А. Г. Конфорович
Київ „Радянська школа" 1981

ББК 22.1
51
К65
Конфорович А. Г. Замечательнне
математические задача.— К. :
Радянська школа, 1981 .—6 л.—45 к. 70 000
акз. 78000. 4802020000.
В книге собраньї математические
задачи разннх зпох и народов с древ-
нейших времеїі до нового времени.
Они отображают важнейшие зтапи раз-
вития математического знання — фор-
мирование понятий, создаїїие отдоль-
ньіх математических дисциплиіі, поис-
ки алгоритмов решения задач. Многие
задачи сборника принадлежат вьідаю-
щимся математикам или же связаньї
с их биографиями.
Каждому разделу предшествует
рассказ о математике и математиках
соответствующей зпохи.
Предназначается учащимся
старших классов.
Рукопис рецензували: кафедра
математики Бердянського педагогічної
інституту, доцент кафедри математики
Запорізького педагогічного інституту
М. І. Бородін та вчитель математики
з міста Ананьева Одеської області
Ю. М. Вольсен.
Оформлення художника 6. В. Попова
Креслення художника В. /. Глазунова
78000—340 ^ Видавництво
КМ210(04)—81 Зв7~81 4802020000 (g «Радянська школа»,

ПЕРЕДМОВА
Основою основ науково-технічного прогресу, темпи
якого відповідали б потребам розвитку народного
господарства нашої країни в наступному десятиріччі,
наголосив у Звітній доповіді ЦК КПРС XXVI
з’їзду партії Генеральний секретар ЦК КГІРС товариш
JI. І. Брежнєв, є дальший розвиток науки, зокрема
математики, прикладне значення якої дуже велике.
А всебічний розвиток будь-якої науки неможливий
без глибокого аналізу її історії.
До минулого звертаються з різних причин. Лейб-
ніц, наприклад, застерігав, що хто хоче
обмежитися сучасним без знання минулого, той ніколи не
зрозуміє сучасного.
Історія математики має особливу привабливість.
Задачі й теореми, доведені сотні і тисячі років тому,
захоплюють нас своєю красою, витонченістю
логічних міркувань так само, як захоплювали всі
попередні покоління.
Перегортаючи сторінки минулого науки, ми
переконуємося, що найбільші поклади математичних
ідей, понять, задач, які потім об’єднувались у теорії,
містяться у практичній діяльності людини. Вони
відлиті в сучасні форми теоретичною думкою вчених
різних епох і народів. Водночас пошуки розв’язків
багатьох математичних задач не раз приводили
вчених до відкриття нових математичних фактів. Ось
що писав у 1729 р. член Петербурзької Академії
наук Георг Крафт (16.VII.1701--18.VII.1754) про
тисячолітні спроби розв’язати стародавню задачу
квадратури круга: «Якщо в питанні нашому до
історії наук звернемося, то зізнаємося, що найпрекрас-
ніші винаходи, які ми нині знаємо, не заради того
винайдені, що їх шукали, а тому, що інше щось
марно шукали, а тим часом деякі попалися, неначе
незвані гості, самі прийшли і з собою велику користь
принесли. Так і в цьому питанні сподіватися можна,
що швидше щось незнане в зв’язку з квадратурою
циркуля знайдеться, ніж вона сама» [32, 19].
Крафт не помилявся. На довгому шляху пошуків
квадратури круга вчені не тільки довели
нерозв’язність цієї задачі в класичному формулюванні, а й

відкрили надзвичайно багато важливих
математичних залежностей, несподіваних глибинних
закономірностей у світі чисел, геометричних фігур та
інших математичних об’єктів.
Зрозуміло, що багато задач, надзвичайно важливих
для самої математики, не доступні учням середньої
школи, і ми можемо тільки назвати або переказати
їх. Це задачі, поставлені потребами практики або
логікою розвитку самої математики. Вони
відкривали нові сторінки науки і поступалися лише перед
зусиллями видатних вчених. Над деякими такими
задачами доводилося працювати роками. Ось як писав
про свої пошуки розв’язку однієї задачі великий
німецький математик Фрідріх Гаусс (1777—1855):
«Протягом чотирьох років рідко проходив тиждень,
коли б я не робив тієї або іншої спроби розв’язати
цей вузол. Але всі намагання, усі зусилля були
марні, і сумно я клав перо. А недавно ... загадка
розв’язалася із швидкістю блискавки ... І коли я викладу
це питання, ніхто не зможе уявити собі, якого
напруження коштувало мені це розв’язання». Звичайно,
такі завдання не під силу навіть для найзаповзят-
ливіших юних любителів математики. В цій же
книжці дібрано задачі, які дадуть їм можливість
виявити свою вправність і відчути всю складність
звивистих доріг, пройдених математичною думкою від
стародавнього Єгипту до наших днів.
Переважна більшість поданих тут задач доступні
учням середніх класів. Хотілося б, щоб читачі
не шукали одразу відповіді, а діставали їх завдяки
особистим зусиллям. Як влучно зауважив відомий
американський математик і педагог Д. Пойа, велике
наукове відкриття дає розв’язання великої
проблеми, але і в розв’язанні будь-якої задачі є крупинка
відкриття.
З ранніх математичних текстів ми брали
найактуальніші задачі. В епоху античної Греції, а тим
більше в епоху Відродження і за Нового часу математика
надзвичайно ускладнилася. Тому ми вже рідше
зверталися до наукових трактатів цих періодів і, як
правило, відбирали задачі з навчальних посібників,
збірників математичних розваг або задачі,
пов’язані з іменами видатних математиків.
4

Розв’язання кожної задачі є не тільки відкриттям
нового факту, а й задоволенням наукової
допитливості, часто бажанням завбачити майбутнє.
Траплялося, що значення задачі для науки неможливо було
визначити, поки вона не була розв’язана. Часто
великі математики ставили важливі задачі, не знаючи
їх розв’язання. Проте математики завжди наступали.
Нерозв’язані задачі привертали особливу увагу
вчених. Адже спроби розв’язати їх часто
спричинялися до відкриття нових теорій. Досить назвати три
знамениті задачі давнини, спроби довести V
постулат Евкліда, велику теорему Ферма та ін. Наприклад,
для математиків стародавньої Греції відкриття
Гіппократом Хіоським (V ст. до н. е.) квадрованих
серпків було видатним математичним досягненням.
Сьогодні ця задача пропонується для молодших
школярів («Квант», 1978, № 7). Задача ж про всі можливі
квадровані серпки виявилася надзвичайно складною.
Її розв’язав визначний радянський математик
М. Г. Чеботарьов (1894-1947).
Працюючи над задачами далеких епох, не варто,
звичайно, ідеалізувати чи надто суворо
критикувати минуле. Об’єктивно досліджуючи спадщину
минулого, ми побачимо, як з неї виростало сучасне,
і менше дивуватимемося нашим успіхам. Ньютон
зазначав, що він не досягнув би своїх епохальних
відкриттів, коли б не стояв на плечах гігантів.
Величний зліт математики XX століття теж має
своєю основою працю тисяч і тисяч відомих і
безіменних трудівників великого цеху математики,
який працює вже кілька тисячоліть. Чудові зразки
продукції цього цеху за останні чотири тисячоліття
ми й пропонуємо юним математикам.
Цей збірник, а також книжки, зазначені в кінці
його, допоможуть допитливим читачам повніше
ознайомитися з деякими безсмертними скарбами
математичної думки.
Ми не прагнули передати стиль викладу умов
задач віддалених епох, методи їх розв’язування.
Формулювання умов задач і розв’язання, як правило,
подано в сучасних термінах з використанням
сучасної символіки. У формулюваннях опущено слова
«доведіть, що ...», «покажіть, що ... » і т. д. Задачі,
5

сформульовані у вигляді теорем, потрібно довести,
а у вигляді парадоксів — спростувати. Розв’язання
задач позначено знаком •, відповіді до задач —
знаком ▼.
Автор не випадково готує читачів до серйозної
роботи над задачами. Адже й обов’язкові домашні
завдання не завжди виконуються учнями. Тим більше
потрібні наполегливість і самодисципліна, щоб у
годину дозвілля добровільно вирушити в неспокійну
подорож лабіринтами математичних задач. Нам дуже
хотілося вмовити, загітувати, навіть змусити читача
зробити перші кроки. Далі ми знаємо, що є в
математичних задачах особлива привабливість, яка
поведе читача до нових логічних поворотів і перевалів.
А народжений інтерес стане надійною аріадновою
ниткою, яка вкаже правильний шлях і подарує
особливу, не зрівнянну ні з чим радість пізнання істини.
Читача, зрештою, захоплюють внутрішня логіка і
однозначність ланцюгів логічних висновків,
очікувані і несподівані результати пошуків. «Якийсь
математик сказав,— писав JI. М. Толстой, — що
насолода не у відкритті істини, але в шуканні її». Те
саме засвідчують численні висловлювання вчених
про своєрідну красу і чари математичного пошуку.
Саме захоплення красою математичної творчості
надихає вчених і математиків-любителів на пошук
все нових доведень уже доведених теорем, нових
способів розв’язування давно розв’язаних задач.
Від часів античної Греції до наших днів не
припиняється потік нових доведень знаменитої теореми
Піфагора (див. задачу № 21), різних не класичних
розв’язань трьох знаменитих задач давнини (див.
№26, 27, 28).
Відомі численні приклади емоційного піднесення
учнів саме в процесі пошуків розв’язувань задач.
Траплялося, що такі зоряні години творчості
визначали життєвий шлях юнака.
Автор вважаїиме, що досяг поставленої мети, якщо
його книжка допоможе комусь із читачів знайти
свій шлях у безмежний і чарівний світ математики,
у цю стародавню і вічно молоду, «суху» і надзвичайно
поетичну науку.

Найдавніші математичні тексти дійшли від
цивілізацій Стародавнього Сходу — Єгипту й Вавілону.
У цих країнах не було великих земельних площ
і господарська діяльність вимагала проведення
значних іригаційних робіт, землевпорядкування,
зокрема межування ділянок після повеней, які
приносили річковий намул, що руйнував межі
земельних наділів. Зміцнення централізованих
держав сприяло створенню міст, розвитку торгівлі.
Математичні задачі виникали у зв’язку з
необхідністю виконувати розрахунки для будівельних робіт,
під час збирання податей, розподілу майна, обміну
й розподілу продуктів, вимірювання площ полів,
об’ємів гребель і зерносховищ, організації великих
караванів та ін.
Основними пам’ятками єгипетської математики
є папіруси Райнда і Московський. Перший,
названий іменем англійського єгиптолога, який його
знайшов, зберігається в Британському музеї в
Лондоні і частково в Нью-Йорку. Останнім часом цей
папірус частіше називають папірусом Ахмеса. Так
звали писця, який записав його біля 1800—1600 pp.
до н. е., коли Єгипет був завойований гіксосами.
Цей сувій (5,25 х 0,33 м) містить 84 задачі.
У другому папірусі (5,44 х 0,08 м) 25 задач.
Він також був переписаний в епоху гіксосів з
тексту, який відносився приблизно до 1900 р. до
н. е. Цей папірус зберігається в Московському
музеї образотворчого мистецтва ім. О. С.
Пушкіна.
Обидва папіруси були навчальними посібниками
для школи писців. Там готували чиновників, зодчих,
землемірів, або гарпедонавтів (буквально — натя-
гувач мотузки), тобто носіїв наукових знань тієї
епохи. Математичні знання вже в той період
цінувалися надзвичайно високо. У папірусі Ахмеса
сказано, що він присвячений «досконалому й
грунтовному дослідженню всіх речей, розумінню їхньої
суті, пізнанню всіх таємниць».
Нумерація стародавніх єгиптян була десятковою,
але непозиційною. Цифри від 1 до 9 позначалися
паличками, були окремі знаки для чисел виду 10п (від
10 до 107). З дробів знали тільки так звані аліквотні
8

^виду , існували вже окремі ієрогліфи для зви-
*.1123
чанних дробів -у, , -j-.
Дії першого ступеня не становили труднощів.
Множення і ділення зводилося до подвоєння і
додавання.
Наприклад: 28 • 17
. 1
28
2
56
4
112
8
224
• 16
448
17
476
У правому стовпчику підсумовували: 28 • 1 +
+ 28 • 16 = 28 • (1 + 16). Отже, 28-17 = 476.
До процедури подвоєння приводило й ділення.
Нехай треба обчислити 153 : 17. Виконувалося це
так:
• 1 17
2 34
4 68
• 8 136
9 153
Тому 153 : 17 = 9.
Дії другого ступеня ще громіздкі, не зовсім
алгоритмічні, але вже зроблено перший крок до
відокремлення операції множення від додавання.
Задачі на обчислення «аха» (купа, кількість речей,
яку потрібно визначити) зводилися до рівнянь
першого степеня: ах + Ьх + сх + •••+ пх = р.
Найчастіше їх розв’язували методом хибного
положення. Наприклад, у задачі «Купа і її четверта
частина разом становлять 15» (ми б записали: х +
+ х = 15). Обчислювач бере х = 4, тоді «купа
і її четверта частина разом становлять 5», а має
бути в три рази більше (15 : 5 = 3). Тому шукана
кількість дорівнює 4 • 3 = 12.
Задачі на обчислення «аха» — перші в історії
математики абстрактні задачі, які розв’язували
єдиним методом. Ряд задач зводився до обчислення
9

суми членів арифметичної і геометричної прогресій.
Серед них знаменита своєю історією задача-мандрів-
ниця (№ 7), яка в різних модифікаціях
зустрічається в різні епохи в багатьох народів.
Геометричні задачі виникали з практики
будівництва, землевпорядкування і землеробства.
Термінів «трикутник», «чотирикутник», «фігура», «сторона
фігури» тощо ще не було. Скрізь йдеться про пряме,
косе чи кругле поле, ділянку з межею, шириною
і довжиною. Площі прямокутників, трикутників
і трапецій обчислювали за точними правилами, площу
довільного чотирикутника — наближено, як
добуток півсум його протилежних сторін а, с і 6, d\
 о а -\- с b -f- d
~ 2 ‘ 2 *
Ученим того часу вдалося дістати і ряд
визначних результатів. Насамперед, це обчислення за
точною формулою v = (a2 -f ab + Ь2) об’єму
правильної чотирикутної зрізаної піраміди (задача
№ 14 Московського папіруса); великою була
точність обчислення площі круга. Хоча не вдалося
точно перекласти текст і розв’язання задачі № 10
3 Московського папіруса, в якій обчислюється об’єм
кошика, що має форму половини кулі «з отвором
, 1
4 -j», одні вважають, що в задачі йдеться про точне
обчислення поверхні півкулі, другі — бічної
поверхні циліндра, треті — наближене обчислення
об’єму куполоподібного зерносховища. В усіх
випадках — це теж визначне досягнення.
В розв’язуванні геометричних задач було вже
здобуто значних успіхів, проте в окрему галузь
математики геометрія ще не виділилася.
Класифікувалися задачі не за способами їх
розв’язування, а за темами. Розв’язання подавались
без будь-яких пояснень, інколи — лише з
перевіркою знайденого результату. Проте пошук
розв’язань задач був пов’язаний з інтенсивною творчою
роботою абстрагуючої думки. Учені
узагальнювали здобуті результати, шукали досконаліші
обчислювальні й операторні алгоритми, формували
математичні поняття. Звичайно, траплялися й
по10

милки. Першим важко не помилитися. Йдучи невто-
рованими шляхами, математик далекого минулого
працював не менш інтенсивно, ніж його далекий
нащадок по професії — наш сучасник, штурмуючи
проблеми новітньої математики. Оцінюючи успіхи
периюпрохідців, слід пам’ятати, що тривіальний
для нас результат 2x2 = 4 колись було справжнім
тріумфом абстрактного мислення.
ЗАДАЧІ
1. У пастуха, який вів 70 биків, запитали: «Яку
частину биків своєї численної череди ти ведені?»
Він відповів: «Я веду дві третини від третини худоби».
Скільки биків було у всій череді?
▼
315 биків.
1 1
2. Один узяв із скарбниці . Другий взяв
з того, що залишилося. Залишив же він в
скарбниці 150. Скільки було в скарбниці спочатку?
172 —
32 •
Оскільки єгиптяни не знали дробів виду — , дробова
частина відповіді записана як сума аліквотних дробів ^виду
111 1
і і і__ і 1
2 8 48 96 '
3. 	Скільки хлібин і скільки кухлів пива можна
дістати з однієї мірки зерна, якщо з 15 мірок вийшло
200 хлібин і 10 кухлів пива і вихід пива становить
виходу хліба.
т
20 хлібин і 2 кухлі пива.
4. 	Поділити 10 мірок ячменю між 10 людьми так,
Щоб другий одержав на мірки ячменю більше,
11

4 1
ніж перший, третій — на -g- мірки більше, ніж
другий, ... 10-й — на -g- мірки більше, ніж
дев’ятий.
•
Задача зводиться до обчислення першого члена
арифметичної прогресії, різниця якої , а сума
десяти членів дорівнює 10. Кожний з людей одер-
. _25_ _23_ JA_ _19_ _17_ _13_ _1і_ _9_ 7
ЖИТЬ5 16 ’ 16 ’ 16 ’ 16 ’ 16 ’ 16 ’ 16 ’ 16 ’ 16
мірки ячменю.
к Л7 .... 2 .... 1 .... 1
5. Уся купа, п , п "2", и ^ Разом становлять
37. 	Скільки в усій купі?
Задача зводиться до рівняння першого степеня
■ 2 .1 .1 о»
х + — х + — х + ~ х==3‘-
▼
2
х («купа») дорівнює 16 .
6. Площа поля 100 квадратних ліктів. Поділити
його на дві квадратні частини так, щоб довжина сто-
3
рони однієї частини дорівнювала довжини
сторони другої частини.
•
Нехай х — довжина сторони однієї частини поля,
у — довжина сторони другої частини. Розв’язування
задачі зводиться до розв’язування системи рівнянь:
>і З
х2 + у2 = 100.
т
х ;= 8; у = 6.
7. У семи людей по сім кішок; кожна кішка з’їдає
по сім мишей, кожна миша з’їдає по сім колосків,
із кожного колоска може вирости по сім мірок
ячменю. Як завеликі числа цього ряду та їхня сума?
12

•
Задача зводиться до обчислення членів і суми
членів геометричної прогресії: 7 + 72 + 73 + 7 4 + 7б =
= 7 + 49 + 343 + 4201 + 16 807 = 21 407.
8. Обчислити об’єм квадратної зрізаної піраміди,
якщо її висота дорівнює 6, довжина сторони
нижньої основи — 4, верхньої — 2.
▼
Шуканий об’єм становить 56 кубічних одиниць.
9. Єгиптяни, замінюючи площу круга площею
рівновеликого квадрата, брали за його сторону -|-
діаметра круга. Яке наближення числа п відповідає
цьому правилу?
•
о / 8 , ,,\2 я І d|2
З правила єгиптян випливає: (“9“НІ) = 1 »
82 • d2 • 4 / / 8 \2 о лапг
звідки я = —д2^2— = 4 • -д- » 3,1605, отже,
відносна похибка менша за 1%. Це досить добре
наближення.
10. Загадка жерців бога Ра. Ти стоїш перед
стіною, за нею криниця Лотоса, як круг Сонця. Біля
криниці покладено один камінь, одне долото, дві
очеретини. Довжина однієї очеретини три міри,
другої — дві міри. Очеретини перехрещуються на
поверхні води криниці Лотоса, а ця поверхня на
одну міру вища від дна. Хто повідомить число
найдовшої прямої, яка міститься в ободі криниці
Лотоса, той візьме обидві очеретини і буде жерцем
бога Ра.
Криниця — це прямий циліндр (мал. 1). Дві очеретини
(одна завдовжки 3 м, друга —2 м) приставлені до основи
циліндра так, що сума довжин їхніх проекцій на основу
циліндра дорівнює діаметру основи циліндра. Обчислити діаметр
криниці.
1-й спосіб. Дано | АС \ = 2 м, | BD | = 3 м, \EF\ =
= 1 м. Знайти: | АВ | = 2 | R |. Нехай | AD | = х,
\ВС\ = у. Тоді х2 + \ АВ\2 = 9 і у2 + \АВ\2 = 4,
звідки х2 — у2 = 5. Оскільки /\ABD со ABEF,
то X ;\EF\ = \АВ\:\BF\ і х = (| АВ | ;\BF |) • 1;
13

оскільки Л AED оо Д ВЕС, то х : у = | | : 1|,
тому ху = х у.
Дістали систему двох рівнянь з двома змінними.
j *2 _ у2 = 5f
1 ху = ж + г/,
яка приводить до рівняння четвертого степеня X4 —
— 2я3 — 5я2 + 10.Г — 5 = 0. Обчисливши добором
наближено корінь цього рівняння, знаходимо, що
І АВ І «1,231 м.
2-й спосіб. Стародавні єгиптяни не знали ні
теореми Піфагора, ні алгоритму розв’язування систем
квадратних рівнянь і рівнянь четвертого степеня.
Тому задачу жерців бога Ра вони могли
розв’язувати так. На підлозі кімнати креслили крейдою
пряму (ОР) (мал. 2). Враховуючи, що | BD \ — | АС | =
= 1 м, проводили на відстані 1 м від (ОР) пряму
NM, (NM) II {ОР). Потім опускали очеретини в
криницю і позначали на них місце їх схрещення. Після
цього очеретини клали на креслення так, щоб точка
схрещення Е лежала на прямій (NM), і обертали їх,
щоб мокрі кінці очеретин А і В потрапили на першу
пряму {ОР). Після цього вимірювали наближено
\АВ\, користуючись однією з очеретин.
У 1912 році під час розкопок у дельті Ніла вчені виявили
залишки храму, на стінах якого збереглися письмена. Були
тут і математичні задачі. Текст цієї задачі жерці бога Ра
вирізьбили на стіні велетенської кімнати, побудованої з
гранітних брил. Задача була одним з випробувань для бажаючих
стати жерцями бога Ра. Це був важкий і небезпечний іспит,
14

про що відверто застерігали жерці. Під її текстом
вирізьблено попередження: «Знай: кожний може стати перед стіною.
Хто розуміє справу рук жерців бога Ра, тому відкривається
стіна для виходу. Але знай: коли ти ввійдеш, ти будеш
замурованим. Вийдеш з.очеретинами жерцем бога Ра; якщо ж голод
переможе твоє тіло, не вийдеш жерцем бога Ра ...
Крізь стіну криниці Лотоса пройшло багато, але мало
хто став жерцем бога Ра. Думай. Цінуй своє життя. Так радять
тобі жерці бога Ра».
Задача справді складна. Можна тільки дивуватися, як з
нею справлялися стародавні єгиптяни. Очевидно, не одному
з них вона коштувала життя.
До дібраних задач вів довгий шлях розвитку
давньоєгипетської математики. В одному з давніх
заклинань «Тексту пірамід» («Заклииання на одержання
перевозу») померлий цар просить перевізника
дозволу перепливти на східний бік каналу загробного
світу. На прохання царя перевізник каже:
«Величний бог на другому боці спитає: чи не привів ти мені
чоловіка, який не може полічити свої пальці»?
Але, виявляється, що мертвий цар — великий
«чародій», він може продекламувати вірші, в яких
перелічуються його десять пальців, і таким чином
задовольняє вимогу візника. Цей текст повертає
нас до тих часів, коли лічбою на пальцях
оволодівали далеко не всі, і вона вважалась магічним
мистецтвом.
У XXX ст. до н. е. вже вміли лічити до 100 000.
У цей час зводиться ансамбль великих пірамід
у Гізі, які понад п’ять тисячоліть викликають
безмірне захоплення і подив. З III ст. до н. е., коли
греки склали список семи чудес світу, єгипетські
піраміди незміпно залишаються чудом № 1. Гострі
й нескінченні дискусії про їх призначення ведуться
з часів Геродота. Грецький філософ Прокл Діадох
(бл. 410—485) вважав піраміду Хеопса «свого роду
кам’яним підручником астрономії і геометрії та
знань, які пов’язані з розливами Нілу. Весь цей
досвід закріплювався в розміщенні, обрисах,
написах піраміди». Чого тільки не знаходили у
великій піраміді: число я і золотий поділ, числові
характеристики Землі й Сонячної системи, навіть
пророкування про кінець світу 1920 або 1922 і,
нарешті, 13 вересня 1936 року. Найчастіше тут була
просто гра в числа (Див.: Жан — Филипп JI а -
15

у з р. Загадки египетских пирамид. М., Наука,
1966, або А. Снисаренко. Гармопия и алгебра
Великой пирамидн. — Техника молодежи, 1978,
№ 12, с. 48-51).
Відкидйючи числову еквілібристику і містику,
слід визнати, що самі піраміди — незаперечний доказ
великого запасу математичних знань, якими володіли
древні геометри — перші зодчі. Це вони керували
будівельними роботами, креслили плани і
виконували всі необхідні обчислення.
До наших днів зберігся барельєф із зображенням
зодчого Джосерової піраміди Хесіри (близько
2650 р. до н. е.). У руках у нього знаряддя праці:
прилад для письма і дві палиці — еталони мір.
Довжини їх відносяться як 1 : }/5. У знаменитому
комплексі пірамід у Гізі розміри пірамід
виражаються числами 1, 2, |/5, з яких легко скласти й число
золотого поділу (]/5 — 1) : 2. Числа 1, 2, У5
виражають довжини двох сторін і діагоналі квадрата
з відношенням сторін 1 : 2. Тому за допомогою
мірних палиць Хесіри легко було будувати прямий
кут і вимірювати елементи багатьох архітектурних
деталей.
У складному процесі взаємодії практики і
теоретичних узагальнень, емпірично добутих
співвідношень формувалося складне фундаментальне поняття
функціональної залежності. Було виявлено й
виражено у формі математичних задач зв’язки між
важливими видами фізичних і геометричних величин.
Математики, як теоретичної галузі знань, ще не
було, але в досвітніх сутінках вже окреслювались
величні контури дивовижного творіння людського
генія, зведеного з практично вічного матеріалу —
ієрархії абстрактних понять.

Вавілонською називається культура
стародавнього Дворіччя, утвореного річками Тигром і Євфратом.
Основу вавілонської культури заклали шумери.
Вони винайшли клинописне письмо, користувалися
шістдесятковою системою числення. Джерелами
вивчення шумеро-вавілонської математики є
клинописні таблички. З понад 500 000 табличок, які
вдалося знайти, 150 містять тексти і розв’язання задач,
200 — числові таблиці. На кожній табличці від 18
до 100 задач, на одній з них записано умови 148 задач.
Більша частина математичних текстів — це
посібники для учнів шкіл писців або вправи, які
виконували писці й придворні чиновники. Вони
написані приблизно в 1800—1600 pp. до н. е., коли у
Вавілоні правила династія Хаммурапі, інші таблички
написані протягом трьох останніх століть до нашої
ери (епохи Селевкідів). Майже всі математичні
тексти написані мовою аккадян, оскільки шумери
як народ вже в XXI і XX ст. до н. е. під натиском
завойовників назавжди зникли з політичної
історії.
Видатним досягненням вавілонської математики
було створення першої в історії позиційної шістде-
сяткової системи числення. Вона грунтувалася
на використанні двох знаків: вертикальний клин
означав 1, горизонтальний — 10. У цій системі
числа 1, 2, ..., 58, 59 були одиницями першого
розряду, 60 одиниць першого розряду становили
одиницю другого розряду, 60 одиниць другого розряду —
одиницю третього розряду і т. д.
Як бачимо, у межах одного розряду, наприклад
від 1 до 59, лічба йшла за десятковою пепозиційною
системою, але при переході до кожного вищого
розряду — за шістдесятковою позиційною.
У V ст. до н. е. в зв’язку з потребами
астрономічних обчислень з’являється особливий знак, який
виконує роль нуля. Його використовували, коли
всередині числа не було одиниць якогось розряду.
Раніше відсутність таких одиниць позначали
інтервалами між клинописними знаками. Цікаво, що свій
нуль вавілоняни використовували лише всередині
числа й ніколи не писали його, коли в числі не було
одиниць першого або першого й другого розрядів.
18

Навчимося записувати індійськими цифрами числа
у вавілонській позиційній системі числення.
Відокремлюватимемо цілу частину числа від його дробової
частини (якщо така є) двома штрихами, а розряди
один від одного — одним штрихом над відповідними
числовими знаками. Наприклад: 24 = 24 • 60°
(у шістдесятковій системі це «одноцифрове число»),
2'4 = 2 • 60 + 4 • 60°, 2"4 = 2 . 60° + 4 . 6(П\
 0"24 = 0 • 60° + 24 • 6(П\ 0"2'4 = 0 • 60° + 2 х
X 60_1 + 4 • 60“2, 24'59"0'59 = 24 • 60 + 59 • 60° +
+ 0 • 60—1 + 59 • 60—2 і т. д.
Відсутність «нулів» у записах чисел, які не мають
одиниць одного або кількох послідовних найнижчих
розрядів, зумовлює їх багатозначність. Справді,
запис 2'4 міг означати число 2 • 60 + 4 • 60°,
число 2 • 602 + 4 • 60 і взагалі будь-яке з чисел 2 X
X 6071 + 4 • 60ті 1, де п £ N. Тільки з умови
задачі та з результатів обчислень можна встановити,
яке саме число означає запис такого виду. Отже,
вавілонська шістдесяткова система числення була
ще непослідовною позиційною. І все-таки це був
величезний крок уперед. Ми і тепер вимірюємо час
і кути за шістдесятковою системою, винайденою
шумерами понад п’ять тисячоліть тому.
Велика основа системи числення (60) позначилася
на характері вавілонської обчислювальної
математики. Таблиця множення в ній містила 59 х 59 =
= 1711 добутків. їх не можливо було запам’ятати
і тому під час розв’язування задач широко
використовувалися математичні таблиці, які містили
квадрати чисел (я2), куби (я3), квадратні й кубічні
корені з чисел, таблиці множення (т х п), для обчислень
сум виду п2 + т2 тощо.
Дії додавання й віднімання записувалися словами.
Для множення використовувався термін «з’їсти».
Можливо це зумовлено тим, що в результаті
множення довжини на ширину площа ніби з’їдала,
розчиняла в собі множники. Складною операцією було
для вавілонян ділення. Дію а : Ь вони звели до мно-
ження а • -у. Кожного разу, коли потрібно було
обчислити а : b = с, говорили: «Ти візьмеш обернену
19

1 1
до Ь, побачиш -у , помножиш а на — , побачиш с».
Тому існував великий набір таблиць обернених
величин, чисел виду для п = 0, 1, 3, ..., 29.
Наприклад, для т = 1/26/18/9/11'6/40 і п = 29
знайдено число виду—- з точністю до 15 шістде-
123 * 2
сяткових розрядів у дробовій частині. Цікавий тер-
1 \7
мін вживали для — частини числа а. У цьому
випадку писали: потрібно «відламати від а». При
діленні а на кілька частин писали: «розламати а на п».
Усе це свідчить, що походження дії ділення
пов’язано з практичними потребами: поділом множини
предметів на рівночисельні підмножини або одного
предмета на рівні частини.
У клинописних табличках мало арифметичних
задач. Способи їх розв’язування були засновані на ідеї
пропорційної залежності й середнього
арифметичного. Уявлення про арифметичну й геометричну
прогресії у вавілонян були більш розвинуті, ніж у єгип-
-j- а
тян. Вавілоняни знали правило Sn = ^—~ * п>
розв’язували різні задачі на геометричні
прогресії. Уже в епоху Хаммурапі високого рівня досягла
алгебра квадратних рівнянь, розв’язували рівняння
й вищих степенів.
Вавілонські задачі на квадратні рівняння —
перший зразок справжньої математичної теорії,
розвинутої з потреб практики. У випадку двох
змінних одна з них (х) називалася довжиною, друга
(у) — шириною, а їх добуток — площею, полем
або довжиною -шириною. У кубічних рівняннях
третю змінну (z) називали глибиною, а добуток xyz —
об’ємом. А взагалі у задачах зустрічається від двох
до десяти змінних. Хоч в умовах задач дані і
змінні є геометричними величинами, вавілонські
математики оперують з ними, як з абстрактними
змінними, тобто обчислюють суми виду ху + х, xyz +
+ ху + X тощо, які з точки зору геометрії не мають
змісту, бо не можна додавати об’єм, площу і
довжину.
20

Вавілонянй зйали тільки додатні раціональні
числа, і тому коефіцієнти рівнянь добиралися так,
щоб корені рівнянь були додатними.
Більшість задач клинописних табличок
зводилася до системи
Зустрічалися і складніші системи, наприклад*
І х2 + у = 2Г40, або (в десятковій | х2 + у = 1300,
І ху = 10. системі числення): \ ху = 10,
І ху + (х — у) (х + у) = І'ІЗ' 20,
\х + у=* 1'40.
Остання система приводить до рівняння (12я)3 +
+ (12я)2 = 4"12, яке, очевидно, розв’язували за
допомогою таблиць чисел виду п? + ті2.
Порівняно з єгиптянами вавілонські математики
зробили крок уперед і в розвитку геометрії. Квадрат
і трикутник вавілоняни сприймали як абстрактні
фігури, про прямокутник говорили — «те, що має
довжину й ширину», про трапецію — «лоб бика», про
круг — «вигин», про сегмент — «поле півмісяця»,
фігУРУ 3 Двох конгруентних сегментів із спільною
хордою — «око бика». Термінів для понять: «точка»,
«пряма», «лінія», «поверхня», «площина»,
«паралельність», «перпендикулярність» ще не було. У задачах
завжди йдеться про обчислення елементів плоских
або просторових фігур, з якими доводилося
зустрічатись архітектору, будівнику, воєначальнику,
адміністратору, господарнику. Поряд з точними
використовувалися й наближені методи обчислення.
Довжину кола обчислювали, потроюючи діаметр.
х±у = р,
xy = q.
xyz + ху = Г10,
у = 0"40;г,
z = 12#.
ху + {х — у) (х + у) = 4400,
х + у = 100.
j xyz + ху = 1-і-,
у= — *•
z — 12х.
2
21

Цій точності відповідає п = 3. З такою самою
точністю обчислювали й площу круга. При цьому
вавілоняни нерші пов’язали число л з довжиною кола.
Одним з найвидатніших досягнень вавілонської
математики було відкриття й широке застосування
вже в епоху Хаммураиі теореми Піфагора. У
клинописних текстах знаходимо обчислення площ
правильних п’яти- і шестикутників, задачі на складні
проценти й фактичне експериментування із
спеціальними випадками логарифмів, зрозуміло, без
будь-якого використання логарифмічної функції.
Видатними є здобутки шумеро-вавілонської
математики.
Але шумеро-вавілоняни, як і стародавні єгиптяни,
не зробили вирішального кроку до наукового
періоду, хоча це не применшує їхніх заслуг, бо вони були
першими.
Далі зірочкою позначено задачі, в яких числові значення
даних величин, вказівки до розв’язань і відповіді записані
в шіст десятко вій системі числення. Якщо обчислення в цій
системі виявляються складними, читачі можуть розв’язувати
задачі в десятковій системі.
ЗАДАЧІ
І
11. 	6 два кільця. Сума -у- частини ваги першого
\
 кільця і -yj- частини ваги другого кільця дорівнює 1,
а різниця ваги першого кільця і її сьомої частини
дорівнює різниці ваги другого кільця і її
одинадцятої частини. Визначити вагу кожного кільця.
•
Позначивши вагу першого кільця через а
другого — через у, дістанемо систему рівнянь;
1 , 1

12*. Сума площ двох полів становить ЗО кв. од.,
з них зібрали 18'20 мірок зерна. Визначити площу
поля, коли відомо, що з ЗО кв. од. першого поля
збирають 20'0 мірок зерна, а з ЗО одиниць другого поля
15'0 мірок зерна.
•
Обчислення виконаємо в шістдесятковій системі
числення. Для дій над числами, більшими за 60,
запишемо в дужках відповідні дії в десятковій системі.
З 1 кв. од. першого поля збирали 20'0 : ЗО = 40
(204) = 20 • 60 + 0 • 60° = 1200, 1200: ЗО = 40);
з 1 кв. од. другого поля збирали 15'0 : ЗО =
= 30 (15'0 = 15 - 60 + 0 . 60° = 900, 900 : 30 = ЗО)
мірок зерна. З двох полів зібрали менше, ніж з
ЗО кв. од. І поля на 20'0 — 18'20 = 1'40 (мірок
зерна) (18'20 = 18 • 60 + 20 • 60° = 1100, 1200 -
- 1100 = 100).
1 кв. од. II поля зумовлювала зменшення врожаю
з двох полів на 40—30 = 10 (мірок), тому площа
II поля була 1'40 : 10 = 10 (кв. од.), площа І поля
ЗО —10 = 20 (кв. од.).
▼
Площа першого поля 20 кв. од., площа другого
поля 10 кв. од.
13*. Розв’язати систему рівнянь:
І ху + 0"30х + 0"20у = 15,
і х + у = 7.
Вавілонський математик поділив почленно друге
рівняння системи на 2, дістав 0" ЗО (х + у) = З" ЗО,
відняв почленно від першого рівняння здобуту
частку, а від кожної частини другого рівняння
відняв по 0"10 і в результаті дістав систему
( ху — 0"і0у = ІГ'ЗО,
( х -\-у — 0"10 = 6"50.
Потім цю систему він записав у стандартному
вигляді:
І у(х- 0"10) = 11" 30,
і у + (х - 0"10) = 6" 50.
23

Взявши у і (х — 0"10) за нові змінні (и і v), дістав
систему
І и-\-и = 6"50,
1 ии= 11"30.
Потім (за теоремою Вієта) прийшов до квадратного
рівняння t2 — 6"50г + ІГ'ЗО = 0 і розв’язав його за
відомою формулою:
t = 3"25 + уі(УЩ^ТГ30 = 3"25 + 0"25 = 3" 50.
Звідки и = у = 3"50, х = v + 0"10 = 3"10 (від’ємних
чисел у той час ще не знали).
Ще раз наголошуємо, що ніяких формул і знаків
дій тоді ще не було. Усі записи виконувалися
словесно, але коли їх перекласти на мову сучасної
символіки, то дістанемо наведені вище дії і
перетворення.
14. Сума площ двох квадратів дорівнює 25 ^ кв. од.
Сторона одного квадрата на 5 лінійних одиниць
довша від -у сторони другого квадрата. Обчислити
довжину сторони кожного квадрата.
Вказівка. Якщо позначити через х і у
шукані довжини сторін квадратів, то розв’язування
задачі зводиться до розв’язування системи
х* + у* = 254-,
У = -§-* + 5.
15*. Викопали котлован, довжина якого становить
стільки гар, скільки ліктів становить глибина
(1 гар дорівнює 12 ліктям), а ширина 0"20 гар.
Сума площі основи та об’єму котлована дорівнює
1" 10. Обчислити його довжину.
•
Позначимо довжину, ширину й глибину котлована
відповідно через х, г/, z. Розв’язання задачі зводиться
до розв’язування системи:
z = 12#,
хуг + ху = 1"10,
. у = 0"20.
24

16*. Поділити 26"15'45 мір срібла між п’ятьма
братами так, щоб кожний одержав на -і- більше за
ту кількість срібла, яку одержав наступний за
віком брат.
▼
Перший брат одержить 7"48'45; другий — 6"15;
третій — 5, четвертий — 4; п’ятий — 3"12 міри срібла.
Ця задача відрізняється від задачі з папіруса Райнда (див.
№ 4) тільки числовими даними і тим, що треба поділити.
17. Одиничний квадрат поділити на
^конгруентних трикутників і 4 конгруентних квадрати (мал. 3).
Обчислити площу трикутника і площу квадрата.
▼
Площа квадрата дорівнює площі трикутника і ста-
1
НОВИТЬ -цГ кв. од.
18. Балка завдовжки 0,5 гар (гар дорівнює 12
ліктів) стояла вертикально в положенні АВ (мал. 4).
25

Потім вона зайняла положення CD. Відрізок | ВС | *=
= ОД гар. На скільки ліктів віддалився нижній
кінець балки від попереднього положення?
•
У прямокутному Д ADC гіпотенуза | CD | =
= 6 (ліктів), \АС\ = 4,8 (ліктів). Тоді | ^4Z> | =
= V\CD |2-| АС І2 = |/ 36 — 23,04 = У і2Ж =
= 3,66 (ліктів).
Як бачимо, стародавні вавілоняни більше ніж
за 1600 років до Піфагора знали й використовували
для розв’язання задач теорему, названу його ім’ям.
Різні доведення її див. в задачах № 89, 92.
19. Прямокутний трикутник ABC (мал. 5)
поділити лінією DE її ВС на трапецію BCED (площу її
позначимо *5Х) і &ADE (площу його позначимо S2).
Обчислити I EC І = г/і, | АЕ \ = уг, | DE | = х, S±
і S2, якщо \ВС\ = ЗО, Sx — S2 = 42, у2 — уг = 20.
▼
х = 18, ух = 40, у2 = 60.
20. Капітал в 1 гур віддано в борг із разрахунку
І
річних. Через який час цей капітал подвоїться?
5
•
Коли належний з вкладу процентний капітал
додають у кінці кожного року до наявного капіталу для
нарощування його процентами в наступні роки, то
кажуть, що вклад віддано на складні проценти.
Позначимо через х час, за який капітал, відданий
у борг, за даних умов подвоїться. Тоді дістанемо
рівність |l + -y-j* = 2, або (l -jUj* = 2, х lg -jj- = lg 2,
X (lg 6 - lg 5) = lg 2, x = = 3’801 (роКи)-
Вавілонський математик дістав відповідь 3"47'13'20
(роки). Перевірте, чи правильно він виконав
обчислення.

