Курс теоретической механики для физиков - Ольховский И.И.

Автор: Ольховский И.И.

Теги: общая механика механика твердых и жидких тел физика теоретическая механика механика сплошных сред теория колебаний

Год: 1974

Похожие

Справочник по физике для инженеров и студентов вузов

Физический практикум. Механика и молекулярная физика

Квантовая механика

Курс теоретической физики. Том 2. Квантовая механика. Квантовая статистика и физическая кинетика

Текст

И. И. ОЛЬХОВСКИЙ
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ДЛЯ ФИЗИКОВ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ДОПОЛНЕННОЕ И ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по специальности «физика»
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1974

УДК 531.0@75
Книга содержит систематическое изложение теоретической ме-
ханики и основ механики сплошных сред. Большое внимание уде-
лено фундаментальным понятиям и законам механики Ньютона —
Галилея, законам изменения и сохранения импульса, кинетического
момента и энергии, уравнениям Лагранжа, Гамильтона и Гамиль-
тона — Якоби для класса обобщенно-потенциальных сил, а также
законам механики сплошных сред, на единой основе которых рас-
сматриваются идеальная и вязкая жидкости, упругое тело. В книге
подробно излагаются; задача двух тел и классическая теория рас-
сеяния, законы изменения импульса, кинетического момента и эиер-
гин относительно неииерциальных систем отсчета, теория линейных
колебаний систем под действием потенциальных, гироскопических и
диссипативных сил, метод Крылова — Боголюбова для слабо не-
линейных систем. Книга содержит большое количество примеров,
интересных для физиков, в частности рассматриваются примеры на
движение зарядов в заданных электромагнитных полях, задачи на
рассеяние частиц, колебания молекул, нелинейные колебания, пове-
дение систем с нестационарными связями, примеры нз магнитогид-
родинамики. Книга рассчитана на студентов и аспирантов физиче-
ских специализаций.
Рецензент: кафедра теоретической физики Томского уни-
верситета
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
(С) Издательство Московского университета, 1974 г.
20402—046
О 140—74
077@2)—74

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 6
Предисловие ко второму изданию 8
Часть I. Теоретическая механика 9
Глава I. Основные понятия и законы механики 9
§ 1. Понятия о материальной точке, о пространстве н времени Ю
§ 2. Понятия о силе и массе 28
§ 3. Понятие об ниерциальноп системе отсчета и законы
Ньютона. Принцип относительности Галилея ... 37
§ 4. Решение уравнений движения и начальные условия . . 43
Глава П. Законы изменения и сохранения импульса, кинетиче-
ского момента и энергии 62
§ 5. Законы изменения и сохранения импульса и момента
импульса материальной точки 62
§ 6. Законы изменения и сохранения энергии материальной
точки 67
§ 7. Движение в центрально-симметричном поле .... 80
§ 8. Движение под действием силы, обратно пропорциональ-
ной квадрату расстояния до центра силы. Законы Кеплера 85
§ 9. Движение центра масс; законы изменения и сохранения
импульса системы ?6
§ 10. Законы изменения и сохранения кинетического момента
системы 105
§ 11. Законы изменения и сохранения энергии системы . . 109
Глава III. Задача двух тел н теория рассеяния частиц . . . Пб
§ 12. Задача двух тел 116
§ 13. Упругое рассеяние частиц 123
§ 14. Поперечные сечения рассеяния 141
§ 15. Распад частиц 151
Глава IV. Движение относительно неинерци альных систем
отсчета 156
§ 16. Положение системы отсчета (твердого тела) . . . 156
§ 17. Поступательное движение и изменение ориентации си-
стемы отсчета (твердого тела) 160
§ 18. Общий случай движения системы отсчета (твердого
тела) 168
§ 19. Положение, скорость и ускорение материальной точки
относительно разных систем отсчета 170
§ 20. Уравнение движения материальной точки относительно
неинерциальной системы отсчета; силы инерции . . . 176
§ 21. Законы изменения кинетического момента и кинетиче-
ской энергии относительно поступательно движущейся
системы центра масс 186
§ 22. Законы изменения и сохранения импульса, кинетическо-
го момента и энергии относительно произвольных не-
инерциальных систем отсчета ' . 192

Глава V. Уравнения Лагранжа 20^
§ 23. Основная задача динамики несвободной системы и по-
нятие о связях 203
§ 24. Действительные, возможные и виртуальные перемеще-
ния; идеальные связи 207
§ 25. Уравнения Лагранжа с реакциями связей; законы изме-
нения импульса, кинетического момента и энергии для
систем со связями 212
§ 26. Уравнения Лагранжа в независимых координатах и об-
щее уравнение механики; циклические координаты и сим-
метрия силового поля и связей ¦. 220
§ 27. Структура уравнений движения в независимых коорди-
натах и функция Лагранжа 234
§ 28. Законы сохранения обобщенного импульса и обобщен-
ной энергии 242
§ 29. Ковариантность уравнений Лагранжа в независимых
координатах 253
Глава VI. Линейные колебания 258
§ 30. Собственные одномерные колебания 258
§ 31. Положение устойчивого равновесия 267
§ 32. Собственные и главные колебания системы под дей-
ствием потенциальных сил 275
§ 33. Собственные колебания системы под действием потен-
циальных, гироскопических и диссипативных сил . . . 293
§ 34. Вынужденные колебания 305
Глава VII. Нелинейные колебания 316
§ 35. Собственные колебания и метод Крылова — Боголю-
бова 316
§ 36. Вынужденные колебания и резонанс 325
Глава VIII. Динамика твердого тела . 337
§ 37. Уравнения движения твердого тела 337
§ 38. Тензор инерции 347
§ 39. Плоскопараллельное движение твердого тела . . . 356
§ 40. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.
Уравнения Эйлера 366
§ 41. Линейные неголономные связи 378
Глава IX. Уравнения Гамильтона 383
§ 42. Канонические уравнения 383
§ 43. Фазовое пространство и теорема Лиувилля . . . 388
§ 44. Скобки Пуассона 393
§ 45. Уравнение Гамильтона—Якоби 398
§ 46. Метод разделения переменных 406
§ 47. Движение материальной точки и волновой процесс . . 413
§ 48. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана . . 418
§ 49. Канонические преобразования 425
§ 50. Переменные «действие — угол» и адиабатические инва-
рианты 436
§ 51. Уравнения движения и интегральные вариационные
принципы 447
Часть II. Основы механики сплошных сред 457
Глава X. Основные понятия и законы механики сплошных сред 457
§ 52. Физически бесконечно малая частица 457
§ 53. Деформация малой частицы 459
§ 54. Законы сохранения массы, изменения импульса и кине-
тического момента 468
§ 55. Уравнение изменения кинетической энергии. Законы тер-
модинамики 474
Глава XI. Идеальная жидкость 480
§ 56. Уравнения движения идеальной жидкости .... 480

§ 57. Основные теоремы динамики идеальной жидкости . . 485
§ 58. Потоки импульса и энергии 492
§ 59. Несжимаемая жидкость 494
§ 60. Звуковые волны 502
§ 61. Ударные волны 509
§ 62. Магнитогидродинамика идеальной жидкости . . . 513
Глава XII. Вязкая жидкость 520
§ 63. Тензор напряжений и уравнения движения .... 520
§ 64. Уравнение Навье — Стокса 523
§ 65. Малые колебания 535
§ 66. Магнитогидродинамика вязкой жидкости . . . 539
Глава XIII. Идеально упругое тело 543
§ 67. Закон Гука и уравнения изменения импульса . . . 543
§ 68. Равновесие изотропных тел 550
§ 69. Упругие волны 558
Литература ' 568

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В основу настоящей книги положены лекции, которые автор
в течение ряда лет читает в Московском государственном универ-
ситете на физическом факультете, где теоретическая механика
преподается как первый раздел общего курса теоретической фи-
зики.
В первой главе излагаются основные понятия и законы ме-
ханики Ньютона, а также те физические допущения, которые
содержатся в этих законах и понятиях. В «Курсе» подчеркивает-
ся большая роль законов изменения и сохранения импульса,
кинетического момента и энергии, связь законов сохранения с
симметрией силовых полей, важность общих теорем механики об
инвариантности различных величин. Более половины «Курса» по-
свящается изложению уравнений Лагранжа, Гамильтона и Га-
мильтона— Якоби, а также инварианта Пуанкаре — Картана и
канонических преобразований, причем в этих разделах все общие
теоремы излагаются для класса обобщенно-потенциальных сил,.
включающего в себя как обычные потенциальные силы, так и
силы, действуюшие на заряды, .движущиеся в заданных электро-
магнитных полях, и силы инерции. В «Курсе» подробно рассмат-
ривается классическая теория рассеяния частиц; излагаются за-
коны изменения импульса, кинетического момента и энергии отно-
сительно неинерциальных систем отсчета; в теорию колебаний
включен метод Крылова — Боголюбова для слабо нелинейных си-
стем; излагается большое число примеров, представляющих инте-
рес для физиков. В частности, рассматриваются задачи о движении
зарядов в заданных электромагнитных полях, о движении спут-
ника, о рассеянии встречных пучков и захвате частиц, о колеба-
ниях молекул (в том числе вращающихся), об автоколебаниях,,
задачи о движении точки с нестационарными связями, о движе-
нии заряженного твердого тела и т. д.
Такой отбор материала для курса теоретической механики
стал возможным ввиду сокращения ряда разделов, содержание
которых сравнительно редко используется физиками; например,
«Курс» не содержит большого по объему раздела статики, многих
сведений из кинематики (понятий о годографах, центроидах, ак-
соидах и др.). Кроме того, в книге опущены разделы, ставшие
привычными в курсах теоретической механики и посвященные тео-
6

рии векторов и другим математическим вопросам, поскольку в
настоящее время эти разделы достаточно глубоко изучаются в
курсах высшей математики, предшествующих курсу теоретической
механики. Учитывалось также, что до изучения теоретической
механики (на физическом факультете МГУ она изучается на
4 5 семестрах) студенты знакомятся с основами механики в об-
щем курсе физики.
«Курс теоретической механики для физиков» написан в соот-
ветствии с программой, утвержденной Учебно-методическим
управлением по высшему образованию MB и ССО СССР.
Автор выражает глубокую благодарность А. А. Соколову за
ценные указания и большую помощь, оказанную при работе над
книгой.
Автор глубоко благодарен Г. Н. Свешникову, Л. Г. Лойцян-
скому, В. В. Добронравову, С. П. Стрелкову и С. М. Таргу, внима-
тельно прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим много цен-
ных замечаний.
Автор искренне благодарит Ю. М. Лоскутова, работа которо-
го по редактированию этой книги способствовала ее улучшению,
а также А. Б. Куканова и Ю. Г. Павленко, принимавших участие
в чтении корректуры.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание .«Курса теоретической механики для фи-
зиков» содержит две части: «Теоретическую механику», в которой
в основном повторяется первое издание «Курса», и «Основы меха-
ники сплошных сред», впервые включенные в книгу.
По сравнению с первым изданием в первую часть введен
небольшой материал, в котором используется метод усреднения
пли вероятностные предположения (например, излагается теорема
о вириале, простейшая задача о вычислении энергии кристалла).
Во второй части излагаются фундаментальные понятия и за-
коны механики сплошных сред, причем полевые величины интер-
претируются как усредненные механические величины. На единой
основе этих понятий и законов кратко рассматриваются свойства
идеальной и вязкой жидкостей (в том числе проводящих), а так-
же идеально упругое тело. Такое построение позволяет достичь
взаимосвязи этой теории с классической механикой и статисти-
ческой механикой; кроме того, достигается компактность в изло-
жении материала, который при обычном подходе занимает весьма
большой объем и в связи с этим является трудным для студентов.
Примерно половина «Курса» отведена примерам, призванным
помочь студентам в их самостоятельной работе над теорией.
7

Предполагается, что до работы над «Курсом» студент изучал
основы механики и термодинамики в общем курсе физики, а так-
же необходимые разделы высшей математики.
Автор выражает глубокую благодарность Н. Н. Боголюбову
за анализ первого издания «Курса» в рецензии, опубликованной
в «Успехах физических наук» (июнь 1971 г.); это оказало автору
неоценимую помощь при работе над вторым изданием.
Автор приносит глубокую благодарность А. А. Соколову за
важные указания и большую помощь, оказанную при работе
над книгой.
Автор искренне благодарит В. Г. Багрова и Н. В. Кудрявцеву
за многие ценные советы и глубокие замечания, Ю. Г. Павленко
за большую помощь в работе и многие полезные и интересные
советы, способствующие заметному улучшению второй части книги.
Автор искренне благодарен Ф. И. Горобец, работа которой по
редактированию книги способствовала ее улучшению, а также
благодарен Ю. Г. Павленко, В. Р. Халилову, Л. С. Кузьменкову
за участие в чтении корректуры.
Автор также благодарен всем, кто прислал замечания по пер-
вому изданию «Курса».
Автор

ЧАСТЬ I
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
Все известные нам материальные объекты: поля, элементар-
ные частицы, атомы, молекулы, неживые и живые тела — движут-
ся в самом общем смысле этого слова, т. е. изменяются вообще *.
Наиболее простой формой движения тел является их перемеще-
ние относительно друг друга. Любая другая форма движения,
будучи связанной с каким-либо перемещением, не исчерпывается
этим перемещением и является более сложной.
«Само собой разумеется, что изучение природы движения
должно было исходить от... простейших форм его... И, действи-
тельно, мы видим, что в историческом развитии естествознания
раньше всего разрабатывается теория простого перемещения,
механика небесных тел и земных масс» **. Эта теория называется
классической механикой. В ней рассматриваются дви-
жения макроскопических тел, т. е. тел, состоящих из большого
количества атомов и молекул, причем допускается, что движения
совершаются со скоростями, малыми по сравнению со скоростью
света. Итак, классическая механика — это теория достаточно мед-
ленных перемещений одних макроскопических тел относительно
других ***.
Основными понятиями классической механики являются по-
нятия о пространстве и времени, о силе и массе, об инерциальной
системе отсчета. Основными законами являются закон инерции
Галилея — Ньютона (первый закон Ньютона), уравнение движе-
ния относительно инерциальной системы отсчета (второй закон
Ньютона), закон равенства действия и противодействия (третий
закон Ньютона). Эти понятия и законы были сформулированы
И. Ньютоном в его гениальном трактате «Математические начала
натуральной философии» A687 г.).
* О движении как изменении вообще см. Энгельс Ф. Диалектика при-
роды. М„ Политиздат, 1965, стр. 50, 214.
'"* Там же, стр. 50.
*** В некоторых частных случаях классическая механика описывает также
движение микрочастиц.

10 Основные понятия и законы механики {Гл. I
С точки зрения современного состояния науки взаимодейст-
вие тел осуществляется посредством полей и передается с конеч-
ной скоростью — со скоростью света; совокупность тел и полей
представляет собой единую материальную систему. Под влиянием
взаимодействия тела могут изменять свое расположение относи-
тельно друг друга, т. е. перемещаться в пространстве. Вме-
сте с тем изменение относительного расположения обладает дли-
тельностью, т. е. перемещение происходит не только в простран-
стве, но и во времени. Однако пространство и время не являют-
ся объектами, подобными телам, полям и т. д. Пространство и
время представляют собой общие формы существования всех ма-
териальных объектов. Энгельс подчеркивал, что «...обе эти формы
существования материи без материи суть ничто, пустые представ-
ления, абстракции, существующие только в нашей голове» *.
Создание общей теории относительности подтвердило правиль-
ность такого представления о пространстве и времени. По мне-
нию Эйнштейна, основателя общей теории относительности, если
бы исчезла материя, то исчезли бы и пространство и время.
Классическая механика изучает такие перемещения тел в
пространстве и времени, при которых процесс передачи взаимо-
действия тел можно считать практически мгновенным; тем самым
процессы, протекающие в самих полях, мы можем не рассматри-
вать. Несмотря на это ограничение, область применимости клас-
сической механики очень велика (скорости тел должны быть
малыми по сравнению со скоростью света). Отметим также, что
большое количество понятий и аналитических приемов классиче-
ской механики с успехом используется в других разделах теорети-
ческой физики.
§ 1. Понятия о материальной точке, о пространстве
и времени
Реальные движения тел настолько сложны, что, изучая их,
нужно отвлечься от несущественных (для рассматриваемого дви-
жения) деталей. С этой целью используются понятия, примени-
мость которых зависит от того, какое именно движение тел изу-
чается. Среди этих понятий большое значение имеет понятие о
материальной точке. Материальной точкой называется
тело исчезающе малых размеров; в задачах механики о движении
реальных тел понятие материальной точки применимо к такому
телу, размерами которого можно пренебречь по сравнению с раз-
мерами, характеризующими движение этого тела. Например, изу-
чая движение Земли вокруг Солнца, и Землю и Солнце можно
считать материальными точками, хотя радиус Земли примерно
Ф. Энгельс. Диалектика природы. М., Политиздат, 1965, стр. 203.

•§
Понятия о пространстве и времени
11
6-106 м, а радиус Солнца 7-Ю8 м. Дело в том, что эти размеры
весьма малы по сравнению с расстоянием между центрами
Солнца и Земли, составляющим примерно 1,5-1011 м. В другом
случае при изучении вращения Земли вокруг своей оси представ-
ление о Земле как материальной точке неприменимо. Действи-
тельно, максимальным размером, характеризующим это движе-
ние, является длина окружности, по которой движется какая-либо
точка поверхности Земли, находя-
щаяся на экваторе. Очевидно, что
радиусом Земли нельзя пренебречь
по сравнению с указанной длиной.
Совокупность нескольких тел,
каждое из которых можно считать
материальной точкой, называют
системой материальных то-
ч е к. Например, нашу Галактику
можно представлять как систему
очень большого числа материаль-
ных точек-звезд; в ряде задач газ,
состоящий из молекул, также мож-
но представлять себе как систему
большого числа материальных то-
чек-молекул. Из приведенных при-
меров и из определения материаль-
ной точки видно, что это понятие не связано с представлением об
атомистическом строении вещества.
Важную роль в механике играет понятие абсолютно твердого
тела или, кратко говоря, твердого тела. Так называется си-
стема материальных точек, расстояния между которыми не изме-
няются при произвольных перемещениях этой системы. Конечно,
размеры реальных тел остаются практически неизменными либо
в определенных условиях, либо в течение определенных интерва-
лов времени. Например, годовое угловое смещение большинства
звезд составляет примерно 0",01. Следовательно, система Солн-
це — «неподвижные» звезды может быть принята с известной сте-
пенью точности за твердое тело, причем для сравнительно дли-
тельных интервалов времени.
При изучении взаимного расположения материальных точек
первостепенное значение имеет определение расстояний между
ними с помощью эталона длины. Расстояние между точками будет
определяться при этом тем числом., которое показывает, сколько
раз эталон длины «укладывается» на отрезке прямой, соединяю-
щей точки. До 1960 г. за эталон длины принимался метр — длина
некоторого сплошного твердого тела, находящегося в стационар-
ных условиях. Согласно единой международной системе СИ,
введенной с 1960 г., за эталон длины принят метр — длина,' рав-
Рнс 1.1

12 Основные понятия и законы механики [Гл. I
ная 1 650 763,73 длины волны излучения, соответствующего пере-
ходу между уровнями 2piQ и 5ds атома криптона-86 (в вакууме).
Этот эталон обеспечивает большую точность измерений по сравне-
нию со старым эталоном.
Рассмотрим движение некоторой системы А материальных
точек относительно системы 5. Пусть для данных перемещений
системы А систему 5 можно считать твердым телом. Тогда с те-
лом 5 можно жестко связать три единичных вектора пЛ, щ, п2„
имеющих общее начало в некоторой точке О этого тела (для оп-
ределенности будем считать выбранный базис ортогональным и
правовинтовым — см. рис. 1.1). Положение любой материальной
точки системы А относительно системы 5 зададим радиусом-
вектором г этой точки *. Разложив вектор г по трем осям
Ox, Оу, Oz, которые определяются ортами пх, щ, nz, получим
г = хпх + упу + znz, A.1)
где х, у, z — проекции радиуса-вектора на указанные оси. Таким
образом, при определении положения материальной точки ей ста-
вятся в соответствие три вещественные координаты х, у, z, назы-
ваемые декартовыми координатами. Систему коорди-
нат, жестко связанную с телом 5, называют системой отсче-
та S. Заметим, что в формуле A.1) неявно пренебрегается влия-
нием процесса измерения положения точки на само положение.
Это допущение оправдывается при рассмотрении движении мак-
роскопических тел; для атомных явлений эта привычная гипотеза
неверна.
Чтобы определить положение всех точек системы А относи-
тельно системы 5, нужно задать радиусы-векторы этих точек.
Пусть система А состоит из N материальных точек. Тогда анало-
гично A.1)
г* = х{пх + №у + 2<пг A = 1,2 N), A.2)
где г,- — радиус-вектор /-той точки, а хи уи z{ — декартовы коор-
динаты i-той точки.
Приведем пример системы отсчета. Для изучения движения
планет солнечной системы относительно системы Солнце — звезды
можно в течение сравнительно длительного промежутка времени
систему Солнце — звезды считать твердым телом. Совмещая на-
чало системы отсчета с центром Солнца и связывая направления
декартовых осей с направлениями на определенные звезды, полу-
чим гелиоцентрическую систему отсчета Копер-
ника.
* В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «точка находится в положе-
нии, задаваемом радиусом-вектором г», мы будем для краткости говорить:
«точка находится в положении г».

§ 1]
Понятия о пространстве и времени
13
Рассмотрим свойства пространства, для чего возьмем любые
две точки 1 и 2. Положения этих точек относительно некоторой
системы 5 зададим радиусами-векторами п и г2:
Г» == %х^х ~Т~ Ух t/ ~i~ **1^2*
y n I— ft ti ! >у *¦•
2 — 2 Jt ^^ */2 w ' ^2 2*
Вектор, проведенный от точки / к точке 2, равен
(здесь и в дальнейшем порядок индексов 1 и 2 соответствует на-
правлению вектора от точки / к точке 2), а расстояние между
этими точками равно модулю вектора г12, т. е.
(У* ~
A.3)
На основании опыта с макроскопическими телами, скорости
которых достаточно малы, можно утверждать, что величина дан-
ного пространственного интервала относительно разных произ-
вольно движущихся систем отсчета—одна и та же в данный мо-
мент времени. Запишем это важнейшее утверждение аналитиче-
ски, для чего возьмем две системы отсчета: систему 5 с началом
в точке О и ортами пх, щ, nz и систему S' с началом в О' и ор-
тами пх>, пУ', iv (рис. 1.2). Расстояние между точками 1 и 2
относительно системы S равно
г 12. Расстояние между этими
же точками относительно си-
стемы S' равно г,г
,= г„
где
Г2 ~ Х2Пх' ~^~ У2ПУ' ~^ 22Пг'>
Г,' = Х\ПХ. -L У\Пу + г[Пг'.
Рис. 1.2
Утверждается, что, как бы ни двигалась «штрихованная» система
отсчета относительно «нештрихованной», расстояния г\2 и r'i2,
взятые в один и тот же момент времени, равны между собой, т. е.
[(АхJ + (Аг/)г -+- (АгJ]'/. = {(Ах'J + (Аг/'J + (A2'J]I/j; A.4)
здесь Ах=х2—х\, Ах' = х'2 — х\ л т. д. Из постулата A.4) еле-

14 Основные понятия и законы механики [Гл. I
дует, что проекции вектора гп на оси S' и проекции вектора
г12 на оси S связаны между собой ортогональным преоб-
разованием, а именно преобразованием
Ах' = ах-хАх — аХ'УАу + ax-zAz,
Ay' = аУ'ХАх — аууАу -;- ayzAz, A-4')
Az' = arxAx — az>yAy -f az-zAz,
где коэффициенты av\ подчинены условиям ортогональности
а\,х -г а2у,х + а^ = 1, a^a^ -f a»-*^ + az.xaz.u = О,
а*'г, + ay-H H^ аг-«/ = *> ах'Хах-г -г aj,-^^ + QWa2.2 = 0, (i.4")
и равны косинусам углов между Ъртами 5' и 5 (например, ах-х —
это когинус угла между пх- и пх).
Как известно, пространства, в которых расстояния между
любыми двумя точками определяются формулой A.3), называют-
ся эвклидовыми. Таким образом, из постулата A.4), осно-
ванного на опыте, следует, что пространства в классической ме-
ханике— это эвклидовы пространства*.
Преобразование A.4') нетрудно представить в форме
•^lu, О-5)
где
х\г = Г2 — ri = (Ах>)п*' ~ ^У) пУ + (А2') п*>
A 5')
= Г2 — ri = (Ах) n (&У) п + (Дг) п
а орты системы 5 связаны с ортами S' следующим образом:
Н„ их'у11х' -J- пу-уПу' -р Uz'yUz', {1.Э )
п2 = aX'Znx> + ciyztiy + az-znZ'.
Из A.5) вытекает простое, но очень важное соотношение радиу-
сов-векторов одной и той же точки относительно разных систем
* Ньютон подчеркивал: «...самое проведение прямых линий и кругов, слу-
жащее основанием геометрии, в сущности относится к механике. Геометрия не
учит тому, как проводить эти линии, но предполагает (постулирует) выполни-
мость этих построений». «Итак, геометрия основывается на механической прак-
тике» (из предисловия Ньютона к первому изданию «Математических начал»,
см. [3]).

§ 1] Понятия о пространстве и времени 15
отсчета. Пусть То— радиус-вектор начала системы S' относи-
тельно системы S, г — радиус-вектор точки относительно системы
S, а г' — радиус-вектор той же точки относительно S'. Тогда,
полагая г2 = г, т'2 = т', г1 = Го', г[ = О, из A.5) получим
г = го--т-г'. A.6)
Подчеркнем еще раз, что соотношения A.5) и A.6) справедливы
только в классической механике. Если же скорости тел непре-
небрежимо малы по сравнению со скоростью света, то эти «оче-
видные» постулаты становятся неверными. Движение тел с лю-
быми скоростями (в том числе сравнимыми со скоростью света)
рассматривается в релятивистской механике Эйнштейна.
Важную роль в механике играет понятие периодического
процесса, т. е. регулярно повторяющегося явления. Например,
такими процессами являются колебания маятника, вращение
Земли вокруг своей оси, движение Земли по орбите вокруг
Солнца. Тело, с помощью которого осуществляется периодический
процесс, может служить часами, а длительность периода — этало-
ном времени. Конечно, длительность периода реального периоди-
ческого процесса постоянна лишь с определенной степенью точ-
ности. До 1960 г. эталоном'времени служила определенная часть
средних солнечных суток. Но ввиду экспериментально доказан-
ной (с помощью атомных часов) неравномерности вращения
Земли, а также изменений среднего тропического года за эталон
времени в системе СИ принята секунда — длительность, рав-
ная 1/31556 925, 9747 части тропического года для 1900 г., янва-
ря 0, в 12 часов эфемеридного времени (см. [37, гл. II]).
В классической механике постулируется существование таких
часов, длительность периода которых не изменяется при произ-
вольных перемещениях этих часов. Этот постулат эквивалентен
утверждению о том, что величина данного временного интервала
относительно разных произвольно движущихся систем отсчета
одинакова, т. е.
t12 = t[2; A.7)
здесь *i2 = *2—U — длительность определенного процесса относи-
тельно системы S, t\2 = t2 — ti —длительность того же процесса
относительно системы S'. Кроме того предполагается, что изме-
рение длительности некоторого процесса можно провести, не
влияя на саму длительность.
Согласно A.7) в любых системах отсчета координат можно
произвольно выбрать одно и то же начало отсчета времени и тем
самым ввести одну временную «координату» t. Постулат. A.7),
как и постулат A.5), справедлив, пока скорости движения макро-

16
Основные понятия и законы механики
[Гл. I
скопических тел пренебрежимо малы по сравнению со скоростью
света *.
Используя рассмотренные понятия и постулаты, можно экс-
периментально определить закон движения материаль-
ной точки, т. е. определить положение материальной точки в
любой момент времени относительно данной системы отсчета S
и задать его с помощью радиуса-вектора точки как функции вре-
мени
A.8)
Конец этого радиуса-вектора описывает в пространстве кривую,
называемую траекторией точки.
Заметим, что в классической механике постулируется непре-
рывность как координат, так и времени; тем самым постулируется
непрерывность функции A.8).
Траектория
точни
Рнс. 1.3
Скоростью точки относительно системы отсчета S
называется отношение бесконечно малого приращения dr радиуса-
вектора точки к бесконечно малому интервалу времени dt, за ко-
торый происходит указанное изменение радиуса-вектора. Прираще-
ние dr есть приращение относительно системы S, орты которой
жестко скреплены с телом S. В связи с этим скорость точки v от-
* Утверждения A.5) и A.7) по существу использовались Ньютоном. Одна-
ко Ньютон возвел их в абсолютные постулаты и тем самым пришел к представ-
лениям о времени и пространстве как о «пустых» вместилищах тел и событий.
Ньютон писал: «Длительность или продолжительность существования вещей одна
и та же, быстры ли движения (по которым измеряется время), медленны ли,
или их совсем нет...» и «Как неизменен порядок частей времени, так неизменен
и порядок частей пространства» [3J.

1]
Понятия о пространстве и времени
17
носительно системы S равняется производной радиуса-вектора по
времени при постоянных ортах пх, пу, гь (рис. 1.3,о)*:
V =
A.9)
где г =
dt
Ускорение точки w относительно системы S опреде-
ляется как первая производная скорости по времени при постоян-
ных ортах пх, Пу, nz. Учитывая A.9), ускорение можно также
записать в виде второй производной от г по времени. Таким об-
разом,
W = V = Г,
A.10)
где v =
dv
dt
d-r
dt'1
В ряде задач используется понятие секторной скоро-
сти точки з, по определению равной
= — frv].
2 1
A.11)
Величина 72|[rdr]| равна площади, очерчиваемой радиусом-век-
тором при элементарном перемещении точки на dr. Следователь-
, но, модуль секторной скорости равен скорости, с которой изме-
няется площадь, очерчиваемая
радиусом-вектором точки
(рис. 1.3, б). Иногда также
рассматривают секторное ус-
корение а.
Радиусы-векторы точек, их
скорости и ускорения задают
с помощью различных коорди-
нат.
В декартовых координа-
тах радиус-вектор точки как
функция времени задается тре-
мя координатами x(t), y(t),
z(t) как функциями времени
(см. A.1)). Этот вектор опре-
деляет положение точки относи-
Рис. 1.4
тельно выбранной системы отсчета S в любой момент времени.
Дифференцируя радиус-вектор г(/) по времени при постоянных ор-
* Скорость точки v иногда называется линейной скоростью.

18 Основные понятия и законы механики [Гл. I
тах пх, пу, гъ, найдем скорость и ускорение точки в виде (см. A.9)
и A.10))
v = in,-f tjny-znz, A.12)
w = хпх -f упу + znz. A.13)
Следовательно, проекции скорости и ускорения точки на декарто-
вы оси соответственно равны
v* = 'х< vy = У' vz = z;
A.14)
wx = х, wu = у, wz = z.
В цилиндрических координатах r(t) задается скалярными
функциями р(/), ф(/), z{t) (рис. 1.4):
г = рпр + 2пг, A.15)
где орты цилиндрических координат связаны с ортами декартовых
координат соотношениями
По = Пх COS ф -f Пу Sill ф,
Пф= — П^ЭШф-Ь П^СОЗф, A-16)
пг = щ.
При перемещениях точки относительно системы 5 положение
ортов пр и пф изменяется, а положение ортов пх, пу и п2 фикси-
ровано. Учитывая это, в результате дифференцирования г по вре-
мени найдем
г = рпр ~- рпр + 2п2.
Замечая далее, что, согласно A.16), пр = фпф, для скорости точки
относительно системы 5 получаем выражение
V = рПр -f рфПф -:- 2П2. . A.17)
Таким образом, проекции скорости на координатные оси (р), (ф),
(z) оказываются соответственно равными
t'P = P. Уф = рф, vz = z. A.18)
Аналогично, дифференцируя по времени v и учитывая зависи-
мость пр и пф от ф@» получим ускорение точки относитель-
но 5 в виде разложения по ортам цилиндрических координат:
w = (р - рф2) пр -ь — ~ (Р2Ф) пч> +Ь2. A.19)
р at

§ и
Понятия о пространстве и времени
19
Следовательно, проекции ускорения на оси (р), (ф), (z) соответ-
ственно равны
= р - рф2
р - рф2,
= — (р2ф), W2 = 2.
р at
Отметим, что проекция ускорения
секторной скорости az соотношением
__2 daz
Р
dt
A.20)
связана с проекцией
A.21)
поскольку, согласно A.11), A.15) и A.17),
а=— р2ф. A.22)
В сферических координа-
тах радиус-вектор точки за-
дается функциями г (t),Q(t),
xp(t) (рис. 1.5). Разложение
радиуса-вектора по ортам
сферических координат и са-
ми орты определяются фор-
мулами т = гпг,
пг = (пх cos ф +
-г Пу sin ф) sin 0 -f n2 cos 0,
J
(в)
не = (nx cos ф
пф = — пх sin
Рис. 1.5
пу sin ф) cos 0 — n2 sin 0,
-Ьп^соэф.
A.23)
Учитывая, что направления ортов nr, ne, n ф зависят от положения
точки, для ее скорости получим выражение *
v = гпг -г
+r sin 0 • фпф.
A.24)
Следовательно, проекции скорости точки на координатные оси
(г)> F). (ф) соответственно равны
vr = г, ve = rQ, vv = г sin 0 • ф.
A.25)
Иногда используется естественное задание движения точки,
при котором в качестве аргумента радиуса-вектора точки берется
* Проекции ускорения в сферических координатах будут получены более
простым способом на стр. 234.

20
Основные понятия и законы механики
[Гл. 1
длина s дуги траектории, а сама длина дуги задается как функ-
ция времени:
= r(s),
A.26)
(длина дуги отсчитывается от начального положения точки в
направлении ее движения).
С помощью векторной функции r(s) в каждой точке траекто-
рии можно определить орты, совокупность которых называется
естественным трехгранником (рис. 1.6,а). Один из
б)
Рис. 1.6
этих ортов пт направляют по приращению dr, определяющему
касательную к траектории. Поскольку \dr\ с точностью
до бесконечно малых высшего порядка равен элементу дуги
ds, орт
dr
ds
A.27)
Второй орт п направляют по приращению dnx, т. е. по главной
нормали к траектории*. Используя A.27), находим
ds
n,
A.28)
* Приращение любого вектора а постоянной длины перпендикулярно са-
мому вектору. В самом деле, дифференцируя обе части равенства a2=const,
получим ada=0, чем и доказывается утверждение.

Понятия о пространстве н времени
21
т. е.
п =
dh
ds*
Орт п можно записать с помощью радиуса кривизны тра-
ектории R, который определяется как отношение приращения
длины дуги ds к da — углу между пт и nT + dnT:
г. ds ,
da
Так как nt —единичный вектор, то модуль его приращения |dnt|
с точностью до величины высшего порядка малости равен углу da
(рис. 1.6, б). Поэтому согласно A.30) и A.28),
R =
d2r
а орт п определится выражением
ds
A.32)
Третий орт nb естественного трехгранника задается векторным
произведением [птп] и определяет бинормаль к траекто-
р и п.
Разложение скорости точки по «естественным» ортам полу-
чим, используя A.9), A.26) и A.27):
v = snx,
A.33)
где s =
ds
dt
Дифференцируя обе части A.33) по времени, найдем ускоре-
ние точки
w = snT -г
аТ
Замечая, что, согласно A.28) и A.31),
dt
окончательно получим
w = snt -f
п.

22
Основные понятия н законы механики
[Гл. I
Учитывая, что s — v, ускорение точки в естественных координатах
можно также представить в виде
W = УПТ -1 П.
R
A.34)
Введенные в этом параграфе понятия и соотношения дают
возможность решать кинематические задачи, т. е. задачи,
в которых движение описывается вне связи с причинами, вызы-
вающими это движение.
Пример 1.1. Траектория, скорость и ускорение материальной
точки в декартовых координатах.
Закон движения точки относительно системы отсчета S имеет
вид
х = a cos <at, у — b sin wt, 2 = 0,
где a, b и со — постоянные величины. Найти траекторию, линей-
ную и секторную скорости, а также ускорение точки относительно
системы S.
Дифференцируя по времени заданные функции x(t), y(t) и
¦z(t), получим проекции скорости и ускорения точки на декартовы
оси (см. A.12) —A.14))
х = —¦ асо sin wt, у = -1- бсо cos at, z = 0;
x = —atfcosat, у = —bw2slau>t, z — 0.
Выражая проекции ускорения
через проекции радиуса-векто-
ра, убедимся в том, что ускоре-
ние в любой момент времени
направлено к началу коорди-
нат (рис. 1.7):
X = — СО2А-, у = — Ю2Г/, 2 = 0,
т. е. г = —со2г.
Для секторной скорости, ис-
пользуя функции x(t), y{t),
x(t), y(t), найдем выражение
Рис. I.-
а=
Пх
X
X
ПУ
У
У
0
0
= сг
0,

§ 1] Понятия о пространстве и времени 23
где во—значение секторной скорости в начальный момент време-
ни* (^ = 0). Наконец, исключая t из функций x(t) и y(t), получим
уравнение траектории
— -г--У-=\, 2=0.
a2 ft*
Таким образом, в рассмотренном случае точка движется с посто-
янной секторной скоростью по эллипсу, лежащему в плоскости
2 = 0, причем ускорение все время направлено к центру эллипса.
Пример 1.2. Траектория, скорость и ускорение материальной
точки в цилиндрических координатах.
Цилиндрические координаты точки при ее движении относи-
тельно некоторой системы отсчета 5 изменяются по закону
р = (V -г Ро. ф = <iV -г фо> z = V Lzo-
Найти траекторию, линейную и секторную скорости, а также уско-
рение точки.
Для простоты рассмотрим три частных случая.
1. Полагая в заданных функциях ро = О и исключая из них
время, найдем уравнение траектории
= Ро.
фо г0
а используя выражения A.15), A.17) и A.19), получим
г = Ро"р f (V - го) "г.
V = РоФоПФ + 20Пг' W =
Отсюда видно, что точка движется по винтовой линии (ее шаг ра-
вен 2л20/ф0) с постоянными по абсолютной величине скоростью v =
= (рофо + ZoI/l! и ускорением w = рофо; направлено же ускорение все
время к оси цилиндра перпендикулярно к ней (рис. 1.8). Нетрудно
убедиться, что модуль и направление секторной скорости в этом
случае не сохраняются.
2. Полагая фо = О и поступая аналогично предыдущему, найдем
¦?=&- =-1^*-. ф = ф„;
Ро zo
г = ((V -f Ро) "р + (V -т- го) п2.
v = ропр -f гоп2, w = 0,
— Ро2о) ПФ-
* Здесь и в дальнейшем все величины с индексом «нуль» является посто-
янными.

24
Основные понятия и законы механики
[Гл. I
Таким образом, точка движется по прямой с постоянной линейной
и секторной скоростями (рис. 1.9).
Рис. 1.8
Рис. 1.9
3. Если задать ?0 = 0 и, кроме того, положить ро = О, фО=О,
= 0, то
рф
„ v = ponp -.;-
- 2роФопф, а = ~
В этом случае секторная скорость изменяется по величине, но со-
храняет свое направление, что обусловлено движением по плоской
траектории. Исключая время из функций р = ро^ и ф=<ро^> получим
On
уравнение траектории — архимедову спираль Р = ~р-ф
фо
(рис. 1.10). Такую кривую описывает точка, движущаяся с по-
стоянной скоростью ро вдоль прямой, которая сама вращается с
ПОСТОЯННОЙ УГЛОВОЙ СКОрОСТЬЮ фо.
Пример 1.3. Ускорение точки, движущейся по эллипсу с по-
стоянной относительно фокуса эллипса секторной скоростью.
Из эмпирически установленных двух законов Кеплера извест-
но, что в гелиоцентрической системе отсчета любая планета опи-
сывает эллипс с фокусом в центре Солнца, а секторная скорость
планеты относительно фокуса постоянна (рис 1.11)*. Основы-
ваясь на этих законах, найти w — ускорение любой планеты как
функцию ее расстояния от Солнца.
* Более подробное обсуждение законов Кеплера см. на стр. 89—90 и 122.

§ 1]
Понятия о пространстве и времени
25
Выберем систему координат с учетом характера исследуемого
движения. Начало координат по;местим в центр Солнца, относи-
тельно которого секторная скорость постоянна, а одну из осей,.
Рис. 1.10
Рис. 1.11
например ось Oz, направим перпендикулярно плоскости траекто-
рии. На этой плоскости введем полярные координаты; тогда усло-
вия задачи можно записать в виде (см. A.22))
1 -L- 8 COS ф
(здесь р — параметр эллипса, е-—его эксцентриситет). Найдем
прежде всего проекции скорости vp и уф как функции от р или ф..
Используя выражение секторной скорости, получим
Ор=р= jL9 = _2a0-^-fJ-V Цф = РФ = -2^;
^Ф Лр V р / Р
тогда скорость точки как функцию ее положения можно записать
в виде
- Пр —-— ( - ) -у- Пф . A )¦
аф \ р / р J
Проекция ускорения даф в силу сохранения а2 будет равна нулю.
(см. A.21)), а значение wp вследствие того, что
d?
dq>
j). РФ2 =
будет определяться формулой Б и не
р2 L р ^ф2 ч р / J

26 Основные понятия и законы механики [Гл. I
Отсюда, используя уравнение эллипса, окончательно получим
Таким образом, исходя из законов Кеплера, приходим к выводу,
что ускорение любой планеты обратно пропорционально квадрату
расстояния от планеты до Солнца и направлено к центру Солнца
(сравните этот результат с законом всемирного тяготения
Ньютона B.15)).
Отметим, что формулы A) и B) справедливы для любой
плоской траектории, заданной в полярных координатах функцией
р(ср), причем формула B) верна лишь при условии постоянства
секторной скорости.
Пример 1.4. Ускорение точки, движущейся по эллипсу с по-
стоянной относительно центра эллипса секторной скоростью.
Точка движется по эллипсу с полуосями а и Ь. Ее секторная
скорость относительно центра эллипса постоянна. Определить
ускорение точки как функцию ее положения.
Совместим начало декартовых координат с центром эллипса,
.а ось Oz направим перпендикулярно к плоскости траектории
(см. рис. 1.7). Тогда оси Ох и Оу можно выбрать так, что траек-
тория точки будет описываться уравнением
х*~ о у* 1
Условие постоянства секторной скорости в декартовых координа-
тах имеет вид
1
а,= — (ху — ух) = с0.
2
Дифференцируя левую и правую части уравнения эллипса по вре-
мени, вместо исходных уравнений получим систему
— ц% -L- хц = 2(Тл
JL^ + JL^O,
из которой находим проекции скорости точки как функции х, у:
2а„ • 2а„
х = — и, ц=А —х.
о й
Отсюда имеем
о

§ 1]
Понятия о пространстве и времени
2сг0 •
У~^-^х- ~^У>
т. е.
w = —
Г.
a2b2
Таким образом, в отличие от предыдущего примера ускорение
точки направлено к центру эллипса и пропорционально расстоя-
нию от точки до этого центра.
Пример 1.5. Определение положения точки по ее скорости.
Точка движется по плоской траектории с постоянной сектор-
поп скоростью 0о- Величина ее линейной скорости обратно про-
порциональна расстоянию р от точки до некоторого центра, лежа-
щего в плоскости движения z = 0 и выбранного за начало коорди-
нат. Найти закон движения точки, ее траекторию и ускорение,
если при t--=0 заданы р = ро, v = vQ и угол а0 между радиусом-век-
тором точки и ее скоростью @<а0<я/2).
Выберем полярную ось так, чтобы в начальный момент вре-
мени точка была расположена на этой осн. Тогда условия задачи
можно записать в виде
р2ф = 2tf0, v -----
где 2а0 = povo shi a0, с =--- pov0. Пользуясь тем, что, с одной стороны,
V = (р2 -;- р2ф2Oз = ( р2 -L
\
а с другой стороны, согласно условию v = povo/p, найдем радиаль-
ную составляющую скорости как функцию р:
Так как 0<а0<я/2, то ро>О и, следовательно, в последнем выра-
жении нужно выбрать знак «плюс». Разделяя в этом выражении
переменные р и /, в результате интегрирования получим
р2 = Bp0f0 cos a0) t
откуда, учитывая начальные условия
находим
const,
^ = 0, р = ро), окончательно
р2 = Bр0и0 cos a0) t

28 Основные понятия н законы механики [Гл. I
Определяя далее ф из выражения секторной скорости, получим
ф - PiA s|n g0
р20 -V- Bp0tH cos a0) t
Отсюда интегрированием найдем ф (t):
2 V ' Ро
(здесь для определения постоянной интегрирования использовано
условие: при t—О, фо=О). Из функций p(t), ф(<) исключим t и по-
дучим уравнение траектории — логарифмическую спираль
Наконец, зная уравнение орбиты р(ф) и используя постоянство
секторной скорости, находим ускорение точки как функцию р
(см. формулу B) в примере 1.3)
§ 2. Понятия о силе и массе
Рассмотрим движение материальной точки относительно про-
извольной системы отсчета, предполагая, что начальные ус-
ловия, т. е. радиус-вектор точки г0 и ее скорость v0 в началь-
ный момент времени t0, могут быть заданы произвольно (такую
точку будем называть свободной)*. Пользуясь эталонами
длины и времени, можно определить положение, скорость и уско-
рение точки в любой момент времени. Затем, помещая вблизи
точки некоторое тело, можно заметить, что точка приобретает
добавочное ускорение, исчезающее по мере удаления тела на бес-
конечно большое расстояние от точки.
Например, рассмотрим движение материальной точки / вбли-
зи поверхности Земли (рис. 2.1, а, на котором плоскость Оху со-
впадает с земной поверхностью). Предполагая, что эта точка
обладает электрическим зарядом, сравним ее движение в двух
случаях: а) в отсутствие каких-либо других тел, б) при наличии
заряженного тела.
Пусть в первом случае точка / в начальный момент времени
находится в положении Гю и имеет скорость vi0. Определим поло-
жение точки, ее скорость и ускорение wi в любой момент времени.
* Произвольность начальных условий исключает рассмотрение таких слу-
чаев движения точки, как, например, движение по поверхностям каких-либо тел
л т. п. Теория движения несвободных точек будет изложена в гл. V.

§2]
Понятия о силе и массе
29
Затем исследуем движение той же точки при тех же начальных
условиях, поместив вблизи начального положения точки достаточ-
но малое заряженное тело 2 (рис. 2.1,6). Измерения покажут, что
г, ft)
Рис. 2.1
по сравнению с предыдущим случаем точка приобрела дополни-
тельное ускорение wj2). Результирующее ускорение точки отно-
сительно Земли во втором случае будет равно w2 -f- w<2>. Следо-
вательно, другими станут и закон движения точки и ее траекто-
рия. Удаляя тело 2 на бесконечно большое расстояние от точки /,
мы убедимся, что w<2> исчезает.
Вообще опыт показывает, что в любой системе отсчета любое
тело 2 вызывает некоторое ускорение w*2' свободной матери-
альной точки 1, причем это ускорение становится исчезающе ма-
лым по мере удаления тела на бесконечно большое расстояние
от точки, т. е. -
w<2>->-0, если г12->-оо. B.1)
*
Экспериментальное изучение ускорений, вызываемых у дан-
ного тела различными другими телами, приводит к утверждению
о независимости этих ускорений друг от друга. Иначе говоря,
опыт показывает, что ускорение w'2-3', сообщаемое данному те-
лу 1 одновременно двумя любыми телами 2 и 3, равно векторной
сумме ускорений w|2) и w<3), сообщаемых телу 1 телами 2 и 3
каждым в отдельности, т. е.
wB,3)=JWp4_wC)_ B.2)
Убедиться в этом можно, в частности, продолжая только что рас-
смотренный эксперимент. Как мы видели, под действием заряжен-
ного тела 2 заряд 1 приобретает ускорение wp' (рис. 2.1,6).
Если же вместо тела 2 вблизи начального положения Гю точки
поместить достаточно малое заряженное тело 3 (рис. 2.2,-а), то

30
Основные понятия и законы механики
[Гл. 1
оно вызовет другое ускорение точки w[3). Наконец, вернув точ-
ку / в ее начальное положение г10 и поместив оба тела одновре-
менно в прежние их положения, указанные на рис. 2.1, б и
рис. 2.2, а, обнаружим, что точка приобрела ускорение wp-3) по
сравнению с тем случаем, когда оба тела отсутствуют (рис. 2.2,6).
Измерив wj2), wj3) и w<2'3), можно убедиться в справедливости
Рис. 2.2
B.2), Заметим, что утверждение о независимости ускорений имеет
место при любом числе воздействующих тел.
Итак, на основании опытов можно сделать вывод о том, что,
во-первых, одни тела воздействуют на другие, причем это воздей-
ствие проявляется в приобретении телами ускорений, и, во-вто-
рых, ускорения, сообщаемые разными телами данному телу, неза-
висимы. Этот вывод лежит в основе важнейшего понятия механи-
ки о силе. Под силой, с которой произвольное тело 2 действует
на данную материальную точку 1, понимают такое влияние тела 2
на точку 1, в результате которого точка 1 приобретает ускорение,
исчезающее при удалении тела 2 на бесконечно большое расстоя-
ние от точки 1. Заметим, что если воздействия одних тел на дру-
гие существуют объективно, то введенное в механике понятие о
силах отражает эти воздействия лишь с некоторой точностью.
Поскольку сила является причиной ускорения, а ускорение
обладает свойствами вектора, то постулируется, что и сила есть
вектор, причем направленный так же, как и ускорение, вызывае-
мое этой силой, т. е. постулируется, что
F21tt*f>, B.3)
где F2i — сила, действующая со стороны тела 2 на точку 1, а
w[2) — ускорение точки 1, обусловленное действием этой силы.

^ 2] Понятия о силе и массе 31
«Одна из важнейших характеристик силы — ее материальное
происхождение», «...говоря о силе, мы всегда неявно предпола-
гаем, что когда нет физических тел, то сила равна нулю»
{26, вып. I, стр. 210—211]. Это значит, что как ускорение w<2) ,
так и сила F2i стремятся к нулю по мере удаления тела 2 на бес-
конечно большое расстояние от точки 1, т. е.
F21->-0, если г21->оо. B.4)
Так как ускорения, сообщаемые точке различными телами,
обладают свойством B.2), то в отношении сил, действующих на
точку со стороны этих тел, постулируется аналогичное свойство.
А именно, полагают, что сила Ff'3', с которой тела 2 и 3 дейст-
вуют на данную точку 1 одновременно, равна векторной сумме
сил F2i и F3b действующих на точку 1 со стороны этих тел по-
рознь, т. е.
Ff'3) = F21 ~ F31. B.5)
Может случиться, что одновременное действие нескольких тел
на материальную точку не изменяет того ускорения точки, кото-
рое она имела в отсутствие этих тел. В таком случае сумма сил,
действующих на точку со стороны этих тел, и сумма соответствую-
щих ускорений равны нулю:
рB,з) = о, wp> = 0. B.6)
Основываясь на B.2), B.5) и B.6), можно производить
измерение сил, т. е. их сравнение с силой-эталоном. В каче-
стве силы-эталона можно взять, в частности, силу, с которой дей-
ствует на тело прикрепленная к нему одним из концов определен-
ная пружина, растянутая до определенной длины /et- Пусть в ре-
зультате действия на точку силы-эталона и некоторого тела 2
(например, произвольной пружины 2) ускорение точки останется
таким же, как и в отсутствие эталонной пружины и тела 2 (на-
пример, точка остается в покое относительно Земли). Это значит,
что
W(et,2) = W(et) ._ WB) = Q,
p(et,2) p p n B.7)
где Fet — сила-эталон, a w{et) —ускорение точки /, вызываемое
эталонной пружиной. Из B.7) видно, что F21 =—Fet, т. е. сила F2i
оказывается измеренной. Имея несколько одинаковых эталонных
пружин и располагая их параллельно или под различными угла-
ми, в принципе можно измерить любую силу.

32 Основные понятия н законы механики [Гл. I
Пользуясь способом измерения сил B.7), эталонами длины и
времени, экспериментально устанавливают зависимость сил от
различных величин. Приведем ряд исследованных таких образом
сил.
Упругая сила, действующая со стороны пружины 2 на
тело /, прикрепленное к ее концу, при достаточно малых удли-
нениях пружины пропорциональна этому удлинению и направлена
по прямой, совпадающей с осью пружины (предполагается, что
второй конец пружины прикреплен к другому телу):
Fa = -x(rn-/)-b!_. B.8)
Здесь г21 = Г]—г2, Г1 — радиус-вектор точки / и скрепленного с неГг
конца пружины, г2— радиус-вектор другого конца пружины, / —
длина ненапряженной пружины, и — характеризующая данную
пружину положительная константа, называемая жесткостью. Из
B.8) следует, что действующая на точку / сила F2i сжатой пру-
жины направлена от конца 2 пружины в сторону точки / (в этом
случае г2Х<1, т. е. удлинение г2\ — / отрицательно). Если же пру-
жина растянута (г2]>/, удлинение положительно), то эта сила
направлена от точки / в сторону точки 2. Итак, опыт показывает,
что абсолютная величина и направление рассмотренной упругой
силы зависят лишь от положения точек / и 2.
Согласно закону Кулона сила электростатического воз-
действия заряженной точки 2 на заряженную точку / обратно
пропорциональна квадрату расстояния между точками и направ-
лена по прямой, соединяющей эти заряды:
r2i ;> (/-у/
'21 '«
здесь в[ и е2 — электрические заряды первой и второй точек соот-
ветственно *.
Сила Лоренца Fb действующая на точечный заряд со
стороны электрического и магнитного полей, зависит как от по-
ложения заряда, так и от его скорости:
Fx = e16-b-^-[v1»]. B.10)
Здесь с — скорость света; 6 (гь t) и Ж(Г\, t)—напряженности
соответственно электрического и магнитного полей в той точке
пространства, где находится заряд; Vi — скорость заряда. Напом-
ним, что напряженность электрического поля определяется силой,
* Единицу электрического заряда можно выбрать, имея эталоны силы к
длины. См., например, [36, стр. 22].

§2]
Понятия о силе и массе 33
действующей со стороны этого поля на единицу положительного
заряда; направление напряженности Ж магнитного поля можно
определить как такое направление скорости заряда, при котором
сила, действующая на заряд в магнитном поле, равна нулю; вели-
чину напряженности магнитного поля можно определить как
отношение модуля силы, действующей на заряд ех со стороны
магнитного поля, к величине (ei/c)wij_, где V\± — составляющая
скорости заряда, перпендикулярная направлению напряженно-
сти Ж в данной точке пространства (конечно, радиус-вектор гь
скорость Vi заряда и напряженности полей должны измеряться
в одной и той же системе отсчета) [36, стр. 21, 211—212].
Поскольку в классической механике не рассматриваются про-
цессы, происходящие в полях (см. стр. 10), постольку напряжен-
ности полей & и Ж в наших задачах будут считаться заданны-
ми функциями радиуса-вектора точки и времени. Например,
напряженность электрического поля плоского конденсатора по-
стоянной емкости, к пластинам которого подводится переменное
напряжение, изменяющееся со временем по гармоническому за-
кону, вдали от краев пластин с большой степенью точности мож-
но считать равным S0cos(ot, где <§0 —напряженность электриче-
ского поля при / = 0, а со — частота, с которой изменяется подводи-
мое напряжение. Таким образом, сила, действующая на заряд в\
со стороны этого поля, будет равна
F1 = e1<§0cosco^. B.11)
Сила сопротивления среды, действующая на осе-
симметричное твердое тело при его движении в жидкости или
газе, зависит от скорости тела относительно среды и направлена
противоположно этой скорости (если ось симметрии тела колли-
неарна скорости). При достаточно малой скорости эта сила
имеет вид
?1 = -kvlt B.12)
где k — положительная константа, характерная для данного тела
и данной среды, a V| — скорость тела относительно покоящейся
на бесконечности среды.
Итак, опыт показывает, что существует широкий класс сил,
явно зависящих от положений и скоростей тел, а также от неко-
торых постоянных величин н времени *.
Рассмотрим детальнее соотношение между силой и вызывае-
мым ею ускорением. Исследуем, например, движение материаль-
ной точки / по горизонтальному идеально гладкому стержню
* Известна также сила, зависящая от третьей производной координаты
по времени. Таковой является сила лучистого трения, с которой электромагнит-
ное излучение заряда тормозит этот заряд.
^ И. Н. Ольховский

34
Основные понятия и законы механики
{Гл. I
2 Ь, «f ,
а)
(рис. 2.3, а) под действием прикрепленной к точке пружины 2,
навитой на стержень и закрепленной другим концом в точке О
стержня (сила, с которой
идеально гладкий стержень
действует на точку, перпен-
дикулярна к стержню). Ес-
ли пружина 2 действует на
точку с силой B.8), а стер-
жень неподвижен относи-
тельно Земли, то, выбирая
систему отсчета S с началом
в точке О и осью Ох, направ-
ленной по стержню, в ре-
зультате измерений получим
значения ускорений точки 1,
которые аналитически мож-
но представить формулой
+-Х
Рис. 2.3
где Х\ — координата точки /, a coi — величина, постоянная для
данной точки и пружины. Поскольку сила F2i, действующая на
точку / со стороны пружины, равна —'%{х{—1)пх, отношениеF^wf*
будет постоянной величиной для данной точки и данной пружины,
а именно:
Аналогичные эксперименты, поставленные с другими пружи-
нами 2, но с тем же телом 1, показывают, что отношение F^/wf
не зависит от свойств используемой пружины и является постоян-
ным для данного тела.
Если эти эксперименты поставить в условиях, когда стержень
вращается с постоянной угловой скоростью со в горизонтальной
плоскости Оху, т. е. вращается относительно системы S (рис. 2.3, б),
то измерения покажут, что ускорение w' точки относительно си-
стемы S', связанной со стержнем, в случае воздействия на точку
пружины будет определяться формулой *
W' = СО2 Х\ Пх СО? (х\ — /) IV.
* Подробное решение задачи о движении точки на вращающемся стержне
приведено на стр. 273 в примере 31.2.

