Проф. Я. И. ФРЕНКЕЛЬ
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
НА ОСНОВЕ ВЕКТОРНОГО
И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ЛЕНИНГРАД 1940 МОСКВА

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой переработанное и расширенное
издание моей книги „Курс векторного и тензорного анализа с прило-
приложениями к механике*, вышедшей в 1925 г. и воспроизводившей в
основных чертах курс, читанный мной на физико-механическом факуль-
факультете Ленинградского политехнического института. Впоследствии этот
курс был расширен и превращен в курс теоретической механики, как
части общей системы теоретической физики. Это расширение вырази-
выразилось в прибавлении к курсу векторного и тензорного анализа, являвше*
муся вместе с тем введением в теоретическую механику, специальных
глав, посвященных подробному развитию принципов аналитической меха-
механики (уравнения Лагранжа и Гамильтона, вариационные принципы,
теория Гамильтона-Якоби и т. д.), а также специальным задачам гидро-
гидродинамики и теории упругости.
В настоящей книге этим специальным задачам уделено сравнительно
немного места, в остальнцх отношениях она довольно точно соответ-
соответствует курсу теоретической механики, читаемому в течение ряда лет
мной и моими сотрудниками по кафедре теоретической физики на инже-
инженерно-физическом (бывш. физико-механическом) факультете Ленинград-
Ленинградского индустриального института.
Книга разделена на пять отделов.
Первый из *их посвящен элементарной теории движения материала
ной точки и системы точек, а также твердого тела, причем эта теория
развивается на основе алгебраических векторных операций.
Второй отдел посвящен собственно векторному анализу и его при-
мен€йиям к гидродинамике, которая дает богатейший материал для иллю-
иллюстрации операций векторного анализа и соответствующих интегральных
теорем (Гаусса, Стокса и др.). Применительно к плоским задачам гид-
гидродинамики, излагается метод комплексных величин, как эквивалентных
плоским (двухмерным) векторам.
Третий — самый большой — отдел посвящен принципам аналитиче-
аналитической механики. В первоначальной редакции он был составлен по моим
лекциям моими сотрудниками С. В. Измайловым и О. М. Тодесом и был
выпущен литографированным изданием. При составлении настоящей
книги я написал этот отдел почти заново, оставив от литографирован-
литографированного издания не более одной пятой. Предлагаемое изложение аналити-
аналитической механики отличается от традиционного как в смысле своей
последовательности, так и в смысле содержания. Оно начинается с Га-
мильтоновой теории движения, которая излагается мной на основе

представления о „континууме экземпляров" частицы или
жидкости<f и сводится к обычной гидродинамике по-
последней.
Из Гамильтоновой теории выводятся затем все остальные аналитиче-
аналитические формулировки законов движения материальной точки. При этом
дается краткое изложение современного развития Гамильтоновой теорий,
приводящее к волновой механике и, в частности, к уравнению Шре-
цингера, а также к основам старой квантовой теории Бора. В конце
этого отдела рассматривается обобщение теории на случай системы
материальных точек с жесткими связями и применение ее к частному
случаю малых колебаний.
Четвертый отдел представляет собой введение в тензорный анализ
на основе теории преобразования простейших (прямолинейных и прямо-
прямоугольных) координатных систем; далее понятия и операции тензорного
анализа применяются к теории движения идеального твердого теля и к
теории упругости. Этот отдел отличается от соответствующих частей
прежней книги главным образом расположением материала.
Наконец, в пятом отделе дается геометрическая теория обобщенных
координат, являющаяся вместе с тем основой для обобщения тензор-
тензорного анализа и превращения его в „абсолютное диференциальное исчис-
исчисление". Этот обобщенный тензорный анализ применяется к теории дви-
движения материальной точки по кривой поверхности и к теории кривизны
последней (по Гауссу-Риману), причем результаты этой теории, пере-
перенесенные на протяженность четырех измерений, применяются к крат-
краткому изложению Эйнштейновской теории относительности и тяготения.
Предлагаемая книга является введением в теоретическую механику
как часть курса теоретической физики, ориентируя читателя по всем
вопросам теоретической механики — особенно же таким, которые имеют
специальный физический интерес.
Я- Френкель.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Cip.
Предисловие ..<•«.««,.. *«4 ....... 3
Отдел L ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К МЕХАНИКЕ ЧА-
ЧАСТИЦЫ И СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ.
Глава I. Операции над векторами и векторными функциями от ска-
скалярного аргумента 8
§ 1. Разложение и сложение векторов 8
§ 2. Проектирование отрезков и скалярное умножение векторов . 10
§ 3. Проектирование площадей и векторное умножение векторов . 12
§ 4. Комбинированные операции умножения 16
§ 5. Деление векторов и решение линейных векторных уравнений . 18
§ 6. Векторные операции в прямолинейных и прямоугольных ко-
координатах . 20
§ 7. Двухмерные векторы и комплексные числа; гиперкомплекс-
гиперкомплексные числа и векторы в многомерном пространстве 24
Глава II. Механика частицы (материальной точки) 29
§ 8. Диференцирование и интегрирование векторов по скаляру
(времени) и кинематика частицы 29
§ 9. Общие принципы динамики частицы (кочичество движения,
энергия, момент количества движения и вириал) 33
§ 10. Движение частицы под действием упругой силы _..... 37
§ 11. Вынужденные колебания, резонанс и влияние сил трения . . 40
§ 12. Влияние сил трения на свободные и вынужденные колеба-
колебания 42
§ 13. Движение частицы под действием силы, обратно-пропорцио-
обратно-пропорциональной кзадрагу расстояния 46
§ 14. Влияние добавочной силы, обратно-пропорциональной кубу
расстояния о г неподвижной точки А%
§ 15. Основы релятивистской (Эйнштейновской) механики . . * . . 52
ГАава III. Механика системы частиц 57
§ 16. Общие принципы механики системы частиц -. ./ . . 57
§ 17. Система двух частиц и общая теория столкновений 62
§ 18. Принципы обратимости симметрии и относительности .... 67
Глава IV. Механика твердого тела • 70
§ 19. Кинематика твердого тела 70
§ 20. Движение частицы относительно вращающегося твердого тела;
Кориолисова и центробежная силы 73
§ 21. Динамика твердого тела с закрепленной точкой 74
§ 22. Движение волчка, прецессия и нутация 76
Отдел 11. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ГИДРОМЕХАНИКЕ
Глава I. Операции над скалярными и векторными функциями от век-
векторного аргумента 7в
§ 1. Общая характеристика функций от векторного аргумента . . 78
§ 2. Диференцнрование функций от векторного аргумента .... 82

§ & Исследование операций векторного диференцирования • • • . 85
§ 4. Основные правила векторного диференцирования 91
§ 5. Диферевциальные операции второго порядка Ш
§ 6. Операции векторного диференцирования в прямоугольных ко-
координатах «. 101
Глава П. Векторные поля и кинематика жидкостей 104
§ 7. Постановка задачи; скалярный и векторный потенциалы . , . 104
§ 8. Источники и стоки 105
§ 9. Вихревые линии • 110
§ 10. Двойные слои 115
§ 11. Определение потенциального поля в ограниченной области;
функция Грина . . . . ,.,.... 118
§ 12. Теорема Дирихле 122
§ 13. Определение соленеидального поля в ограниченной области . 125
§ 14. Векторный анализ на плоскости и теория функций комплекс-
комплексной переменной 127
Глава III. Принципы гидродинамики и аэродинамики 132
§ 15. Основные уравнения механики текучих тел 132
§ 16. Невихревое движение идеальной жидкости • . . . 137
§ 17. Вихревое движение идеальной жидкости 142
§ 18. Влияние сил внутреннего трения на движение несжимаемой
жидкости; теории Стокса и Прандтля 149
§ 19. Плоское движение идеальной жидкости 158
§ 20. Влияние сжимаемости и принципы акустики 109
Отдел Ш. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ И СИ-
СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
Глава I. Механика частицы и метод пространственного континуума
экземпляров ¦ . . 176
1. Уравнение Гамильтона-Якоби . » 176
2. Оптико-механическая аналогия Гамильтона * . . 183
3. Волновое уравнение и принципы волновой механики .... 189
4. Принцип наименьшего действия • 195
5. Принцип Гамильтона 206
§ 6. Движение наэлектризованной частицы в произвольном электро-
электромагнитном поле 212
Глава II. Аналитическая механика в обобщенных координатах . ¦ • . 219
§ 7. Обобщенные координаты и уравнения Гамильтона 219
§ 8. Циклические координаты и функция Рута ••...«•... 227
§ 9. Интегралы движения. Скобки Пуассона 231
§ 10, Фазовый континуум экземпляров и его приложение к стати-
статистической механике 236
§ 11. Канонические преобразования; связь их с уравнением Гамиль-
Гамильтона-Якоби и применение к теории возмущений 243
§ 12. Периодические и условно-периодические движения 256
§ 13. Примеры на применение метода Гамильтона-Якоби ..... 2д4
§ 14. Движение связанной частицы. Уравнения Лагранжа первого
рода, классификация связей и роль сил трения 274
Глава III. Механика системы материальных частиц 283
§ 15. Консервативная система частиц с идеальными связями; уравне-
уравнения Лагранжа I рода , 28&
§ 16. Аналитическая механика системы частиц 289
§ 17. Общая теория линейных колебаний квази-упругосвязанных
частиц 3Q1
§ 18. Вынужденные колебания; гироскопические силы; примеры ¦ « 309
6

Стр.
IV. ТЕНЗОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ И ТЕО-
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Глава I. Принципы тензорного анализа 316
§ L Определение тензорных величин в связи с преобразованиями
прямолинейных и прямоугольных координатных систем . . * 316
§ 2. Симметричные и антисимметричные тензоры 2-го ранга . . . 322
§ 3. Преобразование симметричных тензоров к главным осям и их
геометрическое изображение 327
§- 4. Диференцирование тензоров 2-го ранга ........... 331
§ 5. Тензоры высших рангов • .#¦... 333
§ 6. Тензоры в пространстве />3 измерений ....•• 338
§ 7. Применение симметричных тензоров высших рангов к теории
потенциала сил ньютоновского типа * • • 341
Глава II. Механика идеального твердого тела 345
§ 8. Тензор инерции и общие уравнения движения твердого тела . 345
§ 9. Движение волчка в поле силы тяжести 349
Глава III. Теория упругости 359
§ 10. Тензоры деформации и напряжений 359
§11. Соотношение между деформациями и напряжениями 363
| 12. Общая теория равновесия двухмерных упругих тел 368
§ 13. Продольные и поперечные колебания в упругих телах.... 371
Отдел V, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ И ЕЕ ПРИМЕ-
ПРИМЕНЕНИЕ К МЕХАНИКЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ И КОНТИНУУМА
Глава I. Косоугольные и криволинейные координаты 375
§ 1. Косоугольная система координат. Обобщенные проекции и
слагающие. Взаимная система координат . . . • 375
§ 2. Скалярное и векторное произведения векторов и диферен-
циальные операции в косоугольных координатах 379
§ 3. Преобразование координат и слагающих вектора при пере-
переходе от одной системы косоугольных координат к другой;
тензоры . . * 382
§ 4. Определение криволинейных координат 388
§ 5. Диференциальные операции в криволинейных координатах ¦ . 394
§ 6. Вывод формул для диференциальных операций из их инте-
интегрального определения 400
§ 7* Ортогональные координаты; цилиндрические, сферические и
параболические «... 404
Глава II. Приложение к механике частицы и континуума 411
8. Механика свободной частицы * ¦ . . . * 4И
9* Движение частицы по кривой поверхности 414
10. Гауссова теория кривизны поверхностей 418
11. Эйнштейнова теория относительности и тяготения 423
12. Применение криволинейных координат к уравнениям теории
упругости и гидродинамики 430

ОТДЕЛ 1
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
К МЕХАНИКЕ ЧАСТИЦЫ И СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
ГЛАВА I
ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ И ВЕКТОРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
ОТ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
§ 1. Разложение и сложение векторов
Физические величины разделяются обычно на скалярные, кото-
которые характеризуются одним лишь численным значением, и вектор-
векторные, характеризующиеся, помимо численного значения, определенным
напраглением в пространстве; кроме того
встречаются величины более сложные, со-
соответствующие совокупности двух или
более векторов — так называемые тен-
тензоры.
Прототицом векторных величин явля-
является прямолинейный отрезок,
обыкновенно связываемый с представле-
представлением о пространственном пере-
перемещении материальной час?ицы из
какой-нибудь ь ачальной точки О в некото-
некоторую другую точку Р, ко, вообще говоря,
служащий для графического представления всевозможных векторных
вели-чин. Вышеозначенное перемещение ОР (рис. 1) может быть заме-
заменено совокупностью лвух и^и нескольких перемещений О А, АВ, ВС
и СР> которые называются составляющими. Подобная замена
называется разложением отрезка (или перемещения) ОР на со-
составляющие отрезки (или перемещения).
Обратная операция, сводящаяся к замене нескольких отрезков
одним, по отношению к которому они играют рель составляющих (при
совмещении начала каждого из них с концом предыдущего), называется
геометрическим или векторным сложением. Соответственно
этому составляющие отрезки называются слагаемыми, а результирую-
результирующий (соединяющий начало первого с концом последнего) — геометри-
геометрической суммой их^
Операция геометрического сложения выражается символически фор-
формулой
F = F1 + F2+F3+F4 -f..., A)
Рис. 1.

где в рассматриваемом случае (рис 1) F — ОР,
ОЛ, F2=AB,
=BC и
3 4
Геометрическую сумму не следует смешивать с арифметической,
относящейся к численным значениям отрезков, т. е. к их длинам. Эти
численные значения мы будем в дальнейшем обозначать символами соот-
соответствующих векторов (отрезков), либо заключая их в прямые скобки,
либо же отбрасывая стрелки (в случае одной буквы). Так например
длина отрезка F представляемся символом )F| или F.
Численное значение геометрической суммы всегда меньше арифмети-
арифметической суммы слагаемых, это следуе? из того, что прямая ОР короче
всякой ломаной (например ОАВСР), проходящей через ее концы. Само
собою разумеется, что если все слагаемые отрезки 'имеют одно и то же
направление, т.е. образуют прямую линию, то их арифметическая сумма
совпадает с численным значением геометрической. Таким образом мы
имеем следующее соотношение:
или
При геометрическом сложении несколь-
нескольких отрезков они передвигаются таким
образом, чтобы начало одного совпадало с
концом предыдущего; геометрическая .сумма
изображается отрезком, соединяющим начало
первого с концом последнего. При этом
порядок, в котором они „прикладываются"
друг к другу, остается совершенно безраз-
безразличным; другими словами—геометрическая
сумма не зависит от порядка слагаемых
(свойство „переместительности", или комму-
коммутативности). В случае двух слагаемых эта
теорема доказывается следующим образом:
Построим параллелограм на отрезках OP — V и OP' = F' (рис. 2).
Так как ОР'' + I^Q^OQ^OP+PQ К так как далее P~'Q«=0P~F »
PQ = OP' = F', то отсюда следует:
Это доказательство легко обобщается на случай нескольких слагае-
слагаемых, путем последовательного применения формулы C) к отдельным
парам.
Вектор, численно равный данному (F) и противоположный ему па
направлению, обозначается тем же символом со знаком минус (¦—• F).
Сложение вектора F' с вектором противоположным F, т, е. равным— F,
называется геометрическим вычитанием, а сумма F' + (— F),
обозначаемая в виде F' — F — геометрической разностью. Гео-
Геометрическую разность векторов F' и F можно также определить как
такой вектор А?, который нужно прибавить к F, чтобы получить F'.
На рис. 2 он изображается отрезком РР\

Различные векторные величины — скорости, ускорения, силы и
т. и. — изображаются графически таким же образом, как и перемете*
ния, т. е. в виде прямолинейных отрезков одинакового с ними направле-
направления и пропорциональной длины. Соответственно геометрическому раз-
разложению (или сложению) изображающих их отрезков, все эти величины
могут разлагаться на составляющие (или складываться в результирую-
результирующие), им в совокупности эквивалентны*. Впрочем, вопрос об „экви-
„эквивалентности" (с физической точки зрения) не имеет существенного
значения. Так например, в случае единичных векторов (или
„ортов"), служащих для характеристики направления и численно
равных 1, разложение на составляющие, вполне допустимое с математи-
математической точки зрения, лишено, очевидно, всякого физического смысла.
Заметим, что под произведением скалярной величины <р на вектор F
подразумевается вектор <р?, совпадающий с F по направлению и численно
равный <pF. Так например, если <р есть масса некоторой материальной
частицы, a F — ее скорость, то произведение q>F представляет собой
так называемое количество движения частицы. Полагая <р= ^,
лолучаем единичный вектор
характеризующий направление F.
Умножая ?г на — 9 получаем, далее, вектор
одинаковый с F по направлению и обратный по величине. Этот „обрат-
„обратный" вектор мы будем в дальнейшем обозначать символом
-=- или F".
§ 2. Проектирование отрезков и скалярное умножение векторов
Под проекцией отрезка ОР на какую-либо прямую MN подразуме-
подразумевается, как известно, длина отрезка ОгРъ отсекаемого на этой прямой
перпендикулярными к ней плоскостями, проходящими через концы от-
отрезка ОР. Если при этом направление от Ох к Рг совпадает с положи-
положительным направлением прямой MN, то проекции приписывается положи-
положительное значение, а в противоположном случае — отрицательное.
Обозначая угол между направлениями ОР и MN через а, мы можем
положить в обоих случаях ОгРг = OP • cos а. Если ^трезок ОР пред-
представляет собой геометрическую сумму отрезков OQ и QP, или OR и RPy
то проекция ОР, как видно из чертежа, равна алгебраической
сумме проекций 0Q и QP, взятых с соответствующими знаками (так
например: 0^ = 0& + QXPX = OXRX + RxPl9 где RxPt = — PxRty
Эта теорема легко обобщается на случай произвольного числа соста-
составляющих: алгебраическая сумма проекций отрезков, образующих произ-
произвольную ломаную линию (например ОАВСР, рис, 1) равна проекции
ю

замыкающего или „результирующего" отрезка (ОР). Указанная теорема
остается в силе для произвольных векторных величин (скоростей, уско-
ускорений, сил и т. д.), поскольку все они могут изображаться прямолиней-
прямолинейными отрезками и разлагаться соответствующим образом на соста-
составляющие.
Характеризуя направление проектирующей прямой каким-либо векто-
вектором п, мы будем обозначать проекцию любого вектора F на эту пря-
прямую символЪм Fn или )F]n. Таким образом предыдущее соотношение
между геометрической суммой нескольких векторов и алгебраической
суммой их проекций можно выразить следующим равенством:
[A + B + C+D|n = An + Bn + Vn + Dn. D)
Произведение численного значения вектора А, с одной стороны, и
проекции некоторого другого вектора В на направление А, с другой, —
называется скалярным или внутренним произведением обоих
векторов и обозначается символом А» В1). Пользуясь предыдущим обо-
обозначением, мы можем представить его
в виде А • В а- Если угол между А и В ра-
равен а, то В а = В cos а и, следовательно,
А-ВА = АВ cos а ~ВА cos a = BAB.
Таким образом скалярное произведение
двух векторов не зависит от порядка
сомножителей, т. е.
АВ = ВА. E)
В случяе их взаимной перпендику- М^^??*/у
лярности оно обращается в нуль. 1 1 1 '
Скалярное произведение предста- Рис- 3.
вляет собою скалярную величину.
Перемножаемые векторы могут иметь различную природу; так напри-
например, если А есть вектор силы, действующей на некоторую частицу,
а В—перемещение последней, то А-В представляет собою величину
соответствующей работы.
Заметим, что проекцию какого-либо вектора А на направление еди-
единичного вектора П можно представить в виде скалярного произве-
произведения пА.
Если один из умножаемых векторов, например В, равен геометри-
геометрической сумме нескольких других векторов С, D и т. д., то согласно
формуле D) можно положить
Ba = Ca+Da+.*.
щ следовательно:
Этот результат легко обобщается на тот случай, если оба сомножи-
сомножителя разлагаются на несколько составляющих; так например, полагая
A=2Ai и B=2Bfe, имеем-
г k
Весьма употребителен также символ (А, В).
11

Формулы E) и F) показывают, что скалярное произведение двух
векторов обладает, подобно атгебраическим произведениям скалярных
величия, свойствами переместительности и распределительности (чего
нельзя а г.зать по отношению к сочетательному свойству, так как скаляр-
скалярное произведение трех и более векторов не имеет смысла).
§ 3. Проектирование площадей и векторное умножение
векторов
Всякой плоскости, определенным образом ориентированной в про-
пространстве, можно привести в соответствие перпендикулярную к ней
-прямую. Это соответствие, вытекающее из трехмерности пространства,
составляет сущность закона „взаимностии
между прямыми и плоскостями. Таким
образом площадь всякой плоской фи-
фигуры (S), ограниченной некоторым зам-
замкнутым контуром (С), можно трактовать
как векторную величину и изображать
перпендикулярным к ней отрезком про-
пропорциональной длины. Впрочем, площадь
может быть связана с односторонним
направлением вдоль соответствующего пер-
перпендикуляра лишь в том случае, если на
контуре, ее ограничивающем, задано опре-
определенное направление обхода или
„вращения". Обычно отрезок ОР, изо-
изображающий данную площадь (S) (рис. 4),
направляется в ту сторону, куда нужно
смотреть для того, чтобы это вращение
стрелке, или, другими словами, в сторону
Рис
„правого винта, поворачи-
совершалось по часовой
поступательного движения обыкновенного
ваемого в направлении контура (С).
Под проекцией площади S на какую-либо плоскость Q подразуме-
подразумевается площадь Si, вырезаемая на плоскости Q перпендикулярными к ней
прямыми, проведенными через точки контура С, ограничивающего S.
При этом, для определенности, на проектирующей плоскости (Q) задается
определенное „положительное" направление обхода; если последнее
col падает с направлением обхода по контуру Сг, ограничивающему St
(направление Сг определяется однозначным образом направлением С),
то площадь Sx считается положительной, а в противоположном случае —
отрицательной. Что касается ее численного значения, то оно равно,
как нетрудно убедиться, произведению проектируемой площади S на
косинус двугранного угла а (или п — а) между плоскостями S и Q.
В самом деле, в направлениях, параллельных грани вышеозначен-
вышеозначенного угла (т. е. линии пересечения плоскостей S и Q), линейные раз-
размеры обеих фигур S и Si остаются одинаковыми, тогда как в направле-
направлениях, к ней перпендикулярных, линейные размеры ' Si сокращены
в сравнении с соответствующими размерами S в отношении cosa:l.
А так как площадь всякой плоской фигуры пропорциональна произведем
12

нию ее линейных размеров в двух взаимно-перпендикулярных направле-
направлениях, то мы можем положить
Si=±S cos а.
Отсюда видно, что проекция S на плоскость Q совпадает по вели-
величине и. по знаку с проекцией ОРг отрезка OPt изображающего 5,
на прямую MN, перпендикулярную к Q и проведенную в сторону,
соответствующую положительному направлению обхода на проектиру-
проектирующей плоскости (так же как направление ОР соответствует направлению
обхода по контуру, ограничивающему S).
Если контур С состоит из прямолинейных отрезков, т. е. представляет
собой замкнутый многоугольник, то рассматриваемая плоская фигура (S)
может быть „разложена" на совокупность нескольких плоских фигур,
которые образуют многогранную поверхность, ограниченную конту-
контуром С. Эта многогранная поверхность „эквива-
„эквивалентна" S -— в том смысле, что проекция S на
любую плоскость равна алгебраической сумме
проекций „составляющих" ее плоских фигур,
т. е. в том же смысле, в каком совокупность
прямолинейных отрезков, изображающих эти
фигуры, эквивалентна результирующему отрезку
ОР, изображающему ,$. Само собой разумеется,
что направление обхода по элементарным конту-
контурам, ограничивающим „составляющие" плоские
фигуры, должно выбираться в соответствии с
направлением обхода по внешнему контуру; Рис 5.
при этом каждый из прямолинейных отрезков,
разграничивающих две подобные фигуры, при обходе тех двух конту-
контуров, к которым он принадлежит, проходится в противоположных на-
направлениях (рис. 5).
Вышеуказанное разложение на плоские фигуры представляется, оче-
очевидно, возможным и в том случае, если исходная фигура не
является плоской, т. е. если контур С имеет вид неплоского
многоугольника. Изображая каждую из составляющих фигур перпенди-
перпендикулярным к ней отрезком соответствующей длины, мы можем рассматри-
рассматривать геометрическую сумму этих отрезков ОР как изображение исход-
исходной фигуры. Нетрудно убедиться, что это определение вполне одно-
однозначно, т. е. что отрезок ОР не зависит от способа подразделения
контура С на составляющие (плоские) контуры. Хотя, таким образом,
в этом случае с контуром С не связывается представления об опреде-
определенной площади (соответствующей S), тем не менее площадь Sb вырезы-
вырезываемая на любой плоскости Q проекцией - Сх контурэ С, остается
попрежнему равной проекции ОРХ отрезка ОР на прямую MN, пер-
перпендикулярную к этой плоскости.
Отрезок ОР или, вернее, изображаемый им вектор, характеризую-
характеризующий форму и расположение замкнутою контура С, мы будем в даль-
дальнейшем называть моментом этого контура, Эго определение может
быть распространено на произвольные криволинейные контуры,
13

рассматривать их как предельную форму замкнутых многоуголь-
многоугольников с бесконечно-малыми сторонами. При этом соответствующие
составляющие плоские фигуры превращаются в бесконечно-малые эле-
элементы произвольной (кривой) поверхности, ограничиваемой данным
контуром.
Простейшей плоской фигурой является параллелограм (или
треугольник, который всегда можно трактовать как половину парал-
параллелограма). Момент параллелограма, построенного на двух отрезках
А = ОР и В = OQ, при направлении обхода, соответствующем перемеще-
перемещению в направлении А, и в направлении противоположном В, называется
векторным или внешним произведением отрезка А на отрезок В и
обозначается символом Ах В1). Таким образом вектор С = Ах В, будучи
численно равен пло!цади параллелограма OPRQ со сторонами H)P±=QR
и OQ = PR (рис. 6), направлен по перпендикуляру к плоскости 9Tofo
параллелограма в ту сторону, куда движется обыкновенный (правый)
винт при вращении от ОР к OQ на угол а<180° (т. е. в рассматри-
рассматриваемом Случае от читателя).
Из этого определения следует, что векторным произведением В на А
является вектор, противоположный предыдущему, т. е. равный — С,
Таким образом мы имеем следующее ра-
равенство :
АхВ= —ВхА, G)
показывающее, что векторное произведе-
произведение, в противоположность скалярному,
свойством переместительности не обладает»
& ^о ' ^<?> Площадь параллелограма равна про-
произведению одной из его сторон на соот-
с* * ветствующую высоту; последнюю можно
рассматривать как проекцию другой сто-
стороны на прямую, перпендикулярную к первой. Обозначая угол между
А и В через а, имеем, следовательно:
|AxBJ=|BxA|= A-Bslna. (8)
В случае параллельности двух векторов их векторное произведение
обращается в нуль. В общем случае, разлагая один из векторов, напри-
например ^Р, на составляющие OPi = Ax и ОРа = А2, соответственно парал-
параллельную и перпендикулярную к 0$ (рис. 6), мы можем*очевидно положить
(ибо, согласно предыдущему, А1хВ = 0). Равенство
(9)
выражающее распределительное свойство векторного произведения, легко
обобщается на случай произвольных векторов Е и F. Так напри-
например, если последние представляют собой составляющие вектора А = 0Р>
то, проводя отрезки OS = QT = Е и SP = TR = F (рис. 7), мы можем
2) Или же [А, В].
14

рассматривать векторы Ex В и FxB как моменты параллелограмов
OSTQ и SPRT, которые совместно с треугольниками QTR и OPS
эквивалентны параллелограму OPRQ. А так как моменты этих треуголь-
треугольников (в виду противоположности направлений обхода) равны и противо-
противоположны, то отсюда следует, что геометрическая сумма моментов OSTQ
и SPRT равна моменту OPRQ, т. е. что OSxOQ + SPXSf = 6Pxl)Q%
а это и есть равенство (9).
К тому же результату можно прийти следующим образом (не поль-
пользуясь представлениями, связанными с проектированием плоских фигур).
Разложим векторы Е и F на составляющие Еъ Fx и Е%, F2t соответ-
соответственно параллельные и перпендикулярные к вектору В. Предположим,
далее, что последний перпендикулярен к плоскости чертежа и численно
равен 1. В таком случае векторы ОЕ = Е2 и OF = F2 должны быть
расположены в этой плоскости, так же как и их геометрическая сумма OG
(рис. 8). Векторное произведения 0QXВ, ОЕхВ и OFxB должны»
Рис. 7.
при указанных условиях, представляться отрезками ОС = OG, ОЕ' =
= ОЕ и OF' = OF, лежащими в той же плоскости и повернутыми по
отношению к соответствующим „множителям" на прямой угол в одну
и ту же сторону. Если, следовательно, 0G= ОЁ+0?, то 0G'=
т. е.
Прибавляя к левой части произведение (Ej + F^XB, а к правой —
сумму ExXB-f-FxXB (Bce эти выражения равны тождественно нулю),
и принимая во внимание, что (Ex + Fx) x B + (E2-f-F2)x B= (E + F)x В
и точно так же ExXB-f-E2xB = ExB, FxxB + F2xB = FxB, полу-
получаем формулу (9) при В = 1. То обстоятельство, что она остается
в силе при любом значении В, представляется совершенно очевидным.
Разлагая векторы А и В на произвольное число составляющих А а=
zss^Ai и Bs=2Bft и повторно применяя формулу (9), получаем:
i h
i k
Операция векторного умножения применяется не только к отрезкам
но и к каким угодно векторным величинам, ими изображаемым. Так
15

например, если А = ОР есть радиус-вектор точки Р по отношению к О
(рис. 6), а вектор В = PR ~ OQ — сила, действующая на материаль-
материальную частицу, расположенную в точке Р, то произведение АхВ пред-
представляет собой по величине и направлению момент этой силы по от-
отношению к точке О. Заменяя силу количеством движения частицы, т. е.
произведением массы на скорость, мы получим вместо момента силы —
момент количества движения и т. д.
§ 4. Комбинированные операции умножения
Так как векторное произведение двух векторов представляет собой
величину векторную, то его можно в свою очередь умножать как скаляр-
скалярное, так и векторное на какую-либо третью векторную величину.
Если под векторами А, В и С под-
подразумевать три некомпланарных
(т. е. не лежащих в одной плоскости)
отрезка OP, OQ и О/? (рис. 9), то
произведение (Ах В) «С представляет
собой, как нетрудно убедиться, объем
параллелепипеда, построенного
на этих отрезках как на сторонах (со
знаком -f или —).
В самом деле, произведение
АхВ численно равно площади грани
POQ, а проекция отрезка С = OR
нк направление этого произведения
ON) равна высоте ORlt опущенной из точки О на противоположную
грань (параллельную OPQ), со знаком плюс, если ON и OR направлены
в одну и ту же сторону, и со знаком минус в противоположном случае.
Представляя объем параллелепипеда V в виде произведения площади
граней QOR и ROP на соответствующие высоты, получаем
±1' = (АхВ).С = (ВхС).А = (СхА).В. A1)
Эти равенства показывают между прочим, что тройное произведе-
произведение (АхВ)«С остается неизменным при циклических перестановках
сомножителей *). Заметим, что в случае компланарности рассматривае-
рассматриваемых векторов вышеозначенное произведение обращается в нуль.
Совершенно иной характер имеет векторное произведение вектора
АхВ на С, т. е. выражение (АхВ)хС. Легко видеть, что оно пред-
представляет собою некоторый вектор D, перпендикулярный к С и лежащий
в плоскости векторов А и В, Мы можем, следовательно, положить
О = аАтЬ/?В, где а и /?—некоторые скалярные величины, связанные
соотношением
D • С = а(А • С) + /8 (В • С)=.О, т.е.
Рис 9.
в с
А С
а) Под циклическими перестановками трех или более букв Д В, С, D .. ¦
подразумеваются такие, при которых первая становится на место второй,
вторая на место третьей и т. д. и наконец последняя — на место первой.
Подобные перестановки наглядно иллюстрируются „хороводным" (кольцеобраз-
(кольцеобразным) расположением букв. При этом каждой перестановке соответствует
поворот кольца, как целого, на одно или несколько звеньев.
16

где у есть некоторая новая скалярная величина. Подставляя соответ-
соответствующие значения а и /5 в предыдущее выражение для D, получаем:
(АхВ)хС = у [+В(А . С)- А (В • С)],
Нетрудно убедиться, что у представляет собой численный коэфи-
циент, не зависящий ни от величины, ни от направления векторов А,
В, С. В самом деле, разлагая один из них, например С, на сумму двух
векторов Ci + Сз, имеем:
(АхВ)хС = (АхВ) хС1 + (АхВ)хС2 =
= у [В(А • СО-А (В . Ci) + B(A • СО-А (В • СО].
С другой стороны:
(А X В) х Сх- У1 [В (А • d)- А (В • CJ]
(А X В) х Са =уа [В(А • С,)- А (В-С,)],
где коэфициенты уг и у2 могут иметь значения, отличные от у. Сравни-
Сравнивая предыдущие равенства, получаем:
(у-Ух) [В(А • Сх) - А(В • С1)] + (у- у,) [В(А • С2) - А(В • С2)] = 0.
Если разности у— уг и у — у2 отличны от нуля, то это равенство
может иметь место лишь при условии параллельности векторов:
В(А-С0-А(В-С0 и В(А-С0 — А (В-С,).
А так как оба они лежат в плоскости (В, А), причем один из них
перпендикулярен к Сх, а другой к С2, то в виду независимости векто-
векторов Сх и С2 друг от друга подобную параллельность можно, вообще
говоря, считать исключенной. Отсюда следует, что у — уг = 0 и
У— У2 = О, т е. y1==y2=ry = const.
Для определения у предположим, что векторы А и В взаимно пер-
перпендикулярны, а вектор С совпадает с В по величине и направлению.
При таких условиях вектор D должен быть противоположен А по на-
направлению и численно равен произведению
= АВ2.
Принимая во внимание, что в рассматриваемом случае А«С = 0 и
В«С = В2, получаем у=1. Таким образом
(АхВ)хС-В(А. С) —А(В-С). A2)
Эта формула особенно наглядно показывает, что векторное произ-
произведение двух векторов, в противоположность обыкновенно чу алгебраи-
алгебраическому произведению, не обладает не только переместительным, но и
сочетательным свойством. В самом деле, умножая А на В X С и замечая,
что А X (В X С) = — (В х С) х А, получаем согласно формуле A2):
А х (В х С) = В (А • С)- С (А . В). A2а)
Отсюда между прочим следует, что
А х (В X С) + В X (С х А) + С х (А X В)= 0. A2Ь)
2 Курс теорет. механики. 27

Эти формулы легко обобщаются на случай четырех и более сомно*
жителей. Так например, полагая в A1) C = ExF, имеем
(А X В) • (Е х F)= [В X (ExF)] . А = [Е(В . F) —F(B . Е)]-А
(согласно 12а), т. е.
(А X В). (Е X F) = (А . Е)(В . F) - (А • F)(B • Е). A3)
§ 5. Деление векторов и решение линейных векторных уравнений
Тогда как в случае векторного сложения, так же как? и в случае
алгебраического, оказывается возможным определить обратное ему дейст*
вие векторного вычитания — определение векторного деления, как
действия обратного скалярному или векторному умножению, оказывается
невозможным.
Предположим например, что скалярное произведение данного век-
вектора а (делителя) на неизвестный х (частное) равно известной скаляр-
скалярной величине р (делимое), т. е. что а • х = р.
Простейшее решение этого уравнения выражается формулой
где — = ~ — вектор, обратный данному,
3 и
Произведение р • —, которое в дальнейшем мы будем обозначать
в виде „дробии — , можно поэтому рассматривать как простейшее (но
а
отнюдь не единственное!) определение „частного от деления ска ля ра
р на вектора а*. Замечая, что равенство ах = р не нарушается
от прибавления к х какого-либо вектора, перпендикулярного к а, и что
подобный вектор может быть представлен в виде произведения совер-
совершенно произвольного вектора q' на вектор а или — , получаем для X
следующее общее выражение:
Предположим теперь, что неизвестный вектор X удовлетворяет урав-
уравнению axx = q, т.е. представляет „частное от деления вектора q на
вектор а". Само собой разумеется, что подобное определение имеет
смысл лишь в том случае, если векторы q и а взаимно пер-
перпендикулярны.
Принимая во внимание формулу A2а), нетрудно видеть, что простей-
простейшее решение предыдущего уравнения выражается формулой:
а наиболее общее — формулой:
где/г1—совершенно произвольный скаляр.
18

Таким образом, хотя уравнения
ха==р, axx=q, A4)
взятые в отдельности, недостаточны для определения х; однако сов-
мест но они определяют х вполне однозначным образом, в виде суммы
соответствующих „простейших" решений:
) A4а)
Это выражение можно, следовательно, рассматривать, как общую
величину „частного от деления скаляра р и вектора q на вектор а" (при
условии а • q = 0).
Аналогичным образом оказывается возможным определить вектор X
как общую величину частного от деления трех скаляров pL, p2i p3 на
три вектора 82,32,83 — если эти векторы некомпланарны,
т. е. если объем параллелепипеда, построенного на них (или изобража-
изображающих их отрезках) как на ребрах, V = ax • (а2 X а3) не равен нулю.
Итак, предположим, что х удовлетворяет одновременно трем уравнениям:
х • а, = р1} х • а2 = р2,. х • а3 = рг A5)
Переписывая эти уравнения в виде
XXX
at • — saa>— ss= a« • — = 1
1 Pi 2 Р2 3 Рз
И сопоставляя их с уравнениями
а2х а3 _ а3 х а2 а2ха2 -
«1 * у— — **2 ' у ~ — <*3 ' —р— ^ Х>
вытекающими из A1), нетрудно видеть, что частные решения первого,
второго и третьего из уравнений A5) выражаются следующими фор-
формулами:
ра Y _ n aiXa2 _ Рз П гяч
где dx, d2, d3 суть высоты параллелепипеда, построенного на векторах
*i> а2> аз- Обозначая сумму x1+X2 + ^s чеР^з х' и принимая во вни-
внимание, что х2 • а2 = х3 • ах = 0, имеем: х' • ах = рг и следовательно
(х — х') • а2 = 0; аналогичным образом получаем: (х— х') • а2 = 0 и
(X — х') • а3 = 0. Так как, в виду предполагаемой некомпланарности
отрезков а2, а2, а3, вектор х— х' не может быть одновременно пер-
перпендикулярен ко всем им, то мы должны иметь х— х'= 0, т. е. х=х'
или
Заметим, что параллелепипед, построенный на векторах -г-, т, т-,
ах а2 о3
т. е. на „обратных высотах" данного, называется сопряженным по отно-
2* 19

шению к последнему. Обозначая объем сопряженного параллелепипеда
через V\ имеем согласно формулам A1) и A2):
{ai • ta2 • (аз X aj- аа [в!. (а3 х aj
• (а2 х а3)] [а2 • (а3 х а,)] « |J = ?-.
Обозначая, далее, высоты сопряженного параллелепипеда через
d3, получаем:
ii^iiVill -a
и точно так же
Отсюда видно, что данный параллелепипед (а1? а2, а3) является со-
сопряженным по отношению к параллелепипеду (j-, j- , ^-}, т.е. дру-
гими словами „взаимно сопряженным" с последним.
Если, следовательно, некоторый вектор у выражается формулой:
т. е. представляет собой су<мму трех составляющих, соответственно
параллельных векторам alf a2, а3, то, рассматривая последние как обрат-
обратные высоты сопряженного параллелепипеда, мы можем положить
(У-Г,)
А'
т. е. определить коэфициенты ръ ръ р3 следующими формулами:
„ _. У * (а2 х а3) _ у - (а3 х ах) у - (ах х а2) 1fi ч
^-^•(азхаз)' ft~a,.(aixa1)' Л- а3 • (а, х а2)' ^1Da)
§ 6. Векторные операции в прямолинейных и прямоугольных
координатах
Представим себе три прямые ОХЪ ОХ2 и ОХВ, проведенные через
точку О в направлении взаимно-перпендикулярных единичных векторов
elf e2, е3. Примем во внимание какую-либо другую точку Р и разло-
разложим ее радиус-вектор ОР = г на три составляющие, параллельные век-
векторам еъ е2, е3. Обозначая эти составляющие через хъ х2, х3, а их
численные значения — через х,, х2, х3, мы можем очевидно положить
Xi = Xfo A = 1, 2, 3) и следовательно
г = х1е1+х2е2 + х3е3. A7)
Нетрудно убедиться, что числа х-г совпадают с проекциями отрезка
Г на прямые ОХи т. е., другими словами, с скалярными произведениями
Г • ег. В самом деле, согласно A7; г -ъ -¦ I 2x*eft) ' е* в 2 хь (** • е0>
20

откуда, в виду взаимной перпендикулярности векторов ti в связи с
ti . ti * 1, получаем:
г.ег = Хг (i-l, 2, 3). A7а)
Заметим, что, обратно, из равенств A7) и A7а), т. е. из совпаде-
совпадения проекций вектора г с его составляющими, непосредственно выте-
вытекает взаимная перпендикулярность векторов е1у е2, е3 или, что то же
самое, прямых ОХЪ ОХ2, ОХа. Числа Х\ называются обычно слагаю-
слагающими вектора г = ОР или также координатами точки Р. Соответ-
Соответственно этому прямые ОХ\ называются координатными осями, а обра-
образуемая ими система — прямоугольной координатной системой. Положе-
Положение подобной системы в пространстве определяется ее началом О и
векторами еь е2, е3, которые мы будем в дальнейшем называть коор-
координатными векторами.
Подобно радиусам-векторам различных точек (относительно О), всевоз-
всевозможные векторные величины, связанные с этими точками — скорости,
ускорения, силы и т. д. — могут характеризоваться тройками скалярных
величин, представляющих собой численные значения их составляющих
по координатным осям или проекцией на эти оси, т. е., другими
словами, их слагающие по отношению к данной произвольно выбран-
выбранной системе взаимно перпендикулярных координатных векторов ех, е^, е3.
Подобные прямоугольные слагающие какого-либо вектора А мы будем
обозначать через Аъ Л2, Az (обычно полагают хх = X, Х2 = у, Х3 = Z и
соответственно этому Ах, Ау, Az). Таким образом:
А « Ахех + Л2е2 + Л3е8 A8)
и
=Л8. A8а)
Заметим, что прямоугольные слагающие вектора А равны произве-
произведению его численного значения А на косинусы углов, образуемых им
с соответствующими координатными векторами (или осями).
Зная прямоугольные слагающие двух векторов А и В, нетрудно
вычислить слагающие их суммы А + В, а также скалярное произведение
их АВ и слагающие векторного произведения А X В. В самом деле,
з з
полагая А = 2 ^с* и В = 2 В fa имеем:
А+ В « ^ Аъ +
i i i
откуда следует, что
(A + B)i~Ai + Bi. A9)
К тому же результату приводит скалярное умножение А+ВнавгПо
формуле (A+B)ei = Aee + Bet. Далее, составляя скалярное произведе-
произведение АВ= 22М*В*^С*) и пРинимая во внимание, что (ел) =* 1 при
i к
/ей 0 при 1фк, получаем:
АВ « V AiBi = АгВг + А2В2 + А3Вг. B0)

В частности при В = А эта формула дает!
А2 = ^ А\ = А | + А\ + А1 B0а)
Заменяя скалярное умножение векторным получаем:
А х В = 22 AiBk & х eft) =" (ЛВ,—ЛВВ2) (е2 X е3) +
г к
+ (А3ВХ— АХВ3) (е3 х ех) + (АХВ2— А2ВХ) (ех х е2).
Векторное произведение двух координатных векторов представляет
собой очевидно также единичный вектор, перпендикулярный к ним
обоим, т. е., следовательно, либо совпадающий с третьим, либо ему
противоположный. Мы будем в дальнейшем пользоваться лишь такими
системами взаимно-перпендикулярных векторов, для которых
ех (е2 х е3) = ё2 (е3 х е2) = е3 (ех х е2) = + 1,
т. е. для которых
©2 X в3 == Qx] С3 X в^ ^ C2J 6^ X С2 = 63« B1)
При таких условиях, из коих каждое влечет за собой два других,
предыдущее выражение для А х В принимает вид:
А х В = (А2Вз — А3В2) ех + (А3ВХ — АХВ3) е2 + (АХВ2— А2ВХ) е3. B2)
Сравнивая это равенство с A8), получаем следующие формулы для
прямоугольных слагающих вектора АхВ:
(А х В)х *= А2В3 — А3В2; (А х ВJ = А3ВХ — АХВ3;
(А х В)8 = АХВ2 — ВХА2. B2а)
Заметим, что две из этих формул получаются из третьей цикли-
циклической перестановкой индексов 1, 2, 3*
Прямоугольные координатные системы, удовлетворяющие условиям
B1), называются положительными или „правыми", в соответствии
с обычным определением векторного произведения как вектора, напра-
направленного в сторону поступательного движения правого винта, вра*
щаемого от множимого к множителю.
На основании формул B0) и B2а) имеем:
А (В х С) = Аг (ВХ.3 — В3С2) + А2 (BZCX - ВХС3) +
+ А3(ВХС2-В2С2) B3)
или, следовательно:
1х Л А3
h B2 В3 B3а)
1 ?-2 С3
ибо слагающие (В X С)^ (ВхСJ (ВхСK представляют собой, оче*
видно, не что иное, как мяноры определителя, стоящего в правой части
22

равенства B3а), а формула B3) — разложение этого определителя по
элементам первой строки.
Подразумевая под векторами А, В и С три отрезка, проведенные из
одной й той же точки Р, можно рассматривать формулу B3а), как выраже-
выражение объема параллелепипеда, построенного на этих отрезках, через прямо-
прямоугольные слагающие последних. Заметим, что миноры определителя
представляют собой соответствующие слагающие векторов, изобража-
изображающих различные грани этого параллелепипеда, т.е. численно равных
площадям этих граней и к ним перпендикулярных.
Составляя произведение определителя V на определитель
«А'(В'хС'),
где А', В', С — некоторые новые векторы, получаем, путем комбини-
комбинирования строк со строками в связи с формулой B0):
1/'=
А[
Вг
Сг
Аг
В'г
Сг
Аг
В'г
Сг
VV
(АА')(АВ')(АС)
(В А') (ВВ') (ВС)
(СА') (СВ') (СС)
[А (В х С)] [А'(В'х С')]- B3Ь)
Отсюда в частности следует:
V2 = [А (В х С)]2
Векторное уравнение
АА АВ АС
ВА ВВ ВС
СА СВ СС
B3с)
B4)
С тремя неизвестными скалярами X, у, Z, очевидно, эквивалентно системе
трех алгебраических уравнений:
Ахх + В,у+ CLz = Dj Л2
C2z = D2;
B4а)
Решая последние по способу определителей и пользуясь формулой
B3а), мы получим для х, у, Z выражения, которые, как нетрудно убе-
убедиться, могу г быть представлены в следующей форме:
, _ Р(ВХС) . _ Р(СХА)
t/ * У v
Р(АхВ)
у
B4Ь)
К тому же результату приводит непосредственное „векторное" реше*
ние уравнения B4) [ср. формулы A6) и A6а), § 5].
Аналогичным образом три скалярных уравнения:
FB=D2 FC =
B5)

с одним неизвестным вектором F можно трактовать, как систему алге-
алгебраических уравнений:
A1Fl+A2F% + A3F* = Dt; B^ + B
D9 B5a)
с тремя скалярными неизвестными Fv F2, FB. Замечая, что система
B5а) получается из B4а) заменой векторов А, В, С векторами ЕA>,
Е<2>, Е<3> с слагающими (А^Сх), (А2В2С2)9 (А3В3С8), т. е., другими
словами, заменой в схеме
с, с2 с3
строк столбцами, мы можем положить, согласно B4Ь)
F - Р (ЕB) х
(где определитель К сохраняет, очевидно, прежнее значение) или, сле-
следовательно,
Pi = V tDi (В х С^ + D* (С х A)i + Da (A X B)J.
Умножая это выражение на координатный вектор ех и складывая
его с произведениями соответствующих выражений для F2 и Fz на е3 и е3,
получаем:
i aAxB]l B5b)
что совпадает с формулой A5Ь) § 5, если ввести обозначения:
1 СХА 1
v ""d2 v -37 v "~d3
(где dj, d2, d3 —высоты параллелепипеда с ребрами А, В, С).
§ 1. Двухмерные векторы и. комплексные числа; гиперкомплексные
числа и векторы в многомерном пространстве
Как известно, всякое комплексное число вида x+iy = r cos <p +
+ if sin q> — rei<p (где f = |/"—1) изображается графически в виде век-
вектора г = ОР с прямоугольными слагающими х и у, причем г обозна-
обозначает его абсолютное значение, а р —- угол, образуемый им с вещест-
вещественной осью ОХ (рис. 10). Обратно, всякий вектор А, параллельный
плоскости ХОУ, можно представить аналитически с помощью
комплексного числа Ах + iАу = Rei<py которое мы будем обозначать бук-
буквой А (без стрелки); R есть численное значение вектора А, равное
модулю числа Д т. е. /? = | А | = l^Al + Ay а Ф есть угол между А и
ОХ. Далее, наряду с данным вектором, мы всегда будем рассматривать
сопряженный с ним вектор А* с прямоугольными слагающими Ах и — Ау$
24

т.е. соответствующий комплексному числу А* = Ах— iAy = /?r~i4>,
сопряженному с А. Заметим, что произведение А на Л* равно /?2,
т. е. квадрату модуля А. Заметим также, что комплексное число
( )
представляет собой вектор, равный А по
величине, но перпендикулярный по направлению и притом повернутый
относительно А в сторону вращения от оси ОХ к oqh OY.
Складывая числа А и В, получаем новое комплексное число А + В,
вещественная часть которого равна Ах + Вх, а мнимая Ау+Ву) это
число является, следовательно, аналитическим представлением геометри-
геометрической суммы векторов А и В. Таким образом геометрическое сложе-
сложение „плоских" векторов непосредственно сводится к алгебраическому
сложению соответствующих комплексных чисел. Отметим, в частности,
следующие формулы:
Составляя произведение числа А* на J5, получаем по обычным пра-
правилам алгебраического умножения (в связи с условием /2 = —1)
А*В = (Ах - iAy) (Вх + iBy) = (АХВХ + АУВУ + i (АХВУ — АУВХ\
т с
А*? = А • B + i'AxB, B6а)
где А • В обозначает скалярное, а А х В век-
векторное произведения векторов А и В, причем
последнее, так же как и первое, представляет
собою скалярную величину. Произведение
Ах В имеет положительное значение, если
вращение от А к В происходит в ту же сто-
сторону, что и вращение от оси ОХ к оси 0Y; Рис. 10.
в противоположном случае АхВ<0. Само
собой разумеется, что АхВ = -ВхА, Это обстоятельство явст-
явствует, между прочим, из формулы:
АВ*=А • В+г'ВхА,
представляющей собой число, сопряженное с А*В. Таким обр)зом,
скалярное и векторное произведения векторов А и В могут быть опре-
определены при помощи следующих алгебраических операций
AS*)
B6Ь)
В частности, при В = А, получаем:
А-А=|А|2=:АА*. B6с)
Комплексное число, обратное А, может бьпь представлено в виде
1 А* А*
~а ^ Га?'""
25

Отсюда следует, что оно является аналитическим представлением
вектора, обратного
Д* = Ах - iAy
(в смысле § 5).
Аналитическим представлением вектора, обратного А, является, сле-
следовательно, комплексное число ~^г.
Во многих случаях бывает удобно объединять совокупность обыкно-
обыкновенных скалярных величин хъ Х2„ .., Хп (где п— сколь угодно большое
целое положительное число) в одну „гиперкомплексную" величину х и
изображать последнюю геометрически, как некоторый вектор (например,
радиус-вектор) в пространстве п измерений с прямоугольными слага-
слагающими, х1у Х2). ., Хп (по отношению к определенной системе координат).
Такого рода геометрическое „изображение" имеет непосредственный
смысл лишь при п^З; при п>3 оно является не более, как гео-
геометрической метафорой. Значение ее заключается в том, что
она часто облегчает наши рассуждения, позволяя нам при оперировании
с гиперкомплексными числами рассуждать по аналогии с двухмерным
или трехмерным случаем, а также пользоваться краткими обозначениями
обычной векторной алгебры.
Так например, линейную однородную функцию от п переменных
с постоянными коэфициентами а^ G2> • • • > Qn, можно, пользуясь этой
метафорой, трактовать, как скалярное произведение а . х п-мерных век-
векторов а и X, изображающих гиперкомплексные числа (а2, а2,... пп) **
(&1> *2>* • •) *п)«
При этом, скаляры йг и Х{ следует рассматривать, как слагающие
этих векторов по отношению к какой-то вполне определенной системе
прямоугольных координатных осей в п-мерном пространстве, служащем
для изображения соответствующих гиперкомплексных чисел.
Далее, систему п линейных уравнений с п неизвестными
021*1 "Т" 022*2 Т~ • • ¦ • i 02n*n — У2 fn*T\
} B7)
0nl*i + 0n2*2 +••••+ O,nnXn = yn
можно переписать в виде
где ад — вектор с слагающими йы, tf/i2,---> 0fcn-
При этом, координатные векторы ег, е2,..., еп должны быть опре-
определены, как геометрические изображения гиперкомплексных чисел
A,0, 0...0), @, 1,0 ...0), ... (О, 0,0...0,1).
Заметим, что совокупность п векторов afe может быть объединена
в понятие тензора 2а, который относится к вектору так же, как
20

Последний относится к Скаляру (ср. отдел V). Соответственно этому
совокупность уравнений B7а) можно записать в виде одного вектор-
векторного (или „тензорного") уравнения
2а • х = у.
Как известно из теории линейных уравнений, решение системы B7)
может быть представлено в виде
п
где bin — минор определителя
alv a12 .
Соответствующий элементу сць, и разделенный на величину этого опре*
делителя:
и 1 дА
Совокупность п2 коэфициентов bik можно трактовать^ как п-мер-
ный „тензор" или же совокупность л векторов fy с прямоугольными
слагающими Ьц9 Ь^ ..., Ь\п.
По аналогии с трехмерным случаем, мы можем рассматривать эти
векторы, как „обратные высоты" п-мерного параллелепипеда с ребрами
ах, аа,..., ап. Этому соответствуют соотношения
а*
1 при k=i
О ,
йЛи в развернутом виде:
Первое из них вытекает из известного разложения, определите ля. J
tio элементам /-ой строки, получаясь из этого разложения разделением
на А. Остальные имеют аналогичный смысл для определителей, [получа-
[получающихся из А путем отождествления /-ой и /с-ой строк.
В трехмерном случае векторы bi определяются, как было показано
выше, формулами:
bi = *2™* и Т. д.,
причем V представляет собой t не что иное, как объем параллелепипеда
с ребрами ах, аа, а^ т. е., другими словами, величину определителя А.
Аналогичным образом, в случае пространства с числом измерений более
трех, векторы Ъ\А (/ = 1,2 ... Ь) с прямоугольными слагающими

Ъ\%А>.. ',Ь\пД мог>т быть определены, как „векторные произведения *
исходных векторов, взятых по (л — 1) (с пропуском одного из них, 1Ц),
Так например, мы можем положить
ЪгЛ = а2ха8х... хаЛ.
Заметим, что слагающими этого вектора являются миноры первой
строки определителя Л.
Отсюда явствует, между прочим, что операция векторного умноже-
умножения, определенная нами в ^ 3 для двух векторов, имеет смысл лишь
в случае л = 3, т. е. для трехмерного пространства. При пфЪ выра-
выражения AiBk—AkBi (где А и В — два совершенно произвольных век-
вектора) (/ «= 1,2, .. ., л; к = 1,2,. . ., л) не образуют слагающих векторной
величины в том же л-мерном пространстве. Это обстоятельство явствует,
хотя бы, из подсчета числа подобных выражений. Если не учитывать
различия в знаке, то это число равно -^п{п—1). Приравнивая его
числу л (т. е. числу слагающих в^ктопа в л-мерном пространстве),
получаем л (и—1) = 2л, т. е п2 = Зл или л = 3.
При л = 2 мы получаем всего лишь одно выражение вида AiBk—
— AkBi (если не принимать в расчет различия в знаке), что соот-
соответствует скалярной величине. Действительно, векторное произве-
произведение двух векторов, лежащих в одной и той же плоскости (ху) пред-
представляет собой векторную величину лишь с точки зрения трехмер-
трехмерного пространства.
Оставаясь в плоскости (ху), мы не только можем, но и обязаны
трактовать величину AiBk — AkBt как скаляр, или, вернее, как совокуп-
совокупность двух противоположных по знаку скалярных величин.
При л>3 выражения AiBk — AkBi образуют слагающие величины
тензорного типа, называемой антисимметрическим тензором B-го ранга;
см. отдел V). Это определение является общим и остается в силе при
меньших значениях л. Таким образом, можно сказать, что при л = 2
антисимметг'ический тензор сводится к скаляру, или, вернее к двум про-
противоположным векторам.
Векторы этого типа называются аксиальными, в противополож-
противоположность обычным векторам, которые называются полярными. Различие,
это не имеет, впрочем, существенного значения до тех пор, пока мы
пользуемся системой координат вполне определенного типа, например
правой или левой. При изменении направления всех трех осей на про-
противоположное, соответствующем переходу правой системы в левую и
обратно, слагающие полярного вектора меняют свой знак, тогда как
слагающие вектора аксиального, при соответствующем изменении закона
тешнего умножения, остаются неизменными.

ГЛАВА II
МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ (МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ)
§ 8. Диференцирование и интегрирование векторов по скаляру
(времени) и кинематика частицы
Представим себе некоторую практически непротяженную частицу
или „материальную точку" Р, движущуюся по кривой в сторону, ука-
указанную стрелкой (рис. 11). Положение ее в каждый момент времени
характеризуется радиусом-вектором ее ОР по отношению к некоторой
неподвижной точке О. Таким образом движение частицы можно рас-
рассматривать, как непрерывное изменение ее радиуса-вектора в зависи-
зависимости от времени.
Если в следующий момент /' частица находится в точке Р', то пе-
перемещение ее за время V—t = At изображается прямолинейным отрез-
отрезком РР7, равным геометрической разности отрезков ОР' = г' и (?Р = Г.
Эта разность г'— t = At обычно называется „геометрическим прира-
приращением" вектора Г за время At. Предел отношения At к At при не-
неограниченном уменьшении величины At называется производной
вектора г по времени t и обозначается, так же как и произ-
вх
водные скалярных величин, символом -jr.
Таким образом
At
U
Нетрудно видеть, что вектор
О
Рис II.
представляет собою по величине и направле-
направлению скорость v частицы в момент /. В са-
самом деле, при неограниченном приближений
точки Р'кР длина дуги РР', представляющая собой действительный путь
частицы за время At, с точностью до величин второго порядка малости
стремится к совпадению с длиной соответствующей хорды |Дг|; что же
касается направления последней, то оно стремится к совпадению с на-
направлением касательной к кривой MN в точке Р в сторону движения.
Предыдущее определение остается в силе для какой угодно пере-
переменной векторной величины А, зависящей от времени, или какой-либо
другой ст гяярной величины, играющей роль независимой переменной.
Если последней является время, то кривая M/V, описываемая концом
отрезка ОР, изображающего последовательные значения вектора А,
называется годографом этого вектора. Таким образом производную
~зт- можно опре^^ить как скорость точки Р на годографе вектора ОР.

Заметим, что при координатном представлении вектора в виде суммы
з
vi л dk
его прямоугольных составляющих А= Уе^Л*, производная--^- выра*
жается суммой
dt '
/ dA \ dAk
Этот результат можно записать в виде [-jr) ~~~df> т* е- слага*
ющие от производной вектора по / равны производным от слагающих
этого вектора.
Производная
dt >
где В = -^-, называется второй производной А по / и обозначается
символом
(ЕРА
dt* '
Аналогичным образом определяются и обозначаются производные
высших порядков. Вторая производная радиуса-вектора по времени
" "" dt dt*
представляет собою по величине и направлению ускорение частицы
в момент /.
Операция, обратная диференцированию векторов, называется гео-
геометрическим или векторным интегрированием. Таким образом
под интегралом
лв<и
/¦
подразумевается вектор А, удовлетворяющий условию
Подобный интеграл называется неопределенным, так как пре-
предыдущее равенство не нарушается от прибавления к А произвольного
постоянного вектора С. Аналогичным образом под определенным инте-
интегралом
/
Belt
подразумевается геометрическая разность Ai — Ао, т. е. разность зна-
значений вектора А при /=/х и /=/0.
Если В есть скорость частицы, движущейся по кривой MN (рис. 10),
для какого-либо момента в бесконечно-малом промежутке времени между /
и t + At, то произведение В • At, с точностью до величин высшего по-
порядка малости, равно бесконечно-малому перемещению этой частицы за
80

время At, и, следовательно, разность Ах — Ао, т. е. общее перемещение
частицы за конечный промежуток времени tt — /0 равна геометрической
сумме бесконечно-большого числа подобных бесконечно-малых переме-
перемещений. Таким образом, в полном соответствии с обычным определением
интеграла как предела (алгебраической) суммы, имеем;
У Щ^ B9)
to
при 24* = *1— 'о и Л*-*0.
К операциям геометрического (векторного) диференцирования и ин-
интегрирования применимы все те теоремы и формулы, которые относятся
к соответствующим алгебраическим операциям. Так например, произ-
производная (или интеграл) от суммы нескольких векторов равна сумме про-
производных (или интегралов) от каждого из них в отдельности.
В случае произведения вектора А на скаляр (ру а также скалярного
или векторного произведения двух векторов Е и F имеют место сле-
следующие формулы:
1 ? <30>
A(ExF) = Exf+f XF. (ЗОЬ)
Все эти формулы доказываются совершенно одинаковым образом,
в виду чего мы приведем доказательство лишь одной из них, например
последней.
Геометрическое приращение вектора Е X F, соответствующее изме-
изменению независимой переменной на At, можно, очевидно, представить
в виде разности (Е + ^Е) X (F + /4F) — Е X F, которая, согласно фор-
формуле A0), сводится к Е xAF-\-AFxF + AE X^F. Разделяя это выра*
жение на At, имеем:
JF ЛЕ
-* Х At + At X
At -* Х At + At
В пределе, при zl/->0, последний член правой части этого равен-
равенства обращается в нуль, причем, согласно формуле B8), оно переходит
в (ЗОЬ). Следует подчеркнуть, что в отдельных членах равенства (ЗОЬ)
порядок букв ни в коем случае не должен меняться, так как при этом
соответствующие векторные произведения меняют знак.
Умножая формулы C0), C0а) и (ЗОЬ) на dt и интегрируя в пре-
пределах от t0 до tv получаем формулы „интегрирования по частям",
например:
81

Будем рассматривать радиус-вектор частицы Р, движущейся по кри-
кривой MN (рис. 11), как функцию длины дуги P0P = cr, отсчитываемой
от некоторой „начальной" точки Ро. В таком случае производная
-у, т. е. предел отношения хорды РР* = Ах к соответствующей дуге
Лоу представляет собою вектор, численно равный единице и направлен-
направленный по касательной в точке Р в сторону возрастания су. Этот единич-
единичный вектор мы будем называть касательным и обозначать через х.
Нетрудно убедиться, что производная ~т- — -т-т представляет собою
вектор, направленный по главной нормали к кривой в точке Р к центру
кривизны ее С и численно равный „кривизне", т. е. величине -^-, где
/? = СР — радиус кривизны. Рассматривая его как вектор, направленный
от Р к С, имеем следовательно:
В самом деле, так как вектор х сохраняет постоянное численное
значение, равное единице, то бесконечно малое геометрическое прира-
приращение его dx можно рассматривать как хорду окружности с радиусом 1,
плоскость которой совпадает с соприкасающейся плоскостью к кривой
MN в точке Р. В виду бесконечной малости этой хорды, ее можно
считать перпендикулярной к касательному вектору х и, следовательно,
направленной вдоль главной нормали в Р. С другой стороны, ото-
отожествляя длину ее с длиной стягиваемой ею дуги, или, следовательно,
с величиной угла „смежности" меж/iy х и x + dx (т. е. касательным век-
вектором в точке а и a-f do) имеем, по определению радиуса кривизны:
Сопоставляя эти результаты, получаем формулу C1).
Будем теперь рассматривать длину дуги сг, а значит и радиус-век-
радиус-вектор г, как функцию времени t. Обозначая скорость частицы через V,
имеем:
dt da dt y
da
где v = -rr—численное значение скорости.
Диференцируя V по /, получаем ускорение частицы:
d / v dv , d'z
Так как согласно формуле C1):
dz_ _ dz_ da^ __ JL_
dt ~~~ da dt ~~ R V>
то предыдущее выражение принимает вид:
-аг—
82

Первое слагаемое в правой части представляет собою продоль-
продольную (касательную), а второе — поперечную (нормальную) соста-
составляющие ускорения.
§ 9. Общие принципы динамики частицы (количество движения,
энергия, момент количества движения и вириал)
Обозначим массу частицы через ту а действующую на нее силу
через F.
Движение частицы определяется, согласно закону Ньютона, следую-
следующим векторным уравнением:
m^ = F C3)
(ускорение частицы, умноженное на ее массу, равно и параллельно
действующей на нее силе).
Отсюда, в частности, следует, что при F = 0, т. е. при отсутствии
внешних сил или же их взаимной компенсации, вектор скорости ча-
частицы -^ =v остается постоянным по величине и по направлению, т. е.
частица в этом случае движется прямолинейно и равномерно или же
покоится (закон инерции).
Из основного уравнения C3) путем умножения на dt, dt (скаляр-
(скалярного) и интегрирования, а также путем умножения (скалярного и век-
векторного) на Г, можно вывести ряд других уравнений, имеющих важное
вспомогательное значение в теории движения материальной частицы
и связанных с рядом более сложных механических величин (импульс,
работа, момент силы, вириал; количество движения, кинетическая
энергия, момент количества движения).
Умножая уравнение C3) на dt и интегрируя в пределах от /0 до
/ь получаем известное соотношение между „импульсом силы" за время
to
и изменением «количества движения" частицы mv:
= т\х — mv0. C4)
Аналогичным образом, умножая C3) скалярно на dt~vdt и при-
принимая во внимание, что
получаем соотношение между работой силы:
f
к Го
3 Курс теорет. механики. 33

и изменением кинетической энергии частицы —• то2:
и
fFdt=±nwl-±nwl C5)
«"о
Умножая C3) векторно на г и обозначая „момент силы F относи-
относительно точки О", т.е. векторное произведение г х F, через М, имеем
ибо произведение ~ X -гг = О I.
Выражение
называется моментом количества движения частицы по отно-
отношению к точке О. Если сила F направлена по радиусу-вектору в ту
или другую сторону, то вектор М обращается в нуль, и следовательно
момент количества движения остается постоянным как по величине,
так и по направлению. Заметим, что он перпендикулярен к плоскости
движения, т. е. к плоскости, проходящей через радиус-вектор и ско-
скорость.
Половина численного значения произведения г х --%.- представляет
собою, очевидно, площадь треугольника („сектора"), описываемого ра-
радиусом-вектором за время dt. Поэтому величина
~
= \ го sin (г, v)
называется секториальною скоростью частицы. Таким образом ра-
равенство
-^(fX/nv) = M C6)
показывает, что в частном случае центральной силы, т. е. силы, на-
направленной к неподвижному центру (в данном случае к точке О), ча-
частица движется в неизменной плоскости с постоянною секториальною
скоростью. Так как при этом площади, описываемые радиусом-вектором
в равные времена, равны, то этот закон называется законом сохра-
сохранения площадей.
Умножая, наконец, уравнение C3) скалярно на г, имеем:
~ 2m ~ВГ* m\dtj-
Это соотношение представляет собой интерес лишь в том случае,
если частица при своем движении остается все время на конечном рас-
расстоянии от точки О, так что величина г2 не изменяется монотонно (до
34

бесконечности), но колеблется около некоторого среднего значения г2,
то увеличиваясь, то уменьшаясь. Производная ——— должна при этом
колебаться около среднего значения, равного нулю. То же самое
относится и к второй производной , '. Среднее значение r-F ока-
оказывается равным при таких условиях среднему значению — mv2, т. е.
удвоенной кинетической энергии с обратным знаком. Величина
1/ = —F~F
называется „вириалом" силы F (по Клаузиусу). Таким образом в случае
движения частицы в ограниченной области пространства имеет место
следующее соотношение:
V = mv*> C7)
называемое „теоремой вириала".
В частном случае силы притяжения, направленной к точке О, т. е.
в сторону, противоположную радиусу-вектору г, и зависящей только
от величины г, а не его направления, мы имеем
где F (г) — численное значение силы как функции расстояния, и сле-
следовательно:
Работа, совершаемая подобной силой при перемещении частицы на
бесконечно малый отрезок dr, равна
Fdr=-F(r)yrdr
или, так как гdx = y d(t2) =
()
Вводя функцию
U(r) = fF(r)dr,
го
где г0—некоторое произвольное значение г, мы получаем:
F = W и f**=U(ro)-U(r{). C8)
го
Таким образом работа, совершаемая рассматриваемой силой при
переходе частицы из одного положения в другое, не зависит от пути
перехода, т. е. от промежуточных положений, и может быть выражена
как разность значений некоторой функции в начальном и конечном
3* 35

положениях. Эта функция называется потенциальной энергией
частицы.
Сопоставляя равенство C8) с C5), мы видим, что сумма кинетиче-
кинетической и потенциальной энергий частицы, т. е. полная энергия
W = ±mv* + U, C9)
является постоянной движения.
В случае силы притяжения, пропорциональной п-ой степени рас-
расстояния (п может быть как положительным, так и отрицательным чис-
числом), т. е. определяемой формулой F = krn, потенциальная энергия
равна
Сравнивая это выражение с произведением F-r = krn+\ мы полу-
получаем следующее соотношение между вириалом и потенциальной энер-
энергией:
1/=(п+1)С7, D0)
если постоянную (const) в предыдущем выражении положить равной
нулю.
Из C7) и D0) следует:
^^ 2 "gv ~ л + 1
т. е. согласно C9):
п + 3 V
2(п
п + 3 '
Таким образом в рассматриваемом случае мы получаем следующие
соотношения между средними значениями кинетической и потенциальной
энергий, с одной стороны, и полной энергией, с другой:
2
В частности, при п=1 (сила притяжения прямо-пропорциональная
расстоянию) имеем:
2 2 2 '
а при п = — 2 (сила притяжения, обратно-пропорциональная квадрату
расстояния):
-— mv2=—-^U— — И7, D1а)
причем

Потенциальным характером обладают не только силы притяжения,
но и силы отталкивания, направленные от неподвижного центра, а также
равнодействующие любого числа сил притяжения или отталкивания,
связанных с различными центрами.
Геометрическому (векторному) сложению подобных сил соответствует
при этом алгебраическое сложение потенциальных энергий, которыми
они характеризуются.
Этот вопрос мы рассмотрим более подробно в следующем отделе.
§ 10. Движение частицы под действием упругой силы
Перейдем теперь к более подробному рассмотрению двух вышеупо-
вышеупомянутых частных случаев (и=1 и и =— 2), как наиболее простых и
вместе с тем имеющих наибольшее физическое значение.
Случай силы притяжения, прямо пропорциональной первой степени
расстояния
F=-oT, (a>0) D2)
встречается при колебательном движении упругих тел, в виду чего силы
этого рода называются „упругими" или „квазиупругими".
Уравнение движения C3) принимает при этом следующий вид:
^!L + a>2f==0, D3)
где со>1 = —
Общее решение этого уравнения, как линейного и однородного отно-
относительного г, представляется в виде суммы двух частных решений,
пропорциональных соответственно cosco0/,h sina>0/, т. е. в виде
г = A cos co0t + В sin co0t, D4)
где А и В — произвольные постоянные векторы. Каждое из слагаемых
предыдущего равенства представляет собой прямолинейное гармониче-
гармоническое колебание с амплитудой А или В и независящей от нее частотой
vQ = -—- =5 — (т0 — период). При сложении подобных колебаний полу-
получается, вообще говоря, вращательное движение по э л л и псу; точка О,
к которой направлена притягивающая сила, служит центром этого
эллипса, а векторы А и В — его сопряженными полудиамет-
полудиаметрами.
В самом деле, величины x=AcosaH/ и y = Bs\nco0t можно рас-
рассматривать, как составляющие отрезка г по отношению к осям, парал-
параллельным соответственно векторам А и В. Разделяя х на А у на В и
складывая, получаем:
х2 , у2 « , , . о , 1
Сд5~ + "ЛоГ" == C0S ^0* + Sin ш0* = *>
т. е. уравнение эллипса, отнесенное к сопряженным полудиаметрам А
и В. Сопряженность этих полудиаметров явствует, между прочим, из
37

того обстоятельства, что при Г—±А, т. е. sincoo/=0, скорость ча-
частицы
V = — = — ctHA sin co0t + со0В cos coot
параллельна В, а при г=±В, т. е. cosco0/ = 0 параллельна А. Сопря-
Сопряженные же диаметры тем и определяются, что касательные к эллипсу
в конце одного из них параллельны другому.
Пользуясь формулой Эйлера
ei@ot = cos co0t + i sin wj, (i = ]/^T)
можно представить г, как вещественную часть комплексного выражения
(А—iB)ela>ot. Умножая последнее выражение скалярно на сопряженное
комплексное выражение (А + /В) e~~ll°ot (которое получается из преды-
предыдущего заменой / на —|), получаем величину, не зависящую от вре-
времени:
(А - /В) . (А + /В) = А2 + В2
и пропорциональную среднему значению потенциальной энергии частицы
В самом деле,
~ аг2 = -- a (A2 cos2 co0t + 2А. В cos co0t • sin co0t + В2 sin2 a>00.
Так как
2 cos a)Qt • sin co0t = sin 2co0t = 0
и
cos2 coQt = sin2 (o0t = y (sln2 Mo* + cos2 ^oO = ~2
(где черта обозначает среднее значение соответствующей величины по
времени), то
Как уже было упомянуто в конце предыдущего параграфа, в случае
упругой силы среднее значение потенциальной энергии равно среднему
значению кинетической. В этом можно убедиться непосредственно,
исходя из формулы
1 mv2 == ^ mcol (Л2 sin2 co0t — 2A • В sin coQt. cos co0t + B2 cos2 coo/)?»
т. е.
в связи с соотношением col = <~. Для полной энергии частицы мы по-
получаем, таким образом, выражение
as

Заметим, что векторное произведение комплексно-сопряженных век-
векторов
(A-iB)ei@ot и (A + *B)e~ia)°f
представляет собой вещественный вектор
(А - iB) X (А + /В) = 2А х В,
пропорциональный моменту количества движения частицы р, = mt X V.
В самом деле, мы имеем:
ттх V = тщ (A cos coot + В sin соot) X (—- Asina>0/
т. е. ^
Введем вместо векторов А и В два
других вектора А' и В' по формуле
эквивалентной двум вещественным ра-
равенствам :
А = A' cos (р + В' sin (р, В = — A' sin <p -f- В' cos ср.
Умножая обе стороны формулы D5) на комплексный множитель el<0Qt
и переходя к вещественным частям, получаем:
A cos o)Qt -f- В sin co0t = A' cos (co0t + Ф) + B' sin (co0/ + Ф).
Отсюда видно, что А' и В' представляют собою два новых, сопря-
сопряженных полудиаметра эллипса, описываемого частицей, а <р— некоторый
фазовый угол, соответствующий изменению начального момента вре-
времени /=/0.
Составляя скалярное и векторное произведения выражений D5) на
комплексно-сопряженные выражения, получаем равенства
Л 2 i /?2 Л '2 J_ R;2 лЛ A v R А ' v R'
П \~^ U i*. ii L-f Y\ Г\. /\ mJ —~* /Tl x\ I-* j
представляющие собой известные теоремы Аполлония для сопряженных
диаметров эллипса (заметим, что | А X В | есть площадь параллелограма,
построенного на векторах А и В, рис. 12).
Заметим в заключение этого параграфа, что при разыскании общего
решения уравнения D3) в комплексной форме, можно положить
где Сх и С2 — два совершенно произвольных вектора. Эта форма ре-
шгния не эквивалентна прежней f = (А — /В) его)°1, если трактовать t
как комплексную величину. Однако их вещественные части могут быть
приведены всегда к совпадению. Так например, мы можем обеспечить
3d

вещественность выражения D6), если определим векторы Сг и С2 как
комплексно-сопряженные. Полагая соответственно этому
C1=i(A-/B) = C> C2 = l(A + iB)-C*,
где А и В — вещественные векторы, получаем
г = A cos co0t + В sin coj,
т. е. вещественную часть выражения (A — iB)ela)ot или комплексно-со-
комплексно-сопряженного выражения (А + /В) е~~га)°1.
Таким образом, поскольку нас интересует лишь вещественная часть г,
мы всегда можем представлять общее решение уравнения D3) в виде
(А—iB)et(°ot, с одним лишь, например, положительным знаком ча-
частоты со0 и с двумя вещественными амплитудными векторами А и В.
Заметим, что последние выражаются через комплексный амплитудный
вектор С и сопряженный с ним вектор С* по формулам:
В = 1(С —С*).
§ 11. Вынужденные колебания, резонанс и влияние сил трения
Предположим, что, помимо квазиупругой силы F= — ar, на частицу
действует внешняя сила f, вовсе не зависящая от ее положения и гар-
гармонически колеблющаяся во времени с периодом т, отличным от т0. Эту
силу можно, следовательно, определить, как вещественную часть ком-
комплексного выражения
f=(a-ib)/ffl(, D7)
где со = — — круговая частота внешней силы. При непараллельности
векторов а и b формула D7) представляет собою силу, колеблющуюся
непрямолинейно, но, вообще говоря, по эллипсу, т. е. так, что радиус-
вектор, изображающий графически I, описывает эллипс того же типа,
как и тот, который описывается частицей при свободных колебаниях
ее, т. е. при движении под действием одной лишь внутренней (квази-
(квазиупругой) силы.
Рассмотрим теперь то движение, которое частица совершает при
совместном действии внутренней силы F=—ar и гармонически колеблю-
колеблющейся внешней силы, т. е. движение, определяемое уравнением:
Мы будем здесь и в дальнейшем подразумевать под f комплексное
выражение D7) и соответственно этому трактовать г, как комплексный
вектор, вещественная часть которого равна фактическому радиусу-
вектору частицы. *) Полагая для краткости а—/Ь = f0, мы можем пере-
переписать предыдущее уравнение в виде:
*) Замена вещественных величин комплексными ока!ывается возможной
в виду линейности нашего диференциального уравнения. Записанное в ком-
комплексной форме, оно фактически распадается на два вещественных уравнения,
определяющих соответственно вещественную и мнимую части вектора г.
40

Общее решение этого линейного неоднородного (уравнение Слагается
из общего решения соответствующего однородного) уравнения, получае-
получаемого при fo = O, т. е. найденного нами выше выражения Cet@ot (где
С == А— /В), и частного решения, которое может быть представлено
в виде
г=г/*, D9)
т. е. в виде вынужденных колебаний, совпадающих по частоте
с внешней силой f. В самом деле, подставляя выражение A9) в урав-
d2t
нение D8) и замечая, что -т^ =—со2г, мы видим, что временный мно-
множитель егЫ сокращается, причем для комплексной амплитуды колеба-
колебаний г0 получается формула:
,,= ¦*___ ^1» E0)
/п(оH— со2) m(coQ — co2)
Отсюда видно, что вынужденные колебания сводятся к эллиптиче-
эллиптическому гармоническому движению той же частоты и той же формы, как
и то, которым изображаются колебания внешней силы, с той же фазой
в случае со<со0 и с противоположной фазой при со > со0.
При со = а>0, т. е. в случае совпадения периода внешней силы
с периодом свободных колебаний частицы (явление „резонанса"), фор-
формула E0) утрачивает смысл. Таким образом в этом случае стационар-
стационарный режим с конечной амплитудой вынужденных колебаний оказывается
невозможным.
Для определения движения частицы в рассматриваемом частном слу-
случае можно исходить из общего решения уравнения D8) при со ф со0, т. е.
из выражения
г=г/-' + С^, E1)
dr
С учетом начальных условий, т. е. начальных значений Ги - = v
в момент t = 0. Имея в виду, что при резонансе частица постепенно
все сильнее и сильнее раскачивается внешней силой, мы будем считать,
что в начальный момент она покоилась в положении равновесия, т. е.
что при / = 0, г=0 и — = 0. Здесь под г необходимо подразумевать
вещественную часть выражения E1) и учитывать то обстоятельство,
что комплексная постоянная интегрирования С определяет две веще-
вещественные постоянные А и В. Мы получаем, таким образом,
вещ. часть г
вещ. часть
«-о т[со20-со2)
со Ъ
dt
т. е.
" " m
0,
А= * В==— -^- . — . —~ . E2)

Возвращаясь к комплексному радиусу-вектору г, определяемому
формулой E1), мы имеем, следовательно:
(а - ib)eia)t - (а - i — b) ei(°ot
Г==^e
ш (a>o— соJ
Это выражение, представляющее собой положение вынужденных
и свободных колебаний и являющееся общим решением уравнения D8),
остается конечным при со — со0 (в противоположность частному реше-
решению, соответствующему одним лишь вынужденным колебаниям и не учи-
учитывающему начальных условий). Мы можем, поэтому, применить его
и к случаю со = со0. Раскрывая получающуюся при этом неопределен-
неопределенность вида -Q- путем диференцирования числителя и знаменателя по со,
мы приходим к следующей формуле:
г== _ it*?* . е***_ Л и* (
которая для вещественной части* г дает выражение:
(a sin wot - b cos co0t) + -^ sin a>of.
Первый член этого выражения можно рассматривать, как гармони-
гармоническое колебание, сдвинутое по фазе относительно внешней силы на 90°,
с амплитудой, нарастающей пропорционально времени. В этом моно-
монотонном возрастании амплитуды колебаний и заключается характерная
особенность резонанса. Заметим, что и при отсутствии резонанса внешняя
сила, действуя на первоначально покоившуюся частицу, постепенно
раскачивает ее. Однако рано или поздно, тем позже, чем меньше
абсолютное значение разности со — со0, амплитуда колебаний достигает
максимального значения, после чего она снова начинает убывать. Мы
получаем, таким образом, хорошо известное явление биений, кото-
которые можно рассматривать, как результат положения двух колебаний
с несколько различными частотами v и v0. Число биений в единицу
1 ^
времени равно v — v0, а период их . Бремя достижения макси-
максимальной амплитуды составляет половину этой величины; при v =. v0,
т. е. в случае резонанса оно обращается в бесконечность.
§ 12. Влияние сил трения на свободные и вынужденные колебания
Во всех встречающихся в действительности колебательных явлениях
амплитуда колебаний ограничивается силами трения, которые мы
до сих пор не принимали в расчет и которые сказываются особенно
чувствительным образом именно вблизи резонанса.
Сила трения при не слишком быстром движении может считаться
прямо-пропорциональной скорости и противоположной ей по напра-
направлению. Ее можно, следовательно, представить формулой:
где /? — некоторый положительный коэфициент*

Рассмотрим сначала, как влияет трение на „свободное" движение
частицы при отсутствии внешних сил (квазиупругая сила считается
нами внутренней).
Уравнение движения имеет в этом случае следующий вид:
т?=-«-Р±. E4)
Полагая г = Сегй*, мы получаем следующее (характеристическое)
уравнение для Q:
т. е.
Ад-0M =
т
Таким образом для Q получаются два различных комплексных зна-
значения :
5 — ~-Y=zio)f ± VC0o.~ CO*2 = W' ± (Oq,
где
<*>'=-?- и ю'-
Общее решение уравнения E4) выражается, следовательно, формулой
г=(С/и'0( + С2е-ги'°>-и'' E5)
с двумя произвольными векторами Сг и С2, которые для веществен-
вещественности г должны иметь комплексно-сопряженные значения у(А±/В).
Радиус-вектор частицы приэтом может быть определен, как вещественная
часть выражения
г=(А—Ш) . eHlo'0 + ia)f)t.
Множитель е*1 E5) характеризует основное влияние силы трения
выражающееся в постепенном затухании колебаний, т. е. экспоненциаль-
экспоненциальном убывании их амплитуды со временем. Влияние трения сказывается
также в некотором изменении частоты самих колебаний со'о. При усло-
условии со'>со0, соответствующем очень сильному трению движение, вообще,
утрачивает колебательный характер и становится „апериодическим".
Рассмотрим теперь общий случай движения квазиупруго-связанной
частицы при наличии трения и внещней гармонически колеблющейся
силы.
Общее решение соответствующего уравнения
представляется при этом суммой выражения E5), характеризующего
свободные затухающие колебания, и частного решения вида
48

характеризующего „вынужденные колебания", т. е. колебания с частотой
вынуждающей силы. При этом для амплитуды их г0 получается формула:
го= 5 !» , E6)
т (coq — со2 — 2/соа/)
которая при /9=0 (т. е. со'— 0) превращается в формулу E0) преды-
предыдущего параграфа.
Так как „свободные колебания" E5) при наличии трения затухают,
то, в конце концов, движение частицы сводится к одним лишь выну-
вынужденным колебаниям с постоянной амплитудой, определяемой форму-
формулой E6). Полагая,
col-co2-2icoco' = Rei<p,
где
/? = У(со20 — со2J + 4со2со'2 E6а)
модуль, а
^- E6b)
—аргумент предыдущего комплексного выражения, мы можем переписать
формулу E6) в виде:
о1- mR '
откуда следует, что угол <р представляет собой разность фазы между
колебаниями частицы и колебаниями внешней силы.
При данном значении амплитуды колебаний f0 вынужденные коле-
колебания достигают наибольшей величины в случае со — со0. Интересно
отметить, что эта „резонансная" частота не зависит от наличия сил
трения, совпадая с частотой свободных колебаний частицы при отсут-
отсутствии последних.
Амплитуда вынужденных колебаний в случае резонанса равна по
абсолютному значению ^———г, и соответствующий фазовый угол ср
равен 90°.
Вблизи резонанса можно положить со\ — со2=2со0Дсо, где Асо =
= со — со0 и coco' = со0оУ, что дает для зависимости вещественной ампли-
амплитуды вынужденных колебаний от частоты следующее выражение:
. _ и 1
Удвоенное значение \Асо\, при котором отношение (-—) уменьшается
V /о '
вдвое по сравнению с, максимальным, определяется, как „ширина1'
резонансной области. Таким образом эта ширина равна удвоенному
значению величины со', характеризующей силу трения f2со'= )-
Отсюда видно, что уменьшение силы трения приводит, с одной
стороны, к увеличению резонансного максимума (который обратно про-
пропорционален со'), а с другой — к сужению резонансной области (ширина
44

которой прямо-пропорциональна со'). Площадь этой области оказывается,
следовательно, независимой от величины силы трения (однако при пол-
полном отсутствии последней понятие резонанса утрачивает рассмотренный
выше смысл).
Если отвлечься от направления векторов г и f в пространстве, рас-
рассматривая, например, проекции их на какое-нибудь постоянное напра-
направление, но трактовать эти проекции как комплексные величины, то их
можно изображать геометрически как векторы, параллельные некоторой
плоскости f, г\.
При этом синусоидальным колебаниям вещественной их части со-
соответствует равномерное вращение этих векторов, а фазовому углу <р—
угол между последними.
Комплексные амплитуды Го и f0 (или, вернее, их проекции на из-
избранное направление) изображены при таких условиях двумя векторами
постоянного направления с углом ср между ними.
Такого рода векторные диаграммы для гармонически коле-
колеблющихся величин являются очень полезным пособием при всевозмож-
всевозможных расчетах, связанных с сложением нескольких колебаний одинаковой
частоты и направления, но с различными фазами, а также с определе-
определением средней затраты энергии на их поддержание. При представлении
таких колебаний комплексными величинами алгебраическому
сложению их соответствует геометрическое сложение векторов,
которыми изображаются они сами или их комплексные ампли-
амплитуды (модули последних представляют собой значения вещественных
амплитуд, а аргументы, т. е. углы, образуемые с вещественной осью, —
начальные фазы).
Что касается затраты энергии на поддержание вынужденных коле-
колебаний (при наличии трения), то величина этой энергии, отнесенная
к,единице времени, равна среднему значению произведения силы / на
скорость V, если ту и другую трактовать как вещественные величины
(при условии параллельности соответствующих векторов друг другу).
Полагая /=/0cosco/ и v = v0 cos (cot— б), получаем
fv = fovo cos cot • cos (cot — в) =
a= fovo cos2 cot • cos в + fQv0 cos cot • sin cot • sin в -= -g- fovo cos в.
Отсюда видно, что искомое среднее может быть определено, как
половина скалярного произведения векторов f0 и v0,
изображающих комплексные амплитуды силы и ско-
скорости на векторной диаграмме.
Рассматривая f и V как комплексные величины, мы можем положить
при этом [ср. § 7 формула B6Ь)].
fv = вещ. часть -к f^v = вещ. часть -^ fv* = -г (f*v + /#*).
Так как, при этом v = icor} то отсюда следует
1» = "f- i (f*r — fr*) = мнимая часть ~(гк = i fQv0 sin <p,

где <р — разность фаз между г и /, определяемая формулой E6Ь).
Этот результат непосредственно вытекает из формулы fv = 77- fovo cos 0,
если принять во внимание, что 9?= "о 0*
§ 13. Движение частицы под действием силы, обратно-
пропорциональной квадрату расстояния
Наряду с гармоническим колебательным движением под действием
квазиупругой силы, особенный интерес как в виду своей простоты, так
и по своему практическому значению представляет, так называемое
Кеплерово движение, т. е. движение, обусловленное ньютоновской
силой притяжения, обратно-пропорциональной квадрату расстояния
частицы от неподвижной точки О. Силу этого рода (к которому отно-
относятся также и электрические силы Кулона) можно представить фор-
формулой:
Р_ _^L — bli
i* "" 7s"'
где fi = y — единичный вектор, направленный от неподвижной точки
(притягивающего центра) к данной частице.
Уравнение движения частицы под действием силы ньютоновского
(или кулоновского) типа принимает, таким образом, вид:
Так как
('-¦а-
то, в виду постоянства секториальной скорости, получаем далее:
It
Это равенство можно переписать следующим образом:
т. е.
где s обозначает некоторый постоянный вектор. Обозначая угол между
ним и радиусом-вектором г через у, получаем путем скалярного умно-
умножения на г:
46

или окончательно
где р = ~—. Это уравнение представляет собой, как известно, кони-
коническое сечение с эксцентрицитетом е и полупараметром р.
При s< 1 мы получаем эллипс, при s= 1 параболу, а при ?> 1
гиперболу. Эллиптические орбиты возможны, конечно, лишь в случае силы
притяжения (&>0). Вектор е направлен в этом случае по большой
оси эллипса от фокуса F,_b котором помещается центр притяжения,
к центру эллипса О (s = х/7) Рис» 13). Угол (р = 0 соответствует афе-
афелию, а ^ = я перигелию орбиты.
Когда частица проходит через афелий (г = rmax = -г~") и
перигелий (г = rmin = уцг~ ь то скорость ее перпендикулярна к ра-
радиусу-вектору, так что для этих двух положений угловой мо-
момент может быть вычислен по формуле:
/u,=mrv.
Подставляя вытекающее отсюда выражение для скорости частицы
V = — в афелии и перигелии в уравнение энергии
мы получаем следующее квадратное уравнение для г:
r
2
r
W 2mW
корни которого
2 W ^ V \2WJ
должны совпадать с rmax и rmin.
Это совпадение может, очевидно, иметь место лишь в том случае,
если W < 0, т. е. если кинетическая энергия частицы недостаточна
для того, чтобы она могла удалиться в бесконечность. Полагая W= — \W\
и переписывая ^ в виде . р 2- A ± s), мы получаем следующие
выражения для геометрических характеристик описываемой частицей
эллиптической орбиты (/?, е) через динамические постоянные движе-
движения (W, /л):
Р _ к
1 - е» "" 2\WI
:-V\
1 _ ^LJlll ^57)
и, следовательно,
Л3
47

Величина =—?—¦ равна, как известно, большой, полуоси эллипса.
Таким образом полная энергия W вполне определяет большую полуось
орбиты (или определяется ею) по формуле:
Заметим, что согласно теореме вириала, мы должны иметь в рас-
сматриваемом случае (п = — 2), W = -^ U = — \Y~) fcP* Ф°РМУЛУ D1а)
§ 9]. Отсюда видно, что величина — равна среднему значению обрат-
обратного расстояния —.
Эллиптические орбиты возможны лишь при W< 0. При W *=? 0 мы
получаем параболическую орбиту, а при W>0 — орбиты гиперболи*
ческого типа. Такие же гиперболические орбиты получаются в том слу-
случае, когда частица отталкивается от неподвижного центра с силой,
(к \
?/ = —, где к> 0L
Разница между случаем притяжения и отталкивания заключается лишь
в том, что в первом из них центр притяжения расположен во вну-
внутреннем фокусе гиперболы, тогда как во втором центр отталкивания
расположен во внешнем фокусе (т. е. во внутреннем фокусе сопряжен-
сопряженной гиперболы).
§ 14. Влияние добавочной силы, обратно-пропорциональной кубу
расстояния от неподвижной точки
В обоих рассмотренных в двух предыдущих параграфах случаях
силы притяжения, прямо-пропорциональной расстоянию или обратно-
пропорциональной его квадрату, получаются периодические орбиты
эллиптического типа (в первом случае всегда, во втором — при отри-
отрицательном знаке энергии частицы). При этом центр притяжения квази-
квазиупругой силы совпадает с геометрическим центром эллипса, а центр
притяжения ньютоновской силы — с одним из ег.о фокусов.
При всякой иной зависимости силы притяжения от расстояния помимо
F=ar или F = — получаются орбиты непериодические, т. е. пред-
представляющиеся бесконечной кривой, которая либо заполняет своими
завитками некоторую конечную часть плоскости, ограниченную двумя
концентрическими окружностями, либо имеет вид спирали.
Мы рассмотрим, для примера, случай комбинированного действия
силы притяжения, обратно-пропорциональной квадрату расстояния, и
силы притяжения или отталкивания, обратно-пропорциональной кубу
расстояния, т. е. результирующей силы вида
F=7r + 7T- F0)
Этой силе соответствует потенциальная энергия
48

Складывая ее с кинетической энергией, получаем:
±. /m,2__|___jL = w==COnst.
Скорость частицы v может быть разложена на две составляющие —
dr
параллельную радиусу-вектору vr = ~т? и перпендикулярную к нему,
в направлении возрастания угла ср (азимута), образуемого им с каким-
нибудь неизменным направлением в плоскости орбиты, vq) = r —%. Мы
получаем, таким образом:
Так как мы имеем дело с центральной силой, то момент количества
движения частицы должен сохранять постоянное значение (/г). Этот
момент можно представить в виде:
о dw
= mr2 ~
откуда следует
~dt ~~ mr2 '
Подставляя это выражение в пре-
предыдущую формулу для v2, полу-
получаем:
Мы имеем далее
^ис- *3-
_dr _ dr dg> ___ jx dr
dt ~~ ~dq> ' dt "~" mrl d(p '
так что скорость частицы может быть выражена формулой:
не содержащей в явном виде производных по времени, или
v ~ и* L +U
где
Уравнение сохранения энергии принимает при этом следующий вид:
или
F2)
4 Курс теорет. механики.

Решая его относительно — и интегрируя, получаем уравнение тра-
траектории в интегральной форме:
da
'-У>
F3)
Вместо того, чтобы непосредственно интегрировать уравнение F2),
представляется удобным предварительно продиференцировать его еще
раз по ср. Это дает:
m \ ц*) d<p* m d<p d<p* K dq>
или по сокращению на -р (в предположении -р- ф О J;
Общее решение этого неоднородного линейного уравнения выра-
выражается суммой частного решения
тк тк
и общего решения, соответствующего однородного уравнения:
Мы получаем, таким образом:
/^] F6)
где С и ср0 — произвольные постоянные.
Полагая С=о0е и ао= —, мы можем переписать полученное ре-
решение в виде
F7)
Оно представляет собой обобщение решения, полученного в § 13
к
для случая F = ——, т. е. Л = 0.
Обобщение заключается, во-первых, в замене прежнего выражения
и2 д2 - шЛ д2 h
•—^ для параметра р через тк— = -—- —^- и, во-вторых, что осо-
особенно существенно, в замене угла <р под знаком косинуса в уравнении
траектории произведением этого угла на величину Т/ 1 j- (вели-
(величину % можно без умаления общности считать равной нулю). Это
означает, что при наличии добавочной силы, обратно-пропорциональной
§0

кубу расстояния, движение утрачивает периодический характер. (Если
оно имело его в ее отсутствии, т. е. при ?< 1.) В самом деле, при
изменении q> на 2тг, т. е. возвращении радиуса-вектора к первоначаль-
первоначальному направлению, он не возвращается к исходному численному зна-
значению. Последнее восстанавливается при изменении угла (р на
л 2я
т. е. при повороте радиуса-вектора на угол, несколько больший чем 2л
в случае Л> О (добавочная сила притяжения) или несколько меньший
2л в случае Л<0 (добавочная сила отталкивания).
Движение частицы можно рассматривать в этом случае как вращение
по эллиптической орбите, непрерывно поворачивающейся в своей плоско-
плоскости в сторону вращения при Л<0 или в противоположную сторону
при Л>0. Это добавочное вращение
называется прецессией (положи- ^^'~"Я***"'**Ч-
тельной или отрицательной). Угол, на у' \
который поворачивается эллипс — или ,л***~***^ \
его большая ось — при возвращении
частицы от перигелия к перигелию
или от афелия к афелию равен
Л(р — 2л =
UL/i_J^L
или приближенно, в случае достаточ-
достаточной малости Л:
А(р — 2л: =
ntnh
Рис. 14.
Траектория частицы имеет при этом вид розетки, непрерывно за*
полняющей своими завитками кольцевую часть плоскости, ограниченную
окружностями r = rmin = -r^— и г = гтаХЕ=~г^— (Рис- 14).
1 —р S 1 — ?
Вышеизложенное относится, разумеется, лишь к случаю е < 1
(квантэллиптическая орбита). В случае е>1 получаются орбиты гипер-
гиперболического типа, на рассмотрении которых мы здесь не будем оста-
останавливаться.
Предыдущие выводы основываются на предположении о том, что
mh ix^
разность 1 g- имеет положительный знак, т. е. что h< —- . В про-
тивоположном случае общее решение уравнения F4) выражается фор-
формулой
где
ы

и представляет собой движение по спирали. При С2 =
С1=е<т0 = — уравнение F8) сводится к виду:
Г 1 + ее"* '
соответствующему спирали с бесконечным числом витков, асимптоти-
асимптотически стягивающихся к точке О при возрастании ср до оо и асимпто-
асимптотически приближающихся к окружности г = р при ср~>—со. В случае
С2 = 0 и С2 = ?сг0=— получается спираль того же вида, но с про-
противоположным направлением движения (от точки О к окружности г~р).
В общем случае, т. е. при неравенстве нулю обоих коэфициентов,
уравнение F8) определяет более сложную кривую спиралевидного ха-
характера, исходящую из точки О и затем по достижении некоторого
максимального удаления асимптотически возвращающуюся к ней.
Заметим, что влияние добавочной силы, обратно-пропорциональной
кубу расстояния, на радиальную составляющую движения, оказывается
принципиально тождественным с влиянием центробежной силы, характе-
ризуемым членом ~&—о2 в уравнении энергии F2).
Если сила притяжения, обратно-пропорциональная квадрату рас*
стояния, исчезает, т. е. если коэфициент к обращается в нуль, то
уравнение траектории F4) сводится к однородному уравнению F5),
д2
так что в случае h < — мы получаем:
и2
а при h > ~-
г cos \у 1 — -~ (ср — (р0Ц = const,
Частным случаем последнего уравнения является уравнение Архиме-
Архимедовой спирали
г = const exq).
§ 15. Основы релятивистской (Эйнштейновской) механики
Ньютоновское уравнение движения т -^ = F неприменимо к части-
частицам, движущимся со скоростью, близкой к скорости света с. В этом
случае (который встречается при изучении электронов в атомах, а также
в свободном состоянии в виде катодных лучей) уравнение Ньютона
следует заменить более точным уравнением, впервые найденным Лорент-
цом и впоследствии обоснованным с точки зрения теории относитель-
относительности Эйнштейна. Это „релятивистское" уравнение движения может
быть записано в форме, совершенно аналогичной уравнению Ньютона,
а именно:
f = F, F9)
52

где
g-mv G0)
— количество движения частицы, если при этом массу т определить,
как функцию скорости, по формуле Лорентца:
т = -
Здесь т0 — постоянная, которую можно рассматривать как величину
массы при очень малых значениях скорости (так называемая „покоя-
„покоящаяся масса" частицы).
В случае прямолинейного движения частицы в направлении силы
уравнение F9) сводится к
d
с*
т. е.
т0 dv_
2 \3/g " dt
('-?)
а в случае равномерного движения по кривой линии к
Шп dv гч
Таким образом в этих двух случаях масса частицы может быть опре-
определена в соответствии с обычным уравнением Ньютона, т. е. как коэфи-
циент при ускорении в выражении силы, причем в случае продольного
ускорения она равна т° ». , а в случае поперечного ° —
В общем случае, однако, подобное определение массы невозможно,
и ее следует определять, как коэфициент при скорости
в выражении количества движения частицы, согласно
формуле G0).
Умножая уравнение движения F9) на dt и интегрируя, получаем
соотношение между импульсом силы и изменением количества движения
в обычной форме:
to
Работа силы при перемещении частицы на отрезок dt-^vdi равна

Таким образом:
ri h
vdt~- Л'* 7^— - G3)
<*o to
Величина
«=. р?=т* G4)
играет, следовательно, в релятивистской механике ту же роль, какую кинети-
кинетическая энергия — в механике Ньютона. Она, обычно, называется „соб-
„собственной" энергией частицы, а значение ее ео = тос2, соответствующее
покою (l> = 0),— „покоящейся" энергией. Разность
G4а)
может быть определена, как кинетическая энергия в обычном смысле
слова (равная работе, совершаемой силой при переходе частицы от
покоя к движению со скоростью v). При v <^0 можно положить при*
ближенно
так что предыдущее выражение сводится в этом случае к — m0v2,
т. е. к обычному выражению для кинетической энергии частицы с по*
стоянной массой /п0.
Формула G4) показывает, что собственная энергия частицы совпа-
совпадает с ее массой т, умноженной на квадрат скорости света. Это соот-
соотношение представляет собой частный случай закона эквивалент-
эквивалентности между энергией и массой, вытекающего из эйнштейнов-
эйнштейновской теории относительности. Заметим, что формула G1) для зависи-
зависимости массы от скорости может быть выведена из соотношения G4)
в связи с равенством F'v=as-g7 , вытекающим из определения энергии е,
и уравнением движения F = -jr (/nv). В самом деле, заменяя е через
ШСг и F через -^ (/nv), получаем:
54

или
dm 1
т 2" 7 v2
откуда следует
~, const
ftl = -
Векторное умножение уравнения движения -jr (/nv) = F на радиус-
вектор г дает, также, как и в случае m = const:
т. е. обычное соотношение между моментом силы М = Г XF и моментом
количества движения jA = rxtf?v.
В случае центральной силы последний остается постоянным по ве-
величине и направлению, причем, ©днако, в виду зависимости массы от
скорости, секториальная скорость — fXV является переменной вели-
и
чиной (так что закон сохранения площадей в этом случае места не
имеет).
Умножая уравнение движения скалярно на радиус-вектор, получаем:
r-F=r ± (mv)=-|- (mt.v)-muK
В случае движения, ограниченного конечной областью, мы можем
перейти к средним значен1ям, причем среднее значение производной
-jt (mt-v) обращается в нуль, и мы возвращаемся к теореме вириала
в ее обычной форме:
В отличие, однако, от ньютоновской механики величина mv2 не
является удвоенной кинетической энергией частицы. Заметим, что
разность между
и кинетической энергией
равна
При v <С^ с это выражение сводится приближенно к -^- то*Д В общем
случае оно представляет собой так называемую „Лагранжеву функцию"
частицы (см. отдел IV).
55

В релятивистской механике скорость частицы (в любой данной си-
системе координат) не может превысить скорости света. Так например,
в случае постоянной силы F, действующей на частицу, первоначально
находившуюся в покое, скорость v асимптотически приближается к с
согласно формуле
/'-?
или
cFt<
Мы рассмотрим еще один пример движения, согласно релятивистской
механике, встречающейся в теории строения атомов, а именно движе-
движение под действием силы притяжения, обратно-пропорциональной квад-
квадрату расстояния от неподвижной точки О.
Не выписывая уравнения движения, для этого случая мы можем
сразу написать вытекающие из него уравнения сохранения (полной)
энергии:
тс2 —у- = Е = const
и момента количества движения:
тг2 $=/*= const. G6)
Эти уравнения мы должны решить совместно с соотношением
Для этого воспользуемся прежде всего формулой
s= — ), которая была уже выведена в предыдущем параграфе (при
этом вопрос о постоянстве или непостоянстве массы т никакой роли
не играл).
Далее, выразим массу т или собственную энергию тс2 через коли-
количество движения g = mv=z/u
тождеством:
из которого следует;
1
У
1 —
( do ^
\ d (p j
у2
с2
2 + Ш
J.
У2
с2
2п2
Для
)
этого
ml?
G?)