Учені Єгипту й Вавілона відкрили багато
важливих математичних фактів, розробили алгоритми дій
над натуральними й частково над дробовими числами,
знайшли способи розв’язування окремих видів
задач. Але наука розвивалася ще надзвичайно повільно,
протягом століть, навіть протягом тисячоліття, не
відбулося істотного прогресу в історії, скажімо,
єгипетської або шумеро-вавілонської математики.
Такий стан пояснюється деспотичною формою
правління, яка панувала в суспільстві. Воля деспота
вважалася законом, не могло бути й мови про вільне
обговорення якихось проблем. Тому єгипетські
математичні тексти починаються із слів «роби, як
робиться». Після них наводиться рецепт, алгоритм,
як потрібно діяти. Жодного натяку на доведення чи
аксіоми ще не існувало.
Приблизно на такому самому рівні були й
математичні знання стародавніх греків VIII —VII ст.
до н. е. Але з VI ст. до н. е. грецька математика
починає швидко збагачуватися новими
фундаментальними фактами, докорінно змінює, а точніше
знаходить свій предмет і метод. Вона перетворюється в
абстрактну дедуктивну науку, предметом вивчення
якої стають математичні поняття. Методом
дослідження відношень між ними стають логічні
доведення, засновані на системі аксіом і раніше доведених
теоремах. Греки перші прийшли до ідеї доведення
і надали доведенням логічної форми, яка зберігається
і тепер.
Власне з цього часу й починається історія
математики як теоретичної галузі знання. Одночасно
формується й думка про те, що математика —
універсальна мова для відображення законів природи,
знаряддя розв’язування практичних задач.
Протягом трьох століть учені Стародавньої
Греції створили теорії, глибину яких по-справжньому
змогли зрозуміти й оцінити лише математики XIX
і XX ст.
Першим ученим Античної Греції був Фалес Мілет-
ський (638/637—548/647 pp. до н. е.). Можливо саме
завдяки йому почалося перетворення єгипетської
і вавілонської емпіричної математики в дедуктивну
науку. Славу засновника давньогрецької математики
28

поділяє з Фалесом легендарний Піфагор Самоський
(571/570—497/496 pp. до н. е.), який
перетворив геометрію із зібрання рецептів розв’язування
різних задач в абстрактну науку, що розглядала вже
не площі полів, місткість зерносховищ, дамб,
штабелів цегли тощо, а геометричні фігури — абстракції,
ідеалізації певних властивостей реальних об’єктів.
У школі Піфагора зародилася теорія чисел,
учення про правильні многокутники. Піфагорійці
відкрили несумірні відрізки, і це стало поворотним пунктом
усієї історії математики. Величезна заслуга
піфагорійців у тому, що вони виявили фундаментальне
значення кількісних характеристик явищ
навколишньої дійсності: кожну просторову форму або
явище характеризує цілком визначена числова модель —
число. Проте піфагорійці перебільшили його роль.
Вони оголосили числа не тільки всесильними
правителями, законодавцями світу, а й першоосновою
речей і явищ навколишньої дійсності.
Відкриття відрізків, відношення яких не можна
виразити числом (вірніше — ніяким додатним
раціональним числом, бо тільки такі числа і знали на той
час), стало справжньою катастрофою
піфагорійської філософії і зумовило створення так званої
геометричної алгебри. Теореми, правила й задачі
алгебри подавали в термінах відношень між
довжинами відрізків і площами прямолінійних фігур.
Геометрична мова стала використовуватися і в
теорії чисел. Числа зображали точками або відкладали
певну кількість разів відрізок, довжину якого
брали за одиницю.
У V ст. до н. е. були сформульовані три знамениті
задачі про квадратуру круга, подвоєння куба
й трисекцію кута (див. № 26—28), які привернули
загальну увагу і відіграли величезну роль в історії
математики. Спроби розв’язати їх засобами
класичної геометричної алгебри й пошуки різних некласич-
них способів розв’язування спричинилися до
введення в математику нових понять, до розробки
різних способів розв’язування задач. Тільки в другій
половині XIX ст. математики дали вичерпну
відповідь на запитання, поставлені давньогрецькими
вченими в цих задачах.
29

Не встигли математики зміцнити логічний
фундамент своєї науки після удару по ньому, завданому
несумірністю, як філософ елейської школи Зенон
Елейський (бл. 490 — бл. 430) висунув свої 45 апорій
(алоріа — тупик, утруднення, безвихідь), в яких
у наївній і далекій від математики формі вказував
на логічні суперечності, що їх несло в собі поняття
нескінченності.
Розглядаючи якийсь процес, можна припустити,
що після кожного виконаного кроку —
геометричної побудови, арифметичної або алгебраїчної
операції завжди можна виконати наступний крок. Так
приходимо до абстракції потенціальної (від. лат.
potentia — можливість) нескінченності. Коли ж
абстрагуватися від нескінченного процесу утворення
множини й розглядати її завершеною, заданою
набором усіх своїх елементів, актуально (від лат. actua-
lis — діяльний) заданою, то приходимо до абстракції
актуальної нескінченності, яка викликала справжні
логічні катастрофи в філософії і математиці.
Молодший сучасник Зенона видатний учений-мате-
ріаліст Демокріт із Абдер (бл. 460— бл. 380)
розробив теорію атомістичної математики. Він розглядав
точки як неподільні атоми простору, які мають
скінчений об’єм. Тоді відрізки прямої — це скінченні,
хоча й з дуже великою кількістю елементів, множини
точок, частини площини складаються із сум
відрізків, а тіла — із шарів площин.
Гіппократ Хіоський (V ст. до н. е.) перший відкрив
фігури, обмежені дугами кіл (серпки Гіппократа),
сума площ яких рівновелика прямокутному
трикутнику. Гіппій із Еліди (420 р. до н. е.) винайшов
криву лінію — квадратрису, за допомогою якої здійснив
трисекцію кута, а Дінострат (2-га половина IV ст.
до н. е.) розв’язав задачу квадратури круга.
Надзвичайно дотепне некласичне розв’язання задачі
подвоєння куба дав у цей час видатний учений,
механік, математик, філософ, музикант і
політичний діяч Архіт Тарентський (бл. 428—365 pp.
до н. е.).
Визначні результати здобув давньогрецький
математик і астроном Евдокс Кнідський (бл. 406 — бл.
365 pp. до н. е.). Він розробив логічно бездоганну
ЗО

теорію відношень, яка до другої половини XIX ст.
була найдосконалішою теорією дійсного числа —
складовою частиною логічного обгрунтування всієї
математики. Евдокс — творець методу вичерпування
першого вчення про границі. Застосувавши саме метод
вичерпування, вдалося обчислити границі широкого
класу послідовностей і завдяки цьому визначити
площі та об’єми різних фігур, обмежених кривими
лініями й криволінійними поверхнями. До
винайдення інтегрального числення метод вичерпування
був найбільш потужним і загальним алгоритмом
розв’язування задач на обчислення квадратур і
кубатур.
Несумірні відрізки були геометричною формою ір-
раціональностей, які владно входили в математику,
їх не міг зупинити опір піфагорійців, які стали
рабами своєї обмеженої числової філософії. Видатний
математик Теетет Афінський (IV ст. до н. е.) довів
нові важливі теореми про песумірні відрізки і
дав класифікацію всіх можливих пар несумірних
відрізків.
Кінець Vi початок IV ст. дон. е.— золоте століття
історії Афін. Тут жили й працювали видатні вчені
античного світу: Анаксагор із Клазомен, Демокріт
із Абдер, Гіппій із Еліди, математик Феодор Кірен-
ський, патріарх античної медицини Гіппократ з
Коса, філософ Сократ. Платон засновує в цей час
знамениту Академію, Арістотель — Лікей, прообраз
майбутніх університетів.
У кінці IV ст. до н. е. на політичну арену виступав
Македонія, яка досягає апогея за царювання Алек-
сандра Македонського (356—322 pp. до н. е.).
Після його завойовницьких походів грецька культура
й мова переплітаються з культурою підкорених
народів, у результаті чого утворюється так звана елі-
ністична культура.
Це була вже нова епоха не тільки в історії
суспільства, а й математики.

ЗАДАЧІ
ПІФАГОР САМОСЬКИИ
(57Ц570-497/496 pp. до н. е.)
21. Теорема Піфагора. Площа квадрата,
побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника,
рівновелика сумі площ квадратів, побудованих на його
катетах.
Доведення див.: Геометрія 6—8.
22. Сума довільного числа послідовних непарних
чисел, починаючи з одиниці, є точний квадрат.
•
Теорему легко довести методом математичної
індукції. Піфагорійці доводили її геометрично, для
окремих випадків (мал. 6). Квадрат із п2 клітинок
можна уявити складеним, з однієї клітинки, до якої
послідовно прикладаються «кутики» — гномони
з 3, 5, 7, 9 і т. д. клітинок.
23. Кожне непарне число, крім одиниці, є
різницею двох квадратів.
•
2п + 1 = (п + І)2 — п2.
24. Існує нескінченна множина трійок чисел х,
у, z £ N, які є розв’язками рівняння х2 + у2 = z2.
•
Трійку піфагорових чисел х, у, z називатимемо
простою, якщо х, г/, z попарно взаємно прості, усі
інші — будуть похідними. Щоб знайти всі піфагоро-
ві трійки, досить знайти множину всіх простих
трійок. Запишемо дане рівняння у вигляді х2 = (z2 —
— у2) = (z — у) (z + у). Нехай Z + у = т, z —
т + n т — п 9
— у = п, ТОДІ Z = —^— , у = —2— * х = тп'
де т > п. Оскільки х — непарне і х2 = тп, то
їть \ її — не є взаємно простими: m = m^d, n =
= nxd і d > 1. Тоді z = —1 Пі d, у = -m* ~ d.
Дістали, що у і z — мають спільні множники,
чого бути не може, тому m і п — взаємно прості.
З того, що х2 = ran тат і п взаємно прості, випливає:
32

1
і
і
І
%
%
і
т == и2, п = и2, де и і і; — взаємно прості і и > v.
~ . U2 — V2
Остаточно дістаємо з х = uv, у = ^z =
__ Ц2+У2
2 •
За допомогою піфагорових трійок чисел можна утворити
скільки завгодно трикутників, у яких довжини сторін і площі
виражаються натуральними числами. Такі трикутники
називаються ще героновими, на честь давньогрецького
математика Герона Александрійського (І ст. до н. е.).
25. 	Сторона й діагональ квадрата несумірні.
•
Припустимо, що діагональ і сторона квадрата
мають спільну міру. Тобто існує така одиниця
довжини, яка відкладається на стороні квадрата п раз,
а на його діагоналі т раз. За теоремою Піфагора
п2 + п2 = /ті2, або 2п2 = т2, або = 2. Дріб
можна вважати нескоротним. Якщо б він був
скоротним, ми поділили б п і т на спільний дільник.
Тоді в загальному випадку з чисел п і т одне є парним,
а друге — непарним. Нехай т — парне, а п —
непарне. Якщо т — парне, то т = 2к (к £ N). Тоді
2п2 = (2/с)2, 2п2 = 4к2, п2 = 2к2. З останньої
рівності випливає, що й п — число парне. Ми прийшли
до суперечності. Отже, сторона й діагональ квадрата
спільної міри не мають. Це перша відкрита пара
несумірних відрізків.
2 2765
33

ТРИ ЗНАМЕНИТІ ЗАДАЧІ ДАВНИНИ
26. 	Квадратура круга. За допомогою лише
циркуля і лінійки без поділок, за скінченне число
операцій побудувати квадрат, рівновеликий даному кругу.
Найбільш древня і популярна серед знаменитих
математичних задач. Учені різних часів, відшукуючи її розв’язання,
збагатили математику цілою низкою видатних відкриттів.
У 1882 р. німецький математик Ф. Ліндеман (1852—1939)
розкрив найбільшу таємницю числа я — довів, що воно
трансцендентне. Звідси випливало, що в класичній постановці задача
квадратури круга нерозв*язна. На той час учені відкрили
вже багато красивих некласичних квадратур круга. Можливо,
найдавнішу з них знайшов учень Евдокса Кнідського — Діно-
страт (IV ст. до н. е.). Для цього він використав
трансцендентну криву, відкриту Гіппієм із Еліди (V ст. до н. е.) для
розв’язування задачі трисекції (див. № 27). Цю криву Г.-В.
Лейбніц (1646—1716) назвав квадратрисою.
•
Нехай у квадраті ABCD (мал. 7) сторона AD
рівномірно обертається навколо точки А як центра до
положення А В і проходить цей шлях за t одиниць
часу. Одночасно пряма, перпендикулярна до [АВ],
рівномірно переміщується від положення AD до
положення ВС і проходить цей шлях за той самий
час. Множина точок перетину в кожний момент
часу відрізка AD і рухомої прямої (точки М1% М2,
М8, ...) утворюють криву лінію — квадратрису.
З побудови квадратриси випливає її основна
властивість: для будь-яких точок квадратриси кути, на
які обертається рухомий промінь, пропорційні
відстаням, що їх проходить за відповідний час рухома
пряма (ВС).
Доведемо методом від супротивного, що коли А —
центр \^BF з радіусом \АВ\, ВМЕ — квадратриса,
то справджується рівність І : | AD | = | AD | s | АЕ |,
де І — довжина дуги BFD чверті кола (мал. 8).
Припустимо, що
l:\AD\ = \AD\:\AK\, (1)
де К £ [ED] і І АК І > І АЕ |. Побудуємо KL —
дугу чверті кола. Вона перетне квадратрису ВМЕ
в точці М. Тоді
l:KML = \AD\:\AK\. (2)
34

З пропорцій (1) і (2) маємо:
KML = \AD\ = \AB\, (3)
а з властивості квадратриси:
Z: = KML : КМ. (4)
Замінивши на підставі рівності (3) KML на \АВ\,
рівність (4) перепишемо так:
l:DF = \AB\:\KM\. (5)
Тепер, порівнявши (4) і (5), дістанемо \АМХ \ = КМ,
або \MQ \ = КМ. Але остання рівність неможлива,
Тому наше припущення, що І : | AD | = | AD | :
: \АК\, де|ЛЯ|> \АЕ\, хибне. Цим доведено, що
відношення І : | AD \ не може бути меншим за
відношення I AD І : І АЕ |.
Припустимо тепер, що
І: I AD\ = I AD\: \ AQ |, (1')
2* 35

де I AQ I < I AE |. Тоді
I: QSR = \AD\:\AQ\.
(2')
Порівнявши (Г) і (2'), дістанемо
QSR = \AD\ = \AB\.
(З')
З властивості квадратриси
І: I DFІ = І АВ І: | MQ |.
А з нашого припущення
(4')
І: I DF І = QSR : QS.
(5')
Замінивши на підставі (З') QSR на \АВ\, дістанемо
а порівнявши (6') і (4'), дістанемо неможливу
рівність I MQ І = QS. Отже, й наше друге припущення
хибне, нерівність (1') неможлива; відношення
|Z : I AD І не може бути і більшим за відношення
Отже, задача спрямлення дуги BD чверті кола
звелася до знаходження точки Е квадратриси.
Знайшовши її, ми спрямимо \^BD, побудувавши третю
пропорційну до \ AD\ і\АЕ\. А це вже тривіальна
задача, І — \ АМ\ (мал. 9). (Див. № 44, 46, 47, 48,
77, 140, 161, 167, 174).
27. 	Делоська задача (подвоєння куба). При умовах
задачі 26 побудувати ребро куба, об’єм якого
вдвічі більший за об’єм даного куба.
Якщо взяти довжину а ребра даного куба за одиницю, то
задача зводиться до побудови засобами геометричної алгебри
коренів рівняння х3 = 2. Нерозв’язність її в класичній
постановці довів у 1837 р. французький математик П. Вантцель
(1814—1848). Як і у випадку пошуків розв’язання задачі
квадратури круга, вчені виявили дивовижну винахідливість і
знайшли багато некласичних розв’язань делоської задачі.
Ератосфен Кіренський одне з простіших механічних
розв’язань її приписує видатному філософу Стародавньої Греції
Платону. Воно наведено нижче.
l:\DF\ = \AB\:QS,
(6')
І AD І ; І АЕ |. Тому
l:\AD\ = \AD\:\AE\.
36

•
Відкладемо па двох взаємно перпендикулярних
прямих від точки їх перетину І ОС І = а і | OD | = 2а
(мал. 10). Розмістимо два однакових теслярських
кутники так, щоб: 1) внутрішній край одного з них
проходив через дану точку С, а вершина прямого
кута знаходилася на вертикальній прямій (<Оп)\
2) зовнішній край другого кутника проходив через
дану точку D, а його вершина лежала на
горизонтальній прямій (От); 3) прилягали один до одного
інші краї кутників.
Візьмемо І ОС І = а за сторону даного куба, тоді
\ОВ \ = х буде стороною куба, об’єм якого вдвічі
більший за об’єм даного куба.
Легко довести, що а : х = х : у = у : 2а, звідки
х3 = 2 а3.
Метод Платона є по суті одним з механічних
способів вставити два середніх пропорційних відрізки
х і у між відрізками а і 2а. Відрізок х буде
розв’язанням делоської задачі. Інші розв’язання її див.
у № ЗО, 58.
28. 	Трисекція кута. При умовах задачі 26
поділити довільний кут на три конгруентних кути.
Розв’язання задачі зводиться до побудови засобами
геометричної алгебри кореня кубічного рівняння виду Xі + рх +
+ g = 0, яке розв’язується в квадратних радикалах тоді й
тільки тоді, коли воно має раціональний корінь. Для
довільного кута це рівняння не має раціонального кореня, тому й
ця задача не розв’язується засобами геометричної алгебри.
Але й до цього часу не припиняється (і не без успіху) пошук
усе нових некласичних способів трисекцій довільного кута.
Розглянемо один з них, запропонований читачем журналу
«Техника — молодежи» (1974, № 6).
•
Нехай потрібно поділити /_АОВ на три
конгруентні частини. Прикладемо трисектор до однієї
із сторін кута (мал. 11, а) і проведемо допоміжний
промінь CD. Потім перемістимо трисектор (мал. 11, б)
—1 ^
і зафіксуємо точку М. Тоді ВОМ =-^-ВОА.
Інші розв’язання див. у № 34, 52.
37

ГІППОКРАТ хюськии
(V ст. до н. е.)
29. Сума площ серпків (Гіппократа), що лежать
між дугою півкола, побудованого на гіпотенузі як на
діаметрі, і дугами кругів, побудованих на катетах
того самого прямокутного трикутника, рівновелика
площі розглядуваного прямокутного трикутника
(мал. 12).
^серпк. = 4" пЬ2 + Т" Лд2 Г ПС2 + 4" =
= я (я2 + fr2 — С2) + ^-ab = 4" лО +
Н—2” ~ ~
30. Побудувати відрізки я і і/, які були б середніми
пропорційними між а і 2а, тобто задовольняли
рівності: а : х = х : у = у : 2а. Якщо взяти а за ребро
даного куба, то х буде ребром куба, об’єм якого
вдвічі більший за об’єм даного куба.
Нехай між а і 2а вставлено два середні
пропорційні відрізки х, у. Тоді — = — = . Звідси
X У £CL
ау = х2 і у2 = 2а#. Виконавши очевидні
перетворення, дістанемо а2у2 = #4, або а2 • 2ах = #4,
звідки х3 = 2а3.
31. Задача Дідони. Як розповідають міфи, дочка
тірського царя Дідона (пом. бл. 890 р. до н. е.)
88

втекла від батька, взявши скриньку з
коштовностями. На північному узбережжі Африки король Ну-
мідії Ярб погодився продати їй ділянку землі на
березі моря «не більше, ніж можна обмежити воловою
шкірою». Дідона розрізала шкіру на тонкі смужки,
зв’язала довгу вірьовку довжиною І і обмежила нею
максимальну площу. Так був заснований Карфаген,
першою легендарною царицею якого стала Дідона.
Яку фігуру обмежила Дідона?
•
Якщо обмежувати ділянку кривою лінією, то
розв’язком буде півкруг з центром на березі моря.
У випадку прямокутної території позначимо довжину
сторони прямокутника, перпендикулярної до моря,
через х, тоді довжина сторони, паралельної морю,
буде І — 2х. Задача зводиться до обчислення
максимуму функції
/ (х) = х (І — 2х) = — 2х2 + їх = — 2 [х2 я j =
--2(*>-2,4- + JL) + JL = e-2(*-4)\
 Здобута різниця буде найбільшою, коли від’ємник
(і \2
х £-) дорівнюватиме нулю. Тому найбільше
V ... . /2 І
значення функції дорівнює -у, ЯКЩО X = -у.
ЗЕНОН ЕЛЕЙСЬКИИ
(бл. 490 — бл. 430 pp. до н. е.)
32. 	Дихотомія (розтин пополам). Рух неможливий,
бо, щоб пройти відстань | АВ \ =? 1, тіло має пройти
спочатку -і-, потім і т. д. до нескінченності;
тобто, воно не зрушить з місця, бо не існує
найпершого відрізка, який має пройти тіло.
•
Відстань І АВ \ = 1 розглядається як сума
нескінченної множини відрізків, заданих усім набором,
тобто як актуально задана множина —Ь +
39

I
+ “23- + ... . Математично дихотомія розв’язується
легко, бо І АВ І = lim ^ (- + ... +
+ ——Ь ...j = 1. Трудність логічного розв’язання
в тому, щоб зрозуміти, чому дорівнює довжина
відрізка, останнього в цьому ряді. Якщо він існує,
то це означає, що простір і час атомарні, дискретні;
але lim — = 0. Отже, виходить, що останнього від-
П-*-оо 2
різка не існує, довжина його дорівнює нулю.
33. 	Ахіллес і черепаха. Швидконогий Ахіллес
ніколи не дожене черепаху, якщо та знаходиться
на деякій відстані попереду нього.
•
Нехай початкова відстань між ними дорівнює а
і Ахіллес біжить у к раз швидше від черепахи. За
час, коли Ахіллес пробіжить відстань а, черепаха
проповзе вперед коли Ахіллес пробіжить
черепаха проповзе і т. д. до нескінченності,
тобто черепаха завжди буде на деякій відстані
попереду Ахіллеса. Отже, якщо б рух розпочався, він
ніколи б не закінчився.
Ахіллес пробіжить шлях SA= а + ——І—^—[-
+ ...; черепаха5Ч == + ... . Очевидно,
що S4 a Sале легко переконатися, що SA
еквівалентний £ч. Так розкривається ще одна
властивість актуально заданих нескінченних множин.
Правильна підмножина такої множини може бути
еквівалентною всій множині.
Апорії Зенова розкрили логічні суперечності
поняття актуальної нескінченності. Вони стали
поштовхом до глибоких досліджень філософів та
математиків й остаточно не спростовані і в наш час.
(Докладніше про це можна прочитати в таких
книжках: Бесконечность и Вселенная. М., Мнсль, 1969.
40

Виленкин Н. Я. Рассказьі о множествах, М., Наука,
1969. Конфорович А. Г. Нескінченність в
математиці. К., Радянська школа, 1978).
ГІППІИ ІЗ ЕЛІДИ
(V ст. до н. е.)
34. 	Використавши основну властивість квадратри-
си (див. розв’язання задачі № 26), здійснити
трисекцію довільного кута.
Нехай потрібно здійснити трисекцію Z. МАВ
(мал. 13). Будуємо квадратрису ВК. З точки LX(L £
£ВК) будуємо [ЬХР\ ± [АВ], потім [РВ] ділимо
на три конгруентні частини: | PQ | = | QR | = | RB \
 І в точках Q і R будуємо перпендикуляри до [РВ].
Дістаємо L2 £ ВК, Ь3 £ ВК. Будуємо [Ь2А ] і [Ь3А ].
Тоді ЬхАЬг = L2AL3 = Ь3АВ = МАВ.
Греки справді започаткували якісно нову сторінку
історії математики. Особливо це помітно в
діяльності піфагорійців. Вони відкрили для математиків
цілий світ чисел. Зачаровані красою його
закономірностей, сміливо й самовіддано шукали і, що
найголовніше — доводили все нові властивості
певних підмножин множини натуральйих чисел,
виявляли в ній унікальні за своїми властивостями числа
і числові послідовності. Так увійшли в математику
поняття парного і непарного, простого і складеного
числа. Піфагорійці класифікували числа за різними
іншими ознаками. Вони зображали їх точками у
формі фігур. При цьому розглядали числа: трикут-
ні y п (п + 1)» квадратні — п2, прямокутні —
п (п +1), п’ятикутні y n fin — 1) та інші.
Поняття досконалих і співдружних чисел — також
винаходи піфагорійців.
З геніальною інтуїцією давньогрецькі математики
виділили в первісному хаосі загадок проблеми, які
ввійшли в золотий фонд математики. Вони
сформулювали задачі, які стали стартом тисячолітнього
41

марафону вчених різних часів до невичерпних
скарбів натуральних чисел... .
При цьому у процесі розв’язування окремих задач
виникали нові запитання і, траплялося, на цьому
шляху формувалися окремі глибокі математичні
теорії. Саме так трапилося з різними задачами, що
пов’язані з простими числами. Евклід довів
нескінченість множини простих чисел («№ 38), Ератосфен
Кіренський винайшов простий спосіб (решето Ерато-
сфена), як знайти в натуральному ряді такі числа
(№ 56, 57). Винахідливі вчені розкрили
закономірність слідування простих чисел у натуральному ряді.
Найчастіше шукали таку формулу, яка при всіх
допустимих значеннях змінної (або змінних) набувала
значень послідовних простих чисел. Геніальний
учений Леопард Ейлер (1707—1785) писав, що навряд чи
знайдеться математик, який би не витратив багато
часу на те, щоб розгадати таємниці простих чисел.
Великий внесок у їх розв’язання зробив російський
математик П. Л. Чебишов (1821—1894). Він, зокрема,
відкрив асимптотичний закон розподілу простих
чисел. Якщо я (х) — число простих чисел, які менші
за х (х £ N), то, як довів П. Л. Чебишов, я (х) »
^ІЇГаГ’ ПРИ ЦЬ0МУ похибка міститься в межах
0,92129 < я (*) : < 1,10555.
Прості числа демонструють загадки несподівані
і надзвичайно складні. Про них можна багато
дізнатися в книгах: Берман Г. Н. Число и наука
о нем. М., ГИТТЛ., 1960; Валах В. Я.
Подорож у світ цілих чисел. К., Радянська школа,
1978; Оре О. Приглашение в теорию чисел. М.г
Наука, 1980; 9. Т р о с т. Простне числа. М., Физ-
матгиз, 1959.
Зрозуміло, що теорія чисел — це лише одна з
численних доріг, що їх проклали давньогрецькі вчені
в математиці.

Епоха еллінізму починається з часів походів Алек-
сандра Македонського за межами Греції в 332—323
pp. до н. е. Після смерті Александра утворена ним
імперія розпалася на окремі країни, у них правили
династії, засновані його воєначальниками.
Найбільшого успіху науки досягли в країні династії Птоле-
меїв —Єгипті. У столиці країни — Александрії був
створений науковий центр Мусейон і при ньому
величезна бібліотека, в якій налічувалося понад 700 000
манускриптів. У Мусейоні працювали найвидатніші
вчені того часу. Особливого розквіту досягли в цей
період точні науки, насамперед математика.
В епоху еллінізму творили видатні вчені
античного світу: Евклід (IV ст. до н. е.), Архімед із
Сіракуз (бл. 287—212 pp. до н. е.), Аполлоній Пергський
(бл. 250—170 pp. до н. е.). На жаль, ми майже
нічого не знаємо про життя Евкліда, автора знаменитих
«Начал» — книги, яка на тисячоліття стала зразком
викладу наукових теорій і підручником, за яким
вивчало геометрію не одне покоління. Архімед
належить до тих геніїв, творчість яких на багато віків
визначила долю науки. За вагомістю здобутих
результатів і силою таланту з ним можуть
зрівнятися лише Ньютон і Ейлер. Справою життя Архі-
меда була математика. Він створив нові методи
обчислення площ і об’ємів фігур, обмежених кривими
лініями й криволінійними поверхнями; відкрив
багато глибоких залежностей у геометричних
фігурах; йому належать видатні відкриття в
механіці, гідростатиці, оптиці й технічні винаходи.
Аполлоній Пергський — автор багатьох
математичних праць, зокрема 8 книг «Про конічні перерізи»
(збереглося 7 книг), в яких повно й глибоко
викладено теорію кривих ліній другого порядку. У цей
же час в Александрії працював Ератосфен Кірен-
ський, який займався арифметикою, геометрією,
астрономією, хронологією, географією, історією,
мовознавством, писав вірші. До нього Архімед надсилав
свої твори з новими теоремами й задачами. Через
Ератосфена Архімед передав александрійським
ученим знамениту задачу про биків. У ній
потрібно було обчислити кількість биків і корів
чотирьох мастей у череді.
44

Задача зводиться до рівняння?
t2 — 4 729 494и2 = 1.
Кількість білих биків дорівнює 1598 • ю206541, а
всіх разом 7766 • ю206541.
Широко відомий спосіб складання таблиць
простих чисел — решето Ератосфена.
Учений обчислив, що довжина земного меридіана
становить 252 000 стадій. Якщо покласти, що
стадія — це приблизно 157,7 м, то коло меридіана за
Ератосфеном дорівнюватиме 39 740 400 м (за
сучасними вимірюваннями — 40 008 400 м).
У кінці III ст. до н. е. починаються римські
завоювання. У 212 р. до н. е. Римська армія захопила
Сіракузи, при цьому від меча римського легіонера
загинув і великий Архімед. До 146 р. до и. е.
римляни підкорили й перетворили на пустелю майже всю
материкову Грецію. Квітучі міста лежали в руїнах,
гинули люди й безцінні скарби античної культури.
31 р. до н. е. римські легіонери взяли Александрію.
При цьому згоріла частина знаменитої бібліотеки
Мусейону.
Умови для наукової роботи були надзвичайно
несприятливими і математичні дослідження в країнах,
підкорених римлянами, майже повністю
припиняються. Талановиті інженери, винахідники,
астрономи, що працювали в Александрії та інших
містах, розв’язували окремі цікаві задачі,
доопрацьовували деталі у великих творіннях попередників, але
не змогли висунути нових продуктивних ідей чи
створити великі узагальнюючі праці.
Герон Александрійський (І ст.) — талановитий
інженер і винахідник викладав у Мусейоні,
конструював різні машини. У його книжці «Метрика»
міститься відома формула Герона для обчислення
площі трикутника.
Менелай Александрійський (I—II ст.) в книжці
«Сферика» дав систематичний виклад сферичної
геометрії — першої геометричної системи,
відмінної від евклідової. Близько середини II ст. в
Александрії працював знаменитий астроном Клавдій
Птолемей (пом. 170 p.). Його «Математична
побудова» («Альмагест» — від грецьк. «найбільша»)
45

містила математичну модель видимого руху небесних
тіл — відому Птолемеєву геоцентричну систему світу.
Своєрідним чудом, загадкою історії є
«Арифметика» Діофанта Александрійського, яка з’явилася
в III ст. У книжці надзвичайно багато нових ідей,
цікавих задач, а також загадок. Чимало цих загадок
ще й досі не розв’язані, хоч над ними працювали
видатні математики різних епох і народів.
На початку IV ст. в Александрії працював
прекрасний знавець античної математики Папп, автор
цікавої книжки «Математичне зібрання», в якій
сформульовано і доведено ряд важливих теорем
елементарної і проективної геометрії.
У цей час набирає сили християнська релігія, яка
виникла на початку нашої ери. Церковники
спрямували свою ненависть проти всієї античної науки
й культури. У полум’ї пожеж гинули не тільки
язичеські храми, а й безцінні скарби людської думки—
книжки. Учених переслідували або й знищували.
Так, у березні 415 р. в Александрії натовп ченців
по-звірячому вбив відому жінку-вченого, філософа
і математика Гіпатію Александрійську за те, що вона
не Прийняла християнства.
У 529 р. імператор Юстиніан закрив Афінську
академію, і вчені залишили Афіни, більшість їх
переїхала в Іран. Наукові центри античного світу
припинили своє існування.
ЕВКЛІД
(бл. 365 — бл. 300 pp. до н. е.)
35. Побудувати паралелограм, рівновеликий
даному ААВС, за даним гострим кутом а.
Побудуємо \BD\ = \DC\, EDC = а, ІСН] || [DE]
і [AH] II [ВС] (мал. 14). Паралелограм EDCH —
шуканий.
36. Поділити даний відрізок на дві нерівні
частини так, щоб квадрат, побудований на більшій частині
відрізка, був рівновеликий прямокутнику, одна
сторона якого дорівнює довжині меншої частини,
а друга — даному відрізку.
46

Нехай [АВ] (ІАВ | = а) — даний відрізок (мал. 15).
Його треба поділити на дві частини [AG] і [GB]
(|GBІ = х, IA G І = а — х) так, щоб а — х > х і
(а — х)2 = ах тобто
Побудуємо: 1) на [АВ] квадрат ABDC, 2) точку
Е £ [АС] таку, що | АЕ | = | EC |, 3) [BE] і [ЕІ]
такі, що [ЕІ]=\ВЕ\. Тепер на [АІ] побудуємо
квадрат A1HG. Продовживши [HG] до перетину
з [CD ] дістанемо [HG] f) [CD] = К.
Доведемо: SAihg = SbdkGi ЩО еквівалентно
доведенню рівності (1). SciHK + S| АЕ І* == S\ ЕІ |*,
(З
а — х\, або Scihk +
+ *5| АЕ І2 = S\ BE І*. Але S I be I* = <5| AE |* + S |AB |* (тв-
орема Піфагора), тому SCihk + *Si ae і* = St ae \> +
+ 5, ab i*i або Scihk = S\ ab i2« Отже,
справджується рівність Scihk — Scagk = S \ab\* — Scagkj
47

