62-5С
А. А. ВОРОНОВ
Устойчивость
управляемость
наблюдаемость
А. А. ВОРОНОВ	Ь
у- Л? 11
Устойчивость
управляемость наблюдаемость
“Библиотека Машиностроителя” www.lib-bkm.ru
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979
32.965
В 75
УДК 62-52
Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. Воронов А. А. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1979, 336 стр.
В книге рассмотрены основные принципы управления, виды математических моделей линейных, стационарных и нестационарных, непрерывных и дискретных систем, нелинейных систем, их критерии устойчивости.
Изложены основы теории абсолютной устойчивости систем с одной и многими нелинейностями, понятия и условия полной и неполной управляемости и наблюдаемости линейных систем. Рассмотрены методы сингулярных возмущений и декомпозиции на быструю и медленную подсистемы, методы векторных функций Ляпунова, методы систем сравнения с вектор-функциями Ляпунова и векторными нормами.
Илл. 58, библ. 151.
чпкги n/,z	© Главная редакция
В ----------160-78. 1502010000 физико-математической литературы
053(02)-79	издательства «Наука», 1979
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора ............................................................ 7
Введение. Предварительные понятия и термины........................ 11
Управляемая система и принципы управления (11). Динамическая система (13). Математические модели (14).
Глава 1. Модели обыкновенных линейных систем......................... 16
§ 1.1.	Модели в физических переменных вход—выход .................... 16
Поэлементное математическое описание £(16). Преобразование исходной системы к более удобному виду (17).
§ 1.2.	Передаточные и переходные функции. Частотные характеристики .............................................................. 20
Передаточная функция (20). Передаточная матрица (22). Переходная функция (23). Импульсная переходная (весовая) функция (25). Весовая матрица (26). Частотные характеристики (27).
§ 1.3.	Структурные представления и преобразования.................... 29
Алгоритмические, функциональные и конструктивные структурные схемы (29). Структурные графы (30). Правила преобразования структурных схем и графов (31). Типовые динамические звенья (34).
§ 1.4.	Модели в переменных состояния................................. 34
Пространство состояний (34). Приведение уравнений вход—выход к уравнениям в переменных состояния в нормальной форме (36). Приведение к каноническим формам (40). Общий случай многосвязной системы (43).
Глава 2. Модели особых линейных и нелинейных систем ....	46
§ 2.1.	Линейные модели с переменными параметрами..................... 46
Параметрическая передаточная функция (46). Приближенное определение передаточной функции (48). Операторные представления (49). Примеры (52).
§ 2.2.	Линейные модели с распределенными параметрами..............•	54
Основные понятия (54). Связность, размерность и порядок систем (55). Краевые условия первого и второго рода (57). Звено с чистым запаздыванием (58). Одномерное уравнение теплопроводности (60). Трансцендентные и иррациональные передаточные функции (61). Длинные электрические линии (63). Длинный трубопровод без потерь (65).
§ 2.3.	Линейные модели с дискретным временем......................... 66
Уравнения в упреждающих и отстающих разностях (66). Непрерывнодискретные системы (68). Идеальный импульсный элемент и формирователь (68). Передаточные функции и частотные характеристики импульсных систем (70).
§ 2.4.	Импульсные системы, близкие к непрерывным..................... 73
Выделение средней и периодической составляющих (73). Оценка погрешности (75). Приближенное представление замкнутой системы (78).
§ 2.5.	Некоторые нелинейные модели................................... 81
Уравнения систем с безынерционными нелинейностями (81). Основные классы нелинейностей (83). Локальные квадратичные связи (84).
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 3. Устойчивость состояний линейных систем...................... 87
§ 3.1.	Основные понятия об устойчивости.............................. 87
Устойчивость (87). Возмущенное и невозмущенное движения (88). Траектории и интегральные кривые. Особые точки (88).
§ 3.2.	Определение устойчивости и функции Ляпунова................... 90
Определение устойчивости по Ляпунову (90). Функции Ляпунова (91). Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости (92). Теорема Четаева о неустойчивости (94). Устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова) (94). Теорема Ляпунова о первом приближении (95). Второй (прямой) метод Ляпунова (96).
§ 3.3.	Построение функций Ляпунова для линейных систем............... 97
Матричные выражения функций Ляпунова (97). Теоремы об однозначной связи матриц Q и С (98). Пример (101).
§ 3.4.	Критерий устойчивости Рауса и Гурвица........................ 103
Определитель Гурвица. Матрица Рауса. Связь между ними (103). Построение вспомогательных матриц (105). Вывод критериев через функции Ляпунова (109).
§ 3.5.	Критерий устойчивости в частотной области.................... 111
Критерий Найквиста. Характеристические полиномы разомкнутой и замкнутой систем (111). Формулировка критерия и его геометрическая трактовка (113). Критерий Михайлова (115). D-разбиение (116).
§ 3.6.	Устойчивость распределенных систем........................... 120
Целые функции. Квазиполиномы (120). ’Критерий Найквиста для систем с запаздыванием (121). .D-разбиение в плоскости одного параметра для распределенных систем (125). Примеры (126). D-разбиепие ’в плоскости двух параметров (129). Пример (130).
§ 3.7.	Устойчивость систем с дискретным временем.................... 131
Изображение разностного уравнения (131). Разностные уравнения, порождаемые дифференциальными (133). Условия Рауса и Гурвица устойчивости разностных уравнений (135). Разностные аналоги критериев Михайлова и Найквиста (138). Построение частотных характеристик импульсных систем (139).
Глава 4. Теория абсолютной устойчивости ............................ 143
§ 4.1.	История возникновения проблемы............................... 143
Локальный и глобальный подходы. Задачи Булгакова и Лурье (143). Гипотеза Айзермана (145). Критерий Попова. Частотная теорема (146).
§ 4.2.	Расширение понятий об устойчивости........................... 147
Устойчивость в малом, большом и целом (147). Абсолютная устойчивость (148). Экспоненциальная устойчивость (150).
§ 4.3.	Задача Лурье................................................. 150
Постановка задачи Лурье — Постникова (150). Простейший особый случай. Условие Лефшеца—Якубовича (151). Неособый случай. 8-процедура (154). Неущербность 8-процедуры (156).
§ 4.4.	Критерий Попова.............................................. 157
Вывод теоремы Попова (157). Геометрическая трактовка критерия Попова (165). Обобщение критерия на нейтральную и неустойчивую линейные части (169). Пример (171).
§ 4.5.	Некоторые дополнительные сведения и определения ....	173
Комплексный случай. Эрмитовы формы (173). Минимальная устойчивость. Система сравнения (174).
§ 4.6.	Квадратичный и круговой критерий абсолютной устойчивости 175
Частотное условие абсолютной устойчивости (175). Квадратичный критерий (177). Пример (178). Круговой критерий (180). Получение критерия Попова из квадратичного критерия (182). Примеры использования кругового критерия (184).
§ 4.7.	Связь между критериями. Улучшение критериев.................. 186
Влияние достаточности критериев на ширину определяемой ими области (186). Улучшение критериев (188). Дифференцируемые нелинейности (189). Устойчивость по выходу (192). Критические и почти критические случаи (192).
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 4.8.	Системы с дифференцируемой неубывающей нелинейностью, абсолютно устойчивые в гурвицевом полу угле........................ 194
Пойен условий выполнимости гипотез Айзермана и Налмана (191)- Устойчивость систем с дифференцируемой нелинейностью в гурвицевом полуугле (196). Структуры линейных частей систем, абсолютно устойчивых в гурвицевом полуугле (205).
§ 4.9.	Разрывные, неоднозначные, гистерезисные нелинейности. Элементы с дискретным временем........................................ 208
Характеристическая прямая. Дополнение разрывных характеристик по Филиппову (208). Устойчивость отрезка покоя (211). Теорема Цыпкина об устойчивости покоя релейной системы (212). Гистерезисные нелинейности (215). Абсолютная устойчивость импульсных систем (218).
Глава 5. Управляемость и наблюдаемость линейных систем . . .	223
§ 5.1.	Возникновение проблемы ...................................... 223
Возникновение понятия «управляемость» (223). Определение управляемости (224).
§ 5.2.	Доказательство условия полной управляемости.................. 226
§ 5.3.	Условия полной наблюдаемости................................. 227
Определение наблюдаемости (227). Теорема о полной наблюдаемости (228). Принцип дуальности (229).
§ 5.4.	Вырожденность передаточной функции........................... 230
Связь вырожденности с потерей управляемости и наблюдаемости (230).
§ 5.5.	Неполностью управляемые и наблюдаемые системы ....	233
Преобразование уравнений (233). Управляемые и неуправляемые группы переменных (231). 11аблюдаемые и ненаблюдаемые группы (236).
§ 5.6.	Примеры вырожденных систем................................... 237
Параллельная компенсация (237). Последовательная компенсация (238).
Укороченная схема (243). Двухканальная компенсация (инвариантность) (246).
Глава 6. Об анализе устойчивости сложных систем..................... 249
Понятие сложности (249).
§ 6.1.	Системы с несколькими нелинейными элементами................. 250
Передаточные матрицы разомкнутых и замкнутых систем. Матричное правило Михайлова—Найквиста (250). Круговой критерий для нескольких нелинейностей (252). Пример (253). Критерий Попова для систем с несколькими нелинейностями (255).
§ 6.2.	Уравнения с малыми параметрами при производных (сингулярно возмущенные системы). Общий случай................................. 256
Вырожденная и полная системы (256). Сингулярные возмущения. Присоединенная система (258). Теорема Тихонова (260).
§6.3.	Уравнения линейных сингулярно возмущенных систем ....	266
Условия приближения решения полной системы к решению вырожденной (266). Осуществимость регулятора-наблюдателя в вырожденной системе (268). Осуществимость регулятора-наблюдателя при наличии неустойчивой части (269).
§ 6.4.	Устойчивость линейных систем, допускающих беспредельное увеличение коэффициента усиления .................................. 271
Структуры, допускающие беспредельное увеличение усиления (271). Поведение корней характеристического полинома при вырождении системы (273). Условия структурной устойчивости (278).
§ 6.5.	Метод векторных функций Ляпунова............................. 279
Вектор-функция Ляпунова. Дифференциальные неравенства. Система сравнения (279). Функции Ляпунова акспоненциально устойчивых подсистем (280). Основная теорема Бейли (283). Пример (285).
Глава 7. Некоторые специальные вопросы теории устойчивости 291
§7.1.	Устойчивость траекторий ..................................... 291
Уравнения в вариациях (291). Расширение определения устойчивости по Ляпунову па траектории (293). Асимптотическая устойчивость. Неустой-
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
чивость. Равномерная асимптотическая и вквиасимптотическая устойчи-
вость (294).
§ 7.2.	Функции Ляпунова для нестационарных систем...................... 298
Определенно положительные нестационарные функции (298). Теоремы об устойчивости равновесия (298).
§ 7.3.	Устойчивость периодических движений. Орбитальная устойчивость ......................................................... ...	301
Матрица монодромии (302). Орбитальная устойчивость (303). Предельный цикл (303). Точечные преобразования (304).
§ 7.4.	Устойчивость периодических движений в простейших релейных системах........................................................... 307
Основные виды колебаний в релейных системах (307). Определение периодических режимов (309). Условия устойчивости (311).
§ 7.5.	Условия возникновения колебаний................................. 313
Постановка задачи (313). Квадратичный критерий диссипативности (314).
Дихотомичность и абсолютная неустойчивость (315). Частотные критерии неустойчивости в целом (315). Секторы абсолютной устойчивости и неустойчивости (316). Нерастягивающиеся колебания. Автоколебания (316). Упрощенный критерий колебательности (317). Пример (320).
Литература................................................. 323
Предметный указатель....................................... 331
ОТ АВТОРА
Предлагаемая вниманию читателей книга в основном рассчитана на инженеров, занимающихся исследованием и разработкой сложных систем автоматического управления. Она ставит целью ознакомить читателя с современным состоянием теории устойчивости управляемых динамических систем.
За последние полтора десятилетия развитие многих разделов теории управления, в том числе и такого, казалось бы почти завершенного «классического» раздела, как теория устойчивости, было существенным.
В книге «Техническая кибернетика в СССР», выпущенной к 50-летию Великой Октябрьской социалистической революции, можно прочитать: «Историю развития теории автоматического управления принято делить на два основных периода: «классический» — от момента зарождения новой технической дисциплины — теории автоматического регулирования — в 70-х годах прошлого столетия до 40-х годов нашего века и условно называемый — «современный», начало которому было положено перед Отечественной войной». Последний характеризовался интенсивным развитием новых методов, в разработке которых ведущая роль принадлежала инженерам — в основном использовавшим физические представления, передаточные функции и частотные характеристики.
В 1975 г. в Бостоне на шестом конгрессе международной федерации по автоматическому управлению ИФАК, в пленарном обзорном докладе профессора Ховарда Розенброка «Будущее управления» первым, «классическим» периодом назван период, начавшийся в 1945 г., возникновение же «современного» периода отнесено к началу 60-х годов. «Классический» по Розенброку период характеризовался в его докладе тем, что главное внимание исследователей сосредоточивалось на одноконтурных системах, предпочтение отдавалось представлениям в частотной области, а основные практические приложения теории имели место в автоматизируемых промышленных процессах.
Развитие сложных систем управления на верхних уровнях производства и в экономике, в космонавтике, технике управляемых
8
ОТ АВТОРА
ракет и других направлениях привело к необходимости искать новые пути и средства в решении проблем управления. Новые объекты были существенно нестационарными, нелинейными, многосвязными. Применение к ним классических методов ограничивалось пресловутым «проклятием размерности», делавшим вычислительные трудности практически непреодолимыми даже при использовании самых мощных быстродействующих ЭВМ.
С 60-х годов в разработке проблемы анализа многосвязных больших динамических систем приняли участие крупные математики. Внимание было сосредоточено на системах произвольно сложной структуры, предпочтение отдавалось представлениям процессов во временной области, математические модели получали наиболее общую и удобную для аналитического исследования форму уравнений в переменных состояния.
Знаменательно, что на этом этапе для решения проблемы устойчивости широко использовался второй метод Ляпунова, получивший в наши дни как бы второе рождение. Он был расширен и дополнен применительно к новым условиям. Вместо одной скалярной функции использовались векторные функции Ляпунова. Широко использовались методы функционального анализа, теории матриц и функций от матриц, для оценок сходимости и качества применялись различные нормы в функциональных пространствах.
Однако в результате этого развития увеличился разрыв между математическим уровнем новой теории и уровнем математической подготовки специалистов по автоматическому управлению в большинстве высших технических учебных заведений.
Трудно ожидать, что в этих учебных заведениях удастся в ближайшие годы настолько перестроить учебные планы, чтобы этот разрыв был ликвидирован. Видимо, инженеру-исследователю придется, как и прежде, еще долгое время осваивать новые достижения теории самостоятельно. С целью оказания некоторой помощи в таком самостоятельном изучении и была составлена эта книга.
Нечто похожее имело место примерно тридцать лет тому назад. Тогда тоже вернувшиеся с фронтов войны инженеры и выпускники вузов военных лет столкнулись с быстрым развитием теории автоматического регулирования, и потребовались обобщающие работы, которые методически могли бы помочь специалистам технического^ профиля ликвидировать отставание.
Во введении и первых двух главах книги излагается материал, который должен быть хорошо известен читателю по вузовским курсам — общие понятия, определения, основные виды применяемых математических моделей, но с целью подготовки к восприятию дальнейшего этот материал, не потребующий усилий ца понимание технического содержания, поскольку оно знакомо.
ОТ АВТОРА
9
излагается в более концентрированной форме, лаконичнее, на более абстрактном уровне, сопровождается уточнениями и дополнениями на основе результатов работы терминологических комиссий и некоторых изменений во взглядах, происшедших за последние годы. Внесены уточнения в принципы классификации понятий; собраны воедино и сопоставлены различные способы определения передаточных функций и т. п.
При изложении классической теории устойчивости в третьей главе также рассматриваются известные читателю критерии и теоремы, но уже несколько более строгим языком; такие теоремы, как теорема Гурвица, обычно включаемые в курсы без доказательства, доказываются. Делается это не с целью дать последовательное изложение математической теории управления — в последующем доказательства даются не везде — ас целью методической — на известных примерах привести способы рассуждений, используемые в современных работах. Приведенное доказательство теоремы Гурвица, принадлежащее П. Парксу, не является наиболее коротким или наиболее понятным, но оно использует второй метод Ляпунова, лежащий в основе многих современных методов исследования; таким образом он наиболее соответствует общему подходу к изложению и последующего материала. В данной главе изложены основные методы исследования линейных, нелинейных систем с непрерывным и дискретным временем. Теории абсолютной устойчивости, особенно интенсивно развивавшейся в последние годы, открывающей возможности удобными практически методами исследовать устойчивость широкого класса нелинейных и нестационарных систем, выделена отдельная глава. В ней рассмотрена также проблема установления таких структур линейных частей систем, которые обеспечивают устойчивость нелинейной системы определенного класса в гурвицевом угле, т. е. дают возможность исследовать устойчивость в целом нелинейной системы по линейным критериям.
В пятой главе рассмотрены свойства управляемости и наблюдаемости систем.
Шестая глава посвящена рассмотрению некоторых подходов к исследованию систем более сложного вида — с несколькими нелинейностями, высокоразмерных систем, допускающих декомпозицию на более простые; рассматриваются попытки использовать для исследования устойчивости многосвязных нелинейных систем вектор-функции Ляпунова и векторные нормы. Глава далека от достаточной полноты и систематичности. Излагаемый в ней материал заслуживает отдельной монографии. Главу можно рассматривать как предварительный материал для последующего более глубокого изучения этой проблемы.
Седьмая глава содержит дополнительные сведения об устойчивости траекторий и колебательных режимах.
10	ОТ АВТОРА
В книге преследовались цели, близкие к тем, которые ставятся при составлении учебных пособий, но она не является учебным пособием. Автор не стремился приблизить ее к учебным планам, не приводил примеров, иллюстрирующих приложение излагаемых методов в инженерных задачах, недостаточно строго подходил к методике изложения. Однако это дало возможность менее жестко подойти к содержанию книги и к отбору материала; рассчитана книга в основном на читателя, имеющего высшее техническое образование.
Автор выражает глубокую признательность Владимиру Андреевичу Якубовичу, рецензировавшему рукопись, весьма глубоко рассмотревшему работу, давшему целый ряд полезных советов и разрешившему включить в книгу ряд его не опубликованных до сдачи рукописи результатов.
ВВЕДЕНИЕ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ
В предлагаемой книге предметом изучения являются три основных свойства управляемых динамических систем, обусловливающих их реализуемость: устойчивость, управляемость и наблюдаемость. Метод исследования будет основываться на построении и изучении математических моделей, отображающих интересующие нас характеристики управляемых процессов и свойства систем.
Предварительно напомним, уточним и поясним некоторые основные понятия и термины, которыми мы часто будем пользоваться в дальнейшем. Кроме того, для удобства восприятия многие понятия будут вводиться и поясняться в процессе изложения.
Управляемая система и принципы управления. Под управляемой системой подразумевается техническая система, предназначенная для управления показателями, характеризующими протекание технического (производственного, энергетического, транспортного и т. п.) процесса. Значения показателей у = {у1, у2, . . ., у„} называются в дальнейшем выходными переменными, иногда — координатами процесса. Некоторые из выходных переменных — управляемые переменные — по условиям технологии должны изменяться в соответствии с заданным законом или, как говорят, — алгоритмом функционирования системы у$ (£). В процессе эксплуатации на систему действует обычно ряд возмущений z={z15 z2, . . ., zr) (нагрузка, помехи), которые могут привести к нарушению заданного функционирования. Для поддержания заданного функционирования осуществляется управление выходными переменными, состоящее в приложении к регулирующим органам или входам системы управляющих воздействий, для краткости называемых также управлениями и={и1, и2, . . ., и,}, которые должны изменяться в соответствии с алгоритмом управления, вырабатываемым по тому или иному принципу управления. Используются три основных, фундаментальных принципа управления:
1.	Принцип разомкнутого управления. Алгоритм управления строится с учетом алгоритма функционирования (t) и харак-
12
ВВЕДЕНИЕ
теристик системы, но без учета фактического состояния системы у (t) и возмущении z (/). Это допустимо в тех случаях, когда или z (/) достаточно малы, или же когда конструкция системы доста
точно хорошо противостоит этим возмущениям, вследствие чего отклонения переменных у—у$ от заданных значений будут неве
лики. Обобщенная функциональная схема системы с разомкнутым управлением показана на рис. 1.1, а. Специальный датчик 1 перерабатывает заданный алгоритм функционирования уф (/) в ал-
горитм управления и (£), и воздействия и прикладываются ко входам системы С. В системах неавтоматических эти действия выполняет человек-оператор.
2.	Принцип компенсации (управления по возмущению). Если некоторые возмущения настолько велики, что в разомкнутой системе желаемая точность выполнения алгоритма функционирования не достигается, можно ввести в схему устройство компенсации, измеряющее наиболее существенные возмущения и вносящее соответствующие коррективы в алгоритм управления (рис. 1.1, б). При этом алгоритм управления увязывается как с алгоритмом функционирования, так и с возмуще-
ниями.
3.	Принцип замкнутого управления (обратной связи). Алгоритм управления увязывается с алгоритмом функционирования п с фактическим состоянием системы. Для этого осуществляется измерение текущих значений выходных переменных у (t), их сравнение с заданным алгоритмом уф (t) и выработка воздействий и (t) на входы системы в зависимости от отклонений у—уф. Схема имеет вид совокупности замкнутых цепей (рис. 1.1, в). В ней переменные и уже не являются внешними, не зависящими от выходных переменных воздействиями и, по существу, должны рассматриваться как часть выходных переменных. К внешним воздействиям в данном случае можно отнести компоненты вектора уф (t).
В дальнейшем мы будем вести исследование, как правило, безотносительно к принципу управления, в обобщенном виде, если пе оговорено противное. При таком общем изложении мы все внутренние, вырабатываемые системой переменные будем считать выходными и обозначать через у (t), а все внешние, в том числе, может быть, и некоторые возмущения, обозначать через u(t).
ВВЕДЕНИЕ
13
Динамическая система. Еще не так давно считалось, что понятие динамической системы очевидно само по себе и не нуждается в особом пояснении или определении. К динамическим относили такие объекты, которые описывались дифференциальными уравнениями, аналогичными уравнениям динамики (т. е. движения в пространстве под действием сил) в теоретической механике — колыбели теории автоматического управления, откуда и был заимствован термин. Когда круг управляемых объектов расширился и стал включать не только процессы с механическим движением, но также электрические, электромагнитные, тепловые, химические и т. д., термин сохранился, поскольку сохранилась форма уравнений, только расширились понятия сопутствующих терминов — координатами стали называть не только геометрические координаты, но значения всех физических показателей состояния, движением — не только геометрическое перемещение, но любой процесс изменения этих показателей и т. д.
Физическим признаком систем, описываемых дифференциальными уравнениями, было наличие замедленной реакции на внешние воздействия, обусловленное инерционностями различной физической природы, и эта замедленность реакции зачастую даже считалась " основным, определяющим признаком динамической системы. Однако уже в рамках систем, описываемых дифференциальными уравнениями, стала обнаруживаться логическая недостаточность этого утверждения. В теории управления наряду с инерционными рассматриваются и безынерционные объекты с мгновенной реакцией на воздействия. Их часто объединяли в особый класс «статических» объектов, т. е. рассматриваемых в разделе статики регулирования, как бы противопоставляя их динамическим объектам. В природе, однако, фактически мгновенных процессов нет и любой статический объект представляет собой идеализированную модель, которая получается, как частный случай, из дифференциального уравнения при его вырождении, когда приравниваются нулю либо коэффициенты при производных, либо оператор дифференцирования p = dldt. Более логичным представляется рассматривать статический объект как вырожденный частный случай динамического. Но тогда признак замедленности реакции уже перестает быть всеобщим и не может считаться основным. Сейчас в качестве основного признака считают другое свойство — наличие в динамической системе двух видов величин, связанных однонаправленной причинно-следственной зависимостью: внешних входных воздействий и (t) — причин, не зависящих от выходных переменных в том смысле, что они могут появляться непроизвольные моменты времени и изменяться по произвольному закону независимо от переменных у (t), и выходных переменных у (t) — следствий, зависящих от входных воздействий и только от них, которые не могут возникать без
14
ВВЕДЕНИЕ
своих причин, определяются только ими, а по времени не могут возникать ранее входных воздействий, а лишь позже их в инерционных системах и одновременно с ними в безынерционных.
Наличие однонаправленных причинно-следственных связей в динамических системах служит основой для введения в качестве их структурных элементов моделей типа звеньев направленного действия.
Важным свойством динамических систем является возможность прогнозирования множества их будущих состояний, если в начальный момент t=t0 задано ее начальное состояние у (t0), некоторые из производных y(k\t0) и задан закон изменения и (t) на предстоящем интервале времени	Подробнее об этом
свойстве будет сказано ниже.
Математические модели. Математическая модель представляет собой приближенное количественное описание важных для исследования свойств реальной системы. Модель состоит из математических объектов (чисел, векторов и т. п.), отображающих показатели хода процесса и воздействия на систему, и из отношений между математическими объектами, описываемых при помощи математических операций, связывающих объекты между собой.
Модель должна отражать все существенные для данного исследования факторы и не содержать несущественных, неоправданно усложняющих исследования и слабо влияющих на конечный результат. Один и тот же фактор может быть существенным в одной задаче и несущественным в другой, поэтому для одного и того же реального объекта могут использоваться различные математические модели в зависимости от цели и требований исследования. Проблема построения моделей и проверки их соответствия оригиналам не входит в задачу данной книги. Мы будем считать, что эта исключительно важная, в основном инженерная, проблема, определяющая успех всего исследования, уже решена и модель задана.
В настоящее время теория автоматического управления использует гораздо более широкий круг математических моделей, чем это было четверть века назад. Используются алгебраические, дифференциальные, интегральные, разностные уравнения для исследования традиционных систем управления с обратной связью и компенсацией, функциональные уравнения и вариационные модели для изучения систем оптимизации и поиска, логические соотношения, операнды для исследования переключающих автоматов, диагностических устройств и т. д. Мы здесь ограничиваемся рассмотрением моделей первых четырех из перечисленных видов.
ВВЕДЕНИЕ	15
В используемых в дальнейшем моделях выходные переменные рассматриваются как точки некоторого метрического пространства. Как правило, система осей координат в этом пространстве будет выбираться так, чтобы начало координат соответствовало желаемому состоянию системы, рассматриваемому как состояние равновесия, определяемое тривиальным решением дифференциальных уравнений р=0. Для этого в качестве переменных у в уравнения вводятся не сами абсолютные значения физических величин, а их отклонения от желаемого состбяния равновесия.
На этом мы завершаем предварительный обзор понятий и терминов. Понятия устойчивости, управляемости и наблюдаемости будут рассмотрены в соответствующих главах.
ГЛАВА 1
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 1.1. Модели в физических переменных вход—выход
Поэлементное математическое описание. Модели обыкновенных линейных систем представляют собой обыкновенные линейные дифференциальные (или соответствующие интегральные) уравнения с постоянными коэффициентами. Их оригиналами являются линейные системы с непрерывным временем и сосредоточенными постоянными параметрами. Эти модели играют особо важную роль в теории автоматического управления. Их математическая теория разработана наиболее полно. Нелинейную (или особую линейную) систему стремятся, прежде всего, исследовать приближенно, заменив ее нелинейную модель близкой к ней линейной в тех случаях, когда это возможно, т. е. когда такая близкая модель существует. На примерах обыкновенных линейных моделей удобно также установить ряд характеристик и приемов описания, применимых и для динамических систем более сложного вида.
Используются три основных способа математического описания многих линейных и нелинейных систем: 1) поэлементный, в физических переменных вход—выход элементов, на базе физических законов, действующих в простейших частях системы; 2) с помощью уравнений, разрешенных относительно физических выходных переменных системы; 3) с помощью уравнений, разрешенных относительно первых производных переменных состояния. Иногда говорят, что в первых двух способах используется представление системы в частотной области, а в последнем — во временной области.
Поэлементное описание в физических переменных наиболее естественно для инженера, начинающего изучение системы с ее физических свойств. В его основе лежит понятие элементарного звена, которое описывается каким-либо простейшим законом физики и не может быть разложено на более простые звенья.
§ 1-1]
МОДЕЛИ В ПЕРЕМЕННЫХ ВХОД—ВЫХОД
17
В качестве примера можно привести основные законы электротехники (законы Ома и Фарадея):
I
и
г ’
г di
Ldt~U'
du ft ut
В общей теории управления к элементарным звеньям относятся: масштабные, суммирующие, интегрирующие и дифференцирующие, описываемые соответственно уравнениями:
у2 = кух, к = const,
я-1
уя = 2\-Уо S4 = 0 или 1,
<-1
t
у^~т\ у^' или Т lit = У"
О
У2—1 dt •
(1.1)
С помощью наборов из этих четырех типов звеньев можно построить модель любой обыкновенной линейной системы, что ) и используется в аналоговых моделирующих устройствах. Отме-> тим, что физически реализуемые системы могут быть составлены ( всего лишь из наборов звеньев первых трех типов (без дифферен-L цирующих). Для составления уравнений система расчленяется \ по определенным правилам, обеспечивающим необходимое и хдостаточное число уравнений, на простейшие составные части, и для каждой из них составляются уравнения элементов и связей между ними. Примерами могут служить правила Кирхгофа для составления уравнений сложной цепи по контурам. В результате f такого поэлементного составления получается система уравнений, О которые можно записать в матричной операторной форме:
5	N(p)y = M(p)u,	(1.2)
’ где у=[уц у2, • • ч Ул)' —матрица-столбец размером пХ1 (или i вектор в n-мерном пространстве Y) выходных переменных; и=
= [«!, и2, . . ., UjY —матрица-столбец входных переменных; \^p = dldt — символ дифференцирования; N (р) — неособая поли-номная пХп квадратная матрица, элементами которой являются полиномы (р); М (р) — полиномная прямоугольная «X/ ма-. трица с элементами (р).
Преобразование исходной системы к более удобному виду. Уравнения в форме (1.2) удобны для первоначального составления математического описания по физическим (давйыМ, но не удобны для исследования: в пих входят промежу®щЦые, «лишние» не
2 А. А. Воронов	) "ЙОГ
|	..и
I	ИНФС<МА*ПЛ	|
18
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 1
интересующие исследователя переменные, что делает матрицы более громоздкими, трудными для исследования и для вычислений, поэтому форма (1.2) является обычно промежуточной для перехода к другим, более удобным формам. В частности, забегая несколько вперед, отметим, что элементарные звенья описываются уравнениями нулевого и первого порядков, и если степени полиномов N.j (р) оказываются не выше первой, то переход к уравнениям в переменных состояния получается элементарно простым.
В качестве звеньев можно бывает также использовать неэлементарные типовые звенья, соответствующие определенным конструктивным блокам, а иногда и целым приборам и машинам, достаточно хорошо изученным, так что для них можно выписать известные уравнения более высоких порядков, включая второй, и даже иногда третий. Число промежуточных переменных при этом уменьшается, уменьшается размерность матриц, но возрастает размерность полиномов N.j (р)	(р). Такое «укрупнение» звеньев
затрудняет последующий переход к уравнениям состояния, но облегчает преобразование формы (1.2) к операторным уравнениям, разрешенным относительно операторных изображений выходных переменных, поэтому оно нецелесообразно в первом случае и целесообразно во втором.
К* Для перехода к уравнениям, каждое из которых содержит только одну переменную у{, i=l, 2, . . ., п, часто переменные у{ рассматриваются как неизвестные, входные переменные — как известные величины, полиномы N{j(p) и М(Ар) — как функции комплексной переменной. Полученная система уравнений рассматривается как система п линейных уравнений с п неизвестными, разрешается относительно интересующих нас переменных у. и в конечном итоге приводится к системе скалярных уравнений
d4(p)^ = M*(p)u.	(1.3)
Здесь df (р) — полином, М* (р) — матрица-строка Ixl, и — по-прежнему матрица-столбец Zxl; у{ — скалярная переменная.
Уравнения (1.3) можно получить и непосредственно, используя формулы Крамера; при этом полиномы d,.(p) будут одинаковыми для всех г=1, 2, . . ., п и равными определителю матрицы N (р):
di (р) = d2 (р) = ... = dn (р) = det N (р),	(1.4)
т. е. характеристическому полиному системы. Если dot N (р) и М, (р) для некоторого i имеют общий множитель, этот множитель обычно сокращают и получают уравнения (1.3), где df(p) имеет степень меньшую, чем степень det N (р). В уравнениях (1.3)
§ 1.1]	МОДЕЛИ В ПЕРЕМЕННЫХ ВХОД—ВЫХОД	19
р заменяется затем на d/dt и система (1.3) рассматривается как эквивалентная исходной системе (1.2).
Важно отметить, что эти операции незаконны и могут привести к неверному результату. На самом деле системы (1.2) и (1.3) не эквивалентны: не всякое решение системы (1.3) будет удовлетворять системе (1.2). Отметим, что если выполнено условие (1.4), то любое решение системы (1.2) будет удовлетворять системе (1.3), но система (1.3) будет содержать «лишние» решения. Для того чтобы выделить верные решения, нужно наложить некоторые дополнительные связи на начальные значения переменных у и их производных.
Запишем векторное уравнение (1.2) в виде системы скалярных уравнений:
(1.5) j=i	j=i
Чтобы найти решение этой системы, нужно последовательно исключить переменные уп, уя_г, . . ., у„, не пользуясь при этом операцией деления на многочлен от р. (Именно использование операции деления, которая некорректна при p=dldt, приводит к неверному результату). Можно показать1), что, умножая отдельные уравнения (1.5) на постоянное число С^=0 и прибавляя к одному какому-нибудь уравнению (1.5) другое, умноженное предварительно на некоторый многочлен от р, эти уравнения можно привести к следующему «каноническому» виду:
dn(p)*/i = L' (р)и, d21 (Р) У1 + ^2 (Р) У2 = L2 (Р) и,
dm (р) У1 +	(р) У 2 + • • • + dm (Р) У„ = L" (Р) и.
Здесь d.j (р) — некоторые многочлены, L*(p) — матрица-строка 1XZ, переменные у^. и и — те же, что в (1.2) и (1.5). Из найденных уравнений последовательно определяются у1? у2, . . ., у„. Можно показать, что канонические уравнения будут одни и те же независимо от способа их получения; при этом
dn (Р) d22 (Р)--- dm (Р) = det N (Р)-
Все операции, которые приводят к канонической системе, обратимы. Поэтому каноническая система эквивалентна исходной.
Отметим, что систему (1.5) можно также решать, используя преобразование Лапласа. Для изображений по Лапласу мы полу-
!) Это следует, например, из теоремы 2 § 2 гл. VI работы [6.4].
2*
20
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. I
чим после решения полученной системы уравнения, отличающиеся от (1.3) наличием некоторых слагаемых, содержащих начальные значения у,., ни их производных. Невозможность учета этих слагаемых при отмеченном выше методе непосредственного получения уравнений (1.3) и приводит к ошибочным результатам.
Как отмечалось, некоторые из выходных переменных могут быть управляемыми величинами. Если управляемая величина в системе одна, то система, независимо от порядка ое уравнения, называется односвязной; при г управляемых величинах — г-связ-ной. Этим распространенным, хотя и не очень удачным термином подчеркивается, что управляемые переменные не независимы друг от друга, а связаны через управляемый объект или устройство управления.
Рассмотрим для примера математическую модель односвязной системы с одним управляющим иг и одним возмущающим и2 в о з дейст виями
d (р) У = Мг (р) щ 4- Л/2 (р) и2.
Пусть степень полинома d (р) равна п, степени полиномов (р) и М, (р) — соответственно т1 и т2. В реальных физических системах т1<^п и т2<^п. Однако иногда прибегают к идеализации отдельных элементов посредством моделей, в которых т=п. Так идеализируются некоторые гибкие обратные связи (например, изодромная). Встречается и более сильная идеализация, когда принимают т^>п. Так, в частности, описывают идеальные дифференцирующие, но в природе не существующие звенья
р = рп.
Однако такая _ идеализация используется лишь для отдельных входящих в систему звеньев и обычно сопровождается условием, что для системы в целом т<^п, в крайнем случае т=п, иначе анализ системы во многих частях становится невозможным.
§ 1.2. Передаточные и переходные функции.
Частотные характеристики
Передаточная функция. Пусть для некоторого блока задано обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
л'Й).’(1) = «(я)“«).	(1-6>
где N и М — полиномы степеней п и т соответственно; т^п; и (t) — входная переменная блока — функция, для которой правая часть уравнения (1.6) имеет смысл, а выходная переменная у (t) определяется из (1.6) при задании начальных условий у (t0), y'(t0).....^(U-
§ 1.2]
ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ
21
Заменим в (1.6) символ дифференцирования dldt на комплексное р. Тогда функция
Й'й=^й	(I-7)
называется передаточной функцией блока.
В литературе используются и другие определения передаточной функции. Так, в [1.1, 1.13] передаточной функцией названо отношение преобразований Лапласа для выходной L {у (t)}=Y(s) и входной L {u (t)}=U (s) переменных при нулевых начальных условиях слева:
J у (t) e~aidt
B'(S)=W=°----------	(L8)
J и (t) e^dt о
Этим определением пользуются в тех случаях, когда выражение W (s) не зависит от входного сигнала. Для линейных стационарных блоков W (s) не зависит от и (t), а выражение (1.8) совпадает с (1.7):
W (s) = Y(-*(19)
V¥ ~ U (s) N {s) ‘	>
Доказательство этого положения, дающееся в курсах теории автоматического управления, мы считаем общеизвестным. Из (1.9) следует
Y(s) = W(s)U(s).	(1.10)
Отметим, что области определения функций для (1.7) и (1.8) совпадают неполностью. Интеграл Лапласа
со
F(s)=\f(t)e-‘dt
о
обладает тем свойством, что если он сходится в некоторой точке s=s0, то он сходится и во всех точках, для которых Re (s—80)>0. Говорят, что интеграл Лапласа существует, если существует область значений s, в которой он сходится, в частности, если существует для данной функции / (/) такое число <зс, называемое абсциссой сходимости, что при Re s^>a(. интеграл сходится, а при Res<^oc — расходится. Таким образом, областью определения преобразования Лапласа является правая полуплоскость Re 8>сс — полуплоскость сходимости, и в зтой полуплоскости F (s) будет аналитической функцией.
22
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. I
Пусть 7 — множество функций / (t), для которых существует интеграл Лапласа, а Г — множество лапласовых преобразований для этой функции:
/(06 т. Wer.
В операционном исчислении рассматривается только такое множество у, которое является множеством всех функций / (0, определенных для Osp<^oo, принимающих действительные или комплексные значения и удовлетворяющих условиям: 1) в каждом конечном интервале функция или не имеет разрывов, или
а
имеет конечное их число и 2) интеграл j | f (t) | dt конечен для о
любого а. Это множество суммируемых функций.
Оператор же F (р), где p=d/dt, может быть определен или па всем множестве 7, или на его некотором подмножестве. Так, F (р) = 1/р определен на всем множестве 7 интегрируемых функций, оператор же F (р)—рк, где п — целое положительное число, определен лишь на части множества 7, именно на подмножестве Ц. С 7 функций, дифференцируемых п раз.
В некоторых работах (например, [1.2]) передаточная функция определяется как отношение операторов М (р) и N (р), p=dldt. Мы не будем, однако, пользоваться этим определением по той причине, что выяснение смысла отношения подобных операторов и ряда связанных с этим вопросов выходит за рамки книги.
Передаточная матрица. Перепишем матричное уравнение (1.2) в виде системы скалярных уравнений:
5	Mik(j))uk, i=l, 2, ..., п, (1.11)
где Mik, уj и uk — элементы матриц, (А(р) ... ЛГ1я(р)-1
N(₽)=
LW„i(p) ••• ^(p)J
У = 1Уг
. М(р) =
pfu(p) ... Л/12(р)1
_Mml(p) ••• Mml(p).
•> .'/„Г- Н=К............U,]'.
Рассматривая р как комплексную переменную, получим N(p)p = M(p)u.
Назовем передаточной матрицей матрицу
W(P)=N-(rtM(p)=^g!.,
(1.12)
§ 1.2]	ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ	23
где —	—присоединенная матрица для N, a — алге-
браические дополнения соответствующих элементов N(j матрицы N. Передаточная матрица существует, если матрица N — квадратная неособая, т. е. если det N (р)	0.
Элементами передаточной матрицы являются передаточные функции Wfj (р) для различных выходных переменных у. по различным входам и^. Предположим, что переменные уу-, ик и их производные в достаточно большом числе обращаются в нуль при t=0. Пусть Y (s), U (з) — преобразования Лапласа векторных переменных у=у (t), и=и (t). Тогда из (1.11) имеем
N(s)Y(s) = M(s)U(s), т. е.
Y(s) = W(s)-U(s).
Если все компоненты Uj, кроме одного, нулевые (ик = 0 при к	j), то
Г,(з) = И\у(з)^(з), т. е.
(i-13)
Переходная функция. Основные динамические характеристики блоков и систем в переменных вход—выход определяются для некоторых типовых воздействий. В качестве одного из таких типовых воздействий наиболее часто используется единичная ступенчатая функция, прилагаемая к блоку в момент i=0. Она определяется условиями
*<(>={o	<<?:	<1л4>
Если отсчет времени выбран так, что момент приложения воздействия будет t = t0, то единичную ступенчатую функцию записывают в виде
—10 при г<0.
Приложение в момент t = t0 произвольного воздействия f(t) обозначают произведением f (4) на единичную ступенчатую функцию
«й=/(0-<«)={«'>
Изображение Лапласа для функции 1 (t) равно
Ь{1(0}=|.	(1-15)
24
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. I
Нормальная реакция (т. е. реакция при пулевых начальных условиях слева) на единичную ступенчатую функцию называется переходной функцией h(t). Изображение Лапласа Н (s) переходной функции равно в соответствии с (1.10) произведению передаточной функции W (s) на изображение единичной функции
Я(з) = И'(»)4=^-.	(1.16)
В случае, когда корни полинома N (s) простые, переходная функция может быть выражена известным разложением Коши—Хевисайда [1.5]
А<1)=^+2?Же"'’	(1Л7>
•=1
где s<— отличные от нуля и не равные друг другу корни N (s), а через TV' (s<) обозначена производная

Если же в характеристическом уравнении I групп кратных корней:
зо = О кратности д0—1, кратности д15
s, кратности
st кратности qt.
TV (s) = 0 имеется
(1.19)
причем q0—l-[-?i4- •••	••• +?/ = п, то переходная
функция определяется более общей формулой
/ г,-1
'>«>=22
v=0 Ц=0
1
(5, — 1 — р) I ds^-^
-1)!
X (?у-1)(g,-2)... (g<-fe)(Wyp-b-ifk_
fe-o
е*’‘
(1.20)
где обозначено

*»0
к !
Из (1.20) вытекает, как частный случай, и (1.18),
§ 1.2]
ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ
25
Импульсная переходная (весовая) функция. Другое распространенное типовое воздействие — импульсная единичная функция (дельта-функция) 8 (t), определяемая условиями
О при t О, со при t = О,
J 8(£)<Й = 1.
(1.21)
Существует математическая теория [1.6], в рамках которой 8 (^-функция и операции с ней, используемые нами в дальнейшем, приобретают строгий смысл; однако изложение этой теории не входит в задачу данной книги.
Нормальная реакция w (t) на единичную импульсную функцию называется импульсной переходной или весовой функцией.
Импульсные функции удобны для приближенного представления очень коротких импульсов с заданной конечной площадью время-импульсной характеристики (например, несущих заданную порцию энергии). Реакции на такие импульсы обычно близки к весовым функциям.
Умножая произвольную функцию / (t) на 8 (i) и интегрируя произведение, мы «вырезаем» из кривой / (Z) ее ординату в момент t=0 (или t=t0):

(1.22)
—CD
Изображение Лапласа Д($) дельта-функции равно
A(s) = j 8(i)e-’zdi=l, о
поэтому при нулевых начальных условиях изображение скалярного уравнения
будет иметь вид
7У(х)£{1г(0} = Л/(«)  1,
откуда

(1.24)
26
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. I
т. е. изображение весовой функции линейного стационарного блока равно передаточной функции. Это свойство некоторые авторы принимают в качестве определения передаточной функции [1.11].
При простых корнях полинома N (s) импульсная переходная функция может быть найдена с помощью разложения
(1-25)
•=1 *
а при наличии кратных корней (1.19)
I ?,-1
[Х=0
=2й^ш('+£Г>.(’>1. <‘-2е) v =1
где sv, qv и W, (s) имеют те же значения, что и в (1.19). Нормальную реакцию на произвольное воздействие u(t) можно выразить через весовую функцию и и (t) с помощью интеграла Дюамеля
t	t
y(t)=iw(t — т)и (х)dx = w (т)и(t — x)dx. (1.27) о	о
Весовая матрица. Весовой матрицей многомерной системы называют матрицу G (t), элементами которой являются весовые функции. Если матрица N (р) — квадратная неособая (т. е. det N (р)	0),
все воздействия приложены в один и тот же момент времени t — t0, а начальные условия нулевые, то решение уравнений (1.2) также можно записать в матричной форме
t
y(t)=jG(f— x)u(x)dx,	(1.28)
^0
где G (t — т) = 0 при х > t0.
Используя прямое и обратное преобразование Лапласа, можно получить следующие соотношения между весовыми и передаточными матрицами (и соответственно функциями):
W (s) = L {G (0) = J G (t) e~8tdt,
°	а.-	(1-29)
G(t) = L~'{W(S)} = ± [ W(s)e>lds,
§ 1.2]
ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ
27
где о — постоянное число такое, что оно больше наибольшей вещественной части полюса W (s). Вторая из формул (1.29) представляет собой преобразование Римана—Меллина.
Так как Н (a)=^Js^, L {8 (t)) = W (s) и W (s) = sH (s), а начальные условия для h (t) и w (t) по определению нулевые, то в соответствии с теоремой операционного исчисления об изображении производных имеем
dh(t)
Частотные характеристики. Частотной характеристикой блока со скалярными входом и выходом называют функцию
(‘-ЗО)
вещественного переменного ф. Частотные характеристики получили широкое распространение в технике благодаря их ясному физическому смыслу.
Пусть на блок действует периодическая входная переменная и = А sin tot,
где А и ф — соответственно вещественные постоянные амплитуда и угловая частота. Для любого дифференциального уравнения (1.6) с вещественными коэффициентами при действии только одной гармонической функции (1.30) на входе, если только /ф, \j=\J—1, не является корнем уравнения N (s)=0, т. е. если
7У(/ф)^=0, существует единственное частное решение
у = В sin (ф7 -ф- 0)	(1-31)
и если система устойчива, то это частное решение и выражает установившееся движение в системе при воздействии (1.30). Математические преобразования во многих случаях оказываются значительно проще, если расширить множество функций и и на множество комплексных переменных, и вместо (1.30) использовать функцию
и = Ае^‘, j =	(1.32)
Функция (1.32) является некоторой абстрактной моделью реального гармонического воздействия (1.30) и фактически (1.30) выражается через (1-32) следующим образом:
u(t) = ^(e^11 — е^ш‘), ч
28
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(ГЛ. 1
функции (1.31) и функции у{ = В{е^шМА удовлетворяют исходной системе одновременно, а те параметры, которые обычно интересуют исследователя — Л и 0, для обоих способов выражения получаются одинаковыми.
Передаточная функция линейной системы W (до) при мнимом значении ее аргумента s = ju> называется частотной передаточной функцией или частотной характеристикой системы. Так, для скалярного уравнения d (р) у ~ т (р) и частотная характеристика имеет вид
Ж(7Ъ) = ^4.	(1.33)
v ' d (;<о)	'	'
В соответствии с (1.24) имеем
Ж (/«>)= J w{t)e~JU>tdt,	(1.34)
—со
т. е. частотная характеристика является преобразованием Фурье весовой функции.
Следует подчеркнуть, что для неустойчивой системы интеграл СО
J | tt? (Л) | dt расходится и определение (1.34) частотной характери-—со стики для неустойчивой системы теряет смысл.
Подставив (1.31) и (1.32) в исходное уравнение, получим алгебраическое уравнение
d (до) Ве^ = т (ju>) А, откуда
И/(Я = Й4 = 4-^в>	(L35)
v > d (;ы) А	'	'
т. е. модуль частотной характеристики равен отношению амплитуд выходной и входной гармонических переменных, а ее аргумент — фазовому сдвигу менаду ними. Эти соотношения легко использовать для вычисления параметров выходных колебаний при гармонических воздействиях по заданной передаточной функции, для наглядного графического изображения характеристик, для различных графоаналитических расчетов по годографам W например нахождения А и 0, определения коэффициентов передаточной функции по экспериментально снятым характеристикам звеньев, математическое описание которых неизвестно или слишком сложно, для оценки качественных показателей переходных процессов и их приближенного построения и т. п.
§ 1.3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
29
5)
§ 1.3.	Структурные представления и преобразования
Алгоритмические, функциональные и конструктивные структурные схемы. Понятие передаточной функции позволяет построить удобные графические представления математических моделей линейных систем, которые сами могут рассматриваться как изобразительные модели, эквивалентные аналитическим. Используются два вида графических моделей — структурные схемы и графы.
Структурной схемой в более широком смысле в теории автоматического управления называют графическое изображение структуры системы или ее части. При этом под структурой понимается совокупность частей, па которые система разделяется по тем или иным признакам, и связей, изображающих каналы, по которым передаются воздействия от одной части к другой. В теории управления структурные схемы разделяются на алгоритмические, функциональные и конструктивные [1.3].
Конструктивная схема изображает в виде отдельных блоков конструктивно обособленные части системы и связи между ними (например — двигатель станка, трансмиссию, станину, рабочий орган станка). Функциональная схема изображает в виде отдельных элементов части системы, выполняющие определенные функции в процессе управления (например, блок
блок сравнения, усилитель, исполнительный элемент, корректирующую цепь, управляемый объект).
В теории управления используются в основном алгоритмические схемы, полностью отображающие динамические свойства. Такие схемы могут составляться по дифференциальному уравнению и наоборот, по структурной схеме, если она построена полно и правильно, могут восстанавливаться дифференциальные уравнения. При составлении структурной схемы для удобства исследования ее часто стремятся сделать близкой к конструктивной или функциональной, но это не обязательно. Иногда в целях упрощения удобнее преобразовать схему к виду, упрощающему математическую обработку, отвлекаясь от конструктивных или функциональных особенностей.
Элементами структурной схемы (рис. 1.2) являются:
3)
!h — —
---*-#
Рис. 1.2.
измерения величин,
30
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 1
— линейные динамические звенья, изображаемые прямоуголь-
никами, которым соответствуют передаточные функции, проставляемые на схеме или в прилагаемом к ней описании (рис. 1.2, а);
— функциональные преобразователи, также изображаемые прямоугольниками, которым соответствуют безынерционные функциональные преобразования	(//<) (рис. 1.2, б);
— сумматоры, изображаемые разделенными на секторы кружками; к некоторым секторам подходят стрелки, изображающие слагаемые; от некоторых секторов отходят стрелки, изображающие
сумму; вообще сумматоры осуществляют ал-гебраическое сложение и для удобства опе-раций сложения и вычитания обычно отме-чаются соответствующими знаками у концов стрелок или же зачернением секторов, в кото-рых осуществляется вычитание (рис. 1.2, в);
— связи, передающие воздействия без изменения, изображаемые прямыми линиями со стрелками, указывающими направление передачи воздействия (рис. 1.2, г); такими и	же линиями со стрелками изображаются и
„ 1	сами воздействия;
0}	— узлы или точки разветвления на ли-
ниях связи; значения переменных на стрел-у1	ках, подходящих к узлу и отходящих от него,
т	равны между собой (рис. 1.2, д).
J'-''УФУг	Структурные графы. Позднее, с развитием
'''м	теории графов и ее использованием, начали
применяться обозначения, заимствованные из
Рис. 1.3.	-- этой теории. Элементами графа являются от-
резок линии — дуга или ребро, которому сопоставляется значение или передаточной функции W (s), если изображаемое звено — линейное динамическое, или функции ср (у), если изображается безынерционный преобразователь, и пара изображаемых кружками вершин на концах ребра, которым сопоставляются значения входной и выходной величин (рис. 1.3, а). Графы, используемые
в структурных изображениях, направленные величины; направления передачи воздействия отмечаются стрелками. От вершины могут отходить несколько ребер, в этом случае входные величины для всех отходящих ребер одинаковы (рис. 1.3, б). К вершине также могут подходить несколько ребер, тогда значение величины, сопоставляемое этой вершине, будет равно сумме величин выходных подходящих ребер (рис. 1.3, в). Таким образом, не требуется специальных обозначений для сумматоров и точек разветвления и все графы изображаются с помощью лишь трех типов элементов — ребер, вершин и стрелок. Изображения полу-
§ 1.3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
31
чаются несколько более экономными и компактными, но они пока распространены меньше, так как к структурным схемам привыкли.
В теории управления особо рассматриваются три основных вида соединений звеньев: последовательное, параллельное и встречное.
При последовательном соединении выход каждого предыдущего звена (ребра) соединяется со входом последующего, и только с ним. Передаточная функция последовательного соединения равна произведению передаточных функций отдельных звеньев (рис. 1.4, а):
вг=Пвг<. С1-36)
При параллельном соединении (рис. 1.4, б) входная переменная для всех звеньев одинакова, а выходные переменные суммируются:
к
W='^lWi. (1.37) 1=1
При замыкании звена с передаточной функцией обратной связью с передаточной функцией W2 (встречное включение, рис. 1.4, в) передаточная функция образовавшейся замкнутой системы равна
W —	111 —-И 1	(1 38)
в~1+ W^ — 1 ± Ж’ о-оо>
где верхний знак берется для отрицательной,га нижний — для положительной обратной связи, W —’ передаточная функция разомкнутой системы.
Правила преобразования структурных схем и графов. Структурную схему сложной системы часто бывает полезно преобразовать к более удобному для исследования виду путем расчленения некоторых слишком сложных звеньев на более простые (декомпозиция), объединения простейших звеньев в одно (агрегирование) и различных преобразований с целью упрощения структуры при сохранении числа и порядка звеньев (трансформация). Перечислим некоторые основные правила преобразования схем'.
1.	Объединение нескольких последовательно (или параллельно) включенных звеньев в одно.
32	МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ	(ГЛ. I
М" • -
2.	Расчленение звена на несколько последовательно (или параллельно) включенных звеньев.
3.	Представление звена и замыкающей его обратной связи одним звеном.
4.	Обратная операция — расчленение сложного звена на более простое, замкнутое обратной связью.
5.	Перенос сумматора со входа па выход звена (рис. 1.5,а)., к
6.	Перенос сумматора с выхода на вход звена(рис. 1.5,6). j
7.	Перенос узла с выхода звена на вход (рис. 1.5, в).
8.	Перенос узла со входа на выход звена (рис. 1.5, г). Подробнее см. в [1.15, 1.16].
Первые четыре правила используют формулы (1.36)—(1.38). При этом следует иметь в виду, что декомпозиция может выполняться неоднозначно, бесконечно 'большим числом способов и ее выполнение требует определенного навыка.
Способы трансформации по правилам 5—8 поясняются рисунками. Для каждого правила приведены две схемы: преобразуемая
§ 1.3]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
33
слева и преобразованная справа, которые эквивалентны друг другу в том смысле, что при одинаковых входных переменных их выходные переменные также будут одинаковы. Проверка эквивалентности схем не представляет трудности, и на ней мы не останавливаемся.
На рис. 1.6 показан пример преобразования схемы с перекрестными внутренними связями (рис. 1.6, а) в схему без перекрестных связей, анализ которой проще потому, что он может выполняться на основании типовых правил. Так, например, для нахождения передаточной функции всей системы для схемы рис.' 1.6, б можно
Таблица 1.1
Передаточные и переходные функции типовых звеньев
Наименование звена	Передаточная функция		Переходная функция
Идеальное интегрирующее Статическое 1-го порядка (апериодическое, одноемкостное) Интегрирующее неидеальное Идеальное дифференцирующее Форсирующее Дифференцирующее неидеальное (гибкое) —>« -Of , э >  Иптегро-дифференци-рующее Апериодическое, второго порядка Колебательное Консервативное	1 7s] К Ts + 1 К s (7s 4-1) 7s AT(7s+l) TS 7s 4-1 ts 4-1 7s 4- 1 К	к к a =	t 7 A-(i _е-"г) 4- T(e~tlT— 1)] 75(f) К[14-П(«)1 _2_ е~ит т — 7 14—T—e-tlT Т2е~1'1т' — 7ie-</r‘]
	(71S4-1)(72s + 1) К 72s2 4-2C7s 4- 1 C< 1 К s34-“o		L1 1	I’l-T’a J e-“‘	I Ll ш* sin	e)J. 5	1 		 ~ 7 »— 71 6 = arctg
3 А. А. Воронов
34
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. I
воспользоваться формулами для основных соединений (1.36) и (1.38), в то время как для схемы рис. 1.6, в этих правил недостаточно.
Типовые динамические звенья. При исследованиях систему иногда стремятся представить расчлененной на простые типовые звенья, динамические характеристики которых хорошо изучены, вычислены и приводятся в руководствах и справочниках.
В табл. 1.1 приведены установившиеся наименования и характеристики основных типовых устойчивых звеньев первого и второго порядков.
§ 1.4. Модели в переменных состояния
Пространство состояний. Пусть процессы в некоторой динамической системе характеризуются переменными х={х.}, i=l, 2, . . . , п, изменяющимися под влиянием воздействий u={Uj}, 7 = 1, 2, . . . , I. Если набор переменных х таков, что задания их значений в некоторый начальный момент t—t0—х. (70), i=l, 2, . . . , п, и задания входных переменных и,- (t), j=l, 2, . . . , I, на промежутке t0 t tv достаточно для того, чтобы можно было прогнозировать состояние системы, т. е. определить значения х (t) для любого значения t из промежутка t0 t то набор можно назвать полным. Если набор переменных х полон и, кроме того, существует система дифференциальных уравнений первого порядка
xv •••> хп> “1. •••> ии 0, i==l, 2, ..., и, (1.39) в которой f. — дифференцируемые функции, не содержащие среди своих аргументов явно производных dku-ldt, 0, то переменные х называются переменными состояния. Если эти переменные принадлежат тг-мерному евклидову пространству, {а:*, ж2, • • • > гя} G -» то и пространство X называют пространством состояний.
Число переменных состояния, как правило, больше числа интересующих исследователя физических выходных переменных, тем более управляемых переменных; кроме того, в результате •преобразования уравнений в физических переменных к форме (1.39) •не всегда удается сделать так, чтобы х. были физическими переменными; иногда даже от этого отходят умышленно, чтобы получить форму уравнений, наиболее удобную для математической обработки и вычислений. Поэтому в общем случае х. являются абстрактными переменными, через которые, конечно, однозначно должны выражаться физические переменные ур
Vj = Ъ (Ч- х2> • • i = 2. • • •> Г- v(l-4Q)
£ 1.4]	МОДЕЛИ В ПЕРЕМЕННЫХ состояния	35
В число соотношений (1.40) могут, разумеется, входить и равенства
=
Форма уравнений (1.39), весьма удобная для математических исследований благодаря единообразию и простоте структуры входящих уравнений, использовалась в математике и механике е давних пор, в частности именно ею пользовался А. М. Ляпунов в своих классических работах по устойчивости движения [1.10J.
В 40—50-х годах в теории автоматического управления стала преобладать форма уравнений в физических переменных, широко использовавшая методы операционного исчисления и преобразования Лапласа. Это объяснялось стремлением инженеров использовать хорошо физически интерпретируемые графоаналитические характеристики типа частотных характеристик и корневых годографов, а также их стремлением иметь дело с физическими переменными не только в конечном результате, но и на всех этапах анализа, чтобы иметь возможность ощущать физические свойства в вносить коррективы в схему и параметры в процессе исследования. Но усложнение систем, резкое повышение их размерности, необходимость учитывать переменность параметров и нелинейности, при которых точные методы применять было невозможно и физические представления, полученные при анализе простейших схем, не удавалось использовать, привели к тому, что с 50—60-х годов интерес к уравнениям в переменных состояния и представлению систем во временной области возродился.
Представление системы в переменных состояния неоднозначно. Поясним это на примере линейных систем.
Координаты точки в «-мерном пространстве зависят от выбора базиса, т. е. системы взаимно перпендикулярных единичных векторов, вдоль которых направляются координатные оси.
Путем изменения базиса можно перейти от переменных х к переменным х. Переход можно осуществить с помощью произвольного неособого преобразования
х = Мх, |М]^0,	(1.41)
где М =	— неособая квадратная матрица п X п. Для каждого
неособого преобразования существует обратное преобразование
х = М-1х.
Если уравнения системы в переменных х имели вид
Й=А’ + В”-)	(1.42а)
у = С'х,	J
3*
36
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. I
то в новых переменных получим уравнения
= Ах 4- Ви, at	1
У=сх,
(1.426)
где между новыми и старыми матрицами существуют соотношения
А = МАМ->, Й = МВ, С=С'М-*.
(1.43)
Выходную векторную переменную у в уравнениях (1.42, а) можно выразить через входную переменную и, воспользовавшись преобразованиями Лапласа:
Y(s) = C' (А — si,)"1 BU (з).
Матрица W (s)
W (з) = С' (А — slj-* В	(1.44)
будет представлять собой передаточную матрицу системы. Преобразование возможно, если матрица А—з!и неособая, в этом случае оно единственно. Элементы матрицы VV («) представляют собой передаточные функции W.j (з) от входа и. к выходу г/у.
Приведение уравнений вход — выход к уравнениям в переменных состояния в нормальной форме Ц.8, 1.12, 1.14]. Начнем с рассмотрения частных случаев.
Линейное уравнение для одной переменной без операторов дифференцирования в правой части, с одним воздействием
(«(,₽” +	+а„)у — Ки	(1.45)
приводится к форме, часто называемой «нормальной», характерной тем, что сама переменная у и ее п—1 производная принимаются за переменные состояния, а п-я производная выражается из уравнения (1.45) через них:
п — 1,
dxs	. Л О
^=1. 2, ...
^=-(Ки-а1хп— ... dt «0'	1 "
{/ = «!•
Если возможно отобразить переменные состояния в нормальной форме в пространстве состояний, то это пространство называется фазовым, а сами координаты — фазовыми координатами. В фазовой плоскости, на которую отображено таким образом механическое движение, координаты представляют фазы движения,
§ 14]
МОДЕЛИ В ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
37
отсюда и произошло название, которое затем было расширено на многомерные пространства.
Матрица А нормальной системы равна
А =	01	0	... 0	0	1	0 0	(1-47)
	ап	ая-1	ап-2 •  •	—«1	
К нормальной форме приводятся также уравнения нестационарных и нелинейных систем, которые могут быть разрешены относительно старшей производной
!/'"’ = /(«, У, у'.У("-1)),	(1.48)
где / — функция, определенная на некотором открытом множестве Г координатного пространства размерности п+1, непрерывная вместе со своими частными производными по всем аргументам на множестве Г. Уравнения аналогичным предыдущему образом приводятся к виду
= i = 1, 2...., п — 1,
*1, *2......+,),
!/ = «!•
(1.49)
Уравнения односвязных систем с операторами в правой части («о?" +	+ • • - + а„) у =
= (!’оРт + ЬгР”"1 + •••+&«) т < п, (1.50) приводятся также к фазовым переменным следующим образом. Представив операторные выражения в виде
у	и
Ъ0РтЛ-...+Ьт~ аор”+... + аи — Х'
переходим к уравнениям
и = (аор’’ + • •• +а„)х,
У==(Ьорт+
и, обозначив
pxi =	= ж4+1, i=l, 2, ..., и — 1,	(1.51)
получим
С1-52)
38	МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ	[ГЛ. I
причем
У = йо*га+1 + \хт + ... + bnx±.	(1.53)
Хотя указанный вывод не строг (мы использовали деление па многочлены от р), можно показать, что уравнения (1.51)—(1.53) эквивалентны уравнению (1.50). Итак, искомыми являются уравнения (1.51) — (1.53). В них, однако, х2 уже является абстрактной переменной л термин «фазовые переменные» для них становится условным.
Рассмотрим еще один способ преобразования, когда степени числителя и знаменателя передаточной функции одинаковы. В этом случае возможно и приведение к фазовым переменным, только у будет зависеть и от и, но даваемый ниже способ интересен тем, что он позволяет преобразовывать при некоторых дополнениях и уравнения с переменными коэффициентами, как это будет показано далее в гл. 2.
Приведем уравнение к виду
(?" + aiPn' + •••+«„) I/ = (Ьор” 4- Ь^1 + ... + Ь„) и. (1.54)
Уравнения в переменных состояния будем искать в форме:
(1) у = х1-\-кйи,
(2, 3, ...,п)	-^- = ж,.+1 + /с4гг, г=1, 2, . . ., и — 1,	(1.55)
(« + !)	= —«Л — <%-i — ...—а„х1 + к„и.
Матрица А здесь такая же, как и для уравнений (1.46), т. е. равна (1.47). Неизвестны коэффициенты к-. Для их нахождения сначала продифференцируем первое из уравнений (1.55) и, учитывая второе и третье уравнения, найдем
рг/ = рхг Ц- кори = х2 4- кги 4~ кори.
Продифференцировав далее полученное уравнение и учитывая четвертое из уравнений (1.55), будем иметь
Р2У ~ Рхч 4~ kiP11 + V2“ — хз 4~	+ клР11 +
РпУ = рхп 4- к„_лри 4- ... 4- корпи =
= —<ЧХп — • • — «Л + K-lP" 4- ••• + коРПи-
Подставляя сюда значения
xi = У — kji,
х2 — ру — к^и — ktypu,
х„ = Р”~'У — kn-lU ~ kn-iPU — ••• — къР""’и.
§ 1 4J
МОДЕЛИ В ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
30
получим после приведения подобных членов уравнение
(Ря + «ip"’1 + • • • + а„) у = [/сори +	+ аЛ) р"-1 +
4“ (&2 + «Л 4- о2/с0) Р" 2 +•••+(&„ +	+ • • • 4- аЛ>)1и-
Сравнивая коэффициенты этого уравнения с коэффициентами уравнения (1-54), получим рекуррентные формулы для коэффициентов
*о — b0, к^ — Ъ^ — а^кц,' к% = 62 <ljc^ ^2^'0’
(1.56)
»—1
ki = bi — 2 а<_,пкт. ш=0
Очевидно, способ применим и для случаев I < п, при этом соответствующие коэффициенты 60, Ъг, ... полагаем равными нулю.
Не представляет труда привести к фазовым переменным также уравнения системы с несколькими воздействиями, составленные для одной переменной у, если все операторные полиномы в правой части или отличаются лишь постоянным множителем, или же не содержат операторов. Пусть
i
(аор” 4- ... 4- о„) у = 2	(р) и(,
i=l
(1.57)
(Р)=с< (боР™ 4-  • • 4- W 4-1)-
Полученные аналогичным способом приведенные уравнения будут иметь вид
^ = Ж1.+1, 1=1, 2,...,п-1.
dt
1
ао
:/1У а1хп • • • апХ1
(1.58)

Если правая часть не содержит операторов, то
У = хг
40
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. I
Приведение к каноническим формам. Рассмотрим сначала линейный односвязный объект с передаточной функцией
Пусть корни характеристического полинома d (s) — простые, s,-, i = l, 2, ..п. Разложим W (s) на множители и представим уравнение, связывающее лапласовы изображения выходной У (s) и входной U(s) величин в виде
1М '^	„J1;!,,)] С/(»).	(1.59)
«=1
Обозначим
Ж=ь<-	<’-60>
Дальнейшие преобразования можно выполнить по различным схемам. Рассмотрим две из них. Первая — наиболее ранняя (предложена впервые А. И. Лурье [1.9]) получается так.
1.	Положим
У(8)=2&(Ш x,.(S)=^±.	(i.6i)
Переходя к оригиналам, получим
и
у = 2 bixi<
•=1
= sfx. и, i=l,... ,п.
(1.62)
Матрица системы (1.61) диагональна:
О ... о-s2 ... 0
«1 О
... S„_! 0 о ... s„ _
Ее элементами являются корни характеристического уравнения. Диагональность матрицы, упрощающая вычисления, и непосредственная связь коэффициентов с корнями — основные преимущества формы.
2.	Положим п
y(s)=2^(4 xi(s)=-^_t/(S).	(1.63)
§ 1.41
МОДЕЛИ В ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ"
41
Переходим к оригиналам
п
(1.64)
х( — sixi -|- btu, i=i, 2, ...,n.
Последняя форма также относится к каноническим. Она удобна при исследовании свойств управляемости, так как позволяет, варьируя bt, получать различную степень влияния воздействия и на переменные х{. Матрица А этой системы также диагона льна.
Пусть теперь полином d (з) имеет кратные корни
d (з) = (з — з^** (з — з2)*’ ... (з — sr)kr.
Матрица А имеет в этом случае каноническую жорданову форму
О	...	О'
Д   б Jл2 (s2) —	О
L о и ... JfcjsjJ
каждый диагональный элемент которой — жорданова матрица вида
(s<) —
s,-
О
o'
Lo
о	...	о^о	-
st	В<2	0 0
o'	o'’ Sfк;.
О	0	...	О sf	_
где 8,у, 7=1, 2, принимают значения 0 или 1.
Каждой из жордановых клеток можно сопоставить одну из структурных схем, показанных на рис. 1.7 или 1.8 [1.12]. Схеме рис. 1.7 соответствуют уравнения в канонической форме Лурье
------^1*^1 t- *^2’	“I-ж2 = з1ж2-|-ж3	
—|— iZ,	•^/c1+fc2 —•	“I- W,
у = bTx.
Составляющими вектора b = [blf b2, k(, ...} являются коэффициенты в разложении функции W (з) на простые дроби, для нахождения которых можно воспользоваться известными методами (см., например, [1.5]).
42
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(ГЛ. I
Схеме рис. 1.8 соответствуют уравнения
Ат=«{хт-]-Ьти.
i
rn = 2 /=] n
При этом у =	X..
tel
Рис. 1.7.
Рис. 1.8.
Отметим еще один способ приведения, когда коэффициенты уравнений выражаются через нули и полюсы передаточной функции
П 7^7-.
Так как J* = 1 -|~ 7— J* ’ т0 можно получить структурную схему, изображенную на рис. 1.9 [1.12]. Ей соответствуют уравнения
®( = «Л + (81 — Т1)«,
=	+	—TyJ^-i + ^y —Ту)«. /==2, 3........п~ !.
^n = SA + ^»-i.
У = ^„.
§ 1.4]
МОДЕЛИ В ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
43
Если среди корней s{ имеются комплексные, то в результате рассмотренных преобразований переменные состояния также получаются комплексными, что имеет некоторые неудобства. Обычно такими преобразованиями пользуются для случаев вещественных корней.
Общий случай многосвязной системы. Сначала рассмотрим такой вариант общего случая уравнений (1.2), когда они получены из поэлементного описания со степенью подробности до звена
Рис. 1.9.
первого порядка, т. е. когда m.j — постоянные, а полиномы d.j(p) имеют вид
d{j{p) = T{jp-\-dtj,
где T(J и — постоянные. Тогда уравнения (1.2) можно записать в виде системы скалярных уравнений
?\iPa:i+ Л2Р*2 +  - - + Tinpxn =
= dilx1 d(2x2	... d.nxn -f-
~h mi2u2 -|- .. • -|- nifjUj, i = 1, 2, ..., n.
Задача разрешима, если матрица Т = [Т^у] неособая. В матричной записи последние уравнения имеют вид
Трх = —Dx -ф- Mu.
Разрешая уравнения относительно первых производных, получаем уравнения в переменных состояния
рх = —T^Dx + T’Mu,
причем переменные состояния совпадают с физическими переменными х у.
Пусть теперь d(j(р) и m.j(р) — полиномы произвольных степеней, причем степень (р) может быть меньшей или равной степени полинома d{j(p). В этом случае приведем сначала уравнения для изображений к виду
у (S)= ^WtJUt(s), 7=1, 2,...,г.
? У==х
44
МОДЕЛИ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. I
Для перехода к переменным состояния в принципе можно составить уравнения в переменных состояния с неизвестными коэффициентами; выразить их через переменные у с помощью также пока неизвестных линейных соотношений; получить уравнения для переменных у и, приравняв коэффициенты в полученных и заданных уравнениях при одинаковых степенях одинаковых переменных, получить ряд уравнений для искомых коэффициентов. Но этот
теля, соответствующие коэффициенты
путь весьма громоздок п приводит к нелинейным уравнениям.
Один из удобных путей решения задачп состоит в следующем.
Составляем структурную схему из интеграторов и жестких прямых и обратных связей такого типа, который используется в аналоговом моделировании. При этом каждая из передаточных функций представляется в виде
_ b<os” +	. + Ь<я
s" 4- Cjls” 1 + ... 4- а{„
Если степень числителя меньше степени знамена-О4о, Ьа ... приравниваются
нулю.
Рассмотрим в качестве примера выражение
___b10s2 4~ bns 4~ ь12
sz 4- Gt 4- Gio
Ьд2
—---------г---
S'- a2is “г
Соответствующая структурная схема показана на рис. 1.10. Она дает представление о том, как составляются подобные схемы для произвольных передаточных функций. За переменные состояния принимаются выходные величины интеграторов, за первые производные переменных состояния — входы интеграторов, как показано на рисунке. Далее, по схеме восстанавливаются уравнения
= —<*11*11 + *12 Ч- (Ьц — Ь10аи) иг,
= —<*12*11 4“ (^12	^10<*1г) **!•
§ 1.4]
МОДЕЛИ В ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
45
= —011^21 +Ж22-
Jf2 —	а12Х21 "Ь ^22W2’
J/1—~ хи 4“ a a ~Ь ^юы1‘
Аналогично составляем уравнения и для других переменных J/2. ?/з •  
Заметим, что когда в передаточной функции W.j степени числителя и знаменателя равны, то Уу будет зависеть не только от переменных состояния, но и от воздействия и..
Второй достаточно удобный способ — это приведение к канонической форме с помощью разложения передаточных функций на простые дроби.
Пусть r njk rJk fc=l <=1	•
Индексы jk используем как верхние индексы в обозначениях переменных состояния. Последние вводим в виде
Соответствующая система уравнений имеет вид dxJk
—±r = s^x{k^-uk, i=l, 2.......nJk,
г njk
у j = 5 5 <№ к=1 i
Приведенные зависимости получены для простых корней. При наличии кратных корней, подобно тому, как это имело место при каноническом преобразовании односвязных систем, матрица А будет жордановой, т. е. кратные корни в матрице заменяются жор-дановыми клетками.
ГЛАВА 2
МОДЕЛИ ОСОБЫХ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 2.1.	Линейные модели с переменными параметрами
Параметрическая передаточная функция. Линейные звенья с изменяющимися во времени сосредоточенными параметрами описываются уравнениями
К (О Р” + «1 (0 Рп~1 +•_•+ («)] У = [&о (О Р1 + • • • + Ь, («)] и. (2.1)
Звенья с переменными параметрами нестационарны, так как одно и то же воздействие, приложенное в различные моменты времени т, вызывает различные переходные процессы y(t— т, т), что и подчеркивается обозначением: в состав аргументов входят значения момента включения т и времени, протекшего после этого момента t — х.
Пусть ко входу звена приложена импульсная функция о (£ — т). Назовем, как и раньше, реакцию на нее импульсной переходной или весовой функцией w (t — х, х). Реакция на произвольную функцию / (/ — т) определится с помощью интеграла Дюамеля
t
y(t-x, т)=	£)/(?), <%.
Распространим на данные звенья понятие передаточной функции, определив ее как лапласово преобразование весовой функции
W (s, i)= t — 7])е“8Мт]= J w (т], t —	=
О	—co
t
— e~et j ш(т], t — т))е”>(Ь].	(2.2)
—co
Однако нахождение переходных матриц и функций нестацио-рарных систем в замкнутой форме в общем случае невозможно.
§ 2.П
ЛИНЕЙНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ
47
для этого используются достаточно сложные вычислительные методы, которые в данной книге не рассматриваются. Мы обратим внимание на методы, позволяющие избежать вычисления весовых функций.
Положим в уравнении (2.1) воздействие и равным дельта-функции 8(/ — т). Тогда y~w(t, т). Подставив эти значения в уравнение, умножив обе части на еп и затем проинтегрировав по т, получим t	t
J	•••+«» (О j w(t, г)е’т(/т =
= [6о(О*'4----+М)1^. (2.3) Учитывая (2.2), имеем t
es/lV (s, t) = j w (t, т) e*Tc?t,
—co
поэтому (2.3) можно переписать в виде
«о (0 [W (S, 0 еЧ + ... + ап (?) [W (s, t) а8'] =
=[Ь0 (/)?+...
Выполняя дифференцирование в левой части, сокращая на ев* и группируя члены, получим
[а0 (0 s” + ... + ап (/)] W (s, t) + [па„ (i) s-1 + ...
... + За„_3 (0 s2 + 2«я_2 (г) s + ап_± («)] dW ° + ...
.••+«! ^) dnWd\« -) =b0(t)Sl+ ... +M0- (2-4)
Введем обозначения для операторов:
V(S, 0 = ао(0«я+...+а„(0,
R(st i) = &o(0sZ+•.•+&/(О-
Уравнение (2.4) равносильно уравнению
VW + - —	4-АЁ2Е^2К=/?.	(2 5)
v Т- ds dt 1 rn! ds" dtn	'	'
Передаточная функция нестационарной линейной системы зависит не только от аргумента s, но и от времени t, которое в приведенных интегральных зависимостях является параметром, поэтому W (s, t) называют также параметрическими передаточными
48
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
функциями. Как видно из (2.5), параметрические передаточные функции уже не равны, как передаточные функции стационарных систем, отношению операторов R/V и не обладают всеми теми свойствами, которые установлены для стационарных передаточных функций.
Приближенное определение передаточной функции. Для приближенного нахождения W (s, t) из (2.5) Л. Заде предложил следующие два метода [2.17].
1 dkA
Первый метод. Разобьем уу= а.к на постоянную &к и переменную aft составляющие и перепишем (2.5) так:
dnW
an^+...+a0W = R + C{W},
где
Выражение для передаточной функции ищем в виде
TP(S,O=IFO(S, 0 + ^(5,*)+•••
Первый член этого ряда — «нулевое приближение» Wo (s, t) — находится из уравнения с постоянными коэффициентами
dnW
a»^+...+«o^o = -R(S,0	(2.6)
при нулевых начальных условиях. Каждый последующий член ряда находится из уравнения с постоянными коэффициентами
• • • + “o^fc+1 = с {TKfe (5, 0).	(2.7)
Сходимость ряда проверяется в процессе расчета.
Второй метод. Когда коэффициенты изменяются медленно (в сравнении с переходными процессами), решение можно упростить. Выразим в (2.5) V (s, t) W (s, t) через остальные члены:
где
V (s, t) W (s, t) — R (s, f) —|— TV {ТУ (s, t)},
(2-8)
(IP(S, t)} =
Г 1 d”V dnW |_n*l dtn dt”
dVdWl
' ds dt J*
N

