электростатики с помощью усред-
усреднения по совокупности атомов можно найти в книгах Розенфельда [86],
гл. 2, Мэзона и Уивера [72], гл. 1, часть III, Ван Флека [113], гл. 1.
Розенфельд рассматривает также классическую электронную теорию
диэлектриков. Книга Ван Флека посвящена исследованию диэлектрической
и магнитной восприимчивости. Явлению поляризации диэлектриков спе-
специально посвящены работы Бётхера [18], Дебая [35], Фрёлиха [43].
Граничные задачи при наличии диэлектриков рассматриваются во всех
указанных в гл. 2 и 3 работах по электростатике.
Мы рассмотрели силы и энергии в диэлектрических средах весьма бегло.
Более полное исследование этого круга вопросов, в том числе рассмотрение
сил в жидких и твердых диэлектриках, исследование тензора электрических
напряжений, электрострикции и термодинамических эффектов, можно найти
в книгах Абрагама и Беккера [1], гл. 5, Дюрана [37], гл. 6 и 7, Ландау
и Лифшица [64], Максвелла [73], т. 1, гл. 5, Пановского и Филипс [78],
гл. 6, Стрэттона [106], гл. 2.
ЗАДАЧИ
4.1. а) Вычислить мультипольные моменты qim распределений заряда,
изображенных на фиг. 4.14, а— в, попытаться получить значения отлич-
отличных от нуля моментов, справедливые для всех /; в каждом случае определить
по крайней мере два первых отличных от нуля момента.
Полный
заряд
Я
-±a
Проводящий
круглый диск
радиусом а
Фиг. 4.14.
б) Для распределения заряда, изображенного на фиг. 4.14, б, записать
разложение потенциала по мультиполям. Удержав лишь низший член в раз-
разложении, начертить распределение потенциала в плоскости ху как функции
расстояния от начала координат для расстояний, больших а.
в) Вычислить, исходя из закона Кулона, точное выражение для потен-
потенциала распределения, изображенного на фиг. 4.14, б, в плоскости ху. Постро-
Построить кривые зависимости потенциала от расстояния и сравнить их с прибли-
приближенным результатом, полученным в п. «б».
Чтобы более ясно представить себе характер решений, полученных
в пп. «б» и «в», на больших расстояниях, определить асимптотику решений.
4.2. Ядро с квадрупольным моментом Q находится в цилиндрически
симметричном электрическом поле, которое в точке расположения ядра
имеет градиент (dEz/dzH вдоль оси г.
а) Показать, что энергия квадрупольного взаимодействия определяется
выражением
е п f ^Ег
Задачи 151
б) Пусть Q = 2.1СГ24 см2, a W/h — 10 Мгц, где /г— постоянная План-
Планка; вычислить (dEz/dzH в единицах е\а\, где а0 = Ь21те2= 0,529-10~8 см —
боровский радиус атома водорода.
в) Распределение заряда в ядре может быть аппроксимировано постоян-
постоянной плотностью заряда в объеме сфероида с главной полуосью а и второй
полуосью Ъ. Вычислить квадрупольный момент такого ядра, считая его
полный заряд равным Ze. Приняв, что для Eu15^ (Z = 63) квадрупольный
момент равен Q = 2,5-10~24 см2, а средний радиус
см,
определить относительную разность полуосей (а— b)lR.
4.3. Пусть плотность распределения заряда задается выражением
а) Провести разложение потенциала для данного распределения плот-
плотности по мультиполям и определить отличные от нуля мультипольные мо-
моменты. Записать потенциал на больших расстояниях в виде конечного раз-
разложения по полиномам Лежандра.
б) Найти явное выражение для потенциала в любой точке простран-
пространства и показать, что вблизи начала координат
в) Пусть в начале координат расположено ядро с квадрупольным момен-
моментом Q = 10~24 см2. Найти величину энергии взаимодействия ядра с полем
в предположении, что за единицу заряда в приведенном выше распределе-
распределении Q (г) принят заряд электрона, а за единицу длины — боровский радиус
атома водорода ао~ h2lme2z= 0,529-10~8 см. Выразить результат в часто-
частотах, разделив его на постоянную Планка К.
Принятое в задаче распределение плотности заряда соответствует сос-
состояниям 2р-уровня для водорода с т = ± 1, а квадрупольное взаимодей-
взаимодействие по порядку величины совпадает с найденным для молекул водорода.
4.4. Очень длинный прямой круглый полый диэлектрический цилиндр
из вещества с диэлектрической проницаемостью 8, имеющий внутренний
радиуса и внешний радиус Ь, помещен в первоначально однородное электри-
электрическое поле Ео, причем ось цилиндра перпендикулярна полю. Диэлектри-
Диэлектрическая проницаемость среды вне и внутри цилиндра равна единице.
а) Определить потенциал и электрическое поле во всех трех областях,
пренебрегая краевыми эффектами.
б) Нарисовать распределение силовых линий для случая Ъ ^ 2а.
в) Исследовать решения в предельных случаях, а именно для сплошного
диэлектрического цилиндра в однородном поле и цилиндрической полости
в однородном диэлектрике.
4.5. Точечный заряд q расположен в свободном пространстве на рас-
расстоянии d от центра диэлектрической сферы радиусом а (а < d) с диэлектри-
диэлектрической проницаемостью 8.
а) Найти распределение потенциала во всем пространстве в виде разло-
разложения по сферическим гармоникам.
б) Вычислить декартовы составляющие электрического поля вблизи
центра сферы.
в) Проверить, что в пределе 8 -> оо полученный результат совпадает
с результатом для проводящей сферы.
152 Гл. 4. Мультиполи. Макроскопическая электростатика. Диэлектрики
4.6. Заряды на двух концентрических идеально проводящих сфериче-
сферических оболочках с внутренним и внешним радиусами а и Ъ равны соответ-
соответственно ± Q. Пространство между сферами наполовину заполнено полу-
полусферическим слоем диэлектрика (с диэлектрической проницаемостью е),
как изображено на фиг. 4.15.
Фиг. 4.15.
а) Найти распределение электрического поля между сферами.
б) Вычислить распределение поверхностного заряда на внутренней
сфере.
в) Вычислить плотность связанных зарядов на поверхности диэлектри-
диэлектрика г = а.
4.7. Ниже приводятся данные об изменении диэлектрической проницае-
проницаемости в зависимости от давления, взятые из [99].
Воздух при 292° К
ДЭ1
*ление, атм
20
40
60
80
100
Пентан
Давление, атм ]
4-
8-
12-
1
103
103
103
103
1
1
1
1
1
(С5Н12) при
Плотность,
0.
0.
о,
о,
0,
,613
,701
,796
,865
,907
е
,0108
,0218
,0333
,0439
,0548
303°
г/смЗ
к
1
1
2
2
2
е
,82
,96
,12
,24
,33
Проверить соотношение Клаузиуса — Моссотти между диэлектрической
проницаемостью и плотностью для воздуха и пентана для приведенных
в таблице значений переменных. Выполняется ли оно точно? Приближенно?
Если соотношение выполняется лишь приближенно, рассмотреть относи-
относительное изменение плотности и (8— 1). Для пентана сравнить соотношение
Клаузиуса — Моссотти с более грубым законом пропорциональности (е — 1)
плотности. (Данные об относительной плотности воздуха как функции дав-
давления можно найти в справочниках; см., например, [5].)
4.8. Водяные пары являются полярным газом, диэлектрическая прони-
проницаемость которого заметно зависит от температуры. Ниже приводится таб-
таблица, содержащая данные экспериментального исследования этого эффекта.
Задачи 153
Считая водяные пары идеальным газом, вычислить зависимость поляризуе-
поляризуемости молекул от температуры Т и начертить график этой зависимости,
откладывая по оси абсцисс 1/7\ По наклону кривой определить величину
постоянного дипольного момента молекулы Н2О (дипольный момент выра-
выразить в электростатических единицах).
Т°,К Давление, см pm.cm. (е — 1) • 105
393 56,49 400,2
423 60,93 371,7
453 65,34 348,8
483 69,75 328,7
4.9. Два длинных коаксиальных проводящих цилиндра с радиусами а
и Ъ опущены вертикально в жидкий диэлектрик. Пусть жидкость подни-
поднимается на высоту h между электродами при разности потенциалов между
ними V. Показать, что диэлектрическая восприимчивость жидкости опреде-
определяется формулой
_ (b*-a*)Qgh\r\(b/a)
%е у 2 »
где q ^- плотность жидкости, g— ускорение силы тяжести, а диэлектриче-
диэлектрическая восприимчивость воздуха не учитывается.
Глава 5
МАГНИТОСТАТИКА
§ 1. Введение и основные определения
В предыдущих главах были рассмотрены основные вопросы
электростатики (поля и взаимодействия стационарных зарядов
и соответствующие граничные условия). Обратимся теперь к иссле-
исследованию стационарных магнитных явлений. С исторической точки
зрения магнитные явления были известны и изучались по крайней
мере так же давно, как и электрические явления. Еще в древние
времена был известен магнитный железняк; морской компас —
очень старое изобретение; исследования Гильберта, в которых
Земля рассматривается как гигантский магнит, появились еще
до 1600 г. Основные законы магнитного поля в отличие от законов
электростатики не выведены непосредственно из первоначального
опыта обращения людей с магнитными материалами. Это объяс-
объясняется рядом причин, но все они обусловлены коренным различием
между магнитостатикой и электростатикой: свободных магнитных
зарядов не существует. Поэтому магнитные явления существенно
отличаются от электрических явлений, и связь между ними в тече-
течение долгого времени не была установлена. В магнитных исследова-
исследованиях основным реально существующим объектом является, как мы
его теперь называем, магнитный диполь. В присутствии магнитных
материалов диполь стремится ориентироваться в определенном
направлении. Это направление по определению считают направле-
направлением вектора плотности магнитного потока, обозначаемого В
(при условии, что диполь достаточно мал и настолько слаб, что
он не искажает существующее поле). Величина плотности магнит-
магнитного потока может быть определена по механическому вращающему
моменту N, действующему на магнитный диполь:
N-jmxB, E.1)
§ 1. Введение и основные определения 155
где \х — магнитный момент диполя, выраженный в выбранных
единицах измерения х).
Уже определение вектора плотности магнитного потока В
{часто называемого магнитной индукцией) существенно более
сложно, чем определение характеристик электрического поля. .
Дальнейшее количественное исследование магнитных явлений
началось лишь после установления связи между токами и магнит:
ными полями. Ток представляет собой движение свободных заря-
зарядов и характеризуется вектором плотности тока J, измеряемым
количеством единиц положительного заряда, пересекающего еди-
единичную площадку в единицу времени; направление движения
зарядов определяет направление вектора J. В системе СГС плот-
плотность тока измеряется количеством электричества, проходящим
через 1 см2 в 1 сек; в системе МКСА — в кулонах на I м2 в I сек,
или в амперах на 1 м2. Если ток течет по проводникам малого
поперечного сечения, мы обычно интересуемся лишь интегралом
от плотности тока по площади сечения и говорим о токе, текущем
вдоль проводника и выражаемом в статамперах или амперах.
Условие сохранения заряда связывает плотность заряда в любой
точке пространства с плотностью тока в ее окрестности так называе-
называемым уравнением непрерывности:
^- + divJ = O. E.2)
Это уравнение выражает тот физический факт, что уменьшение
заряда внутри малого объема обязательно должно сопровождаться
потоком заряда из объема через его поверхность, так как полное
число зарядов должно оставаться неизменным. Стационарные
магнитные явления характеризуются постоянством плотности
заряда во всех точках пространства. Поэтому в магнитостатике
справедливо уравнение
divJ = O. E.3)
Теперь мы перейдем к рассмотрению экспериментально обнаружен-
обнаруженной связи между электрическим током и плотностью магнитного
потока и формулировке основных законов магнитостатики.
г) По аналогии с приведенным в гл. 1 определением единицы заряда
в электростатике как заряда, образующегося при проведении равно 100 раз
кошачьим мехом по янтарному стержню, можно было бы определить единич-
единичный дипольный момент как дипольный магнитный момент полудюймового
стержня, по которому медленно провели 100 раз некоторым «стандартным»
постоянным магнитом, ориентированным определенным стандартным обра-
образом. Подумав немного, можно было бы изобрести и более надежный и воспро-
воспроизводимый стандарт!
156
Гл. 5. Магнитостатика
§ 2. Закон Био и Савара
В 1819 г. Эрстед обнаружил, что провод, по которому течет'
электрический ток, вызывает отклонение постоянного магнитного
диполя, помещенного вблизи него. Таким образом, токи являются
источниками магнитной индукции. Впервые Био и Савар A820 г.),
а затем в гораздо более тщательных и совершенных опытах Ампер
A820—1825 гг.) установили основные экспериментальные законы,,
связывающие магнитную индукцию В с токами, и нашли закон,.
Фиг. 5.1. Магнитная индукция
обусловленная элементарным током
определяющий силу взаимодействия между токами. Основное соот-
соотношение, хотя и не совсем в том виде, в котором оно было выведено-
Ампером, можно сформулировать следующим образом. Пусть
d\ — элемент длины (ориентированный вдоль тока) бесконечно
тонкого провода, несущего ток /, а х — радиус-вектор, проведен-
проведенный от этого элемента длины в точку наблюдения Ру как показана
на фиг. 5.1; тогда величина и направление магнитной индукции dB,,
создаваемой элементом d\ в точке Р, определяется соотношением
¦ d\ x x
E.4>
Следует заметить, что, так же как и закон Кулона в электро-
электростатике, соотношение E.4) характеризуется обратной пропорцио-
пропорциональностью силы квадрату расстояния. Однако векторный харак-
характер законов совершенно различен.
Если поле создается не током, а одиночным зарядом q, движу-
движущимся со скоростью v, то магнитная индукция будет равна *)
V X X
-hxE,
E.5>
где Е — электростатическое поле заряда q. В этом случае магнит-
магнитная индукция оказывается зависящей от времени. В настоящей главе
мы далее ограничимся рассмотрением лишь стационарных токов.
1) Это соотношение справедливо лишь для частиц, движущихся со
скоростями, много меньшими скорости света.
§ 2. Закон Био и Савара
157
Постоянная k в формулах E.4) и E.5) зависит от выбора системы
¦единиц; этот вопрос подробно рассмотрен в приложении. При изме-
измерении тока в электростатических единицах, а магнитной индукции
в электромагнитных единицах постоянная оказывается равной
k = 1 /с, где с, как было экспериментально установлено, совпадает
со скоростью света в вакууме (с = 2,998-1010 смIсек). Такая система
единиц называется гауссовой. Введение скорости света в уравнения
Фиг. 5.2.
на данной стадии рассмотрения представляется довольно искус-
искусственным, однако имеет то преимущество, что единицы заряда
и тока согласованы, благодаря чему уравнение непрерывности E.2)
записывается в простом виде, без коэффициента с. Далее мы будем
пользоваться исключительно гауссовой системой единиц.
Предполагая, что справедлив принцип линейной суперпозиции
полей, мох-:но записать основной закон E.4) в интегральном виде
и найти магнитную индукцию для различных конфигураций токо-
токонесущих проводов. Например, вектор магнитной индукции В
длинного прямого провода (фиг. 5.2), по которому течет ток /,
как легко видеть, направлен нормально плоскости, содержащей
провод и точку наблюдения. Таким образом, силовые линии маг-
магнитной индукции представляют собой концентрические окружности,
описанные вокруг провода. Величина вектора В определяется
формулой
B| =
dl
2L
cR
E.6)
где R — расстояние от точки наблюдения до провода. Этот резуль-
результат, впервые экспериментально найденный Био и Саваром, изве-
известен как закон Био и Савара. Заметим, что зависимость величины
магнитной индукции В от R имеет тот же вид, как и зависимость
158 Гл. 5. Магнитостатика
напряженности электрического поля протяженного линейного
заряда с однородной линейной плотностью. Эта аналогия показы-
показывает, что в некоторых отношениях можно установить соответствие
между электростатическими и магнитостатическими задачами/
несмотря на различный векторный характер полей. В последующих
параграфах мы еще больше убедимся в этом. Эксперименты Ампера
не ставили целью непосредственное установление связи между
токами и магнитной индукцией, а касались скорее исследования
Фиг. 5.3. К взаимодействию двух витков тока.
силы, действующей на токонесущий провод в присутствии другого
тока. Но поскольку мы уже ввели понятие поля магнитной индук-
индукции, создаваемого элементом тока, закон сил можно выразить,
определив силу, действующую на элемент тока /±rfl± в поле маг-
магнитной индукции В. Элементарная сила оказывается равной
dF = A(dilXB), E.7)
где /4 — ток в элементе dlt (измеряемый в электростатических
единицах), В — магнитная индукция (в электромагнитных едини-
единицах), ас — скорость света. Если внешнее поле В создается замкну-
замкнутым контуром тока (витком) 2 с током /2, то полная сила, испыты-
испытываемая витком / с током /ь согласно E.4) и E.7), выражается
формулой
Линейные интегралы берутся здесь вдоль контуров токов;
х12 — радиус-вектор, проведенный от элемента длины dl2 к dl4,
как показано на фиг. 5.3. Приведенное соотношение является мате-
математической формулировкой результатов опытов Ампера по иссле-
исследованию сил взаимодействия замкнутых витков тока. Преобразуя
в E.8) подынтегральное выражение, можно привести интеграл
к виду, симметричному относительно dli и dl2, откуда явно следует
§ 2. Закон Б по и Савара 159
выполнение третьего закона Ньютона:
dU х (d\2 x x12), М| „ х12
|х12|з ~ V4—:
Второе слагаемое содержит полный дифференциал в интеграле
по dli. Следовательно, оно не дает вклада в интеграл E.8), если
путь интегрирования замкнут или уходит на бесконечность.
В результате формула Ампера для силы взаимодействия между
витками тока принимает вид
Здесь очевидна симметрия относительно переменных интегриро-
интегрирования, а также требуемая векторная зависимость от радиуса-
вектора х12 *).
На единицу длины каждого из двух находящихся на расстоянии
d длинных параллельных прямых проводников с токами /t и /2
действует сила, направленная по нормали ко второму проводу
и равная по величине
f = w- EЛ1)
Это — сила притяжения, если токи текут в одинаковых напра-
направлениях, и сила отталкивания при противоположных направлениях
токов. Исходя из силы взаимодействия проводников с током, можно
определить величину магнитной индукции, не используя предста-
представления о постоянных магнитных диполях 2). Ниже мы увидим, что
выражения для вращающего момента E.1) и для силы E.7) тесно
связаны между собой.
Если ток с плотностью J (х) находится во внешнем магнитном
поле с индукцией В (х), то полная сила, действующая на ток,
в соответствии с выражением E.7) для элементарной силы оказы-
оказывается равной
F = l J J(x)xB(x)fo. E.12)
Совершенно аналогично для полного вращающего момента имеем
N=1 J xx(JxB);fo. E.13)
В § 6 эти общие результаты будут применены к ограниченным
распределениям тока.
*) Имеется в виду, что в этой формулировке сила взаимодействия эле-
элементов тока направлена по прямой, соединяющей эти элементы.— Прим. ред.
2) Фактически выражение E.11) и служит основой для принятого между-
международного стандарта тока (см. приложение).
160 Гл. 5. Магнитостатика
§ 3. Дифференциальные уравнения
магнитостатики и закон Ампера
Основное соотношение E.4) для вектора магнитной индукции
можно переписать в общем виде для объемного распределения тока
с плотностью J (х):
B/\ * 1 ?//\ Л ~ Л f Q / / ^ -I A V
| v| .— V I I Y 1 V /7 е* Y (S I Д V
Это выражение для В (х) является магнитным аналогом выра-
выражения для напряженности электрического поля через плотность
заряда
Е(х)= \ q(x') 1^=^-3d*x*. E.15)
Приведенное выражение для Е в некоторых случаях менее
удобно, чем дифференциальные уравнения; точно так же соотно-
соотношение E.14) не очень удобно, хотя в принципе оно и содержит
описание всех явлений магнитостатики.
Для получения дифференциальных уравнений, эквивалентных
E.14), преобразуем это выражение к виду
EЛ6)
Из E.16) сразу следует, что дивергенция В равна нулю:
divB = 0. E.17)
Это соотношение является первым уравнением магнитостатики,
и соответствует уравнению rot E = 0 электростатики. По аналогии
с электростатикой вычислим ротор В:
^dV. E.18)
С помощью векторного тождества rot rot A = grad div A —V2A,
справедливого для произвольного векторного поля А, можно пре-
преобразовать выражение E.18) к виду
tB = jgrad$ J(x>grad (^щ) сРх'-
-
Используя соотношения
§ 3. Дифференциальные уравнения магнитостатики
161
х —х'
— х'),
можно переписать интегралы в E.19) следующим образом:
^J(x). E.20)
E.21)
Интегрирование по частям дает
Для стационарных магнитных явлений div J = 0; таким образом,
окончательно получаем
rotB = ^J. E.22)
Это — второе уравнение магнитостатики, соответствующее урав-
уравнению div E == 4я$ в электростатике.
В электростатике интегральной формой уравнения div Е =
является теорема Гаусса A.11). Интегральный эквивалент уравне-
уравнения E.22) называют законом Ампера. Его можно получить, приме-
применяя теорему Стокса к интегралу от нормальной составляющей
E.22) по поверхности S, ограниченной замкнутым контуром С
(фиг. 5.4). При этом
i-nda
преобразуется к виду
l=~ \^ i-nda.
s
E.23)
E.24)
162 Гл. 5. Магнитостатика
Так как поверхностный интеграл от плотности тока равен полному
току /, протекающему через поверхность, ограниченную замкну-
замкнутым контуром С, закон Ампера может быть переписан в виде
$В.Л-$1. E.25)
С
Теорема Гаусса позволяет вычислять электрические поля в зада-
задачах с высокой степенью симметрии; совершенно так же может быть
использован в аналогичных магнитных задачах закон Ампера.
§ 4. Векторный потенциал
Основные законы магнитостатики в дифференциальной форме
имеют вид
rotB-^J,
с E.26)
divB = 0.
Задача состоит в решении этих уравнений. Если плотность
тока в исследуемой области равна нулю, то rot В = 0 и мы можем
записать вектор магнитной индукции В как градиент магнитного
скалярного потенциала: В=— grad Фм. Уравнения E.26) сво-
сводятся при этом к уравнению Лапласа для Фм, для решения кото-
которого могут быть использованы все методы, развитые при рассмот-
рассмотрении электростатических задач. Задач такого типа очень много,
но мы пока отложим их рассмотрение до конца главы. Дело в том,
что граничные условия в данном случае отличаются от принятых
в электростатике, причем в магнитостатических задачах обычно
приходится иметь дело с макроскопическими средами, магнитные
свойства которых не совпадают с характеристиками свободного
пространства с зарядами и токами.
В общем случае при решении системы E.26) исходят из того,
что, поскольку div В = 0 во всех точках, индукция В должна быть
ротором некоторого вектора А(х); называемого векторным
потенциалом:
B(x) = rotA(x). E.27)
Фактически вектор В уже представлен в такой форме в выраже-
выражении E.16). Как очевидно из E.16), в общем виде вектор А равен
Наличие второго слагаемого — градиента произвольной ска-
скалярной функции W — означает, что при заданной магнитной индук-
§ 5. Векторный потенциал и магнитная индукция витка тока 163
ции В векторный потенциал можно всегда преобразовывать согласно
соотношению
A->A + grad?. E.29)
Указанное преобразование называют обычно калибровочным. Такое
преобразование вектора А допустимо, потому что E.27) определяет
лишь ротор А. Для полного же определения векторного поля необ-
необходимо знать как его ротор, так и дивергенцию. Возможность
калибровочного преобразования позволяет произвольным образом
задать div A.
Подставляя E.27) в первое из уравнений E.26), получаем
или
rot rot A = — J
с
4л
grad div А — V2A = — J.
E.30)
Воспользовавшись теперь свободой, допускаемой соотношением
E.29), удобно принять div A = О1) . При этом каждая декартова
составляющая векторного потенциала будет удовлетворять урав-
уравнению Пуассона
V2A=-^J. E.31)
Учитывая полученные в электростатике результаты, легко
видеть, что в неограниченном пространстве А представляется соот-
соотношением E.28) с W = 0:
Условие ? = 0 может быть объяснено следующим образом.
Из принятого соотношения div А = 0 следует, что V2? = 0, так
как дивергенция от первого слагаемого в E.28) равна нулю в силу
уравнения div' J = 0. Но если V2lF = 0 во всем пространстве,
то функция ? тождественно равна нулю.
§ 5. Векторный потенциал и магнитная индукция
кругового витка тока
В качестве примера расчета магнитного поля данного распре-
распределения токов рассмотрим задачу о расположенном в плоскости ху
круговом витке тока радиусом а с центром в. начале координат,
по которому течет полный ток / (фиг. 5.5). При этом вектор плот-
г) Указанный выбор называют обычно кулоновской калибровкой, по при-
причине, которая выяснится в гл. 6, § 5.
164
Гл. 5. Магнитостатика
ности тока J имеет единственную отличную от нуля составляющую
Уф = /б (cos 0') 6(r'a~~fl) . E.33)
Наличие б-функций соответствует распределению тока лишь
вдоль окружности радиусом а. Если J имеет лишь ф-составляющую,
z
Р.
Фиг. 5.5.
то и векторный потенциал А имеет лишь составляющую в направле-
направлении ф. Однако эту составляющую Лф нельзя вычислить непосред-
непосредственно, подставляя Уф в E.32). Соотношение E.32) справедливо
лишь для декартовых составляющих А1'2).
Составляющие J в прямоугольных координатах имеют вид
E.34)
В силу цилиндрической симметрии задачи можно при вычислениях
выбрать точку наблюдения в плоскости хг (ф = 0). При этом, оче-
очевидно, ^-составляющая векторного потенциала равна нулю
1) Причина этого состоит в том, что векторное уравнение Пуассона
E.31) сводится к трем независимым скалярным уравнениям VMj =
= — Dn/c)Ji лишь для декартовых составляющих Ai,Jf. При разложении
вектора А на ортогональные составляющие с единичными векторами, зави-
зависящими от координат, дифференциальный оператор в E.31) связывает все
составляющие, так что получается система связанных уравнений; см. книгу
Морса и Фешбаха [77J.
2) Здесь автор выражается неточно. Векторное уравнение E.32) спра-
справедливо при разложении А и J по любым ортогональным единичным векто-
векторам, но в декартовой (и только в декартовой) системе координат составляю-
составляющие Af и Ji связаны уравнением того же типа.— Прим. ред.
§ 5. Векторный потенциал и магнитная индукция витка тока 165
и остается лишь (/-составляющая, равная Лф, Таким образом,
А,(г, 0) =L J r"dr'dO'co>y>ayx^(r'-g) , E.35)
где
| х — х' | = [г2 + г'2 — 2rr' (cos 9 cos 9' + sin 9 sin 9' cos ф')]1/2-
Найдем сначала Лф, непосредственно вычислив интеграл E.35).
Используя свойства б-функции, мы придем к следующему резуль-
результату:
2я
Полученный интеграл можно выразить через полные эллиптиче-
эллиптические интегралы К и Е:
E>37)
где аргумент эллиптических интегралов определяется выражением
Ь2 _ 4ar sin
Составляющие вектора магнитной индукции, равные
E.38)
также могут быть выражены через эллиптические интегралы,
однако получающиеся выражения не обладают достаточной нагляд-
наглядностью (хотя и полезны для вычислительных целей).
При малых &2, соответствующих а > г, а < г или 9 < 1, выра-
выражение в квадратных скобках в E.37) сводится к л;&2/16. Векторный
потенциал оказывается при этом приближенно равным
А (г 9} ^®E.39)
Соответствующие выражения для составляющих поля имеют вид
E.40)
D /яа2 . Q
BQ ^ sin 9
с (
166 Гл. 5. Магнитостатика
Эти выражения легко упростить для трех областей: вблизи оси
(9 < 1), вблизи центра витка (г < а) и вдали от витка (г > а).
Особенный интерес представляет поле вдали от витка:
D о Ыа2 cos Э
с г» '
sine E*41)
Сравнение с электростатическим полем диполя D.12) показы-
показывает, что магнитное поле вдали от кругового витка тока имеет
дипольный характер. По аналогии с электростатикой определим
магнитный дипольный момент витка выражением
Ыа2 /г ,оч
т = ——. E.42)
В следующем параграфе б>дет показано, чтсЗ полученное соот-
соотношение является частным случаем общего результата: поле огра-
ограниченного распределения токов на больших расстояниях имеет
дипольный характер; магнитный момент плоского замкнутого
линейного тока равен произведению площади ограниченной током
части плоскости на 11с.
Хотя мы нашли полное решение задачи, выразив поле через
эллиптические интегралы, решим ту же задачу с помощью разло-
разложения по сферическим гармоникам, что позволит выявить сходство
и различие магнитостатической и электростатической задач. Для
этого обратимся снова к выражению E.35) и подставим вместо
величины | х — х' I ее разложение C.70) по сферическим гармо-
гармоникам
Ь 2/ +
I, m
X \ г'Ыг'dQ' 6 (cos в') б (г'-о)в*»'-j^t-У?т F\ ф')- E-43)
Наличие множителя е^' в подынтегральном выражении озна-
означает, что отличны от нуля лишь слагаемые с т = 1. Следовательно,
где г< и г> — соответственно меньшая и большая из величин а и г.
§ 5. Векторный потенциал и магнитная индукция витка тока 167
Величина в квадратных скобках — это число, зависящее от номера /:
21 + 1 :PHO) =
I 0 для четных I, ._ ._
= /~^7Т1~ГAГ+1Г(» + 8/)-]
У 4
4nl(l + \)l Г(п + 1)Г(»/2) J
Таким образом, Av можно представить в виде
ДЛЯ 1~
где Bм — 1)!! = Bп — 1)Bм — 3) ... 5-3-1, а коэффициент члена
суммы сп = 0, по определению, равен единице. Для вычисления
радиальной составляющей вектора В согласно E.38) воспользуемся
равенством
-?-[УГ^Р] (х)}= 1A + 1)Pi (х). E.47)
В результате получим
Совершенно аналогично для составляющей Be найдем
2«(n+l)! Х
п=0
ГУ"'!
e; fU E.49)
где верхнее выражение в фигурных скобках соответствует г < а,
а нижнее г > а. При г > а существен лишь член с л = 0. При
этом в силу равенства PJ(cos Э)= —sin Э выражения E.48) и E.49)
сводятся к E.41). Для г < а основной вклад в сумму также дает
член с п = 0. Магнитная индукция оказывается при этом равной
2я/ /ас и направленной вдоль оси z\ этот результат можно было бы
получить и элементарным расчетом.
Укажем на характерное отличие рассмотренной проблемы
от соответствующей электростатической задачи с цилиндрической
симметрией. В проведенном анализе наряду с обычными полино-
полиномами Лежандра встречаются и присоединенные функции Лежандра.
Это обусловлено векторным характером тока и векторного потен-
168
Гл. 5. Магнитостатика
циала в противоположность скалярным свойствам заряда и электро-
электростатического потенциала.
Задачу о линейном круговом токе можно решать и с помощью
разложения по цилиндрическим функциям. Тогда для | х — х' I
вместо представления C.70) следует использовать соответствующие
разложения по цилиндрическим функциям C.148) и C.149). Приме-
Применение этого метода к расчету поля кругового линейного тока мы отне-
отнесем к задачам. Применение цилиндрических функций вообще полез-
полезно при произвольном распределении тока, имеющего лишь ф-состав-
ляющую.
§ 6. Магнитное поле
ограниченного распределения токов.
Магнитный момент
Рассмотрим свойства произвольного распределения тока, лока-
локализованного в малой области пространства; при этом «малость»
Фиг. 5.6. К расчету магнитного поля в точке Р с координатой х,
создаваемого ограниченным распределением тока J(x').
определяется сравнением с некоторой характерной длиной, инте-
интересующей наблюдателя. Адекватный анализ этой задачи, аналогич-
аналогичный разложению электростатического поля по мультиполям, тре-
требует применения векторных сферических гармоник. Соответствую-
Соответствующее рассмотрение будет проведено в гл. 16 в связи с исследованием
мультипольного излучения. Здесь же мы ограничимся лишь полу-
получением приближения низшего порядка. Разложим множитель
1/|х — х; | в выражении E.32) по степеням радиуса-вектора х',
отсчитываемого от начала координат, выбранного в области рас-
распределения токов (фиг. 5.6):
1 1 х • х'
|Х_Х', =|Г!+"пг^+---- E-50)
В результате для декартовых составляющих векторного потен-
потенциала получаются разложения
§ 6. Магнитное поле ограниченного распределения токов 169л
Для ограниченного стационарного распределения тока интеграл
от J по объему равен нулю, так как div J = 0. Следовательно,
первый член разложения, соответствующий полному заряду
в электростатике, обращается в нуль.
Подынтегральное выражение во втором слагаемом можно,
используя формулу для тройного векторного произведения, пред-
представить в более удобной форме:
(х-х') J = (х-J) x'-xx(x'x J). E.52)
Можно показать, что интеграл по объему от первого слагаемого-
в правой части E.52) равен взятому с обратным знаком интегралу
от левой части. Действительно, рассмотрим интеграл
= - \ x'jJid9x'. E.53)
При переходе от первого интеграла ко второму учтено равенство
div J = 0; последующие выражения получены интегрированием
по частям. Таким образом, учитывая E.53), можно представить
интеграл от E.52) в виде
(x.x')J(x')dV= —lrx X J [x' x J (x')] d*x'. E.54)
Определим магнитный момент распределения тока J выражением
ш = ^ J x'x 3(x')d*x'. E.55)
Иногда удобно интерпретировать подынтегральное выражение
в E.55) как плотность магнитного момента, или намагниченность.
Обозначим намагниченность, обусловленную распределением тока
J, через
ЛВ=-^-(ххЛ). E.56)
Векторный потенциал E.51) может быть выражен через магнит-
магнитный момент т:
. E.57)
Это — наинизший отличный от нуля член разложения вектор-
векторного потенциала А для ограниченного стационарного распределе-
распределения тока. Вектор магнитной индукции В может быть найден непо-
непосредственно вычислением ротора от E.57):
B(x) = 3n(n-m)-m + 4jtm6(x)i E58)
170
Гл. 5. Магнитостатика
где п — единичный вектор в направлении х. Поскольку формулы
E.57) и E.58) справедливы лишь вне распределения токов, член
с б-функцией можно опустить. Выражение для магнитной индук*
ции E.58) в точности совпадает с формулой D.13) для поля элек^
трического диполя. Полученное выражение является обобщением
найденного в предыдущем параграфе выражения для поля круго-
кругового витка тока. Вдали от любого ограниченного распределения
тока вектор магнитной индукции совпадает с магнитной индук-
индукцией диполя с магнитным моментом E.55).
Фиг. 5.7.
Если ток течет по плоскому витку произвольной формы, то маг-
магнитный момент можно представить в весьма простом виде.
Для тока /, текущего по замкнутому контуру с элементом длины dl,
выражение E.55) принимает вид
xdl. E.59)
Для плоского витка (фиг. 5.7) магнитный момент нормален пло-
плоскости контура. Поскольку г/2 (x x dl) = da, где da — площадь
элементарного треугольника, образованного радиусами-векторами»
проведенными из начала отсчета к обоим концам элемента длины dl,
то интеграл E.59) вдоль контура равен полной площади, ограни-
ограниченной контуром. В результате величина магнитного момента ока-
оказывается равной
| m | = -L. (Площадь) E.60)
независимо от формы контура.
Если ток обусловлен движением системы заряженных частиц
с зарядами qt и массами Mt со скоростями vit то магнитный момент
§ 7. Сила и момент, действующие на распределение тока 171
может быть выражен через момент количества движения частиц.
Плотность тока равна
2xt), E.61)
г
где х* — радиус-вектор i-й частицы. Магнитный момент E.55)
оказывается в этом случае равным
™ = -^2>4i(XiXVi)- E.62)
г
Векторное произведение (х, X vt) пропорционально моменту коли-
количества движения /-й частицы Lt = Mt (хг х wt). Таким образом,
выражение E.62) принимает вид
m=SwLi- E-63)
Если отношение заряда частицы к ее массе одинаково для всех
движущихся частиц (qi/Mt = е/М)у то магнитный момент системы
может быть выражен через полный момент количества движения L:
Мы получили известное классическое соотношение, связывающее
момент количества движения и магнитный момент, справедливое
для орбитального движения даже в атомных масштабах. Однако
это классическое соотношение перестает выполняться для собствен-
собственного момента электронов и других элементарных частиц. Для эле-
электронов собственный магнитный момент несколько превышает
удвоенное значение величины, определяемой соотношением E.64),
с заменой L на спиновый момент количества движения S. Мы гово-
говорим, что для электрона ^-фактор равен 2-1,00117. Отличие магнит-
магнитного момента электрона от его классического значения обусловлено
релятивистскими и квантовомеханическими эффектами, которые
мы здесь рассматривать не можем.
§ 7. Сила и момент,
действующие на ограниченное распределение тока
во внешнем магнитном поле
Ограниченное распределение тока, находящееся во внешнем
магнитном поле с вектором индукции В (х), испытывает действие
сил и вращающих моментов, возникающих в соответствии с зако-
законами Ампера. Общие выражения для полной силы и момента даются
соотношениями E.12) и E.13). Если в области, занятой токами,
172 Гл. 5. Магнитостатика
внешнее магнитное поле медленно меняется от точки к точке*
то основной вклад в силу и вращающий момент можно найти,
используя разложение в ряд Тейлора. Составляющие В могут
быть представлены вблизи некоторого надлежащим образом вы-
выбранного начала отсчета в виде разложений
Вг (х) = Bt @) + х • grad Bt @) + .... E.65)
Выражение для силы E.12) принимает при этом вид
F= --1-В@)х Jj(x')d3x' + 4" Jj(x')X[(x'.grad)B(O)]dV -f....
E.66)
Интеграл по объему от J для стационарных токов равен нулю,
поэтому наименьший порядок малости будет иметь член разложе-
разложения с градиентом В. Поскольку подынтегральное выражение, кроме
grad В, содержит еще J и х, можно ожидать, что интеграл удастся
выразить через магнитный момент E.55). Воспользуемся для этого
равенствами
J х [(х' • grad) В] = J х grad (x' • В) = — rot [J (x' • В)]. E.67)
Здесь учтено, что rot В = 0 для внешнего поля и что оператор
градиента действует лишь на вектор В. Таким образом, выражение
силы можно переписать в виде
F= ~4~rot J J(x'.B)d3x' + .... E.68)
Можно далее воспользоваться векторным тождеством E.54), заме-
заменив в нем фиксированный вектор ц на В. В результате получим
F = rot(Bx m) = (m-grad)B = grad(m-B), E.69)
где m — магнитный момент, определяемый соотношением E.55)*
Второе представление для силы в E.69) получается при учете
равенства div В = 0, третье — при учете соотношения rot В = 0.
Таким образом, на ограниченное распределение тока в неодно-
неоднородном магнитном поле действует сила, пропорциональная маг-
магнитному моменту этого тока m и определяемая выражением E.69)-
В качестве простого приложения полученного результата можно
определить среднее по времени значение силы, которая действует
на заряженную частицу, движущуюся по спирали в неоднородном
магнитном поле. Как известно, заряженная частица в однородном
магнитном поле движется по окружности в плоскости, нормальной
к полю, сохраняя постоянную скорость в направлении поля; траек-
траекторией движения частицы является, таким образом, спираль.
В среднем по времени круговое движение эквивалентно линейному
7. Сила и момент, действующие на распределение тока 173
«фуговому току с магнитным моментом, определяемым соотноше-
соотношением E.60). Если же поле не однородно, а обладает малым градиен-
градиентом (таким, что на одном витке спиральной траектории величина
поля меняется незначительно), то можно считать, что движение
частицы определяется силой, действующей на эквивалентный маг-
магнитный момент. Анализ знаков момента и силы показывает, что
независимо от знака заряда заряженные частицы выталкиваются
из области с более высокой плотностью магнитного потока. На этом
эффекте основано действие так называемых магнитных зеркал,
рассматриваемых с другой точки зрения в гл. 12, § 10.
Аналогичным образом, подставляя в E.13) разложение E.65),
можно найти полный вращающий момент, действующий на ограни-
ограниченное распределение тока. При этом уже нулевой член разложе-
разложения оказывается отличным от нуля.
Удерживая лишь главный член разложения, получаем
N = ±- \ х' X [J X В@I dV. E.70)
Раскрывая тройное векторное произведение, находим
N=_L J [(x'.B)J-(x'.J)B]dV. E.71)
Первый интеграл совпадает с рассмотренным ранее [см. E.68)],
так что его значение можно написать сразу. Второй интеграл для
стационарного ограниченного распределения тока обращается
в нуль, что следует из векторного тождества
В результате главный член разложения для вращающего момента
принимает вид
N = mxB@). E.72)
Это уже знакомое нам выражение для вращающего момента,
действующего на диполь, введенное в § 1 при рассмотрении спосо-
способов определения величины и направления вектора магнитной
индукции.
Потенциальную энергию постоянного магнитного момента (или
магнитного диполя) во внешнем магнитном поле можно найти,
исходя как из выражения для силы E.69), так и из выражения для
вращающего момента E.72). Рассматривая силу как взятый с обрат-
обратным знаком градиент потенциальной энергии U, находим
U=-mB. E.73)
174 Гл. 5. Магнитостатика
Для магнитного диполя, находящегося в однородном поле, вращаю-
вращающий момент E.72) можно интерпретировать как взятую с обратным
знаком производную U по углу между векторами Вит. Этот извест-
известный результат отражает тот факт, что диполь стремится ориенти-
ориентироваться в направлении магнитного поля и принять положение
с наименьшей потенциальной энергией.
В заключение заметим, что выражение E.73) не определяет
полную энергию магнитного момента во внешнем поле. При вне-
внесении диполя m на занимаемое им место в магнитном поле следует
еще совершить работу по поддержанию тока J, обеспечивающего
постоянство момента т. Несмотря на то что конечное состояние
стационарно, его установлению предшествует некоторый переход-
переходный процесс, в течение которого поля меняются во времени. Этот
процесс лежит вне рамок настоящего исследования. Поэтому
окончательное обсуждение вопроса об энергии магнитного поля
следует отложить до гл. 6, § 2, когда уже будет рассмотрен закон
индукции Фарадея.
§ 8. Макроскопические уравнения
Рассмотренные до сих пор соотношения E.17) и E.22) для стацио-
стационарных магнитных полей следует понимать как микроскопические
уравнения в том смысле, как это объяснено в гл. 4. Мы считали
плотность тока J известной функцией координат. В макроскопиче-
макроскопических задачах это часто оказывается несправедливым. Имеющиеся
в атомах вещества электроны создают эффективные атомные токи*
плотность которых очень быстро флуктуирует. Известными и имею-
имеющими смысл можно считать лишь их значения, усредненные по мак-
макроскопическому объему. Кроме того, электроны обладают соб-
собственными магнитными моментами, которые нельзя выразить через-
плотность электронного тока. Эти магнитные моменты могут созда-
создавать дипольные поля, также весьма быстро меняющиеся в преде-
пределах атома.
Чтобы учесть магнитные свойства атомов, мы поступим так же,
как и в гл. 4. § 3. Вывод макроскопических уравнений мы изложим
здесь вкратце. Несколько более полное изложение будет дано
в гл. 6, § 10. Дело в том, что в переменных по времени полях часть
атомного тока обусловлена временной производной от поляриза-
поляризации Р, так что для полного рассмотрения атомного тока необхо-
необходимо перейти к общему случаю полей, зависящих от времени.
Полную плотность тока можно разделить на две части:
а) плотность тока проводимости J, обусловленную истинным
перемещением зарядов;
б) плотность атомных токов Jtt, характеризующую токи, цир-
циркулирующие внутри атомов и молекул.
§ 8. Макроскопические уравнения 175
Соответственно полный векторный потенциал складывается
из двух членов:
1 г J(x')d*x' 1 Г Ja(x')d4' -
а~Т~ 3 |х —х'| fT } |x-x'| • (°'/V
Мы используем здесь обозначение а (вместо А) для микроскопиче-
микроскопического векторного потенциала подобно тому, как в гл. 4 мы обозна-
обозначали через е микроскопическое электрическое поле.
Для определения вклада атомных токов рассмотрим снача-
сначала отдельную молекулу, а затем произведем усреднение по всем
молекулам. Рассмотрение проводится в точности так же, как
и в § 6 этой главы для ограниченного распределения тока. Для моле-
молекулы с центром в точке х; векторный потенциал в точке х прибли-
приближенно равен
я /У\ _ (тмол X (x~~xj)] (Ъ 7Ъ\
аМол Vх; — , V_Y. з • (о./о;
! А л.7 I
Чтобы наряду с орбитальными моментами учесть и собственные
магнитные моменты электронов, будем считать тМОл общим молеку-
молекулярным магнитным моментом. Если теперь просуммировать по всем
молекулам и усреднить, как в гл. 4, § 3, то получим следующее
выражение для макроскопического векторного потенциала:
**¦- EJ6)
здесь М (х) — макроскопическая намагниченность (т. е. магнитный
момент единицы объема), определяемая соотношением
М = АЧтМ0Л>, E.77)
где N •— число молекул в единичном объеме.
Вклад намагниченности в векторный потенциал А можно пред-
представить в более удобной форме
М (х') X -^-^з d*x' = J М (х') X graJ' (t^j) dV. E.78)
Используя далее тождество rot (срМ) = [grad ф х М] + Ф r°t
мы получаем
E.79)
Последний интеграл может быть преобразован в поверхностный
интеграл от (п х М)/1 х — х' | и обращается в нуль при достаточно
хорошем математическом поведении М, если токи локализованы
внутри конечного объема. Заменяя последний член соотношения
Л76 Гл. 5. Магнитостатика
E.76) первым членом правой части соотношения E.79), мы можем
записать векторный потенциал в виде
A(x) =—\ —v ;^ -,—y—L-dbx. E.80)
X —X
Мы видим, что намагниченность вносит в векторный потенциал
такой же вклад, как и ток с эффективной плотностью:
Jar = с rot M. E.81)
При выводе соотношения E.80) был сделан один шаг, который
требует разъяснения. Он заключается в использовании дипольного
векторного потенциала E.75) для всех молекул, включая и распо-
расположенные в окрестности точки х. Для молекул, находящихся внутри
сферы с центром в точке х и радиусом порядка несколько молеку-
молекулярных диаметров d? векторный потенциал существенно отличается
от дипольного выражения E.75) и имеет гораздо менее резко выра-
выраженную особенность. Таким образом, в E.80) влияние молекул,
находящихся внутри этой сферы, вычислено 'неправильно. Чтобы
оценить влияние этих молекул, заметим, что величина векторного
потенциала, создаваемого единицей объема вблизи точки х, равна
| rot M \/R, в то время как объем шарового слоя, ограниченного
поверхностями с радиусами R и R -f- dR, равен 4nR2dR. Следова-
Следовательно, ошибка в оценке влияния непосредственной окрестности
точки х на вектор А имеет величину порядка d2 | rot M | —
~ (d2IL) <М>, где L — характерный макроскопический масштаб
изменения М. Поскольку полный векторный потенциал имеет
величину порядка <М> L, то относительная ошибка при использо-
использовании дипольного приближения для всех точек по порядку величины
равна d2IL2. Она пренебрежимо мала, пока макроскопическая
длина L не становится микроскопической. Однако в последнем
случае весь вывод теряет силу.
Для получения макроскопического эквивалента уравнения E.22)
запишем В, пользуясь соотношением E.80), или, что то же самое,
заменим в E.22) J на полный ток (J -f- ^м)'
rot В = — J + 4я rot M. E.82)
Член с rot M можно объединить с В. При этом мы получим новую
макроскопическую характеристику Н, называемую магнитным
полем 1)\
Н-В-4яМ. E.83)
2) В дальнейшем, там где это не внесет путаницы, мы часто будем назы-
называть магнитным полем также и индукцию В.— Прим. ред.
§ 8. Макроскопические уравнения 177
При этом макроскопические уравнения, заменяющие E.26), запи-
запишутся в виде
rotH^-J,
E.84)
divB = 0.
Введение Н в качестве макроскопического поля полностью эквива-
эквивалентно введению D для электрического поля. Электростатическим
аналогом уравнений E.84) являются уравнения
div D= 4яр,
rotE = 0. <5-85>
Подчеркнем, что основными полями являются Е и В. Они удовле-
удовлетворяют однородным уравнениям систем E.84) и E.85). Производ-
Производные поля D и Н введены для удобства и учитывают в среднем вклад
в Q и J атомных зарядов и токов.
По аналогии с диэлектриком следует ожидать, что свойства
магнитной среды также можно описать с помощью небольшого числа
констант, характеризующих данное вещество. В простейшем слу-
случае мы можем предположить, что В и Н пропорциональны друг
Другу:
В = (шН. E.86)
Характеризующая вещество постоянная [х называется магнитной
проницаемостью г). Такое простое соотношение справедливо только
для неферромагнитных материалов. Однако для этих немагнитных
веществ jut обычно отличается от единицы лишь на величину порядка
10~5 (jut > 1 для парамагнитных и jut <С 1 для диамагнитных веществ).
Для ферромагнитных материалов вместо E.86) имеет место нели-
нелинейная функциональная связь
B = F(H). E.87)
Явление гистерезиса показывает, что В является неоднозначной
функцией Н, как это видно из фиг. 5.8. Фактически значение функ-
функции F(H) зависит от предыстории вещества. В связи с этим вво-
вводится дифференциальная магнитная проницаемость |ш(Н), которая
определяется как производная от В по Н, в предположении, что
х) Аналогом электростатического соотношения D = &Е, выражающим
производную величину D через основную величину Е, было бы соотношение
Н = jli'B. Однако по традиции используется соотношение E.86). Некото-
Некоторым основанием для этого является то, что для большинства веществ \i
больше единицы, что, возможно, более удобно, чем использование величины
ц/, которая меньше единицы.
12 Дж. Джексон
178
Гл. 5. Магнитостатика
В и Н параллельны. Для веществ, обладающих высокой магнитной
проницаемостью, jui(H) может достигать величин порядка 10е.
У большинства необработанных ферромагнитных материалов в очень
малых полях наблюдается линейная зависимость E.86) между
В и Н. Обычные величины начальной магнитной проницаемости
лежат в интервале от 10 до 104.
Фиг. 5.8. Петля гистерезиса,
характеризующая зависимость В
от Н в ферромагнетике.
Сложная связь между В и Н в ферромагнитных материалах
приводит к специфическим трудностям при решении граничных
задач магнитного поля по сравнению с аналогичными задачами
электростатики. Однако в ряде случаев благодаря очень большой
величине магнитной проницаемости можно ввести упрощающие
предположения в граничные условия. В § 9 мы непосредственно
займемся этими вопросами.
§ 9. Граничные условия
для магнитной индукции и поля
Для решения граничных задач магнитостатики необходимо
прежде всего установить граничные условия, которым удовлетво-
удовлетворяют В и Н на поверхности раздела двух сред с различными магнит-
магнитными свойствами. Расположим на граничной поверхности элемен-
элементарный цилиндрический объем таким образом, чтобы торцовые
плоскости находились в областях / и 2 и были параллельны гра-
граничной поверхности S, как показано на фиг. 5.9.
Применяя теорему Гаусса и соотношение div В = 0, получаем
(В2 —
E.88)
§ 9. Граничные условия для магнитной индукции и поля
179
где п — единичная нормаль к поверхности раздела, направлен-
направленная из области 1 в область 2, а индексы означают, что данная вели-
величина берется на поверхности S в одной из двух сред.
Рассмотрим теперь элементарный (также изображенный на
фиг. 5.9) контур С площадью S, нормаль п' к которому параллельна
Фиг. 5.9.
поверхности раздела. Применяя теорему Стокса к первому из ура-
уравнений E.84), получаем
J-n'da.
E.89)
При ширине контура, стремящейся к нулю, линейный интеграл
дает разность тангенциальных составляющих Н в обеих средах,
а поверхностный интеграл пропорционален плотности поверхност-
поверхностного тока К [заряд/(длина хвремя)]. Таким образом, из E.89)
получаем соотношения
или
4зт
К.
E.90)
Выразим эти граничные условия через Н и магнитную проницае-
проницаемость \i. Предполагая для простоты, что поверхностные токи
отсутствуют, получаем
Н2Х n = Hi X п.
E.91)
180
Гл. 5. Магнитостатика
Если in > Н*2, то нормальная составляющая Н2 много больше
нормальной составляющей Нь как показано на фиг. 5.10. В пределе
{(ui1/(ui2) ->oo магнитное поле Н2 становится перпендикулярным
граничной поверхности независимо от направления Нх (кроме
особого случая, когда поле Ht строго параллельно поверхности
раздела). Таким образом, граничные условия для Н на поверхности
материальных тел с очень большой магнитной проницаемостью
совпадают с граничными условиями для электрического поля
Фиг. 5.10.
на поверхности проводников. Это позволяет использовать теории*
электростатического потенциала и для магнитного поля. Поверх-
Поверхности тел из вещества с большой магнитной проницаемостью
являются приближенно «эквипотенциальными», а силовые линии Н
перпендикулярны этим эквипотенциальным поверхностям. Ука-
Указанная аналогия часто используется при проектировании магнитов.
Задается конфигурация поля, а профиль полюсных наконечников
магнита выбирается так, чтобы он совпадал с эквипотенциальной
поверхностью.
§ 10. Однородно намагниченный шар
Для иллюстрации различных методов, которые применяются
при решении граничных задач магнитостатики, рассмотрим про-
простую задачу о помещенном в немагнитную среду шаре радиусом
а (фиг. 5.11) с однородной постоянной намагниченностью М, рав-
равной Мо по величине и направленной вдоль оси z (М = М0е3).
Вне шара div В = rot В = 0. Следовательно, при г> а вектор
В == Н можно записать как взятый с обратным знаком градиент
скалярного магнитного потенциала, удовлетворяющего уравнению
Лапласа:
= — graders,
E.92)
§ 10. Однородно намагниченный шар 181
Общее решение для потенциала, удовлетворяющее условию
В ->0 при г ->оо, имеет вид
2^. E.93)
На предыдущих примерах мы уже убедились, что в этом разложе-
разложении часто отличны от нуля только несколько первых членов,
иногда даже лишь один член с / = 1.
Внутри намагниченного тела уравнения E.92), вообще говоря,
неприменимы, так как rot В Ф 0. Для рассматриваемой простой
задачи это не приводит к трудностям, поскольку, согласно E.83),
В, Н и М в отсутствие приложенных полей параллельны.
Следовательно, мы можем положить
е3. ( '
Граничные условия на поверхности сферы требуют непрерыв-
непрерывности Вг и #е- Поэтому, согласно E.92) — E.94), получаем
(=0
E.95)
1=0
Очевидно, в этих разложениях не равны нулю только члены с / = 1.
Находим неизвестные постоянные сц и Во:
8я E-96)
SQJt АЛ Ч 7
0=-7r-*W0-
182
Гл. 5. Магнитостатика
Итак, поле вне сферы совпадает с полем диполя E.41) с дипольным
моментом
т==^±а*М, E.97)
а внутренние поля выражаются следующим образом:
E.98)
Заметим, что индукция Bf параллельна намагниченности М, в то
время как поле Иг антипараллельно М. Силовые линии В и Н
в и
Фиг. 5.12. Линии В и Н для однородно намагниченного шара.
Линии В являются замкнутыми кривыми, а линии Н начинаются на
поверхности шара, где расположены «магнитные заряды» —div M.
изображены на фиг. 5.12. Линии В образуют непрерывные зам-
замкнутые петли, а линии Н оканчиваются на поверхности шара.
Таким образом, на поверхности как бы сосредоточены «магнитные
заряды». Эти фиктивные заряды связаны с дивергенцией намагни-
намагниченности шара (см. ниже).
Решение как внутри, так и вне сферы можно получить также
и из теории электростатического потенциала, если рассматривать
не В, а Н. При этом следует исходить из уравнений
divH= -4jtdivM. (
Эти уравнения показывают, что Н — потенциальный вектор,
а —divM можно рассматривать как плотность магнитных зарядов.
§ JO. Однородно намагниченный шар 183
Полагая Н = — grad фм, находим
V2OM-4ndivM. E.100)
Так как намагниченность М постоянна по величине и направлению,
ее дивергенция внутри сферы равна нулю. Однако следует учесть
скачок 1VI на границе сферы, поскольку вне сферы М обращается
в нуль. Запишем решение уравнения E.100) внутри и вне сферы
в виде
$^^ E.101)
Отсюда, используя векторное тождество div (срМ) = М-grad ф +
+ Ф div M, получаем
iv'|-5^ EЛ02)
Первый интеграл обращается в нуль при интегрировании по про-
произвольному объему, содержащему шар. Заменяя производную
по х' производной по х в соответствии с правилом grad' ->-— grad,
справедливым для любой функции от | х — х' |, мы можем записать
скалярный потенциал в виде
0>M(x)=-div $?^
E.103)
Вклад в интеграл дает только первый член разложения |х— х' I,
соответствующий / = 0; поэтому
а
Фм (х)= -4nM0div Ге3 \ г-^-] . E.104)
L о > J
Значение этого интеграла зависит от того, где находится точка
наблюдения — внутри или вне сферы. Легко видеть, что
Фм(х) = —^—( -г- cose, E.105)
где г< и г> — соответственно меньшая и большая из величин
г и а. Потенциал E.105) описывает вне шара поле магнитного диполя
184 Гл. 5. Магнитостатика
с моментом E.97), а внутри шара — постоянное поле Н^ [см. E.98)]
в согласии с первым методом решения задачи х).
В заключение мы решим эту задачу, используя всегда примени-
применимый векторный потенциал. Согласно E.80), векторный потенциал
определяется соотношением
$l?^?l E.106)
Поскольку М внутри сферы имеет постоянную величину, ротор М
везде равен нулю. Однако аналогично предыдущему следует учесть
влияние скачка М на границе сферы. Воспользовавшись E.79),
мы видим, что А можно представить поверхностным интегралом:
*•¦- f т??г*'- <5107>
Величину с (М х п) можно рассматривать как поверхностную
плотность тока. Отметим, что эквивалентность однородной намагни-
намагниченности внутри некоторого объема поверхностному току с плот-
плотностью с (М х п) на поверхности этого объема является общим
результатом для объемов произвольной формы. Эта эквивалент-
эквивалентность часто оказывается полезной при рассмотрении полей, созда-
создаваемых постоянными магнитами.
В случае сферы, когда вектор М направлен вдоль оси г, вектор
(М х п) имеет только азимутальную составляющую
(Mxn),p = iWoSine\ E.108)
Для удобства расчета будем считать, что точка наблюдения лежит
в плоскости xz (так же как в § 5). Отличной от нуля будет только
^/-составляющая вектора—(пхМ). Таким образом, азимутальная
составляющая векторного потенциала равна
, E.109)
где точка х' имеет координаты (а, 9', ф'). Зависящий от углов мно-
множитель можно представить в виде
Re[FM(9', Ф')]. E-110)
х) Вывод соотношений E.105) из E.101) можно провести и более
просто. Легко видеть, что для однородно намагниченного шара div M =
= —M0cos 96 (г— а). Подстановка этого выражения в E.101) при исполь-
использовании C.70) прямо приводит к E.105). Однако соотношение E.103) представ-
представляется полезным для более сложных распределений намагниченности.
§ 11. Намагниченный шар во внешнем поле 185
Соответственно в разложении C.70) для | х— х' | сохранятся толь-
только члены с / = 1, т = 1, и мы получим
тв, E.111)
где г< и г> — меньшая и большая из величин г и а. Если векторный
потенциал А имеет только одну ф-составляющую, то магнитная
индукция В выражается формулами E.38). Очевидно, в согласии
с полученным выше результатом выражение E.111) дает однородное
поле В внутри сферы и дипольное поле снаружи.
Примененные здесь различные методы иллюстрируют возможные
подходы к решению задач магнитостатики, в частности, с заданным
распределением намагниченности. Метод скалярного потенциала
применим только в том случае, когда токи отсутствуют. Для
решения же общих задач при наличии токов необходимо исполь-
использовать векторный потенциал (за исключением некоторых случаев
простой геометрии, где могут применяться различные специальные
методы).
§ 11. Намагниченный шар во внешнем поле.
Постоянные магниты
В § 10 мы рассмотрели поле, создаваемое однородно намагни-
намагниченным шаром. Исходя из линейности уравнений поля, мы можем
добавить к этому полю магнитную индукцию Во= Но, однородную
во всем пространстве. Тогда мы приходим к задаче об однородно
намагниченном шаре во внешнем магнитном поле. Согласно E.98),
магнитная индукция В и магнитное поле Н внутри шара оказы-
оказываются в этом случае соответственно равными
^
л E.112)
Н,= В0—~-М.
Представим теперь, что шар не является постоянным магнитом,
а представляет собой парамагнетик или диамагнетик с магнитной
проницаемостью [х. Намагниченность М возникает в нем в резуль-
результате действия внешнего поля. Для нахождения М используем
соотношение
Bj = |xH2. E.113)
Отсюда
^ (^) E.114)
186
Гл. 5. Магнитостатика
и, следовательно, вектор намагниченности равен
Отметим полную аналогию с выражением D.63) для вектора поля-
поляризации Р диэлектрического шара в однородном электрическом
поле.
Для ферромагнитных веществ приведенные выше результаты
неприменимы. Действительно, из уравнения E.115) следует, что
при выключении внешнего поля намагниченность обращается в нуль.
Однако этому выводу противоречит существование постоянных
Фиг. 5.13.
магнитов. Возможность существования тел с постоянной намагни-
намагниченностью связана с нелинейной зависимостью E.87) и явлением
гистерезиса. Исключив М из E.112), получим соотношение между
Н, и Bt:
3B0. E.116)
Другое соотношение между Bj и Н^ дает гистерезисная кривая.
Таким образом, для любого внешнего поля мы можем найти соответ-
соответствующую величину внутреннего поля. Уравнение E.116) изобра-
изображается на гистерезисной диаграмме прямыми линиями, имеющими
тангенс угла наклона, равный —2, и пересекающими ось у в точ-
точке ЗВ0 (фиг. 5.13). Предположим, например, что внешнее поле возра-
возрастает до тех пор, пока ферромагнитный шар не будет намагничен
до насыщения, а затем уменьшается до нуля. Внутренние поля
В и Н определяются при этом точкой Р на фиг. 5.13, а намагничен-
намагниченность можно определить из E.112) при Во = 0.
Соотношение E.116), устанавливающее связь между В; и Нь
характерно только для шара. Для других геометрических фигур
имеют место другие соотношения. Задача об эллипсоиде может быть
§ 12. Магнитное экранирование 187
решена точно. В этом случае тангенс угла наклона линий E.116)
изменяется от нуля для случая плоского диска до —оо для тонкого
иглообразного эллипсоида. Таким образом, в случае тонких стерж-
стержней получается большая остаточная намагниченность, чем для
шара или сплющенного эллипсоида.
§ 12. Магнитное экранирование.
Сферическая оболочка из магнитного
материала в однородном поле
Пусть в некоторой области свободного пространства задано
некоторое начальное магнитное поле Во. Если мы внесем в эту
область магнитное тело, то силовые линии магнитной индукции
Фиг. 5.14.
как-то изменятся. Как следует из соображений, приведенных в кон-
конце § 9 и касающихся веществ с очень высокой магнитной проницае-
проницаемостью, можно предполагать, что силовые линии будут стремиться
расположиться нормально к поверхности тела. Проводя дальше
аналогию с проводниками в электростатике, мы можем ожидать, что
в случае полого тела поле внутри полости будет меньше внешнего
поля и при \х ->оо будет стремиться к нулю. Такой способ умень-
уменьшения полей называется магнитной экранировкой. Магнитная
экранировка имеет большое практическое значение, поскольку
создание областей, свободных от поля, часто бывает необходимо
как для экспериментальных целей, так и для обеспечения надежной
работы электронных устройств.
Для выяснения сущности явления магнитной экранировки рас-
рассмотрим в качестве примера сферическую оболочку с внутренним
радиусом а и внешним радиусом Ь из материала с магнитной про-
проницаемостью \х, помещенную в однородное постоянное магнитное
поле Во, как показано на фиг. 5.14. Нашей целью является нахожде-
нахождение зависимости полей В и Н от \х во всем пространстве, и в первую
очередь внутри полости г <С а. Так как токов нет, то магнитное
лоле Н можно описать скалярным потенциалом: Н = — grad фм.
188 Гл. 5. Магнитостатика
Далее, поскольку В = [хН, то из уравнения div В = 0 вытекает,
что divH = 0 во всех областях и, следовательно, потенциал Фм
везде удовлетворяет уравнению Лапласа. Таким образом, задача
сводится к определению подходящих решений уравнения Лапласа
в различных областях, удовлетворяющих граничным условиям
E.88) и E.90) приг-аиг=6.
В области г > Ъ потенциал следует взять в виде
2Т
/=ог
<5Л17>
поскольку это выражение приводит к однородному полю Н = В =
= Во на больших расстояниях. Для внутренних областей общие
выражения для потенциала имеют вид
'Г E-Н8)
г<а: Фм = 2V/>z (cos 9).
z=c
Граничные условия при г = а и г = Ь требуют непрерывности
Я9 и Вг. Выраженные через потенциал Фм> эти условия дают
дфм(п ч
дФ
Здесь аргумент 6± указывает, что значение функции берется
соответственно при приближении г к 6 со стороны больших и мень-
меньших значений; аналогичный смысл имеет а±. Четыре условия E.119)^
которые должны выполняться для всех углов 6, достаточны для
определения неизвестных постоянных в E.117) и E.118). Мы видим,
что все коэффициенты с / Ф 1 равны нулю, а коэффициенты с / = I
удовлетворяют системе четырех уравнений:
E.120)
§ 12, Магнитное экранирование
189
Разрешая эти уравнения относительно а, и й,, получаем
—](Ь'-а')В0,
Во.
E.121)
Потенциал вне сферической оболочки описывает суперпозицию
однородного поля Во и поля E.41), создаваемого диполем с момен-
Ф и г. 5.15. Экранирующее действие оболочки из материала с большой
магнитной проницаемостью.
том аь ориентированным вдоль Во. Внутри полости имеется одно-
однородное магнитное поле, параллельное Во и равное по величине
— 6j. При \х > 1 дипольный момент сц и внутреннее поле —6j
приближенно записываются следующим образом:
а,
E.122)
Выражения E.122) показывают, что внутреннее поле убывает
пропорционально ji. Следовательно, оболочка, сделанная из мате-
190 Гл. 5. Магнитостатика
риала с большой магнитной проницаемостью \i ~ 103 — 106, даже
при сравнительно небольшой толщине значительно ослабляет поле
внутри нее. На фиг. 5.15 показано поведение силовых линий В.
Мы видим, что силовые линии как бы стремятся по возможности
идти через вещество с высокой магнитной проницаемостью.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Задачи о постоянных токах в среде с сопротивлением аналогичны потен-
потенциальным задачам электростатики с той лишь разницей, что электрическая
индукция заменяется плотностью тока, а диэлектрическая проницаемость —
проводимостью. Однако граничные условия, вообще говоря, различны..
Постоянные токи рассматриваются в книгах Джинса [55], гл. 9, 10, и Смай-
та [lOO'J, гл. 6.
Магнитные поля, создаваемые различными распределениями токов,,
и граничные задачи магнитостатики с большим количеством примеров рас-
рассматриваются у Дюрана [37], гл. 14 и 15, и Смайта [100], гл. 7 и 12.
Атомная теория магнитных свойств вещества относится к области кван-
квантовой механики. Полуклассическое рассмотрение дано, в книге Беккера [6]г
Дюрана [37], гл. 17, Ландау и Лифшица [64], Розенфельда [86], гл. 4-
Квантовомеханическое рассмотрение проводится в работах, посвящен-
посвященных электрическим и магнитным свойствам вещества, например в книге
Ван Флека [113].
Дополнение редактора. Изложение физических основ магнитостатики
можно найти в книге Тамма [130].
ЗАДАЧИ
5.1. Исходя из дифференциального выражения
I d\xx
ао= —
С X3
для магнитной индукции, создаваемой элементом тока Id\, показать, что
для замкнутого контура, несущего ток /, магнитная индукция в точке
наблюдения Р выражается формулой
В=— — gradQ,
где Q — телесный угол, под которым контур виден из точки Р. (Это одна
из возможных форм закона Ампера для контуров с током.)
5.2. а) Соленоид имеет N витков на единицу длины; ток через них
равен /. Показать, что плотность магнитного потока на оси приближенно
выражается формулой
Bz ^ 2kNI (cos 0J + cos 02),
где углы 0J и 92 определены на фиг. 5.16.
б) Показать, что для длинного соленоида длиной L и радиусом а маг-
магнитное поле вблизи оси и в окрестности центра соленоида в основном парал-
Задачи
191
лельно оси, но имеет малую радиальную компоненту, равную
96лОТ аЧо
Это выражение справедливо с точностью до величин — a2/L2 при z
Q < а. Координата z отсчитывается от центра соленоида.
иииииииииииии
Ф и г. 5.16.
в) Показать, что на конце соленоида магнитное поле вблизи оси имеет
составляющие
5.3. В цилиндрическом проводнике радиусом а просверлен круглый
канал радиусом Ь, ось которого параллельна оси цилиндра и расположена
от нее на расстоянии d (d + b < а). По металлической части цилиндра
течет однородный ток, направленный вдоль оси. Используя закон Ампера
и принцип суперпозиции, найти величину и направление магнитного поля
в канале.
5.4. Круглый виток с током / расположен в плоскости ху, а его центр
совпадает с началом координат.
а) Показать, что магнитное поле можно описать векторным потенциалом,
имеющим лишь одну составляющую
оо
О
\
О
где q^ и q> — соответственно меньшая и большая из величин Q и а.
б) Показать, что векторный потенциал может быть также представлен
в виде
в) Написать интегральные выражения для составляющих магнитного
поля, используя векторные потенциалы, приведенные в п. «а» и «б». По-
Получить явное выражение для составляющих В на оси путем вычисления соот-
соответствующих интегралов.
5.5. Два круглых витка с общим центром и радиусами а и Ь (Ь < а),
по которым текут соответственно токи / и /', расположены таким образом,
что угол между их плоскостями равен а. Показать, что на каждый виток
действует вращающий момент вокруг линии пересечения плоскостей вит-
192 Гл. 5. Магнитостатика
ков, равный
2 " п+\
]2 / Ъ
iY~ ac2 LI 2/z+l L Г i
n=0
где P\ (cos a) — присоединенные функции Лежандра. Определить направле-
направление вращающего момента, считая угол а острым, а токи имеющими как оди-
одинаковое, так и противоположное направление.
5.6. Сфера с равномерно распределенным поверхностным зарядом вра-
вращается вокруг своего диаметра а с постоянной угловой скоростью со. Найти
векторный потенциал и магнитное поле внутри и вне сферы.
5.7. Длинный полый круглый цилиндр с внутренним радиусом а и внеш-
внешним радиусом Ь, имеющий магнитную проницаемость ji, помещают в область
с первоначально однородным полем Во перпендикулярно этому полю. Опре-
Определить магнитное поле во всем пространстве и построить график зависимо-
зависимости логарифма отношения величины В на оси цилиндра к Bq от lg \i для
a2fb2= 0,5 и 0,1. Краевыми эффектами пренебречь.
5.8. В среде с магнитной проницаемостью, равной единице, примыкаю-
примыкающей к полупространству z < 0 с магнитной проницаемостью jji, задано неко-
некоторое распределение токов J (x).
а) Показать, что магнитное поле в области z ^> 0 можно определить,
заменяя магнитную среду в области z < 0 токами-изображениями J*,
имеющими составляющие
б) Показать, что] магнитная индукция в области z < 0 соответствует
распределению токов 2(х/((х + 1) J в среде с единичной магнитной прони-
проницаемостью.
5.9. Круглый виток радиусом а с током / расположен в свободном про-
пространстве, а его центр находится на расстоянии d от границы полупростран-
полупространства с магнитной проницаемостью jul. Определить силы, действующие на
виток в случаях, когда:
а) плоскость витка параллельна границе магнетика,
б) плоскость витка перпендикулярна границе магнетика,
в) найти предельные выражения для сил «а» и «б» при d ^> а. Можно
ли получить эти предельные величины с помощью какого-либо простого
прямого метода?
5.10. Прямой круглый цилиндр длиной L и радиусом а изготовлен
из «магнитно твердого» материала. Он имеет постоянную намагниченность
Мо, однородную по объему и параллельную его оси.
а) Определить магнитное поле Н и магнитную индукцию В во всех точ-
точках на оси цилиндра как внутри, так и вне него.
б) Построить график зависимости от z отношений В/4яМ0 и \\/4kMq
на оси для L/a = 5.
5.11. а) Исходя из выражения E.12) и учитывая, что намагниченность М
эквивалентна распределению тока с плотностью JM = crot M, показать.,
что в отсутствие макроскопических токов на тело с намагниченностью М
действует сила
F=— f (div М) Ъе d*x9
где Ъе — магнитная индукция, обусловленная всеми токами, кроме JM.
Задачи 193
б) Показать, что выражение для силы можно представить также в виде
F= — I (div М)
где Н — полное магнитное поле, включающее и поле, создаваемое самим
намагниченным телом.
5.12. Пусть магнитостатическое поле создается только заданным рас-
распределением постоянной намагниченности,
а) Показать, что
если интеграл берется по всему пространству.
б) Используя выражение E.73) для потенциальной энергии диполя
во внешнем поле, показать, что магнитостатическую энергию для непрерыв-
непрерывного распределения постоянной намагниченности можно записать в виде
W = —
Здесь опущена аддитивная постоянная, которая не зависит от ориентации
и положения отдельных намагниченных тел.
5.13. Показать, что длинный прямой стержень с постоянным попереч-
поперечным сечением Л и однородной продольной намагниченностью М, пристав-
приставленный торцом к плоской поверхности тела с бесконечной магнитной про-
проницаемостью, притягивается к нему с силой, приближенно равной
5.14. Прямой круглый цилиндр длиной L и радиусом а имеет однородную
продольную намагниченность М.
а) Показать, что, будучи приставлен торцом к плоской поверхности
с бесконечной магнитной проницаемостью, он притягивается к ней с силой
где
2а
б) Найти предельное выражение для этой силы при L ^> а.
Глава 6
ПЕРЕМЕННЫЕ ВО ВРЕМЕНИ ПОЛЯ.
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Выше мы рассматривали задачи с не зависящими от времени
электрическими и магнитными полями. В обоих случаях применя-
применялись аналогичные математические методы, но электрические
и магнитные явления рассматривались как независимые. Единствен-
Единственным связующим звеном был тот факт, что токи, создающие магнит-
магнитные поля, имеют, по существу, электрическую природу, поскольку
они обусловливаются движением зарядов. При рассмотрении же
переменных во времени полей независимость электрических
и магнитных явлений исчезает. При изменении во времени магнит-
магнитного поля возникает электрическое поле, а изменение электриче-
электрического поля порождает магнитное поле. В случае переменных
полей мы имеем не электрическое и не магнитное поля в отдельности,
а общее электромагнитное поле. Полное значение взаимосвязи
между электрическим и магнитным полями и их фактическая тож-
тождественность объясняются по-настоящему лишь в специальной тео-
теории относительности (см. гл. 11). Здесь мы ограничимся исследова-
исследованием основных физических явлений и установим систему уравне-
уравнений, описывающих поведение электромагнитных полей, которые
известны под названием уравнений Максвелла. Мы рассмотрим
основные следствия из этих уравнений, заложив тем самым фунда-
фундамент электродинамики. В последующих главах будут рассмотрены
многочисленные следствия этих основных соотношений.
Мы вынуждены будем опустить ряд разделов, представляющих
самостоятельный интерес, но достаточно полно изложенных в дру-
других руководствах. Сюда относятся, в частности, теория квазистацио-
квазистационарных полей, теория цепей, расчет индуктивностей, вопросы,
связанные с токами Фуко и индукционным нагревом. При рассмо-
рассмотрении всех этих проблем ни в одном случае не используются
какие-либо новые понятия, кроме введенных в этой главе или в пре-
предыдущих. Интересующийся читатель может найти соответствующие
литературные ссылки в конце главы.
§ 1. Закон индукции Фарадея
195
§ 1. Закон индукции Фарадея
Первые количественные исследования связи переменных эле-
электрического и магнитного полей были проведены в 1831 г. Фарадеем
при опытах с контурами, помещенными в переменное магнитной
поле. Фарадей заметил, что в контуре индуцируется ток в слу-
случаях, когда а) в соседнем контуре включается или выключается
постоянный ток, б) соседний контур с постоянным током движется
относительно первого контура, в) внутрь контура вносится (или
В
Фиг. 6.1.
из него выносится) постоянный магнит. Если ток в соседнем контуре
не изменяется и не происходит относительного движения контуров,
то никакого тока не возникает. Фарадей интерпретировал возникно-
возникновение этих токов как следствие изменения магнитного потока, про-
пронизывающего данный контур. Изменение потока индуцирует эле-
электрическое поле, линейный интеграл от которого, взятый вдоль
контура, называется электродвижущей силой %. Эта электродви-
электродвижущая сила в соответствии с законом Ома и вызывает появление
тока.
Представим наблюдения Фарадея в количественной математиче-
математической форме. Рассмотрим поверхность S с единичной нормалью п,
ограниченную контуром С, как показано на фиг. 6.1. Пусть кон-
контур С помещен в магнитное поле В. Тогда магнитный поток, прони-
пронизывающий контур, будет
F= \ B-nda.
s
F.1)
196 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
Электродвижущая сила в контуре определяется выражением
§= j E'-dl, F.2)
с
где Е' — электрическое поле на элементе d\ контура С. Наблюде-
Наблюдения Фарадея можно выразить математически в виде
g=-&~. F.3)
Электродвижущая сила индукции в контуре пропорциональна ско-
скорости изменения магнитного потока, пронизывающего данный
контур. Знак определяется законом Ленца, утверждающим, что
индуцированный ток (и соответствующий ему магнитный поток)
имеет такое направление, что препятствует изменению потока
сквозь контур.
Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора единиц
измерения величин электрического и магнитного полей. Он не яв-
является, как это можно было бы предположить, независимой эмпи-
эмпирической постоянной, которую можно определить из эксперимента.
Ниже мы увидим, что после выбора единиц и размерностей в законе
Ампера величина и размерность k получаются из требования гали-
леевской инвариантности закона Фарадея. В гауссовых единицах
k = с, где с — скорость света.
До появления специальной теории относительности (да и после
ее появления в случае, когда относительные скорости малы по
сравнению со скоростью света) всегда подразумевалось, хотя подчас
явно и не формулировалось, что все физические законы инвариант-
ны относительно преобразований Галилея. Это означает, что физи-
физические явления протекают одинаково с точки зрения двух наблюда-
наблюдателей, движущихся с постоянной скоростью v относительно друг
друга, если пространственные и временные координаты связаны
преобразованием Галилея х' = х + vt, V = t. Рассмотрим, в част-
частности, опыты Фарадея. Как установлено экспериментально, в
контуре возникают одинаковые токи независимо от того, дви-
движется ли этот контур относительно токонесущего контура или
же он покоится, а движется токонесущий контур, лишь бы их
относительное движение в обоих случаях было одинаковым.
Рассмотрим теперь закон Фарадея для движущегося контура
и посмотрим, к каким следствиям приводит галилеевская инвариант-
инвариантность. Выражая F.3) через интегралы от Е' и В, мы получаем
i' -d\ = —k -т- \ Ъ-nda. F.4)
s
§ 1. Закон индукции Фарадея 197
Наведенная в контуре электродвижущая сила пропорциональна
полной производной по времени от магнитного потока, который
может изменяться как при изменении магнитного поля, так и при
изменении формы, ориентации или положения контура. Уравне-
Уравнение F.4) является обобщением закона Фарадея. В качестве кон-
контура С мы можем представлять себе любую замкнутую геометриче-
геометрическую линию в пространстве, не обязательно совпадающую с эле-
электрическим контуром. При этом F.4) дает связь между самими
Фиг. 6.2.
полями. Следует, однако, иметь в виду, что электрическое поле Е'
представляет собой электрическое поле в элементе d\ в системе
координат, в которой d\ покоится; именно это поле вызывает появ-
появление тока в случае наличия реального контура в этом месте.
Если контур С движется со скоростью v в некотором направле-
направлении, как показано на фиг. 6.2, то при вычислении полной производ-
производной в F.4) необходимо учесть это движение. Тогда поток через
контур может изменяться вследствие изменения магнитного поля
во времени, а также из-за того, что при перемещении контура изме-
изменяется положение его границы. Легко показать, что полная про-
производная от потока через движущийся контур равна г)
J B.nda= J ^-п da+ j (Bxv)-dl. F.5)
8 S С
Уравнение F.4) можно записать теперь в виде
[E'-k(vxB)].dl=-k J^-nda. F.6)
1) Для произвольного векторного поля в F.5) должен входить добавоч-
добавочный член \ (div В) v-n da, который дает вклад от источников векторного
S
поля, проходимых движущимся контуром. Этот общий результат легче
всего получить при использовании материальной производной:
d д .
198 Гл. 6. Переменные во времени поля, Уравнения Максвелла
Это уравнение описывает закон Фарадея в применении к движуще-
движущемуся контуру С. Но мы можем интерпретировать его и иначе.
Мы можем считать, что контур С и поверхность S занимают некото-
некоторое мгновенное положение в пространстве в лабораторной системе
координат. Применяя закон Фарадея F.4) к этому фиксированному
контуру, находим
J
E-dl=-k jj^-nda, F.7)
С 8
где Е — электрическое поле в лабораторной системе координат.
Условие галилеевской инвариантности приводит к требованию
равенства левых частей уравнений F.6) и F.7). Это означает, что
электрическое поле Е' в движущейся системе координат, связанной
с контуром, равно
(vxB). F.8)
Для определения константы k рассмотрим смысл величины Е\
На заряженную частицу (например, один из электронов проводи-
проводимости) в движущемся контуре действует сила qE'. Но в лаборатор-
лабораторной системе координат эта частица создает ток J = <7V^ (х — хо)-
Соотношения E.7) или E.12) определяют силу, действующую на
этот ток, которая совпадает с F.8), если постоянная k равна с1.
Таким образом, закон Фарадея принимает вид
E'-?fl=—i-^jB-nda, F.9)
С S
где Е' — электрическое поле на элементе d\ в системе координат,
в'которой элемент d\ покоится. Производная в правой части являет-
является полной производной повремени. Если контур С движется со ско-
скоростью v, то ^электрическое поле в движущейся системе координат
будет
E' = E + |(vxB). F.10)
с
Приведенные результаты справедливы только для нерелятивист-
нерелятивистских скоростей. Галилеевская инвариантность не является строгим
законом и применима только для относительных скоростей, малых
по сравнению со скоростью света. Выражение F.10) справедливо
только с точностью до членов первого порядка по vie и имеет
погрешность порядка v2fc2 (см. гл. И, § 10). Однако очевидно,
что для лабораторных экспериментов с макроскопическими конту-
контурами выражения F.9) и F.10) имеют вполне достаточную точность.
Закон Фарадея F.9) можно записать также и в дифференциаль-
дифференциальной форме, если воспользоваться теоремой Стокса и считать контур
§ 2. Энергия магнитного поля 199
покоящимся в выбранной системе отсчета (для того чтобы Е и В
были определены в одной и той же системе отсчета). Преобразуя
интеграл, выражающий электродвижущую силу, в поверхностный
интеграл, приходим к соотношению
s
В силу произвольности поверхности S, опирающейся на произволь-
произвольный контур С, подынтегральное выражение должно обращаться
в нуль во всех точках пространства.
^аким образом, дифференциальная форма закона Фарадея
имеет вид
rotE + y-^- = 0. F.11)
Заметим, что F.11) является обобщением уравнения для статиче-
статического электрического поля rot E = 0 на случай переменных полей.
§ 2. Энергия магнитного поля
При рассмотрении постоянных магнитных полей в гл. 5 мы
оставили в стороне вопрос об энергии поля и плотности энергии.
Это объясняется тем, что для того, чтобы создать какую-либо
конфигурацию постоянных токов и соответствующих им магнитных
полей, требуется некоторый переходный период, в течение которого
токи и поля изменяются от нуля до своих стационарных значений.
Переменные во времени поля вызывают электродвижущие силы,
вследствие чего источники тока совершают некоторую работу.
Поскольку энергия поля, по определению, является полной рабо-
работой, необходимой для создания поля, мы должны учесть и ра-
работу против электродвижущих сил.
Предположим сначала, что мы имеем отдельный контур с по-
постоянным током /. При изменении потока через контур в нем
возникает электродвижущая сила %. Для того чтобы ток остался
постоянным, источники тока должны в единицу времени совершать
работу
dw _ ]* _.1 / dF
~df~ Ъ~~ с It
(помимо работы, расходующейся на омические потери, которая
не включается в магнитную энергию). Отсюда следует, что при
изменении потока через контур с током / на величину 6F работа,
совершаемая источниками, равна
J_
с
200
Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
Рассмотрим теперь работу, необходимую для создания произ-
произвольного распределения постоянных токов и полей. Мы можем пред-
предположить, что процесс создания полей происходит с бесконечно
малой скоростью, так что с желаемой степенью точности соблюдается
соотношение div J = 0. При этом распределение токов можно раз-
разбить на совокупность элементарных замкнутых контуров. Одним
из таких контуров является показанная на фиг. 6.3 элементарная
Фиг. 6.3. Разбиение распределенного тока на элементарные контуры.
трубка тока с поперечным сечением Да, замкнутая в контур С,
окружающий поверхность S с нормалью п.
Выразим дополнительную работу, совершаемую против наводи-
наводимой э. д. с, через изменение магнитной индукции в этом элемен-
элементарном контуре
Знак Д показывает, что рассматривается только один элементар-
элементарный контур. Выражая В через векторный потенциал А, мы получаем
(rot 6A)«n da,
или, применяя теорему Стокса,
Но JAodl равно Jd3x, так как элемент d\ параллелен J. Очевидно,
суммирование повеем элементарным контурам приводит к объемно-
объемному интегралу. Таким образом, полная работа, совершаемая внеш-
внешними источниками при изменении векторного потенциала на вели-
величину 6А, запишется как
J F.12)
§ 2. Энергия магнитного поля 201
Чтобы перейти от J и 6А к магнитным полям, воспользуемся
законом Ампера
rotH = -J.
с
Отсюда
\-rotHd3x. F.13)
С помощью векторного тождества
div(PxQ) = Q-rotP — P-rotQ
мы можем преобразовать выражение F.13) к виду
Ш = ^ [ [H.rot6A-fdiv(Hx6A)]d3^. F.14)
Если распределение токов предполагается ограниченным, то вто-
второй интеграл обращается в нуль. Учитывая связь В и А, мы можем
записать приращение энергии в виде
8W = i-[ Н-бВЛ3*. F.15)
Это соотношение является магнитным аналогом электростатиче-
электростатического соотношения D.89). В полученной здесь форме оно приме-
применимо к любым магнитным средам, включая ферромагнитные мате-
материалы. Если предположить, что среда пара- или диамагнитна, так
что между Н и В существует линейная связь, то
Н бВ-уб(Н В).
При изменении полей от нуля до их конечной величины общая
магнитная энергия будет в этом случае равна
k FЛ6>
Это—магнитный аналог выражения D.92)*
Чтобы получить соотношение, эквивалентное соотношению D.86)Т
в котором электростатическая энергия выражена через плотность
заряда и потенциал, следует в F.12) предположить линейную
связь между Ли А. Тогда магнитная энергия представляется
в виде
W = ±\J.kd*x. F.17)
Задача об определении изменения магнитной энергии при внесе-
внесении в магнитное поле некоторого тела с магнитной проницаемостью
fx! при фиксированных источниках тока может быть рассмотрена
202 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
вполне аналогично соответствующей электростатической задаче
(см. гл. 4, § 8). Роль Е здесь играет В, а роль D играет Н. Перво-
Первоначально мы имеем среду с магнитной проницаемостью (л0, в кото-
которой существует магнитная индукция Во. После внесения тела индук-
индукция и поле становятся равными В и Н. В качестве упражнения
читатель может проверить, что при фиксированных источниках
поля изменение энергии будет описываться выражением
l (B-Ho-H.Bo)d8*, F.18)
Vi
где интегрирование производится по объему внесенного тела.
Это выражение можно переписать также в виде
.Во^. F.19)
Здесь jlx ± и \х0 могут быть функциями координат, но они предпола-
предполагаются не зависящими от напряженности поля.
Для тела, находящегося в свободном пространстве (\х0 = 1),
изменение энергии можно выразить через намагниченность
= 1 J
M-B0d3JC. F.20)
Следует отметить, что соотношение F.20) с точностью до знака
эквивалентно соответствующему электростатическому выражению
D.96). Изменение знака вызвано тем, что энергия W — это полное
изменение энергии при внесении в поле намагничивающегося тела,
включая и работу, совершаемую источниками против электро-
электродвижущих сил индукции. В этом смысле магнитная задача с фикси-
фиксированными токами аналогична электростатической задаче с фикси-
фиксированными потенциалами на проводниках. Рассуждения, анало-
аналогичные приведенным в гл. 4, § 8, показывают, что при малом
смещении работа, совершаемая против индуцированных э. д. с,
в 2 раза больше и противоположна по знаку изменению потенциаль-
потенциальной энергии тела. Поэтому для нахождения силы, действующей
на тело при обобщенном смещении ?, мы должны вычислить поло-
положительную производную W по смещению ?
Индекс J указывает на то, что производная берется при фиксиро-
фиксированных токах.
Разница между F.20) и потенциальной энергией E.73) постоян-
постоянного магнитного момента во внешнем поле (кроме множителя 1/2,
который является следствием предполагаемой линейной зависимо-
§ 3. Максвелловский ток смещения. Уравнения Максвелла 203
сти между М и В) связана с тем, что F.20) выражает полную энер-
энергию, требуемую для создания данной конфигурации, тогда как
E.73) включает только работу совершаемую при внесении постоян-
постоянного магнитного момента в поле, и не содержит работы по созданию
магнитного момента и по поддержанию его постоянным.
§ 3. Максвелловский ток смещения.
Уравнения Максвелла
Основные законы электричества и магнетизма, которые мы рас-
рассматривали до сих пор, можно представить в дифференциальной
форме следующими четырьмя уравнениями:
закон Кулона
divD
закон Ампера
F.22)
закон Фарадея
отсутствие свободных магнитных зарядов
Эти уравнения записаны в макроскопической форме в гауссовой
системе единиц. Напомним, что все эти законы, кроме закона
Фарадея, получены при изучении постоянных полей. С логической
точки зрения априори ниоткуда не следует, что статические уравне-
уравнения должны остаться неизменными в случае полей, зависящих
от времени. И действительно, система уравнений F.22) в той форме,
как она здесь написана, неприменима для переменных полей.
Потребовался гений Джемса Кларка Максвелла, который, опи-
опираясь на результаты экспериментов Фарадея, сумел-обнаружить
некорректность уравнений F.22) и надлежащим образом изменить
их, что в итоге привело к открытию новых физических явлений,
не известных в то время, но впоследствии подтвержденных экспери-
экспериментально во всех деталях. Такая блестящим образом дополнен-
дополненная Максвеллом в 1865 г. система уравнений заслуженно из-
известна под названием уравнений Максвелла.
Некорректным уравнением в системе F.22) является закон
Ампера, который выведен для постоянных токов, когда divJ = 0.
Это требование к дивергенции J содержится непосредственно
в уравнении Ампера. Действительно, беря дивергенцию от обеих
204 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
частей равенства, получаем
-у- div J - div rot H = 0. F.23)
Однако уравнение div J = 0 справедливо только для стационар-
стационарных явлений; общее соотношение дается уравнением непрерыв-
непрерывности для заряда и тока
divJ + ff = O. F.24)
Максвелл заметил, что при учете закона Кулона [см. F.22)] урав-
уравнение непрерывности можно представить в виде равенства нулю
дивергенции некоторого вектора:
= 0. F.25)
Соответственно Максвелл обобщил закон Ампера на случай
переменных полей, произведя в нем замену
Обобщенный закон Ампера принимает при этом вид
rotH = ^J + If. F.27)
Для стационарных процессов это соотношение дает прежний, экспе-
экспериментально проверенный закон, но теперь оно стало математиче-
математически совместимым с уравнением непрерывности F.24) для перемен-
переменных полей. Максвелл назвал добавочный член в F.26) током сме-
смещения. Введенная модификация закона Ампера имеет решающее
значение для быстро меняющихся полей. Без нее не было бы эле-
электромагнитных волн, и, собственно, все последующие главы настоя-
настоящей книги не были бы написаны. Максвелл пришел к заключению,
что свет представляет собой электромагнитные волны, и пока-
показал возможность генерации электромагнитных волн различных
частот. Это привлекло внимание всех физиков и стимулировало
множество теоретических и экспериментальных исследований в
конце девятнадцатого столетия.
Система четырех уравнений
х. и 4л , , 1 3D
rotH J +
с с 0t 6
divB-0, r f^
известных под названием уравнений Максвелла, составляет осно-
основу всей электродинамики. В сочетании с выражением для силы
§ 4. Векторный и скалярный потенциалы 205
Лоренца и вторым законом движения Ньютона эти уравнения дают
полное описание динамики заряженных частиц, взаимодействующих
с электромагнитными полями (см. § 9 настоящей главы и гл. 10 и 12).
Для макроскопического описания динамических характеристик
среды, состоящей из большого количества атомов, используются
кроме того, материальные уравнения, связывающие D и J с Е.
а Н с В (например, D = еЕ, J = аЕ, В = jiH для изотроп-
изотропного магнитного диэлектрика с конечной проводимостью).
При написании уравнений Максвелла F.28) использованы
те же единицы, что и в предыдущих главах, а именно гауссова
система единиц. Для читателя, привыкшего к другой системе
единиц, например МКС, в табл. 2 в приложении приведены основ-
основные уравнения в наиболее употребительных системах. Табл. 3
в приложении позволяет перевести произвольное уравнение в гаус-
гауссовых единицах в систему МКС, а табл. 4 дает соотношение между
соответствующими единицами.
§ 4. Векторный и скалярный потенциалы
Уравнения Максвелла образуют систему взаимосвязанных урав-
уравнений первого порядка в частных производных, определяющих
изменение составляющих электрического и магнитного полей.
Для простых конфигураций они могут быть решены непосредствен-
непосредственно. Однако часто удобно ввести потенциалы и свести систему к мень-
меньшему числу уравнений второго порядка. При этом некоторые
из уравнений Максвелла удовлетворяются автоматически. Мы уже
познакомились с этим методом в электростатике и магнитостатике,
где использовались скалярный потенциал Ф и векторный потен-
потенциал А.
Поскольку div В = 0, мы можем выразить В через векторный
потенциал:
В = rot A. F.29)
Подставляя это выражение во второе однородное уравнение систе-
системы F.28) (в закон Фарадея), получаем
0. F.30)
Величину в круглых скобках, ротор которой равен нулю, можно,
очевидно, представить в виде градиента некоторой скалярной функ-
функции, а именно скалярного потенциала Ф:
или . а. F.31)
206 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
Поля В и Е, определенные через потенциалы АиФ соотношениями
F.29) и F.31), тождественно удовлетворяют однородным уравне-
уравнениям Максвелла. Динамическое поведение АиФ определяется
двумя неоднородными уравнениями системы F.28).
На данной стадии удобно ограничить наше рассмотрение микро-
микроскопической формой уравнений Максвелла. Тогда неоднородные
уравнения системы F.28) можно записать через потенциалы в виде
F.32)
= ~1. F.33)
Таким образом, мы свели систему четырех уравнений Максвелла
к двум уравнениям, которые, однако, остались взаимосвязанны-
взаимосвязанными. Для получения отдельных уравнений для Ф и А можно вос-
воспользоваться свободой в определении потенциалов. Так как индук-
индукция В связана с А формулой F.29), то векторйый потенциал опре-
определен лишь с точностью до аддитивной векторной функции, являю-
являющейся градиентом произвольной скалярной функции Л. Магнит-
Магнитное поле В не меняется при Преобразовании
А —> А' = A -f- grad Л. F.34)
Чтобы при этом осталось неизменным также и электрическое поле
F.31), следует одновременно преобразовать и скалярный потенциал
ф—>Ф' = Ф — — — F.35)
с dt ' \ г
Соотношения F.34) и F.35) позволяют, в частности, выбрать такую
систему потенциалов (А, Ф), чтобы выполнялось равенство
divA +—-^- —0. (о.оо)
При этом уравнения F.32) и F.33) сводятся к двум отдельным
неоднородным волновым уравнениям для Ф и А
F.37)
__*_^ = -^J. F.38)
Уравнения F.37) и F.38) в совокупности с F.36) образуют систему
уравнений, полностью эквивалентную уравнениям Максвелла.
§ 5. Калибровочные преобразования 207
§ 5. Калибровочные преобразования.
Лоренцовская калибровка. Кулоновская калибровка
Преобразования F.34) и F.35) называются калибровочными
преобразованиями, а инвариантность полей относительно этих
преобразований называется калибровочной инвариантностью.
Соотношение F.36) между АиФ называется условием Лоренца.
Покажем, что всегда можно выбрать потенциалы так, чтобы они
удовлетворяли условию Лоренца. Для этого предположим, что
потенциалы А, Ф, удовлетворяющие уравнениям F.32) и F.33),
не удовлетворяют уравнению F.36). Произведем калибровочное
преобразование потенциалов А', ф' и потребуем, чтобы А' и ф
удовлетворяли условию Лоренца
1. ж, . 1 дФ' л j. А . 1 дФ . „о А 1 д2Л /с оп\
dlvA +y-ir==0=dlvA+TW4-VA-^ -w- F-39)
Очевидно, если калибровочная функция Л выбрана таким образом,
что она удовлетворяет уравнению
то новые потенциалы А' иФ' будут удовлетворять условию Лоренца
и волновым уравнениям F.37) и F.38).
Потенциалы, удовлетворяющие условию Лоренца F.36), все
еще содержат некоторую неопределенность. Очевидно, группа
ограниченных калибровочных преобразований
A-»A+gradA,
с функцией Л, удовлетворяющей уравнению
v2A-iw=0' <6-42>
сохраняет условие Лоренца, если первоначально А и ф удовлетво-
удовлетворяли этому условию. Все потенциалы этого ограниченного класса
потенциалов называют принадлежащими к лоренцовской калибров-
калибровке. Лоренцовская калибровка является наиболее употребительной,
поскольку, во-первых, при ее использовании Ф и А входят эквива-
эквивалентным образом в волновые уравнения F.37) и F.38) и, во-вто-
во-вторых, потому, что она не зависит от выбора координатной системы
и поэтому очень удобна в специальной теории относительности
(см. гл. 11, § 9).
Другой полезной калибровкой потенциалов является так назы-
называемая кулоновская, или поперечная, калибровка. При этой калиб-
208 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
ровке налагается дополнительное условие
divA = 0. F.43)
Из F.32) следует, что скалярный потенциал удовлетворяет при
этом уравнению Пуассона
у2ф=_4яд, F.44)
решение которого имеет вид
$& F-45)
Скалярный потенциал F.45) является мгновенным кулоновским
потенциалом, соответствующим плотности заряда q (x, f), чем
и объясняется название «кулоновская калибровка».
Векторный потенциал удовлетворяет неоднородному волновому
уравнению
1 д2А 4л . . 1 j дФ /о ло\
Слагаемое в правой части, содержащее скалярный потенциал,
может быть в принципе вычислено согласно F.45). Используя
уравнение непрерывности, мы можем написать
. F.47)
Если представить ток в виде суммы «продольной» и «поперечной»
составляющих
J = h + h, F.48)
таких, что rot Jt = 0 и div it = 0, то эти составляющие запишутся
следующим образом:
U$^ F'49)
F-50)
что можно проверить, воспользовавшись векторным тождеством
rot rot J = grad div J — V2J и соотношением V2 A/| x — x' |) =
= — 4яб (x — x'). Из сравнения F.47) с F.49) следует, что
grad^ = 4rtJz. F.51)
Таким образом, источником в волновом уравнении для А служит
поперечный ток F.50)
V2A 1 д2А 4л; , /а го\
чем и определяется название «поперечная калибровка».
§ 6. Функция Грина для волнового уравнения 209
Кулоновская (поперечная) калибровка часто используется для
описания t полей в отсутствие источников. В этом случае Ф = 0,
А удовлетворяет однородному волновому уравнению, а поля опре-
определяются через А соотношениями
F — _Л^
с Ы ' F.53)
B^rotA.
§ 6. Функция Грина для волнового уравнения
Волновые уравнения F.37), F.38) и F.52) имеют одинаковую
структуру
где / (х, f) дает распределение источников, а с представляет собой
скорость распространения волн в пространстве.
Для решения уравнения F.54), так же как в электростатике,
полезно найти сначала функцию Грина. Поскольку теперь поля
зависят и от времени, функция Грина будет зависеть от перемен-
переменных (х, х', t, t') и должна удовлетворять уравнению
-x'N(t-t'). F.55)
Решение уравнения F.54) в неограниченном пространстве без гра-
граничных поверхностей выражается через G интегралом
г|з(х, t)= \ G(x, t\ x\ t')f(x', t')d*x'dtf. F.56)
Нужно, конечно, потребовать, чтобы функция Грина удовлетворяла
определенным граничным условиям, которые задаются физическими
требованиями.
Основная функция Грина х), удовлетворяющая уравнению F.55),
зависит только от разностей координат (х — х') и времен (t — Г).
Для нахождения G представим обе части уравнения F.55) в виде
интегралов Фурье. Дельта-функцию в правой части можно пред-
представить следующим образом:
Соответственно запишем функцию G в виде
G(x, t; x', t')= [ d3k [ dxog(k, ©) eik-(x"x')e-iCB(*-*'). F.58)
x) Под «основной» автор понимает функцию Грина для неограниченного
пространства.— Прим. ред.
210 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
Функцию g"(k, со) легко определить, подставляя F.57) и F.58)
в уравнение F.55). При этом получаем
При подстановке g(k, со) в F.58) и последующем интегрировании
по к и со мы сталкиваемся с особенностью подынтегрального
выражения при k2 = со2 /с2. Решение F.59) имеет смысл только в том
случае, если мы знаем правила обращения с этой особенностью.
Математически мы не можем получить такие правила, мы должны
прийти к ним из физических соображений.
Функция Грина, удовлетворяющая уравнению F.55), предста-
представляет собой волновое возмущение, вызванное точечным источником,
находящимся в точке х' и излучающим только в течение бесконеч-
бесконечно малого интервала времени при t — V. Мы знаем, что такое
волновое возмущение распространяется со Скоростью с в виде
расходящейся сферической волны. Следовательно, необходимо потре-
потребовать, чтобы наше решение для G обладало следующими свойствами:
а) G = 0 везде при t < t\ с ^
б) G представляет собой расходящуюся волну при t> V.
При выполнении интегрирования в выражении F.58) по со мы
сталкиваемся с особенностью функции g (k, со) в точках со = ± ck.
Мы можем представить интеграл по со в виде интеграла Коши
по комплексной плоскости со. Для t > V интеграл вдоль действи-
действительной оси в F.58) эквивалентен контурному интегралу по изобра-
изображенному на фиг. 6.4 контуру С, замкнутому в нижней полуплос-
полуплоскости, так как интеграл по полуокружности экспоненциально стре-
стремится к нулю. Аналогично при t' > t контур интегрирования
можно замкнуть в верхней полуплоскости контуром С (фиг. 6.4).
Чтобы функция G обращалась в нуль при t < t\ мы должны
предположить, что полюса со = ± ck смещены вниз от действитель-
действительной оси (фиг. 6.4). При этом интеграл по контуру С (для t> tr)
будет отличен от нуля, в то время как интеграл по контуру С
(для t < Г) обратится в нуль. Смещение полюсов можно выразить
математически, заменив в F.59) со величиной со -f- is. Тогда функция
Грина принимает вид
1 /» л
ik-R-гсот
где R = x — х', х = t — t'9 a e — положительная бесконечно
малая величина.
§ 6. Функция Грана для волнового уравнения
211
Интегрирование по со при т > О производится с помощью
теоремы Коши по контуру С (см. фиг. 6.4) и дает
=^2 \ d3fo>ik'R —
sin cxk
F.61)
Интегрирование по d3k произведем сначала по углам; это дает
G
~
dksinkRsincxk.
F.62)
Поскольку подынтегральное выражение является четной функцией
t<tf
С
Фиг. 6.4. Комплексная плоскость со с контуром С для t > t' и контуром
С' для ^< t'.
k, интегрирование здесь можно распространить на весь интервал
— оо<;й<;оо. Заменяя переменную k на х = ck, мы можем
представить F.62) в виде
\
F.63)
Согласно B.52), эти интегралы выражаются через б-функции
Дирака. Аргумент второй б-функции никогда не обращается в нуль
(вспомним, что т > 0). Таким образом, вклад в G дает только первый
интеграл, и функция Грина оказывается равной
«-*-•(*-!)¦
212 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
или, более подробно,
G (х, t; х', П = -^ ^_ у. . F.64)
Эта гриновская функция иногда называется запаздывающей функ-
функцией Грина, что отражает естественную причинную последователь-
последовательность при распространении волнового возмущения: эффект, наблю-
наблюдаемый в точке х в момент времени t, вызывается возмущением,
которое произошло в точке х' в более раннее (так называемое запаз-
запаздывающее) время V = t — (| х — х' \/с).
Решение волнового уравнения F.54) в отсутствие границ имеет
вид
(*'. t')d*x'dt'. F.65)
Производя интегрирование по dt', мы получаем так называемое
запаздывающее решение
\ lfl'W F.66)
Квадратные скобки [ 1аапаад означают, что в качестве V должно
быть взято запаздывающее время V = t — (| х — х'|/с).
§ 7. Задача с начальными условиями.
Интегральное представление Кирхгофа
Решение F.66) является частным интегралом неоднородного
волнового уравнения F.54). Для того чтобы удовлетворить гранич-
граничным условиям, к нему можно добавить произвольное решение одно-
однородного волнового уравнения. Согласно таблице, приведенной
в гл. 1 (см. стр. 31), соответствующие граничные условия являются
граничными условиями Коши (задаются г|з и д^/дп) на «открытой
поверхности». Для трехмерного волнового уравнения открытой
поверхностью является трехмерный объем, определяемый одной
функциональной зависимостью между четырьмя координатами
(jc, у, z, t). Обычно такой открытой поверхностью является обыкно-
обыкновенное трехмерное пространство в фиксированный момент времени
t = t0. При этом мы приходим к задаче с начальными условиями:
заданы я|> (х, t0) и <Эг|э (х, t0) /dt для всех х и нужно найти г|) (х, t)
для всех моментов времени t >> t0.
Для анализа задачи с начальными условиями и для получения
интегрального представления Кирхгофа для замкнутой граничной
§ 7. Задача с начальными условиями 213
поверхности воспользуемся теоремой Грина A.35) и проинтегри-
проинтегрируем это соотношение по времени от V = t0 до V = ti> t
h h
[df JdV(vV'4-*V»=jJdf^(.vg-i|)g7)dfl'. F.67)
*o V i0 S
Положим if = if и <p = G. С учетом волновых уравнений F.54)
и F.55) левая часть, которую мы обозначим через LH, принимает вид
h
LH= J Л
i(SSp)] F.68)
Первый член в F.68) дает 4яг|) (х, t), второй представляет собой
частное решение F.66). После интегрирования по частям по вре-'
мени оставшихся двух членов получим
h
J dt' J d*x'f{x', t')G +
v
F69)
Так как G = 0 при /' = ^ > t, то при подстановке верхнего предела
получаем нуль. Комбинируя F.69) и F.67), приходим к интеграль-
интегральному представлению для ty (x, t) внутри объема V, ограниченного
поверхностью S, для моментов времени t > t0:
Мы написали первый член в F.70) в обычной форме F.66), восполь-
воспользовавшись явным выражением F.64) для функции G. Далее мы
преобразуем так же и остальные члены.
Рассмотрим сначала для простоты задачу с начальными усло-
условиями для бесконечной области, считая г|) и dty/dt заданными функ-
функциями координат при t = t0 = 0:
г|) (х, 0) = F (х), |* (х, 0) = D (х). F.71)
При этом поверхностный интеграл в F.70) можно опустить. Для
упрощения обозначений примем точку наблюдения за начало
214 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
координат и введем сферические координаты. Тогда
со
, 0= \ <&' S r'dr'f (r',Q', t' = t-r
. F.72,
Производную от 6-функции можно записать в виде
С учетом свойств 6-функции, приведенных в гл. 1, § 2, выражение
F.72) можно представить в виде
со
0= JdQ'J r'dr'f (V, Q', t' = t-r~
О
F.73)
Полученное выражение называется решением Пуассона задачи
с начальными условиямиk В отсутствие источников (/ = 0) поле
в начале координат в момент t зависит только от величины началь-
начальных полей в точках на расстоянии ct от начала координат.
Задачи с начальными условиями для волнового уравнения
подробно исследованы для случая одного, двух, трех и большего
числа измерений. Мы отсылаем читателя к книге Морса и Фешбаха
[77] или к книге Адамара [47], где изложение является более
математическим.
Теперь получим из F.70) так называемое интегральное пред-
представление Кирхгофа для поля внутри объема V через значение \|>
и ее производных на граничной поверхности S. Предположим
теперь, что внутри V нет источников и начальные значения г|?
и dty/dt равны нулю [вместо этого мы могли бы предположить, что
начальный момент времени отодвинут столь далеко в прошлое, что
решение F.73), соответствующее начальным значениям, уже не ска-
сказывается на поле внутри объема V]. Тогда поле внутри V опреде-
определится выражением
1 (* i.f о 1 I f /-> д\Ь dG ~\ in i-j л\
to 8
§ 8. Теорема Пойнтинга 215
Учитывая F.64), мы можем вычислить dGldn'
R
с
Член с производной от 6-функции можно проинтегрировать по вре-
времени V по частям. В результате интегральное представление Кирх-
Кирхгофа запишется в виде
F.76)
- l &п Г
R
где R = x — x', an — единичный вектор нормали к поверхности S.
Подчеркнем, что F.76) не является решением, а дает только
интегральное представление поля я|? через его значение и значение
егойроизводных по координатам и по времени на поверхности S.
Последние не могут быть выбраны произвольно и определяются
только путем решения соответствующей граничной задачи Коши.
Интеграл Кирхгофа F.76) является математическим выражением
принципа Гюйгенса и служит исходным пунктом при рассмотрении
задач дифракции. Подробно дифракция будет рассмотрена в гл. 9,
§ 5 и далее.
§ 8. Теорема Пойнтинга
Для теории электромагнитных полей важное значение имеет
формулировка законов сохранения энергии и импульса. Мы начнем
с рассмотрения закона сохранения энергии, который часто назы-
называют теоремой Пойнтинга A884 г.). Работа, совершаемая электро-
электромагнитным полем Е, В в единицу времени над отдельным заря-
зарядом q, равна qv-E, где v — скорость заряда. Магнитное поле работы
не совершает, поскольку магнитная сила перпендикулярна ско-
скорости. При непрерывном распределении зарядов и токов полная
работа, совершаемая полем в объеме V в единицу времени., равна
J-Ed3x. F.77)
Это выражение определяет скорость превращения электромагнит-
электромагнитной энергии в механическую или тепловую. Очевидно, с такой
же скоростью уменьшается энергия электромагнитного поля
216 Гл. 6. Переменные во времени поля. У равнения Максвелла
внутри объема V. Чтобы найти этот закон сохранения в явном виде,
преобразуем выражение F.77) с помощью уравнений Максвелла.
Для исключения J воспользуемся законом Ампера — Максвелла:
E.rot H-E.d?\d*x. F.78)
Учитывая векторное тождество
div(Ex Н)=Н rotE-E rotH
и закон Фарадея, преобразуем правую часть F.78) к виду
J i-Ed'x=-± I [cdiv(Ex HH-E. § +Н-§] tPx. F.79)
V V
Для дальнейшего необходимо сделать два допущения. Первое
из них не имеет существенного значения и делается только для
простоты. Будем предполагать, что макроскопическая среда обла-
обладает линейными электрическими и магнитными свойствами. Тогда
два члена в F.79), содержащие производные по времени, можно
в соответствии с D.92) и F.16) интерпретировать как производные
по времени от плотностей электростатической и магнитной энергий.
Теперь мы сделаем второе предположение, а именно будем считать,
что сумма выражений D.92) и F.16) представляет собой полную
электромагнитную энергию также и в случае переменных во вре-
времени полей. Если плотность полной энергии поля обозначить через
M = g^(E-D-fB-H), F.80)
то F.79) перепишется в виде
J [-g-4--^div(ExH)]d3x. F.81)
V
Поскольку объем V произволен, это соотношение можно пред-
представить в форме дифференциального закона сохранения, или урав-
уравнения непрерывности:
^- + divS=-J.E. F.82)
Вектор S, определяющий поток энергии, называется вектором
Пойнтинга. Он равен
S-^(EXH) F.83)
и имеет размерность энергия/(площадь х время). Так как в законе
сохранения фигурирует только дивергенция этого вектора, к век-
вектору Пойнтинга можно прибавить ротор произвольного вектора
поля. Однако этот добавочный член не приводит ни к каким физи-
§ 9. Законы сохранения для системы частиц и полей 217
ческим следствиям, и поэтому обычно используется частная фор-
форма F.83).
Физический смысл интегральной или дифференциальной формы
законов F.81) или F.82) заключается в том, что скорость возра-
возрастания электромагнитной энергии внутри некоторого объема в сум-
сумме с энергией, вытекающей за единицу времени через поверхность,
ограничивающую этот объем, равна взятой со знаком минус полной
работе, совершаемой полем над источниками внутри данного объема.
Соотношения F.81) и F.82) выражают закон сохранения энергии.
Если имеются нелинейные эффекты, такие, как гистерезис в фер-
ферромагнитных материалах, то простая форма закона сохранения
F.82) неприменима и необходимо добавить соответствующие чле-
члены, учитывающие потери на гистерезис.
§ 9. Законы сохранения
для системы заряженных частиц
и электромагнитных полей
Из выражений F.81) и F.82) для теоремы Пойнтинга видна
существенная роль понятия энергии электромагнитного поля.
Работа JE, совершаемаяс полем в единичном объеме за единицу
времени, определяет количество электромагнитной энергии, пере-
перешедшей в механическую'или тепловую. Так как материя состоит
в конце концов из заряженных частиц (электронов и атомных
ядер), мы можем считать, что скорость передачи энергии явля-
является скоростью возрастания энергии заряженных частиц в еди-
единице объема. Таким образом, мы можем интерпретировать теорему
Пойнтинга для микроскопических полей как выражение закона
сохранения энергии для комбинированной системы частиц и полей.
Если мы обозначим общую энергию частиц внутри объема V через
?Мех и предположим, что частицы не выходят из этого объема,
то, очевидно,
^ J -Ed3x. F.84)
Таким образом, теорема Пойнтинга выражает закон сохранения
энергии для комбинированной системы
dt "~ dt vx"Mex ' ^п°лев/— j » —, F.85)
s
где полная энергия поля внутри V равна
B2)d3x. F.86)
218 Гл. 6. Переменные во времени поля. У равнения Максвелла
Аналогично можно рассмотреть и закон сохранения импульса.
Мы знаем, что сила, действующая на заряд q во внешнем поле Е,
равна qE. Из основного соотношения E.12) для сил, действующих
на токи, мы можем заключить, что внешнее магнитное поле В
действует на зяряд qy движущийся со скоростью v, с силой (q /c)\ X В.
Отсюда полная сила, с которой электромагнитное поле действует
на заряженную частицу, равна
4) F-87)
Она называется силой Лоренца. Мы вывели выражение F.87) из со-
соотношений для постоянных полей, но оно экспериментально под-
подтверждено для произвольных полей и для частиц с произвольно
большими скоростями.
Согласно второму закону Ньютона, скорость изменения импуль-
импульса частицы равна
*P( i) F.88)
Если обозначить сумму импульсов всех частиц в объеме V
через РМех> то мы можем написать
J ( |jx B)d3x. F.89)
v
Для удобства вычислений мы заменили сумму по частицам на интег-
интеграл по плотностям заряда и тока. Дискретный характер распреде-
распределения зарядов можно восстановить в любой момент, вводя б-функ-
цию аналогично гл. 1, § 2. Так же как и при выводе теоремы Пойн-
тинга, мы исключим q и J из F.89) с помощью уравнений Максвел-
Максвелла:
Q = ^divE, J=JL(rotB-l-?). F.90)
Отметим, что в F.90) входят Е и В, а не Н и D. Это обусловлено
тем, что, как уже указывалось выше, мы отнесли энергию зарядов
к механической части энергии системы и поэтому пользуемся
микроскопическими уравнениями, которые содержат только Е
и В. В следующем параграфе будут сделаны некоторые замечания
об особенностях подхода, при котором энергия и импульс отдель-
отдельных частиц, а именно связанных атомов, включаются в «полевую»
энергию и импульс через диэлектрическую и магнитную проницае-
проницаемости (см. также задачу 6.8).
Подставляя F.90) в F.89), представим подынтегральное выра-
выражение в виде
Bx JBxrotB) F.91)
§ 9. Законы сохранения для системы частиц и полей 219
Воспользуемся соотношением
и добавим в скобках в F.91) член В div В = 0; тогда
q? + 4-(j x B) = -^-(EdivE+BdivB —Ex rot E — В x rot B) —
-r-i-(ExB). F.92)
4лс dt v ' v '
Для скорости изменения механического импульса можно теперь
написать вместо F.89) соотношение
= -^г \ (EdivE—Ex rotE +
v
+ В div В— В х rot В) d3x. F.93)
Естественно отождествить объемный интеграл, стоящий в левой
части равенства, с полным электромагнитным импульсом РПолев
в объеме V:
^5 ЕхВ)Л. F.94)
Подынтегральное выражение можно интерпретировать как плот-
плотность электромагнитного импульса. Заметим, что плотность им-
импульса пропорциональна плотности потока энергии S с коэффи-
коэффициентом пропорциональности с~2.
Чтобы окончательно убедиться в том, что объемный интеграл
от (Е X В) /4яс можно отождествить с электромагнитным импульсом
и представить F.93) в форме закона сохранения импульса, мы
должны преобразовать объемный интеграл в правой части F.93)
в поверхностный интеграл от нормальной составляющей некото-
некоторой величины, которую можно интерпретировать как поток импуль-
импульса.
Подынтегральное выражение в F.93), очевидно, имеет вектор-
векторный характер. Поэтому если его можно представить как дивергенцию
некоторой величины, то эта величина должна быть тензором вто-
второго ранга. Вместо того чтобы перейти к прямоугольным декарто-
декартовым составляющим импульса, можно рассматривать тензоры,
оставаясь в рамках векторных операций, если ввести соответствую-
соответствующие диадные обозначения. Если обозначить трехмерный тензор
через Ttj (i, / = 1, 2, 3), а единичные базисные векторы вдоль коор-
координатных осей — через е^, то в диадном обозначении тензор Ttj
220 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
будет иметь вид *¦)
3 3
T = S2 eiTtjej. F.95)
Стоящий слева от То- единичный вектор может образовывать ска-
скалярные или векторные произведения только при умножении слева,
вектор, стоящий справа,— только при умножении справа. При
заданной диаде компоненты тензора определяются как скалярные
произведения
Ти = егТ.е,. F.96)
•«—>
Обозначим через I диаду, соответствующую единичному тензору
второго ранга:
I —ел + езег + езез. F.97)
Скалярное произведение произвольного вектора или векторного
ч—*
оператора на I слева или справа равно этому же вектору.
После этих беглых замечаний о свойствах диад вернемся теперь
к векторным преобразованиям, необходимым для приведения объ-
объемного интеграла в правой части F.93) к поверхностному. Исполь-
Используя векторное тождество
— grad(B.B) = (B.grad)B + BxrotB,
мы можем записать члены, содержащие В, в виде
В div В - В х rot В = В div В + (В grad) В — у grad В2. F.98)
Последнее выражение можно представить в виде дивергенции
от диады
i (T) F-99)
Аналогично преобразуются члены, содержащие электрическое поле
в F.93). Следовательно, закон сохранения импульса принимает вид
dt
(Рмех + Рполев) = $ di^TlPx = § П- Tdfl. F.100)
х) Диадные обозначения мало распространены в нашей литературе.
Произвольный тензор второго ранга может быть представлен как сумма п
диад (внешних произведений векторов), где п — число измерений.
Если разложить векторы, образующие диады, по единичным векторам системы
координат, то мы придем к представлению F.95). Оно удобно в том отноше-
отношении, что умножение тензора F.95) на вектор слева или справа сводится к ска-
скалярному (внутреннему) перемножению векторов.— Прим. ред.
Элементы этого тензора равны
§ 10, Макроскопические уравнения 221
Тензор-диада Т, называемый максвелловским тензором натяже-
натяжений, равен
Y^[lT] F.101)
F.102)
Очевидно, (—п-Т) в уравнении F.100) представляет собой
нормальный к поверхности поток импульса через единичную пло-
•«—>
щадь из объема V сквозь поверхность S. Иными словами, (— п-Т) —
это сила, действующая на единичную площадку поверхности S.
Это соотношение можно использовать для расчета сил, действую-
действующих на материальные тела в электромагнитном поле, если окру-
окружить эти тела граничной поверхностью S и подсчитать полную
действующую на поверхность силу, определяемую правой частью
уравнения F.100).
Сохранение момента количества движения комбинированной
системы частиц и полей можно рассмотреть таким же образом,
как и сохранение энергии и импульса. Соответствующие расчеты
предлагается выполнить читателю (см. задачу 6.9).
§ 10. Макроскопические уравнения
Хотя в большей части главы уравнения электродинамики запи-
записаны в макроскопической форме, читатель помнит, что вывод
макроскопических уравнений из микроскопических был проведен
отдельно для электростатики и магнетостатики в гл. 4, § 3
и в гл. 5, § 8. В связи с этим возникает вопрос о применимости
этих уравнений для переменных во времени полей. Применимость
этих уравнений представляется интуитивно очевидной, поскольку
добавление максвелловского тока смещения было сделано на мак-
макроскопическом уровне. Тем не менее полезно непосредственно
получить макроскопические уравнения из микроскопических и,
в частности, проследить, как изменение во времени поляризации Р
порождает распределение токов и приводит к превращению микро-
микроскопического тока смещения dE/dt в макроскопический ток сме-
смещения dD/dt.
Основное допущение, которое было принято в наших предыду-
предыдущих рассмотрениях, заключается в том, что макроскопические
поля Е и В, удовлетворяющие двум однородным уравнениям Мак-
222 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
свелла F.28), являются средними значениями соответствующих
микроскопических полей 8 и 0:
Е(х, 0 = <«>> в(*> 0 = <Р>. F.103)
Под средним значением теперь мы должны подразумевать
результат усреднения как по пространству, так и по времени,
например
) d4 I dT<x + S ' + ) FЛ04>
где объем AV и интервал времени AT малы по сравнению с соот-
соответствующими макроскопическими величинами.
Из соотношений F.103) следует, что макроскопические потен-
потенциалы Ф и А являются средними значениями соответствующих
микроскопических величин
Ф(х, 0 = <Ф>. А(х, *) = <*>, F.105)
поскольку поля Е и В (или г и Р) получаются из них дифферен-
дифференцированием, согласно F.29) и F.31).
Чтобы выразить усредненные потенциалы через молекулярные
характеристики, необходимо произвести точно такой же расчет,
как в гл. 4, § 3, и гл. 5, § 8, за исключением двух моментов. Во-пер-
Во-первых, в соответствии с проведенным в § 6 анализом решения волно-
волнового уравнения мы должны пользоваться «запаздывающими» по-
потенциалами. Поэтому те же рассуждения, которые приводили
к D.33), приводят теперь к усредненному скалярному потенциалу
(Ф>= \ N(\f) X
(х\ t')) • grad'
F.106)
К этому выражению надо прибавить запаздывающий потенциал,
обусловленный избыточными свободными зарядами qcb. Второе
изменение касается векторного потенциала. В стационарном слу-
случае обусловленный молекулами вклад в векторный потенциал был
суммой членов типа потенциала магнитных диполей E.75). Главные
члены в разложениях были равны нулю в силу условия div J = 0,
которое для переменных полей уже несправедливо. Если просле-
проследить рассуждения вплоть до соотношения E.51), то можно убе-
убедиться, что главный член в выражении для амол равен
аМол= ¦ v * [ Лмол(х', ndV + Дипольн. члены E.75) ¦+ ....
F.107)
Для простоты мы временно опускаем индексы, указывающие на за-
запаздывание. С помощью тождества div'(x}J) = Jt-\- xjdiv'J пер-
§ 10. Макроскопические уравнения 223
вый член преобразуется к виду
Дмол^ 7YZ—Z~T \ x'div'JM(Mi dzXr А- Дипольн. члены E.75)+ ... .