звідки випливав SAiHg = Sbdkg* або (<а — х)2 =
= аж.
Це так званий золотий поділ, або поділ у
середньому і крайньому відношеннях, який широко
застосовується в математиці, архітектурі, мистецтві,
техніці.
37. З усіх паралелограмів, вписайих у даний
трикутник, найбільшу площу має той, основа якого
дорівнює половині основи трикутника.
•
Нехай BLMN паралелограм, висота якого А, а
основа I BN І = х (мал. 16). Тоді площа Sblmn = hx\
 h = IBL | sin В Нехай | ВС | = a. Оскільки ACMN ~
а л v>n I MN | | BL | | NC I a — x
~ Л ABC, io|^ = -Lgjj- = -1^ = —-,
звідки | BL | = *^ (a — x), h = J I sin В (a —
— x).
Тоді S = x (a — x) sin В. Оскільки \ AB |
і sin Б сталі величини, то задача ввелася до
визначення максимуму множника х (а — х) = ах — х2.
Розглянемо функцію у = ах — х2. Обчислимо
похідну функції у: у' = а — 2х. Якщо х £ а,£,
то у' > 0, а на інтервалі х £ а| у' < 0;
оскільки в точці функція у неперервна, то в
максимумом у = х (а — х). При х = найбільшого
значення набуває і площа S паралелограма BLMN,
що і треба було довести.
38. Множина простих чисел нескінченна. У
«Началах» Евкліда (книга IX, твердження 20) теорема
формулюється так: простих чисел існує більше
будь-якої запропонованої кількості перших чисел.
Припустимо, що множина простих чисел
нескінченна, тоді існує найбільше з них р. Перемножимо всі
прості числа: 2 • 3 • 5- ... •/?, добуток збільшимо на
одиницю і позначимо суму через М, тобто М = 2 X
48

X 3 • 5 • ... *р + 1; М > 1, тому воно або’складене,
або просте. Якщо М просте, то приходимо до
суперечності, оскільки М > р. Якщо М складене, то воно
мав принаймні один простий дільник (цю теорему
можна довести). Оскільки простого числа, меншого
від 2, немає, то цей простий дільник буде більшим
за р, бо на 2, 3, 5, ..., р число М не ділиться.
Припустивши, що існує найбільше просте число, ми
прийшли до суперечності. Отже, припущення в
неправильним, найбільшого простого числа не існує. Множина
їх нескінченна.
39. Якщо числа р і 2Р — 1 — прості, то сума
дільників числа 2Р~1 (2Р — 1), менших від числа
2р-і ~ 1), дорівнює самому цьому числу.
(Числа, які мають таку властивість, називаються
досконалими).
Нехай у числі 2Р“! (2Р — 1) множник у
дужках — число просте. Тоді дільниками цього числа,
відмінними від самого числа, будуть 1, 2, 4, ..м 2р—1|
(2Р - 1), 2 (2Р - 1), 4 (2Р - 1), ..., 2Р~2 (2Р - 1).
Обчислимо суму цих дільників: (1+ 2 + 4 + 8 +
+ ... + 2Р~‘) + (1+ 2 + 4+ 8 + ... + 2Р"2) х
X (2Р - 1) = (2Р - 1) + (2Р_1 - 1) (2Р - 1) =
= 2Р—1 (2Р — 1), Отже, число 2Р_1 (2Р — 1) — до-
сконале.
Древні греки знали чотири досконалих числа 6, 28, 496,
8128, п’яте — 33 550 336 — обчислили в XV ст., дев’яте в
1883 р. обчислив російський математик-самоук І. М. Перву-
шин. У 1978 р. БОМ за 440 годин обчислила двадцять п яте
просте число виду 2Р— 1 : 221701 — 1. Це дає двадцять п’яте
досконале число 221700 ■ (221701— 1).
У 1979 році ва допомогою ЕОМ обчислено 27-е досконале
число; 2“&в (2^2— 1).
40. Якщо сума дільників числа п> менших за п,
дорівнює т, а сума дільників т, менших за т,
дорівнює я, то числа п і т називаються співдружніми.
Довести, щол220 і 284 — співдружні числа.
49

tiaa. if
Сума дільників числа 220, менших від цього числа,
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 +
+ 110 = 284, а сума дільників 284: 1 + 2 + 4 +
+ 71 + 142 = 220.
г Тільки цю пару співдружніх чисел і знали стародавні
греки. До нашого часу обчислено більше 600 пар співдружніх
чисел. Вони містять ще багато нерозгаданих загадок.
41. Поділити пополам кут, вершина якого
недоступна.
•
Побудуємо (АВ)±_ иі (ВС) JL v. Шукана
бісектриса буде перпендикулярна до бісектриси ВВГ кута
ABC і проходитиме через середину [ВВ'\ (мал. 17).
42. Якщо на катетах і гіпотенузі прямокутного
трикутника побудувати будь-які подібні фігури
Ау В% С, у яких катети й гіпотенуза прямокутного
трикутника є відповідними сторонами, а5д, Sb, Sc —
площі побудованих подібних фігур, то 5а+£в =
= Sc (мал. 18).
X с2 = Sc • a2 iSBc2 =SC • Ь2. Додавши почленно
останні рівності, дістанемо с2 (Sa + Sb) = (а2 +
+ Ь2) • Sc, але с2 = а2 + б2, тому SA + Sb = Sc.
Доведену теорему («Начала», книга 6, твердження 31)
можна вважати узагальненням теореми Піфагора. Грецький
фіґл А а
Очевидно, ЩО -о— = —2 ,
°С с
50

лософ, коментатор Евкліда Прокл (410—485) писав, що цій
формі теореми Піфагора надавали переваги перед іншими, як
такій, що правильно виражає саму суть справи.
43. Довести рівності, які Евклід сформулював
і довів у «Началах», користуючись термінами
відношень між геометричними фігурами.
а) ab + = (“Т“)2'
б) „> += 2-і.)’).
в) (2а + ьу + Ь2 = 2 (а + (а + б)2).
г) У~а ± У b = \/~а + Ь + 2 }ґаЬ.
л) V^±Vt> = у/Г"+у2°'-1’± І.
АРХІМЕД
(бл. 287—212 pp. до н. е.)
44. Площа круга, описаного навколо квадрата,
вдвічі більша за площу круга, вписаного в квадрат.
45. Якщо хорди АВ і CD кола, діаметр якого d,
леретинаються в точці Е під прямим кутом, то | АЕ |2+
+ I BE |2 + І СЕ |2 + I DE |2 = d\
 46. Площа круга дорівнює площі прямокутного
трикутника, один з катетів якого дорівнює довжині
кола, а другий — радіусу цього кола.
47. Площа круга відноситься до площі квадрата,
побудованого на його діаметрі, приблизно як
11 : 14.
48. Довжина кола з діаметром d знаходиться
в межах
оЮ , о 1 ,
3^j-d<c<3^-d.
Нехай Lk — довжина сторони правильного
^-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса (мал. 19).
S&ABC = -^rL2hVb — Lift = 2(-^-) ЗВІДКИ Ly, =
= V~2-V4-L2h.
51

Оскільки Lb = 1, то, використавши формулу для
Z/2&, послідовно обчислимо:
Ln = j/2~]/4 —1 = -К З,
L24 = К2 - 1/4-2+ /"3 = К2- ]/2 + ]/3;
Z<48 = 1^*2 — V 2 + "У 2 + У З,
і(. = /П7 2 + К2 + К2 + У 3«0,06544.
Тоді для кола одиничного радіуса я|г| = я, я>
10
>• 48L96; я > . Верхню межу можна обчислити
аналогічно.
49. 	Площа леза кушнірського ножа (арбелона)
дорівнює плоіці круга, діаметр якого BD (мал. 20).
. (-ЦР)-4- - (Ф)‘ -
+ \DC\f — \AD\i — \DCf) = -%-2\AD\\DC\ =
52

50. 	Площа осьового перерізу сільниці (саліона),
на якому І АС | = | DB |, дорівнює площі круга з
діаметром I FG І (мал. 21).
•
У сучасних термінах і позначеннях розв’язання
Архімеда можна подати так.
Оскільки
\CE\ = \DE\, то \DA\2 + \CA\2 =
= 2(\DE\* + \AF\\ (1)
а з рівності I FG \ — \ DA | випливає, що
\FG\ = \EG\ + \EF\ = \EA\ + \DE\ = \AD\. (2)
Рівність (1) можна записати так:
\FG\2 + \CA\i = 2{\DE\* + \AE\i). (3)
Але 2\ED\ = \CD\ і 2\АЕ\ = \АВ\.
Тому
І АВ І2 + I CD |2 = 4 (IDE |2 + І АЕ |2) =
= 2(\FG\* + \CA\*). (4)
Усі рівності Архімед розглядає як відношення між
площами квадратів, побудованих на певних
відрізках. Далі він інтерпретує їх як відношення між
площами певних кругів і в словесній формі подає такі
міркування. Рівність (4) можна подати в термінах
відношення площ кругів:
я І АВ І2 + я I CD І2 = 2 (я I FG |2 + я \ СА |2),
або
-i-n|4B|2+4-nlCZ?l2 = nl^l2 + nlC4l2- (5)
Але
п\АС\2 = -j- п\ AC \* + -Ln\BD\\
 тому
\ я|4Я|2 + ±-n\CD\*--\-n\ACf-
|-я | BD\* = я IFG |2,
що й потрібно було довести.
53

51. 	Архімедова трисекція кута AED методом
«вставки». Якщо І АЕ | = | ВС |, то ВЕС = у AED
(мал. 22).
•
Це одна з найкрасивіших некласичних трисекцій.
Розв’язання зводиться до вставки між дугою кола
і прямою (DE) відрізка | ВС | = | АЕ |. Тоді А ВСЕ
і А А BE будуть рівнобедреними. З властивості
зовнішнього кута трикутника дістаємо рівності:
DEA = ВАЕ + ВСЕ, але ВАЕ = АВЕ = 2ВСЕ,
тому DEA = 2ВСЕ “Ь ВСЕ = ЗВСЕ, або ВСЕ =
1 ^
- і- DEA.
52. Об’єми циліндра, півкулі й конуса при
однаковому радіусі й однаковій висоті (мал. 23)
відносяться, як 3:2:1.
53. Плутарх (50—125 pp.) писав, що Архімед
настільки був упевнений у потужності своїх машин,
що якось вигукнув: «Дай мені точку опори — і я
зру54

шу Землю!». Очевидно, точка опори мала бути поза
Землею. Обчисліть, на яку відстань пересунувся б
вільний кінець важеля за 1 с, якщо б вдалося
зрушити Землю, маса якої приблизно дорівнює 6 X
X Ю24 кг, а людина за 1 с може підняти 60 кг на
висоту 1 м від поверхні Землі?
▼
6 • 1024: 6 • 10 = 1023 м; їм- 1023 = 1020 км
(для порівняння: відстань від Землі до Сонця бл.
1,5 • 108 км).
54. 	Стомахіон Архімеда. Прямокутник, сторони
якого відносяться як 1 : 2, розрізали на 14 частин
(мал. 24). Складіть з цих частин силует курки,
вітряка, півня (мал. 25). Частини прямокутника можна
класти на стіл будь-яким боком. Щільне прилягання
їх, згідно з вказівкою Архімеда, не обов’язкове.
Але при зображенні кожної фігури всі 14 елементів
стомахіона мають бути використані.
«Стомахіон» у перекладі з грецької мови означає «те, що
викликає злість». Спробуйте свої сили в цій грі, і ви перекона-
55

втеся, що така назва виправдана. Гра повна несподіванок,
вона розвиває винахідливість, загострює розум, тренує зір
у сприйнятті ліній і форм. Стомахіон — патріарх серед ігор-
головоломок. Він витримав 2000-річне випробування і не
застарів, як не застаріли теореми і закони Архімеда.
55. 	Корона царя Гієрона, виготовлена із золота
і срібла, має вагу 10 кг. У воді її вага становить
99,55% її ваги в повітрі. Знаючи, що 1 кг золота
втрачає в воді кг, а срібло 9-|—% своєї ваги в
повітрі, обчислити, скільки золота і скільки срібла
витратив майстер на виготовлення корони?
▼
Золота — 7,1005 кг, срібла — 2,8995 кг.
ЕРАТОСФЕН КІРЕНСЬКИИ
(бл. 276—194 pp. до н. е.)
56. Якщо в ряді натуральних чисел 2, 3, 4, ...
..., /г, ... закреслити числа, кратні першим г простим
числам 2, 3, ..., рг, то перше (найменше) незакрес-
лене число буде простим.
•
Складене число п має принаймні один простий
дільник, менший від п. Якщо число п не має жодного
простого дільника, меншого за п, то воно є простим.
57. 	Якщо викреслити всі числа, кратні всім
простим числам до У т, тобто вибрати г так, щоб
pr ^ Угп ^ Рг+і, то числа, які залишаться,
становитимуть множину всіх простих чисел,] таких,
ЩО У ТП < р ^ Ш.
•
Кожне складене число УМ < тп ^ М ділиться
принаймні на одне просте число рі ^ m ^ УМ,
тобто на одне з чисел 2, 3, ..., рт (рт ^ УМ ^ Рг+і)
і тому буде викреслене. Прості числа р > УМ не
діляться на 2, 3 ,... , рт і, отже, не будуть викреслені.
На основі цієї теореми заснований широко відомий
спосіб складання таблиці простих чисел — решето
Ератосфена — і його модифікації.
56

58. Між рейками А В і CD містяться виготовлені
з однорідного матеріалу моделі трьох конгруентних
прямокутних трикутників (мал. 26). Перший —
закріплений, другий і третій — рухомі: якщо К —
середина I BD |, а моделі другого і третього
трикутників встановлені так, що точки перетину сторін
трикутників N і L знаходяться на прямій (АК),
то об’єм куба з ребром [ML] вдвічі більший від
об’єму куба з ребром I DK |.
•
З відношень I KD І : | LM | = | LM | : | N0 | =
=; \ NO \: [АС І і І АС | = 21 КР | випливає, що ми
механічно вставили два середніх пропорційних відрізки
між відрізками | KD\ і 2 | KD |, а це один з некла-
сичних розв’язків делоської задачі (див. № 27).
Прилад Ератосфена називається мезолябієм
(уловлювачем), за допомогою його знаходили (ніби уловлювали) середні
пропорційні відрізки. Учений високо цінував Свій винахід.
У храмі царя Птолемея в Александрії на камені було
вирізьблено розв’язування Ератосфеном делоської задачі та уривок
з листа Ератосфена до Птолемея, де йдеться про це відкриття.
Там же зберігалася бронзова модель мезолябія. Пізніше вчені
знайшли багато інших конструкцій приладів для механічного
розв’язування делоської задачі.
АПОЛЛОНІИ ПЕРГСЬКИИ
(бл. 260—170 pp. до н. е.)
59. Дано три фігури, кожна з яких може бути
точкою, прямою або колом. Побудувати коло, яке
проходило б через кожну з даних точок і
дотикалося б до кожної з даних прямих або кожного з
даних кіл.
•
Обмежимося одним випадком: побудувати коло,
яке дотикається до двох даних паралельних прямих
і даного кола.
Нехай а і b дані прямі й (О, г) — дане коло
(мал. 27). З довільної точки А (А £ а) побудуємо
(АВ) _L ft, через середину [АВ] — точку С —
проведемо пряму b И а. Будуємо коло (О, \ г + | АСІ|) (або
радіусом І г — |ЛС||), Фіксуємо точку D перетину
58

кола (О, r + І АВ\) з прякоюс, вона й буде центром
шуканого кола.
Задача була вміщена в творі Аполлонія «Про дотикання»,
який до нас не дійшов. Розв’язання самого Аполлонія теж
втрачено. Першим її знову розв’язав Франсуа Вієт.
Нині в школі розв’язують окремі варіанти задачі
Аполлонія. Ймовірно, що Аполлоній теж розглядав можливі окремі
випадки, перш ніж будувати коло, яке було б дотичним до
трьох даних кіл:
1. Побудувати коло, яке проходить через три дані точки.
2. Побудувати коло, яке дотикається до трьох даних
прямих.
3. Побудувати коло, яке дотикається до двох даних
паралельних прямих і проходить через точку, що належить смузі,
утвореній даними паралельними прямими.
4. Побудувати коло, яке проходить через дану точку й
дотикається до двох прямих, які перетинаються.
5. Побудувати коло, яке проходить через дві дані точки й
дотикається до даної прямої.
6. Побудувати коло, яке дотикається до даного кола й
проходить через дві дані точки.
7. Побудувати коло, що дотикається до трьох даних кіл,
що проходять через дану точку.
ГЕРОН
(І ст.)
60. Якщо а, Ь, с — довжини сторін трикутника,
а р — його півпериметр, то площа цього
трикутника дорівнює:
S = У р(р —а)(р — Ь)(р — с).
Формула, названа ім’ям Герона, була відома ще
Архімеду, який використовував її при розв’язуванні
задач. Ця формула — окремий випадок теореми
Брахмагупти (див. № 79).
МЕНЕЛАЙ
(1—11 СТ.)
61. Якщо (Cj Ах) перетинає сторони ДABC або
їх продовження у точках ВІУ Си Ах, то
справджується відношення:
\ВАХ\ 1 СВХ\ \ACj І ,
І АХС І * \ВХА\ І СХВІ ~Ав
59

Побудувавши [CG]\\[AB] (мал. 28), дістанемо
дві пари подібних трикутників: AABlCl ^ ACGBl
і ABAlC1 ^ АСАХ G. З подібності першої пари
випливає:
\ABj\ _ \ACt\ (іv
І ВгС І ” I CG І ’ к '
з другої пари:
I BAj 1 І Сф І (0\
 \АгС\ I CG І ‘ w
Поділивши другу пропорцію на першу, матимемо:
\*At\ . \ABj\ _ \CtB\ І І у
\АХС І * \В±С\ “ |Л^| ’ а°° І А1С\
 І І 1 CjB І /о\
 Х \АВХ І - |4Сі| * W
Помноживши обидві частини рівності (3) на | ^ ^ | ■>
дістанемо відношення, яке треба довести:
\BAt\ \CBj\ \АСг\
 МХС| * |£?^| * \СХВ\
 Останнє співвідношення Менелай поширив на
кулю і дістав відповідне співвідношення для хорд і
дуг кулі. З цієї теореми Менелай і Клавдій Птоле-
мей дістали ряд формул сферичної тригонометрії.
Теорему Менелая можна сформулювати в
загальній формі: якщо (АВ) і (ВА^)— прямі на площині,
СгЄ(АВ), С£(ВАг) і [АХСХ] П ІАС] = Вх, то
завжди справджується доведена рівність.
КЛАВДІЙ ПТОЛЕМЕИ
(пом. бл. 170 р.)
62. 	Добуток діагоналей вписаного в коло
чотирикутника дорівнює сумі добутків протилежних сторін.
•
Нехай у чотирикутнику ABCD \АВ\ = а, \ ВС \ = Ь,
\CD І = с, I DA І = d, І АС І = /, I BD\^= І (мал. 29).
Побудуємо [ВР] так, щоб АВР = DBC і Р £ [АС].
Тоді А АВР ^ ADBC (АВР = DBC за побудовою
60

і ВАР = BDC, як такі, що спираються на одну
й ту саму дугу кола, описаного навколо
чотирикутника ABCD). Тому \AB\:\AP\ = \BD\:\CD\,
або І АВ І • I CD І = І АР | . | BD |, тобто
а • с = І АР І • І. (1)
З подібності АРВС і AABD дістанемо | ВС | :
: I PC I =| BD \: | AD |, звідки | ВС | • | AD | = | PC | X
X \ BD І, або
b-d = \PC\-l. (2)
Додавши почленно рівності (1) і (2), дістанемо:
а - с + Ь - d = (\АР І + І РС\) • Z, а • с + Ь - d =
= І • /, що й треба було довести.
63. Давньоримська задача (II ст.). Один чоловік,
вмираючи, заповів: «Якщо в моєї дружини
народиться син, то нехай йому буде віддано майна, а
решта — дружині. Якщо ж народиться дочка, то їй —
•у, а дружині !"». Народилася двійня — син
і дочка. Як розділити майно, щоб виконати заповіт
небіжчика?
▼
Майно сина, дружини і дочки небіжчика повинно
відноситися, як 4:2: 1.
ПАПП
(111 СТ.)
64. Теорема Паппа. Якщо А, С, Е — три точки
на одній прямій, а В, D, F — на другій і якщо (АВ),
(CD), (EF) перетинають відповідно (DE), (FA),
(ВС), то три точки їх перетину L, М, N колінеарні
(мал. ЗО).
•
Щоб не розглядати численних можливих
варіантів, обмежимося випадком, коли (АВ), (CD), (EF)
утворюють AUVW. Застосувавши до п’яти трійок
точок (D, L, Е), (А, М, F), (В, С, N), (А, С, Е), (В, D, F)
теорему Менелая (див. № 61), дістанемо:
\УІЛ \WD\ \UE\ \VA\ \WM\
 \LW\ ‘ \DU\ ’ \EV\ \AW\ \MU\ *
61

А I FА I lf
\УВ\ \WC\ I UN I _4e \VA\ IWCI w
\BW\ \CU\ INV | ’ \AW\ \CU\ X
J_C7^ = y|. 1^1 |ETF| ,
\EV\ | | * | DU | ' \FV\
 Поділивши почленно перші три рівності на дві
останні й виконавши потрібні скорочення, дістанемо:
\VL\ \WM\ \UN\ А
\ LW \- • \MU\ ' I NV | =1> що и Доводить колі-
неарність точок L, Л/, N, тобто теорему Паппа.
Ця теорема одна з основних в елементарній і
проективній геометрії.
65. 	Паралелограм, побудований на одній із сторін
довільного трикутника всередині його так, що дві
вершини паралелограма лежать поза трикутником,
рівновеликий сумі паралелограмів, побудованих
на двох інших сторонах трикутника так, що сторони
їх паралельні відповідним сторонам трикутника
і проходять через вершини першого паралелограма
(мал. 31).
•
Д ABC ^ Д A1B1CV Sacc^ = Sacedi Sbb&c =
= SbFHCi & фіг. АВ В гС і At A — S&AtBtCt = SABBtCt>
£фіг .ABB^tAt — SfrABC = SaCCxAx + ^BB^C =
= Sbdxhc + Saced•
ДІОФАНТ
(III CT.)
66. 	Заданий квадрат, наприклад 16, розкласти
на два квадрати.
•
Задача приводить до діофантового рівняння х2 +
+ у2 = 16. Для розв’язання рівнянь типу
х2 + у2 = а2. (1)
Діофант застосував два методи. Один з них полягає
в тому, щоколиа;0 і у0 є раціональними розв’язками
62

рівняння (1), то інші раціональні розв’язки його
можна обчислити підстановкою
( x = x0 + t,
1 у = Уо +
де к £ Q. Після підстановки рівняння (1)
перетворюється в квадратне рівняння відносно t. Справді,
якщо х1 + у2 = а2, де а2 = 16 і тривіальний
раціональний розв’язок (0, —4), то, взявши один з
шуканих квадратів за х2, другий шукаємо таким чином:
у = 2х — 4, (к = 2), у2 = 4г2 — 16# + 16, але
г/2 = 16 — ж2, тому 4І2 — 16# + 16 = 16 — #2,
а^2 «. 16 ^2 256 іі2 144
16#, # — £ * яг — 25 ’ ^ — 25 *
Задача допускав нескінченну множину розв’язків х =
у = а-2 . Очевидно, що Діофант знав про нескінченну
множину розв'язків рівнянь виду (1).
Це восьма задача з другої книги «Арифметики» Діофанта.
Саме до неї на полях свого примірника книги Діофанта
великий французький математик П’єр Ферма зробив свою
знамениту примітку: «Навпаки, неможливо розкласти куб на два
куби, біквадрат на два біквадрати, ніякий більший sa квадрат
степінь на два степені з тими самими показниками. Я
відкрив цьому воістину чудесне доведення, але ці поля для
нього надто малі» [6, 197].
Це славнозвісна велика теорема Ферма про те, що рівняння
яп+ yn=s zn не мав раціональних розв’язків при будь-якому
п > 2, Справедливість теореми доведена для всіх простих
п < 100000. В загальному випадку її нікому ще не вдалося
довести. Є підстава вважати, що Ферма помилився і прийняв за
доведення міркування, які містили якусь логічну помилку,
67. Знайти два невід’ємних числа, різниця між
якими в 6 раз більша від різниці їх квадратів.
Задача зводиться до рівняння# — у = 6 (ж2 — у2),
І
або # + у = -g-. Розв’язком буде нескінченна мно-
жина пар ^0; -J-J і т. д.
68. Знайти три числа такі, щоб сума всіх трьох
і кожних двох була квадратами.
63

•
Нехай сума трьох шуканих чисел дорівнює з? +
+ 2х + 1, сума другого і третього х2 — 2х + 1,
сума перших двох х2. Тоді третє число дорівнює
2х + 1, друге х2 — 4х, а перше (6х + 1) має бути
квадратом. Нехай (6х + 1) = 121, звідки х = 20.
Отже, перше число дорівнює 80, друге 320 і
третє—41.
69. Перевірити тотожності з «Арифметики» Діо-
фанта:
а) 	(а2 + Ь2) (с2 + d?) = (ac + bd)2 + (ad — be)2,
~ ( 144 \ ол 60 __ 60х2 + 2520
°' [ я4 + 900 —» 60х2 ) ' dU х2 — ЗО іс4 + 900 —* 60s2 ’
v 96 12 __ 12х2 + 24
В) *« + 36 — 12*2 6-а — ** + 36 — 12*® ’
МЕТРОДОР
(VI ст.)
70. Надгробок Діофантпа.
Прах Діофанта гробниця ховає: вдивися і камінь
Мудрим мистецтвом розкриє покійного вік:
З волі богів шосту частину життя був він дитина,
А ще половину шостої — стрів із пушком на щоках.
Тільки минула сьома, з коханою він одружився,
З нею п’ять років проживши, сина діждався мудрець.
Та півжиття свого тішився батько лиш сином:
Рано могила дитину у батька забрала.
Років двічі по два батько оплакував сина.
А по роках цих і сам стрів він кінець свій печальний...
•
1 1
Задача зводиться до рівняння у х + ^ х +
1 1
+ — я + 5 + -у ж + 4 = #. Діофант прожив 84
роки.
Ця епітафія, якщо вона достовірна,— в дине, що ми анавмо
з біографії Діофанта. Вона вміщена в так званій Палатинській
антології і належить перу Метродора (IV ст.), який увійшов в
історію математики як автор цікавих задач, складених у
віршованій формі. Задачі Метродора входили в рукописні
збірники і в свій час були дуже поширені.
64

Віршовані задачі Метродора № 71, 72, 73 ми
подаємо в перекладах видатного українського
письменника, поета-революціонера Івана Яковича Франка,
71. Пори дня.
«О премудрий часознавче,
Яка часть нам дня пройшла вже?» —
«Що пройшло вже з сеї днини,
Візьми з того дві третини,
А на все дозвілля своє
Матимеш ще стільки вдвоє.
Вказівка. Задача зводиться до
розв’язування рівняння х + х — 12. Звідки х = 5 у.
72. Учні Піфагорси
Піфагоре благородний,
Геліконських муз потомку,
На моє скажи питання,
Скільки учеників годних
Маєш ти у своїм домі,
Що, немов борці на площі,
Раді премії добиться?»
«Радо скажу, Полікрате.
Бачиш, учнів половина
Математику зглубляє,
А натомність четвертина
На безсмертную природу
Свої досліди звертає:
Сьома часть ніщо не робить,
Лиш заховує мовчання,
Лиш моє у душах своїх,
Знай, ховаючи навчання».
Ще додай до тих три жінки,
Що встають не дуже рано,—
Серед них найвизначніша
Моя любая Теано.
Ось і всі, яких по змозі
Я по мудрості довожу,—
Може, муз їм пієрійських
Позискаю ласку божу.
73. Загадка.
Раз мул ішов з ослицею шляхом,
Обоє опаковані вином
з 2765
65

Під тягарем ослиця застогнала,
Та мул, якого від коня вона за сина мала,
Питає: «Мамо, що це за причина,
Що заскиглила ти, як молода дівчина?»
Вона відмовила, що потяжко їй двигать.
«Еге, хотіла б ти ще як дівчина плигать!
Я більше двигаю, й мені не дуже гірко;
Якби від тебе взяв одно, то мав би вдвоє стілько,
А якби ти одно та відняла мені,
То мали б ми обоє по рівні».
Хто хоче тії числа відгадати,
Не треба пальців обох рук зчисляти.
т
Мул ніс 7 мішків, ослиця 5.
74. 	Уздрівши, що плаче Ерот, Кіпріда його
запитала:
«Що тебе так засмутило, хотіла б я знати?»
«Із Гелікона ішов я, ніс яблук чимало,— Ерот
на те каже,—
Та музи, раптово напавши, солодку загарбали ношу.
Долю двадцяту вмить захопила Евтерпа, а Кліо
П’яту частину вділила, і Талія — восьму.
Долю двадцяту забрала собі Мельпомена, а
чверть — Терпсихора.
Сьому частину поцупивши, зникла, мов привид,
Ерато.
Тридцять плодів узяла Полімнія. Сто двадцять
Уранії тут перепало, а триста плодів — Калліопі.
Тож повертаюсь додому я майже з пустими руками.
Тільки півсотні лишилося яблук у мене».
•
Позначимо кількість яблук, які ніс Ерот, через
х. Тоді розв’язування задачі приводить до рівняння:
111111
Х 12 Х 5Х 8 Х 20 Х 4Х Iх
-ЗО - 120 - 300 = 50 або щ х = 500. Звідки
х = 3360.
т
Евтерпа взяла 280 яблук, Кліо — 672, Талія —
420, Мельпомена — 168, Терпсихора — 840,
Ерато — 480.

Перші математичні тексти індійської математики
належать до II —І тис. до н. е. Це трактати,
наприклад «Шульва — сутра» («Правила вірьовки», в яких
розгортаються різні правила вимірювань і побудови
храмів, жертовних вівтарів та інших культових
споруд. У IV ст. з’являються астрономо-математичні
твори — «сіддханти» (вчення). Більшість з них
написані віршами, мовою священних книг брахманів —
санскритом. Виклад у них догматичний.
Креслень, формул і доведень ще немає. Автори
формулюють алгоритми певних дій над числами, правила
розв’язування задач, наводять добірки вправ і зразки
їх розв’язання. В індійській математиці не було
зроблено й спро&и побудови дедуктивної
математичної теорії на зразок «Начал» Евкліда.
Лічба цілих чисел була десятковою. Рано
визначилася схильність індійських математиків до
оперування з великими числами, тому в санскриті є назви
для чисел виду 10” для п > 50.
У VI ст. поширилися цифри брахми, в яких були
спеціальні знаки для чисел 1—9, що стало
передумовою створення десяткової позиційної системи
числення. Перші відомості про неї знаходимо в
рукописі 662 р. християнського єпископа Себохта.
У настінному написі, який було виконано в 876 p.,
з’являється нуль — там записано число 270.
Одна з назв нуля «шунья» (порожнє) арабські
вчені переклали словом «сифр», а європейські
латинською мовою просто записали словом ciffra,
звідки й походить термін «цифра».
Позиційна нумерація — найвидатніше досягнення
індійської математики.
Наша арифметика, без сумніву, індійського
походження. Індійські вчені розробили правила
арифметичних дій, засновані на десятковій позиційній
системі числення — чотири арифметичні дії,
піднесення до квадрата й куба, добування квадратних
і кубічних коренів. Обчислення виконувалися на
лічильній дошці, покритій пилом або піском, і тому
називалися «роботою з пилом».
Видатним досягненням індійської математики було
створення розвинутої алгебраїчної символіки.
Вперше з’являються позначення для багатьох

невідомих, вільного члена рівняння, степенів. Більшість
символів є першими складами відповідних
санскритських термінів. Наприклад, невідома величина
називалася «йават — товат» (стільки-скільки) і
позначалася складом «йа». Якщо невідомих було кілька,
їх позначали назвами кольорів.
Блискучим періодом індійської математики були
V—XII ст., коли працювали видатні вчені.
Особливо великий вплив на дальший розвиток
індійської астрономії і математики мала діяльність
Коперніка Сходу — Аріабхати І (нар. 476 p.). Його
трактат «Аріабхатія» став поворотним пунктом
розвитку точних наук в Індії.
Послідовником і коментатором ідей Аріабхати І
був Бхаскара I (VII ст.), який у своїх трактатах
розробляв теорію діофантових рівнянь і астрономічні
проблеми.
На середину IX ст. припадає творчість Магавіри,
автора «Короткого курсу математики», першого
індійського трактату, повністю присвяченого
математиці. За об’ємом цей написаний віршами твір
значно більший, ніж усі роботи попередників і
сучасників Магавіри.
Велике значення для розвитку фізико-математич-
них наук в Індії мала творчість видатного
індійського астронома й математика Бхаскари II (нар. 1115 —
пом. пізніше 1183 p.). Ще за життя вченого
організувалися спеціальні школи, в яких вивчалися його
твори. Математиці присвячені трактати Бхаскари
II «Лілаваті» і «Біджаганіта». І досі не визначено,
кого називав учений таким ласкавим ім’ям:
арифметику, якій присвячено «Лілаваті», чи свою доньку.
Трактат «Біджаганіта» присвячений алгебрі й
деяким питанням геометрії. Зокрема, там Бхаскара II
дає два наочні доведення теореми Піфагора. За
допомогою правил
ут+їП - [/*+ vfzrb +
І
J/^a-j-b + y^ab—a -\-Y Ь
69

вчений виконував перетворення квадратичних ір-
раціональностей і таким чином спрощував досить
складні вирази (див. № 87).
Індійські математики ввели і правильно
трактували від’ємні числа. Так, Брахмагупта (нар. 598 р.)
називає додатні числа майном, а від’ємні — боргом і,
використовуючи ці терміни, дає правила дій над
раціональними числами.
Календарно-астрономічні задачі привели
індійських математиків до діофантових рівнянь, у
розв’язуванні яких були здобуті великі успіхи. Аріаб-
хата І розв’язував у цілих числах рівняння виду
ах + Ь — су, Брахмагупта й Бхаскара II
розв’язували в натуральних числах рівняння ах2 + b =
= у2 і його важливий окремий випадок ах2 + 1 =
= у2-
Значно менших успіхів досягли індійські вчені
в галузі геометрії. Окремих праць з геометрії не було.
Геометричний матеріал міститься в астрономічних і
математичних трактатах, при цьому теореми з
геометрії наводяться без доведень. Усе зводиться до
креслень, часто надзвичайно виразних, і слова «дивись».
Зрідка даються короткі вказівки про шлях
доведення твердження.
У V ст. до н. е. індійські математики брали я =
= 3,1416. Послідовник Магавіри — Шрідхара (IX —
X ст.) наводить у своєму трактаті правильні формули
для обчислення об’єму призми, зрізаного кругового
конуса. Бхаскара II — формулу об’єму кулі. При
розв’язуванні астрономічних задач
використовувалися тригонометричні співвідношення sin2 а +
+ cos2 а = 1, sin а = cos (90° — а), sin (а ± Р) та ін.
На початок XX ст. припадає творчість
геніального індійського математика Сринівази Айєнгара Раму-
нуджана (1887—1920). Його самобутній талант,
віртуозне володіння математичними методами
викликали захоплення вчених усього світу. Особиста доля
вченого відобразила трагічну історію талановитого
індійського народу, який століттями перебував
у ярмі англійського імперіалізму і тільки в 1947 р.
здобув політичну незалежність.
Індійська математика справила величезний вплив
на розвиток математики Сходу і Заходу. Індійські
70

вчені відкрили алгоритми дій над числами в
десятковій позиційній системі числення. Тому Індія стала
батьківщиною численних термінів в арифметиці,
алгебрі, тригонометрії.
ЗАДАЧІ
АПАСТАМБА
(V—1V ст. до н. е.)
75. Довести рівності:
а) -L/-^L+ *Ц = 12КЗ. -1-(8КЗ +
Кз ї W г V з і 2vr
+ 10 v"3) = 324;
б) V 2 » 1 + _ + з . 4 . 34 ;
^^-і + т+тЬ—гги-
Приклади взято із^«Шульва-сутри» в редакції Апастамби.
Його наближення У 2 дуже близьке до того, яке біля 1600 р.
до н. е. знайшли для Y 2 вавілоняни. В шістдесяткових
дробах воно дорівнює 1"24'5Г10'35.
76. (З Бахиіалійського рукопису). З чотирьох жер-
твувателів другий дав вдвічі більше, ніж перший,
третій — втроє більше, ніж другий, четвертий —
вчетверо більше, ніж третій, а всі разом дали 132.
Скільки дав перший?
▼
Перший дав 4.
У 1881 р. під час розкопок у північно-західній Індії, по
близу села Бахшалі, учені знайшли записаний на березовій
корі математичний рукопис, який належить до VII—VIII ст.
У «Бахшалійському рукописі» викладено правила
арифметичних дій з цілими числами і дробами, алгоритми
розв'язування лінійних і квадратних рівнянь, систем діофантових
рівнянь першого степеня.
71