Нулевое приближение найдем из уравнения V (s, t) Wo (s, t) = R (s, t),
§ 2.1J
ЛИНЕЙНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ
49
Ио в нулевом приближении выражается через отношение операторов
ш /о п___Й (s, 4) _Ь0 (t)s'Ц-...(t)	49
р (s> 4) —fl0(t)s«+...+Oa(t) ’
т. e. оно находится, как передаточная функция с постоянными «замороженными» коэффициентами, которые после нахождения формального_решения считаются в последнем уже переменными. Таким образом, отмеченные в предыдущей главе свойства стационарной передаточной функции присущи лишь нулевому приближению параметрической передаточной функции. Далее,
К(М)^+1(М) = ЛДИ\(М)}.
т. е. остальные члены ряда получаются путем дифференцирования предыдущих членов и подстановки результатов в (2.8). Метод значительно проще предыдущего, но если коэффициенты изменяются недостаточно медленно, приводит к медленно сходящимся рядам.
Пусть дано гармоническое воздействие вида и	Тогда
СО	со
у (t, ш) = j w (tj, I — vj)	~ eiwt j w (ij, t — tj)
о	0
Сохраним определение частотной характеристики как отношения реакции на гармоническое воздействие к самому воздействию
СО
jy (J(D, t) = v	j ш ft, t — 7j)	(2.10)
u
т. e. частотная характеристика, как и ранее, является преобразованием Фурье для весовой функции. Она также является параметрической, зависящей от I и от и>.
В принципе линейные нестационарные звенья можно вводить в структурные схемы и выполнять над ними структурные преобразования, если использовать для описания элементов передаточные функции. Но так как это требует громоздких вычислительных процедур, возникает вопрос — нельзя ли для описания элементов в структурных схемах воспользоваться легко находимыми из уравнений операторами? Сделать это можно, если применять особые правила [2.10, 2.131.
Операторные представления. Рассмотрим уравнения двух звеньев
(аоРя+ ... 4-0»)*= Vxx=z, |
4 А. А. Воронов
50
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
Для упрощения вместо а{ (t) пишем просто а{. Изобразим структурную схему, соответствующую уравнениям (2.11), в виде двух последовательно включенных звеньев, которым поставлены в соответствие обратные операторы ИД и ИД:
х — V^z, z = ИДу.
Правило умножения операторов для последовательного соединения нестационарных звеньев уже не имеет силы. Для исключения переменных также требуются специальные преобразования. Исключим переменную z:
где Ио— новый оператор, получаемый в результате воздействия оператора V2 на F*. Обозначим это воздействие знаком *:
Для линейных операторов справедливы соотношения
V (жх -f- ж2) = Vxt -f- Vx2,
V1x+Vsx = (V1+V2)x,
Л Vxt -j- В Vx2 — V (Ах,^ -f- Bx2),
где А и В — постоянные.
Выражение V2 * Их можно представить так:
т	т	j
V2 * h = 2 W'X = 2 ЬпЧ s q (p’FJ р'~\
7=0	j=0	>=U У
При этом использована формула Лейбница
к
Рк (Pn-jP*) = S ClP^n-iP^^ v=0
где С* — число сочетаний. Вводя обозначения / — v = X, получим
7*
у=о Х=о ' J
В этом и всех последующих выражениях оператор р относится только к непосредственно следующей за ним переменной и перемена местами сомножителей под знаками операторов р* недопустима. Так как в приведенных выражениях отсутствуют члены
§ 2.1]
ЛИНЕЙНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ
51
с отрицательными степенями р, то члены с 7 <( X равны нулю, и мы имеем
=тт Р! Vx+    + k(k-1)... (Л-х +1) vfcp^+ • • •
...+(га_х4-1)&оР-4
С другой стороны, в результате Х-кратного дифференцирования по р находим
LK?=m(ra_i)... (,п_х4-1)ь0р’'‘-х4-...
... 7ф_ 1) ... (fc-X + 1) Wfc“X+ • • • +* !^-х-
Сравнивая два последних выражения, получим
9П
2 ср.-/‘
/=п
1
х I др1 ’
поэтому
=	+ Ф *>+ V1 ут
2 1 1 др lf 1 др1 1 2 1
. дтУгv р^ । г)рт 1 т !'
Произведение У21'\ некоммутативно и становится коммутативным лишь при постоянных коэффициентах в обоих операторах и V2, т. е. в обыкновенной линейной задаче.
Рассмотрим теперь уравнения
Vxz= V2x, | iS’jZ = S2y. j
(2.12)
Непосредственной подстановкой z не исключается. Введем уравнивающие операторы иг и U2, которыми воздействуем на уравнения (2.12). следующим образом:
* V*) z = (U± * V2) x, 1 (U2*Si)z = (U2*Sj)y. J
(2.13)
Рыб ерем Ur и U2 так, чтобы соблюдалось условие
U2*SX=U,* Fv
(2.14)
4*
52
НЕЛИНЕЙНЫЕ II ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
Из (2.13) найдем уравнение, не содержащее z:
Wi* V2)x — (U2*S2) у.
(2.15)
C7j и U2 следует выбирать с учетом того, что операторы равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые порядки и одинаковые коэффициенты при равных степенях р.
Примеры.
Пример 1 [2.10]. Дано звено
а^(а + Ы)х^Ку.
Так как
V=s + fl4-bf, 7? = Zf, ^=1, ^V = 0 при i>l, “* s	dt*
то уравнение для параметрической передаточной функции имеет вид
^ = (S + «+bO^=z<.
Используем метод «замороженных коэффициентов». Найдем
ж0(«, 0
_к_
s “I- с ~j~' bt
ТУ. (s, t) =
K.bfA.3.5 ... (2i — 1) (s 4- a + bt)^
i= 1,2,3, ...
CO
Ряд 2 P < (s, 0 сходится при всех s и, следовательно, определяет •=i
функцию W (s, t). При воздействии на вход дельта-функции (изображение которой равно eST), получим
X(.) = W (., <) Y(.) = К 2•
»=1

По таблицам изображений (см., например, [2.10]) находим
ж(т, t) = w(t, т) =	Г1 Ь (f 62 (* - 4, .. .V
I.	Z	J
= К ехр [—(at у bt2^ 4- (аг 4~ у frc2)].
Пример 2 [2.10]. Дана система уравнений регулирования объекта с самов ыравниванием с переменными T0(t) и /с0(<) и астатическим регулятором ПИД
р. = kTt	fe,
— x.
(2.16)
§ 2.1J
ЛИНЕЙНЫЕ нестационарные модели
53
где
- — ЛДД Ъ — 1
uo *о(О’	k0(t)-
Дифференцируя первое из уравнений по t и сравнивая со вторым, исключим р:
V + (го + *с) & Д- ксх = р = кТё Д- ке.
Воспользовавшись третьим уравнением, получим
V + (% -]-kc-}-kT)x-[-(kc-\-k)x = kT/~\-kf
V + (% + *о + кТ)£	+ &)е = V + (то + *о) / + kJ.
При / = const система имеет установившуюся ошибку и регулирование статическое. Поменяв звенья местами, получим
Р^ = А:(7,р+1)7!, (V + *c)7l = s. е = / — х.
(2-17)
Для исключения переменной tj введем операторы
Ux *рх — иг * К (Тр Д- 1) т], и2 + *е)13 = Ui*e-
Операторы £71 = аорД-а1 и U2 — Р0Р -j—	выбираем из условия
С71*7<(7’р+1) = С72*(гор+Л:с).
Так как К и Т постоянны, то
(аор Д- аД К (Тр Д- 1) = (₽ор Д- ₽х) (тор Д- кс) Д- ₽0 (тр Д- ке) р, откуда находятся уравнения для а и f:
ЛГ7’а0= Рото,
Т'«!-]- Ка0 — Рото Д- р1т0 Д- роА:0,
Считая р0= 1, найдем
ао— КТ' _ кста — т0/«с — Тп/Г — Тке
“I"	fc(V-^o)
о ___ Ч-\-Иа~ч1т — Тке
™	Ткс — то
Уравнение, связывающее х и е, будет иг *рх = U2e или (аор Д- аД рх = (ррР Д- рД в.
54
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
Используя третье уравнение из (2.16), найдем
+ (ai + 1)А + ₽1ж = / + ₽1А аоё 4" (а1 4“ 1) ё 4~ ₽1е — ао/ + а1/ •
При f — const, еуст = 0 и т. д. система стала по переменной е астатической просто от перестановки звеньев.
Приведение к уравнениям в переменных состояния. В [2.9] показано, что уравнения вида
[р”-Ь «т(0/’”*+•••+«» (01^ =
= [&0 (t) р” + (0 р”-1 +... 4- ъп (01U (2.18)
можно привести к виду
= £<+i + ktu, i = l, 2, ..п — 1,
= —«Л — • • • — «А + fyi, y^x^kji.
(2.19)
где коэффициенты к( находятся из соотношений
/с0 (0 — b0 (t), i—1 i—г
К (0=bt (0 - 2 2 Г t- Г')	(0 Р’Ч (0. (2.20)
г=0 »п=0
где Qj — число сочетаний из q по s.
Для доказательства надо из (2.19) найти у = хг kyi, ру = х2 kjii р (Ауг), ..., р”-^ =
= —аА — ... —	4- р (к^и) 4- ... 4- рп (к.и\
затем подставить найденные значения у, у1, ..., у(я-п в (2.18), привести подобные члены и приравнять нулям коэффициенты при одинаковых производных и. Способ доказательства аналогичен тому, который был использован при выводе формул (1.56), но сложнее, так как требует дифференцирования произведений ки.
§ 2.2. Линейные модели с распределенными параметрами
Основные понятия. Реальные звенья в системах обладают пространственной протяженностью и в распространении сигналов участвует некоторая сплошная среда, которая в модели может рассматриваться как континуум материальных точек. Когда мы пользуемся рассмотренными ранее моделями, мы не учитываем
§ 2.2J
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
55
этого обстоятельства и считаем, что элемент, проводящий сигнал, можно моделировать материальной точкой, в которой сосредоточиваются все параметры элемента, характеризующие процесс прохождения сигнала. В большинстве случаев это удается, но иногда опыт обнаруживает, что такая сосредоточенная модель неудовлетворительно описывает реальный процесс. Это происходит тогда, когда время распространения сигнала по континууму соизмеримо с постоянными времени, характеризующими основные переходные процессы при управлении. Классическими примерами являются длинные трубопроводы, линии электропередачи, нагреваемые массы и т. п. Такие звенья называют звеньями с распределенными параметрами или, короче, распределенными звеньями. В каждой точке континуума в таком звене возникают свои переходные процессы, каждый из которых зависит не только от времени, но и от пространственных координат точки и которые обычно описываются дифференциальными уравнениями с частными производными. В совокупности эти локальные процессы образуют общий процесс распространения сигнала по звену, который часто называют в зависимости от его характера — апериодического или колебательного — потоком или волной. Разумеется, стремятся не представлять всю систему как распределенную — это резко усложнило бы исследование, — но выделить в ней одно или необходимый минимум звеньев, представляемых распределенными моделями, и рассматривать систему как соединение звеньев с сосредоточенными и распределенными параметрами.
Уравнения с частными производными рассматриваются в больших по объему курсах уравнений математической физики. Большинство рассматриваемых в них уравнений носит имя авторов первого исследования, что характеризует сложность проблемы.
Рассмотрим некоторые задачи, в которых удается получить более или менее единообразные характеристики и методы описания некоторых звеньев, которые можно считать типовыми, делая упор на те методы, которые позволяют получить сравнительно легко согласуемые между собой характеристики распределенных и сосредоточенных звеньев.
Связность, размерность и порядок систем. Процессы в распределенных звеньях характеризуются, прежде всего, числом переменных состояния, определяющим порядок дифференциального уравнения относительно переменной времени [2.1, 2.2]. Следует отметить, что уравнения системы с распределенными параметрами вообще неприводимы к той форме уравнений, которую мы назвали уравнениями с переменными состояния, и, говоря о переменных состояния, мы имеем в виду тот минимально необходимый набор независимых переменных, который необходим для полного в смысле возможности прогноза описания системы. Если состояние в этом
56	НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ	[ГЛ. II
смысле характеризуется одной переменной, звено называют односвязным, если двумя — двухсвязным и т. д.
Далее, распределенное звено характеризуется размерностью, т. е. числом геометрических координат, необходимых для полного описания процесса. При этом следует иметь в виду, что хотя реальные физические звенья трехразмерны, их математические модели могут иметь и меньшую размерность. Так, если можно считать, что скорости течения и напоры во всех точках поперечного сечения трубопровода одинаковы и для описания процесса в трубопроводе достаточно знать одну геометрическую координату — расстояние сечения от начала трубопровода, — модель будет одноразмерной.
При соединении сосредоточенного звена с распределенным выход и вход его обычно соединяются лишь с одной из точек континуума в распределенном звене или с частью континуума, который в модели можно характеризовать одной точкой. Например, управляющий вентиль перекрывает множество точек сечения, но для модели достаточно знать лишь расстояние вентиля от начала трубопровода, чтобы составить уравнение. В таких комбинированных из сосредоточенных и распределенных звеньев системах уравнения с частными производными должны составляться для всего континуума точек, но интересоваться мы будем лишь значениями входной и выходной переменных в двух точках — на входе и на выходе. Для точек соединения распределенного звена с системой необходимо выписать, кроме уравнения звена, краевые условия для этих точек.
Рассмотрим одномерные одно- и двухсвязные распределенные звенья, описываемые линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами вида
[AA(pJ + ZI/2(p/)]9 = 0,	(2.21)
где рк—д!дх, pt=d!dt, и т1/2 — полиномы с постоянными коэффициентами, a q (х, t) — искомая переменная состояния звена. Здесь также удобно воспользоваться интегральным преобразованием Лапласа по временной переменной
СО
Q (х, s) — J q (х, t) e~ltdt, о
с помощью которого уравнение с частными производными преобразуется к обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, где переменной является изображение Q (х, s):
(2.22)
+	s) = 0.
§ 2.2]
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
57
^Предполагается, что начальные значения для q нулевые: q(x, 0) = 0,
3g (х, О)0 dt
Наивыспыя степень производной рх или р( называется порядком уравнения (2.21) соответственно по х и по t.
Краевые условия первого и второго рода. Из всего множества решений уравнения (2.21) нас будет интересовать фактически лишь одно — в точке выхода. Выберем ось х так, чтобы точка входа хвх располагалась в начале координат, т. е. положим хвх=0. Если звено одномерно, то ось направляется вдоль линии распространения сигнала. Обозначим значение жвих через I. Изображения q {х, t) на входе и выходе будут соответственно Q (0, s) и Q (I, s).
В некоторых случаях значения Q,,K (0, s) и s) на входе
и выходе так и рассматриваются как входная и выходная вели-
чина звена:
еи(о,5)=<2(Р,8). ।
(2.23)
Это будут краевые условия простейшего вида, так называемые краевые условия первого рода. Но в общем случае выходная UBUX и входная С7ВХ величины могут не совпадать со значениями переменной уравнения Q (0, з) на входе и Q (I, s') на выходе, а будут связаны с ними краевыми условиями более сложного вида
^(O.s^F^O.s),
Д • • •],
где Fx и F2 — функции или операторы, вид которых определяется физическими условиями задачи.
Для того чтобы сделать возможным удобное совместное рассмотрение распределенных и сосредоточенных звеньев в общей структурной схеме, введем понятие передаточной функции распределенного звена как отношения изображений выходной и входной величин при нулевых начальных условиях слева по переменной t:
f Гп / • > dQ (х- s) 1
W s\—	_2l s ’dx •' • J (2 25)
’ S'~ f7rx (0, s) ф(О я)-j <2-25)
для произвольной точки X и
Ann	s> 1
U (I s) *2| V (’ s),	1	, ...I
...
58	НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ	[ГЛ. II
для точки х=1. Как видим, передаточная функция зависит не только от вида уравнения (2.21), но и от краевых условий. При этом на распределенные звенья распространяются все правила структурных преобразований и построения частотных характеристик, рассмотренные в главе первой.
Для учета в структурных схемах краевых условий в них иногда следует при этом вводить переходные звенья, связывающие вход и выход звена с остальной системой, — это будут функциональные преобразователи. В случае краевых условий первого рода переходные звенья не нужны. Не нужны они и тогда, когда совпадает с выходной переменной предшествующего звена системы, а — со входной переменной последующего звена.
Звено с чистым запаздыванием. Простейшим представителем распределенных звеньев можно считать звено с чистым, так называемым транспортным запаздыванием, характеризуемое связью между выходом и входом:
У(0 = [К(^Т)’	(2>27)
т. е. передающее входное воздействие без искажения, но со сдвигом во времени на постоянную величину т. Транспортным это звено названо, видимо, в связи с тем, что оно часто используется как простейшая модель транспортных механизмов типа конвейера с равномерно движущейся лентой.
Представим себе магнитофон, записывающий на ленту сигнал с помощью записывающей головки, расположенной над лентой, движущейся с постоянной скоростью и в точке А с координатой а:=0. На расстоянии х=1 от записывающей головки находится головка, воспроизводящая запись. Запись будет воспроизводиться без искажения, с задержкой на время x=Uv, если интенсивность намагничивания участка ленты под головкой мгновенно принимает значение, пропорциональное намагничивающему току, и в дальнейшем при движении ленты остается неизменным. Модель идеализирована, так как предполагает мгновенные запись и воспроизведение сигнала.
В данном простейшем случае при анализе уравнения звена не выписывают, пишут прямо значение выходной величины (2.27). Можно указать, однако, решением какого уравнения является выходная переменная запаздывающего звена — это простейшее уравнение с частными производными первого порядка
^ + ±^ = 0.	(2.28)
дх v dt	'	’
В самом деле, пусть в точке А ленты, находящейся на расстоянии х от источника воздействия в момент времени t, величина q
§ 2.2]	МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ	59
была q {х, t). По истечении малого промежутка времени Д£ точка ленты, воспринявшая эту величину, сместится в точку В с координатой х-|-Дх, но значение q в ней сохранится, поэтому будем иметь
qA (я- 0=q (*. 0=qB t + д0-
В этот же момент величина в новой точке ленты, пришедшей под головку в точку А, будет qt (х, t -ф- Д<). Значение частной производной dqjdx найдем из соотношений
dg,. (z + Az, t-|-At) — дл (z, t +-At) . 5л (z, t) — qA (x, t + At) x ' Al ЛИ	д	—	11 Ill '	" “ '	"
Дя-М)	Дх->0
и, так как при постоянной скорости ленты — то дд_ J_ pim 9(z, t) —g(x, t -I- At) __________1_ dq
dx v	At	V dt ’
т. e. мы получили уравнение (2.28). Изображение Лапласа для этого уравнения имеет вид
Q (х, s) = 0. дх 1 v '	>
(Предполагается, что q (х, 0) = 0.)
Решая последнее уравнение, получим
Q (х, s) — C(t)e ",
где не зависящая от х величина С (t) определяется краевыми условиями. Если входной величиной является сама функция q (0, <), а выходной — q (Z, t), имеем условия первого рода. Тогда
Q„=Q(0,s) = C (t\, Qsm = Q(l,s) = C (t) e-\
где t-I/v. Передаточная функция звена равна
W(l, s) = e~‘\	(2.29)
Переходная функция h (t) = 1 (t — т).
Характеристическое уравнение
Z>(s) = e”=e“V“’I = 0, а=— со,
имеет бесконечное множество корней с бесконечно большой отрицательной вещественной частью и произвольным значением мнимой части. Частотная характеристика
W (I, /<о)  е->шх = cos ют — / sin сот	(2.30)
60
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
имеет модуль, равный единице, и изображается кругом единичного радиуса с центром в начале координат, при беспредельном возрастании <и бесконечное количество раз обходимом по часовой стрелке. Так как амплитуды выходной величины равны единице при всех частотах, звено одинаковым образом пропускает все частоты и так же, как безынерционное, физически нереализуемо.
Попытаемся ослабить идеализацию, учтя инерционность записи и воспроизведения. Предположим, что инерционность можно учесть, построив линейные модели первого порядка для записи с постоянной времени Тг и воспроизведения с постоянной Тъ. Если напряжение входного сигнала — иа, выходного — нюи, то
(Tj> + 1) q (0, 0 = К,и№, (Твр + 1)	= K,q(I, t),
Q (0, s) =	, Q (I, s) =	,
' Ss T 1	л В
\\f---(S) ____________________________ Q s)______ТГ/ . Г.Г7
^bx(s) ~(Г8« + 1)(Гв®4-1) (Ж-J 0

ТУТ	К^КЪ
где Жо —(Г1>5 + 1)(Гв8 + 1)!
передаточная функция обыкновенной
линейной части И/т
Q(l, s) Q (0, s)
е т* — передаточная функция идеаль-
ного запаздывающего звена.
Такого рода приближения используются для сложных процессов, например, в теплотехнических установках. Идеализация здесь, однако, ослаблена, но не устранена: мы предполагаем, что входным сигналом намагничивается точка на ленте, на самом же деле намагничивается площадка. Но дальнейшего уточнения производить не будем.
Одномерное уравнение теплопроводности. Дано уравнение
д!д_____1	=0
дх~ dt
(2-31)
Это уравнение второго порядка, одномерное, односвязное, параболического типа, которым описываются процессы теплопроводности, диффузии и т. п. В качестве простейшего примера с целью установления некоторых типовых передаточных функций рассмотрим радиационный нагрев полубесконечного тела (рис. 2.1) падающим на него потоком тепла с плотностью и0. Ось х направлена перпендикулярно поверхности нагрева, х=0 соответствует поверхность, х=1 — заданная глубина, на которой измеряется в теле температура. Внутренние источники нагрева отсутствуют, поэтому уравнение однородно. В данной задаче
1
72
С
А
§ 2.2]
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
61
где сил соответственно — удельные теплоемкость и теплопроводность тела, q (х, t) — превышение температуры в точке х над температурой окружающей тело среды. Начальное значение q (х, 0) = 0
н изображение L —
функции Q(x, s) имеет вид
s)—«) = 0. (2.32)
Его решение записывается в виде
Q (х) — (\е~° х -J- С2е° v': Е, (2.33)
sQ(x, s). Уравнение для изображения
дх~
Рис. 2.1.
где а = !/-(.
Обычно одним из условий на границе является условие, что в бесконечности д(со, /) = 0, т. е. (?(со, s) = 0, и поэтому С2 = 0. Тогда
Q (х, s) = С1е-а	(2.34)
Трансцендентные и иррациональные передаточные функции. Рассмотрим три типа граничных условий и соответственно три вида выбора входных и выходных величин [2.5].
1.	Внешним воздействием является температура поверхности тела q„=^q(O, t), выходной переменной — температура на заданной глубине qw=q(l, t). Тогда
= s) = G,
Q«n = Q(k s) = C^i
и передаточная функция звена имеет вид
W(l, s) = era'^1.	(2.35)
2.	Входное воздействие — плотность падающего потока иВ1= —и0, выходная переменная — температура на поверхности. Если теплоотдача с поверхности в окружающую среду отсутствует, то уравнение теплового баланса имеет вид
при этом
= t7BHI(S) = C(0, S) = cv
Передаточная функция звена имеет вид
1У(5) =
1 _ 1
аУ/s \/Ts
(2.36)
62
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЙ. Я
3.	Входная и выходная переменные те же, но поверхность тела омывается воздухом, температура которого принимается за нуль. Происходит теплоотдача по закону Ньютона. Уравнение баланса
где а — коэффициент теплоотдачи. Получаем следующее:
(«) = Uo(s) = -X + aQ (о, х) = а G + аСх,
^ux(s) = Q(0, S)=Q.
Передаточная функция звена имеет вид
iy<s)=^Ar-=-^%T-	(2-37)
а У s а	V Ts 1
Передаточные функции получились трансцендентной (2.35) и иррациональными (2.36) и (2.37). Рассмотренные три вида звеньев можно считать типовыми и по внешнему сходству их передаточных функций с функциями обыкновенных звеньев назвать: полузапаздывающими (с распределенным запаздыванием) — (2.35), полуинтегрирующими — (2.36) и полуинерционными — (2.37).
Приведем основные динамические характеристики этих трех типов звеньев.
Полузапаздывающее звено — W (s) — er'/та. Из справочника по операционному исчислению [2.6] находим, что передаточной функции е~ v's соответствует переходная функция erfc 1/ у, поэтому _________________________	__ Т
Л(0 = ег£с у/4-’	=
.где через erfc обозначен интеграл вероятности
СО
erfc у = ~ С e~u*du = 1 — erf у,
Vlt J
V
значения которого даются в таблицах.
1 1
«П о л у и и т е г р и р у ю щ е е» звено — W ($) — —.
Воспользовавшись справочником, найдем
§ 2.2]
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
63
«Пол уи нерп ионное» звено — W (з) — —j=——. Имеем J	' \!ts 4-1
Л(«) = /г[1-е'/уегГ
Длинные электрические линии [2.12]. Длинные пинии с равномерно распределенными по их длине индуктивностью Lo, сопротивлением /?0, емкостью Со и проводимостью утечки Go, описываются телеграфными уравнениями
вх ° dt 1 -di г du | . ДТ d^ = COdF + &°1’
(2.38)
где Lo, CQ, Ro и Go — значения параметров, отнесенных к единице длины линии. При нулевых начальных условиях и (х, 0) = i (х, 0) — 0 уравнения для изображений переменных имеют вид
dU (ж, з) _ дх
di (х, s) ___
dx
(Lbs-\-R0)I(x, s).
(Cos-\-Go)U(x, s).
(2.39)
Исключая одну из переменных, например I (х, з), получим
+ *o) (Cos + Go) U (х, s) = 0.
Решение этого уравнения имеет вид
U (х, s) = C1e-'“^-C^lx,	(2.40)
где у = \/(Los -ф- 7?0) (Cos Go) — коэффициент распространения. Интегрируя по х второе из уравнений (2.39) и подставляя (2.40), найдем
I(x, s) = Yc(C2e<x — C1e~'lx),	(2.41)
где Ус = I/ г °	„0 — волновая проводимость. С помощью этих
Г L/Os -f- £l0
соотношений выразим U (х, з) и I (ж, з) в произвольном сечении
линии через их значения в начале ж = 0 линии:
U (ж. з) = U (0, s) ch тж — Z J (0) sh уж, |
1 (ж, з) = /(0, 8)с11Тж — УсП(0)8ЙТж, )	'	>
VTifi Zc=llY„ — волновое сопротивлевиелпинии.
64
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
Краевые условия на конце х — 1 определяются характером подключаемой к линии нагрузки. Пусть нагрузкой является ное полное сопротивление Zs (s). Тогда на конце линии
t7(Z, s) = ZJ(Z, 8).
Обозначив ZH/Z0 = a, из уравнений (2.42) и (2.43) через U (0, s) остальные переменные
Г(/, s)=z	s) ,
j a s\ —____u (°'s)
(Ch 4- a sh 7Z) ’
I (°, s) = „	^(°)~
'	'	Zc (a ch 7Z -|- sh 7Z)	' '
Рассмотрим некоторые частные случаи.
«Настроенная» линия. Пусть Z„ = Z0. Тогда a=l и мы получаем
ПОСТОЯН-
(2.43)
выразим
(2.44)
U (I, s)=U(O, 8)e-7', ,(г. s)= , 4(0, S)=5L<‘-.
(2-45)
Идеальная настроенная линия без потерь. Если сопротивлением и утечкой можно пренебречь, т. е. /?0 = G0 = 0, то у = s \'L0C0 — vos. Для воздушных линий г0 равна скорости света.
Из (2.45) находим
U(l, s)~U(0, s)e^s.
т. е. настроенная линия без потерь ведет себя, как звено с чистым запаздыванием.
Холостой
Z„ — со, а = 0.
ход линии без потерь. На холостом ходу и мы получаем из (2.4)
. и«, '	' ch 74 ch тз
или
U(l, 8)(ета4-е~ад) = С7(0, s).
Этому соответствует уравнение
По линии распространяются прямая и отраженная волны напряжения.
§ 2.2J
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
65
Длинный трубопровод без потерь. Длинный однородный (с одинаковым по всей длине сечением) трубопровод, по которому протекает под напором ламинарный поток жидкости и в котором можно пренебречь трением, изменениями скорости звука и некоторыми другими второстепенными факторами, описывается уравнениями Жуковского [2.7]
dh ___ р	dq
dx	a	dt	’
dq____1	dh
dx	ap	dt	’ 
(2.46)
где a — скорость звука в движущейся жидкости, h — &Н1Нй и q~ — ^QIQ6 — относительные значения изменения напора и расхода, Н6 и Q6 — базовые значения, равные номинальным. Величина р равна
aQ6 aV
g — ускорение силы тяжести, V — скорость движения жидкости, F — поперечное сечение трубопровода. Изображения уравнений (2.46) при нулевых начальных условиях h (ж, 0)=0, q (х, 0) = =0 имеют вид
s),
dQ(*' s)	s)
dx pa '	'
Их решения:
II (х, s) = С^х,а -ф- С^~,х,а,
Q (x, s) = — у — C2e-sx/°).
Аналогично предыдущему приводим их к виду
Н(х, s) = /7(0, s)ch^-—РС(0, s)sh^, Q& s) = Q(O, e)ch^—lff(O,S)sh^.
(2-47)
(2-48)
Пусть жидкость в трубопровод поступает из резервуара бесконечной емкости или от источника с неизменным, не зависящим от нагрузки давлением. Тогда h (0, t)=0, Н (0, s)=0. Пусть также нас интересуют значения переменных только в конце трубопровода х=1. Тогда уравнения принимают вид
H(l, s) — —pQ(O, s)sh-rs,
Q(l, s) = Q(0, s)chis,
5 А. А. Воронов
66
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. И
где	— время прохождения по трубопроводу звуковой
волны. Исключая Q (0, s), найдем
II(l, s) = — ?Q(l, s)thxs.	(2.49)
Краевые условия определятся подключенным к трубопроводу объектом. Так, для радиально-осевых гидравлических турбин часто принимают в качестве линеаризованного уравнения расхода уравнение
где	— относительное открытие органа, регулирующего
расход (направляющего аппарата). Из уравнений расхода и (2.49) найдем передаточную функцию трубопровода по отношению к давлению, используемую, например, при исследовании гидравлического удара в трубопроводе:
17	,	(2.50)
й р. (s)	z 1 -|- 7 th ts	'	'
где у = px/2, x = yltlyfl, y0 — установившееся открытие, y6 — полное открытие регулирующего органа.
§ 2.3. Линейные модели с дискретным временем [2.14, 2.15]
Уравнения в упреждающих и отстающих разностях. В динамических системах с дискретным временем процесс будет определен, если задана последовательность следующих друг за другом значений выходной переменной у (t-j-кТ), к=1, 2, . . . Величина Т, называемая периодом чередования или повторения, в линейных системах постоянна. Мы будем обычно принимать этот интервал дискретности равным 7=1, что, конечно, не снижает общности выводов, так же как и предположение, что начальный момент равен нулю Zo=O. В общем случае уравнения системы с дискретным временем — для краткости будем говорить просто дискретной системы — с одной выходной переменной и воздействием и (t-\-kT) имеют вид
F [у (к), у (к—i),~\. .'у(к—п); и’(к), ...,и(к— п)] = 0.
Рассмотрим линейное уравнение п	п
S	(*—0=S ₽.•“ (* — 0-	(2.51)
f=0	/=0
Еро с помощью оператора отрицательного смещения jE'-’
^(A)=y(*-1)
S 2.3j Линейные модели с Дискретным временем	67
можно привести к форме, сходной по внешности с операторной формой дифференциальных уравнений
D(El)y(k)z=M(E~1)u(k),
где D и М — полиномы оператора Е"1:
D (£->) = а0 + ^Е-' + ... + апЕ~п, Л/(£4 = ₽о + М’1+---+₽Л~'!-
С помощью другого оператора — отстающей разности V:
Vy(*) —у(*) —у(*—1)
?2У (к) = V (Vy (*)] = у (к) - 2у (к - 1) + у (к - 2)
Уу(к) = (1-Е-'Уу(к)
уравнение приводится к уравнению в конечных отстающих разностях
aBV”y (к) + ап_П (7с) + ... + аоу (7с) = - М (£“') и (7с).
В некоторых задачах бывает удобнее пользоваться упреждающими операторами Е и А:
Еу(к) = у (*4-1),
4'7 (й) = У (к 4- 1) — у (к).
Записав уравнение (2.51) в виде
। я	я
X «,-У {к -|- п — 7) = 2 ₽/г (к -f- п — I),
»=о	«=о
аналогичным образом приводим его к формам с упреждающими операторами Е пли А.
Порядком разностного уравнения естественно назвать наименьшее число значений у (к), необходимое и достаточное для определения всех значений переменной в последующие моменты времени. Порядок уравнения совпадает с порядком наивысшей входящей
в уравнение разности.
Проиллюстрируем формы записи однородного уравнения вто
рого порядка с разными операторами:
аоУ (к) 4- агу (*—1)4- а2 (Тс — 2) = О,
(а0 4- ах£-14- а2£'“2) у (к) = О,
a2V2;/ (7с) — (2а2 4- ах) Vy (*) 4~ (а0 4- ах 4- о^) у (7с) = О, «о (У (к 4- 2) -]- аху (Тс 1) 4- а2у (7с)) = О, («о£24-К1£ + а2)у(/с) = О1
а(А2У (к) 4- (2а0 4- аг) Ду (Тс) + (“о + «1 + аг) У (*) = °.
(2.52)
5*
(2.53)
68	НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. II
Мы видим, что коэффициенты в сходных формах, но использующих упреждающие или отстающие операторы, отличаются.
Разностные уравнения также могут представляться в переменных состояния. По аналогии с системами с непрерывным временем уравнениями в переменных состояния называют систему разностных уравнений первого порядка, которая в матричной записи имеет вид
х (к Ц- 1) = Ах (7с) -ф- Ви (7с), у (7с) = Ск (7с).
Способы перехода от уравнений в переменных вход—выход к уравнениям в переменных состояния весьма сходны для непрерывных и дискретных систем. Аналогичны и формулы перехода от одного базиса в пространстве состояний к другому.
Непрерывно-дискретные системы. Дискретные управляемые системы, математическими моделями которых служат разностные уравнения, обычно состоят из непрерывной линейной части и действующего на нее импульсного элемента, квантующего действующую на его вход непрерывную входную переменную и (t), т. е. преобразующего ее в последовательность импульсов с периодом повторения Т, модулированную тем или иным способом 12.14]. Эта последовательность импульсов затем поступает на вход непрерывной части; выходная переменная непрерывной части получается непрерывной функцией, но с периодическими видоизменениями, для нахождения которой необходимо решать комбинированные дифференциально-разностные уравнения. Однако если рассматривать только значения этой непрерывной функции в дискретные моменты времени e-j-TcZ, ю для постоянного значения e=const оказывается возможным находить эти значения из разностных уравнений. Обычно так и поступают, причем чаще всего ограничиваются нахождением дискретных значений у для е=0, т. е. для «моментов съема» импульсов с импульсного элемента.
Идеальный импульсный элемент и формирователь. Поскольку в непрерывно-дискретных системах в одних точках структурной схемы мы имеем дело с чисто дискретными, в других — с непрерывными величинами, то во избежание недоразумений мы будем, когда это целесообразно, заключать аргумент дискретных квантованных функций в квадратные скобки, непрерывных функций — в круглые.
Многие входящие в линейные системы импульсные элементы могут быть представлены математической моделью в виде последовательного соединения идеального импульсного элемента, генерирующего последовательность модулированных дельта-функций:
СО
цт (0 = 5 Ти (t) 8 (t — пТ),	(2.54)
я=0
§ 2.3)	ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ	69
где Т — период повторения, и (/) — непрерывная входная величина импульсного элемента и формирователя импульсов, превращающего идеальный импульс в реальный.
Множитель Т введен в (2.54) по следующим соображениям. Если идеальный модулированный импульс несет в себе определенную энергию или импульс силы и т. п., пропорциональные площади н8, то при уменьшении периода повторения Т число таких порций энергии или количества движения, приносимых серией импульсов в единицу времени, будет возрастать пропорционально МТ. Для того чтобы величина Т не влияла на интенсивность воздействия импульсного элемента на систему за единицу времени и введен множитель Т. Таким образом, все идеальные элементы представляются одинаковой моделью, не зависящей от Т по своему энергетическому воздействию. Понятно, что при этом в передаточную функцию формирователя должен быть добавлен множитель МТ.
Мы будем рассматривать только такие типы формирователей, введение которых в линейную систему не нарушает линейности. Для таких формирователей можно установить передаточную функцию, равную лапласову изображению реального импульса при единичном воздействии на вход формирователя. Так, если при единичном воздействии 6 (/) на вход формирователя генерируется прямоугольный импульс со скважностью у и высотой х:
то
И"'= —(1 — е-т^),
и учитывая, что мы ввели множитель Т в выражение (2.54), окончательно имеем
В случае -у = 1 (такой формирователь называют фиксатором нулевого порядка)
И%(«) = -£-(1-е-г>).
В случае фиксирующей цепи первого порядка

/1 _ е-^\2	(1 _ e-Ts) (1 - xe-rs)
I Ts ) "Г Ts
Отметим, что у приведенных, а также и многих других передаточных функций формирователей при Т -> 0 их пределы равны
70
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. И
постоянной величине, которую мы можем назвать коэффициентом передачи импульсного элемента
lim РГф (s) = йв. т->-о
Отсюда следует, что при достаточно высокой частоте импульсов, т. е. при достаточно малом Т по сравнению с другими постоянными времени системы, мы можем пользоваться моделью идеального импульсного элемента (2.54), формирователь же учитывать постоянным множителем ки, вводимым в передаточную функцию линейной части.
Передаточные функции и частотные характеристики импульсных систем. Рассмотрим воздействие идеального импульсного элемента на непрерывную линейную систему с передаточной функцией W (s). Ко входу импульсного элемента приложено непрерывное воздействие и (Z), ко входу линейной части — последовательность импульсов (2.54). Каждый из импульсов вызывает на выходе системы реакцию в виде весовой функции Tuw (£), возникающей в момент приложения вызвавшего ее импульса. Реакцию системы у (£) на последовательность импульсов найдем так:
в интервале 0 t Т
у (t) = Ти [0] w (/),
в интервале Т t 271
у (0 = Ти [0] w (t) + Ти [У] w (t — Т)
и т. д. Общее выражение для у(1) в интервале пT^t^. (п-|- 1) Т следующее:
р(0= У Tu[mT]w{t — mT). т=0
Чтобы теперь перейти к произвольному дискретному аргументу, положим i=(n-[-e)71, O^e^l, и получим
У f(n + е) Л = lm Л w — m + е) л.
или в сокращенной записи
»
у[п, е] = 2 и 0] w [п — т, е].
т-=0
Применив далее z-преобразование
F(z) = 5 f[nT] z~"
я=0
S 2.31
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
71
и использовав теорему свертки для него, последнее уравнение для у[п, е] перепишем в виде
Yd(z, ej = Wd(z, e)Ud(z, 0).	(2.55)
Буквой d в верхнем индексе отмечаются дискретные преобразования Лапласа (z-преобразования) *). Wd (z, е) — передаточная функция импульсной системы — представляет собой z-преобра-зование весовой функции.
Передаточная импульсная функция комбинированной импульсно-непрерывной системы может быть выражена через передаточную функцию непрерывной части
Для этого в [2.14] предложены два основных способа. Первый состоит в том, что функция Wd выражается через полюсы WB. Для этого сначала составляется путем замены оператора s=q/T передаточная функция приведенной к безразмерным переменным непрерывной части
И'.(Й=4Й’.(г)=Ж
Затем определяются полюсы qv функции И7,, (q/T) и находятся коэффициенты cv как коэффициенты в разложении на простейшие дроби. Для случая простых корней, например,
„  . РМ
Тогда для’передаточной функции импульсной системы получим выражение
Wd(z, e)=Vc-
1.
Аргумент z при этом будет равным z—e4, т. е. мы используем преобразование Цыпкина (названное им дискретным преобразованием Лапласа). Другой способ состоит в представлении передаточной функции импульсной системы в виде ряда
СО
Wd(q, е)= 2 c(«+a’/r,WB(94-21T7r).	(2.56)
Г=—00
1) Буква d вместо принятой в теории импульсных систем звездочки для обозначения дискретных преобразований используется потому, что зрездочка далее используется для обозначения эрмитовых сопряжений.
72	НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ	[ГЛ. И
Покажем, как перейти к уравнениям в фазовых переменных, если передаточная функция импульсной системы задана в виде дробно-рациональной функции [2.15]
(2-57)
Записав уравнение (2.55) в виде
__ d, 60z-m+ ...	Coz-«+ ... +1 —л W
и соответствующие соотношения для z-изображений
Xе (z) = U* (z) - aoz~”Xd (z) - ... - a„_sz~lXd (z),
(z) = &oz-"Xrf (z) + ... + bmXd (z),
и использовав теорему смещения в z-преобразовании, перейдем к уравнениям во временной области
х[кТ] = и[кТ] — ап_1х[кТ—Т}— ... —айх[кТ — пТ},
у [АЛ = Ъ,пх [АЛ + bm_rx[kT -Т}+ ... +Ъ^[кТ- тТ],
к=1, 2, 3, ...
Вводя переменные
[АЛ = х [(А: — и) Г\, х2 [АЛ = ж [(А: — п -f-1) Г],
a^TJ^-l) П
получим уравнения в переменных состояниях (фазовых)
Т] = х2[кТ], х2[(к-]-1) T] = xs[kT],
^[(к-[-1)Т] = хя[кТ], ъ к*+1) л=«- ад m -
(2.58)
— ««-Л \кТ\.
Пусть степень числителя на единицу меньше степени знаменателя: т— п — 1.
Тогда
у [/Л =	[(А: + 1) Г] + ... + &„_А [(А: + 1) Т].
Используя (2.58), выразим у через xfoT1]:
у [кТ] = сЛ [АЛ + . •  + ад + dou [АЛ. (2.59)
§ 2.4]
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К НЕПРЕРЫВНЫМ
73
где
Ci= ^я-1а0« • • •’ су = ^/-2 = ^*-1а/-1’	—	3. • • •> И,
4> = 6Я.
§ 2.4. Импульсные системы, близкие к непрерывным
Выделение средней и периодической составляющих. При достаточно большой частоте повторения импульсов импульсную систему часто стремятся исследовать приближении с помощью непрерывной модели. Еще в ранних работах [2.8] системы автоматического регулирования электрических машин вибрационными и импульсными регуляторами исследовались как непрерывные, для чего вместо последовательностей импульсов подставлялись усредненные непрерывные функции и сам импульсный элемент заменялся эквивалентным по среднему непрерывным усилителем.
Замена дискретной модели непрерывной имеет большое практическое значение, так как очень существенно упрощает исследование, однако она должна быть хорошо обоснована. Но даже в тех случаях, когда она дает хорошее приближение по среднему и позволяет исследовать такие свойства, как устойчивость, она не позволяет выявить и оценить колебательные составляющие, возникающие под действием импульсного элемента. Если их оценка представляет интерес, непрерывная модель должна быть дополнена блоком, создающим колебания.
Точная теория импульсных систем позволяет обоснованно построить такую упрощенную модель, в которой по отдельности воспроизводятся средняя составляющая процесса и отдельные гармонические составляющие [2.3].
Пусть дана передаточная функция непрерывной части
№(s) =
PH
<2(s)‘
(2.60)
Она может включать и передаточную функцию формирователя, если это существенно. Но часто последняя может учитываться, как сказано выше, постоянным множителем кв.
Как известно, обычное непрерывное преобразование Лапласа для ч]г в (2.54) совпадает с дискретным преобразованием для и (7):
£ (''1г (0) — ? ( У, и (7) 8 (7 — пТ) ехр (—sT) dt =
о "=°
= Т 2 и [пГ] ехр [—«пГ] = TUd (s).
Я=0
74
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
Изображение Лапласа для выходной величины yd (t) в импульсной системе равно
L{yd(t)} = TUd(s)W(s).
Рассмотрим процесс при воздействии единичной ступенчатой функции на вход импульсного элемента и (Z) = 1 (Z), TUd = = Т [1 — ехр (—sT)]. При нулевых начальных условиях (Z) равна переходной функции
yd __ rd /л __	f P (s) exp (+st) ds	/о 6 Й
'	2л/ J Q (s) [1 — exp (—sT)] ’	\ • )
c—Jco
Учитывая, что множество полюсов подынтегральной функции, если линейная часть устойчива, состоит из левых полюсов передаточной функции W (s) и корней 1 — ехр (—sT), равных
ег = ]^=]Шг, г = 0, +1, ±2, ...
и, принимая во внимание, что
получим, находя для (2.61) интегральные вычеты:

р Ю ехр (svt)
(1 — ехр (—s,T)) Q' (s,)
+ 2 21W (jrwT) | cos (rwTt + 6r) = hd (Z) + hd (Z). (2.62) r=l
Решение представлено в удобной для практического использования форме: оно разложено на среднюю составляющую hd (Z) (выражение в квадратных скобках) и на периодическую составляющую, выраженную рядом Фурье в комплексной форме. При этом амплитуды и фазы гармоник легко находятся из частотной характеристики линейной непрерывной *части W Частота первой гармоники равна частоте повторения импульсов шг=2тг/71> второй — удвоенной частоте и т. д. Отмечая на характеристике W точки 2&т, . . . , мы из графика находим амплитуды и фазы гармоник и легко обнаруживаем, когда длины векторов, проведенных из начала координат в эти точки, становятся пренебрежимо малыми и, следовательно, какие гармоники можно не учитывать. Вообще же точное построение переходного процесса в системе требуется редко и в практических исследованиях доста
§ 2.4J
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К НЕПРЕРЫВНЫМ
75
точно бывает точнее получить среднюю составляющую и лишь приближенно оценить величину амплитуды первой гармоники.
Оценка погрешности. В непрерывной системе при тех же условиях переходная функция была бы равна
C-f-JCO hV=ii J
С—/со
Р (s) eet s6(s)
As
J°(Q) , у С(0)‘Г^1
PM svQ' (s„)

Сравним ее co средней составляющей переходной функции импульсной системы hd (t):
^>=^1 v=l
(l_e-M)C- (s<)
Так как
,im :—
T->o 1 — е
lim ——
Г->0 sye
т

то при Т -> 0, h (I) приближается к hd (t). Оценим относительное расхождение функций h и hd'.
2'	/ Ts, \
____ _ ,,	_ .	(S<) О ~ e~gl>r ' ' hd (t) Jid (t)	‘ p
2j(i-e-s’r)c'K)
Относительная ошибка от замены hd на h в каждой отдельной слагающей переходного процесса, соответствующей корню s(, будет равна
Д\(р Ts4 .
При малых Г

1 - е~^

Ts?
i _ е-^	~ 2	2 •
Оценку допустимых значений Т можно получить из соотношений
= Tsy [1 - е-’Т’ - 1«
^<2eU|SJ-,U
76
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
где 1s, |шох — наибольший из модулей корней s„. Так как
I СО.ООЭЗ при |^1<ет = 0,1, 1	I	I I
то, если допустимая относительная погрешность ет не превышает 0,1, оценка допустимых значений Т по приведенной приближенной формуле выполняется с погрешностью, не превышающей 0,33%.
Если Т укладывается в указанные допустимые пределы, мы можем считать среднюю составляющую переходного процесса в импульсной системе, как в линейной непрерывной, с той же передаточной функцией. В противном случае расчет средней составляющей тоже можно вести, как и в непрерывной системе, но уже с трансцендентной передаточной функцией (2.61), учитывающей импульсность. После вычисления средней составляющей находим отдельно накладывающуюся на нее первую гармонику
hd (t)	2 | W (jw-r) | cos (<»г	6Х).
Если необходимо, высшие гармоники находятся аналогично.
При воздействии ступенчатой функции на замкнутую систему, если все полюсы простые, основная составляющая процесса будет представлять собой сумму экспонент. Поэтому рассмотрим сначала воздействие на разомкнутую систему типа экспоненты х (t)=Ae~at. Изображения по Лапласу переменных на входе и выходе импульсного элемента соответственно имеют вид
х(*)=;£г
Тогда переменная на выходе непрерывной части будет равна
«+>со
____АТ	г Р (s) es*ds
~2^i J. (?(s) [1 — c—jco
Р^а + ]Г11>т)е(-^ттУ Q^-a + jrb,T)e-^TT •
Выделив слагаемое, соответствующее sv, получим основную среднюю составляющую

Р (s,) e’’z
8 2.4)
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К НЕПРЕРЫВНЫМ
77
Эта составляющая при Т -»0 стремится к соответствующей составляющей в чисто непрерывной системе
— AQ(-a)e + А 2 С'К)(«, + «) ’ »=i
Относительная ошибка при малом Т теперь возрастет до величины у (s, + а). Затухающая колебательная составляющая вычисляется следующим образом:
yd(t)=A 2	а + ;г®г)ехр(—а4-/г<ог)/4-
г=—со rgtO
W (—а — /r<£>r)exp (—а — /га>г) t) =
== Ае~а‘ 2 № (~« + /™т)	+ W (—а - /гаг) e~jra>Tt].
При малых а/и>г, соответствующих медленному в сравнении с частотой импульсов изменению воздействия, можно считать
W (—а + ]'п>>т) » W ( + ]гмт)-
Для оценки значений а, при которых е~в/ можно считать медленно изменяющейся функцией, М. Я. Зингером была предложена следующая оценка.
Пусть
W (я} —	—	* 1 *
W— Q(s)~	«+•»
a° П
V=Wl+l
и
I Renvoi |	— sv01
( I Res» I
= max J—1------------—
»-l, 2.n+m ( I 1™T si
Y = min | Re sj 7^= 0, у — 1, 2,
Если выполнены неравенства
(п -|- т) г 1 1	1
|1У(-а + /га7,)| |ТУ(/го,г)|
1 -]- 8, 181 е. Если Т можно считать малым, то
0 (f} « Ае-1 {W	eJr^ + W
78
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. П
Тогда
yd(t) = Ae~fhd(t).
Если же приложенное воздействие состоит из суммы экспонент
и (0 = 5^^
к	’
ТО
У* (О = S A^z'K* (t) = и (t) hd (t), к
(2.63)
т. е. колебательная составляющая, вызванная этим воздействием, равна колебательной составляющей, вызванной ступенчатым воз
Рис. 2.2.
ния разомкнутой системы вид
Y(s) =
Z(S) =
действием, умноженной на воздействие и (/.).
Приближенное представление замкнутой системы. Теперь можно предложить модель для приближенного представления замкнутой системы. Пусть уравне-и замыкания (рис. 2.2) имеют
TZd(s)W(s), I
U(s)-~ Y (S).	<2^)
Основную системы
составляющую получим из уравнений
непрерывной
y(s) = Z(s)P7(s),
Z(S)=C7(S)-y(S),
— _L С+Г TV (s) (?) es/ y W~2t4 J 1 + W (s) c—jco
(2.65)
ds.
Амплитуды гармоник в колебательной составляющей приближенно пропорциональны величине v (t) непрерывного воздействия на входе импульсного элемента. Последнее складывается из воздействия и (<), из основной составляющей yd (t), взятой с обратным знаком, поскольку она передается по каналу отрицательной обратной связи, и, если ограничиться рассмотрением только первой гармоники, мгновенного значения этой гармоники в момент съема импульса, также взятого с обратным знаком:
v (£) = и (пТ) — yd (пТ) — В cos 0?,
Д да 2 (и (fiT) — у* (пТ) — В cos 0г) | W (jax) I
§ 2.4]
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К НЕПРЕРЫВНЫМ
79
или после несложных преобразований
__2 [u (пТ) —	(пГ)] | W |
1 4- 21 IV (/ь>у) | cos fly
В частном случае при воздействии на вход системы единичной ступенчатой функции и (t)=l (t) и первая гармоника в замкнутой системе приближенно равна
У1 (/) да у [1 — у* (0] cos (<oyi 4- Оу),
__	21 И7 (/ыг) |
Т 1 + 21 И' (;юу) | cos Оу *
Доказательство приведенных оценок.
1-й способ (через коэффициенты передаточной функции). Пусть
т
2
W(s) = ^------, иг<и.
2 a*s*
fc-0
Утверждение 1. Если выполняются неравенства
\^2е | гсоу |	0,4 | гыу |
4 ’
(2.66)
(2.67)
где
0< ак

то
где
К -Л I /• “2/ |   4 1* 1^(7^)!
Величина е предполагается достаточно малой (е	0,1).
Доказательство. Пусть s = —ак-|-]гшт~ Тогда
Обозначив ... '
2 (га>г)2
через Е и положив игЕ^О, 1, найдем | 5|*да|гШу |*(1 +*Е).
Тогда (т	\
1+2 IM*? . fc=0	/
I Q (—«л + /г<»г) I да I Q (jruT) I 1 + 2 I ак I ЛЕ I. \ fc=0	/
80
нелинейные и особые линейные модели
[ГЛ. и
Итак, максимальная относительная погрешность | W (—ак -j- jrwT) | на | W (jrwT) | не превосходит
(tn	n
SlM+SKI A—0	k^O
Отсюда получаем неравенство
при замене
или
Кроме того, нужно учесть неравенство
9
ЛЯ Ы	л
С 0,1, откуда
2(roiyV

и'« 4Ц
2-й с п о с о б (через корни и полюсы W ($)). Пусть
^11(8 — 2/)
1=1
а« И («—2()
и. кроме того,
I Zz I ) _ I Rezf | g /FWy — Z, |J	| jrwT — Z; p
7= min | Re zz | ^0.
1=1, 2, . .	m-(-n
Утверждение 2. Если выполняются неравенства
т — max
Z=l, 2, ...» nj-tn
0 аЛ	7-	.
К	(п т) х
аЛ<0,17,
|ty(gfc + /ror)L
где |8|<е.
Доказательство. Полагая s — —ак jru>T, находим
| s — zt |	| jr<or — z,|(l
2ак Re zz — | ]гшт — zz |
1
2
§ 2.5]
НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
81
Следовательно, если (т -ф- п) а*т е и при этом выполняется неравенство а* <10,1 у (в этом случае 2afty— a| = 2аАт(1—и может быть заменено на 2aftY с погрешностью не более 5°/0), то
§ 2.5. Некоторые нелинейные модели
Уравнения систем с безынерционными нелинейностями* Изучение нелинейных систем с конкретными частными видами нелинейных характеристик (например, квадратичных парабол), которое практиковалось в ранней стадии развития теории регулирования, очень редко приводило к результатам широкого практического значения. Сравнительно небольшое количество результатов, зачастую весьма изящных (подобно диаграммам Прелля), полученных в этом направлении, не могли выйти за рамки узких частных задач и уже давно, как правило, не включались в курсы и монографии по общей теории управления. К числу редких исключений можно отнести теорию релейных систем, получившую достаточно широкое применение, но это произошло не потому, что ее выводы обладают большим универсализмом, а по той причине, что сами релейные системы весьма широко распространены. Только во второй половине нашего столетия возникли весьма интересные как в практическом, так и в теоретическом аспектах общие подходы к исследованию устойчивости нелинейных систем, не прибегавшие к той или иной форме линеаризации. Конечно, и они не были универсальными, приложимыми к любой нелинейной системе — такие подходы, по-видимому, невозможны, но они уже охватывали достаточно широкие и разнообразные классы нелинейностей. Мы будем рассматривать только эти подходы и методы. Начнем с установления основных особенностей тех моделей нелинейных систем, к которым такие методы применимы.
Первая особенность этих моделей состоит в том, что они представляют совокупность линейных звеньев, которые могут быть как инерционными, так и безынерционными и иметь любое число входов и выходов, и нелинейных элементов, но уже безынерционных.
Если в системе имеется только один нелинейный элемент с одним входом и одним выходом, то с помощью типовых преобразований структурная схема системы может быть приведена к виду, показанному на рис. 2.3, где имеется нелинейный элемент с характеристикой
(2.68)
£ = <р(а)
6 А. А. Воронов
82
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСиБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. и
и линейной частью, характеризуемой передаточной функцией W (s)=P (s)/Q (s). Воздействия в системе или отсутствуют (при изучении устойчивости равновесия), или приведены ко входу линейной части. Уравнение линейной части имеет вид
Q (Р)°=Р(Р) (в-Е).	(2.69)
или для изображений
2 (S) = W (s) [С7 (s) - Е (s)].	(2.70)
Нелинейную систему можно описать и уравнениями в переменных состояния
dx dt
= Ах + Ы,
0=: CX,
(2.71)
где х—n-мерный вектор состояния, Е и о — в случае одного элемента — скаляры, А — квадратная пХп постоянная матрица, b и с — столбцовая пХ1 матрица, с' — матрица-
Рис. 2.3.