с I х х j I J
F.108)
Используем далее уравнение непрерывности сНу'ЛМ0Л— — dQMoJdt'
и определение молекулярного электрического дипольного
момента D.25). Тогда F.108) дает
п /чг /\ I Pj \* ) 1 I ^J'( / ^ \^ Х7/ | /С 1ПО\
V ' L с dt' | х— Xj\ ~ |x—Xj\* Jзaпaзд v }
В случае переменных полей главный член оказывается пропор-
пропорциональным скорости изменения электрического дипольного момен-
момента х). Суммируя по всем молекулам и производя усреднение в со-
соответствии с F.104), получаем средний микроскопический вектор-
векторный потенциал
/o\_J_ [ N(x'\ Г * —/п (х' /'^\4-
\л/ — с \ iV Vх ) I | х х/ Г fot \Рмол Vх » 1 I \
V. F.110)
Сюда следует добавить обычное выражение для потенциала макро-
макроскопического тока проводимости с плотностью J (х, t).
Решения F.106) и F.110) с добавлением потенциалов, созда-
создаваемых свободными зарядами и токами проводимости, можно запи-
записать в виде
<.,_±fr «« и F-Ш)
С J L | х—х'
Входящие сюда усредненные заряды и токи следующим образом
зависят от макроскопических векторов поляризации Р и намаг-
намагниченности М, определенных соотношениями D.36) и E.77):
<Q> = Q-divP,
+ f FЛ12)
где q и J — макроскопические плотности заряда и тока.
Теперь, наконец, мы в состоянии непосредственно вывести
макроскопические уравнения Максвелла из микроскопических.
Однородные уравнения Максвелла вытекают непосредственно из
!) В действительности в случае переменных полей появляется не только
главный член, но из второго слагаемого в E.51) возникает также член, равный
(l/c)dQ/d/-grad' A/|х-— х'|), где Q — квадрупольная диада молекулы.
Поскольку мы удерживаем в F.106) только дипольные члены, здесь этот
квадрупольный член опущен.
224 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
определений F.103). Переходя к неоднородным уравнениям, рас-
рассмотрим микроскопическую форму закона Ампера
rotp = ^J+!|f-. F.113)
Усредняя обе части равенства и используя выражение F.112)
для (J), мы получаем
( tM + f-) + l-f . F.114)
Так как, согласно определению, Н = В — 4jcM и D = Е + 4jcP,
то мы приходим к искомому соотношению
rotH = ^J+I^. F.115)
Другое уравнение div D = 4яд выводится аналогичным образом
из F.112).
В заключение анализа макроскопических уравнений поля рас-
рассмотрим различие между микроскопической и макроскопической
формами теоремы Пойнтинга. В § 8 мы получили макроскопиче-
макроскопическую форму F.81) закона сохранения энергии. Записанный явно
через поля, он имеет вид
(f^)$ F.116)
V v
Чтобы понять смысл входящих сюда сочетаний полей Е, D, В, Н,
следует установить связь с микроскопической формой теоремы
Пойнтинга. Это проще всего сделать, выразив левую часть F.116)
через основные поля Е и В. Легко видеть, что F.116) примет при
этом вид
Е- (j + crotM + -^-)d8*. F.117)
v
Из соотношений F.112) следует, что соотношение F.117) представ-
представляет собой аналог теоремы Пойнтинга для микроскопических по-
полей, в котором каждая величина заменена на свое среднее значение.
Оно не является простым результатом усреднения теоремы Пойнтин-
Пойнтинга для микроскопических полей, отличаясь рядом членов, которые
выражают сохранение энергии флуктуирующих полей, представляю-
представляющих собой мгновенные отклонения г и Р от Е и В. Если не рас-
рассматривать эти флуктуирующие поля, мы можем интерпретиро-
интерпретировать соотношение F.117) следующим образом.
Будем относить заряды и токи, создаваемые электронами,
движущимися внутри молекул, так же как и токи проводимости,
Задачи 225
к внешним источникам. Тогда теорема Пойнтинга должна отно-
относиться к основным полям Е и В и содержать работу, совершаемую
электрическим полем в единицу времени над всеми токами. Если
трактовать работу, совершаемую над эффективным молекулярным
током dP/dt + с rot M, как энергию, содержащуюся или рас-
распространяющуюся в среде, то мы можем перенести соответствую-
соответствующий член в левую часть F.117) и включить его в члены для плот-
плотности энергии и потока энергии в среде. Таким образом, мы
опять приходим к макроскопической форме теоремы Пойнтинга
F.116), где явно выделена только работа электрического поля
над токами проводимости. Энергию, связанную с эффективным
молекулярным током, естественно включать в энергию поля, так
как она представляет собой характеристику среды и в действитель-
действительности является запасенной энергией (т. е. реактивной мощностью),
которая в среднем не испытывает диссипации (последнее не верно
для магнитных сред при наличии гистерезисных эффектов). Напро-
Напротив, мощность, связанная с токами проводимости, диссипирует:
электрическая энергия превращается в механическую.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Законы сохранения энергии и импульса для электромагнитных полей
рассматриваются почти во всех учебниках. Хорошее изложение вопроса
об энергии квазистационарных токов и силах, действующих на контуры
с током, дано в книге Пановского и Филипс [78], гл. 10, где использован
подход, отличный от нашего. В книге Стрэттона [106], гл. 2, подробно
рассмотрен тензор максвелловских напряжений с точки зрения сил, дей-
действующих на жидкости и твердые тела. Общее рассмотрение законов сохра-
сохранения, а также теория квазистационарных токов, расчет индуктивностей
и сил очень ясно изложены в книге Абрагама и Беккера [1], гл. 8 и 9.
Расчет индуктивностей и теория цепей имеются также в книге Смай-
та [100], гл. 8— 10, и во многих технических учебниках. Опущенные
в нашей книге разделы о токах Фуко и индуктивном нагреве рассмотрены
с многочисленными примерами в книге Смайта [100], гл. 11.
Основным математическим содержанием этой главы является анализ
волнового уравнения. Задачи с начальными условиями для одного, двух,
трех и большего числа измерений рассматриваются в книге Морса и Феш-
баха [77] и в более математической форме в книге Адамара [47].
Дополнение редактора. Физические основы теории переменных полей
хорошо изложены в книге Тамма [130].
ЗАДАЧИ
6.1. а) Показать, что полная энергия системы взаимодействующих эле-
элементов тока в магнитном поле в свободном пространстве равна
J(x)-J(x')
W~ 2с* )ах ]
где J (х) — плотность тока.
226
Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
б) Пусть имеется п контуров с токами 11, /2, . . ., 1п. Показать, что
их энергия выражается формулой
Написать интегральное выражение для самоиндукции Lt и взаимоиндук-
взаимоиндукции Mij.
6.2. Двухпроводная линия передачи состоит из пары немагнитных парал-
параллельных проводов с радиусами а и Ь, расположенных на расстоянии
d^> (а + Ь). Токи текут по этим проводам в противоположные стороны и рав-
равномерно распределены по сечению проводов. Показать, что самоиндукция
на единицу длины определяется соотношением
ah
6.3. Контур представляет собой тонкую проводящую оболочку радиу-
радиусом а и параллельный ей внутренний обратный провод радиусом Ь. Пред-
Предполагая распределение тока однородным по поперечному сечению провода,
рассчитать самоиндукцию на единицу длины. Какова будет самоиндукция,
если внутренний проводник является тонкой полой трубкой?
6.4. Показать, что взаимоиндукция двух круглых коаксиальных витков
в однородной среде с магнитной проницаемостью \х равна
4ab
где
здесь а и Ъ — радиусы витков, d — расстояние между их центрами,
а К и Е — полные эллиптические интегралы.
Получить предельное выражение для случая, когда d <[|a и а ^ Ь.
Фиг. 6.5.
6.5. Линия передачи состоит из двух параллельных идеальных провод-
проводников произвольного, но постоянного поперечного сечения (фиг. 6.5). Ток
течет по одному из этих проводников и возвращается по другому.
Задачи 227
Показать, что произведение индуктивности единицы длины на емкость
единицы длины равно
где jn и е— магнитная и диэлектрическая проницаемости среды, окружаю-
окружающей проводники, ас — скорость света в свободном пространстве.
6.6. Доказать, что произвольный вектор F можно разложить на пбпе-
речную и продольную составляющие
такие, что div Fj = 0 и rot Fj = 0; при этом Fj и Ff определяются выраже-
выражениями F.49) и F.50).
6.7. а) Показать, что одномерное волновое уравнение
дх* с*
имеет общее решение
5
t-(x/c)
для граничных условий, при которых величины яр и dty/дх считаются задан-
заданными при х = 0 для произвольного времени t\
б) Найти соответствующее решение для граничных условий, заданных
при t = 0:
*(ж, 0)=/(х), ^(x,0)=g(x).
6.8. Рассмотреть закон сохранения энергии и импульса для макроско-
макроскопической системы источников и электромагнитных полей в среде, описывае-
описываемой диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью ц.
Показать, что плотность энергии, вектор Пойнтинга, плотность импульса
поля и максвелловский тензор натяжений даются выражениями:
Что изменится, если е и [i будут зависеть от пространственных координат?
6.9. В тех же предположениях, что и в задаче 6.8, рассмотреть закон
сохранения момента количества движения. Показать, что дифференциаль-
228 Гл. 6. Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла
ная и интегральная формы закона сохранения имеют вид
d
dt
V S
где плотность момента количества движения электромагнитного поля есть
«#полев = х X g =-^~ х X (Е X Н),
а поток момента количества движения поля описывается тензором
Замечание. М можно записать в виде тензора третьего ранга, и^
== TijXfr— TifrXj. Он антисимметричен по индексам / и k и поэтому имеет
всего три независимых компоненты. С учетом индекса i тензор М^ъ
имеет девять компонент и может быть представлен как псевдотензор второго
ранга, как это и сделано выше.
6.10. Плоская волна падает нормально на полностью поглощающий
плоский экран.
а) Используя закон сохранения импульса, показать, что давление (так
называемое радиационное давление), действующее на экран, равно энергии
поля в единице объема.
б) Вблизи Земли поток электромагнитной энергии от Солнца приблизи-
приблизительно равен 0,14 вт/см2. Пусть межпланетный «парусный корабль» имеет
парус с массой 10~4г на 1 см2 его площади и пренебрежимо малый вес осталь-
остальной части. Каково будет максимальное ускорение в см/сек2, обусловленное
давлением солнечного излучения? Сравнить с ускорением, обусловленным
солнечным «ветром» (корпускулярной радиацией).
6.11. Циркулярно поляризованная волна, распространяющаяся в z-на-
правлении, имеет конечную протяженность в х- и ^/-направлениях. Предпо-
Предполагая, что амплитуда изменяется медленно (ширина фронта много больше
длины волны), показать, что электрическое и магнитное поля прибли-
приближенно выражаются формулами
Е(*. у, г, t)*
В ^ =F / VМ^Е,
где elt е2, е3 — единичные векторы по осям х, у и z.
6.12. Для циркулярно поляризованной волны, рассмотренной в зада-
задаче 6.11, рассчитать среднюю по времени составляющую момента количества
движения, параллельную направлению распространения. Показать, что
отношение этой составляющей момента количества движения к энергии
волны равно
Объяснить этот результат с точки зрения представления о световых квантах
(фотонах). Показать, что для цилиндрически симметричной ограниченной
плоской волны поперечные составляющие момента количества движения
равны нулю.
Глава 7
ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Предметом настоящей главы являются плоские волны в неогра-
неограниченном или полуограниченном пространстве. В первую очередь
будут рассмотрены основные свойства плоских волн в непроводящей
среде — их поперечная природа и различные типы поляризации.
Затем описывается поведение одномерных волновых пакетов,
вводятся понятия групповой скорости и дисперсии. Исследуется
преломление и отражение волн от плоской границы раздела двух
диэлектриков. Далее рассматриваются плоские волны в проводя-
проводящей среде и анализируется простейшая модель электропроводно-
электропроводности. Затем эта модель видоизменяется так, чтобы ее можно было
применить к разреженной плазме или электронному газу, и рас-
рассматривается распространение поперечных волн в плазме, нахо-
находящейся во внешнем статическом магнитном поле.
§ 1. Плоские волны в непроводящей среде
Характерной особенностью уравнений Максвелла для элек-
электромагнитного поля является существование решений в виде рас-
распространяющихся волн, несущих с собою энергию. Простейшим
и вместе с тем наиболее важным случаем электромагнитных волн
являются поперечные плоские волны. Прежде всего рассмотрим,
как получаются такие решения в непроводящей среде, описываемой
постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостями. Урав-
Уравнения Максвелла в неограниченном пространстве без источников
имеют вид
divE = 0, rotE + l^-O,
divB^O, rotB—^--^- = 0,
230 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
где параметры \it е — характеристики среды. Комбинируя два
содержащих роторы уравнения и учитывая равенство нулю дивер-
дивергенций, мы легко найдем, что любая декартова составляющая
полей Е и В удовлетворяет волновому уравнению
где постоянная
имеющая размерность скорости, является характеристикой среды.
Волновое уравнение G.2) имеет известное решение в виде пло-
плоской волны
tt = eik.x-ie>*, G.4)
где частота со и модуль волнового вектора к связаны соотношением
^ = -~- = У\ьъ -у" • G-5)
Если мы рассмотрим волны, распространяющиеся только в одном
направлении, скажем в х-направлении, то фундаментальным реше-
решением будет
и (х, t) = Aeik*-i»t + Ве-1кх~ш. G.6)
Используя G.5), мы можем написать
Если v не зависит от k (т. е. рассматривается недиспергирующая
среда, для которой \i& не зависит от частоты), то, как мы знаем,
из интегральной теоремы Фурье [см. B.50) и B.51)] с помощью
линейной суперпозиции uk(x, t) можно построить общее решение
вида
и(х, t) = f(x — vt) + g(x + vt), G.8)
где / и g —¦ произвольные функции. Легко проверить и непо-
непосредственно, что это решение действительно удовлетворяет волно-
волновому уравнению G.2). Оно описывает волны, движущиеся соответ-
соответственно в положительном и отрицательном направлениях по х
со скоростью у, которая называется фазовой скоростью волны.
Если же v зависит от k, то ситуация не будет простой — началь-
начальные волны f (х) и g (x) уже не распространяются со скоростью v
без искажения формы (см. § 3). Однако для каждой частотной
компоненты скорость v, определенная равенством G.3), остается
фазовой скоростью.
§ 1. Плоские волны в непроводящей среде
231
Плоские волны, определяемые соотношениями G.4) и G.5),
удовлетворяют скалярному волновому уравнению G.2). Но нужно
еще учесть векторный характер полей, удовлетворяющих уравне-
уравнениям Максвелла. Принимая условие, что истинные электрическое
Фиг. 7.1. Волновой вектор к
и два ортогональных вектора
поляризации е4 и е2.
и магнитное поля соответствуют действительным частям комплекс-
комплексных величин, будем искать Е и В в виде
В(х, 0 =
]
где е{ и е2— постоянные единичные векторы, а Ео и Во— ком"
плексные амплитуды, постоянные как в пространстве, так и во вре-
времени. Из условий div E — 0 и div В = 0 следуют равенства
ei.k=0, е2-к = 0, G.10)
которые означают, что Е и В перпендикулярны направлению рас-
распространения волны к. Такие волны называются поперечными.
Роторные уравнения приводят к дальнейшим ограничениям. Под-
Подставляя G.9) в первое роторное уравнение G.1), получаем
ik.x-ico^O. G.11)
Уравнение G.11) (в действительности это несколько уравнений)
имеет решение
е2=^р, G.12)
B0 = V\mE0. G.13)
Таким образом, еь е2, к образуют систему ортогональных векто-
векторов, векторы Е и В колеблются в фазе и отношение Е к В постоян-
постоянно (фиг. 7.1). Волна, описываемая соотношениями G.9), G.12)
232 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
и G.13), является поперечной волной, распространяющейся в на-
направлении к. Соответствующий средний по времени поток энер-
энергии определяется действительной частью комплексного вектора
Пойнтинга
S = |^EXH*. G.14)
Этот поток (энергия, проходящая через единицу площади в еди-
единицу времени) равен
/e3, G-15)
где е3 — единичный вектор в направлении к.
Средняя по времени плотность энергии равна
G.16)
откуда следует, что
и = ~\Е0\\ G.17)
Беря отношение абсолютных величин G.15) и G.17), мы видим,
что скорость потока энергии равна v = с/У\1е, что и следовало
ожидать согласно G.8).
§ 2. Линейная и круговая поляризация
В плоской волне G.9) вектор электрического поля направлен
вдоль е^ Такая волна называется линейно поляризованной с век-
вектором поляризации е^
Для получения общего случая поляризации нам нужна еще
одна линейно поляризованная волна, не зависящая от первой.
Ясно, что две волны
2 — e2?2e , G
у которых \'-
представляют собой два таких линейно независимых решения.
Амплитуды Ei и Е2 являются комплекснымы числами, что
позволяет ввести разность фаз между обеими волнами. Общее
решение для плоской волны, распространяющейся в направле-
направлении к, дается линейной комбинацией Ej и Е2:
Е(х, г) = {егЕ1 + е2Е2)егк^-ш. G.19)
§ 2. Линейная и круговая поляризация
233
Если ?t и ?2 имеют одинаковые фазы, то G.19) представляет
собой линейно поляризованную волну с вектором поляризации,
направленным под углом 6 = arctg (Е21Е^ к оси в! и с амплиту-
амплитудой Е ¦-= УЕ\ + Е\у как показано на фиг. 7.2.
Фиг. 7.2. Электрическое поле
линейно поляризованной волны.
е
Если же Ei и Е2 имеют различные фазы, то волна G.19) эллип-
эллиптически поляризована.
Чтобы понять, что это означает, рассмотрим простейший слу-
случай круговой (или циркулярной) поляризации. При этом Ei и E%
одинаковы по абсолютной величине, а по фазе отличаются на 90°.
Волна G.19) принимает вид
Е (х, t) = Ео (е4 ± /е2) **•*-*«*, G.20)
где Ео— ее действительная амплитуда. Пусть оси координат
выбраны таким образом, что волна распространяется в положи-
Фиг. 7.3. Электрическое поле волны
с круговой поляризацией.
тельном направлении оси z, если ei и е2 направлены соответст-
соответственно вдоль осей х и у. Составляющие электрического поля мы
получим, беря действительную часть G.20):
?я(х, О = ^о cos (fez —©0,
zcoO ( ' }
В любой фиксированной точке пространства электрический вектор
поля G.21) имеет постоянную амплитуду, но вращается по кругу
с частотой со, как показано на фиг. 7.3. Верхний знак, (ei+ ie2)>
234
Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
соответствует вращению против часовой стрелки для наблюдателя,
смотрящего навстречу волне. Эта волна в оптике называется волной
с левой круговой поляризацией. По терминологии современной физи-
физики эта волна, как говорят, имеет положительную спиральность.
Последний термин представляется более удобным, поскольку
в такой волне момент количества движения имеет положительную
составляющую по оси z (см. задачу 6.12). При нижнем знаке,
У
Фиг. 7.4. Электрическое и магнитное поля в эллиптически поляризованной
волне.
(в!—ie2), если также смотреть навстречу волне, вращение электри-
электрического вектора происходит по часовой стрелке; это — волна
с правой круговой поляризацией (в оптике), иными словами, она
имеет отрицательную спиральность.
Две волны с круговой поляризацией G.20) аналогично линейно
поляризованным волнам представляют собой базисную систему
для описания общего случая поляризованных волн. Введем ком-
комплексные ортогональные единичные векторы
р — * (е 4-;Р\ f7 29^
обладающие следующими свойствами:
=0,
G.23)
Тогда общее представление G.19) можно записать в эквивалент-
эквивалентном виде
Е(х, 0 = (?+e+ + ?-e-)eik-x-i@', G.24)
где Е+ и Е- — комплексные амплитуды. Если ?+ и Е- различны
по модулю, но имеют одинаковые фазы, то G.24) представляет
§ 3. Суперпозиция волн в одном измерении 235
собой эллиптически поляризованную волну с главными осями
эллипса, расположенными вдоль е{ и е2. Отношение полуосей
эллипса равно A + г)/A — г), где г = Е-/Е+. Если же комплекс-
комплексные амплитуды Е+ и Е- имеют различные фазы, так что Е~/Е+=
= reia, то оси эллипса, описываемого вектором Е, повернуты
на угол а/2. На фиг. 7.4 показан общий случай эллиптической
поляризации: в каждой точке пространства векторы Е и В описы-
описывают эллипсы, изображенные на фиг. 7.4.
При г = + 1 мы возвращаемся к случаю линейно поляризо-
поляризованных волн.
§ 3. Суперпозиция волн в одном измерении.
Групповая скорость
Выше мы нашли решения уравнений Максвелла в виде плоских
волн и обсудили их свойства. Мы ограничились рассмотрением
только монохроматических волн с заданными частотой и волновым
числом. Однако в реальных условиях таких идеализированных
волн не существует. Даже самый монохроматический источник
света и остронастроенный радиопередатчик дают излучение в ко-
конечном (хотя, возможно, и малом) интервале частот или длин волн.
Немонохроматичность связана с конечной продолжительностью
импульса, с собственной шириной линии в источнике света, а так-
также с множеством других причин. Так как основные уравнения
линейны, мы можем в принципе очень просто получить любую
линейную суперпозицию решений с различными частотами. В дей-
действительности, однако, следует иметь в виду некоторые особен-
особенности.
1. В диспергирующей среде (где диэлектрическая проницае-
проницаемость является функцией частоты поля) волны, имеющие разные
частоты, распространяются с различными фазовыми скоростями.
В результате изменяются взаимные фазы различных компонент.
В частности, это приводит к изменению формы импульса по мере
его распространения.
2. Скорость потока энергии в диспергирующей среде может
сильно отличаться от фазовой скорости и даже не иметь определен-
определенного значения.
3. В среде с поглощением импульс излучения, затухая, не со-
сохраняет своей формы, если поглощение существенно зависит
от частоты.
По существу, эти дисперсионные и диссипативные эффекты
неявно учитываются в теории рядов и интегралов Фурье (см. гл. 2,
§ 9). Возьмем для простоты скалярные одномерные волны.
Пусть и (х, t) является скалярной функцией, под которой мы можем
подразумевать любую из декартовых составляющих электромагнит-
236 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
ного поля. Основное решение волнового уравнения G.2) возьмем
в форме G.6). Связь между частотой со и волновым числом k электро-
электромагнитных волн дается соотношением G.5). При линейной супер-
суперпозиции мы можем принять за независимую переменную либо со,
либо k. Примем сначала за независимую переменную волновое
число k. Для учета дисперсии будем считать со произвольной функ-
функцией k
© = ©(*). G.25)
Поскольку дисперсионные свойства среды не могут зависеть от на-
направления распространения волны, частота со должна быть четной
функцией k, так что со (— k) = (d(k). Для большинства длин волн со-
является медленно меняющейся функцией k. Однако при некоторых
частотах имеются области «аномальной дисперсии», где со меняется
быстро в узком интервале длин волн. Последующее рассмотрение,,
основанное только на общей формуле G.25), одинаково применима
к электромагнитным волнам, звуковым волнам, волнам де Бройля
и т. д. Мы будем пока считать, что k и со (k) вещественны, исклю-
исключив тем самым из рассмотрения диссипативные эффекты.
Из фундаментальных решений G.6) мы можем построить общее
решение в виде
и(х, t) = -±=- J AWe^-^Wdk. G.26)
' — оо
Множитель 1/]/2я введен для согласования с обозначениями
теории интегралов Фурье [см. B.50) и B.51)]. Амплитуда A (k)
описывает свойства линейной суперпозиции различных волн. Она
определяется через значение пространственной амплитуды и (х, t)
при t — О1) с помощью преобразования
оо
Л(/г) = —U- С и(х, 0)e-ikxdx. G.27>
1/ 2я J
—оо
Если и (х, 0) представляет собой гармоническую волну exp (ikox)
на всей оси х, то из соотношения ортогональности B.52) следует
A (k) = ]/2jc6 (k — &0), что соответствует монохроматической
бегущей волне и(х, t) = exp [ikox — i<u(ko)t], как и должно быть.
Если же при t = 0 функция и (х, 0) представляет собой волновой
х) В последующем изложении мы не касаемся вопроса о начальных
условиях. Для дифференциального уравнения второго порядка мы должны
были бы задать не только и (х, 0), но также и ди(х, O)/dt. Однако это
обстоятельство не повлияет на результаты данного раздела. Оно будет учтено
в следующем параграфе.
§ 3. Суперпозиция волн в одном измерении
237
пакет конечной длины порядка Ал; (фиг. 7.5), то амплитуда A(k)
уже не будет б-функцией. Она будет представляться пикообразной
функцией с шириной порядка Ak с максимумом вблизи волнового
числа й0, являющегося основным волновым числом модулирован-
модулированной волны и (х, 0). Если обозначить через Ал: и Л& среднеквадра-
и(х,0)
А (к)
-Дк-
\7
Фиг. 7.5. Синусоидальный волновой пакет конечной протяженности и его
фурье-спектр.
тичные отклонения величин х и k [определенные через интен-
интенсивности \и (х, 0)|2 и \А (k)\2], то для них можно вывести общее
соотношение
AxAk>±-. G.28)
Читатель может легко убедиться, что обычно для импульсов или
волновых пакетов, не слишком быстро обрывающихся по краям,
произведение Ал: на Д& близко к предельной величине V2. Это озна-
означает, что короткому отрезку волны всего лишь в несколько длин
волн соответствует широкое распределение волновых чисел, и на-
наоборот, «длинная» синусоидальная волна почти монохроматична.
Соотношение G.28) в равной мере применимо к отклонениям Бре-
Бремени и частоты.
Рассмотрим теперь изменение во времени импульса, или огра-
ограниченного во времени волнового отрезка.
Импульс, изображенный на фиг. 7.5 для момента t = 0, с тече-
течением времени перемещается. Компоненты с различными частотами
238 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
и волновыми числами движутся с разными фазовыми скоростями.
Таким образом, имеется тенденция к потере первоначальной
когерентности и к искажению формы импульса. Поэтому мы
можем ожидать, что импульс будет распространяться со скоростью,
несколько отличающейся, скажем, от средней фазовой скорости
составляющих его волн. Рассмотрение общего случая сильна
диспергирующей среды, а также очень короткого импульса с широ-
широким интервалом волновых чисел довольно сложно. Однако рас-
распространение импульса с не слишком широким спектром волновых
чисел, а также распространение импульса в среде, в которой чисто-
чистота слабо зависит от волнового числа, может быть рассмотрено
следующим приближенным методом. В любой момент времени /
волна описывается соотношением G.26). Если функция A (k)
имеет достаточно острый пик около некоторого волнового числа
k0, то частоту со (k) можно разложить в ряд в окрестности k = k0:
<o(?) = co0 + -g-|o(fe-fto) + -.- • G.29)
При этом интеграл преобразуется к виду
u(x^t)^viPU[kQ(du/dk)\0-<o0]t} J A(k)ftxv{i\x-^\y\k}dk.
G.30)
Из сравнения с выражением G.27) и с обратным фурье-образом
следует, что интеграл в G.30) равен ]/ 2я и (х1, 0), где х —
= х— (d(i>/dk)\01, т. е.
G.31)
U(X, t) ъ U ( X -тг- t,
V dk о
Отсюда видно, что если не говорить об общем фазовом множителе,
то импульс движется без искажения формы со скоростью
ъ = ж1 G-32>
которая носит название групповой скорости. Если плотность энер-
энергии определяется амплитудой волны (точнее, квадратом ее моду-
модуля), то ясно, что в этом приближении перенос энергии происходит
с групповой скоростью, т. е. со скоростью движения импульса.
Для световых волн связь между со и k описывается соотноше-
соотношением
где с — скорость света в свободном пространстве, а п (k) — пока-
§ 3. Суперпозиция волн в одном измерении
239
затель преломления в функции от k. Фазовая скорость
_<o(fe)__ с
^фаз- k ~n{k)
G.34)
может быть как меньше, так и больше с в зависимости от того,
больше или меньше единицы величина n(k). Для большинства
Фиг. 7.6. Зависимость показателя преломления п (со), фазовой скорости
и групповой скорости угр от частоты со в области аномальной дисперсии.
длин волн в оптическом диапазоне п (k) больше единицы почти
во всех средах. Групповая скорость G.32) равна
п^^' G-35>
В этом соотношении более удобно считать п функцией от со, а не
от k. При нормальной дисперсии производная dn/dco положитель-
положительна и, кроме того, п> 1; таким образом, скорость потока энергии
меньше фазовой скорости, а также меньше с. В области же аномаль-
аномальной дисперсии dn/dw может оказаться большой отрицательной
величиной. При этом групповая скорость будет сильно отличать-
отличаться от фазовой скорости и может стать больше с1).
Зависимость групповой и фазовой скоростей от частоты в
области аномальной дисперсии показана на фиг. 7.6.
х) Здесь нет оснований беспокоиться, что нарушаются принципы спе-
специальной теории относительности, поскольку в этом случае групповая ско-
скорость теряет свой физический смысл. Большая величина dn/da) означает,
что со быстро меняется при изменении 6, и, следовательно, приближение
G.29) и вытекающие из него соотношения неприменимы. В этом случае пове-
поведение импульса гораздо более сложно.
240 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
§ 4. Примеры распространения импульсов
в диспергирующей среде
Чтобы проиллюстрировать общую теорию предыдущего пара-
параграфа и показать применимость понятия групповой скорости, рас-
рассмотрим теперь некоторый частный случай зависимости частоты
от волнового числа и точно рассчитаем распространение импульса
в такой среде. Но прежде чем переходить к частной модели, необ-
необходимо более детально, чем это делалось при выводе G.26) и G.27),
сформулировать задачу с начальными условиями. Как отмечалось
выше, при корректной постановке задачи с начальными условиями
для волнового уравнения требуется задать начальные значения
функции и (х, t) и ее производной по времени ди(х, 0) Idt. Так
как для получения и(х, t) мы условились брать действительную
часть G.26)
и(х, 0 = 4-—Л=- \ A(k)e^~^W*dk + Kminn. сопр., G.36)
z 1/ 2я J
то легко видеть, что A (k) следующим образом выражается через
начальные величины:
=ук \ e~ihx lu{x> V+^W)i{x> °>] dx- G-37)
Рассмотрим теперь импульс, в начальный момент представляю-
представляющий собой модулированную синусоидальную волну, огибающая
которой является гауссовой кривой:
и (*, 0) = e-*2/2L2 cos koXu G.38)
Для простоты предположим, что
|г(дг, 0) = 0. G.39)
Это означает, что в момент времени, непосредственно предшествую-
предшествующий моменту t = 0, волна состояла из двух импульсов, каждый
из которых двигался по направлению к началу координат, так
что при t = 0 они совместились и образовали импульс G.38).
Ясно, что в последующие моменты времени импульсы будут про-
продолжать двигаться в противоположные стороны. Таким образом,
следует ожидать, что начальное распределение G.38) расщепится
на два одинаковых волновых пакета, один из которых будет дви-
двигаться влево, а другой—вправо. Амплитуда Фурье A(k) импульса,
§ 4. Примеры распространения импульсов в диспергирующей среде 241
задаваемого соотношениями G.38) и G.39), имеет вид
* — оо
[^2][^]} G.40)
Как мы увидим ниже, четность функции A(k) [А(— k) = A(k)]
как раз и отражает наличие двух импульсов, движущихся в раз-
разные стороны от начала координат.
Чтобы рассчитать форму волны в последующие моменты вре-
времени, мы должны задать со = со(&). В качестве модели, допускаю-
допускающей точное решение и позволяющей выявить существенные осо-
особенности дисперсии, мы выберем зависимость
G.41)
здесь v — постоянная частота, а а — постоянная длина, опреде-
определяющая характерную длину волны, для которой дисперсия стано-
становится существенной. Импульс G.38) представляет собой модули-
модулированную волну с волновым числом к = k0, поэтому из приближен-
приближенной теории предыдущего параграфа вытекает, что оба импульса
должны двигаться с групповой скоростью
vrp = ^(k0) = va*k0 G.42)
и не должны существенно изменяться по форме (если, конечно,
они не являются слишком узкими).
Точное описание зависимости от времени можно получить из
соотношений G.36) и G.40) для A (k):
k. G.43)
Интеграл легко вычисляется, если дополнить показатели экспо-
экспонент до полных квадратов. В результате получим
X
ехр [ ikox - iv A + ^-) t ] + (k0 -» - Ц , G.44)
где член (k0—> — k0) имеет тот же вид, что и первый, но с за-
заменой k0 на — k0.
242
Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
Выражение G.44) описывает два импульса, распространяющихся
в противоположных направлениях. Максимум амплитуды каждого
импульса движется с групповой скоростью G.42), а огибающая
кривая остается по форме гауссовой. Однако ширина этой гаус-
гауссовой кривой не постоянна, а растет со временем. Эффективная
ширина огибающей равна
(^)i]I/V G.45)
Таким образом, влияние дисперсии на импульс тем сильнее (за дан-
данный отрезок времени), чем острее его огибающая. Условием малости
k0L<1
Фиг. 7.7. Изменение формы волнового пакета при его движении.
Пакет, ширина которого велика по сравнению с длиной волны (k0L ;>> 1), искажается
сравнительно мало, в то время как узкий пакет (k0L ^ 1) быстро расширяется,
а его амплитуда уменьшается.
изменения формы является L > а. Конечно, для очень больших про-
промежутков времени t ширина гауссовой кривой всегда будет линейно
возрастать со временем:
мо->^. G-46)
но время., в течение которого происходит переход к этой асимпто-
асимптотической зависимости, определяется отношением Ыа. Для оценки
скорости расширения импульса можно сопоставить величину L (t),
определяемую соотношением G.45), с величиной vTpt = va2k0t.
На фиг. 7.7, где представлены для примера два импульса, изображе-
изображены кривые положения максимумов х = vrpt и линии vTVt ± L (t),
показывающие расширение импульса со временем. В левой части
фиг. 7.7 импульс содержит много длин волн k'1 и поэтому почти
не расплывается. В правой части показано поведение первоначаль-
первоначально узкого импульса, который расплывается настолько быстро,
что по прошествии короткого времени его уже даже нельзя назвать
импульсом.
§ 5. Отражение и преломление электромагнитных волн 243
Хотя предыдущие результаты получены при некотором спе-
специальном выборе начальной формы импульса G.38) и дисперсион-
дисперсионного соотношения G.41), они имеют более общее значение. В § 3
было показано, что средней скоростью импульса является группо-
групповая скорость угр = dw/dk= со'. Расширение импульса объясняется
тем, что импульсу с начальной шириной Ах0 присущ разброс
волновых чисел Ak — 1 /Ах0. Отсюда следует, что групповая- ско-
скорость, определенная для различных величин k внутри импульса,
имеет разброс порядка
ДУгр~со"Д?~-^-. G.47)
За время t это приводит к расширению на величину ~ АугрЛ
Если мы сложим квадратично начальную ширину и уширение
из-за разброса групповой скорости, то получим ширину Ах (t)
в момент времени t:
Y^y G.48)
Мы видим, что G.48) в точности совпадает с G.45), если положить
Ах0 = L. Выражение G:48) для Ax(t) показывает, что если со" Ф О,
то узкий импульс расплывается быстро, поскольку он характери-
характеризуется широким спектром волновых чисел, и, наоборот, широкий
импульс расплывается медленно. Все эти соображения непосред-
непосредственно применимы и в волновой механике. Они лежат в основе
принципа неопределенностей Гейзенберга. В волновой механике
частота равна энергии, деленной на постоянную Планка, а волно-
волновое число — механическому импульсу, также деленному на по-
постоянную Планка.
Задача о движении волновых пакетов в диссипативной диспер-
диспергирующей среде является довольно сложной. Некоторые частные
случаи поддаются аналитическому описанию, но получающимся
аналитическим выражениям трудно дать физическую интерпре-
интерпретацию. Волновые пакеты в такой среде затухают и существенно
искажаются при распространении. Мы отсылаем читателя к книге
Стрэттона [106], где рассмотрен этот вопрос и приведены примеры
численных расчетов.
§ 5. Отражение и преломление
электромагнитных волн на плоской границе
раздела между диэлектриками
Явления отражения и преломления света на плоской поверхно-
поверхности между двумя средами с различными диэлектрическими свой-
свойствами общеизвестны. Характеристики этих явлений можно раз-
разбить на два класса:
244
Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
1. Кинематические характеристики
а) закон отражения: угол падения равен углу отражения;
б) закон преломления Снеллиуса: sin i/sinr = n In, где i
иг — углы падения и преломления, п и п — соответ-
соответствующие показатели преломления.
2. Динамические характеристики
а) интенсивность отраженного и преломленного света;
б) изменение фазы и поляризация.
Кинематические характеристики непосредственно вытекают из
волновой природы явления и необходимости удовлетворения гра-
граничных условий. Они не зависят от конкретного типа волн или
Фиг. 7.8. Отражение и пре-
преломление на плоской границе
раздела двух различных сред.
k — падающая волна, k" — отра-
отраженная, k' — преломленная.
вида граничных условий. Динамические же характеристики зави-
зависят от специфики электромагнитных полей и их граничных условий.
Координатная система и принятые обозначения показаны
на фиг. 7.8. Среды, расположенные снизу и сверху от плоскости
z = 0, характеризуются соответственно магнитной и электриче-
электрической проницаемостями \х, г и \х', е'. Плоская волна с волновым
вектором к и частотой со падает из среды fx, e. Преломленная волна
имеет волновой вектор к', отраженная — волновой вектор к",
а п — единичный вектор нормали, направленный из среды \х, г
в среду \х\ е'. Согласно G.18), электрическое и магнитное поля
для указанных трех волн можно записать в виде:
для падающей волны
к X Е
G.49)
для преломленной волны
G.50)
§ 5. Отражение и преломление электромагнитных волн 245
для отраженной волны
Волновые числа имеют следующую абсолютную величину:
Из наличия граничных условий при г = О, которые должны
удовлетворяться во всех точках плоскости в любой момент вре-
времени, вытекает требование одинаковой зависимости от координат
и времени всех полей при г = 0. Поэтому независимо от характера
граничных условий при z = 0 все фазовые множители должны
совпадать:
(к• хJ=0 - (к' • x)z=0 = (к* • хJ==0. G.53)
Соотношение G.53) дает кинематические характеристики отраже-
отражения и преломления. Легко видеть, что все три волновых вектора
должны лежать в одной плоскости. Далее, в обозначениях фиг. 7.8
ksini = k' sin r = k" sin r'. G.54)
Поскольку k"= k, то i = г', т. е. угол падения равен углу отра-
отражения. Отсюда же следует и закон Снеллиуса:
4^ = ^=/^ = ^-. G.55)
Динамические характеристики вытекают из граничных условий
непрерывности нормальных составляющих D и В и тангенциальных
составляющих Е и Н. Для полей G.49) — G.51) граничные условия
записываются в виде
[е(Ео+Е'о)-е'Е;].п = 0,
k/xE;].n = 0,
;-е;)хп = о, G.56)
При применении этих граничных условий удобно рассмотреть
отдельно два случая: случай, когда вектор поляризации падающей
плоской линейно поляризованной волны перпендикулярен пло-
плоскости падения (плоскости, образованной векторами к и п), и слу-
случай, когда вектор поляризации лежит в плоскости падения. Общий
246
Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
случай произвольной эллиптической поляризации, как показано в §2,
может быть получен линейной комбинацией этих двух решений.
Рассмотрим сначала случай, когда электрическое поле перпен-
перпендикулярно плоскости падения (фиг. 7.9). Векторы электрического
поля направлены от читателя. Ориентации векторов В выбраны
Фиг. 7.9. Отражение и пре-
преломление при поляризации,
перпендикулярной плоскости
падения.
таким образом, чтобы поток энергии был направлен вдоль волно-
волновых векторов. Так как все электрические поля параллельны пло-
плоскости раздела, то первое граничное условие G.56) ничего не дает.
Из третьего и четвертого условий G.56) получаем
Второе условие G.56) при учете закона Снеллиуса дублирует
третье условие. Относительные амплитуды преломленной и отра-
отраженной волн определяются соотношениями G.57).
Таким образом, в случае, когда поле Е перпендикулярно плос-
плоскости падения, имеем
Е'о 2 2 cos i sin r
7^" = l+(fitg//fi'tgr) ""* sin(i-fr) ' ,j 5g4
?'o __ l-(titgilti'tgr) sin(/-r) v ' ;
Eo l + tfitgi/H-'tgr) sin(t + r)e
Здесь выражения справа справедливы в предположении \i'= \i,
которое обычно выполняется для оптических частот.
Если электрическое поле параллельно плоскости падения, как
показано на фиг. 7.10, то граничные условия содержат нормальную
составляющую D и тангенциальные составляющие Е и Н [первое,
третье и четвертое условия G.56I. Из условия непрерывности
тангенциальных составляющих Е и Н получаем
cos / (?о — El) — cos r?; = 0,
--. . G-59>
§ 6. Поляризация при отражении
247
Условие непрерывности нормальной составляющей D в совокупности
с законом Снеллиуса приводит к условию, повторяющему второе
из этих соотношений. Из G.59) вытекают следующие выражения
Фиг. 7.10. Отражение и пре-
преломление при поляризации,
параллельной плоскости паде-
падения.
для относительных амплитуд преломленной и отраженной волн
для случая, когда поле Е параллельно плоскости падения:
Е^ 9 1 /jab
Ео V (iVsin.
sin 2t
2 cos i sin r
s(i — r)
EL
Eo
0*/H'')sin2/--sin2r tg(i—r)
(fi/fi')sin2i tg (i + r)
G.60)
Как и выше, выражения, стоящие справа, справедливы при \х = \х.
Для нормального падения (/ = 0) обе системы G.58) и G.60)
сводятся к выражениям
Ер __ 2 2п
х'б— 1
п' —
Знак отраженной волны выбран в соответствии с фиг. 7.10 для
поляризации, параллельной плоскости падения. При п> п фаза
отраженной волны обратна фазе падающей.
§ 6. Поляризация при отражении
и полное внутреннее отражение
Заслуживают внимания следующие два вывода из динамических
соотношений для отражения и преломления. Во-первых, при поля-
поляризации, параллельной плоскости падения, существует угол паде^-
ния, называемый углом Брюстера, при котором нет отраженной
248 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
волны *). Полагая для простоты \i'= \i, мы видим из G.60), что
отраженной волны не будет, когда / + г = я/2. Из закона Снел-
лиуса G.55) находим следующее выражение для угла Брюстера:
/B = arctg4-. G.62)
Для типичного отношения п'1п= 1,5 получаем iB «56°. Если
плоская волна смешанной поляризации падает на плоскую поверх-
поверхность раздела под углом Брюстера, то отраженная волна будет
полностью поляризованной в плоскости, перпендикулярной плоско-
плоскости падения. Это свойство может быть использовано для получения
пучков плоскополяризованного света, хотя такой метод и менее
эффективен, чем методы, основанные на использовании анизотроп-
анизотропных свойств некоторых диэлектриков.
Даже если неполяризованная волна падает и не под углом
Брюстера, отраженная волна все равно будет иметь преимуществен-
преимущественную поляризацию перпендикулярно плоскости падения. На этом
основано применение темных стекол, преимущественно пропускаю-
пропускающих волны лишь с одним направлением поляризации. В радио-
радиочастотном диапазоне приемные антенны благодаря поляризацион-
поляризационным свойствам отраженных волн могут быть ориентированы таким
образом, чтобы ослабить прием отраженных от поверхности волн
(или волн, отраженных от ионосферы) и создать благоприятные
условия для приема прямых волн.
Второе явление называется полным внутренним отражением.
Слово «внутреннее» подчеркивает, что падающая и отраженная волны
находятся в среде с большим показателем преломления, чем пре-
преломленная волна (п > п) 2). Из закона Снеллиуса G.55) следует,
что г > / при п > п . Следовательно, г = л/2, когда / = i0, где
i0 = arc sin -^- . G.63)
Для волны, падающей под углом / = /0, преломленная волна
распространяется параллельно поверхности. При этом поток энер-
энергии через поверхность равен нулю и, следовательно, такому углу
падения должно соответствовать полное отражение. Что же про-
произойдет при i > i0? Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что
sin г > 1 при i > i0. Это означает, что г является комплексным
х) В общем случае [х Ф \jJ угол Брюстера может соответствовать и пер-
перпендикулярной поляризации. Однако далее автор ограничивается случаем
[х = [х', когда отсутствие отраженной волны возможно только для параллель-
параллельной поляризации.— Прим. ред.
2) Не очень удачный термин «полное внутреннее отражение» в последнее
время часто заменяют более простым термином «полное отражение».— Прим.
ред.
§ 6. Поляризация при отражении 249
углом с мнимым косинусом
. -| Г / sin i \2 1 /пал\
= t У ( -—- ) —1. G.64)
Смысл появляющихся комплексных величин станет ясным, -если
мы рассмотрим фазу преломленной волны
ехр(/к'• х) = exp \ik' (xsinr + zcosr)] =
Это выражение показывает, что при i > i0 преломленная волна
распространяется только параллельно поверхности; в направлении,
перпендикулярном поверхности, она экспоненциально затухает.
За исключением случая / « i0, волна существенно затухает уже
на расстоянии нескольких длин волн от границы раздела.
Хотя на другой стороне от границы раздела поля и существуют,
однако ясно, что поток энергии сквозь поверхность равен нулю.
Таким образом, для углов i>i0 имеет место полное внутреннее
отражение. В отсутствии потока энергии можно убедиться, вычис-
вычисляя среднюю по времени нормальную составляющую вектора
Пойнтинга на внутренней стороне поверхности
S.n=^Re[n.(E'xH'*)]. G.66)
Подставляя сюда Н'= (с/[хгсо)(к'X Е'), находим
Но n-k'= fe'cos г — чисто мнимая величина, так что S-n = 0.
Явление полного внутреннего отражения находит широкое
применение в тех случаях, когда необходимо осуществить передачу
световых потоков без потерь интенсивности. В ядерной физике
«световоды» из люсита или других пластиков используются для
передачи света, испускаемого сцинтиллирующим кристаллом при
пролете ионизирующей частицы, в фотоумножитель, где этот свет
преобразуется в полезный электрический сигнал. Фотоумножитель
часто приходится располагать далеко от сцинтиллирующего кри-
кристалла из-за нехватки места или из-за магнитных полей, искажаю-
искажающих его показания. Если поперечный размер световода велик
по сравнению с длиной волны, то приближенно справедливо при-
приведенное выше рассмотрение для плоской границы. Если же попе-
поперечные размеры диэлектрика имеют величину порядка длины волны,
то необходимо специальное рассмотрение с учетом конкретной
геометрии световода. С такой задачей мы встретимся при рассмот-
рассмотрении диэлектрических волноводов (см. гл. 8, § 8).
250 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
§ 7. Волны в проводящей среде
Распространение волн в проводящей среде существенно отли-
отличается от распространения в непроводящей среде. Если наряду
с диэлектрической и магнитной проницаемостями е и \х среда харак-
характеризуется также проводимостью а, то к уравнениям Максвелла
следует добавить закон Ома
3 = оЕ. G.68)
С учетом G.68) мы можем представить уравнения Максвелла в виде
diveE^O,
Выше было показано, что в непроводящем диэлектрике пере-
переменные во времени поля являются поперечными, т. е. векторы Е и Н
перпендикулярны направлению пространственного изменения поля.
В предельном случае нулевой частоты, как мы знаем из электро-
электростатики и магнитостатики, статические поля в диэлектрике про-
продольны в том смысле, что они получаются из скалярных потенциа-
потенциалов и поэтому параллельны направлению пространственного изме-
изменения последних.
При отличной от нуля проводимости картина несколько изме-
изменяется. Рассмотрим для простоты поля, зависящие только от одной
пространственной координаты ?. Разложим Е и Н на продольную
и поперечную составляющие
Н(?, о = н„(Е, О + н±(Е, t). (Л/и)
Из свойства оператора ротора следует, что поперечные состав-
составляющие Е и Н удовлетворяют двум роторным уравнениям систе-
системы G.69), приводящим к поперечным волнам (см. ниже), в то вре-
время как продольные составляющие удовлетворяют уравнениям
^-0 """-О
* ' д' G.71,
Из первой пары уравнений следует, что единственным возможным
продольным магнитным полем является статическое однородное
поле. В этом отношении проводящая среда ведет себя как и непро-
непроводящая. Однако вторая пара уравнений в G.71) показывает,
§ 7. Волны в проводящей среде 251
что продольное электрическое поле однородно в пространстве,
но изменяется во времени
?ц(?, 0 = ?ое-4ло'/е. G.72)
Следовательно, в отсутствие внешних токов статическое продоль-
продольное поле не может существовать в проводящей среде. Для хоро-
хороших проводников, таких, как медь, а имеет величину порядка
1017 сек'1, так что возмущения затухают за весьма короткое время.
Рассмотрим теперь поперечные поля в проводящей среде.
В предположении, что поля изменяются как exp (/k-x — /со/),
из первого роторного уравнения G.69) получаем соотношение
Н=^(кхЕ), G.73)
а из второго — соотношение
/(кхН) + /8уЕ-^Е = 0. G.74)
Исключая Н или Е из двух последних уравнений, находим
0. G.75)
Отсюда следует, что волновой вектор k является комплексным
&2= п8 ( 1 +* . G.76)
Г С2 V @8 J V '
Первый член соответствует току смещения, а второй — току про-
проводимости. Ветвь квадратного корня в выражении для k выби-
выбирается таким образом, чтобы при а = 0 получались известные
результаты. Предполагая, что проводимость а — действительное
число, получаем
где
Для плохого проводника Dяо7сое < 1) справедливо приближен-
приближенное соотношение
*Уо G.78)
с точностью до членов первого порядка по а /сое. В этом приближе-
приближении Re k > Im k, и затухание волны (Im k) не зависит от частоты,
если не учитывать возможной зависимости проводимости от часто-
частоты. Наоборот, для хорошего проводника Dяо7сое > 1) а и р при-
252 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
ближенно равны друг другу и
, ,. , ,ч |/^2яа@(ы т ,„ 7qv
/v '"^/ ( 1 | I I ^ ( / • / \j I
здесь сохранен только член наинизшего порядка малости по сое/а.
Волны, описываемые выражением exp (/k-x — /со/), являются
затухающими поперечными волнами. Их поля могут быть запи-
записаны в виде
G.80)
где п — единичный вектор в направлении к. Из уравнения div еЕ =
= 0 следует, что Ео-п = 0, а соотношение G.73), связывающее Н
и Е, дает
Н0 = -^(а + /р)пх Ео. G.81)
Отсюда видно, что в проводнике фазы Ни Еие совпадают. Опре-
Определяя амплитуду и фазу k соотношениями
| k | = У^а2 + р2 = V^№ — \ 1 + ( ~— ) I »
ft 1 °л ^ ^ ^ J G>82)
, Р 1 , 4ясг v 7
Ct 2t C06
мы можем записать G.81) в виде
~ \ 9 -1 1 I.
: Ео. G.83)
Выражение G.83) показывает, что Н отстает во времени от Е
на фазовый угол ф, а отношение амплитуд Н и Е равно
7^4=1/ — Г 1 + ( —Г Г\ G.84)
В хороших проводниках магнитное поле велико по сравнению
с электрическим полем и отстает от него по фазе почти на 45°.
При этом энергия почти полностью сосредоточена в магнитном поле.
Как показывают соотношения G.80), волны экспоненциально
затухают с расстоянием. Это означает, что амплитуда электромаг-
электромагнитной волны внутри проводника уменьшается в е = 2,718 раза
на расстоянии
S ="B" ^ i/о^глм ' G.85)
(Последнее выражение справедливо для хороших проводников.)
Длина б называется толщиной скин-слоя, или глубиной проникно-
§ 8. Простая модель проводимости 253
еения х). Для меди, например, 6 ^ 0,85 см при частоте 60 гц и
3^0,71 • 10~3 см при Ю8 гц. Столь быстрое ослабление волн означает,
что токи в высокочастотных контурах текут только по поверхно-
поверхности проводников. Отсюда, в частности, следует, что индуктив-
индуктивность элементов контура на высокой частоте несколько меньше,
чем на низкой, из-за вытеснения магнитного потока из толщи про-
проводников.
Задача об отражении и преломлении на границе между прово-
проводящими средами весьма сложна и здесь не рассматривается. Инте-
Интересующегося читателя мы отсылаем к книге Стрэттона [106].
В гл. 8, § 1, будут рассмотрены поля на границе между диэлектри-
диэлектриком и хорошим проводником.
§ 8. Простая модель проводимости
Простейшая модель проводимости была предложена Друде
в 1900 г. Согласно этой модели, в каждой единице объема имеется
некоторое количество п0 электронов, которые свободно движутся
под действием приложенного электрического поля. Кроме того,
на них действует тормозящая сила, обусловленная столкновения-
столкновениями. Таким образом, уравнение движения для этих электронов
будет иметь вид
m^ + mgw = eE(x, t), G.86)
где g — постоянная затухания2). Для быстропеременных полей
смещение электрона мало по сравнению с длиной волны, так что
приближенно
т Ж + mgw ^еЕ<>е-ш, G.87)
где Ео— электрическое поле в среднем положении электрона.
Установившееся решение для скорости электрона имеет вид
v = , е . . E0e-i0)t. G.88)
Отсюда следует, что проводимость дается выражением
,. G.89)
х) В системе МКС толщина скин-слоя G.85) равна б = B/crcofxI/2.
2) Константа затухания g характеризует среднее число столкновений,
приводящих к существенному изменению импульса. Электрон испытывает
столкновения с колебаниями решетки, дефектами решетки и с примесями.
Для последовательного расчета g требуется квантовомеханическое рассмот-
рассмотрение с учетом принципа Паули (см. [ 118]).
254 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
Предполагая, что на атом приходится один свободный элек-
электрон, мы получаем для таких металлов, как медь (где плотность элек-
электронов п0 « 8-1022 см-3, а G^5-1017 сек'1), эмпирическое значение
константы затухания g « 3-Ю13 сек'1. Следовательно, для частот
порядка микроволновых (<^1010 сек'1) или меньших проводимость
металлов фактически является действительной величиной (т. е. ток
находится в фазе с полем) и не зависит от частоты. Однако для
более высоких частот (инфракрасные и выше) проводимость ком-
комплексна и существенно зависит от частоты; качественно эта зави-
зависимость описывается простой формулой G.89).
§ 9. Поперечные волны в разреженной плазме
В некоторых случаях, как, например, в ионосфере или в разре-
разреженной плазме, торможение свободных электронов из-за столкно-
столкновений пренебрежимо мало. Поэтому «проводимость» становится
чисто мнимой
mco
Термин «проводимость» взят здесь в кавычки, так как в том слу-
случае, когда ток и электрическое поле находятся не в фазе, потери
энергии на сопротивлении не происходит. Распространение попе-
поперечных электромагнитных волн в разреженной плазме описывает-
описывается соотношением G.76) с заменой а на величину аПл> определяе-
определяемую соотношением G.90) х), т. е.
где величина
«4=-^ G-92>
называется плазменной частотой. Так как волновое число может
быть записано в виде k = nw/c, где п — показатель преломления»
мы заключаем, что показатель преломления плазмы определяется
выражением
"я «*1—w - G-93)
Для волн высокой частоты (со > сор) показатель преломления —
действительное число, и волны свободно распространяются. Для
частот, меньших плазменной частоты сор, показатель преломления
является чисто мнимым. Следовательно, такие электромагнитные
х) Иногда соотношение G.91) разрешают относительно со2, т. е. записы-
записывают в виде со2 ^ 0J, + c2k2; в этом случае оно называется дисперсионным
уравнением для со = (о (k).
§ 9. Поперечные волны в разреженной плазме 255
волны отражаются от поверхности плазмы, а внутри плазмы поле
экспоненциально спадает с расстоянием от поверхности. Глубина
проникновения 8ПЛ дается формулой
6™=y^~i G-94>
(последнее равенство справедливо при со < сор). В лабораторных
условиях плотность электронов (плотность плазмы) обычна
имеет величину порядка п0 ^ 1012— 1016 см~3. Это значит, что
сор^6-1010 — 6-Ю12 сек'1, так что типичная глубина проникнове-
проникновения для статических и низкочастотных полей лежит в пределах
5-Ю—5-Ю см. Вытеснение полей из плазмы — хорошо изве-
известный эффект в проблеме управляемых термоядерных реакций;
имеются попытки его использования для удержания горячей плаз-
плазмы (см. гл. 10, § 5 и 6).
Простое выражение G.93) для показателя преломления плазмы
становится неприменимым при наличии внешнего статического-
магнитного поля. Это обстоятельство проявляется не только в лабо-
лабораторных условиях, но также и в ионосфере, где имеется внешнее
магнитное поле Земли. Для иллюстрации влияния внешнего поля
рассмотрим простую задачу о распространении поперечных волн
вдоль сильного статического однородного магнитного поля В^
в разреженной однородной электронной плазме. Если мы прене-
пренебрежем столкновениями и будем считать, что смещение электронов
мало, то уравнение движения запишется приближенно в виде
т-^ъ еЕе-^ + yV х Во. G.95)
Мы пренебрегли здесь магнитным полем В волны по сравнению
со статическим полем Во. Удобно рассматривать поперечные волны
с круговой поляризацией. В этом случае
Е = ?(е4 ±ie2), G.96)
а магнитное поле Во направлено вдоль е3. Так как мы ищем уста-
установившееся решение, то примем для скорости электрона выражение
\(t) = v (et ± /е2) е~ш. G.97)
Из G.95) с учетом G.96) сразу получаем
-? <798>
где сов — частота вращения заряженной частицы в магнитном
поле (ларморовская частота)
«„=-§.. G.99)
256 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
Результат G.98) становится понятным, если учесть, что во вра-
вращающейся с частотой соБ координатной системе электрон ускоряет-
ускоряется вращающимся электрическим полем с эффективной частотой
(о± сов в зависимости от знака круговой поляризации.
Плотность тока в плазме, обусловленная движением электро-
электронов, равна
?- <7Л00>
Добавляя этот ток к току смещения, получаем соответствующее
уравнение Максвелла
rot Н= —Iе—Г 1 т-5—г 1е • G.101)
с L со (со ± сов) J ^ ч '
Множитель в квадратных скобках можно интерпретировать как
диэлектрическую проницаемость, или квадрат показателя пре-
преломления
G.102)
Эта формула представляет собой обобщение выражения G.93) на слу-
случай отличного от нуля статического магнитного поля. Она не являет-
является общей, так как получена в предположении, что волны распростра-
распространяются вдоль направления постоянного магнитного поля. Но даже
на этом простом примере мы обнаруживаем ту существенную осо-
особенность, что волны с правой и левой круговой поляризацией рас-
распространяются различно и, следовательно, ионосфера является
двоякопреломляющей. Если волна распространяется в направле-
направлении, не совпадающем с направлением постоянного поля Во, то лег-
легко показать, что в тех случаях, когда можно пренебречь членами
порядка col по сравнению с со2 и сосов, показатель преломления
определяется той же формулой G.102). Однако при определении
ларморовской частоты по G.99) мы должны теперь вместо Во под-
подставлять составляющую поля, параллельную направлению распро-
распространения. При этом сов в G.102) зависит от угла, т. е. такая среда
является не только двоякопреломляющей, но и анизотропной.
Для ионосферы максимальная плотность свободных электронов
обычно равна по~ Ю4 — 106 см~3, что соответствует плазменной
частоте сор^6-106 — 6-Ю7 сек'1. Если мы примем напряженность
земного магнитного поля равной 0,3 гаусс, то ларморовская часто-
частота будет соБ^6-106 сек'1.
На фиг. 7.11 показана зависимость п\ от частоты при двух вели-
величинах отношения сор/сов. В обоих случаях имеются широкие
интервалы частот, где одна из величин п\ и п2- положительна,
в то время как вторая отрицательна. В таком интервале частот
волна с одной из круговых поляризаций не может распространяться
§ 9. Поперечные волны в разреженной плазме
257
в плазме. Поэтому волна соответствующей поляризации будет
полностью отражаться от плазмы. Волны с другой поляризацией
будут частично проникать в плазму. Таким образом, если на
плазму падает линейно поляризованная волна, то отраженная
волна будет поляризована по эллипсу, большая ось которого,
вообще говоря, повернута относительно направления поляризации
падающей волны.
20
15
10
5
z
и
-5
-10
-15
-20
У
-
-
1 , f
I
I
I
Фиг. 7.П. Зависимость показателя преломления от частоты для модели
ионосферы (разреженная электронная плазма в постоянном однородном
магнитном поле).
Направление распространения параллельно магнитному полю, п+ и п- обозначают соот-
соответственно показатель преломления для волн с правой и левой круговой поляриза-
поляризацией, (ug —ларморовская частота; (й — плазменная частота.
С точки зрения рассмотренной здесь теории можно объяснить
поведение радиоволн, отраженных от ионосферы, однако наличие
нескольких слоев плазмы, плотность и относительное расположе-
расположение которых меняются с высотой и во времени, делает проблему
значительно более сложной, чем в нашем простейшем случае.
Электронную плотность на различных высотах можно определить
путем изучения отражения импульсов излучения, направленных
вертикально вверх. Плотность свободных электронов в ионосфере
медленно возрастает с высотой внутри данного слоя, как показано
на фиг. 7.12, достигает максимума и затем резко падает при даль-
дальнейшем увеличении высоты. Импульс заданной частоты со4 входит
258
Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
внутрь слоя без отражения благодаря медленному изменению п0.
Когда же плотность п0 становится достаточно большой, так что
G>p(fti) ~ соь то показатель преломления G.102) обращается в нуль
и импульс отражается. Плотность п0, при которой происходит
отражение, определяется из условия обращения в нуль правой
части выражения G.102). Измеряя промежуток времени между
*о\
no(hj)
П о макс
(
1 • _—-
у \
X \(op(hj) « щ 1
Фиг. 7.12. Зависимость элект-
электронной плотности от высоты
в ионосферном слое (схемати-
(схематически).
излучением импульса и возвращением отраженного сигнала, мы
можем найти высоту Аь соответствующую этой плотности. Меняя
частоту о)! и измеряя соответствующие временные интервалы,
можно найти зависимость электронной плотности от высоты. При
достаточно большой частоте cdj показатель преломления в нуль
не обращается и отражение становится очень малым. Частота, при
которой исчезает отражение, и определяет максимум электронной
плотности в данном слое.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Оптика как раздел электродинамики хорошо изложена в книге Борна
и Вольфа [16], где в первой главе рассмотрены плоские волны, поляризация,
отражение и преломление волн и пр. Весьма полное рассмотрение падения
плоских волн на границу раздела диэлектриков и проводников дано в книге
Стрэттона [106], гл. 9.
Хорошее изложение теории электромагнитных волн в изотропных и ани-
анизотропных средах дано также у Ландау и Лифшица [64], гл. 10 и 11. Более
элементарное, но ясное и детальное изложение теории плоских волн и их
свойств имеется в книге Адлера, Чу и Фано [2], гл. 7 и 8.
Распространение волн в диспергирующих средах подробно рассмотрено
Бриллюэном [22]. Искажение и затухание импульсов в диссипативных сре-
средах детально изложено в книге Стрэттона [106].
Дополнение редактора. Распространение плоских электромагнитных
волн рассмотрено также в книге Вайнштейна [122] и в монографии Альпер-
та, Гинзбурга и Фейн0ерга [120] по распространению радиоволн. В послед-
последней работе, в частности, детально рассмотрено распространение в разрежен-
разреженной плазме (в ионосфере).
Задачи
259
ЗАДАЧИ
7.1. Почти монохроматический плоский одномерный волновой пакет
имеет начальную форму и (х, 0) = f(x) exp(ikox), где / (х) — огибающая.
Для приведенных ниже функций f(x) найти спектр волновых чисел пакета
A (k) j2, построить схематически | и (х, 0) |2 и | A (k) |2, определить в ябном
виде среднеквадратичные значения Ал: и А& [выразить их через интенсив-
интенсивности | и (х, 0) |2 и | Л (k) [2] и проверить неравенство G.28):
б) /(х) =
/<*>
Г А
N
A— а |*|) для
для
для |*|<a,
для | х I > а.
7.2. Плоская волна падает нормально на плоский слой, изображенный
на фиг. 7.13. Все три среды немагнитны, их показатели преломления равны
соответственно п\, п2, п3. Толщина среднего слоя d.
а) Рассчитать коэффициенты прохождения и отражения (отношения
проходящего и отраженного потоков энергии к падающему потоку энергии)
и построить их зависимость от частоты для /21 = 1, я2=2, п3 = 3; tii= 3,
п2 =2, п3 = 1; п\ = 2, п2 = 4, п3 = 1.
б) Пусть среда ni является частью оптической системы (например,
линзой); среда п3— воздух (п3 = 1). Необходимо сделать такое оптическое
покрытие (среда п2), чтобы не было отраженных волн с частотой со0. Какая
при этом требуется толщина d и показатель преломления п2?
7.3. Два плоских полубесконечных слоя из однородного изотропного
немагнитного непоглощающего диэлектрика с показателем преломления п
параллельны друг другу и разделены воздушным зазором (п = 1), имею-
имеющим ширину d. Плоская электромагнитная волна с частотой со падает на
зазор из одного слоя под углом падения /. Для линейно поляризованных
волн с поляризацией как параллельной, так и перпендикулярной пло-
плоскости падения
а) рассчитать отношение мощности, проходящей во второй слой, к па-
падающей мощности и отношение отраженной мощности к падающей,
260 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
б) для угла i, превышающего критический угол полного внутреннего
отражения, построить зависимость отношения проходящей мощности к па-
падающей от отношения ширины зазора d к длине волны в воздухе.
7.4. Плоскополяризованная электромагнитная волна с частотой со
падает из свободного пространства нормально на плоскую поверхность
немагнитной среды, имеющей проводимость а и диэлектрическую проницае-
проницаемость е.
а) Рассчитать амплитуду и фазу отраженной волны для произвольных
а и 8.
б) Рассмотреть предельные случаи очень плохой и очень хорошей про-
проводимости и показать, что для хорошего проводника коэффициент отражения
(отношение отраженной мощности к падающей) приближенно равен
где б — толщина скин-слоя.
7.5. Плоскополяризованная электромагнитная волна Е = Ej exp (ik-x—
— tot) нормально падает на плоский однородный слой хорошего проводника
(о > со), имеющий толщину t. Предполагая, что как во внешнем простран-
пространстве, так и в проводнике jll = е = 1, рассмотреть отражение и прохождение
падающей волны.
а) Показать, что амплитуды отраженной и проходящей волн с точностью
до членов первого порядка по (со/аI/2 описываются выражениями
Ег A—Р) A—е~ )
Е\~ A-е-
где р = /ш/8я(Т A — 0 = (ю6/2с)A-0Д = A — 0 */6,и6 = с//2я©<г —
толщина скин-слоя.
б) Убедиться, что для нулево и бесконечной толщин слоя получаются
правильные предельные результаты.
в) Показать, что, за исключением случая очень малых толщин, коэф-
коэффициент прохождения равен
Построить зависимость In T от tlb для Re |5= 10~2. Уточнить понятие «очень
малой толщины».
7.6. Плоские волны распространяются в однородном немагнитном ани-
анизотропном диэлектрике. В общем случае диэлектрик характеризуется
тензором Ej-j-, но если выбрать оси координат вдоль главных осей тензора,
то составляющие вектора смещения связаны с соответствующими состав-
составляющими электрического поля соотношениями Dt = егЕг (i = 1, 2, 3), где
ег — собственные значения матрицы etj.
а) Показать, что для плоских волн с частотой со и волновым вектором к
должно выполняться уравнение
Задачи 261
б) Показать, что при заданном волновом векторе k = kn могут распро-
распространяться две различные волны с разными фазовыми скоростями, удовле-
удовлетворяющими уравнению Френеля:
Zl v* — v\ '
г=1
где vi = cfYЦ — так называемые главные скорости, a nt — проекции еди-
единичного вектора п по главным осям тензора.
в) Показать, что если Da и D^ — векторы смещения для двух вышеупо-
вышеупомянутых волн, то Da- D& = 0.
7.7. Однородный изотропный немагнитный диэлектрик характеризуется
показателем преломления я(со), который предполагается, вообще говоря,
комплексным (для описания процессов поглощения).
а) Показать, что общее решение для плоской одномерной волны может
быть представлено в виде
оо
u(x,t)=—)= \
У 2я «3
У 2я
—оо
где и (х, t) — любая составляющая Е или В.
б) Показать, что если функция и (х, t) действительна, то п (— со) =
= л*(со).
в) Показать, что если и @, t) и ди @, t)ldx— граничные значения
функции ци ее производной при х = 0, то коэффициенты Л (со) и В (со)
имеют вид
ГЛ(соП 1 1 (» lnf Г ic ди ._ .ч 1
7.8. Очень длинный импульс, представляющий собой плоскую волну
частотой со0 с крутым передним фронтом, нормально падает в момент t = 0
на полубесконечный диэлектрик с показателем преломления п (со), занимаю-
занимающий полупространство х > 0. На входе в диэлектрик (х = + 0) граничные
значения тангенциальной составляющей электрического поля и ее нормаль-
нормальной производной равны
и@, t) = Q(t)e~et cos(x>0t,
^^ sin coo/,
где 0 (t) — ступенчатая функция: [0 (t) = 0 при t < 0, 0 (t) = 1 при t > 0].
Показатель спадания 8 — положительная бесконечно малая постоянная
величина.
а) Используя решение, полученное в задаче 7.7, представить поле и (х, t)
в диэлектрике в виде интеграла по частотам с явными выражениями для
коэффициентов А (со) и В (со).
б) Доказать, что достаточным условием выполнения принципа причин-
причинности (согласно которому никакой сигнал не может распространяться
со скоростью, превышающей скорость света) в этой задаче является требо-
требование, что показатель преломления должен быть аналитической функцией
комплексного переменного со, не имеющей нулей и полюсов в верхней полу-
полуплоскости, и стремится к единице при | со | —v оо.
262 Гл. 7. Плоские электромагнитные волны
в) Обобщить результаты п. «б» на случай произвольного направления
падения волнового импульса.
7.9. а) Убедиться, что если показатель преломления я(со) является
аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексного перемен-
переменного со и стремится к единице при больших |о)|, то его действительная и мни-
мнимая части при вещественных частотах о) связаны дисперсионным соотноше-
соотношением
где Р — главное значение интеграла. Написать второе дисперсионное соот-
соотношение, выражающее мнимую часть в виде интеграла от действительной
части.
б) Исходя из дисперсионного соотношения, показать, что в интервале
частот, где есть резонансное поглощение, обязательно имеет место аномаль-
аномальная дисперсия.
в) Элементарная классическая модель эффекта преломления основа-
основана на представлении о совокупности затухающих электронных осцилляторов
и приводит к следующему выражению для показателя преломления:
где cofe —резонансная частота для ^-го типа осцилляторов, vh—их константа
затухания, а /^ — число таких осцилляторов на атом. Проверить, что такой
показатель преломления удовлетворяет дисперсионному соотношению, при-
приведенному в п. «а».
Глава 8
ВОЛНОВОДЫ И РЕЗОНАТОРЫ1)
Изучение электромагнитных полей, ограниченных металли-
металлическими стенками, представляет значительный практический инте-
интерес. При высоких частотах, когда длины волн имеют величину
порядка метра или меньше, единственным практически разумным
способом генерирования и передачи электромагнитного излучения
является использование металлических конструкций, размеры
которых сравнимы с длиной волны. В этой главе мы рассмотрим
сначала поля вблизи поверхности проводника и изучим проникно-
проникновение поля в проводник, сопровождаемое омическими потерями.
Далее в довольно общем виде рассматривается задача об
электромагнитных волнах в полых металлических трубах (волно-
(волноводах) и резонаторах, причем по ходу изложения обсуждаются
различные частные случаи. В заключение мы вкратце остановимся
на теории диэлектрических волноводов, которые также пригодны
для передачи электромагнитных волн.
*) Некоторые формулы этой главы, отмеченные звездочкой (*) при их
порядковом номере, написаны таким образом, что из них можно легко полу-
получить соответствующую формулу в единицах МКС. Для этого достаточно
опустить множитель в квадратных скобках. Например, для соотношения (8.12)
г\Р Г 1
цгпт L
da ~ L 4я
соответствующее равенство в системе МКС будет
dPn.
da ~~ 4 |tl|l|f
где все величины берутся в единицах МКС и, следовательно, могут отличать-
отличаться как по величине, так и по размерности от соответствующих величин
в гауссовой системе.
Если формула помечена звездочкой, но в ней нет квадратных скобок,
то она имеет одинаковый вид как в гауссовой системе, так и в системе МКС.
Общие правила преобразования уравнений в систему МКС даны в при-
приложении в табл. 3.
264 Гл. 8. Волноводы и резонаторы
§ 1. Поля на поверхности и внутри проводника
В конце § 7 предыдущей главы отмечалось, что задача об отра-
отражении и преломлении волн на границе двух проводящих сред
довольно сложна. Однако наиболее важные и полезные особенности
этого явления можно выяснить приближенным методом, если одна
из сред является хорошим проводником. Этот приближенный
метод в пределах области своей применимости оказывается пригод-
пригодным для решения существенно более общих задач, чем падение
плоских волн.
Рассмотрим сначала поверхность с единичной нормалью п,
направленной от идеального проводника, расположенного с одной
стороны от этой поверхности, в сторону непроводящей среды,,
расположенной по другую сторону. Так же как и в статическом
случае, внутри проводника электрическое поле отсутствует. Заряды
внутри идеального проводника предполагаются столь подвижными,
что они мгновенно реагируют на сколь угодно быстрые изменения
поля, всегда создавая на поверхности требуемую поверхностную-
плотность заряда 2, обеспечивающую нулевое электрическое поле
внутри проводника. Эта поверхностная плотность заряда опре-
определяется из соотношения
Аналогично при изменении во времени магнитного поля поверх-
поверхностные заряды движутся под действием тангенциального маг-
магнитного поля, создавая поверхностный ток К, обеспечивающий
отсутствие магнитного поля внутри идеального проводника
пхН= Г**] К. (8.2)*
Остальные два граничных условия для нормальной составляю-
составляющей] В и тангенциальной составляющей Е имеют вид
п.(В-Вв) = 0,
ПХ(Е-ЕС) = О. (8'3)
Здесь индекс с относится к полю в проводнике. Граничные усло-
условия (8.3) показывают, что на внешней стороне поверхности идеаль-
идеального проводника электрическое поле Е имеет только нормальную*
составляющую, а магнитное поле Н — только тангенциальную
составляющую и что внутри идеального проводника поля скачком
спадают до нуля (фиг. 8.1).
Поля вблизи поверхности неидеального, но хорошего провод-
проводника должны вести себя приблизительно так же, как и в случае.
1, Поля на поверхности и внутри проводника
265-
идеального проводника. Как мы видели в § 7
внутри проводника поля уменьшаются в е раз
ской длине б, называемой толщиной скин-слоя.
водников б измеряется при средних частотах
Следовательно, граничные условия (8.1) и
выполняются для хороших проводников, если
переходного поверхностного слоя.
предыдущей главы,,
на характеристиче-
Для хороших про-
продол ями сантиметра.
(8.2) приближенна
не считать тонкого
Е
,н
а 6
Фиг. 8.1. Поля вблизи поверхности идеального проводника.
Рассмотрение самого переходного слоя требует, однако, изве-
известной осторожности. Прежде всего из закона Ома G.68) следует,
что при конечной проводимости, строго говоря, не может быть
поверхностного тока, как это предполагается в (8.2). Вместо этого
граничные условия для магнитного поля будут иметь вид
пх(Н-Нс) = 0. (8.4)*
Для оценки эффектов, обусловленных конечной проводимо-
проводимостью, мы применим метод последовательных приближений. Пред-
Предположим сначала, что на внешней стороне проводника имеется
только нормальное электрическое поле Ej_ и тангенциальное маг-
магнитное поле Ни, как и в случае идеального проводника. Величины
этих полей мы будем считать известными из решения соответствую-
соответствующей граничной задачи. Затем мы используем граничные условия
и уравнения Максвелла в проводнике для нахождения полей внут-
внутри переходного слоя, а также малых поправок к полям вне про-
проводника. При решении уравнений Максвелла внутри проводника
мы воспользуемся тем, что поля меняются по нормали к поверхно-
поверхности гораздо быстрее, чем в направлении, параллельном поверх-
поверхности. Поэтому всеми производными по координатам, параллель-
параллельным поверхности, вполне можно пренебречь по сравнению с нор-
нормальными производными.
Если вне поверхности имеется тангенциальное поле Нц, то иа
граничного условия (8.4) следует, что такое же поле должно быть
:266 Гл. 8. Волноводы и резонаторы
и внутри тела. Если пренебречь током смещения в проводнике,
то роторные уравнения G.69) дают
с ^ Дтггг с'
. (8.5)
где предполагается, что поля изменяются по гармоническому
закону ~е~ш. Если п—внешняя единичная нормаль к провод-
проводнику, a g — координата, отсчитываемая по нормали внутрь про-
проводника, то оператор градиента может быть записан в виде
остальными производными от полей внутри проводника мы пре-
пренебрегаем. В этом приближении уравнения (8.5) преобразуются
к виду
F с ди
С^ ^^Г' (8.б)
И-со о1
Объединяя эти уравнения, получаем
-^р- vn х Нс)-f-^-(n х Нс)^0, (8.7)
n-Hc ^ 0, (8.8)
где S — толщина скин-слоя, определяемая формулой G.85). Второе
из этих уравнений показывает, что Н внутри проводника парал-
параллельно его поверхности, в согласии с нашими граничными
условиями. Решение уравнения (8.7) для Нс имеет вид
Нс = Ще-У6е1&6, (8.9)
где Нц — тангенциальное магнитное поле вне поверхности. Соглас-
Согласно (8.6), электрическое поле в проводнике приближенно можно
записать как
(8.10)
Полученные решения для Н и Е внутри проводника обладают
всеми свойствами, указанными в § 7 предыдущей главы, а именно:
а) они быстро экспоненциально спадают; б) электрическое и маг-
литное поля сдвинуты по фазе; в) магнитное поле много больше
§ 1. Поля на поверхности и внутри проводника
267
электрического. Кроме того, из этих решений видно, что поля
внутри хорошего проводника параллельны его поверхности *)
и распространяются по нормали к поверхности, причем их вели-
величины полностью определяются тангенциальной составляющей маг-
магнитного поля Нц на внешней стороне поверхности.
?
И
Фиг. 8.2. Поля вблизи поверхности хорошего, но не идеального проводника.
Из граничного условия (8.3) для тангенциальной составляю-
составляющей Е мы находим, что на внешней стороне поверхности имеется
небольшая тангенциальная составляющая электрического поля,
определяемая формулой (8.10) при \ = 0:
(8.11)
В рассматриваемом приближении на внешней стороне поверх-
поверхности имеется также и малая нормальная составляющая В^. Она
может быть найдена из фарадеевского закона индукции и оказы-
х) Из непрерывности тангенциальных составляющих Н и уравнения,
связывающего Е и rot H на обеих сторонах поверхности, вытекает, что в про-
проводнике существует небольшая нормальная составляющая электрического
поля Ес-п ^ (кое/4зта) ?j_, однако она имеет следующий порядок малости
по сравнению с (8.10).
268 Гл. 8, Волноводы а резонаторы
вается такого же порядка, как и Ец. Амплитуды полей внутри
и вне проводника схематически показаны на фиг. 8.2.
Существование малой тангенциальной составляющей Е вне
поверхности наряду с нормальной составляющей Е и тангенциаль-
тангенциальной составляющей Н указывает на наличие потока энергии, направ-
направленного в проводник. Средняя по времени мощность, поглощае-
поглощаемая единицей поверхности, равна
(8.12)*
da
Эта мощность представляет собой омические потери в толще про-
проводника, в чем нетрудно убедиться. Действительно, согласно зако-
закону Ома, плотность тока J вблизи поверхности проводника можно
представить следующим образом:
(8.13)
Средняя по времени скорость диссипации энергии (на единицу
объема), обусловленной омическими потерями, равна 1/2J*E* =
= (l/2a)|J|2, поэтому мощность, выделяющаяся в объеме проводни-
проводника, лежащем под элементом его поверхности АЛ, будет
Полученное значение мощности потерь в точности совпадает с най-
найденным выше с помощью вектора Пойнтинга [см. (8.12)].
Поскольку ток J течет в тонком слое, примыкающем к поверх-
поверхности проводника, то его можно считать эквивалентным некото-
некоторому эффективному поверхностному току с плотностью
Квфф=\ JdE=|^rJnxH,l. (8.14)*
о
Сравнение с (8.2) показывает, что хороший проводник ведет себя
так же, как идеальный проводник, если идеализированный поверх-
поверхностный ток заменить эффективным током, распределенным в очень
тонком, но конечном поверхностном слое. Мощность потерь можно
выразить через эффективный поверхностный ток:
Кэфф |2. (8.15)*
da 2аб
Это выражение показывает, что величина 1 /аб играет роль поверх-
поверхностного сопротивления проводника. Формула (8.15), где Кэфф опре-
определяется соотношением (8.14), позволяет приближенно рассчиты-
§ 2. Цилиндрические резонаторы и волноводы 269
вать омические потери в резонаторах, линиях передачи и волно-
волноводах, если известны поля для соответствующей идеализированной
задачи с бесконечной проводимостью.
§ 2. Цилиндрические резонаторы и волноводы
Возбуждение и распространение электромагнитных волн в по-
полых металлических трубах имеет широкое практическое примене-
применение. Если труба имеет торцовые поверхности, то она называется
Фиг. 8.3. Полый цилиндрический волновод с произвольным поперечным
сечением.
резонатором, в противном случае — волноводом. В дальнейшем
мы будем считать граничные поверхности идеально проводящими.
Имеющиеся в действительности потери можно рассчитать методом,
изложенным в § 1. Цилиндрическая поверхность S произвольного
поперечного сечения изображена на фиг. 8.3. Мы предполагаем
для простоты, что размеры и форма поперечного сечения не меня-
меняются вдоль оси цилиндра. При синусоидальной зависимости от
времени — е~ш уравнения Максвелла для полей внутри цилиндра
принимают вид
rotE = *-yBf divB^O,
(8.16)
rotB=—/це-у Е, divE=0.
Здесь предполагается, что цилиндр заполнен однородной непрово-
непроводящей средой с диэлектрической проницаемостью е и магнитной
проницаемостью \х. Из (8.16) следует, что Е и В удовлетворяют
уравнению
Благодаря цилиндрической симметрии можно выделить зависи-
зависимость от координаты z и положить
Е (х, у, г, 0 | | Е (х, у) *±i*«-i»t,
В (х, y,z,t)\ \ В (х, у) е±1^-<«* (бЛб)
270 Гл. 8. Волноводы и резонаторы
Беря соответствующие линейные комбинации, можно получить
как бегущие, так и стоячие волны. Волновое число k является
пока неизвестным параметром и может быть как действительным,
так и комплексным. При выбранной зависимости полей от z волно-
волновое уравнение сводится к двумерному уравнению
0, (8.19)
где V| — поперечная часть оператора Лапласа
V?=V2-«S- (8-20>
Удобно также разбить поля на две части — параллельную
и перпендикулярную оси z:
Е = Е. + Е,. (8.21)
Продольное электрическое поле равно
Ez = (e3-E)e3, (8.22)
а поперечное
Е, = (е3хЕ)хе3, (8.23)
где е3— единичный вектор, направленный вдоль оси г. Аналогич-
Аналогичные обозначения введем и для вектора магнитной индукции В.
Преобразуя роторные уравнения (8.16) и используя явную зави-
зависимость (8.18) от г, можно выразить поперечные составляющие
полей через их продольные составляющие:
Т ез Х
(8.24>
Из этих соотношений следует, что для определения полей доста-
достаточно знать решения двумерного уравнения (8.19) для Ez и Вг\
остальные составляющие могут быть определены с помощью
(8.24).
В качестве граничных условий на поверхности цилиндра при-
примем условия для идеального проводника
п.В = 0, пхЕ = 0, (8.25)
где п — единичный вектор нормали к поверхности. Поскольку
уравнения Максвелла и граничные условия внутренне согласова-
согласованы, достаточно использовать услойие обращения в нуль z-состав-
ляющей электрического поля на поверхности
= 0. (8.26),
§ 2. Цилиндрические резонаторы и волноводы 271
Для нормальной составляющей В, используя первое соотношение
(8.24) для В^, мы находим, что из условия п-В = 0 следует не-
необходимость выполнения равенства
дВ7
дп
= 0, (8.27)
где д/дп — нормальная производная, взятая на поверхности S.
Двумерное волновое уравнение (8.19) для Ez и Bz вместе с гра-
граничными условиями для Ez и Bz на поверхности цилиндра обра-
образуют обычную задачу на собственные значения. При заданной
частоте со дифференциальное уравнение и граничные условия
удовлетворяются только при определенных значениях продольного
волнового числа k (такая ситуация типична для волноводов);
при заданном k допустимы только определенные частоты (типич-
(типичная ситуация для резонаторов). Так как граничные условия для Ег
и Bz различны, они не могут, вообще говоря, удовлетворяться одно-
одновременно. Соответственно поля делятся на две различные группы:
поперечно-магнитные (ТМ-волны)
Bz — 0 везде
с граничным условием
поперечно-электрические (ТЕ-волны)
Ez = 0 везде
с граничным условием
до
, = 0.
Вместо названий «поперечно-магнитные» и «поперечно-электри-
«поперечно-электрические» волны иногда используют названия «электрические»
или «магнитные» волны (или Е- и Я-волны), отмечая этим наличие
соответствующей продольной составляющей электрического или
магнитного поля. Кроме этих двух типов волн, имеется еще вырож-
вырожденный тип, так называемые поперечные электромагнитные волны
(ТЕМ), в которых равны нулю обе продольные составляющие
Ez и Bz. Из (8.24) видно, что при Ег и BZJ равных нулю, отличные
от нуля поперечные составляющие полей могут существовать толь-
только в том случае, когда продольное волновое число удовлетворяет
условию
- • (8-28)
.272 Гл. 8. Волноводы и резонаторы
Следовательно, ТЕМ-волны распространяются с той же скоростью,
что и волны в свободном пространстве (без ограничивающих поверх-
поверхностей). Из двумерного волнового уравнения (8.19) следует, что
= 0, (8.29)
т. е. каждая составляющая поперечных полей удовлетворяет элек-
электростатическому двумерному уравнению Лапласа. Легко убедить-
убедиться, что Етем и ВТем являются градиентами скалярных потен-
потенциалов, удовлетворяющих уравнению Лапласа, и что поле ВТЕм
всюду перпендикулярно Етем- Действительно, из закона индук-
индукции Фарадея следует
ВТЕм = ^(е3хЕТЕМ). (8.30)
Поскольку зависимость от z выражается множителем
ехр (i ]/|ле (dz 1с), то
ВтЕм = /^(е3хЕТЕм). (8.31)*
Точно так же связаны В и Е в плоской волне, распространяющейся
в неограниченном пространстве.
Из (8.29) следует, что ТЕМ-волны не могут существовать внутри
юдносвязного полого цилиндрического идеально проводящего про-
проводника. Его поверхность является эквипотенциальной, и, следо-
следовательно, электрическое поле внутри нее должно обращаться в нуль.
Для получения ТЕМ-волн необходимо иметь две (или более) цилин-
цилиндрические поверхности. Эти волны являются основными для таких
систем, как коаксиальный кабель или двухпроводная линия пере-
передачи (см. задачи 8.1 и 8.2).
§ 3. Волноводы
Рассмотрим теперь распространение электромагнитных волн
в полом волноводе постоянного поперечного сечения. При зави-
зависимости от z вида elkz поперечные составляющие полей для двух
типов волн связаны, согласно (8.24), соотношениями
ТМ-волны
ТЕ-волны
(8.32)
§ 3. Волноводы 27Ъ
В свою очередь поперечные поля определяются через продольные:
ТМ-волны "|
ТЕ-волны
(8.33)
здесь г|з = Ez для ТМ-волн и г|з = Б2 для ТЕ-волн. Скалярная
функция г|з удовлетворяет двумерному волновому уравнению (8.19)
(V? + Y2)^ = 0, (8.34)
где
y2 = \ie^—k*, (8.35)
и граничным условиям
или
(8.36)
соответственно для ТМ- и ТЕ-волн.
Уравнение (8.34) для ty вместе с граничным условием (8.36)
определяет задачу на собственные значения. Легко видеть, что
введенная константа у2 не может быть отрицательной. Грубо говоря,
это следует из того, что функция \|) должна иметь колебательный
характер, для того чтобы удовлетворить граничным условиям
(8.36) на противоположных сторонах цилиндра. Имеется спектр соб-
собственных значений yl и соответствующих им собственных функций
% (А/ = 1, 2, 3, ... ), которые составляют ортогональную систему.
Получающиеся при этом различные решения называются модами,
или типами волн х). При заданной частоте со волновое число опре-
определяется для каждого значения к соотношением
*Jl = |ie?-Yi. (8-37)
Определим граничную частоту ы% следующим образом:
* (8.38)*
Тогда волновое число k% можно записать в виде
^L (8.39)*
х) Хотя термин «тип волны» имеет и другой, более широкий смысл
(волны электрического и магнитного типов), в русской литературе он более
распространен, и мы его примем в этой книге.— Прим,, ред.
274
Гл. 8. Волноводы и резонаторы
Если со > соя, то волновое число k% вещественно и волны А,-типа
могут распространяться в волноводе. Для частот, меньших гранич-
граничной частоты, kx оказывается мнимым; такие типы волн не могут
распространяться. Зависимость продольного волнового числа от
частоты качественно показана на фиг. 8.4. Мы видим, что на каж-
каждой данной частоте может распространяться только конечное
число типов волн. Размеры волновода обычно выбирают таким
образом, чтобы при рабочей частоте мог распространяться толь-
только наинизший тип волн. (Примерное положение рабочей частоты
показано на фиг. 8.4 вертикальной стрелкой.)
0J Щ
Щ 0M
СО-
Фиг. 8.4. Зависимость волнового числа k^ от частоты со для различных X.
©^— граничная частота.
Так как волновое число k% всегда меньше, чем постоянная рас-
распространения ]/^18со/с для свободного пространства, то длина вол-
волны в волноводе всегда больше, чем в свободном пространстве.
Соответственно фазовая скорость 2фаз в волноводе также больше,
чем в свободном пространстве:
@ С 1 С /о аг^.
и стремится к бесконечности, когда частота со приближается к гра-
граничной частоте со*,.
§ 4. Волны в прямоугольном волноводе
В качестве иллюстрации общих свойств волн, описанных в пре-
предыдущем параграфе, рассмотрим распространение ТЕ-волн в пря-
прямоугольном волноводе с внутренними размерами а, Ь (фиг. 8.5).
Функция if> = Bz удовлетворяет волновому уравнению
§ 4. Волны в прямоугольном волноводе
275
с граничными условиями dty/дп = 0 при х = О, а и у = О, Ь. Оче-
Очевидно, решение имеет вид
nn (X> У) = Bo COS i —-— ) COS
где
(8.42)
(8.43)
Индекс к, определяющий тип волны, заменен здесь двумя положи-
положительными целочисленными индексами т, п. Чтобы решение было
т
6
-X
Фиг. 8.5.
нетривиальным, т и п не должны быть одновременно равны нулю.
Граничная частота comri определяется соотношением
т2
(8.44)*
Если а> 6, то наинизшая граничная частота, соответствующая
основному ТЕ-типу, получается при т = 1, п = 0:
(8.45)
У \i&a
При этом на стороне а укладывается половина длины волны в сво-
свободном пространстве. Явные выражения для полей волн этого типа,
обозначаемого ТЕ10, имеют следующий вид:
Bz = ?0cos (~
(8.46)
276
Гл. 8. Волноводы и резонаторы
Наличие множителя i в Вх (и Еу) означает, что Вх и Еу сдвинуты
в пространстве и во времени по фазе на 90° по отношению к Bz.
Оказывается, что ТЕю-волна имеет наинизшую граничную частоту
из всех ТЕ- и ТМ-волн *) и поэтому именно она обычно используется
практически. Для типичного случая а = 2Ъ отношение граничных
частот comn/co10 для нескольких типов волн дается следующей таб-
таблицей:
т
0
1
2
3
4
5
6
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
п=\
2,00
2,24
2,84
3,61
4,48
5,39
п=2
4,00
4,13
4,48
5,00
5,66
п=3
6,00
В интервале частот от граничной частоты до ее удвоенного значения
распространяется только ТЕ10-волна. Выше этой удвоенной частоты
начинают быстро появляться другие типы волн. Конфигурации
полей ТЕ10-волны и других изображены во многих книгах (см.,
например, [5]).
? 5. Поток энергии и затухание
в волноводах
Общее обсуждение цилиндрических волноводов с произвольной
формой поперечного сечения, проведенное в § 3, можно продол-
продолжить, рассмотрев также поток энергии вдоль волновода и затуха-
затухание волн, обусловленное потерями в стенках с конечной проводи-
проводимостью. Мы ограничимся рассмотрением одного отдельного типа
волны; общий случай может быть получен суперпозицией.
г) Это становится очевидным, если мы заметим, что Ez для ТМ-волн
имеет вид
ппу
?z=Eosin ( ) sin
причем тогда и у2 определяется выражением (8.43). Волне низшего типа
соответствует здесь т = п = 1. Ее граничная частота больше граничной
частоты ТЕ10-волны в [1 + (а2/Ь2)]1/2 раз.
§ 5. Поток энергии и затухание в волноводах 277
Средний по времени поток энергии дается действительной ча-
частью комплексного вектора Пойнтинга
Для введенных выше двух типов волн, используя (8.24), найдем
где верхняя строчка соответствует ТМ-волнам, а нижняя — ТЕ-
волнам. Так как функция if> обычно вещественна *), то поперечная
составляющая S представляет лишь реактивный поток энергии
и не дает вклада в средний по времени поток энергии. Наоборот,
аксиальная составляющая S определяет среднюю плотность потока
энергии вдоль волновода. Для получения полного потока мощно-
мощности Р через сечение волновода проинтегрируем продольную состав-
составляющую S по площади поперечного сечения волновода А:
\i J A
(8.49)
Применяя первую формулу Грина A.34) к поверхностному инте-
интегралу (8.49), мы можем написать Р в виде
ЧЬ <8-50>
где первый интеграл берется по контуру С, ограничивающему
поперечное сечение цилиндра. В силу граничных условий (8.36)
этот интеграл равен нулю для обоих типов волн. С учетом волно-
волнового уравнения (8.34) второй интеграл сводится к нормировочному
интегралу для я|). Таким образом, проходящая мощность оказывается
равной
где верхняя строчка в фигурных скобках соответствует ТМ-вол-
ТМ-волнам, а нижняя — ТЕ-волнам и явно выделена зависимость от
частоты со.
2) Можно возбудить волновод таким образом, что данный тип волн или
линейная комбинация волн будут характеризоваться комплексной функцией
г|5. Тогда может появиться средний по времени поперечный поток энергии.
Этот поток может быть только циркулярным, соответствуя некоторой запа-
запасенной энергии поля, и большого практического значения не имеет.
278 Гл. 8. Волноводы и резонаторы
Непосредственное вычисление энергии на единицу длины вол-
волновода производится аналогично и дает
(8.52,-
Сравнивая это выражение с потоком мощности Р, мы видим, что
Р и U пропорциональны друг другу. Коэффициент пропорцио-
пропорциональности имеет размерность скорости (скорость потока энергии)
и совпадает с групповой скоростью
P _ k с2
U CO 1X8
В последнем легко убедиться, вычисляя игр = dtoldk из (8.39)
в предположении, что диэлектрик, заполняющий волновод, яв-
является недиспергирующей средой. Отметим, что групповая скорость
всегда меньше скорости волн в неограниченной среде и обращается
в нуль при стремлении со к граничной частоте со^. Произведение
фазовой скорости (8.40) на групповую скорость равно константе
tWrP = -^, (8-54)
что является прямым следствием соотношения со А со — kAk.
Наше рассмотрение до сих пор относилось к волноводам с иде-
идеально проводящими стенками. Аксиальное волновое число k% было
либо действительным, либо чисто мнимым. Если стенки имеют конеч-
конечную проводимость, то из-за омических потерь в стенках поток
мощности будет затухать вдоль волновода. При большой прово-
проводимости стенок к волновому числу добавляется малая мнимая часть
k^^kf + i^ (8.55)*
где tiff—волновое число для идеально проводящих стенок. По-
Постоянную затухания C^ можно определить, либо решая заново
задачу с граничными условиями, учитывающими конечную прово-
проводимость, либо рассчитывая омические потери методом, изложенным
в § 1 этой главы, и привлекая закон сохранения энергии. Мы
пойдем по второму пути. Поток мощности вдоль волновода опре-
определяется выражением
P(z) = PGe-2^z. (8.56)*
Отсюда постоянная затухания равна
§ 5. Поток энергии и затухание в волноводах
279
где — dPIdz — мощность, расходуемая на омический нагрев на
единицу длины волновода. В соответствии с результатами § 1
эта мощность потерь равна
где интегрирование производится по контуру поперечного сечения
волновода. Подставляя сюда поля (8.32) и (8.33), получаем
dP
dz
X
X
~дп~
(8.59)
где снова верхняя строчка относится к ТМ-волнам, а нижняя —
к ТЕ-волнам.
Так как поперечные производные я|) полностью определяются
размером и формой волновода, то (8.59) дает явную зависимость
потерь мощности от частоты. Интегралы в выражении (8.59) можно
просто оценить, учитывая, что для обоих типов волн справедливо
соотношение
> = 0. (8.60)
Отсюда следует, что (за исключением особых случаев) поперечные
производные if> по порядку величины равны ]/(хе (cd^/c) if> и, сле-
следовательно,
\
дп
24
)
п X grad,
(8.61)
Это позволяет связать криволинейные интегралы в (8.59) с ин-
интегралом от |я|)|2 по площади поперечного сечения. Например,
дп
(8.62)
где С — длина контура, А — площадь поперечного сечения,
а 1х — безразмерное число порядка единицы. Таким образом, не
конкретизируя форму волновода, мы можем найти порядок вели-
величины постоянной затухания C^ и ее зависимость от частоты. Исполь-
Используя (8.59), (8.62) и (8.51), а также зависимость толщины скин-слоя
280
Гл. 8. Волноводы и резонаторы
G.85) от частоты, получаем
2А A—
(8.63)*
здесь а — проводимость (которая предполагается не зависящей от
частоты), 8^ — толщина скин-слоя при граничной частоте соь а ^
и цх— безразмерные числа порядка единицы. Для ТМ-волн г\х=0.
А
Фиг. 8.6. Зависимость постоянной затухания Р^ от частоты со для типичных
ТЕ- и ТМ-волн.
Для ТМ-волн минимум затухания достигается при со/од = Уз независимо от формы
поперечного сечения.
Зависимость постоянной затухания C^ от частоты показана на
фиг. 8.6. При со ->со^ она стремится к бесконечности (из-за обра-
обращения в нуль потока мощности Р), достигает минимума при частоте
порядка нескольких со^ и затем снова возрастает примерно пропор-
пропорционально со1^ при со > со^. Для ТМ-волн минимум поглощения
лежит при соМин = V~3 co^ независимо от формы волновода. Для
ТЕ-волн отношение величин ^ и ц^ зависит от формы волновода
и от X. Поэтому нельзя в общем случае указать частоту, при кото-
которой затухание будет минимальным. В микроволновом диапазоне
характерные значения постоянной затухания для меди соответ-
соответствуют уменьшению мощности потока в е раз на длине 200—400 мг
т. е. затуханию ~ 20—40 дб/км.
При заданной форме поперечного сечения волновода безразмер-
безразмерные константы ?а, и щ, входящие в (8.63), легко вычисляются.
Для ТЕ-волн в прямоугольном волноводе имеем
2b
2а
(8.64)
6. Резонаторы 281
где использованы обозначения из § 4 и т Ф О, п ф 0. Соответствую-
Соответствующие выражения для ТЕ-волн с п — 0 имеют вид
^. (8.65)
Мы видим, что при разумных соотношениях между а и b эти
параметры имеют порядок единицы независимо от величин тип.
Расчет параметров 1тп и г\тп для ТМ-волн мы предоставляем
читателю в качестве упражнения. Другие формы поперечного
сечения рассматриваются в задачах к этой главе.
В реальных случаях затухание волн связано также и с поте-
потерями в диэлектрике, заполняющем волновод. Если поглощающая
способность диэлектрика известна, то это дополнительное затуха-
затухание может быть найдено методом, аналогичным использованному
при определении потерь в стенках волновода.
§ 6. Резонаторы
Электромагнитные резонаторы могут иметь самые разнообраз-
разнообразные формы. Особо важным классом являются резонаторы, пред-
представляющие собой цилиндрические волноводы с закрытыми торца-
торцами. Мы будем считать, что торцовые поверхности являются плоско-
плоскостями, перпендикулярными оси цилиндра. Как обычно, примем,
что стенки резонатора имеют бесконечную проводимость и что резо-
резонатор заполнен диэлектриком без потерь, имеющим характеристики
е, (х. Вследствие отражения от торцовых поверхностей зависимость
полей от г должна соответствовать стоячим волнам
A sin kz + B cos kz.
Если торцовые стенки расположены при z = 0 и z = d, то гранич-
граничные условия на них выполняются только при значениях /г, удо-
удовлетворяющих соотношению
fe = p^-, p = 0, 1, 2, ... . (8.66)
Для ТМ-колебаний из условия обращения в нуль поля Et при
z = 0 и z = d получаем
(^) p = 0, 1, 2, .... (8.67>
Аналогично для ТЕ-колебаний условие обращения Bz в нуль при
z = 0 и z = d дает
fY P=l, 2, 3, ... . (8.68)
282 Гл. 8. Волноводы и резонаторы
Поперечные составляющие полей находятся из (8.24):
ТМ-колебания
(g 69)
Bf = ^cos(^)e,xgrad,1>
ТЕ-колебания
Граничные условия на торцах резонатора здесь, очевидно, выпол-
выполнены, и мы, как и ранее, приходим к задаче на собственные значения
(8.34) — (8.36). Однако теперь постоянная Y2 равна
Для каждого р собственное значение yl определяет собственное
значение резонансной частоты
(8.72)*
и поля, соответствующие этому резонансному типу волны. Резо-
Резонансные частоты образуют дискретный спектр и могут быть опре-
определены из графика зависимости аксиального волнового числа k от
частоты в волноводе (см. фиг. 8.4), если учесть, что k = pn/d.
Обычно желательно выбирать размеры резонатора так, чтобы
рабочая резонансная частота была достаточно удалена от других
резонансных частот. В этом случае резонатор будет более стабилен
в работе и нечувствителен к возмущающим эффектам, связанным
с изменением частоты, нагрузки и т. д.
Очень часто применяется резонатор в виде прямого круглого
цилиндра, иногда с поршнем, позволяющим производить настройку
путем изменения длины резонатора. На фиг. 8.7 показан такой
цилиндр с внутренним радиусом R и длиной d. Для ТМ-колебаний
решение поперечного волнового уравнения для я|) = Ez, удовле-
удовлетворяющее граничному условию Ez = 0 при q = R, имеет вид
i|)(q, ф) = Jm(утпд)g±im(p, (8.73)
где
Yum = -%*-, (8-74)
§ 6. Резонаторы ,
283
а хтп представляет собой д-й корень уравнения Jm{x) = 0. Эти кор-
корни приведены на' стр. 90 после уравнения C.92). Число т
-у
х
Фиг. 8.7.
принимает значения т = 0, 1, 2, ... , число п—значения п = 1,2,
3, ... , а резонансные частоты определяются формулой
~[с]^у -jp?-
(8.75)*
Низшую частоту имеет ТМ-колебание, соответствующее т = 0,
л = 1, р = 0 и обозначаемое через ТМОю- Эта резонансная частота
равна
2,405 с /Q ~>ч
гг • (8.76)
(8.77)
Поля в этом случае описываются соотношениями
Резонансная частота этого типа колебаний не зависит от d, поэтому
простая настройка перемещением поршня в данном случае невоз-
невозможна.
Для ТЕ-колебаний также применимо основное решение (8.73),
однако граничное условие для Bz (-~ = 0 ) приводит теперь
\ OQ R у
к равенству
Утп = ~^, (8.78)
284 Гл. 8, Волноводы и резонаторы
где хтп является п-м корнем уравнения J'm(x) = 0. Эти корни
для первых нескольких значений тип приводятся ниже:
Корни уравнения J'm{x) = 0
т = 0: х'оп = 3,832, 7,016, 10,174, ...
m=l: x'in = 1,841, 5,331, 8,536, ...
т = 2: Х2п = 3,054, 6,706, 9,970, ...
т = 3: х'3п = 4,201, 8,015, 11,336, ...
Резонансные частоты определяются выражением
1/2' (8-79)*
где т = 0, 1, 2, ... , а /г, р = 1, 2, 3, ... . Низшее колебание ТЕ-типа
соответствует т = /г = р = 1 и обозначается ТЕ1И. Его резонанс-
резонансная частота равна
Ш(^I", (8.80)
а поля выражаются с помощью (8.70) через Bz:
е-*<<'<. (8.81)
При достаточно большом d (d> 2,03 R) резонансная частота сош
меньше, чем низшая частота ТМ-колебания [см. (8.76)]. В этом
случае ТЕш-колебание представляет собой основной тип колеба-
колебаний резонатора. Поскольку эта частота зависит от отношения d/R,
то имеется возможность производить настройку резонатора путем
перемещения его торцовых стенок.
§ 7. Потери мощности в резонаторе.
Добротность резонатора
В предыдущем параграфе мы показали, что резонаторы имеют
дискретные резонансные частоты колебаний, которым соответствуют
определенные конфигурации полей. Это означает, что каким бы
способом мы ни пытались возбудить колебания данного типа, ника-
никаких полей правильной формы не возникнет до тех пор, пока частота
возбуждения не будет в точности равна резонансной частоте. В дей-
действительности резонансная кривая не имеет вида б-функции, а во-
вокруг резонансной частоты имеется некоторый весьма узкий интер-
интервал частот, внутри которого возможно заметное возбуждение резо-
резонатора. Наиболее существенной причиной расплывания резонанс-
§ 7. Потери мощности в резонаторе 285
ного пика являются потери энергии в стенках резонатора, а также
в заполняющем его диэлектрике. Мерой остроты резонанса по отно-
отношению к внешнему возбуждению является добротность резона-
резонатора Q, определяемая как отношение средней энергии, запасенной
в резонаторе, к энергии, теряемой за период колебаний:
п _ ^о Запасенная энергия # .~ оо\*
^ 2л Мощность потерь ' \ * )
здесь со0 — резонансная частота при отсутствии потерь. Согласно
закону сохранения энергии, мощность омических потерь равна
взятой с обратным знаком производной по времени от запасенной
энергии U. Поэтому формулу (8.82) можно записать в виде урав-
уравнения для U
dU _ сор
dt ~~ 2jxQ
откуда \ <8-83)
и (t) =
Запасенная в начальный момент энергия Uo экспоненциально убы-
убывает со скоростью, обратно пропорциональной Q. Временная зави-
зависимость (8.83) означает, что колебания поля в резонаторе зату-
затухают по закону
?(*) = ?<?-*o'/4jtQg-i©ot. (8.84)
Такого рода затухающие колебания имеют не одну частоту, а пред-
представляют собой суперпозицию частот, расположенных в окрестно-
окрестности со = со0. Таким образом,
E(t) = ^=
где } (8.85)
Е (со) = -±= ^
Интегрирование в (8.85) производится элементарно и приводит
к частотному распределению энергии в резонаторе, имеющему вид
лоренцовского пика:
V- (8.86)
В (8.86) мы перешли от угловых частот со и со0 к линейным v =
= со/2я и т0 = со0/2я в соответствии с определением Q. У резо-
резонансного пика (8.86), изображенного на фиг. 8.8, полная ширина
286 Гл. 8. Волноводы и резонаторы
на высоте, равной половине максимальной (которую, к сожалению,
часто называют «полушириной»), составляет vo/Q. При постоянном
возбуждающем напряжении энергия колебаний в резонаторе в за-
зависимости от частоты будет изменяться в окрестности резонансной
vo/Q = Ар
Фиг. 8.8. Резонансный пик.
Полная ширина Av на половине максимума (по мощности) равна отношению централь-
центральной частоты v0 к добротности резонатора Q.
частоты, следуя резонансной кривой. Если Av — разность частот,
соответствующих точкам половинной мощности, то добротность
резонатора равна
Q = ^-- (8-87)
Величина Q для микроволновых резонаторов обычно имеет порядок
сотен или тысяч.
Для определения добротности необходимо рассчитать среднюю
по времени энергию, накопленную в резонаторе, а затем найти
мощность, поглощаемую в стенках. Вычисления аналогичны про-
проведенным в § 5 при расчете затухания в волноводах. Мы ограни-
ограничимся здесь рассмотрением цилиндрического резонатора, описан-
описанного в § 6. Энергия, запасенная в резонаторе для возбуждения
колебания Я,р-типа в соответствии с (8.67) — (8.70), равна
fji
где верхняя строчка относится к ТМ-, а нижняя — к ТЕ-типу
колебаний. Для ТМ-типа при р = 0 следует еще ввести множитель 2.
§ 7. Потери мощности в резонаторе 287
Мощность потерь можно рассчитать по несколько измененной
формуле (8.58)
С О
+ 2 J йа|пхВ|?.Орц] . (8.89)
А
Для ТМ-типов колебаний с р Ф О легко показать, что
(8.90)*
здесь ?а, — то же самое безразмерное число, что и в (8.62), С —
длина контура поперечного сечения резонатора, а Л — площадь
этого сечения. Для р = 0 величину \^ следует заменить на 2^-
Подставляя (8.88) и (8.89) в выражение (8.82) и используя опреде-
определение G.85) толщины скин-слоя, найдем добротность резонатора Q:
С = ]17Х4лA+^/4Л) ' (8.91)*
где \хс—магнитная проницаемость металлических стенок резона-
резонатора. Для р = 0 следует в (8.91) умножить правую часть на 2,
а |а, заменить на 2^- Выражению для Q можно дать простую физи-
физическую интерпретацию, если записать его в виде
где G — некоторый геометрический множитель, V — объем резо-
резонансной полости, a S — площадь его поверхности. Отвлекаясь от
геометрического множителя, мы видим, что добротность Q равна
отношению объема, занятого полем, к объему проводника, в кото-
который поле проникает вследствие конечной проводимости. Для ТМ-
колебаний в цилиндрическом резонаторе геометрический множи-
множитель имеет вид
r I \+Cd/2A я
для р Ф 0 и
п 1 1+Cd/2A
для р = 0. Для ТЕ-колебаний в цилиндрическом резонаторе гео-
геометрический множитель несколько более сложен, но имеет такой же
288 Гл. 8. Волноводы и резонаторы
порядок величины. Для ТМ010-типа в круглом цилиндрическом
резонаторе, поле в котором описывается выражением (8.77), ^ =
= 1 (это верно для всех ТМ-типов), так что геометрический
множитель равен 1 /я и
4Wi
Для ТЕш-типа геометрический множитель *), как показывают
вычисления, имеет следующий вид:
r \ + d/R
2д l+
и соответственно
Соотношение (8.92) для Q применимо не только к цилиндрическим
резонаторам, но и к резонаторам произвольной формы, причем
множитель G обычно имеет величину порядка 1 /2я.
§ 8. Диэлектрические волноводы
В § 2—5 мы рассматривали волноводы, представляющие собой
полые металлические трубы с полем внутри. Возможны и другие
волноводные системы. Простейшим примером может служить двух-
двухпроводная линия (передачи. Отличительной чертой электромагнит-
электромагнитных волноводов является то, что энергия в них может распростра-
распространяться только вдоль волновода, а не в перпендикулярном направ-
направлении. Это означает, что поля локализованы в основном лишь
в непосредственной окрестности волноводной системы. Для полых
волноводов это требование удовлетворяется тривиальным образом.
Но для открытых систем, таких, как двухпроводная линия, поля
простираются на некоторое расстояние в сторону от проводников,
спадая как 1 /q2 для ТЕМ-волны и экспоненциально для волн выс-
высших типов.
Диэлектрический цилиндр типа показанного на фиг. 8.9 также
может служить волноводом, причем при достаточно большой
диэлектрической проницаемости он по свойствам весьма близок
к полому металлическому волноводу. Имеются, однако, характер-
характерные особенности, связанные с существенным различием граничных
условий. Общие выводы § 2 здесь также справедливы, но поведе-
поведение полей в поперечном направлении описывается теперь двумя
уравнениями типа (8.19): одно для области внутри цилиндра, а дру-
-1) Отметим, что этот множитель меняется всего на 30% при изменении
отношения dIR от dlR > 1 до dlR < 1.
§ 8. Диэлектрические волноводы
289
roe для внешней области. Эти уравнения имеют вид
(8.98)
причем (8.98) соответствует внутренней, а (8.99) — внешней .обла-
.области. Как диэлектрик (щ, et), так и окружающее пространство
(\i0, е0) предполагаются здесь однородными и изотропными. Чтобы
Фиг. 8.9. Отрезок диэлектрического волновода.
граничные условия удовлетворялись во всех точках поверхности
цилиндра в произвольный момент времени, постоянная распро-
распространения (волновое число) k должна быть одинаковой внутри
и вне цилиндра.
Как обычно, внутри диэлектрического цилиндра двумерный опе-
оператор Лапласа V? должен быть отрицательным, так что постоянная
0J
(8.100)
положительна. Вне цилиндра условие отсутствия поперечного
потока энергии приводит к требованию экспоненциального убыва-
убывания полей. (В диэлектрическом волноводе не существует ТЕМ-вол-
ны.) Соответственно величина в круглых скобках в (8.99) должна
быть отрицательной. Введем обозначение
^ (8Л01)
290 Гл. 8. Волноводы и резонаторы
и будем требовать далее, чтобы волноводному решению соответ-
соответствовало положительное значение р2 (действительное Р).
На границе диэлектрического цилиндра следует сшить осцилли-
осциллирующие решения внутри цилиндра с экспоненциальными решения-
решениями вне него. Граничными условиями являются непрерывность нор-
нормальных составляющих В и D и тангенциальных составляющих Е
и Н (а не обращение в нуль нормальной составляющей В и тан-
тангенциальной Е, как это было в случае полых металлических вол-
волноводов). Из-за более сложных граничных условий поля не могут
быть разделены на ТЕ- и ТМ-волны, за исключением частных слу-
случаев, как, например, аксиально-симметричные волны в круглом
цилиндре, которые и будут рассмотрены ниже. В общем же слу-
случае существуют продольные составляющие как Е, так и В. Такие
волны иногда обозначаются как #?-волны.
Для иллюстрации некоторых свойств диэлектрического волно-
волновода рассмотрим круглый цилиндр радиусом а из немагнитного
диэлектрика с диэлектрической проницаемостью еь расположен-
расположенный во внешней немагнитной среде с диэлектрической проницае-
проницаемостью е0. Будем считать для простоты, что поля не зависят от
азимутального угла. При этом радиальные уравнения для Ег и Bz
являются уравнениями Бесселя:
<8Л02)
^0' Q>a-
Решения, удовлетворяющие требованиям конечности в нуле и на
бесконечности, согласно гл. 3, § 6, имеют вид
(8Л°3)
При известных Ez и Bz остальные составляющие Е и В можно опре-
определить с помощью (8.24). При отсутствии зависимости от азиму-
азимутального угла ф соотношения (8.24) внутри цилиндра принимают
вид
R _ ik dBz R _ /Bjco dEz
и (8-104)
Аналогичные соотношения имеют место для q> а. Тот факт, что
поля разбиваются на две группы (Вр и Бф зависят от Bz , а Вф
и Ер зависят от Ez)y дает возможность получить решения ТЕ-
и ТМ-типов, как и в металлическом волноводе. Для ТЕ-типов яв-
§ 8. Диэлектрические волноводы
291
ные выражения для составляющих поля имеют вид
R — '*
(8.105)
(8.106)
Эти поля должны удовлетворять известным граничным условиям
при q = а, которые приводят к соотношениям
(8-107)
Исключая константу Л, получаем уравнения для определения у,
Р, а следовательно, и /г:
¦Муа) ; /Ci (Ра) _0
РКо(И „ ' (8.108)
Последнее равенство вытекает из (8.100) и (8.101). Поведение обоих
слагаемых первого соотношения (8.108) изображено на фиг. 8.10,а.
На фиг.8.10,6 обе кривые изображены в функции уа в соответствии
со вторым соотношением (8.108). На графике изображен случай до-
достаточно большой частоты, при которой существуют два типа волн,
обозначенных кружками на пересечении кривых. Вертикальные
асимптоты дают корни Jo (x) = 0. Если максимальная величина
уа меньше первого корня хО1= 2,405, то при действительном р
кривые не пересекаются. Таким образом, нижняя «граничная»
частота для ТЕ0п-волн равна
e>oi=
2,405с
лГ-—=~
(8.109)
При этой частоте Р2= 0, но продольное волновое число к
еще остается действительным и равно волновому числу ]/е0со/с
в свободном пространстве. Для частот ниже «граничной» частоты
система перестает быть волноводом и становится антенной, излу-
292
Гл. 8. Волноводы и резонаторы
чающей энергию в радиальном направлении. Для частот, сущест-
существенно больших граничной, р и k имеют один порядок величины,
и если разница между et и е0 не очень мала, то р и k много больше у.
Для ТМ-волн первое соотношение (8.108) заменяется соотно-
соотношением
Ji(ya) , г0 К i фа) _п (Я\\0\
Очевидно, все качественные характеристики, которые видны на
фиг. 8.10, сохраняются и для ТМ-волн. Ясно также, что низшая
фиг, 8.10. К графическому определению продольной постоянной распро-
распространения для диэлектрического волновода.
граничная частота для ТМ^-волн та ж€ самая, что и для ТЕОг1-
волн. При et> e0 постоянная распространения, согласно (8.110),
приближенно определяется уравнением Ji{ya) « 0, если только
максимальная величина уа не лежит слишком близко к одному
из корней уравнения J0(x) = 0. Таким же уравнением определяется
и постоянная распространения для ТЕ-волн в металлическом вол-
волноводе. Причиной эквивалентности ТМ-волн в диэлектрическом вол-
волноводе и ТЕ-волн в полом металлическом волноводе является сим-
симметрия уравнений Максвелла относительно перестановки Е и_В
(с необходимым изменением знака и введением множителей У>s)
и соответствие между граничными условиями обращения в нуль
нормальной составляющей В на металлической поверхности и почти
нулевой нормальной составляющей Е на поверхности диэлектрика
(вследствие непрерывности нормальной слагающей D при sA> e0).
Если г1 > е0, то из (8.100) и (8.101) следует, что внешняя по-
стрянная затухания р много больше у (за исключением окрест-
окрестности граничной частоты). Это означает, что поля быстро убывают
Рекомендуемая литература
293
при удалении от цилиндра. На фиг. 8.11 качественно показано
поведение полей для ТЕ0гВОлны. Другие типы волн ведут себя ана-
аналогично. К&К отмечалось ранее, у типов волн с азимутальной зави-
зависимостью полей продольные составляющие как Е, так и В отлич-
отличны от нуля. Хотя их математический анализ и более сложен (см.
задачу 8.6), однако качественно характер распространения — малая
В
Е
Фиг. 8.11. Радиальная зависимость полей ТЕ0гВолны в диэлектрическом
волноводе.
При Ei ^> 80 поля в основном сосредоточены внутри диэлектрика. Пунктиром изобра-
изображена граница диэлектрика.
длина волны вдоль цилиндра, быстрое убывание полей вне цилинд-
цилиндра и т. д.— остается тем же самым, что и в случае аксиально-сим-
аксиально-симметричных волн.
До сих пор диэлектрические волноводы не использовались для
передачи микроволн, кроме некоторых специальных приложений.
Одной из причин этого является трудность получения подходящего
диэлектрика, имеющего достаточно малые потери в микроволновом
диапазоне частот. Недавно для оптических частот начали приме-
применять очень тонкие диэлектрические волокна, покрытые тонким
слоем из материала с существенно меньшим показателем преломле-
преломления. Плотно перевитый пучок таких волокон служит для передачи
оптических изображений [21]. Диаметр волокон достаточно мал
(~ 10 мк), чтобы к ним были применимы понятия волновода, хотя
по ним обычно распространяется смесь различных типов волн.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Волноводы и резонаторы описаны в многочисленных книгах по электро-
электротехнике и связи. Среди физических учебников, где рассматриваются волно-
волноводы, линии передачи и резонаторы, отметим книги Пановского и Филипс
294 Гл. 8. Волноводы и резонаторы
[78], гл. 12, Слэтера [97], Зоммерфельда [102] и Стрэттона [106]. Мате-
Математические методы решения граничных задач приведены в книге Морса
и Фешбаха [77], особенно гл. 13. Сведения о специальных функциях можно
найти в книге Магнуса и Оберхеттингера [70]. Численные значения бессе-
бесселевых функций приведены в таблицах Янке и Эмде [54] и в книге Ватсона
[114].
Дополнение редактора. См. также монографию Вайнштейна [122],
посвященную главным образом исследованию электромагнитных волн в вол-
волноводах и резонаторах.
Вопросы дифракции подробно рассмотрены в работе [132]; см. так-
также [122].
ЗАДАЧИ
8.1. Линия передачи, состоящая из двух коаксиальных круглых метал-
металлических цилиндров с проводимостью о* и толщиной скин-слоя б (фиг. 8.12),
заполнена однородным диэлектриком (jn, e), потери в котором отсутствуют.
Вдоль линии распространяется поперечная ТЕМ-волна.
6—1
Фиг. 8.12.
а) Показать, что средний по времени поток мощности вдоль линии равен
где Но— амплитудное значение азимутального магнитного поля на поверх-
поверхности внутреннего проводника.
б) Показать, что мощность убывает с расстоянием вдоль линии по закону
где
4л J 2аб V jn In Ь/а
в) Характеристический импеданс линии Zo определяется как отношение
напряжения между цилиндрами при любом заданном z к продольному току,
Текущему по одному из цилиндров. Показать, что для такой линии
Г 4я 1 Х 1 / И- 1 Ь
Задачи
295
г) Показать, что сопротивление и индуктивность на единицу длины
линии описываются выражениями
1
~~ 2яа6
где \лс— магнитная проницаемость проводника. Поправка к индуктивности
связана с проникновением поля на глубину порядка б внутрь проводника.
Фиг. 8.13.
8.2. Линия передачи состоит из двух одинаковых тонких металлических
полос, показанных в поперечном сечении на фиг. 8.13. Предполагая, что
Ь > а, рассмотреть распространение ТЕМ-волны в такой линии аналогич-
аналогично задаче 8.1. Показать, что
-Г —
L 4я J
—
ааб
4я
1
а
У
2abb
L=\ i?-
где использованы те же обозначения, что и в задаче 8.1.
296
Гл. 8. Волноводы и резонаторы
8.3. Поперечные электрические и магнитные волны распространяются
вдоль полого прямого круглого медного цилиндра с внутренним радиусом R..
а) Найти граничные частоты для различных ТЕ- и ТМ-волн. Определить
численно низшую граничную частоту, выраженную через радиус волновода,
и отношение граничных частот следующих четырех высших типов волн
к этой основной частоте.
б) Рассчитать зависимость постоянной затухания в волноводе от частоты
для двух низших типов волн и построить график этой частотной зависимости.
8.4. В поперечном сечении волновод представляет собой прямоугольный
треугольник со сторонами а, а, У 2а (фиг. 8.14). Внутренняя среда имеет
характеристики jx = е = 1.
т
Фиг. 8.14.
а) Предполагая бесконечную проводимость стенок, определить возмож-
возможные типы распространяющихся волн и их граничные частоты.
б) Для низших волн каждого типа рассчитать постоянную затухания
при условии, что стенки имеют большую, но конечную проводимость. Срав-
Сравнить полученные результаты с соответствующими результатами для квадрат-
квадратного волновода с ребром а, сделанного из того же материала.
8.5. Медный резонатор ]представляет собой полый прямой круглый
цилиндр с внутренним радиусом R и длиной L, с плоскими торцовыми поверх-
поверхностями.
а) Определить резонансные частоты такого резонатора для всех типов
колебаний. Принимая c/Y^jleR за единицу частоты, построить кривые зави-
зависимости четырех низших резонансных частот каждого типа от R/L для
О < R/L <^ 2. Соответствует ли одному и тому же типу колебаний наиниз-
наинизшая частота при всех R/L?
б) Пусть R = 2 см, L = 3 см и резонатор изготовлен из чистой меди.
Чему равна численная величина добротности для низшего резонансного
типа колебаний?
8.6. Прямой круглый цилиндр радиусом а из непроводящего диэлектри-
диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е расположен в свободном пространстве
и используется в качестве диэлектрического волновода.
а) Рассмотреть распространение волн вдоль такого волновода, предпо-
предполагая азимутальную зависимость полей вида e*™<P.
б) Полагая m = ± 1, определить тип волн с низшей граничной часто-
частотой и рассмотреть свойства его полей (граничную частоту, пространственное
изменение и т. д.) в предположении, что е ^> 1.