АРІАБХАТА I
(476 - бл. 550)
77. Правило обчислення я. Додай 4 до 100, помнож
на 8 і додай до всього цього 62 000. Те, що
дістанеш,— наближене значення довжини кола, якщо
діаметр 20 000. Яку точність числа я забезпечувало
застосування цього правила?
•
я »(8 • (100 + 4) + 62 000): 20 000 =
= 62 832 : 20 000 » 3,1416.
78. Два світила знаходяться на відстані d одне
від одного і рухаються одне до одного із швидкостями
vx і и2. Через який час вони зустрінуться?
•
Нехай х — шлях, пройдений до зустрічі першим
світилом. Зустріч відбудеться через час х : vL.
Одночасно друге світило пройде шлях (d — х) за час
(d — х) : и2. З рівняння: х : vx = (d — х) : и2
дістанемо х = dvx : (vx + v2).
Ця задача друкувалася в численних збірниках
цікавих задач (див. № 166).
БРАХМАГУПТА
(598 - бл. 660)
79. Теорема Брахмагуппги. Якщо вписаний у
коло чотирикутник має довжини сторін а, Ь, с,
d і півпериметр р, то його площа
S = V(p — а) (р — Ь) (р — с) ( р — d).
•
Е + F = 180°, cos F = —cos Е і sin F = sin Е
(мал. 32). За теоремою косинусів а2 + Ь2 — 2ah cos Е =
= пг = с2 + (Р — 2cd cos Е, тому
2 (ab + cd) cos Е = а2 + Ь2 — С2 — сР. (1)
72

AS = 2 (ab + cd) sin E. (2)
Піднесемо до квадрата і почленно додамо рівності
(1) і (2), дістанемо
4 (ab + cd)2 = (a2 + b2 — c2 — d2)2 + 16S2,
тому 16S2 = (2 ab + 2 cd)2 — (а2 + Ь2 — с2 — d2)2.
Двічі застосувавши тотожність а2 — Ь2 = (а —
— 6) (а + Ь), дістанемо шукану формулу. Поклавши
в ній d = 0, дістанемо формулу Герона
S&ABC = Vp{p — a)(p — b)(p — с),
де 2р = а + b + с. (Див. № 60)
Брахмагупта не застерігав, що його формула правильна
тільки для чотирикутників, вписаних у коло. Але він
розглядає два типи чотирикутників — рівнобедрені трапеції й
чотирикутники, в яких діагоналі перетинаються під прямими
кутами. Для цих чотирикутників формула справджується.
80. 	Добуток довжин двох сторін трикутника,
поділений на довжину перпендикуляра, опущеного
на третю сторону з протилежної вершини трикутника,
дорівнює довжині діаметра описаного кола.
•
А ВСЕ ^ A ABD (мал. 33), тому с : h = | ВЕ \ : а,
звідки I BE І = ас : h.
73

МАГАВ1РА
(IX ст.)
81. Під час бою півнів один з глядачів домовився
з двома власниками півнів. Першому він сказав:
«Якщо переможе твій півень, то виграш віддаси
мені, якщо ж програєш, то я сплачу тобі твого
можливого виграшу». Другому учаснику він сказав:
«Якщо переможе твій півень, то виграш віддаси
мені, якщо ж програєш, я сплачу тобі ^
можливого виграшу». В обох випадках глядач одержить 12
монет. Який мав бути виграш кожного учасника бою?
Позначивши через х і у виграші кожного
партнера, дістанемо систему:
3 /ІО
я— -fV = 12,
У |-г = 12.
• Звідки: х = 42, у = 40.
82. Плоди граната, манго і лісових яблук
продаються відповідно по 3 шт. за 2 монети, 5 шт. за 3
монети, 7 шт. за 5 монет. Як за 76 монет купити стільки
плодів, щоб плодів манго було в 3 рази, а гранатів
у 6 раз більше, ніж лісових яблук?
•
Позначимо через х, у і Z відповідно кількість
плодів граната, манго і лісових яблук, які
задовольняють умову задачі. Прийдемо до системи рівнянь:
(2 ,3 і 5 гт п
-тх + -гу + —2 = 76,
У = 3z,
X — 6z.
Гранатів купили 70, манго — 35, лісових яблук —
74

I
83. 	Відомо, що ^ череди верблюдів пасеться
в лісі, 15 — на березі річки, а решта — подвоєний
квадратний корінь із загальної кількості
верблюдів — на схилах пагорба. Скільки верблюдів у
череді?
Позначивши через х кількість верблюдів у череді,
1 /—
дістанемо рівняння: х + 2 у х + 15 = х.
2
84. 	Дев’ять коренів з загальної кількості
с З
слонів, складені з о коренями з остачі,
знаходяться в лісі. Є ще 24 слони. Скільки всіх слонів?
Нехай усього було х слонів. Задача зводиться до
розв’язування ірраціонального рівняння:
9 V\х+61/ -f(* -9 V ~тх)+24=*•
Розв’язання його Магавіра зводить до
послідовного розв’язання двох квадратних рівнянь.
Позначимо у = х — 9 "|/~-|чг, дістанемо квадратне рівняння
у— б|/" у =24. Знаходимо уг = 60, у2 = -у-.
Підставимо перше значення: х — 9 "j/"х = 60, хг =
= 150, х2 = 24. Квадратне рівняння х — 9j/" ух =
= 4г не має цілих коренів. Умову задачі зад о-
вольняє тільки х = 150.
БХАСКАРА II
(1114-1185)
85. 	Якщо деяке число помножити на 5, від
добутку відняти його третину, поділити на 10 і додати до
75

1 1.1
різниці послідовно v "2 1 "4 взятого спочатку
числа, то дістанемо 68. Яке це число?
▼
48.
86, На дві партії розбившись,
Мавпи бавилися в гаї.
Частка восьма їх в квадраті
Забавлялася, стрибала.
Криком радісним дванадцять
Тихе світло дня вітали.
А тепер скажи, юначе,
Скільки мавп було у гаї?
•
Нехай у гаї було # мавп, тоді
(іг) +12 = *’
звідки хг = 48, #2 = 16.
Обидва корені задовольняють умову задачі.
87. Довести рівності:
а) 5 + /24 = /2 + /3;
б) п+УЯ+УШ+ґ*_ Stn + vs
в) УІ0 + /24 + /40 + /60 = /2 + /3 + /5.
88. Елементарними методами розв’язати рівняння
#4 — 2х2 — 400# = 9999.
•
Додавши до обох частин рівняння 4#2 + 400# +
+ 1, дістанемо #4 + 2#2 + 1 = 4#2 + 400# +
+ 10 000, добування з обох частин квадратного
кореня дає #2 + 1 = 2# + 100, # = 11.
89. У книжці «Вінок знання» Бхаскара II
наводить «доведення» теореми Піфагора у вигляді
креслення (мал. 34) з підписом «дивись». Як дістати
з креслення Бхаскари II доведення теореми
Піфагора?
76

Вказівка. Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі
с трикутника, рівновелика сумі площ чотирьох прямокутних
трикутників і квадрата, довжина сторони якого (а — 6).
Тобто, с2 = 4^- + (а — б)2, звідки с2 = а2 + б2.
НАРАЙАНА
(XIV ст.)
90. 	Корова щороку приносить теличку. Кожна
теличка, починаючи з четвертого року свого життя,
на початку року також приносить по теличці.
Скільки буде всього голів корів і телят через 20 років?
•
Першого року були корова й теличка, яка
народилася на початку року,— тобто 2 голови. На
початку другого року їх стало 3, на початку третього —
4, а на початку четвертого року поголів’я
збільшилося на 2 голови, оскільки корова й теличка
першого року народження принесли по теличці, тобто
всього стало 4+2 = 6 голів. На початку п’ятого
року поголів’я збільшилося на 3 голови і всіх стало
6 + 3 = 9. Починаючи з четвертого року,
поголів’я череди визначається за однією і тією самою
рекурентною формулою: х4 = х3 + хг, хь = х4 +
+ х2, ..., хп = хп—і + хп—%, бо за умовою задачі,
щоб визначити кількість корів і телиць для
довільного року, треба до кількості голів минулого року
додати кількість теличок, які народилися на початку
77

цього року, а їх буде стільки, скільки було голів
три роки тому.
На початку двадцятого року буде 2745 голів.
Розв’язання задачі привело до утворення
рекурентного ряду, подібного до визначного ряду чисел
Фібоначчі (див. № 116).
РАМАНУДЖАН СРИНІВАЗА АЙЄНГАР
(22.12.1887-26.4.1920)
91. 	Довести рівності:
a) 	Yі + 2V1 + З V і + 4 утт • • • = З,

За багатовікову історію китайські вчені зробили
багато визначних відкриттів у різних галузях
науки і техніки. Вони винайшли компас, сейсмограф,
спідометр, книгодрукування, технологію
виготовлення паперу, фарфору, пороху. З VII ст. до н. е.
китайські астрономи вміли завбачувати сонячні й місячні
затемнення, встановили періодичність їх повторення,
а в IV ст. до н. е. був складений перший в світі
зоряний каталог.
Математичні знання китайців формувалися в
глибокій давнині, але перші математичні тексти, що
дійшли до нас, датовано І тисячоліттям до н. е.
Більш ранні, очевидно, були знищені в 213 р.
до н. е., коли імператор-тиран наказав спалити всі
книжки.
У стародавньому Китаї викладанню математики
надавалося великого значення. Усі, хто претендував
зайняти посаду чиновника державної служби,
складали спеціальні екзамени, серед яких був і екзамен
з математики.
Китайська ієрогліфічна нумерація, що виникла
в II тисячолітті до н. е., застосовується в Китаї
до цього часу. У давні часи арифметичні операції
виконувалися на лічильній дошці за допомогою
лічильних паличок з бамбука, слонової кістки або
металу.
Дроби з’явилися майже одночасно з натуральними
числами. Дії першого ступеня виконувалися майже
так, як це робимо ми й тепер, множення і ділення
дробів інтерпретувалося на конкретних задачах
обчислення площ земельних ділянок, розподілу,
наприклад монет між кількома рівноправними особами.
Щоб опанувати нові математичні об’єкти і дії над
ними, китайські математики допускали й дробове
число людей.
Від’ємні числа називали «фу» (борг), додатні —
«чжен» (майно). Спочатку «фу» з’являлися й зникали
в процесі обчислень як різниці двох чисел «чжен»
і тільки пізніше почали виступати як окремі
об’єкти, що стало вирішальним кроком на шляху
введення від’ємних чисел.
Після введення від’ємних чисел лічильні палички
виготовляли двох кольорів: червоні — для
позна50

чення додатних чисел, чорні — від’ємних. Пізніше
на основі лічильної дошки виник лічильний прилад
«суань-пань», що нагадує рахівницю. Японці
називають його «сарабан».
( Найдревніший математичний трактат
«Математика в дев’яти книгах» зредагував фінансовий
чиновник Чжан Цан (пом. 150 р. до н. е.). Книга
призначалася для землемірів, інженерів, чиновників,
торгівців. У трактаті зібрано 246 задач. Виклад
догматичний. Спочатку формулюється умова задачі, потім
дається відповідь і стисла вказівка щодо способу
розв’язування.
Деякі задачі присвячені арифметиці дробів,
обчисленню площ плоских фігур, об’ємів, системам
двох лінійних рівнянь з двома змінними, системам
п рівнянь з п змінними, які розв’язуються способом
«фан-чен» (буквально — вистроювання чисел по
клітинках). Є задачі, які розв’язуються за допомогою
теореми Піфагора.
«Математика в дев’яти книгах» увійшла в збірник
десяти трактатів, який був посібником для підготовки
чиновників до кваліфікаційних екзаменів. У
збірник входили також «Математичний трактат» Сунь-
цзи, «Трактат про морський острів» визначного
математика Лю Хуея (Ш ст.), «Математичний трактат»
Чжан Цюцзяня (V ст.).
Трактат Сунь-цзи містив математичні таблиці,
арифметичні задачі на складання систем лінійних
рівнянь, геометричні, на встановлення
співвідношень між різними одиницями вимірювання. У книзі
Лю Хуея розглядалися задачі на визначення
відстаней до недоступних предметів і розмірів цих
предметів. Чжан Цюцзянь, розвиваючи ідеї своїх
попередників, приділив багато уваги новим
математичним проблемам: вивченню числових рядів,
рівнянням вищих степенів, теоретико-числовим
задачам.
Вершиною досягнень китайських математиків у
розв’язуванні задач, які приводять до системи п
лінійних рівнянь з п невідомими, є спосіб «фан-чен»,
викладений у «Математиці в дев’яти книгах» (кн. VIII).
Він близький до методу визначників, ідею якого
в Європі вперше висловив німецький математик
81

Г. В. Лейбніц (1646—1716), а розвинув
швейцарський математик Габріель Крамер (31 .VI 1.1704 —
4.1.1752). Близько V ст. в Китаї був розроблений
алгоритм наближеного обчислення коренів
кубічного рівняння х3 + ах2 = Ь, а в VII ст.— і повного
кубічного рівняння.
Алгебраїсти XIII—XIV ст. поширили метод
чисельного розв’язування кубічних рівнянь на
рівняння вищих степенів.
З коментарів до найдавнішого астрономічного
твору «Трактату про мірну віху» відомо, що доведення
теореми Піфагора для прямокутного трикутника із
сторонами 3, 4, 5 було знайдене в XII ст. до н. е.,
а в загальному випадку її доведення знали в VI ст.
до н. е.
Математики й астрономи I—III ст. приділили
багато уваги уточненню відношення довжини кола
до діаметра. Астроном і філософ Чжан Хен (78—
129) знайшов наближення я « КіО = 3,162...,
142
Вань Фань (пом. 267) дістав п » = 3,155 ...,
Лю Хуей — я « 3,14159. Астроном, математик і
інженер Цу Чунчжі (430—501) довів, що 3,1415926 <
< я < 3,1415927, йому ж належить наближення
355
я из •
Наведені факти показують, що китайська
математика розвивалася як зібрання обчислювальних
алгоритмів і різних способів розв’язування
практичних задач. При цьому широко використовувалися
тотожні алгебраїчні перетворення і взаємно
однозначні перетворення площин. Було відкрито цілий
ряд важливих математичних залежностей, хоча
китайська математика, як і індійська, мала
практичний характер і мало була схожа на дедуктивну
математику античної Греції.
Як і математичні знання інших народів,
китайська математика розвивалася не ізольованою, а
у взаємному культурному обміні, взаємозбагачена
досягненнями інших народів, насамперед
індійського і країн ісламу.
82

ЗАДАЧІ
З «ТРАКТАТУ ПРО МІРНУ ВІХУ»
92. У коментарі до трактату зазначається, що
доведення теореми Піфагора грунтується на
кресленні, де квадрат, побудований на сумі катетів а і Ь
прямокутного трикутника, подано як суму площ
деяких інших фігур (мал. 35). Відтворіть це
доведення.
•
(а + Ь)2 = АаЬ + (а — Ь)2 = 2 аЬ + с2.
Тому а2 + 2ab + Ь2 = 2аЬ + с2, звідки
випливає: а2 + Ь2 = с2.
З ТРАКТАТУ «МАТЕМАТИКА В ДЕВ'ЯТИ
КНИГАХ»
93. Гість за день проїжджає 300 лі (лі дорівнює
0,576 км). Гість поїхав від господаря, забувши взяти
одяг. Коли через J дня господар виявив залишений
гостем одяг, він поїхав наздоганяти гостя. Віддавши
гостю одяг, господар одразу повернув коня назад.
З
Через дня він був удома. О котрій годині він був
удома? Скільки він проїжджав на коні за день?
▼
780 лі.
94. Кілька чоловік разом купують барана. Якщо
кожний внесе по 5 монет, то не вистачить до вартості
барана 45. Якщо кожний внесе по 7, то не
вистачить 3. Скільки людей і яка вартість барана?
▼
21 чоловік, баран коштує 150.
Відповідь у цій задачі, як і в попередній, нереальна. Такі
задачі були математичними моделями певних класів ситуацій.
Автори таких задач не дуже дбали про реальність числових
даних, вони прагнули подати логічні схеми міркувань,
алгоритми розв’язання задач, реальний же зміст числових
даних — це вже галузь практичного застосування математики.
83

95. Є водойма з п’ятьма водостічними канавами.
Якщо відкрити першу з них, водойма наповниться
1
за дня, якщо другу — вона наповниться за день,
якщо третю — за 2 — дня, якщо четверту — за 3 дні,
якщо п’яту — за 5 днів. За скільки днів
наповниться водойма, якщо відкрити всі канави?
▼
О 15
За дня.
96. Рисак і шкапа рухаються від Чананя до
Князівства Ці, відстань між якими 3000 мір довжини.
У перший день рисак пробіг 193 міри, а кожного
наступного дня на 13 більше. Шкапа пробігла в перший
день 97 мір, а кожного наступного дня на ^ менше.
Рисак першим досягнув князівства Ці, повернув
назад і в деякому місці зустрів шкапу. Через скільки
днів вони зустрілися і скільки пробіг до цієї
зустрічі кожний?
Рисак і шкапа зустрінуться через 15 дня,
рисак пробіжить до зустрічі 4534 міри,
шкапа — 1465 міри.
97. Із 3 снопів доброго врожаю, 2 снопів
середнього врожаю та 1 снопа поганого врожаю одержали
39 мірок зерна. Із 2 снопів доброго врожаю, 3
снопів середнього врожаю та 1 снопа поганого врожаю
одержали 34 мірки зерна. Із 1 снопа доброго врожаю,
2 снопів середнього врожаю та 3 снопів поганого
врожаю одержали 26 мірок зерна. Скільки зерна
одержали з кожного снопа доброго, середнього і
поганого врожаю ?
▼
І
З одного снопа доброго врожаю одержали 9-^ мір-
, 1 . о 3 .
ки, середнього — 4 -j- мірки, поганого — 1-^ мірки.
98. У п’яти сімей спільна криниця. Щоб дістати
до поверхні води, потрібно використати 2 вірьовки
84

сім’ї А та 1 вірьовку сім’ї Б; 3 вірьовки сім’ї Б та
1 вірьовку сім’ї В; 4 вірьовки сім’ї В та 1 вірьовку
сім’ї Г\ 5 вірьовок сім’ї Г та 1 вірьовку сім’ї Д;
б вірьовок сім’ї Д і 1 вірьовку сім’ї А. Яка глибина
криниці? Яка довжина куска вірьовки кожної сім’ї?
•
Позначимо глибину криниці через а, а довжини
кусків вірьовки сімей А, Б, 5, /\ Д відповідно
через х, у, z,u, v. Розв’язування задачі зводиться до
розв’язування системи п’яти рівнянь з шістьма
невідомими:
( 2 х + у = а,
І Зу + z = а,
І 4z -\-и — а,
j 5и + v = а,
! 6v + х = а.
о . 265 191 148 129
Звідки X у2| У ^ 721 ^ 721
v=-^-a; отже, а має бути рівним 721, тоді я =
= 265, у — 191, z — 148, и = 129, и = 76.
СУНЬ-ЦЗИ
(111 ст.)
99. 	Два чоловіки А і Б одержали деяку кількість
монет, які треба розділити між ними так, що коли
до монет А додати половину монет Б або до монет
2
Б додати монет А, то в обох випадках дістанемо
48. 	Скільки монет одержав кожний чоловік?
•
Якщо позначити кількість монет А через а:, а
кількість монет Б — через у, то задача зводиться до
розв’язування системи рівнянь:
X + -g- У = 48,
х + у = 48.
Звідки х = 36, у = 24.
85

100. Знайти число, яке при діленні на 3 дає
остачу 2, при діленні на 5 дає остачу 3, при діленні на
7 — остачу 2.
•
Задача зводиться до розв’язування системи
рівнянь:
’ х == Зу + 2,
х = 5z -|- З,
х = їй + 2.
Звідки у = -у и. Нехай и = 3/ (/ £ Z). Тоді у — It,
х = 21/ -|- 2, 21/ + 2 = 5z 3, або 21/ —
— 5z = 1. За допомогою добору знаходимо одну
пару коренів останнього діофантового рівняння: t =
= 1, z = 4. Загальні формули коренів цього
рівняння: * = 1 + 5д, 2 = 4+ 21д (? = 0, 1, 2, ...).
Оскільки а; = 2it +2, то я = 23 + 105д. Якщо
q= 0, х = 23; якщо q = 1, я = 128; якщо g = 2,
а: = 233 і т. д.
ЧЖАН ЦЮЦЗЯНЬ
(У ст.)
101. Півень коштує 5 монет, 1 курка — 3 монети,
З курчат — 1 монету. Всього за 100 монет купили
100 птахів. Скільки купили півнів, курей і курчат
окремо?
•
Позначимо кількість півнів, курей і курчат
відповідно через х, г/, z. Задача зводиться до
розв’язування системи діофантових рівнянь
5х + 2у “)—у z = 100,
х + У + 2 = іоо,
яка еквівалентна рівнянню 7я + 4у = 100. Тоді
7 З
у = 25 — х, a z = 75 +-^ х. Значення у і z
будуть цілими додатними, якщо х = Ак (к = 1, 2, 3),
тобто; х = 4к, у = 25 — 7к, z = 75 + 3к.

У VII ст. на Аравійському півострові виникла нова
?елігія — іслам (буквально означає покірність),
ї заснував Магомет. Послідовники цієї релігії
називаються мусульманами. Наступники Магомета
(халіфи) протягом VII—IX ст. завоювали
велетенські території, на яких утворилася держава —
арабський халіфат. До його складу входили вся північна
Африка, Піренейський півострів, південь Італії,
Середня Азія, частина Закавказзя та Індії. На цих
територіях державною стала арабська мова.
Тому науку, зокрема й математику цього часу,
часто називають арабською, що, звичайно,
неправильно. Її творили представники різних народів,
які змушені були працювати в столицях окремих
держав халіфату (наприклад, Дамаску, Багдаді) і
писати арабською мовою. На територіях халіфату
в різні часи відбувалися жорстокі війни, у результаті
яких окремі народи . ставали жертвами навал
завойовників. Так, у XI ст. Середню Азію, Іран,
Сірію і Месопотамію загарбали турки-сельджуки.
У XIII ст. монголи вбили останнього халіфа й
ліквідували арабський халіфат.
Ученим доводилося працювати в надзвичайно
важких умовах безперервних воєн і переслідувань.
Чимало з них жили полоненими або поневірялися
на чужині.
У VIII—X ст. на арабську мову було перекладено
індійські сіддханти («вчення»), праці Евкліда, Архі-
меда, Аполлонія, Менелая, Птолемея, Діофанта
та інших учених. Засвоївши наукову спадщину
минулого, учені країн ісламу створили і власну своєрідну
математичну культуру. Головні зусилля вчені
спрямовували на розв’язання практичних задач, на
основі яких формувалися нові плідні математичні ідеї.
Вони виконали важливі теоретичні дослідження в
галузі арифметики і теорії чисел, алгебри, геометрії
і тригонометрії.
Великою заслугою вчених країн ісламу була
популяризація й поширення десяткової позиційної
системи числення. Її виклав видатний таджицький
математик, астроном і географ ал-Хорезмі Абу Аб-
далла Мухаммед ібн Муса ал-Маджусі (787 —
бл. 850). Народився цей вчений у Хорезмі, жив
88

і працював при дворі халіфів у Багдаді, де ймовірно
очолював своєрідну академію — «Будинок мудрості».
Від латинізованої форми прізвища ал-Хорезмі
походить сучасний термін «алгоритм». Назва його
праці «Кітаб ал-джебр ал-мукабала» дала назву
великому розділу сучасної математики — алгебрі.
Операція ал-джебр означає перенесення членів
рівняння з однієї частини рівняння в другу так, щоб
в обох частинах були тільки додатні члени;
ал-мукабала — зведення подібних членів. Наприклад,
застосування ал-джебр до рівняння Зх2—1х + 2 =
= 8х — 7 приводить до рівняння Зх2 + 2 + 7 =
= 8х + їх, а ал-мукабали — до рівняння Зх2 +
+ 9 = 15х. Квадратні рівняння ал-Хорезмі
розв’язує за допомогою геометричних побудов,
трактуючи х як відрізок, х2 — як квадрат із стороною
\х\. У X ст. квадратні рівняння розв’язують уже
без геометричних побудов.
Багдадський математик і астроном Абу-л-Вафа
Мухаммед ібн Мухаммед ал-Бузджані (10.VI.940—
1 .VIII.998) прославився працями з геометрії,
тригонометрії і практичної астрономії, оригінальною
«Книгою про те, що потрібно реміснику з
геометричних побудов». Арифметичний трактат Абу-л-Вафи
був єдиною в країнах ісламу книгою, в якій на той
час застосовувалися від’ємні числа.
Різносторонній математик, географ, астроном,
історик, етнограф і поет Абу-р-Рейхан-Мухаммед
ібн Ахмед ал-Біруні (973—1048) народився в м. Кяти
(тепер в м. Біруні Каракалпацької АРСР). Його
математичні праці присвячені майже всім розділам
сучасної йому математики. Розв’язуючи конкретні
задачі, Біруні висував плідні математичні ідеї.
Наприклад, досліджуючи відношення довжини кола
до його діаметра, прийшов до ідеї введення додатних
ірраціональних чисел.
Багато уваги приділив математиці відомий
природодослідник, лікар і поет, таджик за
національністю Ібн Сіна Абу Алі ал-Хусейн ібн Абдалла (Аві-
ценна) (бл. 980-18.VI.1037).
Іранський математик ал-Караджі, або ал-Кархі,
(пом. 1016) — автор двох великих математичних
трактатів з арифметики та алгебри. У цих працях він
89

не тільки підсумував результати деяких своїх
попередників, а й зробив власні цікаві додатки.
Багато важливих відкриттів у різних розділах
математики зробив видатний перський математик,
астроном, філософ і поет Хайям Абу-л-Фатх Омар
ібн Ібрахім (1048—бл. 1131). Він дав повну
класифікацію кубічних рівнянь й геометрично розв’язав
14 їх видів (форм). Дійсні корені таких рівнянь
учений шукав як точки перетину кривих ліній другого
порядку. Хайяму належить цікава спроба довести
знаменитий V постулат Евкліда.
При дворі монгольського Хулагу-хана жив і
працював відомий азербайджанський математик і
астроном ат-Тусі Насір ад-Дін Абу Джафар Мухаммед
ібн Мухаммед (17.11.1201—1274). У м. Маразі він
організував одну з кращих для того часу
астрономічну обсерваторію, для роботи в якій було
запрошено вчених з різних міст. Вони провели ряд важливих
математичних і астрономічних досліджень.
У Самаркандській астрономічній обсерваторії
Улугбека Мірзи Мухаммеда ібн Шахруха ібн Тіму-
ра (22.III.1394—1449) працював відомий математик
і астроном Гійас ад-Дін Джемшід ал-Каші (пом.
бл. 1430 p.). Ал-Каші опублікував у 1427 р. трактат
«Ключ арифметики» — цікавий посібник з
елементарної математики, в якому виклав теорію та алгоритми
дій з десятковими позиційними дробами. Це визначне
відкриття в Західній Європі зробив Симон Стевін
(1548—1620) тільки через 135 років. У «Трактаті про
коло» ал-Каші за допомогою обчислення периметрів
правильних вписаних у коло многокутників, аж до
З • 228-кутника, дістав 17 правильних десяткових
знаків числа 2я = 6,28311853071795865. Цей результат
у 1597 р. знову дістав А. ван Роомен за допомогою
вписаних многокутників (до 230-кутника).
Багато уваги приділили вчені країн ісламу
обчислювальній математиці, астрономічним і
тригонометричним обчисленням. Вони відкрили ряд важливих
залежностей прямолінійної і сферичної
тригонометрії. Майже всі вони прагнули вдосконалити «Начала»
Евкліда. Йшлося, насамперед, про розкриття
таємниці теорії паралельних. V постулат Евкліда
прагнули довести Омар Хайям, ат-Тусі і багато інших
90

математиків країн ісламу. При цьому було зроблено
ряд видатних відкриттів, які підготовляли відкриття
неевклідової геометрії.
Учені країн ісламу жили й творили в умовах
жорстокого релігійного гніту, справжнього терору з
боку мусульманського духівництва. Мужнім борцем
проти мусульманського духівництва був Омар Хайям.
У своїх безсмертних чотиривіршах — рубаях він
таврував лицемірство й підступність
мусульманського духівництва, розкривав шкоду, якої завдає
суспільству іслам і інші релігії. Усе життя боролися
проти релігії і різних марновірств ал-Біруні та
ібн-Сіна. Трагічно обірвалося життя визначного
узбецького астронома, математика, прогресивного
правителя Самарканда — Улугбека. Реакційне
духівництво, яке вбачало в просвітительській
діяльності Улугбека підрив релігійних підвалин ісламу,
організувало зрадницьке вбивство вченого. Його
унікальна обсерваторія була зруйнована. Дуже
великий список злочинів мусульманської реакції проти
прогресивних учених. І тим більша велич тих, хто
ціною неймовірних зусиль, під постійними
загрозами виконав важливу історичну місію — збагатив
скарбницю математичної думки новими відкриттями
і передав наступним поколінням досягнення
античних учених.
На початку XI ст. в райони Іспанії, звільнені від
маврів, почали приїжджати вчені з багатьох країн
Західної Європи, щоб ознайомитися з математичними
й природничими науками. Там перекладалися з
арабської на латинську мову праці учених країн ісламу
та античного світу. Сучасні терміни: цифра,
арабська цифра, алгебра, алгоритм, корінь, синус,
численні астрономічні терміни й назви багатьох зірок
теж походять з Близького Сходу. Наука Західної
Європи зводилася швидкими темпами на міцному
фундаменті досягнень попередників, зокрема
математиків країн ісламу. Нижче пропонуємо кілька
задач учених країн ісламу. Задачі ал-Хорезмі і
ал-Біруні дано в розділі, присвяченому вітчизняній
математиці (див. 170—174), оскільки творчість цих
учених — невід’ємна частина вітчизняної науки.
91

ЗАДАЧІ
АБУ-Л-ВАФА
(10.V1.940—l.V III.998)
102. Побудувати квадрат з двох даних неконгру-
ентних квадратів.
•
Нехай дано два неконгруентних квадрати A BCD
і MNKP і перший більший від другого. Потрібно
так розрізати ці квадрати, щоб з утворених частин
можна було скласти новий квадрат, рівновеликий
сумі площ даних квадратів. Накладемо менший
квадрат на більший, щоб вершини А і М сумістилися,
сторона MN збіглася з (АВ), аМР з (AD) (мал. 36).
Продовжимо INK] і [PK] й побудуємо [НА І і [ОА ].
103. Побудувати квадрат з трьох даних
конгруентних квадратів.
т
Див. мал. 37.
АБУ АЛІ ІБН-СІНА (АВІЦЕННА)
(бл. 980—18. V1.1037)
104. а) Якщо при діленні числа на 9 дістанемо
в остачі 1 або 8, то при діленні квадрата цього числа
на 9 дістанемо в остачі 4.
92

б) Якщо при діленні числа на 9 дістанемо в остачі
2 або 7, то при діленні квадрата цього числа на 9
дістанемо в остачі 1.
в) Якщо при діленні числа на 9 в остачі дістанемо
1,4 або 7, та його куб при діленні на 9 дає в остачі 1.
•
а) Нехай п = 9/с + 1, тоді п2 = 81 к2 + 18/с + 1 =
= 9 (9к2 + 2к) + 1 = 9рг + 1. Якщо лг = 9/с -f- 8, то
п2 = Ш2 + 144/с + 64-9 (9 к2 + Ш + 7) +1 = 9 р2+
-Ь 1*
б) Нехай т == 9/с + 2, тоді т2 = 81 к2 + 36к + 4 —
= 9 (9/с2 + 4к) + 4 = 9р3 + 4; якщо т = 9к + 7, то
т2 = 81/с2 + 126* + 49 = 9(9/с2 + 14/с + 5) + 4 = 9 р4 +
'+ 4.
в) Нехай г = 9/с + 1, тоді г3 = (9/с)3 + 3 (9к)2 +
+ 3- 9/с + 1 = 9р4 + 1, якщог = 9к + 4, то r3= (9£)3 +
+ 3 (9/с)2 • 4 + 3 • 9/с • 16 + 64 = 9рь + 1, якщо г =
= 9/с + 7, то г3 = (9* + 7)3 = (9А)3 + 3 . (9/с)2 . 7 +
+ 3 • 9* • 49 + 343 = 9ре + 1.
АБУ БАХР МУХАММЕД ІБН АЛ-ХАСАИ
АЛ-КАРАДЖІ
(Х-Х1 ст.)
105. Розв’язати рівняння х1 — ЬзР + сз?.
106. Розв’язати систему рівнянь:
я2 + у2 = Z2,
XZ = у2,
ху = 10.
АБУ-Л-ФАХТ ОМАР ІБН-ІБРАХІМ АЛ-ХАЙЯМ
(1048 - бл. 1131)
111
107. Розв’язати рівняння + 2 — = 1 -j.
▼
х = 2.
98

ДЖЕМШІД ІБН-МАСУД-AJl-KAUll
(пом. бл. 1430)
108. У саду перший зірвав один гранат, другий —
два, а кожен наступний — на один гранат більше.
Потім усі, хто рвали гранати, розділили їх між
собою порівну і кожний одержав по шість гранатів.
Скільки людей рвали гранати?
Позначимо невідоме число через х, тоді
= &х, х2 + х = І2х, х2 = 11#, х = 11.
109. Двоє одночасно пішли від однієї точки в
протилежних напрямках берегом круглого озера. Перший
проходив щодня 10 миль, а другий пройшов за день
1 милю, а кожного наступного дня проходив на 1
милю більше. Коли вони зустрілися, виявилося, що
1 5 ст
першии пройшов -g- кола, а другии — у. Яка
довжина берега круглого озера і скільки днів були
в дорозі пішоходи?
Візьмемо кількість днів за X, тоді шлях першого
пішохода Юх, а другого ^ }—. Оскільки другий
пройшов у шляху, то (х+£)х __ g . —[_
+ -ї- = 50х, -£ = 49-і-*, х = 99.
Перший пішохід пройшов 99 • 10 = 990 (миль),
І
це -g- частина довжини берега. Отже, довжина кола
5940 миль. Другий пішохід пройшов 5940 — 990 =
= 4950 (миль).
110. Поділити 10 на дві частини так, щоб квадрат
першої частини і друга частина в сумі становили
квадрат.
Нехай одна частина буде х, тоді другу частину
(10 — х) можна взяти за 2х + 1, бо х2 + 2х + 1
є квадратом:
х2 + 2х + 1 = (х + І)2. Тому х + 2х + 1 = 10,
Зх = 9, х = З
94

є шукана перша частина, друга частина
дорівнює 7.
111. Коли додати до числа або відняти від нього
І
З у > то здобуті сума і різниця будуть квадратами.
Знайти це число.
•
Задача зводиться до відшукання раціональних
коренів системи рівнянь
X + 3~y = t2,
х — = и2,
або <2 — и2 ~ 7, х = 12-|- .
112. Спис, який стояв вертикально у воді,
піднімався над поверхнею води на три лікті. Вітер
відхилив його і занурив у воду так, що його вершина
знаходиться на поверхні води, а основа не змінила свого
доложення. Визначити довжину списа, якщо
відстань між початковою верхньою точкою і точкою
зіткнення з поверхнею води дорівнює 5 ліктів.
▼
2
Довжина списа 5-^* ліктів.
Математика країн ісламу — важливий етап
історії фізико-математичних наук. У рамках арабського
халіфату досягла високого рівня нова специфічна
культура. Першим науковим центром став
заснований в 762 р. Багдад, де за каліфа ал—Мамуна (813—
833) виникла знаменита академія «Будинок
мудрості». У ньому працювали вчені з багатьох країн.
У різні періоди середньовіччя широкою славою
користувалися наукові центри в Дамаску, Реї,
Бухарі, Хорезмі, Газні, Самарканді, Ісфахані, Маразі.
Особливого значення в державах каліфів
надавалося астрономії, яка задовольняла потреби морської
і сухопутної торгівлі, зрошувального землеробства
і популярної в той час псевдонауки — астрології.
Астрономи багдадської школи вперше після Ерато-
95

сфена Кіренського виміряли довжину градуса
земного мерідіана.
Багато уваги приділялося в цей період
математичній географії, фізиці, геодезії, механіці,
конструюванню різних інструментів. Оскільки всі ці науки
грунтувалися на математиці, особливо
обчислювальній, це визначило основні напрями розвитку
математичних досліджень. Математики країн ісламу
багато працювали над розробкою обчислювальних
алгоритмів для розв’язування арифметичних,
алгебраїчних і геометричних задач, спочатку простих,
а потім і досить складних. У процесі їх розв’язування
проводились теоретичні дослідження, виникали нові
математичні поняття, які потім об’єднувалися в
наукові теорії. Саме в цей період формувалися як окремі
дисципліни плоска і сферична тригонометрія.
Продовжуючи традиції, які складалися в грецькій і
еліністичній математиці, учені країн ісламу досягли
певних успіхів, які великою мірою визначили
дальший розвиток математики.
Увагу вчених країн ісламу привертали загальні
питання геометрії, насамперед теорія паралельних.
Вони були далекі від думки про створення неевклі-
дової геометрії і спрямовували свої зусилля на
доведення V постулату Евкліда з припущень або
принципів, які вважали більш очевидними, ніж сам
постулат. Усі такі спроби були марними, оскільки V
постулат логічно незалежний від інших аксіом Евкліда
і не може бути доведений на їх основі шляхом
логічних висновків. Але в математиці іноді невдачі стають
корисними. Математики країн ісламу, наприклад,
намагаючись довести V постулат, зробили водночас
визначні відкриття: довели залежність між цим
постулатом і величиною суми внутрішніх кутів
трикутника, встановили логічну еквівалентність ряду
висловлень теорії паралельних, довели деякі
твердження, які були, по суті, першими теоремами
геометрії Лобачевського і Рімана.
Розв’язування задач на обчислення площ і об’ємів
стало ще однією сходинкою на шляху до розробки
методів диференціального та інтегрального числення.