Подставляя это выражение в уравнение G5), получаем:
т. е.
или
Это уравнение, определяющее, согласно механике Эйнштейна, траек-
траекторию частицы под влиянием силы, обратно-пропорциональной квадрату
расстояния, совпадает по виду с уравнением F2) предыдущего пара-
параграфа, определяющим траекторию частицы, движущейся, согласно ме-
механике Ньютона, под комбинированным действием силы притяжения,
обратно пропорциональной квадрату расстояния, и силы притяжения,
обратно пропорциональной кубу расстояния. Таким образом, с точки
зрения формы траектории, влияние подобной добавочной силы совер-
совершенно эквивалентно влиянию релятивистской зависимости массы от ско-
скорости. При этом роль коэфициента пропорциональности h в формуле F2)
к2 . * Ек ,
играет величина —^-, коэфициент к заменяется через —— (при не-
слишком больших скоростях полная энергия Е весьма близка к энергии
покоя ео = тос2), и, наконец, постоянная энергии Wy постоянной:
которая в первом приближении с ней совпадает.
ГЛАВА III
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
§ 16. Общие принципы механики системы частиц
Системой частиц называется всякая совокупность частиц, вообще
говоря, действующих друг на друга. Сила Fj, которую испытывает
/-тая частица (/—1, 2, 3... п) может быть при этом представлена как
векторная сумма сил F^, которые оказывают на нее остальные ча-
частицы (А=1, 2, ... /—1, /+1, ... п) и „внешней" силы F{0, зави-
зависящей от тел или частиц, не включаемых нами в рассматриваемую
систему. Таким образом движение отдельных частиц определяется си-
системой уравнений:
^ 2 G9)
Мы будем предполагать, что силы, с которыми действуют друг на
друга какие-либо две частицы, равны и противоположны, т, е. что
(80)
57

Это предположение выполняется, например, в случае центральных
сил ньютоновского или кулоновского типа (т. е, сил, действующих
между небесными телами или между наэлектризованными частицами).
Заметим, что сумма работ двух сил, удовлетворяющих условию (80)
при произвольном бесконечно малом перемещении обеих частиц dx% и
drk, равна
Fik dn + Fhi dth = Fik dxi - Fik dtk = Fik d (rt — rk) = Fik• dtih,
где Tik — радиус-вектор i-той частицы относительно /Отой.
Отсюда видно, что рассматриваемая работа определяется относи-
относительным перемещением обеих частиц.
В случае центральных сил (взаимного притяжения или взаимного
отталкивания) вектор Fik параллелен вектору г^, так что мы получаем,
так же, как и в случае одной часгицы, притягиваемой или отталкивае-
отталкиваемой неподвижным центром [ср. формулу C8) § 9]:
где Uik = Uki — взаимная потенциальная энергия обеих частиц, завися-
зависящая от расстояния пн между ними.
Если внешние силы также обладают потенциальным характером, то
полная работа всех сил, действующих на рассматриваемые частицы,
при переходе образуемой ими системы из одной конфигурации @)
в другую A) может быть представлена как разность Uo—0г соответ-
соответствующих значений некоторой величины U определяемой „конфигура-
„конфигурацией" системы (т. е. расположением всех частиц) и называемой ее
потенциальной энергией. Эта потенциальная энергия равна
сумме взаимных потенциальных энергий разных частиц, взятых по-
попарно, ^'=^j^j ^ifc=-o" 5j2j^ift (внутренняя потенциальная энер-
гия) и потенциальной энергии их по отношению к источникам внешних
п
сил Uo = ^ ?/,,:
При выполнении условия (80), обычно называемого „законом ра-
равенства и противоположности действия и противодействия", можно
установить ряд общих законов, характеризующих движение системы
частиц, как целого.
а) Закон количества движения и движения центра тяжести.
Складывая уравнения движения G9) для отдельных частиц и принимая
во внимание, что внутренние силы взаимно уничтожаются, получаем:
или
4-1
58

где Fo — У] Fio—результирующая внешних сил, действующих на все
частицы, Вектор
называется полным количеством движения всей системы. Отсюда сле-
следует, что изменение этого вектора gx — g0 равно импульсу результи-
результирующей (внешней) силы за соответствующий промежуток времени.
Точка с радиус-вектором
r = ro=i — (83)
называется „центром тяжести" или центром массы рассматриваемой
системы. Замечая, что количество движения ее может быть предста-
представлено в форме:
мы видим, что движение центра тяжести определяется уравнением:
т. е. таким образом, как если бы все внешние силы были приложены
к нему и в нем же была сосредоточена масса всей системы. В частном
случае отсутствия внешних сил или их компенсации, центр тяжести
системы движется прямолинейно и равномерно, как свободная мате-
материальная точка, или остается неподвижным.
Ь) Работа и энергия. Умножая уравнения движения отдельных
частиц G9) скалярно на соответствующие элементарные перемещения
dXi~\idt и складывая результаты, мы получим работу всех сил за
время dt. Эта работа, очевидно, равна, с одной стороны (алгебраиче-
(алгебраическому) уменьшению потенциальной энергии — dU} а с другой — увели-
увеличению dT кинетической энергии системы:
(85)
Сумма U-\-T~W остается, таким образом, постоянной (поскольку
силы имеют потенциальный характер, т. е. поскольку потенциальная
энергия вообще существует).
Скорость каждой частицы vt может быть представлена, как геоме-
геометрическая сумма скорости центра тяжести vo=-~ и скорости ее отно-
относительно центра тяжести Vio = V| — v0. Соответственно этому, предыду-
предыдущее выражение для кинетической энергии может быть преобразовано
к виду;
\ 4
59

Но, согласно предыдущему:
2 (Vi - v0) = 0,
так как по определению центра тяжести:
2 ты = -^ 2 ш*г* = B mi) Ж в B
г i i
Таким образом:
г=2 т"т^°+
г
т. е. кинетическая энергия системы частиц слагается из кинетической
энергии „переносного движения" вместе с центром тяжести и кинети-
кинетической энергии относительного движения — по отношению к центру
тяжести (теорема Кенига).
с) Момент количества движения (угловой момент). Если отдель-
отдельные уравнения G9) умножить векторно на радиусы-векторы соответ-
соответствующих частиц и сложить, то получается равенство:
г г
Левач сторона сводится к производной по времени от вектора
представляющего собой момент количества движения всей системы. Что
касается правой части, то из нее, как нетрудно убедиться, выпадают
члены, соответствующем внутренним силам. В самом деле, полагая
Fi= 2 F«+ Fi0, имеем:
n n
t=l
согласно (80). В случае центральных сил векторы f$ — fft - fift и F^
параллельны друг другу; их векторное произведение обращается, сле-
следовательно, в нуль и мы получаем:
iXF^M, (87)
60

Этот вектор представляет собой результирующее внешнее враща-
вращательное усилие, т. е. результирующий момент всех действующих на
частицы системы сил. Он связан с результирующим моментом количе-
количества движения таким же уравнением:
f = M, (88)
как и в случае одной частицы.
d2v.
d) Теорема вириала. Если уравнения mi -^- = Fi умножить на соот-
соответствующие радиусы-векторы не векторно, а скалярно, то после
сложения и простых преобразований получается равенство:
i i
В случае системы частиц, движущихся в ограниченной области
пространства, это равенство приводит к теореме вириала:
i
n
Полагая Fi = 2 ^г/г + Fio> имеем:
(в предположении, что силы взаимодействия имеют центральный харак-
характер, т. е. сводятся к взаимному притяжению или отталкиванию). Таким
образом:
Заметим, что сила Fik(fik) считается нами положительной в случае
взаимного притяжения и отрицательной — в случае взаимного отталки-
отталкивания.
Если внешние силы отсутствуют, а внутренние пропорциональны
одной и той же п-ой степени расстояния,
то произведения Fik>r\h равны взаимной потенциальной энергии соот-
RPTPTRVmiTTUY ЧЯСТИП
ветствующих частиц
П -\ 1
— cforib
61

умноженной на (п+1). Мы получаем, таким образом, в этом случае:
где ?/ = VV Uik— потенциальная энергия всей системы, и, следова-
тельно:
где W~T-\-U — полная энергия системы частиц, так же как и в слу-
случае одной частицы.
Применяя этот результат к атому, состоящему, как известно, из
практически неподвижного ядра и совокупности электронов, взаимо-
взаимодействующих друг с другом и с ядром по закону Кулона (л= — 2),
получаем:
§17. Система двух частиц и общая теория столкновений
Мы рассмотрим особо частный случай системы, образованной
двумя частицами, взаимно-притягивающимися или отталкивающимися
по любому закону.
При отсутствии внешних сил центр тяжести обеих частиц, т. е,
точка с радиусом-вектором
__т1т1-\-т,г2
°~" m + m '
движется прямолинейно и равномерно, или остается неподвижной,
Разделяя уравнения движения обеих частиц:
на их массы и вычитая их друг из друга, получаем далее:
-5г = (т^ + -йЬ)р. (90)
где
F = F2fl = — Flf2 и г = га —г1в
Это уравнение определяет относительное движение обеих
частиц, т, е. движение одной из них по отношению к другой, которая
принимается за неподвижную. При этом „подвижной" частице припи-
приписывается масса
Нетрудно убедиться, что кинетическая энергия и момент количества
движения этой фиктивной «подвижной" частицы совпадают с суммой
кинетических энергий и моментов количества движения обеих частиц
в их движении по отношению к центру тяжести (т, е. в „истинном"
движении, если центр тяжести считать неподвижным).
62

Ё самом деле, скорость центра тяжести равна
Для скорости частиц по отношению к центру тяжести, мы полу-
получаем отсюда следующие выражения:
щ
Кинетическая энергия движения относительно центра тяжести равна,
следовательно:
что совпадает с кинетической теорией „подвижной" частицы — m
Аналогичным образом для результирующего момента количества
движения относительно центра тяжести имеем:
[(гг - г2) х V! + (r2 — гх) х vj «/л (га - гх) х
Тот же результат получается при замене скоростей vx и v2 разно-
тями Vx — v0 и v2 — v0.
Предположим, что сила взаимодействия между обеими частицами
стремится к нулю, при увеличении расстояния между ними, так что
на больших расстояниях они движутся прямолинейно и равномерно.
Представим себе далее, что обе частицы, двигаясь из бесконечности,
первоначально сближаются друг с другом, вплоть до некоторого мини-
минимального расстояния rmIn = а, а затем снова удаляются в бесконечность.
При этом траектория каждой частицы представляется гиперболообраз-
ной кривой с прямолинейными асимптотами (совершенно аналогичный
вид имеет траектория „подвижной" частицы в относительном дви-
движении).
Такого рода движение двух частиц называется столкновением.
Если рассматривать столкновение с точки зрения относительного движе-
движения, то оно характеризуется двумя параметрами, а именно скоростью v'
„подвижной" частицы до столкновения (т. е. до сближения с „непод-
„неподвижной" частицей на расстояние, при котором взаимодействие стано-
становится заметным) и „прицельным расстоянием", т. е. длиной перпенди-
перпендикуляра /7, опущенного из неподвижной частицы на асимптоту к траек-
траектории подвижной частицы. Для полной характеристики столкновения
эти два параметра необходимо дополнить третьим, а именно скоростью v0,
с которой движется центр тяжести обеих частиц. Вместо того, чтобы
задавать скорости v' и v0, можно задать также скорости обеих ча-
частиц до столкновения vi и V2.

После столкновения, т. е. после удаления обеих частиц друг
от друга на такое расстояние, при котором их взаимодействие стано-
становится снова незаметным, потенциальная энергия их исчезает
(вернее пр;:тт?''яает то же значение, которое она имела до столкновения
и которое соответствует бесконечно большому расстоянию между
обеими частицами). Таким ©бразом закон сохранения энергии сводится,
при сопоставлении начального и конечного состояний, к равенству
кинетической энергии обеих частиц до и после столкновения. Обозна-
Обозначая скорости их после столкновения через vi и v2, мы имеем, следо-
следовательно:
•I 'Oil 'О ¦*¦ * о I 1 "о
~ ШуОХ 2 + "о" #№ = " mlvl и + "ТГ Ш2^2
« ? Ы Li
ИЛИ
~ тх (vl2 - vl2) = 4~ /па (у22 — V2 2). (92)
Помимо кинетической энергии, должно оставаться неизменным ко-
количество движения обеих частиц, так что
/?7]Vi + m2v2 = m^yl + /??2V2
или
m1 (vi — vi) = m2 (vj — va). (93)
Сопоставляя это равенство с предыдущим, переписанным в виде
~ тх (vl - vi) . (vi + vi) = -j- m2 (vl - v2) • iyl + v2), (93a)
мы можем, на первый взгляд, вывести о;сюдч соотношение:
vi + vi = V2 + v2, (94)
выражающее одинаковость средней скорости обеих частиц до и
после столкновения. Легко, однако, видеть, чго это соотношение спра-
справедливо лишь в том случае, если начальные скорости vi и v2 парал-
параллельны друг другу и линии центров, т. е. прямой, соединяющей обе
частицы (прицельное расстояние р = 0: случай „лобового" удара одной
частицы о другую). В этом случае мы получаем, решая уравнения (93)
и (93а) относительно неизвестных vi и v2:
/л, — ш2 < , 2ш2
— и2
(94а)
В общем случае, однако, равенство (94), а следовательно, и фор-
формулы (94а) не имеют места, так к ж из сопоставления векторных ра-
равенств (93) и (93а) можно сделать лишь тот вывод, что векторы
(vi-f-vi') и (V^' + Vo) отличаются друг от друга на некоторый вектор и,
перпендикулярный к векзору (vi —- v/) или (v^ — vi). Опреде-
Определить этот вектор можно лишь при учете прицельного расстояния р,
а также закона взаимодействия между обеими частицами.
К тому же результату приводит рассмотрение относительного два-
жения обеих частиц, в связи с тем обстоятельством, что кинетический
04

энергий этого движения -?- mv2 (где т ¦= %kfa ) совпадает с суммой ки-
нетических энергий обеих частиц в их движении относительно центра
тяжести и что полная кинетическая энергия равна сумме этой энергии
и кинетической энергии перенюсного движения, вместе с центром тяжести.
Из закона сохранения энергии непосредственно следует, что величина
относительной скорости и до и после столкновения должна быть оди-
одинакова (#' = #"), причем вопрос об изменении направления этой скоро-
скорости остается совершенно неопределенным. Зная v' и v" и скорость
центра тяжести v0, мы можем определить абсолютные скорости обеих
частиц до и после столкновений с помощью уравнений:
m2v3 = mrf + m^ = (mx + m2)v0)
в связи с условием v'*=v'\ Переписывая последнее в виде
(vi-vi)«-.(Va-Vi)8*=O,
получаем:
[(vi+v5) - (vi + vl)] [(vj - vj) - (vi - vl)]« 0.
Это равенство выражает тот факт, что вектор
перйендикулярен к вектору [(V2 — Уг) — (Vl — v{)] и, следовательно,
к векторам (V2 — V2) и (vi — v[) в отдельности, так как согласно (93),
эти векторы параллельны друг другу.
С помощью предыдущих равенств задача о столкновении двух
Частиц сводится к задаче об отклонении „подвижной" частицы
/с эффективной массой т = тут^—Л ПрИ столкновении ее с непод-
\ тх + щ I
вижной, т. е. к определению угла а между обеими асимптотами к
траектории „подвижной* частицы в ее относительном движении. Эта
задача относится к механике одной частицы и может считаться решен-
решенной формулами предыдущих параграфов.
Мы покажем здесь несколько подробнее, каким образом с помощью
^угла отклонения" а можно вычислить величину и направление скоро-
скорости обеих частиц после столкновения, зная величину и направление
их скоростей до столкновения.
Для конкретности мы предположим, что одна из частиц, например
первая, до столкновения находилась в покое (#i = 0); этот случай встре-
встречается в теории прохождения альфа- и бета-частиц через материю.
Мы имеем в этом случае, согласно (95):
и следовательно:
v^^^-(v'-v''>' (95a)
б Курс теорет. механики.

Изображай скорости v' и v'; сторонами ОА$ и ОД" равнобедрен-
равнобедренного треугольника ОА'А" (рис. 15), мы видим, что разность v" — v'
изображается основанием этого треугольника, проведенным от А1 к Л",
а скорость первой частицы после столкновения v[ — отрезком ОВ,
параллельным основанию и проведенным в противоположную сторону.
Откладывая на прямой А'А" отрезок Д"В", равный ОВ, и проводя
прямую, мы, согласно формуле v — vi = V2, получим графическое пред-
представление скорости второй частицы после столкновения.
Опустим перпендикуляр ОС из вершины О A AfOA" на его осно-
основание. Так как угол при вершине О равен, по определению, а, то
отсюда непосредственно следует, что угол а1 = ВОЛ/==ОД/С, обра-
образуемый направлением движения первой (первоначально покоившейся)
частицы, после столкновения с первоначальным направлением движения
второй частицы равен — ^ .
Мы имеем далее
" = \v" — VI = 2*; sin 4-
й, следовательно, согласно (95а):
(96)
Из Д А"ОВ" можно вычислить скорость
\)'г по формуле:
*—2vv'1 cos {^
sin
А"
С В" А" или же более просто по формуле:
Рис. 15.
— о lllyy , ^C7Od I
вытекающей из закона сохранения энергии* Для вычисления угла аа
между направлениями ОВ1' и ОА' мы получаем при этом соотно-
соотношение:
' п а \ й
sin I
sin a2
~AFB77
ОВ"
ОВ
т. е., согласно (95а):
2тх v . а а
-йТйГтг smT--C0S-r
или
sin a2 =
Ъ Sin a'
(96b)
Этими формулами поставленная задача может считаться полностью
решенной.

§ 18. Принципы обратимости, симметрии и относительности
В заключение этой главы мы должны сформулировать несколько
общих положений, вытекающих из законов движения произвольной
системы частиц, поскольку эти частицы действуют друг на друга
с центральными силами (притяжения или отталкивания), не завися-
зависящими явно от времени.
Предположим, что функции
* = М9 (/ = 1, 2,...,п) (97)
представляют собою решение уравнений
Соответствующее заданным положениям частиц rf1* = f$ (t±) в началь-
начальный момент /=/2 и другим, также заданным, положениям ц2' = f{ (/2)
в конечный момент /=/2.
Так как, согласно предположению, силы F^ зависят лишь от взаим-
взаимных расстояний rik, а не от времени, и так как уравнения (98) остаются
неизменными („инвариантными") при замене / на /'=/+10) то отсюда
следует, что функции
t
также представляют собою возможное движение системы частиц, отличаю-
отличающееся от исходного лишь сдвигом по времени на промежуток /0.
По тем же основаниям мы можем заменить в функциях (97) время t
на величину /' = — /+ /0.
В самом деле, вторые производные от функций г$ = !$(/) и Г|=»
= fi (— *+^о) ПРИ численно одинаковых значениях t и /'= — /+*о
остаются при этом одинаковыми, так же как и сами эти функции.
Таким образом наряду с исходным движением оказывается возмож*
ным движение, определяемое формулами:
По сравнению с исходным это движение является, очевидно, обрат-
обратным или „ попятными: отдельные частицы проходят при этом через те
же самые положения, но в обратной последовательности. В частности,
полагая /0±= ti+t2, мы получаем движение, при котором в начальный
момент времени ?=(г частицы находятся в положениях r|2) = f* (?2)> a
в конечный момент f =/2—в положениях г|1)== f^ C^).
Заметим, что при одном и том же расположении частиц в прямом,
(исходном) и обратном движениях скорости их
равный противоположны друг другу.
Если, следовательно, в некоторый момент времени, при данной
конфигурации системы частиц, изменить их скорости на прямо-проти-
прямо-противоположные, то движение системы пойдет в точности вспять.
Этот результат называется принципом обратимости дви-
движения.
§* 67

Вместо того, чтобы изменять знак времени, можно, не нарушая
уравнений (98), изменить знак радиус-векторов li, т. е. перейти от
исходного движения (97) к движению
симметричному по отношению к исходному, относительно произвольной
точки с радиусом-вектором г0. В самом деле, при этом меняют знак
производные радиусов-векторов по времени (т. е. скорости и ускоре-
ускорения), а вместе с тем и разности г4—rk и с ними силы F^, поскольку
последние предполагаются центральными. Уравнения (98) переходят, при
этом, в
"* dt%
т. е. не меняют своего вида.
Комбинируя оба предыдущих преобразования, мы получаем движе-
движение „обращенно-симметричное" по отношению к исходному, т. е. опре-
определяемое формулами:
A01)
Оно может быть охарактеризовано по отношению к исходному
движению тем обстоятельством, что скорости всех частиц, будучи
равны и одинаково направлены, изменяются с течением времени
обратным образом. Так например, если исходное движение представляет
соб\ й столкновение двух частиц, то обращенно*симметричное движение
представляет собой такое столкновение, при котором начальные скорости
частиц совпадают с их конечными скоростями в исходном столкнове-
столкновении, а конечные — с начальными скоростями в исходном столкновении.
В кинетической теории газов подобные столкновения называются обычно
„обратными", что не совсем правильно, так как в обращенном движе*
нии направление скоростей меняется на противоположное.
Мы видели выше, что центр тяжести системы частиц, действующих
друг на друга с равными и противоположными силами, при отсутствии
внешних сил, движется прямолинейно и равномерно* Этот результат
тесно связан с принципом относительности прямолиней*
ного и равномерного движения или короче принципом относи-
относительности скорости, заключающемся, грубо говоря, в возможности
приписать центру тяжести изолированной системы частиц (т. е. системы
частиц, не подверженной действию внешних сил) произвольную постоян-
постоянную скорость. Эта скорость v0 появляется при решении уравнений (98),
как постоянная интегрирования. Таким образом, наряду с исходным
движением (97), оказывается возможным при том же самом исходном
расположении частиц (в момент t=Q) движение, описываемое фор*
мулами:
Ъ) 0*. A02)
Этот результат, хорошо известный нам из обыденной жизни (неза-
(незаметность прямолинейного и равномерного движения на корабле или в
поезде), можно рассматривать, как выражение относительного
характера скорости, т. е. невозможности определения скорости
63

частицы или системы частиц „самой по себе", безотносительно от
какой-либо другой „системы отсчета". Такой системой отсчета может
служить координатная система, с которой связан наблюдатель и с точки
зрения которой описывается рассматриваемое движение.
При формулировке законов механики Ньютон исходил из предста-
представления об абсолютном, равномерно текущем времени и абсолютном
покоящемся пространстве, приписывая таким образом скорости абсолют-
абсолютный характер и значение. Однако из самих же ньютоновских законов
движения вытекает, что подобного, абсолютно покоящегося пространства
не существует и что скорости частиц, отражающих любую материалы
ную систему при условии соблюдения закона о равенстве и противо-
противоположности действия и противодействия могут быть определены лишь
с точностью до произвольной постоянной.
Этот принцип относительности Ньютона, восходящий в сущности
еще к Галилею, сохраняется и в теории относительности Эйнштейна.
При этом однако существенным образом изменяется соотношение между
пространственными расстояниями и промежутками вр мени. В теории
относительности Галилея-Ньютона время сохраняет абсолютное значе-
значение, независимое от выбора системы отсчета (т. е. от выбора общей
скорости поступательного движения системы v0). В теории относитель-
относительности Эйнштейна время становится такой же относительной величиной,
как и пространственные расстояния: промежуток времени между двумя
событиями t2—ti зависит от выбора системы отсчета таким же образом,
как и пространственное расстояние между ними |г2—г^. Это обстоя-
обстоятельство обусловливается тем основным для теории Эйнштейна фактом,
что силы взаимодействия, с которыми она оперирует, являясь по
существу силами электромагнитными, передаются от одной частицы к
другой не мгновенно, но с конечной скоростью, равной скорости света
в пустоте с=3-1010 см/сек. В результате оказывается необходимым,
для соблюдения принципа относительности скорости, рассматривать эту
скорость с как величину, хотя и относительную (т. е. имеющую
смысл лишь при определении ее по отношению к некоторой системе
отсчета, принимаемой за неподвижную), но вместе с тем инвариант-
инвариантную (т. е. независящую от выбора системы отсчета из числа систем,
движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно).
Этот, на первый взгляд, внутренне противоречивый характер скорости
света (вернее скорости распространения электромагнитных сил в пустоте)
разрешается путем отказа от принципа абсолютности времени и замены
его следующим соотношением:
A03)
где t обозначает промежуток времени между двумя событиями, а Г —
радиус-вектор той точки пространства, в которой происходит одно из
них по отношению к точке, в которой присходит другое; /' — про-
промежуток времени между теми же самыми событиями в системе отсчета,
09

которая движется по отношению к исходной со скоростью v0. Радиусу-
вектору Г соответствует в новой системе отсчета радиус-вектор
v t
"I ' +r^g^-, (ЮЗа)
Заметим, что при c=oo, т. е. в предельном случае бесконечно
большой скорости распространения сил взаимодействия между материаль*
ными частицами („мгновенное дальнодействие" механики Ньютона) фор-
формула (ЮЗа) сводится к
f = r-V, A03b)
т. е. к формуле A02)? а формула A03) к t' = t.
Подобно тому, как уравнения механики Ньютона инвариантны по
отношению к „галилеевскому" преобразованию A03b) в связи с t'=t,
уравнения теории Эйнштейна для системы частиц, взаимодействие
между которыми передается с конечной скоростью с, инвариантны по
отношению к преобразованию Лорентца-Эйнштейна A03) — (ЮЗа).
Подробное изложение этого вопроса выходит из рамок данной книги. г)
ГЛАВА IV
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 19. Кинематика твердого тела
Наряду с совокупностью двух частиц, наиболее простой системой
частиц является „идеальное твердое тело", т. е. совокупность сколь
угодно большого числа материальных частиц, вынужденных особого
рода внутренними силами оставаться на неизменных расстояниях друг
от друга. Обычно число этих частиц представляется бесконечным, а
сами они бесконечно малыми, так чтобы образуемая ими система за-
полняла часть пространства непрерывным образом. Это обстоятельство
не имеет, впрочем, существенного значения.
Положение твердого тела в пространстве вполне определяется поло-
положением трех его точек. С этой точки зрения совокупность трех мате-
материальных точек, находящихся на неизменных расстояниях друг от
друга, можно трактовать как твердое тело.
Если две точки твердого тела закреплены, то движение его должно
сводиться к вращению вокруг прямой, проходящей через эти точки.
Такая прямая называется янеподвижной осью".
Представим себе твердое тело с неподвижной осью АО А (рис. 16).
Обозначим угол, на который поворачивается плоскость, проходящая
через ось и какую-либо точку тела, например Р, за время At, через Aq>.
Предел отношения -~ при Д1-+0 называется угловой скоростью
тел а.
*) См. Френкель, Курс электродинамики, ч. I, ГТТИ, 1934.
70

Обозначая ее через со, мы можем представить линейную скорость
точки Р в виде произведения cor sin а, где г = ОР есть радиус-вектор
точки Р по отношению к точке О (которая может быть выбрана про-
произвольным образом на оси А А), а а есть угол РОА; г sin а = РРг
представляет собою радиус той окружности с центром в точке Plf по
которой вращается точка или, вернее, частица Р.
Таким образом скорость v определяется площадью параллелограма,
построенного на радиусе-векторе ОР и на отрезке оси OQ, численно
равном со. Так как, вместе с тем, она перпендикулярна к плоскости
этого параллелограма, то она может быть представлена как векторн >е
произведение OQ и ОР. При этом отрезок OQy изображающий угловую
скорость, необходимо проводить в ту сторону оси, куда движется
обыкновенный (правый) винт, вращающийся вместе с данным телом.
Полагая OQ = (O, т. е. рассматривая угловую скорость как вектор, на-
направленный вышеуказанным образом по
оси вращения, мы можем, следовательно,
положить:
v = ft)Xf. A04)
Эта формула легко обобщается на слу-
случай твердого тела, имеющего всего лишь
одну закрепленную точку О, причем век-
вектор угловой скорости о) может в этом
случае изменяться не только по величине,
но и направлению; движение твердого
тела с о д н о й неподвижной точкой можно,
следовательно, описывать как вращение
вокруг оси переменного направления,
проходящей через эту точку.
В самом деле, так как расстояние лю-
любой частицы тела Р от точки О должно
оставаться неизменным, то мы имеем:
Рис. 16,
A
Отсюда следует, что скорость v всегда остается перпендикулярной
к радиусу-вектору г, так что можно положить v = <t>xr.
Нетрудно доказать, что вводимый таким образом вектор со можно
считать одинаковым для всех точек тела (в каждый данный момент).
Примем во внимание какую-нибудь частицу Р' с радиусом-вектором
ОР' = г\ В виду неизменности угла POP' и неизменности величин |г|
и |г'|, скалярное произведение Г» Г' должно сохранять постоянное зна-
значение, откуда следует, что
Подставляя сюда v = wxt и v' = <o'xr', получаем r-(<o'Xf') +
4-r'e(wxr) = 0, или, согласно формуле A1): <о'-(г'хг) + <о-(гхг') =
t=((o'—(d)'(r'xf) = 0. Это равенство показывает, что если векторы
cd' и 0) не равны друг другу, то разность их должна быть перпенди-
71

кулярна к г'хг, т. е. лежать в плоскости г' и t(POP'). Мы можем
следовательно положить ta' — to = qr — a'r', где а п а' —некоторые
скалярные величины, или
'f/'
Так как от прибавления к <о произвольного вектора, параллельного г,
векторное произведение сох г, равное, по определению, линейной
скорости соответствующей частицы, не испытывает изменения, то
предыдущее равенство сводится к <o' = to.
Вектор со представляет собой „мгновенную* угловую скорость тела,
а прямая, его содержащая,—„мгновенную" ось вращения. Частицы,
расположенные на этой оси, в течение бесконечно малого промежутка
времени dt остаются неподвижными, между тем как тело поворачивается
вокруг нее на бесконечно-малый угол wdt.
Вектор dQ = со-dt, характеризующий этот бесконечно-малый поворот
тела, в противоположность вектору dr = v« dt, характеризующему беско*
нечно-малое перемещение частицы, нельзя рассматривать как диферен-
циал некоторого векторд й, определяющего положение тела (в момент t)
по отношению к «нулевому" положению @ = 0), подобно тому как
радиус-вектор частицы г определяет положение ее по отношению к
некоторой произвольно выбранной точке (г = 0). В самом деле, легко
убедиться, что при переменном направлении угловой скорости
интеграл
со dt
to
зависит, вообще говоря, не только от начального и конечного положе-
положений тела, но также и от промежуточных положений (т. е. от „пути
перехода**) и потому не может быть представлен в виде разности
В наиболее общем случае совершенно свободного твердого тела,
движение его может быть описано, как комбинация вращения около
некоторой произвольно выбранной точки (неподвижно с ним связанной)
с поступательным движением этой точки, а вместе с ней и всего тела,
в пространстве. Обозначая скорость точки О через v0, мы получаем в
этом случае v = vo+toxr.
Диференцируя выражение A04) по времени, имеем:
dv
или, полагая v=e>xr и —=
—
A05)
Второй член в правой части этого равенства представляет собой так
называемое „центростремительное* ускорение. В самом деле вектор
сох (сох г) направлен, как нетрудно убедиться, от точки Р к оси
вращения, т. е. вдоль перпендикуляра РРг (рис. 16), и численно равен
произведению со на v> т. е. co2-PPv Таким образом его можно пред-
72

ставить в виде вектора й>*РРг или -JL-. Отсюда видно, что, при не-
РРг
изменном направлении оси вращения, центростремительное ускорение
о*
совпадает с „поперечным* ускорением -^ соответствующей частицы, а
составляющая -^ХГ — с продольным (ср. формулу 32).
В общем случае, однако, т, е. при непараллельности векторов
ш и HI ' под°бное совпадение не имеет места.
§ 20. Движение частицы относительно вращающегося твердого
тела; Кориолисова и центробежная силы
Представим себе некоторую частицу Р, не связанную с данным
телом и движущуюся по отношению к нему совершенно произвольным
образом. Для вычисления относительной скорости частицы, т. е, ско-
скорости ее по отношению к твердому телу, из ее абсолютной скорости
•^-==v необходимо, очевидно, вычесть ту скорость <охг (где г=0Р),
которую она имела бы, находясь в той же точке и будучи связана с
данным телом. Обозначая относительную скорость символом -~тг =v',
мы можем, следовательно, положить:
Это соотношение остается в силе не только для радиуса-вектора г,
но для любого вектора А, относящегося к данной частице (например
скорости, ускорения и т. д,) или к рассматриваемому твердому телу,
В самом деле, мы видели выше, что производная -gr равна по вели-
величине и направлению скорости на годографе вектора А, т. е. на кривой,
описываемой концом отрезка 0Р, изображающего этот вектор, при
неподвижности его начала О. При -^- = (охА, вектор А, сохраняя по-
постоянную величину, вращается вместе с данным телом. Таким образом
в общем случае относительная быстрота его изменения определяется
формулой:
ТГ-ТГ-«ХА. A06а)
В частности, полагая в этой формуле A = v' (относительной скорости
рассматриваемой частицы Р), получаем: W~—-г7-~-д — ©XV' или,
согласно формуле A05):
73

Таким образом между относительным ускорением w' и абсолютным
— ~w имеет место следующее соотношение
Полагая в этой формуле v = v' + @Xf, получаем:
w'^W~2coxv'~-^xr--<!>X(<!>Xf). A07)
В случае частицы, неизменно связанной с данным телом, имеем;
w' = v' = 0
и, следовательно,
что совпадает с формулой A05).
Умножая уравнение A07) на массу частицы /я, мы можем рассматри-
рассматривать произведение mw' = F' как относительную или «кажущуюся»
силу, испытываемую этою частицей. Обозначая истинную силу через
F = mw, имеем:
F' = F + m(<oxr)x<o + 2mv'x<o + mrx ^ . A08)
Разность F'—F, т.е. дополнительная сила, обусловленная враще-
вращением тела, называется силой инерции. Как видно из формулы A04),
она слагается из трех частей: центробежной силы т (<дХг)х<!>, перпен-
перпендикулярной к оси вращения; поворотной или «Кориолисовой» силы
2mvxw и, наконец, силы mtX-^ , зависящей от углового ускорения.
В случае тела, вращающегося вокруг оси неизменного направления
с постоянною угловой скоростью, например, земного шара, последняя
сила исчезает. Заметим, что Кориолисова сила проявляется при этом в
отклонении водяных и воздушных течений вправо в северном полушарии
и влево в южном.
§ 21. Динамика твердого тела с закрепленной точкой
При изучении законов вращательного движения твердого тела не-
необходимо принимать во внимание лишь внешние силы, действующие
на его частицы. (В виду неизменности относительного расположения
последних, внутренние силы не совершают работы и вообще совершенно
не влияют на движение тела как целого.)
Обозначим массу одной из частиц через Шь ее радиус-вектор по
отношению к неподвижной точке О—через Г$, скорость—через щ и,
наконец, действующую на нее силу через Fi. В таком случае урав-
уравнение движения этой частицы может быть представлено формулой
74

где [ii = mifiXVi есть момент количества движения, или угловой
момент частицы по отношению к точке О, a Mi=!*iXFi—момент
силы Fi.
Составляя подобные равенства для всех частиц тела и складывая их,
получаем:
-g=M, A09)
где [1 = 2 V* есть результирующий угловой момент рассматриваемого
тела, a M=2JMi—результирующее вращательное усилие, т.е. резуль-
результирующий момент действующих на него внешних сил (моменты внутрен-
внутренних сил взаимно уничтожаются). Отсюда, в частности, следует; что
условием равновесия твердого тела с закрепленной точкой является
равенство М = 0. Заметим, что в этом равенстве содержатся знаме-
знаменитые законы „рычага", найденные еще Архимедом.
Пользуясь формулой Vi=t*>xri, гДе w—угловая скорость тела,
имеем:
щ == m-ti X («О Xti) = mid® —ПЦГг (ft) • Гг)
и? следовательно,
ji,=: w 2 mirl^^miti (w.fi). A10)
Отсюда видно, что векторы рь и ю имеют, вообще говоря, различ-
различные направления.
Между угловым моментом твердого тела и его кинетической энергией
Т==—У]/п^| существует весьма простое соотношение, которое
может быть получено следующим образом. Полагая v\ = V
имеем:
Т. е.
Изменение кинетической энергии Т за время dt равно работе
внешних сил, действующих на различные частицы тела, т. е. сумме
-Vi Л «2 Fi'(* Xfi) df=:=S w'(f4 X
Отсюда, между прочим, видно, что в случае вращательного движе-
движения твердого тела работа выражается через вращательное усилие М и
угловое перемещение t*>dt таким же точно образом, как в случае дви-
движения отдельной частицы, —через действующую на нее силу F и линей-
линейное перемещение \dt.
1Ъ

Итак, мы имеем следующее равенство:
— = М.<о. (П2)
Сопоставляя его с A05) и A07), получаем:
откуда следует, что
?»_,?. A1*)
Если действующие на тело внешние силы сводятся к силе тяжести,
то мы имеем:
где g—ускорение силы тяжести, и, следовательно:
M== S Г{ Х тЛявB1тЛ) Х g==
где го= ¦ Vi радиус-вектор центра тяжести тела, а г«?
= Bmi) g—-его вес. Таким образом вектор М равен в этом случае
моменту веса тела, приложенному к центру тяжести его.
§ 22* Движение волчка; прецессия и нутация
Для иллюстрации общего закона движения твердого тела с непо-
неподвижной точкой, выражаемого формулой A09), применим последнюю
к случаю волчка, —каковым является всякое тело вращения, быстро
вращающееся вокруг оси симметрии под действием силы тяжести.
Если нижний конец этой оси О неподвижен, то под влиянием силы
тяжести верхний конец Л, как известно, описывает окружность вокруг
вертикальной прямой, проходящей через О {OHt рис. 17). Это свое-
своеобразное движение оси волчка, называемое прецессией, объяс-
объясняется следующим образом.
При наклонном положении волчка, он испытывает опрокидывающее
усилие М, равное моменту действующей на него силы тяжести, т. е.
произведению OGxF, где G есть центр тяжести волчка, a F—его
вес.
При отсутствии вращения волчок, конечно, должен был бы опро-
опрокинуться. При наличии же быстрого вращения вокруг оси симметрии
получается совершенно другая картина. В самом деле, в этом случае
угловой момент волчка р, приблизительно совпадает по направлению с
его осью; а так как вращательное (опрокидывающее) усилие М перпен-
перпендикулярно к плоскости НО А, то оно, согласно формуле A09), не
76

Должно изменять величины вектора ji, обусловливая лишь изменение
его направления в соответствии с равенством:
т. е. соглас-
согласПолагая {i = OA, мы можем рассматривать вектор -^~ как линейную
скорость точки А. Так как эта скорость остается все время перпенди-
перпендикулярной к вертикальной плоскости, проходящей Уерез ось, то наклон
последней к вертикали, т.е. угол НОА = в, должен сохранять неизмен-
неизменное значение. Таким образом движение точки А сводится к равномер-
равномерному вращению по окружности радиуса АН' вокруг прямой ОН.
Угловая скорость этого вращения Q, которая и представляет собою
скорость прецессии, определяется ^равенством -^
но формуле A09):
QX{i = M A14)
или, следовательно, ii/u sin в икМ=гуР sin 0,
где 1*0= E3. Таким образом в рассматрива-
рассматриваемом случае скорость прецессии оказывается
независимой от угла в и равной
fi«i?. A15)
Полученный результат представляет со-
собою лишь первое приближение к действи-
действительности, так как на самом деле, при наличности прецессии, угловая
скорость волчка <о, а следовательно и его угловой момент, не могут
в точности совпадать с осью симметрии. Следствием этого несовпаде-
несовпадения является небольшое периодическое колебание прецессионного угла в,
называемое нутацией.
Заметим, что формула A14) может быть непосредственно получена
следующим образом. Согласно формуле A06а), уравнение A09) может
быть представлено в виде:
^ + (ЮХ?) = М. A16)
Разлагая угловую скорость волчка ы на составляющую <оо, соот-
соответствующую неискаженному вращению вокруг оси симметрии, и на
дополнительную (прецессионную) Q и полагая {t = 4/<oo (что, конечно,
не совсем верно), получаем:
или следовательно,
т. с. формулу A14).

ОТДЕЛ It
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
В ГИДРОМЕХАНИКЕ
ГЛАВА I
ОПЕРАЦИИ НАД СКАЛЯРНЫМИ И ВЕКТОРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
ОТ ВЕКТОРНОГО АРГУМЕНТА
§ 1. Общая характеристика функций от векторного аргумента
При исследовании функциональных зависимостей между скалярными
и векторными величинами необходимо принимать во внимание два суще-
существенно-различных случая: 1) независимой переменной (аргументом)
является скаляр и 2) независимой переменной является вектор.
Что касается зависимой переменной, т. е. функции, то таковой
может быть в обоих случаях как скалярная, так и векторная величина.
Первый случай был рассмотрен нами в предыдущем отделе (§ 8),
причем прототипом скалярного аргумента служило время (/). Аналогич-
Аналогичным образом во втором случае прототипом независимой переменной
величины может служить радиус-вектор Г, проведенный из какой-нибудь
точки О к различным точкам пространства (Р), для которых опреде-
определяется значение функции — скаляра <р или вектора F. Пространство,
каждая точка которого связана таким образом с определенным значе*
нием некоторой скалярной или векторной величины (например плотно-
плотности, давления, потенциала, скорости, ускорения, силы и т. д.), назы-
называется скалярным или векторным полем. Если независимой пе-
переменной является не радиус-вектор, а какая-нибудь другая векторная
величина (например угловая скорость твердого тела, определяющая его
энергию и угловой момент), то, изображая ее графически при помощи
прямолинейных отрезков, проведенных из общего начала, и связывая
соответствующие значения функции с концами этих отрезков, мы по-
получим скалярное или векторное поле, являющееся графическим изобра-
изображением рассматриваемой функциональной зависимости.
Впрочем, подобное изображение является „графическим" лишь по
отношению к независимому переменному, а не функции. Если послед*
няя представляет собой скалярную величину (#>), то графическое изоб-
изображение зависимости ее от г осуществляется обычно путем построения
ряда поверхностей, для которых ср сохраняет постоянное значение.
Если ф обозначает температуру, давление или потенциал, то подобные
поверхности называются соответственно „изотермическими", „изобари-
„изобарическими", „изопотенциальными* и т. д. Строя ряд поверхностей <р~съ
<р = с2, <Р = сг, для ряда равноотстоящих (весьма близких) значений (р,
можно составить себе весьма наглядное и полное представление как
о направлении, в котором происходит наиболее быстрое изменение <р,
7$

так и о быстроте этого изменения. Подобное графическое представле-
представление облегчается проведением „ортогональных" траекторий к рассматри-
рассматриваемым поверхностям, т. е. линий, пересекающих последние в нормаль-
нормальном направлении (АА, ВВ, рис. 18). Вдоль этих линий и происходит
максимальное изменение (р; что же касается его быстроты, то она об-
обратно-пропорциональна длине отрезков, заключенных между соседними
поверхностями 2).
Графическое изображение векторной функции F(г) осуществляется
построением ряда линий, направление которых в каждой точке (г)
совпадает с направлением вектора F(r) в этой точке. Подобные линии
проводятся с таким расчетом, чтобы густота их вблизи каждой точки
была прямо-пропорциональна численному значению |F|. Заметим, что
эта „густота" определяется числом линий, пересекающих единицу пер-
перпендикулярной к ним („ортогональной") поверхности. Впрочем, прове-
проведение ортогональных поверхностей конечных размеров к заданно^ си*
стеме линий не всегда является возмож-
возможным. В таких случаях для измерения
густоты приходится ограничиваться весьма
малыми площадками, перпендикулярными
к проходящим через соответствующие
точки линиям.
Указанное изображение имеет практи-
практическое значение лишь для таких функций
IF (г), которые могут быть представлены
при /помощи линий, не начинающихся и
не заканчивающихся в точках рассматри-
рассматриваемой области пространства, т. е. сле-
следовательно либо замыкающихся внутри
нее, либо же возникающих и исчезающих за ее пределами. Аналитиче-
Аналитическое условие, которому должны удовлетворять подобные функции, будет
формулировано ниже (§ 3).
Не вдаваясь в дальнейшее развитие вопроса о графическом предста-
представлении скалярных и векторных функций, мы обратимся теперь к мето-
методам их аналитического исследования.
Для того, чтобы составить себе общее представление об аналити-
аналитическом характере функций у (г) или F(r) вблизи какой-нибудь точки
Р(ОР = г), примем во внимание одну из соседних точек Р' (ОР'= V') и
сравним разность <р(г')— <р(г) или абсолютное значение разности F(r')—
— F (г) для этих точек с расстоянием между ними, т. е. с абсолютным
значением разности х'—Г.
Если при неограниченном уменьшении последней, отношения
<р (г ') -у (г) ]F(r')-F(r)l
|Г'_Г| И [г'-Г(
Остаются конечными (или равными нулю) для всевозможных на-
направлений прямой РР', т.е. для всей области пространства, не-
г) В случае однозначности функций у (г) возможность пересечения или
даже касания двух различных поверхностей g? = const является, очевидно,
исключенной.
79

йоередстйенно окружающей точку Р, то функции q> и F называются
непрерывными в этой точке. Функции, остающиеся непрерыв-
непрерывными во всех точках некоторой конечной или бесконечной области
пространства, называются непрерывными в этой области. Если
подобная непрерывность нарушается в отдельных точках последней, то
зти точки называются „особыми*.
Возьмем в области непрерывности рассматриваемой функции (ска-
(скалярной или векторной) какое-нибудь „протяжение"—объем (К), поверх-
поверхность (S) или линию (о); разобьем это протяжение на весьма малые
элементы (AV, AS и Ао), и, умножив последние на величину функции
в одной из соответствующих точек, составим сумму подобных произ-
произведений (алгебраическую или геометрическую—в зависимости от ха-
характера функции) для всех этих элементов. Нетрудно доказать (так же,
как это делается в теории определенных интегралов), что при неогра-
неограниченном дроблении данного протяжения, т. е. неограниченном умень*
шении образующих его элементов и соответственном увеличении их
числа, вышеозначенные суммы стремятся к вполне определенным пре-
пределам, не зависящим ни от способа подразделения, ни от выбора той
или иной точки внутри каждого элемента. Эти пределы называются
интегралами—объемным, поверхностным или линей-
линейным—и обозначаются символами
J <pdV, I *pdS> I <pd& для скалярной функции, или
—для векторной *).
, ffdS,
В случае поверхностных и линейных интегралов, наряду с „объем-
„объемным" полем рассматриваемой скалярной или векторной функции (т. е.
полем, заданным для всех точек некоторого конечного или бесконечного
объема), оказывается обычно необходимым принимать во внимание „по-
„поверхностное" или „линейное" векторное поле, образованное единичными
векторами Пи t, которые характеризуют соответственно направление
нормалей к поверхности или касательных к линии (кривой).
Комбинируя эти поля с исследуемым полем, получаем следующие ин-
интегралы:
fu .ydS, Ль FdS,fn xFdS—для поверхности и
o, fx-Fdo, /txFda—-для линии.
Подобные интегралы имеют особенное значение в случае замкну-
замкнутых поверхностей или контуров. Заметим, что при р = const или F«=
= const они в этом случае обращаются в нуль тождественно, т. е.
*) Многи§ авторы пользуются для обознач§ния поверхностных интегралов
знаком / / , а объемных —знаком / / / •
80

независимо от формы поверхности 5 или контура а. В самом деле при
означенном условии мы можем, очевидно, положить
/
и точно так же
fx<pdo=:(p lida\ iт -Ftf<7=F fida\ Лс xFdcr = f f^
Что же касается интегралов / П dS и / т da, то для замкнутых поверх*
ностей или контуров они, как нетрудно убедиться, равны нулю.
Заметим, что в случае незамкнутой поверхности интеграл
tldS представляет собой не что иное, как момент ограничиваю-
ограничивающего ее контура (см. отдел I § 3)- Само собой разумеется, что напра-
направление обхода вдоль этого контура (<т), характеризуемое касательным
вектором т, должно быть выбрано в соответствии с направлением век-
вектора нормали (т. е. согласно правилу „винта", рис. 19).
Так как прч заданном контуре
предыдущий интеграл не зависит от
формы поверхности S, то в каче-
качестве таковой можно выбрать конус
с вершиной в точке О. Принимая
во внимание, что во всех точках
бесконечно узкого сектора, ограни-
ограниченного радиусами-векторами f и
r' = r+dr, где df=xdcr, нормаль
к конической поверхности сохра- Рис- 19-
няет одно и то же направление, сов-
совпадающее с направлением векторного произведения Г X dx, и что пло-
площадь этого сектора равна половине площади соответствующего парал-
лелограма, т. е.
мы можем очевидно представить момент рассматриваемого контура
в виде линейного интеграла
\f(t
da.
Таким образом мы получаем следующее тождественное преобразова-
преобразование (поверхностного интеграла в контурный):
X x)rfor. A)
Отсюда, между прочим, непосредственно следует, что в случае замк-
замкнутой поверхности интеграл / tldS обращается в нуль (ибо при этом
соответствующий контур стягивается к точке).
6 Курс теорет. механики. 81

Что касается линейного интеграла / х do, то в случае незамкнутого
контура он определяет собой геометрическую сумму составляющих его
бесконечно-малых хорд (xdo=dt), т. е. геометрическую разность ра-
радиусов-векторов его начала (гг) и конца (г3);
-h-h, B)
откуда явствует, что в случае замкнутого контура этот интеграл сво-
сводится к нулю.
§ 2. Диференцирование функций от векторного аргумента
Изучение структуры скалярного или векторного поля в непосред-
непосредственной близости к данной точке Р сводится, очевидно, к исследованию
изменения соответствующих функций (у или F) для всевозможных
весьма малых изменений радиуса-вектора вблизи данного его значения
t = OP. Так как при этом необходимо принимать во внимание бесчис-
бесчисленное множество точек Р', расположенных вокруг Р во всевоз-
всевозможных направлениях, т. е. всевозможные направления „геоме-
„геометрического приращения" PP' = Zlr = r'—г независимой переменной Г, то
составление отношений
у (О-у (г) __ Ay F(r')~F(r)_ AF
|Г'_г| -|jr| ИЛИ |r'-r| ~\Ат\
для изучения зависимости <р или F от г утрачивает то значение, кото-
которое оно имеет в обыкновенном анализе (функций от скалярного ар-
аргумента). В самом деле, основная задача анализа сводится к вычисле-
вычислению того предела, к которому стремятся подобные отношения, когда
приращение аргумента стремится к нулю. В случае векторного аргу-
аргумента этот предел не является однозначным, но зависит от способа
уменьшения jr, например от направления прямой PPf, если это на-
направление остается неизменным при переходе к пределу (т. е. при
|
Для того, чтобы операция векторного анализа, соответствующая
диференцированию по скалярному аргументу, давала определенный,
однозначный результат, ее необходимо определить таким образом,
чтобы она охватывала сразу совокупность весьма малых прира-
приращений векторного аргумента At всех возможных направлений,
т. е., другими словами, распространялась на совокупность бесчислен-
бесчисленного множества точек Р\ окружающих данную точку Р со всех сторон
и притом на весьма близких расстояниях. Эти расстояния \Ат\ могут
быть различны для различных направлений прямой РР'\ если они ме-
меняются непрерывным образом с изменением направления РР1', то точки
Р' образуют некоторую замкнутую поверхность весьма малых разме-
размеров S, окружающую Р.
Операция векторного диференцирования, удовлетворя-
удовлетворяющая вышеуказанным требованиям и представляющая собой, вместе
82

с тем, непосредственное обобщение операции диференцирования по
скалярному аргументу, может быть определена следующим образом.
Примем во внимание поле внешних нормалей И к вышеупомя-
вышеупомянутой замкнутой поверхности 5 (т. е. нормалей, проведенных из раз-
различных точек 5 во внешнее пространство) и, вычислив интегралы
ncp dS; fn . F dS] fn x F dS
составим отношение их к величине объема V, охватываемого поверх-
поверхностью S. При неограниченном сокращении последней вокруг точки Р,
эти отношения—в случае непрерывности функций ср и F—стремятся
к определенным пределам, которые мы будем называть произ-
производными этих функций (для соответствующего значения г) и обоз-
обозначать символами:
d d ~ d чуС,
В случае векторной функции, выражения
соответствующие скалярному и векторному умножению нормали П на
вектор F, можно было бы назвать скалярной и векторной производной
F по г.
В курсах векторного анализа первая из них называется „расхож-
„расхождением" или дивергенцией F и обозначается символом divF (от ла-
латинского слова divergere —расходиться), тогда как второй присваивается
название „вращения" или „вихря" с обозначением rotF или curl F. Что
же касается производной от скаляра по вектору -~, то она обычно на-
называется „градиентом" (р и обозначается символом grad (p. Часто,
впрочем, для этих производных употребляется общее обозначение,
вполне соответствующее нашему, причем символ — заменяется сим-
символическим вектором V, именуемым „набла".
Прежде всего мы докажем, что производные по векторному аргу-
аргументу, определенные вышеуказанным образом, удовлетворяют требова-
требованию о дн оз на чност и, т. е. не зависят о г формы поверхности S или,
вернее, от того, каким образом эта форма изменяется при сокращении
размеров S до нуля. Предположим, для определенности, что речь идет
о скалярной функции <р. Разделим объем V на две части (равные или
неравные —безразлично) Vt и V2. Обозначим замкнутые поверхности,
которые ограничивают эти объемы, через Si и S2» В той части этих
поверхностей, которая совпадает с поверхностью S, внешние нормали
щ и Щ совпадают с П; что же касается внешних нормалей к погра-
пограничной поверхности Si>2 отделяющей Vx от 1/2, то они, очевидно,
имеют противоположные направления, так что в этом случае
можно положить 11! = —П2. Отсюда следует, что сумма интегралов
/ пг(р dSx и / n2q> dS2$ распространенных по поверхностям Si и 52,
6* 83

равна исходному интегралу ln<pdS (ибо интегралы fnx<pdSit2 и
/ n29^dSi,2 взаимно уничтожаются).
Подразделяя аналогичным образом объемы Уг и V2 и продолжая
подобное подразделение достаточно далеко, мы можем разбить объем V
на множество сколь угодно малых элементов- V{, ограниченных сколь
уюдно малыми поверхностями Si', форма этих поверхностей остается
также совершенно произвольной у всех элементов, за исключением
„наружных", которые отчасти ограничены элементами поверхности S.
При этом сумма интегралов / щ<р dSi для всей совокупности элементов
Vi—как внутренних, так и наружных, независимо от их размера и
формы, должна оставаться равной интегралу I tupdS. — В случае бес-
бесконечной малости элементов V^ суммой поверхностных интегралов
/ tiiydSi для наружных элементов, равно как и суммой их объемов,
можно, очевидно, пренебречь в сравнении с соответствующими сум-
суммами для внутренних элементов. Если последние представляют собой
совершенно одинаковые кубики, то, при достаточной малости поверх-
поверхности S и непрерывности функции ср (г) в точке Р, интегралы /n^dSi
для различных кубиков* должны иметь весьма близкие значения, равные,
следовательно, с точностью до малых величин высшего порядка,
где N-~ общее число кубиков.
Принимая во внимание, что с той же степенью точности 1^=-—
мы приходим к заключению, что в пределе, при бесконечной малости
fn<p dS fn{q> dSi
поверхности S, отношение —^— совпадает с тем —^ , которое
соответствует одному из вышеупомянутых кубиков, т. е., следовательно,
получает совершенно определенное значение, не за-
зависящее от формы S.
Мы доказали, таким образом, что определение производной -— =
Jn<pdS
= grad#> как пред, —^— при S->0 является при условии непрерыв-
непрерывности функции <р (г) вполне однозначным. Аналогичным образом дока-
доказывается однозначность соответствующих определений для производных
В связи с приведенным доказательством заметим, что в случае ко-
конечной поверхности S и объема V интегралы
СщdS, fnFdSuj*nxTdS
84

могут быть представлены в виде объемных интегралов от grad^, divF
и rotF. В самом деле, разделяя V на бесконечно-малые элементы Уг
(произвольной формы), мы можем, очевидно, положить, с точностью до
бесконечно-малых величин высшего порядка:
I n (pdSi — grad <p • Vi и т. д.,
откуда
где суммирование распространяется на все элементы Vi.
Полагая Vi = dV и заменяя знак суммы /2) интегралом, получаем:
и точно так же
Сщ dS = f grad <p dV C)
/*n • F dS = /*div F dV Ca)
fnx?dS-= frot F dK. Cb)
Заметим, что формула (За) была впервые дана Гауссом и назы-
называется обычно его именем.
§ 3. Исследование операций векторного диференцирования
Операции диференцирования по векторному аргументу, рассмотрен-
рассмотренные в предыдущем параграфе, представляют, как уже упоминалось выше,
непосредственное обобщение операции обыкновенного диференцирова-
диференцирования (по скалярному аргументу). Это обстоятельство обнаруживается
с особенной наглядностью в случае производной от скалярной функции ср
по векторному аргументу г.
Так как производная
не зависит от формы бесконечно-малой поверхности 5, охватывающей
рассматриваемую точку Р, то при вычислении ее мы выберем в каче-
качестве S поверхность цилиндрика с бесконечно-малыми основаниями S'
и S" и весьма малой высотой Л.
Обозначим внешние нормали к этим основаниям через п' и п" и
возьмем проекцию интеграла / щ dS на направление одной из них,
например п", т. е. составим скалярное произведение
п" • fn<pdS=fnf} -tupdS.

Так как нормаль к боковой поверхности цилиндрика перпендику-
перпендикулярна к п", то предыдущий интеграл сводится к сумме частей, соот-
соответствующих его основаниям, т. е. к разности
ибо n' • n"= —1, a S" = S'.
Разделяя его на объем цилиндрика V =* S'h, получаем, согласно оп-
определению вектора -~ = grad 9?, проекцию последнего на направление
П", т. е.
п" • grad <р = пред. -. D)
h-*0 п
Эта формула показывает, что проекция вектора grad <p на любое
направление равна быстроте его изменения в этом направлении, в пол-
полном соответствии с обычным определением производной. Отсюда ясно,
что вектор grad ^ направлен в сторону наиболее быст-
быстрого возрастания <р и численно равен быстроте этого
возрастания. Пользуясь графическим представлением (§ 1), мы мо-
можем следовательно сказать, что линии вектора grad <p ортогональны
к поверхностям ср = const и что численные его значения в различных
точках, заключенных между двумя бесконечно-близкими поверхностями
этого рода, обратно-пропорциональны расстоянию между ними.
Для иллюстрации операции ~s-%4> возьмем в качестве функции <р
простейшую скалярную функцию от г, а именно скалярное произведе-
произведение с • г, где С—некоторый постоянный вектор. Заметим, что поверх-
поверхностями <р = const являются в этом случае плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярные к С; отсюда следует, что вектор grad q> по направлению совпадает
с с. Нетрудно убедиться, что он совпадает с С и по величине. Этот
результат, совместно с предыдущим, непосредственно вытекает из фор-
формулы D). В самом деле, составляя разность ср"—<р' = С • х"—с-г' =
= с • (г" —г') для двух бесконечно-близких точек и обозначая угол
между векторами С и h = r"—г' через а, имеем <р" — <р' = с • Л cos а,
т. е. ——?-= с cos а, откуда, согласно D):
grad (с- г) = с. Dа)
В качестве второго примера рассмотрим также весьма простой и
притом часто встречающийся случай, когда функция <р зависит только
от величины радиуса-вектора Г, а не от его направления. В этом
случае поверхности у = const суть концентрические сферы, а линии
вектора grad ср суть радиусы, расходящиеся из их общего центра г =0
(или сходящиеся к последнему). Отсюда следует, что
d(p(r)
где — = гг— единичный вектор, определяющий направление радиуса-
вектора Г, т. е.
grad>(r) = <p\r) -iy Db)
66

Если бектор F = grad (p представляет собой внешнюю силу, действу-
действующую на какую-нибудь материальную частицу в соответствующих точ-
точках поля F(r), то величина —<р{х) называется потенциалом этого
поля (или потенциальной энергией частицы), а поверхности (р = const —
эквипотенциальными (или изопотенциальными) поверхностями.
В случае сплошных средин, т. е. тел, занимающих пространство
квазинепрерывным образом, наряду с „внешними" силами необходимо
^принимать во внимание силы „внутренние", зависящие от взаимодей-
взаимодействия соседних (бесконечно-близких) частиц. Эти силы, передающиеся от
слоя к слою, трактуются обычно как поверхностные и в случае
жидких или газообразных тел характеризуются скалярной величиной /?,
называемой гидростатическим давлением. Произведение гидро-
гидростатического давления в какой-либо точке на элемент dS произвольной
поверхности, проходящей через эту точку, представляет собой силу,
испытываемую одним из граничащих вдоль dS слоев со стороны дру-
другого. Величина этой силы не зависит от ориентации площадки d<S,
а направление совпадает с нормалью к ней, проведенной внутрь рас-
рассматриваемого слоя (в случае положительного давления, т. е. р>0, и
наружу—в случае отрицательного). Общая сила, испытываемая неко-
некоторым объемом жидкости V со стороны окружающей его массы, выра-
выражается таким образом интегралом / np dS, распространенным по ог-
ограничивающей его поверхности S. Преобразуя этот интеграл по фор-
формуле C), мы можем представить вышеозначенную силу как геометри-
геометрическую сумму объемных сил—gradp-dV, приложенных к элементам
объема жидкости (dV). Таким образом в рассматриваемом случае век*
тор —gradр представляет собой внутреннюю силу, испытываемую еди-
единицей объема жидкости (или вернее силу, отнесенную к еди-
единице объема). По отношению к этой объемной силе давление р, непо-
непосредственно характеризующее силы поверхностные, играет роль потен-
потенциала.
Сплошные средины —деформируемые твердые тела, жидкости и
газы—являются весьма удобными объектами для разъяснения операций
диференцирования векторных функций по векторному аргументу как
в отношении аналогии этих операций с обыкновенным диференцирова-
нием, так и в смысле их наглядной геометрической интерпретации.
Предположим, например, что вектор F (г) обозначает весьма малое
'смещение частиц некоторого упругого твердого тела из их нормаль*
ного положения, характеризуемого радиусом-вектором Г (так что f' =
?=f + F есть радиус вектор соответствующей частицы в деформирован-
деформированном состоянии тела). Примем во внимание совокупность частиц, зани*
мающих в нормальном состоянии тела объем I/, ограниченный поверх-
поверхностью S. При перемещении частиц, примыкающих к элементу поверх-
поверхности dS, на отрезок F к этому объему прибавляется объем цилиндри-
цилиндрического столбика с основанием dS и высотой n-F = Fn. Если смеще-
смещение направлено наружу, то дополнительный объем имеет положитель-
положительное значение, соответствующее местному расширению тела: в противном
случае—отрицательное, соответствующее местному сжатию. Таким об-
образом интеграл / Fn dS представляет собой общее приращение объема
в?

тела, т. е. разность AV между объемом его в деформированном состоя-
fFndS
нии (V) и нормальном (V). Отношение -—^— равно, следовательно,
относительному изменению объема -у- или в пределе, при бесконечно-
малой поверхности 5, —коэфициенту объемного („кубического")
расширения тела.
Итак, внутренняя производная
~ • Р = пред. -y-fw • F)dS при S->0,
представляет собой в рассматриваемом случае не что иное, как коэфи-
циент расширения тела вблизи точки Р, к которой стягивается 5, или,
вернее, вблизи соответствующей частицы Р. Если этот коэфициент
имеет положительное значение, то окружающие частицы удаляются от
нее, т. е. расходятся во все стороны, чем и объясняется название „рас-
„расхождение", присваиваемое производной
dx г'
и соответствующее обозначение divF г).
Полученный результат свидетельствует о том, что скалярную про-
производную можно трактовать как непосредственное обобщение обыкно-
обыкновенной производной
dx'
В самом деле, если dx представляет собой элемент длины упругого
стержня в нормальном состоянии последнего, а у = /(х)—продольное
перемещение частиц, расположенных на расстоянии х от его начала, то
отношение dy :dx представляет собой относительное удлинение (или
укорочение) элемента dx, т. е., другими словами, коэфициент линейного
расширения стержня в соответствующей точке.
Предположим, что рассматриваемое тело испытывает всестороннее
расширение (или сжатие), при котором его линейные размеры во всех
направлениях изменяются в одном и том же отношении A+а):1.Если
при этом частица О, расположенная в точке г=0, остается неподвиж-
неподвижной, то перемещение всех остальных выражается, очевидно, формулой
F = a-r. Принимая во внимание, что коэфициент объемного („кубиче-
(„кубического") расширения равен при таких условиях утроенному значению
линейного, получаем:
div(ar) = 3a. E)
Эту формулу нетрудно вывести непосредственно из определения
div F как предела отношения -=^ / Fw dS. В самом деле, проекция
радиуса-вектора какой-либо точки элемента поверхности dS на внеш-
внешнюю нормаль к последнему численно равна высоте конуса с основа-
2) Максвелль обозначает противоположную величину div F символом con F
(от слова „convergence'5 = схождение).
88

нием dS и вершиной О. Произведение п • tdS = rndS равно утроенному
объему этого конуса со знаком „плюс", если угол между г и п острый,
или „минус"—в противном случае.
Отсюда следует, что интеграл — / rndS равен разности между
общим объемом тех конусов, основания которых лежат на стороне S,
более удаленной от точки О, и тех, основанием которых служат обра-
обращенные к О элементы S, т. е., другими словами объему V, ограничен-
ограниченному 5. Таким образом, для любой замкнутой поверхности отношение
/ агп • dS к V равно За.
Заменяя твердое тело жидкостью (или газом) и подразумевая под
Fir) не перемещение, а скорость частиц с радиусом-вектором Г
(т. е. перемещение, отнесенное к единице времени), мы можем рассма-
рассматривать интеграл / FndS как объем („количество") жидкости, излива-
изливающейся в единицу времени через поверхность S. Имея в виду этот гидро-
гидродинамический образ, подобный интеграл называют потоком F через
поверхность 5; при этом последняя может быть как замкнутой,
так и незамкнутой.
Переходя к рассмотрению векторной производной
~ х Р = пред. — /nx FdS,
составим, так же как и в случае градиента, проекцию ее на произволь-
произвольное направление П". С этой целью выберем в качестве поверхности S,
охватывающей исследуемую точку, цилиндрик с основаниями S' и S",
перпендикулярными к fl" с бесконечно-малой высотой h (см. выше).
При таких условиях интеграл
n' . С п х FdS= f n'. (n x F)dS
сводится очевидно к интегралу по боковой поверхности цилиндра (ибо
вектор nxF в случае обоих оснований перпендикулярен к п"). Элемент
этой поверхности можно очевидно представить в виде произведения
h • do, где do — элемент контура, ограничивающего одно из основа-
оснований E").
Вводя на этом контуре определенное направление обхода, соответ-
соответствующее направлению п" (внешней нормали к S"), и замечая, что
векторное произведение п"хп в случае боковой поверхности цилиндра
совпадает с вектором т, получаем:
". (nxF)dS=h y\n"xn) . F do=
и следовательно, так как V = Suh,
п . rot F = пред. ~ f(t • F) do. F)
Эту формулу можно рассматривать как новое определение вектора
80

через его проекции на различные направления; будучи менее полным,
чем исходное определение, оно обладает, однако, ббльшей простотой
и наглядностью. Заметим, что согласно Ej направление rotF совпадает
с тем направлением п", которое соотватствует максимальному значению
интеграла / х • ?da= I Fxdc при одних и тех же размерах, а так-
также форме (плоского) контура а.
Из формулы F) вытекает возможность преобразования линейного
интеграла / х-Fda для произвольного замкнутого контура (а)
J Г
в интеграл I n • rot F dS по произвольной незамкнутой поверхности,
ограничиваемой этим контуром. В самом деле, разбивая одну из по-
подобных поверхностей на бесконечно-^алые элементы Si (которые можно
считать плоскими) и составляя интегралы / x.Fdtfj по соответству-
соответствующим элементарным контурам, имеем согласно E) (с точностью до бес-
бесконечно-малых высших порядков)
2i'rotF) Si-
Так как в сумме V / ^«F doi каждый элемент дуги dau разгра-
i
ничивающей два соседних элемента поверхности, принадлежит одно-
одновременно двумх контурам и при обходе последних проходится в про-
противоположных направлениях, то соответствующие значения %\ • F doi
взаимно уничтожаются, так что сумма \] / Ъ-?doi сводится к ин-
i
тегралу по наружному контуру (элементы которого проходятся всего
лишь один раз) / z-Vdo. Полагая в пределе Si~dS и заменяя знак
суммы интегралом, получаем формулу:
Jх Fda= /VrotFdS, Fa)
которая обычно пишется в виде
/ FTtftf= / rotnF
dS
и связывается с именем С токе а.
Не останавливаясь на выяснении соотношения между операцией
векторного диференцирования (вектора по вектору) с обыкновенным
диференцированием (скаляра по скаляру), представим себе, что функ-
функция F(r) обозначает линейную скорость частиц твердого тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижной точки г=0. Обозначая (мгновенную) угло-
угловую скорость через о> и вспоминая, что F = о> X г (см. отдел I, фор-
формула 104), получаем:
90
/VFrf<T= Л • (со х t)da = /*w.(rx^)^=w. f

Но, согласно формуле A) § 1, последний интеграл равен удвоен-
удвоенному моменту контура ау т. е.' 2П* • S". Таким рбразом в рассматривае-
рассматриваемом случае
Fdam=2nff . со,
откуда следует, что п" • rot F = 2п". о>, т. е. (в виду произвольности П")
rot (со х г) = 2@. G)
Этот результат остается в силе в общем случае движения свободного
твердого тела (не имеющего закрепленных точек). В самом деле, по-
подобное движение складывается из рассмотренного выше вращения,
которое можно относить к любой точке или, вернее, частице тела,
например г0, и поступательного движения, скорость которого Fo ос-
остается одинаковой для всех его частиц.
Полагая F=F0+wx(f—г0) и замечая, что rotF0=0, получаем
попрежнему rotF = 2to (совершенно независимо от выбора точки г0).
В случае деформируемых твердых тел, а также жидкостей
и газов, формулу G) можно рассматривать как определение угло-
угловой скорости в каждой точке. При этом речь идет, конечно, не о вра-
вращении одной лишь этой точки, но всего (бесконечно-малого) элемента
объема, ее содержащего. Наряду с поступательным и вращательным
движением, последний испытывает также некоторую деформацию,
характер которой в общих чертах определяется скалярной производной
4- • F = divF.
dt
Более полная ее характеристика получается при помощи особых
„тензорных" величин, которые будут рассмотрены нами в отделе IV.
В общем случае движения жидкого или газообразного тела произ-
производная
представляет собой, так же как и F, некоторую функцию г. При этом
те части жидкости, которые обладают вращательным движением, назы-
называются вихрями, — чем и объясняется одно из общеупотребительных
названий вектора -т- X F („вихрь F"), а также и соответствующее
обозначение (curl F или rotF). Имея в виду этот гидродинамический
образ интеграл
?xda
называют „циркуляцией" вектора F вдоль контура а (последний может
быть при этом как замкнутым, так и незамкнутым).
§ 4. Основные правила векторного диференцирования
Из общего определения операций векторного диференцирования (§ 2)
непосредственно следует, что производная суммы нескольких функций
(так же как в случае обыкновенного диференцирования) равна сумме
соответствующих производных отдельных слагаемых.
91

Так например, полагая
имеем:
n.F = n.(G + H + ...)=n. G+n H+...
и следовательно
j n FdS = j n • GdS + J n . H dS+ ... ,
откуда
-?--F -пред.— fF • n dS + прел.-^ f n -GdS +
s —- о •/ s —*• о t/
т. e.
div(G+H+. . .) = divG+divH + . ..
Аналогичным образом доказываются соответствующие формулы для
векторной производной векторной функции -т~ X F = rot F или для
производной скалярной функции по векторному аргументу, т. е. гра-
градиента.
Несколько сложнее обстоит дело в случае производных от произ-
произведения двух (а тем более нескольких) функций. Ограничиваясь
двумя сомножителями — скалярными (^>, чр) или векторными (Е, F), —мы
должны различать следующие четыре типа произведений:
qnp, <pF, E-F, ExF,
и, соответственно этому, шесть типов производных
Для вычисления всех этих производных заметим, что каждая из
них, так же как и в случае обыкновенного диференцирования, сводится
к сумме двух членов, из коих один соответствует изменению первого
сомножителя в предположении постоянства второго, а другой — изме-
изменению второго сомножителя в предположении постоянства первого.
В самом деле, обозначим значения функций <р, у, Е, F в рассматри-
рассматриваемой точке (г0) через 9V Y'o> Eo, FV В таком случае значения их
в соседних точках (f) можно представить в виде <ро-]-Аф, ipo-\-A\p,
Е0+^Е, F0 + ZlF, где, при условии непрерывности всех этих функций,
разности Atp и т. д. стремятся к нулю одновременно с At = Г — г0.
Обращаясь к вычислению производной
jL{<p .y)^r grad ((pip)
92

в точке Го, имеем, по определению:
w 'W)l = пред' 4~ f П №) dS = прел. ~ f n
+ A(pAip)dS=пред. -^- / npo^ydS+пред.-^- f пу0А<р dS-\-
s_»o K t/ s_>o ^ t/
.-^- fn-AcpAipdS,
v t/
ибо
Принимая во внимание, что
t\A%pdS = / n i
откуда:
и что интеграл
при бесконечной малости поверхности S и непрерывности функций <р
и у> в точке г0, представляет собой величину бесконечно-малую (того
же порядка как А(р, Агр или \Аг\, т. е. линейные размеры S), в пре-
пределе (S->0) получаем:
\4г(W)| :=: ^опРед-4" /Щ>dS + у>опред. ~ fn<pdS,
т. е. (отбрасывая значок „0")
Точно так же в случае произведения скаляра на вектор находим:
^ре^- 4" / n9?°F dS+п8редо ~v f n<pF°ds e
= 9?0 пред. 4- fnFdS+ (пред. -^- /*n^ rfs) • Fo,
s->o v •/ \s->o v J J
i^F) = ^-F + f -F, (8a)
и аналогичным образом:
i ^XF + JxF. (8b)
Формулы (8), (8a) и (8b) пишутся обычно в следующем виде:
grad cpip = (p grad гр + у grad ^: div <pF = 95 div F + grad 9? • F
и
rot (pF = 99 rot F -f- grad 9? X F.
93

Принимая во внимание, что обозначаемые вектором -%— = V опера-
операции диференцирования сводятся к умножению вектора нормали п к эле-
элементам поверхности S, охватывающей рассматриваемую точку, на дифе-
ренцируемую функцию, мы можем трактовать вектор V, в применении
к произведению двух или более множителей, как некоторый дополни-
дополнительный „символический" множитель, вполне соответствующий п. При
этом, однако, его, необходимо относить последовательно к каждому из
обыкновенных (функциональных) множителей в отдельности, считая
остальные постоянными, и складывать результаты. Для того
чтобы последние имели непосредственно ясный смысл, символический
множитель V должен стоять непосредственно перед тем функциональ-
функциональным множителем, к которому он относится, т. е. который подвергается
диференцированию. Подобное расположение может быть достигнуто
путем надлежащего преобразования исходного выражения по формулам
A1), A2) и A3) § 4 отдела I.
Так например, для вычисления скалярной производной („расхожде-
(„расхождения и) векторного произведения двух векторов Е X F будем считать
один из них, например Е, постоянным, т. е. положим Е = Е0= const.
При таких условиях, согласно формуле A1) § 4 отдела I получаем
V-(EoxF) = —E0'(VxF). Меняя роли (т. е. переставляя Е и F),
получаем:
V(ExF0)= - V(FoxE) = Fo.(VxE).
Складывая эти выражения и отбрасывай значки „0" (обозначающие
постоянство соответствующего вектора), находим общую формулу:
V .(ExF)«=F.(VxE)-E (VXF), (9)
которая обычно пишется в следующем виде:
Переходя к векторной производной („вихрю") произведения ExF,
и полагая Е = Е0= const, имеем по формуле A2)* § 4 отдела I:
VX(EOXF) = EO(V-F)-(EO.V)F;
складывая это выражение с тем, которое получается из него при пере-
перестановке Е и F (и изменении знака), получаем:
Vx(ExF)=E(V-F)-F(V-E) + (F V)E-(E V)F (9a)
или в обычных обозначениях
rot (Е X F) = Е div F — F div Е + (F • grad) E — (Е. grad) F.
Операция, выражаемая символом (E-V)F, определяется, как легко
убедиться, следующей формулой:
L f(E0-n)FdS. A0)
S -> 0 v t/
Заменяя вектор F какой-нибудь скалярной неличиной у, получаем:
94

и следовательно
(Е- V)?> =
В частности, полагая 9? = F-C, где с — произвольный постоянный
вектор, и замечая, что
f (E0.n) (F . c)dS = с • j(E0.n)FdS,
находим:
[(E0.V)F].c = E0-V(F с). A0а)
Отсюда видно, что проекция вектора (Е- V)F на какое-либо (неизмен-
(неизменное) направление равна скалярному произведению Е на градиент соот-
соответствующей проекции F. Таким образом вектор (E-V)F можно опре-
определить как произведение численного значения Е на быстроту измене-
изменения F в направлении Е. Если, следовательно, вектор Е представляет
собой некоторый бесконечно-малый отрезок dt = PPt проведенный
от точки Р к соседней точке Р\ то вектор
сводится к геометрической разности значений F в этих точках, т. е.
к бесконечно-малому геометрическому приращению df = F' —¦ F.
Складывая формулу A0) с равенством
FodivE= пред. 4" /'(n-E)FocfS,
S —*¦ 0 v
получаем:
s - о V J
Из этого равенства непосредственно вытекает следующая интеграль-
интегральная формула:
f(E.n)FdS= f(E<V)FdV+ f FdivEdK, A0b)
где S — совершенно произвольная замкнутая поверхность, а V — огра-
ограниченный ею объем.
Для вычисления производной (градиента) от скалярного произведе-
произведения EF, полагаем, согласно формуле A2) § 4 отдела I
V(E« F) = (F> V)E+Fx(VxE),
или, переставляя Е к F:
V (Е • F) = (Е • V)F + Е х (V X F).
Если бы вектор V являлся обыкновенным множителем, те эти выра-
выражения были бы тождественно равны друг другу. На самом деле они
различны, так как в соответствующих слагаемых операция диференци-
рования, обозначаемая вектором V, относится к различным сомножи-
95

телям (Е и F). Отсюда следует, что производная V(E-F) равна сумме
обоих выражений, т. е., что
V (Е. F) = (Е • V) F + (F. V) Е + F х (V X Е) + Е х (V X F) A1)
или в обычных обозначениях:
grad(Е • F) = (Еgrad) F + (F-grad)Е -f F x rot E + Е х rot F.
Можно, впрочем, при вычислении V(E-F) ограничиться одним из
вышеуказанных выражений, полагая в нем Е = Ео = const, или F =
= F0 = const, и складывая результаты. Таким путем получаем следую-
следующие две формулы:
V (EF) = (F- V) Е + Е (V •?) + F х (V х Е) + (Е х V) X F \
V(E-F) = (E.V)F + F(V-E) + Ex(VxF)+(Fx V)xE рПа)
содержащие новую (составную) векторную операцию:
(Ео х V) X F = пред. 4- Ле0ХП)х FtfS, (I lb)
которая в известном смысле аналогична операции A0). Мы будем назы-
называть выражения A0) и (lib) соответственно скалярным и векторным
градиентами одного вектора (F) по другому (Е). Сравнивая формулу A1)
с первой из формул (Па), получаем:
Заменяя в формуле (lib) векторное произведение вектора (Ео X п)
на вектор F скалярным приходим к определению еще одной операции:
(Ex V)-F = npea. 4- f (Eo X n).FrfS,
которая, однако, в силу формулы (Ео xn).F = (nxF)-E0 приводится
к выражению:
пред. -у
Принимая во внимание это обстоятельство и заменяя в (lib) век-
вектор F скалярным произведением его на произвольный постоянный век-
вектор С, получаем:
[(Е X V) X F] . с = пред. -4
S->0 v
==пред. — AE0xn).(Fxc)rf5 = (E0x V)-(Fxc),
s->o У
т. е.
[(Ex V)xF].c = E.V x(Fxc). (lid)
Предыдущие формулы позволяют свести диференцирование сколь
угодно сложных скалярных или векторных функций к диференцирова-
нию простейших функций этого рода. Таковыми являются, прежде
всего, сам радиус-вектор г и его численное значение г, а также линей-
линейные функции вида С-г и СХГ (С — произвольный постоянный вектор).
96

Полагая в формулах A1), (Па), (9) и (9а) Е = С и F = f и принимая
во внимание формулы Dа), E) и G), т. е.
V(cr) = c, V-r = 3 и Vx(cxr) = 2c,
получаем равенства:
V (с. г) = (с. V) г + с х (V х г) = с (V • г) + (с х V) х *'=с,
V-(cxr)= — c-(V Xf)
и
Vx(cxr) = c(V-r) —(c-V)r = 3c —(c-V)r=2c,
из которых следует, что
rotr = 0 A2)
div(Cxr) = 0 A2a)
(c-V)f=c A2b)
(cxV)xr=— 2c A2c)
Заметим, что первые две формулы легко обобщаются на случай
произведения Хер (г), где <р — производная функция от г х).
Что касается величины г, то, рассматривая ее как функцию от г,
имеем, согласно DЬ):
gradr=^-. A2d)
Формула Db) представляет собой частный случай более общей фор-
формулы
-^V/, A3)
соответствующей диференцированию сложной функции и непосред-
непосредственно вытекающей из определения D). Аналогичным образом, если
вектор F является функцией некоторой скалярной функции /(г), можно
положить:
^- A3а)
X^ A3b)
f. A3c)
Для иллюстрации приведем вывод формулы A3Ь). Согласно опре-
определению, имеем:
V X F(J) = пред. ±- f п X F (/) dS = пред. ±- fn X [fo + ( f- )*f]dS,
2) Формула A2b) явствует непосредственно из определения операции
(c-V)F
7 Курс теорет. механики. 97

где Af=zf—fQ разность значений функции / в рассматриваемой точке
и в точках поверхности 5.
Отсюда получаем:
V X Р(/) = пред. -f /п X
что совпадает с формулой A3Ь). Аналогичным образом выводятся фор-
формулы A3а) и A3с).
§ 5. Диференциальные операции второго порядка
Рассматривая производные Vg?, V»F и VxF как функции от f
и диференцируя их по г, мы получаем следующие пять типов вектор-
векторных производных 2-гр порядка:
V • V^ = div grad <p,
V X V<p = rotgrad<p,
V(V-F)==graddivF,
V-(V xF)==divrotF,
V x(VxF) = rotrotF.
Нетрудно убедиться, что производные второго (V X V?1) и четвер-
четвертого V (V X F) типов равны нулю тождественно, т. е. независимо
от вида функций <р(т) и F(r). Поскольку символический вектор V
можно трактовать, как обыкновенный множитель, это обстоятельство
непосредственно явствует из формы соответствующих производных
(ибо векторное произведение какого либо вектора на самого себя
равно нулю, а на какой-либо другой вектор — перпендикулярно к ним
обоим). К тому же результату приводит рассмотрение тех интегра-
интегралов, которыми определяются вышеозначенные производные. А именно,
из формулы Стокса Fа) следует, что в случае замкнутой поверх-
поверхности (S) интеграл
обращается в нуль, ибо при этом соответствующий замкнутый кон-
контур (а) обращается в точку. Преобразуя поверхностный интеграл
в объемный но формуле Гаусса (За), получаем:
f rotnF dS = J div rot F dV = 0,
или, в виду произвольности объема V, ограничиваемого S*
div rot F= V(V XF) = O. A4)
08

Точно так же, полагая в Fа) F = cy, где С = const, имеем:
fcz(pdo=: fnrotcydS
или согласно (8b):
т. е.
I z<pdo= I (n x grad<p)dS. A5)
В случае замкнутой поверхности это выражение обращается в нуль,
причем поверхностный интеграл преобразуется по формуле (ЗЬ) в объ-
объемный / rot grad 9^ rfK. Отсюда, в виду произвольности S, следует,
что
= V х< V?0 = O. A5a)
Эту формулу можно доказать несколько проще на основания фор-
формул D) и Fа). А именно, составляя „циркуляцию" вектора Vy для
какого-либо незамкнутого контура, проведенного из точки г0 в точку г,
имеем, согласно Dа) xV9?= -т- и следовательно:
г
= j (V»r da = <p (Г) - q> (f0) A5b)
ro r0
независимо от формы контура. Таким образом в случае замкнутого
контура интеграл / (^7(p)rdo обращается в нуль, откуда по формуле
Стокса получаем
или, в виду произвольности (замкнутой) поверхности S,
V х V? = o.
Заметим, что формула A5Ь) решает вопрос об интегрировании дифе-
ренциального уравнения — V^==g(n, где g представляет собой заданную
векторную функцию, удовлетворяющую условию Vxg=0, а ^ — не-
неизвестную функцию — скалярный потенциал вектора g (ср. § 3).
В самом деле, если значение этой функции для какой-нибудь началь-
начальной точки (г0) известно, то для всякой другой точки (Г) получаем:
г
=* f
f A5с)
го
где контур а может быть проведен совершенно произвольным образом.
Возвращаясь к неисчезающим производным второго порядка и рас-
рассматривая диференциальный оператор V как обыкновенный векторный
множитель, мы можем положить V-V = V2, т. е.
A6)
7* 99

и далее, согласно формуле A2) § 4 отдела I
VX(VXF)=V(V-F)-(V-V)F,
т. е.
grad div F — rot rot F = V2F. A6a)
Скалярный onepatop второго порядка V2 называется обычно опе-
оператором Лапласа. В применении к скаляру (ср) он непосредственно
определяется формулой:
1 /»
а в применении к вектору F:
A6Ь)
0*
Умножая последнее равенство скалярно на произвольный постоян-
постоянный вектор с и принимая во внимание формулу A0а), получаем:
р 4
s->o
т. е.
(V2F).c=V2(F-c). A6c)
Тождество A6а) может быть установлено непосредственно (т. е. без
всяких преобразований с символическим вектором V), исходя из ли-
линейного интеграла / TXFda, который мы должны прибавить к рас-
рассмотренным ранее интегралам этого рода I tcpda и / t^Fda и ко-
который, подобно им, преобразуется в случае замкнутости контура а
в интеграл по стягиваемой этим контуром поверхности (S). А именно,
вводя произвольный постоянный вектор с, имеем:
с. f т X F da=f с • (т X F) da = f x.(F x с) da,
т. е. по формуле Стокса:
с • у т х F da = j n. V X (F x c) dS,
или, согласно (lid),
=y [(nx V)x
откуда в виду произвольности с:
/xxFrf(T= /'(nxV)XFdS. A7)
Заметим, что в простейшем случае F = r эта формула, согласно A2с),
принимает вид:
Г txr da= — 2 fndS,
т. е. превращается в формулу A).
100

В случае замкнутой поверхности S, соответствующей исчезаю-
исчезающему контуру, интеграл /(nxV)xFrfS должен обращаться в нуль
тождественно, т. е. независимо от размеров и формы 5. Принимая
это во внимание и преобразуя вектор (п X V) X F по формуле A1с)
(при F = n), получаем:
О = пред. —
S-+ 0 v
= пред. 4- /* [П X (V X F) — n (V -F) + (п• V)F]dS
S-+O V J
т. е.
Vx(VxF)- V(V-F)+V2F = 0,
что совпадает с тождеством A6а).
Из тождеств A4) и A5а) еще отнюдь не^ следует, что всякий
вектор, удовлетворяющий условию V-F = 0 или V X F = 0, может
быть представлен соответственно в виде V X А или —Vg?, где А и ср
суть надлежащим образом выбранные функции радиуса-вектора г. За-
Заметим, что в тех случаях, когда подобное представление является воз-
возможным, эти функции называются потенциалами — скалярным (<р)
и векторным (А). Что же касается векторов типа—Vg? или V X А,
то они называются соответственно потенциальными и солено-
идальными векторами. Мы покажем ниже, что всякий вектор
(вернее: векторное поле) может быть разложен на сумму потенциаль-
потенциального и соленоидального.
§ 6. Операции векторного диференцирования в прямоугольных
координатах
Функции от векторного аргумента А можно трактовать, как функции
трех скалярных аргументов, равных прямоугольным слагающим А, т. е.
Alf A2, Аг [ср. формулу A8) отдела I]. Имея в виду графическое
представление подобных функций и в особенности изучение различных
скалярных и векторных полей, мы будем пользоваться в качестве век-
векторного аргумента радиус-вектором г, а следовательно в качестве экви-
эквивалентных ему скалярных аргументов—его прямоугольными слагаю-
слагающими хг, х2, х3, т. е., другими словами, прямоугольными координа-
координатами соответствующих точек пространства.
Примем во внимание какую-либо непрерывную скалярную функцию
^(t) = <p(x1, X2, х3) и составим разность ее значений для двух беско-
бесконечно-близких точек Р и Р'. Эту разность можно представить в виде
скалярного произведения градиента (р в точке Р, т. е. производной
~ = V^ на вектор РР' = г'—г = <5г. С другой стороны ту же разность
можно рассматривать как полный диференциал функции ф, соответ-
соответствующий изменению х19 Х2, Х3 на бесконечно-малые величины х[—хг =
= йхъ Х2 — х2 = дх2} Хз~ Х3 = <5х3. Таким образом, мы подучаем следую-
следующее равенство:
101

или на основании формулы B0) отдела I:
H l
Так как прямоугольные слагающие вектора дг представляют собой
не что иное, как бесконечно-малые приращения соответствующих коор-
координат, т.-е. \dt\i = dXij и так как, далее, эти приращения совершенно
не зависят друг от друга, то отсюда следует, что
|gradp!i = |v4 = ^ (/=1,2,3) A8)
Таким образом, рассматривая оператор V=r- как некоторый сим-
символический вектор, мы должны подразумевать под его прямоугольными
слагающими символы соответствующих частных производных S7t=\—.
Эти соотношения выражаются следующим символическим равенством:
которое, между прочим, позволяет непосредственно вычистить скаляр-
скалярную и векторную производные, т. е. „расхождение" и „вихрь", какой-
либо векторной функции F (г). А именно, вводя прямоугольные сла-
слагающие этой функции Рг{хг, х2, х3), F2{xx у *2 9 хз)> ^з{х1 > Х2 > *з)
и пользуясь формулами B0) и B1) отдела I, попучаем:
divF=V.F=^ + f2 + ^. A9а)
Формулы A9а) и A9b) могут быть непосредственно выведены
из общего (синтетического) определения операций скалярного и вектор-
векторного диференцирования, которое было дано в §§ 2 и 3. Так напри-
например, полагая
и принимая во внимание, что рассматриваемый предел не зависит
от формы поверхности S, стягиваемой к данной точке (Р), предполо-
предположим, что эта поверхность имеет форму прямоугольного параллелепи-
параллелепипеда с ребрами е1дх1, е2<5х2 и е3<5х3. В таком случае интеграл / n . FdS
сводится к сумме шести интегралов, соответствующих различным гра-
граням этого параллелепипеда. Соединяя попарно интегралы, соответ-
соответствующие противоположным граням, и замечая, что для граней, перпен-
перпендикулярных к ег:
102

где знак + относится к положительному,
концу ребра fydxi, получаем х):
а знак — к отрицательному
равно объему параллелепипеда
или, так как произведение
пред. -тг
что совпадает с формулой A9а).
Заменяя в предыдущих формулах скалярное произведение вектор-
векторным (nxF) и замечая, что
т. е. согласно исходному
торной производной
определению век-
век*-е,
rotF = пред. 4- fnxFdS,
Рис. 20.
в связи с равенствами B1) отдела I, формулу A9Ь).
Заметим, что формулы A9с) можно также вывести из второго определе-
определения векторной производной: n.rot F = пред.-гг / т • Fda [ср. § 3], если
ор_> 0 * t/
в качестве контура а взять четыреугольник с бесконечно-малыми сто-
сторонами, параллельными двум из координатных векторов ег, е2, е3.
Предположим, например, что плоскость этого четыреугольника перпен-
перпен5 5 )
р
дикулярна ке1( а стороны равны е2<5х2 и
е3<5х3
у
(рис. 20). Полагая
п = ег и вводя соответствующие направления касательного вектора т
на различных сторонах рассматриваемого четыреугольника (на рисунке
обозначено стрелками, причем вектор
к читателю), получаем:
ех предполагается направленным
f<z>Fdo=*(F2dx2)AB-(
т. е.
х) С точностью до бесконечно-малых величин высшего порядка. В виду
предполагаемой непрерывности функции F производные ее слагающих по
координатам можно брать не только в точке Р, но и в любой другой точке
параллелепипеда.
103

откуда
что совпадает с первой из формул A9с).
С помощью формул A8), A9а) и A9с) нетрудно непосредственно
доказать тождества A5а) и A4) § 5:
rot grad #> = 0 и divrotF = 0.
Далее, беря скалярную производную от V^, получаем:
*** = %+% + %. B0)
Этот результат вполне соответствует значению оператора V, как
символического вектора, определяемого формулой A9). Квадрат его
v "~ dxl "^ дх\ ^ dxi
называется обычно оператором Лапласа или „диференциальным
оператором второго порядка", Применяя его к какому-либо вектору
и пользуясь формулами A8), A9а) и A9с) без труда получаем тождество:
V 2F = grad div F — rot rot F, B0a)
которое уже было выведено выше (§5 формула A6а)).
ГЛАВА II
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТЕЙ
§ 7. Постановка задачи: скалярный н векторный потенциалы
Наряду с операциями скалярного и векторного диференцирования
векторов, можно определить обратные им операции векторного
интегрирования, подобно тому, как это было сделано выше
(§ 4, отдел I) в случае векторного деления (т. е. действия, обрат-
обратного скалярному и векторному умножению векторов). При этом, каждое
из уравнений
divF=p(r), rotF=q(r) B1)
[соответствующих [уравнениям A4) отдела I], взятое в отдельности,
не имеет однозначного решения, и лишь совместно они определяют
вектор F как функцию г, —при условии, конечно, чтобы
divq = O. B1а)
Символически мы напишем искомое решение в следующем виде [ср.
формулу A4а), § 4 отдела I]
F = ±-p-±xq, B1b)
101

где векторы =¦ р = Еи — =-xq = H представляют собой соответ-
соответственно простейшие решения (или „интегралы") уравнений V-F=/?
и V X F = q, т. е. решения, удовлетворяющие условиям
Vx(-i-p)= rotE = 0
B1b)
Переходя к фактическому определению Е и Н и принимая во внима-
внимание тождества A4) и A5а), предположим, что вектор Е потенциаль-
потенциальный, а Н — соленоидальный, т. е. что
Е = grad <p
B2)
и попытаемся подобрать потенциалы <p{i) и A(t) таким образом, чтобы
были выполнены уравнения B1).
В виду того, что к вектору А можно прибавить, не изменяя Н,
произвольный потенциальный вектор (типа — V^), мы положим, для опре-
определенности,
div А = 0 г). B2а)
Замечая, что векторы Е и Н удовлетворяют уравнениям VE = V-F=/?
и VxH=VxF=q, получаем, согласно формулам A6) и A6а),
в связи с условием B2а),
V-E = — VV и VxH = — V2A,
т. е.
Таким образом решение совместной системы уравнений B1) для
неизвестной векторной функции F сводится к решению двух совер-
совершенно независимых уравнений для ее потенциалов — скалярного <р и
векторного А. При этом, благодаря уравнению V2A= —q> условия
B1а) и B2а) оказываются в полном соответствии друг с другом. В виду
совершенно аналогичного характера обоих уравнений B2Ь) общее
решение первого из них тотчас же дает и решение второго.
§ 8. Источники и стоки
Обращаясь к решению уравнения VV== —Р-> предположим на минуту,
что функция р равна нулю во всем пространстве, за исключением
одной лишь точки О (г = 0), где она обращается в бесконеч-
бесконечность. При таких условиях потенциал ср должен, очевидно, пред-
х) Если бы это равенство не имело места, то, прибавляя к А вектор —
удовлетворяющий условию V*A=V2V;» мы получили бы векторный потенциал
А'=А— V^» Для которого равенство B2а) было бы выполнено.
105

ставлять собой функцию одного лишь расстояния г, так что, согласно
формуле DЬ), можно положить
dr r
и далее, согласно (8а) и E),
Уравнение VV=~"/? сводится, следовательно, в рассматриваемом
случае (р = О при г>0 и р = ± оопри г = 0) к обыкновенному
диференциальному уравнению —~™= 0, решение которого, как легко
убедиться, выражается формулой
где е и с — постоянные. Не нарушая общности, мы можем очевидно
положить с =*= 0, что соответствует <р = О при г =* оо . Что же касается
коэфициента е, то он остается неопределенным, но, во всяком случае.,
отличным от нуля. Диференцируя B3а), т. е. составляя градиент (р,
получаем, по формуле DЬ):
Е=у3- B3Ь)
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае поле вектора Е обладает
радиальной симметрией по отношению к „особой" точке О и что
численное значение Е в различных точках обратно-пропорционально
квадрату их расстояния от О.
Нетрудно убедиться, что постоянная е, умноженная на 4л}
представляет собой поток вектора Е через произ-
произвольную замкнутую поверхность, охватывающую О.
Для доказательства заметим, прежде всего, что поток Е через какую-
либо замкнутую поверхность S, не содержащую О, равен нулю.
В самом деле, так как в объеме V, ограниченном 5, tV • Е = 0, то,
преобразуя поверхностный интеграл в объемный по формуле Гаусса,
имеем:
независимо от размеров и формы S. Предположим теперь, что объем V
заключен между двумя непересекающимися замкнутыми поверхностями,
содержащими точку О (рис. 21). Эти поверхности — наружная S" и
внутренняя S' — образуют совместно как бы одну поверхность S, огра-
ограничивающую объем V 1). Обозначая внешние нормали к S' и S" через
х) Последний называется в этом случае „двусвязным". Вообще всякая
область пространства, ограниченная таким образом, что некоторые замкнутые
поверхности, целиком в ней расположенные, не могут быть стянуты к внутри
лежащим точкам (не пересекая ее границу), называется многосвязной.
106