Глава 9
ПРОСТЕЙШИЕ ИЗЛУЧАЮЩИЕ СИСТЕМЫ
И ДИФРАКЦИЯ
В двух предыдущих главах мы рассмотрели свойства электро-
электромагнитных волн и их распространение в ограниченном и неограни-
неограниченном пространствах. Однако при этом ничего не было сказано
о получении таких волн. В настоящей главе мы частично восполним
этот пробел и рассмотрим излучение волн ограниченными системами
колеблющихся зарядов и токов. Если рассматривать только доста-
достаточно простые излучающие системы, то можно ограничиться срав-
сравнительно простым математическим аппаратом. Более систематическое
изложение теории излучения будет дано в гл. 16, где рассматри-
рассматриваются мультипольные поля.
Вторая половина главы посвящена вопросам дифракции. Так
как скалярная теория Кирхгофа обычно излагается во многих
книгах, мы сосредоточим основное внимание на векторных свой-
свойствах дифракционных электромагнитных полей.
§ 1. Поля, создаваемые ограниченными
колеблющимися источниками
Систему зарядов и токов, изменяющихся во времени, всегда
можно разложить на гармоники с помощью рядов или интегралов
Фурье и рассматривать в отдельности каждую гармонику. По-
Поэтому без ущерба для общности мы можем рассматривать потен-
потенциалы, поля и излучение ограниченной системы зарядов и токов,
изменяющихся во времени по синусоидальному закону:
q(x, t) = Q(x)e-^,
J(x, t) = J(x)e-^K { '
Как обычно, для нахождения истинных физических величин сле-
следует брать действительную часть этих выражений. Предпола-
298 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
гается, что электромагнитные потенциалы и поля имеют такую же
временную зависимость.
В гл. 6 было показано, что в случае отсутствия ограничивающих
поверхностей решение волнового уравнения для векторного потен-
потенциала при лоренцовской калибровке имеет вид
А (х, 0 = -1- \ d*x' J df *-g±p[ б (*' + [±~- 0 • <9-2)
Дельта-функция обеспечивает конечную скорость распространения
полей. При синусоидальной зависимости от времени (9.1) решение
для А принимает вид
I х—х' |
(9.3)
где k = соIc —волновое число, а множитель е~'шХ подразумевается.
Магнитное поле определяется соотношением
B = rotA, (9.4)
а электрическое поле вне источников равно
E = -^-rotB. (9.5)
При заданном распределении токов J (х') поля, по крайней мере
в принципе, могут быть найдены, если вычислен интеграл (9.3).
В § 4 этой главы мы рассмотрим некоторые примеры прямого
вычисления этого интеграла. Однако сначала мы установим некото-
некоторые простые, но общие свойства полей, предполагая, что токи сосре-
сосредоточены в очень малой по сравнению с длиной волны области.
Если размеры источника имеют величину порядка d, а длина волны
Я = 2яс/со и d < Я, то представляют интерес три области
ближняя (статическая) зона: d < г С X,
промежуточная (индукционная) зона: d < г ~ X,
дальняя (волновая) зона: d < Я < г.
Мы увидим, что свойства полей в разных зонах весьма различны.
В ближней зоне поля носят характер статических полей: имеются
отличные от нуля радиальные составляющие, и изменение полей
с расстоянием зависит от свойств источника. В дальней зоне,
напротив, поля перпендикулярны радиусу-вектору и всегда спа-
спадают по закону 1/г, характерному для полей излучения.
Если мы рассматриваем поля вдали от источника, т. е. случай
г > d (не делая никаких предположений об отношении г к X),
то в интеграле (9.3) можно положить
А. л. ^2 Т П * А. , y^/«>J^
§ 1. Поля, создаваемые ограниченными источниками 299
гдб п — единичный вектор в направлении х. При этом векторный
потенциал принимает вид
Предполагая что г > d и d < ^, можно разложить экспоненту
и знаменатель в ряд по (п-х'):
\—n-x'/r
Подставив это разложение в (9.7), получим m-й член ряда для А:
где коэффициенты полинома а/ — некоторые целые числа. Это выра-
выражение позволяет определить радиальную зависимость поля в общем
случае. В ближней зоне, где kr < 1, преобладающим является по-
последний член полинома, так что векторный потенциал стремится
к пределу
A^^ \ (x')(n.x')-"rfV, (9.10)
не зависящему от волнового числа k. Таким образом, ближние
поля являются квазистатическими: они гармонически изменяются
во времени как е~ш, но во всех других отношениях имеют стати-
статический характер.
В дальней зоне, где kr > 1, доминирующим членом полинома
в (9.9) будет первый член, и для векторного потенциала получаем
^ J(x')(n.x')ndV. (9.11)
lim Am ()()
kr->oo cr ml J
В этом приближении векторный потенциал дает расходящуюся
сферическую волну. Легко показать, что в дальней зоне поля (9.4)
и (9.5) перпендикулярны радиусу-вектору и спадают как г. Таким
образом, они представляют собой поля излучения. Амплитуда
т-го члена разложения А в волновой зоне равна
J(x')(fen.xT'rfV. (9.12)
Так как х' имеет величину порядка d, а произведение Ы, по пред-
предположению, мало по сравнению с единицей, то очевидно, что после-
последовательные члены в разложении А быстро уменьшаются с номе-
номером т. Следовательно, излучение источника определяется в основ_
300 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
ном первым неисчезающим членом разложения (9.8). Перейдем
теперь к более детальному анализу полей, соответствующих
последовательным членам разложения.
§ 2. Электрическое дипольное поле
и излучение
Если ограничиться первым членом разложения (9.8), то вектор-
векторный потенциал (9.7) окажется равным
(x')dV. (9.13)
Этот интеграл можно представить в более привычной форме с по-
помощью интегрирования по частям
J JdV= — [ x' div' J d*x' = — fa> jj x'Q(x')d3x', (9.14)
где использовано уравнение непрерывности
i'(DQ = divJ. (9.15)
Таким образом, векторный потенциал равен
\(x)=-ikpe^-, (9.16)
где величина
- jj x'Q(x')d3x' (9.17)
представляет собой электрический дипольный момент, введенный
в электростатике соотношением D.8).
Поля электрического диполя, согласно (9.4) и (9.5), запишутся
в виде
(9.18)
Заметим, что магнитное поле перпендикулярно радиусу-вектору
на любых расстояниях, а электрическое поле имеет составляющие,,
как параллельные, так и перпендикулярные п.
В волновой зоне поля принимают асимптотическую форму
p),
V) r (9.19)
Е-Вхп,
характерную для полей излучения.
§ 2. Электрическое дипольное поле и излучение 301
Наоборот, в ближней зоне они выражаются следующим образом:
B = f&(nxp)~ ,
! (9.20)
Если отвлечься от колебаний во времени, то электрическое роле
совпадает с электростатическим дипольным полем D.13). В области
кг <С 1 магнитное поле в (kr)'1 раз меньше электрического. Поэтому
тюле в ближней зоне имеет в основном электрический характер.
В пределе k ->-0, соответствующем статическому полю, магнитное
поле, естественно, исчезает, и ближняя зона распространяется
до бесконечности.
Средняя по времени мощность, излучаемая в единицу телесного
угла колеблющимся дипольным моментом р, равна
где Е и В даются выражениями (9.19). Отсюда
0-22)
Направление поляризации определяется вектором п X (п X р).
Если все составляющие р имеют одинаковую фазу, то получается
характерное угловое распределение дипольного излучения
i? = .iL-*|p|.sin«ef (9.23)
где угол 0 отсчитывается от направления р. Полная мощность излу-
излучения равна
^1 (9.24)
Простым примером электрического дипольного излучателя
является возбуждаемая в центре линейная антенна, длина которой
d мала по сравнению с длиной волны. На фиг. 9.1 показана такая
антенна, направленная вдоль оси г и расположенная между г =
= — d/2 и г = d/2. Напряжение подводится к небольшому зазору
ъ центре антенны. Ток, имеющий одинаковое направление в обеих
половинах антенны и величину /0 в зазоре, спадает к краям антенны
приблизительно линейно, достигая нуля на ее концах:
/ (г) е-™* = /0 ( 1 - -^L) е~ш. (9.25)
Согласно уравнению непрерывности (9.15), линейная плотность
заряда q' (заряд на единицу длины) постоянна на обеих половинах
302
Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
антенны и равна
(9.26)
где верхний знак соответствует положительным значениям zy
Z
Фиг. 9.1. Короткая линейная
антенна с возбуждением в центре.
а нижний — отрицательным. Дипольный момент (9.17) параллелен
оси z и имеет величину
d/2
р= J ZQf(z)dz^=-^- . (9.27)
-d/2
Угловое распределение излучаемой мощности описывается выра-
выражением
;in29, (9.28)
а полная излучаемая мощность — выражением
F~ 12c * ^'^>
Мы видим, что, по крайней мере в длинноволновой области (kd < 1),
мощность излучения растет при фиксированном токе пропорцио-
пропорционально квадрату частоты.
§ 3. Магнитные дипольные и электрические
квадрупольные поля
Следующий член в разложении (9.8) приводит к векторному
потенциалу
/\ \\) — I —i tn-j \JVAM11 *;ал. W*JU/
§ 3. Магнитные дипольные и электрические квадрупольные поля 303
Это выражение можно представить в виде суммы двух членов, один
из которых дает поперечное магнитное поле, а другой — попереч-
поперечное электрическое поле. Эти физически различные компоненты
можно разделить, записывая подынтегральное выражение в (9.30)
в виде суммы симметричной и антисимметричной по J и х' частей:
-|(n.x')J=^[(n.x/)J + (n.J)x'] + -^(x/xJ)xn. (9.31)
Вторая, антисимметричная часть, очевидно, связана с намагничен-
намагниченностью, обусловленной током:
J = ^(xxJ). (9.32)
Первый, симметричный член, как будет показано ниже, связан
с электрическим квадрупольным моментом.
Рассматривая только магнитный член, получаем
(9.33)
где m — магнитный дипольный момент
= ^ J (xx i)d*x. (9.34)
Переходя к вычислению полей, заметим, что векторный потен-
потенциал (9.33) с точностью до множителя равен магнитному полю (9.18)
электрического диполя, если m заменить на р. Поэтому магнитное
поле магнитного диполя будет равно электрическому полю элек-
электрического диполя с заменой р -*т. Таким образом, получаем
eihr. (9.35)
Аналогично электрическое поле магнитного диполя равно взятому
с обратным знаком магнитному полю электрического диполя:
(9.36)
Все выводы, относящиеся к поведению полей в ближней и даль-
дальней зонах, остаются теми же, что и для электрического дипольного
источника, если только заменить Е ->-В, В —> Е, р —>-т. Ана-
Аналогично распределение излучения и полная излучаемая мощность
для обоих диполей одинаковы. Единственное различие полей излу-
излучения связано с их поляризацией. Для электрического диполя элек-
электрический вектор лежит в плоскости, образованной векторами п
и р, в то время как для магнитного диполя он перпендикулярен
плоскости, проходящей через пит.
304 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
Интеграл от симметричного члена в (9.31) после интегрирования
по частям и некоторых преобразований приводится к виду
. (9.37)
Здесь div J заменена на /coq согласно уравнению непрерывности
(9.15). Так как этот интеграл содержит второй момент плотности
заряда, то, следовательно, он соответствует электрическому квадру-
польному источнику. Векторный потенциал имеет вид
(9.38)
Выражения для полей в общем случае довольно сложны, и мы
не будем их выписывать, ограничившись лишь рассмотрением полей
в волновой зоне. Тогда легко видеть, что
B = iknx A,
E = ift(nxA)xn. (9*39)
Таким образом, для магнитного поля получаем
nxx')(n.x')Q(x')dV. (9.40)
Используя определение D.9) тензора квадрупольного момента
Q«p= [ CxaXv-r4av)Q(x)d3x, (9.41)
можно записать интеграл в (9.40) в виде
nxj x'(n-x')Q(x')dV =lnxQ(n), (9.42)
где вектор Q (n) определяется соотношением
ttP. (9.43)
Р
Заметим, что его величина и направление зависят как от направле-
направления наблюдения, так и от свойств источника. В этих обозначениях
магнитное поле запишется в виде
г'ЬЗ pihr
В=—^—^r-nxQ(n), (9.44)
а средняя мощность, излучаемая в единичный телесный угол,—
в виде
Угловое распределение имеет довольно сложный характер.
Однако полная мощность излучения вычисляется непосредственно.
§ 3. Магнитные дипольные и электрические квадрупольные поля 305
Учитывая определение Q (п), представим угловую зависимость
в виде
(9:46)
Вычисление угловых интегралов от произведений прямоугольных
составляющих п дает
-^- 6Pv, (9.47)
откуда
(9'48)
Так как сумма элементов тензора Qap, стоящих на главной диаго-
диагонали, равна нулю, первый член в квадратных скобках тождествен-
тождественно обращается в нуль. Отсюда получается окончательное выраже-
выражение для полной мощности излучения квадрупольного источника
При заданном квадрупольном моменте излучаемая мощность про-
пропорциональна шестой степени частоты в отличие от дипольного
излучения, где она пропорциональна четвертой степени частоты.
Простым примером квадрупольного источника является осцил-
осциллирующее сфероидальное распределение зарядов. В этом случае
недиагональные элементы Qap равны нулю, а диагональные эле-
элементы можно представить как
Q33 = Qo, Qn = Q22 - —tQo. (9.50)
При этом угловое распределение излучаемой мощности будет иметь
вид
dP
dQ 128л
QJsin26cos2e. (9.51)
Соответствующая четырехлепестковая диаграмма излучения пока-
показана на фиг. 9.2. Ее максимумы расположены при 6 = я/4 и
306
Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
240
> = Зя/4. Полная мощность излучения такого квадруполя равна
-1-й Г\Л
(9.52)
Если мы продолжим наше рассмотрение разложения (9.8) и пе-
перейдем к высшим членам разложения векторного потенциала, то
вычислительные трудности непомерно возрастут. Кроме того, такой
подход обладает тем недостатком, что физически ясные члены, как,
Фиг. 9.2. Угловое распреде-
распределение излучения квадруполя.
например, поле магнитного диполя или электрического квадру-
квадруполя, приходится искусственно выделять из отдельных слагаемых
в (9.8). Наконец, развитый выше метод применим лишь для доста-
достаточно длинных волн. Систематический анализ мультипольного
излучения будет дан в гл. 16. Для этого потребуется разработать
специальный математический аппарат, что, однако, окупит себя
впоследствии. Этот метод позволит единообразно рассмотреть
все мультипольные члены, причем результаты применимы для
любых длин волн, а физически различные электрические и маг-
магнитные мультиполи разделяются с самого начала.
§ 4. Линейная антенна с центральным
возбуждением
Для ряда излучающих систем с достаточно простой геометрией
распределение токов таково, что интеграл (9.3), определяющий
векторный потенциал, может быть найден в сравнительно простой
замкнутой форме. В качестве примера таких систем рассмотрим
тонкую линейную антенну длиной d с коротким зазором в центре,
на который подается возбуждающее напряжение. Пусть антенна
§ 4. Линейная антенна с центральным возбуждением
307,
расположена вдоль оси z, а ее зазор находится в начале координа)'
(фиг. 9.3). Если пренебречь затуханием, связанным с излучением,
то ток вдоль антенны можно считать синусоидальным по времени
и координате с волновым числом k = со 1с и симметричным в обоих
Коаксиальная
линия
Фиг. 9.3. Линейная антенна с возбуждением в центре.
плечах антенны. Поскольку ток должен обращаться в нуль на кон-
концах антенны, мы можем записать плотность тока в виде
kd
(9.53)
где \z\ < d/2. Здесь б-функции показывают, что ток течет только
вдоль оси г, а / представляет собой максимальный ток в антенне,
если kd > я. Ток в зазоре равен /0 = / sin (Ы/2).
При плотности тока, задаваемой соотношением (9.53), вектор-
векторный потенциал направлен вдоль оси z и, согласно (9.7), в волновой
зоне равен
Ieikr
cr
d/2
i
sin
kd
-k\z
dz. (9.54)
Непосредственное интегрирование дает
A/v\ p Veihr Г сО5[(Ы/2)со58]-со5(Ы/2) 1 --
Поскольку в волновой зоне магнитное поле определяется
формулой В = ik n X А, то его абсолютная величина есть
308 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
| В | = k sin Q\A3|. Отсюда находим среднюю мощность, излучаемую
в единичный телесный угол:
dP /2
dQ, 2nc
cos [(kd/2) cos 8] — cos (kd/2)
sin9
(9.56)
Электрическое поле направлено вдоль составляющей А, перпенди-
перпендикулярной к п. Следовательно, излучение поляризовано в плоскости,
проходящей через антенну и радиус-вектор точки наблюдения.
Характер углового распределения (9.56) зависит от величины
kd. Легко видеть, что в случае длинных волн (kd < 1) мы приходим
к распределению дипольного излучения (9.28). В частных случаях,
когда kd = я или kd = 2я, что соответствует одной или двум полу-
полуволнам тока в антенне, угловые распределения даются формулами
rcost[(?/2)cos8]
2пс ) 4cos4[(rt/2)cos8] ин— 9
Эти угловые зависимости показаны в гл. 16 (см. фиг. 16.4), где
они сравниваются с мультипольными разложениями. Угловое рас-
распределение излучения полуволновой антенны очень похоже на
диаграмму излучения диполя, а полноволновая антенна имеет
существенно более острую направленность.
Распределение излучения полноволновой антенны можно пред-
представлять себе как суперпозицию полей двух полуволновых антенн,
расположенных одна над другой и возбуждаемых в фазе. При
9 = я/2, где волны складываются алгебраически, интенсивность
в 4 раза больше, чем для полуволновой антенны. В направлениях,
отличных от 9 = я/2, волны интерферируют, что и сужает лепесток
диаграммы. Если подходящим образом расположить систему
базисных антенн, например полуволновых, и соответственно подо-
подобрать фазы токов в них, то можно сформировать произвольную диа-
диаграмму направленности. Интересующегося читателя мы отсылаем
к электротехнической литературе, где такие антенные решетки
рассмотрены достаточно подробно.
Для полуволновой и полноволновой антенн можно проинтегри-
проинтегрировать угловое распределение по всем углам, что дает полную мощ-
мощность излучения
( 2л
{ 2я 4Я (9.58)
|2 ^ 1-™<Л-±\1=2*1.<и, kd = 2n.
I о о
§ 5. Интеграл Кирхгофа 309
Интегралы в (9.58) можно выразить через интегральный косинус
со
Ci(*)=-\'-^#, (9.59)
а именно
l~C°St
\ Ct°St dt = In (ух) - Ci (x), (9.60)
о
где у= 1,781 ... — постоянная Эйлера. Таблицы интегрального
косинуса даны, например, в справочнике Янке и Эмде [54]. Чис-
Численные значения мощности излучения составляют
/2 [2,44, Ы-я,
Р~Ыб,70, kd = 2*. <9'61>
При данной амплитуде тока / полноволновая антенна с возбужде-
возбуждением в центре излучает примерно в 3 раза большую мощность, чем
полуволновая антенна. Коэффициент при Р12 имеет размерность
сопротивления и называется сопротивлением излучения ^изл антен-
антенны. Его величина в омах получается из (9.61) умножением на 30
(этот множитель равен численной величине скорости света, делен-
деленной на 10 в соответствующей степени). Таким образом, полу-
полуволновая и полноволновая антенны имеют соответственно сопро-
сопротивления излучения 73,2 и 201 ом.
Следует оговориться, что идеализированный случай бесконечно
тонкой линейной антенны с синусоидальным распределением тока
является весьма упрощенной схемой реальных антенн. Конечные
поперечные размеры, омические и радиационные потери, несину-
несинусоидальное распределение тока, конечная величина возбуждающе-
возбуждающего зазора и другие факторы существенно усложняют задачу. Эти
важные для практических приложений проблемы подробно изло-
изложены в обширной литературе, посвященной расчету и конструиро-
конструированию антенн, к которой мы и отсылаем интересующегося читателя.
? 5. Интеграл Кирхгофа
Общая задача дифракции рассматривает падение волны на одно
или несколько препятствий или отверстий в поглощающих или
проводящих поверхностях. Волна частично поглощается и рассеи-
рассеивается, что приводит к появлению волн, распространяющихся
в различных направлениях, отличных от направления падающей
волны. Расчетом излучения, распространяющегося от препятствия
или отверстия, и занимается теория дифракции. Первая система-
310 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
тическая теория дифракции была дана Кирхгофом A882 г.), кото-
который развил идею Гюйгенса о суперпозиции элементарных волн.
В этом параграфе мы рассмотрим обычный метод Кирхгофа и оста-
остановимся на некоторых его недостатках, а в следующем выведем
векторные теоремы, являющиеся векторным обобщением обычной
скалярной теоремы Кирхгофа.
В теории дифракции обычно рассматривают две пространствен-
пространственные области / и //, разделенные граничной поверхностью S, как
ЕГ,ВГ
Ео, Во * \ ^ Ео, Во
Фиг. 9.4. Дифракционная система.
На поверхности #S, в которой имеются
отверстия, возникают отраженные и про-
проходящие волны, налагающиеся на волны,
которые существовали бы в областях / и
// в отсутствие поверхности S.
показано на фиг. 9.4. Поверхность S может быть, например, бес-
бесконечной металлической плоскостью с отверстиями. Волна, излу-
излучаемая источниками, расположенными в области /, падает на гра-
граничную поверхность S и дифрагирует на ней. При этом образуются
рассеянные волны — проходящая вперед и отраженная. Обычно
рассматривают только проходящую волну. Ее угловое распреде-
распределение называется дифракционной диаграммой системы. Если падаю-
падающая волна характеризуется полями Ео и Во, отраженная волна —
полями Ег и Вг, а проходящая волна — полями Е/ и В*, то пол-
полное поле в областях I и II будет Е = Ео+ Es, В = Во+ Bs, где
под s следует понимать соответственно г или t. Основной задачей
теории дифракции является определение полей (Е*, В*) и (Ег, Вг)
при известных падающих полях (Ео, Во) и известных свойствах
граничной поверхности S. Поля в областях I и II связаны гранич-
граничными условиями для Е и В, которые должны удовлетворяться на
S; вид этих условий зависит от свойств поверхности S.
Задачи такого рода решаются обычно применением тождеств
Грина к волновому уравнению (см. гл. 6). Рассмотрим скалярное
поле г|)(х, t), определенное внутри и на замкнутой поверхности
S и удовлетворяющее в этой области волновому, уравнению без
источников. Под г|) (х, t) можно понимать любую декартову]состав-
дяющую Е или В. В гл. 6 мы показали, что значение г|) внутри S
можно выразить через величину -ф и ее нормальную производную
§ 5. Интеграл Кирхгофа
311
на поверхности
запазд
где R = x — х', п — внешняя нормаль к поверхности и индекс
указывает, что поля берутся в запаздывающий момент времени
Мешочники
Фиг. 9.5. Две возможные схемы дифракции.
Область / содержит источники излучения. В области // поля удовлетворяют условиям
излучения.
? = t — Rlc. При гармонической зависимости от времени е~~ш
интеграл (9.62) для г|) (x, t) можно записать в виде
4a'- (9-63)
Чтобы применить соотношение (9.63) к дифракционным задачам,
рассмотрим замкнутую поверхность S, состоящую из двух поверх-
поверхностей Sj и S2. Выбор поверхности S4 определяется удобством ре-
решения данной конкретной задачи (например, ею может быть про-
проводящий экран с отверстиями), а в качестве поверхности S2 выберем
сферу или полусферу очень большого радиуса (в пределе бесконеч-
бесконечного) в области //, как показано на фиг. 9.5. Так как поля в обла-
области // являются проходящими и исходят из дифракционной об-
области, то в окрестности S2 они должны иметь вид уходящих волн.
Отсюда следует, что поля, а следовательно, и г|) (x) должны удовле-
удовлетворять так называемым условиям излучения:
1 * '" 1Л (9.64)
дг
Легко показать, что при выполнении этих условий интеграл в (9.63)
по полусфере S2 стремится к нулю как 1 /Rs при стремлении радиуса
312 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
полусферы Rs к бесконечности. Таким образом, в пределе мы при-
приходим к интегралу Кирхгофа для функции г|) (х) в области //
a\ (9.65)
гдеп — единичный вектор нормали к Sb направленный в область //.
Чтобы применить формулу Кирхгофа (9.65) к дифракционной
задаче, необходимо знать величины г|? и dty/dn на поверхности S±.
Однако пока мы не решили точно соответствующую граничную
задачу, эти значения нам не известны. Если, например, S4— пло-
плоский идеально проводящий экран с отверстием, а яр — составляю-
составляющая электрического поля, параллельная Sb то, очевидно, г|? равно»
нулю всюду на Sif за исключением отверстия. Значение же г|) в от-
отверстии неизвестно. Поэтому без дополнительных исследований
мы можем получить лишь приближенные решения, принимая опре-
определенные предположения о значениях г|? и дф/д/г на S^ Приближе-
Приближение Кирхгофа соответствует следующим допущениям:
1. Величины г|? и дф/д/г равны нулю на Si всюду, за исключе-
исключением отверстий.
2. Величины г|) и д^/дп в отверстиях равны соответствующим
величинам в падающей волне в отсутствие каких-либо экра-
экранов или препятствий.
Все обычные дифракционные расчеты в классической оптике
основаны на этом приближении Кирхгофа. Следует помнить, что-
полученные таким образом результаты справедливы лишь прибли-
приближенно. Заметим, что сделанные допущения являются математиче-
математически несовместными. Действительно, как было показано в гл. 1,
§ 9, для уравнения Лапласа решение внутри замкнутого объема
однозначно определяется заданием на его поверхности либо только
if> (задача Дирихле), либо только д^/дп (задача Неймана). Это же
справедливо и для волнового уравнения Гельмгольца. Обе вели-
величины г|? и дф/д/г нельзя независимо задавать на поверхности. При-
Приближение Кирхгофа дает хорошие результаты для очень малых длин
волн, когда размеры отверстия велики по сравнению с длиной вол-
волны. Однако даже в этом случае скалярная теория не учитывает эф-
эффектов, связанных с поляризацией дифрагирующей волны. Для
промежуточных и длинных волн скалярное приближение вообще
плохо применимо, не говоря уже об указанных выше сильных
предположениях.
Так как задача о дифракции электромагнитных волн представ-
представляет собой граничную задачу для векторных полей, то можно на-
надеяться, что мы добьемся существенно лучших результатов при ис-
использовании векторных эквивалентов интеграла Кирхгофа (9.65).
§ 6. Векторные эквиваленты интеграла Кирхгофа
§ 6. Векторные эквиваленты интеграла
Кирхгофа
Для получения векторной формулы, эквивалентной интегралу
Кирхгофа (9.63), положим
и запишем скалярную формулу (9.63) в виде
•ф(х) = <§ [Gn-grad'\|) — i|9n-grad'G]da\ (9.67)
S
Если написать такие соотношения для каждой декартовой состав-
составляющей электрического или магнитного поля и векторно сложить
их, то получим векторную теорему для Е
Е (х) = $ [G (п • grad') E-E(n-grad'G)] da' (9.68>
s
и аналогичное выражение для В. Этот результат неособенно удобен:
для вычислений, но его можно привести к более удобному виду,,
используя некоторые векторные преобразования. Во-первых,,
подынтегральное выражение в (9.68) можно представить как
[ ]=(n.grad')(GE) — 2E(n-grad'G). (9.69>
Далее, комбинируя векторные тождества
n x (E x grad'G) = E(n-grad'G)-(n-E) grad'G,
grad'Gx(nxE) = n(E-grad'G)-(n.grad'G)E, (
можно исключить последний член в (9.69)
[ ] = (n-grad') (GE) — п х (Е х grad' G) — п (Е-grad' G) —
- (n-E) grad' G- (n x E) X grad' G. (9.71)
Используем теперь формулу для ротора произведения вектора на
скаляр, чтобы преобразовать второй член в (9.71), и учтем усло-
условие div' E = 0 при преобразовании третьего члена. В результате
получим
[ ] = (п • grad') (GE) + n x rot' (GE) - n div' (GE) - (n • E) grad' G -
— (n x E) x grad' G —Gn x rot' E. (9.72)
Преобразование двух членов (9.68) в шесть членов (9.72) может
показаться не очень целесообразным, однако мы сейчас покажем,,
что поверхностные интегралы от первых трех членов в (9.72), со-
содержащих произведение GE, тождественно обращаются в нуль-
314 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
Для этого воспользуемся легко проверяемыми тождествами, свя-
связывающими поверхностные интегралы по замкнутой поверхности
-S с объемными интегралами по области, заключенной внутри S:
\ divAd3x,
.)
(n x A) da = J rot A dsx, (9.73)
S V
V
Здесь А и ф — произвольные векторная и скалярная функции.
¦С помощью этих тождеств поверхностный интеграл от первых трех
членов в (9.72) можно записать в виде
j[{n-grad') (GE) + n x rot' (GE) - ndiv' (GE)] da' =
rot/rot/(GE)-grad'div/(GE)]d3x/. (9.74)
Так как rot rot A = grad div A — V2A, то объемный интеграл
тождественно равен нулю1).
Оставшиеся три члена в (9.72) дают еще одну возможную форму
векторного соотношения Кирхгофа (9.68). Заменяя rot E на В
с помощью уравнения Максвелла rot E = ikB, можно привести
формулу для электрического поля в произвольной точке объема,
•ограниченного поверхностью S, к виду
Е (х) - - j [ik (n х В) G + (n x E) x grad' G + (n• E) grad' G] da'.
s
(9.75)
Аналогично для магнитного поля имеем
В(х)= — §[ — /А: (п х Е) G + (п х В) х grad'G + (п-В) grad'G] da'.
S (9-76)
х) Читатель может усомниться в применимости тождеств (9.73) к векторной
•функции (GE), имеющей особенность в точке х' = х. Однако эту особенность
можно исключить, считая, что поверхность «S состоит из внешней поверхнос-
поверхности S' и малой сферы S" вокруг точки х' = х. Можно показать, что вклад
интеграла по S" стремится к нулю при стремлении к нулю радиуса сферы S".
Таким образом, формулы (9.74) остаются справедливыми, даже если функция
<j имеет особенность в интересующем нас объеме.
§ 6. Векторные эквиваленты интеграла Кирхгофа 315
В интегралах (9.75) и (9.76) вектор п, как обычно,— единичный
вектор внешней нормали. Этим интегралам можно дать наглядную
интерпретацию, введя эквивалентные источники (заряды и токи).
Нормальную составляющую Е в (9.75) можно, очевидно, рассма-
рассматривать как эффективную плотность поверхностного заряда. Ана-
Аналогично в соответствии с (8.14) тангенциальную составляющую маг-
магнитного поля (п X В) можно рассматривать как эффективный
поверхностный ток. Оставшиеся члены (n-В) и (пхЕ) интерпрети-
интерпретируются соответственно как эффективные поверхностные магнитные
заряды и токи.
Векторные формулы (9.75) и (9.76) являются векторными анало-
аналогами скалярной теоремы Гюйгенса — Кирхгофа (9.63). Если поля
? и В удовлетворяют на бесконечности условиям излучения (9.64)
и, кроме того, векторному соотношению Е = Вх (г/г), то легко
показать, что интеграл по бесконечно удаленной части поверхности
<S равен нулю. Поэтому в обозначениях фиг. 9.5 электрическое поле
(9.75) запишется в виде
Е(х)= J [(nxE)xgrad'G + (n.E)grad'G+/?(nxB)G]da\ (9.77)
Si
где Si— поверхность соответствующей дифракционной системы,
а нормаль п направлена теперь внутрь области наблюдения.
Векторная теорема (9.77) является важным обобщением скаляр-
скалярного выражения (9.65). В ней полностью учтен векторный характер
электромагнитного поля. Однако для расчета дифрагированных
полей и здесь необходимо знать величины Е и В на поверхности
Si. Для достаточно коротких волн применимо приближение Кирх-
Кирхгофа, описанное в предыдущем параграфе. Резкий скачок Е и В
от невозмущенных величин в освещенной области поверхности
Si до нуля в теневой области может быть математически ском-
скомпенсирован линейными токами, текущими по границам отверстий х).
Из соотношения (9.77) можно получить очень удобную формулу
для частного случая плоской граничной поверхности S4. Предста-
Представим себе, что поверхность Sb охватывающая источники и изобра-
изображенная в правой части фиг. 9.5, изменена по форме так, что пред-
представляет собой большой плоский диск, показанный на фиг. 9.6.
Область «проходящих» волн // разбивается теперь на области //
и //', соединяющиеся только посредством кольцевого отверстия
на бесконечности. Обозначим стороны диска через SA и S|. Единич-
Единичные векторы пип'= — п направлены соответственно в области //
и //'. Найдем интегральное выражение для полей в области //
через поля на правой поверхности Si. Этот случай аналогичен изо-
х) Вопрос о линейных токах дискутируется в книгах Стрэттона [106]
и Силвера [95], гл. 57.
316
Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
браженному в левой части фиг. 9.5. Величины полей в области 1Г
нас не интересуют. Поэтому можно подобрать гипотетические
источники внутри диска, чтобы окончательные выражения для
дифрагированных полей в области // были особенно удобны. Полу-
Получив желаемое выражение для полей в области // в виде интеграла
по поверхности Sx [см. соотношение (9.82)], мы можем забыть,
о способе его вывода и не интересоваться левой частью фиг. 9.6.
Фиг. 9.6.
Для нас представляет интерес лишь дифрагированное поле в обла-
области //, определяемое отверстиями или препятствиями, расположен--
ными на плоской поверхности S4.
Если поля в областях // и //' соответственно равны Е, В if
Е', В', то, как видно игз фиг. 9.6, при стремлении толщины диска
к нулю интеграл (9.77) можно записать в виде
Е(х)= J {[nx(E-E')] Xgrad'G + n-(E-E')grad'G +
Si
+ /fenx(B —B')G}da\ (9.78)
Поле Е (х) в левой части равенства — это либо Е, либо Е' в зави-
зависимости от того, где находится точка х; интеграл же берется только»
по правой стороне поверхности S^
Наиболее часто встречается случай проводящей поверхности
с отверстиями. Граничные условия на идеально проводящей поверх-
поверхности имеют вид п X Е = 0,П'В = 0, однако n-E^O, n X В ^ 0»
При вычислении поверхностного интеграла (9.78) было бы желатель-
желательно интегрировать только по отверстиям, а не по всей поверхности.
Первый член в (9.78) в случае идеально проводящего экрана отличен
§ 6. Векторные эквиваленты интеграла Кирхгофа 317
от нуля только на отверстиях. Попытаемся выбрать поля в области
//' так, чтобы оставшиеся члены обращались в нуль на всей
поверхности S^. Очевидно, следует потребовать выполнения соотно-
соотношений
(nxB')sl = (nxB)Sl. (9J9)
Конечно, поля Е', В' должны удовлетворять уравнениям Максвелла
и условиям излучения в области //', если Е, В удовлетворяют им
в области //. Легко видеть, что требования (9.79) на поверхностях
Si и S[ удовлетворяются, если Е и В связаны соотношениями
пхЕ'(х')= -пхЕ(х),
пхВ'(х') = пхВ(х), (9.80)
п-В'(х') = — п-В(х),
где точка х' является зеркальным изображением точки х в плоскости
S4. При переходе от точек х к зеркально сопряженным точкам х' знак
тангенциальной составляющей электрического поля и нормальной
составляющей магнитного поля меняется на обратный, а знак нор-
нормальной составляющей электрического поля и тангенциальной
составляющей магнитного поля остается прежним.
Подставляя (9.80) в (9.78), мы приходим к простому выражению
для поля Е (х) через интеграл по плоскости Slf ограничивающей
область // х):
Е(х) = 2 J (nxE)xgrad'Gda', [(9.81)
Si
где (пхЕ) — тангенциальная составляющая электрического поля
на поверхности Si (п — единичный вектор нормали, направлен-
направленный внутрь области //), a G— функция Грина (9.66). Поскольку
grad'G = — grad G, соотношение (9.81) может быть представлено
и в другой форме:
E(x) = 2rot J nxE(x')G(x, x') da'. (9.82)
Si
Для дифракционной системы, представляющей собой идеально про-
проводящий экран с отверстиями, интеграл по S4 сводится к интегралам
только по площади отверстий. Формулы (9.81) и (9.82) будут точ-
х) Эта формула для плоских экранов была впервые получена Смайтом
[ 101] методом двойного токового слоя в отличие от применяемого здесь метода
тождеств Грина.
318
Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
ными, если в них подставить правильное значение тангенциальной
составляющей Е в отверстии экрана. Однако практически подстав-
подставляется некоторое приближенное значение поля в отверстии. Для
плоского проводящего экрана нужно аппроксимировать только
тангенциальную составляющую электрического поля, причем гра-
граничные условия на экране выполняются автоматически [как можно
проверить, исходя непосредственно из (9.82)].
§ 7. Принцип Бабине для дополнительных экранов
Прежде чем переходить к рассмотрению отдельных примеров
дифракции, установим одно полезное соотношение, так называе-
называемый принцип Бабине. Принцип Бабинё связывает дифракционные
поля для некоторого экрана с полями для дополнительного экрана.
Фиг. 9.7. Дифракционный экран
дополнительный
экран Sb.
к нему
Рассмотрим сначала этот принцип, ограничиваясь скалярным при-
приближением Кирхгофа. Дифракционный экран предполагается рас-
расположенным на некоторой поверхности S, разделяющей простран-
пространство на области I я II так же, как и в § 5. Пусть экран занимает
всю поверхность S, за исключением некоторых отверстий. Допол-
Дополнительным экраном называется экран, получающийся из первона-
первоначального заменой отверстий на экран, а экрана на отверстия. Обазна-
чим поверхность исходного экрана через Sa, а дополнительного — че-
через Sb, тогда Sa + Sb = S, как схематически показано на фиг. 9.7.
Если внутри S (в области /) имеются источники поля ty (x),
то в отсутствие каких-либо экранов это поле в области // дается
интегралом Кирхгофа (9.65), где интегрирование производится по
всей поверхности S. Если же на поверхности S расположен экран
So, то поле % (х) в области // в приближении Кирхгофа дается
интегралом (9.65), в подынтегральном выражении которого стоит
§ 7. Принцип Бабине для дополнительных экранов 319
то же поле i|j, но интеграл берется только по Sb (по отверстиям). Ана-
Аналогично для дополнительного экрана поле tyb (x) в том же прибли-
приближении дается интегралом по Sa. Отсюда очевидно следующее соот-
соотношение между дифрагированными полями г|)а и tyb'-
% + Цъ = Ц. (9,83>
Это и есть принцип Бабине, как его обычно формулируют в опти-
оптике. Если, например, г|? представляет собой падающую плоскую
волну, то, согласно принципу Бабине, дифракционная картина
в направлениях, отличных от направления прямого падения, оди-
одинакова для взаимно дополнительных экранов.
Полученная формулировка принципа Бабине неудовлетвори-
неудовлетворительна в двух отношениях: во-первых, она относится к скалярным
полям и, во-вторых, основана на приближении Кирхгофа. Второй
недостаток можно устранить, если мы обобщим определение допол-
дополнительности и при замене экрана на дополнительный экран введем
и дополнительные граничные условия (т. е. условия Дирихле заме-
заменим на условия Неймана, и наоборот) для скалярных полей.
Однако, поскольку нас в основном интересуют электромагнитные
поля, мы не будем больше останавливаться на скалярной задаче.
Строгую формулировку принципа Бабине для электромагнитных
волн можно получить для случая тонкого плоского идеально прово-
проводящего экрана и дополнительного к нему экрана1). Пусть поля EOv
Во, падают на экран с металлической поверхностью Sa (см. фиг. 9.7),
расположенный в свободном пространстве. Вследствие наличия
экрана образуются проходящие и отраженные волны, как показано
на фиг. 9.4. В дальнейшем в тех случаях, когда нам не потребуется
более детального разделения, мы будем объединять проходящие
и отраженные волны под общим названием рассеянных волн Es,
Bs. В случае идеально проводящего экрана поверхностный ток К,
индуцируемый падающей волной, должен быть таким, чтобы во-
всех точках поверхности экрана Sa выполнялось равенство п X Es=
= — п X Ео. Для тонкой плоской поверхности из симметрии зада-
задачи следует, что тангенциальные составляющие рассеянных маг-
магнитных полей на поверхности должны быть равны и противополож-
противоположно направлены. Согласно E.90), имеем
nxHf=-K-~nxHr, (9.84}
с
где нормаль п направлена в сторону области //. С помощью тех же
рассуждений, что и при выводе (9.80) из (9.79), можно показать,
*) Для электромагнитного поля принцип дополнительности был сфор-
сформулирован впервые советским ученым А. А. Пистолькорсом [ЖТФ, 14, 693,
A944)] и в более корректной формулировке — М. А. Леонтовичем [ЖЭТФ„
16, 475 A946)]. — Прим. ред.
320 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
что для любой точки х в области // и ее зеркального изображения х'
в области / рассеянные поля удовлетворяют следующим условиям
симметрии:
nxEr(x')=nxE,(x),
n.Er(x')=-n.E,(x),
пхВг(х/)= -nxB,(x), (9*8 *
Заметим, что эти соотношения отличаются от (9.80) заменой зна-
знаков Ег (х') и Вг (х') на обратные. Как показано в книге Смайта [100],
поля (9.80) соответствуют двойному токовому слою, тогда как
поля (9.85) обладают симметрией, характерной для простого плос-
плоского токового слоя, излучающего в обоих направлениях.
Мы можем написать выражение для рассеянного магнитного
поля в виде интеграла по поверхностным токам К. Поскольку В
есть ротор векторного потенциала, то
Bs = rot— [ KG da', (9.86)
где G — функция Грина (9.66), а интегрирование производится
по металлической поверхности экрана Sa. Подставляя К из (9.84),
мы можем записать магнитное поле в области // в виде
В* (х) = 2 rot \ п х В, (х') G (х, x')da. (9.87)
Sa
Этот результат аналогичен (9.82) с той разницей, что
1) поля Е и В поменялись местами;
2) здесь интегрирование производится только по поверхности
экрана, тогда как в (9.82) — только по площади отверстий;
3) в выражение (9.82) входит полное электрическое поле, тогда
как в (9.87) входит только рассеянное поле.
Сопоставление (9.87) с (9.82) позволяет сформулировать прин-
принцип Бабине. Запишем соотношение (9.82)для экрана, дополнитель-
дополнительного к рассматриваемому экрану с металлической поверхностью
E'(x) = 2rot [ nxE'(x')G(x, x')da'. (9.88)
Здесь интеграл берется только по поверхности Sa, поскольку она
соответствует отверстиям в дополнительном экране. В области //
поле Е' представляется суммой
е' = е;+е;, (9.89)
7. Принцип Бабине для дополнительных экранов 321
где Eq— падающее электрическое поле в дополнительной дифрак-
дифракционной задаче, а Е* — соответствующее проходящее, или дифра-
дифрагированное, поле. Очевидно, выражения (9.87) и (9.88) переходят
одно в другое при замене
в,->±(е;+е;). (9.90)
Легко показать, что справедливо также соотношение
e,-^=f(b; + b;). (9.91)
Отличие в знаках объясняется тем, что в обоих случаях поля долж-
должны представлять собой уходящие волны. Поскольку мы могли
принять в качестве исходного дополнительный экран, то соотно-
соотношения (9.90) и (9.91) должны быть справедливы и при замене штри-
штрихованных величин на нештрихованные и наоборот. Сравнение по-
получающейся системы равенств с первоначальной показывает, что
падающие поля в исходной и дополнительной дифракционных зада-
задачах должны быть связаны соотношениями
е;=-в0, в;=е0. (9.92)
Дополнительная задача соответствует не только дополнитель-
дополнительному экрану, но также и дополнительным падающим полям, в ко-
которых Е и В меняются местами.
Таким образом, принцип Бабине формулируется следующим
образом: пусть дифракционная система состоит из источников,
создающих поля Ео, Во, падающие на тонкий плоский идеально
проводящий экран с отверстиями. Дополнительная к ней дифрак-
дифракционная система состоит из источников, дающих поля Е'о= — Во,
В^=Е0, падающие на дополнительный экран. Если проходящие
(дифрагированные) поля за экраном (со стороны, противоположной
источникам) равны Е*, В^ для основной системы и EJ, В* для допол-
дополнительной, то имеют место следующие соотношения:
е* + в;= —ео= — в;,
В* —Ь( = — В0 = Ь0.
Эти соотношения являются векторным аналогом скалярного прин-
принципа Бабине (9.83). Для плоской волны, падающей на дифракцион-
дифракционный экран, из принципа Бабине следует, что в направлениях, отлич-
отличных от направления падения, интенсивности дифракционного
поля для экрана и его дополнения одинаковы, а сами поля связаны
соотношениями
«'=~В'' (9.94)
Поляризация падающей волны для дополнительного экрана должна
быть, конечно, изменена согласно (9.92).
322
Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
Строгая векторная формулировка принципа Бабине очень полез-
полезна для микроволновых задач. Рассмотрим, например, узкую щель,
прорезанную в бесконечной плоской проводящей пластине, на
которую падает волна с магнитным полем, направленным вдоль
щели, и с электрическим полем, перпендикулярным щели, как
Фиг. 9.8. Эквивалентные излу-
излучающие системы в соответствии
с принципом Бабине.
показано на фиг. 9.8. Диаграмма излучения этой щели будет такая же,
как и для тонкой линейной антенны, электрическое поле в которой
направлено вдоль антенны (см. § 2 и 4). Поляризация излучения
в этих двух системах будет различной: электрическому вектору
в одной системе будет соответствовать магнитный вектор в другой.
Таким путем можно рассчитать антенную решетку типа волновода
со щелями на его боковых сторонах х).
§ 8. Дифракция на круглом отверстии
Начиная с основополагающих работ Кирхгофа, теория дифрак-
дифракции интенсивно развивалась как в оптике, где обычно достаточно
ограничиться скалярной теорией, основанной на выражении (9.65),
так и в применении к микроволновому излучению, где необходимо
более строгое рассмотрение. Целый ряд монографий посвящен
исключительно вопросам дифракции и рассеяния волн. Мы рассмо-
рассмотрим здесь несколько примеров, иллюстрирующих применение
скалярной и векторной теорем (9.65) и (9.82), и сравним точность
различных приближенных методов расчета.
Дифракционные явления принято разделять на дифракцию
Френеля и дифракцию Фраунгофера в зависимости от расстояния
точки наблюдения от дифракционной системы. Обычно дифракцион-
дифракционная система (например, отверстие в непрозрачном экране) имеет
размеры, сравнимые с длиной волны или превышающие ее. При этом
точка наблюдения может находиться в близкой зоне, т. е. на расстоя-
расстоянии меньше длины волны от дифракционной системы. Поля в ближ-
*) См., например, [95], гл. 9.
§ 8. Дифракция на круглом отверстии 323
ней зоне имеют весьма сложную структуру и не представляют
особого интереса. Точки, находящиеся на таком расстоянии
от дифракционной системы, которое во много раз больше длины
волны, но все же меньше или порядка собственных размеров систе-
системы, считаются находящимися во френелевской зоне. Область, же,
расположенная на расстоянии, которое велико как по сравнению
с размерами дифракционной системы, так и по сравнению с длиной
волны, называется фраунгоферовой зоной х). Она соответствует
Фиг. 9.9.
волновой зоне, определенной в § 1 этой главы. Дифракционные кар-
картины в зонах Френеля и Фраунгофера существенно различаются,
поскольку в дифракции Френеля наибольшую роль играют участки
дифракционной системы, ближайшие к точке наблюдения, в то вре-
время как в дифракцию Фраунгофера вносит свой вклад вся система
в целом. Мы будем рассматривать только фраунгоферову дифракцию;
примеры дифракции Френеля будут даны в задачах в конце главы.
Если точка наблюдения находится далеко от дифракционной
системы, то мы можем воспользоваться разложением (9.6) для
R = | х — х' |. Сохраняя только члены низшего порядка по 1 !kr,
представим скалярный интеграл Кирхгофа (9.65) в виде
^(x/)]da/, (9.95)
si
где х' — координата элемента поверхности da\ r — длина векто-
вектора х, соединяющего начало координат О с точкой наблюдения Р,
а к = kx/r — волновой вектор, направленный в точку наблюдения
(фиг. 9.9). Для плоской поверхности векторное выражение (9.82)
в этом приближении принимает вид
\ nxE(x')e-ik-*'da'. (9.96)
*) Данное здесь автором определение зон Френеля и Фраунгофера не
вполне точно. Зона Френеля соответствует таким расстояниям от дифракцион-
дифракционной системы, отношение которых к размерам дифракционной системы по-
порядка отношения этих размеров к длине волны. Зона Фраунгофера соответст-
соответствует много большим расстояниям.— Прим. ред.
324
Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
Рассмотрим в качестве примера дифракцию плоской волны, падаю-
падающей под углом а на тонкий идеально проводящий экран с круг-
круглым отверстием радиусом а. Пусть вектор поляризации падающей
волны лежит в плоскости падения. Используемая система коор-
координат показана на фиг. 9.10. Экран расположен в плоскости ху,
а центр отверстия находится в начале координат. Волна падает
снизу, так что области дифракционных полей соответствует г > 0.
Фиг. 9.10. Дифракция на круглом отверстии радиусом а.
Плоскость падения мы выберем в качестве плоскости хг. Электриче-
Электрическое поле падающей волны представляется в явном виде в декарто-
декартовых составляющих следующим образом:
Е, = Ео (в! cos а — е3 sin а) eik <zcos a+*sin a>. (9.97)
При расчете дифракционных полей с помощью (9.95) или (9.96)
мы примем обычное предположение о том, что точное поле в поверх-
поверхностном интеграле можно заменить падающим полем. Для расчета
с помощью векторного соотношения (9.96) нужно знать величину
9ik
(п X
aei
(9.98)
Вводя полярные координаты для интегрирования по отверстию,
получаем
а 2я
ieihr Eo cos a t
Е(х)='
2лг
l(kxe2)
(9.99)
§ 8. Дифракция на круглом отверстии 325
где 6 и ф — угловые координаты вектора к. Если ввести угловую
функцию
I = (sin29 + sin2a — 2 sin 9 sin a cos cpI/2, (9.100)
то интеграл по углам запишется в виде
2я 2я
. (9Л01)
После этого интеграл по радиусу легко вычисляется. В результате
получим электрическое поле в векторном приближении Кирхгофа
^(kxe2)^^- . (9.102)
Средняя мощность, излучаемая в единичный телесный угол, равна
dP р, (/гаJ
Р cos a K^
2JA
2
. = Pt cos a ^ (cos2cp + cos28 sin'cp) "y , (9.103)
где величина
j = -q-^ на2 cos a (9.104)
представляет собой полную мощность, падающую на отверстие.
Если отверстие велико по сравнению с длиной волны (ka > 1),
то множитель [2J i(ka\) I ka\V имеет острый максимум при ? =j0,
равный единице, и быстро падает до нуля (с маленькими вторичными
максимумами) в области ЛЕ, ~ Ilka в обе стороны от направления
I = 0. Это значит, что поле в основном проходит через отверстие
в соответствии с законами геометрической оптики; дифракционные
эффекты очень слабы. При ka ~ 1 бесселева функция сравнительно
медленно меняется с углом, и проходящая волна распространяется
в направлениях, весьма отличных от направления падения. При
ka < 1 угловое распределение полностью определяется множите-
множителем (к х е2) в (9.102). Но в этом предельном случае замена истин-
истинного поля в отверстии невозмущенным является слишком грубым
приближением.
Полная проходящая мощность получается интегрированием
выражения (9.103) по всем углам в верхней полусфере. Отношение
проходящей мощности к падающей называется коэффициентом
прохождения
2я я/2
r = _cos_ar^ Г (cos2(p-|-cos2esin2(p) J*^c® 2sin9d9. (9.105)
326 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
В предельных случаях ka > 1 и ka < 1 коэффициенты прохождения
стремятся к значениям
[ cos a, ka > 1,
Предельное значение для случая длинных волн (ka < 1) в силу
сделанных допущений представляется сомнительным, но во всяком
случае из него следует, что коэффициент прохождения для малых
отверстий весьма мал. Для случая нормального падения (а = 0)
коэффициент прохождения (9.105) можно записать в виде
я/2
Г- ( J\(kasm§)(~-sm^d§. (9.107)
0
С помощью интегральных соотношений
я/2 1г
\ J5("ine)^-e=5j2n(()^,
(9-108)
j
и рекуррентных формул C.87) и C.88) коэффициент прохождения
можно представить в следующих эквивалентных формах:
J0{t)dt.
При увеличении ka коэффициент прохождения в среднем возрастает
с небольшими колебаниями. При ka > 1 из второго выражения
(9.109) можно получить асимптотическое выражение
-..., (9.110)
Т 14yjgrsin (
из которого явно видны малые колебания Т. Приближенные выра-
выражения (9.109) и (9.110) для коэффициента прохождения характе-
характеризуют его общее поведение в зависимости от ka, однако они не могут
претендовать на достаточную точность. Для круглого отверстия
был произведен точный расчет, а также развиты более аккуратные
приближенные методы. Их сравнение друг с другом проведено
§ 8. Дифракция на круглом отверстии 327
в книге Кинга и У Тай-цзуня [59]. Корректное асимптотическое
разложение для коэффициента прохождения не содержит члена
1/2/га, а коэффициент перед (ka)~3^ в 2 раза больше.
Сравним теперь наши результаты для векторного приближения
Кирхгофа с обычной скалярной теорией, основанной на выражении
(9.95). Для волны, которая падает не по нормали к экрану, сразу
возникает вопрос о том, с чем следует отождествить скалярную
функцию г|;(х). Наиболее разумно, по-видимому, выбрать в каче-
качестве г|з величину электрического или магнитного поля. При этом
интенсивность излучения будет пропорциональной квадрату абсо-
абсолютной величины (9.95). Выбрав в качестве г|э составляющую Е или
В, мы должны дальше решить, будем ли мы сохранять или отбрасы-
отбрасывать радиальные составляющие дифрагированных полей при рас-
расчете мощности. Полагая функцию г|э равной величине электриче-
электрического поля Е и вычисляя интеграл в (9.95), получаем скалярный
эквивалент соотношения (9.102):
^+?»в)?1«. (9.111)
Мощность, излучаемая в единицу телесного угла, равна в скалярном
приближении Кирхгофа
dP
2cosa
(kal)
где Pt определяется выражением (9.104).
Сравнение результатов векторного приближения Кирхгофа
(9.103) с (9.112) обнаруживает как сходство, так и различие между
ними. Обе формулы содержат одинаковый дифракционный множи-
множитель [J^kaQIkd^V и дают одинаковую зависимость от волнового
числа. Однако скалярное выражение в отличие от векторного не
имеет азимутальной зависимости (кроме содержащейся в ?). Азиму-
Азимутальное изменение обусловлено поляризацией поля и поэтому
в скалярном приближении отсутствует. Для нормального падения
(а = 0) и больших отверстий (ka > 1) поляризационная зависи-
зависимость становится несущественной. В этом случае дифрагированные
поля сосредоточены в очень малом телесном угле вокруг направле-
направления падения и как скалярное, так и векторное приближения при-
приводят к общему выражению
dP
^ sin 9) 2
ka sin0
На фиг. 9.11 векторное и скалярное приближения Кирхгофа
сравниваются для угла падения 45° и диаметра отверстия, равного
длине волны (ka = n). Показано угловое распределение мощности
излучения в плоскости падения (содержащей вектор электриче-
328
Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
ского поля падающей волны) и в перпендикулярной плоскости.
Сплошная кривая дает векторное приближение для каждого слу-
случая, пунктирная — скалярное; из кривых видно, что при ka = к
Ф и г. 9.11. Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии диаметром в одну
длину волны в тонком плоском проводящем экране.
Плоская волна падает на экран под углом 45°. Сплошные линии соответствуют вектор-
векторному приближению Кирхгофа, пунктирные — скалярному приближению.
а — распределение интенсивности в плоскости падения (Е — плоскость); б — распре-
распределение интенсивности (увеличенное в 2,5 раза) в плоскости, перпендикулярной пло-
плоскости падения (В — плоскость).
между этими двумя приближениями имеется значительное разли-
различие. Есть основания считать, что результаты векторного приближе-
приближения Кирхгофа близки к точным, несмотря на то что при ka < 1
приближение уже становится некорректным. Векторное приближе-
приближение для прямоугольного отверстия удивительно хорошо согласуется
с точным расчетом вплоть до ka — 1 х).
§ 9. Дифракция на малых отверстиях
Как мы видели, для больших апертур или коротких длин волн
дифрагированные поля хорошо описываются приближенным мето-
методом, в котором тангенциальная составляющая электрического поля
в отверстии заменяется ее невозмущенным значением для падаю-
падающего поля.
Для больших длин волн это приближение дает гораздо менее
удовлетворительные результаты. В том случае, когда размеры
отверстия малы по сравнению с длиной волны, необходим совершен-
совершенно другой подход.
г) См. работу [107]. Ряд графиков, где сравнивается векторное прибли
жение Кирхгофа с точными расчетами, приведен в статье [76].
§ 9. Дифракция на малых отверстиях 329
Рассмотрим тонкую плоскую идеально проводящую пластину
с малым отверстием в ней. Будем считать, что размеры отверстия
очень малы по сравнению с длиной волны электромагнитного поля,
имеющегося с одной стороны от пластины. Нашей задачей является
нахождение дифрагированного поля по другую сторону пластины.
Поскольку пластина плоская, то применима простая векторная
теорема (9.82). Очевидно, для решения задачи достаточно опреде-
определить электрическое поле в плоскости отверстия.
-*~n
Фиг. 9.12.
Бете A942 г.) заметил, что поля в окрестности малого отвер-
отверстия могут быть получены статическими или квазистатическими
методами. В отсутствие отверстия электромагнитное поле вблизи
проводящей плоскости на одной ее стороне имеет только нормаль-
нормальную составляющую электрического поля Ео и тангенциальную
составляющую магнитного поля Во, тогда как на другой стороне
полей вообще нет. Употребляя выражение «вблизи проводящей
плоскости», мы подразумеваем расстояния, которые малы по сра-
сравнению с длиной волны. Если теперь прорезать в плоскости неболь-
небольшое отверстие, то поля в окрестности отверстия изменятся и будут
проникать через него на другую сторону. Однако на больших рас-
расстояниях от отверстия (больших по сравнению с его размерами)
поля «вблизи проводящей плоскости» будут такими же, как и в от-
отсутствие отверстия, а именно Ео будет перпендикулярно, а Во —
параллельно к плоскости. Линии электрического поля будут иметь
вид, показанный на фиг. 9.12. Так как поля Е и В отличаются
от их невозмущенных значений Ео и Во только в области, размеры
которой малы по сравнению с длиной волны, то задача опреде-
определения Е и В вблизи отверстия сводится к задаче электростатики
или магнитостатики (если отвлечься от синусоидальной зависимо-
330 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
сти от времени вида е~Ш1). Для электрического поля это стандарт-
стандартная задача нахождения распределения потенциала при известной
«асимптотической» величине Е на обеих сторонах идеально прово-
проводящей пластины, служащей эквипотенциальной поверхностью.
Аналогично магнитное поле В должно быть найдено по заданным
асимптотическим величинам, равным Во на одной стороне и нулю
на другой стороне поверхности, и условию отсутствия нормальной
составляющей на поверхности. После этого можно определить
электрическое поле, обусловленное изменением во времени маг-
магнитного поля В, и, сложив его с «электростатическим» электри-
электрическим полем, найти полное электрическое поле вблизи от-
отверстия.
Например, для случая круглого отверстия радиусом а, малым
по сравнению с длиной волны, тангенциальная составляющая элек-
электрического поля в плоскости отверстия оказывается равной
(9Л14)
где Ео = Еоп— амплитуда нормальной составляющей электри-
электрического поля в отсутствие отверстия, Во — тангенциальная соста-
составляющая магнитного поля в отсутствие отверстия, п — единичный
вектор нормали, направленный в дифракционную область [как
в (9.82)], а § — радиус-вектор в плоскости отверстия, проведенный
из его центра. Найденное в статическом приближении поле (9.114)
позволяет сразу определить дифракционные поля с помощью фор-
формулы (9.82). Этот расчет для круглого отверстия отнесен нами
к задачам в конце главы (см. задачи 9.10 и 9.11).
§ 10. Рассеяние коротких волн
проводящей сферой
Другим типом дифракционных задач является расчет рассея-
рассеяния волн на препятствиях. Мы рассмотрим рассеяние плоской
электромагнитной волны на идеально проводящем препятствии,
размеры которого велики по сравнению с длиной волны. Для тон-
тонкого плоского препятствия можно применить метод, изложенный
в § 8, возможно, в сочетании с принципом Бабине. Однако для пре-
препятствий иной формы необходимо исходить из векторной теоремы
(9.77). Если мы ограничимся лишь полями в волновой зоне (kr > 1),
то выражение (9.77) для рассеянного поля Es примет вид
\ [(nxEs)xk + (n.Es)k-&(nxBs)]e-'k-xW, (9.115)
Si
где к — волновой вектор рассеянной волны, a St — поверхность
§ 10. Рассеяние коротких волн проводящей сферой 331
препятствия. Несколько проще рассчитывается магнитное поле
B (kE)/&
[]^'da;. (9.116)
si
Поскольку мы не знаем точных значений полей Es и Bs на поверх-
поверхности препятствия, приходится делать некоторые допущения.
Для малых по сравнению с размерами препятствия длин волн
поверхность можно приближенно разделить на освещенную и теневую
области 1). Граница между этими областями является резкой только
в предельном случае геометрической оптики. Можно показать, что
переходная область имеет ширину порядка B/kRI/3R, где R —
характерный радиус кривизны поверхности. Так как R имеет
величину порядка размеров препятствия, то для достаточно корот-
коротких волн приближенно выполняются условия применимости гео-
геометрической оптики. В области тени рассеянное поле у поверх-
поверхности должно быть почти равно по величине и противоположно
по направлению падающему полю. В освещенной области танген-
тангенциальная составляющая электрического поля и нормальная соста-
составляющая магнитного поля на поверхности должны быть равны
и противоположно направлены по отношению к соответствующим
составляющим падающего поля (чтобы удовлетворялись граничные
условия на поверхности идеально проводящего препятствия).
С другой стороны, тангенциальная составляющая Bs и нормальная
составляющая Es в освещенной области должны быть приближенно
равны соответствующим составляющим в падающей волне (как
и в случае бесконечной плоской проводящей пластины) в силу при-
принятого предположения о малости длины волны по сравнению с ра-
радиусом кривизны поверхности. Таким образом, мы получаем сле-
следующие приближенные значения рассеянных полей на поверх-
поверхности препятствия:
Теневая область Освещенная область
Es ^ — Еи п х Es = — п X Еи
Bs^-Bb n.B8=—n-B*,
n-Es ^ n*Ej,
где Ег- и Вг- — поля падающей волны. Используя эти граничные
значения, мы можем следующим образом записать выражение
х) Очень похожая трактовка рассеяния скалярных волн на сфере дана
в книге Морса и Фешбаха [77].
332 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
(9.116) для магнитного поля:
Bs ъ -^— kx (FTh + Focb). (9.117)
Здесь
FTH=\ ^XfnxEil + nxBi \e-**'da' (9.118)
тн
FOcb= jj [-|-Х(пхЕг) —nxBi]e-ik-"'c(a' (9.119)
осв
соответственно интегралы по теневой и освещенной областям.
Если падает плоская волца с волновым вектором к0, т. е.
о . v к0 vF , . (9.120)
в« W = -г- X м (х)>
«о
то интегралы по теневой и освещенной областям поверхности пре-
препятствия принимают вид
J (9-121)
~ ^ [(к-ко)Х(пхЕо)-(п.Ео)ко]^ко-к)-х'^
осв
Эти интегралы по-разному зависят от угла рассеяния. В предельном
случае коротких волн величины k-х' и ко-х' велики по сравнению
с единицей. Поэтому экспоненциальные множители в (9.121) быстро
меняются, и, следовательно, средние значения подынтегральных
выражений очень малы для всех направлений, кроме k ^ к0. В на-
направлении к « к0 вторые члены в FTH и F0CB несущественны,
поскольку рассеянное поле (9.117) пропорционально k x F. Таким
образом, поведение рассеянного поля, по крайней мере в прямом
направлении, определяется первыми членами выражения (9.121).
Мы видим, что FTP и Fqcb пропорциональны соответственно (k ± к0),
поэтому интеграл по области тени конечен, а интеграл по освещен-
освещенной области стремится к нулю. При отклонении угла рассеяния
от направления падающей волны интеграл по области тени быстро
стремится к нулю как из-за экспоненциального множителя, так
и из-за векторного множителя в подынтегральном выражении. На-
Наоборот, интеграл по освещенной области мал в прямом направлении;
по-видимому, он должен быть малым и для всех других направле-
направлений благодаря тому, что экспоненциальный и векторный множи-
§ 10. Рассеяние коротких волн проводящей сферой 333
гели меняются в противоположных направлениях. Очевидно,
интеграл по области тени дает дифрагированное поле, а интеграл
по освещенной области дает отраженную волну.
Чтобы продвинуться дальше, мы должны конкретизировать
форму препятствия. Пусть препятствием является идеально про-
проводящая сфера радиусом а. Так как интеграл по области тени
имеет заметную величину только в направлении падения волны,
мы при его вычислении положим приближенно к = к0 всюду,
кроме показателя экспоненты. Отбрасывая второй член в (9.121)
и используя сферические координаты на поверхности сферы,
получаем
л/2
FTH ^ — 2Е0а2 \ dasinacosaexp[/&a(l — cos 6) cos a] x
о
2л
X \ dpexp [ —/feasin9 sin acos(P — ф)]. (9.122)
о
Углы 9, ф и a, p — сферические угловые координаты векторов
кип, отсчитываемые от направления к0. Экспоненту, содержащую
в показателе множитель A—cos 9), можно для малых углов 9
положить равной единице. В результате интегрирования по р полу-
получаем 2nJ0 (ka sin 9 sin a). Следовательно,
л/2
FTH ^ — 4яа2Е0 ^ Jo (&a9 sin a) cos a sin a da, (9.123)
о
где sin 9 приближенно заменен на 9. Интеграл по а легко берется,
так как
kaO
о
Таким образом, для интеграла по области тени получаем
. (9.124)
Мы видим, что рассеянное поле, по существу, совпадает с дифрак-
дифракционным полем для круглого отверстия [см. (9.102)].
Несколько сложнее вычисляется интеграл по освещенной обла-
области, дающий отраженное поле. Здесь мы должны рассматривать
произвольные углы рассеяния, поскольку усиления в прямом
направлении теперь не происходит. Интеграл содержит сравнительно
медленно меняющуюся векторную функцию, умноженную на
«быстро меняющуюся экспоненту. Как известно, основной вклад
334 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
в такой интеграл дает область интегрирования, в которой фаза
экспоненты стационарна. Эта фаза равна
f (а, Р) = (к0 — к)-х' = ka [A —cos 9) cos а — sin 9 sin a cos ф — ф)].
(9.125)
Легко видеть, что точка экстремума фазы соответствует углам
я 6
a°~^ + Y' (9.126)
Ро^Ф-
Это, очевидно, углы отражения от сферы по законам геометрической
оптики. В точке экстремума единичный вектор п направлен вдоль
(к — к0). Разложение фазы в окрестности a — a0, р = р0 имеет
вид
/(a, p)=-2?asin| [ 1 ~ (*2 + */2cos2 -|) + . - - ] , (9.127)
где х = а — а0, у = р — р0. Для расчета интеграла (9.121) можно
приближенно в предэкспоненциальном множителе положить
a = a0, P = Ро; тогда
Fqcb ^ a2sin9[2n0(n0-E0) —Е0]ехр ( —Zikasm-^j x
X \ dx exp / (kasin^jx2 \ dy ехр / ( feasin-^-cos2у ) У2 ;
(9.128)
здесь п0 — единичный вектор в направлении (к — к0). При не слиш-
слишком малом 6 члены с экспонентами очень быстро осциллируют при
больших х и у. Поэтому мы не сделаем существенной ошибки,
если в обоих интегралах будем интегрировать по бесконечному
интервалу от —оо до -foo. Используя формулу
\ (? (9.129)
— оо
получаем
^0-E0]. (9.130)
После некоторых преобразований вклад в рассеянное поле от ин-
интеграла по освещенной части сферы можно представить в виде
Е(осв) ^ _ | ?о е^_ e_2.ka sm (в/2)е^ ^ (
Направление вектора поляризации еосв показано на фиг. 9.13.
Если вектор поляризации падающей волны Ео образует угол 5
§ 10. Рассеяние коротких волн проводящей сферой
335
с нормалью к плоскости, содержащей волновые векторы к и к0,
то азимутальный угол у вектора еосв, отсчитываемый от плоско-
плоскости, содержащей к и к0, равен у = (я/2) — б. Заметим, что ампли-
амплитуда отраженного поля (9.131) не зависит от угла отражения,
хотя его фаза — быстро меняющаяся функция угла.
Фиг. 9.13. Поляризация отраженной волны по отношению к падающей.
Рассеянное электрическое поле, обусловленное интегрирова-
интегрированием по области тени, согласно (9.124) и (9.117), запишется как
Р±±. (9.132)
Сравнение выражений (9.131) и (9.132) показывает, что в прямом
направлении «теневое» поле больше в ka > 1 раз. Однако для углов
9 > 1 /ka «теневое» поле становится очень малым, и доминирующим
оказывается изотропное отраженное поле. Мощность, рассеивае-
рассеиваемую в единицу телесного угла, можно представить в виде
dQ
(/гаJ
4я
/гае
е»
(9.133)
ka
где Pt = сЕ2оа2/8 — поток мощности падающей волны, приходящий-
приходящийся на сечение сферы яа2. При малых углах рассеяния мы имеем
типичную дифракционную картину [см. (9.113)]. При больших
углах рассеяние изотропно. При промежуточных значениях углов
рассеяния происходит интерференция обоих полей и возникают
336
Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
резкие минимумы рассеянной мощности, так что в некоторых на-
направлениях мощность оказывается значительно меньше, чем в изо-
изотропной области (фиг. 9.14). Характер интерференционной картины
зависит от ориентации вектора поляризации падающей волны по
отношению к плоскости наблюдения, содержащей к и к0. В том
случае, когда вектор Ео лежит в этой плоскости, интерференция
выражена значительно сильнее, чем в случае, когда вектор Ео пер-
перпендикулярен ей1).
Ю2
1,0
0,1
о
>4/ка
в
Фиг. 9.14. Диаграмма рассеяния на проводящей сфере.
Видны максимум в прямом направлении, обусловленный рассеянием в области тени,
изотропное распределение отраженного излучения и интерференционные максимумы
и минимумы.
Полная рассеянная мощность получается интегрированием по
всем углам. Если пренебречь интерференционными членами, то
полная рассеянная мощность складывается из интеграла по диф-
дифракционному максимуму и интеграла от изотропно отраженной
части. Легко видеть, что эти интегралы одинаковы по величине,
так что
ps = Pi + Pi^2Pi. (9.134)
Этот результат часто формулируют следующим образом: эффектив-
эффективная поверхность сферы (т. е. сечение рассеяния) равна 2яа2. Одно
слагаемое ла2 обусловлено прямым отражением, а другое свя-
связано с дифракционным рассеянием, приводящим к образованию
тени за препятствием.
Рассеяние электромагнитных волн на проводящей сфере, в част-
частности для случая длинных волн, рассматривается другим методом
в гл. 16, § 9.
г) Диаграммы рассеяния на сфере в функции ka приведены в книге
Кинга и У Тай-цзуня [59].
Задачи 33?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Простая теория излучения электромагнитных волн источниками, зани-
занимающими ограниченную область, рассматривается во всех современных
учебниках. Изложение, аналогичное нашему, можно найти в книгах Панов-
ского и Филипс [78], гл. 13, и Стрэттона [106], гл. 8. Более полные све-
сведения об антеннах и антенных системах имеются в технической литературе,
в частности в книгах Джордана [57], Крауса [60], Щелкунова [90] и Сил-
вера [95].
Теории дифракции посвящена весьма обширная литература. Исчерпы-
Исчерпывающее рассмотрение как скалярной, так и векторной теории Кирхгофа
с множеством примеров и отличных рисунков дано в книге Борна и Вольфа
[16], гл. 8,9, 11. Более элементарное изложение скалярной теории можно
найти в книге Слэтера и Франка [98], гл. 13, 14.
Математические, методы решения дифракционных задач рассмотрены
в книгах Бекера и Копсона [7] и Морса и Фешбаха [77], гл. 11. Векторные
теоремы, использованные в § 6—10 настоящей главы, имеются в книгах
Морса и Фешбаха [77], гл. 13, Силвера [95], гл. 5, Стрэттона [106], гл. 8.
Монография Кинга и У Тай-цзуня [59] специально посвящена рассеянию
электромагнитных волн на препятствиях, причем большое внимание уде-
уделяется получению полезных численных результатов.
ЗАДАЧИ
9.1. Рассмотреть поток мощности и энергию поля электрического дипо-
диполя (9.18), выразив их через комплексный вектор Пойнтинга S =
= (с/8л) (Е х В*) и среднюю по времени плотность энергии и =
= A/16я)(Е-Е*+ В-В*). Действительная часть S дает истинную мощность
активных потерь, а мнимая часть представляет собой циркулирующую
реактивную мощность.
а) Показать, что действительная часть вектора S направлена по радиусу
и дается выражением (9.23), умноженным на r~2. f
б) Показать, что мнимая часть S имеет следующие составляющие по г
и в:
rb I n 12
Im SQ = — 4^5- 0 + b2r*) sin 6 cos 6.
Изобразить схему циркуляции потока мощности с помощью соответственно
направленных стрелок, длины которых пропорциональны величине Im S
в данной точке.
в) Вычислить среднюю по времени плотность энергии:
1 |3n(n-p) — pi2 . feg I n>p|a , /g*|nxpl2
U"~ 16л гб "*" 4яг4 "г" 8яг2 ' . ' '
г) Вывести теорему Пойнтинга для комплексного вектора Пойнтинга.
Чему равна мнимая часть от div S? Удовлетворяют ли полученному соотно-
соотношению результаты, найденные в п. «б» и «в».
9.2. Излучающий квадруполь представляет собой квадрат со сторо.-.
ной а, в углах которого последовательно размещены заряды q и —q. Квад-
Квадрат вращается с угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной его
плоскости и проходящей через его центр. Рассчитать квадрупольный момент,
^38 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
излучаемые поля, угловое распределение излучения и полную мощность
излучения в приближении длинных волн.
9.3. Две полусферические идеально проводящие металлические оболоч-
оболочки радиусом R разделены очень тонким изолирующим промежутком. К ним
приложено переменное напряжение, так что потенциалы полусфер равны
-^ V cos озЛ В приближении длинных волн найти поля излучения, угловое
распределение излучаемой мощности и полную мощность, излучаемую
сферой.
9.4. Тонкая линейная антенна длиной d возбуждается таким образом,
что на ее длине укладывается полный период синусоиды тока, как показано
на фиг. 9.15.
Фиг. 9.15.
а) Произвести точный расчет мощности, излучаемой в единичный телес-
телесный угол, и построить график углового распределения излучения.
б) Определить полную мощность излучения и найти численную вели-
величину сопротивления излучения.
9.5. Рассмотреть линейную антенну задачи 9.4, используя метод разло-
разложения по мультиполям в приближении длинных волн.
а) Рассчитать мультипольные моменты (электрический дипольный,
магнитный дипольный и электрический квадрупольный).
б) Сравнить угловое распределение для низшего неисчезающего муль-
типоля с точным распределением, полученным в задаче 9.4.
в) Определить полную мощность излучения для низшего мультиполя
и соответствующее сопротивление излучения.
9.6. Идеально проводящий плоский экран занимает половину плоскости
ху (именно х < 0). Плоская волна с интенсивностью /0 и волновым числом к
падает вдоль z из области z < 0. Рассмотреть величину дифрагированных
полей в плоскости z = Z > 0, параллельной плоскости ху. Пусть координа-
координаты точки наблюдения будут (X, 0, Z).
а) Показать, что обычное скалярное приближение Кирхгофа для Z ^> X
приводит к дифрагированному полю
0, Z) ^/J/«e***-to' (i±±) }f\ \
\
где l = (k/2ZI/2X.
б) Показать, что интенсивность можно записать в виде
где С (|) и S (?) — так называемые интегралы Френеля. Найти асимптоти-
асимптотическое поведение / для больших положительных g (освещенная область)
и больших отрицательных ? (область тени). Чему равна величина / при
X — 0? Построить графики зависимости / от X при фиксированном Z.
Задачи 339
в) С помощью векторной формулы (9.82) получить результаты, экви-
эквивалентные п. «а». Сравнить оба полученных выражения.
9.7. Линейно поляризованная плоская волна с амплитудой Ео и волно-
волновым числом k падает на круглое отверстие радиусом а в идеально проводя-
проводящем плоском экране. Волновой вектор падающей волны образует угол а
с нормалью к экрану. Волна поляризована перпендикулярно плоскости
падения.
а) Рассчитать дифрагированное поле и мощность проходящего излу-
излучения в единице телесного угла с помощью векторной формулы Кирхгофа
(9.82), предполагая, что тангенциальное электрическое поле в отверстии
равно невозмущенному падающему полю.
б) Сравнить результат п. «а» с обычным скалярным приближением Кирх-
Кирхгофа и с результатами § 8, относящимися к случаю, когда плоскость поля-
поляризации совпадает с плоскостью падения.
9.8. В плоском идеально проводящем листе, расположенном в плоско-
плоскости ху, имеется прямоугольное отверстие со сторонами аи Ъ > а, ограни-
ограниченное прямыми х = ±а/2, у = ± Ь/2. Вектор поляризации нормально
падающей плоской волны направлен под углом р к длинной стороне отвер-
отверстия.
а) Рассчитать дифракционное поле и мощность излучения в единице
телесного угла с помощью векторного соотношения Кирхгофа (9.82), пола-
полагая, что тангенциальное электрическое поле в отверстии равно падающему
невозмущенному полю.
б) Получить соответствующий результат с помощью скалярного прибли-
приближения Кирхгофа.
в) Для случая а = b, р = 45°, ka — An вычислить в векторном и ска-
скалярном приближениях зависимость мощности излучения в единице телесного
угла от угла Э при ф = 0. Построить графики и сравнить оба полученных
результата.
9.9. Осью цилиндрической коаксиальной линии с внутренним радиусом а
и внешним радиусом Ь является отрицательная ось z. Внутренний и внеш-
внешний проводники обрываются при z = 0, причем внешний цилиндр соединен
с бесконечным плоским фланцем, занимающим всю плоскость ху (за исклю-
исключением круга радиусом Ъ с центром в начале координат). В этой коаксиальной
линии возбуждается его основная волна типа ТЕМ с частотой со и с амплиту-
амплитудой напряжения между цилиндрами V. С помощью векторного приближения
Кирхгофа рассчитать поля излучения, угловое распределение излучения
и полную излучаемую мощность.
9.10. Рассмотреть дифракцию на малом круглом отверстии радиусом а
в плоском идеально проводящем экране в предположении, что /га <$с 1.
а) Пусть поле вблизи экрана со стороны падающей волны имеет нормаль-
нормальную составляющую электрического поля Еое~шг и тангенциальную состав-
составляющую магнитного поля Вое~ш*. Показать, что дифрагированное электри-
электрическое поле во фраунгоферовой зоне описывается выражением
oihr—icot
Зяг
где к— волновой вектор в направлении наблюдения.
б) Определить угловое распределение дифрагированного излучения
и показать, что полная мощность, проходящая через отверстие, равна
Р = —
54л2
340 Гл. 9. Простейшие излучающие системы и дифракция
9.11. Ограничив условия задачи 9.10 случаем дифракции плоской волны
на малом круглом отверстии, рассмотреть общий случай наклонного падения
под углом а к нормали при поляризации, параллельной и перпендикуляр-
перпендикулярной плоскости падения.
а) Рассчитать угловое распределение дифрагированного излучения
и сравнить его с результатами векторного приближения Кирхгофа в § 8
и в задаче 9.7 в предельном случае ka « 1.
б) Показать, что коэффициенты прохождения [см. (9.105)] для обеих
поляризаций имеют соответственно вид
г - 64 to)*4 + sin2a
' И - 27я2 (Ra> 4 cos a '
Заметим, что эти коэффициенты отличаются малым множителем (kaJ от коэф-
коэффициентов, получающихся из векторного приближения Кирхгофа для этого
случая.
Глава 10
МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
И ФИЗИКА ПЛАЗМЫ
§ 1. Введение и основные понятия
Магнитогидродинамика и физика плазмы рассматривают пове-
поведение проводящей жидкости или газа в электромагнитных полях.
Проводимость вещества связана с наличием свободных или почти
свободных электронов, которые могут двигаться под действием
приложенных полей. В твердом проводнике электроны фактически
связаны, но за время между двумя столкновениями они могут
сдвигаться на значительные по сравнению с атомными размерами
расстояния внутри кристаллической решетки. При наложении
полей в твердом теле проявляются такие динамические эффекты,
как проводимость и эффект Холла, однако общего движения веще-
вещества не возникает. Действие приложенных полей на сами атомы
сводится лишь к появлению напряжений в кристаллической решет-
решетке. Напротив, в жидкости или газе поля действуют как на электро-
электроны, так и на ионы, что приводит к движению всего вещества в целом.
Движение вещества в свою очередь вызывает изменение электро-
электромагнитного поля. Следовательно, в этом случае мы должны рассмат-
рассматривать совместно взаимодействующую систему вещества и полей.
Между магнитогидродинамикой и физикой плазмы нет резкого
различия. Тем не менее имеются определенные области применения
идей и методов каждой из них. Для иллюстрации имеющегося раз-
различия можно рассмотреть способ вывода соотношения J = аЕ
для проводящей среды. В простой модели, рассмотренной в гл. 7,
§ 8, мы считали, что приложенное поле ускоряет электроны, а
столкновения изменяют направление их движения, так что движе-
движению электронов в направлении поля противодействует некоторая
эффективная сила трения vmv, где v — частота столкновений.
Закон Ома как раз и выражает баланс между приложенной силой
и силой трения. Если частота приложенного поля сравнима с v,
то электроны успевают ускоряться и тормозиться между двумя
столкновениями. В этом случае существенна инерция электронов
342 Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
и проводимость становится комплексной. К сожалению, для таких
частот описание эффекта столкновений как тормозящей силы уже
становится неприменимым, процесс здесь протекает более сложно.
При частотах, значительно больших частоты столкновений, имеет
место другое явление. Электроны и ионы, ускоряясь электрическим
полем в противоположных направлениях, стремятся разделиться.
При разделении зарядов появляются сильные электростатические
поля, стремящиеся сблизить заряды, и возникают колебания плот-
плотности заряда. Эти высокочастотные колебания называются плаз-
плазменными колебаниями. Они существенно отличаются от низко-
низкочастотных колебаний, связанных с перемещениями жидкости или
газа, не сопровождающимися разделением зарядов. Низкочастот-
Низкочастотные колебания называются магнитогидродинамическими волнами.
В проводящих жидкостях и ионизованных газах большой плот-
плотности частота столкновений достаточно высока даже в случае хоро-
хорошей проводимости, и поэтому в широкой области частот применим
закон Ома в простой форме. Под действием приложенного поля элек-
электроны и ионы движутся таким образом, что, если отвлечься от высо-
высокочастотных колебаний, разделения зарядов не происходит. Элек-
Электрическое поле появляется из-за движения жидкости или газа,
что обусловливает электрические токи, или же из-за изменения
во времени магнитного поля или распределений зарядов, внешних
по отношению к рассматриваемой системе. Механическое движение
системы может быть описано в этом случае как движение единой
проводящей жидкости (газа) с помощью обычных гидродинамиче-
гидродинамических переменных: плотности, скорости и давления. Для низких
частот обычно можно пренебречь токами смещения. Такое прибли-
приближение называется магнитной гидродинамикой.
В менее плотных ионизованных газах частота столкновений
меньше. При этом еще может оставаться некоторая низкочастотная
область, в которой уравнения магнитной гидродинамики приме-
применимы к квазистационарным процессам; в частности, это приближе-
приближение обычно справедливо для астрофизических задач. Однако при
больших частотах уже нельзя пренебрегать разделением зарядов
и токами смещения и при описании движения следует учитывать
инерцию электронов и ионов. Эту область мы называем физикой
плазмы. Здесь иногда применима двухжидкостная модель электрон-
электронного и ионного газа, которая при выполнении некоторых физиче-
физических условий дает приблизительно правильное описание ряда явле-
явлений. Однако для высоких температур и низких плотностей при-
приходится учитывать наличие разброса скоростей частиц относитель-
относительно их среднего значения. Корректное рассмотрение производится
в этом случае с помощью уравнения Больцмана с учетом или без
учета короткомасштабных корреляций. Мы не будем входить здесь
в такие детали.
§ 2. Уравнения магнитной гидродинамики 343
При еще более высоких температурах и низких плотностях
электростатические возвращающие силы становятся настолько
слабыми, что расстояние, характеризующее разделение зарядов,
начинает существенно превосходить размеры системы. При этом
уже нельзя говорить о коллективном поведении частиц, подра-
подразумеваемом в жидкостной модели. Мы приходим к системе быстро
движущихся заряженных частиц, взаимодействующих благодаря
кулоновским столкновениям. По определению, ионизованный газ
называется плазмой, если некоторый размер, начиная с которого
мелкомасштабное индивидуальное поведение частиц заменяется
крупномасштабным коллективным поведением, мал по сравнению
с характерным размером системы. Этот размер, называемый дебаев-
ским радиусом экранирования, будет рассмотрен в § 10. Он численно
равен 7,91 (Т/пI/* см, где Т — абсолютная температура в градусах
Кельвина, an — число электронов в 1 см3. Обычно, за исключением
случаев очень горячей или очень разреженной плазмы, дебаевский
радиус много меньше 1 см.
§ 2. Уравнения магнитной гидродинамики
Начнем с рассмотрения поведения электрически нейтральной
проводящей жидкости (газа) в электромагнитном поле. Предполо-
Предположим для простоты, чю магнитная проницаемость жидкости \х равна
единице. Введем плотность вещества q (x, /), скорость v (x, t),
давление р (х, t) (которое предполагается скалярным) и действи-
действительную проводимость о. Гидродинамическими уравнениями
являются уравнение непрерывности
и уравнение движения
Кроме градиента давления и электромагнитной силы, мы включили
вязкость и гравитационную силу. Для несжимаемой жидкости
сила, обусловленная вязкостью, имеет вид
FD = 4Vav, A0.3)
где т] — коэффициент вязкости. Следует подчеркнуть, что производ-
производная по времени от скорости в левой части равенства A0.2) является
материальной производной
;34ft Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
определяющей полную скорость изменения величины, движущейся
с мгновенной скоростью v.
В пренебрежении токами смещения электромагнитные поля
в жидкости описываются уравнениями
1 dB A
Условие div J = 0, эквивалентное пренебрежению токами сме-
смещения, является следствием второго уравнения A0.5). В A0.5)
опущены два уравнения для дивергенции полей. Из закона индук-
индукции Фарадея следует, что (д/dt) div В=0, так что требование div B=0
можно принять в качестве начального условия. Поскольку мы
пренебрегли токами смещения, то можно также не принимать
во внимание закон Кулона, так как электрическое поле полностью
определяется уравнениями A0.5) и законом Ома (см. ниже). Учет
токов смещения в законе Ампера и уравнения непрерывности div E =
— 4ще приводит к поправкам порядка v2/c2. Для обычных магни-
тогидродинамических задач это пренебрежимо малая величина.
Для получения полной системы динамических уравнений необ-
необходимо установить связь между плотностью тока J и полями Е и В.
Для обычной проводящей среды с проводимостью о справедлив
закон Ома, и плотность тока описывается обычным соотношением
J' = aE'f A0.6)
где J' и Е' измеряются в системе координат, покоящейся отно-
относительно среды. Если жидкость движется со скоростью v относи-
относительно лабораторной системы координат, то мы должны преобразо-
преобразовать плотность тока и электрическое поле к неподвижной системе
координат. Преобразование поля определяется уравнением F.10).
Плотность тока в лабораторной системе, очевидно, равна
J==j' + eev, A0.7)
где Qe — плотность заряда. Для однокомпонентной проводящей
жидкости Qe = 0. Следовательно, закон Ома принимает вид
A0.8)
Иногда эффективную проводимость жидкости можно считать
бесконечно большой. Тогда под действием полей Е и В жидкость
движется таким образом, что удовлетворяется соотношение
E + -(vxB) = 0. A0.9)
с
§ 3. Магнитная диффузия, вязкость и давление 34PS
Уравнения A0.1), A0.2), (lb.5) и A0.8), дополненные урав-
уравнением состояния жидкости, составляют полную систему уравне-
уравнений магнитной гидродинамики. В следующем параграфе мы рас-
рассмотрим некоторые простые следствия из этих уравнений и введем
основные понятия магнитной гидродинамики.
? 3. Магнитная диффузия, вязкость
и давление
Поведение жидкости в электромагнитном поле в значительной
мере определяется ее проводимостью; это относится как к электро-
электромагнитным, так и к механическим характеристикам. Начнем
с электромагнитных эффектов. Как мы увидим ниже, в зависимости
от величины проводимости поля ведут себя совершенно различ-
различным образом. Производную по времени от магнитного поля после
исключения Е с помощью A0.8) можно записать в виде
g ^2B. A0.10)
Здесь принято,, что о не зависит от координат. Для покоящейся
жидкости A0.10) сводится к уравнению диффузии
Отсюда следует, что начальные значения магнитного поля затуха-
затухают с характерным временем диффузии
т = ^, A0.12)
где L — характерный размер пространственного изменения В.
Для медной сферы радиусом 1 см время т имеет величину порядка
1 сек, для жидкого ядра Земли — порядка 104 лет, а для магнитно-
магнитного поля Солнца — порядка 1010 лет.
Для времен, малых по сравнению со временем диффузии т
[т. е. в тех случаях, когда проводимость столь велика, что вторым
членом в A0.10) можно пренебречь], зависимость магнитного поля
от времени определяется уравнением
|^=rot(vxB). A0.13)
Используя F.5), можно показать, что это уравнение эквивалентна»
утверждению о постоянстве во времени магнитного потока через
произвольный контур, движущийся вместе с жидкостью. Таким
образом, в этом случае силовые линии как бы «вморожены» в веще-
вещество и движутся вместе с ним. При бесконечной проводимости
скорость w силовых линий магнитного поля (которая, по опреде-
346 Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
лению, перпендикулярна В) равна, согласно A0.9),
w = cl^. A0.14)
Этот так называемый электрический дрейф жидкости вместе с сило-
силовыми линиями можно объяснить, исходя из свойств траекторий
отдельных частиц (электронов и ионов) в скрещенных электриче-
электрическом и магнитном полях (см. гл. 12, § 8).
Полезной величиной, позволяющей различать состояния, в ко-
которых происходит диффузия силовых линий относительно веще-
вещества, и состояния, в которых силовые линии вморожены в вещество,
является магнитное число Рейнольдса RM. Если V — характер-
характерная скорость задачи, a L — характерная длина, то магнитное
число Рейнольдса определяется как
# A0Л5)
где т — время диффузии A0.12). Увлечение силовых линий жидко-
жидкостью преобладает над диффузией при RM > 1. Для таких жидко-
жидкостей, как ртуть и натрий, в лабораторных условиях (за исключе-
исключением случая очень больших скоростей) RM < 1. Однако в гео-
геофизических и астрофизических приложениях RM может быть
очень большим по сравнению с единицей.
Механические свойства системы определяются уравнением дви-
движения A0.2). Подставляя в него выражение A0.8) для J, получаем
dv ^ о В2 , ч /1 а 1/2\
Q df^?-^ (vi-w), A0.16)
где F — сумма всех неэлектромагнитных сил, a v_l— составляющая
скорости, перпендикулярная В. Из этого уравнения явно видно,
что движение вдоль В происходит под действием только неэлектро-
неэлектромагнитных сил. Скорость же движения жидкости, перпендикуляр-
перпендикулярная В, со временем затухания порядка
т' = ^ A0.17)
стремится к стационарной величине
SiF±- A0Л8>
В пределе бесконечной проводимости, как и следовало ожидать,
этот результат сводится к A0.14). Член в A0.16), пропорциональ-
пропорциональный В2, учитывает вязкость, или силу трения, тормозящую дви-
движение жидкости в направлении, перпендикулярном силовым лини-
линиям магнитного поля. Иногда ее называют магнитной вязкостью.
§ 3. Магнитная диффузия, вязкость и давление 347
Если обычная вязкость, входящая в F, сравнима с магнитной
вязкостью, то время затухания т' уменьшается на очевидный мно-
множитель, содержащий отношение обеих вязкостей.
Выше было показано, что при большой проводимости силовые
линии магнитного поля вморожены в жидкость и движутся вместе
с ней. Отклонения от этого состояния движения быстро исчезают.
При обсуждении механических эффектов мы рассматривали элек-
электромагнитные величины как заданные, а при рассмотрении электро-
электромагнитных эффектов считали заданными механические величины.
В действительности, конечно, уравнения движения и уравнения
лоля взаимосвязаны. В случае предельно большой проводимости
плотность тока в уравнении движения удобно выразить с помощью
закона Ампера через магнитное поле В, а из закона Фарадея с по-
помощью A0.9) исключить Е, что приводит к A0.13). При этом магнит-
магнитная сила в A0.2) записывается в виде
ljXB= --^ BxrotB. A0.19)
С помощью векторного тождества
^-grad(B.B) = (B.grad)B + BxrotB A0.20)
можно преобразовать равенство A0.19) к виду
ljxB=-gradg-rit(B.grad)B. A0.21)
Это соотношение показывает, что магнитная сила эквивалентна
гидростатическому магнитному давлению
Рм = ~ A0.22)
плюс еще одно слагаемое, которое можно интерпретировать как
натяжение вдоль силовых линий. Выражение A0.21) можно также
получить из максвелловского тензора натяжений (см. гл. 6, § 9).
Если пренебречь влиянием вязкости и ввести потенциал г|: гра-
гравитационных сил (g= — grad г|э), то уравнение движения A0.2)
примет вид
Q^=-grad(p + PM + Q*) + ^(B-grad)B. A0.23)
В некоторых простейших случаях, например, когда поле В имеет
только одну декартову составляющую, последний член, связан-
связанный с магнитным натяжением, обращается в нуль. В этом случае
уравнение статики имеет интеграл
Р + Рм + Q^-const. A0.24)
348
Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
Отсюда следует, что если не учитывать гравитационных эффектов,,
то любые изменения гидростатического давления должны быть
сбалансированы изменениями магнитного давления. Если, напри-
например, жидкость должна быть локализована внутри некоторого объе-
объема, так что р быстро спадает до нуля вне этого объема, то магнитное
давление должно столь же быстро возрастать к периферии. На этом
основан пинч-эффект, рассмотренный в § 5.
? 4. Магнитогидродинамический поток
между границами в скрещенных
электрическом и магнитном полях
Для иллюстрации конкурирующего влияния эффектов вмора-
вмораживания силовых линий й диффузии поперек силовых линий,,
а также влияния граничных условий на электрический дрейф рас-
рассмотрим несжимаемую вязкую проводящую жидкость, движу-
движущуюся вдоль оси х между двумя непроводящими плоскостями
z == О и z = а (фиг. 10.1). Граничные плоскости движутся со ско-
скоростями Vi и V2 в ^-направлении. Однородное магнитное поле Ва
Фи г. 10.1. Течение вязкой проводящей жидкости в магнитном поле
между двумя плоскостями, движущимися с различными скоростями.
направлено вдоль оси г. В х- и ^-направлениях система считается
бесконечной. Будем искать стационарное решение для потокаг
направленного вдоль оси х, причем все переменные зависят толь-
только от г.
Если поля не меняются во времени, то из уравнений Максвелла
A0.5) следует, что электрическое поле является электростатиче-
электростатическим потенциальным полем и полностью определяется граничными
§ 4. Магнитогидродинамический поток между границами 349
условиями, т. е. представляет собой произвольное внешнее поле.
Из выражения A0.14) для скорости силовых линий при бесконечной
проводимости о следует, что должно существовать электрическое
поле, направленное вдоль оси у. Если мы предположим, что имеет-
имеется только одна эта составляющая поля Е, то она должна быть по-
постоянной; обозначим ее через Ео. Поскольку движущаяся жидкость
увлекает силовые линии, мы вправе ожидать, что наряду с г-соста-
вляющей Во магнитного поля появится также и его х-составляющая
Вх (z).
Для несжимаемой жидкости уравнение непрерывности имеет
вид div v = 0. Оно удовлетворяется автоматически, если скорость
направлена вдоль оси х и зависит только от г. Если пренебречь
силой тяжести, то уравнение движения для стационарного течения
имеет вид
| A0.25)
Отлична от нуля только одна составляющая J, а именно
Jy{z) = o [?o-±Bot>B)] , A0.26)
где v — скорость вдоль оси х. Выпишем уравнение A0.25) для
каждой из его составляющих:
дх с v c
^ = 0, A0.27)
ду
В z-направлении градиент давления полностью уравновешивается
магнитной силой. Предположим, что в ^-направлении отсутствует
перепад давления, тогда первое из этих уравнений примет вид
•где
называется числом Гартмана. Как видно из A0.17), величина М2 рав-
равна отношению магнитной вязкости к обычной. Решение уравнения
<10.28), удовлетворяющее граничным условиям v @) = V\ и
350 Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
v (a) = V2, легко может быть найдено
sh ( М°—-^) + sh ( М—ЛЛ
В пределе Во -^0, М -^0 получаем известное решение для лами-
ламинарного потока
v(z) = Vi + (V2~Vi) -J. A0.31)
В другом предельном случае М > 1 следует ожидать, что пре-
преобладающей будет магнитная вязкость и что течение должно почти
полностью определяться электрическим дрейфом. Для z<a и УИ> L
получаем
-Л'г/а . A0.32),
Отсюда видно, что скорость и (г), равная У4 на поверхности г = 0„
быстро (на интервале порядка а/М) достигает дрейфовой скорости
сЕ01В0. Вблизи поверхности z = а выражение для и (г) полу-
получается из A0.32) заменой Vх на V2 и z на a — z. Профили ско-
скоростей для обоих предельных случаев A0.31) и A0.32) показаны
на фиг. 10.2.
Магнитное поле Вх (г) определяется уравнением
дВх 4Я г 4Я(Т
Чтобы сформулировать граничные условия для Б* при z = О
и z — а, необходимо либо знать предысторию процесса установ-
установления стационарного течения, либо исходить из определенных усло-
условий симметрии. Мы можем лишь связать разность значений Вх с пол-
полным током вдоль оси у, приходящимся на единицу длины вдоль оси х:
y(z)dz. A0.34)
Такая неопределенность свойственна одномерным задачам. Огра-
Ограничимся для простоты расчетом магнитного поля лишь для случая,
когда полный ток по оси у равен нулю х). В этом случае мы можем
Это условие означает, что сЕ0/В0 = г/2 (V i + У2)-
§ 4. Магнитогидродинамический поток между границами
351
принять, что Вх обращается в нуль при г = 0 и z = а. С учетом
A0.30) уравнение A0.33) дает
м
2а
, / М Mz
— ch ( —г
М sh (Ж/2)
A0.35)
Безразмерный коэффициент в квадратных скобках в A0.35) можно
отождествить с магнитным числом Рейнольдса A0.15), поскольку
Фиг. 10.2. Профили скоростей для больших и малых чисел Гартмана М-
При М -> 0 течение становится ламинарным. При М ^> 1 скорость потока равна ско-
скорости электрического дрейфа, за исключением областей, непосредственно примыкаю-
примыкающих к границам.
(V2 — Vt)/2 является характерной скоростью задачи, а а — ха-
характерной длиной. В предельных случаях Af<l и М>1
выражение A0.35) принимает вид
М
для М < 1,
дЛЯ
A0.36)
На фиг. 10.3 показан вид силовых линий в этих предельных слу-
случаях. Заметное увлечение силовых линий наблюдается только*
при больших RM, а при заданном RM увлечение тем меньше, чем
больше число Гартмана.
352
Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
Для ртути при комнатной температуре
о = 9,4-1015 сек-1,
т|= 1,5-Ю-2 пуаз,
q = 13,5 г/см3.
Время диффузии т [см. A0.12)] равно 1,ЗЫ0~4 L2 сек, если раз-
размер L выражен в сантиметрах. Число Гартмана М [см. A0.29)]
равно 2,64-10 аВ0, если поле Во выражено в гауссах, а а —
в сантиметрах. При L » а « 1 см магнитное число Рейнольдса RM
•Фиг. 10.3. Продольная составляющая магнитного поля между граничными
поверхностями при больших и малых числах Гартмана (а) и увлечение си-
силовых линий магнитного поля в направлении потока (б).
примерно равно 10 V. Следовательно, если скорости потока
не слишком велики, то в лабораторных экспериментах со ртутью
не происходит сколь-нибудь значительного увлечения силовых
линий. Если же магнитное поле Во имеет величину порядка 104 гаусс,
то М — 250 и скорость потока почти полностью определяется
электрическим дрейфом A0.14). В геомагнитных процессах в земном
ядре и в астрофизических задачах параметры (например, характер-
характерный размер) таковы, что RM часто много больше единицы и, сле-
следовательно, увлечение силовых линий весьма существенно.
§ 5. Ппнч-эффект
Удержание плазмы или проводящей жидкости ее собственным
магнитным полем представляет значительный интерес для проблемы
управляемых термоядерных реакций, а также для других приложе-
приложений. Для примера рассмотрим бесконечный цилиндр проводящей
жидкости, по которому течет продольный ток с плотностью
§ 5. Пинч-эффект 353
Jz — J M, создающий азимутальное магнитное поле Вф — В (г).
Для простоты будем считать, что плотность тока, магнитное поле,
давление и т. п. зависят только от расстояния г от оси цилиндра,
а вязкость и гравитационные эффекты пренебрежимо малы. Рас-
Рассмотрим сначала, возможно ли стационарное состояние, при котором
плазма удерживается в основном внутри цилиндра с некоторым
радиусом г = R за счет своего собственного магнитного поля. Для
стационарного состояния с v = 0 уравнение движения жидкости
A0.23) принимает вид
0=_? '(f^l * A0.37)
dr dr \8л j 4лг v '
Закон Ампера в интегральной форме связывает В (г) с током, про-
протекающим по окружности радиусом г:
J(r)dr. A0.38)
Целый ряд результатов можно получить без конкретизации вида
зависимости J(r), используя лишь такие физические требования,
как конечность и т. п. Из закона Амцера следует, что если жидкость
находится почти целиком внутри цилиндра г = R, то магнитное
поле вне жидкости равно
*, (Ю.39)
где величина
R
I = \ 2яг/ (г) dr
о
представляет собой полный ток, протекающий внутри цилиндра.
Уравнение A0.37) можно переписать в виде
или в проинтегрированном виде
Здесь р0—давление жидкости на оси цилиндра (г = 0). Если
вещество сосредоточено в цилиндре г = R, то при г = R давление
равно нулю. Следовательно, давление р0 на оси запишется еле-
354 Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
дующим образом:
Верхний предел интеграла можно заменить на бесконечность,
поскольку, согласно A0.39), подынтегральное выражение при
г > R равно нулю. Подставляя A0.42) в A0.41), получаем
r. A0.43)
При произвольной зависимости р(г) давления от радиуса среднее
давление внутри цилиндра можно связать с полным током / и радиу-
радиусом цилиндра R. Действительно, интегрируя по частям выражение
для среднего давления
R
{p) = ^\rp{r)dr A0.44)
0
и используя A0.40), получаем соотношение
h <10-45>
связывающее среднее давление, полный ток и радиус цилиндра
жидкости или плазмы, удерживаемой собственным магнитным по-
полем. Заметим, что среднее давление вещества оказывается равным
магнитному давлению В2/8л на поверхности цилиндра. В термо-
термоядерных исследованиях рассматривается горячая плазма с темпе-
температурой порядка 108°К (kT ~ 10 кэв) и плотностью частиц поряд-
порядка 1015 см~3. При этих условиях давление приближенно равно
1015-108&^ 1,4-107 дин/см2, или 14 атм. Для удержания такой
плазмы требуется магнитное поле на поверхности порядка 19-Ю3
гаусс, что соответствует току 9-104 /? а. Отсюда видно, что для
удержания горячей плазмы необходимы очень большие токи.
До сих пор мы не рассматривали радиального распределения
характеристик жидкости. Мы ограничимся для иллюстрации двумя
простыми примерами. Пусть сначала плотность тока J (г) постоянна
при г <CR. Тогда В (г) = 2Ir/cR2 при г <CR и выражение A0.43)
приводит к параболическому распределению давления в зависи-
зависимости от радиуса
0?) <10-46>
При этом давление р0 на оси равно удвоенному среднему давлению
<р>. Радиальные зависимости этих величин схематически пока-
показаны на фиг. 10.4.
§ 6. Динамическая модель пинч-эффекта
355
В качестве второго примера рассмотрим цилиндр с током, теку-
текущим в очень тонком поверхностном слое, что соответствует жидко-
жидкости или плазме с большой проводимостью. Магнитное поле вне
Я г *-
Фиг. 10.4. Радиальная зависимость азимутального магнитного поля и дав-
давления в цилиндрическом плазменном столбе при однородной плотности
продольного тока.
цилиндра определяется выражением A0.39), а внутри цилиндра
равно нулю. В этом случае давление внутри вещества постоянно
и равно значению A0.45). Соответствующие распределения пока-
показаны на фиг. 10.5.
Фиг. 10.5. Радиальная зависимость азимутального магнитного поля
и давления в цилиндрическом плазменном столбе с поверхностным током.
§ 6. Динамическая модель пинч-эффекта
Простое рассмотрение, проведенное в $5 настоящей главы, при-
применимо в статическом или квазистатическом случае. В действи-
356
Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
тельности такие условия не реализуются. Обычно сначала давле-
давление плазмы слишком мало, чтобы противостоять внешнему магнит-
магнитному давлению. Из-за этого радиус плазменного цилиндра умень-
уменьшается, т. е. происходит сжатие плазменного столба (пинч-эффект).
Таким образом достигается желаемый результат — отжатие плазмы
от ограничивающих ее стенок. Если бы сжатый плазменный столб
был устойчив в течение достаточно длительного времени, то плазму
можно было бы нагреть до очень высокой температуры, не повредив
при этом стенок камеры.
Ф= V
^
Фиг. 10.6. Плазменный столб внутри полого цилиндрического проводника.
Розенблют предложил простую модель процесса сжатия^ учи-
учитывающую его динамический характер. Предположим, что плазма
создана в полом проводящем цилиндре радиусом Ro и длиной!.
К концам цилиндра приложена разность потенциалов У, так что
по плазме течет ток /. Ток создает азимутальное магнитное поле
Вф, заставляющее плазму сжиматься. Радиус плазменного столба
в момент времени / > 0 мы обозначим через R (t). Проводимость
плазмы будем считать бесконечной. При этом ток течет по поверх-
поверхности плазмы, а магнитное поле
Bv = % A0-47)
Li
имеется только в области между г = R (t) и г = Ro. В соответствии
с предположением о бесконечной проводимости электрическое поле
на поверхности плазмы в движущейся системе отсчета, в которой
эта поверхность покоится, обращается в нуль
E' = E-4-lvxB = 0. A0.48)
1 с v '
Применяя закон индукции Фарадея к показанному пунктирными
линиями на фиг. 10.6 контуру, внутренняя сторона которого дви-
движется вместе с поверхностью плазмы, мы видим, что вклад в ли-
§ 6. Динамическая модель пинч-эффекта 357
нейный интеграл от Е дает только внешняя сторона контура,
находящаяся в проводящей стенке. Таким образом,
±1
с dt
A0.49)
Это уравнение выражает обычную индуктивную связь между
током, напряжением и размерами, определяющимц индуктивность.
Его интеграл имеет вид
t
/In ^ = ^.?0 J f(t)dt, A0.50)
о
где Eof(f) = VIL — приложенное электрическое поле. Функ-
Функция / (t) считается известной и нормируется таким образом, чтобы
величина Ео была равна максимальному значению приложенного
поля. Чтобы продвинуться дальше, мы должны найти динамическую
связь между током / и радиусом плазмы R.
Необходимая зависимость получается из уравнения баланса
импульсов, т. е. из второго закона Ньютона. Однако прежде необ-
необходимо сделать некоторые предположения относительно плазмы.,
Если бы длина свободного пробега между столкновениями была мала
по сравнению с радиусом, то динамическое поведение плазмы опре-
определялось бы гидродинамическими ударными волнами. Однако для
горячей и разреженной плазмы длина свободного пробега обычно
сравнима или даже больше радиуса. В этом случае более подходя-
подходящей является модель частиц, свободно движущихся внутри плазмы.
Если скорость границы плазмы R значительно больше тепловых
скоростей, то в системе отсчета, где эта граница неподвижна, каждая
частица движется к границе со скоростью R. Частица, проникнув-
проникнувшая во внешнюю область, под действием магнитного поля повора-
поворачивает обратно и покидает поверхность со скоростью—R. Поэтому
каждая частица, столкнувшаяся с границей плазмы, приобретает
импульс 2MR. Число столкновений на единицу поверхности в еди-
единицу времени равно NR, где N — начальное число частиц в едини-
единице объема. Следовательно, скорость изменения импульса (т. е. дав-
давление) дается выражением
A0.51)
где q — начальная плотность. На границу плазмы действует
магнитное давление В2/8л, обусловленное скачком магнитного
поля от нуля внутри плазмы до величины В вне плазмы. Оно должно
уравновешивать давление плазмы. Это позволяет с учетом A0.47)
358 Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
найти связь тока со скоростью границы плазмы:
*(j?y. A0.52)
При выводе A0.52) мы весьма упрощенно считали, что каждая
частица сталкивается с границей раздела только один раз. В дей-
действительности скорость границы раздела все время растет, так что
поверхность догоняет также и ранее отразившиеся от нее частицы
и снова нагревает их. Этот эффект можно приближенно учесть
с помощью модели «снегоочистителя», в которой предполагается, что
поверхность раздела увлекает с собой все вещество, на которое она
надвигается по мере движения. При этом магнитное давление и
скорость изменения импульса связаны уравнением
^ ~, A0.53)
в котором M(R) —масса, увлекаемая «снегоочистителем»:
Af(#) = rtQ(#;-#2)- (Ю.54)
Отсюда получается соотношение между током и радиусом
g] . A0.55)
В начальной стадии, когда R ^ ROi модель «снегоочистителя»
и модель свободных частиц приводят к одинаковым зависимостям
тока от радиуса, различающимся лишь множителем 21). По порядку
величины обе модели дают один и тот же результат и для более
поздних моментов времени.
Уравнение движения для R (t) можно получить, подставляя I2
из A0.52) или из A0.55) в соотношение A0.50). Выбирая для
примера модель свободных частиц, находим
('')Л'- A0-56)
Здесь знак квадратного корня определяется требованием R <0.
Для решения этого уравнения необходимо знать Ео (t). Некоторые
свойства решения можно определить, перейдя к безразмерным
Разница в 2 раза объясняется тем, что в модели свободных частиц
ы отражаются упруго и изменение \
ругой модели столкновение частиц с г
гим, так что изменение скорости равно R.
частицы отражаются упруго и изменение их скорости равно 2R, в то время
как в другой модели столкновение частице границей раздела считается неупру-
переменным
Тогда A0.56)
т
X
запишется
2;
—
=
в
Cll
Ro'
виде
V4
X
0
t
')d%'.
§ 6. Динамическая модель пинч-эффекта 359
00.57)
A0.58)
Для модели «снегоочистителя» соответствующее уравнение имеет
вид
х
\ /(т')Л']2- (Ю.59)
о
Даже не решая этих уравнений, можно сказать, что х существенно
изменяется на интервале т— 1. Это означает, что по порядку
величины радиальная скорость сжатия равна
\k\~v* = (?%)y\ A0.60)
Такой результат получается при любой динамической модели, в том
числе гидродинамической. Для «быстрых пинчей» в небольших уста-
установках с водородной и дейтериевой плазмой типичные значения
приложенного электрического поля составляют около 103 в/см,
а начальной плотности — около 10~8 г/смъ (~3-1015 дейтронов
в 1 смъ). При этом v0 оказывается величиной порядка 107 см/сек,
а протекающий ток, согласно A0.52) или A0.55), равен
где F — безразмерная функция порядка единицы. Для трубки
радиусом 10 см при описанных выше условиях ток составляет
105 — 106а.
Предыдущее рассмотрение пинч-эффекта, очевидно, применимо
только для короткого интервала времени после включения тока.
Наша упрощенная модель показывает, что за время порядка R0/v0
радиус плазменного столба обращается в нуль. Ясно, однако, что,
прежде чем это случится (даже приближенно), характер процесса
изменится. В гидродинамическом приближении радиальные удар-
ударные волны, вызванные сжатием, отразятся от оси и, распространя-
распространяясь обратно, будут замедлять движение границы или даже изме-
изменять направление ее движения на обратное. Это—так называемая
360
Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
пульсация плазменного столба. Она, очевидно, имеет место и
в модели свободных частиц. Поэтому общая зависимость радиуса
Фиг. 10.7. Изменение радиуса плазменного столба со временем с момента
включения тока.
Характерная скорость сжатия определяется выражением A0.60).
R от времени будет иметь вид, изображенный на фиг. 10.7. Хотя
для последующих пульсаций соответствующий анализ не проведен,
естественно предположить, что радиус приближается к некоторому
стационарному значению, меньшему чем Ro.
§ 7. Неустойчивости сжатого плазменного столба
Получить в лабораторных условиях долгоживущий сжатый
плазменный столб чрезвычайно трудно. Поведение плазмы каче-
качественно соответствует описанному в § 6 только во время первого сжа-
сжатия. Затем плазменный столб быстро разрушается. Причиной этого
разрушения является развитие неустойчивостей. Плазменный столб
неустойчив по отношению к отклонениям от цилиндрической сим-
симметрии. Малые возмущения быстро нарастают и приводят к раз-
разрушению плазменной конфигурации за очень короткие времена.
Детальный анализ неустойчивостей весьма сложен, поэтому мы
ограничимся только качественным рассмотрением, причем остано-
остановимся лишь на двух простейших возмущениях, приводящих
к неустойчивости.
Первое — это так называемая неустойчивость изгиба, показан-
показанная на фиг. 10.8, а. При изгибе плазменного столба вниз силовые
линии азимутального магнитного поля сгущаются на верхней
стороне плазменного цилиндра и расходятся на нижней. Оче-
Очевидно, изменение магнитного давления таково, что оно приводит
к дальнейшему росту возмущения. Поэтому такое возмущение окаг
зывается неустойчивым.
§ 7. Неустойчивости сжатого плазменного столба
361
Другой тип неустойчивости называется неустойчивостью отно-
относительно перетяжек, или шеек, и показан на фиг. 10.8, б. В окрест-
окрестности перетяжки азимутальное магнитное поле возрастает и маг-
магнитное давление становится больше, чем в других местах. Это ведет
к возрастанию существующего возмущения.
Фиг. 10.8. Неустойчивость изгиба (а) и неустойчивость типа перетяжки (б).
Развитию обоих типов неустойчивости может помешать продоль-
продольное магнитное поле внутри плазменного цилиндра. При образова-
образовании перетяжки силовые линии продольного магнитного поля сгу-
сгущаются в месте перетяжки, что приводит к возрастанию внутреннего.
Фиг. 10.9. Стабилизация не-
неустойчивости типа перетяжки
с помощью внутреннего про-
продольного магнитного поля.
магнитного давления, противодействующего давлению азимуталь-
азимутального поля, как схематически показано на фиг. 10.9. Легко видеть, что
в случае резкой границы плазмы приращения соответствующих
магнитных давлений определяются соотношениями
Арф_ 2х_ Apz __ 4*
7^ ~ R ' Pz~ Я '
где х — малое смещение. Следовательно, при
A0.62)
В2 ^ l D2
A0.63)
плазменный цилиндр становится устойчивым относительно пере-
перетяжек.
При изгибе силовые линии продольного магнитного поля не
сгущаются, а растягиваются. Однако результат остается прежним:.
362
Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
возрастание натяжения силовых линий внутреннего магнитного
поля противодействует внешним силам и способствует стабилизации
плазменного столба. Фиг. 10.10 показывает, что при заданной
Фиг. 10.10. Стабилизация неустойчивости изгиба за счет натяжения
силовых линий внутреннего продольного магнитного поля.
величине бокового смещения коротковолновый изгиб приводит
к большему натяжению силовых линий, чем длинноволновый.
Таким образом, при данном отношении внутреннего продольного
тюля к внешнему азимутальному полю должны в первую очередь
Фиг. 10.11. Стабилизация длинноволновых изгибов с помощью внешнего
проводящего экрана.
стабилизироваться коротковолновые изгибы, а достаточно длинно-
длинноволновые будут оставаться неустойчивыми. Расчет показывает,
что при приблизительно равных полях возмущения такого типа
стабилизируются для длин волн X <z 14R.
Длинноволновые изгибы могут быть стабилизированы с помо-
помощью внешнего проводящего экрана. При этом радиус плазменного
дилиндра должен быть не слишком мал по сравнению с радиусом
экрана. Силовые линии азимутального магнитного поля зажаты
между экраном и границей плазмы, как показано на фиг. 10.11.
Если плазма приближается к стенке, то силовые линии в промежут-
промежутке между плазмой и экраном сгущаются, магнитное давление
возрастает и возникает возвращающая сила.
§ 8. Магнитогидродинамические волны 363
Качественно ясно, что, используя подходящее сочетание вмо-
вмороженного продольного поля и проводящего экрана, можно создать
устойчивую плазменную конфигурацию, по крайней мере для очень
хорошо проводящей плазмы с резкой границей. Детальные расчеты
([85, 89, 108]; см. также [19, 109]) подтверждают этот качествен-
качественный вывод и позволяют установить соответствующие количественные
критерии. Оказывается существенным, чтобы внешнее продольное
магнитное поле было возможно меньше, а радиус плазменного столба
был порядка *72 или 1/3 радиуса экрана. При достаточно большом
продольном поле вне плазмы в результате комбинации полей
Вх и Вф возникают винтовые силовые линии, что способствует раз-
развитию винтовой неустойчивости, которая особенно существенна
при тороидальной геометрии плазмы. Если, однако, продольное
поле вне плазмы будет очень большим, то шаг винта силовой
линии настолько возрастает, что на конечной длине плазменного
цилиндра силовая линия сделает лишь малую часть одного оборота.
При этом опять возможна устойчивость. Стабилизация с помощью
сильных продольных полей, создаваемых внешними токами, исполь-
используется в некоторых термоядерных установках, например в стелла-
раторах.
Идеализированную конфигурацию плазмы с резкой границей
трудно осуществить экспериментально. Даже будучи созданной,
она разрушается из-за диффузии плазмы поперек силовых линий
за время порядка 4noR2/c2 (см. § 3). Для водородной плазмы
с энергией 1 эв на частицу это время имеет величину порядка 10 сек
при R —10 см, однако для плазмы с энергией 10 кэв оно становится
уже порядка 102 сек. Ясно, что в термоядерных экспериментах сле-
следует с самого начала пытаться создать возможно более горячую
плазму с начальным временем диффузии, достаточно большим, что-
чтобы обеспечить возможность дальнейшего ее нагревания.
§ 8. Магнитогидродинамические волны
В обычной гидродинамике возможен только один тип волн малой
амплитуды, а именно продольные (звуковые) волны сжатия. Они
распространяются со скоростью s, определяемой производной
давления по плотности при постоянной энтропии
?Л . A0.64)
dQjo v ;
Если принять адиабатический закон р = KQy, to s2 = Ypo/Qo,
где у — отношение удельных теплоемкостей. В магнитной гидро-
гидродинамике возможен также и другой тип волнового движения, свя-
связанный с поперечными смещениями силовых линий магнитного
поля. При натяжении силовых линий появляется возвращающая
364 Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
сила, стремящаяся вернуть их в прежнее «более прямолинейное»-
положение, так что в результате возникают поперечные колеба-
колебания. По аналогии со звуковыми волнами, которые распростра-
распространяются со скоростью порядка корня квадратного из отношения гид-
гидростатического давления к плотности, следует ожидать, что эти
магнитогидродинамические волны, называемые альфвеновскими
волнами, будут иметь скорость порядка
"~(АТ- <10-66>
где В20/8п — магнитное давление.
Рассмотрим сжимаемую невязкую идеально проводящую-
жидкость в магнитном поле при отсутствии гравитационных сил.
Ее движение описывается следующей системой уравнений:
Q|f+Q(v-grad)v=-gradp-||FBxrotB, A0.66).
| = rot(vxB).
К ним следует добавить еще уравнение состояния, связывающее
давление и плотность. Предположим, что в равновесном состоянии
скорость равна нулю и имеется пространственно однородное стати-
статическое магнитное поле Во, пронизывающее однородную жидкость
постоянной плотности q0. Введем малые отклонения от равновес-
равновесных величин
В = В0+В1(х,0,
i(x,O. A0-67>
Линеаризируя уравнения A0.66) по этим малым возмущениям,
получаем
-lBoXrotB^O, A0.68)
где s2 — квадрат звуковой скорости A0.64). Эти уравнения можно-
скомбинировать таким образом, чтобы получилось одно уравне-
уравнение для v4:
^- -s2grad div vt -f- vA x rot rot {\x X vA) = 0. A0.69)
§ 8. Магнитогидродинамические волны 365
Здесь через vA обозначена векторная альфвеновская скорость:
A07°)
Волновое уравнение A0.69) для v* довольно сложно, но оно допу-
допускает простые решения для волн, распространяющихся параллельно
л перпендикулярно магнитному полю х). Если искать решение для
v4(x, t) в виде плоской волны с волновым вектором к и частотой со
v4(x, 0 = v1^ik-x-i®'f A0.71)
то уравнение A0.69) примет вид
_0JVi + (s2 + t;i)(k.Vi)k + VA.k[(vA.k)Vi_
-(vA-v1)k-(k.v1)vA]=0. A0.72)
Если волновой вектор к перпендикулярен скорости vA, то послед-
последний член в A0.72) равен нулю. В этом случае решением дляу!
будут продольные магнитозвуковые волны (v4 параллельно к),
имеющие фазовую скорость
A0.73)
Отметим, что эти волны распространяются со скоростью, которая
'С точностью до множителя порядка единицы определяется суммой
гидростатического и магнитного давлений. При к, параллельном
Va, уравнение A0.72) принимает вид
0. A0.74)
В этом случае возможны два типа волн. Имеется обычная продоль-
продольная волна (скорость v4 параллельна к и \А) с фазовой скоростью,
равной звуковой скорости s. Но имеется также и поперечная волна
(vrvA = 0) с фазовой скоростью, равной альфвеновской скорости
vA. Эта альфвеновская волна является чисто магнитогидродинамиче-
магнитогидродинамической и зависит только от магнитного поля (натяжение) и плотности
(инерция).
Для ртути при комнатной температуре альфвеновская скорость
равна Во/13,1 см/сек, а звуковая скорость составляет 1,45-105 см/сек.
При обычных напряженностях поля в лабораторных условиях
альфвеновская скорость много меньше скорости звука. Наоборот,
в астрономических проблемах альфвеновская скорость может быть
очень большой из-за весьма малых плотностей. В солнечной фото-
фотосфере, например, плотность имеет величину порядка 10~7 г /см3
F-Ю16 атомов водорода в 1 см3), так что vA~ Ю3 Во см/сек. Сол-
*) Определение характеристик волн при произвольном направлении
распространения рассмотрено в задаче 10.3.
366
Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
нечные магнитные поля имеют порядок 1—2 гаусс на поверхности
и много большую величину в районе солнечных пятен. Для срав-
сравнения отметим, что скорость звука как в фотосфере, так и в хромо-
хромосфере составляет около 106 см Iсек.
Возмущения магнитного поля для различных типов волн можно
определить из третьего уравнения A0.68):
k " ° для k J. Во,
В4 =
I
со
о
А
со
для продольной волны с к || Во, A0.75)
для поперечной волны с к || Во.
Магнитозвуковые волны, распространяющиеся перпендикулярно
магнитному полю Во, приводят к сгущению и разрежению силовых
и
"
а 6
Фиг. 10.12. Магнитогидродинамические волны.
линий без изменения их направления (фиг. 10.12, а). Альфвенов-
ские волны, параллельные Во, вызывают периодические колебания
силовых линий (фиг. 10.12, б). В обоих случаях силовые линии
вморожены и движутся вместе с жидкостью.
Если проводимость жидкости не бесконечна или же проявляется
вязкость, то в результате диссипативных процессов колебания зату-
затухают. В этом случае ко второму и третьему уравнениям A0.68)
добавляются диссипативные члены:
дВ<
A0.76)
здесь ц — вязкость *), a a— проводимость. Оба добавочных члена
х) Использование простого выражения A0.3) для вязкой силы в сжи-
сжимаемой жидкости в действительности незаконно. Однако можно полагать,,
что оно дает правильное качественное описание.
§ 8. Магнитогидродинамичвские волны 367
приводят к дисперсии фазовой скорости, и их влияние проще всего
проследить, если искать решение уравнений A0.76) в виде плоской
волны. Легко видеть, что уравнения A0.76) эквивалентны для пло-
плоских волн следующим уравнениям:
— A/4я) Во х rot Bt
dt ~ l
dBt = rot (Vl х Во)
dt 1+/с2/г2/4ласо *
Соответственно уравнение A0.72), связывающее k и со, также изме-
изменяется: во-первых, s2 и со2 умножаются на A +^2й2/4дасо);
во-вторых, со2 умножается на A +^т]й2/д0(о).