§ 2]
Понятия о силе и массе 35
Здесь первый член справа равен ускорению точки в отсутствие
пружины (рис. 2.3,s), %\ —координата точки в системе 5', ось Ох'
которой направлена по стержню, а начало совпадает с началом
системы S, причем величина coi — та же постоянная, что и в экс-
периментах с неподвижным стержнем.
Сравнивая ускорения точки на вращающемся стержне при
B)
наличии пружины и в ее отсутствие, найдем w} — ускорение
точки, вызываемое пружиной:
w{2) = — <й\(х[ — 1)ПХ:
Сопоставляя это выражение с силой, действующей со стороны
пружины и равной —>c(*i— /)iv, убедимся в том, что для дан-
ной точки отношение силы к вызываемому ускорению в обеих
системах отсчета S и 5' одинаково.
На основании этих опытов, а также опытов с использованием
других сил, приходим к фундаментальному утверждению класси-
ческой механики: в любой системе отсчета отношение силы,
действующей на некоторую материальную точку, к ускорению
точки, вызываемому этой силой, является величиной постоянной
для данной материальной точки. Эту постоянную называют
инертной массой или просто массой. Таким образом,
-I^- = m1, B.13)
где Ш\ — положительная постоянная — масса точки /. Утвержде-
ние B.13) означает независимость массы от того, как движется
тело. Это справедливо, однако для скоростей, малых по сравне-
нию со скоростью света. Если же скорость тела сравнима со ско-
ростью света, то утверждение B.13) оказывается неверным.
Основываясь на B.13), можно измерять массы различных
тел *. Действительно, выберем за эталон массы массу met некото-
рого тела и определим ее как отношение F2,et/w>et\ где F2,et—
абсолютная величина силы, действующей на тело-эталон со сто-
роны тела 2, a wif — величина вызываемого этой силой ускорения
тела-эталона. Массу тела / можно определить, используя воздей-
ствие произвольного тела 3. Тогда отношение массы Ш\ к массе-
эталону будет равно
B.14)
met
* Об измерении масс см. также стр. 36 и 181.
2*

36 Основные понятия и законы механики [Гл. I
Пользуясь способом измерения масс, сил и расстояний, мож-
но экспериментально установить закон всемирного тяго-
тения Ньютона, согласно которому сила гравитационного
притяжения двух материальных точек пропорциональна произве-
дению масс этих точек, обратно пропорциональна квадрату рас-
стояния между ними и направлена по прямой, соединяющей точки.
Из эксперимента находится и коэффициент пропорциональности—
гравитационная постоянная у. Таким образом, сила
гравитационного воздействия одной точки на другую равна
BЛ5)
Подчеркнем, что только гравитационные силы обладают заме-
чательным свойством одинаково ускорять любые тела, помещае-
мые в данную точку пространства. Действительно, из B.15),
B.13) и B.3) видно, что ускорение, которое приобретает тело /
в гравитационном поле тела 2, равно
и не зависит от массы Ш\. Следовательно, ускорения двух любых
тел 1 и et, находящихся на одинаковых расстояниях от тела 2,
равны между собой, т. е.
wP^wg». B.17)
Из B.15) и B.17) вытекает, что отношение сил гравитацион-
ного притяжения двух данных тел У и et к любому третьему телу 2
(при условии равенства расстояний г2] = /'2, et) равно отношению
масс:
р ¦
*21 "»1 /О 1 Q\
~F = ~^~- B.18)
1 2, et met
Это свойство гравитационных сил удобно использовать для изме-
рения масс.
Наряду с определением инертной массы в классической ме-
ханике имеется определение гравитационной (или тяже-
лой) массы*. При этом исходят из экспериментально уста-
новленного постоянства отношения F2l/F2>ei для данной пары
тел 1 и et, поочередно помещаемых в одну и ту же точку грави-
* Оно аналогично определению электрических зарядов, см. [35, стр. 8, 9] и
[36, стр. 22].

к з] Понятие об инерциальнои системе и законы Ньютона 37
тацнонного поля любого тела 2. Это отношение определяют как
q-гношение гравитационных масс mf/tnfl. Иначе говоря, исхо-
дят из закона всемирного тяготения в виде
B.19)
'21
Далее, опираясь на экспериментально установленное свойство
гравитационных сил B.17) и исходя из отношения инертных масс
B.14), убеждаются в том, что гравитационная и инертная массы
тела пропорциональны, т. е.
if, B.20)
m
причем коэффициент пропорциональности met/rnl[ зависит от
выбора системы единиц измерения (обычно полагают, что
met = m% и тем самым фиксируют размерность [у] гравитацион-
ной постоянной; в системе единиц LMT в этом случае [у]=
= L3M~lT-2). Заключение о пропорциональности гравитационной
и инертной масс тела неоднократно и с большой степенью точно-
сти подтверждалось на опыте.
§ 3. Понятие об инерциальнои системе отсчета и законы
Ньютона. Принцип относительности Галилея
Понятие об инерциальнои системе отсчета связано с понятием
об изолированной материальной точке, т. е. точке,
которая находится на весьма больших расстояниях от всех прочих
тел. Ускорения изолированной точки, вызываемые телами, будут
лсчезающе малыми (см. 2.1). Вместе с тем экспериментальные
исследования показывают, что относительно одних систем отсчета
ускорение такой точки равно нулю, а относительно других систем
изолированные точки движутся ускоренно. Например, возьмем
изолированную точку, покоящуюся относительно системы 5 и за-
нимающую положение х=х0, y=z=0 (рис. 3.1,а). Тогда ускоре-
ние точки относительно S равно нулю. Теперь рассмотрим ту же
точку в системе 5', вращающейся относительно 5 с постоянной
угловой скоростью о» вокруг оси Oz (для простоты совместим на-
чала систем О, О' и оси Oz, O'z'). Ясно, что относительно S' точ-
ка будет двигаться по окружности радиуса х0, и поэтому ее уско-
рение относительно 5' отлично от нуля (рис. 3.1,6).
Система отсчета, относительно которой изолированная мате-
риальная точка либо покоится, либо движется равномерно и пря-
молинейно из любого начального положения при любом направ-
лении скорости, называется инерциальнои системой от-

38
Основные понятия и законы механики
[Гл. I
счета. В инерциальной системе отсчета радиус-вектор изолиро-
ванной точки есть линейная функция времени
r = vtit + r0 C.1)
при любых постоянных г0 и Vo. Система отсчета, в которой условие
C.1) для изолированной точки не выполняется, называется н е-
инерциальной системой.
Существование инерциальных систем отсчета подтверждается
экспериментом (как всегда, с известной степенью точности). Про-
стейший опыт Галилея заклю-
чался в наблюдении над отпо-
лированным металлическим
шариком, скатывающимся по
наклонной гладкой доске. На-
блюдением было установлено,
что если угол наклона доски к
а) горизонту стремится к нулю, то
ускорение шарика также стре-
мится к нулю. Отсюда был
сделан вывод о том, что «когда
тело движется по горизонталь-
ной плоскости, не встречая ни-
какого сопротивления, то...
движение его является равно-
мерным и продолжалось бы
бесконечно, если бы плоскость
простиралась в пространстве
без конца» [2, стр. 417, 418].
Последующие более точные
опыты установили неинерци-
альность геоцентрической си-
стемы отсчета, которая факти-
чески используется в экспери-
менте Галилея. В то же время
наблюдения над ускорениями небесных тел показали инерциаль-
ность гелиоцентрической системы Коперника. Конечно, участие
солнечной системы во вращении вокруг центра нашей Галактики
должно приводить к весьма малой неинерциальности гелиоцентри-
ческой системы (по сравнению с неинерциальностью геоцентриче-
ской системы). Однако тогда за инерциальную систему можно
принять систему, связанную с несколькими галактиками.
Первый закон классической механики или
закон инерции Галилея — Ньютона сводится к утверж-
дению, что инерциальные системы отсчета существуют, т. е. суще-
Рис.

x 3] Понятие об ннерциальной системе и законы Ньютона 39
ствуют системы, удовлетворяющие требованию C.1)*. Конечно,
возникает вопрос, с чем связано существование такой привилеги-
рованной системы отсчета, как инерциальная система? Однако
этот вопрос до сих пор не может считаться решенным.
В основе второго закона Ньютона лежат утвержде-
ния о независимости массы от движения тела, о независимости
сил и независимости ускорений, сообщаемых данному телу раз-
личными другими телами, и утверждение о существовании инер-
циальной системы отсчета. Рассмотрим для простоты систему из
трех точек /, 2 и 3. На основании утверждений B.13), B.3), B.5)
п B.2) для первой точки можно получить соотношение между
С1глой Ff'3), действующей на нее со стороны второй и третьей
точек, и ускорением w{ , которое вызывает эта сила:
miw}2'3)=F<2-3\ C.2)
где пгх — масса точки /,
If>3) = F21 + F31.
Однако ускорение wf' J точки 1, вызываемое телами 2 и 3, равно
ускорению Wj точки 1 относительно инерциальной системы от-
счета, поскольку в этой системе тела 2 и 3 являются единственной
причиной ускорения точки (см. C.1)); таким образом,
wf>3) = wl5 C.3)
где W]. = гх (см. A.10)).
Нетрудно показать, что соотношения вида C.2) и C.3) будут
справедливыми и при любом числе тел, действующих на данную
точку. Следовательно, ускорение W) точки / относительно инер-
циальной системы и сумма сил Fj, действующих на точку со сто-
роны всех тел, связаны уравнением
m14i1 = Fl( C.4)
которое называется вторым законом Ньютона.
* Приведем обычную формулировку закона: «Всякое тело продолжает
удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного н прямолинейного
движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными снламн изме-
нять это состояние» [3, стр. 39]. Мы видели, однако, что существуют и такие
системы отсчета, относительно которых изолироваииое тело (т. е. тело, «не по-
нуждаемое приложенными силами») движется ускоренно. Следовательно, объ-
ективным содержанием приведенной формулировки закона инерции .является
утверждение о том, что действительно инерциальные системы существуют.

40 Основные понятия и законы механики [Гл. I
Итак, согласно второму закону Ньютона произведение массы
любой материальной точки на ее ускорение относительно инер-
циальной системы отсчета равно сумме всех сил, действующих
на данную точку со стороны других тел. Второй закон является
одним из фундаментальных
законов природы. Он лежит в
основе того раздела механики,
в котором рассматривается
движение материальных точек
в зависимости от действия сил.
Этот раздел механики назы-
вается динамикой.
Второй закон позволяет
найти положение и скорость
точки в любой момент време-
ни, если известны: масса точ-
ки т, сила F(r, v, t) как Функ-
ция положения, скорости и
времени, а также положение
точки Го и ее скорость v0 в не-
Рис. 3.2 который момент времени U.
(конечно, рассматриваются по-
ложение и скорость относительно инерциальной системы). Дей-
ствительно, зная Го и v0, можно определить силу в момент to, a
зная эту силу и массу, найти ускорение в тот же момент времени
г0 = F(ro> v0, t0) (рис. 3.2). Ускорение в свою очередь опре-
m
деляет приращение скорости dv=rodt, а скорость v0 определяет
приращение радиуса-вектора dr—\odt. Таким образом, опреде-
ляются положение и скорость точки в момент to + dt и тем самым
определяется сила F(ro + dr, vQ + d\, to + dt), действующая на точ-
ку в момент to+dt. Повторяя указанный процесс, можно найти по-
ложение и скорость точки в любой момент времени t>tQ. Сфор-
мулированная здесь задача является основной задачей динамики.
Используя второй закон Ньютона, можно решать и обратную
задачу: зная массу точки и ее положение относительно инерци-
альной системы отсчета в любой момент времени, получить силу,
действующую на точку также в любой момент времени.
Подчеркнем, что под действием данной силы данное измене-
ние скорости у тела с большей массой происходит за более дли-
тельный промежуток времени. В связи с этим говорят, что тела
обладают инертностью, а масса тел является мерой
инертности.
Второй закон дает возможность выбрать основные единицы
измерения в механике. В самом деле, этот закон устанавливает
взаимосвязь между массой, ускорением и силой. Но ускорение

3]
Понятие об инерциальнои системе и законы Ньютона
41
является второй производной радиуса-вектора по времени. Сле-
довательно, закон устанавливает взаимосвязь между величинами
с размерностями массы, длины, времени и силы. В принятой с
1960 г. системе СИ за основные единицы в механике выбраны
единицы длины, времени и массы. За эталон массы принят кило-
граи м — масса определенного тела — международного килограм-
ма. Единицей силы является ньютон — сила, которая массе в
1 кг сообщает ускорение 1 м/сек2.
Применяя второй закон к системе материальных точек, полу-
чим уравнения движения механической системы относительно
инерциальнои системы отсчета:
» = 1,2
N),
C.5)
здесь Ft — сила, действующая на г'-тую материальную точку; пред-
полагается, что все эти силы являются заданными функциями ru
Г2) ••-, fJV, Vi, V2, .... Vjy И t (СМ.,
например, B.8) —B.12)).
В третьем законе Нью-
тона утверждается, что силы, с
которыми две любые материаль-
ные точки действуют друг на
друга, равны по величине и на-
правлены в противоположные
стороны по прямой, соединяющей
точки (см. рис. 3.3, где изобра-
жен случай сил отталкивания).
Таким образом, для любых двух
точек 1 и 2
Рис.
F21 = -F
12'
C.6)
где F2] — сила, действующая на первую точку со стороны второй,
а сила Fi2 действует на вторую точку со стороны первой; эти
силы коллинеарны вектору т\% (или r2i).
Из третьего и второго законов механики вытекает, что любые
две материальные точки сообщают друг другу ускорения, обратно
пропорциональные их массам и направленные в противоположные
стороны по прямой, соединяющей эти точки. Следовательно, вели-
чины ускорений и масс взаимодействующих точек связаны соотно-
шением
a>2
_ mi
C.7)
При установлении третьего закона Ньютон также основывал-
ся на данных эксперимента.

42
Основные понятия и законы механики
{Гл. I
Принцип относительности Галилея. Возьмем си-
стему отсчета S', неускоренно движущуюся относительно
инерциальной системы S. Это означает, что начало системы S'
движется относительно S равномерно и прямолинейно, а углы
между осями систем S' и S сохраняют постоянные значения. Тогда
система S' также будет инерциальной. Действительно, из A.6)
вытекает, что радиусы-векторы г и г', характеризующие положе-
ние любой материальной точки относительно систем S и S', свя-
заны между собой соотношением
г = го- + г',
C.8)
где Го' = (vo')ot + (го')о —радиус-вектор начала О' относитель-
но S; (voOo и (го')о —скорость и радиус-вектор начала О' в мо-
мент времени t=0. Дифферен-
цируя обе части C.8) по вре-
мени и учитывая неизменность
ориентации осей S', получим
соотношение для скоростей
точки
V,
C.9)
где v и v' — скорости точки
относительно систем S и S' со-
ответственно. Дифференцируя
по времени C.9), найдем, что
Рис. 3.4 W = W. C.10)
Таким образом, ускорение точки в данный момент времени одина-
ково относительно любой из систем, неускоренно движущихся
относительно друг друга. Следовательно, если в системе S ускоре-
ние изолированной точки равно нулю, то и в системе S' оно равно
нулю. Итак, если система S является инерциальной системой, то
любая другая система S', неускоренно движущаяся относитель-
но S, также инерциальна.
Преобразование координат при переходе от одной инерциаль-
ной системы к другой инерциальной системе определяется соотно-
шением C.8). Это преобразование называется преобразова-
нием Галилея. Оно заметно упрощается, если системы 5 и S'
одинаково ориентированы, скорость начала О' направлена по
одной из осей (например, по оси Ох), а в начальный момент вре-
мени точки О' и О совпадают (рис. 3.4). В этом случае преобра-
зование Галилея имеет вид
x=vot+x', y = y', 2 = г', C.11)

§ 4] Решение уравнений движения 43
где v0=(xo')o (конечно, в этом преобразовании «участвует» фун-
даментальное допущение классической механики о преобразова-
нии времени A.7)).
На основании наблюдений Галилеем был сформулирован
классический принцип относительности, согласно которому законы
механики одинаковы в любых инерциальных системах отсчета.
Это значит, что уравнения движения относительно любых инерци-
альных систем S и S' совпадают друг с другом, т. е. уравнение
mw = F
эквивалентно уравнению
m'w' = F\
Поскольку в классической механике масса данной точки постоянна
{m = m'), а ускорение точки в данный момент времени одинаково
по отношению к любым инерциальным системам (w=w'), из прин-
ципа Галилея следует, что
F = F', C.12)
т. е. следует утверждение о неизменности сил, действующих на
точку, при переходе от одной инерциальной системы к другой,
также инерциальной системе. Итак, все величины, входящие в
уравнение Ньютона, не изменяются при преобразовании от одной
инерциальной системы к другой инерциальной системе. Иными
словами, уравнения Ньютона инвариантны относительно преобра-
зований Галилея.
Рассмотренные выше основные понятия и законы классиче-
ской механики: понятия о материальной точке, о "пространстве и
времени, о силе и массе, понятие об инерциальной системе отсче-
та, законы Ньютона и принцип относительности Галилея — яв-
ляются фундаментом классической механики. Этот фундамент
был построен в результате деятельности многих поколений, был
создан в результате анализа и теоретического обобщения экспе-
риментальных данных. Проверкой правильности основ классиче-
ской механики, ее соответствия природе является сопоставление
выводов теории опять-таки с экспериментом. Так как теория
создается человеком в определенные исторические эпохи с- опреде-
ленными воззрениями и техническими возможностями, то любая
физическая теория является приближенной, ограниченной. В том
числе приближенными, ограниченными являются основные поня-
тия и законы классической механики.
§ 4. Решение уравнений движения и начальные условия
Движение механической системы N материальных точек под-
чинено уравнениям C.5). Если известны массы всех точек и их

44 Основные понятия и законы механики [Гл. I
положения в любой момент времени, то, используя C.5), можно
определить силы как функции времени. Однако несравненно более
трудной задачей является отыскание радиусов-векторов точек как
функций времени, если заданы силы как функции положений то-
чек, их скоростей и времени. В математическом отношении эта
задача является задачей о нахождении общего решения системы
3N дифференциальных обыкновенных уравнений 2-го порядка *.
Это решение будет зависеть от 6N произвольных постоянных и
может быть записано в виде
rl = ri(t,Cl,Ct,...,Cw) (i=l,2, ... ,N). D.1)
Постоянные интегрирования связаны с начальными условиями.
Действительно, пусть нам известно общее решение D.1) и за-
даны начальные положения и скорости точек системы, т. е. зада-
ны rio=ri(^o), v«)=Vi(fo) (t=l. 2, .... N). Дифференцируя D.1) по
времени, получим скорости точек как функции времени и 6N про-
извольных постоянных
v< = v, (t, Clt Сг C6N) (i= 1,2, ... ,N). D.2)
Полагая в системах D.1) и D.2) t = t0, будем иметь
(t=l,2 N). D.3)
Допуская, что система D.3) разрешима относительно постоянных
интегрирования, найдем
С« = Са (t0, г10, га0, ... , rN°, vI0, v20, ... , vjv») (a = 1, 2, ... , 6N).
D.4)
Наконец, подставляя D.4) в D.1), получим общее решение си-
стемы C.5) в виде
ri = ri (t, t0, Г10, Г20, . . . , Tjv», Vlo, V20, . . . , Vjv»)
(t=l,2 N). D.5)
Таким образом, если заданы массы точек, силы, действующие на
точки системы, и начальные условия, то поведение системы опре-
деляется однозначно. В этом проявляется причинная обусловлен-
ность механического движения.
* Здесь и далее предполагается выполнимость математических условий,
при которых решение системы дифференциальных уравнений единственно.

§4]
Решение уравнений движения
45
Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений движения
относительно инерциальной системы отсчета. При этом обратим
внимание на большое значение выбора системы координат, кото-
рый должен отражать особенности заданных сил и начальных
условий. Такой выбор обеспечивает сравнительную простоту реше-
ния задачи.
Пример 4.1. Заряженная частица в переменном электриче-
ском поле.
Заряд е массы m движется между обкладками плоского не-
подвижного конденсатора, где напряженность электрического по-
ля равна
<§ = g0 cos tat
(<§о и о — постоянные величины). В момент времени ? = 0 заряд
находился в положении Го и имел скорость v0 относительно систе-
мы отсчета, связанной с пластинами конденсатора. Найти поло-
жение и скорость заряда в любой момент времени />0.
Из условия вытекает, что на заряд действует сила (см. B.11))
F = е <§0 cos tat,
а уравнением движения является уравнение
/лг = е <§„ cos at.
Сила в любой момент времени
коллинеарна постоянному векто-
ру <§о. Поэтому ускорение и при-
ращение скорости также коллине-
арны (§о. Следовательно, движе-
ние заряда происходит в плоско-
сти, задаваемой векторами <§о и
Vo. В соответствии с этим выбе-
рем систему декартовых коорди-
нат (начало отсчета и орты
должны быть жестко связаны с
конденсатором). Одну из осей
(например, ось Од;) направим
вдоль вектора <§о, а плоскость
z=0 совместим с плоскостью
движения (рис. 4.1). В выбран-
ной системе координат проекции
силы имеют вид Рис. 4.1
Fx = eg0<x»<at, Fy=Fz = Q,
а проекции радиуса-вектора и скорости на ось Oz равны нулю.

46 Основные понятия и законы механики [Гл. I
Проектируя левую и правую части векторного уравнения дви-
жения на оси выбранной системы, получим три дифференциаль-
ных уравнения
nix — е?0 cos at, ту— 0, mz = 0
(подчеркнем, что проекция силы на ось Ох изменяется по гармони-
ческому закону и в соответствии с этим изменяется абсолютная
величина и знак проекции ускорения на ось Ох). В результате
интегрирования уравнений найдем
isin erf+ С1Р * = —^j
z = C3, z = Cst -\- Ce.
Подставляя в эти функции t=0 и используя начальные условия,
получим решение для v(t) и г @ в виде
е Р ' еР
х = -Щ- sin ю* + *«• х == -Щр- A — coserf) + icot + х0,
г = 0, г = 0.
Итак, заряд движется в плоскости, образуемой векторами <§0
и v0 (т. е. в плоскости z=0). Движение вдоль оси О у происходит
с постоянной скоростью, так как сила действует лишь в направ-
лении оси Ох. Движение заряда вдоль оси Ох слагается из дви-
жения по инерции с начальной скоростью х0 и колебания с часто-
той со изменения заданной силы. Усредненная по времени за пе-
риод 2я/(о проекция скорости на ось Ох равна проекции началь-
ной скорости на эту ось, т. е. х — х0. Отметим также, что
изменяющиеся по гармоническому закону составляющие проек-
ций скорости и радиуса-вектора заряда на ось Ох отстают по фазе
от изменения проекции ускорения соответственно на я/2 и я.
В общем случае, когда на материальную точку действует
сила, зависящая только от времени, все три уравнения движения
имеют вид
mx = Fx(t).
Интегрируя это уравнение и учитывая начальные условия,
найдем общее решение в квадратурах

§ 4] Решение уравнений движения 47
t t
^ t + xa(t-t0)+x0.
Для других проекций скорости и радиуса-вектора результаты ана-
логичны.
Пример А.2.3адача о пространственном осцилляторе.
На точку массы m действует сила, направленная к неподвиж-
ной точке О и пропорциональная расстоянию между этими точ-
ками (коэффициент пропорциональности и). Найти уравнение
траектории материальной точки, а также ее радиус-вектор и ско-
рость как функции времени, если в момент времени ^=0 она нахо-
дилась в положении Го относительно системы отсчета с началом в
точке О и имела скорость v0.
Уравнением движения в рассматриваемой системе отсчета
является уравнение
/иг = — хг.
Таким образом, в любой момент времени ускорение (и прираще-
ние скорости) коллинеарно вектору г, а движение точки происхо-
дит в плоскости, определяемой векторами г0 и v0. Действительно,
если t=0, то приращение скорости коллинеарно вектору г0
(см. рис. 1.7), и поэтому в момент времени, бесконечно близкий
к начальному моменту, точка будет находиться в указанной пло-
скости. Аналогично рассматривая последующие приращения
радиуса-вектора и скорости точки, можно прийти к выводу о ее
движении в плоскости, определяемой начальными условиями.
В связи с этим плоскость Оху декартовой системы координат
целесообразно совместить с плоскостью движения.
Проектируя левую и правую части уравнения движения на
оси Ох и Оу, придем к системе уравнений
х + &Ч = 0, у+ аРу = 0,
где со2 = х/пг. Общее решение этой системы уравнений имеет вид
х = Сх cos at + С2 sin at,
у = С3 cos (at -f- C4 sin (at.
Дифференцируя его по времени, получим
х — — и Сг sin at -f- ю С2 cos at,
у = — со Cs sin at + со C4 cos со?.
Полагая в последних четырех функциях ( = 0 и используя началь-
ные условия, найдем

48 Основные понятия н законы механики [Гл. I
„ /-» хо /-> ., с -- У°
1 — Ло> Ь2 — м > "-^з — Уо< W — @ "
Общее решение можно записать также в виде
х = ах cos (ю/ + ах), у — а2 cos (co^ -f a2),
где аь а2, аь а2 — произвольные постоянные. Из полученных реше-
ний следует, что в направлении осей Ох и Оу точка совершает
гармонические колебания с частотой со, амплитудами Яь а2
и фазами аь а2 соответственно. Амплитуды и фазы выражают-
ся через начальные положение и скорость точки; например,
, 'xl V'. .
Запишем г/(^) в следующей форме:
# = аа cos (cat + ax + 6),
где разность фаз б = аг—аь и возведем в квадрат правые и
левые части функций *(^), y(t), представленных в виде, удобном
для исключения времени:
-^- = co&(at + «j),
— cos (ш^ + ах) cos б = — sin (at -\- aj.
in 5 [a, J
sin
Складывая результаты возведения в квадрат, получим уравнение
траектории
а\
Итак, под действием силы — хг материальная точка движется
по эллипсу с центром в неподвижной точке О, к которой в любой
момент времени направлена сила. Плоскость эллипса определяет-
ся начальными условиями, этими же условиями определяются
величины полуосей эллипса (аи а2) и его ориентация в плоскости
движения (т. е. разность фаз б).
В общем случае, когда сила зависит только от положения
точки, а каждая декартова проекция силы зависит только от
соответствующей проекции радиуса-вектора, уравнения движения
имеют вид
= Fx(x), niy = Fe{y), mz = FJz).

§ 4]
Решение уравнений движения
Общее решение этих уравнений может быть получено в квадрату-
рах. Например, умножая обе части первого уравнения на dx и учи-
тывая, что
получим
х dx — —4- dx — х dx,
xdx = — Fx (x) dx.
m
m
Интегрируя это уравнение, найдем х(х):
X
!— f Fx{x)dx
К т J
х=
(здесь выбирается тот знак, который имеет х при х=х0), а раз-
деляя в последнем уравнении переменные t, x и интегрируя еще
раз, получим t(x):
t-to=±
dx
Of"
Fx(x)dx-\-x
Пример 4.З. Движение в однородном поле тяжести при нали-
чии силы сопротивления.
Пусть достаточно малое невращающееся тело массы m дви-
жется в однородном поле тяготения напряженности g вблизи по-
верхности Земли. Кроме того, среда, покоящаяся относительно
Земли, действует на тело с си-
лой, пропорциональной его
скорости относительно Земли
(коэффициент пропорциональ-
ности k). Найти положение и
скорость тела как функции
времени.
Выберем систему отсчета,
жестко связанную с Землей, и
будем считать эту систему
инерциальной, что с опреде-
ленной степенью точности до-
пустимо (см. пример 20.1).
Сила, действующая на тело, Рис. 4.2
слагается из постоянной силы
притяжения mg и силы сопротивления среды — k\, где v •— ско-
рость тела (см. B.12)). Следовательно, ускорение в любой момент

50 Основные понятия и законы механики [Гл. I
времени лежит в плоскости, определяемой векторами g, v0; в этой
же плоскости будет двигаться тело (рис. 4.2). Учитывая данное
обстоятельство, одну из координатных плоскостей (например, Oyz)
совместим с плоскостью движения, а ось Oz направим вверх по
вертикали.
Уравнение движения точки имеет вид
тх = mg —kr,
тде г — радиус-вектор, определяющий положение тела. Проекти-
руя левую и правую части уравнения движения на координатные
оси указанной выше системы отсчета, найдем, что
m \ tng
Интегрируя эти уравнения и используя начальные условия, полу-
чим решение для проекций скорости
г==
y — v0cos aoe
\ mg
(в качестве начальных условий здесь взяты не г/о и г0, а модуль
•скорости v0 и угол ссо между начальной скоростью и осью Оу).
Интегрируя второй раз, получим общее решение задачи в виде
— — t
m
k- \ mg J k
Рассмотрим следующие частные случаи. Пусть */о=О и <хо =
= +л/2, т. е. начальная скорость направлена вверх. Тогда началь-
¦ное ускорение z0 = —g(l Ч 20)<:0, т. е. будет направ-
\ mg J
лено вниз. С возрастанием времени (как видно из решения) ус-
корение, оставаясь отрицательным, стремится к нулю, так как
-сила сопротивления в конце концов компенсирует силу притяже-
ния. Установившаяся скорость падения оказывается равной
— (mg/k). Если начальная скорость направлена вниз (уо = О,
ао=—я/2), но 1201 < (mg/k), то опять zo<O.
Если же начальная скорость направлена вниз, а \zo\>(mg/k),
то начальное ускорение направлено вверх. Сила сопротивления в
этом случае направлена вверх и по величине больше, чем сила

§ 4] Решение уравнений движения 51i
притяжения. В последующие моменты времени ускорение, остава-
ясь положительным, стремится к нулю; соответственно скорость.
стремится к предельной скорости падения.
Пусть теперь уофО, 2о>О и ао заключено в пределах: либо
0<ао<л/2, либо (я/2)<ао<я. Тогда в начале движения (при t,
очень близком к t=0) z>0, а для достаточно больших t z<0.
Следовательно, в течение некоторого времени тело будет подни-
маться, а затем начнет падать. Время подъема определим, пола-
гая ? = 0:
Из функций y(t) и z(t) легко отыскать координаты точки в тог
момент, когда она достигает максимальной высоты. Действитель-
но, полагая в этих функция t — ^_0, найдем
У (^о) =
trig
а0) +
sin а0) + z0.
Уравнение траектории z(y) получим, исключая время из функции:
г(?) с помощью функции y{t):
/ k \
I 1 + uosinao I
\ m8 J
v0 cos a0
—— g in i — z0.
k* . myocosa0 J
Для наглядности рассмотрим предельные случаи, когда можно считать, что.
()/1 или (A/m)f<Cl. Если тело в начальный момент находится достаточно.
высоко над поверхностью Земли, то время полета (до падения на поверхность.
Земли) может быть достаточно велико (рис. 4. 3, а); тогда в конце полета будет-
выполняться условие (fe/m)/»l. Устремляя f-H-oo, получим предельные ъш~
чения y(t), y\t),z\t):
¦ mg
/0 z
Эти величины дают приближенные значения дальности полета и проекций ско-
рости в момент падения тела на поверхность Земли.
Если время полета достаточно мало, то выполняется условие (&/m)/<Sl.
Предполагая, что сила сопротивления среды мала по сравнению с силой притя-
жения тела Землей, и разлагая интересующие нас функции в ряды по малым
величинам, получим приближенные решения. Пусть, например, в начальный
момент времени тело находится на поверхности Земли и требуется вычислить.

52
Основные понятия и законы механики
[Гл. I
время полета t\, дальность у\ и квадрат скорости тела в момент его падения
ла поверхность Земли (рис. 4.3, б). Полагая z=Zo=O в функции z(t) и разла-
Траектория
. ^ прик-0
Рис. 4.3
гая ее по степеням (k/m)t, а также имея в виду, что (feyo/mg)<l, получим
¦приближенное значение для времени полета
2t,osinao
mg
"Полагая t=tx в функции y(t) и считая величины, пропорциональные к, малыми,
майдем приближенное значение для дальности полета
(-
mg
Наконец, полагая t=tx в функциях y(t) и z(t), получим приближенное значение
квадрата скорости тела в момент его падения на поверхность Земли
Приближенное уравнение траектории найдем с помощью разложения функции
¦г(у) в ряд по величинам, содержащим k:
=(У— У о) tg «о
i>g cosa a0
' (У—У оJ —
¦{У-У оK-
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае траектория весьма близка к пара-
«боле. Устремляя k-*Q либо в уравнениях движения, либо в решениях, получим
¦описание движения точки в однородном поле тяготения.
В общем случае, когда сила является функцией только ско-
рости точки, причем каждая декартова проекция силы зависит
лишь от соответствующей проекции скорости, уравнения движе-
ния имеют вид
= Fx (х), ту = F (у), mz = Fz (z).

§ 4] Решение уравнений движения 53
Общее решение этих уравнений может быть получено в квадрату-
рах. Например, возьмем первое уравнение движения. Так как
х= .dx , то сразу видно, что переменные tax разделяются и
соответствующий интеграл равен
т'с dx
Г ¦
Если отсюда можно выразить х как функцию от /, то можно было
бы найти в квадратуре x(t), т. е.
= х0
yX{t)dt.
Отметим еще один прием интегрирования указанного типа урав-
нений. Умножая обе части уравнения движения на dx и имея в
виду, что xdx=xdx, получим зависимость х(х):
х = хлА-т' 'xdx
\
Аналогично интегрируются и остальные уравнения движения.
Пример 4.4. Движение заряженной частицы в постоянных
однородных электрическом и магнитном полях.
Теория движения заряда в электромагнитных полях имеет
большое значение в современной физике: она играет важную роль
в исследованиях плазмы, в ускорительной технике, в астрофизике
и т. д.
Рассмотрим сначала поведение заряда в постоянном однород-
ном электрическом поле напряженности &. Уравнение движения
и его решение в векторной форме имеют вид
mr — её,
m
(здесь r0, v0 — начальные значения радиуса-вектора и скорости
заряда). Отсюда следует, что заряд движется ускоренно в нап-
равлении вектора <§ и по инерции в направлении, перпендикуляр-
ном к <§, а траекторией точки является парабола. Эти основные

54
Основные понятия и законы механики
[Гл. I
черты рассматриваемого движения будут лучше видны, если спро-
ектировать левую и правую части векторного решения на оси де-
картовой системы координат, выбранной так, чтобы ось Ох была
параллельна вектору <§, а ось Оу была расположена в плоскости
движения, определяемой векторами & и v0. Тогда
х =
о. У =
Уо> z =
Исключая из этих функций время, найдем уравнение траектории
Уо
Измеряя элементы этой траектории,
можно получить значение величин
/.2
е/туо и хо/уо.
Движение заряда в постоянном
однородном магнитном поле напря-
женности Ж подчиняется векторно-
му уравнению (см. B.10) и C.4)):
Рис. 4.4
Для решения этого уравнения выбе-
рем декартову систему координат
с осью Oz, параллельной Ж (рис.
4.4). В такой системе сила Лоренца
имеет вид
F= —
х у z
О О Ж
(упх — хп),
а уравнениями движения являются уравнения
где со =
еЖ
тс
— так называемая циклотронная частота.
Интегрируя эту систему один раз и учитывая начальные условия,
найдем
г/0) -

¦§ 4] Решение уравнений движения 55
Подставляя функцию у(х) в первое из уравнений движения, полу-
чим
х-\-а>2(х — х0) =щ0.
Это уравнение гармонических колебаний с постоянной правой
частью имеет общее решение вида
х = х0 + — a cos (at -j- a).
Отсюда дифференцированием найдем выражение для проекции
скорости на ось Ох:
х = аа sin (at -j- a).
Используя функции x(t) и x(t), определим постоянные а и а:
*» = — $+$'/., tga^^
<° Уо
[sin а = ., *.° ,. , cosa= .„ Уо.„ ,.
Затем, подставляя решение x(t) в полученную выше функцию х(у),
найдем y(t):
У = Уо — -$- + a sin (at + a),
откуда следует, что
у = axucos(at + a).
Наконец, исключая время из функций x(t) и y(t), придем к вы-
воду, что проекция материальной точки на плоскость, перпенди-
кулярную Ж, движется по окружности
где Х(у = х0 + -^-, Уо' = у0 — -J-- Радиус а этой окружности
определяется удельным зарядом elm, напряженностью магнитного
поля Ж и проекцией начальной скорости на плоскость, перпенди-
кулярную вектору напряженности Ж (величина радиуса а не за-
висит от начального положения заряда). Центр указанной ок-
ружности определяется взятыми в начальный момент времени
проекциями радиуса-вектора и скорости заряда на плоскость
Оху, т. е. величинами х0, г/о, хо, уо, а также циклотронной часто-
той со. В направлении оси Oz точка движется по инерции со ско-

56
Основные понятия и законы механики
[Гл. 1
ростью г0. Следовательно, траекторией точки является винтовая
линия с постоянным шагом 20Bл/ш).
Из решения видно, что величина проекции скорости на плос-
кость Оху постоянна; .остается постоянным и модуль скорости
точки. Дифференцируя x(t) и y(t) по времени, получим проекции
ускорения как функции времени
х = а (о2 cos (out -fa), у = — аи2 sin (at ~ a),
а выразив их через хну, найдем
х=—аР(х — х0-), у = — (о2 (г/ — у0-).
Из приведенных соотношений, а также из того, что проекция
ускорения на ось Oz равна нулю, следует, что абсолютная вели-
чина ускорения заряда является постоянной:
w= аи2 = и
г/о )
Jft
а вектор ускорения направлен все время перпендикулярно к оси
воображаемой цилиндрической поверхности радиуса а, на кото-
рую навивается траектория заряда.
Отметим важное свойство ф о-
кусировки рассматриваемого
магнитного поля. Оно проявляется
в том, что частицы с одинаковым
удельным зарядом и одинаковым
начальным положением, но с раз-
личными начальными скоростями,
перпендикулярными Ж , приходят в
одно и то же положение через пе-
риод времени 7=2я/со.
Теперь рассмотрим движение
заряда во взаимно перпендикиляр-
ных электрическом и магнитном по-
лях с напряженностями 6 и Ж
[14, стр. 245—248]. Если начальная
скорость v0 заряда перпендикуляр-
на & , то его движение будет пло-
ским, поскольку приращение скоро-
сти в начальный и последующий моменты времени лежит в плос-
кости, определяемой векторами v0 HF0=e<§ + —[v03^] (см. B.10)).
С
В связи с этим ось Oz направим вдоль вектора Ж, а ось Ох вдоль
6 (см. рис. 4.5, где е<0).
Уравнение движения заряда
Рис. 4.5

^ 4] Решение уравнений движения 57
в выбранных декартовых координатах принимает вид
А=Ю(/Г-^-, у = —(ОХ,
где со = . Интегрируя эту систему по аналогии с предыдущим
случаем, находим
х — Л'о -j ( у0 — I — a cos (<ut 4- а),
ш \ Ж ,I
О
х0 с э
У = У о ~t + а sin
°> Ж
где
Для проекций скорости и ускорения соответственно имеем
х = та sin (tot 4- а), х = аР-а cos (ю? 4- а),
у = — ——г со а cos (со^ 4 а), «/ = — ©2а sin (co^ -f- а).
Уравнение траектории (циклоиды) запишем в виде
где
Отсюда видно, что движение заряда происходит в полосе, ле-
жащей в плоскости Оху, и может быть наглядно представлено
как равномерное вращение заряда с постоянной угловой скоро-
стью со по окружности радиуса а, центр которой движется парал-
лельно оси Оу с постоянной скоростью — (рис. 4.6). Сущест-
венно, что со зависит от отношения еЖ I'm и не зависит от началь-
ных условий, а скорость центра указанной окружности зависит
лишь от отношения напряженностеи полей ?>1Ш и, следовательно,
одинакова для частиц с различными удельными зарядами е/т и
различными начальными условиями. Ширина полосы, в которой

58
Основные понятия и законы механики
[Гл. 1
происходит движение заряда, равна 2а. Она зависит от удельного
заряда, напряженностей полей, начальной скорости и не зависит
от начального положения ввиду однородности полей.
Рис. 4.6
Рассмотренное движение заряда в направлении вектора
с постоянной в среднем скоростью называют дрейфом
заряда. Средние значения проекций скорости и ускорения за
период Г=2я/со соответственно равны
х = 0, у = -
Ж
Кстати отметим, что абсолютная величина ускорения отлична от
нуля и равна
\е\Ж
w = I а I ю2 =
тс
Ж
а вектор ускорения направлен все время к центру «образующей»
окружности.
Изучаемые поля обладают важным свойством фокусировки.
Дело в том, что ни частота со, ни скорость дрейфа
Р>
— с не зависят от начальных условий. Поэтому расстоя-
ж
ние / между двумя последовательными вершинами циклоиды,
равное произведению величины скорости дрейфа на период 7\
также не зависит от начальных условий:
Ж
Следовательно, частицы с одинаковым удельным зарядом и оди-
наковым начальным положением, но с различными начальными

§ 4] Решение уравнений движения 59
скоростями, перпендикулярными к Ж, будут приходить в одно и
то же положение через периоды времени Т.
Рассмотрим детальнее явление дрейфа заряда. С этой целью
перенесем начало координат в начальное положение заряда, а на-
чальную скорость направим перпендикулярно плоскости полей,
т. е. положим, что хо=уо=О и л:0=0. Такой выбор начальных ус-
ловий по существу не вносит ограничений, поскольку, изменяя
начало отсчета времени t0, всегда можно добиться того, чтобы
л'о = О. Подставляя выбранные начальные условия в общее реше-
ние, получим
с •?
х = а A — cos <at), у = 1 ~\- a sin <at,
Ж
где
« = — ( У о '
Ж
Возьмем для определенности отрицательный заряд е<0 и поло-
жительно направленную начальную скорость уо>О. Учитывая, что
при этом со<О и а<0, вычислим х, у, х, у, х, у при значениях ар-
гумента ю/ = 0, —я/2, —я я, —2я (на рис. 4.6 эти точки
обозначены 0, 1, 2, 3, 4 соответственно, а в каждой из этих точек
изображены скорость v, сила её, сила F^=—[\Ж] и сумма
С
этих сил F). В результате мы увидим, что на участке траектории
О—/—2 электрическое поле разгоняет заряд от скорости, равной
Уо, до скорости максимальной величины у0 -Ь 2с (§/Ж)- Одновре-
менно магнитное поле, искривляя траекторию, поворачивает ско-
рость настолько, что в положении 2 она становится антипарал-
лельной начальной скорости; при этом сила ?ж оказывается нап-
равленной по вектору <§, а по величине превосходит силу её (так
как скорость в положении 2 достаточно велика). В связи с этим
на участке траектории 2—3—4 появляется составляющая скоро-
сти, направленная против силы её; происходит торможение заря-
да электрическим полем, а магнитное поле продолжает искривлять
траекторию; скорость заряда в точке 4 достигает минимальной
величины уо и поворачивается до направления начальной скорости..
Из этой картины движения следует, что на участке траектории 1—
2—3 величина средней скорости движения заряда в направлении,
перпендикулярном плоскости полей, больше, чем на участках 0—/,

60
Основные понятия и законы механики
[Гл. I
3—4. В самом деле, легко подсчитать, что средние значения про-
екции скорости на участке /—2—3 соответственно равны
х = 0, у = aw,
Ж я
а на участках 0 — /, 3—-4
ж
2
— aw.
л
Аналогично возникает дрейф частицы и при других значениях на-
чальной скорости (см. рис. 4.7, на котором изображены все воз-
(а>0)
можные случаи траекторий отрицательного заряда, если
*о = г/о=О и .го=О).
Исследуем движение заряда в постоянных однородных элект-
рическом и магнитном полях с произвольной ориентацией векто-
ров &, д? и v0. Направляя ось Oz вдоль Ж, а ось Ох в одной
из плоскостей, определяемых векторами <§ и Ж, убедимся, что
движение проекции материальной точки на плоскость Оху описы-
вается полученными ранее уравнениями с той разницей, что роль
величины § играет fix — проекция & на ось Ох, а движение
проекции точки на ось Oz будет равноускоренным и определится
проекцией напряженности электрического поля §z. Таким обра-
. зом, обшее решение имеет вид
л- = л'о
О)
У о
ж
— a cos (оэ/ — а),

§ 4] Решение уравнений движения 6В
±l*
м Ж
t + a sin (со* -г а),
где
В этом случае движение заряда может быть наглядно представ-
лено как его равномерное вращение с угловой скоростью to по
окружности радиуса а, плоскость которой все время остается
перпендикулярной напряженности Ж, а центр движется с постоян-
ной скоростью -с °х в направлении вектора \&Ж] и равно-
Ж
ускоренно вдоль Ж. Следовательно, траекторией заряда является
некоторая винтовая кривая, вьющаяся около параболы с осью„
параллельной напряженности магнитного поля.

Глава II
ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА,
КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА И ЭНЕРГИИ
В первой главе было показано, что задача о движении одной
точки имеет общее решение для сравнительно широкого класса
сил (см. примеры 4.1, 4.2 и 4.3). Задача о движении двух точек
также имеет общее решение в квадратурах при достаточно общих
предположениях о силе взаимодействия между точками (см. § 12).
Однако отыскание общего решения задачи трех и более точек при
достаточно общих предположениях о силах взаимодействия встре-
чает непреодолимые трудности *. В связи с этим общие теоремы,
справедливые при любом числе материальных точек, приобретают
громадное значение. Такими универсальными теоремами являют-
ся законы изменения и сохранения импульса, кинетического мо-
мента и энергии. Рассмотрим эти законы для механических сис-
тем свободных точек (см. стр. 28), или, кратко говоря, для сво-
бодных систем.
§ 5. Законы изменения и сохранения импульса
и момента импульса материальной точки
Из дальнейшего будет ясно, что законы сохранения импуль-
са, кинетического момента и энергии приводят к так называемым
интегралам движения. Интегралом движения называется
такая функция времени, координат и скоростей точек, которая
при движении механической системы сохраняет постоянное зна-
чение, определяемое начальными условиями. Таким образом, ин-
теграл движения определяет соотношение вида
/(/, гь г2, ... , tN, v,, v2 vw) = C E.1)
между радиусами-векторами и скоростями точек системы. Функ-
* В настоящее время частные решения задачи трех тел находятся с по-
мощью методов вычислительной математики.

§ 5] Сохранение импульса и момента импульса точки 63.
ция / сохраняет постоянное значение при любых начальных усло-
виях, а значение постоянной С фиксируется, если начальные усло-
вия заданы, т. е.
f(t, ru г2, ... , rN, v1( v2, ... , vN) = С0, E.2>
где
Со ~ /(^0. Г10> Г20> • • • > rN0, VJ0, V20, • • • , Vjvo).
Интегралы движения, содержащие скорости точек, называют-
ся первыми интегралами. Вторыми интегралами
называются такие функции времени, координат точек и произ-
вольных констант, которые при движении системы сохраняют
постоянные значения.
Если известны QN независимых первых интегралов движе-
ния
fa(t, ru г2, ... , rN, v1( v2, ... , \N) = Ca E.3>
(a= 1,2, ... , 6Л0,
то уравнения движения C.5) механической системы можно счи-
тать проинтегрированными, поскольку соотношения E.3) опреде-
ляют радиусы-векторы и скорости точек системы как функции
времени и QN произвольных постоянных. Соответственно зна-
ние s независимых первых интегралов дает возможность пони-
зить порядок системы уравнений движения на 5.
Рассмотрим связь законов сохранения со свойствами сил на
примере одной точки, движущейся относительно определенной
инерциальной системы отсчета.
Закон изменения импульса материальной-
то ч к и совпадает со вторым законом Ньютона. Действительно,,
импульсом точки р называется произведение массы точки m
на ее скорость v (часто эту величину называют количеством
движения). Поскольку масса точки постоянна, то из уравне-
ния C.4) получаем закон изменения
p = F. E.4>
На основании E.4) можно утверждать: если проекция силы на
некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна ну-
лю, то проекция импульса на ту же ось сохраняется; например,,
если Fz=0, то
Если проекции силы на две фиксированные оси равны нулю, то-
получим два интеграла. Например, пусть на точку действует сила
тяжести mg. Так как вектор g постоянен, то проекции силы на
оси, перпендикулярные этому вектору, равны нулю в любой мо-

64 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. И
мент времени. Следовательно, проекции импульса (и скорости) на
оси, перпендикулярные g, сохраняются, т. е. х = х0, у=уо (ось Oz
направлена вдоль вектора g). Наконец, если сумма сил, действую-
щих на точку, равна нулю (F=0), то
Р = Ро, E.6)
т. е. имеет место закон сохранения импульса точки.
Отметим: если проекция силы на подвижную ось равна нулю,
то отсюда не вытекает сохранение проекции импульса на эту ось.
Пусть, например, проекция силы на координатную ось (р) равна
нулю. Спроектировав на эту ось обе части уравнения C.4) (или
E.4)), найдем, что
= Fp.
Левая часть этого уравнения (согласно A.20)) 'равна
рр — 2
где рр = тр и является проекцией импульса точки на ось (р). Та-
ким образом, если Fp — 0, то это не означает, что рр сохраняется.
Закон изменения момента импульса точки
является следствием второго закона Ньютона. Действительно,
умножая E.4) векторно слева на радиус-вектор точки г, получим
Правая часть этого уравнения называется моментом силы L.
Левую часть (используя определение импульса и очевидное ра-
венство i[vv] = 0) можно представить в виде
rrp] = ^L,
где M=[rp] — момент импульса точки. В результате най-
дем, что производная момента импульса материальной точки по
времени равна моменту силы, действующей на эту точку,
М = L. E.7)
Отсюда следует: если проекция момента силы на некоторую
неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то про-
екция момента импульса точки на ту же ось сохраняется; напри-
мер, если L- = 0, то
Мг = Мг0. E.8)
Подчеркнем, что момент силы (или его проекция) может рав-
няться нулю не только в том случае, когда сила равняется нулю.

§ 5]
Сохранение импульса и момента импульса точки
65
Пусть, например, задана сила, направление которой постоянно.
Направляя координатную ось Oz коллинеарно силе, на основании
E.8) найдем (рис. 5.1,а)
F — F — О F =?0-
LxФО, ЬуфО, LZ = xFv — yFx = 0; E.9)
Мг = in (xy — ух) = Мг0.
Таким образом, проекция момента импульса точки на направле-
ние силы сохраняется, что дает один первый интеграл движения.
Теперь рассмотрим силу (рис. 5.1,6), линия действия которой все
М=М„
время пересекает неподвижную ось под прямым углом (линией
действия силы называется прямая, на которой расположен
этот вектор). Выбирая неподвижную ось за ось Oz, на основании
E.8) получим
E.10)
Следовательно, проекция момента импульса точки на неподвиж-
ную ось сохраняется и дает также один первый интеграл*, тогда
как из равенства Lp нулю не следует постоянство Мр, по-
скольку орт пр сам зависит от времени.
В физических приложениях очень распространен случай
центральной силы, т. е. силы, линия действия которой все
время проходит через некоторую неподвижную точку — центр
* Случаи E.9) и E.10) являются частными случаями более общего, когда
линия действия силы все время пересекает неподвижную прямую под любым
углом.
3 И. И. Ольховский

66
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл. II
силы. Выбирая эту точку за начало координат (рис. 5.1,в), най-
дем
F = Frnr, L = 0t E.11)
М = m[t v] = Мо.
Таким образом, момент импульса точки относительно центра силы
сохраняется. Однако между тремя проекциями момента импульса
имеется очевидная зависимость:
Mv == т [rv] v = О,
E.12)
поэтому из полученных трех первых интегралов независимы лишь
два.
Под действием центральной силы точка всегда движется по
плоской траектории. Это видно как из уравнения движения (см.,
в частности, пример 4.2 на стр. 47), так и из второго интеграла
m [rv] r = Мог = 0.
E.13)
Плоскость траектории проходит через центр силы и перпендику-
лярна постоянному моменту импульса точки; положение этой плос-
кости определяется начальными условиями, так как
Мо = т [rev0].
Во всех отмеченных слу-
чаях для выявления сохраняю-
щихся величин важен такой
выбор системы координат, ко-
торый учитывает особенности
сил. Только в случае изолиро-
ванной точки не существенно,
где поместить начало коорди-
нат и как направить оси, по-
скольку силы, действующие на
точку, отсутствуют (F = 0); в
этом случае
М„, E.14)
Рис. 5.2
т. е. имеет место закон сохранения момента импуль-
са точки.

§ 6] Сохранение энергии точки 67
Для более наглядного представления о сохранении момента
импульса выразим уравнение E.7) через секторную скорость о
(см. A.11) и рис. 1.3,6). Тогда получим
2ma = L, E.15)
откуда вытекает, что равенство Mz=Mzo можно записать в виде
az = a20. E.16)
Это значит, что проекция радиуса-вектора точки на плоскость^
перпендикулярную оси Oz, описывает одинаковые площади за лю-
бые одинаковые интервалы времени (рис. 5.2). По этой причине
интеграл E.16) часто называется интегралом площадей.
§ 6. Законы изменения и сохранения энергии
материальной точки
Закон изменения кинетической энергии точки получим, умно-
жая обе части уравнения движения C.4) скалярно на перемеще-
ние точки dr:
mv dr = F dr.
Правая часть этого уравнения называется элементарной ра-
ботой dA силы F на перемещении dr, а левая часть
равна дифференциалу от кинетической энергии. В последнем мож-
но убедиться, используя определение скорости A.9) и известное
утверждение о том, что скалярное произведение вектора на его
приращение равно произведению модуля вектора на приращение
этого модуля*:
dv
т dr = m\ dv = mvdv = dT,
dt
где T = mv2l2 — кинетическая энергия точки. В ре-
зультате получаем, что дифференциал кинетической энергии точки
* Действительно, по определению скалярного произведения для любого
вектора а имеем
а da. = а | da | cos (а, da).
Но приращение модуля вектора равно
di = | da | cos (a, da),
следовательно,
a da = a da.
3*

68 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
равен элементарной работе действующей на точку силы:
dT = dA. F.1)
Разделив F.1) на dt и определив мощность силы как отно-
dA .
шение , получим другую форму закона изменения
dt
кинетической энергии, а именно: производная кинетиче-
ской энергии точки по времени равна мощности силы, действую-
щей на точку:
Г-=—. F.2)
dt K
Следует иметь в виду, что элементарная работа dA не всегда
dA
является полным дифференциалом, а мощность — полной
dt
производной скалярной функции по времени.
Потенциальные силы. Как предполагалось выше, сила
является заданной функцией положения, скорости точки и време-
ни. Поэтому, не зная закона движения точки (т. е. функции r(t)),
нельзя вычислить работу на конечном перемещении точки. Для
вычисления конечного изменения кинетической энергии в общем
случае нужно знать решение уравнений движения. Однако для
весьма широкого класса сил можно, не зная решения уравнений
движения, найти изменение кинетической энергии. Такими силами
являются потенциальные силы.
Понятие о потенциальных силах тесно связано с понятием о
силовом поле, которое рассмотрим на примере электростати-
ческого поля. Известно, что сила, с которой неподвижный заряд
2 действует на заряд /, может быть записана в виде
где <§2 = е2 -?— (здесь начало координат совмещено со вторым
зарядом, см. B.9)). В этом выражении вектор <§2 не зависит от
величины заряда в\. Поэтому становится возможным следующее
представление о силе: заряд 2 — источник силы — порождает
силовое поле, которое в каждой точке пространства имеет опреде-
ленную напряженность <§2 независимо от того, присутствует
ли в этой точке пространства другой заряд — объект воздейст-
вия — или нет; если такой заряд имеется, то на него действует
поле с силой, равной произведению этого заряда на напряженность
поля в месте нахождения этого заряда. Таким образом, силовое
поле можно задать с помощью напряженности поля или силы как
функций точки пространства.