4 2765

Епоха, коли в Західній Європі формувалися й
панували феодальні відносини, тобто від V—VI ст. до
кінця XVI ст. називається середніми віками. Це
тисячоліття справді знаходиться посередині між
добою античного рабовласницького суспільства і
європейським Відродженням. Зрозуміло, що наведені
історичні межі умовні. Італійський Ренесанс XIV—
XVI ст., є найбільш яскравим виявом розпаду
феодальної формації і зародження капіталізму. Академік
В. А. Стек лов у книжці «Математика і її значення для
людства» дав виразну характеристику ідеологічного
й культурного клімату середньовічної Європи: «У той
час насувається на Європу лихоліття, яке занурило
її у непроглядний морок неуцтва і застою; я маю
на увазі християнство... Вік розуму змінюється
віками непробудного розумового сну, який
продовжувався майже без перерви півтори тисячі років.
В історії людства не знайти більш грандіозного
й жахливого за своїм виявом нещастя, ніж це».
Неможливо навіть перелічити злочини
церковників проти людства — від розгрому знаменитої Алек-
сандрійської бібліотеки до вогнища, на якому
інквізитори в 1826 р. спопелили свою останню жертву —
сільського вчителя.
Про рівень знань VII—VIII ст. в Західній Європі
свідчать слова ірландського ченця Бєди Вельми-
поважного (бл. 673—735): «Хто вміє ділити, тому
ніяка справа не здаватиметься важкою. Я знаю
багато складних речей, але немає нічого
складнішого, ніж дії з дробовими числами». А тим часом Бєда
був одним з найосвіченіших людей того часу. Про
низький рівень математичної культури і умови
роботи вчених свідчить і той факт, що серед
звинувачень, висунутих проти самого папи римського Сіль-
вестра II (Герберта) (бл. 940—1003) було й те, що
він вміє ділити будь-які великі числа. В очах
церковників це було незаперечним свідченням того, що
він (навіть будучи папою римським!) продався
сатані. З XII ст. починають діяти слідчі органи церкви,
які потім організувалися в інквізицію —
страхітливий інструмент терору проти всього, що хоча б
трохи розходилося з інтересами церкви. Так, за наказом
глави іспанської інквізиції Торквемади (1420—1498)
98

було спалено живими 10 220 чоловік. У 1486 р. він
послав на вогонь іспанського математика Паоло Валь-
меса тільки за те, що той мав необережність
розповісти про свій успіх — розв’язання рівняння
четвертого степеня. Ученого звинуватили в спілкуванні
з нечистою силою, бо він зробив те, що «з волі божої
людському розуму не дано». А всього жертвами
інквізиції стало близько 12 мільйонів чоловік. Серед
них — багато відомих учених у галузі фізико-матема-
тичних наук.
Природно, що середньовічна Європа мало дала
для математики. Минуло тисячоліття, поки завдяки
діяльності невтомних поборників і пропагандистів
науки вдалося подолати шалений опір церковників,
недовір’я і ворожість до математичних наук. При
дворі франкського короля Карла Великого
працював Алкудн (735—805) — організатор ряду шкіл
і автор посібників з математики. З них найпопуляр-
ніший «Задачі для удосконалення розуму юнаків» —
один з перших збірників цікавих задач з математики.
На початок XIII ст. припадає діяльність
видатного математика середньовіччя, рішучого
прихильника індійської арифметики Леонарда Пізанського
на прізвисько Фібоначчі, що означає син Боначчо
(1180—1240). У «Книзі абака» Леонардо
систематизував величезну кількість математичних фактів
і виклав їх з надзвичайною повнотою і глибиною.
Багато задач з цієї книги використовувались у
збірниках цікавих задач. Деякі з них були узагальнені
й розвинуті в математичні теорії.
Видатним математиком, який значно перевершував
своїх сучасників, був французький учений Ні-
коль Орем (бл. 1323—1382). У «Трактаті про
відношення» і «Алгоризмі відношень» він дав правила
дій з дробовими додатними показниками степенів,
підійшов до поняття ірраціонального показника
степеня. У великій книзі «Про конфігурації якостей»
Орем розвинув ідею функціональної залежності,
розроблену англійцем Річардом Суайнсхедом (бл.
1350 p.). Орем — автор численних наукових праць.
Крім того, він виступав проти астрології і ворож-
бицтва, проти зловживань церкви.
4*
99

ЗАДАЧІ
АЛКУІН
(735-804)
113. Собака женеться за кроликом, який
знаходиться в 150 футах від неї. Вона робить стрибок
на 9 футів щоразу, коли кролик стрибає на 7 футів.
Скільки стрибків має зробити собака, щоб
наздогнати кролика?
▼
75 стрибків.
114. Розділити 100 мірок пшениці між 100 людьми
так, щоб кожний чоловік одержав 3, кожна жінка 2,
а кожна дитина у мірки. Скільки чоловіків, жінок
і дітей?
Задача зводиться до розв’язування системи
рівнянь;
Зх —2г/ —І—z = 100,
х + У + z = 100.
Виключивши з, дістанемо:
200 — бя — 4 у = 100 — х — у, 100 = 5# + 3 у,
20 = х + -у-. Оскільки у — ціле, воно має бути
кратним 5, наприклад 5и. Тоді у = 5и і -20 = х -\-
+ 3и, х = 20 — 3и. Оскільки х ^ , то и може
набувати значень 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Відповідно
дістанемо 7 розв’язків:
чоловіків (х) — 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2;
жінок (у) — 0, 5, 10, 15, 20, 25, ЗО;
дітей (z) - 80, 78, 76, 74, 72, 70, 68.
Алкуїн дає тільки один розв’язок: 11, 15, 74.
ЛЕОНАРДО ПІЗАНСЬКИИ (ФІЕОНАЧЧІ)
(1180-1240)
115. Дехто купив ЗО птахів за ЗО монет. За три
горобці він платив 1 монету, за дві горлиці — теж
1 монету, за кожного голуба — 2 монети. Скільки
птахів кожного виду він купив?
100

Задача зводиться до розв’язування системи діо-
фантових рівнянь
х + у + z = ЗО,
-у х Н—2» у + z = ЗО,
де х — кількість куплених горобців, у — горлиць,
z — голубів. Виключивши z, приходимо до діофан-
10
тового рівняння Юх + 9у = 180, або у = 20 д- ж,
я має бути кратним 9, тому х = 9 єдине можливе
значення для ху бо коли х = 18, то у = 0, що
неможливо. Тому х = 9, г/ = 10 і 2 = 11.
116. Скільки пар кроликів народиться за рік
від однієї пари, якщо кожна пара дає щомісяця
приплоду по одній парі, яка в свою чергу здатна
до розмноження через один місяць, і якщо жодна
пара не загине?
•
На початку року маємо 1 пару кролів, через 1
місяць їх буде — 2 пари, через два місяці — 3, через
три — 5, потім через кожний місяць кролів буде
відповідно 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 і, нарешті,
377 пар, а всього 986 пар.
Розв’язання задачі привело до цікавої рекурентної
числової послідовності: 1, 1, 2, 3f 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
377, ип=ип_і+ип__2' Французький математик Едуард
Люка (1842—1891) назвав послідовності, члени яких утворюються
за таким рекурентним законом, рядами, або послідовностями
Фібоначчі, а їх члени — числами Фібоначчі.
Числа Фібоначчі постають при розв’язуванні численних
практичних і теоретичних задач і мають багато цікавих
властивостей. Зокрема, суму перших п послідовних чисел
Фібоначчі можна обчислити за формулою: и{-{- и2+ ... + ип =
= “п+2-1'
117. Якщо дано послідовність чисел Фібоначчі:-
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., де ии = 0, и, == 1
І ІХп —— llfi—] ”|~ Ип—2,
то
101

Доведемо це співвідношення методом
математичної індукції. 1) Формула справедлива для п = 0.
2) Припустимо, що вона справедлива для п = к (к £
£N). 3) Доведемо справедливість її для п = к + 1.
=-j=- «цд)‘ - (цр)’)+
+А№Г-№П-
_ 1 // 1 + /5 /5 + 3
/5 \\ 2 / * 2
-{ЧРГ-ЧЇ1)-
Але
^ 1 + У"5 j2 3 + /5 . ^ 1-/5 J . З— У~Ь
Тому
■^-угй^Г-^П-
118. 	При якій системі гир, маючи їх по одній,
можна зважити всі можливі цілочислові вантажі
до 41 фунта, якщо класти гирі тільки на одну шальку?
•
Задача зводиться до питання про можливість
подання кожного натурального числа, яке не
перевищує 41 деяким набором менших натуральних чисел.
Може бути набір 1, 2, 3, 5, 10, 20. Для більших чисел
добір виконати важко, оскільки немає алгоритму
подання натурального числа всіма можливими
доданками. У загальному випадку задача
розв’язується за допомогою двійкової системи числення, що
і було вперше зроблено Фібоначчі. У двійковій
системі числення використовуються лише дві цифри 0
і 1, оскільки вже дві одиниці якогось розряду
становлять одиницю наступного розряду. Наприклад,
перші 10 послідовних натуральних чисел в
двійковій системі числення записують так: 1, 1+1 =
102

= 2 = 102, 10, + 1 = 112, 112 + 1 = 1002, 1002 +
+ 1 = 1012, 101а + 1 = 1102, 1102 + 1 = 1112,
1112 + 1 = 10002, 10002 + 1 = 10012, 1001, + 1 =
= 10102.
За допомогою шести розрядних одиниць у
двійковій системі числення (ІО2 = 1, ІО2 = 2, 10| = 4,
ІО2 = 8, 10* = 16, 10| = 32) можна записати будь-
яке число, що не перевищує 1+2+4+8+16 +
+ 32 = 63. Тому, маючи шість гир в 1, 2, 4, 8, 16
і 32 фунти, можна зважити будь-який цілочисловий
вантаж до 63 фунтів. В історії математики задача
відома під назвою задача Ваше —Менделєєва.
119. Дві вежі, одна заввишки 40, а друга — ЗО
футів, знаходяться на відстані 50 футів одна від одної.
До розміщеної між ними криниці злітаються
одночасно з обох веж два птахи. Якщо птахи летять з одйако-
вою швидкістю, то вони одночасно долітають до
криниці. Знайти відстань від криниці до веж.
▼
18 футів, 32 фути.
19
120. Знайти число, -gg- якого дорівнює квадрату
самого числа.
Позначимо шукане число через х, тоді за умовою
задачі х = х2. Це рівняння має корені хг = 0
19
і х2 = "2Q • Обидва вони задовольняють умову задачі.
121. Розв’язати рівняння:
а) Зх + 4 \/~х2 — Зх = 20;
б) Зх + 4 Yх2 — Зх = х2 + 4;
в) х + Y х + Y2х + ]/"5х2 = 10.
▼
а) 	х1 = 4, х2 = — 14-|- .
В к а з і в к а. б) Леонардо Пізанпький покладає
V X2 — Зх = у, тоді 4у = у2+ 4, звідки у = 2, з рівняння
я2—Зх — 4 = 0 знаходимо х\ в) запишемо рівняння в такій
формі: х (1 + V 5) + Y~x (1_+ V 2) — 10 = 0. Дістали
квадратне рівняння відносно V х.
103

122, Троє мають деяку суму грошей, при цьому
гроші першого становлять половину, другого —
третину, а третього — шосту частину всієї суми.
Бажаючи заощадити частину грошей, кожний бере
із загальної суми стільки, скільки може нести, після
чого перший віддає на збереження половину,
другий третину, а третій шосту частину з того, що він
ніс. Через деякий час вони беруть ці гроші, і кож-
1 . ..
ному доводиться одержувати -у всієї суми, яка
була на збереженні. Скільки грошей було у кожного?
•
Нехай t — загальна сума, перший несе грошей —
х, другий — г/, третій—z. Задача зводиться до
розв’язування системи трьох діофантових рівнянь;*
_t_
2
t
“З
_t_
6
Найменше значення у = 13, t = 47, звідки z = 1,
1 2
х = 33. Частина першого 23у, другого 15-^,
5
третього 7-g-. Задача має три розв’язки.
123. Збільшивши або зменшивши число — точний
квадрат на 5, дістанемо точний квадрат. Знайти це
число.
Нехай шукане число х2, тоді х2 + 5 = и2 і х2 —
— 5 = v2, звідки и2 — Vі 10, (и + v) (и — v) = ^rjr =
80 • 18 п , 80 . 18
= —^22—. Взявши и + v = -jj- і и — v = -jy, зна-
49 31 41
ходимо и = -jTj- , v = -jj-; звідки х - -jj- • Перевір-
. / 41 \2 , _ / 49 \2 / 41 \2 / 31 \2
ка‘ ( 12 ) + 5 — ( 12 ) ’ ( 12 ) ( 12 ) ‘
104

124. 	Знайти такі числа х. г/, z, щоб суми х + у +
+ 2 + Xі, X + у + Z + X2 + у2 І х + у + Z + X2 +
+ у2 + z2 були точними квадратами.
16 48 144
Задачі № 122—124 були запропоновані Леонардо Фібоначчі
на турнірі придворним філософом імператора Фрідріха II
магістром Йоганом Палсрмським у присутності самого
імператора Це, очевидно, був перший публічний математичний
турнір. Фібоначчі здобув блискучу перемогу.
ШКОЛЬ ОРЕМ
(бл. 1323-1382)
125. Довести, що 4~ + Х','_Г",'11'+Х +
і 3 і 7
+ ^Г+ **• = — •
Вказівка. Суму утворено з членів двох нескінченних
у і \ \
 спадних геометричних прогресій: І— + у + -—(- ... +
+ + •") + 3 (ц + + Ж+ - + + •••)•
126. Довести розбіжність гармонічного ряду:
*+-г+4-+т+- +х + •••
Згрупуємо члени ряду, починаючи з третього,
послідовно по 2, 4, 8, ..., 2ft~1, ... членів у кожній
групі:
(4" + ~г) + (4" + Х + X + х) + (~т + тг +
+ ••• +-t + iV)+ ••• +(^+1+
+-$=hr+ - +-^)+ •••
Кожна сума в дужках більша за . Позначивши
дг-частинну суму гармонічного ряду через Нп(п = 2,
105

ft 1 1
4, 8, 2 “ , ...), дістанемо H2k > к • — . Це
означає, що ряд розбіжний.
Гармонічний ряд розбігається надзвичайно повільно;
Яюоо = 7,485, Н1000000 = 14,393, Н.,іп < 100, Я2143 > 100.
Якщо кожний дріб гармонічного ряду записати на 1 см2
паперу, то тільки 2100 квадратиками можна було б покрити земну
кулю в 400 млрд. шарів. Доведення Орема розбіжності
гармонічного ряду відзначається простотою і витонченістю
Пізніше це доведення було повторене італійським математиком
П. Менголі (1650 р.) і братами Йоганом і Якобом Бернуллі
(1698 p.).
126. 	Обчислити площу фігури, утвореної з
нескінченної множини прямокутників, якщо довжини
горизонтальних сторін прямокутників зменшуються
у відношенні 4 :1, а довжини вертикальних —
збільшуються у відношенні 1 : 2 (мал. 38).
•
Задача зводиться до обчислення суми членів
нескінченної спадної геометричної прогресії: 48 +
+ 24 + 12 + 6 + ... .
У трактаті «Про конфігурацію якостей » (бл. 1350 р.) Орем
наводить і інші конструкції фігур нескінченних розмірів,
які мають скінченну площу. Нескінченні криволінійні фігури
скінченної площі або об’єму відкрили П. Ферма і Е. Торічеллі.

XV і XVI ст. ввійшли в історію під назвою епохи
Відродження, тобто відродження рівня науки,
мистецтва, якого було досягнуто в античному світі.
Ф. Енгельс дав виразну характеристику цих двох
століть: «Це був найбільший прогресивний
переворот з усіх пережитих до того часу людством, епоха,
яка потребувала титанів і яка породила титанів
щодо сили думки, пристрасті й характеру, щодо
багатосторонності і вченості». (Маркс К. і
Енгельс Ф. Твори, т. 20, с. 326). На епоху
Відродження припадає діяльність таких визначних
учених, як Леонардо да Вінчі, Галілео Галілей і
Мікола Копернік. Математика стає особливо
популярною —* у ній шукають останній критерій істини, і
Леонардо да Вінчі, захищаючи її, проголошує; «Хто
ганьбить найвищу вірогідність математики, той
живиться самбуром».
Наука, в тому числі й математика, в цей час
розвивалася в умовах жорстокого терору церковників.
11 лютого 1600 р. в Римі на площі Квітів було
спалено поборника наукової істини Джордано Бруно.
Відчувши, яку загрозу несуть релігійним догмам і
легендам астрономічні відкриття Галілео Галі лея,
домініканський проповідник Каччіні в 1614 р. проклинав
допитливість людей, які захоплюються «лжемудру-
ваннями» математиків (математиками тоді називали
і фізиків, і астрономів), доводив, що математика
є вигадка сатани, а філософи, які її вивчають,—
винуватці всіх єресей і тому мають бути вигнані
з християнських країн.
Розправи над прогресивними вченими не зупинили
людської думки. Нових успіхів досягає математика,
яка розвивається головним чином в Італії, Франції,
Німеччині, а пізніше і в Голландії. Помітним
явищем в історії математики була діяльність Луки Пачо-
лі (бл. 1445 — бл. 1515), який у 1494 р. опублікував
велику працю «Сума знань з арифметики, геометрії,
відношень і пропорційності». У ній містилися різні
правила арифметичних дій, алгебраїчні обчислення.
Пачолі широко використовує алгебраїчну
символіку, розроблену італійськими алгебраїстами XVI ст.
Наступний крок у розробці математичної символіки
зробили німецькі алгебраїсти XVI ст. — «косисти»,
108

серед яких найбільш відомі — Міхаель Штіфель
(1486—1567) та Адам Різе (1489—1559).
Термінологія косистівбула поширеною в Європі. Нею
користувався й JL П. Магніцький у своїй «Арифметиці».
Видатні досягнення в XVI ст. належать
італійським ученим. Талановитий самоук математик і
механік Ніколо Тарталья (1500—1557) розв’язав у
радикалах кубічне рівняння типу х3 = ах + Ь і
деякі інші типи неповних кубічних рівнянь. Джірола-
мо Кардано (1501—1556), давши клятву, що нікому
не розголосить таємниці, вивідав у Тартальї секрет
його відкриття. Кардано був талановитим
математиком, йому вдалося узагальнити і поширити цей
метод Тартальї на інші типи неповних, а потім і на
повні кубічні рівняння.
У 1545 р. Кардано опублікував книгу «Велике
мистецтво, або про алгебраїчні правила», в якій,
порушивши дану Тартальї клятву, опублікував його
і свої відкриття, а також відкритий Луїджі Феррарі
(1522—1565), учнем Кардано, метод розв’язування
в радикалах рівняння четвертого степеня. Результати
Тартальї, Кардано і Феррарі мали величезне
значення для дальшого прогресу алгебри і всієї
математики. Хоча знайдені формули не давали якихось
переваг перед наближеними методами, їх відкриття
стало кроком вперед порівняно із здобутками
древніх. Перед наукою відкрилися нові глибокі проблеми:
насамперед питання про розв’язність у радикалах
рівнянь вищих степенів, яке привело спочатку до
створення теоретико-групового методу досліджень
у математиці, а потім і одного з найбільш глибоких
і плідних розділів сучасної математики — теорії груп.
Уже при розв’язуванні квадратних рівнянь
доводилося добувати квадратні корені з від’ємних чисел.
Індійські математики вважали, що такі квадратні
рівняцня не мають розв’язків і здобуті корені не
брали до уваги. Кардано і його сучасники
зустрілися з новим явищем: у випадку, коли всі
коефіцієнти і корені кубічного рівняння х3 + рх + q = 0
були дійсними, за формулою Тартальї-Кардано
109

+ \ ]/"(-J-J + (x)3 Д°В°ДИЛ0СЯ під КУ*
бічними коренями добувати квадратний корінь з
від’ємного числа. Ось приклад такого рівняння
я3 — 21#+ 20 = 1,
X = У- 10 + у 243 + У- 10 — 1/^243 , (*)
хоча воно має всі дійсні корені: (—5), 1, 4. Робилися
спроби звільнити формулу (*) від добування
квадратного кореня з від’ємних чисел, бо це призводило
до уявних чисел, а також звести її до оперування
з дійсними числами, але ці пошуки були
безуспішними. Тому цей випадок і був названий незвідним.
Так логіка розвитку самої математики змусила
математиків зробити ще один крок у розширенні
поняття числа — ввести комплексні числа. Ці
надзвичайно важливі математичні об’єкти були введені
з потреб математики, але з часом знайшли широке
застосування в розв’язуванні найрізноманітніших
практичних задач — гідро- і аеродинаміки, біології,
техніки, космонавтики.
Значення комплексних чисел розумів уже Карда-
но. Правила дій над ними чітко виклав італійський
математик Рафаель Бомбеллі (бл. 1526— бл. 1573).
Міхаеля Штіфеля (19.IV.1486 — 19.IV.1567), який
був священиком, часто згадують у зв’язку з його
обчисленнями дня кінця світу. За розрахунками
Штіфеля, це мало трапитися 19 жовтня 1533 p.,
про що він повідомив своїх прихожан. Чекаючи
страшний день, люди занедбали господарство.
Пророкування, звичайно, не збулося, і вони зажадали від
пророка-невдахи відшкодування збитків. Штіфелю
довелося рятуватися втечею. Він зробив правильний
висновок із своєї невдачі і, залишивши числові
марновірства, серйозно зайнявся математикою. Ці
заняття принесли йому справжній успіх. Штіфель дав
словесне формулювання формули (а + Ь)п для
натурального показника степеня, висунув ідею
логарифма числа та ідею багатовимірного узагальнення
куба. Трактат ученого «Повна арифметика»
користувався в свій час великою популярністю.
На межі епох Відродження і Нового часу височить
110

велична постать глибокого мислителя Франсуа Вієта
(1540 — 13.XII.1603). Учений залишив велику
наукову спадщину. Алгебра в його творах стала
загальною наукою про алгебраїчні рівняння, яка
грунтується на символічних позначеннях. Він відкрив
цікаві теореми про залежності між коефіцієнтами
і коренями алгебраїчних рівнянь, довів ряд формул
плоскої і сферичної тригонометрії, розв’язав багато
складних задач. Нідерландський інженер Сімон Сте-
він (1548—1620) у 1585 р. опублікував книгу
«Десята», де вперше в Європі виклав теорію десяткових
дробів і десяткову систему мір. Він енергійно
виступав проти різних числових марновірств,
проголошуючи рівноправність усіх чисел як математичних
понять: «Ми приходимо до висновку, що не існує
ніяких абсурдних, незбагненних, неправильних, не-
з’ясовуваних чи глухих чисел. Серед чисел існує
така досконалість і узгодженість, що нам потрібно
міркувати дні і ночі над їх дивною закономірністю».
Математика знаходить широке застосування в
розкритті таємниць природи. У 1543 р. вийшла праця
Міколая Коперніка «Про обертання небесних сфер».
Математичні методи широко застосовують у
живописі Леонардо да Вінчі і Альбрехт Дюрер, у фізичних
дослідженнях — Галілей.
127. 	Розв’язати елементарним способом рівняння
я4 + 2х3 + Зх2 + 2х — 81 600 = 0.
я4 + 2х3 + 2х2 + я2 + 2х + 1 = 81 601.
х* + 2х? + 2х2 + х2 + 2х+1 = 81 601,
(я2 + я + І)2 = 81 601, я2 + я+1— ]/Ж"бОІ =0,
ЗАДАЧІ
ЛУКА П АЧ О ЛІ
(бл. 1445-1514)
У \— 1 + /81601 =
У V 81 601 .
111

дробу _
/10
/б+/7 + /в'
•
/10 /Ї0(/б + /7— /8)
/6 + /7 + /8 ~ (/б + /7)2 — 8 “
/10 (/6 + /7 — /8) /10 (/6 + /7— /8) (/168— 5)
~ /Ш + 5 _ 143
129. 	Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює
4 лінійним одиницям. Точка дотику ділить одну із
сторін трикутника на частини завдовжки 6 і 8
одиниць. Обчислити довжини двох інших сторін
трикутника.
•
Нехай I AF І = 6, і I FC | = 8, | BD | = | BE | =
= х (Мал. 39). Тоді | AD | = 6 і | EC \ = 8.
112

130. 	Площа трикутника дорівнює 84 кв. од.
Обчислити довжини його сторін, коли відомо, що вони
виражаються послідовними натуральними числами.
Нехай довжини сторін трикутника будуть х — 1,
х, х + 1, тоді периметр його дорівнює Зх. За
формулою Герона дістанемо:
84
-V-
Зі2 (х + 2) {х — 2) .
16 ’
84 = У З (х2 — 4); 336 • 112 = х4 — 4х2,
х* — 4хг — 336 • 112 = 0.
Візьмемо х2 = z, тоді z2 — 4z — 336 • 112 = 0;
zi,2 = 2 ± |/1 + 336 • 28 = 2 ± 194. Умову задачі
задовольняє корінь z = 2 + 194; х = 14. Довжини
сторін трикутника 13, 14, 15 од.
ЛЕОНАРДО ДА ВІНЧІ
(1452-1519)
131. Якщо два конгруентних кола перетинаються,
то пряма, яка проходить через точки їхнього
перетину, є множиною точок, рівновіддалених від центрів
цих кіл.
МІХАЕЛЬ ШТІФЕЛЬ
(1486-1567)
132. Перевірити рівність
у 16 + уЧ8 = V у 4096 + V^64.
133. 	Розв’язати рівняння 216 + У41472 — 18х —
— УШх2 = 0.
▼
* = 4 (1 + У 2).
Це перший в історії математики приклад рівняння з нулем
у правій частині.
113

ШКОЛО ТАРТАЛЬЯ
(1500—1557)
134. На даному відрізку [АВ] побудувати за
допомогою лінійки і даного розхилу циркуля, який
не дорівнює І АВ |, рівносторонній трикутник.
•
З точки А £ [АВ) даним розхилом циркуля
робимо засічку D, а з точки В тим самим розхилом
робимо з другого боку засічку С. Будуємо на [AD]
і [ВС] рівносторонні трикутники (мал. 40). Точка
М буде третьою вершиною рівностороннього Л AM В.
135. Дехто має 24 фунти дорогоцінного масла.
У нього є ще посудини місткістю 13, 11 і 5 фунтів. Як,
користуючись цими посудинами, розділити масло на
три однакові частини?
•
Масло можна розділити, виконавши кілька
переливань. У першому рядку таблиці записано
місткості посудин, у наступних — кількість масла, яку
в них треба налити:
24
13
11
5
24
0
0
0
0
8
11
5
16
0
8
0
3
13
8
0
3
8
8
5
8
8
8
0
ДЖІРОЛАМО КАРДАНО
(1501—1576)
136. 	Розв’язати елементарним способом рівняння
ІЗ#2 = #4 + 2х3 + 2х + 1.
Додавши до обох частин по З#2, дістанемо:
16#2 = #4 + 2х3 + 2#2 + х2 + 2х + 1;
16#2 = (х2 + х + І)2;
114

4а: = ± (г* + х + 1); хі<2 = 3 ±^5 ■;
„ _ - 5 ± /21
з»4 — 2
137. Розкласти число 10 на такі два доданки, щоб
їхній добуток дорівнював 40.
•
Задача зводиться до розв’язування рівняння #2 —
— 10# + 40 = 0, яке має комплексні корені #1,2 =
= 5 ± = 5 ± 15і.
Оскільки в часи Кардано природу уявних чисел
ще не було з’ясовано, задача вважалася
нерозв’язною.
РАФАЕЛЬ БОМБЕЛЛІ
(бл. 1526—1573)
138. Довести, що
^2 + у^Ш + У 2 — = і.
139. Розв’язати рівняння х3 = 15# + 4.
х3 — 4#2 4- 4#2 — 16# + # — 4 = 0, х2 (х — 4) -f-
+ 4# (х — 4) + (х — 4) = 0, (# — 4) (#2 + 4# + 1) =
= 0, #х = 4, #2,з = — 2 ± J/3.
ФЛ4ЯСУ4 ВІЄТ
(1540-1603)
140. Спростивши добуток cos-^- • cos-^- • COS-Tf...
4
... cos дістати формулу Вієта для -5-:
lim
П-+
j/4-+4-/4-Х
"Г + tJ/"T + 4"1^T
X
115

■■■ У^т + тУ -т + -тУt + ~tVt +
+ -) = х-
а а а ос 1
cos -тг- • cos -7- • cos -5- ... cos —— • • • = — sin а;
2 4 8 2 а
sin а
а = .
а ос ос
cos -у • cos -j- • cos -g-
Нехай a = , тоді sin a = 1, cos -y- = J/^ ■.
Використавши формулу cos =
4-+4-cosa>
дістанемо формулу Вієта. Вона була першим
поданням числа я нескінченним добутком.
141. Якщо дано кубічне рівняння
#3 — (а + Ь + с) х2 + (ab + ас + bc)x = abc, то
а, Ь7 с — корені цього рівняння. Перевірити для
рівнянь: х3 — б#2 + 11# — 6 = 0, #3 — 4#2 — 4# +
+ 16 = 0.
Нехай х = а. Тоді а3 — (а + b + с) a2 + (ab +
+ ас + Ьс) а = а3 — а3 — а2Ь — а2с + а2Ь + а2с +
+ abc =.abc. Дістали тотожність aftc = абс.
142. Розв’язати рівняння: а) = 0;
б) 	і/6 — 2Ь3і/3 = а®.
Поклавши у3 = z, дістанемо z2 + 2b3z — a6 = 0,
zi,2 = — fc3 ± j/a6 + Ь6. Задача зводиться до
розв’язування двох кубічних рівнянь у3 = zx і у3 = z2.
СІМОН СТЕВІН
(1548-1620)
143. Розв’язати рівняння: а) х3 = 6# + 40,
б) 	х9 = З#6 + 5#3.
•
х3 — 4#2 + 4#2 — 16# + 10# — 40 = 0, #2 (# — 4) +
+ 4# (# — 4) + 10 (# — 4) = 0, #! = 4, #2 + 4# + 10 =
= 0, #2,3 = — 2 ± і V6 •
116

ГАЛІЛЕО ГАЛІЛЕЙ
(15.11.1564-8.1.1642)
144. 	Три гральні кості підкидають одночасно. Яка
більша ймовірність: поява на трьох костях суми очок
10 чи 9?
При одночасному киданні трьох костей можливі
6 • 6 • 6 = 216 варіантів випадання суми очок від
З до 18 (1,1, 1, ..., 6, 6, 6). У 27 випадках може
випасти 10 очок, у 25 випадках — 9 очок. Тому ймовір-
27
ність випадання 10 очок дорівнює = 0,125,
25
ймовірність випадання 9 очок —= 0,116.
Ця задача — одна з перших з теорії ймовірностей — була
запропонована Галілею любителем гри в кості. Галілей дав
правильне розв’язання.
У італійському містечку Арчетрі неподалік від
сучасної астрономічної обсерваторії туристам
показують дорогу, по якій сліпий 77-річний в’язень
інквізиції Галілео Галілей мав право ходити лише
в строго визначених межах. Так само строго
обмежувався і рух наукової думки. Наука про природу
мала в той час побороти на своєму шляху
схоластичну модель світобудови й силу консервативних
традицій. Навіть геніальпий винахід людської думки —
індійські цифри — сприймався з величезним
недовір’ям. Цікаво навести тут відгук одного із
сучасників тієї епохи про книжку, опубліковану в 1494 p.:
«Записи було зроблено рівним круглим почерком,
без великих букв, без крапок і ком, з цифрами
римськими аж ніяк не арабськими, які вважалися
легковажним нововведенням, непристойним в діловій
книзі».
Проте напрям і темпи розвитку науки
визначаються в усі часи потребами практики. І хоча
Луку Пачолі турбує, чому добуток двох правильних
дробів менший від кожного із співмножників, що
суперечить біблійній настанові «плодіться і розмно-
жуйтеся», все ж свою «Суму знань з арифметики,
геометрії, відношень і пропорційності» він призначає
117

для тих, хто вміє розумно застосовувати теоретично
й на практиці математичні науки. Логіко-математич-
ний метод стає головним у пізнанні будови космосу,
Сонячної системи і Землі. Увагу вчених привертає
ідея неперервності простору — часу і відносності
кожного з цих понять. Одночасно вони працюють
над розв’язанням конкретних практичних проблем.
Тарталья викладає комерційну арифметику і
займається балістичними дослідженнями, зокрема
розробляє вчення про оптимальний кут підняття ствола
гармати, вивчає траєкторії снарядів при різних
таких кутах. У процесі розв’язування тієї чи іншої
математичної задачі з’являлися нові питання, які
часто започатковували нові глибокі математичні
теорії. І хоч церковники проклинали математику,
прагнучи скомпрометувати її, все ж останнє слово
було за творцями цієї науки, за тими, хто прокладав
у ній нові шляхи.
Уже в той час була зрозумілою цінність
математики як окремої галузі людської культури. «Золото
випробовується вогнем, а обдарування
математикою»,— проголошував Лука Пачолі. А Галілео
Галілей бачив у математиці мову, якою записані закони
природи.
Наука в Західній Європі розвивалася в
сприятливих умовах, бо Русь прийняла на себе всю силу
удару монголо-татарської навали і своєю героїчною
боротьбою, як щитом, прикрила Західну Європу
від цього страхіття. Сама ж Русь понесла велетенські
жертви. О. С. Пушкін писав: «Татари не були схожі
на маврів. Вони, завоювавши Росію, не подарували
їй ні алгебри, ні Арістотеля». Наприклад, внаслідок
Тохтамишевого погрому в Москві було знищено
величезну кількість книжок, спеціально звезених для
цього з усього міста і навколишніх сіл у церкви.
Усі намагання москвичів урятувати культурні
цінності виявилися марними.
За цих умов математика в російських землях
починає розвиватися тільки після XVI ст., коли,
звільнившись від татарського іга, Русь встановлює
нові зв’язки із Західною Європою. У цей час
з’являються на Русі рукописні твори, виникає російська
математична термінологія.