Для важного случая альфвеновской волны, распространяющейся
параллельно полю, соотношение между со и k принимает вид
A0.78)
qoco
Если члены, содержащие сопротивление и вязкость, можно считать
малыми, то волновое число определяется приближенным выражением
+ -М. A0.79)
Это выражение показывает, что затухание быстро растет с повыше-
повышением частоты (или волнового числа) и уменьшается при возраста-
возрастании напряженности магнитного поля. Если отвлечься от эффекта
вязкости, то влияние мнимой части волнового вектора таково, что
за время диффузии (см. § 3) интенсивность волны уменьшается
в е раз [если в A0.12) за характерную длину принять длину волны].
В противоположном предельном случае, когда члены, содержащие
сопротивление и вязкость, являются преобладающими, волновое
число можно определить, приравнивая нулю выражения в скобках
в правой части A0.78). При этом k имеет одинаковые действи-
действительную и мнимую части, и волна быстро затухает независимо
от величины магнитного поля.
Проведенное выше рассмотрение магнитогидродинамических
волн применимо только для сравнительно низких частот, посколь-
поскольку мы пренебрегли токами смещения в законе Ампера. Очевидно,
что при очень высоких частотах мы должны перейти к описанному
в гл. 7, § 9, поведению, характерному для ионосферы, когда опре-
определяющую роль играют эффекты, связанные с разделением заря-
зарядов. Однако если даже в магнитогидродинамическом описании
пренебрегать эффектом разделения зарядов, токи смещения все же
будут влиять на распространение альфвеновских и магнитозвуко-
368 Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
вых волн. Закон Ампера с учетом токов смещения имеет вид
rotB^J-i^vxB), A0.80)
где электрическое поле Е исключено с помощью приближения бес-
бесконечной проводимости A0.9). Отсюда находим плотность тока,
входящую в уравнение движения жидкости:
Второе из уравнений линеаризованной системы A0.68) при этом
обобщении примет вид
)]-^gradQ1-^_B0xrotB1. A0.82)
Отсюда получаем следующее волновое уравнение для
+ vA x rot rot (vt X vA) = 0. A0.83)
Его исследование показывает, что если скорость v* параллельна
vA (т. е. параллельна Во), то результаты не отличаются от преды-
предыдущих. Однако для поперечной скорости v ^ (для магнитозвуковых
волн с волновым вектором к, перпендикулярным Во, или для
альфвеновских волн с к, параллельным Во) квадрат частоты умно-
умножается на величину A +иА/с2). Таким образом, фазовая скорость
альфвеновских волн становится равной
Й A0-84)
В обычных условиях, когда vA < с, эта скорость близка к vA и токи
смещения несущественны. Но если vA > с, то фазовая скорость
становится равной скорости света. Если рассматривать поперечные
альфвеновские волны как электромагнитные волны, то их можно
интерпретировать как волны в среде с показателем преломления,
определяемым соотношением
Отсюда
„9 Л -~ „ „О
A0.86)
§ 9. Высокочастотные плазменные колебания 369
При использовании этого соотношения для характеристики распро-
распространения электромагнитных волн в плазме необходимо соблюдать
осторожность, поскольку оно применимо только для частот, при
которых несущественны эффекты, связанные с разделением зарядов.
§ 9. Высокочастотные плазменные колебания
Магнитогидродинамическое приближение, рассмотренное в пре-
предыдущих параграфах, основано на представлении о взаимодействии
между однокомпонентной электрически нейтральной жидкостью
со скалярной проводимостью а и электромагнитным полем. Однако,
как указывалось во введении к настоящей главе, плазма является
в действительности многокомпонентной жидкостью, состоящей из
электронов и одного или нескольких сортов ионов. При низких
частотах или больших длинах волн описание с помощью одножид-
костной модели применимо, поскольку частота столкновений v
достаточно велика (средний свободный пробег достаточно мал),
чтобы все время сохранялась локальная электронейтральность,
несмотря на среднее движение электронов и ионов в противополож-
противоположных направлениях под действием электрического поля, согласно
закону Ома. При более высоких частотах одножидкостная модель
становится уже непригодной. Электроны и ионы начинают дви-
двигаться независимо, и происходит разделение зарядов. Это разделение
зарядов ведет к появлению больших возвращающих сил, и, сле-
следовательно, возникают колебания электростатического типа. При
наличии магнитного поля появляются и другие эффекты. Электро-
Электроны и ионы стремятся двигаться в магнитном поле по круговым или
винтовым орбитам с угловой частотой
сов=^-. A0.87)
При достаточно сильных полях или достаточно низких плотностях,
когда угловая частота сравнима с частотой столкновений, предста-
представление о скалярной проводимости становится уже неприменимым,
и величина тока начинает зависеть от его направления относительно
магнитного поля (см. задачу 10.5). При еще больших частотах ионы,
обладающие большой инерцией, не в состоянии следовать за быстры-
быстрыми изменениями полей, и поэтому в движении принимают участие
только электроны. Ионы же просто создают однородный фон поло-
положительных зарядов и обеспечивают электрическую нейтральность
в среднем. Представление об однородном фоне зарядов и об элек-
электронной жидкости можно использовать только в том случае, когда
характерные длины велики, по крайней мере по сравнению с рас-
расстоянием между частицами (/ > л<Г1/з)- В действительности имеется
и другая ограничивающая длина—дебаевский радиус экранирования,
?Z2____ Гл. 1о. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
которая при обычных температурах плазмы больше чем /z-1'1».
Она-то и является реальной границей между мелкомасштабным
индивидуальным движением отдельных частиц и коллективным
движением жидкости (см. § 10).
Чтобы избежать излишних осложнений, мы рассмотрим только
высокочастотные колебания плазмы, пренебрегая движением ионов.
Мы будем также пренебрегать и влиянием столкновений. Электро-
Электроны, имеющие заряд е и массу т, описываются плотностью n(x, t)
и средней скоростью v(x, t). Равновесные плотности зарядов
ионов и электронов равны qp en0. Уравнения движения электронной
жидкости запишем в виде
A0.88)
где тепловая кинетическая энергия электронов учитывается элек-
электронным давлением р (которое предполагается скалярным). Плот-
Плотности заряда и тока соответственно описываются соотношениями
Qe = e(n — n0),
A0.89)
и, следовательно, уравнения Максвелла можно записать в виде
divE = 4tt?(n — п0),
divB = 0,
rotE + 1-^O, A0.90)
дЕ 4леп
Предположим теперь, что в невозмущенном состоянии электрон-
электронная жидкость покоится, ее плотность равна п = п0, а поля отсут-
отсутствуют, и рассмотрим малые отклонения от этого состояния, обус-
обусловленные j некоторыми начальными возмущениями. Система
линеаризованных уравнений включает уравнения
E + ( gradn = 0,
dt m ' mn0 V дп Ль A0.91)
div E
rotB—i-g--
§ 9. Высокочастотные плазменные колебания 371
и два однородных уравнения Максвелла. Здесь п (х, t) и v (x, t)—
отклонения от равновесных величин. В том случае, когда внешнее
магнитное поле Во отлично от нуля, во второе уравнение A0.91)
следует добавить член (v x В0)/с (см. задачу 10.7). Поскольку
флуктуационное поле В является величиной первого порядка
малости, то произведение v x В имеет второй порядок малости
и должно быть отброшено. Первое уравнение A0.91) фактически
не является независимым и может быть получено из третьего и чет-
четвертого.
Поскольку уравнение движения в системе A0.91) не содержит
магнитного поля, то следует ожидать, что существуют решения
чисто электростатической природы с В = 0. Комбинируя урав-
уравнение непрерывности и уравнение движения, мы получаем волно-
волновое уравнение для флуктуации плотности
?Л V2n=0. A0.92)
ir- graddivE = crot-^- . A0.93)
дп у 0 ь dt v '
С другой стороны, дифференцируя по времени уравнение Ампера
и уравнение движения и комбинируя их, мы приходим к следую-
следующему уравнению для полей:
д2Е ( fAne2n0\ р 1 ( др \ , ,. р ^+ дВ
'о
Структура левых частей уравнений A0.92) и A0.93), по существу,
одинакова. Поэтому мы вполне можем положить, не опасаясь несов-
несовместности уравнений, что dB/dt = 0. Поскольку статические поля
уже исключены, то мы пришли к случаю В = 0. При dB/dt — 0
из закона Фарадея вытекает, что rot Е = 0 и, следовательно, поле Е
равно градиенту скалярного потенциала. Каждая составляющая
поля Е, очевидно, удовлетворяет тому же уравнению A0.92),
что и флуктуации плотности. В пренебрежении электронным дав-
давлением в A0.92) плотность, скорость и электрическое поле колеб-
колеблются с плазменной частотой
< = 4-^. A0.94)
Если же член с давлением существен, то мы получаем следую-
следующее дисперсионное соотношение для частоты:
©2=0J -f-^Y-д^Л k2. A0.95)
Определение коэффициента при k2 требует известной аккурат-
аккуратности. Мы можем считать, что р и п связаны адиабатическим соот-
соотношением р = ро (я/яоO, но обычная акустическая величина
У — 5/з> соответствующая газу частиц с тремя внешними степенями
свободы, но без внутренних степеней свободы, неприменима. Это
372 Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
объясняется тем, что частота рассматриваемых колебаний плот-
плотности в противоположность акустическому случаю много больше
частоты столкновений. Поэтому колебания плотности имеют суще-
существенно одномерную природу и, следовательно, определяются вели-
величиной у, соответствующей одной трансляционной степени свободы.
Поскольку у = (т -\-2)/т, где т — число степеней свободы,
то мы получаем, что для нашего случая у = 3 и
±(^) = 3-^. A0.96)
т V дп J о тп0 v '
Используя соотношение р0 = п0КТ и определяя средний квадрат
составляющей скорости в одном направлении (параллельном элек-
электрическому полю) соотношением
ш(и2)=КТ, A0.97)
мы можем записать дисперсионное соотношение A0.95) в виде
co2 = g4 + 3(u2>&2. A0.98)
Это соотношение является приближенным. Оно справедливо для
случая длинных волн и в действительности представляет собой
два первых члена в разложении по моментам распределения ско-
скоростей электронов (см. задачу 10.6). Записанное в форме A0.98)
дисперсионное соотношение имеет более широкую область примени-
применимости, чем рассмотренный при его выводе случай идеального газа.
Оно применимо, например, также к плазменным колебаниям в вы-
вырожденном электронном ферми-газе, в котором заполнены все ячей-
ячейки в пространстве скоростей, лежащие внутри сферы с радиусом,
равным скорости Ферми VF. При этом среднее значение квадрата
составляющей скорости будет
<и2> = уУ$.. A0.99)
Квантовые эффекты входят явно в дисперсионное соотношение
только в членах более высокого порядка в разложении по k2.
Колебания, описанные выше, являются продольными электро-
электростатическими колебаниями, при которых колеблющихся магнитных
полей нет. Это означает, что они не могут возбудить излучение
в неограниченной плазме. Однако в плазме существуют и другие
типы колебаний, которые представляют собой поперечные элек-
электромагнитные волны. Для нахождения различных возможных
плазменных колебаний мы предположим, что все величины изме-
изменяются как exp (ik-x— itot), и определим характеристическое
соотношение между со и к, как это было сделано для магнитогидро-
динамических волн в § 8. При таком предположении линеаризо-
линеаризованные уравнения A0.91) и два однородных уравнения Максвелла
§ 9. Высокочастотные плазменные колебания 373
примут вид
(О
ieE 3<ц») п
к
moo со /г0 '
кхЕ В.
Из уравнений Максвелла можно выразить v через к и Е:
Далее, используя уравнение движения и уравнение непрерывности
для Е, исключим v и получим уравнение, содержащее только Е:
)k=:0. A0.102)
Если представить Е в виде суммы составляющих, параллельной
и перпендикулярной к,
, Л
то A0.102) запишется в виде двух уравнений
(со2-с4-3<ц2>/г2)Еп=:0>
/2 2 JP n A0.104)
(со2 —сор —c2fe2)E^ = 0.
Первое из этих уравнений показывает, что продольные волны удов-
удовлетворяют дисперсионному соотношению A0.98), рассмотренному
выше, а из второго уравнения следует существование двух попереч-
поперечных волн (с различными поляризациями), дисперсионное соотно-
соотношение для которых имеет вид
со2-соР+с2?2. A0.105)
Соотношение A0.105) совпадает с дисперсионным соотношением для
поперечных электромагнитных волн, описанных с другой точки зре-^
ния в гл. 7, § 9. В отсутствие внешних полей электростатические
колебания и поперечные электромагнитные колебания не связаны
друг с другом. Однако при наличии, например, внешнего маг-
374 Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
нитного поля уравнение движения имеет дополнительный член,
содержащий магнитное поле, и поэтому колебания становятся свя-
связанными (см. задачу 10.7).
§ 10. Коротковолновые плазменные колебания.
Дебаевский радиус экранирования
При рассмотрении плазменных колебаний мы до сих пор не
уточняли верхнего предела волновых чисел, выше которого уже
неприменимо представление о коллективных колебаниях. Очевид-
Очевидно, одним верхним пределом для волновых чисел является п\^.
Чтобы составить более точное представление о верхнем пределе,
следует обратиться к соотношению A0.98) для продольных колеба-
колебаний. Для длинных волн частота колебаний очень близка к со = сор
Существенное отклонение частоты от сор имеет место только для
волновых чисел, сравнимых с дебаевским волновым числом kD
(О2
feb=^. A0.106)
Для волновых чисел k < kD фазовая и групповая скорости
продольных плазменных колебаний выражаются следующим обра-
образом:
A0.107)
v
ГР
Из определения kD видно, что для волновых чисел k < kD фазо-
фазовая скорость много больше, а групповая скорость много меньше
среднеквадратичной тепловой скорости (ц2I/?. При возрастании
волнового числа до kD фазовая скорость уменьшается от большой
величины до (ц2I^. Следовательно, при волновых числах порядка
kD волна движется со столь малой скоростью, что имеются зна-
значительные группы электронов, движущихся быстрее волны, мед-
медленнее волны и приблизительно вместе с волной. Иными словами,
фазовая скорость лежит на склоне кривой теплового распределе-
распределения. То обстоятельство, что скорость волны сравнима с тепловыми
скоростями электронов, и является причиной возникновения меха-
механизма передачи энергии, который приводит к разрушению колеба-
колебательного движения. Этот механизм состоит в захвате частиц дви-
движущейся волной, в результате чего энергия передается от движу-
движущейся волны к частицам. Обусловленное этим затухание волны
называется затуханием Ландау.
Детальный расчет затухания Ландау выходит за рамки данной
книги. Однако мы можем качественно описать механизм этого
§ 10. Коротковолновые плазменные колебания
375
явления. На фиг. 10.13 показано распределение электронных ско-
скоростей с некоторым среднеквадратичным разбросом и максвеллов-
ским хвостом на высоких скоростях. При малых k фазовая ско-
скорость лежит далеко на хвосте распределения, и затухание пренебре-
пренебрежимо мало. Но если k-+kD, то фазовая скорость оказывается на
склоне распределения, как показано на фиг. 10.13, и значительное
количество электронов имеют тепловые скорости, сравнимые с Vфaз.
При этом вокруг v = Уфаз имеется интервал скоростей Av, где
no(v)
Фиг. 10.13. Распределение тепловых скоростей электронов.
электроны движутся столь медленно относительно^ волны, что они
могут быть захвачены в потенциальную яму и увлечены волной,
движущейся со скоростью уфаз. Если в интервале Av число частиц
со скоростью v < Уфаз, т. е. двигавшихся сначала медленней
волны, больше числа частиц со скоростями v > Уфаз (как пока-
показано на фиг. 10.13), то процесс захвата ведет в среднем к возраста-
возрастанию энергии частиц и потере энергии волны. В этом и состоит меха-
механизм затухания Ландау. Детальный расчет показывает, что при
k < kD это затухание соответствует мнимой части частоты, равной
A0.108)
При выводе формулы A0.108) предполагается максвелловское рас-
распределение скоростей. При k > kD постоянная затухания больше
значения, определяемого формулой A0.108), и быстро становится
намного больше действительной части частоты A0.98).
Формула Ландау A0.108) показывает, что при k < kD продоль-
продольные плазменные колебания почти не затухают. Но затухание ста-
становится существенным при k ~ kD (даже для k = O,bkD мы
имеем Im со^ —сор/6). При волновых числах, превышающих
дебаевское волновое число, затухание столь велико, что уже не имеет
смысла говорить об упорядоченных колебаниях.
37fi Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
Можно привести другое рассмотрение, которое совершенно от-
отлично от вышеизложенного, но дает то же самое предельное дебаев-
ское волновое число в качестве границы коллективных колебаний.
Мы знаем, что электронная плазма представляет собой систему
электронов и однородного фона положительных зарядов. В мелком
масштабе ее поведение должно описываться как последовательность
множества двухчастичных кулоновских столкновений. Однако
в больших масштабах поведение электронов становится коллек-
коллективным. Если где-либо появляется локальный излишек положитель-
положительных зарядов, то электроны стремятся быстро нейтрализовать его.
Такой коллективный отклик на флуктуации заряда и приводит
к крупномасштабным плазменным колебаниям. Но помимо этих
коллективных колебаний, или, лучше сказать, благодаря этим
колебаниям, коллективный отклик электронов препятствует даль-
нодействующему характеру кулоновского взаимодействия между
частицами. Отдельный электрон можно рассматривать как флук-
флуктуацию плотности заряда. Окружающие электроны отталкиваются
таким образом, что стремятся заэкранировать кулоновское поле
рассматриваемого электрона, превращая кулоновское взаимодей-
взаимодействие в короткомасштабное. Собственно этого и следовало ожи-
ожидать,, если учесть, что единственным источником электростатиче-
электростатического взаимодействия являются кулоновские силы, действующие
между частицами. Если исключить ту часть, которая вызывает
длинноволновые коллективные плазменные колебания, то остаются
короткомасштабные взаимодействия между частицами.
Нестрогий вывод описанного выше экранирующего эффекта был
впервые дан Дебаем и Хюккелем в их теории электролитов. Пред-
Предположим, что мы имеем плазму, электроны которой находятся
в тепловом равновесии в поле с электростатическим потенциалом
Ф. При этом функция их распределения пропорциональна множи-
множителю Больцмана e~HfKr, где Н — функция Гамильтона для элект-
тронов. Поэтому пространственная плотность электронов описы-
описывается выражением
п(х) = пое~«*'КТ. A0.109)
Пусть пробный заряд Ze, расположенный в начале координат, вне"
сен в объем, где находятся эти электроны и однородный фон поло-
положительных ионов (с плотностью заряда —еп0). Результирующий
потенциал Ф определится уравнением Пуассона
У2Ф=—4nZ*>6(x) — 4я^0(^-вФ/кг— 1) A0.110)
Если предположить, что величина еФ/КТ мала, то, линеаризуя
это уравнение, мы получаем
, A0.111)
^ Рекомендуемая литература 377
где
kh^-^f, A0.112)
что является другой формой записи соотношения A0.106). Урав-
Уравнение A0.111) имеет сферически симметричное решение
<D(r) = Ze-^, A0. ПЗ)
которое показывает, что электроны перераспределяются таким обра-
образом, что кулоновское поле пробного заряда экранируется на рас-
расстоянии порядка kj}. Величина радиуса экранирования определяет-
определяется соотношением между тепловой кинетической энергией и электро-
электростатической энергией. Численно величина к~в выражается следу-
следующим образом:
kh1 = 6,91 (-^-J12 см, A0.114)
где Т — температура в градусах Кельвина, а п0 — число электро-
электронов в 1 см3. Для типичного случая горячей плазмы с Т = 106 °К
и п0 — Ю15 см'3 получим kh1 « 2,2- 1(Г4 см.
Для вырожденного электронного газа при низких температурах
дебаевское волновое число kD заменяется волновым числом Фер-
Ферми kF
*F~-?j-. A0.115)
где VF — скорость на поверхности ферми-сферы. Такая величина
радиуса экранирования может быть получена из обобщения теории
Дебая — Хюккеля, данного Ферми и Томасом. Она, естественно,
согласуется с дисперсионным соотношением A0.98) с учетом среднего
квадрата скорости A0.99).
Радиус экранирования Дебая — Хюккеля является естествен-
естественной границей между короткомасштабными парными столкновениями
и крупномасштабными коллективными эффектами, такими, как
колебания плазмы. К счастью, как можно показать независимо?
плазменные колебания с более короткими длинами волн не могут
существовать из-за сильного затухания.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Количество литературы по магнитной гидродинамике и физике плазмы
быстро растет. Значительная часть вышедших книг представляет собой
сборники статей, представленных на конференции и симпозиумы. Эти книги
интересны для специалистов, но не годятся для начинающих. Можно указать
две книги по магнитной гидродинамике, в которых дано цельное изложение
интересующего нас вопроса,— это книги Альфвена [4] и Каул^нга [34].
378 Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
Краткое изложение магнитогидродинамики дано в книге Ландау и Лифши-
ца [64], гл. 8. Монографии Чандрасекара [26], Линхарта [67], Саймона
[96] и Спитцера [104] посвящены в основном физике плазмы.
Проблема управляемых термоядерных реакций и значительный мате-
материал по основам физики плазмы излагаются в книгах Глесстона и Ловбер-
га [45], а также Роуза и Кларка [84].
Дополнение редактора. Прекрасным введением в физику плазмы в при-
применении к проблеме управляемой термоядерной реакции может служить
книга Арцимовича [121]. Для более детального ознакомления с этим
кругом вопросов можно рекомендовать серию сборников под общим назва-
названием «Вопросы теории плазмы» [123].
ЗАДАЧИ
10.1. Бесконечно длинный твердый круглый металлический цилиндр
имеет радиус R/2 и проводимость а. Вокруг него расположен тесно примы-
примыкающий, но изолированный от него полый цилиндр из того же материала
с внутренним радиусом R/2 и внешним радиусом R. Под действием внешне-
внешнего напряжения вдоль внешнего и внутреннего цилиндров текут равные,
но противоположно направленные токи, однородно распределенные по
поперечному сечению цилиндров. При t = 0 приложенное напряжение
снимается.
а) Найти распределение магнитного поля внутри цилиндров, существо-
существовавшее до момента t = 0.
б) Найти зависимость магнитного поля от времени после момента / = 0,
пренебрегая токами смещения.
в) Каково поведение магнитного поля в функции от времени на большом
интервале времени? Определить, что следует понимать под большим интер-
интервалом времени.
10.2. Сравнительно устойчивый самосжатый плазменный столб можно
получить, создавая внутри плазмы перед ее сжатием продольное магнитное
поле. Пусть в начальный момент плазма заполняет проводящую трубу радиу-
радиусом Ro, внутри которой имеется однородное продольное магнитное поле Bz0.
Затем вдоль трубы прикладывается напряжение, так что начинает течь
продольный ток, создающий азимутальное магнитное поле.
а) Показать, что, применяя условия равновесия, можно получить сле-
следующее уравнение баланса давлений:
_9 _9 Г2 _О
б) Пусть плазма имеет резкую границу и столь большую проводимость,
что ток течет только в тонком поверхностном слое. Показать, что при этих
условиях радиус плазменного столба R (t) в квазистатическом приближе-
приближении описывается уравнением
t
где
a EqI (f) — приложенное электрическое поле.
Задачи 379
в) Пусть начальное продольное магнитное поле равно 100 гаусс, а при-
приложенное электрическое поле в начальный момент равно 1 в/см и спадает
почти линейно до нуля за 1 мсек. Определить конечный радиус, если началь-
начальный радиус равен 50 см. Эти условия приблизительно соответствуют англий-
английской тороидальной установке «Зета», но из-за внешних индуктивностей
достигнутое в ней сжатие меньше расчетного (см. [24]).
10.3. Рассмотреть магнитогидродинамические волны в сжимаемой невяз-
невязкой идеально проводящей жидкости в однородном статическом магнитном
поле Bq- Если направление распространения не параллельно и не перпен-
перпендикулярно Во, то волны не разделяются на чисто продольные (магнитозву-
ковые) и поперечные (альфвеновские). Пусть угол между направлением
распространения, характеризуемым волновым вектором к, и полем Во равен 6.
а) Показать, что имеются три различные волны, фазовые скорости кото-
которых определяются формулами
у ) ± -I [(s2 + ^J
где s— скорость звука в жидкости, a vA = (Б§/4яд0I/2—альфвеновская
скорость.
б) Найти волновые векторы этих трех волн и убедиться, что первая
(альфвеновская) волна всегда поперечна, в то время как другие две волны
не являются ни продольными, ни поперечными.
в) Определить фазовые скорости и волновые векторы смешанных волн
в предположении, что vA > s. Показать, что для одной из этих волн един-
единственная существенная составляющая скорости параллельна магнитному
полю, а для другой единственная составляющая скорости перпендикулярна
полю и лежит в плоскости, содержащей к и Bq-
10.4. Несжимаемая невязкая идеально проводящая жидкость с постоян-
постоянной плотностью Qo находится в однородном статическом магнитном поле Bq
и на нее действует гравитационное поле с потенциалом г|).
а) Показать, что существуют магнитогидродинамические волны произ-
произвольной амплитуды и формы Bi(x, /), v (x, /), которые описываются уравне-
уравнениями
P+Qoi|>+ ^(Bo + B!J = const.
б) Пусть при t = 0 в жидкости существует некоторое возмущение поля
Bi(x, 0), удовлетворяющее этим уравнениям с верхним знаком. Определить
поведение такого возмущения в функции от времени.
10.5. Уравнение движения для электронной плазмы, в которое включен
феноменологический член, описывающий столкновения, но не учитывается
гидростатическое давление (приближение нулевой температуры), имеет вид
где v — частота столкновений.
380
Гл. 10. Магнитная гидродинамика и физика плазмы
а) Показать, что при наличии однородных внешних статического и маг-
магнитного полей линеаризованное выражение закона Ома для стационарных
токов имеет вид
где тензор проводимости
(op
(OR
1 -?
V
(OR
—*¦ 1
0 1+-
V
a (Op и (ofi — соответственно электронная плазменная и ларморовская часто-
частоты. Направление В выбрано вдоль оси г.
б) Пусть при t = О внезапно включается внешнее электрическое поле Е,
направленное вдоль оси х и перпендикулярное магнитному полю В, направ-
направленному вдоль оси z. Пусть, далее, при t = О ток равен нулю. Найти выра-
выражения для составляющих тока в произвольный момент времени, в том числе
и в период установления.
10.6. Влияние конечной температуры плазмы может быть приближенно
описано с помощью кинетического уравнения Больцмана без учета столкно-
столкновений (уравнение Власова). Пусть / (х, v, t) является функцией распределе-
распределения для электронов (с зарядом е и массой т) однокомпонентной плазмы.
Уравнение Власова имеет вид
где grad^. и gradD— градиенты в пространстве координат и скоростей, а а —
ускорение частицы. Для случая электростатических колебаний плазмы
а = еЕ/т, где Е— макроскопическое электрическое поле, удовлетворяю-
удовлетворяющее уравнению
= 4jie Г [
x, v,
Пусть /0 (v)—нормированная равновесная функция распределения элек-
электронов:
а) Показать, что дисперсионное соотношение для малых продольных
плазменных колебаний имеет вид
k-v —(о
б) Предполагая, что фазовая скорость волны велика по сравнению с теп-
тепловыми скоростями, показать, что это дисперсионное соотношение приводит
к следующему разложению:
(k-v) , Q((k.yJ)
Задачи 381
где знак < > означает усреднение по равновесному распределению fQ (v).
Сравнить этот результат с соответствующим выражением в тексте главы
для модели электронной жидкости.
в) С чем связана особенность дисперсионного соотношения при k-v =©?
10.7. Рассмотреть задачу о волнах в электронной плазме в присутствии
внешнего магнитного поля Во. Использовать при этом модель электронной
жидкости, пренебрегая членами, описывающими давление и столкновения.
а) Написать линеаризованные уравнения движения и уравнения Макс-
Максвелла, предполагая, что все переменные изменяются пропорционально
exp (ik-x — ш/).
б) Показать, что дисперсионное соотношение между частотами различ-
различных типов колебаний и волновыми числами можно записать в виде
0J @J-0J,) @J — 0J, — *2С2J = (й^ ((й2_ ?2С2) [ ^2 (а* — ^— k4*) + <х>2рсЦк- Ь)*],
где b — единичный вектор в направлении Во, о)р и о)в — соответственно
плазменная и ларморовская частоты.
в) Предполагая, что о)# « о)р, найти приближенное поведение корней
для случаев, когда вектор к параллелен b и перпендикулярен Ь. Построить
зависимость оJ от k2 для этих двух случаев.
Глава 11
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Специальной теории относительности посвящено большое коли-
количество книг. Ее история тесно переплетается с историей электромаг-
электромагнетизма. Можно сказать, что формулировка уравнений Максвелла,
объединивших электричество, магнетизм и оптику в единую теорию,
подготовила почву для создания специальной теории относитель-
относительности. Фундамент специальной теории относительности был зало-
заложен Лоренцом в его работах по электродинамике. Но наиболее
определяющие принципы теории были сформулированы Эйнштей-
Эйнштейном, подвергшим критике ряд основных классических понятий.
Хотя специальная теория относительности и ведет свое происхожде-
происхождение от электромагнетизма и оптики, в настоящий момент считают,
что она применима и ко всем другим типам взаимодействий, за
исключением, конечно, крупномасштабных гравитационных явле-
явлений. В современной физике эта теория служит пробным камнем при
оценке правильности представлений о виде взаимодействия между
элементарными частицами. Рассматриваются лишь те гипотезы
о формах взаимодействий, которые согласуются со специальной
теорией относительности, что является весьма существенным огра-
ограничением. Так как экспериментальные основы и развитие теории
детально описаны во многих книгах, мы ограничимся лишь кратким
изложением узловых пунктов.
§ 1. Исторические предпосылки и основные
эксперименты
Последнее сорокалетие девятнадцатого века ознаменовалось
триумфальным шествием волновой теории, основанной на урав-
уравнениях Максвелла. Эта теория позволила дать единое описа-
описание электрических, магнитных и оптических явлений. Из всего
§ 1. Исторические предпосылки и основные эксперименты 383
предыдущего опыта, накопленного при изучении волнового дви-
движения, следовало, что волны всегда распространяются в некоей
среде, поэтому для физиков вполне естественно было предположить,
что для распространения света тоже необходима некоторая среда.
Ряд известных свойств света заставлял предполагать, что эта
среда, называемая эфиром, заполняет все пространство, имеет пре-
пренебрежимо малую плотность и пренебрежимо слабо взаимодействует
с веществом. Она служит только носителем распространяющихся
в ней электромагнитных волн. Однако гипотеза эфира ставила элек-
электромагнитные явления особняком от остальной физики. Давно было
известно, что законы механики одинаковы в различных системах
координат, движущихся равномерно одна относительно другой,
или, иными словами, законы механики инвариантны относительно
преобразований Галилея. Существование эфира подразумевает
неинвариантность законов электромагнетизма относительно гали-
леевского преобразования координат, так как имеется преиму-
преимущественная система координат, в которой эфир покоится и в кото-
которой скорость света в свободном пространстве равна с. В других
системах координат скорость света получается при этом не равной с.
Чтобы избавить электромагнетизм от этого недостатка — невы-
невыполнения принципа относительности Галилея, имеется несколько
путей. Мы можем:
1. Предположить, что скорость света равна с в той системе
координат, в которой покоится источник.
2. Предположить, что преимущественной системой координат для
света является система координат, связанная с материальной средой,
через которую распространяется свет.
3. Предположить, что хотя эфир и очень слабо взаимодействует
с веществом, но это взаимодействие достаточно для того, чтобы
эфир увлекался астрономическими объектами, такими, например,
как Земля.
Однако большое количество экспериментов заставило отказаться
от всех трех гипотез и привело к созданию специальной теории
относительности. Основными экспериментами были следующие:
1) наблюдение аберрации положений звезд за год;
2)*опыт Физо по определению скорости света в движущихся
жидкостях A859 г.);
3) опыт Майкельсона — Морли по обнаружению движения отно-
относительно эфира A887 г.).
Аберрация света звезды (малые сдвиги видимого положения
далеких звезд в течение года) — давно известное явление, которое
элементарно объясняется движением Земли по орбите вокруг Солн-
Солнца со скоростью порядка 3-Ю6 смIсек. Пусть свет звезды падает
нормально к земной поверхности, в то время как скорость движения
Земли по орбите параллельна этой поверхности. Как видно из
384
Гл. 11. Специальная теория относительности
фиг. 11.1, телескоп должен быть наклонен на угол
а ^ — — 10~4 рад,
с
A1.1)
поскольку, пока свет движется вниз к наблюдателю, телескоп
сдвигается в сторону вместе с Землей. Через полгода вектор скоро-
скорости v будет иметь противоположное направление и звезда будет видна
под углом а по другую сторону от вертикали. В течение года види-
видимые положения звезд выписывают на небесной сфере эллиптические
Фиг. 11.1. Аберрация
положения звезды.
орбиты с угловыми размерами порядка A1.1). Это простое объяс-
объяснение аберрации противоречит гипотезам о том, что скорость света
определяется материальной средой, в которой распространяется
свет (в данном случае атмосферой), или что эфир увлекается Землей.
В обоих случаях аберрации не было бы.
Опыт Физо заключается в измерении с помощью интерферометра
скорости света в жидкостях, текущих по трубкам как навстречу
направлению распространения света, так и в том же направлении.
Если показатель преломления жидкости равен п, то в зависимости
от того, какую из гипотез мы принимаем, ожидаемая скорость долж-
должна описываться либо первым, либо вторым из выражений
A1.2)
где v — скорость потока. В действительности же в пределах экс-
экспериментальных ошибок результат, полученный Физо, описывается
формулой
1Л A1.3)
с |
U = — ± V
п
§ 1. Исторические предпосылки и основные эксперименты
385
Этот результат можно согласовать с гипотезой увлечения эфира
Землей, только если предположить, что малые тела лишь частично
способны увлекать с собой эфир. Такое предположение носит до-
довольно искусственный характер х).
Опыт Майкельсона — Морли ставился с целью обнаружения
движения Земли относительно преимущественной системы коор-
координат (связанной с эфиром), в которой скорость света равна с.
Основная установка показана схематически на фиг. 11.2. Свет от
лабораторного источника S фокусируется на полупрозрачную посе-
посеребренную стеклянную пластинку Р, которая делит луч на два луча,
Фиг. 11.2. Опыт
Майкельсона—Морли»
перпендикулярные друг другу. Один из них идет к зеркалу Ми
отражаясь, проходит опять через пластинку Р и попадает в В1у
а другой идет к зеркалу Л42, обратно к пластинке и отражается
к В2. Условия таковы, что оба луча проходят почти одинаковые
расстояния. Малое различие в длине пути или времени распро-
распространения проявляется в сдвиге интерференционных полос, обра-
образуемых двумя лучами. Вся установка была прикреплена к камен-
каменной плите, плавающей в ртути, так что ее можно было поворачивать
вокруг вертикальной оси. Предположим, что скорость Земли v
сквозь эфир параллельна пути распространения света от Р к М2.
При этом скорость света относительно прибора на пути от Р к М2
и обратно есть c±v. Если расстояние от Р до М2 равно d2, то
время, необходимое свету, чтобы пройти от Р до М2 и обратно, равно
A1.4)
С — V
C+V
г) Формула A1.3) была теоретически выведена Френелем в 1818 г. на
основе предположения о том, что модуль упругости эфира в веществе про-
пропорционален /г2.
386 Гл. 11. Специальная теория относительности
Движение света от Р к М i и обратно удобно рассматривать в системе
координат, связанной с эфиром. Очевидно, что длина пути, про-
проходимого лучом, больше расстояния йг от Р до М± вследствие
движения зеркала через эфир со скоростью v.
cizu г——ш, czzn
Геометрические соотношения для этого случая показаны на
фиг. 11.3. Очевидно, sin a = vie, так что длина пути луча
2dt sec a = 2dt
1
а для прохождения этого пути необходимо время
*b 1 A1.5)
Разность времен прохождения для обоих лучей составляет
(Ц.6)
При условии о < с мы можем разложить знаменатели в ряд по
о2 /с2:
Если прибор повернуть на 90°, то времена прохождения ста-
становятся соответственно равными
(Ц.8)
§ 1. Исторические предпосылки и основные эксперименты 387
а их разность в первом порядке по v2 /с2 равна
Поскольку At и At' неодинаковы, при повороте прибора должен
возникнуть сдвиг интерференционных полос, пропорциональный
разности
д*'_Д<= -Ifdi + da)-*. A1.9)
Орбитальная скорость Земли составляет около 3-106 см /сек, поэтому
можно считать, что v2 /с2 имеет величину порядка 10~8, по край-
крайней мере в течение какой-то части года. Для (di-Jrd2) ~ 3-102ом
разность времен A1.9) равна 10~16 сек. Это означает, что соот-
соответствующая длина (которую следует сравнить с длиной волны
света) равна с \ At' — At \ ~ 3-10~6 см = 300 А. Поскольку
длина волны видимого света имеет величину порядка 3000 А, ожи-
ожидаемый сдвиг полос должен составлять около 1 /10 полосы.
Точность опыта Майкельсона — Морли давала возможность
наблюдать относительную скорость 106 см/сек (что в 3 раза меньше
скорости Земли). Однако никакого сдвига полос не было обнаруже-
обнаружено. С тех пор первоначальный эксперимент Майкельсона был мно-
многократно повторен с различными длинами световых путей, но ника-
никаких свидетельств, подтверждающих относительное движение сквозь
эфир, не было найдено. Сводка всех экспериментальных резуль-
результатов приведена в работе Шенкленда и др. [93].
Отрицательный результат опыта Майкельсона — Морли можно
было бы объяснить гипотезой об увлечении эфира. Однако этой
гипотезе противоречит существование явления аберрации света
звезд. Со всеми тремя описанными экспериментами согласуются
лишь так называемые эмиссионные теории, в которых скорость
света считается постоянной относительно источника. Но в § 2 мы уви-
увидим, что целый ряд экспериментов исключает и эти теории. Поло-
Положительной стороной опыта Майкельсона — Морли можно считать
лишение электромагнетизма его исключительного положения в от-
отношении принципа относительности. Не было обнаружено ника-
никаких эффектов, которые зависели бы от движения прибора по отно-
отношению к предполагаемой абсолютной системе отсчета. Следует
отметить, однако, что Фицджеральд и Лоренц A892 г.), сохраняя
понятие эфира, объяснили нулевой результат опытов Майкельсо-
Майкельсона — Морли, постулировав, что при движении сквозь эфир все
материальные тела сокращают свои размеры вдоль направления
движения. Сокращение определяется законом
—J. A1.10)
388 Гл. 11. Специальная теория относительности
Из A1.4) или A1.7) ясно, что эта гипотеза приводит в формуле A1.9)
к нулевому значению разности At' — At. Гипотеза сокращения
Фицджеральда — Лоренца была, по-видимому, последней надеж-
надеждой сторонников теории эфира, и в ней уже содержатся зачатки спе-
специальной теории относительности. В специальной теории относи-
относительности явление сокращения вытекает из общих принципов и
применимо ко всем системам, движущимся относительно друг друга.
Наряду с изменением масштабов имеет место также твердо уста-
установленное экспериментально явление замедления времени (кото-
(которое не было постулировано Фицджеральдом и Лоренцом). Эти
вопросы будут рассмотрены в § 3 настоящей главы.
§ 2. Постулаты специальной теории
относительности и преобразование Лоренца
В 1904 г. Лоренц показал, что уравнения Максвелла в свобод-
свободном пространстве инвариантны относительно преобразования
координат A1.19) (которое называется теперь преобразованием Лорен-
Лоренца), если принять, что напряженности полей также преобразуются
подходящим образом. В предположении, что все вещество имеет
электромагнитную природу и поэтому для него справедливы уравне-
уравнения Максвелла, Лоренцу удалось вывести закон сокращения
A1.10). Затем Пуанкаре показал, что при соответствующем преобра-
преобразовании плотностей зарядов и токов все уравнения электродинамики
становятся инвариантными относительно преобразования Лоренца.
В 1905 г. почти одновременно с Пуанкаре и не зная о работе Лорен-
Лоренца, Эйнштейн сформулировал в общей и вполне замкнутой форме
специальную теорию относительности, где были, в частности, полу-
получены результаты Лоренца и Пуанкаре и было показано, что исход-
исходные принципы имеют гораздо более широкую область применимо-
применимости. Вместо того чтобы исходить из электродинамики, Эйнштейн
показал, что достаточно лишь двух постулатов, один из которых
касается весьма общего свойства света.
Два постулата Эйнштейна заключаются в следующем:
. Постулат относительности
Законы природы и результаты всех опытов, производимых
в какой-либо системе отсчета, не зависят от равномерного пря-
прямолинейного движения системы в целом. Таким образом,
существует трижды бесконечное множество эквивалентных
систем отсчета, которые движутся прямолинейно с постоянными
скоростями относительно друг друга и в которых все физиче-
физические явления происходят одинаково.
Для краткости эти эквивалентные координатные системы назы-
называют галилеевскими системами отсчета. Постулат относительности
§ 2. Постулаты специальной теории относительности 389
согласуется со всем нашим опытом, накопленным в механике, где
имеет смысл только относительное движение тел. Он согласуется
также с опытом Майкельсона — Морли и делает бессмысленной
постановку вопроса об определении движения относительно эфира.
12. Постулат постоянства скорости света
Скорость света не зависит от движения источника.
Эта гипотеза, которая в момент ее выдвижения Эйнштейном
еще не была подтверждена экспериментально, является необходи-
необходимой и решающей предпосылкой для получения преобразований
Лоренца и всех их следствий (см. ниже). Поскольку этот постулат
противоречит нашему классическому представлению о времени
как о переменной, не зависящей от пространственных координат,
то длительное время его не признавали. Было сделано много
остроумных попыток создания теорий, которые объяснили бы все
наблюдаемые явления без привлечений этой гипотезы. Одной из
выдающихся попыток было видоизменение электродинамики, пред-
предложенное Ритцем. В этой теории два однородных уравнения Макс-
Максвелла оставлялись без изменений, а уравнения, содержащие источ-
источники, видоизменялись таким образом, чтобы скорость света была
равна с, только при измерении ее относительно источника.
В настоящее время экспериментально доказано, что все эти теории
неверны, и установлено постоянство скорости света независимо
от движения источника. Одним из таких экспериментов был опыт,
поставленный с интерферометром Майкельсона—Морли, где
вместо земного источника света использовался свет звезд. При этом
не было обнаружено никаких эффектов, связанных с изменением
скорости света из-за относительного движения звезды и Земли.
Другой эксперимент, где использовался свет от вращающихся двой-
двойных звезд, показал, что скорость света в пределах точности не за-
зависит от движения звезд к нам или от нас (если с = с + kv, то
| k | < 0,002).
Постоянство скорости света независимо от движения источника
позволяет найти связь между пространственно-временными коор-
координатами в различных галилеевских системах отсчета. Рассмот-
Рассмотрим для этого две координатные системы К и К. Система К дви-
движется относительно системы К со скоростью v в положительном
направлении вдоль оси z таким образом, что координатные оси обеих
систем остаются параллельными (фиг. 11.4). Пространственно-вре-
Пространственно-временные точки в этих двух системах мы обозначим соответственно
через (лс, у, z, t) и (*', у\ z\ f). Предположим для простоты, что
время в обеих системах отсчитывается от того момента t = ? = 0,
когда координатные оси этих систем точно совпадали. Пусть наблю-
наблюдатели в каждой из систем снабжены всеми необходимыми прибора-
390
Гл. 1J. Специальная теория относительности
ми (например, системой сверенных часов и фотоэлементами, распо-
расположенными на известных расстояниях от начала координат), кото-
которые позволяют определить время прибытия светового сигнала из
начала координат в различные точки пространства. Если в системе
К имеется покоящийся источник света (так что в системе К он дви-
движется со скоростью v в отрицательном направлении оси z), который
вспыхивает и быстро гаснет в момент t = t' — 0, то, согласно вто-
второму постулату Эйнштейна, оба наблюдателя с помощью своей систе-
системы фотоэлементов должны обнаружить сферическую световую
х
Фиг. 11.4.
волну, расходящуюся от соответствующего начала координат со
скоростью с. Следовательно, время прибытия импульса на детек-
детектор; находящийся в точке х, у, г в системе К, будет удовлетворять
уравнению
Аналогично в системе К' волновой фронт описывается уравнением
— с*Г* = 0. A1.12)
На первый взгляд соотношения A1.11) и A1.12) противоречат
первому постулату Эйнштейна. Если оба наблюдателя, находящих-
находящихся в различных координатных системах, видят сферические волны
с центрами в началах координат каждой системы, то эти сферы
должны быть различными! Это кажущееся противоречие устраняет-
устраняется, если допустить возможность того, что события, одновременные
в одной координатной системе, не обязательно одновременны в дру-
другой координатной системе, движущейся относительно первой.
Мы вправе ожидать теперь, что время не является абсолютной
§ 2. Постулаты специальной теории относительности
391
величиной, не зависящей от пространственных переменных и отно-
относительного движения.
Для получения связи между координатами (*', у', z\ t') в си-
системе К и координатами (х, у, z, t) в системе К достаточно потре-
потребовать, чтобы соответствующее преобразование было линейным.
Это требование представляется весьма правдоподобным и эквива-
эквивалентно предположению об однородности и изотропности простран-
пространства — времени. Если преобразование линейно, то связь между
квадратичными формами A1.11) и A1.12) может иметь лишь следую-
следующий вид:
х'* + у'* + г'* — сН'* = Х*(х* + у* + г* — сФ), A1.13)
где X = X(v) и X @) = 1. Введение множителя X предполагает
возможность изменения масштаба при переходе от К к Кг. При этом
поверхность излученного импульса в обеих системах остается сфе-
сферой. Поскольку мы предположили, что система К движется парал-
параллельно оси z системы /С, то очевидно, что преобразование х и у'
должно иметь вид
и не содержать времени, так как движение, параллельное оси
z в системе /С, должно оставаться таким же и в системе К- Наиболее
общее линейное преобразование, связывающее г\ f с z, t, имеет
вид
г' = X {а^г + a2t), V = X (b^ + b2z), A1.15)
где для удобства выделен множитель X. Коэффициенты аь а2, bt и Ь2
являются функциями v и имеют следующие предельные значения
при v ->0:
1
lim
и->0
а2
(иле)
Начало координат системы К' движется в системе К со скоростью
v. Следовательно, его положение определяется равенством z = vt.
Отсюда следует, что в соотношениях A1.15) а2 =—va^. Подста-
Подставляя A1.15) в A1.13), мы приходим к трем алгебраическим урав-
уравнениям для аи bt и й2- Решая эти уравнения, получаем следую-
следующие величины:
CL\ = Ь\ =
^^ A1.17)
392
Гл. 11. Специальная теория относительности
где знак выбран в соответствии с A1.16). Нам остается теперь
только определить k(v). Введем третью систему отсчета /(", дви-
движущуюся со скоростью —v вдоль оси z относительно системы К-
При этом координаты (х", у", z", t") выражаются через (х\ у\
z', f) с помощью полученных выше формул, если просто изменить
Фиг. П.5.
знак v. Но система /(" это не что иное, как исходная система К,
так что х" = х, у" = у, z" = z, t" — t. Это приводит к требованию
v)=l. A1.18)
Поскольку множитель X(v) выражает изменение масштаба в попе-
поперечном направлении, он не должен зависеть от знака v, откуда сле-
следует, что X(v) = 1. Теперь мы уже в состоянии написать преобра-
преобразование Лоренца, связывающее координаты в системе К' с коорди-
координатами в системе К:
Z ~=~- ¦
X =
I —
1.
Это преобразование соответствует частному случаю, когда
относительное движение систем К я К' параллельно оси г. Нетрудно
получить также соответствующие соотношения для произвольного
направления скорости v движения системы К! относительно К
(фиг. 11.5). Соотношения A1.19), очевидно, относятся к составляю-
составляющим радиуса-вектора х, параллельным и перпендикулярным v:
х,, — xt
xll =:
t —
VI-
A1.20)
§ 3. Сокращение Фицджеральда — Лоренца и замедление времени 393
Согласно определению, хм = (v-x) v/y2, xj_ = х — хц и, следова-
следовательно, уравнения A1.20) приводят к общему преобразованию
Лоренца х):
, . / 1 - N х-v 1 ,
X — X ( " 1 ) }г~ V ~~ \1 *
\y\ — V2/c2 J V* /1_У2/С2
/ х.уЛ AL21)
Следует подчеркнуть, что A1.21) описывает одно преобразование
Лоренца к системе отсчета К\ движущейся со скоростью v отно-
относительно системы К- Два последовательных преобразования Лорен-
Лоренца, вообще говоря, неперестановочны. Можно показать, что они
перестановочны лишь в том случае, когда относительные ско-
скорости параллельны. Следовательно, три последовательных пре-
преобразования для скоростей, соответствующих составляющим v
по трем взаимно перпендикулярным направлениям, приводят к раз-
различным результатам в зависимости от порядка применения пре-
преобразований и ни одно из них не совпадает с A1.21) (см. задачу
11.2).
§ 3. Сокращение Фицджеральда — Лоренца
и замедление времени*)
Как отмечалось выше, Фицджеральд и Лоренц предложили пра-
правило сокращения A1.10) для размеров предметов вдоль направления
их движения со скоростью v относительно эфира. Лоренц обосновал
этот закон электродинамически, исходя из свойств уравнений Мак-
Максвелла при преобразованиях Лоренца. Мы сейчас покажем, что
сокращение длины в направлении движения является общим зако-
законом, применимым к любому относительному движению. Рассмотрим
стержень длиной Lo, расположенный вдоль оси г' и покоящийся
в системе К\ обсуждавшейся в § 2 (фиг. 11.6). По определению,
^о = Z2 — zi> гДе zi и г2 — координаты концов стержня в системе
/С'. В системе К длина L стержня равна, опять-таки по опреде-
х) Термин «общее» обычно не применяется к преобразованию A1.21).
Здесь он означает только, что скорость v может иметь произвольное направ-
направление. Более общее преобразование предполагает также поворот осей системы
К относительно К'. Но и такое преобразование Лоренца не является наиболее
общим,так как оно остается однородным по координатам. Общее неоднородное
преобразование Лоренца включает также перенос начала координат в про-
пространстве— времени (см. [74]).
2) Автор пользуется несколько устарелыми терминами «сокращение
длины», «замедление времени», которые в свое время вызывали ряд философ-
философских кривотолков. Мы сочли возможным сохранить эти термины, полагая,
что у современного читателя они не вызовут никаких недоразумений.—
Прим. ред.
394 Гл. 11. Специальная теория относительности
лению, L = z2— Zi, где z4 и z2 — мгновенные значения коор-
координат концов стержня, измеренные в один и тот же момент
времени /. Согласно A1.19), длина стержня в системе К' равна
т _у у ==_I^rZi — L A1.22)
что и совпадает с результатом Фицджеральда — Лоренца A1.10).
Подчеркнем еще раз, что в системе К длина определяется измере-
измерением координат концов стержня в один и тот же момент времени /.
х
X
Фиг. 11.6. Движущийся стер-
жень (сокращение Фицдже-
ральда — Лоренца)
То, что в системе К' это соответствует различным моментам вре-
времени, не имеет отношения к измерению длины в системе К- Это еще
одна иллюстрация относительности понятия одновременности
событий.
Другим следствием специальной теории относительности являет-
является замедление времени. Часы, движущиеся относительно наблю-
наблюдателя, представляются идущими более медленно, чем покоящиеся
часы. Наиболее «физичными» из имеющихся в нашем распоряжении
часов являются нестабильные элементарные частицы. Частицы
данного типа распадаются в состоянии покоя за вполне определен-
определенное (среднее) время жизни, не зависящее от внешних воздействий, за
исключением ядерных и атомных сил, которые приводят к хорошо
известным изменениям х). Эти частицы можно использовать в ка-
качестве «часов», которые можно наблюдать как в состоянии покоя,
так и в состоянии движения. Допустим, что мы рассматриваем мезон
со временем жизни покоя, равным т0, покоящийся в системе К\
которая движется с постоянной скоростью v относительно системы
х) Например, отрицательные jx-мезоны могут быть захвачены на водородо-
подобные орбиты вокруг ядер, энергиями связи которых нельзя пренебречь
по сравнению с энергией, высвобождающейся при распаде. Так как ско-
скорость распада существенно зависит от выделяющейся энергии (примерно
как пятая степень АЕ), то сильно связанный отрицательный jx-мезон имеет
значительно меньшую скорость распада, чем такой же свободный мезон.
§ 3. Сокращение Фицджеральда — Лоренца и замедление времени 395
/С. Предположим, что мезон родился в момент времени f = t = 0
в начале координат системы К'. Очевидно, в системе К положение
мезона определяется координатой z = vt. Если в системе К! он
живет в течение времени т0, а затем распадается, то мы находим
Время t — это время жизни мезона т, измеренное в системе К.
Следовательно,
т = , т° A1.24)
Итак, при наблюдении в системе /С движущийся мезон живет доль-
дольше, чем мезон, который покоится в системе К- Движущиеся часы
кажутся идущими медленнее, чем такие же покоящиеся часы.
Замедление времени наблюдалось на [х-мезонах большой энер-
энергии в космических лучах. Такие мезсны образуются в качестве вто-
вторичных частиц на высоте порядка 10—20 км, и большая часть из
них достигает поверхности Земли. Так как среднее время жизни
fx-мезона равно т0 = 2,2-10~6 сек, то, если бы не было замедления
времени, он проходил бы до распада в среднем расстояние не боль-
большее сх0 = 0,66 км. Очевидно, имеет место увеличение времени
жизни не менее чем в 10 раз, что согласуется с большой энергией
этих частиц (их скорость близка к скорости света).
Нетрудно поставить и лабораторный эксперимент по определе-
определению эффекта замедления времени для я-мезонов. Заряженный я-ме-
зон имеет среднее время жизни 2,56-10~8 сек. В Колумбийском
университете был поставлен опыт *) по определению числа заряжен-
заряженных я-мезонов, распадающихся в полете на единице длины, в функ-
функции расстояния от источника мезонов (см. [38]). Скорость мезо-
мезонов v составляла около 0,75с. Число мезонов, распадающихся
на единице длины, должно следовать экспоненциальному закону
где X — средний свободный пробег, ах — расстояние от источника
(с учетом поправки на конечный телесный угол и т. п.). На фиг. 11.7
схематически показаны результаты этого опыта. Средний свобод-
свободный пробег оказался равным X = 8,5 dz 0,6 м. Поскольку X = хп,
лабораторное время жизни т равно C,8 ± 0,3)-10~8 сек.
*) В действительности этот эксперимент ставился для определения вре-
времени жизни я-мезонов, а эффект замедления времени жизни считался извест-
известным. Однако, если считать время жизни известным, аргументация может
быть обращена так, как мы это делаем здесь.
396
Гл. 11. Специальная теория относительности
следовательно,
3,8±0,3
2,56
Эту величину следует сравнить с величиной 1,51, получающейся
согласно A1.24) при v = 0,75с. Лабораторный опыт по определе-
Nlx)
Фиг. 11.7. Схематическая за-
зависимость числа я-мезонов,
распадающихся на единице
длины, от расстояния до источ-
источника.
О
нию замедления времени не столь эффектен, как наблюдение косми-
космических лучей, но имеет много преимуществ, так как он ставится
в контролируемых условиях и в сравнительно малом объеме.
§ 4. Сложение скоростей. Аберрация и опыт Физо.
Допплеровское смещение
Преобразование Лоренца A1.19) можно использовать и для на-
нахождения закона сложения скоростей. Предположим, что в системе
К имеется вектор скорости и', образующий с осью z полярные углы
0' и ф' (фиг. 11.8). Система К движется относительно системы
К в г-направлении со скоростью v. Мы хотим определить составляю-
составляющие скорости и в системе /С. Из преобразования A1.19), или лучше
из обратного к нему, мы получаем следующие выражения для
дифференциалов dx, dy, dz и dt:
dz' + vdt'
t' + (v/c*)dz'
Отсюда получаем составляющие скорости:
A1.25)
A1.26)
§ 4. Сложение скоростей
397
u'cosQ'
Легко определить также абсолютную величину и углы 0 и ф ско-
скорости и в системе К- Так как их/иу = их/иу, то азимутальные
углы совпадают: ф = ф'. Далее
A1.27)
Обратное представление (и\ 0') через (и, 0) получается перестанов-
перестановкой и+-+и', 9+—>б' и изменением знака v.
Выражения A1.26) и A1.27) показывают, что для скоростей
и и v, малых по сравнению со скоростью света, справедлив принцип
yV2
u'v cos 8' —(u'v sin 67сJ
У
сс//х'
Фиг. 11.8. Сложение скоростей.
относительности Галилея: и = и' + v. Однако если хотя бы одна
из этих скоростей близка к скорости света, то появляются особен-
особенности. Скорость, большую скорости света, невозможно получить
даже при сложении двух скоростей, каждая из которых близка
к с. Для простейшего случая параллельных скоростей закон сло-
сложения имеет вид
и =
l+u'v/c* *
A1.28)
Если и! = с, то, согласно A1.28), получаем, что и и = с. Этот
результат представляет собой явное выражение второго постулата
Эйнштейна.
398 Гл. 11. Специальная теория относительности
Этот закон сложения скоростей согласуется с явлением аберра-
аберрации света звезд и с результатами опыта Физо. При рассмотрении
аберрации под скоростью и' следует понимать скорость света в си-
системе К\ так что и' = с, a v является орбитальной скоростью Земли.
Угол 0 оказывается связанным с 0' соотношением
- l/l Ф
Для света звезды, падающего нормально на Землю, 0' = я/2 и
Угол 0 является дополнительным к углу а в A1.1), и, следователь-
следовательно, для tg а мы получаем выражение
A1.31)
полностью согласующееся с наблюдаемым (так как
то отличие радикала от единицы лежит далеко за пределами
точности наблюдения).
В простейшем варианте опыта Физо поток жидкости имеет
скорость v, параллельную или антипараллельную направлению
распространения света. Если п — показатель преломления жидко-
жидкости, то свет распространяется относительно жидкости со скоро-
скоростью и' = с In.. Согласно A1.28), скорость света, наблюдаемая
в лаборатории, должна быть равна
f ') (Ц.32)
1 ± vfnc п
Последнее выражение является разложением точцого результата
до членов первого порядка малости. Оно . находится в согласии
с формулой Френеля A1.3). Если показатель преломления зависит
от длины волны, то в A1.32) появляется дополнительный членг
который возникает из-за допплеровского смещения длины волны
в движущейся жидкости. Приращение АХ длины волны в движу-
движущейся жидкости с точностью до членов первого порядка по vie равно
AX=±Xn^, A1.33)
где верхний знак соответствует случаю параллельных, а нижний —
случаю антипараллельных скоростей. Следовательно, скорость
света в жидкости равна
§ 4. Сложение скоростей 399
Таким образом, уточненное выражение A1.32) имеет вид
С , f Л 1 % (til \ /л л п а\
U = — ±v( 1 о -^п • A1.34)
Добавочное изменение скорости, связанное с дисперсией, наблюда-
наблюдалось экспериментально.
Релятивистскую формулу для допплеровского смещения можно
получить из условия инвариантности фазы световой волны. Дей-
Действительно, фаза любой плоской волны инвариантна относительно
преобразований Лоренца, поскольку ее определение может быть
сведено к простому счету, не зависящему от координатной системы.
Рассмотрим плоскую волну с частотой со и волновым вектором к
в системе отсчета К- Пусть наблюдатель, находящийся в точке Р
с координатой х, считает число гребней волн, которые доходят
до него за определенное время. Если гребень, который прошел
через начало координат при t = О, зафиксирован им первым (в мо-
момент, когда он дошел до наблюдателя), то к моменту t наблюдатель
насчитает
гребней волн. Теперь представим себе другую систему отсчета К\
движущуюся относительно системы К со скоростью v, параллель-
параллельной оси z, причем начала координат этих систем совпадают в мо'
мент t = 0. Наблюдатель, находящийся в системе К' в точке Р-
с координатой х', поступает аналогично наблюдателю в К. Он начи-
начинает считать, когда его достигает гребень волны, прошедший через
начало координат в момент /' = 0, и ведет счет до момента f.
Если точка Р' в конце периода счета совмещается с точкой Р, то оба
наблюдателя должны насчитать одинаковое количество гребней
волн. Поскольку наблюдатель в /С' насчитает
гребней волн, где к' и а/ — волновой вектор и частота плоской
волны в К", то фаза волны действительно является инвариантом.
Следовательно,
k'.x'-©T = k.x-a>f; A1.35)
отсюда, согласно формулам преобразования A1.19),
kz—(v/c*)(x) ю,= со—vkz A1.36)
—i;2/c2
400 Гл. 11. Специальная теория относительности
Для световых волн | к | = ю/с, а | к' | = ю'/с. Таким образом,
полученный результат можно представить в виде
' СО / л V п \
0) = ( 1 COS 0 ,
^1"^_ С ^ („.37)
ё COS 0—У/С
где 0 и 0' — углы векторов к и к' со скоростью v. Последнее из этих
соотношений является обратным соотношению A1.29).
Иногда полезно выражение частоты со' через угол 0' волны в си-
системе /('. Его можно получить сразу из соотношения, обратного
первому соотношению A1.37):
, = со У\=&1# A1в38)
l+(y/c)cos0r "
Первое соотношение A1.37) дает обычное допплеровское сме-
смещение с релятивистской поправкой (корень в знаменателе). Благо-
Благодаря этой поправке имеет место поперечное допплеровское смеще-
смещение даже в случае 0 = я/2. Это релятивистское поперечное доппле-
допплеровское смещение наблюдалось спектроскопически на движущихся
атомах (опыт Айвза — Стилвелла, 1938 г.). Оно было измерено
также прецизионным методом резонансного поглощения с помощью
ядерного источника у-лучей, помещенного на оси быстро вращаю-
вращающегося цилиндра, с поглотителем, прикрепленным к боковой по-
поверхности цилиндра.
§ 5. Прецессия Томаса
В 1926 г. Уленбек и Гаудсмит ввели понятие электронного
спина и показали, что если положить ^-фактор х) электрона рав-
равным 2, то этим можно объяснить аномальный эффект Зеемана и на-
наличие мультиплетного расщепления. Однако при этом возникала
трудность, заключающаяся в том, что наблюдаемые интервалы тон-
тонкой структуры оказывались вдвое меньше теоретически предсказы-
предсказываемых. Если же выбрать ^-фактор равным единице, то интервалы
тонкой структуры будут получаться правильными, но эффект Зее-
Зеемана станет нормальным. Полное объяснение спина, включая пра-
правильный ^-фактор и правильное описание тонкой структуры, дала
только релятивистская теория электрона Дирака. Однако, исходя
лишь из эмпирического значения спинового момента количества
движения и g-фактора, равного 2, Томас показал, что причиной
расхождения является релятивистский кинематический эффект,
который при корректном учете дает как аномальный эффект Зеема-
*) См. гл. 5, § 6.— Прим. ред.
§ 5. Прецессия Томаса 401
на, так и правильную тонкую структуру линий. Так называемая
томасовская прецессия позволяет также качественно объяснить
спин-орбитальное взаимодействие в атомном ядре и объясняет
причину «обращения» дублетов в ядре.
Гипотеза Уленбека — Гаудсмита заключается в том, что элек-
электрон обладает спиновым моментом количества движения S (кото-
(который вдоль произвольной оси принимает квантованные значения
± Ь12) и магнитным моментом |ш, связанным с S соотношением
l* = ?s. A1.39)
Обычное соотношение между магнитным моментом и моментом
количества движения дается формулой E.64). Соотношение A1.39)
показывает, что электрон имеет ^-фактор, равный 2. Предположим,
что электрон движется со скоростью v во внешних полях Е и В.
Тогда уравнение изменения момента количества движения в систе-
системе координат, где электрон покоится, будет
5 = ЦХВ\ A1.40)
где В' — магнитное поле в этой системе. В § 10 будет показано,
что магнитное поле в системе координат, движущейся вместе с элек-
электроном, дается выражением
В'^ В—J-vxE, A1.41)
J
где отброшены члены порядка v2/с2. Следовательно, согласно
A1.40),
# D) A1.42)
Уравнение A1.42) соответствует энергии взаимодействия электрон-
электронного спина с полем
t/'= — 1*.(в--±-vxE) . A1.43)
Внутри атома силу действия электрического поля еЕ можно при-
приближенно представить как отрицательный градиент сферически
симметричной средней потенциальной энергии V (г). Для одноэлек-
тронного атома это представление является, конечно, точным.
Таким образом,
еЕ=—TIT <1L44>
и энергия взаимодействия спина с полем записывается в виде
U'= —- S-BH—J_(S.L) —-^ A1.45)
тс 1 т2с* v ' г dr ' v '
402 Гл. 11. Специальная теория относительности
где L = т (г х v) — орбитальный момент количества движения
электрона. Энергия взаимодействия A1.45) дает правильный ано-
аномальный эффект Зеемана, но соответствует удвоенному спин-орби-
спин-орбитальному взаимодействию.
Ошибка в A1.45) обусловлена некорректностью уравнения дви-
движения электронного спина A1.40). Левая часть уравнения A1.40)
дает скорость изменения спина в системе координат, где электрон
покоится. Она равна приложенному моменту jm x В' только в том
случае, когда система, в которой покоится электрон, не является
вращающейся системой координат. Если же координатная система
вращается, то, как впервые отметил Томас, скорость изменения
во времени произвольного вектора G в этой системе описывается
уравнением х)
dG f dG \ п ,лл ла,
-—-=(-т- -%ХС, A1.46)
at \ dt уневр х г
где сот — угловая скорость вращения, найденная Томасом. В при-
применении к электронному спину формула A1.46) приводит к следую-
следующему уравнению движения:
f?Uy A1.47)
тс
Соответствующая энергия взаимодействия имеет вид
V = V' — Scor, A1.48)
где U' — прежнее выражение A1.45) для энергии взаимодействия.
Томасовская прецессия с частотой сот возникает из-за ускорения
электрона при его движении по атомной орбите. На фиг. 11.9 пока-
показан электрон, который в момент времени t находится в точке 1
и имеет мгновенную скорость v, а через бесконечно малый интервал
времени S/ попадает в точку 2, где его скорость равна v -f- Sv.
Приращение скорости связано с ускорением электрона а соотно-
соотношением Sv = aS/. В момент t система координат /(', в которой
покоится электрон, и лабораторная система К связаны преобразо-
преобразованием Лоренца, причем относительная скорость систем равна v.
Ко времени t -{-Ы система координат, в которой покоится элек-
электрон, изменится и станет системой К", связанной с К преобразо-
преобразованием Лоренца, где относительная скорость равна v -f- Sv. Возни-
Возникает вопрос, как связаны координатные системы К" и К\ или,
иными словами, каково поведение во времени осей системы коорди-
координат, в которой покоится электрон? С точки зрения лабораторной
системы электрон получает за время S/ бесконечно малое прираще-
приращение скорости Sv. Следовательно, мы могли бы ожидать, что К" и К'
См., например, книгу Голдстейна [46].
§ 5. Прецессия Томаса
403
связаны простым бесконечно малым преобразованием Лоренца.
Если бы это было так, то выражение A1.45) было бы правильным
в том виде, как оно написано. В действительности эта связь отли-
отличается от простого преобразования Лоренца. Преобразование
Фиг. 11.9.
от К' к К" эквивалентно двум последовательным преобразованиям
Лоренца, одному для скорости —v, а другому для скорости
v + Sv:
К'-
— V
К- v + Sv \-+K".
A1.49)
Два последовательных преобразования Лоренца, вообще говоря,
эквивалентны одному преобразованию Лоренца плюс поворот.
Применяя дважды общую формулу A1.21), можно непосредствен-
непосредственно убедиться, что временные переменные в К" и К' связаны соот-
соотношением
1
— у2 /с2
Sv
Y\
-— 1
v-6v
], A1.50)
которое справедливо с точностью до первого порядка по Sv. Это
соотношение показывает, что прямое преобразование от К' к К"
содержит бесконечно малое преобразование Лоренца для скорости
1
[Sv
1
Соответствующее преобразование координат имеет вид
]. A1.51)
A1.52)
404 Гл. 11. Специальная теория относительности
При повороте осей координат на бесконечно малый угол АО коор-
координаты связаны соотношением х" = х' +х' х ДЙ. Сравнение
этого соотношения с A1.52) показывает, что координатные оси К"
повернуты относительно осей /(' на угол
p A1.53)
Отсюда следует, что координатные оси в системе, связанной с элек-
электроном, прецессируют с угловой скоростью
где последнее выражение справедливо при v < с. Подчеркивая
еще раз чисто кинематическое происхождение томасовской пре-
прецессии, отметим, что мы ничего не предполагали о причине ускоре-
ускорения. Если существует составляющая ускорения, перпендикуляр-
перпендикулярная скорости v, то наряду с другими эффектами, как, например,
прецессия магнитного момента в магнитном 'поле, имеет место
и томасовская прецессия.
Электрон в атоме ускоряется экранированным кулоновским
полем A1.44). Поэтому томасовская угловая скорость описывается
соотношением
1 rxv I dV _ 1 1 dV_
®Т ~~ 2^~^Г ~Г'аТ " ~2rtW L r dr ' U
Как видно из A1.48) и A1.45), добавочный вклад в энергию, обус-
обусловленный прецессией Томаса, уменьшает спин-орбитальную связь
в 2 раза (как иногда говорят, на множитель Томаса х/2), что при-
приводит к правильному выражению для энергии спин-орбитального
взаимодействия атомарного электрона
U=—-S-B+^-V^S-L — ~ . A1.56)
тс ' 2m2c2 r dr v '
Нуклоны в атомном ядре испытывают сильные ускорения, обус-
обусловленные специфическими ядерными силами. Электромагнитные
силы здесь относительно слабы. Поэтому мы можем приближенно
представлять себе, что нуклоны движутся независимо под дей-
действием короткодействующих сил притяжения в сферически симмет-
симметричной потенциальной яме VN(r). При этом каждый нуклон
испытывает, кроме того, спин-орбитальное взаимодействие, опреде-
определяемое соотношением A1.48). В пренебрежении влиянием электро-
электромагнитных сил
UN^ -S-coT, (П.57)
где ускорение, входящее в сот, определяется потенциалом VN{r).
Выражение для сот получается из A1.55) простой заменой V на VN.
§ 6. Собственное время и световой конус 405
Таким образом, приближенное выражение для энергии спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия в ядре имеет вид
При сопоставлении A1.58) с формулой A1.56) учтем, что как У,
так и VN соответствуют силам притяжения (но VN много боль-
больше); следовательно, знаки спин-орбитальных энергий противо-
противоположны. Это означает, что отдельные уровни частиц в ядре обра*
зуют «обращенные» дублеты. При разумной зависимости VN(r)
выражение A1.58) находится в качественном согласии с наблюдае-
наблюдаемым спин-орбитальным расщеплением уровней в ядре.
§ 6. Собственное время и световой конус
В предыдущих параграфах был рассмотрен ряд следствий спе-
специальной теории относительности и преобразований Лоренца.
В следующих двух параграфах мы рассмотрим некоторые более
формальные аспекты теории и введем ряд понятий и определений,
весьма полезных при систематическом анализе физических явлений
в специальной теории относительности.
При галилеевской относительности пространственные и вре-
временные координаты никак не связаны. Поэтому при преобразова-
преобразовании Галилея бесконечно малые элементы длины и интервалы вре-
времени порознь инвариантны
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = ds'2,
A1.59)
Наоборот, при преобразовании Лоренца временные и простран-
пространственные координаты взаимосвязаны. Из A1.21) легко показать,
что инвариантным элементом «длины» является величина
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2. A1.60)
Это приводит к понятию собственного времени, инвариантного отно-
относительно преобразований Лоренца. Рассмотрим систему, кото-
которую мы для определенности будем считать частицей, движущейся
с мгновенной скоростью v (t) относительно некоторой координат-
координатной системы /С. В системе координат /С', в которой частица в дан-
данный момент покоится, приращения координат и времени суть
dx' = dy' = dz' = 0, dt' = dx. Отсюда получаем инвариантную
длину A1.60):
- сЧх2 = dx2 + dy2 + dz2 — c2dt*. A1.61)
406 Гл. 11. Специальная теория относительности
Это соотношение можно записать через скорость частицы v (t):
-^-. A1.62)
Соотношение A1.62) выражает рассмотренный выше эффект замед-
замедления времени. Однако более существенно то обстоятельство, что,
как видно из вывода A1.62), время т, называемое собственным
временем частицы, инвариантно относительно преобразования
Лоренца. Важность этого понятия выяснится ниже, когда мы нач-
начнем рассматривать скорости изменения различных величин. Если
некоторая величина ведет себя определенным образом при лорен-
цовском преобразовании, то ее производная по собственному вре-
времени вследствие инвариантности dx ведет себя таким же образом.
Производная же по обычному времени не имеет тех же трансфор-
трансформационных свойств, что сама величина. Из A1.62) следует, что
интервал собственного времени т2 — xi воспринимается в системе
К как интервал времени
[ dx A1.63)
где ti и t2 — соответствующие времена в системе /С.
Другим плодотворным понятием в специальной теории относи-
относительности является понятие светового конуса и пространственно-
подобного и времениподобного интервалов между двумя событиями.
Рассмотрим фиг. 11.10, на которой ось времени (ось ct) вертикаль-
вертикальна, а пространственные оси перпендикулярны оси времени. Пусть
в момент t = 0 некоторая физическая система, скажем частица,
находится в начале координат. Поскольку скорость света является
верхней границей для всех скоростей, то всю область пространства—
времени можно разделить на три области «конусом», называемым
световым конусом, поверхность которого определяется уравнением
х2 + У2 + z2 = сН2. Световой сигнал, испущенный при t = 0 из на-
начала координат, будет распространяться вдоль линий, образующих
на фиг. 11.10 угол 45° с осью времени. Но любая материальная систе-
система имеет скорость меньше с. Следовательно, с течением времени она
может перемещаться лишь по пути (называемому ее мировой линией),
расположенному внутри верхнего полуконуса, как, например,
кривая ОВ. Так как пути систем лежат внутри верхнего полу конуса
при t > 0, то эта область называется областью абсолютно будущего.
Аналогично область, лежащая внутри нижнего полуконуса, называет-
называется областью абсолютно прошлого. Физическая система может прийти
в точку О только по пути типа АО, лежащему внутри нижнего полу-
полуконуса. Заштрихованная область вне светового конуса называется
абсолютно удаленной областью. Система, находящаяся внутри абсо-
§ 6. Собственное время и световой конус
407
лютно удаленной области, никогда не достигнет точки О, и, наоборот,
система из точки О никогда не может попасть внутрь абсолютно
удаленной области.
Чтобы подчеркнуть разделение пространства — времени на об-
области абсолютно прошлого, абсолютно будущего и абсолютно уда-
Ф и г. 11.10. Мировая линия си-
системы и световой конус.
Нижняя незаштрихованная область
внутри конуса соответствует абсолют-
абсолютно прошлому, верхняя—абсолютно бу-
будущему, а заштрихованная область вне
конуса называется «абсолютно удален-
удаленной». Точки, лежащие внутри светового
конуса, отделены от начала координат
времениподобным интервалом, точки
вне конуса отделены пространственно-
подобным интервалом.
ленного, рассмотрим инвариантный интервал между двумя собы-
событиями Pi(xu yu zi9 ti) и Р2(^2, Уг, z2, t2) в пространстве —
времени:
5L = (xi — Х2J + (yi — У*J + (Zi — z2J — с2 (ti — t2f. (И .64)
Для произвольных двух событий Pi и Р2 имеются две возможности:
либо s]2 > 0, либо s\2 <0. Если s\2 > 0, то говорят, что данные
два события разделены пространственноподобным интервалом,
поскольку при этом всегда можно найти преобразование Лоренца
к новой системе координат /С', в которой t[ — t2 = 0 и
В этой новой системе оба события происходят в различных точках
пространства в один и тот же момент времени. На фиг. 11.10 одно
из таких событий изображается точкой О, а второе расположено
в абсолютно удаленной области. Если s2l2 <0, то говорят, что со-
события разделены времениподобным интервалом. При этом можно
найти преобразование Лоренца, совмещающее пространственные
координаты событий: х[ = х2, у[ = у'2, z^ — z^n
A1.66)
В этой новой системе координат К' рассматриваемые события про-
происходят в одной и той же точке пространства, но разделены во вре-
времени. На фиг. 11.10 такая пара событий соответствует одной точке
408 Гл. 11. Специальная теория относительности
в начале координат, а другой — расположенной в области абсо-
абсолютно прошлого или абсолютно будущего.
Разделение интервалов между двумя событиями на два класса
пространственноподобных и времениподобных инвариантно отно-
относительно преобразований Лоренца. Два события, разделенные
пространственноподобным интервалом в одной системе координат,
разделены пространственноподобным интервалом и во всех других
системах координат. Это означает, что такие события не могут
быть причинно связанными. Поскольку физическое взаимодействие
распространяется из одной точки в другую со скоростью, не превы-
превышающей скорость света, то причинно связанными могут быть только
события, разделенные времениподобным интервалом. На событие,
которое произошло в начале координат на фиг. 11.10, могли повли-
повлиять лишь события, соответствующие точкам в области абсолютно
прошлого.
§ 7. Преобразования Лоренца как ортогональные
преобразования в четырехмерном пространстве
Преобразование Лоренца A1.19) и его более общая форма A1.21)
являются линейными преобразованиями пространственно-времен-
Hb'ix координат, при которых остается инвариантной квадратичная
форма
2 2 22t2'2 '2 '2-c2t'2. A1.67)
Это свойство напоминает инвариантность известной квадратичной
формы при повороте координатных осей в трехмерном простран-
пространстве. Действительно, если мы введем четыре пространственно-вре-
пространственно-временные координаты
Xi = x, x2 = y, x3 = z, xk = ict, A1.68)
то квадратичная форма, инвариантная относительно преобразова-
преобразований Лоренца, приобретет вид
A1.69)
Это выражение показывает, что преобразования Лоренца являются
поворотами в четырехмерном евклидовом пространстве, или, выра-
выражаясь точнее, ортогональными преобразованиями в четырех изме-
измерениях. Преобразование Лоренца A1.21) можно записать в общем
виде
4
*Ii = 2 <W*v, 11=1,2,3,4, A1.70)
где коэффициенты a^v — постоянные величины, характеризующие
данное конкретное преобразование. Из инвариантности R2 вытекают
§ 7. Преобразования Лоренца 409
условия ортогональности для коэффициентов а^\
Из A1.71) легко вывести, что обратным к A1.70) является преоб-
преобразование
4
у V у'п (\1 79\
Ли / | Л"уи..у|А \ -I А • I л* J
V=l
И ЧТО
4
/ i #vM.^7tM. == ^vA,. (ll./Ojf
Далее, если мы разрешим четыре уравнения A1.70) относительно
Ху, и сравним это решение с A1.72), то получим, что детерминант коэф-
коэффициентов a^v равен единице:
det | a^v |=1- A1.74)
Собственно говоря, детерминант может быть равен ±1, но выбор
знака минус соответствовал бы не простому повороту, а повороту
плюс инверсия (зеркальное отражение).
Для выяснения физического смысла приведенных выше фор-
формул выпишем явно коэффициенты преобразования а^ для пре-
преобразования Лоренца от системы К к системе К', движущейся со
скоростью v параллельно оси z:
10 0 0
0 1 0 . .
A1.75)
0 — i
Здесь введены удобные обозначения
A1.76)
Преобразование A1.70) в координатах A1.68) с коэффициентами
A1.75) очевидно, в точности соответствует преобразованию Лорен-
Лоренца A1.19).
Легко убедиться, что преобразование A1.75) можно формально
представлять как поворот осей в плоскости х3х^ (осьх4 изображает-
изображается, как если бы она была действительной). На фиг. 11.11 показан
поворот осей на угол i|). Координаты точки Р в обеих системах коор-
410
Гл. 11. Специальная теория относительности
динат связаны соотношениями
х3 = х3 cos
sin
A1.77)
= — х3 sin г|} -)- х4 cos
Сравнение коэффициентов в A1.77) с коэффициентами преобразова-
преобразования A1.75) показывает, что угол поворота является мнимым углом,
для которого
/p. A1.78)
Этот результат можно получить непосредственно из A1.77), не
привлекая A1.75), если учесть, что точка х'3 = 0 движется в систе-
системе К со скоростью v. Комплексность угла ф видна и из того, что
Фиг. 11.11. Преобразование Лоренца как поворот осей.
косинус г|? больше единицы (cos я|) = у > 1). Таким образом, пред-
представление преобразования Лоренца в виде поворота имеет чисто
формальный смысл.
Несмотря на формальный характер диаграммы поворота в пло-
плоскости л;3*4, она дает возможность графически представить явле-
явления фицджеральд-лоренцовского сокращения и замедления вре-
времени. На фиг. 11.12 справа схематически пояснено сокращение дли-
длины, а слева — замедление времени. Расстояние Lo в системе К'
при наблюдении из системы К равно L, поскольку оно представляет-
представляется горизонтальной линией, соответствующей постоянному време-
времени t в К. Длина L кажется на фиг. 11.12 больше, чем Lo; это обус-
обусловлено тем, что на самом деле угол i|) мнимый; математически
обе длины связаны соотношением
L cos -ф = LQ
или
A1.79)
§ 8. Четырехвекторы и четырехтензоры
411
в согласии с A1.22). Аналогично временной интервал То в системе
К' представляется в системе К как интервал
T = Tocasy = yTo, A1.80)
что согласуется с A1.24).
Иногда при графическом изображении преобразования Лоренца
пользуются вместо jc4 действительной временной координатой
1
т
т
т
т
\
\
\
\ \
\ \
Фиг. 11.12. Представление замедления времени и фицджеральд-лоренцов-
ского сокращения как поворота пространственно-временных осей координат.
х0 = ct. Такое представление называется диаграммой Маяковского
и имеет то достоинство, что оно оперирует с реальными величинами.
Его главный недостаток в том, что масштабы координатных сеток
в системах К и /С', как это следует из A1.67), определяются гипер-
гиперболической зависимостью. Интересующегося читателя мы отсылаем
к работе Минковского в сборнике [39].
§ 8. Четырехвекторы и четырехтензоры.
Ковариантность уравнений физики
Закон преобразования A1.70) для координат х» определяет
трансформационные свойства векторов в четырехмерном простран-
пространстве—времени A1.68). Любая совокупность четырех величин
Лц, которые преобразуются как х», называется четырехвектором
D-вектором). При преобразовании Лоренца (a^v) величина Лм
преобразуется в Лц по формуле
^2<WV A1.81)
Если величина ф не изменяется при преобразованиях Лоренца,
то она называется лоренц-скаляром, или лоренц-инвариантом. Четы-
Четыре величины, получающиеся при дифференцировании лоренц-ска-
412 Гл. 11. Специальная теория относительности
ляра по координатам х^ образуют 4-вектор. Действительно, рас-
рассмотрим производные
4
> _ ^ дф dxv 9
~— 2л ~дх"дх7~ ' A1.oZ)
дх
Согласно A1.72),
следовательно,
¦* v=i
dXv ^v. A1.83)
дх'\х
дх ?-i ^v dxv ' ^ '
* v=l
т. е. совокупность величин дц/дх^ преобразуется как 4-вектор.
Аналогичным образом легко показать, что 4-дивергенция 4-вектора
является лоренц-инвариантом:
4 f 4
2 4f"^2 If"- (п.85)
V=l JLl=l
Полагая в этом соотношении А^ = <Эср /«Эл:^, получаем, что четы-
четырехмерный оператор Лапласа является лоренц-инвариантным:
4 4
v=l v ц=1 »*
Если оператор П2 действует не на скаляр, а на какие-либо другие
функции, скажем на 4-вектор Ац, то получающиеся величины сохра-
сохраняют трансформационные свойства тех функций, на которые дей-
действует этот оператор. Легко проверить, что скалярное произведе-
произведение двух 4-векторов А^п В^ является инвариантом
4
(Л'.В') = 2 А'»В'\1 = (А-Щ- A1.87)
Четырехвектор является тензором первого ранга в четырех-
четырехмерном пространстве. Тензоры высшего ранга определяются ана-
аналогичным образом. Тензором второго ранга r^v является совокуп-
совокупность шестнадцати величин, которые преобразуются по закону
2 (H.88)
Я, a=l
Тензоры высших рангов определяются аналогичными преобразо-
преобразованиями с большим числом мнржителей a^v. Тензором n-го ранга
§ 8. Четырехвекторы и четырех тензоры 413
является совокупность 4П величин, закон преобразования которых
является обобщением закона A1.88) и содержит произведение п
коэффициентов а^. Подобно тому как скалярное произведение
двух 4-векторов имеет ранг, на единицу меньший ранга исходных
величин, тензоры более низкого ранга можно получать путем умно-
умножения тензоров более высокого ранга. Например, скалярное
произведение тензора второго ранга и 4-вектора дает 4-вектор:
В» - 2 Г^Л; -2fl,vf 2 TKvAv) • (И .89)
v=l Л=1 Vv=l /
Это соотношение и аналогичные ему доказываются с помощью усло-
условий ортогональности A1.71) и A1.73).
Элемент объема четырехмерного пространства — времени A1.68)
определяется как действительная величина
d*x == dxidx2dxsdx01 A1.90)
где dx0 = (l/i)dxb= d (ct).Закон преобразования элемента объема
имеет вид
&х'= д}^ x'»—*-^Qd*x. A1.91)
д (xiy хъ х3у дг4) v '
Поскольку якобиан в A1.91) совпадает с детерминантом матрицы
коэффициентов alxv A1.74), элемент 4-объема d*x является лоренц-
инвариантной величиной.
Первый постулат Эйнштейна заключается в том, что законы
физики должны иметь одинаковую форму в различных лоренцовых
координатных системах. Это означает, что уравнения, описывающие
физические законы, должны иметь ковариантную форму. Под кова-
ковариантностью мы понимаем то, что уравнения могут быть написаны
таким образом, что обе их части будут иметь одинаковые трансфор-
трансформационные свойства при преобразованиях Лоренца. Следовательно,
законы физики могут связывать 4-векторы, или лоренц-скаляры,
или 4-тензоры одинакового ранга. Трансформационные свойства
должны быть одинаковыми для того, чтобы соотношение, справед-
справедливое в одной системе координат, оставалось справедливым и при
переходе к другой координатной системе. Рассмотрим, например,
два неоднородных уравнения Максвелла. В следующем параграфе
будет показано, что они могут быть записаны в релятивистской
форме
4
11=1,2,3,4, A1.92)
V=l
где J^ и F^y соответственно 4-вектор тока и 4-тензор электромагнит-
электромагнитного поля. Так как 4-дивергенция 4-тензора является 4-вектором,
414 Гл. 11. Специальная теория относительности
то уравнения A1.92) представляют собой соотношение между двумя
4-векторами. Следует ожидать, что в другой координатной системе
К' этот же физический закон имеет такую же форму:
2 ^ ^ Ь = 1, 2, 3, 4. A1.93)
a=i дх° С
С помощью преобразования A1.81) можно выразить соотношение
A1.93) через величины в исходной координатной системе:
^U = 0. A1.94)
/
Это соотношение показывает, что если закон A1.92) выполняется
в исходной системе отсчета, то он выполняется и во всех лоренцо-
вых системах. Если бы обе части A1.92) не имели одинаковых транс-
трансформационных свойств, то закон не обладал бы таким свойством.
В заключение нашего формального рассмотрения введем неко-
некоторые упрощающие обозначения.
1. Греческие индексы считаются пробегающими значения от 1
до 4.
2. Латинские индексы обозначают пространственные перемен-
переменные и пробегают значения от 1 до 3.
3. 4-векторы обозначаются через А^\ их составляющие (Аи
Аг> ^з) соответствуют пространственному вектору А, а А^= iA0.
Иногда это соответствие будет записываться в виде
Л^ = (А, Мо). A1.95)
Индекс у 4-вектора может быть иногда опущен, так что / (х), напри-
например, обозначает/ (х, f).
4. Скалярное произведение 4-векторов обозначается как
(Л-Д)=А.В-АДь A1.96)
где А-В —обычное трехмерное скалярное произведение.
5. Введем еще обозначения суммирования. Будем считать,
что по повторяющимся индексам подразумевается суммирование,
хотя знак суммы не написан. Если повторяются латинские индексы,
то суммирование производится от 1 до 3, если же греческие — то
от 1 до 4. При этом, например, A1.85) записывается в виде
а A1.89) принимает компактную форму
1 jxv-^v = ^juA,-» A,v™v
§ 9. Ковариантность уравнений электродинамики 415
§ 9. Ковариантность уравнений
электродинамики
Инвариантность уравнений электродинамики при преобразова-
преобразованиях Лоренца была установлена Лоренцом и Пуанкаре еще до того,
как Эйнштейн сформулировал специальную теорию относитель-
относительности. В данном параграфе мы рассмотрим это свойство ковариант-
ковариантности и следствия из него. При этом возможны две точки зрения.
Можно положить в основу некоторый экспериментально проверен-
проверенный факт, например инвариантность электрического заряда, и попы-
попытаться отсюда вывести ковариантность уравнений. Можно, наобо-
наоборот, потребовать ковариантности формы уравнений и показать,
что трансформационные свойства различных физических величин,
например напряженности полей, зарядов и токов, могут быть выбра-
выбраны таким образом, чтобы уравнения действительно были ковариант-
ны. Хотя первый путь в некотором смысле более логичен, мы
выберем второй. Уравнения классической электродинамики можно
считать точно установленными, и их можно представить в кова-
риантной форме. Рассмотрим для простоты микроскопические урав-
уравнения, куда величины D и Н не входят.
Начнем с уравнения непрерывности для заряда и плотности тока:
|f-=-divJ. A1.97)
Ему можно придать ковариантную форму, вводя 4-вектор заряда-
тока J^, определяемый следующим образом:
^ = (¦1, icq). A1.98)
При этом A1.97) принимает явно ковариантный вид
|^ = 0. A1.99)
То обстоятельство, что /^ действительно является 4-вектором,
вытекает из экспериментально установленной инвариантности
электрического заряда. Инвариантность заряда подразумевает
лоренц-инвариантность произведения Qdxidx2dx3' Поскольку
величина id^x= dxidx2dx3dxi также является лоренц-инвариан-
том, то отсюда следует, что q преобразуется как четвертая соста-
составляющая 4-вектора. Трансформационные свойства J как простран-
пространственного вектора очевидны.
Волновые уравнения для векторного потенциала А и скаляр-
скалярного потенциала Ф имеют вид
г2 д№ ~~ с '
416 Гл. 11. Специальная теория относительности
где А и Ф связаны условием Лоренца
i-^ = 0. A1.101)
Легко видеть, что дифференциальный оператор в левых частях
волновых уравнений является лоренц-инвариантным четырехмер-
четырехмерным лапласианом A1.86). Правые части этих уравнений составляют
4-вектор. Из требования ковариантности вытекает, что векторный
и скалярный потенциалы являются пространственной и временной
частями 4-вектора-потенциала
Л^=(А, ;Ф). A1.102)
Следовательно, волновые уравнения записываются в виде
ПМ^= ~h, H=li 2> 3> 4, A1.103)
а условие Лоренца — в виде равенства 4-дивергенции нулю:
-g-k-0. A1.104)
Теперь мы можем перейти к рассмотрению полей Е и В, кото-
которые определяются через потенциалы соотношениями
E=-grad<D -— ,
* с dt A1.105)
В = rot A.
Выписывая явно, например, первые составляющие Е и В
A1Л06)
дх2 дх3
мы видим, что электрическое и магнитное поля являются элемен-
элементами антисимметричного тензора второго ранга F^v, который назы-
называется тензором электромагнитного поля:
/7^ = ^._.^ . A1.107)
Явное выражение для 4-тензора поля имеет вид
0 В3 -В2 —iEi
— В3 0 Bi —iE2
В2 —Bt 0 — ib
iEi iE2 iE3 0
§ 10. Преобразование электромагнитного поля 417
Чтобы закончить установление ковариантности уравнений
электродинамики, остается рассмотреть еще уравнения Максвелла.
Два неоднородных уравнения имеют вид
div Е = 4яр,
rotB- — — - — J A1.109)
с dt ~~ с
Так как правые части являются составляющими 4-вектора, то* ле-
левые части также должны быть составляющими 4-вектора. Учиты-
Учитывая определение A1.108) для тензора поля, легко убедиться, что
левые части A1.109) представляют собой дивергенцию тензора
электромагнитного поля. Таким образом, уравнения A1.109) при-
принимают ковариантную форму
~dxV = ~^J^ (п.по)
Аналогично можно показать, что два однородных уравнения Макс-
Максвелла
div В-0, rotE + -^-^- = 0 A1.111)
сводятся к четырем уравнениям
где X, |х, v — произвольная тройка чисел 1, 2, 3, 4. Каждый член
в A1.112) преобразуется как 4-тензор третьего ранга, так что это
уравнение имеет нужную ковариантную форму.
§ 10. Преобразование электромагнитного
поля
Поскольку поля Е и В являются элементами тензора элек-
электромагнитного поля FViVy их трансформационные свойства опреде-
определяются преобразованием
F'w^a^a^Fxa. A1.113)
Используя преобразование A1.75) от системы Л к системе К',
движущейся со скоростью v вдоль оси х3, мы получаем следующие
формулы преобразования для составляющих полей:
, B; = y(B2 —P?i)» A1.114)
Обратные преобразования получаются из A1.114) перестановкой
штрихованных величин с нештрихованными и заменой р на —р.
418 Гл. П. Специальная теория относительности
При общем преобразовании Лоренца от системы К к системе К'>
движущейся со скоростью v относительно /С, поля преобразуются,
очевидно, следующим образом:
Здесь индексы || и _L означают параллельность и перпендикуляр-
перпендикулярность к скорости v. Преобразование A1.115) показывает, что Е и В
не являются независимыми величинами. Поэтому чисто электриче-
электрическое или чисто магнитное поле в одной системе координат пред-
представляется совокупностью электрического и магнитного полей
в другой системе. При этом имеются, конечно, некоторые ограниче-
ограничения (см. задачу 11.10), так что, например, чисто электростатиче-
электростатическое поле в одной системе координат нельзя преобразовать в чисто
магнитостатическое поле в другой системе. Однако электрическое
и магнитное поля полностью взаимосвязаны, и более правильно
говорить как о физической реальности об электромагнитном поле
Fpy, а не о полях Е и В по отдельности.
В качестве примера преобразования электромагнитного поля
рассмотрим поля в системе /С, создаваемые точечным зарядом q,
движущимся прямолинейно со скоростью v. Этот заряд покоится
в системе /(', связанной с ним; преобразование полей из системы К'
в систему /Сдается формулами, обратными к A1.114) или A1.115).
Предположим, что заряд движется в положительном направлении
оси х3 и проходит на расстоянии Ь от наблюдателя. Выбранные оси
координат показаны на фиг. 11.13. Наблюдатель находится в точке Р.
При t = V = 0 начала координат совмещены, а заряд q находится
на наименьшем расстоянии от наблюдателя. В системе К' точка Ру
в которой определяются поля, имеет координаты х[ = Ь, х2 = 0,
х'3 ~ —vt'- и находится на расстоянии г'= Vb2 -4- (vt'J от q.
Нас интересует выражение г' через координаты в системе К.
Единственной координатой, которую необходимо преобразовывать,
является время V = у [t — (v/c2)x3] = yt, так как координата х3
точки Р в системе К равна нулю. В системе К\ в которой заряд
покоится, электрическое и магнитное поля запишутся в виде
F'__^_ F'=0 F' - qvt'
1-'/8 ' 2 ' 3 '** ' A1.116)
Отличные от нуля составляющие поля выражаются следующим
образом через координаты системы /С:
E' = gjL-j^ E'= qyvt (Н117)
§ 10. Преобразование электромагнитного поля
419
Теперь с помощью формул, обратных к A1.114), можно найти поля
в системе К
p p'
3~~ 3~
qyvt
A1.118)
Все другие составляющие поля равны нулю.
Интересно поведение полей при скорости заряда, приближаю-
приближающейся к скорости света. Прежде всего имеется магнитное поле,
Фиг. 11.13. Оси координат, используемые при рассмотрении движения-
частицы.
Частица с зарядом q имеет постоянную скорость v и проходит точку наблюдения Р
с прицельным параметром Ь.
направленное по х2. При р -> 1 оно становится почти равным попе-
поперечному электрическому полю Е ^ Для нерелятивистских скоро-
скоростей, когда 7^1, магнитное поле равно
V X Г
A1.119)
что совпадает с выражением Ампера и Био — Савара для магнит-
магнитного поля движущегося заряда. Его можно, очевидно, получить
и непосредственно из преобразования, обратного к A1.115). При
больших скоростях, когда у > 1, максимальное поперечное элек-
электрическое поле ?\ (при t = 0) становится в у раз больше своего
нерелятивистского значения. Но в этом предельном случае умень-
уменьшается промежуток времени, в течение которого существует замет-
заметная напряженность поля в точке Р. Интервал времени, в течение
420
Гл. 11. Специальная теория относительности
которого поля имеют заметную величину, очевидно, приближенно
равен
yv
A1.120)
Таким образом, при возрастании у максимальные значения полей
растут пропорционально у, а их длительность убывает обратно
пропорционально у. Интеграл от поля по времени, умноженный
на v, не зависит от скорости. На фиг. 11.14 показано поведение
vt
Фи г. 11.14. Изменение полей прямолинейно движущейся заряженной
частицы во времени.
поперечных электрического и магнитного полей и продольного
электрического поля. При Р -*- 1 наблюдатель в точке Р видит
почти равные и взаимно перпендикулярные поперечные электриче-
электрическое и магнитное поля. Они неотличимы от полей импульса пло-
скополяризованного излучения, распространяющегося вдоль оси
х3- Добавочное продольное электрическое поле быстро меняет свой
знак, и его интеграл по времени равен нулю. Если регистрирующий
прибор наблюдателя имеет некоторую инерцию, то он не обнаружит
это продольное поле. Следовательно, практически наблюдатель
воспримет только поперечные поля. Эквивалентность полей реля-
релятивистской заряженной частицы и полей импульса электромаг-
электромагнитного излучения будет использована в гл. 15.
Из инвариантности волнового уравнения относительно пре-
преобразования Лоренца следует, что плоская электромагнитная волна
в координатной системе К представляется также плоской волной
§ 11. Ковариантность выражения для силы Лоренца 421
в другой координатной системе /(', движущейся с постоянной ско-
скоростью относительно /С. В системе К плоская волна описывается
полями
р (х f\—f pik-x-Ш /11 ioi\
где fViV — соответствующие постоянные коэффициенты, а к и со —
волновой вектор и частота волны. В системе координат К' эта
плоская волна будет иметь вид
р' (х' /'\—р /Дк'-х'-гсо'*' /11 ]ОО\
•¦ LIV V ? / / LIV ? Ill» l^^l
где /^v — опять постоянные коэффициенты, а к' и со' — волновой
вектор и частота в системе К'. В соответствии с A1.113) эти поля
связаны соотношениями
/jiv^ ~~ === ^\xK^vol Kg& 'x~ . (ll.iZi3)
Чтобы эти соотношения удовлетворялись в любой точке простран-
пространства — времени, фазовые множители в обеих частях равенства долж-
должны быть одинаковыми
k'.x' (,Vf — k.x (i\t (]] 124Л
Инвариантность фазы означает, что к и со являются соответственно
пространственной и временной составляющими 4-вектора
A1.125)
При этом инвариантность фазы означает инвариантность скаляр-
скалярного произведения (k-x) двух 4-векторов. Как показано в § 4,
из A1.125) вытекает релятивистская формула для допплеровского
смещения.
§ 11. Ковариантность выражения
для силы Лоренца и законов сохранения
В § 9 мы рассматривали ковариантность законов электродина
мики для плотности зарядов и токов и создаваемых ими полей и
потенциалов. Мы знаем, что заряды и токи в конечном счете
обусловлены заряженными частицами, движущимися под дей-
действием полей. Следовательно, для завершения нашего анализа
необходимо рассмотреть ковариантную формулировку для силы
Лоренца и законов сохранения количества движения и энергии.
Силу Лоренца, действующую на единицу объема (и равную ско-
скорости изменения количества движения в единице объема), можно
записать в виде
$; A1.126)
422 Гл. 11. Специальная теория относительности
здесь J и q — плотности тока и заряда. Выписывая явно первую
составляющую f, получаем
fi = QEi + -^(J2Bs-JsB2) = ^(Fl2J2 + Fl3Js + FHJIk)i A1.127)
где использованы обозначения A1.98) и A1.108). Другие состав-
составляющие f записываются аналогично, так что A1.126) можно пред-
представить в виде
fk = ^-FhvJv, fe=l, 2, 3. A1.128)
Правые части A1.128) представляют собой пространственные соста-
составляющие 4-вектора. Следовательно, сила f должна быть простран-
пространственной частью 4-вектора /^= (f, ifolc), где
/,i = -J-/Wv A1.129)
Чтобы понять смысл четвертой составляющей 4-вектора плотности
силы, выпишем ее явно:
fo = ^ А = -J- (^41^1 + ^42Л + ^43Л) = Е • J . A1.130)
Но EJ — это работа, совершаемая полем над зарядами в единич-
единичном объеме в единицу времени, т. е. скорость изменения механиче-
механической энергии частиц в единице объема. Таким образом, мы видим,
что в записанном в ковариантной форме выражении A1.129) для
силы Лоренца пространственная часть определяет скорость изме-
изменения количества движения единицы объема, а временная часть —
скорость изменения механической энергии единицы объема. Иными
словами, составляющие силы Лоренца определяют пространствен-
пространственные и временные производные некоторой величины с размерностью
плотности энергии.
Законы сохранения полной энергии (механической и электро-
электромагнитной) и полного количества движения, полученные в гл. 6,
можйо представить в ковариантной форме в виде уравнений для
пространственной и временной Частей единого 4-вектора. Исклю-
Исключая с помощью неоднородных уравнений Максвелла A1.110)
составляющие /v из уравнения A1.129), получаем выражение для
плотности силы в виде
Правую часть соотношения A1.131) можно записать в виде дивер-
дивергенции тензора второго ранга. Введем симметричный тензор Т1^,
§ П. Ковариантность выражения для силы Лоренца 423
называемый электромагнитным тензором энергии-импульса:
А Т? Т? \ /111 ^9\
~ ~Т uixv* ho1 ka • \i l .1 Ojl)
Доказательство того, что выражение A1.131) при учете однород-
однородных уравнений Максвелла можно представить в форме
и = -я^-' (ПЛЗЗ)
отнесено к задачам (задача 11.12). Компоненты тензора T[lv
можно явно выразить через поля, используя A1.132):
/ Тп Tl2 Ti3
T2i Т Т23
T3i Т32 Т33
— icgi —icg2 —icg3
Здесь Tik— симметричный тензор максвелловских натяжений, оп-
определенный на стр. 221, g — плотность импульса электромагнит-
электромагнитного поля
аи — плотность энергии поля
A1.135)
Из определения F.102) пространственной части тензора T^v [или
из A1.132)] следует, что сумма диагональных элементов тензора
энергии-импульса (след тензора) равна нулю:
2Хи=о. (п.136)
Законы сохранения импульса и энергии являются просто трех-
трехмерными интегралами уравнения для силы A1.133). Чтобы убе-
убедиться в этом, выпишем пространственные составляющие fk\
/fc = ^ = ^ + ^ = (div"f)*--%. A1.137)
/я dxv dxj ' d*4 ; dt v '
Если приравнять пространственный интеграл от fk скорости изме-
изменения k-й составляющей импульса Pk, то, интегрируя A1.137),
получаем
4-(р + °)= \dlv*~fd*x = $n.^fda, A1.138)
V 8
где через G обозначен полный импульс электромагнитного поля.
Этот закон сохранения количества движения был получен
424 Гл. 11. Специальная теория относительности
в гл. 6. Аналогично четвертую составляющую уравнения A1.133)
можно записать в виде
f ^ ^-f . A1.139)
Приравнивая интеграл по объему от /0 скорости изменения полной
механической энергии 7, получаем закон сохранения энергии
d (T+U)= - [ divStf3*- -<§n-Sda, A1.140)
dt
v s
где U — полная электромагнитная энергия в объеме V.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Теории относительности посвящена обширная литература. На мой
взгляд, самое ясное, хотя и сжатое, изложение специальной и общей теории
относительности дано в известной работе Паули [79], относящейся к 1921 г.,
но не утратившей своего значения и сейчас.
По специальной теории относительности имеется целый ряд учебников,
рассчитанных на аспирантов, а именно книги Аарони [3], Бергмана [11],
гл. 1—9, Мёллера [74], гл. 1 — 7.
Большое удовольствие от оригинальных методов теоретического иссле-
исследования можно получить при чтении сборника работ Эйнштейна, Лоренца,
Минковского и Вейля [39]. Основные эксперименты сжато и ясно описаны
в книгах Мёллера [74], гл. I, Пановского и Филипс [78], гл. 14. Более
полное описание экспериментальных основ специальной теории относитель-
относительности с подробной библиографией дано в главе, написанной Хиллом в кни-
книге [48], ч. 6, гл. 8.
Томасовская прецессия рассмотрена в книге Мёллера [74], § 22
и 47, где изложение сходно с нашим. Другой подход к этому вопросу приме-
применяют Корбен и Стил [31], § 92.
Дополнение редактора. Краткое изложение основных принципов спе-
специальной теории относительности читатель может найти в первых двух
главах книги Эйнштейна «Сущность теории относительности» [133].
ЗАДАЧИ
11.1. На фиг. 11.15 изображен один из возможных вариантов часов.
Они состоят из лампы-вспышки F и фотоэлемента Р, экранированного таким
образом, что он реагирует только на свет, идущий от зеркала М, располо-
расположенного на расстоянии d и жестко скрепленного с системой лампа— фото-
фотоэлемент. Внутри ящика расположено электронное устройство, которое
в тот момент, когда фотоэлемент отзывается на вспышку света от зеркала,
включает (с пренебрежимо малым временем запаздывания) лампу-вспышку,
посылающую к зеркалу короткий импульс света. Такие часы «тикают»
с интервалом 2d/c сек в системе координат, в которой они покоятся.
а) Предположим, что часы движутся относительно наблюдателя с по-
постоянной скоростью v, перпендикулярной направлению от PF к М. Исполь-
Используя второй постулат относительности, путем прямого геометрического или-
Задачи
425
алгебраического расчета показать, что при движении часов наблюдатель
заметит релятивистское замедление времени.
б) Предположим, что часы движутся со скоростью v параллельно
направлению от PF к М. Проверить, что при этом наблюдаемый интервал
тиканья часов также удлиняется, причем в том же отношении, что и в п. «а».
м
Фиг. 11.15.
11.2. а) Показать, что два последовательных преобразования Лоренца
в одном и том же направлении перестановочны и эквивалентны одному пре-
преобразованию Лоренца для относительной скорости
Это один из возможных путей вывода закона сложения параллельных ско-
скоростей.
б) Показать, что два последовательных преобразования Лоренца во вза-
взаимно перпендикулярных направлениях (у4— в ^-направлении, v2— в у-на-
правлении) не перестановочны. Показать также, что в каком бы порядке
ни применялись эти преобразования, результат не будет совпадать с еди-
единичным преобразованием с v = ioi+ )V2. Указать одно или несколько
простых соображений, из которых вытекает необходимость этого результата
в специальной теории относительности.
11.3. а) Найти вид волнового уравнения в системе К, если в системе К'
оно имеет обычную форму, а обе системы координат связаны преобразова-
преобразованием Галилея: х'= х— vtt t'= t.
б) Показать непосредственным преобразованием, что форма волнового*
уравнения в системах К и К' одинакова, если координаты связаны преобра-
преобразованием Лоренца: х'= у (х— vt)t t'= у [t— (vx/c2)].
11.4. Координатная система /С' движется со скоростью v относительна
другой системы К- В системе К' частица имеет скорость и' и ускорение а'.
Найти закон лоренцовского преобразования ускорений и показать, что-
426 Гл. 11. Специальная теория относительности
в системе К составляющие ускорения, параллельная и перпендикулярная v,
имеют вид
\
11.5. Предположим, что ракетный корабль покидает Землю в 2000 г.
Пилот ракеты родился в 1980 г. Ракетный корабль устроен таким образом,
что он в собственной системе координат имеет ускорение g (при этом пас-
пассажиры чувствуют себя «как дома»). Двигаясь в прямом направлении, корабль
ускоряется 5 лет (по своим часам), затем замедляется с таким же ускорением
в течение следующих 5 лет, после чего начинает двигаться обратно, также
*5 лет ускоряясь и 5 лет замедляясь, и, наконец, попадает на Землю. Пилоту
ракеты исполнилось к этому моменту 40 лет.
а) В каком году ракетный корабль вернулся на Землю?
б) Как далеко он удалялся от Земли? х)
11.6. В системе отсчета К два спринтера почти одинаковой силы старту-
лот с оси у из положений, расположенных на расстоянии d друг от друга,
л бегут вдоль оси х. Два стартера, находящиеся каждый возле своего бегу-
бегуна, стреляют из своих стартовых пистолетов в слегка различные моменты
времени, давая преимущество более слабому из двух бегунов. Разница вре-
времен стартов в системе К равна Т.
а) Для какого интервала времени Т найдется система отсчета /С', в ко-
которой ни у одного из спринтеров нет преимущества, и для какого интервала
времени Т существует система К', в которой имеется действительное (не ка-
кажущееся) преимущество?
б) Для обоих указанных в п. «а» случаев провести в явном виде^преобра-
зование к найденной системе К' и определить скорость системы К' ^относи-
тельно К, а также координаты каждого из спринтеров в системе К'•
11.7. Используя четырехмерную форму теоремы Грина, решить неодно-
неоднородное волновое уравнение
а) Показать, что 4-вектор-потенциал для ограниченного распределения
зарядов и токов имеет вид
1С -MS),,.,
где R2= (х—?)•(* — ?), х означает (х^, х2, х3, х4), a d4| = d|i dg2 ^^з ^4-
б) Исходя из определения напряженностей поля F^y, показать, что
р = - 2 И' X ¦
где (У X i?)nv=^M.^v—^ц-
х) Для решения этой задачи необходимо предположить, что для ускорен-
ускоренно движущихся систем координат справедливы соотношения Лоренца
между собственным временем и временем в других системах координат.—
Прим. ред.
Задачи 427
11.8. Трехмерная формулировка задачи излучения приводит к запазды-
запаздывающему решению
где г = | х — g |. Показать связь этого решения с решением, полученным
в задаче 11.7, выполнив в последнем интегрирование по d\k.
11.9. Точечному покоящемуся магнитному моменту ц соответствует
векторный потенциал
' ~ гз
и нулевой скалярный потенциал. Показать, что если магнитный момент
движется со скоростью v (v < с), то появляется электрический дипольный
момент р, совмещенный с магнитным и равный
1
Что можно сказать о случае, когда скорость v не мала по сравнению с с?
Показать, что энергия взаимодействия движущегося диполя с полями Е и В
та же, что и получаемая путем расчета магнитного поля в системе, где маг-
магнитный момент неподвижен.
11.10. а) Показать, что величина В2— Е2 инвариантна относительно
преобразований Лоренца. Как записать ее в четырехмерных обозначениях?
б) Символ e^JXVG определяется следующими свойствами:
( 0, если любая пара индексов совпадает,
&X[iva='{ +1 Для четной перестановки индексов,
(^ — 1 для нечетной перестановки индексов.
Таким образом, e^jxvo представляет собой полностью антисимметричный
единичный тензор четвертого ранга (точнее говоря, это псевдотензор отно-
относительно пространственной инверсии). Доказать, что величина ^X[ivo^X[i^vo
(где подразумевается суммирование по одинаковым индексам) является
лоренц-инвариантом, и найти ее выражение через поля Е и В.
11.11. В некоторой покоящейся системе отсчета однородное статическое
электрическое поле Ео параллельно оси х, а однородное статическое магнит-
магнитное поле #о= ^Ео лежит в плоскости ху и направлено под углом 6 к оси х.
Определить относительную скорость системы отсчета, в которой электриче-
электрическое и магнитное поля параллельны. Каковы поля в этой системе отсчета
при 6 « 1 и 6 ->- я/2?
11.12. Показать, что выражение для силы fMi = (l/c)/7M>v^rv можно пред-
представить в виде
428 Гл. 11. Специальная теория относительности
где
~~ ^" ( ^[iK^kv ~f~ 4
11.13. Импульс электромагнитного излучения имеет ограниченные раз-
размеры и распространяется в пространстве без зарядов и токов.
а) С помощью теоремы непрерывности в четырехмерном пространстве
доказать, что полный импульс и энергия электромагнитного поля преобразу-
преобразуются как 4-вектор.
б) Показать, что для плоской волны этот 4-вектор имеет нулевую «длину»,
но что для других возможных конфигураций полей (например, для расхо-
расходящейся сферической волны) это не так.
Глава 12
КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА
РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
При изложении специальной теории относительности в гл. 11
основное внимание уделялось электромагнитным полям и кова-
ковариантности уравнений электродинамики. Только в § 11 было частич-
частично затронуто механическое движение источников заряда и тока.
Действительно, поскольку специальная теория относительности
в первую очередь позволила объяснить особенности явления рас-
распространения света, то естественно, что при изложении основ этой
теории мы больше всего говорили об электромагнитных полях.
Кроме того, в большом классе задач нет необходимости в подробном
рассмотрении механического движения источников заряда и тока.
Однако проблемы, в которых поля играют большую роль, чем
источники, охватывают лишь часть электродинамических явлений.
Существуют обратные задачи, в которых нас интересует поведение
заряженных частиц под действием приложенных электромагнит-
электромагнитных полей. Конечно, движущиеся частицы в свою очередь создают
заряды и токи, которые являются источниками новых полей. Но
во многих приложениях этими полями можно пренебречь либо
же учесть их приближенно. В настоящей главе мы рассмотрим
движение релятивистских частиц, сначала их кинематику, а затем
динамику в заданных внешних полях. Обсуждение сложной задачи
взаимодействия заряженных частиц с порождаемыми ими полями
мы отложим до гл. 17.
§ 1. Импульс и энергия частицы
В нерелятивистской механике частица с массой т и скоростью
v имеет импульс р = ту и кинетическую энергию Т = 1/2mv2.
Уравнения движения Ньютона связывают скорость изменения
импульса с приложенной силой. Для заряженной частицы такой
силой является сила Лоренца. Поскольку в § И предыдущей главы
430 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
мы уже рассмотрели трансформационные свойства плотности силы
Лоренца, мы можем теперь сразу найти поведение импульса заря-
заряженной частицы при преобразованиях Лоренца. Таким образом,
конечно, нельзя найти релятивистские трансформационные свойства
для нейтральных частиц, электромагнитное взаимодействие между
которыми пренебрежимо мало, однако имеется достаточно экспе-
экспериментальных доказательств того, что кинематическое поведение
заряженных и нейтральных частиц одинаково.
Заряженную частицу можно рассматривать как локализован-
локализованное в малом объеме распределение заряда и массы. Для определе-
определения силы, действующей на такую частицу, мы должны проинтегри-
проинтегрировать плотность силы Лоренца /^ [см. A1.129)] по объему частицы.
Если полный заряд равен е, а скорость частицы v, то пространст-
пространственный интеграл от A1.129) равен
-F^, A2.1)
где vv= (v, /с), a F^v следует понимать как среднее поле, действую-
действующее на частицу. Аналогично § И предыдущей главы мы можем
приравнять A2.1) скорости изменения импульса и энергии частицы
d*x; A2.2)
здесь pk представляет собой k-ю составляющую импульса частицы,
а величина p^ = iE/c пропорциональна энергии частицы. Из A2.2)
вытекает, что р^ является 4-вектором. Действительно, если про-
проинтегрировать по времени обе части равенства, то в левой части
будет стоять р^, в то время как правая часть равна четырехмер-
четырехмерному интегралу от/^. Поскольку dlx является лоренц-инвариантом,
то величина р^ должна иметь такие же трансформационные свой-
свойства, как /jx. Следовательно, импульс р и энергия Е частицы обра-
образуют 4-вектор р^\
A2.3)
Преобразование импульса и энергии при переходе из одной лорен-
цовской системы отсчета К в другую систему /(', движущуюся со
скоростью v параллельно оси z, имеет вид
где Р = vie, а 7 ~ A — Р2)/2. Обратное преобразование полу-
получается заменой Р ->¦—р и перестановкой штрихованных и нештри-
хованных переменных.
§ 1. Импульс и энергия частицы 43Г
Длина 4-вектора р^ является лоренц-инвариантной величиной,,
характеризующей частицу:
(р-р) = (р'-р')=-%-. A2.5)
В системе, где частица покоится (pf=: 0), скалярное произведение
A2.5) выражается через энергию покоящейся частицы
Е' = к. A2.6)
Для определения X рассмотрим преобразование Лоренца A2.4)
величин рц из системы, где частица покоится, в систему /С, в кото-
которой она движется в г-направлении со скоростью v. Импульс и энер-
энергия описываются очевидными выражениями
, A2.7)
Из нерелятивистского выражения для импульса р = ту находим
инвариантную постоянную X = тс2. В нерелятивистском прибли-
приближении
Е = утс* ъ mc* + Ymv*+ • • • ' A2-8>
Это выражение показывает, что Е является полной энергией части-
частицы, которая состоит из двух частей: энергии покоя тс2 и кинети-
кинетической энергии. Для релятивистской частицы кинетическая энер-
энергия Т определяется как разность между полной энергией и энер-
энергией покоя:
Т = Е — тс2 = (у — 1) тс2. A2.9)
Итак, свободная частица с массой т, движущаяся со скоростью v
в системе отсчета /С, имеет в этой системе импульс и энергию,
соответственно равные
I 2 A2.10)
Е = уте2.
Отсюда видно, что энергия Е может быть выражена через импульс
соотношением
Е = (с2р2 + т2с*I/2. A2,11)
Скорость движения частицы выражается через импульс и энергию-
соотношением
v = -Jp. A2.12)
p
E
m
v .
. вместо ¦
cp
E
me
vie
432 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
В кинематике релятивистских частиц очень удобно пользоваться
специальной, очень простой и согласованной системой единиц для
импульса частицы и ее энергии. В приведенных выше формулах
часто встречается скорость света. Чтобы упростить формулы и из-
изгнать из них различные степени с, введем соглашение о том, что
импульс, энергия и масса будут измеряться в энергетических еди-
единицах, а для скорости за единицу примем скорость света. При этом
все степени с исчезают. Таким образом, в дальнейшем будут исполь-
использованы обозначения
A2.13)
В качестве энергетических единиц обычно употребляются эв (элек-
(электрон-вольт), Мэв A06 эв) и Гэв A09 эв). Один электрон-вольт —
это энергия, которую приобретает частица с зарядом, равным
заряду электрона, при прохождении разности потенциалов в 1 в
(I эв= 1,602-10-12 эрг).
§ 2. Кинематика осколков при распаде
нестабильной частицы
В качестве первой иллюстрации релятивистской кинематики,
в которой используется только 4-векторный характер импульса
и энергии частицы, рассмотрим распад нестабильной частицы на
две. Такой распад является довольно частым явлением. Приведем
несколько примеров.
1. Заряженный я-мезон распадается с временем жизни
т — 2,6-10"8 сек на ji-мезон и нейтрино:
V.
Энергия покоя я-мезона М равна 139,6 Мэв, а [i-мезона ти =
= 105,7 Мэв. Масса покоя нейтрино mv равна нулю. Таким обра-
образом, при распаде я-мезона освобождается энергия, равная 33,9 Мэв.
2. Заряженный /(-мезон иногда распадается с временем жиз-
жизни т — 1.2-10~8 сек на два я-мезона:
Заряженный /(-мезон имеет энергию покоя М = 494 Мэв, а энер-
энергии покоя я-мезонов равны т±= 139,6 Мэв, то= 135,0 Мэв. Сле-
Следовательно, освобождается энергия, равная 219 Мэв.
§ 2. Кинематика осколков при распаде нестабильной частицы 433
3. Л-гиперон распадается с временем жизни т = 2;9-100 сек
на нейтрон или протон и я-мезон:
л- ¦ ¦ ¦
Энергия покоя Л-гиперона М равна 1115 Л4зв; энергии покоя про-
протона и нейтрона составляют тр= 938,5 Л4зв, mn= 939,8 Мэв.
Массы я-мезонов приведены выше. Энергия, освобождающаяся при
распаде Л-гиперона, равна 37 Мэв для первого варианта и 40 Мэв
для второго.
Распад частицы с массой покоя М на две частицы с массами т±
и т2
M-+mi + m2 A2.14)
возможен только в том случае, когда масса начальной частицы
больше, чем сумма масс конечных частиц. Введем так называемый
дефект массы
Ш = М — mi — т2. A2.15)
Сумма кинетических энергий двух появившихся частиц должна
быть равна AM. Поскольку исходная система имела нулевой им-
импульс, то обе частицы должны иметь равные и противоположно на-
направленные импульсы р4= — р2= р. Согласно A2.11), закон сохра-
сохранения энергии можно записать в виде
Vp2 + ml + Vp2 + m22 = M. A2.16)
Это соотношение определяет абсолютную величину импульса р
и значения энергии Ei и Е2 обеих частиц.
Вместо того чтобы решать уравнение A2.16), получим ответ
с помощью полезного метода, основанного на лоренц-инвариантно-
сти скалярного произведения двух 4-векторов. Сохранение энергии
и импульса в двухчастичном распаде можно записать в виде 4-век-
торного уравнения:
P A2.17)
где 4-векторные индексы опущены. Квадраты 4-векторов импульса
являются инвариантами
(Р.Р)= -М\ (prPi)=-ml (p2.p2)= -т22. A2.18)
Чтобы не перепутать квадраты 4-векторов с квадратами трехмер-
трехмерных векторов {р2= Р*р), будем квадраты 4-векторов записывать
в виде скалярных произведений. Согласно A2.17), для квадрата
4-вектора р2 получим
434 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
Скалярное произведение (Р-р\) лоренц-инвариантно. В системе
координат, где частица М покоится, пространственная часть (P-pi)
равна нулю и, следовательно,
A2.20)
Отсюда полная энергия частицы с массой т^ равна
— т\
F
и аналогично
M2|l—m\
Обычно более полезно знать не полную энергию, а кинетическую
энергию. С помощью A2.15) легко показать, что
/=1,2, A2.23)
где AM—дефект массы. Член АМ/2М является релятивистской
поправкой и в нерелятивистской формуле отсутствует. На первый
взгляд эта поправка как будто не имеет релятивистского происхож-
происхождения, однако легко видеть, что если величина AM I2M сравнима с
единицей, то разлетающиеся частицы должны быть релятивистскими.
Для численной иллюстрации рассмотрим первый описанный
выше пример распада я-мезона. Дефект массы равен 33,9 Мэв,
а массы частиц составляют М = 139,6 Мэв, т^ = 105,7 Мэв, mv= 0.
Следовательно, кинетические энергии |я-мезона и нейтрино имеют
следующую величину:
Ю5,7 33,9 N
139,6 2-139,6
Tv = 33,9 — Т» = 29,8 Мэв.
Наличие характерной энергии |я-мезона, равной 4,1 Мэв, в про-
процессе распада покоящегося я-мезона и привело в 1947 г. Пауэлла
с сотрудниками к открытию я-мезона при обработке наблюдений
следов в фотоэмульсии.
Впервые Л-частица была обнаружена в движении по заряжен-
заряженным продуктам ее распада (р + лг) в камере Вильсона. Треки
заряженных частиц имели вид, показанный на фиг. 12.1. Отожде-
Отождествление частиц и определение их начального импульса может быть
произведено по длине и кривизне их треков в магнитном поле
(либо другим способом, например счетом зерен в эмульсии). Для
определения массы нерегистрируемой первичной частицы необхо-
необходимо также знать угол 0 между треками. Возводя в квадрат равен-
равенство A2.17), получаем
. A2.24)
§ 3. Преобразование к системе центра масс 435
Отсюда следует, что
_Л^-/^-/п22 + 2(Р1-Р2). A2.25)
Вычисляя скалярное произведение (ргРг) в лабораторной системе
отсчета, находим
M2 = m21 + ml + 2E1E2-2pip2cosQ, A2.26)
где Pi и р2—абсолютные величины трехмерных импульсов.
Фиг. 12.1. Распад
Л-частицы в полете.
При распаде на три части или больше образующиеся частицы
уже не имеют однозначно определенных импульсов, но их распре-
распределение по энергиям не может быть произвольным. Их энергети-
энергетические спектры имеют определенные верхние границы, которые
могут быть найдены с помощью кинематического рассмотрения,
аналогичного приведенному здесь (см. задачу 12.2).