п' и tl" и принимая во внимание, что на наружной части S внеш-
внешняя нормаль п совпадает с п", а на внутренней с-— п' (т. е. с внутрен-
внутренней нормалью к S'), получаем:
. EdS =У n" .EdS"-
т. е.
Ре- n"dS" = fE-n'dS'.
Таким образом поток вектора Е через любую поверхность, содер-
содержащую О, имеет одно и то же значение. Выбирая в качестве поверх-
поверхности S' сферу радиуса г с центром в О и замечая, что в этом случае
внешняя нормаль п! совпадает с направлением Е, получаем, согласно
B3Ь):
' EndS'=i
т. е. следовательно:
f
Рис. 21.
B3с)
независимо от формы и размеров
S". Этот результат приобретает
весьма наглядное значение, если рас-
рассматривать Е как скорость частиц не-
некоторой непрерывно заполняющей пространство жидкости. Равенство
V»E = O или эквивалентное ему равенство / EndS = Oy имеющее место,
как мы только что видели, для всякой замкнутой поверхности, н е содер-
содержащей точки О, можно в этом случае интерпретировать как условие
несжимаемости жидкости. Что же касается точки О, из которой
расходятся или к которой сходятся жидкие струи, то ее приходится
трактовать, соответственно, как „источник" или „сток" рассматривае-
рассматриваемой жидкости, т. е. то место, где последняя „создается" или наоборот
исчезает. При этом постоянная е, которую мы будем называть мощ-
мощностью источника (сток можно рассматривать как источник с отрица-
отрицательной мощностью), представляет собой меру количества жидкости,
появляющейся или исчезающей в единицу времени *).
То обстоятельство, что расхождение вектора Е, будучи равно нулю
во всем пространстве, оказывается отличным от нуля — и притом беско-
бесконечно-большим — при г = 0, не может быть установлено непосред-
непосредственным диференцированием по формуле:
так как подобное диференцирование теряет смысл, когда функция Е
перестает быть непрерывной. Для определения истинного значения V-E
г) Движение жидкости, соответствующее точечному источнику, может
быть осуществлено с большой степенью точности при помощи тонкой
трубки, приводящей (или отводящей) жидкость к соответствующей точке
107

в точке О необходимо, поэтому, вернуться к исходному определению
скалярной производной как § 2)
пред. ~y I EndS при
Принимая во внимание формулу B3с), получаем для точки О:
^ г 4яе
где верхний знак соответствует е> 0, а нижний е<0.
Что касается векторной производной V X Е, то она остается равной
нулю тождественно, т.е. не только при г>0, но и при г = О,
Это обстоятельство явствует, вообще говоря, из определения Е как
градиента (р, в связи с тождеством A5а). В данном случае, впрочем,
оно легко доказывается непосредственно. А именно, рассуждая точно
так же, как это было сделано выше пр.и выводе формулы B3с), полу-
получаем для всякой пары замкнутых поверхностей S' и S", содержащих
точку О, Jn" X EdS" = /n/ X EdSf. Так как в случае сферы с цен-
центром О вектор Е параллелен нормали, то отсюда следует, что
при S" -> О,
равный векторной производной V X Е в точке О, сохраняет для послед-
последней то же нулевое значение, как и для всех остальных точек.
Возвращаясь к определению потенциала ср, или — что то же
самое — вектора
1
предположим теперь, что функция р обращается в бесконечность не
в одной, а нескольких точках Оъ О2, О3 . . . (число и располо-
расположение которых мы не будем подвергать никаким ограничениям), оста-
оставаясь, rib прежнему, равной нулю во всем остальном пространстве. Поль-
Пользуясь предыдущим гидродинамическим представлением, т. е. рассматри-
рассматривая вектор
как скорость движения несжимаемой жидкости, а точки Ol9 О2, О3, . . .
как источника этой жидкости, нетрудно видеть, что скорость Е= — Vq>
в каждой точке (Р) должна равняться геометрической сумме скоростей
Ех==—V<Pi, Е2 = —V^2 и т- Д-> зависящих от каждого из соответ-
соответствующих источников в отдельности (при отсутствии остальных).
В самом деле, так как
V-^Ei = ^v#Ei и V X
i
то вектор
108

удовлетворяет всем тем условиям, которые ему ставятся,—а именно:
скалярная его производная V • Е остается равной нулю во всем про-
пространстве, кроме точек Оъ Оъ . . ., где она обращается в бесконеч-
бесконечность, тогда как векторная производная V X Е = 0 для всех без исклю-
исключения точек.
Таким образом, обозначая мощность полюса О» через е$, а отрезок
OiP через Rj, мы можем положить:
Е = ?^ B4)
i *
и соответственно этому
От этих формул легко перейти к общему определению вектора
Е- * п
или его потенциала у при произвольной зависимости р от г. Предпо-
Предположим, что р представляет собой непрерывную функцию г. Разо-
Разобьем все пространство (или вернее весь тот объем Vу для которого
р ф 0) на бесконечно-малые элементы Vi(i=l> 2, 3...). Поток вектора Е
через бесконечно-малую поверхность Si, ограничивающую Vi равен очевидно
fpdVi или, с точностью до бесконечно-малых высшего порядка, ргУг,
где pi — значение р в одной из точек Vi. Отсюда c/ieiyeT, согласно
формуле B3с), что этот элемент объема эквивалентен точечному источ-
источнику с бесконечно-малой мощностью
Правда, эта эквивалентность неполная, так как она относится лишь
к внешним и притом достаючно удаленным от V\ точкам. Однако она
будет тем полнее, чем меньше размеры Vi. Поэтому, переходя к пре-
пределу Ki = dV-> 0, и заменяя в формуле B3) ег~йе произведением
получаем:
Равенство
выражает то обстоятельство, что функция у представляет собой реше-
решение диференциального уравнения V2#>= — Р-
Заметим, что в предыдущих формулах значение р под знаком инте-
интеграла относится не к концу Р, а к началу Р' вектора R==P'P, при-
109

чем интегрирование соответствует перемещению Р' по всему объему V
(для которого р ф 0) при неизменном положении точки Р, для кото-
которой вычисляется ср или Е. Обозначая радиусы-векторы точек Р и Р'
по отношению к какой-либо неизменной точке О соответственно через
гиг', имеем, следовательно^,
R = r-r'. B4d)
Так как радиус-вектор г играет в интегралах B4Ь) и B4с) роль
постоянного параметра, то диференцирование их по г можно произво-
производить под знаком интеграла, считая р(*') постоянной величиной. Таким
путем нетрудно проверить, что вектор Е, определяемый формулой B4е),
представляет собой на самом деле (отрицательную) производную ска-
скалярного потенциала <р, определяемого формулой B4с).
§ 9. Вихревые линии
Переходя к определению векторного потенциала А, умножим обе
стороны соответствующего диференциального уравнения V2A=—q на
какой-нибудь постоянный вектор с. При этом предыдущее уравнение,
согласно формуле A6с) принимает вид
V2(A.c)=-(q.c).
Решая его по формуле B4с), получаем:
R
или, в виду произвольности с:
Диференцируя А векторно по г, получаем далее:
H = -±- xq = -
Точно так же для векторной производной А находим выражение:
которое, согласно предыдущему, должно равняться нулю.
Это обстоятельство легко проверить непосредственно. Так как
то, обозначая для краткости производную -р- символом V, имеем:
110

согласно условию B1а), и следовательно по формуле Гаусса-
где интегрирование распространяется по замкнутой поверхности, заклю-
заключающей весь тот объем, для которого q отлично от нуля. Поскольку
при таких условиях на самой поверхности S должно быть q = 0, то
отсюда следует, что V«A = O, в согласии с B2а).
Векторы А и Н можно, очевидно, рассматривать как сумму частей,
соответствующих отдельным элементарным объемам dV, для которых
вектор q отличен от нуля. Заменяя каждый из этих объемов одной
из его точек (Р') и связывая с последней величину
Ал '
характеризующую внешнее действие всего соответствующего объема,
можно трактовать эти точки как своего рода „источники" поля Н,
аналогичные тем „источникам" или „стокам", которые были введены
нами выше, в связи с гидродинамической интерпретацией вектора Е.
При этом роль скалярной величины, которую мы назвали „мощностью"
источника
Ал '
играет векторная величина, равная для элемента объема dV произведению
Элементарное поле Н(г), соответствующее одному источнику этого
рода с мощностью j, определяется формулой:
B5b)
Отсюда видно, что в точках сферы с радиусом R и центром Р'
вектор Н по величине и направлению совпадает с той линейной ско-
скоростью, которую имели бы эти точки при вращении сферы как целого
с угловой скоростью
-*•
Пользуясь гиародинамической интерпретацией, т. е. рассматривая
вектор Н как скорость частиц некоторой жидкости, мы должны, следо-
следовательно себе представить, что последняя расслоена на множество
концентрических сфер, вращающихся вокруг общей оси с угловой
скоростью, обратно-пропорциональной кубу их радиусов. Соответственно
этому представлению мы будем называть точку Р' (т. е. источник рас-
рассматриваемого поля) вихревой точкой или вихревым центром.
Нетрудно убедиться, что „вихрь Н", т. е. векторная производная
V X Н, получает в вихревой точке бесконечно-большое значение,—
так же мак „расхождение", т. е. скалярная производная поля вектора Е
в точечном источнике этого поля (см. выше).
Ш

Однако между этими двумя случаями существует весьма существен-
существенное различие. А именно, в случае поля Е, определяемого формулой
B3Ь), производная V«E остается равной нулю вне источника (т. е,
во всем пространстве, кроме точки г = 0). Составляя же векторную
производную от вектора
и замечая, что Vx(jxR)=2t [ср. формулу G) отдела I], получаем:
T7vH-2i Ч Rx(jxR)
т. е. вектор, численное значение которого остается конечным
на конечных расстояниях от вихревого центра.
Возвращаясь к общей формуле B5а), определяющей „соленоидаль-
ное" поле:
при произвольной зависимости q = V-xH от г, мы видим, что разло-
разложение его на элементарные составные части, соответствующие отдель-
отдельным вихревым точкам (или, вернее, элементам объема), в противопо-
противоположность аналогичному разложению поля
скрывает в себе некоторое внутреннее противоречие. А именно, пола-
полагая, что вектор q исчезает за пределами бесконечно-малого объема
dV, мы получаем для Н выражение
„вихрь" которого (долженствующий, по определению, равняться q)
не обращается в нуль вне dV. Причина этого противоречия заклю-
заключается в том, что предыдущее предположение относительно строения
q(r) противоречит условию Vq —0, непосредственно вытекающему
из определения q как векторной производной от Н. В самом деле, это
условие (или эквивалентное ему условие JqndS = 0, где S — произ-
произвольная замкнутая поверхность) выражает тот факт, что поле вектора
q не имеет ни источников, ни стоков; таким образом это поле должно
представляться графически совокупностью линий, не имеющих ни начала
ни конца, т. е. либо замкнутых, либо же простирающихся из бес-
бесконечности в бесконечность. Отсюда видно, что источником
соленоидального поля следует считать, в простейшем случае, не отдель-
отдельный бесконечно-малый элемент объема (т. е. не отдельную вихревую
точку), но бесконечно-узкую трубку, охватывающую пучок более
или менее параллельных линий вектора q. Подобная трубка называется,
вообще говоря, вихревой нитью (по отношению к полю Н) или,
в пределе, вихревой линией.
Бесконечно-малый элемент da вихревой линии можно, очевидно,
трактовать как вихревую точку с мощностью j. do, где j — вектор,
112

направленный по касательной к этой линии в определенную сторону
и сохраняющий для всех ее точек одно и то же численное
значение j. Последнее обстоятельство явствует из следующих сообра-
соображений. Представим себе вместо вихревой линии весьма тонкую вихре-
вихревую нить с поперечным сечением s (которое может быть как постоян-
постоянным, так и переменным). Элементу длины do нити соответствуют объем
dV = sda и, следовательно, мощность
где т касательный вектор, характеризующий направление da (т= 1).
Произведение qs равно, очевидно, потоку вектора q через сечение s.
Так как разность q2s2 — ^5г представляет собой поток q через зам-
замкнутую поверхность, охватывающую соответствующий отрезок нити
(ограниченный сечениями sx и s2), то, принимая во внимание, что этот
поток должен равняться нулю (в силу условия V'q = 0), получаем
q2s2= <7iSi, т. е. qs = const, или, переходя к пределу (s-> 0) и полагая
3— = у, j = const, что и требовалось доказать. Мы будем называть вели-
величину / л и нейн о й мощностью или „силой" вихревой линии.
Нетрудно убедиться, что ине вихревой линии, векторная производ-
производная обусловленного ею поля Н остается равной нулю. В самом деле, при
xV±-do, B5с)
где интегрирование распространяется по некоторой замкнутой или
бесконечной линии, имеем:
х(тх V-~)d*,
и далее по формуле (9а) в связи с тождеством
Заменяя в последнем выражении производные
V = A через ~V' = -|,
и принимая во внимание, что выражение
V)VJL
представляет собой изменение вектора V' -5- при перемещении вдоль
рассматриваемой линии на отрезок dcr, мы получаем как в случае ее
замкнутости, так и в случае бесконечности:
8 Курс теорет. механики. ИЗ

т. е. VxH = O, если только функция — остается конечной для всех
точек линии с Последнее условие нарушается лишь в том случае, если
рассматриваемая точка находится на вихревой линии; при этом производ-
производная VxH обращается в бесконечность.
Мы видим, следовательно, что в то время как простейшее потен-
потенциальное поле (типа Е = — Vу) характеризуется особенной точкой
(источником или стоком), простейшее соленоидальное поле Н =
= VxA характеризуется особой линией, замкнутой или бесконечной
(последний случай сводится к первому, если трактовать совокупность
бесконечно удаленных точек как одну единственную точку).
При исследовании простейшего потенциального поля Е (г) мы рас-
рассматривали поток вектора Е через замкнутые поверхности, охватываю-
охватывающие или неохватывающие соответствующую особенную точку (см. выше).
Аналогичную роль в случае простейшего соленоидального поля Н(г)
играет циркуляция вектора Н вдоль различных замкнутых ли-
линий а', охватывающих или неохватывающих соответствующую вихре-
вихревую линию. Нетрудно видеть, что в по-
последнем случае интеграл
fНх4о' =
обращается в нуль тождественно, т. е.
независимо от формы кривой а'. В самом
деле, преобразуя этот интеграл по фор-
формуле Стокса, имеем:
Рис-
JHrda'^
где dS'—элемент произвольной поверхности, ограниченной этой кривой,
а П' — нормаль к ней (в положительном направлении). Так как в рас-
рассматриваемом случае подобную поверхность можно провести таким
образом, чтобы она не пересекала вихревой линии (а), и так как вне
последней V X Н = 0, то циркуляция Н вдоль а' должна равняться
нулю (подобно тому, как это имеет место в случае потока Е через
замкнутую поверхность, не содержащую источника). Для того, чтобы
вычислить интеграл / Hx>dGr = / (V xH)n'dS' в том случае, когда
контур о' охватывает вихревую линию, заменим последнюю бесконечно-
тонкой „нитью" (как это уже делалось выше) и примем во внимание,
что внутри последней V X Н = q. При таких условиях поток вектора
VxH через S' сводится к произведению #5 = 4л;/, откуда следует,
что
JX'dG* = 4я/. B5d)
При этом предполагается, что контур я' охватывает вихревую ли-
линию (<г) в положительном направлении, т. е. что интегрирование
вдоль о' совершается в направлении вращения обыкновенного (правого)
винта, когда последний „ввинчивается" в поверхность S' по направле-
направлению контура а (т. е. „вихря" Н) в соответствующей точке (рис. 22).
114

Заметим, что при таких условиях контур а охватывает а9 также в по-
положительном направлении. Далее, при выводе формулы B5d) мы пред-
предполагали, что поверхность 5' пересекает о в одной только точке,
т. е., следовательно, что контур о' охватывает вихревую линию один
только раз. В случае многократного обхода вокруг этой линии, цирку-
циркуляция Н получает значение, кратное 4л]\
Легко убедиться, не вдаваясь в подробное исследование поля Н,
что изображающие его линии представляют собой замкнутые кривые
(„кольца"), охватывающие вихревую линию (и охватываемые ею) подобно
тому, как сг' охватывает о*. В частном случае прямолинейного
вихря, т. е. прямолинейности с, линии Н, как это непосредственно
явствует из соображений симметрии, принимают форму окружно-
окружностей, плоскости которых перпендикулярны к сг, а центры лежат на этой
прямой. Выбирая в качестве контура о*' одну из подобных окружностей
и обозначая радиус последней через г, получаем:
/¦
Нх4а' == На' = 2пгН
и, следовательно, согласно B5d),
И = Ц-. Bбе)
Если рассматривать вектор Н как скорость частиц некоторой жид-
жидкости, то мы должны себе представить, для иллюстрации формулы B5е),
что эта жидкость расслоена на множество коаксиальных цилиндров,
вращающихся вокруг общей оси (вихревой линии) с угловой скоро-
2/
стью —у , обратно-пропорциональной квадратам их радиусов. Заметим,
что при подобном движении частицы жидкости, расположенные вне
вихревой линии, на самом деле не испытывают вращения, так как для
них „вихрь" Н (т. е. векторная производная VxH) остается равным
нулю, в чем нетрудно убедиться непосредственно, составляя циркуля-
циркуляцию Н вдоль весьма малого контура, не охватывающего вихревой линии.
Поскольку небольшой участок всякой вихревой линии можно считать
прямолинейным, поле Н в непосредственной близости к вихревой ли-
линии, при любой форме последней, должно, определяться фор-
формулой B5е).
В случае замкнутой вихревой линии выражение B5с) для Н может
быть, согласно формуле A7), преобразовано к следующему виду:
f')V ±dS, B50
где производная V'=— в противоположность V, относится не к концу
вектора R, т. е. не к рассматриваемой точке (для которой опрег
деляется Н), а к точкам поверхности S, стягиваемой вихревой линией.
§ 10. Двойные слои
Пользуясь формулой A1с) и замечая, что
115

из формулы B5f) получаем:
(ибо вектор нормали п не зависит от г), и следовательно
Н*-/ /V(n.V'LrdS=-V/ Ai-V'idS,
т. е.
Н = — Vy, B6)
где
Л -V'^dS. B6а)
Таким образом оказывается, что простейший соленоидальный вектор
можно трактовать как вектор потенциальный, соответствую-
соответствующий некоторой незамкнутой поверхности, стягиваемой
данным контуром, в таком же смысле, в каком простейшее потенциаль-
потенциальное поле соответствует некоторой „особой" точке. Каждый бесконечно-
малый элемент этой „особой" поверхности (dS) эквивалентен, как не-
нетрудно убедиться, совокупности двух бесконечно-близких особых точек,
расположенных на противоположных сторонах этого элемента и обла-
обладающих противоположными мощностями.
В самом деле, представим себе бесконечно-малый отрезок 8 = <5п,
пересекающий dS в направлении нормали п, и предположим, что конец
этого отрезка является „источником", а начало — „стоком" бесконечно-
малой мощности, равной соответственно +de и —de. Обозначая рас-
расстояние этих точек от рассматриваемой точки (Р) через /?+ и R—,
мы можем представить создаваемое ими поле в виде — V(fy, где по-
потенциал
И — — — —
Принимая во внимание, что расстояния /?+ и /?_ весьма близки
лруг к другу, имеем:
-L_-L=8.v'^-=<5-n.V'l-
и следовательно
Это выражение совпадает по форме с элементом dip интеграла B6а),
соответствующим рассматриваемому элементу поверхности rfS. Для того,
чтобы получить численное совпадение между ними, мы должны лишь
положить
<fe.<J=/.dS, B6b)
чтб соответствует мощности
± л4 = ± "т на единицу поверхности.
116

Представим себе, что источники и стоки сосредоточены не в от-
отдельных точках, но распределены непрерывным образом на двух парал-
параллельных бесконечно-близких поверхностях S" и S', внутри которых,
как в футляре, помещается поверхность 5. Совокупность двух подоб-
подобных поверхностей называется двойным слоем. Считая расстояние д
между ними постоянной бесконечно-малой величиной, мы должны при-
приписать им постоянную бесконечно-большую мощность
При этом поле Н, соответствующее подобному двойному слою,
совпадает во всем наружном пространстве .с полем окаймляющей его
вихревой линии. Если, следовательно, мы исключим из рассмотрения те
точки, которые заключены внутри двойного слоя, т. е. в пределе точки
поверхности 5, то мы можем сказать, что замкнутая вихревая линия
совершенно эквивалентна соответствующему двойному слою или, вернее,
любому из соответствующих двойных слоев, ибо форма поверхно-
поверхности S, помимо того обстоятельства, что она ограничивается вихревой
линией, остается совершенно произвольной.
Пользуясь гидродинамической интерпретацией вектора Н, мы можем
себе представить поле двойного слоя как совокупность жидких струй,
начинающихся на положительной стороне поверхности S и кончающихся
на отрицательной. Поле вихревой линии получается отсюда устранением
поверхности S и сцеплением конца каждой струи с ее началом.
Таким образом линии вектора Н оказываются замкнутыми кольцами,
охватывающими вихревую линию (см. выше).
Так как V = — V, то
п. _== — п- v-^r^-^r
и следовательно
Скалярное произведение
равное проекции площади dS на плоскость, перпендикулярную к R,
представляет собой, очевидно, не что иное как элемент поверхности
сферы радиуса R с центром в рассматриваемой точке (Р), вырезывае-
вырезываемый конусом лучей, проведенных из этой точки к точкам dS. Отсюда
следует, что выражение
равно бесконечно-малому телесному углу йп, под которым виден из Р
элемент поверхности dS, а интеграл
nV -DdS
117

общей величине угла D, соответствующего всей поверхности S, причем
положительной ее стороне должен соответствовать знак + , а отрица-
отрицательной —. Отвлекаясь от этой поверхности, мы можем трактовать Q
как телесный угол, под которым из данной точки представляется рас-
рассматриваемая вихревая линия. Этот угол совпадает с потенциалом гр
при /=1. В общем случае
\р = jQ. B6с)
Если соединить вместе два двойных слоя, ограниченных одним и
тем же контуром, но соответствующих противоположным направлениям
его обхода, то получается замкнутый двойной слой, внешний потен-
потенциал которого равен, очевидно, нулю. Что же касается внутреннего
потенциала, т. е. потенциала внутри полости, ограниченной поверхно-
поверхностью S, то, согласно формуле B6с), он сводится к — 4п] или + 4л:/,
в зависимости от того, является ли внутренняя поверхность слоя отри-
отрицательной, а наружная положительной, или наоборот. К тем же резуль-
результатам приводит непосредственное рассмотрение интеграла B6а) как по-
потока вектора
' v R R3
через поверхность S [ср. формулу B3с)].
§11. Определение потенциального поля в ограниченной области;
функция Грина
Мы видели выше, что вопрос о нахождении векторной функции F(f),
удовлетворяющей уравнениям V-F = /?, V X F = q, где р и q задан-
заданные функции от r(V*q = 0), сводится к интегрированию уравнения
у2^ = — рщ В виду исключительной важности этого уравнения (впер-
(впервые исследованного Пуассоном), мы приведем еще один способ его
интегрирования, более строгий, чем тот, который был изложен в преды-
предыдущем параграфе, и вместе с тем более общий, в смысле выбора
той области, для которой заданы значения р. Этот способ (связываемый
обычно с именем Грина) основывается на следующей формуле:
f
n dS = fiw*<p + Vr V<p) dV, B7)
которая непосредственно получается из формулы Гаусса (За) при F =
= yV9?> B связи с равенством (8а). Необходимо помнить, что эта фор-
формула имеет место лишь при условии непрерывности функций ср
и гр в пределах области интегрирования, т. е. внутри объема V и
на ограничивающей его поверхности S; помимо этого обстоятельства,
функции (р и у) остаются совершенно произвольными. Вычитая из фор-
формулы B7) ту, которая получается из нее перестановкой ср и гр, полу-
получаем так называемую формулу Грина:
/ B7a)
Представим себе, что поверхность S состоит из двух замкнутых
поверхностей S' и S", из коих первая заключена целиком внутри вто-
118

рей (как показано на рис. 21). Примем во внимание некоторую точку Р,
расположенную внутри „внутреннейи поверхности S', и обозначим рас-
расстояние ее от различных точек объема V, заключенного между 5' и S",
через R. Так как функция — остается конечной и непрерывной для
всех этих точек, то мы можем положить в формуле B7а) у) = ~.
Обозначая внешние нормали к S' и 5" через п' и п" и принимая во
внимание, что по отношению к объему Vt\' представляет собой внутрен-
внутреннюю нормаль, получаем, в связи с равенством у2 —= 0:
Представим себе теперь, что поверхность S' неограниченно сокра-
сокращается, стягиваясь к точке Р. При таких условиях, в виду непрерыв-
непрерывности функций ср и W, значения их под знаком интеграла по S' можно,
очевидно, заменить постоянными значениями, относящимися к точке Р,
т. е., следовательно, положить
Первый из этих интегралов при неограниченном уменьшении S'
стремится к нулю (ибо поверхность 5' пропорциональна квадрату
ее линейных размеров, т. е. /?2; в случае сферической и вообще сим-
симметрической по отношению к Р поверхности он остается равным нулю
при любых размерах последней); что же касается второго, то, пред-
представляя собой поток вектора
через поверхность 5', он остается равным — 4тт, независимо от ее раз-
размеров и формы [ср. формулы B6а) и B6с)]. Полагая —Vy = Е и
у2<р = — р и принимая во внимание, что интеграл
сохраняет конечное значение при S'->0, т. е. при V->V", где V —
объем, ограниченный наружной поверхностью S", получаем:
S-. B7b)
Эта формула представляет собой обобщение формулы B4с) в том
смысле, что она позволяет вычислить функцию ср для любой точки
некоторой ограниченной области пространства, если известны зна-
119

чения y2q> = — р внутри этой области, а также значения (р и ?п»
на ограничивающей ее поверхности. В случае неограниченной области
роль граничной поверхности играет „бесконечно-удаленная точка".
Если в предыдущем выводе заменить -5- функцией вида гр = -^ + %,
где %—функция конечная и непрерывная в объеме V", удовлетворяю-
удовлетворяющая условию у2х = 0 внутри него и равная —о" на поверхности S",
то формулу B7Ь) можно заменить следующей:
f ippdV" — f
B7с)
в которую вовсе не входят значения Vy в точках S". Эта формула
непосредственно явствует из того обстоятельства, что при R -> О функ-
функция у> практически совпадает с -^. Подобная функция называется
„функцией Грина" по отношению
к поверхности S", Фактическое ее
определение при произвольной
форме последней представляет
большие трудности. В простей-
простейшем случае сферической поверх-
\р* ности функция Грина определя-
определяется следующим образом.
Примем во внимание, наряду
с центром сферы О и внутрен-
внутренней ее точкой Р, внешнюю точку
Р', лежащую на прямой ОР с
Рис 23. той же стороны, что и Р, и
притом на расстоянии ОР' ¦-=¦ г\
г} где г = ОР, а г0 — радиус
г' г0 =
определяемом равенством
сферы.
Точка Р', называемая „гармоническим полюсом" по отношению к Р,
представляет собой вершину конуса, касающегося сферы вдоль окруж-
окружности, плоскость которой перпендикулярна к ОР' и проходит через Р
(рис. 23). Действительно, обозначая одну из точек касания через Qo,
имеем из подобия прямоугольных треугольников OP'Q0 и OPQO:
P'O:OQ0^OQ0'.OP,
т. е.
Аналогичным образом получаем:
т. е.
= иди _-2-_==1
где /? и /?' суть расстояния точек Р и Р' otQ0. Это равенство оказы-
оказывается справедливым не только для точек касания конуса к сфере, но,
как нетрудно убедиться, для всех точек последней. В самом деле, тре-
120

угольники P'OQ и QOP, имея общий угол (в О), заключенный между
соответственно пропорциональными сторонами (ибо P'O'.OQ = QQ\OP)>
являются подобными. Отсюда следует, что P'Q'.QO = PQ:OP, т. е.
где R = PQ, a /?' = P'Q.
Сохраняя эти обозначения для расстояний точек Р и Р' от любой
внутренней точки сферы (Р") и принимая во внимание, что величина
—i-_ — _L__ ^ рассматриваемая как функция радиуса-вектора OF" = г" (при
неизменном положении Р'), удовлетворяет уравнению Лапласа
мы можем, очевидно, положить
В случае точек, лежащих на сфере (для которых, следовательно,
сама функция хр равна нулю), имеем:
или, так как R -= PQ = OQ —ОР = г0 — г и R' = P'Q ^OQ — OPf
_r r'—f — Г —
где r0 — радиус-вектор, проведенный из центра сферы (О) к рассматри-
рассматриваемой точке ее поверхности (Q). Подставляя эти выражения в фор-
формулу B7с) и замечая, что вектор нормали п" совпадает по направле-
направлению с г0, получаем окончательно:
где сЮ = —§ телесный угол, под которым виден из центра сферы
элемент поверхности dS".
При выводе предыдущих формул мы предполагали, что рассматри-
рассматриваемая точка (Р) лежит внутри поверхности S". Они, однако, могут
быть легко распространены на противоположный случай. Предположим,
что поверхность S', заключающая точку Р, лежит не внутри, а вне
поверхности S". Из окружающего S' и S" безграничного пространства
выделим объем V> заключенный внутри некоторой весьма большой по-
поверхности S(°\ Если при интегрировании по формуле B7а) мы будем
стягивать Sf к Р и раздвигать S(o> до бесконечности, то, при доста-
достаточно быстром убывании у, мы снова получим формулу B7Ь)
или B7с), с той разницей, что при этом V" будет означать объем

наружн#г® (по отношению к S") пространства, а п" — внутреннюю
маль к S".
Этот случай можно формально свести к предыдущему, считая
понятия „внутренний" и „наружный" относительными (подобно
тому, как это имеет место для двух частей, на которые какая-либо
замкнутая поверхность разделяется проведенной по ней замкнутой
линией), и различая те две области пространства, которые граничат
вдоль рассматриваемой замкнутой поверхности, как конечную („вну-
(„внутреннюю" в обычном смысле слова) и бесконечную.
При этом, однако, для применимости формулы Гаусса
f
к бесконечной области, необходимо трактовать бесконечно-удаленную
точку как „сток", мощность которого равна (по абсолютному значению)
общей мощности всех „источников", находящихся в конечной области.
Таким образом, например, формула B7е) может служить для вычисле-
вычисления потенциала ср в какой-либо „наружной" по отношению к сфере S"
точке (Р), причем под Р' следует в этом случае подразумевать „вну-
„внутреннюю" точку сферы, гармонически сопряженную с Р, и переменить
знак у поверхностного интеграла (соответственно изменению направле-
направления нормали я").
§ 12. Теорема Дирихле
При сравнении формул B7Ь) и B7с) [или в частности B7е)] невольно
возникает сомнение в тождественности определяемых ими значений
функции ср для всех точек рассматриваемой области. Нетрудно, однако,
доказать, что при заданных значениях этой функции или нормальной
составляющей ее градиента Е = —V^ на поверхности S", ограничиваю-
ограничивающей эту область, а также величины у2^ = —р внутри последней, функ-
функция ср определяется вполне однозначным образом, так что раз-
различные выражения ее, как бы они ни отличались друг от друга с внеш-
внешней стороны, по существу должны быть тождественными.
Если в формуле ^27) положить гр = ср и подразумевать под S поверх-
поверхность S", а под V соответствующий объем (V"), то она принимает вид:
~ f <p<EndS+ f\pdV= f&dV. B8)
J J J
Отсюда следует, что, если величина р = — у2<р равна нулю внутри
рассматриваемой области, а ср или — (v?0n ^ Еп исчезает на ограничи-
ограничивающей ее поверхности, то
Л E4V «0.
А так как подинтегральная функция Е2 не может принимать отрица-
отрицательных значений, то она при этом должна обращаться в нуль тожде-
тождественно, т. е. для всех точек объема V. Таким образом в пределах
этого объема ср = const (в частности = 0).
Предположим теперь, что ср и ср' суть две функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию v?9? = VV = — рфО внутри рассматриваемой области
122

и одному из условий у == <р' Ф0 или Еп = Е'пфО (Е' = —Vp') на ее
границе. Составляя разность этих двух функций у' — у = <5#? и прини-
принимая во внимание, что у2 (дер) = у29?' — у2<^ = 0, получаем, согласно
предыдущему, у'— 9?= С, где С — постоянная, обращающаяся в нуль,
если даны поверхностные значения самой функции у, и остающаяся
произвольной, если даны соответствующие значения Еп, т. е. ее „произ-
„производной по нормали".
Оставляя вопрос о величинах у2у и yV'> а также о граничных зна-
значениях функций у и у' или их производных по нормали открытым,
составим разность интегралов
Jf(wT-dV и J =
Так как
TO
Первый из этих интегралов можно представить, согласно формуле B7)
в одном из следующих двух видов:
нли
fV(f-4d<pdV =— f
Соответственно этому мы получаем следующие два выражения для Zl/:
4/ = /№<PJdV -2 Jbq> v*tpdV +2 Jbq>($<p)ndS B8a)
AJ^ f (ydyf dV -2 f cp>TLtp dV + 2 Jу.(s/6y)ndS. B8b)
Предположим, что граничные значения у и yf совпадают, т. е. что
на поверхности S разность у' -— у =ду обращается в нуль, но что
подобное совпадение не имеет места внутри рассматриваемой области,
и величина vV = V"^ отлична от нуля (при yV = vV == ^ мы
имели бы, согласно предыдущему, у' = у). Формула B8а) показывает,
что при таких условиях разность AJ сводится к интегралу / (у^^J^ V
и, следовательно, представляет собой существенно положительную вели-
величину. Таким образом, уравнение у2у = 0 для некоторой огра-
ограниченной области можно рассматривать как условие
минимума интеграла / (у у)* dV, распространенного по
объему V этой области, при заданных значениях у
на ограничивающей его поверхности.
Для того, чтобы разность AJ, определяемая формулой B8Ь), так же
как и в предыдущем случае, сводилась к первому члену правой части,
и притом имела отличное от нуля значение, должны быть выполнены
123

следующие условия: 1) в объеме V: у2д(р = 0, т. е. у2<р' = |72^ 2) на по-
поверхности S: <р = const и / (v^^n) dS = / (V9>% dS— / (w)n dS =
= 0. Это значит, что из множества функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих в рассматриваемой области уравнению у2^ = —¦/?,
где р — заданная функция от г, и характеризующихся
заданным значением потока вектора Е = — Vy через
граничную поверхность S, минимуму интеграла
соответствует та функция, ф(г), которая на этой поверх-
поверхности остается постоянной.
Заметим, что в том случае, когда под V подразумевается объем
пространства, заключенного внутри S, условие
/№<P)ndS = 0, т. е. j (W')n dS = f (V9?)n dS
представляет собой непосредственное следствие условия
V =0.
В противном случае эти условия являются совершенно независимыми
друг от друга.
Пользуясь гидродинамической интерпретацией вектора Е=—V<p
как скорости частиц некоторой жидкости (функция ср называется в этом слу-
случае „потенциалом скоростей") и приписывая последней неизменную плот-
плотность ?>=1, можно рассматривать интеграл J = / E2dV как удвоен-
удвоенную кинетическую энергию этой жидкости в объеме V. Необходимо,
однако, иметь в виду, что предположение относительно неизменности q,
т. е. несжимаемости жидкости, накладывает определенное ограни-
ограничение на характер потенциальной функции ср. Это ограничение вы-
выражается уравнением V«E = — \2<p ~ 0, которое непосредственно сле-
следует из того обстоятельства, что поток несжимаемой жидкости
через любую замкнутую поверхность, не содержащую источни-
источников или стоков, должен равняться нулю. Те точки или, вернее,
элементы объема, в которых величина V-E = p отлична от нуля, сле-
следует рассматривать с вышеуказанной точки зрения как источники (или
стоки) жидкости с удельной (отнесенной к единице объема) мощ-
р
ностыо -—,
Представим себе, что источники и стоки заключены внутри несколь-
нескольких (внешних по отношению друг к другу) поверхностей Sp 52, ...
Рассматривая их как составные части поверхности 5, ограничивающей
наружное (бесконечное) пространство V, и считая общую мощность
источников, заключенных в каждой из поверхностей Si, S2, . •., опре-
определяемую интегралами
J p1dVl^ J nvEdSly f p2dV2 = J'nrEdS2, ...
124

постоянной (заданной) величиной, можно формулировать условие мини-
минимума кинетической энергии жидкости, находящейся за пределами этих
поверхностей (т. е. в объеме V), следующим образом: распределение
источников внутри поверхностей Slf 52, ... должно быть таково, чтобы
эти поверхности были эквипотенциальными, т. е., следовательно, чтобы
жидкость вытекала (или втекала) через каждую из этих поверхностей
в направлении соответствующих нормалей 2).
§ 13. Определение соленоидального поля в ограниченной области
При отсутствии источников во всем пространстве потенциальное
движение несжимаемой жидкости, т. е. такое, скорость которого выража-
выражалась бы формулой вида Е = —V^, оказывается невозможным. Другими
словами, если уравнение у2ср == 0 имеет место для всего пространства,
то потенциал (р сводится к постоянной величине, так что градиент его
обращается в нуль.
В этом случае, однако, остаются возможными движения „соленои-
„соленоидального" типа, при которых скорость жидкости выражается форму-
формулой H=VxA, где А — вектор, играющий роль потенциальной функ-
функций (<р) и называемый, как мы уже указывали выше, векторным потен-
потенциалом. Роль источников или стоков играют в этом случае „вихри",
пространственное распределение которых характеризуется векторной
функцией q=VxH = ~v2A (при условии V*q = 0, § 7), Так как
уравнение у2А = — q, скалярным умножением обоих его членов на произ-
произвольный постоянный вектор с приводится к виду у2(А-с) = — (q-c),
т. е. к уравнению скалярного потенциала у2ср = — р, которое было
исследовано выше, то основные результаты этого исследования могут
быть непосредственно распространены и на рассматриваемый случай.
Так например, полагая в формуле B7Ь) ср = (А-с) и р = q-c, получаемг
или, принимая во внимание, что n"« V(A-c) = [(iT- V)A]-C и сокращая
предыдущее равенство на с:
Л^МЖ <29>
При неограниченном увеличении S и достаточно быстром убыва-
убывании А с увеличением R эта формула обращается в B4). Далее мы
можем утверждать, что уравнение у2А = —q, при заданных граничных
условиях, определяет А вполне однозначным образом в пределах рас-
рассматриваемой области. В случае неограниченности последней, эти усло-
условия сводятся к заданию (постоянного) значения А (например А == 0)
в бесконечно-удаленных точках; если при этом q = 0, то и вектор
также обращается в нуль.
2) Линии вектора v<P перпендикулярны к поверхностям gp=* const (см. § 1).
Распределение источников внутри поверхностей Slt St и т. д. определяется
видом функций р1% /?2, ..., для соответствующих значений радиус-вектора г.
125

Вопрос о характере граничных условий, которым должен удовлетво-
удовлетворять векторный потенциал А (или вектор H=VxA) при задании
вихревой функции q в ограниченной области, может быть решен неза-
независимо от соответствующих условий для скалярного потенциала, на осно-
основании следующего равенства:
f.4*AdV, B9а)
которое получается из формулы Гаусса C) в связи с формулой (9) и
условием V«A = O и которое представляет собой полный аналог равен-
равенства B7I).
Если положить в B9а) В = A, V X А = Н и у2А = — qt то полу-
получается формула аналогичная B8):
f B9b)
Отсюда видно, что, при q = 0 в объеме V и й-(А х Н) = 0 на огра-
ограничивающей его поверхности, вектор Н также обращается в нуль. Так
как п • (А X Н) = А • (Н X и), то вышеприведенное граничное условие
можно заменить одним из следующих двух: 1) А = 0 или 2) Н X П =0;
последнее условие сводится к перпендикулярности Н к S. Рассуждая
точно так же, как мы это делали выше, нетрудно убедиться, что для
однозначного определения вектора Н в рассматриваемой области при
произвольном распределении вихрей (т. е. произвольном виде функции q),
необходимо и достаточно знать либо граничные значения потенциала,
либо же тангенциальную составляющую вектора Н. Что
касается нормальной составляющей (//п), то она получает при этом
вполне определенные значения в различных точках поверхности 5 и
потому не может задаваться произвольным образом. Последнее явствует,
между прочим, из того обстоятельства, что интеграл
JHndS=
при H=VxA, должен обращаться в нуль. Задавая, наряду с танген-
тангенциальной составляющей, нормальную составляющую Н таким образом,
чтобы предыдущее услозие было соблюдено — например, полагая Нп = 0,
мы тем самым налагаем определенные ограничения на характер поля
вектора Н внутри 5, а следовательно и на вид функции q=V-H.
Однако фактическое определение поля Н по заданным граничным значе-
значениям этого вектора представляет собой, вообще говоря, весьма труд-
трудную математическую задачу, на анализе которой мы не имеем возмож-
возможности останавливаться. Заметим, что аналогичным образом обстоит дело
с граничными значениями потенциального вектора Е = —Vy. Так как
этот вектор вполне определяется своей нормальной составляющей п-Е
и функцией /?=V*E, то тем самым фиксируется и его тангенциальная
*) Вычитая из равенства B9а) то, которое получается из него при переста-
с
новке Аи В, и полагая В = -75-, нетрудно вывести формулу, соответствую*
А
щую B7Ь) и вполне эквивалентную B9)*
126

составляющая, характеризующаяся векторным произведением пхЕ.
Задавать эту составляющую a priori, наряду с нормальной, мы можем
лишь при соблюдении условия:
nxEdS=*
и даже еще более стеснительного условия:
для любого замкнутого контура, проведенного на поверхности, и притом
сставляя совершенно открытым вопрос о виде функции р.
В § 7 было показано, что всякий вектор F может быть представлен
в виде суммы потенциального Е =— V^ и соленоидального Н =V X A,
из коих первый определяется „источниками" поля F(r), т. е. скаляр-
скалярной функцией р? а второй — его „вихрями", т. е. векторной функ-
функцией q.
Если эти функции заданы в ограниченной области, то для однознач-
однозначного определения векторов Е и Н достаточно знать, как мы видели
выше, нормальную составляющую первого (й-Е) и тангенциальную со-
составляющую второго (п X Н) на соответствующей поверхности. Эти
составляющие должны быть определены таким образом, чтобы
nE+nH=nF и n
т, е, чтобы
n H = n F — n Е и nxE = nxF~nxH.
При заданных граничных значениях вектора F, предыдущие равенства
являются, вообще говоря, несовместимыми с значениями одной
из его производных (скалярной ^7-? = р или векторной VxF=q)
в точках рассматриваемой области. Таким образом, считая граничные
значения F известными, мы можем свободно распоряжаться лишь одной
из функций р и q.
В случае р = 0 поле F (f) называется б е з и с т о ч н ы м, а в случае
q = О— невихревым. Всякое соленоидальное поле является, оче-
очевидно, безисточным, а всякое потенциальное —- невихревым. Однако
обратное можно утверждать лишь в том случае, если рассматриваемая
область охватывает все пространство. В случае ограниченности ее, без-
источное поле может оставаться потенциальным, а невихревое — соле-
ноидальным, обусловливая^ (фактическими или фиктивными) источниками
или вихрями, расположенными за пределами этой области.
§ 14. Векторный анализ на плоскости и теория функций
комплексной переменной
Во многих вопросах механики и физики приходится рассматривать
векторы не в пространстве, а лишь на некоторой плоскости. Раз-
Разлагая подобные векторы на составляющие в рассматриваемой плоскости
и по нормали к ней, можно трактовать нормальную составляющую, как
скалярную величину (положительную или отрицательную, в зависимости
127

от ее направления в ту или другую сторону), а составляющую, парал-
параллельную плоскости — как двухмерный вектор.
Пользуясь уже рассмотренным выше (отдел I, § 7) соотношением
между векторами на плоскости и комплексными величинами и рас-
рассматривая радиус-вектор г на плоскости (ху), как комплексную пе-
переменную z = X+/y, мы можем трактовать всякую скалярную или
векторную функцию от радиуса-вектора г как вещественную или ком-
комплексную функцию от комплексного аргумента z. Ограничиваясь такими
функциями F(z), в которых z играет роль обыкновенного скалярного
аргумента, и полагая F(z) = Fx(x, у) + iFy(x, у), получаем, в случае
конечности и непрерывности функций вблизи рассматриваемой точки
(последняя называется при этом „обыкновеннойи точкой), следующие
соотношения:
dF dF dF^ . . dF,,
т. е.
dZ dr ~ri /)r ~~ Hv L d\t \°"'
ИЛИ
* dx - ду ' дх " ду V"VM/
(условия Коши). Из этих соотношений следует, что функции Fx (x, у)
и Fy(x,y), опять-таки при условии конечности и непрерывности как
их самих, так и их первых производных, должны удовлетворять урав-
уравнениям:
дх
dF
dy
*Fx
dx
X
dz
dF
dz
V
dx '
dFx
dy +
dFy i
dx
V
dx
dy'
)Fy . i
dy
dFx
dy
d*Fx dFxdFy JF
*" ду*
дх2 т ду2 дх' *" ду*
которые эквивалентны векторному уравнению:
V^^O или v2F* = 0' C0b)
Таким образом аналитическое представление при помощи функций
комплексного аргумента Z = x-\-iy допускают лишь такие плоские век-
векторные поля, которые удовлетворяют условию (ЗОЬ)г).
Обратно, всякая аналитическая функция от комплексного аргу-
аргумента F (z) представляет собой некоторое плоское векторное поле,
удовлетворяющее условию (ЗОЬ). Заметим, что подобные поля назы-
называются обычно гармоническими.
Определяя скалярные и векторную производные плоской векторной
функции формулами:
divF *F*+-TV- nrtF—^--^4 C1)
дх ' ду ' дх ду ' v '
Заметим, что наиболее общее решение уравнения ——-{--—-=: о имеет
/ /
вид F = Д(х-Иу) + Мх-'}')> т. е F = fi(z) Ь/2(г*), где /х и /2 - две совер-
совершенно произвольные функции.
128

из коих вторая соответствует нормальной слагающей трехмерного век-
вектора rotF, и, пользуясь условиями C0) и C0а) для аналитических
функций, получаем:
дх
дх
ду
C1а)
dF
где F'(z) обозначает производную -г~-
Скалярную и векторную производные плоской векторной функции
можно также определить синтетически при помощи формул:
div F = пред. -=,- / F • n do
а->0 ь J
rotF = пред. -^- / F • xda
C1b)
где а обозначает замкнутый контур, стягивающийся к рассматриваемой
точке, z — касательный вектор, а п — внешнюю нормаль к do (ср. соот
ветствующие формулы § 2). Принимая во внимание, что F • tdo = F • dx
и F-ndcr = Fxdr, и вводя вместо радиуса вектора комплексный аргу-
аргумент z, получаем, согласно формуле B6а) отдела I (§ 7):
и, следовательно,
rotF + i div F = пред. -|- fF(Z*)dz.
При замене бесконечно-малого контура совершенно произвольным
замкнутым контуром о это равенство переходит в формулу:
S, C1с)
представляющую собой соединение формул Стокса и Гаусса в приме-
применении к плоским векторным полям.
Применяя операции div и rot к векторному полю F*, сопряженному
с F, т. е. представляемому функцией F* = F B*) = F^ — - iFy, получаем
(при условии конечности и непрерывности F):
ду
дх
ду
дх
C1d)
ду дх ду
В случае непрерывности функции F(z) внутри контура сг, фор-
формула C1с), при замене F на F* [и, следовательно, F(z*) на F(z)]t
превращается в тождество
J*F(z)dz = f F'tdo+i f Fldo = 09
C1 е)
Курс теорет, механики.
129

выражающее известную теорему К о ш и. Если внутри контура имеется
несколько „особых точек" или полюсов Z = ZV z'2,...Zk, для которых
|F(z)) = oo, то интеграл / F(z)dz сводится к сумме интегралов по
бесюжечно-малым контурам, охватывающим эти полюсы, т. е. к произ-
произведению 2ni на сумйу вычетов функции F (z) относительно каждого
из полюсов. Обозначая эти вычеты через ег, е2, . . . в&, получаем:
C1f)
Отсюда видно, что при вещественности всех рассматриваемых вы-
вычетов, „циркуляция" вектора F*, выражаемая интегралом / Ft da =
Р J
= / F* • t do и представляющая собой вещественную часть интеграла
/ F(z)dzf остается равной нулю для любого замкнутого контура. На-
Наоборот, в случае мнимости вычетов обращается в нуль „поток" век-
вектора F*, представляющий собой мнимую часть интеграла / F(z)dz.
Далее? каждый вещественный вычет, умноженный на 2л, равен потоку
вектора F* через бесконечно-малый контур, охватывающий соответ-
соответствующий4 полюс, а каждый мнимый, умноженный на 2niy — цирку-
циркуляции F* вДоль соответствующего бесконечно-малого контура. Таким
образом полюсы с вещественными вычетами являются „ источниками*
(или „стоками") поля F*, а полюсы с мнимыми вычетами—„вихревыми
точками" этого поля, причем численное значение вычета определяет
„силу" источника или вихря.
В случае трехмерных (пространственных) векторных полей аналогия
между „источниками" и „вихрями" нарушается тем обстоятельством,
что первые являются точками, а вторые — линиями. В случае двух-
двухмерных плоских полей это различие исчезает: вихревые линии (перпен-
(перпендикулярные к рассматриваемой плоскости) сводятся к точкам, а по-
поверхностные интегралы, соответствующие источникам (или „стокам")
и измеряющие „силу" последних, превращаются в контурные того же
вида, как и те, которыми определяется циркуляция, с той разницей,
что касательный вектор заменяется вектором нормали.
Поле точечного источника в пространстве определяется фор-
формулой
где /?=rf — г' [ср. § 8 формула B3Ь)]. В случае плоскости ему
соответствует поле, определяемое функцией
где z—комплексное число, представляющее радиус-вектор рассматри-
рассматриваемой точки (Р), a z' имеет аналогичное значение по отношению
к полюсу (Р'). Составляя функцию, сопряженную с предыдущей, по-
получаем:
р <?*\ - е ~ ?(z-z') _ e(z-z')
190

Отсюда видно, что при вещественности е, вектор F(z*)~F* на-
направлен по прямой Р'Р и обратно пропорционален первой степени
расстояния P'P=\z — г'\. В случае мнимости в вектор F* перпен-
перпендикулярен к прямой Р'Р, так что изображающие его линии пред-
представляют собой окружности с центром в Р' (в предыдущем случае им
соответствуют расходящиеся из этой точки радиусы).
При наличии нескольких полюсов — „неточного" или „вихревого"
типа — определяемое ими плоское векторное поле выражается суммой
—„ k ,»¦¦, распространенной по всем полюсам. При непрерывном
h
распределении последних с „поверхностной плоскостью" q(z') эта сумма
превращается в интеграл
где dS' — dx' dyf—~ элемент рассматриваемой плоскости.
Заметим, что в этом случае формулы (<Ш) заменяются следующей1)
rot F* + i div F* = 2niQ. C2b)
Полагая F(z) = ~^, имеем согласно формулам C0) (при условии
т. е.
/7*= —
дх ду
C2с)
Отсюда видно, что вещественная часть функции /(z), т.е. fxиграет
роль скалярного потенциала q> по отношению к полю FB*),
в то время как мнимая часть fy играет роль векторного потенциала А,
перпендикулярного к рассматриваемой плоскости (Ах = Ау = О, AZ =
= —/у). При замене f(z) на — //(г), функции/Л и fy меняются ролями,
а именно — fy станозится скалярным, a fx — векторным потенциалом.
Функцию / B), определяемую формулой F(z) = — -/-, мы будем на-
называть комплексным потенциалом поля F(z*). Таким образом,
потенциал этот равен неопределенному интегралу функции — F(z).
В простейшем случае точечного источника или вихря имеем, согласно
формуле C2), /(г) = — / ?_г, = — еlg(г — г') + const В случае не-
*) Необходимо подчеркнуть, что функция F (z), определяемая формулой
C2а) или уравнением C2Ь), является аналитической, т. е. удовлетворяет
условиям C0а) только в тех частях плоскости, где g = Q,
9* 131

прерывного распределения полюсов комплексный потенциал выражается
интегралом
f C2d)
распространенным по всей плоскости.
Если внутри некоторого контура а функция /(г) не имеет осо-
особенных точек, то значение ее в одной из внутренних точек (?) можно
определить как вычет функции -^Щг и выразить через граничные зна-
чения f(z) в виде интеграла
распространенного по контуру а. Эта формула (принадлежащая Коши)
соответствует совокупности формул B7Ь) и B9) этой главы для ска-
скалярного и векторного потенциалов, удовлетворяющих внутри рассматри-
рассматриваемой области уравнению Лапласа.
Линии fx = const и fy = const [где fx -f- ify = / (x + iy)] образуют,
как известно, два семейства ортогональных кривых. Так
как вектор F*, определяемый как градиент скалярного потенциала fX)
перпендикулярен к кривым fx = const, то отсюда следует, что линии,
изображающие этот вектор, совпадают с кривыми fy = const (т. е. кри-
кривыми постоянного векторного потенциала).
ГЛАВА III
ПРИНЦИПЫ ГИДРОДИНАМИКИ И АЭРОДИНАМИКИ
§ 15. Основные уравнения механики текучих тел
В противоположность твердым телам, тела текучие, т. е. жидкости
и газы, характеризуются спЬсобностью образующих их частиц произ-
произвольным образом перемещаться по отношению друг к другу. В виду
чрезвычайной малости этих частиц и невозможности проследить за дви-
движением каждой из них в отдельности, жидкости и газы трактуются
механикой как тела сплошные, непрерывным образом заполняющие
пространство или некоторую ограниченную его область. Для характе-
характеристики кинематического состояния жидкости или газа; с каждой
точкой (Р) заполняемой ими области связывается вектор V, равный
скорости той частицы, которая проходит через эту точку в рассматри-
рассматриваемый момент времени.
Таким образом вектор скорости представляет собой функцию двух
аргументов — радиус-вектора г(=ОР, где О — произвольная точка про-
пространства) и времени /. Эта функция v(/, г) считается обычно непре-
непрерывной по отношению к обоим аргументам (хотя принципиально
возможны пространственно „разрывные" движения, при которых сопри-
соприкасающиеся слои жидкости или газа скользят один по другому с раз-
различными скоростями).
Исследованием кинематики жидкостей и газов мы здесь заниматься
не будем, так как этот вопрос был достаточно подробно исследован
132

в первых двух главах этого отдела, в связи с гидромеханической иллю-
иллюстрацией полученных там общих аналитических результатов.
Что касается динамического состояния жидкости или газа, то оно
характеризуется двумя скалярными величинами, которые также пред-
представляют собой непрерывные функции радиуса-вектора и времени:
плотностью q(г, /) и давлением р(г, t). Если все три величины
(V, q, р) не зависят от времени, то движение называется „установив-
„установившимся" или „стационарным".
Жидкие тела можно в первом приближении считать несжима е*
мыми, т. е. плотность их трактовать как величину постоянную —
в пространстве и во времени. В случае реальных сжимаемых тел между
плотностью и давлением существует определенное функциональное
соотношение вида q = /(р, в), в которое в качестве параметра входит
температура 0. Последнее обстоятельство значительно усложняет теоре-
теоретическое исследование движения газов, неразрывно связывая это движе-
движение с различными термодинамическими процессами.
Постоянство плотности налагает нл движение жидкостей (которые
в дальнейшем мы будем обычно считать несжимаемыми) определенное
условие, вытекающее из закона сохранения материи и выражаемое
уравнением
divv = 0. C3)
В случае газов (которые обычно трактуются как „сжимаемые жид-
жидкости") закон сохранения материи или вернее массы, не накладывая
подобного ограничения на поле вектора V, устанавливает определенное
диференциальное соотношение между этим вектором и плотностью.
Обозначая частную производную по времени (при г = const) символом
-ч -, мы можем представить приращение массы газа в данном объеме V
за бесконечно-малый промежуток времени dt интегралом
Это приращение должно обусловливаться притоком массы извне
через ограничивающую V поверхность S. Масса газа, протекающего за
•время dt через элемент поверхности dS, равна, очевидно QVndtdS,
где п — внешняя нормаль к dS, со знаком минус, если мы опреде-
определяем приток газа внутрь S. Таким образом мы получаем равенство
dt I -~ dV = —dt I QVndS или, сокращая на dt и преобразуя по-
поверхностный интеграл в объемный (по формуле Гаусса) / (—- -f-
/ = 0. Отсюда следует, в виду произвольности объема V:
^--f divev = O. C3a)
Это и есть вышеупомянутое соотношение между q и V (обычно
называемое „уравнением сплошности"). При q =» const оно превращается
в условие несжимаемости C3).
183

Так как V • QV = gV • v + v • V@, то формулу C3а) можно перепи-
переписать в виде
Для выяснения смысла этого уравнения заметим, что материальная
частица (Q), находящаяся в момент t в точке Р (с рздиусом-векто-
ром f), через бесконечно-малый промежуток времени dt перемещается
в соседнюю точку Р' с радиусом-вектором t + vdt. Таким образом,
относя значение плотности или какой-либо другой скалярной функции
(р (г, 0 не к точке Р, а к соответствующей материальной частице Q,
мы получим для бесконечно-малого изменения этой функции за время
dt следующее выражение:
Быстрота изменения рассматриваемой функции для данной ча-
частицы равна, следовательно:
Таким образом уравнение сплошности принимает вид:
1 f- + diw = 0. C4а)
Заменяя скалярную функцию <р (/, г) векторной F (tf f), получаем
точно так же:
§ ^ V)F
(ср. определение операции (Е • V) F, § 4), т. е.
? = §-Kv-V)F. C4b)
При F = V эта формула дает ускорение рассматриваемой ча-
частицы :
Пользуясь формулой A1) § 4, имеем при Е = F = v:
V (v • v) = 2 (v • V) v + 2 (V х v) x v,
и следовательно,
W = -^ + (r°tv)XV -f V-4-. C4c)
Согласно основному закону движения, ускорение каждой частицы,
умноженное на ее массу, должно равняться геометрической сумме дей-
действующих на нее сил. Заменяя отдельную частицу совокупностью частиц,
заполняющих в рассматриваемый момент элемент объема dV, мы должны,
следовательно, приравнять произведение q dVw сумме действующих н$
134

этот элемент внешних и внутренних сил. Что касается внешних сил,
то, имея в виду главным образом силы тяжести, мы будем считать их
пропорциональными массе соответствующих частиц (quV), и притом
консервативными. Обозначая потенциальную энергию, отнесенную
к единице массы в точке г, через U (/, г), мы для внешней силы, дей-
действующей на элемент объема dV, получаем выражение —gdWU.
Переходя к рассмотрению внутренних сил, мы имеем прежде всего
силу—Vp • dV, зависящую от неодинаковости гидростатического дав-
давления вокруг данной точки (см. § 3). К этой статической силе необхо-
необходимо, однако, присоединить силу кинетического характера, зави-
зависящую от неодинаковости вектора скорости, — так называемую силу
внутреннего трения. Эта сила может быть определена следующим
образом. Представим себе два слоя тела Уг и V2, граничащих вдоль
некоторой поверхности 5. Обозначим через п нормаль к d<S, прове-
проведенную из V1 в V2 Быстрота изменения скорости в направлении этой
нормали выражается вектором (nV*)v- Поскольку движение тела —
или вернее части его, примыкающей к dxS,— не связано с вращением
или всесторонним расширением, при которых относительное рас-
расположение различных частиц остается неизменным, силу трения, испы-
испытываемую слоем Уг со стороны V2> можно считать пропорциональной
по величине и совпадающей по направлению с вектором (п • V) V. Для
того, чтобы исключить ту часть скорости, которая соответствует вра-
вращению или всестороннему расширению (сжатию), и которая, очевидно,
не может обусловливать каких-либо сил трения, предыдущий вектор
необходимо дополнить суммой векторов:
(nxV)xv + ~n(V-v) =(n.V)v + nx(V xv)-|n(V-v)
[ср. формулу A1с) § 4]. В самом деле, нетрудно убедиться, что при
V = 0) X Г (чистое вращение) или v = ст (чистое растяжение или сжа-
сжатие) сумма этих векторов обращается в нуль, тогда как при V X v = О
и V-v-0 она сводится к 2(n«V)v. Таким образом в общем случае
произвольного движения сжимаемой жидкости или газа сила трения,
которую Vx испытывает со стороны V2 через единицу поверхности S,
выражается формулой:
i] C5)
где х представляет собой существенно положительную величину, назы-
называемую коэфициентом внутреннего трения или вязкости.
Сила трения, испытываемая объемом V тела со стороны окружающей
его массы, выражается, очевидно, интегралом / Фп dS, распространен-
распространенным по граничной поверхности S. Согласно формулам A6Ь) и A7) § 5,
этот интеграл в случае « = const может быть преобразован в объемный

Отсюда следует, что сила трения, испытываемая элементом объема dV
жидкости или газа, равна произведению этого элемента на вектор
Соединяя предыдущие результаты, мы приходим к следующему урав-
уравнению;
которое, в связи с условием несжимаемости C3) — в случае жидкостей
или с уравнением сплошности C3а) и соотношением между д и р —-
в случае газов, служит для определения вида функции v(/, Г), т. е.
движения рассматриваемого тела под действием заданных внешних сил,
при тех или иных начальных (по отношению к /) и граничных (по
отношению к f) условиях.
Необходимо, впрочем, заметить, что в случае газов эти уравнения
являются недостаточными, так как в соотношение между плотностью
и давлением входит температура (в), которую, вообще говоря, нельзя
считать постоянной ни в пространстве, ни во времени. Неодинаковость
температуры в различных частях газа (а равным образом и всякого дру-
другого тела) стремится выравняться путем притока тепловой энергии от
более к менее нагретым частям. Перемещение тепла происходит в каж-
каждой точке в направлении наиболее быстрого падения температуры (т. е.
ее отрицательного градиента —V0), причем количество тсплэвой энергии,
переходящей за единицу времени от одного слоя к другому через эле-
элемент поверхности dS} выражается произведением dS на величину &n-V@
[аналогичную вектору *?(n« V) v], где п —- нормаль к Sd, проведенная из
„получающего" слоя в „отдающий", а к — так называемый коэфи-
циент теплопроводности. Таким образом количество тепла,
притекающего в объем V извне через ограничивающую его поверх-
поверхность S, равно / /fti-VetfS, т е. согласно формуле Гаусса / ky2ddV,
что составляет на единицу объема (в единицу времени) /су2©.
Кроме теплоты k^OdV, притекающей в элемент объема dV извне,
в нем выделяется количество тепла, равное работе испытываемой им
силы трения, т. е.
Общее количество тепловой энергии, появляющейся за единицу вре-
времени в данной весьма малой массе ш, равно, следовательно,
Эта тепловая энергия частью обнаруживается в виде изменения тем-
температуры рассматриваемой массы тс -гг, где ? —удельная теплоемкость
газа (при постоянном объеме), частью же затрачивается на механиче-
130

скую работу, связанную с изменением занимаемого ею объема —. При-
Принимая во внимание, что эта работа выражается произведением давле-
давления р на изменение объема d — = г ^?> получаем следующее
уравнение, выражающее закон сохранения энергии:
Р dg\
т. е.
ACS. «. /-/Л Г Л I
C6)
Что касается соотношения между величинами д, р и 0, т. е. урав-
уравнения состояния газа, то оно с достаточной степенью точности опреде-
определяется известной формулой Клапейрона:
/?0, (Зба)
где R —- газовая постоянная, отнесенная к единице массы. При =>том
под в подразумевается абсолютная температура газа (равнзя тем-
температуре по Цельсию, увеличенной на 273°). Исключая 0 из C6) и
C6а), получаем следующее диференциальное соотношение между плот-
плотностью и давлением:
которое совместно с уравнением сплошности C3а) и уравнением (Зба)
позволяет определить все три неизвестные функции v(/, г), g(t, r) и
р(/, г), характеризующие кинематическое и динамическое состояние рас-
рассматриваемого газа и изменение этого состояния с течением времени.
§ 16, Невихревое движение идеальной жидкости
Обращаясь к рассмотрению движения жидкостей (которые для про-
простоты мы будем считать несжимаемыми), мы можем переписать уравне-
уравнение (Зба) в виде:
(f|JLv2v = 0 C7)
и следовательно рассматривать величину ~^- как внутреннюю потен-
потенциальную энергию единицы массы. Это уравнение совместно с уравне-
уравнением несжимаемости
div-v = 0,
(а также начальными и граничными условиями) и решает вопрос о дви-
движении жидкости, т. е. о виде функций v (/, г) и р (/, г).
Предположим сначала, что исследуемая жидкость является «идеаль-
«идеальной» в смысле своей подвижности, т. е. что она совершенно нз обладает
вязкостью (#=0). При таких условиях, уравнение C7) обращается в
g C7a)
137

где величина
ri^^+U + -2- C7b)
представляет собой удельную энергию жидкости, т. е, кинетическую и
потенциальную энергию, приходящуюся на единицу массы вблизи рас-
рассматриваемой точки, увеличенную на —,
Нетрудно убедиться, что в случае стационарного движения жидкости
удельная энергия вблизи одной и той же частицы сохраняет
при перемещении последней неизменное значение. В самом деле, со-
составляя производную -—- по формуле C4) и принимая во внимание, что
~?- = 0, получаем:
Отсюда следует, что удельная энергия произвольной массы жидкости
остается постоянной во времени, как бы ни перемещалась эта масса в
пространстве и как бы при этом ни менялась форма ограничивающей
ее поверхности.
Независимость энергии каждой данной частицы (или совокупности
частиц) от времени не исключает, конечно, неодинаковости ее в раз-
различных точках пространства. Если, однако, движение жидкости является
не только стационарным, но и не вихревым, т, е, если
rotv=0,
то уравнение C7а) сводится к V?? = 0. Таким образом в этом случае
удельная энергия сохраняет постоянное значение не только во времени,
но и в пространстве (теорема Бернулли).
Заметим, что условия V-V=0 и Vxv = 0 не могут выполняться
совместно для всех значений радиуса-вектора, т. е. во всем безгранич-
безграничном пространстве. Движение, удовлетворяющее этим условиям, может
иметь место лишь в жидкости, не заполняющей всего пространства,
т. е. либо простирающейся в бесконечность, но содержащей погружен-
погруженные в ней посторонние (твердые) тела, либо движущейся по трубкам,
либо, наконец, обладающей, хотя бы в некоторой части—свободной
поверхностью. При этом, в первом и втором случае движение жидкости
может иметь как потенциальный, так и соленоидальный характер в
зависимости от формы твердых тел, погруженных в нее или же образую-
образующих ограничивающие ее стенки. Если, например, в неограниченную
массу жидкости погружены тела „односвязной" формы, т. е. тела
конечных размеров, лишенные внутренних отверстий (как, например
шар, или любое другое тело, могущее быть полученным из него путем
конечной деформации, не связанной с разрывом сплошности), то не-
невихревое движение жидкости может быть только потенциальным (v =
V)
В случае же многосвязных тел, имеющих форму кольца или решетки
с целым рядом внутренних отверстий, невихревое движение жидкости
138

может быть и непотенциальным, но соленоидальным (v = rotA) или же
смешанным (v= — Vg?-j- rot A).
Односвязные тела, обладающие бесконечным протяжением в одном
каком-нибудь измерении (например, цилиндр бесконечной длины), ведут
себя с рассматриваемой точки зрения как многосвязные.
Движение жидкости по трубкам может иметь потенциальный характер
лишь в том случае, если эти трубки неограничены, или же при рас-
рассмотрении движения в ограниченной части трубки. В случае замкнутой
системы трубок движение должно быть чисто соленоидальным.
На поверхности обтекаемых жидкостью или движущихся в ней
твердых тел нормальная слагающая скорости жидкости должна совпадать
с соответствующей слагающей скорости самого тела (вернее данного
элемента его поверхности). Таким образом, считая движение этого тела
(или тел) известным, мы для полного определения потенциального
движения жидкости должны лишь знать характер ее движения на бес-
бесконечности. Совокупность этих „граничных" условий в связи с урав-
уравнением
VV = O C8)
для потенциала скорости полностью решает кинематическую сторону
задачи, вне всякой зависимости от динамического уравнения
которое в данном случае (v=—¦ V<p) принимает вид
^5 C8а)
и служит лишь для определения давления р как функции места и
времени.
При этом, сила F, испытываемая каким-либо твердым телом со
стороны обтекающей его жидкости, выражается интегралом:
C9)
распространенным по поверхности этого тела.
Считая давление р на бесконечности равным нулю и предполагая,
что на жидкость не действуют никакие внешние силы, кроме тех,
которые исходят от поверхности тела и проявляются в форме гидро-
гидростатического давления, мы получаем для определения последнего
формулу:
Рассмотрим, для примера, случай твердого тела, движущегося в
жидкости с постоянной скоростью v0. Так как в точках г—ro = const,
где ro=V-/—радиус-вектор какой-либо точки тела, перемещающейся
вместе с последним, скорость, а, следовательно, и потенциал остается
постоянным, то мы имеем:
139

т. е.
Таким образом в рассматриваемом случае
Q и ы 2
вектор V— vo=u представляет собой скорость жидкости по отноше-
отношению к телу.
Для вычисления силы F=—¦ wnpdS в общем случае тела произ-
произвольной формы представляется целесообразным ввести в рассмотрение,
наряду с поверхностью тела S, охватывающую ее поверхность S'
(которая в пределе отодвигается в бесконечность). Обозначая заклю-
заключенный между 5 и S' объем жидкости через V, имеем, согласно
формулам:
= f [(u-V)u+uxrotu] dV
f u(n'-и) dS-fn~dS=*
= A(u-V)u+udivu] dV.
Так как в рассматриваемом случае потенциального движения не-
несжимаемой жидкости rot U = rot v = 0 и divu=divv = O, то отсюда
следует:
J u (n'.u) dS' —fu (n.u) dS.
Принимая во внимание, что на поверхности тела нормальная слагаю-
слагающая относительной скорости n-U равна нулю, получаем по формулам
C9) и C9Ь):
^^ ^[.-f I dS'. D0)
Если жидкость на бесконечном расстоянии покоится, так что отно-
относительная скорость ее в бесконечно-удаленных точках равна v0, то
предыдущий интеграл, распространенный по бесконечно-удаленной по-
поверхности S', оказывается равным пулю.
Мы видим, таким образом, что твердое тело, движущееся прямоли-
прямолинейно и равномерно в несжимаемой невязкой жидкости, при условии
потенциального характера движения последней, не должно испытывать
никакого сопротивления. То обстоятельство, что подобное сопротивле-
сопротивление на самом деле существует, обусловливается, главным образом,
непотенциальным характером движения, связанным с трением (в тон-
тонком поверхностном слое) и образованием вихрей, а также, отчасти,
сжимаемостью жидкостей.
140

При потенциальном движении в идеальной (несжимаемой, невязкой)
жидкости твердое тело испытывает добавочные силы лишь при нерав-
неравномерном или непрямолинейном движении. Эти силы пропор-
пропорциональны ускорению и эквивалентны увеличению эффективной массы тела.
Для иллюстрации этих принципов представим себе, что в безгра-
безграничную жидкость погружен шар с радиусом а, движущийся с заданной
(произвольным образом изменяемой) скоростью v0 (/). Если в беско-
бесконечно-удаленных точках пространства жидкость остается в покое, то
скорость ее в любой точке может быть представлена—и притом вполне
однозначным образом—при помощи потенциальной функции (p(tyr) =
R 1
= Cv0 @ • -?г= ~ Cv0 (/) у — , где С—надлежаще выбранный коэфи-
циент, a R = f—г0 обозначает радиус-вектор рассматриваемой точки
по отношению к центру шара (г0). В самом деле, диференцируя <р
по г (при /= const) и замечая, что у2 (еА), где е—произвольный
постоянный вектор, равный еу2А, получаем:
VV=- cvoV»v ~=- CvoV (va -\)=о
для всех точек жидкости (и даже всего пространства, кроме точки
/? = 0, т. е. центра шара).
Так как, далее:
ТО
с_
R3
где R^-тг и> следовательно:
Х
Отсюда видно, что при /? = а, т. е. на поверхности шара, нормаль-
нормальная или, что то же самое, радиальная проекция скорости жидкости
vn=vR, если положить С=-^ а3, совпадает с соответствующей про-
проекцией скорости щара vofl. А это и есть то граничное условие, которому
должно удовлетворять рассматриваемое движение.
Принимая во внимание, что при заданных граничных условиях
уп=—(у(р)п уравнение у2(р = 0 (которое согласно предыдущему,
выполняется повсеместно вне шара, т. е. для всей жидкости) допускает
одно единственное решение (§ 12), мы можем быть уверены, что
функция
V~~ 2R* 2 V»V R
141

представляет собой истинное движение жидкости, или, вернее,
единственно возможное потенциальное (невихревое) движение,
обусловленное перемещением твердого шара.
Дл& определения силы F, испытываемой шаром со стороны жидкости,
воспользуемся общей формулой C9), подставив в нее выражение C9а)
для р. Ввиду того, что интеграл фи•— dS так же, как и в частном
случае равномерного и прямолинейного движения, обращается в нуль
(для тела шаровидной формы это непосредственно явствует из сообра-
соображений симметрии), то сила F сводится к — ? Ф Я "dT^S — — ?~~ЖФп<Р^*
Полагая здесь <Р~-?ш vo'n (n=== ~п) > получаем
и, следовательно
F==: Г a*Q И? '
Отсюда видно, что действие жидкости на шаровидное твердое тело
сводится к дополнительной силе инерции, которая эквивалентна увели-
увеличению массы шара на половину массы вытесняемой им жидкости.
§ 17. Вихревое движение идеальной жидкости
Переходя к рассмотрению вихревого движения идеальной жид-
жидкости, напомним, что половина «вихря» V, т. е. векторной производной
V X V, представляет собой угловую скорость жидкости в соответ-
соответствующей точке [§ 3 формула G)].
Обозначая эту угловую скорость через со и беря векторную произ-
производную от уравнения C7а), получаем
т. е. согласно формуле (9а) § 4, в связи с условием несжимаемости:
~ -^(у,у) (о — (o).V)V=O
или на основании C4Ь)
~? = (*>'V)V. D2)
Это уравнение (впервые выведенное Гельмгольцем) показывает,
что если угловая скорость определенной частицы жидкости или, вернее,
элемента массы, состоящего из определенных (бесконечно-близких)
частиц, равна нулю в произвольный момент времени /, то и измене-
изменение ее за бесконечно-малый промежуток времени dt также обращается
в нуль [ибо при й) = 0 и (со-V) V = 0]. Таким образом угловая скорость
рассматриваемого элемента массы должна оставаться нулем и в соседние
142

моменты t+dt, последующие или предшествующие по отношению к t
в зависимости от знака dt. Другими словами, в несжимаемой
идеальной (невязкой) жидкости, при консервативном
характере внешних сил, вращательное движение раз-
различных элементов массы не может ни возникнуть, если
оно отсутствовало в «начальный» момент, ни прекра-
прекратиться, если оно когда-либо существовало.
Заметим, что вихревые нити (§ 9), поскольку вращательное дви-
движение не охватывает всей жидкости, но ограничивается отдельными
(замкнутыми) трубками, всегда состоят из одних и тех же частиц
(элементов массы) жидкости.
Мы видели выше (§9), что интеграл /n»qdS где q = VxF, рас*
пространенный по поперечному сечению вихревой нити в поле век-
вектора F, сохраняет для различных поперечных сечений одно и то же
значение (равное циркуляции вектора F вдоль произвольного замкнутого
контура, охватывающего рассматриваемую нить). Это значение, разде-
разделенное на 4тг, было нами определен® как мощность нити (на единицу
длины) и обозначено через /, Нетрудно доказать, что в случае вихревого
движения несжимаемой идеальной жидкости мощность какой-либо
вихревой нити
остается неизменной во времени, как бы эта нить, т. е.
образующие ее частицы, ни перемещалась в пространстве *).
Примем во внимание совокупность частиц, лежащих в момент t на
(незамкнутой) поверхности «S, и сравним значение интеграла / to«ndS
с значением интеграла / ы'*Tl'dS'f составленного для тех же самых
частиц в соседний момент tf~t + dt, С точностью до величии выс-
высшего порядка малости имеем очевидно:
f v-n'dS'—f ы-ndS,
где во втором интеграле правой части значения вектора (о относятся к
точкам поверхности S', но к исходному моменту времени t.
Обозначим через 2 поверхность, описанную за время dt крайними
частицами, лежащими в момент t на контуре а, ограничивающем S.
Элементу этого контура da соответствует элемент поверхности d^,
равный площади параллелограма, построенного на отрезке tdc и на
перемещении его V dty т. е.
I т da х vdt I = I x x v \ • da dt.
г) Этот закон соответствует закону сохранения момента количества движе-
движения в механике твердых тел.
Ш

Направление вектора xXV совпадает, очевидно, с направлением
внешней нормали v к площади d^ , если рассматривать последнюю
как элемент замкнутой поверхности, образованной соединением 5,
S' и 2 в °ДН0 целое (рис. 24). Принимая во внимшие, что по отно-
отношению к этой замкнутой поверхности вектор tl' представляет собой
внешнюю, an — внутреннюю нормаль (при положительном направлении
последней по отношению к т), получаем по формуле Гаусса:
где dV = ndS'Vdt-~объем, описанный за время dt частицами, распо-
расположенными в момент / на dS. Так как
то по формуле Стокса имеем:
I w
Рис. 24.
В рассматриваемом случае (со= 2/2 V X v)
V»(O==O. Подразумевая под а произволь-
произвольную векторную величину и полагая
получаем следующую общую формулу:
ndS, D2а)
которая остается справедливой при какой-угодно зависимости v от
/ и г, т. е. при каких угодно движениях жидкостей и газов.
Возвращаясь к случаю несжимаемой идеальной жвдкости, имеем;
[см. вывод уравнения D2)], и следовательно:
~ JVnrfS = 0,
т, е.
/ = -—¦ J (On dS - const,
что и требовалось доказать.
144

Если движение жидкбсга имеет чисто соленоидальный характер,
обусловливаясь совокупностью нескольких вихревых нитей, то, заменяя
последние для простоты вихревыми линиями, можно положить:
V = v1 + va+..., D3)
где, согласно формуле B5с) § 9
vk=jk Л^т^ dak (Л=1, 2 ...) D3а)
или, что то же самое, v=Vx(Aj + A2-f . . .), где А& —-векторный
потенциал /с-ой вихревой линии в рассматриваемой точке,
}~ da. D3b)
Применяя формулы D3) и D3а) или, вернее, соответствующие
несколько более сложные формулы для вихревых нитей конечной тол-
толщины, к частицам, образующим эти нити, можно определить движение
последних в пространстве, а также связанные с этим движением изме-
изменения в их размерах и форме. Заметим, что, несмотря на подобные
изменения, вихревые нити сохраняют в полной мере свою индивидуаль-
индивидуальность, не сливаются и вообще остаются совершенно непроницаемыми
друг для друга, обнаруживают кажущиеся силы взаимного притяжения,
отталкивания и т. д., одним словом, ведут себя таким образом, как
если бы они представляли собой не особую форму движения данной
жидкости, но особую форму гибкой упругой материи, отличной от
окружающей (не вращающейся) жидкости.
Вышеупомянутые кажущиеся силы взаимодействия между различ-
различными вихревыми нитями (линиями) или их элементами могут быть
выведены—чисто формальным образом, конечно,—из выражения для
кинетической энергии жидкости Т= / — qv2 dV. Полагая здесь v~ro- A
и пользуясь формулой vrot А—А-rotv — div (А X V), получаем, при
интегрировании по объему всей жидкости
Т = —«г- о I A rot v dV = g I AwdV.
& J J
В случае нескольких изолированных вихревых нитей, результирующий
потенциал А в каждой точке представляется в виде суммы частей* А/,,
зависящих от отдельных натей, тогда как вектор со принимает внутри
каждой нити соответствующее значение o) = wft, обг ицаясь в нуль вне
нитей. Энергия Т сводится, т.жим образом, к двойной сумме:
k к'
Ю Курс теорет. механики. 14&

Выделенную из этой двойной суммы простую сумму выражений
Tkk — Q I Ak'MkdVk, взятых для отдельных нитей, можно трактовать,
как сумму „собственных* энергий этих нитей. Что же касается остаю-
остающейся двойной суммы, то ее можно интерпретировать, как взаимную
энергию различных нитей, взятых попарно. Пользуясь формулой А& =
= —~ I ~~dVk (которая в случае вихревой линии сводится к D3Ь)),
имеем (при кф к'):
• со*- dVk> = iff'^ir dV* Wk. = /A,< • юл Wh. D4)
Отсюда видно, что взаимная энергия двух каких-либо нитей
J
может быть определена как удвоенное значение предыдущего выражения,
умноженное на плотность д.
В предельном случае двух вихревых линий эта „взаимная кинети-
кинетическая энергия" сводится к
'=±-Jkik' С C-
dakdak'. D5)
Рассматривая вихревые нити (или линии) как особую форму гибкой,
упругой материи, погруженной в невращающуюся жидкость (см. выше),
мы ^ожем трактовать величину 7W, как взаимную потенциальную
энергию соответствующих нитей, а производные ее, взятые с обратным
знаком, по различным параметрам, характеризующим относительное
расположение нитей, рассматривать, как соответствующие этим пара-
параметрам кажущиеся силы взаимодействия.
Эти кажущиеся силы взаимодействия могут быть выведены также
непосредственно из уравнения движения C7).
Для этого заметим, что вне вихревой нити оно сводится (при х = О,
т. е. при отсутствии внутреннего трения) к
Член — (rotv) X v= + 2v X ео, который прибавляется к правой
части этого уравнения внутри вихревой нити, можно, очевидно, трактовать
как силу, действующую на единицу массы нити в рассматриваемой
точке. Это представление вполне соответствует формуле A08) отдела I
для силы инерции F'— F, испытываемой материальной частицей, движе-
движение которой отнесено к твердой системе, вращающейся с угловой
скоростью (о вокруг некоторой неподвижной точки. Если в данный
момент рассматриваемая частица находится именно в этой точке, то
разность F'— F сводится к „поворотной", или „Кориолисовой" силе
2<o, D6)
причем, в виду г = 0, относительная скорость v' совпадает с абсолют-
абсолютной V. Таким образом, относя движение жидкости внутри вихревой
не

нити к твердой системе, врдщающейся вокруг рассматриваемой точки с
угловой скоростью о) = — V X V, мы можем считать движение жидкости
в этой точке невихревым, но зато должны ввести дополнительную
„поворотную" силу вида D6).
Разложим скорость v на две части vx и v2, обусловленные соответ-
соответственно данной нитью, при отсутствии каких-либо иных очагов движе-
движения, и всеми остальными „очагами" —в частности остальными нитями.
Так как в точках нити V xv2 = (o2 — 0 и следовательно V X v = м ~щ,
то соответствующие составляющие силы f можно представить в виде
flfl = т\г X 2(?I и Д,2 = f/2V2 X 2оI, где первая составляющая характеризует
действие нити на самое себя, а вторая—действие, испытываемое ею со
стороны других нитей. Относя силу fi,2 к единице длины рассматри-
рассматриваемой нити и считая поперечное сечение ее sx весьма малым, по-
получаем
X 2@х •= qs± • 2со v2 X tv
где тх= — —вектор, характеризующий направление нити, или, следова-
следовательно, вводя мощность нити /1 = -^—,
/i,2= — toQh ti X v2. D6a)
С помощью этой формулы, в связи с формулой D3а), можно вычи-
вычислить „кажущееся" взаимодействие вихревых нитей (или линий) каких
угодно размеров и формы, при произвольном расположении их по отно-
отношению друг к другу.
Формула D6а) дает для кажущейся силы, действующей на элемент
вихревой нити, выражение, практически совпадающее с тем, которым
определяется пондермоторная сила, действующая в магнитном поле
H = v на единицу длины проводника, имеющего направление нити, при-
причем мощности последней соответствует сила тока. Разница между этой
электромагнитной силой (Ампера) и вихревой силой D6а) заключается,
главным образом, в знаке.
Эта аналогия между кажущимся взаимодействием вихревых нитей и
пондермоторным взаимодействием электрических токов выступает еще
более явственным образом, при сравнении выведенных выше выражений
для кинетической энергии Т с соответствующим выражением для маг-
нитной энергии системы электрических токов I / ~^-dV).
Аналогия эта нарушается, однако, не только противоположностью
знаков. Прежде всего, материализуя вихревые нити, мы не можем при-
приписывать им дополнительной массы и дополнительной кинетической
энергии, связанной с их поступательным движением и деформацией.
Поэтому кажущимся силам взаимодействия между вихревыми нитями
отнюдь не соответствует такое движение их, которое хоть сколько-ни-
сколько-нибудь напоминало движение проводов с электрическими токами, вызы-
вызываемое пондермоторными силами. Кроме того, движение проводников
связано с появлением индукционных или электромоторных сил, изме-
изменяющих силы токов в отдельных проводниках, между тем как в слу-
случае вихревых колец, мощность каждого кольца остается постоянной.
10* 147

Наконец, деформация проводника с током представляется фактически
неосуществимой или осуществимой лишь в весьма ограниченной сте-
степени, между тем как вихревые кольца, даже изолированные, испытывают,
вообще говоря, значительные деформации.
Поэтому введение кажущихся вихревых сил для изучения движения
и деформации вихревых нитей является нецелесообразным: эти движе-
движения и деформации гораздо проще и непосредственно определяются
чисто кинематическими соображениями, обнаруживая при этом весьма
мало сходства с тем, что мы встречаем в случае электрических токов.
Рассмотрим для примера несколько простейших случаев.
1) Прямолинейные параллельные вихревые нити. Представим себе
прямолинейную, скажем, вертикальную вихревую нить весьма малого
сечения. Вне этой нити движение жидкости происходит по коаксильным
^--^ ^--^ кругам со скоростью v, обратно-пропор-
циональной расстоянию г, так чтобы цир-
куляция 2nrv имела бы для всех кругов
одно и то же значение.
Рис. 2о.
где i—мощность нити. Таким образом, v = — . При наличии двух па-
параллельных (вертикальных) нитей, каждая из них будет двигаться вокруг
другой—первая со скоростью v1=l2,) а вторая—со скоростью v%~—1
(г—расстояние между нитями, ?\ и i2—их мощности), в направлении,
перпендикулярном к г (т. е. к плоскости, проходящей через обе нити).
Если мощности их равны по величине и противоположны по знаку
(что соответствует противоположным направлениям вращения внутри
обеих нитей), то скорости иг и и2 будут равны по величине и по на-
и р л влению, Таким образом рассматриваемая пара вихревых нитей будет
перемещаться совместно в направлении, перпендикулярном к проходя-
проходящей через них плоскости, со скоростью и=— (рис. 25).
2) Аналогичный результат получается при рассмотрении одной замк-
замкнутой вихревой линии, поскольку последнюю можно представлять
себе составленной из бесконечно-большого числа бесконечно-малых эле-
элементов с противоположными направлениями вращения.
Так например, изолированная, вихревая нить, имеющая форму тон-
тонкого тора, т. е. кругового кольца с (средним) радиусом г и очень ма-
малым радиусом поперечного сечения а, не остается неподвижной, но пе-
перемещается вдоль своей оси, со скоростью, равной, приблизительно,
1<у _ Скорость эта имеет то же самое направление, как и скорость
течения жидкости в центре вихревого кольца /последняя скорость равна
Vo=z—? совпадая с первой по порядку величины при не слишком ма-
малых значениях отношения — j. Этот результат может иллюстрироваться
тем же рис. 25, если рассматривать его как сечение вихревого кольца
плоскостью, проходящей через его ось»
148

Значительно более сложным оказывается случай двух вихревых колец.
Дчя простоты мы ограничимся случаем двух одинаковых колец
с общей осью. Если направления вращения одинаковы, то оба кольца
должны двигаться в одну и ту же сторону, скажем, направо и при том
в первоначальный момент с одинаковой скоростью. Если, однако, вы-
вычертить линии вектора скорости vx и v2, соответствующие обоим коль-
кольцам, взятым в отдельности, то мы увидим, что эта тождественность пред-
представляет лишь переводящую фазу в сложном периодическом процессе, за-
заключающемся в следующем.
Переднее (правое) кольцо под действием заднего (левого) посте-
постепенно расширяется и замедляется, а левое, наоборот, сокращается и
ускоряется, нагоняя правое и, в конце концов, проскакивая через него
на другую сторону. Очутившись справа, оно, в свою очередь, начинает
расширяться и замедляться, тогда как отставшее кольцо сокращается,
ускоряется и снова, проскочив через своего партнера, выходит на пер-
первое место. Эта своеобразная „чехарда" затем повторяется сначала.
Два одинаковых вихревых кольца с противоположными направлениями
вращения движутся навстречу друг другу, асимптотически сближаясь и
неограниченно расширяясь при этом. Плоскость, перпендикулярная
к общей оси и проходящая посредине между обоими кольцами играет
таким образом в этом случае роль непроницаемой твердой стенки.
§ 18. Влияние сил внутреннего трения на движение несжимаемой
жидкости; теории Стокса и Прандтля
Мы рассмотрим теперь вкратце те осложнения, которые в случае дви-
движения несжимаемых жидкостей обусловливаются вязкостью, т. е.
внутренним тргнием.
Прежде всего заметим, что последнее не оказывает никакого влия-
влияния на движение потенциального характера, В самом деле, пола-
полагая v =—V^, получаем:
— a:V (V • V» = fcV(V • v) = 0
(ибо, согласно условию несжимаемости, V • V = 0).
Влияние вязкости на движение вихревое проще всего и притом
всего отчетливей—обнаруживается в вызываемом ею непрерывном умень-
уменьшении кинетической энергии жидкости
Диференцируя это выражение по времени, имеем
dv
или, подставляя сюда значение производной - - из уравнения C7) и
замечая, что V • [(V X v) x v] = О,
149

Так как
— v • V^ = — V • (^v) -J- yj (V • v) = — V •
то по формуле Гаусса имеем:
dS9
где S—поверхность, ограничивающая рассматриваемый объем; при не-
неограниченности последнего, или же при наличии неподвижных твердых
стенок и свободной поверхности этот интеграл обращается в нуль (ибо
г;п = 0). Полагая далее
v2v= — Vx(Vxv)+V(V • v)= — Vx(Vxv) = — 2Vxo>;
получаем:
—2к fco • (V X v) dV == 2x f(v X fo)n dS — 4я foj2 dV.
Если вихревые нити не выходят вовсе на свободную поверхность
жидкости или же выхолят на нее под прямым углом, то поверхностный
интеграл исчезает, и мы получаем окончательно следующую формулу:
?- -*/*«. D7)
впервые выведенную Р э л е е м и показывающую, что уменьшение кине-
кинетической энергии в реальных (вязких) жидкостях зависит исключительно
от вихревого движения. Этот результат вполне согласуется с преды-
предыдущим, об отсутствии влияния вязкости на потенциальное движение.
При наличии внутреннего трения уравнение Гельмгольца D2) заме-
заменяется следующим:
В этом уравнении первые два члена характеризуют так называемый
конвективный перенос вихрей, тогда как последний член соответ-
соответствует явлению „диффузии вихрей". В случае медленного движе-
движения вязкой жидкости первыми двумя членами (квадратичными относи-
относительно скорости) можно пренебречь, причем предыдущее уравнение
сводится к обычному уравнению диффузии:
^. = ^у2(о, D9)
совершенно аналогичному уравнению теплопроводности
дд к о*
—, =5 — у20
dt eg y
к которому сводится C2) в простейшем случае покоящейся жидкости.
150

Что касается уравнения C7), то в том же приближении оно сво-
сводится к следующему „линеаризованному" уравнению Стокса:
и \rtlfI-L Р\ к n2v О (Ъ(Х\
~J7 i V I *-' I — / """"* V v — V, I »-/\J I
01 \ Q / Q
из которого применением операции у X непосредственно получается урав-
уравнение D9).
Уравнение D9), как и точное уравнение D8), замечательно тем, что
оно вовсе ке содержит динамических величин U и р. Совместно
с уравнением несжимаемости divV = O и граничными (а также началь-
начальными) условиями оно полностью решает вопрос о движении жидкости
с чисто кинематической точки зрения. Установив зависимость v от /иг,
мы можем дач ее определить давление р путем интегрирования уравне-
уравнения E0). В этом смысле общая задача о движении несжимаемой вязкой
жидкости ничем не отличается от рассмотренной выше задачи о потен-
потенциальном движении идеальной (невязкой) жидкости.
Необходимо подчеркнуть, что в случае вязкой жидкости чисто по-
потенциальное движение (в котором, как мы видели выше, эта вязкость
совершенно не проявлялась бы), вообще говоря, невозможно.
Подобное потенциальное движение, не осложненное вихревым, ис-
исключается граничными условиями. Вопреки предположению, из
которого мы исходили при изучении потенпиального движения идеаль-
идеальной жидкости, скольжение жидкости по поверхности обтекаемых ей
твердых тел в действительности невозможно. Жидкость как бы прили-
прилипает к этой поверхности и в непосредственной близости к ней оста-
остается неподвижной по отношению к твердому телу. Таким образом гра-
граничные условия не исчерпываются заданием нормальной слагающей
скорости; помимо нее, должна быть задана и тангенциальная
составляющая, другими словами, в .любой точке поверхности соприкос-
соприкосновения твердого тела с жидкостью скорости их должны быть
равны как по величине, так и по направлению.
При таких условиях движение жидкости должно иметь смешанный
характер, т. е. скорость ее v в любой точке должна представляться
в виде суммы потенциальной части vx= V<p и соленоидальной V2 = rot A.
Так как divv2 = 0 тождественно, то потенциальная часть скорости vx
должна в отдельности удовлетворять уравнению несжимаемости
divv1 = O. Таким образом, для скалярного потенциала <р получается
то же самое уравнение Лапласа
\29 = 09 E1)
как и в случае чисто потенциального движения.
Что касается соленоидальной части, то, вводя для векторного по-
потенциала А не нарушающее общности дополнительное условие
divA-0, E2)
имеем:
rot rot A = —у*А,
т. е.
V2A= — 2<о.
151

Это равенство непосредственно приводит к уравнению для вектор-
векторного потенциала, взятого в отдельности, лишь в том случае, если вихре-
вихревое движение жидкости описывается линеаризированным уравнением D9).
В частном случае стационарного движения мы получаем при этом
V2v2A = 0. E3)
Последнее уравнение остается приближенно справедливым и в слу-
случае медленного движения тела в вязкой жидкости с постоянной
скоростью v0. В самом деле, мы имеем в этом случае
-tf7 = ^+(v0V)<o-=0,
т. е., следовательно,
¦5Г= ~(v0V)<o^0
(ибо произвеление представляет собой величину второго порядка ма-
малости). Таким образом, если пренебрегать величинами второго порядка
относительно скорости, то так же как и в случае стационарного дви-
движения, можно положить
V2co = 0
и, следовательно:
VVA = O.
Рассмотрим для примера медленное движение шара в вязкой жид-
жидкости. Потенциальную часть движения, в соответствии с уравнением
^2^_о (при условии покоя жидкости на бесконечном расстоянии), мы
можем определить формулами того же вида, как и в случае чисто по-
потенциального движения, а именно:
V^-Vp, ^-WV^-Cx-0^, E4)
причем, однако, коэфициент пропорциональности сг не следует ото-
, я3
ждествлять с коэфициентом —, соответствовавшим граничным условиям
прежней теории. В самом деле, мы не имеем никакого основания тре-
требовать, чтобы нормальная слагающая потенциальной части скорости,
_ R
где R1=-—-, взятая в -сдельности, имела на поверхности шара
заданное значение (v0 • *-=:
Как будет видно из дальнейшего, это условие является фактически
невыполнимым, так что лишь сумма потенциальной и соленоидальной
частей скорости может быть подчинена граничному условию, выражаю-
выражающему отсутствие скольжения (v^ + Vg^Vo).
Что касается соленоидальной части скорости (v2), то она, как не-
нетрудно убедиться, однозначно определяется векторным потенциалом
= Q —?—•
152

В самом деле, беря его векторную производную, получаем:
v2 = rot А = с2 rot R-1 (v0 х R) = 2С2 ^г + сг V/?-1 X (v0 x R),
t, e.
V2 — 6C2 — —
и далее
т. e.
Умножая этот вектор скалярно на какой-нибудь постоянный вектор I,
имеем
<»• l = C2(VaXi) • V-i-,
откуда непосредственно следует, что
а, следовательно и
V2«o = 0
независимо от выбора вектора 1 х).
Составляя результирующую скорость v — Уг + Ч2 на поверхности
шара, получаем:
RX (v0 • Ri)] + -J- [v0 + Rx (v0 - Rx)] ^ v0.
x) Заметим, что предыдущие результаты могут быть получены без помощи
каких-либо догадок, если потенциалы ц> и А искать в самом общем виде д? =
= /i*(vo*R) и A = /2v0xR, соответствующем симметрии рассматриваемой
задачи. Здесь ft и /2 представляют собой две покамест неизвестные функции
расстояния /?, которые легко определяются из уравнений у2д? = 0и у2у2А = 0.
Первое уравнение дает
Ar(R. у0),
где Г = ^ и
v^ =div w=-i- /i(R • v0)
откуда следует
В виду условия ф==0 при R~*co мы должны положить # = 0 и, следова-
следовательно, г^-у-^Г2 в согласии с E4).
Аналогичным образом из уравнения v2V2A = 0 определяется функция /2,
которая оказывается обратно-пропорциональной первой степени расстояния.
153

Так как это равенство должно выполняться тождественно, при
любых направлениях единичного вектора R1? то отсюда следует;
а а3 ~~ ' а3 ' а ~~ '
т. е.
а3 За
Таким образом:
V- *. tjI&I*.4-1 о rot ^-R -
V" 4 V /?• ^ 4 Q Г0Г R
e 7 ("Я" ^ W) V° + T \R ~~R
Заметим, что это выражение можно представить целым рядом экви-
эквивалентных видов, например:
-|v0 с „=?v
причем „скалярный потенциал" тр не удовлетворяет уравнению у2^=0,
За .
л вектор Dv0 не может быть представлен, как векторная произвол-
ная (вихрь) от какого-ли.'о векторного потенциала.
Зная движение жидкости, мы можем вычислить сопротивление, ока-
оказываемое ей движению шара. В общем случае тела произвольной формы,
движущегося в вязкой жидкости произвольным образом, сила F, ока-
оказываемая жидкостью, слагается из реакции гидростатического давления
— (ypadS (S—поверхность тела), и поскольку внешнее трение, кото-
которое могло бы обусловливаться скольжением жидкости, отсутствует, —
из реакции внутреннего трения в граничном слое жидкости фи(п V)vrf5
(интеграл d)(n X V) X V(IS в виду замкнутости S обращается в нуль
тождественно].
Мы получаем> таким образом:
(п • V)v—/?n] dS.
Так как в случае несжимаемой жидкости y2v— —rot rot v, то мы
имеем для любого объема, заполненного жидкостью, или, хотя бы,
омываемого ею:
j) (n • V) v dS = /Vv dV = — I rot rot v dV = — (j) n x rot v dS,
так ч!О силу F можно также выразить формулой:
F = -|(йпх rot v+n/?)dS = — (fBn x w + np)dS.
154

Давление р может быть вычислено по формуле
или
V/?= — %rotrotv=* — 2#roto>.
Полагая здесь
и замечая, что
rot v0 x V я- = V(v0 • V -i-) (при
получаем:
т. е. следовательно:
p = !*flVvl=A*a^?-\ E7)
Так как, далее
|^ =~^vo-~n(vo n),
то при /? = а:
и, следовательно:
F ~ — Ъшоу0
(формула Стокса).
Эта формула, как явствует из ее вывода, не учитывает инерцион-
инерционных сил, характеризуемых отброшенными нами квадратичными членами.
Переписывая уравнение движения вязкой жидкости C7) в виде
Q (rot v)xv+V(ey + P)+«rot rot v = 0 E8)
(для стационарного случая), нетрудно доказать, что сделанные нами
при вычислении силы F приближения являются законными лишь в том
случае, если инерционный член g(rotv)XV мал по сравнению с „фрик-
„фрикционным" к rot rot V (член Vg-Tj- при интегрировании по поверхности
шара дает нуль, и потому роли не играет). Максимальное значение
отношения о (rot v) XV к к rot rot v, т. е.
JL Iе0 Xv]
тс [rot со|
равно gvoa (в экваториальных точках шара). Оно называется числом
Рейнольдса (Re). Малость к его, по сравнению с 1, представляет
собою критерий применимости теории, основанной на линеаризирован-
линеаризированных уравнениях движения вязкой жидкости.
В случае сравнительно быстрого движения жидкости (соответствую-
(соответствующего не очень малым значениям Рейнольдсова числа) оказывается не-
необходимым исходить из точного уравнения C7) или E8). При этом
можно получить достаточно точное решение на основе следующего
представления, предложенного Прандтлем A904 г.). Вязкость жидкости
155