строка, транспонированная из с. (Мы считаем, что в (2.71) и=0; если это не так, то в первом уравнении (2.71) следует заменить Ена Е—и.) Так как обычно для исследования устойчивости используют передаточную функцию, укажем явное выражение для передаточной функции через матрицы А, Ь, с:
17(s) = c'(A — sl)-*b.	(2.72)
Здесь I — единичная матрица размерности пХп. Системы (2.70) и_(2.72) эквивалентны, если функция W (s) не вырождена, т. е. если ее нельзя представить в виде отношения полиномов со степенью знаменателя, меньшей чем п.
Если нелинейных элементов несколько, то в общем случае их уравнения записываются в векторной форме:
5 = ?(’).
(2.73)
где § — n-мерный, а в — m-мерный векторы. Если считать, что число нелинейных элементов равно числу выходов, то п будет равным числу элементов. Уравнения системы имеют тот же вид (2.71), но теперь Ь будет матрицей размерности пХп, с — матрицей пХт, a VV (s) — передаточной матрицей тХп.
В часто встречающемся случае каждый из нелинейных элементов имеет только по одному входу и одному выходу. Тогда т=п,
§ 2.5]
НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
83
а скалярные уравнения, соответствующие векторному уравнению (2.73), имеют вид
=	/=1.2,...,и.	(2.74)
Вторая особенность рассматриваемых далее моделей состоит в том, что определенные для них условия устойчивости будут относиться не просто к отдельным системам и характеристикам, а к некоторым классам нелинейных характеристик ср (а). Все характеристики, относящиеся к одному классу, будут обладать некоторыми общими свойствами, и эти свойства (или обозначения их класса) всякий раз должны быть заранее указаны.
Основные классы нелинейностей. Приведем те классы нелинейных характеристик, с которыми мы встретимся в дальнейшем изложении.
Нелинейность класса ЭД (Кг, К2). Так иногда обозначают нелинейные характеристики, в которых ср (0) =0, а при характеристика укладывается в секторе, образованном в плоскости (£, с) двумя лучами £= А\о и	где К± и К2 —
произвольные вещественные числа, К2 > Кг. Эти характеристики, очевидно, удовлетворяют условиям
е=о.
0=7^0, 0 = 0.
(2.75)
Это имеет место, например, когда в уравнении (2.73) величины
a2=sup^
известны и конечны. Условие (2.75) равносильно условию
(/^-^-а^о.
(2.7G)
Класс ЭД (О, А). Наиболее часто рассматриваются нелинейные характеристики, принадлежащие классу ЭД (О, A'), 0<^А^оо, где К —конечное положительное число или бесконечность. Для них
0<1=?^<А, о а
<р(о) = 0,
о ^4 О, о = 0.
(2.77)
Равносильное условие имеет вид
(Кс-Е)Е>0.
(2.78)
84
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
[ГЛ. II
Если К=со, эти условия принимают вид
(2.79)
<р (а) = О, а = О, или
о£>0-	(2.80)
Характеристику из класса	К2) можно привести к харак-
теристике из класса 9Л(0, К) путем подстановки
?i’(c) = ? (°) — А\с, что дает
о=40,
' а	7
<Х>1(а)=О,	<5 = 0,
K = K2—KV
Если рассматривается система со многими нелинейными элементами, каждый из которых имеет только по одному входу и одному выходу, мы получаем в данном классе группу характеристик
/=1,2.......п.
Локальные квадратичные связи [2.11]. В более общем случае, когда векторы £ и о имеют произвольную размерность, для исследования устойчивости оказывается полезным ввести более общий класс нелинейностей.
Заметим, что скалярное соотношение (2.76) является частным случаем более общей зависимости
F(c, а)>0,	(2.81)
которая в свою очередь представляет частный случай зависимости
F0(Z),	(2.82)
где F — некоторая квадратичная вещественная форма, вид которой зависит от характера нелинейности.
Графическое представление — нахождение нелинейной характеристики в заданном секторе — наглядно и удобно в простейшем случае скалярных зависимостей £,- = <р,- (а4), 1—1, 2, . . . , к, но при наличии более сложных нелинейностей пли многих нелинейностей оно становится невозможным или теряет наглядности. Перс-
§ 2.5]
НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
85
ход к зависимостям вида (2.81) и (2.82) от вида (2.75) имеет еще то преимущество, что вытекающая из (2.75) пара неравенств Кга g и КВ заменяется одним, что бывает весьма существенным при анализе устойчивости сложных многомерных систем.
Если неравенства (2.81) или (2.82) выполняются на интервале О го, то говорят, что функции £ (Z) и a (Z) удовлетворяют локальной связи с формой F [2.11].
Вьппе было показано, как можно составить квадратичные связи для систем классов 50? (/Г15 К2), 50? (О, К) и 50? (О, от). Заметим, что при этом связи справедливы и для характеристик, имеющих гистерезисные петли, а также для нестационарных нелинейностей вида |=ср (a, Z), если только эти характеристики, изменяясь во времени, нигде и никогда не выходят за пределы данного сектора.
Рассмотрим еще несколько примеров построения локальных квадратичных связей для нелинейностей более сложного вида [2.16].
Пусть нелинейные характеристики представлены полиномами нечетных степеней не выше пятой:
“/Ч-РХ+тХ’ /=1’ 2..к-
(2.83)
Поступим следующим образом. Заметив, что (^ = О(с«),
(2.84)
введем вместо нелинейностей (2.83) две более простые нелинейности
е2 = о5
и, воспользовавшись (2.84), получим квадратичную связь
F=c?2-^ = 0.
(2.85)
(2.86)
Поскольку неравенство заменено равенством, область нелинейностей сужена, что облегчает впоследствии анализ. Однако при таком введении нелинейностей (2.85) вместо нелинейностей (2.83) вследствие того, что в (2.83) теперь содержатся линейные члены, изменится и передаточная функция линейной части: в ее состав как бы войдет линейная часть нелинейных характеристик.
Можно, основываясь на соотношении (2.84), иначе построить квадратичную связь. Пусть, например, в системе имеются^две нелинейности вида (2.83)
fi = aio + ₽iaS + T#. ]
(2.87)
86
НЕЛИНЕЙНЫЕ И ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
(ГЛ. п
Решим уравнения (2.87) относительно а3 и о6, считая a, £х и известными и считая, что у2рх—yx[32=£O:
аз	~	* + 72^1 ~ 71Е2 = Е ? )
721'1 — 7i?2	1 '2/
,.5  (а1Рг а2^1) ° Рг£1 + Р1?2 __ / z е t \ 72₽1-71₽2	— М.-l. У.
где Zx и 12 — линейные формы переменных. Используя (2.85), найдем квадратичную связь в виде
Е = Ц — oZ2 = 0.	(2.88)
В данном случае мы не вводим новых нелинейностей, и передаточная функция линейной части остается без изменения.
Пусть, наконец, число нелинейностей больше двух. Заменим все нелинейности двумя:
=	<Р2 = °?.	1	/2 891
Для них справедлива квадратичная связь (2.88). При этом, конечно, видоизменяется передаточная функция линейной части, сложности переносятся в нее, но это лучше, чем иметь дело со м ногими нелинейностями.
Сходным образом можно построить и квадратичные связи для нелинейностей типа
^=«/j+₽/°2+tZ-
Связи при этом будут иметь вид
F = ^2~^ = 0, ^о2, ^ = о3.
Поскольку методика построения этих связей подобна рассмотренной выше, мы ее иллюстрировать не будем.
ГЛАВА 3
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 3.1. Основные понятия об устойчивости
Устойчивость. На ранней стадии развития теории^автоматиче-ского регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к исследованию устойчивости.
«Термин «устойчивость» настолько выразителен, что он сам за себя говорит», — отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [3.5]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а смысловых понятиях и терминах.
! Устойчивостью любого явления в обиходе называют его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохранять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим собой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминологии устойчивым называют не явление, а систему, в которой оно наблюдается, хотя это не оправдывается логически. Устойчивы ли физические тела — шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар устойчив, шар из дыма — нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочностная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведомо устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие неустойчивыми. Более того, одно и то же движение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойчивым относительно другой — это отмечал еще А. М. Ляпунов [3.6 ]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе
8->	УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. Ill
координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается.
Возмущенное и невозмущенное движения. Одно из возможных движений — именно то, которое изучают и стремятся обеспечить, называют, следуя Ляпунову, невозмущенным, а остальные фактические движения, обусловленные возмущающими воздействиями — возмущенными движениями. Также следуя Ляпунову, в дальнейшем будем рассматривать уравнения, составленные для отклонений переменных возмущенного движения q (/) от переменных невозмущенного q0 (Z):
^(0 = ^(0 — <7о (0-	(31)
Переменные х могут в разных задачах иметь самую разнообразную физическую природу (геометрические перемещения, углы поворота, электрические токи и напряжения, температуры и т. п.).
Начнем рассмотрение с уравнений в переменных состояния:
§=/<(^1.^2.....*„),	<==1, 2, ...,я.	(3.2)
В данной главе будем говорить об автономных системах, у которых правая часть уравнений (3.2) не зависит явно от t. Будем считать функции на интервале 0 t со дифференцируемыми по всем аргументам, определенными в некоторой открытой области S. Невозмущенному движению при таком выборе координат будет соответствовать тривиальное решение
^ = 0, хл= 0, ..., хп — 0,	(3.3)
т. е. положение равновесия в начале координат (коротко — в нуле). При этом в (3.2) Д (0, 0, ... , 0)=0. Из возмущенных движений будем рассматривать преимущественно свободные движения при начальных условиях а?1(0)=х10, хъ (0)=2.-20,   • ..., хя (0)=а:я0, среди которых по крайней мере одно отлично от нуля. Эти начальные значения часто будем называть возмущениями. К таким возмущениям, очевидно, надлежащим выбором начала отсчета приводятся и постоянные ступенчатые возмущения. Будем изучать устойчивость состояния равновесия в нуле а:=0.
Траектории и интегральные кривые. Особые точки. Изображающая точка в пространстве состояний X при возрастании t будет перемещаться по кривой, которую (при ее параметрическом задании с параметром t) будем называть траекторией в пространстве состояний. Таким образом, траекторией мы называем п функций xi=xi (0> удовлетворяющих системе (3.2).
Поскольку в литературе встречаются не всегда совпадающие термины, остановимся на терминологии несколько подробнее.
(3-4)
§ 3.1]	ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ	89
Иногда траектории в пространстве состояний называют фазовыми траекториями. Следуя терминологии, введенной в гл. 2, мы будем использовать название «фазовые» для обозначения только частного вида траекторий, соответствующих случаю, когда переменные х. являются фазовыми переменными, т. е. отвечают уравнениям
d-^ = xi+1.	i = l,2,...,n-l,
^2, ...,X„).
В многомерном пространстве проекции траектории на координатные плоскости (Xj, хп) можно найти, поделив в (3.2) n-е уравнение на j-e:
^хп_ /и (ж!' у2' • • Ч ^я)	;_ 4	9	и 1	ZO
dxj	.....х„) ’	.	( . )
В [3.2] кривые, являющиеся решением уравнений (3.5), называются интегральными и отмечается, что интегральная кривая чаще всего совпадает с траекториями, но бывают случаи, когда интегральная кривая состоит из нескольких траекторий.
Вместе с этим в математических работах [3.3, 3.4, 3.11] и др. интегральной кривой считают совокупность п дифференцируемых функций х( (£), удовлетворяющих уравнениям (3.2) (т. е. то, что мы назвали траекторией). При такой трактовке интегральная кривая является функцией времени, в то время как у А. А. Андронова время из ее уравнения исключено.
Если функции f. (хг, х2, . . . , хп), i—1, 2, .... п, определены в Й и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (ж', ж^,. . ., х'„), причем f~£0, то решения уравнений (3.5) (а также уравнений (3.2)) с условиями ж;=ж'. существуют в некоторой окрестности такой неособой точки и являются единственными. Это означает, что интегральные кривые (в смысле А. А. Андронова), а также траектории в пространстве X обладают тем свойством, что через каждую точку проходит только одна интегральная кривая и одна траектория и траектории в области Q пространства X не пересекаются друг с другом в неособых точках.
Особыми точками будут точки, в которых все f. обращаются в нуль. Так как при этом обращаются в нуль и все производные dxjdt, i—i, 2, . . . , п, то изменения координат в этих точках прекращаются и особым точкам в пространстве состояний соответствуют положения равновесия. Начало координат является особой точкой. В зависимости от вида нелинейных функций /. в системе могут быть, однако, и другие особые точки, если система уравнений
fi(xv хг....= i=l, 2, ,..,п,	(3.6)
90
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
имеет несколько решений. В случае непрерывных дифференцируемых функций /. особые точки будут, как правило, изолированными. При разрывных функциях могут появиться континуумы особых точек — зоны покоя.
§ 3.2. Определение устойчивости и функции Ляпунова
Определение устойчивости по Ляпунову. Рассматривается устойчивость равновесия х=0 (т. е. невозмущенного движения q0 (/)) автономной системы, описываемой уравнениями (3.2). Каждому значению х= (а:.} сопоставляется точка в n-мерном евклидовом пространстве состояний X.
Пусть в области определения функций Q выбрано достаточно большое положительное число Н такое, что при ЦхЦ Н, где — норма вектора х в пространстве X, теорема существования решений уравнений (3.2) выполняется. Пусть, далее, ъ<^Н, е 0 — произвольное число и S (Н) — сфера Ца:||=Н. Если при любом е Н, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное вещественное число А (е) такое, что при любых возмущениях (т. е. начальных значениях) {rci0}, i=l, 2, . . . , п, удовлетворяющих условиям
(З-7)
и при всяком t > 0 (или t i0, если выбранный начальный момент отличен от нуля) выполняются неравенства
И<е-	(3-8)
то положение равновесия х~0 устойчиво по Ляпунову.
Напомним, что нормой вектора в евклидовом пространстве является расстояние точки {х.} от начала координат, т. е. длина вектора х:
Поэтому приведенному определению можно дать следующую геометрическую трактовку.
В пространстве X выделяется сферическая область S (Н) радиуса Н с центром в точке х—0, внутри которой выполняются условие существования решения, и в области S (Н) — сфера 5 (е), е < Н также с центром в начале координат (рис. 3.1). Если внутри любой сферы S (е) можно выбрать концентрическую с ней сферу S (А) такую, что траектория, начавшаяся внутри нее в момент Z=0, при любых t > 0 не выйдет за пределы сферы S (е), то равновесие х=0 устойчиво. Кривая 7’на рис. 3.1 изображает траекторию устойчивого возмушепцого движения.
§ 3.2]
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
91
Устойчивое решение называется асимптотически устойчивым, если помимо условий, указанных в определении, можно указать такое вещественное число е0, что из неравенства
К1<л	(3-Ю)
будут следовать соотношения
lim |ж(0| = О.	(3.11)
$->со
. е. если условие (3.11)
Траектория асимптотически устойчивого решения изображается кривой 2.
Асимптотически устойчивое решение называется асимптотически устойчивым в целом, если е0=со, т выполняется при любых, сколь угодно больших начальных значениях.
Решение называется неустойчивым, если для некоторого (хотя бы одного) е Н и любого А, сколь угодно малого, найдется внутри сферы S (А) точка ж0 такая, что траектория, начинающаяся в этой точке, за конечное время достигнет сферы 5 (е) (кривая 3).
Функции Ляпунова. В исследованиях устойчивости существенную роль играют вещественные функции V (х, t) вещественных переменных жъ х2, ... , х„, t, обладающие следующими свойствами [3.17].
1. Функция V (х, t) определена в области
i = l, 2....п,	(3.12)
где^Г и Н — наперед заданные положительные числа, и при этих условиях остается непрерывной и однозначной. Функция эта обращается в нуль, когда становятся равными нулю все переменные х{, i=l, 2, . . . , п.
2.	Если при условиях (3.12), когда число Т выбрано достаточно большим, а Н — достаточно малым, функция V (х, I) может получать, кроме нулевых, значения только одного знака, она называется знакопостоянной (положительной илп отрицательной).
3.	Если V (ж, t)=V (ж) не зависит от t, а постоянная Н может быть выбрана достаточно малой так, чтобы равенство 7=0 имело место только при ж=0, функция V (ж) называется знакоопределенной (определенно положительной или определенно отрицательной).
92	УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ, ш
4.	К знакоопределенным относится также функция V (х, t), если для нее можно построить такую не зависящую от t определенно положительную функцию W, что одно из выражений V—W или —V—W будет представлять собой положительную функцию. Так, например, функция —2xtx2 cos t только положительна, a t (xf-j-x^)—2х±х2 cos t — определенно положительна, так как, положив t _> 2 и приняв W=xl~}-x2, получим, что функция V—W будет положительной.
Положительно (отрицательно) определенная в некоторой открытой области й функция V (ж), полная производная которой по времени V (х) в силу уравнений (3.2) отрицательна (положительна) или тождественно равна нулю всюду в области й, называется функцией Ляпунова для уравнений (3.2).
Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости.
Теорема об устойчивости. Если дифференциальные уравнения (3.2) возмущенного движения таковы, что в некоторой окрестности й начала координат существует функция Ляпунова V (х), то равновесие в начале координат устойчиво.
Если, кроме того, V (х) — знакоопределенная функция, то равновесие в ж=0 асимптотически устойчиво.
Доказательство 13.5]. Пусть для уравнений (3.2) в области й найдена определенно положительная функция Ляпунова V (х) и V (х)	0. Построим в области й пространства X
сферу <$’ (Я), внутри которой удовлетворяются условия Коши— Липшица. Внутри сферы 5 (Н) построим сферу 5 (е), где е — наперед заданное положительное число, меньшее Н. В соответствии с теоремой Больцано ограниченное и замкнутое множество в «-мерном евклидовом пространстве компактно, поэтому сфера 5 (е) компактна. Так как непрерывный функционал, заданный на компактном множестве, ограничен и достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней границ, то функция V (х) (представляющая собой функционал) имеет на сфере S (е) минимум. Пусть этот минимум равен I. В силу определенной положительности функции V (х), I > 0. Для всех точек сферы 5 (е), таким образом, V (я) I. Но функция V (х) непрерывна и обращается в нуль только в начале координат, поэтому существует такое достаточно малое положительное X < е, что V (х) I для всех х внутри сферической области 5 (А).
Примем сферу 5 (X) в соответствии с определением устойчивости за поверхность, ограничивающую начальные значения возмущенных движений. Рассмотрим траекторию для t Zo, начинающуюся из произвольной точки х0 внутри сферы S (X). Очевидно, V (х0) < I. Тогда, так как V (х) отрицательна, то V (х) вдоль траектории или убывает, или неизменна там, где V (х)=-0,
§ 3.2]
Функций Ляпунова
93
поэтому траектория никогда не сможет достичь поверхности сферы 5 (е), т. е. остается внутри нее при любых t > t0.
Асимптотическая устойчивость равновесия в случае знакоопределенности V (х) вытекает из того, что если V (ж) определенно отрицательна, то функция V (ж) вдоль всей траектории только убывает и изображающая точка стремится к единственной точке, в которой V (ж)-О, т. е. к началу координат.
Теорема доказана.
По своей наглядности заманчиво другое, обычно приводимое геометрическое доказательство, к сожалению, недостаточно строгое. Тем не менее мы его приводим.
В исследовании устойчивости обычно используют определенно положительные функции Ляпунова вида квадратичных форм, которым в пространстве X обычно соответствуют однопараметрические замкнутые поверхности V (х)—С, причем поверхность V=C2 лежит внутри поверхности V—Clt если С2 С±. Выберем параметр С настолько малым, чтобы поверхность V-=C лежала целиком внутри сферы 5 (е). Так как вдоль любой линии, расположенной на поверхности, V (ж) не возрастает, а V (ж) — отрицательна, траектория не может лежать на поверхности и должна ее пересекать. Пересекать ее она может только извне во внутрь, переходя на поверхности с меньшими значениями параметра С, и, следовательно, вдоль траектории функция будет убывать.
Если найдена функция Ляпунова, этого достаточно, но не необходимо для устойчивости равновесия. Если такую функцию построить не удалось, то это еще не говорит о неустойчивости равновесия (и это не значит, что такой функции вообще нет). В связи с этим полезны следующие теоремы о неустойчивости.
Первая теорема о неустойчивости. Если найдена такая функция F (ж), которая непрерывна и имеет в окрестности й начала координат непрерывные частные производные, ее полная производная по времени знакоопределенна, а сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых V (ж) принимает тот же знак, что и V (ж), то начало координат неустойчиво.
Доказательство. Пусть V (ж) определенно положительна. Выберем вблизи от начала координат, там где V > О, произвольную точку ж0. Так как У (ж) по условию определенно положительна вдоль всей траектории в й, то V (ж) на траектории, исходящей из ж0, будет только возрастать, оставаясь положительной, и траектория неизбежно выйдет на границу й.
Вторая теорема о неустойчивости. Если свойства У (ж) те же, что и в предыдущей теореме, а У (ж) = хУ+У*, где х >0, а V* — неотрицательная функция в Й, то начало координат неустойчиво.
Доказательство. Действительно, У (ж) есть знакоопределенная функция в области, где знак V совпадает со знаком V*,
94
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
Рис. 3.2.
если V* не есть тождественный нуль. Если же она — тождественный нуль, то V (а:) будет знакоопределенной как в области V > О, так ив V 0.
Теорема Четаева о неустойчивости. Теорема имеет то преимущество, что рассматривает более узкую область, чем теоремы Ляпунова.
Пусть в некоторой окрестности начала координат й, в которой выделяется сфера 5 (е) допустимых отклонений, заданы область Йх и функция V (х) такие, что: 1) функция V (х) и ее первые частные производные непрерывны в йх; 2) V (х)=0 на той части границы области которая лежит внутри й; 3) функции V (х) и V (я) положительны в и 4) начало координат является граничной точкой Тогда равновесие в начале координат неустойчиво.
Доказательство. На рис. 3.2 показаны: окрестность £2, сфера S (е) (штриховой линией) и область (заштрихована). Граничная кривая области совпадает с кривой F=0. В области показаны также кривые V (х)=С1, V (х)=С2, . . . По
мере удаления от границы значения С возрастают. Начало координат расположено на границе, и поэтому начальную точку х0 можно выбрать в области йх сколь угодно близко от него. В силу положительности V (ж) в йг изображающая точка при t > t0 будет перемещаться из х0 по траектории только в направлении возрастания V (а:), удаляясь от границы F=0 в области и должна покинуть область Йг, но так как она не может пересечь границу У=0 внутри й, то обязательно достигнет границы й, т. е. выйдет за пределы сферы 5 (е), что и указывает на неустойчивость равно-п
весия. В частности, если условие V (х)	0, 2	выпол-
»=i
няется во всей области й, получаем условие неустойчивости, указанное А. М. Ляпуновым.
Устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова). Пусть в результате линеаризации уравнений (3.2) путем разложения функций в ряды Тейлора получены уравнения возмущенного движения в виде п
^7=2	+ Х‘ ж2’ • • •’ж»)' i = 1. 2, ..., п, (3.13)
У=1
§ 3.2]
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
95
где а.^ — постоянные коэффициенты, а функции X., представляющие нелинейные части рядов, имеют все непрерывные частные производные по всем аргументам, начиная с членов не ниже второго порядка.
Теорема Ляпунова о первом приближении. Если вещественные части всех собственных чисел матрицы А=[а^.] линейного приближения уравнений (3.13) (получающегося при Xf.=0) отрицательны, то равновесие х=0 асимптотически устойчиво.
Доказательство. Пусть все корни характеристического уравнения линейного приближения простые. Составим линейную форму
U — ЛрГл -|- Агх2 Д- ... Д- А„хп, i = l, 2,...,п,	(3.14)
где А( — постоянные, которые удовлетворяли бы условию
п
2	+ •  • + атх^ ^ = sU<	(3-15)
i=xl
где s — некоторая, пока неизвестная постоянная. Для отыскания коэффициентов формы подставим (3.13) в (3.14). Учитывая, что dU/dx. = А., получим
S (auxi 4“ • • • 4" а>ихп) A. — s (A^i -|- ... -|- Л7д:„). •=1
Переменные х{ независимы, и полученное равенство может выполняться лишь при обращении в нуль коэффициента при каждом из х(. Отсюда получим систему п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными
(“11-S) А + “1гА 4" •  • + а1пАп — О.
а21А1 + (й22-S) А 4" • • • + й2пА ~ О-
ani^i4-“^А 4- • • • + (й>« — S)A-о.
Уравнения этой однородной системы совместны, если ее определитель равен нулю: аи — s а12	... а1п
Д __ °21	G22	5 • • * а2й
= 0.	(3.16)
^к2	•  * апп s
Но это — характеристическое уравнение, т« е. постоянная 5 па-ходится как его корень и имеет п значений. Соответственно можно
96
•УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. ш
найти и п функций t71, U2, . . . , U„. Легко показать, что эти функции линейно независимы: если иг=. . . — Un=0, то х—0.
Комплексным сопряженным корням и соответствуют комплексные сопряженные функции U}. и Uj. Составим далее функцию
V='£lU.U..	(3.17)
Очевидно, что если U. вещественна, то U.D.—U"1.. Так как функции Uj линейно независимы, то V — положительно определенная функция. Ее производная
<зл8)
<	i
Но
dU  dUfdxf	.q.
dt ~ dxt dt ’	J
поэтому для линейной части, положив Xt.=0 и подставляя значения dx./dt из уравнений (3.13), с учетом (3.19), найдем
= S U.U. (s{ 4-s.) = 2 J aJ7A. (3.20) i	i
где а. — вещественные части корней. Для нелинейных уравнений (3.13) получим
Отсюда следует, что при достаточно малых отклонениях х{, когда х. — малые высшего порядка и ими можно пренебречь, устойчивость решения х=0 определяется только первым членом последнего выражения, а из (3.20) вытекает, что функция Ляпунова V линейной системы существует при всех отрицательных af. Таким образом, для случая простых корней теорема Ляпунова доказана. Доказательство можно распространить и на случай кратных корней. Однако доказательство не распространяется на критические случаи, когда часть корней не имеет вещественных частей и на устойчивость влияет вид нелинейности. Мы не рассматриваем доказательства всех этих деталей, отсылая интересующихся к первоисточникам [3.6, 3.17].
Второй (прямой) метод Ляпунова. Отметим, что при доказательстве теоремы попутно было показано, что в устойчивой линейной системе обязательно существует функция Ляпунова
§ 3.3]	ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ	97
в виде квадратичной формы, т. е. существование такой функции является необходимым условием устойчивости. По теореме Ляпунова об устойчивости ее существование также достаточно. Следовательно, для линейной системы необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости является существование функции Ляпунова в виде квадратичной формы переменных.
Напомним, не приводя доказательств, ряд достаточно широко известных теорем о неустойчивости:
1.	Если среди корней характеристического уравнения линейного приближения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то начало координат неустойчиво.
2.	При наличии одного нулевого корня и остальных с отрицательными вещественными частями равновесие устойчиво относительно скорости и, как говорят, «нейтрально» устойчиво относительно координаты. В механике такое равновесие называют также «безразличным», так как оно может иметь место при любом х=const.
3.	При наличии двух или более нулевых корней равновесие неустойчиво независимо от характера остальных корней.
4.	При наличии всех корней с отрицательными вещественными частями — мы в дальнейшем для краткости будем называть такие корни левыми, поскольку в комплексной плоскости они располагаются слева от мнимой оси — равновесие стационарной линейной системы асимптотически устойчиво в целом, а любое частное решение, рассматриваемое как невозмущенное движение, также устойчиво. Это в какой-то мере оправдывает вошедшее в обиход использование термина «устойчивый» не только по отношению к равновесию или движению, но также к самой нелинейной системе, к описывающему ее дифференциальному уравнению и к матрице А уравнений (3.2). Матрицу А, у которой все корни характеристического уравнения левые, называют также устойчивой или гурвицевой.
§ 3.3. Построение функций Ляпунова для линейных систем
Матричные выражения функций Ляпунова. Пусть дана линейная автономная система n-го порядка
х=Ах.	(3.21)
Пусть далее система устойчива и для нее удалось найти функцию Ляпунова в виде квадратичной формы
V (х) = x'Qx,
(3.22)
7 А. А. Воронов
98
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
где Q — симметричная положительно определенная матрица. Продифференцируем V (х) по t и подставим значения х из (3.21):
V (х) = x'Qx	x'Qx = [Ах]' Qx 4- x'QAx =
= х'A'Qx 4- x'QAx = x' (A'Q 4- QA) x. (3.23) Обозначим
A Q | QA= C.	(3.24)
Так как V(x) — определенно положительная функция Ляпунова, то С — положительно определенная матрица. Можно показать, что она симметрична, если симметрична Q:
С' = -(A'Q 4- QA)' = —(Q'А 4- A'Q') = —(QA 4- A'Q) = С.
Построение функции Ляпунова для линейной системы начинают обычно с того, что сначала задают произвольную положительно определенную симметричную матрицу С (например, единичную матрицу) и затем находят элементы симметричной матрицы Q из скалярных уравнений, вытекающих из матричного уравнения (3.24):
4tk = Qk^ i,k=i,2.......п,
V/ ।	(3.25)
2, (amiqmk-\-a,nkqim) = — cik, i^k. тп=1
Теоремы об однозначной связи матриц Q и С. Покажем прежде всего, что Q находится по С единственным образом. Для этого докажем теорему:
Теорема 3.3.1. Если попарные суммы всех корней 4~ sy 7^ i, ; = 1, 2,__ п, то симметричная матрица Q однозначно опре-
деляется по симметричной матрице С.
Доказательство. Выполним каноническое преобразование системы (3.21) к виду
х = Ах,	(3.26)
где матрица А находится из соотношений (1.44). Матрица будет жордановой вида (1.64), где равны единице или нулю. Заметим, что вместо единиц можно брать произвольное постоянное число е, что приведет к умножению переменных в уравнениях (1.63) на постоянный множитель е. Определитель Д (е) системы (3.25) будет полиномом от е. Рассмотрим сначала случай простых корней. Тогда е=0, а из (1.61) следует:
= «м = 0, 77ДО,
поэтому уравнения (3.25) примут вид
Qik — Qki'
(s,• + «*)?,* = — cik, i^k.
§ 3.3]
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
99
Определитель Д (0) системы равен произведению возможных сумм (Sf+Sj.), i к, и по условию теоремы отлпчен от нуля. Если Д (0) отличен от нуля, то и Д (е) не будет тождественно равным нулю. Выбрав е так, чтобы оно не равнялось ни одному из корней Д (е), получим Д (е)^/-0. В таком случае неизвестные элементы q>k матрицы Q однозначно из уравнений (3.25) выражаются через элементы с.к. Так как переменные х{ однозначно зависят от переменных х{, то матрица Q также однозначно определяется по матрице С.
Если матрица А устойчива, то неравенства sf.+sfc=^O выполняются и для устойчивых систем теорема справедлива.
Теорема 3.3.2. Если матрица А устойчива, а матрица С симметричная, определенно положительная, то матрица Q, находимая из уравнений (3.24), является его единственным симметричным и также определенно положительным решением. Перед доказательством напомним некоторые свойства системы
х= Ак,
или	. • -\-aitlxtl, i=l, 2, . . . , п, у которой мат-
рица А устойчива. Характеристическое уравнение
| А — sl| = 0
имеет корни slt з2, . . . , sn с отрицательными вещественными частями. Каждая слагающая общего решения в общем случае равна gj (t) e*j*, где gy (t) — полином степени, не большей п, если корни Зу кратные, и постоянная, если корень Зу простой. Матрица Х(£), j-й столбец которой состоит из п линейно независимых компонентов решения, называется фундаментальной матрицей решений. Фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению
Х = АХ.
Система
yt — — (а1,У1 + «2<У2+ ••• + «»,•!/«),	i = l, 2,...,п,
или
У = — У А
называется системой, сопряженной к системе (3.21). Характеристическое уравнение сопряженной системы
I— А — з1] =0
имеет корни —sv —з2, ..., —зп с положительными вещественными частями. Каждый компонент фундаментальной матрицы Y будет gy(f)e-8/.
Теперь можно перейти к доказательству теоремы.
7*
100	УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И'Л. III
Доказательство. Рассмотрим матрицу о
Q = J Y'(t)CY(f)<&,	(3.27)
—со
где Y — фундаментальная матрица решений сопряженной системы, удовлетворяющая уравнению
Y = —YA.
В силу отмеченного выше свойства элементы матрицы Y — суммы вида	Так как —s, имеет положительную вещественную
о
часть, интеграл j gtye^dt существует и, следовательно, суще-
ствует и интеграл (3.26). Так как (Y'CY)' = Y'CY, то Q = Q, т. е. матрица Q симметрична. Так как о	о
A'Q' = j A'Y'CY<ft = — j YCY dt, —co	—co
0	0
QA= j Y'CYAtft = — J Y'CY d/,
—co	—co
получим о	0
A'Q + QA = — J -J-(Y'CY]d< = — Y'CY | =— C, — CO	--00
T. e. Q и Q удовлетворяют одному и тому же уравнению (3.24), которое, как было показано ранее, имеет единственное решение, т. е. матрицы Q и Q совпадают: Q = Q.
Таким образом, мы показали, что матрица Q симметрична. Пусть далее С^>0. Рассмотрим квадратичную форму
V (х, l) = x'Qx = x'Y'(l)CY(/)x.
Так как матрица Y неособая, можно сделать преобразование переменных y=Yx и привести форму к виду
Иу. О=у'су>°>
при котором она является определенно положительной для всех у^О и любых t. Но так как x = Y-1y, то условие ут^О при всех t равноценно неравенству	поэтому
Р(Х, 1)>0
S 3.3]
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
101
для всех х^О и любых t. Отсюда следует:
x'Qx = х' j Y' (i) CY (t) dt^ x > 0,
t. e. Q2>0.
Таким образом, теорема доказана.
Пример. Рассмотрим уравнение линейного звена
х -|- 2hx -|- ufyx — 0.
Следует отметить, что вообще для исследования устойчивости линейных обыкновенных систем, тем более столь простых, применять функции Ляпунова нет смысла. Для исследования таких систем разработаны специальные критерии устойчивости, рассматриваемые в последующих параграфах этой главы. В частности, для уравнения второго порядка условием устойчивости будет положительность всех коэффициентов, т. е. в нашем случае h 0, шо > 0. Вообще можно отметить, что в настоящее время аппарат функций Ляпунова чаще используется в доказательствах теорем об устойчивости и гораздо реже — для исследования устойчивости в конкретных случаях; обычно он оказывается эффективным в сравнительно редких специально подобранных примерах. Тем не менее интерес к методу функций Ляпунова в работах последних лет'возрос, и на этот аппарат многие возлагают большие надежды.
Цель предлагаемого вниманию читателя примера чисто методическая — проиллюстрировать процесс построения функции Ляпунова для линейной системы на конкретном буквенном примере настолько простом, чтобы громоздкие выкладки, отвлекающие основное внимание читателя и играющие роль деревьев, из-за которых не виден лес, отсутствовали и методика выступала бы яснее.
Может возникнуть другой вопрос — если использование функций Ляпунова в случае линейных систем нецелесообразно, то зачем их строить для линейной системы вообще? В дальнейшем, однако, мы увидим, что в достаточно широком круге задач, в частности задач об абсолютной устойчивости нелинейных систем, используется функция Ляпунова вида (4.16), в которой в качестве одного из слагаемых входит функция Ляпунова для линейной части. Поэтому нахождение этой функции по рассмотренной выше методике иллюстрируется на следующем простом примере.
Положив х=хг, переходим к фазовым переменным
ж2 = —oioZj — 2hx,
102
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(Гл in
Задаемся матрицей С в виде
С=[о "]•	’>«•
Д/0__Г “o9l2	—ыо922 "]
L9n — 2/ig12 д12 — 2feg22J ’
0д____Г шо912 9ц — 2/гд12~|
L ыо?22 912 — 2feg22J’
Д/q I 0Д Г	—2ш^д12	9n 2/гд12 <%92г~1 
L—_9ii — 2/гд12 — “q922	2g12 4/i§22 J
_ _с_Г-₽ °1 — L—L о -d*
откуда V (x) —	4- 2q12x1x2 Ц- q22x%,
—	^22=4^ (-^- + 9).
/ h - 1 \	1 “0
ffu = (^-+4h)P+4rff’
p = khu^, q — 0,
V± (x) = (2k2 + 0)2) x2 4- 2hxxx2 4- x2, УХ(Х)=-2Л(О)2Х2 4-Х2).
Во втором варианте положим
p = 0, q = 4Л,
V2(x)=z 0)23)2 4-Z2f
P2(x) = —4Аз;2.
Функции Vt (x) и V2 (x) будут функциями Ляпунова, когда k^>0 и шо > 0, и перестают быть таковыми, когда по крайней мере одно из этих неравенств нарушается. В самом деле, когда <4 О, h > 0, то при х2=0 Vr (х) и V2 (х) положительны, V (х) также положительна сколь угодно близко от начала координат и в соответствии с первой теоремой Ляпунова о неустойчивости равновесие неустойчиво. Когда же 4<С0и/г<0, то при ^=0 Fx (х) и (х) положительны вблизи начала координат и равновесие неустойчиво.
Функция Fx (х) определенно отрицательна, поэтому (если Vi (х) 4*0) равновесие асимптотически устойчиво. Функция F2 (х) зависит только от х2 и потому отрицательна, но не знакоопределенна. Это в данном случае, однако, не препятствует выводу об асимптотической устойчивости, так как при я2=0, жх=4=0 имеем
§ 3.4J
КРИТЕРИИ РАУСА И ГУРВИЦА
103
#27^0, и движение в точке, где Ё2 (х) обращается в нуль, не прекращается. Остановиться оно может только в начале координат, где гЁ1=0, я2=0, х1=х2=0.
^Остается сказать о том, как выбирать элементы матрицы С, чтобы матрица была положительной. Наиболее просто это сделать, положив все элементы главной диагонали матрицы равными положительным числам, а остальные элементы — равными нулю. Однако это не обязательно. Если по каким-либо соображениям удобнее выбрать матрицу С не диагональной, то, выбрав ее коэффициенты, можно проверить выполнение условий положительности матрицы и, следовательно, соответствующей ей квадратичной формы — условий Сильвестра:
<ъ>о, М
I С21	с22 I
С11	°12 • • • С1П
С21	С22 • • • С2П
>0, . . .,
(3.28)
>0.
СП1 СП2 • • • ст
§ 3.4. Критерий устойчивости Рауса и Гурвица
Определитель Гурвица. Матрица Рауса. Связь между ними. Рассмотренный выше способ построения функций Ляпунова для стационарных линейных систем имеет исключительно большое значение для обоснования многих положений при анализе устойчивости, но для непосредственного исследования устойчивости в конкретных случаях для линейных систем он почти не используется, так как требует многочисленных громоздких вычислительных операций. Некоторые дополнительные неудобства вызывает также то обстоятельство, что элементы матрицы А зависят не только от исходных физических параметров системы, но и от выбора базиса пространства состояний. Поэтому еще в прошлом столетии были разработаны критерии устойчивости Рауса и Гурвица [3.18, 3.21 ], выражающие условия устойчивости через коэффициенты характеристического уравнения, инвариантные для всего множества матриц А, получаемого из преобразований (1.44).
В курсах теории управления обычно рассматривается характеристическое уравнение в форме
aos" + n1S"-» + ... + a„_1S + а„ = 0.	(3.29)
Для удобства изложения рассмотрим вместо (3.29) уравнение s" +	+ ... +a„_1S + ап = 0,	(3.30)
которое отличается от (3.29) постоянным множителем, по имеет те же корни. Для выражения условий устойчивости используются
104
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
определители Гурвица и матрицы Рауса. Определитель i-ro порядка Гурвица будем записывать в виде
	я,	1	0 .	.. 0	
	«з	&2	... 0		
4		а5		«з .	.. 0	(3.31)
а2<-1	п2<-2	a2i~3 • • • ai
Он отличается от привычного, вводимого в курсах лишь тем, что строки заменены столбцами. Используемая далее матрица Рауса почти совпадает с общепринятой в учебниках, отличаясь от нее лишь тем, что ее первый элемент зафиксирован: сп=о0=1,
С = [cfy],
Сц = 1, Cjg = я2, с13 ==--	...,
С21--Й1> С22--а3' С23---• • •
Первая строка матрицы состоит из коэффициентов уравнения (3.30) с четными индексами, а вторая — из коэффициентов с нечетными индексами, остальные же элементы находятся по формулам
cij — ci-2, j+1 — С{ r t Ci-1, J+1-	(3.32)
Матрица Рауса имеет и 1 строку И ” столбец при нечетном п п-[-2
и —--------при четном.
Между элементами матрицы Рауса и определителями Гурвица можно установить связь [3.1]. Для этого:
1. Пусть	Вычтем из каждого элемента второго столбца
гурвпцева определителя Дв стоящий слева от него элемент первого столбца, умноженный па п0/а1 = 1/а1. Учитывая, что а1==с21, с31 = а2 — ^-2 п т. д., из (3.31) при i = n найдем
с21 0	0 ...
д __ аз С31 «1 • • 
" пБ сЯ2 ая...
2. Пусть с31=т^0. Вычтем далее из каждого элемента третьего столбца в последнем определителе стоящий слева от него элемент первого столбца, умноженный на ajc3l. Получим
c2i 0	0 ...
Д .__ а3 f31 б------
"	<15 с32 а3 . . .
§ 3.41
Критерии рауса и гурвица
105
Продолжая эти операции далее, в конечном итоге приведем Гурвицев определитель к диагональной форме и найдем
^ = ПсЛ1.	(3.33)
7=2
Задавая в (3.33) i=l, 2, ... и т. д., получим последовательность соотношений, связывающих элементы первого столбца матрицы Рауса с определителями Гурвица:
cn=1. с21 = д1......	=	i = 3, 4,	(3.34)
“*-2
Так как в определителе Дя в последней строке все элементы, кроме углового последнего ап, равны нулю, то последний и единственный элемент ся+1 х п 4- 1-й строки раусовой матрицы равен
ся+1-^- = «я.	(3.35)
“л-1
Очевидно, что формально вычисленный по формулам элемент п -f-2-й строки равен нулю:
cft, 1
Сп+2,1 — Сп, 2	Св+1,2 7	•
си+1,1
Однако, поскольку ся1=т^О, ся+11<=И=О, элемент ся+21 может равняться нулю лишь при условии
ся,2 = 0. ся+1,2 = 0.	(3.36)
Построение вспомогательных матриц. Дальше мы приведем весьма интересное новое доказательство критериев Рауса и Гурвица, полученное в [3.20] с помощью первого метода Ляпунова.
Формулы (3.32) показывают, что вся матрица Рауса может быть построена по заданным элементам ее первых двух строк. Можно показать, что ее можно построить и по всем п-^1 заданным элементам первого столбца. В самом деле, формулу (3.32) можно переписать так:
^-2,у+1 = ^ + “7^-1,аг	(3-37)
Пусть все элементы с{ х заданы. С учетом (3.36) находим
I ся-1,1
Св-1,2 Сп, 1 I 7 Сп, 2 Сп, 1 сп, 1
и, продолжая аналогичным образом дальше, по формулам (3.37) найдем все остальные элементы в порядке ся_2 2, сп 3 2, ... ..., С121	ся-3,3> Св-4, 3 и Т- Д-
106	УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. ш
Выполним предварительно вспомогательное построение матрицы Рауса, у которой элементы первого столбца равны некоторым заданным числам 1,	^3^=62»	Ол^^^й^з^б,
С71=^2^4^в> С81 = ^1^3^6^7» • • •
Нетрудно видеть, что числа выбраны так, что имеет место соотношение
7^- = Ь<_1.	(3-38)
Так как любой элемент матрицы Рауса можно выразить через элементы первого столбца, представим выражение общего члена матрицы в виде
с/у = с<1-с/у,	(3.39)
где с'п= 1, i = l, 2,.... и1, а остальные ненулевые элементы пока неизвестны. Подставляя (3.39) в (3.32), имеем
______ci-2,lci-l,lc4-l,J+l
CijCa  С<-2,1С.-2, у+1	с 1	»
или, учитывая (3.38),
— с<-2, y+i	c*-i, y+i"	(3.40)
Теперь перейдем к следующему вспомогательному построению. Представим дифференциальное уравнение свободного движения для выходной координаты у
dny . d”~ly .	. dy I	n	,4 глх
dtn	• • • +a»-i a A~atH	(3.^1)
в виде системы уравнений в переменных состояния
х = Вх.	(3-42)
Переменные состояния при этом выбираются так, чтобы матрица В
имела вид
II д	1	•	1 О О • О а0, О • 1 сг о о ‘ « О • О О * 0^0 1 tP* О  ООО 1 ооо 1	1	
(3.43)
Легко усматриваемый порядок построения матрицы нарушен только в последнем ее элементе, где вместо нуля стоит —Ьг. Коэф-
§ 3.4]
КРИТЕРИИ РАУСА И ГУРВИЦА
107
фициенты матрицы надлежит выбрать так, чтобы характеристическое уравнение
(—l)”det(B — sI) = 0
(3-44)
совпадало с уравнением (3.30). Составим определитель
(— l)det(B — = (-1)"	sl) = —s	1	0 — Ъ„	—s	1 0	—&Я-1	—S 	 1 0	• • • —s	1
	00		...	•	— s • —Ьг
Рассматривая выделенный диагональный минор Мг_г, можно видеть, что для всех	поскольку sMt(—1)” всегда по-
ложительно,
Mr=sMr_l-\-bnt^_rMr_v	(3.45)
Для г — п, при котором происходит отмеченное нарушение правила построения, вместо множителя —s следует поставить —s — blf поэтому
мп = (8 + ъг)	+ ЪйМ„_2.	(3.46)
Для первых четырех миноров получаем
M1 = s,
^2 = s2 + bB.
Л/3 = s3 s (b„ + Ь„_г) = s (s2 4- b„) +
M.=S4 + s2 ft, + Ъ„_г + 6„_2) + bnbB_2 = = 4«8 + 8 (b„ + t^)] + b„-2 (82 4- b„).
Используя метод математической индукции, нетрудно показать, основываясь на формулах (3.45) и выражениях для Мг, М2 и Ms, что все Мг (кроме 7И„) с четными индексами содержат только четные степени s, а с нечетными индексами — нечетные степени s. Из (3.46) нетрудно усмотреть, что Мп содержит все степени s. Далее, Мп, который должен представлять собой характеристический полином, состоит из двух слагаемых, одно из которых —(—l)"(sAfe_14-i>2Jf^.a) при четном (нечетном) п содержит члены с 8
108
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. HI
в четных (нечетных) степенях, а Другое слагаемое (—^)пЬ1Мп^х — только нечетные (четные) степени s. Коэффициенты первого слагаемого, таким образом, являются элементами первой строки матрицы Рауса; элементы же второго слагаемого — элементами второй строки, умноженными на bt.
Обозначим коэффициенты при степенях s в полиномах Мг. М2 через d{j так, чтобы было:
Л/я = dus" -ф- d12s" 1 4- ...
^я_1=^+
м^2=<?31^24-^^+...,
-<2>Z+3-f 4-	4- • • • +
+ ^-2,у+1«п+3’<’2У + ---
4-... 4-^_1г ,+1S^-^4-..
... 4-d<i/,ts-<-2>4-...
В равенстве (3.45) положим
г = п 4- 3 — i
и, приравняв коэффициенты при	с учетом последних
равенств получим
^<-2,	/+1+&*-А,У
или
— “f-2, у+1-^i-1, /+!’
т. е. коэффициенты у связаны между собой такими же зависимостями, как и зависимости (3.40) между коэффициентами cfy при элементах pay совой матрицы. Более того, по определению
cil = djl=l, 1 = 1, 2,...,п.
Далее,
Сл-1, 2 = t^B-1,2 == ^в’
т. е. в первом столбце матриц С и (—l)"det(B— Is) эти коэффициенты совпадают и в соответствии с правилом выражения элементов матрицы Рауса через элементы ее первого столбца можно сделать вывод, что
с<у = dij-
Таким образом, для элементов первых двух строк матриц С и В можно написать
c11=d11=l, c.j = cuclj =ctj — d{j,
C21 =	C2y — C21C2,j — ^1C2 j — Msj'
§ 3.4]
КРИТЕРИИ РАУСА И ГУРВИЦА
109
т. е. все элементы первых двух строк этих матриц совпадают, следовательно, совпадают и сами матрицы, совпадают и элементы их первых столбцов, и поэтому
Сц -1, с21 = blt с31 = b2, с41 = bjb3, ...
Теперь нетрудно видеть, что для совпадения (3.44) и (3.30) элементы матрицы В следует выбирать так, чтобы выполнялись равенства
b1==Av b2 = %-, Ь3 = -£-..........
1	1	2 Aj 3 ДдД2
где Д1, Д2, ... — отличные от нуля гурвицевы определители. Действительно, при таком выборе первый столбец матрицы det (В — sl)(—1)" будет состоять из элементов
1 Л
’ 11 Д, ’ Д2 ’ • • •’	’
но в соответствии с (3.34) это будут также элементы первого столбца раусовой матрицы для уравнения (3.30).
Вывод критериев через функции Ляпунова. Теперь выведем критерии устойчивости Рауса и Гурвица. Построим функцию Г=х'Рх, где
	bib2 ... ь„	0	. 0	0-	
	0	bj62... b„^ ..	. 0	0	
р =	0	0	• b1b2	0	(3.47)
	_	0	0	. 0	6i_	
и найдем, при каких условиях она будет функцией Ляпунова. Найдем производную V (х) в силу уравнений х = Вх и в соответствии с (3.23):
Й(х) = х'(РВ-|-В'Р)х,
о ь1...ь„... о о ~
—ьг... ь„ о ... о о
PB =	0 0 -	0 fej ... b„	0 0 -ъг.. 0	...	0	bjb» ... — btb2 —bl_ . b„ ...	0	0 ... 0 c	1 ~~
B'P =	0 0	0 0	...	0	— btb2 +b1b2 -bl _	
110
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
—о о ... о
О ~
О
РВ+В'Р =
о о ... о
о о ... о
О О ... О
О —26?.
(РВ + В'Р)х =
- О -
О
О
——26|а:в_
х'(РВ 4* В'Р) X = —2&®^.
Таким образом, V (х) — полуопределенная отрицательная функция. Из рассмотрения уравнений х = Вх можно видеть, что она не может тождественно равняться нулю нигде, кроме точки х = 0. Следовательно, чтобы V (х) была функцией Ляпунова и равновесие X —0 было асимптотически устойчивым, Р должна быть положительной. Тогда из (3.47) следует:
или
^>0,
Д1>о,
62>0,...,6я>0,
^>о, А->о,..
что равносильно
Д1>0, Д2>0,...,Дя>0,	(3.48)
или
C11=l>0, с21 = Д1>0, Сз1 = ^>0,...,ся+1 = ^>0. (3.49) “1	^п-1
Из системы неравенств (3.48) вытекает критерий Гурвица'.
Чтобы система (3.30) была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица Дх, Д2, • • • . . . , Дя были положительными.
Из неравенств (3.49) вытекает критерий Рауса', чтобы система (3.30) была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были положительными.
Некоторые общие замечания. Для упрощения вычислений при использовании критериев Рауса и Гурвица полезны следующие правила.
1.	Для расположения всех корней полинома
D (s) = aos" -ф- OjS"-1 -ф- ... -ф а„ = 0, а0 ф> О
слева от мнимой оси необходимо (но недостаточно), чтобы все коэффициенты at, i=l, 2, . . ., и, были положительны (критерий Стодолы). С этой проверки начинается исследование.
S 3.5]
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ
111
2.	Если все а( > 0, то положительны или все Д{ с четными, или все Ду с нечетными (в зависимости от четности и) индексами (критерий Льенара—Шипара). Это позволяет при положительности коэффициентов характеристического полинома ограничиваться исследованием знаков только определителей Дя-1, Д„_3,  • •
3.	Для уравнений 1-й и 2-й степеней для устойчивости необходимо и достаточно положительности всех коэффициентов.
Для уравнений 3-й и 4-й степеней, кроме того, необходимо соблюдение условий Дп_г > 0, т. е.
п = 3:
п — 4:
OjOa—а0Оз>0, а3 (°1°2 — а0аз) — alai О'
(3.50)
Для и > 5 использование критерия Гурвица нецелесообразно и более экономны вычисления с помощью критерия Рауса.
§ 3.5.	Критерий устойчивости в частотной области
Критерий Найквиста. Характеристические полиномы разомкнутой и замкнутой систем. Введение в математические- модели управляемых систем передаточных функций естественным образом привело к поиску критериев, выражающих условия устойчивости через свойства передаточных функций. Одним из первых критериев этого рода был критерий Найквиста [3.19], предложенный в 1932 г.
Связь между передаточными функциями разомкнутой W (s) и замкнутой W, (s) систем имеет вид
1^(5)=ТТтЖ-
где Wo (s) — передаточная функция той части разомкнутой системы, которая заключена между рассматриваемыми выходом и входом, зависит от выбора выходной и входной величин, а функция 14-И7 (s) инвариантна по отношению к ним. Если
(s) Ту /<Д_^о(«)	(s) -Кх (s)
rr^> — D(s)'	—Z?0(S)’ W0(S)—^(s) ’
TO
W — D W	K°
8 ~ (s) 4- К (s) O' ' ~ D (s) + К (s) •
D (s)4~X (s) является характеристическим полиномом замкнутой системы, D (s) — разомкнутой системы. Функция
14-H7W = P^+g±-)	(3.51)
112	УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. III
г . „
имеет числителем полином замкнутой, а знаменателем — разомкнутой систем.
Пусть степень т полинома К (s) = b^n-\-. . -+bm не выше степени п полинома D	. .+ал. Тогда степени числителя
и знаменателя в (3.51) одинаковы и равны п.
Расположим в правой полуплоскости комплексной переменной s=a-f-ja> замкнутый контур С, на границе которого функция W (s) не имеет полюсов. В соответствии с теоремой Коши
= <ЗИ>
0
где N — число нулей, а Р — число полюсов функции 1Ц-И7 (я) внутри контура С с учетом их кратности. В связи с тем, что далее мы всегда будем предполагать обходы контуров по часовой стрелке, т. е. в отрицательном направлении, вместо N—Р в теореме Коши, в (3.52) принято выражение обратного знака. Нулями функции l-f-И7 являются корни характеристического уравнения замкнутой, а полюсами — разомкнутой систем.
Отобразим контур С конформно на комплексную плоскость W (s). Тогда интеграл (3.52) примет вид
— f	— _/v -L р.
2vj J 1 + W ” г
Выберем контур так, чтобы он охватил всю правую полуплоскость в виде дуги полуокружности бесконечно большого радиуса R с центром в начале координат. Мнимая ось будет диаметром этой полуокружности. При этом на дуге полюсов функции нет, так как рациональная дробь данного вида не имеет полюсов в бесконечности. На мнимой оси полюсы возможны, поэтому на первом этапе сделаем оговорку, что функция W (s), а следовательно, и l-f-PK (я) полюсов на мнимой оси не имеют.
Когда, обходя контур С по часовой стрелке, мы движемся снизу вверх по мнимой оси, в плоскости W происходит движение по конформному отображению мнимой оси плоскости я — по амплитудно-фазовой характеристике W (;«>) разомкнутой системы (сплошная линия на рис. 3.3) — от точки А, соответствующей s=—jR, до точки А, соответствующей s=A-]R- Проходу же по дуге полуокружности соответствует движение по ответвлению Г, показанному штриховой линией. Так как степень К (я) не выше степени D (я), то
ГипИ7 («) = — , если пг=.п,
К->-т	СО
lim W (я) = 0, если т<^п,
R->co
§ 3.5]
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ
113
характеристике не имеет полю-от —оо до -)-оо
и при беспредельном увеличении В ответвление Г стягивается в точку W (оо) — Ь0/с0 на действительной оси при т=п и в начало координат при т < п, и обходу всей правой полуплоскости s соответствует обход по часовой стрелке по всей W (/«>) в направлении возрастания ш. Если W (s) сов на мнимой оси, то W (j">) при возрастании образует замкнутый контур Г, точки W (0) и W (оо) которого лежат на вещественной оси.
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы число N нулей (правых корней D-{-K) равнялось нулю, и условие устойчивости выражается равенством
1 f dW
2it/ J 1 4- W г
ы
где Р — число правых корней (с учетом кратности) характеристического уравнения разомкнутой системы, т. е. в некоторых случаях разомкнутая система может быть неустойчивой, а замкнутая — устойчивой. Имеем

или
Д arg (1 ТУ) = 2г,Р
(3.53)
(поскольку модуль 11 -J- ТУ (/со) | не получает приращения при обходе по замкнутому контуру и <|j d In 11 -J - ТУ | — 0).
Формулировка критерия и его геометрическая трактовка. Формула (3.53) выражает критерий Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента функции 1-|-ТУ (fu>) при обходе ее контура по часовой стрелке равнялось числу правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы, умноженному на 2 л.
Пусть теперь на контуре С в начале координат имеется нулевой корень кратности v. Это означает, что в составе разомкнутой системы есть v последовательно включенных астатических звеньев и характеристическое уравнение разомкнутой системы приводится к виду
D(S) = S\D0(S).
Полином Do (s) нулевых корней не имеет. Будем обходить начало координат в плоскости s справа по дуге малого радиуса г. Функция
8 А. А. Воронов
114
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. ш
W (s) ведет себя при этом обходе как р——= 7?ое_у’е. Началу координат в плоскости s соответствуют в плоскости W уходящие в бесконечность ветви, а полуокружность малого радиуса г отображается на v полуокружностей большого радиуса 7?0, обходимых по часовой стрелке. Таким образом, при подсчете приращения аргумента бесконечные ветви характеристики следует замкнуть v полуокружностями большого радиуса и к образовавшемуся замкнутому контуру применить критерий (3.53).
Сходные выводы можно сделать и в случаях, когда на части контура С, совпадающей с мнимой осью, имеются пары сопряженных чисто мнимых корней. В точках, где значения аргумента jw совпадают со значениями этих корней, характеристика W (j <") терпит разрывы, и для каждой пары мнимых корней характеристика в этих точках замыкается окружностями большого радиуса с центрами в начале координат. Для подсчета числа Р при этом простые полюсы во внутренних точках правой полуплоскости считаются за единицу, а на мнимой оси — за половину; в случае же полюсов кратности х — соответственно за х и х/2.
Основное соотношение (3.53) — принцип аргумента — лежит, по существу, в основе всех частотных критериев. Предназначавшиеся в основном при их первоначальной разработке для анализа одноконтурных и малоконтурных систем для «ручного» счета, эти критерии были получены в различных модификациях для разных типов характеристик и многие из них доведены до таблиц, номограмм, геометрических трактовок и правил зачастую «рецептурного» характера. Из их разновидностей отметим:
1.	Геометрическая трактовка основного критерия Найквиста. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при возрастании ш от нуля до бесконечности вектор, проведенный из точки (—1, 0) в точку, соответствующую значению переменной ш на частотной характеристике W разомкнутой системы, повернулся вокруг точки (—1, 0) в направлении движения стрелки часов Р раз, где Р — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
2.	Если разомкнутая система устойчива и Р=0, то суммарный поворот указанного вектора должен быть равен нулю. При этом, если характеристика W Q ш) не имеет самопересечений, то для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы точка (—1, 0) находилась вне контура характеристики W (]ш).
3.	При наличии самопересечений в характеристике W (/«>) могут возникнуть затруднения при подсчете оборотов вектора. В этом случае для суждения об устойчивости удобно «правило переходов», предложенное Я. 3. Цыпкиным [3.14]. Считая переход характеристики W (/ш) при возрастании «> через вещественную ось сверху вниз положительным, снизу вверх — отрицательным,
§ 3.5]
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ
115
формулируем критерий так: система устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов характеристики W (]'ы) через отрезок вещественной оси (—с», —1) при изменении ш от 0 до со будет равна Р!2.
4.	Интерпретация критерия для логарифмических характеристик. Для оценки устойчивости подсчитываются переходы фазовой характеристики через линии — л, —Зк . . . и т. д., но только в той части графика, где ординаты логарифмической амплитудной характеристики положительны. Разность между числами положительных и отрицательных переходов через эти линии должна равняться Р/2.
5.	Суждение об устойчивости по обратной амплитудно-фазовой характеристике G (уш) = 1/Т/Е (уи>) особенно упрощает расчеты, если числитель W — постоянная величина и вообще проще при т п. Судить наиболее удобно по числу переходов характеристики G (уш) через отрезок вещественной оси (—1, 0). Применяя правила инверсии, легко усмотреть, что разность между числами отрицательных и положительных переходов должна равняться РГ2.
Критерий Михайлова [3.7]. Критерий занимает промежуточное положение между алгебраическими и частотными. Применяя принцип аргумента к годографу комплексного полинома, полученного из характеристического подстановкой s=j<o:
D (у<о) = ап — «Ч-г 4- <Лгя_4 -]-.•• + > Ч-i — “Ч-з +
+ “Ч-s —•••) = <Р (“) + /Ф (“). (3.54)
установим, что при отсутствии корней D (в) на мнимой оси приращение аргумента D (J «>) при изменении « от 0 до со в устойчивой системе должно быть равным
Д arg Z) (уо>) |“ = ™.	(3-55)
Условие отсутствия корней на мнимой оси имеет вид
Z>(j<o)^0.	(3.56)
Формулы (3.55) и (3.56) совместно выражают критерий Михайлова'. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении ш от 0 до со вектор кривой Михайлова D (]ш), нигде не обращаясь в нуль, повернулся вокруг начала координат в плоскости D против часовой стрелки на угол г.п/2.
Если D (s) — полином с вещественными коэффициентами и все его корни расположены в левой полуплоскости, то аргумент D (уш) при возрастании возрастает монотонно и годограф проходит последовательно в порядке I -»II -> III -> IV -»I -> . . . через п квадрантов комплексной плоскости О, пересекая веще
8»
116
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
ственную и мнимую оси поочередно и корни вещественной (и) и мнимой ф (ш) функций Михайлова перемежаются. Это обстоятельство иногда используют для проверки устойчивости полинома порядка не выше шестого.
.D-разбиение. Для практического использования представляет интерес решение задачи построения области устойчивости в плоскости каких-либо двух параметров Л, В, которые можно изменять в процессе конструирования, наладки или настройки и перестройки системы. Исследование влияния бблыпего числа параметров, чем два, возможно, но требует построения сечений пространств параметров и при инженерных исследованиях применяется менее широко.
В принципе области устойчивости можно построить, приравнивая нулю значения определителей Гурвица или элементов первого столбца матрицы Рауса, выраженных через интересующие исследователя параметры
Д.(Д В) = 0, 4=1,2........п,
пли
су1(Л, В) = 0, 7 = 1,2....п + 1.
Такие способы используются при не слишком сложных зависимостях критериальных показателей от параметров.
Бблыпее распространение получил метод D-разбиения, предложенный Ю. И. Неймарком 13.8, 3.9]. Для построения областей устойчивости в этом методе используется непосредственно характеристический полином D (s), в котором сделана подстановка и в числе аргументов выделены параметры Л и В:
D (/<в, А, В)=0.	(3.57)
Область устойчивости строится в координатах А, В, а <о рассматривается как вещественный параметр, изменяющийся от —оо до оо. Приравнивая в (3.57) значение D (/и) нулю, мы тем самым ставим условие, что jw является корнем характеристического полинома и, следовательно, один или несколько корней попадают на мнимую ось в плоскости s. Значения А и В, которые при некотором заданном ш обеспечивают равенство D (jw) нулю, определяют точку на плоскости А, В, которая соответствует появлению на мнимой оси корней.
При непрерывном возрастании ш эта точка, перемещаясь в плоскости параметров А и В, прочерчивает кривую D-разбиения. Эта кривая ограничивает области, в которых каждой точке соответствует одинаковое количество левых и правых корней полинома D (s). Среди этих областей может находиться и область устойчивости, внутри которой число правых корней равно нулю, а левых — п, где п — порядок уравнения.
§ 3.5]
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ
117
Кривые D-разбиепия можно построить, разбив комплексное уравнение (3.57) на два вещественных:
cs(<0, А, В) = О, j	/3
ф(о>, А, В) —О, I
и решая эти уравнения относительно А и В:
А = Ъ(?), B=f2(w).	(3.59)
Если эти уравнения удалось решить, то построение D-разбиения становится простым: задавая различные значения ш, получаем из (3.59) последовательность точек (А, В), лежащих на кривой D-разбиения. При переходе точки (А,В) из одной смежной области в другую через кривую D-разбиения один вещественный или пара комплексных сопряженных корней D (s) переходит через мнимую ось. Это условно отмечается на графике штриховкой той стороны кривой, где больше левых корней — однократной, если на данном участке кривой происходит переход через мнимую ось одного корня, и двукратной при переходе двух комплексных сопряженных корней.
Уравнения (3.58) удается решить лишь в отдельных частных случаях. Полное решение получается в том случае, когда параметры А и В входят в характеристический полином линейно. В случае только одного параметра А
D (s) = AR (s) + Q (s) = 0,	(3.60)
откуда сразу находим А при значении s = jm:
^=-^S=a:(co)+7jz(o,)-	(3-61)
Значения А получаются при этом комплексными, т. е. область решений расширяется, включая не только имеющие физический смысл вещественные значения параметра Л, но и его комплексные значения, имеющие абстрактный характер. Кривая D-разбиения строится в плоскости комплексного параметра А. Двигаясь по кривой в направлении возрастания <и, штрихуют однократно левую по отношению к этому движению сторону кривой, так как эта сторона конформно отображает на плоскость D левую полуплоскость а. После штриховки подсчетом числа переходов легко устанавливается сначала «претендент» — область с наибольшим числом левых корней. Если суммарное число переходов корней при переходах из области с наименьшим числом левых корней в область с наибольшим их числом оказалось равным п, то претендент и будет областью устойчивости. Если же суммарное число переходов меньше чем п, то дополнительно с помощью любого
118
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
из критериев устойчивости делается проверка — является ли претендент областью устойчивости. После нахождения области устойчивости выделяются отрезки вещественной оси, лежащие внутри нее, — отрезки устойчивости, которые и будут представлять искомые множества значений физического параметра А, доставляющих устойчивость системе.
Если претендент не оказался областью устойчивости, это означает, что по отношению к выбранным настроечным параметрам система структурно неустойчива, т. е. что никаким изменением этих параметров сделать систему устойчивой невозможно.
Если параметр А линейно входит в уравнение разомкнутой системы
AB(p)y = Q(p)u, P = ^t,
то А = д — W (у<о) является амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы. Для замкнутой системы
или
l-f-TE(s) —О,
TE(s) = —1,
т. е. характеристическому полиному l-f-PF (s) соответствует точка (—1, 0) в плоскости А. Чтобы система была устойчивой, эта точка должна лежать в области устойчивости.
Будет ли область, содержащая точку (—1, 0), областью устойчивости, зависит от расположения в плоскости А корней. На границе области, т. е. на кривой W (у со) имеем пару чисто мнимых корней; остальные корни зависят от полинома R (у со). Если разомкнутая система устойчива, все остальные корни левые и точка (—1, 0) будет принадлежать области устойчивости. Так как заштрихована внешность кривой W (у со), для устойчивости точка (—1, 0) должна лежать вне контура W (/со), что соответствует и критерию Найквиста для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии.
Если имеются два изменяемых параметра А и В, входящих в характеристический полином линейно*-
D(s) = AP(s) + BQ(s) + B(s) = O,	(3.62)
то А и В найдутся из системы уравнений
лр1(<»)+вс1И4-л1(ш)=о, ।
(со) + BQ9 (<о) + Т?2 (со) = 0, J
(3.63)
§ 3.5]
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИЙ
119
где Plt Qt и Вг— соответственно вещественные, а Р2, Q2 и В2— мнимые части полиномов /’(/со), и В (Ju). Отсюда
Л = n I’ В = т1р “я1!’	(3-64)
д I —/?2 q2 | д | р2 —л2 Г	'	'
где
НЙ&1-	<з-ю>
В неособых точках, где определитель Д отличен от нуля, уравнения (3.63) совместны и равенства (3.64) определяют точку на кривой D-разбиения в плоскости А, В. При тех значениях со, которые обращают в нуль Д, не обращая в нули определители в числителях выражений Л и В, кривая D-разбиения имеет разрыв непрерывности и ее ветви уходят в бесконечность. При тех значениях со, которые одновременно обращают в нуль все определители, решение становится неопределенным и уравнения (3.63) переходят в уравнение прямой на плоскости А, В:
АРу(Ш) + BQy (со)	(со) = О,
которая называется особой прямой. Ее не всегда можно отнести к D-разбиению. Она не является уникурсальной: всем ее точкам соответствует одно и то же значение со и направление движения на ней не определено.
Значению со=0 всегда соответствует особая прямая
соответствующая также уравнению ня=0 и переходу через начало координат из одной полуплоскости в другую одного вещественного корня. Поэтому эта прямая относится к D-разбиению и штрихуется однократно. Если хотя бы один из параметров А или В входит в коэффициент при старшем члене а0, имеется еще одна особая прямая «о=О, соответствующая уходу в бесконечность одного из корней и понижению порядка уравнения. Эта прямая также штрихуется однократно. Могут быть и другие особые прямые при значениях и со^Доо, которые могут штриховаться двукратно, однократно или не штриховаться вовсе.
Ю. И. Неймарк показал, что при нанесении штриховки в плоскости двух параметров нужно руководствоваться следующими правилами.
1. Участки кривых, на которых Д > 0 штрихуются слева, на которых Д < О, — справа. При каждом проходе по участку наносится однократная штриховка, но так как участки кривых всегда проходятся дважды (при w < 0 и о> 0), они штрихуются двукратно.
120
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. ш
2. Особая прямая штрихуется, если она пересекается или имеет общую точку с кривой D-разбиения, или приближается к ней асимптотически, причем в общей точке или точке сближения определитель Д обращается в нуль и меняет при продолжении движения знак. Штриховка накладывается так, чтобы она лежала в той же окрестности общей точки, в которой расположена и штриховка кривой .D-разбиения. Различные случаи штриховки особых
Рис. 3.4.
прямых, поясняющие, когда и сколько раз следует их штриховать, показаны на рис. 3.4.
Если параметры А и В входят в уравнение нелинейно и удалось получить уравнения (3.59), то построение ведется сходным образом, но теперь особым случаям могут соответствовать уже не прямые, а особые кривые. Штриховка также выполняется по сход-
ным правилам, но для определения места ее нанесения вместо определителя Д руководствуются по тем же правилам знаком якобиана
Д
дА аФ дА
ду дБ <Эф дБ
(3.66)
Нетрудно видеть, что определитель (3.65) является частным случаем этого якобиана.
§ 3.6.	Устойчивость распределенных систем
Целые функции. Квазиполиномы. Передаточные функции простейших распределенных звеньев, рассмотренных в § 2.2, имели вид
Ш(х) = ^, ' ' Ф (s)
(3.67)
§ 3.6]
УСТОЙЧИВОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
121
где <р (s), ф (s) — либо иррациональные, либо трансцендентные функции, вид которых определялся не только физическими свойствами звена, но и краевыми условиями. В системе, включающей сосредоточенные и распределенные звенья, числитель и знаменатель передаточной функции в общем случае имеют вид
2 С0<С/?ехр((22/+ (?/.).	(3-68)
где Qki — полиномы от s. В частном случае, когда Q2. и Q3i — нули, функция иррациональна, а когда, кроме того, Qlt обращается в единицу, функция рациональна (что соответствует сосредоточенным параметрам).
Задача исследования подобных систем в самом общем случае чрезвычайно сложпа и ее общее решение не найдено. Однако для ряда практически важных частных случаев решения получены. Рассмотрим некоторые из них.
Характерным для передаточных функций распределенных систем, с которыми будем иметь дело, является то, что они представляются дробями, числители и знаменатели которых — целые функции, т. е. однозначные аналитические функции, не имеющие особенностей (в частности, полюсов) в конечной части плоскости я, но часто имеющие в ней бесконечное число нулей. Передаточная же функция однозначна и ее особенностями являются только полюсы, т. е. W (s) — мероморфная функция.
Целая функция может быть представлена всюду сходящимся рядом
<Р(«)=:Со + с1« + с2»2+••• + vfc+...	(3.69)
В общем случае ряд бесконечный. Наличие бесконечного множества корней у трансцендентных функций вносит ряд трудностей, в частности делает невозможным непосредственное использование для анализа устойчивости алгебраических критериев Рауса и Гурвица. Н- Г. Чеботарев [3.16] указал на возможность решения проблемы Гурвица для важного класса целых функций типа квазиполиномов
w, т
Ш = 2 ck.s^,	(3.70)
fc, «=0
где cki — комплексные, a — вещественные числа. Это решение было детально развито в ряде работ Н. Г. Чеботарева, Н. М. Неймана и Л. С. Понтрягина [3.12, 3.16]. Однако мы ограничимся этой ссылкой. Для практических целей оказалось значительно удобнее использовать частотные и близкие к ним методы.
Критерий Найквиста для систем с запаздыванием. Вернемся к доказательству критерия Найквиста, изложенному в § 2.2. Для доказательства были использованы следующие условия:
122
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. ш
1. Передаточная функция W ($) представляет собой частное от деления двух полиномов К (s) и D (s).
2. Степень полинома К (s) не выше степени D ($).
Но фактически в доказательстве используются не сами эти свойства, а их следствия. Так, хотя в первом условии говорится о полиномах, нигде не используются свойства, присущие только полиномам. Используется тот факт, что дробно-рациональная функция мероморфна. Свойство 2 также использовано не само по себе, а через его следствие
lim 1^(5) = const < со,	(3-71)
«->со
сводящееся к требованию, чтобы на контуре интегрирования бесконечно большого радиуса функция W (s) не имела особенностей. Таким образом, критерий Найквиста и его модификации применимы и к распределенным системам, если выполняется условие (3.71).
Системы с одним запаздыванием. Пусть система состоит из последовательно включенных звена с чистым запаздыванием с передаточной функцией е~'в и сосредоточенной части с передаточной функцией
W (s) — К
Передаточная функция замкнутой системы1
ТУ zs\ —_______1______________D(s'l
•	— 1 4- Wo (s) e-^ ~ D (s) 4- К (s) e~« •
Характеристическое уравнение имеет вид Z)(s) + ^(s)e-w = 0.
При t=0 получим характеристическое уравнение обыкновенной линейной системы
J9(s)-|~^T(s) = 0.
Назовем эту линейную систему предельной. Ее передаточная функция равна ТУ0 (s). Частотная характеристика ГИД/со)= = JV0 (j со) еразомкнутой распределенной системы отличается от Wo (jco) тем, что ее радиусы-векторы повернуты от соответствующих векторов Wo (j со) по часовой стрелке на углы 0х= со т, но имеют те же модули. Из рассмотрения функции
®(s) = 14-H\(s) =
D (s) 4- К (s) е-™ _F(s)
D (s)	— D (s)
можно сделать следующие заключения.
§ 3.6]
УСТОЙЧИВОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
123
Число полюсов Рф функции Ф равно числу нулей Nd полинома D (s), т. е. числу полюсов передаточной функции предельной системы
РФ = 2УВ.
Число нулей Nq> функции Ф равно числу нулей Np функции F(s),
т. е. числу нулей характеристического квазиполинома замкнутой системы. Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы внутри
контура, охватывающего всю правую полуплоскость, и на кон-
туре функция F (s) не имела нулей. Это означает, что TVF=O,
Aarg®(ja>)|“ra =
= 2тс (Рф — ^)+ = 2nN$,	(3.72)
где 7VB — число правых корней характеристического полинома D (s) разомкнутой системы. Таким образом, формулировки критерия Найквиста для обычной сосредоточенной системы и для системы с одним запаздыванием совпадают.
Обобщение критерия Ми-	Рис. 3.5.
хайлова. Если полином D (s) степени п
имеет 7VB правых корней и не имеет корней на мнимой оси, то число его левых корней равно
Nd = п — Nd-
На рис. 3.5 видно, что при изменении и от —со до оо аргумент вектора, проведенного из каждого левого корня в точку (0, <о) на мнимой оси, изменяется на тс, а каждого правого — на —тс, поэтому
A arg D (]<й) |”ет — kNd — uNd = тс (n — Nd) — kNd — tin — 27VJ,
и, учитывая (3.72), получим
A arg F (/<o) |2„ = A arg Ф (/«>)|“ra -|- A arg D (jw) — т.п
^apgF(ju>)^ = -^.
Наиболее просто с помощью критерия Найквиста исследуется система с одним запаздыванием и устойчивой разомкнутой предельной системой. Этот случай был исследован Я. 3. Цыпкиным в одной из первых работ по устойчивости систем с запаздыванием 13.13]. Вместо характеристики ТУт(/со) исследовалось пересече-
124
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. ш
ние характеристики IVO (J со) предельной разомкнутой системы с кругом единичного радиуса еу“т, т. е. (jco) = Wo (j
Если разомкнутая предельная система устойчива и кривая не
пересекается с кругом единичного радиуса, т. е. расположена внутри него (рис. 3.6, а), то замкнутая система устойчива при любом запаздывании, так как никакой поворот любого из векторов Wo (jco) не приведет к охвату характеристикой WT (/со) точки (—1, 0). Если имеет место одно пересечение (рис. 3.6, б), то при повороте вектора ОК на угол ’|>fc= cofc-cfc характеристика пройдет через точку (—1, 0), т. е. си
Рис. 3.6.
стема попадет на границу устойчивости. Опа будет устойчивой, если выполняется неравенство
При нарушении неравенства, т. е. при т > Tfc, устойчивость теряется.
При наличии двух пересечений (рис. 3.6, в) будем иметь ряд критических времен запаздывания
. __hi
fe2~^2
__2тп _______2пт
тга=1, 2,...,
причем по мере возрастания т система будет попеременно становиться то устойчивой, то неустойчивой.
При более сложном виде передаточной функции 1У0 (/ со) целесообразно либо воспользоваться кривой Михайлова, либо пытаться привести уравнение к рассмотренному виду. Это удается, например, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
pjZ л.\_____(s) ет‘
Л ~ NT (s) е* N2 (s) е'
и степень числителя предельной системы не выше степени ее знаменателя. Суммируя числитель и знаменатель, находим характеристическое уравнение замкнутой системы
F (s) = (Мг + 7VJ (/V2 -f- TV2) — 0.
§ 3.6]
УСТОЙЧИВОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
125
Пусть	> т2. Вынесем за скобки ет>я:
F (s) =	[Мг + TVi + (Л/2 + TV2)-(4-.)«] = е^1'\ (s).
Fk (s) имеет те же корни, что и F (s), поэтому в качестве характеристического можно рассматривать полином
Л (а) = Мк (а) + N. (а) + [М2 (а) + N2 (а)] е~'‘, где
Т — Т1--т2’
т. е. уравнение приведено к рассмотренному ранее виду. Устойчивость можно исследовать, применив критерий Михайлова к функции Ft (j о>) или критерий Найквиста к эквивалентной разомкнутой системе с передаточной функцией
л у ___ (s) + ^2 (s) p-tt
— Мх (s) + Л\ (s) -	•
17-разбиение в плоскости одного параметра для распределенных систем. Ю. И. Неймарк показал, что к системам, у которых характеристические функции представляют собой квазиполиномы вида
2 akiskl2ezis,
для выделения областей устойчивости в плоскости одного и двух параметров можно применить .О-разбиение [3.10].
Пусть параметр А входит в квазиполином линейно и характеристическое уравнение имеет вид
2 aiksfe^s -}- А 2 biks{e^s = 0,
i — 0,	k = Q,	(3.73)
Выполним следующие операции.
1.	Построим кривую О-разбиения по выражению
26«fc О")* eTW<“ ’
где <в возрастает от — со до оо.
2.	Заштрихуем левую сторону кривой.
При выполнении этих операций построение ничем не отличается от рассмотренного ранее. Однако при отыскании в построенном разбиении области устойчивости возникает затруднение, связанное с тем, что теперь кривая .D-разбиения делит плоскость параметров на бесконечное множество областей, которые нанести на график, естественно, невозможно. В этом, однако, нет и падоб-
126
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. Ill
ности, поскольку, как показано в [3.10], область устойчивости следует искать лишь в той конечной части плоскости А, в которой выполняется условие
I апт +	— Гаи,т-1 +	1 — • • • — I ая0 + АЬ„01 > °. (3.74)
Поэтому к упомянутым двум операциям добавляем:
3.	Отыскиваем часть плоскости А, удовлетворяющую условию (3.74). Обозначим эту часть плоскости через тс.
4.	Выделяем в тс претендента с помощью штриховки и проверяем, является ли претендент областью устойчивости.
Примеры (взяты из [3.9, 3.10]).
Пример 1. Найти область устойчивости в плоскости параметра А для квазиполинома
D (s) = (2s + 3) ем (s — 1) ем
Сопоставляя с (3.73) и (3.74), найдем
п = 1, а12 = 2, ctn=l, а10 = 0, &10=1,
&lft = 0 при /«^>0,
отсюда условия для нахождения области л:
l«i2| — hiil — 1«ю + Л1>°-или
М|<1,
т. е. область тс — круг единичного радиуса. Уравнение кривой /^-разбиения
А = —	е!ип*4-— 1 е>т,1 _
I /»	1 /" J
=-[(2-¥)е/<"’ + (1+4)е/“Л*]- <3-75)
Кривая А лежит вне круга тс. В этом можно убедиться, представив вектор А в виде
А =	- J)+(l + 4)	.
Построим вектор р — 2 — (рис. 3.7). Его конец лежит на пря-
мой СгС2 в плоскости А, параллельной мнимой оси на расстоянии от нее, равном 2. Возьмем на прямой некоторую точку М и по
§ 3.6]
УСТОЙЧИВОСТЬ распределенных систем
127
строим из нее, как из начала, вектор q = 1 4~ . Отношение модулей векторов р н q равно
I РI _ 1 /9 + |в|—Г 1 + ^'
Оно убывает от значения 3 при о>=0 до значения 2 при <о=оо,
поэтому конец вектора лежит на единичном круге с центром в на-
чале координат при <о=оо (точка Мг) Модуль вектора А больше единицы при всех ю < оо, т. е. кривая .D-разбиения расположена вне круга тс. Все точки области тс принадлежат поэтому к одной и той, же области ©-разбиения. Рассмотрим точку Л=0 (начало координат) внутри круга. Ей соответствует квазиполином
D1 (s) = (2s 4- 3)	+ (s — 1) е’>’,
число правых корней которого такое же, как и у квазиполинома
(2s-|-3)e(^)_|_s_ 1.
и вне круга при о>’< со.
Для определения числа правых корней последнего рассмотрим ©-разбиение более простого квазиполинома
(2s 4- 3) е(ч-ч)« 4_	(s — 1),
который при Лх=1 совпадает со значением исходного квазиполинома при Л=0. Условие (3.74) для нового квазиполинома:
|2|-1А1>0,
или
Кривая ©-разбиения:
1А1<2.
Л 3 “4“ 2/ш -f ,
1	1 —/ш
Модуль |ЛХ| лежит между значениями 2 и 3:
2<|Л1|<3
и точки Лх=0, Лх=1 принадлежат одной области ©-разбиения. При Лх=0 получим квазиполином
(2s 3)
128
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
имеющий столько же корней в правой полуплоскости, сколько и полином 2s-f-3, т. е. ни одного. Поэтому область те принадлежит области устойчивости.
Пример 2. Дан квазиполином
D (s) = Р (s) + AQ (s) + [С (s) + AF (s)|
[кривая .D-разбиения в плоскости А:
д______Р (Л") + с (/<»)
<?(/<>) + ЛИ е^'
В данном случае представляет интерес «особая кривая», соответствующая уходу одного корня D (s) в бесконечность. Ее уравнение получим, приравняв нулю коэффициент при старшем члене степени п и полагая в е"'с s=jo>:
р-+Лд + (с + Л/)е^ = О,
где р, q, с и f — коэффициенты при s" в полиномах Р, Q, С и F соответственно. Отсюда получим уравнение окружности
Обозначим
Р + АЧ „„„ I Р + АУ I _ л --;-ту. ИЛИ -;-ту = 1.
С + Af I С + Af I
т _p-\-aq
L— с + АГ
Таким образом, описанной окружности соответствует уравнение IL | = 1, которое делит плоскость параметра А на две части ILI > 1 и |£|<1.
Кривая D-разбиения при возрастании о> от — оо до оо сначала «сматывается» с этой окружности, а затем «наматывается» на нее. Условие (3.74) принимает вид | с -1- Af | — |Р~ЬЛд|>0, или | c lji л/ | = | L | < 1, т. е. внутренность круга L и является областью те и число правых корней в этой области конечно. Вне окружности число правых корней бесконечно велико, следовательно, вся внешняя по отношению к окружности L часть плоскости содержит только области неустойчивости, и рассматривать эту часть не имеет смысла.
То обстоятельство, что число правых корней квазиполинома вне круга бесконечно велико, можно пояснить также и тем, что при возрастании ю до бесконечности кривая D-разбиепия обернется вокруг окружности L бесконечное количество раз и, перейдя из внутренности круга в его внешность, мы бесконечное число раз пересечем кривую D-разбиепия, переходя всякий раз с заштрихованной стороны на незаштрихованную.
§ 3.61
УСТОЙЧИВОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
129
27-разбиение в плоскости двух параметров. Рассмотрим два основных случая. В первом параметры А и В входят в квазиполином линейно
Л 2 Б 5	+ 2
Построение сначала выполняется так же, как и в случае полиномов: строятся кривые 77-разбиения и прямые, соответствующие особым значениям со (в том числе и ш=0), но не для значения ш=оо, как это требовалось в случае полиномов. Уже на предыдущем примере мы видели, что значению ш=оо соответствовала не особая прямая, а окружность L. Кроме того, нужно выделить область, в которой следует искать область устойчивости по условиям (3.74), которые в данном случае равны
I ^апт + ^nm + Стп I  • • • I + ^яО + Си0 I 0.
При наличии только одного запаздывания исследование существенно упрощается.
Пусть, например, дан квазиполином
D (а) = АР (а) + BQ (а) + В (s) + [АС (а) + BF (s) + Н ($)] еТе = 0.
Кривая 77-разбиения сначала сматывается, а затем наматывается на кривую L, определяемую уравнением
I т I_I+ дВ 4- г I__л
— | сЛ +/в + /г I-1’
где малыми буквами обозначены коэффициенты при старшей п-й степени полиномов, соответственно обозначаемых большими буквами. В части плоскости, где |£| < 1, условия (3.74) выполняются, и если область устойчивости существует, то ее следует искать только в этой части.
Во втором случае параметр А входит в квазиполином линейно, параметр т — нелинейно.
Пусть дан характеристический квазиполином
77(s) = P(s)-|-.4(7(s)e'".
Полагая s—jw и приравнивая порознь нулю вещественную и мнимую части полученного выражения, имеем
P-l (<о) — А | (со) cos сот — Q2 (co) sin сот] = 0,
P2 (<u) = A [<?! («>) sin сот -|- Q2 (co) cos cot] = 0.
9 А. А. Воронов
130
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ГЛ. III]
Из этих уравнений находим ’=1(”<!‘®ййт^+24”+х±1)> Л _ -г	4- р2С2)2 + (Л02 - С1Т2)2 _ _
+	QI + QI	~+
Pl Л-Pl
Ql + Ql'
Здесь к принимает все целочисленные значения как отрицательные, так и положительные. В последнем члене выражения для т верхний или нижний знак выбирается в зависимости от того, верхний или нижний знак соответственно взят перед радикалом в выражении для А (справа). Для штриховки руководствуемся знаком якобиана, который в данном случае имеет вид
Д = 2о>Я ($ + $).
Условие (3.74) принимает вид
Нанеся штриховку, определяем число правых корней в одной из точек плоскости А, т. Удобно использовать точку т=0 в области, где
Если коэффициенты полиномов Р и Q вещественны, то при со=0 имеем P^Qi—и значению <о=О соответствует особая прямая
Р(О) + л<2(О)=о.
Таким образом, в плоскости т, А следует нанести прямые
==г1™ A=~R'
А
и исключить часть плоскости, заключенную в полосе между прямыми A=R и А=—R, а в остальной части плоскости выполнить построение кривых .D-разбиепия и особой прямой, нанести штриховку и подсчитать число правых корней в выбранной точке плоскости.
Пример. Построить ©-разбиение по параметрам А, т квазиполинома
©(s) = 4(s--l)c't* —s-|-2z=0.
Выражаем Лит через о>:
.	, . Г-в 4
|(arctg
СО

§ 3.?1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
131
Особая прямая при <о==О:
Границы полосы га
А = 2.
А=±1.
Знак якобиана совпадает со знаком — шт.
В точке т=0, А=оо имеем s—1=0, следовательно, в ней су-щестует один правый корень, т. е. точка находится в области D (1).
Кривые D-разбиения, особые прямые и их штриховка для рассматриваемого случая показаны на рис. 3.8.
И
§ 3.7. Устойчивость систем с дискретным временем
Изображение разностного урав-
нения. В качестве основной ма- >++
тематической модели в этом па-	рис. 3.8.
раграфе рассматривается модель, представляемая разностным линейным уравнением с постоянными коэффициентами n-го порядка
ад [(А+”) 71+ад^ [(/с+" -1) 71+  • • + ад [*7’]=О, (3.76)
или, используя оператор смещения [АгТ1] = у [(к Ц- 1) Г],
+ «„ J”’1 +  • • + «о) У [*71 = о, 7с=1, 2, 3....................... (3.77)
где кТ — дискретное время. Для удобства записи часто записывают уравнения в форме
ад[^+и]+ад1£/[А+п —Л+  +адИ=о (3.78) и соответственно, вводя единичный оператор смещения Е:
(ajr +	+ ... 4- а0) у [А] = 0.	(3.79)
В (3.78) и (3.79) за единицу времени принят период чередования (или шаг дискретности) Т=1.
К этому виду, как было показано в § 2.3, легко сводятся прежде всего остальные формы записи разностных уравнений: с отстающим оператором смещения, в упреждающих и отстающих разностях.
9*
132	УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. Ill
z-изображение однородного разностного линейного уравнения (3.78) имеет вид
(аХ +	-j- ... 4- а0) Ya (z) = 0.	(3.80)
Из него получается характеристическое уравнение
Dd(Z) = a„z’>-{-a„_1Z^+ ... -ф-ао = О.	(3.81)
Решение уравнения (3.78):
y[fc] = iX.z?«	(3.82)
«=1
Для наших целей особый интерес представляет выражение дискретных последовательностей гк, являющихся частными решениями разностного уравнения, через решетчатые функции, получаемые квантованием некоторых непрерывных функций. Одной из наиболее простых является следующая решетчатая функция:
zki=ek9i = eksiT, к —0, 1, 2..., полученная квантованием функции es»z, где
zf = e9i = esiT,
s,- и qjT — соответственно корни характерического уравнения (3.80). Представление это не единственно. Его можно выполнить с помощью любой другой непрерывной функции, которая в моменты 0, Т, 2Т, ... совпадает с данной, но при других кТ
t <4 (к 1) Т может от нее отличаться (например, —e**®** -ф--ф- sin я -0.
Характеристическое уравнение вида (3.80) при z=es получается при применении к разностному уравнению дискретного преобразования Лапласа. К такому же виду Dd (z) сводятся и знаменатели передаточных функций импульсных систем с непрерывной линейной частью и пропорциональной амплитудно-импульсной модуляцией, если к их уравнениям применено дискретное преобразование Лапласа.
Разностные уравнения рассматриваемого вида иногда получаются и при рассмотрении дифференциальных уравнений, как обыкновенных (электрические цепочечные схемы), так и с частными производными. К ним, например, удобно сводить дифференциальные уравнения для их численного решения. Если, например, дифференциальное уравнение удалось свести к уравнению (3.78), то получаемое из последнего выражение
у [к -ф- п] = — 1 {ап1у [к 4- п — 1] ф- ... 4- аоу [А]}	(3.83)
S з.Т]
УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
133
являетсй рекуррентной формулой для нахождения решения в момент у [/с] по его значениям в п предшествующих моментов времени. Простейший, хотя и достаточно грубый способ сведения дифференциального уравнения к разностному состоит в замене дифференциалов конечными приращениями. Если принять dtmT, то для 7'=1
+ [к + !] _ у и = [А]>
^«Д2у[Л1 = у[/с4-2]-2{/[А+1| + у[А] и т. д.
мы можем заменить приближенно дифференциальное уравнение
(аяр" + оя_1Рв“1+ ... +«„)!/ = О
разностным уравнением
(аяД" + «я-1Д’"1+ •••	=
Однако при этом в процессе решения может накапливаться погрешность тем большая, чем больше интервал дискретности Т.
Разностные уравнения, порождаемые дифференциальными. Дифференциальное уравнение можно свести к разностному точно в том смысле, что решения обоих будут в дискретные моменты О, Т, 2Т, ... совпадать точно.
Пусть дано однородное дифференциальное уравнение
(Р" + оя-1Р"~1+ ••• +«о)^ = О-
Обозначая через sn s2, . . ., з„ корни характеристического уравнения, представим это уравнение в форме
[pB-f-a1(s1, s2, -	...	s2, .... хв)]г/ =
= [Ря-(«1 + *2+ ••• 4-*я)Ри-1+	+(-l)Bs,s2,...,зя]</, (3.84)
где коэффициенты af рассматриваются как функции корней, выражаемые формулами Виета. Назовем их функциями Виета. Решение уравнения
1=1
в дискретные моменты должно совпадать с решетчатой функцией
y[kT] = ^lCie4>cT='^Ciek^, к = 0, 1, 2...	(3.85)
4=1	4=1
134
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
Разностное уравнение, решением которого является функция (3.85), имеет характеристическое уравнение, корнями которого являются уже не s<, а величины еи=е'ч'г. Коэффициентами этого алгебраического уравнения будут также функции Виета, но других аргументов, и уравнение будет иметь вид
\Е" 4- «и_1 (е«>,	. .., е?«) Еп 1 -|- ...	(—1)’г«0(е4', е’2,. . ., е’«)| у | /с | =
fn \
2 е®’’ м*+п -
4=1	/
(» \
У IE	[?/ [к	п — 2| —
*. з	I
'Фз	'
/
J/l/c+n_3]4-...+(-i)V=1 ,
у [А]. (3.86)