¦§ 6] Сохранение энергии точки 69
Силовое поле называется потенциальным, если его напряжен-
ность удовлетворяет требованию, которое для рассматриваемого
:примера имеет вид
rot<S2(r) = e2rot(r/r3) = 0
(дифференциальная операция «ротор» производится по коорди-
натам точки пространства). Соответственно силу называют потен-
циальной, если она зависит только от координат и удовлетворяет
требованию
rotF(r) = 0. F.3)
Учитывая, что векторная функция, удовлетворяющая требова-
нию F.3), всегда может быть выражена через градиент некоторой
¦скалярной функции Ц от положения точки, потенциальную силу
можно представить в виде
F = — grad?/(r). F.4)
Элементарная работа потенциальной силы будет полным диффе-
ренциалом*:
dA = — vf/dr = — dU. F.5)
Отсюда вытекает, что работа на конечном перемещении точки из
.положения г0 в положение Г! равна определенному интегралу:
F.6)
<г„)
(здесь и далее предполагается, что U — однозначная функция).
Итак, работа потенциальной силы равна разности значений функ-
ции U в начальном и конечном положениях материальной точки
и не зависит от формы траектории, по которой движется точка.
Скалярную функцию U называют потенциальной энергией
точки, т. е. энергией, зависящей от расположения точки в потен-
циальном силовом поле. Из F.5) и F.4) видно, что потенциаль-
ную энергию можно найти по заданной потенциальной силе с по-
мощью неопределенного интеграла:
U = — JFdr + C F.7)
* Здесь и далее градиент записывается с помощью векторного дифферен-
циального оператора «набла», который в декартовых координатах имеет вид
V = пх ~Т— + пу —— + пг
дх ду
д
Т + пу + пг
дх ду dz

70 Законы изменения импульса, момента н энергии (Гл. II
(здесь С — постоянная, определяющая «нулевой уровень» потен-
циальной энергии; выбор такого уровня произволен и не влияет
на значение силы и работы этой силы).
Приведем ряд примеров. Пусть сила перпендикулярна к непо-
движной плоскости и является функцией расстояния от этой плос-
кости. Такая сила потенциальна, поскольку она удовлетворяет ус-
ловию F.3). Если координатную ось Oz направить вдоль силы,,
т. е. перпендикулярно к указанной плоскости, то найдем
F = F(z)n2, Fdr = F(z)dz, U = — jF {z)dz -f С F.8)
В частности, напряженность & поля равномерно заряженной бес-
конечной плоскости постоянна по величине и направлена перпен-
дикулярно этой плоскости C6, гл. I, § 4]. Совмещая координат-
ную плоскость Оху с заряженной плоскостью, получим следую-
щие выражения для силы и элементарной работы:
F = е g пг, dA = ei dz, F.9)
Для потенциальной энергии заряда и работы силы электростати-
ческого поля на конечном перемещении заряда соответственно на-
ходим
2,
U=— egz + C, A = — j" dU = eg{zl — z0). F.10)
Отсюда видно, что работа силы по перемещению точки с плоско-
сти z=Zq на плоскость z=Z\ не зависит от формы траектории
(каждая из указанных плоскостей представляет собой экви-
потенциальную поверхность, т. е. поверхность, в каждой
точке которой потенциальная энергия имеет одно и то же зна-
чение).
Рассмотрим силу, величина которой зависит от расстояния до
неподвижной прямой, а линия действия которой проходит через
эту прямую перпендикулярно к ней. Поле такой силы потенци-
ально, поскольку условие F.3) выполняется. Если ось Oz совме-
стить с осью симметрии поля, то в цилиндрических координатах
будем иметь
= JF(p)np, dA
F.11)
|

§ 6] Сохранение энергии точки 71
В качестве частного примера можно взять электростатическое по-
ле равномерно заряженной бесконечной прямой. Как известно,
сила, действующая на заряд е со стороны такого поля, равна
F=e —np, F.12)
Р
где х — заряд, приходящийся на единицу длины [36, гл. I, § 4].
Подставляя F.12) в F.11), получим
(-^-). F.13)
Рв У
В данном примере эквипотенциальными поверхностями являются
коаксиальные цилиндры с осью, совпадающей с заряженной пря-
мой, а работа, совершаемая над зарядом при его движении по
любому пути между двумя такими поверхностями, будет одной и
той же.
Наконец, приведем случай центральной силы, являющейся
функцией расстояния от центра силы. Совмещая начало коорди-
нат с центром силы и используя сферические координаты, запишем
силу в виде
F = F(r)nr. F.14)
Непосредственной проверкой убедимся в потенциальности силы
F.14); при этом интересующие нас выражения будут определять-
ся следующими формулами:
dA = F(r)dr, U=~ \F(r)dr~C, A=\F(r)dr. F.15)
r.
Например, если
U = -ii^- + С, !A = eieJ— -Y F.16)
В этом примере поверхностями равного потенциала являются
сферы с центром, совпадающим с неподвижным зарядом (см.
стр. 68.
Во всех рассмотренных случаях сила являлась стационар-
ной, т. е. явно от времени не зависела. Это означает, что при
фиксированном положении точки ее потенциальная энергия не из-
.меняется со временем, т. е. частная производная = U. Од-
dt

72 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
нако если точка перемещается, то ее потенциальная энергия будет
изменяться. Такое изменение характеризуется полной производ-
ной*:
dt v dt
(здесь г является радиусом-вектором материальной точки). В при-
веденных примерах (см. F.10), F.13), F.16)) полная производ-
ная ОфО.
Сила, явно зависящая не только от положения, но и от вре-
мени, также может удовлетворять условию потенциальности F.3)
(в этом случае сила называется нестационарной потен-
циальной силой). Тогда выражение F.4) также имеет место,
а потенциальная энергия определяется по заданной силе интегра-
лом F.7), причем интегрирование производится при фиксирован-
ном времени. Что касается соотношения F.5), то оно не имеет
места. Действительно, если U явно зависит от г и /, то
d(J=vUdr + — dt F.17)
dt
и, следовательно,
d!U +
dt
F.18)
Так как свойство F.6) в этом случае не выполняется, то для оп-
ределения работы, совершенной на конечном пути, нужно знать
закон движения точки, т. е. функцию r(t).
Рассмотрим в качестве примера заряд е в переменном элект-
рическом поле напряженности «Socosco^ (см. B.11)). Направляя
ось Ох вдоль вектора б о, согласно F.7) получим
U=~eg0xcos&t + C. F.19)
Следовательно, в этом примере как полная, так и частная произ-
водные потенциальной энергии по времени отличны от нуля.
Гироскопической силой Fg называется сила, линейно
зависящая от скорости точки и направленная всегда перпендику-
лярно этой скорости; проекции гироскопической силы на коорди-
натные оси являются однородными линейными формами относи-
тельно проекций скорости точки с коэффициентами, составляющи-
* В более подробной записи полная производная в декартовых координатах
имеет внд
dU(x) dU dx dU dy , dU dz
dt dx dt ' dy dt ' dz dt

§ 6]
Сохранение энергии точки
73
ми антисимметричную матрицу; работа гироскопических сил
всегда равна нулю.
Возьмем, например, часть силы Лоренца B.10), зависящую от
напряженности магнитного поля:
F.20)
Проекции этой силы на декартовы оси соответственно равны
= — (— Ж г X
"Г Жхг)>
откуда видно, что матрица, составленная из коэффициентов при
проекциях скорости, антисимметрична:
О +Жг -Жи
'¦'у
О
-шх
о
F.21)
Также легко убедиться, что мощность силы F.20) всегда равна
нулю:
dA
dt
= — [v Ж] v = 0.
F.22)
Диссипативной силой Fd называется сила, направлен-
лая всегда противоположно скорости тела относительно среды, вы-
зывающей торможение этого тела. Такая сила имеет вид
Fd=— k\, F.23)
где k — положительная скалярная функция, которая может за-
висеть от положения и скорости тела*. Диссипативная сила за-
дается диагональной матрицей коэффициентов при проекциях ско-
рости на координатные оси
k 0 0
0 k 0
0 0 k
* В гидродинамике встречаются диссипативные силы более общего по срав-
нению с F.23) вида, например силы, проекции которых на координатные оси
являются однородными линейными формами относительно проекций скорости
тела с коэффициентами, составляющими симметричную матрицу.

74 Законы изменения импульса, момента и энергии {Гл. II
Мощность диссипативных сил при перемещениях тела относитель-
но среды, вызывающей торможение тела, отрицательна:
АЛ
dA . F.24)
dt
Например, сила сопротивления B.12) является диссипативной си-
лой. При достаточно больших относительных скоростях сила соп-
ротивления пропорциональна квадрату скорости и имеет вид
F.23), где k=k\V (k\ — положительная постоянная). Сила тре-
ния скольжения, возникающая при движении тела по поверхности
другого твердого тела, прямо пропорциональна R — величине
нормальной реакции твердого тела на движущееся тело. Таким
сбразом, в этом случае k = k2—— (&2 — положительная пос-
тоянная, a R± может зависеть от положения тела).
Теперь предположим, что на точку действуют потенциальная,,
гироскопическая и диссипативная силы, сумма которых равна
Fe + Fd. F.25)
Мощность силы F получим, учитывая F.18) и F.22):
_4d- =— 0 + ^- + Fdv. F.26)
Тогда, определяя полную механическую энергию Е
точки как сумму ее кинетической и потенциальной энергий
E = T~U, F.27)
с помощью F.2) найдем закон изменения полной энергии точки
при наличии потенциальных, гироскопических и диссипативных
сил:
Ё = -^- -f Fdv. F.28)
dt
Итак, изменение полной энергии точки обусловлено явной зависи-
мостью потенциальных сил от времени, а также наличием дисси-
пативных сил; гироскопические силы не изменяют энергии.
Например, изменение полной энергии заряда в переменном
электрическом поле B.11) подчиняется уравнению (см. F.19) и
F.28))
Ё = е$0(ox sin at.
Если на точку действует потенциальная сила тяжести и диссипа-
тивная сила сопротивления, т. е. сила F=mg—k\ (см. пример 4.3
на стр. 49, то потенциальная энергия точки равна U=mgz+C

¦§ 6] Сохранение энергии точки 75
(ось Oz направлена против силы тяжести), а закон изменения
энергии F.28) примет вид
?=— to»
Следовательно, полная энергия точки убывает, что, конечно, не
означает исчезновения энергии; механическая энергия Е убывает,
превращаясь в определенное количество теплоты, но это превра-
щение уравнение F.28) не отражает.
В общем случае полная энергия точки может возрастать, убы-
вать или сохранять постоянное значение; в частности, энергия бу-
дет сохраняться, если ее прибыль и убыль компенсируют друг
друга. Однако возможны случаи, когда процессы поступления
энергии в систему и убыли энергии отсутствуют. Действительно,
если среди сил, действующих на точку, нет диссипативных сил, а
потенциальные силы стационарны, то полная энергия точки будет
•сохраняться, т. е. если Fd = 0 и = 0, то
^?в. F.29)
Закон F.29) сохранения полной энергии точки
дает один первый интеграл — интеграл энергии, который
позволяет, не отыскивая решения уравнений движения, опреде-
лять величину скорости как функцию положения точки.
Например, в задаче о пространственном осцилляторе потен-
циальная энергия равна
U=— г2 F.30)
{си. пример 4.2). Поскольку U явно от времени не зависит, а дис-
сипатнвные силы отсутствуют, то полная энергия осциллятора бу-
дет сохраняться, т. е.
тФ , к г mvo , х 2
2 2 2 2
Отсюда можно определить величину скорости как функцию рас-
стояния от центра силы:
В примере 4.4 рассматривалось движение заряда в постоян-
ном однородном магнитном поле, т. е. движение под действием

76 Законы изменения импульса, момента и энергии {Гл. II
только гироскопической силы (см. стр. 54). Закон F.29) в этом
случае приводит к интегралу
Е = Т = ^-=^4~. F.31)
из которого следует сохранение абсолютной величины скорости
заряда.
При движении заряда в постоянных однородных взаимно
перпендикулярных электрическом и магнитном полях на заряд
действуют потенциальная сила е& и гироскопическая Рж (см.
пример, 4.4 на стр. 56). Направляя ось Ох вдоль вектора <§, най-
дем выражение потенциальной энергии
(/=— egx + C
и получим интеграл энергии
Так как сила F^-, искривляя траекторию, ограничивает движе-
ние заряда в направлении оси Ох, то и кинетическая энергия из-
меняется в определенных пределах.
Теорема Клауз и уса о вириале сил. Если движе-
ние точки происходит в ограниченной области пространства с ог-
раниченной по модулю скоростью, то имеет место теорема Клау-
зиуса, согласно которой кинетическая энергия точки, усреднен-
ная по бесконечному интервалу времени, равна усредненному по
тому же интервалу времени вириалу сил; вириалом силы F
называется функция
-Fr. F.32)
В самом деле, умножим обе части уравнения движения C.4) ска-
лярно на радиус-вектор г точки и представим результат умноже-
ния в виде
— (mvr) — 2r = Fr.
dt x '
Усредняя все члены по бесконечному интервалу времени, найдем,
что
U+м __ _
lim /nvr —2Т = Fr.
At -»оо At

§ б] Сохранение энергии точки 77
Отсюда, учитывая ограниченность v и г, получим соотношение
Т = i-Fr, F.33)
доказывающее справедливость теоремы Клаузиуса.
Если сила F потенциальна, то F.33) согласно F.4) можно
представить в виде
F.34)
Теперь дополнительно потребуем, чтобы потенциальная энер-
гия была однородной функцией v-той степени относительно коор-
динат точки. В этом случае из соотношения F.34) следует прак-
тически важное соотношение между средними значениями кинети-
ческой и потенциальной энергий точки
Т = — U F.35)
(при этом используется теорема Эйлера об однородных функциях
[40, стр. 487]). Например, для линейного гармонического осцил-
лятора (U~r2, v=2)
Т = U, F.36)
а для точки, движущейся в поле тяготения Ньютона (U—1/г,
1)
Т = §-. F.37)
Теорема о вириале-используется в механике, статистической ме-
ханике и атомной физике (например, для вывода уравнений сос-
тояния и определения постоянных межмолекулярного взаимодей-
ствия). Теорема в виде F.34) и F.35) имеет место и в квантовой
механике (с соответствующими обобщениями используемых опе-
раций усреднения и других понятий).
Для системы N точек теорема о вириале сил следует из урав-
нений C.5). Действительно, умножая обе части каждого из урав-
нений C.5) на соответствующий радиус-вектор г* и складывая все
результаты умножения, аналогично F.33) получим
N
f^ F.38)

78 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
для произвольных заданных сил и
N
(г, Vt) U F.39)
(=i
для потенциальных сил.
Пример 6.1. Движение через потенциальный барьер.
Точка массы m движется из полупространства, где ее потен-
циальная энергия равна постоянной величине U, в полупростран-
ство, где потенциальная энергия равна постоянной И'фИ. Эти
полупространства разделены плоскостью. Найти скорость точки
после того, как она перейдет плоскость раздела (начальная ско-
рость точки известна).
Изменение потенциальной энергии происходит только на плос-
кости раздела в направлении, перпендикулярном этой плоскости.
Поэтому сила, действующая на точку, отлична от нуля только на
плоскости и перпендикулярна к ней. В связи с этим координат-
ную плоскость Oyz совместим с плоскостью потенциального
барьера, а ось Ох направим перпендикулярно к нему. Так как
проекции силы на оси Оу и Oz равны нулю, то из закона сохра-
нения E.5) следует, что
Щ = vy, v, = vz
(в этом примере «нештрихованные» величины относятся к полу-
пространству, где потенциальная энергия равна U, а «штрихован-
ные» — к полупространству, где потенциальная энергия равна
U', причем все «нештрихованные» величины считаются заданны-
ми). Из закона сохранения энергии F.29) вытекает, что
Полученные соотношения дают возможность найти направ-
ляющие косинусы и абсолютную величину скорости после про-
хождения плоскости потенциального барьера как функции тех же
величин до прохождения барьера:
cos а' = — Г cos2 а + -~ (U — U') V',
v' I mo* J
cosp' = -^-cosp, со8у'== —-cos у,
v v
где

§ 6] Сохранение энергии точки 79
а, |3, у и а', P'f y' — углы между координатными осями и скоро-
стью точки до и после прохождения потенциального барьера со-
ответственно. Приведенное решение справедливо, если
coSi
то'1
в противном случае имеет место отражение частицы от потенци-
ального барьера.
Пример 6.2. Заряд в неоднородном магнитном поле.
В магнитном поле постоянного тока силы /, протекающего
по бесконечному прямому тонкому проводнику, движется точка
заряда е<0. Найти удельный заряд точки, полагая известными
начальное расстояние ро заряда до проводника, начальную ско-
рость vo, направленную вдоль тока, и максимальное расстояние
Pniax заряда от проводника.
Направляя ось Oz по проводнику вдоль тока, получим выра-
жение для напряженности магнитного поля в цилиндрических
координатах [36, стр. 214]
3?= —nv. A)
Проекции силы Лоренца будут соответственно равны
Используя B), найдем, что проекция Lz момента силы Лоренца
равна нулю, что приводит к интегралу (см. E.16))
Р2Ф = Ро.Фо. C)
Отсюда, в силу начальных условий (vo=?0nz, т. е. ро=О, фо=О)
заключаем, что заряд движется в плоскости ф=фо.
Сохранение кинетической энергии (см. F.31)) дает еще один
интеграл
который для заданных начальных условий сводится к соотношению
Р2 + г*=г1 D)
Поскольку законы сохранения других интегралов движения не
дают, воспользуемся одним из уравнений движения
- *Ц р
Z~ me* 7"'

80 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
которое сразу интегрируется:
г:^. E)
При максимальном удалении проекция скорости р должна
обращаться в нуль и, следовательно, z согласно D) должна рав-
няться ±z0. Таким образом, из интеграла E) с учетом знака за-
ряда е<0 получим величину удельного заряда
т ЯП (Pmax/Ро)
§ 7. Движение в центрально-симметричном поле
Рассмотрим движение материальной точки массы т под дей-
ствием центральной силы, произвольно зависящей только от рас-
стояния между точкой и центром силы. Такая сила потенциальна
(см. F.14) и F.15) и стационарна (см. стр. 71). Помещая начало
системы отсчета в центр силы и используя законы сохранения мо-
мента импульса и энергии (см. E.11) и F.29)), получим четыре
первых интеграла движения
т [rv] — Мо, -^2—l и (г) = ? G.1)
2
из которых три независимы (здесь и далее потенциальная энер-
гия U(г) считается заданной).
Наряду с первыми интегралами в данной задаче можно найти
три вторых независимых интеграла. Один из таких интегралов
представляет собой уравнение E.13) плоскости, в которой проис-
ходит движение точки. Два других интеграла вытекают из G.1).
Действительно, направляя ось Oz по вектору Мо и вводя на плос-
кости Оху полярные координаты, получим
Исключая ф из интеграла энергии с помощью интеграла площа-
дей, придем к уравнению, допускающему разделение переменных
rut:
г*= А[? _?/eff], G.3)
т
где функция Ueft(r), часто называемая «эффективной» по-
тенциальной энергией, равна

§ 7) Движение в центрально-симметричном поле 81
(отметим, что уравнение G.3) эквивалентно уравнению для пря-
молинейного движения точки с потенциальной энергией, равной
Uctf). Разделяя переменные в уравнении G.3), найдем еще один
второй интеграл
= ± Г — — + const. G 5)
Из интеграла G.5) в принципе можно определить функцию r(t)
и подставить ее в интеграл момента. Тогда получим, что
G.6)
Отсюда найдем последний второй интеграл
^-+const. G.7;
- (t)
Интеграл момента позволяет найти уравнение траектории, если
с его помощью в интеграле энергии исключить dt, а затем вычис-
лить квадратуру:
Ф = ± — 7ТГ- ~ const- ^7-8)
Выбор знака в интегралах G.5) и G.8) диктуется начальными ус-
ловиями; например, знак перед интегралом G.5) определяется
знаком производной г, взятой в начальный момент времени.
Итак, три вторых интеграла E.13), G.5) и G.7) определяют
общее решение поставленной задачи (один из интегралов G.5)
или G.7) может быть заменен интегралом G.8)). Это решение
содержит шесть постоянных: ?о, Мх0, Му0, Mz0, r0, сро. Выбор пос-
тоянных не является единственным: можно, например, ввести г0>
<ро, го, ф0 и два угла, определяющие положение плоскости движе-
ния. Однако выбор постоянных интегрирования, содержащих
энергию и момент, имеет определенное преимущество, в частности,
при переходе к соответствующим квантовым задачам.
Замечательным является то, что полученное общее решение
справедливо для любой центральной силы, зависящей только от
расстояния до центра силы. Движение точки в поле таких сил
обладает общими свойствами, а именно: движение происходит в
неподвижной плоскости, проходящей через центр силы; радиус-
вектор точки описывает равные площади за равные промежутки
времени; угол ф изменяется со временем всегда монотонно; траек-

82 Законы изменения импульса, момента и энергии [Т.-. II
тория точки симметрична относительно апсид (так называются
прямые, проходящие через центр силы, и точки поворота,
т. е. точки траектории, в которых величина радиуса-вектора при-
нимает экстремальные значения).
Последнее утверждение означает, что материальная точка,
находящаяся в начальный момент времени в точке поворота и
обладающая в одном случае начальной скоростью v0, а в другом
случае—-\0, будет двигаться по симметричным кривым. Действи-
тельно, в точках поворота г обращается в нуль, а в окрестности
этих точек изменяет знак; вместе с г изменяет знак выражение
которое определяет знак подынтегральных функций в G.5) и G.8).
Следовательно, при отсчете ф от некоторой апсиды участки тра-
ектории, находящиеся по разные стороны от апсиды, будут
отличаться знаком ср (при одинаковых значениях г). Это свойст-
во симметрии позволяет построить всю траекторию, зная лишь
участок траектории между двумя апсидами. Таковы общие черты
движения точки в центрально-симметричном поле.
Если функция U(r) задана, то, вычисляя интегралы G.5) п
G.7) (или G.8)), можно получить общее решение для соответст-
вующего вида взаимодействия. Однако до нахождения общего ре-
шения полезно провести его качественный анализ. Построив
график Uett(r), можно определить область изменения коорди-
наты г движущейся точки. Действительно, поскольку е классиче-
ской механике, г, v и t вещественны, то г2 должна быть положи-
тельно определенной величиной. Таким образом, из уравнения
G.3) вытекает неравенство
E0>Ueil(r), G.9)
определяющее область изменения г, и уравнение
E0 = Uetf(r), G.10>
определяющее границы указанной области. Рассмотрим простей-
ший пример, когда точка движется по инерции относительно сис-
темы координат с началом, не лежащим на траектории точки. В
этом случае
а область изменения г определяется неравенством
/2^77 *
¦ rmin —

§ 7]
Движение в центрально-симметричном поле
83
Траекторией точки может быть любая прямая, касающаяся ок-
ружности радиуса r=rmiIl (см. рис. 7.1, где плоскость Оху являет-
ся плоскостью движения точки).
Если точка движется в потенциальном поле F.30), то
e" 2 ' 2m/-2
В этом случае уравнение G.10) дает две точки поворота, опреде-
ляемые равенствами
1^\[е^{е1~^м1Т\
а неравенство G.9) определяет область ri^.r^r2 (рис. 7.2). Если
Eo=(Uett)min= (х/тI12М0, то точка будет двигаться по окружности
Ymtn
-*- Г
Рнс. 7.1
Рис. 7.2
радиуса r=ri=r2= (EolxI!2. Траектория точки в общем случае,
когда E0>(Uett)mtn, находится с помощью интеграла G.8). Ею
является эллипс, центр которого находится в центре силы и кото-
рый дважды касается окружностей с радиусами Г\ и тг соответст-
венно (см. пример 4.2).

84
Законы изменения импульса, момента и энергии
(Гл. II
Анализ графика Ueu позволяет найти условие падения час-
тицы на центр силового поля. Пусть, например,
(такая степенная функция используется при рассмотрении меж-
молекулярного взаимодействия). Из графика Uett (рис. 7.3) вид-
но: еСЛИ (^ен)тах<?о, ТО ДВИЖе-
ние происходит в неограниченной
области и, в частности, возможно'
падение точки на центр. Если
О<?о^ (^etf)max, то движение
происходит либо в области г^Гг,
либо в области г^П, в которой
достигает центра; при
также имеет место паде-
ние на центр.
В общем случае условие па-
дения на центр можно получить
с помощью неравенства G.9),
Рис. 7.3 записанного в виде
точка
' 2т
Устремляя здесь г к нулю, найдем условие падения на центр си-
лового поля
Щ_
2т
G.11)
Для степенного потенциала t/(r)=—a/rn это условие выполняется
при
п = 2, если а >
2, если
2т
G.12)
иначе говоря, потенциальная энергия должна достаточно быстро
стремиться к —оо при г-»-0.
В заключение приведем условие замкнутости финитной тра-
ектории, когда 0<rmin<;/-<;/-max<oo. В этом случае, определяя
из G.8) угол Аф поворота радиуса-вектора точки за период вре-
мени, в течение которого г изменяется от rmln до гтах и опять до

§ 8] Законы Кеплера 85
/"mm, и приравнивая Аф рациональной части от 2л, получим усло-
вие замкнутости траектории
М° А
dr
\— lE0-
где k и п — целые числа. Действительно, если G.13) имеет место,,
то через k полных оборотов точка займет первоначальное поло-
жение. Соотношение G.13) при любых начальных условиях вы-
полняется только для двух полей:
t/?/г2
§ 8. Движение под действием силы, обратно пропорциональной
квадрату расстояния до центра силы. Законы Кеплера
Исследуем движение точки массы т в центрально-симметрич-
ном поле вида
и=—— (8.1)-
г
с неподвижным центром силы; в случае гравитационного поля,.
создаваемого неподвижной массой тс, постоянная а=\ттс> а в
случае электростатического поля, создаваемого неподвижным за-
рядом ес, постоянная а=—еес, где е — заряд движущейся точки,
(см. B.15), B.9) и F.16)).
Анализируя график С/ен (рис. 8.1) и принимая во внимание
неравенство G.9), убедимся, что в случае притяжения (а>0) и
положительной полной энергии (?о>О) r^rmin; в случае а>0 и
?о = О движение точки также будет происходить в неограниченной
области (т. е. будет инфинитным); в случае сс>0 и отрица-
тельной энергии (Е0<0) движение происходит в ограниченной об-
ласти rmin^r^rmax (т. е. движение финитно); если а>0 и
Ей = (Uett)mm, то точка движется по окружности; наконец, в слу-
чае отталкивания (а<0) всегда r^rmin, а полная энергия поло-
жительна (?0>0).
Во всех указанных случаях траектория, или, как часто гово-
рят, орбита точки, определяется одной формулой. Действи-
тельно, подставляя (8.1) в G.8), получим
2тЕ0 2т\а\

86
Законы изменения импульса, момеита и энергии
[Гл. II
\CC>0 \CC<{/
cc>ff
Phc. 8.1

§ 8] " Законы Кеплера 87
(здесь знак « + » под радикалом соответствует случаю а>0, a
знак «—» случаю а<0). Вводя вместо постоянных Ео и Мо поло-
жительные (по определению) постоянные
Г
m a |
запишем последний интеграл в виде
Затем в результате интегрирования получим
Ф — с = ± arccos — ( — + 1 V
Опуская знак «—» перед углом (ф—с) ввиду четности косинуса,
найдем уравнение орбиты
(8.3)
г ,
± 1 — 8 COS (ф — С)
где знак «+» соответствует случаю притяжения (<z>0), a знак
«—» случаю отталкивания (а<0).
Уравнение (8.3) является уравнением кривой второго по-
рядка, в фокусе которой находится начало координат; постоян-
ная р называется параметром орбиты, а постоянная е —
ее эксцентриситетом. Значение с зависит от выбора нап-
равления полярной оси в плоскости орбиты. Если полярную ось
направить на ближайшую к центру силы точку траектории (см.
выбор осей на рис. 8.1), то с = 0.
Из аналитической геометрии известно, что траектории вида
(8.3) представляют собой гиперболу (при е>1), параболу (при
е=1), эллипс (е<1) или окружность (е = 0). Принимая во внима-
ние (8.2), получим, что в заданном потенциальном поле
U = —а/г в случае притяжения (а>0) траекторией точки будет
гипербола, если ?0>0,
парабола, если Ео = О,
(8.4)
эллипс, если 0>?„ >((/e,,)m|n,
окружность, если Ео = ((/eff)m|n;
в случае отталкивания (а<0) точка может двигаться только по
гиперболе (?е>0).

S8 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
Рассмотрим подробнее движение по эллиптической орбите,
когда а>0, а 0>?'0> (^eff)min. т. е. е<1 (рис. (8.1)). Из уравне-
ния (8.3) следует, что
С помощью известных из аналитической геометрии формул для
полуосей эллипса
а=—?—, Ь= Г1 (8.6)
л формул (8.2) а и Ъ можно выразить через постоянные Ео и Мо:
а =—5-, й = --3—. (8.7)
2|?„| /2т|?0|
Отсюда видно, что большая полуось эллипса зависит от полной
энергии и не зависит от значения момента.
В частном случае круговой орбиты (Ео= (Uett)mm, е=0)
.имеем
г = 0, г = г0 = а = Ъ. (8.8)
Очевидно, что при движении по окружности постоянна не только
полная энергия, но и потенциальная и кинетическая энергия точ-
ки.
Закон движения точки по эллиптической траектории получим
из интеграла G.5). Учитывая, что .Ео=—|?о| и а>0, а также ис-
лользуя формулы (8.7), запишем G.5) в виде
-с>)=-\/ -2—Г
V 2|?0| J (_,.»
J- 2ar — ft2)/a
С помощью (8.6) убедимся, что Ь2 = а2A—е2), и сведем интеграл
к следующему:
V о J [а2е2 — (r— affu
Сделав подстановку
г = аA — е cos ?),
найдем

§ 8] Законы Кеплера 89'
Выбирая параметр | так, чтобы с его увеличением время возра-
стало, и принимая начальные условия
г0 = а A - е) = rmin, t0 = 0 при g = 0, (8.9>
получим закон движения точки по эллиптической орбите в пара-
метрическом виде
r = a(l —ecosg), / = -l-(g —esing), (8.10>
АТС
где Г = 2я Vта3/а — период полного оборота точки по эл-
липсу. Значение этого периода легко получить с помощью интег-
рала площадей, записав его в виде (см. E.8))
2moz = 2m — = М0, (8.11>
dt
где dS — площадь, очерчиваемая радиусом-вектором точки за
время dt. Интегрируя это выражение по полному периоду и учи-
тывая, что площадь эллипса равна лаЬ, найдем
2mnab = М0Т.
Отсюда, используя (8.7), получим
Т
2 |?0i3
Таким образом, период обращения по эллипсу зависит только от
полной энергии (или от величины большой полуоси) и не зависит
от момента (и от величины малой полуоси).
Уравнение орбиты (8.3), закон площадей (8.11) и соотноше-
ние периода и большой полуоси (8.12) являются математическим,
выражением трех законов Кеплера, установленных им
эмпирически примерно в 1609—1619 гг. в результате обработки
наблюдений над движением планет. В этих законах утвержда-
лось, что
каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов-
которого находится Солнце (первый закон);
секторная скорость каждой планеты относительно Солнца
постоянна (второй закон);
отношение квадратов периодов обращения планет к кубам
больших полуосей их орбит постоянно и для всех планет одинако-
во (третий закон).
Заметим, что применительно к движению планет третий за-
кон Кеплера верен приближенно (см. стр. 122). Тем не менее отк-
рытие законов Кеплера имело очень большое значение. В частно-

SO Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
сти, на их основе Ньютоном был установлен закон всемирного
тяготения: допуская, что движение тел в поле тяготения Земли
также подчинено законам Кеплера, можно было на основании пер-
вого и второго законов утверждать, что величина ускорения тел
вблизи поверхности Земли равна (см. пример 1.3)
где R — радиус Земли. Кроме того, из третьего закона Кеплера
(см. (8.12)) следовало, что квадрат периода обращения Луны
вокруг Земли прямо пропорционален кубу радиуса а лунной (при-
близительно круговой) орбиты, т. е.
Допуская, что постоянные С в последних двух выражениях имеют
¦одинаковые значения, можно было найти следующую формулу
для ускорения g:
Таким образом, ускорение тел вблизи поверхности Земли можно
было вычислить как по данным наблюдений за Луной, так и по
данным эксперимента, проведенного около земной поверхности.
Совпадение этих двух результатов являлось одним из доказа-
тельств справедливости закона всемирного тяготения B.15).
На основе закона всемирного тяготения B.15) и уравнения
движения C.4) была создана количественная теория движения
небесных тел относительно гелиоцентрической системы отсчета.
¦Совпадение наблюдений и выводов этой теории доказало инер-
циальность гелиоцентрической системы Коперника—Бруно и ее
преимущественность над геоцентрической системой Птолемея,
что явилось крупным шагом в победе материалистического воззре-
ния на вопросы мироздания.
В случае а>0 и ?=0(е=1) точка движется по параболе (см. рнс. 8.1).
Минимальное расстояние, на котором оиа проходит вблизи центра силы, равно
В этом положении скорость точки максимальна, а по мере удаления точки от
дентра силы ее скорость стремится к нулю, поскольку при л-*-оо потенциальная
энергия становится исчезающе малой и по условию Eo — T-\-U=Q.

§ 8] Законы Кеплера 91
Закон движения точки по параболе легко получить в параметрическом
виде из G.5):
)
(здесь начальное условие выбрано аналогично (8.9)).
В случае движения по гиперболе под воздействием притягивающего центра
имеем а>0, ?о>О (е>1). Орбитой при этом будет левая ветвь гиперболы (см.
рис. 8.1) с минимальным расстоянием до центра силы, равным
¦ шш 1 _i_ p
Учитывая, что полуоси гиперболы связаны с параметром р и эксцентриситетом
8 гиперболы соотношениями
с помощью (8.2) находим
(8Л7>
а==_Ц Ь=-Ж=. (8.18>
2Е, V 2тЕ, Т
Закон движения точки по гиперболе в случае а>0 получим (аналогично (8.10) )•
в виде
/• = a(ech|—I), t= l/ — (esh| — |), (8.19>
(здесь начальные условия также аналогичны (8.9)).
Наконец, приведем формулы для случая движения точки по гиперболе под,
действием отталкивающего центра (а<0):
Р 1<*1 . М,
/та3
(eshg+S),
орбитой при этом будет правая ветвь гиперболы (см. рис. 8.1).
Пример 8.1. Изменение орбиты космического корабля.
Пусть в момент прекращения работы двигателя космический
корабль массы m находился на расстоянии г0 от центра Земли и
имел скорость v0, направленную под углом уо к радиусу-вектору
корабля Го (рис. 8.2). Определить элементы орбиты корабля в
плоскости его движения, пренебрегая сопротивлением атмосферы,
если напряженность поля тяготения на поверхности Земли равна g,
а радиус Земли равен R. Насколько нужно изменить кинетическую.

92
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл. II
rrmin
энергию корабля в перигее, чтобы он перешел на орбиту призем-
ления, изображенную на рисунке штриховой линией (изменением
массы корабля в результате достаточно кратковременной работы
двигателя можно пренебречь)?
Учитывая лишь силу притяжения корабля Землей и при-
лебрегая воздействием всех прочих тел, мы можем воспользовать-
ся общим решением задачи о
движении точки в централь-
ном поле.
Поместим начало системы
координат в центр Земли, так
как он является центром силы
притяжения. Плоскость Охи
совместим с плоскостью опби-
•х ты, сохраняющей свою ориен-
тацию относительно гелио-
центрической системы отсчета,
а ось Ох направим на бли-
жайшую к центру Земли точку
орбиты — перигей. Выбран-
Рис. 8.2 ную систему можно считать
инерциальной для достаточно
больших интервалов времени. Выразим постоянные а, Ео и Мо,
входящие в общее решение задачи о движении точки в централь-
ном поле, через постоянные, заданные в условии примера. Пола-
гая, в частности, в B.15), что r2\=R, а массы тх и т2 соответст-
венно равны массе корабля т и массе Земли тз, найдем
а = утт3 =
Тогда потенциальная энергия корабля-спутника (см. (8.1)) при-
нимает вид
A)
Полная энергия и момент импульса спутника в начальный момент
времени соответственно равны
С0 ^ о . V0
К = mVo si" Yo-
B)
С помощью этих выражений на основе (8.4) можно убедить-
ся, что траекторией рассматриваемого тела будет
гипербола, если, хй >v\(RlrQ),

§ 8] Законы Кеплера 93
парабола, если »о = ^„
C)
эллипс, если ^<f|(/?/r0), v
окружность, если v\ = v\ (R/r0) и у0 = я/2,
где уг = уgR— первая космическая скорость, a v2 =
= V2gR — вторая космическая скорость.
Параметр и эксцентриситет орбиты, выраженные через на-
чальные условия, находим, используя (8.2) и формулы C) нас-
тоящего примера:
1Л- D)
¦С помощью (8.6) и (8.17) получим выражения полуосей, справед-
ливые как в случае эллипса, так и в случае гиперболы:
Наконец, согласно (8.12), период полного оборота спутника по
.эллипсу равен
7= ^ . F)
Если орбита спутника известна, то его положение в любой
момент времени определяется законом (8.10). Величину скоро-
сти как функцию г легко найти из интеграла энергии
G)
Направление же скорости можно определить, отыскивая с по-
мощью интегралов момента и энергии величины г и rip как функ-
ции г:
поскольку отношение этих функций дает tgvo как функцию г.
Теперь найдем изменение кинетической энергии, при котором
космический корабль перейдет на орбиту приземления. Так как

94 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
в перигее радиальная составляющая скорости корабля равна
нулю, а расстояние до центра силы минимально, то из формулы
(8) найдем
v\r . =Гф1 . =y°sinv°. (9)
'mm
Эту скорость нужно изменить так, чтобы корабль стал двигаться
по эллипсу, касающемуся поверхности Земли. Большая полуось
новой орбиты при этом будет равна
_ '"mill ~r R
Учитывая, что й] определяет полную энергию Е\
которой корабль должен обладать при движении по заданной ор-
бите приземления (см. первое из соотношений (8.7)), и пользуясь
сохранением полной энергии корабля, движущегося по новой ор-
бите, получаем значение кинетической энергии корабля на орбите
приземления в точке г=г
/ПО2
Наконец, из формул (9) и A0) находим требуемое изменение ки-
нетической энергии
AT = —l-^-i
2 [^
где гт1п = —-—, а р и е определены формулами D) настоящего
1 -\- 8
примера.
Пример 8.2. Движение по баллистической траектории.
Пусть достаточно малое тело массы т_запускается с поверх-
ности Земли со скоростью vo<v2 (u2 = ]/2gR). Пренебрегая со-
противлением атмосферы, определить максимальную высоту, даль-
ность и время полета тела (под дальностью будем понимать длину
дуги большого круга, которая по поверхности Земли соединяет
точки вылета и падения,— см. рис. 8.3).
Этот пример является частным случаем примера 8.1, поэтому
выбор системы координат и предыдущие результаты остаются в
силе. В частности, в рассматриваемом примере тело будет дви-

8]
Законы Кеплера
95
гаться по отрезку эллиптической орбиты, пересекающей поверх-
ность Земли в точках вылета и падения.
Максимальная высота
подъема тела над поверх- чч
ностью Земли равна „^ /s g
где гтах определяется одной из
формул (8.5), а значения па-
раметра и эксцентриситета
орбиты находятся с помощью
формулы D) примера 8.1:
Р = " sln2 Ye.
*-х
Рис. 8.3
sin* Y,
¦Г
Используя эти соотношения, получим
-.2
•«8
Угол ф0 между осью Ох и направлением на точку вылета
«аходится из уравнения орбиты (8.3), в котором г полагается
равным R:
Фо
= arccos— ( ~ Л
Зная фо, получим угол между направлениями на точки вылета и
падения
отсюда определим дальность полета
I - R Аф = 2я/? Г1 — -i. arccos — (-Z- — Л1.
Время полета получим, используя решение (8.10). Учитывая, что
в этом решении приняты начальные условия (8.9), момент /0 на-
чала движения тела с поверхности Земли и соответствующее
«ему значение параметра |0 определим так:
= а A-е cos g,), ^-L-fo-

96 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
где Т — — (см. формулу F) примера 8.1). Момент про-
BRlfl
хождения апогея, т. е. наиболее удаленной от центра Земли
точки эллиптической орбиты, будет равен (Т/2)—/0. Учитывая,
что время полета точки от места запуска до апогея равно време-
ни полета от апогея до места падения, для полного времени по-
лета находим
^-(Se —esIiiE0)j.
где
2g/?-o§
(см. формулу E) примера 8.1).
§ 9. Движение центра масс; законы изменения
и сохранения импульса системы
Как будет ясно из дальнейшего, закон изменения импульса
механической системы тесно связан с понятием о центре масс.
Центром масс или центром инерции механической си-
стемы называется воображаемая точка, которая как бы обладает
массой, равной массе всей системы, и положение которой опре-
деляется радиусом-вектором
N
rm=-^-lL, (9.1)
m
где trii и i"j — масса и радиус-вектор i-той точки системы,
т = ^ т,— масса всей системы, а N—число материальных точек
системы. Скорость центра масс vm можно получить, продифферен-
цировав левую и правую части (9.1) по времени:
N
2 mm
vm = -Ы (9.2)
m
Аналогично найдем ускорение wm центра масс:
N
2
(9-3)

§ 9]
Закон сохранения импульса системы
97
Из определений (9.1), (9.2) и (9.3) вытекают некоторые
свойства центра масс, его скорости и ускорения. Например, ско-
рость и ускорение, приобретаемые центром масс в результате
движения г-той точки (см.
рис. 9.1, на котором изобра-
жена система двух то-
"Ч т
•—- wf соответственно. 1 а-
чек), будут равны v{ и
т
Щ
т
ким образом, скорость и
ускорение центра масс, свя-
занные с движением только
«-той точки, параллельны
соответственно скорости Vi
и ускорению Wj этой точки
и в m/nii раз меньше их по
величине.
Импульсом меха-
нической системы Р
называется сумма импуль-
сов точек системы
N
(9.4)
Рис.
где Pi — mfVi — импульс t-той точки. Согласно (9.2) импульс си-
стемы равен массе всей системы, умноженной на скорость центра
масс, т. е.
Р = mvm, (9.5)
а согласно (9.3) производная импульса по времени равна массе
системы, умноженной на ускорение центра масс:
р _ mw /q a\
г — '«wm. w-V)
Заметим, что определение импульса системы в виде (9.5) анало-
гично определению импульса одной материальной точки.
Уравнение движения центра масс можно получить с помощью
уравнений движения материальных точек C.5), так как движение
центра масс — этой воображаемой точки — обусловлено движе-
нием отдельных реальных точек механической системы. Из (9.3)
следует, что
N
(9.7)
И. И. Ольховский

98 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
однако в инерциальной системе отсчета произведение массы ка-
кой-либо точки на ее ускорение согласно второму закону Ньютона
должно быть равно силе, приложенной к этой точке, т. е.
mcNi = Ft. (9.8)
Следовательно, произведение массы всей системы на ускорение
центра масс ввиду (9.7) должно быть равно сумме всех сил, дейст-
вующих на отдельные точки системы (см. рис. 9.1, в):
птт = F, (9.9)
N
где F = V F<> a F; — сила, действующая на t-тую точку.
Среди сил, действующих на точки системы, есть как внутрен-
ние, так и внешние силы. Под внутренними силами пони-
мают силы, действующие между точками данной механической
системы, а под внешними — силы, действующие на точки дан-
ной системы со стороны тел, не входящих в эту систему. Деление
сил на внутренние и внешние зависит от того, какую систему мы
считаем данной, движение какой системы изучается. Если система
выбрана, то силу, действующую на ее t-тую точку, всегда можно
записать в виде
F, = Fin-fFt, (9.10)
N
где F'" = V F.t- — сумма внутренних сил, действующих на t-тую
точку, F/?—сила, действующая на t-тую точку со стороны /-той точ-
ки системы, a Ft? — суммарная внешняя сила, действующая на t-тую
точку. Складывая все силы (9.10), действующие на точки системы,
находим
N N N
1. (9.11)
Однако сумма всех внутренних сил равна нулю, поскольку силы
взаимодействия каждой пары точек равны по величине и проти-
воположны по направлению. Действительно, представляя сумму
всех внутренних сил Fln в виде
pin = ? ? (F.f + F..) (9Л2)

§ 9] Закон сохранения импульса системы 99
и применяя третий закон Ньютона C.6) к каждой паре точек си-
стемы, найдем
Fin = 0. (9.13)
Таким образом, из уравнения (9.9) получаем уравнение движения
центра масс относительно инерциальнои системы, отсчета
mwm=Fe, (9.14)
N
где Fe = V F1 — сумма всех внешних сил, действующих на
точки системы. Уравнение (9.14) ввиду соотношения (9.6) приво-
дит к закону изменения импульса
P = Fe. (9.15)
На основании (9.15) в полной аналогии со случаем одной ма-
териальной точки (см. E.5)) можно утверждать, что если проек-
ция суммы внешних сил на некоторую неподвижную ось в любой
момент времени равна нулю, то проекция импульса системы или
проекция скорости центра масс системы на ту же ось сохра-
няется. Например, если
ТО
Рг=?тЛ = Р20, (9.16)
или
N
Zm = — ]
Следовательно, в направлении оси Oz центр масс системы дви-
жется равномерно
Zm = W + W (9Л?)
Теперь рассмотрим замкнутую, или изолированную,
систему, т. е. систему, взаимодействием которой с прочими не
входящими в нее телами можно пренебречь *. Для такой системы
все внешние силы равны нулю:
; F? = 0 (t =1,2 N),
* В физике термин «замкнутая система» является весьма распространен-
ным.

100 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
и поэтому
P=?/n(v, = Pa (9.18)
или
N
_ 1
т
т. е. имеет место закон сохранения импульса замкну-
той системы.
Центр масс замкнутой системы движется равномерно и пря-
молинейно, а ее внутренние силы не могут изменить скорости
центра масс (или импульса системы). Например, солнечная систе-
ма с определенной степенью точности может рассматриваться как
замкнутая, и поэтому силы взаимодействия между ее телами не
влияют на равномерное и прямолинейное движение центра масс
системы, хотя все тела, входящие в солнечную систему, движутся
ускоренно.
В случае незамкнутой системы внутренние силы, вообще
говоря, влияют на изменение импульса и ускорение центра масс
системы, если сумма внешних сил зависит от положения или ско-
ростей точек системы. Действительно, изменение импульса систе-
мы определяется вектором Fe — суммой всех внешних сил, дейст-
вующих на систему (см. (9.15)), причем вектор Fe считается
известной функцией радиусов-векторов точек и их скоростей.
Однако радиусы-векторы и скорости точек изменяются под воз-
действием как внешних, так и внутренних сил согласно. уравне-
ниям движения
m,r, = И" + F? (t=l,2,...,N)
(см. C.5) и (9.10)). Вместе с тем изменяются аргументы вектора
Fe и, как следствие этого, изменяется сам вектор Fe. Влияние
внутренних сил на ускорение центра масс подробно проиллюстри-
ровано на примере 9.2. *
Подчеркнем, что закон сохранения импульса справедлив и для
таких замкнутых систем, поведение которых не подчинено уравне-
ниям Ньютона. Например, при исследовании движения системы
заряженных частиц, среди внутренних сил которой есть электро-
магнитные силы, было обнаружено излучение электромагнитных
волн. Это излучение, как оказалось, обладает импульсом, в связи
с чем импульс собственно зарядов не сохраняется. Однако сум-
марный импульс зарядов и электромагнитного поля остается не-
изменным, т. е. имеет место закон сохранения импульса замкнутой
системы, под которой в данном случае следует понимать совокуп-
ность зарядов и поля излучения.

§ 9] .Закон сохранения импульса системы 101
Пример 9.1. Движение центра масс в однородном поле.
В однородном постоянном электрическом поле с напряжен-
ностью <§ движутся две заряженные точки. Их массы и заряды
соответственно равны пг\, гп2 и в\, е2. Найти положение центра
масс как функцию времени, если начальные значения rm0 и vm(/
известны.
Направляя ось Ох вдоль вектора ё и учитывая, что внутрен-
ние силы электростатического взаимодействия подчинены закону
C.6), получим уравнение (9.15) в проекциях на декартовы оси
mxm = ej + e2g, ym = 0, zm = 0.
Интегрируя эту систему, найдем
_ eL + et „ i2 • , .
xm j ® о Т xm0l ¦ xm0 >
Ут = Утр ~Ь Уто> Zm ~ 2п№ ~Ь 2то-
Сопоставляя это решение с решением задачи о движении одного
заряда (см. на стр. 53), мы видим, что воображаемая точка —
центр масс двух зарядов — движется как материальная точка
с массой mi + m.2 и зарядом ei + ег. Что касается движения каждо-
го из зарядов, то без решения системы уравнений C.5) найти
закон такого движения нельзя.
Пример 9.2. Движение центра масс в неоднородном поле.
Две точки с массами гп.\ и т2 движутся в силовом поле
Fe = хг
(здесь х>0, а г — радиус-вектор точки пространства в инерци-
альной системе отсчета с началом в центре силы). Найти поло-
жение центра масс системы как функцию времени в двух случа-
ях: а) пренебрегая взаимодействием точек друг с другом; б) пред-
полагая, что внутренними силами являются силы притяжения,
прямо пропорциональные расстоянию между точками с коэффи-
циентом пропорциональности х.
В обоих случаях движение центра масс определяется одним
и тем же уравнением (9.14)
/лгт = Ft + Ц = х (гх + г2), A)
где m = mi + m2. Однако уравнения движения точек системы будут
различными. В случае (а)
/т»!?! = HTt, тгг2 = хг2, B)

102 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
а в случае (б)
mjrx = Fal + хгх, щг2 = Fl2 + иг2, C)
где F21 == — % (rt — га) == — F12.
Перепишем системы B) и C) в удобном для интегрирования виде:
а) гх = ^?гх, г2 = Й2Г2; D)
б) rj = k\r2, r2 = A|r1( E)
где й? = —, &2 = . Решение этих систем в декартовых коорди-
т± пц
натах не представляет затруднений. Найдем, например, решение
системы уравнений, описывающих движение точек в направлении
оси Ох:
а) "хг = k\, x2 = k\xy F)
б) \ = $х2, х\ = klxv G)
Решение системы F) имеет вид
где
q»i @ = AeW + V~w. ф2 @ = ^ы
а А\ и Лг, Bi и Лг — произвольные постоянные, определяемые на-
чальными условиями. Учитывая (8), из уравнения A) найдем
проекцию ускорения центра масс невзаимодействующих точек как
функцию времени
а из определения центра масс и решения (8) легко получим
хт @ = -L [ml9l @ + т2ф2 @]. (Ю)
Умножая правую и левую части второго из уравнений G) на
отношение k\/k2 и затем один раз складывая, а второй раз вычи-
тая результат умножения из первого уравнения системы G), при-
дем к уравнениям
tij = ^2t|), Q = —k1k2Q, A1)
где -ф = *1 + -^-хг, 6 = *! — -^х2.
й2 /г2

§ 9] Закон сохранения импульса системы 103
Решением системы A1) являются функции
тр @ = С^'^1' + C2er-^ur*t,
Q(t) = a cos (Vkfii-t + а).
Отсюда, используя соотношения между Х\, х% и ty, 0, находим
ч @ = -j № @ + е (*)], х2(о = -А. ^ w _ е (*)].
Это решение дает возможность определить проекцию ускорения
центра масс и проекцию центра масс на ось Ох в случае взаимо-
действующих точек:
Решение для других проекций ускорения центра масс аналогично
полученному.
Из формул (9) и A2) видно, что в отсутствие внешних сил
скорость центра масс становится постоянной и внутренние силы
не могут ее изменить. Однако если внешняя неоднородная сила
отлична от нуля, то внутренние силы влияют на движение центра
масс (сравните A0) и A3)).
Пример 9.3. Движение тела переменной массы; задача Циол-
ковского.
В современной технике большое практическое значение имеет
задача о движении тела переменной массы. Пусть изменение мас-
сы тела происходит за счет непрерывного отделения от тела неко-
торых его частей, причем за бесконечно малый элемент времени
отделяется частица бесконечно малой массы; Однако скорость
отделившейся частицы отличается от скорости тела на конечную
величину. Найти уравнение движения тела (в предположении, что
тело и отделяющиеся частицы можно считать материальными
точками).
Отделение частиц от тела происходит за счет внутренних сил
системы тело — частица. Следовательно, изменение импульса
рассматриваемой системы подчинено закону (9.15). Подсчитаем
это изменение. В момент времени t (до отделения частицы от
тела) импульс системы равен
Р (t) = mv,
где пг — масса тела в момент t, v — скорость тела в тот же мо-
мент времени относительно некоторой инерциальной системы

104 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
отсчета. В момент времени t-\~dt (после отделения частицы) им-
пульс системы равен сумме импульса тела и импульса частицы:
Р (t + dt) = (m — | dm |) (v + rfv) -!-1 dm | vv
где dv — изменение скорости тела за время dt, dm — уменьше-
ние массы тела, соответственно \dm\ — масса отделившейся час-
тицы, Vi — скорость этой частицы относительно инерциальной
системы отсчета.
Следовательно, изменение импульса системы с точностью до
бесконечно малых второго порядка равно
dP = mdv + \dm\(v1 — v).
Подставляя это выражение в (9.15), получим уравнение движения
точки с переменной массой, т. е. уравнение Мещерского
mjL = F+*!La> A)
dt dt
где u = Vi—v — скорость отделяющихся частиц относительно тела,
Fe — внешняя сила, действующая на тело, а <С.О. Нетрудно
ОХ
убедиться, что в случае присоединяющихся к телу частиц
— >0) справедливо то же уравнение A).
dt J
В качестве примера на решение уравнения A) рассмотрим
задачу Циолковского. Пусть ракета движется в отсутствие
внешнего поля, скорость и отделяющихся частиц сгорающего топ-
лива постоянна и направлена противоположно v0 — скорости тела
в начальный момент времени. Найти скорость, которую приобре-
тает тело за счет конечного изменения своей массы.
Умножая правую и левую, части уравнения A) на dt и проек-
тируя их на ось, направленную по вектору v0, получим
, mdv=.—udm,
откуда находим, что
о = »» + и1п-^Ч B)
Таким образом, скорость, приобретаемая телом, зависит только
от величины относительной скорости отделяющихся частиц и от
изменения массы тела и не зависит от того, по какому закону
изменялась масса тела. ¦ ,-. ¦ ...,,.._.