XVII—XVIII ст. були епохою технічної і наукової
революції, яка розпочалася в XV] ст. Математики
Нового часу ще більшою мірою, ніж в епоху
Відродження, були одночасно астрономами, фізиками,
механіками, філософами. Механіка земних і
небесних рухів ставила в центрі уваги вивчення
залежностей між рушійними силами, прискореннями,
швидкостями, траєкторіями руху.
Нові задачі вимагали створення нових
математичних методів. Перевіряючи другий закон руху планет,
німецький математик Йогаян Кеплер (27. XII. 1571 —
15. X1.1630) розв’язав нову задачу — обчислив
площу еліптичного сектора, а в 1615 р.
опублікував «Нову стереометрію винних бочок», у якій
застосував відкритий метод обчислення геометричних
величин до визначення площ поверхонь і об’ємів 80
різних тіл обертання.
Італійський математик Бонавентура Кавальєрі
(1598—3.XII. 1647) для обчислення геометричних
величин розробив метод неподільних, який
викликав захоплення сучасників.
Складні задачі механіки і астрономії вже не можна
було розв’язувати методами математики сталих
величин. У відповідь на вимоги часу французький
математик і філософ Рене Декарт вводить у математику
змінні величини. Відкриття Декарта мало величезне
значення для дальшого розвитку математики та її
застосувань.
Ідеї змінної величини й використання
прямолінійних (декартових) координат Декарт поклав в
основу нової математичної дисципліни — аналітичної
геометрії. Співтворцем цієї математичної галузі був
любитель математики, автор численних блискучих
відкриттів французький юрист П’єр Ферма (1601 —
12.1.1665).
У XVII ст. значно розширюється діапазон мате
матичних досліджень. Розробляються вже існуючі
дисципліни, виникає цілий ряд нових розділів
вищої математики.
З численних задач, над якими працювали
математики XVII ст., найбільш продуктивними виявилися
задачі на проведення дотичної до кривої,
вимірювання довжин ліній, обчислення площ і об’ємів. їх
120

штурм завершився в 60—70-ті роки XVII ст. найви-
дагнішим відкриттям усіх часів — створенням нової
математичної теорії — диференціального га
інтегрального числення. Його здійснили англійський
учений Ісаак Ньютон (4.1.1643—31.III.1727) і
німецький учений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1.VII.
1646 —14.XI. 1716). При цьому велику роль
відіграли антична спадщина і поняття змінної величини,
введене в математику Декартом. Ф. Енгельс писав:
«Поворотним пунктом у математиці була Декартова
змінна величина. Завдяки цьому в математику
ввійшли рух і тим самим діалектика і, завдяки цьому ж
стало негайно необхідним диференціальне і
інтегральне числення, яке одразу й виникає і яке було
загалом і в цілому завершене, а не винайдене
Ньютоном і Лейбніцом». (Маркс К. і Енгельс Ф.
Твори, т. 20, с. 531).
У центрі математичних досліджень XVII ст. став
аналіз нескінченно малих, тобто диференціальне
та інтегральне числення. Але одночасно
створювалися і швидко розвивалися різні розділи вищої
математики. Широке застосування в різних
розділах математики й математичному природознавстві
знаходила аналітична геометрія. У працях
геніальних французьких вчених Влеза Паскаля (19.VI.
1623—19.VIII. 1662), Христіана Гюйгенса (14.IV.
1629—8.VII. 1695) і П'єра Ферма закладалися
теоретичні основи науки про закономірності, яким
підпорядковані масові випадкові події,—теорії
ймовірностей. При цьому важливі математичні
відкриття часто формувалися на основі логічного аналізу
різних ігор. Роль ігор в історії математики високо
оцінив Лейбніц.
Трактат Паскаля «Дослід про конічні перерізи»
складався з 53 рядків і був виданий лише в 50
примірниках, але він містив справжню перлину
математики — знамениту теорему Паскаля,
фундаментальну залежність нової геометричної дисципліни —
проективної геометрії.
Становлення в XVIII ст. капіталістичної формації
зумовило перебудову соціальних та наукових
концепцій. Темпи розвитку науки швидко зростали.
Мореплавство, кораблебудування, теплотехніка,
121

гідроенергетика ставили перед наукою все
складніші задачі на дослідження електромагнітних явищ
і теплоти, визначення на небосхилі положення
Сонця, Місяця, зірок; важливою стала проблема точного
визначення часу, відображення сфери на площину.
Міцніла впевненість, що диференціальні рівняння
відображають найголовніші закономірності
природи і розв’язування їх є універсальним методом
пізнання. В алгебрі центральною проблемою стає
розв’язування алгебраїчних рівнянь і подання коренів
рівнянь комбінацією радикалів.
Обчислювальні методи збагачуються
логарифмами й численними таблицями. З’являються перші
обчислювальні машини Паскаля, Лейбніца,
німецького математика Шіккарда (1592—1635).
На XVIII ст. припадає діяльність багатьох
видатних учених. Унікальним явищем в історії науки
була творчість геніального вченого, члена Петер
бурзької АН Леонардо Ейлера (15.IV.1707—18.IX.
1783), який більшу частину свого життя жив і
працював у Росії. Йому належать понад 850 наукових
праць, серед яких близько 20 дво- і тритомних
монографій.
145. 	Розв’язати рівняння: 5х — 5xs -}- хь = 0.
146. 	Рота солдат повинна переправитися на
другий берег річки, але міст зруйнований, а броду немає.
Біля берега два хлопчики гралися в човні. У цьому
ЗАДАЧІ
ЙОГАНН КЕПЛЕР
(27.XI 1.1571—15.Х1.1630)
▼
Х\ — 0,
ГАСПАР КЛОД ВАШЕ ДЕ МЕЗІРІАК
(9.Х.1587 -25.11.1638)
122

човні може переправитися не більш як 1 дорослий
або двоє дітей. Як за допомогою цього човна рота
переправиться на другий берег річки?
•
Хлопчики переправляються на другий берег.
Один з них там залишається, а другий повертається
з човном. Потім переправляється один солдат і
посилає назад у човні другого хлопчика. Тоді знову
їдуть на протилежний берег (де вже є один солдат)
обидва хлопчики і т. д., доки не переправиться вся
рота.
У XVII ст. проводилася надзвичайно корисна робота з
перекладу на європейські мови античної спадщини,
популяризації математичних знань. Французький математик і поет
Гаспар Клод де-Мезіріак у 1612 р. опублікував книгу «Ігри
і задачі, засновані на математиці». її було перекладено на
багато мов, російське видання — 1877 р. У 1621 р. цей же
математик опублікував грецькою і латинською мовами
«Арифметику» Діофанта.
147. Задумайте чотири одноцифрових числа.
Помножте перше на 2 і додайте 5, суму помножте на 5,
додайте 10 і друге число, здобуту суму помножте па
10 і додайте третє число, новий результат помножте
на 10 і додайте четверте число. Від здобутого числа
відніміть 3500. Різниця буде чотирицифровим
числом, записаним задуманими числами.
Вказівка. Нехай задумані числа а, 6, с, d. Фокус
заснований на рівності (((2а + 5) 5 + 10 + Ь) 10 + с) 10 +
+ d — 3500 = 1000а + 1006 + 10с + d.
РЕНЕ ДЕКAPT
(31.111.1596-11.11.1650)
148. Розв’язати рівняння: а) у3 — 8у1 — у + 8 =
= 0, б) х4 — Ах3 — 19#2 + 106# — 120 = 0.
•
а) У2 (У — 8) — {у — 8) = 0; (у — 8) (у2 — 1) = 0;
У і = 8; z/2,3 = ± 1;
б) Xа (х — 4) — 19х (х — 4) + 30 (х — 4) — 0, хх — 4,
х3 — 19х + 30 = 0, £3 — Зя2 + ?>хг — 9;г — 10а: + 30 =
= 0, х2 (х — 3) + Зя (х — 3) — 10 (х — 3) = 0, х2 = З,
х2 + Зх — 10 = 0, ха = 2, хі = — 5.
123

П'ЄР ФЕРМА
(1601-12.1.1665)
149. 	Якщо S — сума нескінченної спадної
геометричної прогресії (аД то S : (S — aL) = ах : а2.
Відомо, що
Поділивши почленно рівність (1) на рівність (2),
дістанемо
150. 	У гострокутному Д ABC знайти точку Р,
для якої сума відстаней її до вершин А, В і С була б
мінімальною.
. Беремо всередині Д ABC довільну точку Р і
побудуємо \РА]У ГР5], [PC] (мал. 41). Повернемо
Д АР В на 60° навколо В. Тоді трикутники ABC'
і РВР' будуть рівносторонніми і І АР I -J- І РВ | -f
+ I CP І = І СГР' \ + \Р'Р\ + \РС\. Права час-
^ «і™ г ттЛ г* „ «««««.
тина цієї рівності є шлях від С до С", у загальному
випадку — це ламана з вершинами Р і Р'. Ця
ламана матиме мінімальну довжину, коли перетвориться
у відрізок. Тоді ВРС =^180° - ВРР' = 120° і
АРВ = С'Рв = 180° - РрВ = 120°. Отже,
І АР І + I BP І + I CP І досягає мінімуму, коли Р
така точка, що з неї кожну сторону Д ABC видно
під кутом 120°. Точка Р називається точкою Ферма,
її можна побудувати як точку перетину (СС) і кола,
описаного навколо Д ABC. Точку Ферма інколи
називають ще точкою Торрічеллі.
151. 	Для будь-яких n (n £ N) справджується
рівність
. Г| flf
тоді S — Oj =
(2)
(1)
S і (S — dj) = clx і
5 (1* + 24 + 34 + ••• +п4) = (4л + 2)р
— (l* + 2* + 3*+ ••• +n2)-
r-
124

Відомо, що
S4 = 14 + 24+ ... + (га-1)4 + га4 =
= 5”6 (га + 1) (2га + 1) (Зга2 + Зга — 1). Звідки
5<S4 = (га + 1) (2га + 1) (Зга2 + Зга — 1).
Але S2 = І2 + 22 + З2 + ... + га2 = ”(”+-j).(2” + 1) ,
тому (4га + 2) _<?2 = (4га + 2) ^(” + *)2|2_
п (и+ 1) (2п + 1) (2п + 1) га2 (п + І)2
6 1 2
- п(га + 1)6(2га + 1)- = п(п + 1)(2га + 1)1) =
= га(га+ 1)(2га + 1)3"2+63”~1.
152. 	Мала теорема Ферма. Якщо р — просте
число і а —число, яке не ділиться на р, то яр—1 — 1
ділиться на р. Довести варіант малої теореми Ферма:
якщо р — просте число, то ар — а при будь-якому
цілому а ділиться на р.
•
Якщо а не ділиться без остачі на р, то числа а,
2а, За, ..., (р — 1) а також не діляться на р і при
діленні на р дають різні остачі. Справді, якби ка і
Іа (де р — 1 > к І) давали при діленні на р
однакові остачі, то ка — la = (к — І) а ділилося б на
р, що неможливо, бо р просте число, а не ділиться
на р і к — І < р.
Але всі можливі остачі при діленні на р
вичерпуються р—1 числами: 1, 2, 3, ..., р—1. Тому має
бути а = qxp + av 2 а = q2p + а2, За = q3p +
“f" ^зу •••» (р ^ = Я.р—Яр—і, де aа2, ад, ...,
ар_і —числа 1, 2, 3, ..., р—1, взяті в певному
порядку. Перемноживши всі ці рівності, дістанемо:
(1 • 2 • 3 • ... • (р — 1)) аР-1 = Мр + ага2 ... ар_ь
або (1 • 2 • З • ... • (р — 1)) (аР-1 — 1) = Мр.
Звідки випливає, що а^~~1 — 1 ділиться на р, а тому
й аР — а ділиться на р.
Якщо а і р, то твердження Ферма стає очевидним.
125

Мала теорема Ферма була повідомлена автором
без доведення в листі до французького математика
Френікля (1605—1675). На Ферма відкрита
закономірність справила велике враження. Він писав:
«Мене осяяло яскравим світлом».
ДЖОН ВАЛЛІС
(23.XI .1616—28.Х.1703)
11 1
153. Очевидно, що в < — , тому ... -j- <
.1,1 11 1 1 0.
< “2“ *< — < q < -—f < — 2 ^ —3 ^ * * * ^В1ДКИ
4~< ігг* аб° 00 < — 1-
1 1
Вказівка. Нерівність < -jj- справедлива
тільки для п £ N. Валліс незаконно поширив цю властивість
на всі цілі числа, що й спричинилося до парадоксального
результату: оо < — 1.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ
(19.V1.1623-19.VU1.1662)
154. Загальна ознака подільності чисел.
Натуральне число а, задане в позиційній системі з основою
Р (Р Є N, р > 2), ділиться на число b тоді й тільки
тоді, коли на нього ділиться сума добутків кожної
цифри даного числа на остачу від ділення на Ь
відповідних цифр розрядних оциниць (1, р, р2, ...
...,рп-\ рп).
Нехай а = апап—\ аха0 задано в позиційній
системі р, тобто а = апрп + an_ipn_1 + ... + ахр +
+ а0, і нехай при діленні р71, рп—1, ..., р на Ь
дістанемо в остачі гп, гп_і, гп 2» Гц тобто рп =
= bqn + rn, рп_і = 6gn_I + Гп-і- Число а можна
записати як суму двох доданків, перший з них
ділиться на bt тоді сума цих двох доданків (тобто
число а) ділиться на Ь, тоді й тільки тоді, коли на b
ділиться другий доданок: гп + rn_i + гп_2 + ... +
+ + г0.
126

Із загальної ознаки подільності Паскаля можна дістати,
як висновки для окремих випадків числа Ь, усі відомі ознаки
подільності, які справджуються для десяткової позиційної
системи числення.
155. 	Теорема Паскаля. Якщо всі шість вершин
шестикутника ABCDEF лежать на колі і три пари
протилежних сторін перетинаються, то три точки
перетину пар протилежних сторін колінеарні
(мал. 42).
•
Розглянемо три окремі випадки, коли дві або
кілька вершин вписаного в коло шестикутника
збігаються і він перетворюється в п’ятикутник,
чотирикутник або трикутник, вписаний в коло.
1-й випадок. Якщо збігаються дві вершини,
то належна їм сторона перетворюється в дотичну і
теорема Паскаля формулюється так: у будь-якому
п’ятикутнику, вписаному в коло, точки перетину
продовження двох пар його несуміжних сторін ВА і
DE та ВС і АЕ, а також точка перетину п’ятої
сторони CD з дотичною до кола МА у протилежній
вершині колінеарні (мал. 43, а).
2-йвипадок. Чотирикутник, вписаний у ко^
ло, можна розглядати як шестикутник, у якого
збігаються дві вершини. Тоді існує така залежність:
у будь-якому чотирикутнику, вписаному в коло,
продовження двох пар протилежних сторін А В і
DC та DA і СВ і одна пара дотичних DN і BN до
кола у протилежних вершинах колінеарні (мал. 43,
б). Якщо провести дотичні у всіх вершинах
вписаного в коло чотирикутника (мал. 43, в), то буде
справедливою теорема: у будь-якого чотирикутника,
вписаного в коло, дві пари протилежних сторін і дві пари
дотичних у протилежних вершинах перетинаються
в чотирьох колінеарних точках.
3-й випадок. Розглянемо трикутник,
вписаний у коло, як шестикутник, у якого всі вершини
попарно збігаються. Тоді існує залежність: у будь-
якому трикутнику, вписаному в коло, три точки
перетину сторін з дотичними до кола в протилежних
вершинах колінеарні (мал. 43, г).
Теорема Паскаля — одна з фундаментальних теорем про
ективної геометрії — важливої галузі вищої геометрії, яка
127

128

вивчав властивості фігур, інваріантні при всіх проективних
перетвореннях площин (простору) в себе. Паскаль
сформулював цю теорему, коли йому було 16 років.
156. 	Трикутником Паскаля називається
нескінченна числова таблиця. Вона приховує
найрізноманітніші числові залежності.
1
1 1
1
2 1
1
3 3 1
1 4
6 4
1
1
5
10 10 5
1
1
6 15
20 15
6
1
1
7
21
35 35 21
7 1
8
28 56
70 56
28
8
9
36
84
126 126 84
36 9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1. Виведіть формулу для суми чисел у кожному
горизонтальному ряді трикутника Паскаля.
2. Чому дорівнюватиме ця сума, якщо числа, які
стоять на парних місцях, брати із знаком мінус?
3. Назвемо проспектами трикутника Паскаля
послідовності чисел 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...; 1, 4, 10, 20,
35, ... і т. д. Як знайти на трикутнику суму т членів
у п-му проспекті?
4. Знайдіть на трикутнику Паскаля ряд чисел
Фібоначчі (див. № 116), ряд чисел виду п ^
(трикутні), ряд чисел - тЬ ^п + 2\ (пірамідальні).
1. Сп + Сп + Сп+ • • • + Сп = 2П. Кожна
непорожня и-елементна множина має 2П підмножин.
2. сп — Сп + Сп + * * • + (— 1)П Сп = 0.
3. Ця сума записана зліва внизу від останнього
числа проспекту: 1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70.
4. Ряд чисел Фібоначчі утворює суму: 1, 1, 1 + 1,
1+2, 1+3 + 1, 1 + 4 + 3, 1+5 + 6 + 1, ...
... , 1, 3, 6, 10, ... , —трикутні числа, 1, 4, 10,20,
35, 56, ,,, —пірамідальні.
б 2765
129

Паскаль назвав цю числову таблицю арифметичним
трикутником. У західній Європі вона вперше була опублікована
в 1527 р. в посібниках з арифметики Апіана. Тарталья також
опублікував таблицю біномінальних коефіцієнтів,
оголосивши їх своїм винаходом.
157. Кавалер де Мере вирішив розбагатіти грою
в кості. Він побився об заклад, що коли кине чотири
рази гральну кістку (кубик, на якому вибиті очки
від 1 до 6), то хоча б раз випаде число 6. Якщо ж
цього не трапиться (6 не випаде жодного разу з
чотирьох кидків) — виграє його супротивник. Для
надійності де Мере звернувся до Паскаля, щоб той
обчислив імовірність виграшу. Що показали
обчислення?
•
При одному киданні ймовірність випадання 6 очок
1 5
дорівнює -g-, а ймовірність невипадання -g-.
Ймовірність того, що при чотирьох киданнях жодного
разу не випаде 6 очок, дорівнює . Отже,
ймовірність виграшу для де Мере дорівнювала
1 1296~ = "1296 >“2~* При багатократному
киданні де Мере майже напевне виграв би. Інші гравці
теж це зрозуміли і кавалеру довелося придумати
складніші правила гри.
158. Два вправні гравці грають у гру, яка не
допускає нічиєї. Вони зробили рівні ставки і домовилися,
що той, хто раніше виграє 10 партій, одержить усі
гроші. Гра була перервана з рахунком 9 : 8 і не могла
бути продовжена. Як вони мають розділити гроші?
•
Уявимо, що буде зіграно ще одну партію. Якщо
виграє перший, то він забере всі гроші (бо рахунок
буде 10 : 8), якщо виграє другий, то рахунок стане
9 : 9, після чого шанси обох будуть рівні. Отже,
половина грошей належить першому. Другу половину
візьме він же або його супротивник залежно від
результату партії. Тому, другу половину грошей
потрібно розділити порівну. Першому належить 0,75
усіх грошей, а другому: 1 — 0,75 = 0,25.
130

ХРИСТІАН ГЮЙГЕНС
(14.IV.1629-8. VI1.1695)
159. Якщо в круговий сегмент, менший від пів-
круга, вписати найбільший трикутник і таким самим
чином вписати по трикутнику в обидва сегменти, що
залишилися, то площа першого трикутника буде
меншою від почетверенної площі двох інших
трикутників, узятих разом.
•
Побудуємо (FK) так, щоб дуга А В в точці F
поділилася пополам (мал. 44). Тоді | AF | > 0,51 АВ |,
\\FB\> 0,5 І АВ І і \AB\2<4-\BF |2; але
I BF |2 = 2 I R І . I BG І і І АВ |2 = 2 | R | • | BD |.
Тому \BD\:\BG\<4.
Оскільки I FK І = І АВ І і 2 І АВ | > | АС |, то
I FK І > 0,5 ] АС |, 0,5 І АС | • | BD | < 4 | FK | X
X I BG |. Звідки випливає, що S&abc < 8 S&fbk, а
S&FBK = S&CBK — S&ABF*
160. Нехай дано круговий сегмент, менший від
півкруга і трикутник АЕС, у якого основа
збігається з хордою сегмента, а бічні сторони — дотичні
до дуги сегмента (мал. 45). Тоді дотична, проведена
через середину дуги сегмента, відтинає від даного
трикутника новий трикутник, площа якого більша
від половини площі найбільшого вписаного в сегмент
трикутника.
•
Очевидно, що I EF | > | BF |. Оскільки | BF | =
= \AF\, то \EF\>\AF\, \AE\<2\EF\, а тому
S&FEG • S&AEC > 0,25, 4S&FEG > SДАЕСі АЕС >
> 25давс» бо I ED І > 2 | BD |. Тому S^feg">
> 0 ,5S&abc-
АДАМ АДАМОВИЧ КОХАНСЬКИЙ
(5.VIII.1631—19. V.1700)
161. Усі побудови циркулем виконуються одним
розхилом циркуля І Г І = 1. Побудуємо коло
(О, ІО А І) І О А І = I r І і дотичну до нього в точці С
(мал. 46). З точки С побудуємо дугу, яка перетинає
5*
131

коло в точці Z), з точки D як з центра — дугу, що
перетинає першу дугу в точках О і Е. Побудуємо
[іОЕ], який перетне дотичну в точці F. Побудуємо
I FB І так, щоб I FB | = 3 | г |. Тоді | АВ | » я.
•
\AO\ = \OC\ = \CD\ = \OD\= 1, тому FOC = 30°.
IFC 11_| ОС І = IFC1:1 = tg 30°, звідки | FC | = tg 30° =
= |/з : 3. І АВ |2 = \АС |2 + ІСВ |2 = 22 + (3 - У3 :■
: З)2 «13,333 - 3,4641 » 9,8692. Звідки \АВ | =
= ^9,8692 = 3,1415... ж я.
Коханський А. А.— польський математик носив титул
королівського математика.
ЖАН ОЗАНАМ
(1640-3.1V.1717)
162. 	Семеро друзів зібралося обідати, але між
ними виникла суперечка, кому з ким сідати. Один з
присутніх запропонував усім сісти за стіл, як
трапиться, але з умовою, щоб у наступні дні обідати
разом і при цьому кожного разу сідати по-різному до
того часу, поки не будуть вичерпані всі можливі
комбінації. Скільки разів доведеться обідати друзям
разом, щоб вичерпати всі комбінації?
▼
7!: 7 = 6! = 720.
Задача ніби зводиться до визначення кількості перестановок
Р7=7! = 5040. Так розв’язував її і Озанам, але він помилився.
Відповідь була б такою, коли б семеро друзів сиділи в ряд на
одній довгій лаві, по один бік стола прямокутної форми.
Утворимо перестановки із 7 елементів, розмістивши елементи
по колу. Кількість перестановок буде Р7 = 7! = 5040.
Розподілимо ці перестановки на класи так, щоб в один клас потрапили
перестановки, які можна дістати одну з одної тільки
поворотом. У кожному класі буде 7 таких перестановок. Тому
кількість різних комбінацій дорівнюватиме: 7! : 7 = 6! = 720. А
Озанам вважав, що друзям доведеться обідати разом 14 років.
Жан Озанам — французький письменник, викладач
математики, член Паризької АН. Написав підручники з
математики і збірник «Математичні і фізичні розваги» (1696), задачі
якого використовувало багато пізніших авторів.
132

ІСААК НЬЮТОН
(4.1.1643—31.111.1727)
163. 	Три луки, покриті травою однакової густини,
яка проростає з однаковою швидкістю, мають площі
З у, 10 і 24 га. Бики пасуться на луках і поїдають
траву, яка підростає за час випасу. На першій луці
12 биків могли пастися 4 тижні, на другій 24 бики
протягом 9 тижнів. Скільки биків можна пустити
на третю луку, щоб вони могли з’їсти всю траву
за 18 тижнів?
Нехай у — частина наявного запасу трави, яка
підростає на площі 1 га за 1 тиждень. На першій
О 1 /40
луці за чотири тижні підросте о -у у • 4 = -у у того
запасу трави, який був там спочатку* Це
рівносильно тому, що площа першої луки збільшилася б і
дорівнювала б ^3 -у + -у- yj га. За один тиждень один бик
. /10 , 40 \ /Q 10 + 40у
з їдав траву на площі 1-у + у- у]: 48 = —{44— га-
Аналогічно знаходимо площу луки, якої
достатньо для випасу одного бика протягом тижня за да-
10 + 90г/ ^ *
ними для другої луки: —' Q - га. Обидві норми
* • Ю + 40,
для випасу мають бути однакові: щ—— =
= 10 ’ • Звідси знаходимо у =-^ • Тепер ,
визначимо площу луки, запасу трави на якій достатньо
для випасу одного бика протягом одного тижня:
10 -н 40і/ 10 + 40 • 12 _ 5
144 ~ 144 — 54 Га‘
Позначимо шукану кількість биків через х. Тоді
24 + 24 • 18 • ±
— = 54. Звідки х = 36. На третій
18х
луці протягом 18 тижнів вистачить трави для
випасу 36 биків.
164. 	Через дану точку Р провести (ВС) так, щоб
[РВ\ і [РС]У які відтинаються (АВ) і (ЛТУ), були
133

в даному відношенні, тобто: | BP | : | PC | = т : п,
де т £ Rt п £ R (мал. 47).
•
Проведемо через Р довільну пряму DE так, щоб
I PE І : I PD І = т : п. Побудуємо [EC] || [AD] і
продовжимо [СР] до [CB]t остання і буде шуканою
прямою.
165. 	Якщо в чотирикутник можна вписати коло,
то центр цього кола лежить на прямій, яка сполучає
середини діагоналей чотирикутника.
•
а) Випадок, коли пари протилежних сторін
чотирикутника попарно паралельні, тобто ABCD —
ромб, тривіальний. Тому розглянемо випадок, коли
в ABCD хоча б одна пара протилежних сторін АВ і
DC не паралельні (мал. 48). Нехай Мг і М2 —
середини діагоналей, а О — центр вписаного в A BCD
кола.
Очевидно, ЩО £дм,АВ + S&MzCD = ~2 (S&ABC +
+ Sдасс) =~2-Sabcd, аналогічно S&m,ab + S[\m2cd =
1 . 1
= ~Y SabCD- Крім ТОГО, S&AOB + S&OCD = “2“ SABCD»
Оскільки ABCD описаний навколо кола, то \АВ | +
+ I CD І = I AD І + І ВС І і S&aob + S&OCD =
І
= S&OAD + S&OBC = ySabcd' Але УсеРеДині A BCD
множина точок М таких, що S^mad + S&mcd —
= -J- SabCD є відрізком прямої.
134

166. Два листоноші А і В, між якими 59 миль,
виїжджають вранці назустріч один одному.
Листоноша А проїжджає за 2 год 7 миль, В — за 3 год 8
миль; при цьому В вирушає в дорогу на годину
пізніше, ніж А. Скільки миль проїде А до зустрічі з В?
▼
35 миль.
ГОТФРІД ВІЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБН1Ц
(1. VII.1646-14.XI.1716)
л 1 1
167. З відомого ряду Лейбніца: — = — +
+-| )j- + ••• дістати ряди для числа
JL_J L д. J Lj- 2 і 2 і
4 1 3 5 7 * * 1*35*7
, 2 , я 1.1,
+ ~ГПЇ Ь-**, Т0МУ Т= "1-3 EH"?
і 1 і 1 і ^ і 1 і ..
"г 9-11 "Г ~ 22 — 1 т 4‘ — 1 т 8!-1 т
168. Показати, що]Лі+|^ — 3 + ]/1 — V— 3 =
= 6.
169. Сума квадратів відстаней довільної точки Р
від вершин трикутника дорівнює сумі квадратів
відстаней від вершин до центра ваги трикутника
8 потроєною відстанню від центра ваги до точки Р.
135

•
Нехай Р — довільна точка, a G — центр Ваги
Д ABC (мал. 49). Побудуємо [AAJ _L (PG), [55,] _L
_L (PG) і [CCJ _L (PG)\ з трикутників PAG, PBG,
PCG дістанемо:
\PA\* = \PG\i + \AGf — 2\PG\. | GA^, |/>5|2 =
= \PG?- + \BG\*-\-2\PG\ • | I, \PCf=\PG\i->r
+ \CG\* + 2\PG\.\GC1\.
Додавши почленно ці рівності, дістанемо:
I PA |2 + |/>5|2 + |PC|2 = 3|i>G|2 + |4G|2 + |5G|2 +
■\-\CGf — 21 PG I (I GAi І — IGB11 — | GCt |).
Проведемо через G пряму, перпендикулярну до
(PG), і побудуємо перпендикуляри до неї [АА'],
ІВВ'], [СС’І Тоді \А'А\ = \ GAг |, \В'В\ =
— I GBl і, і С'С і = I GCt |. Можна довести, що
IGA^-IGB^-IGC^ = \А’А\-\В’В\-\С'С | =
= 0. Тому
\PA\* + \PB\* + \PC\* = \AG\* +
+ IBG |2 + ICG |2 + ЗIPG |2.
170. 	Маловідома конфігурація чисел —
гармонійний трикутник Лейбніца, як і трикутник Паскаля
(див. № 156), має багато цікавих властивостей,
деякі «аналогічні в розумінні протилежності»
властивостям трикутника Паскаля.
1
_L JL _L
3 6 3
J_ _1_ _1_
4 12 12 4
JL _1_ _і_ _і_ j_
5 20 ЗО 20 5
1. Виявіть зв’язок між відповідними числами
трикутників Паскаля і Лейбніца, Доведіть цей зв’язок.
136

2. Доведіть, що = + JL 4-
, і і _J 1 ,1,1,1 ,
T30T ’ 2 3 12 ^ 30 60
, 1 i 1 _ 1 , 1 , 1 , 1 .
~t~ 105 ^ “ * ’ 3 — 4 f 20 ^ 60 f 140
4* “2gQ- + • • • • Встановіть, як розміщені в
трикутнику Лейбніца числа, з яких утворено рівності,
1 . 1
1 запишіть суми для і -g-.
1. Однакові місця займають числа с™ (у
трикутнику Паскаля) і 1: ((тг + 1) с™) (у трикутнику Лейбніца).
1 , 11 1 1 11 1 1
2 2 ’ 6 2 3 * 12 6 12 ’ 20"“
= , і т. д. Додавши почленно рівності,
дістанемо шукану суму. В кожній із рівностей зліва стоїть
число, з якого починається відповідний проспект,
а справа — сума всіх чисел наступного проспекту.
ДЖОВАННІ ЧЕВА
(1648-13.XU.1734)
171. 	Нехай X, Y, Z — три точки, які лежать на
сторонах Д ABC. Для того щоб (АХ), (BY), (CZ)
перетиналися в одній точці, необхідно і достатньо,
щоб
\ВХ\ ICYI IAZІ ,
\ХС\ ’ \YA\ ’ \ZB\
 Відрізки, які сполучають вершину трикутника з деякою
точкою на протилежній стороні цього трикутника,
називаються чевіанами.
•
У A ABC (мал. 50) | ВХ | s | ХС | = S^abx і S&axc =
= S&pbx 5 S&pxc = (S&abx — S&pbx) v (S&axc —
— S&pxc) = S&ABP V S&CAP+
Аналогічно
| CY \:\YA\ = S&bcp i S&abp9
| AZ |; | ZB j = S^cap і S&bcp»
137

Перемноживши почленно три здобуті рівності,
дістанемо
\ВХ I \CYI I AZ1
\ХС\ IYA\ I ZBІ -
__ АВР в *Д ВСР e CAP = I
**Д CAP 5Д АВР 5Д ВСР
Правильною є також обернена теорема: якщо три
чевіани задовольняють умову (1), то вони
перетинаються в одній точці. Із теореми Чеви дістанемо як
результат відомі теореми: 1) медіани трикутника
перетинаються в одній точці; 2) бісектриси
трикутника перетинаються в одній точці; 3) висоти
трикутника перетинаються в одній точці; 4) прямі, які
проходять через вершини трикутника й ділять його
периметр пополам, перетинаються в одній точці;
5) прямі, які сполучають вершини трикутника з
точками дотику вписаного в трикутник кола з
протилежними сторонами, перетинаються в одній
точці; 6) прямі, які сполучають вершини
трикутни138

ка з точками дотику протилежних сторін з
відповідними зовні вписаними колами, перетинаються в
одній точці.
ГВ1ДО ГРАНДІ
(І.Х.1671—4. V11.1742)
172. Нехай 1 - 1 + 1 - 1 + ... + (-1)п+1 = S,
тоді S — 1 = —1 + 1 — 1 + ... (—1)п, або5 —1 =
= — S. Звідки S = у. Шукану суму можна
обчислити, згрупувавши попарно члени ряду так: (1 —
— 1) + (1 — 1) + ... = S', звідки 5 = 0, або у =
== 0, або 1 = 0. Отже, будь-яке натуральне число
дорівнює нулю.
Гранді припустився двох помилок. Розглядуваний ряд є
розбіжним, тобто не має суми. Крім того, при обчисленні
неіснуючої суми Гранді застосував сполучний закон, який можна
застосувати тільки до скінчених сум або збіжних рядів.
Здобутий результат 0=1 Гранді витлумачив як символ творіння
богом світу із нічого. Це викликало жваву полеміку, в якій,
крім Гранді, взяли участь Лейбніц, Микола Бернуллі та
інші вчені; у цих дискусіях також уточнювалося поняття
суми нескінченного числового ряду, збіжності і розбіжності
числових рядів тощо.
ЛОРАН ПОТЕНОТ
(1660-31.VI1I.1732)
173. Знайти точку, з якої відрізки [АВ] і [ВС],
утворені трьома точками А, В, С, видно під кутами
а і р.
•
Задача зводиться до побудови такої дуги А В
(мал. 51), щоб з довільної точки М [АВ] було видно
під кутом а, і дуги ВС, з точок якої [ВС] було б видно
під кутом р.
Для цього побудуємо:
VAB = a, [АР)±[АП \AQ\ = \QB\,
[Q01\{\[AP) = 01 [OjQ] JL [АВ].
139

Коло (Ov I AO^) проходить через точки Л, В,
М і з точки М [АВ] видно під кутом а. Аналогічно
будуємо (02, I FC І). Це коло проходить через точки
В, С, М> із точки М відрізок [ВС] видно під кутом р.
Тому точка М є шуканою.
Перше аналітичне розв’язання задачі дав в 1616 р.
голландський астроном і математик В. Снелліус (1580—1626).
У 1692 p. JI. Потенот дав досконаліше розв’язання її, тому
задача й була названа його ім’ям. Задача виникає при
визначенні положення корабля, з якого видно три маяки з відомими
координатами, у геодезії, картографії.
ЖОРЖ-ЛУ1-ЛЕКЛЕРК БЮФФОН
(7.IX .1707—16.IV .1788)
174. 	На площині проведено систему паралельних
прямих, відстань між якими дорівнює довжині
сірника. Кидаємо на аркуш паперу сірники.
Ймовірність того, що сірник перетне одну з паралельних
2
прямих, дорівнює — .
•
Положення сірника на площині визначається
відстанню І від середини сірника до ближчої з
паралельних прямих і кутом ф між напрямом прямих і
сірника (мал. 52). Зрозуміло, що 0 < k < | АВ | (| АВ | —
л
довжина сірника), 0 ^ ф < я.
Отже, можливі результати досліду визначаються
парою чисел (/, ф), де І вибирається довільно між
0 і І АВ |, а ф — між 0 і я. Множину всіх
можливих результатів досліду можна зобразити точками,
які заповнюють прямокутник OMNP, де | ОМ | =
= I АВ I, а I MN І = я. Очевидно також: імовір-
Л
ність того, що точка (І, ф) потрапить в яку-небудь
частину прямокутника OMNP, дорівнює
відношенню площі цієї частини до площі всього
прямокутника OMNP. Отже, потрібно визначити частину
площі OMNP, яку заповнюють точки (Z, ф), що
характеризують перетин сірника з якоюсь із
пара140

лельних прямих. Таке трапиться, якщо І <
/Ч А
< І А В I sin ф; крива у = \АВ\ sin ф є синусоїда
А
і нерівність І < І АВ I sin ф означає, що всі точки,
які відповідають перетину сірника з
паралельними прямими, заповнюють частину прямокутника
OMNP під дугою синусоїди. Площа під
синусоїдою дорівнює 2 І АВ |. Тому шукана ймовірність
* 2\АВ\ 2 ACOn
бУде: WT" 7Г -
Так можна експериментально обчислити число л.
На жаль, не було можливостей відобразити в
добірці доступних читачам задач математичні пошуки,
що особливо розгорнулись за нових часів. У
тритомній історії математики [26] історія математики
XVII ст. становить книжку великого формату на
300 сторінок. І на кожній з них відображено
неспокій наукової революції за нових часів. Важливою
особливістю цього процесу була математизація
механіки, а за нею і фізики.
На кінець XVI ст. математика складалася з
арифметики, алгебри, геометрії і тригонометрії. У XVII ст.
виникають нові математичні дисципліни: аналітична
геометрія, проективна геометрія, теорія ймовірностей
і визначне відкриття XVII ст.— числення
нескінченно малих, яке, в свою чергу, дало ростки новим
дисциплінам — теорії нескінченних рядів,
інтегруванню звичайних диференціальних рівнянь і
варіаційному численню. Водночас продовжувалися
дослідження з алгебри і тригонометрії, створювалися
різні методи наближених обчислень.
Тільки протягом XVII ст. математика збагатилася
більшою кількістю нових понять і методів, ніж за
всі п’ятнадцять попередніх.
У XVII ст. вчені сформували припущення про те,
що кожне алгебраїчне рівняння п-то степеня має п
коренів, тобто було сформульовано основну теорему
алгебри. При цьому застосовувались уже від’ємні
й уявні корені алгебраїчних рівнянь.
Великий вплив на дальший розвиток математики
і математичного природознавства мала розробка
Рене Декартом нової математики, яку він називав
141

загальною наукою про просторові образи, їх
розміщення й вимірювання.
Багато уваги приділяли вчені допоміжним засобам
обчислень. Шотландський барон Джон Непер (1550—
1617) відкрив не пізніше 1594 року логарифми, але
тільки в 1614 р. опублікував свій «Опис дивовижної
таблиці логарифмів». Швейцарський механік і
годинникар Іобст Бюргі (1552—1632) також відкрив
логарифми. Професор одного з коледжів в Лондоні
Генрі Брігс (1561—1631), застосувавши ідею Непера,
створив десяткові логарифми.
У зв’язку з необхідністю виконувати велику
кількість складних обчислень було створено й інші засоби
обчислень — російську рахівницю, палички
Непера, логарифмічну лінійку. З розвитком машинної
техніки створюються механічні обчислювальні
машини Шікарда, Паскаля, Лейбніца.
Ферма вдихнув нове життя в стародавню науку
про властивості чисел. Працюючи над трактатами
античних авторів, насамперед «Арифметикою»
Діофанта, він узагальнив багато вже відомих і поставив
цілий ряд нових проблем з теорії чисел, які відкрили
нову епоху в історії цієї галузі математики.
П’єр Ферма, Паскаль і Гюйгенс не тільки
розв’язали складні задачі з теорії ймовірностей, а й
сформували ряд важливих понять і законів про
закономірності масових випадкових явищ. А швейцарський
математик Яков Бернуллі сформулював одну з
фундаментальних теорем теорії ймовірності — закон
великих чисел.
І все-таки на фоні численних і безумовно важливих
відкриттів учених найвизначнішим було числення
нескінченно малих. Від часів Евдокса Кнідського
і Архімеда видатні математики різних країн
працювали над створенням ефективного методу
розв’язування задач на обчислення площ і об’ємів складних
фігур, проведення дотичних до складних кривих
ліній. Більш як на 20 ст. протяглася траса цього
марафонського пошуку. Останню дистанцію її
успішно пройшли Ньютон і Лейбніц. Математика
сягнула висот, з яких такі генії, як Лейбніц, уже
бачили контури математики наших днів,

Звичайно, характеризуючи математику двох
останніх століть, слід насамперед спинитися на
творчості Карла Фрідріха Гаусса (ЗОЛV. 1777—23.11.
1855). Цей талановитий учений обезсмертив своє
ім’я відкриттями в теорії чисел, алгебрі, геометрії,
обчислювальній математиці, дав прекрасні зразки
застосувань математичних методів в астрономії,
механіці, геодезії, електротехніці, картографії.
Одного не наважився зробити Гаусс — подолати
чари евклідової геометрії. Він стояв на порозі
відкриття неевклідової геометрії, але, дбаючи про
спокійне життя, жодним словом не підтримав тих, хто
відкрив деякі її таємниці. Це трагічно позначилося на
долі генія російської науки Миколи Івановича
Лобачевського (1.ХІІ. 1792—24.11. 1856) і угорського
математика Яноша Бойяя (15.XII. 1802—27.1.1860).
Плеяда визначних математиків працювала у
вищих навчальних закладах Франції. Вони читали
лекції, писали підручники для студентів, активно
шукали нові математичні залежності і можливості
застосування математики в науці й техніці. Так,
Жозеф-Луї Лагранж зробив видатні відкриття в
теорії алгебраїчних рівнянь, діофантовому аналізі,
аналітичній і небесній механіці, сферичній
астрономії, картографії, теорії диференціальних рівнянь.
Одночасно з Ейлером він заклав основи нового
розділу математичного аналізу — варіаційного
числення. Гаспар Монж, застосувавши геометричні методи
до розв’язування задач, пов’язаних з будівництвом
воєнних споруд, став творцем нарисної геометрії.
Різнобічною була діяльність визначного математика,
астронома і механіка П’єра-Сімона Лапласа. Його
п’ятитомна «Небесна механіка» містила
розв’язання багатьох складних задач теоретичної астрономії
і була визначним внеском в цю галузь математичного
природознавства.
Сімон-Дені Пуассон — відомий вчений, член
Паризької АН, почесний член Петербурзької АН,
працював у різних розділах математики, небесної
механіки, місячної й планетної теорій, теорії
капілярності, згинання пластинок, теплопровідності,
збагатив науку математичними моделями явищ
навколишньої дійсності,
144