§ 3. Преобразование к системе центра
масс и пороги реакций
Одной из общих задач ядерной физики и физики частиц высо-
высоких энергий является задача о соударении двух частиц. Нале-
Налетающая частица 1 с массой ти импульсом pt= p и энергией Ei
сталкивается с частицей 2 («мишень») с массой /п2, которая непо-
неподвижна в лабораторной системе координат. Соударение может
быть простым упругим рассеянием
1+2-»Г + 2'. A2.27)
Штрихи показывают, что направление полета частиц после соуда-
соударения будет, вообще говоря, отличным от исходного. В других
случаях соударение может привести к реакции
.., A2.28)
в которой образуются две или несколько частиц и по крайней мере
одна из них отлична от налетающих частиц. Упругое рассеяние
возможно всегда; что касается ядерных реакций, то возможность
436 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
их осуществления определяется различием масс частиц и начальной
энергией налетающей частицы. Чтобы произвести соответствующий
энергетический расчет в наиболее простой кинематической форме,
удобно перейти к координатной системе К', в которой налетающая
частица и мишень имеют равные и противоположно направленные
импульсы. Эта система называется (не совсем удачно) системой
центра масс (или системой центра инерции) и обозначается как
-Р'
Фиг. 12.2. Векторы импульсов при упругом рассеянии
или при двухчастичной реакции в системе ЦМ.
система ЦМ. Рассеянные частицы (или продукты реакции в двух-
двухчастичных реакциях) имеют в системе ЦМ равные и противопо-
противоположные импульсы, составляющие угол 0' с направлением первона-
первоначальных импульсов. На фиг. 12.2 показаны векторы импульсов
при упругом рассеянии или двухчастичной ядерной реакции. В слу-
случае упругого рассеяния |р'| = |q'|, а при ядерной реакции величи-
величина q' определяется из условия сохранения полной энергии (вклю-
(включая энергии покоя) в системе ЦМ.
Соотношение, позволяющее перейти от энергий и импульсов
в лабораторной системе к соответствующим величинам в системе
ЦМ, можно найти либо непосредственно с помощью преобразования
Лоренца от системы К к системе К', причем относительная скорость
уцм определяется из требовайия р[= р'= — р'2, либо используя
инвариантность скалярного произведения. Выбирая последний спо-
способ, рассмотрим скалярное произведение
(Pi+p2)-(Pi+P2)=(p;+p;)-(p;+p;). A2.29)
Здесь левая часть равенства вычисляется в лабораторной системе,
где р2= 0, а правая часть — в системе ЦМ, где р^ + Рг= О, По-
Поэтому мы получаем
\ A2.30)
§ 3. Преобразование к системе центра масс 437
Используя равенство Е\=р*-\-т\, находим, что полная энергия
в системе ЦМ равна
E' = E'1 + E'2 = (ml + m22 + 2Eim2)V2. A2.31)
В отдельности энергии Е[ и Е'2 можно определить, рассматривая
скалярные произведения типа
= РЖ + р;); (l2.32>
отсюда получаем
и аналогично
р, _
2
2 2Е'
A2.33)
Отметим сходство этих выражений с соотношениями A2.21) и A2.22).
Величина импульса р' получается из A2.33):
P' = l?p- A2.34)
Параметры лоренцовского преобразования \цш и упм можно,
определить, учтя, что р'2= — Тцм/^2уцм = — Р', а Е'2 = уцшт2.
Отсюда
Для нерелятивистского движения кинетическая энергия в си-
системе ЦМ описывается выражением
)| A2.36)
Аналогично скорость и импульс в системе ЦМ будут
v'- A2-37)
Таким образом, обычные нерелятивистские результаты получаются
из строгих релятивистских формул. В случае ультрарелятивистского
движения (?i> mu Е^ т2) рассматриваемые величины прини-
принимают следующие приближенные предельные значения:
Е' ъ B?1т2I/2,
-^ , A2.38)
¦1
438 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
Мы видим, Что энергия в системе ЦМ растет только как корень
квадратный из энергии налетающей частицы. Отсюда следует, что
в системе ЦМ очень трудно получать ультравысокие энергии при
бомбардировке неподвижных мишеней. Наиболее высокоэнергети-
высокоэнергетические существующие ускорители частиц [в ЦЕРН вблизи Жене-
Женевы (Швейцария) и в Брукхейвене (США)] дают протоны с энергией
~ 30 Гэв. Если мишенями служат неподвижные нуклоны, то полная
энергия в системе ЦМ будет — 7 Гэв. Для получения энергии
30 Гэв в системе ЦМ необходимо бомбардировать неподвижные нук-
нуклоны протонами с энергией свыше 300 Гэв\ В связи с этим были
предприняты значительные усилия для получения в ускорителях
так называемых встречных, или сталкивающихся, пучков, для
которых лабораторная система является системой ЦМ.
При реакции двух исходных частиц с массами т4 и т2 обра-
образуются две или несколько частиц с массами mt (i = 3, 4,...). Пусть
AM — разность между суммой масс конечных и начальных частиц х)
AM = (т3 + ть +...) — (т± + т2). A2.39)
Если величина AM положительна, то существует такая энергия
Тпор налетающей частицы, называемая порогом данной реакции,
ниже которой реакция не происходит. Реакция энергетически
возможна, если энергия достаточна для создания в системе ЦМ
требуемых частиц с нулевой кинетической энергией. Отсюда сле-
следует, что
E bM A2.40)
С помощью A2.31) легко найти пороговую кинетическую энергию
налетающей частицы
( ^) A2.41)
Первые два члена в скобках имеют нерелятивистское происхожде-
происхождение, а последний дает релятивистскую поправку. Рассмотрим для
примера пороговую энергию фоторождения нейтральных зт-мезо-
нов на протонах
Так как фотон не имеет массы покоя, то разность масс AM =
= Шф == 135,0 Мэв, а масса мишени т2= тр= 938,5 Мэв. Поэтому
для пороговой энергии получаем
ГПор= 135,0 ( 1 + 2^5 ) = 135,0-1,072 = 144,7 Мэв.
х) Заметим, что наше определение AM противоположно по знаку опреде-
определению, использованному в § 2 при рассмотрении процессов распада.
§ 4. Преобразование импульса и энергии 439
В качестве другого примера рассмотрим рождение пары протон —
антипротон при протон-протонных соударениях
Разность масс AM = 2тр= 1,877 Гэв. Из A2.41) находим
В этом примере пороговая энергия в 3 раза больше реальной разно-
разности масс, тогда как в примере с фоторождением она больше лишь
на 7,2%. Расчеты порогов для других ядерных реакций отнесены
к задаче 12.1 в конце главы.
§ 4, Преобразование импульса и энергии
из системы центра масс в лабораторную систему
На фиг. 12.2 показаны импульсы для двухчастичного столкно-
столкновения в системе ЦМ. Начальные импульсы и энергии (р^ = —р2 —
= р', Е1У Е'2) были рассчитаны выше и определяются выражениями
A2.33) и A2.34). Аналогично можно рассчитать и конечные импульсы
и энергии (р3= — р4= q', ?3> Е'4) в системе ЦМ. Так как энергия
и импульс сохраняются, 4-вектор импульса удовлетворяет соотно-
соотношению
02.42)
Отсюда легко найти энергии разлетающихся частиц
9F' '
A2.43)
|
2Е'
где Е' определяется соотношением A2.31). Следует отметить оче-
очевидное сходство выражений A2.43) и A2.33). В системе ЦМ разле-
разлетающиеся частицы имеют импульс
или, в несколько иной форме,
^f)]1'2, A2.45)
где A?i—превышение энергии налетающей частицы в лаборатор-
лабораторной системе координат над пороговой энергией A2.41)
ДЯ^П-Гпор. A2.46)
440 Гл. 12, Кинематика и динамика релятивистских частиц
В случае упругого рассеяния, когда m3=mit mk — т2, выражение
A2.45), очевидно, сводится к A2.34).
Поскольку рассеяние и ядерные реакции фактически наблю-
наблюдаются в лабораторной системе, необходимо произвести преобра-
преобразование из системы ЦМ в лабораторную систему. На фиг. 12.3 по-
показаны начальный импульс р и конечные импульсы р3 и р4 в лабо-
лабораторной системе координат. Фиг. 12.3 отличается от фиг. 12.2
лоренц-преобразованием импульсов. Энергию Е3 в лабораторной
т,-
Фиг. 12.3. Векторы импульсов для двухчастичных процессов в лабораторной
системе.
системе можно выразить через переменные системы ЦМ с помощью
преобразования Лоренца для относительной скорости уцм, исполь-
используя соотношения A2.35) и A2.4). Если 0'— угол между р3 и направ-
направлением налетающей частицы в системе ЦМ, то
Е3 = Уцм(Е^-\-VhMq cos"). A2.47)
Таким образом, в явном виде Е3 дается формулой
р __ Ei+m2
^3~ 2
+*{[¦-
где Е' определяется соотношением A2.31). Для получения ?4 доста-
достаточно просто поменять местами т3 и т4 и заменить 0' на я — 0Л
(cos 0'-*-— cos 0').
Соотношение между углами 0' и 03 можно получить из выра-
выражения
.."'TJL ^ • A2.49)
Таким образом,
§ 4. Преобразование импульса и энергии
441
где
a —
P_
i Г { Г
\Y
A2.51)
Заметим, что а является отношением скорости движения системы
ЦМ к скорости частицы 3 в системе ЦМ. Вблизи порога реакции а
значительно больше единицы. Отсюда следует, что при полном
Фиг. 12.4. Зависимость угла 63 в лабораторной системе от угла 6' в системе
ЦМ для а < 1 и а > 1.
изменении 0' от 0 до я в системе ЦМ угол 03 меняется лишь внутри
некоторого конуса О<03<0Макс. Типичная зависимость при
а > 1 показана на фиг. 12.4. При а > 1 угол 03 в лабораторной
системе соответствует двум различным углам 0' в системе ЦМ:
частицы, вылетающие в системе ЦМ вперед и назад, соответствуют
в лабораторной системе одному и тому же углу рассеяния. Эти
два типа частиц можно различить по их энергиям. Согласно A2.48),
частицы, которые в системе ЦМ летят вперед, имеют большую энер-
энергию, чем частицы, летящие назад. Когда а < 1, знаменатель в A2.50)
может при некотором Э'> я/2 обратиться в нуль, что соответствует
03= я/2, а для больших 0' он становится отрицательным. Это
442 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
означает, что угол 03 изменяется в полном интервале (О<03<я)
и однозначно связан с 0'. Соответствующая кривая также изо-
изображена на фиг. 12.4.
Для получения величины Е3 в функции от 03 достаточно выра-
выразить в A2.48) Э' через 03 согласно A2.50). Иногда полезно иметь
явное выражение для этой зависимости. Из закона сохранения
энергии и импульса в лабораторной системе
Pi i Pi== Рз i Pk A ^ • ^~)
можно путем прямых, хотя и громоздких, вычислений прийти к со-
соотношению
J С / tTl2 I TYtk I /TZo tTl\
±pcos03 I т2Е{-{ ^—2 2 3 J —myn\ — p2mgSin203 ^ .
A2.53)
Физический смысл имеют только те значения A2.53), которые
больше т3. Легко убедиться, что при а > 1 допустимы оба
знака корня, а при а < 1 — только один. Для нахождения
величины ?4 следует поменять местами т3 и /п4 и заменить 03 на 04.
Приведенные выше соотношения существенно упрощаются для
упругого рассеяния, когда т3 — ти mk = m2. При этом угол рас-
рассеяния в лабораторной системе определяется из соотношения A2.50),
где
_
mt (т2/т{) Ej + mj A2 54)
т2 Ei\m2 \ • )
т2
В нерелятивистском пределе мы получаем известный результат:
¦а = /tti/rao. Потеря энергии налетающей частицы равна А? = Г4 =
= Ek — /n4. Из A2.48) можно выразить А? через угол, рассея-
рассеяния 0':
1- COS 6') п9 ггч
A255)
Величину А? можно выразить также через угол отклонения в ла-
лабораторной системе, воспользовавшись соотношением A2.53):
Для лобовых соударений оба выражения дают максимальное зна-
значение
§ 5. Ковариантные уравнения движения 443
В частности, в нерелятивистском случае
Отсюда видно, что при лобовом соударении вся кинетическая
энергия налетающей частицы может быть передана другой частице
при mi= m2 (это справедливо также и в релятивистском случае).
Важным примером передачи энергии являются соударения
заряженной налетающей частицы с атомными электронами. При
этом электроны можно считать покоящимися. Если налетающая
частица не является электроном, то тА> т2. В этом случае макси-
максимальную передаваемую энергию можно приближенно записать как
Д?макс ъ 2т2 (-^J = 2т2у^\ A2.59)
где у и Р относятся к налетающей частице. Выражение A2.59) спра-
справедливо для не слишком больших энергий налетающей частицы
когда
() A2-60)
Для (i-мезонов этот предел равен 20 Гэв, для протонов — около
2000 Гэв. Для электрон-электронных соударений (mi= т2— т)
максимальная передаваемая энергия составляет
AE(uLc = (y-l)m. A2.61)
§ 5. Ковариантные уравнения движения.
Лагранжиан и гамильтониан для релятивистской
заряженной частицы
В § 1 мы рассмотрели уравнения движения под действием силы
Лоренца для нахождения трансформационных свойств импульса
и энергии частицы. Однако мы в явном виде не проверили ковариант-
ковариантность уравнений движения для частицы, движущейся во внешних
полях. Теперь мы установим эту ковариантность, а также введем
лагранжиан, канонические импульсы и гамильтониан. Согласно
уравнениям A2.2) и A1.129), уравнение движения частицы можно
записать в виде
^ 4 J, A2.62)
где интегрирование производится по объему заряженной частицы.
Если скорость частицы v, а ее полный заряд е, то
444 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
где vv= vh для v = k = 1, 2, 3 и vk = ic. Это уравнение еще не
является ковариантным, поскольку vv не является 4-вектором,
так же как и dp^/dt. Последний недостаток можно исправить,
если взять производные не по t, а по собственному времени т A1.62).
Так как dt = ydx, то мы получаем
^¦ = -jF^yvv. A2.64)
Но теперь yvv = pv/m является 4-вектором (называемым иногда
4-скоростью), и мы приходим к ковариантной форме уравнения
движения частицы
Это уравнение, относящееся к дискретной частице, является ана-
аналогом уравнения A1.129) для непрерывно распределенных зарядов
и токов. Теперь, установив ковариантность уравнения движения
частицы A2.65), мы можем записать его в пространственно-времен-
пространственно-временной форме для любой системы отсчета:
Из A2.65) следует, что коль скоро все переменные преобразуются
в соответствии с присущими им законами преобразования, то неко-
вариантная форма A2.66) будет справедлива в произвольной
лоренцовской системе координат.
Уравнения A2.65) или A2.66) полностью описывают движение
заряженной частицы в произвольных внешних полях. Однако
иногда более удобно использовать метод уравнений Лагранжа или
Гамильтона. Нахождение лагранжиана для частицы, движущейся
под действием силы Лоренца, мы начнем со случая свободной
релятивистской частицы. Поскольку лагранжиан должен быть
функцией скоростей и координат, запишем уравнение движения
для свободной частицы в виде
4-(Y"iv) = 0,. A2.67)
где у = A — v2/c2)~y2. Лагранжиан L должен быть выбран таким
образом, чтобы уравнения движения Эйлера — Лагранжа
совпадали с ньютоновскими уравнениями движения. Легко убе-
убедиться, что для свободной частицы подходящим лагранжианом
§ 5. Ковариантные уравнения движения 445
является функция
S -.9. >ч 1 /о
A2.69)
При подстановке в A2.68) этот лагранжиан приводит, очевидно,
к уравнениям A2.67).
Чтобы получить лагранжиан свободной частицы более изящным
способом, рассмотрим принцип Гамильтона, или принцип наимень-
наименьшего действия. Согласно этому принципу, движение механической
системы таково, что при переходе от состояния а, соответствующего
моменту времени ?4, к состоянию 6, соответствующего моменту t2,
должен быть экстремален (в данном случае минимален) интеграл
действия А, определенный как интеграл по времени от лагран-
лагранжиана вдоль пути системы:
ь
A2.70)
Рассматривая малые вариации выбранного пути и налагая условие
?>А = 0, мы придем к уравнениям движения Эйлера — Лагранжа
A2.68). Для нахождения лагранжиана свободной частицы мы
используем теперь лоренц-инвариантность интеграла действия.
Лоренц-инвариантность интеграла действия следует из первого
постулата относительности, поскольку уравнения движения опреде-
определяются требованием его экстремальности. При введении собствен-
собственного времени dt = yd% интеграл действия принимает вид
ь
А= \ yLdr. A2.71)
Поскольку собственное время лоренц-инвариантно, то условие
лоренц-инвариантности А приводит к требованию лоренц-инвариант-
лоренц-инвариантности yL. Это требование является общим для любого лагранжиана.
Для свободной частицы LCB может быть функцией только ско-
скорости частицы (и, возможно, ее массы). Единственной лоренц-
инвариантной величиной, содержащей скорость, является произ-
произвольная функция от скалярного произведения A/т2) (р-р), где
рц есть 4-импульс частицы. Поскольку (р-р) = —т2, мы видим,
что yLCB для свободной частицы является постоянной величиной
yLCB=—b. A2.72)
Таким образом, для свободной частицы интеграл действия пропор-
пропорционален интегралу от собственного времени по пути от начальной
пространственно-временной точки а до конечной пространственно-
временной, точки 6. Этот интеграл является лоренц-инвариантом,
446 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
но зависит от выбранного пути. Для удобства расчета рассмотрим
систему отсчета, в которой частица в начальный момент покоится.
Из определения собственного времени A1.62) ясно, что если частица
в этой системе находится в состоянии покоя, то интеграл по собст-
собственному времени будет больше, чем при ее движении с любой отлич-
отличной от нуля скоростью вдоль некоторой траектории. Следовательно,
для прямой мировой линии, соединяющей начальную и конечную
точки пути, интеграл от собственного времени максимален, что
с учетом отрицательного знака в A2.72) соответствует минимуму
интеграла действия. Сравнение с уравнением Ньютона для нереля-
нерелятивистского движения показывает, что X = тс2. Это приводит
к лагранжиану для свободной частицы A2.69).
Общее требование лоренц-инвариантности величины yL позво-
позволяет определить лагранжиан для релятивистской заряженной части-
частицы во внешних электромагнитных полях при условии, что мы
знаем лагранжиан (или уравнения движения) для нерелятивист-
нерелятивистского движения в статических полях. На медленно движущуюся
заряженную частицу действует в основном' электрическое поле,
которое определяется скалярным потенциалом Ф. Потенциальная
энергия взаимодействия есть V = еФ. Так как нерелятивистский
лагранжиан равен Т — V, то часть LB3 релятивистского лагранжиа-
лагранжиана, соответствующая взаимодействию с электромагнитным полем,
должна в нерелятивистском пределе сводиться к
LB5->LZveJl=-e<D. A2.73)
Теперь наша задача заключается в том, чтобы найти лоренц-инва-
риантное выражение для yLB3, которое для нерелятивистских ско-
скоростей приводит к выражению A2.73). Поскольку Ф является
четвертой составляющей 4-вектора-потенциала А^, следует ожидать,
что yLB3 содержит скалярное произведение А^ на некоторый 4-век-
тор. Таким 4-вектором может быть лишь вектор импульса или
вектор координаты частицы. Так как произведение yL наряду
с лоренц-инвариантностью должно обладать также и трансляцион-
трансляционной инвариантностью, то оно не может явно содержать координат.
Следовательно, лагранжиан взаимодействия имеет видг)
LM= —— (р.Л) = -у.А-вФ, A2.74)
х) Форму LB3 можно установить и без обращения к нерелятивистскому
пределу, если потребовать, чтобы произведение у^вз было лоренц-инвариантом,.
который 1) является линейной функцией заряда частицы, 2) является линей-
линейной функцией от электромагнитных потенциалов, 3) обладает трансляционной
симметрией и 4) содержит производные координат частицы по времени не-
невыше чем первого порядка. Читатель может рассмотреть возможность построе-
построения лагранжиана взаимодействия, удовлетворяющего этим услойиям, но*
линейного не по потенциалам А^, а по напряженности поля F^v.
§ 5. Ковариантные уравнения движения 447
где коэффициент при скалярном произведении выбран таким обра-
образом, чтобы при v -^0 это выражение переходило в A2.73).
Комбинируя A2.69) и A2.74), получаем полный релятивист-
релятивистский лагранжиан заряженной частицы
L = { г т е <12-75>
{ -тс2]/ l_JL + yyA-e(D.
Здесь верхнее выражение дает L в 4-векторной форме, а нижнее —
в явной пространственно-временной форме. Мы предоставляем
читателю убедиться самостоятельно, что лагранжиан A2.75) дей-
действительно приводит к уравнениям движения A2.66) заряженной
частицы под действием силы Лоренца. При этом следует учесть,
что материальная производная dldt = д/dt + v-grad, и восполь-
воспользоваться обычными выражениями полей через потенциалы.
Канонический импульс Р, сопряженный с пространственной
координатой х, определяется соотношениями
^ A2.76)
с
Отсюда следует, что канонический импульс
p=p+i-A, A2.77)
где р = ут\ — импульс частицы в отсутствие полей. Гамильто-
Гамильтониан Н является функцией координаты х и сопряженного импуль-
импульса Р. Если лагранжиан не зависит явно от времени, то Н
является интегралом движения. Гамильтониан выражается через
лагранжиан следующим образом:
Я = Р.у —I, A2.78)
где скорость v следует выразить через Р и х. Согласно A2.76) или
A2.77),
v = = . A2.79)
При подстановке этого выражения в A2.78) и в A2.75) гамильто-
гамильтониан примет вид
A2.80)
Читатель может проверить, что уравнения движения Гамильтона
эквивалентны обычным уравнениям движения A2.66) под действием
силы Лоренца. Выражение A2.80) для гамильтониана дает также
448 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
лолную энергию W частицы; оно отличается от энергии свобод-
свободной частицы добавлением потенциальной энергии еФ и заменой
р -^Р — (е 1с) А. В 4-векторной записи оба эти добавления сводятся
к одному. Действительно, перенося еФ в левую часть равенства
A2.80) и возводя обе части равенства в квадрат, получаем
(сР -еАJ -(W -еФJ = -(тс2J. A2.81)
Левая часть пропорциональна скалярному квадрату 4-вектора
(р.р)=-(т<02, A2.82)
где
Мы видим, что полная энергия W является четвертой составляющей
канонически сопряженного 4-импульса с пространственной частью
A2.77). Еще одна возможная формулировка уравнений движения
с релятивистски инвариантным лагранжианом, зависящим от 4-ско-
рости u^^p^lm, рассматривается в задаче 12.5. При этом канони-
канонический 4-импульс вводится весьма естественно.
Лагранжева и гамильтонова формулировки динамики заряжен-
заряженной частицы были приведены здесь по ряду причин. Во-первых, мы
показали, что требование лоренц-инвариантности в совокупности
с другими физическими требованиями является мощным орудием
систематического построения лагранжиана, позволяющим найти
динамические уравнения движения. Во-вторых, лагранжиан часто
используется как исходный пункт при рассмотрении динамики
частиц. Наконец, идеи и методы канонически сопряженных пере-
переменных оказываются весьма полезными при непосредственном
решении уравнений движения.
§ 6. Релятивистские поправки
первого порядка для лагранжиана
взаимодействующих заряженных частиц
Выше мы рассмотрели общий лагранжев формализм для реля-
релятивистской частицы во внешних электромагнитных полях, описы-
описываемых векторным и скалярным потенциалами АиФ. Соответствую-
Соответствующий лагранжиан взаимодействия дается выражением A2.74). Если
мы рассмотрим теперь проблему описания с помощью лангражиана
взаимодействия двух или более заряженных частиц друг с другом,
то убедимся, что это можно сделать только в случае нерелятивист-
нерелятивистских скоростей. Лагранжиан должен быть функцией мгновенных
скоростей и координат всех частиц. Однако при учете конечности
скорости распространения электромагнитных волн такого ла-
лагранжиана не существует, поскольку величина потенциала, созда-
§ 6. Релятивистские поправки первого порядка 449
ваемого в точке нахождения какой-либо частицы всеми другими
частицами, зависит от состояния движения других частиц в пред-
предшествующие моменты времени (отстоящие от данного момента
на время запаздывания). Поэтому лагранжево описание системы
отдельных частиц возможно только в том случае, когда эффекты
запаздывания пренебрежимо малы. В связи с этим можно было бы
ожидать, что лагранжиан можно ввести только в статическом пре-
предельном случае, т. е. в нулевом порядке по vie. Мы, однако, пока-
покажем далее, что можно учесть релятивистские поправки первого
приближения и получить приближенный лагранжиан взаимодей-
взаимодействующих частиц с точностью до членов порядка {vieJ включи-
включительно.
Достаточно рассмотреть две взаимодействующие частицы с за-
зарядами <7i и q2, массами т4 и т2 и координатами х4 и х2. Расстояние
между ними равно |г| = |х± — х2|. В статическом пределе лагран-
лагранжиан взаимодействия равен взятой со знаком минус электроста-
электростатической потенциальной энергии
С точки зрения первой частицы это выражение равно взятому
с обратным знаком произведению заряда частицы <7i на скалярный
потенциал d>i2, создаваемый второй частицей в месте нахождения
первой частицы, т. е. имеет ту же структуру, что и A2.73). Чтобы
обобщить этот статический результат, мы должны в соответствии
с A2.74) определить приближенно как Ф12, так и А12. В общем
случае имеют место релятивистские поправки и к Ф12, и к Ai2.
Но при кулоновской калибровке скалярный потенциал, определяемый
мгновенными кулоновскими потенциалами, справедлив в любом
порядке по v 1с. Таким образом, если придерживаться кулонов-
кулоновской калибровки потенциалов, то скалярный потенциал уже из-
известен, и остается найти только векторный потенциал А42.
Если ограничиваться релятивистскими поправками лишь в пер-
первом неисчезающем приближении, то можно при определении А12
пренебречь влиянием запаздывания. Это объясняется тем, что
векторный потенциал входит в лагранжиан A2.74) в комбинации
<7i(Vi/?)-Ai2. Поскольку сам векторный потенциал А12 есть вели-
величина порядка и2/с, то дальнейшего уточнения величины Ai2 не
требуется. Таким образом, мы можем воспользоваться магнитоста-
тическим выражением
. 1 ? Jt(Xf)dV
где it — поперечная часть тока, создаваемого второй частицей
(см. гл. 6, § 5). Из соотношений F.46) — F.50) легко найти выра-
450 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
жение для этого тока
При подстановке этого выражения в A2.85) первый член сразу
интегрируется, и мы получаем
Al2^ggv_2_J72L Г _* g^d* Г 71Х/~У I d*x'. A2.87)
1г сг 4яс J |х' — х4| & L |х' —х2|3 J v '
Вводя переменную у = х'— х2 и интегрируя по частям, запишем
последнее выражение в виде
_ <^grad fvry 1 , A2 g8)
А12
^ сг
Последний интеграл вычисляется непосредственно:
A2.89)
Вычисляя градиент во втором члене, получаем окончательный
результат
g[ ^] A2.90)
Найденное выражение A2.90) для векторного потенциала поля
второй частицы в точке нахождения первой частицы позволяет
написать лагранжиан взаимодействия двух заряженных частиц,
учитывающий в первом неисчезающем приближении релятивист-
релятивистские эффекты:
^{^[(У)]} A2.91)
Этот лагранжиан впервые получен Дарвином в 1920 г. Он играет
важную роль при квантовомеханическом рассмотрении релятивист-
релятивистских возмущений в двухэлектронных атомах. В квантовомеханиче-
ских задачах векторы скорости заменяются соответствующими кван-
товомеханическими операторами (операторы а Дирака), и рас-
рассмотренное здесь взаимодействие носит название взаимодействия
Брейта A930 г.).
§ 7. Движение в однородном статическом
магнитном поле
В качестве первого примера движения заряженных частиц
в электромагнитных полях рассмотрим движение в однородном
§ 7. Движение в однородном магнитном поле 451
статическом магнитном поле В. Уравнения движения A2.66) в этом
случае имеют вид
Так как энергия постоянна во времени, то постоянны также абсо-
абсолютная величина скорости и величина у. Тогда первое уравнение
можно записать в виде
4f = vxg>b, A2.93>
где угловая частота вращения
Движение, описываемое уравнением A2.93), представляет собой
вращение по окружности в плоскости1, перпендикулярной В, на кото-
которое наложено равномерное движение, параллельное В. Легко пока-
показать, что, решая это уравнение относительно скорости, мы получаем
y{t) = vlle3 + (oBa(el-lt2)e"i(Obti A2.95)
где е3 — единичный вектор в направлении поля, е4 и е2 — два дру-
других взаимно перпендикулярных единичных вектора, v\\ — состав-
составляющая скорости в направлении поля, а а — радиус вращения.
Как обычно, следует брать действительную часть в A2.95). Выра-
Выражение A2.95) показывает, что положительно заряженная частица
вращается против часовой стрелки, если смотреть на нее в на-
направлении поля В. Второе интегрирование дает координату частицы
x@ = Xo + o,1fc3 + m(e1-/e2)e-ia>B'. A2.96)
Траекторией заряженной частицы является спираль с радиусом а
и углом наклона а = arctg (v\\/(oBa). Величина радиуса вращения
а зависит от магнитного поля В и поперечного импульса р^ частицы.
Из A2.94) и A2.95) получаем следующее соотношение:
СР± =еВа,
удобное для определения импульса частицы: зная радиус кривизны
траектории заряженной частицы в известном поле Б, можно найти
ее импульс. Для частицы с зарядом, равным по величине заряду
электрона, имеет место численное соотношение
{Мэв/с) = 3,00-Ю^Ва (гаусс-см). A2.97)
29*
452 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
§ 8. Движение в однородных статических
электрическом и магнитном полях
Рассмотрим теперь движущуюся заряженную частицу, на кото-
которую одновременно действуют однородные статические электри-
электрическое и магнитное поля Е и В, в общем случае не параллельные
друг другу. Сначала рассмотрим важный частный случай перпен-
перпендикулярных полей. Уравнение движения A2.66) показывает, что
при наличии электрического поля энергия частицы уже не постоянна
во времени. Поэтому выражение для скорости не может быть таким
простым, как при наличии лишь статического магнитного поля.
Однако уравнения движения можно существенно упростить с по-
помощью подходящего преобразования Лоренца. Рассмотрим пре-
преобразование Лоренца к координатной системе /С', движущейся со
скоростью и относительно исходной системы координат. При этом
уравнение движения частицы в системе К' будет иметь вид
где штрихованные переменные берутся в системе К'. Поля Е'
и В' определяются выражениями A1.115), в которых v следует
заменить на и, а знаки ]| и _|_ указывают направление относи-
относительно вектора и. Предположим сначала, что |Е|<|В|. Если
выбрать скорость и перпендикулярной ортогональным векто-
векторам Е и В и
и = с-^5Г-> A2-98)
то для полей в системе К' получим
>xb)=o.
в;,=о, Bi=-Lb
В этой системе отсчета на частицу действует только статическое
магнитное поле В', которое имеет то же направление, что и В, нб
в у раз слабее, чем В. Следовательно, как показано в предыдущем
параграфе, в системе К' частица движется по спирали вокруг си-
силовой линии. При наблюдении из исходной координатной системы
это вращение сопровождается однородным «дрейфом» со скоростью
и, перпендикулярной Е и В и определяющейся формулой A2.98).
Этот дрейф иногда называют электрическим дрейфом. В гл. 10, § 3,
мы уже рассматривали этот дрейф в связи с исследованием движения
проводящей жидкости. Качественно дрейф можно объяснить тем,
что частица, которая начинает вращаться вокруг магнитного поля
§ 8 Движение в однородных электрическом и магнитном полях 453
В, ускоряется электрическим полем и, набирая энергию, движется
в течение полупериода по траектории с радиусом, большим среднего.
На втором полупериоде электрическое поле является замедляющим,
частица теряет энергию и движется по дуге меньшего радиуса.
Сочленение таких дуг приводит к систематическому смещению
перпендикулярно Е и В, как показано на фиг. 12.5. Направление
дрейфа не зависит, очевидно, от знака заряда частицы.
Дрейфовая скорость и A2.98) имеет физический смысл только
в том случае, когда она меньше скорости света, т. е. если
Фиг. 12.5. Дрейф заряженных частиц в скрещенных электрическом
и магнитном полях.
|Е| < |В|. При |Е| > |В| электрическое поле столь велико, что части-
частица непрерывно ускоряется в направлении Е и ее средняя энергия
неограниченно возрастает со временем. Действительно, рассмотрим
преобразование Лоренца от исходной системы К к системе К\
движущейся относительно К со скоростью
Ц' = с. Eg2B . A2.100)
В этой новой системе отсчета для электрического и магнитного полей
имеем
-1 =
A2.101)
= 0
Таким образом, в системе К" частица движется в чисто электро-
электростатическом поле, т. е. совершает «гиперболическое» движение
с непрерывно увеличивающейся скоростью (см. задачу 12.7).
То обстоятельство, что частицы могут двигаться в скрещенных
полях Е и В с постоянной скоростью и = сЕ IB, можно использовать
454 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
для разделения заряженных частиц по скоростям. Если пучок
частиц с некоторым разбросом скоростей падает нормально на
область, в которой имеются однородные скрещенные электрическое
и магнитное поля, то без отклонения через эту область будут про-
проходить только частицы со скоростями, равными сЕIB. Расположив
подходящим образом щели на входе и выходе, можно вырезать
очень узкий интервал скоростей проходящих частиц в окрестности
сЕ/В. Разрешающая способность системы зависит от геометрии,
скорости частиц и напряженностей полей. В сочетании с селекто-
селектором импульсов, скажем типа отклоняющего магнита, рассматривае-
рассматриваемый дрейфовый селектор скоростей позволяет выделить очень
чистый и моноэнергетический пучок частиц определенной массы
из первоначально смешанного потока частиц с различными массами
и импульсами. Большие установки такого типа обычно исполь-
используются для выделения моноэнергетических пучков частиц на выходе
ускорителей больших энергий.
Если Е имеет составляющую, параллельную В, то поведение
частиц нельзя описать в такой простой форМе, как это было сде-
сделано выше. Наряду с величиной (В2— ?2) лоренц-инвариантом
является также скалярное произведение Е-В. При перпендику-
перпендикулярных полях (Е-В = 0) мы могли найти такую лоренцовскую
систему, в которой либо Е = 0 (при |В| > |Е|), либо В = 0 (при
|Е| > |В|). Описание движения частицы в таких координатных
системах существенно упрощалось. Если же Е-В Ф 0, то во всех
лоренцовых системах координат имеются как электрическое, так
и магнитное поля, и угол между ними остается острым или тупым
в зависимости от его величины в исходной координатной системе.
Следовательно, в любой системе координат приходится рассматри-
рассматривать движение в комбинированных полях. В случае однородных
статических полей можно непосредственно проинтегрировать урав-
уравнения движения в декартовых координатах (См. задачу 12.10.)
§ 9. Дрейф частиц в неоднородном
статическом магнитном поле
В астрофизических и термоядерных задачах значительный инте-
интерес представляет поведение частиц в магнитном поле, меняющемся
в пространстве. Часто это изменение достаточно слабое, и хорошим
приближением является решение уравнений движения методом
возмущений, впервые полученное Альфвеном. Термин «достаточно
слабое» означает, что расстояние, на котором В существенно изме-
изменяется по величине или по направлению, велико по сравнению с ра-
радиусом а вращения частицы. В этом случае в нулевом приближе-
приближении можно считать, что частицы движутся по спирали вокруг сило-
силовых линий магнитного поля с частотой вращения, определяемой
§ 9. Дрейф частиц в неоднородном магнитном поле 455
локальной величиной магнитного поля. В следующем приближе-
приближении появляются медленные изменения орбиты, которые можно
представить в виде дрейфа их ведущего центра (центра вращения).
Первым типом пространственного изменения поля, которое мы
рассмотрим, является изменение в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном В. Пусть имеется градиент величины поля в направлении еди-
единичного вектора п, перпендикулярного В, так что п-В = 0. Тогда
в первом приближении частоту вращения можно записать в виде
A2.102)
здесь ? — координата в направлении п и разложение производится
в окрестности начала координат, для которого соБ= соо. Поскольку
В не меняется по направлению, движение вдоль В остается равно-
равномерным. Поэтому мы рассмотрим только изменение поперечного
движения. Записав vj_ в виде vj_ = vo+v1, где v0 — поперечная
скорость в однородном поле, a Vi—малая поправка, подставим
A2.102) в уравнение движения
XCdB(x). A2.103)
Тогда, удерживая только члены первого порядка, получаем
приближенное уравнение
<©0- A2.104)
dt
Из соотношений A2.95) и A2.96) вытекает, что в однородном
поле поперечная скорость v0 и координата х0 связаны соотноше-
соотношениями
vo= — <о0Х (х0 —X),
! A2.105)
Xq Л. — 2~ @)q /\ Vq^»
где X — координата центра вращения в невозмущенном круговом
движении (здесь X = 0). Если в A2.104) выразить v0 через х0,
то получим
-JT ^ Vi Г1Г0HХХо(П'Х0) X <о0. A2. ШЬ)
Это выражение показывает, что, помимо осциллирующего сла-
слагаемого, v4 имеет отличное от нуля среднее значение, равное
456
Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
Для определения средней величины xoj_(n-Xo) достаточно учесть,
что декартовы составляющие xo_l изменяются синусоидально
с амплитудой а и сдвигом фазы 90°. Поэтому на среднее значение
влияет лишь составляющая xoj_, параллельная п, так что
(xOJ_(n • хо)> = -у- п. A2.108)
Таким образом, «градиентная» дрейфовая скорость дается выра-
выражением
vG = 4r4—^-(<о0Х п), A2.109)
или в векторной форме
A2.110)
Выражение A2.110) показывает, что при достаточно малых гра-
градиентах поля, когда \а grad BIB \ < 1, дрейфовая скорость мала
grad Б
В>
Фиг. 12.6. Дрейф заряженных частиц, обусловленный поперечным
градиентом магнитного поля.
по сравнению с орбитальной скоростью (ова. При этом частица
быстро вращается вокруг ведущего центра, который медленно
движется в направлении, перпендикулярном В и grad В. Направле-
Направление дрейфа положительной частицы определяется выражением
A2.110). Для отрицательно заряженной частицы дрейфовая ско-
скорость имеет противоположный знак; это изменение знака связано
с определением о)?. Градиентный дрейф можно качественно объ-
объяснить, рассматривая изменение радиуса кривизны траектории
при движении частицы в областях, где величина напряженности
поля больше и меньше средней. На фиг. 12.6 качественно пока-
показано поведение частиц с различными знаками заряда.
§ 9. Дрейф частиц в неоднородном магнитном поле
457
Другим типом изменения поля, приводящим к дрейфу веду-
ведущего центра частицы, является кривизна силовых линий. Рассмот-
Рассмотрим изображенное на фиг. 12.7 двумерное поле, не зависящее от г.
На фиг. 12.7,а показано однородное магнитное поле Во, парал-
параллельное оси х. Частица вращается вокруг силовой линии по окруж-
окружности радиусом а со скоростью а)Ва и одновременно движется с по-
постоянной скоростью V\\ вдоль силовой линии. Мы будем рассмат-
рассматривать это движение в качестве нулевого приближения для движе-
движения частицы в поле с искривленными силовыми линиями, показан-
показанном на фиг. 12.7,6, где локальный радиус кривизны силовых линий
R велик по сравнению с а.
Фиг. 12.7. Дрейф заряженных частиц, обусловленный кривизной силовых
линий.
л — в постоянном однородном магнитном поле частица движется по спирали вдоль
силовых линий; б — кривизна силовых линий магнитного поля вызывает дрейф, пер-
перпендикулярный плоскости ху.
Поправку первого приближения можно найти следующим обра-
образом. Поскольку частица стремится двигаться по спирали вокруг
силовой линии, а силовая линия изогнута, то для движения веду-
ведущего центра это эквивалентно появлению центробежного ускоре-
ускорения iff, /R. Можно считать, что это ускорение возникает под дей-
действием эффективного электрического поля
4-< A2.111)
ут
как бы добавленного к магнитному полю Во. Но, согласно A2.98),
комбинация такого эффективного электрического поля и магнит-
магнитного поля приводит к центробежному дрейфу со скоростью
RxB0
A2.112)
458 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
Используя обозначение ыв~ еВ0/утс, запишем выражение для
скорости центробежного дрейфа в виде
^Т*1- <'2Л13>
Направление дрейфа определяется векторным произведением, в ко-
котором R представляет собой радиус-вектор, направленный от
центра кривизны к точке нахождения частицы. Знак в A2.113)
соответствует положительному заряду частицы и не зависит от
знака v\\. Для отрицательной частицы величина «# становится
отрицательной и направление дрейфа меняется на обратное.
Более аккуратный, но менее изящный вывод соотношения
A2.113) можно получить непосредственным решением уравнений
движения. Если ввести цилиндрические координаты е, ф, z с на-
началом координат в центре кривизны (см. фиг. 12.7,6), то магнитное
поле будет иметь только ф-составляющую Вф = Во. Легко показать,
что векторное уравнение движения сводится к следующим трем
скалярным уравнениям:
A2.114)
г==
Если в нулевом приближении траектория представляет собой спи-
спираль с радиусом а, малым по сравнению с радиусом кривизны R,
то в низшем порядке <р«0ц//?, a q « R. Поэтому из первого
уравнения A2.114) получаем следующее приближенное выражение
для г:
%A2.115)
Это выражение совпадает с формулой A2.113) для центробежного
дрейфа.
Для области пространства, где нет токов, градиентный дрейф
vG A2.110) и центробежный дрейф vc A2.113) можно объединить
в одной простой общей формуле. Действительно, при условии
rot В = 0 имеет место равенство
R_ A2 116)
Отсюда следует, что сумма Vg и vc дает общую дрейфовую скорость
§ 10. Адиабатическая инвариантность магнитного потока 459
где vj_ = (uBa — поперечная скорость вращения. Для однократно
заряженных нерелятивистских частиц, находящихся в тепловом
равновесии, получаем, что
(см/сек) =Rl™™cc) . A2.118)
Дрейф частиц A2.117) является помехой в некоторых типах
термоядерных установок, сооружаемых для получения ограничен-
ограниченной конфигурации горячей плазмы. Одна из таких установок
представляет собой тороидальную камеру с сильным продольным
полем, создаваемым соленоидом, навитым на тор. При типичных пара-
параметрах R = 1 м, В = 103 гаусс частицы плазмы с температурой 1 эв
(Т ж 104° К) имеют дрейфовую скорость vD ж 1,8-103 см/сек. Это
означает, что за малую долю секунды они вследствие дрейфа вый-
выйдут на стенки камеры. Для более горячей плазмы скорость дрейфа
соответственно еще больше. Одним из способов компенсации дрейфа
при тороидальной геометрии является изгибание тора в виде вось-
восьмерки. Так как частица обычно совершает много оборотов внутри
такой замкнутой системы, то она проходит области, где как кри-
кривизна, так и градиент имеют различные знаки, и дрейфует пооче-
поочередно в различных направлениях. Поэтому по крайней мере в пер-
первом порядке по 1 /R результирующий средний дрейф оказывается
равным нулю. Такой метод исключения дрейфа, обусловленного
пространственным изменением магнитного поля, применяется
в термоядерных установках типа стелларатора. Удержание плаз-
плазмы в таких установках в отличие от установок, использующих
пинч-эффект (см. гл. 10, § 5—7), осуществляется с помощью силь-
сильного внешнего продольного магнитного поля.
§ 10. Адиабатическая инвариантность
магнитного потока сквозь орбиту частицы
В предыдущих параграфах мы рассмотрели движение частицы
перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Это движение,
обусловленное наличием электрического поля и градиента или
кривизны магнитного поля, определяется спецификой лоренцовой
силы. Для полноты нашего общего обзора движения частиц в маг-
магнитных полях необходимо рассмотреть еще движение вдоль сило-
силовых линий. В случае медленно меняющихся полей мощным средст-
средством исследования является метод адиабатических инвариантов.
В небесной механике и в старой квантовой теории адиабатические
инварианты использовались, с одной стороны, при рассмотрении
возмущений движения, а с другой—для определения квантую-
квантующихся величин. Наше рассмотрение более тесно примыкает к зада-
задачам небесной механики, поскольку мы интересуемся поведением
460 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
заряженных частиц при медленном изменении поля, которое можно
рассматривать как малое возмущение однородного статического
поля, обсуждавшегося в § 7.
Понятие адиабатической инвариантности связано с интегралом
действия механической системы. Если qt и рг представляют собой
соответственно обобщенные канонические координаты и импульсы,
то для каждой периодической координаты можно ввести интеграл
действия
dqt. A2.119)
Интегрирование здесь производится по полному периоду изменения
координаты qt. Для данной механической системы с определенными
начальными условиями интегралы действия остаются постоянными.
Возникает вопрос, как изменяются интегралы действия, если свой-
свойства системы меняются (например, изменяется упругость пружины
или масса частицы). Можно показать х), что если свойства системы
изменяются медленно по сравнению с характерным периодом движе-
движения (такие изменения называются адиабатическими изменениями),.
то интегралы действия являются инвариантами. Иными словами,
если мы будем адиабатически изменять некоторую характеристику
механической системы, находящейся в определенном состоянию
движения, и в результате через достаточно длительное время полу-
получим уже другую механическую систему, то окончательное движение
этой последней системы будет таково, что интегралы действия полу-
полученной системы будут такими же, как у исходной системы. Очевид-
Очевидно, это свойство интегралов действия весьма ценно при исследовании
влияния малых изменений различных параметров системы.
Поперечное движение заряженной частицы в однородном ста-
тическом магнитном поле В является периодическим. Интеграл
действия для этого поперечного движения равен
±.dlf A2.120)
где Pj^ — поперечная составляющая канонического импульса A2.77),.
a d\ — элемент длины дуги кругового пути частицы. Согласно
A2.77),
'dL A2.121)
Так как скорость v± параллельна dl9 то
A.dl. A2.122)
См., например, книгу Борна [15].
10. Адиабатическая инвариантность магнитного потока 461
Вычисляя первый интеграл и применяя ко второму интегралу тео-
теорему Стокса, находим
J = 2лута>ва2 + — [ B-nda. A2.123)
s
Поскольку линейный элемент d\ в A2.120) направлен против часо-
часовой стрелки, если смотреть в направлении В, то единичный вектор
п антипараллелен В. Следовательно, второй член в A2.123) вычи-
вычитается из первого, так что
J = утсовка2 = -^-Впа2. A2.124)
Здесь использовано соотношение сов = еВ/утс. Величина Впа2
представляет собой поток магнитного поля сквозь орбиту частицы.
Для частицы, движущейся в области, где напряженность поля
медленно изменяется как в пространстве, так и во времени, адиаба-
адиабатическая инвариантность J означает, что магнитный поток, про-
пронизывающий орбиту частицы, остается постоянным. При возра-
возрастании В радиус а уменьшается таким образом, что величина Впа2
сохраняется. Условие постоянства магнитного потока можно раз-
различными способами выразить через радиус орбиты частицы, ее
поперечный импульс и магнитный момент. Приведем эти адиабати-
адиабатические инварианты:
5a2, -^=-f W. A2.125)
Здесь |л = е(йва2/2с — магнитный момент кругового тока, созда-
создаваемого движущейся по орбите частицей. В статическом магнитном
-поле скорость частицы постоянна и ее полная энергия не меняется.
В этом случае сам магнитный момент |л является адиабатическим
инвариантом. В изменяющихся во времени полях, а также при
•наличии статического электрического поля |л является адиабати-
адиабатическим инвариантом только в нерелятивистском приближении.
Рассмотрим теперь простой случай, когда статическое магнит-
магнитное поле В направлено в основном вдоль оси z и медленно растет
вдоль этого направления. На фиг. 12.8 показано поведение сило-
силовых линий такого поля. Наряду с основной составляющей, направ-
направленной вдоль оси г, поле имеет малую радиальную составляющую,
обусловленную искривлением силовых линий. Ограничимся для
простоты случаем аксиальной симметрии. Предположим, что ча-
частица вращается вокруг оси z с поперечной скоростью v_j_0 по окруж-
окружности малого радиуса и имеет при z = 0, где напряженность про-
продольного поля есть 50, скорость уц0, параллельную В. Полная
462
Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
скорость частицы остается неизменной, так что в любой точке вдоль
оси z
vl-\-v\ = vl A2.126)
где v\ = v]_o + flfio — квадрат скорости при z = 0. Используя инва-
инвариантность потока, мы можем, согласно A2.125), записать
4
В
Во '
A2.127)
где В — напряженность магнитного поля на оси системы. Отсюда
Фиг. 12.8.
следует, что продольная скорость в произвольной точке оси z
дается выражением
В (г)
' == 7N ri<J
I 0 и±0 Вп
A2.128)
Уравнение A2.128) для скорости частицы вдоль оси г эквивалентна
первому интегралу ньютоновского уравнения движения частицы
в поле с одномерным потенциалом г)
2
При достаточно большом поле B(z) правая часть A2.128) обратится
в нуль в некоторой точке г = г0. Это означает, что при движении
вдоль поля частица будет вращаться по спирали со все более умень-
уменьшающимся расстоянием между витками, а энергия ее продольного-
движения будет переходить в энергию вращения, пока продольная
*) Отметим, однако, что наше рассмотрение полностью релятивистское,
и аналогия с одномерной нерелятивистской механикой имеет чисто формаль-
формальный характер.
10. Адиабатическая инвариантность магнитного потока
463
скорость не обратится в нуль. Тогда частица повернет обратно
и, продолжая вращаться в том же направлении, начнет двигаться
в отрицательном направлении оси z. Такое отражение частицы от об-
области сильного магнитного поля схематически показано на фиг. 12.9.
Выражение A2.128) вытекает из условия адиабатической
инвариантности величины р\ IB. Для того чтобы показать, что, по
крайней мере в первом приближении, эта инвариантность следует
Фиг. 12.9. Отражение заряженной частицы от области с большой
напряженностью магнитного поля.
непосредственно из уравнения движения, рассмотрим явное реше-
решение уравнения движения под действием силы Лоренца. Если маг-
магнитное поле на оси z равно B(z), то радиальная составляющая поля
вблизи оси может быть найдена из уравнения div В = 0 и прибли-
приближенно равна
A2.129)
где q — расстояние от оси z. Уравнение движения в направлении
оси z записывается в виде
дВ(г)
дг '
уте
2у тс
A2.130)
где ф — угловая скорость вращения вокруг оси г. С точностью
до первого порядка по малому изменению В (z) это уравнение можно
переписать в виде
„2
Z ^
дВ(г)
2В0 дг
A2.131)
где мы использовали приближенное равенство Q2(p « — (а2(ов)о=
= —v]_o/(dBo* Первым интегралом уравнения A2.131) является
464
Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
соотношение A2.128), так что с точностью до величин первого
порядка малости инвариантность потока сквозь орбиту вытекает
непосредственно из уравнений движения.
Адиабатическая инвариантность потока через орбиту частицы
играет большую роль при рассмотрении движения частиц в любых
пространственно неоднородных магнитных полях. Простой пример,
описанный выше, иллюстрирует принцип «магнитных зеркал»:
заряженные частицы отражаются от областей сильного магнитного
Фиг. 12.10. Схема установки с магнитными зеркалами для удержания
горячей плазмы.
поля. Это свойство поля лежит в основе предложенной Ферми тео-
теории ускорения космических заряженных частиц до очень высоких
энергий в межзвездном пространстве при столкновении с движу-
движущимися магнитными облаками. Магнитные зеркала могут быть
применены также для удержания горячей плазмы в термоядерных
реакторах. Магнитную ловушку можно создать с помощью продоль-
продольного магнитного поля, образуемого соленоидом с добавочными
катушками на обоих его концах, которые служат для усиления маг-
магнитного поля на краях. Силовые линии такого поля показаны на
фиг. 12.10. Частицы, создаваемые или инжектируемые в централь-
центральной области поля, будут вращаться вокруг силовых линий магнит-
магнитного поля и отражаться от магнитных зеркал, расположенных на
обоих концах установки. Если отношение максимального поля Вт
в «магнитной пробке» к полю В в центральной области достаточно
велико, то через торцы смогут уйти только частицы, имеющие очень
большую составляющую скорости, параллельную оси. Выражение
A2.128) показывает, что условием удержания частицы является
Рекомендуемая литература 465
выполнение неравенства
2- A2.132)
Выполнения требования A2.132) легко добиться, соответствующим
образом инжектируя частицы в установку. Тогда потери частиц
будут определяться интенсивностью процессов рассеяния на атомах
остаточного газа и т. п., в результате которых составляющие ско-
скорости частицы изменяются и перестают удовлетворять условию
A2.132).
Другой областью применения изложенных выше принципов
являются вопросы, касающиеся движения частиц в магнитных
полях Земли и звезд. Движение заряженных частиц в дипольном
магнитном поле Земли или Солнца может быть объяснено с по-
помощью понятий адиабатического инварианта и дрейфовых скоро-
скоростей, рассмотренных в § 9. Некоторые из этих вопросов отнесены
к задачам 12.11 и 12.12, где рассматривается движение частиц
в магнитных ловушках, образованных земным магнитным полем
(так называемые пояса Ван Ал лена).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основной областью применения релятивистской кинематики является
физика высоких энергий. В руководствах по физике высоких энергий теория
относительности предполагается известной, а кинематические расчеты либо
опускаются, либо даются в приложениях. Исключение представляет книга
Балдина, Гольданского и Розенталя [8], где вопросы релятивистской дина-
динамики подробно изложены и иллюстрированы многочисленными диаграммами.
Лагранжев и гамильтонов формализм для релятивистских заряженных
частиц излагается в любом серьезном учебнике механики, а также в книгах
по электродинамике. Для справок укажем книги Корбена и Стила [31],
гл. 16, Голдстейна [46], гл. 6, Ландау и Лифшица [63], гл. 2 и 3.
Вопросы движения заряженных частиц во внешних электромагнитных
полях, в частности в неоднородных магнитных полях, приобретают все
большее значение в геофизике, физике Солнца и в термоядерных исследо-
исследованиях. Классической монографией по этому вопросу является книга Альф-
вена [4]. Ряд основных результатов приведен также в книгах Чандрасекара
[26], гл. 2 и 3, Линхарта [67], гл. 1, Спитцера [104], гл. 1.
Другим важным приложением динамики релятивистских заряженных
частиц является теория ускорителей высоких энергий. Краткое изложение
физических задач этого типа можно найти в книгах Корбена и Стила [31],
гл. 17, и Ливингстона [68].
Для более полного знакомства с теорией ускорителей можно рекомендо-
рекомендовать работу Куранта и Снайдера [33], где приведена соответствующая биб-
библиография.
Дополнение редактора. Вопросы движения частиц в электрических
и магнитных полях хорошо изложены в книге Ленерта [134].
466 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
ЗАДАЧИ
12.1. С помощью преобразования к системе ЦМ определить пороговые
кинетические энергии (в Мэв) для следующих процессов:
а) рождение я-мезона при нуклон-нуклонных соударениях (тп/М =
== и, 1 о);
б) рождение я-мезона при я-мезон-нуклонных соударениях;
в) рождение пары я-мезонов при нуклон-нуклонных соударениях;
г) рождение нуклонных пар при электрон-электронных соударениях.
12.2. Пусть некоторая покоящаяся система с массой М распадается
или превращается в несколько частиц, сумма масс которых меньше чем М
на величину ДМ.
а) Показать, что максимально возможная кинетическая энергия i-u
частицы (с массой mt) равна
б) Определить максимальные кинетические энергии в Мэв, а также в от-
отношении к АМс2 для каждой частицы в следующих процессах распада и пре-
превращения покоящихся частиц:
12.3. При соударении зт-мезона (т^2= 140 Мэв) с покоящимся про-
протоном (т2с2= 938 Мэв) образуется /С-мезон (т3с2= 494 Мэв) и Л-гиперон
(т4с2 = 1115 Мэв). Используя законы сохранения энергии и импульса и реля-
релятивистскую кинематику, найти:
а) кинетическую энергию в Мэв падающего я-мезона, соответствующую
порогу образования /С-мезона;
б) кинетическую энергию в Мэв я-мезона, необходимую для получения
/С-мезона, вылетающего под углом 90° в лабораторной системе координат;
в) кинетическую энергию /С-мезона, вылетающего под углом 0° в лабо-
лабораторной системе, если кинетическая энергия я-мезона на 20% больше зна-
значения, найденного в п. «б»;
г) кинетическую энергию /С-мезона, вылетающего под углом 90° в лабо-
лабораторной системе, если падающий я-мезон имеет кинетическую энергию
1500 Мэв.
12.4. Как известно, уравнение движения Ньютона
справедливо для точечной заряженной частицы с массой т и зарядом е в сис-
системе координат /С', в которой частица в данный момент покоится. Показать,
что для получения релятивистского уравнения движения
достаточно использовать лоренцовские трансформационные свойства ускоре-
ускорения и электромагнитного поля.
Задачи 467
12.5. При лагранжевом описании движения релятивистской заряженной
частицы можно в качестве лагранжевых переменных использовать 4-вектор
положения частицы х^ и 4-скорость и^= (yv, iyc). При этом уравнения
Эйлера — Лагранжа имеют явно ковариантную форму
d
~dx
dL \ dL
где L— лоренц-инвариантный лагранжиан, at— собственное время,
а) Показать, что лагранжиан
приводит к правильным релятивистским уравнениям движения для частицы,
взаимодействующей с внешним полем, описываемым 4-вектором-потенциа-
лом А^.
б) Определить канонические импульсы и написать гамильтониан в кова-
риантной, а также в пространственно-временной форме. Гамильтониан явля-
является лоренц-инвариантом. Чему равна его величина?
12.6. а) Исходя из принципа Гамильтона, показать, что лагранжианы,,
отличающиеся друг от друга на полную производную по времени от произ-
произвольной функции координат и времени, эквивалентны в том смысле, что они
приводят к одинаковым уравнениям движения Эйлера— Лагранжа.
б) Показать непосредственно, что калибровочное преобразование потен-
потенциалов A^-^A^-f- дА/дх^ в лагранжиане заряженной частицы A2.75)'
переводит лагранжиан в эквивалентный.
12.7. Частица с массой т и зарядом в движется в однородном статическом1
электрическом поле Ео.
а) Найти скорость и координаты частицы как явные функции времени
в предположении, что начальная скорость v0 перпендикулярна электриче-
электрическому полю.
б) Исключив время, найти траекторию частицы в пространстве. Иссле-
Исследовать форму пути для малого и большого интервалов времени (определить
понятия «большой» и «малый» интервал времени).
12.8. Для дрейфового селектора скоростей используются однородные
статические скрещенные электрическое и магнитное поля на интервале L.
Пусть входная и выходная щели имеют ширину Ах. Определить зависимость,
интервала скоростей Аи вокруг средней скорости сЕ/В для частицг
проходящих через установку, от массы, импульса или энергии падающих
частиц, напряженностей полей, длины селектора и других существенных
переменных. Краевыми эффектами пренебречь. При анализе принять следую-
следующие практические значения параметров: L порядка нескольких метров,
^макс ~ 3< 104 в/см> А* ~ 1(Г1 — 10~2 см> " ~ 0,5 — 0,995 с.
12.9. Частица с массой т и зарядом е движется в лабораторной системе
координат в скрещенных статических однородных электрическом и магнит-
магнитном полях, причем поле Е параллельно оси х, а поле В параллельно оси у,
а) Считая, что |Е|<|В|, произвести лоренцовское преобразование,
описанное в § 8, и получить явно уравнение траектории частицы в параметри-
параметрическом виде.
б) Повторить вычисления п. «а» для случая | Е | > |В |.
12.10. Статические однородные электрическое и магнитное поля обра-
образуют между собой угол 6.
468 Гл. 12. Кинематика и динамика релятивистских частиц
а) Выбрав подходящим образом оси координат, решить уравнение дви-
движения частицы с зарядом е и массой т в декартовых координатах.
б) Показать, что в случае параллельных полей Е и В решение можно
при соответствующем выборе постоянных интегрирования и т. п. представить
в параметрической форме следующим образом:
x = AR sin у, y = AR cos q>, z=— Y\ -\-A*ch(Q<p),
_.* R -ш/т"
где R == mc2/eB, q = E IB, A — произвольная постоянная, a cp — параметр,
равный cx/R, где т— собственное время.
12.11. Магнитное поле Земли можно приближенно представить как
поле магнитного диполя с магнитным моментом М = 8,1-1025 гаусс-см?.
Рассмотреть движение электронов в поле земного диполя.
а) Показать, что уравнение магнитной силовой линии имеет вид
/•—A-osin20, где 0—обычный полярный угол, отсчитываемый от оси диполя,
и найти выражение для величины В вдоль силовой линии в функции от 0.
б) Положительно заряженная частица вращается вокруг силовой линии
в экваториальной плоскости и имеет радиус вращения а на среднем расстоя-
расстоянии R от центра Земли (а < R). Показать, что азимут частицы (долгота)
изменяется приблизительно линейно со временем по закону
) ' —'о).
где (дв— частота, соответствующая магнитному полю на расстоянии R
от центра Земли.
в) Пусть наряду с азимутальным движением, определенным в п. «б»,
частица имеет малую составляющую скорости, параллельную силовым ли-
линиям. Показать, что это приводит к малым колебаниям по 0 около точки
6 == я/2 с частотой Q = C/|^2) (a/R) coB. Найти изменение долготы за один
период колебаний по широте.
г) Для электрона с энергией 10 Мэв, находящегося на среднем расстоя-
расстоянии R = 3-109 см от центра Земли, найти сов и а и определить время обра-
.щения вокруг Земли за счет дрейфа, а также период колебаний по широте.
Рассчитать эти же величины для электрона с энергией 10 кэв при том же
среднем радиусе.
12.12. В тот момент, когда частица находится в экваториальной плоско-
плоскости магнитного поля Земли (которое предполагается дипольным полем),
ее расстояние от центра Земли равно R, а вектор скорости направлен под
углом а к экваториальной плоскости (Оц/t/j^tga). Полагая, что радиус
вращения частицы вокруг силовых линий а < R и что поток через ее орбиту
^является интегралом движения, определить максимальную магнитную
широту Я, достигаемую частицей. Построить график зависимости X от угла а.
Отметить на этой кривой те значения а, при которых частица, находившаяся
в экваториальной плоскости на расстоянии R от центра Земли, попадает на
Землю при R/Ro= 1,5; 2.0; 2,5; 3; 4; 6; 8; 10 (Ro— радиус Земли).
Глава 13
СОУДАРЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ.
ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ. РАССЕЯНИЕ
В настоящей главе рассматриваются соударения заряженных
частиц, движущихся с большой скоростью, причем особое внимание
уделяется обмену энергией между частицами и изменению направ-
направления движения частиц при соударениях. Быстрая заряженная
частица при прохождении через вещество испытывает соударения
с электронами и ядрами атомов. Для частиц, которые тяжелее
электрона (например, \х- или я-мезонов, /С-мезонов, протонов
и т. п.), соударения с электронами и ядрами приводят к различ-
различным последствиям. При соударениях с легкими частицами (элек-
(электронами) налетающая частица может потерять значительную часть
своей энергии, но при этом почти не испытывает отклонения. Наобо-
Наоборот, при соударениях с тяжелыми ядрами потеря энергии невелика,
но при этом налетающая частица испытывает сильное рассеяние, по-
поскольку такие ядра имеют большой заряд. Таким образом, энергия
налетающей частицы теряется почти исключительно в результате
соударений с электронами. Наоборот, отклонение частицы от пер-
первоначального направления падения обусловливается практически
лишь упругими соударениями с атомными ядрами. Рассеяние огра-
ограничено малыми углами, так что тяжелые частицы движутся по
более или менее прямолинейной траектории, теряя постепенно
энергию, пока не дойдут до конца пробега. Если налетающая частица
представляет собой электрон, то в результате соударений с элек-
электронами вещества происходят как потеря энергии,так и рассеяние.
В итоге траектория частиц оказывается гораздо менее прямолиней-
прямолинейной, чем для тяжелых частиц. Уже на довольно коротком расстоя-
расстоянии начинает проявляться диффузия электронов в веществе.
Вопросы, связанные с потерями энергии и рассеянием частиц
при прохождении через вещество, имеют большое значение и рас-
рассмотрены в ряде книг1), где, в частности, приведены подробные коли-
г) См. список литературы в конце главы.
470 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
чественные данные в виде таблиц и графиков. Поэтому наше
внимание будет сосредоточено лишь на рассмотрении основных
физических идей, а не на получении точных количественных фор-
формул. Для получения количественно точных результатов необхо-
необходимо полное квантовомеханическое описание, хотя все существен-
существенные детали процессов по своему происхождению имеют классический
или полуклассический характер. Как будет показано в дальней-
дальнейшем, порядок величины квантовых эффектов можно легко оценить
на основе принципа неопределенности.
Мы начнем с рассмотрения простой задачи о передаче энергии
быстрой тяжелой частицей свободному электрону. Затем будет
выяснено влияние сил связи, действующих на электроны, и полу-
получена классическая формула Бора для потерь энергии. Далее
обсуждаются ее квантовые модификации, затем учитывается влияние
поляризации среды, рассматриваются потери энергии в электрон-
электронной плазме. Вслед за этим будет исследовано упругое рассеяние
частиц на ядрах и многократное рассеяние. В конце рассматри-
рассматривается вопрос об электропроводности плазмы- с учетом экраниро-
экранированного кулоновского взаимодействия.
§ 1. Передача энергии при кулоновских
соударениях
Пусть быстрая частица с зарядом ze и массой М взаимодей-
взаимодействует с атомным электроном. Если скорость частицы велика по
сравнению с характерной скоростью движения электрона на орби-
орбите, то в течение «времени взаимодействия» электрон можно рассмат-
рассматривать как свободный и покоившийся перед соударением. Примем
ze, M
Фиг. 13.1.
далее, что передаваемый импульс Ар достаточно мал, налетающая
частица практически не отклоняется от прямолинейной траекто-
траектории и электрон отдачи не получает заметного смещения за время
соударения. Тогда для нахождения потерь энергии при соударении
необходимо лишь вычислить передачу импульса, обусловленную
действием электрического поля налетающей частицы в точке распо-
§ 1. Передача энергии при кулоновских соударениях 471
ложения электрона. Влияние магнитного поля частицы пренебре-
пренебрежимо мало, поскольку мы предполагаем, что электрон можно счи-
считать покоящимся.
На фиг. 13.1 изображена схема соударения. Скорость налетаю-
налетающей частицы vy а ее энергия Е = уМс2. Частица пролетает мимо
электрона с зарядом е и массой т < М, значение прицельного пара-
параметра равно Ь. Поле налетающей частицы в точке расположения
электрона определяется соотношениями A1.118), где q = ze. Интег-
Интеграл по времени, очевидно, отличен от нуля лишь для поперечного
электрического поля Ех. Следовательно, приобретаемый электро-
электроном импульс Ар имеет лишь поперечную составляющую, равную
Др= 5 eE1(t)dt = ^. A3.1)
Следует заметить, что Ар не зависит от у, как уже отмечалось
в гл. 11, § 10. Переданная электрону энергия равна
. A3.2)
2га
Угловое отклонение налетающей частицы при Ар < р опреде-
определяется равенством 9 « Ар/р. Таким образом, для малых откло-
отклонений
Щ A3.3)
pvb
Этот результат можно сравнить с известной точной формулой для
резерфордовского рассеяния нерелятивистской частицы с зарядом ze
в кулоновском поле заряда z'e\
A^! A3.4)
s 2 pvb
Оба выражения, очевидно, согласуются в случае малых углов 1).
Выражение A3.2) для переданной энергии АЕ (Ь) обладает
рядом интересных особенностей. Оно содержит лишь заряд и ско-
скорость налетающей частицы; масса налетающей частицы сюда не
г) В действительности при сравнении формул A3.3) и A3.4) возникает
вопрос о системах отсчета. Так как соотношение A3.4) справедливо для фик-
фиксированного центра силы (т. е. для системы ЦМ), это выражение следует
сравнивать с отклонением легкого электрона в системе координат, в которой
покоится тяжелая частица. При этом справедливо соотношение A3.3), где
р ^ ути— импульс электрона в этой системе. Используя формулы A2.50)
и A2.54) для преобразования углов при переходе от системы ЦМ к лаборатор-
лабораторной системе, читатель может проверить, что соотношения A3.3) и A3.4) согла-
согласуются также и в системе отсчета, в которой покоится электрон.
472 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
входит. Передаваемая энергия обратно пропорциональна квадрату
прицельного параметра и, следовательно, очень сильно возрастает
для близких соударений. Конечно, существует верхний предел
величины передаваемой энергии, соответствующий лобовым соуда-
соударениям. Наш метод вычислений справедлив лишь для больших зна-
значений Ь. Приравнивая A3.2) максимально возможной величине
передаваемой энергии A2.59), можно получить нижнее предельное
значение прицельного параметра Ьмин, при котором наше прибли-
приближенное рассмотрение еще справедливо:
ДЯ (бмин) = Д?Макс = 2туЬ)К A3.5)
Отсюда находим нижнюю границу для Ь:
6 A36)
при значениях Ъ порядка или меньших &мин следует заменить
наш приближенный результат A3.2) более точным выражением,
которое стремилось бы к A3.5) в предельном* случае Ь ->0. Как
можно показать (см. задачу 13.1), соответствующее рассмотрение
приводит к следующему более точному результату:
Выражение A3.7) ведет себя требуемым образом в предельном слу-
случае Ь ->0 и переходит в A3.2) при Ь > ЬМИн-
Нижнюю границу для величины Ъ можно получить также и иным
способом. При выводе выражения A3.2) предполагалось, что элек-
электрон не смещается заметно в течение времени взаимодействия.
Можно ожидать, что выражение A3.2) будет справедливым до тех
пор, пока действительное смещение электрона d мало по сравне-
сравнению с Ъ. Величину d можно оценить, приняв, что средняя скорость
электрона при соударении равна Ар/2т, и вычисляя время взаимо-
взаимодействия с помощью A1.120). В результате получим следующую
оценку по порядку величины для смещения электрона за время
взаимодействия
До тех пор пока Ь > d, выражение A3.2) остается справедливым.
Это же условие вытекает из соотношения A3.7).
В другом предельном случае очень дальних соударений при-
приближенный результат A3.2) для АЕ (Ь) становится неверным,
поскольку фактически в атомах электроны связаны, тогда как
мы их считали свободными. Если время взаимодействия A1.120)
мало по сравнению с периодом орбитального движения, то есте-
§ 1. Передача энергии при кулоновских соударениях 473
ственно ожидать, что для таких кратковременных соударений элек-
электроны можно рассматривать как свободные. В противоположном
предельном случае, когда время соударения A1.120) очень велико
по сравнению с периодом орбитального движения, электрон успеет
совершить много оборотов по орбите за время прохождения налетаю-
налетающей частицы мимо него и действие поля частицы выразится в адиа-
адиабатическом изменении этого движения без результирующей пере-
передачи энергии. Границе между указанными предельными случаями
соответствует значение прицельного параметра ЬмаКс> Для кото-
которого время соударения A1.120) сравнимо с периодом орбитального-
движения. Если со — характерная частота движения электрона
в атоме, то указанное условие имеет вид
или
ъ -
A3.9)
При значениях прицельного параметра, превышающих &Макс>
можно ожидать уменьшения передачи энергии по сравнению
с величиной, определяемой соотношением A3.2), и быстрого убы-
убывания ее до нуля при b > &Макс-
Качественный характер зависимости АЕ(Ь) от b показан на
фиг. 13.2. Пунктирная кривая соответствует приближенной фор-
формуле A3.2), а сплошная кривая представляет точный результат.
В интервале Ьмин < b < ЬМакс передаваемая энергия может быть
приближенно определена по соотношению A3.2). Для значений при-
прицельного параметра, лежащих вне этого интервала, передаваемая
энергия значительно ниже получаемой по приближенной оценке.
При движении в материальной среде быстрая частица «чув~
ствует» электроны, расположенные на различных расстояниях от ее
траектории. Если число атомов в единице объема равно N, а число
электронов в атоме Z, то в слое вещества толщиной dx число элек-
электронов, для которых прицельный параметр лежит между b и
b-\-db, равно
dn = NZ-2nbdbdx. A3.10)
Для определения потерь энергии частицы на единице длины нужно
Число частиц A3.10) умножить на передаваемую энергию АЕ(Ь)
и проинтегрировать по всем значениям прицельного параметра..
Таким образом, полная потеря энергии равна
^~ = 2nNZ \ AE(b)bdb. A3.11)-
ах -)
474
Гл. 13. Соударения заряженных частиц
Учитывая поведение функции A?(&), показанное на фиг. 13.2,
можно использовать в A3.11) приближенное представление A3.2)
и проинтегрировать от Ьмин до ЬМакс- В результате получим
dx
mv* .1 Ь2
'мин
ИЛИ
где
dE
dx
A3.13)
A3.14)
Это приближенное выражение для потерь энергии отражает все
существенные особенности классического результата, принадле-
«Ф и г. 13.2. Зависимость передаваемой энергии от прицельного параметра.
жащего Бору A915 г.). Метод выбора нижнего предела интегри-
интегрирования в A3.12) полностью эквивалентен использованию выраже-
выражения A3.7) для АЕ(Ь). Обрезание при Ь = ЬМакс является довольно
§ 2. Передача энергии гармоническому осциллятору 475
произвольным. Поэтому величина В определена лишь с точностью
до множителя порядка единицы. Поскольку В входит в аргумент
логарифма, эта неточность весьма мало существенна. Тем не менее
в § 2 мы исследуем влияние связей. Анализ формулы A3.13) и,
в частности, характера зависимости потерь от энергии и сравнение
ее с результатами эксперимента мы отложим до § 3 этой главы.
§ 2. Передача энергии гармоническому
осциллятору
Как уже говорилось выше, по величине прицельного параметра
все кулоновские соударения разделяются на два класса: соударения
с Ь < Ьмакс, когда энергия передается квазисвободным электро-
электронам, и соударения с Ь > &Макс> которые фактически представляют
ze,M
собой адиабатические соударения с незначительной передачей энер-
энергии. Постараемся теперь обосновать правильность выбора зна-
значения A3.9) для величины &макс- Рассмотрим задачу об энергети-
энергетических потерях тяжелой частицы с зарядом ге и скоростью v, проп-
проплетающей вблизи частицы с массой т и зарядом е, удерживаемой
квазиупругой силой (гармонический осциллятор). Эта задача
является упрощенной моделью механизма потерь при прохождении
частиц через вещество. Как и ранее, будем считать, что отклонения
тяжелой частицы при соударениях малы и, таким образом, ее
траекторию можно приближенно рассматривать как прямую линию.
Тяжелая частица проходит возле связанного заряда на «при-
«прицельном расстоянии» &, отсчитываемом от центра О удерживаю-
удерживающей силы, как показано на фиг. 13.3. Так как нас прежде всего
интересует случай больших прицельных параметров, когда суще-
существенны эффекты связи, можно предположить, что передача энер-
энергии невелика, движение связанной частицы на протяжении времени
соударения нерелятивистское, а начальная и конечная амплитуды
колебаний электрона вокруг центра О малы по сравнению с Ь.
476 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
При этих допущениях в уравнении движения связанной частицы
необходимо учитывать лишь электрическое поле налетающей части-
частицы. Кроме того, можно пренебречь зависимостью амплитуды поля
от положения связанной частицы и принять в качестве эффектив-
эффективного значения его величину в точке О. Это приближение называют
иногда дипольным по аналогии с соответствующей задачей о погло-
поглощении излучения.
При сделанных допущениях уравнение движения заряда, удер-
удерживаемого квазиупругой силой, можно написать в виде
х + Гх + ©;х = -^-Е@, A3.15)
где Е(/) — вектор напряженности электрического поля, создавае-
создаваемого зарядом ze в точке О и имеющего составляющие A1.118),
со0 — характерная частота связи, Г — малая постоянная затуха-
затухания. Наличие этого малого затухания в данном случае несуществен-
несущественно, но оно присуще в той или иной степени любой реальной физиче-
физической системе и, кроме того, его учет позволяет*устранить некоторые
теоретические трудности, которые возникли бы без учета затухания.
Для решения уравнения A3.15) представим х(/) и Е(^) в виде
интегралов Фурье
= -р== \ х(ш)в-*»'Ло, A3.16)
Е(/) = —L= \ Е(а>)е-Шй(х>. A3.17)
— оо
Так как х(/) и Е(/) действительны, то фурье-амплитуды этих вели-
величин при положительных и отрицательных частотах связаны соот-
соотношениями
х( —со) = х*(со),
р «/ V A3Л8>
Е( —©) = Е*(©).
Подставляя приведенные интегральные представления в уравнение
движения, получаем
Е(У -,. A3.19)
со2 х '
-g- t
т cog—
Для известной функции Е(/) легко найти фурье-амплитуду Е(со).
Зная Е(со), можно с помощью соотношений A3.19) и A3.16) найти
величину х(/). Задача решается до конца, если удается провести
интегрирование по частотам.
Непосредственный интерес представляют не детальные характе-
характеристики движения связанной частицы, а величина энергии, переда-
§ 2. Передача энергии гармоническому осциллятору 477
ваемой при соударении. Для ее определения нужно вычислить
работу, совершаемую налетающей частицей над связанным заря-
зарядом. Работа, совершаемая в единицу времени, равна
^- = J E-JdV. A3.20)
Следовательно, полная работа, совершаемая частицей при пролете,
определяется соотношением
ДЯ= \ dt[ E-JdV. A3.21)
Плотность тока для связанного заряда равна J = ev6[x' — х(/)].
Следовательно,
оо
АЕ = е J \-Edt, A3.22)
— оо
где v = х, а Е в дипольном приближении совпадает с полем нале-
налетающей частицы в точке О. Используя фурье-представления A3.16)
и A3.17), аналогичное представление для б-функции B.52) и усло-
условия вещественности A3.18), можно переписать выражение для
передаваемой энергии следующим образом:
jj -/cox(co).E*(co)dco. A3.23)
о
Подставляя в эту формулу выражение A3.19) для х(со), получаем
О. A3.24)
При малых Г подынтегральное выражение имеет резкий максимум
вблизи со = со0, соответствующий приближенно лоренцовои форме
линии. Поэтому множитель подынтегрального выражения, содер-
содержащий фурье-амплитуду электрического поля, можно приближенно
заменить его значением при со = со0. При этом A3.24) преобразуется
к виду
^[ "% . A3.25)
Интеграл в приведенном выражении не зависит от величины со0/Г
и равен л/2. В результате для передаваемой энергии получаем
^ A3.26)
478 Гл. 13. Соударения заряженных частиц -
Соотношение A3.26) выражает весьма общий результат, харак-
характеризующий передачу энергии внешнего электромагнитного поля
нерелятивистскому осциллятору. В рассматриваемом нами слу-
случае поле создается пролетающей заряженной частицей. Однако
в качестве внешнего поля можно представить и импульс излучения
или любую другую комбинацию внешних полей.
Если частица с зарядом ze пролетает мимо центра О с прицель-
прицельным параметром Ь и скоростью v, то возбуждаемое в точке О элек-
электромагнитное поле определяется соотношениями A1.118), причем
q = ze. В качестве примера произведем фурье-преобразование
A3.17) для составляющей E^t). Амплитуда Фурье этой величины
Е1 (со) определяется как
п , ч zeby 7 ешсИ /ю otv
Е*ш)== rJL. \ ^т" • A3.27)
Производя замену переменной интегрирования х = yvt/b, полу-
получаем
ур *? pi(iibx/yv
?() ^\ ?
dx. A3.28)
Из таблиц фурье-преобразований х) находим, что интеграл в A3.28)
пропорционален модифицированной функции Бесселя первого
порядка [см. C.101)]. Таким образом,
Аналогично в результате фурье-преобразования составляющей
E3{t), определяемой соотношениями A1.118), имеем
г- / ч . ze / 2 \V2 Г cob Tjr / cob Л ~] /1О опч
Е3(ы)= — i—- ( — —/Со ) • A3.30)
6 v ' yvb \ л J L Yy Ч yv J J
Теперь мы можем написать явное выражение для величины энер-
энергии A3.26), передаваемой гармоническому осциллятору. Согласно*
A3.29) и A3.30),
^[ ] A3.31)
где
1 = ^ . A3.32>
Множитель перед квадратными скобками совпадает с полученным:
ранее приближенным результатом A3.2). При малых или боль-
См., например, [70], гл. 8 или [10], гл. 1—3.
§ 3. Классическое и квантовомеханическое выражения 4794
ших ?, как можно показать, используя приближенные выражения
C.103) или асимптотику C.104), величина в квадратных скобках,
имеет следующие предельные значения:
1 при ? « 1,
>1 A3.33)
fyr ПРИ
Так как ? = Ь/Ьшакс, то очевидно, что при Ъ < &макс передаваемая
энергия определяется приближенным результатом A3.2), тогда
как при Ь ^ &Макс передаваемая энергия экспоненциально убывает
до нуля. Этот расчет подтверждает проведенные в § 1 качественные,
оценки значения верхнего предела ЬМакс-
§ 3. Классическое и квантовомеханическое
выражения для потерь энергии
Выражение A3.31) для энергии, передаваемой гармоническому
осциллятору, можно использовать для вычисления энергии, теряе-
теряемой на единице длины быстрой тяжелой частицей, проходящей через
вещество. Предположим, что в единице объема содержится N атомов,
в каждом из которых имеется Z электронов. Эти Z электронов можно
разделить на группы, отмеченные индексом /; каждая грудпа содер-
содержит fj электронов с одинаковыми частотами связи со^. Число /у
можно назвать силой /-го осциллятора. Силы осцилляторов удо-
удовлетворяют очевидному соотношению 2 fj = Z. С помощью три-
3
виального обобщения рассуждений, приводящих к формулам
A3.11) и A3.12), легко получить следующее выражение для потерь
энергии тяжелой частицей:
AEj(b)bdb, A3.34)
^ Ьмин
где величина А Я/F) определяется соотношением A3.31), причем
| = (djb/yv, а нижний предел интегрирования bMim устанавли-
устанавливается в соответствии с A3.7). Так как функция A3.31) весьма
быстро спадает до нуля для больших &, нет необходимости опре-
определять верхний предел интегрирования. Интеграл от модифици-
модифицированных функций Бесселя легко вычисляется, в результате чего
получим следующее выражение:
~dx == mv2 -tJ fJ | ^м1^1 (?мин) Ко (|мин) —
]} A3-35)
480 Гл. 13* Соударения заряженных частиц
где ?мин =(OjbMm/yv. Вообще говоря, ?Мин<1. Поэтому можно упро-
упростить A3.35) с помощью приближенных соотношений C.103).
Окончательное классическое выражение для потерь энергии имеет
вид
A3.36)
где аргументом логарифма является величина
R _ \,\23yv _
Входящее в Вкл среднее значение частоты (со) определяется как
среднее геометрическое
Z In (со) = 2 Ь In со;. A3.38)
Приведенный результат A3.36) — A3.38) был впервые получен
Бором в его классической работе, посвященной определению потерь
энергии A915 г.). Наше приближенное выражение A3.13) совпа-
совпадает с A3.36) во всех существенных деталях, так как слагаемое
—v212с2 является малой поправкой даже при больших скоростях.
Формула Бора A3.36) верно описывает потери энергии для срав-
сравнительно медленных а-частиц и тяжелых ядер. Однако для элек-
электронов, мезонов, протонов и даже для быстрых а-частиц оно при-
приводит к сильно завышенным значениям потерь энергии. Причина
этого заключается в том, что для более легких частиц классическое
рассмотрение уже неприменимо из-за квантовомеханических эффек-
эффектов. Важнейшими квантовыми эффектами являются, во-первых,
дискретность возможных значений передаваемой энергии, во-вто-
во-вторых, ограничения, связанные с волновой природой частиц и прин-
принципом неопределенности.
Влияние дискретности значений передаваемой энергии можно
проиллюстрировать на примере вычисления классической вели-
величины переданной энергии A3.2) при Ь « ЬМакс- Это, грубо говоря,
наименьшее значение переданной энергии, которое следует учиты-
учитывать при анализе потерь энергии. Предположив для простоты, что
имеется лишь одна частота связи со0, находим
A3.39)
где v0 = с/137 — орбитальная скорость электрона в атоме водо-
водорода в основном состоянии. Так как Ьщ по порядку величины сов-
совпадает с ионизационным потенциалом атома, то для быстрой части-
частицы (v > у о) передаваемая энергия, согласно классической формуле
A3.39), очень мала по сравнению с ионизационным потенциалом
или даже по сравнению с наименьшей энергией возбуждения
§ 3. Классическое и квантовомеханическое выражения 481
атома. Мы знаем, однако, что энергия должна передаваться
определенными квантами. Столь малая величина энергии, как опре-
определяемая соотношением A3.39), просто не может быть поглощена
атомом. Отсюда следует, что наше классическое рассмотрение уже
неприменимо в этой области. Естественно было бы считать, что
классическая формула A3.2) дает правильный результат лишь
в том случае, когда вычисленная по ней передаваемая энергия
велика по сравнению с характерными энергиями возбуждения
атома. Это требование устанавливает совершенно иной верхний
предел для значений прицельного параметра. К счастью, классиче-
классический результат все же применим в статистическом смысле, если
интерпретировать его содержание несколько иным образом.
Квантовое рассмотрение показывает некорректность классиче-
классического утверждения о передаче сколь угодно малых количеств
энергии при каждом соударении. Однако если рассмотреть боль-
большое число соударений, то окажется, что передача малых количеств
энергии может осуществляться в среднем. При этом передача
энергии происходит не при каждом соударении. В большинстве
соударений она отсутствует, но некоторое малое число соударений
сопровождается заметным возбуждением атомов. Результирующее
среднее значение передаваемой энергии по многим соударениям ока-
оказывается малым. В указанном статистическом смысле устраняется
противоречие между квантовым механизмом дискретной передачи
энергии и классическим подходом, допускающим любое значение
передаваемой энергии. Для получения полного количественного
согласия необходимо использовать квантовомеханические выраже-
выражения для сил осциллятора fj и резонансных частот со,-.
Второй важный квантовый эффект связан с волновой природой
частиц. Принцип неопределенности накладывает известные ограни-
ограничения, сужающие область применимости классических предста-
представлений об орбитальном движении. Как известно, при попытке при-
приближенно воспроизвести классическую траекторию путем рассмо-
рассмотрения движения волнового пакета его путь может быть установ-
установлен лишь с точностью до неопределенности в координате
Ал: > Ь/р. Для прицельных параметров &, меньших этой неопре-
неопределенности, классические понятия теряют силу. Так как частицы
в силу своей волновой природы в некотором смысле «размазаны»
в области с размерами порядка Ал:, можно ожидать, что правильное
квантовомеханическое значение потерь энергии будет при
b < Ал: соответствовать гораздо меньшим значениям передаваемой
энергии, чем это следует из A3.2). Таким образом, величина
Ax~h/p является квантовым аналогом минимального прицель-
прицельного параметра A3.6).
Каждая из двух соударяющихся частиц имеет волновую при-
природу. При заданной относительной скорости неопределенность
482 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
координаты обусловливается более легкой частицей. Для тяжелой
налетающей частицы, соударяющейся с электроном, импульс элек-
электрона в системе отсчета, относительно которой налетающая частица
покоится (и которая почти совпадает с системой ЦМ), равен р' =
= ymv, где т — масса электрона. Поэтому минимальное значение
прицельного параметра, определяемое квантовомеханическими
эффектами, равно
« ^ 03.40)
Для случая электрон-электронных соударений следует действовать
более осторожно и рассмотреть импульс A2.34) в системе ЦМ для
случая равных масс. При этом для электронов получается следую-
следующее выражение для минимального прицельного параметра:
^. A3-41)
В рассматриваемом случае следует при вычислении величины В,
входящей как аргумент логарифма в выражение для dEldx, под-
подставлять в A3.14) наибольшее из двух минимальных прицельных
параметров A3.6) и A3.40). Отношение классического значения
Ьщт к квантовому равно
Ч = ?. A3-42)
При г] > 1 следует пользоваться классической формулой Бора.
Это, очевидно, имеет место для медленных частиц с большим заря-
зарядом в полном согласии с наблюдениями. При г\ < 1 квантовомеха-
ническое значение минимального прицельного параметра больше
классического. При этом выражение для энергетических потерь
следует изменить. Аргумент логарифма в формуле A3.13) прини-
принимает в этом случае вид
кв
Соотношение A3.13) с квантовомеханическим значением В
A3.43) является хорошим приближением к формуле Бете A930 г.),
полученной при строгом квантовомеханическом подходе. Формула
Бете с учетом эффекта близких соударений имеет вид
1 • A3-44)
4^ = 4яЛ/2^Г1пГ^)-41 •
dx mv2 L \ Ь <co> J c2 J
Она отличается от приближенного выражения лишь малым попра-
поправочным членом —v2 /с2 и множителем 2 в аргументе логарифма.
Учет квантовых эффектов для электронов с помощью соотно-
соотношения A3.41) приводит к следующему модифицированному кванто-
§ 3. Классическое и квантовомеханическое выражения
483
вомеханическому выражению для аргумента логарифма:
у3/2 тс*
A3.45)
где последнее выражение справедливо в предельном случае боль-
больших энергий. Хотя для электронов существуют и другие квантовые
I
0,01 о,1
7 ю т2 ю3 ю4
Фиг. 13.4. Зависимость потерь энергии от кинетической энергии частицы,
эффекты, например влияние спина и обменных сил, основной
квантовый эффект учитывается соотношением A3.45).
Качественно характер зависимости потерь от энергии частицы
как в классическом, так и в квантовомеханическом случаях пока-
показан на фиг. 13.4. При низких энергиях изменение потерь опре-
определяется в основном зависимостью ~ и, поскольку логарифм
меняется медленно. При высоких энергиях, когда v-+c, потери
вновь возрастают, изменяясь как In у при у > 1. Формула Бете
хорошо согласуется с экспериментом для всех быстрых частиц
с г] < 1, если их энергия не слишком высока (см. § 4).
Здесь уместно пояснить физический смысл квадратичной зависи-
зависимости Вкв от у в A3.43). Одна степень у появляется из-за увеличе-
увеличения максимальной энергии A3.5), которая может быть передана
при лобовых соударениях. Появление второй степени у связано
с релятивистским изменением распределения электромагнитного
поля A1.118) быстрой частицы, что приводит к уменьшению вре-
времени соударений A1.120) и возрастанию Ьшшс A3.9). Релятивист-
Релятивистская частица более эффективно передает энергию на больших рас-
расстояниях, чем нерелятивистская.
484 Гл^ 13. Соударения заряженных частиц
В ряде случаев интересно знать величину потерь энергии на еди-
единице длины, обусловленных соударениями, в которых передача
энергии в одном соударении не превышает некоторой определенной
величины е. Так, например, в фотографических эмульсиях пробег
электронов с энергией больше 10 кэв превышает средние линейные
размеры зерен бромистого серебра. Поэтому энергия, расходуемая
на почернение зерен серебра, соответствует соударениям, при
которых передаваемая энергия меньше 10 кэв. В классическом при-
приближении искомое выражение для потерь энергии можно получить
из формулы Бора A3.36), выбирая минимальный прицельный пара-
параметр ймин (е) таким образом, чтобы передаваемая энергия A3.2)
была равна е. В результате получаем
г- A3'46)
Отсюда мы приходим к формуле типа A3.36), в которой аргументом
логарифма служит величина
Как уже говорилось выше, квантовомеханическое выражение для
потерь энергии получается из классической формулы с помощью
замены [см. A3.43)]
ze2
Вкв = г\Вкл =-^- #кл- A3.48)
Следовательно, квантовомеханическое выражение для потерь на
единице длины, обусловленных соударениями с передачей энер-
энергии, меньшей е, должно иметь вид
A3.49)
dx
где
A3.50)
Константа X — численный множитель порядка единицы, значение
которого можно определить лишь с помощью детальных квантово-
механических расчетов. Согласно расчетам Бете A930 г.), X = 1.
Квантовомеханическое значение Вкв(г) можно представить следую-
следующим образом:
fc. (.3.5.)
§ 4. Влияние плотности на потери энергии 485
где &Макс определяется согласно A3.9), а минимальный прицельный
параметр равен
^^^ A3.52)
Таким образом, поскольку неопределенность полученного импуль-
импульса Ар не должна превышать импульса, передаваемого при соуда-
соударении, то классическая траектория может быть определена лишь
с точностью, по порядку величины не лучшей, чем A3.52). В про-
противном случае мы не можем быть уверены, что передаваемая энер-
энергия действительно меньше е. Следовательно, соотношение A3.52)
устанавливает естественный квантовомеханический нижний предел
для классического представления об орбитах частиц.
§ 4. Влияние плотности на потери энергии
при соударении
Экспериментально наблюдаемые потери энергии при прохо-
прохождении частиц всех видов в различных материальных средах
для не слишком релятивистских частиц весьма точно описываются
соотношением A3.44) [или A3.36), если г\ > 1]. Однако для уль-
ультрарелятивистских частиц наблюдаемые потери несколько меньше
рассчитываемых с помощью соотношения A3.44), особенно для
веществ с большой плотностью. На графике зависимости dEldx
от энергии частиц типа фиг. 13.4 это сказывается в том, что реаль-
реальная кривая потерь энергии возрастает после прохождения мини-
минимума приблизительно вдвое медленнее, чем расчетная; это соот-
соответствует зависимости аргумента логарифма в A3.44) не от второй,
а от первой степени Y- Потери энергии в фотоэмульсиях, измеряе-
измеряемые по плотности зерен серебра, после прохождения минимума
очень слабо^возрастают, а затем образуют на графике плато, про-,
стирающееся до наивысших исследованных значений энергии
частиц. Это также соответствует понижению степени Y на единицу,
в данном случае в выражении A3.50) для Вкв(г).
Указанное уменьшение потерь энергии частицы, известное
как эффект плотности (или поляризационный эффект), впервые было
исследовано теоретически Ферми A940 г.). До сих пор мы неявно
принимали одно допущение, которое перестает выполняться для
плотных сред. Мы считали возможным вычислять вначале дей-
действие поля налетающей частицы на отдельный атомный электрон,
а затем простым суммированием определять передачу энергии всем
электронам для всех атомов с &мин < Ъ < &Макс- Но величина &Макс
очень велика по сравнению с размерами атома, особенно при боль-
больших у. Следовательно, при значении &, сравнимом с &Макс в плот-
плотных средах между траекторией налетающей частицы и рассматривае-
486 Гл. 13, Соударения заряженных частиц
мым атомом находится большое число атомов. Поле быстрой частицы
влияет на эти атомы, что в свою очередь приводит к появлению воз-
возмущающих полей в месте расположения рассматриваемого атома.
Иными словами, в плотных средах вследствие поляризации диэлек-
диэлектрика поле частицы в свободном пространстве заменяется характер-
характерным макроскопическим полем в диэлектрике. Это изменение поля,
обусловленное поляризацией среды, следует учитывать при расче-
расчете энергии, передаваемой в дальних соударениях. В близких соуда-
соударениях налетающая частица взаимодействует одновременно лишь
с одним атомом. Поэтому в данном случае применимы расчеты,
основанные на значении поля свободной частицы без учета поля-
поляризационных эффектов. Значение прицельного параметра, разгра-
разграничивающее .близкие и дальние соударения, по порядку величины
совпадает с атомными размерами. Так как окончательный результат
получается сопряжением двух логарифмических величин, нет необ-
необходимости определять разграничивающее значение Ъ с большой
точностью.
Определим теперь потери энергии при дальних соударениях
(Ь>а) в предположении> что электромагнитные поля в веществе
можно рассчитывать, считая среду непрерывной и имеющей макро-
макроскопическую диэлектрическую проницаемость е(со). Если а есть
величина порядка размеров атома, то это приближение перестает
выполняться для дальних соударений со значениями &, близкими
к нижнему пределу, но справедливо для подавляющего большинства
соударений.
Задача об определении электрического поля быстрой частицы,
движущейся с постоянной скоростью в среде, легче всего решается
с помощью преобразования Фурье. Осуществляя в соответствии
с общим правилом фурье-преобразование потенциалов А^х)
и плотности источников J^x) по координатам и времени
J <*k \ d)/7(k *)^-*-ш, A3.53)
приходим к следующим волновым уравнениям для спектральных
амплитуд:
A3 54)
Появление в A3.54) диэлектрической проницаемости е(со) опре-
определяется тем, что в макроскопические уравнения Максвелла входит
вектор электрической индукции D. Фурье-преобразование плот-
плотностей заряда и тока
q(x, t) = ze6{x — vt)
§ 4. Влияние плотности на потери энергии 487
легко выполняется; при этом получаем
р( ' ю)"л (°)-~ *у)' A3.56)
J (k, со) = vQ(k, со).
Как следует из A3.54), фурье-преобразование потенциалов дает
Ф ,* v 2ге 6 (со — k-v)
A3.57)
A (k, co) = e(co)-f Ф(к, со).
Используя соотношения, выражающие электромагнитные поля
через потенциалы, для фурье-амплитуд полей получаем
v A3.58)
В (к, со) = ie (со) k X — Ф (к, со).
С
Как видно из формулы A3.23), для вычисления потерь энергии
нужно знать временное фурье-представление электрического поля
на расстоянии Ъ по нормали от траектории частицы, движущейся
вдоль оси г. Очевидно,
^ ^d3feE(k'@)eibhl' A3*59)
где точка наблюдения имеет координаты (Ь, 0, 0). Чтобы проиллю-
проиллюстрировать метод вычисления Е(со), найдем Е3{<й) — составляю-
составляющую вектора Е(со), параллельную вектору v. Согласно A3.57)
и A3.58),
2ize Х { dskeibki \ т (@) v k
Интегрирование по k3 может быть проведено сразу. В результате
имеем
Р ( \ ^.j-^ouj | 1
.е(со) '
— ОО —ОО
где
488 Г л, 13. Соударения заряженных частиц
Интеграл'по k2 равен я/(Х2 + klI/2\ таким образом, Е3 (со) можно
переписать в виде
оо
?3((о) = 7^=:— -7-^ — Р \ Tj-dki. A3.63)
Оставшийся интеграл имеет тот же вид, что и интеграл в A3.28).
Окончательно получим
D)]/[^] A3.64)
где знак квадратного корня при определении X с помощью A3.62)
выбирается так, чтобы значение К находилось в четвертом ква-
квадранте. Аналогичные вычисления приводят к следующим выраже-
выражениям для других составляющих полей:
CJ *1^ A3.65)
Как легко видеть, в предельном случае е(со) ->¦ 1 выражения для
полей A3.64) и A3.65) переходят в ранее полученные выражения
A3.30) и A3.29).
Для определения энергии, передаваемой атому при соударении
с прицельным параметром Ь, достаточно представить A3.23) в более
общем виде
оо
&E(b) = 2eyjf.Re^ ( —/©)x;(©)-E*(©)d©f A3.66)
i о
где Xj (со) — амплитуда колебаний атомного электрона /-го типа.
Вместо того чтобы воспользоваться формулой A3.19) для х^(©),
выразим сумму дипольных моментов через поляризуемость молекул
и тем самым через диэлектрическую проницаемость
^(со)-1]Е(со), A3.67)
где N — число атомов в единице объема. При этом выражение для
передаваемой энергии принимает вид
оо
A E{b) = ~ Re J (-/(u)e((o)|E(co)|2dfi). A3.68)
§ 4. Влияние плотности на потери энергии 489
Потери энергии на единице длины за счет соударений с прицель-
прицельными параметрами Ь>а можно, очевидно, записать как
Подставляя в A3.68) и A3.69) выражения для полей A3.64) и A3.65),
после ряда вычислений приходим к результату, полученному
Ферми:
где к определяется соотношением A3.62). Этот же результат можно
получить более изящно, вычисляя электромагнитную энергию,
излученную через поверхность цилиндра радиусом а, окружающего
траекторию налетающей частицы. В силу закона сохранения энер-
энергии эта величина совпадает с энергией, теряемой частицей в единицу
времени. Таким образом,
=^=_ \ 2naB2E3dz. A3.71)
Интеграл по dz для данного момента времени эквивалентен интегра-
интегралу по всем моментам времени для фиксированной точки на цилин-
цилиндре. Введя dz = v dt, получим
?*<<>*<'>* <13-72>
Обычным способом можно преобразовать его в интеграл по частотам:
!(co)?3(co)dco. A3.73)
Используя выражения для полей A3.64) и A3.65), вновь приходим
к результату Ферми A3.70).
Выражение Ферми A3.70) для потерь энергии внешне мало
похоже на приведенные нами ранее результаты, например формулу
A3.35). Однако если влияние поляризационных эффектов незна-
незначительно, то оно дает прежний результат. Например, для нереляти-
нерелятивистских частиц (Р < 1), как ясно из A3.62), величина Я^ со/у
не зависит от е (со). В этом случае модифицированные функции
Бесселя в A3.70) действительны. Значение интеграла определяется
лишь мнимой частью функции е (со). Пренебрегая поляризацион-
490 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
ной поправкой Лоренца D.67) для внутреннего поля в атоме, можно
представить диэлектрическую проницаемость в виде
A3.74)
где при вычислении дипольного момента использовано выражение
A3.19). Если второй член предполагается малым, то мнимую часть
функции е^) легко вычислить и подставить ее в A3.70). При
этом в том же приближении, которое использовалось при выводе
соотношений A3.24) — A3.26), интеграл по со может быть преобра-
преобразован к нерелятивистскому выражению A3.35). Если принебречь
отличием X от со/уа, но не делать других допущений, то A3.70)
приводит точно к формуле Бора A3.35).
Поляризационный эффект проявляется, очевидно, в комплекс-
комплексности аргумента модифицированных функций Бесселя, что соот-
соответствует учету члена с 8 (со) в A3.62). Так как величина е (со)
входит в A3.62) в виде произведения на р2, ясно, что этот эффект
фактически заметен лишь при больших энергиях. Подробные вычис-
вычисления для всех энергий с использованием явного выражения для
е(со) типа A3.74) весьма сложны и не приводят к сколько-нибудь
наглядным результатам. Поэтому мы ограничимся лишь рассмотре-
рассмотрением ультрарелятивистского предельного случая ф « 1). Кроме
того, так как в интеграле по со наиболее важны оптические
частоты, а радиус а имеет порядок атомных размеров, величина
Яа | ~((да/с) <С 1. Следовательно, можно использовать прибли-
приближенные выражения для функций Бесселя C.103), справедливые
в предельном случае малых аргументов. Выражение Ферми A3.70)
в ультрарелятивистском предельном случае принимает вид
dxjb>a
A3-75)
Здесь уместно подчеркнуть, что аргумент второго логарифмического
члена в действительности равен [1 — Р2е (со)]. В частном случае
е = 1 этот логарифмический член дает множитель у под логариф-
логарифмом, что соответствует ранее приведенному результату A3.36).
Если же 8 (со) Ф 1, то этот множитель можно переписать в виде
[1 — е (со)], вследствие чего из аргумента логарифма исчезает
одна степень у в согласии с экспериментом.
Интеграл по положительным действительным со в A3.75), где
е (со) определяется согласно A3.74), легко преобразуется с помощью
теоремы !Коши в интеграл по положительным чисто мнимым со.
§ 4. Влияние плотности на потери энергии 491
В этом случае величина е(со) становится чисто действительной
на пути интегрирования. Следовательно, значение действительной
части интеграла будет определяться лишь фазами логарифмов.
В приближении Г; < о); результат интегрирования можно пред-
представить в простом виде
где сор — электронная плазменная частота
Ч = ^- A3.77)
Соответствующее релятивистское выражение без учета поляриза-
поляризационного эффекта, как следует из A3.36), имеет вид
Сравнение показывает, что учет поляризационного эффекта приво-
приводит к более простому асимптотическому выражению для потерь
энергии, которые перестают зависеть от деталей структуры атома
[величина <со>, описываемая соотношением A3.38), не входит
в A3.76)] и определяются лишь числом электронов в единице объ-
объема, входящим в (др. Потери энергии для ультрарелятивистских
частиц в двух веществах с совершенно различной структурой ато-
атомов будут одинаковы, если плотность электронов в этих веществах
одинакова.
Так как в литературе приведено большое Число рассчитанных
по формуле Бете A3.44) кривых потерь энергии, очень часто ока-
оказывается удобным знать величину уменьшения потерь, обусловлен-
обусловленную влиянием поляризации. Это уменьшение определяется разно-
разностью выражений A3.78) и A3.76)
Г^) ЦТ A3.79)
<со>
Для фотоэмульсий энергетические потери определяются соотно-
соотношениями A3.49) и A3.50) с е « 10 кэв. При учете поляризационной
поправки потери при больших энергиях стремятся к постоянной
величине
dE(s) (ze)*v>l « BтсЧ \
Для бромистого серебра %ыр я& 48 эв. Для однозарядных частиц
отношение величины потерь A3.80) к плотности оказывается рав-
равным приблизительно 1,02 Мэв-см2/г. Это значение потерь энер-
энергии хорошо согласуется с экспериментальными данными; оно соот-
492
Гл. 13. Соударения заряженных частиц
ветствует возрастанию потерь относительно минимального значения
менее чем на 10%. На фиг. 13.5 изображены типичные кривые
полных потерь и потерь с передачей энергии, не превышающей
10 кэв. Пунктирная кривая соответствует формуле Бете для полных
потерь без учета поляризационного эффекта.
Существует интересная связь между выражением Ферми A3.70)
для потерь энергии и излучением Вавилова — Черенкова. Выра-
Выражение A3.70) определяет энергию, передаваемую среде на рас-
расстояниях, больших а. Переходя к пределу а-^оо, мы выясним,
0,7
10
ю2
(у-1)
103
10*
Фиг. 13 5 Зависимость потерь энергии от кинетической энергии частицы.
Пунктирная кривая получена без учета поляризационного эффекта, сплошные кри-
кривые — с учетом этого эффекта (верхняя кривая изображает полные потери энергии»
нижняя — потери за счет соударений с передачей энергии меньше 10 кэв),
не может ли какая-либо часть энергии уходить в бесконечность.
В этом случае можно было бы говорить об излучении энергии. При
а ->оо можно воспользоваться асимптотическими выражениями
C.104) для функций /С. Тогда формула A3.70) приводится к виду
A3.81)
Если действительная часть X отлична от нуля, наличие экспонен-
экспоненциального множителя обеспечивает быстрое убывание потерь энер-
энергии до нуля на больших расстояниях. Как очевидно из A3.62), ука-
указанное условие всегда выполняется для сред с поглощением,
поскольку в этом случае 8 (со) имеет положительную мнимую часть.
Однако при действительных значениях е(со) величина X может быть
чисто мнимой для некоторых со. Это имеет место при Р2>1/е (со),
чел =(i^ ? г 1 -I A!
*хуъ>* v* J Le(co) r J V X
§ 5. Потери энергии в электронной плазме 493
т. е. в том случае, когда скорость частицы превышает фазовую
скорость света в среде. В этом и состоит условие существования
излучения Вавилова — Черенкова. Для таких частот X = —i \ X |.
При этом экспоненциальный множитель обращается в единицу и,
следовательно,
Так как полученное выражение не зависит от радиуса цилиндра а,
оно представляет собой истинное излучение. Это выражение полно-
полностью совпадает с формулой Франка и Тамма A937 г.) для полной
энергии излучения Вавилова — Черенкова на единице пути. Более
детально излучение Вавилова — Черенкова как радиационный
процесс будет рассмотрено в гл. 14, § 9.
Для сред, в которых поляризационные эффекты играют суще-
существенную роль в процессе потерь энергии, поглощение почти всегда
столь велико, что возбуждаемое излучение Вавилова — Черенкова
поглощается в непосредственной близости от траектории частицы.
§ 5. Потери энергии в электронной плазме
Для рассмотрения потерь энергии нерелятивистской частицы
при прохождении через плазму можно воспользоваться методом,
примененным нами при исследовании поляризационного эффекта
для релятивистских частиц. Как было показано в гл. 10, § 10,
в плазме следует различать две области линейных масштабов. Для
размеров, больших по сравнению с дебаевским радиусом экрани-
экранирования kj}, определяемым соотношением A0.106), плазма ведет
себя как непрерывная среда, в которой заряженные частицы участ-
участвуют в коллективном движении, каковыми являются, например,
колебания плазмы. На расстояниях, малых по сравнению с /г]},
процессы в плазме определяются свойствами отдельных частиц,
причем взаимодействие частиц описывается экранированным потен-
потенциалом двухчастичного взаимодействия A0.113). Это означает, что
при вычислении потерь энергии дебаевский радиус играет ту же
роль, которую играют атомные размеры при исследовании поляри-
поляризационных эффектов. Для близких соударений можно пренебречь
коллективными эффектами и вычислить соответствующий вклад
в потери энергии, пользуясь потенциалом A0.113). Мы оставляем
эту задачу читателям для самостоятельного решения (см. задачу
13.3). Для дальних соударений, соответствующих значениям при-
придельных параметров, для которых bkD > 1, коллективные эффекты
могут быть рассчитаны по формуле Ферми A3.70) с использова-
использованием соответствующего значения диэлектрической проницаемости
494 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
плазмы. Потери при дальних соударениях соответствуют возбу-
возбуждению в среде плазменных колебаний.
Для нерелятивистских частиц, согласно формуле A3.70), полу-
получается следующее выражение для потерь энергии, соответствую-
соответствующих прицельным параметрам Ь > kj}:
dx
?)] *¦ <i3-83>
Наиболее существенный вклад в интеграл вносят частоты со » сор,
для которых аргумент функций Бесселя имеет величину порядка
"*=if^L. A3.84)
kDv v v '
Для частиц, скорость которых меньше тепловых, значение аргу-
аргумента велико по сравнению с единицей. Вследствие экспоненциаль-
экспоненциального убывания функций Бесселя при больших значениях аргумента
потери энергии на возбуждение плазменных' колебаний такими
частицами пренебрежимо малы. Энергия теряется ими лишь при близ-
близких парных соударениях. Если же скорость сравнима с тепловой
или превышает ее, то частица может терять значительную энергию
на возбуждение коллективных колебаний. Энергия этих колебаний
концентрируется, очевидно, в окрестности траектории частицы до
расстояний порядка (v/{u2I/2)k]} от нее.
Для частиц, движущихся со скоростями, существенно боль-
большими тепловых, можно использовать приближенные выражения для
функций Бесселя при малых значениях аргумента. При этом A3.83)
принимает вид
ъ±Цр-\ Re -?Ц- ln(^°^ W [A3.85)
knb>i n v2 ) L8((o)J V со у lV
Рассмотрим случай, когда диэлектрическая проницаемость среды,
обладающей затуханием, определяется простым выражением
[ср. G.93I
е/со)^! 5^-гг- A3.86)
Постоянная затухания Г считается малой по сравнению с сор.
Интересующее нас выражение
A3-87)
имеет обычный резонансный характер [ср., например, A3.24)].
В предельном случае Г < сор вычисление интеграла в A3.85) при-
§ 6. Упругое рассеяние быстрых частиц атомами 495
водит к простому результату
Объединяя это выражение с результатом задачи 13.3, получаем
значение полных потерь энергии частицы, движущейся в плазме.
Наличие в аргументе логарифма величины сор связано с тем, что
частица теряет свою энергию квантами *юр аналогично тому,
как наличие средней частоты <со> в выражении A3.44) указывает
на то, что энергия теряется путем квантовых переходов в атомах.
Дискретность потерь энергии проявляется при прохождении элек-
электронов через тонкие металлические фольги. Это явление может быть
использовано для определения эффективной плазменной частоты
в металлах.
§ 6. Упругое рассеяние быстрых частиц атомами
В предыдущих параграфах были рассмотрены потери энергии
частицами при прохождении через вещество. При этом предпола-
предполагалось, что частица движется по прямолинейной траектории.
В действительности это предположение не выполняется строго.
Как уже отмечалось в § 1, любая передача импульса между взаимо-
взаимодействующими частицами приводит к их отклонению на некоторый
угол. В вводных замечаниях к настоящей главе мы уже гово-
говорили о том, что соударения с электронами обусловливают потери
энергии, тогда как соударения с атомами определяют рассеяние.
Если пренебречь экранированием кулоновского поля ядра атом-
атомными электронами, то угловое отклонение, испытываемое быстрой
частицей с импульсом р = yMv и зарядом ze при прохождении
на прицельном расстоянии Ъ от тяжелого ядра с зарядом Ze, опре-
определяется, согласно A3.3), выражением
е^-М!. A3.89)
pvb v '
Дифференциальное сечение рассеяния do/dQ (имеющее размер-
размерность площади на единицу телесного угла на атом) определяется
соотношением
sinQdQdq>, A3.90)
где п — число частиц, падающих на единичную площадку в единицу
времени. Левая часть равенства A3.90) определяет- число частиц
со значениями прицельных параметров от Ъ до Ъ + db, попа-
попадающих за единицу времени в область азимутальных углов между ф
и ф + ^Ф- В правой части стоит число частиц, рассеянных за еди-
496 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
ницу времени в направлении, определяемом полярными углами
(9, ф) в элемент телесного угла dQ = sin QdQdy. Соотношение
A3.90) выражает закон сохранения числа частиц, так как между 0
и Ъ имеется функциональная связь. Классическое выражение для
дифференциального сечения рассеяния можно поэтому переписать
в виде
da
EL
dQ -sine ав • <13-91>
Здесь следует брать абсолютное значение производной, так как,
вообще говоря, db и dQ могут иметь противоположные знаки,
а сечение рассеяния, по определению,— положительная величина.
Если Ь является многозначной функцией 0. то в A3.91) следует
взять сумму по всем значениям Ъ.
Учитывая соотношение A3.89), связывающее & и 0, можно найти
отнесенное к одному атому резерфордовское сечение рассеяния на
малые углы
_^(± A3 92)
dQ ^ \ pv ) 6*' (М.М)
Заметим, что все Z электронов атома дают сечение рассеяния,
в Z раз меньшее сечения рассеяния на ядре. Поэтому влиянием
электронов можно пренебречь, за исключением их экранирующего
действия. Закон Резерфорда A3.92) для рассеяния на малые углы
оказывается справедливым и при квантовомеханическом рассмо-
рассмотрении независимо от спина падающих частиц. Для больших углов
следует учитывать спиновые эффекты, но для нерелятивистских ча-
частиц и в квантовомеханическом случае остается справедливой клас-
классическая формула Резерфорда, вытекающая из A3.4):
da f zZe* \2 4 9 /1QnQ,
() cosec*. A3.93)
Так как наиболее интенсивное рассеяние происходит для углов
0 < 1 и даже при 0 = я/2 выражение для малых углов A3.92)
не отличается от формулы Резерфорда больше чем на 30%, то выра-
выражение A3.92) дает вполне удовлетворительные по точности резуль-
результаты для всех углов, для которых справедливо описание с помощью
центрального неэкранированного кулоновского поля.
Отклонения от кулоновского приближения сказываются при
очень больших и очень малых углах, соответствующих малым
и большим прицельным параметрам. При больших значениях Ь
вследствие экранирующего действия атомных электронов потен-
потенциал спадает быстрее, чем по закону 1 Ir. Согласно модели Ферми —
Томаса, потенциал можно приближенно описать выражением
—e-r/\ A3.94)
§ 6. Упругое рассеяние быстрых частиц атомами 497
где радиус атома а определяется соотношением
a^MaoZ-Va, A3.95)
а а0 = %2/те2 — боровский радиус атома водорода. Для значений
прицельного параметра порядка а или больших потенциал A3.94)
быстро убывает, что приводит к гораздо более быстрому спаданию
угла рассеяния с ростом &, чем следует из формулы A3.89). Это озна-
означает, что сечение рассеяния на малых углах не возрастает как 9~4,
а замедляет свой рост и стремится к постоянному значению при
9 = 0.
Простые вычисления с экранированным кулоновским потенциа-
потенциалом приводят к следующему общему выражению для сечения рас-
рассеяния:
pv ) (92 + е2минJ' ( '
где 8МИН — предельное значение угла, начиная с которого сече-
сечение рассеяния уже существенно отличается от значения, определяе-
определяемого соотношением A3.92). Оно может быть определено как с клас-
классической точки зрения, так и с квантовомеханической. Так же
как при нахождении ЪШт, при исследовании энергетических потерь
следует воспользоваться большим из полученных значений угла.
Классическое значение 9МИН можно вычислить, положив в A3.89)
Ъ = а. В результате находим
С точки зрения квантовой механики конечные размеры рассеиваю-
рассеивающей частицы означают, что траектория в классическом приближе-
приближении локализована в пределах Ах <а; следовательно, минималь-
минимальная неопределенность в поперечной составляющей импульса падаю-
падающей частицы должна быть Ар > h/a.
Для соударений, в которых передаваемый импульс A3.1) велик
по сравнению с h /a, применима классическая формула Резерфорда.
При меньших передачах импульса квантовомеханическое размы-
размывание должно сглаживать кривую сечения рассеяния. В результате
приходим к следующему квантовомеханическому выражению
для 9МИН:
effi^. A3.98)
Заметим здесь, что отношение классического значения предельного
угла 9МИН к квантовомеханическому, равное zZe2/hvt согласуется
с отношением A3.42) классического и квантового значений &мин.
Для быстрых частиц величина Zze2/hv для всех веществ, кроме
498 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
веществ с очень большим Z, меньше единицы. Поэтому в каче-
качестве 9МИН следует использовать в расчетах квантовомеханический
критерий A3.98). Подставляя в A3.98) выражение A3.95) для
радиуса экранирования а, получаем
где р—импульс налетающей частицы (р = yMv), am— масса
электрона.
При сравнительно больших углах величина сечения рассеяния
начинает заметно отличаться от значения A3.92) вследствие конеч-
конечного размера ядер. Для электронов и (i-мезонов влияние размера
ядра сводится к чисто электромагнитному эффекту, тогда как для
я-мезонов, протонов и т. д. играют роль также специфические
эффекты, связанные с природой ядерных сил. Так как все эти
эффекты приводят к понижению величины сечения рассеяния по
сравнению с A3.92), мы рассмотрим лишь электромагнитный эффект.
Распределение заряда в ядре атома можно весьма приближенно
считать однородным внутри сферы радиусом R и быстро спадающим
до нуля вне этой сферы.
Это означает, что в пределах ядра электростатический потен-
потенциал меняется не как 1 /г, а по параболическому закону и имеет
конечную величину при г = 0:
V(r) =
тТОй)
A3.100)
при r>R.
Кулоновское поле точечного заряда обладает той особенностью,
что для него квантовомеханическое значение эффективного сечения
рассеяния дается классической формулой Резерфорда. Поэтому
для точечных ядер нет необходимости различать области углов,
соответствующие прицельным параметрам, меньшим или большим
квантовомеханического значения предельного прицельного пара-
параметра &м^Вн, определяемого соотношением A3.40). При учете конеч-
конечного размера ядер, однако, будет сказываться конечность де-брой-
левской длины волны налетающей частицы. Если рассмотреть
волновыедакеты, налетающие на ядро, которое можно считать обла-
областью с относительно постоянным (внутри сферы г = R) потенциалом
A3.100), то результат будет существенно отличаться от простой
формулы A3.92). Картина здесь весьма схожа с рассмотренной
в гл. 9 дифракцией на сфере. Рассеяние происходит лишь в преде-
пределах углов, меньших —X//?, где X — соответствующая длина
волны (деленная на 2я).
§ 6. Упругое рассеяние быстрых частиц атомами
499
Для больших углов волны, идущие от различных частей рас-
рассеивающего препятствия, интерферируют, что приводит к быстрому
убыванию рассеянного поля или, возможно, к появлению допол-
дополнительных максимумов и минимумов. Так как длина волны частицы
Фиг. 13.6. Зависимость сече-
сечения рассеяния на атомах от
угла, полученная с учетом
экранирующего влияния элек-
электронов на малых углах и ко-
конечного размера ядер на боль-
больших углах.
I I
к = %/р, максимальный угол рассеяния, выше которого сечение
рассеяния спадает значительно быстрее, чем по закону 9~4, равен
Эмакс^^. A3.101)
Используя простую оценку для R, а именно R « 1/2 (е2/тс2)А1/з =
= 1,4 Л1/з-103 см, получаем для численного значения этого угла
274 fmc\
A3.102)
Отметим здесь, что для всех значений Z и А имеем 0макс > бмин-
Если импульс падающей частицы настолько мал, что 0макс > 1.
то конечность размера ядра не сказывается существенно на резуль-
результатах рассеяния. Для алюминиевой мишени 0макс = 1 при р ~
— 50 Мэв/с, что соответствует кинетической энергии ^50 Мэв для
электронов, 12 Мэв для fx-мезонов и 1,3 Мэв для протонов. Только
при энергиях, превышающих указанные значения, конечность раз-
размеров ядер сказывается на рассеянии. Для приведенного значения
импульса 621Й — 10~4 рад.
На фиг. 13.6 качественно показан характер зависимости сечения
рассеяния от угла. Пунктирная линия соответствует приближению
Резерфорда A3.92) для малых углов, сплошной линией изображена
качественная зависимость сечения рассеяния с учетом экраниро-
экранирования и конечного размера ядер. Полное сечение рассеяния можно
500 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
определить, проинтегрировав A3.96) по всем телесным углам:
(^SBSifw- O3-.03)
Окончательно получим
причем при выводе последнего выражения было использовано зна-
значение A3.98) для 9миЕн. Из полученного выражения видно, что при
больших скоростях полное сечение рассеяния может быть гораздо
меньше классической величины геометрической «площади сечения»
атома па2.
§ 7. Среднеквадратичное значение
угла рассеяния и угловое распределение
при многократном рассеянии
Резерфордовское рассеяние соответствует очень малым углам
рассеяния даже для кулоновского поля точечного заряда; для быст-
быстрых частиц, кроме того, значение 9макс мало по сравнению с еди-
единицей. Поэтому вероятность рассеяния на малые углы очень вели-
велика. Частица, проходящая слой вещества конечной толщины, испы-
испытывает многократные отклонения на малый угол и выходит из слоя
под некоторым малым углом рассеяния, представляющим собой
статистическую суперпозицию большого числа отклонений. Лишь
весьма редко частица будет отклоняться при соударении на боль-
большой угол; так как такие события редки, частица испытывает лишь
одно подобное соударение. Это обстоятельство позволяет разделить
всю область углов на две части: область сравнительно больших
углов, соответствующую однократно рассеянным частицам, и об-
область очень малых углов, соответствующую частицам, подверг-
подвергшимся многократному, или сложному, рассеянию. Полное угловое
распределение может быть приближенно определено независимым
рассмотрением обеих указанных областей. Промежуточная область
так называемого множественного рассеяния дала бы плавный пере-
переход от малых углов к большим.
Для области многократного рассеяния, где происходит большое
число последовательных отклонений на малые углы, симметрично
распределенные относительно направления падения, важнейший
характеристикой является среднеквадратичное значение угла
рассеяния для одного соударения. Оно определяется соотношением
\(da/dQ)dQ
§ 7. Среднеквадратичное значение угла рассеяния
501
Принимая приближения, введенные в § 6, получаем
. A3.106)
Если принять квантовое значение A3.99) для 9МИН, а 9макс опре-
определять согласно A3.102), то формулу A3.106) можно переписать
в следующем виде:
1/3). A3.107)
Если конечные размеры ядра несущественны (обычно это имеет
место лишь для электронов, а для других частиц — только при
Фиг. 13.7.
очень низких энергиях), то величину 9макс в A3.106) следует поло-
положить равной единице. В этом случае аргумент логарифма в A3.107)
принимает вид (\92Z~1/sp/mc)i/2 вместо B10Z~1/3).
Часто нас интересует проекция 9' угла рассеяния на некоторую
плоскость, например плоскость фотоэмульсии или пузырьковой
камеры, как показано на фиг. 13.7. Как нетрудно видеть, для малых
углов
= ~ (92).
A3.108)
Каждое единичное отклонение описывается формулой Резер-
форда A3.92), «обрезанной» должным образом при 0мин и 0Макс
со средним значением угла рассеяния или его проекции, равным
нулю, и средним квадратом <92>, определяемым согласно A3.106).
502 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
Так как последовательные соударения являются независимыми
событиями, то можно воспользоваться центральной предельной тео-
теоремой математической статистики, согласно которой для большого
числа п таких соударений угловое распределение приближенно
описывается гауссовым распределением относительно направления
падения частицы со средним квадратом угла рассеяния <02> = п <02>.
Число соударений, претерпеваемых частицей при прохождении
слоя вещества толщиной t при N атомах в единице объема, равно
^-. A3.109)
Отсюда для среднего квадрата угла рассеяния имеем
A3.110)
Pv У \ "мин У
или, воспользовавшись выражением A3.107) для <02>,
/3-)]/. A3.111)
Средний квадрат угла рассеяния линейно растет с увеличением
толщины t. При этом для умеренных значений толщин, пока частица
не теряет существенной доли своей энергии, основная часть гауссо-
гауссова распределения приходится на очень малые углы отклонения.