§ 10] Закон сохранения кинетического момента системы 105
§10. Законы изменения и сохранения кинетического
момента системы
Умножая каждое из уравнений движения C.5) векторно сле-
ва на гг- — радиус-вектор соответствующей точки и учитывая
(9.10), получим уравнение, определяющее изменение момента им-
пульса t'-той точки,
Л, = Ljn + Lf, A0.1)
где Ljn = J>?F]n] — момент внутренней силы, действующей на t-тую
точку, Lf = [r^Ft]—момент внешней силы, действующей на t-тую
точку.
Суммируя (Ю.1) по всем точкам, находим
N N
М = ?МП + ?Ц, A0.2)
N
где JV1 = V Mt — кинетический момент системы,- равный
• _ 1
I -— 1
сумме моментов импульсов всех точек системы. Учтем далее, что
силы взаимодействия между каждой парой точек согласно третье-
му закону Ньютона равны по величине, противоположны по на-
правлению и расположены на прямой, соединяющей взаимодейст-
вующие точки. С этой целью запишем момент внутренних сил в
виде суммы моментов сил по всем парам взаимодействующих
точек
2 [г' 2
t=l ;=1
Каждый член последней суммы в силу C.6) равняется нулю в
любой системе отсчета (см. рис. 3.3), т. е.
[r,F/{] + [r/F(/] = [(r, - т,) ?„] = 0, A0.4)
так как вектор F^ коллинеарен вектору г# = г*—г;-.
Учитывая A0.4) и A0.3), из A0.2) найдем, что производная
кинетического момента системы по времени равна сумме моментов
внешних сил, действующих на точки системы (закон измене-
ния кинетического момента системы):
M = Le, A0.5)

106
Законы изменения импульса, момента и энергии
[Гл. II
где
Из A0.5) вытекает (сравнение с E.8)): если проекция суммы мо-
ментов внешних сил на некоторую неподвижную ось для любого
момента времени равна нулю, то проекция кинетического момента
системы на ту же ось сохраняется; например, если
N
»=1
то
л*.=
A0.6)
t=l
Учитывая определение секторной скорости A.11), интеграл A0.6)
можно представить в виде интеграла площадей
N
ри = М
г0,
A0.7)
х
из которого следует сохра-
нение суммы произведений
масс точек на площади, опи-
сываемые за любые одина-
ковые интервалы времени
проекциями радиусов-векто-
ров этих точек на плоскость
Oxij. (См. рис. 10.1, на ко-
тором изображены проекции
площадей, описываемых ра-
диусами-векторами двух то-
чек за интервал времени
At; если для системы двух
точек Ll — 0, то сумма про-
изведений масс точек на
соответствующие площади
сохранится и для любого
другого интервала времени,
Рис. 10-1 равного А^.)
В случае замкнутой системы все силы Ff = 0, и поэтому
.V

§ 10] Закон сохранения кинетического момента системы 107
т. е. будет иметь место (см. (Ю.5)) закон сохранения ки-
нетического момента замкнутой системы:
М = ?/я, [r,v,J = М„. A0.8)
Таким образом, момент замкнутой системы не может изменяться
под действием внутренних сил, поскольку они подчинены третьему
закону Ньютона. Однако ориентация такой системы под действием
внутренних сил может изменяться. Действительно, под воздейст-
вием внутренних сил может произойти перемещение некоторых
точек системы и изменение их скоростей. При этом другие точки
системы также переместятся и изменят скорости, т. е. произойдет
переориентация системы. Вместе с тем момент всей системы оста-
нется неизменным.
В случае незамкнутых систем внутренние силы, вообще гово-
ря, могут влиять на изменение кинетического момента, если сумма
моментов внешних сил зависит от положений и скоростей точек
системы (причина этого уже была выяснена при рассмотрении
закона изменения импульса на стр. 100).
Пример 10.1. Изменение моментов импульсов точек замкнутых
систем.
Рассмотрим две замкнутые системы, каждая из которых со-
стоит из Л^З взаимодействующих точек. Внутренними силами
первой системы являются силы притяжения, прямо пропорцио-
нальные расстоянию между взаимодействующими точками и про-
изведению масс этих точек (коэффициент пропорциональности к).
Точки второй системы взаимодействуют по закону всемирного
тяготения. Сравним изменения моментов импульсов точек обеих
систем.
Так как обе системы замкнутые, то их кинетические моменты
сохраняются относительно любой инерциальной системы отсчета.
Выбирая инерциальные системы с началами в центрах масс рас-
сматриваемых механических систем, для каждой из них получим
N
Мг=М0. A;
Изменение момента импульса i-той точки определяется моментом
внутренних сил согласно уравнению A0.1)
¦ B)

108 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
где Fjj — сила, с которой /-тая точка действует на t-тую точку.
Для первой системы
?П = — х/п;/п,г„, C)
где г,-,- = г*—г,- — вектор, направленный от /-той точки к i-той точ-
ке, Ш] и nti — массы этих точек; для второй системы, согласно
B.15),
F^-yJ^Lrj, D)
Используя C), найдем момент сил, действующих на /-тую точку
первой системы:
Учитывая, что начало отсчета помещено в центр масс (гт=0),
согласно (9.1) получаем
N
miri ~ ~
и, таким образом, для точек первой системы
Следовательно, сохраняется не только кинетический момент всей
системы, но и момент импульса каждой точки:
М, = mt frv,J = Mi0 (i=l,2,..., Л0.
Отсюда вытекает, что точки первой системы при любых началь-
ных условиях движутся каждая в своей плоскости постоянной
ориентации.
В системе гравитирующих точек момент сил, действующих на
t-тую точку, отличен от нуля:
Следовательно, моменты импульсов точек не сохраняются, а при
произвольных начальных условиях изменяются как по величине,
так и по направлению. Последнее означает, что движение грави-
тирующих масс при N^.3, вообще говоря, неплоское. Например,

§ 11] Закон сохранения энергии системы 109
момент каждой планеты солнечной системы изменяется. Но по-
скольку масса Солнца значительно больше массы любой планеты,
то воздействие планет друг на друга весьма мало по сравнению
с воздействием Солнца на планеты. Поэтому в любой момент вре-
мени картину движения можно представить так: каждая планета
движется по определенному эллипсу только под воздействием
Солнца, а влияние всех прочих планет сводится к медленному
изменению характеристик этого эллипса. Величины параметров,
эксцентриситетов и наклонений орбит различных планет взаимо-
связаны между собой, и эту взаимосвязь дает закон сохранения
кинетического момента всей системы.
§ 11. Законы изменения и сохранения эиергии системы
Умножим г"-тое уравнение системы C.5) скалярно на переме-
щение dTi соответствующей точки и учтем разделение сил на
внутренние и внешние (см. (9.10)). Тогда аналогично тому, как
было получено F.1), получим выражение для изменения кинети-
ческой энергии t-той точки
где Ti — кинетическая энергия t-той точки, dAl" и dA\ — работы
внутренней и внешней сил на элементарном перемещении t-той
точки соответственно. Суммируя A1.1) по всем точкам, находим
dT = dAm + dAe, A1.2)
N
где Т — S\Ti — кинетическая энергия системы, равная
N
сумме кинетических энергий точек, dAm — V Fjn afr,- — элементарная
N
работа всех внутренних сил, dAe — V Fldrt — элементарная работа
всех внешних сил. Итак, дифференциал кинетической энергии си-
стемы равен элементарной работе всех внутренних и внешних сил,
действующих на точки системы.
В отличие от изменений импульса и кинетического момента
изменение кинетической энергии зависит как от внешних, так и от
внутренних сил. Чтобы убедиться в этом, представим работу внут-
ренних сил в виде (см. (9.10) и C.6))
dA™ = ? {Ftldrt + F^dr,} = ? F,, (drt - dr,). (\ 1.3)
Ki

110 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
Поскольку перемещения различных точек под воздействием даже
одинаковых сил, вообще говоря, различны, т. е.
dr^dr, (i, j=l,2 N, 1ф}),
то
dAm^0. A1.4)
Теперь рассмотрим закон изменения кинетической энергии
A1.2) в предположении, что сумма всех внешних сил, действую-
щих на /-тую точку системы, и сумма всех внутренних сил, дейст-
вующих на ту же точку, соответственно равны:
F1 = F?-P + F^ + F?'d, Fjn = Fjn-P + F|M A1.5)
(здесь индексами р, g, d обозначены соответственно потенциаль-
ные, гироскопические и диссипативные силы). Учитывая, что гиро-
скопические силы не совершают работы (см. F.22)), т. е.
Ft*drt = O (i=l,2,...,N), A1.6)
найдем, что
N N
dAe = V ft'pdri -f- ? Ft'Adrt,
<=i t=i A1J)
N N
dAm = ln |M
Так как потенциальные силы удовлетворяют условию F.3), то
?'pdrt + C (t= 1,2 ЛО. (П.8)
где Ul (r,-, t)— потенциальная энергия t-той точки во внешнем по-
тенциальном поле, а символом у» обозначен оператор «набла»
(см. стр. 69), где дифференцирование производится по координа-
там t-той точки. Используя A1.8), получим выражение для рабо-
ты внешних потенциальных сил (см. F.18)):
N
FVPdr( = -dUe+ ^-dt, A1.9)
N
где Ue = у С? — потенциальная энергия системы во внешних полях.

§ 11] Закон сохранения энергии системы 111
Предположим, что потенциальная энергия взаимодействия
любой пары точек системы задается функцией
t/f/ = tM|r,-i7|). A1.10)
Тогда для потенциальных сил взаимодействия точек находим
Нетрудно убедиться, что эти силы удовлетворяют закону действия
и противодействия C.6), а их элементарная работа равна
Ffa^+Ffar, = -#/„. A1.12)
Суммируя A1.12) по всем парам точек системы, получим работу
всех внутренних потенциальных сил в виде
{ Ffruv + F&dr,) = -dUia, A1.13)
где [/'" = V [/г,- — внутренняя потенциальная энергия системы.
Потенциальную энергию ?/ системы определяют
как сумму ее потенциальной энергии во внешних полях и внутрен-
ней потенциальной энергии:
При допущениях A1.8) и A1.10) потенциальная энергия системы
имеет вид
N N
u=Vlut(*i>t)~YjjUii(lTt'~ril)' AU5)
Полная механическая энергия Е системы (или,
кратко, энергия системы) определяется как сумма кинети-
ческой и потенциальной энергий системы
E = T + U. A1.16)
Основываясь на законе изменения кинетической энергии A1.2) и
используя A1.7), A1.9), A1.13) и A1.16), получим
N
A1.17)

112 Законы изменения импульса, момента и энергии [Гл. II
где F^ = F1; + Ft'd — сумма внутренних и внешних диссипатив-
ных сил, действующих на г-тую точку. Разделим левую и правую
части A1.17) на элемент времени dt; тогда найдем, что полная
производная механической энергии системы по времени равна сум-
ме частной производной потенциальной энергии системы во внеш-
них полях по времени и мощности диссипативных внутренних и
внешних сил, действующих на точки системы:
4. (П.18)
?=1
С помощью этого закона изменения механической
энергии системы относительно инерциальной си-
стемы отсчета получим закон сохранения механиче-
ской энергии системы. Действительно, если потенциальная
энергия системы во внешних полях явно от времени не зависит,
а диссипативные силы (внешние и внутренние) отсутствуют,
т. е. если
dU*
= 0hF? = 0 (t = 1,2 N), A1.19)
dt
то механическая энергия системы сохраняется:
<»¦*>
?=1 ?=1 ?,/=1
Такую систему называют консервативной.
Энергия может сохраняться также и в том случае, когда
убыль энергии за счет диссипативных сил компенсируется поступ-
лением энергии в систему. Тогда
N
dt
?=1
причем
N
a
dt
(см. F.24)).
Механическая энергия замкнутой системы сохраняется, если
внутренние диссипативные силы отсутствуют:
E=T + Uin = E0. A1.22)

§ 11] Закон сохранения энергии системы 113
Если же внутренние диссипативные силы отличны от нуля, то ме-
ханическая энергия замкнутой системы убывает, т. е.
N
где ? = Г+№. Однако это не означает исчезновения энергии: на-
личие диссипативных сил приводит к превращению механической
энергии в определенное количество теплоты. В связи с этим под-
черкнем, что закон сохранения механической энергии является
частным случаем всеобщего закона сохранения и
превращения энергии всех форм движения ма-
терии, согласно которому формы движения «при известных
обстоятельствах... переходят друг в друга», «и притом так, что
данному количеству энергии в одной форме всегда соответствует
определенное количество энергии в какой-либо другой форме» *.
Например, механическая энергия движущихся зарядов, излучаю-
щих электромагнитные волны, превращается в энергию этого из-
лучения. Закон сохранения энергии, учитывающий изменение энер-
гии за счет излучения, формулируется в электродинамике. Что
касается закона сохранения энергии, учитывающего передачу
тепла, то он изучается в термодинамике. Полученный выше закон
сохранения механической энергии представлят собой лишь закон
превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.
В заключение сделаем ряд общих замечаний о законах изме-
нения и сохранения импульса, кинетического момента и энергии.
Законы изменения
лг
P = Fe, M=Le, ? = -^ +
г=1
представляют собой семь уравнений, которые при определенных
свойствах сил приводят к законам сохранения.
В случае замкнутой системы в отсутствие внутренних дисси-
пативных сил число интегралов движения, вытекающих из законов
сохранения, максимально, а именно в этом случае имеем семь
первых и три вторых интеграла
rm = vmo (' 'О/ ~'~ rmo»
т. е. десять классических интегралов механики.
Ф. Энгельс. Диалектика природы. М., Политиздат, 1965, стр. 58 и 168.

114 Законы изменения импульса, момента и энергии {Гл. II
Законы сохранения могут иметь место для систем с любым чис-
лом точек, в связи с чем они являются важнейшим орудием иссле-
дований. Например, изучение свойств газа, состоящего из очень
большого числа молекул, основано на законах сохранения.
В настоящей главе законы сохранения были получены как
следствие уравнений движения Ньютона. Поэтому они связаны со
свойствами пространства и времени, которые постулируются в
классической механике. Эту связь лучше рассмотреть на примере
замкнутой системы (см. приложение 51.1, а также [21, §§ 6—9J).
Оказывается, что сохранение импульса связано с однородностью
пространства, в силу которой механические свойства замкнутой
системы не меняются при любом параллельном переносе системы
как целого. Сохранение момента связано с изотропией простран-
ства, в силу которой механические свойства замкнутой системы
не изменяются при любом повороте системы как целого. А сохра-
нение механической энергии связано с однородностью времени,
в силу которой механические свойства замкнутой системы не ме-
няются при любом «переносе» системы во времени.
Наконец, подчеркнем, что законы сохранения справедливы и
в таких замкнутых системах, когда движение объекта не описы-
вается уравнениями Ньютона. Следовательно, значение законов
сохранения импульса, момента и энергии выходит далеко за рам-
ки классической механики.
Пример 11.1. Зависимость скоростей планет от их расстояний
до Солнца и их расстояний между собой.
Рассмотрим солнечную систему как систему, состоящую из
Л/1 материальных точек (планет) и Солнца — одной точки весьма
большой массы по сравнению с массами прочих точек. Поскольку
эту систему можно считать замкнутой, ее центр масс движется
равномерно и прямолинейно. Если пренебречь процессами излу-
чения и диссипации, то механическую энергию системы можно
считать постоянной. Найдем интеграл энергии относительно инер-
циальной системы отсчета с началом в центре масс солнечной
системы. Для этого вычислим потенциальную энергию взаимо-
действия любой пары точек (см. A1.12)):
Используя третий закон и закон всемирного тяготения B.15),
получим, что
Ut/ = - jF/((dr( - drj) = - Г F/, dvlt - - Y ^ (О

§ П] Закон сохранения энергии системы 115
Таким образом, интеграл энергии A1.20) можно записать в виде
N 2 w о N ,, N
где m,- и v, — масса и скорость t'-той планеты, Ms и vs — масса и
скорость Солнца. Учитывая, что в системе центра масс vm = 0,
установим связь между скоростью Солнца и скоростями планет
(см. (9.2)):
= 0. C)
?=1
Исключая с помощью C) из интеграла B) скорость vs, получим
соотношение между скоростями планет v,-, их взаимными расстоя-
ниями Гц и расстояниями до Солнца ris (i, / = 1, 2, ..., N, 1ф]):
N 2 N N N
1 С , ' I \. ' \- Ж 1 .. ¦¦¦'-¦"й ж 1 .. "Ч"Ч г- /л\
(=1 i=l i=l ..
;</
Таким образом, изменение расстояний от планет до Солнца и рас-
стояний между планетами приводит . к изменению скоростей
планет.
В интеграле D) вторая и четвертая суммы малы по сравне-
нию с первой и третьей суммами соответственно, так как М8^>тг
(г = 1, 2, ..., Л"). Пренебрежение указанными малыми членами
равносильно пренебрежению воздействием планет на движение
Солнца и друг на друга, т. е. равносильно допущению о том, что
каждая планета движется только под воздействием Солнца. При
таком допущении вместо интеграла D) будут иметь место интег-
ралы энергий для каждой планеты в центрально-симметричном
поле Солнца (см. G.1) и (8.1)):

Глава III
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ И ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ
Под задачей двух тел обычно понимают задачу о движении
двух взаимодействующих точек в отсутствие внешних сил. Значе-
ние этой задачи весьма велико: ее решение лежит в основе небес-
ной механики и теории свободного движения спутников, в основе
теории столкновения и рассеяния частиц; ее решение использует-
ся в статистической механике, когда задачу о движении многих
частиц фактически сводят к статистической задаче двух точек,
и т. д.
§ 12. Задача двух тел
Исследуем движение двух точек с массами т\ и т2, если по-
тенциальная энергия их взаимодействия U зависит только от
расстояния между точками (см. A1.10)), а внешние силы отсут-
ствуют.
Уравнениями движения точек относительно инерциальной си-
стемы S являются уравнения C.5)
Faid^ — ill), A2 jj
= Fu (| г2 — ii |),
где F21 = — Vi^( IГ2 — г! I). a F12 = — y2U ([ г2 — гх |).
Один из векторных интегралов уравнений A2.1) очевиден:
ввиду отсутствия внешних сил центр масс системы движется от-
носительно S равномерно и прямолинейно (см. (9.18)). Таким
образом, скорость центра масс и его радиус-вектор соответственно
равны
vm = vm0, rm=vm0* + rm0, A2.2)
где vm0 = — (т^ю -;•¦ m2v20), rm = — Кгц - m2r20), a r10, r20, v10,
m m
v20 — начальные положения и скорости соответствующих точек.

§ 12]
Задача двух тел
117
Рассмотрим далее движение точек относительно поступа-
тельно движущейся системы центра масс Sm
(рис. 12.1). Так называют систему отсчета, начало которой нахо-
дится в центре масс механиче-
ской системы, а оси не изменяют
своей ориентации относительно
системы S (т. е. углы между ося-
ми систем Sm и S неизменны).
В данном случае система Sm
инерциальна, поскольку центр
масс движется равномерно и пря-
молинейно относительно систе-
мы S. Следовательно, положения,
скорости и ускорения точек отно-
сительно S и Sm связаны между
собой соотношениями (см. C.8^,
C.9) и C.10)):
11 — *т 7Г l(t vi vm0 i vi>
w(. = w: (i =1,2), A2.3) Рис. 12Л
где «нештрихованные» векторы относятся к системе S, а «штрихо-
ванные» — к системе Sm. Учитывая инвариантность уравнений
движения при переходе от системы S к Sm (см. стр. 47), из A2.1)
получим
21
m2 r'2 = F12 (| Г2 —
A2.4)
Однако положения точек 1 я 2 в системе Sm не являются незави-
симыми. Действительно, из определения центра масс (9.1) и опре-
деления системы Sm имеем
т2г'2 = 0.
A2.5)
Поэтому радиус-вектор г=Гг—ri, характеризующий относительное
расположение точек, выражается через rj и г'2:
г-, = rn — r, =
r'_
A2.6)
а радиусы-векторы rj и г'2 связаны с вектором г соотношениями
, = —-r.
m
A2.7)

118 Задача двух тел и теория рассеяния частиц [Гл. III
Дифференцируя A2.5) — A2.7) по времени, получаем аналогичные
¦соотношения для скоростей точек
т{у\+щ\'2 = 0, A2.8)
A2.9)
— ?_ v V — — V
т. z m
где v = v2 — \x.
Соотношения A2.6) или A2.7) дают возможность разделить
переменные в уравнениях A2.4). Действительно, подставляя
A2.6) в A2.4), найдем
|> ^;=Ч1^1> A2Л0)
Отсюда, переходя к переменной г, сведем оба уравнения к одному
.и тому же уравнению
|i"r=Fl2(|r|), . A2.11)
¦где ц = —^-2 «приведенная» масса. Это уравнение
т1 + щ
представляет собой уравнение движения одной точки в заданном
поле с центром силы, как бы помещенным в центр масс системы
двух точек. Таким образом, задача двух тел сводится к эквива-
лентной задаче о движении ц-т очки — воображаемой точки с
массой [I и радиусом-вектором г — в центрально-симметричном
поле с неподвижным центром, т. е. к задаче, разобранной в § 7.
Поскольку на ц-точку «действует» центральная стационарная
потенциальная сила, имеет место сохранение момента импульса
я энергии относительно Sm:
|i[rv]=Mi, J^- + U(\r\) = E'o. A2.12)
Выведем эти интегралы, исходя непосредственно из законов со-
хранения (Ю.8) и A1.22). Согласно этим законам кинетический
момент и энергия системы двух точек относительно Sm сохра-
няются:
М'= Ml + Mz = М^, E' = T[ + T'a + U = E'O. A2.13)

§ 12] Задача двух тел 119'
Выразим момент импульса и кинетическую энергию точки 1 в пе-
ременных г, v (см. A2.7) и A2.9)):
\ m /
Аналогично для второй точки получим
а учитывая A2.14) и A2.15), найдем выражения кинетического
момента и кинетической энергии системы в переменных г и v:
M' = n[rv], T' = ^-. A2.16).
Следовательно, A2.12) и A2.13) представляют собой одни и те же
законы сохранения.
Сопоставляя A2.12) с интегралами G.1), мы видим, что ре-
шение задачи двух тел относительно Sm можно найти сразу, если
в формулах E.13), G.5) и G.8) произвести замену
m-*-\i, М0-»М0, Е0—*Е0. A2.17)*
Тогда получим общее решение уравнения A2.11):
Лог = 0, t=± [ 1- const,
м0
—Idr
Ф = ± \ -m—— ^ + const«
где
2ц,г2
Смысл первого из интегралов A2.18) очевиден: он определяет-
плоскость движения ц-точки. Эта плоскость проходит через центр
масс перпендикулярно к М0) т. е. совпадает с плоскостью О'х'у'
на рис. 12.1. Второй и третий интегралы определяют движение
(а-точки на указанной плоскости в полярных координатах. Таким
образом, с помощью интегралов A2.18) можно определить функ-

120 Задача двух тел и теория рассеяния частиц [Гл. III
дию r(t) и тем самым с помощью A2.7) найти положения точек
1 и 2 относительно Sm. Затем, используя A2.2) и A2.3), можно
найти законы движения точек относительно системы S в виде
A2.19)
Аналогично для скоростей точек относительно 5 получим решение
в виде (см. A2.9) и A2.3))
m
A2.20)
Итак, общее решение задачи двух точек, потенциальная
энергия взаимодействия которых зависит только от расстояния
между ними, в отсутствие внешних сил определяется формулами
A2.18), A2.2) и A2.19). Из этих формул следует, что относи-
тельно инерциальной системы отсчета центр масс точек движется
равномерно и прямолинейно, а обе точки относительно системы
центра масс совершают движение в плоскости, проходящей через
центр масс и сохраняющей свою ориентацию относительно инер-
циальной системы отсчета; траектории обеих точек относительно
системы центра масс подобны, а центр подобия находится в центг
ре масс, причем соотношение подобия равно отношению масс
точек.
Проиллюстрируем задачу двух тел на примере системы с по-
тенциальной энергией взаимодействия (см. (8.1))
где а равняется либо Ymim2 (гравитационное взаимодействие),
либо —е\е2 (электростатическое взаимодействие). В этом случае
общее решение аналогично решению, приведенному в § 8. Напри-
мер, производя в формуле (8.3) замену A2.17), получим уравне-
ние орбиты ja-точки
г= - , A2.21)
+ 1 -[- 8 COS ф

§ 12]
Задача двух тел
12S
где р =
л Г,
параметр орбиты, г — 1
— эксцентри-
ситет орбиты, значение + 1 в знаменателе формулы соответствует
случаю а >¦ 0, а значение — 1 — случаю а 0
Закон движения |я-точки по эллиптической орбите найдем иа
формулы (8.10):
r = a(\— ecos|), < = —-(g — esin ?),
где а =
1 — в
— большая полуось эллипса, по которому движет-
ся |я-точка, Р=4п2(|ха3/а) — квадрат периода обращения по эл-
липсу, а р и е определены в A2.21).
Чтобы представить себе движение реальных точек 1 к 2 отно-
сительно 5ТО,' рассмотрим их движение по эллиптическим орбитам
при различных соотношениях масс и заданных р и е. Например*
пусть гп2<.Ш\, тогда выражения радиусов-векторов точек через;
радиус-вектор |я-точки можно записать в виде (см. A2.7))
m2
m,
!8ЛГ
l J
если же т2 = mlt то
Т:
Таким образом, если |я-точка движется по эллипсу, то и реальные
точки описывают эллиптические орбиты (рис. 12.2). Рассмотрен-
/
/
1
\
4
\
^"\
(
(
*^
<0'
3
---
У
k
у
Рис. 12.2
ные случаи дают представление о движении систем: планета
Солнце и двойные звезды соответственно.

122 Задача двух тел и теория рассеяния частиц {Гл. III
Полезно найти соотношения между периодом обращения точек
по эллиптическим орбитам и их большими полуосями. Например,
в случае гравитационного притяжения для ц-точки
у ml-+- m2
Периоды обращения точек 1 и 2, очевидно, равны периоду Т.
С другой стороны, большие полуоси орбит этих точек выражаются
через а, поскольку из A2.7) вытекает, что
г.— г, г„
1 т J m
и, следовательно,
т. т,
а1 = —2-а, а=—i-a,
т т
где й\ и п2 — большие полуоси эллиптических орбит точек 1 я 2
•соответственно. Таким образом, найдем отношения квадрата пе-
риода Т к кубам больших полуосей а\ и а^.
Т2 4л2 ml Т2 4л2 т2
а\ У ml a\ У т\
где т=Ю\ + т2. Эти отношения зависят от масс точек, в связи
•с чем становится понятной приближенность третьего закона Кеп-
лера, приведенного на стр. 89. Действительно, поскольку масса
.любой планеты весьма мала по сравнению с массой Солнца, то
отношение T^jcu, для любых двух планет одинаково с большой
точностью.
Теперь применим к рассматриваемой задаче теорему о вириа-
ле сил в том случае, когда точки движутся по эллипсам. Согласно
•формуле F.38), отнесенной к 5то-системе, получим
Подставляя сюда выражения сил через потенциальную энергию
¦U(г), найдем соотношение
V = — ^г,
которое для потенциала вида (8.1) упрощается
A2.22)

§ 13] Упругое рассеяние частиц 1231
Кроме того, поскольку Т -\-U = E0, A2.22) приводи, к формулам
Т'= — Е'о, п=2Е'о, A2.23)
которые определяют средние значения кинетической и потенци-
альной энергий системы через ее полную энергию в начальный,
момент времени.
§ 13. Упругое рассеяние частиц
Если в начальный момент времени две частицы находятся'
достаточно далеко друг от друга, а их начальные скорости на-
правлены так, что с течением времени происходит сближение
частиц, в результате взаимодействия они могут снова удалиться
на достаточно большое расстояние друг от друга, причем их ско-
рости как по величине, так и по направлению изменятся. В этом
случае говорят, что произошло рассеяние частиц. Если в
результате взаимодействия при t-*- + oo расстояние между части-
цами стремится к нулю или остается ограниченным, то говорят,
что произошел захват частиц. Рассеяние и захват частиц
зависят от характера взаимодействия между частицами, в связи
с чем изучение таких процессов играет большую роль в физике.
Рассмотрим задачу о рассеянии двух частиц, в которой счи-
таются известными массы частиц и потенциальная энергия их
взаимодействия как функция расстояния г между ними, а внеш-
ними силами можно пренебречь. До рассеяния, т. е. при
/-н>—оо, частицы считаются бесконечно удаленными друг от друга;,
они обладают скоростями, соответственно равными
Vf= Vj @ |f-^_оо, VJ-= Va @ |<-»-оо. A3.1)
где vi(^) и v2@ — скорости обеих точек в момент времени t.
Практически состояние «до рассеяния» характеризуется таким
конечным расстоянием между частицами, на котором энергией их
взаимодействия можно пренебречь. Скорости, рассматриваемые к
A3.1), являются скоростями частиц относительно некоторой инер-
циальной системы отсчета, которую в теории рассеяния обычно'
называют лабораторной системой или л-системой.
В задаче считается известной ориентация плоскости движения
частиц относительно системы Sm, которую в теории рассеяния
часто называют ц-с и с т е м о й. Также считается известным при-
цельное расстояние р~, т. е. расстояние между асимптота-
ми траекторий частиц относительно Sm, по которым частицы дви-
жутся до рассеяния; прицельное расстояние можно также опреде-
лить как минимальное расстояние, на котором частицы пролетели
бы друг от друга в отсутствие взаимодействия (см. рис. 13.1, где

124
Задача двух тел и теория рассеяния частиц
[Гл. III
в качестве траектории jx-точки изображена ветвь гиперболы, соот-
ветствующая случаю отталкивания — сравните с рис. 8.1, а траек-
тории действительных точек изображены для ml=m2).
Рис. 13.1
Если скорости частиц до рассеяния заданы, то ориентация
плоскости движения относительно Sm определяется одним скаляр-
ным параметром. Действительно, по этим скоростям можно опре-
делить их разность: вектор
v- = vr-v- A3.2)
который лежит в плоскости движения частиц относительно Sm
(см. A2.9)). Поэтому ориентацию этой плоскости всегда можно
задать единичным вектором n2-, перпендикулярным к плоскости и,
следовательно, перпендику-
лярным к v- (рис. 13.2). Но
направление пг', если v~ за-
дан, определяется одним
скалярным параметром, на-
пример углом е между пг - и
единичным вектором пху, ле-
жащим в плоскости О'ху и
перпендикулярным к v~.
Итак, в задаче о рассея-
нии двух частиц будем счи-
тать известными массы этих
частиц тх и пг2, потенци-
альную энергию их взаимо-
действия U(г), скорости до
рассеяния v~ и vj" относи-
Рис. 13.2

§ 13] Упругое рассеяние частиц 125
тельно лабораторной системы отсчета, угол в, определяющий
ориентацию плоскости движения относительно системы центра
масс, а также прицельное расстояние р~, которое характеризует
относительное расположение точек до рассеяния в системе цент-
ра масс. По этим данным требуется определить vjb и v+ — ско-
рости обеих частиц после рассеяния, т. е. при ^-»-+оо:
. A3.3)
Устремляя t к +оо в соотношениях A2.9) и A2.20), справед-
ливых для любого момента времени, и используя сохранение
скорости центра масс частиц (см. A2.2)), получим
v'+ = —-2?.у+, v;+ = ^i-v+, A3.4)
1 m m
A3.5)
/Ч- —
где Vj', v2~r — скорости точек после рассеяния относительно системы
**т> vm = — (т1уГ т~тау2~)— скорость центрамасс. Как видно, в A3.4)
и A3.5) входит один неизвестный вектор v+ — разность скоростей
точек после рассеяния. Величину этого вектора можно найти, ис-
пользуя закон сохранения энергии относительно системы Sm.
Действительно, A1.22) с учетом второй из формул A2.16) приво-
дит к интегралу
JiisUL + t/ч-= JiJ22. + ?/-, A3.6)
2 ?
где U~, U+ — значения потенциальной энергии взаимодействия
частиц до и после рассеяния. Эти значения равны между собой,
т. е.
U+ = U-, A3.7)
поскольку как до рассеяния, так и после него частицы находятся
на бесконечно большом расстоянии друг от друга. Таким образом.
из A3.6) и A3.7) вытекает, что величина разности скоростей час-
тиц после рассеяния и до него одна и та же:
o+ = tr. A3.8)
По существу этот вывод основан на предположении о том, что
внутренняя энергия частиц в процессе рассеяния остается неиз-
менной (такое рассеяние называется упругим).

126 Задача двух тел и теория рассеяния частиц [Гл. III
Учитывая A3.8), неизвестный вектор v+ можно представить
в виде
v+ = y-n9m, A3.9)
где v- = \\- — v~|, т. е. является известной величиной, а пвт—еди-
ничный вектор, направленный по вектору v+ или по вектору v'2+ t
что видно из A3.4). Орт щт легко определить, используя решение
задачи двух тел. Действительно, вычисляя последний из интегралов
A2.18) в пределах от rmin до оо, получим <рт — угол между асимп-
тотой траектории и апсидой (см., например, рис. 13.1):
м0
оо
_ Г
та ~ J
A3.10)
где гт1п определяется из уравнения EQ — Uell.
Интеграл A3.10) определяет угол фт как функцию Ей, Мо
и приведенной массы ц (при заданной потенциальной энергии
U(г)). В свою очередь постоянные Ео и Мо могут быть выраже-
ны через известные величины, т. е. через v- — величину разности
скоростей точек до рассеяния и р- — прицельное расстояние. На-
пример, используя последнюю из формул A2.16) и полагая потен-
циальную энергию на бесконечности равной нулю, получим
E'0 = ±<?L. A3.11)
Величину кинетического момента относительно системы центра
масс можно записать в виде (см. A2.16))
Мо = lirv Shi (Г, V) |t-_oof
откуда, учитывая, что
г sin (г, v)|<-»_oo = p- A3.12)
(см. рис. 13.1), найдем
Л*о = Цр-1г. A3.13)
Соотношения A3.11), A3.13) и решение A3.10) дают воз-
можность найти угол фт как функцию заданных величин и тем
самым определить углы отклонения скоростей первой и второй
частиц в системе центра масс. Эти углы равны между собой, так
как в указанной системе импульс двух частиц всегда равен нулю,

§ 13} Упругое рассеяние частиц 127
и, следовательно, скорости обеих частиц в любой момент времени
направлены в противоположные стороны. Таким образом, угол
между векторами v',+ и vj— равен углу между Vg+ и \'2~~.
Назовем этот угол углом рассеяния в системе центра
масс и обозначим его 0т. Между углами ц>т и 0т существует
соотношение, которое для центрально-симметричного взаимодейст-
вия принимает весьма простой вид. Действительно, в этом случае
движение частиц относительно их центра масс происходит в плос-
кости, а траектории частиц симметричны относительно апсид
(см. стр. 82), поэтому
0т = я — 2фт. A3.14)
Соотношения A3.4) и A3.5) с учетом A3.9) — A3.14) приво-
дят к решению задачи о рассеянии двух частиц. Запишем это
решение в виде
_-'_{_ ^2 fj-n v'4- ^1 i)- n (\<\ \^\\
VT = V~~ V П9 , VT = V„, i —V'tlQ , (Ic5.lt>)
i т т т ? т т т
где v~ = — \tn-rv~ -f т2\—), v- = vr — vr , а единичный вектор щ
определен углами е и 0m; один из этих углов е задает ориентацию
плоскости движения относительно системы центра масс при заданных
векторах \~, v~, а угол 0т является углом рассеяния частиц в системе
центра масс; зависимость угла 9т от величин р-, v- и характера взаи-
модействия определяется интегралом
оо
9т=я —2 Г -^ A3.17)
J г2 Г 2U(r) (р~J -yh l ;
rmin [ y.(v-f — ^2 J
где rmin является корнем уравнения
= 0. A3.18)
Итак, формулы A3.16) и A3.17) представляют собой решение
задачи об упругом рассеянии двух частиц. Эта задача является
частным случаем задачи двух тел, когда интересуются лишь ско-
ростями частиц, после рассеяния. Поэтому в задаче о рассеянии
требуется меньшая информация относительно начальных условий
по сравнению с задачей двух тел. Подчеркнем еще одну особен-
ность задачи о рассеянии. Так как решение в виде A3.16) полу-

128 Задача двух тел и теория рассеяния частиц [Гл. 111
чено на основе лишь законов сохранения, то скорости после рас-
сеяния v+, v+ являются одними и теми же функциями скорос-
тей до рассеяния vp, v~ и углов е, 8т при любом, центральном
взаимодействии частиц. С другой стороны, v+ и v+ как функции
скоростей V]-, \~, угла г и прицельного расстояния р- будут
различными для разных взаимодействий, так как зависимость 8т
от р~ и v~ определяется видом потенциальной энергии.
Только в, одном случае угол отклонения в системе центра
масс имеет определенное значение при любой потенциальной
энергии взаимодействия U(r). Это случай лобового удара,
когда
р- = о (Фт = о, ет = я) A3.19)
и, следовательно, вектор пе направлен противоположно век-
тору v~: ¦
nem = —. A3.20)
Подставляя A3.20) в A3.16), получим решение задачи о рассея-
нии для случая лобого удара
A3.21)
2 m Vl '
m
Расчет общего случая (р^^О) становится более наглядным,
если использовать графическое изображение решения A3.16), т. е.
так называемую диаграмму скоростей. Прежде всего по-
строим эту диаграмму в системе Sm. Скорости после рассеяния
известны из решения A3.15), а скорости до рассеяния получим
устремив в A2.9) t-+—оо:
v'—= ^2_у- v'—= -^i-v~. A3.22)
1 m ' 2 m
Используя A3.22) и A3.15), получим диаграмму скоростей в си-
стеме Sm (рис. 13.3,а). В этой системе особенно просто выглядит
диаграмма импульсов. Умножая скорости точек (см. A3.15) и
A3.22)) на соответствующие массы, получим выражения для им-
пульсов точек относительно Sm (рис. 13.3,6)
Р'Г=— H-V-,
'4- +
р + = — fiv+, р
'4- 4- A3.23)
2+ = (xv+.
Из диаграммы видно, что упругое рассеяние двух частиц
относительно системы их центра масс сводится к повороту скоро-

§ 131
Упругое рассеяние частиц
129
стей и импульсов частиц на один и тот же угол рассеяния 6т; при
этом величины скоростей (и импульсов) сохраняются.
Рнс. 13.3
Диаграмма скоростей относительно лабораторной системы
отсчета соответствует решению A3.16) (рис. 13.4). Заметим, что
в общем случае плоскость, об-
разуемая на диаграмме скоро-
стей векторами у~ и v~, не
совпадает с плоскостью, обра-
зуемой векторами v^" и v+.
Однако эти плоскости пересе-
каются и конец вектора скоро-
сти центра масс лежит на этой
линии пересечения. Плоскость,
в которой лежат скорости то-
чек, определенные относитель-
но системы Sm, не совпадает,
вообще говоря, ни с плос-
костью векторов v^, v^-, ни с
плоскостью векторов v+, v+.
В заключение этого пара-
графа рассмотрим захват ча-
стиц, точнее, рассмотрим п а- Рис. 13.4
дение частиц друг на
друга, когда г-^-О при ^->-+оо. Исследование этого случая можно
провести с помощью условий G.9) и G.11). Действительно, заме-
няя в этих формулах т на приведенную массу ц и учитывая
A3.11) и A3.13), получим неравенство, определяющее область
изменения г в задаче двух тел:
"* •i?TL, A3.24)
5 И. И. Ольховский

130 Задача двух тел и теория рассеяния частиц [Гл. III
а также условие падения частиц
0^^р^(р-J. A3.25)
Для сил отталкивания условие, падения не удовлетворяется
ни при каких р~. В случае преобладания быстро убывающих сил
притяжения (при г-*-0) падение становится возможным хотя бы
для некоторых прицельных расстояний. Если известны потенциаль-
ная энергия взаимодействия частиц, их "массы и скорости до
захвата (т. е.. при t'->—оо), то можно, воспользовавшись соотно-
шениями A3.24) и A3.25), определить, при каких прицельных
расстояниях произойдет захват.
Пример 13.1. Рассеяние двух частиц, одна из которых до рас-
сеяния покоится. ¦ ' .
Частица с массой т.\ до рассеяния покоится, т. е. v~ = О,
а вторая частица т2 движется со скоростью \7 относительно
л-системы. Определить- абсолютные величины и направления ско-
ростей обеих частиц после рассеяния относительно л-системы как
функции %т — угла рассеяния в системе центра масс.
Из условия видно, что скорость центра масс и разность ско-
ростей частиц до рассеяния соответственно равны
Отсюда с помощью A3.22) получим скорости точек до рассеяния
в системе Sm
а используя A3.15) и A3.16), найдем скорости частиц после рас-
сеяния
у -г =
v+ = ЛЬ- ч _ JSl. y-n9m, v+ = ЛЬ.Ч + ЛЬ.
C)
В рассматриваемом примере движение является плоским как
относительно системы Sm, так и относительно л-системы, причем
плоскости движения в обеих системах совпадают друг с другом.
Благодаря этому одну из координатных плоскостей л-системы
можно совместить с плоскостью движения. Тогда вектор nem> ле-
жащий в этой плоскости, будет определяться одним параметром,

§ 13]
Упругое рассеяние частиц
131
а именно углом рассеяния 6т. Заметим также, что в системе Sm
величина скорости первой точки после рассеяния равна величине
скорости центра масс, а отношение v'{+lv'2+ всегда равно обрат-
ному отношению масс точек.
Диаграмма скоростей
для данного примера, приве-
дена на рис. 13.5. Здесь 6i и
62 — углы рассеяния пер-
вой и второй частиц в л-си-
стеме; они отсчитываются от
направления скорости vj"
второй частицы до рассея-
ния. Пользуясь этой диа-
граммой, решением C) и
тригонометрическими соот-
ношениями, найдем
•и
Рис. 13.5
2
°2
m
D)
cos
щ_
т.
ч- cos е„
Рассмотрим решение D) при различных соотношениях между
массами частиц, считая для определенности, что между частицами
действуют силы отталкивания. Тогда 6т может изменяться от О
до я; причем 6т = 0 соответствует бесконечно далеким пролетам
частиц, а 6т=л — лобовому удару.
Пусть, например, ml>m2, т. е. масса частицы, покоящейся до
рассеяния, больше массы налетающей частицы (рис. 13.6,а).
В этом случае с изменением 6т от 0 до л угол 02 изменяется так-
же от 0 до л, т. е. налетающая частица может быть рассеяна по
любому направлению. Соответственно частица, покоящаяся до
рассеяния, может быть рассеяна под углом от я/2 до 0. Угол раз-
лета 6| + 62 для любых 0т будет больше л/2, а в случае лобового
5s

132
Задача двух тел и теория рассеяния частиц
{Гл. III
удара скорости частиц после рассеяния v^~ и v+ взаимно противо-
положны. Весьма простой вид принимает решение D), если
E)
(т2 > т,)
г)
Рис. 13.6
В случае равенства масс налетающей и покоящейся частиц
из решения D) получим (рис. 13.6,6)
1 2 2
F)
од
2
Здесь угол разлета 01+9г для любого 0т равен я/2, а в случае
лобового удара происходит «обмен» скоростей.
Пусть теперь т2>ти т. е. масса налетающей частицы боль-
ше, чем масса покоящейся до рассеяния частицы (рис. 13.6,в).

§ 13] Упругое рассеяние частиц 133
Из диаграммы скоростей видно, что угол разлета 6i + G2 для лю-
бого 6т меньше, чем я/2, а в результате лобового удара скорости
частиц v+ и v+ направлены одинаково. Наиболее интересной осо-
бенностью рассматриваемого случая является то, что данному
углу б™ соответствуют определенные значения v+ и 02, а данному
углу 02 соответствуют два значения 0т и vf. Иначе говоря, функ-
ции о+Fт) и 62Fт) являются однозначными функциями, а
функции 6т@2) и t>+@2) —двузначными. Это необходимо иметь
в виду, так как экспериментально измеряется именно угол 02, а
ему соответствуют два возможных значения 0т и vf. С этой
особенностью связано и то, что угол отклонения 02 налетающей
частицы изменяется в пределах от 0 до некоторого максимального
значения 02тах (рис. 13.6, г), определяемого формулой
sin62max = -^. G)
Пользуясь последней из формул D), найдем, что
cos2 0m + 2 -^- sin2 02 cos 0m + (-^- sin 02Y — cos2 0a = 0. (8)
m1 \ m1 J
В решении этого уравнения следует выбрать знак перед радика-
лом, для чего рассмотрим предельные случаи далекого пролета и
лобового удара. Например, если m2<ml, то из диаграммы, пред-
ставленной на рис. 13.6, а, в пределе получим
02->-О, если 0т-»О; 02->-я, если 0т-»-я. (9)
К этим предельным значениям приводит решение уравнения (8)
с положительным знаком перед радикалом:
cos 0m = + cos 02 1/ 1 — f-^s- sin 62J — -2s- sin2 02. A0)
Если m2>mu то из диаграммы, представленной на рис. 13.6, в,
можно увидеть, что
02->-О при 6т->-0 и 0т->я, A1)
т. е. решение уравнения (8) будет содержать оба знака:
cos0m = ± cos 021 / 1 — (^- sin 62Y — -2l sin2 02. A2)
Первая ветвь этой функции, соответствующаяЧположительному
знаку перед радикалом, дает значения Gm, лежащие в пределах
от 0 до 0т(вгтах) (при этом 02 изменяется от 0 до 62max). Вторая

134 Задача двух тел и теория рассеяния частиц [Гл. III
ветвь соответствует значениям 6т, лежащим в пределах от
&mF2max) Д° л (ПРИ этом бг Изменяется ОТ бгтах ДО 0).
Пример 13.2. Рассеяние двух частиц, скорости которых до
рассеяния равны по величине и противоположны по направлению.
Пусть скорости обеих частиц до рассеяния относительно л-си-
стемы соответственно равны
vj-gfcO, v- = —v-.
Определить абсолютные величины и направления скоростей частиц
в лабораторной системе как функции угла 8т.
Согласно условию задачи скорость центра масс частиц, раз-
ность их скоростей и скорости частиц относительно системы Sm до
рассеяния соответственно равны (см. A3.22))
V -
Отсюда с помощью A3.16) находим
1 т ' т ' т'
_ - B)
V2 = — ~ vr + 2—- уГпет-
2 т l m ' т
Поскольку скорости Vj— и v'~ согласно A) коллинеарны скорос-
ти центра масс, постольку движение является плоским не только
в системе центра масс, но и в л-системе. Это дает возможность
построить плоскую диаграмму скоростей (рис. 13.7). При построе-
нии диаграммы мы учли, что между величинами скоростей
v'2+ и vj+ имеет место соотношение
«'+
и что v-<v~ (см. A)).
Из решения B) и диаграммы скоростей получим интересую-
щие нас функции:
[t (i *? Щ B Щ) cos 6m]'/s
m

13] Упругое рассеяние частиц 135
V+ = [4/и| -)- (т1 — т2J — 4тх (т1 — т2) cos 6m]!/s C)
tg62
— cos 9m — cos B
2
cos 9m
2m2 2ml
Проанализируем это решение. Пусть, например, rai>3m2; тогда
из A) и B ) следует
v2+>vT>vn>v'i+- D)
Таким образом, скорость центра масс по величине больше, чем
скорость первой частицы в системе Sm, но меньше скорости вто-
рой частицы в той же системе. Поэтому функция 0m(9i) будет
двузначной, функция 0т@2) — однозначной, a 0i будет изменять-
ся в пределах от 0 до 6imax (рис. 13.7,а). Угол максимального
отклонения первой частицы определяется формулой
ln,ax )
т1 — т2
В предельных случаях далекого пролета и лобового удара
согласно диаграмме (рис. 13.7, а) имеем:
если 0т-^О, то вг->0 и 02->-О; .
если 9т->я, то 0Х-^О, а 02->-л;
Используя эти предельные значения, а также третью и четвертую
функции из формул C), получим выражения:
1) G)
cos 0m = cos 02 Г1 - (-2^-Y sln^ 92l'/a + JSifH^ sin^ 0, (8)
L V 1m y J J 2m1
В случае mi = 3m2 общее решение C) приводит к более прос-
тым формулам для первой частицы
y+ = urcos-^-, 0! = -^. (9)
11 22
Если же 3/tt2>mj>m2 (рис. 13.7, б), то
v'+>vt>v[+>v-. A0)

136
Задача двух тел и теория рассеяния частиц
[Гл. III
\U2
\
\
\
Рис. 13.7
Поэтому как 6i, так и 6г изменяются от 0 до л, причем в предель-
ных случаях
6
(И)
В соответствии с этим из решения C) аналогично предыдущему
получим однозначную функцию 9m@i), которую запишем в виде
= cos e
['-
* ex A2)
2ma J J 2m2
(меняя здесь индексы 1 и 2 местами, найдем функцию cos8m(92))-

§ 13] Упругое рассеяние частиц 137
Наконец, если mi = m2, то скорость центра масс равна нулю и,
следовательно, с помощью формулы B) найдем (рис. 13.7, в)
v+ = v'+ = — игпй
1 1 1 8т. A3)
V+ = V2+ = +
Соответственно из формулы C) получим
и+ = и+ = иг, 01 = 02 = 0т. (И)
В этом случае решение принимает очень простой вид, так как
л-система и система центра масс совпадают.
Пример 13.3. Рассеяние двух частиц с электростатическим
взаимодействием.
Предполагая, что одна из частиц до рассеяния покоится
(v~=0), а вторая налетает на нее с заданной скоростью vj отно-
сительно л-системы, а также считая известными прицельное рас-
стояние р~ и ориентацию плоскости, в которой движутся частицы,
определить абсолютные величины и направления скоростей обеих
частиц как функции v% и р~.
Часть этой задачи уже решена в примере 13.1. Действительно,
формулы D) этого примера дают интересующие нас величины как
функции vГ и 0т — угла рассеяния в ц-системе:
,em)t 02 = 02@m).
Теперь нужно найти угол 0т как функцию скорости vj и при-
цельного расстояния р~. Эта зависимость определяется интегра-
лом A3.17)
в котором потенциальная энергия подставлена в виде (8.1), а —
постоянная, характеризующая взаимодействие, ir=|v?" — vf|— ве-
личина относительной скорости частиц до рассеяния, a
определяется из уравнения
б"—т4-&-1=0
цр-(о-J

138 Задача двух тел и теория рассеяния частиц [Гл. III
(см. A3.18)). Вычисляя этот интеграл, для угла отклонения в
^-системе получаем выражение
В случае сил притяжения (а>0) угол отклонения 9m<0, a для
сил отталкивания (а<0) этот угол положителен и функция B)
принимает вид
C)
В соответствии с условием данного примера в формулах B) и C)
нужно положить v- = у-.
Совокупность формул D) примера 13.1 и формул B), C) на-
стоящего примера дает решение поставленной задачи. Запишем
его в общем виде
У+ = У+К,ет(Р-,у-I, е1 = е1[ет(р-,УГ)],
v+ = v+[v-,dm(P-, 05-)], е8 = е818т(р-,о7I.
Ввиду громоздкости этого решения приведем более простой
частный случай. Пусть, например, массы налетающей и покоя-
щейся до рассеяния частиц равны, тогда, учитывая формулу F)
примера 13.1, получаем
2a
E)
Если скорости частиц до рассеяния равны по величине и противо-
положны по направлению, т. е/
v^ = - vr (v- - 2wj-), F)
то у+, 6j, y+, 62, как функции у^ и р-, будут заданы совокупностью
формул C) примера 13.2 и формул B), C) и F) настоящего

§ 13] Упругое рассеяние частиц 139
примера. В частном случае при tnl = 3m2 для первой частицы по-
лучим (см. формулу (9) примера 13.2)
OTjP"
Ь^]
G)
Пример 13.4. Рассеяние двух однородных абсолютно упругих
шариков.
Потенциальная энергия взаимодействия двух указанных час-
тиц с массами пг{ и гп2 имеет вид
A)
оо, если /-<а
где a = ai + a2 — сумма радиусов первой и второй частиц-«шари-
ков». Предполагая, что в одном случае вторая частица налетает
на первую, покоящуюся до рассеяния, а во втором — обе частицы
движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью, опреде-
лить абсолютные величины и направления скоростей обеих частиц
после рассеяния как функции их скоростей до рассеяния и при-
цельного расстояния.
Пользуясь A3.17) и A3.18), можно определить угол откло-
нения '8,„. Однако ввиду обращения U в бесконечность 8га удобнее
определить с помощью графика «эффективной» потенциальной
энергии и траекторий частиц в ^-системе. Действительно, подстав-
ляя значения Ео и М'о из A3.11) и A3.13) в выражение Ue(t, по-
лучим
^y ( ^L) B)
Формулы A) и B) дают возможность построить график
(рис. 13.8, а), из которого видно, что
rmln = a, если Eo> Ео(-^— j (p-<fl);
rn.m = P~. если ?o < ?o (-7-Y (P" > a)-
В первом случае происходит столкновение шариков, во вто-
ром — нет. Для обоих случаев траектории геометрических центров
шариков относительно ^-системы изображены^ на рис. 13.8, б и
13.8, в (эти рисунки . соответствуют соотношениям m{>m2 и

140
Задача двух тел и теория рассеяния частиц
[Гл. III
Рис. 13.8
а\>а2; их полезно сравнить с рис. 8.1 и 13.1). Из рис. 13.8, б и
13.8, в нетрудно видеть, что
p~
a
D)

§ 14] Поперечные сечения рассеяния 141
Отсюда, учитывая соотношение A3.14), найдем
(р-<а),
E)
О (р~>а).
Следовательно, угол Qm не зависит от разности скоростей и от масс
частиц. Он зависит лишь от отношения константы взаимодейст-
вия а и прицельного расстояния р~, что связано с особенностью
взаимодействия абсолютно упругих шариков. Заметим, что E)
можно получить интегрированием A3.17), определяя rmin из фор-
мулы C); при этом следует учесть, что потенциальная энергия U
в пределах интегрирования от гт1п до оо равна нулю.
Если скорости обеих частиц до рассеяния относительно л-сис-
темы задать так же, как в примерах 13.1 и 13.2, то решение
задачи о рассеянии частиц-«шариков» в первом случае определит-
ся совокупностью формул D) примера 13.1 и формулы E) на-
стоящего примера, а во втором случае — совокупностью формул
C) примера 13.2 и той же формулы E).
Приведем решение в простейших случаях. Пусть
тогда, используя формулы E), F) примера 13.1 и считая р
найдем
F)
Решение в случае \~ — —v^~ найдем, используя, например, фор-
мулы (9) примера 13.2. Тогда для первой частицы получим
р-<а).
§ 14. Поперечные сечения рассеяния
В предыдущем параграфе было изучено рассеяние двух час-
тиц; однако на практике чаще приходится иметь дело не с одним
актом рассеяния, а со множеством таких актов. Например, в из-

142 Задача двух тел и теория рассеяния частиц {Гл. III
вестных опытах Резерфорда пучок а-частиц рассеивался на ядрах
атомов металлической пленки.
Изучим более общий случай рассеяния, а именно рассеяние
одного пучка частиц на другом пучке.
Пусть один из пучков, достаточно разреженный и однородный
по сечению, состоит из одинаковых частиц с массами т.\\ все эти
частицы до рассеяния имеют одинаковые скорости, равные \Т ¦
Второй пучок состоит из других одинаковых частиц с массами пг2
и скоростями до рассеяния vj" (в остальном второй пучок удов-
летворяет тем же требованиям, что и первый). Процесс рассея-
ния одного пучка на другом ввиду их разреженности можно свести
к рассеянию каждой частицы одного пучка на некоторой частице
другого пучка, причем рассеяние каждой частицы по той же при-
чине можно считать однократным. Следовательно, в задаче о рас-
сеянии таких пучков нужно учитывать взаимодействие каждой
частицы одного пучка с некоторой частицей другого пучка, в то
время как взаимодействием частиц данного пучка между собой
можно пренебречь. Тогда акты рассеяния разных пар частиц будут
независимы друг от друга, причем рассеяние каждой пары харак-
теризуется своим прицельным расстоянием р~~ и происходит в опре-
деленной плоскости относительно системы центра масс пары, т. е.
характеризуется своим углом б (см. рис. 14.1, на котором изобра-
жены траектории (х-точки для двух различных пар сталкиваю-
щихся частиц с одинаковыми б и различными р").
Центры масс всех пар взаимодействующих частиц покоятся
относительно друг друга, поскольку эти центры движутся относи-
тельно л-системы с одинаковой скоростью, равной v~ = —(^iVf -)-
-j- m2v~). Поэтому угол рассеяния 6m для каждой данной пары взаи-
модействующих частиц будет одним и тем же относительно систе-
мы отсчета с началом в центре масс любой пары взаимодейст-
вующих частиц. Выберем одну из таких систем отсчета и будем
называть ее условно системой центра масс или ^-системой. В этой
системе отсчета рассмотрим те ц-точки, прицельные расстояния
которых лежат внутри интервала р~, p~ + dp-, а значение угла е
изменяется в пределах от 0 до 2л. В силу центральной симметрии
взаимодействия между частицами эти ц-точки рассеются иа углы
от 9т до Qm + dQm каждая в своей плоскости. Следовательно, на
достаточном удалении от начала ^-системы выбранные ц-точки
попадут в телесный угол dQm (рис. 14.1,6). Этот телесный угол
ограничен поверхностями конусов с вершинами в начале ц-системы
и углами растворов, равными соответственно 29т и 2(Qm + dQm);
ось конусов параллельна вектору v~~, т. е. параллельна скорости
{л-точек до рассеяния. Частицы второго пучка, соответствующие
рассмотренным ц-точкам, после рассеяния также попадут в телес-

§ HI
Поперечные сечения рассеяния
143
ный угол dQm, поскольку они движутся по траекториям, подобным
траекториям р,-точек. Что касается частиц первого пучка, соответ-
ствующих рассмотренным ji-точкам, то они рассеются в телесный
угол той же величины, но с раствором конусов, направленным
противоположно вектору v~.
Важной характеристикой процесса рассеяния является диф-
ференциальное эффективное поперечное сечение
рассеяния. Например, для частиц первого пучка эта величина
определяется как отношение числа djf его частиц, рассеивае-
мых в телесный угол dum за единицу времени, к числу j~ час-
тиц того же пучка, пролетающих за единицу времени через еди-
ничную площадку поперечного сечения пучка до рассеяния. Таким
образом, дифференциальное сечение рассеяния частиц первого
пучка по определению равно
da1=^-. A4.1)
h
Кроме дифференциального сечения, часто рассматривают
полное эффективное сечение рассеяния, равное
отношению общего числа A/t частиц данного пучка, рассеивае-
мых за единицу времени под всеми углами 8т^=0, к плотности

144 Задача двух тел и теория рассеяния частиц [Гл. III
j~ потока этого пучка до рассеяния. Итак, по определению полное
сечение рассеяния частиц первого пучка равно
^ A4.2)
Л
Поскольку до рассеяния пучки однородны по сечению, можно
предположить, что поток числа частиц с прицельными расстоя-
ниями, лежащими в интервале от р~ до p~ + dp~, равен плотности
потока частиц до рассеяния, умноженной на площадь кольца с ра-
диусами, равными р- и p-+dp~. Тогда число частиц, рассеиваемых
в телесный угол dQm за единицу времени, равно (для первого
пучка)
djt = ]T-2np~dp-. A4.3)
Отсюда получим дифференциальное сечение рассеяния в системе
центра масс как функцию прицельного расстояния:
do=2np-dp~ (НА)
(здесь индекс у da опущен, так как в «(-системе две взаимодейст-
вующие частицы отклоняются на один и тот же угол 6т, поэтому
сечение рассеяния выражается через прицельное расстояние оди-
наково как для частиц первого пучка, так и для частиц второго
пучка).
Формула A4.4) дает возможность найти наглядное выраже-
ние для полного сечения рассеяния в том случае, когда на не-
котором расстоянии r = rmax между частицами можно пренебречь
потенциальной энергией их взаимодействия. Тогда, очевидно, пол-
ное сечение будет равно площади круга радиуса rmax:
o-=n(rmia)*. A4.5)
На основании A4.4) легко также получить сечение рассеяния
как функцию угла 6т и величины относительной скорости частиц vr.
Действительно, в задаче об упругом рассеянии двух частиц (см.
A3.17)) угол Qm является функцией р~, v~ и масс частиц, причем
вид этой функции зависит от характера взаимодействия между
частицами. Разрешая функцию A3.17) относительно р~, найдем
прицельное расстояние в зависимости от 8,т и v~
p- = p-(em,ir), A4.6)
а затем, используя A4.4), получим дифференциальное сечение рас-
сеяния обоих пучков как функцию угла рассеяния в системе
центра масс:
? Qm. A4.7)

§ 14] Поперечные сечения рассеяния 145
Знак модуля в A4.7) связан с тем, что производная —?— может
dQm
быть отрицательной, а сечение рассеяния по определению является
положительной величиной. Вместо выражения A4.7) часто исполь-
зуют дифференциальное сечение в виде
ф-
dQm, [A4.8)
где dQm = 2я sin Q,ndQm.
Экспериментальные исследования процессов рассеяния сво-
дятся к измерению потока частиц до рассеяния и количества час-
тиц, рассеиваемых под различными углами. Тем самым находят
сечения рассеяния в л-системе. Теоретически эти величины можно
получить, вычисляя da(%m) в ^-системе, а затем определяя функ-
ции 6TOFi) и 8т(б2) из диаграммы скоростей, основанной на реше-
нии A3.16) Fi и 02 — углы рассеяния частиц первого и второго
сорта в л-системе). Дифференциальные сечения рассеяния частиц
первого и второго сортов в лабораторной системе можно получить
как результат подстановок
da, = da Fm) |ви(в1,, dot = da Fm) |вя1,в,). A4.9)
Формулы A4.9) справедливы, если функции 6mFi) и 6тF2) одно-
значны; однако примеры 13.1 и 13.2 показывают, что это требо-
вание не всегда выполняется. Пусть, например, функция 6т(б2)
будет двузначной, т. е.
тB) (: (НЛО)
I 0m F2).
где функции 6т и 6т однозначны. Из A4.10) следует, что в
л-системе под углом 6г рассеиваются все частицы, которые в
^-системе рассеиваются либо под углом бт> либо под углом 6т .
Поэтому в случае двузначной функции 8тF2) для нахождения daz
следует брать сумму сечений, соответствующих двум ветвям функ-
ции. Таким образом, учитывая A4.10), вместо второй из формул
A4.9) получим
|e>). A4.11)
Заметим, что сумма сечений, подобная A4.11), является суммой
модулей соответствующих функций, поскольку сечения рассеяния
по определению положительны.
Полное сечение захвата as определяется аналогич-
но A4.2) как отношение числа всех частиц данного пучка, захва-

146
Задача двух тел и теория рассеяния частиц
[Гл. III
ченных за единицу времени, к плотности потока этого пучка до
рассеяния. Если из условий A3.24) и A3.25) вытекает, что при-
цельные расстояния, при которых происходит захват, удовлетво-
ряют неравенствам
0<р-<р- A4.12)
то, исходя из дифференциального выражения A4.4) и условия
A4.12), получим полное сечение захвата
°5=--я(РГJ. A4.13)
Пример 14.1. Дифференциальные сечения рассеяния частиц
с электростатическим взаимодействием; формула Резерфорда.
Даны два пучка частиц. Первый пучок состоит из частиц с
массой tn\ и зарядом в\\ скорость этих частиц до рассеяния относи-
тельно л-системы равна v~. Аналогичные величины для частиц
второго пучка равны m2, е2, v~. Оба пучка достаточно разрежены
и до рассеяния однородны по сечению. Определить дифферен-
циальные сечения рассения частиц обоих сортов в л-системе.
Пользуясь формулой B) примера 13.3, найдем зависимость
прицельного расстояния от угла отклонения в ц-системе:
где а = — ехе2, причем если а > 0, то 0т < 0, если же а < 0, то
еП1>о.
Подставляя эту функцию в A4.8), получим выражение для се-
чения рассеяния в ц-системе:
B)
sin4
е„
где
= 2я sin
Для отыскания сечения рассеяния в л-системе. нужно знать
0m@i) и 0m@2). Найдем эти функции для двух простых случаев.
Пусть, например, частицы первого пучка до рассеяния покоятся,
а частицы второго движутся со скоростью V2 . Тогда вторая из
формул D) примера 13.1 дает соотношение
ет = я-2е1, C)
где 0i изменяется в пределах от 0 до я/2.