Надзвичайно плідною була творчість Огюстена-
Луї Коші. Йому належить понад 800 праць з
математичного аналізу, математичної фізики, теорії
чисел, алгебри, теоретичної і небесної механіки. У своїх
працях Коші підняв на вищий рівень строгість
математичних доведень. Він дав загальновизнане
обгрунтування математичного аналізу, виклавши його на
основі послідовного застосування теорії границь.
У 20-ті роки XIX ст. на короткий час засяяв геній
норвезького математика Нільса Генріха Абеля.
Незважаючи на своє нужденне життя і важку хворобу,
Абель здійснив справжній науковий подвиг —
збагатив різні розділи математики доведенням багатьох
важливих теорем, зокрема, знаменитої теореми про
те, що в загальному випадку алгебраїчне рівняння
тг-го степеня з довільними буквеними
коефіцієнтами при я ;> 5 нерозв’язне в радикалах. Іменем
Абеля названі теореми, формули, перетворення, ознаки
та інші математичні об’єкти.
На початку 30-х років на горизонті французької
науки, як наднова зірка, засяяв геній Еваріста
Галуа (25.Х. 1811—31.V.1832). Дві пристрасті
володіли Галуа — ненависть до королів і відданість
математиці. У науці він теж був революціонером. У ніч
перед дуеллю, підстроєною його політичними
противниками, в листі до товариша Галуа виклав основи
однієї з найважливіших галузей сучасної
математики — теорії груп. Завдяки дальшим дослідженням
в цій теорії остаточно було розв’язано питання про
квадратуру круга, подвоєння куба і трисекцію кута,
стали зрозумілими й численні загадкові явища,
пов’язані з поданням у радикалах розв’язків
алгебраїчних рівнянь.
23 лютого 1826 року професор Казанського
університету Микола Іванович Лобачевський на
засіданні фізико-математичного факультету зробив
доповідь «Стислий виклад основ геометрії із строгим
доведенням теореми про паралельні лінії». Не одне
покоління вчених безуспішно намагалося
розгадати таємницю постулату про паралельні прямі. Гаусс
бачив шлях до розгадки великої таємниці, але не
наважився похитнути авторитет евклідової традиції.
Цей революційний крок в історії всього
математич145

ного і філософського мислення зробив геній
російської науки.
Дальший крок у розвитку геометрії належить
видатному німецькому математику Бернхарду Ріману
(17.IX.1826—ЗО.XII.1866). Він класифікував усі
існуючі геометрії, включаючи й ще мало зрозумілу
тоді геометрію Лобачевського, і вказав шлях до
створення будь-якої кількості нових видів
математичних моделей фізичного простору. З часом такі
простори було введено в геометрію і математичне
природознавство, що істотно вплинуло на дальший
розвиток всієї науки. Найбільший вплив в історії
математики мала теорія множин, створена Георгом
Кантором (ЗЛИ. 1845-6.1.1918).
Математика XX ст. поповнилася величезною
кількістю теорій, предметом вивчення яких є абстрактні
об’єкти. Проте, незважаючи на зрослий рівень
абстракції сучасної математики, слід завжди
пам’ятати, що витоками й корінням її була об’єктивна
реальність. Яскравим свідченням цього є
виникнення в 40-х роках нашого століття нової математичної
теорії — кібернетики, матеріальним втіленням якої
стали електронні обчислювальні машини (ЕОМ).
ЗАДАЧІ
і
ЖОЗЕФ ЛУЇ ЛАГРАНЖ
(25.1.1736—10.IV.1813)
175. 	Перевірити тотожності:
а) (А2 + В2 + С2) (А\ + В\ + С\) - (АА, + В В, +
+ CC,f = (АВ, + A,Bf + (АС, + АХС? + (ВС, +
+ W;
б) (*іУі + хгУг + • • • + ХпУп)2 = (х\ + х\ +
• • • + %п) (уї + J/2 + • • • + Уп) — (хіУ2 — хгУі)2 —
— (хіУз — хзУі? — • • • — (х,уп — хпу,)2 — (х2у3 —
— *3 у 2? — (Х2Уі — *іУ2? — • • • — (Хп-іУп — Хпуп—і)2.
•
б) Окремий випадок тотожності Лагранжа має
вигляд
(хіУі + хіУг)2 = {4 + у2і) (х22 + уї) — (хіУг — хгу^2. (1)
146

Правильність цієї тотожності, як і тотожності
а), легко встановити безпосередньою перевіркою.
Справедливість тотожності у загальному вигляді
доведемо за індукцією. При п = 2 маємо тотожність
(1), яка справджуватиметься. Припустимо, що
тотожність б) справджується і при деякому п £ N,
доведемо правильність її для п + 1, тобто покажемо,
що
(х1у1 + Х2у2 + • • . + ХпУп + Хп+іУп+l)2 =
= (#1 + #2 + * ‘ • + #п+і) {у\ + У2 + * • * + Уп +
+ Z/n+l) — (ХіУ2 — Х2Уі)2— — (ХіУп— Xnytf —
— {Хгуп+1 — Хп+іУі)2 — (Х2у3 — Х3у2)2 — • • •
• * * (х2уп+і Хп+іУ2) * • •
••• — (хпУп+і — хп+1уп)2. (2)
Якщо від лівої частини (2) відняти ліву частину
тотожності, яка справджується для п, то дістанемо
xl+iyl+i + 2xn+iyn+l(x1y1 +Х2у2+ ••• +хпуп). (3)
Якщо відняти від правої частини рівності (2)
праву частину рівності, яка виконується для пг
то дістанемо
Хп+1 (уі + УІ + • • • + Уп) + Уп+1 (#і + х2 +
2 2 2 о
* Хп) "|“ (ХіУп-\-1 Хп-^ІУі)
— (Х2уп+1 — Хп+Іу2)2 — ... — (ХпУп+і — Хп+іУп)2- (4)
Лишається довести тотожність виразів (3) і (4).
СОФІЯ ЖЕРМЕН
(1.1V.1776-27.V1.1831)
176. 	При а > 1, а4 + 4 є число складене.
•
а4 + 4 = а4 + 4а2 + 4 _ 4а2 = (а2 + 2)2 — (2а)2 =
= (а2 + 2 + 2а) (а2 + 2 - 2а), де а2 + 2 + 2а ф 1;
а2 + 2 — 2а = (а — І)2 + 1 1. Тому а4 + 4 має
два різних дільники, відмінні від самого числа й
одиниці. Отже, це число складене.
Софія Жермен — французький математик і філософ.
Вивчала теорію чисел, кілька формул названо її ім’ям.
Основопо147

ложник математичної фізики. За розробку математичної
теорії згинання пластин нагороджена премією Паризької АН.
Перша жінка, яка одержала таку премію.
КАРЛ ФРІДРІХ ГАУСС
(30.1V.1777—23.11.1855)
177. 	Якщо ніякі сторони чотирикутника не
паралельні, то середина відрізка, який сполучає точки
перетину протилежних сторін, лежить на прямій,
що сполучає середини діагоналей.
•
Якщо Мх і М2 середини діагоналей чотирикутника
ABCD (мал. 53), то S^mxab + S^mxcd = S&mxbc +
+ S&MiDA І S&MtAB + S&M2CD = S&M2BC + S&M2DA*
Якщо N — середина [EF], де E і F — точки
перетину протилежних сторін чотирикутника, ТО =
111
— ~2~ S&FABi S&NCD — ~2~ S&FCDi S&NBC = у $(\ЕВСі
І
S&NDA = ~2~ ЗдЕВА» Звідси ВИПЛИВає, ЩО S&NAD —
1 1
— S&NCD = ~2 (S&AFD — S&FCd) = у SABCD І ^ДІУІМ ~
1 1
— S&NBC = -у (S&EDA — S&EDC) = у $ABCDi ТОбтО
S&NAB S&NCD = S&NDA — £дЛГІХ>
А звідси випливає, що N £ (М1У М2).
148

СІМЕОН ДЕНІ ПУАССОН
(21. VI.1781-25.IV.1840)
178. 	Хтось має 12 пінт вина (пінта — старовинна
міра об’єму, яка дорівнює приблизно 0,568 л).
У нього посудини місткістю 8 і 5 пінт. Як налити
6 пінт вина в посудину місткістю 8 пінт?
•
У першому ряді таблиці записані місткості трьох
посудин: 12, 8 і 5 пінт, у наступних результати
переливань вина в ці посудини.
12
8
5
12
0
0
4
8
0
4
3
5
9
3
0
9
0
3
1
8
3
1
6
5
6
6
0
ОГЮСТЕН ЛУЇ КОШІ
(21.VI1I.1789—23.V ,1857)
179. 	Для будь-яких невід’ємних чисел ах, а2, а3, ...
аі + а2 + • • • + ап ^ v /
... , ап > уод ... ап (нерівність
Коші). *
•
(Доведення Коші). Спочатку доведемо нерівність
за індукцією для всіх чисел п виду 2П. А потім
методом оберненої індукції (за індукцією вниз)
доведемо, що коли нерівність правильна для n = 2h, то
вона правильна для будь-якого цілого додатного п.
Зауважимо, що метод оберненої індукції (індукції
вниз), коли перехід здійснюється не від ті до п + 1
(індукції вгору), а від п + 1 до /г, запропонував
Коші.
Можна перевірити, що дана нерівність правильна
для лг = 2 = 2і, тобто для к = 1.
149

Припустимо, що нерівність справджується для
деякого цілого додатного числа п = 2ht тобто
аІ + Ч + * * * +ап ^
п
> V• • • ап» де п = 2\ (1)
Доведемо, що з (1) випливає нерівність
fli + a2+ ••• +а2п Іпг
Лгп — ' 2п ^ У ^1^2 • • • Л2п • (^)
З (1) дістанемо:
flj + fl 2 І аз + а4 I I fl2n-l + g2n
а 2 2 "г *" "г 2 ^
^2п — ” ^
(3)
і nf Ч + Ч 4 + Ч а2п-і + а2п
^[/ 2 ’ 2 2
Оскільки
аі\а* a3ta“ •••
а2п-і + а2п ^ —
• • • » 2 ^ У ^2п—1#2п »
1 П[ Ч + а2 а3 + а<
У 2 ‘ 2
Т0 і Uf Ч + а2 Ч + Ч а2п—1 + а\
 > ]/ VЬіЧ • VЧЧ • • • Vd2n-\an. (4)
Із (3) і (4) за транзитивністю відношення «>»
випливаєм
Ч + Ч » аз + Ч І а2п—1 + а2п
2 2 “г " * “г 2 ^
й >
^ у/~~\f ^3^4 * * * ^2п—1#2п у
або
аї + а2 + • • • + а2п ^ 2п/
г
2Я ^ У 4^2 * • * ^2п«
Ми дістали нерівність (2). Лишається довести тео-
рему для п, які не можна подати у вигляді 2h. Для
150

цього доведемо, що з нерівності
Ч + а 2+ ••• +ап ту
> у аха2 ... ап (5)
випливає
аІ + а2 + * • * + а,
' ' ”П—1 \ П—1/—— /Сч
п І ^ у аіа2 * * * ап— 1 • (6)
Нехай
#1 = #2 = ^2» • • • » «п-1 = Ьп-1. (7)
Враховуючи (7), визначимо ап з рівності
аї + а2+ +ап ^ + Ь2+ ... /0ч
и ~ п — 1
Ьі + &2 + *•* +&П-1 /Лч
” —і • (0)
Тоді внаслідок співвідношень (7), (8) і (9) нерівність
(5) матиме вигляд
ьі + Ь2 + • • • + &п—і ^
л — 1 ^
^ 1 УТ7 І! 61 + &2 + +&П-1 //ІЛч
>1/ &І&2 ••• &n—1 п — 1 ’• ( )
Піднісши обидві частини (10) до тг-го степеня,
дістанемо
(»,+»,+ >tA ...
... 6n_1&f+b2+i‘; +6"-1. (її)
Поділивши обидві частини (11) на ■1 2 ^ ”~1,
дістанемо:
/Ьі + ь* + • • • + K-iY-1 ч ц ь
^ ^ігї ) >ЬА ••• &п-і.
Звідси
Ьі + Ьг + • • * + bn-\ ^ n~Vn. й
п І * ^ У *1У2 * * * ^П—1 *
що й треба було довести. Рівність виконується, якщо
— 62 == Ь3 = ... = Ьп— і*
151

У другій частині доведення ми переходили від
будь-якого п в тому числі п = 2ft, до п — 1. Чи
законно це? Так, оскільки правильність даної
нерівності було доведено прямою індукцією для будь-
яких чисел виду 2h, у тому числі й для як завгодно
великих. Очевидно, що для кожного п ми можемо
дібрати число 2* > п, а потім, переходячи
послідовно від кожного числа до попереднього (це можливо
на підставі доведеного вище), дійти до потрібного
значення п.
180. 	(#1 + #2 + • • • + хп) (уї + у\ + • • • + Уп) >
> (хіУі + ЧУч + • • • + ХпУп)2 (нерівність Коші — Бу-
няковського).
•
Ця нерівність безпосередньо випливає з
тотожності Лагранжа (див. № 175, б). Справді, якщо в
правій частині тотожності Лагранжа відкинути всі
доданки виду — (#,і/; — х^уі)2, то дістанемо
нерівність Коші — Буняковського.
Можна міркувати і так. Якщо хі = х2 = ... =
= хп = 0, то, очевидно, справджується рівність.
Якщо серед xv х2, ..., хп є принаймні одне відмінне
від нуля число, то матимемо:
(zx1 + y1)2 + (zx2 + y2)2 + + (zxn + yn)2=
== {z2x 1 + 2 zxxyx + l/і) + (s2*! + 2 zx2y2 + yl)+ • • •
. •. + (z2Xn + 2zxnyn + Уп) = Az2 + 2Bz -f C, (1)
де A = x[ + #2 + • • • + Xni В = хгуг + х2у2 + • • •
• • • + Xnyn, C = y\ -f- y\ -f- • • • + Уп. (2)
Оскільки ліва частина рівності (1) є сума
квадратів, вона невід’ємна. Отже, і права частина її, тобто
Az2 + 2Bz + С, теж невід’ємна:
Az2 + 2Bz + C^0 (3)
для будь-якого z. Нехай z = , тоді (3) матиме
вигляд
А В2 OD в . л * А —В2 ^ л
А-д2 ~а ^ ^ 0, або ^^ 0,
152

зйідси А . С — В* > 0, або
А-С>В\ (А)
Підставивши в (4) замість А, В і С їхні значення
з (2), дістанемо нерівність Коші — Буняковського.
Її можна довести також методом математичної
індукції.
АВГУСТ ФЕРДІНАНД МЕБІУС
(17.XI.1790-26.IX.1868)
181. Візьміть дві однакові досить довгі смужки
паперу і виготовте з них моделі односторонньої
поверхні — листка Мебіуса (мал. 54). На одній моделі
проведіть олівцем лінію посередині смужки, а на
другій — дві лінії, які ділили б смужку на три
однакові частини. Розріжте смужку першої моделі по
проведеній посередині лінії, а смужку другої моделі
по двох проведених лініях. Що ви дістанете в
результаті?
•
Якщо листок Мебіуса розрізати по середній лінії,
то він не розпадеться на дві смужки, а
перетвориться в одну довгу смугу. Якщо його розрізати по двох
лініях, які поділяють смужку на три рівні частини,
то в результаті дістанемо дві взаємозв’язані петлі —
велику і малу. Розрізавши посередині смужки малу
петлю, дістанемо ще одну велику петлю, пов’язану
з великою петлею.
Листок Мебіуса має багато цікавих властивостей
і несподівані застосування в техніці. Йому
присвячено чимало творів літератури і навіть мистецтва.
ЯКОБ ШТЕЙНЕР
(18.111.1796—1.IV.1863)
У задачах № 182—185 побудови виконати тільки
за допомогою однієї лінійки.
182. На прямій дано три точки А, В, С, з яких В
знаходиться посередині між А і С. Через довільну
точку К (К £ (АС)) провести пряму, паралельну
(АС).
153

Побудуємо [СК] і [АК] (мал. 55). З довільної
точки Н (Н £ (СК)) проведемо (НВ) і (НА), (НВ) f|
П (КА) = Е, (СЕ) f| (AH) = F. Пряма FK шукана.
183. Дано [АС\ || [KF]. Поділити якийсь з цих
відрізків, наприклад [^467], пополам.
•
З довільної точки Н (Н (£ (АС)) проводимо прямі
НА і НС (мал. 55). Вони перетнуть другу пряму
в точках F і К. Будуємо (FC) і (КА), (FC) П (КА) =
= Е. Проведемо через Н (НЕ). Тоді \АВ\ = \ВС\.
184. Дано дві паралельні прямі. Провести через
дану точку третю пряму, паралельну даним.
•
Ділимо пополам довільний відрізок, який лежить
на одній з даних паралельних прямих (див.
попередню задачу), тоді задача зводиться до № 182.
185. Дано допоміжне коло та (АВ), яка
проходить через центр кола. Провести перпендикуляр з
даної точки М до (АВ).
%
Будуємо (МА) і (MB) (мал. 56), внаслідок
перетину їх з колом дістанемо відповідно точки AY і
Вг; (АХВ) Г) (.АВх) = С, (МС) — шукана пряма.
186. Дано допоміжне коло і довільну пряму А В.
Провести пряму, яка проходить через задану точку
і паралельна (АВ).
•
а) Нехай (АВ) проходить через центр допоміжного
кола і А та В лежать на колі, тоді задача зводиться
до № 185. б) Пряма (АВ) перетинає допоміжне коло,
але не проходить через його центр. Тоді будуємо
діаметри АС і BD (мал. 57), (CD) || (АВ), в) Дана
пряма знаходиться поза колом (мал. 58). Через
довільну точку С кола і його центр проведемо пряму,
(СО) П (АВ) = К. Через другу довільну точку
кола D побудуємо пряму, паралельну (СК), і
проведемо прямі (DO), (HO) і (HF). Оскільки [КС] ||
II [DP], то DOC = МОКх = KfiF- Д МОКх s
^ Д OKxF і І МКг І = I KXF |. Із співвідношення
Д OHF ^ /\DOM випливає (HF) ц (DM) || (КХС),
154

а тому І РКІ = І КТ\. Отже, на {АВ) знайшли три
такі точки Ру К і Т, що І РК j = І КТ |.
Задача звелася до вже відомої нам (див. № 182).
Останній випадок охоплює і той, коли (АВ)
дотикається до допоміжного кола. Положення К відносно
кола значення не має. В останньому випадку (мал. 58)
ми не будували пряму, паралельну (АВ).
187. 	Якщо дано по одному катету двох
прямокутних трикутників і відома сума двох інших катетів,
то сума гіпотенуз найменша у випадку подібності
трикутників.
•
Нехай І А В І = S — сума двох катетів і | АС | =
= а, I BD І = ах (мал. 59). | CF | + | FD | буде най-
меншою, коли AFC = BFDу тобто у випадку
подібності трикутників. Тоді (с + сх)2 = (а + ах)2 +
+ (Ь + Ьх)2, якщо ж трикутники не подібні, то
(с + сА)2 >> (а + ах)2 + (b + fet)2.
Задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки
цікавили вчених з глибокої давнини. З часом теорія розв’язування
155

таких задач пішла по трьох основних напрямах: побудови за
допомогою одного циркуля, за допомогою однієї лінійки, за
допомогою лінійки і допоміжного кола. Задачами першого роду
займалися датський математик Георг Моор (1640 — 1697) та
італійський учений Лоренцо Маскероні (1750— 1800).
Німецький математик Штаудт (1798—1867) досліджував побудови за
допомогою однієї лінійки. Моор і Штейнер досліджували
побудови за допомогою лінійки й незмінного допоміжного кола.
Теорію всіх трьох типів побудов найповніше розробив
знаменитий швейцарський математик Штейнер.
НІЛЬС ГЕНРІК АБЕЛЬ
(5. V111,1802—6.IV.1829)
188. Нехай маємо суму S = ахЬг + а2Ь2 + ... +
”1“ ^ПЬП, Д® 1 •••> ^2» •••» Ьп ЯКІСЬ ДВІ
послідовності чисел. Суми Ьи Ь± + Ь2, Ьі + Ь2 +
+ &з» •••» &1 + &2 + ••• + Ьп позначимо відповідно
через ВІУ В2І ...* Вп. Тоді
S = (аг — а2) Вх + (а2— а3) В2 +
• • • + (Яп—і — яп) Вп^ і + апВп.
За означенням величин Ви В2, ..., Впі
Ьг = В і, Ь2 = В2 51? Ь9 = В3 — В2, ...
• •. , Ьп = Вп і*
Тому
а1Ь1 + а2Ь2 + • • • + йпЬп = агЬх + а2 (В2 — В^ +
+ а3(В3 — В2) + • • • + ап (Вп — —і),
або, згрупувавши інакше, маємо:
аі&і + а2^2 + * * * + 0"пЬп = (% — В± +
+ (а2 — а2)В2+ • •. + (ап-і — ап-1) Яп_і + апВп,
що й треба було довести.
ЙОГАНН БЕНЕДІКТ ЛІСТІНГ
(25.IV.1808-24.X11.1882)
189. 	Накресліть одним розчерком олівця фігуру
а, а потім і фігуру б (мал. 60). Чим пояснити
результати розв’язування цих двох задач Лістінга?
156

Фігуру а неможливо накреслити одним розчерком
олівця, вона має вісім непарнократних точок.
Набагато складнішу фігуру б можна накреслити, не
відриваючи олівця від паперу. Вона має тільки два
непарнократних вузли — це п’ятикратні точки.
Задача Лістінга, як і № 181, 266,— приклади
топологічних задач. Лістінг одночасно з Мебіусом
відкрив односторонню поверхню — листок Мебіуса,
ввів термін «топологія».
ЖОЗЕФ ЛУЇ ФРАНСУА БЕРТРАН
(11.IIL1822-3.IV.1900)
190. 	Якось у Неаполі преподобний Галіані
побачив чоловіка з Базілікати, який, підкидаючи три
гральні кості в кружці, бився об заклад, що викине
три шестірки; і справді, він негайно дістав три
шестірки. Чоловіку з Базілікати це вдалося вдруге,
потім третій, четвертий і п’ятий раз. «Кров вакха! —
вигукнув преподобний. Кості налиті свинцем!?».
Чому преподобний запідозрив людину із Базілікати
в шахрайстві?
•
Ймовірність випадання шестірки при одному ки-
1
данні однієї гральної кості дорівнює -у, трьох
шестірок при одночасному киданні трьох гральних костей
= yg. Ймовірності повторення такої ситуації
при наступних киданнях будуть: при 2-му киданні —
^-1-J = 1:46 656, 3-му — ^-j9 = 1: Ю 077 696,4-му—
= 1:2 176 782 336 і 5-му - =
= 1 : 470 184 984 576.
Події (викидання трьох шестірок) швидко ставали
все більше неймовірними.
157

ЧАРЛЗ ЛЮДВІДЖ доджсоп
(ЛЮІС КЕРРОЛЛ)
(27.1.1832—14.1.1898)
191. Десять монет (жетонів) розміщені на
площині в два ряди (мал. 61). Потрібно перемістити лише
4 монети в таке положення, щоб на п’яти різних
прямих виявилося по 4 монети.
•
Досить перемістити одну монету одного ряду і
З монети другого (мал. 62). Задача допускає до 300
різних розв’язків. Детально вона розглянута в
книжці І. Я. Депмана «Рассказн о решении задач»
(М., Детская литература, 1964, с. 40—46).
192. Король, виявивши, що його казна майже
порожня і гроші, які ще лишилися, доведеться
витрачати економно, вирішив розігнати як можна більше
своїх радників-мудреців. їх у короля було дуже
багато. Всі мудреці мали вельми імпозантну зовнішність,
благородні сивини і носили розкішні мантії із
зеленого оксамиту з золотими гудзиками. Єдине, що
можна було б поставити їм у провину — це
суперечливість порад, які вони давали королю з будь-яких
питань, і надмірну пристрасть до їди і питва з
королівського столу (апетит у всіх мудреців був чудовий!).
Але за законом, який порушити не міг жодний
король, при дворі завжди мало знаходитися стільки
мудреців, щоб серед них неодмінно знайшлися: сім
сліпих на двоє очей, два сліпих на одне око, п’ять
)Аал.(і
)Аал. бо
htan.fo
158

зрячих на обоє очей, дев’ять зрячих на одне око.
Скільки мудреців довелося королю залишити при
дворі, щоб не порушити вимогу закону?
•
Люїс Керролл подав розв’язання у віршах.
Прозою це розв’язання можна переказати так. Король
зумів обійти суворий закон, рахуючи двічі сім
сліпих і п’ять зрячих мудреців. Король вважав, що
сліпий на обоє очей, очевидно, сліпий і на одне око,
хто бачить на обоє очей відразу, може бачити й одним
оком. Тому тільки шістнадцять мудреців
залишилися при дворі, щоб завдавати збитки царській казні.
193. Одному чоловіку дуже хотілося потрапити в
театр. Квиток коштував 1 шилінг 6 пенсів, а в цього
чоловіка був тільки 1 шилінг (у 1 шилінгу 12 пенсів).
Подумавши, чоловік вирішив закласти свій шилінг
у лихваря. Лихвар уважно оглянув монету і,
переконавшись, що вона не фальшива, дав чоловіку під
заклад 9 пенсів.
З 9 пенсами і квитанцією на 1 шилінг в кишені
чоловік вийшов від лихваря і зустрів на вулиці
приятеля, якому запропонував купити квитанцію за
9 пенсів. Тепер у чоловіка було 9 пенсів, одержаних від
лихваря, і 9 пенсів, виручених від продажу
квитанції. Цієї суми якраз і вистачило на квиток. Скажіть,
хто і скільки втратив у результаті всіх операцій.
▼
Ви, зрозуміло, думаєте, що в збитку виявився
приятель заповзятого театрала і що втратив він 6 пенсів.
Мій юний друже! Ваша відповідь неправильна, але
робить вам честь, бо показує, що ви не маєте ні
найменшого уявлення про те, як діють лихварі: адже в
своєму розв’язанні ви виходили з того, ніби лихварі
займаються своїм ремеслом безкорисливо!
(Відповідь Керролла).
194. Дехто прогулювався 5 годин. Спочатку він
ішов горизонтальною дорогою, потім піднявся на
гору і, нарешті, за старим маршрутом повернувся
у початковий пункт. Швидкість його руху
дорівнювала на горизонтальній частині шляху 4 км/год, під
час сходження на гору — 3 км/год, під час спуску
з гори 6 км/год. Знайти пройдений шлях.
159

Нехай х — відстань, пройдена в обидва кінці,
у — довжина похилої частини шляху. Час,
витрачений на прогулянку в обидва кінці, дорівнює:
Звідки
-^-х = 5, # = 20.
У загальному випадку задача є невизначеною, і
тільки тоді, коли коефіцієнт при у дорівнює нулю,
вона має єдиний розв’язок.
ГЕОРГ КАНТОР
(3.111.1845—6.1.1918)
195. 	Візьмемо замкнений проміжок завдовжки
є (є £ R і є > 0). Поділимо його на три конгруентні
частини й заберемо центральний відкритий
проміжок завдовжки б. Після цього в нас залишаться
два конгруентних замкнених проміжки. Поділимо
кожний з них на три конгруентні частини й
заберемо два центральних відкритих проміжки.
Залишаться чотири конгруентних замкнених проміжки б'ї,
62, вз’, 64. Продовжимо цей конструктивний
процес до нескінченності. Множина точок, які після
цього залишаться на даному проміжку, називається
канторовою досконалою множиною. Обчисліть її
довжину.
і«і+ - +І«І-^-(4
Після кожного тг-го кроку в нашому процесі
утворюються конгруентні інтервали &[к\ ..., б^-і,
/ 2 \л—і І е І гг
сума яких дорівнює 3 . Тому, сума
довжин усіх викинутих інтервалів при нескінченному
160

продовженні процесу, дорівнює:
-L11--4--L 1*1 . /_Li2_LiL-i- ..
з т з — + [ з j з т
-+(x)"-4L+--^L(1 + -r +
+(т)'+ - +{4-Г+ -)-
З
Міра канторової досконалої множини дорівнює
І е І І є І == 0.
196. Запишемо всі раціональні додатні числа в
таблицю (мал. 63), нескінченно продовжену вправо,
і в порядку, зазначеному стрілками, випишемо їх
у нескінченну послідовність*
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1
1 ’ 1 ’ 2 ’ 1 ’ 2’ 3’ 1’ 2’ 3’ 4 * # •
Під яким номером буде записане число
▼
Число •— буде під номером?
4-(/> + ?—1) (р+ Я— 2) + д.
197. Якщо всі елементи множини можна
пронумерувати натуральними числами, то така множина
називається зчисленною, вона еквівалентна множині
N. Множина Q зчисленна.
Припустимо, що нам вдалося якось
пронумерувати всі дійсні числа, які належать, наприклад,
проміжку [0, 11, і записати їх у нескінченну таблицю*
0, #2 • • •
0» Ьj • • •
^1 ^2 ^3 • • •
0, dj с?2 d3 ...
Побудуйте дійсне число а £ [0, 11, яке не
потрапить у цю таблицю, хоч би ми продовжували її до
нескінченності.
6 2765
161

•
Побудуємо число а так* а = 0, а Ь 0 d ..., де а —
цифра десятих числа а не дорівнює 0, 1 і an Ь —
цифра сотих не дорівнює 0, 1 і 62, с Ф 0, 1 і с3) d Ф
Ф 0,1 і d4 і т. д. Тоді а не дорівнює першому числу
нашої таблиці, бо вона відрізняється від нього
цифрою десятих, не дорівнює другому числу, бо
відрізняється цифрою сотих і т. д., але належить проміжку
[0; 1]. Цим самим доведено, що R і будь-який відрізок
lru г2] с: R незчисленні.
198. Виділіть з множини натуральних чисел N
нескінченні підмножини Nu N21 N3y такі, щоб
Nx с: N2 cz N3 c: N. Покажіть, що N coN1coN2co
co N3.
•
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , и, ...}.
Задамо N2, N3 таким чином? = {102, 104,
108, N2 = (10, 102, 103, N3={5, 10, 15,
20, 25, ...}. Очевидно, cz iV2 cz Ns- Покажемо, що
N co N і. Встановимо взаємно однозначну
відповідність між елементами N і Nx так:
1 2 3 4 5 ... п
Ю2 104 108 101в 1082 ... її2" ...
Еквівалентності N со N2, N со N31 N2 со N2 со
сч> N3, Nx со N3 теж легко встановити. Отже, з
одного боку, Ni cz N2 a N3 cz N, а з другого,
Nx co N2 co N3 co N. Це одне з багатьох
несподіваних співвідношень між нескінченними множинами.
199. Показати графічно, що множина точок
довільного, наприклад одиничного, відрізка
еквівалентна множині усієї прямої.
•
Див. мал. 64.
ВАЦЛАВ СЕРПІНСЬКИЙ
(14.111.1882—21.Х.1969)
200. Поділимо одиничний квадрат на 9
конгруентних квадратів і викинемо внутрішню частину
середнього квадрата. Поділимо кожний з решти квадратів
Ж

I 2
1 1
/ /
i_ 2
2 2
/ /
L 1
} . ).
/ /
4 4
ІЇаЛ.І) / /
I ± I £
і / / / *
/ / / /
4 5 6
2-22"
/ / / /
ill
) ) ) "
/ / / /
t L L
4 4 4”
/ / /
UaaJf
Iі IT
J ! 1
і і| ~
+■
-Фш
--fl—Hr
=±+JM=4=
Ч їм1
, і! i.iij
і ч
і її
'Мал. 66
Ша. і]
6*
755

знову на 9 конгруентних квадратів ще меншого
розміру і знову викинемо в кожному внутрішні області
центральних квадратів. На третьому кроці такої
операції дістанемо фігуру, зображену на малюнку
65. Продовживши цю операцію до нескінченності,
дістанемо фігуру, яка називається килимом Серпін-
ського. Чому дорівнює площа килима Серпінського?
•
На першому кроці ми викинули квадрат, площа
1
якого дорівнює тд-, площа викинутих на другому
о 1
кроці квадратів дорівнює 8 • -gj, після цього залиша-
V. .. 8 8 64 / 8 \2
еться фігура, площа якої вГ = 8Г = (т) *
після я-го кроку залишиться фігура з площею
А оскільки lim = 0, то площа килима Серпін-
П -*■ ОО \ * /
ського дорівнює нулю.
201. 	Поділимо одиничний квадрат на 25
конгруентних квадратів і викинемо тільки центральний з
них ^його площа Продовжимо відрізки, які
обмежували викинутий квадрат, до перетину із
сторонами великого квадрата і в кожному з чотирьох
утворених квадратів і чотирьох прямокутників
побудуємо взаємно перпендикулярні смуги завширшки
А
(мал. 66). Викинемо 8 квадратів, по яких
передо
тинаються смуги в 4 квадратах і 4 прямокутниках.
Площа викинутих квадратів буде . На третьому
кроці виконаємо такі самі побудови, щоб викинути
6*4
64 квадрати загальною площею Чому дорівнює
площа цього варіанта килима Серпінського?
Тепер з площі одиничного квадрата викидаються
квадрати, площі яких (на кожному етапі) утворюють
геометричну прогресію:
1 8 8 8П
25 ’ 252 ’ 25* 1 *в ’ * 25п+1 ’ ’ ’ * *
164

I
Сума її дорівнює -jy-. Отже, площа нового
варіанта килима Серпінського буде завжди не менша від .
БАРТЕЛ ЛАНДЕРТ ВАН ДЕР ВАРДЕН
(нар. 1.11.1903)
202. 	Периметр рівностороннього трикутника
дорівнює 3. Поділивши кожну його сторону на три
конгруентних відрізки, на зовнішніх частинах середніх
відрізків будуємо нові рівносторонні трикутники.
Кожну сторону зірчастого дванадцятикутника
поділимо на три конгруентні частини і знову на
зовнішній стороні кожного із середніх відрізків побудуємо
правильний трикутник. На другому етапі дістанемо
лінію, зображену на малюнку 67. Чому
дорівнюватиме периметр фігури, коли таку операцію продовжити
до нескінченності?
•
. Периметр трикутника дорівнює 3, периметр
фігури після першої побудови дорівнює 4, після другої —
48 . .. 192 л
— ПІСЛЯ третьої ТГ-. Послідовність периметрів
У » У
можна записати так:
3 = 3.(4)\ 4.3.4, ^-3.(4)’,
192 о / 4 \3
9 Д 3 ) ’ ’
після и-ї побудови дістанемо фігуру, периметр якої
З • ^4" J1’ Оск*льки jn ”*■ 00» Т0 лінія
ван дер Вардена має нескінченну довжину, хоча й
займає обмежену частину площини.
Навіть краплини води достатньо, щоб можна було
дещо розповісти про весь океан. Сучасна ж
математика досягла таких масштабів, що знайомство навіть
з багатьма окремими її галузями не дає уявлення
про цю науку в цілому.
З відкриттям людиною все складніших законів
природи постала проблема створення потужного
165

математичного апарату, який би з необхідним
ступенем точності описував досліджувані явища.
Наприклад, Місяць, рухаючись по орбіті, робить
надзвичайно складні коливання, бо зазнає численних сталих
і змінних збурень. Тому формула, яка описує його
рух, містить 700 членів. Ще складніші явища чекали
на вчених, коли вони досліджували і моделювали
об’єкти і процеси мікро- і мегасвіту. Надзвичайно
складними виявилися закони живої матерії.
З’ясувалося, що понять і методів класичної математики
абсолютно недостатньо, щоб описувати такі об’єкти
реального світу.
Поступово математика поповнювалась новими
природознавчими й технічними поняттями, новими
методами розв’язування поставлених задач. Потім ці
методи і відкриті теореми об’єднувалися в цілі
теорії, які бурхливо розвиваються і все ширше
застосовуються в науці. Досить назвати такі галузі
сучасної математики, як кібернетика, математична
логіка, теорія алгоритмів, теорія інформації, теорія
дослідження операцій, теорія ігор, теорія розмитих
множин, теорія катастроф та інші. Деякі з них
з’явилися лише кілька десятиліть тому, а вже збагачені
численними глибокими результатами. Із цілком
зрозумілих причин багато справді визначних,
актуальних задач не потрапили на сторінки нашої книжки.
Вони чекають свого висвітлення в інших науково-
популярних виданнях.