Распределение проекций углов отклонения при многократном
рассеянии имеет вид
^(^H'' A3Л12)
где рассматриваются как положительные, так и отрицательные
углы 0'. Формулу Резерфорда A3.92) при малых углах рассеяния
можно выразить через проекцию угла рассеяния
do п /2zZe2Y 1 п« Поч
w^-2\rw) е*- A3Л13)
Это приводит к следующему закону распределения для проекций
угла отклонения при однократном рассеянии:
Найденный закон углового распределения для однократного
рассеяния применим лишь для углов, больших по сравнению
с <02>1/2, и определяет «хвост» гауссова распределения.
Вводя в качестве аргумента относительную проекцию угла
отклонения
^ A3Л15)
§ 7. Среднеквадратичное значение угла рассеяния
503
можно переписать угловое распределение для многократного
и однократного рассеяния в виде
1
A3.116)
v ' 8 1nB10Z/3) а3
где использовано соотношение A3.111) для <62>. Заметим, что
в выбранных единицах относительные распределения для много-
многократного и однократного рассеяния не зависят от толщины слоя,
10
Фиг. 13.8. Распределение проекций углов отклонения при многократном
и однократном рассеянии.
Плавный переход в области множественного рассеяния (a ~ 2 — 3) от многократ-
многократного рассеяния на малые углы (приближенно следующего гауссову закону) к упру-
упругому рассеянию на большие углы (пропорционального»-3) показан пунктиром.
а определяются лишь значением Z, причем зависимость от Z тоже
довольно слабая. Действительно, величина 8In B10Z~1/8) равна
36,0 при Z = 13 (для алюминия) и 31,0 при Z = 82 (для свинца).
Общий характер угловых распределений рассеяния показан на
фиг. 13.8. Переход от многократного рассеяния к одиночным соуда-
504 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
рениям происходит вблизи а « 2,5. В этой точке функция распре-
распределения Гаусса убывает примерно до 1 /600 своего максимального
значения. Таким образом, распределение, соответствующее одно-
однократному рассеянию, представляет лишь весьма малый «хвост»
кривой многократного рассеяния.
Имеются два обстоятельства, обусловливающие отклонение хода
углового распределения от изображенных на фиг. 13.8 простых
зависимостей. Закон Гаусса представляет собой предельную форму
углового распределения, соответствующую очень большим п.
Если толщина t такова, что определяемое соотношением A3.109)
число соударений п не очень велико (скажем, п ^ 100), то распре-
распределение характеризуется кривой для однократного рассеяния (для
углов, меньших а « 2,5) и максимум распределения при малых
углах становится более резким, чем у гауссовой кривой. Если же,
наоборот, толщина слоя слишком велика, то средний квадрат угла
рассеяния <62> становится сравнимым с углом Эмакс A3.102), огра-
ограничивающим угловую ширину распределения при однократном
рассеянии. Для еще больших толщин кривая, соответствующая
-многократному рассеянию, перекрывает область углов, соответст-
соответствующих однократному рассеянию, так что кривая углового распре-
распределения не имеет хвоста, характерного для однократного рассеяния
(см. задачу 13.5).
§ 8. Электропроводность плазмы
Результаты исследования многократного рассеяния могут быть
почти непосредственно применены к совершенно отличной на пер-
первый взгляд проблеме определения электропроводности плазмы.
Для простоты мы будем рассматривать так называемый газ Лорен-
Лоренца, содержащий в единице объема N фиксированных ионов с заря-
зарядом Ze и NZ свободных электронов. Кроме того, пренебрежем элек-
электрон-электронными взаимодействиями. Приближение фиксирован-
фиксированных ионов представляется разумным, по крайней мере для плазмы,
у которой кинетическая температура электронов и ионов примерно
одинакова. Влияние электрон-электронных соударений будет рас-
рассмотрено несколько позже.
Простая теория электропроводности Друде, вкратце изложен-
изложенная в гл. 7, § 8, основана на рассмотрении уравнения движения
одного электрона
^ A3.117)
где v — частота соударений. Для низких частот электропроводность
а, обусловленная движением электронов, определяется равенством
<Г= — . A3.118)
§ 8. Электропроводность плазмы 505
Для вычисления соответствующей частоты соударений заметим,
что слагаемое mvv в A3.117) определяет скорость убывания про-
продольного импульса из-за соударений с ионами при движении элек-
электрона под действием приложенного электрического поля. Если
угол рассеяния при одном упругом соударении обозначить 0
(фиг. 13.9), то потеря продольного импульса частицы с импульсом р
будет равна р A — cos 0). Среднее значение этой величины, умно-
умноженное на число соударений на единице длины, и определяет
Фиг.
уменьшение продольного импульса на единице длины, т. е. вели-
величину mv. Таким образом,
— cos0>, A3.119)
где а — полное сечение рассеяния A3.104). Так как кулоновское
рассеяние происходит в основном на очень малые углы, можно при-
принять <1 —cos 0> « 1/2 <02>. Таким образом, потери продольного
импульса на единице длины оказываются равными
; A3.120)
здесь использовано выражение A3.106) для <02>. Подставляя
A3.120) в A3.118), получаем выражение для электропроводности
*(<0 - Д,7.2 1пГ3 /ft 1 ¦ 03.121)
Найденный результат относится к электронам со скоростью v.
Нужно провести усреднение по тепловому распределению скоро-
скоростей. Зависимость от скорости v в A3.121) определяется в основном
множителем v3. Аргумент логарифма можно, не совершая значи-
значительной ошибки, вычислять для средней скорости. При энергиях,
соответствующих даже наиболее горячей плазме, можно пренебречь
влиянием размеров ядра, поэтому положим 0Макс = 1. Выбор вели-)
чины 0МИН несколько более сложен. Если действие атомов описы1
вать экранированным потенциалом, то для 0МИН следует исполь-
использовать выражение A3.97) или A3.98), где радиус атома а опреде-
определяется соотношением A3.95). Взаимодействие при электрон-ионных
соударениях в плазме описывается экранированным потенциалом
Дебая — Хюккеля A0.113). Следовательно, в этом случае роль
506 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
радиуса атома а в формулах для 0МИН играет дебаевский радиус kj}.
При расчетах следует пользоваться выражением A3.97) или A3.98)
в зависимости от того, какая из этих величин больше. С учетом
всего сказанного аргумент логарифма в A3.121) принимает вид
где kD определяется соотношением A0.106) или A0.112), а <и2>1/2 =
= kTIm. Если средняя энергия электрона 3/2kT меньше 13,6 Z2 эв,
то следует использовать верхнее значение в A3.122), если же она
больше этой величины, то нижнее.
При максвелловском распределении скоростей среднее значение
л-й степени скорости равно
n/2 Ч 2 ) ,
Г(8/2) * A6.U6)
Следовательно, значение проводимости A3.121), усредненной по
максвелловскому распределению скоростей, оказывается равным
Этот приближенный результат, полученный весьма нехитрым спо-
способом с помощью элементарной теории Друде, отличается множи-
множителем 2 от точного значения, найденного исходя из уравнения
Больцмана. Физический механизм, используемый в обоих расче-
расчетах, одинаков, однако при более строгом исследовании производит-
производится усреднение не величины у3, а величины и5 1). Поэтому получен-
полученные результаты отличаются множителем <и5> / <у2> <у3> = 2.
При учете электрон-электронных соударений потери продоль-
продольного импульса возрастают и, следовательно, проводимость мень-
меньше, чем удвоенная величина A3.124). Относительное уменьшение
*) Появление добавочного множителя v2 можно пояснить следующим
образом. При наличии электрического поля распределение скоростей, пер-
первоначально обладавшее сферической симметрией, искажается в направлении
приложенного поля. Величина этого искажения определяет ток и (в соответ-
соответствии с законом Ома) проводимость. Результирующее искаженное распре-
распределение определяется равновесием между действием анизотропного элект-
электрического поля и стремлением к изотропии, обусловленным соударениями.
Так как эффективное сечение рассеяния обратно пропорционально квадрату
скорости, отношение высокоскоростной компоненты анизотропной части
распределения к соответствующей компоненте нормального распределения
пропорционально v2.
Задачи 507
зависит от Z приблизительно как Z/(l + Z) и меняется от 0,58 при
Z = 1 до 1,0 при Z-^oo. Таким образом, выражение A3.124)
в приведенном виде может служить хорошим приближением для
расчета проводимости водородной или дейтериевой плазмы с учетом
влияния электрон-электронных соударений. Используя классит
ческое (низкоэнергетическое) значение A3.122) для Л, можно
придать формуле A3.124) следующую, весьма наглядную форму;
*- A3Л25)
Величина Л имеет порядок 104 и, таким образом, для типичной
водородной плазмы (пе— 1015 см~3, Т ~ 105 °К) о ~ 200 сор «
^ 4-1014 сек'1. Хотя эта величина и меньше проводимости металлов
(— Ю16 сек'1), но все же она достаточно велика для того, Чтобы при
исследовании проникновения полей в плазму можно было, как это
и делалось в гл. 10, пользоваться приближением бесконечной про-
проводимости.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Проблема прохождения частиц через вещество всю жизнь интересовала
Нильса Бора. Великолепное изложение вопроса в целом с выяснением
характерного взаимоотношения между классическими и квантовомеханиче-
скими эффектами представлено в его исчерпывающей обзорной статье [14],
опубликованной в 1948 г. Численные таблицы и графические данные о поте-
потерях энергии, а также основные формулы приведены в книге Росси [87],
гл. 2 и в главе, написанной Бете и Эшкином в книге под редакцией Сегре
[92]. В книге Росси содержится также и полуклассическое исследование
потерь энергии и рассеяния, сходное с нашим. В работах Штернхеймера [105]
рассмотрен вопрос о влиянии поляризационных эффектов на потери энергии
ультрарелятивистских частиц и приведены в виде графиков многочисленные
количественные данные для различных веществ.
Корректный вывод выражения для проводимости плазмы дается
в монографии Спитцера [104], гл. 5.
ЗАДАЧИ
13.1. Тяжелая частица с зарядом ге и массой М, движущаяся с нереля-
нерелятивистской скоростью у, соударяется с первоначально покоившимся электро-
электроном с зарядом е и массой т. Показать, используя лишь условие М ^> пг
и приближение нерелятивистского движения, что зависимость энергии,
переданной при кулоновском соударении электрону, от прицельного пара-
параметра Ъ определяется выражением
t гаи*
13.2. а) Приняв в квантовомеханическом выражении для потерь энергии
h{a>)=\2Z эв, 1 вычислить величину потерь (в Мэв/см) в воздухе при нор-
нормальных температуре и давлении, в алюминии, меди и свинце для протона
и fx-мезона с кинетическими энергиями 10, 100 и 1000 Мэв.
508 Гл. 13. Соударения заряженных частиц
б) Выразить полученные потери энергии в единицах Мэв'СМ2/г и срав-
сравнить результаты для различных веществ. Объяснить, почему потери энергии,,
выраженные в Мэв-см2/г, отличаются друг от друга не более чем вдвое,,
тогда как в единицах Мэв/см они существенно различаются.
13.3. Рассмотреть потери энергии для быстрой, но нерелятивистской
тяжелой частицы с зарядом ze, проходящей через электронную плазму,
описывая экранированное кулоновское взаимодействие между электронами
и налетающей частицей выражением A0.113).
а) Показать, что передача энергии при соударениях с прицельным пара-
параметром Ь определяется приближенной формулой
где т — масса электрона, v — скорость налетающей частицы, kD — де-
баевский радиус, определяемый согласно A0.112).
б) Определить потери на единице пути для соударений с прицельными
параметрами, большими Ьмин. Считая &оЬмин<С *» записать полученный
результат, используя как классическое, так и квантовомеханическое зна-
значения 6МИН.
13.4. При допущениях, использованных при исследовании многократ-
многократного рассеяния, показать, что величина проекции у поперечного смещения
налетающей частицы (см. фиг. 13.7) подчиняется гауссовскому распределению
где средний квадрат проекции смещения {у2) = (х2/6) (в2), х— толщина
пройденного слоя вещества, (в2) — средний квадрат угла рассеяния.
13.5. Если при нахождении «хвоста» углового распределения много-
многократного рассеяния, определяемого «однократным рассеянием», учесть конеч-
конечные размеры ядер, то, начиная с некоторой критической толщины хс, «хвост»
исчезает.
а) Определить величину хс и вычислить ее значение (в см) для алюминия
и свинца, считая налетающую частицу релятивистской.
б) Для полученных значений толщин вычислить число происходящих
соударений и определить, применимо ли гауссово приближение.
Глава 14
ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ
Как известно, заряды, движущиеся с ускорением, излучают
электромагнитные волны. В гл. 9 уже были рассмотрены примеры
излучения электромагнитных волн при изменении во времени макро-
макроскопических распределений плотности зарядов и токов, которые, по
существу, представляют собой движущиеся заряды. Мы еще раз
вернемся к этой задаче в гл. 16, где будет дано систематическое
изложение теории излучения мультиполей. Представляет, однако,
интерес исследование электромагнитного излучения, источником
которого является движущийся точечный заряд или несколько таких
зарядов. Для этих случаев полезно разработать методы расчета,
позволяющие связать интенсивность и поляризацию излучения
непосредственно с характеристиками движения и траектории за-
заряда. В частности, представляет интерес определение полных потерь
на излучение, углового распределения излучения и его частотного
спектра. При нерелятивистском движении излучение описывается
известной формулой Лармора (см. §2). Однако для релятивистских
частиц появляется целый ряд необычных и интересных эффектов,
которым мы и будем уделять основное внимание. В настоящей
главе мы получим ряд общих результатов, которые будут затем
применены к рассмотрению конкретных примеров излучения заря-
зарядов, совершающих заданное движение, в частности во внешних
силовых полях. Следующая глава будет посвящена исследованию
излучения при атомных или ядерных соударениях.
§ 1. Потенциалы Лиенара — Вихерта
и поле точечного заряда
Как было показано в гл. 6, скалярный и векторный потенциалы
ограниченного распределения зарядов и токов в свободном про-
пространстве могут быть представлены в виде
i)t\ A4.1)
510 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
где R = (х — х'), а наличие б-функции обеспечивает запаздываю-
запаздывающие свойства потенциалов в соответствии с условием причинности.
Точечному заряду е, находящемуся в точке с радиусом-вектором
г (t) и движущемуся со скоростью ф (t), соответствует распреде-
распределение плотности тока
^(х, t) = ec№[x-r(t)}, A4.2)
где (Jpt = (P, i). Для такого распределения плотности источников
интегрирование по объему в A4.1) проводится сразу и дает
*', A4.3)
где теперь R (f) = | х — г (f) |. Хотя уже выражение A4.3)
достаточно удобно для расчета полей, можно провести интегриро-
интегрирование и по dt\ если учесть приведенное в гл. 1, § 2, правило инте-
интегрирования выражений с б-функцией, аргумент которой является
функцией переменной интегрирования:
^]:c)=a. A4.4)
Производная функции / (f) == V + [R (t')lc] равна
^-Sx=l+i-g=l-n.p, A4.5)
где с$ — мгновенная скорость частицы, а п = RAR — единичный
вектор, направленный из точки нахождения заряда в точку наблю-
наблюдения. Подставляя A4.5) в A4.4) и A4.3), получаем потенциалы
точечного заряда, называемые потенциалами Лиенара—Вихерта:
Ф(х, t) = e Г-^-1
А(х, t)=e Гt]
Квадратные скобки с индексом «запазд» означают, что величины
в скобках следует брать в момент времени V = t— [R (t')lc].
Заметим, что для нерелятивистского движения х ->-1. При этом
выражения для потенциалов A4.6) переходят в обычные извест-
известные нерелятивистские формулы.
Для определения векторов поля Е и В по потенциалам А^
можно применить соответствующие дифференциальные операторы
непосредственно к A4.6). Однако проще исходить из выражения
§ 1. Потенциалы Лиенара — Вихерта и поле точечного заряда 511
A4.3). Заметим, что в A4.3) координаты точки наблюдения х вхо-
входят лишь в величину R. Следовательно, операцию градиента можно
заменить следующим образом:
-^=n-^-. A4.7)
Поэтому электрическое и магнитное поля можно представить в виде
A4.8)
Штрихи у б-функции означают дифференцирование по ее аргументу.
Переходя к переменной / (?) = ? + R(?)lc и интегрируя по
Фиг. 14.1.
частям слагаемые с производной б-функции, легко получаем
* ' ' L х^2 сх dt' \ xR J J запаэд
Id /ВХП \П (И-9)
В (х t) = в — 1 г ( —:— )
Удобно сначала выполнить дифференцирование единичного
вектора п. Как видно из фиг. 14. i, скорость изменения п во вре-
времени равна взятому с обратным знаком отношению нормальной
составляющей v к R
dn _ п X (п X Р) /i4 iQ4
cdV ~~ R \ • >
512 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
Выполняя дифференцирование вектора п всюду, где он явно вхо-
входит в выражения A4.9), получаем
J J
запазд
J запазд
A4.11)
Из найденных соотношений видно, что магнитное поле связано
с напряженностью электрического поля простым соотношением
В = пхЕ, A4.12)
где обе части равенства берутся с учетом запаздывания. Оставшиеся
в выражениях A4.11) производные можно записать следующим
образом:
d
Id 2 R • A4.13)
Окончательно электрическое поле представляется в виде
A4.14)
а магнитное поле определяется по A4.12). Выражения для векто-
векторов поля A4.14) и A4.12), естественно, распадаются на две части:
первая часть («скоростная») зависит лишь от скорости и не зависит
от ускорения; вторая часть («ускорительная») линейно зависит от р.
Первая часть имеет фактически статический характер, убывая
с расстоянием как R, тогда как поле, зависящее от ускорения,
является типичным поперечным полем излучения, для которого
Е и В перпендикулярны радиусу-вектору и изменяются как R~*.
Для равномерно движущейся частицы зависящее от скорости
поле должно, конечно, совпадать с электромагнитным полем, полу-
полученным в гл. 11, § 10, из статического кулоновского поля заряда
с помощью преобразований Лоренца. Так, например, для попереч-
поперечной составляющей электрического поля Е^ в точке, расположен-
расположенной на расстоянии Ъ от прямолинейной траектории заряда, было
найдено выражение
Ei (t) = eyb з/ - A4.15)
§ 1. Потенциалы Лиенара — Вихерта и поле точечного заряда 513
При этом начало отсчета времени выбрано так, что в момент t = О
заряд находится на кратчайшем расстоянии от точки наблюдения.
Выражение для составляющей поля E^t) A4.15) внешне сильно
отличается от «скоростной» составляющей поля A4.14). Это ка-
кажущееся различие обусловлено тем, что в A4.15) поле выражено
Фиг. 14.2. Положение равномерно движущегося заряда в данный момент
и запаздывающий момент времени.
в функции положения заряда в данный момент, а не в запазды-
запаздывающий момент времени. Чтобы показать эквивалентность обоих
выражений, рассмотрим фиг/ 14.2. Здесь О — точка наблюдения,
Р — точка, в которой находится заряд в данный момент t и Р' —
точка, где он находится в соответствующий запаздывающий момент.
Расстояние P'Q равно pi? cos 9 = (nf$) R, следовательно, отрезок OQ
равен kR. Из треугольников OPQ и PP'Q находим
(х#)а = г2 — (PQJ = г2 — Р2 (R sin 9J.
Из треугольника ОМР' видно, что /? sin 0 = 6 и, следовательно,
/х m2 = b2 + v2t2 — p2fe2 = \ {b2 + y2v2t2). A4.16)
Поперечная составляющая поля, зависящего только от скорости,
согласно A4.14), равна
A4.17)
! аяпазд
Подставляя в это соотношение значение A4.16) для kR', выраженное
через положение заряда в данный момент, мы убеждаемся, что A4.17)
и A4.15) эквивалентны. Выражения для остальных составляющих
полей Е и В выводятся аналогично.
514
Гл. 14, Излучение движущихся зарядов
§ 2. Полная мощность,
излучаемая ускоренно движущимся зарядом.
Формула Лармора и ее релятивистское обобщение
Если заряд, движущийся ускоренно, наблюдать в системе
отсчета, в которой его скорость можно считать малой по срав-
Фиг. 14.3.
нению со скоростью света, то в этой системе отсчета слагаемое
поля A4.14), зависящее от ускорения, принимает вид
EB = i-fnX(gxP)l . A4.18)
С L a J запазд
Мгновенный поток энергии определяется вектором Пойнтинга
S = ^-Ex B = -^|Ea|2n. A4.19)
Отсюда следует, что мощность, излучаемая в единицу телесного
угла, равна г)
dP с ™ ,о е*
dQ
Апс
пх (пхр)|2.
A4.20)
Обозначая через в угол между ускорением v и п (фиг. 14.3), можно
переписать выражение для излучаемой мощности в виде
dP
A4.21)
Мы получили известную характерную угловую зависимость sin2 в.
Из выражения A4.18) следует, что излучение поляризовано в пло-
х) В выражениях для углового распределения излучения мы будем всегда
в явном виде указывать поляризацию, помещая под знаком модуля вектор,
параллельный электрическому полю.
§ 2. Полная мощность, излучаемая движущимся зарядом 515
скости векторов v и п. Полная мгновенная мощность излучения
определяется интегрированием выражения A4.21) по всем телесным
углам:
Р = 1^- A4.22).
Это известная формула Лармора для нерелятивистского заряда,
движущегося с ускорением.
Используя ковариантность относительно преобразований Лорен-
Лоренца, можно обобщить формулу Лармора A4.22) на случай произ-
произвольной скорости заряда. Энергия электромагнитного излучения
ведет себя по отношению к преобразованию Лоренца как четвертая
составляющая 4-вектора (см. задачу 11.13). Так как с1ЕИЗЛ = Р dt,
то мощность Р инвариантна относительно преобразований Лоренца.
Если удастся найти инвариантное относительно преобразований
Лоренца выражение, переходящее в формулу Лармора A4.22), при
Р < 1, то это и будет желаемое обобщение формулы Лармора. Разу-
Разумеется, существует много лоренц-инвариантных величин, сводя-
сводящихся к требуемому виду при р ->0. Однако, как очевидно из
A4.14), искомое выражение должно зависеть лишь от р и {$. При
этом ограничении, накладываемом на порядок производных, кото-
которые могут входить в соотношение, результат определяется един-
единственным образом. Для нахождения требуемого обобщения перепи-
перепишем формулу Лармора в виде
dt
где т — масса заряженной частицы, ар — его импульс. Лоренц-
инвариантное обобщение этого соотношения очевидно:
^^ A4.24)
dx dx
где dx = dt/y — приращение собственного времени, а р^ озна-
означает 4-вектор импульса-энергии заряженной частицы1). Чтобы
убедиться, что выражение A4.24) переходит при р ->0 в A4.23),
вычислим скалярное произведение 4-векторов:
*pv 1 ^у_л*у_р^у. A425)
dx \ dx J с2 V dx
х) В единственности представления A4.24) можно убедиться следующим
образом. Как известно, лоренц-инвариантная величина образуется в резуль-
результате скалярного умножения 4-векторов или тензоров более высокого ранга.
В нашем распоряжении имеются лишь 4-векторы р^ и dp^/dx. При этом толь-
только выражение A4.24) переходит при Р -> 0 в формулу Лармора. Можно по-
показать, что тензоры более высокого порядка, например р^ (dpv/dx), дают
либо нуль, либо выражения, пропорциональные A4.24) или т2.
516 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
Выражая в A4.24) все величины через скорость и ускорение с по-
помощью соотношений Е = уте2, р = y/nv, получаем результат
Лиенара A898 г.)
Р = 14^6[Р2--(РхРJЬ О4-26)
Релятивистское выражение для мощности излучения исполь-
используется, в частности, при расчете ускорителей заряженных частиц.
Потери на излучение в ряде случаев являются определяющим фак-
фактором, ограничивающим практически достижимую энергию в уско-
ускорителе. При заданной внешней силе (т. е. данной скорости изме-
изменения импульса) мощность излучения A4.24) обратно пропорцио-
пропорциональна квадрату массы ускоряемой частицы. Следовательно, влия-
влияние этих радиационных эффектов должно быть наибольшим для
электронов. Поэтому мы ограничимся в дальнейшем лишь рас-
рассмотрением излучения электронов.
В линейном ускорителе движение одномерно. Как следует
из A4.25), в этом случае мощность излучения определяется соот-
соотношением
3 тЧ* \dt
Скорость изменения импульса равна изменению энергии частицы
на единице пути. Следовательно,
(^'. A4.S8)
так что при прямолинейном движении мощность излучения зави-
зависит лишь от внешних сил, определяющих величину изменения
энергии частицы с расстоянием, и не зависит от самой энергии или
импульса частицы. Для отношения мощности излучения к мощ-
мощности, поступающей от внешних источников, получим
P __ 2 e2 J_ dE^ 2 (e2/mc2) d? M 4 2<tt
где последнее выражение справедливо для релятивистских частиц
(Р -> 1). Как следует из A4.29), потери на излучение несуществен-
несущественны, если прирост энергии на расстоянии е2/тс2= 2,82-10~13 слс
не превышает тс2= 0,511 Мзв, т. е. прирост менее 2-Ю14 Мэв/м\
Обычно приращение энергии в линейном ускорителе меньше или
порядка 10 Мэв/м. Таким образом, потери на излучение в линей-
линейных ускорителях пренебрежимо малы.
Положение коренным образом меняется для циклических уско-
ускорителей типа синхротрона или бетатрона. В таких установках
при движении частицы по орбите направление импульса р быстро
§ 2. Полная мощность, излучаемая движущимся зарядом 517
изменяется, а изменение энергии за оборот мало. Это означает, что
dp
dx
В этом случае мощность излучения можно приближенно пред-
представить в виде
где использовано соотношение со = ф/g, a q — радиус орбиты.
Для потерь энергии на излучение за один оборот имеем
^=^.-^PV. A4.32)
Для электронов большой энергии (Р « 1) численное значение
потерь можно определить по формуле
ЬЕ(Мэв) = 8,85-Ю-2 [Е{Гэв)]* . A4.33)
Q \м)
Для типичного синхротрона на небольшую энергию q ж 1 лс,
?макс ~ 0,3 Гэв. Следовательно, 6Емакс ~ 1 /сэв на оборот. Это —
величина небольшая, но не пренебрежимо малая по сравнению
с приростом энергии на оборот, составляющим обычно несколько
килоэлектрон-вольт. Для самых больших электронных синхро-
синхротронов, где максимальная энергия имеет величину порядка 5 Гэв,
радиус орбиты составляет примерно 10 м. При этом потери на излу-
излучение оказываются — 5,5 Мэв на оборот. Так как практически
очень трудно получить высокочастотную мощность, обеспечиваю-
обеспечивающую такой прирост энергии на обороте, который был бы много
больше этой величины, то значение 5—10 Гэв представляет верх-
верхний предел достижимых энергий в циклических электронных
ускорителях.
Для расчета мощности излучения в циклических ускорителях
удобна формула
P(em)^^^-^J(a), A4.34)
где J — ток пучка. Она справедлива в том случае, когда излучение
различных электронов циркулирующего пучка некогерентно.
В крупнейших электронных синхротронах мощность излучения
достигает 0,1 em на 1 мка тока пучка. Хотя эта излучаемая мощ-
мощность и очень мала, излучение может быть легко обнаружено и обла-
обладает рядом интересных особенностей, которые мы рассмотрим в § 6.
518 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
§ 3. Угловое распределение излучения
ускоряемого заряда
При нерелятивистском движении ускоряемого заряда угловое
распределение мощности излучения описывается простой зави-
зависимостью sin2в [см. A4.21)], где угол в отсчитывается от направ-
направления ускорения. При релятивистском движении поле излучения
ускоряемого заряда зависит не только от ускорения, но и от ско-
скорости, так что угловое распределение излучения носит более слож-
сложный характер. Исходя из A4.14), найдем радиальную составляю-
составляющую вектора Пойнтинга
[^] A4.35)
Очевидно, что существует два типа релятивистских эффектов.
Один эффект определяется взаимным пространственным располо-
расположением векторов Р и р. Кроме того, имеется общий релятивистский
эффект, связанный с переходом от системы координат, относительно
которой частица покоится, к лабораторной системе отсчета и про-
проявляющийся в появлении в знаменателе выражения A4.35) степе-
степеней множителя х, определяемого соотношением A4.5). Для ультра-
ультрарелятивистских частиц угловое распределение излучения опреде-
определяется в основном последним эффектом.
Произведение Sn в формуле A4.35) дает поток энергии за еди-
единицу времени через единичную площадку, обусловленный излу-
излучением заряда в момент t'= t — R (t')/c и регистрируемый в точке
наблюдения в момент t. Для определения энергии, излученной
за конечный период ускорения, скажем от t'= Tt до t'= T2, сле-
следует выполнить интегрирование
*=Т2+[й(Т2)/с] *'=Т2
$ \ (S.n)^-df. A4.36)
Таким образом, желательно знать величину (S-n)(dt/dtf), имею-
имеющую смысл мощности, излучаемой через единичную поверхность
за единицу собственного времени заряда. Мощность, излучаемая
в единицу телесного угла, определяется соотношением
^P = ^2(S-n)^f =xR*S.n. A4.37)
Пусть заряд ускоряется лишь в течение короткого интервала
времени, причем за это время р и р не изменяются существенно
по направлению и величине; кроме того, пусть точка наблюдения
настолько удалена от заряда, что пи/? меняются пренебрежимо
мало за время ускорения. При этих условиях величина A4.37)
§ 3. Угловое распределение излучения заряда\
519
будет пропорциональной угловому распределению излучаемой
энергии. Учитывая выражение A4.35) для вектора Пойнтинга,
находим угловое распределение излучения
dP(t')
lnx{(n-P)x|hl2
dQ " Аш A-п-РM • U^aej
Проиллюстрируем соотношение A4.38) на простейшем примере
прямолинейного движения, для которого Р и р параллельны.
Фиг. 14.4. Распределение излучения заряда, испытывающего ускорение
в направлении движения.
Диаграммы излучения для обеих скоростей изображены в различном масштабе: диаг-
диаграмма для релятивистского движения (соответствующая у ~ 2) уменьшена прибли-
приблизительно в 10* раз при том же значении ускорения.
Если ввести угол наблюдения 9, отсчитываемый от направления р
и р, то A4.38) преобразуется к виду
dP(t')_eW
sin«e
При
О
dQ ~~ 4лсЗ (i_pCos9M ' A4.39)
< 1 это соотношение сводится к формуле Лармора A4.21).
р р
Однако по мере приближения р к единице диаграмма углового
распределения излучения все более и более вытягивается в направ-
направлении движения электрона, причем интенсивность излучения
возрастает, как схематически показано на фиг. 14.4. Угол, для
которого интенсивность излучения максимальна, равен
>^r, A4.40)
где последнее соотношение справедливо в пределе р -> 1. В этом
предельном случае интенсивность в максимуме пропорциональ-
пропорциональна у8. Уже при р = 0,5, что соответствует кинетической энергии
электронов порядка 80 кэв, имеем 9макс = 38,2°. Для релятивист-
релятивистских частиц угол 9макс очень мал: порядка отношения энергии
покоя частицы к ее полной энергии. Таким образом, все излучение
520
Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
сосредоточено в очень узком конусе вокруг направления движения.
Для таких малых углов угловое распределение излучения A4.39)
можно описать приближенной формулой:
dP(t') _ 8
8
(убJ
.- ~ A+Y262M ' A4.41)
Величина у1, очевидно, может служить естественной единицей
измерения угла. На фиг. 14.5 изображено угловое распределение
излучения, причем угол выражен в этих единицах. Максимум
распределения расположен при ув = 1/2, а уровень половинной
-7,0
ув-
Фиг. 14.5. Угловое распределение излучения для релятивистской частицы.
мощности соответствует ув = 0,23 и yQ = 0,91. Среднеквадратич-
Среднеквадратичное значение угла, под которым испускается излучение, в реля-
релятивистском предельном случае описывается соотношением
A4.42)
~ У " Е '
Такая картина распределения излучения для релятивистского
случая типична независимо от взаимного расположения Р и р.
Полную мощность излучения можно получить, проведя интегри-
интегрирование выражения A4.39) по всем углам. Это приводит к соот-
соотношению
р (/') = |. ?l v2yQ A4.43)
в согласии с A4.26) и A4.27).
В качестве другого примера рассмотрим угловое распределение
излучения при мгновенном движении заряда по окружности, когда
ускорение р перпендикулярно скорости заряда р. Выберем систему
координат так, чтобы направление мгновенной скорости р совпа-
совпадало с осью z, а ускорение р было направлено вдоль х. Определяя
направление наблюдения обычными сферическими угловыми коор-
§ 3. Угловое распределение излучения заряда
521
динатами 9, ср, как показано на фиг. 14.6, преобразуем общую фор-
формулу A4.38) к виду
dP(t')_e2v2
L
1—-
sin26cos2(p
fa(l — P COS бJ
] . A4.44)
Заметим, что, хотя детали углового распределения излучения
отличаются от распределения при прямолинейном ускоренном
движении, в данном случае тоже имеется характерная релятиви-
релятивистская концентрация излучения в направлении движения. В пре-
предельном релятивистском случае (у > 1) угловое распределение
излучения представляется приближенным выражением
dP(f)
2
я
ф1
2 J '
В этом приближении среднеквадратичное значение угла, под кото-
которым испускается излучение, определяется той же формулой A4.42),
что и при одномерном движении. Полную мощность излучения
можно найти или интегрированием A4.44) по всем углам, или
из A4.26)
Р(*') = -I ^ Y4- A4.46)
Интересно сравнить мощность излучения в случае, когда уско-
ускорение параллельно скорости [см. A4.43) или A4.27)], с мощностью
излучения при ускорении, нормальном скорости [см. A4.46)],
при одинаковой величине приложенной силы. При движении по ок-
522 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
ружности скорость изменения импульса (равная приложенной силе)
равна ушу. Поэтому A4.46) можно переписать в виде
. A4-47)
Сравнивая это выражение с соответствующим выражением A4.27)
для прямолинейного движения, находим, что при заданной величи-
величине приложенной силы излучение при поперечном ускорении
в у2 раз превышает излучение для случая продольного ускорения.
§ 4. Излучение заряда при произвольном
ультра релятивистском движении
В каждый момент времени излучение заряженной частицы,
совершающей произвольное ультрарелятивистское движение, мож-
можно рассматривать как когерентную суперпозицию излучений,
обусловленных составляющими ускорения, параллельной и пер-
перпендикулярной скорости. Как только что было показано, при
одинаковом порядке величины продольной и поперечной сил излу-
излучение, обусловленное продольной составляющей, пренебрежимо
мало (порядка 1 /у2) по сравнению с излучением, обусловленным
поперечной составляющей. Следовательно, можно пренебречь парал-
параллельной составляющей ускорения и приближенно считать, что
интенсивность излучения полностью определяется лишь его попе-
поперечной составляющей. Другими словами, излучение заряженной
частицы при произвольном ультрарелятивистском движении в каж-
каждый момент времени приближенно совпадает с излучением заряда,
движущегося по дуге окружности с мгновенным радиусом кривиз-
кривизны Q, определяемым формулой
„ = .*-<*¦?¦, A4.48)
где ^ — поперечная составляющая ускорения. Угловое распреде-
распределение излучения определяется при этом соотношениями A4.44)
или A4.45). Оно представляет собой узкий иглообразный конус,
направленный вдоль вектора мгновенной скорости заряда.
Концентрация излучения в узком луче, параллельном направле-
направлению скорости, весьма важна при наблюдениях со спектрально
чувствительным детектором. Излучение наблюдается лишь в том
случае, когда вектор скорости частицы направлен на наблюдателя.
При произвольном движении частицы наблюдатель зарегистрирует
весьма кратковременный импульс или вспышку излучения (или
последовательность таких вспышек, если движение частицы перио-
§ 4. Излучение заряда при ультрарелятивистском движении
523
дическое), как показано на фиг. 14.7. Так как угловая ширина
луча есть величина порядка у1, то частица будет освещать наблю-
наблюдателя в течение интервала времени (собственного времени частицы)
А*'.
су
где q — радиус кривизны A4.48). Для наблюдателя это соответ-
соответствует интервалу
где (dt/dt'} = <х> ~ (l/?2). Следовательно, длительность вспыш-
вспышки излучения, регистрируемой детектором, равна
-1~
Y3 с
A4.49)
Согласно общим свойствам интеграла Фурье (см. гл. 7, § 3), в им-
импульсе такой длительности заметно представлены спектральные
t—+- со—*•
Фиг. 14.7. Временные и частотные характеристики излучения движущейся
частицы.
Излучение частицы попадает на детектор О в течение времени А/. Поэтому в спектре
излучения представлены частоты до максимальной частоты ©с ~ (АО-
компоненты вплоть до критической частоты сос, которая по порядку
величины определяется соотношением
1 ^ с V-* A4.50)
Q } У
Для движения частицы по окружности величина c/q равна
угловой частоте вращения со0; при произвольном движении она
также играет роль характерной частоты движения. Как следует
524 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
из A4.50), при Е > тс2 релятивистская частица излучает широкий
спектр частот вплоть до частоты, в у3 раз превышающей основную
частоту. В синхротроне на 200 Мэв величина 7макс составляет око-
около 400. Следовательно, сос имеет порядок 6-107со0. Так как в этом
случае частота обращения со0~ 3- 10s гц, то спектр излучаемых
частот простирается приблизительно до 2-1016 гц, что соответствует
длине волны 1000 Л. Следовательно, хотя основная частота лежит
в области 100 Мгц, спектр излучаемых частот заходит в видимую
область. В § 6 будет подробно рассмотрен характер углового рас-
распределения излучения для различных спектральных компонент
и найдена зависимость полной энергии излучения от частоты.
§ 5. Спектральное и угловое распределения
энергии, излучаемой ускоренными зарядами
В §4 с помощью качественной оценки было показано, что энер-
энергия, излучаемая зарядом, движущимся с редятивистской скоро-
скоростью, распределена по широкому диапазону частот. Ширина частот-
частотного спектра была оценена на основании свойств интегралов Фурье.
Для точного количественного расчета воспользуемся теоремой
Парсеваля из теории интегралов Фурье.
Соотношение для мощности излучения в единицу телесного
угла имеет общий вид
где
(^I/2 A4-52)
а Е — напряженность электрического поля A4.14). В A4.51)
в отличие от § 3 мгновенная мощность рассматривается в зависи-
зависимости от времени в лабораторной системе отсчета, так как жела-
желательно знать частотный спектр с точки зрения наблюдателя. Для
определенности будем считать, что ускорение отлично от нуля
в течение некоторого конечного интервала времени или по крайней
мере убывает для отдаленных прошлых и будущих моментов, так
что полная излученная энергия конечна. Предположим также,
что точка наблюдения настолько удалена от заряда, что область,
проходимая зарядом, в течение интервала, когда он ускоряется,
видна из нее под малым телесным углом.
Полная энергия, излученная в единицу телесного угла, опреде-
определяется интегрированием A4.51) по времени
оо
% = \ \k(t)\*dt. A4.53)
§ 5. Спектральное и угловое распределения энергии 525
С помощью преобразования Фурье можно выразить этот результат
в виде интеграла по частотам. Введем фурье-амплитуду А(со)
функции A (t)
со
A((d) = -?L= \ \(г)еш(И A4.54)
—оо
и обратное преобразование
оо
А(О = -Д=- \ А((о)е~шс1(о. A4.55)
—оо
Тогда формулу A4.53) можно переписать в виде
оо со со
^ \ dt \ da> \ du>'A*((o')-A(co)ei('o'-'o>'. A4.56)
— СО —СО
Изменим порядок интегрирования по времени и по частоте. Легко
убедиться, что интеграл по времени является фурье-представ-
лением 6-функции 6 (со'— со). Поэтому выражение для энергии,
излучаемой в единицу телесного угла, может быть преобразовано
к виду
оо
^ \ со. A4.57)
Равенство выражений A4.57) и A4.53), справедливое при выполне-
выполнении некоторых общих математических ограничений, накладывае-
накладываемых на функцию A (f), представляет собой частный случай теоремы
Парсеваля. Так как знак частоты не имеет физического смысла,
обычно проводят интегрирование лишь по положительным часто-
частотам. При этом соотношение
«?U. C4.58,
о
определяет величину dI(to)/dQ, равную энергии, излучаемой в еди-
единицу телесного угла в единичном интервале частот:
^i A4.59)
Если величина A (t) действительная, то, согласно (Н.55), А (—со) =
= А*(со), так что
^р A4.60)
526 Г л, 14. Излучение движущихся зарядов
Полученное соотношение устанавливает количественную связь
между изменением излучаемой энергии во времени и ее частотным
спектром.
Фиг. 14.8.
Воспользовавшись формулой A4.14) для электрического поля
ускоренного заряда, можно получить общее выражение для энер-
энергии, излученной в единицу телесного угла в единичном интервале
частот, в виде интеграла вдоль траектории частицы. Для этого
нужно найти фурье-амплитуду A4.54) функции А@> определяе-
определяемой выражением A4.52). Согласно A4.14),
dt, A4.61)
где индекс у скобок означает, что величина вычисляется для момен-
момента t = V -f- R(t')/c. Заменяя переменную t на t\ получаем
с]}пх'(п-Р>хру. A4-62)
Поскольку предполагается, что точка наблюдения достаточно уда-
удалена от области пространства, в которой ускоренно движется
частица, единичный вектор п можно считать постоянным во вре-
времени. Кроме того, R (f) можно приближенно представить в виде
(П. A4.63)
где х — расстояние точки наблюдения Р от начала отсчета О,
а г (V) определяет положение частицы относительно О, как пока-
показано на фиг. 14.8. При этом выражение A4.62) с точностью до обще-
общего фазового множителя принимает вид
хК"-^Р1^, (i4.64).
§ 5. Спектральное и угловое распределения энергии 527
Здесь для сокращения записи опущены штрихи у переменной
интегрирования. Соответствующее выражение для энергии A4.60),
излучаемой в единичном интервале частот в единицу телесного
угла, имеет вид
оо •
_О г% „„г/ Л \ v . Г> 1 О
A4.65)
" ei(u{*-Cn'r(*)/c]> dt
При заданном законе движения известна зависимость г (t) и могут
быть найдены Р (t) и Р (t)> а следовательно, интеграл может быть
вычислен как функция от со и направления п. При рассмотрении
ускоренного движения группы заряженных частиц выражение
A4.65) для амплитуды поля одного заряда следует заменить коге-
когерентной суммой амплитуд Ау(со) каждого из зарядов группы (см.
задачи 14.11, 15.2 и 15.3).
Выражение A4.65) обладает тем преимуществом, что инте-
интегрирование в нем совершается лишь по интервалу времени, на кото-
котором ускорение отлично от нуля, однако в ряде случаев можно
получить более простое выражение для спектральной интенсив-
интенсивности излучения, выполняя в A4.64) интегрирование по частям.
Как легко показать, векторная часть, т. е. множитель при экспо-
экспоненте в подынтегральном выражении в A4.64), представляет собой
полный дифференциал
nx(nxft)
^ d Г nx(nxft) И П4 661
dt L к J '
Поэтому интегрирование по частям приводит к следующему выра-
выражению для спектральной интенсивности:
с»
dl (со) _ e2(D2 f „ ч/ /« \/ ft\ ЛЫ*-Гп.г«)/с1> Ai 2 A4.67)
Следует заметить, что в A4.67) и A4.65) поляризация излучения
определяется направлением векторного интеграла. Для определения
интенсивности излучения с некоторой заданной поляризацией сле-
следует, прежде чем вычислять квадрат модуля, найти скалярное
произведение интеграла на соответствующий единичный вектор
поляризации.
Если ускоренное движение совершается группой зарядов ejf
в подынтегральном выражении в A4.67) следует произвести замену
r(*)-^ ^ е&е-ч"/с)п'гР\ A4.68)
7=1
528
Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
В предельном случае непрерывного распределения движущихся
зарядов сумма по / переходит в интеграл по распределению токов
J (х, t):
! С -*«»/с>п-х. A4.69)
! С d3xJ(x,
При этом распределение интенсивности излучения определяется
выражением
dl (со)
со2
\ dt [ d3xn x [n x J (xf 01
# A4.70)
Последнее соотношение может быть получено непосредственно
решением неоднородного волнового уравнения для векторного
потенциала A4.1).
Представляет интерес излучение движущегося магнитного момен-
момента. Найти его легче всего, воспользовавшись установленной в гл. 5
эквивалентностью ротора вектора намагниченности JH (х, t) и тока
Зм = с rot Л.
Подставляя последнее соотношение в A4.70), получаем
| l
A4.71)
. A4.72)
Если система представляет собой точечный магнитный момент
jm(f), находящийся в точке r(f), то
Jl(x, t) = ii(t)d[x-r{t)] A4.73)
и энергия, излученная в единичном интервале частот в единицу
телесного угла, равна
(со)
со4
dtn х ii (t) e*©[*-n. г<*)/с]
A4.74)
Отвлекаясь от частотной зависимости самих интегралов, заме-
заметим, что характерным отличием интенсивности излучения магнит-
магнитного диполя от интенсивности излучения ускоренного заряда яв-
является дополнительный множитель со2.
Выведенные в данном параграфе общие формулы, и в особенно-
особенности A4.65) и A4.67), будут использованы далее в этой и в последую-
последующих главах при исследовании различных проблем, связанных
с излучением. Выражение A4.74) для излучения магнитного момен-
момента будет применено в гл. 15 при расчете излучения, испускаемого
при захвате орбитальных электронов ядром.
6. Спектр излучения релятивистской заряженной частицы
529
§ 6. Спектр излучения релятивистской
заряженной частицы при мгновенном движении
по окружности
Как было показано в § 4, ультрарелятивистская частица при
произвольном ускоренном движении излучает так же, как заряд,
движущийся с постоянной скоростью по окружности с радиусом,
равным мгновенному радиусу кривизны. Излучение сконцентриро-
сконцентрировано в узком конусе, ось которого направлена вдоль вектора
z
Фиг. 14.9.
скорости и регистрируется наблюдателем как короткий импульс
излучения, возникающий при прохождении иглообразного луча
через точку наблюдения.
Для определения частотного и углового распределения энергии
необходимо вычислить интеграл в A4.67). Так как длительность
импульса излучения At'~ q/cy очень мала, необходимо знать
скорость Р и положение г(^) частицы лишь на малой дуге траекто-
траектории, на которой касательная направлена приблизительно в точку
наблюдения. На фиг. 14.9 изображена принятая система отсчета.
Отрезок траектории и мгновенный радиус кривизны q лежат в пло-
плоскости ху. Так как интеграл берется вдоль траектории, можно без
потери общности рассмотрения считать, что единичный вектор п
расположен в плоскости xz и образует угол Э с осью х. Интенсив-
Интенсивность излучение имеет заметную величину лишь для очень малых 9.
Начало отсчета времени выбрано так, чтобы при t = 0 частица
находилась в начале координат.
Векторный множитель подынтегрального выражения в A4.67)
можно записать в виде
cos
nx(nxP)= p[-e,,sin (^
-^) sine] , A4.75)
530 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
где ец = е2—единичный вектор в направлении оси у, соответ-
соответствующий поляризации в плоскости орбиты, e_L = n x е2— век-
вектор нормальной поляризации, приблизительно соответствующий
поляризации, нормальной плоскости орбиты (для малых Э). Пока-
Показатель экспоненты в подынтегральном выражении равен
A4.76)
Так как мы ограничиваемся лишь малыми углами Э и коротким
интервалом времени вблизи / = 0, можно разложить тригонометри-
тригонометрические функции в A4.76) по малым аргументам. В результате
получим
[^]{(? + е«)* + ?<"]; A4.77)
величина р, где это возможно, заменена единицей. Используя
оценочные соотношения t ~ g/cy и Э ~ (Э2I^ [См. A4.42)], легко
показать, что отношение опущенных в A4.77) членов к оставленным
имеет порядок у~2.
Используя в A4.75) те же приближения, как и при выводе
соотношения A4.77), преобразуем выражение A4.67) для распре-
распределения энергии излучения к виду
A4.78)
где амплитуды определяются соотношениями
A4.79)
*) Может показаться, что значения пределов интегрирования в A4.79)
t = +oo противоречат допущениям, принятым при переходе от A4.76) к
A4.77). Однако для большинства частот фаза экспоненты такова, что подын-
подынтегральное выражение в A4.79) является очень быстро осциллирующей функ-
функцией; поэтому подынтегральное выражение практически будет отлично от
нуля лишь в пределах такого интервала времени, который гораздо меньше,
чем необходимо для справедливости допущений, сделанных при переходе
к соотношению A4.77). Следовательно, верхний и нижний пределы интегри-
интегрирования можно принять равными бесконечности, не совершая при этом сущест-
существенной ошибки. Принятое приближение перестает выполняться лишь при
частотах порядка со ~ (c/q) ~ со0. Но, как было показано в § 4, для реля-
релятивистских частиц практически весь спектр излучения соответствует гораздо-
более высоким частотам.
§ 6. Спектр излучения релятивистской заряженной частицы 531
Произведя замену переменной х = (cHq) [A/у2) + Э2]^ и вводя
параметр
можно преобразовать интегральные представления для А ц (со)
и Л^(ш) к виду
A4.81)
Интегралы A4.81) выражаются через функции Эйри, или модифи-
модифицированные функции Бесселя,
A4.82)
В результате энергия, излученная в единицу телесного угла в еди-
единичном интервале частот, оказывается равной
dQ \ ) V у ) (/Y) +
A4.83)
Первое слагаемое в квадратных скобках соответствует излучению,
поляризованному в плоскости орбиты, второе — излучению, поля-
поляризованному перпендикулярно этой плоскости.
Проанализируем теперь этот довольно сложный результат.
Прежде всего проинтегрируем выражение по всем частотам и найдем
угловое распределение энергии
7 е*
1
J *
Это выражение описывает все характерные свойства излучения,
рассмотренные в § 3. Соотношение A4.84) может быть, конечно,
получено непосредственным интегрированием по времени несколь-
несколько видоизмененного выражения A4.44) для мощности излучения
532 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
при движении по окружности. Так же как и в A4.83), первое сла-
слагаемое в A4.84) соответствует поляризации, параллельной орби-
орбитальной плоскости, а второе — перпендикулярной поляризации.
Проинтегрировав по всем углам, мы найдем, что энергия излучения
с поляризацией, параллельной орбитальной плоскости, в 7 раз
превосходит энергию излучения с перпендикулярной поляриза-
поляризацией. Таким образом, излучение релятивистски движущегося заря-
заряда в основном, хотя и не полностью, поляризовано в плоскости
движения. Для нерелятивистского движения, как очевидно из
A4.65), излучение полностью поляризовано в плоскости движения.
Как следует из свойств модифицированных функций Бесселя
[см. C.103) и C.104)], интенсивность излучения пренебрежимо
мала при ? > 1. Согласно A4.80), это соответствует случаю боль-
больших углов; чем выше частота, тем меньше критический угол, вне
пределов которого интенсивность излучения пренебрежимо мала.
Таким образом, излучение сосредоточено в основном вблизи
плоскости движения, как видно из A4.84), причем область замет-
заметного излучения тем меньше, чем выше отношение частоты к вели-
величине c/q. Однако если частота со становится очень большой, то пара-
параметр I будет, очевидно, большим для всех углов. Следовательно,
на таких частотах полная излученная энергия пренебрежимо мала.
Критическая частота сос, при превышении которой излучение
в любом направлении становится пренебрежимо малым, может
быть определена из условия ? = 1 для 0 = 0. Это приводит к соот-
соотношению
' * ХЧ- A4-85)
Это значение критической частоты, как легко видеть, согласуется
с результатом качественной оценки A4.50) (см. § 4). При движении
заряда по окружности величина c/q равна основной частоте вра-
вращения со0. В этом случае можно определить критическую гармонику
(йс = яссоо, номер которой равен
^K A4.86)
Так как при у > 1 излучение сконцентрировано в основном
в орбитальной плоскости, представляет интерес вычислить интен-
интенсивность излучения A4.83) при 0 = 0. Для частот, гораздо мень-
меньших критической частоты (со < сос), получим
9=0 С [_ 71
В противоположном предельном случае со > сос имеем
~ в у2 ^ р—2со/сос (\Л Qft\
0=0 2Л С ' (Dc v '
§ 6. Спектр излучения релятивистской заряженной частицы 533
Из этих предельных выражений видно, что интенсивность излу-
излучения при 0 = 0 возрастает приблизительно как со2/з при частотах
ниже критической, достигает максимума в окрестности сос и экспо-
экспоненциально спадает до нуля на более высоких частотах.
Угловые размеры области, в которой сосредоточено излучение
на данной фиксированной частоте, можно оценить, вычислив угол
0С, для которого ? (Эс) я^ ? @) -f 1. Для низкочастотной области
(со < сос) величина ? @) очень мала и, таким образом, ? (9С) « 1.
Это условие дает
ес^ (J*-*I'* =-L(з-.у*и A4.89)
Мы видим, что ширина угловой области излучения для низкочастот-
низкочастотных составляющих гораздо больше среднеквадратичного значения
<02I/2—у. В высокочастотном предельном случае (со > сос)
величина ?@) гораздо больше единицы. При этом интенсивность
убывает с увеличением угла приблизительно по закону
dl (со) ^ dl (со) Зсоу202/сос (\А QO\
du ^ du 0=0 * {I*.*")
Критический угол, определяемый спаданием интенсивности в е раз,
оказывается равным
1
Очевидно, что высокочастотные составляющие заключены в угло-
угловой области, размеры которой гораздо меньше средних. На фиг. 14.10
изображен качественный ход кривых углового распределения
интенсивности для различных диапазонов частот.
Спектральное распределение полной энергии, излученной при
пролете частицы, можно определить, проинтегрировав выражение
A4.83) по углам:
7(ш) = 2я Я\ ^-cosGde^2n J ^-dB A4.92)
-Я/2 ~оо
(напомним, что через 6 обозначен угол, дополнительный к широте).
Для низкочастотной области можно получить оценку интеграла,
воспользовавшись угловым распределением A4.87) при Э = 0
и значением A4.89) критического угла 0С. При этом
(со) ~ 2я6с
е2 f coq V/з
9=0 с \ с
A4.93)
Отсюда видно, что интенсивность излучения при со < сос возраста-
возрастает как со1^. Такая зависимость приводит к очень монотонной,
534
Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
плоской форме спектра на частотах ниже сос. В другом предельном
случае высоких частот, когда со > сос, можно проинтегрировать
A4.90) по углам и получить довольно точный результат
A4.94)
Выполняя соответствующее интегрирование по углам общего выра-
выражения A4.83) для распределения излучения, находим
^-y^- J Kt/t(x)dx.
A4.95)
2ю/©с
В пределе со < сос это выражение переходит в A4.93) с числен-
численным коэффициентом 3,25; для со > сюс оно совпадает с A4.94).
(л><О)с
СО«(ОС
О
ув
Фиг. 14.10. Угловое распределение интенсивности излучения при разных
частотах.
При частотах, сравнимых с критической частотой сое, излучение сосредоточено в уг-
угловой области порядка Y- Для много меньших частот размеры угловой области
больше, а для больших частот, наоборот, меньше.
Зависимость / (со) от частоты показана на фиг. 14.11. Максималь-
Максимальная интенсивность по порядку величины равна е2у/с, а полная
излученная энергия имеет порядок е2усос/с = 3e2y4/Q. Последняя
величина согласуется со значением 4яе2у4/3д для радиационных
потерь за оборот в циклических ускорителях [см. A4.32)].
Излучение, описываемое соотношениями A4.83) и A4.95), назы-
называют синхротронным излучением, так как впервые оно наблюдалось
в электронных синхротронах A948 г.). Соответствующие теорети-
теоретические расчеты для движения по окружности, однако, гораздо
§ 6. Спектр излучения релятивистской заряженной частицы 535
раньше выполнил Шотт A912 г.). При периодическом движении
по окружности спектр излучения в действительности дискретен
и состоит из набора частот, кратных основной частоте соо= c/q.
Так как заряженная частица периодически повторяет свое движе-
движение с частотой с/2щ оборотов в секунду, более удобно говорить
об угловом распределении мощности излучения на n-й гармонике,
0,1
U)/(VC
1,0
Фиг. 14.11. Зависимость интенсивности синхротронного излучения
от частоты.
Интенсивность отнесена к уе2/с, а частота — к и>с [см. A4.85)].
а не об энергии излучения в единичном интервале частот при про-
пролете частицы. Чтобы получить выражение для потери мощности
на гармонике, следует лишь умножить величину / (со), определяе-
определяемую соотношением A4.95), или dI(co)/dQ, определяемую соотно-
соотношением A4.83), на частоту вращения с/2щ для перехода от энер-
энергии излучения к мощности или на оH= c/q для перехода от интен-
интенсивности, отнесенной к единичному интервалу частот, к интенсив-
интенсивности, отнесенной к одной гармонике. В результате получим
dPn
dQ
1
~2п
с \*dl (со)
1
dQ I co=ncoo'
A4.96)
Найденные теоретические соотношения были подробно сопоставле-
сопоставлены с экспериментальными данными х). Для этого было необходимо
усреднить спектры излучения по периоду цикла ускорения, так
как энергия электронов непрерывно возрастает (см. задачу 14.13).
При максимальной энергии 80 Мэв спектр излучения занимает
г) См., например, [40] и в особенности [111]'.
536 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
область от основной частоты оH~ Ю9 Щ Д° а>с~ 1016 гц,
(к ~ 1700 А). Излучение перекрывает видимую область и имеет
голубовато-белый цвет. Результаты тщательных измерений пол-
полностью согласуются с теорией.
Синхротронное излучение наблюдалось также при исследовании
солнечных пятен и Крабовидной туманности; кроме того, им, по-
видимому, объясняется излучение Юпитера на частоте ~103 Мгц.
Спектр излучения Крабовидной туманности простирается от обла-
области радиочастот до далекой ультрафиолетовой области, при этом
излучение очень сильно поляризовано. Детальное исследование
показывает, что электроны с энергией до 1012 эв возбуждают такое
синхротронное излучение при своем движении по круговой или
спиральной орбите в магнитном поле порядка 10~4 гаусс (см. зада-
задачу 14.15). Источником радиоизлучения Юпитера являются, по-ви-
по-видимому, электроны, захваченные поясами Ван Аллена, располо-
расположенными на расстоянии порядка нескольких радиусов от поверх-
поверхности Юпитера. В настоящее время еще не ясно, является ли это
излучение синхротронным излучением, испускаемым релятивист-
релятивистскими электронами, или это так называемое циклотронное излу-
излучение нерелятивистских электронов, движущихся по спиральным
траекториям в магнитном поле планеты. Во всяком случае, наблю-
наблюдаемое излучение сильно поляризовано параллельно экваториаль-
экваториальной плоскости Юпитера, как и следует ожидать для частиц, захва-
захваченных полем диполя и движущихся по спиральным траекториям
вдоль силовых линий.
§ 7. Рассеяние на свободных зарядах.
Формула Томсона
Если плоская монохроматическая электромагнитная волна пада-
падает на свободную частицу с зарядом е и массой т, то частица испы-
испытывает ускорение и, следовательно, излучает. Направление излу-
излучения не совпадает с направлением падающей волны, частота же его
при нерелятивистском движении совпадает с частотой падающего
поля. В целом этот эффект можно рассматривать как рассеяние
падающего излучения.
Мгновенное значение мощности излучения для частицы с заря-
зарядом е при нерелятивистском движении определяется формулой
Лармора A4.21):
?^sin.e, A4.97)
где в — угол между направлением наблюдения и ускорением.
Ускорение обусловлено действием падающей плоской электромаг-
электромагнитной волны. Обозначая волновой вектор через к, а вектор поля-
§ 7. Рассеяние на свободных зарядах. Формула Томсона 537
ризации — через е, запишем электрическое поле волны в виде
Е(х, O = e?oeik'x-iw'- A4.98)
Согласно нерелятивистскому уравнению движения, ускорение рав-
равно
v@-e-^?0eikx-icof. A4.99)
Если предположить, что смещение заряда за период колебания
много меньше длины волны, то средний по времени квадрат уско-
ускорения v2 будет равен x/2Re (v-v*). При этом средняя мощность,
излучаемая в единицу телесного угла, равна
in*6. A4.100)
Так как описываемое явление проще всего рассматривать как
рассеяние, удобно ввести эффективное дифференциальное сечение
рассеяния, определив его следующим образом:
da Энергия, излучаемая в единицу телесного угла- за единицу времени
du ~ Поток энергии падающей волны через единичную площадку
за единицу времени
A4.101)
Поток энергии падающей волны определяется средним по времени
значением вектора Пойнтинга для плоской волны, т. е. равен
с\Е0\2/8п. Таким образом, согласно A4.100), для дифференциаль-
дифференциального эффективного сечения.рассеяния получаем
da Г е* V__o^ A4.102)
dQ
Если падающая волна распространяется в направлении оси г,
а вектор поляризации составляет угол г|) с осью х, как показано
на фиг. 14.12, то угловое распределение определяется множителем
Sjn20:=l_sin2ecos2((p-i|)). A4.103)
Для неполяризованного падающего излучения дифференциальное
сучение рассеяния получается усреднением по углу if), что приво-
приводит к соотношению
?)'т<' +«¦»)¦ <14Л04>
Это — так называемая формула Томсона для рассеяния падающего
излучения на свободном заряде. Она описывает рассеяние рентге-
рентгеновских лучей на электронах или у-лучей на протонах. Угловое
538
Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
распределение излучения изображено на фиг. 14.13 (сплошная
кривая). Для полного эффективного сечения рассеяния, так назы-
называемого томсоновского сечения рассеяния, получаем
8я
3
]
A4.105)
Для электронов от = 0,665-10"и см2. Величина е2/тс2 =
= 2,82-10~13 см, имеющая размерность длины, называется обычно
классическим радиусом электрона, так как однородное распределение
заряда, равного заряду электрона, должно иметь радиус такого
порядка, чтобы собственная электростатическая энергия была равна
массе покоя электрона (см. гл. 17).
Фиг. 14.12.
Классический результат Томсона справедлив лишь на низких
частотах. Если частота со становится сравнимой с величиной mc2/h,
т. е. если энергия фотона hco сравнима или превышает энергию
покоя, то начинают существенно сказываться квантовомеханиче-
ские эффекты. Возможна и другая интерпретация указанного
критерия: можно ожидать появления квантовых эффектов, когда
длина волны излучения становится сравнимой или меньше компто-
новской длины волны частицы Ь /тс. На высоких частотах угловое
распределение излучения более сконцентрировано в направлении
падающей волны, как показано пунктирными кривыми на
фиг. 14.13; при этом, однако, сечение излучения для нулевого
угла всегда совпадает с определенным по формуле Томсона.
Полное сечение рассеяния оказывается меньше томсоновского
сечения рассеяния A4.105). Это так называемое комптоновское
рассеяние. Для электронов оно описывается формулой Клейна —
Нишины. Здесь мы приведем для справок асимптотические выра-
§ 7. Рассеяние на свободных зарядах. Формула Томсона
539
жения полного сечения рассеяния, определяемого по формуле
Клейна — Нишины:
mc
8я
3
1 -
2/, со
тс2,
A4.106)
Для протонов отклонения от формулы Томсона возникают при
энергиях фотонов, превышающих приблизительно 100 Мэв. Э^га
Ф и г. 14.13. Дифференциальное сечение рассеяния неполяризованного излу-
излучения на свободных электронах.
•Сплошная кривая — классический результат Томсона. Пунктирные кривые соответ-
соответствуют результатам расчета по квантовомеханической формуле Клейна — Нишины.
Цифры у кривых указывают значения Н/2
величина гораздо меньше критического значения Ьы — Мс*~ 1 Гэв,
которое можно было бы ожидать, исходя из аналогии с комптон-
эффектом для электронов. Это обусловлено тем, что в отличие
от электрона протон нельзя рассматривать как точечную частицу,
характеризуемую лишь электромагнитным взаимодействием; про-
протон—более сложное образование с размазанным распределением
заряда с радиусом порядка 0,8-10~13 см, обусловленным сильными
взаимодействиями с я-мезонами. Отличие от томсоновского рассея-
рассеяния (быстрое убывание сечения рассеяния) проявляется при энер-
энергиях фотонов порядка энергии покоя я-мезона A40 Мэв).
540 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
§ 8. Когерентное и некогерентное рассеяние
При рассеянии рентгеновских лучей на атомах угловое рас-
распределение A4.104) наблюдается в широком интервале углов,
по крайней мере для легких элементов. Однако в направлении
падающего излучения рассеяние оказывается много больше вели-
величины, определяемой томсоновским сечением рассеяния. Объясняет-
Объясняется это когерентным сложением амплитуд излучения для всех
электронов. Как следует из соотношения A4.18), поле излучения,
испускаемого системой свободных заряженных частиц, определяет-
определяется формулой
L Rj Jsana3A v r
Воспользовавшись выражением A4.99) для ускорения, получим
При расчете излучения можно аппроксимировать величину Rj
в показателе экспоненты выражением A4.63). Поступая далее
совершенно так же, как при переходе от A4.97) к A4.102), можно
найти сечение рассеяния
жЧ^^*'4'*7' 2sin20> A4.109)
з
где вектор
q = -^-n-k A4.110)
равен изменению волнового вектора при рассеянии.
Формула A4.109) относится к свободным заряженным частицам,
мгновенное положение которых описывается вектором xj. Электро-
Электроны в атомах не являются свободными. Однако если частота падаю-
падающего излучения велика по сравнению с характерными частотами*
связи, то при ускорении импульсом конечной длительности элект-
электроны можно рассматривать как свободные частицы. Поэтому при
расчете рассеяния высокочастотного (по сравнению с частотами
связи) излучения на системе связанных заряженных частиц можно*
пользоваться выражением A4.109). Для сравнения результатов*
с экспериментом остается лишь усреднить A4.109) по положениям,
всех частиц системы. В результате для наблюдаемой величины*
§ 8. Когерентное и некогерентное рассеяние 541
сечения рассеяния получим
/
\
sin26, A4.111)
где символ ( ) означает усреднение по всем возможным значени-
значениям х^.
Поведение сечения A4.111) очень сильно меняется в зависимо-
зависимости от величины |q|. Координаты xj имеют абсолютные значения
порядка линейных размеров системы, которые мы обозначим через а.
Поведение сечения сильно отличается в двух областях, для которых
соответственно qa ^ 1 и да^> 1. Если 0 — угол рассеяния, то вели-
величина q равна 2& sin F/2). Поэтому граница между указанными
двумя областями соответствует углу 6, при котором
2&asin-|-~ 1. A4.112)
Если частота достаточно низка, так что ka < 1, то предельный
случай qa < 1 справедлив для всех углов. Если же частота такова,
что ka > 1, то в области углов вблизи направления падающего
излучения справедливо приближение qa < 1, а в области боль-
больших углов применимо противоположное приближение qa > 1.
Размеры области, где справедливо приближение qa < 1, по поряд-
порядку величины определяются соотношением
Эс~^. A4.113)
При qa < 1 показатели экспонент в A4.111) столь малы, что
экспоненты можно приближенно положить равными единице.
В этом случае дифференциальное сечение рассеяния принимает вид
12^|^2© ^(^)%^0 A4.114)
(последнее выражение относится к электронам в атоме с атомным
номером Z). В полученном выражении ясно виден эффект когерент-
когерентности рассеяния всеми частицами, интенсивность которого отли-
отличается от интенсивности рассеяния на одной частице множителем,
равным квадрату числа частиц.
В противоположном предельном случае qa > 1 показатели
экспонент велики и значительно отличаются по величине. Следо-
Следовательно, среднее значение перекрестных членов в квадрате суммы
равно нулю, и остаются лишь квадраты модулей отдельных ела-
542 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
гаемых. В результате для сечения рассеяния получим
in26' <14Л15>
где опять последнее выражение относится к электронам в атоме
с атомным номером Z. Эта формула соответствует некогерентному
сложению амплитуд рассеяния для отдельных частиц.
При рассеянии рентгеновских лучей на атомах критический
угол A4.113) можно оценить, используя в качестве радиуса атома
величину A3.95). При этом получаем
е*~1^о- A4Л16>
Для углов, меньших 0С, сечение быстро возрастает до величины
порядка A4.114), для больших углов оно в Z раз превышает том-
соновское сечение рассеяния A4.115), а для жестких («высоко-
(«высокочастотных») рентгеновских или улучей — сечение, определяемое
формулой Клейна — Нишины (см. фиг. 14.ГЗ).
§ 9. Излучение Вавилова—Черепкова
При равномерном прямолинейном движении в свободном про-
пространстве заряженная частица не излучает. Однако частица, дви-
движущаяся с постоянной скоростью в материальной среде, может
излучать, если ее скорость превышает фазовую скорость распро-
распространения электромагнитных волн в среде. Это излучение назы-
называется излучением Вавилова — Черепкова (или, короче, черенков-
ским излучением) по имени открывших его ученых A937 г.). Эта
излучение представляет собой коллективный эффект излучения
множества атомов среды, электроны которых ускоряются полем
проходящей частицы. Ввиду коллективного характера процесса
удобно воспользоваться макроскопическим описанием среды, харак-
характеризуя ее свойства диэлектрической проницаемостью е, а не ис-
исследовать детальные свойства отдельных атомов.
Качественное объяснение эффекта можно получить, рассматри-
рассматривая изменение во времени поля быстрой частицы в диэлектрической
среде. Обозначим скорость света в среде через с, а скорость части-
частицы— через v. На фиг. 14.14 изображена последовательность
сферических волновых фронтов для движущейся частицы при v < с
и v > с. Лишь в случае v > с отдельные сферические волновые
поверхности интерферируют, обусловливая образование кильватер-
кильватерного волнового фронта за частицей. Нормаль к этой кильватерной
волне образует угол 6с с направлением вектора скорости, где
=-^. A4.117)
§ 9. Излучение Вавилова — Черепкова
543
Она и определяет направление распространения черенковского
излучения.
В гл. 13, § 4, мы уже нашли поля, соответствующие излучению
Вавилова — Черенкова, и даже получили выражение A3.82) для
и<с
и>с
Фиг. 14.14. Излучение Вавилова— Черенкова.
Окружности изображают последовательность волновых фронтов поля частицы дл*г
случаев, когда скорость меньше и больше скорости света в среде. При v >> с происхо-
происходит образование «ударной» электромагнитной волны, движущейся в направлении,,
определяемом черенковским углом 6с.
интенсивности этого излучения. Однако весьма поучительно рас-
рассмотреть эту задачу с помощью потенциалов Лиенара — Вихерта.
Как следует из гл. 13, § 4, поля и энергию излучения в немагнит-
немагнитных средах можно рассчитать, рассматривая движение частицы
со скоростью v > с в свободном пространстве, производя затем,
в конечном результате вычислений замену
с->^, е->4т- A4-118)
где е — диэлектрическая проницаемость1). Для упрощения ана-
г) Как видно из A3.54), это соответствует применению потенциалов
ф'г^/еФ, А' = А и полей Е'^/еЕ, В' = В. При этом, например, вектор»
Пойнтинга оказывается равным
:(Е'ХВ')=!
544 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
лиза будем считать, что г не зависит от частоты. Однако, поскольку
наши конечные результаты будут получены для отдельных спект-
спектральных компонент, они легко смогут быть обобщены.
Потенциалы Лиенара — Вихерта для произвольно движущего-
движущегося точечного заряда были получены в § 1. При этом неявно пред-
предполагалось, что скорость частицы меньше скорости света. В этом
случае потенциалы A4.6) в данной пространственно-временной
точке определяются поведением частицы лишь в одной более ран-
ранней пространственно-временной точке, а именно в соответствующей
«запаздывающей» точке. На левой половине фиг. 14.14 это выра-
выражается в том, что любая заданная точка лежит лишь на одной
окружности. Если же v > с, то, как видно -из правой половины
рисунка, поле в заданной пространственно-временной точке опре-
определяется двумя «запаздывающими» положениями. Скалярный по-
потенциал в A4.6) следует теперь заменить выражением
' A4Л19)
где индексы 1 и 2 относятся к двум моментам запаздывающего вре-
времени t[ и t'2.
Для определения t[ и t'2 найдем, когда обращается в нуль аргу-
аргумент б-функции в A4.3):
*' + |x~r(Ol-/ = 0. A4.120)
с
Для частицы, движущейся с постоянной скоростью v, можно поло-
положить г (О = \tf. Вводя X = (х — vt) — векторное расстояние от
истинного положения частицы Р до точки наблюдения Р', получаем
A4.121)
Решение этого квадратного уравнения имеет вид
Физический смысл имеют лишь действительные положительные
корни. При v < с квадратный корень действителен и больше вели-
величины jX-v|, так что существует лишь одно пригодное решение для
{/ — г), как и отмечалось ранее. Для v > с дело обстоит иначе.
Во-первых, даже при действительном квадратном корне (как это
имеет место для направлений, приблизительно параллельных или
.антипараллельных скорости v), он меньше по величине, чем |X-v|.
Следовательно, если угол между X и v острый, то решения для
(t — f) не существует, т. е. поля перед частицей нет. Если а —угол
§ 9. Излучение Вавилова — Черепкова
545
между X и v (фиг. 14.15), то при cos2a < A —с2/v2) квадратный
корень, как легко видеть, принимает чисто мнимые значения.
Однако для области углов, удовлетворяющих неравенствам
arccos
существует два действительных и положительных значения
(t—tr), удовлетворяющих A4.121). Таким образом, электромагнит -
Ф и г. 14.15.
ные потенциалы отличны от нуля лишь внутри черенковского кону-
конуса, определяемого условием
Л °2 Y/2
cos a = — ( I — —? )
Как легко показать, двум корням A4.122) соответствуют сле-
следующие значения х#:
х7?= т — l(X-vJ — (v2 — с2) Х2\у\ A4.123)
с
В действительности потенциал A4.119) должен содержать лишь
абсолютные величины, поскольку в A4.4) справа должна входить
лишь абсолютная величина производной. Таким образом, оба
слагаемых в A4.119) складываются и потенциалы могут быть запи-
546 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
саны в виде
ф (х Аз= 2е
A4.124)
А(х,О = уФ(х, О-
Полученные выражения для потенциалов справедливы внутри
черенковского конуса; на его поверхности они обращаются в бес-
бесконечность, а вне конуса равны нулю. Они описывают волновой
фронт, распространяющийся со скоростью с в направлении 6С,
определяемом согласно A4.117). Обращение их/в бесконечность,
разумеется, физически нереально. Оно связано с исходным допу-
допущением о независимости скорости света в среде от частоты. Для
достаточно высоких частот (достаточно коротких длин волн) фазо-
фазовая скорость в среде приближается к скорости света в свободном
пространстве. Учет такой зависимости от частоты приводит к сгла-
сглаживанию на коротких расстояниях и к исключению особенностей.
Потенциалы A4.124) представляют собой частный случай потен-
потенциалов, фурье-амплитуды которых даются выражениями A3.57).
В свою очередь поля, определяемые потенциалами A4.124), также
являются фурье-амплитудами выражений A3.64) и A3.65), где
е((о) следует считать действительной постояйной. Потери энергии
на излучение находятся так же, как и в гл. 13, § 4, интегрировани-
интегрированием вектора Пойнтинга по поверхности цилиндра [ср. A3.71)],
что приводит к окончательному выражению A3.82) для энергии,
излучаемой на единице длины.
Приведенное выше описание появления черенковскои «ударной
волны» при v > с представляет собой адекватное макроскопическое
объяснение возникновения черенковского излучения. Если же ин-
интересоваться лишь угловым и спектральным распределением излу-
излучения, а не его механизмом, то можно с помощью подстановки
A4.118) простым, но нестрогим путем получить эти характеристики.
Угловое и частотное распределение энергии, излучаемой движущей-
движущейся частицей, определяется соотношением A4.67):
со
J nx(nxv)exp{/co [ t _1^]}d/|2. A4.125)
dl (со)
Производя подстановку A4.118), приходим к следующему выра-
выражению для энергии, теряемой частицей, движущейся в немагнит-
немагнитной диэлектрической среде:
dt
A4.126)
§ 9. Излучение Вавилова — Черепкова 547
При равномерном прямолинейном движении г (t) = vt; так что
*
\
<"•>»>
Интеграл в правой части есть б-функция. Таким образом,
(h.i28)
где угол 6 отсчитывается от направления скорости v. Наличие
б-функции показывает, что энергия излучается лишь в направле-
направлении, характеризуемом черенковским углом 6С:
tV' A4.129)
8
Присутствие в угловом распределении A4.128) квадрата б-функ-
б-функции означает, что полная энергия, излученная в единичном интер-
интервале частот, бесконечна. Появление этой расходимости связано
с предположением, что частица движется в среде неограниченно
долго. Для получения разумного результата будем считать, что
частица проходит слой диэлектрика в течение времени 2Т. В этом
случае расходящийся интеграл в A4.127) заменяется выражением.
со ? Г-, Л ¦
-e1^ cose)}
A4.130>
При (oT > 1 квадрат модуля этой функции имеет резкий максимум
при значении угла 6, равном 6С. Предполагая, что р > 1/е1/*
(при этом угол 6с существует), произведем интегрирование по уг-
углам:
^C^Ysin2[corAel/2pcos9)]^ A4.131)
отсюда видно, что потери на излучение пропорциональны интер-
интервалу времени. Из A4.128) находим полную потерю энергии на из-
излучение в единичном интервале частот при прохождении слоя
вещества
^n2ec. • A4.132)
Разделив полученную величину на 2срТ, определим энергию,
излученную в единичном интервале частот на единице пути. Нако-
548
Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
рец, учитывая значение A4.129) угла 6с, найдем
dI((D)
dx
л
A4.133)
P28(@)J »
где частота со такова, что e (со) > 1 /(J2; полученный результат
согласуется с A3.82).
Свойства черенковского излучения можно использовать для
измерения скорости быстрых частиц. Если частицы с данной ско-
скоростью проходят через среду с известной диэлектрической про-
проницаемостью в, то свет будет испускаться под черенковским углом
е(со)
Фиг. 14.16. Область черенковского излучения.
Излучение испускается лишь в заштрихованной полосе частот, для которой выпол-
выполняется условие e(to) > р-2.
A4.129). Таким образом, измерение угла 6С позволяет определить
скорость. Так как диэлектрическая проницаемость среды в, вооб-
вообще говоря, зависит от частоты, световое излучение разной длины
волны будет испускаться под несколько различающимися углами.
На фиг. 14.16 изображена типичная кривая дисперсии в (со) с об-
областью аномальной дисперсии в верхнем конце интервала частот.
Заштрихованная область соответствует полосе частот, в которой
существует черенковское излучение. Так как в области аномальной
дисперсии диэлектрические среды обладают сильным поглощением,
максимум спектрального распределения черенковского излучения
дежит несколько ниже резонансного значения частоты. Чтобы
выделить малый интервал частот и повысить тем самым точность
измерений скорости, можно применять узкополосные фильтры.
Для очень быстрых частиц ф < 1) в качестве среды можно исполь-
использовать газ; тогда диэлектрическая проницаемость мало отличается
от единицы, а величину (е — 1) можно менять в широких преде-
пределах, изменяя давление газа. Счетчики, использующие черенков-
Задачи 549
ское излучение, нашли широкое применение в физике частиц
высоких энергий как измерители скорости, в качестве масс-спект-
масс-спектрометров (в сочетании с устройством для определения импульса)„
а также в качестве дискриминаторов, которые позволяют устра-
устранить нежелательные медленные частицы.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Все руководства по электродинамике в той или иной мере затрагивают
вопросы, связанные с излучением ускоренных частиц, хотя и неодинаково
подробно. Релятивистские аспекты проблемы более или менее детально
рассмотрены в книгах Иваненко и Соколова [53], § 39 — 43, Ландау и Лиф-
шица [63], гл. 8 и 9, Пановского и Филипс [78], гл. 18 и 19, Зоммерфельда
[102], § 29,30. Обширный расчетный материал, касающийся излучения
релятивистских частиц, предвосхитивший многие результаты, вновь откры-
открытые в период 1940—1950 гг., содержится в интересной монографии Шотта
[91]. Вопрос о рассеянии излучения заряженными частицами ясно изложен
в книгах Ландау и Лифшица [63], гл. 9, § И—13, и [64], гл. 14 и 15.
ЗАДАЧИ
14.1. Проверить непосредственным вычислением, что выражения для
всех составляющих полей Е и В равномерно движущейся частицы, получаю-
получающиеся из потенциалов Лиенара — Вихерта, совпадают с выражениями,
найденными в тексте с помощью преобразований Лоренца. Использовать
общий метод, описанный в конце § 1.
14.2. С помощью потенциалов Лиенара— Вихерта найти среднюю
по времени мощность излучения в единицу телесного угла для нереляти-
нерелятивистской частицы с зарядом еу если:
а) частица совершает гармонические колебания вдоль оси z так, что
ее мгновенное положение z (t) = a cos w0^;
б) частица движется с постоянной угловой частотой w0 по окружности
радиусом R, лежащей в плоскости ху.
Построить график углового распределения излучения и определить
полную мощность излучения в обоих случаях.
14.3. Нерелятивистская частица с зарядом zey массой т и кинетической
энергией Е претерпевает лобовое соударение с фиксированным центральным
полем сил конечной протяженности. Силы являются отталкивающими и опи-
описываются потенциалом V (г), который превышает Е на близких расстояниях^.
а) Показать, что полная излученная энергия определяется формулой
dV
dr
dr
У V (rMnn)-V (r)
где гмин — минимальное расстояние до центра сил, достигаемое при соударении,
б) Показать, что если взаимодействие описывается кулоновским потен-
потенциалом V (г) = zZe2/r, то полная излученная энергия равна
_ 8 zmv\
^ ~45 Zc* '
где Vq — скорость заряда на бесконечности.
550 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов ^_^
14.4. Частица с массой т и зарядом q движется в плоскости, перпенди-
перпендикулярной однородному статическому магнитному полю В,
а) Вычислить полную энергию, излучаемую в единицу времени, выразив
ее через заданные выше константы и отношение у полной энергии частицы
к ее энергии покоя.
б) Показать, что если при / = 0 частица имела полную энергию Ео=
= Уопгс2, то в момент t, определяемый соотношением
\_
Уо
она будет обладать полной энергией Е = утс2<^ Ео, если у $> 1.
в) Найти кинетическую энергию частицы в момент t, если первоначально
частица была нерелятивистской и имела кинетическую энергию 8q при t = 0.
г) Пусть частица, захваченная дипольным магнитным полем Земли,
движется по спирали вдоль силовой линии. Где она будет больше излучать —
вблизи экватора или вблизи точки поворота? Почему? Дать количественное
обоснование.
14.5. Как и в задаче 14.2, п. «а» заряд е совершает простое гармониче-
гармоническое движение вдоль оси z: z (tr) = a cos ti)ot'.
а) Показать, что мгновенное значение мощности' излучаемой в единицу
телесного угла, равно
dP (f) __ еЧ$ь sin2 Q cos2 со/'
du ~~ 4зта2 A + P0n
где Р = ащ/с.
б) Произведя усреднение по времени, показать, что средние потери
мощности в единицу телесного угла описываются соотношением
dP __ e2eft4 -»~r м~^^д- ^ • 2 л
dQ ~ 32яа2 (l—p2C0S29O/2
в) Построить схематический график углового распределения излучения
для нерелятивистского и релятивистского движений.
14.6. Пусть излучающая частица совершает периодическое движение
с периодом Т. С помощью формулы суммирования Пуассона или другим
методом показать, что в этом случае непрерывный спектр излучаемых частот
переходит в дискретный спектр, состоящий из частот, кратных основной
частоте. Показать, что общее выражение для мощности излучения в единицу
телесного угла на т-й гармонике основной частоты соо= 2я/7" имеет вид
2я/<й0
v (/) X п ехр -! шщ t —~ J- dt
14.7. а) Показать, что для простого гармонического движения заряда,
рассмотренного в задаче 14.5, средняя мощность излучения в единицу телес-
телесного угла на гп-й гармонике равна
Задачи 551
б) Показать, что в нерелятивистском предельном случае вся мощность
излучается на основной гармонике и равна
где а2— средний квадрат амплитуды колебаний.
14.8. Частица с зарядом е движется с постоянной угловой частотой соо
по окружности радиусом R, лежащей в плоскости ху.
а) Показать, что точное выражение для углового распределения мощ-
мощности излучения на т-и гармонике имеет вид
где р = (u0R/c, a Jm (х)— функция Бесселя m-го порядка.
б) Считая движение нерелятивистским, получить приближенное выра-
выражение для dPm/dQ. Сопоставить с результатами задачи 14.2, п. «б».
в) Считая движение ультрарелятивистским, получить характеристики,
приведенные в тексте для релятивистской частицы, движущейся по окруж-
окружности (при этом полезно использовать формулы из книги Ватсона [114]).
14.9. Согласно принципу соответствия Бора, в предельном случае боль-
больших квантовых чисел классическое значение мощности излучения.на основ-
основной гармонике равно произведению энергии кванта Ъ(о0 на вероятность
перехода (обратное среднее время жизни) между состояниями с главными
квантовыми числами п и п— 1.
а) Используя нерелятивистское приближение, показать, что для водо-
родоподобного атома классическое выражение для вероятности перехода
<с круговой орбиты, характеризуемой главным квантовым числом п, на ор-
орбиту с квантовым числом п — 1 имеет вид
1 _ 2 g2 ( Zg2 У тс2> х
б) Для водорода сравнить классическое значение времени жизни, най-
найденное в п. «а», с точным квантовомеханическим значением для переходов
2р -> Is A,6- 10"9 сек), 4/ -* Ы G,3- 1(Г8 сек), 6Я -> 5^ F,1- Ю^7 сек).
14.10. При периодическом движении заряда излучение обладает дискрет-
дискретным спектром частот, кратных основной частоте движения. Значительное
излучение на высших гармониках может иметь место либо из-за реляти-
релятивистских эффектов (см. задачи 14.7 и 14.8) даже в случае, когда составляющие
скорости строго синусоидальны, либо из-за того, что составляющие скорости
меняются не синусоидально, хотя и периодически. Примером второго случая
является нерелятивистское эллиптическое движение электрона в атоме
водорода.
Орбита при этом может быть определена параметрическими уравнениями
я = а (cosw—е),
у = а\^\ — е2 sin и,
где
(oQt=u—s sin и;
а — главная полуось эллипса, s — эксцентриситет, со0— угловая частота,
и — угол в плоскости орбиты. Параметры эллипса можно выразить через
552 Гл. 14. Излучение движущихся зарядов
энергию связи В и момент количества движения L:
е* и / l 2BL2
а) Показать, что мощность излучения на k-й гармонике равна
где Jh(x) — функция Бесселя &-го порядка.
б) Показать, что для круговой орбиты полученный результат согласуется
с решением задачи 14.8, п. «а».
14.11. Вместо одиночного заряда е, движущегося с постоянной частотой
ш0 по окружности радиусом R (см. задачу 14.8), рассмотреть движение сис-
системы TV зарядов, относительные положения которых на окружности фикси-
фиксирован э1.
а) Показать, что мощность излучения на т-й гармонике описывается
соотношением
dPm(N)_dPm(l) F ,w.
где dPm A)/<Ш — мощность излучения одного заряда (см. задачу 14.8,
п. «а»), а
w
где 0j—угловая координата /-го заряда в момент t= t0,
б) Показать, что при равномерном распределении зарядов по окружности
излучение происходит лишь на гармониках, кратных N(o0, а интенсивность
излучения возрастает в N2 раз по сравнению с излучением одиночного заря-
заряда. Дать качественное объяснение указанных фактов.
в) Показать без подробных вычислений, что при нерелятивистском дви-
движении полная мощность излучения зависит от TV приблизительно как fi2N
и, таким образом, в пределе при N -+ со излучение отсутствует.
г) Аналогичным образом показать, что для релятивистских частиц
зависимость мощности излучения от N определяется функцией
ехр (— 2УУ/Зу3) при N$>y3, так что опять-таки в пределе N -> со излучение
отсутствует.
д) Указать связь между результатами, полученными в п. «в» и «г», и из-
известными излучательными свойствами стационарного тока в замкнутом
контуре.
14.12. Рассмотреть в качестве идеализации постоянного тока в контуре
систему из TV идентичных зарядов q, движущихся по произвольному замкну-
замкнутому пути с постоянной по величине скоростью v. Соседние заряды находятся
на малом постоянном расстоянии А друг от друга.
Исходя из выражений Лиенара — Вихерта для полей каждой частицы
и не накладывая никаких ограничений на величину скорости и, показать,
что в пределе, когда Af -» со, q -+ О, А -> 0, но Nq — const, q/A — const,
система не излучает, а электрическое и магнитное тюля системы эквивалент-
эквивалентны обычным статическим полям.
(Заметим, что в реальном контуре стационарные положительные ионы
в проводнике создают электрическое поле, компенсирующее поле движущихся
зарядов.)
Задачи 55$
14.13. Пусть мгновенный спектр мощности излучения электрона в син-
синхротроне описывается формулой
2 е* /¦ о \ 1/з -
где сос = Зсооу3 (t).
а) Показать, что если энергия электронов растет в течение одного цикла
ускорения приблизительно линейно, то усредненный по циклу спектр мощ-
мощности имеет вид
22/з е2 2/ Г е~У
}
где х = 2со/сосмакс.
б) Найти предельные выражения для спектра мощности при х «Г
и х » 1.
в) Пользуясь таблицами значений интеграла, входящего в приведенное-
выражение (он представляет собой неполную гамма-функцию), или с по-
помощью графического интегрирования численно рассчитать спектр для
х = 0,1; 0,5; 1,0; 1,5. Построить график зависимости Р от lg (<о/(осмакс)
и сравнить его с кривыми, приведенными в работе [40].
14.14. а) В рамках приближений, принятых в § 6 этой главы, показать,
что при релятивистском движении частиц по траектории с мгновенным радиу-
радиусом кривизны Q интенсивность излучения с правой и левой круговой поля-
поляризацией в единицу телесного угла в единичном интервале частот опреде-
определяется выражением
dl±(co)
2
б) Используя приведенное в п. «а» выражение и формулы § 6, исследо-
исследовать зависимость поляризации полного излучения от частоты и угла. В част-
частности, определить степень поляризации: 1) на высоких частотах (со > сос>
для всех значений углов; 2) на средних и низких (со < сос) частотах для
больших углов; 3) на средних и низких частотах для очень малых углов.
в) Провести сравнение с экспериментальными результатами, приведен-
приведенными в работе [56].
14.15. Рассмотреть синхротронное излучение Крабовидной туманно-
туманности. Электроны с энергиями до 1012 эв движутся в магнитном поле порядка*
10~4 гаусс.
а) Для Е = 1012 эв, В = 10~4 гаусс вычислить радиус орбиты Q, основ-
основную частоту соо= c/q и критическую частоту сос.
б) Показать, что спектральное распределение мощности синхротронного
излучения для релятивистских электронов с энергией Е в постоянном маг-
магнитном поле может быть представлено в виде
Р (?, со) —const
где / (я) •— функция, равная единице при х = 0 и быстро убывающая до ну-
нуля при х » 1 [в задаче 14.13, например, f, ^ ехр (—2со/сос)], а сос =
= (ЗеВ/тс)(Е/тс2J cos 0, где 0—угол наклона спиральной траектории.
в) Показать, что при законе распределения электронов по энергии
N(E) dE ~ E~ndE спектр мощности синхротронного излучения имеет вид
(Я (со)> d(D — co-~adco.
где a = (п— 1)/2.
554 Гл. 14, Излучение движущихся зарядов
г) Наблюдения радиоизлучения и непрерывного оптического спектра
Крабовидной туманности показывают, что в интервале частот от со — 108
до со ~ 6- 1015 гц постоянная а ^ 0,35. На более высоких частотах интен-
интенсивность спектральных компонент излучения быстро убывает с показателем
<х ^ 1,5. Определить показатель степени п в энергетическом спектре элект-
электронов и верхнюю границу спектра. Согласуется ли эта граничная энергия
с данными, приведенными в п. «а»?
д) Используя решение задачи 14.4, п. «б», определить величину интер-
интервала времени, необходимого для того, чтобы энергия электронов уменьши-
уменьшилась от бесконечного значения до 1012 эв в поле 10~4 гаусс. В каком отноше-
отношении находится этот результат с известным временем жизни Крабовидной
туманности?
14.16. Считая, что показатель преломления плексигласа в области
видимого света равен 1,50, вычислить угол, под которым испускается види-
видимое черенковское излучение электронов и протонов в зависимости от их
энергии, выраженной в Мэв. Определить число квантов излучения с длиной
волны в диапазоне от 4000 до 6000 А, излучаемых в плексигласе на пути
1 см электронами с энергией 1 Мэв и протонами с энергиями 500 Мэв и 5 Гэв.
Глава 15
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.
МЕТОД ВИРТУАЛЬНЫХ ФОТОНОВ.
ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ БЕТА-РАСПАДЕ
В гл. 14 в общем виде исследовалось излучение заряженных
частиц, движущихся с ускорением. Были выведены формулы для
спектрального и углового распределений излучения для ряда
случаев и рассмотрено излучение как нерелятивистских, так и ре-
релятивистских заряженных частиц во внешних полях. Настоящая
глава посвящена проблемам излучения электромагнитных волн
заряженными частицами в атомных и ядерных процессах.
При прохождении через вещество частицы рассеиваются и теря-
теряют энергию из-за соударений, как подробно описано в гл. 13.
В процессе соударений частицы испытывают ускорение; следова-
следовательно, они должны излучать электромагнитную энергию. Излу-
Излучение, сопровождающее атомные соударения, называют обычно
тормозным излучением, так как впервые оно наблюдалось в опы-
опытах по торможению высокоэнергетического пучка электронов тол-
толстой металлической мишенью. Для нерелятивистских частиц потери
энергии на излучение незначительны по сравнению с потерями
энергии при соударениях, но для ультрарелятивистских частиц
излучение может стать основным фактором, определяющим потери
энергии. Рассмотрение тормозного излучения и связанных с ним
проблем мы начнем с классического нерелятивистского случая.
Затем с помощью полуклассических соображений, подобно тому
как было сделано в гл. 13, получим квантовомеханические
выражения. Вслед за этим будут учтены наиболее существенные
релятивистские эффекты.
Процессы рождения или аннигиляции заряженных частиц так-
также сопровождаются испусканием излучения. Эти процессы явля-
являются чисто квантовыми по своей природе. Нельзя даже пытаться
дать классическое описание сущности этих явлений. Однако,
отвлекаясь от физических причин процесса, мы можем поставить
вопрос 6 спектре и интенсивности сопровождающего его электро-
556 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
магнитного излучения. Так, внезапное рождение быстрого электро-
электрона при ядерном Р-распаде можно для наших целей рассматривать
как ускорение первоначально покоившейся частицы до некоторой
конечной скорости за очень короткий интервал времени или же как.
внезапное «включение» заряда движущейся частицы за тот же самый
короткий интервал времени. С помощью этих моделей мы рассмот-
рассмотрим в § 7 и 8 ядерный Р-распад и захват орбитального электрона.
При рассмотрении излучения, например в задаче о тормозномс:
излучении или об излучении при Р-распаде, существенное значение
имеет волновая природа заряженных частиц. В связи с этим необ-
необходимо учитывать квантовомеханические поправки, очень сходные
с введенными нами ранее при рассмотрении электрических потерь.
Это можно сделать относительно просто. Существует, однако, ряд
более серьезных трудностей, присущих лишь проблемам излуче-
излучения. Так, очень трудно учесть изменения траектории частицы под
влиянием потерь энергии и импульса при излучении. Это связано
не только с трудно учитываемыми эффектами реакции излучения
(см. гл. 17), но также с дискретной квантовой природой излучаемых
фотонов. В результате даже с учетом квантовомеханических попра-
поправок полученные результаты оказываются применимыми в ограни-
ограниченной области энергий излученных фотонов, малых по срав-
сравнению с полной энергией частиц. Поэтому для диапазона высоких
частот наши полуклассические выражения будут, вообще говоря >
справедливы лишь качественно.
§ 1. Излучение при соударениях
Заряженная частица испытывает при соударении ускорение
и, следовательно, излучает. Если вторая соударяющаяся частица
также заряжена, то они обе излучают и следует учитывать коге-
когерентную сумму излучаемых полей. Так как амплитуда поля излу-
излучения определяется (в нерелятивистском случае) произведением
заряда на ускорение, то при приблизительно равных зарядах лег-
легкие частицы излучают интенсивнее. Во многих случаях масса
одной из соударяющихся частиц намного превышает массу другой;
тогда при исследовании излучения достаточно рассматривать соуда-
соударение как взаимодействие более легкой частицы с заданным полем
сил. Мы ограничимся лишь этим случаем, отнеся рассмотрение
более сложных к задачам в конце главы.
Согласно формуле A4.65), для нерелятивистской частицы с заря-
зарядом е и ускорением ф {t) интенсивность излучения в единицу телес-
телесного угла в единичном интервале частот равна
\ A5.1)
du
§ 1. Излучение при соударениях 557
При надлежащем выборе начала отсчета радиус-вектор г @, опре-
определяющий положение частицы, по порядку величины равен (v) t,
где (v) — характерная скорость частицы. Поэтому второе слагаемое
в показателе экспоненты в A5.1) отличается от первого множителем
порядка (v)/с, которым при нерелятивистском движении можно
пренебречь. Такое приближенное рассмотрение иногда называют
дипольным приближением по аналогии с разложением по мульти-
полям, рассмотренным в гл. 9, § 2. В этом случае получаем прибли-
приближенную формулу
= лк \ПХ(ПХР)^Л . A5.2)
du
При соударении ускорение, обусловленное действием внешнего
поля сил, имеет место лишь в течение ограниченного времени т,
так называемого времени соударения:
где а — радиус действия сил. Поэтому интеграл в A5.2) берется
'фактически по интервалу времени порядка т. Величина т пред-
представляет собой естественный параметр, позволяющий разделить
диапазон излучаемых частот на область низких (сот < 1) и высоких
(сот > 1) частот. На низких частотах экспонента в выражении
{15.2) не меняется существенно в течение периода ускорения. Это
"позволяет сразу провести интегрирование
= P2-Pi=AP, A5.4)
где cPi и ср2— начальная и конечная скорости, а Ар — измене-
изменение вектора р. Для энергии излучения получим
n20, от«1, A5.5)
где угол в отсчитывается от направления вектора Др. Полная
энергия, излучаемая в единичном интервале частот, в рассматри-
рассматриваемом предельном случае равна
/(со)^4у1АР12' сот«1. A5.6)
В предельном случае высоких частот (сот > 1) экспоненциаль-
экспоненциальный множитель в A5.2) очень быстро осциллирует по сравнению
•с изменением вектора Р (t) во времени. Поэтому среднее значение
подынтегрального выражения очень мало и излучение незначитель-
незначительно. Спектральное распределение излучения качественно изобра-
558
Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
жено на фиг. 15.1. Иногда удобно аппроксимировать спектральное
распределение ступенчатой функцией
2e*
I (со) =
ДР|2, <от<1,
О, сот>1.
A5.7)
Такое приближение мало пригодно для одиночного соударения
с определенной величиной Ар, но оно оказывается вполне удовлет-
удовлетворительным в тех случаях, когда происходит усреднение по мно-
многим соударениям с различными Др.
Фиг. 15.1. Спектральное распределение излучения при соударении, харак-
характеризуемом временем соударения т и изменением вектора скорости Ар.
Выражение A5.5) описывает угловое распределение всего излу-
излучения без учета поляризации. Иногда интересно вычислить интен-
интенсивность излучения для какой-либо определенной поляризации.
Обычно при соударениях известны направление налетающей части-
частицы и направление излучения, но неизвестно направление отклонен-
отклоненной частицы и, следовательно, неизвестна величина Др. Поэтому
поляризацию излучения естественно определять относительно пло-
плоскости, содержащей направление падающего пучка и направление
излучения.
Для простоты рассмотрим отклонения на малый угол, для кото-
которых вектор Др приближенно можно считать перпендикулярным
направлению падения. Без потери общности можно считать, что-
единичный вектор п в направлении наблюдения лежит в плоско-
плоскости хг и составляет угол 0 с направлением первичного пучка
(фиг. 15.2). Вектор, изменения скорости Др лежит в плоскости ху,
составляя угол ф с осью х. Так как направление движения рас-
рассеянной частицы не регистрируется, мы будем усреднять результаты:
§ 1. Излучение при соударениях
559
по ф. Единичные векторы ец и е_]_ характеризуют поляризацию,
параллельную и перпендикулярную плоскости, содержащей Pi и п.
Направление поляризации излучения задается вектором
п X (п X ЛР). Этот вектор перпендикулярен п (как и должно быть)
и может быть разложен на две составляющие вдоль ец и ej_:
п X (п х АР) = Лр(ец cos 0 cos ф — ej_sin<p).
A5.8)
Усредняя по ф квадраты модулей составляющих в выражении
A5.8), находим интенсивности излучения для двух возможных
поляризаций:
dl , (со)
~3о~
Полученные угловые распределения справедливы для всех
типов нерелятивистских соударений с рассеянием на малые углы.
Они были детально подтверждены при исследовании непрерывного
спектра тормозного рентгеновского излучения для электронов
с кинетической энергией порядка килоэлектрон-вольт. Нетрудно
видеть, что сумма интенсивностей для обеих поляризаций согла-
согласуется с выражением A5.5) и приводит к значению A5.6) полной
интенсивности излучения.
560 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
§ 2. Тормозное излучение
при нерелятивистских кулоновских
соударениях
Излучение с непрерывным спектром чаще всего испускается при
соударении быстрой частицы с атомом. В качестве модели процесса
рассмотрим вначале соударение быстрой, но нерелятивистской
-частицы, имеющей заряд ге, массу М и скорость у, с покоящимся
точечным зарядом Ze. Предположим для простоты, что отклонение
налетающей частицы мало. При этом справедливы приведенные
в] гл. 13 соображения, ограничивающие величину прицельного
параметра. Фактически большая часть рассуждений, проведенных
в гл. 13 при рассмотрении энергетических потерь, может быть почти
полностью перенесена на наш случай.
Для малых отклонений в кулоновском поле точечного заряда Ze
изменение импульса является чисто поперечным и описывается
выражением A3.1), умноженным на Z. Таким образом, полное
изменение скорости налетающей частицы, характеризуемой при-
прицельным параметром 6, равно
Ь A5Л0>
Спектральное распределение излучения можно приближенно опи-
описать выражением A5.7) (умноженным на г2), в котором, согласно
A5.3), время соударения хжЬ/v. Спектр частот простирается
ОТ СО = 0 ДО (ОМакс /b
1 (со, Ь)
8 /z2*»yZ2*YjEV± со<-
о, ©>|
A5.11)
Так же как и при рассмотрении потерь энергии, физически инте-
интересной величиной является сечение рассеяния, получаемое интегри-
интегрированием по всем возможным значениям прицельных параметров.
В соответствии с этим определим сечение излучения
Х(©)= J /(со, bJnbdb; A5.12)
юно имеет размерность [площадь-энергия/частота]. Классические
.значения пределов изменения прицельного параметра можно найти
из соображений, аналогичных приведенным в гл. 13, § 1. Мини-
Минимальное значение прицельного параметра [см. формулы A3.5) —
<13.7)j равно
,(кл)
0
§ 2f Тормозное излучение при нерелятивистских соударениях 561
а максимальное значение определяется условием обрезания спект-
спектра A5.11). Если интересоваться значением %(w) при фиксирован-
фиксированной частоте со, то, очевидно, заметное излучение на этой частоте
возможно только в тех случаях, когда прицельный параметр мень-
меньше величины
Ьмакс^-^-, A5.14)
так как только при выполнении этого условия ускорения будут
достаточно велики. Если учесть это ограничение, накладываемое
на величину Ь, то сечение тормозного излучения оказывается рав-
равным
с \2 SXMV*\ /lClCv
где X — численный множитель порядка единицы, учитывающий
неопределенность предельных значений прицельного параметра.
Полученный результат справедлив лишь для частот, для которых
аргумент логарифма велик по сравнению с единицей, что соответ-
соответствует &макс > Ьмин- Это означает, что существует классический
верхний предел ©L"kc в спектре частот, определяемый формулой
(кл) МуЗ
«макс— zZe2 • (lO.lOj
Для тяжелых медленных частиц с большим зарядом справедли-
справедливо классическое выражение для сечения тормозного излучения,
но в полной аналогии с теорией энергетических потерь в случае
быстрых слабо заряженных частиц начинает существенно сказы-
сказываться их волновая природа. Квантовые модификации соответ-
соответствующих формул можно ввести совершенно аналогично тому,
как это было сделано в гл. 13, § 3. При учете волновой природы
налетающей частицы получаем квантовомеханическии нижний пре-
предел для прицельного параметра
/.(кв) ^ ^ /1 с 17\
Ямин — ~М^ • AO.1/J
Это значит, что сечение тормозного излучения вместо A5.15) опи-
описывается приближенной формулой
Заметим, что аргумент логарифма отличается от прежнего выра-
выражения множителем Zr], где х\ определяется выражением A3.42),
a Z учитывает заряд ядра. Области применимости классической
и квантовомеханической формул определяются в этом случае
562 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
по тем же правилам, как и при рассмотрении потерь. Область
частот в A5.18) простирается вплоть до максимальной частоты
A5.19)
Заметим, что эта предельная частота близка к получающейся
из закона сохранения энергии сомакс = Mv212%. Так как класси-
классический результат справедлив лишь при т] > 1, выполняется
соотношение
«So ~ { <U « <BL A5.20)
Оно показывает, что спектр излучения, описываемый классически-
классическими формулами, всегда ограничен лишь очень низкими частотами
по сравнению с максимальным значением, определяемым из закона
сохранения энергии. Поэтому классическая область представляет
незначительный интерес. В дальнейшем мы будем рассматривать
лишь квантовомеханические соотношения.
Хотя верхний предел частоты A5.19) и соответствует прибли-
приближенно получающемуся из закона сохранения энергии, квантовое
выражение для сечения излучения вблизи верхней границы спект-
спектра применимо лишь качественно. Причина этого, как уже отме-
отмечалось во введении к настоящей главе, заключается в дискретной
квантовой природе испускаемых фотонов. Для мягких фотонов,
энергия которых значительно меньше максимальной, дискрет-
дискретность природы излучения несущественна, так как уносимые энергия
и импульс пренебрежимо малы. Для жестких же фотонов вблизи
границы спектра эти эффекты значительны. Один из очевидных
возможных способов учета требования сохранения энергии сос-
состоит в том, что в определение прицельных параметров A5.14)
и A5.17) вводится средняя скорость
:^), A5.21)
где Е = 1/2Mv2—начальная кинетическая энергия частицы,
а Па — энергия излученного фотона. Подставляя в A5.18) вме-
вместо v эту среднюю скорость, получаем
я
При 'к = 2 это выражение для сечения тормозного излучения в точ-
точности совпадает с квантовомеханическим результатом в борновском
приближении, впервые полученным Бете и Гайтлером A934 г.).
Аргумент логарифма равен, очевидно, единице при ftco = Mv212,
§ 2. Тормозное излучение при нерелятивистских соударениях 563
так что закон сохранения энергии удовлетворяется. На фиг. 15.3
изображены кривые зависимости сечения излучения от частоты.
Приведены кривые, соответствующие формуле Бете — Гайтлера
A5.22), «полуклассической» квантовой формуле A5.18) и класси-
классической формуле A5.15), в которых положено X = 2, г\ = 10.
1,0
Фиг. 15.3. Зависимость сечения тормозного излучения для кулоновских
столкновений от частоты, нормированной к максимальному значению частоты
Е/Ъ.
Кривая / соответствует классическому выражению (для f\ = 10), применимому
лишь для очень низких частот; кривая 2 — борновскому квантовомеханическому;
кривая 3 — полуклассическому выражению A5.18).
Спектральное распределение тормозного излучения иногда ха-
характеризуют сечением излучения фотона, имеющим размерность
[площадь /энергия]:
й(оа
торм
) d (/ico) = % (со) dco.
Сечение излучения фотона, очевидно, равно
he
^in
A5.23)
A5.24)
где аргумент логарифма тот же, что и в A5.15) или A5.22). Так
как логарифм меняется относительно медленно в зависимости
от энергии фотона, то сечение аторм приблизительно пропорцио-
пропорционально (hid). Это известная характерная особенность спектра
тормозного излучения.
564 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
Зависимость сечения излучения % (со) от свойств частиц, уча-
участвующих в соударении, определяется множителем Z2z*/M2.
Очевидно, излучение наиболее велико в средах с большим атомным
номером. Полная энергия, теряемая на излучение частицей при
прохождении ею слоя единичной толщины вещества, содержащего N
неподвижных зарядов Ze (атомных ядер) в единице объема, равна
^макс
= N \ x(<°)d(o. A5.25)
dx
о
Используя выражение A5.22) для % (со) и переходя к переменной
интегрирования х = Ясо/?, можно переписать формулу для потерь
в виде
A5-26)
Безразмерный интеграл оказывается равным единице. Для срав-
сравнения приведем отношение потерь энергии на излучение к поте-
потерям на соударения A3.13) или A3.44):
4 z2 Z m f v
dEC0YR Зл " 137 М V с
Для нерелятивистских частиц (v < с) потери на излучение прене-
пренебрежимо малы по сравнению с потерями при соударениях. Заме-
Заметим, что для тех случаев, когда наряду с основным процессом
(в данном случае — отклонение частицы в кулоновском поле ядра)
учитывается излучение, характерно появление в выражениях
постоянной тонкой структуры е2/%с= 1/137. Наличие множите-
множителя пг/М связано с тем, что потери на излучение определяются
ускорением налетающей частицы, тогда как потери при соударениях
определяются ускорением электрона.
§ 3. Тормозное излучение
при релятивистском движении
При расчете излучения при соударении релятивистских частиц
с атомными ядрами следует ввести некоторые поправки. На пер-
первый взгляд может показаться, что нерелятивистское рассмотрение,
проведенное в предыдущем параграфе, вообще теряет силу, и необ-
необходимо провести заново полностью релятивистское исследование.
Однако одно из преимуществ специальной теории относительности
(не говоря уже о том, что она верна и, следовательно, необходима)
заключается в том, что она позволяет проводить расчет в удобной
системе отсчета и лишь на заключительном этапе переходить к лабо-
лабораторной системе координат. Поэтому, как мы сейчас увидим,
§ 3. Тормозное излучение при релятивистском движении
565
весь расчет тормозного излучения при релятивистском движении,
кроме его заключительной части, может быть проведен нереляти-
нерелятивистскими методами.
Отметим два существенных обстоятельства. Прежде всего, как
мы знаем, излучение ультрарелятивистской частицы сосредоточено
в узком конусе с углом раствора порядка Me2 IE, где Е — полная
энергия. Поэтому, если нас не интересуют очень тонкие детали
Фиг. 15.4. Представление излучения, испускаемого релятивистской частицей
при соударении: а— в лабораторной системе координат (ядро покоится);
б — в собственной системе координат К' (налетающая частица покоится).
явления, достаточно рассмотреть лишь полную энергию, излучае-
излучаемую на данной частоте. Далее, обычно в процессе соударения (если
исключить случаи очень близких соударений) налетающая частица
испытывает лишь незначительное отклонение и теряет весьма
малую долю своей энергии. В системе отсчета К', относительно
которой налетающая частица первоначально покоится, а ядро
движется со скоростью v ~ с, движение налетающей частицы
в течение всего времени соударения остается нерелятивистским.
Поэтому в системе К' процесс излучения может быть описан чисто
нерелятивистским образом. Связь между характеристиками излу-
излучения, наблюдаемого в лабораторной системе координат и в сис-
системе отсчета К\ схематически представлена на фиг. 15.4.
Теперь мы можем почти полностью повторить все рассуждения,
приведенные в § 1 и 2. Нужно лишь установить новые пределы
изменения прицельных параметров. Из-за релятивистского сокра-
сокращения полей (см. гл. 11, § 10) время соударения A1.120) умень-
уменьшается в у раз, где у = Е/Мс2. Поэтому значение максимального
прицельного параметра будет равно [ср. A5.14)]
yv
со'
A5.28)
где со'— частота излучения в системе К'. Минимальное значение
прицельного параметра в этом случае не равно предполагаемому
566 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
значению %/р — h/yMv, хотя эта величина и определяет «разма-
«размазывание» частицы, обусловленное квантовыми эффектами. Правиль-
Правильное значение ймин по-прежнему дается формулой A5.17), не со-
содержащей множителя у» в чем легко убедиться из следующего
рассуждения. При излучении все элементы распределения заряда
должны испытывать одинаковое ускорение в один и тот же момент
времени. В противном случае интерференционные эффекты в силь-
сильной степени ослабят излучение. Поэтому излучение может быть
значительным лишь в том случае, когда протяженность ускоряю-
ускоряющего импульса, обусловленного полем пролетающего ядра, велика
по сравнению с размером «размазанного» заряда. Протяженность
импульса имеет величину порядка Ыу, тогда как поперечный раз-
размер области распределения заряда есть величина порядка %/yMv.
Отсюда следует, что и при релятивистском движении нижний
предел возможных значений прицельного параметра определяется
соотношением A5.17).
Используя выражения A5.11) и A5.12) и новые предельные
значения прицельного параметра, получаем сечение излучения
%' (со') в системе К'
jln (-fo-j • <15-29)
Чтобы переписать полученный результат в лабораторной (нештри-
хованной) системе отсчета, необходимо знать трансформационные
свойства сечения тормозного излучения и частоты. Размерность
сечения излучения [площадь-энергия/частота]. Так как энергия
и частота преобразуются при преобразовании Лоренца одинаковым
образом, а поперечные размеры инвариантны, то сечение тормозного
излучения лоренц-инвариантно
Х(ю) = Х'(ю')- A5.30)
Закон преобразования частоты определяется формулой реляти-
релятивистского допплеровского смещения A1.38)
(o^ycd'O + PcosG7), A5.31)
где 9'— угол, под которым излучение испускается в системе /С'.
Сечение % (со') представляет собой полное сечение, полученное
интегрированием по углам в системе К". Так как ускорение в этой
системе преимущественно поперечное, распределение излучения
приблизительно симметрично относительно направления 9'= я/2.
Следовательно, в среднем со = усо'1)- Подставляя это значение со'
х) Этот результат можно получить непосредственно из первоначального
преобразования A1.37) со' = у00 (! — Р cos 9). Действительно, при у > 1
и0< 1 имеем со' яь (со/2у) A + Y2^2)- Так как среднее значение у2в2 в лабо-
лабораторной системе имеет порядок единицы, то со' ^ со /у.
§ 3* Тормозное излучение при релятивистском движении 567
в A5.29), получаем для сечения тормозного излучения в лабора-
лабораторной системе соотношение
v (со) ^ ^ nnrv — п —Л- , (lo.oz)
ЛУ ' 3 с V Me2 J \v J \ Tico J v '
Эта формула отличается от нерелятивистской формулы A5.18)
лишь множителем у2 в аргументе логарифма. Из закона сохране-
сохранения энергии следует, что полученное выражение применимо лишь
в области частот 0 < йа> < (у — 1) Мс2 « уМс2. Заметим, что
кванты с энергией Мс2 < Ьы < уМс2 в лабораторной системе со-
соответствуют квантам Ясо' < Мс2 в системе /С'.
Приведенный выше вывод выражения % (со) в лабораторной
«системе координат несколько небрежен, так как не содержит стро-
строгого рассмотрения зависимости преобразованной частоты от угла.
В действительности следовало бы рассмотреть дифференциальное
сечение излучения в системе /С#:
[?] A5-33)
где А — коэффициент при логарифме в формуле A5.32). Завися-
Зависящее от угла выражение в квадратных скобках представляет собой
сумму двух членов, соответствующих различным поляризациям
1см. A5.9)], и нормировано так, чтобы интеграл по полному телес-
телесному углу был равен единице. Преобразуя A5.33) к лабораторной
•системе отсчета согласно A1.38), получаем
л In Г 2ХуШу2 1 3 У^+У494) A5 34)
dQ Л Ш Ucd A+Y2e2) J 2я A+Y262L • V * ;
Угловое распределение имеет резкий максимум в направлении
-0 = 0. Для ву > 1 зависящий от угла множитель убывает как
(9у)~4. Выражение A5.34), разумеется, неприменимо для углов
Q > 1. Однако определяемый им порядок величины верен: интен-
интенсивность излучения в обратном направлении в у4 Раз меньше, чем
в направлении вперед, и в пределе (9 = я) достигает значения
^H=_l_AlnfM^V A5.35)
E™ dQ 32л у2 V 2*со J V ;
Так как почти все излучение сосредоточено в области углов 9 < 1,
можно без большой ошибки приближенно представить элемент
телесного угла в виде dQ « 2я9 dO = (я /у2) d (у292) и провести
интегрирование в интервале O<Y202<°°- B результате для
лолного сечения излучения получим
)||] С5.36)
что несущественно отличается от прежнего результата A5.32).
568 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
§ 4. Влияние экранирования.
Потери на излучение в релятивистском случае
До сих пор при рассмотрении тормозного излучения мы прене-
пренебрегали ролью атомных электронов. Их непосредственное влияние
на ускорение налетающей частицы вполне можно не учитывать, так
как величина соответствующего эффекта в Z раз меньше эффекта,
обусловленного ядром. Однако электроны оказывают косвенное
влияние, экранируя заряд ядра. Потенциальная энергия налетаю-
налетающей частицы в поле атома может быть приближенно описана выраже-
выражением A3.94). Это означает, что при таких соударениях, когда при-
прицельный параметр превышает радиус атома A3.95), излучение
незначительно. Можно приближенно учесть этот эффект в предше-
предшествовавших вычислениях, определив максимальный прицельный
параметр с учетом экранирования атомными электронами
-а^1,4^г. A5.37)
При этом в аргументе логарифма следует использовать меньшую
из величин йМакс, определяемых по формулам A5.28) и A5.37).
Найдем отношение этих величин:
fl-^> A5.38)
где т — масса электрона и использовано среднее значение частоты
со' = со /у. Отсюда видно, что для достаточно низких частот вели-
величина ймГкс всегда меньше значения &Макс> найденного с помощью
соотношения A5.28). Отношение предельного значения частоты соэкр,
ниже которого следует использовать параметр ймГкс» к граничной
частоте спектра сомакс = A М)(у — 1)Л1с2, равно
«экр
^макс
Z1/3 /
"~ 192 V
r m *
ч М .
) \у
+ iy/2 _
192
ZV3
М
т
т
1 A5.39)
т
192" "
где верхнее значение соответствует нерелятивистской частице,,
а нижнее — релятивистской. При со < соэкр аргумент логарифма
в выражении A5.32) для сечения излучения перестает зависеть
от частоты
A5.40)
§ 4. Влияние экранирования 569
Поэтому сечение тормозного излучения стремится к постоянной-
величине
х(@) ^ __^^ (^ in(^
при со < соэкр. Благодаря этому на низких частотах энергия, излу-
излучаемая в единичном интервале, остается конечной, а не расходится
логарифмически. Совершенно аналогично при учете экранирования
ликвидируется расходимость сечения рассеяния вида 9~4, имеющая
место для чисто кулоновского поля [см. A3.96)] при рассеянии
на малые углы.
За исключением случая предельно низких скоростей, частота
экранирования соэкр очень мала по сравнению с нерелятивистским
значением сомакс. Так, соэкр/сомакс ^0,07 для электронов с кине-
кинетической энергией 100 кэв, падающих на мишень из золота (Z = 79).
Для более тяжелых нерелятивистских частиц отношение еще
меньше. Это означает, что в нерелятивистском случае изображен-
изображенные на фиг. 15.3 спектральные зависимости изменятся лишь на очень
малых частотах.
Для ультрарелятивистских частиц экранирование может быть
«полным». Полное экранирование возникает при соэкр > сомакс.
Это имеет место при энергии, превышающей некоторое критическое
значение
(!^)Мс2- A5-42>
Для электронов ЯЭкр ~ 42 Мэв в алюминии (Z = 13) и 23 Мэв
в свинце (Z = 82). Соответствующие величины для ji-мезонов
составляют 2-Ю6 и 106 Мэв. Из-за наличия множителя М1т влия-
влияние экранирования существенно лишь для.электронов. При Е> ?Экр
сечение тормозного излучения на всех частотах имеет постоянную
величину A5.41). На фиг. 15.5 изображены кривая сечения тормоз-
тормозного излучения A5.41) в предельном случае полного экранирования
и соответствующая кривая по теории Бете — Гайтлера. Квантово-
механическое рассмотрение, проведенное этими авторами, приводит
к дополнительному коэффициенту, медленно меняющемуся от 1 при
со = 0 до 0,75 при со = сомакс. Тормозное излучение электронной
компоненты космических лучей и электронов на выходе ускорителей
на большие энергии соответствует предельному случаю полного
экранирования. Поэтому в этих случаях спектральное распределе-
распределение фотонов описывается типичной зависимостью (ftсо).
В § 2 были рассмотрены потери на излучение в нерелятивист-
нерелятивистском случае и показано, что они пренебрежимо малы по сравнению
с потерями энергии при соударениях. Для ультрарелятивистских
570 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
частиц и особенно электронов этот вывод уже не верен. В предель-
предельном случае у > 1 потери на излучение определяются приближенной
формулой
dx
где вид аргумента логарифма зависит от того, какая из величин
со и соэкр больше. При слабом экранировании ((оЭ1ф < сомакс)
получаем приближенное выражение
1 " f 2 Л л -/Л ч " ' A5.44)
dx 3 ?ic
Для более высоких энергий, когда имеет место полное экранирова-
экранирование, полученное выражение заменяется формулой
A5.45)
dx
Ьс
Мс*
откуда видно, что при достаточно больших энергиях потери на излу-
излучение становятся пропорциональными энергии частиц.
I
I
Фиг. 15.5. Сечение тормозного излучения в предельном случае полного
экранирования.
Постоянное значение сечения соответствует полуклассическому результату; пунктир-
пунктирная кривая соответствует квантовомеханическому расчету в борновском приближении.
Сравнение потерь на излучение с потерями при соударениях
в последнем случае дает
ЛЕИЗЛ ^ 4 fZz2\ m ln(X-192M/Z1/3m) (\Ъ АЬ\
CJLС* qг\"у тг О«X ч. 1 О / J IVi 1П ?3 т^ г%
Значение у, для которого это отношение равно единице, зависит
от вида частиц и величины Z. Для электронов у ~ 200 для воздуха
и ~ 20 для свинца. При более высоких энергиях потери на тормоз-
тормозное излучение превышают потери за счет соударений, а для ультра-
ультрарелятивистских частиц они представляют собой основной вид
потерь.
§ 5. Метод виртуальных фотонов Вейцзеккера — Вильямса 571
При энергиях, для которых тормозное излучение является
доминирующим, применима формула A5.45), соответствующая слу-
случаю полного экранирования. Здесь удобно ввести характерную
единицу пути Хо, называемую радиационной длиной и равную
расстоянию, при прохождении которого энергия частицы убывает
в е раз. Согласно закону сохранения энергии, можно переписать
A5.45) в виде
dE Е_
dx Хо '
откуда следует, что
Е(х) = Еое~х/хо, A5.47)
где радиационная длина
Для электронов, например, величина Хо равна 32 г /см2 B70 м)
в воздухе при нормальных значениях температуры и давления;
19 г/см2 G,2 см) в алюминии и 4,4 г/см2 @,39 см) в свинце1).
При рассмотрении прохождения космических лучей или искусствен-
искусственно ускоренных частиц больших энергий через вещество удобно
использовать понятие радиационной длины Хо, так как ею опре-
определяются не только потери энергии, но и образование электрон-
позитронных пар излученными фотонами и тем самым все развитие
каскадных электронных ливней.
§ 5. Метод виртуальных фотонов
Вейцзеккера — Вильямса
При рассмотрении испускания тормозного излучения и других
процессов, при которых имеет место электромагнитное взаимодей-
взаимодействие релятивистских частиц, физическая интерпретация явлений
значительно облегчается при применении так называемого метода
виртуальных фотонов. В этом методе используется сходство поля
движущейся заряженной частицы с импульсом электромагнитного
поля (см. гл. 11, § 10) и устанавливается связь между эффектами,
возникающими при соударениях релятивистской заряженной части-
частицы с некоторой системой, и соответствующими эффектами, обус-
обусловленными взаимодействием излучения (виртуальных фотонов)
с этой же системой. Метод был независимо разработан в 1934 г.
Вейцзеккером и Вильямсом.
1) Приведенные значения отличаются приблизительно на 20—30% от
данных Росси [87], который при вычислениях использовал более точные коэф-
коэффициенты: 4 вместо 16/3 и Z (Z + 1) вместо Z2 в A5.48).
572 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
В любом процессе соударения имеются «налетающая частица»
и «система, испытывающая удар» (рассеивающая система). Возму-
Возмущающее действие полей налетающей частицы заменяется экви-
эквивалентным импульсом излучения, который можно представить
в виде спектрального разложения по виртуальным фотонам. Затем
вычисляется взаимодействие фотонов (рассеяние или поглощение)
с рассеивающей системой. Таким образом устанавливается связь
между взаимодействием заряженных частиц и взаимодействием
фотонов. В приводимой ниже таблице указано, какой радиационный
процесс соответствует тому или иному виду взаимодействия нале-
налетающей и рассеянной частиц.