§ 14] Поперечные сечения рассеяния 147
Подставляя C) в B), получим дифференциальное сечение рас-
сеяния частиц, которые до рассеяния покоились:
где rfQ] =2л sin 0] flf0].
Используя формулы E) и F) примера 13.1, из формулы B)
данного примера получим дифференциальные сечения рассеяния
частиц второго пучка:
da2 = (' 2 V dQ> (m2 « /nl5 0 < 92 < я), E)
V2W J^
где йК22=2л sin 02flf02. Формула E) называется формулой
Резерфорда. Вывод этой формулы и ее сопоставление с экспе-
риментом по рассеянию быстрых а-частиц на ядрах тяжелых эле-
ментов явились в свое время ключом к открытию структуры атома.
Теперь найдем сечение рассеяния частиц второго пучка, если
тч>т\. В этом случае 8т(б2) является двузначной функцией (см.
пример 13.1). Представляя сечение B) в форме
da^aif-g—у Mcos6ml , (?)
в соответствии с A4.11) получим
( +
\ A -cos6> A -cos O
где cos 0^ и cos 0m определяются формулой A2) примера 13.1. Из
формулы A2) найдем
d cos 0m = — (т + t|) sin 02of02, ,д
d cos 0^* = — (т — r\) sin 02d02,
где
T = -=^- cos 02, Ц =
т.

148
Задача двух тел и теория рассеяния частиц
[Гл. III
Воспользовавшись формулой G) примера 13.1, найдем преде-
лы изменения угла 02
О < Э2 < 02тах < — (щ > /
A0)
определяющего знака т и ц и их отношение. Из A0) следует, что
A1)
A2)
Легко также убедиться, что отношение х/ц изменяется от величи-
ны, меньшей чем +1, до 0, а производная этого отношения меньше
нуля (она равна нулю только при 62 = 0).
Учитывая сказанное, из формул (9) получим
cos 20,
I d cos 6m I =
I d cos 0m I =
а подставляя A3) в (8), найдем
2 _2s. Cos 6.
1 + ( —M cos 28,
— 2-^2-cos 92
sin eod0.
sin e2d92,
A3)
<to,= f-2-V-^x
X
1 +
\ щ J
cos 20»
m,
. (И)
Далее, используя формулы A2) примера 13.1, получим
A5)
, A6)

§ 14] Поперечные сечения рассеяния 149
^. A7)
Наконец, подставляя A5) — A7) в выражение A4), после ряда
преобразований найдем дифференциальное сечение рассеяния час-
тиц, налетающих на покоящиеся до рассеяния частицы (при
условии т2>гп\):
(.8)
Возьмем другие начальные условия для скоростей. Пусть
частицы обоих пучков движутся навстречу друг другу с одинако-
выми скоростями. Тогда функции 0m@i) и 0т@2) определяются
третьей и четвертой формулами решения C) примера 13.2. Напри-
мер, если ml>3m2, то cos0m@j) и cos0m@2) заданы формула-
ми G) и (8) примера 13.2, причем cos0m@i) в этом случае яв-
ляется двузначной функцией, аналогичной функции A2) примера
13.1. Поэтому, используя формулы, аналогичные формулам
G) — A8) настоящего примера, сразу найдем дифференциальное
сечение рассеяния частиц первого пучка:
! , - ч, l+cos'9,-^
'1 - .. .
ml(vl
(/п1>3/па). A9)
Если же тх=т2, то из формулы A4) примера 13.2 и формулы B)
настоящего примера следует:
X2-^V = <4- B0)
Все полученные формулы дифференциальных сечений справед-
ливы как в случае сил отталкивания (а<0), так и для сил при-
тяжения (а>0). Нетрудно также убедиться в том, что полное
сечение рассеяния для заряженных частиц равно +оо. Это связано
с бесконечно большим «эффективным радиусом» кулоновских
сил: при р~-»-оо угол отклонения Qm весьма «медленно» стремится
к нулю.
Пример 14.2. Дифференциальное сечение рассеяния однород-
ных абсолютно упругих шариков.

150 Задача двух тел и теория рассеяния частиц [Гл. III
Даны два пучка частиц, которые можно представить себе как
абсолютно упругие шарики. Первый пучок состоит из частиц массы
т.\ и радиуса аи скорость этих частиц до рассеяния относительно
л-системы равна v~; те же величины для частиц второго пучка
соответственно равны т2, а2, v~. Определить сечения рассеяния
частиц в л-системе.
С помощью формулы E) примера 13.4 найдем прицельное
расстояние как функцию угла рассеяния в ^-системе:
а затем из A4.7) получим
do=^-dQm. B)
Следовательно, рассеяние частиц-«шариков» в системе центра масс
изотропно. Интегрируя B) по всем углам, найдем, что полное
сечение рассеяния равно о = яа2 (см. A4.5)).
Вычислим дифференциальное сечение рассеяния в л-системе.
Например, если частицы первого пучка до рассеяния покоятся, а
частицы второго движутся со скоростью vif, ro из формулы B) на-
стоящего примера и формулы D) примера 13.1 найдем
dax = a2 cos 8Х dQx C)
(при любом соотношении масс частиц). Для вычисления dcf2 будем
исходить из формул (см. B), A4.11) и формулы A0), A2) при-
мера 13.1):
2
da2 = | rfcos 8m(82) |, если m2 < mlt D)
da2 = —2- {| d cos 8m (82) | + | d cos 8„ (82) |}, если m2 > mv E)
Тогда, используя анализ функции ufcos8m(82), проведенный в при-
мере 14.1, из D) и E) найдем '
4
"»!
F)

§ 151
Распад частиц
151
+ (—У
\ т1 J
cos 26»
/-(-5-JV*
G)
Если же частицы первого и второго пучков движутся до рас-
сеяния с одинаковыми скоростями навстречу друг другу, то следует
взять функции, полученные в примере 13.2. Используя двузначную
функцию G) и однозначную функцию A2) примера 13.2, а также
используя формулы, аналогичные формулам D) и E) данного при-
мера и формулам A0) — A2) примера 14.1, найдем дифферен-
циальные сечения рассеяния частиц первого пучка:
1 +
1 2
(
mi —т2 \2
cos 261
_(^ь.у ttB
(8)
"ti-
2m,
cos
CX)S
т1 — m2
2m,
sin2 6i
(9)
Из последнего выражения заменой индексов можно получить
сечение рассеяния частиц второго пучка при условии т\>т.2 (см.
формулы (8) и A2) примера 13.2).
Наконец, используя формулу B) данного примера и форму-
лу A4) примера 13.2, найдем, что в простейшем случае, когда
do1 = -2— dQj = da2.
4
A0)
§ 15. Распад частиц
Рассмотрим распад частицы массы т, движущейся со ско-
ростью Vo относительно лабораторной системы отсчета. Пусть в
некоторый момент времени эта «первичная» частица распа-
дается на две частицы с массами т{ и т2, причем распад проис-
ходит без воздействия внешних сил, т. е. самопроизвольно. Опре-
делим скорости обеих «вторичных» частиц или, как говорят,
распадных частиц. Согласно закону сохранения импульса

152
Задача двух тел и теория рассеяния частиц
[Гл. III
(9.18) центр масс этих частиц движется со скоростью первичной
частицы, т. е.
vm = v0. A5.1)
Поскольку до распада вторичные частицы составляли одно
целое, то можно считать, что величина их относительной скорости
«до распада» равна нулю (о~=0). В состоянии после распада,
т. е. после удаления вторичных частиц на весьма большое рас-
стояние друг от друга, энергию их взаимодействия также можно
считать равной нулю (?/+=0). Учитывая сказанное, с помощью
закона сохранения энергии в системе центра масс вторичных час-
тиц (см. A3.6)) найдем абсолютную величину относительной ско-
рости этих частиц «после распада»:
v+ =
A5.2)
здесь [i — приведенная масса вторичных частиц, a U~ ¦— энергия
их взаимодействия «до распада», которую для краткости будем
называть энергией распада. Наконец, используя A2.20),
A5.1) и A5.2), получим скорости вторичных частиц относительно
л-системы:
ft = v0 — ¦
tu^
v^ = vo
¦ V+Пй
A5.3)
Здесь m = ml + m2 (ср. с A3.5) и A3.9)), vo, v+, mi и т2 считаются
заданными величинами, а единичный вектор пэт направлен
вдоль скорости второй распадной частицы относительно «{-систе-
мы, т. е. вдоль вектора v2 . Если ориентация плоскости движе-
ния распадных частиц задана, то вектор пвт определяется
одним углом. В качестве такового выберем 8т — угол вылета
Рис. 15.1

§ 15] Распад частиц 153
второй распадной частицы в ц-системе. Этот угол будем отсчиты-
вать от направления скорости vo.
Диаграмма скоростей, соответствующая решению A5.3),
представлена на рис. 15.1. По этой диаграмме нетрудно определить
величины скоростей распадных частиц и 0j, 02 — углы вылета час-
тиц в лабораторной системе, отсчитываемые от направления ско-
рости vo:
A5.4)
2v0 (Jb- ,+) coseOT]Va,
tgea =
Из диаграммы (рис. 15.1, а) также видно, что если выполнены усло-
вия
ot A5.5)
>0
т т
то угол 8т как функция 8i или 02 определяется однозначно, а углы
01 и 02 изменяются в пределах от 0 до я. Используя соотношения,
аналогичные формулам (8) — A0) примера 13.1, и учитывая A5.5),
из A5.4) найдем
cos Вт = -2™*- sin2 0! — cos 0X I /1 — (JS^-У sin2 0X A5.6)
m^o1" у \ m2v+ )
cos 0m = ^ sin2 02 -{ cos 02 |/ 1 - (-^-У sin2 02 A5.7)
(О<02<я).
Если же, например,
^^, A5.8)
т
то угол 0i ограничен значением, меньшим я, а функция 0m@i)
становится двузначной (рис. 15.1, б). В этом случае, используя

154 Задача двух тел и теория рассеяния частиц [Гл. III
формулы, аналогичные формулам G), A1) и A2) примера 13.1,
из A5.4) получим
cos9m = -^- sin2 6, ± cos в, 1/ 1 — Л-^-Y sin2 9j ¦ A5.9)
о<01<61тах; Sin0lmax=^!
Ч
Если же • ¦ .
ио>-^-и+ и Уо>——v+, A5.10)
т ¦ т
то и 6mFi) и 6тF2) будут двузначными; функция cos 6TOFi) за-
дается формулой A5.9), а функция cos6mF2) находится из реше-
ния A5.4)
cos0m = ^-sin262 + cos 621/ 1 — ( -C(l ) sin2 92 A5.11)
o<e2<e2
2max
"Двузначность в формулах A5.9) и A5.11) имеет ту же природу,
что и двузначность функций 6mFi), 6mF2) в теории рассеяния.
Если в ц-системе вторая распадная частица в одном случае выле-
тает под углом 6т к Vo, а в другом случае под углом бт, то
в л-системе она вылетит в обоих случаях под одним и тем же
углом 6г.
Теперь рассмотрим распад многих одинаковых частиц мас-
сы т, движущихся относительно л-системы со скоростью v0.
Пусть за единицу времени распадается Л" таких частиц, причем
каждая первичная частица распадается на две частицы с массами
Ш\, т2 и энергией распада U~. Кроме того, предположим, что в
^-системе (так условно назовем систему центра масс какой-либо
нары вторичных частиц) вылет частиц под любым углом равно-
вероятен. Тогда число dN\ вторичных частиц массы ni\, попадаю-
щих за единицу времени в телесный угол dQm с вершиной в на-
чале ц-системы и с осью, коллинеарной Vo, равняется
^ A5.12)
An
где dQm = 2я sin 6md0m.
Таким образом, отношение числа dNx к N, характеризующее
распределение по углам вторичных частиц с массой т, равно
dn= -I-sin QmdQm. • A5.13)

§ 15]
Распад частиц
155
Распределение по углам вторых распадных частиц имеет такой
же вид. Следовательно, подставляя в A5.13) функцию 8m(8i) или
8т@2), получим распределение вторичных частиц по направле-
ниям в лабораторной системе. Если эти функции двузначны, то
вместо A5.13) следует взять сумму модулей |<icos6m| по обеим
ветвям функции (аналогично A4.11)). Учитывая сказанное, из
A5.13), A5.6) и A5.9) найдем распределение частиц с массами
Ш\ по углам вылета в л-системе:
rnv0
cos:
+ 2
mu0
cos
An
A5.14)
0<91<л),
cos
A5.15)
sin2 6X
(m2V+<mv0, 0<e1<6,raax).
Что касается распределения частиц с массами
получить из A5.14) и A5.15) заменой индексов.
то его можно

Глава IV
ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТСЧЕТА
Как отмечалось ранее, уравнения Ньютона справедливы
только в инерциальных системах отсчета. Однако на практике
часто встречаются и неинерциальные системы. Поэтому необходи-
мо найти уравнения движения относительно таких систем. При
этом естественно исходить из уравнений Ньютона, которые, как
известно, содержат массы и ускорения материальных точек, а
также силы, действующие на них со стороны других тел. Массы
точек и время инвариантны относительно перехода от одной систе-
мы отсчета к другой, а силы являются функциями положений и
скоростей точек. Таким образом, чтобы вывести интересующие нас
уравнения движения, прежде всего нужно выяснить, как преобра-
зуются положения, скорости и ускорения при переходе от инер-
циальной системы к неинерциальной системе отсчета. В свою оче-
редь для решения этого вопроса следует с кинематической точки
зрения проанализировать движение одной произвольной системы
отсчета относительно другой произвольной системы отсчета.
Кстати напомним, что в классической механике системы отсчета
мыслятся связанными с твердыми телами, поэтому кинематика,
движения одной системы отсчета относительно другой эквивалент-
на кинематике твердого тела.
§ 16. Положение системы отсчета (твердого тела)
Рассмотрим положение некоторой системы отсчета S' с нача-
лом в О' и ортами пХ', пУ', nz> относительно системы S с нача-
лом в О и ортами nx, пу, nz (рис. 16.1). Положение начала О' от-
носительно системы S определяется вектором Г&, который на
основании A.1) можно задать в ви-
де разложения по ортам системы S:
Т(у =
У0-Пу+20'П2. A6.1)
Рис. 16.1
Ориентацию системы S' относи-
тельно системы S можно задать с
помощью косинусов углов между
ортами обеих систем отсчета. Од-
нако среди девяти направляющих
косинусов Of] только три незави-

§ 16]
Положение системы отсчета (твердого тела)
157
симых, поскольку Щч подчинены шести условиям ортогонально-
сти A.4").
Часто вместо трех независимых направляющих косинусов
используют три угла Эйлера, которые вводятся следующим
образом. Построим наряду с системой S' систему Sn,. начало кото-
рой совпадает с началом О', а направления осей — с направления-
ми соответствующих осей системы S (рис. 16.1 и 16.2). Тогда
ориентация системы S' относительно системы So' совпадает с
ориентацией 5' относительно S. Пересечение плоскостей О'ху и
О'х'у' определяет прямую 0% которая называется линией у з -
л о в. Положительное направление на этой линии задается единич-
ным вектором
Пе =
Пг Пг,]
I К М
A6.2)
A6.3)
Углами Эйлера называют углы
ф = ^ (Пх, Щ), G = ^ (Пг, Пг-), ф = -/ (П|, Пх.)
@<ф<2я, 0<Э<я, 0<ф<2я).
Положительное направление отсчета углов ф, 0 и if определяется
обычным для правых систем образом с помощью ортов п2, П| и
nz- соответственно. Например, положительным направлением от-
счета угла ф считается направление отсчета против часовой стрел-
ки, если смотреть с конца орта nz на его основание.
Итак, положение одной
произвольной системы отсчета
S' относительно другой произ-
вольной системы отсчета S оп-
ределяется в общем случае
шестью независимыми величи-
нами: тремя проекциями ра-
диуса-вектора начала системы
S' и тремя углами Эйлера; уг-
лы Эйлера определяют ориен-
ПХ>
тацию системы S' относитель-
но системы S. Этот вывод пол-
ностью относится к определе-
нию положения твердого тела,
в чем легко убедиться, жестко Рис i62
скрепляя «штрихованную» си-
стему отсчета с данным твердым телом.
Рассмотрим простейший случай, когда ориентация системы
определяется одним углом. Пусть, например, nz- параллелен пг,
т. е. пусть угол 9 = 0. Тогда плоскость О'х'у' совпадает с плос-

158
Движение относительно неинерцнальных систем
[Гл. IV
костью О'ху и линию узлов можно провести по любой прямой,
проходящей через О' в плоскости О'ху. Например, совмещая
линию узлов с осью О'х' (т. е. полагая i|) = 0), убеждаемся, что
ориентация системы действительно определяется одним углом ф.
В этом случае
аХ'х = ауу = cos <р, ах,у = — ау>х = sin <p,
а формулы преобразования ортов сводятся к формулам
ПХ' = Пх COS ф + Пу Sin ф,
iv = пг.
Матрица такого простейшего ортогонального преобразования
имеет вид
А =
cos ф sin ф О
— sin ф cos ф О
A6.5)
О 0 1
а ее элементы подчинены условиям (см. A.4")):
аХ'Х + ау-х = 1, аХ'и ~\- ауу — 1,
A6.6)
В общем случае матрица А ортогонального преобразования
A.4') определяется тремя углами Эйлера. Выражение коэффи-
циентов a,- -j через углы Эйлера нетрудно получить, если заметить,
что преобразование от системы So > к системе S' может быть вы-

§ 16]
Положение системы отсчета (твердого тела)
159
полнено тремя последовательными ортогональными преобразова-
ниями типа A6.4), совершаемыми в определенном порядке, при-
чем соответствующие этим преобразованиям повороты опреде-
ляются углами Эйлера.
Действительно, перейдем от системы S0' к первой промежуточной системе
О'\щ. У которой ось О'% совпадает с линией узлов системы S', а ось O'z сов-
падает с такой же осью системы So' (см. рис. 16.3, а). Система 0%г\г может
быть получена из системы SOJ поворотом последней на угол <р вокруг оси- O'z
и положительном направлении. Согласно A6.4) преобразование от So' к O't,r\z
и его матрица D определяются формулами
ПЕ — ПХ C0S ф + ПУ S1T1 ф I
п^ ~ — пх sin ф + пу cos ф,
nz=nz,
СОвф S\tl(f О
— sin ф cos ф О
0 0 1'
Теперь перейдем от системы O'%\\z ко второй промежуточной системе O'grj'z',
у которой ось O'z' совпадает с той же осью системы S', а ось О'% совпадает с
той же осью первой промежуточной системы O'gtiz (рис. 16.3, б). Вторая про-
межуточная система O'\v(z' может быть получена из первой системы О'\~\\г по-
воротом на угол в вокруг оси О'% (в положительном направлении). Преобразо-
вание от первой ко второй промежуточной системе, согласно A6.4), имеет внд
"I = "I-
n^, = nn cos в + пг sin 9,
п., = — п^ sin 6 -!- пг cos 6,
а матрица С этого преобразования равна
с=
0
0
о cose sine
о —sine cose
Наконец, перейдем к системе S'. Она может быть получена поворотом второй
промежуточной системы O'|t)V на угол ф вокруг оси O'z' в положительном
направлении (рис. 16.3, в). Орты системы S' будут связаны с ортами предыду-
щей системы соотношениями
пх, = rig cos г|) + n^, sin ф,
пу,= — ns sin г|з +пл, cosi|j,
а матрица этого преобразования будет равна
cos \|' sin ifi О
В -= —sin г|з cos г)з О'
0
0
1
Все приведенные формулы дают возможность выразить пх,, пу,, пг, через
Пх, пу, пг и углы Эйлера и тем самым определить матрицу преобразования

160 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
A.4') через независимые величины. Эта матрица может быть также получена
перемножением матриц В, С, D в порядке, соответствующем последовательности
поворотов иа углы <р, 9, tf:
A = BCD.
Запишем в окончательном виде матрицу преобразования от системы So-
к системе S':
cos i|) cos — cos 9 sin cp cos ip —sin я|) sin q> + cos 9 cos <p cos \p] cos я|) sin9
sin 9 sincp —sin 9 cos <p cos в
A6.7)
Обратное преобразование от системы S' к системе Sq. выра-
жается формулами A.5"). Матрицу этого преобразования, обратную по отноше-
нию к А, обозначают символом А~1. Матрица Л получается из матрицы А
заменой строк на столбцы, т. е. является транспонированной по отно-
шению к А. Транспонированную матрицу обозначают символом А. Таким обра-
зом, для ортогональной матрицы А имеем А~1=А.
§17. Поступательное движение и изменение ориентации
системы отсчета (твердого тела)
Из предыдущего видно, что положение «штрихованной» систе-
мы относительно «нештрихованной» будет определено в любой
момент времени, если rO',<p, 6, я|) заданы как функции времени.
Рассмотрим два вида движения системы: поступательное
движение и изменение ориентации. В случае посту-
пательного движения ориентация системы S' относительно систе-
мы S остается неизменной. Это означает, что остаются неизмен-
ными направления ортов пх>, пу>, nz-, т. е. сохраняют постоян-
ное значение косинусы ас,- (или углы Эйлера). Следовательно,
iV=rv=iv = 0. A7.1)
Таким образом, поступательное движение системы S' определяется
движением ее начала О', т. е. функцией Го- (t), а все точки
твердого тела, скрепленного с системой S', движутся с одинако-
выми скоростями и ускорениями по траекториям, которые могут
быть получены друг из друга параллельным смещением. Действи-
тельно, радиусы-векторы гиг' любой точки твердого тела относи-
тельно систем 5 и S' связаны соотношением A.6), причем абсо-
лютная величина вектора х' постоянна при произвольных переме-
щениях твердого тела, а его направление относительно системы 5
неизменно только при поступательном движении тела (см.
рис. 17.1, на котором изображены два положения твердого тела

§ 17]
Поступательное движение и изменение ориентации
161
\
при поступательном движении). Дифференцируя A.6) по времени
и учитывая позтоянство г', получим
v = v0', w = wo-. A7.2)
Другим частным случаем движения системы отсчета (твердого
тела) является изменение ориентации при неизменном положении
начала системы S'. В этом случае to- — постоянный вектор, а орты
«штрихованной» системы (косинусы аг,- и углы Эйлера) являют-
ся функциями времени.
Анализ этого вида дви-
жения основывается на
простой, но важной тео-
реме Эйлера, в кото-
рой утверждается: если
относительно некоторой
системы отсчета S твер-
дое тело имеет одну не-
подвижную точку, то пе-
ремещение твердого тела
из любого положения в
любое другое положение
может быть совершено
одним поворотом на опре-
деленный угол вокруг
определенной оси, прохо-
дящей через неподвиж-
ную точку тела.
Доказательство этой теоремы основано на неизменности рас-
стояний между всеми точками твердого тела. Пусть система S'
жестко соединена с твердым телом, а ее начало О' находится в не-
подвижной точке тела. Очертим вокруг точки О' жестко соединен-
ную с твердым телом сферу единичного радиуса, отметив на ней
концы ортов iv, iv и соединив эти концы дугой x'z' большого
круга. Положение этой дуги определяет положение твердого тела
(или системы S'). Следовательно, произвольные положения 1 я 2
тела можно задать двумя положениями х\ z\ и x'2z'2 дуги x'z'
(рис. 17.2, а и б).
Чтобы доказать теорему Эйлера, нужно убедиться в том, что ду-
га х[ г[ может быть совмещена с дугой х'2 г'2 одним поворотом, указать
способ нахождения оси и угла поворота. Соединим точки х[, х'2 и
точки г'у г'2 дугами больших кругов (рис. 17.2, б), а через середины
дуг х\ х'2 и z[ z'2 проведем перпендикулярные к _]ним дуги больших
кругов до пересечения их друг с другом в точках та и {5. Стороны
х[г[ и x'2z'2 сферических треугольников А(х[2[а) и A(x'2z'2a)
(рис. 17.2, в) равны, так как это одна и та же дуга в различных
6 И. И. Ольховский
Рис. 17.1

162
Движение относительно иеииерциальных систем
[Гл. IV
положениях, а стороны х[а и х'2а равны по построению точки а,
лежащей на дуге, проведенной через середину основания х\ х'2 тре-
угольника А(х[х'2а). Равны друг другу также стороны г\<х и z',,a.
Таким образом, сферические треугольники д (х[ г\ а) и Л (х'2 г'2 а)
равны и, следовательно, равны углы ^х\ az\ n^x'2az'2. Поэтому угол
между дугами z\a и z'2a равен углу между дугами х[а и х'2а. Итак,
если твердое тело (систему 5') повернуть из положения 1 вокруг оси
Рис. 17.2
О'а на определенный угол ^ х[ах'2 (или равный ему ^z[az'2), то
твердое тело (система отсчета) переместится в положение 2. Пос-
кольку положения / и 2 выбраны произвольно, теорема Эйлера до-
казана.
Подчеркнем, что теорема Эйлера справедлива для поворотов
как на конечные, так и на бесконечно малые углы. Однако сами
эти повороты отличаются друг от друга: результат двух поворотов
на конечные углы, вообще говоря, зависит от последовательности
этих поворотов, в то время как результат двух любых б е с к о -

§ 17]
Поступательное движение и изменение ориентации
163
нечно малых поворотов с точностью до бесконечно малых
величин высшего порядка не зависит от их последовательности.
Проиллюстрируем это на примере поворотов твердой квадратной
пластинки (рис. 17.3). Сначала повернем ее вокруг оси О'г' на
я/2, а затем вокруг оси О'х' также на я/2 (рис. 17.3, а). После
Рис. 17.3
этого изменим последовательность поворотов: повернем пластинку
сначала вокруг оси О'х' на я/2, а затем вокруг О'г' на я/2
(рис. 17.3, б). Как видно, результат одних и тех же поворотов на
конечные углы является различным в зависимости от последова-
тельности поворотов *.
Теперь проанализируем бесконечно малый поворот. Пусть
твердое тело (система S') обладает одной неподвижной точкой О'.
Положение этого тела в момент времени t определяется углами
Эйлера ф, 9, if, а положение того же тела в момент времени
t + dt — углами ф+йф, 9 + сШ, ij3 + da|3. Это означает, что орты пХ',
iy, nZ' т. е. орты системы S', занимающие в момент t соответст-
вующие положения, в момент t+dt получают определенные при-
* В связи с этим говорят: операция поворота на конечный угол неком-
мутативна. Этому соответствует некоммутатнвность умножения матриц
конечных поворотов. Например, на стр. 160 преобразование А от системы So,
к системе S' было получено как результат трех ортогональных преобразований
В, С н D, примененных в определенном порядке. Соответственно А равнялось
некоммутативному произведению BCD.
6*

164
Движение относительно неинерциальных систем
[Гл. IV
ращения dnx>, dny div (рис. 17.4). Согласно теореме Эйлера
перемещение тела (системы 5') из первого положения во второе
можно совершить одним поворотом на определенный угол d%
вокруг определенной оси, проходящей через О'. Рассматриваемый
бесконечно малый поворот в отличие от конечного поворота можно
задать вектором
dx = ofx-ix; A7.3)
модуль этого вектора равен
углу поворота d%; прямая, на
которой расположен вектор,
является осью вращения, а на-
правление вектора d% и соот-
ветствующего единичного век-
тора пх выбраны так, чтобы
поворот казался совершаемым
против часовой стрелки, если
'У смотреть с конца вектора d%
на неподвижную точку V.
В общем случае величина и
направление вектора d% могут
изменяться со временем. По-
этому ось бесконечно малого
поворота, определяемую век-
тором dx, называют мгновенной осью вращения.
Нетрудно найти приращение любого жестко связанного с систе-
мой 5' вектора, которое он получает в результате поворота системы
5' на угол d% вокруг пх. Например, учитывая, что приращение орта
пх- перпендикулярно к плоскости, образуемой dx и пх-к а величина
приращения dnx- равна d%-sia(nx, nx-) (см. рис. 17.4), приращение
dnx> можно представить в виде
dnx- = [dxnX']. A7,4)
Аналогично для приращений dny и dn?, полученных в. результате
того же поворота, имеем
*-]. A75)
Рис. 17.4
Для любого вектора г', жестко скрепленного с системой S', найдем
. A7.6)
Формула A7.6) позволяет непосредственно убедиться в том,
что результат двух бесконечно малых поворотов не зависит от их
последовательности. В самом деле, совершая два поворота радиу-

§ 17] Поступательное движение и изменение ориентации 165
са-вектора г' какой-либо точки твердого тела в разной последо-
вательности, для вектора конечного положения выбранной' точки
получим
или
где dxi и dx2— векторы рассматриваемых поворотов. Два
последних выражения совпадают с точностью до бесконечно ма-
лых высшего порядка по величинам dxi и dx2- В связи с этим
еще раз подчеркнем, что для конечного поворота нельзя написать
определение, аналогичное A7-3), так как конечный поворот неком-
мутативен, а сложение векторов должно быть коммутативной опе-
рацией. Поэтому вектор бесконечно малого поворота был обозна-
чен dx, а не dx (вектора х не существует!).
Угловую скорость или скорость изменения
ориентации системы S' относительно системы 6'
определим как вектор ю, равный отношению вектора d% к при-
ращению времени:
^ A7.7)
di
Если система S' (твердое тело) вращается с угловой скоростью со,
то концы базисных векторов пх-, щ- и пг> движутся относи-
тельно системы S с линейными скоростями, соответственно равны-
ми (см. A7.4) и A7.5))
пх = [wn*], пу = [tony], ri2- = [foiu-I- A7.8)
Угловая скорость w связана со значениями углов Эйлера и их
производными по времени. Установим эту связь, учитывая прежде
всего, что в результате поворота, который изображается векто-
ром dx. углы Эйлера получают приращения dtp, dQ и dty, а ука-
занное изменение ориентации может быть получено также тремя
поворотами, осуществленными в любой последовательности, а
именно поворотами вокруг nz на dtp, вокруг П| на dQ и вокруг
пг- на di|). Следовательно, вектор поворота d% равняется сумме
трех векторов
dx = пг dq> + щ dQ + пг. dtj>, A7.9)
а угловая скорость может быть задана в виде
щ = фпг l-ens-f ij>nZ'. A7.10)
Найдем разложение w по ортам системы S'. Для этого умно-
жим A7.10) скалярно на пХ', Щ- и nz> соответственно и выразим

166
Движение относительно иеииерциальиых систем
[Гл. IV
необходимые скалярные произведения ортов через углы Эйлера.
Например, проектируя орт nz на плоскость О'х'у', получим отре-
зок, перпендикулярный к линии узлов и равный по величине sin 9
(см. рис. 16.2 и 17.5). Проектируя да-
лее этот отрезок на ось О'х' и ось О'у'
соответственно, найдем (см. также
матрицу A6.7))
П2ПХ' = Sin 0 Sin ij), nz Пу = Sin 0 COS l|).
Кроме того, из определений A6.3) и
A6.2) вытекает (см. рис. 16.2), что
nz nZ' = cos 0, щ nZ' = О,
Щ ПХ' = COS Я|), Щ Пу' = — Sin 1|>.
Используя полученные выражения, а также то, что базис систе-
мы S' ортонормирован, находим проекции угловой скорости на
оси системы S':
Х' = ф sin il> sin 0 + 9 cos i|),
ду = ф COS ij) Sin 0 — 0 Sin \j),
A7.11)
Аналогично, умножая A7.10) скалярно на пх, щ, nz соответствен-
но и учитывая, что базис S ортонормирован, получим разложе-
ние w по осям системы S:
0 cos ф + ij) sin 0 sin ф,
0 sin ф — гр sin в cos ф,
ф + \j? cos 0.
A7.12)
Формулы A7.11) и A7.12) называются кинематически-
ми формулами Эйлера; они устанавливают связь угловой
скорости со значениями углов Эйлера и их производными по
времени.
Угловая скорость, так же как и вектор dx (см. стр. 164), в
общем случае изменяется и по величине, и по направлению. При-
ведем выражения модуля угловой скорости
Ш = (ф2
+ If? + 2фф COS 0O'
A7.13)

§ 17]
Поступательное движение и изменение ориентации
167
и одного из направляющих косинусов мгновенной оси вращения
_ ф simp sin 8 + 8cosi|3
I (ф2 + ё2 + ij>2 + 2 фф cos 9}'/а
A7.14)
Пример 17.1. Регулярная прецессия твердого тела.
Углы Эйлера, определяющие положение твердого тела (систе-
мы 5') относительно системы S, заданы как функции времени:
Определить законы движения оси O'z' и мгновенной оси враще-
ния твердого тела.
Используя условие и формулы A7.13), A7.12) и A7.11), по-
лучим
со2 = фо + фо + 2qyj>0cos 60 = ©о,
юж = % sin 80 sin
% = — % sia %
«г = Фо + ^0 COS 80.
(ах- — ф0 sin 0O sin %t,
wy = Фо sin 60 cos if0/,
' = f 0 COS 0O + to-
Отсюда ясно, что в рассматриваемом примере величина угловой
скорости и ее проекции на оси
O'z, O'z' сохраняются и, следо-
вательно, углы между ю и этими
осями постоянны. Кроме того,
мгновенная ось вращения все
время находится в плоскости
O'zz' или, иначе говоря, © и ли-
ния узлов все время перпенди-
кулярны друг другу. Действи-
тельно, из определений A6.2) и
A6.3) следует, что
щ = пх> cos г|) — пу sin i|)
(см. также рис. 16.2). Используя
это разложение и разложение w
по осям системы S', убедимся,
что скалярное произведение
равно нулю.
Таким образом, система 5' изменяет свою ориентацию отно-
сительно 5 с постоянной (по величине) угловой скоростью
(рис. 17.6). Мгновенная ось вращения системы S' сама вращается
вокруг оси O'z с угловой скоростью фо будучи наклоненной под

168 Движение относительно неинерциальиых систем [Гл. IV
постоянным углом 6i к этой оси; косинус угла 0i равен (ср. с
A7.14)):
_ , Фо + *i>o cos Go
Ось O'z' также вращается с угловой скоростью фо вокруг оси O'z,
так как она в любой момент времени находится в одной плоскости
с вектором ю и осью O'z. Описанное движение твердого тела
(или системы отсчета, жестко связанной с ним) называется регу-
лярной прецессией, а угловая скорость <р0 — скоростью
прецессии.
§ 18. Общий случай движения системы отсчета
(твердого тела)
В случае произвольного движения твердого тела и жестко
связанной с ним системы отсчета как радиус-вектор ее начала Го',
так и ее орты (косинусы а*</ и углы Эйлера) являются функция-
ми времени. Покажем, что любое перемещение твердого тела и
жестко связанной с ним системы S' всегда можно представить как
совокупность поступательного перемещения и изменения ориента-
ции с осью поворота, проходящей через начало системы S'.
Рис. 18.1
Действительно, рассмотрим положение 1 и 2 системы S' в мо-
менты времени t и t + dt соответственно (см. рис. 16.1 и 18.1, а).
Перемещение системы из положения / в положение 2 мысленно
можно произвести двояким образом. Например, можно «сначала»
совершить такой поворот dx вокруг оси, проходящей через O[f
в результате которого орты S' будут ориентированы так же, как
и в положении 2 (такой поворот по теореме Эйлера всегда возмо-
жен) ; «затем» эту сориентированную систему следует перенести
поступательно до совмещения с положением 2 (это перемещение

§ 18]
Общий случай движения системы отсчета
169
характеризуется dro' —перемещением начала системы S'—см.
рис. 18.1, б). Изменяя последовательность этих операций, можно
«сначала» поступательно перенести систему до совмещения О'
с 0%, а «затем» совершить тот же поворот d/ вокруг оси, парал-
лельной оси поворота в первом случае, но проходящей через О2
(слова «сначала» и «затем» не имеют здесь временного смысла).
Учтем далее, что при поступательном движении приращения
dnX' = dny — йпг' = 0 (см. A7.1)). Поэтому из вышесказанного
следует, что в общем случае изменение ортов системы 5' относи-
тельно системы S связано с вектором поворота dx так же, как в
том случае, когда начало О' остается неподвижным относительно
системы 5. Таким образом, выражения A7.8) для производных от
единичных векторов и разложения угловой скорости A7.10),
A7.11) и A7.12) имеют место и в общем случае.
Указанное выше разложение движения тела на поступатель-
ное и вращательное можно осуществить бесконечным числом
способов: любую точку твердого тела можно взять за начало О',
а ортам системы S' можно задать любую ориентацию, лишь бы
все эти «штрихованные» системы были жестко связаны с данным
У
-—^х
г г"
-*-JC
б)
Рис. 18.2
твердым телом. Однако у разных точек твердого тела различное
положение и, вообще говоря, различные перемещения по отноше-
нию к определенной системе S. Следовательно, функция го<@.
характеризующая поступательное движение твердого тела, зависит
от выбора начала системы S'; что касается вектора поворота <fy@
и угловой скорости a(t), то эти функции для данного твердого
тела в его движении относительно данной системы отсчета S не
зависят от выбора системы S', жестко связанной с телом, причем

170 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
ось поворота всегда будет проходить через выбранное начало
«штрихованной» системы, т. е.
rO'(t)^ro»(t), *>О'@ = *>о-@- A8.1)
Проиллюстрируем A8.1) на примере квадратной пластинки,
перемещающейся параллельно своей плоскости из положения 1
в положение 2 (см. рис. 18.2, на котором плоскость пластинки
совпадает с плоскостью Оху). Это перемещение можно разложить
на отличающиеся друг от друга поступательные перемещения и,
как убедимся, одно и то же вращение вокруг параллельных
осей, проходящих через различные точки. В самом деле, введем
системы 5' и 5", жестко связанные с пластинкой. Ориентация сис-
темы S" относительно S' неизменна. Следовательно, угол между
осями О'х' и О"х" при любом положении пластинки остается по-
, И /II
стоянным и, таким образом, ^х\Х\= «^ х2 х2 (рис. 18.2, в).
Поэтому угол поворота ^х\х2 равен углу поворота ^Х\Х2.
Что касается осей поворота, то они совпадают с осями O'z' и
О"г", т. е. параллельны между собой и проходят через О' и О"
соответственно. Итак, в частном случае свойство A8.1) действи-
тельно имеет место. Нетрудно провести и аналитическое доказа-
тельство A8.1) в общем случае, основываясь на том, что все «штри-
хованные» системы, жестко связанные с данным твердым телом,
сохраняют ориентацию по отношению друг к другу.
§ 19. Положение, скорость и ускорение материальной
точки относительно разных систем отсчета
Выводы последних трех параграфов позволяют ответить на
вопрос: как связаны между собой положения, скорости и ускоре-
ния материальной точки, рассматриваемые относительно различ-
ных произвольных систем отсчета. В свою очередь ответ на этот
вопрос необходим для вывода уравнений движения относительно
неинерциальной системы.
Пусть г является радиусом-вектором материальной точки от-
носительно системы S, а г'— радиусом-вектором той же точки
относительно системы 5'. Зададим г в виде разложения A.1) по
осям системы 5. Вектор Гст также разложим по осям этой системы:
го> = хо' пх -f уо> пу + zo> n2, A9.1)
а г' — по осям системы 5':
г' = х'пХ' + у'пу + z'nZ'. A9.2)

§ 19] Скорость и ускорение точки в разных системах 171
Б классической механике между векторами гиг' имеет место
соотношение A.6), которое с учетом A.1), A9.1) и A9.2) можно
записать в виде
(х — хО')пх +(y — yo-)ny+(z — zo,)nz = x'nx- +у'Пу' + г'пг-. A9.3)
Подставляя A.5") в A9.3), получим выражения «штрихованных»
координат через «нештрихованные», т. е. выражения вида AЛ')
с матрицей коэффициентов А. Если же в A9.3) выразить
IV, Пу, пг> через пх, пу, пг, то найдем преобразование
х — хо' = аХ'Хх' +ау,ху' + az-xz',
У — Уо- = ах-ух' + аууу' + aryz', A9.4)
z — zo> = ax-zx' + аугу' -f aZ'Zz',
определяемое матрицей А~г, обратной по отношению к матрице А.
Теперь рассмотрим движение материальной точки. В общем
случае точка движется как относительно системы 5, так и отно-
сительно системы 5', причем сами системы S и S' также могут
двигаться относительно друг друга. Для определенности будем
рассматривать движение относительно 5. Тогда орты системы 5
следует считать постоянными, т. е. не зависящими от времени, а
радиус-вектор г0- и орты пх>, Пу, пг> следует считать функция-
ми времени. В связи с этим систему, относительно которой рас-
сматривается движение, часто называют «неподвижной», а движу-
щуюся относительно нее систему —«подвижной» (условность этой
терминологии очевидна).
Получим соотношение между скоростью точки, с которой она
движется относительно системы S, и скоростью той же точки, с ко-
торой она движется относительно системы S'.
Как известно (см. A.9) и A.12)), скорость точки относитель-
но 5 равна производной по времени от радиуса-вектора точки при
постоянных ортах этой системы. Если же продифференцировать
по времени г' при постоянных «штрихованных» ортах, то получим
скорость той же точки, но относительно системы 5':
V = Щ- = Х'Пх. + у'Пу + г'Пг; A9.5)
at
где
Х i 7
dt ' у dt ' dt *
Используемые в A9.5) и A.12) символы. —^- и —- означают

172 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
производные по времени при постоянных «штрихованных» и «не-
штрихованных» ортах соответственно.
Дифференцируя соотношение A.6) по времени при постоян-
ных ортах пх, пу, nz, найдем
dr J_ dr0. , dr'
dt I dt dt
Согласно A.9) —— является скоростью точки относительно S, а
dt
—-г:— —скоростью начала системы S' относительно S. Производная
же не является скоростью точки относительно системы S', так
dt
как ее следует брать, учитывая зависимость пх~, пу>, iv от времени,
т. е. учитывая вращение S' относительно 5:
—- = х' пх. -f у' пу. + z' n2 -f х' пх. + у' Щ. + г' п2-. A9.7)
at
Первые три члена правой части A9.7) связаны с изменением
ориентации системы 5' относительно 5. Используя A7.8), их сум-
му можно представить в виде
Сумма вторых трех членов правой части A9.7), согласно A9.5),
равна скорости точки относительно S\ Таким образом, «нештрихо-
ванная» производная от г' по времени равна
dt L dt '
Подставляя A9.9) в A9.6), получим интересующее нас соотноше-
ние между v — скоростью материальной точки относительно систе-
мы S и v' — скоростью той же точки относительно системы S':
v = vo' + [юг'] + v'. A9.10)
Здесь Ус и го—скорость начала и угловая скорость системы 5'
относительно системы S соответственно, а г' — радиус-вектор ма-
териальной точки относительно системы S'. Сумму vo- -i- [">r']
называют переносной скоростью vh точки. Она представ-
ляет собой скорость точки, жестко связанной с системой S' и сов-
падающей в данный момент времени с рассматриваемой мате-
риальной точкой.' В самом деле, для такой.скрепленной с 5' точки
скорость v' =0, а скорость относительно S равна
v = vO' + [»r']. A9.11)

§ 19] Скорость и ускорение точки в разных системах 173
В связи с этим соотношение A9.10) можно представить в виде
v = vh + V. A9.12)
Если точка жестко скреплена с системой S', движущейся
поступательно, то v' = 0, w = 0 и, следовательно, A9.10) перейдет
в первое из соотношений A7.2). Если точка жестко скреплена с
системой S', начало которой покоится относительно системы S, то,
полагая v' = 0 и \Ог =0, из A9.10) получим
v=jwr'] A9.13)
(ср. с A7.6)).
Найдем соотношение между ускорениями точки относительно
систем 5 и S'. Ускорение w точки относительно системы 5 полу-
чим, дифференцируя по времени скорость точки при постоянных
«нештрихованных» ортах (см. A.10) и A.13)). Если же продиф-
ференцировать A9.5) по времени при постоянных «штрихованных»
ортах, то получим ускорение той же точки, но относительно
системы S':
где
W - -^- = х'пх- +УЩ- + г'пг-, A9.14)
at.
dV •-, d2y' ••, dV
x' = , у' = ——, 2' =
dfi ' a dt* dt*
Связь ускорений w и w' найдем, продифференцировав A9.10) при
постоянных ортах пх, щ, пг:
dv dvn.
dt ~ dt
Здесь, согласно A.10), —дт- и ?' есть ускорения точки и- начала
О' относительно системы S.
Теперь заметим, что для любого вектора а', заданного в виде
разложения по ортам системы S', вращающейся относительно сис-
темы S, имеет место следующее соотношение между «штрихован-
ной» и «нештрихованной» производными:
dt L ' dt ч
(вывод этого соотношения аналогичен выводу A9.9), так как в

174 Движение относительно иеинерциальных систем [Гл. IV
A9.9) не предполагалось, что г' является именно радиусом-векто-
ром точки) *.
Полагая в A9.16) вектор а' равным ю и v', получим
<fo> d'v>
dt ~ dt '
A9.17)
dV r ,n , d'v'
dt l ' dt
Подставляя A9.17) и A9.9) в A9.15) и используя A.13), A9.14)
и A9.5), найдем искомое соотношение между w и w' — ускорения-
ми точки относительно систем отсчета S и S' соответственно:
w= wO' + [wr'] + [o)|wr']] -f 2[wv'] } w'; A9.18)
здесь wo-, ю и ю ¦—ускорение начала О', угловая скорость и угло-
вое ускорение системы S' относительно системы S соответственно;
г' и v'— радиус-вектор и скорость материальной точки относи-
тельно системы S'. Сумму первых трех членов правой части A9.18)
называют переносным ускорением wh точки. Оно пред-
ставляет собой ускорение точки, жестко связанной с системой 5' и
совпадающей в данный момент времени с рассматриваемой мате-
риальной точкой. Действительно, для такой связанной с S' точки
v'= 0 и w' = 0, т. е. ее ускорение относительно S равно
w = w0 -t [»г']--1»[мг']1. A9.19)
Часть [юг'] переносного ускорения отлична от нуля лишь при не-
равномерном вращении другая же часть [<o[wr']] всегда направ-
лена перпендикулярно к мгновенной оси вращения и по величине
равна (о2р, где р — расстояние от оси вращения до точки.
Итак, переносное ускорение связано с ускоренным движением
системы S' относительно системы S, а ускорение w' связано с
* Из A9.16) следует, что различие «штрихованной» и «нештриховаииой»
производных исчезает при поступательном дв-ижении «штрихованной» системы.
Действительно, если м = 0, то
da' d'&'
dt dt
Отметим еще одно следствие, вытекающее из A9.16): проекция производной
вектора на подвижное направление не равна производной от проекции вектора
на то же направление, например,
da', da',
Г _ /1 ' Л . Л

§ 19]
Скорость и ускорение точки в разных системах
175
движением точки относительно S'. Что касается ускорения 2[cov'],
то оно появляется в результате как изменения ориентации S' от-
носительно S, так и движения точки относительно S'. Это ускоре-
ние называется кориолисовым (или поворотным)
ускорением и обозначается wc. Оно исчезает в трех случаях:
1) при жестком скреплении точки с системой S'(v' = 0); 2) при
поступательном движении S'(w = 0) и 3) г.ри движении точки-па-
раллельно угловой скорости (w||v').
В заключение, используя введенные обозначения, представим
соотношение A9.18) в виде
W = W
w\
A9.20)
где
w" = wo- + [юг'] -f [ю | юг']], wc = 2 [o>v'].
Пример 19.1. Положение, скорость и ускорение точки относи-
тельно движущейся системы отсчета.
Относительно системы 5 материальная точка движется в
плоскости Оху по окружности радиуса а% с угловой скоростью соь
Определить закон движения точки относительно системы S', если
начало О' этой системы движется по окружности радиуса п\ с
постоянной угловой скоростью ел относительно системы 5 (плос-
Рис. 19.1
кость окружности совпадает с плоскостью Оху, оси Oz и O'z'
параллельны), а угол ф между осями О'х' и О'х равняется cof, где
(о постоянно; см. рис. 19.1, а.
Согласно условию движение системы S' относительно S описы-
вается функциями (см. A7.10))
пу sin
г о- = аг (пх cos со
= &пг, ф = (at, 8 = 0, ^ = 0,

176 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
а законом движения точки относительно 5 является
г == а2 (пх cos ajt + пу sin со^).
Используя A.6), получим разложение вектора г' по ортам систе-
мы 5:
г' = г — го- = (а2 — а-,) (пх cos coj/ + ny sin со^).
Отсюда с помощью преобразования (см. A6.1'5))
пх = пх> cos at — пу sin со*, ny = пХ' sin со^ -f ny> cos со^
найдем разложение вектора г' по ортам системы S':
Г' = Х'ПХ- + У'Пу,
где
х' = (аа — аг) cos (e>j — со) t, у' = (а2 — аа) sin ((Oj — (о)Л
Из этих формул видно, что относительно 5' точка движется по
окружности радиуса а2 — а,\ с постоянной угловой скоростью
mi — со (рис. 19.1, б). Дифференцируя г' по времени при постоян-
ных ортах пх- и пу, получим скорость v' точки и ее ускорение
w' относительно S':
v' = (а2 — аг) (сох — е>) [— пх> sin ((Oj — со) t -\- ny cos (cox — со) t],
w' = — (щ — соJ г'.
Для сопоставления приведем формулы для скорости v точки и ее
ускорения w относительно S:
v = ajCOi [—¦ nt sin (a^ -,- пу cos co^],
W — — (й? Г.
Нетрудно убедиться, что скорости точки относительно S и S' и ее
переносная скорость направлены по линии, перпендикулярной ра-
диусу-вектору точки г, а ускорения точки относительно S и S', ее
переносное и кориолисово ускорения направлены вдоль радиуса-
вектора (рис. 19.1, в).
§ 20. Уравнение движения материальной точки
относительно неинерциальной системы отсчета; силы инерции
Пусть некоторая система отсчета 5 является инерциальной
системой, а некоторая другая система S' движется относительно
5 произвольным, но известным образом. Получим уравнение дви-
жения точки относительно системы Sr.
Относительно инерциальной системы 5 движение точки подчи-
нено уравнению C.4)
mto='F.