сказывается лишь в чрезвычайно тонком пограничном слое, в котором
тангенциальная слагающая скорости жидкости по отношению к твердой
стенке быстро меняется от нуля до значения, практически совпадаю-
совпадающего с тем, которое соответствует чисто потенциальному потоку
с обычным граничным условием (равенство нулю нормальной
слагающей относительной скорости).
Таким образом задача об интегрировании точного уравнения E8)
сводится к нахождению обычного потенциального решения с гранич-
граничными условиями, отнесенными практически к самой твердой поверх-
поверхности, и далее к интегрированию уравнения, характеризующего движе-
движение жидкости в пограничном (Прандтлевом) слое. В виду чрезвычайной
тонкости последнего, поверхность тела вблизи каждой точки можно
считать практически плоской. Вводя координлы хъ Х2 в плоскости
движения жидкости (хг — параллельно поверхности, х2 — перпендику-
перпендикулярно к ней), мы можем написать уравнение движения жидкости вблизи
рассматриваехмого участка поверхности твердого тела в следующем виде:
xl)
dt ' 1дх1 ' L2dx2 дхг q ~r q \ dxf ' dxjj
К 5тим уравнениям необходимо присоединить уравнение несжимае-
несжимаемости:
4^ + 4^ = 0- F0
дхх 1 дх2 v
В простейшем случае покоящегося твердого тела граничные условия
сводятся к тому, чтобы vx и *72 равнялись нулю при х2 = 0 и чтобы
далее тангенциальная составляющая ^ на наружной границе слоя х2 = ё
принимала то значение, которое соответствует обычному потенциаль-
потенциальному потоку. Что касается нормальной слагающей и2у то она должна
оставаться малой величиной того же порядка малости (по крайней
мере), как и толщина самого слоя.
При таких условиях в выражении — ~ + -ч-~ первым членом можно
пренебречь по сравнению со вторым, который по порядку величины
равен граничному значению тангенциальной скорости (в потенциальном
потоке), разделенному на ё2.
Для того, чтобы произведение —-т~~ представляло собой величину
нормального порядка (иг), ё2 должно быть одного порядка с — = v
(кинематический коэффициент вязкости), т. е., следовательно, толщина
слоя должна быть порядка ]/?.
Уравнение E9) принимает, таким образом, следующий вид:
v .^i -|_ *>2 — = — — -Р- + vd2°i- F2)
Что касается уравнения F0), то, в виду малости v2i оно сводится
практически к ~ = 0. Мы видим, следовательно, что давление
156

внутри граничного слоя должно оставаться таким же, как и в примыка-
_ до*
ющем к нему потенциальном потоке. Производная -г--, входящая в урав-
уравнение несжимаемости, представляет собой величину того же порядка,
до.
как ^-L.
На интегрировании полученных уравнений F1), F2) мы здесь оста-
останавливаться не будем. Заметим лишь, что представление о граничном
слое, смыкающем потенциальный поток жидкости с поверхностью твер-
твердого тела, оказывается, вообще говоря (за исключением очень медлен-
медленного течения жидкости), применимым лишь к ограниченной части
поверхности твердого тела, а именно в основном к передней части,
на которую набегает поток жидкости. При этом струи жидкости рас-
расходятся в соответствии с увеличением поперечного сечения тела, ско-
скорость их возрастает, а давление уменьшается (согласно закону Бер-
г;2 = const) (рис. 26).
Р i 1
нулти -- + -у
При полном обтекании твердого тела на задней стороне его должны
были бп получаться обратные соотношения, т. е. поток должен был бы
снова расширяться, ско-
скорости уменьшаться, да
влегше увеличиваться. В
действительности, однако,
при возрастании давления
в по !енци:}льном потоке ^
(на зал ней стороне тела), *§
а следовательно и в по- й~<|
граничном слое, скорость ~~
(тангенциальная) в этом
слое должна уменьшать-
уменьшаться, до тех пор, пока
производная ее по нор-
нормали (т. е. по х2 в точке Рис. 26.
Х2 = 0) не обратится в
нуль. В этом месте происходит отрыв жидких струй, а вме-
вместе с ними и граничного слоя, ими образуемого, от поверхности
тела. Далее эти струи расходятся в стороны от обтекаемого тела,
оставляя позади него вихревую область. Таким образо*м, граничный
слой, отрываясь от тела, отделяет потенциальную область жидкого
потока от вихревой зоны. Давление в последней меньше, чем в про-
противоположной — передней части потока, чем и объясняется сопротивле-
сопротивление, испытываемое телом, пропорциональное не первой степени скоро-
скорости, как это мы вывели при изучении обтекания жидкостью шара
(закон Стокса), а второй степени (закон Ньютона).
Заметим, в заключение, что при больших значениях Рейнольдсова
числа
(——
где а — линейные размеры тела] рассмотренное выше
ла]
струйчатое или „ламинарное" движение в граничном слое и связанное
с ним потенциальное лвижение в набегающем потоке становятся невоз-
невозможными. Оно заменяется при этом так называемым турбулентным
157

движением, характеризуемым своеобразными вихревыми флюктуациями
как в пограничном слое, так и в примыкающей к нему зоне; движение
жидкости в этой зоне утрачивает при этом не только строго потен-
потенциальный характер, но и перестает быть строго стацио-
стационарны м.
§ 19. Плоское движение идеальной жидкости
Во многих вопросах гидродинамики и аэродинамики приходится иметь
дело с движением, которое, по крайней мере приблизительно, является
плоским, т. е. параллельным некоторой неизменной плоскости и оди-
одинаковым для всех точек, лежащих на прямой, перпендикулярной к этой
плоскости (ху). При таких условиях скорость частиц жидкости обра-
образует плоское векторное поле vXy vy) зависящее лишь от двух коорди-
координат х, у. Для описания подобного движения, особенно в случае не-
несжимаемой жидкости, оказывается удобным пользоваться комплексным
представлением двухмерных векторов и трактовать комплексную вели-
величину v ~vx-i- ivy, определяющую скорость частицы, как функцию
комплексной величины z = x+zy или г* = X—/у, определяющей ее
dvx dv
положение. Условие несжимаемости -г—1--^ = 0 выполняется при этом
автоматически, если определить вектор V, как градиент некоторого
скалярного потенциала <р или как вихрь некоторого векторного потен-
потенциала ip, гле ср и яр вещественная и мнимая части произвольной анали-
аналитической функции /(z), регулярной в рассматриваемой области.
В самом деле, полагая
) F3)
и вспоминая условия Коши;
д(р __ ду> dq> __ dip /й
"Эх ~ "Зу' ~ty "ЗР У°6а)
а также, вытекающие из них уравнения Лапласа:
мы видим, что условие несжимаемости
dv dv
+?
будет выполнено тождественно, если положить
v = gtady, т. е. vx = |j, vy = Щ F4а)
или
V = rot ф, т. е. vx = ||, vy = — -0 F4b)
Вектор V, определяемый этими формулами, не может быть предста-
представлен аналитической функцией от комплесного аргумента z = х+ /у.
В самом деле, мы имеем как в случае F4а), так и в случае F4Ь):
д<р , . да> д(р .dtp д , . ч д ,*
158

Таким образом скорость представляется в обоих случаях в виде:
v = f'(z*) или y*=«/'(z) F4с)
в согласии с формулой C2с § 14) (/—комплексный потенциал ско-
скорости).
Движение, определяемое формулой F4а), является потенциальным,
а формулой F4Ь)—соленоидальным. Это различие имеет, однако, лишь
чисто формальное значение. Фактически, в силу соотношений F3а)
между функциями <р и гр они совпадают. При этом в силу тех же со-
соотношений оказывается выполненным не только условие divv = 0, но
и условие rotv=0, т.е. рассматриваемое движение является не только
безисточным, но и невихревым. Отсюда, между прочим, следует,
что описание плоского движения с помощью предыдущих формул воз-
возможно, строго говоря, лишь в случае идеальной жидкости, т. е. не
только несжимаемой, но и невязкой, ибо вязкость связана, вообще
говоря, с образованием вихрей по всему объему жидкости. Плоское
движение жидкости рассматривается обычно в связи с заданным дви-
движением погруженных в нее твердых тел цилиндрической формы (с осью,
перпендикулярной к плоскости ху) и которые в этом случае „обте-
„обтекаются" жидкостью. При этом движение жидкости, оставаясь, согласно
сказанному выше, безисточным и невихревым, имеет такой характер,
как если бы на поверхности области, занятой твердым телом, или
внутри нее, были распределены непрерывным образом питающие это
движение источники или вихри (или те и другие). Таким образом,
устранив твердые тела, мы должны были бы заполнить занимаемые ими
области жидкостью, находящейся, по крайней мере отчасти, в движе-
движении, соответствующем наличию источников (стоков) и вихрей. Заметим,
что зти результаты, относятся не только к плоскому, но и к про-
пространственному движению жидкости, удовлетворяющему одновременно
условиям divv = 0 и rotv = 0. Существенная разница между обоими
случаями заключается в том, что в случае пространственного движения,
удовлетворяющего условию rotv = 0, интеграл &vxda, т. е. циркуляция
скорости, вдоль любого замкнутого контура, может быть отличен от
нуля только тогда, когда твердое тело занимает мносвязную область
(например, имеет форму кольца или трубки), тогда как в случае пло-
/»
ского движения циркуляции скорости Г = ф vr da может быть отличной
от нуля и при односвязном характере двухмерной области, занимаемой
поперечным сечением или „профилем" тела. х)
Произведение vT da, т. е. скалярное произведение
v dt = vx dx + vy dy,
равно вещественной части выражения
(vx —i vy) (dx + i dy) =y*dz = f'(z) dz.
!) Поскольку последнее с трехмерной точки зрения рассматривается, как
цилиндр с бесконечным продольным протяжением, занимаемая им область
является по меньшей мере двухсвязной (так как подобный цилиндр тополо-
топологически эквивалентен кольцу, замыкающемуся на бесконечнее™).
159

Таким образом, циркуляция скорости вдоль какого-нибудь плоского
контура равна вещественной части интеграла ?f'(z)dz, т. е. изменению
вещественной части ср комплексного потенциала / при обходе вдоль
рассматриваемого контура. Отсюда следует, что плоское движение
с отличной от нуля циркуляцией может быть описано лишь с помощью
многозначной потенциальной функции /, точнее функции / с много-
многозначной вещественной частью. Что касается мнимой части яр, то при
отсутствии реальных источников и стоков она должна быть одно-
однозначной функцией координат, так как мнимая часть интеграла
(bv^dz — (bf'(z)dz, т. е. изменение \р при обходе вдоль замкнутого кон-
аура, равна, согласно C1с) § 14, потоку вектора V через этот контур,
а этот поток должен равняться нулю для любого контура.
Линии у — const перпендикулярны к направлению движения; орто-
ортогональные к ним линии гр = const представляют собой, следовательно,
„струии жидкости, т. е. линии вектора скорости v. Отсюда явствует,
что любую из линий гр = const можно отождествить с контуром или
профилем твердого тела, обтекаемого жидкостью (напомним, что в случае
идеальной жидкости допускается скольжение вдоль поверхности твер-
твердого теля) при условии, конечно, чтобы этот прориль оставался неиз-
неизменным. Зю условие автоматически выполняется в простейшем и прак-
практически наиболее важном случае стационарного движения.
Вопрос об обтекании твердых тел стационарным потоком жидк.сти
имеет особенно важное значение для авиации, а именно для расчета
подъемной силы и лобового сопротивления самолета при движении
его с постоянной скоростью, хотя воздух и не является идеальной
жидкостью, однако при скоростях, малых по сравнению со скоростью
звука, сжимаемость воздуха не влияет существенным образом на его
движение по отношению к самолету.
Что касается вязкости воздуха, то влияние ее сводится практически
к образованию тонкого, поверхностного (Прандтлевского) слоя, в кото-
котором тангенциальная скорость воздуха (по отношению к соответствую-
соответствующей части самолета) возрастает от нуля до значения, определяемого
теорией движения идеальной жидкости, если только при этом не про-
происходит отрыва струй и образования вихревой области с задней сто-
стороны тела (ср. § 18). В случае пространственного потенциального
потока это явление представляет собой, как уже отмечалось выше,
необходимое условие для возникновения лобового сопротивления (т. е.
силы, направленной в сторону, противоположную скорости твердого
тела по отношению к жидкости). Само по себе, однако, оно, вообще
говоря, не дает подъемной силы (т.е. силы, перпендикулярной
к направлению движения). Как показал впервые Жуковский, такая по-
поперечная сила, перпендикулярная к направлению скорости, получается
в безвихревом плоском потоке с отличной от нуля циркуля*
ц и е й (вдоль какого-либо контура, охватывающего профиль рассматри-
рассматриваемого цилиндрического тела. *)
х) Поскольку вне последнего движение жидкости является невихревым*
величина циркуляции не зависит от формы и размеров охватывающего кон-
контура.
160

В случае пространственного потока, обтекающего односвязное трех-
трехмерное тело, каким фактически является самолет, подобному солено-
идальному потоку соответствует движение, лишенное вихревого харак-
характера только в вертикальных плоскостях, далеких от концов крыльев,
т. е. там, где вихревое движение ограничивается лишь Прандтлевским
слоем. У концов крыльев эти поверхностные вихри отрываются от самолета
и простираются далее — в стороны и назад—в виде вихревых шнуров.
Поскольку поперечные размеры крыльев малы в сравнении с их
длиной, концевым эффектом можно пренебречь при расчете подъемной
силы и сопротивления и соответственно этому движение воздуха отно-
относительно крыла трактовать, как безвихревой (потенциальный) поток
идеальной жидкости. При этом профиль крыла выбирается таким обра-
образом, чтобы рассмотренное в предыдущем параграфе явление срыва
струй и связанное с ним завихрение в тыловой области, по возможности,
не имело места,х) так как, резко увеличивая лобовое сопротивление,
оно практически ничего не прибавляет к подъемной силе.
При неучете этого явления, лобовое сопротивление исчезает и реак-
реакция воздуха сводится к поперечной силе, перпендикулярной к скорости,
т. е. подъемной силе в случае горизонтального движения.
Абсолютная величина поперечной силы, по теореме Жуковского,
прямо пропорциональна средней скорости движения воздуха по отно-
отношению к крылу и циркуляции скорости вокруг последнего, причем
сила эта направлена вверх в том случае, если благодаря циркуляции
скорость воздуха с верхней стороны крыла больше чем с нижней. 2)
При Г = 0, т. е. в случае обычного потенциального потока, реакция
воздуха обращается в нуль, как уже было доказано нами для движения
пространственного (ср. § 16).
Поскольку движение жидкости предполагается невихревым, цирку-
циркуляция Г, если она отлична от нуля, сохраняет одно и то же значение
для любого контура, охватывающего крыло. Таким образом в случае
потока рассматриваемого типа, характеризуемого однозначным вектор-
векторным потенциалом ip, соответствующий скалярный потенциал ср должен
представлять собой такую многозначную функцию, которая при обходе
вокруг тела (крыла) вдоль любого контура изменяется на постоянную
величину Г.
Для доказательства теоремы Жуковского рассмотрим результирую-
результирующую сил давления, испытываемых единицей длины цилиндрического
тела в плоском потоке. Элементу длины do контура, ограничивающего
поперечное сечение тела, соответствует при этом давление pdoy напра-
направленное в сторону внутренной нормали. Если, следовательно, отре-
отрезок do представляется по величине и направлению комплеТГСным числом
dz = dx -f- idy, то вектор действующей на соответствующую часть тела
силы (отнесенной к единице длины) может быть представлен комплекс-
комплексным числом ipdz (ибо умножение на / = е 2 эквивалентно повороту
г) Критерием возможности струйчатого движения здесь так же, как и в слу-
случае обыкновенного потенциального потока (без циркуляции), является значение
Рейнольдсова числа.
2) Что по закону Бернулли соответствует большему давлению снизу, чем
сверху.
11 Курс теорет, механики. 161

вектора на угол 90° в положительном направлении, т. е. налево). Таким
образом интересующая нас результирующая сила может быть предста-
представлена комплексным числом:
F=i<$pdz, F5)
где интегрирование происходит по контуру о", ограничивающему профиль
тела (в положительном направлении). Так как при стационарном, невих-
невихревом движении идеальной жидкости
~ + у V2 = const,
(ср. § 19) и так как при представлении вектора v при помощи ком-
комплексного числа v = vx-{- ivу квадрат его выражается произведением
этого числа на комплексно-сопряженное число V* = их— ivV) то преды-
предыдущую формулу можно переписать в виде:
F = — -J qi ф v v*dz. F6)
Принимая во внимание, что интеграл (T)v*dz представляет собой
величину циркуляции Г и полагая фи v*dz = иГ, где v — некоторая
средняя скорость жидкости у поверхности твердого тела, получаем:
Эта формула показывает, что реакция жидкости пропорциональна
произведению циркуляции на среднюю скорость жидкости (по отноше-
отношению к обтекаемому твердому телу) и перпендикулярна к этой скорости
(множитель /). более точная формулировка теоремы Жуковского полу-
получается при замене несколько неопределенной „средней скорости" и
скоростью и0 жидкости по отношению к (неподвижному) твердому телу
на бесконечном расстоянии от последнего (величина — v0 предста-
представляет собой то, что обычно подразумевается под скоростью тела в жид-
жидкости или в воздухе). Эту скорость мы введем с помощью следующей
формулы для потенциальной функции /:
/B) = u;-z + /0(z). F7)
В этой формуле первый член соответствует однородному потоку
жидкости, дщшущейся с постоянной скоростью i/0, а второй член учи-
учитывает искажение, вносимое присутствием твердого тела. Соответствую-
Соответствующая ему скорость на бесконечном расстоянии обращается в нуль.
Рассмотрим величину, комплексно-сопряженную с F:
Произведение
vdz* = (vx + i vy) (dx — i dy) = vxdx + vydy + i (vydx —vxdy)
на контуре, ограничивающем тело, совпадает с комплексно-сопряженной
величиной v*dz, так как в точках этого контура скорость v имеет тан-
162

генциальное направление и, следовательно, мнимая часть обоих выра-
выражений ± (Vydx — vxdy) = ± (dt x v)z равна нулю. Мы можем, следова-
следовательно, положить
т. е.
(формула Блазиуса).
Поскольку вне тела функция ~- является аналитической и регуляр-
регулярной, интеграл ф у-тЛ dz, согласно теореме Коши, сохраняет одно
и то же значение для любого контура, охватывающего контур тела
(внутри или на поверхности которого должны были бы находиться
источники или вихри, ему эквивалентные). Поэтому при вычислении F*
можно в формуле F8) заменить контур самого тела бесконечно-удален-
бесконечно-удаленным контуром, его охватывающим.
При z-»oo добавочная скорость, определяемая производной от
функции /0B), должна стремиться к нулю и притом таким образом,
чтобы интеграл &fo(z)dz =* &j'(z)dz, взятый по бесконечно-удаленному
контуру, сохранял конечное значение, равное циркуляции скорости
\(±)V*dz = v*Sdz = О). Отсюда следует, что при тех же условиях инте-
грал ф (fo(z)Jdz обращается в нуль. А так как интеграл (bv20dz =
= v%(bdz равен нулю тождественно, то при интегрировании выражения
по бесконечно-удаленному контуру, мы получаем:
и следовательно:
F* = q i и^Г
или окончательно:
F^ — iQvor. F9)
Помимо силы, действующей на тело, обтекаемое жидкостью на прак-
практике приходится принимать во внимание также соответствующее вра-
вращательное усилие. Момент его
М = JrxdF
можно определить, как мнимую часть комплексного выражения z*dF
или — yzdF*. Замечая, что dF* = уе*'(^) dz, мы получаем следую-
следующее выражение для этого момента:
^z, G0)
где R обозначает вещественную часть.
И* Ш

В виду аналитического характера и регулярности подинтегральной
функции, интегрирование в этой формуле (также данной Блазиусом)
можно распространять по любому контуру, охватывающему тело,
и в частности по бесконечно-удаленному контуру. При г-> оо функция
/'(z) может быть разложена в ряд вида
/'B) = «.' + -lH-|?+... G1)
Возвышая его в квадрат, получаем:
откуда следует:
Из сравнения предыдущей формулы с прежде полученным выраже-
выражением для ф [f'(z)]2dz следует, что
2п iat = Г.
Таким образом:
м
т qR [ш
Рассмотрим для примера простейший случай рассматриваемой
задачи — обтекание жидкостью цилиндрического тела с круговым
сечением.
Функция /0(z), характеризующая искажение, вносимое присутствием
тела, может быть представлена в виде суммы двух членов:
где а — радиус круга, a vQ—комплексное число, представляющее ско-
скорость его движения по отношению к жидкости. Первый член соответ-
соответствует найденному нами в § 16 выражению
у== * дз vy 1 = * a*vo-nof
где Ro = -^-, для потенциала скорости, в случае движения шара
в идеальной жидкости. При переходе от пространственного движения
к плоскому и от шара к кругу, мы получаем аналогичным образом:
<р = a2 ^j^- = — a2v0 • V lg r.
Это выражение, взятое с обратным знаком х), совпадает с веще-
вещественной частью комплексного потенциала
г) В § 18 скалярный потенциал был связан со скоростью формулой v== —
тогда, как в настоящем параграфе мы полагаем v = V99-
164

И2 Я2 У
Что касается второго члена в G3), то его вещественная и мнимая
части равны соответственно:
СП *—'* ' ' \j р| 1J) т-— —— ¦ —
2л 2л; я'
где z = г^г(Э. Линии тока у) = const представляет собой, следовательно,
круги, один из которых г = а совпадает с контуром цилиндрического
тела; соответственно этому скалярный потенциал <р оказывается много-
многозначной функцией, возрастающей на Г* при обходе вокруг тела (т. е.
при изменении в на 2л).
Полный комплексный потенциал выражается, следовательно, в рас-
рассматриваемом случае формулой:
чему соответствует следующее комплексное представление вектора ско-
скорости :
р
совпадающее с первыми тремя членами ряда G1) при а1 = ——-
и а2 = — CL2VO. Отсюда следует, между прочим:
М = 2nQRiv*Qa2 =— 2jiQRia2v0v* = 0,
что можно было бы заранее предвидеть, принимая во внимание сим-
симметрию рассматриваемого контура.
Величина циркуляции Г остается, вообще говоря, произвольной.
Чтобы фиксировать ее, необходимо ввести добавочное требование
относительно скорости жидкости в какой-либо точке поверхности тела,
Так например, если потребовать, чтобы скорость повсюду сохраняла
свой знак, обращаясь в нуль в одной из двух точек, лежащих на кон-
концах диаметра, перпендикулярного к направлению движения жидкости vQi
то для циркуляции получается следующее выражение:
Г
Случай цилиндрического тела с круговым профилем не имеет прак-
практического значения. Однако от него легко перейти к профилям, кото-
которые имеют существенное значение для авиации, — профилям, характе-
характеризующим форму аэропланных крыльев. Для этого необходимо найти
аналитическую функцию Z~%(z)} которая преобразовывала бы круг ра-
радиуса а на плоскости z в желаемый профиль на плоскости Z. Функций,
удовлетворяющих этому условию, существует бесконечное множество.
Поэтому для полной определенности необходимо выставить еще одно
условие, определяющее поведение функции %(z) на бесконечности.
Для нахождения этого условия заметим, что комплексному потен-
потенциалу / (z) = (р (х, у) + iy>(x, у) соответствует на плоскости z комплекс-
комплексный потенциал
165

где f(z)=*f[% \z)]t a x * —функция, обратная % (так что % 1(z) = z).
В самом деле, если исходный контур определяется линией ip = 0, то
преобразованный контур будет при этом определяться линией у> = О
на плоскости г. Для того, чтобы функция ]{т) или, вернее, ее произ-
производная по г, при бесконечно-больших значениях z имела такой же вид,
как и исходная функция, т. е. определяла невозмущенное движение
жидкости с той же самой скоростью vQ} функция, преобразования %(z)
должна удовлетворять добавочному условию, чтобы при г -> оо отно-
отношение — стремилось к 1. Поэтому ее можно искать в виде ряда:
Профиль аэропланного крыла характеризуется наличием острого
угла у задней кромки, где сходятся, или вернее, пересекаются нижняя
и верхняя стороны поверхности крыла. Эта точка г = 20 является осо-
особой точкой для функции преобразования #(z), в которой производная
%(z0) обращается в бесконечность. В виду соотношения
Ж. —Й- . ^L
dz dz dz '
* = —-
отсюда следует, что при конечности скорости у* = —- в точке 2 = 20
скорость у* в соответствующей точке z0 плоскости z должна обра-
обращаться в нуль. Этим условием, по Жуковскому, и определяется вели-
величина циркуляции Г.
Не останавливаясь на дальнейшем развитии этого вопроса, мы должны,
в заключение этого параграфа, сделать несколько замечаний о плоском дви-
движении идеальной жидкости, при наличии так называемых свободных
границ, т. е. границ, определяемых не соприкосновением с твердыми те-
телами, а либо свободной поверхностью самой жидкости (например в поле
тяжести), либо же поверхностью раздела одной жидкости от другой, в
частности той же самой жидкости, но пребывающей в состоянии покоя.
Мы начнем с последнего случая, характеризующего так называемое
„разрывное" течение жидкости.
Мы видели выше, что при обтекании твердого тела потенциальным
потоком идеальной жидкости, движущейся на бесконечности с по-
постоянной скоростью, не получается либо вовсе никакой реакции (потен-
(потенциальное движение без циркуляции), либо же (при наличии циркуляции)
реакция, перпендикулярная к направлению движения.
В действительности реальная жидкость всегда оказывает на тело
давление, направленное в сторону движения; заменяя движение жид-
жидкости по отношению к телу движением последнего по отношению к жид-
жидкости, мы получаем, кроме подъемной силы, также некоторое лобовое
сопротивление.
Мы уже отмечали выше, что это лобовое сопротивление объясняется,
при учете вязкости жидкости отрывом Прандтлевского слоя, т. е. гра-
граничных струй, его образующих, от поверхности тела и образованием
позади его зачихренной области, где давление оказывается меньше, чем
с передней стороны.
166

Этот результат можно учесть приближенным образом, игнорируя
как вязкость, так и вихреобразование, если предположить, следуя
Кирхгофу, Гельмгольцу и Леви-Чивита, что в тыловой области, ограни-
ограниченной задней стороной тела и оторвавшимися от его боковых сторон
струями, жидкость остается в покое (так называемая „мертвая" или „стоя-
„стоячая" вода, рис. 27, область III). Не останавливаясь на попытках точно
установить место отрыва граничных струй и их форму (попытках,
которые до сих пор не могут считаться вполне удовлетворительными,
ввиду неоднозначности решений, к которым они приводят), заметим
лишь, что, согласно закону Бернулли, эта форма определяется усло-
условием постоянства численного значения скорости.
В самом деле, несмотря на разрывность скорости, давление р должно,
очевидно, оставаться непрерывной функцией координат. Так как в об-
области, где жидкость остается неподвижной, оно должно сохранять
постоянное значение, то же самое постоянное значение оно должно
иметь и по ту сторону границы. В виду соотношения
-Y ?W2 = const
отсюда вытекает, что скорость
жидкости вдоль всей границы мо-
может меняться только по напра-
направлению, но не по величине. Та-
Таким образом разрывное плоское
движение жидкости может быть
описано такой потенциальной
функцией / (г), которая удовле-
удовлетворяет условию постоянства модуля /' (z) вдоль хотя бы двух линий
ip = const. Область, ограниченную этими двумя линиями и частью кон-
контура твердого тела (где это условие сохраняется), можно рассматривать,
как область покоя.
Совершенно аналогичная задача встречается при рассмотрении формы
струй, образуемых жидкостью, вытекающей из резервуара в пустоту
или в пространство, заполненное покоящейся жидкостью.
В тыльной области корабля, равномерно движущегося в воде или же
обтекаемого равномерным потоком воды, никогда не наблюдается пол-
полного покоя. В действительности, в этой области, наряду с завихрениями,
о которых была речь выше, наблюдаются волны, тем более длинные,
чем больше скорость жидкости относительно корабля и, остающиеся
неподвижными по отношению к последнему, т. е., другими сювами,
распространяющемуся в неподвижной жидкости со скоростью движения
корабля.
Волны эти, как и волны любого происхождения на поверхности
воды или какой-нибудь другой жидкости, объясняются в основном
действием тяжести (в случае очень коротких волн существенную роль
играют также капиллярные силы).
Поскольку они распространяются в одном направлении (что всегда
имеет место если рассматривать небольшую область поверхности, распо-
расположенную на большом расстоянии от их источника), их можно тракто-
трактовать как частный случай плоского потенциального движения идеальной
Рис. 27.
167

жидкости. При этом плоскостью движения является вертикальная пло-
плоскость ху, содержащая направление распространения (х).
Рассматривая это движение с точки зрения координатной системы
X, у, движущейся вместе с волнами (например связанной с кораблем),
мы можем считать движение жидкости стационарным. При этом форма
свободной поверхности („волновой профиль") должна определяться
обобщенным условием Бернулли, учитывающим внешние силы:
или так как в данном случае (если ось у проведена вертикально вниз)
и= —gy, где g ускорение силы тяжести:
Давление р равно атмосферному давлению на уровне воды и может
поэтому считаться постоянным. Мы получаем следующее граничное
условие:
-i-M2-*y = const, G5)
которое должно совпадать с уравнением ip(x, у) = const для самой
границы.
Это условие оказывается—по крайней мере приближенно—выпол-
приближенно—выполненным, если положить
f(z)=-wz+aeikz, G6)
где w, а и к — вещественные параметры, из коих первый можно трак-
трактовать как скорость распространения волн, второй — как меру их ам-
амплитуды, а третий — как величину, обратную длине волны Я, умно-
женную на 2л (поскольку выражение е = е и • е ' является перио-
2тт\
дической функцией х с периодом Я = —1. Приравнивая постоянной
величине, например нулю, мнимую часть ip предыдущего выражения,
получаем следующее уравнение для свободной поверхности:
— wy + ae 'ky • sin кх = 0. G7)
В пределе, при очень малых значениях параметра а, оно превра-
превращается в обычное уравнение синусоиды у = — sin /CX, причем отно-
отношение — равно амплитуде колебаний.
С другой стороны, имеем:
4L y • eikx = - w- ake~ky sm kx+iake~ky cos кх
и следовательно:
1 = w* + 2w ак e~ hys\n кх + a2k4~lky.
df_
uz
168

В предположении малости а, третьим членом можно пренебречь в этом
выражении. Заменяя второй член через 2w2ky согласно G7), мы получаем
при этом:
|у |2 = 1у2_|_ 2w2ky,
что совпадает с уравнением G5), если положить
Этими формулами решается задача о распространении волн на по-
поверхности глубокого бассейна. В случае мелкого бассейна (т. е. такого>
глубина которого сравнима с длиной волны) необходимо удовлетворить
еще условию горизонтальности струй на дне бассейна, т. е. условию
-р = 0 при х = ft, где Л—глубина дна.
При таких условиях задача решается несколько более сложными фор-
формулами, а именно:
f(z)= — wz + a(eih2 — e~~ihz)= —wz+2ia sin kz
§ 20. Влияние сжимаемости и принципы акустики
Формулы, установленные в предыдущих параграфах для движения
несжимаемых жидкостей, во многих случаях применимы и к газам, а
именно во всех тех случаях, когда температура и давление последних
остаются более или менее постоянными как в пространстве, так и во
времени. Не останавливаясь на развитии общей теории движения
газообразных тел, мы ограничимся рассмотрением двух простейших
и притом наиболее важных типов движения: 1) движений стацио-
стационарных или квазистационарных (т. е. сравнительно медленно
меняющихся во времени) при условии: а) постоянства температуры или
Ь) отсутствия теплового обмена между неодинаково нагретыми элемен-
элементами газа, и 2) быстрых колебательных (волнообразных)
движений, которые, впрочем, могут, иметь место не только в газах,
но и в жидкостях, поскольку последние не являются абсолютно несжи-
несжимаемыми.
1) В обоих случаях (а) и (Ь) влияние температуры на плотность
можно считать исключенным, т. е. трактовать плотность как заданную
функцию одного лишь давления. В первом случае (изотермические дви-
движения 0 = const) это обстоятельство является самоочевидным. Во
втором (адиабатические движения, к = 0 при -^г и | V0| не равных нулю],
температура легко исключается из соотношения — = RQ при помощи
уравнения сохранения энергии C6). А именно, полагая в нем /с = и = О,

т. е. пренебрегая влиянием теплопроводности и внутреннего трения,
и в=~, получаем:
K'
р UQ Cq Kg') d i С d 1 Р
q dt ~~ R dt ' ' Л gQ~ R dt g ?
и следовательно:
= const, G8)
/"> I Г)
где у= — отношение теплоемкости при постоянном давлении (С+/?)
к теплоемкости при постоянном объеме (С). Из этой формулы или
непосредственно из предыдущего диференциального уравнения, легко
получается соотношение:
ад д
Зная q как функцию р, можно положить:
р
?=VP, G8b)
Ро
где функция Р равна RQ \g — в случае изотермических движений и
Ро
const /— \ — в случае адиабатических (pQ —произвольное
I —~ —1 —•- -—1 I
\ РоУ PV /
„начальное" давление).
Подставляя G8Ь) в C5а), получаем уравнение движения газа в сле-
следующей форме:
= 0, G9)
отличающейся от уравнения C7) для несжимаемой жидкости лишь заменой
S- на Р. Отсюда видно, что величину Р можно трактовать как „вну-
„внутреннюю" удельную энергию единицы массы газа (при постоянной
температуре или отсутствии теплового обмена). Пренебрегая внутренним
трением, мы получаем в случае стационарного невихревого движения
газа уравнение того же вида, что и для жидкости:
\-+ U+ Р = г) = const, G9а)
с той разницей, что в выражении удельной энергии rj отношение —
заменено величиной Р.
Таким образом, различие между теорией движения газа и (несжи-
(несжимаемой) жидкости выражается при указанных условиях не столько
170

в форме уравнения движения, сколько в замене уравнения несжимаемости
div V = О уравнением сплошности -^-+ div @V= О или
Alge + divv = O. G9b)
[ср. формулу t34a)]. В виду этого обстоятельства определение кинема-
кинематического состояния газа независимо от состояния динамического оказы-
оказывается невозможным: уравнения G9) и G9Ь) разрешимы лишь со-
совместно.
В простейшем случае стационарного невихревого движения, при
отсутствии вязкости, подобное решение не представляет никаких прин-
принципиальных затруднений. Так например, полагая в G9а) P = R& \g q
(что соответствует изотермическому движению при р0 = R60) и под-
подставляя значение \g q в G9b), получаем:
или, вводя потенциал скорости <р (v = —V99)'.
Фактическое решение этого уравнения, в виду его нелинейности
относительно <р, возможно, вообще говоря (при заданных граничных
условиях), лишь путем последовательных приближений.
Переходя к вихревому движению газов, мы ничего нового в
сравнении с соответствующим движением жидкостей не находим. По-
Поскольку можно пренебречь внутренним трением, мы попрежнему полу-
получаем чисто кинематическое (т. е. не содержащее динамических величин
р или q) уравнение Гельмгольца D2), закон сохранения мощности ви-
вихревых нитей и все остальные результаты, относящиеся к движению и
(кажущемуся) взаимодействию последних. В общем случае, при отсут-
отсутствии определенного соотношения между плотностью и давлением, т. е.
при независимом изменении температуры, закон сохранения вихрей
теряет силу. В самом деле, беря векторную производную от уравнения
C5а), получаем:
^ +rot («XV) +4 V-i- • Vp = 0 (80)
и следовательно на основании D2а):
dS =-4Lf(Vp.V±) -ndS. (80a)
Отсюда видно, что при несовпадении поверхностей р = const, (изо-
(изобар) с поверхностями постоянной плотности (q = const), мощность
вихревых нитей не остается постоянной, но увеличивается или умень-
уменьшается, в зависимости от угла между этими поверхностями, а также от
угла между линией их пересечения и направлением рассматриваемой
нити. Заметим, что подобное несовпадение поверхностей р = const и
?= const является одной из причин образования вихревых движений
171

в атмосфере. Другой причиной является отклоняющее действие вра-
вращения земли, выражающееся в „поворотной" силе !=2/отх<о0, где
(О0 — угловая скорость земного шара, а V—скорость воздуха по отно-
отношению к его поверхности. Дополняя уравнение C1) этой силой, полу-
получаем:
и соответственно этому:
или, преобразуя второй член правой части по формуле Стокса:
2) Не останавливаясь на рассмотрении влияния вязкости, которое
в случае газов остается таким же, как и в случае жидкостей, мы
перейдем теперь к исследованию движений второго типа, т. е. быстрых
колебаний, составляющих сущность звуковых явлений в газах и
жидкостях.
При достаточной быстроте колебаний, изменения температуры, свя-
связанные с местными расширениями или сжатиями газа, не успевают
в сколько-нибудь заметной степени передаваться от одного элемента
объема к соседним. Поэтому подобные колебания можно трактовать
как адиабатическое движение. Мы будем, далее, предполагать, что
рассматриваемые колебания имеют весьма малую амплитуду, и соответ-
соответственно этому будем пренебрегать квадратами величин v, д — ?0 = Ад
и Р ~ А) ^ AQ> гДе ?о и Ро СУТЬ средние значения плотности и давления
(которые мы будем считать постоянными в пространстве), а также про-
произведениями этих величин и их производных. При таких условиях
уравнение сплошности C4а) принимает вид
— -^- + divv = 0, (81)
а уравнение движения C5а) сводится, при отсутствии внешних сил
(U = 0)} к
-1 _| VJ/? = 0. (81а)
Присоединяя к ним уравнение состояния G8а), которое в рассма-
рассматриваемом случае можно заменить приближенным:
4^ = 7-^- = с2 (81Ь)
Aq r q0 v /
(величина с = Т/ у— не имеет ничего общего с теплоемкостью, кй-
\ т Qo
торую мы выше обозначали буквой С), мы получаем все данные для
определения функций v(/, Г), g(t, г) и /?(/, г).
Подставляя в (81а) значение Ар из (81Ь), имеем:
7j7 + — Vve — O. (81c)
172

Если продифференцировать уравнение (81) по времени, а (81с) —
по радиусу-вектору (скалярно) и вычесть одно из другого, то полу-
получается:
^^0. (82)
Аналогичным уравнениям удовлетворяют, как нетрудно убедиться,
Ар и V.
Для решения уравнения (82) предположим сначала, так же как при
интегрировании уравнения у2<р ==/?(§ 8), что Aq зависит, помимо /,
только от расстояния рассматриваемой точки Р от некоторого
„центра" О(ОР = г), т. е. что искомая функция имеет вид Ад = cp(t, г).
Так как при таких условиях у2ср =—• i ^ ¦ [ср. формулу B3)§ 8],
то уравнение (82) сводится к
Переписывая его в виде -~ = -р-, где /=гр, а / = —, не-
нетрудно убедиться, что зависимость / от / и / может быть представлена
в самом общем случае, формулой вида:
где /i и /2 — две совершенно произвольные функции от со-
соответствующих аргументов 1).
Первая из них (при /2 = 0) дает для <р выражение:
f = -~-
которое соответствует некоторому изменению плотности, исходящему
из центра О и передающемуся во все стороны от этого центра с по-
постоянной скоростью с, убывая при этом обратно-пропорционально пер-
первой степени расстояния. Мы получаем таким образом картину распро-
распространения звука, источник которого находится в точке О 2). То об-
обстоятельство, что „сила" звука убывает обратно-пропорционально
квадрату, а не первой степени расстояния, объясняется тем, что она
определяется не амплитудой, а энергией колебаний, т. е. квадра-
квадратом (или, вернее, средним значением квадрата) величины Aq. В случае
гармонических (синусоидальных) колебаний с периодом т, можно положить
г) Эта формула может быть установлена путем преобразования уравнения
дЧ дЧ
j_i = —-| к новым переменным ?=* — / и г\ = /-{- /.
2) Аналогичным образом функция /2 (t-\—J соответствует распростра-
распространению некоторого возмущения по направлению к точке О. Так как
подобный процесс не имеет физического смысла, то это второе решение урав-
уравнения (82а) отбрасывают, т. е. полагают /2 = 0.
173

где А— амплитуда колебаний, а Я = сх — расстояние, на которое ко-
колебательное движение распространяется за время т. Это расстояние
представляет собой так называемую длину волны рассматриваемых
звуковых колебаний, причем волнообразный характер движения обу-
обусловливается чередованием сжатых и разреженных сферических слоев
газа, которые, сохраняя расстояние -— друг от друга, расширяются во
все стороны от их общего центра (О) с постоянной скоростью с.
Само собой разумеется, что частицы газа не участвуют в поступа-
поступательном движении этих волн; они совершают лишь весьма малые ко-
колебания около определенных положений равновесия — подобно ко-
колосьям „волнующейся" нивы.
Характер этого колебательного движения легко определить, под-
подставляя в (81с) значение Дд = (р из (82Ь). Принимая во внимание, что
где /iCO
tff > и полагая для краткости / = /', получаем:
дч _ с2 Г /, (V) j_ П (П
г
Отсюда видно, что рассматриваемые колебания имеют продоль-
продольный характер, т.-е. совершаются в направлении радиусов-векторов или
„лучей", расходящихся из О. На большом расстоянии от источника
первым членом предыдущей формулы можно, очевидно, пренебречь по
сравнению с вторым; таким образом после интегрирования по / (при
г =з const) она принимает вил:
(
Заметим, что все эти результаты имеют место не только для газо-
газообразных тел, но в равной мере и для жидкостей, — поскольку
последние обладают сжимаемостью.
При этом скорость распространения колебаний определяется общей
формулой
которая в случае газов принимает вид
[ср. формулу (81Ь)]; в случае жидкостей отношение -~ (или, вер-
вернее, предел этого отношения при Ад -> 0) равно отношению так назы-
называемого модуля упругости, характеризующего сопротивление,
оказываемое жидкостью при всестороннем сжат-ии, к средней плотности ?0.
Общее решение уравнения (82), при наличии нескольких „источ-
„источников" в различных точках пространства, может быть представлено в
виде суммы выражений вида (82Ь), соответствующих каждому из этих
174

источников, или, в случае непрерывного распределения последних в
некотором объеме V, в виде интеграла
<p(t, r) = / ~f(t—f, r') dV, (83)
где R = г — г'— радиус-вектор рассматриваемой точки по отношению
к элементу объема dV', а /(/хг') — функция, характеризующая „мощ-
„мощность" источников, находящихся в этом элементе в момент Л
Необходимо подчеркнуть, что формула (83) представляет собой ре-
решение уравнения (82) лишь для тех точек, которые лежат вне
объема V (т. е. не являются источниками возмущений) и для которых,
следовательно, функция / равна нулю. Нетрудно убедиться, что в тех
точках, где эта функция отлична от нуля, однородное уравнение
у2ф ——- j-? = О заменяется неоднородным:
vV--?-?r = -4*/. (83а)
Для этого достаточно заметить, что при с = оо и / = J~ Ф 0 ин-
интеграл (83) превращается в B4а) § 8, т. е. в решение диференциаль-
ного уравнения у\ = —pt

ОТДЕЛ III
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ
ЧАСТИЦЫ И СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
ГЛАВА I
МЕХАНИКА ЧАСТИЦЫ И МЕТОД ПРОСТРАНСТВЕННОГО
КОНТИНУУМА ЭКЗЕМПЛЯРОВ
§ 1. Уравнение Гамильтона-Якоби
При изучении движения частицы в заданном силовом поле бывает
удобно рассматривать совместно совокупность множества различных
движений, соответствующих различным начальным условиям, т. е. раз-
различным положениям и скоростям в исходный момент времени. При этом,
данная частица рассматривается как бы в виде множества экзем-
экземпляров ее, движущихся одновременно различным образом (не оказы-
оказывая, разумеется, никакого влияния друг на друга). Если мы представим
себе, что в начальный момент эти экземпляры распределены в про-
пространстве непрерывным образом (т. е. так, что в каждой точке про-
пространства или некоторой части его находится по экземпляру) и если далее
мы введем условие, чтобы у бесконечно-близких экземпляров началь-
начальные скорости бесконечно мало отличались друг от друга как по вели-
величине, так и по направлению, то в силу уравнений движения это усло-
условие окажется выполненным для любых времен. Такого рода непрерыв-
непрерывное множество экземпляров с непрерывно распределенными скоростями
мы будем называть пространственным континуумом экзем-
экземпляров. Такого рода континуум экземпляров можно трактовать как
фиктивную жидкость1) и движение различных экземпляров описывать
таким же образом, каким описывается движение частиц жидкости в гидро-
гидродинамике, т. е. определяя скорость каждого экземпляра V, как функцию
радиуса-вектора г той точки пространства, через которую он про-
проходит, и времени прохождения t.
Мы будем считать, что силовое поле имеет потенциальный характер
и в соответствии с этим допустим, что импульс р имеет потенциал
S = S(r, /), так что
р = mv = grad S. A)
Составим уравнение движения частицы:
где U =U (г, /) есть заданная функция координат и времени.
г) От действительной жидкости или даже идеальной жидкости обычной
гидродинамики она отличается отсутствием или, если угодно, постоянством
гидростатического давления.
176

Скорость частицы трактуется как явная функция координат и времени,
dv dv
поэтому ускорение экземпляра частицы ji слагается из изменения ~х-
скорости в данной точке пространства (локальное ускорение) и измене-
изменения (vV)v при переходе в соседнюю точку (конвективное ускорение):
? = S
Замечая, что
и принимая во внимание, что в силу A) rdtv = O, находим:
Теперь уравнение движения частицы принимает вид:
Заменяя т\ через VS, меняя порядок диференцирования по времени
и координатам и полагая
#-!»? +С/= JL(VS)« + l/, B)
получим уравнение:
6S , Г Ж Г*
показывающее, что -х-г-{-Н не зависит от координат. Без ограничения
общности эту сумму можно принять равной пулю. Действительно, урав*
нение
где /(/) — произвольная функция времени, имеет решением функцию
где Si есть решение „однородного" уравнения
-1 ЬЯ = О. C)
Очевидно, прибавление к Sx произвольной функцци / / (t) dt от
времени не вяияет на поле импульсов, ибо g = grad S = grad Si, и про-
произвольная функция выпадает. Уравнение
^l-tf(r,VS,0 D)
было выведено впервые Гамильтоном и затем подробно исследовано
Якоб 4, вследствие чего оно носит название уравнения Гамильтона-Якоби.
12 Курс теорет. механики. 177

Величина И (численно равная энергии частицы) называется функцией
Гамильтона.
В прямоугольных координатах эта функция равна
W-» -в [(I)!+(i)'+(fЛ+"<*¦ у- '.о.
так что уравнение Гамильтона-Якоби принимает вид:
Возьмем полную производную функцию S по времени, т. е. вычислим
скорость изменения 5 со временем для точки, перемещающейся вместе
с каким-либо экземпляром континуума:
Замечая, что в силу уравнений C) и A) -^ =—Я, V S = т\, получим:
dt ы
т. е.
где Lz=z — mv2 — U есть так называемая функция Лагранжа, Отсюда
t
G)
Интеграл в правой части называют механическим действием, в виду
чего 5(f, /) мы назовем функцией действия или просто действием.
Уравнение Гамильтона-Якоби представляет собою диференциальное урав-
уравнение в частных производных первого порядка ог функцииS(f, t). Полным
интегралом уравнения в частных производных первого порядка назы-
называется решение этого уравнения, содержащее столько произвольных
постоянных интегрирования, сколько имеется независимых переменных.
Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби
должен содержать четыре произвольных постоянных. Однако уравнение
Гамильтона-Якоби содержит лишь производные от S, поэтому наряду
с решением S == S* будет существовать бесчисленное множество реше-
решений вида S = S* + const и, следовательно, для получения полного
интеграла достаточно найти решение вида
S = S(X, у, z, t, аъ а2, а3), (8)
содержащее три произвольных независимых постоянных аъ а2, а3.
Что касается несущественной четвертой постоянной, то ее можно
связать с начальной фазой движения.
В качестве простейшего примера рассмотрим решение уравнения
178

Гамильтона-Якоби для свободного движения материальной частицы, не
подверженной действию внешних сил.
Потенциальную энергию U в уравнении E) можно при этом считать
равной нулю и выделить зависимость от времени, полагая S = S0—Wt,
где So = So (x, у, z),
^
2т[\дх)
В последнем уравнении мы можем положить:
50 = S1(x) + S2(y) + S,(z),
где Si, S2, S3 удовлетворяют уравнениям:
— (-j-5) = P const.
шШ-уconst-
Так как мы можем дать постоянным а, /3, у произвольные числен-
численные значения, мы получаем здесь подтверждение общего положения,
что решение уравнения Гамильтона-Якоби содержит три независимых
произвольных постоянных.
Физический смысл этих постоянных нетрудно вскрыть, если вспо-
вспомнить, что, по определению, величина
dx dx
есть слагающая количества движения по оси X,
Таким образом полное решение уравнения Гамильтона-Якоби в нашем
примере имеет вид:
S = рх-х + руу + p2-z — Wt,
где р— постоянный импульс частицы и W — полная энергия.
Составим производную от функции S по какой-либо константе инте-
dS
грирования, например по %: g— и рассмотрим полную производную
от нее по времени. Очевидно:
dt \dak
Замечая, что
dt [daj dak [dt)" dak V [dak ) ~ dak VO - dak '
12* 179

получим
dt \дак1 дак l dcifo'
где p=VS = p(x, у, z, av a2, a3, 0 есть вектор количества движения.
С другой стороны:
duk дак \2т F ' ) 2т dak m * дак
и, в силу р = mv:
dak dak '
поэтому
^ V * U
ahj ^ah dak ^ah vak *
откуда следует, что
—- = 8k = const. (9)
OOLu
Постоянные аи называются первыми, а /?й — вторыми интегралами
движения.
Интегрируя уравнение Гамильтона-Якоби, мы получаем интеграл дей-
действия S, который описывает движение континуума экземпляров частиц
в целом. Если мы хотим проследить движение одного экземпляра нашего
континуума, надо составить полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби,
продиференцировать по константам движения а, появляющимся при
интегрировании уравнения, и производные приравнять новым постоян-
постоянным ft т. е. положить:
— SSzF1 (х, у, г, /, аъ аъ а3) = ft
A_.=F2(x, у, г, U «ь а2, «3) = ft (Ю)
При помощи этих трех уравнений мы можем выразить координаты
X, у, Z через время t и шесть постоянных аъ а2, а3, ft, /?2, |83:
У = /2^ «i> а2, «з, ft, ft, ft) A1)
2 = /3 (?, «i, а2, а3, ft, ft, /S3)
Эти уравнения позволяют, задав определенные численные значения
постоянным интегрирования %,..., /?3 в соответствии с начальными
условиями при /=f0:
Vx == ^jcOj vy = i;yo, y2 = i;zo
180

перейти от континуума экземпляров одной частицы к одному из них и
проследить его движение со временем. Можно всегда выбрать константы
а, /8 так, чтобы в начальный момент t0 координаты и составляющие
скорости имели любые заданные значения. Для этого в уравнениях A1)
и их производных по времени надо положить f=/0, х= х0 и т. д. и
решить их относительно а и /?, тогда а и /? будут выражены через
начальные координаты и скорости.
Особый интерес представляет случай движения частицы в постоян-
постоянно vi силовом поле, когда потенциальная энергия U, а следовательно и
функция Гамильтона Н не зависят от времени явно. Уравнение Гамиль-
тона-Якоби допускает в этом случае решение вида
S(x, у, z, 0 = So(x, у, z)-Wt, A2)
где W—постоянная. Подставляя это выражение в уравнение Тамиль-
тона-Якоби, получим:
} + t/(x,y,z) = W. A3)
В левой части стоит сумма кинетической и потенциальной энергий
частицы; следовательно, при движении в постоянном потенциальном поле
полная энергия частицы сохраняет постоянное значение W. Выражение A2)
может быть непосредственно выведено из формулы G), если выделить
в L полную энергию:
L = T~C; = 2T— W,
где T = — mv2 — кинетическая энергия. При этом
t t
^=f Ldt=* f2Tdt—Wt,
о о
о
так что
t
- f2Tdt. A4)
о
Полный интеграл 50 уравнения A3) для случая постоянного сило-
силового поля очевидно также должен содержать три произвольных посто-
постоянных интегрирования а1у а2, а3:
50 = 50(х, у, z, а19 а2, а3). A5)
Функцию 50 мы будем называть неполным действием. На первый
взгляд может показаться, что у нас в функцию действия входят четыре
постоянных alf а2, а3 и W. Но это неверно, так как постоянная W не
является независимой, но представляет собою функцию остальных
yj = W (alt a2, а3).
Поскольку в левую часть входят аъ а^у а3> правая часть также будет
зависеть от них.
Подставляя в уравнения A0) S =* So—Wt, получим:
181

где к—1, 2, 3. В частности, в качестве одной из постоянных аъ а2, ct3
можно выбрать энергию W. Положив а3 = W тогда и уравнения A6)
примут вид
Здесь первые два уравнения, которые можно написать в форме
/^(Х, у, z, аъ а2, 1^)=^; F2(x, у, Z, аь а2, W) =/?2,
фиксируют форму траектории какого-либо экземпляра, а третье урав-
уравнение определяет движение этого экземпляра по данной траектории.
Заметим, чго в случае одномерного движения, это уравнение может
быть выведено совершенно элементарным образом из уравнения энергии
\-U(q)= W= const,
гл q — длина пройденного пути и определения S0(q) по формуле
Мы получаем при этом для энергии выраженную в функции ко-
количества движения р формулу:
откуда следует
р = V2m(W—U(q)).
Интегрирование по q дает функцию действия:
[W — U(qJ]dq. (Щ
Рассматривая в этом интеграле энергию W, как параметр, получаем:
i
dW J 2YW-U{q) J V2m[W-U(q)]
Условие вещественности подинтегрального выражения в A8), т. е.
неравенство W > U (q), во многих случаях выполняется лишь для зна-
значений qf лежащих внутри некоторого интервала (q'f q"). В подобных
случаях движение имеет периодический характер, представляя .собой
колебание или „либрацию" в пределах q', q". Заметим, что при этом
So оказывается многозначной функцией координаты q.
Функиия действия является многозначной и в общем случае трех-
трехмерного движения, ограниченного некоторой конечной областью про-
пространства (подробней об этом ниже, см. § 12).
182

§ 2. Оптико-механическая аналогия Гамильтона
Изложенный в предыдущем параграфе метод описания движения
частицы был придуман и разработан Гамильтоном, в связи с попыткой
примирить две долгое время враждовавшие точки зрения на природу
света. С точки зрения эмиссионной или корпускулярной теории, обычно
связываемой с именем Ньютона, свет представляет собой поток
особых частиц, испускаемых светящимся телом. В однородной прозрач-
прозрачной среде эти частицы движутся по прямым линиям, т. е., как бы по
инерции, не взаимодействуя друг с другом. В неоднородной, прозрач-
прозрачной среде пути их искривляются и даже преломляются (на границе
раз 1ела двух различных сред) так, как если бы на них действовали
некоторые внешние силы. Положение существенно усложняется вслед-
вследствие явления частичного отражения, происходящего на границе двух
сред с различными показателями преломления, а также непрерывным
образом и внутри неоднородной среды с непрерывно меняющимся пока-
показателем преломления. Если отвлечься от этого явления (имеющего, как
мы увидим ниже, фундаментальное принципиальное значение), то дви-
движение световых частиц, в виду предполагаемого отсутствия взаимодей-
взаимодействия между ними, можно трактовать, как течение некоторой идеальной
жидкости, характеризуемой полным отсутствием внутренних сил (в част-
частности сил гидростатического давления) в заданном внешнем силовом
поле, потенциальная энергия которого (по отношению к одной из
частиц) находится в простой связи с показателем преломления. Заме-
Заметим, что это представление об идеальной световой жидкости, текущей
от испускателя к поглощателю, явилось прообразом более абстрактного,
но формально эквивалентного представ 1ения о „пространственном кон-
континууме экземпляров", которым мы оперировали в предыдущем пара-
параграфе.
С другой стороны, световые явления интерпретировались, следуя
Гюйгенсу, как колебания, волнообразно распространяющиеся в некото-
некоторой материальной среде—„эфире", подобно тому, как звуковые коле-
колебания распространяются в воздухе. По целому ряду причин, в подроб-
подробное рассмотрение которых нам нет надобности здесь вдаваться, эта
точка зрения в эпоху Гамильтона считалась более правильной, чем
точка зрения эмиссионной теории Ньютона. Мы отлетим лишь то обстоя-
обстоятельство, что явление частичного отражения, непосредственно объясняе-
объясняемое волновой теорией света, требует для своего объяснения с корпу-
корпускулярной точки зрения весьма странных, противоречащих законам
обычной механики, предположений (ср. ниже). Так как, однако, обе
теории давали правильные и при том практически эквивалентные объяс-
объяснения закону преломления света, то Гамильтон попытался дать общую
математическую формулировку соотношения между ними для случая
неоднородной прозрачной среды с непрерывно изменяющимся показа-
показателем преломления, совершенно отвлекаясь при этом от явления частич-
частичного отражения.
Представлением, объединяющим обе теории, является световой луч;
в корпускулярной теории он рассматривается, как путь одной из свето-
световых частиц или как одна из „струй" световой жидкости, а в волновой
теории — как линия, определяющая направление распространения волн
183

ft каждой точке. Решающим шагом в теории Гамильтона явилось изуче-
изучение поверхностей перпендикулярных к световым лучам.
В волновой теории эти поверхности характеризуются постоянным
значением фазы колебаний, представляющей собой некоторую функцию
положения и времени <p(r, t). В корпускулярной картине — картине
идеальной жидкости — поверхности, перпендикулярные к направлению
струй-лучей могут быть определены в случае потенциального
потока как поверхности равного значения потенциала скорости (в слу-
случае непотенциального потока таких поверхностей, вообще геваря, не
существует).
Это обстоятельство привело Гамильтона к определению „механи-
„механического действия" S, которое отличается от потенциала скорости лишь
множителем т с фазой <р соответствующего волнового процесса (харак-
(характеризуемого одинаковой формой струй и лучей или, другими словами,
поверхностей S = const и <р = const).
Рассмотрим, прежде всего, простейший случай „однородного потока"
световых частиц или экземпляров какой-нибудь реальной материальной
частицы при отсутствии внешних сил. Интеграл действия сводится в этом
случае (см. выше) к следующему виду:
где вектор р (количество движения) и энергия W являются постоян-
постоянными. Поверхности «S = const представляют собой плоскости, перпен-
перпендикулярные к р и перемещающиеся со скоростью, определяемой усло-
условием — =*0, т. е. р • -77 — W = 0.
dt r dt
Имея в виду перемещение в сторону движения, т. е. параллельно
вектору р, мы получаем для скорости его выражение:
*-?-¦?. B0)
р mv к '
Эта скорость остается неопределенной, поскольку энергия W содер-
содержит неопределенную аддитивную постоянную (W = — mv2 | U =
зж1Гти2 + const).
Существенно отметить лишь тот факт, что она отлична от скорости
движения V.
Однородному потоку с параллельными струями соответствует, оче-
очевидно, плоская волна (или ряд плоских волн). Обозначая колеблю-
колеблющуюся величину через у), мы можем определить ее зависимость от
положения и времени в случае волны, распространяющейся в направле-
направлении оси х известной формулой:
B1)
где А — амплитуда колебаний, v — частота, Я — длина волны. Величина
р = ?{— ~ называется в этом случае фазой колебаний. Поверхности
одинаковой фазы суть плоскости:
vt — у = ц> = const,

перпендикулярные к оси Х> распространяющиеся со скоростью
в направлении возрастания х.
Волновую функцию B) мы можем записать не в виде A cos 2mp, а в
виде A sin 2я<р, или в квмплекснвй форме е±2л1<р (с комплексной ампли-
амплитудой А).
Если плоские волны распространяются не вдоль оси, а по некото-
некоторому направлению п, с направляющими косинусами cos a, cos/?, cos/,
те, поворачивая систему координат так, чтобы новая ось х совпадала
с направлением п имеем
х = х cos а + у cos /? + г cos у,
и следовательно
44) ^) ,*««-*> „,,
чр = Ае = Ае — Ае . B2)
Вектор к=уП, так называемый „волновой вектор**, по величине
равен -у и направлен по нормали к волновой поверхности, т. е. по
направлению луча.
Сравнивая выражение B2) с A9), мы видим, что равномерному
поступательному движению материальной частицы, или вернее контину-
континуума экземпляров частицы, можно сопоставить волновой процесс с фазой
V = -jf > B3)
где ft — некоторая постоянная, имеющая размерность действия ML?T~~X>
введенная нами для того, чтобы фаза была безразмерной величиной.
Полагая ft>0 и беря соответственно этому знак минус перед показа-
показателем в B2), получаем:
<р _kr rt_
2л * Г П —
kr rt
Это дает нам два соотношения:
к=Т » -Р
Т
откуда
— — h, — К
к ~~ р ~~~ то
что совпадает с формулой B0).
В случае движения частицы (или континуума ее экземпляров) в си-
силовом поле с потенциальной энергией ?/(г), не зависящей от времени,
интеграл действия имеет вид
S = SQ't)-Wt, B5)
185

где S0(t)~S0(x, у, Z) не является линейной функцией от всех трех
координат. Соответственно этому, поверхности S~ const или So—const,
(при заданном значении /) уже не являются плоскостями. Рассматривая
их как волновые поверхности в колебательном процессе с фазовой
функцией (р~—7—у мы получаем для волновой функции выражение
где 9?0 = ~ So и v = —-. Это выражение характеризует колебания
с частотой v и с амплитудой Л, которую можно рассматривать как
произвольную вещественную функцию координат. Произведение Аег(ро{г)
представляет собой „комплексную амплитуду" колебаний, a <po(f) —
„начальную" фазу их, т. е. фазу колебаний в различных точках в один
и тот же начальный момент времени /=0. Неопределенность ампли-
амплитудной функции в выражении B6) соответствует неопределенности
в величине плотности рассматриваемого потока. Вопрос о связи между
этими двумя величинами будет рассмотрен в следующем параграфе.
Что касается связи между фазовой функцией у>0 и функцией дей-
действия 50, то она может быть пояснена следующим образом. Рассмот-
Рассмотрим бесконечно-малое перемещение da вдоль одного из лучей (при
определенном значении времени /). Ему соответствует изменение
фазы на величину ~ da, где 1 представляет собой, по определению,
А
длину волны в рассматриваемой точке. Соответствующее изменение функ-
dS
ции действия dS0 равно произведению количества движения р = *-~° на da.
Полагая (ро= -j~-S0, мы имеем, следовательно, -у- = ~- так же, как
и в случае плоских волн.
Тот же результат получается, если поверхности 50 = const или
<р0 z= const в небольшой области, содержащей произвольно выбранную
точку г0, определить, исходя из приближенного представления соответ-
соответствующих функций. А именно,, полагая So(г) == So(г0)-f (г — го)ро,
где р0 = (VSo)r=:ro, получаем:
<Ро @ = Ц- So (г0) + ~ (г - г0) • р0 = const + 2?rk0 (г - г0).
Скорость распространения волн, определяемая обычной формулой
-, v W . р
w ~ V/, = -т- , при замене v на —г- и к на -~- принимает вид iv==
К п. и
= — , совпадая с тем, который получается из условия - = 0; суще-
существенно отметить то обстоятельство, что она в общем случае пред-
представляет собой функцию координат.
Обозначая величину w для какой-нибудь точки г0 (например, бес-
бесконечно-удаленной точки, где U = const) через w0 мы можем опреде-
лить отношение /и = —- , как показатель преломления среды
186

в рассматриваемой точке f (см. ниже). Мы получаем, таким образом,
"'2 ш2 Р2 IT/ г г / N
или в виду соотношения ~- = W— и (г):
Е± — —- р2
B7)
Эта формула, в которой W представляет собой произвольную по-
постоянную (полную энергию), определяет связь между оптическими
свойствами среды (в случае световых волн) и потенциальной энергией
соответствующего силового поля (по отношению к одной из световых
частиц).
W W
Заметим, что в виду соотношения w = -—= — исходное выраже-
выражение для показателя преломления /а = —у- может быть также записано
формулой [л = -и— , которая непосредственно вытекает из корпускуляр-
корпускулярной теории света.
С корпускулярной точки зрения преломление обусловливается суще-
существующими на границе раздела сред I и II силами, перпендикулярными
к поверхности и втягивающими световые частицы из одной среды в дру-
другую. Внутри каждой из сред потенциальная энергия постоянна, и све-
световые частицы движутся прямолинейно и равномерно, а на поверхности
раздела потенциальная энергия возрастает от значения ?/0 в среде /
до значения U в среде //. Поэтому, составляющая скорости, парал-
параллельная поверхности раздела, при переходе из одной среды в другую
остается неизменной, а перпендикулярная составляющая увеличивается
или уменьшается. Показателем преломления п называется отношение
синуса угла падения а0 к
синусу угла преломления а.
Согласно рис. 28
OB = vQ sin a0 = v sin a.
Отсюда
п^^Ло^^ . B8)
По закону сохранения
энергии
и следовательно:
— ?-¦
и-и,
mv2
429)
При U—Uo > -5- tnv'l показатель преломления и скорость распро-
распространения во второй среде становятся млимыми. Кинетическая энергия
световых частиц оказывается при этом недостаточной для преодоления
потенциального барьера U — 00> имеющегося на границе двух сред,
187

и свет просто отразится от этой границы. Величина скорости и каса-
касательной составляющей скорости при отражении остаются неизменными,
и угол падения равен углу отражения х).
По волновой теории каждая точка волновой поверхности яяляется,
в свою очередь, новым источником колебаний. Колебаний, дошедшие
до точки О иа поверхности раздела, распространяются оттуда с различ-
различной скоростью в обеих средах и доходят до точки А' за то же время,
за которое фронт падающей волны проходит из точки А в т#чку О'.
Из прямоугольных треугольников ОАО' и OA'Q' находим:
I О
t
УУ/////
00' =
откуда
п —
JL
sin a sin a0 '
w0
sin
'ШШ
Отсюда видно, что
если мы сопоставим
распространяющимся
волнам поток частиц,
движущихся вдоль лу-
лучей по законам меха-
механики, то, на основа-
основании B8) и C0), надо
положить
Рис. 29.
В случае света
л =г — = —У-
vowo ~ vw = с2
C1)
(с2 — квадрат скорости света в пустоте, где скорость частиц и скорости
волн совпадают).
При переходе из среды оптически менее плотной в среду оптически
более плотную (п > 1) скорость света по корпускулярной теории уве-
личивается [п == —), а по волновой — уменьшается (я= —). Непо-
средственное изменение скорости света в воде, произведенное Фуко
и Физо, подтвердило выводы волновой теории и только ряд явлений,
открытых в начале XX века (фотоэлектрический эффект, явление Комп-
тона) заставили физиков вернуться, до некоторой степени, к ньютоновской
теории истечения. Пришлось признать существование световых часгиц—
„фотонов", движение которых определяется, однако, не уравнениями
обычной механики, а уравнением того же типа, как и то, которым опи-
описывается распространение света по волновой теории. Аналогичной
реформе пришлось впоследствии подвергнуть теорию движения обыкно-
обыкновенных материальных частиц,
*) Это „полное" отражение света не следует смешивать с частичным, ко-
которое происходит и в том случае, когда У— С/о< -к~ /ш/2, и обыкновенной
механикой не объясняется.
18S

§ 3. Волновое уравнение и принципы волновой механики
В § 20 отдела II было показано, что распространение звуковых
волн определяется уравнением
^-i^ = 0. C2)
Тем же самым уравнением определяется распространение световых
колебаний, причем в случае неоднородной среды волновая скорость w
является некоторой функцией координат.
В случае гармонических колебаний (возможность которых обусло-
обусловливается независимостью w от времени) волновая функция ip может
быть представлена в виде
~1*и*. C2а)
Подставляя это выражение в C2), получаем:
или, так как
Будем рассматривать функцию %(t) как комплексную величину
(„комплексную амплитуду" колебаний) и будем искать ее в виде
C3)
где А и (р — вещественные функции, представляющие собой соответ-
соответственно модуль и аргумент у). На первый взгляд первую из них можно
трактовать, как амплитуду колебаний, а вторую, как их (начальную)
фазу, в соответствии с тем, как это делалось нами в предыдущем
параграфе. Подобное толкование имеет, однако, смысл лишь в том
случае, если функция гр описывает волны, распространяющиеся
без частичного отражения только в одну сторону,
В случае более сложного волнового процесса, например, суперпозиции
двух волн:
распространяющихся в однородной среде в противоположные стороны
оси х, функция чр — Щ + Щ) которая, в виду линейности уравнения C2Ь),
является его решением одновременно с щ и гр2, может быть, конечно,
также представлена в виде гр = А (г) ег(р, подобно обоим слагаемым.
Ясно, однако, что в этом случае модуль ег А не будет иметь смысла
амплитуды колебаний, а аргумент ф0 — их фазы.
Расщепление комплексной амплитуды у>0 на вещественную ампли-
амплитуду и на фазовый множитель оказывается таким образом, физически
бессмысленным. Вместе с тем утрачивает смысл понятие волновых по-
поверхностей (как поверхностей одинаковой фазы) и понятие лучей (как
линий, к ним перпендикулярных). Волновое уравнение C2Ь) в случае
неоднородной среды не допускает точных решений, которые представ-
189

лялись бы в виде односторонне распространяющихся волн или лучей.
Это обстоятельство непосредственно связано с частичным отражением,
которое сводится к присоединению к волне, распространяющейся в одну
сторону отраженной волны, распространяющейся в той же самой среде
(или части среды) в другую сторону. Представим себе, например,
среду, состоящую из ряда тонких параллельных слоев с различными
значениями коэфициента преломления. При падении на подобную среду
параллельного пучка лучей, последний, на каждой границе двух слоев,
раздваивается на проходящий и отраженный; отраженный от одной из
внутренних границ луч, возвращаясь обратно, снова испьпывает частич-
частичное отражение и т. д. (рис. 30). В результате многократного повторе-
повторения этого „раздвоения", падающий луч расщепляется в рассматривае-
рассматриваемой среде, как мочала, на бесчисленное
множество лучей, так что самое понятие
о луче утрачивает всякий смысл.
Отсюда видно, что понятия волн (точ-
(точнее волновых поверхностей) и лучей могут
иметь смысл в случае неоднородной среды
лишь для таких приближенных решений
волнового уравнения C2Ь), которые по-
лучаются, если пренебречь частичным от-
отражением, происхолящим на каждой неод-
нороднЪсти. Мы увидим сейчас, что это
пренебрежение является тем более закон-
законным, чем меньше длина волн (т. е. чем
больше частота колебаний), так как при А -> 0 коэфициент отражения
стремится к нулю. В этом и только в этом предельном случае оказывается
возможным говорить о распространении волн вдоль определенных
лини(*-лучей и трактовать функции А и д?0 в формуле C3) соответ-
соответственно как вещественную амплитуду и как (начальную) фазу коле-
колебаний.
Диференцируя выражение C3), имеем:
Рис 30.
in
= Ae
Подставляя в C2b) и сокращая на ег(ро, получаем, приравнивая нулю
отдельно вещественную и мнимую части (в предположении веществен-
вещественности А и $0):
?? C4)
O. C5)
Последнее уравнение при умножении его на А может быть пере-
переписано в виде
A2div
V (Л2)' Vp0 —
= 0.
C5a)
190

Если бы понятие „фазы" имело смысл, то мы имели бы, по определе-
определению, (V^o) = 2л* (т- е- "iP^T/* ^PaBHewie C4) показывает, что
величина <р0У представляющая собой с математической точки зрения
аргумент комплексной функции y)Qi этому соотношению не удовлетворяет.
Вместе с тем, однако, оно показывает, что это соотношение выпол-
выполняется тем точнее, чем больше к, т. е. чем меньше длина волны Я =
==т™ ПРИ Условии, если возрастание к не сопровождается возраста-
нием А в той же самой пропорции. Это условие не удовлетворяется
в случае общего решения волнового уравнения C2Ь). Последнее,
однако, допускает частные решения, при которых оно удовлетворяется.
Эти частные решения, в пределе к -> со, т. е. Я -* 0, удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнению (V^oJ=== 4я^Л2, и описывают те волновые процессы
с фазовыми поверхностями и перпендикулярными к ним лучами, кото-
которые рассматривались нами в предыдущей главе. К ним и только к ни ч
применима оптико-механическая или корпускулярно-волновая аналогия
Гамильтона, сводящаяся, как мы знаем, к тому, чтобы трактовать лучи,
как струи в течении экземплярной жидкости (т. е. как траектории от-
отдельных экземпляров частицы), а фазовые поверхности — как поверх-
поверхности постоянного действия.
Полагая по-прежнему <р0 — ~тг $о и hk=* р, мы можем переписать
уравнение C4) в виде
(vso)'=P'-f4f-2-^ C6)
или, приближенно, в виде
(VS0J=P2 - 2m (W - U), (Зба)
что же касается уравнения (Зба), то при условии VS0 = р = т\ оно
превращается в соотношение
div (Д2 • v) = 0, C7)
выражающее закон „сплошности", т. е. закон сохранения числа частиц
или экземпляров частицы в стационарном потоке жидкости с плот-
плотностью
Q = Л2. C7а)
Этот результат можно рассматривать, как завершение оптико-меха-
оптико-механической аналогии Гамильтона, которая в своей первоначальной форме
оставляла открытым вопрос об интенсивности света, огра-
ограничиваясь лишь величинами, характеризующими его качество
(импульс световых частиц и их энергию, которым с волновой
точки зрения соответствуют волновой вектор и частота колебаний).
Мы видим теперь, что квадрату амплитуды колебаний,
являющейся мерой интенсивности света в случае волновой теории,
соответствует с точки зрения корпускулярной теорил плотность
светового потока, т. е. число световых частиц в единице объема. Это
соответствие представляется вполне естественным; именно оно было
положено в основу дуалистической теории света, предложенной Эйн-
191

штейном в 1905 г., и пытавшейся объединить в символическом един-
единстве корпускулярную и волновую трактовки световых явлений.
Необходимо, однако, помнить, что корпускулярно-волновая аналогия
Гамильтона имеет приближенный характер. Для того, чтобы рас-
распространить ее на случай точных решений волнового уравнения
т. е. для того, чтобы сопоставить описываемым ими волновым процес-
процессом движение пространственного континуума экземпляров частицы
(или поток световой жидкости), необходимо существенным образом
изменить описание по сравнению с тем, которое дается обычной „класси-
„классической" механикой. А именно, функцию 50> соответствующую класси-
классической функции действия, мы должны в этом случае определять не
приближенным уравнением C6а), а точным уравнением C6), в которое
входит функция Л, совместно с уравнением C7), или, вернее, урав-
уравнением
div (А» • ^) = 0. C7Ь)
Возникающая при этом трудность заключается в следующем. Сохра-
Сохраняя интерпретацию А2, как меры плотности экземплярного континуума,
V0
мы вынуждены рассматривать вектор по-прежнему как скорость
движения экземпляров в соответствующей точке. С другой стороны,
скорость движения v, связанная с количеством движения формулой
р = mv, определяется уравнением
\ть*+и(х) = Ц?> C8)
выражающим постоянство полной энергии W. Подставляя это выраже-
выражение в уравнение C6), мы получаем:
пГ
М2.
— результат, который на первый взгляд противоречит предыдущему.
Это противоречие может быть устранено, если вектор
^=v C8а)
рассматривать, как среднюю скорость экземпляров (или световых
частиц) в соответствующей точке, подобно тому, как это делается
в кинетической теории газов при игнорировании беспорядочного теп-
теплового движения частиц жидкости или газа. С этой точки зрения
отличие численного значения вектора скорости C8а) от численного
значения скорости, определяемого уравнением энергии C8), предста-
представляется вполне естественным. Можно представить дело таким образом,
что экземпляры частицы, находящиеся вблизи данной точки, движутся
с „истинной" скоростью, величина которой определяется уравнением C8),
а направление остается неопределенным. Волно^я теория определяет
по величине и по направлению лишь среднюю скорость
„упорядоченного" движения этих экземпляров.
192

При таких условиях, изучение волнового процесса, описываемого
функцией \р (f, f), не дает возможности проследить за движением одного
из экземпляров того пространственного континуума, который приво-
приводится в соответствие этому процессу при помощи предыдущих соотно-
соотношений. Понятие траектории, описываемой одним из этих экземпляров
(„луча"), расплывается, поскольку экземпляру, проходящему через дан-
данную точку, нельзя приписать вполне определенной скорости.
Если, вместо того, чтобы оперировать с континуумом экземпляров
частицы, мы будем рассматривать всего лишь один из них, то нам,
так же как в кинетической теории газов, придется отказаться от опре-
определения координат рассматриваемой частицы как некоторых функций
времени, поскольку поведение этой частицы описывается волновой функ-
функцией гр, являющейся точным решением уравнения C2Ь). Заменяя в нем Н
через -~- и выражая р% через потенциальную энергию по формуле
мы получаем уравнение
?W O. C9)
Для интерпретации его решений с корпускулярной точки зрения,
оказывается необходимым ввести основное статистическое понятие —
понятие вероятности, а именно плотность q экземплярного континуума
следует трактовать при этом как меру вероятности нахождения
изображаемой им частицы в соответствующей точке, а скорость v =
е- — VS0 — как вероятную скорость ее.
В виду равенств ц> = Ае%(р и у* = Аё~х<р> где (р = <р0 -— 2nvt, мы
можем положить А2 = уу>* и следовательно:
e = W*=M2- C9а)
Аналогичным образом получаем:
т. е. следовательно:
v = -Г-7- (— V^ * Vy* ) • ШЬ}
Произведение
C9c)
представляет собой меру средней плотности экземплярного тока или
если иметь в виду один экземпляр частицы, меру плотности „тока
вероятности". Если интеграл / |^|2dV, распространенный по всему
пространству, сходится, то функцию у, которая уравнением C9) опре-
определяется лишь с точностью до постоянного множителя, нормируют
с помощью условия
13 Курс теорет. механики.

выражающего то обстоятельство, что вероятность нахождения частицы
где-либо в пространстве равна единице.
Изложенные результаты можно было бы рассматривать как чисто
математические соотношения, не имеющие ничего общего с действитель-
действительным поведением материальных частиц, которое определяется обычной
механикой в классической форме уравнения Гамильтона.
Опыт показывает, однако, что к поведению элементарных частиц
материи (атомов, протонов, электронов) это классическое описание
движения неприменимо. Например, катодные лучи обнаруживают такие
же интерференционные и диффракционные явления, как и лучи света,
явления, исчерпывающим образом объясняющиеся волновой теорией
(в связи с принципом наложения или интерференции нескольких вол-
волновых процессов), но совершенно не поддающиеся объяснению с точки
зрения обычной механики. Таким образом оказывается необходимым
обобщить корпускулярно-волновой дуализм, представляющий собой
дальнейшее развитие и уточнение оптико-механической аналогии Гамиль-
Гамильтона, на явления движения частиц обыкновенной материи. Это обобще-
обобщение было осуществлено де-Броглем (которому принадлежит идея волн
материи и соотношение г) А = — , заимствованное, впрочем, у Эйн-
Эйнштейна) и Шредингером, который установил уравнение C9) для „волн
материи".
Истолкование этих волн, как волн вероятности для отдельных час-
частиц материи, принадлежит Борну.
Единства корпускулярной и волновой картины материи и света
удалось, таким образом, достигнуть при помощи статистической связи
между ними и отказа от старого описания поведения элементарных
частиц материи, как вполне определенного изменения их положения
с течением времени.
Не останавливаясь на вытекающей отсюда ревизии всех наших ос-
основных физических представлений (поскольку они в конечном счете
сводились к представлениям механическим), отметим лишь, что новая
теория, получившая название волновой механики, представляя
собою обобщение и уточнение старой „классической" механики, содер-
содержит ее в себе, как предельный и притом частичный случай, соответ-
соответствующий поведению частиц с большой массой. Мы видели выше,
что явлением частичного отражения, которое является основной при-
причиной неопределенности, получающейся при корпускулярном истолко-
истолковании волновых процессов, можно пренебречь в предельном случае
очень коротких волн. Но, согласно соотношению Д = -—, длина волны
стремится к нулю при возрастании массы. Так например, в случае
электрона (т = 1СГ~27) мы имеем, при скорости v» 1 см/сек, Я^1
(Л = 6,55 • 1СГ7); в случае же частицы с массой 1 г длина волны при
той же скорости составляет всего лишь 10~27 см. При таких условиях
можно пренебречь частичным отражением волн и описывать волновой
х) Где h представляет собой так называемую постоянную Планка,
6,55 • Ю7 эрг. сек.
194

процесс приближенным уравнением, которое соответствует обычной
гамильтоновской теории детерминированного движения материальной
частицы.
Уравнение Шредингера, которое можно рассматривать, как усовер-
усовершенствование уравнения Гамильтона на случай движения частицы в по-
постоянном силовом поле, легко обобщается на случай силового поля
с потенциальной энергией U(t, /), зависящей от времени. Для получе-
получения этого обобщенного уравнения заметим сначала, что в случде реше-
ний вида у> (г, t) = гр0 (г) е , соответствующих постоянному сило-
силовому полю, произведение W*ff фигурирующее в уравнении Шредин-
Шредингера C9):
/ \ h dv>
(где вместо щ мы подставили ip)> можно заменить выражением —o~"-^T*
Уравнение Шредингера принимает при этом следующий вид:
сохраняющий смысл и в случае переменного силового поля. Полагая
в этом уравнении у) = Ае , где А и S — вещественные функции,
мы получаем [ср. вывод уравнений C4) и C5)]:
fi^^ D0а)
Первое из этих уравнений при медленно меняющейся амплитуде А
переходит в обычное уравнение Гамильтона для нестационарного дви-
движения экземплярного континуума. Второе же уравнение представляет
собой при А2 = q и — = v общее выражение закона сохранения
количества экземпляров, или, если угодно, закона сохранения вероят-
вероятности. Эти результаты можно рассматривать, как подтверждение пра-
правильности обобщенного уравнения Шредингера C9).
§ 4. Принцип наименьшего действия
Возвращаясь к обычной механике, рассмотрим по методу Гамильтона
движение (макроскопической) частицы в постоянном силовом поле с за-
заданной полной энергией W. Движение это изобразится, как мы знаем,
потенциальным потоком экземплярной жидкости, причем потенциалом
скорости является функция действия S0(r), деленная на массу частицы т.
Р
Отсюда следует, что интеграл I pT'dor' от касательной слагающей
п
вектора количества движения, взятый вдоль любой линии (а), соединяю-
13* 195

щей две заданные точки тг и г2, должен иметь одно и то же значе-
значение 50(га) — 50(fj), независимо от формы линии, соединяющей эти
точки;
f p,da*mS0(U)S0(tJ = AS0. D1)
ч
Выберем теперь точку га таким образом, чтобы она лежала на той
же „струеа, т. е. на траектории о того же самого экземпляра, как
и точка rv Интеграл / ptdo, взятый вдоль этой траектории, равен,
?
очевидно, / pdo, так как в каждой точке траектории вектор р
направлен по касательной к ней (рх» р).
Рассмотрим теперь, наряду с реальным движением частицы из точки
Гг в точку г2 вдоль кривой о (т. е. движением, удовлетворяющим
законам Ньютоновой механики), некое мыслимое или „виртуальное"
движение (не удовлетворяющее этим законам) с той же самой полной
энергией W, при котором частица (или один из экземпляров ее) дви-
двигалась бы из точки tv в точку га по какой-нибудь кривой а', отлич-
отличной от <г. Таким образом в случае виртуального движения вектор ко-
количества движения р', касательный к а' в любой точке г', должен
иметь направление, отличное от того, которое имеет в той же самой
точке вектор р(г'), относящийся к реальному движению рассматривае-
рассматриваемого экземплярного континуума. При этом в виду нашего предположе-
предположения об одинаковости полных энергий в реальном и в виртуальном
движениях, численные значения векторов рг(г') и р(г') должны быть
одинаковы, так как при одинаковости потенциальной энергии (в точке г')
должны быть одинаковы и кинетические энергии в обоих движениях.
Сравнивая интегралы / р' do' и / рх> do1 и замечая что рх> »
из pcos(p, р )<р = р\ мы видим, что первый из них должен быть
всегда (т. е. для любого виртуального движения) больше, чем второй.
?
А так как второй интеграл равен I p do, где о — траектория реаль-
п
ного движения, проходящая через точки га и г2, то мы приходим к не-
неравенству
f pdo<^Jp'do' D2)
ri ri
или, согласно D1):
где Д$о — изменение функции действия в реальном движении, a ASb —
в любом виртуальном движении с той же самой начальной и конечной
точкой при одинаковости полной энергии (W).
196

Это неравенство выражает так называемый принцип наимень-
наименьшего действия, или принцип Мопертюи, формулированный послед-
последним задолго до появления работ Гамильтона.
Принцип Мопертюи принимает чрезвычайно наглядное значение,
если воспользоваться оптико-механической или волновой аналогией,
развитой выше в связи с теорией Гамильтона. Там было докааано, что
движению частицы можно сопоставить распространение некоторых
волн, причем пути экземпляров частицы представляются в волновой
картине как лучи.
При этом одному из экземпляров частицы с количеством движения
mv = p соответствует в волновой картине „волновое число"
где fc = | к | = -у и А — длина волны..
Введем теперь в функцию действия количество движения по этой
формуле, тогда:
С волновой точки зрения траектория частицы а есть луч, и инте-
интеграл
Я
равен числу волн, укладывающихся вдоль луча от тх до га, Принцип
Мопертюи принимает при этом вид:
т. е. с волновой точки зрения форма луча, проходящего из точки гх
в г8, такова, что в нем должно укладываться наименьшее число волн;
другими словами, этот луч должен соответствовать кратчайшему волно-
волновому расстоянию при распространении волн в данной среде. Если
распространение волн происходит в неоднородной среде, длина волны
является переменной, и кратчайшее волновое расстояние не будет сов-
совпадать с кратчайшим геометрически — луч будет изогнут.
Несколько иную формулировку принципа Мопертюи мы получим,
если заменим в D3) длину волны выражением
где IV — скорость распространения волн, a i> — частота колебаний.
Тогда
197

Здесь интеграл
1*2
/
^ = /«
W *
представляет собой время, в течение которого волны пробегают путь
гхг2 вдоль луча. Принцип Мопертюи в новой форме:
требует, чтобы время прохождения лучем пути от т± до г2 были мини-
минимальным. Иными словами, форма луча, соединяющего две заданные точки,
должна быть такова, чтобы соответ-
соответствующий путь проходился волнами
в кратчайший срок.
Этот принцип был установлен,
независимо от Мопертюи и раньше
его Пьером Ферма, применительно
к свету.
Если среда однородная — лучи
прямолинейны, так как в этом слу-
случае кратчайшая линия — прямая —
приходится в кратчайшее время.
Если же среда неоднородная, скоро-
скорости распространения в разных точ-
точках пути будут разные, и кратчай-
кратчайшая линия не будет вместе с тем
линией кратчайшего времени. Луч
о
W//y/////////////A
V////////////A
^J(
Рис. 31
при этом изгибается (т. е. прело-
преломляется). Рассмотрим простейший
случай неоднородной среды — две
однородных среды lull (рис. 31), разграниченные некоторой пло-
плоскостью. Пусть луч выходит из точки Рх(хъ ух) в первой среде и
попадает в точку Р2(х2, У г) в0 второй. Обозначим скорости распро-
распространения волн в средах lull через wx и w2- Так как среда / одно-
однородная, то луч в ней будет прямолинейным, тоже будет иметь место
в среде //. В точке Р(х, у) на границе (плоскость у = 0) между ними
луч преломляется. Время прохождения волнами пути РгРР2 равно:
11» •
w,
w~
IV,
у1 {
Определим положение точки Р так, чтобы т было минимумом. Дифе-
ренцируя по х, имеем:
здесь
~~х
—* X
= 0,
==sin a;
:-x2f+yl
108

а «сть угол, образованный лучом РХР в среде wt со внутренней нор-
нормалью, т. е. угол падения, а /? есть угол преломления. Окончательно
мы получаем:
sin а
wx
или
т. е. обычный закон преломления.
В разобранном примере фактический путь луча сравнивался с вир-
виртуальными путями, бесконечно к нему близкими. Подобные виртуальные
пути называются „ варьированными \ Для таких варьированных путей
принцип Ферма может быть формулирован в виде равенства
^-Оили
где д обозначает так называемую „первую вариацию" или „вариацию
первого порядка", т. е. член первого порядка малости, соответствую-
соответствующий варьированию пути луча (вторая вариация <52 / -~ должна в слу-
случае минимума всегда иметь положительное значение). Аналогичная ва-
вариационная формулировка получается и для принципа Мопертюи, а
именно:
д
Г2
f pdo*=0. D4)
Если в этой формуле заменить элемент дуги do через v dty то она
принимает вид:
га га
д f mv2dt^d J 2T dt. D4a)
« П
Необхошмо отметить, что при вычислении вариации время не должно
считаться независимой переменной, т. е. вариация его dt не должна
считаться равной нулю; пути а и а\ соединяющие точки гг и г2
в реальном и виртуальном движениях, при одном и том же значении
полной энергии, не могут проводиться в одно и то же время.
Из вариационного уравнения D4) можно непосредственно вывести
Ньютоновские уравнения движения. Прежде чем приступать к этому
выводу, мы напомним вкратце основы вариационного исчисления.
Рассмотрим определенный интеграл
g ) dt, D5)
где F есть заданная функция независимой переменной t (не обяза-
обязательно времени) некоторой функции х=9?@ эт°й переменной и ее
производных по L Если изменять функцию х «=??(/), то будет меняться
199

численное значение интеграла D5). Основная задача вариационного
исчисления заключается в таком определении функции <р (/), чтобы
интеграл D5) был стационарен, т. е. чтобы при бесконечно малых
изменениях вида функции <р (t) интеграл D5), сохранял постоянное
значение. При этом выборе функции <р (t) интеграл D5) может прини-
принимать экстремальное, т. е. максимальное или минимальное значение.
Таким образом задача вариационного исчисления заключается в на-
нахождении такой функции х=р@> которая делает интеграл D5)
„стационарным", в частности, минимизирует или максилизирует его.
В дальнейшем нам придется иметь дело с функциями F, зависящими
ТОЛЬКО ОТ /, X И Первой ПРОИЗВОДНОЙ X ПО / X = -77- .
D5а)
Чтобы найти зависимость х от /, при
которой интеграл D5а) стационарен,
проще всего предположить, что х=х(/)
есть функция, решающая нашу задачу,
и рассмотреть то малое изменение (вари-
(вариацию), которое получит интеграл D5а),
если в него вместо x(t) подставить бес-
бесконечно мало отличающуюся функцию
х (t) + дх (/), где дх (f) — произвольная
бесконечно малая функция от /. При этом
интеграл D5а) примет значение
Рис. 32.
дх, -~ (х+дх)) dt.
Геометрический смысл рассматриваемой операции состоит в следую-
следующем. В плоскости /, х функция x = x(t) изображается некоторой кри-
кривой АВ (рис. 32), начинающейся в точке tv x(tx) и оканчивающейся
в точке 1Ъ x(t2). Если интеграл D5а) берется вдоль кривой АВ, то
он стационарен; в частности, он может принимать экстремальное зна-
значение, поэтому кривая АВ носит название экстремали. В этом случае
для всех других „варьированных" путей интегрирования, x(t) + dx(t),
изображенных на чертеже пунктирными кривыми, интеграл D5а) будет
меньше, или, соответственно, больше, чем на экстремали. В том случае,
когда интеграл J стационарен, кривая АВ называется также стационар-
стационарной. Приращение интеграла D5а) равно
D6)
200

или
f
f
«1
где
AJ-fAF(t,x,%)dt,
/, х+дх, ±
есть приращение функции F.
Будем рассматривать F как функцию трех переменных /, х, х.
Тогда с точностью до бесконечно-малых высшего порядка прираще-
приращение F выражается формулой
JF = <5F = ^<5x+^ дх D6а)
ОХ $х
и носит название первой вариации функции F. Заметим далее, что
производная от вариации равна вариации от производной:
i *-' §•
Это следует из того, что уравнение варьированной кривой можно
представить в виде суммы уравнения экстремали и некоторой произ-
произвольной функции ?(?), умноженной на малый мнЬжитель де:
При $6 = 0 варьированная кривая переходит в экстремальную. Таким
образом варьирование кривой интегрирования сводится к изменению
параметра е и самую вариацию можно рассматривать как операцию
диференцирования по этому параметру. В таком случае должно выпол-
выполняться равенство D7), так как результат диференцирования не зависит
от порядка диференцирования. Подставляя D6а) в D6), мы получим
первую вариацию интеграла D5а):
h
Преобразуем этот интеграл почленно. Пользуясь D7), имеем:
Интегрируя по частям, мы избавимся от вариации производной х
и приведем второй член в EJ к виду, содержащему лишь вариацию
неизвестной функции х:
** 0Х) dt= К *сГ- / Ьх± (Щ Л.
J дх dt ldx ih J dt\dxl
h h
Подставляя в dj, получим теперь:
201

Необходимым условием стационарности интеграла D5а) является
равенство
при любой бесконечно-малой вариации ex(t). Другими словами, мы
ищем такую зависимость х от /, чтобы при любой бесконечно-малой
вариации первая вариация интеграла eJ = O.
Условие EJ = 0 есть условие „стационарности", т. е. неизменности
Ч
У= / F dt в первом приближении (с точностью до бесконечно-малых
h
высшего порядка малости) при любых бесконечно-малых вариациях
зависимости х от /. В частности, этЬ условие стационарности может
быть условием максимума или минимума J. Для того чтобы инте-
интеграл D5а) принимал экстремальное значение вдоль заданной экстре-
экстремали, необходимо, чтобы выполнялись некоторые добавочные усло-
условия, выводимые из рассмотрения второй вариации интеграла J. Мы,
однако, эти добавочные условия рассматривать не будем, так как это
для нас не представляет интереса, и в большинстве случаев из самой
физической задачи ясно, имеем ли мы дело с максимумом или мини-
минимумом (именно так, например, обстоит дело в случае принципа наи-
наименьшего действия). Ограничиваясь первой вариацией, мы не можем
быть уверены, что условие dJ=Q определяет такую функцию х(/), при
которой интеграл принимает максимальное или минимальное значение.
Можно только ручаться, что при произвольно бесконечно-малом изме-
изменении вида функции x(t) интеграл J в первом приближении остается
постоянным.
Так как условие стационарности eJ = O должно быть выполнено при
совершенно произвольной зависимости ёх от /, то необходимо, чтобы
коэфициент при ёх под знаком интеграла D8) обращался в нуль, т. е.
Кроме того, необходимо, чтобы и второй член, содержащий вариа-
вариации х лишь на пределах интегрирования, обращался также в нуль;
= 0. E0)
Это условие выполняется автоматически, если варьированные
пути интегрирования х+<5х выбрать так, чтобы все они проходили
через начало А и конец В экстремального пути АВ, т. е. чтобы ва-
вариации ёх обращались в нуль на пределах интегрирования:
Eх(а) = <5х(&) = 0. E0а)
Внутри интервала (а, Ь) варьированная функция х остается, оче-
очевидно, неопределенной.
Другая возможность заключается в том, чтобы положить
4и =5- «°- E0Ь)
202

Наконец, можно скомбинировать условия E0а) и E0Ь) так, чтобы
на одном пределе Eх = 0, а на другом -г- =0:
дх
4
= 0. E0с)
Если выполнено одно из требований E0а), E0Ь) или E0с\ то
стационарность интеграла обусловливается уравнением D9):
dF_ d_ jdF 0
д* dt д'х- '
Это диференциальное уравнение, позволяющее отыскать искомую
зависимость х от t, было впервые выведено Эйлером и называется его
именем. Можно сказать, что вариационная задача об отыскании усло-
условия стационарности, максимума или минимума интеграла D5а) эквива-
эквивалентна задаче об отыскании решения уравнения Эйлера.
Замечая, что F есть функция qt /, x и х, можем написать уравне-
уравнение Эйлера в виде
dF d*F d*F • d*F-Q
Q
дх dtdx axdi d* *
откуда видно, что уравнение Эйлера, в том случае, когда F зависит
от /, X и х, есть уравнение второго порядка.
Полученный результат легко обобщается на тот случай, когда
функция У7, стоящая под знаком интеграла, содержит не одну, а не-
несколько неизвестных функций и их первые производные по t. Напри-
Например, в случае трех неизвестных функций х(/), y(t) и z(t) имеем
ь
J=fF(t\x> х, у, у, z, z)dt. E1)
а
Найдем условия стационарности этого интеграла по отношению
к произвольным изменениям функций х, у, Z.
Вычисление первой вариации &J в этом случае производится по
тому же способу, как и в случае одной функции и дает
Интегрируя по частям, преобразуем члены с производными по х,
у, z к виду, содержащему лишь дх, ду, dz, как мы это делали выше:
fsX+f
дх ду
ь
f ildF d dF\* , (dF d dF\ * , f dF d dF\ лл.4 /К1 ч
203

Так как функции x(t), y(t), z(t) ничем не связаны друг с другом,
их вариации независимы, и условие стационарности, максимума или
минимума интеграла J сводится к одновременному выполнению трех
уравнений вида D9):
«? 1 ^яС
дх dt /)y
dF ^ dl?
dz dt dz
E2)
для всех трех функций х, у, z и трех граничных условий вида E0)
для вариаций дх, ду, dz.
Мы применим теперь, полученные общие формулы к выводу обыч-
обычных уравнений движения из принципа наименьшего действия в форме D4).
Поскольку движение происходит в постоянном силовом поле с за-
заданной полной энергией W, мы можем представить количество движе-
движения р в виде функции координат по формуле:
р = V2tn[W~U0c~yTWh
Кривую движения а (или сг') мы будем при этом искать в пара-
параметрической форме:
х=х(т), у = у(т), z=z(r),
где г—произвольный параметр, который мы не будем варьировать
(йт = 0). Элемент дуги da выражается через параметр т по формуле:
*-/(?)'+(?)•+(#)'*¦
га
Функция действия 50= / pda (которую мы будем отсчитывать от
ri
точки гА), представится, таким образом, в виде интеграла по т:
E3,
с фиксированными (т. е. неварьируемыми) пределами.
Это выражение соответствует общей форме интеграла
12
j F(t;x, у, г; х} у} г) dt
в рассмотренной выше вариационной задаче, причем граничные условия
выражаются формулами:
<Зх = О, ty = 0, Ez=0 при T = rlt т%>
204

Составим уравнения Эйлера E2), соответствующие рассматриваемой
задаче.
Так как координаты х, у, г входят лишь в U (х, у, z), то из E3)
имеем;
— т —
dF д Л/~ /цг—тк da\ дх da
дх дху v ' dx) у2т (w ~ V)
и
ж j\ X
где
х у г
Уравнение Эйлера для функции х(т) принимает вид:
dU ( dx
dx
Аналогичные уравнения получаются для у и Z.
Замечая, что
получаем:
.L ELL ^.-L —
v дх dx ¦" rfr
7 J
—
E4a)
До сих пор параметр г оставался совершенно неопределенным. Вы-
Выберем теперь в качестве т время t г). Тогда параметрическое описание
траектории превратится в кинематическое описание пути частицы.
При r=f ~=u9 и уравнение превратится в обычное уравнение дви-
движения Ньютона:
дУ , d*mx _0
дх "^ d^2
Таким образом из принципа Мопертюи, при специальном выборе
параметра т, сделанном нами, получаются Ньютоновы уравнения дви-
движения.
Выберем теперь в качестве параметра т длину дуги а траектории.
Предварительно напомним, что радиус кривизны R траектории вы-
выражается формулой:
1 / d2x \2 , / d2y V . 1 d2z у
R2 \ dor2 / \ do%} \ da2)
Вторые производные от координат по длине дуги представляют
собою слагающие вектора кривизны, направленного по главной нормали
к кривой и по значению обратного радиусу кривизны R.
г) Это можно сделать после нахождения уравнений Эйлера, независимо
от того, варьируется ли t или нет.
205

Положив в E4а) т—ег, получим:
Умножая на v и выполняя диференцирование во втором члене:
w o tf2x . do dt dU
da2 ' da da дх
Первый член представляет собою удвоенную кинетическую энергию,
деленную на радиус кривизны и умноженную на косинус угла между R
Но -^- есть центробежная сила, ~- cos (/?, х) есть ее проекция
на ось X, а -тг есть нормальное ускорение. Таким образом первый
член левой части E5) представляет собою массу, умноженную на сла-
слагающую нормального ускорения по оси X. Второй член соответствует
умноженной на массу слагающей по той же оси касательного ускоре-
ускорения, так как
dv __ dv da _ du
~do ~~ ~da ~dx ~~ Ht
и поэтому
«is—#«<•¦*
Теперь E5) принимает вид:
Это уравнение есть проекция на ось X так называемого „естествен-
„естественного" уравнения движения, в котором ускорение разложено на нор-
нормальную и тангенциальную составляющие:
^Ri+mf V1==-Vf/, E5a)
где Ri — единичный вектор в направлении радиуса кривизны, а \1 —
единичный вектор в направлении касательной к траектории в данной
точке.
Таким образом из принципа наименьшего действия Мопертюи сле-
следуют Ньютоновы и „естественные" уравнения движений.
§ 5. Принцип Гамильтона
Ньютоновы уравнения движения:
могут
206
d~x
tn —
ifi ..2 —
быть записаны
d dJL - _
л дх
dU .
dx '
m
в виде:
dU
" дх >
d
dt
d*y _
dt2 ""
dU .
dU
ду '
rf
ar _
aa
aa
dz '