Покажем получение разностного уравнения для дифференциального уравнения третьего порядка:
(Р3 + «гР2 + «2Р + «з) У = (&оР3 4" biP2 4- Ер f- b3) 1 (Z).
Решение дифференциального уравнения для случая простых корней:
у (о=со+1]слм.
гпр г _Ь3 ______ р (я,)	__ И о о
где с0 аз, с, —s^(sj. — , , 3.
Соответственное разностное уравнение ищем в форме
(Е3 4- АГЕ3 4- А,Е + Л3) у [nZJ = (Z?0E= 4~ BJ? 4- В.2Е 4- В3) 1 IпГ].
z-изображеиие его решения:
у (z\_ (Дог3 ~р Ву,- -р Д2г -f- В3) z _Н (z) z
' '	(z’+ Л1г2 + Л2г + лз) (z— 1) G (z) z — 1 •
Его решения:
.. г byi — Я И) i H (z„)
v=l
i=/=j,	zv = e"'>T.	(3.87)
Очевидно,
н (1)=b0 4- в. 4- b2 4- b3, g (1) = (1 - Z1) (I - z2) (1 - z3).
Коэффициенты А. находим по формулам Виета:
;= — (zx 4~ z2 4“ zs), Aa= —z1z2za, /12 = zxz2 4~ z2z3 4~ z3zi-
§ 3.7]
УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
135
Для нахождения В( потребуем совпадения кривых у (t) и у [/сГ] в моменты t — кТ, к —О, 1, 2..., и составим уравнения
H(z„)
G(1)	L°’ (z,-i)(Zv_Zf)(z,_Zy)
i=/=A /¥=>. >¥=*•
Опп имеют вид
Bo + В. + В2 + Я3 = (1 - Z1) (1 - z2) (1 - z3) с0,
^0ZI Ч- -®lz? Ч" ®2Z1 Ч" Ai = (Z1	(Z1	Zs) (Z1	' Z3) Cl«
^0Z2 4" ^1Z2 4“ ^2Z2 4~	=	(Z2	1) (Z2	Zj) (Z2	Z3)	C2,
^0Z3 4" ^1Z3 4“ -®2Z3 4“ ^3 ==: (Z3	1) (Z3	Zl) (Z3	2г)	c3-
Их решения:
^0 — C0 Ч~ С1 Ч- C2 Ч~ С3 — ^0*
— —(zx 4“ Z2 Ч- Zs) С0  U Ч- z2 Ч~ 2з) С1  U Ч~ Z1 Ч" 2з) С2 
-- (1 4-Z14-Z2)C3«
= (zxz2 4- z2z8 -Д z3zx) с0 -J- (z2 Ч~ и3 Ч~ z2zs) ci +
Ч~ (zx 4“ Z3 Ч~ ZlZs) С2 Ч" (Z1 Ч~ Z2 Ч~ Z1Z2) С3« В3 =  —ZjZ2zsc0.
Вычисление коэффициентов сложно: оно требует вычисления корней sx, s2, s3, затем трансцендентных функций z15 z2, z3, коэффициентов с0, сх, с2, cg, и наконец А. и В., i=0, 1, 2, 3. После этого нужно задать п начальных значений у [пТ], к=—1, —2,... . . —п. После этого становится^ весьма простым расчет всех остальных точек у [кТ ], к—0, 1, 2 ... по рекуррентным формулам' (3.83).
Условия Рауса и Гурвица устойчивости разностных" уравнений. Условие асимптотической устойчивости тривиального решения разностного уравнения сводится к условию, чтобы каждое из слагаемых решения (3.82) не возрастало с ростом к, т. е. к условию
|z.|<l, \fi.	(3.88)
т. е. для устойчивости все корни характеристического уравнения (3.81) должны располагаться в комплексной плоскости z внутри единичного круга с центром в начале координат.
Для выражения условий устойчивости через коэффициенты уравнения можно воспользоваться критериями Рауса и Гурвица, если предварительно отобразить внутренность круга на левую
136
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ линейных систем
[ГЛ. III
полуплоскость некоторой комплексной переменной w. Это можно сделать с помощью конформного преобразования
или	«’-Si.	(3.89) (3.90)
После подстановки z из (3.90) в (3.81) придем к алгебраическому уравнению
&Х + Ьп_^ + ... Д- Ьо = 0,	(3.91)
где
Далее к уравнению (3.91) применяется непосредственно любой из алгебраических критериев, критерий Михайлова или D-разбиение, так же, как и для непрерывных систем.
Приводим условия устойчивости для уравнений (3.81) первых четырех порядков:
1.	axz Д-ао = О,
а1Ч~ао>°. «1 — ао>°-
2.	a2z2~\-a1z~\-ao = O,
аг Ч- ai Ч- ао >	°2—ai Ч_ ао 0» а2—аоЧ>О.
3.	a2z3 a2z2 4- arz Д- а0 = 0,
аз Ч- °2 + ai + ао 0. о3 — ®2 Ч~ ai — ао> О-
°з (аз ai) — ао (ао az) > 0.
3 (аз Ч~ ао) — «2 — ао > °-
4.	a4z4 Д- a3z3 Д- a2z2 Д- axz	а0 = 0,
«4 Ч- °3 + а2 Ч~ «1 Ч- а0 > °’ а4—«зЧ-а2—а1Ч-й0>0’
(а4 ао) I а3 (а1	аз)  (а2 а4 ао) (а4 ао)] 4“
Д-а4 (а, — а3)2 > 0,
4 (а4 — ао) Ч-2 («1 — аз) > 0.
4(а4 —а0)Ч-2(а3 —ах)>0.
§ 3.71
УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
137
Можно, не прибегая к отображению круга на полуплоскость, непосредственно исследовать расположение нулей многочлена
O‘(z) + >.D-(4)z-
на границе круга z=e3“ [3.8, 3.10]. Процесс вычислений при атом напоминает в какой-то степени алгоритм Рауса, и в [3.15] предложена табличная форма, похожая на таблицу Рауса (см. табл. 3.1). Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты в первом столбце этой таблицы были по модулю меньше единицы.
•	Таблица 3.1
На первый взгляд может показаться парадоксальным, что о расположении бесконечного множества корней характеристических полиномов импульсных систем мы судим с помощью критериев, полученных для уравнений конечных степеней п, имеющих конечное число корней п. Это обстоятельство хорошо проясняется, когда мы переходим к рассмотрению передаточных функций импульсных систем. Аргументом в этих функциях является трансцендентная функция z = ея = еаТ, периодическая с периодом у j вдоль мнимой оси (е! = es+2B<J, i = l, 2,...), поэтому достаточно рассмотреть расположение полюсов передаточной функции в одной из полос плоскости д, ограниченной двумя прямыми, параллельными вещественной оси, расстояние между которыми равно 2 я. Обычно выделяют полосу, границы которой проходят через точки + и на мнимой оси. Число корней внутри такой полосы равно порядку характеристического уравнения п. Корни в осталь
138
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. 111
ных полосах отличаются от корней основной полосы только мнимыми частями. Бесконечное множество корней, таким образом, разбивается на бесконечное множество групп с конечным числом корней п в каждой группе.
Разностные аналоги критериев Михайлова и Найквиста. Рассмотрим теперь аналоги критериев Михайлова и Найквиста для
импульсных систем.
Выделим в правой полуплоскости q прямоугольный контур, охватывающий всю правую полуполосу — к Im Q Пусть на контуре нет полюсов исследуемой функции. Обход будем со-
Рис. 3.9.
вершать по часовой стрелке по сторонам прямоугольника.
Рассмотрим функцию Dd (ff)=l+ ^-Wd (q) и определим приращение ее аргумента при обходе контура (рис. 3.9). На отрезке контура на мнимой оси д=72тга)=7<« и
Д/, arg Dd(q) = A arg Dd\jw),
—n
к.
Так как каждой точке q=b+]K верхней границы Z2 контура соответствует точка q=8—j л на нижней границе Z4, имеющая то же значение функции Dd (8—jn)=Dd (84-jrc), то
AZj arg Dd (q) — arg Dd (q)
arg Dd (q) + Az< arg Dd (q) = 0,
следовательно, приращение аргумента на линиях Z2 и Z4 можно не рассматривать.
Чтобы оценить изменение аргумента на бесконечно удаленном отрезке Z3, заметим, что при с —> оо все члены полинома, за исключением а0, стремятся к бесконечности и при достаточно больших с можно рассматривать лишь старшую бесконечность и считать
Dd(q)^a^”.
где п — порядок уравнения.
При движении по отрезку Z3 сверху вниз q изменяется от до а—]тг, а аргумент вектора Dd (q) — от — т.п до тш, т. е. на 2тп:
A arg ateq = —2т.
§ 3 7)
УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
139
Отсюда
Л arg 1У’ (q) = Д/, arg Dd (q) Д- Д,а arg l)d (q) = = Д arg Dd (ja>) — 2r.n = 0,
Д arg /X (jffi) |®=*я — 2таг.
Отсюда обобщение критерия Михайлова: для устойчивости линейной импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы вектор DA (/«>) при изменении <б от —я до к, нигде не обращаясь в нуль, повернулся против часовой стрелки па угол 2 таг.
Для обобщения критерия Найквиста рассмотрим выражение
1 , Wd (	Ох	J . МЦд, 0)=_Md(q, О) + Лд(д, 0)
Г	’	‘/Уа(д, 0)	Д'г(д, 0)
Обходя по тому же контуру и учитывая, что приращение аргумента на бесконечно удаленном отрезке 13 равно 2 я, умноженному на разность степеней числителя и знаменателя 1-f-W1 (;®), т. е. нулю, так как степень числителя Wd (j&) не выше степени знаменателя, найдем
Д arg (1 4- Wd (Jty) |”=_я = 2та, где г — число правых корней характеристического полинома разомкнутой системы Nd (д, 0).
Критерии Михайлова и Найквиста импульсной и непрерывной систем, таким образом, сходны по формулировке и отличаются для импульсных систем тем, что вместо лапласовых изображений в выражениях передаточных функций берутся дискретные изображения Лапласа; вместо абсолютной частоты w рассматривается относительная частота 65= Ш!Т, а интервал частот вместо [0, со) равен [0, эт] (или вместо (—оо, оо)—[—тс,к]).
Критерий Найквиста обобщается также на системы, нейтральные в разомкнутом состоянии, а для подсчета числа полюсов можно использовать аналогичное правило переходов характеристики через отрезок вещественной осп (—со, —1).
Построение частотных характеристик импульсных систем. В § 2.2 упоминалось, что частотная характеристика системы, состоящей из непрерывной части с передаточной функцией WB (s) (включая формирователь) и идеального импульсного элемента, выражается рядом (2.56)
Wd(g, е)= 2 e,^r^lVB(q + 2nrj),
г=—со
140
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
или в ненормированной форме
<»	/, . 21ТГ Д „
(3.92)
при e^Z=0. Покажем это. Пусть FK (s) — лапласово изображение непрерывной функции / (/), a Fd (s) — дискретное преобразование Лапласа функции fd [(Zc-f-e) ^1, равной произведению решетчатой функции / (Z-f-eZ7), порождаемой из / (/) квантованием с периодом повторения Т, на последовательность дельта-функций Вг(£) = = 8 (t-kT):
/rf[(*+e)7’] = /(Z + e7’)8r(0-
I Так как дискретное преобразование Лапласа равно обычному лапласову преобразованию для /d, то
tfW. е]} =Fd(s, e) = L{fd[(k^e)T]} = L{f(t^-eT)?>T(t)},
где Dd и L — символы дискретного и непрерывного преобразований соответственно.
Так как изображение по Лапласу произведения двух функций равно свертке изображений этих функций, то правую часть можно переписать в виде

с-Ь/со
J Лл(Х)Д(5 —X)dk+jFu(k)A(s-k)dk
- с—j со	R
где Д (s—X)=Z {By}, с > о0, с0 — абсцисса сходимости, 7? -> оо — радиус полукруга, охватывающего правую полуплоскость,
F^ (s) = L {f (t + eZ7)} =	(s).
Если e > 0, то / [ОН-еУ7 ] = 0, так как квантование происходит в моменты, когда е=£0. Так как конечное значение изображения равно начальному значению оригинала, то на дуге бесконечного радиуса при е^2=0 подынтегральная функция равна нулю и второй из интегралов (на контуре R) обращается в нуль. Тогда искомое преобразование выражается через интеграл Бромвича
c+Jco
L{f(t + eT)^(t)} = Fd(s, 6)=^ ( Ед(Х)е^Д(5-Х)йк, с—J со
где
СО 00	со
д (S) = $ 28 <* -кт) e~sTdt=2 е~еТк=
§ 3.7]
УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
141
И
Fd(s,
•)=sy J '-w
с— у co
XTe
l_e-(»-4r dk-
(3.93)
Если FA{s) не имеет правых полюсов, то при интегрировании по контуру, охватывающему правую полуплоскость, в контур попадают только правые корни 1 — е^в~^т, т. е.
\ = s + ^jr, г=±1, ±2, ...
Тогда, применяя теорему вычетов, найдем со	/ ,2лгу\
Fd(s, еТ) = ±	FA(S+^)e^‘ т ' *.
г=—со
(3.94)
Эта формула связывает выражения непрерывного и дискретного преобразований Лапласа при е 0.
Так как передаточные функции разомкнутых импульсной и непрерывной систем представляют собой дискретное и непрерывное изображения соответственно импульсной и непрерывной переходных функций, то формула (3.94) справедлива и для них:
со	( Д _
Wd(s, еГ)=| 2	(3.95)
г——со
или в нормированной форме
Wd(q, е)= 2 Жн(д4-2яг7)е(«+2’'^,е.	(3.96)
Г=—00
При е=0 происходит квантование и функция /(/) может совершить скачок /(0). В случае скачка подобно тому, как это имело место в преобразовании Фурье для функций с разрывом непрерывности первого рода, приращение Fd (s) становится равным полусумме
|[/(0)_ + /(0)+]=^
И
со
Wd(q. е)=	И/п(94-2кУг)е|«+2^‘ 4-^
В [3.15] предложен метод графического построения частотной характеристики импульсной системы по заданной характери
142
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. III
стике непрерывной системы. Считаем, что w (0)=0 (что имеет место, если WB (s) имеет степень числителя меныпую, чем степень знаменателя более чем на единицу). Сначала наносим на характеристике WB (j®) точки, соответствующие значениям й= и>Т, и масштаб по обеим осям умножаем на ЦТ, тем самым переходим к нормированной характеристике Wd (?, е). Далее из начала координат проводим в точки ffij, ffi2, . . . векторы (рис. 3.10) и умножаем каждый из них на е^’®6, т. е. поворачиваем их, не изменяя
длины, на углы йе. В диапазоне 0 й к отмечаем точки йх—2 к, йх—4 к, . . . Точка частотной характеристики Wd (/йц е) определяется геометрической суммой всех векторов, зависящих от йх. Так как с возрастанием й модуль векторов обычно быстро убывает, то практически можно ограничиться небольшим числом слагаемых, как правило, одним-двумя. Из построения видно, где можно остановиться. На рис. 3.10 показано построение для случая двух слагаемых
Wd е) да (/й) -|-
Д- еУ (0-2.).^ (/ (ffi _
После построения ряда точек, соответствующих частотам йх, й2, . . ., соединяем их плавной линией, которая и будет искомой частотной характеристикой импульсной системы Wd (j®, г). Обычно точка й=0 лежит на правой вещественной полуоси, а точка й=л— на левой также вещественной полуоси.
Для разных значений е, 0 е <1 1, можно построить семейство частотных характеристик импульсной системы.
Для исследования устойчивости, а также в тех случаях, когда значения выходной переменной между моментами съема импульсов исследователя не интересуют, достаточно ограничиться построением только одной частотной характеристики импульсной системы, соответствующей е=0:
ОО
Wd(q, 0) =	»FB(<7 + Mr)+^..
со
(3.97)
ГЛАВА 4
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 4.1. История возникновения проблемы
Локальный и глобальный подходы. Задачи Булгакова и Лурье. Теория линейных систем рассматривает системы с узким, точно очерченным классом характеристик — прямолинейных. Теорию нелинейных систем также можно было бы ориентировать на изучение узких классов характеристик, описываемых определенного вида уравнениями или равенствами, например, квадратичных или кубичных парабол и т. п. Такие локальные методы основываются на задании уравнения кривой, а отдельные представители класса получаются заданием наборов конкретных значений коэффициентов уравнений, т. е. такие классы представляют собой семейства характеристик заданного типа. Если, однако, для линейных систем удалось построить обширную и полную общую теорию, то в нелинейных системах это не удается. Точные результаты чаще всего получить невозможно или крайне трудно, а получаемые решения имеют гораздо более узкое значение, представляющее ограниченный интерес.
Для того чтобы получить более общие, глобальные результаты, нелинейной теории пришлось перейти к глобальным исходным позициям — рассматривать более широкие классы нелинейностей, а также несколько расширить и само понятие устойчивости. Глобальные методы основываются на задании в пространстве переменных областей, внутри которых должны укладываться характеристики, или некоторых общих соотношений типа локальных или интегральных связей. Области или связи задаются в виде неравенств, а на уравнения кривых не накладываются другие ограничения, кроме условий нахождения в заданных областях. Исторически первым примером задания класса характеристик в этом смысле было требование нахождения характеристик в заданном угле координатной плоскости.
Задача об определении условий устойчивости работы системы, в состав которой входят линейная инерционная часть и безынер
144
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
ционный элемент с нелинейной статической характеристикой Е=<р (о) (где на функцию <р накладывалось лишь то ограничение, что она должна лежать в заданном угле), была впервые поставлена в 1942 г. Б. В. Булгаковым [4.4, 4.5]. Он решал задачу, исходя из предположения, что при нарушении устойчивости возникает автоколебательный режим, и, используя метод малого параметра, находил условия отсутствия автоколебаний. Несомненно, что работа Б. В. Булгакова в большой степени способствовала возникновению нового направления.
В этом новом направлении из задачи Булгакова был воспринят способ задания класса нелинейностей, сам же метод базировался на другой основе — отыскивались с помощью функций Ляпунова условия устойчивости равновесия (тривиального решения). Основополагающей работой для этого направления была статья А. И. Лурье и В. Н. Постникова, опубликованная в 1944 г. [4.18]. В статье рассматривался класс характеристик, целиком лежащих в I и III квадрантах координатной плоскости Е, а таких, что <р (0)=0. Функция Ляпунова отыскивалась в классе функций «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности»:
.r
V(x) = L(X)+j<p(a)lfo.	(4.1)
о
Сегодня эта форма считается классической. Направление, опирающееся на эту форму, в последующие годы получило существенное развитие в работах А. И. Лурье. Основные результаты изложены в [4.19]. А. И. Лурье использовал развитую им каноническую форму уравнений, облегчавшую построение функций Ляпунова вида (4.1), и свел вопрос о существовании этих функций к исследованию существования решений системы квадратных уравнений, получивших название «разрешающие уравнения Лурье».
Задачу Лурье в переменных состояния (не обязательно канонических) можно сформулировать так:
Линейная часть системы (условно — объект) описывается уравнением
-^ = Ах + Ы.	(4.2)
где х={ж,-}—n-мерный вектор состояния, Е — выход нелинейного элемента — скаляр, А — постоянная квадратная матрица пХп, Ь — постоянная матрица п X1.
Вход нелинейного элемента (условно — сервомотора) формулируется в виде линейной функции переменных состояния (обратных связей)
(4.3)
а = с'х,
§ 4.1]
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ
145
где с — постоянная матрица-столбец, с' — матрица-строка 1Хп. Выход и вход нелинейного элемента связаны зависимостью
*=?(«)•	(4.4)
где <р — функция, удовлетворяющая условиям
<р(с)с^>0, а=^=0, <р (0) = 0,	(4-5)
т. е. она относится к классу SD?(O, оо), т. е. к классу функций, удовлетворяющих квадратичной связи F (£, с) = £ о > 0. Требуется найти условия устойчивости равновесия х=0.
Гипотеза Айзермана. Одновременно с этим в 1946 г. М. А. Айзерманом была сформулирована задача об абсолютной устойчивости в следующей постановке [4.1].
Рассматривается класс 9Л (Лх, /с2) характеристик, лежащих между прямолинейными лучами Е=Аха и %=Кйс, т. е. удовлетворяющих условиям
АХ<-Ц^<А2.	(4.6)
Требуется найти наиболее удаленные друг от друга положительные числа Кл и К2, при которых сохраняется устойчивость, т. е. наибольший допустимый угол между лучами £=Аха и Е= =К2а. Для решения задачи в [4.1 ] использовался критерий Сильвестра определенной положительности квадратичной формы. В последующей работе [4.2] был поставлен новый вопрос. Если вместо нелинейной характеристики £=<р (а) использовать линейную
£ = /w, Ах</г<А2,	(4.7)
то уравнения (4.2), (4.3) и (4.7) совместно образуют систему линейных уравнений замкнутой системы регулирования, характеристика которой, очевидно, также принадлежит классу 9Д (АХ,А2). Для этой системы размер угла, т. е. границ, между которыми может находиться постоянная h, определяется из любого критерия устойчивости линейной системы, в частности критерия Гурвица, поэтому угол [Ах, /<2]л получил название «гурвицев угол». Не представляет сомнения, что для нелинейной системы угол [ Ах, А2]? не может быть больше, чем [Ах, А2]а, т. е. он лежит внутри гурвицева угла и, может быть, в каких-то случаях с ним совпадает. В этой публикации высказывалось предположение, что для нелинейностей класса (Ах, А2) угол [Ах, 7Г21¥ совпадает с гурви-цевым, т. е. что эти системы абсолютно устойчивы в гурвицевом угле, или что устойчивость систем этого класса можно исследовать с помощью линейных критериев, которые будут необходимыми
Ю А. А. Воронов
146
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[гл. iv
и достаточными. Это предположение получило название гипотезы Айзермана.
Практическое значение гипотезы сделало ее популярной. Уже давно, применяя линеаризацию нелинейных характеристик, многие исследователи пользовались сходной гипотезой. Например, считалось, что при исследовании электромашинных систем с нелинейными кривыми намагничивания достаточно добиться устойчивости линейного приближения во всех точках рабочего участка кривой намагничивания, например, от точки холостого хода до точки номинальной нагрузки, умноженной на некоторый коэффициент запаса.
Однако уже в последующих публикациях [4.13, 4.14, 4.15, 4.20] были приведены примеры, показывающие, что из данного класса следует исключить характеристики, асимптотически приближающиеся к ограничивающим прямым, а в 1958 г. В. А. Плис-сом был построен противоречащий пример [4.24], показавший, что гипотеза вообще неверна. Тогда формулировка была модифицирована: найти такой подкласс линейных систем, при которых гипотеза Айзермана будет выполняться для всех характеристик класса ЭЛ (Klt К2). (Можно ограничиться, очевидно, классом ЭЛ (0, А).) Задача, сформулированная таким образом, получила название проблемы Айзермана. Пока удалось установить лишь некоторые простейшие типы линейных систем, для которых гипотеза Айзермана выполняется. В работах [4.15, 4.30, 4.43] было показано, что она справедлива для систем, линейная часть которых состоит из последовательно включенных устойчивых статических звеньев первого порядка числом до пяти.
Критерий Попова. Частотная теорема. С начала 60-х годов в развитии теории наступил радикальный перелом. В 1959 г. в Румынии начали публиковать цикл статей В. М. Попова [4.47, 4.48], в которых разрабатывался частотный метод исследования асимптотической устойчивости в целом, т. е. абсолютной устойчивости равновесия систем класса ЭЛ (0, К). После выступления В. М. Попова в журнале «Автоматика и телемеханика» [4.25] эти работы получили широкую известность. Началось быстрое развитие нового направления, особенно заинтересовавшего инженеров, так как оно опиралось на привычные представления динамических свойств в форме частотных характеристик.
Подробно критерий Попова будет рассмотрен дальше. Вкратце его геометрическая трактовка такова. Для абсолютной устойчивости равновесия нелинейной системы класса ЭД (0, К) достаточно, чтобы в комплексной плоскости, на которой строится частотная характеристика W через точку — 1/К можно было провести такую прямую, чтобы преобразованная частотная характеристика Wa отличающаяся от исходной частотной характеристики W линейной части тем, что все мнимые
§ 4.2]	РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЙ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ	147
ординаты последней умножены на целиком находилась правее этой прямой.
В 1962 г. В. А. Якубович установил, что критерий Попова равносилен существованию у системы (4.2), (4.3) функции Ляпунова указанного вида [4.36]. В этом же году им была доказана частотная теорема, обобщающая целый ряд полученных в различных работах результатов [4.41]. В. А. Якубович также расширил класс нелинейностей, для которых можно получать условия абсолютной устойчивости, рассмотрев системы со многими нелинейностями, с гистерезисными характеристиками, нелинейными широтно-импульсными модуляторами и т. п. В 1963 г. Р. Калман показал (для описанного ниже простейшего особого случая), что критерий Попова равносилен существованию вещественных решений у уравнений Лурье [4.46]. В настоящее время интенсивно продолжаются работы, распространяющие методы Ляпунова и абсолютной устойчивости на сложные системы большой размерности, включающие также нестационарные и дискретные по времени элементы. Этому направлению будет посвящена гл. 6.
§ 4.2. Расширение понятий об устойчивости
Устойчивость в малом, большом и целом. В § 3.2 приводились определения понятий устойчивости по Ляпунову, асимптотической устойчивости, устойчивости в целом.
Устойчивость по Ляпунову, определенную, как в § 3.2, если она не является устойчивостью в целом, называют также устойчивостью в малом. Это не означает, однако, что отклонения обязательно должны быть малыми. Говоря об устойчивости в малом, имеют в виду, что в окрестности начала координат пространства состояний существует область S (X) притяжения траекторий к точке равновесия х=0, но что никаких указаний на размеры этой области нет и, следовательно, устойчивость можно гарантировать лишь в достаточно малой окрестности начала координат. Однако для многих практических задач важно знать, каковы размеры области S (X), т. е. какова устойчивость в большом? Задача определения фактических границ области S (X) оказывается, однако, достаточно сложной, редко приводящей к точному решению. В таком случае при практическом решении задаются областью S (Хо) отклонений, допустимых или возможных по техническим соображениям, и проверяют, в каком отношении находятся области S (X) и S (Хо). Если область 5 (Хо) целиком содержится в области 5 (X), говорят, что равновесие устойчиво в большом. Если же некоторые части области S (Хо) выходят за пределы области 5 (X), говорят, что равновесие устойчиво в малом, но неустойчиво в большом. На рис. 4.1, б равновесие устойчиво в малом, на
10*
148
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
рис. 4.1, а — устойчиво в большом. Математически это можно выразить так.
Если при наперед заданном положительном е можно выбрать другое положительное число X (е) такое, что при начальных отклонениях, удовлетворяющих условию
Ихо={я,-о}1Кх.
а)
ff)
Рис. 4.1.
значения х( (t), i — 1, 2, . . ., п, при всех t > t0 удовлетворяют соотношению
||№{ж,.}|Ке,
то равновесие устойчиво в малом. (Область S (X) на рисунках отмечена однократной штриховкой.) Если же, кроме того, возможные начальные отклонения удовлетворяют условиям
шах | xi01 = Хо, ЧО-
то равновесие устойчиво в большом. Если область S (X) распространяется на все пространство состояний, равновесие устойчиво в целом.
Абсолютная устойчивость. Понятие «абсолютнаяустойчивость», введенное в упоминавшейся работе А. И. Лурье и В. Н. Постникова, вошло в обиход не сразу. В своих последующих публикациях А. И. Лурье предпочитал пользоваться более осторожным термином «устойчивость в большом». М. А. Айзерман в 50-х годах говорил о «неограниченной устойчивости». Во второй половине 50-х годов в работах А. М. Летова и В. М. Попова термин «абсолютная устойчивость» возрождается снова, а в монографии [4.3] термин поставлен уже в заглавие. Теперь он общепринят в мировой литературе. В [4.3] под абсолютной устойчивостью понимается асимптотическая устойчивость в целом для систем с характеристиками, принадлежащими к заданному классу (конкретно рассматривался класс (0, К)). Такое определение фигурировало в литературе 60-х и начала 70-х годов. Оно неплохо соответствовало особенностям рассматриваемых там систем, имеющих в точке х=0 единственное состояние равновесия. Однако когда в рассмотрение стали вводиться характеристики, имеющие континуумы равновесных состояний (характеристики с зоной нечувствительности, гистерезисными петлями и т. п.), потребовалось расширение понятия. Для издающейся математической энциклопедии В. А. Якубовичем предложено следующее определение.
§ 4.2]
РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЙ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
149
Устойчивость абсолютная — устойчивость в целом тривиального решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а также интегральных, разностных уравнений и уравнений других типов, равномерная для всех систем некоторого класса.
Приведенное определение подразумевает, что должен быть задан класс систем и указано, в каком смысле понимаются устойчивость и равномерность.
Мы видели, что при каноническом преобразовании, если корни комплексны, переменные состояния, им соответствующие, также получаются комплексными, поэтому при наиболее полном обобщении в дальнейшем изложении мы в ряде случаев будем говорить и о комплексном случае, когда все или часть переменных состояния комплексны.
Пусть F (х, £) — квадратичная (или эрмитова в комплексном случае) форма; х (t) и § (t) — векторные функции, определенные на (0, со); х (Z) — абсолютно непрерывная функция; ? (Z) может совершать скачки.
Говорят, что функции х (Z), § (Z) удовлетворяют интегральной квадратичной связи с формой F (х, ?), если существуют такое положительное число Г > 0 и последовательность tk > со, что
*к
jF[x(Z),	(4.8)
о
т. е. если выполняется соотношение t
j F[х(t),	—co при Z—>co.
о
Обычно класс систем задается так: линейная часть (4.2) рассматриваемой системы фиксирована, а нелинейная характеристика (4.4) принадлежит некоторому множеству М. Например, М=
К2) — множество характеристик (4.4), график которых лежит между прямыми	и %=К2а, т. е. выполнено (4.6).
Связь между а (/) и Е (Z) может быть и нестационарной: £ (Z) = = <р [a(Z), Z], Пусть по-прежнему ср (с, t)/a^K2. Мы получаем другой класс нестационарных характеристик, а значит, и другой класс систем; обозначаем его через ЭЛ' (Кг, К2). В общем случае вместо класса М характеристик рассматривается произвольное множество ЭЛ пар функций х (f), В (Z). Каждому классу М характеристик ср (о, t) соответствует такое множество ЭЛ: пара х (t), ij (Z) из ЭЛ определяется условием ij (Z) = cp [ с (z), Z], где о (t)=c'x (Z), ср (а, Z) £ М.
150
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ устойчивости
[ГЛ. IV
I (4.9)
Таким образом, вместо класса систем можно говорить о множестве SO? пар функций х (t), £ (t). В последнем случае говорят об абсолютной устойчивости уравнения (4.2) в классе SO?.
Пусть S0?f — множество всех пар функций {х, (Z), § (/)), удовлетворяющих интегральной квадратичной связи с формой F (х, §), a SO? — некоторое его подмножество, определяющее класс рассматриваемых характеристик. Уравнение (4.2) называется абсолютно устойчивым в классе SO?, если существуют такие положительные числа Сг и С2, что для любой пары х (Z), § (/) из множества SO?, удовлетворяющей почти всюду уравнениям (4.2), сходятся приводимые ниже интегралы и выполняется оценка
СО	СО	I
II(х ( • ))F = J I X (0 \*dt, I] § ( . )||2= j | § (0 \*dt, о	о
И( • )||2+11£( • )112<^|х(0)|2+с2г,
где Г — та же постоянная, что и в (4.8). Таким образом, устойчивость понимается как конечность норм ||х (-)П, ||Jj (•)(!; равномерность же означает, что числа Сг и С2 одинаковы для всех {х (•), § (•)} в рассматриваемом классе [4.42].
Оговорка «почти всюду» сделана для того, чтобы расширить определение на разрывные характеристики, не удовлетворяющие уравнениям (4.2) в точках разрыва.
Экспоненциальная устойчивость. Уравнение (4.2) называется экспоненциально устойчивым в классе SO?, если существуют такие Сг 0, е > 0, что для любой пары х (Z), § (/) из множества SO? и любого t t0 выполняется условие
|х(«)|<Се-'(^)[х(«0)|.	(4.10)
Если х и § удовлетворяют локальной связи с формой F, то они удовлетворяют и интегральной связи с той же формой, поэтому приведенное определение справедливо и для класса SD? (О, К) и распространяется на векторные переменные х, комплексные переменные, гистерезисные и разрывные характеристики.
§ 4.3. Задача Лурье
Постановка задачи Лурье—Постникова. В постановке задачи Лурье — Постникова [4.18] и затем более общего круга задач, объединяемых теперь общим названием — задача Лурье, имелась некоторая специфика, о которой сегодня можно было бы и не упоминать, если бы она, с одной стороны, не вносила в способ использования функций Ляпунова некоторых важных особенностей, и, с другой стороны, по своему физическому содержанию не выходила в некоторой степени за круг безынерционных нелинейностей.
§ 4.31
ЗАДАЧА А. И. ЛУРЬЕ
131
Начнем со второй особенности. В задачах Булгакова [4.4, 4.5] и Лурье рассматривались конкретные, характерные для практики того времени системы регулирования, в которых нелинейный элемент—сервомотор был инерционным. Однако с помощью различных преобразований удавалось свести эти уравнения к рассматриваемому нами типу. Нелинейность как бы расчленялась на линейную инерционную и нелинейную безынерционную составляющие за счет математических преобразований. Другая особенность этих задач состояла в том, что для разомкнутого контура системы была характерной астатичность, что приводило к появлению особенностей передаточной функции на мнимой оси. С простейшего случая — наличия одного нулевого корня и началась разработка теории абсолютной устойчивости, в результате которой оказалось возможным непосредственно применить прямой метод Ляпунова и искать функцию Ляпунова в форме (4.1). Когда же перешли к неособому случаю, оказалось, что такой метод уже не позволяет решить задачу и требует коррекции в виде так называемой ^-процедуры. Формальное применение прямого метода Ляпунова без этой коррекции привело к ошибочным результатам в некоторых работах весьма авторитетных авторов. Поэтому мы коротко ознакомимся с развитием методов решения задачи Лурье, используя, однако, не оригинальные методы, а более компактную матричную и операторную запись, отослав интересующихся к первоисточникам [4.3, 4.17, 4.19]. Их весьма изящные и тонкие построения доказательств были вместе с тем достаточно сложными и трудоемкими и, по образному выражению А. И. Лурье, уподоблялись лесам, убираемым после окончания стройки.
Простейший особый случай. Условие Лефшеца — Якубовича. В простейшем особом случае сервомотора, скорость | которого нелинейно зависела от перемещения золотника о, уравнения имели вид
x=Ax+bg, x={a:J, i=l, 2..........n, |
§ = /(a), o/(o)>0, a = C'x —rE. |
Матрица A — гурвицева, неособая.
Нетрудно убедиться, что характеристическое уравнение линейной части имеет нулевой корень:
D(s)~ det£A~Is _Jf| ——sdet(A — Is).
Уравнения (4.11) удобнее привести к другой форме, введя новые переменные у, с:
(4.12)
у = Ax-f-b§—х.
152
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[171. IV
Если х -> 0 и § О, то, как сразу видно пз подстановки, и у-*0, а из третьего уравнения в (4.11) с->0, т. е. устойчивость по старым переменным х, § влечет за собой и устойчивость по новым переменным у, а. Однако, чтобы показать полную эквивалентность для исследования устойчивости новой модели, нужно показать и обратное, что условие у -» О и с -> 0 влечет за собой также х -> 0 и § —> 0. Для этого нужно выразить х и £ через у и а. Уравнения (4.12) и
а = с'х —
образуют п Д- 1 скалярное уравнение с п Д-1 неизвестными. Уравнения линейны и переменные х и с выражаются через у и с однозначно и линейно, если матрица коэффициентов этих уравнений не вырождена, т. е. если
det А = det [А ^¥=0-	(4-13)
Покажем, когда это справедливо. Матрица А не вырождена по условию, поэтому существует обратная матрица А-1, и можно построить невырожденную матрицу
МГ ?]
Перемножим матрицы А и А. При этом перемножаются и их определители и, так как определитель det А отличен от нуля, то для того, чтобы выполнялось (4.13), достаточно, чтобы произведение матриц также отличалось от нуля:
ЧГ Ж или г Дс'А^’Ь^О.	(4.14)
Так как
У = Ах Д- Ь| = Ay Д- bf (а), а = с'х — г| — с'у — rf (а), то в новых переменных задача записывается так:
у=АуД-Ь/(а), а = с'у— rf (а).	(4.15)
Постройм для уравнений (4.15) функцию Ляпунова в виде
О’
Г (у, c) = y'Qy-f-J/(a)tfc,	(4.16)
о
где Q — симметричная квадратная определенно положительная матрица, в соответствии с (3.24) определяемая из уравнений
A'Q + QA = —G,
8 4.3]
ЗАДАЧА А. И. ЛУРЬЕ
153
где G — произвольно задаваемая симметричная определенно положительная матрица. Интеграл в выражении V (у, а) положителен при всех а^>0 и функция И (у, а) определенно положительна.
Производная V (у, а) в силу уравнений (4.15) равна
Й(у, а) = y'Qy 4- y'Qy	/ (а) • c = y'(A'Q4-QA)y —
- rf (а) + f (°) (c'y + b'Qy + y'Qb). (4.17)
Так как скалярные произведения допускают перестановку сомножителей, то
b'Qy = (Qy)' b = y'Q' b = y'Qb, поэтому
b'Qy + y'Qb = 2b'Qy = 2(Qb')y.	(4.18)
Обозначим
g = Qb + lc.
Тогда, с учетом (4.18), выражение (4.17) можно переписать в виде
(У. °) = — У'Gy + / (с) (g'y 4- y'g) — rf (а) =
= -y'Gy + 2f (о) g'y _ rp („) = » J U «][, » J .
Для того чтобы равновесие было асимптотически устойчивым, достаточно отрицательной определенности функции V (у, с), т. е. положительной определенности матрицы
Однако, так как матрица G определенно положительна по условию, то для определенной положительности Р достаточно положительности определителя det Р. Введем матрицу
R —Г6* °1
K-Lo 1J’
определитель которой положителен. Тогда для определенной положительности Р достаточно, чтобы
det(PR) = det[_‘, ^'g]>0.
Условия положительности матрицы Р можно записать в виде
г g'G-1g или rG — gg' 4> 0.	(4.19)
Первое из этих неравенств, непосредственно вытекающее из det (PR) > 0, получено С. Лефшецом [4.16], второе — В. А. Якубовичем [4.40].
154
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
(ГЛ. IV
На самом деле, оба эти неравенства неудобны потому, что они содержат неопределенную матрицу Q=Q* > 0.
Эти неравенства — специальный случай так называемых «матричных неравенств», к которым приводятся задачи построения функций Ляпунова. Эффективно проверяемое условие того, когда существует матрица Q, удовлетворяющая неравенствам (4.19), дается «частотной теоремой» Якубовича [4.411. Оно имеет вид
г 4- Rec' (А — /ы!)-1 Ь > 0	(4.20)
для всех вещественных <». Это специальный случай критерия Попова, рассматриваемого в следующем параграфе.
! Неособый случай. S-процедура. В неособом случае, применив формально описанную методику к уравнениям (4.2)—(4.4) и использовав функцию (4.1), мы получили бы
V (х) = x'Qx x'Qx ? (о) с'х=
= (Ах 4- ЬВ)' Qx 4- x'Q (Ах 4- ЬЁ) 4- ? (°)с' (Ах 4" ьё) =
= (2x'Q4-fc')(Ax + ^)<0. (4.21)
Эта форма заведомо обращается в нуль при Ах4ЬЁ=0, что эквивалентно
+	=	(4-22)
»=1
Форма V (х), таким образом, не отрицательно определенная форма х и 5. При попытке вычислить матрицу QTh3 условия V (х) «4 0» рассматривая х и В, как независимые переменные, мы столкнемся с тем затруднением, что в общем случае требуемой матрицы Q=Q' не существует. Это затруднение, однако, выявилось значительно позднее появления работы [4.19], в которой А. И. Лурье, исходя из других соображений, также обнаружил невозможность выполнения в общем случае условия F (х)	0
(при всех х и Ё) и для устранения затруднений предложил вычесть из i (х) выражение (°) ^ 0, после чего решение задачи уже становилось содержательным. Однако в некоторых более поздних работах авторы не проявили должной проницательности. Е. Н. Розенвассер [4.28], критикуя подобный результат в [4.20], показал, что при этом отыскивается"пустое множество матриц Q и предложил для обхода трудностей вычитать из V (х) функцию (а — ?^)<р(а). (В отличие от А. И. Лурье, он рассматривал случай К =7^=00.)
Упомянутая корректировка функции V (х) в обобщающей работе [4.3] была названа 5-процедурой, поскольку в соответствии с ней "для решения задачи устанавливались условия поло-
S 4.3]
ЗАДАЧА А. И. ЛУРЬЕ
155
жительной
формы
определенности не функции — Й (х),
а другой
5(х,Л) = -Й(х)-(а-^1)
К* 1
<Р(0)-
(4.23)
Одна из причин получения решений из пустого множества, если не применять 5-процедуры, была отмечена в [4.31: в квадратичной форме V (х) переменные Е=ср (с) и а рассматриваются как совершенно независимые и отыскиваются условия отрицательности V (х) при любых значениях В и а. На самом же деле в силу свойств характеристики ср (с) возможны только такие значения ; и з, которые удовлетворяют условиям положительности некоторой другой формы — квадратичной локальной связи сер (а) > О для класса (0, оо) или [Ха—ср (°)1<р (°) для класса (О, К), или (К2а—ср (с))-(ср (°)—Для класса (Ки К2).
Но теперь возникает новый вопрос — вводя условие 5 (х, 5) > > 0 вместо V W < О, мы, как будто, вводим излишнее требование, не вытекающее из теорем Ляпунова, и поэтому 5-процедура может не охватить всех возможных функций Ляпунова вида (4.1). Этот вопрос в [4.3] был назван в числе еще нерешенных. Ответ на него был дан В. А. Якубовичем [4.40].
Пусть требуется найти область Й в пространстве параметров, в которой выполняется условие
<р(х)^0 при <p,.(x)I>0, i = l, 2, Vх G X.
(Функции <р (х) и <р; (х) зависят от искомых параметров.) ’ Наличие ограничения с|л (х)	0, i=l, 2, . . ., т, обычно сильно
усложняет задачу, поэтому и используется 5-процедура (в какой-то мере напоминающая метод множителей Лагранжа при отыскании экстремумов функционалов при наличии ограничений). В общем случае наличия произвольного числа ограничений составляется функция
5 (х) = ср (х) —	(х) — ... — sX (х),
зависящая от «дополнительных» параметров 0, i=l, 2, . . . . .., т, и рассматривается обычно более легкая задача определения области В в пространстве параметров, внутри которой
5 (х) 0, Vх 6 X,
причем в последнем условии ограничения типа неравенств (х)	0 уже отсутствуют. Очевидно, что В С й. Однако в ряде
практических задач, где использовалась 5-процедура, оказывалось, что Z? = Q, т. е. применение 5-процедуры не сужало найденной области.
156
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
Неущербность S-процедуры. S-процедура называется неущербной, если В = £2, и ущербной, если B=£Q.
Теорема Якубовича [4.40]. (Приводится без доказательства.)
Пусть {х} —евклидово (или конечномерное линейное комплексное) пространство, (Fx, х) и (Gx, х) — вещественные квадратичные (или эрмитовы в случае комплексного пространства) формы, причем форма (Gx, х) не является отрицательно определенной. Справедливы следующие утверждения:
1.	Соотношение
(Fx, х) г 0 при всех х, для которых (Gx, х) 0,
равносильно существованию числа такого, что
S (х) = (Fx, х) — т (Gx, х) 0, \/х.
2.	Соотношение
(4.24)
(Fx, х) 0 при всех (Gx, х) > 0
равносильно существованию числа т 0 такого, что
S(x) = (Fx, х) — t(Gx, х)>0, \/х=/=0.	(4-25)
3.	Для любых форм (Fx, х), (Gx, х) указанного вида пено
(Fx, х)	. (Fx, х)—т (Gx, х)
шт -Ц—пГ2- = тах min -—-—----------------
G(x)X Iх!	к Iх!
выпол-
(4-26)
причем в правой части неравенства (4.26) максимум достигается для некоторого конечного т.
Из приведенной теоремы, в частности, следует, что в случае одной связи (т=1), т. е. одной нелинейности для любых вещественных квадратичных (или эрмитовых) форм, S-процедура неущербна. (Заметим, что для двух и более вещественных связей (т 2) S-процедура может быть ущербной.)
Решение задачи Лурье, таким образом, свелось к следующей алгебраической задаче. Заданы вещественные матрицы А, b и квадратичная форма F (х, Е). Найти условия существования матрицы Q, удовлетворяющие требованиям
2x'Q(Ax-| bE) — xF (х, Е) < 0, Vх. ?•	(I)
Рассмотрим вначале нестрогое неравенство
2x'Q(Ах + b?)-zF(x, §)<0,
Vх, ?-	(U)
Здесь т=0, если решение можно получить без S-процедуры.
Если -с > 0, можно заменить искомую матрицу Q на tQ. Тогда
§ 4.41
КРИТЕРИЙ В. М. ПОПОВА
157
придем к случаю т=1. Ищем матрицу Q, удовлетворяющую (II), из условия
2x'Q(Ax-|-b!;) — F(x, g) = — | h'x — zS; |2.	(4.27)
Матрица z находится из условия F (0, 5) = Jj'z'zS. Пусть
F(x, §) = x/Fx-|-2x'f?-|-§/xx'§.	(4.28)
Из (4.27) получаются соотношения
QA4-A'Q = F —hh', Qb = f-|-hx.	(4.29)
При det х^О они сводятся к квадратному уравнению относительно матрицы Q. Если среди собственных значений матрицы А нет симметрично расположенных относительно мнимой оси (что, в частности, всегда имеет место, если матрица А гурвицева), то первое из уравнений (4.29) можно решить относительно Q и подставить найденное Q во второе из уравнений (4.29). Получим систему квадратных уравнений, получивших название разрешающих уравнений Лурье относительно матрицы h. Если существуют вещественные решения уравнений Лурье, то существует и искомая матрица Q.
При наличии вещественного решения уравнений Лурье выполнено (II), т. е. существует функция Ляпунова (4.16) такая, что
V>0, dV/dt^Q.
Если на множестве dVIdt пет целых траекторий системы, то отсюда следует устойчивость в целом. На самом деле неравенство (I) также сводится к уравнениям Лурье.
В настоящее время для получения условий абсолютной устойчивости имеются более удобные для практического использования методы, к числу которых относится прежде всего критерий Попова. Поэтому мы не будем рассматривать в деталях приведение уравнений (4.29) к скалярной форме и проводить их исследование. Интересующиеся могут с этим подробно ознакомиться в работах [4.3, 4.19 L
§ 4.4. Критерий Попова
Вывод теоремы Попова. Частотный критерий Попова относится к системам со стационарной нелинейностью из класса 9Л (О, К), т. е. удовлетворяющей условиям
что эквивалентно квадратичной связи °<а?(оХ^°2
ib8
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
(ГЛ. IV
и линейной устойчивой части с передаточной функцией IV (s). Структурная схема системы показана на рис. 4.2. Для установления условий устойчивости равновесия в целом необходимо рассмотреть свободное движение системы из произвольной начальной точки ,т0 пространства состояний. Расчленим это движение на две ^составляющие — z (Z), обусловленную только возмущением начальных условий, и h (t), учитывающую непрерывное воздействие на линейную часть со стороны нелинейного элемента при
Рис. 4.2.
нулевых начальных условиях, в соответствии с (1.28) равную
t
h(t)~ j w{t — т) ср [а (т)] Йт, о
где — w (t)=L~1 {W («)} — импульсная переходная функция. Для линейной части справедлив принцип суперпозиции, и, учитывая отрицательность обратной связи, можно паписать:
a (t) = —Z (Z) — h (Z).
Поскольку устойчивость исследуется в целом, будем понимать под z (Z) не конкретно заданную функцию, а произвольную функцию из некоторого класса. Поскольку линейная часть устойчива, этот’ класс характеризуется тем, что при конечных х0 функция г (Z) будет ограниченной (| z (Z) | <^ с <оо) и исчезающей (lim z (Z) — 0).
/—►со
При этом, очевидно, приложение ко входу системы такой же по классу, т. е. ограниченной и исчезающей функции, не изменяет класса рассматриваемых воздействий, и есть смысл несколько расширить постановку задачи, приложив ко входу исчезающую функцию / (Z) и объединив ее, как показано на рис. 4.2, с функцией z (Z), т. е. /n(Z)=/(Z)—2 (0- Тогда получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода:
t
— \ w^~0?[°(0]^-о
Для простоты рассуждений рассмотрим случай, когда
СО
j ® (a) cb = со о
(4.30)
(4.31)
§ 4.4]
КРИТЕРИЙ В. М. ПОПОВА
159
(хотя такое предположение, строго говоря, не обязательно). Введем в рассмотрение вспомогательные «усеченные» функции
?т (О = |
<р[а(/)] при
О при t 0 или t^> Т,
t
°т (О = — J w V — О ?т [° (01йт’ о
, /44 /Л Ут [° (01	.
фт(О=°т(О-------к------аот(0.
где а^>0 — некоторое постоянное число. Составим интеграл
Рт= J Фт(ОФт(О<^ =
°	т	т
= J ? (01 {° (0 — У У1} dt 4- a J <р [с («)] а (f) dt. о	о
Из (4.30) для 0 t Т имеем
М0=°(0 —МО-поэтому
Рт — Рт — J ? [° (01 {/п (0 + «/п (0) dt, о
где	т	т
рт = ( Ч> [° (0] {° (0 - dt + а J Т [а (*)] а («) dt. (4.32) о	о
Заметим, что
Т	а (T)	а (Т)	« (0)
j Ф [а (£)] а (Z) гй = J ф(а)йа= J^(a)da— J cp(a)d5. (4.33)
О	а (0)	О	О
Если характеристика <р(а) принадлежит сектору (О, К), что мы сейчас предполагаем, то интегралы в правой части (4.33), а также первое слагаемое в выражении р^, неотрицательны.
Докажем, что если
Р';<С,	(4.34)
160	ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. IV
где С — некоторая не зависящая от Т постоянная, то а (£) -> 0 при i—>оо. Пусть выполнено (4.34), а значит, в силу (4.33)
Т	о (Т)	а (0)
j у [о (f)] |з (f) — У	a j <р (а) da	4- j <p(a)ds.
о	on
Если сумма двух неотрицательных слагаемых меньше то каждое из них не превосходит Сх:
О
a(T)
J Ф (’)*<-%.	(4.35)
о
Однако из второго неравенства (4.35) и из соотношения (4.31) следует, что величина с(Т) ограничена по модулю при любом Т, т. е.
I«(T)|<^.
Докажем теперь, что при ряде естественных предположений производная a(t) тоже ограничена. Имеем t
=	J w (t — т)<р[а(т)]йт.
n
Используя теорему о дифференцировании определенного интеграла по верхнему пределу, когда подынтегральная функция зависит от этого предела [4.32], получаем t
° (0 = /п (0 — W (0) <р [а (£)] —	(£ — т) <р (о (т)] di.
О
Так как ср (а) — непрерывная функция, то | ср (a) | М2 при | а |	Мх,
поэтому t
I * (01 < I /п (01 -1W (0) I  м2 4- J IW (41 di  м2. о
Будем предполагать, что выполнено условие
|w(0|^C1e_8oz, | w(t) |	С2е~3ч1, где е0>0.	(4.36)
Это условие означает устойчивость линейной части рассматриваемой системы. (Если уравнение (4.30) получено из (4.2), где А — гур-
S 4.4]
КРИТЕРИЙ В. М. ПОПОВА
161
вицева матрица, то w (t) = С*еА/Ь и условие (4.36), очевидно, выполнено.) Кроме того, предположим, что
|/п«|<Л/з. $|/п(0Г<Й<со, 5|/п(О|2^
со, (4-37)
что также выполнено в случае устойчивой линейной части. (Для системы (4.2), (4.3) /п (t) = С*емх (0), поэтому соотношения (4.37) выполнены.) Используя первое неравенство (4.37), получим требуемое утверждение
|а(01<71/8+ |ш(0)Ц- $|щ(т)|(М/2 = М4.
Покажем теперь, что а(£)->0 при t -> со. Предполагая противное’ увидим, что существуют последовательность tn—> со и число 8^>0» для которых
В силу соотношений | a (t) |	Л/1, | d (Z) |	Л/4 можно найти такое
х>0, что | a (t) | a > 0 при t„— x<t<f„-]-x. (Последовательность t„ можно «разрядить», если это необходимо.) Так как, по
предположению, 0	К при a 0 и ср (а) — непрерывная
функция, то для	выполнено
Ж
?(°) К
с некоторым е0 0. Следовательно, для tn — х t tn -ф х подынтегральная функция в первом неравенстве (4.35) не меньше е0^>0. Для прочих значений I она неотрицательна. Поэтому левая часть неравенства неограниченно возрастает при Т —» со, что противоречит первому неравенству (4.35). Следовательно,
| a (t) | -> 0 при t со.
(4.38)
Итак, выполнения неравенства (4.34) достаточно для справедливости соотношения (4.38), которое по существу означает устойчивость рассматриваемой системы.
Перейдем к доказательству соотношения (4.34). Перепишем первое соотношение (4.32) в виде
Рт — Рт “Ь J 'Рт (0 {Zn (0 аАп (0}
11 А. А. Воронов
162
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
Для произвольного е 0 имеем
СО
5тт(о{/п(о+«/п(о}^ < о
со	со
<|е	+	{|/п(0 + а/п(0[2<Й.
О	о
(Мы воспользовались неравенством 2 ] аЪ ] е | а |2-f-e-1|&|2, справедливым для любых чисел а и Ь.) Второй интеграл в правой части конечен в силу двух последних условий (4.37). Итак, для любого е > 0 имеем
СО	со
Рт < РТ + U <РТ (О2 dt + J I /п (0 + */п (О I2 dt-О	о
(4.39)
Воспользуемся теперь элементарными сведениями из теории преобразований Фурье. Пусть фт (/'<•>) — преобразование Фурье функции срт(£):
Фт (У®) = J 'Рт (О е Ju“dt
н, следовательно,
со
<PT(0 = i $ Фт(У®)е/ш/^-
—-со
Тогда из выражения для ат(/) получаем
ST (У®) — — W (У®) Фт (»•
где W (/<») — частотная характеристика линейной части системы. С другой стороны, из выражения для от(£) получаем с использованием соотношения ат(0) = 0
(/<й)
Фт (/“) = эт (У40)-----к----г- “У®эт (У®)-
Следовательно,
Фт (У®) = — (т1 + У®“1w (У®)} Фт (У®)-	(4-40)
Так как
СО	со
Рт = J 'Рт (0 Фт (0 dt = $ Тт (0 Фт (0 dt’
О	—со
§ 4.4]
КРИТЕРИЙ В. М. ПОПОВА
163
то по теореме Парсеваля
СО
1 Г
Рт=а7 J МЯ’ФтО'0’)^
—со
где звездочка означает комплексное сопряжение. Так как рт — вещественная величина, то
СО
pT=iRe 5
—со
Подставляя сюда значение (4.40), получаем
со
рт=- i S {4+Re к1+ww wi1 ?т (»I2}(4-41)
Обозначим
П (/«>) = 4 + Re К/ + М) W (»]•
(4-42)
Функция П(/о>) называется функцией Попова. Покажем, что если
П (до) 0 при
— оо
(4.43)
то неравенство (4.34) выполняется. (Заметим, что существует конечный предел П ( + /оо) — lim II (/о>). Действительно, из (4.43) еле-[ СИ ] —>-СО
дует, что
П (» > 80 > о
для некоторого 8о^>0.) Тогда из (4.41) имеем
СО	со
рт<-й- 5 |мя|2^=~Мкт(*)|2^
—со	0
Мы здесь снова воспользовались равенством Парсеваля и условием <рт (£) == 0 при t — 0.
Из (4.39) получаем
СО	со
Рт < (-8о+|) 5 Тт (tfdt + j | /п (t) + а/п w \*dt. о	о
Здесь е^>0 — любое число. Возьмем е —28О. Тогда
рт с —	| /п (О Ч- а/п (012
п*
164
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
Мы установили соотношение (4.34), а следовательно, и (4.38). Отсюда следует (при а > 0) теорема Попова.
Теорема. (Частотный критерий Попова.) Предположим, что в (4.2) А — гурвицева матрица или (при условии управляемости и наблюдаемости системы х)) что все полюсы передаточной функции W (s) расположены в левой полуплоскости. Пусть для некоторого вещественного а и для всех <•>, 0	оо, выполнено
неравенство
^+Пе[(1 + /а,а)Ж(7\о)]>0.	(4.44)
Тогда система (4.2), (4.1) абсолютно устойчива в классе (0, К) стационарных непрерывных нелинейностей, т. е. в классе непрерывных функций, удовлетворяющих условиям
0<?(а) а
(4.45)
Заметим, что мы доказали эту теорему для случая а > 0 и вместо абсолютной устойчивости доказали лишь, что а (I) ->0 при t -> -[-со. Мы доказали эту теорему также для случая, когда математическое описание системы сводится к уравнению (4.30), в котором /п (0 удовлетворяет условиям (4.37), a W (1) — условиям (4.36). Таким образом, не обязательно исходная система имеет вид (4.2); линейная часть системы может, например, иметь блоки с запаздыванием, с распределенными параметрами и др.
На самом деле теорема справедлива не только для положительных, но и для любых конечных а.
Для а=0 критерий Попова следует из кругового критерия, рассматриваемого ниже в §4.6. При а=0 нелинейность может быть и нестационарной.
Случай а 0 сводится к рассмотренному путем замены переменной
Ej = Кс — <р (а) = Кс — I — (а).
Отсюда следует:
__?(°) _ ?i (°)
а а ’
так как при ^^-=0 имеем	а при	получаем
то
Q У1 (°)
т. е. преобразованная система принадлежит к тому же классу 9Д (0, К), и если абсолютно устойчива исходная система, то абсо
х) См. гл. 5.
§ 4.4]
КРИТЕРИЙ В. М. ПОПОВА
165
лютно устойчива и преобразованная. Так как о=— W (р) £= =-1Г(р) (Ко-то
jy (р\______^(р)__
>K1W—	1-у А РИ (р) «
Нетрудно проверить справедливость тождества
Re (1 — jaw) (у<о) +	=
Re (1 + а]ы) W (уы) + I 1 +	(/“) I2
Полюсы W (р) расположены в левой полуплоскости, поэтому при любом значении «> значение W (у<и) конечно. Тогда из последнего тождества следует, что если выполнено
Ке(1+/а<о)Ж(до)+-^>0,
то выполнено также и неравенство
Re(l-/am)I71(yw)+^>0.
(4.46)
Поскольку данная система есть та же система, что и исходная, из того же класса нелинейностей, но лишь преобразованная к новой переменной, то достаточно доказать справедливость условия (4.44) для а > 0 — тогда оно справедливо и для а < 0. Заметим еще, что на самом деле строгие неравенства (4.45) можно заменить аналогичными нестрогими неравенствами
0 <р (о)/а К.
Доказательство потребовало бы привлечения ряда дополнительных рассуждений, так же как и доказательство устойчивости в целом.
Основная практическая ценность критерия Попова состоит в его простой и наглядной геометрической трактовке, позволяющей привлечь к исследованию устойчивости, синтезу корректирующих цепей и анализу качества переходных процессов хорошо разработанные в линейной теории регулирования методы, основанные на использовании частотных характеристик.
Геометрическая трактовка критерия Попова. Введем так называемую видоизмененную или преобразованную частотную характеристику Wn (у'<») (характеристику Попова) так, чтобы ее вещественная часть совпадала с вещественной частью W а мнимая отличалась на множитель <»:
Re W11 (jw) = Р = Re W (уш),	1
Im 17п (ум) - Qn = wQ — w Im W (yw). j ftAl)
166
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
(ГЛ. IV
Обратим внимание на некоторые особенности характеристики РКП (до). Прежде всего заметим, что ТУ1 (до)— четная функция со и кривая MZn(/<o) не будет симметричной относительно вещественной оси. При <о = 0 кривые W (до) и Wn (до) имеют общую точку на правой вещественной полуоси. Если разность степеней п знаменателя и т числителя передаточной функции W (s) больше или равна двум, то при <о—>оо характеристика ТЕ11 (до) приближается сколь угодно близко к началу координат. Если п—т = 1, то при со —> со характеристика И711 (усо) стремится к точке Ь0/а0 на вещественной оси. При этом
' ' aos’‘ 4- ajS" 1 4- ... + о, ’
Если п = т, то характеристика И711 (до) заканчивается при <о—> со уже не на осях координат, а в точке с координатами
ReP7n(oo)= —, 1m (со) = (—1)”	~ Д1Ь°.
ао	ао
Контур характеристики И711 (/ <о) уже не является замкнутым.
Характеристика WD (j °>) пересекает вещественную ось в тех же точках и при тех же значениях частоты <о= о>ж, что и характеристика W и если отрезок характеристики W (/«>) в интервале частот <о0, % расположен в к-м квадранте комплексной плоскости, то и отрезок характеристики W11 (j «>) в этом же интервале частот расположен в том же квадранте.
Вертикальные касательные к характеристикам W (/<«) и W11 (j ю) совпадают, и если характеристика W (]'*») расположена в полосе, ограниченной двумя прямыми, параллельными мнимой оси, то и характеристика W11 (j(,)) расположена в той же полосе.
Одна важная особенность характеристики Wn (/«>) обнаруживается из следующего рассуждения. Пусть вместо нелинейного элемента мы замыкаем линейную часть также линейным элементом с характеристикой
е = — /и,
т. е. эта линейная характеристика укладывается в том же секторе (0, К) и является частным случаем рассматриваемых нелинейных характеристик <р (а) из класса (0, К).
Совершенно ясно, что если система удовлетворяет условиям абсолютной устойчивости, то полученная замкнутая система должна быть устойчивой. Так как точки пересечения характеристик W (]'“') и Л711 (/«>) одни и те же, можно определить условие устойчивости замкнутой линейной системы по критерию Найквиста: если замкнутая система устойчива, то характеристика hW11 (;(0) разомкнутой системы или совсем не должна пересекать отрезка вещественной оси (—1, —со) (поскольку разомкнутая
§ 4.4]
КРИТЕРИЙ В. М. ПОПОВА
167
система устойчива по условию), или же пересекать его четное число раз так, чтобы число переходов сверху вниз равнялось числу переходов снизу вверх. Для характеристики же W11 (J*0) критическим отрезком оси будет, очевидно, отрезок (—ПИ, —со).
Однако если мы хотим, кроме того, чтобы выполнялись условия абсолютной устойчивости, то должны потребовать, чтобы характеристики И711 (у®) и hWn (у«>) совсем не имели пересечений с отрезками вещественной оси (—1, —со) и (—ПК, —со) соответственно.
Р", В самом деле, изменяя h в пределах 0 < h К, мы перемещаем правую границу критического отрезка, причем h—О соответствует точка —со, a h=K — точка —ПК. Всегда можно выбрать h внутри заданных пределов так, чтобы правая граница критического отрезка попала в любую точку отрезка (—со, — ПК). Тогда, если характеристика И711 (у®) четное число раз пересекает отрезок (—со, —ПК), можно выбрать h, так чтобы число пересечений отрезка (—со, —Hh) стало на единицу меньше. При этом замкнутая система становится неустойчивой. Итак, чтобы 'замкнутая линейная система оставалась устойчивой при любых h, заключенных в пределах 0 < h </ К, необходимо и достаточно, чтобы видоизмененная характеристика И711 (у®), а следовательно, и ТУ (/(d) нигде не пересекали отрезка вещественной оси (—со, —ПК).
Теперь перейдем к геометрической формулировке критерия Попова. Отделим вещественную и мнимую части в выражении w (/®)f
W (у®)=р (ш) 4- iQ (<d).
Имеем
Re [(1 4- ауш) W (]ш) + 1/А] = Re [(1 4- ay®) (Р + JQ) 4- 1/А| = |
= Р (®) — omQ (®)	1/А > О,
или
р (ш) _ а(?п (Ш) _|_ 1 /К > о,	(4.48)
где Qn(u>)=ioQ(w) — мнимая часть преобразованной характеристики, а вещественная часть равна Р ((d). В результате замены неравенства (4.48) равенством
P((D)-a^((D)4-1/A=0
получим в координатах Р, Q уравнение касательной к характеристике И711 (у®). Прямая (4.47) проходит через точку (—ПК, 0) на вещественной оси и имеет угловой коэффициент l/afc. Когда Р—aQ^-^-i/K >0, кривая Wn (у®) лежит по одну сторону прямой в той части комплексной плоскости, которая содержит начало координат, т. е. справа от прямой. Таким образом, геометприче-
168
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
ское условие абсолютной устойчивости можно сформулировать так:
Для абсолютной устойчивости равновесия в начале координат системы с одной стационарной нелинейностью из класса (О, К) с устойчивой линейной частью достаточно, чтобы на плоскости преобразованной частотной характеристики W11 (j®) через точку (—ПК, 0) можно было провести прямую Попова так, чтобы характеристика И711 (j ю) целиком лежала справа от этой прямой (рис. 4.3). При этом значение а может быть как положительным (рис. 4.3, а), так и отрицательным (рис. 4.3, б).
Нетрудно также видеть, что критерий Попова включает как необходимые условия абсолютной устойчивости условия устойчивости линеаризованной системы.
Отметим еще одно обстоятельство. Если характеристика И41 (/«>) лежит правее своей касательной, проходящей через критическую точку (—ПК, 0), то система абсолютно устойчива, но если при этом сама характеристика через критическую точку не проходит, то при деформации характеристики, приводящей к нарушению абсолютной устойчивости, показанной на рис. 4.4, а штриховой линией, линейная замкнутая система из того же класса (0, К) остается устойчивой, и ничего нельзя сказать о том, теряется ли устойчивость нелинейной системы на самом деле. Если же кривая W11 (}'ч>) проходит через точку (—ПК, 0) и находится справа от своей касательной в этой точке (рис. 4.4, б), то нарушение условия устойчивости линейной системы, т. е. пересечение кривой И711 (уш) с вещественной осью левее критической точки одновременно приводит и к нарушению условия абсолютной устойчивости. В этом случае для таких линейных систем выполняется гипотеза Айзермана, а линейные критерии становятся
g 4.4]
КРИТЕРИЙ В. М. ПОПОВА
169
необходимыми и достаточными условиями (так же, как и условие Попова) абсолютной устойчивости нелинейной системы из класса Е02 (О, К). Таким образом, мы имеем удобный графический критерий для проверки выполнения гипотезы Айзермана для каждой заданной линейной системы. Гипотеза Айзермана выполнена, очевидно, и для таких систем, характеристика И'11 (/ш) которых лежит справа от своей касательной в крайней левой точке пересечения с отрицательной вещественной полуосью, но через точку (—1/А, 0) не проходит (штриховая линия на рис. 4.4, б).
Обобщение критерия на нейтральную и неустойчивую линейные части. Одно из предварительных условий при выводе критерия Попова состояло в том, чтобы матрица А не имела собственных значений на мнимой оси или, что то же самое, чтобы передаточная функция W (s) линейной части не имела на мнимой оси полюсов. Это требование связано с требованием ограниченности интеграла от импульсной переходной функции, фигурировавшего в выводе. Однако на самом деле оно является, вообще говоря, чрезмерно жестким. В самом деле, при составлении интегральных уравнений в процессе вывода мы молчаливо подразумевали, что разомкнутая система рассматривается изолированно и, стало быть, действующая на ее вход функция £ (t) может быть какой угодно, в том числе и дельта-функцией. На самом же деле система замкнута через нелинейный элемент и такого произвола в выборе £ (t) нет. При рассмотрении критерия Найквиста мы видели, что система нейтральная или неустойчивая в разомкнутом состоянии может при определенных условиях стать устойчивой после замыкания, и, конечно, не исключается возможность, что нелинейная система с такой линейной частью также может быть абсолютно устойчивой.
Наличие одного нулевого корня не приводит к особым затруднениям при исследовании абсолютной устойчивости, если линей-
170	ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ	[ГЛ. IV
пая система обладает так называемой «предельной устойчивостью», т. е. если устойчива замкнутая система, получаемая путем замыкания основной линейной части линейным элементом с характеристикой £=р. с, р. е, где е — сколь угодно малое положительное число. В этом случае сектор [0, А’1 заменяется сектором (0, К] или [е, К\, а формулировка критерия Попова сохраняется. Условия предельной устойчивости исследованы в [4.3] (гл. 3, § 5). Однако мы не будем останавливаться на этих по существу частных случаях и ограничимся указанием на одно общее правило.
Если условие отсутствия особенностей матрицы А на мнимой оси не выполняется, то в системе (4.2) можно сделать замену переменной
?=^ + ё1х,	(4.49)
где gj — матрица п X п, выбранная так, чтобы матрица
Aj^A-f-bgj	(4.50)
в преобразованном уравнении
^=А,х + ЬЕ1
была гурвицевой. Такую матрицу gt всегда можно выбрать, если исходная система управляема. Доказательство этого положения имеется в [4.41 ].
Поскольку указанный прием приводит к изменению линейной части системы, то для сохранения эквивалентности новой замкнутой системы исходной необходимо преобразовать и нелинейную часть, т. е. видоизменить класс нелинейных. характеристик или связи, которым удовлетворяют функции [ (/) и о (Z). При этом локальная (или интегральная) связь с формой F (£, о, с) преобразуется в аналогичную связь с формой
^1(^1» x) = F(l1-{-g1x, с'х, с'(Arx-J-ЫД),
т. е. новыми входами нелинейной части теперь будут —В— gxx и с^.х.
Данная методика применима не только в тех случаях, когда матрица А имеет особенности на мнимой оси, но и при ее неустойчивости. В качестве примера можно привести прием, Использованный в [4.22, 4.23] для системы с одной нелинейностью из класса 9Л(0, К). Пусть в системе, показанной на рис. 4.5, а, линейная часть W (s) нейтральна и (или) неустойчива в разомкнутом состоянии и можно найти такое лшнимальное положительное число г, при котором функция
§ 4.41
КРИТЕРИИ В. М. ПОПОВА
171
имеет все полюсы левее мнимой оси. На структурной схеме (рис. 4.5, б) введение такого г равносильно охвату неустойчивой линейной части отрицательной обратной связью с коэффициентом г. Чтобы преобразованная структурная схема (рис. 4.5, б) осталась эквивалентной исходной схеме (рис. 4.5, а), нелинейный элемент также охватывается отрицательной, но уже прямой связью с тем же коэффициентом г. Действительно, в исходной
схеме выходная переменная х= — о и входная £=ср (а) связаны соотношением
= IV(S)L{?(a(t)))=-b {° (Ol-
Для преобразованной же схемы имеем
X (0 = «	L (? (° (0) —
ИЛИ
-1{о(0}(1 + гЖ(5)) = =W(S)L{?(a(0)}-
-W(s)rL(c(t)}.
Рис. 4.5.
По сокращении правой и левой частей на —rW (s) L (a (i)} получим -£{о(0} = Ж(0£{ср(а(0)}.
т. е. обе системы эквивалентны по выходу х ——а. Применяя к преобразованной схеме критерий Попова, получим
Re (1 -ф- а/соРКп (/со) -	> 0,
ИЛИ
0<5р(а)-г1<^
т. е. преобразованная нелинейность теперь относится к классу ЭД (г, Я 4-г).
Пример. Пусть
W (0 = 7---П—> «Р > °.
'' (я — a)(s + 0)’
•р, е. исходная система неустойчива. Преобразованная систему
~ (в—о) («+₽) фг	4- (₽"— «) «+г—<?Й
172
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
будет устойчива, если р > а и г }> ар. Выбор указанным способом возможен при Р а. Если же р а, поступаем так. Представим
ffj
Рис. 4.6.
линейную часть в виде последовательного соединения звеньев (рис. 4.6, а) и составим уравнения в переменных состояния:
dx, ,
-^-=^4-^,
Введем новую переменную
Тогда уравнения преобразуются к форме
•dF=«*afl+^
+ (& — ₽) *2 + £1-
Матрица Ах равна
Ее определитель:
det (sl2 — Ar) = s2 -j- (р — g2 — a) s -{- ag2 — ap — gv Система становится устойчивой, если выбрать
gS<₽ — «• #!<«& —Ct₽.
§ 4.5]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
173
Нетрудно видеть, что обе связи отрицательны. Положим гх=—gx, г9=—g2. Соответствующая схема представлена на рис. 4.6, б. Теперь вычислим новую квадратичную связь. Пусть для исходной системы связь имела вид
Новая связь:
(А2а-?)(?-А1О)>0.
(—	— gl^l — g?^	+ £А + g^2 + А) =
= [(tf2 — гг 4- аг2) а — г2а — ?! I [—(г, - А\ -ф- аг2) а 4- г2а 4- ?] > 0.
Новая нелинейность имеет вид
fi = <Р (°) 4- («г2 — П) а — г2а.
Структурную схему можно построить не однозначным образом. На рис. 4.6, б показано формирование входа о линейной части отрицательными обратными связями по координатам хх и х2, а выход ? нелинейного элемента — жесткими прямыми связями Tj и аг2. Возможны и другие схемные варианты.
§ 4.5. Некоторые дополнительные сведения и определения
Комплексный случай. Эрмитовы формы. Иногда в теории управления используют такие математические модели, в которых переменные состояния — комплексные. Можно, например, напомнить введение переменных вида eJU>t для описания периодических функций времени или приведение уравнений состояния к канонической форме (1.61), где переменные, соответствующие комплексным корням, также будут комплексными. Поэтому далее мы будем говорить о двух случаях: вещественном и комплексном. В последнем все переменные х{, о. или их часть комплексны. Для комплексного случая составление функции Ляпунова в виде квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности уже невозможно в непосредственном виде, так как при этом функция V (х) также комплексна, и судить о ее знаке нельзя. Конечно, задачу можно решить, приведя уравнения состояния к вещественному виду, но это не обязательно. Для исследования устойчивости в комплексном случае используется аналог вещественной квадратичной формы — эрмитова форма.
Эрмитовой формой для векторной комплексной переменной 2 = = называется выражение вида
(к	\ к
J, 4=1	/	/, 4=1
174
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
где
=	+	=	(4-52)
Звездочкой обозначается комплексное сопряжение переменных
%к ~ Тл- ~Ь 1^к' %к = "(к fok"
Величины ёк могут быть комплексными или вещественными, величины h^=j, при комплексных — комплексные, р„— вещественные.
Эрмитова форма (4.49) может быть также записана в виде
G(£) = zTz,	(4.53)
где Г =	— квадратная матрица. Звездочкой у векторов и
матриц отмечается эрмитово сопряжение, т. е. выполнение двух операций — транспонирования и сопряжения. Таким образом, если z— вектор-столбец, то г—вектор-строка с элементами, сопряженными с элементами z.
Если квадратная матрица обладает свойством
А* = А,	(4.54)
то она называется эрмитовой. Сопоставляя (4.52) и (4.53), видим, что матрица Г эрмитова.
Если в (4.51) переменные Zj=.zj и коэффициенты вещественны, то форма (4.51) совпадает с квадратичной формой
к G0(z)= 2 j, Л=1
По заданной форме G0(z) можно, очевидно, построить и форму (4.51). Форма (4.51) называется расширением до эрмитовой формы G0(z).
Пример. Пусть Go (z) = 3zxz2 zf — исходная квадратичная форма, Zj, z2— вещественные переменные. Расширяя ее до эрмитовой, получим G (z) — Re (З^г* -|~ Z2Z*) = 3 Re (zxz*) | z212. Здесь zr, £2 — комплексные переменные.
Минимальная устойчивость. Система сравнения. Рассмотрим систему
х = Ах-[-Ь§, а = с'х,	(4,55)
где Ё и а — в общем случае векторы (и, следовательно, b и с — прямоугольные матрицы). Система (4.55) называется минимально устойчивой в классе пар функций £ (<), а (7), удовлетворяющих докадьцоц свдзц
?(<) тгМ
§ 4.6]	квадратичный и Круговой критерии	175
если существует такая обратная связь £ — ро, что для нее выполнено (4.56), т. е.
для любой функции а (I) и система (4.55) с <;= цо асимптотически устойчива (матрица A-j-bpc' гурвицева, р — матрица или число в зависимости от размерности 6 и а). В (4.56) /’(§, а, а) — квадратичная (эрмитова в комплексном случае) форма векторных переменных {•, с, а.
Пример. Пусть £, о — числа, и пусть
^(^о)-Цо-нЛ)
и А — гурвицева матрица. Для £=0 (т. е. для р=0) условие определения выполнено, поэтому система (4.55) минимально устойчива в классе функций, удовлетворяющих локальной связи 6(01« (0-f"A6(01>0-
Минимальная устойчивость, как следует из определения, имеет место, если |х (£) | -> 0, t -> со при любых х (<0) не обязательно для всех функций $ (/), а (/) данного класса, а лишь при £=ра, где р выбрано из условия принадлежности к рассматриваемому классу. Такая линейная система, на которой проверяется выполнение условий минимальной устойчивости, называется системой сравнения. Далее, минимальная устойчивость отличается от абсолютной еще и тем, что в ней отсутствует требование равномерности устойчивости для всех нелинейных характеристик заданного класса. Первоначальное, до сих пор распространенное определение абсолютной устойчивости также не содержит требования равномерности. Однако исключение из определения абсолютной устойчивости понятия равномерности обедняет само понятие и получаемые результаты. Физически соблюдение условий равномерности означает сохранение некоторых важных качеств процессов, не изменяющихся при любой замене нелинейных блоков в данном классе.
§ 4.6. Квадратичный и круговой критерии абсолютной устойчивости
Частотное условие абсолютной устойчивости. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости дает возможность исследовать абсолютную устойчивость систем в более широком классе нелинейностей, включая нестационарные линейные и нелинейные блоки, характеристики с гистерезисом, многие нелинейности и т. д.
Для того чтобы можно было применить квадратичный критерий, необходимо предварительное выполнение двух условий:
1. Матрица А не имеет собственных значений на мнимой оси.
176
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
2. Система минимально устойчива в классе пар функций В (/) и о (t), удовлетворяющих локальной связи с формой F.
Если система управляема, то первое условие не будет ограничительным: систему можно преобразовать к другой эквивалентной, линейная часть которой удовлетворяет условию (1). Преобразование выполняется так же, как это было описано в § 4.4 при распространении критерия Попова на системы с особенностями на мнимой оси и неустойчивые в разомкнутом состоянии.
Выполнение второго условия — минимальной устойчивости легко проверяется путем построения «системы сравнения» — замыкания линейной части линейным элементом с характеристикой В=ра из рассматриваемого класса. Если образованная таким образол! линейная система асимптотически устойчива, то исследуемая система будет минимально устойчивой.
Если нелинейных элементов несколько, а среди переменных есть комплексные, то выбирается матрица р такая, чтобы было F (ра, а, 3)	0, где F — эрмитова или вещественная квадратичная форма, полученная из формы для связи F (В, °, 3)	0. Если
полученная линейная система сравнения асимптотически устойчива, то исследуемая система также минимально устойчива в рассматриваемом классе функций. Мы будем рассматривать класс нелинейностей (т. е. класс 9)? пар функций х (£), В(0), удовлетворяющих локальной связи (4.56), а также класс нелинейностей, удовлетворяющих интегральной связи с формой F (В, о, с): существуют такие числа tk —> оо и а 0, что
O(f),	(4.57)
О
(Числа tk и у могут зависеть от a(t)~c'x(t) и В(£)-)
Для дальнейшего нам потребуется некоторое преобразование формы F (В, с, а) в некоторую эрмитову форму F = F(s, В) комплексного векторного переменного В, коэффициенты которой зависят от скалярного комплексного переменного s.
Чтобы получить в комплексном случае форму F (s, В) (когда F (В, а, 3) — эрмитова форма), заменяют в форме F = F (В, о, 6) переменные 3, о с помощью преобразований Лапласа 8 = —W (s) В, а = —sW (s) В, т. е. составляют выражение
Е(В, 3, 5) = Е[В, -Ж(в)В, —sJ7(s)B]=/(s, В)-
Пусть заданная форма F (В, о, 3) вещественна и z — тройка [В, а, 3]. к
Тогда F (z) = У a Az -А и ее эрмитово расширение имеет вид j, h=l 1 3 (к	\
.	аулг Лл / •
J, Й=1	1
§ 4.6]	КВАДРАТИЧНЫЙ И КРУГОВОЙ КРИТЕРИИ	177
Для получения формы F ($, Ё) следует проделать указанные выше операции над формой F(z), где z— тройка [|, S, о]. Покажем, как делается это преобразование на примере вещественной формы
F(E, о) = (ЛГ2а — g) (£ — J^10)
со скалярными с и о. Расширим эту форму на комплексные значения аргументов так, чтобы она при этом оставалась эрмитовой:
F (?,□) = Re [(А28 - ?)‘(| - ад.
Исключим о, выразив ее через Е. Так как 3 =—Rz(s)c, 8 = $3 = = — sW (s) i, TO F (s, j) = —Re ([1 + K±W (s)J [1 -f- KZW (s)J) | f |2.
Для s = jdi имеем
F (Ju, I) = -Re {[1 -J- K±W (»] [1 -J- KZW (/«>)]} |1|2. (4.58)
Квадратичный критерий. Пусть F( + 7'0), Ё) = Ё*ГЬ где det Г + О и выполнены условия (1) и (2), т. е. матрица (А) не имеет собственных значений на мнимой оси и исследуемая система минимально устойчива в классе функций, удовлетворяющих локальной связи с формой F (§, ст, i).
Для абсолютной экспоненциальной устойчивости системы (4.55) в классе нелинейностей, удовлетворяющих локальной связи (4.56) (т. е. для справедливости оценки (4.10)) в вещественной! случае достаточно, а в комплексном случае необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
F (>• I) = Р ll. — W (» Ё, —7<oW (JO)) i] < 0	(4.59)
при —оо и> со и любом $+0.
Соотношение (4.59) является также необходимым и достаточным условием абсолютной устойчивости в классе нелинейностей, удовлетворяющих интегральной связи (4.57) с формой F=F (Е, о, 6) как в комплексном, так и в вещественном случаях.
Эта формулировка (В. А. Якубович) доказывается тем, что обосновывается возможность при выполнении условия (4.59), называемого частотным условием, обеспечить отрицательную определенность производной функции Ляпунова V (х), т. е. возможность найти матрицу Н=Н* такую, что
2 Re [х*Н-(Ах + Ц)] + F (§, a, S) О,
(VX, |х 1 + 1 Е|=+0).	(4.60)
Условие (4.59) необходимо и достаточно для существования требуемой матрицы Н. Необходимость доказывается так. Если (4.60) выполнено для всех х, то оно выполнено и для значений х и связанных соотношением
Ах + b!j =/аж,	(4.61)
12 А. А. Воронов
178
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
т. е. получаемых из уравнений (4.2), в которых сделана подстановка р = ]<!>. Так как при этом х*Й (Ах b§) — j<s>x*Hx— чисто мнимое число, то из (4.60) следует Е(§, с, а)<^0 для этих значений х и £. Далее, из (4.61) находим х = (/и>1 — А)"1 Ь$; это можно сделать для всех § и таких вещественных значений to, для которых det (А — /о>1) =^= 0, т. е. для всех to, если матрица А не имеет собственных значений на мнимой оси, что по условию 1 выполнено. Поэтому из (4.60) следует (4.59).
Достаточность требует для доказательства гораздо более громоздких выкладок. Интересующихся отсылаем к [4.41].
Исли ^(±/со, $) —0 и выполнена локальная связь (4.56), то для экспоненциальной устойчивости достаточно выполнения условия (4.59) и условия
lim ч?Е (+/о, 1) > 0	(4.62)
ш->со
ДЛЯ любого §7^0.
Из результатов Е. С. Пятницкого следует, что в вещественном случае для локальной связи условие (4.59) (или (4.59), (4.62)) является достаточным, но не необходимым условие^! экспоненциальной устойчивости в соответствии с приведенным выше определением (4.10).
Пример1). Уравнения дискретной модели конвективной турбулентности, полученные Лоренцем (Lorenz Е. N., Atmos, sci., 20, 1963, с. 130—141, 16, 1964, с. 1—11), имеют вид
dx ,	.
-=S(y-z),
g=-₽z+^, j
(I)
где r > 0, p 0, s > 0. Характеристическое уравнение линейной части
—s — X г 0
о
s
-1 — X 0
-₽-х
= (P + X)[X2 + X(s+i) + s(i_r)] = o
о
имеет корни в левой полуплоскости при 0 <>	1. Таким обра-
зом, по теореме Ляпунова решение x—y=z—Q при 0 г < 1 устойчиво в малом. Покажем, используя квадратичный критерий, что при 0 г <Х 1 система (I) устойчива также и в целом. Отметим, что при г 5> 1 система (I) имеет, как легко проверить, три положения равновесия, т. е. при г > 1 устойчивости в целом нет. При г > 1, как показано Лоренцем посредством численного ин-
Любезно предоставлен автору В. А. Якубовичем.
§ 4.6]
КВАДРАТИЧНЫЙ И КРУГОВОЙ КРИТЕРИИ
179
тегрирования, система (I) имеет непериодические, но ограничен-
ные и не стремящиеся к положениял! равновесия решения, траектории которых «запутаны» весьма сложным образом.
Система (I) имеет стандартный вид (4.2), если только ввести «нелинейности»
B1 = a:z, l2==xy	(II)
и переписать (I) в виде dx ,	.
-^S(y-x),
d-V = rx-y-^\	(III)