§ 20] Силы инерции 17/
Здесь w — ускорение точки относительно 5, a F — сила, действую-
щая на точку со стороны других тел. Подставляя сюда вместо w
его выражение A9.20), преобразуем C.4) к виду
mwh + mwc -f- mw' = F.
Перенося mwc и mwh направо и вводя обозначения
#" = — mwh = — т {wo- -r [wr'] + [w[[«г']]},
<ЗГС = — mwc = — 2m [»V],
получим
= F + #"-{-#с. B0.1)
Векторы a7h и зГ называются переносной и к о р и о -
лисовой силами инерции соответственно, а часть перенос-
ной силы, равная —т [ш [юг'] ], называется центробежной
силой инерции (о свойствах этого вектора см. стр. 174).
Уравнение B0.1) является уравнением движения
материальной точки относительно неинерциаль-
ной системы отсчета 5'. В самом деле, будем считать си-
лу F известной функцией радиуса-вектора и скорости точки отно-
сительно системы 5', а движение 5' относительно 5 заданным.
Следовательно, известны радиус-вектор го> начала системы Sr
и ее угловая скорость w, a wo- — ускорение начала О' — и
угловое ускорение ш могут быть определены как функции времени
дифференцированием. В этом случае вся правая часть уравне-
ния B0.1) является заданной функцией г', \' и t. Далее, пусть
система S' движется ускоренно по отношению к инерциальной
системе, т. е. выполняется хотя бы одно щ условий
wo-^0, ю^=0. B0.2)
Тогда какая-либо из сил инерции зТ'1 или {?с или обе они вместе
будут отличны от нуля и, следовательно, будет отлично от нуля
ускорение изолированной точки относительно 5' (см. определение
неинерциальной системы на стр. 38). Таким образом, уравнение
B0.1) действительно является уравнением движения материаль-
ной точки относительно неинерциальной системы отсчета.
Ускорение материальной точки относительно неинерциальной
системы отсчета возникает под действием силы F со стороны опре-
деленного тела (или тел), а также в результате ускоренного дви-
жения системы S' по отношению к инерциальной системе S. Уско-
рение материальной точки, связанное с ускорением неинерциаль-
ной системы отсчета по отношению к инерциальной системе, мож-
но трактовать как результат действия сил инерции. Для этих сил
нельзя указать источник в виде определенного тела, действующего
на данную материальную точку. Поэтому данная сила инерции не

J78 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
имеет соответствующей ей противодействующей силы, иначе
говоря, силы инерции, в отличие от сил взаимодействия, не под-
чинены третьему закону Ньютона.
Рассматривая уравнения движения C.4), B0.1) и принцип
относительности C.12), можно убедиться в том, что инерциаль-
ные системы являются преимущественными по сравнению с не-
инерциалъными системами. В самом деле, силы инерции опреде-
лены, если известны векторы wo' и ш, характеризующие движе-
ние неинерциальной системы относительно инерциальной. Кроме
того, уравнение движения точки под действием сил со стороны
определенных тел справедливо в любой инерциальной системе
отсчета, т. е. уравнения движения относительно инерциальной сис-
темы в указанном смысле имеют абсолютный характер. С другой
•стороны, уравнения движения точки под действием сил со стороны
определенных тел, вообще говоря, различны в разных неинер-
циальных системах отсчета (поскольку для этих систем различны
ускорение начала wo- и угловая скорость ш).
Пример 20.1. Уравнение движения точки относительно Земли.
Найти уравнение движения точки около поверхности Земли
•относительно Земли.
Пренебрегая воздействием планет солнечной системы на дви-
жение Солнца (см. пример 11.1), примем в качестве инерциаль-
ной системы отсчета систему 5 с началом О в центре инерции
¦Солнца и осями, направленными на «неподвижные» звезды. Отно-
сительно этой системы центр инерции Земли движется по эллипсу
под действием силы притяжения со стороны Солнца. Кроме того,
Земля изменяет свою ориентацию относительно S с угловой ско-
ростью со, которую можно считать практически постоянной и рав-
ной по величине 2я/ B4 • 3600) рад в звездную секунду или прибли-
женно равной 7,3-Ю-5 сект1 [37, § 12, 16].
Введем жестко связанную с Землей систему S' с началом О'
в центре инерции Земли. Уравнение движения точки относительно
этой системы имеет вид
/nw' = F — mwo— т[ы[(о г')] — Itn [wv'J.
Теперь учтем, что на точку действуют силы притяжения со стороны
Земли и Солнца, а также другие силы, например сила сопротив-
ления атмосферы Земли. Обозначим указанные силы через Fo-, Fo
и Ф. Тогда
F = ?ff + Fo + Ф,
где силы притяжения Земли и Солнца, согласно B.15), соответст-
венно равны

§ 20] Силы инерции 179
(здесь то- — масса Земли, т0 — масса Солнца, г' и г — радиусы-
векторы точки относительно 5' и 5). Учитывая, что ускорение
центра инерции Земли относительно S равно
т0
wO'= — Y—-—too-
rOO'
(здесь Xocr — вектор, начало и конец которого находятся в точках
О и О' соответственно), запишем уравнение движения относитель-
но S' в виде
m\v' =Fp' — у —р- r + Y —7^~ г<ху — m [w [юг']] — 2m [wv'J ~- Ф.
Г rQO-
Ограничиваясь случаем движения точки около поверхности
Земли, можно считать, что г' порядка R, где R — радиус Земли.
Тогда величина г' подчинена условию г'4^гс®', поскольку ра-
диусы-векторы гиг' связаны соотношением г = Гоо' 4- г,
a R^roo'- При таком ограничении часть переносной силы инер-
ции — mwo' и сила притяжения Солнца Fo компенсируют друг
друга и уравнение движения точки около поверхности Земли
примет вид
/tzw' =?0' — гп[ы[ат']] — 2т[ыу'] + Ф. A)
Заметим, что пренебрежение разницей между силой инерции
—mwo> и силой притяжения Fo исключает объяснение приливных
явлений, вызываемых Солнцем на поверхности Земли.
Легко оценить влияние сил инерции, если сопоставить цент-
робежное и кориолисово ускорения с ускорением силы тяготения
на поверхности Земли, по величине равным
r'=R ' К* ' сек'
Отношения максимальных величин центробежного и кориолисова
ускорений к ускорению силы тяготения будут соответственно
равны
0,003; ^-v' *= 1,5 • КГ5!»' (R = 6,4 ¦ 10" м)
(здесь v' следует подставлять в м/сек).
Отсюда видно, что влияние кориолисовой силы по сравнению с
центробежной мало, если скорость v' С -^— ^ 2,3 • 102 м/сек.

380 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
В свою очередь центробежная сила мала по сравнению с силой
тяготения. Однако несмотря на малую величину сил инерции от-
носительно геоцентрической системы отсчета, эти силы в ряде
задач необходимо учитывать.
Например, рассмотрим движение точки около поверхности
Земли в некоторой малой области по сравнению с радиусом
Земли R. Для изучения такого движения удобно ввести систему
отсчета 5" с началом О" на поверхности Земли. Эта система так
же жестко связана с Землей, как и система S'. Радиусы-векторы,
•скорости и ускорения точки относительно систем S' и S" весьма
просто выражаются друг через друга, поскольку система S" не
движется относительно 5'. Действительно, применяя соотноше-
лия A.6), A9.10) н A9.18) к этим системам, найдем
Г' = Го-О" -f Г", V' = V", W' = W",
где го'о* = #пя, a nR —единичный вектор, направленный от
центра Земли к началу О". Используя эти соотношения и усло-
вие малости области движения (r"<^R), приведем уравнение
движения точки к виду
mw" = ?0' — mR [<о [®щ]] — 2т [wv"] + Ф,
где
тт
0.
Два первых члена в правой части этого уравнения пропорцио-
лальны массе точки и не зависят от положения и скорости точки
в системе 5". Обозначим сумму этих членов вектором оР:
& = т& B)
где
g = — Y -?5- nR + ®2R cos Э • nP.
tip — единичный вектор, перпендикулярный к оси вращения Зем-
ли и направленный от этой оси; 0 — геоцентрическая ши-
рота, т. е. угол между экваториальной плоскостью и направле-
нием от центра Земли на О" —.начало системы. 5" (рис. 20.1).
Используя обозначения B), придем к уравнению движения точ-
ки около поверхности Земли
" = mg —2m[wv"] + Ф, • C)
справедливому в достаточно малой области на заданной широте.

§ 20]
Силы инерции
181
Отсюда видно, что сила, измеряемая при взвешивании тела,
равна сумме силы притяжения Земли и центробежной силы
инерции. Действительно, пусть взвешивание происходит с по-
мощью динамометра. Тогда Ф является упругой силой, дейст-
вующей на взвешиваемое
тело со стороны пружины
динамометра. Изменяя дли-
ну пружины и положение
прикрепленного к ней тела,
можно достичь состояния
покоя этого тела относи-
тельно Земли, т. е. состоя-
ния, в котором v"=0 и
av" = 0. С другой стороны,
¦сила Ф, с которой пружина
покоящегося динамометра
действует на тело, по вели-
чине равна весу тела,
т. е. силе, с которой покоя-
щееся тело действует на
Рис. 20.]
пружину динамометра. Сле-
довательно, если и весы, и взвешиваемое тело покоятся относи-
тельно Земли, то вес тела равняется S3 — сумме силы тяжести и
центробежной силы инерции. Линия действия сР называется вер-
тикалью, а угол между вертикалью и плоскостью экватора —
географической широтой t|).
Как мы видели, для достаточно малых скоростей можно
пренебречь силой Кориолиса по сравнению с центробежной си-
лой. Если же, кроме того, пренебречь и сопротивлением атмо-
сферы, то ускорение любого свободно падающего тела относи-
тельно Земли будет одинаково на данной широте и равно век-
тору g. Следовательно, ускорение свободно падающего тела, как
и вес тела (см. B)), зависит от географической широты ip. Одна-
ко отношение веса к этому ускорению равно постоянной для
данного тела величине, т. е'. равно массе тела:
«ОМ
= т.
D)
Отсюда, учитывая независимость ускорения g(ty) от свойств
тела, получим, что отношение весов двух тел равно отношению
масс этих тел:
_ пгг
E)

182 Движение относительно неннерциальных систем {Гл. IV
Это соотношение обычно используется в практике измерения
масс *.
Пример 20.2. Отклонение падающего (или взлетающего)
тела от вертикали.
Рассмотрим два случая движения свободной материальной
точки относительно Земли: падение с нулевой начальной ско-
ростью и движение с начальной скоростью, направленной вверх
по вертикали. Будем считать, что движение в обоих случаях
происходит в достаточно малой области на географической ши-
роте т|), а сопротивлением атмосферы можно пренебречь. Тогда
уравнением движения точки является уравнение C) предыдуще-
го примера, где Ф = 0. Начало системы S", жестко связанной с
Землей, поместим на поверхности Земли на одной вертикали с
материальной точкой в ее начальном положении; ось O"z" на-
правим вверх по вертикали, ось О"х" — на юг, а ось О" у" —
на восток (рис. 20.1). В этой системе проекции постоянных век-
торов, входящих в уравнение движения, соответственно равны
g = @, 0, — g), w=(—cocosij?, 0, со slnijj).
Опуская для удобства штрихи у переменных, из уравне-
ния C) примера 20.1 получим уравнения движения точки отно-
сительно системы S":
х = 2сог/ sin if,
у =—2to (x sin i|> -j- z cos if), A)
z — — g + 2co«/ cos a]).
Одно интегрирование системы A) после подстановки начальных
условий дает
у = у0 — 2со [(* — xQ) sin т|) + (г — г0) cos т|)], B)
г = — gt + z0 + 2<в {у — у
Подставим решение B) в уравнения движения A) и пренебре-
жем членами порядка со2. Тогда придем к системе уравнений,
* Независимость ускорения свободного падения от свойств тела была
экспервментально установлена Галилеем [2, стр. 158], а утверждение D), также
основанное на опыте, было одним из важнейших утверждеиий, положенных Нью-
тоном в основу понятия о массе.

§ 20]
Силы инерции
183
правые части которых являются либо постоянными, либо функ-
циями только времени:
х = 2шу0 sin гр,
у --= — 2оз [х„ sin ijj - (— gt -f z0) cos ijj],
2 = — g + 2@|/0 COS l|)
Отсюда нетрудно получить приближенное решение для проекций
радиуса-вектора точки:
х = щйР sin i|) -f x0^,
«/ = ^ "V COS ^ ~~ **(*<> sitl ^ - ^о -
z = (— Я -1- 2юг/0 cos i|j) -?- -t- zot + z0
(здесь учтено, что в силу выбора системы отсчета хо=уо=0).
В случае падения точки с высоты г0 с нулевой начальной
скоростью
х=0, у ==—gat3 cos гр,
О
Эти функции определяют вре-
мя падения точки на поверх-
ность Земли и величину откло-
нения точки на восток.
JC'
Рис. 20.2
В случае вертикального взлета точки с поверхности Земли
Сг0 = 0, х0 = у0 = 0, г0 > 0) решение C) имеет вид
= 0, у =
г = --

184 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
Отсюда для полного времени полета точки и ее западного скло-
нения соответственно находим
2z0 4 z?
Д^ Аи (ocosib
Итак, в обоих случаях точка остается в плоскости, перпен-
дикулярной меридиану; однако в первом случае она отклоняется
на восток, а во втором — на запад (имеется в виду движение в
северном полушарии). Причиной отклонения с точки зрения
земного наблюдателя является кориолисова сила инерции о7с
(траектории точки и направления сил инерции изображены на
рис. 20.2).
Пример 20.3. Состояние невесомости.
Рассмотрим поведение тела, находящегося в спутнике, кото-
рый движется под действием притяжения Земли вне ее атмо-
сферы с выключенным двигателем. Допустим, что спутник изме-
няет ориентацию относительно инерциальной системы отсчета с
постоянной угловой скоростью <о (в качестве инерциальной си-
стемы с достаточной степенью точности можно принять систе-
му. S, начало которой помещено в центр инерции Земли, а оси
направлены на «неподвижные» звезды). Определить силу, с ко-
торой стенка спутника действует на материальную точку, сопри-
касающуюся со стенкой.
На любую материальную точку, находящуюся в спутнике,
действует Fe—сила притяжения со стороны Земли и, кроме
того, может отличаться от нуля R — сила, с которой на точку
действует оболочка спутника или скрепленные с оболочкой тела.
Уравнение движения точки относительно системы S' с началом
в центре масс спутника и осями, жестко связанными со спутни-
ком, имеет вид (см. B0.1))
mw' = R -f Fe — mv/m — m [to [tor'] ] — 2m [wv'J.
Ускорение wm центра масс спутника нетрудно определить, учи-
тывая силу притяжения спутника Землей и пренебрегая воздей-
ствием материальной точки на движение центра масс.
Используя уравнение (9.14), получим
ym3 V4 mj
i '/
где m3 — масса Земли; ry, m-t — радиус-вектор и масса /-той доста-
точно малой части спутника, а Л4 = 2*mi — масса спутника.

§ 20] Силы инерции 185
В уравнении A) векторы г,- можно заменить на радиус-век-
тор гт центра масс спутника, поскольку размеры спутника исче-
зающе малы по сравнению с расстоянием от центра Земли до лю-
бой точки спутника. Поэтому
__ тз
По той же причине сила притяжения Fe и сила инерции
компенсируют друг друга:
F -mwm = утт3 (^ ±) ^ 0;
здесь г — радиус-вектор материальной точки относительно 5.
Таким образом, приходим к уравнению движения точки относи-
тельно спутника
mw' = R — т[ы [ыг'\] — 2m[tav'].
Если материальная точка, соприкасающаяся со стенкой
спутника или с поверхностью тела, скрепленного со спутником,
находится в покое, то сила, с которой стенка или тело действует
на точку, отлична от нуля и равна
Следовательно, и точка действует на стенку с силой, равной по
величине /лсо2р (р — расстояние точки до оси вращения, прохо-
дящей через центр масс спутника). Эта сила и является весом
точки во вращающемся спутнике (ср. .с определением веса на
стр. 181). Если точка соприкасается с достаточно малым телом,
скрепленным со спутником и размещенным на оси вращения,
проходящей через центр масс спутника, то г'||м и вес точки рав-
няется нулю, т. ё. точка невесома (она не давит на «подставку»).
Если же м=0 (т. е. спутник движется поступательно отно-
сительно инерциальной системы, отсчета), то в любом месте
спутника точка невесома. В состоянии невесомости точка либо
покоится относительно спутника, либо движется равномерно и
прямолинейно до столкновения с другими телами *.
* «Инерциальность» невращающейся системы 5' связана не с поведением
точки в отсутствие прочих тел (см. определение на стр. 37), а с тем, что гра-
витационное поле в достаточно малой пространственной области одинаково
ускоряет вес тела. Поэтому системы, подобные S', называются локально-
инерциальными.

186 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
§ 21. Законы изменения кинетического момента
и кинетической энергии относительно поступательно
движущейся системы центра масс
Система Sm или поступательно движущаяся система центра
масс (см. определение на стр. 117) характеризуется тем, что
ее начало О' находится в центре масс механической системы, а
ее угловая скорость относительно инерциальной системы S рав-
на нулю, т. е.
ro- = rm, » = 0, B1.1)
где г,„ — радиус-вектор центра масс механической системы. Если
ускорение центра масс отлично от нуля, то поступательно дви-
жущаяся система центра масс (см. условие B0.2)) является
неинерциальной системой, однако по сравнению с другими не-
инерциальными системами она обладает рядом особых свойств.
Например, соотношения между положениями, скоростями и уско-
рениями точек, взятыми относительно S и Sm, согласно A.6),
A9.10), A9.18) и B1.1) имеют вид
г* = г« + г;, v, = vm + v|, wJ=wm + w; B1.2)
(здесь t = l, 2, ..., N; N — число точек механической системы).
Отсюда видно, что все величины г,, v* и wi являются суммами
двух членов: один из них характеризует движение центра масс
относительно инерциальной системы S, а другой — движение
точек относительна.системы Sfe.
Из первого условия B1.1) вытекает, что радиус-вектор, ско-
рость и ускорение центра масс относительно системы Sm равны
нулю:
rm = °> vm = 0, wm = 0. B1.3)
Следовательно, в системе центра масс существуют зависимости
между радиусами-векторами, скоростями и ускорениями всех
точек соответственно. Действительно, пользуясь определениями
(9.1), (9.2), (9.3) в системе Sm и учитывая B1.3), найдем, что
,w; = o. B1.4)
Второе из этих соотношений означает, что Р' — импульс механи-
ческой системы относительно Sm — равен нулю. Итак, импульсы
механической системы относительно S и Sm соответственно рав-
ны (см. (9.5))
P = mvm, P' = 0. B1.5)

§ 21] Поступательно движущаяся система центра масс 187
Используя определения кинетического момента и момента
внешних сил (см. A0.2), A0.5)), а также используя соотноше-
ния B1.2), получим
М =
N
где М' = ?тг Irivil — кинетический момент системы относительно Sm
N
(Le)' = у [rfF;] — сумма моментов внешних сил относительно Sm.
Отсюда, учитывая B1,4), найдем
M=[rmP]+M', B1.6)
Le = [rmFe]+ (!/)', B1.7)
где Fe — сумма всех внешних сил, действующих на точки систе-
мы. Из B1.6) видно, что кинетический момент механической
системы, относительно инерциальной системы отсчета S равен
сумме взятого относительно S момента импульса центра масс, в
котором как бы сосредоточена вся масса системы, и кинетиче-
ского момента системы относительно поступательно движущейся
системы центра масс Sm. Соотношение B1.7) показывает, что
векторы Le и (Le)' отличаются на момент суммы, внешних сил,
действующих на точки и мысленно приложенных к центру масс.
Соотношения для кинетических энергий и мощностей полу-
чим аналогично, воспользовавшись определениями этих величин
(см. A1.2)) и формулами B1.2):
2
Т=^И. + Т', B1.8)
dt m dt
V4 mdvi?
где T' = Л кинетическая энергия в системе Sm,
i=i
N N
-—— = V Fi'nV? + V ^Wi — мощность всех сил относительно S
?=1 (=1

188 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
(в соотношении B1.9) учтено, что внутренние силы подчинены
закону действия и противодействия). Следовательно, кинетиче-
ская энергия механической системы относительно инерциальной
системы отсчета равна сумме кинетической энергии центра масс,
в котором как бы сосредоточена вся масса системы, и кинетиче-
ской энергии относительно поступательно движущейся системы
центра масс. В свою очередь мощность всех сил относительно
системы S равна сумме мощности всех внешних сил, мысленно
приложенных к центру масс, и мощности всех сил относительно
системы Sm*.
Теперь найдем законы изменения кинетического момента и
кинетической энергии относительно системы Sm. Подставляя
выражения B1.6) и B1.7) в уравнение A0.5), получим
[rmPl + [rmP] i- ^- = [rmFel -r (Le)'.
Здесь член [rmP] равен нулю, поскольку он пропорционален вектор-
ному произведению скорости центра масс самой на себя, а
>mP] = [rmFeJ, B1Л0)
что вытекает из уравнения (9.15). Следовательно, закон измене-
ния кинетического момента относительно поступательно движу-
щейся системы центра масс имеет вид
-^L = (Le)\ B1.11)
Подставляя B1.8) и B1.9) в A1.2), получим
d D1 , dV =Fey ^.(dAY .
dt V 2 / ' dt ' dt
Первые члены обеих частей этого уравнения равны друг другу,
что следует из уравнения движения центра масс (9.14). Дейст-
вительно, скалярно умножая (9.14) на vm, найдем
-i-l^l-F-v. BU2)
* Заметим, что соотношения B1.2) и B1.6) — B1.9) справедливы при лю-
бом выборе системы S, относительно которой система Sm движется поступа-
тельно. Система S может быть как инерцнальнон, так и нсинерциальнон, по-
скольку соотношения A.6), A9.10) и A9.18) справедливы для любых двух си-
стем отсчета.

§ 21] Поступательно движущаяся система центра масс 189
(см. вывод F.1) на стр. 67). Учитывая B1.12), придем к закону
изменения кинетической энергии относительно поступательно
движущейся системы центра масс:
dT' _ (dA"Y , (dA'Y m n
(dAY (dAeY
где — и -— мощности внутренних и внешних сил относи-
dt dt
тельно Sm.
Итак, законы изменения кинетического момента и кинетиче-
ской энергии относительно поступательно движущейся системы,
центра масс по форме совпадают с соответствующими законами
относительно инерциальной системы отсчета (ср. B1.11) с A0.5)
и B1.13) с A1.2)). Это свойство системы Sm связано с тем, что-
сумма моментов и сумма мощностей сил инерции в рассматри-
ваемой системе равны нулю. Действительно, в системе Sm могут
отличаться от нуля только переносные силы инерции (см. B1.1))
$ = -mtvim (i=\,2,...,N), B1.14)
а сумма моментов и сумма мощностей этих сил с учетом B1.3)
равны нулю:
B1.15)
Пример 21.1. Система N точек в однородном поле тяжести.
Найти закон движения системы N материальных точек, кото-
рые движутся в однородном постоянном поле тяжести напря-
женности g; внутренними силами системы являются силы притя-
жения, прямо пропорциональные расстоянию между точками и.
произведению масс соответствующих точек (коэффициент про-
порциональности к).
Уравнениями движения системы относительно инерциальной'
системы S являются уравнения
mft = ? F/t- -f F? (*=1,2,...,JV), A)
где
Fjt == — xnicm, (r i — г,), F,e =

190 Движение относительно неннерциальных систем [Гл. IV
Прежде всего найдем закон движения центра масс относи-
тельно S, для чего используем уравнение (см. (9.14))
N
N
где т = V т{. Отсюда
B)
Итак, относительно S центр масс движется по параболе с по-
стоянным ускорением g и, следовательно, система Sm будет не-
инерциальной. В этой системе единственными отличными от нуля
силами инерции будут переносные силы
C)
(i = 1, 2, ... , Л^), а уравнения движения имеют вид
Подставляя сюда выражения сил (см. A) и C)) и имея в виду, что
г, —17 = г;—-г:, найдем
N
"; ,(r;-r;) (t=lf2,...,JV).
Правые части этих уравнений зависят только от радиуса-вектора
соответствующей точки. Действительно,
N N
(т — mt) rl - } :
где последняя сумма равна нулю в силу B1.4). Таким образом,
уравнения движения сводятся к системе уравнений
'г; = — xmr't (i=\,2,...,N). D)
Отсюда видно, что каждая материальная точка движется так,
как будто на нее действует сила притяжения со стороны точки,
находящейся в центре масс и обладающей массой, равной массе

§21]
Поступательно движущаяся система центра масс
19Г
всей системы. Эти силы центральны, и моменты импульса каж-
дой точки относительно Sm сохраняются:
м; = Мш (i =1,2 N),
а движение точек происходит по плоским траекториям.
Общее решение rt(t) каждого из урарнений D) в декарто-
вых координатах имеет вид
х'. = at cos (со/ 4- «(•),
у\ = bt cos (Ы + Р,), (i=\,2,...,N),
z\ = ct cos(«>* + yt),
где амплитуды и фазы определяются начальными условиями.
Из приведенных результатов следует, что центр масс меха-
нической системы движется по параболе относительно инерци-
альной системы отсчета;
относительно системы 5т
точки движутся по эллип-
сам с общим центром в цен-
тре масс и одинаковым пе-
риодом, равным 2я/(хт)>/г;
орбиты точек лежат в плос-
костях, проходящих через
центр масс; ориентация этих
плоскостей постоянна, но
может быть различной для
разных точек (только в слу- Рис 2i i
чае N=2 точки относитель-
но Sm движутся в одной и той же плоскости, см. рис. 21.1).
Что касается законов изменения момента, то из уравнений
A0.5) и B1.11) вытекает:
Следовательно, момент М относительно инерциальной системы S"
не сохраняется, в то время как момент М' относительно Sm со-
храняется. Энергия системы относительно 5, как видно из A1.19)
и A1.20), сохраняется:
Т + Ula -!- Ue = Ео,
где
U'm = ? шщт/ц/2, Ue = — ? /и.-gi-j = — mgrm.

192
Движение относительно неинерциальных систем
[Гл. IV
Используя B1.8), этот интеграл можно представить в виде
'Д I Ti ' inn ] /;е р
- h 1 -Г U Н- С/ — С„.
Ввиду потенциальности суммы сил Fe из уравнения B1.12) сле-
дует сохранение «энергии центра масс», т. е.
mvl
— mgrffl = const.
Таким образом, из последних двух интегралов вытекает, что
энергия Е' относительно системы Sm сохраняется:
Т' -J- U'm = Е'о
(этот интеграл можно получить также из. B1.13)).
§ 22. Законы изменения и сохранения импульса,
кинетического момента и энергии относительно
произвольных неинерциальных систем отсчета
Рассмотрим соотношения важнейших динамических величин,
характеризующих механическую систему и отнесенных.к произ-
вольным системам отсчета S и S'. Пусть движение системы S'
относительно S известно, т. е. го- —радиус-вектор начала систе-
мы S' им — ее угловая скорость заданы как функции времени;
-будем также считать, что все векторы, характеризующие меха-
ническую систему относительно 5, заданы в виде разложений
по ортам S, а векторы, характеризующие систему относитель-
но S', — в виде разложения по ортам S'.
Найдем, например, соотношение между Р — импульсом си-
стемы относительно S и Р' — импульсом той же системы относи-
тельно S'. Для этого используем определение импульса и связь
-скоростей любой точки относительно систем S и S' (см. (9.5) и
<19.10)). Тогда
N
N
Р =
t [юг;]
г=1
В первой и второй суммах этого выражения множители vo' и <о
не зависят от номера точки, а третья сумма является импуль-
сом Р' относительно S'. Учитывая это, придем к соотношению
между импульсами Р и Р' (одной и той же механической систе-
мы) относительно систем отсчета S и S':
-f m [югт] + Р',
B2.1)

§ 22] Произвольные неинерциальные системы 193
где т — масса системы, г'т — радиус-вектор центра масс относи-
тельно S'. Отсюда следует, что скорость центра масс системы
относительно 5 равна (см. (9.2) и (9.7))
vm = vo. + [»r;j + v;, B2.2)
где \'т — скорость центра масс относительно S'.
Аналогично найдем соотношения кинетических моментов и
моментов внешних сил. В самом деле, используя определения
кинетического момента и момента внешних сил (см. A0.2) и
A0.5)), а также соотношения A.6) и A9.10) для каждой точки
системы, получим
М = [!>Р] + m [г>.] + ? mt [г. [»г;Ц + М', B2.3)
Le = [!>F] + (Le)', B2.4)
где М' и (Le)' — кинетический момент системы и сумма момен-
тов внешних сил относительно 5'.
Соотношения для кинетических энергий и мощностей всех
сил, действующих на точки, найдем, используя определения этих
величин (см. A1.2) и F.1)), формулы A9.10) и третий закон
Ньютона. В результате получим
о N
Т = ^f- + mvo- I»r;l + mvo-v; + J] T [юГ']2 + юМ' "f T>t B2'5)
t=\
^ = Pvo- + «(Le)' + ifL. B2.6)
где T' — кинетическая энергия относительно S', =\ fj——
dt •—• dt
i=l
N , ¦
мощность сил относительно S, -—-=VF|—¦—мощность сил от-
dt ^J dt
i=l
носительно S'. Заметим, что соотношения B2.1) — B2.6) справедли-
вы для любых двух систем отсчета S и S'.
Чтобы установить законы изменения Р', М' и Т' относитель-
но 5', систему S будем считать инерциальной, а систему S' —
неинерциальной и исходить из уравнений движения относительно
7 И. И. Ольховский

194 Движение относительно неииерциальных систем [Гл. IV
неинерциальной системы отсчета (см. B0.1)). Например, сумми-
руя эти уравнения по всем точкам, найдем
?miW:==?Ff +?<?!¦+?<#. B2.7)
»=1 i=l t=l »=1
Левая часть этого уравнения, согласно определению, равна про-
изведению mw'mi а ускорение любой точки относительно 5', со-
гласно A9.14), есть производная скорости этой точки относитель-
но 5', взятая при постоянных «штрихованных» ортах. Следова-
тельно, w' = т -
dt '
N
d'P'
m,vr. =
dt
Сумма всех сил F* из уравнения B2.7) равна сумме только
внешних сил Fe, поскольку внутренние силы взаимодействия под-
чинены третьему закону Ньютона. Суммируя переносные силы
инерции, найдем
N
1 = -m{w0, + [wrm] + [w [шт]]}. B2.8)
Отсюда видно, что сумма переносных сил инерции, «приложен-
ных» к точкам системы, равна переносной силе инерции, «прило-
женной» к центру масс. Аналогично для суммы кориолисовых
сил инерции получим
'. B2.9)
Таким образом, уравнение B2.7) представляет собой закон из-
менения импульса относительно неинерциальной системы от-
счета:
^- = Fe + #hm + 3Cm, B2.10)
at
где
оГт=—1П {У/(У -Т [««"ml + [» 1»Г^,]]}, d>m =
Как мы видим, вывод и содержание этого закона аналогич-
ны выводу и содержанию закона изменения импульса относи-
тельно инерциальной системы отсчета (9.15). Однако в неинер-
циальной системе кроме сил, действующих на точки со стороны

«§ 22] Произвольные неинерцнальные системы 195
различных тел, имеются силы инерции, которые не подчинены
закону действия и противодействия. Эти силы играют роль внеш-
них сил и также изменяют импульс системы.
Вывод закона изменения момента М' аналогичен выводу
уравнения A0.5) для момента М. Действительно, умножим обе
части уравнения B0.1), взятого для i-той точки, векторно слева
на г/ и просуммируем полученные выражения по всем точкам.
Затем учтем, что v/ — скорость i-той точки относительно S' —
равна производной от г/ по времени при постоянных «штрихо-
ванных» ортах. Тогда, исключая внутренние силы взаимодейст-
вия с помощью третьего закона аналогично A0.3) и A0.4),
лолучим закон изменения кинетического момента относительно
•неинерциальной системы отсчета:
N N
i^l = (Le)' + ^[r'rJ*]'+ ^[rli/i]. B2.11)
i=i ;=i
Умножая каждое из уравнений B0.1), взятых для различ-
ных точек системы, скалярно на скорость соответствующей точки
•относительно системы S', в результате простых преобразований,
найдем закон изменения кинетической энергии относительно не-
инерциальной системы отсчета:
d'V _ (dAY ,_у^ B2Л2)
dt dt
(dA)'
— мощность всех сил Ft- относительно S'. При выводе
B2.12) следует иметь в виду, что производная кинетической
энергии по времени при постоянных ортах системы S равна про-
лзводной той же функции при постоянных ортах системы S', т. е.
T^~dT' B2ЛЗ)
, dvi I .-. d'v', ) , d'v, r
поскольку v{ = v, I [wv(.] -i -} = v? . Кроме того, нужно так-
же учитывать, что работа кориолисовых сил относительно S' равна
нулю:
— 2/nJwv'j] d'r; = 0 (/ = 1,2, ... ,N). B2.14)
Итак, согласно закону B2.12) изменение кинетической энер-
гии относительно S' определяется работой внутренних и внешних
¦сил, а также работой переносных сил инерции. Рассмотрим под-
робнее этот закон, предполагая, что внешние силы заданы как

196 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
функции положений и скоростей точек относительно 5', а также
предполагая, что среди этих сил есть потенциальные, диссипа-
тивные и гироскопические силы; относительно внутренних сил
взаимодействия предположим, что среди них могут быть потен-
циальные и диссипативные силы. Для потенциальной энергии V
относительно 5' аналогично A1.14) и A1.15) получим
U' = (Uey + U'mt B2.15)
JV JV
где (Uey = 5J/1 (г!, t), U'm=-i- J] Uи (I г: — г; |); а :для гироскопи-
ческих сил будем иметь (ср. с A1.6))
FVed'r'{ = О (i = 1, 2, ... , N). B2.16)
Учитывая B2.15), B2.16) и соотношения типа A1.2) —A1.13),
закон B2.12) можно записать в виде, аналогичном A1.18):
-? (Г + U') = °Ш- -f ^ Ffo + 2 А1. B2.17)
i=i i=i
где F,- = F,-' -r Fj1 .
Изучим свойства переносных сил инерции, имея в виду, что
эти силы заданы как функции времени и координат точек, по-
скольку Wo- —ускорение начала системы S' и к>—ее угловая
скорость считаются известными функциями времени.- Вычисляя
ротор от каждого из трех слагаемых переносной силы инерции,
убеждаемся в потенциальности части сил:
rotwo- = 0, rot [to [tor']] = 0, rot[tor'] = 2to B2.18)
(здесь дифференцирование производится по координатам точки
пространства в системе 5' при фиксированном времени). Таким
образом, сила инерции, возникающая за счет поступательного
ускорения, и центробежная сила являются потенциальными си-
лами. Поэтому можно ввести U\—потенциальную энергию-
i-той точки, соответствующую указанным двум силам, и, соглас-
но A1.8), записать эту функцию в виде
U\ = mc j {wo- + Ito [wt]]}d'r'i. B2.19)
Учитывая, что
[to [tor:]] = to (юг:) — co2r:,

§ 22] Произвольные неинерциальные системы 197
получим
и) = mt {wo.r: -ь J (ЮГ;) (ыт;) -1-(/-;)• j,
2
где
и т. д. Таким образом,
Затем, используя векторное тождество
окончательно получим
И? = Щ {wo-r; - у [cor;pj. B2.20)
Суммируя это выражение по всем точкам, найдем потенциаль-
ную энергию IP системы в поле переносных сил инерции:
N
lib **,-• ... \Ч mi Г.ч.'12 /ОО О1\
U = /Иг Wo'— У |_(иГ« 1 \Z?.Z\.)
(=1
(подчеркнем, что эта потенциальная энергия соответствует не
всем переносным силам инерции, а только потенциальной ее
части).
Учитывая свойства сил инерции off (см. B0.1) и B2.18)), запи-
шем мощность этих сил в виде, аналогичном A1.9):
' ' I. B2.22)
Затем, используя B2.21), найдем частную производную:
= tnrmiK, - J]Щ \w\\ \w\\. B2.23)
Наконец, учитывая B2.22) и B2.23), из B2.17) получим закон
изменения полной энергии относительно неинерциальнои системы
отсчета:
отсчета:

198
Движение относительно неинерциальных систем
[Гл. IV
d'E'
dt
mt\
B2.24)
где E'=T'+U' +№ — полная механическая энергия относитель-
но неинерциальнои системы отсчета; U', Uh определены в B2.15)
и B2.21), a v?o' и ы являются заданными функциями времени.
Законы сохранения относительно неинерциальных систем
отсчета аналогичны соответствующим законам для инерциаль-
ных систем; однако для сохранения какой-либо проекции им-
пульса или момента необходимо большее число требований,
включающее в себя требования на соответствующие проекции
сил инерции или момента сил инерции. Например, из B2.10)
следует:
если К- =
= 0,
то Р'г. = Рг.о;
а из B2.11) получим:
если (Le)г, =
«' = 0,
B2.25)
B2.26)
i
ТО Мг> =
В случае изолированной механической системы (F* = 0,
i=l, 2, ..., N) ее импульс и кинетический момент относительно
инерциальной системы отсчета сохраняются; если же движение
механической системы отнесено
к неинерциальнои системе отсче-
та, то импульс и кинетический
момент механической системы
сохраняться не будут, так как и
в случае изолированной системы
на нее «действуют» силы инер-
ции.
Наконец (см. B2.24)), если
потенциальная энергия механиче-
ской системы во внешних полях
стационарна,* диссипативные си-
лы (внутренние и внешние) от-
сутствуют, а неинерциальная система отсчета движется относи-
тельно инерциальной с постоянной угловой скоростью и постоян-
ным ускорением начала, то полная энергия механической системы,
Рис. 22.1

§ 22] Произвольные неииерциалыше системы 199
относительно неинерциальной системы отсчета будет сохраняться,
т. е.
если АШр1 = 0,?? = 0 (t = l,2 N),
то ?' = Т + V + Ub = Е'о. B2.27)
Пример 22.1. Задача двух тел в неинерциальной системе
отсчета.
Рассмотрим движение двух взаимодействующих точек отно-
сительно поступательно движущейся системы S' с началом в
одной из точек (рис. 22.1). Поместим начало этой системы в точ-
ку 1, т. е. потребуем, чтобы rj = 0. Учитывая, что движение S'
относительно инерциальной системы 5 поступательно, т. е. о>=0,
и что wi=0, получим из уравнений вида B0.1) уравнения дви-
жения относительно S':
б = FM — mLTu m2rz = Fla — marx. A)
Первое из этих уравнений по существу является уравнением дви-
жения начала системы 5' относительно S, а второе — уравнением
движения точки 2 относительно 5'. Это движение точка 2 совер-
шает под действием силы Fi2 и силы инерции — m2ri. Исклю-
чая ri из второго уравнения с помощью первого уравнения, по-
лучим уравнение движения второй точки в виде
ji?2 = Fu(|ri|), B)
Сопоставляя B) с A2.11), придем к выводу, что точка 2
движется относительно неинерциальной системы S' так же, как
воображаемая <\ь-точка» движется относительно инерциальной
системы центра масс.
Интересно рассмотреть законы сохранения относительно не-
инерциальной системы S'.
Закон изменения момента B2.11) в данной задаче прини-
мает вид
•^ = 1**й. О)

200 Движение относительно неинерциальных систем [Гл. IV
где М' = тг [г&'г], s/г = — Щ^\. Из первого уравнения A) следует,
что переносная сила инерции равна
<*2h=-^-F12(|r;|) D)
и является центральной силой; момент силы &2 относительно
точки 1 равен нулю, а значит, момент М' сохраняется:
Щ [v'2v'A = Mo. E)
Закон изменения энергии относительно S' используем в фор-
ме B2.17), поскольку в рассматриваемом случае ускорение на-
чала системы S' является не заданной функцией времени, а за-
данной функцией координат. Тогда
(б)
где
2 '
Теперь учтем, что переносная сила инерции D) потенциальна, а
соответствующая ей потенциальная энергия равна
Таким образом, используя F) и G), придем к интегралу энергии
Отметим также, что в предельном случае m2<^.mi центр
масс двух точек совпадает с точкой 1, а система S' становится
инерциальной.
Пример 22.2. Возмущение эллиптической орбиты.
Как известно, под действием силы гравитационного притя-
жения B.15) точка может двигаться по эллиптической орбите
относительно инерциальной системы отсчета. Определить цент-
ральную силу, которую необходимо добавить к силе B.15) с
тем, чтобы орбита стала вращаться относительно инерциальной
системы без изменения своего вида, т. е. чтобы точка в некото-
рой вращающейся системе отсчета двигалась по эллиптической
орбите с фокусом в центре сил (центры добавочной и гравитаци-
онной сил совпадают).
Начало О инерциальной системы S поместим в центр сил,
а плоскость Оху совместим с плоскостью орбиты (орбита будет

§ 22] Произвольные неннерциальные системы 201
плоской, так как и сила гравитационного притяжения F, и воз-
мущающая сила Ф центральны). Введем также неинерциальную
систему S' с началом О', совпадающим с О, а координатную
плоскость О'х'у' этой системы совместим с плоскостью Оху.
Если на точку действует только сила F, то относительно S
эта точка движется по эллипсу. Если же на точку действует сила
F+ Ф, то по условию задачи точка также будет двигаться по
эллипсу, но относительно S'; причем относительно S точка будет
двигаться, вообще говоря, по незамкнутой орбите между двумя
концентрическими окружностями (см. рис. 8.1).
Уравнение движения точки относительно S' получим
(см. B0.1)), учитывая, что Wo- = 0:
= F + Ф + #h + а7с; A)
здесь
<STh = — m[wr'] — т [а> [юг']], afc = — 2т[<л\'];
кроме того, по условию /raw' = F. Таким [образом, для неизвестной
силы Ф получаем уравнение
Ф + &h + ??с = 0, B)
в котором угловая скорость со также неизвестна. Векторы «о, г' и v',
входящие в это уравнение, можно записать в виде
to = (onz<, г' = rnr, v' = тг + гф'Пф, C)
поскольку система S' вращается относительно S только вокруг
оси Oz, а движение точки происходит в плоскости О'х'у' (коор-
динаты г и ф' являются полярными координатами точки в этой
плоскости). Используя C), найдем выражения для сил инерции:
(#h = — /и/чоПф + тга>2пг,
afc= — 2/нш (гпф — гу'Пг).
Учитывая D) и центральность силы Ф, из уравнения B) получим
ш + 2шг = 0, E)
Ф (г) + тг®2 + 2ягшгф' = 0. F)
Интегрируя E), найдем о как функцию г:
const „_
<° G)

202 Движение относительно неинерцнальных систем [Гл. IV
Так как сила F центральна, а сумма сил инерции и добавочной
силы Ф равна нулю, имеет место сохранение момента импульса
точки относительно 5':
mrV = Mo. (8)
Подставляя G) и (8) в уравнение F), получим

Глава V
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
§ 23. Основная задача динамики несвободной системы
и понятие о связях
Многие задачи механики (например, такие, которые были
рассмотрены в гл. I—IV) сводятся к решению уравнений дви-
жения
mj] = F,-(rx rN, vlt ... , vN,t) (i =1,2,... , JV).
где силы считаются известными функциями положений и скоро-
стей точек, а также времени (такие силы будем для краткости
называть заданными); при этом
начальные условия можно задавать
произвольно: на них никаких огра-
ничений не налагается. Однако в
механике существует и другой
класс задач, в которых наряду с за-
данными силами рассматриваются
силы, не известные нам как функ-
ции положений, скоростей точек и
времени. Метод решения таких за-
дач был намечен д'Аламбером в
1743 г. в его трактате «Динамика»
[5, стр. 108—109] и окончательно
сформулирован Лагранжем в 1788 г.
в «Аналитической механике» [6, т. 1,
отд. 1, 2 и 4].
Рассмотрим постановку задач такого класса на примере
сферического маятника (рис. 23.1). Пусть тело весьма
малых размеров колеблется вблизи земной поверхности, будучи
подвешенным на нерастяжимой нити длины /, а сопротивлением
воздуха можно пренебречь; тогда на материальную точку мас-
сы m действует заданная сила mg и неизвестное натяжение

204 Уравнения Лагранжа [Гл. V
нити R. Следовательно, согласно C.4) уравнение движения
маятника имеет вид
mr'= /ng-h R.
Это векторное уравнение эквивалентно системе трех дифферен-
циальных уравнений в координатах и содержит шесть неизвест-
ных функций — проекции радиуса-вектора материальной точки и
проекции натяжения нити; в декартовых координатах неизвест-
ными являются x(t), y(t), z(t), Rx(t), Ry(t), Rz(t). Для отыска-
ния решения приведенного уравнения необходимы дополнитель-
ные сведения. В поставленной задаче такие сведения есть:
во-первых, в любой момент времени материальная точка нахо-
дится на сферической поверхности радиуса / (если нить натяну-
та) и, следовательно, координаты точки должны удовлетворять
условию г2 = 12; во-вторых, натяжение нити направлено вдоль
нити, в связи с чем можно написать, что R=2ai", где а — неиз-
вестная скалярная функция. Таким образом, условия задачи
приводят к системе
/гаг = /rag -f 2лг, r2 — /2 = 0,
т. е. к системе четырех дифференциальных уравнений в коорди-
натах с четырьмя неизвестными функциями, например, функ-
циями x(t), y(t), z(t) и l(t). С помощью приведенных уравне-
ний можно найти закон движения точки по сфере и натяжение
нити, необходимое для того, чтобы точка двигалась именно по
сфере. Начальные условия в этой задаче не произвольны: точка
и в начальный момент времени должна находиться на поверх-
ности сферы радиуса /, а вектор скорости — в плоскости, каса-
тельной к сфере. При этом допускается, что длина нити остается
неизменной, т. е. допускается, что жесткость нити бесконечно
велика, изменение длины нити исчезающе мало, а ее натяжение
конечно.
Как видим, в рассматриваемой задаче положение точки и ее
скорость удовлетворяют определенным условиям, не вытекаю-
щим из уравнений движения. В этом смысле говорят, что мате-
риальная точка несвободна, на нее наложена связь.
В общем случае под связями понимают не вытекающие из
уравнений движения ограничения, налагаемые на положения,
скорости и ускорения точек механической системы. Связи реали-
зуются посредством поверхностей различных тел, стержней,
нитей и т. п.; аналитически связи выражаются уравнениями
связей, т. е. соотношениями между радиусами-векторами то-
чек, их скоростями и ускорениями. Силы, с которыми тела, осу-
ществляющие связи, действуют на точки системы, называются
реакциями связей. Если на систему N точек наложено

¦§ 23] Понятие о связях 205
k связей, то, обозначая через Raj реакцию связи с номером а
на i-тую точку, согласно B.5) получим, что реакция всех k свя-
зей на г-тую точку равна
к
R. = у Rai. B3.1)
а=1
Различают следующие виды связей: голономные и неголо-
номные, удерживающие и неудерживающие, стационарные и не-
стационарные. Голономными (или интегрируемыми)
связями называются связи, уравнения которых всегда можно
свести к уравнениям вида
/(ru ••¦ ,гдг, 0 = 0, B3.2)
где f является функцией только координат точек и времени.
Эти связи налагают ограничение не только на положение, но и
на скорости и ускорения точек системы. Действительно, диффе-
ренцируя B3.2) по времени, получим ограничение, налагаемое
голономнои связью на скорости:
n
а продифференцировав B3.3) по времени, найдем ограничение
на ускорения точек:
лг лг
dt* ?д^*1'' l~ Zj\_ dt ^*"'J ' ' dt \ dt J
i=l i=\
Однако характерным для голономных связей является то, что
ограничения на ускорения и скорости сводятся к ограничению
(О '
Рис. 23.2

206 Уравнения Лагранжа {Гл. V
только на положения точек; иначе говоря, уравнения связей, задан-
ные в виде B3.3) или B3.4), могут быть проинтегрированы.
Например, пусть одна точка движется на горизонтальной:
плоскости, перемещающейся с постоянной скоростью и в верти-
кальном направлении (рис. 23.2,а). Такая связь реализуется,.
если шарик исчезающих размеров движется между двумя жест-
ко скрепленными друг с другом телами с параллельными по-
верхностями, причем расстояние между поверхностями исчезаю-
ще мало, а их деформациями можно пренебречь (рис. 23.2,6).
Направляя ось Oz по вертикали, запишем уравнение связи в виде
f = z — ut = O,
откуда следует, что рассматриваемая связь голономна, а на по-
ложение точки, ее скорость и ускорение налагаются ограничения:
z — ut, z — u, z = 0.
Неголономными (или неинтегрируемыми) свя-
зями называются такие связи, уравнения которых нельзя свести
к уравнениям, содержащим только координаты точек и время.
Наиболее изученными являются неголономные связи первого
порядка, линейные относительно скоростей, т. е. неинтегрируе-
мые связи вида
N
iVi + Ь = 0, B3.5)
где aj и Ь могут зависеть от положений точек и времени. Напри-
мер, неголономной связью является, вообще говоря, связь, нала-
гаемая на шар, катящийся по шероховатой поверхности (см.
стр. 380). Большое практическое значение имеют неголономные
условия, встречающиеся в задачах об оптимальных траекториях,
различных тел.
В дальнейшем мы будем рассматривать главным образом,
голономные связи, поскольку задачи о движении систем с него-
лономными связями, как правило, очень сложны в математиче-
ском отношении и редко встречаются в современных физических,
приложениях механики *.
Удерживающими связями называются связи, за-
даваемые равенствами. Соответственно неудерживающие
связи задаются неравенствами; например, неудерживающук*
связь можно реализовать с помощью гибкой нерастяжимой ни-
ти, соединяющей две материальные точки. Однако в этом случае-
движение точек сводится либо к свободному движению (когда^
* Уравнения движения систем с линейными неголономными связями будут-
кратко рассмотрены в § 41 гл. VIII.

§ 24] Виртуальные перемещения; идеальные связи 207
связь, как говорят, не напряжена), либо к движению несвобод-
ных точек (когда связь напряжена). Неудерживающие связи мы
также рассматривать не будем.
Если уравнение связи явно от времени не зависит, то связь
называется стационарной (например, связь, имеющая ме-
сто в задаче о сферическом маятнике). В противном случае
связь называется нестационарной (см. приведенный вы-
ше пример с движущейся плоскостью).
Введение понятий о связях и их реакциях позволяет сфор-
мулировать основную задачу механики несвободной системы N
точек с голономными связями как задачу об отыскании закона
движения системы и реакций связей по заданным силам
F{ (i = l, 2, ...,N) и заданным k уравнениям голономных связей
Эта задача сводится к совместному решению уравнений движе-
ния и уравнений связей
mjic = ?t + R, (? - 1, 2,... , N),
fa(rt,...,rN,t) = Q (a-1,2,... ,*)
с начальными условиями, заданными в соответствии с уравне-
ниями связей.
¦Система B3.6) представляет собой систему 3N+k скаляр-
ных уравнений, содержащих 6ЛГ неизвестных функций — проек-
ций векторов Tt(t) и Ri(t) на координатные оси (?=1, 2, ..., N),
причем наиболее интересным является случай, когда число свя-
зей k<3N. Действительно, если k=3N, то уравнения связей пол-
ностью определяют движение системы. С другой стороны, если
k<3N, то рассматриваемая задача является определенной толь-
ко в том случае, когда известны 6N—CN+k)=3N—k независи-
мых соотношений между положениями точек и реакциями связей.
Забегая вперед, скажем, что основная задача динамики несвобод-
ной системы является определенной для так называемых идеаль-
ных связей. Однако введение этого понятия требует знакомства с
некоторыми свойствами связей.
§ 24. Действительные, возможные и виртуальные перемещения;
идеальные связи
Определим действительные, возможные и виртуальные пере-
мещения на примере одной точки, подчиненной одной голономной
удерживающей связи
/(г, t)=0. B4.1)
Действительным перемещением dr точки назы-
вается бесконечно малое перемещение этой точки под действием
как заданных сил, так и реакций связи; действительное переме-

208 Уравнения Лагранжа [Гл. V
щение происходит за время dt в соответствии с уравнением дви-
жения и уравнением связи.
Возможным перемещением назовем «перемещение»
dr точки, допускаемое связью; в отличие от действительных пере-
мещений возможные перемещения удовлетворяют только уравне-
нию связи. Действительное перемещение всегда является одним из
возможных. Дифференциальное уравнение, которому подчинены
возможные перемещения точки, получим, взяв дифференциал от
левой части уравнения B4.1) и приравняв его нулю*:
df = vfdr + -^-dt = O. B4.2)
dt
Наконец, виртуальным перемещением бг называется
воображаемое бесконечно малое «перемещение» точки, допускае-
мое связью в данный фиксированный момент времени; в этот мо-
мент времени связь «застывает», т. е. ее изменение со временем
мысленно прекращается. Виртуальные перемещения не происхо-
дят под действием сил и не обладают длительностью. Представле-
ние о виртуальных перемещениях можно получить, если сделать
мгновенную фотографию движущейся поверхности и рассмотреть
возможные перемещения точки по изображению этой поверхности
на фотографии. Дифференциальное уравнение, которому подчине-
ны виртуальные перемещения точки, получим, вычисляя диффе-
ренциал левой части уравнения B4.1) при фиксированном вре-
мени, т. е. вычисляя вариацию f(r, t) и приравнивая ее нулю
[42, гл. I, § 1]:
= 0. B4.3)
Здесь приращение бг радиуса-вектора точки также «происходит»
при фиксированном времени, т. е. является вариацией радиуса-
вектора. Из B4.2) и B4.3) видно, что совокупность виртуальных
перемещений совпадает с возможными перемещениями только в
случае стационарных связей, когда —— = 0.
Проиллюстрируем уравнения B4.2) и B4.3) на примере точ-
ки, движущейся по горизонтальной плоскости (см. рис. 23.2).
В этом случае уравнения для возможных и виртуальных переме-
щений точки имеют вид
dz(t) — udt = Q, 8z(t) = 0.
Легко обобщить рассмотренные определения на систему ЛГ
точек, подчиненных k голономным связям
/«(г„...,Гдг,*) = О (а=1,2, ...,k), B4.4>
* В силу равенства нулю функции f дифференциал любого порядка от этой
функции равен нулю.

§ 24] Виртуальные перемещения; идеальные связи 209
й получить уравнения для механической системы, аналогичные
уравнениям B4.2) и B4.3). В самом деле, вычисляя дифферен-
циалы и вариации левых частей уравнений B4.4) и приравнивая
их нулю, найдем
N
i№ri + -?-dt = Q (a =1,2,..., Л). B4.5>
.7а6г< = 0 (а =1,2 к). B4.6>
Понятие о виртуальных перемещениях позволяет определить
очень важный класс связей. Пусть сумма работ всех реакций свя-
зей на виртуальных перемещениях точек системы равна нулю;
иначе говоря, пусть 8AR — виртуальная работа реакций
связей — равна нулю:
6Ля=?К'бг< = 0' B4>7>
где N — число точек системы. Связи, удовлетворяющие условию
B4.7), называются идеальными. Этот класс связей обладает
достаточной общностью, причем физические причины идеальности
связей могут быть различными. Убедимся в этом на двух при-
мерах.
Еще раз рассмотрим точку, движущуюся по горизонтальной,
плоскости, допуская", что плоскость абсолютно гладкая. Тогда
реакция плоскости на точку в любой момент времени перпенди-
кулярна плоскости (рис. 23.2), т. е. Rx—Ry=0, И.гф0. Следова-
тельно, виртуальная работа, совершаемая реакцией связи, равна
нулю:
6AR = R6r = Rz8z = О,
поскольку для рассматриваемой связи 6z = 0. Поэтому гладкая'
плоскость, покоящаяся или движущаяся, является идеальной
связью: и в том, и в другом случаях виртуальная работа равна
нулю. Заметим, что работа dAR, совершаемая реакцией гладкой
плоскости на действительных перемещениях, равна нулю только,
в том случае, когда плоскость покоится. Если же плоскость дви-
жется, то действительная работа отлична от нуля:
dAR — Rzdz = Rzudt Ф 0.
Таким образом, понятие виртуальной работы, «совершаемой» на;
воображаемых перемещениях, отражает физическое свойство по-

210
Уравнения Лагранжа
[Гл. V
верхности — ее гладкость. Ясно, что любые гладкие поверхности и
кривые (неподвижные и подвижные) также являются идеальными
голономными связями.
В качестве другого примера идеальной связи рассмотрим
прямолинейный стержень длины / и исчезающей массы, который
соединяет материальные точки / и 2, движущиеся, например, по
параболической поверхности (рис. 24.1,а). На точки действуют
.заданные внешние силы niig и m2g, реакции поверхности
Я? и R', а также реакции стержня Rjn и Яг". Для системы
«точки — стержень» силы тяжести и реакции поверхности являют-
ся внешними силами (величина и направление реакций поверх-
ности зависят от характера поверхности), а реакции стержня
Рис. 24.1
^являются внутренними силами. Для системы «стержень» внеш-
ними силами являются силы —Ri и —R2", с которыми точки
действуют на концы стержня, а также силы тяжести. Поэтому
.законы изменения импульса и кинетического момента стержня
конечной массы имеют вид
Д».
стержня р I
dfA
стержня __ |
dt ' J
где rn,i — масса достаточно малой части стержня, а суммирова-
ние ведется по всем его частям. Отсюда, устремляя все т*
к нулю, для стержня исчезающей массы получим соотношения *
* Этот предельный переход совершается--в предположений, что ускорение
щентра масс стержня и его угловое ускорение остаются конечными величинами.

§ 24] Виртуальные перемещения; идеальные связи 211
из которых следует, что реакции Rin и R2n равны по величине и
направлены по стержню в противоположные стороны:
(здесь К — некоторая скалярная функция). Используя эти выра-
жения, найдем, что виртуальная работа реакций стержня равна
нулю,
поскольку длина стержня задана: |гг—i"i| =/.
К тому же результату можно прийти, замечая, что вирту-
альное перемещение 6ri2 перпендикулярно к Г12=Г2—гь так как
длина стержня задана (рис. 24.1,6). Следовательно, проекции
векторов бГ1 и бг2 на направление стержня одинаковы, а рабо-
та Ri6r! равна по величине и противоположна по знаку работе-
R26r2 (R211 = —Ri"). Таким образом, стержень заданной длины
и исчезающей массы действительно является идеальной голоном-
ной связью. Кроме того, эта связь стационарна и, следовательно,
совокупности виртуальных и возможных перемещений точек 1 и 2
совпадают. Учитывая также, что действительное перемещение
всегда является одним из возможных, придем к выводу о равен-
стве нулю работы реакций стержня и на действительных пере-
мещениях точек 1 и 2:
dA% = Rin drj, + R2" dr2 = 0. B4.8),
Приведенные примеры показывают сравнительно большую
общность класса идеальных связей. Например, любое сочетание
гладких связей со связями, состоящими из тонких стержней исче-
зающей массы и заданной длины, является идеальной связью,,
если в местах соединения связей отсутствует трение. Все абсо-
лютно шероховатые поверхности, по которым происходит каче-
ние тел без проскальзывания, также представляют собой идеаль-
ные связи (как голономные, так и неголономные). Действитель-
но, поскольку в точке касания тела и поверхности отсутствует
проскальзывание, виртуальное перемещение точки тела, совпа-
дающей с точкой касания, равно нулю, в силу чего и виртуаль-
ная работа реакции поверхности равна нулю*.
Подробнее см. пример о шаре на стр. 380.