Говорячи про математику країн ісламу, ми
згадували визначних учених ал-Хорезмі, ал-Фарабі,
Абу-л-Вафу, ал-Беруні.
У VII ст. жив і працював видатний вірменський
астроном, географ, математик Ананія Шіракаці, у
XIII ст. азербайджанський математик і астроном Му-
хаммед Насіреддін Тусі (17.11.1201—25.IV.1274).
У 20-ті рокиXIII ст. народи Середньої Азії, які
слов’яни, пережили спустощливу навалу орд Чингіс-Хана.
Від часів процвітання і занепаду Київської Русі
(IX—XII ст.) дійшли до нас перші відомості про
розвиток математики, а саме — арифметичних знань
слов’янських народів. Давньослов’янська
алфавітна нумерація була заснована на кирилиці й
глаголиці. Найбільшого поширення набула кирилицька
нумерація. Джерела XI ст. підтверджують також
знання індійської нумерації. Перший математичний твір,
який дійшов до нас — «Учение им же ведати челове-
ку числа всех лет». Написаний він Кириком
Новгородським (нар. 1100) і присвячений хронологічним
обчисленням. Про високий рівень математичних
знань народів Давньої Русі свідчать визначні
пам’ятки архітектури Києва та інших міст.
Татаро-монгольська навала XIII—XV ст. завдала
величезної шкоди економічному та культурному
розвитку Русі й надовго затримала розвиток науки.
Усі сили народу скерувалися на опір загарбникам.
Ціною величезних жертв Русь зупинила татарські
орди і, як щитом, закрила собою від них Європу, де
завдяки цьому склалися сприятливі умови для
дальшого розвитку науки, техніки, культури.
Тільки після остаточного повалення татарського
іга в 1480 р. поступово зникає його вплив, і з
практичних задач математика набирає дальшого
розвитку. Але справжній перелом математики в Росії
припадає на роки реформаторської діяльності Петра І.
Було створено багато математичних рукописів.
У них викладено задачі на кмітливість, визначення
часу, на рух, на прогресії, задачі, які приводили до
діофантових рівнянь. Цікаво, що в давньоруських
математичних рукописах знаходимо задачі «о день-
гах в куче ведати». Це своєрідні аналоги
давньоєгипетських задач на обчислення «аха».
168

Діяльність Петра І і його соратників сприяла
науково-технічному прогресу в країні.
У навігацькій школі проходила діяльність
першого вчителя математики російського юнацтва Леон-
тія Пилиповича Магницького (19.VI. 1669—ЗО.Х.1739).
Для учнів цієї школи в 1703 р. в Москві була
надрукована знаменита «Арифметика» Магницького.
Великий том у 662 сторінки вийшов значним для того
часу тиражем 2400 примірників. Це була справжня
енциклопедія: у ній поряд з викладом правил
основних арифметичних дій розглядалися питання
прикладної арифметики, зокрема її використання
у військовій справі, техніці, торгівлі. Книга
відіграла велику роль у поширенні математичної освіти в
нашій країні і протягом майже 50 років була
основним шкільним підручником з математики.
У 1724 р. Петро І затвердив проект, положення про
Петербурзьку Академію наук. З 23 академіків,
запрошених у перші роки її роботи, 7 були
математиками і серед них Яків Герман (16.VII.1678—14.VII.
1733), Христіан Гольдбах (18.111.1690-1.XII. 1764),
рідні брати із знаменитої династії Бернуллі —
Микола II (27.1.1695—9.VIII. 1726) і Данило (8.ІІ.
1700—1782). Брати Бернуллі сприяли проїзду в
Петербург свого юного земляка, який теж не
знайшов роботи в рідній Швейцарії,— Леонарда Ейлера
(15.IV.1707—18.IX.1783). Перший том наукових
праць учених Петербурзької АН за 1726 р. вийшов
у 1728 р. і справив величезний вплив на прогрес
математичних знань всієї Західної Європи. Росія
відразу стала великою математичною державою.
Після смерті Ейлера рівень математичних
досліджень у Петербурзькій Академії знизився, але в
1828 р. ад’юнктами її стали Михайло
Васильович Остроградський (24.IX.1801—1.1.1862) і Віктор
Якович Буняковський (16.XII. 1804—12.XII. 1889),
які підняли міжнародний престиж російської
математики. М. В. Остроградський дістав важливі
результати в найрізноманітніших галузях математики
і механіки: математичному аналізі, вищій алгебрі,
аналітичній механіці, математичній фізиці,
балістиці. Такою ж різнобічною була і діяльність В. Я. Бу-
няковського. Особливо бпглто зробив цей учений
169

для розвитку теорії чисел і теорії ймовірностей.
Одночасно з дослідженнями в Академії наук у
Казані здійснив свої епохальні відкриття геній
російської науки, творець першої неевклідової геометрії
Микола Іванович Лобачевський (1.VII.1792—24.11.
1856). Світове визнання здобула діяльність
геніального російського математика Пафнутія Львови-
ча Чебишова (16.V.1821—8.XII.1894). Він
розв’язав ряд складних проблем теорії чисел, багато
зробив для розвитку теорії ймовірностей,
конструювання різних механізмів, дав прекрасні зразки
застосувань математики в техніці, математичній
фізиці, артилерійській справі.
Усі згадані вчені поєднували розробку складних
математичних проблем з викладацькою роботою,
популяризували математичні знання і виховували
активних творчих спеціалістів: математиків,
інженерів, учених-флотоводців і артилеристів для
російської армії.
XIX ст. в історії вітчизняної математики багате
славними іменами. На другу половину цього
століття припадає творчість жінки-математика Софії
Василівни Ковалевської (15.1.1850—10.11.1891). Її
духовний розрив із своїм класом, енергійна
боротьба за право працювати на користь народу стали
добрим грунтом, на якому зростала енергія і героїзм
багатьох російських жінок на шляху до наукової
і громадської діяльності. С. В. Ковалевська
створила праці, які стали визначним етапом у розвитку
математики, механіки, математичної фізики,
астрономії.
ЗАДАЧІ
АБУ АБДАЛЛА МУХАММЕД ІБН МУСА
АЛ-МАДЖУСІ АЛ-ХОРЕЗМІ
(787 - 6л. 850)
203. 	Квадрат невідомого і десять невідомих
становлять 39 дирхемів (дирхем — срібна монета
середньовічного Сходу). Чому дорівнює невідоме?
(Розв’язати графічно).
170

•
Розв’язання цього рівняння, як і інших
прикладів ал-Хорезмі, обійшли майже всі середньовічні
арабські й західноєвропейські підручники алгебри.
1-й спосіб. Нехай невідоме х — довжина
даного відрізка. Будуємо квадрат ABCD, площа
якого х2. Подамо 10 • х, як 2 • 5х. Побудуємо на
сторонах квадрата два прямокутники ВСВ'А' і
DCCN, площа кожного з яких дорівнює 5х (мал.
68, а). Доповнимо фігуру ANC'CB'A', яка
називається гномоном, до квадрата ЛЛ 'MN, тоді Sccmb' =
= 25. Площа гномона х2 + іОх = 39 (за умовою
задачі), Saa'mn = 39 + 25 = 64, отже, довжина
сторони великого квадрата | AN\ = \х | + 5
дорівнює 8, звідки х = 3.
2-й спосіб. Побудуємо на сторонах квадрата,
довжина сторони якого дорівнює х (мал. 68, б),
прямокутники, площа кожного з яких 2-^- х |бо 4 X
X 2-^- х = 10 xj. Доповнимо фігуру, яку дістанемо,
до квадрата. Площа кожного з чотирьох квадратиків
111 1
дорівнює 2~y • 2~y = 6—, а всіх разом 6— • 4 =
= 25. Тоді площа великого квадрата буде 39 + 25 =
= 64 і т. д.
У сучасних позначеннях рівняння має вигляд
х2 + ІОх = 39, а розв’язання ал-Хорезмі можна
записати так:
= ]/25"+39 — 5 = У64 — 5 = 8 — 5 = 3.
204. 	Півтора дирхема розділити між людиною і
ще кількома людьми так, щоб першій людині
дісталося стільки, скільки дісталося двом із кількох
людей. Скільки було людей, крім першої людини?

<7

*7fiн
*7*
x’ ,
‘т
1 4~
1
tj-X
1 ^
і
1
Х<<м. (t
*-/(4^т-т-/-г+т-т-
-W-T-T-
Виявляється, що «кілька людей» дорівнюють ...
половині людини. (Розв’язання. ал-Хорезмі).
205, У трикутної ділянки землі дві сторони по
десять ліктів, а третя 12 ліктів, всередині трикутної
ділянки квадратна ділянка землі. Обчислити сторона
квадрата.
Позначимо І А'В' | = х (мал. 69). h = |/"102 — б2 =
= 8, S^abc — ~2 ' 12 • 8 = 48, Sa'B’nm = х2, £даа'м =
яв Т (б — у).*1 = Зх — \х2, S^a'BB' = у (8 — х) х =
= Ах y х2. Тому 48 = Зх L х2 + Зх х2 —
— Ах j-x2 + х2, 48 = 10#, х = 4 -g-.
АНАНІЯ ШІРАКАЦІ
(середина VII ст.)
206. Один купець пройшов через 3 міста. У
першому місті у нього взяли половину і третину майна,
у другому — половину і третину з того, що у нього
лишилося, у третьому — знову половину і третину
172

того, що у нього було. Коли він прибув додому, у
нього лишилося 11 грошів. Скільки всього грошів
було спочатку у купця?
▼
2376 грошів.
207. У Афінах була водойма з трьома трубами.
Перша могла наповнити водойму за 1 год, друга —
за 2, третя за 3. За яку частину години всі 3 труби
разом могли наповнити водойму?
▼
о 6
За ^ год.
АБУ-Р-РАЙХАН МУХАММЕД ІБН АХМЕД
АЛ-БІРУНІ
(973 - 6л. 1050)
208. Знаючи висоту гори, яка знаходиться на
відкритій місцевості, визначити радіус Землі.
173

Нехай висота гори I AM | = Я (мал. 70).
Вимірявши а, дістанемо ■' R j = (| R | + Я) cos а. Звідки
і ^ і Н COS CL
■ * 1 — cos а
209. Обчислити довжину хорди кола одиничного
радіуса, яка стягує кут у 20°.
•
Нехай \ АВ\ = х (мал. 71), тобто \АВ\ е стороною
правильного вписаного в коло 18-кутника.
Побудуємо \AC\ — \CD\=\DG\’=x, \GT] _L \ AH | і
I AR I _L | BH І. Тоді Д ВАС оо Д AHB, звідки
\ВС\і\АВ\ = \АВ\і\АН\. Оскільки | AH ! =
= 1, to | BC | = x2. З подібності Д ARH і Д GTH
маємо | HR | * | AH \ = | HT ( •: | GH |, або ^1 -
! 1 — ~Y~ : x> a®° + 1 = За:-
ЛЕОНАРД ЕЙЛЕР
(15.IV.1707-18.IX.1783)
210. Знайти раціональні корені рівняння ху= ух-
Нехай у = ах, тобто (ах)х = хах, або ах = ха, а =
1 а
— ха~\ звідки х = а а — 1 , тоді у = а а — 1 , якщо
1 . п +1
покласти = п, дістанемо а = —^— , отже,
211. 	У будь-якому чотирикутнику сума квадратів
сторін дорівнює сумі квадратів його діагоналей,
складеній з почетвереним квадратом відрізка, який
сполучає середини діагоналей.
•
Для доведення використаємо лему: якщо в Д ABC
[AD] 	- медіана, то \ АВ |2 + | АС (2 = 2 | AD |2 +
+ 2 I BD j2, якщо Р і Q — середини діагоналей
(мал. 72), то (за лемою) я д ABD і Д BCD
174

I AB | 4- I 4Z?|2= 21 АР I2 + 21 BP |2, (1)
| ВС I2 + | CD I2 = 21 CP I2 + 21 BP I2. (2)
Додавши почленно рівності (1) і (2), дістанемо*
\AB\* + \BC\* + \CD\* + \DA\* = b\BP\* +
+ 2 (| АР |2 + I CP |2).
Але з Д A PC маємо*
| A P |2 + | CP |2 = 21 AQ |2 + 21 PQ |2.
Тому
| AB |2 + | BC |2 + | CD |2 | AD |2 = 41 BP |2 +
+ 41 AQ |2 + 4 | PQ |2 = | BD |2 + | AC |2 + 41 PQ |2.
У геометрії багато понять названо ім’ям Ейлера. Точками
Ейлера називаються середини відрізків висот трикутників
від вершин до його ортоцентру. Пряма, яка проходить через
ортоцентр трикутника і центр описаного навколо нього кола,
називається прямою Ейлера. Коло, яке проходить через
основи висот трикутника, основи його медіан і точки Ейлера,
називається колом дев’яти точок або колом Ейлера. Коло
дев’яти точок іноді називають колом К. Фейербаха (1800—
1834) на честь німецького математика, який відкрив його
незалежно від інших математиків.
212. 	Основи медіан, основи висот і точки Ейлера
лежать на одному колі, яке називається колом
дев’яти точок або колом Ейлера.
•
Нехай D, Е і F середини сторін Д ABC, [АК] і
[ВМ] — висоти, Н — ортоцентр (мал. 73).
Опишемо навколо Д DEF коло. Доведемо, що К —
основа висоти АК і точка Ейлера L — середина
[ВН] лежать на описаному колі.
Оскільки [DK] — медіана прямокутного Д ВКА,
то I DK І = \ I АВ I, \EF\-±.\AB\, \DK\ =
= I EF |. Тому трапеція DEKF рівнобедрена і коло,
яке проходить через три вершини Z), Е, F цієї
трапеції, проходить і через четверту вершину К.
Очевидно, що (DL) у (АК) і (DF) II (ВС), тому LDF =
= 90°; оскільки (LE) || (СЯ), то LEF = 90°.
Отже, навколо чотирикутника EFDL можна описати
коло. Коло, описане навколо Д DEF, пройшло
175

176

через точки К і L. Аналогічно доводиться* що це
коло пройде ще через чотири точки, які нас
цікавлять.
213. Центр кола Ейлера лежить на середині
відрізка, який сполучає ортоцентр з центром описаного
кола. Радіус кола Ейлера дорівнює половині
радіуса кола, описаного навколо Д ABC.
•
Нехай 09 — центр кола Ейлера і О — центр кола,
описаного навколо Д ABC (мал. 74). Од лежить
на перетині перпендикулярів до середини [КЕ] і
[MF], 09 має лежати на середині бічної сторони
[ОНІ трапеції MHOF і трапеції КНОЕ, бо
побудовані перпендикуляри — середні лінії трапецій.
Сполучимо точку Е з 0{} (мал. 75). Тоді (Е09) f)
П (АК) = L, [LE] — діаметр кола Ейлера. З
конгруентності Д ОдЕО і д 09ЬН випливає, що | ОЕ | =
= I LH J, тому І ОЕ І = I AL | і [ОЕ] || [AL], Отже,
чотирикутник A LEO — паралелограм і | АО | =
= I LE І, де [LE] — діаметр кола з центром 09.
214. У будь-якому трикутнику точка перетину
медіан, ортоцентр (точка перетину висот) і центр
описаного кола лежать на одній прямій (прямій Ейлера).
•
Розглянемо Д AtBxC1% утворений середніми
лініями Д ABC (мал. 76). Д АХВХСХ со Д ABC, і
коефіцієнт подібності дорівнює 0,5. Точка М
перетину медіан Д ABC буде також точкою перетину
медіан Д AXBXCV Перпендикуляри до середин
сторін Д ABC будуть висотами Д AXBXCX. Тому центр
О кола, описаного навколо Д ABC, є ортоцентром
д А1ВІС1. Звідси випливає, що | ОВ{ | = -у \ ВН |,
а ОМВх = НМВ, як кути між відповідними
сторонами в подібних трикутниках. Тому [ОМ] і [НМ]
належать одній прямій. Цей висновок можна було б
дістати відразу, помітивши, що Л/ — центр
подібності аАВС і Д AXBXCV
215. Ферма вважав, що для довільного п £ N
числа Fn = 22?' + 1 (їх тепер називають числами
Ферма) прості Тільки в 1732 р. Ейлер спростував
177

це твердження, показавши, що Fb і 641. Перевірте
обчислення Ейлера.
• Fb = 2* + 1 = 232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 х
X 6 700417.
За допомогою ЕОМ вдалося довести складеність Fn для
досить великих п, наприклад, для п = 284; 316; 452.
^452 = 22 + 1 — найбільше число, яке вдалося розкласти
на прості множники. У ньому 1013!? цифр Карл Гаусс у
дев’ятнадцять років довів, що правильний л-кутник можна
побудувати тоді й тільки тоді, коли при розкладі числа п на прості
множники всі непарні множники різні і в простими числами
Ферма Такими в Fn для п = 0, 1, 2, 3, 4. Німецький
математик Гермес витратив десять років на побудову правильного
65537-кутника (FA— 22* + 1 = 65537).
216. Сім мостів перекинуті через річку Преголь,
на берегах якої розташоване місто Калінінград
(колись Кенігсберг) (мал. 77). Чи можна здійснити
прогулянку по місту так, щоб пройти по кожному мосту
тільки один раз?
Вказівка. У графі калінінградських мостів усі чотири
вершини А, В, С і D непарні, тому його не можна накреслити,
не відриваючи олівця від паперу. Отже, неможливо й
здійснити прогулянку так, щоб пройти по кожному з мостів тільки
один раз.
ПАФНУТІЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБИШОВ
(16. V .1821—8.XI1.1894)
217. Якщо а, < а2 <; ... ^ а„ і Ьг ^ Ь2 ^ ... ^
^ bn, то
аі ~Н а2 + • • • + ап + *2 + • • • + ^
п п
^ Чьі + аФч + * * * + anbn
п
Якщо ж ах ^ а2 ^ ^ ащ
але Ьх > Ь2 > • • • > 6Я,
то
Ч + Ч + • • • + an Ьі + Ь2 + • • • + ЬП ^
. >
її п
^ аІЬІ + а2Ь2 + ' • • + апЬ„
> п ■
178

Для обох випадків рівність справджується тоді й
тільки тоді, коли рівні між собою всі числа а1? а2, ...
•••> &п І ^2» *•*» ^п'
Перевірити нерівність Чебишова для:
а) ах = 1, а2 = 2, а3 = 7; = 4, 62 = З, Ь3 = 2
б) 1, ^2 ——1 2, Яд ■ 7, 2, Ь2 3, — 4.
ЛЕВ МИКОЛАЙОВИЧ ТОЛСТОЙ
(28.VII1.1828-7.X1.1910)
218. 	Артіль косарів мала скосити дві луки, з яких
перша вдвічі більша за другу. Половину дня всі
косарі косили першу луку. Після обіду артіль
розділилася на дві рівні групи. Перша група залишилася
на більшій луці і косила її до вечора. Друга група
косила до вечора меншу луку, але на ній
залишилася ділянка, яку наступного дня один косар
викосив за день. Скільки косарів було в артілі?
Якщо більшу луку косила півдня вся артіль і
півдня півартілі, то за півдня півартілі скосило
179

I
-g- луки (мал. 78). Отже, на малій луці залишилася
111
нескошеною з" = "б" частини» ЯКУ один косар
викосив за день. Але першого дня було скошено
2 2 8 1
1 + -g- = І-g-, тому косарів було — ; — = 8.
219. 	Очеретина звисає над водою на один аршин.
Визначити глибину річки, де росте очеретина, не
вириваючи її і не вимірюючи глибини ні веслом, ні
будь-яким іншим предметом.
Під’їхавши до очеретини, вимірюємо висоту її над
поверхнею води. Відхиляємо очеретину так, щоб її
верхівка була на поверхні води, і позначаємо це
місце (мал. 79). Вимірюємо | АВ |. Якщо висота
очеретини над водою 1, а | АВ\ = 3, то (х + І)2 =
= х2 + 9, звідки х = 4.
220. 	На протилежних стінках кімнати певної
довжини й ширини сидять муха і павук. Муха
знаходиться на півтора аршина від підлоги, павук на
півтора аршина від стелі. Знайти найкоротшу відстань
між павуком і мухою, (мал. 80).
Нехай довжина кімнати 7 аршинів, ширина — 6,
висота — 4. Припустимо, що муха сидить на більшій
стіні на відстані 2 аршини, а павук на протилежній
стіні на відстані одного аршина від найближчого
кута (мал. 80). Виконаємо розгортку кімнати (мал. 81)
і сполучимо точку, де сидить павук, з точкою, де
сидить муха. Можливі три розв’язки (за кількістю
різних розгорток). Справді, павук може добиратися
до мухи тільки по стінах; по стінах і стелі; по стінах
і підлозі. Оскільки відстані від мухи до підлоги і
від павука до стелі однакові, то шляхи через підлогу
і через стелю мають однакову довжину. За
теоремою Піфагора дістанемо: | МПХ | = Y197 « 14,04;
І МП2 І = УШ * 10,77; І МП3 | = УШ « 12,04
(мал. 81). Отже, з трьох можливих розв’язків,
найменшим буде 10,77 аршиїїл, що і є відповіддю задачі.
180

Нову еру в історії народів нашої країни відкрила
Велика Жовтнева соціалістична революція. Вона
стала переломною віхою і в історії вітчизняної
математики.
У багатовіковій історії математики роки
радянської математики займають невеликий проміжок. Та
для вітчизняної і світової науки ці роки — ціла
епоха, коли було створено великі наукові школи,
зроблено численні відкриття світового значення,
виникли важливі напрями досліджень. Визначальну
роль у розвитку радянської математики відіграла
невтомна діяльність засновника Комуністичної
партії і Країни Рад Володимира Ілліча Леніна,
спрямована на залучення вчених до співробітництва з
радянськими науковими установами, на виховання
молодих наукових кадрів, створення нових наукових
і навчальних центрів.
У важких умовах математики старшого покоління
і ті, хто входив у науку, виявили справжній героїзм,
щоб не сповільнилася переможна хода вітчизняної
математики, щоб вона збагачувалася новими
скарбами людської думки.
Сьогодні радянська математика займає передове
місце в світовій математичній науці, збагачуючи її
блискучими результатами у всіх головних напрямах.
У багатьох з цих напрямів відкриття радянських
учених мають вирішальне значення. Неможливо
назвати хоча б одну галузь сучасної математики, в
якій радянським ученим не належали б важливі,
глибокі результати.
Більшість поставлених і розв’язаних радянськими
математиками задач не доступні учням. (Ці задачі
пов’язані з важливими проблемами практики або
зумовлені потребами розвитку самої математики). Тому
в цьомі розділі після короткого історичного нарису
наведено зовсім невелику добірку задач.
Велика заслуга в розвитку радянської математики
належить академіку Миколі Миколайовичу Лузіну
(9.XII.1883—28.11.1950). Він працював у багатьох
розділах сучасної математики, приділив велику
увагу створенню вузівських підручників з
математики. Його учні збагатили радянську математику
новими відкриттями.
182

Отто Юлійович Шмідт (ЗО.IX. 1891—7.ІХ.1956)
працював у галузі математики, астрономії, геодезії,
брав участь у дослідженнях Арктики, проводив
велику адміністративну й організаторську роботу. Один з
перших удостоєний звання Героя Радянського Союзу.
Теорія чисел одна з найдавніших галузей
математики. Видатні відкриття в ній належать математику
із світовим ім’ям Герою Соціалістичної Праці
лауреату Ленінської і Державної премій
віце-президенту АН Івану Матвійовичу Виноградову (нар. 14.ІХ.
1891). Він створив нові потужні методи дослідження
властивостей чисел, які широко використовуються
тепер багатьма вченими. Сам І. М. Виноградов за
їх допомогою розв’язав ряд складних математичних
задач, зокрема, й знамениту проблему Гольдбаха —
Ейлера про те, що будь-яке непарне натуральне
число, починаючи із 7, можна подати сумою трьох
простих чисел, а будь-яке парне натуральне число,
починаючи з 4,— сумою двох простих чисел. Ця
проблема чекала свого розв’язання з 1742 року.
Результат Виноградова став видатним досягненням
у теорії чисел першої половини нашого століття.
Розв’язання складних задач, пов’язаних з
освоєнням атомної енергії і космосу, будівництвом
велетенських гідроелектростанцій, створенням машин
для радянської промисловості й техніки, охороною
мирної праці радянських людей, викликали до
життя нові напрями теоретичної і прикладної
математики. Видатні результати в розв’язанні складних
проблем дістали математики, зокрема, Герой
Соціалістичної Праці лауреат Ленінської і Державних
премій Михайло Олексійович Лаврентьєв (нар. 19.XI.
1900). М. О. Лаврентьєв працює в галузі теорії
множин, теорії функцій, диференціальних рівнянь,
застосувань математичних методів у механіці,
сучасній обчислювальній техніці.
Основоположник радянської обчислювальної
техніки Герой Соціалістичної Праці лауреат
Ленінської і Державної премій Сергій Олексійович Лебе-
дєв (2.XI. 1902—3.VII. 1974) провів фундаментальні
дослідження в галузі електронної та
обчислювальної техніки, у результаті чого була створена ціла
серія ЕОМ.
188

Особливі заслуги перед радянською наукою
належать тричі Герою Соціалістичної Праці лауреату
Ленінської і двічі лауреату Державної премій
академіку Мстиславу Всеволодовичу Келдишу (10.11.
1911—24.VI.1978). Його праці присвячені різним
питанням математики й механіки, зокрема,
вивченню й усуненню самозбудження вібрацій у
конструкціях швидкісних літаків. Учений приділяв також
багато уваги створенню сучасної обчислювальної
техніки.
Особливо плідною є наукова, організаційна і
педагогічна діяльність видатних учених: Героя
Соціалістичної Праці лауреата Ленінської і Державної
премій Андрія Миколайовича Колмогорова (нар.
26.IV. 1903); Героя Соціалістичної Праці тричі
лауреата Державної премії Сергія Олександровича
Христіановича (нар. 9.XI. 1908); Героя
Соціалістичної Праці лауреата Ленінської і двічі лауреата
Державної премій Льва Семеновича Понтрягіна (нар.
3.IX.1908); Героя Соціалістичної Праці тричі
лауреата Державної премії Анатолія Олексійовича До-
родніцина (нар. 2.XII. 1910); Героя Соціалістичної
Праці, лауреата Ленінської і двічі лауреата
Державної премії Віктора Михайловича Глушкова (нар.
24.III. 1923) та багатьох інших.
ОЛЕКСАНДР ЯКОВИЧ ХІНЧИН
(19. VII.1894-18.XI.1959)
БОРИС ВОЛОДИМИРОВИЧ ГНЄДЕНКО
(нар. 1.1.1912)
221. 	Кількість влучань одного стрільця в ціль
становить 80%, а другого (за тих самих умов
стрільби) 70%. Знайти ймовірність влучання в ціль, якщо
обидва стрільці стріляють одночасно (вважається
влучання в ціль хоча б однієї з двох куль).
•
Припустимо, що здійснено 100 подвійних
пострілів. Приблизно в 80 з них ціль буде вражена першим
стрілком. Лишається близько 20 пострілів, у яких
цей стрілок промахнувся. Другий стрілок влучить
184

у ціль приблизно 70 раз із 100 пострілів, отже, 7
раз з 10 пострілів. Можна чекати, що в тих 20
пострілах, де перший стрілок промахнувся, другий
влучив приблизно 14 раз. Тому при всіх 100 пострілах
ціль виявиться враженою 80 + 14 = 94 раз.
Ймовірність влучення в ціль при одночасній стрільбі
двох стрільців дорівнює 94%, або 0,94.
222. Електролампи випускаються на двох заводах,
при цьому перший з них постачає 70%, а другий 30%
усієї продукції. З кожних 100 ламп першого заводу
стандартні 83, а із 100 ламп другого заводу — 63.
Установлено, що дана лампа стандартна. Яка
ймовірність того, що ця лампа виготовлена на другому
заводі?
•
З кожних 1000 випущених у торгівлю ламп у
середньому 770 мають стандартну якість, з них 581
випущені на першому заводі й 189 — на другому.
Ймовірність випуску ламп другим заводом 189 : 770 «
«0,245.
СОФІЯ ОЛЕКСАНДРІВНА ЯНОВСЬКА
(31.1.1896—24.Х.1966)
223. На деякій множині введено операцію *, яка
кожним двом елементам а і Ь з цієї множини ставить
у відповідність елемент а * Ь з цієї множини.
Відомо, що: 1) для будь-яких трьох елементів а, Ь і с
а * (Ь * с) = Ь * (с * а); 2) якщо а * Ь = а * с, то
Ь = с; 3) якщо а * с = Ь * с, то а = Ь.
Доведіть, що операція *: а) комутативна, тобто
для будь-яких двох елементів aiba*b = b*a;
б) 	асоціативна, тобто для будь-яких трьох елементів
а, b і с (а * Ь) * с = а * (Ь * с).
•
З умов 1) і 2) випливає комутативність:
підставивши в 1) а замість Ь, дістанемо, що для будь-яких, jа
і с а * (а * с) — а * (с * а), а звідси згідно з 2)
випливає, що а * с — с * а. З умови 1) і комутативності
операції випливає її асоціативність: для будь-яких
а, b і с, згідно з 1): а * (Ь * с) = Ь * (с * а) =
= с * (а * Ь).
185

Користуючись комутативністю, дістанемо:
а * (Ь * с) = с * (а * Ь) = (а * Ь) * с.
АНДРІЙ МИКОЛАЙОВИЧ КОЛМОГОРОВ
(нар. 25.IV.1903)
224. Множина М складається з трьох елементів,
а множина N — з двох елементів. Скільки існує:
а) відображень М в N\ б) відображень М на N;
в) 	відображень N в М\ г) відображень N на М?
▼
а) 8; б) 6; в) 9; г) 0.
225. Множина М складається з т елементів, а
множина N з п елементів. Скільки існує функцій,
визначених на М, із значеннями, які належать N?
▼
пт.
226. Яку додаткову умову потрібно накласти на
значення х у формулі / (х) = 1, щоб дістати
означення функції / (х) = (Ух)2 + (У І — я)2?
▼
1.

ВИКОРИСТАНА Й РЕКОМЕНДОВАНА
ЛІТЕРАТУРА
Видання першоджерел
1. Архимед. Сочинения. М., Наука, 1962.
2. З в к л и д. Начала. M.-JL, ГТТИ, 1948—1950, т. 1—3.
3. А л-К аши Джемшид Гиясзддин. Ключ
Арифметики. Трактат об окружности. М., ГИТТЛ, 1956.
4. Аль-Хорезми Мухаммед. Математические
трактати. Ташкент, Фан, 1964.
5. Декарт Р. Рассуждения о методе. М.-Л., Изд-во АН
GGGP, 1953.
6. Д и о ф а н т. Арифметика. М., Наука, 1974.
7. Ньютон И. Всеобщая арифметика. M.-JI., Изд-во
AH GGGP, 1948.
8. Хайям Омар. Трактати. М., Изд-во восточной лите-
ратурн, 1961.
9. Хрестоматия по истории математики /Под ред. А. П. Юш-
кевича. М., Просвещение, 1976—1977, кн. 1—2.
10. З й л е р JI. Введение в анализ бесконечно малих. М.,
Физматгиз, 1961, т. 1—2.
Інші видання
11. БородинА. И., Бугай А. С. Биографический словарь
деятелей в области математики. К., Радянська школа, 1979.
12. Г л е й з е р Г. И. История математики в школе. М.,
Просвещение, 1964.
13. Глейзер Г. И. История математики в средней школе.
М., Просвещение, 1970.
14. Депман И. Я. История арифметики. Изд. 2-е. М.,
Просвещение, 1965.
15. Д р и н ф е л ь д Г. И. Квадратура круга и трансцендент-
ность числа я. К., Вища школа, 1976.
16. История математики с древнейтих времен до начала
нового времени. В 3-х г. М., Наука, 1970—1972.
17. История отечественной математики. В 4-х т. К., Наукова
думка, 1966—1970.
18. З е т е л ь С. И. Новая геометрия треугольника. М., Уч-
педгиз, 1952.
19. Квант. Научно-популярний физико-математический
журнал. 1970—1980.
20. К о к с е т е р Г. G. М., Грейтцер С. Л. Новне
встречисгеометрией. М., Наука, 1978.
21. К ьі м п а н Ф. История числа я. М., Наука, 1971.
22. Л и т ц м а н В. Теорема Пифагора. М., Физматгиз, 1960.
23. П о й а Д. Как решать задачу. Изд. 2-е, М., Учпедгиз,
1961.
24. П о й а Д. Математика и правдоподобнне рассуждения.
Изд. 2-е, испр. М., Наука, 1975.
25. П о й а Д. Математическое открьітие. Изд. 2-е. М.,
Наука, 1976.
187

26. У світі математики. Збірник науково-популярних статей.
Відп. редактор М. Й. Ядренко. Вип. 1—11. К., Радянська
школа, 1968—1980.
27. Успенский В. А. Треугольник Паскаля. Изд. 2-е,
доп. М., Наука, 1979.
28. Фридман JI. М., Турецкий Е. Н., Стецен-
к о В. Я. Как научиться решать задачи. Беседьі о решении
математических задач М., Просвещение, 1979.
29. Чистяков В. Д. Старишше задачи по злементарной
математике. Минск, Вьісшая школа, 1978.
30. Ш к л я р с к и й Д. О., Ченцов Н. Н., Я г-
л ом И. И. Геометрические неравенства и задачи на
максимум и минимум. М., Наука, 1970.
31. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Я г-
л о м М. М. Избранньїе задачи и теоремн планиметрии.
Изд. 2-е, перераб. и доп. М., Наука, 1967.
32. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России. М.,
Наука, 1968.
33. Яг лом А. М. и Яглом И. М. Незлементарньїе задачи
в злементарном изложении. М., ГИТТЛ., 1954.
Зі. Яглом И. М. Булева структура и ее модели. М., Со-
ветское радио, 1 '80.
35. Я г л о м И. М. и Болтянский В. Г. Вьшукльїе фи-
гурн. М.-Л., ГИТЛ., 1951.
36, Яглом И. М. Математические структури и математи-
ческое моделирование. М., Советское радио, 1980.

ЗМІСТ
Передмова
Єгипет
Вавілон
З
7
17
Стародавня Греція 27
Елліністичні країни і Римська Імперія 43
Європа Нового часу (X V11—X V111 ст.) 119
Європа XIX—XX ст 143
Вітчизняна дожовтнева математика 167
Математика CPGP 181
Використана й рекомендована
література 187
Індія
Китай
Країни ісламу . . .
Середньовічна Європа
Епоха Відродження
^ 67
79
87
97
107

Конфорович А. Г.
К65 Визначні математичні задачі.— К.: Рад.
школа, 1981.— 189 с., іл.— Бібліогр.: с. 187—
188.
В опр.: 45 к. 70 000 пр.
У книжці, яка складається із семи розділів, вміщено
математичні задачі різних епох: від найдавніших часів до
наших днів. Кожний розділ відкривається історичним нарисом
про математику і математиків відповідної епохи. Більшість
задач сформульовано й розв’язано видатними математиками
або пов’язано з їхніми іменами. Пропонується учням 7—
10 класів загальноосвітньої школи.
78000—340 367_81 4802020000 ББК ??-1
М210(04) —81 51

АНДРЕЙ ГРИГОРЬЕВИЧ КОНФОРОВИЧ
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЬІЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
(На украинском язьіке)
Издательство «Радянська школа»
252053. Киев, ул. Ю. Коцюбинского, 5
Зав. редакцією математики О. П. Бондаренко
Редактор Н. І. Литвиненко
Літредактор Г. Л. Неліна
Художній редактор В, Ф. Монжеран
Технічний редактор Я. М. Горбунова
Коректор Б. П, Пуха
Інформ, бланк JSft 2706.
Здано до набору 17.09.80. Підписано до друку 13.05.81.
БФ 09599. Формат 84х 100уа2.
Папір JVft 2 друкарськ.
Гарнітура звичайна нова.
Спосіб друку високий.
Умовн. арк. 9,36-f0»2 форз. Обл.-видавн. арк. 8,21+0,16 форз.
Тираж 70 000. Видавн. Яв 26932. Зам. Яв 2765. Ціна 45 к.
Видавництво «Радянська школа».
252053. Київ, Ю. Коцюбинського, б.
Темплан 1981 р.
Головне підприємство республіканського виробничого
об’єднання «ІІоліграфкнига» Держкомвидаву yPGPf
w 252057, Київ-57, вул. Довженка, 3.

КНИЖКОВА ПОЛИЦЯ
Видавництво . «Радянська школа» у 1981 році
випустить для учнів науково-популярні книжки:
Зоря А. С., Кіро С. М. Про математику і
математиків. Ціна 45 к.
Важко уявити наше життя без математики. Поряд з
астрономією, фізикою, хімією, технічними науками, вона дедалі
більше проникає в такі галузі, як економіка, біологія,
лінгвістика, медицина, суспільствознавство тощо.
У книжці наводяться цікаві висловлювання видатних
учених і діячів культури про математику, її творців, а також
про роль цієї науки в прогресі людства.
Матеріал залежно від змісту згруповано в розділи й
підрозділи, які розміщено в хронологічному порядку.
КлимишинІ. А. Перлини зоряного неба. Ціна 25 к.
У книжці -в популярній формі розповідається про різні
сузір’я, які видно в усі пори року на середніх широтах пізно
ввечері. Викладено зміст старогрецьких міфів і легенд,
пов’язаних з назвами сузір’їв, описано найцікавіші об’єкти, які в
в різних сузір’ях і доступні для спостереження в невелику
астрономічну трубу, бінокль або неозброєним оком.
У світі математики. Вип. 12. Ціна 45 к.
Мета збірника — поглибити й розширити шкільний курс
математики. Зокрема, він знайомить читача із способами
розбиття фігури на задані частини, з узагальненнями і
застосуваннями формули педагога-математика С. А. Рачинського,
зв’язком геометрії з теорією відносності, властивостями
бісектрис трикутника, деякими геометричними нерівностями. Як
і в попередніх випусках, розглядаються деякі способи
розв’язування задач підвищеної складності, пропонуються задачі
для самостійного розв’язання, розповідається про життя й
діяльність видатного математика Г. В. Лейбніца та історію
розвитку обчислювальних машин.
Ці видання можна попередньо замовити в усіх місцевих
книгарнях, в магазинах і відділах «Кпига-поштою» облкниго-
торгів та облспоживспілок, а також у спеціалізованому мага-
зині «Книга-поштою» (252117, м. Київ-117, вул. Попуд-
ренка, 26).
ВИДАВНИЦТВО „РАДЯНСЬКА ШКОЛА*