Поскольку ^/z= ^21у=х, то линейности (II) удовлетворяют следующей локальной связи:
F = 0, где F = t1y — ?2z.	(IV)
Так как при 51=0, £2=0 выполнено F=0 и система (III) при £j=0 и £2=0 асимптотически устойчива, то система (III) минимально устойчива в классе нелинейностей, удовлетворяющих локальной связи (IV), а также связи F 0. Нам осталось проверить выполнение частотного условия (4.59). Распространим форму F в (IV) до эрмитовой:
F=Re($7-$z).	(V)
на р==до; В2, х, у, z на £г, £2, х, у, Z и
Заменим в (III) d/dt выразим у и 5 через и £2. Мы получим
у = —	И\(Р) = .	, Р + *
•'	IV / 1’	IV/ pl р	1) s —rj ,
S = -W2(j^, wz(p)=-^.
Подставляя эти значения в (V), получим по определению формы F — F (/и, £), что она в нашем случае имеет вид
F (Ju, В) = -[Re W, (/«)]	|2 -J- [Re IP2 (>)] | В212.
Частотный критерий означает отрицательную определенность этой формы. В нашем случае, очевидно, это условие означает выполнение неравенств
Re (/<»)> 0, Пе1Г2(Ж0,	(VI)
Согласно квадратичному критерию эти неравенства должны гнать выполнены либо для всех -а> ю, либо для всех «, 12*
180
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
исключая <о=+оо, но в последнем случае добавляется условие (4.62), т. е. условия
lim о>2 Re W1 (/<о) О,
lim <о2 Re W2 (ju>)	0.
I w|->co
(VIT)
В нашем случае IFX=O, IF2=O при <0=4-00, поэтому должны быть выполнены неравенства (VI) при всех конечных <о и предельные соотношения (VII). Так как
lim <о2 Re W2 (/<о) = —[з 0. |со|->со
Re (/<о)
_______S3(l—г) + <оа_______
I —со3 4- /ш (S 4- 1) 4- S (1 — г) [2
о.
(4.63)
lim <о2 Re W\ (/<о) = 1, ] О) ]->со
то условия (VI) и (VII) выполнены при 0 г 1. Таким образом, при 0 г 1 система (III) абсолютно экспоненциально устойчива в классе нелинейностей, удовлетворяющих локальной связи F О с формой F в (IV). В частности, система (I) при 0 г 1 экспоненциально устойчива в целом.
Круговой критерий. Пусть дана система (4.55), где Е, а — скалярные величины, а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим, что для некоторого р, Ах^р^ К2 система (4.55), дополненная соотношением Е=—ра, асимптотически устойчива.
Для абсолютной экспоненциальной устойчивости системы (4.55) в классе К2) нелинейностей Е=<р (а, /), удовлетворяющих условию
(4.64)
достаточно, чтобы при всех <о, —оо	выполнялось
соотношение
Re {[1 + AJF (»] (1 + K2W (Ja>)]) > 0.	(4.65)
‘ Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F (^, а) = (А2а—Е) (Е—Аха). Действительно, как было показано выше, форма F Ё) имеет вид (4.58). Из (4.58) после сокращения на |Е|2 следует (4.65).
В (4.65) К^=—со, К2^=-}-со. Случай, когда либо Кх= — со, либо А2 =ф-со рассматривается аналогично.
Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова
§ 4.6]
КВАДРАТИЧНЫЙ И КРУГОВОЙ КРИТЕРИИ
181
и др, на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (4.65), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W
Рис. 4.7.
Обозначая комплексную переменную W (]<£>)=%, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:
Re[(l 4-Л\г)(1 4- Л'2Г)| если Л\^=—оо, Я2^оо, (4.66)
Re((1 4- ^z)^*]0, если —со, Я2=со,	(4.67)
Re [z (1 4~ 7£2z*)J если Кг=.—со, К2^со.	(4.68)
Пусть С (Кг, К2) — область комплексной плоскости 2, определяемая этими условиями. Граница В (Klt К2) области определяется уравнениями, получаемыми из (4.66)—(4.68) заменой
182
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
знаков неравенств равенствами. Для (4.66) получаем окружность, проходящую через точки —ИКХ, —1/К2 с центром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если КгК2 > 0, т. е. если нелинейные характеристики лежат в I и III квадрантах, и ее внешностью, если сектор (Кг, К2) захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т. е. если А\=0 или А^2=0, то область С будет полуплоскостью, а ее граница — вертикальной прямой, проходящей соответственно через —1/К2 или —ЦКХ. На рис. 4.7 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов (К1г К2) в плоскости а, Там же изображены кривые W ш 0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлемого расположения характеристик W (у<о) еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости: кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутая система была асимптотически устойчивой.
Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход а и выход Е которого удовлетворяют для всех t неравенству
(^ —Е)(Е —^ха)>0.	(4.69)
Получение критерия Попова из квадратичного критерия. Из квадратичного критерия достаточно просто можно получить кри-с
терий Попова. Обозначим Ф (о) = j <р (a) da. Так как 0^<р(а)а^ о
К а2, то Ф (а) 0, поэтому, полагая Fx (Е, а) = Ей для Е = <р (а), а = <з(() имеем t	t
J Л (О- ° (01 * = J «Р [о (01 <M0=® [а (0]- ф [а (0)] > -Ф| (0)]. (I) О	о
Как и при выводе кругового критерия, для формы Е2(а, Е) = = Е(а— А^-,Е) имеем
t
[? (0. ° (01 > 0, j F2 [Е (0 й (/)] di 0.	(II)
о
Возьмем произвольные &	0, т^0 и форму F(Е, а, а) — &FX (Е, й) -ф-
-f-~Eg(E, а). Тогда из (I) и (II) получаем
t
jF[E(O, а(0. д(01>-»Фк(0)], О
S 4.61
КВАДРАТИЧНЫЙ И КРУГОВОЙ КРИТЕРИИ
183
т. е. выполнена интегральная^-квадратичная связь с указанной формой и с Г = —&Ф|а(0)]. При g = 0 система
-^=Ax-f-bg, а=с'х	(IH)
предполагается устойчивой. Так как F[0, a(Z), 3(i)J = 0, то система (III) минимально устойчива. Распространим форму F до эрмитовой
F (g, 8, 3) = Re (&g*6) -|- Re [xg*3 — A-1gJ.
Подставляя сюда вместо 3 значение 3 = —W (jm) g, получим
F (Ju, g) = —Re [&М7 (Я) [ g12 + Re [т (IP (Я -j- A-1)] | g |2.
Критерий (4.59) абсолютной устойчивости принимает вид
Re [&7<оЖ (Я] + h (К'1 + W (jw))] > 0.	(IV)
Случай т=0 ведет к противоречию с этим неравенством для <о=0, поэтому т>0и без ограничения общности т=1. Критерий (IV) принимает вид
К1 + Re W (Я 4- Re	(Я1 > 0,	(V)
что совпадает с критерием Попова (4.46) для а = &. Здесь а = =	0; случай 0 возможен лишь при К=^=со, он сводится,
как показано выше, к случаю & > 0 заменой g1=Aa—g.
Приведенный вывод критерия Попова позволяет сделать также следующее важное заключение. Поскольку квадратичный критерий в случае интегральной связи является не только достаточным, но и необходимым условием абсолютной устойчивости, то этим свойством обладает и критерий Попова для построенной выше квадратичной связи с формой F(g, а, о). Именно, пусть в системе (П1) А — гурвицева матрица. Для абсолютной устойчивости системы (Ш) в классе нелинейностей, вход о (t) и выход g (t) которых удовлетворяют условию
j [g (о -	-3] dt —Г,	-> со),
о
необходимо и достаточно, чтобы было выполнено (V). Это утверждение расширяет критерий Попова на максимально возможный класс нелинейных блоков. Указанное утверждение справедливо как в вещественном случае (о (i) и g (/) вещественны), так и в комплексном случае (когда a (t), g (i) и все величины в (III) могут быть комплексными).
Формулировка критерия для случая, когда либо А1=—со, или А2=оо, включает приведенную формулировку и, кроме того,
184
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ устойчивости
[гл. iv
к ней добавляется условие
lim w2 Re IF (/w) =А 0.
(4.70)
Примеры использования кругового критерия. Исследование устойчивости следует, таким образом, начинать с проверки выполнения условия минимальной устойчивости линейной части системы, т. е. определения допустимых границ [рх, р2] для выбора
числа [1 в уравнении замыкающего элемента системы сравнения.
Поясним это на примере характеристики, не имеющей особенностей на мнимой оси. Так как в разомкнутой системе сравнения замыкающий элемент включен последовательно с основной линей-
ной частью, то передаточная функция системы срав-
/4? А
Рис. 4.8.
нения равна
IFp (ум) = pIF (у<о).
Обозначим через кя число полюсов функции W(p), расположенных справа от мнимой оси (с учетом их кратности).
Рассмотрим несколько основных случаев.
Пусть разомкнутая система сравнения устойчива (А:п=0).
Для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы ха-
рактеристика plF (y'w) не охватывала критическую точку (—1, 0) на вещественной оси или, что то же самое, чтобы разность между числами положительных (снизу вверх) и отрицательных (сверху вниз) переходов характеристики р W (j «>) через отрезок вещественной оси слева от критической точки равнялась нулю. При заданной на рис. 4.8 форме характеристики все ее пересечения с вещественной осью должны происходить справа от точки (—1, 0), т. е. условие устойчивости имеет вид
рIF (/(о) 2>—1, или р
1 Ж(/Ш)
Здесь u>fc такова, что Im ВДусо*,) —0.
В критическом случае, когда характеристика pxIF (уш) пересекает вещественную ось в точке (—1, 0), имеем
рхЖ(Ю = -1, или р1=-
§ 4.6]
, КВАДРАТИЧНЫЙ И КРУГОВОЙ КРИТЕРИИ
185
т. е. одну из границ для р; величина определяется через абсциссу левой точки пересечения W (j<о) с осью. Должно быть
Р1^>р, или —1/Pi?>—1/р-
С другой стороны, свободный член характеристического уравнения замкнутой системы l-|-pW (0) должен быть положительным, т. е. l-j-pPK (0) >0,
1
— Н2-
Это — второе условие устойчивости, где граница р2 определяется правой точкой пересечения годографа W (/°1) с вещественной осью. Объединяя полученные условия, имеем
Hi > Р- > Р2. или
VPi Vp > 1/Рг-
Таким образом, отрезками устойчивости, на которых расположены точки, соответствующие допустимым значениям р, являются отрезки вещественной оси, расположенные вне контура характеристики W (]ш)- Это понятно и геометрически: число оборотов кривой W (Н при изменении « от —оо до оо вокруг любой из точек этих отрезков равно нулю. Левее точки —1/рх вообще нет переходов W (]<») через вещественную ось, а левее точки, расположенной справа от —1/р2, имеем два положительных и два отрицательных перехода, т. е. суммарное число переходов также равно нулю.
Если передаточная функция разомкнутой системы имеет один правый полюс, т. е. /сп=1, то отрезком устойчивости является отрезок вещественной оси, заключенный между началом координат И ТОЧКОЙ —l/fX2, поскольку число оборотов W (]«>) вокруг любой точки этого отрезка равно одному (или число положительных переходов слева от отрезка равно двум, а отрицательных — одному), т. е. условие устойчивости
0 < ~ Vp < —VR2. или 0 < R < Р-2-
Если &п=2, то отрезком устойчивости будет отрезок вещественной оси между точкой —1/р-х и началом координат, так как число оборотов W (/«) вокруг любой точки этого отрезка равно двум (или число положительных переходов через вещественную ось слева от отрезка равно двум, а отрицательных — нулю). Условие устойчивости
—1/рх<—1/р. <2 0, или н <С Н 0.
186
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
В случае А'п=0 и 0 ср (а)/а <С К условием абсолютной устойчивости будет расположение характеристики W (/®) справа от прямой z=—ЦК (рис. 4.7, а).
В случае Ап=1 и нелинейной характеристики из класса
—Р-2><Р(°)/°>—°0’ Р-2 < °.
условие абсолютной устойчивости при соблюдении условия минимальной устойчивости определяется невхождепием годографа W (/«) в окружность, построен-

Рис. 4.9.
Приведенное условие
ную на отрезке устойчивости (показана на рис. 4.8 штриховой линией). Если эта окружность не имеет других точек соприкосновения с кривой ТУ (7«>), кроме указанных точек О и —1/р2, то нарушение усло-___вия абсолютной устойчивости Р по круговому критерию происходит одновременно с потерей устойчивости линейной системой, гипотеза Айзермана выполняется и кругов ой критерий дает необходимое и достаточное условие абсолютной устойчивости, так же как и любой линейный критерий устойчивости по отношению к замкнутой линеаризованной системе с характеристикой g=pa из данного класса, абсолютной устойчивости дает более
узкую область, чем критерий Попова, но относится к более ши-
рокому классу нелинейностей, включающему также нестационарные нелинейности. Для показанных на рис. 4.9 основной W (/<°) и видоизмененной И711 (;<“) (штриховая кривая) характеристик критерий Попова соблюдается, круговой — нет.
§ 4.7. Связь между критериями. Улучшение критериев
Влияние достаточности "’критериев на ширину определяемой ими области. Рассмотренные критерии — квадратичный, вытекающий из него круговой и критерий Попова —различаются степенью подробности учета специфических особенностей нелинейных характеристик, что отражается на ширине области устойчивости, даваемой тем или иным критерием.
На рис. 4.10 жирной линией условно показана граница области устойчивости 1, построенная в пространстве каких-либо
S 4.7]
СВЯЗЬ КРИТЕРИЕВ И ИХ УЛУЧШЕНИЕ
187
Рее. 4.10, отражение в учебных курсах.
параметров по необходимому и достаточному критерию. Эта область совпадает с фактической областью устойчивости, но ее нахождение представляет собой всегда желанную, но обычно трудно достижимую цель для исследователя-аналитика. В сложных системах обычно удается достигнуть мепее совершенного результата — найти либо только необходимый, по недостаточный критерий, дающий чрезмерно широкую область 2, включающую фактическую область устойчивости, но вместе с ней и заштрихованную область неустойчивых состояний, либо достаточные, но не необходимые критерии, дающие более узкие области 3 и 4. Совпадением границ областей 1, 3 и 4 на некотором участке на рисунке иллюстрируется тот факт, что для некоторых классов линейных частей, например обеспечивающих абсолютную устойчивость в гурвицевом угле, достаточный критерий может одновременно стать и необходимым.
Необходимые, но недостаточные критерии ненадежны, так как допускают неправильные решения. Однако некоторые необходимые критерии, имеющие особенно простое выражение, все же получили распространение и даже
Классическим примером является необходимый критерий положительности коэффициентов характеристического уравнения Сто-долы. Практическая ценность таких до предела простых критериев состоит прежде всего в том, что они позволяют на самом первом этапе исследования отбросить заведомо непригодные, видные «с первого взгляда» решения, не тратя время на их более детальный анализ. Реже, но используются и более сложные необходимые критерии, которые требуют некоторых затрат времени на исследование. Примером их может служить необходимый критерий устойчивости автоколебаний Гольдфарба. Его распространение объясняется, во-первых, тем, что точные критерии чрезмерно сложны, и, во-вторых, тем, что эмпирически установлена высокая вероятность получения по этому критерию правильных решений в обычных инженерных задачах. К такому выводу можно прийти лишь после достаточно длительной проверки.
Читателям, склонным считать все нестрогие результаты непригодными, стоит вспомнить, что инженеры встречаются с двумя источниками нестрогости: первый — замена реальной системы упрощенной математической моделью, второй — применение математически нестрогих методов при решении задачи на основе
188
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
1ГЛ. IV
математической модели. Если вероятность неверного ответа в результате применения нестрогого метода при решении приблиясен-ной модели меньше, чем вероятность неправильного результата при применении строгого метода к плохой модели, то с точки зрения практика нестрогий метод ничуть не хуже строгого. Наоборот, строгий метод, если он значительно сложнее, будет считаться худшим, поскольку он увеличивает затраты труда на решение задачи, не снижая вероятности ошибочного решения.
Совершенно непригодным как с теоретической, так и с практической точки зрения является метод, дающий область 5, захватывающую только часть фактической области устойчивости, но вместе с тем и часть области неустойчивости.
Из достаточных критериев лучшим считается тот, который дает более широкую область устойчивости (область 3).
Улучшение критериев. Улучшение критерия достигается введением дополнительных зависимостей, что повышает сложность критерия. В очень сложных системах высокого порядка с большим числом связей и нелинейностей часто приходится ради упрощения критерия идти на его ухудшение, на получение «весьма достаточных» (very sufficient) критериев, сужающих область устойчивости и вводящих большие запасы в конструкцию, но зато позволяющих решить задачу современными вычислительными средствами в экономически приемлемое время.
Из рассмотренных выше критериев (круговой критерий и критерий Попова) круговой дает более узкую область устойчивости, чем критерий Попова, если исследуется класс стационарных нелинейностей, но зато он охватывает более широкий класс нелинейностей. Взаимоотношение критериев исследовано в [4.36, 4.37]. Сообщим об этих результатах без доказательств.
Если в системе с одной нелинейностью передаточная функция W (s) не имеет на мнимой оси полюсов, то круговой критерий для систем с характеристикой ср (а) из класса SD7(O, К) дает необходимые и достаточные условия существования функции Ляпунова вида квадратичной формы
Е(х) = х*Нх>0
такой, что в силу дифференциальных уравнений (4.2)—(4.3) выполняется неравенство V (х) < 0.
При этом учитываются параметры Кг, К2, характеризующие границу сектора, вмещающего характеристику. Оказывается, что улучшить квадратичный критерий введением каких-либо других дополнительных сведений о нелинейностях уже невозможно, так как их введение не приводит к расширению области устойчивости и потому неоправдано. Чтобы расширить эту область путем введения дополнительной информации о нелинейностях, следует изменить и вид функции Ляпунова.
8 4.7]
СВЯЗЬ КРИТЕРИЕВ И ИХ УЛУЧШЕНИЕ
189
Критерий Попова охватывает, грубо говоря, все условия, которые могут быть получены с помощью функции Ляпунова вида
V (х) = х*Пх -j- & j ср (a) da. о
Говоря точнее, выполнение частотного условия Попова П (<о) О при О	00 и условия
оо lim <о2П (со) > О
необходимо и достаточно для существования функции Ляпунова указанного вида такой, что Й (х)< 0 в силу исходных уравнений для любой функции ср (с) из класса ЭД (О, К).
Критерий Попова в своей исходной и наиболее простой формулировке в виде строгого перавенства (4.45) требует таких свойств системы, как принадлежность ср (с) к классу9)7 (О, К), а также устойчивость матрицы А. Путем некоторых рассмотренных выше модификаций критерий Попова можно улучшить и распространить его на системы нейтральные или неустойчивые в разомкнутом состоянии и на нелинейные характеристики, имеющие общие точки с лучами 0А\, 0А2 или осью ординат. Рассмотрим дальнейшее улучшение критерия путем некоторого дополнительного сужения класса нелинейностей.
Дифференцируемые нелинейности. Одно из сужений класса нелинейностей ЭД (О, К) состоит в том, что из него выделяется важный для многих практических целей подкласс ЭД (К, Кх, А2) функций <р (а), а именно — дифференцируемых функций, на производные которых также накладываются ограничения типа неравенств. Подкласс ЭД (А, А\, А2) очерчивается двумя системами неравенств
(4.71а)
(4.716)
причем без ущерба для общности можно принять
Ах<0, А2>А.
Условия абсолютной устойчивости для этого случая можно получить из общего квадратичного критерия следующим образом.
Для вывода условия Попова использовалась локальная квадратичная связь
АД?, а) = Е(АЪ — В),
190
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
вытекающая из условия (4.71а), и интегральная квадратичная связь F2(5, &) = &:
j F2 (Е, й) dt = Ф [о («)] - Ф [с (0)] > -Г2, о
где Г2 = Ф [о (0)], вытекающая из условия
Ф (о) = j <р (о) da 0. о
Когда выполняется несколько квадратичных связей
*>140. °(0. 6(01 = 0, /=1......Р1,
Fj [? (0. ° (0. 6 («)] > 0, j = Р1 + 1.Р1 + Pi,
*к
j <Д?(0.а(0,6(0]<Й> — Пу, 7 = л+а+1,. . ..Pi+ft + ft
(4.72)
(Р = Р1-J- Р2 4~ Рз — общее число связей), следует составить форму
F(&, о, Й) = £т/\(Е, о, 6),	(4.73)
>=1
где Ту — некоторые произвольные вещественные положительные числа. Для этой формы, очевидно, выполнено условие интегральной связи (т. е. соотношение (4.57)).
В рассматриваемом случае
F& о, 6) = -^, a)4-T2F2(g, 6).
Соответствующая эрмитова форма имеет вид
F& 3, a) = T1Re^*(a — ^)] + т2 Re (Г°).
Рассматривая а и о как преобразования Лапласа, положим
3 =—W (s) £, 3 = 85
и получим
F (s, I) = -{ч 4+Re [(Ч + 8Т2) W (s)]} • I ё I2.
Условие отрицательности этой формы при s = /w дает
^ + Re[(1 + /m2)W(/(o)]>0,
§ 4.7J
СВЯЗЬ КРИТЕРИЕВ И ИХ УЛУЧШЕНИЕ
191
т. е. получено условие Попова при обозначениях = 1, т2 = S. В случае дифференцируемой нелинейности добавляется условие
t
J Fs (J, a) dt Г2 и форма F принимает вид о
а) + т2Г2(В, а) + т3Г3(ё, о)>0.
Аналогичное эрмитово расширение формы для F3 приводит к выражению
Fs = Re {(I - K^f (КйЪ - !) = -с (ш) 11|2,
где
«>2 [1 + (К2 + KJ Re W (]Ш) + КуК21W (М |2],
с(ш)-	если Ку-со, #2^со,
}	— <u2[ReЖ(;<и)7Г21РИ(/<и)|2],	—со, <	>
ш2 [Re W (/<d) + Kr | W (» |2], К2 = со.
Сказанное формулируется в виде теоремы:
Теорема (В. А. Якубович). Пусть <р (а) — дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям (4.71); все собственные значения матрицы А расположены в левой полуплоскости; для некоторых 0, т2, т3 0 выполнено условие
П (о>) = тх (-^4- Re W (7а>))+т2 Re JwW (»	т3с (<u) > 0 (4.75)
при 0^<и<^со, П(со)^=0, а если П(со)=:0, то lim <иаП (ш)	0.
(Й->СО
Тогда система (4.2)—(4.3) асимптотически устойчива в целом. Если П (оо)=4=0, то система (4.2) абсолютно устойчива в классе нелинейностей, удовлетворяющих условиям (4.71) с фиксированными К, Ку и К?; это означает, что устойчивость равномерна, т. е. можно выбрать одинаковые для всего класса рассматриваемых нелинейностей числа Г, Су, . . ., С4 в (4.10), причем
«(0)
Г= J <р (a) d<3 + С«р [а (0)12. о
Условие устойчивости матрицы А в этой теореме можно заменить условием устойчивости замкнутой системы сравнения с характеристикой замыкающего элемента £=ра, где р выбирается из интервала 0 ^’р К. Если система управляема и наблюдаема (см. ниже гл. 5), то условие устойчивости матрицы А можно заменить требованием, чтобы полюсы передаточной функции W (s) были левыми.
192
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
Устойчивость по выходу. В критических и вырожденных случаях систем из класса нелинейностей Кх, К2) можно воспользоваться понятием устойчивости по выходу т]. Для этого в систему (4.2) вводится новый выход
4 = g*x + То^ + тДДЙ,
(4.76)
где 'fo- Ti — вещественные числа, g — вещественная матрица-столбец. Для преобразований по Лапласу получим
4=с (»
где С (/<о) == g* (/0)1 —jA)-1 ь 4- у0 + /щур
Теорема об устойчивости по выходу (В. А. Якубович). Пусть: 1) <р(а) — дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям (4.71); 2) линейная система сравнения с 0 р К асимптотически устойчива и 3) выполняется условие
П(со)>8|С(/<в)|2	(4.77)
для тех и 0, при которых матрица А не имеет собственных значений, равных /св, и для некоторых чисел 8	0,	0, т2, т3 О,
х>0,	0. Тогда система (4.2), (4.3) абсолютно устойчива
по выходу т]. Это означает, что конечна норма ||т]|| и справедлива оценка
со	«(0)
j <р(о)<Ь,
о	о
где числа Сг, . . . , С4 — одни и те же для всех нелинейных характеристик рассматриваемого класса.
Критические и почти критические случаи. В простейших критических случаях, рассматривавшихся ранее, расширение на них критериев абсолютной устойчивости выполнялось путем замены переменной {•= £1{-g*x. В ряде других случаев их удается свести к некритическим еще более простой заменой переменной (•= = ^4-8 а, где 8 — некоторое постоянное число. (Эта подстановка иногда возможна и в системах со многими нелинейностями; тогда 8 будет постоянной матрицей.) Такие случаи называют почти критическими.
Пусть в системе (4.2), (4.3) матрица А имеет собственные значения на мнимой оси, а функция ср (с) удовлетворяет несколько более жесткому требованию, чем (4.71а):
(4.78)
где е^>0. Заменим ^ = ^-4-8-, тогда получим систему (4.2), но уже с матрицей А^ = А — 8Ьс*,
§ 4.7J
СВЯЗЬ КРИТЕРИЕВ И ИХ УЛУЧШЕНИЕ
193
Если можно выбрать 8 так, что Ах будет гурвицевой матрицей, то при ср (а) = 8а линейная система будет асимптотически устойчивой. Функция ?i=cp (°)—8а будет удовлетворять квадратичной связи
е°2<(^1 + 8а)0<^а2>
и к ней можно будет применить частотные условия абсолютной устойчивости.
Теорема (Критерий Попова для почти критического случая.)
Пусть: 1) передаточная функция W (s) имеет произвольное число полюсов / <»А на мнимой оси; 2) линейная система сравнения (4.2), (4.3) при ср (о) = 8а для некоторого 8, 0	8 К, асимптоти-
чески устойчива. Тогда для асимптотической устойчивости в целом нелинейной системы с функцией ср (а), удовлетворяющей условию (4.78), достаточно, чтобы для всех <«7^<оА и некоторого а выполнялось условие Попова (4.45) и чтобы ПтП(ш) был положителен
или равеп Д-оэ.
Для того чтобы распространить критерий на случай, когда функция ср (а) удовлетворяет условию 0 < а«р (а)	7<а2 при 0,4=0
и А < со, достаточно выполнить условие Попова в виде строгого неравенства П (<«) > 0 и условие
со lim <и2П (ш) > О
для всех <dt^U)a и, если s=0 — полюс второй кратности, кроме того, выполнить равенства
—со	со
j <р (a) da = со,	j <p(a)cfa= оо.
о	о
Следует отметить, что при наличии двух пар чисто мнимых полюсов частотное условие Попова выполняется лишь в некоторых сравнительно редких случаях. Зато при наличии двух чисто мнимых полюсов условия данной теоремы иногда оказываются не только достаточными, но и необходимыми для абсолютной устойчивости в классе9Д(0, К).
Именно, пусть функция W (s) представима в виде
где все полюсы Ил1(х) расположены в левой полуплоскости, аД>0, Рх>0, где х==—limlx(X). Положим
Х->со
П (Ш)=1+Re [(1 + М) W (»],
Пю = lim П ((d), & = р/(о®а.
со~>‘со
13 А. А. Воронов
194
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
Пусть /Су^со. Тогда, как показал Г. А. Леонов, при выполнении условий
П(ш)>По0 при всех <и 0, lim<»2[II (о>)— Поо]^>0 со-* со
основное условие Попова П (<») >0 будет необходимым и достаточным для асимптотической устойчивости в целом любой системы с непрерывной функцией ср (о), удовлетворяющей условию
О а<р (а) Аа2.
§ 4.8. Системы с дифференцируемой неубывающей нелинейностью, абсолютно устойчивые в гурвицевом полуугле
Поиск условий выполнимости гипотез Айзермана и Калмапа. Из критерия Попова сразу вытекает, что нелинейная система класса 0Л(О, К), линейная часть которой имеет первый порядок, абсолютно устойчива в гурвицевом угле.
Еще в 1950 г. И. П. Еругин [4.13] показал, что к этому классу линейных частей относится также линейная система второго порядка. Этот же результат иным способом был получен также И. Г. Малкиным [4.20, 4.21] и Н. Н. Красовским [4.14, 4.15]. Во время выхода этих работ критерий Попова еще не был известен.
Из критерия Попова этот результат получается элементарно просто: не представляет труда показать, что вся частотная характеристика линейной системы второго порядка располагается при положительных <» в нижней полуплоскости, следовательно, там же расположена и характеристика W (/“), а касательная к последней в начале координат проходит под некоторым углом, отличным от кт:, к—О, 1 и, следовательно, через точку (—i/K, 0) можно провести прямую Попова, правее которой расположена W (jw).
В 1956 г. В. А. Плисс [4.24] показал, что для уравнений третьего порядка
= — сх1-\-х2 — ?(ж1),
dx9	,
77 = —^ + ^ fo).
(4.79)
где Ъ > 0, с > 0, при ср (я’1) = ух1 получается характеристическое уравнение замкнутой системы
s8 -ф- (с ф- р.) sa ф- с — рЪ = 0.
§ 4.8]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ НЕУБЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
195
Условие устойчивости имеет вид
т. е. гурвицевым углом будет угол (0, db).
Матрица А в этих уравнениях имеет пару чисто мнимых собственных значений и условия Попова выполняются при следующих условиях:
при Ъ<^с2 — в угле [в, 1/с[ при любом е^>0, при b с2 — в угле [е, с[Ъ — е], при Ь — с2 — в угле [0, 1/с].
Таким образом, гипотеза Айзермана в общем случае не выполняется. (Она выполняется лишь при Ъ > с2.)
В 1962 г. А. Берген и С. Вильямс [4.43] показали, что система третьего порядка с более узким подклассом линейных частей, а именно, одноконтурной цепи из последовательно включенных звеньев первого порядка, абсолютно устойчива в гурвицевом угле.
В 1966 г. Н. М. Трухан ]4.30] показала, что абсолютно устойчивыми в гурвицевом угле являются также системы с нелинейностями из класса ЭЛ (О, К) с линейными частями в виде одноконтурных цепей из устойчивых звеньев первого порядка до пяти включительно, а также из любого числа одинаковых апериодиче-
ских устойчивых звеньев первого порядка.
Последующее расширение класса линейных систем, обеспечивающих устойчивость в гурвицевом угле, было незначительным и не выходило за пределы пятого порядка. Прогресс в этом направлении, как видно, крайне медленный. Возникла мысль, что для дальнейшего продвижения в этом направлении целесообразно несколько сузить класс нелинейностей, исключив, иапример, такие неблагоприятные для устойчивости факторы, как разрывы характеристики ср (а) и ее падающие участки.
В 1957 г. Р. Калман [4.45] высказал гипотезу об абсолютной
устойчивости в гурвицевом угле (AJ, А£) систем с одной дифференцируемой нелинейностью, производная которой ограничена чис-
лами А®, А®:
^)<^о da
<р(0) = 0.
(4.79а)
Здесь считается, что в условии Кг К2 — Кг и К2 — произвольные фиксированные числа, сколь угодно близкие к числам К° и Аг, определяющим гурвицев угол
А?<АХ<А2<А°2.
13
196
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[гл. ту
Одно время казалось, что гипотеза Калмана верна, поскольку она «строже» гипотезы Айзермана. Фактически ею издавна подсознательно пользовались практики, считая, что если устойчивы все линеаризованные системы, полученные заменой характеристики Е=<р (а) касательными £=ра-|-р0 к ней во всех ее точках, то нелинейная система также устойчива, причем «в большом». Однако в 1966 г. Р. Е. Фиттс [4.44] построил противоречащий пример для системы четвертого порядка, показав тем самым, что гипотеза Калмана также в общем случае неверна.
Заметим, что если выполнено приведенное условие (4.79а), т. е. если все лучи, проведенные через начало координат параллельно всем касательным и кривой <р (о), укладываются в угле (К°, К§, то нелинейная характеристика ср (а) также должна находиться внутри этого угла, т. е. из (4.79а) вытекает условие
к°<Ш<кч.
Однако обратный вывод сделать нельзя: из последнего условия не вытекает (4.79а). Детальный обзор работ по абсолютной устойчивости в гурвицевом угле содержится в [4.27].
Устойчивость систем с дифференцируемой нелинейностью в гурвицевом полуугле. Будем считать, не ограничивая общности, что Гурвицев угол (КЧ, КЧ) содержит положительную полуось оси абсцисс, т. е. К° < О, КЧ > 0. Угол (0, КЧ) будем называть положительным гурвицевым полууглом. Выберем произвольное К в интервале 0 < А < А» (оно может быть сколь угодно близко к КЧ) и рассмотрим систему с одной дифференцируемой нелинейностью, удовлетворяющей условиям
<р(0) = 0, 0<^<А.
Обозначим через 9Д(0, КЧ) множество всех нелинейностей указанного вида. Если рассматриваемая нелинейная система с любой нелинейностью <р (°) £ 9Д(0, КЧ) асимптотически устойчива в целом, то будем говорить, что имеет место абсолютная устойчивость в классе 9Я(0, КЧ).
Полагая в исходной системе <р (<з)=ср1 (о)—pa, мы для новой системы с нелинейностью (а) получаем гурвицев угол (А?+р, AS’+p). Таким образом, при подходящем выборе числа р нижнюю границу гурвицева угла можно сделать любой, в частности, сколь угодно близкой к пулю. Таким образом, к рассматриваемой задаче сводится задача об абсолютной устойчивости в классе 9Д(Ау, КЧ) нелинейностей, удовлетворяющих условиям
T(0) = 0, A°1<A1<g<A2<Ag
S 4.8J
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ULi БЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
197
(где числа Кг и К2 могут быть сколь угодно близкими к и Kty, т. е. задача об абсолютной устойчивости в гурвицевом угле.
Заметим, однако, что могут быть случаи, когда имеет место абсолютная устойчивость в классе К°), ноне будет абсолютной устойчивости в классе нелинейностей, удовлетворяющих стандартному условию 0	К (с любым К К§.
Системы, абсолютно устойчивые в классе SD?(O, К9), представляют практический интерес, поскольку об их устойчивости можно судить по линейным критериям.
Для решения поставленной задачи воспользуемся критерием Якубовича (4.75). Так как в нашем случае ^=0, К2=К, то для абсолютной устойчивости в классе 501 (0, К) достаточно, чтобы было выполнено неравенство
•t^-i-J-ReTF (/<u)J-|-т2 Re [/а>РРг (ytu)]t3<u2 f 1 -|-Re ЛТИ (/<n)|	0
с некоторыми 0, т2, t3 0. Это неравенство можно представить в виде
==(т+7’) (ь+А^(°2) -	> 0.
где обозначено P=ReP7 (jw), <2=ImPPr (f<u). Разделив на положительную величину т3о>2, получим
|_|_р(ш)_ах(ш)<?(ш)>0,	(4.80)
где для единства с привычными обозначениями принято та=а, а через х (<и) обозначена функция
х(ш)=	“	...	(4.81)
Введем далее обозначения
(Г* (<о) = х («>)()(«>),
Тогда из (4.80) получим
n!»=|+P(<»)-a^(<»)>0.	(4.82)
Нетрудно усмотреть аналогию (4.82) с критерием Попова, но по отношению к иной видоизмененной характеристике W** (j«)'. для абсолютной устойчивости достаточно, чтобы через точку (—1//Г, 0)
198
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
можно было провести прямую под углом arctg а-1 так, чтобы видоизмененная характеристика И7** (/со) располагалась справа от этой прямой.
Характеристика РК** (/со), так же как и рассмотренная ранее характеристика W'[ (jсо), обладает свойствами: W** (O) = PF (0); характеристики W (/со) и И7** (/<’>) пересекают ось абсцисс при одинаковых частотах и в одних точках; IV** (]'ы) — четная функция и если 2, то	(/со) | = 0.
«-►со
Если характеристика W** (Ju) расположена правее своей касательной в точке о>= cofc пересечения характеристики с отрицательной вещественной полуосью, наиболее удаленной от начала координат, то при возрастании К нарушение условия (4.82) абсолютной устойчивости происходит при том же значении К, при котором теряется устойчивость линеаризованной системы сравнения с той же линейной частью, т. е. в этом случае система абсолютно устойчива в классе 9)2(0, XJ).
Теорема 4.8.1 [4.6]. Пусть <р (о) — стационарная дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям
<Р(О) = О,
(4.83)
а передаточная функция W (р) линейной части не вырождена, т. е. имеет тот же порядок знаменателя, что и матрица А системы (4.2) и все полюсы W (р) расположены в левой полуплоскости. Пусть частотная характеристика W (/со) удовлетворяет условиям:
1.	W (0) > 0.
2.	При возрастании ш 0 характеристика W (j ш) пересекает отрицательную вещественную полуось только в одном направлении — снизу вверх.
3.	Для некоторого числа а и для всех со 0 выполняется условие
^ + Р(<о)-а<2(«>)>0,	(4.84)
где Р (co)=RePF (/<о), Q (co) = ImHz (/со).
4.	Могут существовать значения со 0, при которых Р (со)= =—ЦК. Если такие значения со существуют, то обозначим через сох и <о2 минимальное и максимальное среди них. Пусть характеристика W (J со) обладает свойством aQ (со) 0 при <о1 со со2. Тогда система (4.2) асимптотически устойчива в целом.
Доказательство. Пусть существует такое а > 0, что условие (4-84) выполняется. Это означает, что характеристика IF (/со) расположена справа от прямой, проходящей через точку (—1/К, 0) под острым углом arctg а1 к вещественной оси (т. е.
S 4.8]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ НЕУБЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
199
W(J <u) лежит ниже этой прямой (рис. 4.11, а)). Установим, при каких условиях при выполнении неравенства (4.84) выполняется также условие (4.82).
В четвертом квадранте, где Р (ш) > О, Q ( О)) <0и Q** ( о>) <С о, очевидно, оба условия (4.84) и (4.82) выполняются всегда, так как
Рис. 4.11.
В верхней полуплоскости (4.82) будет выполняться заведомо, если слагаемое —aQ** (<u) будет не больше слагаемого —aQ (<u) в неравенстве (4.84), т. е. если имеет место неравенство
<2(Ш)

пли же если выполнено
х (ш)< 1 при Q (<и)	0.
(4.85)
В третьем квадранте, где Р (<и) < 0, Q (<и) < 0, <2** («и) < 0, для той части характеристик W (/<«) и W** (]ш), которая расположена правее прямой, параллельной мнимой оси и проходящей через точку (—1/К, 0), выполняются оба условия (4.84) и (4.82). В самом деле, правее этой прямой в третьем квадранте имеем |Р (<u)| < ПК, следовательно, МК-\-Р (ш) >0, а слагаемые —aQ (<и) и —aQ** (ш) положительны.
200
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
Таким образом, если только мы обеспечим выполнение условий (4.85), то «опасной» частью характеристики, на которой условие (4.82) может нарушиться, будет лишь та часть, которая расположена в третьем квадранте левее прямой Р=—1/К. Условие (4.82) будет следовать из условия (4.84), если эта «опасная» часть будет расположена не выше, чем соответствующая ей часть характеристики W (/<i>), т. е. если будут выполнены неравенства
НЛП
при
X (со) 1
р (<»)< — i/K.
(4.86)
Покажем, что постоянные tj и т3 в (4.81) всегда можно выбрать так, чтобы условия (4.86) выполнялись. Выберем их так, чтобы при значениях о>=со1 и о>=сп2 функция х (со) принимала значения, равные единице. Положив в (4.81) х (со)=1, получим квадратное уравнение
Кт3со2 — со -|- Tj = 0
и, считая, что сох и со2 мул Виета найдем
— корни этого уравнения, с помощью фор-
'4 = °>1‘вй(«>1 + ‘»2) ’з=[Я’(а’1 + иЪ)Г1-
(4.87)
Так как функция х (со) непрерывная, положительная, принимающая сколь угодно малые значения при достаточно малых и достаточно больших со, имеющая при со 0 единственную стационарную точку (рис. 4.11, е), то
х (со) > 1 при
х (со) 1 при
COj СО С1>2,
СО	COj И СО	СО2.
Таким образом, для всей той части характеристики, которая соответствует интервалу coj < со < ш2, выполняются условия (4.86), а вне этого интервала — условия (4.85). Это означает, что при указанном выборе t, и -с3 все точки характеристики W** (/со) расположены не выше точек соответствующих частей характеристики W (/со), и поэтому из выполнения условия (4.84) следует выполнение и условий асимптотической устойчивости в целом (4.82). Для положительных а теорема доказана.
Пусть теперь найдено такое а 0, при котором выполняется условие (4.84). Заметим, что справедливость условия (4.82) при отрицательных а можно доказать так же, как это было сделано при доказательстве теоремы Попова в § 4.4. Далее, если а < 0, ТО характеристика W (j расподожеца справа от прямой, прохо-
§ 4.8]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ НЕУБЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
201
дящей через точку (—ПК, 0) под тупым углом arctg а-1 к вещественной оси (т. е. выше этой прямой (рис. 4.11,6)), и из (4.84) следует (4.82), если выполнены неравенства
или
0 ><?**(“) ><?(“).
х (со) 1 при Q (со) 0.
(4.88)
Повторив все предыдущие рассуждения с той разницей, что теперь все точки кривой W** (у со) должны лежать не ниже соответствующих точек W (у со), получим доказательство теоремы и для а < 0.
Из теоремы 4.8.1 вытекает весьма интересный для практики вывод: для исследования устойчивости систем с одной стационарной неубывающей нелинейностью, удовлетворяющей условиям (4.83), и линейной частью, удовлетворяющей условиям 1, 2 теоремы, нет надобности строить видоизмененную характеристику И7** (у со). Условия абсолютной устойчивости получаются непосредственно по кривой Найквиста И7 (у со), которая в данном случае должна располагаться правее прямой, проходящей через точку (—ПК, 0).
В 1968 г. Чо и Нарендра в [4.49] был опубликован более интересный результат, где тот же по существу вывод получался без наложения на характеристику W (j со) ограничений, сформулированных в условиях 1, 2 и4 теоремы 4.8.1, т. е. для характеристик более широкого класса. Однако в доказательстве, приводимом в [4.49], имеется неясность. Поэтому здесь рассматривается более узкий класс характеристик W (у со), для которого приводится строгое доказательство утверждения теоремы 4.8.2.
Интересные для практики выводы можно получить для систем, частотные характеристики линейных частей которых выпуклы в следующем смысле.
Определение I. Пусть значения частот, при которых касательные к характеристике W (j со) параллельны мнимой оси, равны
°>Ю — 0	соа со/2 <^ ... <^ co/fc.
Если И7 (0) > Оди характеристика И7 (у со): а) не имеет самопересечений, все ее дуги, соответствующие интервалам 0 < со соа, сог2 со со/3 . . . , выпуклы книзу, а соответствующие интервалам соа < со < со;2, со;3 со соа . . . , выпуклы кверху и б) точки касания соа, i=0, 1, . . . , не являются точками перегиба, то характеристику W (j со) будем называть выпуклой.
Теорема 4.8.2. Пусть передаточная функция W(p) линейной части системы удовлетворяет условиям:
1.	Ж(0) >0.
2.	При возрастании со 0 характеристика И7 (у со) пересекает отрицательную полуось вещественной оси только снизу вверх,
202
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
а положительную полуось вещественной оси — только сверху вниз и W (/при <и=^-|-оо.
3.	Характеристика W (/со) выпукла.
4.	Существует не более двух значений о> О, для которых Re И7 (/<о)=-1/ЛГо.
№
Рис. 4.42.
Тогда система (4.2) абсолютно устойчива в классе 5^(0, К%), т. е. любая система (4.2), у которой нелинейность удовлетворяет условиям (4.83) с К < Я» (где (0, К") — положительный гурви-цев полуугол), асимптотически устойчива в целом.
Перед тем, как перейти к доказательству, поясним условия 2 и 4. На рис. 4.12, а показана характеристика, удовлетворяющая всем условиям теоремы. Соответствующая система абсолютно устойчива в положительном гурвицевом полуугле (0, (в классе SV?(O, #«)).
§ 4.8]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ НЕУБЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
203
На рис. 4.12, б характеристика удовлетворяет всем условиям теоремы, кроме последнего условия (она пересекает прямую ВеЖ=—11К°2 четыре раза), и мы не можем утверждать, что в этом классе нелинейностей система будет абсолютно устойчивой в положительном гурвицевом полуугле (0,КУ) (не исключена возможность характеристики W** (jo>), показанной штриховой линией).
На рис. 4.12, в показана характеристика, для которой выполнены все условия теоремы 4.8.2, кроме условия 2 (положительная вещественная полуось пересекается характеристикой один раз снизу вверх). Вместе с тем условие (4.84) для этого примера не выполнено. Это показывает, что предположение 2 теоремы 4.8.2 существенно.
Доказательство теоремы 4.8.2. Возьмем произвольное К, 0 < К К?» и покажем, что выполнены все условия теоремы 4.8.1. Условия 1 и 2 теоремы 4.8.1 выполнены, поскольку они содержатся в условиях 1, 2 теоремы 4.8.2. Пусть cofc — значение 01 > 0, для которого Р (<i\.)=—1 IK%, Q (шл)=0. По условию 2 характеристика пересекает отрицательную вещественную полуось снизу вверх. В точке со=0 касательная вертикальна (в силу симметрии характеристики при — со о> -|-со). Так как характеристика выпукла, то точка шг. лежит на втором из трех интервалов выпуклости (0, oizl), (<uzl, ш/2), (<uz2, со/3), . . . , т. е. соа
ш1% (рис. 4.12, а). Действительно, если бы второй виток не пересекал отрицательную полуось, то вся кривая W (/со) для <о <о/2 лежала бы внутри фигуры, ограниченной вторым витком, отрезком вертикальной касательной в точке W и частью первого витка (рис. 4.12, г). Эта фигура не содержит точки И/=0ь, так как W (уоэ)=0, то кривая W (/<и) должна была бы иметь самопересечение, что по определению выпуклости невозможно.
Так как характеристика выпукла, то в окрестности точки пересечения (—1/К%, 0) характеристика лежит правее касательной в точке (—i/K^, 0) (см. рис. 4.12, а). Пусть
— уравнение этой касательной (прямая К на рис. 4.12, а). Пусть o>s > 0 — наименьшее положительное значение о>, при котором Q (ш„)=0, Р (о>„) >0 (см. рис. 4.12, а). Обозначим через М замкнутую область, ограниченную характеристикой W (]' о>) для 0	и отрезком вещественной оси с концами W (<us) и
W (0) (ее граница показана на рис. 4.12, а жирной линией). Очевидно, что Р (cos)=PK (y’wj W (0). Действительно, при W (jw,) > W (0) мы получили бы в силу условия 2, что характеристика должна была бы иметь самопересечение, что противоречит определению выпуклости. Итак, вся характеристика лежит
204
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
внутри Af. Дуга W (jci>), о>п со со/2,содержащая точку W (/соД, лежит в силу выпуклости правее прямой К. Точки W (со,) и W (0) также, очевидно, лежат правее прямой К. Поэтому вся область М, а значит, и вся характеристика W (]' со) лежит правее прямой К. Мы доказали, что выполнено условие 3 теоремы 4.8.1. Условие 4 теоремы 4.8.1 следует из условия 4 теоремы 4.8.2. Итак, выполнены все условия теоремы 4.8.1. Поэтому система (4.2) асимптотически устойчива в целом. Это верно для любого К, 0 < К •< К%, что и означает абсолютную устойчивость в классе (0, К®).
Перейдем теперь к установлению некоторых эффективных условий, гарантирующих выполнение условий теоремы 4.8.2.
Лемма 1. Для того чтобы характеристика
W (/со) = Р (<о) 4- jQ (со) =2
была выпуклой, достаточно, чтобы было W (0) > 0 и выполнялись условия
0'<О, 0">О, G'>0, G">0,	(4.89)
где G=lW (jco)|-1 — модуль обратной частотной характеристики, а штрихи означают дифференцирование по со.
Доказательство. Так как G' > 0, то \W (j со)| при возрастании со убывает, и поэтому характеристика W (j со) не имеет самопересечений. Значение
dQ_ <Z
dP~~P'
является тангенсом угла наклона касательной к характеристике. Для выпуклости характеристики в указанном выше смысле достаточно, чтобы этот угол убывал при Р'^О, т. е.
д (dQ\- P'Q" — Q'P" ды\ЛР; (Р')г
0 при Р' =f= 0.
Итак, для выпуклости достаточно, чтобы было
piQ'—Q'P"<G при Р'^0.	(4.90)
Преобразуем это условие. Имеем
р__cos 6 р, _ sin О
1 ~~G~'	~7Г'
n, (— sin 0) O'G — G’ cos 0	_ (cos 0) O'G— G’ sin 0
—	G1	’	—	G5	’
p,q» _	G(O')»-G'0" + G"O' < Q
Из условий (4.89) следует (4.90). Лемма доказана.
Замечание. Условия (4.89) являются достаточными, но они вносят некоторую избыточность (в частности, не обязательно,
§ 4.8] ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ НЕУБЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ 205
чтобы было G” > 0). Из доказательства следует, что для выпуклости характеристики достаточно, чтобы выполнялись неравенства
G'>0, G(6')3 — G'e"4-G"0'<0.	(4.91)
Это неравенство выполняется, если выполнены условия (4.89).
Условие нахождения справа от прямой, проходящей через точку [(—^+8). 0],8>0, характеристики W (/со) с убывающим модулем и знакопостоянной кривизной в 1974 г. получено Фанииным и Рашингом [4.50]. Для доказательства этого условия авторы использовали теорему Чо и Нарендра, в которой, как упоминалось выше, имеется неясность. В связи с этим можно отметить, что условие Фаннина и Рашинга выводится также непосредственно из теоремы 4.8.2 и, таким образом, строго обосновывается.
Лемма 2. Если G., i=l, 2, . . ., п, и их производные — положительные возрастающие функции! G{ > 0, G'. > 0, G, >• 0, i=l, . . . , п, то положительными возрастающими функциями будут также G' и его производная для последовательного соединения звеньев (G' >0, G" > 0).
Действительно, если Д (со) и /2 (со) и их производные положительны, то
(А Н /2 Н)'=fl (®) /2 Н+fl (®) /2 (®) > 0.
По индукции этот вывод распространяется на любое число множителей.
Лемма 3. Функция
ш4 4- Сш2 -I- D »
где А, В, С, D — постоянные числа, будет положительной и возрастающей, если выполнены неравенства
Л>0, 5>0, С>Л,	DA^BC. (4.92)
Это следует из выражения для производной (F1)1 = F";
(С — А) ш*-}-2 (D — В)ы2DA — ВС
(ы4 + Сш2 4-Р)2	•
F" положительна, если положительны все коэффициенты полинома в числителе.	М*'
Структуры линейных частей систем, абсолютно устойчивых в гурвицевом полуугле [4.6].
Теорема 4.8.3. Если линейная часть состоит из любого числа устойчивых статических звеньев первого .порядка, то нелинейная система абсолютно устойчива в классе SD2 (0, К°).
206
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
Доказательство. Передаточная функция звена имеет
ВИД
W( (S)
1
Для нее имеем
(1 +
=	>0.
6< = —arctg<oZ.<0, С,. = \'1+о)2П>0,
G'j = - ыТ< ..^>0, G" =-------^>0,
Т.
---—------ <"0 (14- ш’Г2)-’
О'.
Все условия (4.89) для одного звена выполнены и в силу леммы 2 они выполнены и для п последовательно включенных звеньев. Теорема доказана.
Теорема 4.8.4. Добавление к линейной части, удовлетворяющей условиям (4.89), любого числа устойчивых колебательных звеньев второго порядка с полюсами (—а + ур), у которых cz Ijys \/31 р |, не нарушает абсолютной устойчивости в классе 9)?(0, К°).
Доказательство. Для передаточной функции
W —______________-___________
U {s + a + jp)(s + a_/₽) •
где а 0 имеем
G, __ Д2 — р2 4~ ц2 =	+ 2 (Е* - р2)	_|_ („2
V(a2 0)2 4" р2)2 — 4со2р2 ' 0)4 4* 2 (а2 — р-) ы2 4* (а2 + Р2)2
В соответствии с леммой 3 получим условие положительности G" — в виде
₽2<а2.
Это лишь одно из условий выпуклости. Другое условие 0"^>О найдем следующим образом. Так как
д	. Ш -- Р . G> 4- Р
v = —arctg —— arctg 	, то
(“ — Р)2 + “2 (ы 4- Р)2 + “2
простым вычислением можно получить
„„ _ 4а<п [о4 4- 2 (а2 4- р2) ы2 -|- а4 — 2а2р2 — Зр4] 1(“ + Р)2 + «421(“-р)2 + аТ
Условие положительности 6" имеет вид
а* — 2а2р2 — Зр4>0,
§ 4.81 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ НЕУБЫВАЮЩИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
207
Корни полинома в левой части последнего неравенства
</2 = 3р2, С/2 =— Р2.
Второй корень в нашей задаче смысла не имеет и неравенство выполняется при условии
а2>3₽2.
Неравенство а2 р2, таким образом, оказывается излишним. Теорема доказана.
Теорема 4.8.5. Если передаточная функция линейной части имеет вид ш П>+м
Ж (s) - -=-------,	(4.93)
П(« + МП1(8 + » + у₽)(8 + “-/₽)]
то абсолютная устойчивость нелинейной системы в классе (ЗЛ (0, К0) обеспечивается заведомо, если для каждого из нулей —8,- можно подобрать либо пару вещественных полюсов —ак, —аг, либо пару сопряженных комплексных полюсов —аг + /Рг так, чтобы выполнялись соответственно неравенства
82^а^-|-а2, 8?^ шах (а2, а2},	(4.94)
или
282а2(а2 — Зр2)>(а2 + р2)3.	(4.95)
Доказательство. Для передаточной функции
ш /м —______s + s___
W — (s + aj (s + a2)
имеем
C^l/ <gi + b|2) (gi + “2) r 82 -J- <oa ’
__-I / co4 -|- 5-<oa	u>4 -f- 282<o2 -|- (a2 -|- “i) 82 — a2a|
F ш4 -f- (aj -f- a|) + aIai	0)4 + 26-ю- 4* 84
Потребуем, возможно с избыточностью, чтобы оба сомножителя — радикал и рациональная дробь были возрастающими функциями. По условиям (4.92) леммы 2 найдем
82 <«? + «!•	(4.96)
Это условие достаточно, так как неравенство
84 > о2 (а2	а2) —
выполняется при выполнении (4.96). Это следует из того, что полином 84 — (а| -|- а|) 82 -|~ а2а| имеет корни 82 = а2, 82 = а2 и положи
208
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
телен при S2 а|. Это условие обеспечивает выполнение неравенства G"^>0. Равенство (4.95) обеспечивает выполнение условий 6'<0 и О">0.
Неравенства (4.91), (4.95) и условие а2^>3р2 были получены Н. Е. Барабановым.
Теперь рассмотрим передаточную функцию
s-f-S
(s + a-HP) (* + “-/₽) ‘
Аналогичным образом получим условие положительности и возрастания G' в виде
Из (4.95) следует, что О' <^0, О''^>0. Теорема доказана.
§ 4.9. Разрывные, неоднозначпые, гистерезисные нелинейности.
Элементы с дискретным временем
Характеристическая прямая. Дополнение разрывных характеристик по Филиппову. Полученные в предыдущих разделах выводы относились к нелинейностям с непрерывными, и однозначными функциями ср (о), удовлетворявшими условию ср (0)=0. Кроме того, подразумевалось, что изучаемое состояние равновесия в системе единственно.
При отрицательной обратной связи и нелинейных характеристиках, укладывающихся в I и III квадранты плоскости (о, £), состояние равновесия в системе с одним нелинейным элементом действительно будет единственным. В самом деле, равновесие находится, если положить в уравнениях (4.2) dxJdt=Q, i=l, 2, . . . , п. Тогда, составив уравнение статики линейной части в переменных £ и ° в виде о=—И7 (0) Е, получим
о^Ж(0)5 = 0.	(4.98)
Это — уравнение характеристической прямой, проходящей через начало координат во II и IV квадрантах с отрицательным угловым коэффициентом (рис. 4.13, а). Прямая имеет единственную точку пересечения с кривой Е=<р (°) в начале координат и равновесие единственно. Но если кривая ср (а) имеет падающие участки и заходит в IV квадрант, точек пересечения и, следовательно, состояний равновесия может быть несколько (рис. 4.13, б). При наличии падающих участков и положительной обратной связи несколько равновесных состояний могут быть и при расположении кривой ср (°) только в I и III квадрантах (рис. 4.13, в).
§ 4.91
РАЗРЫВНОСТЬ. ГИСТЕРЕЗИС. ДИСКРЕТНОСТЬ
209
Если среди нескольких состояний равновесия имеются такие отличные от пулевого состояния, которые устойчивы и имеют в своей окрестности область притяжения, то равновесие в нуле уже не может быть устойчивым в целом, так как движение, начавшееся в окрестности притяжения ненулевого устойчивого равновесия, с течением времени придет к нему, а не к началу координат.
Так, в системе с характеристикой ср (с), показанной на рис. 4.13, б и устойчивой линейной частью второго порядка можно утверждать, что устойчивыми будут равновесия в начале координат, а также в точках В и D.
Дополнительные трудности возникают и тогда, когда кривая ср (с) имеет разрывы. Пусть, например, ср (о) непрерывна всюду, за исключением точки °=а0, а при °=а0 терпит разрыв так, что В при о -> а0 приближается к одному из крайних значений ср_ (о0) или (<з0) (рис. 4.14, а). При значении °=о0 функция ср (о0) не определена и без особого исследования нельзя утверждать, что выводы, полученные для функций, определенных всюду, применимы и к этому случаю,
14 Л. Л, Воронов
210
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
Практика показывает, что при некоторых условиях при °=о0 Е может принимать и другие значения из промежутка ср_ (о0)
Е <1 ср+ (°0), отличные от крайних. Это может происходить в тех случаях, если в системе возможны скользящие режимы. При идеальном элементе с разрывной характеристикой, допускающем мгновенный переброс из состояния ср_ (о0) в состояние ср+ (о0), при определенных условиях на некотором конечном промежутке времени (tlt t2) переменная °=о0 может сохранять постоянное значение, а Е (0 в этом интервале времени будет изменяться, принимая значения из указанного промежутка по закону, определяемому уже не уравнениями (4.2), (4.3), а некоторой другой системой дифференциальных уравнений, определяемых гиперповерхностью переключения в пространстве х. В реальных системах мгновенные перебросы невозможны и фактически будут происходить трудно определимые высокочастотные колебания в нелинейном элементе, при которых ° колеблется около значения с0, а Е — около некоторой средней Е (£)» изменяющейся во времени. Наблюдатель воспринимает при этом среднее Е (t) — достаточно гладкую функцию. Однако более подробное рассмотрение этих процессов выходит за рамки данной книги. Мы лишь кратко рассмотрим возможные равновесные состояния скользящего режима, отослав интересующихся к [4.12].
Сказанное дает возможность построить приближенную аналитическую модель элемента с разрывной характеристикой, дополнив последнюю вертикальным отрезком ср_ (о0)	¥+ (°о)
(рис. 4.14, б). Эта модель записывается с помощью определения решения х (i) функции Е (£)> предложенного А. Ф. Филипповым [4.31]. Вместо уравнения Е=ср (°) в системе (4.2)—(4.5) рассмотрим соотношения
Е = ф (*), ср_ [a (i)] < ф (t) < <р+ [о («)]•	(4.99)
Абсолютно непрерывная вектор-функция х (i) называется решением системы (4.2), (4.3), если существует суммируемая на каждом конечном интервале функция ф (t) (называемая дополненной функцией ср [с (£)]) такая, что почти всюду выполнены соотношения (4.2), (4.99).
В точке непрерывности °0 границы ср (о) и ср+ (о) сливаются в одну точку ср (о) и соотношения (4.2), (4.92) переходят в обычные уравнения (4.2), (4.3). При с=°0 функция ф (t) определяется уравнениями скользящего режима.
Пусть прямая (4.98) пересекает график функции ср (о) в некоторой точке непрерывности °= о1. Для этой точки, если detA=^O, из уравнений (4.2), (4.3), положив х=0, получим стационарное решение
х = А ]b<p (oj).
§ 4.91
РАЗРЫВНОСТЬ. ГИСТЕРЕЗИС. ДИСКРЕТНОСТЬ
211
Если прямая (4.98) пересекает вертикальный отрезок с концами <р_ (°о), ср+ (°о)> который изображает дополненную функцию ср [а (/)] в точке разрыва, то стационарный режим определяется как
х = А-1Ы0,	(4.100)
где Ео — ордината точки пересечения (рис. 4.14, б), а (4.100) — ее стационарное решение скользящего режима.
Если W (0)^0, то из (4.98) имеем Е=—W (O)~1c0=const и изолированными точками пересечения графика с-}-РИ (0) |=0 с дополненным графиком функции ср (с) определяются все возможные стационарные режимы. Если же W (0)=0, т. е. если передаточная функция W (s) имеет нуль s=0, то из (4.98) имеем °стяц=0. Если при этом разрыв непрерывности также происходит при значении с0=0 (рис. 4.14, в), т. е. если вертикальный отрезок характеристики ср (о) ложится на ось ординат, то равновесие может иметь место при любом В = $о из отрезка ср_ (с0)	(°о),
который в даппом случае является отрезком покоя, и любая его точка определяет стационарное решение скользящего режима. Таким образом, возможные состояния равновесия (4.100), где Во пробегает указанный отрезок, образуют стационарное множество (отрезок покоя).
Определения и теоремы об устойчивости стационарных множеств были даны А. X. Гелигом [4.8, 4.9] и В. А. Якубовичем [4.39, 4.41]. Приводим их без доказательства.
Стационарное множество системы (4.2), (4.3) называется точечно-устойчивым в целом, если любое решение х (t) этой системы при t —> оо стремится к некоторому вектору из этого множества.
Устойчивость отрезка покоя.
Теорема об устойчивости отрезка покоя. I. Пусть выполнены условия: 1) <р_ (0)=7^ср+ (0); в точках непрерывности при с.у=0 выполнено неравенство сер (с)	0 (т. е. характеристика ср (с)
принадлежит сектору (0, оо)) и существует положительное число е такое, что
ср (о) ер+ (0) при 0<^о<^е, ср (о) ср_ (0) при —е о 0,
2) точка а=0 является простым нулем функции W (а);
3) все полюсы W (s) лежат в левой полуплоскости и W (] о>)^=0. Тогда, для того чтобы отрезок (4.99) был точечно-устойчив в целом, достаточно, чтобы можно было выбрать такое неотрицательное число 0, чтобы при всех <и выполнялось условие
Re[(l + M)W(7a>)]>0	(4.102)
и, если Н > 0, то (—Я)-1 не было бы полюсом функции W (s).
14*
(4.101)
212
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
(4.103)
Геометрическая трактовка условия (4.102): характеристика Ж" (j	wQ должна лежать вправо от прямой, проходящей
через начало координат под положительным углом наклона arctg или ниже оси абсцисс.
II. Если функция ср (°) удовлетворяет несколько более жестким условиям: при некотором р. > 0 выполняется
ср (о)	<Р+ (0) — ро при 0 < о < е,
ср (а)	<р_ (0) — ра при —е а 0,
то следует потребовать, чтобы полюсы функции
жд^^ж^п-рж^г1
имели отрицательные вещественные части, а частотное условие имело вид
Ве К1 + М) (» | > 0,
где (—f>)-1 не является полюсом ни функции JF (»), ни функции W (s).	R
Формулировка II была предложена, чтобы распространить условия теоремы на элементы с сухим трением покоя большим, чем трение движения.
Формулировка I теоремы, очевидно, распространяется и на элементы с релейной характеристикой
( ?+ (0), ° > 0,
с<0.
Она дополняет необходимый и достаточный критерий устойчивости релейной системы в нуле при отсутствии скользящего режима, предложенный Я. 3. Цыпкиным ([4.35], стр. 125—164).
Теорема Цыпкина об устойчивости покоя релейной системы. Пусть линейная часть имеет передаточную функцию
W(s) =
_ bosm + 6,s”‘~1 + ... + Ь,„ /V (s) aosn + OjS*-14- ... + a„ ’
Положим d0 — —, dl = — (b1 — d^). Тогда равновесие в нуле flo	aQ
устойчиво, если п — т = 1 или 2 и выполняются условия d0^>Q, если п — т=1; d0^>0, dy<^0, если п— т=2. Действительно, если эта часть замыкается линейной отрицательной обратной связью с коэффициентом К, то характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
N (s) КМ (s) = 0, или -Jr N (s) 4 М (s) = 0.	(4.104)
§ 4.9]
РАЗРЫВНОСТЬ. ГИСТЕРЕЗИС. ДИСКРЕТНОСТЬ
213
Будем рассматривать релейный элемент как вырожденный линейный, у которого К -* со (в этом состоит нестрогость приведенного вывода). При этом характеристическое уравнение (4.104) вырождается в уравнение
М (s) = 0.
Таким образом, т корней характеристического уравнения при К со стремятся к корням уравнения М (s)=0, т. е. к нулям
Рис. 4.15.
передаточной функции. Поэтому естественно ожидать, что необходимым условием устойчивости является отрицательность вещественных частей всех нулей передаточной функции W (s). 
Полагая в уравнении (4.104) s=ju и строя /^-разбиение по параметру —i/К, получим