212 Уравнения Лагранжа [Гл. V
§ 25. Уравнения Лагранжа с реакциями связей;
законы изменения импульса, кинетического момента и энергии
для систем со связями
Выше отмечалось, что основная задача механики голоном-
ных систем становится определенной для класса идеальных свя-
зей. Действительно, пусть на систему из N точек наложено k
голономных идеальных связей. Число проекций виртуальных пе-
ремещений точек на координатные оси или, иначе говоря, число
вариаций координат точек равно 3N. Так как вариации коорди-
нат подчинены уравнениям B4.6), то k вариаций являются зави-
симыми, a 3N—k вариаций—независимыми. Зависимые вариа-
ции могут быть единственным образом выражены через незави-
симые, поскольку детерминант из коэффициентов при зависимых
вариациях в системе B4.6), по предположению, отличен от нуля
(в противном случае среди связей будут такие, которые являют-
ся следствием остальных). Учтем далее, что кроме требования
голономности связей выполняется требование их идеальности
i(cm. B4.7)). В этом условии k зависимых вариаций с помощью
B4.6) можно выразить через 3N—k независимых вариаций.
После такой подстановки (для того, чтобы удовлетворить требо-
ванию идеальности) следует приравнять нулю коэффициенты
при независимых вариациях. Тем самым можно получить 3N—k
соотношений между реакциями связей и радиусами-векторами
точек. Таким образом, основная задача динамики несвободной
системы с голономными идеальными связями является опреде-
ленной, поскольку число уравнений и число неизвестных функ-
ций в этом случае совпадают.
Рассмотренное сейчас непосредственное исключение зависи-
мых вариаций координат можно в общем случае провести м е-
тодом неопределенных множителей Лагранжа.
Изложим существо этого метода. В силу идеальности и голоном-
ности связей из условий B4.7) и B4.6) имеем
?=1
= 0 (a= 1,2 k). B5.1)
Умножая каждое из k последних соотношений на соответствую-
щий неопределенный скалярный множитель — Яа (а=1, 2, ..., k)
и складывая все полученные результаты с условием идеальности,
придем к соотношению
? {R, - 2 la v< U} 6г, - 0, B5.2)
t=l <х=1

§ 25] Уравнения Лагранжа с реакциями связей 213
б котором k вариаций координат являются зависимыми, а
3.V—k — независимыми. Подберем k множителей Ха так, чтобы
коэффициенты при k зависимых вариациях в B5.2) обратились
в нуль. Этот подбор можно провести единственным образом, так
как детерминант из коэффициентов при зависимых вариациях в
системе B4.6) отличен от нуля (по предположению о связях).
С другой стороны, коэффициенты при независимых вариациях
в B5.2) должны равняться нулю в силу условия идеальности.
Итак, коэффициенты при всех 6г, должны быть приравнены
нулю. В результате приходим к заключению, что между реак-
циями идеальных голономных связей и функциями fa, опреде-
ляющими уравнения связей, имеют место соотношения
R< = S Ка V. /« (i = 1, 2, ... , N). B5.3)
сс=1
Соотношения B5.3) являются необходимым условием обращения
в нуль виртуальной работы реакций связей, т. е. необходимым
условием идеальности голономных связей. Можно непосредст-
венно убедиться и в достаточности этого условия.
Проиллюстрируем исключение зависимых вариаций коорди-
нат на примере точки, движущейся по гладкой окружности,
наклоненной под углом а к горизонту. Эта кривая представляет
собой пересечение сферы и наклонной плоскости. Следовательно,
на точку наложены две голономные связи (см. B4.4))
(начало координат помещено в центр сферы, ось Oz направлена
по вертикали вверх, а плоскость проходит через центр сферы и
ось Ох и наклонена к оси Оу под углом а). Так как кривая глад-
кая, то условие идеальности B4.7) выполняется:
Виртуальное перемещение точки подчинено системе двух уравне-
ний (см. B4.6))
ybz = 0;
поэтому одна из вариаций координат, например 8х, является
независимой. Выразим зависимые вариации by и Ьг через неза-
висимую бл:, что можно осуществить, поскольку соответствующий
детерминант отличен от нуля:
Vy I 2 Vz/2

214 Уравнения Лагранжа [Гл. V
Используя полученные выражения
в х с, г. xfga $
8у =fa б2 = § fa
fa б2
ztga y + ztga
и исключая из условия идеальности зависимые вариации, найдем
\ * y + ziga u
Отсюда видно, что между проекциями реакции связей и радиуса-
вектора точки имеет место соотношение
Это же соотношение можно получить методом неопределен-
ных множителей. Действительно, умножая уравнения для вариа-
ций координат на —Х\ и —Х2 соответственно и складывая ре-
зультаты умножения с условием идеальности связей, находим
(см. B5.2))
Затем подберем множители Xi и Х2 так, чтобы коэффициенты
этого уравнения при зависимых вариациях 8у и 8z обратились
в нуль; тогда
Указанный подбор множителей можно осуществить единствен-
ным способом, так как два последних соотношения являются си-
стемой, которую можно разрешить относительно Xi и Х2, посколь-
ку соответствующий детерминант отличен от нуля:
Vyfl Wyfi
V* /1 V* /2
(этот детерминант равен детерминанту, использованному выше).
После указанного подбора Х\ и Х2 следует приравнять нулю,
коэффициент при независимой вариации 8х, т. е. положить
В результате придем к соотношению (см. B5.3))
R = К v/i + К v/s.
которое в декартовых координатах имеет вид

§ 25] Уравнения Лагранжа с реакциями связен 215
Исключая отсюда К\ и л2, найдем ранее полученное соотношение
между проекциями векторов R и г.
Итак, реакции идеальных голономных связей являются ли-
мейными формами относительно градиентов функций /« (а=1, 2,...
..., k), определяющих уравнения связей B4.4). Подставляя B5.3)
в B3.6), получим уравнения движения механической системы с
голономными идеальными связями, т. е. уравнения Лагран-
жа с реакциями связей или уравнения Лагранжа
первого рода*,
mt rt = F. + ? К Vl\fa (i = 1, 2, ... , ЛО,
а=1
B5.4)
/а(гь ... ,rN,t) = O (а = 1,2, ...,*).
Здесь силы Fj являются заданными функциями г,-, V; и t (i=l, ...
..., N). Неизвестными в этих уравнениях являются все радиусы-
векторы точек Ti(t) и множители Лагранжа Xa{t) (<z=l, 2, ..., К).
Число уравнений и число неизвестных функций совпадают и рав-
ны 3N+k.
Подчеркнем, что реакции связей определяются в результате
решения уравнений B5.4) и, следовательно, зависят от заданных
сил, поэтому заданные силы часто называют активными
силами, а реакции связей — пассивными. Такая зависи-
мость одних сил от других появляется в результате упрощения
представлений о реальном взаимодействии тел: само наложение
связей на систему представляет собой по существу такое упро-
щение (например, в задаче о сферическом маятнике мы прене-
брегаем упругими свойствами нити подвеса и тем самым нала-
гаем связь).
При применении уравнений Лагранжа возникает также во-
прос о выполнении условия идеальности связей. Выше мы виде-
ли, что это требование связано с определенными физическими
допущениями, которые не всегда выполняются, например нали-
чие сил трения на голономных связях делает их неидеальными.
Однако всегда можно выделить нормальные составляющие реак-
ций, которые будут удовлетворять условию идеальности B4.7);
тогда остальные составляющие реакций должны быть заданы
как функции положений, скоростей точек и времени.
Законы изменения импульса, кинетического момента и энер-
гии системы при наличии связей могут быть получены из урав-
нений Лагранжа B5.4) так же, как аналогичные законы для
* Вывод уравнений Лагранжа первого рода для систем с неголономнымн
связями см. на стр. 378.

216 Уравнения Лагранжа [Гл. V
свободных систем были получены из уравнений Ньютона C.5)
с помощью закона C.6). В самом деле, учитывая, что по отно-
шению к исследуемой системе связи могут быть как внутренни-
ми, так и внешними, найдем
Р = Fe -f Re, B5.5)
М=ЬетЦ, B5.6)
N N
где R?- = Ri" + Rf — сумма реакций внутренних и внешних связей на
N
t-тую точку; Re = V R* — сумма реакций внешних связей; L% =
N
— V Ir<R'I — сумма моментов реакций внешних связей. По сравне-
i=i
нию с законами (9.15), A0.5) и A1.18) здесь появились допол-
нительные члены: сумма внешних реакций и их моменты, а также
мощность как внутренних, так и внешних реакций.
Мощность реакций можно представить и в другом виде,
используя идеальность и голономность связей. Действительно,,
имея в виду B5.3) и B4.5), получим
2r<v< = 2 ** B (vi/.) v,)=- 2 к« -^-- B5-8>
1=1 а=1 ?=1 а=1
Это выражение позволяет записать уравнение B5.7) в виде
Законы сохранения импульса и момента при наличии связей
должны быть сформулированы в соответствии с (9.16) и A0.6),.
только к требованиям на заданные внешние силы добавятся
аналогичные требования к реакциям внешних связей. Что ка-
сается закона сохранения энергии при наличии связей, то он
имеет место при условиях A1.19) и стационарности идеальных
голономных связей, когда
-%- = 0 (а =1,2 k). B5.10)

§ 25] Уравнения Лагранжа с реакциями связей 217
Во многих случаях применение законов сохранения упрощает
решение задач о движении несвободных систем. В свою очередь
законы сохранения могут быть связаны с симметрией заданных
силовых полей и связей. Поэтому выбор координат целесообраз-
но осуществлять с учетом этой симметрии.
Рассмотрим некоторые примеры на составление и решение
уравнений Лагранжа с реакциями связей.
Пример 25.1. Точка на колеблющейся горизонтальной пло-
скости.
Точка массы m движется по колеблющейся горизонтальной
гладкой плоскости. Найти положение точки и реакцию связи как
функции времени, если плоскость колеблется в направлении,
перпендикулярном плоскости, с амплитудой а и частотой со,
а напряженность поля тяжести равна g.
Выберем систему координат так, как это показано на
рис. 23.2, а, т. е. направим ось Oz коллинеарно вектору g; тогда
систему уравнений B5.4) можно записать в виде
тх = О, ту = 0, тг = — mg -f Rz,
z— asiaat — 0.
Здесь учтено, что плоскость является гладкой, поскольку состав-
ляющие реакции Rx и Rv приравнены нулю.
Из первых двух уравнений движения находим
х = xot + х0, у=у4 + У»
з. из третьего уравнения движения и уравнения связи получим,
что
z = as'mat, R2 = m(g— am2 sin at).
Проекции импульса точки на оси Ох, Оу сохраняются, так
как проекции заданной силы и реакции связи на эти оси равны
нулю; кроме того, сохраняется проекция момента импульса точ-
ки на ось Oz, поскольку проекции момента заданной силы и
момента реакции на эту ось равны нулю. Что касается энергии,
то она изменяется со временем согласно уравнению.
Е = Rzz = таa cos at (g — ааг sin at).
Обратим внимание на то, что Rz>0, если частота колебаний
плоскости достаточно мала (aa2<g). Если же aco2>g, то Rz
-будет отрицательной на интервалах времени
2пл -f о)*,. < at < B/z + 1) л — atlt
где co^i = arcsin (g/aa2), a n — целые неотрицательные числа. Это

218
Уравнения Лагранжа
[Гл. V
связано с тем, что на указанных интервалах времени 2-я компо-
нента ускорения точки отрицательна и достигает большой вели-
чины.
Пример 25.2. Точка на расширяющейся цилиндрической по-
верхности.
Точка массы tn движется в поле
тяжести по расширяющейся гладкой
цилиндрической поверхности с верти-
кальной осью. Найти закон движения
точки, если напряженность поля тяже-
сти равна g, а радиус цилиндра уве-
личивается с постоянной скоростью ро-
Учитывая симметрию связи, сов.
местим ось Oz с осью цилиндра, а ось
Ох (или Оу) направим произвольно
(рис. 25.1). Из тех же соображений
симметрии будем использовать цилин-
дрические координаты. Тогда, разла-
гая обе части уравнения B5.4) по
ортам пр, пф и п2) получим
. Рис. 25.1
m (р _ рф*) = Rp —
(Р2Ф) =
mz= ¦— mg, p = put -f- p0.
Здесь учтено, что реакция R перпендикулярна к цилиндрической
поверхности и, следовательно, только Rp отлична от нуля.
Используя второе из уравнений движения, найдем первый
интеграл
Р2ф = Ро Фо.
который по существу представляет собой интеграл площадей.
Отсюда
• Ро «Ро
Интегрируя это уравнение, найдем
Ро' + Ро
а интегрируя третье уравнение движения, получим z(t):
2 +V . 4-
2 =

§25]
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
219
Наконец, подставляя функции p(t) и ф(<) в первое из уравнений
движения, найдем реакцию связи
(РоФоJ
= — т
Полная энергия точки Е не сохраняется вследствие нестационар-
ности связи.
Пример 25.3. Точка на пересечении сферы и движущейся
плоскости.
Точка массы пг движется по пе-
ресечению неподвижной гладкой
сферы радиуса а и гладкой горизон-
тальной плоскости, движущейся в
вертикальном направлении по зако-
ну z=a sin at. Найти закон движе-
ния точки и реакции связей для
Учитывая симметрию связей,
поместим начало координат в центр
сферы, а ось Oz направим коллине-
арно вектору g (рис. 25.2). Тогда
систему B5.4) с уравнениями свя-
зей можно записать в виде
Рис. 25.2
v/г.
/2 = г — a sin со^ = 0.
Замечая, что момент импульса точки относительно оси Oz
постоянен и что от цилиндрической координаты <р уравнения свя-
зей не зависят, спроектируем обе части уравнения Лагранжа на
цилиндрические орты. В результате получим следующую систе-
му уравнений:
р dt
pa -f z2 = Ф, z = a sin at.
Из уравнений связей и второго уравнения движения найдем
функции р(^) и
(здесь учтено, что в начальный момент времени ^о=0 р=а).

220 Уравнения Лагранжа [Гл. V
Интегрируя ф@> получим угол ср как функцию времени:
Множители h и Х2 определим из первого и третьего уравнений
движения:
h = f- (ш« + Фа), К = т (g + Ф22).
Отсюда с помощью соотношений
I со2 -f —^^— I
\ cos4 ш< /
находим реакции связей
= Rlp = _ та I со2 -f —^^— I cos со*,
\ cos4 ш< /
Rz = ^1г + R2Z = m(g — аша sin mi).
§26. Уравнения Лагранжа в независимых координатах
и общее уравнение механики; циклические координаты
и симметрия силового поля и связей
Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа с реакциями свя-
зей дают возможность найти и положение точек системы, и реак-
ции связей как функции времени. Однако на практике часто не
нужна столь «подробная» информация о механической системе,
а требуется найти лишь закон движения точек по связям. Для
разрешения таких задач необходимы уравнения движения, кото-
рые в качестве неизвестных содержат только независимые коор-
динаты. С другой стороны, эти уравнения должны полностью
учитывать влияние связей на систему. Такие уравнения сущест-
вуют и называются уравнениями Лагранжа в неза-
висимых координатах (или уравнениями Лаг-
ранжа второго рода). Значение этих уравнений не исчер-
пывается применением к указанному типу задач. Если требуется
определить реакции связей, зачастую проще с помощью уравне-
ний Лагранжа второго рода определить закон движения систе-
мы, а затем с помощью уравнений Лагранжа первого рода най-
ти реакции связей. Уравнения Лагранжа второго рода имеют
большое значение и для свободных систем. В этом случае они
представляют собой уравнения движения в произвольных криво-
линейных координатах.
Ввиду большой общности этих уравнений выведем сначала
дифференциальное уравнение, которому подчинена независимая

§ 26] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 221
координата какой-либо простейшей системы, например матема-
тического маятника. Так называется тело достаточно
малых размеров, подвешенное на стержне (или нити) исчезающе
малой массы и постоянной длины / и совершающее движение в
вертикальной плоскости (в точке подвеса трением пренебре-
гается).
Движение такого маятника описывается уравнением Лаг-
ранжа с реакциями связей (см. B5.4))
(начало координат помещено в точку подвеса, плоскость 2=0
совмещена с плоскостью движения, а ось Ох направлена по вер-
тикали вниз).
Чтобы исключить из этих уравнений реакции связей, умно-
жим уравнение движения маятника скалярно на виртуальное
перемещение бг; тогда, учитывая идеальность связей (см. B4.7)),
найдем
г бг = g бг.
Отсюда, используя декартовы координаты и учитывая уравнения
связей, получим систему
которая явно не содержит реакций связей, но учитывает их влия-
ние на движение материальной точки, поскольку вариации бх
и бг/ соответствующим образом зависят друг от друга.
Используя голономность связи, перейдем в найденной систе-
ме уравнений к независимой координате, в качестве которой
удобно взять угол ф отклонения маятника от вертикали. Выра-
жая декартовы координаты маятника через ф
найдем
бх = — / sin ф бф, х = — / (ф sin ф — ф2 cos ф),
by = I cos ф бф, у =¦ I (ф cos ф — ф2 sin ф).
Наконец, используя эти выражения, придем к уравнению, содер-
жащему только независимую вариацию бф:
(ф + «о sin ф) бф = О,
где coo = g/l. Приравнивая коэффициент при независимой ва-

222 Уравнения Лагранжа [Гл. V
риации нулю, получим одно дифференциальное уравнение, опи-
сывающее движение математического маятника:
Ф + шо sin ф = 0.
Это уравнение не содержит реакций связей в качестве неизвест-
ных, однако полностью учитывает их воздействие на точку, по-
скольку сама независимая координата выбрана с учетом связей.
В самом деле, уравнение связи, выраженное через угол ф, удов-
.летворяется тождественно:
/ = /2 (cos2 ф + sin2 ф) — /2 == 0.
Теперь выведем уравнения Лагранжа второго рода для ме-
ханической системы, состоящей из N точек, на которые налагает-
ся k идеальных голономных связей. Движение такой системы
лодчинено уравнениям B5.4). Чтобы исключить из этих уравне-
ний реакции связей, умножим каждое из них скалярно на соот-
ветствующее виртуальное перемещение бг; и сложим результаты
умножения; тогда
? ш, гс дг{ = ? F, бг, -f ? ( ? К ус Ы) Ьт(. B6.1)
?=1 i=i i=i а=1
Двойная сумма в этом уравнении представляет собой виртуаль-
ную работу всех реакций связей и по условию идеальности свя-
зей равна нулю (см. B4.7) и B4.6)):
? ? laVtfa-br, = ? %а (? уг/«-6г,) - 0. B6.2)
t=l a=l а=1 (=1
Поэтому B6.1) можно записать в виде уравнения
ftoU-Fjer^O, B6.3)
которое называется общим уравнением механики или
уравнением д'Аламбера — Лагранжа.
Заметим, что уравнения Лагранжа с реакциями связей мо-
гут быть получены из общего уравнения механики. Действитель-
но, умножим левую часть каждого из уравнений B4.6) на соот-
ветствующий неопределенный множитель —Яа (а= 1, 2, ... , k)
и все результаты умножения сложим с левой частью B6.3).
Тогда

§ 26] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 225
Далее, применяя к этому уравнению последующую процедуру
метода неопределенных множителей, изложенного на стр. 213Г
придем к уравнениям Лагранжа с реакциями связей. Таким
образом, система, состоящая из уравнений B6.3) и уравнений
связей B4.4), эквивалентна системе B5.4). Более того, можно-
утверждать, что общее уравнение механики и уравнения движе-
ния с реакциями любых идеальных связей эквивалентны *.
Прежде чем продолжить вывод уравнений Лагранжа вто-
рого рода, остановимся на понятии независимых обоб-
щенных координат. Такими координатами по определе-
нию являются любые 3N—k величины, однозначно определяющие
положение системы (N и k — числа точек системы и голономных
связей соответственно). Число независимых обобщенных коор-
динат, равное s — 3N—k, в случае систем с голономными связями
называется числом степеней свободы. Независимые-
обобщенные координаты будем обозначать qu q2, ..., qs, а всю
эту совокупность для краткости будем в дальнейшем обозначать,
символом q.
Из определения независимых координат следует, что OHir
должны удовлетворять двум требованиям.
Во-первых, радиусы-векторы точек системы должны быть,
однозначными функциями q:
rt = rt (glt qt,...,qt,f) (i = 1, 2 N), B6.4)
причем из 3jV функций — проекций радиусов векторов — s функ-
ций должны быть независимыми, что обеспечивается требованием
dxs dxs
dqx dqs
B6.5>
* Действительно, система с идеальными связями подчинена уравнениям
N
/яЛ=Р, + В,, (/=1, ... , N), V
i—l
из которых вытекает, что
N
1=1
Если же исходить из последнего уравнения, то, полагая
Ri = тм — Fj,
придем к систем* (а).

224 Уравнения Лагранжа [Гл. V
(здесь проекции радиусов-векторов точек обозначены симво-
лом Х{ с общей для всех точек нумерацией, например, проекции
вектора п обозначаются Х\, я2, Хз, а проекции вектора Гг обозна-
чаются xit х5, Хв и т. д.) [40, стр. 545].
Во-вторых, координаты q должны быть выбраны в соответ-
ствии с уравнениями связей, т. е. функции B6.4) должны обра-
щать в тождество уравнения связей B4.4):
ru ... ,rN,t)
^0 (а =1,2, ... ,k). ¦ B6.6)
Обратим внимание на то, что в случае стационарных связей
уравнения связей явно от времени не зависят; поэтому и функ-
ции B6.4) можно подобрать явно не зависящими от времени.
Б дальнейшем это условие для стационарных связей будем счи-
тать выполненным.
Ввиду важности понятий о независимых обобщенных коор-
динатах и числе степеней свободы рассмотрим несколько при-
меров.
Пусть точка движется по эллипсу с полуосями а и Ь. В си-
стеме координат с началом в центре эллипса и осями Ох, Оу,
направленными по осям эллипса, уравнениями связей являются
Первое из этих уравнений обращается в тождество, если поло-
жить, что
х = a cos а, у = b sin а.
Таким образом, в качестве независимой координаты можно
выбрать параметр а, а число s степеней свободы в этом случае
равно единице.
Если точка движется по сфере радиуса / с центром в начале
координат, то уравнением связи является уравнение
которое обращается в тождество подстановкой
х = / sin Эcos ср, у = / sin в sin q>, z = /cos0,
где 0 и ф — углы сферических координат (см. рис. 23.1). Следо-
вательно, эти углы могут служить независимыми координатами,
а число степеней свободы s = 2.
Наконец, в случае свободной точки s = 3, а в качестве неза-
висимых координат можно взять различные криволинейные коор-

§ 26] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 225
динаты, например цилиндрические; эти координаты связаны с
декартовыми координатами точки соотношениями вида B6.4)
х — р cos ф, у = р sin ф, z — г.
Используя формулы преобразования B6.4), представим, об-
щее уравнение механики в форме уравнения относительно неза-
висимых координат и их производных по времени. Для этого
прежде всего найдем виртуальные перемещения бгг- всех точек
как функции q:
S
Y ^- 6?/ (* = 1. 2, • • • , N). B6.7)
Подставляя B6.7) в общее уравнение механики и изменяя поря-
док суммирования, получим
2?>-"• <26-8>
/=1 1=1 i=l
Здесь все суммы по индексу i имеют размерность энергии, делен-
ной на размерность соответствующей координаты qj. При этом
те суммы по i, в которые входят ускорения точек, определяются
кинетической энергией как функцией обобщенных координат и их
производных по времени. Действительно, преобразуем г-тый член
одной из таких сумм:
г. dTi = d (у дп \ Tt d ( дп V B6.9)
' dqj dt \ ' dqj ) dt \ dqj )'
Затем найдем скорости точек как функции обобщенных коор-
динат (см. 26.4)):
S
г. = Y-JlL- q;+-^- (t= I, 2, ... ,JV). B6.10)
i-J dq, dt
Отсюда видно, что скорости материальных точек являются ли-
нейными функциями величин q} (/=1, ..., s), называемых обоб-
щенными скоростями. Из B6.10) также видно, что в
общем случае имеет место равенство частной производной от ско-
рости точки по обобщенной скорости и частной производной
радиуса-вектора той же точки по соответствующей обобщенной
координате, т. е.
B6.11)
dqj dqj V/=l. 2,
о И. И. Ольховский

226 Уравнения Лаграижа [Гл. V
Используя B6.11) и изменяя порядок дифференцирования
по t и <7j, вместо B6.9) получим
^W'dr-- B6Л2)
dq/ I i?qj
Пользуясь этим соотношением, все зависящие от ускорений
«суммы по точкам системы» можно представить в виде
ti-Bщг< —) ~2"<г<: 1Г--B6-13)
qj dt \*-l dq «J dqf
Далее зададим кинетическую энергию системы как функцию
обобщенных скоростей и координат (см. B6.10)):
N
=T(q, q, t) B6.14)
(здесь и в дальнейшем под q понимается совокупность обобщен-
ных скоростей, так же как под q понимается совокупность всех
обобщенных координат). Дифференцируя эту функцию по обоб-
щенным скоростям и координатам, найдем
• д'п дТ _Г! • di{ ... „
r У m r -(/= ' s)
— — У ,mi ri
dqj ? dq,- qj qj
B6.15)
Сопоставляя B6.13) и B6.15), получим
^7 (/ = 1''2 s)- B6Л6)
«Суммы по точкам системы» (см. B6.8)), зависящие от за-
данных (активных) сил, обозначим символами
N
^ (/=1,2, ...,*). B6.17)
Величины Q являются заданными функциями обобщенных
координат, скоростей и времени. Действительно, все F* определе-
ны как функции rj, Vf и t (i=l, 2, ..., N), а все векторы Гг и v<
согласно B6.4) и B6.10) являются функциями q, q и t.

§ 26]
Уравнения Лагранжа в независимых координатах
227
Используя введенные обозначения, виртуальную работу всех
нных сил F,- можно представить в виде
заданных
t=i
B6.18)
Следовательно, величина Qj играет по отношению к вариации б^-
независимой координаты ту же роль, которую сила Fj играет по
отношению к виртуальному перемещению бгг- точки. Поэтому
величину Qj называют обобщенной силой, соответствую-
щей координате qj. Размерность обобщенной силы Qj равна раз-
мерности работы, деленной на размерность соответствующей
координаты <7j.
Используя B6.8), B6.16) и определение обобщенной силы,
придем к общему уравнению механики в обобщенных коорди-
натах:
где все вариации 8qj независимы друг от друга. Поэтому из об-
щего уравнения механики вытекают дифференциальные уравне-
ния движения, а именно уравнения Лагранжа в независимых
координатах
—
B6.20)
Эти уравнения, как и уравнения Лагранжа с реакциями связей
B5.4), справедливы для систем с голономными идеальными свя-
зями.
Итак, уравнения Лагранжа в независимых координатах не
содержат реакций связей в качестве неизвестных функций, хотя
полностью учитывают влияние связей на движение механической
системы. Неизвестными в этих уравнениях являются обобщенные
независимые координаты как функции времени. Число неизвест-
ных и число уравнений равно числу степеней свободы.
Если заданные силы потенциальны, а потенциальная энергия
системы равна U (п rN, 0> то> воспользовавшись формулами
.... г*, t) (/=1,2, ... , Л0
0= 1. 2, ... , s). B6.21)
и определением B6.17), получим
dq,

228 Уравнения Лагранжа [Гл. V
Таким образом, уравнения Лагранжа для случая потенциальных
сил приобретают вид
JL = -JE- (i=l,2,...,s). B6.22)
dq d
д qj q, q.
Подчеркнем, что рациональный выбор независимых коорди-
нат может существенно упростить конкретный вид уравнений
Лагранжа и тем самым облегчить решение задачи. Лагранж по
этому поводу писал: «Так как эти уравнения могут иметь раз-
личные более или менее простые формы и, в частности, более
или менее удобные для интегрирования, является не базразлич-
ным, в каком виде они представлены с самого начала; пожалуй,
одно из главных преимуществ нашего метода заключается в том,
что он всегда дает уравнения каждой задачи в наиболее простой
форме по отношению к примененным при этом переменным и
дает нам возможность наперед судить о том, каковы те перемен-
ные, пользование которыми может нам максимально облегчить
интегрирование» [6, т. I, стр. 403]. Действительно, пусть обобщен-
ная координата q$ выбрана так, что кинетическая энергия Т явно
не зависит от нее, а соответствующая этой координате обобщен-
ная сила Qj равна нулю, т. е.
Л- = 0, Q, = 0. B6.23)
Тогда уравнение Лагранжа, соответствующее координате q$,
сразу приведет к первому интегралу
-?-=f{4. Я, 0 = const. B6.24)
Если заданные силы потенциальны, то условия B6.23) приобре-
тают вид
Л- = о, J0L = 0. B6.25)
dqj dqj
Координаты, от которых кинетическая и потенциальная энер-
гии системы явно не зависят, называются циклическими
координатами. Цикличность координат во многих случаях
связана с симметрией заданного силового поля и связей, поэтому
рациональный выбор обобщенных координат должен отражать
эту симметрию.
Выбирая независимые координаты так, чтобы число цикли-
ческих координат было максимальным, и интегрируя уравнения
Лагранжа, можно найти общее решение уравнений B6.20) (или
B6.22)) в виде
q, = q, (t, Си С„ .... C2S) (/=1,2, . . . , s) B6.26)

§ 26] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 229
(здесь Са — постоянные интегрирования). Это решение позволяет
определить закон движения системы и реакции связей как функ-
ции времени. Действительно, используя B6.4), найдем г,(/)
(/=1, 2, ..., N). Затем, дифференцируя г*(^) по времени, получим
векторы скоростей и ускорений всех точек: Vi(t), Wi(t) (i=l, 2,...
..., N). И, наконец, используя найденные функции и уравнения
Лагранжа B5.4), получим реакции связей как функции времени:
R, (/) = т{щ (t) - F, (t) (i = 1, 2, ... , N), B6.27)
где
F,- (О - F; (ri (t) г„ (О, vx (t), ... ,vN (/), t).
В заключение этого параграфа рассмотрим принцип вирту-
альных перемещений, являющийся основой статики — боль-
шого раздела механики, в котором изучается равновесие механи-
ческих систем (этот принцип играет важную роль во многих
инженерных расчетах). Пусть в начальный момент времени си-
стема находится в положении г^0 (t = 1, 2, ..., N), а скорости всех
ее точек равны нулю; если система и в любой другой момент
времени остается в положении гг0 (t = 1, 2, ..., jV), to это положе-
ние называется положением равновесия системы.
Из общего уравнения механики следует, что в положении равно-
весия виртуальная работа заданных сил должна равняться нулю,
т. е.
N
8А = ? F; бгг = 0. B6.28)
Это необходимое и достаточное условие равновесия системы на-
зывается принципом виртуальных перемещений
(необходимость и достаточность B6.28) следует из эквивалент-
ности уравнений Лагранжа B5.4) и системы уравнений B6.3) и
B4.4)). Записывая принцип виртуальных перемещений в незави-
симых координатах (см. B6.18)), получим
qi = O, B6.29)
откуда ввиду независимости всех вариаций 6<7j следует, что необ-
ходимым и достаточным условием равновесия механической си-
стемы с голономными идеальными связями является обращение в
нуль всех обобщенных сил в рассматриваемом положении си-
стемы. Таким образом, положение равновесия системы опреде-
ляется s уравнениями:
Q, = 0 (/=1,2, ... ,s). B6.30)

230
Уравнения Лагранжа
[Гл. V
Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений Лагранжа
л независимых координатах.
Пример 26.1. Циклоидальный маятник.
Точка массы m движется в однородном поле тяжести по
гладкой циклоиде, расположенной в вертикальной плоскости
(см. рис. 26.1). Найти закон
движения точки, если напря-
женность поля тяжести g, a
радиус окружности, произво-
дящей циклоиду, равен R.
Выберем декартовы оси
•х так, чтобы одна из осей была
коллинеарна g, а одна из ко-
ординатных плоскостей совпа-
дала с плоскостью циклоиды.
За независимую координату
возьмем угол ф — угол поворота производящей окружности, от-
считываемый от оси Оу (производящая окружность катится без
скольжения по штрихованной прямой, параллельной оси Ох).
Тогда уравнение связи запишется в виде
х — R (ф + sin ф), y = R(l — совф).
Используя эти функции, легко найти Т и U как функции ф и ф:
Рис. 26.1
Т = 2mR* cos2
-^Л ф
U = 2mgRsin2
Отсюда видно, что уравнение Лагранжа
дТ
dt \ ЭФ )
3<р
соответствующее координате ф, будет достаточно сложным. Одна-
ко из тех же выражений можно усмотреть, что Т и U принимают
весьма простой вид, если в качестве переменной взять величину,
пропорциональную эт(ф/2). Действительно, производная от
эт(ф/2) по t пропорциональна соз(ф/2)ф. В связи с этим вместо ф
выберем обобщенную координату 5 = 4^эт(ф/2) (s является дли-
ной дуги циклоиды, отсчитываемой от начала координат до мате-
риальной точки). Выражая Т и U через переменную s:
2 8R
получим уравнение Лагранжа, соответствующее этой переменной.
d / дТ \ дТ = дЦ
dt V ds ) ds ds '

§ 26] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 231
т. е.
s + «2s =•• О,
где a2 = gl4R. Отсюда находим закон движения точки по циклоиде
s = a cos ((at -\~ a).
Здесь а я а — амплитуда и фаза гармонического колебания соот-
ветственно; их можно выразить через So и Уо — величины дуги и
скорости точки в начальный момент времени:
+4)""
G>s0
В частности, если vo=O, то решение принимает вид
s= s0 cos at,
откуда следует, что при любом начальном отклонении
So<smax = 4i? точка придет в наинизшее положение за один и тот
же промежуток времени (это свойство движения называется изо-
хронностью) .
Пример 26.2. Точка на колеблющейся горизонтальной плоско-
сти.
Рассмотрим решение примера 25.1 с помощью уравнений
Лагранжа в независимых координатах.
Поскольку на одну точку налагается одна связь, то число сте-
пеней свободы точки будет равно двум. В качестве независимых
координат можно выбрать декартовы координаты х и у (см. рис.
23.2, а), а используя уравнение связи, найти кинетическую энер-
гию Т как функцию обобщенных скоростей хну
Т = — (*» + У2 + а2со2 cos2 at)
и потенциальную энергию
if = mga sin wt.
Эти выражения для Т и U дают возможность составить уравне-
ния Лагранжа B6.22) для рассматриваемой задачи:
—г- ) = , т. е. тх = 0;
dt \ дх ) дх дх
d / дТ \ дТ dU - п
( -—— ) = , т. е. ту — 0.
dt \ ду ) ду ду v
В настоящем примере обе координаты х и у циклические, так
как ни Т, ни U явно от них не зависят (см. B6.25)). Поэтому для

¦232 Уравнения Лагранжа [Гл. V
решения задачи не обязательно выписывать уравнения Лагранжа;
можно сразу получить интегралы вида B6.24)
дТ • • дТ ¦
—— = пгх = пгхп. —— = ту = туп,
дх ° ду Уо
с помощью которых найти окончательное решение (см. пример
25.1). Заметим, что сохранение проекций скорости х и у здесь свя-
зано с цикличностью координат х и у.
Пример 26.3. Точка на расширяющейся цилиндрической по-
верхности.
Рассмотрим решение примера 25.2, используя независимые
координаты.
Согласно условию связь, налагаемая на точку, обладает ци-
линдрической симметрией, а ось цилиндра направлена вдоль век-
тора g (рис. 25.1). Поэтому выберем в качестве независимых пе-
ременных цилиндрические координаты ф, z (число степеней свобо-
ды точки равно двум) и запишем уравнения B6.22) в этих пере-
менных в общей форме:
дТ \ _дТ_ = _ dU
<5ф дф
дТ dU
— (-
dt \
d ( дТ\
dt \ д'г )
dz dz
Используя выражение для скорости в цилиндрических коор-
динатах (см. A.17)) и уравнение связи
Р = (V + Ро»
найдем кинетическую и потенциальную энергии как функции обоб-
щенных скоростей и координат:
лт-1 III г 2 | / * 1 | \а О ' *ol
U = mgz.
Отсюда видно, что координата ф является циклической. Это приво-
дит к интегралу
дТ
который дает возможность найти ф@- Нетрудно убедиться, что
дТ ,,
частная производная —г- равна Mz — проекции момента им-
д ф
пульса на ось Oz, а ее сохранение связано с цикличностью коор-
динаты ф.

§ 26] Уравнения Лагранжа в независимых координатах 233
Независимая координата z не является циклической, так как
?0. Поэтому закон изменения этой координаты получим из
дг
соответствующего уравнения Лагранжа
2 = — g.
Пример 26.4. Уравнение движения свободной точки в цилинд-
рических и сферических координатах.
Поскольку свободная точка обладает тремя степенями свобо-
ды, то в качестве независимых координат можно взять любые три
независимые координаты точки, в частности цилиндрические коор-
динаты р, ф, z. Приращение радиуса-вектора в этих координатах
равно
dv = np ф + пфр dcp + пг dz.
Следовательно, кинетическая энергия точки имеет вид
rp tt\ / ' 2 ' 2 ' 2 _L ^*2\ /1 \
а частные производные, необходимые для получения обобщенных
сил, соответственно равны
дт (Эг дг
др (Эф ' дг
Используя эти выражения, найдем (см. B6.17))
О = F дт = F О =? дт = oF О = F дт — F B\
др (Эф дг
где Fp, Fg,, F2 — прогкции силы F на цилиндрические орты. Таким
образом, обобщенные силы Qp и фг являются проекциями силы F
на координатные оси (р) и (г), а обобщенная^сила Qv равна Lz —
проекции момента силы на ось (г).
Подставляя A) и B) в B6.20), найдем уравнения движения
точки в цилиндрических координатах:
По определению сферических координат приращение радиу-
са-вектора свободной точки равно
dv = nrdr + пег d6 f ry sin

234 Уравнения Лагранжа [Гл. V
Следовательно, кинетическая энергия в сферических кординатах
имеет вид
Т = JL (h + r202 + г2 sin2 9 ¦ ф2); D)
нетрудно также получить
дт дт дт , „
— = п„ -—= гп9, -— = rs\nQ-nj.
дг 0Q ду
Используя эти частные производные, найдем обобщенные силы
Qr = Fn Qe = rFe> Qy^rsinQ-Fy, E)
где Fn Fe, F^ — проекции заданной силы F на сферические
орты. Подставляя D) и E) в уравнения B6.20), где в каче-
стве независимых координат взяты г, 0 и ср, получим уравнения
движения точки в сферических координатах:
m (г — г (б2 + sin2 G-ф2)} = Fr,
m j-ij- (r2 9) — г2 sin 6 cos 9 • фа 1 = rFe, F)
m — (r2sln29-<})) = rsine-/v
да
Отсюда легко найти проекции ускорения точки на орты сфери-
ческих координат:
wr = r — r(e2 + sm28-<p2),
ше= — — (г2ё)— rsinecosB-cp2, G)
г dt
ш 14 (
шф 4 (
/• sm 6 dt
§ 27. Структура уравнений движения в независимых
координатах и функция Лагранжа
В предыдущем параграфе было выяснено, насколько важен
выбор независимых обобщенных координат при составлении урав-
нений Лагранжа. В свою очередь вопрос о выборе координат тре-
бует более тщательного изучения структуры этих уравнений. С
этой целью прежде всего рассмотрим структуру кинетической
энергии.
Кинетическая энергия является однородной положительно оп-
ределенной квадратичной формой от скоростей точек. Положи-

§ 27] Функция Лагранжа 235
тельная определенность этой формы означает, что Г>0 при лю-
бых значениях проекций скоростей, одновременно не равных нулю,
а Т=0 только в том случае, если все v* = 0 (/=1,2, ..., N) (о
свойствах квадратичных форм см. [44, гл. 1, §§ 4—7]). Однако
кинетическая энергия как функция обобщенных скоростей в об-
щем случае будет неодноподной квадратичной формой. Убедимся
в этом непосредственно, подставляя в кинетическую энергию ско-
рости точек, выраженные через обобщенные переменные, т. е. под-
ставляя B6.10). Изменяя порядок суммирования, найдем, что
7 = 7<2> + 7<» + 7@>, B7.1)
где ТB), ГA) и Т@) являются однородными формами соответст-
венно второй, первой и нулевой степени относительно обобщенных
скоростей:
¦•* •»-
70> = ?*
N
2 ^-J \ dt
Как видно, все коэффициенты alk, a^ и форма нулевой степени
Г<°) зависят только от обобщенных координат и времени, а неодно-
родность кинетической энергии как функции обобщенных скоро-
стей имеет место только в том случае, если преобразование B6.4)
явно зависит от времени (например, в случае системы с нестацио-
нарными связями). Если же преобразование B6.4) подчиняется
условиям
¦ = U (I = 1, z, . . . , I\), (Zi .о)
то кинетическая энергия будет однородной формой обобщенных
скоростей, т. е. Т= Т&\ Условия B7.3) выполняются, в частности,
для случая стационарных связей.
Рассматривая свойства Л2), прежде всего заметим, что все
коэффициенты ajh симметричны по индексам, т. е.
а/* = а*/ (/, ft =1,2, ... , s). B7А)
Далее можно убедиться, что ГB) является положительно опреде-
ленной формой обобщенных скоростей. Положительная определен-

236
Уравнения Лагранжа
[Гл. V
ность 7"B) относительно q означает, что 7"B>^.О, причем 7*B>=О
только в том случае, если все <7j = 0 (/= 1,2,..., s).
Для доказательства этого утверждения запишем ТB1 в виде
Отсюда следует, что TW является положительно определенной
формой относительно сумм
s
2
dq/
¦q, (< =1,2, ... ,tf).
Иначе говоря, при любых значениях этих сумм 7"<2)^.О, причем
7<2)=0 только в том случае, если все эти суммы равны нулю:
¦^ = 0 (/=1,2, ... ,
B7.5)
Матрица, составленная из коэффициентов вида
представ-
ляет собой функциональную матрицу системы функций B6.4).
Согласно предположению о независимости s этих функций
(см. B6.5)) ранг этой матрицы равен s. Если же ранг матрицы
равен числу неизвестных в линейной однородной системе B7.5),
то нулевое решение такой системы является единственным
[45, стр. 83]. Таким образом, TW действительно обращается в нуль
только в случае, когда все <73 = О (/=1,2,..., s). С другой сторо-
ны, если хотя бы одна из этих скоростей отлична от нуля,
то ГB)>0. Итак, форма 7<2) является положительно определенной
формой от обобщенных скоростей. Следовательно, детерминант,
составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля [44, гл. 1, § 6,
теорема 3]:
«22
а„
ФО.
B7.6)
Основываясь на этом .свойстве, можно убедиться, что уравне-
ния Лагранжа B6,20) однозначно определяют движение механи-

§ 27] Функция Лагранжа 23?
ческой системы, если заданы начальные значения обобщенных ко-
ординат и скоростей. Действительно, из B7.1) и B7.2) найдем
S
дТ ^ - - • - (/=1,2 s), B7.7)
откуда следует, что
S
(величины вида о называются обобщенным'и ускорениями).
С другой стороны, члены —.— не зависят от обобщенных ускоре»
дщ
ний, не зависят от них и обобщенные силы, так как все заданные
силы F,- являются функциями только положений, скоростей точек
и времени. Поэтому уравнения B6.20) представляют собой систему
= Q/G. Ч, 0 (/=1, 2, ... , s),
которую в силу B7.6) можно разрешить относительно ускоре-
ний q и представить в виде
7/=& (Ч,Ч,*) (/=1, 2 s). B7.9)
На основании известной теоремы из теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений [42, стр. 86] система B7.9) с заданными
функциями Q,- (q, q, t) имеет единственное решение, удовлетворяю-
щее начальным условиям
7/ = 7уо. 4i = Чю (/=1.2 s).
Переходя к изучению структуры обобщенных сил, вспомним,
что эти силы, согласно B6.17), определяются известными вектор-
ными силами, а в случае потенциальных сил — потенциальной
энергией или потенциалом U как функцией положения точек и
времени.
Рассмотрим обобщенно-потенциальные силы, ко-
торые могут быть заданы с помощью скалярной функции %, зави-
сящей не только от положений точек и времени, но и от скоро-
стей точек (такая функция называется обобщенным потен-
циалом). Например, сила Лоренца, с которой электромагнитное

238 Уравнения Лагранжа [Гл. V
поле действует на движущийся заряд, является обобщенно-потен-
циальной и, как будет показано ниже, может быть представлена
в виде
Jr^U\ML B7.10)
dt \ дт J дт
где
U= -Ат + ец,, B7.11)
с
а А и ф — векторный и скалярный потенциалы электромагнитно-
го поля, заданные как функции точки пространства и времени и
определяющие напряженности поля [35, стр. 155 или 36, стр. 438]:
? = _уф__±_ J*Lt Ж=[уА]; B7.12)
С 0Х
в формуле B7.10) символом обозначен градиент,* а символом
дт
—: дифференциальный оператор
д г
д . д , д
Пх —т- + Пу —г- + Пг —-г- .
дх * ду дг
Подставляя B7.11) в B7.10), получим
( —ч— ) — —i±- == А -| у (Аг) — е уф. B7.13)
dt \ д т J дт с с
Затем, используя полную производную векторного потенциала по
времени
B7.14)
(здесь к вектору А применяется оператор —скалярное произведение
г у), убедимся, что правая часть равенства B7.13) имеет вид
- уф—7 -|г} + -7 Й?АН- B7-15)
Наконец, подставляя сюда B7.12), придем к известному выраже-
нию силы Лоренца. Эта сила слагается из потенциальной силы
е дА
—еуф, непотенциальнои силы —¦ , зависящей от положения
с ' dt
и времени, а также из гироскопической силы —- \\Ж].
с

§ 27] Функция Лагранжа 239
Обобщенные силы, соответствующие силе вида B7.10), всег-
да можно представить в форме
Действительно, пользуясь B7.10) и определением обобщенной си-
лы, получим
JL(M)JLJUJ!- B7.17)
dt \ д т / dqj дт dqj
Затем, учитывая, что = —~, B7.17) можно привести к виду
Q.= J- (М- AJL\—ML 1L-.3L _*_ B7.18)
' & \ дт dqj ) dr dq/ Эг dqt
Отсюда, принимая во внимание очевидные равенства
да; дт да; ' dc!i д г daj ' дт dqj
убеждаемся в справедливости B7.16).
Обобщенный потенциал, определяющий силы вида B7.16),
должен быть линейной формой относительно скоростей точек (в
противном случае мы получим силы, зависящие от ускорений).
Например, обобщенный потенциал системы зарядов во внешних
электромагнитных полях, согласно B7.11), имеет вид
N N
%=- ? -J- А,гг + V ei%. B7.20)
Выражая здесь скорости точек и их радиусы-векторы через обоб-
щенные переменные (см. B6.4) и B6.10)), получим, что
U = Uo) + Ui0), B7.21)
S
где 11^ = V Ufid — линейная однородная форма обобщенных
скоростей, Ш°) — форма нулевой степени ({/,- и11^ являются
функциями только координат и времени). Нетрудно убедиться, что
силы Qj, соответствующие обобщенному потенциалу B7.21), равны
к—\

Уравнения Лагранжа [Гл. V
где Y/fc = —* — — коэффициенты, антисимметричные по ин-
dqj dqk
дексам. Отсюда видно, что гироскопическая часть обобщенной си-
лы может быть задана с помощью антисимметричной матрицы (см.
определение гироскопической силы на стр. 72).
При наличии обобщенно-потенциальных и диссипативных сил
уравнения Лагранжа в независимых координатах можно записать
в виде
(?)$ O'=l,2,...,s), B7.23)
7г(?IГ
dt \ dqj ) dqj
dt \ dqj ) dqj
где ?? = Т — % — разность кинетической энергии и обобщенного по-
тенциала, a Qdj — обобщенные диссипативные силы. Подчеркнем, что
?? и все Qdj являются функциями обобщенных координат и обобщен-
ных скоростей Функция J? называется функцией Лагранжа
или лагранжианом. Она является неоднородной квадратичной
формой относительно обобщенных скоростей (см. B7.1) и B7.21)):
<? = 7<2) + (ТA) -гA)) + G (С)-Ъ<0)). B7.24)
Когда диссипативные силы линейно зависят от скоростей то-
чек, они также могут быть выражены через скалярную функцию.
В самом деле, если
Ft = -kjt, kt>0 (i=\,2,...,N), B7.25)
то, подставляя B7.25) в B6.17) и используя B6.11), получим
$ = -"?- (/= 1, 2, ... ,s), B7.26)
dqj
N
D=\—^-(r,J —диссипативная функция Рэлея. Струк-
где
тура этой функции аналогична структуре кинетической энергии,
так как формально диссипативная функция может быть получена
из кинетической энергии заменой каждой массы т{ на соответст-
вующий коэффициент ki. Производя такую замену, из B7.1) и
B7.2) найдем
D = D0 + D(l) + D(O\ B7.27)
где
/',*=! 1=1

§ 27] Функция Лагранжа 24Р
= У*»——.
N
(здесь все коэффициенты bjk симметричны относительно переста-
новок индексов).
Пример 27.1. Теорема Лармора.
Пусть электрон (заряда е и массы т) движется в электро-
статическом поле ядра (порядковый номер ядра равен Z, его мас-
са значительно больше массы электрона, а начальная скорость яд-
ра равна нулю). Эта система помещается в достаточно слабое од-
нородное и постоянное магнитное поле напряженности Ж- Пока-
зать, что при этом орбита электрона будет прецессировать вокруг
оси, параллельной напряженности Ж с угловой скоростью, равной
тт \е\Ш
частоте Лармора ш= .
2тс
Поскольку масса ядра значительно больше массы электрона,
введем систему отсчета с началом в ядре (эта система отсчета бу-
дет весьма близка к инерциальной — см. замечание на стр. 200).
Ось Oz направим вдоль вектора Ж; тогда, используя цилиндри-
ческие координаты, получим уравнение для определения вектор-
потенциала А (см. B7.12)):
дАг дА \ / дАр дА
дАр
Полагая здесь, что Ap = Az = 0 и что проекция AV не зависит от zy
найдем
р ср
и, следовательно,
(определение А по заданной напряженности Ж неоднозначно, од-
нако эта неоднозначность не сказывается на значении силы, так
как сила зависит от напряженности Ж).

242 Уравнения Лагранжа [Гл. V
Таким образом, обобщенный потенциал рассматриваемых по-
лей равен (см. B7.11))
где U = == — потенциал электростатического поля. Исполь-
V р2 + z2
зуя это выражение У, получим лагранжиан заряда
J<P-y. A)
Чтобы убедиться в справедливости теоремы Лармора, введем
вращающуюся с угловой скоростью со систему отсчета с началом
в ядре и перейдем от переменных р, ф, z к переменным р, a, z,
где а=ф—at. Функция Лагранжа в новых переменных будет рав-
на
if' = — (р* + Р2а2 + 22) — — р2со2 — U.
Так как по условию напряженность магнитного поля мала, то,
пренебрегая членом, пропорциональным со2, получим
j?'^-|-(pM-p2a2 + 22)-?/. B)
•С другой стороны, функция A) в отсутствие магнитного поля
равна
j^=0 = ^-(p2 + pV + 22)-(/. C)
Совпадение вида функций B) и C) говорит о том, что при
наличии магнитного поля электрон движется относительно систе-
мы, вращающейся с частотой Лармора, так же, как он движется
б отсутствие магнитного поля относительно инерциальной систе-
мы. Это свидетельствует о прецессии орбиты электрона с угло-
вой скоростью со.
§ 28. Законы сохранения обобщенного импульса
и обобщенной энергии
В главе II были рассмотрены законы сохранения импульса,
кинетического момента и энергии, вытекающие из уравнений Нью-
тона; соответственно законы сохранения обобщенного импульса и
обобщенной энергии являются следствием уравнений Лагранжа.

28] Обобщенный импульс н обобщенная энергия 243
Запишем уравнения B7.23) в виде
dt dqj '-'"'•¦" >
где величина р, = —=%- называется обобщенным импуль-
dqj
сом, соответствующим координате q^ Из B8.1) следует, что
обобщенный импульс Pj сохраняется, если функция Лагранжа
явно от координаты q} не зависит и если соответствующая этой
координате диссипативная обобщенная сила равна нулю. Таким
образом,
если —— = О и Q/ = 0. Если же все диссипативные силы равны
dqj
нулю, то закон B8.2) сохранения обобщенного им-
пульса принимает вид
р, = р/0, если -^- = 0. B8.3)
aqj
Приведем ряд небольших примеров. Функция Лагранжа для
пространственного осциллятора в декартовых координатах имеет;
вид (см. F.30))
#=-!-(^+^ + 2»)_-JL (х* + г/2 + г2),
а обобщенные импульсы
рх = —~ — гпх, ри — —~ — ту, р, = —— = тг
являются декартовыми проекциями импульса точки. Ни одна иа-
координат х, у, z в данном случае не является циклической, соот^
ветственно ни один из обобщенных импульсов рх, pv, pz не сохра-
няется.
Теперь запишем лагранжиан пространственного осциллятора
в сферических координатах (см. A.24) и формулу D) в примере-
26.4):
J? = ~ (Г2 -f г202 + г2 sin2 в • ф2) — — гг.
Обобщенными импульсами точки в этих координатах являются
Pr = If- = тг, ре = ^?- = mr*B, Pv=°3L = mr* sin26-ф,
or об о<р

244 Уравнения Лагранжа [Гл. V
причем обобщенный импульс рф равен Mz — проекции момен-
та импульса точки на ось Oz. Поскольку координата ср цикличе-
ская, то рф сохраняется, т. е.
mr2 sin2 6-ср = рфо.
Лагранжиан циклоидального маятника равен (см. пример
26.1)
2 8R '
здесь координата s не циклическая и обобщенный импульс
ps = -^?- = ms
ds
не сохраняется.
Наконец, возьмем заряд, движущийся в электростатическом
поле неподвижного ядра и постоянном однородном магнитном по-
ле (см. пример 27.1). В этом случае координаты р и z не цикли-
ческие, а ф — циклическая. Поэтому закон сохранения B8.3) при-
водит к интегралу
d_2f
р<е = —. - = /ир2 (Ф — со) = рфо.
оф
Установим структуру обобщенного импульса в общем случае.
Принимая во внимание определение обобщенного импульса и
форму лагранжиана B7.24), находим
j^ + aj-U,, B8.4)
где aih, aj — коэффициенты однородных форм Г<2' и 7W кинети-
ческой энергии, t/, — коэффициенты однородной формы <Ua)
обобщенного потенциала. Отсюда видно, что обобщенные им-
пульсы являются неоднородными линейными формами обобщен-
ных скоростей.
Закон изменения обобщенной энергии получим
из уравнений Лагранжа в независимых координатах аналогично
тому, как из уравнений Ньютона был получен закон изменения
энергии A1.18). Умножая каждое из уравнений B7.23) на соот-
ветствующую обобщенную скорость q, и складывая полученные
выражения по всем степеням свободы, найдем

§ 28] Обобщенный импульс и обобщенная энеогня 245
Как оказывается, в этом уравнении можно выделить полную про-
изводную по времени от такой функции, которая в частном слу-
чае будет совпадать с энергией системы. Действительно, исполь-
зуя очевидное соотношение
J(M\^ B8.6)
()д (q^
dt \ dqj J4' dt \ dqj 4' J dqj
представим левую часть уравнения B8.5) в виде
B8-7>
Затем, учитывая, что функция Лангранжа является функцией
¦обобщенных координат, скоростей и времени и, следовательно, ее
полная производная по времени равна
B8.8)
dt ZJ V dqt ч' dqj ч' J dt '
вместо B8.5) получим уравнение
AdT = -Ijt^tQ^' B8-9>
где
Эту функцию обобщенных координат, скоростей и времени будем
называть обобщенной энергией системы, а уравнение
B8.9) — законом изменения обобщенной энергии.
Функция Я в частном случае совпадает с полной энергией
системы Е, в чем можно убедиться, рассматривая структуру Н. В
самом деле, используя B8.4), а также B7.2) и B7.21), найдем,
что
Подставляя это выражение в B8.10) и учитывая структуру лаг-
ранжиана (см. B7.24)), получим
)) B8.11)

246 Уравнения Лагранжа [Гл. V
Отсюда видно, что обобщенная энергия не содержит линейных
форм обобщенных скоростей, в то время как полная энергия вклю-
чает в себя форму Л1) (см. A1.16), B7.1))
Е = ТB) + То) + Т@) + U B8.12)
(здесь U обычная потенциальная энергия).
Из сравнения B8.11) и B8.12) следует, что обобщенная энер-
гия системы и ее полная энергия совпадают в тех случаях, когда
радиусы-векторы точек системы как функции независимых коор-
динат явно от времени не зависят, поскольку в этом случае
Т = 7B)(ТA) = Т@) = 0), a Ui0) = U; в частности, это имеет место
для систем со стационарными связями (см. B7.3)).
Закон сохранения обобщенной энергии непо-
средственно вытекает из уравнения B8.9): обобщенная энергия
системы сохраняется, если функция Лагранжа явно от времени
не зависит, а диссипативные силы отсутствуют, т. е.
= Я0 B8.13)
при условии, что —— = 0 и Q/ = 0 (/ = 1,2 s). Первое из этих
условий не обязательно связано с условием -~- = 0 (? = 1,2,... ,N).
ot
Может случиться, что —1-ф0 (? = 1, 2,..., N), а —— = 0; тогда в
отсутствие диссипативных сил уравнение B8.9) приводит к интегра-
лу движения, не совпадающему с интегралом энергии. Если же на-
ряду с условиями сохранения обобщенной энергии выполняются тре-
бования —^- = 0 (? = 1,2, ...,N), то законы сохранения обобщенной
dt
и полной энергий системы совпадают, т. е. Н — Е = Ео.
В заключение отметим достаточно распространенный случай
механической системы со стационарными связями и диссипа-
тивными силами, линейными относительно скоростей точек. Для
такой системы мощность обобщенных диссипативных сил равна
(см. B7.26) и B7.27))
B8.14)
Учитывая, что кинетическая энергия системы со стационарными
связями явно от времени не зависит, из уравнения B8.9) найдем
Ё=— 2DB). B8.15)
dt '

§ 28] Обобщенный импульс и обобщенная энеогия 247
Пример 28.1. Сферический маятник.
Точка массы m движется в однородном поле тяжести напря-
женности g по гладкой неподвижной и твердой сфере радиуса /,
причем диссипативными силами можно пренебречь. Найти общее
решение в независимых координатах.
Учитывая однородность поля тяжести и сферическую симмет-
рию связи, совместим начало координат с центром сферы, ось Oz
направим вдоль вектора g, а за независимые координаты возьмем
сферические углы 6 и ф (рис. 23.1). Тогда функцию Лагранжа
можно записать в виде
j? = -2!i_ (е* -[- sin2 6 • ф2) + mgl cos 6.
Отсюда следует, что координата ф является циклической, а = О,
dt
т. е. имеют место два интеграла движения (см. B8.3) и B8.13))
рф = ^Л- = ml* sin2 9 • ф = Мг0,
дф
) — mglcosQ = EQ.
С помощью этих интегралов решение задачи можно довести
до квадратур. В самом деле, из интеграла момента следует, что
ml* sin2 6 '
Подставляя это выражение в интеграл энергии, получим
_^1в« + ——l- mgl cos 6 = Ео, B)
2 2ml* sin2 9
откуда найдем закон движения точки по траектории в виде
t = С dQ + const, C)
J
где
U = ^?l —i mgl cos 9.
eff 2m/2 sin26 ё
Исключая из уравнения B) элемент времени
ml2
dt = -US- sin20 йф,
получим уравнение траектории *
* Квадратуры t(Q) и q>(9) сводятся к эллиптическим интегралам, которые
подробно исследованы, например, в [8, т. I, стр. 433].