Соответствие между взаимодействием частиц и радиационными процессами
Тип взаимодействия
частиц
Налетающая
частица
Рассеиваю-
Рассеивающая система
Соответствующий
радиационный
процесс
Тормозное излуче-
излучение при соуда-
соударениях электро-
электрона (или легкой
частицы) с яд-
ядром
Ионизация ато-
атомов при соу-
соударениях (при
дальних соуда-
соударениях)
Расщепление ядер
Рождение я-мезо-
нов в электрон-
ядерных соуда-
соударениях
Ядро
Ионизирую-
Ионизирующая ча-
частица
Электрон
Электрон
Электрон
(легкая
частица)
Атом
Ядро
Ядро
Рассеяние вирту-
виртуальных фотонов
кулоновского
поля ядра на
электроне (лег-
(легкой частице)
Освобождение
атомных элек-
электронов вирту-
виртуальными фото-
фотонами
Фоторасщепление
ядер виртуаль-
виртуальными фотонами
Фоторождение я-
мезонов при
взаимодействии
виртуальных
фотонов с ядра-
ядрами
h/Mv
Большая
из вели-
величин
fi /ymv
и R
Как видно из таблицы, рассеивающая система не всегда совпа-
совпадает с лабораторной мишенью. При рассмотрении тормозного излу-
излучения рассеивающей системой следует считать более легкую из со-
соударяющихся частиц, так как для нее мощность излучения больше.
При тормозном излучении в электрон-электронных столкновениях,
§ 5. Метод виртуальных фотонов Вейцзеккера—Вильямса
573
как следует из симметрии задачи, необходимо брать сумму двух
полей, поочередно считая каждый из электронов рассеивающей
системой, покоящейся в начальный момент в некоторой системе
координат.
Метод виртуальных фотонов основан на предположении о том, что
эффекты, обусловленные различными спектральными компонентами
эквивалентного излучения, складываются некогерентно. Это утверж-
утверждение справедливо в том случае, когда возмущение, обусловленное
Фиг. 15.6. Релятивистская заряженная частица, пролетающая вблизи
от рассеивающей системы «S, и эквивалентный импульс излучения.
полями, можно считать малым, и непосредственно связано с приня-
принятым в § 2 допущением о малом смещении рассеивающей частицы
за время соударения.
Спектральное распределение электромагнитного поля, экви-
эквивалентного налетающей частице с зарядом q и скоростью v « с,
проходящей на прицельном расстоянии Ъ от рассеивающей систе-
системы S, можно найти из выражений для полей, приведенных в гл. 11,
§ Ю:
yvt
A5.49)
При P « 1 поля Ег (t) и В 2 @ полностью эквивалентны волновому
пакету Р4 линейно поляризованного излучения, падающему на сис-
систему S в. направлении х3, как показано на фиг. 15.6. В выражения
A5.49) не входит магнитное поле, которое образовало бы вместе
с полем Е3 (t) волновой пакет Р2, падающий в- направлении Xi.
Тем не менее если движение заряженной частицы вблизи системы S
в выбранных координатах является нерелятивистским, то можно
добавить требуемое магнитное поле и образовать импульс Р2.
574 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
При этом мы не изменим физической картины, так как частицы
системы S реагируют лишь на электрическое поле. Даже в том
случае, когда частицы системы S подвержены действию магнитных
сил, добавочное магнитное поле, которое мы вводим, заменяя
поле Е3 @ импульсом излучения Р2, все равно не имеет существен-
существенного значения, поскольку относительное влияние Р2, как будет
показано, всегда мало.
Как следует из гл. 14, § 5, и в частности из соотношений A4.51),
A4.52) и A4.60), спектральная плотность энергии эквивалентного
импульса излучения Р± (поток энергии через единичную площадку
в единичном интервале частот) дается выражением
// La I Г / ч i 9 /1С гл\
! ((D, 0)= ——|JC1(O))p, A5.50)
где Ei (со) — фурье-амплитуда A4.54) поля El(t), определяемого
соотношением A5.49). Аналогично спектральное распределение для
импульса излучения Р2 имеет вид
// L.4 ^ I Г / Ч 19 / | г г 1 v
2 (со, Ь) = -у-1 Е3 (со) |2. A5.51)
Соответствующие интегралы Фурье были вычислены в гл. 13
[см. A3.29) и A3.30)]. Таким образом, спектральные распределения
можно записать следующим образом:
Л (а, 6) 1 j__?!Y_cY_L ' ' ~~ ' п'(
/2(Ю, Ь) ] ** с \v J Ь*
Мы видим, что выражение для интенсивности импульса излучения
Р2 содержит множитель у~2; таким образом, для ультрарелятивист-
ультрарелятивистских частиц влияние этого импульса мало. Качественно получен-
полученные спектральные распределения изображены на фиг. 15.7. Вид.
кривых легко понять, вспомнив, что распределение электромагнит-
электромагнитного поля для импульса излучения Pi имеет колоколообразную
форму с характерной шириной At ~ b/yv. Поэтому спектр излуче-
излучения содержит все частоты вплоть до максимальной сомакс, которая
имеет величину порядка 1 /Af. С другой стороны, поле импульса Р2
близко по форме к волне синусоиды с частотой со ~ yvlb. Поэтому
его спектр состоит из узкой области частот с центром вблизи yvlb.
При исследовании соударений следует просуммировать спек-
спектральные распределения A5.52) по различным возможным значе-
значениям прицельных параметров. В результате получим величину
энергии эквивалентного поля излучения, приходящегося на еди-
единичный интервал частоты. Как всегда в подобных задачах, необхо-
необходимо определить минимальное значение прицельного параметра
§ 5, Метод виртуальных фотонов Вейцзеккера—Вильямса
575
&мин- Метод виртуальных фотонов дает хорошие результаты лишь
в том случае, когда можно выбрать такое значение ЬШИН, что для
b > Ьшт эффекты, обусловленные налетающей частицей, можно
с достаточной точностью заменить эффектами, вызванными экви-
эквивалентным импульсом излучения, тогда как при малых Ь влияние
полей частиц пренебрежимо мало или может быть учтено каким-
либо другим способом. Предположим, что мы каким-то образом
Фиг. 15.7. Частотные спектры двух эквивалентных импульсов излучения-
определили соответствующее значение 6Мин- Тогда спектральное
распределение интенсивности можно проинтегрировать по всем
возможным прицельным параметрам:
, b)]bdb.
A5.53)
Здесь учтено влияние обоих импульсов излучения Р± и Р2- Это
интегрирование уже было проведено в гл. 13, § 3 [см. A3.35)].
В результате получаем
где
yv
A5.54)
A5.55)
На низких частотах со < Y^/^мин энергия излучения в единичном
интервале частот принимает вид
() LlnC^JJ; A5-56>
576 Гл, 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
на высоких частотах со > yvlbMmK интенсивность излучения экс-
экспоненциально спадает
На фиг. 15.8 изображены зависимость / (со) по A5.54) для случая
v » с и кривая, соответствующая низкочастотному приближе-
приближению A5.56). Видно, что спектральное распределение интенсивности
Низкочастотное \
приближение
Фиг. 15.8. Спектральное распределение виртуальных фотонов
для релятивистской частицы.
Энергия в единичном интервале частот отнесена к цг/пс. частота — к^/^мин- Число
виртуальных фотонов в единичном интервале энергии можно получить, разделив зна-
значение ординаты на Пг(О.
¦содержит главным образом низкочастотные фотоны и имеет хвост,
простирающийся до частот порядка 2yv/bMim.
Число N (%(о) виртуальных фотонов данной частоты, приходя-
приходящихся на единичный интервал энергии, определяется соотношением
/ (ю) d(o = ГшЫ (Паи) d (ft©). A5.58)
Для предельного случая низких частот оно равно
§ 6. Тормозное излучение как рассеяние виртуальных фотонов 577
Остановимся теперь на вопросе о выборе минимального прицель-
прицельного параметра 6МИН. Для тормозного излучения, как отмечалось
в § 3, &мин = Ь /Mv, где М — масса более легкой частицы. В задаче
об ионизации атомов при соударениях Ьмин « а, т. е. совпадает
с радиусом атома; более близкие соударения следует рассматривать
как соударения налетающей частицы со свободными электронами.
В случае расщепления ядер электронами или рождения мезонов
при взаимодействии ядер с электронами Ьмин — b/yMv или
Ьмин = R (радиус ядра) в зависимости от того, какая из этих
величин больше. Указанные величины Ьмин приведены в таблице
на стр. 572.
§ 6. Тормозное излучение как рассеяние
виртуальных фотонов
Испускание тормозного излучения при соударении налетающей
частицы, имеющей заряд ге и массу М, с атомным ядром с зарядом Ъе,
можно рассматривать как рассеяние виртуальных фотонов кулонов-
ского поля ядра на налетающей частице в системе координат /С',
относительно которой налетающая частица покоится. Спектраль-
Спектральное распределение виртуальных фотонов определяется соотноше-
соотношением A5.54), где q = Ze. Минимальное значение прицельного
параметра равно %/Mv, так что спектр частот занимает область
вплоть до со' ~ уМс21%.
Рассеяние виртуальных фотонов на налетающей частице (она
является рассеивающим препятствием в системе отсчета К') на малых
частотах определяется томсоновским эффективным сечением A4.105),
а при энергиях фотонов %ю' > Мс2 — формулой Клейна — Ниши-
ны A4.106). Таким образом, на частотах со', малых по сравнению
с Мс2/%, сечение тормозного излучения %' (со') в системе отсчета К'
определяется формулой
К^)ЁA5-60)
Так как спектр виртуальных фотонов простирается до частот
порядка yMc2/h, в области со' < Мс2/% можно воспользоваться
приближенным выражением A5.56) для / (со'). Это дает для сечения
тормозного излучения значение
,, ,ч 16 Z2g2 ( Z262 N 2
где движение считается ультрарелятивистским (v « с).
Полученное выражение для сечения тормозного излучения прак-
практически совпадает с A5.29) и может быть преобразовано в лабора-
лабораторную систему координат совершенно аналогично тому, как это
было сделано в § 3. Формулы A5.60) и A5.61), полученные при
578 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
использовании томсоновского сечения рассеяния, справедливы лишь
для квантов с частотами со' ^ Мс2/% в системе К''. Для частот
со' :> Mc2lh следует заменить постоянное сечение рассеяния Том-
сона A4.105) квантовомеханическим значением по формуле Клей-
Клейна — Нишины A4.106), быстро убывающим с ростом частоты.
Это означает, что в системе К' частоты тормозного излучения лежат,
в области 0 < со' < Мс2 /Ь, хотя сам спектр виртуальных фотонов,
кулоновского поля ядра простирается до гораздо более высоких
частот. Физически ограничение спектра в системе К" вытекает
из закона сохранения энергии, так как в лабораторной системе
отсчета, где со = уы', спектр частот ограничен областью 0 < со <
<СуМс2/Ь. Детальный расчет с учетом углового распределения
излучения по формуле Клейна —¦ Нишины приводит к сечению
тормозного излучения, полностью согласующемуся с формулами
Бете — Гайтлера (Вейцзеккер, 1934 г).
Влияние эффекта экранирования на спектр тормозного излуче-
излучения может быть также учтено методом Вейцзеккера — Вильямса.
Спектр виртуальных фотонов для экранированного кулоновского
потенциала отличается от A5.56) тем, что аргумент логарифма
заменяется на константу, как мы видели в § 4.
Рассмотрение дальнейших применений метода виртуальных
фотонов в таких задачах, как ионизация атомов в соударениях
и расщепление ядер электронами, мы отнесем к задачам в конце
главы.
§ 7. Излучение при бета-распаде
В процессе ^-распада происходит спонтанное превращение
нестабильных ядер с атомным номером Z в ядра с атомным номером
(Z ± 1), сопровождаемое испусканием электрона (qp ё) и нейтрино.
Этот процесс символически можно записать следующим образом:
A5.62)
Освобождающаяся в процессе распада энергия почти полностью
распределяется между электроном и нейтрино; на долю ядра отдачи
из-за его очень большой массы приходится совершенно незначи-
незначительная часть энергии. Даже не зная, почему и как происходит
^-распад, можно предполагать, что внезапное образование быстро
движущихся заряженных частиц должно сопровождаться испус-
испусканием излучения. Как уже отмечалось в вводных замечаниях
к данной главе, можно либо представлять себе, что первоначально
покоившийся электрон интенсивно ускоряется в течение корот-
короткого интервала времени, либо считать, что в течение того же интер-
интервала времени происходит быстрое «включение» заряда. Тяжелое
ядро получает незначительное ускорение и поэтому его излучение
несущественно.
§ 7. Излучение при бета-распаде 579
Для расчета примем, что при (=0 в начале координат возни-
возникает электрон, обладающий постоянной скоростью v = ф. В этом
случае, согласно A4.67), угловое и спектральное распределение
интенсивности излучения определяется зависимостью
dl (со) _ е2со2
dQ ~
nx (n X fi)exp j/co f t — n'^*M } dt 2 . A5..63)
о
Так как вектор |$ постоянен, то г (t) = cfit. При этом угловое рас-
распределение интенсивности излучения принимает вид
A5.64)
где угол 9 отсчитывается от направления движения испускаемого
электрона. Отсюда
с//(о) ^ sin2e - -
Р A —pcosGJ' U°-D^)
dQ ~~ ( p)
а интенсивность полного излучения в единичном интервале частот
описывается соотношением
(l5-66)
При Р < 1 формула A5.66) принимает вид / (со) ж 2е2$2/3яс,
откуда видно, что для ^-частиц низкой энергии излучение незна-
незначительно.
Спектральное распределение интенсивности A5.66) является
типичным спектром тормозного излучения; число фотонов в еди-
единичном интервале энергии равно
[HH] <15-67>
Это излучение называют иногда внутренним тормозным излучением
в отличие от тормозного излучения той же самой Р-частицы при
прохождении через вещество. Может показаться, что в противоре-
противоречии с законом сохранения энергии спектр простирается в бесконеч-
бесконечность. Качественное согласие с законом сохранения энергии можно
получить, учтя принцип неопределенности. На фиг. 15.9 качественно
изображена зависимость скорости электрона от времени.
Наше вычисление основано на скачкообразном изменении скоро-
скорости за бесконечно малое время ускорения т. Однако,- как известно,
согласно принципу неопределенности при заданной неопределенно-
неопределенности в энергии А? неопределенность во времени не может быть мень-
меньше А/ ~ Я/А?. При рождении р-частицы Д? = Е — уте2, так что
время т должно быть по порядку величины равным Ъ1Е. Это дает
580
Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
для границы спектра частот значение о)макс ~ Е/%, что по крайней
мере качественно согласуется с требованием, налагаемым законом
сохранения энергии.
Полная энергия излучения приближенно описывается соотно-
соотношением
A5-68)
Для очень быстрых частиц отношение энергии излучения к энергии
частицы равно
F 9р2Г S 9F \ Л
-T-iMKSr)--1]- A5-69)
Отсюда видно, что энергия излучения составляет лишь очень
малую долю полной энергии, выделяемой при р-распаде, даже
o(t)
Фиг. 15.9.
в наиболее интенсивных р-процессах (?Макс ~ 30 тс2). Тем не ме-
менее испускаемое излучение может наблюдаться и представляет
большой интерес для физиков-ядерщиков.
В реальном процессе р-распада выделяемая энергия распреде-
распределяется между электроном и нейтрино, так что электроны характе-
характеризуются непрерывным спектром энергии, простирающимся до неко-
некоторой максимальной частоты. Поэтому спектр излучения A5.66)
следует усреднить по энергетическому распределению р-частиц.
Кроме того, учет квантовомеханических эффектов приводит к изме-
изменениям вблизи верхней границы спектра фотонов. Таковы важней-
важнейшие поправки, которые нужно учесть для количественного сравне-
сравнения теории с экспериментом. Однако общий характер излучения
и полукачественное его описание верно даются уже нашим клас-
классическим вычислением.
§ 8. Излучение при захвате орбитальных электронов
581
§ 8. Излучение при захвате орбитальных
электронов. Исчезновение заряда
и магнитного момента
При р-распаде внезапное рождение быстрого электрона приво-
приводит к возбуждению излучения. К аналогичному результату при-
приводит исчезновение орбитального электрона при его захвате ядром.
Захват орбитального электрона представляет собой процесс, в кото-
котором орбитальный электрон, движущийся вокруг нестабильного
Фиг. 15.10.
ядра с атомным номером Z, захватывается ядром, в результате
чего оно превращается в ядро нового вида с атомным номером
(Z— 1). При этом одновременно испускается нейтрино, уносящее
избыток энергии. Символически этот процесс можно записать
следующим образом:
. A5.70)
Так как в отсутствие излучения энергию распада уносят прак-
практически неуловимые нейтрино, то спектр фотонов, излучаемых
при захвате орбитальных электронов, является важным источником
информации о выделяемой энергии.
Рассмотрим упрощенную модель, в которой атомный электрон
движется с постоянной угловой частотой о>0 по круговой орбите
радиусом а. Орбита лежит в плоскости ху, как показано на
фиг. 15.10, причем ядро расположено в центре окружности. Напра-
Направление наблюдения задано вектором п, который лежит в плоскости
xz и характеризуется полярным углом 0. Скорость электрона равна
v (t) = —
((o0t + a) + е2ща cos ((o0t + a), A5.71)
582 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
где а — произвольная постоянная фаза. Пусть электрон исчезает
в момент t = 0. Тогда спектральное распределение интенсивности
излучения A4.67) может быть приближенно представлено в виде
о
dl (со) е2со2
\ п х [п х v (t)] еш dt 2 . A5.72)
Эта формула получена в предположении (соа/с) < 1 (дипольное
приближение); в этом случае экспоненциальный множитель, учиты-
учитывающий запаздывание, можно заменить единицей. Интеграл в выра-
выражении A5.72) можно переписать следующим образом:
J A5.73)
—оо
где
о
h= \ cos(<o0t+a)e™xdU
A5.74)
12= \ sin ((o0t + a)
a e^ и ец — единичные векторы поляризации, соответственно нор-
нормальный и параллельный плоскости, проходящей через п и ось г.
Интегралы берутся элементарно, и в результате распределение
интенсивности принимает вид
х
dQ ~~ 4я2с3 (со2 — 0JJ
X [(со2 cos2 a + cousin2 а) + cos2 9 (со2 sin2 а + а>; cos2 а)]. A5.75)
Так как электрон может быть захвачен в любой точке орбиты, необ-
необходимо провести усреднение по всем фазовым углам а, что дает
2
аУ|( A5.76)
ogJ 2 v х '
Полная энергия излучения в единичном интервале частот опре-
определяется выражением
г((л-2 е2 Г<*оаУ Гсо2(со2о + со2I 1\Ы7\
1{^-ыТ\~) L (со2-со§J J ' VbJi>
а число фотонов в единичном интервале энергии равно
Г со2(со§ + со2) 11 /lt- 7Q4
L (Д-^'\ш- A5-78)
§ 8. Излучение при захвате орбитальных электронов
583
Для со > со0 выражение в квадратных скобках стремится к еди-
единице и спектр принимает вид, характерный для тормозного излуче-
излучения. Однако при со ^ со0 интенсивность резко возрастает (в нашем
приближении до бесконечности). На фиг. 15.11 изображено спек-
спектральное распределение числа фотонов. Наличие особой точки при
со = со0 может показаться странным, однако ее следовало ожидать.
Действительно, если электрон все время находится на орбите,
N(hw)
о Псо0
Ф и г. 15.11. Спектральное распределение фотонов, излучаемых в резуль-
результате исчезновения заряда электрона при захвате орбитального электрона.
то его спектр излучения представляет собой резкую спектральную
линию при со = со0. Внезапное прекращение периодического дви-
движения приводит к уширению спектрального распределения в окрест-
окрестности характеристической частоты.
С точки зрения квантовой механики излучение происходит
при виртуальном радиационном переходе электрона из состояния
с / = 1 (главным образом с 2р-орбиты) в состояние с / = 0, в кото-
котором он может быть поглощен ядром. Поэтому частоту со0 следует
отождествить с характерной частотой рентгеновского спектра,
соответствующей переходу 2p->ls, т. е. йсоо ж 3Z2e2/8a0. Ана-
Аналогично радиус орбиты фактически определяется соответствующим
дипольным моментом. Принимая для оценки a^.a^lZ, где а0 —
боровский радиус, получаем для спектра фотонов A5.78)
584 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
Наиболее существенными характеристиками спектрального рас-
распределения являются наличие резкого максимума в области рент-
рентгеновского спектра и зависимость от квадрата атомного номера Z2.
До сих пор рассматривалось излучение, сопровождающее исчез-
исчезновение заряда орбитального электрона в процессе электронного
захвата. Но электрон, кроме заряда, обладает еще магнитным
моментом. Исчезновение магнитного момента также приводит
к появлению излучения, спектр которого имеет совершенно иной
характер. Спектральное и угловое распределение интенсивности
излучения, обусловленного движущимся точечным магнитным момен-
моментом, определяется формулой A4.74). Вектор магнитного момента
электрона можно считать постоянным до момента исчезновения
t = 0. Тогда в дипольном приближении распределение интенсивно-
интенсивности излучения определяется выражением
Отсюда получаем
^ ^в, A5.81)
где 0 — угол между вектором fi и направлением наблюдения п.
При полуклассическом рассмотрении можно считать, что маг-
магнитный момент электрона равен по величине |i = Y~3 (eh/2mc)r
но может наблюдаться лишь его проекция \iz = ± (еЬ /2тс)
на произвольную ось. Примем, например, что моменту прецесси-
рует вокруг этой оси, составляя с ней угол а = arc tg |^2, в резуль-
результате чего в среднем отличной от нуля оказывается лишь составляю-
составляющая момента вдоль оси. Как легко показать, при усреднении
sin2 0 в A5.81) с учетом этой прецессии получаем величину 2/3
независимо от направления наблюдения. В результате выражение
для распределения интенсивности по углам и частотам принимает вид
Полная энергия излучения в единичном интервале частот опре-
определяется выражением
/(со)=-— —-
v ' 2лс \ тс2
а соответствующее число фотонов в единичном интервале энергии
равно
§ 8. Излучение при захвате орбитальных электронов 585
Полученные спектральные выражения характеризуются совер-
совершенно иной зависимостью от частоты, чем спектр тормозного излу-
излучения. С ростом частоты спектральная интенсивность неограничен-
неограниченно увеличивается. Конечно, классические результаты можно счи-
считать справедливыми лишь в предельном случае низких частот.
Можно считать, что и в данной задаче, как и при рассмотрении
излучения при |3-распаде (см. § 7), применимы соображения, осно-
основанные на принципе неопределенности, так что во всяком случае
обеспечивается выполнение закона сохранения. Фактически при-
приходится вводить поправку, учитывающую, что процесс захвата
орбитального электрона всегда сопровождается испусканием ней-
нейтрино. Как можно показать, вероятность испускания нейтрино
пропорциональна квадрату его энергии ?v. Если фотон не испу-
испускается, то вся энергия распада сообщается нейтрино: Ev = ?0.
Однако если происходит излучение фотона с энергией йсо, то энер-
энергия нейтрино уменьшается до значения E'v = ?0 — Ъю. При этом
вероятность испускания нейтрино снижается в (?v/?vJ раз, причем
Поэтому в полученные классические спектральные распределения
A5.83) и A5.84) следует ввести поправку, умножив их на коэффи-
коэффициент A5.85), учитывающий кинематику испускания нейтрино.
С учетом этой поправки классический фотонный спектр принимает
вид
{) • <15-86>
Это выражение фактически совпадает с точным квантовомеханиче-
ским результатом. Исправленное спектральное распределение A5.86)
и распределение, описываемое неисправленным классическим выра-
выражением A5.84), сопоставлены на фиг. 15.12. Очевидно, учет вероят-
вероятности испускания нейтрино принципиально важен для получения
правильной картины распределения фотонов по энергиям. Для
обычного тормозного излучения аналогичные поправки менее важ-
важны, так как большая часть фотонов обладает энергиями, гораздо
меньшими максимально допустимой величины.
Полное излучение, испускаемое при захвате орбитального
электрона, определяется суммой вкладов, обусловленных исчезно-
исчезновением электрического заряда и магнитного момента. В соответ-
соответствии с различным характером зависимостей A5.79) и A5.86)
в высокочастотном конце спектра преобладает излучение, связан-
связанное с магнитным моментом, если только освобождаемая энергия
не очень мала, в то время как в низкочастотной части спектра
доминирует слагаемое, обусловленное исчезновением электриче-
N(h<o)
IT
I
T
T
T
/*^-_ Низкочастотное
I приближение
Фиг. 15.12. Спектральное распределение фотонов, излучаемых в результате
исчезновения магнитного момента электрона при захвате орбитального
электрона.
Nffiw)
О Псоо
Фиг. 15.13. Типичное спектральное распределение фотонов, излучаемых
при захвате орбитального электрона, сопровождающемся выделением
энергии Ео.
Пунктирными кривыми изображены слагаемые, обусловленные исчезновением заряда
электрона и его магнитного момента.
Задачи 587
ского заряда, особенно для атомов с большим Z. На фиг. 15.13
изображено типичное полное спектральное распределение фотонов
для атомов с Z — 20 — 30. Наблюдения, выполненные на большом
числе различных ядер, подтверждают общие особенности найден-
найденных спектральных распределений и позволяют определять величи-
величину освобождаемой энергии ?0-
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Краткое классическое рассмотрение тормозного излучения проведено
в курсах Ландау и Лифшица [63], гл. 9, § 4, и Пановского и Филипс [78],
гл. 19. Полуклассическое исследование, аналогичное нашему, но гораздо
«более сжатое, приведено в книге Росси [87], гл. 2, § 12.
Строго говоря, теория тормозного излучения требует применения кван-
товомеханического описания. Последнее можно найти, например, в книге
Гайтлера [50]. Метод виртуальных фотонов (метод Вейцзеккера— Виль-
ямса) достаточно хорошо описан лишь в одной работе, а именно в класси-
классической статье Вильямса [117]. Краткое изложение метода имеется в книгах
Гайтлера [50] и Пановского и Филипс [78], гл. 18, § 5.
Квантовомеханическое исследование излучения при |3-распаде и срав-
сравнение результатов с данными эксперимента можно найти в работах Чанга
и Фалькова [27], Мартина и Глаубера [71] ив статье By в книге под редак-
редакцией Зигбана [94].
ЗАДАЧИ
15.1. Нерелятивистская частица с зарядом е и массой т соударяется
с покоящейся гладкой жесткой сферой радиусом R. Считая соударение
упругим, показать, что в дипольном приближении (в пренебрежении эффек-
эффектами запаздывания) классическое выражение для дифференциального сече-
лия излучения фотонов в единицу телесного угла в единичном интервале
энергии имеет вид
2° R2 e2 ^2 »-B + 3.in. в),
dQd(h(a) 12я he V с J ftco
где угол 6 отсчитывается от направления падения. Построить угловое рас-
распределение излучения. Найти полное сечение тормозного излучения интег-
интегрированием по всем углам. Какой фактор (или факторы) определяет верх-
верхнюю границу частотного спектра излучения?
15.2. Две частицы с зарядами q{ и q2 и массами mj и /п2 соударяются
иод действием электромагнитных (или каких-либо других) сил. Рассмотреть
угловое и спектральное распределение излучения, сопровождающего соу-
соударение.
а) Показать, что при нерелятивистском движении энергия, излучаемая
в единичном интервале частот в единицу телесного угла, для системы ЦМ
шыражается формулой
^^ = J^|Ce-«Vxn{-2LexPr/i».JLB.«@l-
аъ? 4я^с<* | j ^ /тц L с trt\ Л
ер
/n2 L с т2
588 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
где х = (х4— х2) — вектор, определяющий относительное положение частиц,
п — единичный вектор в направлении наблюдения, \i = mi/n2/\m±-\-/п2)—
приведенная масса.
б) С помощью разложения по времени запаздывания показать, что для
двух частиц с одинаковой величиной отношения заряда к массе (например,
дейтрона и ос-частицы) основной (дипольный) член обращается в нуль, а член
следующего порядка малости равен
о, Q) _ w , Ч1Г , vzr r v --гш(п.х)(ххп)^
cfQ 4я2с& V mf ' m\ J
в) Сопоставить результат, полученный в п. «б», с разложением по муль-
типолям, приведенным в гл. 9, § 1—3.
15.3. Пусть взаимодействие двух одинаковых точечных частиц с зарядом q
и массой т характеризуется отталкиванием на близком расстоянии, экви-
эквивалентным столкновению с жесткой сферой радиусом R. Пренебрегая электро-
электромагнитным взаимодействием между двумя частицами, определить в первом
неисчезающем приближении сечение излучения в системе ЦМ при соударении
эквивалентных частиц. Показать, что дифференциальное сечение излучения
фотонов в единицу телесного угла в единичном интервале энергии имеет вид
где угол 0 отсчитывается от направления падения. Сравнить полученную
зависимость от частоты, относительную величину сечения и т. п. с резуль-
результатом решения задачи 15.1.
15.4. Частица с зарядом ze, массой т и нерелятивистской скоростью v
отклоняется полем с экранированным кулоновским потенциалом V(r) =
= Zze2e~~ar/r и в результате этого излучает. Рассмотреть излучение в при-
приближении прямолинейного движения частицы мимо силового центра.
а) Показать, что при прицельном параметре Ь энергия, излученная
в единичном интервале частот при со <^ vlb, определяется формулой
8
и пренебрежимо мала для со ^> v/b.
6) Показать, что сечение излучения равно
' 3 с
где *1 = а&Мин> х2 = аЬмакс.
в) Определить сечение излучения в двух предельных случаях х2< I
и х2 > 1 при bMlm=1ilmv, Ьмакс = vim и а = l,4a0Z~~1/3. Сравнить полу-
полученные результаты с приведенными в тексте формулами для случаев наличия
и отсутствия экранирования.
15.5. Частица с зарядом ze, массой т и скоростью v движется в фикси-
фиксированном отталкивающем кулоновском поле с потенциалом V (г) = Zze2lr
по гиперболической траектории. Показать в нерелятивистском дипольном*
приближении (без дальнейших предположений), что
Задачи 589
а) интенсивность излучения частицы с начальным значением прицель-
прицельного параметра Ь в единичном интервале частот определяется выражением
/(со, Ь)=
__8_(zeacoJe_mo/<o о/ Г А" С т Л 2 д.62 Г к С ш М Ч
б) сечение излучения равно
в) полученное сечение излучения в предельном случае со <g co0 перехо-
переходит в приведенное в этой главе выражение для сечения классического тор-
тормозного излучения. Найти предельное выражение для случая со > со0.
г) Как изменятся результаты для кулоновского поля притяжения?
Гиперболическая траектория может быть описана уравнениями
t/= — 6 sh g, cD0
где а = Zze2/mv2, e = У 1 + (b/aJ, co0= via.
15.6. С помощью метода виртуальных фотонов установить связь между
сечением реакции фоторасщепления ядер и реакции расщепления ядер
электронами.
а) Показать, что для электронов с энергиями Е = уте2 > тс2 сечение
реакции расщепления выражается приближенной формулой
Е/П
Р
/
7Г^ \
где bay— пороговая энергия процесса.
б) Считая, что сГфОТ(со) имеет резонансный характер
^4__в2Г
7 (о)) ^ 2я Мс (сэ
где ширина Г мала по сравнению с величиной (со0— coy), построить каче-
качественную зависимость сгэл (Е) от энергии Е и показать, что при Е^>Ъ<д0
2 / е2 \ Лв2 1 /- kE* \
аэл(?)^— ^j -7Й^— In ^———J^
в) Сравнить результаты экспериментов Брауна и Вильсона [23] по воз-
возбуждению ядер тормозным излучением и моноэнергетическими электрона-
электронами и показать, что введенная там величина Fexv(Z, E) приблизительно
равна 8я/3 при больших энергиях, если для описания обоих процессов
используется спектральное распределение Вейцзеккера — Вильямса, а сече-
сечение реакции фоторасщепления имеет резонансную форму.
15.7. Быстрая частица с зарядом ze, массой М и скоростью v соударяет-
соударяется с водородоподобным атомом, состоящим из одного электрона с зарядом —е
и массой т, связанного с центральным ядром, имеющим заряд Ze. Все соуда-
соударения можно разделить на два типа: близкие соударения, при которых части-
частица проходит сквозь атом (b < d), и дальние соударения, когда частица
пролетает вне атома (b > d). За радиус атома d можно принять величину
ao/Z. При близких соударениях взаимодействие падающей частицы с элек-
электроном можно рассматривать как проблему соударения двух тел и рассчиты-
590 Гл. 15. Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов
вать передаваемую энергию, исходя из сечения рассеяния Резерфорда. При
дальних соударениях возбуждение и ионизацию атома можно считать ре-
результатом фотоэлектрического эффекта под действием виртуальных фотонов,,
связанных с полем налетающей частицы.
Будем для простоты считать, что для фотонов с энергией Q, превышающей
ионизационный потенциал /, сечение фотоэффекта равно
(При этом справедлив эмпирический закон Z4X3 для поглощения рентгенов-
рентгеновских лучей, а численный коэффициент выбран так, чтобы выполнялось
правило дипольных сумм f ay (Q) dQ = 2я2е2% /тс.)
а) Вычислить сечения передачи энергии Q при близких и дальних соуда-
соударениях (выделить, где это возможно, зависимость от Q/I и использовать
единицы 2nz2e*/mv2I2). Построить оба распределения при Q/I > 1 для
нерелятивистского движения налетающей частицы, считая 1/2my2= 103/.
б) Показать, что число дальних соударений намного превышает числа
ближних, но передача энергии за одно соударение гораздо меньше. Пока-
Показать, что потери энергии приблизительно поровну делятся между обоими
типами соударений, и убедиться, что получающиеся полные потери факти-
фактически совпадают с результатом расчета по формуле -Бете A3.44).
15.8. При распаде неподвижного я-мезона образуются (х-мезон и нейтри-
нейтрино. Освобождающаяся при этом полная кинетическая энергия равна
(тп— т^) с2= 34 Мэв. Кинетическая энергия (х-мезона 4,1 Мэв. Определить
число квантов, излучаемых в единичном интервале энергии при мгновенном
рождении (х-мезона. Считая, что излучение фотонов происходит лишь по нор-
нормали к направлению движения fi-мезона (в действительности угловое рас-
распределение описывается функцией sin2 6), показать, что максимальная энер-
энергия фотона равна 17 Мэв. Определить число квантов, излучаемых с энергией,
большей 0,1 от максимального значения, и сравнить найденный результат
с величиной, экспериментально наблюдаемой при распаде я-мезона на ji-ме-
зон и нейтрино (см. [44, 81]).
15.9. При внутренней конверсии ядро совершает переход из одного
состояния в другое и испускает орбитальный электрон. Кинетическая энер-
энергия электрона равна разности между энергией перехода и энергией связи
электрона. Определить число излученных в единичном интервале энергии
квантов для конверсионной линии с энергией 1 Мэв при мгновенном испуска-
испускании электрона. У какой части электронов энергия меньше чем 99% полной
энергии? Можно ли экспериментально наблюдать этот низкоэнергетический
хвост конверсионной линии?
Глаза 16
ПОЛЯ МУЛЬТИПОЛЕЙ
В гл. 3 и 4, посвященных электростатике, при исследовании
задач с определенными свойствами симметрии относительно начала
координат широко использовалось разложение потенциала по сфери-
сферическим гармоникам. Этот метод полезен не только при решении
граничных задач в сферической системе координат, он вообще дает
систематический способ представления потенциала в виде разложе-
разложения по мультипольным моментам плотности заряда при заданных
источниках. Для электромагнитных полей, зависящих от времени,
разложение по скалярным сферическим гармоникам можно обоб-
обобщить, используя векторные сферические волны. Эти векторные
сферические волны удобно применять при решении краевых задач
электромагнитного поля, обладающих сферической симметрией,
и при рассмотрении мультипольного излучения ограниченного рас-
распределения источников. Простейшие излучающие мультипольные
системы уже рассматривались в гл. 9. В настоящей главе будет
дано систематическое изложение этого вопроса.
§ 1. Собственные функции скалярного
волнового уравнения
Исследование векторной волновой задачи со сферической симме-
симметрией мы начнем с решения скалярного волнового уравнения.
Скалярное поле г|) (х, t)9 удовлетворяющее однородному волновому
уравнению
i^M, A6.1)
можно разложить в интеграл Фурье по времени
оэ
•ф(х, t)= [ г|)(х, со) e-io)'dco, A6-2)
592 Гл. 16. Поля мулыпиполей
где каждая фурье-компонента удовлетворяет уравнению Гельм-
гольца
(V2 + ^2)^(x, co) = 0 A6.3)
с k2 = со2/с2. В задачах, обладающих симметрией относительно
некоторого центра, удобно использовать фундаментальную систему
решений в сферических координатах. В гл. 3 мы уже приводили
оператор Лапласа в сферических координатах [см. C.1)]. Разделяя
переменные, зависящие от угла и радиуса, получаем известное
разложение
Ф(х, а>)= 2Ыг)У1т(9,ф), A6.4)
I, m
где сферические гармоники YХт определены соотношением C.53).
Радиальные функции fi(r) удовлетворяют радиальному уравнению
г d» , 2 d , ,2
С помощью подстановки
ft(r) = -^=- щ(г) A6.6)
можно привести уравнение A6.5) к виду
Это — уравнение Бесселя C.75) порядка v = / + 1U- Поэтому
линейно независимые решения для fi (r) имеют вид
^ ^. A6.8)
Обычно вводят так называемые сферические функции Бесселя и Хан-
келя, обозначаемые через ji (х), щ (х)> h\1>2)(x) и определяемые
следующими выражениями:
Ы*)= у 7
Для действительных х функции h\2)(x) и h\v(x) комплексно сопря-
сопряжены. Как можно показать из разложений C.82) и C.83), имеют
§ 1. Собственные функции скалярного волнового уравнения 593
место соотношения
x dx J V x
A6.10)
x dx J \ x
Явные выражения сферических функций для нескольких низших,
значений / имеют вид
cjt-i у СПЪ Y piX
J о \Х) ====:г ч /1л (X ) == ' 7 AZn (Л) :== —:— ,
sinx cos x , ч cos x sin л:
2
Из приближенных представлений C.89) — C.91) следует, что при
малых значениях аргумента х < I
• \ xl
]i\x) ^ B/+1)!! '
A6.12)
/ ч B/-1)!!
где B1 + 1)!! = B1 + 1) B/ — 1) B1 — 3) ... 5.3-1. При
больших аргументах (а: > /) имеем
—Sln vx~
A6.13)
Сферические функции Бесселя удовлетворяют следующим рекур-
рекуррентным формулам:
= zui (х)
A6.14)
594 Гл. 16. Поля мультиполей
где Zi (x) — любая из функций jt(x), nt(x), h(P(x), hT(x). Опре-
Определитель Вронского для пары различных сферических функций
Бесселя имеет вид
W{ju ni) = -^W(jhhr)^-~W(nu h\») = -^. A6.15)
Общее решение уравнения Гельмгольца A6.3) в сферических коор-
координатах можно записать как
1>(х)= 2 [А?Ж{кг) + А?Ж{кг)]У1т{Ъ, <р), A6.16)
I, m
где коэффициенты Aim и А\т определяются граничными условиями.
В качестве примера найдем разложение по сферическим гар-
гармоникам функции Грина G (х, х'), которая соответствует расходя-
расходящейся волне и удовлетворяет во всем пространстве уравнению
х')=-б(х-х/). A6.17)
Как было показано в гл. 9, эта функция Гринд имеет вид
„ife|x-x'|
°(Ж'Ж>)=4Я|»-»Ч • <16Л8>
Разложение функции G (х, х') по сферическим гармоникам можию
получить совершенно аналогично тому, как это было сделано при
решении уравнения Пуассона в гл. 3, § 8 и 10 [см., в частности*
выражения C.117) и далее и C.138) и далее]. Подставляя в уравне-
уравнение A6.17) разложение
G(x, x')= %gi(r,r')Ytm(Q', Ф')П»(е, <р), A6.19)
I, m
получаем следующее уравнение для gi (r, rf):
=--T*l'-'f)- A6.20)
Решение этого уравнения, ограниченное вблизи начала координат
и представляющее расходящиеся волны на бесконечности, имеет вид
gi{r,r') = Ajl(kr<)hp(kr>). A6.21)
Полагая А = ik, получаем правильное значение скачка производ-
производной. Окончательно приходим к следующему разложению для
функции Грина:
(=0 m=-(
A6.22)
§ 1. Собственные функции скалярного волнового уравнения 595
До сих пор мы интересовались главным образом радиальными
функциями, соответствующими скалярному волновому уравнению.
Чтобы ввести некоторые понятия, используемые при решении
векторного волнового уравнения, вернемся к рассмотрению угло-
угловых функций. Угловыми собственными функциями являются сфери-
сферические гармоники Fzm@, ф) C.53), удовлетворяющие уравнению
Как известно из квантовой механики, это уравнение можно пред-
представить в операторном виде
A6.24)
Дифференциальный оператор L2 = L% + L\ + LI, где
L=^-(rxgrad), A6.25)
совпадает с оператором орбитального момента количества движе-
движения в волновой механике.
Составляющие оператора L удобно выразить через величины
<16'26)
Заметим, что оператор L действует лишь на угловые переменные
и не зависит от г. Из определения A6.25) очевидно, что справедлива
операторное уравнение
r.L = 0. A6.27)
Как легко проверить с помощью явных выражений A6.26), оператор
L2 действительно эквивалентен оператору в левой части уравне-
уравнения A6.23).
Используя A6.26) и рекуррентные формулы для Yim, можно
установить следующие полезные соотношения:
L+Ylm - ]/(/-
m)(l-m+l) '^,m-i, A6.28)
596 Гл. 16. Поля мулыпиполей
Наконец, приведем еще следующие операторные уравнения, выра-
выражающие коммутативные свойства L, L2 и V2:
LxL-ZL, A6.29)
где
? 2. Разложение электромагнитных полей
по мулътиполям
В области, где источники отсутствуют, уравнения Максвелла
имеют вид
-Е--j-4r- **'-±?.
A6.31)
divE-0, divB^O.
При гармонической зависимости величин от времени (е~ш) эти
уравнения записываются в форме
rot Е = ikh, rot В — — ikE,
A6.32)
divE —0, divB = 0.
Исключая из первых двух уравнений Е, приходим к следующим
уравнениям для вектора В:
(V2 + &2)B = 0, divB =
и соотношению, определяющему Е,
A6.33)
Если же мы исключим вектор В, то получим уравнения для век-
вектора Е:
(V2 + ?2)E=0, divE = O
и добавочное соотношение, определяющее вектор В, A6.34)
В=—4-rotE.
Совокупность трех формул A6.33) или A6.34). эквивалентна уравне-
уравнениям Максвелла A6.32).
§ 2. Разложение электромагнитных полей по мультиполям 597
Определим теперь мультипольные поля Е и В. Из A6.33) оче-
очевидно, что каждая декартова составляющая В удовлетворяет
уравнению Гельмгольца A6.3). Поэтому общее решение для каж-
каждой составляющей В можно представить в виде A6.16). Объединяя
эти выражения, приходим к векторному решению:
В = S [А&/#> (kr) + А?М2) (kr)] Ylm (9, Ф), A6.35)
f, m
где Aim — произвольные постоянные векторы.
Векторные коэффициенты Агт в A6.35) не вполне произвольны,
поскольку должно выполняться условие обращения в нуль дивер-
дивергенции div В = 0. Так как радиальные функции линейно незави-
независимы, то условие div В = 0 должно порознь выполняться для
обеих сумм в A6.35). Таким образом, коэффициенты Aim должны
удовлетворять соотношению
div 2 hx (kr) Alm Ylm (9, Ф) = 0. A6.36)
l,m
Оператор дивергенции может быть заменен операторным множи-
множителем
f|-4rXL' A6.37)
где L — оператор, определяемый согласно A6.25). Подставляя
A6.37) в A6.36), приходим к условию
г- 2 [lF 2 ^Уш~ 7й-L X 2 ЬтУш] =0. A6.38)
/ т т
Из рекуррентных формул A6.14) очевидно, что в общем слу-
случае коэффициенты Azm с данным I связаны с коэффициентами
Ai'm, где Г = I ± 1. Эта связь отсутствует лишь в том случае,
когда B1 + 1) векторных коэффициента для каждого значения /
подобраны так, что
г-2АЛ = 0. A6.39)
m
В этом частном случае окончательное условие на коэффициенты
накладывается вторым членом уравнения A6.38):
r-(Lx2AZmFjm) = 0. A6.40)
т
Условие A6.39), означающее поперечность поля относительно
радиуса-вектора, в сочетании с уравнением A6.40) позволяет
однозначно определить системы векторных угловых функций
порядка / для каждого заданного значения т. Эти функции могут
598 Гл. 16. Поля мультиполей
быть найдены непосредственно из A6.39) и A6.40) с учетом общих
свойств функций Yim. Однако нетрудно заметить, что угловое
решение имеет вид
2 Aim>Yim' = 2 aimLYlm. A6.41)
m' m
Из соотношения A6.27) видно, что условие попере*шости поля
A6.39) удовлетворяется. Аналогично, используя второе из ком-
коммутационных соотношений A6.29) и формулу A6.27), можно пока-
показать, что выполняется и второе условие A6.40). А то, что функции
fi(r) LYim удовлетворяют волновому уравнению A6.3), следует
из последнего соотношения A6.29).
Итак, принимая условие A6.39), мы приходим к следующей
системе частных решений, или электромагнитных мультиполь-
ных полей:
*im = fi(kr)LYlm(Q,<p),
A6.42)
Ez//t —-у rot BZm,
где
ft (kr) = AW {kr) + AThT (kr). A6.43)
Любая линейная комбинация этих полей с различными индексами /
и т удовлетворяет системе уравнений A6.33). Характерной особен-
особенностью полученных решений является ортогональность вектора
магнитной индукции радиусу-вектору (r-BZm = 0). Поэтому подоб-
подобные волны не представляют общего решения уравнений A6.33).
Это сферический аналог поперечных магнитных (ТМ), или, иначе
говоря, электрических цилиндрических волн, рассмотренных
в гл. 8.
Если бы мы исходили из системы уравнений A6.34), а не A6.33),
мы пришли бы к другой системе мультипольных полей, в которой
радиусу-вектору ортогонален вектор Е:
Eim = M*r)LyZm(e,<p),
5 A6.44)
Эти сферические волны являются аналогом поперечных электри-
электрических (ТЕ), или магнитных, цилиндрических волн.
Точно так же, как в случае цилиндрических волноводов, можно
показать, что полученные две системы мультипольных полей
A6.42) и A6.44) образуют полную систему векторных решений
уравнений Максвелла. Мы будем называть эти мультипольные поля
§ 3. Свойства полей мулыпиполей 599
соответственно электрическими и магнитными (а не поперечно
магнитными и т. п.), так как они определяются, как мы увидим,
соответственно плотностью электрического заряда и распределе-
распределением магнитного момента. Ввиду важной роли векторных сфери-
сферических гармоник удобно ввести нормированные функцииг)
XJm(9, q>) = -y=L==^LYlm(Q,<t) A6.45)
с условием ортогональности
rm..XlindG = d/r6mm.. A6.46)
Комбинируя оба типа полей, можно написать общее решение урав-
уравнений Максвелла A6.32) в виде
B='^,[aE(l,m)fl (kr) Xlm-±-aM{l,m) rot (gl (kr) X,m)] ,
I, m
A6.47)
E= 2 [тав(/' m)vot(fi (br)Xim) + aM(l, m)g,(kr)Xim~\ ,
I, m
где коэффициенты aE(l, m) и ам(/, т) определяют амплитуды
электрических и магнитных мультипольных полей, соответствующих
индексам (/, т). Радиальные функции // (kr) и gt (kr) имеют вид
A6.43). Значения коэффициентов аЕ (/, т) и ам (/, /п), так же как
и амплитуды в A6.43), определяются источниками и граничными
условиями.
§ 3. Свойства полей мулыпиполей.
Энергия и момент количества движения
мультипольного излучения
Прежде чем устанавливать связь общего решения уравнений
A6.47) с характеристиками ограниченного распределения источ-
источников, исследуем свойства полей отдельных мультипольных гар-
гармоник A6.42) и A6.44). В ближней зоне (kr <C 1) радиальная функ-
функция fi (kr) пропорциональна функции пи определяемой соотно-
соотношением A6.12), если, конечно, коэффициент перед пг не обращается
в нуль. Не рассматривая этого случая, мы заключаем, что при
kr -+0 магнитное поле для электрического (/, т)-мультиполя
стремится к значению
J^ A6.48)
г) Для / = 0 считаем, по определению, XZm = 0. Сферически симметрич-
симметричные решения однородных уравнений Максвелла существуют лишь в пре-
предельном случае Статики k -> 0.
600 Гл. 16. Поля мулыпиполей
где коэффициент пропорциональности выбран из соображений
удобства последующих вычислений. Для нахождения электриче-
электрического поля нужно вычислить ротор от правой части в A6.48). При?
ведем здесь полезное операторное тождество
/rot L = rV2-grad (l + r -j^ . A6.49)
Согласно A6.42), напряженность электрического поля имеет пре-
предельное значение
?lm^—L-Tothf-jjg-). A6.50)
Так как функция Yim/rl+1 удовлетворяет уравнению Лапласа,
то первое слагаемое в A6.49) равно нулю. Второй член в A6.49)
эквивалентен в данном случае оператору / grad. В результате
получаем следующее выражение для напряженности электриче-
электрического поля (/, т)-мультиполя электрического типа на близких рас-
расстояниях:
fSV A6.51)
Это поле в точности совпадает с полученным в гл. 4, § 1, электро-
электростатическим мультипольным полем. Заметим, что величина вектора
магнитного поля Вгт меньше величины электрического поля Ег^
в kr раз. Следовательно, в ближней зоне магнитное поле мульти-
поля электрического типа всегда гораздо меньше электрического
поля. Для мультипольных полей магнитного типа [см. A6.44)],
очевидно, векторы Е и В меняются ролями в соответствии с под-
подстановкой
Ея-»-Вм, Вя-^ЕМ. A6.52)
В дальней, или волновой, зоне (kr > 1)'вид полей мультиполей
зависит от наложенных граничных условий. Для определенности
рассмотрим случай расходящихся волн, соответствующий излу-
излучению ограниченного источника. При этом радиальная функция
fi (kr) пропорциональна сферической функции Ханкеля h^ (kr).
Из асимптотических выражений A6.13) следует, что в волновой
зоне магнитное поле электрического (/, т)-мультиполя принимает
значение
blm^(-i)Ul^LYlm. A6.53)
Электрическое поле можно представить в виде
Е^ = ^ [grad(^) х LYlm+^-rotLYlm]. A6.54)
§ 3. Свойства полей мультиполей 601
Так как мы уже воспользовались асимптотическими выражениями
для сферических функций Ханкеля, было бы неоправданным удер-
удерживать степени 1 /г выше первой. Учитывая это и используя
тождество A6.49), получаем
Е,те = - (- i)l+1 ~ [ п X LYlm- -L (rV2- grad) Ylm], A6.55)
где n = г/г — единичный вектор, направленный вдоль радиуса.
Второй член, равный произведению некоторой безразмерной функ-
функции углов на 1 /kry очевидно, может быть опущен в предельном слу-
случае kr > 1. В результате для вектора напряженности электриче-
электрического поля в волновой зоне получаем
EZm = BZmxn, A6.56>
где вектор BZm дается соотношением A6.53). Эти выражения харак-
характерны для поля излучения, векторы которого нормальны радиусу
и убывают с расстоянием по закону 11г. Для установления соот-
соответствующих соотношений для магнитных мультиполей достаточна
воспользоваться подстановкой A6.52).
Мультипольным разложением поля, создаваемого источником
излучения, удобно пользоваться для вычисления энергии и момен-
момента количества движения, уносимых излучением. Для определен-
определенности рассмотрим (/, т)-мультиполь электрического типа. Соглас-
Согласно A6.47), поля записываются в виде
Вгт = аЕ (/, т) h\v (kr) XZme-*««,
A6.57)
Для монохроматических полей среднее по времени значение плот-
плотности энергии равно
" = lt(E'E* + B*B*)- A6.58)
В волновой зоне оба слагаемых равны между собой. Следователь-
Следовательно, в сферическом слое между г и r-\-dr (при kr > 1) заключена
энергия
Д/=|дв(8„т)|' Ihf (kr) |«гЧг \ \*lm-\ln<M. A6.59)
8„ \
Используя условие нормировки A6.46) и асимптотические выра-
выражения A6.13) для сферической функции Ханкеля, найдем
602 Гл. 16. Поля мулыпиполей
величина dU/dr не зависит от радиуса. Случай (/, /п)-мультиполя
магнитного типа отличается лишь заменой аЕA, т) на ам{1, пг).
Среднее по времени значение плотности момента количества
движения определяется выражением
Раскрывая тройное векторное произведение и подставляя выра-
выражение A6.57) для электрического поля, получаем для мультиполя
электрического типа
m = -gijrRe[B*(L-B)]. A6.62)
Для момента количества движения излучения в сферическом слое
между г и г + dr получаем
J Re[X?m(L.XZm)]dQ. A6.63)
В волновой зоне A6.63) с учетом явных выражений A6.45) для
приводится к виду
вд(*.т)|а С Rrry* ly ]dQ Мб 64^
8тт/лЬ2 Л L с fit Lffvj \ /
dr
Используя соотношения A6.28) для составляющих LYim и ортого-
ортогональность сферических гармоник, можно убедиться, что отлична от
нуля лишь составляющая dM. в направлении г, причем
dMz т 1 аЕA,т) I2 П ? ?с;\
Сравнивая этот результат с величиной энергии излучения
A6.60), получаем, что отношение z-составляющей момента количе-
количества движения к энергии равно
!Г = -? = -ш' A6-66)
Очевидная квантовая интерпретация этого соотношения состоит
в том, что излучаемый (/, /п)-мультиполем фотон с энергией ftco
уносит mh единиц z-составляющей момента количества движения.
Продолжая квантовомеханическую аналогию, следует ожидать,
что отношение абсолютного значения момента количества движе-
движения к энергии должно быть равно
JJ- jj - . (ID.
§ 3. Свойства полей мультиполей 603
Однако из соотношений A6.64) и A6.65) следует классический
результат
'4L A6.68)
U U со *
Это расхождение обусловлено квантовой природой электромагнит-
электромагнитного поля отдельного фотона. Если г-составляющая момента коли-
количества движения точно определена, то, согласно принципу неопре-
неопределенности, точные значения остальных составляющих неизвестны,
а среднеквадратичное значение момента количества движения выра-
выражается формулой A6.67). Если же поле излучения содержит боль-
большое число фотонов (классический предел), то среднеквадратичные
значения поперечных составляющих момента количества движения
могут быть сколь угодно малыми по сравнению со среднеквадра-
среднеквадратичным значением составляющей вдоль оси г. В этом случае спра-
справедлив классический результат A6.68) 1).
В квантовомеханической интерпретации величины излученного
момента количества движения, приходящейся на один фотон в муль-
типольных полях, используются правила отбора для мультиполь-
ных переходов между квантовыми состояниями. Мультипольный
переход порядка (/, т) связывает начальное квантовое состояние,
характеризуемое полным моментом количества движения J и
г-составляющей момента М, с конечным квантовым состоянием,
для которого J' лежит в диапазоне \ J — / |< «/'<«/+/ и
М' = М — т. Наоборот, для двух состояний (/, М) и (/', Мг)
возможны лишь такие мультипольные переходы порядка (/, т), при
которых \ J — J' | < / < (J + /') и т = M — M'.
Для завершения квантовомеханического описания мультиполь-
ного перехода остается установить, сохраняется или изменяется
при переходе четность состояния. Четность начального состояния
равна произведению четности конечного состояния на четность поля
мультиполя. Для определения четности поля мультиполя доста-
достаточно рассмотреть поведение вектора магнитного поля Ъгт при
преобразовании инверсии относительно центра (г -*—г). Чтобы
убедиться, что четность поля мультиполя определяется вектором
Вгт, напомним, что взаимодействие заряженной частицы и элек-
электромагнитного поля определяется скалярным произведением (v-A).
Вектор Aim обладает четностью, противоположной четности век-
вектора BZm, так как применение оператора ротора изменяет четность.
Поэтому, поскольку v — нечетный полярный вектор, состояния,
связанные оператором взаимодействия (v-A), будут отличаться
по четности на четность вектора магнитной индукции В/т.
х) Детальное обсуждение этого круга вопросов дано в статье [75] В этой
работе показано, что для поля мультиполя, содержащего TV фотонов, квадрат
момента количества движения равен [N2m2 + N1A + 1)— m2]h2
604 Гл. 16. Поля мультшюлей
Для мультиполеи электрического типа магнитное поле дается
выражением A6.57). Преобразование инверсии (г ->—г) эквива-
эквивалентно замене (г ->г, 9 ->я — 9, ф ->ф я) в сферических коор-
координатах. Оператор L инвариантен относительно преобразования
инверсии. Следовательно, свойства четности Вгт, для мультиполеи
электрического типа определяются поведением функции Yim(Q, ф).
Согласно C.53) и C.50), четность Yim равна (—II, Таким образом,
четность мультипольных полей электрического типа порядка (/, т)
равна (—II. В частности, четность вектора магнитного поля Bjm
равна (—iy, а четность электрического поля Егт равна (—1)г+1,
так как EZm ~ rot BZm.
Четность мультиполя магнитного типа порядка (/, т) равна
(—l)t+1. В этом случае напряженность электрического поля Eim
выражается так же, как BZm для электрических мультиполеи. Сле-
Следовательно, четности полей мультиполеи в данном случае противо-
противоположны четностям соответствующих мультипольных полей элек-
электрического типа того же порядка.
Связав изменения четности с изменениями момента количества
движения при квантовом переходе, мы видим, что могут осуще-
осуществляться лишь определенные комбинации мультипольных переходов.
Так, например, для состояний с J = 1/2 и J' = 3/2 разрешены муль-
типольные переходы порядка / = 1,2. Если четность обоих состоя-
состояний одинакова, то условие сохранения четности ограничивает воз-
возможности перехода, так что оказываются возможными лишь маг-
магнитные дипольиые переходы и электрические квадрупольные пере-
переходы. Для состояний с различной четностью могут иметь место
электрические дипольные или магнитные квадрупольные переходы
с излучением или поглощением.
§ 4. Угловое распределение мультипольного излучения
Для произвольного ограниченного распределения источников
поле в волновой зоне описывается суперпозицией
В ъ —-г— 2 (-0'+1 [aE{l, m)Xlm + aM(l, m)nx XZm],
trn A6.69)
E^Bxn.
Связь коэффициентов аЕ (/, т) и ам (/, т) со свойствами источника
будет установлена в следующем параграфе. Среднее по времени
значение мощности излучения в единицу телесного угла равно
HP r
/, m)Xlm]
I, m
A6.70)
§ 4. Угловое распределение мулыпипольного излучения
605
Поляризация излучения определяется направлениями векторов,
входящих под знак модуля. Мы видим, что угловые распределения
излучения для мультипольных моментов электрического и магнит-
магнитного типов с одинаковыми (/, т) совпадают, тогда как поляризация
излучения в этих случаях отличается поворотом векторов на угол
90°. Таким образом, порядок мультиполя может быть определен
из измерений углового распределения излучаемой мощности, а ха-
характер излучения (электрический или магнитный тип) можно уста-
установить лишь на основе поляризационных измерений.
Для отдельного мультиполя порядка (/, т) выражение для
углового распределения A6.70) сводится к одному члену
(/, т)
A6.71)
Используя определение A6.45) для X/m и соотношения A6.28), по-
последнее выражение можно развернуть-
dP(l,m) c\a(l,m)\*
1
(l + m) (l-m
m21 Г, m |2} .
A6.72)
Простейшие угловые распределения представлены в следующей
таблице.
/=1
(диполь)
1 = 2
(квадруполь)
3
8я51П
15
¦^— sin2 6 cos2 6
3
16л (
+
г (в,
= z
1 1
ч-
i со;
ФIа
COS2 6)
Гв7+
5
/1 r.nt4 П\
16я A cos U)
Как ясно из таблицы, дипольные распределения соответствуют
диполю, осциллирующему параллельно оси z (m — 0), или двум
диполям, колеблющимся соответственно вдоль осей х и у со сдви-
сдвигом фазы на 90° (т = ±1). На фиг. 16.1 представлены кривые рас-
распределения интенсивности дипольного и квадрупольного излучения
в зависимости от полярного угла. Приведены угловые распределе-
распределения мультиполей с / = 1 и / = 2. Общее распределение излучения
Фиг. 16.1. Распределение дипольного и квадрупольного излучени
(диаграмма излучения).
§ 5. Источники мулыпипольного излучения 607
мультиполя порядка I определяется, согласно A6.70), когерентной
суперпозицией B/ —[— 1) гармоник, соответствующих различным т.
С помощью формулы C.69) легко убедиться, что квадраты моду-
модулей векторных сферических гармоник удовлетворяют правилу сумм
2 X/m(8, ср)|з=^±1. A6.73)
т = -1
Отсюда следует, что если источник состоит из набора мультиполей
порядка I с коэффициентами а (/, т), не зависящими от т, и излу-
излучение этих мультиполей складывается некогерентным образом,
то угловое распределение излучения будет изотропным. Такое
положение обычно имеет место в атомных и ядерных радиацион-
радиационных переходах, если начальное состояние системы не подобрана
специальным образом.
Полная мощность излучения мультиполя порядка (/, т) опре-
определяется интегрированием выражения A6.71) по всем углам. Так
как векторы \гт нормированы к единице, мощность излучения
равна
^ A6.74)
В общем случае угловое распределение излучения источника опре-
определяется когерентной суммой A6.70). Как легко показать с по-
помощью интегрирования по углам, интерференционные члены
не дают вклада в полное излучение. Поэтому полная мощность излу-
излучения равна просто некогерентной сумме мощностей излучения
отдельных мультиполей
A6.75)
Z, m
§ 5. Источники мулыпипольного излучения.
Мулыпипольные моменты
После того как рассмотрены свойства полей мультиполей, най-
найдено угловое распределение излучения, найдена величина энер-
энергии излучения и момента количества движения, обратимся к уста-
установлению связи между полями и создающими их источниками.
Пусть имеется ограниченное распределение заряда q (x, t), тока
J (x, i) и вектора намагниченности Jfl (x, t). Будем, кроме того,
считать, что все временные зависимости могут быть разложены
в ряд или интеграл Фурье, и ограничимся рассмотрением источ-
источников, гармонически меняющихся во времени:
q (х) е-™*, J (х) е~ш, <М (х) е~ш A6.76)
608 Гл. 16. Поля мультиполей
(подразумевается, что мы берем действительную часть от соответ-
соответствующих комплексных величин). Более общая зависимость от
времени может быть получена линейной суперпозицией.
Так как мы рассматриваем случай, когда плотнрсть намагни-
намагниченности отлична от нуля, следует различать векторы В и Н.
Уравнения Максвелла в случае гармонических источников запи-
записываются в виде
rot Е = iku, div В = 0,
rot Н + ikE = — J, div E = 4jiq,
с
а уравнение непрерывности имеет вид
A6.78)
Чтобы воспользоваться полученным выше представлением A6.47)
общего решения однородных уравнений Максвелла, запишем урав-
уравнения относительно полей
В и E' = E + -^pJ. A6.79)
При этом мы придем к следующим двум системам уравнений, ана-
аналогичным системам A6.33) и A6.34):
(V2 + k2) В = - — (rot J + с rot rot M),
A6.80)
divB-0, E/=^(tBt^)
' A6-81>
Для областей вне источников эти системы уравнений переходят,
очевидно, в A6.33) и A6.34). Следовательно, общее решение для
векторов В и Е' вне источников имеет вид A6.47). Далее, даже в обла-
областях, содержащих источники, дивергенция обоих рассматривае-
рассматриваемых полей равна нулю. Поэтому и здесь решения будут иметь вид
A6.47) с той разницей, что изменится лишь вид радиальных функ-
функций fi (r) и gi (r), подобно тому как это имеет место в скалярных
задачах, например в электростатике или волновой механике.
Рассмотрим, например, вектор магнитной индукции
В=2 [fim(r)Xlm—LTotglm(r)Xlm]. A6.82)
Z, m
§ 5. Источники мультипольного излучения 609
Вне источников в соответствии--с A6.57) и A6.69)
ш 1г ~~аЕ ,m i I' ,
gim у) ^ ^м1ч ТП) fli \КГ)>
Чтобы определить уравнение, которому удовлетворяет радиальная
функция fim (r) для мультиполей электрического типа в области,
содержащей источники, подставим A6.82) в первое из уравнений
системы A6.80), умножим скалярно обе стороны уравнения на век-
вектор Х*т и проинтегрируем по всем углам. В силу ортогональ-
ортогональности все члены левой части уравнения, содержащие gim(r)9 обра-
обращаются в нуль и остается лишь одно слагаемое, содержащее fim(r):
dr i* f2
= -i?- J Xfm-(rot3 + CTotrotJl)dQ. A6.84)
Подставляя аналогичное разложение для Е' в первое уравнение
системы A6.81) и проводя такие же вычисления, приходим к урав-
уравнению для функции gim (r):
Q. A6.85)
Полученные неоднородные уравнения для flm (r) и gim (r)
можно решить методом функций Грина. Подходящая функция Гри-
Грина, удовлетворяющая уравнению A6.20), определяется соотноше-
соотношением A6.21). Обозначив правую часть уравнения A6.84) через
— Ке (г), можно представить fim (r) в виде
fim(r) = ik J r'«/i (*/-<) AJ»(&>)**(О*"'- A6-86)
о
В области вне источников г< = г\ а г> = г, так что
оо
fim(r) ** ikhl?(kr) ] r'*n(kr')KE(r')dr'. A6.87)
о
Путем сравнения полученного выражения с A6.83) мы можем опре-
определить коэффициент аЕ (/, т) для мультиполя электрического типа.
Подставляя в явном виде значение КЕ {г), определяемое правой
частью уравнения A6.84), получаем
аЕA, т) =*??*- J /,(*r)Xfm.(rot J + c rot rot^) d3^. A6.88)
610 Гл. 16. Поля мультиполей
Аналогично для коэффициента ам{1, т) для мультиполя магнит-
магнитного типа получим
(^). A6.89)
Выражения A6.88) и A6.89) можно преобразовать к более удоб-
удобному виду с помощью тождества
A6.90)
Здесь А — произвольный вектор с достаточно хорошими анали-
аналитическими свойствами, обращающийся на бесконечности в нуль
быстрее, чем г. Для доказательства тождества A6.90) выполним
интегрирование по частям, в результате чего оператор ротора пере-
переносится на вектор XZm, применим операторное соотношение A6.49)
и снова проинтегрируем по частям. Полагая А-равным J, о/Цу rot J,
rot^, можно преобразовать различные слагаемые в формулах
A6.88) и A6.89) и прийти к окончательным выражениям
} A6.91)
5
A6.92)
Полученные формулы дают точные выражения для мультиполь-
ных коэффициентов, справедливые для произвольной частоты и лю-
любых размеров источника.
Для многих приложений в атомной и ядерной физике размеры
источника очень малы по сравнению с длиной волны (krMSLKC С 1)-
В этом случае выражения для мультипольных коэффициентов могут
быть значительно упрощены. Для этого можно воспользоваться
приближенными выражениями A6.12) для сферических функций
Бесселя, справедливыми при малых значениях аргумента. Остав-
Оставляя в разложениях лишь члены низшего порядка по kr в слагаемых,
содержащих q, J и JH, получаем, что коэффициент для мультиполя
электрического типа приближенно равен
1, т) ъ /B/+1)!| (^j-J (Qim + Qim), A6.93)
§ 6. Мультипольное излучение атомных и ядерных систем 611
где мультипольные моменты определяются равенствами
¦ъ г- A6.94)
] Г1У*™ div (Г X М) d*
Момент Qim совпадает, очевидно, с выражением D.3) для электро-
электростатического мультипольного момента qim. Момент Q\m — наве-
наведенный электрический мультипольный момент, обусловленный
наличием намагниченности. Величина его обычно по крайней мере
в kr раз меньше момента QZm.
Выражение коэффициента ам (', т) для мультиполя магнитного
типа в длинноволновом приближении имеет вид
(Mlm + M'lm), A6.95)
где магнитные мультипольные моменты определяются равенствами
,, div ( - j d?x,
A6.96)
\
M'lm= - \ rl
В противоположность электрическим мультипольным моментам Qim
и Qim, для системы с отличной от нуля собственной намагничен-
намагниченностью магнитные моменты Мгт и М\т, вообще говоря, имеют
один порядок величины.
В предельном случае больших длин волн мультипольные поля
электрического типа, очевидно, определяются плотностью элек-
электрического заряда q, а поля мультиполей магнитного типа — плот-
плотностями магнитных моментов (l/2c)(r x J) и Л-
§ 6. Мультипольное излучение атомных
и ядерных систем
Полный анализ вопроса о мультипольном излучении атомов
и ядер требует применения последовательных квантовомеханиче-
ских методов исследования 1), хотя существенные детали могут быть
выявлены и при элементарном рассмотрении. В соответствии с фор-
формулой A6.74) и выражениями для мультипольных коэффициентов
2) Квантовомеханические определения мультипольных моментов можно
найти в книге Блатта и Вайскопфа [13]. Следует отметить, что значения момен-
моментов в указанной книге и у нас отличаются множителем 2, что обусловлено
принятыми Блаттом и Вайскопфом определениями плотности источников
(см. соотношения C.1) и C.2) в книге [13]) в отличие от нашего определе-
определения A6.76).
612 Гл. 16. Поля мультиполей
A6.93) и A6.95) полная мощность, излучаемая мультиполем порядка
(/, т), равна
Ре (Л Ш) = i*
rf9/inm,
" 2яс )/4-l
Рм (I, m) = щ^щ, (-ф-) ^2'+2 | Mlm + M'lm \
С квантовомеханической точки зрения представляет интерес веро-
вероятность перехода (величина, обратная времени жизни), которая
определяется как отношение мощности излучения к энергии фотона:
Так как нас интересует лишь оценка порядка величин, примем
следующую схематическую модель источника. Предположим, что
распределение плотности осциллирующего заряда определяется
формулами
A6.99)
при г>а.
Тогда для электрического мультипольного момента Qim прибли-
приближенно получим
A6.100)
независимо от т. Аналогично примем следующий закон распреде-
распределения дивергенции вектора намагниченности:
A6.101)
^ 0 г>а.
Здесь через g обозначен эффективный g-фактор для магнитных мо-
моментов частиц в атомной или ядерной системе, a eh /me — удвоен-
удвоенное значение магнетона Бора для этих частиц. При этом сумма
магнитных мультипольных моментов оказывается приближенно
равной
A6.102)
Из определения Q\m A6.94) следует, что
Q'm-g^rQlm. A6-103)
§ 6. Мулыпипольное излучение атомных и ядерных систем 613
Так как энергии радиационных переходов в атомах и ядрах всегда
малы по сравнению с энергиями покоя частиц в этих системах, вели-
величины Q\m всегда пренебрежимо малы по сравнению с Qim.
Для электрических мультипольных переходов порядка / на
основе оценки A6.100) получаем следующее выражение для ве-
вероятности перехода A6.98):
1 е2 2я / + 1
Вероятность перехода для магнитных мультиполей с точностью
до множителей порядка единицы оказывается, согласно A6.102),
равной
4^(ij- A6.105)
Из пропорциональности вероятности перехода A6.104) величине
(kaJ1 следует, что в длинноволновом пределе (ka <C 1) вероятность
перехода быстро убывает при фиксированной частоте с ростом поряд-
порядка мультиполя. Это значит, что, вообще говоря, лишь низший
отличный от нуля мультиполь существен в атомных и ядерных
переходах. Отношение вероятностей соседних мультипольных
переходов электрического или магнитного типа (при одинаковом
значении частоты) равно
да^-Л^.. Aвл<Ю)
где опущены численные множители порядка (/ + 1)//.
В атомных системах радиационные процессы обусловливаются
электронами. В качестве размеров источника можно принять вели-
величину а~ (ао/гэфф), где а0 — боровский радиус, а 2эфф—эффек-
2эфф—эффективный заряд ядра (Z^ ~ 1 для переходов валентных электронов;
?Эфф ^ % Для переходов, соответствующих рентгеновскому излу-
излучению). Для оценки величины ka заметим, что энергия атомного
перехода, вообще говоря, имеет величину порядка
Ъсо^ффЦ-, A6.107)
так что
ka^^-. A6.108)
Как следует из A6.106), отношение вероятностей соседних муль-
мультипольных переходов равно— Bэфф/137J. Отношение вероятностей
перехода для мультиполей магнитного и электрического типов
можно оценить по A6.105). Для электронов ^-фактор есть вели-
614 Гл. 16. Поля мультиполей
чина порядка единицы. При а ^ ао/гэфф = 137(h/mcZ^) ин-
интенсивность магнитного мультипольного перехода порядка /
в A37/2ЭффJ раз меньше интенсивности соответствующего электри-
электрического перехода. Можно заключить таким образом, что в атомах
наиболее интенсивными должны быть дипольные электрические
переходы, а электрические квадрупольные и магнитные дипольные
переходы приблизительно в A37/2ЭффJ раз слабее. Лишь
при рентгеновских переходах в тяжелых элементах может оказать-
оказаться, что, кроме электрического мультиполя низшего порядка, сле-
следует учитывать и другие мультиполи.
Обратимся теперь к радиационным переходам в атомных ядрах.
Так как энергии ядерных радиационных переходов меняются в ши-
широком диапазоне (от — 10 кэв до нескольких Мэв), значения ka
перекрывают широкую область. Это значит, что вероятность пере-
перехода (или среднее время жизни) для мультиполя заданного порядка
меняется в зависимости от выделяемой энергии чрезвычайно сильно,
так что одной и той же вероятности соответствуют мультиполи
различных порядков. Несмотря на это, при систематизации ядер-
ядерных мультипольных переходов оказываются полезными оценочные
формулы A6.104) и A6.105), так как при фиксированном значении
выделяемой энергии вероятности переходов значительно различаются
для разных мультиполей.
На фиг. 16.2 в логарифмическом масштабе представлены прибли-
приближенные зависимости времени жизни от энергии для электрических
мультипольных переходов, рассчитанные по A6.104), причем заряд
е принят равным заряду протона и а ъ 5,6-103 см, что соответ-
соответствует радиусу ядра с массовым числом А ^ 100. Мы видим, что
хотя кривые и сближаются при высоких энергиях, тем не менее
времена жизни для различных мультиполей при одинаковой энер-
энергии отличаются в среднем в 105 раз. Это означает, что, хотя действи-
действительные значения мультипольных моментов в отдельных перехо-
переходах могут сильно отличаться от вычисленных по простым оценоч-
оценочным формулам, последние сохраняют свою силу при определении
порядков мультиполей. Экспериментально полученные диаграммы
зависимости времени жизни от энергии представляют собой широ-
широкие, но четко ограниченные полосы, лежащие вблизи изображенных
на фиг. 16.2 прямых линий. Обычно приближенные соотношения
A6.104) соответствуют нижней границе времени жизни, откуда
следует, что A6.100) дает верхнюю границу для соответствующего
мультипольного момента, однако для некоторых так называемых
вынужденных электрических квадрупольных переходов время жиз-
жизни может быть раз в 100 меньше, чем показано на фиг. 16.2.
Для сравнения магнитных и электрических мультиполей одного
порядка можно воспользоваться соотношением A6.105). Эффектив-
Эффективный g-фактор для нуклонов имеет величину порядка 3, что обусло-
§ 6. Мультипольное излучение атомных и ядерных систем
615
влено их аномальным магнитным моментом. Поэтому для источ-
источника с размерами а~ R = 1,2Л1/з-10~13 см получаем
W~^w; A6Л09)
здесь численный множитель изменяется в пределах от 4-Ю
AOjO,8-10-2 при 20<Л<250. Таким образом, можно ожидать,
?, кэв
Фиг. 16.2. Зависимость времени жизни возбужденных ядерных состояний
от энергии фотона для электрических мультипольных переходов при
/=1, 2, 3, 4.
что электрические переходы для мультиполя данного порядка
будут в 25—120 раз интенсивней соответствующих магнитных пере-
переходов. Для большинства мультиполей это утверждение верно. Одна-
Однако при / = 1 для ядер имеет место особый случай: из-за наличия
больших сил притяжения, не зависящих от заряда, электрические
616 Гл. 16. Поля мультиполей
дипольные переходы оказываются подавленными (по крайней мере
при малых энергиях). Тогда приближенная оценка A6.109) неприме-
неприменима. Магнитные дипольные переходы в этом случае значительно
более вероятны и столь же интенсивны, как и электрические ди-
дипольные переходы.
В § 3 были установлены правила отбора по четности и моменту
количества движения; при этом отмечалось, что в переходах между
двумя квантовыми состояниями могут осуществляться смешанные
мультипольные переходы, соответствующие, например, магнитным
мультиполям порядка /, (/ +2), ... и электрическим мультиполям
порядка (/ + 0> (/ + 3), . . . . В длинноволновом приближении
следует учитывать лишь мультиполи низшего порядка для каждого
из типов. Комбинируя формулы A6.105) и A6.106), можно вычис-
вычислить отношение вероятностей переходов для электрического муль-
типоля порядка (/ + 1) и магнитного мультиполя порядка I (чаще
всего встречается случай / = 1):
/^?V nfi1im
• <16Л10>
где Е — энергия фотона в Мэв. Для высокоэнергетических пере-
переходов в тяжелых элементах амплитуда электрического квадруполя
составляет —5% от амплитуды магнитного диполя. Если, как это
имеет место для редкоземельных и трансурановых элементов,
эффективный квадрупольный момент приблизительно в 10 раз боль-
больше нормального, то электрический квадрупольный переход ста-
становится сравнимым с магнитным дипольным переходом.
Для смеси магнитного мультиполя порядка (Z -f- 1) и электри-
электрического мультиполя порядка / отношение вероятностей переходов
равно
Очевидно, что даже для самых больших энергий переходов вероят-
вероятность магнитного мультипольного перехода порядка (/ + 1) будет
всегда много меньше вероятности электрического мультипольного
перехода 1-го порядка.
§ 7. Излучение линейной антенны
с центральным возбуждением
В качестве иллюстрации применения метода разложения по
мультиполям в случае, когда размеры источника сравнимы с дли-
длиной волны, рассмотрим излучение возбуждаемой в центре тонкой
линейной антенны (фиг. 16.3). В гл. 9 уже были найдены поля
при синусоидальном распределении тока. Это точное решение
§ 7. Излучение линейной антенны с центральным возбуждением 617
послужит нам для сопоставления при оценке сходимости раз-
разложения по мультиполям. Пусть антенна, расположенная вдоль
оси z на участке — d/2<z<d/2, имеет в центре малый зазор,
служащий для ее возбуждения. Распределение тока в антенне
t
Фиг. 16.3. Линейная антенна с возбуждением в центре.
должно быть четной функцией z и обращаться в нуль на концах антен-
антенны. Не конкретизируя пока распределения тока, можно написать
A6.112)
Так как токи радиальные, то (г х J) = 0. Кроме того, в этой задаче
собственная намагниченность тоже отсутствует. Поэтому все коэф-
коэффициенты возбуждения (т.е. мультиполъные коэффициенты) полей
магнитных мультиполей амA, т) оказываются равными нулю. Для
определения коэффициентов возбуждения полей электрических
мультиполей аЕ (/, т), согласно A6.91), необходимо знать рас-
распределение плотности токов и зарядов. Плотность тока J соответ-
ствуег радиальному току вдоль оси z. В сферических коорди-
координатах для г <, d/2 ее можно представить в виде
)], A6.113)
618 Гл. 16. Поля мулыпиполей
где б-функции обеспечивают наличие тока лишь на оси г. Распре-
Распределение плотности зарядов можно найти из уравнения непрерыв-
непрерывности A6.78):
„(Х) = ±*LtH И (cos 9-l)-6 (cos 8+D1 A6ЛИ
Подставляя эти выражения для J и q в A6.91), получаем
d/2
J
х J dQKfTO[e(cose—1) —6(cose+l)]. A6.115)
Выполним интегрирование в последнем интеграле
..)dQ = 2n6m[Yl0@)-Yl0(n)], A6.116)
откуда следует, что возбуждаются лишь мультиполи с пг = 0.
Это, конечно, очевидно из цилиндрической симметрии антенны.
Полиномы Лежандра являются четными функциями угла (относи-
(относительно значения 9 = л 12) для четных I и нечетными — для нечет-
нечетных /. Следовательно, возбуждаются лишь нечетные мультиполи,
а последний интеграл равен
/нечетно, m = 0. A6.117)
После некоторых преобразований A6.115) можно записать в виде
d/2
V2
r. A6.118)
Для вычисления интеграла в A6.118) следует задаться распре
делением тока / (г) вдоль антенны. Если бы не было излучения, то
синусоидальному изменению тока во времени с частотой со соот-
соответствовало бы синусоидальное пространственное изменение с вол-
волновым числом k = со 1с. Наличие излучения несколько изменяет
пространственное распределение тока. Для нахождения истин-
истинного пространственного распределения тока вдоль антенны следо-
следовало бы рассмотреть граничную задачу для суммарного поля антен-
антенны и излучения. Эта весьма сложная задача встает перед нами в тех
случаях, когда необходимо иметь точное решение. К счастью,
влияние излучения на распределение тока не очень существенно,
и им можно пренебречь. Достаточно хороший результат получается
§ 7. Излучение линейной антенны с центральным возбуждением 619
уже, если считать распределение тока синусоидальным. Поэтому
мы примем, что
kd . . ,
~Y-k\z\
A6.119)
где / — максимальное значение тока, а фаза выбрана так, чтобы
ток обращался в нуль на краях антенны. При синусоидальном рас-
распределении тока второе слагаемое в подынтегральном выражении
в A6.118) обращается в нуль. Остающаяся часть представляет собой
полный дифференциал, так что при / (z), описываемом соотноше-
соотношением A6.119), сразу получаем
4/ Г 4атB/+1) -|V2
/(/+1) J
" У
, kd
П -IT
I нечетно.
A6.120)
Поскольку мы хотим исследовать разложение по полям мульти-
полей при размерах источника, сравнимых с длиной волны, рас-
рассмотрим частные случаи пол у вол новой (kd = n) и полноволновой
(kd = 2я) антенн. Для этих двух значений kd в приведенной ниже
таблице даны значения коэффициента возбуждения для / = 1,
а также относительные значения коэффициентов для / = 3 и / = 5.
kd
Я
aE(.,0)
cd
4я ^/ 6я —-г-
a?C,0)/^(l,0)
4,95-10-2
0,325
^E,0)/a?(l,0)
l,02-10
3,09-10~2
Из приведенной таблицы следуют очевидные выводы: а) с ро-
ростом / коэффициенты быстро убывают по величине, б) коэффициенты,
соответствующие большим значениям /, тем более существенны,
чем больше размеры источника. Однако даже для полноволновой
антенны, очевидно, вполне достаточно удержать в угловом распре-
распределении лишь моменты с/=1 и / = 3 и наверняка достаточно
учета лишь этих членов при нахождении полной мощности излуче-
излучения (в выражение для которой входят квадраты коэффициентов).
Удерживая в угловом распределении лишь дипольный и окту-
польный моменты, получаем из выражения A6.70) для мощности
излучения в единицу телесного угла
dP _c\aE(\, 0)[2
1. 0"
3, 0)
, 0)
¦LY.
3,0
A6.121)
620 Гл. 16. Поля мулыпиполей
С учетом соотношений
sin«e,
|s2e-lJ, A6.122)
, о)* • (Ly8, о) = ^р- sin2 0 E cos2 0 - 1)
формула A6.121) может быть приведена к виду
i^=X-^- —sin20 ' ~л/Т адC'0) E сое29 1) 2
A6.123)
где коэффициент Я равен 1 для полуволновой и я2/4 — для пол-
полноволновой антенн. Коэффициент при выражении E cos2 9—1)
в A6.123) равен соответственно 0,0463 и 0,304 для полуволновой
и полноволновой антенн.
Полученные в гл. 9 точные угловые распределения (для сину-
синусоидального возбуждающего тока) имеют вид
f cosaficosO
_» -" A6124)
Результаты численного сравнения точного и приближенного угло-
угловых распределений представлены на фиг. 16.4. Сплошные кривые
относятся к точным результатам, штриховые кривые соответствуют
разложениям по мультиполям с учетом двух низших членов. Для
полуволновой антенны (фиг. 16.4, а) пунктиром изображено также
распределение в простом дипольном приближении, соответствую^
щем учету лишь первого члена в A6.123). При Ы=я кривая, соот-
соответствующая мультипольному разложению с учетом двух членов,
почти неотличима от точного результата. В этом случае даже про-
простейшее (дипольное) приближение не слишком отличается от точ-
точного решения. Для полноволновой антенны (фиг. 16.4, б) точность
дипольного приближения, очевидно, недостаточна. Однако учет
двух членов разложения по мультиполям приводит уже к достаточ-
достаточно хорошему распределению, отличающемуся от точного меньше
чем на 5% в области максимума излучения.
Полная излучаемая мощность, согласно A6.75), равна
°)i2- A6Л25)
§ 8. Разложение векторной плоской волны
621
Как следует из приведенной на стр. 619 таблицы, для полуволновой
антенны излучаемая мощность в 1,00245 раза превышает мощность
a kd=n
kd=2n
Фиг. 16.4. Угловое распределение излучения полуволновой (Ы = я)
и полноволновой (Ы = 2я) линейной антенны с возбуждением в центре.
Сплошные кривые — точное решение; штриховые кривые получены при учете двух
членов разложения по мультиполям. Для полуволновой антенны показано также
простое дипольное приближение (пунктирная кривая). Диаграмма излучения с уче-
учетом двух членов превосходно согласуется с точными результатом, особенно для
случая kd = я.
излучения простого диполя, равную 12Р/п2с. Для полноволно-
полноволновой антенны мощность излучения в 1,114 раза больше, чем для
соответствующего диполя, для которого она равна ЗР/с.
§ 8. Разложение векторной плоской волны
по сферическим волнам
При исследовании рассеяния или поглощения электромагнит-
электромагнитного излучения сферическими телами или вообще ограниченной
системой полезно иметь разложение плоской электромагнитной
волны по сферическим волнам.
622 Г л, 16. Поля мулыпиполей
Для скалярного поля яр (х), удовлетворяющего волновому урав-
уравнению, такое разложение можно получить, используя свойства
ортогональности собственных сферических волновых функций
ji (kr) FZm(8, ф). Можно также получить это разложение, исходя
из разложения по сферическим волнам A6.22) функции Грина
eikR/4nR. Пусть |х' | ->-оо в обеих частях выражения A6.22).
Тогда в левой части равенства можно приближенно считать
| х—х' | ^ г' — пх, где п — единичный вектор в направлении х\
В правой части равенства /*> = /*', а гк = г. Функции tip (kr')
можно заменить их асимптотическими выражениями A6.13).
В результате получаем
^ л2г@,Ф). A6.126)
Сокращая множители eikr' Ir' в обеих частях равенства и беря ком-
комплексно сопряженное выражение, получаем искомое разложение
плоской волны
',q/), A6.127)
где k — волновой вектор, имеющий в сферических координатах
составляющие k, 8', ф'. Используя теорему сложения C.62), можно
представить это разложение в более компактной форме
***•*= 2 ilW+l)Ji(kr)Pi(cosy), A6.128)
1=0
где у — угол между векторами к и х. Последнюю формулу можно,
воспользовавшись соотношением C.57) для функции Pi (cos у),
переписать также в виде
2
1=0
h(br)Yl0(y). A6.129)
Получим теперь эквивалентное разложение для падающей вдоль
оси z плоской волны с круговой поляризацией:
Е(х) = (е4
BW-«»xE-TiE.
§ 8. Разложение векторной плоской волны 623
Так как амплитуда плоской волны везде конечна, то ее разложение
по мультиполям A6.47) содержит лишь конечные радиальные функ-
функции ji(kr):
Е(х)= 2
I, m
A6.131)
В(х)= 2 [^
I, m
Для определения коэффициентов а± (/, т) и Ь± (/, т) восполь-
воспользуемся ортогональностью векторных сферических гармоник XZm.
Для удобства выпишем условия ортогональности A6.46) и некото-
некоторые другие полезные соотношения, которыми мы будем пользо-
пользоваться в дальнейшем:
A6.132)
\fl (r)Xl>m4*'lgl(r)Xlm]dQ
Ifi (r) X,,w*]*- [rot gl (r) Xlm] dQ = 0,1
В этих соотношениях /г (г) и gz (r) — линейные комбинации сфериче-
сферических функций Бесселя, удовлетворяющих уравнению A6.5). Вто-
Второе и третье соотношения могут быть доказаны с помощью опера-
операторного тождества A6.49), представления A6.37) и дифференциаль-
дифференциального уравнения A6.5) для радиальных функций.
Для определения коэффициентов а± (/, т) и Ь± (/, т) умножим
обе стороны равенств A6.131) скалярно на Х*т и проинтегрируем
по углам. Используя при этом первые два соотношения A6.132),
находим
a±(Um)h(kr)= J X?m.E(x)dQ A6.133)
Ъ±{1, т)Л(Лг)= Jx?m.B(x)dQ. A6.134)
Подставляя в A6.133) напряженность электрического поля в виде
A6.130), получаем
[ ^j!^dDf A6.135)
624 Гл. 16. Поля мулыпиполей
где операторы L± определяются формулами A6.26), а результат
их применения — соотношениями A6.28). Таким образом,
a±(l, m)JM^) = №g+l> \n^ie^dQ. A6.136)
Подставляя разложение A6.129) для функции eikz и используя
свойство ортогональности функций Yimt окончательно находим
eWi±1. A6.137)
Как следует из формул A6.134) и A6.130),
/, т). A6.138)
В итоге приходим к следующему разложению плоской волны
A6.130) по мультиполям:
[/, (kr) Xi, ±1 ± т
A6.139)
Для рассматриваемой волны с круговой поляризацией значения,
т=±1 можно, очевидно, интерпретировать как приходящуюся
на один фотон составляющую момента количества движения в напра-
направлении распространения волны. Это обстоятельство уже было
ранее установлено в задаче 6.12.
§ 9. Рассеяние электромагнитных волн
на проводящей сфере
При падении плоской электромагнитной волны на сферическое
препятствие (фиг. 16.5) она рассеивается, так что вдали ст рассеи-
рассеивающего тела поле представляется суммой плоской волны и расхо-
расходящихся сферических волн. Препятствие может не только рассе-
рассеивать, но и поглощать. В этом случае полный поток энергии от пре-
препятствия будет меньше полного потока по направлению к нему;
разность потоков равна поглощаемой энергии. Мы рассмотрим про-
простейший пример рассеяния на идеально проводящей сфере радиу-
радиусом а.
§ 9. Рассеяние электромагнитных волн на сфере
625
Падающая
волна
Рассеянная
волна
Фиг. 16.5. Рассеяние плоской электромагнитной волны на препятствии.
Представим электромагнитные поля вне сферы в виде суммы
падающей и рассеянных волн:
*-» (X) — Ьпад • kp
В (х) = Впад + Врасс,
A6.140)
где Едад и Впад описываются выражениями A6.139). Так как
в бесконечности поля рассеяния представляют собой расходящиеся
волны, их разложение должно иметь вид
со
= | 2 '"' /4яB/+1) [ а± (/) h? (kr) X,, ± i ±
J=l
±hJP-Tothp{kr)Xi,±i'] ,
il V4jiBZ + 1) [ ~ ^^ rot h™ (fer) X/' ±{ T
A6.141)
Коэффициенты разложения a± (Z) и p± (l) определяются граничными
условиями на поверхности сферы.
Для идеально проводящей сферы граничные условия на поверх-
поверхности г = а имеют вид
пХЕ = 0, п-В-0. A6.142)
Для применения этих граничных условий следует уточнить харак-
характер векторных слагаемых в разложениях A6.141). Как известно,
векторы Х;т перпендикулярны радиусу-вектору. Что касается
626 Гл. 16. Поля мультиполей
векторных слагаемых другого типа, то они пропорциональны
rot ft (r) Xlm = 'п//г(/ + 1) fi (r) Ylm + I -?- [r U (r)] n х Х,га, A6.143)
где fi (г) — произвольная сферическая функция Бесселя, удовле-
удовлетворяющая уравнению A6.5). Накладывая на полное поле A6.140)
граничные условия A6.142), находим условия, которым должны
удовлетворять коэффициенты а± (/) и $± (I):
A6.144)
| р± (/) A \rh? (kr) ] + А [ги (кг)]}г_ = 0.
Заметим, что для обоих типов круговой поляризации коэффициенты
одинаковы. Учитывая равенство 2ji (kr) = h\v (kr)-\- h\2) (kr), можно
записать коэффициенты разложения в виде
((d/dr)[rh\»(kr)} , A6Л45>
Входящие сюда отношения представляют собой частные двух ком-
комплексно сопряженных величин и, следовательно, являются комп-
комплексными числами, равными по модулю единице. Удобно ввести
два угла, называемые обычно фазовыми сдвигами, определив их
равенствами
в
(d/dr)[rh\v(kr)\
или эквивалентными соотношениями
tab _
g
^0) A6 147)
(d/dr) [rj, (kr)] \ >
Коэффициенты разложения принимают при этом вид
a±(l) = (e2i6i-l), p±@ = (e2i6'-l). A6.148)
Предельные значения введенных фазовых сдвигов при ka < 1
и ka > 1 можно найти с помощью приближенных выражений
§ 9. Рассеяние электромагнитных волн на сфере 627
A6.12) и асимптотических выражений A6.13):
ka с 1
'-1)П]2' A6.149)
. / Jb-
&a» 1
/я
л A6.150)
z
Коэффициент разложения a(/) и фазовый сдвиг бг можно назвать
магнитными параметрами, так как они относятся к магнитным
мультипольным полям в разложениях A6.141). Аналогично р (/)
и Ъ\ можно назвать электрическими параметрами.
Магнитное поле рассеянной волны с учетом выражений A6.148)
для коэффициентов преобразуется к виду
BNTJ A I / л _, /о / | Г\ 1 ^ Sin О; ¦ < (^у i
расе == 2л * ' ~^~ ' ——fe » ^1
] A6.151)
Асимптотически при &г ->оо
ei6
l)[e ^sin6z(n х Xj,±i)=p
IV» '
Т /ei6isine;.XZi±i]. A6.152)
Рассеянное поле A6.152) обладает в общем случае эллиптической
поляризацией. Лишь в том случае, когда 6г и б/ равны между собой,
излучение будет поляризовано по кругу. Таким образом, при паде-
падении линейно поляризованного излучения рассеянное излучение
будет поляризовано эллиптически. Если же падающее излучение
не поляризовано, то рассеянное излучение будет все равно обла-
обладать частичной поляризацией, зависящей от угла наблюдения.
При рассмотрении интенсивности рассеянного поля удобно
пользоваться понятием сечения рассеяния. Оно уже было опреде-
определено ранее соотношением A4.101). Мощность, рассеиваемая в еди-
единицу телесного угла, равна
A6.153)
628 Гл. 16. Поля мультиполей
а поток энергии падающей волны
S=-^Re[EnaflxBZafl] = ^e3. A6.154)
Следовательно, для сечения рассеяния получаем
do
du
eib
[eibi sin 8Z (n x
A6.155)
Найденная угловая зависимость излучения весьма сложна и упро-
упрощается лишь в предельном случае больших длин волн (см. ниже).
Однако полное сечение рассеяния можно вычислить непосредствен-
непосредственно. Как видно из второго соотношения A6.132) и формулы
A6.143), перекрестные члены в A6.155) при интегрировании по
углам обращаются в нуль. В результате для полного сечения рас-
рассеяния нетрудно получить выражение
а = -^- 2, B/-+- I)(sin26i + sin2 6J). A6.156)
i=i
Мы видим, что в полном сечении рассеяния поля электрических
и магнитных мультиполей складываются некогерентным образом.
В длинноволновом пределе (ka <g 1) выражение для сечения
рассеяния становится относительно простым, так как фазовые сдвиги
A6.149) быстро убывают с ростом /. Сохраняя лишь члены разло-
разложения с / = 1, находим
_g_ ^ ^_a2 {kay | n x XlJ±l ± 2/Xli ±1 |2. A6.157)
Согласно таблице на стр. 605,
|). A6.158)
Перекрестные произведения также легко могут быть вычислены
Reti^nxXi.iir.Xi.iil^-^Uose. A6.159)
Окончательно для дифференциального сечения рассеяния в длин-
длинноволновом приближении имеем
A +cos2e)-cose] . A6.160)
§ JO. Решение граничных задач с помощью разложений
629
Это выражение не зависит от типа поляризации падающего поля.
Угловое распределение рассеянного излучения показано на фиг. 16.6.
Рассеяние происходит главным образом в направлении, проти-
противоположном направлению падающей волны; заметная асимметрия
Фиг. 16.6. Угловое распределение
излучения, рассеянного на идеально
проводящей сфере, в длинноволно-
длинноволновом приближении (ka «: 1).
относительно нормали к направлению падения обусловлена интер-
интерференцией полей электрического и магнитного дипольных моментов.
Полное сечение рассеяния в приближении больших длин волн
оказывается равным
o = ^-a2(ka)\ A6.161)
Этот известный результат впервые был получен Дебаем и Ми A908—
1909 гг.). Зависимость сечения рассеяния от четвертой степени
частоты, известная как закон рассеяния Рэлея, характерна для всех
систем, обладающих дипольным моментом.
§ 10. Решение граничных задач
с помощью разложений по мультиполям
Рассеяние электромагнитного излучения на проводящей сфере
является примером решения граничной задачи с помощью разло-
разложений по мультиполям. В качестве других примеров можно рассмо-
рассмотреть свободные колебания проводящей сферы, сферической резо-
резонансной полости и рассеяние на диэлектрической сфере. Наличие в
проводниках омических потерь добавляет к списку задач опре-
определение величины добротности резонатора Q и сечения поглощения.
Общие методы рассмотрения этих задач аналогичны описанным
в § 9 и в гл. 8. Эти вопросы отнесены нами к задачам.
630 Гл. 16. Поля мультиполей
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Подробное рассмотрение теории векторных сферических гармоник
и мультипольных векторных полей можно найти в книгах Блатта и Вайскоп-
фа [13], Морса и Фешбаха [77], гл. 13, § 3. Приложения теории мультиполь-
ного излучения к ядерным задачам рассматриваются в книге Блатта и Вайс-
копфа [13], гл. 12, а также в главах, написанных Машковским (гл. 13)
и Гольдхабером и Саньяром (гл. 16) в книге [94].
В списке литературы к гл. 9 было указано большое число работ по тео-
теории антенн. Однако ни в одной из них не приводится строгого рассмотрения
разложения по мультиполям. Рассмотрение рассеяния электромагнитного
излучения на идеально проводящей сфере кратко проведено в книгах Морса
и Фешбаха [77] и Пановского и Филипс [78], гл. 12, § 9.
Гораздо более детальное рассмотрение при произвольных диэлектриче-
диэлектрических и проводящих свойствах сферы содержится в книгах Борна и Вольфа
[16], гл. 13, § 5, и Стрэттона [106], гл. 9, § 25.
Математические сведения о сферических функциях Бесселя можно найти
в книге Морса и Фешбаха [77].
ЗАДАЧИ
16.1. Три заряда расположены вдоль оси z, причем заряд 2q находится
в начале координат, а заряды —q — при z = ^fc a cos (at. Определить низ-
низшие отличные от нуля мультипольные моменты, угловое распределение
излучения и полную излучаемую мощность. Считать, что ka<? I.
16.2. Тело, ограниченное весьма близкой к сфере поверхностью, описы-
описываемой уравнением
заряжено с постоянной объемной плотностью, причем полный заряд ра-
равен Q. Малый параметр Р гармонически меняется во времени с частотой со.
Это соответствует поверхностным волнам на сфере. Удерживая лишь низ-
низшие члены разложения по Р, вычислить в длинноволновом приближении
отличные от нуля мультипольные моменты, угловое распределение излуче-
излучения и полную излучаемую мощность.
16.3. В задаче 16.2 заменить постоянную плотность распределения заря-
заряда постоянной плотностью намагниченности, считая, что намагниченность
параллельна оси z и полный магнитный момент тела равен М. В том же
приближении вычислить отличные от нуля мультипольные моменты, угло-
угловое распределение излучения и полную излучаемую мощность.
16.4. Излучающая антенна имеет форму расположенного в плоскости ху
кругового витка радиусом а с центром в начале координат. Ток в проводе
меняется по закону
а) Найти выражения для векторов Е и В в волновой зоне, не налагая
ограничений на величину ka. Определить мощность, излучаемую в единицу
телесного угла.
б) Какой из отличных от нуля мультипольных моментов имеет наиниз-
наинизший порядок (Qim или Mim)? Вычислить этот момент в приближении
k 1
16
жены на
i.5. Два электрических диполя с дипольными моментами р располо-
на расстоянии 2а друг от друга; оси обоих диполей параллельны друг
Задачи 631
другу, но дипольные моменты ориентированы в противоположных направле-
направлениях. Диполи вращаются с постоянной угловой частотой со вокруг парал-
параллельной им оси, расположенной посредине между ними (со <^ с/а).
а) Вычислить составляющие квадрупольного момента.
б) Показать, что угловое распределение излучения определяется функ-
функцией A — 3 cos2 0 + 4 cos4 6), а полная излучаемая мощность равна
16.6. В длинноволновом приближении вычислить отличные от нуля
электрические мультипольные моменты для распределения плотности зарядов
e = C/-3e-W6yi( i F) ф) у2 о (9> ф) e~i%*
и определить угловое распределение излучения и полную излучаемую мощ-
мощность для каждого мультиполя. Приведенное распределение заряда соот«
ветствует переходу между состояниями п = 3, / = 2 Cd) и п = 2, / = 1 Bр)
в атоме водорода.
16.7. Поля поперечных магнитных волн, распространяющихся в цилин-
цилиндрическом волноводе, имеющем круглое сечение радиусом R, описываются
формулами
т~~ Y2 дг ' ф~ р г'
где m — индекс, определяющий зависимость от угла, Р — постоянная рас-
распространения, у2= k2— Р2 (к = со/с), причем у таково, что Jm(yR) = 0.
Вычислить отношение z-составляющей электромагнитного момента коли-
количества движения к энергии поля. При выводе удобно произвести несколько
раз интегрирование по частям и использовать дифференциальное уравнение
для составляющей поля Ez.
16.8. Сферическая полость радиусом а в проводящей среде может слу-
служить электромагнитным резонатором.
а) В случае бесконечной проводимости стенок найти трансцендентные
уравнения для собственных частот cojn волн ТЕ- и ТМ-типов в резо-
резонаторе.
б) Определить численные значения длин волн Xin (отнесенных к радиу-
радиусу а) для первых четырех волн ТЕ- и ТМ-типов.
в) Найти явные выражения для электрического и магнитного полей
в резонаторе, соответствующих низшим волнам ТЕ- и ТМ-типов.
16.9. Проводимость немагнитных стенок полости, описанной в зада-
задаче 16.8, велика, но конечна. Считая толщину скин-слоя б малой по сравнению
с радиусом полости а, показать, что определяемая соотношением (8.82)
добротность Q резонатора равна
0= - г Для всех волн ТЕ-типа
2яо
ДЛЯ В0ЛН ™"типа'
У
632 Гл. 16. Поля мультиполей
где
Х1п=-(а/с) ®1п для ТМ-волн.
16.10. Рассмотреть собственные колебания идеально проводящей твердой
сферы радиусом а в свободном пространстве.
а) Определить дисперсионные уравнения для собственных частот коле-
баний ТЕ- и ТМ-типов. Показать, что при временной зависимости вида
g-гсо* КОрНИ оз всегда имеют отрицательную мнимую часть.
б) Вычислить собственные частоты для волн ТЕ- и ТМ-типов с / = 1
и / = 2. Составить таблицу отношений длин волн (определяемых действи-
тельной частью собственных частот) к радиусу а и отношений декрементов
затухания (определяемых как время, в течение которого энергия убывает
в е раз от своего начального значения) к времени установления (а/с) для
каждого типа волн.
16.11. Плоская электромагнитная волна частотой со = ck с круговой
поляризацией падает на немагнитную проводящую сферу радиусом а.
а) В длинноволновом приближении (ka <? 1) получить выражения для
электрического и магнитного полей вблизи поверхности и на поверхности
сферы, считая ее идеально проводящей.
б) Используя методы, развитые в гл. 8, вычислить долю мощности падают
щей волны, поглощаемую сферой, считая проводимость большой, но конеч-
ной. Определить зависимость сечения поглощения от волнового числа kf
радиуса сферы а и толщины скин-слоя 6. При расчете считать ka < 1.
16.12. Рассмотреть рассеяние плоской электромагнитной волны на не-
магнитной сфере радиусом а с диэлектрической проницаемостью е.
а) Определив поля внутри сферы и сшивая их с полным полем (сумма
падающего и рассеянного полей) вне сферы, вычислить коэффициенты раз-
ложения рассеянной волны по мультиполям. Найти сдвиги фаз для рассма-
триваемой задачи.
б) Рассмотреть длинноволновое приближение (ka < 1) и получить,
явные выражения для дифференциального и полного сечений рассеяния.
Построить угловое распределение излучения в случае е = 2.
в) Сравнить результаты, получающиеся в предельном случае 8 —>- оо,
с соответствующими результатами для идеально проводящей сферы.
Глава 17
ВЛИЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧАСТИЦЫ НА ЕЕ ДВИЖЕНИЕ.
СОБСТВЕННОЕ ПОЛЕ ЧАСТИЦЫ
§ 1. Вводные замечания
Рассмотренные в предыдущих главах электродинамические
задачи можно разделить на два класса. В одних задачах были изве-
известны источники, т. е. заряды и токи, и вычислялись результирующие
электромагнитные поля, в других — задавалось внешнее электро-
электромагнитное поле и определялось движение заряженных частиц или
токов в нем. Теория антенн и излучение мультипольных источников
служат примерами задач первого типа, а исследование движения
зарядов в электрических и магнитных полях и явлений, связанных
с потерями энергии,— пример задач второго типа. Изредка, как,
например, при рассмотрении тормозного излучения, задача носила
комбинированный характер. Но и здесь рассмотрение проводилось
по этапам: сначала определялось движение заряженной частицы
в заданном внешнем поле (без учета излучения), а затем вычисля-
вычислялось излучение, возникающее при ее движении по полученной тра-
траектории в приближении заданного распределения источников.
Очевидно, что подобный подход к решению проблем электро-
электродинамики справедлив лишь приближенно. Ускоренное движение
заряженных частиц во внешних силовых полях неизбежно сопро-
сопровождается излучением. Возбуждаемое излучение приводит к потере
энергии, импульса и момента количества движения и поэтому
должно влиять на последующее движение заряженных частиц.
Следовательно, само движение источников излучения определяется
в какой-то мере характером возникающего излучения. Корректная
постановка задачи должна включать учет реакции излучения г)
на движение источников.
г) Здесь и далее автор имеет в виду влияние поля, излучаемого частицей,
на саму частицу. Существует большой круг задач, также не сводимых к ука-
указанным двум классам, где существенна реакция частиц на суммарное поле,
создаваемое группой частиц (например, в клистронах или лампах бегущей
волны). Трудности, встречающиеся в решении задач такого типа, носят лишь
чисто математический характер. В настоящей главе (да и во всей книге)
задачи этого типа не рассматриваются.— Прим. ред.
634 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
Почему же мы до сих пор не учитывали в нашем рассмотрении
этот факт? И почему решения многих рассмотренных нами задач,
которые были получены на первый взгляд некорректным путем,
так хорошо согласуются с опытом? Частичный ответ на первый
вопрос заключен уже во втором вопросе. Существует целый ряд элек-
электродинамических задач, которые можно с пренебрежимо малой
ошибкой отнести к одному из двух классов, описанных выше. При
их решении можно обойтись без дополнительного излишнего усло-
усложнения, связанного с учетом реакции излучения. Добавим еще,
что полностью удовлетворительной трактовки эффектов реакции
излучения не существует. Трудности этой проблемы затрагивают
наиболее фундаментальные вопросы физики, связанные с природой
элементарных частиц. Хотя частные решения, справедливые в опре-
определенных ограниченных пределах, и могут быть получены, основ-
основная проблема остается нерешенной. Можно было надеяться, что
переход от классического рассмотрения к квантовомеханическому
позволит снять эти трудности. Физики еще не потеряли надежды
на то, что это в конечном счете произойдет, хотя в настоящее время
квантовомеханическое рассмотрение наталкивается даже на более
серьезные трудности, чем соответствующее классическое. Значи-
Значительный успех был достигнут сравнительно недавно A948—1950 гг.),
когда с помощью разумного использования понятий лоренц-кова-
риантности и калибровочной инвариантности удалось обойти указан-
указанные трудности в квантовой электродинамике. Это дало возможность
рассчитывать весьма малые радиационные эффекты с исключительно
высокой точностью в полном согласии с экспериментом. Однако
фундаментальные трудности теории все еще остаются. В настоя-
настоящей главе будет рассматриваться лишь классическая теория, но
по ходу изложения мы укажем и ряд квантовомеханических ана-
аналогий.
Ответ на вопрос, почему во многих проблемах можно, по-види-
по-видимому, пренебрегать реакцией излучения, очевидно, заключается
в том, что влияние этих эффектов незначительно. Чтобы иметь воз-
возможность хотя бы качественно судить о том, когда это действитель-
действительно имеет место, и производить полуколичественную оценку области
значений параметров, в которой эффекты излучения несуществен-
несущественны, необходим простой критерий. Один из таких критериев можно
получить из энергетических соображений. Если частица с зарядом е
испытывает во внешнем поле ускорение порядка а, то энергия,
излученная за время Т по формуле Лармора A4.22), равна по по-
порядку величины
Если эти потери энергии на излучение малы по сравнению с харак-
характерной для рассматриваемой задачи энергией Ео, то можно ожи-
§ 1. Вводные замечания 635
дать, что радиационные эффекты окажутся несущественными. Одна-
Однако если ?"Изл > Ео, то реакция излучения будет играть значитель-
значительную роль. Таким образом, критерий, определяющий границу,
начиная с которой уже сказываются радиационные эффекты,
может быть выражен соотношением
?изл~?о- A7.2)
Определение характерной энергии Ео требует некоторой осторож-
осторожности. Будем различать два случая: 1) частица первоначально
покоится и подвергается действию приложенной силы лишь в тече-
течение конечного интервала времени Г; 2) частица непрерывно уско-
ускоряется, как, например, при квазипериодическом движении с неко-
некоторой характерной частотой со0. Характерной энергией для перво-
первоначально покоившейся частицы является ее кинетическая энергия
в конце периода ускорения, так что
?0~ т(аТ)\
Критерий A7.2) в этом случае принимает вид
ИЛИ
т. 2
3 тс* '
Здесь полезно ввести характерное время
2 е2 /it q\
Т = тг ^-. A7.3)
3 тсъ v '
Таким образом, для интервалов времени Г, больших по сравнению
с т, радиационные эффекты несущественны. Лишь в том случае,
когда сила прикладывается столь внезапно и действует в течение
такого короткого времени, что Т — т, реакция излучения сущест-
существенно влияет на движение. Полезно заметить, что наибольшим
характерным временем т из заряженных частиц обладают элек-
электроны: для них т = 6,26-104 сек. За это время свет проходит
расстояние порядка 10~13 см. Лишь для явлений, содержащих такие
расстояния или интервалы времени, радиационные эффекты могут
играть серьезную роль.
Если заряженная частица совершает квазипериодическое дви-
движение с амплитудой d и характерной частотой со0, то в качестве
энергии Eq можно принять механическую энергию движения:
d2.
636 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
Для такого движения характерная величина ускорения а ~ со^ ^
а интервал времени Т ~ а*'1. Следовательно, критерий A7.2) запи-
записывается в виде
ИЛИ
соот~ 1, A7.4)
где т описывается соотношением A7.3). Так как величина со
определяет характерный период механического движения, мы
вновь приходим к тому же результату, что для интервалов времени,
больших по сравнению с характерным временем т A7.3), излучение
практически не будет влиять на движение.
Как видно из рассмотренных двух примеров, можно ожидать
существенного влияния излучения на движение заряженной части-
цы, если внешние силы таковы, что движение заметно изменяется
за время порядка т или на расстояниях порядка ст. Таков общий
критерий в классической электродинамике. При более плавном
движении влияние излучения достаточно мало и им можно пре-
пренебречь, если рассматриваемый интервал времени не очень велик.
Накапливающиеся эффекты, проявляющиеся при рассмотрении
движения в течение длительного времени, могут быть учтены при-
приближенно, как будет показано ниже.
§ 2. Определение силы реакции излучения
из закона сохранения энергии
Возникает вопрос, как включить эффекты реакции излучения
в уравнения движения заряженной частицы. Мы начнем с простых
и не очень строгих рассуждений, основанных на законе сохранения
энергии для нерелятивистской заряженной частицы. Более стро-
строгий вывод и учет релятивистских эффектов будут приведены в после-
последующих параграфах.
Если не учитывать излучения, то движение заряженной частицы
с массой m и зарядом е под действием внешней силы FBHem описы-
описывается уравнением движения Ньютона
mv = FBHem. A7.5)
Так как частица ускоряется, она излучает, причем мощность излу-
излучения определяется формулой Лармора A4.22):
§ 2. Определение силы реакции излучения 637
Чтобы учесть потери энергии на излучение и их влияние на движе-
движение частицы, дополним уравнение Ньютона A7.5) силой реакции
излучения Ризл
т\ = FBHem + Ризл- A7.7)
Хотя сила Ризл пока еще не определена, мы можем сформулировать
некоторые требования, которым она «должна» удовлетворять. Сила
Ризл «должна»
1) обращаться в нуль при v = 0, так как в этом случае излуче-
излучение отсутствует;
2) быть пропорциональной е2, так как а) мощность излучения
пропорциональна е2 и б) действие излучения не должно зависеть
от знака заряда;
3) зависеть от характерного времени т A7.3), так как, по-види-
по-видимому, это единственный важный параметр.
Мы найдем вид функции Ризл, если потребуем, чтобы работа этой
силы, совершаемая в течение интервала времени tx<it<i t2, была
равна излученной за это время энергии, взятой с обратным зна-
знаком. При этом, по крайней мере в целом за интервал времени (tu t2),
будет выполняться закон сохранения энергии. Учитывая соотно-
соотношение A7.6), можно записать требуемое условие в виде
3 с»
Беря второй интеграл по частям, получаем
S9 2
Если движение периодическое или такое, что скалярное произведе-
произведение (v-v) равно нулю при t = tt и t — t2j то последнее соотноше-
соотношение можно переписать в виде
Ч
s
Таким образом, в качестве силы реакции излучения можно при-
принять величину
A7.8)
638 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
Модифицированное уравнение движения при этом принимает вид
m(v—TV) = FBHem. A7.9)
Уравнение A7.9) называют иногда уравнением движения Абра-
гама — Лоренца. Оно учитывает реакцию излучения в некотором
приближении и в среднем по времени. Полученное уравнение не
вполне удовлетворительно с той точки зрения, что оно не первого,
а второго порядка по времени, и поэтому приводит к противоречиям
с известными требованиями к динамическому уравнению движения.
Это противоречие проявляется прежде всего в наличии так называе-
называемых «самоускоряющихся» решений. При отсутствии внешней силы
уравнение A7.9), очевидно, имеет два возможных решения:
A7.10)
где а — ускорение в момент t = 0. Лишь первое решение имеет
смысл. Как видно из нашего вывода, второе решение неприемлемо,
•
поскольку (v-v) Ф 0 для моментов времени t^ и t2. Полученное
уравнение, очевидно, применимо лишь в той области, где реакция
излучения является малой поправкой. В этом случае ее можно
рассматривать как возмущение, приводящее к медленным или
малым изменениям состояния движения частицы. Трудности,
связанные с наличием «самоускоряющихся» решений, можно обой-
обойти, заменив уравнение A7.9) интегро-дифференциальным уравне-
уравнением (см. § 7).
В качестве примера применения уравнения A7.9) для учета
малых радиационных эффектов рассмотрим движение частицы в кон-
консервативном центральном поле сил притяжения. В отсутствие реак-
реакции излучения энергия и момент количества движения частицы со-
сохраняются и полностью определяют движение. Вследствие испу-
испускания излучения эти величины изменяются. Если ускорения не
слишком велики, то значительное изменение энергии и импульса
может произойти лишь за интервалы времени, существенно превы-
превышающие характерный период движения. Поэтому мгновенное дви-
движение будет фактически таким же, как и в отсутствие излучения.
Медленные же изменения можно учесть, производя усреднение по
невозмущенной орбите частицы.
Если консервативное центральное поле сил притяжения описы-
описывается потенциалом V (г), то ускорение без учета реакции излуче-
излучения равно
v=—
т V dr
§ 2. Определение силы реакции излучения 639
В соответствии с законом сохранения энергии скорость изменения
полной энергии частицы равна взятой с обратным знаком мощности
излучения
d* 3 с» ^v'
Учитывая определение A7.3) величины т, это соотношение можно
переписать в виде
dE _ т ( dV у ' , ,2
ЧГ- --^^ЧГ) • A7.12)
Так как предполагается, что изменение энергии за один цикл дви-
движения по орбите мало, то выражение в правой части уравнения
можно заменить его средним значением на невозмущенной орбите
Секулярное изменение момента количества движения можно
определить, умножив уравнение A7.9) векторно на радиус-вектор г.
Так как момент количества движения L равен тх х v, то
dL V. A7.14)
dt
Внешний вращающий момент равен нулю, поскольку внешняя сила
обладает центральной симметрией, что касается вращающего момен-
момента, обусловленного излучением, то он может быть представлен
в виде
A7.15)
Мы предположили, что момент количества движения медленно
меняется во времени (т. е. мало меняется за время порядка т).
Поэтому в выражении A7.15) можно пренебречь второй производной
L по ty а в качестве ускорения v следует взять его значение из невоз-
невозмущенного уравнения движения A7.11). В результате скорость
изменения момента количества движения можно записать в виде
-^r<^4^>L, A7.16)
dt m \ r dr / '
где, так же как и в A7.13), произведено усреднение по времени для
мгновенной орбиты.
Уравнения A7.13) и A7.16) определяют закон изменения во
времени параметров орбиты частицы из-за реакции излучения.
Хотя детальное поведение зависит от конкретного вида силы,
можно сделать некоторые общие качественные выводы. Если
640 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
характерная частота движения есть со0, то с точностью до безраз-
безразмерного численного коэффициента порядка единицы получаем
следующую оценку для усредненной величины в выражении A7.16):
JT_ /_}___dV_\ Л_ 2_ 2
т \ г dr / т ° ° '
Отсюда видно, что характерное время изменения момента коли-
количества движения по порядку величины равно A /cootJcoo. При со0т<С 1
это время много больше периода орбитального движения 2я/соо. К
аналогичному выводу можно прийти и исходя из соотношения A7.12).
Приведенные соотношения, учитывающие радиационные эффекты,
применимы при исследовании ряда конкретных задач, например для
вычисления времени каскадного перехода \л- или я-мезонов с уровня
с очень большим значением квантового числа на более низкие уровни.
В течение большей Части времени квантовые числа в этом случае
достаточно велики, и, таким образом, классическое описание дви-
движения допустимо. Рассмотрение примеров такого рода дано в зада-
задачах к этой главе.
§ 3. Вычисление силы реакции излучения
по Абрагаму и Лоренцу
Приведенный в предыдущем параграфе вывод силы реакции
излучения, хотя и нагляден, но не является совершенно строгим.
Задача состоит в том, чтобы получить удовлетворительную оценку
силы реакции, с которой действует на заряженную частицу ее соб-
собственное поле излучения. Поэтому любое систематическое иссле-
исследование должно включать рассмотрение структуры заряда частицы
и ее собственного поля. Первая попытка такого исследования на
основании чисто электромагнитной модели заряженной частицы
была предпринята Абрагамом A903 г.) и Лоренцом A904 г.). Мы
будем следовать рассмотрению Лоренца, приведенному в его
книге [69].
Рассмотрим малую одиночную заряженную частицу с полным
зарядом е и плотностью заряца q (x) в системе, где частица покоится.
Частица находится во внешнем электромагнитном поле Евнеш (*> 0»
Ввнеш (х, t). Как было показано в гл. 6, § 9, и гл. 11, § 11, сумма
механического и электромагнитного импульсов в некотором объеме
не изменяется во времени, если отсутствует поток импульса в ука-
указанный объем или из него. Абрагам и Лоренц предположили,
что механический импульс заряженной частицы имеет в действи-
действительности электромагнитное происхождение. Таким образом, закон
сохранения импульса может быть записан в виде
dt "и>
§ 3. Вычисление силы реакции излучения 641
или в эквивалентной записи с использованием выражения для силы
Лоренца
\ (qE+ — Jx B^)dsx = 0. A7.17)
J ч c У
В последнем уравнении векторы Е и В представляют собой полные
поля, а интегрирование совершается по объему частицы.
Чтобы придать соотношению A7.17) форму уравнения движе-
движения Ньютона
_
dt
'— Гвнеш»
разобьем полное поле на внешнее поле Евнеш, Ввнеш и собствен-
собственное поле ЕСОб, ВСОб, обусловленное распределением плотности
собственного заряда q и плотности тока J:
Ь — Евнеш ~т~ ЕСоб» /17 1 8^
В = Ввнеш 4~ ВСоб-
Теперь соотношение A7.17) можно записать в виде уравнения дви-
движения Ньютона, в котором внешняя сила определяется следующим
образом:
^внеш — \ ( Qt-внеш г г ^ X овнеш ) и X, A/.1У)
«J Ч L У
а производная по времени от импульса частицы равна
Зх. A7.20)
Если внешние поля мало меняются на протяжении размеров части-
частицы, то внешняя сила A7.19) совпадает с обычной силой Лоренца,
действующей на частицу с зарядом е и скоростью v.
Для вычисления силы самодействия [интеграл в правой части
уравнения A7.20)] необходимо задаться моделью заряженной
частицы. Примем для простоты следующие предположения:
а) частица в данный момент покоится;
б) распределение заряда неизменно (модель «жесткого» элек-
электрона) и обладает сферической симметрией.
Полученные при этих допущениях результаты справедливы
лишь для нерелятивистского движения и не обладают инвариант-
инвариантностью относительно преобразований Лоренца. В дальнейшем этот
недостаток будет исправлен.
Для частицы, покоящейся в данный момент, уравнение A7.20)
принимает вид
gJ(x, 0Есоб(х, t)(Px. A7.21)
642 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
Собственное поле частицы можно выразить через соответствующие
потенциалы АиФ:
-§-=$Q(*. ')[Уас1Ф(*> 0 + ^4г<х' t)~]d*x. {П.22)
Указанные потенциалы образуют 4-вектор Л^=(А, / Ф):
Л,(х, 0 = 4" \ lJ»(T''?]mw<Px\ A7.23)
где
^n = (J, icQ), R = x — х\
В A7.23) 4-ток J^ следует вычислять для запаздывающего времени
/'. Последнее отличается от истинного времени t на интервал поряд-
порядка At ~ ale, где а — характерный размер частицы. Для распреде-
распределения заряда, сосредоточенного в малом объеме, этот интервал вре-
времени весьма мал. Можно считать, что за это время движение части-
частицы меняется мало. Поэтому естественно воспользоваться в A7.23)
разложением подынтегрального выражения в ряд Тейлора в окрест-
окрестности /' = /. Так как символ [ ]запазд означает, что выраже-
выражение в скобках вычисляется при V = t — R/c, то любую вели-
величину, вычисляемую с учетом запаздывания, можно представить
разложением
Используя такое разложение для 4-тока в A7.23), преобразуем
A7.22) к виду
п=0
r-i , Я71 dJ(x', t)
а?
Рассмотрим члены сп = 0ип= 1в разложении скалярного потен-
потенциала в правой части выражения (первое слагаемое в квадратных
скобках). Слагаемое сп = 0 пропорционально интегралу
(x, t)Q(xf, Ograd-^-.
Это слагаемое определяет электростатическую силу самодействия.
Для сферически симметричного распределения заряда эта сила
равна нулю. Слагаемое сл-1 также равно нулю, так как содер-
содержит grad Я". Таким образом, первое отличное от нуля слагаемое,
определяемое скалярным потенциалом, соответствует п = 2.
§ 3. Вычисление силы реакции излучения 643
Поэтому сумму можно, изменив индекс суммирования, предста-
представить в виде
dt - 2j/i!c«+
где | A7.25)
Используя уравнение непрерывности, связывающее плотности
заряда и тока, можно записать выражение в фигурных скобках
в A7.25) следующим образом:
{ }=J(x', О—^div'J(x', О-
Вычисляя по частям интеграл по х' от второго члена, получаем
Таким образом, выражение в фигурных скобках в A7.25) можно
записать в виде
~1Л (J'R>R /17 26^
+2у> #2 • A7.2b)
При «жестком» распределении заряда плотность тока равна
J(X', t) = Q(x\ t)v(t).