Ь	1
где d0 — —, (Zx — — (b± — Характер изменения W (Ju>) при а0	а0
больших значениях определяемый первыми двумя членами
разложения, изображен для двух случаев п—т=1 и п—т=2 на рис. 4.15, а и б соответственно. Точка —ПК должна лежать в области устойчивости. Это имеет место при выполнении условий, сформулированных выше. При п—тп 3 система при К -* со не-
устойчива.
При этом видоизмененная характеристика Wa (j ш) также должна в окрестности начала координат располагаться в нижней полуплоскости, что согласуется и с условием (4.102).
Критерий Цыпкина является необходимым и достаточным при условии, что W (0)^=0, т. е. что стационарных решений скользя
214
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
щего режима нет. Если же W (0)=0, критерий Цыпкина дополняется достаточным условием точечной устойчивости отрезка покоя в целом (4.102).
Условие точечной устойчивости распространяется также на некоторые особые случаи: наличие у функции W (s) пары чисто мнимых полюсов, однократного и двукратного нулевых полюсов при остальных полюсах левых.
Если W (s) имеет пару чисто мнимых корней +/' шо и может быть представлена в виде
где И'\ (s) имеет только левые полюсы *) а > 0, Р > 0, следовательно, число (—асо®/Р) не является полюсом (s) и, если выполняется ослабленное условие Попова
ФЧО+'н)”' <'Ф°-	(4.105)
то отрезок устойчивости точечно устойчив в целом.
Пусть имеется один нулевой полюс, соблюдаются условия ср (а)=0 в интервале °i °	а2,	0,	0 (горизонталь-
ный отрезок покоя — зона нечувствительности — на оси абсцисс, включающий начало координат), а в точках непрерывности выполняются условия
К (° — ai) < ? (°) < о.
0 < V (°)< к (° — °2).
где 0 К	оо; пусть также выполнено условие
СО
[/Га — ср (o)J tZa= ф-со; о
система управляема и наблюдаема (т. е. степень знаменателя передаточной функции не ниже порядка п системы) и, кроме того,
lim sW (s)V> 0.
Пусть далее существует такое а, что для всех со 0 выполнено j
ослабленное условие Попова -|- Re [(1 ф~ /соа) JE (jco)J 0, а (—а)-1 не является полюсом W (s). Тогда отрезок покоя точечно устойчив в целом.
*) Напомним, что левым мы называем полюс s0 с Re s„
0.
§ 4.9]
РАЗРЫВНОСТЬ. ГИСТЕРЕЗИС. ДИСКРЕТНОСТЬ
215
Если имеется двукратный нулевой полюс, существует горизонтальный отрезок покоя о о2, О, °2	0» выпол-
няются условия °<р (°) > 0 за пределами отрезка покоя и условия ±со j ср (о) da — со, о
а функция W (s) может быть представлена в виде
^(s) = ^-+-g- + ^1(S),
где Pi > 0, р2 > 0, все полюсы W± (s) левые, точечная устойчивость в целом отрезка покоя обеспечивается при выполнении частотного условия
Pi -J- Re [/mW'j (/<о)] > 0 при 0 ^ «> <С со.
Гистерезисные нелинейности. Неоднозначность функции <р (а) в нелинейных элементах часто вызывается такими физическими причинами, как противодействие вещества силам, изменяющим его состояние. Так, силы сухого трения в механических деталях, зазоры (люфты) в механических передачах приводят к гистерезисным характеристикам вида, показанного на рис. 4.16, а; магнитный гистерезис, вызванный замедлением изменения намагниченности вследствие переориентации молекул вещества приводит к возникновению петель, показанных на рис. 4.16, б; электромагнитные поляризованные реле, имеющие устойчивое состояние в нуле, имеют больший воздушный зазор в отключенном и меньший во включенном состоянии, вследствие чего сила притяжения якоря во включенном состоянии больше и срабатывание реле происходит при большем значении магнитодвижущей силы, чем при отпускании; это приводит к характеристике, показанной на рис. 4.16, в; поляризованное реле с неустойчивым состоянием в нуле имеет характеристику, не включающую нуль (рис. 4.16, г). Упомянутым типам гистерезисных характеристик свойственно то, что обход гистерезисной петли при возрастании t происходит против часовой стрелки и приводит к отрицательному значению приращения площади кривой
t
Д5= j ?[о(т)|<, о
Обозначением гистерезисной нелинейности
?(f) = <p[o(T)|g, t, 5(0)]	(4.106)
подчеркивается, что выход 5 (0 нелинейного элемента вследствие гистерезиса может зависеть не только от t, но и от значений входа
216
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
о (т) во все предыдущие моменты времени 0 т а иногда также и от начального состояния элемента Е (0). Аналитическое выражение гистерезисных функций не всегда известно (при электромагнитном гистерезисе), известно лишь, что они удовлетворяют
некоторым известным ограничениям. Уравнение (4.106) — нелинейное операторное уравнение достаточно общего вида, которым могут описываться не только гистерезисные нелинейности указанного типа, но и такие характеристики, как импульсные.
Обычно величиной площади Д5 характеризуется изменение энергии при прохождении через гистерезисный цикл. Отрицательное приращение площади указывает на то, что энергия затрачивается на преодоление гистерезисных сил и убывает. Наряду с такими рассеивающими энергию элементами применяются иногда также и такие, у которых гистерезисная петля обходится по
§ 4.S]
РАЗРЫВНОСТЬ. ГИСТЕРЕЗИС. ДИСКРЕТНОСТЬ
217
часовой стрелке и энергия при этом высвобождается и возрастает, т. о. положительна. Это, например, имеет место в элементах с искусственно созданной гистерезисной петлей путем специального закона формирования о в функции не только координат х, но и их производных.
Характеристики, показанные на рис. 4.16, а и б, отличаются тем, что в процессе движения изображающая состояние элемента точка может попасть в любую точку внутри гистерезисной петли. У таких систем имеется стационарное множество, характеризуемое отрезком линии o-j-W (0) £=0, расположенным внутри гистерезисной петли (отрезок MN на рис. 4.16, а и г). Характеристика типа (рис. 4.16, в) имеет зону нечувствительности и в замкнутом состоянии при W (0)^=со может иметь единственное равновесие в нуле; если же W (0)=оо (т. е. W (s) имеет полюс в начале координат), то имеется горизонтальный отрезок покоя MN.
Характеристика вида (рис. 4.16, г) не имеет равновесия в нуле. Состояния равновесия возможны в точках М и N, но изучение их устойчивости рассматриваемыми методами встречается со сложностями и производится методами теории релейных систем [4.35]. Обычно эти точки неустойчивы и в системе возникают автоколебания.
В [4.41, 4.39] показано, что к системам с гистерезисными нелинейностями можно применять условие Попова в следующей формулировке: пусть полюсы W (&) левые, а характеристика ср лежит в секторе (0, К); для абсолютной устойчивости достаточно, чтобы можно было выбрать число &	0 так, чтобы выполнялось
условие Попова
П (со) = -L _|_ Re [(1 4- /о») W (/со)] > 0	(4.107)
при 0<^оо<со, а также условие оо	lim со2тг (со) 0,	(4.108)
причем &	0, если гистерезисная петля обходится по часовой
стрелке, и &	0, если обход совершается против часовой стрелки.
Аналитически условие относительно знака записывается так:
t
& > 0, если J [о (т I*, Zj] da (fx) > — Го [о (0)],	(4.109)
о
где Го (о) > О — некоторая функция (своя для каждой ср (а)) и t
&<0, если j — <р[а(-т)|£, fj)(<i)> — Го[а(О)].	(4.110)
о
В (4.109) и (4.110) Го (о)	0 — некоторая функция. (Она
может зависеть от гистерезисной нелинейности.)
218
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. IV
Абсолютная устойчивость импульсных систем. Рассмотрим схему с одним импульсным нелинейным элементом, квантующим непрерывную величину ср (о) из класса 9J?(0, К) по принципу амплитудной модуляции (рис. 4.17). Нелинейный элемент на схеме состоит из нелинейной непрерывной части, характеризуемой функцией ср (о), которая, помимо условий 0 ср (о)/о К и ср (0) = 0, удовлетворяет также условию lim <р (о) =40, и из идеаль-а со
ного импульсного элемента, преобразующего непрерывный вход Е (£)=ср [о (01 в последовательность дельта-функций. Формирователь импульсов — линейный, включен в состав непрерывной линейной части и их общая передаточная функция W (s) имеет только
Рис. 4.17.
левые полюсы. Объединив линейную непрерывную часть с линейной частью импульсного элемента, получим импульсную линейную часть с передаточной функцией Wd (д), которая может быть найдена по соотношению (2.56) из передаточной функции W (s). Приведем вывод условия устойчивости равновесия в целом, идея которого принадлежит Я. 3. Цыпкину [4.34].
По аналогии с (4.30) с учетом (2.55) и предшествующих ей в § 2.3 формул составим выражение для свободного переходного процесса в системе с дискретным временем
п
а [п] = / [п] — 2 w 1п — т1 ? L° I^JL П = 1, 2, . . .,
где w\п — т] — весовая функция, /п [п] — приведенная исчезающая функция, отражающая возмущение начальных условий
I /п (п) I	Се-™, | w [п] | Се~ап, С ~^> 0, а 0.
В дискретных изображениях уравнение примет вид1)
D {о И) = Лт (g) - Wd (д) Фа (д),
СО
где D {<р (о [п])) = Фй (д) = 2	(а [п]) — дискретное преобразова-
й=0
ние Лапласа переменной ср (о [и]). Линейная часть предпола-
]) Здесь предполагается, что Л {'р [ а (п)]} существует. Ниже будет показано, что это прп выполнении некоторых условий действительно так
§ 4.9]
РАЗРЫВНОСТЬ. ГИСТЕРЕЗИС. ДИСКРЕТНОСТЬ
219
гается устойчивой и управляемой, т. е. полюсы передаточной функции Wd (q) — левые:
Regv<^0, —л < Im	л.
Относительно ср (с) полагаем, что
(4.111)
По аналогии с выводом в § 4.4 введем усеченные функции
{ср(с[/г]) при 0<п</V,
О при п 0 или n > /V,
И = — 2 w \.п — т1 Та И] + /п [«].
«г=0
М=олМ — Х?а14
Очевидно, что для О^/г^Л' имеем оЛ-[?г] = о [?г]. В выражении для фи отсутствует член сй(/), так как производная дискретной переменной не имеет смысла.
Составим сумму
Ра = 2 [Та ГП1 Фа И + 8?а Н] = я=0 Я	Я
=2 {? (° н) ° и -	+8 2 *2 (о 1п])- (4-112)
я—0	я=0
Здесь S — малое число, которое будет выбрано ниже. В силу условия	слагаемые в фигурной скобке в сумме (4.112)
положительны. Если рЛ, с ростом N ограничено и не превосходит некоторой положительной постоянной с, не зависящей от N, то СО
тогда 2 ср2 (а [и])	с/3, и на основании свойства сходимости рядов
я=0
с положительными членами заключаем, что <р(а[п])-*0 при п->оо. Поскольку линейная часть экспоненциально устойчива, отсюда следует также, что о [и] —> 0. Остается показать, что рк С. Используем известное равенство [4.34]:
Ра = 2 Та Н Фа И + 8Та ["j = n—Q -я
—л
220
'Теория абсолютной устойчивости
[ГЛ IV
где (Я и ф* (Я — спектральные функции, равные
(Я = Р {<рДп]}	= 2 ^"?Л-[ОМ].
я=0
П (Я = D	[п]}г=уЕ = D (ал [п])г= -о -	D {?А [п]]г=-Е.
Так как функция <рл, [п] равна нулю при n^>7V, эти спектральные функции существуют. Обозначим
D {о[п]}г=/о = ^(Я-
Поскольку
(Я = FK №) — W* №) ‘Рл- (Я-
Фл- (Я=°л- (Я — К"1?* №),
то
тс
p*=i S{^п(я^(-я-(^(я+4--8)|?<г(Я12}^
—тс
Так как слева стоит вещественная величина, то
ТС
Рл=i J {Reрп(Я(—я—П<1 (Я—8]|(ЯП
—тс
где обозначено
п‘*(я=и^(Я+4.
Предположим теперь, что
Ве[Ж‘г(/<б)]+А>0.	(4.113)
Тогда существует такая постоянная е0^>0, что
Re П (/©J = Re [Wd (/ffi)] -f- ± > e0 > 0.
Используя тождество | e-1a — eb |2 = e-21 a |2 •— 2 Re (cb*) -|~ e21Ъ |2, где a, b — любые комплексные числа, b* — число, комплексно сопряженное к Ь, и е =^= 0 — любое вещественное число, имеем
Re (аЬ*)	е-21 а |2-]-е-21Ь |2.
Взяв в этих выражениях a=F^(j<i>), b = ya(——	(]&)*,
получим
ТС
Ра< J {в-а|^(Я|2+[-ВеП(Я4-8 + е2) • |(Я|2}d<5.
—п
§ 4.9]
РАЗРЫВНОСТЬ. ГИСТЕРЕЗИС. ДИСКРЕТНОСТЬ
221
Выберем числа 8 и е2 столь малыми, чтобы величина [-Re П (jffi) -|- 8 4- е2] < -е0	8 + в2
была положительной. Тогда получим требуемое неравенство
[|«(ЯР<Й>=С.
Условие абсолютной устойчивости (4.113) доказано. Оно впервые Из вывода следует, что критерий
было получено Я. 3. Цыпкиным Цыпкина (4.113) справедлив также для систем, содержащих сосредоточенные и распределенные параметры, а также элементы с запаздыванием.
Можно показать, что для систем с сосредоточенными параметрами в критерии Цыпкина (4.107) можно взять знак вместо >.
Графическая интерпретация критерия показана на рис. 4.18.
Рис.2.4.18.
Частотная характеристика Wd (7(6) импульсной системы должна располагаться правее вертикальной (поскольку а=0) прямой, проходящей через точку —1/К на вещественной оси.
Условия устойчивости в целом были получены также для им-
пульсных элементов, осуществляющих другие виды модуляции: частотную [4.10, 4.411, широтную [4.11], а также время-импульс-ную модуляцию более широкого вида. Получаемые при этом условия устойчивости обычно требуют достаточно большой вычислительной работы, и мы не имеем возможности останавливаться на
изложении методов их исследования; отметим лишь, что применение вычислительной техники позволяет применять их для исследования многих систем на практике. Приведем здесь лишь один пример: в системе имеется один широтно-импульсный модулятор, у которого интервал Т чередования импульсов и их высота М постоянны, импульсы прямоугольны, а длительность импульса t Т пропорциональна значению входного сигнала в момент съема:
Ъ=Яиа[п], 71 = 0,1,2,...
Кроме
того, элемент обладает зоной нечувствительности Д, т. е.
£ = a>(a)=f	°' еСЛИ
| М sign а [и], если |а[тг]| >Д.
222
ТЕОРИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
(ГЛ. IV
Условие устойчивости, полученное А. X. Гелигом, формулируется следующим образом.
Если все полюсы передаточной функции линейной части W (s)— левые и существует число 8 > 0 такое, что выполнено неравенство
(4.114)
где
| w (4-0) 4- j | w (i) | dt I M, о	’
и при всех io 0 выполняется частотное условие
^4-ВеЖ(Я>0,
то система (4.2), (4.3) с рассматриваемым широтно-импульсным модулятором устойчива в целом в том смысле, что
а (£) -» 0 ири t - > со, шах |°(01 -»0 ПРИ 1Ж(°)1 -*0-<>о
При этом функция W (s) может быть и трансцендентной, аналитической в правой полуплоскости, содержащей полюсы только в левой полуплоскости. Поэтому критерий справедлив и в тех случаях, когда импульсный элемент, генерирующим непрямоугольные импульсы, можно представить в виде последовательно соединенных импульсного элемента рассмотренного типа и линейного формирователя, представимого обладающей перечисленными выше свойствами трансцендентной функцией, а также в случаях, когда в состав линейной части входят звенья с чистым запаздыванием и линейные распределенные устойчивые звенья.
ГЛАВА 5
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 5.1. Возникновение проблемы
Возникновение понятия «управляемость» . Проблема нахождения условий управляемости (возможности приведения системы в заданное состояние с помощью управляющих воздействий) и наблюдаемости (возможности определения переменных состояния по результатам измерения физических переменных в системе), т. е. краеугольных условий работоспособности системы была поставлена лишь во второй половине нашего века, т. е. примерно через столетие после возникновения самой теории регулирования. Это кажется парадоксальным; казалось бы, что развитие теории должно было начаться именно с решения этих проблем. Почему же она столь долгое время вообще обходилась без понятий управляемости и наблюдаемости, а даже современные монографии и курсы теории отводят им место не в первых главах, а ближе к концу?
Возможно, что причина этому состоит прежде всего в том, что в первое столетие своего существования теория управления в качестве основной задачи ставила задачу анализа, по существу, готовых структур, созданных или спроектированных инженерами. Решение проблемы управляемости переносилось, таким образом, на стадию инженерного творчества и выполнялось средствами опыта и интуиции. Считалось очевидным, что грамотный инженер не мог предложить неуправляемую систему.
В решении задачи инженерного синтеза системы можно было выделить два этапа. На первом этапе конструировались объект и «ядро» регулятора с такими статическими характеристиками, при которых обеспечивалось бы существование множества статических равновесных состояний в заданной области. Эта задача решалась чисто инженерными средствами. На втором этапе обеспечивалась физическая реализуемость этих равновесных состояний, т. е. их устойчивость путем подбора параметров регулятора и, если этого было недостаточно, добавления к основной цепи регулятора kod-
224
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
[ГЛ. V
ректирующих устройств. На этом этапе интуиция не всегда позволяла решить задачу до конца, и инженер обращался за помощью к аналитику. Для аналитика же проблема устойчивости выступала как основная, и теоретические курсы открывались теорией устойчивости.
Проблема управляемости встала перед аналитиками тогда, когда им самим пришлось вплотную заняться проблемой синтеза регуляторов, синтеза не в смысле усовершенствования заданной конструктором стержневой структуры, а такого синтеза, который получил название «аналитического конструирования», при котором следовало начинать с отыскания алгоритма действия регулятора и реализующей его структуры по заданной на математическом языке цели управления.
Задача регулирования может трактоваться как задача перевода системы из одного заданного состояния в другое за конечное время [5.7]. Для перевода в начало координат из любого другого состояния за бесконечное время достаточно, чтобы состояние в начале координат было асимптотически устойчиво в целом. Перевод за конечное время требует, кроме того, выполнения дополнительных условий управляемости.
Определение управляемости. Рассмотрим линейную стационарную систему
£ = Ах + Ви,	(5.1)
где х=х (Z), u=u (t) — векторы состояния и управления порядков пит соответственно, А — постоянная квадратная матрица порядка и Хи, В — постоянная матрица порядка пХт.
Р. Калманом предложено следующее определение. Система (5.1) называется вполне управляемой, если для любых моментов времени t0 и tlt > t0 и любых заданных состояний х0 и Xj существует управление u (t) t <J7j), переводящее начальное состояние
х (£0)=хп в конечное
х («1)=Х1.
Аналогично определяется управление для дискретной системы х(^+1) = Ах(«й) + Ви(^).	(5.2)
Условие полной управляемости дается теоремой Калмана [5.10].
Теорема. Линейная n-мерная система (5.1) в непрерывном и (5.2) в дискретном случае полностью управляема тогда и только тогда, когда матрица
К* = [В АВ АаВ .., А"-'В|	(5.3)
§ 5.11
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ
225
размерности п X пт имеет ранг, равный п:
гапкКт=п.	(5.4)
Для т = 1 (когда В — вектор-столбец) отсюда получаем: для полной управляемости системы (5.1) или (5.2) векторы В, АВ, ... . .., А”_’В должны быть линейно независимыми.
Прежде чем перейти к доказательству, познакомимся вкратце с историей вопроса.
Принципиальное указание на возможность получения в системах управления процессов перехода в состояние равновесия за конечное время впервые было опубликовано, по-видимому, Р. Ольденбургом и Г. Сарториусом в 1944 г. [5.4], показавшими, что при регулировании объекта первого порядка импульсным регулятором с обратной связью можно подобрать параметры так, что процесс завершится за конечный отрезок времени. При этом авторы не только не ставили этот «феномен» в связь с проблемой управляемости, но даже не подозревали, что он может проявляться в линейных системах любого порядка. Главная цель их исследования состояла в поисках способов сокращения времени регулирования. Небезынтересно привести их замечание:
I «Хотя эти условия на первый взгляд представляют только теоретический интерес, ибо ни один объект регулирования не может быть точно описан лишь линейным уравнением первого порядка, тем не менее они дают для практики общие указания: как следует выбирать постоянные системы регулирования, чтобы получить если не оптимальный, то хотя бы наиболее благоприятный характер процесса.»
В 1950 г. Я. 3. Цыпкин показал, что процесс, заканчивающийся за конечное число шагов, равное порядку уравнения, может быть получен в линейных импульсных системах регулирования произвольного порядка и назвал их системами с бесконечной степенью устойчивости [5.8].
В 1954 г. Р. Калман, не зная о работе Я. 3. Цыпкина, в дискуссии по статье [5.9] также указал на возможность создания для любой линейной стационарной системы с одним входом и выходом такого импульсного регулятора, который завершал бы реакцию на скачкообразное возмущение за конечное время. Доказательство и принятое в настоящее время определение управляемости были даны в [5.2, 5.10]; там же отмечалось, что понятие управляемой’'системы является естественным обобщением понятия системы регулирования с конечной длительностью процесса и было ’доказано, что объект является полностью управляемым в том и только" том случае, если'существует импульсный регулятор, обеспечивающий конечную длительность переходного процесса.
15 А. А. Воронов
226
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
[ГЛ V
§ 5.2. Доказательство условия полной управляемости
Условие полной управляемости (5.4), сформулированное в предыдущем параграфе, можно доказать так.
Достаточность. Пусть выполнено условие (5.3), т. е. rank Kr=n. Тогда, как известно из теории матриц,
Ф(г, f0) = eA('-4
Л
х (fj = еА х (f0) + J еА ('-") Ви (?) dt.
^0
(5-5)
Пусть заданы векторы начального х(<0) и конечного Xj состояний. Мы должны установить, когда можно найти управление н(т) так, чтобы было х(£1) = х1.
Из (5.5) следует, что для этого достаточно доказать разрешимость уравнения
с= J еА Ви (?)dt	(5.6)
t.
относительно и (?) при любом n-векторе с. (В нашем случае с = = Хх — еА (zi~To) х (t0).) Будем искать и (?) в виде
и (?) = (еАВ)' z = В'еА' z,	(5.7)
где z — некоторый n-вектор. Полагая
В = J [еА ('.-<) В] [еА (*.-’) В]' dt,	(5.8)
'о
запишем уравнение (5.6) в виде
c = Rz.	(5.9)
Итак, нам достаточно доказать, что det В =f= 0. Предположим противное det В = О, а значит, Вг = 0 для некоторого n-вектора г =^=0. Тогда г'Вг = О и из (5.8) имеем
Л	Л
r'Br= j г' [eA(z>-T)B|[eA(6-^B]' rdt — J |r' [eA(^)B]|2d?,
следовательно,
r/0A (<,-?) в = 0 для ?^[Z0,
P.10)
§ 5.3i
ПОЛНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ
22'7
Дифференцируя (5.10) по т и используя формулу матричного исчи-
сления	dob-8 ^r=eAsA	(5Л1>
(в нашем случае s = tr — х), получаем
r^A(^) A*B = 0,	(5.12)
где к—0, 1, 2, ... Полагая в (5.10) ^ = т, получим
г'В = 0, г'АВ=О, ...
Из определения матрицы Ку (5.3) имеем
г'Ку = 0,	(5.13)
т. е. вектор г=^=0 ортогонален столбцам матрицы Ку. Следовательно, столбцы матрицы Ку не образуют базис, т. е. rank Ку < п, что противоречит условию. Следовательно, det В 0, уравнения (5.10) и (5.6) разрешимы, что и требовалось доказать.
Необходимость. В силу стационарности можно без потеря общности положить £о = О.
Предположим, что ранг матрицы Ку меньше п. Тогда найдется такой вектор г =^= 0, г £ X, что
г'В = 0, г'АВ = 0, ..., г,А”~1В = 0,	(5.14)
но, согласно теореме Кэли—Гамильтона г'А"В — 0, и по индукции
г'А₽В = 0 при всех р^0.	(5.15)
Но тогда и
r/e-A/B=r'[l — Ai-|-^—...]в = 0.	(5.16)
Из (5.16) имеем [еА 14-^) В]'г = 0, а из (5.8) Rr = 0. Так как г=^=0, то detR = O. Это означает, что уравнения (5.9) и (5.6) разрешимы не для всякого вектора с, т. е. что система управляема неполностью или неуправляема.
Отметим, что если ранг матрицы В равен г, то критерий полной управляемости упрощается:
rank Ку = rank [В АВ ... А"-ГВ] = п.
§ 5.3. Условия полной наблюдаемости
Определение наблюдаемости. Для осуществления управления — независимо от того, выполняется оно автоматом или вручную, необходимо иметь информацию о текущем состоянии системы, т. е. о значениях переменных состояния х в каждый момент 15*
228
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
[ГЛ. V
времени в непрерывной системе или же в моменты квантования в системе с дискретным временем. Однако некоторые из переменных xt являются абстрактными переменными, не имеют физического аналога в реальной системе и не могут поэтому быть измерены. Измеряемыми и наблюдаемыми в системе являются физические выходные переменные у, через которые должны однозначно выражаться все составляющие вектора состояния х. Очевидно, что у также должны однозначно выражаться через х. В линейных системах, которые мы рассматриваем, связь между у и х линейна. В общем случае, как мы видели, у могут зависеть не только от выходных переменных х, но и от воздействий и.
Рассмотрим линейную стационарную систему
х= Ах -|- Bu, 1 y = Cx-J-Du. /
(5.17)
Размерности векторов х, у и и соответственно равны п, т и г; размерности постоянных матриц А, В, С и D соответственно тгХ??, п X г, т X п и ти X г.
Состояние х (Z) называется наблюдаемым, если в момент наблюдения 1 — 10 можно однозначно определить x(Z0) по данным измерения у (/,) и u(f) на конечном интервале времени
Система (5.17) называется полностью наблюдаемой, если наблюдаемы все ее состояния в любые моменты времени.
Заметим, что коэффициенты системы (5.17) также считаются известными.
Теорема о полной наблюдаемости [5.6]. Для того чтобы линейная стационарная система (5.17) была полностью наблюдаема, необходимо и достаточно, чтобы матрица
Кяг=[С' А'С' А/2С' ... A'"-IC'J	(5.18)
имела ранг п, т. е.
rank [С' А'С' А'ЧУ ... А'^С'] = п.	(5.19)
Докажем достаточность этого условия. Пусть выполнено (5.19), т. е. гапкКм = тг. Поскольку система стационарна, можно взять £0 —0. Так как и (Г) измеряется и коэффициенты системы (5.17) известны, то можно ограничиться случаем u(t) = O.
Из формулы
у (t) = СеА'х (0)	(5.20)
имеем
у(0) = Сх(0); у(0) = САх(0); у(0) = СА2х(0), ...
[у (O)J' = [х (0)]' С'; [у (0)]' = [X (0)]' А'С';
[у (0)]'= [х (0)]' А'ЧУ.
§ 5.3]
ПОЛНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ
229
т. е.
[у(0)' у(0)' у(0)'...] = [х(0)]'К".	(5.21)
Так как rank(KH) = n, то из матрицы (Ки) можно выделить «Хп неособую подматрицу (Кя)я. Пусть у1 — вектор-строка, составленная из соответствующих компонентов правой части (5.21). Тогда
f = [x(0)]'(KH) п, х(0) = (Ки);>?, . ..,
т. е. вектор х (0), а значит, и х (/) выражены через у (Z) и система наблюдаема.
Необходимость. Пусть ранг матрицы Кн меньше п: существует такой вектор г=^=0, что г'К“ = 0. Тогда
г'А'*С' = 0, СА*г = 0 при к = 0....п — 1.
По теореме Кэли матрицы А* при к п линейно выражаются через I, А, ..., А”-1. Поэтому CAfcr = 0 при всех fc = 0, 1, 2, .... Следовательно,
Ce"r=c(l+Ai+4^+...)r = 0.
Для двух различных состояний хДг) и x2(Z), для которых и = 0, Xj (0)=х2 (0) -J- г имеет совпадающие выходы
У1 (t) = Сел'Х1 (0) = С£а/ [Ха (0) + Г]=CeAZXj (0) = у2 (t).
Таким образом, система (5.17) не вполне наблюдаема, если rank Кн < п. Условие (5.19) необходимо.
Принцип дуальности. Для управляемости и наблюдаемости Р. Калманом установлен следующий принцип двойственности (дуальности).
Пусть даны две системы, из которых одна описывается уравнениями
i = Ax-|-Bu, 1 y = Cx4~Ou, J
а другая уравнениями
(5.22)
£ = A'£ + C'v,
Такие системы называют двойственными или сопряженными друг другу. Очевидно, что условие
rank [В АВ ... An-1BJ = п
является условием управляемости полной системы (5.22) и одновременно условием полной наблюдаемости системы (5.23), а равенство
rank [С' А'С' ... А'-»С'] = п
230
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
[ГЛ. V
условием полной наблюдаемости системы (5.22) и одновременно условием полной управляемости системы (5.23). Иными словами, система (5.22) полностью управляема тогда и только тогда, когда полностью наблюдаема сопряженная к пей система (5.23) и наоборот.
§ 5.4.	Вырожденность передаточной функции
Объект с одним входом и одним выходом (непрерывный или дискретный) полностью управляем и наблюдаем только в том случае, если передаточная функция W (р), получаемая из уравнений рх=Ах+Вн и у=Сх, невырожденная, т. е. если невозможно сократить полюсы передаточной функции, представив ее в виде отношения многочленов со степенью знаменателя меньшей чем п. Если передаточная функция вырождена, то объект либо неполностью управляем, либо неполностью наблюдаем, либо неполностью управляем и неполностью наблюдаем.
Связь вырожденности с потерей управляемости и наблюдаемости. Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом, передаточная функция которой равна
W)
т(р) d(p) ’
где р — аргумент преобразования Лапласа. При этом степень т (р) меньше степени d (р), а корни d (р) простые. В соответствии с (1.59) имеем
Мр) „___
d(P) и~
m(Pj) d' (р,-)(р —Р,)
У
U,
где Pi — полюсы передаточной функции. Величины (1.60)
, _ т (Pi)
‘ d- (р{)
постоянные. Мы видим, что если bi=0 для некоторого I, то И7 (р) — вырожденная передаточная функция.
Понятия управляемости и наблюдаемости и их связь с вырождением передаточной функции наиболее наглядно прослеживается на уравнениях в переменных состояния, записанных в канонических формах (1.64) или форме Лурье (1.62).
Перейдем к канонической форме (1.64)
п
px. = pixi-]-biu. i =	2, ..п,	(*)
§ 5.4]
ВЫРОЖДАЕМЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
231
Нетрудно видеть, что в данном случае
0 0...0 О
О р2 0 ... О О
О 0 0...0 Р„
О ...О О’ pi...о о
:о...о pli
р* о ... о о О ра ... О О
ABft =
"fcxPf b2Pz
J>nPKt .
О О ...О Р*
"fcj	fc1P1	...	b^-1	’
b2	b2p2	...	bjpg-1
,b„	bnp„	...	b„p”~l
Матрица Ky— квадратная и ее ранг не равен п в том и только том случае, если detKy = O. Имеем
1 Pi Pi • • • Р"-1
1 Ра Рг • • •
1 Рп Рп-- Рп~1
(п Пь, ’=1
Второй множитель в правой части последнего выражения представляет собой определитель Вандермонда. При простых корнях он отличен от нуля и det Ку может обратиться в нуль в том и только том случае, когда по крайней мере один из сомножителей Ъ. обращается в нуль и, следовательно,
Ь,- _ то (р.)	_ Q
р — Pt d' (Pi) (р — Pi)
но это имеет место лишь в том случае, когда полином т (р) = т
=ЬоП (р — рк) имеет корень р = р., т. е. когда в числителе и зна-Л=1
менателе сокращается множитель р—р. и происходит вырождение передаточной функции с понижением ее порядка до значения и1=гапк Ку=и—1. Это приводит к потере управляемости системой (*). В данном случае понижение ранга матрицы Ку обнаруживается непосредственно из структуры матрицы: все элементы i-й строки обращаются в нуль. При обращении Ъ. в нуль z-e уравнение системы (1.64) принимает вид
pxi = pixi.
т. е. xf перестает зависеть от управления и и никаким изменением управления перевести х. в любое заданное состояние невозможно.
232
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
(ГЛ. V
Рассмотрим тот же пример, но приведем теперь уравнения к другой форме — канонической форме Лурье, положив
Тогда уравнения состояния принимают вид (1.62) рх( — р.х(-\-и, i = l, 2................п,
У = S bixi-4=1
Обратим внимание на нестрогость этого вывода, поскольку используется операция деления на р—р(. На самом деле рассуждения оправдываются лишь при и лишь в этом случае системы (*) и (**) эквивалентны.
Предположим, что то же самое Ъ{, что и в предыдущем примере, равно нулю. Теперь при тех же параметрах исходной системы все переменные состояния зависят от воздействия и и система должна быть полностью управляемой. В самом деле, проверим выполнение условия (5.4). Имеем
т. е. det Кг при простых корнях отличен от нуля и условие полной управляемости соблюдается. Можно показать, что оно выполняется и в случае кратных корней.
Предположим, что некоторое Ь. равно нулю. Для канонической формы (1.64) имеем
Г11
С'= •’ , A,fe = Afc,
Li I
Г 1 Pl... РГ11
rank К” = rank I..........I = n.
L 1 Р» • • • РЙ-1 J
Поэтому система (*) является неполностью управляемой, но полностью наблюдаемой.
Для канонической формы Лурье получим
piT	pl ^1Р1 • • • Ь1Р"-1
с'= :• , кн= ....................
L |	I	^пРп • • • ^пРп 1
§ 5.51
НЕПОЛНЫЕ УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
233
При bt = 0 i-я строка матрицы Кв состоит из нулей и Кв = п — 1. Система (**) поэтому является полностью управляемой, но неполностью наблюдаемой.
На первый взгляд получен парадоксальный результат: одну и ту же физическую систему исследователь оценит как полностью управляемую, но не вполне наблюдаемую, если выберет форму уравнений Лурье (**), но не полностью управляемую, если предпочтет форму уравнений (♦).
Причина этого кажущегося парадокса состоит в том, что если bt обращается в нуль, то передаточная функция вырождается и после сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе передаточная функция описывает уже не всю систему, а ее часть. По такой вырожденной передаточной функции уже нельзя восстановить полное описание исходной системы.
При Ь4=0 уравнения (*) и (**) дают описание не одной исходной физической системы, а ее различных частей, т. е., но существу, разных физических систем. Мы увидим ниже, что не существует линейной невырожденной замены переменных, переводящей систему (*) в систему (**).
Если же обращающихся в нуль Ь{ нет, то передаточная функция не вырождена и обе формы, как (*), так и (**) описывают одну и ту же физическую систему, но в разных переменных (указанная замена существует).
§ 5.5. Неполностью управляемые и наблюдаемые системы
Преобразование уравнений. В примере, рассмотренном в предыдущем параграфе, мы встретились с системой, полностью управляемой, но неполностью наблюдаемой, и другой системой, полностью наблюдаемой, но неполностью управляемой. При этом передаточные функции этих систем совпадали. Покажем, что эти уравнения описывают разные физические системы, т. е. что не существует невырожденной замены переменных, переводящей одну систему в другую.
Пусть дана система
х==Ах-4-Ви, 1
с базисом	у = Сх |	(	)
e = (er....е„}.	(5.25)
Базис представляет собой совокупность линейно независимых векторов, например векторов единичной длины, направленных по взаимно перпендикулярным осям n-мерного пространства X, т. е. совокупность ортов. Таким образом,
х = 2 е4х..	(5.26)
234
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
[ГЛ. V
Вводя, как показано в гл. 1, неособое линейное преобразование Х = Мх, det М =^=0,
где М — числовая матрица, преобразуем систему (5.24) в другую систему
± = Ах-4-Bu, 1
у = Сх }	<5-27)
Черточки над буквами указывают на выбранный базис
ё = (ёх, ..., ёя}, ё~Ме4.
Матрицы А, В и С связаны с матрицами А, В и С соотношениями (1.44):
А=МАМ"‘, В = МВ, С-^СМ1.
Матрицы управляемости
КУ = [В АВ ... АК1В], КУ = |В АВ ... A"~JB]
этих систем связаны соотношением
КУ=МКУ.
Так как detM^O, то ранги матриц Ку и Кг совпадают, следовательно, системы (5.24) и (5.27) одновременно или вполне управляемы, или нет.
Матрицы наблюдаемости
К" = [С' А'С' ... А/П-,С'], КВ[С' А’С1 ... А"'-1С']
этих систем связаны соотношением
КВ=М“1КВ
и имеют одинаковые ранги, поэтому системы (5.24) и (5.27) одновременно или вполне наблюдаемы, или нет.
Итак, не существует замены переменных x = Mx(det Л/у=О), переводящей систему (*) в систему (**), если хотя бы одно из bf = 0. Если же все bf=/=0, то можно показать, что такая замена существует.
Управляемые и неуправляемые группы переменных. Перейдем к изображениям переменных L (х) и L (п) по Лапласу при пулевых начальных условиях
L {х} = (Is — А)-1 Ви,	।
L {X} = (Is — А)-1 Ви = М (Is — Ар1 Ви. /	<5’28)
§ 5.5]
НЕПОЛНЫЕ УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
235
Для некоторой компоненты х. (или ж4) получим
L {*<} = | {Д.Л + • • • + £ {J<} — "д + • • • +
(5.29)
Многочлены и Д^., очевидно, неодинаковы для разных базисов.
Может оказаться, что для некоторого х{ все Д^., j'=l, 2,. . ., I обращаются в нуль. Тогда xt совершенно не зависит от управлений и^, 7=1, 2,. . ., I. В этом случае говорят, что координата xt полностью инвариантна по отношению к воздействиям и или неуправляема. Если же все координаты х. при всех возможных базисах ё управляемы по всем воздействиям, то система будет полностью управляемой.
Может оказаться, что при некотором базисе ё какая-либо из координат х. будет неуправляемой по одному из воздействий и^, но управляемой по другим воздействиям, остальные же координаты управляемы по всем воздействиям. В этом случае система будет также полностью управляемой, поскольку можно выбрать вектор и, переводящий систему в заданное состояние, но она будет частично инвариантной по координате X. и управлению и..
Если же при некотором базисе ё некоторая координата х. оказывается совершенно неуправляемой, то система будет неполностью управляемой.
Для неполностью управляемой системы (5.24) существует такая матрица М, что эквивалентные уравнения (5.27) можно раз бить на следующие группы [5.3]:
х1 = А11х1 -|~ А12х2 -|- Ви,
X2 = AggXg, у = Сх.
(5.30)
Для упрощения черточки над буквами, указывающие на выбор базиса, опущены; х2 — это совокупность тех х{, которые оказываются полностью не зависящими от управлений и ни непосредственно, ни через компоненты векторов х1.
Критерий полной управляемости Калмана (5.4) позволяет установить, будет ли система полностью управляемой при всех возможных базисах.
Размерность v управляемой части системы, т. е. размерность вектора х1 совпадает с рангом матрицы Кт. В полностью управляемой системе v=n, если 0 v < п, система неполностью управляема; при v=0 система полностью неуправляема.
236
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
П’Л. V
Наблюдаемые и ненаблюдаемые группы. Физические величины, характеризующие полностью или частично состояние системы, которые мы можем непосредственно измерять, т. е. величины у, являются наблюдаемыми выходами системы. Переменные состояния х., полностью описывающие состояние системы, могут не совпадать с наблюдаемыми выходами и число их может быть больше, чем число выходов. Но если любая из переменных состояния может быть выражена через значения наблюдаемых выходов прип=О, то система будет полностью наблюдаемой. Если же некоторые из переменных состояния не могут быть выражены через наблюдаемые выходы, то система будет неполностью наблюдаемой.
Для неполностью наблюдаемой системы (5.24) существует такая матрица М, что уравнения (5.27) можно разбить на следующие группы:
х1 = AjjX1 В1п,
*2 = A21X1 + А22Х2 + B2U* у = С1х1.
(5.31)
Дифференциальные уравнения (5.24) такой системы подходящей заменой х — Мх можно привести к виду
х1 = Аих’ + А12х2 4- А13х3 + АИХ4 4- B1U,
х2 = А22х2 + А24х4 + В2и,
х3 = А33х3 -]- А34х4,
х4= Л41Х4,
У — С2х2(-С4х4
(5.32)
(х — вектор, составленный из компонентов векторов (ж1, ... ж1).
Характеристический определитель этой системы разлагается на четыре множителя:
|Is — А( =
Is Ап	—А1а	—А13	-А„
0	Is — А22	0	—А21
0	0	Is А33	—А31
0	0	0	Is — А.
— j Is Ац | X | Is А221X | Is — А331X | Is A441.
(5.33)
Каждый сомножитель соответствует одной из перечисленных частей системы.
Система устойчива, если устойчива каждая из упомянутых частей.
§ 5.61
ПРИМЕРЫ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
237
§ 5.6. Примеры вырожденных систем
Параллельная компенсация. Рассмотрим схему, показанную на рис. 5.1 [5.1]. Если передаточные функции параллельно включаемых звеньев различны и равны 1/s -ф- и 1/s	а2, то
уг = к±хг -|- к2х2 =	~---1—) и —
111	22 \Р + ci р + °2/
__ (7'1 + к2) р + (kia2 fc2Ci)
(Р + °1) (Р + °2>
,	Т	kikn (eg — с.)
= к9х, — кгх9 = , ,	. .—, . .
»2	21	12 (р + «1) (р 4-с2)
Рис. 5.1.
При а±=^=а2 имеем систему второго порядка полностью управляемую и наблюдаемую. В самом деле, уравнения схемы можно представить в виде
рхг = —a^-^-kyU,
рх2 = а2ж2 -]- А”2и, !/1 = Лл + ^2.	1
У2 == ^'2^'1	к-^Х2,
В = ГМ, А = г~01 0 1, АВ^Г-^1], L7c2J	L 0 — a2J	L—c2«2j
Cf=|i, Ai). C;=g] = B, A- = A. K! = KJ, c,=| -*,l. с;=[Д], A’CJ=[-^'1,
238
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
[ГЛ. V
Таким образом, критерии (5.7) и (5.20) подтверждают полные управляемость и наблюдаемость системы при аг^=а2 по всем переменным— х±, х2 и у2.
При щ —«2 передаточная функция вырождается и ее порядок, если произвести сокращение, понижается до первого:
У1 № + кг) (р + а) £2 — 0
И	(р + аУ	’ и
Определители матриц Кт и К" становятся при этом равными нулю, т. е. система становится неуправляемой и ненаблюдаемой. Физически это можно пояснить так. Поскольку при точном равенстве
Рис. 5.2.
ai=a2 и полном отсутствии возмущений, действующих на звенья порознь, т. е. не являющихся для них общими, имеем х1=х2, то мы, считая систему имеющей второй порядок, не можем теперь обеспечить перевод в произвольное состояние (zlt x^Xj), а лишь в те состояния, где я2.
Сократив множители р+а в числителе и знаменателе передаточной функции мы тем самым как бы сводим систему к одному звену. В этой вырожденной системе переменная уг полностью описывает ее состояние и является управляемой и наблюдаемой.
Вырожденная система является моделью исходной лишь при точном равенстве постоянных а± и а2, чего не бывает в реальных системах, всегда выполняемых с ошибкой и лишь при полном отсутствии помех, воздействующих на входы звеньев порознь. Если ошибка в параметрах мала и помехами можно пренебречь, вырожденную систему можно рассматривать как приближенную модель исходной. В этом случае сокращение множителей в передаточной функции допустимо.
Последовательная компенсация. Рассмотрим линейную структуру, схема которой показана на рис. 5.2 [5.3]. Пусть известно, что эта схема составлена путем поэлементного описания на основе законов физики и, таким образом, т,2 и т(3 — физические измеряемые а, следовательно, и наблюдаемые переменные. Уравнения приведенной на рисунке схемы будут
(Р + ₽) (Р + т) "'ll — (Р + “) (р -|~ а) т]2 = vjj -|~ и2, (Р + 8) 71з = К (^ + «3).
(5.36)
Здесь p = d[dt, а
§ 5.6]	ПРИМЕРЫ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ	239
Перейдем к уравнениям в переменных состояния. Воспользуемся для этого формулами (1.50)—(1.53), применив, где это возможно, фазовые переменные. Начнем с последнего, выходного звена системы. Обозначим
Т]3 = х3.
Тогда из третьего уравнения системы (5.36) получим
Рх3 = ~8*з + к	4~ из)-
Обозначив далее ц2 — х2, найдем для среднего звена
РХ2 — —«^2 4" 711 4“ и2’
Для входного звена, воспользовавшись (1.51), из первого уравнения системы (5.36) получаем
Tjl _______Uj_____ __
р + “ — (д + Р) (p + D
и, обозначив рхг~х^ найдем
Р^ = —(₽ + Т)	— ₽Т*1 + «1-
"'ll = (Р + «) x1=xi + axv
Объединяя все уравнения и заменяя в дифференциальных уравнениях и т]2 соответственно на х^ Ц- чхх и х2, получаем уравнения в переменных состояния
рхх = .г4,	1
рх2 — а.х± — ах2 4* Ж4 4“ и2>
рх3= Кх2 — 8а?з4- Ки3,	J
рх^=— 01*1 — (₽4-т)а:44-и1, j	(5.37)
^ = <^4-^,	।
ij2 = х2,	I
7]3 = Х3.	I
Проверим условия управляемости и наблюдаемости. Имеем
240
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
[ГЛ. V
	0	1	0	
Так как	0	0	К	= К 0 и, следовательно, rank В = г = 3, то
	1	0	0	
п — г=Л— 3=1 и в соответствии со следствием (5.16)
о 1 о о
‘О о о
.1
КУ = [В АВ] =
о .о к о
1	0	0
1	—а	0
0	К	-о
-(₽ + ?)	0	0 .
Определитель, образованный
из первых четырех столбцов.
ООО
О	1	О
О	О	К
1	0	.0
1
1
О
-(₽ + 7)
отличен от нуля, следовательно, ганкКу = 4, и система полностью управляема.
Проверим условия полной наблюдаемости. Имеем
Определитель из первых четырех столбцов
а О
О 1
О О
1 О
О	-₽7
О	О
1	О
О а — (3 — К
= а(а — ₽ — Т) + ₽Т = (а — ₽)>— Т).
Таким образом, если а=^=Р и а=^=Т, то Д' отличен от нуля, и система полностью наблюдаема.
Приведенный выше путь решения — сначала задаются уравнения в физических переменных вход—выход, а затем из них получают уравнения в переменных состояния — наиболее естественный путь для инженера. Но может оказаться, что исследователь получает в качестве исходных уравнений уравнения в переменных состояния (5.37). Тогда может возникнуть и обратная задача —
§ 5.6]
ПРИМЕРЫ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
241
перейти к уравнениям в переменных т]х, ?]а и ^3. Проделаем этот вывод.
Один из обычных путей решения состоит в следующем. Переходим к преобразованиям Лапласа при нулевых начальных условиях. Находим определитель Д системы (5.37) и по методу решения алгебраических уравнений — определители Крамера Дх, Да и Д3 для нахождения переменных iqx, tq3 и tq3, соответственно
=	р —а 0	0 р4-“ —К	0 0 Р4-8	—1 1 0	= (p + «)(p + P)(? + i)(? + 8).
	₽7	0	0	р4-₽4-7	
	0	0	0	—1	
дх =	иа Ки3	р + “ —к	0 P4-S	0 0	= (p + «).U, + 8)“i-
	“1	0	0	р4-₽4-8	
Отсюда
__Ai _ (р 4~ а) (Р + 8) “1	__	“1
1 Д (Р + а) (Р + ₽) (р + 7) (Р + В) (Р + Р) (Р + 7) *
Аналогично находим
„	___(р + а) (Р + В) ц1 + (р + Р) (Р 4~ 7) (P + 8k“2__
*2 —Ъ —	(р4-а)(р + ₽)(р4-7)(р4-В)
__ U1____________I и2
(р + 7)(р + 6) "‘"’р + а’
__	___ Г- aai + (р + Р) (р + 7) “2 + (р + а) (р + Р) (р + 7) Ц3__
Я3 —л (р + д)(р + Ю(р + 7)(р + в)
__	KaUi	। Ки2 . Киа
~~ (Р + а) (Р + ₽) (р + 7) (Р + 8) *" (р + “) (Р + 6) *~Р + 8 ’
__ Р (Р + а) (Р + 8) Uj __ pui
4	(р + д) (р + Ю (р + 7) (р + 8)	(Р 4- Р) (р 4- 7) ’
__ Др 4~ д)2 (р 4~ 8) ui _________________ (р 4- д) “1
711	(р 4- д) (р 4- Ю (р 4- 7) (р 4- 6)	(р 4- ₽) (р 4- 7) ’
т. е. все выражения для передаточных функций после сокращения совпали с выражениями, получаемыми из схемы непосредственно.
Обратим внимание на существенное обстоятельство: передаточные функции по т]х, т]а и т]3 в результате их вывода из уравнений в переменных состояния на первый взгляд получились вырожденными, поскольку в них сокращались множители в числителе и знаменателе. Вместе с тем система оказывается полностью управляемой и наблюдаемой.
Противоречие это только кажущееся. Определяя передаточные функции методом Крамера исключения переменных, мы искусственно повысили их порядок. Произошло это потому, что, ме-
16 А. А. Воронов
Управляемость и наблюдаемость
[ГЛ. V
242
ханически применяя метод Крамера, мы как бы считали, что уравнения (5.37) образуют систему, в которой все переменные взаимозависимы. На самом же деле щ не зависит от rl2 и т(3 (хотя последние зависят от в силу направленности звеньев).
Если бы все переменные были действительно взаимосвязанными и передаточная функция по каждой из них имела бы четвертый порядок, то порядок уравнения системы был бы более высокий, чем четвертый порядок (не меньше, чем шестой). По отношению к этой системе более высокого порядка критерии (5.4) и (5.19) показали бы, что она не является полностью управляемой и наблюдаемой. На самом деле в системе можно выделить несколько автономных систем более низкого порядка, но в форме (5.37) эта автономность как бы замаскирована. Сокращение множителей в данном случае приводит не к вырождению системы, а лишь к устранению искусственно введенных связей и к восстановлению истины. Это сокращение множителей не только правомерно, но и необходимо. Наиболее надежным путем установления правомерности сокращения множителей в таких случаях является сопоставление абстрактной модели с исходной физической системой, хотя, видимо, распад системы на простейшие подсистемы можно было бы обнаружить и чисто математическим путем, рассматривая только систему (5.37) и не обращаясь к структурной схеме. Так, легко видеть, что переменные хг и х4 входят только в первое и четвертое уравнения системы (5.37) и, следовательно, образуют автономную подсистему
Р%1 == ^4»
РЪ = —Pl*! ~ (Р + Т) *4 + «1-из которой найдем
х — U1	х — pUi
1 <Р + Р) (Р + 7) ’	4 (р + Р)(р + 7) *
Подставив найденные таким образом выражения для и х4 во второе уравнение, получим
___ (Р + °) "1	[	“2 2 (Р + “) (Р + Р) (Р + 7)_+ “*
Третье уравнение содержит переменную х3, которая не входит в остальные уравнения и, следовательно, не влияет на остальные переменные, хотя сама от них зависит. Подставляя в третье уравнение найденное значение для х2, найдем
__________^(р + д) ui________। Ки3
3 (Р + “) (Р + р) (р + 7) (р + 6) "Гр + ® ‘
§ 5.6]
ПРИМЕРЫ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
243
Теперь для переменных т]2, т]3 найдем передаточные функции из соотношений
т. = х, 4- ах. =	, г ' ,—ги,,
11	41	1	(Р+ ₽)(₽ +7) 1
_	_	»2 I	(p + °)Uj
'2	2 р + “ Чр + 4 (р+ ₽) (р + т)’
__	__________К (Р + °) Ui________।	_______ К»з
(^ + а)(р + ₽)(р + 1)(р-|-Е) “Г (р + а)(р + 5) -Гр + 6-
Таким образом, передаточные функции и tJ2/zz2 не вырождены и все выражения для передаточных функций совпали с полученными непосредственно из структурной схемы.
Рассматривавшийся пример имеет дело с разомкнутой системой направленного действия, отдельные части которой по отношению к одному и тому же входу могут описываться дифференциальными уравнениями различных порядков, иметь различные характеристические полиномы и не быть при этом вырожденными. В замкнутой системе все переменные в разных точках замкнутого контура благодаря действию обратной связи становятся взаимозависимыми и для любой части контура характеристические полиномы будут одинаковыми, если только рассматриваемая часть не вырождена. Различие порядков в замкнутой системе является уже следствием вырождения.
Укороченная схема. Продолжим рассмотрение примера. Уберем из системы (рис. 5.2) последнее звено и рассмотрим укороченную систему
рхг = х4, рх2 ах4 — ax2 ~i"* 4
7^4 = —₽тх4 — (₽ + т) х4 4- И1, [.
1Q1 = a.Tj 4- х4, т]2 = х.г.	[
(5.38)
Нетрудно убедиться, что при наличии двух воздействий и н2 система полностью управляема и наблюдаема. Но если воздействие и2 положить тождественно равным нулю, т. е. если считать, что вход, к которому это воздействие приложено, совершенно изолирован от внешней среды и никаких помех па нем быть не может, то система становится неполностью управляемой. В самом деле, пусть н2=0. Тогда
16*
244
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
[ГЛ. V
Г —₽7
Аа = | -as-₽7 I ₽7 (₽ + 7)
ГО	1
Ю = I 0	1
Lt ~(₽+l)
О	—(₽ + 7) 1
а2	-(₽ + 7)
О ₽2 + ₽-r + 72J
АаВ =
• —(₽ + т) 1
-(Р + 7) P2 + P7 + 72J
-(Р + 7) 1
-(Р + 7)
Р2 + Р7 + 72 J
det КУ = |
1 -(Р + 7)
1 -(Р + 7)
При отсутствии и2 передаточная функция ?)2 (р)/иг (р) становится вырожденной
Ъ (Р)________Р +°______
В1(Р) (Р + °)(Р + Р) (р + 7)*
При этом полюс —а компенсируется нулем передаточной функции последовательно включаемого звена. Этот вид компенсации полюса можно назвать последовательной компенсацией. Такого рода компенсация, как известно из теории качества регулирования, применяется для устранения влияния опасных полюсов (обычно расположенных близко к началу координат). При этом в практических задачах пару компенсирующихся нуля и полюса (диполь) отбрасывают, а пару взаимно компенсирующих звеньев заменяют одним, в нашем примере имеющим передаточную функцию
1
(Р+ ₽) (Р + 7) ’
т. е. полное звено заменяют вырожденным. Возникает вопрос — когда такая замена допустима?
Практически она допустима, прежде всего, если она не приводит к коренным качественным искажениям математического описания, т. е. если система груба в смысле А. А. Андронова. Обязательным условием грубости является, прежде всего, устойчивость не только вырожденной, но и исходной невырожденной системы. Нельзя, например, пытаться компенсировать нулем полюс, расположенный в правой полуплоскости, так как при малейшей ошибке в компенсации он будет присутствовать и, следовательно, реальная система будет неустойчивой, в то время как ее «вырожденная модель» будет устойчивой.
Далее, замена исходной системы вырожденной допустима, если такая замена пе приводит к существенным ошибкам в решении уравнения.
Так, влияние неточности тождества iz2=0, т. е. влияние ва-риаций +ы2 можно исследовать следующим образом. Найдем решение невырожденного уравнения
(р+«)(р+₽)(р+т),»)==(р+®)«	(5-39)
при произвольных начальных условиях iq0, и ifo и заданной функпии Ui (/)• Пусть, например, иг (f)=l (t). Тогда решение
§ 5.61
ПРИМЕРЫ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
245
уравнения (5.39) имеет вид
		е~& I е~т< | РПо + (Р + 7) to ~Ь to _-«< । 1____₽ (₽ — 7) *" 7 (7 — ₽) '	(₽ — “) (7 — “)
। “7’)о + (“ + 7) to + to „-?/ f “ho + (“ + ₽) to + to	/с; znx
+	(a_p)(1_p) e H (a-7) (₽ —7)	•	(	’
Для вырожденного же уравнения
(Р + ₽)(р + тЬ = «.	(5-41)
задаваясь и — 1 (t) и двумя начальными условиями т]0 и to-получим
е-₽<	। eV . 7*10 + to -ft > ho + to -V /5497
₽(₽-7)+ 7 (7— P) ‘	7-P	+ P-7	-	(	'
Таким образом, неадекватность уравнений (5.39) и (5.41) при произвольных начальных условиях очевидна. Но в технических задачах начальные условия, как правило, не задаются произвольно, так как конструкция системы накладывает на них определенные связи. В нашем примере, если на внутреннее звено не действует входная переменная и2, которая могла бы оказать независимо от входа иг влияние на величины tq, i], то в силу конструктивных связей начальные значения переменных должны удовлетворять тому же уравнению, что и текущие переменные. В данном случае, поскольку рассматривается решение уравнения при нулевых начальных условиях, последние не могут быть любыми, а должны удовлетворять соотношению
to + (т + ₽) to + T₽to = °-	(5.43)
Нетрудно убедиться, что при точном выполнении этого условия решения (5.40) и (5.42) совпадают.
Если желательно учесть влияние возмущения и2 в промежуточной части (чтобы, например, оценить правомерность сокращения множителей), то это может быть сделано различными способами в зависимости от характера конкретной задачи.
Рассмотрим, например, случай, когда u2 (/) представляет собой кратковременный единичный импульс типа дельта-функции, приложенный ко входу второго звена в момент t=t0. Этот импульс вызовет мгновенное изменение начальных значений и fJ0, нарушив тем самым соотношение (5.43). Так как в линейной системе справедлив принцип суперпозиции, можно вычислить отдельно вызванный этим импульсом процесс и затем наложить его на основной процесс — этот накладывающийся процесс и будет представлять собой динамическую погрешность. Так как передаточная функция для т] по отношению к воздействию 8 (t0) равна 1/p-j-a, то весовая функция последнего (выходного) звена будет
246
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
[ГЛ. V
w (t)—e af. Если площадь импульса равна е, то вызванный им процесс, таким образом, будет ее~а1, а наибольшее отклонение от основного процесса будет иметь место в момент t=t0 и будет равным е.
Если в последовательной цепи поменять местами звенья, то вырожденная система будет описываться тем же уравнением, но импульсная единичная функция, приложенная между звеньями, вызовет на выходе последнего звена уже другой процесс: так как
Рис. 5.3.
передаточная функция последнего звена теперь равна -|_ р) » то весовая функция имеет вид
w __ (° — Р) е~р< + (I — °) е-'t*
7-Р
т. е. перестановка местами компенсирующего и компенсируемого звеньев влияет на динамическую ошибку, обусловленную помехами.
Двухканальная компенсация (инвариантность). Рассмотрим двухканальную схему компенсации воздействий Б. Н. Петрова [5.5] (рис. 5.3). Имеем
= W 2п2 4-	— W 3и1 — К Wz3rJ2.
Решая эти уравнения относительно переменной -<]2, получим
[1 + К (И\Ж2 + ТЕ3)] ч2 = (И4Ж2 - Uz8) ih + И^2.
Если выбрать И/1И72=И/3) то переменная tq2 перестает зависеть от воздействия иг, т. е. система становится инвариантной по отношению к иг и неуправляемой по нему. Пусть
И\ = 1, Ж2 = —J—, Ws = —-L-.
*	z п 4- а,	й п -4-
§ 5.Й1
ПРИМЕРЫ вырожденных систем
247
Тогда уравнение системы принимает вид-
[(Р + а1) С? + аа) 4~ К (^Р + а1 + аг)] Ча = (“a — “i) “i 4“ (Р “F “a) ua-
Проверим управляемость no uv Представим характеристический полином в виде (р Р) (Р	Т) — Р2 4~ (Р “F т) Р Ч- Получим
[Р2 + (₽ + Т) Р + Pl] 1а = («а ~ «1) «г
Обозначив т]2 = х1, px1 — xi, получим
рх1 = х2,
рхл = —	— (₽ 4- 7) х2 4- (а2 — aj ux,
В“ [«,-J* А—[-И -<₽ + т)]’
КГ _Г 0	1
Laa — “1 ~(“2 — ai) № + 7)J ’
АВ — [-(аа-“!)(₽+ 7).
det Ку = —(ouj — ах)2.
Система полностью управляема по их при a1=^=a2 и становится неуправляемой по этому воздействию только при точном выполнении условия компенсации а^а2. Проверим управляемость по и2:
[Р2 + (Р + Г) Р + ₽Т] Ча = (Р + аа) «а.
„ ___ (Р + Д2) На
(р + Р)(р + 7) ’
Если привести уравнение к каноническим переменным состояния, то мы сможем видеть, что поскольку в замкнутой системе a2^4p, а2=^у, то коэффициент при и2 не обращается в нуль и система остается управляемой по н2. Если же систему разомкнуть, т. е. положить К=0, то получим
__ (Р 4~ аа).ца
12 (Р + огНР + аа)*
При ax=a2 происходит вырождение передаточной функции и управляемость теряется также и по и2.
Рассмотренные примеры иллюстрируют лишь некоторые часто встречающиеся случаи образования вырожденных систем и потери управляемости и наблюдаемости. Помимо рассмотренных случаев, вырождение встречается в системах с переменной структурой, в которых обеспечивается движение по вырожденным фазовым траекториям и гиперповерхностям, при аналитическом конструировании оптимальных регуляторов по А. М. Летову, где путем соответствующего выбора параметров регулятора, реализующего уравнения Эйлера—Лагранжа, происходит также вырождение передаточной функции, при котором компенсируется влияние
248	УПРАВЛЯЕМОСТЬ ^НАБЛЮДАЕМОСТЬ	[ГЛ. V
полюсов передаточной функции, расположенных в правой полуплоскости (всегда присутствующих в решениях уравнений Эйлера—Лагранжа при квадратичном критерии оптимальности).
Вообще же вырожденные случаи, весьма интересные для математических исследований, имеют довольно ограниченный практический интерес и в руководствах им уделяют обычно мало внимания отмечая, что малой вариацией параметров многие вырожденные случаи можно свести к невырожденным.
& Для исследования же условий устойчивости, выраженных через передаточные функции системы, условие невырожденности, т. е. полной управляемости и наблюдаемости исходной системы, существенно.	о
ГЛАВА 6
ОБ АНАЛИЗЕ УСТОЙЧИВОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Понятия сложности. Понятие сложная система пока еще не имеет четкого общепризнанного определения, но практически сложной систему считают тогда, когда ее анализ «ручными» методами (включая и методы вычислений на настольных калькуляторах) становится практически невозможными из-за чрезмерно большого количества требуемых вычислительных операций. По мере развития вычислительной электронной техники многие из этих сложных систем стали доступными для машинного анализа, но далее возникло представление о «сверхсложных» системах, с которыми не могли управляться самые быстродействующие ЭВМ в основном из-за чрезмерно большого требуемого объема оперативной памяти. Вполне понятно, что в последнее время ведется большая работа по отысканию путей преодоления этих трудностей. 1
Упомянутые сложные системы в литературе называются по-разному: многомерные, многосвязные, многоуровневые, высокосложные, большие. Многообразие терминов, по-видимому, объясняется тем, что существует несколько качеств, характеризующих сложность системы, и каждое название стремится оттенить какое-либо из этих качеств.
а Одна из особенностей сложных систем — высокая размерность характеристического полинома или высокий порядок уравнения — стала объектом изучения давно. Для преодоления трудностей, обусловленных этим свойством, разрабатывались сначала критерии Рауса, Гурвица, Ляпунова; далее, когда эти методы также оказались слишком сложными, были разработаны частотные методы и некоторые другие, но в конце концов и они подошли к пределам возможного. Эта ситуация получила образное название — «проклятие размерности».
Другая причина повышения сложности состоит в увеличение числа управляемых переменных, числа связей между ними и дрл гими частями системы и числа параметров, влияние которых на устойчивость и другие характеристики функционирования си
250
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
стемы требуется установить. Сложные системы этого типа называют многосвяэными.
Появление в системе более чем одного нелинейного элемента также повышает сложность исследования даже при не очень высоких размерности и связности, поэтому к сложным системам можно отнести также и системы с несколькими нелинейными элементами, не сводимыми к одному.
§ 6.1. Системы с несколькими нелинейными элементами
Передаточные матрицы разомкнутых и замкнутых систем. Матричное правило Михайлова—Найквиста. Рассмотрим уравнения
^=Ах-|-ЬЕ, а = с'х,	(6.1)
§ = ?(*).	(6-2)
где А — постоянная вещественная п X п матрица, х — вектор размерности п, £ — вектор размерности п, а — вектор размерности ft..
j Число п выходов нелинейных блоков будем называть также числом нелинейных блоков. Число входов нелинейных блоков равно ft.
Когда два нелинейных блока разделены между собой динамическими инерционными элементами, их замена одним эквивалентным блоком невозможна и методы исследования, рассмотренные в предыдущих главах, становятся недостаточными.
’» Предварительно рассмотрим линеаризованную систему, полученную из данной заменой нелинейных блоков линейными:
5 =	(6.3)
где р. — постоянная п X ^-матрица. Устойчивость системы (6.1), (6.2) можно, конечно, исследовать, сведя уравнения к одному из «стандартных» видов, например исключить все переменные, кроме одной, или привести уравнения к переменным состояния, но для нас представляет интерес получить обобщения линейных критериев на рассматриваемый случай в таком виде, чтобы в уравнениях сохранились отражения структурных свойств системы, в частности передаточные функции линейных звеньев, включенных между нелинейными элементами.
Систему (6.1), (6.2) будем называть замкнутой,систему с £= =0 — разомкнутой. Если некоторый'линейный блок имеет выходом переменную Е{, а входом afc, то передаточная функция этого блока обозначается Wik (р). Рассматривая Wik (р) как элемент
§ 6.1]
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
251
матрицы, получим выражение передаточной матрицы разомкнутой системы в виде
W(p) =
^u(p)
-^Я1(р)
Ш12(р) ... Шш(р)-
wn2(p) ... Жя(В(р).
= с' (А — pl) 1Ь.
(6.4)
Если характеристические полиномы как замкнутой, так и разомкнутой систем не имеют корней на мнимой оси, то имеет место соотношение
det [1Я-|-pW (/<!>)] 0,	—oo<^u><^joo.	(6.5)
Обозначим через Ap(p) = det[A — р!я] и Да (/>) = det [Р — р!я] характеристические определители соответственно разомкнутой и замкнутой систем.
Воспользовавшись леммой Шура [6.4], можно получить соотношение
A,(p) = Ap(p)detiI + llW(p)].	(6.6)
Если многочлен Д (р) степени п не имеет чисто мнимых корней, то
Д arg Д (/«))	= пп — 2тгЛ-,
где к — число корней Д в правой полуплоскости. Применив этот вывод к Дв(р), получим
кг = кр — к0,	(6.6а)
где ка, крик0 — соответственно числа корней Д„ Др и det [I pW (р)] в правой полуплоскости с учетом их кратности. Тогда из (6.6) следует:
Д arg det [I, + pW (/«>)] |~ю = 2тс/с0 = 2т: (Лр — к„).	(6.7)
Выражение (6.7) можно назвать матричным правилом Михайлова—Найквиста. При т=п—1 из него следует обычное правило Михайлова—Найквиста.
Из (6.6а) следует, что необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой системы является равенство
к0 = кр,	(6.8)
поскольку характеристический полином не должен иметь корней в правой полуплоскости, т. е. /са=0.
В дальнейшем будем рассматривать системы, в которых каждый нелинейный блок имеет один вход и один выход, т. е. т=п, а нелинейности относятся к классам S07(ap р{), i=l,. . ., т, т. е. справедливы неравенства
j=l.......т.	(6.9)
252
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
(ГЛ. VI
Для таких систем В. А. Якубовичем доказана следующая теорема [6.19].
Круговой критерий ’ для нескольких нелинейностей (Теорема 6.1). Пусть даны уравнения (6.1), (6.2), в которых т=п, а нелинейные характеристики удовлетворяют условиям (6.9).
Пусть далее — произвольные числа в интервалах а{ РР i = 1, ..гп, а матрицы а — diag (ах ... affi), P = diag(pi1 ... pffi), fi = (р.г ... [хя) — диагональные матрицы с указанными диагональными элементами, т. е.
Пусть также матрица А не имеет собственных значений на мнимой оси (т. е. W (р) не имеет полюсов на мнимой оси), а число собственных значений матрицы А в правой полуплоскости с учетом кратности равно
Пусть, кроме того, число к0 определяется формулой (6.6), где р — указанная выше диагональная матрица.
Пусть, наконец, k0=kv, т. е. линеаризованная в классе ЧВЦа, ft) замкнутая система устойчива.
Тогда система (6.1), (6.3) будет абсолютно устойчивой в классе ЭЛ (а, р), если можно выбрать такую rn X т диагональную матрицу т с положительными диагональными элементами, что будет выполнено частотное условие
det Re {[1,л -[- aW (ju>)]* т [1Я -J- pW (/«>)]} =£= 0, —оэ<^а><^оо. (6.10)
При этом для любого решения системы, удовлетворяющего условиям теоремы, справедлива оценка
|x(O|<Ce-'^)|x(io)|,
где t t0 — произвольные числа, а постоянная С >0 и е >0 не зависят от ср £ ЭЛ (а, р), т. е. система экспоненциально абсолютно устойчива.
Условие k0=kv можно заменить эквивалентным условием: асимптотически устойчива система сравнения (6.1), (6.3), где р — указанная выше диагональная матрица.
Замечание 1. В (6.10), как обычно, под Re Z понимается выражение
ReZ=|(Z-|-Z*).
§ 6.11
системы с Несколькйми нелинейностями
253
Замечание 2. Теорема справедлива не только для стационарных нелинейностей, но также и нелинейностей вида
=	t), i= 1, ..п,
и также нелинейностей с гистерезисом
£.• (О = [°* С1) 1о. *1.
в которых выходы (f) нелинейных блоков в момент t могут зависеть и от значений входа а (т) во все предшествующие моменты времени 0 т t.
Доказательство. Условия (6.9) равносильны выполнению квадратичных связей
F( («. I) = & - а»,) (₽о< - S4) > 0.	(6.11)
Выберем произвольные t^O и составим форму
F(c, 5) = ^ + ••• +	= (£-«*)** (₽*-£). (6.12)
где a, р, т — диагональные матрицы т X т. Из (6.11) следует F(p, Е)^0, т. е. функции a(£), £(Z) удовлетворяют локальной связи с формой (6.12). Распространяя форму (6.12) на комплексные значения |, 5 и сохраняя эрмитовость матриц, получим
F(5, |) = Ке(|-аа)*т(р5-|).	(6.13)
Полагая 5=W(X)f, найдем форму
/(X, |) = -|Q(X)§,
где Q (X) = Re	+ aW (X)]* т [Iw + p\V (X)].
Частотное неравенство Q (/oj)	0 (—co <o оэ) равносильно
неравенству
det Re {[I« + aW (»]* [Iffl + pW (»])	0.	(6.14)
Применяя квадратичный критерий для локальной связи (§ 4.6) и матричный критерий Махайлова—Найквиста, получаем утверждение теоремы (6.1). Таким образом, теорема доказана.
Пример. Одноконтурная цепь из чередующихся нелинейных и линейных блоков (рис. 6.1).
Уравнения блоков линейной части;
°1=^г(Р)^ О2=1'1/2(Р)^
ат---- IRm (р) ^-т-Г
Здесь все правые части имеют знаки плюс. Замыкание контура отрицательной обратной связью будем учитывать знаком соответствующей связи.
254
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
Передаточная матрица:						
	- 0	0	0 ..	0	0	w-
		0	0 ..	0	0	0
W(p) =	0		0 ..	0	0	0
ООО 0 Wm О
Предполагаем, что входы и выходы нелинейных блоков связаны соотношениями (6.2), удовлетворяющими неравенствам (6.9), и что
(/<u) =у4= 0, —со<<о<оо, i=l, ..., т.
Линейную систему сравнения получим, положив
t. — рл., 1=1, ..., т. Обозначим
li = diag(fx1, р2, ....
Вычислим определитель
т
det [Iffi -j- |1W (/w)] = 1 -f- П W-
В соответствии с (6.7) число kf полюсов разомкнутой системы справа от мнимой оси равно числу полюсов в правой полуплоскости т
(с учетом их кратности) у функции п рДУ,. (/<»), поскольку система
Рис. 6.1.
(6.15, 6.3), где p, = diag(p.1 ... рй), эквивалентна (при отрицательной главной обратной связи) уравнению
т
1+П^Д/со)
а1 = 0.
Согласно матричному правилу Михайлова—Найквиста число правых корней системы сравнения определяется равенством (6.7). Замкнутая система устойчива при k0=kt. Пусть последнее равенство имеет место для некоторых чисел р,- из интервалов
§ 6.Ц
СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
255
Рл 1—1,. . ., ff>. Рассмотрим частотное условие (6.10) абсолютной устойчивости замкнутой нелинейной системы. Заметим, что последовательной перестановкой двух смежных столбцов, начиная с крайнего правого и двигаясь влево, матрицу W (р) после т—_1 перестановок можно преобразовать в диагональную матрицу_У¥ (p)=diag (ТЕ, (р). . .W^ (р)) и определители матриц W (р), W (р) связаны соотношением
det W (р) = (—If-1 det W (р),
т. е. могут отличаться только знаком, если гй — четное. Тогда условие (6.10), если в нем для простоты принять т=1я, приводится к виду
det Re {flm + aW (/о,)]* т [Iffl + gW (/<«)]) =
= det Re (diag (1 + a(Wt (po))* diag (1 + ptWf (/<o))) =
= det Re {diag [(1 4- aW* (/«)) (1 -f- g JR. (>))]) =
= П {1 +1 (a,- + ₽,-) IW{ (j«>) + W* (»] + аД IW, (jv) |2} =
= IT {1 + (af + ₽.-) Re Wt (/<») 4-аД |	|2}. (6.15a)
Если i-я нелинейность принадлежит классу (0, A'J, тоа,. = 0 и условие устойчивости принимает вид
П [1 +	Re W{ (/«>)] =/= 0.	(6.16)
»=i
Критерий Попова для систем с несколькими нелинейностями. (Теорема 6.2). Пусть т = п, функции <pt. стационарны и удовлетворяют условиям (6.9).
Пусть далее матрица А гурвицева (все полюсы матрицы W (р) расположены в левой полуплоскости), р-1 = diag (р.71 ... р4), т = — diag (tj ... Tffi), 0- = diag (Д ... &«) — диагональные матрицы, где все т{^>0, i=l, ..., тп.
Тогда система устойчива асимптотически в целом, если можно выбрать такие 8, и т(>0, i = l, .... т, что для всех <в, —оо ^(о^оо, будет выполняться матричное условие Попова
тр'1 J- Re {(т J- /<«{>) W (»} > 0,	(6.17)
т. е. чтобы матрица в левой части (6.17) была положительно определенной.
Устойчивость будет абсолютной, если имеют место предельные соотношения
h2|R0, |1^-0, max|x(01-0
равномерно по всем ср из рассматриваемого класса
256
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
Пример. Так, для случая
Г *1 +	(]••>)
diagCTji-^-J-Rel	(/'»)
L	(/"’)
W(p) = (W.j(p)) из (6.17) получим
(/in)
Tg -|- /(,)%^22 f/h>) /w&3wS2 (/«)
M,rr13(/ o)" i /coSglVg, (/ш)
"з /""МКзз (7м) I
>0.
После вычисления всех элементов матрицы можно применить, например, условия Сильвестра. Операция довольно громоздка. В случае одноконтурной рассмотренной выше цепи матрица также приводится к диагональной и мы в конечном итоге получаем условие абсолютной устойчивости в виде
Пт1.(р7' + ВеМ.Пг,.(7<о))>0. 1=1
При более чем двух нелинейных блоках возникают трудности в выборе величин т,. и Э-7. в частотных условиях. Замена т единичной матрицей, как это мы делали выше, далеко не всегда приводит к результату. Однако объем книги не позволяет нам рассмотреть этот вопрос подробнее, и мы отсылаем читателя к [4.42], где рассмотрен ряд интересных примеров, иллюстрирующих этот выбор и применение различных критериев к системам с несколькими нелинейностями.
§ 6.2. Уравнения с малыми параметрами при производных (сингулярно'’возмущепные системы). Общий случай
Вырожденная и полная системы. Если система в переменных состояниях может быть расчленена на
уравнений две группы
уравнений
x = f(x, у, t), ] y = G(x, у, f) I
и параметры функции G (например, ее коэффициенты разложения в какой-либо ряд) на порядок или более превышают по величине коэффициенты в сходном разложении функции f, то данную систему уравнений можно привести к виду
l = f(x, у. 0 ] py = g(x, у, f), I
где коэффициенты разложений функций f и g уже имеют одинаковый порядок, а р={р-г,. . ., р„) — матрица положительных малых параметров р; ^>0. Очевидно, что численные значения малых параметров не фиксированы точно. Поэтому, если они имеют одинаковый порядок, т. е. если они стремятся к нулю так, что пределы отношений’любой пары этих параметров конечны и отличны от нуля, то все р. можно выбрать одинаковыми за счет некоторого численного изменения коэффициентов правой части.
§ 6.2]	СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ	257
Пусть в системе (6.18) переменная х — вектор размерности и, вектор у — размерности т. Будем рассматривать решение системы (6.18), определяемое начальными условиями
ar.(i0) = a:/0, yf(t0) = yj0, i=l, п;
Очевидно, решение зависит от параметров у...
Если параметры весьма малы в сравнении с единицей, напрашивается естественный для многих задач путь приближенного решения (или исследования) уравнений (6.18): положить р,=0 и вместо полной системы (6.18) рассматривать более простую «вы-рожденную»£систему
i=T'<)=0 }	<С19)
при тех же начальных условиях. Черточки над буквами указывают, что решения X (£), у (i) системы (6.19) рассматриваются как приближенные решения системы (6.18), в отличие от точных решений х (£), у (/). Возникает естественный вопрос — когда подобный способ решения допустим? Первое условие допустимости его состоит в требовании, чтобы при р. -> 0 решение полного уравнения стремилось к’решению вырожденного. Второе требование заключается в том, что оценка расхождения точного и приближенного решений должна быть допустимо малой. Нас здесь интересует ответ только на первый вопрос — когда решение полной системы будет стремиться к решению вырожденной?
Рассматривая х и t как параметры, решим систему уравнений g(X, у, £) = 0 относительно у. Получим в общем случае систему функций
Уу =	х),	1
7=1, .. ., т. J	v ’
Эту систему называют корнем уравнений xg=0. В общем случае каждое из уравнений gy=O может иметь несколько корней. Решение вырожденной системы будет зависеть от выбранного корня. В дальнейшем полагаем, что корень выбран, и для простоты будем ставить у корня только один индекс, указывающий на его принадлежность к уравнению gy=O, и не ставить второй индекс, указывающий на то, какой из корней рассматривается. Подставив найденное значение Уу='-?у- (х, £) в первое из уравнений, получим уравнение вырожденной системы
X = f(x, ф(х, t), t), (^о)== i== • •  • > п-
Порядок вырожденной системы на величину т меньше порядка полной системы.
(6.21)
17 А. А. Воронов
258
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
Трудность исследования подобных уравнений связана с тем, что они составляют особый класс. Переход от исходной системы (6.18) к вырожденной (6.19) можно рассматривать как результат возмущения, скачком (или за конечное время) изменяющего значение параметра р от малой, но конечной величины до нуля (или наоборот, от 0 до fi).
Представим систему (6.18) в виде
^=F(z, Jp, *).	(6.22)
где
2 = {^1.........Х„,	У1,
f(z, t) t)
•• J/J. F =
a p. рассматривается как возмущение. Уравнение (6.22) нельзя исследовать «классическими» методами анализа, так как при р=0 функция F терпит разрыв. При р=0 порядок уравнений (6.18) понижается. При этом решение уже не может удовлетворить всем дополнительным условиям (например, п-\-т начальным значениям х0, Уо), которыми определяется решение исходной системы (6.18).
Сингулярные возмущения. Присоединенная система. Рассматриваемое возмущение не является регулярным и относится к классу сингулярных возмущений. В [6.3] дано следующее определение:
Если при наличии отличного от нуля возмущения тип системы меняется по сравнению с невозмущенной (в нашем'случае невозмущенной считается вырожденная система (6.19)) таким образом, что для определения решения возмущенной системы (в пашем случае исходной системы (6.18)) требуется больше дополнительных условий, чем для определения решения невозмущенной системы, то возмущение называется сингулярным.
В последнее время математическая литература и литература по теории управления широко освещают «метод сингулярных возмущений». Сущность мртода состоит в том, что в сложной системе высокого порядла по физическим соображениям выделяются «малые» или «весьма большие» параметры. Например, малыми параметрами часто являются — постоянные времени tt, массы и т. п., которые выражаются в форме t.=nT., mj=M ft., а большими — коэффициенты усиления К{, выражаемые 'в форме Kt= ~kjp, где 7V, Мkt — соизмеримые с остальными параметрами величины, a fi — малый параметр. После этого уравнения приводятся к виду (6.20), если используются уравнения в переменных состояния, или к другим видам, например ф (р)	(p)+D0 (р)=
=0, где функция ф (ц) малого параметра также мала и исчезает вместе с ним.
S 6.21	СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ	259
Если полином (р) имеет более высокий порядок, чем Do (р), то при fi -> 0 порядок уравнения понижается. Применяя метод сингулярных возмущений, прежде всего ставят целью понижение порядка исследуемого уравнения. Метод дает и другие преимущества, в частности — разделение масштабов времени при анализе процессов в сложной системе.
Для исследования сингулярно возмущенных систем существенное значение имеет так называемая присоединенная система, получающаяся из второго уравнения в системе (6.18k
Й=ё(х’ У’ 0.	(6.23)
в которой х и t рассматриваются как параметры, а независимая переменная т равна Масштаб переменной, таким образом, на один или несколько порядков отличается от масштаба t. Процессы в присоединенной системе протекают во много раз быстрее, чем в вырожденной. Это дает основание систему x=f (х, у, t) называть медленной, а систему fty=g (х, у, I) — быстрой.
Метод сингулярных возмущений позволяет получать приближенные решения по этапам. Сначала пренебрегают быстрыми процессами и исследуют «медленную» систему (6.21) более низкого порядка, чем исходная. При этом задаются начальными значениями лишь для х (0)=хо и отбрасывают начальные значения у (0) = —у0. Затем при фиксированных значениях х, t находят из присоединенного уравнения решение «быстрой» системы (6.23) при начальных значениях у (О) = уо. Затем с помощью этого решения можно внести коррекцию в начальные условия и решение медленной системы и т. д. Наконец, метод сингулярных возмущений позволяет использовать для получения необходимой степени приближения асимптотические разложения решений по степеням малого параметра ft. В данной книге материал ограничивается лишь тем, что необходимо для исследования устойчивости — нахождением условий, при которых допустимо использовать метод сингулярных возмущений для понижения порядка и исследования устойчивости.
Очевидно, что метод сингулярных возмущений можно применять в том случае, когда при ji -> 0 решение исходной полной системы (6.18) будет стремиться к решению вырожденной. Наиболее полное решение этой проблемы дано в работах А. Н. Тихонова [6.18], А. Б. Васильевой [6.3], И. С. Градштейна [6.5, 6.6], А. И. Климушева и Н. Н. Красовского [6.8]. Позднее на данную тему было опубликовано много работ, обзор которых дан в [6.24].
Применяя метод сингулярных возмущений, мы начинаем с нахождения корней уравнений g (х, у, ?)=0. В линейном случае, если корень существует, он будет единственным. В нелинейном случае корней может быть несколько, и каждому из них будет
17*
260
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
1ГЛ. VI
соответствовать свое, отличное от других решение. Какой из них надлежит выбрать? На этот вопрос отвечает фундаментальная теорема Тихонова: корень должен быть изолированным и устойчивым по Ляпунову. Если же и таких корней окажется несколько, то с математической точки зрения они будут равноправны п выбор следует производить, исходя из дополнительных физических соображений или, если они все возможны, исследовать решения для каждого из этих корней.
Корень у = (f (х, t) уравнения g (х, у, t)~ 0 является функцией х и t. Иногда его называют точкой, имея в виду точку в ш-мер-ном пространстве векторов у. Корень называется изолированным, если можно найти такое е > 0, что система g (х, у, t) = 0 не удовлетворяется ни при каком другом у, не равном корню, т. е. если выполняется условие
°<ЙУ —<?(х. ОНО если У=И=У1 = ?(х, 0-
В качестве нормы здесь принимается наибольший из модулей
||у —?(х, 011= max |yfc —01-
В скалярном случае {т = 1) норма заменяется просто модулем.
Теорема Тихонова (Теорема 6.3). Пусть выполнены условия:
1) Функции f(x, у, 0 и g(x, у, 0 непрерывны и удовлетворяют условиям Липшица по переменным х и у в некоторой открытой области G пространства переменных (х, у, i).
2) Уравнение g(x, у, 0 = 0 имеет в некоторой ограниченной области D пространства (х, 0 корень <р(х, 0 такой, что:
а)	<р (ж, 0 непрерывна в D,
б)	точки (tf (х, 0, х, t)£G при (х,
в)	корень у = <р(х, 0 является изолированным.
3)	Система (6.21) имеет единственное решение на
причем точки (х (0, 0 € ® при t Q [0, 71], где D — множество точек D. Считаем также, что f (х, 0. х. 0 удовлетворяет условию Липшица по х в D.
4)	Точка покоя у = <р(х, i) присоединенной системы (6.23) асимптотически устойчива по Ляпунову равномерно относительно (х, Z)GD, иными словами, у = ср(х, t) является изолированным устойчивым корнем в D.
5)	Решение у(т) задачи (6.24) удовлетворяет условиям:
а) У (т)-*?(»<). °) ПРИ х->оо,
б)	точки (у(т), Хо, 0)f G при
Тогда можно найти постоянную ро^>0 такую, что при 0^ <^р.^р.о решение х(£, р.), y(Z, р.) задачи (6.18) существует на интервале	является единственным, удовлетворяет предель
§ 6.2]
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
261
ным равенствам
lim х (t, р.) = X (t) при 0 t Т, [х->0
lim у (t, р) = у (£) при 0 t Т. р. —>0
(6.24)
Условие 4) устойчивости решения присоединенной системы наиболее существенно и определяет дальнейшие действия при исследовании, остальные условия относятся к виду функций и обычно легко проверяются.
Устойчивость по Ляпунову в данном случае означает, что для любого е 0 можно найти такое 8 (е)	0, что при || у (0) — <р (х, t) || < 8 (s)
выполняются условия ||у(т) — <р(х, £)||<ЕПрИ т^Ои у(т) —> (х, t) при т->оо. Заметим, что если мы будем рассматривать присоединенную систему
^=g(y, хо, 0),	т>0,	(6.25)
с начальными условиями у (0)=у0, то в общем случае у0 не близко к точке покоя ср (х0, 0) и решение задачи (6.25) может не сходиться к <р (х0, 0) при т -> оо. Поэтому, в дополнение к условию 4) добавляется еще условие 5) устойчивости в большом. Условие 5) означает, что у0 должно принадлежать области притяжения G (по терминологии А. А. Андронова) или области влияния (по терминологии А. Н. Тихонова). Так как отталкивание можно считать отрицательным влиянием, мы будем использовать термин «притяжение».
Так как нас интересует определение устойчивости исходной системы, по условиям устойчивости более простой, чем вырожденная система, то из теоремы (6.3) следует, что равновесие исходной системы будет устойчивым, если: 1) устойчиво равновесие вырожденной системы, 2) устойчиво равновесие присоединенной системы, 3) функции f, g и начальные значения удовлетворяют условиям 1)—3) и 5).
Приведем набросок доказательства теоремы для скалярного случая.
В скалярном случае (ш=1) порядок присоединенного уравнения первый. Выберем в качестве функции Ляпунова функцию
V=[y —	ж)]а,
где tpj (£, х) — выбранный нами корень уравнения g=0. Величина t рассматривается как параметр, и производная
^^=2 (у — <Pi(*. *))|r = 2(£ —х0, 0)
в силу уравнения (6.25) не зависит от независимой переменной т присоединенного уравнения.
262
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
(ГЛ. VI
Для рассматриваемого уравнения первого порядка точка 3—^1 (0. х) будет устойчивой, если при малом отклонении от нее знак производной dyld~, т. е. знак множителя g {х, у, тр) будет обратным знаку отклонения у—ср (t, х) и наоборот. Поэтому, если корень устойчив, т. е. выполняется условие 4), то dVIdt отрицательно определенна, существует положительно определенная функция Ляпунова, т. е. условия (6.7) выполняются.
В многомерном случае доказательство усложняется. Сначала докажем вспомогательную лемму.
Пусть Ug — множество точек в пространстве (х, у, t), в котором выполняется условие 4, т. е. ||у—<р(х, £)||<^e, (х, <)<Ч0. Для замкнутой области Ue = {(x, у, t): ||у — <р(х,	(х, Z)£D).
Лемма 6.1. Пусть выполнены условия 1) — 4) и е^>0— произвольно малое число такое, что О, С G. Тогда найдутся 8 = 8(e) О и р = р0 такие, что при 0 ^Сг^СГо существует единственное решение x(t, р), у(/, р) системы (6.18) с начальной точкой (x(i0, р), у(0> г). 0)6 6’г, которое не выходит из Пе при t^t0 до тех пор, пока (x(Z, р), Z) не выходит из области D.
Доказательство. Из условия 1 теоремы следует, что существование и единственность решения имеют место по крайней мере в некоторой окрестности начальной точки и что его можно единственным образом продолжить за пределы окрестности, если только оно не вышло из UB. Этим обосновывается возможность выбора 8 из интервала 0 < 8 < 8 (е/2), где 8 (е/2) определяется условием 1). Чтобы показать возможность выбора р0, предположим сначала, что такого р0 нет и что, следовательно, можно указать последовательность {ря} ->0 такую, что решение х (О Гя). У (О Г J. исходящее из начальной точки (х (£в0, рп), У(Оо. Гя) 6 иг до некоторого момента будет удовлетворять неравенству
Ну(*. Гя) —?(х(0 Г«). ОНО. (х(0 Гя). 06D,
а при t=t„ получим
11У&. Гя)~?(х(0. Гл). М1 = е. (х(0. Г«). U6D- (6.26)
Пусть tn — наибольшее значение t из интервала	при
котором решение х (Z, ри) у (t, рп) пересекает границу U5, т. е. IIУ (О- Р«)~ ?(х(0. Гк). 0Н = 8- ТогДа ПРИ ОоОяООя
8<НУ(О Г„)-ф(х(О ГЯ). 0<в-	(6-27)
Точки (y(Z„, p.„), x(t„, р„) биг, и потому из них можно выделить сходящуюся подпоследовательность
{(У (О- Г«). х(0. Гп)0{Уо. хо. 0)6 U6 при и-* со.
§ 6.2]
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
263
Заменив в (6.18) переменную x = (t—<я)/р, получим
^7 = g (х. У. t, И- Нят). = М (х. У, t„ + Н„4-
Решения этой системы удовлетворяют начальным условиям х |т=0 = = x(tn, р„), у 1^ == у Ня)» поэтому на основании теоремы анализа о непрерывной зависимости решения от параметра имеем
lim у (tn + рпт) = у (т), lim х (t„ + р„т, р„)=X (т).
(6.28)
где у(т), х(т) — решения системы
< = 0» -g = f(x. У. «о)» х(О) = хо.
Очевидно, что у(т) = у0, а Х(т) является решением присоединенной системы
-rf7 = g(y, Хо, t0), Я°) = Уо-
Но II Уо ~ <Р (х0« МII = 8 < 8 (у)» и п0 условию 4) || у (т) — <р (х^,, £0)|| < <С-|- при и у(т)-><р(х0, £0) при т—>оо, поэтому при некотором х = -г,, — т0(8)>.О имеем ||у(т0) — (х0, £0)||<8 и в силу (6.28), начиная с некоторого номера п0, при tn t t„ -f- рят0 выполняется неравенство
IIур-я) —?(х(«. и»)» ОЛ<у»
(6.29)
а при tn — tn н„т0 — неравенство
IIУ (tn + ПЛ- Ня) — ? (х (^„ + Нято» Ни). 4- Нято) II < 8- (6.30)
Но если ?я^^я4~Нято. то (6.29) противоречит (6.26), а при ?„^> ^>^4“ ИЛ (6.30) противоречит (6.27 V Этими противоречиями и доказана лемма.
Доказательство основной теоремы в многомерном случае.
Пусть задано произвольное е J> 0. Выберем сначала 8 = 8 (е) в соответствии с леммой 6.1. Так как по условию 5) решение присоединенной системы (6.23) при т -> оо стремится к точке (х0, 0), то можно выбрать т0 = т0(8) так, чтобы
||У(то) — ?(х0. 0М1Ку8-
(6.31)
В силу известной теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра, входящего в правую часть и в начальные условия,
264
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
и по условию 5) можно выбрать р0 так, что при [0, т0]
11у(ть Р)~ УфЦ<у8 ПРИ 0<т<т0,
(6.32)
Наконец, выбрав р0 столь малым, чтобы (х(тр, р), xp)£D при О т т0, 0 < р р0, что возможно в силу ограниченности f и чтобы также имело место
Р-). ^оР) — <? (х0. 0)1!=
= Ь(хо< °) — Ч> (х (vop. р). *оР)||<у8- (6-33)
Подставив t — Тц в (6.31) и просуммировав (6.31), (6.32) и (6.33), получим
|у(го* Р) — ?(х(^оР, р), '=ор)||<8.
т. е. при Z = Zo = т:ор решение задачи удовлетворяет условию
(y(Z0, р), x(Z0, р), i0)6Us.	(6.34)
Тогда в силу леммы при достаточно малых р, 0 р р0, решение х (Z, р), у (t, р) не выйдет из U, до тех пор, пока (х (Z, р), Z) £ D, т. е. при t^>t0 пока х находится в области D, справедливо равенство
y(Z, p) = ?(x((Z, р), Z) + t(Z, р).
Непрерывная функция у (Z, р) удовлетворяет неравенству || у (Z, р) || <А a х(£, р) является решением уравнения
-^^- = Г((?(У. 0 + т(«. Р)). х- 0. У(^0’ Р) = Уо + ° (р). (6-35)
где в соответствии с (6.28) a(Z)->0 при р->0.
Теперь покажем, что неравенства, доказанные для интервала 0 t t0, можно распространить на интервал 0 t Т.
Из условия 3) теоремы и из теоремы о непрерывной зависимости от параметра следует, что для любого ц 0 существует е0(т]) такое, что если у (Z, р) определена и непрерывна при t0 t Тк. где Тй — любое число из интервала t0 То Т, и удовлетворяв! неравенству ||у (Z, р)||<е0 (tq) при Z0<Z< Тй, и если Zo<eo(7l)-11°(р)И^ео(71)' т0 решение (6.35) существует на промежутке Z0<C точки (x(Z, р), Z)(«D при t£ [Zo, Т^] и при выполняется неравенство ||х(£, р) — X (Z) ||	т]. Назовем это свой-
ством А.
Из (6.28) п непрерывности x(Z) следует, что при произвольно малых Т| > 0 и е 0 из интервала 0 е е0 (щ) всегда можно вы
S Й.21
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
265
брать столь малое р0, что при 0 р р0 будут выполнены (6.34) и неравенства
/о = тор = т:о(8)р<ео(71), II х(*, Ю —ХоКч/2, h (0-^11 <^1/2.
!1°(р-)1Кео Ci),
о <i0-
Из последних двух неравенств следует:
||х(«, p)-X(t)|<i|,	0<Z<fo, О<р<ро. (6.36)
Теперь остается расширить область применения этих и показать, что
||x(i, р) — X(i)||7] при
неравенств
(6.37)
||y(f, р.) — <?(y(f, р), «)!<• при	(6-38)
Условия (6.36) и (6.34) устанавливают справедливость этих неравенств при t = t0. Из непрерывности у(£, р), х(£, р), ф(х, i), следует их справедливость в некоторой окрестности (i0, t0 Ц- h) точки t — t0 и в силу свойства А системы (6.35) при t(*(t0, t0-\-h) точки (x(f, р), 0 6 В и выполняется (6.37). Продолжать это утверждение далее можно либо до тех пор, пока не будет достигнуто значение t=T, либо пока не нарушится (6.38).
Предположим, что это нарушение произошло при некотором Д, io о	71» т*
||y(£, р.) — <p(x(i, р), i)||<e при i0<i<7’0, || у (i, р)-?(х(7’0, р) 7’0)Ц = е.
}	(6.39)
Тогда при t0 t в силу свойства А точки (х (t, р), t) £ D и, в соответствии с леммой, при t=T0 решение находится внутри Ue. Это противоречит условиям (6.39). Следовательно, решение однозначно продолжимо до t=T, т. е. доказана справедливость неравенств (6.37) и (6.38). Из (6.36) следует:
||x(i, р) —х(«)||<7],
Т,
и, так как ?] произвольно мало, этим доказывается справедливость первого из неравенств (6.25). Из (6.25) и непрерывности <р (х, t) следует равномерное относительно t £ [О, Т] стремление к пределу lim ср (х (i, р), t) = (X (t), t) = у (i).
р->0
Из того, что е в (6.38) произвольно мало, a t0=тор также можно сделать произвольно малым при р £ (0 < р р0), следует справедливость второго из неравенств (6.25).
Теорема доказана.
Й66
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
1ГЛ. VI
Перейдем теперь к случаю, когда все параметры в (6.18) одновременно стремятся к нулю, но так, что Jim = 0, т. е. вырождение системы происходит как бы поэтапно, поочередно. Система
х( = 1((х, У1, ...,ут, 0, i = l,...,и, х(О) = хо, РУУУ = ёу(х, У1, • • ; у„. О-/=1, ...,т — 1, у(О) = уо, Ут = ?т(х. У1...........Ут-1. 0. Н<Р-.+1.
(6.40)
где ув> = фю>— корень системы gm=0 называется однократно вырожденной или вырожденной системой первого порядка.
Присоединенной в данном случае называется система
-^- = gm(x. Ун-’-У^-о 0. Ут(°) = Ут- (6-41)
где х, ух, . . ., ymJ являются параметрами. Определения изолированного устойчивого корня и его области притяжения аналогичны предыдущим. Доказана следующая теорема.
Теорема 6.4 (А. Н. Тихонов). Решение полной системы стремится при р! ->0 к решению m-кратно вырожденной системы, если для любого j (1	<^m):
1) корни уу=1<р^, при помощи которых определяется вырождение системы, являются устойчивыми корнями присоединенных уравнений /-го порядка для любого / (1	/??);
2) начальные значения у^0 входят в область притяжения решения присоединенной системы /-го порядка, соответствующего начальным значениям х$, у10, . . .,ует_1,о.
Изучаемые предельные неравенства имеют место для всех t, для которых решения вполне вырожденной системы X(i, уДО) лежат внутри областей притяжения корней у^ = <р?-
§ 6.3. Уравнения линейных сингулярно возмущенных систем
Условия приближения решения полной системы к решению вырожденной. Пусть заданы векторные уравнения
Xi = AuXj 4- А12х2 4- Bpi, ---- ^21Х1
У = С1Х14-С2Х2, х1(О) = х1о, х2(0) = х20.
(6.42)
Размерность векторов хх, х2, у и и соответственно равна пг, п2, т и г; А4у, С,- — постоянные матрицы соответствующих размерностей; р — малый параметр.
§ 6.3]
ЛИНЕЙНЫЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ
267
Обратим внимание на то, что в этом параграфе изменены обозначения: переменные присоединенного уравнения обозначены через х2, а не через у, как ранее, так как для у сохранено то значение, которое использовалось в главе пятой — это выходные (физические) переменные. Входными переменными являются и. Систему (6.42), как и прежде, назовем исходной или полной, а систему
xi — Апхг А12х2 В1и, О = A21Xj -ф А22х2 -J- В2н, У = СА + С^,	( 3)
Х1 (0) = Х10
вырожденной.
Здесь и в дальнейшем будем полагать, что матрица А22 — неособая, т. е. что существует обратная матрица А~^ и из второго из уравнений (6.43) можно выразить Х2 через Хх и и. Проделав это и подставив результат в первое из уравнений (6.42), получим
новую систему
где
хт=Ахх 4- Вн, | y=c^14-fiu. J
Х1 (0) = Х10'
х2— А22 (A21Xi 4~ В2и), А = Ац — A12A2iA21, В 7 Bj А12А2^А21, С=с1-с2а-1А21, D = —С2А-1В2.
(6.44)
(6.45)
Для системы однородных уравнений (при и = 0) доказана следующая лемма.
Лемма 6.2 (А. И. Климушев, Н. Н. Красовский [6.8]). Если А22 — гурвицева матрица, и А = Ап — А^А^А^ — также гурвицева матрица, то существует такое р0 > 0, что для всех р (• (0, Ро) состояние равновесия рассматриваемой системы асимптотически устойчиво.
Учитывая сказанное и рассматривая сначала н как независимые входные переменные, из рассмотрения уравнений (6.45) можем сделать следующие выводы:
1) При [1 ->0 п± корней характеристического уравнения исходной системы стремятся к корням характеристического уравнения
А — /?1К1 = 0
вырожденной системы, т. е. к собственным числам матрицы А, а остальные п2 корней, т. е. корни характеристического полино\щ
268
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
А22— р.р1„г = О, стремятся к бесконечности. Так как корни р№ полинома А22 — [j.pl связаны с корнями р'к’ полинома А22 — pl зависимостью р№ —	, то корни стремятся к бесконечности
как собственные числа матрицы А22/р при достаточно малых р.
2) Для того чтобы полное решение системы стремилось к решению вырожденной и было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы присоединенная и вырожденная системы были устойчивыми, т. е. чтобы матрицы А22 и А были гур-вицевыми. Это следует и из теоремы Тихонова.
Для практических целей представляет интерес получить условия возможности построения регуляторов, которые измеряли бы не все переменные состояния исходной системы, а лишь то их число, которое соответствует переменным вырожденной системы, т. е. п1.
Осуществимость регулятора-наблюдателя в вырожденной системе. Подключение к системе регулятора отражается в уравнениях тем, что величины 4i рассматриваются уже не как независимые входные переменные, а как переменные, зависящие от переменных состояния. Вид зависимости зависит от выбранного алгоритма управления.
Можно показать, что если в (6.44) пара А, В управляема, то система (6.44) может быть стабилизирована с помощью пропорциональных регуляторов, действующих по закону и = Кох, где Ко—г X Hj-матрица. Уравнение замкнутой системы имеет вид
Xi = Cox1,	I
С;=А + ВК0.|	(6-46)
Матрицу Ко всегда можно выбрать так, чтобы матрица Со была гурвицевой. Уравнения состояния исходной системы при этом имеют вид
М.== (-А-Ц Д- ВдКд) Хд -|- Л12х2, |	.g
pi2 = (A2i + B2K())x1 + А22х2. j	' 1
Теорема 6.5 (В. Портер [6.26, 6.27]). Если А22 — гурвицева матрица, то существует р.о > 0 такое, что для всех р. О (0, р0) состояние равновесия гг1 = О, х2 = 0 замкнутой системы (6.47) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Матрица А в данном случае имеет вид А = (Ац BjK0) — A12A~i (Аа -ф- В2К0).
Но из выражений для А, В и (6.45) следует, что гурвицева матрица Со, определенная по (6.40), может быть выражена в форме Ср = An -A-igA-iА21 -|- BjK0 А12А221В2К0 =
— (^ii	вхК(0	aJ2a22 ( a2J -|- В2КО).
§ 6.31
ЛИНЕЙНЫЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ
269
Таким образом, А=С0, и потому матрица А — гурвицева. По~ скольку матрица А22 гурвицева по предположению, теорема является прямым следствием теорем Тихонова и леммы Климушева— Красовского.
Значение этой теоремы в том, что она обосновывает возмож
ность понижения порядка, а следовательно, и упрощения конструкции пропорционального регулятора для системы порядка при условиях, что ц достаточно мало, А22 — гурвицева матрица, а А, Ё — управляемая пара, до порядка вырожденной системы П!-
В практике это делается интуитивно, путем простого отбрасывания малых «паразитных» параметров.
Осуществимость регулятора-наблюдателя при наличии неустойчивой части. Для получения исходных ’предпосылок для синтеза регуляторов, действующих по принципу обратной связи, точнее — для установления ограничений, налагаемых на их по
рядки, представляет интерес рассмотреть и такие случаи, когда объект — исходная система — не обладает асимптотической устойчивостью потому, что ею не обладают либо «быстрая», либо «медленная» части, либо обе вместе. Эта задача была рассмотрена Портером [6.27] и А. Локателли [6.25].
Если неустойчивость обусловлена только «медленной» частью, то, поскольку ее порядок равен пх, должен существовать при определенных условиях регулятор пх-го порядка, который может обеспечить устойчивость полной системы (включающей и регулятор). Это вытекает из следующих' теорем.
Теорема 6.6. Пусть возмущенная система (6.23) наблюдаема и управляема, а матрица А22 — гурвицева. Тогда можно построить регулятор по выходам пх-го порядка для полной системы так, чтобы при р —>0 2нх собственных значений матрицы результирующей системы (включающей регулятор) стремились к заданным значениям, а остальные уходили в бесконечность, как собственные значения матрицы А22/р.
Доказательство проводится так. Рассмотрим регулятор пх-го порядка, описываемый уравнениями
Ё = (А — GC) В - [- (В — CD) и 4- Gy,	(6.48)
u = KB.	(6.49)
Тогда
где
уравнение полной системы принимает вид хЛ	[xf
*2 =F Х2
J J	h.
(6.50)
' Аи Ац/р
. GCi
F =
a12 bxk
A22/p	B2K/p
gc2 A - GC + (B — gB) к
270
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ, VI
Тогда в соответствии с первым свойством при п ->0 и2 собственных значений матрицы F удаляются в бесконечность, как собственные числа матрицы А22/д, а остающиеся 2щ собственных значений стремятся к собственным значениям матрицы F, равной
р г X ЙК -| h —[G —С A —GC + BkJ*
Они будут также собственными значениями матриц А -[- В К и А — GC. Всегда можно выбрать К и G так, чтобы матрица F была гурвицевой.
Условия теоремы достаточны. Для линейной системы (6.42) желаемое расположение полюсов можно получить, построив сначала «регулятор-наблюдатель» в соответствии с (6.49), а затем обеспечить по его состоянию тот частный закон управления, который выражается уравнениями (6.50).
Одпако могут быть случаи, когда регулятор, описываемый соотношениями (6.49), не удовлетворяет условиям для «наблюдателя», выполняющего ограничения (6.48). В связи с этим сформулирована теорема.
Теорема 6.7. Пусть возмущенная система управляема и наблюдаема. Тогда возможно построить регулятор порядка пг—а для исходной системы такой, что 2пг—а собственных значений матрицы исходной системы при р —> 0 стремятся к произвольно заданным значениям, а остальные п2 собственных значений удаляются в бесконечность, как собственные значения матрицы А22/р.
Теорема 6.7 по существу обосновывает возможность модификации свойств «медленной» части исходной системы с помощью обратной связи только по медленным переменным.
Однако положение не столь ясно, если неустойчивость обусловлена «быстрой» частью системы, т. е. если матрица А22 не гурвицева.
Признаки устойчивости «быстрой» части нельзя установить только по уравнениям (6.42). Далее вообще невозможно стабилизировать исходную систему, если матрица А22 не гурвицева, регулятором, например, порядка п2, дублируя в некотором смысле «быструю» часть системы, если А не гурвицева матрица.
Действительно, рассмотрим (6.42), предположив, что состояние достижимо. Тогда, полагая, что А22, В2 — управляемая пара, можно выбрать закон вида и = Кх2 так, чтобы результирующая система имела асимптотически устойчивую «быструю» часть, т. е. чтобы А224-В2К имела произвольные левые собственные значения, но при этом ничего нельзя будет сказать о медленной части, которая при этом также модифицируется.
Поясним сказанное примером.
S 6.41
БЕСКОНЕЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ УСИЛЕНИЯ
271
Пример. Дана система второго порядка
---^11*^1 Н- «12*^2 + ^1«»
---«21*^1 ~I- «22*^2 “I- ^2«’
где хг, х2, и — скаляры, а,.у, b{, I, f=i, 2 — постоянные числа. Пусть а22 > О,
м=аи —(6.51) й22
и и=Кх2. Тогда для достаточно малых р. результирующая система будет устойчивой при условиях
«22 + ^<0,	(6.52)
«и
(а12 + ^Ifc) а21 Q °12 + 62fc
(6.53)
Выбирая К из (6.52), получим, что (6.51) и (6.53) удовлетворяются только при условии (ацЬ2—К > 0, т. е. построение регулятора с выбранным законом управления возможно лишь при некоторых частных значениях параметров исходной системы.
Заметим, что полученные условия достаточны, поэтому иногда оказывается возможным построить регулятор пониженного порядка и в случае неустойчивости исходной системы.
§ 6.4. Устойчивость линейных систем, допускающих беспредельное увеличение коэффициента усиления
Структуры, допускающие беспредельное увеличение усиления. Рассмотренные выше уравнения в переменных состояния с малыми параметрами только при производных, естественно, не исчерпывают всех случаев систем с малыми параметрами. В данном параграфе мы рассмотрим системы, не сводящиеся к рассмотренным выше. В качестве примера таких систем рассмотрим специальные структуры, изучавшиеся М. В. Мееровым [6.13, 6.14].
Сначала рассмотрим системы, которые до введения корректирующих блоков представляют собой одноконтурные цепи из простейших типовых звеньев. Как известно, если не принимать специальных мер, увеличение коэффициента усиления, предпринимаемое в целях повышения точности регулирования, оказывается сильно ограниченным, так как при перерастании коэффициентом усиления некоторого критического значения, обычно резко уменьшающегося при повышении порядка уравнения, система теряет устойчивость. Один из способов противодействия этому состоит во введении специальных дополнительных локальных обратных связей, охватывающих часть цепочки (рис. 6.2).
272
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
При определенных условиях^после коррекции коэффициент усиления может увеличиваться теоретически беспредельно.
Начнем рассмотрение с более общего случая, когда отдельные части системы имеют передаточные функции
V TJZ	(Р)
л0И/0= —р ----------некорректируемая часть,
тт- ТТТ	(Р)
----корректируемая часть,
ttz	(р)
K2tv2 —-------------корректирующее звено.
Здесь — К. — коэффициенты усиления соответствующих частей—
вещественные положительные постоянные; М{ (р) и D( (р) —
Рис. 6.2.
полиномы, свободные члены которых равны единице. Предполагается, что коэффициент усиления корректируемой части К± можно сделать сколь угодно большим. Тогда обозначим