где x=-J- и т, д,, а Г = — т (х2 + у2 + 22) кинетическая энергия
частицы. Вводя функцию
L = T-U E6)
(так называемая функция Лагранжа или „кинетический потенциал"),
мы можем переписать их в виде
dL d dL n dL d dL л dL d dL ^
Эти три уравнения можно записать в форме одного векторного
уравнения:
если разуметь под производной -^ градиент от скалярной функции L
в обычном смысле, а под ^—- аналогичную операцию в простран-
пространстве, в котором роль вектора г играет вектор скорости V.
Уравнения E7), называемые уравнениями Лагранжа („второго рода",
см. отдел IV), совпадает с уравнениями Эйлера [см. E2) § 4] для
вариационной задачи, заключающейся в условии стационарности инте-
грала I Ldt при заданных граничных значениях всех трех координат.
h
Таким образом уравнения Лагранжа эквивалентны вариационному
принципу
Ч
fLdt = O, E8)
который называется принципом Гамильтона.
Этот принцип непосредственно связан с принципом наименьшего
действия Мопертюи и в известном смысле представляет собой обобще-
обобщение последнего, применимое и в том случае, когда потенциальная
функция зависит явно от времени (тогда как при выводе принципа
Мопертюи имеется в виду движение в постоянном потенциальном поле).
Связь обоих принципов явствует из следующих соображений. Пере-
Переписывая Лагранжеву функцию E6) в виде
L = Т - U = 27 - (U + Т) = 2Г - W,
получаем
/2 *2 h
J Ldt=* f2Tdt-J*Wdt
h h h
или в частном случае движения с постоянной энергией W.
/2 /2
f Ldt = j2Tdl-W(ti-t1)
207

Вспоминая, что интеграл / 2Tdt равен изменению функции дей«
ствия So (г) при переходе частицы из исходной точки тг в конечную г9
[ср. формулу D1) предыдущего § 4], и принимая далее во внимание,
что при W~ const интеграл действия 5 (г, /)=S0(r) — Wt9 мы видим,
что интеграл / Ldt, фигурирующий в принципе Гамильтона, пред*
ставляет собой не что иное, как изменение интеграла действия, соот-
соответствующего переходу из точки гг в момент времени tx в точку га
в момент времени t2-
f Ldt^S (r2, t2) ~ S (fx, tx) = AS. E9)
Это соотношение, как нетрудно убедиться, остается справедливым и
в общем случае движения в переменном потенциальном поле. В самом
деле составляя полную производную от функции S по времени, полу-
получаем:
где Н я — -gj- — Гамильтонова функция, равная переменному значению
полной энергии W, т. е. следовательно:
§~Li E9а)
что эквивалентно равенству E9).
Соответственно этому принцип Гамильтона называют иногда „прин«
ципом стационарности полного действия". Его можно было бы вы-
вывести геометрическим путем, аналогичным тому, который был применен
выше для вывода принципа Мопертюи в связи с нестационарным дви-
движением континуума экземпляров частицы в переменном поле. Заметим,
что значение интеграла действия для реального движения не является
при этом минимальным, как в случае функции действия AS0\ дело
сводится лишь к его ястационарности*', т. е. неизменности его в пер-
первом приближении, при переходе от реального движения к варьи-
варьированному.
С точки зрения гамильтонова описания движения принцип Гамильтона
является непосредственным следствием соотношения E9а). В самом
деле полагая
где S — некоторая функция от времени и координат, т. е. рассматри-
рассматривая Лагранжеву функцию, как линейную функцию от слагающих
скорости, с коэфициентами, зависящими от времени и от координат, не-
нетрудно убедиться в том, что уравнения Эйлера
дх~~ It ai ==0
203

и т. д. превращаются в тождества. В самом деле, мы имеем при этом
~дх~~^х
и
d dL, d dS d dS dL
Ж ~fa ~~l!f "дх"^"Ъх ~di """ ~dx *
Заметим, что аналогичным образом, можно вымети принцип Мо-
pda=0 из условия p = -j—.
Принцип Гамильтона можно рассматривать, как специальную форму
еще более общего принципа, который получается путем замены во
времени, в качестве независимой переменной (не подлежащей варьиро-
варьированию) в интеграле действия произвольным другим параметром т.
Интеграл действия получает при этом следующий вид:
Обозначая диференцирование по времени t точкой, а по пара-
параметру х — штрихом, мы имеем далее
• _ dx __ dx . dt _ х'
Х~~ dt ~~ dx ' dx ~~ V
и т. д., так что
J=J*F{t\ х, у, г\ V\ x', у', г9) их, F0а)
где
F = L(u х, у, г; ™-, ?, ~\г F0Ь)
представляет собой функцию от четырех переменных х, у, г, / и их
производных по т.
При варьировании интеграла F0) мы можем теперь сравнивать друг
с другом такие движения, которые соответствуют прохождению пути
между данными точками гг и г2 в неодинаковые времена, как это имеет,
например, место в случае принципа наименьшего действия. Это обстоя-
обстоятельство позволяет вывести последний, наряду с принципом Гамильтона
из одного и того же общего принципа dj = 0.
Составляя уравнения Эйлера-Лагранжа, получим:
где q1 = x, q2 = y, q3 = Z и
dF d dF n /ei >
-dt—dtJP^0 <61a>
14 Курс теорет. механики. 209

в связи с граничными условиями:
(*= 1,2,3) F2)
при выводе F1) предполагается, что вариации dqk и dt независимы.
Пользуясь F0Ь), мы можем представить уравнения Эйлера F1)
в виде
dqk dt dq'k ~ dqk dt ^ dgk V
так как
Wk ~ dqk <tyfe "" dqh *'
Заметив теперь, что dr=~rr) получим окончательно:
dqk dx dq'k- dqk dt \dqhj [^k dt ^ft J •
Следовательно, если выполнены уравнения Лагранжа
dL d_ dL ^q
d(lk dt dqk ~ '
то выполнены и условия F1) стационарности интеграла J
dF d_ dF _Q
^fe rfT dqh ""
и наоборот.
Перейдем к уравнению F1а). Замечая, что /' входит в F как мно-
множитель и в G& как знаменатель, найдем:
dF d dF „ dL dL d
d^ dr df ^ dr dt j^i $n dt'
k k
Ho
Поэтому
^F d_ ^_fr dL d_ [ r ___\ dL • ]
a/ rfr м- - "a* dr [^ 2i 4Г *J '
Сумма \ —г— ^ = \ mql равна удвоенной кинетической энергии
<L* dqh jU
k
2T. Отсюда следует, что величина, стоящая в скобках — функция
Гамильтона (т. е. полная энергия), взятая с обратным знаком:
4F-"-2 ?*-'¦-«¦--*•
210

Мы получаем, таким образом:
так
как
dF
dt
d
dx
dF
dt'
dx
f 1
dt
~" V
dL
dt
Сделаем теперь частное предположение, что функция Гамильтона И
постоянна и равна ИЛ Это имеет место, как мы знаем, в том случае,
когда силовое поле не зависит явно от /, т. е. когда — = 0. В этом
случае правая часть F3) обращается в нуль и мы имеем:
dt dx dt' ~~
Итак, в том случае, когда -—=0, т. е. //= W и движение происхо-
происходит согласно уравнениям Лагранжа
dL d_ dL =Q
дЯн dt d'qk ~ '
выполнены и условия F1) и F1а) стационарности интеграла J. Заме-
Заменяя в последнем L через 2Г — Я, получим:
Будем сравнивать данное движение с варьированными движениями,
обладающими той же самой энергией H—W, так что
dl=d f 27 ^ dr—W[df\l[. F4)
Легко убедиться, что если выполнены уравнения Лагранжа и усло-
условия F2), то условие стационарности интеграла / (E/ = 0) переходит
в условие стационарности интеграла
Действительно, согласно предыдущему, мы имеем:
14* 211

и на основании уравнений Лагранжа, условий F2) и постоянства
энергии
Приравнивания это выражению F4), мы получаем окончательно:
dr=0, F4а)
т. е. принцип наименьшего действия,
§ 6. Движение наэлектризованной частицы в произвольном электро-
электромагнитном поле
Результаты, установленные в предыдущих параграфах, основывались
на предположении о потенциальном характере движения пространст-
пространственного континуума экземпляров частицы, которое, как мы видели, на-
находится в полном соответствии с исходным нашим допущением о по-
потенциальном характере силового поля. В этом случае введение более
сложных вихревых движений экземплярной жидкости было бы нецеле-
нецелесообразно. Оно становится, однако, совершенно необходимым при рас»
пространении метода Гамильтона на случай движения частицы в сило*
вом поле более сложного типа. Мы рассмотрим здесь наиболее важный
случай этого рода, именно случай движения электрона (или какой-ни-
какой-нибудь другой наэлектризованной частицы) в произвольном внешнем элек-
электромагнитном поле.
Обозначим напряженность электрического поля через Е, магнитного—
через Н. Сила, испытываемая частицей с зарядом е при движении
в подобном поле, выражается следующей формулой (Лорентца):
F5)
где V—скорость частицы, а с—скорость света C • 1010 см /сек).
Второй член в этом выражении представляет собой силу, пропор-
пропорциональную скорости и к ней перпендикулярную. Эта электромагнитная
или „электрокинетическая" сила аналогична кориолисовой или „пово-
„поворотной4* силе 2/72V/Xto, которая действует на частицу при движении ее
со скоростью V' относительно твердого тела, вращающегося с угловой
скоростью (О (см. отд. I). Силы такого рода называются „гироскопиче-
„гироскопическими". Заметим, что в виду своей перпендикулярности к вектору ско-
скорости гироскопические и в частности электрокинетические силы не
совершают работы.
Магнитное поле удовлетворяет уравнению div H = 0, выражающему
безисточный или соленоидальный характер поля вектора Н и эквива-
эквивалентному формуле
H = rotA, F6)
где вектор А называется векторным или магнитным потен-
потенциалом.
212

Постоянные во времени магнитные силы совершенно не связаны
с обычными электрическими силами, которые определяются формулой
F = еЕ F7)
в связи с условием
rotE = 0 F7а)
или
Е= — V?, F7Ь)
где <р называется скалярным или электрическим потенциалом.
В общем случае переменного (во времени) магнитного поля уравне-
уравнение F7а) заменяется следующим:
rotE+id-? = 0, F8)
выражающим в диференциальной форме закон электромагнит-
электромагнитной индукции *). Подставляя вместо Н его выражение из F6),
получаем;
откуда следует
или
Эта формула представляет собой обобщение обычной формулы F7)
для постоянного электрического поля.
Уравнение движения наэлектризованной частицы (например элек-
электрона) в заданном внешнем электромагнитном поле имеет, в общем слу-
случае, следующий вид:
¦?(mv) = e(E + ?xH). F9)
Массу т можно при этом, в соответствии с требованием Эйнштей-
Эйнштейновой теории относительности, считать функцией скорости, определяе-
определяемой формулой
т = —г
Заменяя векторы Н и Е их выражениями F6) и F8а), получаем:
-f^ + fvXrotA- F9а)
Интегральное выражение закона индукции имеет вид:
где о1 —контур, ограничивающий произвольную поверхность S.
213

Рассмотрим изменение вектора А в точке t(t)f перемещающейся
вместе с частицей. Скорость этого изменения — может быть предста-
представлена, как сумма частной производной от А по / в неподвижной точке,
через которую проходит частица в рассматриваемый момент, и вектора
(v-V)A, представляющего разность двух значений для соседних беско-
бесконечно-близких положений частицы, разделенную на соответствующий
промежуток времени dt. Мы имеем, таким образом:
^ = ? + ^)А. G0)
Так как скорость v зависит явным образом только от времени/,
а не от положения (радиуса-вектора) частицы, то мы имеем далее,
согласно тождеству
V (v • А) = (v . V) А + v х rot А G0а)
и, следовательно,
~=~-vXrotA+ V(v-A).
Сравнивая это выражение с уравнением F9а), мы может переписать
последнее в следующем виде:
()({) G1)
Сумму
^ G1а)
можно трактовать, как полное количество движения частицы, сла-
слагающееся из собственного количества движения р =/от и „ потенциалы
р
ного количества движения" — А совершенно таким же образом, как
полная энергия е = W-f т0с2 слагается из собственной или кинетической
энергии Т = тс2 —т0с2 = т0с2 ( . 1 Л или \-rnv2 в случае
\У$ )
Ньютоновой механики и потенциальной энергии^- Замену потенциальной
энергии еср под знаком градиента (V)b правой части уравнения G1) разно-
разностью eq> v • А не следует при этом интерпретировать, как результат
присоединения к обычной электрической потенциальной энергии еср доба-
вочной „магнитной" энергии v • А. Тот факт, что подобной энергии
в действительности не существует, явствует из уже отмеченного выше и
я безработного" характера электрокинетической силы — VXH. Таким об-
образом энергия частицы в присутствии магнитных сил выражается той же
формулой:
е = тйс*( J__ - Л + еср G2)
214

или при
W = i mvz + <•?>, G2a)
и
как и при отсутствии подобных сил.
Заметим, что в случае постоянного во времени электромагнитного
поля эта полная энергия сохраняет постоянное значение.
При отсутствии магнитных сил и малости v по сравнению с с, обыч-
обычное или „собственное" количество движения частицы p = /nv может
быть представлено, как производная от кинетической энергии -^ти2 по
скорости:
В случае скоростей v> близких к с, эта формула заменяется сле-
следующей:
шоу дТ*
где
функция, отличная от кинетической энергии Т = тос
fa именно Г* = Т1/1—™). При #<С!с °бе функции сводятся
к обычной кинетической энергии Ньютоновой механики —
Введенный нами выше вектор полного количества движения g =
=Р Л А может быть представлен в виде производной по скорости
от суммы Т* и —V -А. Уравнение движения G1) принимает при этом
следующий вид
dt
или
G4)
dt dv дт '
где
= Г* ~\ v • А — еср, (^4а)
причем
6L
Таким образом оказывается, что движение наэлектризованной ча-
частицы в произвольном электромагнитном поле, при учете зависимости
ее массы от скорости, выражается тем ,же Лагранжевым уравнением G4),
как и в рассмотренном прежде более простом случае частицы с посто-
215

янной массой в постоянном потенциальном поле. Зависимость массы от
скорости и более сложный характер силового поля сказываются лишь
на виде Лагранжевой функции G4а), которая в рассматриваемом слу-
случае уже не равна разности между кинетической и потенциальной энер-
энергией. Вместе с тем роль количества движения частицы играет теперь
вектор g.
Эти обстоятельства открывают возможность чрезвычайно простого
распространения Гамильтоновой теории на рассматриваемый случай.
Прежде всего, от уравнений Лагранжа, записанных векторно
в форме уравнения G4), можно непосредственно перейти к вариаци-
вариационному принципу Гамильтона:
h
и затем уже от этого принципа вернуться к Гамильтоновому методу
описания движения с помощью представления о пространственном кон-
континууме экземпляров. При этом Лагранжеву функцию следует рассмат-
рассматривать, так же как и раньше, как полную производную по времени от
интеграла действия S(r, /):
, dS dS dS
(an .
—- =:VS), приравняв частную производную S по времени с обратным
знаком полной энергии (которую в дальнейшем мы будем, так же как
и раньше, обозначать через Н)
-~=Н, G5а)
а градиент S—вектору полного количества движения
При таких условиях равенство G5) принимает вид
L = vg-tf G6)
и проверяется неносредственно на основании формул G4а), G2) и G1а),
В самом деле, мы имеем, по определению g:
^v. A
¦jA-5-
и следовательно:
- •)+7»¦А -1-
216

Из той же формулы для р мы имеем далее:
— F — V2 — „2 I
1 с2 l с2
т. е.
"V
= с
и следовательно;
Н = Г + С/ = moc^ [/l+^i(g--^AJ -1] + ^. G7)
Эта формула определяет Гамильтонову функцию нашей задачи, т. е.
энергию, выраженную в функции вектора полного количества движе-
движения g. Заменяя последний градиентом действия S и подставляя получен-
полученное выражение в G5а), мы получим уравнение Гамильтона для опре-
определения S, как функции положения и времени. Это уравнение обычно
записывается в виде:
G8)
или
Пренебрегая здесь последним членом (который учитывает зависи-
зависимость массы частицы от скорости), мы получаем уравнение Гамильтона
для континуума экземпляров частицы, движущейся в произвольном
электромагнитном поле по законам Ньютоновой механики:
^ + ? =0. G8b)
Рель магнитных, а также индукционных электрических сил (харак-
(характеризуемых изменением векторного потенциала А во времени) учиты-
учитывается при этом заменой градиента S разностью VS А. Если эти
силы малы по сравнению с электростатическими силами, определяемыми
скалярным потенциалом <р, можно заменить уравнение G8Ь) прибли-
приближенным :
которое получается из него отбрасыванием члена, квадратичного отно-
относительно А, и которое превращается в обычное уравнение Гамильтона
при А = 0.
Наиболее характерная черта порченного нами обобщения теории
Гамильтона заключается в том, что движение экземплярной жидкости
217

при наличии электромагнитных (т. е. магнитных и индукционных элек-
электрических) сил не является более потенциальным, но имеет вихре-
вихревой характер. А именно, скорость этой „жидкости" V определя-
определяется формулой:
где т = — , откуда следует:
-7*.
rot p = т rot v -f Vm xv=- — rot A
или, так как вектор V/п параллелен v и rotA = H:
— ~Н.
G9)
Пренебрегая зависимостью массы от скорости (что всегда возможно
при v <^ с), мы получаем для угловой скорости вихревого движения
следующее выражение:
(о«—гЛ-Н. G9а)
Заметим, что этой же самой формулой определяется угловая ско-
скорость, с которой прецессирует в однородном магнитном поле Н орбита
электрона, обращающегося вокруг неподвижного центра притяжения.
В самом деле, рассматривая движение электрона с точки зрения коор-
координатной системы, вращающейся с угловой скоростью (о, мы должны
Су \
Е -| X Н) Кориолисову силу
2mv' х со.
Пренебрегая разницей между „абсолютной скоростью" v и относи-
относительной v', мы видим, что при условии G9а) Кориолисова сила будет
как раз компенсировать магнитную силу — х Н. Таким образом дей-
действие магнитного поля должно сводиться к прецессии с угловой скоро-
скоростью G9а) (так называемая „Ларморовская прецессия").
Отметим также следующее обстоятельство, имеющее существенное
значение в эйнштейновской теории относительности. Зависимость массы
от скорости в уравнении движения F9) может быть учтена путем за-
замены времени в качестве независимой переменной параметром т, свя-
связанным с ним соотношением:
(80)
(так называемое „собственное время"). Мы получаем при этом mv =
п —/72О —t причем уравнение F9) может быть перепи-
сано в форме:
218

Левая часть этого уравнения имеет такой же вид, как в механике
Ньютона. При учете соотношения
L
вытекающего из (80), можно, далее, представить движение электрона,
как изменение переменных г и t в функции т, соответствующим обра-
образом видоизменив формулировку уравнений Лагранжа и принципа наи-
наименьшего действия г).
ГЛАВА II
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИ-
КООРДИНАТАХ 2)
§ 7. Обобщенные координаты и уравнения Гамильтона
До сих пор мы либо вовсе не пользовались координатным пред-
представлением для характеристики положения частицы, либо же в некото-
некоторых случаях пользовалась декартовыми координатами хъ х2, Х3. Даль-
Дальнейшее развитие аналитической механики, принципы которой были из-
изложены в предыдущей главе, связано с введением так называемых „обоб-
„обобщенных координат", т. е. совокупности трех параметров дъ q2, qz, од-
однозначно характеризующих положение точки в пространстве и притом
изменяющихся непрерывным образом при переходе из одной точки
к соседним. Подобные параметры можно рассматривать, как однознач-
однозначные и непрерывные функции декартовых координат хх, х2, х3:
?г = ?г(Х!, Х2, Х3), (Г =1, 2, 3)
при условии, чтобы последние также выражались, как однозначные и
непрерывные функции параметров </:
Xfe = xft(^, ft, q9), (/с = 1, 2, 3)
dq-
Производные от обобщенных координат частицы по времени ~- = qi
называются обобщенными скоростями. Диференцируя предыду-
предыдущие равенства, мы получаем следующие соотношения между этими обоб-
обобщенными скоростями и обычными декартовыми слагающими вектора
скорости:
dxk •
Wiqi' (81a)
х) См. Френкель Я. И. Курс электродинамики, т. 1. ГТТИ, 1934.
2) В настоящей главе обобщенные координаты трактуются с чисто анали-
аналитической точки зрения; геометрическая теория их будет дана в отделе V.
219

из которых, между прочим, вытекают равенства:
** = ** и *<-*L. (82)
dqt dqt dxk dxk
Составляя сумму квадратов выражений (81а), получаем после умно-
умножения на dt2 следующее выражение для квадрата элементарного пере-
перемещения da в обобщенных координатах:
(83)
где
(83a)
Простейшими примерами обобщенных координат могут служить
координаты цилиндрические и сферические.
Первые характеризуются формулой:
do2 « dr2 + r2dcp2 + dz2, (84)
где r == |/xj -f x\ = ^x —• расстояние от оси х3 = 2: = tf 3, a q> = q2 —
азимут, а вторые — формулой:
do2 = dR2 + R2 dd2 + R2 sin2 в d<p2, (84a)
где R =Yxi + x\+ x\ = q1 — расстояние от начала координат, в = q2—-
угол между R и полярной осью (xz=Z) и <p = q3 — азимут [т. е. угол
меж^у плоскостью х%) R и плоскостью х3, xv отсчитываемый в сторону
вращения (от хг к х2)]. В обоих случаях коэфициенты gih с различ-
различными индексами равны нулю (что соответствует, как будет подробно
рассмотрено в Отделе V, взаимной перпендикулярности координатных
линий).
Задача о движении частицы в методе обобщенных координат сво*
дится к определению зависимости последних от времени. Для опреде-
определения этой зависимости мы можем исходить из выражения Лагранжевой
функции L, в зависимости от обобщенных координат и скоростей.
В простейшем случае движения частицы по закону Ньютона (т. е. с по-
постоянной массой) в потенциальном поле, мы имеем L = T — (/ =
f~u>т- е-> согласно (83):
q2, qs; t). (85)
i k
Применяя принцип Гамильтона к Лагранжевой функции (85), полу-
получим, согласно общим уравнениям Эйлера E2) § 4, совершенно сходное
с ними уравнение Лагранжа в обобщенных координатах:
d dL dL
ИЪ~*ш (*« 1.2.3) (86)
220

или в развернутом виде:
m-IKS ***)=!?• (86a)-
Выражения
Pi = ^ „ mYgikiib (i = 1, 2, 3) (В7)
называются обобщенными импульсами частицы. В случае пря-
прямоугольных координат, они сводятся к слагающим количества движения:
тх, ту, rriz.
В Гамильтоновом описании движения с помощью пространственного
континуума экземпляров, обобщенные импульсы могут быть определены,
как частные производные действия S (или 50 при W = const), по соот-
соответствующим координатам:
В самом деле, беря полную производную по времени от обеих час-
частей этого равенства, получаем:
dp^ d dS _ д dS _ dL
~Ж~ It dql^dqllit^dql'
т. е. уравнения Лагранжа (86). Заметим, что в Гамильтоновом пред-
представлении обобщенные импульсы являются функциями одних лишь коор-
координат (и времени), тогда как в исходном представлении, в котором ско-
скорость (отдельной) частицы рассматривается, как вектор, не определя-
определяемый ее положением, они представляются линейными функциями обоб-
обобщенных скоростей с коэфициентами, зависящими от координат, согла-
согласно (87).
Лагранжева функция (85) может быть выражена через обобщенные
импульсы и обобщенные скорости, в виде
Wi-tf> (88)
г
где первый член представляет собой кинетическую энергию Г или
^^-i-H, (88а)
где Н — полная энергия Т -f- U. Эта формула непосредственно вытекает
из соотношения L = -тт + / с - йъ в связи с (87а) и -г- = — Н. Flo-
Flout май OQfi 01
k
следнее равенство можно рассматривать, как уравнение Гамильтона для
действия 5, если при этом энергия Н выражена в виде функции от
градиента S по формуле:
221

Здесь — (VSJ — -у ^^^iikQikh— кинетическая энергия частицы.
i h
'Для того, чтобы получить диференциальное уравнение для 5 в обоб-
обобщенных координатах, необходимо выразить Т через обобщенные им-
импульсы и заменить последние производными S по координатам, согла-
согласно (87а). Рассматривая соотношения (87), как систему линейных урав-
уравнений относительно неизвестных </&, можно выразить последние через
импульсы с помощью обратных соотношений:
Ъ = ^%В*Р1, (89)
г
где g*k — минор определителя
a z=z
2Ъ &ЪЪ §23
(89а)
соответствующий элементу gik и разделенный на g, т. е.
&* (89Ь)
Подставляя выражения (89) в формулу T = -^2jPk^ получаем:
k
SS ShPPk + U (qlt д2> qz; t), (90)
i k
где коэфициенты g*ik представляют собой определенные функции коор-
координат (не содержащие времени). Это выражение, т. е. полная энергия
частицы, выраженная в функции обобщенных координат и обобщенных
импульсов, называется обычно Гамильтоновой функцией.
Таким образом уравнение Гамильтона для действия S в обобщенных
координатах имеет вид:
*Цщ; + и + -п= 0. (90a)
Если не вводить представления о пространственном континууме
экземпляров частицы, то обобщенные импульсы можно трактовать как
величины, не зависящие от обобщенных координат и наравне с послед-
последними, определяющие Гамильтонову функцию Н. Зная последнюю можно,
как показал Гамильтон, определить зависимость обобщенных координат
от времени с помощью следующей системы уравнений:
dpk дН dqk дН
= = (ft123)
которые получили название уравнений Гамильтона или „канонических
уравнений" механики. Заметим, что в прямоугольных (декартовых)
координатах
Н = —¦ (р\ -t р\ + Pi) + U, где рх = mqb р2 = mq2, /?3 = mqv
222

так что первая группа уравнений (91) сводится в этом случае к обыч-
ным уравнениям движения т —г^- = —• -г—, а вторая группа — к соот-
Рь
ношениям gk = —.
В общем случае уравнения Гамильтона могут быть введены разными
способами, три из которых мы рассмотрим здесь (четвертый, наиболее
непосредственный и геометрически наглядный, будет приведен в отделе V).
Диференцируя Гамильтонову функцию (90) по обобщенному им-
импульсу ри} получаем:
дН 1
т. е., согласно (89):
дН
что совпадает со второй группой уравнений (91).
Диференцируя далее Н по q^ при постоянных значениях импуль-
импульсов, получаем:
Заменяя pi через M^guii согласно (87), имеем далее:
ш
2 2u 2u
Сумма 2 Sih gn равна 1 при к = l (представляя собой в этом
случае разложение определителя g по элементам 1-го столбца, разде-
разделенное на величину самого определителя) и нулю при кф. I. В обоих случаях:
g*k
It ^ Wh = °
и следовательно:
2т AU АЛ dgh FlFn "" 2 A_
i k n k I
г) Или в развернутом виде, при
Н = 2^" №iPl + Й2Р14 ?ззР§ + 2g*23P2p3 + 2^p3Pi + 2g*12p1p2]
д^ = "лГ
223

или так как ^gtkpk — mq\ (согласно (89)):
и
ш LL j^pip*я-т1
i к i l
Это равенство может быть записано в форме:
\ЭЯк)р= const UJe = const
Мы получаем, таким образом:
подразумевая при этом под Н = Т + U функцию обобщенных коор-
координат и импульсов, а под L = Т — U — функцию обобщенных коор-
координат и скоростей. При этом уравнения Лагранжа (86) принимают вид:
dpk дН
т. е. сводятся к первой группе уравнений Гамильтона.
До сих пор мы исходили из Лагранжевой функции (85), соответ-
соответствующей движению частицы с постоянной массой в потенциальном
силовом поле. В общем случае наэлектризованной частицы (электрона)
с переменной массой m = ° 2 => движущейся в произвольном
электромагнитном поле, Лагранжева функция выражается через обоб-
обобщенные координаты и скорости более сложным образом. Не вдаваясь в
более подробное ее рассмотрение, заметим лишь, что, сохраняя опре-
определение обобщенных импульсов pif как производных от Лагранжевой
функции по соответствующим скоростям, и вводя Гамильтонову функцию
при помощи преобразования Лежандра г):
Можно вывести уравнения Гамильтона более простым и общим образом,
чем это было сделано выше, основываясь только на том обстоятель-
обстоятельстве, что L следует трактовать, как функцию обобщенных координат и
скоростей, а Н — как функцию обобщенных координат и импульсов.
2) При этом необходимо убедиться в том, что скалярное произведение
p.v= —-V
выражается суммой
S\l dL •
i г г
По (робней об этом см. § 11.
224

Примем во внимание, наряду с рассматриваемым реальным движе-
движением, бесконечно близкое к нему „виртуальное" движение, получаю-
получающееся из него путем варьирования, независимо друг от друга,
координат и скоростей или импульсов. Мы получим при этом, со-
1ласно (88а):
6L = 2 дрк ' ft-f 2 Pk • Цк ~ <5W
к к
или, так как
61 e 2 ж^ + 2 If- - ^ = 2
/г
Но, с другой стороны, должно быть 1):
1 d
отсюда, в виду (предполагаемой нами) независимости вариаций dq и
E/7, вытекают соотношения
дН - дН
т. е. уравнения Гамильтона.
Мы приведем еще один вывод этих уравнений, непосредственно по-
лучающийся из вариационного принципа Гамильтона д I Ldt == 0, в
/1
связи с преобразованием Лежандра. Положим здесь L = ^РкЯк—Н и
будем рассматривать импульсы ph не как заданные функции координат
и скоростей [определяемые уравнениями (87)], а как неизвестные функ-
функции, подлежащие определению, наравне с координатами, из уравнений
Эйлера. Последние сводятся, при таких условиях, к следующим шести
уравнениям:
dqk dt { dqk )CJf p e const
т. e.
dH dPk n
— dft" "" Г e 0>
и
т. e.
ft —S^-0, (fc-I, 2, 3)
которые и составляют систему канонических уравнений Гамильтона.
Соотношение между этими уравнениями и Гамильтоновым методом
описания движения с помощью представления о пространственном кон-
15 Курс теорет. механики. 225

тинууме экземпляров, в котором импульсы К— выражаются, как функ-
функции координат (и времени), может быть пояснено следующими сообра-
соображениями.
Заменим произведение Ldt полным диференциалом от функции
действия
То обстоятельство, что это выражение представляет собой полный
диференцис*л некоторой функции от координат и времени S(?i, #2> ?з"» 0>
характеризуется соотношениями:
dpk дрг дрк __ d/f .q^v
Щ[ ~ dq~k И ~Ж dqk* '
Последние соотношения на первый взгляд совпадают с первой
группой уравнений Гамильтона. Это совпадение является, однако, лишь
кажущимся, так как в рассматриваемом случае -jr- обозначает част-
н у ю производную pk rro времени (для данной неподвижной точки про-
дН
странства с обобщенными координатами qb q2) q3), a^— — полную
производную Н по А-ой координате, с учетом зависимости импульсов
Л> Piy Рз> входящих в выражение Я, от этой координаты. Таким обра-
образом в предыдущих равенствах мы должны положить:
дН др.-
или на основании первой группы соотношений (93) и второй группы
уравнений Гамильтона (определяющей обобщенные скорости через про-
производные Гамильтоновой функции по соответствующим импульсам):
— ={—\ iVi dJ>h
дчк W)pu dt ' h/.
Таким образом вторая группа соотношений (93) может быть пере-
переписана в виде
cty ' dt \dqjp
или
в этом виде совпадая с первой группой уравнений Гамильтона.
Уравнения Гамильтона для материальной частицы представляют
собой систему шести диференциальных уравнений первого порядка. Ин-
Интегрируя их, мы найдем координаты и импульсы, как функции от вре-
времени и шести произвольных постоянных:
ft = ft (t, съ- с2у с3, с4, с6, с6) ,я1 2 3.
Pi = Pi(t, съ с2, сЪУ с4> сь, с6), ' ' '
226

которые могут быть определены из шести начальных значений при
t=t0 координат и импульсов
qi = ql Pi = pi
Заметим, что уравнения Лагранжа (86) при трех неизвестных функ-
функциях (ql9 q2, q?) интегрируются также с помощью шести произвольных
постоянных, так как они i-ред тавляют собой диференциальные урав-
уравнения второго порядка. В данном случае эти шесть постоянных могут
быть определены через начальные значения обобщенных координат и
скоростей; в обоих случаях их можно также определить заданием
координат начального и конечного положений частицы (в соответствии
с условиями принципа Гамильтона).
§ 8. Циклические координаты и функция Рута
При интегрировании уравнений Лагранжа и Гамильтона следует от-
отметить весьма важный частный случай так называемых циклических
координат. Координата Qj называется циклической, если она не входит
в функцию Лагранжа или Гамильтона явным образом (^ может вхо-
входить), т. е.1):
В этом случае соответствующий импульс pj остается во время дви-
движения постоянным (т. е. представляет собой интеграл движения). Тем
самым соответствующее уравнение Лагранжа2)
оказывается один раз проинтегрированным:
л = ^ = const. (94)
В качестве примера на циклические координаты можно привести
движение точки под действием центральной силы, рассматриваемое в
цилиндрической или в сферической системе координат. Если сила на-
направлена к центру и зависит только от расстояния от последнего /?,
то функция Лагранжа в сферических координатах имеет вид:
L = ~ [R2 + /?Ф -t /?2 sin2 ду*\ — U(R).
Координата ср при этом не входит явно в выр1>кемие для функции
Лагранжа и является циклической. Со-тветствующий импульс
р<р = mR2 sin2 -дер = const..
х) Здесь все равно, выражена ли кинетическая энергия через скорости или
через импульсы, так как
(дТ \ /дТ \
2) -— = о, так как qr по условию есть циклическая координата.
15* 227

Это выражение представляет собой, как легко убедиться, проекцию
момента количества движения частицы на ось сферической системы
координат.
В цилиндрических координатах функция Лагранжа (85) принимает вид:
L = ™ [г2 + /V +z2] - U (Кг*+~А
Попрежнему циклической координатой является угол <р, а соответ-
соответствующий импульс:
р<? == mr\ = const.
Это выражение совпадает с предыдущим, так как
Г = R sin #.
Если одна из координат qr — циклическая, то и соответствующую
ей скорость можно исключить из остальных двух уравнений Лагранжа.
Для этого воспользуемся постоянством соответствующего импульса рг
з
рг « _ « т V grft^fe -а д, = const. (94а)
^ ?!
и составим так называемую „функцию Рута":
RLq
Из уравнения (94а) найдем выражение для qr через остальные ско-
скорости, координаты и постоянную /?г:
kfr
и подставим это в выражение для функции Рута. Последняя тогда вы-
выразится, как функция от координат и скоростей (за исключением qr
и qr) и постоянной ft:
Дадим величинам qjy qj и ft произвольные приращения dq,, <5#3, Eft.
Функция Руга тогда получит приращение
6R = d(L- qrd^-
dL
1 ^ ^
S2S

С другой стороны, из определения /? следует, что:
Сравнивая предыдущие выражения, мы видим, что
dR dL . d# dL
- , - — - - {J -L- / }
dq. dq} dgj dq}
Подставляя полученные выражения в уравнения Лагранжа, мы получим:
*VrK--° <>'*'>' (98)
df V^gr У dqj
т. е. для остальных двух координат (/ jz r) остаются в силе такие же
уравнения, как и раньше, с той только разницей, что место функции
Лагранжа в них занимает функция Рута. Если мы эти два уравнения
(98) второго порядка для координат ^ (/-/- г) проинтегрируем, то третья
координата gr найдется на основании последнего из равенств (97) про-
простым интегрированием:
Изложенный выше метод исключения циклической координаты может
быть обобщен на случай двух циклических координат.
Тогда функция Рута имеет вид:
2
R = L~^qff-. A00)
В случае одной циклической координаты, исключая последнюю, мы
приводим задачу движения частицы в пространстве трех измерений к дви-
движению ее в пространстве двух измерений (две координаты ф при
]фг), причем Лагранжева функция пространства трех измерений за-
заменена функцией Рута. Последняя, однако, не совпадает с Лагранжевой
функцией пространства двух измерений:
Ь = Тг - U (ft) = ¦?- 2 №Як (%), (/ Ф г) A01)
вычисленной в предположении полного отсутствия третьей координаты </г.
Действительно, Lr есть квадратичная функция от скоростей ft, а функ-
функция Рута содержит также и члены, линейные относительно последних: г)
k?r
х) Подобно Лагранжевой функции для движения электрона в произ-
произвольном электромагнитном поле.
229

Подставляя это выражение в уравнения (98), мы получаем:
d ±
Первый член правой части этого уравнения —^—представляет со-
собой обобщенную проекцию Fi внешней силы F. Второй член можно
рассматривать, как проекцию центробежной силы с потенциалом Ur =»
я- !_. Остальные два члена дают проекцию так называемой гиро-
скоиической (Кориолисовой) силы:
где
Таким образом:
It © ~ Щ = Fj + h + Gi' A04)
Существование исключенной циклической координаты qr проявляется
возникновением двух новых сил (двумерных) f и G. Последняя сила
перпендикулярна к скорости (в двух измерениях, конечно). Действительно:
г fir гфг
так как но определению
Gtk = — Ghi и Gii = 0.
Отсюда следует, что работа этой силы на любых перемещениях
должна равняться нулю:
Gat— У Gidui = ^7 GiOidt == ( / GiQi) dt = 0.
Л* ЛЯкЛ \ ЛИЯ /
В качестве примера разберем исключение циклической координаты ср
при движении в поле центральной силы в сферических координатах.
Лагранжева функция в этом случае равна [qm. формулы (84а) и (85)]:
L *» %- rz + г~&* + г2 sin2%2 — U (г).
Циклической координате <р соответствуют импульс
р9 = ш/'2 sin2 i?<p = const = /?
2S0

и скорость
mf* sin2 ft'
Функция Рута равна
2mr2 sin2 ft *
Так как коэфициенты gik = 0 при i zp /с, то гироскопические члены
отсутствуют. Добавочный член в предыдущем выражении есть потен-
потенциал центробежной силы
_ _
2/пг' sin2
и сама центробежная сила f = — grad Uv ока-
оказывается обратно-пропорциональной третье 1
степени расстояния от полярной оси и направ-
направлена перпендикулярно этой оси (рис. 33):
/ — ;
?
mrz sin3 ft
Рис. 33.
Исключая координату (р, мы тем самым рас-
расчленили движение на две составляющих — на
движение точки в меридиональной плоскости,
определяемое координатами г и #, и на вращение меридиональной
плоскости с переменной угловой скоростью <р Существование послед-
последнего вращения вызывает появление в меридиональной плоскости доба-
добавочной центробежной силы f.
Величина постоянной /? определяется из начальных условий. Если
в начальный момент угловая скорость q> равна нулю, то она остается
равной нулю во все время движения. При этом
<р = const,
0.
Вращение меридиональной плоскости отсутствует, и центробежная
сила f равна нулю.
§ 9. Интегралы движения. Скобки Пуассона
Мы уже видели выше, что если координата qr циклическая, то со-
соответствующий ей импульс рг остается при движении неизменным:
dt
= О,
Подобные величины называются интегралами дьижения. Если мы хо-
хотим узнать, является ля данная функция от времени, координат и им-
импульсов частицы /(/, q, p) интегралом движения, то следует составить
полную производную этой функции по времени:
281

df Of vi df da- -v-« df dp- /1A-N
=» —1-4- V . . 3 4- V — - A05)
dt dt ' ^4 (ty- a/ ^i dpt dt
и посмотреть, равна ли эта производная нулю, или нет.
В качестве первого примера рассмотрим функцию Гамильтона
«¦ р, /):
йН ОН , VI 1дН • , дН Л ОН . X* /ОН дН
dt dt ' ^J \d^| v OpiHlJ dt ' ^J \a^ a/7?
^Я дН\__ dH
Если // не зависит явно от времени, то -ч-- = 0, а следовательно и
т. е. Н является интегралом движения
Н(р, q) = T(p, q) +C/fa)«const. A06)
Пользуясь каноническими уравнениями, мы можем преобразовать вы-
выражение A05) к виду:
"It
~ ~di+ 2u Щ dpi ™ dpi d<uf
Сумму
3
/_ OH __ df dH_
i ' dpt ' dpi dg.L
обозначают кратно символом (//, /) и называют скобками Пуассона
для Н и /.
Тогда:
1 =! + ("'/)• tl08)
Если функция / не зависит явно от времени (-~~ =0] и скобки
Пуассона (Я, /) обращаются в нуль, то:
dt v>
т. е. функция / является интегралом движения.
Выбирая за функцию / координату ^ или импульс pj, мы имеем:
(И п \ = V (дН дрз дН dpi \ _ дН
Pl ? \Щ Щ ~ dqj dpi/ ~ - dfi
232

Подставляя эти выражения в уравнение A08), мы получаем отсюда
обратно канонические уравнения (91):
dpj ОН
-ЗГ-( > Р}) dq~
dqj дН
Скобками Пуассона для двух функций / и g называется выражение
з
// а) = V (-PL Л ()L AL
\!> ь) Jj\ $р fig f)g др.^
Из определения скобок Пуассона видно, что они антисимметричны,
т. е. что
(А ?)= —(g, /) | A10)
(/,/)-0. |
Скобки Пуассона для двух функций /2 и /2 являются, в свою оче-
очередь, функцией для координат и импульсов, и из чих можно составлять
двойные скобки Пуассона:
з
Подставляя сюда выражение (Д, /2) из уравнения A09), нетрудно
показать, что для двойных скобок Пуассона имеет место следующее
тождество:
((fv U), /з) + ((/з, к), U) + (/а, /з). /i)= 0. (Ill)
Положим, что в этом тождестве /х и /2 — интегралы движения, явно
не зависящие от времени, а /3 = Я. Тогда
(/з, /i) - (Я, Д) = 0; (/2> /3) = (/„ Я) = - (Я, /2) = 0,
отсюда следует
((к, /a). ^) = - (". (/i. /2)) = -^j^ =0, A12)
т. е. скобки Пуассона (/ь /2), составленные из двух интегралов движе-
движения, являются, в свою очередь, также интегралом движения.
Таким образом скобки Пуассона позволяют проверить, я-'вляется ли
данная функция / от координат и импульсов интегралом движения,
а также по двум данным интегралам движения составить третий.
Для примера рассмотрим движение точки в поле центральной силы
в декартовых координатах x~qly y = q2$ z~q3:
H = ~
где
233

Составим проекции вектора момента котичества движения М « г X tnv
и покажем, что они являются в данном случае интегралами движения;
Мг = q2p3 -
Для доказательства составим скобки Пуассона (Я, Мг):
дН дМх дН д
4
+~ Р* (- Рд - Ц (- ?а) - -j- a = i- w - i
Аналогичным образом можно показать, что (Н, А12) = 0 и (Я, М3) = О,
т. е. М2 и Mz также интегралы движения. Составим далее скобки
Пуассона из Мг и Мг:
e ~^; ж "¦ ^p3- e v- ft) (- p2)
в соответствии с тем, что М3 также есть интеграл движения.
Поставим теперь задачу об отыскании интегралов движения в общем
виде. Будем искать тякую функцию /(</, р, t) от координат, импульсов
и времени, полная производная которой по времени равна нулю, в силу
уравнений движения. Тогда на основании A07) получим:
dt+2d[oPi ддь ддГ
Функция /, как мы видим, удовлетворяет линейному диференциаль*
ному уравнению первого порядка в частных производных A13). Как
известно1), решение этого уравнения эквивалентно решению системы
шести диференциальных уравнений первого порядка:
dq-x dpi
dt ~
~др{ dq]
г) Доказательство этого утверждения не представит труда, если восполь-
воспользоваться понятиями многомерной геометрии (см. отдел I).
Рассмотрим пространство семи измерений (t, pt, q{). Уравнение A13)
можно интерпретировать в этом случае, как условие ортогональности двух
(л дН дН дН дН
векторов: одного А, заданного слагающими I 1, -г—, -г—¦, -г—, — -т—,
V dPi dp* dPz dqt
234

т. е. мы возвращаемся обратно к уравнениям Гамильтона (91). Инте-
Интегрируя эти уравнения, мы найдем координаты и импульсы в функции
от времени и шести произвольных постоянных:
Pi = Pi(t, Cl9 fa,.--, Ce)
ft= <li(t,Cl9 Са,.. ., С6).
Решая эти уравнения относительно постоянных Си, мы получим:
<Ь - h (U qu Pi) (Л« 1, 2, 3, 1 5, 6) A15)
Полученные шесть функций /^ (/, ^, р$) и являются искомыми инте-
интегралами движения. Любая функция от этих интегралов движения будет,
конечно, также интегралом движения, но независимых интегралов будет,
как мы видим, только шесть. Если Н не зависит явно от времени, то
мы можем ограничит!:ся только пятью уравнениями.
" (/-123)
дрг dqt
и искать интегралы движения, не зависящие явно от времени. Таких
интегралов движения, не зависимых друг от друга, будет только пять:
Dk =<pk(<li, Pi), (*= 1. 2, 3, 4, 5) A17)
причем в качестве одного из этих интегралов можно выбрать интеграл
энергии
з
Н = Ж 2 stkPiPh +U(q)^D1 = const.
Вычислим эти интегралы для свободного движения материальной
точки, когда U(q) = O. При этом
в декартовых координатах, и уравнения A14) принимают вид:
1 ""* l "^ 1
m Pl m P* Иг Рз
-—-— —¦), и другого, определяемого искомой функцией /, именно
бектора grad /, который направлен но нормали к поверхности / = const.
Действительное перемещение частицы в нашем семимерном пространстве
характеризуемое изменением всех ее координат ds(dt, dpv с1дг), если есть ин-
интеграл движения, происходит по поверхности/== const.
Это будет выполнено, если мы потребуем, чтобы ds был параллелен век-
вектору А.
Записывая условие параллельности, мы приходим к уравнениям A14).
23*

откуда следует, что:
(jp}z=:0, т. е. Pi = const
</Л = 0 „ „ /?2 = const [ A19)
^з = ° п » Л = consl
J I
fH r- /1 щ HI 42> ' ' /-2V1 Fl1/- Л
1 1
рл (lq.} = — p2 dq*y „ „ /7о^2 ~ /?2<7з = ^i = ^onst
. A19a)
Мы получили пять независимых интегралов движения. Из них можно
составить остальные два:
\ w+ri+/# = « =const
и
РМр^ ==Л*8 = Const. A21)
Первые три равенства A19) дают нам закон сохранения количества
движения:
р —const.
Последние два равенства A19а) и A21) выражают .закон сохранения
момента количества движения
М = г X р = const.
§ 10. Фазовый континуум экземпляров и его приложение
к статистической механике
Состояние движущейся материальной точки вполне определяется
шестью величинами q{ и pi. Это состояние, следовательно, можно изо-
изображать точкой в шестимерном пространстве координат и импульсов
#ъ #2> #з> Pit Р2у Рг — так называ мом „фазовом пространстве". Задание
шести координат этой „точки" в произвольный начальный момент вре-
времени— ql, q{J, (j?v ply pi, pi—на основании канонических уравнений
Гамильтона вполне определяет все дальнейшее движение „точки" и ее
траекторию в фазовом пространстве. Меняя непрерывным образом на-
начальные значения координат и — независимо от них — начальные зна-
значения импульсов, мы получим непрерывную совокупность фазовых
траекторий, не пересекающихся друг с другом (ибо из канонических
уравнений следует, что две пересекшиеся в некоторый момент времени
фазовые траектории должны совпадать друг с другом и во все после-
последующие и предыдущие моменты времени .
Каждая из этих траекторий изображает движение одного „экземпляра"
данной точки. Все „экземпляры" имеют одну и ту же массу и дви*
жутея в одном и том же силовом поле U лишь с несколько различ-
различными начальными условиями. Варьируя непрерывным образом начальные
условия, мы получаем непрерывное множество, так называемый фазовый
„континуум экземпляров" данной точки1).
х) Фазовый континуум экземпляров не может быть представлен при помощи
пространственного континуума экземпляров, с которыми оперирует теория
Гамильтона, так в последнем импульсы определяются, как функции координат.
236

Положим, что в начальный момент времени нам за тана плотность
/о(</> Р) экземплярного континуума в фазовом пространстве, т. е. что
(относительное) число экземпляров, координаты которых лежат в интер-
интервалах между qi и qt -f- dqj, а импульсы — в интервалах между pi и
pi + dpi » пропорционально величине интервала состояний:
ду = <%. dq2 • <5g3 - dpi • <5р2 • <Sp3 A22)
(элемента фазового объема) и равно
A23)
Полное число экземпляров во всем фазовом пространстве мы будем
считать равным единице:
" ,*/=1. A24)
При такой нормировке функции /0 ее можно рассматривать так же,
как плотность вероятности нахождения частицы в данном месте фазо-
фазового пространства. Тогда [оду есть вероятность нахождения частицы и
элемента фазового объема йу, а условие A24) выражает известное по-
положение теории вероятностей: сумма вероятностей всех воз-
возможных событий равна единице (достоверности).
При движении экземпляров плотность / будет меняться со временем,
и относительное число экземпляров в данном элементе фазового объема
будет равно
dn = f(q, p, t)dy. A25)
Мы докажем здесь весьма важную для статистической физики теорему
Лиувилля: Плотность э к -j е м п л я р н о г о континуума остается
неизменной вблизи каждого экземпляра частицы, т. е.
является интегралом движения. Для доказательства составим
сначала аналитическое выражение закона сохранения числа экземпляров
в фазовом пространстве. Этот закон имеет вид, аналогичный гидроди-
гидродинамическому „уравнению сплошности":
-—- -f- div (ov) = 0. И 26)
Вместо плотности д в уравнение A26) следует подставить /, а под
скоростью v и расхождением (div) следует понимать не обычные ско-
скорость и расхождение, а шестимерные. Обозначая
Яг == *i> Яг=== гъ Яъ === ^з> Pi ~ rii Р2 = Г5 и Рз ~ гв> A27)
мы можем представить слагающие шестимерной „скорости" в виде
dri
Первые три слагающие вектора „скорости" являются обычными со-
составляющими скорости qk, а вторые три слаиющие р*= тщ равны
слагающим силы, действующей на частицу,
237

При таких обозначениях уравнение сохранения числа экземпляров
A26) принимает вид:
f l;^(/r0 = O. A29)
Оно выводится из рассмотрения баланса числа экземпляров, прохо-
проходящих за время dt через некоторый неподвижный объем Г фазового
пространства. Число экземпляров, заполняющих объем Г, равно
ffdy. A30)
(Г)
Уменьшение числа экземпляров в объеме Г за время dt:
{Г) (Г)
должно равняться полному потоку экземпляров через поверхность (S)
фазового объема Г изнутри наружу
A32)
(S)
где tl есть единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности
SS. Преобразуя последнее выражение по теореме Гаусса, имеем:
& fvndS dt = S (/v)n <5S dt = f div (/v) dy dt. A33)
(S) J
Приравнивая друг другу выражения A31) и A33), мы получаем:
(Г) (Г)
откуда
(Г)
ний интеграл должен равняться нулю для любого объема Г.
Следовательно:
j( O. A34)
Раскрывая выражение A34), получаем:
df ¦ У dt г
или в векторной форме:
238

Нетрудно видеть, что
{-в
df df ^ df drt df
+ vgraa/ + 2
и уравнение сохранения принимает вид:
-g- + /-divv = 0. A35)
Вычислим теперь шестимерное расхождение скорости
г=б г=3 г=0
г=1 г=1
На основании уравнений Гамильтона:
dqt д /дН\ д2Н
\
др. д ( Ш\ д2Н
Подставляя это в выражение A36) и переставляя порядок диферен-
цирования, получаем
divv= > -^---^-т- 1 = 0-
*aJ \^ dqt dpt др{ dqt J
Уравнение сохранения при этом принимает вид:
ж=°- A37>
Плотность / вблизи данного экземпляра остается
постоянной во все время движения. Экземплярный конти-
континуум движется как несжимаемая жидкость. Если движение происходит
в постоянном поле и функция распределения стационарна /~ry- = OJ,
то функция /, являющаяся интегралом движения, должна зависеть от
других независимых интегралов движения, например от полной энергии Н.
Полагая / = /(/-/), мы приходим к статистическому распределению Мак-
свелл-Больцмана. Остальные интегралы движения, например, интегралы
количества движения и моментов количества движения в этом случае
обычно в среднем равны нулю.
Рассмотрим достаточно малый объем у вокруг данной точки. Число
экземпляров в момент / в этом объеме равно:
В последующий момент времени /' эти экземпляры переместятся
в некоторый другой объем у', заполняя его с плотностью /', так что
239

Но, по доказанному выше, /'==/ и следовательно:
A38)
Фазовый объем, занимаемый данными экземплярами,
остается- при их движении неизменным по величине и
может меняться лишь по форме.
Последнее утверждение можно доказать и непосредственно. Вели-
Величина фазового объема у выражается определенным интегралом:
У = ff •-•fdq1 dq2dqzdpxdp2dps.
A39)
В последующий момент времени tf=t +
принимают новые значения:
$ = # +q%dt; р\~р% +Pidt
координаты и импульсы
(/=1, 2, 3)
Рассматривая новые координаты и импульсы как функции старых,
мы получим выражение для объема, занимаемого теми же экземплярами
в последующий момент времени:
/ Jdq[dqldq',dp[dpldps. A39а)
где У==-л-/ -"" '\ есть якобиан преобразования от старых координат
к новым. Легко видеть, что этот якобиан равен единице с точностью до
бесконечно-малых второго порядка. Действительно:
да- да- др'- др.
dqi dQi dpi dp,
Отсюда следует, что с точностью до величин первого порядков от-
относительно dt
U^dt
}¦¦
240

Но
3 3
-в \ &Qi &Pi } в \ dQ% dPi dPi d
и следовательно:
у=1; /sy, A40)
Отсюда, в свою очередь, может быть выведена теорема Луивилля,
так как если у' = )>, то и /' = /.
Доказательство формулы A40) можно несколько упростить, если
рассматривать движение экземпляров в потенциальном поле в декар-
декартовых координатах:
Тогда скорости Х{ не зависят явным образом от координат;
а ускорения от скоростей
дрг дтхг
х "" '
dPi дт'хг
так как силы Fi~-x— зависят тоЛько от положения точки и не за-
охг
висят от ее скорости (или, в случае гироскопических сил, зависят от
слагающих скорости по осям перпендикулярным к данной). Поэтому
все члены суммы
равны нулю в отдельности и J=±l.
Следует еще отметить, что интеграл
Ь)
dv
не только перманентен -— = 0, как мы только что показали, но и
инвариантен по отношению к любым преобразованиям координат.
Действительно:
dY==ff • • •
где J—якобиан преобразования от старых координат и импульсов
к новым. При переходе от одной системы координат qi к другой q\
имеем:
16 Курс теорет. механики. 241

Старые координаты ^ зависят от новых координат q]> но не зависят
от новых импульсов
Преобразование координат однозначно определяет собой преобра-
преобразование импульсов. Последнее может быть найдено наиболее просто
для случая пространственного континуума экземпляров. А именно мы
dS
имеем при этом /7i = -^— и, следовательно, при замене координат &
°Я%
новыми координатами q[,
Pi
~2
dS
OS
OS
Но производные -щ^ представляют собой значения новых обобщен-
обобщенных ИМПуЛЬСОВ /?ft.
Мы получаем таким образом:
Пользуясь формулами § 7, нетрудно вывести эти соотношения
другим методом. Из предыдущих соотношений следует
др{ dq'h
dpi dqt "
Таким образом якобиан
dq'
ддг dq, dq, Q
^i
^i' dp
можно записать символически, разбив на четыре равных квадрата в
виде
г
dq
Tq'
dp
dq' j
о
dp
dp'
откуда
J "" rin'
dq
dq'
dp
dp'
dq
W
dq
Но, по известному свойству якобианов:
d Ю 1
д (q)
d (q)
242

и следовательно:
т. е. у=.у*.
Инвариантность фазового объема у по отношению ко всевозможным
преобразованиям координат (и соответствующим преобразованиям им-
импульсов) позволяет трактовать любую систему обобщенных координат
и связанных с ними импульсов, как прямолинейную и прямо-
прямоугольную систему координат в шестимерном фазовом про-
пространстве.
§ 11. Канонические преобразования; связь их с уравнением
Гамильтона-Якоои и применение к теории возмущений
Из того факта, что уравнения Лагранжа и Гамильтона были уста-
установлены нами для совершенно произвольной системы обобщенных
координат, следует, что эти уравнения остаются инвариантными, т. е.
сохраняют свой вид при переходе от одной системы координат этого
рода ql9 q2, qz к какой-либо другой q'v q2i qz при условии, конечно,
соответствующего преобразования обобщенных скоростей (в случае
уравнений Лагранжа) и импульсов (в случае уравнений Гамильтона).
Что касается скоростей, то из соотношений между старыми и
новыми координатами qi — q%{q'v q'v Q или $ = фг(</ъ &> #з) мы по"
лучим непосредственно:
k г
Эти равенства выражают то обстоятельство, что обобщенные ско-
скорости преобразуются, как соответствующие координаты или, вернее?
их диференциалы.
Согласно определению обобщенных импульсов мы имеем далее
* Цх Zi dq'k tit Zd k д'я
k
или, так как
2к^ A42)
h
и точно также
2^k' A42a)
Эти равенства показывают, что обобщенные импульсы преобразуются
противоположным образом по сравнению с координатами („контра-
гредиентно"):
dp'h dgt dPi дд'к ¦
16* 243

К тому же самому результату мы пришли в предыдущем параграфе,
исходя из определения обобщенных импульсов, как производных от
интеграла действия S по соответствующим координатам.
Из формул A42) или A42а) следует далее, что сумма 2
h
представляет собой инвариантную величину. Действительно, заменяя
и qi их выражениями, через новые переменные, имеем:
?d Jmd Jmd % **qh ^ **&
i k
Ho
dq[
при i — к и 0 при
Таким образом
2 A44>
Подразумевая в частности под $ декартовы координаты Хц, х2, х3,
мы видим, что сумма 2 Phfa представляет собой скалярное произведе-
к
dL ,,
ние векторов р = -г— и V. Мы имеем, следовательно, независимо от
выбора обобщенных координат:
Mi = p-v. A44а)
Этим, межцу прочим, доказывается сделанное в § 7 утверждение о
том, что выражение Я = 2) Pi^i—L представляет собой, при любом
t
выборе координат q, энергию или Гамильтонову функцию частицы.
Наряду с только-что рассмотренными преобразованиями, которые
носят название „точечных" (так как они относятся к координатам
точек пространства), Гамильтоном были выведены преобразования более
общего вида, при которых исходные координаты и импульсы qif рг
заменяются совокупностью новых величин q^ /?&, удовлетворяющих
единственно лишь тому условию, чтобы Гамильтоновы уравнения $ =
дН дН .
= -х— , pi = т— преобразовались в новые уравнения того же
самого вида:
^Ж>> Рк=~Ж' A45)
244

где Н'—некоторая функция от новых переменных q^ р^. Такие пре-
преобразования называются касательными или каноническими,
а соответствующие переменные $, р? канонически-сопряжен-
канонически-сопряженными (это наименование присваивается, впрочем, и исходным перемен-
переменным qk, ph)» Хотя эти переменные и обозначаются нами соответственно
как обобщенные координаты (</&) и импульсы (/?&), однако в действи-
действительности они не являются ни теми, ни другими, определяясь через
исходные переменные формулами вида:
qk = qk (ft, ft, Ъ\ Л> Л, Л; 0
Рк=*Рк(Яг, ft, Чв'у Pv Р2> Рз> 0-
Таким образом, переменные ^ сами по себе не определяют положе-
положение материальной частицы в пространстве, а переменные рь сами по
себе не определяют ее импульсов. Можно, однако, трактовать новые
переменные, подобно исходным, как координаты точки, изображающей
движение частицы в шестимерном фазовом пространстве. С этой точки
зрения, лежащей в основе метода фазового континуума экземпляров,
канонические преобразования Гамильтона сохраняют смысл обычных
точечных преобразований в фазовом пространстве.
Разыскание формы соотношений A45), удовлетворяющих условию
канонического преобразования, осуществляется наиболее просто с по-
h
мощью вариационного принципа Гамильтона д I Ldt ==* 0, если пред-
h
ставить Лагранжеву функцию в виде:
и трактовать импульсы pi на равных правах с координатами q^ т. е.
рассматривать все шесть величин как неизвестные функции времени,
подобно тому, как мы это уже делали в § 7 при выводе уравнений
Гамильтона в переменных q^ p%.
Заменив qbdt на dqi, мы перепишем принцип Гамильтона в форме:
o. (не)
Для того, чтобы новые переменные qj^ p'h были также связаны
друг с другом каноническими уравнениями, они должны удовлетворять
вариационному уравнению того же вида A46). При этом, однако,
допустимо одно весьма существенное обобщение последнего, заключаю-
заключающееся в прибавлении к подинтегральному выражению полного диферен-
циала dF = -jr dt> где F представляет собой совершенно произвольную
функцию от соответствующих переменных и времени.
dF
В самом деле, так как для подинтегральной функции вида — в
вариационном уравнении д I ~^rdt=0 уравнения Эйлера выполняются
245

тождественно (ср. § 5), то прибавление подобной функции к выражению
2 РьЦь—И' нисколько не изменит те соотношения, (т. е. канонические
k
уравнения), которые устанавливаются между ними вариационным урав-
уравнением д I (V p'kqb — Hf\ dt=O. Это обстоятельство дает нам воз-
ft
можность связать новые переменные с исходным тождественным
соотношением вида:
)B ) dF, A46a)
где функция F, выбираемая совершенно произвольным образом, и служит
для определения зависимости между переменными q, р и q\ p'.
Не предрешая формы этой зависимости, мы можем, при этом,
задать F в виде
F (q, q'\ t) = F(qlt q2, qB; qv q'2> fo /), A46b)
т. е. в виде функции трех новых переменных (условно обозначаемых,
как координаты q') и трех старых координат q (а также времени /),
которые, в конечном счете, можно выразить через новые переменные
q\ p'. Такого рода определение „функции преобразования" F удобно
потому, что при этом полный диференциал ее:
ft ft
выражается через диференциалы тех же самых переменных, диферен-
циалы которых входят в соотношение A46). Для выполнения этих
соотношений остается лишь приравнять коэфициенты при одинаковых
диференциалах правой и левой частей. Это дает нам следующие урав-
уравнения;
*-ж> *—¦? <¦">
И
Н' = Н--?. A47а)
Для того, чтобы с помощью этих уравнений найти выражения
новых „координат" и „импульсов" через старые, поступаем следующим
образом. Из второй группы уравнений A47) находим новые „коорди-
„координаты" q' как функции старых переменных, затем подставляем эти
функции в первую группу уравнений A47). В результате для q' и р'
получаются выражения вида A45а), причем эти переменные будут
удовлетворять каноническим уравнениям A45).
Рассматриваемое каноническое преобразование может быть получено
в нескольких других эквивалентных формах, соответствующих тому или
иному выбору двух троек переменных (из числа четырех троек q, p;
q', p') в функции преобразования F. Так например, полагая в A46а)
246

и затем перенося полный диференциал d B PhQk) B правую часть, по-
получаем:
2
2 Pkqk + 2 Л + ( ~я') dt=d<t>,
где
ft
Задавая Ф как некоторую функцию от перемещенных q\ p' и t, мы
получаем при этом:
,? = 4* ft=s**. A48)
и
Н'**Н—2?-. A48а)
Аналогичным образом, переписывая A46а) в виде:
ft ft
где F'sst—F + ^p'hqk — F'iP't q', t), получаем уравнения
ft
а переписывая ее в виде:
^+2
ft ft
где Ф' = F — 2 Pkqk — 2 ^А = ф' (Р'» Р» 0 — Уравнения
Заметим, что если функция преобразования (F, Ф, F' или Ф') не
содержит явно времени, то во всех четырех случаях преобразованная
Гамильтонова функция Н' отличается от исходной И лишь по форме,
совпадая с ней по численному значению.
Условия канонического преобразования могут быть сформулированы
в виде диференциальных соотношений между новыми и старыми пере-
переменными,— соотношений, в которых совершенно не фигурирует функция,
определяющая преобразование. Эти диференциальные соотношения по-
получаются проще всего следующим образом.
Будем рассматривать величины </, р, йак независимые переменные,
а величины q', p'—как функции от них, определяемые уравнениями
A46а) или A47). Составим вариацию функции F, соответствующую
247

изменению независимых переменных q, pt при заданном значении
времени. Эта вариация выражается формулой:
dF =
h h
в которой вариации dqb определяются, как суммы
Таким образом:
т. е.
jf=s V Pidpi+ У] Qi^ft, A50)
i i
где
КУ „> dQk ^ „ , V - дЛ
* "^Г ¦ A50а)
Условие каноничности преобразования q% p-*> qr, p' может быть теперь
записано в форме совокупности диференциальных соотношений:
J^L_^J ^L_^. i?L^
dpk ~ dPi ' ^fe - dPi > dqh ~ dq{ '
характеризующих то обстоятельство, что выражение A50) представляет
собой полный диференциал.
Раскрывая эти соотношения, получаем:
Га. рп e °; lib, ft] — 4»; to» ft] — о, (isi>
где символы в квадратных скобках, называемые иногда скобками Пуас-
Пуассона второго рода, имеют следующее значение:
2 [~*г ~*f~~~*r ~*г
а й^ = 1 при fc=/ и 0 при кф i.
Совершенно симметричные соотношения с заменой старых пере-
переменных новыми получаются, если рассматривать F, как функцию q\ p'.
Эти соотношения не являются, однако, независимыми от предыдущих
и могут быть получены как их следствие. Далее, из соотношений рас-
248

сматриваемого типа можно вывести аналогичные им соотношения для
обычных скобок Пуассона (первого рода), а именно:
(рк, Pi) = 0; (рк, ф = *и; (як, Ф = °> A52)
где
или
(Pk, Pi) = 0; (pk, q{) = dki; (qkf q%) = 0, A52a)
где
Z \dq'h dp'h dp'h ^
\
h
На выводе этих формул мы, однако, не будем останавливаться.
Как уже упоминалось выше, канонические преобразования можно
рассматривать, как обыкновенные (точечные) преобразования в фазовом
пространстве. С точки зрения метода фазового континуума экземпляров
„каноничность" преобразования можно при этом определить, как
условие несжимаемости экземплярной жидкости в перемен-
переменных q\ pft
В самом деле, для того, чтобы это условие выполнялось тождест-
тождественно, необходимо и достаточно, чтобы имели место равенства:
дН' -. дН'
% = щ и /*=--5JJ,
где Я' — произвольная функция переменных q^ и р^, т. е, чтобы по-
последние, рассматриваемые как функции времени, удовлетворяли системе
канонических уравнений.
Полагая ^ = — р^', рд = ^' и Н' =*Н", мы можем переписать пре-
предыдущие уравнения в виде новой системы канонических уравнений:
•„<Ш" •„ дН"
Ч P
в которой „координаты" и „импульсы" переменились ролями. Это об-
обстоятельство лишний раз подчеркивает тот факт, что разделение канони-
канонических переменных, полученных путем контактного преобразования
из обыкновенных координат и импульсов на три величины координат-
координатного типа и три импульсного не имеет смысла. Заметим, что только-что
приведенное преобразование (/7^==^', <^ = — р?) можно рассматривать,
как простейшее каноническое преобразование, не приводящееся к точеч-
точечному при р" = р и q" = q; оно соответствует функции преобразования
24»

Обыкновенные (точечные) преобразования можно рассматривать, как
частный случай канонического преобразования A48), соответствующей
преобразующей функции Ф вида
Ф(д', р, 0 = 2/i(?')-Pb
т. е. является линейной функцией от старых импульсов с коэфициен-
тами, зависящими от одних лишь (новых) координат. Действительно,
старые координаты определяются в этом случае формулами:
</* = д| = М<7ъ qi, qz), (Л=1, 2, 3), A53а)
т. е. являются определенными функциями новых; новые же импульсы
выражаются через старые формулами:
i
т. е., согласно A53а), формулами:
совпадающими с выведенными выше для точечного преобразования
формулами A42а).
Само собою разумеется, что в этом случае
потому что время не входит в функцию преобразования.
Рассмотрим теперь некоторые канонические преобразования, приво-
приводящиеся к точечным.
Функция
2
i
соответствует тождественному преобразованию:
qi=*qil pi —pi.
Линейная функция более общего вида
ф = qiPi + Q1P2 + qip 3
соответствует преобразованию:
Функция
ф = pxr cos <р + pyr sin (p + pzz
260

преобразует прямоугольные прямолинейные координаты в цилиндри-
цилиндрические:
дФ дФ
х = j~ = г cos (р; рг = -^ = рх cos ср + ру sin cp
дФ дФ .
y = ^=rsm<p; ^ = —= ~pxsm(p + pycos<p
2 — ^ - г, pz-.-^--pz.
При этом кинетическая энергия
преобразуется в
Наконец, функция
ф = pxr cos 95 sin ft + /у sin 9? sin ft + pzr cos ft
преобразует прямолинейные прямоугольные координаты в сферические:
х = ^— = г cos 9? sin#
V = ч— = Г Sin G? Sin V
1
рг = — = рх cos 95 sin ft -f- />y sin cp sin # + ft cos 1?
ft = -д- = — pxA* sin 99 sin ft 4- pyr cos (p sin #
^Ф Л . q • a
p&«» -g^- = />xr cos 9? cos # + /7yr sin 93 cos ir —prr sin ir,
причем кинетическая энергия
переходит в
Рассмотрим теперь каноническое преобразование, которое получается'
если в качестве преобразующей функции выбрать интеграл действия
S(t, q, a), а в качестве новых импульсов — постоянные а&.
Функция S удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби:
причем импульсы р^ равняются производным от S по координатам:
/>* = «§. A54а)
251

а производные 5 по постоянным интегрирования а& равны новым постоян-
постоянным рк:
Сравним эти формулы с формулами канонического преобразования,
определяемого функцией F' (q'} q, /), зависящей от времени, старых коорди-
координат и новых импульсов. Согласно A49), новые координаты и старые им-
импульсы выражаются формулами:
, dF' n dF'
Эти выражения совпадают с A54а) и A54Ь), *ссли в качестве функ-
функции преобразования F'(p'y #, /) выбрать интеграл действия 5 (a, q, t),
а в качестве новых импульсов p'k и новых координат qk выбрать по-
постоянные интегрирования ак и fik:
<*k*=Pkm, jSft—ft. A55)
В таком случае, в новой системе переменных новые импульсы
Pk = ah и новые координаты q'k =- pk будут постоянными. Сравнивая
A49) с A54) при F' = S, мы видим, что новая Гамильтонова функция
равна нулю
#' = 0,
и уравнения касательного преобразования A49) тождественны с урав-
уравнениями Гамильтона-Якоби. Обращение в нуль пновой" Гамильтоновой
функции не приводит к затруднениям, так как новые импульсы постоян-
постоянны, Н' есть функция только новых импульсов и может быть выбрана
равной нулю. Равенства A54Ь) дают нам полное решение задачи.
В качестве примера рассмотрим линейный гармонический вибратор,
т. е. частицу, притягиваемую к неподвижной точке X = х0 с силой,
прямо-пропорциональной расстоянию от последней, и способную совер-
совершать гармонические колебания с частотой v и вдоль оси х. Обозначая
расстояние х — х0 через q, получаем для соответствующего импульса р,
т. е. количества движения т^г, выражение /7== Y^2m(W — U (</)), где
(J (gr) == — co2q* (со = 2nv — угловая частота). Приравнивая это выраже-
выражение производной у® от функции действия и вспоминая, что инте-
грал действия S(q, t) равен в случае движения с постоянной энергией
S0(q)—Wt, получаем;
Здесь первой постоянной интегрирования является энергия W == av
Выберем в качестве нового импульса величину
Тогда
S = _ cop't + j\/r2m [cop' - ^f^dq = S(p', q, t).
252

Не вычисляя S, легко преобразовать движение к новым постоянным
импульсу и координате. Последняя равна
dS
_
др
lrnco
2
da
где постоянная интегрирования
получается решение
положена равной нулю. Отсюда сразу
Постоянная координата /S =* — qf играет роль начальной фазы. Таким
образом каноническое преобразование с помощью функции действия
дает непосредственно решение задачи.
Рассмотрим еще одну преобразующую функцию. Мы знаем, что
интегрирование уравнений движения облегчается, если одна или несколько
координат циклические. В некоторых случаях нам удавалось при помощи
точечного преобразования перейти к такой системе координат, в кото-
которой функция Гамильтона не зависит от одной или двух координат.
Возникает вопрос, возможно ли найти такое каноническое преобразо-
преобразование к новый координатам и импульсам, в котором все новые коорди-
координаты являются циклическими, т. е. не входят явно в функцию Гамиль-
Гамильтона, преобразованную к новым координатам и импульсам.
Если qi — новые циклические координаты, & р'и — канонически со-
сопряженные с ними импульсы, то новая функция Гамильтона в предполо-
предположении независимости ее от времени есть функция лишь р^\
Н'=Н'(р'),
A56)
следовательно:
т. е.
Рр = const, A5&a)
новые импульсы постоянны. Из второй группы уравнений Гамильтона
следует, что
дН'
qk = ^r = cok = const,
т. е.
qk = a>kt + dk. A56b)
Таким образом циклические координаты суть линейные функции
времени.
Интегрирование канонических уравнений сводится к нахождению
преобразующей функции канонического преобразования к циклическим
координатам.
Легко видеть, что этой функцией в данном случае (движение в по-
постоянном силовом поле) является функция неполного действия 50(г).
253

Действительно, So является функцией от координат qu и постоянных
интегрирования аи, удовлетворяющей уравнению
причем импульсы р^ равны производным от So по координатам
а производные So по аи равны
ds«
W
где /?ft— постоянные A54Ь). Поэтому, если в качестве новых импуль-
импульсов выбрать постоянные а^
Pk = «л>
то в качестве новых координат надо взять
Так как преобразующая функция F'= S0(q, а) не зависит явно
от /, новая Гамильтонова функция численно равна старой
#' = #.
В качестве примера мы снова рассмотрим линейный гармонический
вибратор в одном измерении. Полагая, как и выше, новый импульс равным
W
р' = —э получим:
So
So = fУ2т
[сор'- ^q*}dq = So(p't q).
He вычисляя 50, мы легко можем преобразовать движение к новым
импульсу и координате. Последняя равна
V р
1
. агс
где постоянная интегрирования положена равной нулю. Новая коорди-
координата является многозначной функцией ст<фой координаты и нового им-
импульса. Обратно, старая координата
i=V L^V- <157>
есть периодическая функция новой координаты q'. Старый импульс
является также периодической функцией новой координаты
р = у 2/псор' cos qf. A57a)
Соответствующий q' обобщенны \ импульс постоянен:
си
254

а координата q' определяется из второго канонического уравнения:
•, дН dW
Подставляя </' и /?' в формулы преобразования A57) и A56а), по-
получаем окончательно решение:
9 =
р = V2inW cos (cot — у),
совпадающее, конечно, с найденным выше.
Произведенное преобразование носит название преобразования
Пуанкарэ.
Одним из важнейших применений канонического преобразования
является применение его в теории возмущения. Предположим, что нами
решена задача о движении частицы, характеризуемой некоторой Гамиль-
тоновой функцией #(</, /?, /), т. е. что нами решены канонические
уравнения:
~Я*~ ~~<><ik'' "М^дРк
и определены координаты q как функции времени / для движения ча-
частицы в сравнительно простом поле сил, характеризуемых потенциальной
энергией U, входящей в Я.
Решением этой задачи можно воспользоваться лля решения более
сложной задачи о движении частицы в потенциальнохм поле U'
U' = U + V(q, 0, A58)
где V—добавочная „возмущающая" потенциальная энергия?
Такая задача впервые встретилась в небесной механике. Например,
движение Луны под влиянием притяжения к Земле возмущается дейст-
действием притяжения к Солнцу. Если первая задача решена, т. е. известно
движение Луны в поле Земли, то, вводя потенциальную энергию V
взаимодействия Луны с Солнцем, мы приходим к задаче с потенциалом
вида A58). Когда добавочная „возмущающая" потенциальная энергия V
мала по сравнению с потенциальной энергией U невозмущенного дви-
движения, новую задачу можно рассматривать как задачу теории возмуще-
возмущения.
Чтобы решить задачу о „возмущенном движении" находим сначала
методом Гамильтона-Якоби функцию действия 5 (/; q; а) невозмущенной
задачи (V = 0), зависящую, вообще говоря, от времени /, координат q
и постоянных а, и, пользуясь ею, переходим к циклическим координатам
fa = -— и новым импульсам аи»
В возмущенной задаче (V ф 0) мы сохраним, в качестве переменных,
аи и Ри, однако в ней новые координаты fa уже не являются цикличе-
циклическими» а импульсы aft не постоянные. Если
Н' =*H + V.
255

Гамильтонова функция возмущенной задачи в старых координатах, то,
согласно A49), в новых координатах она имеет вид:
dt '
Но функция преобразования 5 является функцией действия в невоз-
невозмущенном движении и удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби
я+f-o.
Поэтому Гамильтонова функция возмущенной задачи в новых перемен-
переменных равна возмущающей энергии V:
Я'=1^(/, а, р). A58а)
Теперь канонические уравнения движения частицы в возмущенном
силовом поле
^ - __ EL' • ?^ — дЛ
dt dpk' Mt ~dak
можно написать в окончательной форме:
dak dV dh dV
Механический смысл полученного решения весьма прост и нагляден.
Пусть решена задача о невозмущенном движении, скажем, Луны около
Земли (действием Солнца пренебрегаем). При этом мы получим эллипс,
причем постоянные ak характеризуют параметры этого эллипса, т. е.
его эксцентриситет, наклонность плоскости орбиты к плоскости эклип-
эклиптики и направление большой оси. Величины ftk характеризуют началь-
начальное положение Луны на эллипсе.
Величины ah, характеризующие орбиту Луны, являются постоян-
постоянными, если не принимать во внимание притяжения Луны Солнцем. Если
принять во внимание притяжение Солнца, то движение Луны можно
описать попрежнему так, как если бы Солнца не было, а Луна продол-
продолжала вращаться вокруг Земли по эллипсу, параметры которого (эксцен-
(эксцентриситет, направление и длина большой оси, наклонность к плоскости
эклиптики) не остаются постоянными, но медленно меняются со време-
временем. Такое движение напоминает „розетку" описываемую частицей,
притягиваемой по закону Ньютона при наличии возмущающей силы,
обратно пропорциональной куб/ расстояния (см. отдел 1, § 14).
§ 12. Периодические и условно-периодические движения
Различные виды движения материальной частицы в постоянном
потенциальном поле могут быть разделены на две основных группы,
в зависимости от того, остается ли частица на конечном расстоянии
от некоторой неподвижной точки, или же это расстояние с течением
времени (г. е. при /= со или —со или в том и другом случае) стре-
стремится к бесконечности. Движения первой группы мы будем называть
256

ограниченными („финитными"), а второй группы—неограни-
группы—неограниченными („инфинитными"). Движение может иметь тот или иной
характер в одном и том же силовом поле, если последнее сводится
к притяжению с силой, стремящейся к нулю с увеличением расстояния.
Так например, под влиянием силы Ныотонового притяжения небесные
тела могут описывать как эллиптические, так и гиперболические орбиты.
В этом случае решающим фактором является величина полной энергии
W. Если она недостаточна для того, чтобы часгица могла удалиться
в бесконечность с положительной кинетической энергией (т. е. если
W<0 при ?/(оо) = 0), то движение является ограниченным, причем
границей области движения является замкнутая поверхность (замкнутая
линия в случае плоского движения или, наконец, две точки — в случае
движения линейного), где кинетическая энергия обращается в нуль.
Если же полная энергия достаточна для того, чтобы кинетическая энер-
энергия оставалась положительной в бесконечности (W> 0 при G(оо) = 0), то
движение частицы будет иметь, вообще говоря, неограниченный характер.
Не вдаваясь в дальнейшие подробности, отметим лишь следующие
основные особенности ограниченного движения.
1) Функция действия S0(r), описывающая подобное движение по методу
Гамильтона, является многозначной и даже, строго говоря, бесконечно-
значной. Это обстоятельство, (уже отмечемное в конце § 1) мы поясним
на примере ограниченного движения в одном измерении.
Подобное движение называют либрационным движением или просто
либрацией, а пределы, в которых меняются координаты, пределами
либрации. В общем случае одномерного движения в потенциальном
поле U(q) импульс равен (если q представляет собой обыкновенную,
прямолинейную координату, например х)
р = ±
Радикал должен быть взят со знаком ( + ), если dq>0 и со знаком
(—), если dq<0. При этом колебанию q в пределах либрации от </'
до q" и обратно соответствует изменение функции действия на вели-
величину
= 2 f V^m{W~U)dq. A60)
V
Здесь кружок на интеграле обозначает интегрирование по всему
периоду изменения координаты q. Величина AS0 называется модулем
периодичности функции действия So. Функция So оказы-
оказывается многозначной функцией координаты q, изменяющейся на AS0
при каждом полном колебании q в интервале либрации (q't q").
Энергия W играет в AS роль параметра; диференцируя AS, по этому па-
раметру находим:
da
Или, замечая, что р = m -^ :
(см. формулу в конце § 1).
17 Курс теорет. механики. 257

Таким образом производная от модуля периодичности функции дей-
действия по энергии равна периоду либрации. Величина v = — есть ча-
частота колебаний.
Вернемся к гармоническому вибратору. В этом случае:
AS0 = 2/У 2m\w-!!!f
q' L
Пределы либрации определяются из условия вещественности под-
интегрального выражения
откуда
/1W
—— представляет собою амплитуду а гармонических
колебаний. Поэтому AS0 можно переписать в форме:
2W
ты*
где а2 = ^—. Модуль периодичности функции действия равен
Чтобы вычислить этот интеграл по всему периоду колебания q,
введем подстановку
q = a sin <p,
где новая переменная q> изменяется от 0 до 2л:, когда q меняется от q'*
до q' и обратно до q"\ Теперь
Диференцируя по W, получим:
dW ш в v
что совпадает с A61).
Заметим, что энергия вибратора равна
В качестве второго примера рассмотрим случай „жесткого ротатора",
т. е. частицы, вращающейся (свободно) по окружности данного радиуса г.
В этом случае полная энергия равна кинетической Т—-^ тг2(р*=-ъ-
258

где A**mr* — момент инерции ротатора, а (р — азимут. Соответствую-
Соответствующий (р обобщенный импульс равен
рф = —- = Аф,
следовательно
Таким образом уравнение Гамильтона-Якоби сводится к
2А Vdy У
Решение
откуда
его
^2А
имеет
W (р -
вид;
-Wt,
„«**
^
*">
т. е. азимут возрастает рав-
равномерно с временем или,
другими словами, ротатор
вращается с постоянной уг-
угловой скоростью
со
У2!-
Этот пример интере-
интересен с рассматриваемой на- Рис. 34.
ми точки зрения, потому
что он также соответствует многозначности функции действия
So = }/r2AW <p, несмотря на кажущуюся ее однозначность как функ-
функции угла <р. При этом, нужно лишь вспомнить, что возрастанию послед-
последнего на 2л соответствует возвращение ротатора в исходное положение.
Таким образом в данном случае сама угловая координата <р представляет
собой многозначную функцию положения. Такой же самый многознач-
многозначный или, точнее, бесконечно-значный характер, как ср, имеет функция
действия, в случае любого ограниченного движения в одном измерении
независимо от того* является ли последнее колебанием („либрацией*)
или вращением („ротацией").
2) Вторая особенность ограниченных движений, проявляющаяся
лишь в том случае, если они имеют двухмерный или трехмерный харак-
характер, заключается в том, что траектория частицы, оставаясь бесконеч-
бесконечной, заполняет своими завитками, вообще говоря, всю ту область,
в которой движение возможно (т. е. в которой кинетическая энергия
сохраняет положительное значение). Примером подобного заполнения
является розетка, описываемая частицей, под совместным влиянием сил
притяжения, обратно-пропорциональных квадрату и кубу расстояния
от неподвижной точки. В некоторых специальных случаях, характери-
характеризующихся особенными свойствами силового поля, траектория частицы
17*
259

из трехмерной превращается в двухмерную (плоскую) или даже одно*
мерную (периодическую).
Первый случай получается, если силовое поле обладает радиальной
симметрией (центральная сила). Второй соответствует центральной силе
Ньютонового или упругого тина.
В таких случаях движение называется вырожденным одно-
однократно, если оно сводится к двухмерному, и двукратно, если
оно сводится к одномерному, т. е. к периодическому движению.
Мы поясним эти результаты на примере условно-периодических дви-
движений. Последние могут быть определены, как такие движения, при
которых зависимость любой однозначной функции положения частицы
/(г), например, одной из ее прямоугольных координат, от времени
может быть представлена кратным (тройным) рядом Фурье;
/(О =22XA»i п2пз ^niri^+riw)t A62)
П\ П2 Пз
где числа пъ пъ п3 пробегают независимо друг от друга все целые
(положительные и отрицательные) значения; коэфициенты АП1П2Пз пред-
представляют собой амплитуды отдельных гармонических членов; числа vl9
V2, V3 называются фундаментал ьными частотами. Для того, чтобы
движение, описываемое рядом A62), было не вырождено, эти частоты
должны быть несоизмеримыми друг с другом. В случае соизмеримости
двух из них движение оказывается однократно вырожденным (т. е. фак-
фактически двухмерным), а в случае соизмеримости всех трех—двукратно-
вырожденным, т. е. чисто периодическим, причем период его равен
обратному значению наименьшего кратного из всех трех частот v1} v2, vr
Простейшим примером условно периодического движения в двух
измерениях является гармонический вибратор в плоскости. Прямоуголь-
Прямоугольные координаты его выражаются, как функции времени, формулами:
х = Аг sin {2nv11 — ух)
у = А2 sin Bnv21 — y2)
Если частоты v± и v2 несоизмеримы, т. е. не существует рациональ-
рациональных чисел пит, удовлетворяющих соотношению:
то точка описывает бесконечную незамкнутую траекторию, подхо-
подходящую с течением времени как угодно близко к любой точке внутри
прямоугольника со сторонами Аг и А2. Подобная траектория заполняет
весь прямоугольник с равномерной плотностью. Если частоты v± и v%
соизмеримы, траектория делается замкнутой, и движение приобретает
периодический характер.
Условно-периодические движения не являются наиболее общим типом
ограниченных движений, но заслуживают особого рассмотрения именно
благодаря своей относительной простоте. С точки зрения Гамильтоно-
вой теории они характеризуются наличием у функции действия S0(f)
многозначности, расчленяющейся на три (или, в случае двумерного дви-
движения, на два) обособленные класса; этим классам соответствуют три
260

типа замкнутых кривых, при обходе вдоль которых функция действия
испытывает три, вообще говоря, различных приращения A±S0, A2S0>
A3S0> одинаковые для кривых каждого класса. Напомним, что в методе
Гамильтона функция действия, разделенная на массу частицы, предста-
втяет собой не что иное, как потенциал скорости в движении экзем-
плярной жидкости. Таким образом в случае условно-периодических
движений, течение этой экземплярной жидкости характеризуется нали-
наличием циркуляции, которая для любого замкнутого контура может
быть представлена в виде (если скорость заменить количеством дви-
движения р=т\):
xdo = MjSo + n2A2SQ+nzA3S0, A63)
где пг, п2, п3 — целые положительные или отрицательные числа (для
некоторых контуров обращающиеся в нуль).
Следует отметить одну особенность этого циркуляционного течения
экземплярной жидкости, которая связана с ее фиктивным характером
и не имеет параллели в случае жидкостей реальных. А именно, в неко-
некоторых случаях необходимо себе представить, что через одну и ту же
точку проходят одновременно два различных экземпляра, в разных,
в частности противоположных направлениях.
Последнее имеет место, например, в случае ограниченного одно-
одномерного движения. При этом один и тот же отрезок линии проходится
частицей то водном, то в противоположном направлении;экземпляры же
частицы (в Гамильтоновом методе) должны двигаться одновременно
в обоих направлениях.
Подобные ограниченные отрезки можно рассматривать, как предель-
предельную или вырожденную форму замкнутого контура, приписывая отрезку
две стороны (или два „берега", по терминологии теории многознач-
многозначных аналитических функций), соответствующие двум половинам замкну-
замкнутого пути. В случае пространственного движения вырожденные „двой-
„двойные" струи такого рода в экземплярной жидкости образуют (замкнутые
или бесконечные) вихревые ленты. При обходе вдоль какого-либо
контура, охватывающего подобную ленту, потенциал скорости -- изме-
изменяется на одну и ту же величину —Q, не зависящую от формы кон-
контура, так же как при обходе вдоль контура, охватывающего обыкно-
обыкновенную вихревую линию.
Введенные выше величины AkS^^Jk называются обычно глав-
главными модулями периодичности функции действия (т. е.
потенциала количества движения в течении экземплярной жидкости).
Они могут быть выражены через три постоянные а1у а2, а3 , которые
наряду с координатами qx, q2, qB входят в функцию 50. Обратно,
постоянные а* (из коих одна обычно совпадает с энергией W) можно
выразить через модули периодичности J. В результате 50 оказывается
выраженной в функции координат qlt q2 , qs и модулей периодичности
Ji> У2 > Уз » причем энергия W также представляется в виде функ-
функции последних W(Jly J2, J3).
При помощи касательного преобразования, определяемого самой функ-
функцией действия в форме S0(q, J)y мы можем далее перейти от исходных коор-
2U

динат и импульсов qk, рь (совпадающих с прямоугольными или же
полученных из них путем точечного преобразования) к новым кано-
каноническим „переменным" p'k=:Jki которые в этом смысле называются
„переменными действия* и трактуются, как „импульсы" и к соответ-
соответствующим им „координатам" q'k^sWk, которые называются угловыми
переменными. Эти угловые координаты определяются через переменные
q, p формулами;
Wk^rr О64)
В СВЯЗИ С
Они являются „ циклическимии координатами, так как энергия W
зависит только от импульсов У, причем зависимость их от времени
определяется первой группой канонических уравнений:
%=?г-, A64а)
Of г,
откуда следует
Wk = Vkt + dk A64b)
в согласии с общей теорией § 7 и § 11.
Легко показать, что всякая величина, однозначно определяемая поло-
положением частицы /(г) (например, одна из прямоугольных координат ее
или же какая-либо однозначная функция этих координат) является
периодической функцией угловых переменных Wk с общим
(для всех трех переменных) периодом 1. Для этого рассмотрим изме-
изменение, испытываемое функцией /(г) при перемещении (не имеющем,
вообще говоря, ничего общего с действительным движением) вдоль
какой-либо замкнутой кривой о. В результате функция /(г), в виду
своей однозначности, должна вернуться к своему первоначальному зна-
значению, между тем, как одна из угловых переменных Wk должна изме-
измениться:
т. е., согласно A63), на целое число tik (или нуль).
Отсюда следует, что функция /(г) может быть выражена через пере-
переменные Wk в виде тройного ряда Фурье:
П\
с коэфициентами fnin2n3 > зависящими от „переменных действия"
и определяемыми формулой:
Щ Пг Щ
262

Заменяя в A65) угловые координаты их выражениями A64Ь), полу-
получаем представление /, как функции времени, совпадающее с тем, кото-
которое было указано выше [формула A62)] при условии
Апгъщ = /щп2п3 e^^^^^h).
Теория условно-периодических движений была подробно разработана
сначала в небесной механике, и в особенности, в связи с развитием кванто-
квантовой механики, в ее предварительной Боровской форме. При этом, из всего
многообразия мыслимых движений выделялись, в качестве физически
возможных, только такие движения, которые удовлетворяли опреде-
определенным „ квантовым условиям", найденным полуэмпирически Бором,
и затем, в более общей форме, Зоммерфельдом и Эренфестом. Эти
условия заключались в том, чтобы главные модули периодичности
функции действия So равнялись бы целым кратным Планковской
постоянной ft:
Jk = Nkh (* = 1,2,3) A66)
причем „квантовые числа" Nh могут принимать различные целые зна-
значения, иногда ничем не ограниченные, иногда же лежащие в некотором
интервале.
Физический смысл квантовых условий в теории Бора представлялся
совершенно непонятным.
Он был раскрыт лишь современной квантовой или волновой меха-
механикой, с основами которой мы познакомились в § 3. А именно, смысл
условий A66) с точки зрения волновой механики, заключается в том,
что они обеспечивают однозначность волновой функции,
при приближенном ее представлении в виде
В самом деле, для того, чтобы многозначность функции действия,
характеризуемая формулой A63), не отражалась на функции %9 модули
периодичности 50 должны быть целыми кратными Планковской посто-
постоянной ft.
Заметим, что квантовые условия Бора-Зоммерфельда обычно форму-
формулируются с помощью обобщенных координат </i, </2> #3> которые позволяют
представить функцию действия в виде
причем главные модули периодичности ее сводятся к модулям периодич-
периодичности отдельных слагаемых:
AkS0(q) = ASok(qk).
Вводя обобщенные импульсы /?ft = ~-° = —— > мы можем перепи-
переписать условия A66) в форме:
A67а)

Именно в этой форме квантовые условия и были даны Бором и
Зоммерфельдом. *) В более общей форме A66), не связанной с введе-
введением специальной системы координат, в которой функция действия рас-
распадалась бы на три слагаемые A67), они были даны Шварцшидьдом.
Координаты рассматриваемого типа называются „разделимымиа. Они
соответствуют трем различным семействам замкнутых кривых, при
обходе вдоль которых функция действия изменяется на три своих глав-
главных модуля периодичности. Уже из одного этого обстоятельства
явствует, что условие A67) не фиксирует однозначным образом
системы разделимых координат. Фактическое определение, даже хотя бы
одной из подобных систем, не всегда, впрочем, бывает возможно.
В следующем параграфе мы приведем несколько примеров на их
отыскание.
§ 13. Примеры на применение метода Гамильтона-Якоби
А. Движение в двух измерениях. В качестве первого примера приме-
применения метода Гамильтона-Якоби к неограниченному движению в двух изме-
измерениях, рассмотрим движение материальной частицы брошенной под углом у
к горизонту с некоторой начальной скоростью v0. Выберем оси коорди-
координат в вертикальной плоскости так, чтобы вектор v0 лежал в этой
плоскости; тогда частица также будет оставаться в этой плоскости.
Обозначим вертикальную ось через OY, горизонтальную через ОХ,
начальные координаты частицы х0 = 0, у0 = 0.
Потенциальная энергия точки в поле силы тяжести
U = mgy,
где g — ускорение силы тяжести. Уравнение Гамильтона-Якоби:
содержит циклическую координату х, которой соответствует постоян-
постоянное значение импульса —r-?- = G, поэтому полагаем:
где /(у) удочлетворяет уравнению:
2m\dy) ^ %у w 2т
огвуда
/(у, W,G)= J
г) Кружок на знаке интеграла обозначает, что интегрирование распро-
распространяется на полный „цикл" координаты qk, т. е. на изменение ее от мини-
минимума до максимума и обратно в случае либрации и на угол 2л в случае
вращения.