Если распределение заряда обладает сферической симметрией, то
единственным выделенным направлением задачи является напра-
направление вектора скорости v (f). Поэтому после интегрирования по х
и х' останется лишь составляющая векторного выражения A7.26)
вдоль направления v (/). Таким образом, выражение A7.26) можно
заменить следующим:
Далее, все направления вектора R равновероятны. Поэтому вели-
величину (R-v/RvJ можно заменить ее средним значением, равным Vs-
В результате получаем окончательное простое выражение для ве-
величины в фигурных скобках в A7.25):
0у@. A7.27)
644 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
Подставляя A7.27) в A7.25) и пренебрегая нелинейными членами
в производных v по времени (которые появляются при п>4),
придем к следующему выражению для силы самодействия:
оо
^Р "V ( *) 2 jo v^ v i3 , v J3rn /Y'\ n (x\ ptt-i /i 7 oo\
—jy " — / \ rtj-o о—i— ^„м' I U Л I U ЛР I A J U I Al д . 11/» ^O)
Clt +~~ С ~*~* Otll Ot ~^L J J ^^/^^/ \
71=0
Для выяснения смысла формулы A7.28) рассмотрим несколько пер-
первых членов в полученном разложении:
')= -g'v, A7.29)
В последнем выражении а означает характерную протяженность
распределения заряда частицы. Заметим, что члены разложения
с п > 2 обращаются в нуль в предельном случае точечного заряда
(а -+0). Поэтому для сосредоточенных распределений заряда
необходимо рассмотреть лишь члены разложения с п = 0 и п = 1.
Слагаемое с п = 1 совпадает с найденной ранее силой реакции
излучения A7.9). Эта сила не зависит от структуры частицы и опре-
определяется лишь величиной полного заряда. Настоящий вывод мож-
можно считать более глубоким обоснованием выражения для силы реак-
реакции по сравнению с рассмотрением, проведенным в § 2.
Член в A7.29), соответствующий п = 0, заслуживает специаль-
специального рассмотрения. Входящий в него двойной интеграл пропорцио-
пропорционален собственной электростатической энергии U распределения
заряда
±^^ в(хЖх! f A7.30)
так что Член, соответствующий п = 0, можно записать в виде
Это соотношение имеет вид обычного закона изменения импульса
во времени. Отношение собственной электростатической энергии
к с2 можно отождествить с электромагнитной массой частицы
тв=-^-. A7.32)
§ 4. Трудности модели Абрагама — Лоренца 645
Если пренебречь высшими членами разложения A7.28), то урав-
уравнение движения Ньютона для модели Абрагама — Лоренца при-
принимает вид
4 Л " 2е2 * •
—7)— illе \ v г» g V — Г внеш• \Li.OO)
Это уравнение совпадает с A7.9), за исключением численного мно-
множителя 4/3 при электромагнитной массе.
§ 4. Трудности модели Абрагама—Лоренца
Хотя подход Абрагама — Лоренца представляет собой значи-
значительный шаг вперед в физическом описании заряженной частицы,
в некоторых отношениях он несовершенен.
1. Очевидным недостатком является нерелятивистская природа
модели. Выражение для силы реакции излучения легко обобщить
на случай релятивистского движения (см. задачу 17.4), но одного
этого еще недостаточно.
2. Электромагнитная масса входит в уравнение A7.33) с невер-
неверным коэффициентом. В этом проявляются присущие модели нару-
нарушения свойств лоренцовской ковариантности, что станет более ясна
из следующего параграфа.
3. Чтобы иметь возможность пренебречь высшими членами раз-
разложения в выражении для силы самодействия, необходимо перей-
перейти к пределу а -*0. Однако электромагнитная масса по порядку
величины равна е2/с2а. Следовательно, в пределе а -*0 масса
неограниченно возрастает. Если же потребовать, чтобы масса
по порядку величины оставалась равной наблюдаемой массе частицы
га, то мы получаем, что размер области, занятой зарядом, должен
быть порядка а ~ г0, где
Для электронов эта величина, названная классическим радиусом
электрона, равна 2,82-10~13 см. Хотя этот размер и очень мал,
можно представить себе такие достаточно резкие движения, для
которых влияние этой конечной величины в высших членах разло-
разложения становится весьма существенным х). В результате развитую
«усеченную» теорию для частицы конечных размеров следует рас-
рассматривать лишь как приближенное описание.
х) Легко видеть, что отношение соседних членов разложения имеет по-
порядок [(а/с) (dn+*v/dtn+'Z)]/(dn+1v/dtri+1). Это значит, что движение должно
претерпевать заметное изменение за интервал времени а/с. При а ~ е2/тс2
этот интервал совпадает с временем т, определенным согласно A7.3). В резуль-
результате мы вновь приходим к полученному прежде критерию.
646 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
4. Чтобы ограниченное распределение заряда было устойчиво,
необходимы силы неэлектромагнитного характера. Поэтому в рам-
рамках уравнений Максвелла и специальной теории относительности
следует отказаться от чисто электромагнитной модели материи. Нам
известны сильные неэлектромагнитные взаимодействия, существую-
существующие в природе. Однако внутренняя структура частиц в настоящее
время остается в основном неизвестной. Единственное исключение
представляют нейтрон и протон. Их электромагнитная структура
исследовалась с помощью рассеяния электронов высоких энергий,
причем электроны рассматривались как точечные частицы и счита-
считалось, что законы электродинамики не изменяются на малых расстоя-
расстояниях, характерных для рассматриваемой задачи. Было найдено,
что размер области, занятой распределением заряда и магнитного
момента, по порядку величины равен @,5—1,0)-103 см1). Эта
величина одного порядка с классическим радиусом электрона rOt
хотя и несколько меньше него. Не следует, однако, отыскивать
какой-либо глубокий смысл в этом факте. Структура элементарной
частицы в значительной мере определяется квантовомеханическими
законами. Из величин с размерностью длины гораздо более близкое
отношение к размерам нейтрона и протона имеет комптоновская
длина волны я-мезона (к/тлс« 1,4-10~13 см), играющего роль
кванта поля ядерных сил, подобно тому как фотон является кван-
квантом электромагнитного поля 2).
Наличию неэлектромагнитных сил должен соответствовать
добавочный вклад т0 в массу частицы. В рамках обсуждавшейся
до сих пор модели Абрагама — Лоренца эта дополнительная масса
проявляется лишь в появлении коэффициента при ускорении в
уравнении A7.33).
§ 5. Трансформационные свойства
модели Абрагама — Лоренца.
Натяжения Пуанкаре
Странный и труднообъяснимый коэффициент 4/3 при члене,
характеризующем инерцию электромагнитной энергии, был впер-
впервые получен Дж. Дж. Томсоном A881 г.). Чтобы ясно понять его
происхождение, рассмотрим не уравнение движения, а собственную
электромагнитную энергию и импульс в модели Абрагама — Лорен-
Лоренца. В гл. 6, § 9, и гл. 11, § 11, были рассмотрены законы сохранения
энергии и импульса. При этом мы интерпретировали элементы
четвертого столбца (или строки) тензора энергии-импульса Т^
1) Обсуждение экспериментов можно найти в статье Хофштадтера [52].
2) То обстоятельство, что (К/шлс) ъ (V2)(e2/mec2), т. е. что масса я-ме-
зона превышает массу электрона в 2 X 137 раз, является еще одним из чи-
числовых совпадений, которое, возможно, и заключает в себе глубокий смысл.
§ 5. Трансформационные свойства 647
A1.134) как плотность импульса и энергии электромагнитного
поля. Поэтому естественно в исследуемой модели заряженной
частицы отождествить собственную электромагнитную энергию и им-
импульс с соответствующим интегралом по объему от некоторого тен-
тензора энергии-импульса 7"^ собственного поля. Таким образом,
4-импульс Частицы представляется в виде
A7.34)
где интегрирование производится по всему пространству. В раз-
развернутом виде для электромагнитной энергии и импульса частицы
получим соотношения
=[ d3xus,
J A7.35)
^= ^ d3xgsk,
где us и gs—соответственно плотность собственной энергии и плот-
плотность импульса.
В системе координат, относительно которой частица покоится,
соотношения A7.35) дают ре = 0 (так как gs = 0 тождественно) и
=U. A7.36)
Индекс @) означает систему координат, связанную с частицей;
U — собственная электростатическая энергия A7.30).
Исходя из этих значений энергии и импульса в собственной
системе отсчета частицы, можно получить соответствующие вели-
величины в другой лоренцовой системе координат и выявить таким
образом их трансформационные свойства. Пусть 4-импульс элек-
электромагнитного поля в системе отсчета, движущейся со скоростью
—v относительно покоящейся системы координат, определяется
формулой A7.34). В этой лоренцовой системе отсчета заряженная
частица движется со скоростью v. Чтобы выразить A7.34) через
величины в покоящейся системе отсчета, следует преобразовать
подынтегральное выражение. Так как ydsx есть лоренц-инвариант-
ный элемент объема, то yd3x = y@)d3xm = dsx@). Далее, тензор
T^v преобразуется в соответствии с A1.88). В результате A7.34)
можно переписать в виде
Считая для удобства скорость v параллельной оси х3, можно исполь-
использовать в качестве a^v коэффициенты преобразования, обратного
A1.75). В этом случае, как легко показать, энергия и импульс рав-
648 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
ны соответственно
A7.37)
rn _ vft Г Л3г@) ГТ@) Т@I
Полученные результаты отличаются от ожидаемых появлением
добавочных членов, содержащих составляющую Т^ тензора натя-
натяжений Максвелла. Таким образом, мы приходим к выводу, что
часть энергии и импульса частицы, обусловленная собственным
электромагнитным полем, не преобразуется ожидаемым образом,
если тензор натяжений собственного поля не обращается в нуль
в покоящейся системе отсчета. Для модели Абрагама — Лоренца
собственный тензор натяжений, очевидно, не обращается в нуль.
Действительно, в случае сферической симметрии можно из условия
обращения в нуль суммы диагональных элементов тензора Гцл,
[см. A1.136I вывести, что добавочный импульс в формуле A7.37),
обусловленный собственными натяжениями, .составляет ровно
г/3 импульса, обусловленного собственной электромагнитной энер-
энергией. Это и приводит к появлению коэффициента 4/3 в выраже-
выражении A7.31) даже в случае нерелятивистских скоростей.
Нарушение лоренц-ковариантных свойств в соотношениях
A7.37) связано с отличием от нуля собственного тензора натяжений
Максвелла. В свою очередь наличие собственных натяжений являет-
является следствием нестабильности распределения заряда при чисто
электромагнитных силах взаимодействия. Утверждение о неравен-
неравенстве нулю тензора натяжений Максвелла для собственного поля
есть лишь иное выражение того факта, что электростатические
силы стремятся разрушить локализованное распределение заряда.
Для стабильной конфигурации материи полные натяжения, обус-
обусловленные действием всех видов сил, должны обращаться в нуль.
В 1906 г. Пуанкаре обнаружил, что можно снять сразу две труд-
трудности модели Абрагама — Лоренца, постулировав существование
соответствующих сил неэлектромагнитного характера, так назы-
называемых натяжений Пуанкаре, компенсирующих натяжения Мак-
Максвелла и обеспечивающих стабильность распределения заряда
частицы и обращение в нуль полного тензора натяжений в собствен-
собственной системе координат частицы. Итак, в дополнение к электромаг-
электромагнитному тензору T^v введем неэлектромагнитный тензор энергии-
импульса P^v, так что полный тензор энергии-импульса будет равен
S^TVv + ^V 417.38)
При этом 4-вектор энергии-импульса частицы будет вместо A7.34
определяться выражением
± lxS^. A7.39)
§ 5. Трансформационные свойства 649
Эта величина является лоренц-ковариантной, если тензор Пуан-
Пуанкаре в собственной системе координат частицы имеет вид
p(o)
* 11
p@)
p@)
0
p@)
p@)
Г22
p@)
0
pw)
'IS
p@)
D@)
0
0
0
0
и, кроме того,
J PiS)ds^@)= - J Т^Л@). A7.41)
Последнее равенство математически выражает то требование, что
для обеспечения стабильности заряда силы притяжения, описывае-
описываемые натяжениями Пуанкаре, должны компенсировать электроста-
электростатические силы отталкивания.
Модель Пуанкаре показывает, что в выражении для собствен-
собственной энергии или массы не следует отделять электромагнитную часть
от части, обусловленной силами другой природы, так как взятые
в отдельности они не являются лоренц-ковариантными. Физический
смысл имеет лишь полная собственная энергия или масса
К + Р%]<Рхт- A7.42)
Постулат Пуанкаре обеспечивает одновременно требуемые реля-
релятивистские ковариантные свойства полной энергии и импульса
частицы и стабильность распределения заряда частицы. Поэтому
его можно рассматривать как приемлемое решение проблемы в рам-
рамках классической теории. Происхождение и физическая природа
натяжений Пуанкаре, разумеется, неизвестны. Наличие этих натя-
натяжений постулируется лишь для того, чтобы согласовать теорию
с очевидным экспериментальным фактом существования устойчи-
устойчивых заряженных частиц, энергия и импульс которых обладают
определенными твердо установленными трансформационными свой-
свойствами лоренц-инвариантности. Так как классическая электроди-
электродинамика не может сама по себе обеспечить нулевые собственные натя-
натяжения, мы вынуждены выйти за ее границы.
В квантовой электродинамике (строго говоря, в теории взаимо-
взаимодействия фотонов с электронами и позитронами, а не с любыми заря-
заряженными частицами) возникают, по существу, те же самые трудно-
трудности, хотя и в другом виде. Теория оперирует с точечными заряжен-
заряженными частицами, обладающими «только» зарядом ±е$ и «только»
массой т0. Частицы, так же как и электромагнитное поле, описы-
описываются квантованным полем. Таким образом, квантовая теория
описывает взаимодействие двух полей, тогда как классическая
теория рассматривает взаимодействие поля с «материей».
650 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
В приближении точечных частиц вычисление собственной энер-
энергии частицы приводит к расходящемуся результату. Однако в отли-
отличие от классического результата
чкл) ~5г.
где масса обратно пропорциональна размеру частицы, в квантовой
механике мы имеем логарифмическую особенность
здесь а — характерный линейный размер, стремящийся к нулю
для точечных частиц. Замена линейной расходимости на логариф-
логарифмическую связана со взаимной компенсацией членов, обусловлен-
обусловленных электромагнитным и электрон-позитронным полями. Кроме
того, введение электрон-позитронного поля приводит к эффекту,
отсутствующему в классической теории,— расходимости полного
заряда частицы. Эти вклады в массу и заряд частицы, представ-
представляемые расходящимися интегралами, можнЬ включить в вели-
величины наблюдаемых массы и заряда, если описывающим их расхо-
расходящимся интегралам приписать надлежащие релятивистски ко-
вариантные свойства. Указанная процедура обычно называется
перенормировкой. Метод перенормировки оказался довольно пло-
плодотворным, поскольку а) перенормировка может быть проделана
релятивистски ковариантным образом, б) необходима перенорми-
перенормировка лишь нескольких величин (фактически лишь трех — массы,
заряда и волновой функции) и в) метод приводит к четко
определенной схеме вычислений. Рассчитанные этим методом сла-
слабые радиационные эффекты, например лэмбовский сдвиг и аномаль-
аномальный магнитный момент электрона, полностью согласуются с опытом.
При этом достигается точность порядка 10~6 или 10~7.
При квантовомеханических расчетах собственных натяжений
также возникает трудность, связанная с наличием расходящихся
интегралов. Один из способов решения этой проблемы состоит
в использовании связи между обращением в нуль дивергенции тен-
тензора натяжений и 4-векторным характером энергии-импульса
(см. задачу 11.13). Вычисление электродинамических вкладов
в дивергенцию тензора натяжений и собственные натяжения пока-
показывают, что в обоих случаях появляются одинаковые расходящиеся
интегралы. Из законов сохранения энергии и импульса следует,
что дополнительный вклад в дивергенцию тензора натяжений дол-
жен отсутствовать. На этом основании расходящиеся интегралы
формально следует положить равными нулю. Так как в выражении
для собственных натяжений появляются те же самые интегралы,
можно сказать, что их следует опустить, исходя из закона сохра-
сохранения энергии и импульса. Другой метод обхода указанных труд-
6. Ковариантное определение энергии и импульса 651
ностей состоит в том, что в дополнение к электромагнитному полю
формально вводятся одно или несколько векторных полей, описы-
описывающих взаимодействие с частицей, а константы связи (зарядов)
выбираются так, чтобы вклад дополнительных полей в собственные
натяжения и дивергенцию тензора натяжений погашал соответ-
соответствующие электродинамические слагаемые х). Этот метод сведения
собственных натяжений к нулю по своей сути аналогичен классиче-
классическим методам натяжений Пуанкаре, хотя и сильно отличается
ъ деталях.
§ 6. Ковариантное определение
собственной электромагнитной энергии
и импульса заряженной частицы
В предыдущем рассмотрении имеется один странный момент.
Классическая электродинамика является релятивистски ковариант-
ной теорией. Поэтому правомерно ожидать, что при правильном
вычислении любой величины требования инвариантности относи-
относительно преобразований Лоренца не будут нарушаться. Тем не менее
в модели Абрагама — Лоренца — Пуанкаре, по-видимому, имеется
такое нарушение. Нековариантная электромагнитная часть соб-
собственной энергии и импульса заряженной частицы уравновешивает-
уравновешивается в этой модели нековариантной частью, обусловленной натяже-
натяжениями Пуанкаре, так что результат остается релятивистски кова-
риантным.
Можно, конечно, сказать, как и было сделано в § 5, что по-
поскольку для обеспечения стабильной конфигурации ограниченного
распределения заряда необходимы удерживающие силы неэлектро-
неэлектромагнитного характера и соответствующие собственные поля, то
.лишь полные силы и натяжения имеют физический смысл. Тем не
менее вполне законен вопрос, можно ли так определить чисто элек-
электромагнитную часть собственной энергии и импульса частицы, чтобы
юна была релятивистски ковариантной. Такое определение имело
бы не только эстетическую ценность, но отделило бы, по крайней
мере формально, вопрос об устойчивости от вопроса об инвариант-
инвариантности относительно преобразований Лоренца.
Задача определения 4-вектора энергии-импульса собственного
-электромагнитного поля весьма проста. Следует лишь образовать
4-вектор, сводящийся к собственной электростатической энергии
частицы A7.36) в системе координат, относительно которой она
покоится2). Очевидно, что для получения 4-вектора следует ска-
*) Обсуждение указанных квантовомеханических подходов можно найти
в статье Боровица и Кона [17].
2) Впервые это было сделано, по-видимому, Квалем [61]. См. также ра-
работу Pop лиха [83].
652 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
лярно умножить тензор TViV на некоторый 4-вектор nv. Умножая
произведение на инвариантный элемент объема у d3x и интегрируя,
получаем требуемое ковариантное обобщение выражения A7.36)
= 7 ]<РхТ^п„ A7.43)
где nv представляет собой 4-вектор с составляющими @, /) в собствен-
собственной системе отсчета. С помощью преобразований Лоренца A1.75)
легко найти выражение для nv в общем случае
A7-44)
В развернутом виде собственная энергия и импульс, выраженные
через плотность энергии и импульса и тензор натяжений Максвелла,
запишутся так:
A7.45)
Полученные выражения отличаются от соотношений Абрагама —
Лоренца A7.35) множителями у2 и дополнительными слагаемыми
—vg и v T 1с2.
Физический смысл полученных ковариантных определений Ее
и ре можно установить следующим образом. Рассмотрим, например,
собственную энергию. Можно сказать, что величина, которую сле-
следует отождествлять с собственной электромагнитной энергией дви-
движущегося ограниченного распределения заряда, не равна полной
энергии поля, а отличается от нее на работу, совершенную электро-
электромагнитными силами (натяжениями Максвелла), которые в конечном:
счете компенсируются некоторыми силами неэлектромагнитного
типа. В собственной системе отсчета частицы эти силы не производят
работы. В результате собственная энергия и определяется форму-
формулой Абрагама — Лоренца A7.36). В движущейся же системе отсчета
работа, производимая этими силами в единицу времени, равна
(несущественный для наших рассуждений множитель у опускаем).
Интеграл по времени от этой величины дает как раз слагаемое, вычи-
вычитаемое из полной энергии электромагнитного поля в A7.45). Совер-
Совершенно аналогично слагаемое, содержащее натяжения Максвелла
в выражении для импульса A7.45), представляет собой взятую с
обратным знаком часть импульса, обусловленную переносом чисто
электромагнитных натяжений.
^ 6. Ковариантное определение энергии и импульса 653
Так как выражение для энергии-импульса A7.45) по самому
построению представляет собой 4-вектор, нет необходимости в про-
проверке этого факта. Тем не менее интересно, что коэффициент 4/3
в выражении для импульса исчезает. В нерелятивистском пре-
предельном случае выражение для собственного магнитного поля имеет
вид
В^уХЕ, A7.46)
При этом первое слагаемое в выражении для импульса A7.45)
оказывается равным
\ ^ J Es х (v X Ea)d*x,
или
^l A7.47)
Это — выражение для импульса в модели Абрагама—Лоренца.
При сферической симметрии поля второе слагаемое можно усред-
усреднить по углам. Усредненное слагаемое равно 1/3 от величины первого
Члена, так что в результате получаем значение D/3)(?//c2)v, как
уже было показано ранее [см. соображения, приведенные после
соотношений A7.37)].
Второе слагаемое в выражении для импульса равно
A7.48)
Если даже не предполагать сферической симметрии для сум-
суммарной величины импульса, то, согласно A7.47) и A7.48), получим
iJ-V, A7.49)
как и следовало ожидать на основании лоренц-ковариантности.
При помощи модифицированных определений A7.45) можно
с формальной точки зрения получить заведомо ковариантные выра-
выражения для энергии и импульса собственного электромагнитного
поля, не рассматривая силы иного типа и вопросы устойчивости.
Однако, как мы видели, эти ковариантные выражения получаются,
если опустить работу и импульс, обусловленные электромагнит-
электромагнитными силами, которые в конечном счете компенсируются силами
притяжения неэлектромагнитного характера, необходимыми для
устойчивости. Поэтому, по крайней мере для классического протя-
протяженного распределения заряда, мы можем либо считать вполне
удовлетворительным подход Пуанкаре, либо же требовать, чтобы
различные части собственной энергии и импульса были определены
порознь ковариантным образом; выбор здесь является делом вкуса.
654 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
Внешне отличающееся, но весьма близкое решение вопроса
о потере ковариантности, приводящей к появлению коэффициента
4/3в уравнении движения Абрагама — Лоренца A7.33), была
найдено Ферми [41] в 1922 г. Ферми показал, что использование
ковариантной формулировки принципа Гамильтона приводит к тре-
требуемой модификации выражения для силы самодействия A7.20),
в результате чего коэффициент 4/3 заменяется на единицу. Рассмо-
Рассмотрение, в некоторых отношениях сходное с проведенным нами, было
предложено также Вильсоном [119].
§ 7. Интегро-дифференциальное уравнение
движения с учетом радиационного затухания
В § 2 проведено качественное рассмотрение уравнения Абрага-
Абрагама — Лоренца A7.9). При этом указывалось, что если радиацион-
радиационные эффекты в некотором смысле считать слабыми, то для описания
движения можно успешно использовать метод последовательных
приближений. Однако уравнение движения в дифференциальной
форме допускает существование решений, не имеющих физического
смысла [см., например, второе решение A7.10)], так как это уравне-
уравнение содержит производные по времени более высокого порядка, чем
обычное уравнение движения механики. Желательно было бы полу-
получить эквивалентное уравнение движения, имеющее правильный
порядок, не приводящее к решениям, заведомо лишенным физиче-
физического смысла, и позволяющее применять обычный метод последо-
последовательных приближений для нахождения решений. Мы ограничим-
ограничимся в дальнейшем лишь нерелятивистским движением, хотя обобще-
обобщение на релятивистский случай получить нетрудно.
Основная идея преобразования уравнения A7.9) в эквивалент-
эквивалентное уравнение заключается в том, что решение нового уравнения
должно непрерывно переходить в соответствующее решение для
нейтральной частицы в пределе, когда заряд частицы стремится
к нулю. Чем меньше заряд частицы, тем меньше сила самодействия
и радиационные эффекты при прочих неизменных условиях. Если
считать внешнюю силу заданной функцией времени, то уравнение
A7.9) можно один раз проинтегрировать по времени с помощью
интегрирующего множителя. Положив
из A7.9) получим
§ 7. И нтегр о-дифференциальное уравнение движения 655
Первый интеграл имеет, следовательно, вид
с
mw(t) = -^~ J e-tf'x?{t')df. A7.50)
i
Знак минус, стоящий в предыдущей формуле, здесь отсутствует,1
поскольку мы считаем неопределенным нижний предел интегрировав
ния. Постоянная интегрирования С должна быть найдена из физи-
физических соображений.
Интегро-дифференциальное уравнение A7.50) отличается от
обычных уравнений движения механики тем, что в нем ускорение
частицы в любой заданный момент времени зависит не от мгновен-
мгновенного значения действующей силы, а от ее среднего по времени зна-
значения, взятого с некоторым весом. Наличие в выражении для силы
множителя ?-(*'-*)/* означает, что существен лишь малый интер-
интервал времени порядка т. Так как т пропорциональное2, то этот интер-
интервал становится бесконечно малым в пределе е2 ->0. Потребуем,
чтобы в этом случае уравнение движения переходило в уравнение
Ньютона: mv (/) = F (t). Этому требованию можно удовлетворить,
выбрав верхний предел интегрирования в A7.50) равным бесконеч-
бесконечности. Чтобы убедиться в этом, введем новую переменную интегри-
интегрирования
X
Тогда уравнение A7.50) примет вид
оо
mv@= jj e-sF(t + ts)ds. A7.51)
о
Если сила мало меняется за время порядка т, то можно ожидать,
что разложение ее в ряд Тейлора вблизи s = 0 быстро сходится»
Положим поэтому
_ A7.52)
П=0
и подставим это выражение для силы в A7.51); тогда
оо
/72V \t) = /i T —-: . \l I .uoy
В пределе т ->0 отличен от нуля лишь член ряда с п = 0. При этом
мы приходим к обычному уравнению движения для незаряженной
656
Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
частицы. Члены суммы более высокого порядка представляют
собой поправки, учитывающие радиационный эффект для заряжен-
заряженной частицы; эти слагаемые существенны лишь при достаточно
быстром изменении силы во времени.
Интегро-дифференциальное уравнение A7.51) можно считать
физически оправданным эквивалентом уравнения движения Абра-
гама—Лоренца A7.9). Все решения уравнения A7.51) удовлетво-
удовлетворяют и уравнению A7.9). Но при этом физически нереальные «само-
«самоускоряющиеся» решения типа A7.10) не появляются. Однако урав-
уравнению A7.51) все еще присущи некоторые недостатки. Основной
1
t
0
t >-
0
* -
Фиг. 17.1. «Предускорение» заряженной частицы.
из них — это нарушение традиционного принципа причинности.
Как очевидно из A7.51), ускорение в момент t зависит от значения
силы в моменты времени, более поздние, чем t. Это противоречит
нашим представлениям о связи причины и результата действия.
Типичный пример такого нарушения причинности проиллюстри-
проиллюстрирован на фиг. 17.1. Постоянная сила действует на частицу, начиная
с момента времени t > 0. Из уравнения движения следует, что
«предускорение» имело место еще до того, как сила «действительно»
была приложена.
Чтобы понять, действительно ли указанные эффекты противоре-
противоречат известным фактам, следует уточнить временные масштабы.
Эффект нарушения принципа причинности ограничен во времени
интервалом т~е2/тс3~lO~2i сек. За это время свет проходит расстоя-
расстояние порядка «размера» элементарных частиц. Интервалы времени
такой продолжительности невозможно обнаружить макроскопиче-
макроскопическими средствами. В частности, силы, действующие на частицы,
также не могут быть включены или выключены столь быстро, как
показано на фиг. 17.1. Следовательно, нарушение принципа при-
§ 8. Ширина линии и сдвиг уровня для осциллятора 657
чинности, заложенное в выражении A7.51), фактически не может
быть обнаружено на опыте. Можно сказать, что, хотя уравнение
A7.51) противоречит микроскопической причинности, оно не проти-
противоречит требованиям макроскопической причинности.
Существенное значение имеет и то обстоятельство, что рассма-
рассматриваемая модель является чисто классической и фактически непри-
неприменима уже при расстояниях и временах, много больших соответ-
соответственно е2/тс2 и т. Действительно, согласно принципу неопределен-
неопределенности, включение внешней силы на интервале времени At соответ-
соответствует неопределенности в энергии порядка АЕ ~ n/At. Если ука-
указанная неопределенность энергии по порядку величины равна энер-
энергии покоя частицы тс2, то поведение последней уже будет далеко
не классическим. Это накладывает квантовомеханическое ограни-
ограничение на интервалы времени: ткв~й/тс2~ 137 т. Поскольку
ткв> т, то можно предполагать, что в области, в которой должно
быть применимо классическое описание, движение частиц происхо-
происходит достаточно плавно, поэтому эффекты нарушения принципа при-
причинности весьма мало существенны и реакция излучения лишь
незначительно изменяет основное движение.
Если приложенная сила F задается не как функция времени,
а как функция координат, то решение интегро-дифференциального
уравнения становится несколько более сложным, хотя принципиаль-
принципиальных трудностей не возникает.
§ 8. Ширина линии и сдвиг уровня
для осциллятора
Реакция излучения существенно влияет на характеристики
атомных систем. Хотя полный анализ требует разработки довольно
сложного формализма квантовой электродинамики, качественные
характеристики видны уже из классического рассмотрения. В каче-
качестве типичного примера рассмотрим заряженную частицу, удержи-
удерживаемую одномерной линейной восстанавливающей силой с коэффи-
коэффициентом упругости k=m(o20. В отсутствие радиационного затухания
частица совершает колебания с постоянной амплитудой и часто-
частотой соо. Наличие реакции излучения приводит к постепенному
затуханию амплитуды колебаний, так как энергия движения пре-
преобразуется в энергию излучения.
Если обозначить смещение заряженной частицы от положения
равновесия через х (/), то уравнение движения A7.51) для рассма-
рассматриваемой задачи запишется в виде
оо
' \ )ds = 0. A7.54)
658 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
Так как при т = 0 решение имеет вид х (/) ~ g-*<Mf естественно
искать^решение в виде
x(t) = XQe-*h A7.55)
На основании физических соображений можно ожидать, что мнимая
часть а будет близка к соо, по крайней мере при соот < 1, но что а
имеет также положительную действительную часть, описывающую
затухание, обусловленное излучением. Подставляя A7.55) в A7.54),
получаем кубическое уравнение для а
0. A7.56)
Это уравнение имеет три корня: два комплексно сопряженных
и один действительный. Действительный корень всегда отрицателен
и должен быть отброшен [он соответствует «самоускоряющемуся»
решению уравнения A7.9)]. Оба корня, соответствующие физиче-
физически реализуемым процессам, могут быть представлены в замкнутом
виде при произвольных т и соо, однако окончательная формула
довольно сложна и пригодна лишь для численных расчетов. Нас
интересует область параметров, для которой соот < 1. При этом
легко убедиться непосредственно из уравнения A7.56), что с точ-
точностью до членов порядка (соотJ включительно а определяется
соотношением
а = -?-±/(©о + Дю), A7.57)
где
Величину Г называют обычно постоянной затухания, а А со— сдви-
сдвигом уровня.
Вследствие радиационного затухания энергия осциллятора
экспоненциально убывает как e~Tt. Это означает, что излучение
испускается в виде цугов волн с эффективной длиной порядка с/Г.
Такие импульсы излучения конечной протяженности не являются
уже строго монохроматическими, а характеризуются спектром
частот, занимающим интервал порядка Г. Точный вид спектраль-
спектрального распределения определяется квадратом фурье-амплитуды
электрического поля или ускорения. Если пренебречь начальным
процессом установления (имеющим длительность т), то спектраль-
спектральная амплитуда Е (со) пропорциональна величине
со
С е-а*ешсИ = —!—
J а —/со
§ 8, Ширина линии и сдвиг уровня для осциллятора
659
Отсюда для энергии, излучаемой в единичном интервале частот,
получим
Где /0 — полная излученная энергия. Такое спектральное распре-
распределение называют иногда лоренцовой формой линии. Ширину рас-
распределения на уровне половинной интенсивности, равную Г, при-
принято называть шириной линии (иногда применяют неудачное назва-
название «полуширина»). Такая спектральная линия изображена на
t
1
/I
j/ 1
/' 1
—— i
\
\i
ОH
со
Фиг. 17.2. Уширение и сдвиг спектральной линии, обусловленные реакцией
излучения.
Г — ширина лоренцовой спектральной линии; Аю — сдвиг уровня.
фиг. 17.2. Наличие реакции излучения обусловливает уширение
линии и сдвиг ее по частоте.
Классическая ширина линии для электронного осциллятора,
выраженная в длинах волн, является универсальной постоянной
При квантовомеханическом рассмотрении [естественная ширина
спектральной линии оказывается различной. Иногда для установле-
установления связи с классическим рассмотрением ширину линии в кванто-
вой механике записывают в виде
ГКв=
где fu — «сила осциллятора» для перехода i ->/. Величина силы
осциллятора может существенно меняться от значений, близких
к единице для сильных одноэлектронных переходов, до гораздо
меньших значений в других случаях.
В классической теории сдвиг уровня А со пропорционален шири-
ширине линии Г с малым коэффициентом со0т < 1 и таким образом гораз-
660 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
до меньше ширины. В квантовомеханическом рассмотрении (и на
опыте) это не так. Расхождение объясняется тем, что механизм
сдвига уровня в квантовой и классической теории различен, хотя
по-прежнему определяется электромагнитным полем. Для кван-
квантованного поля излучения даже в отсутствие фотонов среднее зна-
значение квадратов напряженностей векторов электромагнитного поля
отлично от нуля (флуктуации вакуума). Действие этих флуктуи-
флуктуирующих полей (наряду с флуктуациями электрон-позитронного
поля) на заряженную частицу и обусловливает сдвиг ее энергети-
энергетического уровня. Квантовомеханическое рассмотрение приводит
к следующей оценке для сдвига уровня осциллятора:
, / тс2
In (
тогда как для классического сдвига уровня, обусловленного испу-
испусканием излучения, имеем
'(со0тJ.
Очевидно, квантовомеханический сдвиг уровня по величине срав-
сравним с шириной линии или даже превышает ее. Впервые малый
сдвиг энергетических уровней атома, обусловленный излучением,
наблюдался в 1947 г. Лэмбом [62] и был назван поэтому лэмбовским
сдвигом. Квантовотеоретическое рассмотрение этого вопроса, тре-
требующее знания лишь основ квантовой теории поля, приведено
в книге Вайскопфа [115].
§ 9. Рассеяние и поглощение излучения
осциллятором
Рассеяние излучения свободными заряженными частицами было
исследовано в гл. 14, §7и8. Рассмотрим теперь рассеяние и погло-
поглощение излучения связанными зарядами. В качестве первого при-
примера обсудим рассеяние излучения, имеющего частоту со, на оди-
одиночной нерелятивистской частице с массой т и зарядом е, удержи-
удерживаемой сферически симметричной линейной восстанавливающей
силой /лсо^х. Поскольку нас будут интересовать установившиеся
колебания, можно пользоваться вместо интегро-дифференциального
уравнения A7.51) уравнением Абрагама — Лоренца A7.9). Урав-
Уравнение движения имеет, таким образом, вид
т (х — тх -[-(д20х) = F (t).
Если мы хотим учесть и другие процессы диссипации (соответствую-
(соответствующие с квантовомеханической точки зрения другим причинам затуха-
§ 9. Рассеяние и поглощение излучения осциллятором 661
ния, существующим наряду с излучением фотонов), то нужно добавить
в левой части уравнения слагаемые вида тГ'х, где Г' — постоян-
постоянная затухания, имеющая размерность частоты и характеризующая
величину неэлектромагнитных диссипативных эффектов. Падаю-
Падающее электромагнитное поле является возбуждающей внешней силой.
В дипольном приближении уравнение движения принимает вид
•••••• g
0 т
где Ео — значение напряженности электрического поля в точке
х = 0, а е — вектор поляризации падающего поля. Устано-
Установившееся решение уравнения движения имеет вид
е, A7.60)
х = — 2
т со§ — со2 — t
где величину
можно назвать полной постоянной затухания, или полной шириной
линии. Постоянная затухания, обусловленного излучением, есть
Г = cOqT. Ускоренное движение, описываемое решением A7.60),
приводит к излучению электромагнитного поля. Напряженность
электрического поля излучения описывается формулой A4.18):
е 1
Еизл == ~^2" ~ [П X (П X Х)]3апазд •
Следовательно, выражение для составляющей поля излучения
с поляризацией е' имеет вид
е •ЕИЗл = —V® —f2—9—:-тг- ( ) • A7.62)
MdJI тс2 cog — со2 — 1со1\ \ г у х f
Согласно определению A4.101), дифференциальное сечение рас-
рассеяния для Частоты со и поляризации е' равно
da (со, е')
re'
¦^изл
2
A7-63)
Множитель перед квадратной скобкой совпадает с томсоновским
сечением рассеяния для свободной частицы.
Для частот, много меньших частоты связи (со < соо), дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния принимает вид
е.еу(^У. A7.64)
' \ со0 J '
662 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
Таким образом, интенсивность рассеяния длинноволнового излу-
излучения обратно пропорциональна четвертой степени длины волны
(закон рассеяния Рэлея). Как уже отмечалось в гл. 16, § 9, таким
свойством обладают все системы с электрической дипольной поля-
поляризуемостью.
В области частот, близких к частоте связи соо, имеется харак-
характерный резонанс и интенсивность рассеяния сильно возрастает.
Вблизи резонанса дифференциальное сечение рассеяния опреде-
определяется приближенным выражением
dQ^Тб*° (со-соо)
где к0 = с/соо — резонансная длина волны (деленная на 2л;),
Г = OqT — постоянная затухания, обусловленного излучением,
и Г^ Г -f Г'. Проводя суммирование по поляризациям рассеян-
рассеянного поля и интегрирование по всем углам, находим полное сечение
рассеяния
РИ^^ . A7.66)
Полученное распределение интенсивности типично для лоренцовой
формы линии с шириной Г* и максимальным значением сечения
рассеяния
(^J. A7.67)
На высоких частотах (со > соо) дифференциальное сечение рассея-
рассеяния A7.63) приближается к томсоновскому сечению для свободной
частицы, если не учитывать множителя A + соЧ2), обусловлен-
обусловленного радиационным торможением. В классической области этот
множитель можно положить равным единице: сот — 1 соответствует
энергиям фотонов ft со— 137/лс2. Квантовые эффекты становятся
существенными уже при йсо — тс2, как было показано в гл. 14,
§ 7, и § 7 настоящей главы.
На фиг, 17.3 изображена кривая изменения полного сечения
рассеяния во всем диапазоне частот, описываемом классическими
формулами.
Резко выраженное резонансное рассеяние при со = соо назы-
называется резонансной флуоресценцией. С квантовомеханической точки
зрения этот резонанс соответствует поглощению электромагнит-
электромагнитного излучения атомом, молекулой или ядром, переходящими из
основного состояния в возбужденное с последующим излучением
электромагнитной энергии ро всех направлениях. Множитель
6X в выражении для максимального значения сечения рас-
§ 9. Рассеяние и поглощение излучения осциллятором
663
сеяния при квантовомеханическом расчете заменяется статистиче-
статистическим коэффициентом
¦°2BУ0СН+1) '
где УОсн и Увозб — моменты количества движения основного и воз-
возбужденного состояний, 4jxXq — максимальное возможное сечение
рассеяния для любого отдельного квантового состояния. Осталь-
Остальные множители представляют результат суммирования по всем
О
со0
Фиг. 17.3. Зависимость полного сечения рассеяния для осциллятора
от частоты.
Of — томсоновское сечение рассеяния для свободной частицы.
конечным магнитным подсостояниям и усреднения по начальным
состояниям, а множитель 2 — статистический вес, обусловленный
возможностью различной поляризации падающего излучения.
Классический результат соответствует Jocn = О и JBO86 = 1 •
Поглощение излучения осциллятором уже рассматривалось
в гл. 13, § 2. Роль внешнего возбуждающего поля при этом играло
поле быстрой заряженной частицы, но рассмотрение [от уравнения
A3.15) до A3.24)] проводилось в достаточно общем виде и может
быть прямо перенесено на наш случай. Единственное отличие состо-
состоит в том, что величину Г, которая использовалась в гл. 13, § 2,
следует заменить на Г* [см. A7.61)], а падающее электрическое
поле следует считать монохроматическим. Согласно A3.24), в ди-
польном приближении энергия, поглощаемая в единичном интер-
интервале частот, равна
\Е(^)\2^ A7-68)
Можно определить сечение поглощения как отношение энергии,
поглощенной в единичном интервале частот, к величине энергии
664
Гл. 17, Влияние излучения частицы на ее движение
в этом частотном интервале, падающей на единицу поверхности.}
Падающий поток энергии равен (с/2л) | Е0(со) | 2. Следовательно,,
сечение поглощения оказывается равным
«погл(соН4л-^ (cQ2o^ff+oJri • A7-69>
Учитывая, что Г = со^т, можно последнее выражение переписать
в виде
(со) =
0 (со2о-(
A7.70)
В трех областях частот со < соо, со ~ со0 и со > соо сечение погло-
поглощения можно описать приближенными выражениями
^ПО1
ОJГГ,
Зл
6лХ
гг,
2 ГГ,
0 0J
при со < со0,
при со^соо, A7.71)
при со > со0.
Мы видим, что вблизи резонансной частоты со0 кривая сечения
поглощения, как иг кривая сечения рассеяния, имеет лоренцову фор-
форму, но по величине сечение поглощения превышает сечение рас-
рассеяния в Tt/T раз. На высоких частотах I\ ^ со2т, и, таким обра-
образом, величина сечения поглощения стремится к постоянному том-
соновскому сечению (мы вновь пренебрегаем величиной сот по срав-
сравнению с единицей).
Сечение поглощения иногда называют полным сечением, так
как оно учитывает влияние всех процессов, как рассеяния, так
и других диссипативных эффектов, характеризуемых величиной Г'.
Для нахождения сечения поглощения следует лишь вычислить
энергию, поглощенную осциллятором, не интересуясь, будет ли
она затем испущена в виде электромагнитных волн или рассеется*
каким-либо иным способом. Сечение процессов, отличных от рас-
рассеяния, называют сечением реакции оТ (со). Оно может быть вычислено
просто как разность полного сечения и полного сечения рассеяния.
Можно предложить следующую единообразную форму записи трех
введенных сечений, сходную с выражением A7.70):
-блс2
@J/0J0) Г
Ц —0JJ+ 0JГ|
Г,
A7.72)
§ 9. Рассеяние и поглощение излучения осциллятором 665
В выражения для всех трех сечений входит одинаковый характер-
характерный резонансный знаменатель. Интенсивность радиационных про-
процессов пропорциональна (со2/со*) Г = со2т. Прочие диссипативные
процессы пропорциональны Г". Общий множитель (со2/со*) Г
характеризует падающее излучение. В выражении для сечения
рассеяния появляется второй множитель (coVco^) Г, а в сечении
реакции — множитель Г'. Полное сечение (сечение поглощения)
определяется полной шириной линии IV К такому же характер-
характерному произведению постоянных затухания или ширин линий, соот-
соответствующих начальному и конечному состояниям процесса, при-
приводит и квантовомеханическое рассмотрение теории резонансных
реакций.
Интегрируя сечение поглощения по всем частотам и пренебре-
пренебрегая сечением рассеяния, получаем соотношение, известное как
правило дипольных сумм. Пренебрежение рассеянием эквивалентно
предположению о том, что полная ширина линии Г* в A7.70) постоян-
постоянна для всех частот. Как легко показать, в этом приближении инте-
интеграл от Gп0ГЛ (со) по всем частотам оказывается равным
J A7.73)
Мы видим, что результат интегрирования содержит лишь массу
и заряд частицы и не зависит от иных характеристик, например от
0H и Г'. Полученное соотношение эквивалентно выражению A3.26)
для полной энергии, поглощенной системой из поля пролетающей
частицы.
Правило дипольных сумм представляет собой общий результат,
справедливый как в классической, так и в квантовой теории и не
зависящий от частотных характеристик системы. Для его справед-
справедливости необходимо выполнение лишь двух физических требований:
а) нормальные типы колебаний системы затухают во времени (хотя
бы весьма медленно) из-за наличия потерь и б) на высоких частотах
влияние связи несущественно и частица ведет себя как свободная
{см. задачу 17.8).
Для системы независимых частиц с зарядами ej и массами mjy
связанных с фиксированным центром сил, правило сумм обобщается
очевидным образом:
[ 2^^- <17-74>
Если частицы удерживаются в системе силами взаимодействия,
следует исключить движение общего центра масс. Как легко пока-
показать, это достигается вычитанием из суммы A7.74) члена Q2//W,
666 Гл. 17, Влияние излучения частицы на ее движение
где Q — полный заряд системы частиц, а М — полная масса. Для
ядер с Z протонами и N (= А — Z) нейтронами, согласно правилу
сумм, получаем
j , A7.75)
О
где е — заряд протона, am — масса одного нуклона *).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
История попыток создания классических моделей заряженных частиц
и связанные с этим вопросы приводятся в книге Уиттекера [116]. Идеи
Абрагама, Лоренца, Пуанкаре и других в четкой и изящной форме изложены
Лоренцом [69], § 26—37, 179—184. Рассуждения Лоренца представляются
несколько старомодными с современной точки зрения, но для своего времени
они могли служить примером ясного физического мышления.
Ясное, хотя и краткое, рассмотрение вопроса о собственной энер-
энергии и реакции излучения дано в книгах Беккера [6J, § 13, 14, 66, Ландау
и Лифшица [63], гл. 9, § 9, Пановского и Филипс [78], гл. 20, 21, Зоммер-
фельда [102], § 36.
Классическая теория релятивистского точечного электрона впервые
разработана Дираком [36]. Интегро-дифференциальное уравнение движе-
движения A7.51), по-видимому, впервые опубликовано в книге Иваненко и Соко-
Соколова [53], § 35. Многие аспекты классической релятивистской теории иссле-
исследованы Рорлихом [82, 83].
Примеры решения интегро-дифференциального уравнения движения
приведены в работе Пласса [80].
3 А Д кЧИ
17.1. Нерелятивистская частица с зарядом е и массой т удерживается
линейной изотропной восстанавливающей силой с коэффициентом упруго-
упругости mcog.
С помощью уравнений A7.13) и A7.16) показать, что энергия и момент
количества движения частицы экспоненциально убывают как е~г* от их
начального значения, где Г = cogt.
17.2. Нерелятивистский электрон с зарядом —е и массой /п, удерживае»
мый кулоновским потенциалом притяжения (—Ze2/r), движется при отсут-
отсутствии реакции излучения по круговой орбите.
а) Показать, что уравнения изменения энергии A7.13) и момента коли-
количества движения A7.16) приводят к следующему закону медленного изме-
х) В действительности, правило сумм для ядерного фотоэффекта содер-
содержит еще добавочный множитель A + *), где х—1!^ учитывает обменные силы
в ядре. Физически это увеличение можно объяснить, представляя обменные
силы как результат переноса виртуальных заряженных л-мезонов между
нуклонами. Эти виртуальные заряженные мезоны вносят вклад в полный
ядерный ток. Так как отношение elm для них больше, чем для нуклонов, про-
происходит увеличение дипольной суммы по сравнению с ее обычным значением
A7.75).
Задачи 667
нения радиуса орбиты:
где г0— значение г (t) при t = 0.
б) Для круговых орбит в атоме Бора радиусы и главные квантовые
числа п связаны соотношением r= n2aQIZ. Определив вероятность перехо-
переходов п -+ (п — 1) как —dn/dt, показать, что полученный в п. «а» результат
согласуется с решением задачи 14.9.
в) На основании решения, приведенного в п. «а», получить численные
оценки времени перехода jn-мезонов с массой т = 207те с круговой орбиты,
характеризуемой главным квантовым числом /ii= 10, на орбиты с я2 = 4,
п2= 1. Полученные величины дают разумную оценку для времени перехода
fx-мезонов на низшую орбиту после захвата их изолированным атомом.
17.3. Электрон с энергией связи г и моментом количества движения L
движется? кулоновском поле {—Ze2/r) притяжения по эллиптической орбите
причем эксцентриситет g эллипса равен квадратному корню перед коси-
косинусом.
а) Производя соответствующие усреднения по времени для мгновенной
орбиты, показать, что медленные изменения энергии и момента количества
движения определяются уравнениями
de 23'
dt 3 сз L5
dL 25/2 Ze± 83/2
~dt^ 3~mV2c3 ~U'
б) Показать, что при начальных значениях 8 и L, равных е0 и LOt
Вычислить эксцентриситет эллипса и убедиться, что он убывает пропорцио-
пропорционально (L/L0K/2, и, таким образом, форма орбиты стремится с течением
времени к круговой.
в) Сравнить полученные результаты с решением для частного случая
круговой орбиты в задаче 17.2.
Указание. При усреднении по времени воспользоваться законом равных
площадей Кеплера (dt = mr2dQ/L) для преобразования интегралов по вре-
времени в интегралы по углу.
17.4. Согласно теории Дирака A938 г.), релятивистское уравнение
движения классического точечного электрона имеет вид
"й> пвнеш | гизл
d% I* ~*~ »* '
где р^ представляет собой 4-импульс частицы, т— ее собственное время,
а Я?зл— ковариантное обобщение силы реакции излучения A7.8).
668 Гл. 17. Влияние излучения частицы на ее движение
Учитывая требование, что любая сила должна удовлетворять соотно-
соотношению /гм,рм,= 0, показать, что
_ % /у /- dpv dpv
3/псЗ L dx2 тЧ* \ dx dx
J ] '
17.5. а) Показать, что для одномерного релятивистского движения урав-
уравнение движения, приведенное в задаче 17.4, может быть представлено в виде
где р — импульс частицы в направлении движения, точка означает диффе-
дифференцирование по собственному времени, а/(т)—обычная сила Ньютона, зави-
зависящая от собственного времени.
б) Показать, что с помощью подстановки p = mcshy релятивистское
уравнение приводится к уравнению Абрагама — Лоренца A7.9) для у и х.
Получить общее решение для р (т) с начальными условиями
р(х) = р0 при т=0.
17.6. Нерелятивистская частица с зарядом е и массой т ускоряется
постоянным электрическим полем в зазоре длиной d.. Идеализируя, будем
считать, что частица совершает одномерное движение под действием внеш-
внешней силы /па, отличной от нуля лишь на интервале @, d). Если не учитывать
радиационного затухания, то частица с начальной скоростью Vq будет равно-
равномерно ускоряться в течение времени Т=(— vo/a)-\-V(vo/a>J+ Bd/a)
и выйдет из зазора (при х = d) с конечной скоростью vi=}/rv%-\-2ad.
При учете радиационного затухания параметры движения изменяются:
частица пролетает зазор за время Т' и выходит из него со скоростью v^
а) Решить интегро-дифференциальное уравнение движения частицы,
учитывающее влияние излучения, считая, что Т и Т' много больше т. Начер-
Начертить графики зависимости скорости от времени с учетом и без учета радиацион-
радиационного затухания.
б) Показать, что с учетом лишь низших членов разложения по т
в) Убедиться, что сумма излученной энергии и изменения кинетической
энергии частицы равна работе, совершаемой приложенным полем.
17.7. В классической! модели, описывающей уширение спектральных
линий из-за соударений, принимается, что в результате соударения колеба-
колебания осциллятора прекращаются и, следовательно, после некоторого времени
колебаний Т когерентный волновой цуг обрывается.
а) Считая, что вероятность соударения в интервале времени (Т, Т + dT)
для осциллятора, рассмотренного в § 8, определяется законом ve~vT dTr
где v — средняя частота соударений, показать, что усредненное спектраль-
спектральное распределение интенсивности имеет вид
к ' 2л (со — сооJ —
так что ширина линии равна (Г+ 2v)
Задачи 669
б) Для дублета натрия (А, ^ 5893 А) сила осциллятора I = 0,975 и, таким
образом, естественная ширина линии близка к классической величине
ДА, = 1,2-10-4 А.
Оценить допплеровское уширение линии, считая, что атомы натрия
находятся в термодинамическом равновесии при температуре 500° К, и срав-
сравнить результат с естественной шириной. Приняв для сечения соударений
величину 10~16 см2, определить зависимость обусловленной соударениями
ширины линии дублета натрия от давления паров натрия. При каком давле-
давлении уширение линии из-за соударений совпадает с естественной шириной
и при каком — с допплеровской шириной?
17.8. Частица колеблется под действием приложенного электрического
поля Еое~ш*. Дипольный момент этого осциллятора
а) Показать, что сечение поглощения для диполя может быть записано
в виде
аПогл (w) = — [ —/юа (со) + Компл. сопр.].
б) Используя лишь то обстоятельство, что все нормальные типы колеба-
колебаний должны обладать некоторым затуханием и что поляризуемость а (со)
на высоких частотах должна стремиться к величине (—е2/тсо2), соответ-
соответствующей свободным частицам, показать, что сечение поглощения удовлетво-
удовлетворяет следующему правилу дипольных сумм:
тс
Приложение
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
Вопрос об единицах измерения и размерностях в электродинами-
электродинамике уже давно занимал многих физиков и инженеров. Положение
здесь заметно отличается от почти единодушного, согласия в выборе
основных единиц длины (сантиметр или метр), массы (грамм или
килограмм) и времени (средняя солнечная секунда). По-видимому,
это можно объяснить тем, что механические единицы были опреде-
определены в то время (сразу после 1800 г.), когда появилась идея «абсо-
«абсолютных» стандартов и они были внедрены в научном и промышленном
мире группой научных гигантов (Борда, Лаплас и другие). Наоборот,
проблема выбора электромагнитных единиц возникла уже в то-
время, когда появилось множество специалистов в этой области.
В настоящем приложении мне хотелось бы без излишних дискуссий
внести ясность в указанный вопрос.
§ 1. Единицы измерения и размерности.
Основные и производные единицы
Произвол в выборе числа основных единиц и размерности любой
физической величины, выражаемой в этих единицах, подчеркивали
еще Абрагам, Планк, Бриджмен [20], Бэрдж [12] и другие ученые.
Читателю, специально интересующемуся этим вопросом, целесооб-
целесообразно познакомиться с серией прекрасных статей Бэрджа. Система
единиц в любой области науки должна быть удобной и ясной. Так,
физики-теоретики, работающие в области релятивистской кванто-
квантовой теории поля и теории элементарных частиц, считают удобным
принять такие универсальные постоянные, как квант действия
Планка и скорость света в свободном пространстве равными единице и
безразмерными. Получающаяся при этом система единиц (называемая
естественной системой единиц) имеет лишь одну основную единицу,
в качестве которой обычно выбирается единица длины. Все осталь-
§ 1. Единицы измерения и размерности 671
ные величины — будь то длина, или время, или сила, или энергия
и т. д. — выражаются через эту единственную единицу и имеют
размерность, определяющуюся как некоторая степень размерности
основной единицы. В такой системе нет ничего надуманного или
менее физичного, чем в системе, использующей в качестве основных
единиц метр, килограмм и секунду (система МКС). Все это — лишь
вопрос удобства х).
Необходимо сказать несколько слов об основных единицах (стан-
(стандартах), рассматриваемых как независимые величины, и о производ-
производных единицах, размерность и величина которых определяются
теоретически и экспериментально через основные единицы. По тра-
традиции принято считать основными единицы массы (т), длины (/)
и времени (f). В выборе единиц электрических величин установив-
установившейся традиции еще нет. Рассмотрим, например, единицу тока. «Меж-
«Международный» ампер (долгое время считавшийся практической еди-
единицей тока) определяется количеством серебра, отлагающегося
за единицу времени при электролизе в стандартном серебряном
вольтаметре. Эту единицу тока следует рассматривать как основ-
основную единицу, независимую от единиц массы, длины и времени,
так как единица силы тока находится из независимого эксперимента
с электролизом, допускающего повторное воспроизведение.
Наоборот, принятый в настоящее время стандарт тока «абсолют-
«абсолютный» ампер определяется как ток, при прохождении которого по
двум бесконечно длинным параллельным прямолинейным провод-
проводникам, имеющим пренебрежимо малое поперечное сечение и рас-
расположенным на расстоянии 1 м в вакууме, проводники взаимодей-
взаимодействуют с силой, равной 2-10 н 1м (ньютон/метр) на единицу длины.
Очевидно, что «абсолютный» ампер — производная единица, так
как ее определяют по механической силе, действующей между про-
проводниками, в соответствии с приводимым ниже выражением (П.4J).
Согласно этому определению, «абсолютный» ампер равен точно 1/10
от электромагнитной единицы тока. С 1948 г. применяется
Международная система электромагнитных единиц, в которой за
*) В квантовой теории поля роль основных единиц, входящих в теорию
размерностей, играют степени константы связи.
2) Коэффициент пропорциональности k2 в формуле (П.4) принимает,
таким образом, значение 10~7 в системе МКС. Размерность «абсолютного»
ампера в отличие от его численной величины зависит от выбора размерности
коэффициента k2. В обычной системе МКС при определении единиц электро-
электродинамических величин в качестве четвертой основной единицы произвольно
выбирают электрический заряд (q). В результате размерность ампера оказы-
оказывается равной (qt), а коэффициент k 2 имеет р азмеркость (ml q~2). Если же счи-
считать k2 безразмерным, то для тока получаем размерность (т1/2/1^2/). Вопрос
о том, вводить ли четвертую основную единицу (например, единицу заряда)
или же определять размерности электродинамических величин в виде степеней
(в ряде случаев дробных) трех основных механических единиц, не имеет суще-
существенного значения и является делом вкуса.
672 Приложение, Единицы измерения и размерности
основные единицы приняты метр, килограмм, секунда и определен-
определенный выше «абсолютный» ампер, а соответствующие производные
единицы сопротивления, напряжения и т. д. выражаются через
основные. Такое решение представляется удовлетворительным.
При этом устраняются трудности, подобные, например, тем, кото-
которые возникли при попытке ввести три независимые единицы тока,
напряжения и сопротивления *), определяемые в трех независимых
экспериментах (стандартный вольтаметр, стандартный элемент
Кларка и стандартный столбик ртути). Именно такая попытка была
сделана в 1894 г. в акте Конгресса США, основанном на рекоменда-
рекомендациях Международной комиссии инженеров и ученых. В результате
принятия этого акта вскоре оказалось, что закон Ома «нарушается»
из-за того, что систематические ошибки эксперимента превышают
необходимую точность.
§ 2. Единицы измерения и уравнения электродинамики
При рассмотрении единиц и размерностей вг теории электромаг-
электромагнетизма мы будем придерживаться традиции и примем в качестве
основных независимых величин длину (/), массу (т) и время (t).
Кроме того, воспользуемся общепринятым определением тока как
скорости изменения заряда во времени (/ = dqldt). Это означает,
что отношение заряда к току имеет размерность времени2). Урав-
Уравнение непрерывности, связывающее плотности заряда и тока, при-
принимает при этом вид
Для простоты мы будем вначале рассматривать лишь электро-
электромагнитные явления в свободном пространстве в отсутствие зарядов
и токов.
Основным физическим законом электростатики является закон
Кулона, определяющий силу взаимодействия двух точечных заря-
зарядов q и q', расположенных на расстоянии г друг от друга. Этот
закон можно записать в виде
Fi = ki%. (П.2)
Величину и размерность постоянного коэффициента k^ можно
либо определить из уравнения, если независимо определена величи-
х) См., например, [65].
2) С точки зрения специальной теории относительности более естествен-
естественно в качестве размерности тока принять размерность отношения заряда
к длине. При этом плотность тока J и плотность заряда Q будут иметь одина-
одинаковую размерность и образуют 4-вектор. Такой выбор единиц принят в модифи-
модифицированной гауссовой системе (см. стр. 681).
§ 2. Единицы измерения и уравнения электродинамика 673
на и размерность единицы заряда, либо выбирать произвольным
образом, задав тем самым единицу заряда. Требуется лишь, чтобы
произведение k^qq' имело размерность (mlst~~2).
Напряженность электрического поля Е — производная вели-
величина, определяемая обычно как сила, действующая на единичный
заряд. Можно было бы определить напряженность электрического
поля более общим образом, считая ее пропорциональной силе, дей-
действующей на единичный заряд, с коэффициентом пропорциональ-
пропорциональности, являющимся универсальной постоянной. При этом коэф-
коэффициент пропорциональности может, вообще говоря, быть размер-
размерным, так что напряженность электрического поля не будет иметь
размерности силы на единичный заряд. Однако, принимая такое
чересчур общее определение Е, мы ничего не выигрываем, так как
Е представляет собой первую производную характеристику поля,
подлежащую определению. Лишь при определении последующих
характеристик поля может оказаться удобным ввести в определяю-
определяющие формулы размерные постоянные коэффициенты, с помощью
которых можно согласовать величины и размерности этих харак-
характеристик поля с соответствующими свойствами напряженности элек-
электрического поля. Следовательно, без потери общности можно опре-
определить напряженность электрического поля точечного заряда q
как силу, действующую на единичный заряд, так что, согласно (П.2),
±
(П.З)
Во всех известных автору системах единиц используется это опре-
определение напряженности электрического поля.
В магнитостатике взаимодействие токов и определение магнит-
магнитной индукции рассматривают исходя из закона Ампера. Согласно
закону Ампера, приходящаяся на единицу длины сила взаимодей-
взаимодействия двух бесконечно длинных параллельных проводов, нахо-
находящихся на расстоянии d и несущих токи / и /', равна
^ = 2*2^. (П.4)
Здесь k2 — коэффициент пропорциональности, аналогичный k{
в формуле (П.2). Безразмерный численный множитель 2 введен
в формулу (П.4) для большего удобства при определении коэффи-
коэффициента k2 в дальнейшем. При связи размерностей тока и зарядов,
устанавливаемого соотношением (П.1), соотношение между раз-
размерностями коэффициентов k2 и k{ уже определено. Как легко
видеть из (П.2) и (П.4), отношение k1/k2 имеет размерность квад-
квадрата скорости (l2t~2). Далее, путем сравнения величин механиче-
механических сил (П.2) и (П.4) при известных зарядах и токах можно
найти значение отношения k1lk2 для свободного пространства.
674 Приложение. Единицы измерения и размерности
Численная величина этого отношения оказывается очень близка к
квадрату скорости света в свободном пространстве. Таким образом,
где с по величине и размерности совпадает со скоростью света
[с= B,997930 ±0,000003) -10^ см/сек].
Вектор магнитной индукции В может быть определен на осно-
основании закона взаимодействия токов Ампера как величина, про-
пропорциональная силе, действующей на единичный ток, причем
постоянный коэффициент пропорциональности а может быть выбран
размерным, если это окажется удобным. Таким образом, величина
(и размерность) магнитной индукции на расстоянии d от длинного
прямолинейного проводника, несущего ток /, определяется формулой
B = 2k2a^-. (П.6)
Размерность отношения напряженности электрического поля к маг-
магнитной индукции можно найти из соотношений (П.1), (П.З) (П.5) и
(П.6). Легко видеть, что отношение Е/В имеет размерность (l/ta).
Третьим и последним соотношением, на основании которого
определяются единицы и размерности электродинамических вели-
величин, является закон электромагнитной индукции Фарадея, уста-
устанавливающий связь электрических и магнитных явлений. Диффе-
Дифференциальная форма этого экспериментально установленного закона,
согласно которому электродвижущая сила, наведенная в контуре,
пропорциональна скорости изменения магнитного потока через
него, имеет вид
^ = 0, (П.7)
где k3 — коэффициент пропорциональности. Так как связь между
размерностями Е и В установлена, размерность k3 можно выразить
через размерности ранее определенных величин, потребовав, чтобы
оба члена в (П.7) имели одинаковую размерность. В результате
оказывается, что k3 имеет размерность а. В действительности,
коэффициент k3 точно равен а. Это было установлено в гл. 6, § 1,
на основе инвариантности относительно преобразований Галилея.
Но проще всего убедиться в этом, исходя из уравнений Максвел-
Максвелла для определенных выше полей:
2 + ^§
дв ki dt (П.8)
divB = 0.
§ 3. Различные системы электромагнитных единиц 675
Для областей без источников можно, комбинируя второе и третье
уравнения, получить волновое уравнение
f0. (П.9)
Скорость распространения волн, описываемых уравнением (П.9),
определяется входящей в уравнение комбинацией констант. Как
известно, эта скорость должна быть равна скорости света, так что
Из (П.5) и (П. 10) следует равенство
определяющее связь как размерностей, так и численных величин
этих коэффициентов.
§ 3. Различные системы электромагнитных
единиц
Системы электромагнитных единиц отличаются выбором вели-
величин и размерностей различных введенных выше констант. Из-за
наличия соотношений (П.5) и (П.11) лишь две константы (например,
^ и 43) могут (и должны) выбираться произвольно. Целесообразно,,
однако, свести в таблицу все четыре константы (&ь k2, a, k3) для
наиболее употребительных систем единиц. Это и сделано в табл. 1.
Заметим, что, за исключением размерностей величин, единицы
в электромагнитной системе и системе МКС очень похожи: они
различаются лишь степенями десяти. Гауссова система и система
Хевисайда — Лоренца отличаются лишь множителями 4я. Лишь
в гауссовой системе и в системе единиц Хевисайда — Лоренца
коэффициент k3 имеет размерность. Как очевидно из соотношения
(П.7), если k3 имеет размерность обратной скорости, то размер-
размерность векторов Е и В одинакова. Более того, из соотношения
(П.7) следует, что при k3 — с1 для электромагнитных волн в сво-
свободном пространстве Е и В равны по величине.
До сих пор рассматривались лишь электромагнитные поля в сво-
свободном пространстве. Поэтому мы ограничивались лишь двумя
полями Е и В. Остается еще определить характеристики макро-
макроскопических полей D и Н. Если усредненные электромагнитные
свойства материальной среды описывать макроскопической поля-
676
Приложение. Единицы измерения и размерности
Таблица 1
Величины и размерности электромагнитных констант для различных
систем единиц
Размерность константы указана в скобках после ее численного значения. Че-
Через с обозначена скорость света в свободном пространстве (с= 2,998-Ю^ см/сек =
= 2,998-108 м/сек)« В четырех первых системах единиц в качестве основных
единиц (/, т, t) цриняты сантиметр, грамм и секунда, В системе МКС исполь-
используются четыре основные единицы: метр, килограмм, секунда и единица
заряда (q).
Система
Электростатическая
Электромагнитная
Гауссова
Хевисайда—Лоренца
Рационализированная
МКС
С* (/2f-2
1
1
лГ
л
4Л80
Ю-7
4л
(mlq-*)
1
1
с (/f-i)
с (It-*)
1
1
1
1 (tl-1
ризацией Р и намагниченностью М, то векторы D и Н определяются
общими формулами
(ПЛ2)
где е0, fx0, ^, ^' — постоянные коэффициенты. Мы не получим ника-
никакого преимущества, если будем считать размерности величин D
и Р или Ни М различными. Поэтому коэффициенты X и А/ следует
считать безразмерными числами (в рационализированных системах
Я, = А/ = 1, в нерационализированных А, = А/ = 4я). Что же касает-
касается выбора коэффициентов е0 и fi0, то D и Р можно считать отли-
отличающимися по размерности от Е, а Н и М отличающимися от В.
Окончательный выбор коэффициентов производится, исходя из
соображений удобства и простоты. Обычно стремятся придать
макроскопическим уравнениям Максвелла относительно простую
и изящную форму. Прежде чем перечислить возможные варианты
указанного выбора, принятые в различных системах единиц, налом-
Таблица 2
Величины 80, |Ш0, D, Н, макроскопические уравнения Максвелла и силы Лоренца в различных системах единиц
В скобках указывается размерность величин. Через с обозначена скорость света, имеющая размерность (It).
Система
Электростатическая
Электромагнитная
Гауссова
Хевисайда — Лоренца
Рационализированная
МКС
1
;;;
1
1
107
4Я(?2
(Q^t^fTL— ^/—*^)
Р-0
««;
1
1
1
4ЯХЮ-7
D, Н
Н=гс2В — 4яМ
О = ^Е+4яР
Н = В-4яМ
it n яя
П = D — iVI
н=—в—м
Макроскопические уравнения
div D~4j
rotE-
div О = 4я
divD = 4^e
rot E +
rot E-
tg, rot Н = 4я]
f -gj- = 0, div
q, rot H — 4лЗ
^4г^°'div
4я
~~ с
1 /"
1 дЪ
с dt
= Q, rotH^J-i
1—л7~ = 0' ^iv
Максвелла
+ —,
1 dD
„вГо
в!о'.
Сила Лоренца,
действующая на
единичный заряд
E + vx В
E + vxB
у
у
Е + v х В
678 Приложение. Единицы измерения и размерности
ним, что для линейных изотропных сред материальные соотноше-
соотношения имеют вид
D = eE, B = fxH. (П.13)
Таким образом, постоянные е0 и fx0 в уравнениях (П. 12) предста-
представляют собой значения е и jn для свободного пространства. От-
Относительная диэлектрическая проницаемость вещества (часто на-
называемая диэлектрической постоянной) определяется как безраз-
безразмерное отношение е/е0, а относительная магнитная проница-
проницаемость (часто называемая просто проницаемостью) определяется
как fx /fx0.
В табл. 2 приведены значения е0 и jn0, формулы, определяющие
D и Н, макроскопическая форма уравнений Максвелла и выраже-
выражение для силы Лоренца в пяти наиболее употребительных системах
единиц, перечисленных в табл. 1. Для каждой из систем единиц
уравнение непрерывности, связывающее плотности токов и заря-
зарядов, имеет вид (П.1), как легко проверить, используя в каждом
случае первые два уравнения Максвеллах). Закон Ома также
записывается в одинаковом виде J = а Е (а — проводимость)
во всех системах единиц.
§ 4. Перевод формул и численных значений
величин из гауссовой системы единиц
в систему МКС
В настоящее время наибольшее распространение получили две
системы электромагнитных единиц: гауссова и рационализирован-
рационализированная система МКС. Система МКС весьма удобна при рассмотрении
практических крупномасштабных явлений, особенно в различных
технических приложениях. Гауссова система более пригодна при
исследовании микроскопических проблем, в том числе электроди-
электродинамики отдельных заряженных частиц. Так как настоящая книга
посвящена в основном микроскопическим релятивистским пробле-
проблемам, мы считали целесообразным использовать в ней гауссову систе-
систему единиц. В гл. 8, посвященной волноводам и полым резонаторам,
была предпринята попытка умиротворить и инженеров, для чего
основные формулы^ записывались в таком виде, чтобы, опустив
множители в квадратных скобках, мы сразу получали бы эквива-
эквивалентное уравнение в системе МКС (при этом все величины следует,
конечно, понимать выраженными в единицах системы MKQ.
г) Иногда используют модифицированную гауссову систему единиц,
в которой ток определяется соотношением / = (\/с) (dqldt). При этом плот-
плотность тока J в таблице следует заменить на cJ, а уравнение непрерывности
принимает вид div J + A/с) (dQ/dt) = 0 (см. также примечание к табл. 4).
§ 4. Перевод из гауссовой системы единиц в систему МКС 679
Перевод из одной системы единиц в другую в общем случае
может быть осуществлен с помощью табл. 3 и 4. Табл. 3 дает схему
перевода выражений к уравнений и позволяет перевести любое урав-
уравнение из гауссовой системы в систему МКС, и наоборот. Имеются
и более простые схемы, предназначенные лишь для перехода из
системы МКС в гауссову; возможны также и другие общие схемы.
Однако табл. 3 позволяет при неизменности всех механических
величин сразу, без всякого добавочного рассмотрения, осуществлять
перевод величин, встречающихся в электродинамике и механике
(например, постоянной тонкой структуры е2/%с или плазменной
частоты о)р — 4ппе2/т).
В табл. 3 при переходе от одной системы к другой масса, длина,
время и другие неэлектродинамические величины не изменяются.
Таблица 3
Таблица перевода выражений и формул из одной системы единиц в другую
Величина
Гауссова система
Рационализированная
система МКС
Скорость света
Напряженность электрического поля
(потенциал, напряжение)
Электрическая индукция
Плотность заряда (заряд, плотность
тока, ток, поляризация)
Магнитная индукция
Напряженность магнитного поля
Намагниченность
Проводимость
Диэлектрическая проницаемость
Магнитная проницаемость
Сопротивление (импеданс)
Индуктивность
Емкость
Е (Ф, V)
D
(я, *, 1,
в
н
м
(цоео)~1/2
4яе0 Е (Ф, V)
4я
D
Q(<7, J, Л
4я"
Я B)
L
и*
4я
а
4Я80
8
4яео#
4я
в
4Я80
680
Приложение. Единицы измерения и размерности
Чтобы с помощью табл. 3 преобразовать любое уравнение, записан-
записанное в гауссовой системе единиц, в уравнение в системе МКС, сле-
следует в обеих частях уравнения заменить символы, перечисленные
в столбце «гауссова система», на соответствующие символы системы
МКС, помещенные в правом столбце. Допустимо и обратное преобра-
преобразование. Так как длина и время не изменяются при переходе к другой
системе, величины, размерности которых отличаются лишь степе-
степенями длины и времени, по возможности сгруппированы вместе.
Табл. 4. для перевода единиц позволяет перевести численное
значение любой физической величины из системы единиц МКС в гаус-
гауссову и обратно. Табл. 4 составлена так, что по известному значению
рассматриваемой физической величины, выраженной в единицах
МКС или в гауссовых единицах, можно определить ее значение в еди-
единицах другой системы. Таким образом, значения, приводимые в каж-
каждой строке, представляют одно и то же количество, выраженное в
различных единицах. Множители 3 (кроме входящих в показатели
степени) следует при уточненных расчетах заменить на B,997930 ±
± 0,000003) в соответствии с точным значением скорости света..
Так, например, в строке «электрическая индукция» точное значение
приведенной величины 12л;-105 в действительности равно B,99793 х
х4я-105). В тех случаях, когда существует общепринятое наиме-
наименование единиц, оно приведено в таблице. В остальных случаях
говорят просто о числе единиц МКС или гауссовых единиц.
Таблица 4
Таблица перевода численных значений физических величин
Физическая
величина
Длина
Масса
Время
Сила
Работа
Энергия
Мощность
Заряд
Плотность заряда
Ток
Плотность тока
Напряженность
электрического
поля
Обо-
значе-
значение
/
т
t
F
W
и
Р
Я
Q
I
J
Е
1
1
1
1
}
1
1
1
1
1
1
Рационализированная
система МКС
метр (м)
килограмм (кг)
секунда (сек)
ньютон (н)
1 джоуль (дж)
ватт (вт)
кулон (к)
кулон-метр~3
ампер (а) (к-сек-1)
ампер-метр~2
вольт-метр
Гауссова система
102 см
103 г
1 сек
105 дин
107 эрг
107 эрг-сек^1
3-109 статкулон
3-Ю3 статкулон-см~3
3-109 статампер
3-Ю5 статампер-см~2
1 ..
-^- • 10~4 статвольт-см"
§ 4. Перевод из гауссовой системы единиц в систему МКС 681
Продолжение табл. 4
Физическая
величина
Обо-
значе-
значение
Рационализированная
система МКС
Гауссова система
Потенциал
Диэлектрическая
поляризация
Электрическая ин-
индукция
Проводимость
Сопротивление
Емкость
Магнитный поток
Магнитная индук-
индукция
Напряженность
магнитного поля
Намагниченность
Индуктивность
Ф, V
Р
D
0
R
С
9, F
В
Н
м
1 вольт (в)
1 кулон-метр~2
1 кулон-метр
1 ОЖ-Ьж-!
1 ом
1 фарада (ф)
1 вебер (вб)
1 вебер-метр
1 ампер-виток-метр
1 вебер-метр~2
1 генри (гн)
-1
1
статвольт
300
3-Ю5 статкулоН'СМ~~ъ
{статвольт -см*1)
12я-105 статвольт-см
(статкулон- см~2)
9-109 ceK-i
__
у
9-1011 см
108 гаусс*см2 (максвелл)
104 гаусс
4эт-10~3 эрстед
сек-см
104 гаусс
Примечание. В определении единицы измерения индуктивности в гауссо-
гауссовой системе существует некоторая путаница. Она связана с тем, что ряд
авторов использует модифицированную гауссову систему единиц, в которой
ток измеряется в электромагнитных единицах. При этом заряд и ток связаны
соотношением Im = (l/c)(dqjdt).
Индуктивность определяется соотношением для наведенного напряжения
V = LdI/dt или для энергии U = 1/2LI2 При принятом в § 2 определении
единицы тока гауссова единица индуктивности по величине и размерности
(?2/~1) совпадает с электростатической единицей индуктивности. Ток в элек-
электромагнитных единицах 1т связан с током в / гауссовой системе соотноше-
соотношением Im = (l/c)I. Из энергетического определения индуктивности мы видим,
что электромагнитная индуктивность Lm связана с гауссовой индуктивностью
L соотношением Lm = c2L. Таким образом, Lm имеет размерность длины.
В модифицированной гауссовой системе обычно используются электромагнит-
электромагнитные единицы индуктивности (см) и тока. При этом соотношение, связывающее
индуктивность и напряжение, имеет вид V = (Lm/c)(dIm/dt).
Между различными единицами индуктивности существует следующее соот-
соотношение: 1 г« = 1/9-10~11 гауссовых единиц =109 см.
БИБЛИОГРАФИЯ
I.Abraham M., Becker R., Theorie der Elektrizitat, Bd. I, Ein-
fuhrung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizitat, Leipzig, 1932. (См.
перевод: М. Абрагам, Р. Беккер, Теория электричества, М.,
1936.)
2. A d 1 е г R. В., С h u L. J., Fa по R. M., Electromagnetic Energy
Transmission and Radiation, New York, 1960.
3. A h а г о n i J., The Special Theory of Relativity, London, 1959.
4 Alfven H., Cosmical Electrodynamics, London, 1950. (См. перевод:
X. А л ь ф в е н, Космическая электродинамика, ИЛ, 1952.)
5. American Institute of Physics Handbook, New York, 1957.
6. Becker R., Theorie der Elektrizitat, Bd. II, Elektronentheorie, Ber-
Berlin, 1933. (См. перевод: Р. Беккер, Электронная теория, М., 1941.)
7. В а к е г В. В., С о р s о n E. Т., Mathematical Theory of Huygens,
Principle, 2nd ed., London, 1950.
8. Б а л д и н А. М., Гольданский В. И., Розенталь И. Л.,
Кинематика ядерных реакций, М., 1959.
9. Bateman Manuscript Project, Higher Transcendental Functions, ed. by A.
Erdelyi, New York, 1953.
10. Bateman Manuscript Project, Tables of Integral Transforms, ed. by
A. Erdelyi, New York, 1954.
11. Bergmann P. G., Introduction to the Theory of Relativity, New
Jersey, 1942. (См. перевод: П. Бергман, Введение в теорию отно-
относительности, ИЛ, 1947.)
12. Birge R. Т., Amer. Phys. Teacher, 2, 41 A934); 3, 102, 171 A935).
13. В 1 a t t J. М., Weiss ko pf V. F., Theoretical Nuclear Physics,
New York, 1952. (См. перевод: Дж. Блат т, А. Вайскопф, Теоре-
Теоретическая ядерная физика, ИЛ, 1954.)
14. Bohr N., Kgl. Danske Videnskab. Selskab. Mat.-fys. Medd., 18, No. 8
A948). (См. перевод: Н. Бор, Прохождение атомных частиц через
вещество, ИЛ, 1950.)
15. Born M., The Mechanics of the Atom, London, 1927.
16. Born M., Wolf E., Principles of Optics, London, 1959.
17. Borowitz S., Kohn W., Phys. Rev., 86, 985 A952).
Библиография 683
18. В 6 t t с h е г С. J. F., Theory of Electric Polarization, New York, 1952.
19. Брагинский С. И., Шафранов В. Д., Ядерная физика
(Труды Второй Международной конференции по мирному использова-
использованию атомной энергии), М., 1959, стр. 221.
20. Bridgman P. W., Dimensional Analysis, New York, 1931. (См. пере-
перевод: П. В. Б р и д ж м э н, Анализ размерностей, М.—Л., 1934.)
21. О'В г i e n В., Physics Today, 13, 52 A960).
22. В г i 1 1 о u i n L., Wave Propagation and Group Velocity, New York,
1960.
23. В г о w n K. L., Wilson R., Phys. Rev., 93, 443 A954).
24. Butt E. P. et al., Физика горячей плазмы и термоядерные реакции
(Труды Второй Международной конференции по мирному использова-
использованию атомной энергии), М., 1959, стр. 370.
25. В у е г 1 у W. E., Fourier Series and Spherical Harmonics, Boston, 1893.
26. Chandrasekhar S., Plasma Physics, Chicago, 1960.
27. С h a n g C. S. W., F a 1 k о f f D. L., Phys. Rev., 76, 365 A949).
28. С h u г с h i 1 1 R. V., Fourier Series and Boundary Value Problems,
New York, 1941.
29. С о n d о n E. U., S h о г t 1 e у G. H., Theory of Atomic Spectra, Cam-
Cambridge, 1953. (См. перевод: Е. К о н д о н, Г. Ш о р т л и, Теория атом-
атомных спектров, ИЛ, 1949.)
30. Сор son E. Т., Proc. Edin. Math. Soc, B), 8, 14 A947).
31. С о г b e n H. С, S t e h I e P., Classical Mechanics, 2nd ed., New York,
1960.
32. С о u г a n t R., H i 1 b e r t D.f Methoden der mathematischen Physik,
Berlin, 1937. (См. перевод: Р. Курант, Д. Гильберт, Методы
математической физики, М., 1951.)
33. С о и г а п t E. D., S n у d e r H. S., Ann. Phys., 3, 1 A958).
34. С о w 1 i n g T. G., Magnetohydrodynamics, New York, 1957. (См. пере-
перевод: Т. К а у л и н г, Магнитная гидродинамика, ИЛ, 1959.)
35. Debye P., Polar Molecules, New York, 1945. (См. перевод немецкого из-
издания: П. Д е б а й, Полярные молекулы, М., 1931.)
36. D i г а с P. A. M., Proc. Roy. Soc, A167, 148 A938).
37. D u r a n d E., Electrostatique et magnetostatique, Paris, 1953.
38. D u г b i n R. P., L о а г H. H., H a v e n s W. W., Phys. Rev., 88,
179 A952).
39. Einstein A., L о г e n t z H. A., M i n k о w s k i H., Weyl H.,
Das Relativitatsprinzip, 4 Aufl., Leipzig, 1922. (См. перевод в книге:
Г. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г. Минков-
с к и й, Принцип относительности; Сборник работ классиков реляти-
релятивизма, Л., 1935.)
40. Е 1 d e r F. R., Langmuir R. V., Р о 1 1 о с k H. С, Phys. Rev.,
74, 52 A948).
41. Fermi E., Phys. Zs., 23, 340 A922) [см. также Atti accad. nazl. Lin-
cei Rend., 31, 184, 306 A922)].
684 Библиография
42. Friedman В., Principles and Techniques of Applied Mathematics»
New York, 1956. »
43. F г б h 1 i с h H., Theory of Dielectrics, London, 1949. (См. перевод:
Г. Ф р е л и х, Теория диэлектриков, ИЛ, 1960.)
44. Fry W. F., Phys. Rev., 86, 418 A952).
45. Glasstone S., Lovberg R. H., Controlled Thermonuclear Rea-
Reactions, New York, 1960.
46. G о 1 d s t e i n H., Classical Mechanics, Cambridge, Mass., 1950. (См.
перевод: Г. Голдстейн, Классическая механика, ИЛ, 1947.)
47. Н a d a m а г d J., Lectures on Cauchy's Problem, New York, 1923.
48. Handbook of Physics, ed. by E. U. Condon, H. Odishaw, New York
1958.
49. Handbook of Chemistry and Physics, Chemical Rubber Publishing Co.
50. H e i t 1 e г W., Quantum Theory of Radiation. 3rd ed,, Oxford, 1954.
(См. перевод: В. Г а й т л е р, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.)
51. Hildebrand F. В., Advanced Calculus for Engineers, New Jersey,
1948.
52. H о f s t a d t e г R., Ann. Rev. Nucl. Sci., 7, 231 A957).
53. И в а н е н к о Д. Д., С о к о л о в А. А., Классическая теория поля,
М., 1948.
54. J a h n k e F., E m d e E., Funktiontabellen, Leipzig, 1933. (См. пере-
перевод: Е. Я н к е, Ф. Э м д е, Таблицы функций, М., 1959.)
55. Jeans J. H., Mathematical Theory of Electricity and Magnetism,
5th ed., London, 1948.
56. J о os P., Phys. Rev. Lett., 4, 558 A960).
57. J о г d a n E. C, Electromagnetic Waves and Radiating Systems, New
Jersey, 1950.
58. Kelvin (W. Thomson), Reprints of Papers on Electrostatics
and Magnetism, 2nd ed., London, 1884.
59. King R. W. P., W u Т. Т., Scattering and Diffraction of Waves, Cam-
Cambridge, Mass., 1959. (См. перевод: Р. Кинг, У Тай-цзунь, Рассея-
Рассеяние и дифракция электромагнитных волн, ИЛ, 1962.)
60. Kraus J. D., Antennas, New York, 1950.
61. Kwal В., Journ. phys. rad., 10, 103 A949).
62. L a m b W. E., Retherford R. C, Phys. Rev., 72, 241 A947).
63. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Классическая теория поля, М ,
1960.
64. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных
сред, М., 1957.
65. L a w s F. A., Electrical Measurements, New York, 1917.
66. Lighthill M. J., Introduction to Fourier Analysis and Generalized
Functions, Cambridge, 1958.
67. L i n h а г t J. G., Plasma Physics, Amsterdam, 1960.
68. Livingston M. S., High-Energy Accelerators, New York, 1954, (См.
перевод: М. Ливингстон, Ускорители, ИЛ, 1956.)
Библиография 685
69. Lorentz H. A.f Theory of Electrons, Leipzig, 1915. (См. перевод:
Г. А. Л о р е н т ц, Теория электронов и ее применение к явлениям
света и теплового излучения, М., 1956.)
70. Magnus W., Oberhettinger F., Formeln und Satze fur die
speziellen Funktionen der mathematischen Physik, Berlin, 1948.
71. M а г t i n P. C, Glauber R. J., Phys. Rev., 109, 1307 A958).'
72. Mason M., Weaver W., The Electromagnetic Field, Chicago, 1929.
73. Maxwell J. C, Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., New
York, 1954.
74. M 0 1 1 e r M., Theory of Relativity, London, 1952.
75. M о r e t t e D e Witt C, Jensen J. H. D., Zs. Naturforsch.,
8a, 267 A953).
76. M о r s e P. M., R u b e n s t e i n P. J., Phys. Rev., 54, 895 A938).
77. M о r s e P. M., Fes h bach H., Methods of Theoretical Physics,
New York, 1953. (См. перевод: Ф. М. Морс, Г. Ф е ш б а х, Методы
теоретической физики, ИЛ, 1958.)
78. Р а п о f s k у W. К. Н., Phillips M., Classical Electricity and
Magnetism, New York, 1955. (См. перевод: В. П а н о в с к и й, М. Фи-
Филипс, Классическая электродинамика, М., 1963.)
79. Р a u I i W., Theory of Relativity, New York, 1958. [Перевод статьи из
Encyklopedia der mathematischen Wissenshaften, Bd. V19, Leipzig,
1921, с дополнительными замечаниями автора,Ч956.] (См. перевод немец-
немецкого издания: В. Паули, Теория относительности, М., 1947.)
SO. PI ass G. N.. Rev. Mod. Phys., 33, 37 A961).
,81. Primakoff H., Phys. Rev., 84, 1255 A951).
82. Rohrlich F., в книге Lectures in Theoretical Physics, Vol. II, ed.
by W. E. Brittin and B. W. Downs, New York, 1960.
.83. Rohrlich F., Amer. Journ. Phys., 28, 639 A960).
84. RoseD. J., С 1 a r k M., Plasmas and Controlled Fusion, New York, 1961.
.85. Rosenbluth M., Los Alamos Report LA-2030, 1956.
86. Rosenfeld L., Theory of Electrons, Amsterdam, 1951.
87. Rossi В., High-Energy Particles, New York, 1952. (См. перевод:
Б. Р о с с и, Частицы больших энергий, М., 1955.)
88. Rothe R., Ollendorff F., PolhausenK., Theory of Func-
Functions as Applied to Engineering Problems, Cambridge, Mass., 1933.
¦89. Ш а ф р а н о в В. Д., Атомная энергия, 1, № 5, 38 A956).
90. Schelkunoff S. A., Advanced Antenna Theory, New York, 1952.
91. S с h о t t G. A., Electromagnetic Radiation, Cambridge, 1912.
92. Segre E., ed., Experimental Nuclear Physics. Vol. I, New York,
1953. (См. перевод: Экспериментальная ядерная физика, под ред.
Э. Сегре, т. I, ИЛ, 1955.)
93. S с h a n k I a n d R. S., et al., Rev. Mod. Phys., 27, 167 A955).
94. Siegb a hn K., ed., Beta- and Gamma-Ray Spectroscopy, Amsterdam,
1955. (См. перевод: Бета- и гамма-спектроскопия, под ред. К. Зиг-
бана, М., 1959.)
686 Библиография
95. S i 1 v е г S., ed., Microwave Antenna Theory and Design, M. I. Т..
Radiation Laboratory Series, Vol. 12, New York, 1949. (См.. перевод:
Антенны сантиметровых волн, М., 1950.)
96. Simon A., Introduction to Thermonuclear Research, London, 1959.
97. S 1 a t e г J. С, Microwave Electronics, New York, 1950. (См. перевод
1-го издания: Дж. С л э т е р, Электроника СВЧ, М., 1949.)
98. S 1 a t e r J. С, Frank N. Н., Electromagnetism, New York, 1947.
99. Smithsonian Physical Tables, 9th ed.
100. S m у t h e W. R., Static and Dynamic Electricity, 2nd ed., New York,
1950. (См. перевод: В. С м а й т, Электростатика и электродинамика,.
ИЛ, 1954.)
101. S my the W. R., Phys. Rev., 72, 1066 A947).
102. Sommerfeld A., Elektrodynamik, Leipzig, 1949. (См. перевод:
A. Зоммерфельд, Электродинамика, ИЛ, 1958.)
103. Sommerfeld A., Partial Differentialgleichungen der Physik, Leip-
Leipzig, 1948. (См. перевод: А. Зоммерфельд, Дифференциальные
уравнения в частных производных физики, ИЛ, 1948.)
104. S p i t z е г L., Physics of Fully Ionized Gases, New York, 1956. (См.
перевод: Л. С п и т ц е р, Физика полностью ионизованного газа*
ИЛ, 1957.)
105. Sternheimer R. M., Phys. Rev., 88, 851 A952); 91, 256 A953).
106. Stratton J. A., Electromagnetic Theory, New York, 1941. (См.
перевод: Дж. А. Стрэттон, Теория электромагнетизма, М., 1954.)
107. Stratton J. А., С h u L. J., Phys. Rev., 56, 99 A939).
108. Tayler R. J., Proc. Phys. Soc, B70, 1049 A957).
109. Tayler R. J., Физика горячей плазмы и термоядерные реакции;,
(Труды Второй Международной конференции по мирному использова-
использованию атомной энергии), М., 1959, стр. 68.
ПО. Titchmarsh E. С, Introduction to the Theory of Fourier Integ-
Integrals, 2nd ed., Oxford, 1948. (См. перевод: Е. Т итчмарш, Введение
в теорию интегралов Фурье, М., 1948.)
111. Tomboulain D. Н., Н а г t m a n P. L., Phys. Rev., 102, 142а
A956).
112. Т г a n t е г С. J., Integral Transforms in Mathematical Physics, 2nd
ed., London, 1956. (См. перевод: К. Дж. Т р а н т е р, Интегральные
преобразования в математической физике, М., 1956.)
113. Van V 1 е с k J. H., Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities»
Oxford, 1932.
114. W a t s о n G. N.. Theory of Bessel Functions, 2nd ed., London, 1952.
(См. перевод 1-го издания: Г. Н. В а т с о н, Теория бесселевых функ-
функций, ИЛ, 1949.)
115. Weisskopf V. F., Rev. Mod. Phys., 21, 305 A949). (См. перевод:
B. Вайскопф, Сдвиг уровней атомных электронсв, ИЛ, 1950.)
116. W h i t t a k e г Е. Т., History of the Theories of Aether and Electricity,
Vol. 1, 2, London, 1951, 1953.
Библиография 687
117. Williams E. J., Kgl. Danske Videnskab. Selskab. Mat.-fys. Medd.,
13, No. 4 A935).
118. W i 1 s о n A. H., Theory of Metals, London, 1953.
119. Wilson W., Proc. Phys. Soc, A48, 376 A936).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА!)
120. Альперт Я. Л., Гинзбург В. Л., Фейнберг Е. Л.„
Распространение радиоволн, М., 1953.
121. А р ц и м о в и ч Л. А., Управляемые термоядерные реакции, 2-е изд.,.
М., 1963.
122. Вайнштейн Л. А., Электромагнитные волны, М., 1957.
123. Вопросы теории плазмы, вып. I, M., 1963; вып. II, М., 1963; вып. III,
М., 1964; вып. IV, М., 1964.
124. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и дей-
действия над ними, 2-е изд., М., 1959.
125. Го б сон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций,
ИЛ, 1952.
126. Грей Э., Мэтью з Г. Б., Функции Бесселя и их приложение
к физике и механике, ИЛ, 1953.
127. Гринберг Г. А., Избранные вопросы математической теории элек-
электрических и магнитных явлений, Изд-во АН СССР, 1948.
128. Кошляков Н. СГлинер Э. Б., Смирнов М. М., Основ-
Основные дифференциальные уравнения математической физики, М., 1962
129. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, М., 1953.
130. Т а м м И. Е., Основы теории электричества, 5-е изд., М., 1954.
131. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математиче-
математической физики, М., 1951.
132. X ё н л X., Мауэ А., Вестпфаль К., Теория дифракции,
ИЛ, 1964.
133. Эйнштейн А., Сущность теории относительности, ИЛ, 1955.
134. Lehnert В., Dynamics of Charged Particles, Amsterdam, 1964.
Добавлена редактором перевода.— Прим. ред.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аберрация света 383, 398
Абрагама — Лоренца уравнение дви-
движения 638
— — электромагнитная модель
электрона 640, 645
Адиабатическая инвариантность 460,
461
Айвза — Стилвелла опыт 400
Альфвена волны 364, 365, 367
Ампера закон 159—162
Антенна линейная короткая 301
— — мультипольное излучение 616
— — с центральным возбуждением
306, 616
— полноволновая и полуволновая
308, 619
— сопротивление излучения 309
Бабине принцип для скалярных задач
318
— электромагнитных полей
321
Бесселя функции 86, 94,. 104, 111,
325, 478
— — сферические 592—594
Бете — Гайтлера формулы для тор-
тормозного излучения 562
Био и Савара закон 156
Бора принцип соответствия 551
— формула для потерь энергии 480
Вавилова — Черенкова излучение
487, 492, 542, 546, 547
Вейцзеккера — Вильямса метод вир-
виртуальных фотонов 572—577
Вероятность перехода 612
— — для водородоподобных атомов
551
Взаимодействие квадбупбльноё 121
122, 150
Вмороженность силовых линий 345,
351
Внутреннее электрическое поле 138
Волноводы 269, '272, 273
— граничные условия 270, 271
частоты 273
— диэлектрические 288, 290, 291
— потери омические 278, 280
— типы волн 273 274
Волновое уравнение 206, 208, 209
— — вывод из уравнений Максвел-
Максвелла 230, 596
— — для полей в волноводе 269,
270
— — — скалярного и векторного
потенциалов 206
— — начальные условия 212—214
— — решение в одномерном слу-
случае 227
— число в волноводе 273
— — дебаевское 374
— — как составляющая 4-вектора
421
— —при наличии потерь 278
— — связь с частотой 230
Волновой пакет 236—243
Волны бегущие 230, 240
— — в волноводе 272
— магнитогидродинамическиеЗбЗ—
368
— — влияние конечной проводи-
проводимости и вязкости 366
— магнитозвуковые 365
— поперечно-магнитные («электри-
(«электрические») 271, 598
— — в диэлектрическом волноводе
290, 291, 292
затухание в волноводах 280
Предметный указатель
689
Волны поперечно-магнитные, связь
с мультипольными моментами
607—611
— — сферические 598
— — цилиндрические 271
— поперечно-электрические («маг-
(«магнитные») 271, 598
— — в диэлектрическом волноводе
290, 291
— — — прямоугольном волноводе
274—276
затухание в волноводах 280
— — связь с мультипольными
моментами 607—611
— —¦ сферические 598
— — цилиндрические 271
Восприимчивость диэлектрическая
130, 138—141
Время жизни 395, 612
— соударения 557
Вязкость 343, 349—352
— магнитная 346, 347
Галилея преобразования 196, 383,
405, 425
— система отсчета 388
Гамильтониан релятивистской части-
частицы 447
Гартмана число 349, 351
Гаусса — Остроградского теорема
(теорема о дивергенции) 19
Гаусса теорема для поверхностного
распределения зарядов 17, 19, 22
Гистерезис магнитный 177, 178
Граничные задачи в декартовых ко-
координатах 63 и далее
— — — сферических координатах
77 и далее
__ цилиндрических коорди-
координатах 93 и далее
— — магнитостатики 178, 180
— — при наличии диэлектриков
132, 245
— — решение методом изображе-
изображений 41
— с помощью функции Гри-
Грина 32
смешанные 30, 108, НО
— — электростатики 22, 23, 30,
108—110, 131
Грина теорема взаимности 40
— формулы 28, 29
— функция 32
— — в электростатике 32—35, 100,
102
Грина функция для волнового урав-
уравнения 209—212, 594
— сферического слоя 99
— сферы 56, 57
— — разложение по полиномам
Лежандра 80, 81
— сферическим гармони-
гармоникам 86
— функциям Бесселя 103
Гюйгенса принцип 215, 310
Давление магнитное 347
Дарвина — Брейта взаимодействие
450
Движение заряженной частицы 443,
450—458, 512
— в дипольном поле Земли
468
— неоднородном магнит-
магнитном поле 454, 456, 459
— — однородном статичес-
статическом магнитном поле 450, 451
— — — — скрещенных электри-
электрическом и магнитном полях 452
— — — равномерное 524
— — — ультрарелятивистское 529
Дебая волновое число 374
Дебая — Хюккеля радиус экрани-
экранирования 377
Дельта-функция 15, 16, 27, 63, 97.
103, 115
Диада 219, 220
Дипольное приближение 300, 303,
476, 557
Дипольный момент магнитный 154,
> 166, 169, 171—173, 303
— витка тока 166, 170
излучение 528, 584—586
— — — наведенный 141'
— — электрический 120, 300
Дирихле граничные условия 30
Диск заряженный 112
Дисперсионное соотношение 262, 371
Дисперсия 236, 239, 257, 371
Дифракция на отверстии 322, 328
— — полуплоскости 338
сфере 330
— приближение Кирхгофа 312, 315
Диффузия магнитного поля 345
Диэлектрики 129, 131, 133, 144, 360
Диэлектрическая проницаемость 130,
490, 494
Добротность 285, 286, 288
690
Предметный указатель
Допплера смещение поперечное 400
— релятивистское 398
Дрейф частиц 452, 454—457
Единицы измерения и размерности
электромагнитных величин 672,
676, 678
— — таблицы перехода между
системами 679, 680
Емкость 39
Индукция магнитная намагниченной
сферы 180—185
— — нерелятивистского заряда 156
преобразование Лоренца 417—
419
— электрическая, определение 129
Интеграл действия, лоренц-инвари-
антность 445
Интервал времениподобный 406
— пространственноподобный 406
Ионосфера 255—258
Закон сохранения энергии 215
— и импульса 217
Законы сохранения в ковариантной
форме 422
Замедление времени 393—396, 411
Запаздывающее время 212
Заряд, лоренц-инвариантность 415
— связанный 128, 134, 137
— точечный 45—48
— фиктивный магнитный 182
Зеркало магнитное 173, 464
Излучение заряда ультрарелятивист-
ультрарелятивистского 529—534
— — ускоренного 524—527
— лоренц-инвариантность мощно-
мощности 515
— мультипольное атомных систем
611—616
— — правила отбора 603, 604
— — угловое распределение 604—
607
— ограниченного источника 298
— при бета-распаде 578
— — исчезновении заряда 581
— — — магнитного момента 584—
586
— — соударениях 556—570
— синхротронное 517, 529—536
Импульс канонический 447
— ковариантное определение 652
— преобразование Лоренца 430
— трансформационные свойства 647
— электромагнитный 219
Инверсии метод 50—56
Индуктивность 226, 227, 295
— на высоких частотах 253
Индукция магнитная 154, 156
— —длинного прямого провода 157
— — кругового витка 163—168
Калибровка кулоновская (попереч-
(поперечная) 163, 207, 208
— лоренцовская 207
Калибровочная инвариантность 207
Калибровочные преобразования 163,
206, 207 '
Квадрупольный момент 120, 122, 123
Кирхгофа интегральное представле-
представление 214, 215
— — — векторные эквиваленты
313—317
•— — — применение в дифракцион-
дифракционных задачах 309—312
Клаузиуса — Моссотти уравнение 141
Клейна — Нишины формула 538,
539, 542 .
Ковариантность 413
— законов сохранения 423
— лагранжиана 445
— силы Лоренца 421
— уравнений Максвелла 416, 417
— — электродинамики 415
Комптона рассеяние 538
Конус световой 406
Коши граничные условия 31, 32, 245
Коэффициент прохождения для кру-
круглого отверстия 325, 340
Кулона закон 13
Лагранжиан двух взаимодействую-
взаимодействующих заряженных частиц 448—450
— релятивистской заряженной ча-
частицы 443—448
Ландау затухание 374
Лапласа уравнение 27, 64, 70, 86, 87
— — общее решение 84, 93—95
Лармора формула для мощности
излучения 515, 516
Предметный указатель
691
Лежандра полиномы 72—77, 79
— — присоединенные 81, 82
Ленца закон 196
Лиенара — Вихерта поля 512
— __ потенциалы 510
Линия передачи 227, 271, 294, 295
Лорентц — Лоренца формула 141
Лоренца преобразование 392, 393,
398, 403, 405, 408—411
— — волнового вектора и частоты
399, 400, 421
— — из системы ЦМ в лаборатор-
лабораторную систему 439—441
— — импульса и энергии 430, 431
— — плотности заряда и тока 415
— — потенциалов 415
— — скоростей 396
— — четырехвекторов и четырех-
тензоров 411—413
— — электромагнитных полей
417—419, 452, 453
— сила 218, 421, 422, 641
— уравнение движения в кова-
риантной форме 443—448
— условие 206, 207, 416
Лоренц-инвариантность излученной
мощности 515
— интеграла действия 445
— сечения излучения 566
— скалярного произведения 4-век-
торов 413, 433—435
— фазы плоской волны 399, 421
— четырехмерного лапласиана 412
— — элемента объема 413
Лоренцовская форма спектральной
линии 285, 477, 659, 662
Лэмбовский сдвиг 660
Максвелла уравнения макроскопичес-
макроскопические 221—225
решение 231, 232, 599
Материальная производная 197, 343
Метод изображений 41, 42
— — для диэлектриков 132
— — — проводящей сферы в одно-
однородном поле 48
— — — точечного заряда вблизи
проводящей сферы 42—45
Минковского диаграмма 411
Момент вращающий 154, 159, 173
— количества движения мульти-
польного излучения 602
фотона 603, 624
— магнитный 154, 159, 173, 303,
461, 528, 584
— — ограниченного распределе-
распределения тока 169
Моменты мультипольные 118—123,
168, 169, 298, 300, 302, 609, 611
— — линейных антенн 618
Намагниченность макроскопическая
169, 175, 176
— — эквивалентность поверхност-
поверхностному току 182, 184
Неймана граничные условия 30, 32
Ома закон 250, 341
— — для движущихся сред 344
— — — плазмы в магнитном поле
380
Осциллятор гармонический 550, 660
Отражение плоских волн 243—247
— полное внутреннее 248
— радиоволн от ионосферы 257
Магнит постоянный 186
Магнитная проницаемость 177
Магнитогидродинамика 341—350
— система уравнений 343—345
Магнитостатика, основные уравне-
уравнения 160, 163, 174—178
Майкельсона — Морли опыт 383,
385—387, 389
Максвелла тензор натяжений 221
— уравнения 203, 204
— — в ковариантном виде 417
— — — различных системах еди-
единиц 678
Парные интегральные уравнения 110,
111
Парсеваля теорема 524, 525
Пинч-эффект 352—360, 363
Плазма 255, 341, 343, 373
— диэлектрическая проницаемость
494
— неустойчивости 360—363
— проводимость 504
— удержание внешними полями 363
— — магнитными зеркалами 464
— — собственными полями 352
692
Предметный указатель
Плазменная частота 254, 371
Плазменные колебания 369—377,
380, 381
Плоская волна 230, 235, 240,
260
отражение и преломление
243—247
— — разложение по мультиполям
624
— — распространение в дисперги-
диспергирующей среде 236
— — — — проводящей среде 250
252
Поверхностный ток 264, 268, 319
Пойнтинга вектор 216, 232, 277
— теорема 215
Поле магнитное 176, 177
— мультиполя 591—632
— электрическое 14, 20, 128, 129,
205
трансформационные свойства
417
— электромагнитное; плотность им-
импульса 423
— — разложение по мультиполям
596, 599
Полнота системы функций 61, 82
Поляризация излучения 212—235
— — при отражении 247
— — — соударениях 558, 559
Поляризуемость 140—144
Порог реакции 438
Потенциал векторный 162—167, 205
— — квадруполя 304
— — магнитного диполя 169, 303
— — ограниченного источника
298—300
— — электрического диполя 300
— скалярный 20, 180, 183, 205
— — двойного слоя 24
заряженного проводящего дис-
диска 109
линейного заряда 104
поверхностного распределе-
распределения зарядов 108
— — разложение по мультиполям
118—120
— — точечного заряда 80, 86,
103, 107, 116
Потери энергии при соударениях
470—495, 564, 570
— — — — влияние плотности 485
— — квантовомеханическое
выражение 482
классическое выра-
выражение 480
Потери энергии омические 268
— — — в волноводе 279
— — — — резонаторе 287
— — при тормозном излучении
564, 570
Поток магнитогидродинамический
348—352
— энергии 216, 232, 277
скорость 235, 239
Правила отбора для мультипольных
переходов 603
Правило дипольных сумм 665
Преобразования ортогональные 408,
409
Принцип неопределенности 236, 243,
481, 485, 497, 498, 561, 580, 585, 657
— причинности 212, 261, 408, 656
Прицельный параметр 472, 473, 490,
492, 495, 496, 560, 561, 565, 575
Проводимость 250, 253, 344, 504
Проводник 42, .264, 268
— глубина проникновения поля
251, 252, 266, 268, 287
Пуанкаре натяжения 647—649
Пуассона уравнение 26, 29, 99
Работа выхода металла 47
Радиационная длина 571
Размерность физических величин 670
Разность фаз 232—234, 252, 254
Распад частиц 395, 432
Рассеяние частиц атомами 495, 496,
498
— — многократное и однократное
500, 502, 503
Реакция излучения 636—645, 654,
658—660
Резерфорда формула для сечения
рассеяния 496
Резонансная частота 141, 480
Резонатор 284—288
Рейнольдса число 346
Рэлея закон рассеяния 629, 662
Сечение излучения 497, 560, 563
— — лоренц-инвариантность 566
— рассеяния 493, . 496, 537, 540,
561, 628, 661, 662
— — резонансное 662
— реакции 664
Предметный указатель
693
Сила осциллятора 479, 481, 659
— самодействия 641
— электродвижущая 196
Скорость групповая 238, 239
— — в волноводах 278
— — — электронной плазме 374
— света 389, 673
— фазовая 230, 239
— — альфвеновских волн 365,
368
— — в волноводе 274
— — плазменных колебаний 374
Сложение скоростей 396
Смайта формула для дифракции на
плоских экранах 317
Снеллиуса закон 243
Собственная энергия и импульс 647—
654
— — — — ковариантное опреде-
определение 652
трансформационные
свойства 647
Собственное время 405
— поле 641
Собственные натяжения 647, 648
— функции 106, 107, 272, 274, 282,
Соленоид, магнитное поле 190
Сопротивление излучения 309
Соударения 439, 470
— нерелятивистские 564
— релятивистские 570
Специальная теория относительности
383—388
постулаты 388, 389
Спин-орбитальное взаимодействие
401
Спиральность 234
Стокса теорема 22
Сферические гармоники 82—86, 166,
595
векторные 599, 605, 607, 620,
623, 628
Томсона теорема 40
— формула для сечения рассеяния
537—539
Тормозное излучение 560, 561, 563,
564, 567, 570, 577
— — спектральное распределение
558, 566, 569
— — угловое распределение и поля-
поляризация 557, 559, 567
Угол рассеяния 496—500
Уравнение движения, ковариантная
форма 422, 445
— — с учетом реакции излучения
637—639, 654
— непрерывности для жидкости
343, 364
— — — заряда и тока 155, 672
— потока электромагнитной
энергии 216
— — ковариантная форма 415
Уравнения материальные 205
Условия излучения 311
Усреднение макроскопическое 124,
222
Уширение спектральной линии 659
Фарадея закон индукции 196, 197,
199
Физо опыт 384
Фицджеральда — Лоренца сокра-
сокращение 387, 393, 410
Флуоресценция резонансная 662
Френеля формула для скорости
света в движущихся средах 385
— формулы для отражения и пре-
преломления 246, 247
Фурье интеграл 63
— преобразование 236, 240, 285,
478
— ряд 62, 63
Тензор натяжений Максвелла 221
— электромагнитного поля 416
— энергии — импульса 423, 648
Теорема единственности 30—32, 78
— о среднем значении 340
— сложения для сферических гар-
гармоник 84
Томаса прецессия 256, 400—405
Ханкеля преобразование 95
Частота вращения частицы в магнит-
магнитном поле 255, 461
— как составляющая 4-вектора 421
694
Предметный указатель
Четность мультипольных полей 604
Четырехвекторы и четырехтензоры
411
— скалярное произведение 413, 433
— лоренц-инвариантность435
Ширина спектральной линии 286, 659
Эйри функция 531
Экранирование внутриатомное
568
Экраны дополнительные 318
496,
Электрон, классическая модель 640
— классический радиус 645
Электростатика, макроскопические
уравнения 123—129
Энергия магнитная 199, 201, 202
— передача при соударениях 443,
470
— — — — дискретность значе-
значений 480
— распределения зарядов 121
— электромагнитная, плотность
216, 232
— электростатическая 20, 35—37,
144, 644
Эфир 383
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода - 5
Предисловие 7
ГЛАВА 1
Введение в электростатику
§ 1. Закон Кулона 13
§ 2. Напряженность электрического поля 14
§ 3. Теорема Гаусса 17
§ 4. Дифференциальная форма теоремы Гаусса 19
§ 5. Второе уравнение электростатики и скалярный потенциал ... 20
§ 6. Поверхностные распределения зарядов и диполей. Скачки элект-
электрического поля и потенциала 22
§ 7. Уравнения Лапл'аса и Пуассона 26
§ 8. Теорема Грина 28
§ 9. Единственность решения при граничных условиях Дирихле или
Неймана 30
§ 10. Формальное решение граничных задач электростатики с помощью
функции Грина 32
§11. Потенциальная энергия и плотность энергии электростатического
поля 35
Рекомендуемая литература 38
Задачи . 39
ГЛАВА 2
Граничные задачи элекстростатики. I
§ 1. Метод изображений 41
§ 2. Точечный заряд вблизи заземленного сферического проводника 42
§ 3. Точечный заряд вблизи заряженного изолированного сферическо-
сферического проводника 46
$ 4. Точечный заряд вблизи сферического проводника с заданным
потенциалом 48
§ 5. Сферический проводник в однородном электрическом поле . . 48
696 Оглавление
§ 6. Метод инверсии » 50
§ 7. Функция Грина для сферы. Общее выражение для потенциала 56
§ 8. Две примыкающие проводящие полусферы, имеющие различный
потенциал 57
§ 9. Разложение по ортогональным функциям 60
§ 10. Разделение переменных. Уравнение Лапласа в декартовых коор-
координатах 63
Рекомендуемая литература 66
Задачи 67
ГЛАВА 3
Граничные задачи электростатики. II
§ 1. Уравнение Лапласа в сферических координатах 70
§ 2. Уравнение Лежандра и полиномы Лежандра 72
§ 3. Граничные задачи с азимутальной симметрией 77
§ 4. Присоединенные функции Лежандра и сферические гармоники
УшФ, Ф) 81
§ 5. Теорема сложения для сферических гармоник . ' 84
§ 6. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Функции
Бесселя . 86
§ 7. Граничные задачи в цилиндрических координатах 93
§ 8. Разложение функций Грина в сферических координатах ... 95
§ 9. Нахождение потенциала с помощью разложений для сферических
функций Грина 99
§ 10. Разложение функций Грина в цилиндрических координатах . . . 102
§ 11. Разложение функций Грина по собственным функциям .... 105
§ 12. Смешанные граничные условия. Заряженный проводящий диск 108
Рекомендуемая литература 112
Задачи 113
ГЛАВА 4
Мультиполи. Макроскопическая электростатика материальных сред.
Диэлектрики
§ 1. Разложение по мультиполям 118
§ 2. Разложение по мультиполям энергии распределения зарядов во
внешнем поле 121
§ 3. Макроскопическая электростатика. Эффекты совокупного действия
атомов . 123
§ 4. Изотропные диэлектрики и граничные условия 130
§ 5. Граничные задачи при наличии диэлектриков 132
§ 6. Поляризуемость молекул и диэлектрическая восприимчивость 138
§ 7. Модели поляризуемости молекул 141
§ 8. Энергия электрического поля в диэлектрике 144
Рекомендуемая литература 150»
Задачи , , , , 150*
Оглавление 697
ГЛАВА 5
Магнитостатика
§ 1. Введение и основные определения 154
§ 2. Закон Био и Савара 156
§ 3. Дифференциальные уравнения магнитостатики и закон Ампера lfcO
§ 4. Векторный потенциал 162
§ 5. Векторный потенциал и магнитная индукция кругового витка тока '163
§ 6. Магнитное поле ограниченного распределения токов. Магнитный
момент 168
§ 7. Сила и момент, действующие на ограниченное распределение тока
во внешнем магнитном поле 171
§ 8. Макроскопические уравнения 174
§ 9. Граничные условия для магнитной индукции и поля . . 178
§ 10. Однородно намагниченный шар 180
§ 11. Намагниченный шар во внешнем поле. Постоянные магниты 185
§ 12. Магнитное экранирование. Сферическая оболочка из магнитного
материала в однородном поле 187
Рекомендуемая литература 190
Задачи 190
ГЛАВА 6
Переменные во времени поля. Уравнения Максвелла.
Законы сохранения
§ 1. Закон индукции Фарадея 195
§ 2. Энергия магнитного поля 199
§ 3. Максвелловский ток смещения. Уравнения Максвелла .... 203
§ 4. Векторный и скалярный потенциалы 205
§ 5. Калибровочные преобразования. Лоренцовская калибровка.
Кулоновская калибровка 207
§ 6. Функция Грина для волнового уравнения 209
§ 7. Задача с начальными условиями. Интегральное представление
Кирхгофа 212
§ 8. Теорема Пойнтинга 215
§ 9. Законы сохранения для системы заряженных частиц и электро-
электромагнитных полей 217
§ 10. Макроскопические уравнения 221
Рекомендуемая литература 225
Задачи 225
ГЛАВА 7
Плоские электромагнитные волны
§ 1. Плоские волны в непроводящей среде 229
§ 2. Линейная и круговая поляризация 232
§ 3. Суперпозиция волн в одном измерении. Групповая скорость . . . 235
698 Оглавление
§ 4. Примеры распространения импульсов в диспергирующей среде 240
§ 5. Отражение и преломление электромагнитных волн на плоской
границе раздела между диэлектриками 243
§ 6. Поляризация при отражении и полное внутреннее отражение 247
§ 7. Волны в проводящей среде 250
§ 8 Простая модель проводимости 253
§ 9. Поперечные волны в разреженной плазме 254
Рекомендуемая литература 258
Задачи . 259
ГЛАВА 8
Волноводы и резонаторы
§ 1. Поля на поверхности и внутри проводника 264
§ 2. Цилиндрические резонаторы и волноводы 269
§ 3. Волноводы . 272
§ 4. Волны в прямоугольном волноводе 274
§ 5. Поток энергии и затухание в волноводах . \ ....... 276
§ 6. Резонаторы 281
§ 7. Потери мощности в резонаторе. Добротность резонатора . . . 284
§ 8. Диэлектрические волноводы 288
Рекомендуемая литература 293
Задачи 294
ГЛАВА 9
Простейшие излучающие системы и дифракция
§ 1. Поля, создаваемые ограниченными колеблющимися источниками 297
§ 2. Электрическое дипольное поле и излучение 300
§ 3. Магнитные дипольные и электрические квадрупольные поля . . 302
§ 4. Линейная антенна с центральным возбуждением 306
§ 5. Интеграл Кирхгофа 309
§ 6. Векторные эквиваленты интеграла Кирхгофа 313
§ 7. Принцип Бабине для дополнительных экранов 318
§ 8. Дифракция на круглом отверстии 322
§ 9. Дифракция на малых отверстиях 328
§ 10. Рассеяние коротких волн проводящей сферой 330
Рекомендуемая литература 337
Задачи 337
глава ю
Магнитная гидродинамика и физика плазмы
§ 1. Введение и основные понятия 341
§ 2. Уравнения магнитной гидродинамики 343
§ 3. Магнитная диффузия, вязкость и давление 345
Оглавление 699
§ 4. Магнитогидродинамический поток между границами в скрещенных
электрическом и магнитном полях 348
§ 5. Пинч-эффект 352
§ 6. Динамическая модель пинч-эффекта 355
§ 7. Неустойчивости сжатого плазменного столба 360
§ 8. Магнитогидродинамические волны 363
§ 9. Высокочастотные плазменные колебания 369
§ 10. Коротковолновые плазменные колебания. Дебаевский радиус
экранирования 374
Рекомендуемая литература 377
Задачи 378
ГЛАВА 11
Специальная теория относительности
§ 1. Исторические предпосылки и основные эксперименты .... 382
§ 2. Постулаты специальной теории относительности и преобразова-
преобразование Лоренца 388
§ 3. Сокращение Фицджеральда — Лоренца и замедление времени 393
§ 4. Сложение скоростей. Аберрация и опыт Физо. Допплеровское сме-
смещение 396
§ 5. Прецессия Томаса 400
§ 6. Собственное время и световой конус 405
§ 7. Преобразования Лоренца как ортогональные преобразования
в четырехмерном пространстве 408
§ 8. Четырехвекторы и четырехтензоры. Ковариантность уравнений
физики 411
§ 9. Ковариантность уравнений электродинамики 415
§ 10. Преобразование электромагнитного поля 17
§ 11. Ковариантность выражения для силы Лоренца и законов сохра-
сохранения 421
Рекомендуемая литература 424
Задачи 424
ГЛАВА 12
Кинематика и динамика релятивистских частиц
§ 1. Импульс и энергия частицы 429
§ 2. Кинематика осколков при распаде нестабильной частицы . . . 432
§ 3. Преобразование к системе центра масс и пороги реакций . . 435
§ 4. Преобразование импульса и энергии из системы центра масс
в лабораторную систему 439
§ 5. Ковариантные уравнения движения. Лагранжиан и гамильтониан
для релятивистской заряженной частицы 443
§ 6. Релятивистские поправки первого порядка для лагранжиана вза-
взаимодействующих заряженных частиц 448
700 Оглавление
§ 7. Движение в однородном статическом магнитном поле 450
§ 8. Движение в однородных статических электрическом и магнитном
полях 452
§ 9. Дрейф частиц в неоднородном статическом магнитном поле . . . 454
§ 10. Адиабатическая инвариантность магнитного потока сквозь орбиту
частицы 459
Рекомендуемая литература 465
Задачи 466
ГЛАВА 13
Соударения заряженных частиц. Потери энергии. Рассеяние
§ 1. Передача энергии при кулоновских соударениях 470
§ 2. Передача энергии гармоническому осциллятору 475
§ 3. Классическое и квантовомеханическое выражение для потерь
энергии 479
§ 4. Влияние плотности на потери энергии при соударении .... 48&
§ 5. Потери энергии в электронной плазме 493
§ 6. Упругое рассеяние быстрых частиц атомами 495
§ 7. Среднеквадратичное значение угла рассеяния и угловое распре-
распределение при многократном рассеянии 500
§ 8. Электропроводность плазмы 504
Рекомендуемая литература 507
Задачи 507
ГЛАВА 14
Излучение движущихся зарядов
§ 1. Потенциалы Лиенара — Вихерта и поле точечного заряда . . 509
§ 2. Полная мощность, излучаемая ускоренно движущимся зарядом.
Формула Лармора и ее релятивистское обобщение 514
§ 3. Угловое распределение излучения ускоряемого заряда . . . 518
§ 4. Излучение заряда при произвольном ультрарелятивистском дви-
движении 522
§ 5. Спектральное и угловое распределения энергии, излучаемой уско-
ускоренными зарядами 524
§ 6. Спектр излучения релятивистской заряженной частицы при мгно-
мгновенном движении по окружности 529
§ 7. Рассеяние на свободных зарядах. Формула Томсона 536
§ 8. Когерентное и некогерентное рассеяние 540
§ 9. Излучение Вавилова — Черенкова 542
Рекомендуемая литература 549
Задачи 549
Оглавление 701
ГЛАВА 15
Тормозное излучение. Метод виртуальных фотонов.
Излучение при бета-распаде
§ 1. Излучение при соударениях 556
§ 2. Тормозное излучение при нерелятивистских кулоновских соуда-
соударениях . 560
§ 3. Тормозное излучение при релятивистском движении 564
§ 4. Влияние экранирования. Потери на излучение в релятивистском
случае 568
§ 5. Метод виртуальных фотонов Вейцзеккера — Вильямса 571
§ 6. Тормозное излучение как рассеяние виртуальных фотонов . . . 577
§ 7. Излучение при бета-распаде 578
§ 8. Излучение при захвате орбитальных электронов. Исчезновение
заряда и магнитного момента 581
Рекомендуемая литература 587
Задачи 587
ГЛАВА 16
Поля мультиполей
§ 1. Собственные функции скалярного волнового уравнения .... 591
§ 2. Разложение электромагнитных полей по мультиполям .... 596
§ 3. Свойства полей мультиполей. Энергия и момент количества дви-
движения мультипольного излучения 599
§ 4. Угловое распределение мультипольного излучения 604
§ 5. Источники мультипольного излучения. Мультипольные моменты 607
§ 6. Мультипольное излучение атомных и ядерных систем 611
§ 7. Излучение линейной антенны с центральным возбуждением . . 616
§ 8. Разложение векторной плоской волны по сферическим волнам . . 621
§ 9. Рассеяние электромагнитных волн на проводящей сфере . . . 624
§ 10. Решение граничных задач с помощью разложений по мультиполям 629
Рекомендуемая литература 630
Задачи 630
ГЛАВА 17
Влияние излучения частицы на ее движение.
Собственное поле частицы
§ 1. Вводные замечания 633
§ 2. Определение силы реакции излучения из закона сохранения энергии 636
§ 3. Вычисление силы реакции излучения по Абрагаму и Лоренцу . 640
§ 4. Трудности модели Абрагама — Лоренца 645
702 Оглавление
§ 5. Трансформационные свойства модели Абрагама — Лоренца. Натя-
Натяжения Пуанкаре 646
§ 6. Ковариантное определение собственной электромагнитной энергии
и импульса заряженной частицы 651
§ 7. Интегро-дифференциальное уравнение движения с учетом радиа-
радиационного затухания 654
§ 8. Ширина линии и сдвиг уровня для осциллятора 657
§ 9. Рассеяние и поглощение излучения осциллятором 660
Рекомендуемая литература 666
Задачи . . . . 666
ПРИЛОЖИНИЕ
Единицы измерения и размерности
§ 1. Единицы измерения и размерности. Основные и производные
единицы 670
§ 2. Единицы измерения и уравнения электродинамики 672
§ 3. Различные системы электромагнитных единиц 675
§ 4. Перевод формул и численных значений величин из гауссовой
системы единиц в систему МКС 678
Библиография 682
Предметный указатель . . . . . 688
Дж. Джексон
КЛАССИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Редактор И. Г. Нахимсон
Художник Н. С. Хмелеве кий
Художественный редактор Е. И. Подмарькова
Технический редактор А. Г. Резоухова
Сдано в производство 17/ХН 1964 г.
Подписано к печати 13/V 1965 г.
Бумага 60x901/16=22 бум. л. 44 печ. л.
Уч.-изд. л. 40,01. Изд. № 2/2659
Цена 2 р. 95 к. Зак. 786
Темплан 1965 г. изд-ва «Мир», пор. № 62
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 1 6
Главполиграфпрома Государственно/о
комитета Совета Министров СССР по печати
Москва, Трехпрудный пер., д. 9