и получим, таким образом, малый параметр. Опуская для краткости обозначение аргумента р в полиномах Mt и D{, найдем передаточную функцию замкнутой системы в виде

w (р} =_________________________________________
« W [>.DeD1D2 + Мг (K2M2D0 + К0М01)2) •
(6.54)
Положив р=0, получим передаточную функцию вырожденной системы
(6-55>
Полное характеристическое уравнение имеет вид
V-D0DJ)2 (KZMZDO + K.MQD2) Mz = 0.	(6.56)
Характеристическое уравнение вырожденной системы
К, MZDO 4- KOMODZ = 0.	(6.57)
Полная система устойчива, если уравнение (6.56) удовлетворяет условиям устойчивости при р —>0. Очевидно, необходимым, по недостаточным условием устойчивости является устойчивость вырожденной системы: полином (6.57) должен быть гурвицевым.
§ 6.4]
БЕСКОНЕЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ УСИЛЕНИЯ
273
Заметим, что’кТданной "системе нельзя^непосредственно'применить выводы предыдущего параграфа, так как система не’пред-ставима уравнениями вида (6.42). В самом деле, так как мы имеем только один параметр р, входящий в характеристическое уравнение только в первой степени, то соответствующее уравнение в переменных состояния, если только оно существует, должно записываться в виде системы
А = а1Л + «12^2 + • • • + Vn - j- alt п+1у, = а21а;1 а22х2	а2вхп -|- а2_ я+1г/,
*я = °»А +	+ • • • + V» + ов,
М = йЯ+1,А + ая+1, 2^2 + • • • + а«+1, А + °B+i, Я+1!А
Характеристический полипом имеет вид
—рр det (Ая — р!„) -|- D (р) = 0;
Ая = (а<Д i.J = !.•••. и.
Первое отличие уравнений состояния от рассматриваемой системы состоит в том, что в ней полином р det (Ал—р!в) имеет степень п-j-l, полином D (р) — степень п, т. е. разность степеней полной и вырожденной систем равна единице, в уравнении же (6.56) она может быть произвольной. Второе отличие состоит в том, что полином р det (Ап—pln) не имеет свободного члена, в то время как полином D0DxD2 его имеет. Чтобы уравнения в переменных состояния приводились к рассматриваемому характеристическому уравнению, нужно, чтобы малый параметр в них входил не только при производных, но и в некоторые из коэффициентов at.. Эти отличия существенны настолько, что выводы предыдущего параграфа становятся в данном случае недостаточными.
Поведение корней характеристического полинома при вырождении системы. Для получения условий устойчивости изучим поведепие корней полной системы при р ->0. Обозначим степени полиномов Do, Dy и О2 соответственно через и0, и п2, а полиномов Af0, Мх и М2 — через т0, и т2. Уравнение (6.56) приведем к виду
Р [Др** + ... +1] + Др". + ... +1 = О, (6.58) где
Nx=т1 -|- max (n0 -|- т2, т0 п2), A2 = no + wi + «2-
Интерес представляет, очевидно, лишь случай N2 > JVj. Далее для определенности будем рассматривать наиболее часто
18 А. А. Воронов
274
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
встречающийся случай, когда
- wij -|- тй -J- п2, ^2 ~	— по 4" ni — то — mi-
Заметим, что в уравнении (6.58) те структурные частности, которые отражены на рис. 6.2, фактически исчезли. Осталось характеристическое уравнение обыкновенной линейной системы с одним малым параметром, причем достаточно общего вида, более общего, чем в рассмотренных ранее системах, в которых малый параметр входил только при производной первого порядка. Поэтому дальнейшие выводы представляют интерес не только для систем, сводимых к уравнениям (6.42) или же к схеме, показанной на рис. 6.2.
Преобразуем уравнение (6.58) к виду
[(ар». +...+1)	+1)=°-
J	' 1лоР 1+ ••• 4-1	/|
Так как полином Лорл>	1 при р =^= 0 отличен от нуля, то,
сократив на него, получим
B(Z24----+1 _|_! = о.	(6.59)
‘*лорЛГ- + ... + 1	v ’
(В тех редких «счастливых» случаях, когда полином Л0рЛ’>4-- . .4-1 тождественно равен нулю, исходная система разлагается на два множителя, т. е. на две системы ЛорЛ'>+- • .4-1=0 и ,В0рл'*4-- • • . . .-|-1=0, причем точно и для декомпозиции уже ^пет надобности изучать, что происходит при р ->0.)
Представим (6.59) в виде ряда
...]+1=0.	(6.60)
Очевидно, что при р —>0 должно быть р -»оо. Поведение корней в бесконечности можно изучить с помощью тех или иных приближений. Так, в «нулевом» приближении можно считать, что при р -> оо допустимо пренебречь всеми членами ряда в квадратных скобках, кроме старшего, и искать корень рк из уравнения
{Хф-р^* + 1 = 0,
"П
откуда
V-Bo ’
(6.61)
Если Nt—Л\=1, т. е. если порядок вырожденной системы на единицу меньше порядка полной, то
§6.4]
БЕСКОНЕЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ УСИЛЕНИЯ
275
будет единственным корнем, уходящим в бесконечность при р ->0. Он будет отрицательным, если выполняется условие
ф->0.	(6.62)
^0
Нетрудно видеть, что условие (6.62) совпадает с условием предыдущего параграфа. Однако если —N-l > 1, то для нахождения корней в бесконечности нулевого приближения уже недостаточно. Это видно на примере, когда порядок при вырождении понижается на два, т. е. когда —Nx=2. Из (6.61) получается, что бесконечные корни чисто мнимые. На самом деле это не так. К бесконечности стремятся модули и мнимые части корней, вещественные же части при N2—N\=2 остаются конечными, и для их нахождения уже нельзя пренебрегать всеми вещественными частями в членах, содержащих р в низших степенях.
Из (6.61) следует при А01В0 > 1:
Л= VS [“я(2';+ ’>1у^лт+' sin + ’>
/с = 0, 1........ДГ2 —Л\ —1,
т. е. в бесконечности ветви корневого годографа приближаются к асимптотам, образующим (TV2—Л\)-лучевую симметричную звезду. Однако центр пересечения асимптот из уравнения нулевого приближения не находится.
Ряд в квадратных скобках выражения (6.60) вообще бесконечный. Но в большинстве случаев можно считать, что при р > оо можно пренебречь членами, содержащими отрицательные степени р, и считать, что ряд ведет себя, как целая часть’дроби, т. е. как полином степени JV2—7VX. Так как в соотеэтствии с теоремой Виета сумма корней равна
то она вещественна и конечна и центр упомянутой звезды лежит на вещественной оси на расстоянии, равном
1___
7У2-7УДВО AJ
от начала координат. Если корней два, т, е. N2—Л\=2, то их вещественные части стремятся при р ->0 к величине
Ре2₽.= -Ж-4)
'
276	УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ	[ГЛ. VI
и уход корней в бесконечность в левой полуплоскости происходит в том случае, если выполняется условие
Условия гурвицевости вырожденного полинома, а также (6.62) и (6.63) в совокупности и будут необходимыми и достаточными условиями устойчивости полной системы при д —>0, TV2—7VX=2. Если же N2—>• 2, то некоторые лучи звезды асимптот корневого годографа неизбежно при достаточно больших р войдут в правую полуплоскость и часть корней обязательно будет уходить в бесконечность в правой полуплоскости, т. е. при N2—Nr > > 0 система с одним малым параметром становится структурно неустойчивой.
Пусть в системе TV-го порядка имеется т малых параметров, линейно выражаемых через один малый параметр
К—тадг. г = 1. 2, .... т.
При д —> 0 порядок уравнения понижается до n=N—т. Характеристическое уравнение приводится к виду
т
s [д‘^_{ (р)] + Do (р) = 0,	(6.64)
£=1
где Dk-i и Do — полиномы. Вырожденное уравнение имеет вид
Do(p) = O.	(6.65)
Выясним, когда об устойчивости можно судить по вырожденному уравнению. Поделим все члены уравнения (6.64) на дт и выпишем уравнение в развернутом виде
ад+b01p^ + ...+^+
+	+ Вир^ + ... + Ях-хд] + ...
г
... + ^[V + V4 ...	=	(6.66)
Пусть вырожденное уравнение
Л>(Р) = Впйр’‘±Влр”-'+ ... +^=0	(6.67)
удовлетворяет условиям устойчивости. Тогда при д ->0 п корней уравнения (6.64) будут стремиться к левым корням уравнения (6.67), а остальные т корней будут уходить в бесконечность. Устойчивость полной системы определяется том, в какой полу
§ 6.4]
БЕСКОНЕЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ УСИЛЕНИЯ
277
плоскости происходит удаление в бесконечность этих корней. Выразим их через малый параметр
Подставим в (6.66) значение р — д/ц. Получим
„И	-JV-1	nN~^
^o^v + ^invzr+---+^+Blo^- + £lt^+...
г	Р	ИР
1	г	г
...+Вв„4 = 0-	(6.68)
И
Умножим почленно (6.68) на pw и затем приравняем р=0. Тогда в уравнении останутся лишь те члены, которые в (6.68) имеют в знаменателе рл', остальные обратятся в нуль, и мы получим
ВЮ9К + B10qN-' + • • • + В^’ = 0.
Сократим па q”:
B00qtn + Bl0q^ + ... + Впв = 0.	(6.69)
Уравнение (6.69), коэффициенты которого равны коэффициентам старших членов полиномов Dназывается вспомогательным. Оно и определяет расположение уходящих при р ->0 в бесконечность корней.
Таким образом, для устойчивости системы (6.64) при достаточно малом р необходимо и достаточно, чтобы вырожденное (6.67) и вспомогательное (6.69) уравнения, каждое порознь удовлетворяли условиям устойчивости.
Этот вывод согласуется с выводами, полученными в § 6.3.
Вернемся к системам с большим коэффициентом усиления. Нетрудно получить следующие выводы для отдельных случаев:
1)	В цепь Wo, входят только N устойчивых апериодических звеньев первого порядка. В этом случае, поскольку то=О, т1=0, необходимо выполнить условие
п2 —	— Но<2.
Наибольшее число таких звеньев, которые можно охватить обратной связью по схеме рис. 6.1, равно
п1~ «о = 2 + т2 — П2-
Условие	выполняется при этом всегда и остается
параметры так, чтобы выполнялось условие (6.63).
278
устойчивость сложных систем
[ГЛ. VI
2)	Система состоит из N устойчивых колебательных звеньев. В этом случае обратной связью можно охватить не более чем (ш2—н2+2)/2 звеньев. Условия (6.62)—(6.63) можно обеспечить соответствующим выбором параметров.
3)	Одноконтурная цепь состоит из устойчивых апериодических звеньев первого и второго порядков и колебательных звеньев второго порядка.
Можно показать, что: а) корректирующей обратной связью допускается охват не более двух интегрирующих звеньев; б) максимальное число интегрирующих звеньев в неохваченной части равно п2—т2; в) общее число интегрирующих звеньев не должно превышать п24-2.
4)	Одноконтурная цепь содержит г неустойчивых звеньев.
Условия устойчивости получаются путем использования предыдущих выводов, а также теоремы Айзермана—Гантмахера, доказательство“которой дано в [6.1].
Условия структурной устойчивости. Для структурной устойчивости системы с характеристическим уравнением
О (s) + 4р2 + Вр + С = О,
где С > 0, а полином D (s) не содержит множителей вида ар'1-\-+fep+c, у которых одновременно а > О, b 0, с < 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих не-
равенств:
в>о
О, пх^>4р— 3, 1, их^>4р— 2, 2, n1>4p — 3, 3, n1^>4p — 2,
nl > 4p — 3, Hi> 4p, nx 4p — 3,
«i>4p, «1 > 4p,
«1 > 4p — 4, > 4p,
«i>4p — 4,
«1 > 4P. n1>4p,
nx>4p —1. Ki>4p —1,
пг>4р —1. Пг>4р —1,
(6.70)
и чтобы сумма имела лишь те значения, для которых в (6.70) выписаны неравенства. В (6.70): п1 — степень полинома D (р), о — число его нулевых корней, тх — минимально возможное число положительных вещественных корней D (р), р — число неустойчивых звеньев с характеристическими полиномами вида Тр—1 и аря+Ър—1.
§ 6.51
векторные функций Ляпунова
279
§ 6.5. Метод векторных функций Ляпунова
Вектор-функция Ляпунова. Дифференциальные неравенства. Система сравнения. В сложных системах высокого порядка с нелинейными и нестационарными элементами построение единой функции Ляпунова от всех переменных состояния обычно встречается с практически непреодолимыми трудностями. Одним из путей решения таких задач является введение векторных функций Ляпунова, предложенных в 1962 г. Р. Веллманом [6.21] и В. М. Матросовым [6.10]. Вектор-функция Ляпунова представляет собой набор более простых функций Ляпунова v. (xj, каждая из которых составляется для части системы (подсистемы) и зависит от меньшего числа переменных. Чтобы при этом обеспечивалась устойчивость полной системы, естественно, на подсистемы и функции накладываются дополнительные требования. Наиболее разработаны в настоящее время методы, в которых эти дополнительные требования сводятся к требованиям экспоненциальной устойчивости каждой из подсистем Sf.
Следующий шаг состоит в том, что для исследуемой системы строится более простая система сравнения. Истоки этой идеи содержатся в математической работе Т. Важевского [6.29]. Обычно ищется линейная система сравнения г=Аг, где А —постоянная матрица fcXfc, где к — число подсистем и соответственно число компонентов vt функции v= {г^}. Если матрица А гурвицева, то г —> 0 при t —> со. Система сравнения строится так, чтобы было v Av. Тогда из устойчивости системы сравнения следует v —> 0 при t —> 0 и, наконец, ->0 при t ->0.
Если А — гурвицева матрица, то система сравнения экспоненциально устойчива. Можно показать, что в этом случае система S также экспоненциально устойчива.
Обоснование метода основывается на использовании дифференциальных векторных неравенств х у, что означает хг ylt < Уа. • • •>
Лемма 6.3 (Р. Веллман [6.21]). Решение дифференциального уравнения
у=Ау,	(6.71)
где А — постоянная вещественная квадратная матрица, является мажорантой для решения дифференциального неравенства с той же матрицей, т. е.
если х^Ах, то х^у,	(6.72)
если все элементы матрицы неотрицательны, а начальные условия для х^и у одинаковы, т. е.
х(*о) = У(*о) = хо = Уо-
(6.73)
280	устойчивость сложных Систем	[гл. vi
Однако, поскольку устойчивые линейные системы обязательно имеют отрицательные диагональные элементы, важна другая лемма:
Лемма'6.4 (Ф. Бейли [6.20]). Если А — вещественная постоянная квадратная матрица с отрицательными диагональными и неотрицательными внедиагональными элементами, то из соотношений (6.71) и (6.73) следует неравенство (6.72).
Данная лемма легко получается из леммы Веллмана. Пусть |d| — наибольший модуль из модулей диагональных элементов А. Сделаем в (6.71) и (6.72) подстановку
V —е|</|/х> v = el‘,l/(|d|x_|-x), w —gldHy, vv —eldlz(|d|y Ц-у).
Получим v<^(A-[-|d|I)v, w = (A-]-| d|I)w, где матрица A -J-1 d 11 имеет все неотрицательные элементы.
Функции Ляпунова экспоненциально устойчивых подсистем. В дальнейшем мы будем пользоваться понятием экспоненциальной устойчивости в большом. Напомним, что нулевое решение системы
x=f(x, Z), x(t0)=x0,	(6.74)
в которой х — вектор из п-мерного евклидова пространства, а функции f (i, х) определены на всем пространстве Еп и на интервале [0, 7], т. е. определены на Еп X [0, Г], непрерывны по х и t и имеют непрерывные первые частные производные, будет экспоненциально устойчивым в большом, если существуют две положительные постоянные аир такие, что выполняется
к(«; х0. «оЖРкоИе-»^"’	(6.75)
для всех (х0,	Т].
В качестве нормы вектора в Е” далее используется норма
||х|]=(х, Х)^=Л/ 2 ^2.
Известно, что экспоненциальной устойчивостью обладают линейные уравнения х = Ах с постоянными коэффициентами, у которых А — гурвицева матрица; линейные уравнения с переменными коэффициентами х = А (i) х, где A (i) непрерывна и ограничена, а х = — А (£) х и обладает тем свойством, что из ограниченности и следует ограниченность х; уравнение х = f (х, t), если f удовлетворяет оговоренным выше условиям и x'f (х, t) —с31| х ||2	0, са > 0 для
всех (х, t) Е“ X Т при х 0. Последнее легко проверяется с помощью функции Ляпунова j v (ж) = 1 /21| х ||а, производная которой равна х'/(х, t).
Нам понадобится также следующая теорема:
§ 6.5]
ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
281
Теорема5,6.8 (Н. Н. Красовский, [6.9]). Если f непрерывна со своими частными производными в ЕИХ [О, Т], то для экспоненциальной устойчивости нулевого решения (6.74) необходимо и достаточно, чтобы существовала такая определенно положительная функция v (х, Z), чтобы выполнялись неравенства
(6.76)
Ci||x||2<i;(x, t) <с2||х||2, 
Й(х, с3||х||а, 1М1<с4||х||,
где
линейными подсистема
Перейдем к задаче, рассмотренной Бейли. Будем рассматривать сложные системы, образованные из направленных «передаточных подсистем» 5,., соединенных между собой не зависящими от времени связями. Передаточная моделируется векторными уравнениями вида
х. = ff (хр t) -j- Djip
У( = Н.хр
(6.77)
где х{— вектор состояния подсистемы, у.— ее физические выходы, и, — воздействия на входы, D(, Hf — постоянные матрицы. Пусть размерности х., и, и у. равны соответственно п(, т. и I., а число подсистем в системе равно к. Вектор входа ui равен
к
2 В.уУу + ^.и.	г'=1,...,А-,	(6.78)
где через и (без индекса) обозначен внешний вход системы. Он введен в уравнение, чтобы подчеркнуть, что рассматриваемая сложная система может оказаться сама подсистемой еще более сложной системы. Вообще же и может и не быть. Матрицы В<у и G{ также постоянны.
Направленность передаточной подсистемы по аналогии со структурной схемой означает, что подключение к выходу подсистемы связей от других подсистем не влияет на ее состояние, т. е. не вызывает «нагрузочного эффекта».
Подставив (6.78) в (6.77), получим в развернутой форме
*1 = fi (Xi, 0 + № + - • • + Рих»{ + D1U,
Хк — Ч (Х7с’ О + Pklxl +  • • + Pkl*k 4*
(6.79)
где x. — векторы размерности п., i = l, ..., к.
282
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
|ГЛ. VI
Порядок большой системы равен сумме порядков подсистем
к п = 2 п(. »=1
В векторной форме уравнения записываются в виде
x = f(x, t) -ф- I’x -)  Du, y = H(x, t).
(6.80)
цепи, пока-
а для
Нетрудно проверить, что для простой «разомкнутой» занной на рис. 6.3, а, матрица Р равна
р=	-о Р21 0 0	0 0 PS2 0	0 ...	0 0 ...	о 0 ...	0 р«-.-	0	0 0 0	»	
	_0	0	о ••• Рк,к-1	0_		
«однократно замкнутой»			цепи на рис	. 6.3,6		
Р =	-о ₽21 0 0	0 0 Рз2 0	0 ...	0 0 ...	0 0 ...	0 Р« ...	0	Р1к 0 0 0		•
	_0	0	о • •• Рк, к-1	0		
Предположим, что нулевое решение уравнений (6.77) подсистемы S{ с uf=0 экспоненциально устойчиво. Тогда существует функция Ляпунова н,., удовлетворяющая условиям (6.76) теоремы 6.8. Полная производная этой функции в силу уравнений (6.77) будет
^• = ^ + (Vp,.)D<u<<-Cj3||xir + C<4||x<|].p<||.||u<(OI|.
где в индексе производных и градиента, кроме номера подсистемы указана переменная, по которой берутся производные. Под нормой произвольной матрицы Р здесь понимается норма
||Р||= min {а | а||х||^||Тх]|) г).
(6.81)
Воспользуемся легко проверяемым тождеством, справедливым при о > 0 и Ь 0,
Минимальное из а. определяемых из условия а||х[| > ||Рх||.
§ 6.51
векторный Функции ляп^ЙОВа
283
С помощью этого тождества выражения (6.81) преобразуются к виду
i>l<-cfhF+c!‘|Pl,|n'1,
ИЛИ
где
г\<— ал + ъКИ2.
3“.-
(6.82)

Пусть большая система образована из к передаточных подсистем S{, описываемых уравнениями (6.80). Воздействия ui формируются с помощью произвольных линейных постоянных связей, в общем случае, по всем переменным. Положим для простоты записи, что в число этих переменных не входит только собственная переменная xf подсистемы 5<; если она входит, то подсистема замкнута жесткими обратными связями и их проще учесть при составлении уравнений подсистемы как внутренние ее связи.
ГН Пусть и,- образуется путем связи входа подсистемы с выходом (по переменной х^) подсистемы Sy.
Тогда
— 4 ciS IIх. II2 + C<*2crtfl 'llХ/ II2-
где
Vj
Так как	, то
с/1
а _^>о в _сМрмГ 0
2с,-2	2c<scjj
(6.83)
(6.84)
Основная теорема Бейли (Теорема 6.9). Пусть система образована из к экспоненциально устойчивых подсистем S. с помощью матрицы связей Р. Тогда нулевое решение х = 0 автономной системы (уравнения (6.79) при и=0) будет асимптотически устойчиво в большом, если нулевое решение г = 0 системы сравнения к-го порядка
г = Аг,	(6.85)
где А — матрица к X к с элементами
aii —------— Pi/'
(6.86)
284
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
tin. VI
а величины а{ и fky определяются формулами (6.84), асимптотически устойчиво.
Доказательство. В силу (6.84) и (6.88) можно записать
Av.
Тогда из леммы (6. 4) следует:
v(0<r(f). если v(f0) = r(f0).
Таким ооразом,
||х.(£; х0, *0)||2<
С»1
1 = 1,	к.
Так как по условию матрица А гурвицева и г-»0 при £->оэ, то и х4(<)->0 при £->оо в области tB£T, в которой имеет место экспоненциальная устойчивость.
Теорема доказана.
Заметим, что для применения теоремы Бейли необходимо знать числа съ . . ., с4 для каждой из подсистем x{=f. (х., t) в оценках (6.76). (Мы их обозначили cUl, . . ., c4i.)
Это обстоятельство понижает эффективность применения теоремы Бейли.
Из теоремы 6.9 получаются два следствия.
Следствие 1. «Разомкнутая» цепь из экспоненциально устойчивых подсистем (рис. 6.3, а) асимптотически устойчива в большом.
Следствие 2. «Однократно замкнутая» цепь из экспоненциально устойчивых подсистем (рис. 6.3, б) асимптотически устойчива в большом, если выполняется требование
(6.87)
где а,. — числа (6.84), a Pf = pfy, j = k, если i=l, j = i— 1,если i=7^= 1.
Покажем это. Система сравнения имеет вид

Г к  акГ к 4“ Pfcrfc-r
Характеристическое уравнение
Тс	Тс	7с	I Тс	\
П(Н«;)Ш.=П>,	=°.
1=1	(=1	1=1 \*=1 »	/
S 6.5]
Векторные функции Ляпунова
285
где
Построим D-разбиение в плоскости параметра К'.
При ш=0, K=i кривая D-разбиения пересекает вещественную ось снизу вверх, штриховка кладется слева, т. е. в сторону начала
координат. Очевидно, что других пересечений с вещественной осью кривой D-разбиения нет и начало координат лежит в заштрихованной области. Так как в начале координат все корни характеристического уравнения Х=—а., вещественны и отрицательны, отрезок О, К вещественной оси лежит в области устойчивости, К=1 его правая граница и условие К < 1 необходимо и достаточно для устойчивости.
Пример [6.20]. Дана система девятого порядка, схема которой показана на рис. 6.3, в.
286
УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. VI
Подсистема линейна, стационарна, третьего порядка:
ii = A1x1 + D1u1(0.
Г—2	0	01
где Т — любая неособая постоянная матрица.
У1 = н1хг
Подсистема 52 линейна, нестационарна, второго порядка:
x2 = A2(t)x24-D2u2(f),
А (П_Г 0 «(О')
у2 = Н2х2,
a (t) — непрерывная вещественная функция, а-1 (<) существует для всех i £ Т и выполняются ограничения
0,5	я-1 (£)<! 1, или 1 a (t)	2,
0< —^(<) < 1.
at
Подсистема Sg нелинейна, первого порядка:
•®з = (х8) D3H3 (t), f3 (x3) = х3 —-g- sin 2xs,
У в — Hsxg.
Подсистема Si — нелинейна, третьего порядка:
i4 = f4(x4) + D4u4, f4(0) = 0, у4 = Н4х4.
Ставится задача — определить значения постоянной К, обеспечивающие асимптотическую устойчивость в большом, если, по предположению, для всех х4 выполнена квадратичная связь
Взаимосвязи системы, как видно из рисунка, определяются соотношениями
“1 = У4> и2 = У1 + В23У.в> “з=У2. и4 = У2-
Пусть матрица
~	0	0	0	plt-
р___ ^21	0	i*23	0
' —	о	р,2	о	о
_	О	Р„	о	о	_
§ 6.5]
ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
287
задана. Выпишем уравнения
x = f(x, t) + Px
в развернутой скалярной форме:
Ai = ОцХц +	+ а13Аз + Ц- р}|х42 + р}3Аз.
Аг = «21A i 4~ «гг Аз 4- «23 Аз + Ри Ai 4" Р?1 Аг + Р$хю Аз — «siAi 4“ «згАг 4" «ззАз 4~ Рихи 4“ Рм Аг 4“ РнАз’ А1 = «(0 Аг + PsiAl4- РггАг 4“ Р’гАз 4" РЙА1’
Аг = Х21	U) Х22 4" P21А1 4~ РИ Аг 4- PaiAs 4" PwAi.
Ai ~= t з (Al) 4“ Р32А14“ РзгАг’
Al= /« (Ai> Аг> Аз) 4~ Р42А14“ Р42А2’
Аг = Аг (Ар Аг’ Аз) 4" Р42А14“ Р42А2’
Аз==/<з(А1’ Аз- Аз) 4“ Р42А14~ Р^гАз*
(6.88)
Составим функцию Ляпунова для подсистемы используя соотношения (3.21)—(3.23):
p1(Xi) = X;Qx1, А = —ALiA-
Вместо матрицы С здесь используется обозначение L, чтобы не путать элементы матрицы с коэффициентами с,у в соотношениях (6.84). Составим равенство
L = QAA'Q =
2вц<711 c12?ll + а21<?22 °1з911 + а319зз"|	hi О О
= а12511 "Ь °21С22	2а22§22	°23?22 4" °32933 I =-	0	^22	® .
_а1з9п + °з1?зз й2з?22 ~Ь 9з2<7зз 2аз»9зз J .0	0 lss_
Так как «ядро» матрицы А задано в диагональной форме, то a.j = 0, если i j, и матрица L также диагональна. Получаем
/ц = —= 4gu, ^22 “	^«22522== ^?22’
^зз = ^аззЯзз “ lOffss*
Зададимся произвольно тремя элементами <7ц = 1, ?22 = 2, д83 = 3’ Получим Zu = 4, Z22 = 12, Z33 = 30,
Qi= (T-1)'
1 О О’ 0 2 0
Л 0
Т"1
L = (T-1)'
Г4
О .0
О от
12 О ТЛ
О 30J
288	УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ	[ГЛ. VI
Функция Ляпунова и ее производные имеют вид
Й1 (х) = qux^ 4- q22x22 + g^s = ^ + 2х2 + Зх1>
v, (х) = —1пх?. — Z22^?2 — W?s=—— 12х? — 30ж§.
Отсюда
Cjj — min | q(. | — 1, cJ2 = max | q(i | = 3,
c13 = min|Z<il==4. к
Квадрат градиента равен
=Мд +16^,+Збх23 < 36 Мд+х1г+^з)=36IIЖII2,
откуда с14 = \/36 = 6.
Перейдем к системе S2. Ищем функцию Ляпунова для «замороженных» коэффициентов:
Мх2(0) = :!чР2(0х2’ йг(х2. t) = —x'2L2(t)x.
В случае второго порядка и диагональности матрицы Ь2 коэффициенты матриц Q2 и L2 находятся из уравнений
2 (511й11 Ч~ 512й21) ~-^11»
512 (а11 Ч~ a2i) "Ь 522й21 + 511й12 = О’
512 (йн + ^г) Ч- 5г2й21 + й1г5ц — 0, 2 (512й12 4“ 5г2й2г)= ^22-
Подставляя ап = 0, ai2=za(t), а21 = —1, а22 = — 2а(t) и задаваясь q}2=l, qs2=l, найдем
r2 + a-i(t) 1-1	_Г2	0 -|
^2 — L 1	1J’	2~LP 2a(0j-
Функция Ляпунова и ее производная имеют вид
й2 (Хг) == 511*^21 Ч- 2QfI2;*'2I'^22 Ч- 522*^22	4“ й (0] ^'21 Ч~ 2т21Х22	2^2’
г>2 (х2) — —2 Мд 4- a (i) х222].
При фиксированном a-1 (t) функция и2 (х2) на плоскости х^, х22 изображается наклоненным к осям эллипсом, полуоси а и Ъ которого находятся из соотношений
а2 = у (511Ч- 522 Ч- V(5u — 522)г + 45?2).
Ь2 = у (5и + ^22 — V(5u — 52г)2 Ч- 45?2)-
S 6.5]
ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
289
Наибольшее и наименьшее значения большой полуоси соответствуют наибольшему и наименьшему значениям a-1 (t), т. е.
а-1 (О — 1, (7ц = 3, а-1 (0 = 0,5, </п = 2,5, .	2	4 + V4 -|- 4 пг
Q12 922 1 • ° шах 	2	2,5 С22.
Наименьшее значение квадрата малой полуоси
7,2	__ 3,5 — А,52+4 ___р г____
° mln  	2	-U,<J С21’
с23 = min 12, 2a (7)| — 2.
Наибольшее по модулю значение будет при a-1 (t) = 1, когда 911=3, 912 = 922=^‘
Имеем
= 2 (9i/a ~F 21/22)•	= 2 (Si2x2i -f- 922-^22)>
Ч2, = 4 {fen + 9ц) xli + 29i2 fen + У22) x2ix22 +
+ felt + 9м) ^22} = 40a% + 32,t21z22 4- 8ж®2.
Наибольшее значение квадрата большой полуоси для этого эллипса равно
«U = 4 (40 + 8 + V(40-8)2 + 4,162) да 7 = с24.
Таким образом, существуют функция Ляпунова и коэффициенты с21— с24> ПРИ которых удовлетворяются неравенства (6.76), поэтому система S2 экспоненциально устойчива в большом.
Для Ss функцию Ляпунова выбираем в форме
V3 fe-gl) = ~2 З'З!’ Й3 == X31f fe'Sl)"
Первое из полученных нестрогих неравенств (6.76) удовлетворяется как равенство, когда
c3i = с32 = 0,5.
Далее
vs = ^31/3(^si) = ~xli — 4"Жз1 sin2^ = — (14- S™2*31)xlv
Функция sin у/у имеет минимум при y = tgy, равный да—0,22, поэтому с33 == min 11 -ф-	0,78. Наконец,
Vf - - ;г31, с31 = 1.
19 А. А. Воронов
290	УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ	[ГЛ. VI
Таким образом, система 83 также экспоненциально устойчива. Для системы Si выберем
Мх«) = ухА-
Заметим, что по условию X4f (х4)	—К || х41|2, поэтому
с44 — с^2 — 01'I,	'— К, с.ц — 1 •
При выполненном выборе функций Ляпунова можно применить теорему 6.9. Уравнения сравнения в данном случае (см. схему рис. 6.3, в) имеют вид
Г1 = —<Vi + ₽ur4, — И2Г2 4“	4“ ?23Г3’
73 == аЗГ3 4“ Рз2Г2’
^4 = — «4Г4 4“ ₽42Г2’ где
Р,.у, вычисленные по (6.84), равны
P>‘=i4Up«F=^fc1P“F=9lp“I‘’
И т. д.
Таким образом, задача свелась к гораздо более простой задаче: исследованию, при каких значениях К обеспечивается устойчивость обыкновенной линейной системы с постоянными коэффициентами четвертого порядка.
В последнее десятилетие метод векторных функций Ляпунова для анализа устойчивости сложных систем получил дальнейшее развитие. Он распространен на дискретные системы [6.7] и системы с распределенными параметрами [6.16, 6.171. Развитие идеи системы сравнения выполнено в виде принципа сравнения [6.10] и концепции системы процессов [6.12], обобщающей принцип сравнения на более широкий класс объектов (обобщенные динамические системы, общие системы, случайные и численные процессы и др.). Получены новые условия асимптотической устойчивости сингулярно возмущенных систем, представляющие собой также дальнейшее развитие прямого метода Ляпунова и его обобщение.
Обзор многих работ можно найти в [6.2, 6.11, 6.15, 6.17, 6.22, 6.23, 6.29].
Рамки данной книги не позволяют рассмотреть этот обширный и интересный материал, заслуживающий обобщения в отдельной монографии.
ГЛАВА 7
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 7.1. Устойчивость траекторий
Уравнения в вариациях. Исследование устойчивости движения вдоль траектории, как отмечалось выше, может выполняться теми же методами, что и исследование устойчивости равновесия, если уравй&ния движения составить в вариациях — отклонениях от траектории, выбранной в качестве невоэмущенной, опорной траектории.
Поясним это следующим примером [7.5]. Уравнения Эйлера движения искусственного спутника относительно главных осей инерции имеют вид
	/з	—	Гз	“i (/)
		/1	“1	7i ’
	7,	—	7,	«2 (Э
Ш2— -		7 2	‘Vi	72 ’
	72	—	7,	“з (')
%			7з	“1	7 з
(7.1)
где и{ (£) — управляющий момент относительно оси г, обусловленный силой тяги.
Выберем в качестве опорной траектории траекторию свободного движения при u1=it2=u3=0 и начальных условиях (Oj (0) = = <010, 0>2 (0)= К>20» 0)3 (0)= шзо-
Пусть аппарат симметричен относительно своей продольной оси J1=J2=J. Тогда из третьего уравнения (7.1) найдем
б)3 = 0, <83 — <030 = const.
Черточкой сверху отмечаются переменные, соответствующие выбранной траектории. Подставив найденное решение для й3 в пер-19*
292
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
вые два уравнения, получим систему двух линейных однородных
уравнений	wi—	j “оз0^ -	J — /3 со2 —	j tooз(Dl•
Решая полученные уравнения, найдем
Й1 — шо sin (₽^ Ч- “)•
<о2 = w0 cos (Pi а),
где р= 7~/з созо, % =	+	* = arctg
Перейдем к уравнениям в отклонениях, подставив в (7.1) значения переменных:
Wj = <Й1 Aojj = (»0 sin (Pi а) д<°ц
<о2 = <о2 —|— Дш2 — соо cos (Pi -J- а) -|- Дсо2, шз = шзо + Дшз-
гг1 = Ди1, и2=Ди2, п3 = Дн8,	_
<bx = р<£>0 cos (Pi -}- а) -|- Да^, й2 = —Рсо0 sin (Pi + а) -|- Дй2, а>3 = Да>3.
После подстановки и несложных преобразований получим дифференциальные уравнения в вариациях
До^ = рДсо2 + & cos (₽£ + «) До,з + Лсо0Дсо2Дсо3 -|-	,
Дй2 = —рД<ог — к sin (pi -]- а) д«>3 — 7со)0Ды2Д«3 -|-	,
л . Ди.
д“з = У-.
(7.2)
Уравнения нелинейны, нестационарны, имеют периодические коэффициенты. Отбрасывая малые высших порядков, получим линеаризованные уравнения
A<bj = рДсо2 -|- к cos (Pi -|- а) Да>3 -|- Д^,
Дй2 = —рДсо, — к sin (Pi -|- а) Д<<>3 -J- Дн2,
Дш3 = Др3,
Да, . Диг . Ди« тэ где Дп1 = -у2, Дг2 = -у=, Д/’3=:-~. В результате линеаризации получились линейные нестационарные уравнения с периодическими коэффициентами. Нестационарность уравнений в вариациях для траекторий движения — довольно обычное явление.
§ 7Л1
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ
293
Приводившиеся в третьей главе определения устойчивости по Ляпунову для стационарных систем применительно к нестационарным уравнениям нуждаются в некоторых дополнениях и уточнениях.
Расширение определения устойчивости по Ляпунову на траектории. Пусть даны уравнения нелинейной нестационарной системы (траектории возмущенного движения)
^- = /(х, и, 0, х£Х.
(7.3)
Предположим, что найдено некоторое частное решение этой системы X [и (<), i, х0, £0], которое мы принимаем за траекторию невозмущенного движения или опорную траекторию, устойчивость которой надлежит исследовать. Приведенная запись опорной траектории х означает, что эта траектория в пространстве^состоя-ний X, xfX определяется управляющим воздействием u (£), действующим на систему, начиная с момента t=t0, в который состояние системы было х (/0)=х0. Пусть переменные возмущенного движения х и и выражаются следующим образом:
х («) = х (t) ox (/), и (0 = й (0	(0»
x(0 = i(0-}-8x(0.
Если / (х, u, t) — функция, непрерывно дифференцируемая по переменным х и и, линеаризация в общем случае выполняется методами, сходными с методами линеаризации стационарных систем. Разлагая функцию / в ряд Тейлора, ограничиваясь при разложении первыми степенями 8х и 8и и исключая опорное решение, получаем линейные уравнения в вариациях
8x = |j(X, O,'t)8x4-^(X, й, 08н-|-ТГ(х, й, 8х, 8u, 0. (7.4)
Выражения 6//<?х(х, u, t) и df[du(x, u, t) в уравнениях (7.4) выражаются матрицами Якобы
			
	... дх^	d^,,	
15 IM И		df„	
	_dx.	dxn_	й(/)=й(<)
		df\ ~~	
	. . .	du„	
~ (х, U, t) = du'	'	d_L . . .	df„	• X(/W).
	_duj	du„_	й(О=й(О
(7.5)
294
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
Выражение II (X, й, Вх, Ви, !) представляет собой остаточный член в разложении, который при исследовании устойчивости отбрасывается.
Матрицы Якоби 5//дх и дЦди, вычисленные вдоль траектории X(t), й (£), не зависят непосредственно от x(Z) и u(t) и являются в общем случае функциями времени t. Поэтому линеаризованные уравнения в вариациях можно записать в виде
Bx.=g(t)Bx+^(i)8u.	(7.6)
Общее решение уравнения (7.6) обычно представляется в виде
t
Вх (0 = Ф (t, t0) Вх (t0) + j Ф (£, т) (г) Ви (г) dt, (7.7) ^0
где Ф (£, i0) — переходная матрица системы, удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению
® Ф Ф = 1
Асимптотическая устойчивость. Неустойчивость. Равномерная асимптотическая и эквиасимптотическая устойчивость. Определение устойчивости Ляпунова относится к системам без входного воздействия, поэтому для перенесения определений Ляпунова на рассматриваемую систему й (/) необходимо зафиксировать (т. е. считать вариацию отсутствующей: Ви=О, сведя действие возмущения к возмущению начального состояния Вх (/0) = Вх0). Тогда можно перефразировать определения устойчивости по Ляпунову, рассмотренные в третьей главе, следующим образом.
Определение устойчивости. Невозмущенная траектория Х(£) = Х[й(£), t, х0, /()] (при фиксированном fi(t)) системы (7.3) устойчива, если при любом вещественном положительном числе е 0 можно выбрать другое положительное число К (е, t0) (которое может быть и функцией t0) такое, что для всякой возмущенной траектории x(t) = x(u(t), t, х0-|-8х0, i), удовлетворяющей условию
11ЧЛ<*О,	(7.8)
где || • || — норма вектора в пространстве X, при всех t > t0 справедливо неравенство
II x(f)-x («)»<*.	(7.9)
§ 7.1]
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ
295
Заметим еще, что, давая эти определения, мы считали, что й (<) фиксировано и, таким образом, зависимость от й в (7.3) фиктивна; u (i) фигурирует в обозначении для того, чтобы подчеркнуть, что исследуется устойчивость относительно опорной траектории, обусловленной заданным й (t).
Определение асимптотической устойчивости. Тректория асимптотически устойчива, если, помимо приведенных в предыдущем определении условий, можно указать такое вещественное положительное число е0 0 (которое вообще может зависеть и от t0), что из неравенства
IIЧII < в0	(7.10)
следует:
lim || X (i) — x(i)|| = 0.	(7Л1)
/-►со
Определение неустойчивости. Траектория неустойчива, если существует такое е, что нужное X, которое удовлетворяло бы приведенному определению, выбрать невозможно.
В ряде задач эти условия Ляпунова для траекторий нуждаются в дополнениях и уточнениях, так как в одних случаях они могут оказаться чрезмерно жесткими, а в других — недостаточными для практических целей.
j Приведенные условия требуют достаточной малости расстояния текущей точки х (<) возмущенной траектории от синхронной точки х (t) невозмущенной траектории в один и тот же момент времени, но не от самой траектории, т. е. они требуют сходимости возмущенного процесса к синхронному невозмущенному. В некоторых (более редких) случаях такой изохронизм требуется, в других же случаях он совершенно излишен.
Так, в автономной (не связанной с энергосистемой) установке с синхронным генератором переменного тока обычно требуется поддерживать постоянную частоту переменного тока, фаза же генерируемого напряжения безразлична. Система, в которой поддерживается постоянной частота, но не обеспечивается совпадение фазы с фазой некоторого постороннего эталона времени, будет в соответствии с приведенным определением устойчивости по Ляпунову неустойчивой, хотя она вполне приемлема для практики. В данном случае определения и условия Ляпунова оказываются чрезмерно жесткими. Если же генераторная установка не автономна, а должна работать параллельно с энергосистемой или же если от нее питается сеть электрочасов и она должна быть синхронной с датчиками астрономического времени, то условия Ляпунова хорошо соответствуют практическим требованиям.
296
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
Для станков с программным управлением, на которых обрабатываются детали заданного сложного профиля, синхронность движения по профилю не важна, но необходимо обеспечить близость возмущенных траекторий к невозмущенной в смысле расстояния между траекториями, а не между синхронными точками на них. В этом случае, так же как и в случае автономной генераторной установки или в случае расчета полета артиллерийского снаряда, более целесообразно обеспечивать не устойчивость по Ляпунову, а так называемую орбитальную устойчивость, понятие о которой впервые было введено Н. Е. Жуковским. Это понятие мы рассмотрим несколько позднее, сейчас же вернемся к определениям Ляпунова и их модификациям для нестационарных систем.
Мы отмечали выше случаи, когда условия Ляпунова оказываются слишком жесткими. Но могут иметь место случаи, когда они оказываются не вполне достаточными для практических целей.
В нестационарных и нелинейных системах величина реакции системы на одно и то же по величине возмущение может оказаться функцией момента приложения возмущения t0. От t0 может зависеть также и время сходимости. Скорость сходимости может зависеть и от направления вектора возмущения; вдоль одних направлений процессы могут сходиться к невозмущенной траектории быстрее, вдоль других — медленнее; могут существовать и такие траектории, что скорость движения вдоль них будет равной нулю даже в том случае, когда по критериям Ляпунова система будет асимптотически устойчивой.
В таких случаях бывает целесообразно обеспечить так называемую равномерную устойчивость.
Предварительно нужно ввести понятия о равномерной сходимости по норме относительно х0 и относительно момента включения t0.
Говорят, что сходимость || 8х («) || —> О при t —> —со равномерна относительно х0, когда она определяется только числом х0 в оценке ||rr0|| Хо и, следовательно, когда время перехода системы в некоторую фиксированную окрестность невозмущенной траектории зависит только от Хо, которое ограничивает норму ||х0||, но не зависит от других характеристик вектора &х0, в частности от его направления.
Говорят, что сходимость Н&х (i)|| —>0 при t -> оо равномерна относительно t0, если время перехода в окрестность невозмущенной траектории не зависит от t0. После этих замечаний можно перейти к определениям равномерной устойчивости.
Определение равномерной устойчивости. Траектория х (й (i), i; х0, t0) невозмущенного движения равномерно устойчива, если она устойчива в смысле данного ранее определения Ляпунова и при этом X не зависит от t0.
§ 7-Н
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ
297
Очевидно, что рассматривавшаяся в предыдущих главах устойчивость по Ляпунову стационарных систем была одновременно и равномерной устойчивостью.
Определение равномерной эквиасимп-тотической устойчивости. Траектория X (й (t), i; х0, t0) невозмущенного движения равномерно эквиасимптотически устойчива, если она устойчива по Ляпунову и если, кроме того, возмущенное движение таково, что сходимость ||8х|| ->0 при t —> оо равномерна относительно переменных 8т0 в области ||8ж0|| Хо.
Равномерная эквиасимптотическая устойчивость будет равномерной только относительно х0, но не относительно t0. Этим она отличается от равномерной асимптотической устойчивости. (Возможно, что термин «квазиасимптотическая» был бы более понятным, но термин «эквиасимптотическая» укоренился в литературе.)
Определение равномерной асимптотической устойчивости. Траектория X (й (i), t; х0, t0) невозмущенного движения равномерно асимптотически устойчива, если она устойчива по Ляпунову и, кроме того, возмущенное движение таково, что сходимость ||8х|| —>0 при t —>оо равномерна относительно переменных 8х0 и t0 в области || 8х0|| л0, *0>0.
Если на нестационарную систему наложены условия равномерной асимптотической устойчивости, то возможности сильной зависимости времени перехода в окрестность невозмущенной траектории от t0 и от направления вектора 8х0 исключаются.
Для того чтобы исследовать равномерность асимптотической устойчивости, нужно исследовать линеаризованное уравнение на равномерную асимптотическую устойчивость.
Пусть в результате разложения уравнения (7.3) в степенной ряд получено
Дж =	(х, й, t) Дх % (8х, t),
где Ж (8ж, 0 — «нелинейный остаток» ряда, содержащий члены только второго и высшего порядков малости. Пусть
, ЦЖ (8х, t) ||	0
ИМ
равномерно по t, когда ||8х|| —>0. В этом случае для равномерной асимптотической устойчивости траектории х (£) достаточно, чтобы имела место равномерная асимптотическая устойчивость равновесия 8ж=0 системы
8х = д/(й.	*)8х
дХ 5
298
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
§ 7.2. Функции Ляпунова для нестационарных систем
Определенно положительные нестационарные функции. В некоторых случаях удается использовать для исследования устойчивости нестационарных систем обычные стационарные функции Ляпунова, но это имеет место не всегда. Иногда же оказывается, что нестационарная функция Ляпунова позволяет получить условия устойчивости более простым путем.
Нестационарная функция V (х, i) называется определенно положительной в области е%, содержащей начало координат, если она удовлетворяет следующим условиям:
1)	V(0, 0 = 0,	(7.12)
2)	Г(х, 0>Ф(1|х||).
где Ф (х) — непрерывная возрастающая функция, удовлетворяющая условию Ф (0)=0.
Рассмотрим уравнения (7.3) при и=0, т. е. уравнения свободного движения
х = /(х, г),	(7-13)
где / (0, 0=0 для всех t.
Производная от скалярной функции (7.12) по времени в силу уравнений (7.13) имеет вид
2	O+^ = (g«<lF)T/+f. Р-14)
«=1
Для установления условий устойчивости доказаны следующие теоремы.
Теорема 7.1 об устойчивости равновесия. Для устойчивости начала координат системы (7.13) достаточно, чтобы:
1)	существовала определенно положительная скалярная функция V (х, t), имеющая непрерывные первые производные по переменным х и t в некоторой окрестности начала координат е%;
2)	производная по времени этой функции, определенная в этой же окрестности, была определенно отрицательной
ё(х. о<о; хе<
Теорема 7.2 об эквиасимптотической устойчивости равновесия. Для эквиасимптотической устойчивости начала координат системы (7.13) достаточно, чтобы существовала такая положительная неубывающая скалярная функция 0 (х) одной переменной, чтобы в дополнение к условию 1) предыдущей теоремы выполнялось условие в окрестности е%
3)	Й(х. Z)<-0(||x||).	(7.15)
§ 7.2]
ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
299
Теорема 7.3 о равномерной асимптотической устойчивости равновесия. Для равномерной асимптотической устойчивости начала координат системы (7.13) достаточно, чтобы существовала такая непрерывная строго возрастающая функция одной переменной р (z), чтобы выполнялось р (0)=0, и чтобы, кроме условий 1) и 3) предыдущих теорем, в области е% для всех t выполнялось условие
4)	V(x, 0<Р(М)-	(7-16)
Теорема 7.4 о равномерной эквиасимптотической устойчивости равновесия.
Для эквиасимптотической равномерной устойчивости в целом начала координат системы (7.13) достаточно, чтобы выполнялись условия 1), 3) и 4) предыдущих теорем и, кроме того, выполнялось следующее условие во всей области пространства состояний:
5)	Функция Ф (||х||) в (7.12) удовлетворяла бы требованию Ф (Цх||) -> оо при ||х|| ->со.
Теорема 7.5 о равномерной асимптотической устойчивости равновесия в целом.
Для равномерной асимптотической устойчивости в целом начала координат системы (7.13) достаточно, чтобы область отождествлялась со всем пространством X, чтобы выполнялись условия 1), 3), 4) и 5) предыдущих теорем и, кроме того, выполнялось следующее условие:
6)	функция р(||х\|) в неравенстве (7.16) была бы такой, что р(||х||)-»со при |хЦ—> со.
Не приводя полного доказательства этих хорошо известных теорем, ограничимся пояснениями, дающими представление об идеях, лежащих в основе доказательств.
Если в уравнении (7.14) слагаемое dVIdt отрицательно и по модулю больше (grad V)'1'/, то производная dV/dt будет отрицательной. Это делает возможным обращение функции V (х, t) в нуль не только в начале координат. Так, функция я?я!—Загсов t знакопостоянна, но не знакоопределенна, поскольку при £=2к она равна (ж?—а-2)2, и при a:i=a:2 обращается в нуль. Функция же t (aff+a:2) — —2x^2008 t будет знакоопределенной, так как при Ф (11x11)=а;2+ -]-х^, t0 2 и произвольном положительном радиусе Н^—х^-^х^ разность V— Ф (||х||) всегда положительна. Этим поясняется введение условия (7.12) в определение определенной положительности функции V (х, t).
Для равномерной устойчивости функция V (х, t) ограничивается сверху функцией р (Нх||). При этом для произвольного s >0 всегда можно подобрать такое X, что будет выполняться р (X) <
Ф (е), откуда следует
Ф(*)>р(Х)>1%	*)>Ф(М)
для всех t > t0. Устойчивость равномерна потому, что выбор величины X не зависит от t0.
300
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
Доказательство условий равномерной асимптотической устойчивости получается сложнее.
Для доказательства сначала выбираются такие числа с и )0, что р (Хо) < Ф (с). Это означает, что при ||х0|| величина 1 (с) определяет границу, общую для всех ||х (£)||. Пусть задана величина р ||х0||. Можно найти теперь такое р' 0. что Р < < Ф(р). Так как р' < р < с, то непрерывная функция 0 (z) из (7.15) имеет минимум в точке с': р' с' с.
Линейная система асимптотически устойчива, если существует для любого числа р другое число Т, зависящее от р, ).х0 и t0 такое, что, начиная с момента времени все траектории будут находиться от начала координат на расстоянии, не менынем чем р, когда 8х0 принадлежит сфере радиуса (£0) с центром в начале координат. В этом случае время Т зависит только от максимума величины 1х0, но не от направления.
Можно показать, что в рассматриваемом случае можно выбрать
гр Р (Хо)
с'
Отметим, что существует момент времени t' такой, что
<С<1 = *о+Л когда ||х (i')||= р'. По определению ||х0||>р'. Если для любого t, t0<^t имеет место || х (i) || ^> р', то