Таким образом:
S = Gx- 3^ BmW —G2 - 2m2gy)^ - Wt. A69)
Диференцируя So no G и приравнивая новой постоянной /?, получим
уравнение траектории:
т. е.
Введем теперь W = ^- mvo, G = ти0 cos 7, можем переписать это вы-
выражение в виде:
откуда получаем обычное уравнение параболы с вертикальной осью:
у = 4- sin2y- ; 2 g 2 (х-^J. A
Диференцируя S по 1У^ получим зависимость у от времени:
или
y = Vl^-\i(t-tu)\ A71)
Постоянные /Зх и f0 определяются из условия х = 0, у = 0 при / = 0.
В качестве второго примера рассмотрим движение в центрально сим-
симметричном поле, когда потенциальная энергия частицы зависит только
от радиуса-вектора г = ]/х2 + у2
Движение это может быть как ограниченным, так и неограниченным
в зависимости от величины полной энергии W.
Введем в плоскости траектории полярные координаты г, (р, при этом
AT • /) Т
рг = —г = шт\ р(р = — = пгг2ср
дг дф
265

•ч л АО
Полагая рг =—,/?,,= -j±, получим уравнение Гамильтона-Як*би
Так как ^—циклическая кеордината, то можно положить
ff=G2= const,
и следовательно:
подставляя это выражение в A72), получаем:
откуда
Si (г) = f У2т [W-U (г)] -Щйг. A73)
Здесь f представляет собою добавочную потенциальную энер-
энергию, соответствующую центробежной силе
= ~Ш 73"'
Равенство
.JL -- =s f%(p з= const.
выражает закон площадей, а — есть постоянная площадей.
Диференцируя S == So—Wt no W, получим:
откуда получаем зависимость г от /.
Беря от SQ производную по G2, получаем уравнение траектории:
9_ f G*dr ь—«Д. A75)
У rVm[W — C/(r)]r2-Gl
C/(r)]r2-G
В частности, в случае „кеплеровского движенияw, под влиянием силы
притяжения, обратно-пропорциональной квадрату расстояния, имеем
где т' — притягивающая масса и к — постоянная тяготения, Полагая
в A75) /82 = 0, получаем при этом
J г]/2тУ/г*
G2dr
+ 2xm2m'r — G\
Gl — xtrC-m'r л
s= 9? — arccos——i « 0,
266

откуда вытекает уже известное нам уравнение траектории:
где принято /i2 = 0 и для сокращения положено:
Уравнение A76) представляет одно из конических сечений, род
которого зависит только от полной энергии W: при W <0, е<1, и
мы получаем эллипс, при И^=0 (« = 1) — параболу, и, наконец, при
W>0 (е>1) — гиперболу. Здесь мы снова встречаемся с многознач-
многозначностью, или, вернее, бесконечно-значностью функции действия в слу-
случае, когда координата меняется периодически. В случае кеплеровского
движения азимут q> всегда возрастает монотонно, но радиус-вектор
может колебаться в определенных пределах. Последнее имеет место
в случае эллиптического движения, когда Н^<0. Легко видеть, что
при этом та часть функции действия, которая зависит от г
МО
- J -r V —
является многозначной функцией, ибо вследствие отрицательного знака
при г2 интеграл должен приводиться к обратным круговым функциям.
В параболическом и гиперболическом случаях W>0, поэтому Si(r)
оказывается однозначной функцией. Вычислим модули периодичности
функции действия в случае эллиптического движения И^
§jp=: 2tzG2. A77)
Полагая:
имеем:
AS1 = j>Y-A + 2^-^dr. A78)
Величины А, В и С — положительные. Вычисление интеграла A78)
по циклу изменения г дает:
х) См. например В. И. Смирнов, Курс высшей математики, том III,
стр. 423, ГТТИ, 1935.
267

Подставляя здесь значения констант Л, б, С, получаем:
A79)
Полная энергия выразится в функции от модулей периодичности
/г и Jy функцией
W = ~ (Л + ЛJ '
Эта формула играет важную роль в теории атомов. Представим себе, что
зокруг ядра с зарядом Ze (в = 4,774«КГ0 абсолютных электростатиче-
электростатических единиц) движется по эллиптической орбите заряд —е (электрон).
Энергия взаимодействия
ц = Ze*
г '
Заменяя в W хтт' через Ze2, получаем для энергии электрона
в атоме водорода следующее выражение:
В заключение рассмотрим другую форму
уравнений движения планеты, данную Якоби
(„Vorlesungen iiber Dynamik", лекция 25).
Преобразуем уравнение Гамильтона-Якоби
для случая кеплеровского движения:
О а А 2/
Рис. 35. к биполярным координатам. Пусть А
(рис. 35) — произвольно выбранная точка
на оси х-ов с абсциссой а. Будем характеризовать планету М ра-
радиус-векторами г относительно начала О и д — относительно А:
г =
Q = V(x - af + у*.
Введем в качестве новых координат величины
тогда квадрат элемента дуги принимает вид:
1 I /72 /Т2
4 [ q\ - а2 а?1 ^ a*-q%
Кинетическая энергия выражается формулой
а импульсы:
263

Кинетическая энергия, выраженная в функции импульсов, принимает вид
Т = А К2-*2 D2 . g'-^S
™21йй Л+ йй
С другой стороны, потенциальная энергия может быть представлена
формулой
П —
и следовательно Гамильтонова функция приводится к виду:
И - -1 rgi2
m [qt
Уравнение Гамильтона-Якоби
может быть переписано в форме
_ mW
"~ 4
откуда:
2 ч* 4
(а2 — </|) \~jfirj 2 ^2 "^ 5~~
где ах — постоянная, или окончательно:
mW - = a,
S = ± I rift |/ — ?~т-
J Чх а
J йь\ i «^
«1
Полагая
т2
F (s) - — s—^ , A82)
получаем:
i)-
ИЛИ
р
So- J ds\fF(s). A83)
269

Положив
получим:
та* „7 ,
_ ajl = — W i
и следовательно:
QX
So= /A/^+i A84)
92
где xm2tn' = 2k2; —— = +а. 50 есть полный интеграл уравнения
Гамильтона-Якоби, содержащий две произвольные постоянные аг и а.
Диференцируя 50 по а и приравнивая новой постоянной /?х
получаем уравнение траектории. Написав его в развернутом виде и
замечая, что дг и д2 зависят от а:
&Qi _ д@ _ *—а ^?2 _ &Q __ х "~1
да да
находим:
01
/с2
х—а .
У
J- a
да
х — а
или, так как под 1наком интеграла стоит производная от —Л/ ~зг~ + у-,
то, интегрируя и приводя подобные члены, получим:
Траекторию можно выразить в функции только расстояний г и
от неподвижных точек О и Л. Замечая, что
х-а
Q 2ag ' ~ q 2ag
получим:
где (Sr~2afli обозначает новую постоянную. Уравнение A85) дает
траекторию в биполярной системе координат с полюсами в О и Л.
270

Согласно A76), это уравнение выражает комическое сечение, род кото-
которого зависит только от полной энергии W, т. е. от постоянной а.
Очевидно, траектория проходит через точку А, ибо при д » О, г = а
и q1z=zq2z=a уравнение тождественно удовлетворяется.
Чтобы определить зависимость координат от времени, составим пол-
полное действие
Беря производную по W, имеем:
S A86)
Этот интеграл легко берется и дает время, отсчитываемое от мо-
момента /, когда планета проходит через точку А, выраженное в функ-
функции радиус-векторов ги^,
В частности, для параболической орбиты W = а = 0 и
/ у7^ d
Заменяя qx и q2 через г и ^, получим формулу Эйлера:
Здесь радикал "J/V — Q -\-й берется со знаком (—), пока он не
обратится в нуль, т. е. пока угол АОМ<п; после прохождения этой
точки надо переменить знак — на +•
В. Движение в пространстве. Рассмотрим два примера — простран-
пространственный гармонический вибратор и кеплеровское движение.
В случае пространственного гармонического вибратора материальная
точка притягивается к центру координат с силой, составляющие которой
по осям координат пропорциональны составляющим смещения:
Fx = та)% Fy = тсо^у, Fz
Этой силе соответствует потенциальная энергия
Уравнение Гамильтона-Якоби
допускает очевидно разделение переменных. Положив
271

получаем:
и два аналогичные уравнения для /2 и /3. При этом
«1 + <*2 + «з = W.
Из A87) находим
и аналогичные выражения для /2 и /3. Так как a3 = W — аг — а2) то»
диференцируя S по ах, а2 и Ц/, получаем, далее:
F С / tx -Vf f
dz
«3-^-
da«
/ , /* S ~ У 2i -i f m
/
Эти интегралы берутся элементарно. А именно:
1 • (л ftt№>\ \ 1 .
= - arcsm (^]/^xj--arcsin
A—/ + l
Решая эгу систему уравнений, находим окончательно
sin ^ (/+^+&) A88>
Частица совершает гармонические колебания с тремя основными ча-
СО-, 0)9 СО* т^
стотами: гг = ~, ^2= ~> Ч^ ^ Если v,, v2, ^ не соизмеримы,
т. е. между ними не суа^ествует соотношений вида
лЛ + n2v2 + n3v3 = 0, A89)
272

где nl9 п2, п3—целые числа, то, хотя каждая координата изменяется
периодически, но общее движение частицы является условно-периоди-
условно-периодическим движением.
Если между частотами существуют два соотношения вида A89),
движение становится периодическим. В этом случае условно-периоди-
условно-периодическое движение выраждается в периодическое. Модули периодичности
функции действия равны:
у, = Л Si = <j> У 1т ( а, - "^ ф) dq = ^ щ. A90)
Энергия, выраженная через модули периодичности, оказывается,
следовательно, равной
) v1J1 + v2J2 + vJs. A91)
В случае полного вырождения частоты v2 и vz можно выразить через
vv и тогда W = vJ, где J — линейная комбинация модулей периодич-
периодичности Jv y2, Уд-
Рассмотрим теперь кратко кеплеровское движение в пространстве.
Вводя сферические координаты г, #, q>, (§ 7), можем написать Га-
мильтонову функцию при движении в поле с потенциальной энергией
Ц
ц—Ц
в виде
где prz=z тг, р& = тг2 &, р<р = mr2 sin2 %•
Отсюда для функции действия So получается уравнение
Решая методом разделения переменных, положим:
тогда
Здесь a^, и а& — постоянные разделения переменных. Таким образом
Величина
av = ^ф = /77Г2 sin2 %
18 Курс теорет. механики. 273

представляет собою проекцию момента количества движения (враща-
(вращательного импульса) на полярную ось; постоянная
(rsin
= т |г х г|
равна абсолютной величине полного момента количества движения частицы
по орбите. При действии центральных сил направление полного момента
количества движения не меняется — движение происходит в одной и той
же плоскости, перпендикулярной к вектору момента количества дви-
движения. Дальнейший ход решения задачи — обычный. Интеграл по г со-
совпадает с рассмотренным выше. Интеграл по # можно взять подстанов-
кой cos# = xp 1 f- =xsin/, где i — угол между нормалью к ор-
орбите и полярной осью.
Не останавливаясь подробнее на дальнейших вычислениях, заметим
лишь, что при этом для полной энергии, как функции модулей пери-
периодичности Уг, получается следующее выражение:
ш _ _ 2л;2 те*х2
где Jx = фрг йт\ /3= Ф /?# d# и /3 = Ф
л/ «/ */
Р<р
§ 14. Движение связанной частицы. Уравнения Лагранжа первого
и второго рода у классификация связей и роль сил трения
До сих пор мы рассматривали движение свободной материальной
частицы, на которую действует потенциальная сила
Возможное перемещение F = — у U (х, у, Z, /) A93)
Мы считали тем самым, что частица
может перемещаться в любом направле-
S
рщ р
Небозмоэкмоэ 'Jfy нии и находиться в любой точке про-
'перемещение * странства. Если частица движется по какой-
Рис. 36. нибудь непроницаемой поверхности, то
перемещения ее уже не могут быть про-
произвольными, так как проникновение точки внутрь поверхности невоз-
невозможно (рис. 36). Этот случай можно было бы формально включить
в разобранную нами выше общую схему движения частицы, введя в урав-
уравнения Ньютона-Лагранжа или Гамильтона, добавочные силы, характери-
характеризующие воздействие на частицу со стороны поверхности. Так, можно
себе представить, что с поверхностью связано добавочное силовое поле
с потенциальной энергией U', возрастающей при приближении к поверх-
поверхности от нуля до бесконечности. Таким образом непроницаемость поверх-
поверхности будет описываться бесконечно-высоким потенциальным барьером,
сосредоточенным в весьма узкой переходной области (рис. 37). Под
действием нормальной к поверхности составляющей внешней силы Fn =
= — giadnUj точка может лишь несколько проникать вглубь переход-
274

ного слоя и может двигаться вдоль поверхности, если нормальная со-
составляющая результирующей силы при этом обращается в нуль, т. е.,
если сила Fn уравновешивается реакцией поверхности R.
Если поверхность, по которой движется точка, удерживающая, т. е.
не допускает перемещения частицы, перпендикулярного к поверхности
в обе стороны от последней, то мы должны обобщить наши рассужде-
рассуждения, считая, что потенциальная энергия t/x имеет конечное значение лишь
на самой поверхности раздела и возрастает до бесконечности в обе
стороны от последней.
Практически удобней исходить из представления, что переходный
слой бесконечно-тонкий и проникновение точки в него невозможно. Тогда
в правую часть уравнения Ньютона, наряду с „заданной" силой— yt/,
мы должны включить еще реакцию поверхности R, не пытаясь ее вы-
вывести из потенциальной энергии. Если уравнение поверхности имеет
вид
/(*, У, Z)=O A94)
и движение частицы вдоль поверхности про- j
исходит без трения (поверхность „ идеально I
гладкая"), то реакция R перпендику- !
лярна к поверхности, и может быть пред- \
ставлена в виде р_
R = AvA A95)
Величина этой реакции |R| = |Я| ]у/|
является неизвестной функцией от коор-
координат и времени, подлежащей определе-
определению из уравнений движения
/л\у == — у/7+Яу/ A96)
и уравнения A94), которому должны удовлетворять координаты частицы,
движущейся по поверхности. В декартозой системе координат мы полу-
получаем четыре уравнения:
Рис. 37.
/(X, У,
dz
dz
О
с четырьмя неизвестными х, у, г, Я. Эти уравнения носят название
уравнений Лагранжа I рода. Я есть так называемый неопределенный
множитель Лагранжа.
Вынужденное движение материальной точки по некоторой кривой
в пространстве можно свести к разобранному нами только-что слу-
случаю, если рассматривать заданную кривую как пересечение двух по-
поверхностей:
/i(x, у, z) = 0; A98)
/2 (X, У, Z) = 0.
18*
275

Реакция, оказываемая кривой на точку, будет складываться из ре-
реакций обеих поверхностей:
A99)
и уравнения Лагранжа I рода для этого случая принимают вид:
т d*x ди
т
Мы получаем, таким образом, пять уравнений для определения пяти
неизвестных: трех координат х, у, г и двух неопределенных множителей
Лагранжа Лг и ?^.
Вместо того, чтобы вводить реакцию поверхности, по которой дви-
движется частица в уравнения движения, можно составить уравнения в форме,
не содержащей реакции явным образом. Для получения этих уравнений
(называемых Лагранжевыми уравнениями II рода) продиференцируем
уравнение A94):
tf/ = y/dr=O. B01)
Здесь dt есть произвольное перемещение вдоль поверхности, назы-
называемое „возможным" в отличие от перемещений, имеющих слагающую
перпендикулярную поверхности, нарушающих связь точки с поверх-
поверхностью. В силу уравнения A95), работа реакции связи R на возмож-
возможном перемещении dt равна нулю:
R dt = Яу/ dt = 0. B02)
Связь, удовлетворяющая условию A95), называется идеальной. Из
B02) следует, что идеальная связь является „безработной", и полная
энергия точки, при движении по идеальной гладкой поверхности, с те-
течением времени остается неизменной.
Действительно, умножая уравнения движения
d2t
/п^=—v^ + ^v/ B03)
dt
скалярно на -^-, мы получаем:
Отсюда
"dt [2 [dt ) J83 dt + dt
276

и на основании уравнения B01):
f(f)a + U = const.). B04)
Следует заметить, что реакция идеальной связи не вошла в выра-
выражение для энергии, и потенциальная энергия определяется только задан-
заданными внешними силами.
Воспользовавшись уравнением B01) и ограничиваясь лишь такими
перемещениями, которые ему удовлетворяют, можно тем же путем, как
и в случае свободной частицы, из уравнения Ньютона B03), вывести
вариационный принцип Гамильтона:
/2
dJ*Ldt = O. B05)
h
Функция Лагранжа
так же, как и полная энергия, в нашем случае не зависит от реакции
связи, но при выполнении варьирования в B05) необходимо учесть то
обстоятельство, что траектория частицы лежит на поверхности B04).
Обычно принцип Гамильтона для связанной частицы выводится, ис-
исходя из соотношения
(/HW — F) дг = 0, B05а)
которое получается из B02) заменой реакции связи R разностью mw— F.
Это соотношение, которое имеет силу лишь для возможных переме-
перемещений частицы (т. е. таких перемещений, при которых выполняется
условие /==0), называется „принципом возможных перемещений" или
принципом Даламбера.
Замечая, что
получаем умножая B05а) на dt и интегрируя:
J[пм _ f) Ьх dt = т [§ дг | - ( (ЬТ + F<5r) dt = 0,
где T = у m \-at) у или> заменяя F<5r на dJJ и считая, что при / = tv 4,
= 0:
f
т. е. принцип Гамильтона.
12
fd(T-U)dt = O,
При выводе мы считали, что U не зависит явно от ?¦
277

Положение точки на поверхности может быть определено двумя не-
независимыми параметрами qx и q21):
Ь) B06)
z=»z(ft, ft).
Квадрат элемента длины дуги на поверхности ds2 = dx2 + dy2 + dz2
с помощью уравнений B06) может быть также выражен через qt и q2:
и g12=&i-
Кинетическая энергия оказывается равной
2
яш2 т (ds\% m
1)
Функция Лагранжа может быть выражена через „обобщенные коор-
координаты" q^j и q2 и соответствующие „обобщенные скорости" ^ и ft:
? = ^ (?ъ ft» Чъ Чъ 0 =¦
2
Интеграл B05) будет, следовательно, зависеть от двух неизвестных
функций qx(t) и ft@- Составляя уравнение Эйлера, получаем:
т. е. уравнения Лагранжа II рода для движения частицы по поверх-
поверхности. Мы могли бы получить их непосредственно из A96), если бы
с самого начала ввели обобщенные координаты qlf q2 и </3 так> чтобы
поверхность A94) была координатной поверхностью </3 ^ const. Поло-
Положим, например:
0з = /(х,У,2). B09)
Выразим, далее потенциальную функцию U в любой точке про-
пространства через qu q2 и </3:
и=и(Чъ ft, ft, О-
Тогда первые два уравнения Лагранжа I рода
*) Например, x = qvy = qv a ^ = F(x, y) = F(qi3 q2) получится из уравнения
B04) /(xyz) O
278

примут вид:
ди
dU
mw.z = -d-
так как
Подставляя сюда q3~0 и q3 = 0 и заменяя w± и w2 их выраже-
выражениями через обобщенные координаты, мы получим обычным способом
вышенаписанные уравнения B08). Третье уравнение
совместно с условием q3 == 0 служит для определения реакции поверх-
поверхности Я. Не следует однако думать, что при qz = 0 и w3 = 0, так как
в выражении для w3 надо сначала диференцировать кинетическую энер-
энергию по q3 и q3, а потом положить их равными нулю, а не наоборот.
В результате мы получим:
ft, q2,
5 __<?(/
Л — •=:
q2 ft, fti ft. ^). B10)
Для плоской поверхности W3 = 0 и
,0 е0- BЮа)
Если мы проинтегрируем уравнения B08), то, на основании B10),
может быть легко получено значение Л.
Сравнивая оба изложенные Метода Лагранжа, мы должны конечно
отдать принципиальное предпочтение второму перед первым. Действи-
Действительно, число уравнений Лагранжа I рода равно числу координат частицы
плюс число связей, а число уравнений Лагранжа II рода равно числу
координат минус число уравнений связи. В частности, при движе-
движении частицы по некоторой кривой получается всего только одно уравне-
уравнение Лагранжа II рода. В этом случае за координату qt естественней
всего выбрать длину дуги <г, отсчитываемую по кривой от некоторой,
начальной точки, и потенциальную энергию для точек этой кривой
выразить в функции от а. Тогда функция Лагранжа примет вид:
и уравнение Лагранжа II рода сводится к
d (dh\ dL
"зги
или в развернутом виде
279

В качестве примера разберем задачу о математическом маятнике.
Тяжелая материальная точка подвешена на нити длиной г = а и вы-
вынуждена двигаться по кругу в плоскости XOY (рис. 38).
Составим сначала уравнение Лагранжа II рода B11). Длину дуги а
будем отсчитывать от точки О вправо. Тогда:
1 — cos —) = mgail — cos — J.
Подставляя это в B11), имеем:
Л
mgs\n~ = 0, B12)
При малых отклонениях синус
можно заменить аргументом, тогда
а + -?- а = О,
и решение этого уравнения:
а = Л cos
B13)
|- t + а \ B14)
Рис. 38,
Для определения множителей Д2
и Я3 составим остальные два урав-
уравнения Лагранжа I рода. За обобщенные координаты </2 и q3 мы выбе-
выберем расстояние г от точки подвеса А и координату Z, перпендикулярную
плоскости X0Y. Итак, мы имеем цилиндрическую систему координат г,
Z и S = r(p. Как будет показано в Отделе V WZ = Z и wr = r — г<р2,
при г = const и г = const мы получаем:
Далее
= 0 и шг = — г#>2= ^-
а*.
dJU
dz
= U И -л—¦ =
Уравнения связей имеют вид /х (х, у, z) == г = const и /2 (х, у, z) =
Подставляя это в уравнения Лагранжа I рода:
dU
имеем:
я2 = о,
B15)
где A2 есть величина реакции в направлении радиуса, т. е. натяжение
нити, а Д2 —реакция, удерживающая точку в плоскости X0Y — равна
нулю. — = —-^— есть центробежная сила.
280

Мы подробно разобрали выше случай двухсторонней голономной,
идеальной связи. Возможны и другие более сложные случаи. Ниже мы
изложим общую классификацию различных возможных типов связей,
не затрагивая подробно вопроса об интегрировании уравнений движе-
движения во всех этих случаях.
Связи, наложенные на материальную точку (или систему материаль-
материальных точек), могут быть односторонними (неудерживающими)
и двухсторонними (удерживающими).
Односторонней связью называется такая связь, которая, препятствуя
перемещению точки в одном каком-нибудь направлении, не препятствует
ее перемещению в противоположном направлении. Двухсторонняя связь,
напротив, препятствуя перемещению в одном направлении, препятствует
и прямо-противоположному перемещению. В качестве примера одно-
односторонней связи можно привести тело, движущееся на горизонтальной
плоскости. Примером двухсторонне связанного тела может служить
пуля, движущаяся в дуле ружья. Для односторонней связи основное
равенство A94) следует заменить неравенством
/(Х,У,2)>0. B16)
До тех пор, пока координаты точки связаны уравнением A94), мы
можем интегрировать уравнения движения так, как это указано выше,
и определить величину реакции связи (А). Последняя будет меняться
с течением времени и в некоторый момент может сделаться равной
нулю. С того момента, когда реакция связи обратится в нуль, точка
„сходит" со связи (например, сходит с поверхности, по которой она
двигалась) и ее следует считать свободной. Координаты точки будут
тогда удовлетворять неравенству B16) и определятся интегрированием
уравнений движения для свободной точки. Но с тоП) момента, как
только точка снова попадет на связь и / (х, у, z) обратится в нуль,
мы должны будем снова писать уравнение Лагранжа I рода и опреде-
определять реакцию связи (А). Резюмируя, можно сказать, что для односто^
ронней связи реакция не может быть отрицательной (направленной от
точки к связывающей поверхности). Отрицательное значение реакции
указывает на то, что точка уже еошла со связи. Для двухсторонней
же связи вполне мыслимы оба взаимно-противоположные направления
реакции.
Связи далее могут быть идеальными, как выше, и связями
с трением. В последнем случае реакция связи R составляется из
двух частей: нормальная к поверхности составляющая реакции /?х =
= Яу/ и сила трения R2i пропорциональная давлению на поверхность Rt
и направленная обратно скорости:
R2== —ArlAv/l^; B17)
к есть так называемый динамический коэфициент трения к = \~ . Эта
реакция появляется при движении. Пока же касательная к поверхности
составляющая заданных внешних сил не станет равной
(Я»).» = *' |/?J = к' |A/v| = к' \Fn\, B18)
281

движение вообще не начнется, к' есть так называемый статический
коэфициент трения. Он обычно несколько больше чем к.
Связи бывают еще голономные и неголономные. Уравне-
Уравнение A94) связывает между собой координаты точки. Диференцируя
его, мы получаем соотношение между перемещениями:
^ = 1х-^+|-^+1-^ = °- B19>
Уравнение связи может быть сразу задано в виде соотношения между
бесконечно-малыми перемещениями точки:
Af(x, у, z)dx + N(x, у, z)dy + L(x, у, z)dz = O. B20)
Если выражение B20) представляет собой полный диференциал,
то оно может быть проинтегрировано и приведено к виду A94), т. е.
к соотношению между координатами точки. Связь в этом случае называется
голономной. Если же выражение B20) не есть полный диферен-
диференциал, то связь не голономна.
Остановимся еще на случае равновесия под действием реакций
связей. В этом случае ускорение w равно нулю, и для голономиой
удерживающей связи уравнение A96) примет вид:
^/ = vt/- B21)
Совместно с уравнением A94) отсюда можно определить множитель Я
и координаты точки в положении равновесия. Умножая уравнение B21)
на возможное перемещение дх вдоль поверхности, мы получим:
у(/« 8г=шди=*0. B22)
Иначе говоря, в положении равновесия энергия должна быть экстре-
экстремальной по сравнению с соседними точками на поверхности. Из физи-
физических соображений очевидно, что энергия должна быть в положении
равновесия минимальной. Если энергия будет максимальна, то равно-
равновесие будет неустойчиво. Если выразить U через три координаты точки
в пространстве, то минимум V должен быть относительный при доба-
добавочном условии /(х, у, г) = 0. Варьируя последнее уравнение и умно-
умножая его на неопределенный множитель Лагранжа — Я и складывая с dU,
мы получаем по общему правилу:
6U - Щ » yU • dr—lvf • Яг = (vt/ — Ду/). Ар« 0.
Это нас приводит снова к уравнениям B21) и A94).
Можно поступать и иначе и выразить энергию U через две
динаты точки на поверхности q1 и q2. Тогда условием равновесия B22)
сводится к абсолютному минимуму энергии по отношению к qt и q$.
Четыре уравнения B21) и A94) заменяются при этом двумя уравне-
уравнениями;
202

ГЛАВА III
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
§ 15. Консервативная система частиц с идеальными связями; урав-
уравнения Лагранжа I рода
Результаты последних двух глав и, в частности, предыдущего па-
параграфа могут быть обобщены на случай системы любого числа частиц,
трактуемых как материальные точки при условия консервативного (или
потенциального) характера испытываемых и оказываемых ими сил.
При этом под консервативными силами подразумеваются такие, ра-
работа которых при переходе рассматриваемой системы из одной конфи-
конфигурации @) в другую A) не зависит от промежуточных конфигураций.
Обозначая силу, действующую на /-тую частицу (со стороны
остальных частиц и внешних источников) через Ft, мы можем выразить
условие консервативности следующим равенством:
п=ио-ии B24)
где функция U (тъ г2,. .. . гп) определяется как потенциальная энергия
всей системы.
В случае бесконечно-малого перемещения всех частиц это равенство
сводится к
п
idn^-dU. B24а)
Отсюда, обычно, делается тот вывод, что сила Fi представляет со*
бей частную производную от U по г*:
F* —*?• B25)
В действительности, однако, мы можем прибавить к правым частям
равенств B25) гироскопические силы вида V{ x Gi, работа которых
равна нулю при любых перемещениях. G^ может представлять собой лю*
бую функцию радиусов-векторов всех частиц и их скоростей; так на-
например, в случае системы электронов, движущихся в магнитном
поле Н(г),
Консервативный характер сил обусловливается, в первую очередь,
независимостью их от времени. В том случае, если функция U
в формуле B25) зависит явным образом от времени, определяемые
этой формулой силы называются потенциальными, а не консерватив-
консервативными. Работа таких сил ири переходе системы из одной конфигурации
в другую зависит от пути перехода, поскольку изменение этого пути
связано с изменением времени.
283

Потенциальная энергия U сводится, вообще говоря, к сумме потен-
потенциальных энергий U%o(i = 1, 2, 3,... , п) отдельных частиц по отноше-
отношению к источникам внешних сил (не включаемых в рассматриваемую
систему) и взаимных потенциальных энергий Uik = Uku определяющих
взаимодействие между разными частицами, и зависящих от расстояний
rife = |г4 — rfe| между ними (центральные силы). Вопрос этот уже был
рассмотрен нами раньше. Здесь необходимо отметить лишь то обстоя-
обстоятельство, что существование потенциальной энергии предполагает мгно-
мгновенное действие на расстоянии (аргументы ть г2, . .. в функ-
функции U относятся к одному и тому же моменту времени)
и что, следовательно, в случае запаздывающего дальнодействия, кото-
которое имеет место между элементарными частицами материи (электронами
и протонами), потенциальной энергии, строго говоря, не существует.
Учет этого запаздывания, т. е. конечной скорости распространения
электромагнитных сил, требует радикального преобразования всего уче-
учения о движении и, в частности, учения об энергии. Для сохранения
понятия энергии, связанного обычным образом с понятием работы,
оказывается необходимым трактовать энергию электромагнитных сил
как величину, непосредственно связанную с "электромагнитным полем
и распределенную в пространстве с объемной плотностью, пропорцио-
пропорциональной сумме квадратов электрической и магнитной напряженностей.
Не останавливаясь на этом вопросе, заметим далее, что, обычно,
в механике системы частиц приходится иметь дело с макроскопическим
движением непосредственно видимых тел и частиц. При этом остается
вне поля зрения микроскопическое движение образующих их элемен-
элементарных частиц (молекул, атомов, электронов), которые можно было бы,
если не с полным, то во всяком случае с большим правом трактовать,
как материальные точки. Сюда относится прежде всего тепловое
движение. Неучет последнего приводит к необходимости, даже при
принципиально-консервативном характере всех междучастичных сил,
вводить макроскопические силы трения, обусловливающие постепенный
переход энергии от макроскопического движения к тепловому. В про-
простейшем случае, например, при медленном движении небольших твер-
твердых тел в жидкости или газе, эти силы можно считать прямо-пропор-
прямо-пропорциональными скорости и направленными в противоположную сторону.
Мы получаем при этом для отдельной частицы уравнение движения
вида
где к>0 — коэфициент трения, откуда следует, по умножении на V:
d mv2 dU . 2
dt 2 ~~ dt '
т. е.
dJL = А.
dt dt
Таким образом вследствие трения энергия макроскопического дви-
движения непрерывно уменьшается, превращаясь в энергию тепловую.
284

Наряду с силами трения, в макроскопическую теорию движения
материальных тел приходится вводить силы „связей", представляющие
схематическим образом взаимодействие между элементарными частицами.
В простейшем случае твердых тел, или машин, образованных путем
сочленения тел этого рода, связи—при игнорировании трения—можно
трактовать как идеальные, а соответствующие им силы—как „безра-
„безработные" (см. ниже).
В дальнейшем мы изложим общую теорию движения системы мате-
материальных точек в предположении потенциального характера внешних
сил и консервативности сил внутренних. При этом мы, вообще говоря,
не будем учитывать сил трения (имеющих обычно второстепенное зна-
значение), но будем допускать существование связей идеального, т. е.
„безработного*' типа между различными точками.
Будем рассматривать систему JV частиц. Координаты ьой частицы
обозначим через Хи yit z%y а массу ее тг. Силы, испытываемые части-
частицами системы, могут быть охарактеризованы потенциальной энергией,
зависящей от координат всех частиц, а также времени
U = U (xv yv zv..., xN, yN> zN, t). B26)
Эта потенциальная энергия распадается на потенциальную энергию иг
частиц во внешнем поле, равную сумме членов, зависящих лишь от
координат отдельных частиц и времени (если внешнее поле переменное):
N
иахиуиги /), B27)
и взаимную потенциальную энергию U2 частиц, равную сумме взаим-
взаимных энергий частиц, взятых попарно:
В частности, взаимная потенциальная энергия системы электрических
зарядов е% равна
где Ггь = YiXi-- XkJ+(yi — yfeJ + fe — ZhJ есть взаимное расстояние
*'-ro и к-ro зарядов.
Силу, действующую на i-ую частицу, можно разложить на внешнюю
силу F| и внутреннюю силу Ff:
причем
pi dU\ . pi „ dUx . pi д?/г fooQ\
Ггх~ "" дх.. ' гу~~ dv, > ri2~ ~ dZi ^W)
гу~~ tyL ' r%z— dzt ' \ ">
285

Наряду с внешними й внутренними силами следует учесть также
силы связи, которые мы будем считать жесткими и независящими от
времени.
Жесткая связь двух материальных точек системы, например, твер-
твердого тела, имеет вид:
(Xi - Xkf + (Уг - ykf + (Zi — Zkf = A -COnSt B31)
й показывает, что расстояние между z-ой и Л-ой точками остается не-
неизменным. Это есть частный случай связи, характеризуемой соотношением
между координатами всех* частиц системы
к (*i> Ун Ч •••**> Уя> *л) = °5 B32)
здесь h обозначает номер связи.
Диференцируя B32), получим^ соотношение между диференциалами
координат частиц системы:
B33)
1 = 1
Иногда встречаются связи, задаваемые сразу соотношениями между
диференциалами координат вида:
(U dxt + Mt dy> + NidZi) = 0, B34)
отличающиеся от B33) тем, что линейная диференциальная форма,
стоящая в правой части B34), не является полным диференциалом,
и поэтому связь типа B34) нельзя представить в конечной форме
вида B32). В отличие от связей вида B32), называемых голономными,
связи типа B34) называются неголономными. Неголономные связи
встречаются, например, при катании тела по поверхности с трением.
Всякая свободная материальная точка характеризуется тремя коорди-
координатами и, следовательно, обладает тремя степенями свободы. В соот-
соответствии с этим, система из N материальных точек обладает 3N сте-
степенями свободы. Если движение системы точек ограничено S связями
вида B32), то уравнения этих связей позволяют Исключить из уравне-
уравнений движения системы S координат, и тогда число степеней свободы
системы, т. е. число независимых координат, делается равным
/«3N-5. B35)
В частности, для твердого тела, состоящего из N материальных
точек, взаимные расстояния которых друг от друга не меняются, число
степеней свободы равно шести. Действительно, система двух материаль-
материальных точек, жестко связанных между собою, обладает 2 • 3 — 1 =5 сте-
степенями свободы. Добавляя третью материальную точку, мы прибавим
три степени свободы, но, связывая ее жестко с первыми двумя, мы
должны наложить две связи типа B31). Поэтому система из трех точек
обладает 5+1 = 6 степенями свободы. Добавление четвертой, пятой
286

и т. д. точек не меняет числа степеней свободы, так как на каждую
точку, чтобы она была жестко связана, следует наложить три типа
связи B31). Таким образом твердое тело обладает шестью степенями
свободы, из которых три соответствуют поступательному движению
его и три — вращательному.
Перейдем к выводу уравнений движения системы частиц. При от-
отсутствии связей уравнения движения /-ой точки можно написать в форме
Ньютона:
Шх1№- 'Щ* Шх dt* * дуг ' Шх dt* ~ dzt '
Все отличие от уравнений движения одной частицы заключается
в том, что теперь U есть функция не только одних координат ча-
стицы*/, но и всех SN — 3 координат остальных частиц, а число урав-
уравнений движения B36) не три, a 3N.
Движение N частиц в обыкновенном пространстве можно рассмат-
рассматривать как движение одной „изображающей Частицы" в пространстве 3N
измерений (рассматривая 3N координат iV-частиц как координаты од-
одной „частицы" в пространстве ZN измерений). Такое пространство
называется конфигурационным пространством системы частиц.
Если на систему частиц наложены связи числом S, то „изображающая
частица" не может уже двигаться во всем конфигурационном простран-
пространстве 3N измерений, но обязана оставаться на некоторой „гиперповерх-
„гиперповерхности" /=3N — S измерений.
В формулах B36) ускорения ^сех точек совершенно независимы
и могут быть определены, если известны внешние силы. Но если на
систему наложено S связей, не все ускорения будут друг от друга
независимы, так как, диференцируя уравнения связи B32) по времени
два раза, мы получим систему уравнений:
*h(*v Ух9 *v *v У\) *v *i> Ур zi>' '' *iv> Vw *n'> *n> Уиу ^v>
*N> У& *N> 0 e °'
налагающих определенные условия на ускорения а, следовательно, и на
силы, действующие на точки системы. Сила, действующая на данную
точку системы, например, /f-ую, слагается, как мы видели выше, из
внутренних и внешних сил. Поскольку последние ничем не ограничены,
существование определенных зависимостей между силами, действующими
на точки системы, указывает на наличие добавочных внутренних сил,
вызванных наложенными связями и дающими, в совокупности со внеш-
внешними силами и силами взаимодействия частиц вида B30), систему сил,
удовлетворяющую уравнениям связи. Эти силы связи носят название
реакций связи. Реакцию связи на /-ую точку мы обозначим
через Ri.
Перемещения точек системы должны быть таковы, чтобы в любой
момент удовлетворялись уравнения связи B32). Все те перемещения,
которые соответствуют этим условиям (не нарушают уравнений связи),
мы назвали выше возможными. Обозначим возможные бесконечно-
малые перемещения точки / через ёхи дуи dzu тогда с точностью до
287

бесконечно-малых высшего порядка возможные перемещения точек свя-
связаны между собою «S уравнениями вида
N
tdf. rif, rli, \
l> 2"-->5) <237)
г=1
Отсюда следует, что из ЗЛГ возможных перемещений лишь / =
s= 3N — S независимы друг от друга.
Если /-ая точка перемещается на EXj, ду^ dz» то работа силы реак-
реакции Ri на этом перемещении равна
д А = Rixfai+ Riydyi + Ritdz\.m
Допустим, что связь идеальная, т. е. такая, при которой на всяком
возможном перемещении сумма работ реакций связей, действующих на
все точки системы, равна нулю:
N
Умножая й-ое уравнение B37) на неопределенный множитель ЯЛ,
суммируя по Л и вычитая из B38), получим:
N S S
B39)
Так как равенства B37) и B38) выполняются при любом возмож-
возможном перемещении, то и B39) также имеет место при любом возможном
перемещении.
Из 3N возможных перемещений дх, ду,. .. лишь 3N — S незави-
независимы. Пусть первые S возможных перемещений дх, <5у, дх, дх2,. ..
выражены через 3N — S независимых.
Пользуясь тем, что кооэфициенты Xh (числом S) совершенно произ-
произвольны, выберем их так, чтобы коэфициенты при S зависимых возмож-
возможных перемещениях в B39) обратились в нуль:
B40)
Тогда в B39) останутся лишь члены, содержащие только совершенно
независимые возможные перемещения <5Хг, <5уь дХц и равенство B39)
288

при произвольных возможных перемещениях может иметь место лишь
при условиях равенства нулю всех коэфициентов, т. е. при условиях:
для всех r = l, 2, 3,. ,.,N. Таким образом 3N составляющих реак-
реакций идеальных связей выражены в виде функций от S неизвестных
Ар А2,..., Ag.
Теперь уравнения движения системы материальных точек, на кото-
рую наложены h связей, можно написать в форме:
dU
дк
ТП\-
У\ &U ^r\ djh
B42)
s
^ ^ i_ ^^ _ «_ ^L^ 2 J.
1 dt* dZi ^^ jf\ dz
где fs=l, 2, 3,...iV. Эти уравнения носят название уравнений Ла*
гранжа I рода. Уравнения B42) содержат 3N неизвестных координат и
S неизвестных множителей А, всего 3iV+S неизвестных. Добавляя
к B42) S уравнений связи B32), мы получим 3N + S уравнений для
определения всех 3iV + S неизвестных. При интегрировании уравнений
B42) в B32) из уравнений B42) надо исключить S величин 4, тогда
останется SN — S диференциальных уравнений и 5 уравнений связи,
из которых определяются 3iV координат. Практическое решение задачи
этим методом приводит обычно к значительным затруднениям.
§ 16. Аналитическая механика системы частиц
Из уравнений B42) можно вывести путем простых аналитических
преобразований ряд эквивалентных им формулировок законов движения
консервативной системы частиц с идеальными Связями, — формулировок,
представляющих собой непосредственное обобщение тех, которые были
найдены в двух предшествующих главах для одной частицы, а именно—
принципы Даламбера и Гамильтона, уравнения Лагранжа II рода и
канонические уравнения, принцип наименьшего действия и Гамильтон-
Якобиевую теорию движения. В настоящем параграфе мы дадим крат-
краткий вывод всех этих результатов, но в иной последовательности, чем
в предыдущих главах, и не прибегая к геометрическим представлениям,
связанным с методом Гамильтона.
19 Курс теорет. механики
289

Обозначим силу, действующую на /-ую частицу и независящую от
связей, через Fx. Тогда:
р ди р ди р ^
и уравнения движения можно написать в форме
d^X' d"V'
~mi~dF+ Fix +Rix = °' ~mi IF +Fiy + ^
B43)
Умножим уравнения B43) соответственно на возможные перемеще-
перемещения eXiy дух, dzi и просуммируем; тогда, пользуясь тем, что связи
идеальные и, следовательно, работа их на любом возможном переме-
перемещении равна нулю, получим равенство
B44)
не содержащее явным образом связей, действующих на частицы. Это
равенство выражает так называемый „принцип возможных перемеще-
перемещений" или принцип Даламберах).
Если частицы совершенно свободны, возможные перемещения неза-
независимы, и мы из B44) снова получаем уравнения движения B36).
Если система находится в покое, то ускорения равны нулю и B44)
принимает вид.
2 + Fkydyh + FkzdZk) = dU - О,
т. е. положение покоя соответствует такой конфигурации системы,
в которой потенциальная энергия достигает экстремального значения.
Если все возможные перемещения независимы, то мы получаем основ-
основное положение статики: система точек находится в равновесии, если
силы, приложенные к каждой точке системы, взаимно уравновешиваются:
Fkx = Fky = FkZ = 0 (к = 1, 2, ...,N). Принцип Даламбера в форме
B44) позволяет показать, что уравнения Лагранжа I рода B42) сохра-
сохраняются и в случае идеальных связей, зависящих от времени.
Пусть система N точек подчиняется S идеальным связям, меняю-
меняющимся со временем:
h (*i, Ух, *!,... ХД7, yN9 ZN, t) = 0. B45)
х) Последний, обычно, формулируется словесно как принцип равенства
/ ^\
нулю работы внешних сил и сил инерции \—тк —jj^\ при возможных пере*
мещениях.
290

Положим / = const. He меняя времени, дадим всем точкам системы
произвольные возможные перемещения дхъ 8yv dzlf.. ., но так, чтобы не
нарушились уравнения связи.
Эти перемещения будут связаны уравнениями вида:
B46)
для каждого момента времени /. Такое возможное перемещение си-
системы, вычисленной в предположении, что связи не изменяются во
времени, не является, очевидно, перемещением, возможным в действи-
действительности, так как при действительном движении связи не остаются
постоянными и „действительно-возможные" перемещения dx1} йуъ
dz1}..., dxN> dyw dzN удовлетворяют уравнениям:
dt
iV
2 (к dXi+ *кйУг+ Ц
2, . . . S) B47)
Поэтому перемещения 8хъ ду19.. ., которые частицы могли бы совер-
совершить, если бы связи были неизменяемыми, называются условно-воз-
условно-возможными перемещениями. Система изменяемых связей называется
идеальной, если сумма работ реакций связей на всяком условно воз-
возможном перемещении равна нулю:
N
iySyi + RizdZi) = 0. B48)
Уравнение B44), очевидно, сохраняется и в случае идеальных из-
изменяемых связей, если только под <5х&, <5у&, dZk понимать условно-
возможные перемещения.
Умножая B46) на произвольные множители — ЯЛ, суммируя по ft и
складывая с B44), мы получим:
)(^2%Н0> <248а)
откуда рассуждениями, совершенно аналогичными проведенным в § 14,
мы получаем уравнения Лагранжа 1-го рода B42).
19* 291

Если система покоится, то все Хи = 0, и уравнение B48а) приво-
приводится к виду:
Здесь лишь 3JV—S возможных перемещений независимы. Повторяя
рассуждения, которые привели нас к уравнению Лагранжа I рода, мы
получим условия равновесия системы частиц:
>к-°
'*¦??-¦ о
B49a)
h-1
8
2;
а^ь
на которую наложены связи.
Выведем теперь вариационный принцип Гамильтона из принципа
Даламбера.
Умножим B42) на dt и проинтегрируем в пределах от tx до t2:
/2 {{
Члены, содержащие ускорения, можно преобразовать следующим
образом:
h
= mhxk6xh
292

Производную по времени от вариации смещения ~г- дх мы заме-
заменили здесь вариацией от скорости дх:
это мы имеем право сделать, так как варьирование координат дх, дуу
dz производится при неизменном t, т. е. время не варьируется.
Далее:
поэтому
h
Л" ' * V'l- — Fkx J3xfc+ (/л* ~ - FkV)dyk
d2zh
lib
N
h
h
f (T-U)dt + Yi r"k(Xkdxh + yhSyk + zh8zk)
Полагая вариации координат в начальном и конечном состояниях
системы равными нулю:
\t«tu h = fyk \t» tu ta = йгь \t - tlt
окончательно, получаем:
U)dt = O. B49)
Таким образом интеграл
S*= f(T — U)dt=j*L dt B50)
стационарен для движений, варьированных в согласии с наложенными
на систему связями.
Лагранжевы уравнения II рода и канонические уравнения Гамиль-
Гамильтона можно вывести непосредственно из принципа Даламбера, но проще
всего воспользоваться принципом Гамильтона.
Введем вместо 3N координат, на которые наложено S условий связи,
3N—S = / независимых параметров ql9 q2y.. . #/, выбранных так, чтобы
условия связи удовлетворялись тождественно.
Тогда:
Xk = хк (ft, q* qB, • • •, qt) (* - 1, 2,...),
потенциальная энергия
b, &>•..! ^ B51)
293

Кинетическая энергия в обобщенных координатах q:
B52)
где gih являются функциями всех / обобщенных координат q.
Лагрянжева функция принимает теперь вид:
\кЫь - U (Ф- B53)
Интеграл B50) будет стационарен, если выполнены уравнения
Эйлера:
совпадающие с уравнениями движения Лагранжа.
Введем обобщенные импульсы:
Pk = ^. B55)
Тогда
22Г B5G)
B57)
где Н — Гамильтонова функция системы.
Теперь принцип Гамильтона можно написать в форме
Здесь Н есть функция от всех обобщенных координат, обобщенных
импульсов и времени. Если трактовать q^ и pk (к = 1, 2,...,/) как не-
независимые друг от друга функции времени, то условие стационарности
интеграла / f V puqu — Н) dt непосредственно приводит к канониче-
fi k
ским уравнениям Гамильтона совершенно таким же образом, как и
в случае одной частицы. Мы приведем здесь для разнообразия не-
несколько отличный вывод.
Составляя вариацию подинтегрального выражения при постоянном /:
V^ * V^ * V* оН V"* дН
k h Ph IT q*
294

и преобразуя первую сумму по формуле:
fc ft
получим, подставляя в B58):
t% f
fe«l
Первый член исчезает, так как на границах интегрирования вариации
от координат равны нулю, поэтому остается интеграл
Этот интеграл может равняться нулю при произвольных вариациях
dqk и дрк только тогда, когда все коэфицченты при них равны нулю.
Отсюда следуют:
дН • дН /orm
»--ъ? qk = ~wk B59)
— канонические уравнения Гамильтона. Число их равно 2/.
Принцип наименьшего действия можно вывести из обобщенного прин-
принципа Гамильтона методом, аналогичным примененному в § 5.
Введем вместо времени параметр г и будем рассматривать обобщен-
обобщенные координаты qu и время / как функции т. Тогда:
где штрих обозначает диференцирование по т. Кинетическая энергия
принимает при этом вид:
/ / / /
7 в  X 2 S99
Подставляя это выражение в B49), мы приходим к новому вариационному
принципу:
= 0, B61)
где
F = L • V. B62)
295

Если варьировать B61), предполагая, что время варьируется и ва-
вариации его на границах интегрирования равны нулю, мы получим урав-
уравнения Эйлера-Лагранжа в форме:
dqh dr dq'k I dqk dt dqh
dF d dF At\dL , dH
которые будут выполнены если движение системы подчиняется уравне-
уравнениям Лагранжа B54) и Лагранжева функция L системы не зависит от
времени явно (тогда Н есть постоянная полная энергия системы). Таким
образом вариационный принцип B61) приводит к правильным уравне-
уравнениям движения, если интеграл I Fdr варьировать, считая время варьи-
варьируемым, а полную энергию системы постоянной. Удобно выделить пол-
полную энергию системы, введя вместо L ее выражение через Н, L=*
ва 2Т — Н, тогда B61) перейдет в принцип наименьшего действия
(Мопертюи):
или
j* O. B63)
Варьируемую здесь функцию действия системы можно несколько
преобразовать, исключив из первого уравнения B63) производную V
времени по т. Для этого определим /' из кинетической энергии
г к
где W — полная энергия системы. Отсюда:
1 = Y2JW-U)
к
Теперь подинтегральная функция равна
27Г ~ т-
% k г к
Выражение в правой части зависит лишь от обобщенных координат
и их производных по параметру т.
Подставляя в B63), мы получим новое выражение принципа Мо-
Мопертюи для системы точек;
та Г2
ду*27У йт =. д JV2(W-U) у 2 2 Sik^k = 0> B64)
п п i ft
296

совершенно эквивалентное полученному в § 4 вариационному принципу
для одной частицы:
y+(^+[^p'=0. B65)
Разница заключается лишь в том, что в случае одной частицы
]/х'2 + у'2 + z'2 &т представляет собою элемент дуги do траектории
частицы, в то время как выражение 1/ V \ gikQWk ^г обладает боль-
ft
шой сложностью. Однако можно добиться полного геометрического сход-
сходства выражения B65) и B64), если рассматривать движение N частиц
с / степенями свободы в трехмерном пространстве, как движение одной
частицы в пространстве / измерений. Будем поэтому обобщенные коор-
координаты qlf q2i . .., qf частиц системы рассматривать как / координат од-
одной и той же частицы в воображаемом „конфигурационном" /-мерном
пространстве системы.
Тогда кинетическая энергия частицы при ее движении в конфигура-
конфигурационном пространстве представится квадратичной формой
Конфигурационное пространство при наличии связей является „кри-
„кривым". Последнее означает, что при наличии связей невозможно перейти
от координат $ к такой системе координат Qiy в которой энергия вы-
выражалась бы суммой квадратов скоростей (см. отдел V):
где М — произвольная постоянная, имеющая характер массы, и где
квадрат элемента дуги выражался формулой
Заметим, что, полагая Т — ^М^-—)', мы получаем для do фор-
формулу:
) 1
Если бы связи отсутствовали и частицы были свободными, их дви-
движение можно было бы описывать как движение одной частицы в эвклидо-
эвклидовом конфигурационном пространстве 3iV измерений. При наложении
на систему S связей вида
M Ун zlf.. -XN> Vn> *w)e°i
297

мы проводим в ЗЛ^-мерном эвклидовом пространстве некоторую кривую
гиперповерхность / = 6N—S измерений, на которой точка, характери-
характеризующая систему в конфигурационном пространстве, обязана оставаться.
Теперь полная аналогия между * формулами B65) и B64) становится
совершенно ясной В B65) стоит элемент дуги траектории одной час-
стицы, а в B64) выражение!/ \.2jgik(liQkdT — пропорциональный
г k
элементу дуги траектории то *ки в конфигурационном /-мерном про-
пространстве (см. отдел V).
Принципу Гамильтона в форме B58)
можно удовлетворить автоматически, если трактовать подинтегральное
выражение, как полный диференциал некоторой функции S времени
и / обобщенных координат
pk dqh — Hdf = dS (/, q). B66)
Развертывая dS по формуле
и сравнивая с B66), получаем:
Л = ^, (Л-l, 2,...,/) B67)
т. е.
§=-Я. B68)
Равенства B67) показывают, что импульс „изображающей точки"
в конфигурационном пространсве можно рассматривать как /-мерный
градиент функции действия S, удовлетворяющей диференциальному
уравнению B68), второй степени, в частных производных первого по-
порядка. Это диференциальное уравнение пр?дставляет собой уравнение
Гамильтона дл! системы частиц.
Его можно было бы интегрировать геом трически, пользуясь пред-
представлен ем о движении экземпляров „изображающей точки" в конфи-
конфигурационном пространстве.
С помощью B67) и B68) находим:
dS XydSdqk
298

откуда гледует, что Лагранжева функция равна полной производной
по времени от функции действия S'
, dS
L
S(t, (i) = fL(H. B69)
to
При интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби B68) интеграл дей-
действия определяется как функция /, / координат q и / первых постоян-
постоянных интегрирования av а2, . . ., af.
Производные от S по ал дают / вторых интегралов движения
д?«А (Л= 1, 2, 3,...,/). B70)
Чтобы доказать, что /?& есть интеграл движения, составим полную
производную по времени:
4 dS $ /dS \ ^ д /dS\dqi д /dS
ak \ akj *f Яг \ «ft <*fe .«
Sd fdS\ дИ дН s^dH dp, дН дН
f j . -s [_ V ~ SS ¦ =0,
i г
что и требовалось доказать.
Принципу Мопертюи
B)
д f 2Tdl = 0
5)
или
B) ft=*/
df^Pkdqu^O B71)
a) fe=i
можно удовлетворить, приняв, что подинтегральная функция есть пол-
полный диференциал некоторой функции 50 от координат qv q2i .. -, qf*
= dS0, B72)
откуда
Функция So представляет неполное действие: она связана с полным
действием равенством
>(q> — Wt, B71)
299

где W есть полная энергия системы и удовлетворяет диференциальному
уравнению
Решая это уравнение, мы получим So как функцию #ь и / постоянных
интегрирования
S0^S0(q\ <*!,..., а/).
Решая уравнение B73) относительно а, получим ; первых интегра-
интегралов движения.
Согласно B70) и B74)
dS dS0 dW , й
откуда
Наконец, в случае системы частиц можно искать самые общие пре-
преобразования, при которых канонические уравнения сохраняют свой вид.
Такие „касательные" преобразования, как и в случае одной частицы,
должны удовлетворять условию:
B А ^ -Hdt)- Bркdqk - H'dt) = dF,
если
F-F(t,q,q') B77)
ИЛИ
B qk dph + H'dt) + B ft d/fc + Hdt) = d<P,
где
В первом случае старые и новые импульсы равны:
старая и новая Гамильтоновы функции связаны с функцией преобразо-
преобразования соотношением:
Во втором случае старые импульсы и новые координаты равны:
рк = з—; ft»з^ С280^
причем
Я_Я'=Ж- B81)
300

§ 17. Общая теория линейных колебаний системы квази-упруго свя-
связанных частиц.
В § 15 мы принимали во внимание лишь „идеальные связи", прооб-
прообразом которых могут служить связи между частицами идеального твер
дого тела. В реальных твердых телах связь между частицами (атомами,
молекулами) имеет „линейный" характер, т. е. выражается в силах,
которые при небольших относительных смещениях частиц прямо-пропор-
прямо-пропорциональны этим смещениям, К этому линейному характеру зависимости
между силами и смещениями и сводится закон Гука, определяющий
основные свойства упругих твердых тел при малых деформациях.
Колебания, вызываемые линейными или „квази-упругими" силами,
называются линейными, так как они определяются линейными диферен-
циальными уравнениями. В § 10 отдела I мы уже рассмотрели подобные
колебания для одной частицы. Мы обобщим теперь полученные там ре-
результаты на случай системы, состоящей из любого числа (N) квази-
упруго связанных частиц. При этом мы не будем предполагать нали-
наличия связей иного и, в частности, идеального, типа. Таким образом рас-
рассматриваемой системе мы будем приписывать 3JV = / степеней свободы
и определять ее кинетическую энергию в прямоугольных координатах
Xv X2, Хв обычным выражением:
N
т в i 2 m (**+**2+*|з)- B82)
г-=»1
Заметим, что при наличии связей идеального типа представление
кинетической энергии в виде суммы квадратичных членов с постоян-
постоянными коэфициентами (имеющее фундаментальное значение для изла-
излагаемой ниже теории преобразования к так называемым „нормальным
координатам") было бы невозможно.
Потенциальную энергию системы, в виду предполагаемой линейной
зависимости между силами и смещениями, мы можем представить в виде
однородной квадратичной формы общего вида относительно смещений.
Мы предположим при этом сначала, что каждая частица связана с опре-
определенным положением равновесия (ф, к которому она притягивается,
вне зависимости от своего взаимодействия с остальными частицами, как
бы внешней силой квази-упругого характера. Потенциальная энергия
выражается в этом случае следующей общей формулой:
i ft
+ A$ (xi3 -
+ 2Alk(xi3 - *&,)(%! -
или
1, ... N 1, ... 3
u e i
301

где Aail — постоянные коэфициенты, симметричные как по отношению
к обоим верхним, так и по отношению к обоим нижним индексам
Заметим, что при отсутствии сил, связывающих каждую частицу с
ее положением равновесия в этом выражении, нужно опустить члены,
для которых / = к.
Обозначим слагающие смещения /-ой частицы Хц — х?о, Х{2 — Х?2,
*i3j— Х?з, умноженные на ]/7п, соответственно через У~Щн-2, Ущзг-ь
Ущги гДе т — некоторый коэфициент с размерностью массы, т. е.,
другими словами, пронумеруем все величины |/ш (Xj« — Х?а) от 1 до
/ == 3N в порядке возрастания / от 1 до N, а для каждого значения
i — в порядке возрастания а от 1 до 3. При этом п-ую из этих вели-
величин обозначим через ]/m#n.
Выражения B82) и B83) принимают при этом следующий-более
простой вид:
1, . . . /
*"*'Мп', B85)
где аПп' — постоянные коэфициенты, удовлетворяющие условию симме-
симметрии
<W = tfn'n. B85а)
Эти выражения можно трактовать как кинетическую и потенциаль-
потенциальную энергии частицы с массой т в эвклидовском пространстве / изме-
измерений с прямоугольными координатами qny в предположении, что в на-
направлении и-ой оси на нее действует сила
/
Fn = ~ w=
прямо-пропорциональная слагающим ее смещения из начала координат.
Заметим, что при /—3, т. е. Л/=1, выражение B85Ь) представляет
собой слагающие силы, действующей на частицу, связанную с началом
координат линейным, но, вообще говоря, не ра д и а л ь но-си мме-
т р и ч н ы м образом. Подобная частица называется асимметричным про-
пространственным вибратором. Ее движение слагается, как мы увидим ниже,
из трех линейных гармонических колебаний во взаимно-перпендикуляр-
взаимно-перпендикулярных направлениях с тремя различными частотами.
Возвращаясь к общему случаю N>1, напишем уравнения Лагранжа
(II рода) для рассматриваемой системы, трактуя величины qn как обоб-
обобщенные координаты. Мы получаем, таким образом, уравнения движения
в следующем виде:
dt dqn ~ " дЯп
302

т. е.
/
Щп = — 2j апп'Цп
B86)
Как известно из общей теории линейных однородных диференциаль-
ных уравнений с постоянными коэфициентами, частное решение системы
B86) получается, если положить
qn = q°eM, B86а)
где q°n —постоянные коэфициенты, играющие роль амплитуды колебания,
а со = Inv — угловая частота последнего. При эгом имеется в виду
совместное гармоническое колебание всех / координат q с одной и
той же частотой v. Заметим, что движение такого рода называется
нормальным колебанием системы.
Подставляя выражения B86а) в уравнения B86), получаем систему
/ линейных однородных алгебраических уравнений
B87)
n'=l
с / неизвестными q\, q\,..., q\ и с неизвестным параметром со, который,
однако, может быть определен из условия совместности урав-
уравнений B87), выражающегося в равенстве нулю определителя А, соста-
составленного из их коэфициентов:
0ц — /7№", 012, 013, . . . ,01/
021, 022 — /ПСО2, а-2Ъ • • • , 02/
= 0.
B87а)
0/ъ 0/2, 0/з, .
— п:со2
Это уравнение имеет /, вообще говоря, различных, корней col, со*,...,
c°k, • • •, <*>/, • •., каждому из которых соответствует определенная система
значений (рп; или, вернее, отношений ql: q%:. ..:#/. Мы можем их, по-
поэтому, представить следующим образом:
(#n)w2ew| = Cft#nft, B88)
где Ck — произвольный постоянный коэфициент, a qnk — совокупность
решений системы уравнений B87), которая получается при со2 = col,
если ввести добавочное условие
1,
называемое условием нормировки. Величины
личным значениям п и к:
1,#12, ...,#1/\
#21, #22, . . . , #2/ j
B88а)
соответствующие раз-
B88Ь)
303

образуют систему „нормальных" или „нормированных" решений уравне-
уравнений B87).
Принимая во внимание, что при каждом значении со2 = щ со может
принимать два противоположных значения ± cok (где сои > 0), и далее,
что общее решение системы диференциальных уравнений B86) выра-
выражается суммой всех независимых частных решений с произвольными
коэфициентами, мы можем представить это общее решение в следую-
следующем виде:
/
qn = ^ (Ске*»« + D*-*»*) • qnk, B89)
где Dh — так же как и Си ~ произвольные постоянные, вообще говоря,
комплексные.
Исследуем теперь более подробно величины со& и qnft.
Прежде всего убедимся в том, что при условии B85а) в пред-
предположении вещественности коэфициентов апп' все частоты щ
имеют вещественные значения.
Для этого предположим обратное и обозначим величину, комплекс*
но-сопряженную с со&, через cot > а величины, комплексно-сопряженные
с qnk — через qlk.
Эти величины должны удовлетворять соотношениям:
an«qn>k B90)
п'
: = 2 <W$-ft. B90а)
п'
Умножая первое из них на </?*ь, а второе на qnk, суммируя по п от
1 до / и вычитая результаты друг из друга, получаем:
т {оI — сор)
n~l n nf n n'
Переставляя индексы п и п' во второй сумме правой части и при*
нимая во внимание симметрию коэфициентов апп'} можно преобразовать
ее к виду:
ZjZj &n'vqn'hq%k = 2jzj ann'qnfkqnk-
Таким образом при условии апп' = &п'п она оказывается равной пер-
первой сумме, откуда следует:
tn {col - °>ь2) 2и qnkqfik ==s О»
n-l
Так как сумма ^ qnhq%h =2 |?nfc [2 представляет собой суще*
304

ственно положительную величину, то эта формула показывает, что
cofe = cofe, т. е. что величины сои имеют вещественные значения.
Поскольку коэфициенты апп' являются вещественными, то отсюда
следует далее, что величины qnk также должны иметь вещественные зна-
значения (оставляя в стороне общий для всех них при данном значении к
множитель вида el(Pk, который можно всегда отнести к коэфициенту Сн
или Dk).
Если равенство B90) умножить на qnh^ где к' ф к7 а равенство
йпп'Яп'к'
¦
п'
на qnk, то после суммирования по л и вычитания получаем, так же как
и в предыдущем случае, равенство:
т (col — Mk')jj ЧпкЧпк* = 0.
Отсюда следует, что при неравенстве частот ш& и а)к> дотжны иметь
меаго следующие соотношения:
/
^ Mnis^O. B91)
Эти соотношения называются „соотношениями ортогональности"
между решениями qik, q2k,..-,?//? и Ям-, qw* • • - , 9/v, соответству-
соответствующими двум различным значениям частоты колебании ш& и (ок\ Термин
„ортогональность" связан здесь с тем обстоятельством, что сумму
можно трактовать, как скалярное произведение двух (еди-
п=1
ничных) векторов qk и qk> в /-мерном пространстве с прямоугольными
составляющими Япи и Япкг- Таким образом равенство нулю этой суммы
выражает условия ортогональности, т. е. взаимной перпендикулярности
векторов qt и q^-.
При Л/г>1 эти выражения имеют смысл геометрической метафоры;
в сл\чае же N = 1 их следует понимать буквально, если подразуме-
подразумевать под q±, q>, Я* Декартовы координаты частицы по отношению к не-
некоторой системе Q взаимно-перпендикулярных осей.
Три взаимно-перпендикулярные единичные векторы qlf q2, q3 харак-
характеризуют, следовательно, три направления, в которых несимметрично-
связанная частица (вибратор) может совершать линейные гармонические
колебания с различными частотами: vi = ™, v2 = ~°-2- и vs--=^.
dtTT 67Г. оЖ
Общее колебание ее, согласно формуле B89), может быть выражено
как геометрическая сумма этих трех колебаний.
Если ввести новую прямоугольную координатную систему Q', оси
которой были бы параллельны векторам q&, то при условии нормировки
B88а) слагающие этих векторов по старым осям r/nk можно рассматри-
рассматривать как косинусы углов между старыми и новыми осями:
tfnfc = COS (Qn, (fa).
20 Курс теорет. механики. 305

Соответственно этому, наряду с соотношениями B88а) и B91),
должны иметь место соотношения:
B91а)
получающиеся из них при / = 3 переменой ролей между старыми и но-
новыми осями. Нетрудно убедиться, что эти соотношения остаются спра*
ведливыми и при / > 3, т. е. JV>1, представляя собой непосредствен-
непосредственное следствие предыдущих. Для этого введем вместо исходных коорди-
координат qn новые координаты q'n по формулам
B92)
которые при / = 3, сводятся к обычным формулам преобразования ко-
координат трехмерной аналитической геометрии (см. § 1 следующего от-
отдела), и рассмотрим обратные им соотношения
B92а)
в которых коэфициеиты q'nk представляют собой миноры определителя
#11, #21, . • • , #/1
#12, #22, . . . , #/2
#1/, #2/, ..-,#//
разделенные на величину самого определителя, т. е.
Из этого определения следует, что сумма
представляющая собой при к' = к разделенное на Q разложение опре-
определителя Q по элементам к-ого столбца, а при к' zp.k аналогичное раз-
разложение определителя, полученного из Q заменой к'-ого столбца
fc-ым (и, следовательно, равного нулю), равна 1 при к' =» к и 0 при
к' ^Ь к. Сравнивал равенства
/
I Qnk'Qnk = $hk'
B92Ь)
с равенстрами B88а) и B91), мы видим, что

как и следовало ожидать на основании трехмерной аналогии (ибо в
случае / = 3 коэфициенты обратного преобразования q'nk так же, как и
коэфициенты qnk, равны косинусам углов между старыми и новыми
осями). Заметим, что из равенства B92Ь) в связи с тем обстоятель-
обстоятельством, что произведение определителя Q на определитель Q' обратного
преобразования равен 1, вытекает, что Qr=Q'=sl.
Для доказательства соотношений B91а) возведем выражение B92)
в квадрат и просуммируем по п. Мы получим, при этом,
k' h k'
при произвольном повороте прямоугольных осей.
Рассматривая равенства B92), как уравнения относительно новых
координат, и решая их, получаем:
где коэфициенты q1^ представляют собой миноры определителя Q с
элементами </„&, разделенные на величину самого определителя, т. е.
1 dQ
Из этого определения следует, что сумма
п-1
представляющая собой разложение определителя Q по элементам к'-ого
столбца qw, qih', . .., Qfk' при к ^ к', или определителя, получающегося
из него заменой /с'-ого столбца /с-ым при к ф к\ т. е. согласно B88а)
и B91)
2>? B93)
При / == 3 это равенство выражает инвариантность расстояния q~ 1/ 2$
' п
от начала координат при повороте прямоугольной системы координат.
Аналогичным образом его можно трактовать и в случае /> 3.
Если мы теперь подставим в правую часть B93) выражения
n«=l
новых координат через старые, получающиеся из B92я^ в связи с B92Ь)?
то мы получим 2 {fk2 =SS^n9n'2^nfe^n'fe, откуда, пугем сличения с ле-
k n n' h
вой частью, вытекают соотношения B9laj.
20* 807

Равенству B93) соответствует аналогичное равенство для скоростей
Qn и qn. Таким образом, мы можем сказать, что кинетическая энергия
B84) остается инвариантной при рассматриваемом преобразовании (д -* q'):
j /
т=j m Sql e i m 2qk%- B93a)
Подставляя выражения B92) для старых координат через новые в
B85), мы имеем далее:
2
ft
или, так как ^ппи'Цп'ь = тщ fak согласно B90):
, г Ш
к Ъ'
т. е., в виду соотношении ортогональности B91а) и нормировки B88а):
{V B93b)
Таким образом в функции новых координат потенциальная энергия
так же, как и кинетическая, выражается в виде суммы квадратов.
Уравнения Лагранжа в новых координатах сводятся к простейшему
виду:
m'ql = — mo)kqkj
причем их решение выражается формулой:
где С/} и Dfe — произвольные постоянные. Подставляя эти выражения
в формулы преобразования B92)> мы получаем уже найденный выше
результат B89).
Введенные выше координаты qk называются нормальными коорди-
координатами рассматриваемой задачи.
Они могут быть однозначно определены, исходя из того условия,
чтобы с помощью их потенциальная энергия B85) сводилась к сумме
квадратов при инвариантности исходного выражения B84) для кинети-
кинетической энергии. В случае одной частицы (/=3) они могут быть опре-
определены как декартовы координаты в системе осей, совпадающих с осями
симметрии эллипсоида, который определяется (в исходной координатной
Системе) уравнением U =» const, т. е.
+ 022$+ «за?з+ 2а1а02&+ 208iMi+ 2flu^a « const.

В новых осях оно приводится к виду
где
akk
Эту точку зрения или, вернее, этот геометрический способ выраже-
выражения, можно применять и в случае iV>2, разумеется лишь в метафо-
метафорическом смысле.
§ 18. Вынужденные колебания; гироскопические силы; примеры
Предыдущие результаты могут быть применены к решению более
сложной задачи, а именно задачи о вынужденных колебаниях рассматри-
рассматриваемой системы частиц иод действием внешних сил, колеблющихся гар-
гармонически, с одной и той же угловой частотой со. Подобные силы
появляются, например, в том случае, если частицы рассматриваемой си-
системы имеют электрические заряды и находятся в гармонически коле-
колеблющемся внешнем электрическом поле.
Наличие этих внешних сил может быть учтено путем прибавления
к правым частям уравнений B86) членов вида Апе , которые, в слу-
случае N — 1 можно было бы рассматривать, как проекции на координат-
координатные оси силового вектора Ае , где А = const.
Мы получаем таким образом линейную систему неоднородных урав-
уравнений
т $п = ~ Sппп'qn'+АпвШ' B94)
Если в этих уравнениях произвести подстановку B92), т. е. перейти
к нормальным координатам, и одновременно с этим преобразовать силы
Апе или их амплитуды по аналогичной формуле
Ап = 2 9nkAk , B94a)
п
то мы получим:
к п'
" т
т. е.
йа'ъ - Аъеш1\ = 0.
309

Так как определитель коэфициентов отличен от нуля, то отсюда
следует
w(qk -hco&qk)—Л^егЫ = 0. B95)
Мы получаем, таким образом, в рассматриваемом случае для каждой
из нормальных координат в отдельности уравнение такого же точно
вида, как и в случае линейного осциллятора с одной степенью свободы.
Другими словами, внешняя сила рассматриваемого типа действует на
систему линейно-связанных частиц таким образом, как если бы эта си-
система состояла из / независимых линейных вибраторов, соответствующих
нормальным колебаниям системы и находящихся под воздействием внеш-
внешних сил А{ег<а\ определяемых равенством B94а). Рассматривая это равен-
равенство при различных значениях п как систему уравнений с неизвестными
А?, мы можем выразить последние через первые формулой
B95а)
соответствующей обратному преобразованию B92а).
Решение уравнения B95) имеет, как известно из теории линейного
вибратора (отдел 1 § И), следующий вид:
где первый член в скобках представляет собой свободные, а второй—
вынужденные колебания. Возвращаясь от нормальных координат к исход-
исходным („прямоугольникам"), получаем в связи с B95а):
СВОб. ,
где qnCBo6' определяется формулой B89), а
или
"^юг " B96а)
Предыдущие результаты могут быть легко обобщены на случай
наличия сил трения, пропорциональных скорости и противоположных
ей по направлению. Не останавливаясь на этом случае, рассмотрим
вкратце другое обобщение, связанное с наличием сил гироскопиче-
гироскопического (или электромагнитного) типа, т. е. пропорциональных скорости
и перпендикулярных к ней. Для пояснения оказываемого ими влияния
мы разберем сначала простейший случай асимметрического простран-
пространственного вибратора (N = 1) в однородном магнитном поле Н.
310

Подразумевая под дь q2i q3 прямоугольные координаты частицы, мы
имеем для слагающих магнитной силы F = — V X Н выражения;
которые мы должны прибавить к правой части уравнений движения
B86). Отыскивая решение их попрежнему в форме B86а), мы полу-
получаем при этом следующую систему алгебраических уравнений:
п'
которую можно переписать в виде;
Ьппф, B97)
п'
где
&пп' = апП' + 1<*>пп>, B97а)
причем коэфиииенты а1Ъ а22, а3з равны нулю, a
со? гг сое ТТ сое тг /п>л1<\
«2з = — аз2 = — Нъ а31 = — <% = ~7 W2, «12 =* -~«2i ¦= -7 ^з« B97b)
Таким образом при условии симметричности коэфициентов flnn' =
е=йП'П коэфициенты ЬПпг удовлетворяют условию „сопряженной сим-
симметричности":
Ьпп> == «'п, B98)
которое называется, обычно, условием Эрмита.
Это условие встречается и в ряде других задач теории линейных
систем, причем коэфициенты Ьппе могут и не зависеть от частоты коле-
колебаний со. Нетрудно показать, что как в том случае, когда они от нее
не зависят, так и в том случае, когда они зависят от нее указанным
выше образом, эта частота оказывается вещественной величиной, могу-
могущей принимать три, вообще говоря, различных значения. В веществен-
вещественности их можно убедиться таким же точно образом, как это было сде-
сделано выше, в случае уравнений B87), а именно, комбинируя уравнения
B97) с комплексно-сопряженными:
n'
Мы получаем при этом
n n' n n'
в силу соотношений B98)„
311

Аналогичным образом могут быть получены и соотношения ортого-
ортогональности, однако лишь в случае независимости коэфициентов bnnf от
со и притом не в первоначальной форме B91), а в форме
Лк' = О (при кфк'), B98а)
где qnk —- значения q°n, соответствующие определенному значению
со == ojk и удовлетворяющие условию нормировки
Не останавливаясь на дальнейшем развитии общей теории, мы при-
приведем, в заключение, пару примеров на применение ее к одномерным
колебаниям системы одинаковых частиц, расположенных в виде цепочки
(разомкнутой или замкнутой), в предположении, что лишь соседние
частицы действуют друг на друга. При этом мы будем различать два
случая: 1) частицы, помимо своего взаимодействия, притягиваются к опре-
определенным равностоящим положениям равновесия и 2) положения равно-
равновесия (относительные) определяются лишь силами взаимодействия.
В первом случае потенциальная энергия выражается суммой чле-
1 1
нов вида -у-афп и -—jl((/rt +1—qnJ, где а и /?— два коэфициента,
a qn = хп — х1п — смещение n-ой частицы из ее положения равновесия
(мы будем иметь в виду колебания продольные, т. е. такие, при кото-
которых смещение каждой частицы направлено по длине цепочки; впрочем,
такие же самые результаты получаются и для поперечных колебаний).
Мы имеем, таким образом, в случае цепочки из N частиц:
\ 2 +j ¦ -qnfl B99)
причем
qN +! = 0.
Эту формулу можно переписать в виде:
N — г N - г
U = ~ (а + /в) q\ + ± (а + 0) q% + \- (а + 20) %ql-0 V qnqn+u
П = 2 п = L
соответствующем общей формуле B85) при апп = (а + 2/?), кроме ап
и fljYJV, которые равны а+/9, и апп' =—^ при /?' — п = ± 1 и нулю
во всех других случаях (а также в том случае, если один из индексов
больше N или меньше 1).
Уравнения движения для всех атомов, кроме обоих крайних, напи-
напишутся в виде:
mqn ¦= —<Щп + Р[(9* + 1 — Яп) - (Я* ~ Яп -0], (К л <N) B99а)

тогда как для крайних ятомов мы имеем:
—oft+ /S(fo--
mqN — — aqN — /J (^ — qN-1).
B99Ь)
Полагая в этих уравнениях qn = qOn6ia)t и вводя обозначения — = со^,
^ = у2, получаем:
ss 72[^ + 1 -f </n-i — 2q°n] (\<n<N) C00)
и
(col — со2) q\ = у2 (q] ~ </J), (coi — <*>2) <//v = ~ y2 (qy q% -1). C00a)
Решение этих уравнений получается проще всего не по общему ме-
методу, исходящему из „секуяярного" уравнения B87), а путем подста-
подстановки вида
(fn = С • sin ({лп + ср)у (ЗООЬ)
где С, (и и ср — некоторые постоянные, из коих первая, в виду линей-
линейности уравнений, может иметь произвольное значение. Подставляя выра-
выражение (ЗООЬ) в C00а), получаем, по сокращении на С:
у2
sin (/ип + ср) = 2^_—j fs*n (Рп + 9> + Iх) +
+ sin (/ей + 9> — АО — 2 sin (/ш + 9?) ]
или с помощью тождества sin (a + b) + sin (а — fr) = 2 sin б/ • cos b:
sin (,«п + cp) ass ^_ ^2 2 sin (/ш + 9?) [cos /* — 1],
т. е. при условии
sin (/un + <p) i^ 0
OJ — G>J
I — cos/*- —^~
или окончательно:
В решение нашей задачи входят три неопределенных параметра со,
ц1 ср. Предыдущее уравнение сводит число их к двум, например, jx и ср.
Для определения последних могут служить оба „граничных" уравне-
уравнения C00а), которые мы, покамест, не принимали во внимание.
Подставляя (ЗООЬ) в эти уравнения, получаем:
sin(p+(p)z= c^~i [sin B/i + q>) — sin(ji+q>))
sin(pN + cp) = - ^^2 [sinGmN + f) — sin(/^N + <p - p)],
IIS

ftJ — 0)q
или, заменяя здесь ^— на 2A—cos до):
2A — cos /л) sin {{л + <p) =s sin (/г + 99) — sin B/г + 9?)
2A— cos /г) sin (//N + cp) = sin (//N + 9?) — sin (/<N + (p — t
т. e.
B cos (л — 1) sin (/t-{- 99) = sin B/г -f-
B cos [л — 1) sin (//JV -f <p) = —
ч I C01a)
cp — /л).) v
Эти уравнения имеют, как нетрудно убедиться, решение двух типов,
из коих первый соответствует условию
sin (/г + ф) = sin (/«N + <Р)
(крайние атомы колеблются с одинаковыми амплитудами и с одинако-
одинаковыми фазами), а второй — условию
sin (/л + 9О = — s^n (l*N + 9)
(крайние атомы колеблются с одинаковыми амплитудами и с противо-
противоположными фазами).
Не останавливаясь на более подробном исследовании этих решений,
мы рассмотрим граничные условия другого типа, сводящиеся к непо-
неподвижности обеих крайних частиц (к которым в этом случае должны
быть приложены надлежащие внешние силы). Равенства B99Ь) или
C00а) заменяются при этом более простыми:
Чг = Qn = 0, C02)
которые удовлетворяются, если положить
где к—произвольное целее число. Впрочем, выражение sin (/лп + <р) =
= sin/^(n—1) принимает различные значения лишь при изменении к
в пределах от 0 до N—2. Так например, при k = N—1 мы получаем
/г г= 2п и sin/j,(n—1) = 0 так же, как и при к = 0 и т. д.
Значение к == 0 можно отбросить, так как оно соответствует факти-
фактической неподвижности всей цепочки. Мы получаем, таким образом,
N—2 решений (соответствующих N—2 степеням свободы цепочки из
N атомов, в которой оба крайних атома остаются неподвижными);
Р = дГ=1 М* - 1. 2,. .., N -2). C02а)
Каждому из этих решений соответствует, согласно формуле C01),
частота колебаний со&, равная
Yl+Wsin*-*-. C02b)
314

Заслуживает также упоминания случай замкнутой цепочки из N
равноотстоящих, одинаковых частиц.
В этом случае частицы можно нумеровать до бесконечности, считая,
конечно, что п-ая и (п + JV)-aa совпадают. Граничные условия типа
B99Ь) или C00) заменяются при этом так называемым „условием ци-
цикличности":
qv + iv = qjy, C03)
которое может быть удовлетворено, если положить
А* =17 * C03а)
при /с=1, 2,.. ., (JV—1). Заметим, что решение уравнений B99а) без
ограничения, указанного в скобках, но в связи с условиями C03),
можно в этом случае искать не в форме (ЗОЗЬ), соответствующей пред-
представлению о стоячих волнах, а в форме:
^ = С.^П, (ЗОЗЬ)
соответствующей представлению о бегущих волнах.
В самом деле, обозначая через а расстояния между соседними час-
частицами и через L = fta длину цепочки, мы можем положить;
2лкап
где х°п = an — координаты равновесного положения п-ой частицы (изме-
(измеренная вдоль цепочки от частицы п = 0) и следовательно:
qn=tfne =С-е *п
где величина иЛ=—=— играет роль волнового числа. Различные
лг г
нормальные колебания цепочки соответствуют длинам волн Л,., которые
укладываются в длине цепочки целое число раз.
Случай частиц, не связанных с определенными абсолютными поло-
положениями равновесия, получается из предыдущего при со0 = 0 и потому
не требует специального рассмотрения. Следует отметить лишь то об-
обстоятельство, что в случае длинных волн, т. е. при малых значениях к>
формула C02Ь) принимает при этом следующий приближенный вид$
о li 2пк 2ла
соответствующий распространению волн вдоль цепочки, со скоростью
vkXk = — Afe = ya, которая не зависит от длины волны или частоты
колебаний (как это имеет ме;то, например, в случае колебаний натя-
натянутой струны).
315

ОТДЕЛ IV
ТЕНЗОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ И ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГЛАВА I
ПРИНЦИПЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
§ 1. Определение тензорных величин в связи с преобразованиями
прямолинейных и прямоугольных координатных систем
В тех случаях, когда нам приходилось пользоваться координатным
представлением векторных величин, мы до сих пор вводили какую-го
определенную прямолинейную и прямоугольную систему координат S
с произвольным началом (О), но с якобы вполне определенными на-
направлениями осей, характеризуемыми тремя взаимноперпендикулярными
единичными векторами ех, е2, е3. С помощью этих „координатных век-
векторов" слагающие любого вектора А по осям системы S выражаются
формулами:
Аг = А . ei
или
А « Агег + Д2е2 + А&.
Таким образом в предыдущем всегда молчаливо предполагалось, что
координатные векторы ех, е2, е3 имеют вполне определенное
направление в пространстве.
На самом деле, однако, в пространстве как таковом, независимо от
находящихся в нем предметов, никаких „определенных" направлений не
существует. Понятия вперед или назад, вправо или влево, вверх или
вниз не имеют объективного, или, как говорится, „абсолютного" смысла;
они являются понятиями относительными, зависящими от нашего
отношения к окружающему миру, т. е., другими словами, от нашей
субъективной „точки зрения".
Относительность направлений в пространстве выражается в произ-
произвольности выбора прямоугольной координатной системы S, вернее в про-
произвольной ориентации ее осей ОХЪ ОХ2, 0Х3 при данном начале О.
Переходя от этой системы к другой S' с тем же началом, но с иным
направлением осей ОХ[, ОХ'2, ОХ3, соответствующим новым координат-
координатным векторам е^, е^, е^, мы получим для координат данной точки Р,
т. е. для слагающих ее радиуса-вектора ОР = Г, значения xv Х2У х^
определяемые формулами
г • ei = x'i
или
г = х[е[ + х>; ¦( х3е;.
316

При этом конечно, предполагается, что система S' является, по-
подобно S, прямоугольной и положительной („правой*), так что ее можно
рассматривать как результат поворота S вокруг точки О.
Один и тот же вектор А имеет в обеих системах различные слагаю-
слагающие, а именно А-х = 'А • et в S и А[ = А • е[ в S' (i = 1, 2, 3).
Таким образом эти слагающие являются величинами изменчивыми,
зависящими от выбора (ориентации) координатной системы. Подобные
скалярные величины мы будем в дальнейшем называть вариантными
в отличие от обыкновенных скалярных величин, вроде массы, энергии
и т. д., которые не зависят от выбора координатной системы и которые
соответственно этому мы будем называть инвариантными.
Пользуясь координатным представлением векторных величин, т. е.
характеризуя их тройками вариантных скаляров, мы должны противопо-
противополагать их не скалярным величинам вообще, но лишь подобным инва-
инвариантным скалярам.
Заметим, что к инвариантным величинам принадлежит численное
значение или, что то же самое, квадрат всякого вектора, что может
быть выражено формулой:
А\ + А\ + А1 = А? + Л22 + Д32. A)
Эта формула представляет собой частный случай более общей фор*
мулы:
А1В1 + А2В2 + ASB3 = АХВ\ + А2В2 + Д3#з> Aа)
выражающей инвариантность скалярного произведения двух векто-
векторов А • В.
Соотношения между „старыми" и „новыми" слагающими одного и
того же (произвольного) вектора вполне определяются слагающими ста-
старых координатных векторов по отношению к новым или, обратно, новых
по отношению к старым, т. е. скалярными произведениями
ei-efe^=Oife, B)
равными косинусам углов между соответствующими старыми и новыми
осями {OXi и ОХ'к).
В самом деле, согласно формулам A7) и A7а) отдела I, можно поло-
положить
^ Ba)
Bb)
k
Отсюда получаем:
Аи = А • е& ч= V (А • е,-) щк,
V
т. е.
k^ V aikAl9 C)
i
317

и точно так же
~ (За)
Эти формулы показывают, что при изменении точки зрения, т. е. при
переходе к новой координатной системе, слагающие всякого век-
вектора преобразуются таким же точно образом, как и со-
соответствующие координатные векторы.
Обозначая через i9 к, I и Г, &', /' различные циклические пере-
перестановки индексов 1, 2, 3, мы можем очевидно положить, согласно
формулам B1) отдела I е* X е& = е/ и е^ X е^ = е'г и следовательно,
по формуле A3) отдела I
т.-е., согласно B)
Отсюда видно, что у определителя коэфициентов преобразования
«II «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
миноры различных элементов, равные частным производным ~~ , чис-
0aw
ленно совпадают с этими элементами.
Подставляя выражения Bа) в равенства
1 при i'***k'
[О при i
и принимая во внимание соответствующие равенства для скалярных про-
произведений Щ • е&, получаем следующие шесть соотношений между де-
девятью коэфициентами сць, (так называемые „условия ортогональности");
о (к'фГ)
Da)
Пользуясь этими соотношениями, нетрудно показать, что определи-
определитель а равен 1. Заметим, что формулы Dа) могут быть выведены из
равенств A) или Aа), выражающих инвариантность А2 или А • В, в связи
с формулами преобразования C) или (За). Так например, подставляя
в A) выражения старых слагающих через новые по формуле (За), полу-
получаем:
з
*? - 2 2 2 <kk<4iAhA\ =22 АкА'12
откуда, в виду произвольности величин Av А2> Л8, непосредственно
следуют равенства D).
318

Координатное представление векторов, т. е. замена их тройками
вариантных скаляров, открывает в<рзможность весьма важного расшире-
расширения понятия векторов, а именно построения таких величин, которые от-
относятся к обыкновенным векторам так, как последние относятся к обык-
обыкновенным инвариантным скалярным величинам
Составим, например, произведения различных слагающих векторов
А и В по два. Таким образом мы получаем девять величин А|В&> обра-
образующих следующую схему:
AXBV АгВ2, АгВг
A2BV AJBt, А2Вг
A2BU AzB2i AZB3
и обладающих двоякой изменчивостью по отношению к раз-
различным преобразованиям координат, т. е. являющихся дивариант-
ными в сравнении с величинами Ai или Вь, которые для отличия мы
будем называть моновариантными.
Аналогичным образом, составляя произведения слагающих трех век-
векторов А, В, С по три, мы получаем З3 == 27 скалярных величин AiB^Cx,
обладающих тройной изменчивостью, или тривариантных,
и т. д.
Подобно тому как совокупность трех моновариантных скаляров Аъ
Д2, Л3 определяет некоторую векторную величину, совокупность З2 «я 9
дивариантных скаляров AiBk определяет величину более сложную,
являющуюся прототипом так называемых тензоров или, вернее, тен-
тензоров второго ранга. Этот простейший тензор, образованный
перемножением слагающих двух векторов, мы будем называть „мульти-
„мультипликативным* и ©бозначать символом (А, В).
В общем случае под тензором 2-го ранга подразумевают некоторую
величину 2Т, определяемую в исходной системе координат S совокуп-
совокупностью 9 дивариантных слагающих Tik, которые при переходе к новой
системе координат S' преобразуются в новые Т1ъф таким же точно
образом, как произведения Д • Bk преобразуются в А\В &, т. е. сле-
следовательно по формулам:
Tik*=* ^ 2 an>akk Ты E)
i' ft'
или, что то же самое,
Эти формулы представляют собой непосредственное обобщение соот-
соответствующих формул C) и (За) для обыкновенных векторов. В виду
линейности их (относительно Тщ, или 7гь')> мы можем заключить, что
суймы соответствующих слагающих двух или нескольких тензоров,
Ф, 2Q и т. д. являются слагающими некоторого нового тензора 2Т.
Мы будем называть этот тензор суммой предыдущих и обозначать,
так же как и сумму обыкновенных векторов, формулой
+ ..., F)
319

эквивалентной совокупности следующих девяти равенств:
Г» = Pik + Qik+--- И,к = 1, 2, 3) Fа)
Операция скалярного умножения векторов может быть также
легко обобщена на тензоры. А именно, под скалярным произведением
двух тензоров 2Р и 2Q мы будем подразумевать следующую величину:
которая, как нетрудно убедиться, представляет собой инвариантный ска-
скаляр („вектор нулевого ранга*4). В самом деле, переходя к новой коор-
координатной системе S' и пользуясь формулой E), получаем:
Г- Ч— 7, 7 1 ^'^j li kk Vk' I \j^J jZj aii"a*A"Vi"fc
ft' t" ft"
2 \2j 2
k" i k
r ь' г" k'r *7* k
или, в виду условий ортогональности D), 2Р • 2Q= V ^V Pfk Ql>k>,
Г /г'
что и требовалось доказать.
К тому же результату можно притти несколько проще, заменяя рас-
рассматриваемые тензоры мультипликативными, т. е. такими, слагающие
которых получаются перемножением соответствующих слагающих двух
различных или одинаковых векторов, и принимая во внимание, что
закон преобразования тензорных слагающих в общем случае остается
таким же, как и в этом простейшем частном случае. Так например,
полагая Pik = A\Bh и Qih =CiDk, получаем:
2РQ ^ 2 2 AiBkQDk - У| Ad 2 BkDk = (А • С) (В • D),
i k г k
т. е. величину инвариантную.
При 2Q=-P, т. е. Qik=zzPiky скалярное произведение 2P-2Q пре-
превращается в квадрат соответствующего тензора
Наряду с этим квадратичным инвариантом, равным сумме
квадратов всех девяти слагающих, тензоры 2-го ранга обладают линей-
линейным инвариантом, равным сумме трех главных (или диагональ-
диагональных) слагающих
? „. (8)
i
320

Инвариантность этого выражения доказывается таким же образом,
как и в случае предыдущих.
Операция векторного умножения векторов не соответствует вполне
аналогичной операции для тензоров. В этом случае можно, однако,
определить операцию, аналогичную ей в том отношении, что резуль-
результатом ее является величина того же рода, как и оба сомножителя, т. е.
тензор.
Слагающие этого „тензорного произведения" 2R определяются
через слагающие сомножителей 2Р и 2Q одной из следующих двух
формул:
Rik=^PuQki (9)
или
(9а)
Переставляя оба сомножителя, мы получим по этим же формулам
два новых тензорных произведения, вообще говоря, существенно отлич-
отличные от предыдущих. Таким образом тензорное произведение двух
тензоров так же как и векторное произведение двух векторов, зависит,
вообще говоря, от порядка сомножителей. На основании этой весьма
ограниченной аналогии между обеими операциями, можно было бы обо-
обозначать вторую тем же символом, что и первую, т. е. положить
При этом, однако! пришлось бы различать два варианта тензорного
умножения, соответствующие формулам (9) и (9а). Обычно дается
предпочтение второму варианту, причем первый получается из второго
путем замены тензора Q „транспонированным" тензором Q* с слагаю-
слагающими Qik = Qki (см. следующий параграф).
Заметим, что скалярное произведение тензоров Р и Q, определяемое
формулой G), можно рассматривать, как линейный инвариант тензор-
тензорного произведения в смысле формулы (9):
Из слагающих тензора 2Т и вектора F можно составить два новых
вектора с слагающими:
TnFt + T31F2 + T31FS, T12FX + T22F2 + Ta2F3,
и
FJU + F2T12 + F3T13, FjTn + F2T22 + F3T23,
21 Курс теорет. механики. 321

которые по аналогии с скалярным произведением двух векторов или
двух тензоров мы будем называть скалярным произведением тензора 2Т и
вектора F и обозначать символами 2T-F и F-2T. Таким образом:
A0)
BT.F).=
(F-2T)i=2] TihFk =
ft
Векторный характер этих величин непосредственно явствует из того
вида, который они принимают в простейшем случае Tik = AiBk, a
именно:
j т.е. F-2T=A(B-F)
V A^' T- e- 2TF = (F-A)B.
(TF)i = Bi
k
Обратно, из векторного характера выражений вида A0), в связи с
векторным характером величины F, следует заключить, что величины Т^
являются слагающими тензора 2-го ранга. В качестве примера можно
было бы привести формулу C85Ь) предыдущего параграфа (отдел III),
связывающую слагающие силы Fn и силы F, которая действует на
пространственный вибратор с слагающими qn> радиуса-вектора послед-
последнего г. Таким образом эта формула показывает, что коэфициенты
связи апП' представляют собой слагающие некоторой тензорной
величины.
§ 2. Симметричные и антисимметричные тензоры
2-го ранга
Тензор 2Т называется симметричным, если его слагающие удовле-
удовлетворяют соотношениям:
Tik = Ты A1)
(так же, как это имеет место в случае тензора а).
Нетрудно видеть, что эти соотношения обладают инвариантным
характером, т. е. остаются в силе при переходе к новой системе
координат. В самом деле, переставляя в формуле Eа) индексы V и /с',
а также индексы / и к, по которым производится суммирование,
получаем:
T'k'i' = ^J ^J ahk'aU'Thi = 2j jtj ati'abk'Thi-
hi i k
Отсюда следует, что tipn Ты = Тщ
T'h'i' =
322

Тензоры, удовлетворяющие соотношениям A1), называются симме-
симметричными. Они определяются не девятью, но всего лишь шестью
независимыми слагающими, а именно тремя „главными" (или „диаго-
„диагональными"): Т1Ь Т22, 733 и тремя „побочными" Т23 = Т82, Т31 = Т13,
Т\2 = 721. Простейшим симметричным тензором является тензор, образо-
образованный перемножением слагающих одного и того же вектора Аъ Л2,
Л3. Составляя скалярное произведение его на симметричный тензор
общего вида, получаем инвариантную величину:
и =
% k
i 2i23^2^3+ 2Т31Л3Л1+ 2Т12Л!Л2,
которая представляет собой квадратичную форму относительно монова-
моновариантных величин А-ь. Таким образом, при переходе к новой системе
координат слагающие тензора 2Т преобразуются, как коэфициенты
подобной квадратичной формы.
Наряду с симметричными тензорами следует также отметить тензоры
антисимметричные, определяемые соотношениями:
Tki = -Tik, A2)
которые, так же как и противоположные им соотношения A1), обладают
инвариантным характером. Полагая к = i, получаем Тц = —Тц, — откуда
следует, что „главные" слагающие антисимметричного тензора Ти,
Т22, Г33 равны нулю. Что же касается шести побочных, то они попарно
равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Таким
образом число независимых слагающих антисимметричного тензора
сводится к трем:
Т2* = ~^з2 = Tlt Tsx~-Tls = T2y Т'12 = -Т21 = Тгу A2а)
совпадая, следовательно, с числом слагающих обыкновенного вектора.
Нетрудно убедиться, что подобное совпадение имеет место также
и в отношении характера преобразования, т. е. вариант-
вариантности этих слагающих. А именно, переходя к новой системе коор-
координат S', имеем:
т V
г
i Ъ
или, следовательно, согласно формулам D):
г k г < h
21* 323

Пользуясь обозначениями A2а), которые можно представить в виде
Ты = —Ты = Ти и вводя соответствующие обозначения для Ti
получаем окончательно
т. е. формулы преобразования D). Отсюда видно, что величины Т^ —
= —Tki^=Ti можно трактовать с одинаковым успехом либо как моно-
моновариантные слагающие некоторого вектора Т, либо же как дивариант-
ные слагающие составленного из слагающих этого вектора—и в этом
смысле ему эквивалентного—антисимметричного тензора:
2Т-.
о, т3, ~т2
¦т., о, тг
т2, -тг, о
A2Ь)
Заметим, Ато моновариантность величин Т[ непосредственно явствует
из инвариантности квадрата 2Т, т. е. суммы:
Г» =
г к
или же скалярного произведения 2Т на тензор с слагающими AiBu:
А^S ST (AB
Г,(АхВ), = Т.(АхВ),
в связи с моновариантностью слагающих векторного произведения
Ах В.
Составляя скалярное произведение антисимметричного тензора 2Т
на произвольный вектор F, получаем:
(«T • F), = -(F• 2TK = TtF2 -T2FV
т. е, слагающие векторного произведения Т и F. Таким образом
2T-F= — F.2T = TxF.
A3)
Тензор 2Т, не являющийся ни симметричным ни антисимметричным,
называется обычно асимметричным. Мы сохраним последнее назва-
название для тензоров произвольного типа, рассматривая симметричные и
антисимметричные как частные случаи асимметричных.
324

Каждому асимметричному тензору 2Т можно привести в соответствие
так называемый транспонированный тензор 2Т, составленный из тех
же самых элементов, согласно условию:
2Тгк = Ты, A4)
т. е. путем перестановки индексов. Представляя исходный тензор 2Т в
виде схемы
|7\
'12
31
т
* 3
мы получаем для транспонированного тензора следующую схему:
11 i 21 * ;
13
23
33
которая отличается от предыдущей заменой строк столбцами.
Необходимо подчеркнуть, что условие A4) имеет инвариантный
характер, т. е. остается в силе при переходе к новой системе координат
(в -противном случае величина 2Т* не являлась бы тензором). Действи-
Действительно, согласно формуле (ба), имеем:
Пользуясь понятием о транспонированном тензоре, можно пред-
представить условия симметричности или антисимметричности какого-либо
тензора A1) и A2) в виде Ч = 2Т или 2Т= — 2Т.
Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, операция „транс-
„транспонирования" (т. е. замены какого-либо тензора транспонирован-
транспонированным) позволяет свести один из двух вариантов тензорного произведе-
произведения, например (9), к другому (9а). Таким образом, пользуясь обозна-
обозначением (9Ь) для (9а), можно представить тензор (9) в виде 2Р х 2Q.
Отметим также следующие равенства:
и F 2Т = 2Т F,
A4а)
которые непосредственно вытекают из (8) и A0).
Всякий (асимметричный) тензор можно очевидно разложить на сумму
симметричного:
и антисимметричного
т. е. представить в виде
= — BТ — 2Т)
A5а)
A5Ь)
325

Принимая во внимание, что антисимметричный тензор эквивалентен
обыкновенному вектору, мы можем, следовательно, при вычислениях
заменять всякий асимметричный тензор соответствующим симметрич-
симметричным BS) и вектором R.
Так например, для квадрата 2Т получается следующее выражение:
i h
=2 2 (s&+/?&+2s*/?i*)=2 2slk+2 2
i fr i /г i k
= 2 2 (Sik ~ад ^=°1 * r-e-
i fc 1< k
R2, A6)
где R2 обозначает квадрат вектора R (R2 = /?|-j-/?2 + Rl)
Точно так же скалярное произведение 2Т на кайой-либо вектор F
или F на Т принимает вид:
2Т • F =. 2S • F ¦+¦ ^R • F F«2Т = ^S • F -4— F • 2R
или, согласно A3),
2TF = 2SF+Rxl
В простейшем случае „мультипликативного" тензора
имеем:
Sift = ~ (AtBk + AkB{) и Rik = -1- (AiBh -
т. е.
Заменяя вектор А символическим вектором V, т. е. диференциаль-
ным оператором — , и полагая B = F (r), получаем тензор (V, F)c сим-
симметричной частью:
dFb dF<
и антисимметричной частью, эквивалентной вектору:
R = l-VxF=i-rotF.
В частном случае F=V^, где (р (г)—произвольная скалярная функ-
функция, R обращается в нуль, a S^ сводится к второй производной от <р
ПО Х% И Хк\
826

Таким образом, подобно тому как совокупность первых производ-
производных скалярной функции определяет некоторый вектор, а именно
градиент этой функции *7<р, совокупность вторых производных образует
симметричный тензор
dxf '
дх2дхк '
д2<р
dXz дхг '
дххдх2 '
^x3 дх2 у
дхг дх3
дх2дх3
дх!
§ 3. Преобразование симметричных тензоров к главным
осям и их геометрическое изображение
Скалярное произведение вектора F на тензор 2Т представляет собой
некоторый новый вектор, пропорциональный F по величине, но имею-
имеющий, вообще говоря, иное направление в пространстве.
Можно, однако, выбрать вектор F таким образом, чтобы направле-
направление его совпадало с направлением вектора F-2T (или было про-
противоположно ему), т. е. чтобы выполнялось следующее векторное
уравнение:
F 2T=AF, A7)
где Я —некоторый скаляр, играющий роль коэфициента пропорциональ-
пропорциональности. Эта задача в случае симметричности тензора 2Т в точности
совпадает, как видно будет из дальнейшего, с задачей о нахождении
нормальных координат пространственного вибратора, рассмотренной в
последнем параграфе предыдущего отдела, как частный случай опреде-
определения нормальных колебаний системы частиц, связанных линейными
силами.
Уравнение A7) эквивалентно трем алгебраическим:
(Тп - A) F, + T12F2 + T1ZFS = О
Vi + СГ22 - A) F2 + Г23Р3 = О
A7а)
в которых неизвестными являются слагающие вектора F и скаляр А.
В виду линейности и однородности этих уравнений относительно
неизвестных Flt F2, F3, для совместимости их необходимо и достаточно,
чтобы определитель, составленный из соответствующих коэфициешов,
обращался в нуль. Таким образом четвертая неизвестная Я должна
равняться одному из корней уравнения третьей степени:
-Я
, т
22 "
31» 1 32)
-А, Т:
23
= 0.
A7Ь)
Это уравнение имеет, вообще говоря, только один веществен-
вещественный корень, так что направление вектора F определяется одно-
327

значным образом; численное значение его мы будем, для* определен-
определенности, считать равным 1.
Аналогичным образом можно было бы отыскать (единичный)
вектор Е, удовлетворяющий условию 2Т-Е==^Е. Заметим, что эти
векторы должны иметь различное направление; в самом деле, при
E = F мы имели бы, согласно A6а) и A3) 2Т F — F2T = 2R x F, что
несовместимо с условием A7),,так как вектор FxR перпендикулярен к
F, —если только вектор R, соответствующий антисимметричной части тен
зора 2Т, не обращается в нуль.
Иначе обстоит дело в случае R = 0, т. е. в случае симметрич-
симметричности тензора 2Т. Прежде всего, нетрудно доказать, что при условии
Tik = Tki все три корня уравнения A7Ь) имеют веществен-
вещественные значения. Действительно, в противном случае, наряду с
комплексным корнем A — [x-\-iv (где 1=У—1) должен был бы суще-
существовать сопряженный с ним А* — [л — iv, причем обоим корням должны
были бы соответствовать сопряженные значения неизвестных Fk=Gk +
+ iHk и F*k — Gk—iHk. Рассматривая эти выражения, как слагающие
комплексных векторов F=G-f-/H и F* = G—/Н, мы должны были
бы иметь, наряду с уравнением A7), которое можно переписать в виде
2TF = AF, сопряженное векторное уравнение 2T-F* = /.*F*. Умножая
его скалярно на F, а уравнение A7)—на F* и вычитая результаты
друг из друга, получаем:
Но, в виду предполагаемой симметричности тензора 2Т, левая часть
этого равенства обращается в нуль. Что же касается скалярного произ-
произведения FF* = (G-f /H)-(G — /H) = G2 + H2, то оно представляет собой
существенно положительную величину. Отсюда следует, что А— А* = 0,
т. е. v—О, что и требовалось доказать. х)
Обозначая корни уравнения A7Ь) через АA), АB) и АC), а соответ-
соответствующие этим корням решения уравнения A7) через F , F , F ,
имеем:
2T.F(h) = a(h>F(h) (A=l, 2, 3). A8)
Если Л-е из этих уравнений умножить скалярно на F(i) и вычесть
из него произведение 1-го на F(/l), то получается следующее равенство:
Bj. Fih)) • F(l) — BТ • F@) • F{h) = (Д(/1) — А@) Fih) • F@,
из которого, в виду симметричности тензора 2Т, следует, что при
Д(/г) — ДA) ф о, т. е., вообще говоря, при Нф1:
F(h).F@ = 0 (Нф1). A8а)
х) Это доказательство, также, как и доказательство соотношений A8а), по
существу совпадает с доказательствами вещественности частот колебаний (ok
системы линейно связанных частиц и ортогональности решений qnk, соответ-
соответствующих различным частотам колебаний [см. отдел III § 17 формулы B90),
B90а)].
Ш