Но так как р (Хо) V (х0, t0) и Т —	, то
О<Ф(р')<р(Хо)-ГС' = О.
Однако это противоречит полученному ранее по условию неравенству, следовательно, должно быть
l|x(i')l!=h'||=p'.
Пусть некоторая траектория начинается в момент времени t'. Для нее имеем
Ф(||х(х', t'; i)||) V (х (х', t'; t), f)^F(xz, (')^р(р')<Ф (р). Из неравенства следует, что ||х (х0, t0; i)ll < р для всех t tlt причем по условию Т не зависит от t0. Этим доказывается свойство равномерности устойчивости.
Доказательство же, что если Ф (||хII) —> оо при х —> оо, то имеет место устойчивость в целом, после этого не вызывает затруднений.
Следует отметить, что вообще при анализе систем с переменными параметрами приходится сталкиваться с серьезными трудностями.
§ 7.3]	ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ	301
§ 7.3. Устойчивость периодических движений. Орбитальная устойчивость
Рассмотрим уравнение
x = f(Z, х).	(7.17)
Пусть известно, что оно имеет периодическое решение
X(t+r) = x(f).
Периодическое решение может иметь место, когда правая часть является периодической функцией времени с периодом Т
f (t Т, х) = f (t, х).
Периодическое решение может иметь место и в автономной системе, когда / (t, х)=/ (х) и уравнение (7.17) принимает вид
x=f(x).
Примем периодическое решение системы (7.17) за невозмущенное и исследуем поведение остальных, возмущенных движений первым методом Ляпунова.
Пусть периодическое решение обозначено через х (i). Перейдем к уравнениям в вариациях, положив
х (t) = х (t) -J- 8х
и считая, что на некотором открытом множестве Q функции f (t, х) и их первые производные определены и существуют: f £ Q. В результате получим нелинейную систему в вариациях
8 (х) = A (t) 8х 4- Ж (8х, t)	(7.18)
и линеаризованную систему
8x=A(f)8x,	(7.19)
где элементы матрицы A (£) равны
Когда правая часть (7.17) и его решение — периодические функции с периодом Т, тогда и а,.у (£) будут также периодическими функциями того же периода
«</(* + Г) = а.у(0. г, 7 = 1, 2, ..., п.
302
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
Матрица монодромии. Из теории матричных уравнений известно, что любое решение уравнения (7.19) с Г-периодической матрицей A (4) имеет вид
8х(4) = Ф(4)8х(О),	(7.20)
где Ф (4) — неособая матрица .обладающая свойством Ф (0) = 1 — единичная матрица и
Ф(4-|-7,)=Ф(4)Ф(Т).	(7.21)
Это утверждение вытекает из того, что Ф (4) и Ф (t-\-T) — матричные решения уравнения (7.19).
Матрица Ф (71) называется матрицей монодромии уравнения (7.20). Ее собственные значения кратности к называются характеристическими числами (или мультипликаторами) кратности к уравнения (7.19).
Если система автономна, а ее периодическое решение х (4) отлично от тривиального х=0, то линеаризованная система обязательно имеет характеристическое число, равное единице. Если система автономна, то
X = f(x), х = ^х=А(4)£,
т. е. векторная функция х (4) удовлетворяет векторному уравнению (7.*19). Из (7.20) следует х (Т)=Ф (Т) х (0). Так как по условию х (4) — нетривиальное Т’-периодическое решение, то х (Т) — =х (0)т<=0. Из последнего соотношения следует, что матрица Ф (Г) имеет собственное значение, равное единице, и, следовательно, одно из характеристических чисел уравнения (7.19) равно единице.
Теорема 7.6 об устойчивости периодического движения. Пусть уравнение (7.17) имеет периодическое во времени с периодом Т решение х (4). Тогда:
I. (Теорема Ляпунова.) Если все характеристические числа уравнения (7.18) меньше единицы по модулю, а остаточный член Ж (8х, 4) таков, что
-"°прц
то периодическое решение асимптотически устойчиво.
II. (Теорема Андронова—Витта.) Если система (7.17) автономна и одно характеристическое число равно единице, а остальные характеристические числа по модулю меньше единицы, то периодическое движение устойчиво по Ляпунову (но асимптотически неустойчиво) и, кроме того, орбитальпо асимптотически устойчиво.
§ 7.3]
ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
303
Мы не приводим здесь доказательства этих замечательных теорем — их читатель может найти в [7.1, 7.4, 7.5]. Теоремами этими обосновывается возможность исследования устойчивости периодических движений по линеаризованным уравнениям.
Орбитальная устойчивость. Устойчивое периодическое движение, возникающее в автономной системе, называют автоколебанием. В фазовом пространстве автоколебательное (и вообще периодическое) движение изображается замкнутой траекторией. Для замкнутых траекторий условия устойчивости по Ляпунову являются чрезмерно жесткими, если по техническим требованиям не требуется синхронности, и в данном случае обычно более приемлемо понятие орбитальной устойчивости.
Обозначим через р (х, Со) минимальное евклидово расстояние от точки х до замкнутой траектории Со.
Замкнутая траектория Со системы (7.18) называется орбиталъно устойчивой, если для любого положительного числа е можно выбрать такое число У. (в, t0), что для всякого решения х(£) системы, для которого выполнено неравенство р (х (£0), Со) < 7, будет иметь место другое неравенство
р (х (£), Со) е для всех t t0.
Если, кроме того, для всех траекторий, достаточно близких к Со, имеет место р (х (t), Св) ->0 при t ->оо, то траектория будет орбиталъно асимптотически устойчивой.
Приведем некоторые положения об устойчивости предельных
циклов в системах второго порядка.
Предельный цикл. Предельным циклом называют изолированное периодическое решение уравнения нелинейной автономной
системы второго порядка
У)-
(7.22)
(Здесь х и у — скалярные вещественные переменные.) Периодическое решение называют изолированным, если существует такое положительное число р, что любое решение, проходящее через точку (xY, уг), для которой гг2-[ т/2 < р2, не будет периодическим. Линейные системы с постоянными коэффициентами предельных циклов не имеют.
Предельный цикл на фазовой плоскости изображается фазовой замкнутой траекторией. Все траектории, внутренние по отношению к циклу, наматываются на него либо при t -»со, либо при £->—со.
Предельный цикл орбиталъно устойчив, если все траектории в его окрестности, как внешние, так и внутренние, наматываются
304
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
на него при t -» со. Цикл орбитально неустойчив, если либо внешняя, либо внутренняя траектория в его окрестности наматывается на него при t ->— со.
Для исследования орбитальной устойчивости А. Пуанкаре была введена функция последования.
Пусть Со — замкнутая кривая на фазовой плоскости, соответствующая периодическому решению с периодом Т. Построим прямолинейный отрезок L на фазовой плоскости, пересекающий кривую Со в единственной точке а, которая для отрезка является внутренней (рис. W.1), и не касающийся кривой (так называемый
отрезок без контакта). Координату точки а обозначим через и0. Через точку Ъ отрезка с координатой и проходит некоторая траектория. Будем двигаться по ней в направлении возрастания t. Если точка Ъ близка к а, то через время, близкое к Т, мы снова встретимся с отрезком L (или его прямолинейным продолжением) в точке bt с координатой	Если же от точки b бу-
дем двигаться в направлении убывания времени, то через время, близкое к Т, впервые встретим отрезок L в точке с координатой
(и). Функции Fx и F_x, если "и f2 непре-
L
рывны, — непрерывны и взаимно обратны, т. е. F_r (F± (u))=u и Л (F_i (u))=u.
Функция F—Fr называется функцией последования. Задача отыскания предельного цикла сводится к нахождению таких неподвижных точек с координатой и*, для которых функция последования преобразует точку в самое себя, т. е. для которых F (и*) = = и*.
Функция последования позволяет не только найти предельные циклы, но и исследовать их устойчивость.
Точечные преобразования. Пусть, двигаясь из точки с координатой и в направлении возрастания t, мы получили последовательность координат точек пересечения с отрезком без контакта
и, 1Ц, и.г,	ип+1..........
(U)
в которой каждая последующая точка находится по предыдущей с помощью функции последования
u1 = F(u), u2 = F(uj, ...
Если траектория при f -> оо стремится к предельному циклу, то последовательность сходится к неподвижной точке и, наоборот, если последовательность сходится к и*, то траектория стремится к предельному циклу.
§ 7.31
ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
305
Если предельный цикл устойчив, то существует такая его окрестность е, что все фазовые траектории, начинающиеся в этой окрестности, асимптотически приближаются к предельному циклу при t -»оо, и наоборот. Это означает, что на отрезке L существует е*-окрестность неподвижной точки и* такая, что последовательность U сходится к неподвижной точке при п —> со. Неподвижная точка и* точечного преобразования, выражаемого функцией последования ii=f (и), будет устойчивой, если все последовательности V с начальными точками в е* 'сходятся к этой неподвижной точке. Условия устойчивости неподвижной точки точечного преобразования выражаются теоремой Кёнигса:
Теорема 7.7. Неподвижная точка и* точечного преобразования ii=j (и) устойчива, если
и неустойчива при
(7.24)
Для доказательства перенесем начало отсчета координат точек отрезка без контакта L в неподвижную точку и введем числа
Е = и — и*, 1 = й — и*.
Неподвижной точке и=и* соответствует Е=0. Последовательности точек и, Uj, и2,. . . соответствует последовательность положительных чисел
|В|. IM. |е2|.......................... (Е)
где Еи = п — и.
Если \duldu\n„tt* < 1, то на отрезке существует такая окрестность |Е| А, что для всех ее точек £^=0 имеем
т<«1ч.
(7.25)
где а — некоторое положительное число, меньшее единицы. Поэтому каждая последовательность Щ, |ЕХ|, |£2| . . .при условии будет монотонно убывающей и ограниченной снизу и, следовательно, будет стремиться к некоторому пределу а. Но этот предел не может быть отличным от нуля, так как при а 0 мы имели бы для всех | ЕД > 0 и по условию (7.24) отсюда следовало бы
ie„l—О4"’
что противоречит условию Коши для предела числовой последовательности. Поэтому а=0, т. е. последовательность (Ё) в ок-
20 А. А. Воронов
306
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
(ГЛ. VII
рестности |£| А сходится к пределу g=0, а последовательность (U) — к неподвижной точке и*.
Аналогичным образом доказывается неустойчивость неподвижной точки при выполнении неравенства (7.23).
Теперь перейдем к условиям устойчивости предельного цикла в системе, описываемой уравнениями (7.22).
Пусть в этой системе существует предельный цикл Со и его параметрические уравнения имеют вид
x = y(t), y = ty(t),
где <р и ф — периодические функции с периодом Т.
В окрестности Со введем новую криволинейную систему координат и, v, полагая
х = <р(и) — нф'(и), | У = ф(В) + рТ'(И). I
Прямые и —const будут нормалями к предельному циклу, а кривые н—const — замкнутыми кривыми, причем кривая р=0 совпадает с предельным циклом Со. Якобиан J преобразования (7.26) равен
т |<Н*. у) | I?' (») ~ г’Ф" (“) —Ф'(“)| 
R (». г;) I I Ф' (“) 4- vf (а) у' (в) I
= ?'2 + Ф'2 + V (ф'<р" — <р'ф") > 0.
При всех и и достаточно малых v, поскольку ни в одной точке цикла Со выражение <р'2+ф'2 не обращается в нуль, можно выбрать такие положительные числа а и А, чтобы при любых и, при <р,2+ -|-ф'2 а и |р | А выполнялось условие J > 0. Поэтому в кольцевой области —А v +А, содержащей цикл’С0, ни отрезки нормалей u=const, ни кривые н=const между собой не пересекаются и каждой точке в этой кольцевой области соответствует единственная пара координат и, и.
Выражая х и у с помощью (7.26) в уравнениях (7.22), решая их относительно duldt и dvldt и деля одно уравнение на другое, получим
f£=(—/1(Т — ';Ф'> Ф + ^')[Ф' + ^"1 +
+ /2(?—рФ'« Ф+^,)[т' —Ф+^р')?' +
+ /2(? —УФ'. Ф + V<f') ф')-1.
Так как (<р, ф) = <р', f2 (% ф)=ф\ то можно из последнего выражения видеть, что знаменатель правой части при н=0 в нуль не обращается и что сама правая часть будет периодической функцией с периодов Т,
Й 5.4]	АВТОКОЛЕБАНИЯ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
307
В 17.2] показано, что предельный цикл устойчив, если
т
h = у J [/L (<р, ф) +	(?. <!>)] dt < 0,
о
и неустойчив при h > 0.
§ 7.4.	Устойчивость периодических движений в простейших релейных системах
Основные виды колебаний в релейных системах. Рассмотрим систему, состоящую из релейного элемента и линейной части с передаточной функцией W (s). Схема системы показана на рис. 7.2. Предполагается, что характеристика	релейного элемента
состоит из горизонтальных отрезков, а переброс реле из одного состояния в другое происходит мгновенно.
Когда характеристика имеет зону нечувствительности, т. е. когда один из ее горизонтальных отрезков лежит на оси абсцисс и включает в себя начало координат, возможно равновесие
Рис. 7.2.
в точке х=0, £=0, которое будет устойчивым в том случае, когда разомкнутая система устойчива. Когда один из разрывов непрерывности характеристики имеет место при £=0, т. е. концы двух смежных отрезков характеристики находятся на оси ординат, возможны скользящие режимы и равновесие в нуле, устойчивость которого может быть определена методом, рассмотренным в § 4.9.
Если же зона нечувствительности отсутствует, а дополнение характеристики в смысле Филиппова не проходит через начало координат, то равновесных состояний в нуле не существует и установившееся движение в системе при отсутствии воздействий может быть только периодическим.
Замечательной особенностью релейных систем рассматриваемого типа является то, что форма периодической кривой одной из переменных — выходной переменной реле — обычно может быть установлена априори, интуитивно, на основе достаточно правдоподобной гипотезы. В качестве такой гипотезы чаще всего принимают гипотезу, что интервалы включения реле в положительном и отрицательном направлениях чередуются, т. е. за один период
20*
308
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
реле включается один раз в положительном и один в отрицательном направлении. Для краткости говорят, что колебания при этом простые. На рис. 7.3 показаны три типа релейных характеристик и
Рис. 7.3.
три вида соответствующих им простых колебаний. В большинстве случаев колебания в релейных системах действительно оказываются простыми. Но вообще возможны и другие гипотезы и соот-
ветственно другие типы кривых £ (i). Одна из таких кривых показана на рис. 7.4 — переключение реле происходит в соответствии не только с основной, но и с одной из высших гармоник, и чередование знаков включения нарушаются. Такие колебания называются сложными.
§ 7.4]
АВТОКОЛЕБАНИЯ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
309
Определение периодических режимов. Условия существования простых автоколебаний определяются тремя типами условий переключения:
1)	для моментов переключения tk,
2)	для надлежащих направлений переключения и
3)	для отсутствия переключений между смежными моментами и ^*+1*
При наличии внешнего воздействия / (t) на вход релейного элемента уравнение системы записывается в виде
о (0 = / (0 - W (Р) е (0 = / (i) - z (t).	(7.27)
Для релейной характеристики без зоны нечувствительности и гистерезиса условия для моментов переключения имеют вид
о(«*) = 0.	(7-28)
Примем за начало отсчета начало положительного полупериода изменения a (t), когда a (£) возрастает. К концу первого полупериода, т. е. к моменту £х a(Z) уменьшается и в момент i=ix проходит через нуль. Тогда для четного к имеем о (Zfc) >• 0, для нечетного — a (tfc) < 0. Это можно записать в виде общего условия надлежащего направления переключения
° (U (-!)*=> 0.	(7.29)
Условие отсутствия переключений между £=0 и t=tr для рассматриваемой характеристики записывается в виде
а(£)^>0, если 0 <^t	(7.30)
Это означает, что найденное tx является полупериодом.
При симметричной характеристике условия (7.28)—(7.30)_до-статочно рассмотреть в одном полупериоде. Применив их для первого полупериода ix= к/ со0, получаем
(7.31)
При наличии положительного гистерезиса (рис. 7.3, б) условия переключения будут
а(*)>0,
(7.32)
310
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
Для нахождения параметров периодического движения удобно воспользоваться годографом, введенным Я. 3. Цыпкиным [7.6].
Годограф для реле без зоны нечувствительности определится выражением
Д„) = _1г(^)-;г(Л),	(7.33)
где 2 — значение переменной на выходе линейной части, i— зна-
чение производной слева от момента переключения. Построим
годограф 7(ы) при изменении w от 0 до со и прямую /и>= — а0
(рис. 7.5). В точке пересечения годографа с прямой в левой полуплоскости имеем
1т/(ш0) = —а0, 1
Re/(w0)<0.	/
(7-34)
Так как в силу определения годографа (7.33) выражения (7.34) совпадают с условиями переключения (7.32) при <з=£, то частота %, при которой происходят пересечения, и будет искомой частотой автоколебаний. Остальные точки пересечения на рисунке не удовлетворяют второму из условий (7.32) и во внимание не принима-
ются.
Для идеальной характеристики (рис. 7.3, а) <зо=О и частота возможных автоколебаний равна той частоте, при которой годограф J (ш) пересекает отрицательную вещественную полуось.
В [7.6] показано, что реакция разомкнутой релейной цепи на периодическое воздействие в случае характеристики без зоны нечувствительности равна
2 W = Т 2 '^^--l^11 sin [(2иг - 1) orf + 0 (2т - 1) о,|,
т=1
где W (;о>) — частотная характеристика линейной части, а 6 (со) — ее фазовый угол. Подставляя последнее выражение в (7.33), получим
1ш7(а>) = ^У 7>[(^-1)<о1 ' ' л	2т — 1
Ю1=1
Re J (ш) = Q 1(2^ -1)о>]-	,
т=1
§ 7.41
АВТОКОЛЕБАНИЯ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
311
где
Р [(2т — 1) О>] = Re W [/m (2т — 1)|,
Q [(2т — 1) со] = Im W [/со (2т — 1 )|.
При т(0) —0 выражение упрощается
т=1
Таким образом, построение J (со) можно осуществить непосредственно по частотной характеристике W (ju>) (рис. 7.6). Построе-
ние годографов для других типов релейных -характеристик рассмотрено в [7.6].
Условия устойчивости. Для исследования устойчивости составляется уравнение в вариациях. Выпишем изображение периодического решения a (t) уравнения (7.27)
L{c(t)} = L{f(t)} — —W(s)L{^(S(t))}.	(7.35)
Пусть в момент £=0 при / (0=0 приложено малое возмущение. Тогда 3 (0 уже не будет периодической функцией
a (t) — 3 (0 Да (0.
Малое возмущение, приведенное ко входу системы, обозначим через /я (t). Тогда из (7.35) получим
L (3 (t) + До (t)} = L {/„ (t)} - W (s) L {<р (3 (0 + До (0)}.
Вычитая отсюда (7.35), получим уравнение в вариациях
L {Да) = L {/„ (0) - W (s) {? [3 (0 + Да (0] - ср (3 (0)}.
Уравнение нелинейно относительно До (0. Но функция ср (3) в релейных системах может принимать лишь значения +К (и 0 при наличии нечувствительности), поэтому ср (а (0) представляет собой последовательность импульсов постоянной высоты ±2 К (или +К при наличии нечувствительности), моменты возникновения и длительности которых постоянны и зависят от вида характеристики. При отсутствии нечувствительности их длительность равна тс/евр. функция ср[з (04-Да (0] также представляет собой
312
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
последовательность импульсов постоянной высоты +2К (или +К), но уже переменной длительности, зависящей от До (£).
Для малых значений До, если бы функция ср (.) была аналитической, мы линеаризовали бы уравнение
L ж L {/„ (t)} -W(s)L {ср' (3 (0 + До (t))}.
Это — уравнение с периодическими коэффициентами. Для его дальнейшего упрощения используем ' особенности релейных ха-
Рис. 7.7.
рактеристик. Сначала рассмотрим характеристику с линейным’участком,-проходящим через начало координат под углом rarctg 2КЬ. (рис. 7.7). При х ->0 производная ср' (о) будет стремиться к дельта-функции
ср'(а) ^2^8 (о).	(7.36)
Для двухпозиционной характеристики с гистерезисом получаются две дельта-функции
(2К8 (а — о0) при а 0,|
V (2/ГЗ(а-|-а0) при о<^0.|
При отсутствии зоны нечувствительности и гистерезиса дельтафункции периодического аргумента можно представить в виде
5<’<‘» = Srfew
k=Q
Подставляя (7.37) в (7.36) и учитывая, что
получим
Тогда
(7.37)
(7.38)
(7.39)
(7.40)
Так как по условию переключений а~ (к/о>о)	0, то множи-
тель перед этой суммой конечен и ср' (о) также представляет собой последовательность импульсов типа дельта-функций с периодом повторения л/ а>0. Таким образом, задача свелась к исследованию устойчивости линейной импульсной системы.
§ 7.51
условия возникновения колебании
313
§ 7.5.	Условия возникновения колебаний
Постановка задачи. В 40—50-х годах академиком А. А. Андроновым и его школой был получен ряд замечательных результатов по определению условий существования автоколебаний, изображаемых предельными циклами на фазовой плоскости. Эти выводы, существенно расширившие физические представления о колебательных режимах в нелинейных системах, основывались на точных методах и поэтому ограничивались невысоким порядком уравнений, в основном — вторым. В последние годы в теории абсолютной устойчивости получены результаты по анализу колебаний в системах высокого порядка, из которых некоторые прежние результаты вытекают как частные случаи [7.81. Выводы получены в общей форме для произвольного порядка и любого числа нелинейных элементов. Мы рассмотрим здесь лишь системы с одной нелинейностью, удовлетворяющей локальной или интегральной связи и с управляемой линейной частью. Естественно, что при этом понадобится только несколько расширить некоторые знакомые из теории колебаний понятия, в частности понятия колебательности и автоколебаний.
Рассмотрим случай, когда на систему, описываемую уравнениями (4.2)—(4.5) с линейной частью и одной нелинейностью, действует внешнее ограниченное по модулю возмущение / (t, х):
~ — Ах -|- Ь; / (t, х), а — с'х,
*=?(««)) <7Л1>
|/(х, t)Kcx при	со,
и на внешнее воздействие наложено дополнительное ограничение
I/G. х) | |х 1
0 при [х | -» оо. /->со
(7-42)
В частности, условие (7.42) всегда выполнено, если / (t, х) не зависит от х: / (t, х) — / (<).
Система (7.41) называется диссипативной, если в пространстве состояний существует множество F, являющееся для системы областью притяжения, т. е. если из х (<0) £ F следует х (t) £ F при $ > £0, а также если для любого решения х (£) найдется такое Т > 0, что при t Т имеем х (t) £ F.
Приведем без доказательства некоторые теоремы о диссипа-тивности. Нижеследующая общая теорема относится к случаю, когда в (7.41) | и а могут быть и векторными величинами. В дальнейшем всюду в этой главе а и g — скалярные величины.
314
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
(ГЛ. VII
Квадратичный критерий диссипативности. Теорема 7.8 (В. А. Якубович) [7.8]. Пусть: 1) существуют эрмитова форма F (х, Е) и функция <р (a, t), удовлетворяющие условию
ср (о, t) — ср (а, t) при | а | с
(7.43)
т. е. совпадающая с <р лишь в конечной области), такие, что F (х, В) О при £ = <р(о, t), \/х,'Т. е. любое решение {х(-), £()} системы
= Ах —|— Ь£, а = с'х,	(7-44)
В = <р(а, х)	(7-45)
удовлетворяет локальной связи^с^формой /’,2и~пусть 2) система (7.44), (7.45) абсолютно устойчива по выходу х в этом классе. Тогда система (7.41) диссипативна.
В том случае, когда матрица А не имеет чисто мнимых собственных значений, система (7.44) 'минимально устойчива в классе нелинейностей, для которых F 0 и выполнено условие 1) теоремы, частотное условие F (/со, g) < 0, 0 со оо достаточно для диссипативности. Это позволяет преобразовать условия абсолютной устойчивости в условия диссипативности.
Например, если после отбрасывания в (7.41) возмущения / (t, х) и после необходимого изменения ср (а, /) ’на конечном интервале значений а мь/придем к системе (7.44), (7.45), которая абсолютно устойчива^по круговому критерию.^то^исходная система (7.41) диссипативна.
Теорема 7.9 (преобразованный критерий Попова). Пусть в^системе с гурвицевой матрицей А нелинейность стационарна: ср (f, а) = ср (а). Тогда:,
Утверждение 1 (В. А. Якубович). Если выполнены условия
при | а | с,
0<^</Г а
+ Re [(1 -[- /соа) W (/со)] > 0, \/со £ [0, со].
то система (7.41) диссипативна.
Утверждение 2 (А. В. Нечитайло). Пусть в (7.41) / (£, х) = 0. Если при всех достаточно больших | а | выполнены неравенства
|а|>с.
1
§ 7.5]
УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
315
где О^А^со, и для некоторого а выполнено
1
-}- Re [(1 + У0**) W (/W)J О, V0' € L0. °°].
то система (7.41) диссипативна.
Дихотомичность и абсолютная неустойчивость. Дихотомич-ностъ — свойство обладать обязательно одним из двух несовместимых качеств — применительно к рассматриваемым системам формулируется следующим образом.
Система (7.41) дихотомична, если для любого ее решения выполнено одно из условий:
пли | х (Z) | 0 при t -> оо,
или | х (tk) | со для некоторой последовательности £fc-*co.
(Нетрудно понять, что второе условие означает либо наличие расходящихся колебаний, либо неограниченное возрастание при t ->со.)
Если существуют решения, удовлетворяющие второму условию со сколь угодно малыми |х(0) |, то говорят, что система (7.41) неустойчива в целом.
Частотные критерии неустойчивости в целом. Приведем в качестве примеров несколько простейших критериев неустойчивости в целом. В этих критериях в (7.41) / (Z, х)^0.
Пусть нелинейность имеет вид % = ср (а, Z) и удовлетворяет условиям У ^о’ * К2 и хотя бы для одного К £ [Л\, К2] матрица линейной системы dxfdt = Ах —Ьс, а = с*х имеет к 2> 0 собственных значений в правой полуплоскости.
1)	Круговой критерий. Пусть для линейной части выполняется неравенство
Re {[1 4- KJV (»] [1 -j- K2W (>)]*} > О, V“G[O. °0]- (7.46)
Тогда нелинейная система неустойчива в целом и экспоненциально дихотомична: для любого ее решения при £ -> со величина |х (Z) | либо экспоненциально стремится к нулю, либо экспоненциально возрастает.
2)	Критерий Попова. Пусть нелинейность стационарна: g=cp (а) — и существует такое 0, что выполнено
Re {[1 + KJV (7ш)] [1 -j- K2W (7ш)Г) Ц- 0 Re [/wTF (»] > 0. (7.47)
Тогда ценичейная ристема ццхотрмична и неустойчива в целом-
316
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
3)	Критерий Якубовича. Пусть нелинейность стационарна, дифференцируема и удовлетворяет условиям
Пусть, далее, для некоторых т > 0, х > О, т-{-х > О, 0 выполнено частотное условие
т Re [1 + KjW (»]* [1 -j- K2W (/<«)] + 6 Re [/WK (/o>)] -]-
xw2 Re [1	v1W (до)]* [1 -|-	(/co)] 0, \/0) £ (0, co). (7.48)
Тогда нелинейная система дихотомична и неустойчива в целом.
Секторы абсолютной устойчивости и неустойчивости. С по-
мощью неравенств: строгих Кх <	или нестрогих Кг
~~ на плоскости (а, Е) можно построить секторы абсолютной устойчивости или абсолютной неустойчивости, которые будем обозначать 5 [Alt A2| (при определении по нестрогим неравенствам) и 5 (Klt (по строгим неравенствам). Эти секторы можно построить следующим образом: зададимся числом Кг (или К2) так, чтобы выполнялось одно из частотных условий (7.46), (7.47) илп (7.48). Назовем эти секторы секторами абсолютной устойчивости (для /с = 0) или абсолютной неустойчивости (для/i^l), выделенными соответственно по круговому критерию, критерию Попова или критерию Якубовича.
Из определения следует, что если кривая £=ср (a, f) (для всех значений параметра t) полностью лежит в соответствующем секторе и удовлетворяет условиям, оговоренным в соответствующем критерии, на основании которого выделен сектор, то система будет устойчивой в целом при к=0 и неустойчивой в целом при к 1. Функция ср может при этом иметь разрывы. В этом случае ее график дополняется вертикальным отрезком в точке разрыва, соединяющим точки максимального и минимального значений в месте разрыва.
В тех случаях, когда кривая £=ср (о, t) расположена частично в секторах абсолютной устойчивости, частично в секторах абсолютной неустойчивости, в системе при определенных условиях могут возникать автоколебания. Перед тем, как рассмотреть эти условия, необходимо несколько расширить понятия о колебательных режимах.
Нерастягивающиеся колебания. Автоколебания. Для определенности предположим, что система (4.2)—(4.5) имеет одну нелинейность.
Пусть заданы два вещественных числа а < 0 и Р > 0. Решение (i) называется (а, ^-колебанием по выходу a (t) при t ->оо, если
§ 7-5]
УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
317
а) I х (О I const, б) при t -> со точка а (Z) бесконечно много раз находится в каждом из интервалов (—со, а), (Р, со) (а значит, и в промежутке (а, р)), т. е. функция а (t) бесконечно много раз меняет знак и точка ° (t) бесконечно много раз выходит из интервала (а, Р).
Если время пребывания точки с (/) в каждом из интервалов (—со, а), (а, Р), (Р, со)(без выхода из него) ограничено некоторой постоянной Т > 0, то колебание называется нерастягива-ющимся.
Аналогично определяются двусторонние (а, Р)-колебания и двусторонние нерастягивающиеся (а, Р)-колебания по выходу а — для них указанные свойства должны иметь место как при t ->со, так и при t ->—оо.
Двусторонние нерастягивающиеся колебания называются автоколебаниями.
Если функция ср (а) дифференцируема и число переменных состояния п=2, то, как это показано в классических работах Бен-диксона, любое двустороннее колебание в системе (4.2)—(4.5) является периодическим решением. Однако при га > 2 в системе могут существовать и непериодические автоколебания. Их существование может быть обнаружено с помощью критериев, рассматриваемых ниже.
Упрощенный критерий колебательности. Рассмотрим систему
а = -Г7(р)Е, 1 ? = Ф(о)- J
(7.49)
Относительно линейной части сделаем следующие допущения:
1)	Передаточная функция W (р) не вырождена, т. е. система полностью управляема и наблюдаема.
2)	Система имеет единственное стационарное состояние а=0, В=0, т. е. прямая"
о 4-ж(0)в=о
пересекается с графиком нелинейности £=ср (°) лишь в начале координат, если det А=уДО, и с прямой £=0, если det А=0. При этом в случае разрыва в точке о0 в состав кривой £=ср (о) включается вертикальный отрезок Д, соединяющий точки максимального и минимального значений в точке разрыва. Приводимые ниже результаты справедливы и тогда, когда имеются другие точки пересечения, но эти точки изолированы.
Относительно нелинейной функции ср (о) предположим:
3)	Существует ср' (0), функция ср' (а) — кусочно-непрерывна, линеаризованная в нуле система (т. е. система с $= ср' (0) а) не имеет периодических решений
318
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
Обозначим через к «степень неустойчивости», т. е. число собственных значений матрицы А4~Ь ср' (0) с' (с учетом их кратности), расположенных в правой полуплоскости.
4)	Существует предел
lim =
|а|-«о °
Пусть для рассматриваемой системы выделены секторы абсолютной устойчивости и Sn абсолютной неустойчивости по одному из приведенных выше критериев (рис. 7.8).
Если график нелинейности расположен целиком в секторе Sf, то система устойчива в целом. Если график Е=ср (а) расположен целиком в секторе 5П, то система неустойчива в целом. При этом должны быть выполнены и другие предположения соответствующих критериев.
Если же при малых |о| нелинейность лежит в секторе SB, а при больших — в секторе 5у, то система колебательна по выходу °, т. е. для почти любого решения значение функции с (f) колеблется вокруг точки о=0.
Это предложение представляет собой упрощенный критерий колебательности, более точно формулируемый в виде теоремы-
Теорема 7.10 (В. А. Якубович). Пусть выполнены приведенные выше условия 1)—4) и линеаризованная система «на бесконечности», т. е. система %=Ка, асимптотически устойчива, а степень неустойчивости к (определенная в условии 3)) отлична от нуля.
Тогда существуют такие числа а 0, Р > 0, что любое решение системы (7.49), отличное от х=0 (при к=п), или «почти любое» решение (при к п) представляет собой либо [а, 01-колебание, либо [0, р 1-колебание по выходу с при t -* со. Числа а и р определяются следующим условием: при —а о р график нелинейности £= ср (о) расположен в секторе S„ абсолютной неустойчивости.
Слова «почти любое» означают, что в пространстве состояний (х) существует множество 92 нулевой меры такое, что если х (0) (f 92, то a (£) колеблется, если же х (0)	92, то |х (i) | ->0 при t —>оо,
В случае к—п, т. е. в случае полной неустойчивости, когда все Корни характеристического полинома линеаризованной системы с (0) о расположены в правой полуплоскости, имеется двустороннее нерастягивающееся колебание, т. е. автоколебание.
В приведенной теореме условие 4) гарантирует диссипатив-ность. Теорема остается справедливой, если условие 4) заменяется условием диссипативностц цлц условием ограццчецнссти всех решении.
Числа а и р определяются следующим образом (см, рис. 7.8). Пусть сркюры абсрлютнрй устойчивости и абсолютной неустойки
§ 7.5]
УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
319
Рис. 7.8.
320
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
в ости соответственно равны 5^ (К%, К%) и (Kf, К%), т. е. прямые с угловыми коэффициентами К\ и К% являются границами сектора 5у, а с угловыми коэффициентами и Kf — границами сектора Sa. Одно из чисел К'[, находится непосредственно из графика нелинейности. Если, например, при малых о 0 график <р (а) лежит ниже касательной ^=<р' (0) о, то Kg=<f>' (0) (рис. 7.8, а). Если график £=<р (а) расположен выше касательной £=<р' (0) а, то К"=у' (0) (рис. 7.8, б). Второе из чисел К" или К? находится по соответствующему частотному критерию неустойчивости в целом. Если, например, используется критерий Попова (7.47), то это число находится из (7.47) (вместе с числом 6) посредством построения видоизмененной частотной характеристики, прямой Попова и точки —1/К\1 или 1/К" на графике (рис. 7.9). Можно также воспользоваться круговым критерием (7.46) или критерием Якубовича (7.48). После этого числа аир находятся, как абсциссы точек пересечения кривой ср (а) с границами найденного сектора (рис. 7.8). При этом интервал [а, р] должен обладать тем свойством, что при а а р график нелинейности лежит в секторе 5“ [К“, К“].
Пример. Мультивибратор с индуктивностью в анодной цепи при учете паразитной емкости [7.2].
Уравнения мультивибратора приводятся к виду 1)
ехх = х3 — xt -|- Ki, х2=х1, х3 = —2/uCj — х2,
о —
(7.50)
при при при
(7.51)
В этих уравнениях паразитная емкость характеризуется малым параметром в; постоянные h и К положительны. Передаточная функция линейной части
W (гЛ —__________________________
Кр2
Линейная часть асимптотически устойчива при е < 2h. Замкнутая
х) У А. А. Андронова вместо <р (о) используется характеристика <pj (о)= =—(а), расположенная во II и IV квадрантах. Мы изменили обозначения для того, чтобы расположение характеристики было аналогичным тому, которое принято в гл. 4 при выводе всех критериев устойчивости, т. е. в I и III квадрантах. Соответственно в первом уравнении (7.50) член — А’? работы А. А. Андронова заменен на -|-Я£.
§ 7.51
УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
321
линейная система с 5=—va имеет характеристическое уравнение К2 (еХ -I- 1 — Ку) + 2ЛХ 4-1 = еХ3 4- (1 — Ку) К2 -|- 2h\ + 1 = 0.
Замкнутая система устойчива, если 2h (1 — Ку) е,
. 2h — s
V <7 V --------
«Р 2hK ’
(7.52)
При р > vki? замкнутая линеаризованная система неустойчива и степень неустойчивости к=2. В самом деле, так как свободный
член в характеристическом многочлене положителен, то произведение корней отрицательно. Если все корни вещественны, то они не могут все быть отрицательными, поскольку система неустойчива, следовательно, отрицательный корень один, а два остальные положительны. Если же имеется пара комплексных корней 8+/Т, то их произведение, равное 82+т2> положительно, следовательно, оставшийся вещественный корень отрицателен, а пара комплексных корней располагается в правой полуплоскости.
Частотная характеристика линейной части имеет вид
W (/<|й _	[(1 — о>2) —/<о (27г — е<о2)]
V >	(1 — ы2)2 + ш2 (27г — еы2)2 '
Видоизмененная частотная характеристика по Попову
ттгп /7-„л U — “2)	— iu>lK (2fe ~ e<fl2)
(1 —ш2)2+	(2/г — еи2)2	•
Характеристика Wn (/<о) показана на рис. 7.10. Она выпукла и пересекает отрицательную вещественную полуось при частоте о)л, 27г
определяемой из соотношения ш2 = —. Абсцисса точки пересечения
21 А. А. Воронов
322
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. VII
равна
Л‘»к) =
2hK
2h — e.
1
Vxp
Так как кривая W11 (/и) лежит правее своей касательной в точке ш= %, то нелинейная и линеаризованная системы теряют при воз-
растании v устойчивость одновременно и —vKp определяет одну из границ сектора неустойчивости в целом. Другой границей будет —оо, т. е.
5“=5н(-оо, -Vkp).
График одной из
Сектор неустойчивости показан на рис. 7.11 заштрихованным.
Таким образом, поскольку fc=2 < п=3, почти все решения будут колебательными по выходу для всех нелинейностей, график которых при — amin <С ° <С °тах расположен в секторе неустойчивости, а затем входит в сектор устойчивости.
возможных нелинейностей показан на
рис. 7.11 штриховой линией.
Числа аир равны абсциссам пересечения кривой £=<р(а)
с прямой Б=4-укр (а).
Рис. 7.11.
|В число^упомянутых кривых входит и та нелинейность, которую исследовал А. А. Андронов (уравнения (7.51), сплошная ломаная линия на рис. 7.11). Для нее
2hK
1—	— ~ 2h-t •
ЛИТЕРАТУРА
К главе 1
1.1.	Айзерман М. А. Теория автоматического регулирования.— 3 изд. — М.: Наука, 1966. — 452 с.
1.2.	Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. — М.: Наука, 1972. — 992 с.
1.3.	В о р о н о в А. А. Структурная схема системы автоматического регулирования. — 3 изд. БСЭ. — М.: Советская энциклопедия, т. 24, 1, 604 с.
1.4.	Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. — М.; Л.: Энергия, ч. I, 1965. — 396 с.
1.5.	Гарднер М. Ф., Б э р н с Дж. Л. Переходные процессы в линейных системах. — 3 изд. — М.: Физматгиз, 1961. — 552 с.
1.6.	Гельфанд И. М., Ш а л о в Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М.: Физматгиз, 1959.
1.7.	Диткпн В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. — М.: Высшая школа, 1966. — 405 с.
1.8.	Заде Л., Д е з о э р Ч. Теория линейных систем. Методы пространства состояний. — М.: Наука, 1970. — 704 с.
1.9.	Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М.; Л.: Гостехпздат, 1951. — 216 с.
1.10.	Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — Харьков: докт. диссерт. 1892. — 25 с.
1.11.	Основы автоматического управления. Под род. В. С. Пугачева. — 3 изд. — М.: Наука, 1974. — 720 с.
1.12.	С ю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления. — М.: Машиностроение, 1972. — 552 с.
1.13.	Теория автоматического регулирования. Под ред. В. В. Солодовникова. — М.: Машгпз, кн. 1, 1967. — 770 с.
1.14.	Ча кп Ф. Современная теория управления. Нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. — М.: Мир, 1975. — 424 с.
1.15.	Шаталов А. С. Структурные методы в теории управления и автоматике. — М.: Госэнергоиздат, 1962. — 408 с.
1.16.	Шаталов А. С. Преобразование сигналов автоматического управления. — М.: Энергия, 1965. — 344 с.
К главе 2
2.1.	В у т к о в с к и й А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1965. — 474 с.
2.2.	Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М,; Наука. 1975	563 с.
?1*
324
ЛИТЕРАТУРА
2.3.	Воронов А. А. О приближенном решении уравнений амплитудно-импульсных систем, близких к непрерывным. — Докл. АН СССР, 1975, т. 223, № 5, с. 1087—1090.
2.4.	Воронов А. А. Основы теорпп автоматического управления. — М.; Л.: Энергия, ч. II. 1966. — 372 с.
2.5.	Гольдфарб Л. С., Балтрушевпч А. В., Круг Г. К. и др. Теория автоматического управления. Под ред. А. В. Нетушила. — М.: Высшая школа, ч. I, 1968. — 424 с.; ч. II, 1972. — 432 с.
2.6.	Дпткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному нсчпсленпю. — М.: Высшая школа, 1966. — 405 с.
2.7.	Жуковский Н. Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. — М.: Гостехиздат, 1949. — 103 с.
2.8.	Жюильяр Е. Автоматические регуляторы электрических машин. — М.; Л.: Госэнергоиздат, 1933. — 160 с.
2.9.	Заде Л., Д е з о э р Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. — М.: Наука, 1970. — 704 с.
2.10.	Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической кибернетики. — М.: Госэнергоиздат, 1962. — 600 с.
2.11.	Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. Под ред. Р. А. Нелеппна. — М.: Наука, 1975. — 448 с.
2.12.	Нейман Л. Р_, Калантаров П. Л. Теоретические основы электротехники, ч. 3. Теория электромагнитного поля. — М.; Л.: Госэнергоиздат, 1959.
2.13.	Солодов А. В. Линейные системы автоматического управления с переменными параметрами. — М.: Физматгиз, 1962. — 324 с.
2.14.	Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных спстем. — М.: Физматгиз, 1963. — 968 с.
2.15.	Чаки Ф. Современная теория управления. Нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. — М.: Мир, 1975. — 424 с.
2.16.	Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с нелинейными и линейными нестационарными блоками. — Автоматика и телемеханика, 1967, № 6, с. 5—30.
2.17.	Z a d е h L. A. The determination of the impulsive response of variable networks. — Journ. Appl. Phys., 1950, v. 21, № 7, p. 645—655.
К главе 3
3.1.	А й з e p м а н M. А. О практическом использовании критерия Гурвица. — Автоматика и телемеханика, 1952, № 2, с. 212—216.
3.2.	Андронов А. А.. Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М., Физматгиз, 1959. — 915 с.
3.3.	Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 2 изд. — М.: Наука, 1975. — 240 с.
3.4.	Камке Э. Справочник по обыкновсппьтм дифференциальным уравнениям. — 5 изд. — М.: Наука, 1976. — 576 с.
3.5.	Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. — М.: Мир, 1964.'— 168 с.
3.6.	Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.— Собр. соч. — М.: Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7—271.
3.7.	Михайлов А. В. Гармонический метод в теории регулирования. — Автоматика и телемеханика, 1938, № 3, с. 27—31.
3.8.	Неймар к 10. И. Структура D-разбиенпя пространства полиномов и диаграммы Вышнеградского. — Докл. АН СССР, новая серия, 1948, т. 59, № 5, с. 853—856.
3.9.	Неймарк Ю. И. Об определении значений параметров, при которых система автоматического регулирования устойчива. — Автоматику и телемеханика, 19ф8, т. 9, № 3, с. 190—203.
ЛИТЕРАТУРА
325
ЗЛО. Н еймарк Ю. И., Устойчивость линеаризованных систем (дискретных и распределенных). — Л., ЛКВВИА, 1949. — 140 с.
3.11.	Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций. — Изд-во АН СССР, серия матем., 1942, т. 6, № 3, с. 115—134.
3.12.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 4 изд. — М.: Наука, 1974. — 332 с.
3.13.	Цыпкин Я. 3. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью. — Автоматика и телемеханика, 1946, т. 7, № 2—3, с. 107— 128.
3.14.	Цыпкин Я. 3. Критерии устойчивости систем автоматического регулирования. В кн. Теория автоматического регулирования. — М.: Машгиз, 1951, с. 139—164.
3.15.	Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. — М.: Физматгиз, 1963. — 968 с.
3.16.	Чеботарев Н. Г., М еймав Н. И. Проблема Рауса—Гурвица для полиномов целых функций. — Труды Матем. ин-т АН СССР им. В. А. Стеклова, изд-во АН СССР, т. 26, с. 300—309.
3.17.	Ч е т а е в Н. Г. Устойчивость движения. — М.; Л.: Гостехиздат, 1946. — 204 с.
3.18.	Hurwitz A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reelen Teilen bezitzt. — Mathematische Anna-len, 1895, 46, s. 273—284.
3.19.	Nvquist H. Regeneration theory. — Bell System Technical Journal, 1932, v. 11, p. 126—147.
3.20.	Parks P. C. A new proof of the Routh—Hurwitz stability criterion using the second method of Liapunov. — Proc, of the Cambridge Philos. Soc. (Math, and Phys. Sciences), Cambridge Univers, press, Oct. 1962, v.58, part 4, p. 694—702.
3.21.	Routh E. J. A treatise on the stability of a given state of motion, particulary steady motion. — London, 1877, 108 p.
К главе 4
4.1.	Айзерман M. А. О сходимости процесса регулирования после больших начальных отклонений. — Автоматика и телемеханика, 1946, т. 7, № 2—3, с. 148—167.
4.2.	Айзерман М. А. Об одной проблеме, касающейся устойчивости «в большом» динамических систем. — УМН, 1949, т. 4, с. 186—188.
4.3.	Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. — М.: изд-во АН СССР, 1963. — 140 с.
4.4.	Булгаков Б. В. Автоколебания регулируемых систем. — Докл. АН СССР, 1942, т. 37, № 9, с. 283—287.
4.5.	Булгаков Б. В. Некоторые задачи теории регулирования с нелинейными характеристиками. — Прпкл. матем. п мех., 1946, т. 10, в. 3, с. 313—332.
4.6.	Воронов А. А. Системы с дифференцируемой неубывающей нелинейностью, абсолютно устойчивые в гурвицевом угле. — Докл. АН СССР, 1977, т. 234, № 1, с. 38—41.
4.7.	Воронов А. А. Абсолютно устойчивые системы с дифференцируемой неубывающей нелинейностью. — Автоматика и телемеханика, 1978, № 7, с. 12—18.
4.8.	Гелиг А. X. Об устойчивости движения систем с неединственным положением равновесия. — Докл. АН СССР, 1962, т. 147, № 3, с. 526— 528.
4.9.	Гелиг А. X. Исследование устойчивости нелинейных разрывных систем автоматического регулирования с неедицстренцым равровесцьод
326
ЛИТЕРАТУРА
состоянием. — Автоматика и телемеханика, 1964, т. 25, № 2, с. 153— 160.
4.10.	Г е л и г А. X. Стабилизация нелинейных систем с частотно-импульсной модуляцией. — Автоматика и телемеханика, 1967, № 6, с. 75—82.
4.11.	Гелиг А. X. Абсолютная устойчивость нелинейных импульсных систем с широтной н временной модуляцией. — Автоматика и телемеханика, 1968, № 7, с. 33—43.
4.12.	Емельянов С. В. Системы автоматического регулирования с переменной структурой. — М.: Наука, 1967. — 336 с.
4.13.	Е р у г и н Н. П. Некоторые вопросы устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом. — Прикл. матем. и мех., 1950, т. 14, в. 5, с. 459—512.
4.14.	Красовский Н. Н. Теоремы об устойчивости движений, определяемых системой дифференциальных уравнений. — Прикл. матом, и мех., 1952, т. 16, в. 5, с. 547—554.
4.15.	Красовский Н. Н. Об устойчивости решений системы двух дифференциальных уравнений. — Прикл. матем. и мех., 1953, т. 17, в. 6, с. 651—672.
4.16.	Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. — М.: Мир, 1964. — 168 с.
4.17.	Л ё т о в А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. — М.: Госэнергоиздат, 1955. — 312 с.
4.18.	Лурье А. И., Постников В. Н. К теории устойчивости регулируемых систем. — Прикл. матем. и мех., 1944, т. 8, К» 3, с. 246— 248.
4.19.	Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М.; Л. : Гостехиздат,1951.— 216 с.
4.20.	Малкин И. Г. К теории устойчивости регулируемых систем. — Прикл. матем. и мех., 1951, т. 15, в. 1, с. 59—66.
4.21.	Малкин И. Г. Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования. — Прикл. матем. и мех., 1952, т. 16, в. 3, с. 365—368.
4.22.	Наумов Б. Н. Теория нелинейных динамических систем. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
4.23.	Наумов Б. Н., Цыпкин Я. 3. Частотный критерий абсолютной устойчивости процессов в нелинейных системах автоматического управления. — Автоматика и телемеханика, 1964, т. 25, № 6, с. 852— 867.
4.24.	П л и с с В. А., Некоторые проблемы теории устойчивости движений в целом. — Изд-во ЛГУ, 1958. — 183 с.
4.25.	Попов В. М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования. — Автоматика и телемеханика, 1961, т. 22, № 8, с. 961—979.
4.26.	Попов В. М. Гиперустойчпвость автоматических систем. — М.; Наука, 1970. — 454 с.
4.27.	Пятницкий Е. С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования. Обзор. — Автоматика и телемеханика, 1968, № 6, с. 5-—36.
4.28.	Розенвассер Е. Н. Замечания об одном способе построения функций Ляпунова. — Прикл. матем. и мех., 1960, т. 24, в. 4, с. 746— 759.
4.29.	Розенвассер Е. Н. Критерий устойчивости нелинейных дискретных систем. — Автоматика и телемеханика, 1966, № 12, с. 58—
4-30. Т р у х а н Н. М. Об одноконтурных системах, абсолютно устойчивых в гурвицевом угле. — Автоматика и телемеханика 1968, № 1|, Р, р-8.
ЛИТЕРАТУРА
327
4.31.	Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — Матем. сборник, 1960, т. 51/93, в. 1, с. 99—128.
4.32.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III. — М.: Наука, 1970.
4.33.	Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. — М.: Физматгиз, 1963. — 968_^с.
4.34.	Цыпкин Я. 3. Основы теории нелинейных импульсных систем. — В кн.: Тр. II конгресса международной федерации по автоматическому управлению. Базель, 1963, т.: Дискретные и самонастраивающиеся системы. — М.: Наука, 1965, с. 89—103.
4.35.	Цыпкин Я. 3. Релейные автоматические системы. — М.: Наука, 1974. — 576 л.
4.36.	Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в нелинейной теории автоматического регулирования,— Докл. АН СССР, 1962, т. 143, № 6, с. 1304—1307.
4.37.	Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в нелинейной теории регулирования. — Докл. АН СССР, 1964, т. 156, № 2, с. 278—281.
4.38.	Якубович В. А. О нелинейных дифференциальных уравнениях систем автоматического регулирования с одним регулирующим органом. — Вестник ЛГУ, 1960, № 7, в. 2, с. 120—151.
4.39.	Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями. — Автоматика и телемеханика, 1965, т. 26, № 5, с. 753—763.
4.40.	Якубович В. А. 5-процедура в нелинейной теории регулирования. — Вестник ЛГУ, 1971, № 1, с. 62—77.
4.41.	Якубович „В. |А. Частотная теорема £в теории управления. — Сибирский математический ^журнал, 1973, т. 14, № 2, с. 384—420.
4.42.	Якубович В. А., Методы .теории абсолютной устойчивости. — В'кн. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. — М.: Наука, 1975, с. 74—180.
4.43.	Bee_rgen А. В., Williams S. Verification of Aizerman’s conjecture for a classof third order systems. — IRE Trans, on Automatic Control, 1962, vГ AC-7, №Л3.
4.44.	Fitts R. E. Two counterexamples to Aizerman’s conjecture. — IEEE Trans, on Automatic Control, July 1966, v. AC-11,	№ 3,
p. 553—556.
4.45.	Kai m_a n R. E. Physical and mathematical mechanisms of instability in nonlinear Automatic Control Systems. — Trans. ASME, Apr. 1957, vol." 79, № 3, p. 553—566.
4.46.	Kalman R. E. Ljapunov functions for the problem of Lur’e in automatic control. — Proc. Nat. Acad. Sci., U. S., 1963, v. 49, № 2.
4.47.	Popov V. M. Critterii de stabilitate pentru sistemele nelineare de reglare automata, bazade pe utilizarea transformatei Laplace. — Studei §i cercetari de energetica, Acad. RPR, 1959, annul 9, ЛИ.
4.48.	Popov V. M. Noi critterii de stabilitate pentru sistemele automate nelineare. — Studii cercetari de energetica, Acad. RPR, 1960, annul 10, № 1.
4.49.	Yo-Sung Cho, Kumpati S. Narendra. An off-axis circle criterion for the stability of feedback systems with a monotonic nonlinearity.— IEEE Transactions on automatic control, 1968, Aug., p. 413— 416.
4.50.	D. Ronald Fannin, Allen J. Rushing. Verifications of the Kalman conjecture based on locus curvature. — Proceedings of the IEEE, 1974, apr., p. 542—543.
ЛИТЕРАТУРА
К главе 5
5.1.	Бертрам Т. Е., Сарачик П. Е. Оптимальное управление с помощью вычислительных средств. — Первый международный конгресс по автоматическому управлению. М.: Изд-во АН СССР, 1960.
5.2.	К а л м а н Р. Об общей теории автоматического управления. — Вкн.: Тр. I конгресса международной федерации по автоматическому управлению. ИФАК в Москве. М.: Наука, 1961, т. 2, с. 521—547.
5.3.	Катковник В. Я., Полуэктов Р. А. Многомерные дискретные системы управления. — М.: Наука, 1966, 416 с.
5.4.	Ольденбург Р., Сарториус Г. Динамика автоматического регулирования. — М.; Л.: Госэнергоиздат, 1949, 328 с.
5.5.	Петров Б. Н. О применении условий инвариантности. — Тр. II Всесоюзного совещ. по теории автоматпч. регулирования. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1955, т. 2, с. 241—246.
5.6.	Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, 1971, 396 с.
5.7.	Страшак А. Управляемость. — В кн.: Энциклопедия современной техники. Автоматизация производства и электроника. М.: Советская энциклопедия, 1972, т. 4, стр. 176—177.
5.8.	Цыпкин Я. 3. Теория прерывистого регулирования. III. Переходные процессы в системах прерывистого регулирования. — Автоматика и телемеханика, 1950, т. 11, № 5, с. 300—319.
5.9.	Bergen A. R., Ragazzini J. R. Sampled-data processing techniques for feedback control systems. — Trans. AIEE, 1954, v. 73, № 11, p. 231—247.
5.10.	Kalman R. E., C h о Y. S., Narendra K. S., Controllability of linear dynamical systems in contributions to differential equations. — v. 1, № 2, Interscience Publishers, № 4, 1963, p. 189—213.
К главе 6
6.1.	Айзерман M. А., Гантмахер Ф. Р. Условия существования области устойчивости для одноконтурной системы автоматиче ского регулирования. — Прикл. матем. и мех., 1954, т. 13, № 1, с. 103— 122.
6.2.	Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970. — 240 с.
6.3.	Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973. — 272 с.
6.4.	Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 575 с.
6.5.	Градштейн И. С. Дифференциальные уравнения с малыми множителями при производных п теория устойчивости Ляпунова. — Докл. АН СССР, новая серия 1949, т. 65, № 6, с. 789—792.
6.6.	Градштейн И. С. Применение теории устойчивости Ляпунова к теории дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных. — Докл. АН СССР, 1951, т. 81, № 6, с. 985—986.
6.7.	Иртегов В. Д. Об устойчивости решений разностных уравнений. — Труды/Казанский авпац. ин-т, матем. и механика, 1970, в. 125, с. 46—54.
6.8.	Климушев А. И., Красовский Н. Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных. — Прикл. матем. и мех. 1961, т. 25, в. 4, с. 680—694.
6.9.	Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движений. — М.: Физматгиз, 1959.
ЛИТЕРАТУРА
329
6.10.	Матросов В. М. К теории устойчивости движения I—III. Прикл. матем. и мех. 1962, т. 26, № 6, с. 885—895.
6.11.	Матросов В. М. Метод некоторых функций Ляпунова в системах с обратной связью. Обзор. — Автоматика и телемеханика, 1972, № 9, с. 63—75.
6.12.	Матросов В. М. Принцип сравнения с вектор-функцпей Ляпунова. I—IV. — Дифференциальные уравнения, 1968, т. 4, № 7, с. 12.
6.13.	Мееров М. В. Системы автоматического регулирования устойчивые при сколь угодно больших коэффициентах усиления. — Автоматика и телемеханика, 1947, т. 8, № 4, с. 225—242.
6.14.	Мееров М. В. Синтез систем автоматического регулирования высокой точности. — 2 изд. — М.: Наука, 1967, 423 с.
6.15.	Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн. Механика в СССР за 50 лет, т. I. — М.: Наука, 1968, с. 7—66.
6.16.	Сиразетдинов Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. — Казань: Изд-во Казанского авиац. ин-та, 1971.
6.17.	Сиразетдинов Т. К. Метод функций Ляпунова в задачах управления системами с распределенными параметрами. Обзор. — Автоматика и "телемеханика, 1972, № 7, с. 5—21.
6.18.	Тихонов А. ГН. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. — Матем. сборник, 1952, т. 31 (73), № 3, с. 576—586.
6.19.	Якубович В. А. Методы теории абсолютной устойчивости. — В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. Под ред. Р. А. Нелеппна. М.: Наука, 1975, с. 120—180.
6.20.	Bailey F. N. The application of Lyapunov second method to interconnected systems. — J. SIAM Contr., 1966, v. 3, № 3, p. 443—462.
6.21.	Bellman R. Vector Lyapunov functions. — J. SIAM Contr. Ser. A, 1962, v. 1, p. 32—34.
6.22.	G г u j i 6 L. T. On multi-level absolutely stability analysis of large-scale systems. — Automatics, 1974, № 1—2, p. 57—62; 1974, № 3—4, p. 155—161 (Pergamon Press, London).
6.23.	Gruji6 L. T. Novel development of Lyapunov stability of motion.— Int. J. Control, 1975, v. 22, № 4, p. 525—549.
6.24.	Kokotovic P. V., O’Malley R. E. Singular perturbations and order reduction in control theory. An overview. — Automatica, 1966, v. 12, p. 123—132 (Pergamon Press, London).
6.25.	Locatelli A. State observation and output feedback stabilization of linear singularity perturbable systems. — In the Proceedings of the IFAC Symposium «Large Scale Systems Theory and’Applications», hold June 16—20, 1976, Udine, Italy/Ed. by Guardabassi and A. Locatelli, Milano, 1976.
6.26.	Porter B. Singular perturbation methods in the design of stabilizing feedback controllers for multivariable linear systems. — Int. J. Control, 1974, v. 20, № 4, p. 689—692.
6.27.	Porter B., Snenton A. T. Singular perturbation methods of asymptotic eig< nvalue assignment in multivariable linear systems. — <Tnt. J. Systems Science, 1975, v. 6, № 1, p. 33—37.
6.28.	S i 1 j a c' D. D. Stability on large-scale systems under structural perturbations. — IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1972, v. SMC-3, № 4, p. 657—663.
6,29.	W a z e w s k i *T. Systemes des equations- et des inegalites differentiel-les ordinaires aux second members monotones et leurs applications, — Ann. Soc. Pol, Math., 1950, 23, p. 122—166.
330
ЛИТЕРАТУРА
К главе 7
7.1.	Андронов А. А., Витт А. А. Об устойчивости по Ляпунову. — Журн. техн, физики, 1933, т. 3, в. 5, с. 373—374.
7.2.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М., Физматгиз, 1959 — 915 с.
7.3.	Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7—271.
7.4.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 4 изд. — М.: Наука, 1969. — 384 с.
7.5.	Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления. — М.: Машиностроение, 1972. — 552 с.
7.6.	Цыпкин Я. 3. Релейные автоматические системы. — М.: Наука, 1974. — 576 с.
7.7.	Ч а к и Ф. Современная теория управления. Нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. — М.: Мир, 1975. — 424 с.
7.8.	Якубович В. А. Частотные условия автоколебаний в нелинейных системах с одной стационарной нелинейностью. — Сибирский математический журнал, 1973, т. 14, № 5, с. 1100—1129.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 316
Агрегирование 31
Айзермана гипотеза 145
Алгоритм функционирования си-
। стемы 11
Аналоги разностные критериев^Ми-хайлова и Найквиста 138
Андронова—Витта теорема 302
Бейли теорема основная^283
Бромвича интеграл 140
Булгакова задача 143
Вектор-функция Ляпунова 279J
Виета функция 133
Возмущения 86
—	сингулярные 258
Вырожденность передаточной функции 230
Вычеты интегральные 73
Гипотеза Айзермана 145
—	Калмана 194
Графы структурные 30
Группы переменных наблюдаемые
236
—	— ненаблюдаемые 2ои
—	— неуправляемые 234
—	— управляемые 234
Гурвица определитель 103
Движение возмущенное 86
—	невозмущенное 86
Декомпозиция 31
Дельта-функция 25
Диссипативности критерий квадратичный 314
Дихотомичность 315
Дополнение разрывных характеристик по Филиппову 208
Дуальности принцип 229
Дюамеля интеграл 25
D-разбиение в плоскости двух параметров 129
—	одного параметра 125
Жуковского уравнения 65
Задача Булгакова 143
—	Лурье 143
—	Лурье—Постникова 150
Звено апериодическое 33
—	двухсвязное 56
—	динамическое линейное 30
—	дифференцирующее идеальное 33
—	— неидеальное 33
—	импульсное линейное (импульсный элемент) 68
—	интегрирующее идеальное 33
—	— неидеальное 33
—	интегро-дифференцирующее 33
—	иррациональное 61
—	колебательное 33
—	консервативное 33
—	односвязное 56
—	переходное 58
—	полузапаздывающее 62
—	полуинерционное 62, 63
—	полуинтегрирующее 62
—	с дискретным временем 69
—	с чистым запаздыванием 58—61
—	статическое 33
—	типовое 34
—	трансцендентное 61
—	формирующее 33
—	элементарное 18
Изолированный корень 260
—	предельный цикл 303
Импульсная переходная (весовая) функция 25
332
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Импульсная система близкая к непрерывной 73
—	— линейная 25
Интегральная кривая 88
Калмана гипотеза 194
Квазиполином 120
Классы нелинейностей 83
Клетка жорданова 41
Клпмушева—Красовского лемма 267
Колебаний условия возникновения
313
Колебания двусторонние 317
—	— нерастягивающиеся 316
—	по выходу 316
Колебательности критерий упрощенный 318
Компенсация двухканальная 246
—	параллельная 237
—	последовательная 238
Координаты процесса 11
—	фазовые ,36
Коши—Хевисайда разложение 24
Коэффициенты замороженные 49
—	передаточной функции 79
—	передачи импульсного элемента 40
Кривая интегральная 88
Критерий абсолютной устойчивости
145
—	— — квадратичный 177
—	— — круговой 180
—	— — частотный Попова 157
—	— — — для нейтральных и неустойчивых систем 169
—	— — — для нескольких нелинейностей 2о2
—	— — — для почти критического случая 192
—	возникновения колебаний 313
—	диссипативности квадратичный 314
—	дихотомичности 315
—	колебательности упрощенный 317
—	круговой для нескольких нелинейностей 252
—	неустойчивости 315
—	— абсолютной 315
—	устойчивости Гурвица 103, 110
—	— — для дискретных систем 135
—	— Льенара—Шипара 111
—	— Михайлова 115
—	— — для дискретных систем 138
—	— — для распределенных систем 121
—	— Найквиста 111
Критерий устойчивости Найквиста для дискретных систем 138
— — — для распределенных систем 123
— — — для систем с запаздыванием 121
--- Рауса 103, 110
—	— — для дискретных систем 135
Лапласа преобразование 19
—	— дискретное 71
—	преобразований непрерывного и дискретного связь 73
Лефшеца—Якубовича условие 151
Локальная квадратичная связь 84
Лурье задача 143, 150
—	канонические уравнения 40
Льенара—Шипара критерий 111
Ляпунова определение устойчивости
90, 293
—	теорема об устойчивости 92
—	— о линейном _ приближении 95
—	— и неустойчивости 92
—	функция 91, 97
—	— векторная 279
Малый параметр при производных 256
Математическое описание систем управления поэлементное 16
Матрица весовая 25
—	диагональная 40
—	Жордана 41
—	монодромии 302
—	нормальной системы уравнений 37
—	передаточная 22
—	Рауса 103
—	решений фундаментальная 99
—	эрмитова 174
—	Якоби 293
Матричное неравенство 153
—	правило Михайлова—Найквиста 250
Медленная система 259
Метод замороженных коэффициентов
—	Крамера 241
—	Ляпунова векторных функций 279
—	— второй (прямой) 96
—	— первый 94
Минимальная устойчивость174
Михайлова критерий устойчивости
115
Михайлова—Найквиста	матричное
правило 250
предметный указатель
333
Многосвязная система 43
Модель математическая 14, 34, 46, 54, 66, 73, 81
Мультивибратор 320
Наблюдаемость 11, 227
— неполная 236
— полная 227
Набор переменных полный 34
Найквиста критерий устойчивости
111
Невозмущенное движение 88
Нелинейность гистерезисная 215
—	дифференцируемая 189
—	неоднозначная 208
—	разрывная 208
Нелинейных характеристик классы 83
Неустойчивость 295
—	абсолютная 315
Область влияния (притяжения) 261
Объединение звеньев 31
Объект статический 13
Оператор смещения 131
Определитель Гурвица 103
—	Крамера 241
Оригинал 41
Отрезок без контакта 304
Параллельная компенсация 238
Парсеваля равенство 163
Передаточная матрица 22
—	— замкнутой системы 250
—	— подсистемы 281
—	— разомкнутой системы 250
—	функция 20
—	— вырожденная 230
—	— .звено с запаздыванием 58
—	— импульсной системы 70
—	— нестационарной системы 46
—	— основных соединений 31
—	— параметрическая 46
—	— распределенного звена 57
Переменные абстрактные 34
—	выходные 11
—	состояния 34
—	управляемые 11
—	фазовые 89
—	физические (вход — выход) 35
Перенос сумматора 32
—	узла 32
Период чередования 66, 131
Полином характеристический замкнутой системы 111
—	— разомкнутой системы 111
Попова критерий абсолютной устойчивости 157
—	прямая 168
—	функция 163
Порядок разностного уравнения 67
—	системы 55
—	уравнения 57
Потеря наблюдаемости 230
—	управляемости 230
Правило матричное_Михайлова -Найквиста 254 ;
—	переходов Цыпкина 114
—	преобразования структурных схем и графов 31
Предельная устойчивость 170
Предельный цикл 303
Представление замкнутой системы операторное 49
—	приближенное 78
Преобразование исходной системы 17
—	Лапласа 19
—	— дискретное 71
—	— обратное'26
	-прямое 26
—	неособое 35
—	точечное 304
—	Фурье весовой функции 28] Преобразователь безынерционный_30
—	функциональный 30, 58 | Приведение к каноническим формам
40
— к уравнениям в переменных состояния 54
Принцип аргумента 115
—	дуальности 229
— замкнутого управления (обратной связи) 12
—	компенсации 12
—	разомкнутого управления 11
—	управления по возмущению 12 Присоединенная система (и урав-
нение) 258
Проблема Айзермана 146
Пространство состояний 34
—	фазовое 36
Прямая характеристическая 208
Равенство Парсеваля 163
Размерность систем 55
Разрывные нелинейности 208
Рауса критерий устойчивости 105
Регулятор-наблюдатель 268
Римана—Меллина преобразование 27
Связь 30
—	внутренняя перекрестная 33
334
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Связь жесткая 44
—	локальная квадратичная 84
—	обратная 32
Связность систем 55
Секторы абсолютной неустойчивости 316
—	— устойчивости_316
Сингулярных возмущений метод 256
Система ^вырожденная 237
—	динамическая 13
—	дискретная 66 J
—	диссипативная 313
—	замкнутая 250
—	импульсная 73
—	многосвязная 43
—	наблюдаемая не полностью 233
—	— полностью 228
—	непрерывно-дискретная 68
—	неустойчивая в целом 315
—	полная (исходная) 256
—- присоединенная_258
— с бесконечной степенью устойчивости 225
— с дифференцируемой неубывающей нелинейностью 144
— с несколькими нелинейными элементами 250
— с одним запаздыванием 122
— сравнения 174, 279
—	управляемая 11
—	— пе полностью'236
—	— полностью „235
—	частично инвариантная по координате и управлению 235
Соединение звеньев параллельное 31
—	— последовательное 31
Состояние наблюдаемое 228
Стодолы критерий 110
Структура » системы 28, 205, 271
Сумматор 30
Схема алгоритмическая 28
—	конструктивная 28
—	структурная 28
—	укороченная 243
—	функциональная 28
5-процедура 154
Точечные преобразования 304
Точки особые 88
—	разветвления 30
Траектория в пространстве состояний 86
—	фазовая 89
Управляемость 223
—	неполная 233
Управляемость полная 226
Уравнений разностных и дифференциальных связь 133
Уравнения дифференциальные в канонической форме 40
—	— в нормальной форме 36
—	— в переменных вход—выход 16
—	— в переменных состояниях 68
—	— в фазовых переменных 36
—	— длинного трубопровода 65
—	— длинной линии электропередачи 63
—	— с переменными параметрами 46
—	— с частными производными 51
—	— теплопроводности одномерные 60
—	разностные линейные 66
—	разрешающие Лурье 144
Усиление бесконечно большое 271
Условие абсолютной устойчивости геометрическое 168
—	— — частотное 175
—	Лоши 305
—	^Лефшеца—Якубовича 157
—	полной наблюдаемости 227
—	— управляемости 226
—	Попова частотное 189
—	устойчивости Гелига 222
Условия возникновения колебаний
313
—	выполнения гипотез Айзермана иАКалмана 194
—	краевые второго рода 57
—	краевые первого рода 57
—	переключения 309
—	Рауса и Гурвица устойчивости разностных уравнений 135
—	структурной устойчивости 278
Устойчивости определение Ляпунова
90
Устойчивость 11, 87, 294
— абсолютная 148, 316
—	— в гурвицевом угле 195
— — в положительном секторе гурвицева угла 196
—	— импульсных систем 218
—	асимптотическая 295
—	— в большом 147
—	— в малом 147
—	— в целом 295
—	— равномерная 294
—	линейных систем 87
—	минимальная 174
—	орбитальная 303
—	отрезка покоя 211
—	периодического движения 301
—	— — в релейных системах 307
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
335
Устойчивость по выходу 192 —	по первому приближению 94 —	предельная 170 —	равномерная 294 —	распределенных систем 120 —	релейных систем 212 —	систем с дискретным временем 131 —	структурная 278 —	траекторий 291 —	эквиасимптотическая 294 —	экспоненциальная 150 Филиппова’’ доопределение разрывных решений 208 Форма каноническая 40 —	— Жордана 41 —	— Лурье 41, 232 —	уравнения нормальная 36 —	эрмитова 143 Формирователь импульсов 68 Функция знакоопределенная 91, 298 — знакопостоянная 91 — импульсная 25 — — переходная 25, 33 —” Ляпунова 91, 97 — — для'линейных систем 280 —	— для * нестационарных систем 298	«л —	передаточная ^21 —	— иррациональная"61 —	— параметрическая 47 —	— трансцендентная 61 —	— частотная 28 —	Попова 163 —	последования 304	Функция ступенчатая 23 — целая 120 Фурье преобразование 162 — — весовой функции 28 Характеристика системы амплитудно-фазовая 118 s н —	— время-импульсная 25 —	— градоаналитическая 35 —	— частотная 20 Цикл предельный 303 —	— орбитально неустойчивый 304 —	— — устойчивый 303 Цыпкина годограф 310 —	правило переходов 114 Частотная теорема 139 —	характеристика импульсной системы 139	йй —	— нестационарной системы 46 —	— преобразованная"* (видоизмененная) Попова 165 —	— стационарной’'системы 35 Четаева теорема о неустойчивости 94 Шура лемма 251 Эрмитова матрица 174 — форма 173
Авенир Аркадьевич Воронов
УСТОЙЧИВОСТЬ, УПРАВЛЯЕМОСТЬ, НАБЛЮДАЕМОСТЬ
М., 1979 г., 336 стр. с ИЛЛ.
Редактор А. А. Некрасов
Техн, редактор Л. В. Лихачева Корректор Н. Д. Дорохова
ИБ JS& 11029
Сдано в набор 03.10.78. Подписано к печати 14.02.70. Бумага 60Х90,/„,тип. JsS 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 21. Уч.-изд. л. 19,92. Тираж 6000 экз. Заказ № 819. Цена книги 1 р. 60 к.
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Первая типография издательства «Наука».
199034, Ленинград, В-34, 9-я лин., 1S