Таким образом три вектора или, вернее, три направления,
определяемые уравнением A7), взаимно перпендику-
перпендикулярны. Эти направления называются осями симметричного тен-
тензора 2Т.
Полагая F(/l) = eh, т. е. пользуясь векторами F{h) в качестве новых
координатных векторов, и, следовательно, осями рассматриваемого
тензора —в качестве новых координатных осей, получаем,
формулам A0):
согласно
Отсюда, на основании A8) и A8а), следует, что
при
о
1ф h
A8Ь)
т. е. что в новой системе координат, которую мы будем называть
„нормальной", побочные слагающие тензора 2Т исчезают, тогда как
главные (диагональные) сводятся к корням уравнения A7Ь). Переписывая
это уравнение в виде
где:
¦* ~ ' 11 ~Т~ ' 22 "Т~ * 3
"
Т22Т3
тC) =
i
т
21
31
13
T 2
23
33
и принимая во внимание инвариантность значений A(h), мы можем за-
заключить что коэфициенты ТA), ТB), ТC) являются также инвариантными
величинами. Что касается первого из них, то он представляет собой уже
известный нам линейный инвариант тензора 2Т [ср. формулу (8)]; второй
равен, как легко убедиться, полуразности между квадратом тензора
(при условии его симметричности) и квадратом этого линейного инва-
инварианта BТB)=Т2—ТA) 2). Третий коэфициент ТC), т.е. определи-
определитель, элементами которого являются слагающие тензора, называется
дискриминантом последнего и представляет собой его „кубический"
инвариант.
Предыдущие результаты дают возможность наглядного геометри-
геометрического представления симметричных тензоров, но не при помощи
прямолинейных отрезков, как в случае векторных величин, а при помощи
поверхностей. Заметим, что аналогичное представление применимо
и к векторам. А именно, вместо того чтобы изображать какой-либо
вектор F при помощи прямолинейного отрезка соответствующей длины
и направления, мы можем с той же целью воспользоваться перпендику-
329

лярной к нему плоскостью, определяемой инвариантным уравне-
уравнение vi 1-го порядка:
F г == Fxxx + F2x2 + F3x3 = const. A9)
Расстояние этой плоскости от начала координат (г = 0) равно
const const г-, . „9
, • = ——— . Поэтому, полагая const = F , мы можем еде-
лать его прямо-пропорциональным численному значению рассматри-
рассматриваемого вектора; наоборот, при const =1 (или какому-нибудь другому
постоянному числу) это расстояние будет обратно-пропорционально F.
Аналогичным образом лля графического изображения симметрического
тензора 2Т можно воспользоваться поверхностью 2-го порядка, опре-
определяемой инвариантным уравнением
2Т-(г, г) = 2 2 T^XiXk = const, A9a)
г Ъ
левая часть которого представляет собой скалярное произведение 2Т
на симметричный тензор (г, г), составленный из слагающих радиуса-
вектора [(г, Г)а = XiXk] или, что то же самое, скалярное произведение
вектора BТ-г) на г. Что касается правой части, то так же, как и в
предыдущем случае, можно положить либо const = Г2, либо же
const = 1. Останавливаясь на последнем значении и переходя к нор-
нормальной системе координат(оси которой совпадают с осями рассматри-
рассматриваемого тензора), получаем, согласно A8Ь), следующее уравнение:
2T-(r, t) = 7пх;2 + Т2рс22 + ГззХз2 - 1, A9Ь)
одределяющее, вообще говоря, либо некоторый эллипсоид (при
Ти>0) с полуосями ——= , либо же гиперболоид—однополый
V а
или /!вуполый. Тот или иной характер этой поверхности определяется
инвариантами ТA) и ТB). Случаи вырождения, соответствующие пре-
превращению этой поверхности в параболоид (при ТB) = 0), а также
в конус, цилиндр или совокупность двух плоскостей (Т * = 0), мы
здесь рассматривать не будем, так как они подробно разбираются
в курсах аналитической геометрии.
В простейшем случае Т'и = Т22 = Тзз — 1 поверхность, определяемая
уравнением A9Ь) и изображающая тензор 2Т, превращается в шар
радиуса 1. Так как уравнение шара инвариантно по отношению к
поворотам координатной системы, то в этом случае для всякой иной
системы координат мы будем иметь те же самые равенства Ти = Т22 =
= 733 = 1 и Т23 = Т31 = Т12 = 0, как и для нормальной. Таким
образом тензор
1, О, О
Ч -=
О, 1, О
О, 0, 1
830

& отличие от всех других тензоров 2-го ранга (кроме ему пропорцио-
пропорциональных), обладает инвариантными слагающими. При умноже-
умножении его на какой-либо вектор F мы получаем тот же самый вектор F:
2I F - F.
В виду последнего обстоятельства тензор 21 называется единич-
единичным (хотя квадрат его равен не 1, а 3).
Скалярное произведение 2TF представляет собой, вообще говоря,
вектор, отличный от F как по величине, так и по направлению. Если
воспользоваться геометрическим изображением тензора 2Т как поверх-
поверхности 2-го порядка, определяемой уравнением A9а) и рассматривать F
как радиус-вектор некоторой точки Р этой поверхности, произведение
2T-F можно трактовать как вектор, совпадающий по направлению с
внешней нормалью к этой поверхности в точке Р. В самом деле,
диферекцируя функцию <р == BT-r)-r no Xh, получаем:
или, переходя от слагающих к векторам:
откуда следует, что вектор 22Т-Г, как градиент скалярной функции
^ = BТ-г)-г, направлен по нормали к поверхности <р = const.
С этой точки зрения тождество 2I-F = F становится непосредствен-
непосредственно очевидным, как выражение того обстоятельства, что в случае
сферы нормали совпадают по направлению с радиусами. Заметим,
что тензор, скалярное произведение которого на вектор G = 2TF
равно F, называется обратным по отношению к 2Т и обозначается
символом 2Т~\
§ 4. Диференцирование тензоров 2-го ранга
При вычислении градиента функции BТ-Г)»г мы считали тензор 2Т
величиной постоянной. В случае, если тензор 2Т зависит от радиуса-
вектора г (или какого-либо другого вектора, им изображаемого), т. е.,
другими словами, если слагающие этого тензора представляют собой
некоторые функции координат, то к нему можно также применять
операцию диференцирования по г.
При этом под производной тензора 2Т по векторному аргументу г
подразумевается скалярное произведение диференциального оператора V
з
на 2Т, т. е. вектор V«2T с слагающими > -г^-0 = 1, 2, 3). В случае
асимметричных тензоров наряду с нею необходимо рассматривать про-
производную транспонированного тензора, т.е. вектор V-2T с слагающими
з
2 —— (& = 1, 2, 3), соответствующую скалярному произведению 2Т
i-l
331

на V fcp. формулы A0)]. Разлагая 2Т на симметричную и антисим-
антисимметричную части по формуле A5Ь) и вводя вектор R, соответствую-
соответствующий антисимметричному тензору 2R, получаем, согласно A6а):
= V-2S+ VxR.
B0)
Производная V *2Т называется обычно, по аналогии с соответствую-
соответствующей (скалярный) производной от векторной функции, расхождением
тензора 2Т и обозначается символом div 2T. Ее можно было бы опре-
определить синтетически, как предел выражения -у I п*2Т dS, где П обо-
обозначает внешнюю нормаль к элементу поверхности S, стягивающейся
к рассматриваемой точке, а V — заключенный в S объем. Из этого
определения при надлежащем выборе поверхности S (параллелепипед
с ребрами, параллельными координатным осям) получаются приведен-
приведенные выше формулы для слагающих вектора V-2T. Далее, из него
непосредственно следует формула
соответствующая формуле Гаусса для векторных функций.
При применении оператора V к произведению тензора на скаляр,
вектор или какой-либо другой тензор остаются в силе правила, анало-
аналогичные тем, которые были установлены в отделе I по отношению
к произведению вектора на скаляр или на другой вектор. Таким обра-
образом, например, V BT-F) = ( V -2T)-F + 2T-(V, F), где (V, F) — рассмо-
тренный выше тензор с слагающими
~^—•
Если рассматривать оператор V как символический вектор, то
с помощью его можно составить два тензора 2-го ранга — симметрич-
симметричный (V, V) с слагающими -г—-т— и антисимметричный
ОХх ОХи
о,
д
д
дх9
дх3 '
О,
д
дх, '
д.
дх2
д
из коих первый представляет собой диференциальный оператор 2-го
порядка, а второй — диференциальный оператор первого порядка, по
существу эквивалентный V. Применяя оператор 2V к вектору F и тен-
тензору кТ, получаем [ср. формулы G) и A0)]:
2V-F = V xF = rot F, B2)
2V-2T = 2V-R = 2 div R, B2a)
где R есть вектор, эквивалентный антисимметричной части 2Т
332

Формулу B2а) можно переписать в виде
Левую часть этого равенства называют иногда „вихрем" (векторной
производной) антисимметричного тензора 2R и обозначают символом
rot 2R.
Заменяя антисимметричный оператор V2 симметричным (V, V), по-
получаем, далее;
(V VF V(VF)
(V, VJT=V(V2S) = divdiv2S, B3)
где 2§ — J_ BT* -f 2Т) — симметричная часть 2Т.
Наряду с операцией скалярного умножения вектора на тензор (или
скалярного диференцирования последнего по вектору) можно было бы
определить операцию, соответствующую векторному умножению двух
векторов (или векторной производной вектора по вектору). Далее,
в случае двух тензбров 2Р и 2Q можно ввести операцию умножения,
соответствующую той, которая рассматривается в теории определителей,
подразумевая под произведением 2P2Q тензор с слагающими BP2Q)jr =
s= 2 PihQhR* Однако введение особых обозначений и символов для
h
всех этих операций представляется нецелесообразным, тем более, что
с переходом к тензорам высших рангов число возможных операций
умножения, соответствующих различным комбинациям умножения и сло-
сложения скалярных величин (слагающих), увеличивается до беско-
бесконечности.
§ 5. Тензоры высших рангов
Умножая друг на друга различные слагающие п векторов А,В, С, ...
мы получаем совокупность Зп „я-вариантных" скаляров At. Въ. С\. ...,
определяющих простейший „мультипликативный" тензор п-го ранга
(А, В, С, ...)• В общем случае под тензором п-го ранга подразуме-
подразумевается величина ПТ, определяемая совокупностью Зпслагающих Tk1k2...kn
(къ к2, ..., кп= 1, 2, 3), которые при переходе к новой системе коор-
координат S' преобразуются в новые 7\; и'2,... кп таким же образом, как про-
произведения AklBk2 ... Скп преобразуются в Ak[ Bh'2. .. Ck'n, т. е. по фор-
формулам:
Ть\ k2... kn = 2j2j • • • Zj abib 'а*2*2 .;. «fen^ Tkfa .. ftw B4)
fti h2 hn
Заметим, что с этой точки зрения обыкновенный вектор предста-
представляет собой тензор 1-го ранга, а обыкновенный (инвариантный) скаляр—
тензор нулевого ранга.
Складывая соответствующие слагающие нескольких тензоров одина-
одинакового ранга nP, nQ, . . , мы получаем величины, которые, в виду
линейности формул преобразования B4), обладают той же степенью и
333

тем же характером вариантности, как и слагаемые величины, т. е.,
следовательно, представляют собой слагающие некоторого нового тен-
тензора ПТ. Последний называется суммой nP, nQ и т. д. и обозна-
обозначается символом nP-f-nQ + •.. Таким образом тензорное равенство
nQ+.
эквивалентно совокупности Зп скалярных
...kn = Pkxk2 .. kn+ Qkxkz . . . kn + - . .
[ср. формулы F) и Fа)].
Умножая друг на друга всевозможные слагающие тензора т-го ранга
mS и тензора н-го ранга ПТ, мы получаем совокупность 3m+n (т + п)-
вариантных скаляров Sjii2... im'Tbik2... K> которые можно трактовать
как слагающие некоторого нового тензора (m-fH)-ro ранга (mS, nT).
Этот тензор называется произведением обоих тензоров mS и ПТ.
В частности, полагая mS = V и считая ПТ некоторой функцией от г, мы
получаем тензор (п+ 1)-го ранга (V, ПТ), называемый „диференциаль-
ным расширением" или просто „расширением" тензора WT. При со-
составлении произведения тензоров можно, очевидно, воспользоваться
каким угодно числом „сомножителей", причем порядок их никакой
роли не играет. Простейшие мультипликативные тензоры представляют
собой таким образом не что иное, как произведения соответствующих
векторов.
Путем умножения мы получаем, следовательно, из двух (или не-
нескольких) тензоров тензор более высокого ранга, равного сумме ран-
рангов сомножителей. С другой стороны, из всякого тензора WT, ранг
которого п выше 1, можно образовать путем так называемого приве-
приведения (или „понижения"), один или несколько тензоров более низ-
низкого ранга. Простейшая операция „приведения" заключается в следую-
следующем. Из всех слагающих данного тензора отбираются такие, у которых
два определенных — в смысле занимаемого ими места — индекса (на-
(например, первый и второй, или второй и третий, или первый и тре-
третий, — вообщее а-% и Ь-й) имеют одинаковые численные значения
A, 2, 3); затем из отобранных слагающих складываются по 3 те, ко-
которые отличаются друг от друга только этими индексами, при тож-
тождественности всех остальных. Таким образом из 3W слагающих данного
тензора T%v ... ia, ... ц, ... »w мы образуем Зп~2 суммы вида
1,3
2j ' И' • • • U> • • • ibJ • • • ги> B4а)
где индексы ia и ib пробегают совместно значения 1, 2, 3, тогда как
все остальные остаются постоянными. Эти суммы являются, как легко
убедиться, (п — 2)-вариантными скалярами, т. е. представляют собой
слагающие тензора (п — 2)-го ранга, который называется приведен-
приведенным по отношению к тензору ПТ по индексам (а, ЬУ
334

При п ^ 4 описанную операцию приведения можно повторить два раза
по отношению к* различным парам индексов; при п>6\~ три раза и т. д.
После /мкратного приведения из тензора п-го ранга получается тензор
(п — 2/с)-го ранга, вернее — целая система подобных тензоров, соответ-
соответствующая тому или иному выбору соединяемых попарно индексов.
В общем случае из тензора п-го ранга можно, путем однократного
приведения, получить—^—— различных тензоров (п — 2)-го ранга.
Это число уменьшается в случае симметричности тензора ПТ по отно-
отношению к той или иной паре индексов и сводится к 1 при наличности
полной симметрии (см. ниже).
У тензоров 2-го ранга, как симметричных, так и асимметричных,
существует всего лишь 1 приведенный тензор, представляющий собой
не что иное, как их линейный инвариант
г=1
Тензор 3-го ранга может иметь, вообще говоря, три приведенных
2
а именно: 2 ^ftu» 2 ^т и 2 ^iife' Ранг этих пРивеДенных тензоров
г=г г г
равен 1, т. е они являются обыкновенными векторами. У тензора 4-го
ранга число однократно приведенных тензоров 2-го ранга равно 6
>iu 2 Тит и т- Д»)» а число двукратно приведенных скаляров
г г
(инвариантов) — двум:
2j2j Tiihk и ^JiL Tihki'
г k г k
Применяя операцию приведения к произведению двух тензоров,
в отношении индексов, принадлежащих к различным сомножите-
сомножителям, мы получаем ряд приведенных произведений, частным
случаем которых являются рассмотренные выше скалярные произведе-
произведения двух векторов, двух тензоров или вектора и тензора. Таким обра-
образом операция приведенного умножения представляет собой
обобщение операции скалярного умножения на случай тензоров произ-
произвольного ранга.
Аналогичным образом можно определить операцию приведенного
диференцирования как обобщение операции скалярного диференциро-
вания, обозначаемого символом div.
Однократно-приведенные произведения тензоров nS и ПТ суть тен-
тензоры (т-\-п — 2)-го ранга с слагающими
1,3
У^ Sh h '" i« Tht A, • • . hn- B4b)
335

Примером двукратно-приведенного произведения может служить
тензор
При ml^in максимально-приведенными произведениями являются
тензоры (т — п)-го ранга с слагающими
VV V 9 т
^L*Lk ' ' ' AJ п 1'2 ' ' ifl x *2 '' imi
U %2 in
И Т. Д.
В частном случае т=-п=2 мы получаем два подобных максимально-
приведенных или скалярных произведения:
и 22 SihTki'
i k i k
Заметим, что знаки суммы по различным парам индексов, в отно-
отношении которых производится операция приведения, обычно для крат-
краткости опускаются; таким образом, обозначая два различных
индекса одной и той же буквой, мы тем самым, ука-
указываем на то обстоятельство, что по этой букве
производится суммирование в пределах от 1 до 3.
Обобщением операции векторного умножения двух векторов является
составление из тензоров mS и пТ нового тензора (/п+п)-го ранга, сла-
слагающие которого выражаются разностями вида
Этот тензор очевидно антисимметричен по отношению к индексам
la и fa-
Вычитая из предыдущего выражения то, которое получается из
него перестановкой двух других индексов i и к, можно получить „век-
„векторное произведение" еще более антисимметричного характера.
Переставляя попарно различные индексы и беря полусумму соответ-
соответствующих слагающих (если они различны), с одной стороны, и полу-
полуразность — с другой, можно свести рассматриваемый тензор к сумме
симметричных по отношению к одним парам индексов и антисимметрич-
антисимметричных по отношению к другим.
Тензор п-го ранга, антисимметричный по отношению к одной паре
индексов, эквивалентен (в смысле вариантности его слагающих) тензору
(п—1)-го ранга, антисимметричный по отношению к тройке индексов
(т. е. трем парам индексов) — тензору (п — 3)-го ранга. В частности,
тензор 3-го ранга, антисимметричный относительно всех трех индексов,
эквивалентен скаляру. Этот тензор заслуживает более подробного рас-
рассмотрения как с точки зрения общей теории, так и с точки зрения его
применений к ряду вопросов физики. Все слагающие его Tiki с двумя
или, тем более, с тремя одинаковыми индексами должны в силу свой-
ЗЗб

ства антисимметричности равняться нулю. Остальные же слагающие
могут отличаться друг от друга только знаком. Полагая, например,
Ti2z~Ty мы получаем следующую табличку:
1 213 — i 321 — 1 123 — * •)
Таким образом все слагающие, получающиеся из Т123 путем четного
числа перестановок пар индексов, совпадают с Т, а получающиеся
путем нечетного числа перестановок—равны—Т.
Антисимметричный тензор 3-го ранга, численно равный 1 (т. е.
такой, для которою Т—1) называется тензором Леви-Чивита и обо-
з. ачается обычно символом 5^. Всякий иной тензор этого рода может
быть представлен в виде произведения тензора 33 на инвариантный
скаляр.
Приведенное произведение тензора 38 на какой-либо (асимметричный)
тензор второго ранга 2Т представляет собой вектор
дшТк1, B5а)
k I
эквивалентный антисимметрическому тензору, образованному из 2Т
(с слагающими Ты — Tib)- Так например, полагая в предыдущей фор-
формуле /=1 и пользуясь табличкой B5) (при Т=1), получаем:
Гг = Т 2з Т32-
Наоборот, приведенное произведение 3S на какой-либо вектор А
представляет собой антисимметричный тензор, эквивалентный А.
В сахмом деле, полагая в формуле
Uw- B5b)
к=2, /=3, получаем Ап~ Аъ а при /с = 3, 1 = 2:
Л32=-Л
и т. д.
Заметим, что при Tki~ AhB{ формула B5а) дает слагающие век-
векторного произведения векторов А и В. Наконец, инвариантное выражение
г k I
при Tiki— AiBkCi представляет собой не что иное, как определитель
ъ Аъ Л
Переписывая предыдущую формулу в виде
мы получаем разложение этого определителя по элементам первой
строки.
22 Курс теорет. механики. 337

§ 6. Тензоры в пространстве/>3 измерений
Понятие тензора так же, как и понятие вектора, допускает еще одно
обобщение, не в сторону ранга (т. е. степени вариантности), а в сто-
сторону числа измерений /-ой протяженности, в которой это понятие
мыслится. Подобную протяженность, характеризуемую значениями /
независимых переменных х1у х2, . . , X/, можно чисто метафорическим
образом, конечно, трактовать как Эвклидово пространство измерений,
а переменные Xi—как прямолинейные и прямоугольные координаты
одной из ее точек Р в некоторой „декартовой" системе координат S
или, что то же самое, как слагающие радиуса-вектора X, проведенного
из начала этой системы О к точке Р. При этом длина вектора X, т. е.
расстояние ОР, определяется формулой
'=2
B6)
так же как и в частном случае /=3 или /=2, соответствующем обыч-
обычному пространству или плоскости.
Под ортогональным преобразованием координат подразумевается
такое линейное преобразование:
или
при котором выражение B6) остается инвариантным, т. е. преобра-
преобразуется в
i=l
Такое преобразование можно, пользуясь геометрической метафорой,
трактовать, как поворот исходной координатной системы вокруг ее
начала в новое положение S'. Преобразования этого рода были уже
изучены нами в § 17 отдела III для любого значения числа / в связи
с теорией колебания системы линейно-связанных материальных частиц,
точнее, в связи с преобразованием исходных координат ft K нормаль-
нормальным ft. Таким образом мы можем сразу же констатировать равенство
коэфициеитов прямого и обратного преобразования B6а), т. е. <Ц{>~ац>,
а также написать соотношения ортогональности и нормальности для
них в виде Dа) § 1 (с заменой числа 3 на /).
В § 7 отдела I мы уже рассмотрели вопрос о векторных величинах
в пространстве / измерений. Пользуясь преобразованиями B6а), мы
можем теперь определить вектор подобного рода А как величину с /
слагающими, преобразующимися при переходе от системы S к си-
системе S', по тем же формулам B6а), что и координаты точки в /-мерном
338

пространстве. Аналогичным образом можно определить и тензоры 2-го
и высших рангов.
Не повторяя всего того, что уже было сказано о тензорах в пре-
предыдущих параграфах для частного случая /=3, рассмотрим несколько
дополнительных вопросов, в которых находит себе применение понятие
о тензорах с числом измерений, превышающем 3.
Возвращаюсь к примеру, уже рассмотренному в § 5 отдела I,
именно к вопросу о решении системы линейных уравнений
yi (/-1,2, ...,/) B7)
k=l
мы можем написать эти уравнения в виде одного векторного или, вер-
вернее, тензорного уравнения:
2ах = у,
где 2а обозначает тензор с слагающими aik. При этом предполагается,
что эти слагающие, так же, как и слагающие векторов х и у, отнесены
к некоторой произвольно-выбранной декартовой координатной системе 5,
и что в какой-либо другой системе S' эти же самые величины имеют
слагающие:
/
' 2 yi =
aii'akk'aik' B7a)
Эти соотношения могут быть пояснены на конкретном примере изу-
изученного в § 17 и 18 отдела III вопроса о свободных и вынужденных коле-
колебаниях системы N линейно-связанных частиц, если эту систему тракто-
трактовать как материальную точку в пространстве /== ЗА/ измерений. Пола-
Полагая, например, в B7) уг = тсо2Х{, мы возвращаемся к уравнениями § 18
предыдущего отдела (с заменой Х{ через </$). Подразумевая при этом
под S' такую систему координат, оси которой совпадают по направле-
направлению с различными решениями этих уравнений, т. е. с / векторами,
удовлетворяющими при условии симметрии тензора 2а (а\и~ аы) ра-
равенству
2 А (Я
(ср. § 3), а под коэфициентом преобразования ац> — слагающие этих
векторов Xi', нормированных к 1, по старым осям, мы получаем по
формулам B7а):
в соответствии с результатом § 14 отдела I о приведении потенциаль-
потенциальной энергии U к сумме / квадратичных членов (— ^ h'Xi?} .
Аналогичным образом можно интерпретировать результаты § 18,
отдела III, если под yi подразумевать величины mco2Xi—Aieiwt. Формула
22* 339

B95а) § 18 представляет, с этой точки зрения, преобразование внеш-
внешней силы к осям „нормальной" системы координат в /-мерном про-
пространстве. Заметим, что „эвклидовость" его связана в данном случае
с представлением кинетической энергии в виде суммы квадратов, что
соответствует, как уже указывалось в § 14, отсутствию „идеальных"
(жестких) связей. Возвращаясь к общей теории линейных уравнений B7),
предположим, что величины yif в свою очередь, определены уравне-
уравнениями того же вида через другие величины ц\
i
Подставляя эти выражения в уравнения B7), мы можем переписать
их в-виде
_ : = 2c.z)
где коэфициенты
/
\\
представляют собой слагающие тензора, 2c = 2ax2b, т. е. тензорного
произведения тензоров 2а и 2Ь в смысле формулы (9а) § 1. В случае
симметричности обоих сомножителей это определение тензорного умно-
умножения совпадает с тем, которое определяется формулой Си — ^а^Ьш,
i
причем величина произведения оказывается независимой от порядка
сомножителей.
В трехмерной теории антисимметричный тензор 2-го ранга оказы-
оказывается эквивалентным вектору, а 3-го ранга — скаляру. При />3 эти
результаты не имеют места. В этом случае число неисчезающих сла-
слагающих у антисимметрического тензора 2-го ранга, равное, если не
обращать внимания на разность в знаке х- / (/— 1), больше чем /.
Так например, оно равно б в случае /=4 (случай, рассматриваемый
в Эйнштейновой теории относительности, см. § 11, отдел V).
Заметим, что при этом, т. е. при /=4, антисимметричный тензор
3-го ранга оказывается эквивалентным вектору, а 4-го ранга — скаляру.
Последний результат легко обобщается на любое значение /. А именно,
/-мерный тензор /-го ранга, антисимметричный по отношению ко всем
индексам, эквивалентен скаляру. Все его слагающие равны одному и
тому же числу, со знаком -f- или — • Полагая это число равным 1,
мы получаем обобщение тензора Леви-Чивита. При
i, 2, з, ,..,/
= 1
все влагающие этого тензора, получающиеся из вышеприведенного
путем четного числа транспозиций (т. е. перестановок двух индексов)
равны 1 (четные слагающие), те же, которые получаются путем не
840

четного числа транспозиций равны — 1 (все остальные слагающие
с двумя или более одинаковыми индексами равны нулю).
Выражение
YY ....Y д. . . лAМB) A(-f)
ZaZa 2*l п г ••• lf ll i2 ''' f
h i2
представляет собой инвариант, равный определителю:
а / выражений
V
Л
соответствующих различным значениям индекса ix и представляющих
собой миноры элементов первой строки этого определителя, можно
рассматривать, как слагающие /-мерного векторного произведения / — 1
векторов АB) X АC) X . . . X А(/) в смысле § 7 отдела I.
§ 7. Применение симметричных тензоров высших рангов к теории
потенциала сил ньютоновского типа
Простейшим примером вполне симметричного тензора п-го ранга
является произведение п одинаковых векторов (§, §... §).
Различные слагающие этого „степенного" тензора можно предста-
представить в случае трех измерений, которым мы в дальнейшем будем огра-
ограничиваться, в виде f!™2!™3, где пх+ П2+П3 = п. При этом число сла-
слагающих, соответствующих одним и тем же значениям чисел пъ п2, п3,
равно числу перестановок в ряде п всех индексов, разделенному на число
перестановок в ряде пъ па, п3 одинаковых индексов, т. е. —:—]—г .
Заменяя вектор g оператором V и -применяя соответствующий тензор-
тензорный диференциальный оператор к какой-либо скалярной функции от
трех координат f(xv x2, х3), получаем тензор п-го ранга (V, V ... V)/,
слагающие которого сводятся к различным производным п-го порядка
от /, т. е. представляются в виде
Скалярное (т. е. максимально-приведенное) произведение тензоров
(g, &,...§) h(V, V,
антной суммой
(§,§,.. .§)-(V,V,
V)/выражается, очевидно, следующей инвари-
341

распространенной на все те целые неотрицательные значений чисел
ni> пъ, ^з> которые удовлетворяют условию пг + п2 + П3 = п. Заметим,
что эту сумму можно рассматривать как п-ю степень скалярного дифе-
ренциального оператора
примененного к функции f(xlt x2, Хз) = /(г)- Разделяя B8) на п!, мы
получаем очевидно п-й член в разложении функции f(x1-\-^l, X2 + ?2>
х3 + f3) B Ряд Тэйлора по степеням „приращений" fb ?2, f3. Таким
образом ряд Тэйлора для скалярной функции от векторного аргумента
может быть представлен одной из следующих двух формул:
/(г + |) = /(г) + g. V/ + }(|, |).(V, V)/+
+ ^(?,I,I)-(V, V, V)/ + ... B8a)
ИЛИ
+ jn(S-V)»/ + -.. B8b)
Предположим, что
т. е. что функция /(г + 5) представляет собой потенциал в точке
О (г = 0) векторного поля, обусловленного источником с „мощностью* е,
расположенным в точке Q(f + §) (ср. отдел II гл. II). Представим себе,
далее, что вблизи точки Р (г) расположено произвольное число подоб-
подобных источников (например материальных масс, если речь идет о поле
тяготения). Потенциал создаваемого ими результирующего поля в точке Р'
с радиус-вектором г' выразится, очевидно, следующим рядом:
?('-«•') = ? + V- v|+{2^ • (v, v)^+
+ l3,t.(V,V,V)i + ... B9)
где /? = | f — f' I обозначает расстояние PP'f a //., ji, 2[X, ... суть симме-
симметричные тензоры, определяемые формулами:
^ = 5в, |i = Seg, 2{i = Se(§J), 8|i = Se(g, S,S),... B9a)
причем знак S обозначает суммирование по всем источникам (в случае
непрерывного распределения последних, суммирование заменяется инте-
интегрированием по соответствующей линии, поверхности или объему). Мы
будем называть тензоры п{1 (п =. 0, 1, 2, . ..) м о м е н т а м и системы (S),
образуемой рассматриваемыми источниками, соответственно 0-го, 1-го,
2-го и т. д. порядков.
иг

Различные слагающие момента н-го порядка сводятся к следующим
выражениям:
P(nv n2, n3) = S<1CC B9b)
число которых, так же как и число различных производных и-го
р,
порядка от -g-, равно ^п+-1. в самом деле, каждому значению п1
соответствует н — пх + 1 значений чисел и2, п3, удовлетворяющих усло-
условию щ + л2 + п3 = п (а именно: и2 = О, и3 = н — п2; и2 = 1, п3 =
= п — пх -— 1 и т. д.), что в сумме составляет
(п- я, + 1) - 1 + 2 + 3+...+ (я + 1) -
Заметим, что (п+1)-й член разложения B9)
1»^)= V ^(%, /?at П8) V/?/ B9с)
у ?4 nx\nj.nz\ дхрдхрдх?*
П1+П2+П3*П А
обратно-пропорционален /?n+1, т. е. может быть представлен в виде
(п) Уп
где Yn-~ некоторая целая и рациональная функция п-й степени от отно-
отношений -^-д--(/=1, 2, 3), т. е. от косинусов углов, образуемых век-
вектором R с координатными осями. Функции этого рода называются шаро-
шаровыми функциями п-го порядка. Простейшими шаровыми функ-
функциями являются, следовательно, коэфициенты при п+1 в отдельных
производных п-го порядка от /?.
Необходимо подчеркнуть, что разложение B9) имеет смысл лишь
в том случае, если расстояние различных „источников" (Q) от Р
меньше расстояния РР1 = /?, т. е. если все эти источники
находятся внутри некоторого шара с центром Ри
радиусом а < /?; в противном случае ряд ср = у * + <р + <Р + •••
был бы расходящимся.
Момент п[л, так же как и всякий иной симметричный тензор п-го
ранга, может быть представлен графически в виде поверхности,
определяемой уравнением п-го порядка:
Г Г) = У Mfti» П2,ПЛ) пщ2п3
,1,...,!/ — ^ filing nz\ г 2 3
[ср. формулу A9а), относящуюся к тензорам 2-го ранга]. На исследо-
исследовании подобных поверхностей для случая и > 2 мы, однако, не будем
останавливаться.
343

Поскольку моменты n[i рассматриваются не сами по себе, но в связи
с выражением B9) для потенциала системы точечных источников, потен-
потенциалы которых обратно-пропорциональны первой степени расстояния,
соответствующие тензоры могут быть заменены эквивалентными
им в отношении величины у тензорами более простого вида.
А именно, принимая во внимание, что функция ^- удовлетворяет
уравнению Лапласа
R ~~ дх\
и составляя всевозможные производные (п — 2)-го порядка от V2 к-,
получаем "~ 'п тождественных соотношений между производными
и
И-го порядка от -=г :
тл-гфг^-+ *"№)
(кх+ к2 + к3 = п — 2). B9d)
Если левые части этих тождеств умножить на надлежащим образом
выбранные коэфициенты и прибавить их к выражению B9с) для <р(п\
то последнее может быть приведено к виду
V™ = ^ (А^п) • V) (Ain) • V) ... (А?г) . V) 1, B9е)
где /и(п) есть некоторый скалярный коэфициент, а А[п\ А[п\ ... До-
Доопределенным образом направ!енные единичные векторы. В самом деле,
каждый подобный вектор характеризуется двумя скалярными вели-
величинами (например своими слагающими по двум из координатных осей;
третий определяется из условия Л^пJ = 1). Таким образом общее число
параметров, входящих в B4е), равно 2п-\-1. Но это число как раз
равно разности —^ - — i~—~i-^ между общим числом коэфи-
циентов в B9с) и числом соотношений B9d).
Мы видим, следовательно, что в рассматриваемом случае, момент
П'Го порядка, т. е. тензор п{1 вполне эквивалентен некоторому другому
тензору того же ранга, определяемому п-единичными векторами А^п) и
одной скалярной величиной //п). Заметим, что последняя может рав-
равняться нулю при |[i]2>0. Так например, в случае п == 2 имеем:
(где знаки суммы по индексам ink опущены).
344

При (l2z = ^31 =^12 = 0 И /ЛП = //22 = /*33> Т« е' I 2{А ]2 = 3/<> ЭТ0 ВЫ"
ражение, в силу уравнения Лапласа, обращается в нуль,— откуда сле-
следует, что /гB> = 0, совершенно независимо от общей величины главных
слагающих тензора |г. В простейшем случае /2=1 скаляр |j/n) равен
численному значению вектора ji.
ГЛАВА II
МЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 8. Тензор инерции и общие уравнения движения твердого тела
Векторные уравнения механики твердого тела, которые были выве-
выведены в §§ 7 и 8, нетрудно представить в координатной форме, так
же как это было сделано выше для отдельной материальной частицы.
При этом обычно пользуются двумя прямолинейными и прямоуголь-
прямоугольными координатными системами, из коих одна (S) остается неподвижной,
а другая (S') неизменно связывается с рассматриваемым телом. Таким
образом движение последнего характеризуется положением системы S'
по отношению к S. Для простоты, мы ограничимся исследованием
вращательного движения тела вокруг неподвижной точки О, кото-
которая будет служить общим началом систем S и S'. Прямоугольные сла-
слагающие какого-либо вектора А в обеих координатных системах, т. е.
проекции его на соответствующие оси (ОХЪ ОХ2, ОХ3; OX'V ОХ'2У
ОХ'3), мы будем обозначать соответственно через Аъ А2, A,; Av Av Ar
С точки зрения неподвижной системы S вращательное движение
твердого тела определяется уравнением ~ = М ср. отдел I, т. е.
^ = Мг A = 1, 2, 3) 30)
С точки зрения системы S', вращающейся вместе с телом, то же
самое движение определяется уравнением A16) отдела I —.—|- «о X {1 == М
d'\i ' dfh
или, так как —тт =—п-,
' dt h dt '
^ + (ft>W~ Фд = Ml (h, i, к = 1, 2, 3) C0a)
При этом угловой момент тела [г связан с его угловой скоростью
о) соотношением, § 21 отдела I.
Опуская индексы / при буквах in и г, обозначающих массу и радиус-
вектор отдельных частиц рассматриваемого тела, получаем:
тг2 — 2 mxi
тг2 — 2| тх2 (со^ + со2х2 + а>гх3),
тг* — ^] тхъ Кхх + оJх2 + щх^
345

т. е.
= Jn<°l
У 33^3»
»8. J
где величины
)
C1a)
У22 =
Узз = 2 m (/ — ^ = 2 Ш (Х> + Х^'
i = / =У
«У 23 «У 32 .^^J
«/31 ~~""* «У 13
7l2 = /21 =
представляют собой слагающие симметричного тензора B-го ранга),
который мы назовем тензором инерции рассматриваемого тела. Обозна-
Обозначая этот тензор через 2j, можно представить соотношения C1) в виде
t*=2J-to, C1b)
т. е. определить момент количества движения твердого тела как ска-
скалярное произведение тензора инерции на вектор угловой скорости.
Заметим, что векторы [1 и to соответствуют векторам количества
движения р и линейной скорости v в механике частицы; таким образом
тензор инерции соответствует коэфициенту т в соотношении р = /от,
т. е. массе.
Это соответствие распространяется и на кинетическую энергию,
которая в случае вращающегося твердого тела равна (ср. § 21 отдел I)
2
= g- \| • to со
или, в проекциях на координатые оси:
Т = Т
C2)
C2а)
г к
Пользуясь подвижной координатной системой S', можно переписать
формулу C1Ь) в виде
" Ъ'сок', C3)
причем слагающие тензора 2J в системе S', т. е. по отношению к осям,
неизменно связанным с рассматриваемым телом, выражаются через соот-
соответствующие слагающие по отношению к осям неподвижным, как про-
произведения x'i'Xk* через Х\Х^ Если, следовательно:
v^
346

то
J'i'k' =
Оси тензора 2J называются главными осями инерции тела
для данной точки О. Мы будем в дальнейшем предполагать, что оси
подвижной системы Sf совпадают с осями инерции, так что J'23 = J'zl =
= 7i2 = 0. Соответствующие значения главных (диагональных) слагающих
инерциального тензора J'u, J22, J'zz называются главными момен-
моментами инерции тела (по отношению к точке О); мы будем в даль-
дальнейшем обозначать их через J[, J'2, J'r
При таком определении S' уравнения C3) сводятся к
C3а)
а выражение C2а) для кинетической энергии принимает вид
т=\
< + ух2+УХ2)-
Подставляя в уравнения движения (ЗОа) значения слагающих
C3а) и принимая во внимание, что ^У^ = 0, получаем:
_. dcoi .
из
т. е.
г ^1l
Jl dt
(так называемые уравнения Эйлера).
Решение этих уравнений не может, Рис. 39.
однако, дать полного представления о
вращательном движении тела, так как в них не входят угловые пара-
параметры, характеризующие его положение, т. е. положение по-
подвижной координатной системы S' по отношению к неподвижной S.
В качестве подобных параметров выбираются обычно три угла в, yj и <р,
определяемые следующим образом („Эйлеровы углы", рис. 39).
2) у = ЛХгОА,
где ОА линия пересечения плоскостей ХХОХ2 и Х[0Х'2, т. е. перпен-
перпендикуляр к осям ОХЪ и ОХ'3, направленный в сторону векторного про-
произведения е3 X е^;
3) р= ^А0Х[.
Заметим, что 0 называется углом „нутации", гр — углом прецессии,
а (р—углом собственного вращения-
847

Возрастанию в при ср = const и ^ = const соответствует угловая
<Ю
dt
скорость, равная - = б и направленная по прямой ОА; аналогичным
*, dw
образом возрастанию ip и <р соответствуют угловые скорости -— = ip и
~— 9?, направленные вдоль осей ОХ3 и OXg.
Угловую скорость тела со можно определить как геометрическую
сумму этих слагающих скоростей. Таким образом, вводя единичный
вектор
I e3 x e3 ( sin I
получаем следующее векторное равенство:
из которого путем скалярного умножения на е^, е^, е3 находим:
со- е^ == са^ = 6*(е; • е) + ^(е; • е3),
<*> • е; = со; =: у) (е; • е3) + v
или п вилу равенств:
ej • е =» cos <p, q\ • е = cos (9? + -^) = — sin у, 63 • е3 = cos 0f
К ' ез = (е1 X е3) • е3 = е^ • (е^ х е3) = - (е^ • е) sin 0 = + sin 0 sin <
е. • е3 = (е; X е;) • е3 = е; - (е8 X е;) = (е; • е) sin 0 = sin 0 cos q>
о)х = 0 cos <р + ^ sin 0 sin 9?
У2= — в sin ср + ip sin в cos cp
О
C4а)
При существовании потенциальной энергии U (т. е. при консерва-
консервативности действующих на тело внешних сил) слагающие вращатель-
вращательного момента М могут быть вычислены следующим образом. Работа
внешних сил за бесконечно-малое время dt выражается, как известно
[см. § 21 отдел I] скалярным произведением M-tddt. Приравнивая ее
убыли потенциальной энергии и рассматривая последнюю как функцию
углов в} у), ср, получаем:
ш. dU a dU • dU •
дд dtp Y д<р г
С другой стороны, согласно C4а), имеем:
М • со = V Mico'i = (М[ cos <р — М!г sin (р) в + (М[ sin в sin 9? +
i
-f -Mg sin 0 cos (p + Afi cos d) f -f Af8^,
348

откуда, в виду независимости величин 0, у) и <р друг от друга, следует:
Tx sin 0 sin (p + M'2 sin 0 cos <p + М'ъ cos 0 = — -r-
Разрешая эти равенства относительно M'v M'2i Mr3, получаем:
лл' ди , sin? / dU . dU a\
M1 = — tjq- cos <p + -r-? I ~~ a—h a~ cos " )
ал' i ^^ i coswf dU , dU л\
M2=+ ^ cos<p + -r-~ ( — т—hr~ cos0
C5)
При подстановке выражений C4а) и C5) в уравнения движения C4),
последние превращаются в диференциальные уравнения второго порядка
относительно углов 0, %р и (р. Для интегрирования их необходимо лишь
знать зависимость U от 0, у> и ср.
Какрва бы ни была эта зависимость, движение твердого тела должно
удовлетворять закону сохранения энергии Т + U « const, где Т — кине-
кинетическая энергия. Последняя в подвижной координатной системе S'
представляется в виде (ЗЗЬ):
В простейшем случае свободного вращения твердого тела, т. е.
при отсутствии внешних сил, Т сохраняет постоянное значение. Вместе
с тем в этом случае остается постоянным по величине и направлению
угловой момент
Р = У>Ж + У>Х + /.<»&.
Рассматривая (!) как радиус-вектор некоторой точки Р, мы можем
трактовать равенство Т == const как уравнение эллипсоида, изобража-
изображающего графически тензор 2J, а вектор |i = 2J • w считать перпендикуляр-
перпендикулярным к касательной плоскости к этому эллипсоиду в точке Р (ср. §31).
Таким образом при условии ji = const и Т = const движение твер-
твердого тела можно представить себе как катание связанного с ним „эллип-
„эллипсоида инерции" по неподвижной плоскости, служащей для него опорой,
причем, конечно, центр эллипсоида О остается также неподвижным
(теорема Пуансо).
§ 9. Движение волчка в поле силы тяжести
Аналитическое решение вопроса о движении твердого тела при
наличии внешних (консервативных) сил сводится, как мы только что
видели, к определению потенциальной энергии U в зависимости от
углов 0, у; и (р.
349

Оставляя вопрос о форме этой зависимости открытым, мы можем
вывести общие уравнения движения твердого тела в переменных 0, гр, (р
непосредственно в форме Лагранжевых уравнений B-го рода,
т. е. с исключенными связями). Для этого необходимо лишь знать вид
кинетической энергии, как функции этих переменных и соответствую-
соответствующих скоростей.
Подставляя выражения C4а) в формулу (ЗЗЬ), получаем:
Т = — J[{0 cosy + ^sin6sin^J+ -к J\ir~ 6sin(p +y sin0cosy) +
as в). C6)
и
Вытекающие отсюда общие уравнения совпадают, разумеется, с теми
которые получаются по изложенному выше методу преобразования ко-
координат. В виду их сложности, мы их рассматривать не будем.
Эти уравнения чрезвычайно упрощаются в частном случае (имеющем
наибольшее практическое значение), когда J[==J2) т. е. когда эллип-
эллипсоид инерции тела сводится к эллипсоиду вращения около оси х'3 (само
тело может при этом и не иметь симметрии вращения). Предыдущее
выражение для кинетической энергии сводится в этом случае к сле-
следующему:
7 = 1 Д<92 + A sin2 0 . w + 4- В (ip + у cos вJ«
= I АО2 + (Asin2e + Вcos*d) w* + 1b^2 + Bcos0.^ .у, C6а)
iid Li
где Л = J[==J'2 и В = Уз, а Лагранжевы уравнения движения
d dL dL p. d dL dL, ~ d dL dL ^
Ъ дв дв "" ' dt д'гр дгР "" ' dt dip дер "-
принимают следующий вид:
C7)
Д6» + (е — Л) cos б- sin0-v>2-f-Bsin!9 • <р у> + ~ =0
^- =0
Мы ограничимся рассмотрением этих уравнений при условии, когда
потенциальная энергия зависит только от угла б, как это, например,
имеет место в случае волчка, вращающегося в поле тяжести, который
уже был рассмотрен нами приближенным образом в § 22 отдела I.
В этом случае момент силы тяжести (стремящийся опрокинуть волчок)
направлен по прямой О А (рис. 38) и равен mgr sin в, где m — масса
волчка, g — ускорение силы тяжести и г — расстояние центра тяжести
волчка от точки опоры. Полагая mgr sin 0 =—~тш~ > мы получаем для
потенциальной энергии волчка выражение
U = С cos 0, C7а)
850

где С = mgr. При г = О, U обращается в нуль и мы возвращаемся к рас-
рассмотренному уже в конце предыдущего параграфа случаю свободного
вращения твердого тела. В дальнейшем мы будем предполагать что г>0.
В виду независимости как потенциальной, так и кинетической энер-
энергии от углов гр и <р} соответствующие обобщенные импульсы ру, = —
и р<р = -г должны иметь постоянные значения, Мы получаем, таким
образом, два уравнения:
В (<р + у cos в) = ру = const C8)
и
A sin2 в - у + pg, cos в = pv = const, C8a)
позволяющие определить скорости ^ и |) в зависимости от угла в.
Заметим, что импульсы р<р и pw представляют собой соответственно
проекции результирующего момента количества движения на оси хг и
Х3. В самом деле, полагая
{г = А (со[е\ +о>& + В о>;е;,
получаем:
{А • е^ =з В о>з = В (9? + гр cos0) согласно третьей формуле C4а), т. е.,
следовательно, {1 • е^ = р<р и цалее:
{л • е3 = Асо[е\ • е3 + Aa>2tf2 • е3 + ^Х • е3 == Л (со[ sin 0 sin <p +
+ со^ sin в cos 9?) + В <о'л cos 0 = Л [@ cos у + у sin в sin g?) sin в sin p +
4- (# sin 93 + V s*n ^ cos 9^) s^n ^ cos И + В (99 +v cos 0) cos 0 =
= А гр sin2 б + В (<р + у cos 6) cos в = pv.
Первое уравнение C7):
Ав + (В— A) cos б sin в • v>2 + (B^p — С) sin в = 0 C8b)
может быть заменено в совокупности с C8) и C8а) уравнением сохра-
сохранения энергии:
j Ав2+ Asm2e.y>2 + ^ В (у + соьв.уJ + С . cos в » Ц/ = const,
которое при подстановке в него выражений <р и гр из C8) и C8а) при-
принимает следующий вид:
В приближенной теории волчка, развитой в § 22 отдела I, мы пред-
предполагали, что угол 0 сохраняет постоянное значение; при этом движе-
движение волчка должно сводиться к вращению с постоянной угловой ско-
скоростью (р и прецессии вокруг вертикальной оси, с постоянной угловой
скоростью хр [постоянство той и другой в предположении в = const
351

вытекает из уравнений C8) и C8а)]. Так как в случае быстрого враще-
вращения ^<С^9°> т0> полагая в C8Ь) 0 = const и пренебрегая вторым чле-
членом, как содержащим квадрат малой величины ip, мы получаем для ско-
скорости прецессии выражение:
*-?¦
Bq>
совпадающее с формулой A15) отдела I.
В действительности движение волчка осложняется периодическими
колебаниями угла 0, называемыми „нутацией".
Приближенно явление нутации может быть учтено следующим
образом. Подставляя в C8Ь) выражение чр и <р из C8) и C8а), мы
получаем уравнение вида
В предположении, что угол 0 испытывает колебания малой ампли-
амплитуды около среднего значения 0О, при котором 0, а, следовательно, и
/@) обращается в нуль, мы можем положить /@) = @ —- в0) f @O). При
условии f'@o)>O, которое выполняется в случае не слишком медлен-
медленного вращения волчка, мы получаем таким образом приближенное
уравнение
соответствующее гармоническим колебаниям угла в с неопределенной
амплитудой ае и с частотой — = 1/ '-—^ :
В такт с этими колебаниями нутационного угла колеблются, согласно
C8) и C8а), угловые скорости вращения и прецессии. При этом зависи-
зависимость (р и \р от времени может быть выражена формулами вида
cp—(pt + a<p cos (cot + E); tp= ipt + fly, cos (cot -f E),
где ^ и у — средние значения <р и tp, соответствующие 0 = #о; ампли-
амплитуды игр и av определяются однозначным образом амплитудой а#. Заме-
Заметим, что линия, описываемая осью волчка на поверхности шара произ-
произвольного радиуса, представляет собой циклоиду.
Для более точного определения нутации, с учетом ее амплитуды,
т. е. пределов б', в", внутри которых колеблется угол 0, выгоднее
воспользоваться уравнением C9). Вводя в качестве зависимой перемен-
переменной вместо угла в его косинус и полагая для краткости cos 0 = z, имеем
dz - ndd
т. е.
02 ^ _i!_ - J—
sin2 в 1-z2
352

и следовательно:
\ Az2+ {Py — P(pz? + A(Cz- W')(l—z*) = 0, C9a)
где F=siy ^L можно рассматривать, как ту относительно малую
часть энергии движения волчка, которая получается за вычетом энер-
энергии собственного ^ращения. Обозначая корни полинома третьей степени,
фигурирующего в этом уравнении, через z0, zly Z2 можно переписать
его в виде
Из положительности этого выражения вытекает, что z либо больше
всех трех корней, либо больше наименьшего из них z2 и меньше, двух
остальных. В последнем случае изменение г, как функции времени,
должно сводиться к периодическим колебаниям в пределах от z2 до
следующего корня zlt и обратно. Имея в виду этот случай (соответ-
(соответствующий явлению нутации), мы перепишем предыдущее уравнение,
в виде
* = х (z° - 2> & ~z) (z -z^ C9b)
Значения корней легко, если не в точности определить, то по
крайней мере оценить, из соотношений между этими корнями и коэфи-
циентами полинома:
^0^2 4" ^1^2 — д?
D0)
При больших скоростях кинетическая вращения энергия последнего
Р2
сводится практически к ~ , причем эта энергия очень велика по сра-
сравнению с величиной С = mgr, которая представляет собой потенциальную
энергию вертикально стоящего волчка. Таким образом в рассматриваемом
случае сумма всех трех корней должна быть гораздо больше 1, что
следует отнести всецело за счет наибольшего корня z0, так как два
остальные корня 2Х и z2 должны быть меньше 1 для того, чтобы фак-
фактическое значение 2 = cos0 могло заключаться между ними. Полагая
Pi
приближенно z0 = ¦—? у мы можем вычислить Z± и г2 из двух других
соотношений D0) и тем самым определить пределы нутации. Что касается
23 Курс теорет. механики. 353

зависимости нутационного угла в рт времени, то при определении ее
из уравнения C9Ь) можно заменить множитель (z0—Z) в правой части
через (zo — 2), где г среднее значение z, или просто через z0 = ~g .
Мы получаем, таким образом, приближенное уравнение:
решение которого выражается формулой:
lb ) D0b)
что соответствует нутационным колебаниям с амплитудой ав =%х Т ^2 и
угловой частотой со = ]/^2 -~ или приближенно, если р<р заменить
через В<р:
Отсюда видно, что частота нутации, примерно, во столько раз больше
числа оборотов волчка в единицу времени, во сколько осевой момент
инерции В больше экваториального А.
Рассмотренное приближение утрачивает смысл в том случае, когда
угол в близок к нулю или к п, т. е. в случае волчка, „стоящего"
почти вертикально или висящего почти вертикально, подобно маятнику
(в последнем случае он так и называется гироскопическим маятником;
при этом знак коэфициента С в выражении потенциальной энергии
следует изменить на противоположный).
Наиболее просто и притом наиболее наглядным образом этот слу-
случай может быть исследован и описан методом функции Рута (Отдел III
§ 8), соответствующей исключению угла собственного вращения q> как
циклической координаты. Остальные два угла в и \р можно при этом
рассматривать как полярные координаты оси волчка на небольшом
участке поверхности шара с радиусом 1 и с центром в закрепленной
точке (точке опоры или точке подвеса). В виду малости этого участка,
сто можно отождествить с соответствующим участком касательной пло-
плоскости к верхней или нижней точке шара и, следовательно, тракто-
трактовать в (или л — в) и а = ip — *— как обыкновенные полярные коорди-
наты точки Р, изображающей ось волчка на плоскости.
Началом этой системы служит точка О, в которой рассматриваемая
плоскость пересекается с неподвижной осью Хг. Р представляет сосой
точку пересечения этой плоскости с осью волчка X'z\ угол в играет
роль расстояния от начала (г), а угол у> — азимута а, увеличенного
«-!¦
Функция Рута, в рассматриваемом случае определяется формулой:
R = L — рср • у,
354

где, согласно C4а) и C5а):
L = -g- Лб2 + A sin2 б . ^2 + ~к В {(р + ip cos 6j2 — С • cos б,
причем
Рф z=z В ((р-{-гр cos б) = const.
Таким образом функция Рута в функции углов б и ^ и соответствую-
соответствующих скоростей, а также постоянного импульса р<р имеет следующий вид:
Я = ! Лб2+ Лsin26 • <ip* + -^- р2 — А>йг -Vcos 0) - с * cos e">
т. е.
D1)
Ограничиваясь значениями б, близкими к нулю („стоящий волчок"),
мы можем заменить в этом выражении sin в через в и cos 0 через
1 —, что дает:
tf = A@2+eV) + (/WC)(i)
т)—ш- <41а)
В этом выражении величина $2 + 02^2 = б2 + б2а2 представляет собой
квадрат скорости v точки Р, а произведение /^ • у) = р<р • а~-~- • 0а
можно определить как скалярное произведение этой скорости на вектор,
численно равный -~- и направленный по касательной к окружности
0 = const (в сторону возрастания а если р(р>0). Множитель 1
при p<pip можно заменить единицей, в виду малости 0; в члене же
1 ;г) мы, наоборот, можем отбросить единицу, так как она соот-
соответствует лишь аддитивной постоянной. Отбрасывая эту постоянную,
Р%
так же как и постоянную -ккч мы П0ЛУчаем окончательно следующее
приближенное выражение для R:
^- + ^C6*. D1b)
Отсюда видно, что движение точки Р (оси волчка) происходит со-
совершенно таким же образом, как движение заряженной частицы с мас-
Р
сой А в присутствии магнитного поля с векторным потенциалом ~~- (если
заряд частицы в электромагнитных единицах, т. е. — положить равным 1)
и центральной силы, прямо пропорциональной первой степени рас-
расстояния 6; в случае стоящего волчка она имеет характер отталкивания,
а в случае висящего (С< 0) — притяжения, т. е. обычной квазиупругой
силы.
В прямоугольных координатах:
X = в cos a s= в sin у); у = в sin а = — 0 cos y>
23* 355

Р<рУ
слагающие вектора % по осям х и у равны соответственно g—
-~-. Таким образом функция D1Ь) принимает в этих координатах сле-
следующий вид:
± 4^ D2>
Составляя уравнения Лагранжа-Рута:
d dR dR __ Q d dR dR
dt dx dx """ ' dt dy dy
получаем после ряда сокращений:
D2а)
Эти два уравнения можно заменить одним с комплексной переменной
Zs=X+iy, эквивалентной радиусу-вектору в:
Az— ipv -у!^ — Cz = 0. D2b)
He останавливаясь на более подробном его рассмотрении, заметим
лишь, что „гироскопические" силы, характеризуемые вторым членом,
обеспечивают устойчивость движения, или, вернее, его „ограниченность*
(в смысле конечности и даже малости в) в случае „стоящего" волчка,
несмотря на отрицательный знак, действующий в этом случае квази-
квазиупругой силы.
В заключение рассмотрим вкратце вопрос о прецессионно-нута-
ционном движении земной оси, проистекающем вследствие неоднород-
неоднородности действующего на земной шар со стороны луны и солнца грави-
гравитационного поля в связи с сплющенностью земли в направлениях ее оси.
Для этого вычислим потенциальную энергию земли U в зависимости
от угла д образуемого осью ее X'z с каким-либо неизменным направле-
направлением, например, оси эклиптики — Xz.
Обозначим потенциальную энергию массы dm земли или какого-либо
другого тела, сосредоточенной вблизи точки Р, через Фйт. Вели-
Величина Ф, т. е. энергия, отнесенная к единице массы, называется потен-
потенциалом сил тяготения в точке Р; при этом имеются в виду силы
тяготения, исходящие из какого-либо другого тела. Рассматривая этот
потенциал, как функцию г = 2 ЪЪ == 2 Xh^k и Разлагая его в РЯД Тэй-
i к
лора, имеем, согласно формуле B8) § 7:
Ф(г) = Ф0+г . УФ0+ JL (г, r).(V, V) Фо +
856

где значок 0 показывает, что соответствующие величины (функция Ф
и ее производные по координатам) относятся к точке г = 0.
Умножая это равенство на dm и интегрируя по всему объему рас-
рассматриваемого тела, получаем:
у2^^, У)фо+..., D3)
где величины
ju~ fdm = m, {1= frdm, 2jjl= j{x>x)dm D3a)
представляют собой „гравитационные моменты" тела, т. е. его массу
момент 1-го порядка (вектор), момент 2-го порядка (тензор 2-го ранга
и т. д.
В простейшем случае однородного поля тяжести, с которыми мы
обычно имеем дело на земной поверхности, правая часть формулы D3)
сводится к первым двум членам или, так как величину Фо можно счи-
считать равной нулю, к одному лишь члену первого порядка
где g =— УФ0 представляет собой силу, действующую на единицу
массы, т. е., следовательно, не что иное, как ускорение силы тяготения
в данном месте. Если момент первого порядка ji равен нулю, то точка О
(от которой отсчитывается радиус-вектор г в интеграле / tdm) назы-
называется центром тяжести или массы тела. Таким образом твердое
тело, закрепленное в центре массы, вращается в однородном поле тя-
тяжести так же, как и совершенно свободное тело. Если вектор [i не
равен нулю, то отношение его к массе, т. е. вектор
представляет собой радиус-вектор центра массы, заменяя в этом отно-
отношении точку О.
Проводя ось 0Х3 в направлении вектора g, имеем в этом случае:
=mg [a[ sin 0 sin q> + az sin 0 cos cp + az cos 0],
где av #a> аз—координаты центра массы в системе S' и, следова-
следовательно,
ц = — mg (ax sin 0 sin у -f- a2 sin 0 cos <p + az cos 0).
В простейшем случае волчка, центр тяжести которого расположен
на оси вращения (аг =а'2=* 0), эта формула сводится к приведенной
уже выше формуле C6а) (при az = г).
В случае земного шара момент первого порядка {л исчезает (так как
геометрический центр земли О совпадает с ее центром массы). Что же
касается момента второго порядка, т. е. тензора 2jjl, to его слагающие
357

в координатной системе S' при совпадении земной оси с осью 0X'z
принимают вид:
Ki = /4 = f К2 dm = у f (x* + х'22) dm =»
и K3 =
тогда как побочные слагающие (с неодинаковыми индексами) обращаются
в нуль.
Ограничиваясь членом 2-го порядка в разложении D3), получаем:
U ~ У К ?)о
- Y (/% - Ы (-^"H + 1Г
Потенциал Ф можно представить в виде суммы элементарных потен-
kdm - Р kdm'
циалов —, т. е. в виде интеграла Ф ==— I —^—, распространен-
распространенного по всем тем массам dm', которые являются его источниками
(R = r— f'). Отсюда следует [ср. § 14, формула B0с)], что поле тя-
тяготения, вне обусловливающих его тел, удовлетворяет уравнению Лап-
Лапласа у2Ф = 0. Таким образом
д2Ф . д*Ф
и следовательно предыдущее выражение для U сводится к
D3b)
Переходя от подвижной координатной системы к неподвижной,
имеем:
3 ^b'_J oxioxk
откуда непосредственно получаем выражение U в функции углов в и у>.
Вращательный момент, определяемый энергией D3Ь), имеет такое же
направление, как и в случае волчка, вращающегося в поле земной тя-
тяжести (т. е. направлении прямой ОА на рис. 40). Он обусловливает,
поэтому, совершенно аналогичное прецессионное и нутационное дви-
движение земной оси относительно оси эклиптики. Период прецессии, за-
зависящий от притяжения солнца, составляет 11000 лет.
253

ГЛАВА III
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
§ 10. Тензоры деформации и напряжений
В предыдущих параграфах мы предполагали, что частицы твердого
тела сохраняют неизменное относительное положение.
На самом деле они могут, хотя и в весьма незначительной степени,
перемещаться по отношению друг к другу. Изучение этого относи-
относительного движения частиц, а также связанных с ним внутренних
сил (которые в механике „идеальных" твердых тел не принимаются во
внимание) составляет предмет теории упругости.
Предположим, что рассматриваемое твердое (упругое) тело остается
в целом неподвижным, но что отдельные его частицы перемещаются
из своего нормального положения, характеризуемого радиусом-вектором г,
на весьма малые отрезки, которые мы обозначим через U. Таким обра-
образом „деформированное" состояние тела определяется векторной функ-
функцией u(r) или в координатном представлении тремя скалярными функ-
функциями:
*2, К3), П* (ХЬ Х2, Х3), Ы3 (Х19 Х2, Х3),
где координатная система предполагается прямолинейной и прямо-
прямоугольной.
Заметим, что сумма r+u обозначает радиус-вектортой частицы (М)
деформированного тела, которая в нормальном состоянии находится
в точке Р с радиус-вектором г.
Относительное перемещение частиц М', окружающих М, опреде-
определяется разностью их абсолютного перемещения U' и абсолютного пере-
перемещения частицы М, т. е. U.
Ограничиваясь бесконечно-близкими частицами, имеем:
щ — щ - Лщ =
k
или независимо от координатной системы:
zlu=(V, u) • zlr, D4а)
где тензор (V, и) с прямоугольными слагающими (V, u)ju B=s -т— пред-
ставляет собой „диференциальное расширение" вектора U, а Ах обо-
обозначает отрезок РР\ проведенный от частицы М к соседней частице М'
внутри некоторого элемента объема V тела ^в нормальном состоянии
последнего).
Разлагая (V, и) на симметричную и антисимметричную часть:
D4b)
и вводя вектор
со = у rot U, D4с)
359

эквивалентный антисимметричному тензору 2R, имеем:
Ли *= 2а • At + to х At. D4d)
Перемещение, определяемое вторым слагаемым правой части, пред-
представляет собой поворот рассматриваемого элемента тела, как целого,
на весьма малый угол d>. При изучении истинной деформации, т. е.
относительного перемещения частиц тела, этот поворот можно
так же не принимать во внимание, как и общее поступательное пере-
перемещение и. Таким образом истинная деформация определяется первым
слагаемым в равенстве D4d), т. е. симметричным тензором 2а
с слагающими:
D4e>
дхк
Линейный инвариант этого тензора деформаций:
D4f)
представляет собой объемное расширение рассматриваемого эле-
элемента тела, т. е. отношение увеличения (или уменьшения) его объе*ма
к нормальному объему V1).
Пользуясь координатной системой с осями Х[, Х'2, X'z> параллель-
параллельными осям тензора 2а, имеем Bа • Ах)\ = а'ц • Ах[. Отсюда видно, что
истинная деформация тела сводится в каждой точке к растяжению (или
сжатию) в трех взаимно-перпендикулярных направлениях в отношениях
а'ц: 1. Таким образом в нормальной системе координат (главные) сла-
слагающие деформационного тензора равны коэфициентам линейного
расширения тела в направлении координатных осей.
При одинаковости всех трех коэфициентов расширения, т. е. при
а'и с= а'22 = я33 = -~- div U, мы получаем изменение объема без изменения
формы (всестороннее растяжение или сжатие). В этом случае преды-
предыдущие равенства сохраняются в любой системе координат, причем по-
побочные слагающие тензора 2а (я23> агъ а1ъ) обращаются в нуль.
Если сумма главных слагающих равна нулю, то можно выбрать
координатную систему таким образом, чтобы каждое из них в отдель-
отдельности обращался в нуль. В этом случае мы имеем чистое изменение
формы (при постоянном объеме), сводящееся к нескольким сдвигам,
величина которых определяется побочными слагающими тензора де-
деформации.
Деформация твердого тела связана с возникновением внутренних
или „упругих" сил, выражающихся в стремлении переместившихся
частиц вернуться в исходное относительное расположение. Эти силы,
так же как и соответствующая деформация, характеризуются некоторым
тензором второго ранга 2Т, называемым тензором напряжений
и заменяющим скаляр гидростатического давления в случае жидко-
жидкостей и газов.
х) Заметим, что тензор иногда называют „деформатором" и обозначают
символом 2a==defu.
S60

Представим себе два слоя тела, граничащих при нормальном со-
состоянии последнего вдоль площадки dS с нормалью п, проведенной из
первого слоя во второй. Сила dF, испытываемая первым слоем со сто-
стороны второго через эту площадку (или, вернее, соответствующую ей
в деформированном состоянии тела площадку dS с нормалью v), опре-
определяется двумя факторами, а именно: 1) вектором ndS, характеризую-
характеризующим величину и направление площадки dS, и 2) некоторой скалярной,
векторной или тензорной величиной, характеризующей динамическое
состояние тела в рассматриваемой точке. Для определения этой вели-
величины, заметим, что сила dF должна быть пропорциональна численному
значению вектора ndS и что, далее, при изменении п на —п, она
также должна менять знак, т. е. заменяться силой той же величины,
но противоположного направления. Первое из этих требований совер-
совершенно очевидно; что же касается второго, то оно непосредственно
вытекает из принципа равенства и противоположности действия и про-
противодействия (ибо изменение направления вектора п на противополож-
противоположное соответствует переходу от силы dF, испытываемой „первым" слоем
со стороны „второго", к силе — dF, испытываемой вторым слоем со
стороны первого). Наиболее общее инвариантное соотношение между
векторами dF и ndS, удовлетворяющее этим требованиям, выражается
формулой:
2Td D5)
или, в координатном представлении:
hi-nkdS, D5а)
и
где тензор второго ранга 2Т, играющий роль коэфициента пропорцио-
пропорциональности, и есть искомая динамическая величина (тензор напряжений).
Формула D5) представляет собой непосредственное обобщение соот-
соотношения dF = — р • n dSj которое имеет место в случае жидкостей и
гйзов (р = гидростатическое давление). В самом деле, произведение
вектора n dS на скаляр — р совершенно эквивалентно скалярному про-
произведению его на тензор
-А О, О
О, -Л О
О, 0, -р;
который получается умножением — р на единичный тензор Ч.
В случае твердых тел побочные слагающие тензора напряжений,
вообще говоря, отличны от нуля, а главные не равны друг другу, так
что сила dF не совпадает по направлению с нормалью к п. Нетрудно,
однако, доказать, что тензор напряжений, так же как и тензор дефор-
деформации 2а, является симметричным и что поэтому для трех взаимно-
перпендикулярных направлений, соответствующих его осям, сила dF
оказывается параллельной п — так же как и в случае жидкостей.
Примем во внимание некоторую часть тела, ограниченную в неде-
формированном состоянии замкнутой поверхностью 5 и занимающую
при этом объем V'. Результирующая сила, которую испытывает эта часть
тела со стороны окружающей ее массы, выражается интегралом
361

F ss / 2T • n dSy а результирующий вращательный момент по отноше-
отношению к какой-либо внутренней точке Р — интегралом М / § X 2Т • n dS,
где § — отрезок, соединяющий Р с одной из точек элемента поверх-
поверхности dS. Полагая, согласно формуле B1) § 4, /2T-ndS =
= Г П • 2fd5= f div2TdV, мы можем рассматривать поверхностную
силу F как результирующую объемных сил fdV, — где
f = div2f D5b)
или, в координатном представлении:
есть внутренняя сила, отнесенная к единице объема (в случае жидкостей
f=-Vp).
Переходя к вектору М, имеем:
Mh = f (ft Tihn} - hTurti) dS =
= У щ {Si Tjk - hTn ч. dS (Л, i,k = 1, 2, 3)
или, в виду равенства
которое непосредственно вытекает из формулы
f
+ f{Tik-Tki)dV
(ибо-г-^-= 1 при j = i и 0 при j?=i\. Сравнивая это выражение
дхз I
с D5с) получаем:
Mh = f {Si fk - Skh) dV + f (Tih - Tut) dV
или, независимо от координатной системы:
где R—вектор, эквивалентный антисимметричной части тензора Т:

Но так как объемные силы эквивалентны поверхностным, из которых
мы исходили при определении вектора М, то этот вектор должен быть
равен первому слагаемому в правой части предыдущего равенства (т. е.
вращательному моменту объемных сил), а следовательно второе слагае-
слагаемое должно обращаться в нуль, независимо от размеров и формы
объема V. Отсюда следует, что 2Т — 2Т* = 0, т. е., что тензор 2Т
симметричен.
Заметим, что главные слагающие этого тензора (Тп, Т22, TW) на~
зываются нормальными напряжениями, а побочные (Т2з> Т%ъ ^12) —
касательными или тангенциальными. При надлежащем выборе коор-
координатной системы эти касательные напряжения исчезают. Что же ка-
касается нормальных, то сумма их:
Тц + Тя+Таз^-Зр DSd)
представляет собой инвариантную величину, которую можно трактовать
как утроенное значение (отрицательного) гидростатического давления
в соответствующей точке.
§ 11. Соотношение между деформациями и напряжениями
Соотношение между тензорами 2а и 2Т, определяющими деформацию
твердого тела с геометрической и динамической стороны, может быть
представлено в наиболее общем случае формулой вида:
где Kij,hi — слагающие тензора 4-го ранга, характеризующего упругие
свойства этого тела. Формулы D6) выражают тот факт, что, при изме-
изменении слагающих тензора деформаций 2а в определенном отношении,
слагающие тензора напряжений изменяются в том же самом отношении,
и наоборот (закон Гука: „ut tensio, sic vis"). Само собой разумеется,
что они остаются справедливыми лишь для достаточно малых
деформаций (не превышающих так называемого „предела упругости
выше которого нормальное состояние тела не восстанавливается при
устранении внешних сил).
Величины xijtki называются модулями упругости. Они симме-
симметричны относительно индексов ij, с одной стороны, и kl — с другой;
таким образом число их сводится в общем случае к 6-6=36. Фор-
Формулы D6) можно заменить обратными:
где величины Сц,ъ\ (так называемые коэфициенты упругости) пред-
представляют собой слагающие тензора 4с, обратного тензору Sc^c—Sc*"*1).
Представим себеу что деформация твердого тела испытывает беско-
бесконечно-малое изменение, при котором смещение частиц из нормального
положения (U) увеличивается на du. Силы, действующие на некоторую
часть тела, ограниченную в нормальном состоянии поверхностью S со
363

стороны окружающей массы (см. выше), совершают при этом беско-
бесконечно-малую работу
AА
= Jd? . rfu= f (»т . n). dudS.
Так как эта работа зависит только от относительного пере-
перемещения частиц, то, ограничиваясь весьма малым объемом и считая
одну из его точек (Р) неподвижной, мы можем положить, согласно
формуле D4d):
где вектор |( = zJr) имеет прежнее значение.
Подставляя это выражение в предыдущий интеграл, получаем:
dA = /
г j ft
или приблизительно (в виду малости S)
ijh ijk
ибо -~- = 1 при / = / и 0 при i ?
охг
Поскольку внутренние силы имеют консервативный характер, работа
их должна равняться приращению потенциальной энергии деформиро-
деформированного тела. Предыдущая формула показывает, что эту энергию можно
трактовать как величину, распределенную по объему тела, причем
изменение энергии, связанной с единицей объема (измеренного в не-
деформированном состоянии тела), соответствующее изменению тензора
деформации на dBa), выражается формулой:
« Тп dan + Г22 da22 + Т33 dazz + 2723 da2Z + 2Т31 dan + 2T12 da12. D6b)
Рассматривая U (объемную плотность энергии) как функцию тен-
тензора 2а (или его слагающих), мы можем, следовательно, положить:
'¦
В виду линейности и однородности соотношений между 2Т и 2а, вы-
вытекающей из закона Гука и выражаемой равенствами D6) и D6а),
энергия U должна представлять собой квадратичную форму (линейную
однородную функцию 2-й степени) по отношению к величинам а\к (или
)- При таких условиях, согласно известной теореме Эйлера, сумма
364

2j2u~da— ik должна равняться 2с/. Отсюда получаем для и следующее
г к Ш
выражение:
а = т.а =
г
или, на основании D6) и D6а),
1
1
j k I г j k I
Что касается потенциальной энергии всего тела или части его, за-
занимающей в недеформированном состоянии некоторый конечный объем,
то она равна интегралу / U dV, распространенному по этому объему.
Из формулы D6е) следует, что
d2U
CiUhl- dTijdThl * dThldTtj "с«.«-
Таким образом в общем случае кристаллических твердых тел с наи-
наименее симметричным внутренним строением число различных слагаю-
слагающих тензоров 4х и 4С равно, как легко убедиться, 21 (а не 36, см.
выше). Подобными телами являются кристаллы триклиномерной системы.
С увеличением симметрии кристалла возрастает симметрия тензора
упругости 4х (или 4с) и вместе с тем уменьшается число его различных
слагающих. В случае наиболее симметричных кристаллов кубиче-
кубической системы, характеризующихся одинаковостью всех своих свойств
в трех взаимно-перпендикулярных направлениях, число отличных от нуля
слагающих тензора 4х при совпадении координатных осей с вышеука-
вышеуказанными направлениями (главными осями симметрии) сводится к трем.
В случае аморфных (или „изотропных") тел, характеризующихся
одинаковостью своих свойств во всех направлениях, тензор упругости
сводится к двум скалярам, остающимся инвариантными по отношению
к любым преобразованиям прямолинейных и прямоугольных координат.
Это обстоятельство можно доказать следующим образом.
Поскольку в изотропном теле все направления являются эквивалент-
эквивалентными, оси тензора напряжений должны совпадать с осями тензора де-
деформации. Наиболее простая линейная зависимость, между обоими
тензорами, которая удовлетворяет этому требованию, выражается фор-
формулой Tik~a(lik, где а — некоторая постоянная.
Оно остается, однако, выполненным, если мы прибавим х правой
части тензор, также линейный относительно величины а\ь и обладающий
шаровой симметрией. Таким тензором является единичный тензор <5i&,
умноженный на линейный инвариант 2а, т. е. на #A) = ап + а22 + #3з и
на произвольный инвариантный коэфициент X. Заменяя а через 2{л мы,
таким образом, получаем следующую формулу:
D7)
365

т. е.
Та = Я. (аи + а22 + aS3) + 2/шц 1
Tik^2fxaik (гФк). J
К тому же результату приводит рассмотрение потенциальной энергии
упругого тела. Так как она должна представлять собой однороднухЮ
функцию второй степени относительно величин ащ и при этом функцию,
инвариантную по отношению к всевозможным преобразованиям коор-
координат, то наиболее общее ее выражение должно иметь следующий вид:
i ft
Диференцируя это выражение по слагающим ## (и считая при этом
величины aik и аи независимыми друг от друга), получаем:
т. е. уравнения D7а).
Таким образом слагающие тензора упругости 4х сводятся к следую-
следующим: кц, kk = ^ + 2/гДй, где /^ = 1 при к =» / и 0 при kzjbi ^Пред-
^Представляет собой единичный тензор) и и^, iu = 2/^; все остальные слагаю-
слагающие обращаются в нуль.
Из уравнений D7а) непосредственно получаются обратные соотноше-
соотношения:
D7b)
i -+- a ~, i
«12 ^
где
,, /о о ? о..ч
D7c)
— так называемый модуль Юнга, а
D7d)
— коэфициент Пуассона (отношение поперечного сжатия к про-
продольному растяжению).
При всестороннем растяжении или сжатии тела
( = «22 = ^33 = \ О>{1\ «23 = «31 = «12 =
получаем:
I/ lft^2 и 7и = — р = ig-=
где
А: = Я + -|^ D7е)
366

— так называемый модуль сжимаемости. Заметим, что последние
формулы применимы не только к твердым, но в равной мере к жидким
и газообразным телам.
1 /дщ диЛ
С помощью соотношений D7а) и формул а\ь. = v I тгг +3w~ )
емнля упругая сила f = div 2T может быть выражена непосредственно
через вторые производные по координатам слагающих вектора смеще-
смещения и.
А именно, замечая, что aA) = divu, имеем:
\ д (д1Ч дак
или в векторной форме, независящей от выбора координатной системы:
f = (А + /л) V div U + //y2u. D8)
Точно так же в общем случае тензора упругости произвольного вида
получаем:
_ V W ^У- — W V -^ —
з k i j j k i J"
i k I
Если в формуле D8) трактозать вектор U как скорость частиц
некоторой жидкости (или газа) с коэфициентом внутреннего трения /л9
1 2
то при Я + /^=-^/^, т. е, А=— — /л она превращается в выведенную
в отделе I формулу для объемной силы трения
Отсюда следует, что силы внутреннего трения можно считать
обусловленными тензором напряжений, определенным формулами D7а)
(9 \
при Я = — 1Г И' ^етРУдно проверить, что это определение вполне
соответствует формуле C5а) § 15, т. е., что проекции поверхностной
силы трения Фп при п = еь е2, е3 на координатные оси совпадают
с слагающими тензора 2Т, Обратно, поверхностная упругая сила ^ =
= 2Т п [см. формулу D5)] может быть представлена с помощью фор-
формул ^47а) в следующем виде:
[(n+ 7)u+(nxV)x«]. D8h)
867

§ 12. Общая теория равновесия двухмерных упругих тел
При отсутствии внешних сил объемного характера, т, е. действую-
действующих непосредственно на отдельные элементы объема тела (какова, на-
например, сила тяжести), условия равновесия деформированного тела
сводятся к уравнению f = 0 для силы D8), действующей на единицу
объема, и к равенству
2Т n = F
на его поверхности, где F обозначает внешнюю силу, приложенную
к единице поверхности вблизи соответствующей точки. При наличии
объемной внешней силы Г условие равновесия выражается равенством
f+f' = O. Если сила V постоянна по величине и направлению (как это,
например, имеет место в случае силы тяжести), то divf=— div f' = О
или, на основании D8) (в связи div V= у2 и div у2 = у2 div),
y2divU=0. D9)
Таким образом в этом случае объемное расширение (div tt) пред-
представляет собой гармоническую функцию радиуса-вектора (т. е. удовле-
удовлетворяет уравнению Лапласа). Что же касается векторной функции U(r),
то она удовлетворяет диференциальному уравнению 4-го порядка:
V2(v2«) = 0, D9а)
которое получается путем применения операции у2 к правой части
равенства D8), в связи с тождеством у2 (V*divU) = V(v2 div U) и УРав"
нением D8Ь). В прямоугольных и прямолинейных координатах уравне-
уравнение D9) имеет следующий вид:
. *Ч . 2<*Ч 2d*uh 2duh _
' дх$ "*"дх\ дх\"*"дх\ дх\"• дх\ дх\~~
\1 дх\ "*" дх* ' дх$ "*"дх\ дх\"*"дх\ дх\"• дх\ дх\
(где й=1, 2, 3).
Особый интерес представляет частный случай двухмерной задачи,
когда все величины, связанные с одной из координат, например х3,
обращаются в нуль, причем остальные величины ат, Т%к (при ?, к =
= 1, 2) от х3 не зависят. Этот случай встречается, например, в зада-
задачах о деформации тонкой пластинки под действием внешних сил, лежа-
лежащих в плоскости ее. Если эти силы сосредоточены лишь на краях
пластинки (играя, таким образом, роль „поверхностных" сил F), то
внутри ее напряжения удовлетворяют системе уравнений:
При наличии двух уравнений, связывающих три величины Тщ, пред-
представляется возможным выразить их через один независимый параметр.
Действительно, равенства E0) выполняются тождественно, если
положить
Т — Т — дф Т дф /сп \
dxT 1**—'*х — ~дъдхш' 22=="^р ( '
368

Функция Ф называется при этом функцией или потенциалом
напряжений.
Заменяя в предыдущих равенствах Tik их выражениями через дефор-
дефор1 [дщ duk\
мации dik = — I ^—• + -r— J, имеем далее:
J \ OXft OX^ /
— — Ad'
д2Ф .. / аи, . ди2
ax^Xg r \ дх2 ' dx
d«2
откуда следует
т. е.
V2V2<? *= °- E0b)
Значения функции Ф на краях пластинки могут быть вычислены
непосредственно, если известны внешние силы, действующие вдоль этих
краев. Обозначая силу, действующую вдоль элемента da контура
пластинки (и отнесенную к единице толщины), через F da, имеем,
согласно общей формуле F = 2T-n:
1 = П]./ Ц"Г^2^ 12; Г2 = «ii 21+ П21 22« (Ы)
Единичный вектор П (внешней нормали) может быть представлен
комплексным числом — i —* * х* , где dXi, dx2 — слагающие отрезка do*
(при положительном направлении обхода пластинки); таким образом:
/h-^ и - - ^
да  ()а *
Подставляя эти выражения в E1) и пользуясь формулами E0а)
получаем:
р — д2Ф rfx2 , а2Ф dxx _ d / дФ \
1 дх\ da ^ дххдх% da da\dx2)
и
а2Ф dx~ д2Ф dx, d I дФ*
1 дххдх2 da дх\ da da \ дх:
Отсюда следует, что на краях пластинки
\
E1а)
и окончательно:
i^L — р ^L\da E1Ъ)
da da J \ /
24 Курс теорет. механики. 369

где интегрирование в обоих случаях распространяется от какой-нибудь
точки контура пластинки а = 0 до рассматриваемой точки а. Заметим,
что Рг и Р2 представляют собой слагающие силы Р, действующей
на всю ту часть края пластинки, которая (при обходе в положитель-
положительном направлении) заключена между точками 0 и о*.
Преобразуя выражение E1Ь) путем интегрирования по частям, можно
привести его к виду:
т. е.
а
Ф (о) = f (xtF2 - xJF^da. E1c)
О
Отсюда видно, что краевые значения функции Ф (<т) равны враща-
вращательному моменту внешних сил, действующих на контур пластинки от
какой-либо начальной точки а = О до данной точки а.
Зная эти краевые значения, а также значения производной Ф по внеш-
внешней нормали на контуре пластинки:
т. е.
можно с помощью диференциального уравнения E0) определить одно-
однозначным образом функцию Ф для всех точек пластинки.
Заметим, что при интегрировании этого уравнения, можно исходить
из того обстоятельства, что функция У2Ф = /1(х1, Х2) удовлетворяет
уравнению Лапласа V2/x = 0 и что поэтому ее можно трактовать как
вещественную часть некоторой аналитической функции комплексного
переменного Z = x1+bc2, f(z). Зная функцию flt а также функцию Фу
можно выразить слагающие тензора деформации D7Ь):
д2Ф д2Ф\ 1 (д*Ф д2Ф\
1 + <г д2Ф
п12 — -"?" дххдх2
в более симметричной форме:
12 дх2 ' дхх Е дх1дх2
Если теперь ввести аналитическую функцию
W = I fdz=w1+ iw2,
370

то, принимая во внимание соотношения
можно проинтегрировать предыдзчщие уравнения для слагающих сме-
смещения иъ щ и представить последние в виде
«2=4-
или в комплексной форме:
§ 13. Продольные и поперечные колебания в упругих телах
Твердое тело, выведенное из равновесия (т. е. деформированное,
каким-либо внешними силами — объемными или поверхностными), по
устранении этих сил не возвращается в нормальное состояние, но совер-
совершает около последнего более или менее быстрое колебательное движе-
движение, определяемое уравнением
где в случае аморфных тел !=(Я + jm)V divtl + /iV2u, a д— плот-
плотность тела в соответствующей точке 2). Эта плотность, так же как и
в случае жидких или газообразных тел, должна удовлетворять уравне-
уравнению сплошности -~ + div (pv) == 0. Считая, однако, перемещение U и
ди
скорость v = -тт величинами весьма малыми, мы, в первом приближе-
приближении, можем трактовать величину g как постоянную [ср. отдел И]. При
этом условии уравнение E2) становится линейным (относительно U).
Общее его решение можно, следовательно, представить в виде суммы
независимых частных решений, соответствующих тем или иным пред-
пот ожениям относительно функции u(f).
Разлагая U на потенциальную часть Е = —\?ср и соленоидальную
H = rotA, где ср — скалярный, а А — векторный потенциал (ср. отдел II)
имеем, согласно E2) и D8):
г) В гидродинамике и аэродинамике ускорение w определяется не частной,
но полной производной по времени — = ~дГ + (/Г'^М • В теоРии упругости
твердых тел, где каждая частица характеризуется вполне определенным зна-
значением радиуса-вектора г (относящегося к ее нормальному положению), tut
являются независимыми переменными, так что -—- = 0 и, следовательно, -тг =
д
24* 371

или, в виду тождества
V div Е = rot rot Е + р2Е == р2Е
и независимости векторов Е и Н друг от друга:
д*Е " ' Л Ч-2Е E2а)
E2Ь)
Эти уравнения имеют тог же вид, как и уравнение (82) § 20 от-
отдела II, определяющее распространение звуковых колебаний (или волн)
в газе или жидкости. Отсюда следует, что и в твердых телах дефор-
деформации, вызываемые в отдельных пунктах внешними силами, не остаются
локализованными в этих пунктах, но распространяются от них во все
стороны в виде сферических волн (которые, очевидно, можно также
трактовать как звуковые, поскольку они доступны нашему слуху). При
этом потенциальная часть деформации, определяемая вектором Е, рас-
распространяется со скоростью
а соленоидальная—со скоростью
E2d)
Нетрудно видеть, что „потенциальные" волны тождественны с вол-
волнами сжатия и разрежения, которые распространяются в жидкостях и
газах. В самом деле, так как div Н = div rot A = 0, то объемное расши-
расширение тела определяется скалярной производной (расхождением) вектора
E(div U = divE). Обозначая изменение плотности, связанное с подоб-
подобным расширением, через Aq, мы можем, очевидно, положить:
ii + diVU = 0, E2e)
где д0— нормальное значение q (при отсутствии деформации).
Если в уравнении E2а) взять скалярную производную (div) от обеих
частей, то оно, согласно предыдущему, превращается в
Qo
т. е. в первом приближении (— ~ 1) в
372

что при —:—- = с2 совпадает не только по внешнему виду, но и по
существу с уравнением (82) § 20 отдела II. Мы можем, следовательно,
заключить, что потенциальные волны или волны сжатия и разрежения
в твердых телах, точно так же как в жидкостях и газах, обусловли-
обусловливаются колебаниями радиального направления или продольными,
т. е. совершающимися, в направлении своего распространения.
Что касается „соленоидальныха волн, то они соответствуют колеба-
колебаниям, не связанным с какими-либо изменениями объема (или плотности;.
Подобные колебания, представляющие собою чистые изменения формы,
можно трактовать как сдвиги в плоскостях, перпендикулярных к на-
направлению их распространения, т. е. к соответствующим „лучам", или же
как „крутильные" колебания, т. е.. повороты, осями которых служат эти
лучи. Последняя интерпретация особенно удобна как в смысле своей
наглядности, так и потому, что она соответствует наиболее полному
противоростановлению колебаний потенциальных и соленоидальных.
А именно, первые характеризуются наличием объемной деформации
(div Е ф 0), но отсутствием каких-либо поворотов (rot Е = 0), а вторые —
наличностью поворотов ( 'ш = ~ rotH ф Oj при отсутствии объемной
деформации (divH = 0). Конечно, повороты сами по себе еще не обра-
образуют деформации; последняя получается лишь в том случае, если угол
вращения постепенно изменяется вдоль оси. Что касается прямолиней-
прямолинейных колебаний, имеющих характер сдвигов определенного направления,
то их можно трактовать как результирующие двух крутильных колеба-
колебаний, с общей осью („лучом"), но с противоположными направлениями
поворота.
Для иллюстрации этих соображений рассмотрим распространение
продольных (объемных) и поперечных (крутильных) колебаний вдоль
твердого упругого стержня. Проводя ось ОХХ в направлении стержня
и рассматривая смещение его частиц и как функцию одной лишь коорди-
координаты хг (и времени), имеем:
и H = rotA==-
где еь е2, е3 — координатные векторы, которые мы предполагаем рав-
равными 1 и перпендикулярными друг к другу. Отсюда, далее, следует:
Таким образом вектор Е параллелен, а вектор Н перпендикулярен
к оси ОХ1у т. е. к длине стержня, которая в рассматриваемом случае
определяет направление распространения колебаний (и вместе с тем
служит осью кручения).
373

Подставляя предыдущие выражения для Е и Н в уравнения E2а) и
E2Ь), получаем (при q = q0):
т. е.
(|) ( f) я,-А(/--Ь.
где /7i и ^ — некоторые функции, определяемые начальными и гранич-
граничными условиями, т. е. значениями вектора U 1) в момент/== 0 для всех
точек стержня и 2) на концах стержня для любого момента времени.
Эти результаты легко обобщаются (по крайней мере с формальной
стороны) на случай тел любой формы и любого внутреннего строения,
т. е. с произвольным тензором упругости 4х.

ОТДЕЛ V
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННЫХ
КООРДИНАТ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К МЕХАНИКЕ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ И КОНТИНУУМА
ГЛАВА I
КОСОУГОЛЬНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
§ 1- Косоугольная система координат. Обобщенные проекции и
слагающие. Взаимная система координат
Косоугольная система прямолинейных координат в пространстве
задается тремя единичными (некомпланарными) векторами ix, i2, i3, опре-
определяющими направления осей ОХ1у ОХ2, ОХ3 координат. При этом
очевидно, что
iii2^0, i2i3=?0, i3ii^0,
но
В случае косоугольных координат проекции и слагающие одного и
того же вектора по соответствующим координатным осям не совпадают
друг с другом. Ортогональной проекцией или просто проекцией век-
вектора А на ось OXk (к=19 2, 3) называется, как известно, скалярное
произведение вектора А на единичный вектор i^, характеризующий
направление оси O
Afe = A.i? (к «1,2,3). A)
В отличие от прямоугольных координат, вектор А не может быть
з
представлен через свои проекции выражением вида 2 Afci&. Поэтому,
fec=l
наряду с проекциями вводят слагающие A(ft), определяемые формулой
А = А(Ч! + A<2>i2 + A(*)i3. (la)
В случае прямоугольных координат, слагающие, очевидно, совпадают
с проекциями.
Имея в виду переход к криволинейным координатам, обобщим не-
несколько предыдущие определения, а именно, допустим, что для различ-
различных координатных осей ОХЪ ОХ2> ОХ3 мы пользуемся различными
масштабами. Тогда вместо единичных векторов ilf i2, i3 следует ввести
так называемые координатные или масштабные векторы ех, е2, е3, опре-
определяющие направления осей координат так же, как и единичные век-
векторы iky но, в отличие от последних, имеющие, вообще говоря, произ-
375

вольные отличные от 1 численные значения. Масштабные векторы свя-
связаны с единичными соотношениями:
e1^\el\i1; e2 = |^]i2; e3 = \e3\i3, B)
где еъ е2, е3 — численные значения масштабных векторов, зависящие
от масштабов, выбранных для измерения по соответствующим осям.
Теперь понятия о проекциях и составляющих вектора А можно обобщить,
введя „обобщенные проекции"
Аь = А.еЛ (* = 1, 2, 3) C)
и „обобщенные составляющиеи А^к\ определяемые равенством
А = А(Чег + ДB>е2 + Л<3>е3. (За)
Из сравнения C) с A) и (За) с Aа) в силу B) следует, что „обоб-
„обобщенные проекциии Аи вектора А отличаются от обыкновенных проек-
проекций Ak масштабными множителями ей-
Ak = ekAk,
а „обобщенные составляющие" Л(й> равны составляющим A(fe) в обыкно-
обыкновенном смысле слова, разделенным на масштабные множители
Заметим, что обобщенные слагающие радиуса-вектора г, т. е. вели-
величины г№ в формуле г = 2 ek^k) называются косоугольными координа-
координатами соответствующей точки и обозначаются, обычно, буквами Хи. Что
касается обобщенных проекций гь. = *"?&, то они, обычно, не приме-
применяются вовсе.
Равенства C) можно рассматривать, как 3 скалярных уравнения,
определяющие вектор А через обобщенные проекции Аи.
Такого рода система уравнений уже была рассмотрена и решена
нами в § 5 отдела I, причем вектору А соответствует вектор X в урав-
уравнениях A5) § 5, векторам е^ — векторы Щ, а обобщенным проекциям
Аи — параметры /?& (которые, следовательно, можно рассматривать, как
обобщенные проекции вектора х в косоугольной координатной системе
с координатными векторами аь а2, а3).
Таким образом, вводя совокупность векторов —, -р , -р обрат-
обратных высотам параллелепипеда, построенного на векторах е2, е2, е3, мы
можем представить вектор А формулой A5Ь) § 5. Мы будем в даль-
дальнейшем пользоваться обозначением -т- = e(ft). Полагая, следовательно:
f е(з) e _h
e()=_iLj e()eJ5^f е() e 9 D)
где Vr = e1(e2XC3) — объем координатного параллелепипеда, получаем:
А = А ге& + Л2е<2> + Л3еC). E)

Отсюда видно, что в координатной системе с координатными векто-
векторами е^> (которую мы будем называть „дуальной" по отношению
к исходной) обобщенными слагающими вектора А являются его обобщен-
обобщенные проекции в исходной системе координат.
Принимая во внимание соотношения
= 1 при i а к 6
= 0 при i ф ку
которые непосредственно вытекают из D), получаем далее
А • е<*>« V Mkkk • е<*> = А\ Fа>
откуда видно, что обобщенные слагающие А^ в дуальной системе
координат играют роль обобщенных проекций.
Рассматривая соотношения C) как уравнения по отношению к векто-
векторам еA\ мы получили формулы D). Обратно, рассматривая их как
уравнения по отношению е^ получим:
(/, к, I образуют циклическую перестановку), следовательно, векторы е.
являются взаимными по отношению к е(^. Так как объем взаимного
параллелепипеда равен
хез [(езхet)х (егхе2)]
[el(e2xe3)]3 - Ме2хе3) ~7
(см. § 5 отдела I), то
W Ga)
Чтобы по заданным обобщенным слагающим найти обобщенные
проекции, умножим равенство (За)
А = АЫех + ЛB>е2 + ЛC>е3 =
к
на ei, тогда, в силу C):
А - guAM + g«AW + gZiA<3> = 2 fejAW, (8)
k
где символами gki обозначены скалярные произведения координатных
векторов
gki = gift = ehei {к, i = 1, 2, 3). (9)
Если i = k9 то
и
(9а)
37?

т. е. величины gu определяют величину соответствующих масштабных
векторов. При i zjz к:
gik = \ei | | ek) cos (е#к),
откуда
cQsteek)= ** .
Vsu yskk
Аналогично, вводя обозначения
i! умножая (За) на е% получим, в силу Fа):
(9b)
ft,/= 1,2,3) A0)
Величины ^ или gift называются слагающими метрического тензора.
Геометрический смысл девяти величин gik весьма прост: они предста-
представляют собою обобщенные проекции масштабных векторов друг на
друга. В частности, в случае единичных координатных векторов вели-
величины gik суть не что иное, как косинусы углов между осями косоугольной
системы. Тот же смысл имеют величины g^ по отношению к взаимным
векторам.
Из (8) имеем:
=2
и, в виду независимости различных слагающих вектора А,
A2)
Таким образом величины gik и gki позволяют выразить обобщенные
проекции какого-либо вектора через обобщенные слагающие его
и наоборот, а также выразить координатные векторы через вза-
взаимные.
Решая систему линейных уравнений (8) относительно A^k\ мы должны
получить систему A0а), поэтому величины g14 должны равняться мино-
минорам соответствующих элементов определителя коэфициентов системы (8):
деленным на этот определитель, т. е.
378

Аналогичное рассуждение приводит нас к выводу, что
A4)
где g* —определитель коэфициентов gik :
«11 «12 «13
6 » Ь > Ь
\ «21 «22 «23
В силу свойств миноров определителя
A5)
произведение определителей g и g* равно единице:
100
010
001
= 1.
Заметим, что ме^сду определителями g и g* и объемом координат-
координатного параллелепипеда имеет место следующее соотношение:
g=j*=v\ A6)
которое непосредственно вытекает из формулы B3с) отдела I в связи
с определением (9).
§ 2. Скалярное и векторное произведения векторов и диференциаль-
ные операции в косоугольных координатах
Чтобы выразить скалярное произведение двух векторов А и В
посредством обобщенных составляющих или проекций, воспользуемся
формулой (За)
Умножая скалярно на В, получим:
но произведения (Ве&) представляют собою обобщенные проекции
вектора В, поэтому:
То же скалярное произведение, очевидно, можно написать в форме
379

если исходить из формулы B = ^.B^eft. Формулы A7а) и A7Ь)
k
переходят в случае прямоугольных координат в обычное выражение
AxB± +А2В2 + АгВг, так как при этом обобщенные проекции совпа-
совпадают с обобщенными составляющими.
Пользуясь формулами (8) и (Юа), можно выразить скалярное про-
произведение либо только через обобщенные составляющие
A7с>
либо только через обобщенные проекции
A7d)
В частности квадрат вектора равен
А* = ^ АгAW = ^ g*AWAW = V ^ ДЛ. A7е)
i i,ft i,ft
Аналогичным образом можно вычислить векторное произведение:
А х В= 2 *А<*> X 2 e*B<ft> =2 (* x
ft i,ft
ei x efe)
(в виду ei x е^ = — eft x e^, или
A x В = (e2 x e2)
+ (ei X e3) (А(г)ВC>— A^B^)) + (es X e3)
Пользуясь формулами D): Cfe x e^ = e^{), получим:
у
A x В =r;[eA) (ЛB)ВC) — А^В^) + g(a)(A<8>B^ — +
+ е(з)(ЛA)БB> — АС^В^1))], A8)
где v = в! (е2 X е3) — объем координатного параллелепипеда.
Аналогично, пользуясь формулой Gа), получим, в силу G):
А х В=и' [е±(А2Вг — А3В2) + *2(АА — ^^3)+
+ е3(А1В2-А2В1)], A8а)
где г;' = е*1) (еB^ х еC>) — объем взаимного параллелепипеда.
Отсюда видно, что
(AxB)i = t;(AftA*— AlBk)
и
^ —AzBft),
где буквы i, ft, / образуют циклическую перестановку из 1, 2, 3.
380

Рассмотрим теперь диференциальные операции первого порядка.
Пусть задано поле некоторого скаляра <р, другими словами, в каждой
точке пространства определено значение скаляра <р. Положение неко-
некоторой точки пространства характеризуется ее радиус-вектором г, или
косоугольными координатами хг , х2 , Х3, представляющим^ собою обоб-
обобщенные составляющие радиус-вектора г. Составляя разность значений
9(^1» *2 > Х3) = <КГ) Для ДВУХ бесконечно-близких точек Xi и Х\ + ёХ{
(/ = 1, 2, 3), получаем:
Эту формулу можно переписать в виде:
г
где ёг1=дхи а
Gi9? = (р^){ = г^ (/=1, 2, 3). A9)
охг
По аналогии с A7Ь) величины р^ можно трактовать как обобщен-
ные проекции вектора V^i, т. е. градиента <р, а символы частных
производных по косоугольным координатам -г— как обобщенные проек-
охг
ции символического вектора V. Этот вектор (оператор Гамильтона)
можно, следовательно, написать в виде:
v=eAL+e(!'i+<- B0)
Таким образом оператор Гамильтона в косоугольных координатах
имеет тот же вид, как и в прямоугольных.
Что касается обобщенных составляющих вектора V, то их можно
определить как частные производные по обобщенным проекциям Гх
радиус-вектора -г— . Действительно, из rk = V gikri следует, что
1 i
drt Z
т. e.
Определив оператор Гамильтона, мы можем теперь составить „рас-
„расхождение" векторного поля F(f)
г=1
И ВИХрЬ
rotF = VxF,
381

составляющие которого имеют, согласно A8а), вид
h
VxF
(Л, /, к = 1, 2, 3),
где у = j/ а — объем координатного параллелепипеда.
Наконец, составляя квадрат оператора Гамильтона, получим опера-
оператор Лапласа:
*• етй - <23>
ft ift ift г
который, в случае прямоугольных координат (gik = 0, когда i^k
и g*ft = 1, когда / = к) превращается просто в суммы вторых произ-
производных:
дх\ + дх\ "^ дх| *
§ 3. Преобразование координат и слагающих вектора при переходе
от одной системы косоугольных координат к другой; тензоры
Перейдем от старой системы координат, задаваемой векторами е1у
е2, е3, к новой системе, определяемой векторами е,, е^, е^. Для этого,
введя обобщенные составляющие щк старых координатных векторов ei
по новым е^, можем согласно (За) написать:
Обратно
где аи — составляющие новых координатных векторов ei по старым.
Рассмотрим обобщенные проекции вектора А
Аг = А-е* =
Вводя обобщенные проекции Ае^ = А'ь в новой системе координат,
получаем:
ft
Сравнивая B5) с B4), мы видим, что обобщенные проекции пре-
преобразуются, точно так же, как и координатные векторы, „ковариантно"
или „когредиентно", поэтому обобщенные проекции называются ко ва-
вариантными слагающими вектора. В дальнейшем мы будем придер-
придерживаться этого нового термина.
Подставляя B4) в (За):
а=2
г
382

получаем:
г к
но в новой системе координат
k
поэтому, сравнивая, имеем:
А'ь^^сьА*. B6)
г
Отсюда следует, что обобщенные составляющие преобразуются в
смысле, противоположном преобразованию координатных векторов т. е.
„контравариантно" или „контрагредиентно", так что новые значения
их выражаются через старые, как старые координатные векторы выра-
выражаются через новые. Поэтому обобщенные составляющие называют
контравариантными слагающими вектора.
От формул B4) — B6) легко перейти к обратном. Заметим предва-
предварительно, что величины о& не следует смешивать с giu. В то время
как последние определяются одной системой координат и представляют
собою проекции (ковариантные слагающие) какого-либо координатного
вектора по координатным векторам той же системы координат, величины
щи относятся к двум разным системам и представляют собою ковариант-
ковариантные слагающие старых координатных векторов по новым; в частности,,
в случае единичных векторов они являются просто косинусами углов.
между старыми и новыми осями.
Составляя определитель коэфициентов а^:
а =
«11> «12, «13
«21 > «22 > «23
«31 > «ЗЬ «33
мы можем выразить коэфициенты обратного преобразования B4а) фор-
формулами
1 да
«ife =
Из уравнений B4а) вытекают соотношения, определяющие новые
ковариантные слагающие (т. е. обобщенные проекции) вектора через
старые и старые контравариантные слагающие (т. е. обобщенные соста-
составляющие) через новые:
2 (*=1, 2, 3) B7>
(/=1,2,3) B8)
В частности мы имеем, при А = Г.
2| B8а)
38$

Составляющие и проекции вектора в косоугольной системе координат
можно трактовать, так же как в случае прямоугольных координатных
систем, как моновариантные скаляры, но не одного типа, а двух —
именно ковариантные и контравариантные.
Скалярные величины, не зависящие от выбора координатной системы,
т. е. не меняющиеся при ее преобразовании к другой, называются
инвариантными. Примером их может служить скалярное произведение
двух векторов N AiB1.
i
Тензоры определяются с помощью косоугольных координат
совершенно так же, как и в случае координат прямоугольных, а именно,
как величины, образуемые совокупностью слагающих, которые преобра-
преобразуются как произведения двух, трех или более моновариантных скаля-
скаляров. При этом, однако, так же как и в случае векторов, необходимо
различать скаляры ковариантного и контравариантного типа. Соответ-
Соответственно этому, тензор п-го ранга может быть описан 2п различными
способами, в зависимости от типа вариантности (т. е. ко- или контра-
вариантности) его слагающих по отношению к тем или иным из п
индексов, которыми они характеризуются.
Так например, тензор второго ранга 2Т можно определить в косо-
косоугольных координатах четырьмя способами: 1) при помощи (дважды)
ковариантных слагающих Tik, которые преобразуются как произведе-
произведения AiBu, где А% и Bk — ковариантные слагающие векторов А и В;
2) при помощи (дважды) контравариантных слагающих Tik, которые
преобразуются как произведения AlBh; 3) при помощи „ смешанных"
слагающих Tj., преобразующихся как произведения А{Вк\ 4) при
помощи смешанных слагающих Тг;к ? преобразующихся, как произве-
произведения AlBk- Для того, чтобы отличить друг от друга смешанные
слагающие обоих типов, их снабжают точками на месте отсутствующего
индекса. Эти точки являются излишними в случае тензоров симме-
симметричных; число различных представлений тензора п-го ранга сокра-
сокращается в этом случае с 2П до п+1. Заметим, что симметрия тензора
проявляется простейшим образом при чисто ковариантном, или чисто
контраварй'антном его представлении.
Из симметричности его слагающих в этом представлении по отно-
отношению к различным перестановкам индексов можно вывести независи-
независимость его смешанных слагающих от места, занимаемого нижними или
верхними индексами.
Примером симметричного тензора второго ранга—и притом наибо-
наиболее важным тензором этого рода —является уже введенный нами выше
метрический или координатный тензор 2g. Величины
gik = Qiek являются его ковариантными слагающими. В самом деле, эти
величины преобразуются по формуле:
i' k V k'
т. е. дважды ковариантным образом.
384

Величины gik = e№e<fe> представляют собой дважды контравариантные
слагающие того же тензора, а величины
—его смешанные слагающие. То обстоятельство, что они равны 1 при
i=k и нулю при i ф к характеризует тензор 2g, как единичный
тензор второго ранга, который в предыдущем отделе (§ 1) мы обозна-
обозначали символом 28. В этом можно убедиться непосредственно, рас-
рассматривая тензор 2g в обычной декартовой системе координат.
Слагающие тензора можно определить, так же как и слагающие
вектора, как скалярные произведения этого тензора на координатные
векторы ti или e(ft> в числе, равном рангу тензора.
Так например, в случае тензора второго ранга можно положить:
и т. д. Это определение приводит к тем же формулам преобразования
соответствующих слагающих, как и исходное, делая вместе с тем совер-
совершенно очевидным единичный характер координатного тензора g. При
вычислении произведений вышеприведенного вида, можно при этом
пользоваться формулами § 1 предыдущего отдела, в связи с произ-
произвольной декартовой системой координат: поскольку векторы ^ фикси-
фиксированы, эти произведения являются как бы инвариантными и от выбора
вспомогательной системы координат не зависят.
Не прибегая к вспомогательной декартовой системе, можно опреде-
определить произведение тензора 2Т на какой-либо вектор, как вектор
с ковариантными слагающими
| B9)
ft
или с контравариантными слагающими:
T*Fk. C0)
Эти определения могут быть получены одно из другого с помощью
формул B5) и B6), служащих для перехода от ковариантных слагаю-
слагающих вектора к контравариантным и обратно при том условии, чтобы
ко- и контравариантные слагающие тензоров были связаны друг с дру-
другом аналогичными соотношениями:
i k
и т. д. Заметим, что эти соотношения непосредственно вытекают
из данного выше определения слагающих тензора 2Т как скалярных
произведений его на координатные векторы и легко обобщаются
на случай тензоров любого ранга.
25 Курс теорет. механики. 885

В § 2 было показано, что слагающие вектора Т = А X В связаны
с слагающими антисимметричного тензора 2Т, составленного из произ-
произведений слагающих векторов А и В следующими равенствами:
C2)
где !, к, / — циклическая перестановка индексов 1, 2, 3.
Легко видеть, что эти соотношения обобщаются на случай любого
антисимметричного тензора второго ранга и эквивалентного ему вектора.
Принимая во внимание формулы A7а) и A7Ь), определяющие опера-
операцию скалярного или „приведенного" умножения двух векторов, мы
должны заменить в выражении B2а), представляющем собой прямо-
прямоугольные слагающие приведенного тензора (и—2)-го ранга, часть
нижних индексов, и в том числе один из индексов ia или ib (по кото-
которым производится суммирование), соответствующими верхними, или же
умножить 7\ # л t { # . . г . # , . на gia*b и произвести двойное
суммирование по ia и / . Так например, в случае тензора 2-го ранга
2Т, приведенный тензор, т. е. линейный инвариант ТA). выражается
формулами:
ГA)=2 Ti=22 s* ?ik = 22 z*Tik ¦ C3)
i i к % к
Применяя операцию приведения к произведению тензора 2Т на век-
вектор F или к произведению двух тензоров 2Р и 2Q, получаем в первом
случае векторы с ковариантными слагающими B9) и C0), во втором
тензоры B-го ранга) со смешанными слагающими:
PihQk\ Рм$ш,
и, наконец, скаляры (инварианты):
111 и PikQM,
которые при 2Р = 2Q превращаются в инварианты 2-го порядка соответ-
соответствующего тензора.
Операция скалярного диференцирования, определяемая формулой
divF=s 2j Vi^71 определяет собой частный случай операции „приве-
г
денного диференцирования* для тензорных функций высшего ранга,
Так например, применяя оператор V к тензору 2-го ранга, получаем:
=2С- C4)
В ковариантном характере производных -г— легко убедиться непо-
средственно. А именно, переходя к новым координатным векторам
386

ej'=% ан'е^ и соответственно этому преобразуя координаты (т.е.
г
контравариантныг слагающие вектора г) по формулам:
получаем в применении к произвольной функции (р\
ер <>хг
Что касается контравариантных слагающих оператора V, то, как уже
упоминалось выше их можно определить как частные производные по
д
ковариантным слагающим радиуса-вектора -г- .
Подобно тому, как характер (т. е. степень и тип вариантности) со-
сомножителей определяет характер их произведения, так и по характеру
произведения и одного из сомножителей можно судить о характере
другого. Так например, если сумма А{Х + Л2у + Asz представляет со-
собой инвариантную величину, т. е. если Агх + Л2у + A3z = А'гх' +
+ А[у' + A'zz', где Ai и А[ ковариантные слагающие какого-либо век-
вектора А в данной новой системе координат, а х', у', z' — значения,
которыми заменяются в последней х, у, z, то х, у, Z можно трактовать,
как контравариантные слагающие некоторого другого вектора В
(х = В1, у = В2, z = В3). В самом деле, согласно B7), имеем:
<4v • Ai> =5 At
i
и следовательно:
А±х -f- A2y + A^z = au'A'i'X + a2i'Ai'y + azvA^z =
«21У + az\z) + A2 («12^ + a22y + a32z) +
Таким образом:
х' = апх + а21у + a31z
у' = a12x + a22y + a32z
Z' =» al3JC + a23y
Отсюда видно, что величины х', у', zf выражаются через х, у, z
таким же точно образом, как контравариантные слагающие вектора В
в новой системе координат (В'1, В'2, В'3) через старые слагающие
Bi = х; В2 = у; В3 = г.
Этот результат легко обобщается с величин моновариантных, х е.
векторных слагающих, на величины поливариантные, т. е. слагающие
тензоров произвольного ранга. Для этого достаточно лишь трактовать
подобные поливариантные величины как произведения моновариантных
скаляров соответствующего типа. Так например, из ковариантности
25* 387

суммы ах2 + by2 + cz2 + 2dyz + 2ezx + 2fxy в связи с предположе-
предположением о моноконтравариантности величин х = В1; у = В2; Z = В3 не-
непосредственно явствует, что величины а, &, ... представляют собой
ковариантные слагающие некоторого симметричного тензора 2-го ранга
2Т (а = Tn; b = Т22; с == Т33; d = Т2з == Г32; ^ = ^31== TV, / =
= 7\3 = T2i). Если суммы PikFx> где F1 — контравариантные слагаю-
слагающие вектора F — имеют характер ковариантных слагающих некоторого
вектора G, PikF1 = G&, то Pik — ковариантные слагающие тензора
2-го ранга. Если суммы 2 Ak^hih гДе ^ — контравариантные сла-
k
гающие вектора А — являются смешанными слагающими тензора
3-го ранга Си, то Вии преобразуются, как произведения А!хАиА\А^
т. е. представляют собой смешанные слагающие тензора 4-го ранга 4В,
контравариантные по отношению к Л и ковариантные по отношению к
индексам /с, i, I.
Поверхность, изображающая графически симметричный тензор
2-го ранга, определяется уравнением
где г1, Г2, г3 — контравариантные слагающие радиуса-вектора г.
В общем случае симметричного тензора п-го ранга это уравнение заме-
заменяется следующим:
2 ^ ... */1гЧ . . А == const.
В дальнейшем мы, для краткости, обычно, будем опускать знаки
суммирования по парам одинаковых индексов, из коих один стоит на-
наверху, а другой внизу. В подобных случаях суммирование (означающее,
в сущности, операцию „приведения") будет подразумеваться само собой.
§ 4. Определение криволинейных координат
Во многих задачах удобно вместо прямолинейных координат в про-
пространстве пользоваться криволинейными, например, сферическими или
цилиндрическими. Если дана система прямолинейных прямоугольных
координат хх, х2у Х3 в пространстве, то к криволинейным координа!ам
можно перейти, если рассматривать хъ х2, *3 как непрерывные и взаимно
однозначные функции трех параметров qly </2, <jf3:
*i = h (ft. ft» ft); x* = /2 (ft, &> ft); *3 = /3 (ft» ft. &)• C5)
Такое представление уже было введено нами в главе II, отдела III,
причем параметры qi были названы нами обобщенными коорди-
координатами. Здесь мы рассмотрим эти координаты не с чисто аналити-
аналитической точки зрения, как раньше, а с точки зрения геометрической.
Дадим параметрам qlf q2y q3 некоторые частные значения qt = (fv
ft = <f2> 4z == 9з- ^ таком случае совокупность частных значений q\,
q°2, q\ определит некоторую точку с координатами х\ == /х (jfv q\, (f3),
x\=U (fv <fv &)> xt= U(fv Я» Й). Если, давая величинам qv q2} q3
388

значения, лежащие в определенных пределах, мы можем получить все
значения хг, х2, х% из некоторой области, в частности все значения
прямоугольных координат от со до +оо, то величины ql9 q2, q3
можно принять за координаты точки в данной области. При этом на
функции fl9 /2, /3, связывающие х17 х2, х3 с </ъ q2, qz накладывается
условие однозначности и непрерывности в данной области.
Обратно, решая уравнения C5) относительно qx> q2, q$, получим:
эс2, х8). C5а)
На функции сръ щ, <р3 также еле- уггТТТГГТШе^ Ы
дует наложить условие однозначно- Л\\\ \\\\\\f3\vsi- J
сти. Пусть qx = Сх, тогда уравнение
<рх (хХу Х2, Хг)=Сг определит в пространстве
некоторую поверхность, в каждой точке
которой „обобщенная" координата qx со-
сохраняет постоянное значение Сх. Давая
qx ряд значений, получим ряд не пересе-
пересекающихся (в силу однозначности функ-
функции /) поверхностей. Аналогично, давая
i]y и </3 ряд постоянных значений, полу-
получим еще две системы поверхностей. Та- Рис. 40.
ким образом, мы получим в пространстве
три системы поверхностей, причем поверхности одной системы не пе-
пересекаются между собою, но каждая точка пространства определяется
пересечением трех поверхностей, принадлежащих различным системам.
Каждые две поверхности, принадлежащие различным системам,
определяют своим пересечением некоторую кривую линию. Пересе-
Пересечение всех трех систем поверхностей дает три системы кривых линий.
Так как на каждой из поверхностей одна из обобщенных координат
сохраняет постоянное значение, то вдоль линии их пересечения может
изменяться лишь одна, оставшаяся свободной, обобщенная координата.
Поэтому линии пересечения поверхностей называются обобщенными
координатными линиями. В частности, вдоль линии пересе-
пересечения поверхностей q2 = С2 и q3 ==> С3 может изменяться лишь коорди-
координата qx, следовательно эта линия есть обобщенная координатная ли-
линия [qx]. Каждая точка пространства определяется пересечением трех
обобщенных координатных линий (см. рис. 40).
Заметим теперь, что вышеуказанный метод введения криволинейной
системы координат применим лишь при условии предварительного за-
задания в рассматриваемом пространстве системы прямоугольных прямо-
прямолинейных или каких-либо других координат. Если подобная исходная
система координат не задана, то обобщенную систему координат (на-
(например, на кривой поверхности) можно построить следующим методом,
указанным Гауссом.
Проведем в пространстве три системы непрерывных поверхностей,
удовлетворяющих следующим условиям:
1) через каждую точку пространства проходят три поверхности,
принадлежащие различным системам,
2) поверхности одной системы между собою не пересекаются (за
исключением особых точек),
339

3) две поверхности разных систем пересекаются только по одной линии.
Если теперь перенумеровать последовательно поверхности в каждой
системе, то любая точка пространства определится тремя числами —¦
номерами пересекающихся в ней обобщенных координатных поверх-
поверхностей. Подобное сопряжение точек пространства с определенными ха-
характеризующими их числами называется арифметизацией пространства.
Допустим, что в пространстве задана система криволинейных коор-
координат, другими словами, заданы три системы координатных поверхно-
поверхностей qlt q2, q3 или координатных линий [qx], [q2] и [q3]. Возникает
вопрос, как определить понятие вектора и его слагающих в криволи-
криволинейной системе координат?
Для этого заметим, что бесконечно-малые отрезки координатных
линий с точностью до бесконечно-малых второго порядка можно счи-
считать прямолинейными. Рассмотрим бесконечно-малую область вблизи
точки Р с координатами qv q2, #3. Бесконечно-близкая точка Р' с
координатами qx -f dqb q2 + dq2, q3 + dq3 определяется относительно
бесконечно-малым радиус-вектором
РР' = dt,
который можно трактовать, как диференциал радиуса-вектора Г, про-
проведенного к точке Р из начальной точки 0 {q\, q°2, ql), причем {dt) == dr
есть расстояние Р' от Р.
Введем в рассматриваемой области бесконечно-малую систему прямо-
прямолинейных координат, масштабные векторы которой еь е2 и е3 совпа-
совпадают по направлению с касательными к соответствующим координат-
координатным линиям [q±], [q2] и [#3], проходящим через точку Р. Опреде-
Определенная таким образом бесконечно-малая система прямолинейных коор-
координат вблизи точки Р называется локальной, оси ее образуют
координатный триэдр. В каждой точке пространства можно ввести по-
подобную местную (локальную) систему координат. В общем случае при
переходе от одной точки к другой координатный триэдр не только по-
поворачивается, но и углы между его осями и величины масштабных
векторов меняются.
В локальной системе координат радиус-вектор РР' можно опреде-
определить равенством
dt = ex dqt + e2 dq2 + e3 dqs, C6)
откуда, рассматривая радиус-векгор ОР = г как векторную функцию
координат q:
««?; ?..i* C7)
Пусть точка Р' лежит на линии [^]. гели заданы обыкновенные
прямоугольные координаты хъ х2) х3 как функции координат, т. е. за-
заданы равенства C5)
*! = *!(&, fe, ?a)» ^2 = xa(ft, ft, ft). xz=*Xt(qv ft, q3),
390

то изменение /-ой прямоугольной координаты, при переходе из Р
в Р' вдоль координатной линии [#,], равно
Возводя dXi в квадрат, складыв. я и извлекая квадратный корень,
получим диференциал дуги координат юй линии [#/]:
ИЛИ
йаг - Я,- dqj, C8)
где
называется коэфициентом Ламе.
В рассматриваемом случае dqe « 0 (еф/); поэтому C6) принимает
вид:
Замечая, что \dtj\ = rfcrj, и сравнивая с C8а), мы видим, что мас-
масштабные векторы локальной системы координат по абсолютной вели-
величине равны соответствующим коэфициентам Ламе
N = Я,. C9)
В силу C7), составляющая е» по оси х& равна
Возводя в квадрат и складывая, получим снова C9). Из равенства
видно, что величины dgi следует рассматривать как контравариантные
слагающие вектора dt в локальной системе координат
Ковариантные слагающие вектора dt равны:
(dt)i - (dt ¦ е,) = %eih dxk
k
Заметив, что
з
dq
получим
з , з
h, 3=1 J i*l \fe«i
391

или
s s
Wi-'SSiidqj^^giifdr?, D0)
j-1 3=1
где
3 3
*« = S "*/ Ж"' = 2 «*» -eie'' D0a>
k=l J fc=l
так же, как и в случае косоугольных координат. Совокупность g вели-
величины gi3 образует метрический тензор. Слагающие g^ его различны
в различных точках пространства, изменяясь вместе с координатными
векторами
gii = 8и (&> ?2, Яг)-
Введем теперь взаимные векторы еA), еB), еC). По определению
dtt{k) = {dX)k=zdqh. D1)
С другой стороны:
з
г=1
Сравнивая с D1), мы видим, что
e№)=V<7ft, D2)
отсюда следует, что взаимные векторы направлены по нормалям к со-
соответствующим координатным поверхностям qk = const. Обозначая рас-
расстояние РР\ т. е. численное значение вектора dt через do, имеем
согласно C6):
или пользуясь D0а):
^«JjttWft. D3)
ik
В развернутом виде эта формула может быть написана следующим
образом:
da^gn dq\ + g22 dql + gZ3 dq\ + 2g23 dq2dq3 + 2g31dqsdq1 + 2g12dqxdq2.(U)
Если задана некоторая векторная функция A(qv q2iq^) координат,
то, вводя в каждой точке пространства локальную систему координат
Ср е2> ез и взаимную ей е1, е2, е3 можно ввести ко- и контравариант-
ные слагающие вектора совершенно так же, как и в случае прямо-
прямолинейных координат, а именно по формулам:
Ak =
или
302

Вообще, все понятия и операции алгебраического характера, Свя-
Связанные с векторами или тензорами, рассмотренные нами в случае косо-
косоугольных координат, остаются без всякого изменения в координатах
криволинейных.
В частности, без всякого изменения остается и теория преобразо-
преобразования слагающих векторов и тензоров, при переходе от одной системы
координат qlf q2j qs к другой qu q'iy qi
В предположении взаимно-однозначной зависимости между старыми
и новыми координатами и их непрерывности, как функций друг друга,
имеем:
^dqk D5)
!<%• D6)
Эти формулы соответствуют формулам § 3 при
Принимая во внимание, что согласно C7)
и рассматривая г один раз как функцию q:Ri а другой — как функ-
функцию q^ получим:
т. е.
^"^ /Э/7.
D7)
и аналогично, старые координатные вектора выражаются через новые
D8)
Сравнивая D5) и D6) с D7) и D8), видим, что диференциалы коор-
координат преобразуют противоположно (контравариантно) координатным
векторам; поэтому dqi можно рассматривать как контравариантные сла-
слагающие вектора бесконечно-малого перемещения dr.
Что касается взаимных векторов, то они преобразуются очевидно,
как диференциалы координат, так как обладают контравариантным
характером. Действительно, согласно D2):
" "ж- D9)
393

Определитель преобразования D5) имеет вид:
dq'i
dq'i
dq3 y
dq^
dq2
dq3'
dq2
dq's
dq,
т. е. представляет собою функциональный определитель новых коорди-
координат по старым. Заметим, что он обратен по величине определителю
Зная „коэфициенты преобразования" а^ и а^, мы можем вычислить
новые слагающие любых векторных и тензорных величин по форму-
формулам § 3,
Действительно
л; _ Ае; _ V Ае- dQi - V Л- ^1
г г
т. е.
величины
ным вектором.
Далее
преобразуются ковариантно по отношению к координат-
координатг k
Но в новой системе координат А=
л, поэтому
dq,
- A\
E1)
§ 5. Диференциальные операции в криволинейных координатах
Поскольку, пользуясь юординатным представлением векторных и
тензорных функций, мы ограничиваемся операциями над величинами,
относящимися к одной и той же точке пространства, пере-
переменность координатных векторов, как уже упоминалось выше, не имеет
никакого значения. Эта переменность начинает сказываться лишь тогда,
когда мы переходим к сравнению слагающих одной и той же вектор-
векторной или тензорной функции в различных и прежде всего в сосед-
соседних точках пространства.
Так например, примем во внимание две точки Р и Р\ находящиеся
на бесконечно-малом расстоянии |rfr| ¦= do друг от друга. Значение ка-
какой-либо векторной функции в точке Р обозначим через А, а в точке
Р' — через А'; в частности, через г и г' обозначим радиусы-векторы
394

точек Р и Р' относительно „начальной" точки О, а через е3, е2, е3 и
е^, е^, е'^— соответствующие значения координатных векторов. Соста-
Составляя ковариантные слагающие А (в Р) и А' (в Р') по формулам Ai=Aei
и А% = А • ei и вычитая их друг из друга, мы получаем некоторые
величины (A'i — Д), которые не только не дают представления о раз-
разности А' — А, но даже, строго говоря, не имеют ковариантного харак-
характера. А именно, при преобразовании координатных векторов в Р и Р'
слагающие Ai и А[ преобразуются ковариантным образом по отноше-
отношению к еь с одной стороны, и е[ — с другой, т. е. следовательно, по-
поскольку эти векторы независимы друг от друга, неодинаково. От-
Относя вектор А' — А ~ dA к точкам Р и Р', мы получаем для его ко-
вариантных слагающих различные значения, а именно dAe* и йА$[.
Так как, однако, координатные векторы являются, по предположению, не-
непрерывными функциями радиуса-вектора, то разности el— е» = de^ пред-
представляют собой величины того же порядка малости, как г'—г = (it или
как dA. Отсюда следует, что произведения dA • е% и dA • е^ отличаются
друг от друга на величины второго порядка малости. Таким образом
с точностью до бесконечно-малых первого порядка их можно отожде-
отождествить друг с другом и трактовать как слагающие вектора dA, отнесен-
отнесенного к точке Р или к любой другой точке бесконечно-малой области,
содержащей Р.
Замечая, что йА-ь = d(Ae^) = dA • е* + А • dei, получаем следующее
соотношение между слагающими диференциала вектора А, т. е. вели-
величинами dA • е* = |dA|i, и диференциалами его слагающих dAii
IdAk^dAi-Ad*. E2)
Для контравариантных слагающих получаются аналогичные соотно-
соотношения:
|? = сГА*—А - tfe*, E2а)
где е1, е2, е3 — взаимные координатные векторы. 1С тем же результатам
можно прийти, исходя из равенств А = А е& —Д/^е*, определяющих век-
вектор А через его контравариантные и ковариантные слагающие. А именно,
диференцируя эти равенства, получаем:
dA = ekdAk + Akdek, E2b)
dA = ek dAk + Ak defe. E2c)
Здесь и в дальнейшем знаки суммирования по парам равных индексов
противоположного типа — в данном случае по к — будут опускаться;
см. конец § 3.
Если первое из предыдущих равенств умножить скалярно на et,
а второе на е! и принять во внимание, что
d е* • eft) = ei • defe + efe • d^ = 0,
то они приводятся к виду:
| dA |i = dАг + Аи* de" = dA-t ~ Akzh ¦ d* = dAt - A . d^
\dA[ = dA1 + Ahe • dek - dA1 - A'Vde1 = dA ~ A . de\
395

Отметим также следующие соотношения, которые получаются (ска-
(скалярным) умножением E2а) на е\ а E2с) на ei
dt\ E2d)
| dA |i = gik dAh + A\ • dek. E2e)
В простейшем случае диференцкрования скалярных функций криво-
линейность координат ничем не сказывается. Составляя разность значе-
значений подобной функции <р для точек Р и Р' (РР' = dr), получаем:
dtp = grad93 • dr = Igradр\ьйхг = ^Лсь,
откуда следует, что
Jgrad^lt^vi^^ щ, E3)
так же как й в случае прямолинейных координат (под х1у х2, Х3 мы подра-
подразумеваем здесь и будем подразумевать в дальнейшем обобщенные коор-
координаты, которые до сих пор обозначались нами через ql9 q2) q3).
Однако, в применении к векторам и тензорам диференциальный опе-
оператор V нельзя трактовать в случае криволинейных координат, как сим-*
волический множитель с ковариантными слагающими гт-. В самом деле,
полагая в формулах E2) и E2а) А с= Aheh ж Ahth ий = ~- dxk,
имеем:
E3а)
где величины (V, А)?^ и (V, А)? обозначают ковариантные и смешан-
смешанные составляющие тензора второго ранга (V, А), представляющего собой
„диференциальное расширение* вектора А. Что же касается производ-
ал, дА1
ных т— и г-, то в случае криволинейных координат т. е. перемен-
охк oxh
ных координатных векторов, они не имеют ни ко- ни контравариантного
характера.
Вводя обозначения:
dxk
1 ' ¦ - E3b)
396

получаем для составляющих тензора (V, А) следующие выражения:
п
E4а)
[ik I i ik \
и I | (так называемые „квадратный" и „фигурный"
символы Кристоффеля) могут быть выражены через слагающие
координатного тейзора g^ = ti • е& (или gift = ег • ек) и их производные
по координатам. А именно согласно формулам C7)
¦eft
дх{
dxh
dxh\'
так что
\ik\ I \Hhi , -c/w —гя , -
[h\ 2 1дхк^ахг dxh]
Полагая, далее, в E3b) eh = ghleu получаем:
E4b)
- g« Г1& = — T%. E4c)
Необходимо подчеркнуть, что символы Fh,ik иГ|а не обозначают
слагающих какого-либо тензора; мы ввели их, следуя Эйнштейну, лишь
взамен менее удобных обозначений Кристоффеля. Они симметричны (но
не ковариантны!) относительно индексов ?, к; точно так же величины
Fhtik не ковариантны, a /ffe не контравариантны относительно индекса Л.
В случае прямолинейных координат, т. е. постоянных координатных
векторов, а следовательно и тензоров, все эти величины обращаются
в нуль. Если бы они имели тензорный характер, то в виду линейности
формул преобразования тензорных слагающих при переходе от одной
системы координат к другой, они должны были бы равняться нулю не
только для прямолинейных, но и для каких угодно криволинейных ко-
координат.
Полагая в E4а) к = i и суммируя по /, мы получаем инвариантную
величину, которая, очевидно, представляет собой не что иное, как
„скалярную производную" или „расхождение" вектора А:
дк дА1 м лн
div A = ei
дхг дхг
E5)
397

В частности, при А = еп
divел = — /ti = +ef ?.
Но
г е
Следовательно:
dv = dti • (eft X е
= dei e (еА х еО
= и (e1 • rfex
/) + е*
| л2 t
(
(/, Л, Z =я
(dek х е*;
• (ez х еО
На J_ рЗ .
1,
'•
)Ч
+
2,
-е;
Л,
3)
• (еА
• (е4
хе,)==
da,
откуда:
diveh = - rhi = | Д- @= Kg). E5a)
Если подставить это выражение в E5), то оно приводится к виду:
7diT- E5b)
Вычитая из тензора iV, А) сопряженный (V, А) и принимая во
внимание симметричность символов Г^ по отношению к индексам / и к,
получаем антисимметричный тензор с ковариантными слагающими:
(V, А)«_(У,А)„ = ^— ~{. E6)
Этот тензор очевидно соответствует векторной производной вектора А,
т.е. вектору VxA = rotA с контравариантными слагающими:
I idАь дАЛ
-7[l?-??) (A,/,*-!. 2,3). E6а)
Предыдущие результаты относительно диференцирования векторов
легко распространяются на тензоры 2-го и высших рангов. Так напри-
например, диференцируя инвариантный скаляр <р = TikAtBkJ где Tih — ко-
вариантные слагающие рассматриваемого тензора, а А и В — произ-
произвольные векторные функции, и пользуясь формулами C4а), имеем:
dtp - dTik • AlBk + 7^ dA% - Bk + Tik • A1 - dBk =
= dTik .AlBk + Tik | dA?Bh + TikA1 \d%\k + Tik (A . dcl) Bk
+ TikAl (B . dek) = dTik • AlBk + Tik AhBh (еЛ • del} +
+ TikAjBh {eh . rfeft) + Tife|rfAf- В/г + ТЙ{"
398

или, так как
TjkAhBk (е/, • йё) --= T^AlBh (е* • deh)
и
TikAlBh (еЛ • </еЛ) = Г^В* (еЛ • de\
dcp = [dTife + Thk (ti ¦ de") Л " f
Левая часть этого равенства представляет собой инвариантную вели-
величину; то же самое относится к второму и третьему членам правой
части. Отсюда следует, что и первый член является инвариантным скаля-
скаляром. А так как он равен сумме произведений контравариантных множи-
множителей Аг и В на некоторые (диференциальные) коэфициенты, то эти
коэфициенты должны иметь дважды-ковариантный характер т. е. представ-
представлять собой ковариантные слагающие тензора второго ранга, который
очевидно и является диференциалом тензора 2Т. Таким образом мы
получаем следующие формулы:
| d4 \ik = dTik + Thk (et • deh) + Tih (eft • dt\ E7)
являющиеся непосредственным обобщением формул C4). Заменяя в пре-
предыдущем вычислении ковариантные слагающий тензора 2Т контра-
вариантными или смешанными, т. е. полагая ср = ТгкА-ьВи или <р = Т\А1В^
находим аналогичным образом контравариантные и смешанные слагаю-
слагающие тензора d2T:
! d4 f = dTik + Thh (ef - dth) + Tih (th . deh). E7a)
\d*T\ki - dTki+ T\ (e, • deh) + T? (eft • deh). E7b)
Заметим, что эти формулы можно вывести непосредственно, таким
же образом, как и в случае векторов, исходя из определения слагаю-
слагающих тензора, как скалярных произведений этого тензора на коорди-
координатные векторы. Так например, полагая Ttk = BTe0 е& имеем:
dTik^ (d2T . ео efe + BT . det) efe + BTei) dek ==
- (d2T)i, + BTe0 th + BТ dti) е^.
Пользуясь тем, что BТ • ei)dek =*= BTei-e,) e/ldeft и ehdek = — eferfe^1,
получаем отсюда формулу E7).
С помощью предыдущих формул легко вычислить слагающие „ди-
фе;енциального расширенияа 2Т, т. е. производного тензора 3Т == (v2T).
Заметим, что эти слагающие связаны с слагающими d2T соотношениями:
| йЧ |№ = (V, 3Т)„, л • йхп, fh ft
где dxn (n — 1, 2, 3) — слагающие перемещения dfr, соответствующего
диференциалу d2T. Вводя символы Г, получаем:
(V,2T)«, ш = ^ -f гйТык + Лк„Т». E8)
399

V Ў ^ /71 ~a Yin.*- ~~~ •* rtfl * > yKjfJdJ
oxn
(V ,2T& i = S- + /M - /HfcT?. E8b)
Если в последних двух формулах положить я = к, то они превра-
превращаются (после суммирования по Л) в контравариантные и ковариа,нтные
слагающие вектора (V2T) « div2T. С помощью соотношения Г%ъ. =
= — г— они приводятся к следующему виду: *)
(V, T)f = (div 2Т |* = } д{иГ) __ г^Т^ E8с)
и дх v 7
(V, T)ft i = [div ^X|i = l -\- ГгкТи- E8d)
v dxk
Путем повторного применения операции диференцирования векторов
и тензоров (в связи с приведением или без него) нетрудно вычислить
такие величины, как у2а (где и некоторая скалярная функция), р2А,
(V V) А и т. д. Так например, по формулам E4) и E5) находим:
§ 6. Вывод формул для диференциальных операций из их
интегрального определения
Предыдущие формулы могут быть выведены непосредственно из
синтетического определения соответствующих операций при помощи
поверхностных или контурных интегралов. Мы ограничимся выводом
выражений для скалярной и векторной производных векторной функции,
исходя из формул Гаусса и Стокса, т. е.
J*FndS=j*divFdV и j*FTdo= С \rot F\ndS
х) Если тензор 2Т —антисимметричный, то сумма r]lkThk (в виду симмет-
симметрии величин Г]^ относительно индексов h и к) обращается в нуль, так что
формула E8с) сводится к
v dxk
Заметим, что в этом случае, согласно формуле E8), имеем
(V. 2T)M3-KV, 2T)
2,31
d(vT*)
~~ дхх + дх2 + дх, '
где Т— вектор эквивалентный 2Т, или, следовательно, на основании E5Ь)
rot2T=ri»divT [ср. формулу B1с) § 21].
400

(Отдел II). Так как Frda == F • ida == F • dt = FidXi (знак суммиро-
суммирования, по обыкновению, опущен), то формулу Стокса можно перепи-
переписать в виде
>tF-ntfS. F0)
Разбивая замкнутую поверхность S, фигурирующую в формуле
Гаусса, на элементарные параллелограмм со сторонами dt = fydXi и
дт = е* dxi и полагая ndS —dt X <5r, получим аналогичным образом
FndS = F • ndS = Я|dt xЛг/4
или, согласно B2):
з
FndS = У F1
= [; = e1 • (e2xe3)], (/, k, Z=l, 2, 3), т.е., следовательно:
a
^ / ^ VI (dXhdXt -dxi dxh) =J div F dV. F0a)
1
Если ввести вместо вектора Fi эквивалентный ему антисимметрич-
антисимметричный тензор с ковариантными слагающими Fui= —Fm = V^g Fl, то пре-
предыдущая формула принимает еще более простой вид:
= fdivFdV. F0b)
Возвращаясь к формуле Стокса F0), предположим, что контур а,
равно как и стягиваемая им поверхность 5, весьма малы и что поэтому
значения слагающих F\ в какой-либо точке Р контура можно предста-
представить через значения этих слагающих и их первых производных по
координатам в некоторой внутренней точке Ро с помощью первых
двух членов формулы Тэйлора
где |ft—контравариантные слагающие вектора
= ^V3 ^ г—го-
вни-
вниПодставляя это выражение в интеграл / Fi dX\ и принимая во
мание, что dxi = d^ и что, в виду замкнутости контура cr, / d|j = 0 и
J d (tik) = f d? '?k+f f* dt - 0, получаем:
Xi + №
26 Курс теорет. механики. 401

Величины f* dfk—fftd?l представляют собой контравариантные сла-
слагающие антисимметричного тензора, определяющего площадь паралле-
лограма со сторонами § и d% = dr=rdo. Таким образом интеграл
т / (?г d?k —l^df1) соответствует удвоенной площади, охватываемой кон-
туром о, в случае если последний—плоский, или, вообще говоря, удво-
удвоенному моменту этого контура, т. е.-вектору М = / ndS. (см.
отдел II), Полагая
\ f (l{ dt - ? d?) = Мш = -Мы
и заменяя интеграл / rotFndS произведением (rotFH« / n dS ==
\h
=ss (rot F)o • M = | (rot F)o \h • Mh, получаем:
или, согласно C1):
что совпадает с формулой E6а).
Переходя к формуле F0Ь) и обозначая радиус-вектор точек весьма
малой замкнутой поверхности S относительно одной из внутренних
точек (Ро) через §, имеем, так же как и в предыдущем случае:
и, следовательно:
Г Fkidxtixi = (F«)o /* rf«* «'+ &') А"^ ^'-
Интеграл / d?k C|г, распространенный по замкнутой поверхности,
равен нулю тождественно, независимо от формы этой поверхности,
выбора системы координат или направления перемещений dt и dt, ибо
при Fhi~(FkiH, т. е. F = const, / FndS = F- I ndS = 0. Отсюда да-
далее следует, что интегралы / d(|h|ft)-d| и / d?k д($н?1), получаю-
получающиеся из предыдущего заменой одной из координат произведением ее
на fh, дол
тричности
на fh, должны также обращаться в нуль. Полагая, в виду антисимме-
(¦if)./
402

и принимая во внимание вышесказанное, нетрудно видеть, что интегралы
/f/l (d?k eg1 — d?l d?h) при Л = й: или Л=/ равны нулю, а при Л, /с,
/=1, 2, 3 — отношению объема / dV к объему координатного па-
параллелепипеда (в точке Ро) vQ — V^go- В самом деле:
IWdl3 — / d?*d(?lS2) + I
J v J
и точно так же
Таким образом каждый из этих интегралов равен одной трети их
суммы, которую можно представить в виде
J-
¦f
I1, I2, Is
i\ d?2, rfl3
Si1, dp, EI3
Определитель, стоящий под знаком интеграла, представляет собой
отношение объема элементарного параллелепипеда с ребрами §, tf§, <5|
к объему координатного параллелепипеда для одной из его точек,
т. е. утроенный объем пирамиды с вершиной Ро и основанием в виде
параллелограма rf§, д%, разделенный на i>0 = )/g0. Отсюда ясно, что
г=— I dV =
ЗУ
и, следовательно,
Полагая, в виду малости объема V,
VJo
и отбрасывая значок „0", получаем, на основании F0Ь):
т. е. формулу E5Ь).
26*
403

При вычислении объемных интегралов в криволинейных координатах
в качестве элементов объема dV выбираются бесконечно-малые парал-
параллелепипеды с ребрами, параллельными ребрам координатного паралле-
параллелепипеда в соответствующей точке, т. е. координатным вектором еъ
е2, е3. Обозначая эти ребра векторами exdxlt e2dx2, е3Лс3, где (dxv
О, 0), @, dx2, 0), и @, 0, dxz) контравариантные слагающие первого,
второго и третьего ребра, получаем:
dV = ех dx± • (е2 dx2 х e3 dx3) =
= ех • (е2 х е3) йхг dx2 dxz =
и следовательно:
f <pdV = fff <P Vi to,. dx2 dx3,
F1)
где <p—произвольная функция: скалярная, векторная или тензорная.
При переходе от старых координат к новым x'v X2) х'ЗУ интеграл F1)
преобразуется по известной формуле Якоби в
v =
vxi>
где -~-Ц—Ч—?г обозначает функциональный определитель (якобиан)
о (Хх, х2, х3; '
дх± дх2 dxs
дх[ ' дх[ ' дх[
дхг дх2 дх3
дх\
дх2
дх3
дх'3
С другой стороны, преобразуя слагающие нового координатного
' VVl dXi дХк
тензора gw по формулам gw =77 а^7" /w7" ?& и применяя два раза
A 0XV 0Xk'
i k
теорему умножения определителей, получаем g' = g(a'J и, следова-
следовательно:
х2> *з) _
д (х'ъ х'2, xj)
F1b)
Если подставить это выражение в формулу F1а), то она принимает
тот же вид, что и F\)у но только в новых координатах.
§ 7. Ортогональные координаты: цилиндрические, сферические и
параболические
В случае ортогональных координлт предыдущие формулы значи-
значительно упрощаются, так как побочные слагающие координатного тен-
тензора (g28, ?з1> ?12) обращаются в нуль.
При таких условиях формула D3) для квадрата элементарного пе-
перемещения сводится к
d* idil]ldxl, F2)
404

1
2
1
del
dxh '
del
1
z
l
4
del
dx{ '
dx{ '
h,hh= -
1
2
1
4
4
dxh
4
dxh
определитель g обращается в произведение g=ie\e\e\% а взаимные коор-
координатные векторы—в обратные е*= —, что соответствует
Символы Fht tk и Fik с тремя различными индексами сводятся к нулю;
при одинаковости двух или трех из этих индексов, имеем:
ч
dxh
,F2а)
'»- 2^ dxh' '*•-
где е^ —(enJ обозначает квадрат en- Само собой разумеется, что в этих
формулах суммирования по одинаковым индексам не предполагается.
При пользовании ортогональными координатами ковариантные и
контравариантные слагающие векторов и тензоров обычно заменяются
обыкновенными проекциями их на координатные векторы (или, что то
же самое, численными значениями их составляющих, которые в этом
случае, так же как и в случае прямолинейных прямоугольных коорди-
координат, совпадают с проекциями). Мы будем обозначать эти проекции
таким же образом, как и ковариантные слагающие, пользуясь в каче-
качестве индекса не номером координаты (г), а соответствующей буквой
(Xi)y т. е. в случае вектора А или тензора 2Т через AXi, TXiX}. и т. д.
Таким образом имеем следующие формулы:
А— 4 6l -U4 ем д ез
ИЛИ
Ач = ^ = А F2Ь)
и точно так же:
, 1 'L
^ еЛ rWb-ПЛ-. F2С)
Заменяя в формулах E5Ь) и E6а) Ah и Ah через проекции AX]l и
замечая, что v = у g = еге2ег1 получаем следующие выражения для рас-
расхождения (скалярной производной) и для проекций вихря (векторной
производной):
и
Отметим также формулу
^" {-щ (if* ~wj+ir (it Й)+^ (i? ^)]' F5)
ei dxij ' дх2 \ е2 дх2) d>
которую можно рассматривать как частный случай F3) при
л 1
405

Рис 41.
Простейшими и наиболее употребительными ортогональными коорди-
координатами, помимо прямолинейных, являются
цилиндрические и сферические.
Обозначая прямолинейные и прямоуголь-
прямоугольные координаты через х, у, Z (вместо хъ
*2> хз\ можно определить цилиндрические
координаты д, ф, z следующим образом:
о е^ть расстояние рассматриваемой точки Р
от оси OZ (OiP), Ф — угол между плос-
плоскостью OZP и OZX („азимут"), и z — рас-
расстояние от плоскости XOY (рис. 41). Таким
образом координатные линии д (ф~ const,
-У z= const) суть прямые, пересекающие ось
OZ под прямым углом; линии ф (г — const,
Z = const) — окружности, центры которых
лежат на OZ, а плоскости перпендику-
перпендикулярны к этой оси, и, наконец, линии z
(g=z const, ф = const)—прямые, параллельные оси OZ.
Заметим, что уравнение д = const определяет цилиндрическую поверх-
поверхность радиуса д; отсюда и происходит название рассматриваемой
системы координат.
Координатные векторы е^ е2, е3 направлены в сторону быстрейшего
возрастания координат, т. е. вдоль прямой ОхР, по касательной к коор-
координатной окружности, проходящей через Р, и, наконец, вдоль оси OZ,
т. е., другими словами, по радиусу, по касательной к кру-
круговому сечению и по образующей цилиндра д = const.
Изменению координат на dg, dф, dz соответствуют элементарные
перемещения е± dg, е2 dф, е3 dz, равные (по абсолютному значению) dg,
gdф и dz. Таким образом е1=^1, е2 — д, ?3=1 и, следовательно:
F6)
F6а)
F6Ь)
Г\2 —
Vg^Q
= —1 (все остальные 7"^ = (
Проекции вектора А на направления ех, е2, е3 обозначаются, со-
согласно общему правилу, через Ае, А^ и Az. При таких условиях фор-
формулы F3), F4) и F5) получают следующий вид:
div A = —
d(QA0)
+т
6АГ
"dz"
А =
1 dA,
dz
A(f>k-~~dt
rotzA = —
dA^
dq>
Li!fL
F7)
F7a)
F7b)
408

С рерические координаты г, 0, ср обозначают соответственно
численное значение радиуса-вектора, т. е. расстояние рассматриваемой
точки Р от начала координат О, угол между прямой ОР и осью си-
системы OZ („полярное расстояние") и двугранный угол между плоско-
плоскостями OZP и OZX („азимут"). Таким образом координатные линии г
@ = const, <p = const) суть прямые, расходящиеся из точки О, линии О
(г = const, <p = const) — меридианные круги, проходящие через ось OZ,
и, наконец, линии ср (г = const, 0 = const)— параллельные круги, пер-
перпендикулярные к оси OZ. Если представить себе, что начало координат
находится в центре земного шара, а ось 0Z направлена к северному
полюсу, то г будет обозначать расстояние рассматриваемой точки от
центра, в угловое расстояние ее от полюса, т. е. дополнение широты,
а <р — долготу (в восточном направлении). При этом координатные век-
векторы ех, е2 и е2 будут направлены соответственно вверх, к югу и на
восток (рис. 42), образуя, следовательно, положительную (правую)
систему. Увеличению координат на йг, йв и dcp соответствуют элемен-
элементарные перемещения ех dr, е2 йв и е3 d<py численно равные dr, r dd и
Qdcp — r sin в d(p. Отсюда следует, что ^==1, e2 = r, ez^=r sin в и,
далее:
da2 = dr2 + гЧв2 + г2 sin2 в d<p\ F8)
= r2 sin0 F8a)
7-2 у Г2 — L Г3 L
1 22 '» 12 "*~ *• > 13 г I
F8Ь)
Обозначая проекции вектора А на е]; е2 и е3 через Ап А», А9>
получаем следующие диференциал^ные формулы:
div А - ?
F9Ь)
1
г8
д 1
дг V
дг)
div
I 1 Г2
grad
1
sin 0
и =
д
дО
ди^ ¦ Jt У^_ C69c,
sin2 в д<р* ' [р*с'
407

Между простейшими ортогональными координатами—прямолиней-
координатами—прямолинейными, цилиндрическими и полярными—имеют место следующие соотно-
соотношения, непосредственно вытекающие из предыдущих определений:
х = q cos ф}
у = д sin ф, z=Z G0)
? = г sin 0, z = r cos 0 G0а)
х = г sin 0 cos ф, у «= г sin 0 sin 99,
z = r cos 0. G0b)
Диференцируя равенства G0) и
G0b) и вводя вместо диференциалов
координат 0 и ф соответствующие
элементарные перемещения rdd и
gdф=r sin 0 d#> (т. е. проекции
результирующего перемещения dr на
соответствующие координатные век-
векторы), получаем:
dy = sin ф-dg^ cos ф • Qdф, dz = dz
dx = sin 0 cos 99• dr-f- cos 0 cos 9? • r d0 — sin ф• r sin 0 d9?
dy = sin 0 sin 9?• dr -f- cos 0 sin ф • r d0 + cos ф-г sin 6 dф
dz = cos 0• dr — sin Q-rdO.
В этих формулах величины (dx, dy, dz) (d?, ?d<p, dz), (dr, rd0
rsin0d9?) представляют собой проекции одного и того же вектора dt
на координатные векторы соответствующих координатных систем. За-
Заменяя вектор dt Произвольным вектором А, получаем аналогичные
формулы:
Ах:= cos ф'Ао — sin tpAa» A;=sin w-Ao4-cos q>-Aa»
Рис. 42.
dx = cos ф • dg — sin ф
Ax = sin 0 cos ф • Ar + cos в cos 9? • Ad — sin ф
Ay = sin 0 sin ф- i4r+cos 0 sin 9?- Ae+ cos 9?-
Az = cos б • Ar — sin 0 • Л9
= Ar G1)
G1a)
которые можно рассматривать, как частный случай формул преобразо-
преобразования прямоугольных слагающих вектора А при переходе от одной
прямоугольной системы координат к другой (напомним, что при пре-
преобразовании координатных векторов в данной точке, криволинейность
координат не играет никакой роли).
Отсюда, согласно формулам отдела I непосредственно получаются
формулы, обратные G1) и G1а), а именно:
Ав— cos ф- Ля + s
ix + sin ф• Ay, Ар — —sin ф Лх+cos ф Ау, АГ=*А2G\Ъ)
Ar = sin 0 cos ф ¦ Ax + sin 0 sin ф'Аи-\- cos 0 • Az
Ae -- cos 0 cos ф- Ax-\- cos 0 sin ф- Ay — sin 0« Лг J. G1c)
i4v - — sin 9? • Ax -f- cos 9? • Лу
408

В заключение рассмотрим вкратце еще так называемые „параболи-
„параболические координатыи хг = I, х2 = *], х3 -• <рл определяемые формулами:
!-^(f2-'?2); У
cos <p\ z = Sri sin <р.
G2)
Сделаем последовательно преобразование координат. Для этого
удобно воспользоваться „комплексным методом".
Введем цилиндрические координаты д, <p> x с полярною осью х,
тогда :
х = х, у = д cos (p, z = q sin cp
и
ds2 = dx2 + dg2 + д2 d<p\ i 73)
Положим теперь
?J, G4)
тогда
G4а>
Подставляя в G3), мы переходим к формулам G2). Из G4а) мм-
получаем, исключая сначала rj, затем f:
G5)
откуда следует, что линии [!] (^ = const, 9? = const) суть параболы
с осью х, линии [rj] (| = const, 9? = const) — также параболы с осью х,
а линии |<р] (f, f)~ const) — полупрямые, пересекающие ось ОХ
под прямым углом (рис. 43).
Беря диференциал G4), получаем:
dx + idg = (t+ itiXdS + i drj).
Модуль этого выражения равен
X
подставляя его в D3), находим квадрат
элемента дуги:
ds2 - (I2 + ^72)(rfl2 + di?2) + fV^2- G6)
Слагающие метрического тензора
равны:
а элемент объема
dv = (?2+
Так как
Рис 43.

то, рассматривая dx и dg как прямоугольные составляющие вектора dt
в цилиндрической системе, можно рассматривать di и drj как прямо-
прямоугольные составляющие вектора dt в параболической системе коорди-
координат. Заменяя теперь di через А&, drj через Ап — составляющие век-
вектора А, получим:
АХ = ?А$ — г\Ап
Соответствующие ковариантные слагающие равны:
Заметим, что аналогичным методом, т. е. методом теории аналитических
функций, можно вводить множество криволинейных ортогональных коор-
координат на плоскости. Так, вводя функцику
Ф(х+/у) = ?+/??,
м- жно трактовать вещественную и мнимую часть последней как систему
криволинейных ортогональных координат (f, rj) и пользоваться этими
координатами для представления скалярных, векторных и тензорных
функций на плоскости так же, как это делалось выше в случае про-
пространства. Диференцируя предыдущее равенство, получаем:
d?+ i drj = Ф' {z){dx+ i dy)
и следовательно;
(d? + idrj)(d?—idn) = Ф'(г) Ф' (г*){dx + idy){dx — idy\
*"-<*¦+о-~$т|Г-
Эта формула показывает, что новые координатные векторы в| и е^
численно равны величине, обратной модулю Ф{х). Таким образом, обо-
обозначая проекции какого-лиоо вектора А на в| и е^ через А% и АП9
получаем следующие формулы преобразования:
= \ф' {z)\ (^
или в развернутом виде
А
\Ф'(г)\
л _ ~дхЛх+ WAy
"~~ |Ф'B)Г
Заметим, что при Ф(г) = ^г, f = lg|2| = lgr, a rj =углу <р между г
и осью ОХ. Система координат, образуемая переменными {е?9 rj) есть не
что иное; как уже известная нам система полярных координат (г, <р).
410

ГЛАВА II
ПРИЛОЖЕНИЕ К МЕХАНИКЕ ЧАСТИЦЫ И КОНТИНУУМА
§ 8. Механика свободной частицы
Движение материальной частицы определяется векторным урав-
уравнением
md—-F
т dt* ~r*
где f обозначает, по обыкновению, радиус-вектор частицы по отноше-
отношению к некоторой начальной точке О, F—вектор действующей на нее
силы, а т — массу. Вводя прямолинейную систему координат с нача-
началом в О и полагая в предыдущем уравнении г — Xfti и F = Fl$i (зна-
(знаки суммирования по i опущены), получаем, в виду неизменности коор-
координатных векторов,
т. е. следовательно:
m^-F* (i-1,2,3).
В этих уравнениях контравариантные слагающие ускорения и силы
связаны друг с другом инвариантным (или, как иногда говорят,
„ковариантным") образом. Все более сложные законы механики и фи-
физики выражаются математически в виде подобных инвариантных соот-
соотношений между величинами с одинаковым характером и степенью
вариантности по отношению к преобразованиям координатных векто-
векторов еь е2, е3. Зга инвариантность соответствует относительности
направлений в пространстве, т. е. отсутствию у любого направле-
направления каких-либо преимуществ перед всеми остальными.
В общем случае переменности координатных векторов, т. е. криво-
линейности координат х1у х2, х3, контравариантные слагающие ускоре-
ускорения w= t^- могут быть вычислены следующим образом. Разделяя равен-
равенство dt = dxiti на dt, получаем вектор скорости
dxt
с контравариантными слагающими
i йхл
W=^F G8)
и численным значением i; = —. Полагая, далее, w = -т = -г- -гг

и пользуясь формулой E3а), получаем следующие выражения для контр-
авариантных слагающих ускорения:
Ли*
г* 15/ dt -~dt~~
т. е.
3
dt dt
G8a)
Уравнения движения в контравариантных слагающих ускорения
и силы имеют следующий вид:
mwh = Fh. G8b)
В случае сферической системы координат г, 0, <р проекции скоро-
скорости и ускорения выражаются формулами [ср. формулы F8) и F8Ь)]:
¦г
= Г
S)]j
гг] J
G9)
В случае цилиндрической системы координат получаем аналогичным
образом:
dg dq
G9a)
dg d<p
Проекции v и w на ось OZ равны соответственно — и ^- .
Формулы G9а) могут служить для определения движения частицы
на плоскости. В случае кривой поверхности слагающие ускорения
определяются общей формулой G8а) в применении ее к двум коорди-
координатам.
Зная контравариантные слагающие скорости и ускорения, нетрудно
вычислить ковариантные по формулам vt = 2 gik.vk и Щ =* 2 ?ikWk .
Впрочем это можно сделать еще проще непосредственно.
Произведения pi = mvi, представляющие собой ковариантные сла-
слагающие вектора количества движения mw, можно также определить,
как производные кинетической энергии Т = — fflgikVlv по контрава-
риантным слагающим скорости mvi = —т- = \ tngikV , в соответствии
с векторной формулой mv = -у- отдела L
412

Полагая в первой из формул E3а) А = V, имеем:
dvi h de^ dq^ dv^ <
4t ~~ V th&fk~dt ^ ~W ~~ *h\
dv. i / deb deh\ h k
т. е. следовательно:
dv, i dghfe h ь
По умножении на т это равенство приводится к виду
Если сила F консервативна, т. е. представляется в виде — yUy
где U обозначает потенциальную энергию частицы; так что Fi = ---.—,
то равенства (80а) превращаются в уравнения Лагранжа:
d d(T-U) d(T-U) _Q f' ^1 .Л ,80Ь.
Уравнения Лагранжа являются, очевидно, инвариантными по отноше
нию к любым преобразованиям координат. Заменяя контравариантиые
слагающие скорости их выражениями через ковариантные и принимая
во внимание соотношения ghkghh =1 (при h! = к) или 0 (при Л'ф
имеем:
Таким образом производная кинетической энергии по х% при за-
заданных значениях коварна и тных слагающих скорости
равна по величине и противоположна по знаку соответствующей про-
производной при заданных значениях ковариантных слагающих, т. е.
дТ\ (дТ
Выражая кинетическую энергию через ковариантные слагающие
скорости, получаем вместо (80а):
) , дТ „
Если заменить ковариантные слагающие скорости ковариантными
слагающими количества движения рг = mwu то контравариантные сла-
г дхг л л-т
гающие скорости v = -^т- можно определить как производные -т-. За-
Заметим, что величины pi называются обычно „моментами" частицы.
413

При условии консервативности силы F (Ft =— ^-Л и независимо-
dxi дТ
сти U от pi предыдущие уравнения, в связи с равенствами --=z ~-.у
можно соединить в уже известную нам систему „канонических" или
Гамильтоновых уравнений*
dfl -s d(T+U) .
dt дхг ' dt dpt
§ 9. Движение частицы по кривой поверхности
Рассмотрим теперь движение частицы при наличии идеальной связи
вида / (х19 Х2, Хг) = 0, т. е., другими словами, движения ее по некото-
некоторой кривой поверхности 5, определяемой предыдущим уравнением.
При этом мы должны будем принимать во внимание лишь тангенциаль-
тангенциальные проекции различных векторов (скорости, ускорения, силы и т. д.),
которые могут быть охарактеризованы двумя слагающими, параллель-
параллельными касательной плоскости к 5 в соответствующей точке.
При таких условиях представляется возможным описывать движение
частицы на поверхности, а равным образом и свойства самой поверх-
поверхности, так сказать „не сходя с последней", т. е. оперируя не с тремя
обобщенными координатами, а лишь с двумя хъ Х2> соответствующими
двум системам координатных линий, проведенных на самой поверхно-
поверхности S (последнюю можно при этом трактовать, как одну из поверх-
поверхностей х3 « const в трехмерной системе криволинейных координат).
Подобный метод „имманентного" изучения кривых поверхностей
был впервые развит Гауссом.
Желая оперировать исключительно с поверхностными (тангенциаль-
(тангенциальными) векторами, мы должны трактовать эти векторы как двухмер-
н ы е, т. е. как векторы в протяженности двух измерений. Подобная
протяженность может быть „арифметизирована" при помощи двух ска-
скалярных аргументов, или координат, однозначно и непрерывно сопря-
сопряженных с различными ее точками. Обозначая эти „поверхностные"
координаты через xif x2, а элементарные перемещения, соответствующие
бесконечно-малому изменению одной из них, через t^dx^ e2rfx2, мы для
произвольного результирующего перемещения ползаем формулу:
dx = %do == txdxx+ e2dx2 (81)
или
= gndxl+2g12dx1dx2 + g22dxl (81a)
где
gn = ei • e2, g12 = ex. e2, g22 = er. er. (8lb)
Определитель g в рассматриваемом случае принимает вид
l> gl2
8 =
#21, #22
- gib
414

что соответствует следующему выражению для элемента поверхности
[ср. формулу F1)]:
dS = Vldx1dx2 =Vr2u?22 -^gh &xxdx2. (81 c>
С помощью координатных векторов ех и е2 ковариантные и контра-
вариантные слагающие всякого двухмерного вектора F (или тангенци-
тангенциальной составляющей трехмерного) определяются формулами:
Fx = F • еь F2» F . e2.
Мы сохраним для двухмерных векторов и тензоров все те опреде-
определения и операции, которые были установлены выше для трехмерных
(пространственных) векторов. При этом мы должны будем заменить
объемы участками рассматриваемой поверхности E), а поверхности —
проведенными на S контурами. Далее, векторное произведение двух
поверхностных векторов или векторную производную одного из них
мы будем трактовать как скалярную величину, эквивалентную вектору,
перпендикулярному кE); тоже самое относится и к антисимметричному
тензору (второго ранга), который, очевидно, также эквивалентен не-
некоторому „нормальному" вектору. Таким образом мы можем распро-
распространить на поверхностные векторы все те формулы, которые были
выведены в предыдущих параграфах этой главы для векторов простран-
пространственных, отбрасывая как, не имеющие смысла, выражения, содержа-
содержащие индекс 3.
При этом, однако, необходимо помнить, что основная векторная
величина, а именно радиус-вектор г, т. е. прямая, проведенная к дан-
данной точке Р от некоторой начальной точки О, не может, вообще
говоря, трактоваться, как поверхностный вектор. Если рассматриваемая
поверхность кривая, то, желая оперировать исключительно с поверх-
поверхностными векторами, мы должны исключить из рассмотрения вектор г
и рассматривать сумму e1dx1+ e2dx2 не как диференциал некоторой
векторной функции от координат, а просто как бесконечно-малое пере-
перемещение xdo с контравариантными слагающими dxx и dx2. Единствен-
Единственным исключением является очевидно случай плоской поверхности^
которая тем и характеризуется, что прямая, имеющая с ней две общие
точки (О и Р), вся лежит на ней.
Мы исследуем прежде всего основное и отличительное свойства
кривых поверхностей, а именно кривизну. Напомним, что кривизна
линий в пространстве определяется вектором -^- = — , где т —еди-
к по
ничный вектор, направленный по касательной к рассматриваемой кри-
кривой в сторону возрастания а. Полагая ъ = rkeh я тA*е1 + тB)еа + ^М;е3
и принимая во внимание, что х da = dt = е& tfx&, получаем для контрава-
риантных слагающих вектора -т- следующие выражения [ср. фор-
формулы E2а) и E2с)]:
415

drh , k h dek
"da "da" do* * h dx~t do da
«ли, согласно E3b):
flfx
da
la •
(82)
Отсюда следует, что уравнения
?L — р\ —1 _J? (82a)
da^ da da ^
определяю', прямую линию; правые части их представляют собой
„кажущуюся" кривизну этой линии по отношению к координатным
кривым, проходящим через соответствующую точку.
Если мы предположим, что в предыдущих формулах суммирование
по одинаковым индексам производится не от 1 до 3, а от 1 до 2, то
от пространственных кривых мы перейдем к кривым, проведенным на
некоторой поверхности. При этом в случае плоской поверхности урав-
уравнение (82) определяет истинную или абсолютную кривизну рассмат-
рассматриваемой линии, а в случае поверхности кривой — относительную
кривизну, измеряемую проекцией вектора — = — на касательную пло-
плоскость в соответствующей точке. В самом деле, поскольку координат-
координатные векторы ех и е2, а также е^х) и е<2>, лежат в одной плоскости,
dz
нормальная проекция вектора — совершенно не сказывается на его
контравариантных слагающих:
A) dn
da
Отсюда, далее, следует, что в случае кривой поверхности, уравне-
уравнения (82а) определяют не прямую, но лишь „прямейшую" линию, радиус
кривизны которой нормален к этой поверхности, и которая, следова-
следовательно, вовсе не обладает относительной кривизной (в указанном выше
смысле).
Нетрудно доказать, что подобные линии являются не только пря-
прямейшими, но, вместе с тем, и кратчайшими—по сравнению с дру-
другими линиями, проходящими через заданные конечные точки (Рг и Р2).
Для доказательства будем рассматривать координаты промежуточных
точек одной из этих кривых как функции некоторого параметра Я.
При таких условиях длина ее выразится интегралом
VwdX, где „.
_
(знак суммы по обыкновению опускается).
Примем во внимание, наряду с этой кривой, какую-нибудь соседнюю,
получающуюся из нее изменением Xi при данном Я на бесконечно-ма-
бесконечно-малые величины („вариации") дхи Обозначая соответствующее изменение
416

длины (выраженное с точностью до йеличин первого порядка малости
относительно 8xi) через да имеем:
dx)'dX= J ыйХ= Jы
Принимая во внимание, что
получаем, интегрированием по частям:
Если в последнем интеграле заменить индекс к через Л, то преды-
предыдущее выражение для да принимает вид:
dXi \ 1 д&ъ dx, dxk
-7т ал.
Согласно условию, значения вариации дхь при А = Ях и Я=Я2
обращаются в нуль, так что первый член правой части отпадает. Если
исходная кривая имеет меньшую длину, чем любая соседняя, то вели-
величина да должна обращаться в нуль при любых промежуточных
значениях вариаций дхп- Отсюда следует, что условие минимума а
сводится к уравнению:
% dxb
2и> dxh dX dl
Полагая в нем А = а и, следовательно, w = 1? получаем:
или, по умножении на ghj и суммировании:
(/a2 ~~llk da da "" U)
что совпадает с уравнением (82а).
Заметим, что линии, определяемые этим уравнением, т. е. прямей-
прямейшие и кратчайшие линии на данной поверхности, называются геоде-
геодезическими. В случае сферической поверхности геодезическими ли-
линиями являются дуги больших кругов.
При отсутствии внешних сил, помимо реакции поверхности, кото-
которая так же, как и нормальные проекции внешних сил можно не при-
принимать во внимание, материальная точка, могущая скользить по поверх-
27 Курс теорет. механики. 417

ности без трения, должна либо оставаться п покос, либо двигаться
равномерно по „прямейшей", т. е. по геодезической линии. Этот резуль-
результат непосредственно ясен (ибо траектория частицы может искривляться
исключительно вследствие реакции поверхности; а так как эта реакция
нормальна к последней, то и вектор кривизны к этой траектории дол-
должен быть всюду перпендикулярен к ней, что представляет собой отли-
отличительное свойство геодезических линий), К тому же выводу приводит
применение принципа наименьшего действия, который при условии
постоянства скорости (постоянства, опять-таки вытекающего из нор-
нормальности реакции, т. е. перпендикулярности ее к скорости) сводится
к принципу кратчайшего расстояния, разумеется вдоль поверхности.
В общем случае наличия внешних сил движение частицы по поверх-
поверхности определяется уравнениями того же вида, как и в случае свобод-
свободной частицы, т. е. в контравариантных слагающих ускорения и силы,
уравнениями:
dt* x lh dt dt / '
причем, однако, в виду постоянства третьей координаты (х3) суммиро-
суммирование следует производить лишь по двум из них (Л, i, fc=l, 2).
При F = О, т. е. при отсутствии внешних сил, это уравнение превра-
превращается при замене dt на --- в уравнение геодезической линии.
Переписывая уравнения движения в ковариантных слагающих уско-
ускорения и силы, мы возвращаемся к Лагранжевой или Гамильтоновой си-
системе уравнений, с исключенными связями, т. е. в переменных хъ х2-
§ 10, Гауссова теория кривизны поверхностей
Заменяя в уравнении (82) касательный вектор х каким-либо другим
вектором А, имеющим определенную величину и направление в каждой
точке рассматриваемой линии, получаем следующее, более общее урав-
уравнение.
h и лЬ , , dx-
da da da
Если дело касается кривой в пространстве и если вектор А пере-
перемещается вдоль нее, сохраняя неизменную величину и направление, то
уравнение (82Ь) сводится к
В случае плоской кривой это уравнение представляет собой условие
параллельного перемещения вектора А, т. е. истинной или „абсолют-
„абсолютной" неизменности его величины и направления. В случае линии, про-
проведенной на кривой поверхности, эта неизменность относится лишь
к величине вектора А (поскольку нормальная составляющая последнего
предполагается равной нулю), тогда как направление его остается не-
неизменным лишь по отношению к прямейшей или геодезической линии,
проходящей через соответствующие бесконечно-близкие точки. Таким
образом в этом случае уравнение (82с) представляет собой „наиболее
параллельное" перемещение вектора А при неизменности его величины.
413

Представим себе какую-либо замкнутую кринум (С) и,
слагающие вектора А в некоторой „начальной" ее точке Р, будем
перемещать его „наиболее параллельным" образом вдоль этой кривой.
При возвращении в точку Р мы получим некоторый вектор А', совпа-
совпадающий с А по величине,т но, вообще говоря, отличный от него по
направлению. Разность обоих векторов — начального и конечного —
представляет собой некоторый вектор АА, относящийся к той же са-
самой точке Р, причем, согласно (82с), его контравариантные слагающие
равны:
(О) (О)
В случае бесконечно-малого контура это выражение может быть
преобразовано следующим образом [ср. формулу F0)]. Примем во
внимание какую нибудь точку О, лежащую внутри контура (или на нем
самом), и обозначим координаты произвольной точки контура Q по
отношению к О, т. е. разности (Xi)q — (*г)о» через |г. Разлагая под-
интегральную функцию FihAk в ряд Тэйлора по степеням |г, имеем
в первом приближении:
H JO
[значок о обозначает, что выражение, заключенное в скобках, отпо
сится к точке О]. Умножая предыдущее равенство на dXi^dt;1 и инте-
интегрируя, получаем:
или, переставляя индексы / и I,
ffdt
Так как, с другой стороны, в виау замкнутости контура С, интеграл
dt = 0,
f
(О)
то предыдущее выражение для |ДА1" можно переписать в виде:
\
(в)
f
= -i-t/?tAl", (82d)
27* 419

где Ми— слагающие антисимметричного тензора, определяющего пло-
площадь, стягиваемую контуром С (или „момент" последнего), a U^—сла-
U^—слагающие некоторого тензора 3-го ранга, ковариантные относительно /, /
и контравариантные относительно Л (ибо „приведенное" произведение
их на Мп должно представлять собой величину моно-контравариантную
по отношению к Л). Принимая во внимание, что, согласно формуле (82с)
dAh
получаем далее:
-?- (/lAft) = А*
и, следовательно,
Uhu = AkKhh,u,
где
Khk;;, - ^— Щ
смешанные слагающие тензора 4-го ранга, называемого тензором Рима-
на-Кристоффеля или тензором кривизны. Заметим, что он явля-
является антисимметричным по отношению к индексам / и / (Кш =* —Kk'il)-
Таким образом, полагая h = к и суммируя выражения Кш (по к), полу-
получаем ковариантные слагающие некоторого антисимметричного тензора
2-го ранга. Наоборот, при h == i (или ft = /) суммы Кш образуют ко-
ковариантные слагающие симметричного тензора 2-го ранга Кии
В самом деле, пользуясь формулой
Kkl== \-щ-+r«W +1 dxkdX + Fkl
щ
Линейный инвариант этого „приведенного" тензора кривизны
K = gklKM (83b)
называется обычно „средней кривизной*. Легко видеть, что он
пропорционален отношению угла между векторами А и А' к площади
соответствующего контура М.
Предыдущие формулы применимы не только к поверхностям, но и
к пространству и вообще к протяженности любого числа измерений
(например четырехмерному „сверхпространству", с которым оперирует
теория относительности), в зависимости от числа значений, которые
могут принимать индексы. Само собой разумеется, что в случае прост-
пространства, по крайней мере обычного пространства Эвклидовой геометрии,
420

величины K\iu Кы и К должны равняться нулю. Это обстоятельство
явствует не только из их геометрического значения, но также и анали-
аналитического выражения. В самом деле, в случае прямолинейной системы
координат, соответствующей постоянным значениям слагающих коорди-
координатного тензора gfo, они должны обращаться в нуль тождественно вместе
с величинами Г (пропорциональными производным gik по координатам).
При переходе от прямолинейных координат к каким-либо криволиней-
криволинейным, величины Г становятся отличными от нуля, но Кии, Kki и К оста-
остаются попрежнему равными нулю — последняя в виду своей инвариант-
инвариантности, а первые в виду линейности формул преобразования для ко- и
контравариантных величин. То же самое относится и к случаю плоскости.
В случае же кривой поверхности ^акой системы координат, для
которой gik (glv gi2, ?22) являлись бы постоянными величинами, не
существует. Переходя от одной системы координат (хъ х2) к другой
(xi, X2), мы можем изменить значения слагающих Кп, которые при этом
преобразуются в новые Кит точно таким же образом, как gki преобра-
преобразуются в gvi*; но мы никогда не сможем добиться того, чтобы все они
одновременно обращались в нуль — по крайней мере для тех точек
поверхности, где последняя является на самом деле искривленной.
Итак, арифметизируя совершенно произвольным образом точки рас-
рассматриваемой поверхности (т. е. пользуясь совершенно произвольной
системой координат), можно определить характер и степень ее кривизны
в любом месте, не выходя за ее пределы (в пространство). Изложенный
выше метод изучения поверхностей был впервые введен Гауссом
и называется обычно его именем. Для иллюстрации этого метода мы
применим его к простейшему случаю сферической поверхности.
Пользуясь прямоугольными координатами в пространстве, можно опре-
определить сферу радиуса R уравнением
x\ + x\ + xl~R*. (84)
Обозначая элементарное перемещение на рассматриваемой сфере через da,
имеем:
или, так как, согласно предыдущему уравнению, х% = R2—xt — x\ и, сле-
следовательно, х3 dxz = — (хг dx± + х2 dx2):
do* - dxl + dxl + i^±b^l =gu dx\ + g22 dxl + 2g12 dxydx* (84a)
где
gik = dik+ R2*l**_xl , ft*«1,2) (84b)
причем Sik = 1 при / = к и 0 при / ф к.
Отбрасывая теперь третью координату х3 (имевшую чисто вспомо-
вспомогательное значение), мы можем рассматривать предыдущее уравнение
как определение da через независимые переменные хг и х2, служащие для
арифметизации сферы. Вблизи „начала координат", т. е. при достаточно
малых (в сравнении с R) значениях хг и х2, формула (84Ь) сводится
в первом приближении к gift = <5^ +-j^-. Отсюда видно, что в начале
421

координат производные ——, а следовательно и величины /^ обра-
охг
щаются в нуль. Что касается вторых производных gik по координатам,
d2gik
то все они также исчезают, за исключением производных вида -г—-г—.
охгохк
Пользуясь формулой (83а) для слагающих тензора кривизны вблизи
начала координат, без труда получаем:
В виду ковариантности этих соотношений они должны оставаться
в силе для всех точек пространства и для любой координатной системы.
Так например, их можно вывести, пользуясь сферическими координа-
координатами 0, <р, т. е., определяя элементарное перемещение на сфере форму-
формулой do2 = /?2d02+/?2sin20d^2. Мы не имеем, однако, возможности оста-
останавливаться на дальнейшем развитии этого вопроса.
В заключение покажем лишь на рассматриваемом примере, что „сред-
„средняя кривизна", т.е. линейный инвариант К = Kik?k= иг, пропор-
пропорциональна отношению угла, на который поворачивается перемещаемый
„наиболее параллельным образом" вектор А при обходе бесконечно-
малого замкнутого контура, к площади этого контура М, Для этого
представим себе сферический треугольник OPQ (рис. 44) и некоторый
вектор ООЪ образующий со стороной его ОР угол а. Передвигая этот
вектор в положение РРг так чтобы оставался неизменным угол а,
далее в положение QQX так, чтобы оставался неизменным угол между
ним и стороной PQ, и, наконец вдоль сто-
стороны QO при неизменности угла QxQO, мы
при возвращении в точку О получим вектор
ОО\, образующий с ОР угол а <а. Раз-
Разность а—а равна, как нетрудно убедиться,
сферическому избытку треугольника, т. е.
избытку суммы его углов О, Р и Q над
п. С другой стороны, поверхность сфери-
сферического треугольника S выражается, как
известно, произведением этого избытка на
квадрат радиуса сферы R. Таким образом
Рис. 44. величина К равна 4 -—^-^- .
о
Необходимо отметить, что вышеприве-
вышеприведенное (Гауссово) определение кривизны поверхностей не совпадает
с обычным, среднюю кривизну какой-либо поверхности обычно определяют
как сумму кривизн двух взаимноперпендикулярных нормальных сечений,
т. е. как -ъ—+-п- > гДе Ri и R2—соответствующие радиусы кривизны.
Задавая исследуемую поверхность уравнением (р(г) = (р(хъ х2, х3) =
= с = const и рассматривая с как непрерывно изменяемый параметр,
можно представить кривизну поверхности в следующем виде:
422

где n = -t— единичный вектор, совпадающий по направлению с гра-
\vp
диентом <р> т. е. направленный по нормали к поверхности (р = const.
Доказательство этой формулы предоставляем читателям. Заметим, чго
оно получается проще всего, если исходить из прямоугольной системы
координат с началом О в рассматриваемой точке поверхности и с одной
из осей, например ОХ3, направленной по нормали в этой точке (две
другие оси ОХг и ОХ2 должны быть, следовательно, расположены
в касательной плоскости).
§11. Эйнштейнова теория относительности и тяготения
Результаты двух последних параграфов непосредственно связаны
с Эйнштейновской теорией тяготения, основанной на принципе относи-
относительности прямолинейного и равномерного движения и на принципе
эквивалентности между силами инерции, обусловленными непрямолиней-
непрямолинейностью или неравномерностью движения, и силами тяготения. Послед-
Последний принцип, т. е. принципиальная неразличимость сил инерции и сил
тяготения, вытекает из совпадения инертной массы тел с их весомой
массой. Благодаря этому совпадению тела различной массы движутся
в одном и том же (внешнем) гравитационном поле совершенно одина-
одинаковым образом — как если бы силы тяготения являлись силами инерции,
обусловленными ускоренным движением координатной системы S, с точки
зрения которой наблюдаются эти тела, по отношению к некоторой другой
системе So, которую можно было бы считать „покоящейся", или движу-
движущейся неускоренно, т. е. прямолинейно и равномерно.
В действительности такой системы не существует: всякую систему
можно с равным правом рассматривать, как покоющуюся или движу-
движущуюся произвольным образом: в этом утверждении и заключается прин-
принцип относительности движения в его общей форме.
В специальной форме, соответствующей относительности прямоли-
прямолинейного и равномерного движения, этот принцип уже был рассмотрен
нами в § 15 отдела I, в связи с Ньютоновым законом движения. Там
же было указано, что учет конечной скорости распространения физи-
физических сил — в связи с этим специальным принципом относительности
движения — привел Эйнштейна к созданию новой теории относитель
ности движения, отличающейся от Ньютоновой относительностью или,
вернее, вариантностью промежутков времени, а также пространственных
расстояний между событиями, представляющимися одновременными в
какой-либо координатной системе (и неодновременными в другой).
Не углубляясь в физическую сущность вопроса, заметим лишь, что
из условия инвариантности скорости света, как универсальной постоян-
постоянной с, характеризующей распространение всех вообще физических дей-
действий (а не только света), в связи с относительностью прямолинейного
и равномерного движения вытекает инвариантность выражения
s2 = г2 - с2/2 « х\ + xl + xl — сЧ2, (85)
где г обозначает расстояние между местами двух определенных собы-
событий, a t—промежуток времени между ними, измеренные в какой-либо
42$

прямоугольной и прямолинейной „инерциальной системе координат S.
При этом под инерциальной системой подразумевается такая, в которой
силы инерции и тяготения либо вовсе отсутствуют, либо же взаимно
компенсируются, как это имеет место, например, в случае земного шара
(или точнее его центра). Инвариантность этого выражения означает, что
оно сохраняет как свою форму, так и свое численное значение при
переходе от S к какой-либо другой координатной системе S', также
инерциальной (т. е., следовательно, движущейся по отношению к 5 пря-
прямолинейно и равномерно), несмотря на то, что в системе расстояние
между местами тех же самых событий и промежуток времени между
ними, определяются величинами г' и /', отличными от г и /. Мы имеем
таким образом:
S2 = r2 — сЧ2 = г'2 — с2/'2
при г фг' и гф1\ или, в прямоугольных координатах:
S2 = x\ + x\ + xl — c2/2 = Xi2 + X22 + X32 — c2f2. (85a)
Разница в значениях координат может, при этом, обусловливаться
отчасти поворотом обеих координатных систем по отношению друг
к другу; частью же она, так же как и разница в значениях времени,
обусловливается относительным движением обеих координатных систем.
Если оси их имеют одинаковое направление и если S' движется по
отношению к S в направлении общей оси Хх со скоростью vf то зна-
значения координат х2 и х3 оказываются одинаковыми в обеих системах,
тогда как значения хх и / преобразуются в xi, /' по следующим фор-
формулам (Лорентца):
=-> (86)
которые уже были приведены в § 15 отдела I и которые переходят
в обычные формулы Галилеева преобразования:
х[ = хг — vt, ? = /
при с =5 оо.
Полагая -r- = tg/9, где /?—мнимая величина, /с/ = х4 и равным обра-
образом, ict' = х4 можно переписать предыдущие формулы в виде 1):
х[ = Хг cos ft + х4 sin /?; x't = — хх sin /? + х4 cos /? (86a)
^Заметим, что при этом cos/? = — - = и sin/
V
7F
424

и трактовать их, как обычные формулы преобразования прямоугольных
координат на плоскости, соответствующие повороту системы xi, х* отно-
относительно хх, х4 на мнимый угол /?. При этом, ортогональность обеих
координатных систем выражается формулой
Х1 + Х1=*х'г2+Х?, (86Ь)
к которой сводится (85а) в рассматриваемом частном случае, т. е. при
х2 = х2 и Хз =* Х3.
В общем случае произвольной ориентации осей системы S' относи-
относительно 5 и произвольного направления относительной скорости фор-
формулы A03) и A03а) § 18 отдела I могут быть записаны в форме четы-
четырех линейных соотношений между величинами хъ х2, х3, х4 и xi, х2,
Хз, xi:
4
(/с'=1,2,3,4) (87)
удовлетворяющих условию (85а), т. е.
4 4
х& (87а)
и дополнительному условию вещественности х[> xi Хз и мнимости X
(при вещественности х1э х2, Х3 и мнимости х4).
С кинематической точки зрения эти формулы определяют наиболее
общее линейное преобразование координат и времени, соответствую-
соответствующее -переходу от декартовой системы S к другой, также декартовой
системе 5', движущейся по отношению к ней прямолинейно и равномерно
и удовлетворяющие принципу инвариантности скорости света с. При
этом линейность их соответствует тому обстоятельству, что всякое
движение, представляющееся инерциальным, т. е. прямолинейным и рав-
равномерным, в системе S должно сохранять этот характер и в системе S'.
Пользуясь геометрической метафорой, можно трактовать формулы
(87) и (87а) как формулы преобразования координат четырехмерного
„сверхпространства" при условии прямолинейности и прямоугольности
координатных систем S и S'. Таким образом рассматриваемое преобра-
преобразование, учитывающее влияние трехмерного поворота осей хх, х2, х3
и перехода от (относительного) покоя к (относительному) инерциаль-
ному движению, можно, с этой геометрической точки зрения, интерпре-
интерпретировать, как поворот четырехмерной координатной системы S около
неизменного начала.
Заметим, что событиям в трехмерном пространстве соответствуют в
четырехмерном сверхпространстве теории Эйнштейна точки (Р), пер-
первые три координаты которых определяют место события, а четвер-
четвертая — его время. Движение материальной точки в трехмерном про-
пространстве соответствует в четырехмерном сверхпространстве лини я,—¦
прямая, в случае движения прямолинейного и равномерного, и кривая—
425

в случае движения непрялюлинейного и неравномерного. Четыре коор-
координаты подобной линии могут быть определены в функции длины ее
дуги S, диференциал которой определяется формулой
ds2« dx\ + dx;+ dx: + dx]
или
где i/c I/ (-~J +(-j^j +("tff) — скорость частицы в обычном
смысле слова. Длина дуги является величиной инвариантной, т. е. не
меняющейся при переходе от одной системы S к другой 5'. Ее часто
заменяют пропорциональной ей вещественной величиной т =» -т-, дифе-
диференциал которой равен
dx » dt V 1 — v2/c2 (88)
и которая называется „собственным временем" частицы (см. § 15 от-
отдела II). При v <С[ с собственное время практически совпадает с обыч-
обычным временем /, отличаясь однако от него своим инвариантным характером.
При наличии внешней силы, действующей на частицу, движение ее
может быть определено инвариантным по отношению к рассмотренным
выше преобразованиям уравнением (или, вернее, совокупностью уравнений):
Щ~1йГ=Ръ (А= 1, 2> 3> 4) (89)
где правая часть, так же как и левая, представляет собой й-тую сла-
слагающую четырехмерного вектора, характеризующего действие силы;
при эгом величины Fl9 F2y F3 можно трактовать, как слагающие трех-
трехмерного вектора импульса силы f за единицу собственного времени, т. е.
вектора f-^-. В самом деле, полагая в (88) F^^fh-j- (при h = 1,
% 3), получаем т0 ^ -^ = fh или, согласно (87)
где т» >г_. ° -г^, т. е. уже известное нам Эйнштейново уравнение
движения частицы с переменной массой. Отсюда видно, между прочим,
что „переменность массы" является результатом замены инвариантного
собственного времени, в качестве независимого переменного, обыкно-
обыкновенным временем. В уравнении (88) роль массы играет постоянный мно-
мно) 1 или V ()
житель т0. Из условия V [^-j) » 1 или V (~г~) = — с2,
чаем, диференцируя по т:
полу-
(88a)
426

Это равенство можно рассматривать с кинематической точки зрения
как условие перпендикулярности четырехмерного вектора ускорения
k\ (
с слагающими —jy) к четырехмерному вектору скорости (с слагаю-
dxk\
щими —). С геометрической точки зрения оно — или эквивалентное
4
VI dxk dzxh
ему равенство ^ ~-г~ • —рг = О — выражает перпендикулярность век-
fdxk\
тора кривизны [ ~-г-2 ) к единичному касательному вектору l
Подставляя в (88а) выражения (88) для --г-^, получаем формулу:
выражающую перпендикулярность четырехмерного вектора силы к че-
четырехмерному вектору скорости или определяющую с трехмерной точки
dxk . dt
i
зрения величину F^ как сумму 2j ^ь ~л^-> Деленную на ic^f. Мы по-
получаем таким образом:
з з
Г7 _ i- v п.йх*. l v 4 dt dxk
т. е.
3
dxh
(88 b)
Четвертая слагающая четырехмерного вектора F равна, следова-
следовательно, работе сильг, отнесенной к единице собсЛенного времени
i
(и умноженной на —
Эйнштейнова теория относительности не исчерпывается, как видно
из предыдущего, объединением пространства и времени в единую четы-
четырехмерную протяженность, которую можно трактовать с геометрической
точки зрения как четырехмерное эвклидово пространство с четырьмя
вещественными измерениями и одним мнимым.
Для того, чтобы физическая картина мира соответствовала про-
пространственно-временной раме, в которую она должна быть вставлена,
эта картина преобразуется аналогичным образом, т. е. путем объеди-
объединения трехмерных векторов и скаляров, представлявшихся ранее инва-
инвариантными, в четырехмерные векторы, по отношению к кото-
которым они образуют лишь пространственную (геометрическую) и времен-
временную (хронологическую) проекцию. Иными словами, вместе с простран-
пространством и временем весь физический мир становится четырехмерным.
427

Наряду с инвариантными скалярами и векторами, мы должны раз-
различать в этом мире и более сложные тензорные величины; но и они,
так же как и векторы, должны быть четырехмерными.
После этого краткого резюме специальной теории относительности
Эйнштейна, мы можем перейти к формулировке его общей теории от-
относительности, основывающейся, как уже указывалось выше, на ото-
отождествлении сил инерции и сил тяготения.
Для этого необходимо, прежде всего, перейти от прямолинейной и
прямоугольной системы координат в эвклидовом четырехмерном сверх-
сверхпространстве специальной теории относительности к обобщенным или
криволинейным координатам, которые мы, попрежнему, будем обозна-
обозначать буквами х1} х2, х3, х4 (при дополнительном условии веществен-
вещественности первых трех и мнимости четвертой).
Пользуясь понятиями и обозначениями обычного трехмерного тен-
тензорного анализа, мы можем при этом переписать Эйнштейновы урав-
уравнения движения (88), в виде:
где суммирование по парам одинаковых индексов (к и I) должно про-
производиться от 1 до 4, a Fh обозначают контравариантные слагающие
четырехмерного вектора „импульс-работы" F. При отсутствии внешних
сил это уравнение сводится к
d2xh h dxh dx.
определяя прямую линию в сверхпространстве (т. е. прямолинейное и
равномерное движение в обычном пространстве). Сравнение уравнения
(89а) с исходным Эйнштейновым уравнением движения (88), которое,
пользуясь прямолинейными косоугольными координатами, можно
записать в контравариантной форме
показывает, однако, что криволинейность координат не может счи-
считаться абсолютным понятием. А именно, координаты Хь, в которых
имеет место уравнение (89а), можно трактовать как прямолинейные,
если при этом ввести внешние силы с контравариантными слагающими:
Fh = mjflb ~г % (89Ь)
пропорциональными массе частицы.
Эти силы, как нетрудно видеть, соответствуют дополнительным
силам инерции обычной Ньютоновой механики, которые
появляются, если рассматривать движение частицы по отношению к
вращающемуся твердому телу, с неподвижной точкой, и которые сла-
слагаются из Кориолиссовых сил (пропорциональных первой степени отно-
428

сительной скорости) и центробежных сил (от скорости независящих).
Искривление четырехмерных координатных линий означает, с кинемати-
кинематической точки зрения, непрерывное вращение координатных тетраэдров
(еь е2, е3, е4) на бесконечно-малые углы и при переходе от одной
пространственно-временной точки к соседним, т. е., другими словами,
непрерывное изменение относительной скорости поступательного и вра-
вращательного движения бесконечно-малой координатной системы при пе-
переходе от одной точки трехмерного пространства и одного момента
времени к соседним бесконечно-близким.
Распрямление координатных линий означает игнорирование этого
относительного движения, покупаемое ценой введения дополнительных
инерционных сил.
С точки зрения Эйнштейновой обобщенной теории относительности,
эти инерционные силы по существу тождественны с силами тяготения.
Наряду, однако, с кажущимися силами тяготения, в природе суще-
существуют истинные силы тяготения, которые, хотя и неотличимы от них
по форме, но неустранимы по существу, т. е. не могут быть исклю-
исключены с помощью каких бы то ни было преобразований координат. Это
означает, что истинные силы тяготения, вместе с кажущимися, мы
должны характеризовать тем же выражением (89Ь), но при том непре-
непременном условии, чтобы координатные линии нельзя было
распрямить. Это условие может быть выполнено, если четырех-
четырехмерное сверхпространство Эйнштейна трактовать, как неэвклидово,
т. е. другими словами, как „изогнутую" сверхповерхность четырех из-
измерений в эвклидовом пространстве пяти измерений.
Впрочем, как было показано в двух предыдущих параграфах, при
изучении свойств обыкновенных кривых поверхностей нет надобности
выходить за их пределы в окружающее трехмерное пространство. Кри-
Кривые сверхпространства четырех измерений, необходимые для описания
сил тяготения по Эйнштейновой теории относительности, можно также
исследовать, не прибегая к пятимерному сверхпространству. При этом
основной для характеристики сил тяготения величиной является „кри-
„кривизна" четырехмерного сверхпространства, которую так же, как и в
случае двухмерных кривых поверхностей, можно определить тензором
кривизны Kkii или приведенным (симметричным) тензором кривизны Кы-
Зная величины Kki можно определить путем интегрирования слагающие
gk\ метрического тензора в той или иной системе координат; при этом
неравенство нулю первых исключает возможность существования такой
четырехмерной координатной системы, в которой вторые сводились бы
к эвклидовым значениям gki в 1 при fc=/ и 0 при кф L
Что касается определения величин Kkh т0 в Эйнштейновой теории
они полагаются пропорциональными слагающим тензора массы, являю-
являющейся источником гравитационных сил в Ньютоновой концепции; этот
тензор обычно определяемой, как произведение „покоящейсяи массы
т0 на симметричный „тензор скорости" с контравариантными слагаю-
слагаюсь dxt
щими -т- • -г-. С точки зрения электромагнитной теории, трактующей
тензор массы, как тензор электромагнитной энергии (со связан-
связанными с ней другими величинами, как то: электромагнитное количество
движения, поток энергии, Максвелловские напряжения).
429

Не углубляясь в эти вопросы, не связанные с темой настоящей
книги, мы можем резюмировать Эйнштейновую теорию тяготения сле-
следующим образом. Четырехмерное сверхпространство, объединяющее
обычное пространство и время, обладает имманентной кривизной, тензор
которой Км пропорционален тензору массы и равен нулю лишь в
пустом пространстве (точнее в пространстве, где отсутствует электро-
электромагнитное поле). Эта кривизна определяет гравитационные силы, испы-
испытываемые какой-либо частицей, причем движение, совершаемое ей при
отсутствии иных сил, кроме тяготения, является движением по прямей-
прямейшим или кратчайшим линиям в этом кривом сверхпространстве, т. е.
по геодезическим линиям (89а). Хотя разграничение между истинными
и кажущимися силами тяготения является чисто условным, однако на
практике под „истинными" гравитационными силами, обычно, подразу-
подразумеваются те, которые обнаруживаются в четырехмерной системе координат,
соответствующей простейшей форме слагающих метрического тензора,
т. е. наибольшей близости величин gku как функций координат xlf x2
Х3 х4, к постоянству, соответствующему прямолинейности этих координат.
§ 12. Применение криволинейных координат к уравнениям теории
упругости и гидродинамики
При решении различных задач гидродинамики и теории упругости
оказывается удобным пользоваться координатами, наиболее соответ-
соответствующими форме исследуемых тел. Не входя в рассмотрение подоб-
подобных специальных задач, мы ограничимся преобразованием основных
уравнений теории упругости и гидролинамики, выведенных выше с по-
помощью прямоугольных координат (или независимо от какого-либо коор-
координатного представления} на случай криволинейных координат совер-
совершенно произвольного вида.
Из формул E3а и Ь) для ковариантных слагающих тензора (V, А)
непосредственно получается следующее выражение для ковариантных
слагающих тензора деформации
2а =i- [(V, u) + (V, й)] j
(см. формулу D4Ь) предыдущего отдела):
ъ дщ
Выражая ковариантные слагающие вектора и через контравариант-
ные и принимая во внимание, что
\dxh. dxk dxt
получаем;
ik dZih> d8kh'
Ь/ дхь дх4
т. e.
4S0
dgik hi
d? uh\ (90a)

Отсюда без труда выводятся смешанные и- контравариантные сла-
слагающие тензора 2а. Заметим, что линейный инвариант его принимает вид:
аA) = п\ + а1, + а; = div u = —Lr д&г^\ , (gob)
Формула для слагающих силы dF, действующей на элемент поверх-
поверхности dS, заменяется следующими:
| dF \i = ThinkdS, I dF f = Tft4tfS,
где 7\$ — ковариантные, a Tkl — контравариантные слагающие тен-
тензора напряжений. Принимая во внимание его симметричность и поль-
пользуясь формулой E8с), получаем далее для слагающей объемной силы:
(90c)
V °, dxk
Соотношения между контравариантными слагающими тензора 2Т и
ковариантными слагающими тензора 2а, выражающие закон Гука, опре-
определяются уравнениями:
где к^ю обозначают контравариантные слагающие тензора модулей упру-
упругости.
Наконец, выражения для плотности энергии U и ее диференциала
принимают вид:
dU = Tijdaih [/«4 Т% = -i **' "^ • to. (90d)
Принимая во внимание, что линейный и квадратичный инварианты
тензора 2а равны соотг^етственно:
аA) - Л и а<2> = -i (fl% - аAJ)
аA)
=4- гг*Л-вы -
получаем, в случае изотропных (аморфных) тел, следующее выражение
для энергии (см. отдел IV):
?/= 4 (Я + 2/0(?%)»+ "f
или, полагая (/3flijJ = gijaijghlaM'
t/= 4 КЯ
Из сравнения этой формулы с формулой (90d) непосредственно вы-
вытекают следующие выражения для контравариантных слагающих тензора
модулей упругости изотропных тел:
iftlV + ^V, (91а)
431

откуда, по формуле Тг* — xij' klctkh получаем:
Тц = [(Я + р) gligkl + ^У]ам (91Ь)
ИЛИ
Tij = (Л + [л)а{1) gij + pa™. (91с)
К тому же результату можно притти, пользуясь соотношениями:
даа'
Согласно формулам (90а), имеем:
.«-,V*-|lV(l*?+ «.? + ?*)
или, так как glkgkh= 1 при ft = / и 0 при ft^fc/ и т. д.,
т. е.
dxk dxhu
Подставляя это выражение в (91с) и пользуясь формулой (90Ь)
для аA), нетрудно вычислить с помощью формулы (90с) контрава-
риантные слагающие объемной силы f.
После подстановки получаем:
р=^?- {V
Wgn + fuP]. (92)
Для практических задач желательно иметь выражение плотности
объемной силы не через слагающие тензора деформации, но через
смещение. Используя (90) и переходя от ковариантных слагающих тен-
тензора деформации к контравариантным по обычным правилам, получаем:
Р =
J V ~g Г
(92а)
Зная выражение для плотности объемной силы, мы легко получим,
приравнивая к нулю, сумму плотностей всех сил в данной точке уравне-
уравнения равновесия упругого тела, а учитывая в числе сил силу инер-
ции"—?*"л7Г> п0 принципу Даламбера, получим уравнение движения
упругого тела.
432

Перейдем теперь к преобразованию уравнений гидродинамики вяз-
вязкой и (для простоты) несжимаемой жидкости к произвольным криво-
криволинейным координатам. В векторном виде основное уравнение, как
известно из отдела II, имеет следующий вид:
Отдельные слагаемые этого уравнения можно выразить в виде контра-
вариантных слагающих векторов таким образом:
Следовательно:
Q V g дх
В заключение напишем уравнения гидродинамики и теории упру,
гости в наиболее часто употребляющихся криволинейных координатах
(цилиндрических и сферических).
Если мы позаимствуем значения glh и Гы для этих систем координат из § 6
и перейдем от контравариантных слагающих к проекции на криволинейные
координаты, то после элементарных преобразований мы сможем написать
систему основных уравнений гидродинамики в следующем виде:
1) В цилиндрических координатах:
dvr dvr v& dvr dur v% dU 1 dp
dz* "t" г дг
vrv# _ t>U 1 dp
4^a±, ? f% , ^, i ^ , i_^r_ a±\ (94)
о V dr% "^ r2 ad2 **" d22 "+" r dr "г" r2 d^ r2 /
+ +V
. J.2.
r* ~r r*
dvr dv# dv? vr
28 Курс теорет. механики. 4ЕЗ

2) В сферических координатах:
dvr dvr Vq ди^ % Vy dvr
i ^4 2 ^r
' r2sin2^ ^9?3 г ^г +
ctgfl dvr 2 dv# 2 ^ff 2 2ctgfl
r2 ()# r2 sin *
dv#
r ad + r sin # dg? + г т
F _..Л aP x^% X ^^
2 dy^ ctg^ ^ 2 cos# 2 ^yz
__ 1 dp к f d^ 1
1 а2Ут 2 dy, ctg# ^„
"^ r2 sin2 # dtp2 * r dr "» r2 a^
" r2 sin ^ ""alp" "^ r2 sin2 ^ Jq> ~" r2 sin2
В качестве примера применения уравнений гидродинамики в криво-
криволинейных координатах рассмотрим движение вязкой жидкости, вызван-
вызванное медленным вращением сферой радиуса с угловой скоростью со.
Дня малых скоростей при установившемся движении мы можем считать
левые части уравнения (95) равными нулю. Упрощенные таким образом
уравнения мы можем удовлетворить, положив р = const, vr~v# = О,
a v^ — vir,^). Эти предположения ясны и из физических соображений,
Уравнение, которому должно удовлетворять v, таково:
д2и 1 д2и 2 dv ctg# до
На поверхности шара жидкость движется с той же скоростью, что
и шар, так что имеем следующее граничное условие:
v (а, #) = соа sin #.
Вид эюго условия наводит на мысль искать v в таком виде:
v = A (r) sin Л
434

Подставляя это в (96), получаем для А уравнение типа Эйлера:
j*!±j-JL.^i_. ЗА -а о
dr2 * г йг га '
откуда
Постоянные Сг и С2 должны определяться из условия v = О при
г = оо и из условия границе. Учтя последнее, получаем решение в виде
Зная картину скоростей можно, как было сделано в отделе II,
при рассмотрении поступательного движения шара рассчитать, какой момент
нужно приложить к сфере, чтобы она могла равномерно вращаться.
В результате расчета для крутящего момента получаем следующее
выражение
М = 8шадсо. (97)
Возвращаясь к уравнениям теории упругости, напишем уравнение также
в цилиндрических и сферических координатах. После соответствующих
преобразований мы приходим к следующим системам уравнений (для
случая равновесия).
I. Цилиндрические координаты:
даг 1 дтг{> дтГ2 ог-о#
drz
drrz l дт^ daz
dr ' г
здесь
crr=2G
dy , 1 dw
435

II. Сферические координаты:
dr^rslnV д<р + г di> "*" г -t- r =»
0т 1 да 1дг9№ 8т
Л. + F9 = О
иг ' г ыи v иу г и и г
где
(99)
+
1 dv v
^IV W , 1 ^M
y&r —~fr T + 7" "a?
В последних уравнениях приняты следующие обозначения:
а—слагающие нормальных напряжений;
т—скалывающие усилия;
е—составляющие главных растяжений;
у— составляющие сдвигов.
Ответственный редактор С. Н. Ткаченко. Технические редакторы Р. В. Эмдина и
Корректор Н. В. Альтшулер. Е. А. Пулькина.
Сдано в набор 8/Н 1939 г. Подписано в печати 13/XI 1939 г.
Тираж 5.000. Формат бумаги 60x92l/ie.
Учетно-авторских листов 30,69. Автор, лист. 30,38. Печ. лист. 2774
Бум. лист. 135/8 Колич. печ. зн. в 1 бум. л. 105.600.
Индекс № Т-30-5-2. Заказ № 86 Леноблгорлит № 5404
Типография «Кр. Печатяик». Ленинград, Международный пр., 75-а.