248
Уравнения Лагранжа
[Гл. V
Ф= Г
I m/2sinae
J
const.
D)
ml*
(?0-i/eff)
Область изменения координаты 0 определяется неравенством
Eo^-Uett(Q), аналогичным неравенству G.9). При этом граничные
значения координаты 6 можно найти, используя уравнение
•?o=?/eff(8), которое в случае МгОФО является уравнением треть-
ей степени относительно cosS (рис. 28.1). Функция Uett(Q) прини-
мает бесконечные значения в точках 0 и л, а при 0 = л/2 равна
{M2zol2mt2) >0; минимум этой функции достигается в точке
0 = 0eq, определяемой из уравнения
cos 9,
sin4O(
eq _
eq
E)
Из графика видно, что область изменения угла 0 ограничена зна-
чениями 6mm И 0шах, Причем
o<0min<e<0max<n. F)
-mglcosQ
Рис. 28.1
Это означает, что траектория
точки расположена на поверх-
ности сферы между двумя го-
ризонтальными плоскостями,
пересекающими сферу, а угло-
вая скорость ф изменяется в ко-
нечных пределах (см. A)).
Обобщенное ускорение 0
положительно, если 8<8eq, от-
рицательно, еСЛИ 0>8eq, И рЭВ-
но нулю, если 0—8eq. Это выте-
кает из уравнения Лагранжа,
соответствующего углу 8 и за-
писанного с помощью A) в ви-
де
8 =
sin* О
G)
Для вычисления реакции сферы воспользуемся тем, что реак-
ция направлена по нормали к сфере. Проектируя обе части урав-
нения Лагранжа первого рода на орт пг, найдем
mwr = ing cos 0 + Rr.
(8)

§ 28]
Обобщенный импульс и обобщенная энергия
249
Проекцию wr ускорения сферического маятника определим с по-
мощью формулы G) примера 26.4 при г — 1. Тогда из уравнения
(8) получим (см. A) и B))
Rr = Ео — 3tng cos 9. (9)
Рассмотрим частный случай, когда 9тах = я/2, а в начальный
момент времени угол 9о наклона маятника по отношению к вер-
тикали равен 9тах. Тогда под действием силы тяжести маятник
начнет опускаться; соответственно угловая скорость маятника бу-
дет возрастать, кинетическая энергия увеличиваться, а потенци-
альная убывать. Одновременно возрастет реакция сферы, причем
у реакции появится вертикальная составляющая. Это в конце кон-
цов приводит к подъему маятника, который сопровождается
уменьшением кинетической энергии, угловой скорости и реакции
сферы, а также увеличением потенциальной энергии.
Рассмотрим еще один частный случай, когда начальные усло-
вия подобраны так, что Ео= (Uen)mln, т. е. прямая Ео и кривая
f/eft(9) пересекаются в одной точке, которой соответствует посто-
янный угол 9mln = 9 = 9max (см. рис. 28.1). Учитывая это, из закона
сохранения энергии, записанного в виде
т
mgl cos 9),
найдем (см. B) и E))
Отсюда
Ф2 = Фо =
cos9n
/ cos е„
(IP)
Итак, если начальная скорость точки
направлена по горизонтальной каса-
тельной к сфере, а величина начальной
скорости определяется формулой A0),
то точка будет двигаться по горизон-
тальной окружности радиуса po = /sin0o.
Пример 28.2. Точка на вращающей-
ся прямой.
Достаточно малое тело массы т
движется в однородном поле тяжести
по гладкому абсолютно твердому стер-
жню, который вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг вертикали, проходящей через закреп-
ленную точку О стержня. Угол между стержнем и вертикалью
Рис. 28.2

25T
Уравнения Лагранжа
[Гл. V
постоянен и равен во. Найти общее решение в независимых коор-
динатах.
В качестве независимой координаты выберем г — расстояние
материальной точки от точки О (рис. 28.2), а уравнения связи
запишем в виде 0 = 0q, ср —cof; тогда
$ = -^- (г2 -1- со2 sin28u-r2) — mgcos0o-r.
Интегрируя уравнение Лагранжа
г — со2 sin2 90 • г = — g cos 0О,
получим общее решение
>¦--= (Ч — g>C0*h ) eh (a> sin в0 ¦ t) -f ~4V sh (a> sin 6„- Л +
\ u м- sin2 Bo / v ° ' to sin Bo v ° ' '
Анализ этого решения облегчается, если воспользоваться ин-
тегралом обобщенной энергии (см. B8.13))
Н = — г2 — — со2 sin2 0О-г2 + tng cos eo-r =
r
Переписывая его в виде
где
eu (г) = mg cos Go• г
?-cD2sin*90-r2,
найдем, что область измене-
ния координаты г опреде-
ляется требованием
Если 0о<я/2 (рис. 28.3).
то f/eff имеет максимальное
значение, равное
_ т г gcose, у
2 \ СО Sin 9„ /
Рис. 28.3
в связи с чем можно рас-
смотреть три случая:

§ 28] Обобщенный импульс и обобщенная энергия 251
^oX^eff)max> ^0 < (^eff)max> ^о^С®-
В первом случае движение может происходить в неограниченной
области; осуществляется этот случай, если начальная радиаль-
ная скорость удовлетворяет условию, которое вытекает из нера-
венства #0> (?/eff)max:
sin 6n-rn—
cosinGo /
Во втором случае движение возможно в двух областях
и -С r ~%. r\i г% •%¦ г ¦%, °°-
Границы этих областей определяются корнями
g cos 60
1>2 w2sin260
квадратного уравнения
\/ gcos60 у 2Я„ д1/,
\4aJsinse0/ тю* sin2 60 J
Яо = f/eff = mg cos 60 • г — — ш2 sin2 60 ¦ г2.
Этот случай осуществляется, если начальная радиальная скорость
сравнительно мала,
gcosG0
sin 60-r0 — ¦
wsin 60
В третьем случае область изменения г ограничена снизу:
r2^r<^°°> з начальные условия должны удовлетворять неравен-
ству
^<a)»sln«ee.rS — 2^со8в0т0 (Я0<0).
Если 6o!5=jt/2, to, рассматривая соответствующий график
f/eff, легко прийти к выводу об инфинитности движения точки в
областях: 0-^г^оо (Я0>0), Гщщ^г^оо (Я0<0).
Пример 28.3. Движение заряда вблизи магнитного полюса.
Точка массы m и заряда е движется около одного из полю-
сов длинного магнитного стержня. Найти закон движения заря-
да.
Напряженность магнитного поля в рассматриваемом случае
равна (в сферических координатах)
* = ¦?¦«!„ A)
где постоянная \а — так называемый «магнитный заряд», а нача-
ло координат помещено в полюсе магнита. Кинетическая энергия

252 Уравнения Лагранжа [Гл. V
точки в сферических координатах явно не содержит только угол ср.
Поэтому попытаемся выбрать вектор-потенциал А магнитного по-
ля так, чтобы он тоже не зависел от <р. С этой целью запишем со-
отношение ^=rotA в сферических координатах с учетом A):
^ф == — f -f- (гАв) - 4? D) 1 = 0. D)
г \_ дг 66 J
Отсюда видно, что можно положить Ат = Ав = 0, гЛф =/@).
Тогда отличная от нуля компонента вектор-потенциала равна
Ар= J-ctge. E)
Учитывая E), найдем лагранжиан заряда (см. B7.11))
( + re + rsine92) —-^-cose-ф. F)
Поскольку -^ = 0 и -^- = 0, получим Сем. B8.2) и B8.13.)):
Рф = -^- = /лг* sin29¦ ф—i!L cos6 = /?фо, G)
<5ф с
Я = Т{2) = То. (8)
Теперь запишем G) в виде
Мж — -Ш- (nrJ = const (9)
с
и обратим внимание на то, что интеграл (9) имеет место при лю-
бом направлении оси Oz. Это возможно только в том случае, если
М — it-n^C, A0)
с
где С — постоянный вектор, зависящий от начальных условий.
Направим ось Oz по этому вектору и умножим затем обе части
A0) скалярно на пг. Тогда, поскольку Мпг=0,
!L. = Ccos9. A1)

§ 29] Ковариантность уравнений Лагранжа 25S
Таким образом, 9 = 9о и, следовательно, заряд движется по
поверхности конуса с осью, направленной по вектору С. При этом
интегралы G) и (8) ввиду 9 = 0 упрощаются и принимают вид:
г» + г2Ф2 sin2 90 = го + гофо sin2 90. A3>
Интегрирование этой системы приводит к закону движения
r2==y2^_/oJ + fl2 A4),
и уравнению траектории (на поверхности конуса)
¦у = cos [(Ф — Фо) sin 9„] A5>
(постоянные v и а могут быть выражены через начальные усло-
вия, а момент времени to является моментом, когда заряд нахо-
дится на минимальном расстоянии от полюса). Итак, заряд дви-
жется по спирали A5), навивающейся на поверхность конуса
9 = 90 согласно закону движения A4).
§ 29. Ковариантность уравнений Лагранжа
в независимых координатах
Уравнения Лагранжа B6.20) в независимых координатах
были получены из общего уравнения механики B6.3) с помощью
преобразования B6.4), представляющего собой преобразование ог
радиусов-векторов Г; всех точек к обобщенным независимым коор-
динатам q. Однако выбор этих координат неоднозначен: в самом
деле, координаты q всегда можно задать с помощью произволь-
ных однозначных функций других s переменных q' и времени
ql = q,Wv-,q'i,t) (/=1,2 s). B9.1)
Подставляя B9.1) в B6.4), найдем однозначные выражения ра-
диусов-векторов точек через величины q'\
rt = rt(q[,.-..q's,t) (i=l,2 N). B9.2>
Эти функции, как и функции B6.4), обращают в тождество урав-
нения связей (см. B6.6)), и, следовательно, величины q' также
являются обобщенными координатами механической системы.
Преобразование B9.1), т. е. преобразование от одной системы
обобщенных координат к другой системе, называется точечным
преобразованием.
Если исходить из общего уравнения механики B6.3), а в ка-
честве независимых переменных взять координаты q', то, исполь-

254 Уравнения Лагранжа [Гл. V
зуя B9.2) и проводя вычисления, аналогичные B6.7) — B6.18),
получим уравнения Лагранжа в новых переменных
Т X^Q (/ 1,2 s). B9.3)
dt
где кинетическая энергия Т и обобщенные силы Q' являются
функциями q', q' и t. Сопоставляя уравнения B6.20) и B9.3),
приходим к выводу, что общая форма уравнений Лагранжа в не-
зависимых координатах не зависит от выбора этих координат;
другими словами, уравнения Лагранжа в независимых координа-
тах ковариантны относительно точечных преобразований. Это
свойство уравнений Лагранжа является отражением того, что при
любом выборе независимых переменных между обобщенными
координатами, скоростями и ускорениями существует взаимо-
связь.
Точечные преобразования независимых координат включают
в себя ряд важных случаев; например, для свободных систем то-
чечные преобразования могут представлять собой преобразования
между различными криволинейными координатами в данной сис-
теме отсчета, а также преобразования между координатами в
различных системах отсчета, в том числе и в неинерциальных.
Убедимся в этом, показав, что уравнения движения свободной
точки относительно неинерциальной системы отсчета можно запи-
сать в форме уравнений Лагранжа.
Действительно, поступательная к центробежная части пере-
носной силы инерции могут быть выражены через потенциальную
энергию Uh точки в поле этих сил (см. B2.20)); сила инерции,
определяемая угловым ускорением «, является непотенциальной
силой, зависящей от положения точки и времени, а кориолисова
сила гироскопична. Таким образом, сумму всех сил инерции мож-
но записать в форме
о7 = ¦— y(Jh — m [юг'] -г 2пг [v'w],
аналогичной силе Лоренца
F ^ — evro ¦ 1 Г v rot А].
с dt с
Сопоставляя эти выражения, видим, что скалярным потенциалом
сил инерции является функция Uh, а вектор-потенциал этих сил,
равный Ку = «[«or'], можно найти из уравнений
як
= /и[шг'], rot ki, = 2ffzw.
dt

§ 29] Ковариантность уравнений Лагранжа S5.>
Итак, силы инерции являются обобщенно-потенциальными си-
лами с потенциалом
W -— m[wr'Jv' ~-U\ B9.4)
где
Uh = mwor' — — [сог']2
(в случае системы N точек потенциал 11' будет равен сумме чле-
нов вида B9.4), каждый из которых относится к /-точке). Из вы-
шесказанного вытекает, что уравнения движения относительно'
неинерциальной системы отсчета (см. B0.1)) могут быть представ-
лены в виде следующих уравнений Лагранжа:
^l^ (/=1.2 sj; B9.5>
dq, I \ d I
здесь J?' — T'-—11', T' — кинетическая энергия относительно не-
инерциальной системы, 2/.'—обобщенный потенциал сил инерции,
a Q' — обобщенные силы, соответствующие векторным силам F,-,.
с которыми различные тела действуют на точки механической сис-
темы.
Пример 29.1. Преобразование лангранжиана свободной точки.
Свободная точка массы m движется в центрально-симметрич-
ном поле U(г) с центром силы в начале координат О. Найти
функцию Лагранжа этой точки относительно системы отсчета S\
начало которой О' и ось O'z' совпадают соответственно с нача-
лом О и осью Ог инерциальной системы отсчета S, предполагая,
что система 5' вращается относительно S с постоянной угловой
скоростью со.
Если в качестве независимых координат выбрать декартовы
координаты точки относительно системы S, то функция Лагранжа
имеет вид
* + *2) -
^ = -J (*2 + У
Координаты х, у, z связаны с координатами точки относитель-
но S' формулами:
х = х' cos at — у' sin at,
у = х' sin atf -f у' cos fttf,
— 2 .
Поэтому в новых переменных функция Лагранжа равна .

256
Уравнения Лагранжа
[Гл. V
где
т<?)' _ m
T@)' _
Т{2) = — (х'2 + г/'2 + г'2), 7A) = та (х'у' — у'х'),
Т(
U' =
Подставляя функцию J?fвB9.5), получим уравнения движе-
ния точки относительно системы S'
т (х' — 2щ' — со2х') = — —,
дх'
mz' =
ди'
дг'
Поскольку J?' явно от времени не зависит, то обобщенная энер-
гия точки сохраняется:
Н = -2L (х'2 + у'* + z'*)-
- t/'2
t/'2) + t/
/'2 - г'2) = Яо.
Нетрудно видеть, что в данном случае функция Н является пол-
ной энергией точки относительно неинерциальной системы отсче-
та (см. B2.27)).
Пример 29.2. Движение точки по вращающейся окружности.
Точка массы m движется по
гладкой окружности радиуса а,
вращающейся с постоянной уг-
ловой скоростью со вокруг верти-
кальной оси, проходящей через
некоторую точку окружности
(плоскость окружности перпен-
дикулярна оси вращения). Найти
уравнение движения точки.
Выберем системы координат
S и S' так, как это показано на
рис. 29,1, а в качестве независи-
мой переменной возьмем угол го
между г' и осью О'х'. Выражая
через ф проекции радиуса-векто-
Рис. 29.1 ра точки на оси системы
х = a cos cot + a cos (co^ + ф),
у = a sin at + a sin (at -j- ф),

§ 29] Ковариантность уравнений Лагранжа 257
получим кинетическую энергию точки в виде
Т = -^-{ш2 л- (a, -f срJ + 2ш (со + ф)cosф}.
Для данной задачи эта функция является функцией Лагранжа;
она приводит к уравнению движения
Ф + со2 sin ф = 0.
Отсюда следует, что относительно неинерциальной системы S'
точка движется так же, как математический маятник в однород-
ном поле тяжести движется относительно инерциальной систе-
мы 5.
Записывая кинетическую энергию в виде B7.1), где
j@) = таг(о2 A -{- cos ф),
нетрудно получить интеграл обобщенной энергии
та ф2 — та2®2 cos ф = Но.
Здесь та2ц>2/2 — кинетическая энергия точки относительно 5',
а — ота2со2созф — потенциальная энергия точки в поле перенос-
ной силы инерции — mwo'. Что касается центробежной силы
инерции, равной mcoV, то она не совершает работы на перемеще-
ниях точки относительно 5' и поэтому не дает вклада в Но. Таким
образом, функция Н является полной энергией Е' точки относи-
тельно 5' (см. B2.27) и B2.20)).
9 И. И. Ольховский

Глава VI
ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В этой главе изучается движение механической системы с до-
статочно малыми скоростями в достаточно малой пространствен-
ной области около положений равновесия точек системы. Если
при этом диссипативные силы малы, то система будет совершать,
как говорят, малые колебания; если же диссипативные силы
значительны, то будет иметь место апериодическое движение.
Теория малых колебаний широко применяется для изучения как
механических, так и немеханических систем. Например, с по-
мощью этой теории можно описать колебания математического
маятника и колебания напряжения в электрическом контуре. По-
этому излагаемая ниже теория играет большую роль в различных
областях физики.
§ 30. Собственные одномерные колебания
Пусть на систему с одной степенью свободы наложены ста-
ционарные голономные связи. Тогда кинетическая энергия как
функция независимой координаты q и обобщенной скорости q
равна (см. B7.1))
a(q)f C0.1)
(здесь коэффициент аи явно от времени не зависит, так как связи
стационарны). Пусть также на систему действуют стационарные
потенциальные силы и диссипативные силы, пропорциональные
первой степени скоростей точек системы. В этом случае потенци-
альная энергия и диссипативная функция D системы имеют вид
(см. B7.27))
U = U(q), D = ±bu{q)q*. C0.2)
Предположим, что наложенные связи и заданные силы таковы,
что существует хотя бы одно положение равновесия системы (для

§ 30]
Собственные одномерные колебания
259
обозначения положения равновесия будем использовать символ
eq). Согласно B6.30) обобщенная сила, прилагаемая к системе,
покоящейся в положении равновесия, равна нулю (см. B6.21) и
B7.26)):
- 0. C0.3)
в=о
Отсюда следует, что потенциальная энергия в положении равно-
весия должна обладать экстремумом, т. е.
=0.
C0.4)
dq <7=<7eq
Это уравнение определяет положения равновесия системы.
Рассмотрим свойства достаточно малой окрестности таких
положений. Пусть, например, система имеет два положения рав-
новесия (<7eq)l И (tfeqh, ПРИ"
чем в первом положений по-
тенциальная энергия достигает
минимума, а во втором —
максимума (рис. 30.1). Тогда
в окрестности положения
(<7eq)i имеем Q<0, если
<7>(<7eq)i, и Q>0, если
<7<(<7eq)i (здесь (^eq)i—е<<7<
<(<7eq)i + e, a e — сколь угод-
но малая положительная ве-
личина). В окрестности поло-
жения (<7eqb наоборот: Q>0,
если q>(qeqJ, и 0<0, если
<7<(<7eqb (здесь (qeqJ—e<q<
< (<7eq) 2+e) ¦ Следовательно,
вблизи максимума потенциаль-
ной энергии возникает сила,
стремящаяся отклонить систе-
9
\
\
\
му от положения равно- рис, зол
весия, а вблизи минимума
возникает сила, стремящаяся вернуть систему в положение
равновесия. В этом последнем случае система, обладаю-
щая достаточно малым начальным отклонением qo—<Jeq от поло-
жения равновесия и достаточно малой начальной скоростью qo,
при любом t^tQ не выйдет за пределы наперед заданной сколь
угодно малой окрестности положения равновесия, причем обоб-
щенная скорость также будет сколь угодно мала *. Положения
* В справедливости этого утверждения можно убедиться с помощью за-
кона изменения энергии (доказательство признака устойчивости системы в об-
щем случае см. в § 31).

260 Линейные колебания [Гл. VI
равновесия, окрестности которых имеют описанные свойства, на-
зываются устойчивыми.
Учитывая эти свойства, кинетическую и потенциальную энер-
гии системы, а также ее диссипативную функцию можно разло-
жить в положении устойчивого равновесия в ряд по степеням
отклонения \=q—<7eq OT этого положения и степеням скорости
*| —<7- С точностью до величин второго порядка малости включи-
тельно эти разложения имеют вид
}\ D=j-bn(qe,)p C0.5)
(здесь в разложении потенциальной энергии опущена несущест-
венная постоянная U(qaq) и учтено C0.4)). Используя C0.5),
найдем приближенное уравнение Лагранжа, справедливое в ма-
лой окрестности положения устойчивого равновесия:
"ill + Ьа\ + сп1 = 0, C0.6)
где
аи = аа(<7eq), bn = bn(qeq), cn = ^)
\ "T /eq
Уравнение C0.6) является линейным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Ес-
ли коэффициент Ьц равен нулю или сравнительно • мал, то это
уравнение описывает колебания системы, называемые линей-
ными. Стационарность сил и связей, рассматриваемых в данной
задаче, приводит не только к постоянству коэффициентов уравне-
ния C0.6), но и к его однородности; поэтому описываемые этим
уравнением колебания называют собственными (или сво-
бодными).
Решение уравнения C0.6) разыскивается, как известно, в ви-
де
Б - Се«. C0.7)
Подставляя C0.7) в C0.6) и сокращая на общий множитель ew,
получим
СА (Я,) = 0, C0.8)
где А(Я.) =а.ц№+Ьц\ + Сц. Поскольку интерес представляет нетри-
виальное решение (т. е. решение при СфО), то уравнение C0.8)
эквивалентно следующему уравнению относительно к:
0. C0.9)
Это уравнение называется характеристическим уравне-

•§ 30] Собственные одномерные колебания 261
ни ем (или уравнением частот). Вводя обозначения
¦Ьц/ап = 2\1, с11/а11 = ©2, запишем его в виде
А,2 + 2[лЛ. -f «2 = 0. C0.10)
Значения X, удовлетворяющие характеристическому уравнению,
называются собственными значениями, В одномерном
случае имеем два собственных значения X:
где се = j/uJ,— ц2. Вид A,]i2 соответствует известной алгебраической
теореме о том, что корни всякого многочлена с вещественными коэф-
фициентами либо вещественны, либо попарно комплексно сопряже-
ны. Действительно, если юо>(г, то Х1 = Х*2, а если fi>w0, то
А.1,2 = —И1.2, C0.12)
— (»ц (случай кратных корней, когда (»О=|Л, мы рас-
сматривать не будем).
Наличие двух собственных значений X соответствует двум
частным независимым решениям
где А.1, Яг, № и СB) могут быть комплексными. Если в качестве
обобщенных координат выбираются действительные величины *,
то в качестве общего решения уравнения C0.6) следует взять
действительную часть суммы частных независимых решений ?<'>
и ?<2>:
5 = Re {C(l)ew + C&eKt), C0.13)
тде СО и С<2) — постоянные интегрирования, a Xi и Ад определены
характеристическим уравнением C0.10) **. Заметим, что двум
комплексным постоянным соответствуют четыре действительные
постоянные. Однако после отделения действительной части в
C0.13) фактически остаются две произвольные постоянные, как и
должно быть в общем решении дифференциального уравнения
второго порядка. Например, записывая решение C0.13) в случае
•too >Ц. в виде
= е~* Re {СРеш + С^-'*'} C0.14)
* Здесь и в дальнейшем мы будем использовать только вещественные не-
зависимые координаты.
** Мнимая часть суммы 1A> и |B) также будет общим решением уравне-
.ния C0.6) — см. [42, стр. 95].

262 Линейные колебания [Гл. VI
и учитывая, что постоянные СО и С<2> всегда можно представить
в форме
СA) = оA) + ibA\ СB) = а<2) -г-17>B), C0.15)
после отделения вещественной части найдем
g = e-tit (Q cos art -г С% sin arf), C0.16)
где Ci и С2 — действительные произвольные постоянные, опреде-
ляемые начальными условиями. Решение C0.16) легко также
представить в виде
I = ое-* cos (arf -f «), C0.17)
где постоянные а и а связаны с постоянными Сх и С2 соотноше-
ниями
cl tg а = --?-. C0.18)
w
Решение C0.17) или C0.16) описывает затухающее
гармоническое колебание системы. Величина мнимой
части а называется собственной частотой колеба-
ний со, а величина действительной части а называется коэффи-
циентом затухания ц.
В случае ц>а0 общее решение C0.13) с учетом C0.12) при-
нимает вид
I = den* л. Cf-trt, C0.19)
где C'i и Сг — действительные постоянные. В этом случае имеем,
апериодическое движение, характеризующееся двумя
коэффициентами затухания.
Из решений C0.17) и C0.19) видно, что в линейной теории
собственные частоты и коэффициенты затухания не зависят от
начальных условий. Отметим еще две характерные черты линей-
ной теории малых колебаний: в решении C0.17) отсутствуют
«обертоны», т. е. частоты, кратные собственной частоте; кроме то-
го, в силу линейности уравнения C0.6), его общее решение яв-
ляется суммой частных решений, т. е. имеет место, как говорят,
принцип суперпозиции.
Независимость собственной частоты и коэффициента затуха-
ния от начальных условий приводит к интересному свойству ли-
нейных одномерных колебаний — к свойству изохронности.
Оно заключается в том, что при равной нулю начальной скорости
A = 0) время, за которое система переходит из начального поло-
жения в положение равновесия, не зависит от величины началь-

30]
Собственные одномерные колебания
263
ного отклонения go- Действительно, подставляя в C0.17) t = 0,
получим
?0 = a cos а, |0 = — ца cos а — соа sin а,
•откуда
„2 _ ?2 • (Jo + И^оJ +„ „ _ to + И?о
:Полагая здесь |0 = 0, найдем
Е = :
cos
со|о
а),
где tga=—ц/со. Следовательно, интервал времени, за который
¦система переходит в положение равновесия |еч=0, равен
At = -?-(\ + — arctg-l
Этот интервал не зависит от величины отклонения |0.
В отсутствие затухания энергия системы пропорциональна
.произведению квадратов амплитуды и частоты колебания. В этом
нетрудно убедиться, если учесть, что при ц=0 решение C0.17)
•описывает незатухающее гармоническое колебание
| = a cos (coo* -f «).
где а>2=-^-. Подставляя эту функцию в выражения для Т и U
<см. C0.5)), получим
C0.20)
2 •
Пример ЗОЛ. Движение
точки по эллипсу в среде с
«линейным» сопротивлением
¦вблизи положения устойчивого
равновесия.
Точка массы пг движется
ло гладкому эллипсу в среде с
сопротивлением. Полуоси эл-
липса равны соответственно а
и Ъ, причем первая полуось на-
правлена по вертикали
(рис. 30.2). Найти собствен-
ную частоту и коэффициент за-
тухания линейных колебаний
точки.

264 Линейные колебания [Гл. VI
Согласно условию точка подчинена двум стационарным свя-
зям
Выберем в качестве независимой переменной параметр г|з, с кото-
рым декартовы координаты точки связаны соотношениями
х = a cos г|>, у = b sin if>;
тогда для кинетической и потенциальной энергий точки получим
выражения
Т = — (сР sin2 г|з -Ь b2 cos2
?/ = — mga cos \|>,
где g — напряженность поля тяжести. Предполагая, что сопро-
тивление среды пропорционально первой степени скорости точки,
выразим диссипативную функцию через \|> и г|5:
D = — (a2 sin21|> + б2 cos2 \|з) -ф2.
Учитывая, что, согласно C0.3) и C0.4), положения равнове-
сия определяются уравнением
= mga sin г|5 = 0,
находим две точки равновесия: i|)eq = 0 и i|3eq=n. В первом положе-
нии потенциальная энергия минимальна, так как ( j >0,
а во втором положении она обладает максимумом, так как
(^—— 1 _ <С.О. Следовательно, первое положение равновесия
устойчиво, а второе неустойчиво.
Разлагая в положении устойчивого равновесия кинетическую'
и потенциальную энергии, а также диссипативную функцию в ряд.
по степеням \|> и г|з с точностью до величины второго порядка ма-
лости включительно, получим
Используя эти функции, найдем линеаризованное уравнение Лаг-
ранжа
= 0,

§ 30]
Собственные одномерные колебания
265
представляющее собой уравнение затухающих гармонических ко-
лебаний (или апериодического движения). Собственная частота
и коэффициент затухания колебаний точки соответственно равны
' ~ [ & \ 2т У J ' 2т '
СО =
В случае апериодического движения
равны
2т ~ К 2т )
коэффициенты затухания
= — ±
2
Пример 30.2. Колебания точки по наклонному эллипсу.
Точка массы m движется по
гладкому эллипсу с полуосями, рав-
ными а и Ь. Плоскость эллипса вер-
тикальна, а полуось а отклонена
от вертикали на угол фо. Найти соб-
ственную частоту линейных колеба-
ний точки (сопротивлением среды
пренебречь).
Выберем систему координат так,
как это показано на рис. 30.3. Тог-
да уравнения связей совпядут с
•аналогичными уравнениями преды-
дущего примера, а за независимую
переменную можно будет взять па-
раметр i|). В таком случае кинетиче-
ская и потенциальная энеогии точ-
ки будут соответственно равны
Рис. 30.3
= —(а2 sin2
+ b2 cos2 т|з) г|>2,
U = — mgr = — mg {a cos ф0 cos ij) + b sin ф0 sin я|)),
где g — напряженность поля тяжести. Для исследования U на
экстремум находим ее первую и вторую производные. Приравни-
вая первую производную нулю, получаем уравнение
¦определяющее положения равновесия tpeq- Выбирая положение ус-
тойчивого равновесия и учитывая, что вблизи этого положения
cos т|з = cos ij3eq — sin ij>
>eq-

266
Линейные колебания
[Гл. VI
(здесь & = я|}—ч^ед), с точностью до величин второго порядка мало-
сти получим
Отсюда находим уравнение линейных колебаний
я квадрат собственной частоты
— --8 - (a2 cos2 ф0 ~ Ъг sin2 ф0)
eq
Пример 30.3. Колебания точки, находящейся на горизонталь-
ном, стержне, под действием пружины.
Точка массы пг, движущаяся по>
гладкому горизонтальному стержню,.
соединена пружиной с неподвижной
точкой О, находящейся на расстоянии
/ от стержня. Найти частоту линейных
колебаний точки (жесткость и длина
пружины в ненапряженном состоянии
соответственно равны к и а, см. B.8);
пружина навита на гладкий стержень,,
шарнирно закрепленный в точке О).
Выберем систему координат так,,
как это показано на рис. 30.4, тогда
Рис. 30.4
Чтобы определить положение устойчивого равновесия, рассмотрев
первую и вторую производные от U:
= Л II/ L — U U,- —
ду
ду
di!
„ di!
Приравнивая нулю , получим три положения равновесия:
Первое положение будет устойчивым, если
V df Лео"» I ^ '

§ 31] Положение устойчивого равновесия 267
т. е. будет устойчивым, если 1>а (пружина в положении равнове-
сия растянута). Два других положения равновесия существуют,
если й>/, причем эти положения устойчивы, поскольку
(
V ду q
Разлагая U в положении устойчивого равновесия «/eq = 0, получим
а в двух других положениях
где g = y'=F /a2 — /2.
Используя эти выражения для U, найдем квадраты частот
линейных колебаний точки в окрестностях указанных выше поло-
жений:
со* =
Как видно, при разных соотношениях а и / возможны различные
положения устойчивого равновесия и соответственно различные
частоты колебаний.
§31. Положение устойчивого равновесия
Теория собственных линейных колебаний системы с s степе-
нями свободы во многом аналогична теории одномерных колеба-
ний. В этой теории предполагается, что связи, наложенные на сис-
тему, идеальны, голономны и стационарны, а заданные силы явно
от времени не зависят; кроме того, предполагается, что система
обладает по крайней мере одним положением устойчивого равно-
весия.
Существо этой теории сводится к линеаризации уравнений Ла-
гранжа в окрестности положения устойчивого равновесия. Поэто-
му исследование собственных колебаний нужно начинать с отыс-
кания таких положений. Прежде всего напомним, что необходи-
мым и достаточным условием равновесия механической системы с
голономными идеальными связями является обращение в нуль
всех обобщенных сил в некотором положении — положении рав-

268 Линейные колебания [Гл. VI
новесия (<7j)eeq *-(,. W ,-,=...=?>o = 0 (/ = 1. 2, ... , s). C1.1).
Таким образом, состояние равновесия характеризуется 2s вели-
чинами: qj=(qj)eq и <7j = 0 (/=1, 2,..., s). Это состояние может
быть представлено в виде точки 25-мерного пространства обоб-
щенных координат и скоростей.
Определим положение устойчивого равновесия.
Пусть для сколь угодно малых наперед заданных положительных:
величин eq и е- можно найти такие положительные величины
6q м б • , что для любого момента времени t^t0 отклонения
Я—(Я)ец от положения равновесия и скорости q будут удовлетво-
рять неравенствам
I Я, - (Ч,)щ I < V IЯ11 < S <'= 1> 2 s>' C1 -2>
если только отклонения и скорости в начальный момент времени.
удовлетворяют неравенствам
, qi01 < 8?/ (/ = 1, 2, ... , s) C1.3).
(величины 8? и б• , конечно, зависят от наперед заданных вели-
чин е? и е-)*. Тогда положение равновесия (q)eq называется
устойчивым. (Для краткости окрестность состояния равновесия в.
2s-MepHOM пространстве, определяемую условием C1.2), назовем
е-окрестностью «точки» qeq, а окрестность, определяемую C1.3),
^-окрестностью этой «точки».)
Достаточный признак устойчивости положе-
ния равновесия механической системы относи-
тельно инерциальной системы отсчета устанавли-
вается следующей теоремой. Пусть идеальные голономные связи,
наложенные на систему, стационарны, заданные силы явно от
времени не зависят, а потенциальная энергия системы в некотором
положении обладает изолированным минимумом; тогда это поло-
жение будет положением устойчивого равновесия. Минимум по-
тенциальной энергии U называется изолированным, если в неко-
торой окрестности положения qeq,B котором энергия минимальна,.
*
Здесь символом е? обозначена совокупность величин е?1, е?2 e?s -
символом е- — совокупность е- , е- . ... , е- и т. д. В дальнейшем везде сово-
купность s величин будем обозначать соответствующим символом без индекса /.

§ 31] Положение устойчивого равновесия 269
нет других экстремальных «точек» функции U. Иначе говоря, ми-
нимум будет изолированным, если при
|?,-(?/).,1<Л/ (/=1,2 s)
(положительные величины Д определяют окрестность минимума),
потенциальная энергия удовлетворяет условию
Ufa, ... , <7s) > U (Ыес, (<7s)eq),
а равенство имеет место только в том случае, когда q,= (<7j)eq
(/ = 1, 2.....S).
Сначала докажем сформулированную теорему, предполагая,
что диссипативные силы отсутствуют, т. е. предполагая, что пол-
ная энергия системы сохраняется (Е = Е0). Положение <7eq, в ко-
тором потенциальная энергия системы минимальна, является по-
ложением равновесия. В самом деле, обобщенные силы, прило-
женные к системе, покоящейся в этом положении, равны нулю
(см. B7.22) и C1.1)):
-О (/= 1,2, ... ,s).
Так как потенциальная энергия определяется с точностью до
постоянной, то, полагая ?/(<7ieq, .-•, <7seq)=0, из условия теоремы
получим
Ufa <7,)>0, C1.4)
если |<7j—qjeq\<Aj (/=1, 2, ..., s) (здесь равенство имеет место
только в том случае, если все <7j = <7jeq). Из условия стационарно-
сти связей вытекает, что кинетическая энергия является положи-
тельно определенной формой обобщенных скоростей (см. B7.1)
и B7.2)), т.е.
Т = Т&>0, C1.5)
причем Т равняется нулю только в том случае, если все <?, = 0. Из
C1.4) и C1.5) следует, что в Д-окрестности
? = T-bf/>0, C1.6)
а равенство имеет место только в том случае, когда все отклоне-
ния от положения равновесия и скорости равны нулю, т. е.
Qi = (f}eq и qj = O (y'=l, 2, ..., s). Итак, из условия теоремы (в от-
сутствие диссипативных сил) вытекает, что полная энергия системы
при ее перемещениях сохраняется, а как функция обобщенных ко-
ординат и скоростей имеет изолированный минимум в 25-мерной
точке <7=<7eq, <7 = 0.

270 Линейные колебания [Гл. VI
Зададим некоторую е-окрестность состояния равновесия, т. е.
зададим сколь угодно малые величины е? и е-:
A,>ef,>0, 8->0 (/=1,2, ... ,s). C1.7)
Точки, лежащие на границе этой окрестности, определяются таки-
ми значениями отклонений и скоростей, когда по крайней мере
одно отклонение q$—(<7j)eq равняется е?. или хотя бы одна
скорость я, равна е- , а остальные отклонения и скорости удов-
летворяют условиям
\qi\<4i Aф1).
Полную энергию как функцию «точки», лежащей на указанной гра-
нице, обозначим символом ?е'. В силу непрерывности эта функция
имеет как максимальное значение max Ег, так и минимальное значе-
ние min?e|40, стр. 246 — 247].
Теперь выберем такую б-окрестность состояния равновесия,
чтобы выполнялось неравенство
max?a<! min?e, C1.8)
где Ей — значения полной энергии на границе б-окрестности. Та-
кой выбор возможен, так как непрерывная функция Е обращается
в нуль только при 9j=(<7j)eg, 9j=0 (/=1, 2, ..., s), а другие
экстремальные «точки» в рассматриваемой Д-окрестности отсут-
ствуют. Наконец, подчиним начальные условия неравенствам
C1.3), где совокупность величин б^ и 6^ удовлетворяет требованию
C1.8). Тогда ?0<тах?б (такой выбор начальных условий воз-
можен в силу тех же причин). Таким образом, для заданной сколь
угодно малой е-окрестности положения qeq всегда может быть
найдена такая б-окрестность и такие начальные условия, чтобы
? = ?e<max?e<min?e. (' 1.9)
Следовательно, в любой момент времени Е<^т'тЕг. Это озна-
чает, что ни одна из обобщенных координат и скоростей системы
с течением времени не достигает границ е-окрестности, так как на
границе Е = Ег > min Ег, что и доказывает теорему в отсутст-
вие диссипативных сил.
Для иллюстрации рассмотрим доказательство теоремы на ча-
стном примере циклоидального маятника (см. пример 26.1). Энер-
гия такого маятника равна
Е = JL (S* 4- (o«s2) = Ео,

§ 31]
Положение устойчивого равновесия
271
где a>2=g/4R, as — длина пути точки, отсчитываемая от положе-
ния равновесия 5 = 0. Зададимся е-окрестностью состояния равно-
весия, т. е. возьмем сколь угодно малые величины е, удовлетво-
ряющие неравенствам 4#>es>0, es- >0 (для определенности
будем считать, что е^ < и2 e2s). Поскольку движение в данном слу-
чае одномерное, состояние маят-
ника можно изобразить на плос-
кости, откладывая по одной оси
координату s, а по другой —
обобщенную скорость s. Тогда
границей е-окрестности будет
граница прямоугольника (рис.
31.1). В точках / этой границы
функция Et достигает своего
максимального значения
т.
/ \
Рис. 31.1
В точках 2 Ее принимает значение (m/2)co2ef, а в точках 5 Ее имеет
минимальное значение
8 -Г 8s# "
Аналогично максимальное значение энергии на границе б-окрест-
ности равно
Подберем 6S и 6S- так, чтобы выполнялось неравенство C1.8):
Очевидно, что этот подбор б-окрестности можно осуществить при
любом сколь угодно малом е^ _ При этом «траектория» точки
(эллипс) в плоскости (s, 5) будет лежать внутри эллипса, соот-
ветствующего max Et, если в начальный момент времени точка
находится внутри б-окрестности.
Доказательство достаточного признака устойчивости положе-
ния равновесия было проведено без учета диссипативных сил.

272
Линейные колебания
[Гл. VI
Если эти силы присутствуют, то полная энергия системы убывает.
Следовательно, повторяя доказательство, вместо C1.9) получим
?<?¦„< max ?a < min Ег,
C1.10)
откуда и вытекает справедливость теоремы.
Можно также сформулировать достаточный признак устойчи-
вости относительно неинерциальной системы отсчета. В этом слу-
чае к условию теоремы нужно добавить требования постоянства
ч/о- — ускорения начала неинерциальной системы и w — ее
угловой скорости. Такое заключение вытекает из закона изменения
энергии относительно неинерциальной
системы отсчета, который в рассматри-
ваемом случае по форме совпадает с
уравнением B2.24), полученным для сво-
бодных систем (совпадение имеет место,
поскольку мощность реакций идеальных
стационарных связей равна нулю).
Заметим, что наряду с признаком
устойчивости положения равновесия
большое значение имеют признаки не-
устойчивости; они в ряде важных случа-
ев устанавливаются теоремами Ляпунова
и Четаева [30, 23].
Пример 31. 1. Положение устойчиво-
го равновесия материальной точки, под-
вешенной на пружине.
Точка массы m подвешена на пружине жесткости и и дли-
ны а в ненапряженном состоянии. Определим положение устой-
чивого равновесия точки (напряженность поля тяготения рав-
на g).
Выберем систему координат так, как это показано на рис. 31.2,
а в качестве независимых координат возьмем полярные коорди-
наты р и ф. Тогда потенциальная энергия, равная сумме энергии
точки в поле тяготения и энергии упругой деформации пружины,
имеет вид
U = — mg p cos ф + — (р — аJ.
Для отыскания положения устойчивого равновесия найдем
первые и вторые производные от U по р и ф:
Рис. 31.2
ди
ар2
= — /ng cos ф -f и (р — a),
=mgp sin ф,
дрдф
= mg sin
= mgp cos i

§ 31] Положение устойчивого равновесия 273
Приравнивая первые производные нулю, определим положе-
ния равновесия. Одно из них, а именно положение
Peq = О. -г ~-, Фес, = О,
Л
является устойчивым. Действительно, в этом положении вторые
производные равны
V <5ф2 /eq
eq \ <5р<5ф] /eq V <5ф2 /eq
и удовлетворяют неравенствам
>0 (J4J_\ {JHL\ ( дЮ V >о
что свидетельствует о наличии изолированного минимума потен-
циальной энергии [40, гл. 14, § 6, п. 8]. Другое положение равнове-
сия
peq = и *Ц феЧ = Я,
УС
как нетрудно убедиться, является неустойчивым.
Пример 31.2. Колебания точки на вращающемся стержне.
Точка массы m движется по гладкому тонкому стержню, вра-
щающемуся в горизонтальной плоскости с постоянной угловой
скоростью со вокруг оси, проходящей через неподвижную точку
стержня О. Ось и материальная точка соединены между собой
пружиной жесткости к и длины а в ненапряженном состоянии
(см. B.8)). Определить собственную частоту колебаний точки око-
ло положения устойчивого равновесия.
Напишем обобщенный потенциал в неинерциальной системе
отсчета Ох'у' (см. рис. 2.3, в и формулу B9.4)). В рассматривае-
мом случае векторы [юг'] и v' перпендикулярны, следовательно,
обобщенный потенциал сводится к потенциальной энергии в поле
упругой силы и центробежной силы инерции:
U' = — (*' — аJ — Ш2 хл
2 К '2
Отсюда, приравнивая первую производную от V по х' нулю, по-
лучим положение равновесия
' ка
V. — та2
Это положение существует и будет устойчивым, если угловая ско-
рость удовлетворяет условию ю2<и/т. Выражая U' через от-

274
Линейные колебания
[Гл. VI
клонение \ = х'—xeq и отбрасывая несущественную постояннуюг
получим
U' = — (к— пт*)\2.
Используя это выражение и выражение кинетической энергии от-
носительно Ох'у'
найдем уравнение Лагранжа (см. B9.5))
т\+{% — /mo2)g = O.
При со2<х/т решение этого уравнения описывает гармоническое
колебание точки с частотой, равной
Пример 31.3. Колебания точки на вращающемся эллипсе.
Точка массы m движется по гладкому эллипсу с полуосями а
и Ь. Эллипс вращается с по-
стоянной угловой скоростью
ш вокруг вертикальной оси,,
совпадающей с одной из его-
полуосей (рис. 31.3). Найти
частоту линейных колебаний
точки.
Выберем инерциальную-
систему Oxyz и неинерци-
альную систему Ox'y'z' так,.
q как это показано на рис.
31.3. В качестве независи-
мой переменной используем
безразмерный параметр i|v
определяемый функциями
х' = a sin я|з, г = b cos г|).
Тогда кинетическая энергия относительно системы S' равна
л
Т' = — (a2 cos2 г|) + Ьг sin2
г|з2,
а обобщенный потенциал сводится к потенциальной энергии точки
в поле тяжести и в поле центробежной силы инерции:
V = ¦— tngb cos я|з — со2 a2 sin2 г|з.

§ 32] Собственные и главные колебания системы 275
Приравнивая нулю первую производную от V по ф, найдем
„положения равновесия
t|>eq = 0, я и cos ij)eq = -^- (g& < оJа2).
Рассматривая в этих точках значения второй производной от U'
по t|:, получим, что положение ij)eq=O устойчиво, если gb>u>2a2
(в противном случае оно неустойчиво); положения, определяемые
Rb
равенством cosi|>eq = —у-^-, устойчивы, если gb<a>2a2, если же
gb>at2a2, то этих положений равновесия не существует; что ка-
сается положения $щ—л, то оно в любом случае неустойчиво.
Предполагая, что gb>(n2a2, разложим Т' и U' в положении
устойчивого равновесия г(зед = О. В результате с точностью до чле-
нов второго порядка малости включительно получим
Т' = — а^\ V = — {gb — шг а2) г|>2.
Отсюда, используя B9.5) и C0.5) — C0.11), найдем частоту соо
колебаний около положения t|)eq=O:
Если же gb2a2, то Г' и t/' следует разлагать в точках, оп-
ределяемых равенством cosij)eq=gfr/tt>2a2. Тогда
Т' = -j- (a2 cos* !|)еч + b* sin2 ^eq) p,
где 1=^—^eq- Частота колебаний около рассматриваемого поло-
жения равновесия будет равна
а Г 1 — cos» ifeq I1'.
Т 1гт
L 1+ ^—cos^eq J
(здесь cosij)eq определен выше).
§ 32. Собственные и главные колебания системы
под действием потенциальных сил
Рассмотрим несвободную систему с идеальными голономны-
ми стационарньши связями и s степенями свободы, предполагая,
что заданные силы, действующие на точки системы, потенциаль-

276 Линейные колебания [Гл. VI
ны и стационарны, а у системы есть хотя бы одно положение ус-
тойчивого равновесия. Покажем, что в достаточно малой окрест-
ности такого положения каждая независимая координата систе-
мы как функция времени может быть представлена в виде суммы
гармонических функций, изменяющихся во времени с частотами,
которые определяются свойствами системы, связей и заданных
сил.
В силу стационарности связей
i,k=\
где ajk = akj (см. B7.1) — B7.3)), а в силу стационарности задан-
ных сил потенциальная энергия системы будет функцией лишь
независимых координат.
Разложим кинетическую энергию в положении устойчивого
равновесия в ряд по степеням координат ?j = <7j—(<7j)eq и степеням
обобщенных скоростей lj = qj (/=1, 2, ..., s). Тогда с точностью
до членов второго порядка малости включительно из C2.1) полу-
чим
Т =
Т S {й
a,-fc)eq = Ujk (<7leq. • • • . <7seq)-
Предполагая, что в положении устойчивого равновесия потен-
циальная энергия U обладает изолированным минимумом и раз-
лагая ее в том же положении по степеням отклонений |, найдем
ЫеЧ?&, C2.3)
i,k=\
дЮ ,
где cjk = — = Си, (здесь опущена несущественная постоян-
dc,j d^ii
ная). Разложение потенциальной энергии может начаться с чле-
нов третьего или более высокого порядка малости, что приведет к
нелинейным уравнениям. В связи с этим допустим, что не все ко-
эффициенты Cjk в разложении C2.3) равны нулю.
Подставляя C2.2) и C2.3) в B7.23), придем к уравнениям
? К* I* "г cjk lk) = 0 (у = 1, 2, ... , s) C2.4)
(здесь знак равновесия при коэффициентах опущен для сокраще-

§ 32] Собственные н главные колебания системы 277"
ния записи, однако всегда следует помнить, что коэффициенты в
C2.4) берутся в положении равновесия, т. е. являются постоян-
ными величинами). Итак, закон движения системы с s степенями
свободы около положения устойчивого равновесия определяется
линейными однородными уравнениями с постоянными действи-
тельными и симметричными коэффициентами.
Решение этих уравнений ищем в виде
\k = Ck** (A=l, 2, ... ,s). C2.5)
Подставляя C2.5) в C2.4), получим уравнения для «амплитуд»
Ch:
? {aik К + cjk) Ck = О (/=1,2 s). C2.6)
Je=l
Эта система однородных уравнений имеет нетривиальное реше-
ние, если ее детерминант равняется нулю:
det(fl/JkX« + c/4) = 0 C2.7)
(для краткости детерминант системы C2.6) будем обозначать
символом Д(^)—см. C0.9)).
Характеристическое уравнение C2.7) представляет собой ал-
гебраическое уравнение 2 s-той степени относительно X и, следо-
вательно, имеет 2 s корней Ха (эти корни называются собствен-
ными значениями характеристического уравнения) *. Система
C2.6) после подстановки в нее данного корня ^а определяет
соотношение между «амплитудами» С:
a;*A4 + c/Jk)Cfc=0 (/=1 s). C2.8)
Полученные отсюда амплитуды будем обозначать С\ и называть «ам-
плитудами, принадлежащими собственному значению Яа».
Общее решение системы дифференциальных уравнений C2.4)
можно записать в виде действительной (или мнимой) части суммы
частных решений, т. е. в виде
f (A=l, ... ,s), C2.9)
a=l
где амплитуды С? (а точнее, их отношения) определяются системой
C2.8), а корни Ха — уравнением C2.7).
* Далее предполагается, что характеристическое уравнение не имеет крат-
ных корней.

78 Линейные колебания [Гл. VI
Из C2.9) видно, что существенным шагом в решении уравне-
ний C2.4) является определение собственных значений л. Поэтому
большое значение имеют общие заключения о корнях характери-
стического уравнения. Например, можно утверждать, что в рас-
сматриваемом случае консервативных систем действительные
части всех К должны равняться нулю, так как иначе q и q имели
бы экспоненциальные возрастающие и убывающие со временем
.множители, которые при произвольных условиях привели бы к на-
рушению закона сохранения энергии *. Таким образом, если на си-
стему действуют только потенциальные стационарные силы, то все
собственные значения Я будут чисто мнимыми:
%+ = + поа, Х~ = — цоа (а = 1, 2, ... , s); C2.10)
здесь соа — действительные величины, называемые собствен-
ными частотами системы, а собственные значения "к пе-
ренумерованы не от 1 до 2 s, а от 1 до' s, поскольку каждому но-
меру соответствует одна пара комплексно сопряженных значений
лгорня. Тогда C2.9) можно записать в виде
s
h = ^ У. {(С%) + е+ш«' ~ (С%)- е~ш«1}. C2 Л1)
Значения амплитуд С™ соответствующих А,о определяют-
ся с помощью однородной системы C2.8). Поскольку интересую-
щее нас решение нетривиально, среди амплитуд С& должна су-
ществовать хотя бы одна амплитуда, отличная от нуля. Пусть от
нуля отлична амплитуда Cs (обобщенные координаты всегда
можно перенумеровать так, чтобы от нуля отличалась амплитуда,
соответствующая координате |s). Тогда перенося в правую часть
¦системы C2.8) слагаемые (а/5Я,а + с/5) С", согласно правилу ре-
шения линейных уравнений получим**
(% = -?-(% F=1,2, ... ,s-l), C2.12)
где Afe ¦— алгебраическое дополнение к элементу fe-того столбца лю-
бой строки характеристического детерминанта, взятого при значении
К = \а. Так как амплитуда С™ не определена, то вводя обозначение
•Со. = CflА", все амплитуды можно представить в виде
. С? = СаД? (й=1, 2 s), C2.13)
* Строгое доказательство отмеченного свойства корней характеристического
уравнения см. в приложении 32.1.
** Здесь предполагается, что ранг матрицы, составленной из коэффициен-
тов системы C2.8), равен s—1; см. [45, гл. 2, § 12].

§ 32] Собственные н главные колебания системы 2791
где Са — произвольная постоянная. Подставляя C2.13) в C2.11)^
получим
6» = Re ? {С+ А, (+ iioa) е+и»«' 4- С* А, (-
(Л = 1, 2 s). C2.14)
Ввиду потенциальности заданных сил характеристическое'
уравнение C2.7) и все дополнения характеристического детерми-
нанта содержат только степени квадрата X. Поэтому в рассматри-
ваемом случае дополнения будут действительными величинами,,
которые удовлетворяют соотношениям (см. C2.10))
ЛА(+«о«) = Aft(-ma) lk== \'2' ¦¦¦•S). C2.15>
\а= 1, 2, ... , s/
Используя эти соотношения и учитывая, что
Re {С+ е+ш"г + С?" e~iWa'} = о„ cos («a^ -f P«) C2.16>
(здесь аа и ра — действительные произвольные постоянные), найдем
общее решение системы дифференциальных уравнений C2.4) в виде
? * (»««») б* (А = 1, 2, .... s), C2.17)
ГДе 0а = па COS (й>„ < -г Ра).
Итак, собственные колебания системы, описываемые координа-
тами Is (k—l s), представляют собой наложение гармониче-
ских колебаний с собственными частотами системы. Функции &
являются строго периодическими функциями времени, а | в общем
случае не являются таковыми (например, при несоизмеримости
собственных частот координата Ik никогда не примет начального
значения |йо). Подчеркнем- также, что нельзя отождествлять
какую-либо собственную частоту ша с частотой колебаний какой-
либо определенной точки системы. Такое представление верно'
лишь в предельном случае невзаимодействующих точек системы,,
если каждая из них обладает одной степенью свободы. Вообще
говоря, собственные частоты характеризуют движение системы в
целом; всегда можно задать начальные условия так, чтобы все
координаты гармонически изменялись со временем с одной из соб-
ственных частот системы. Действительно, в силу произвольности
амплитуд а начальные условия можно выбрать так, чтобы все

280
Линейные колебания
[Гл. VI
амплитуды, кроме одной, равнялись нулю. Например, пусть
я<х' =5^0» тогда из C2.17) получим частное решение
= Ak
- cos (юа. t +
(k=l s). C2.18)
В этом случае все координаты гармонически изменяются с одной
собственной частотой юа-. в фазе или противофазе в зависимости
от знака Л&(ша'). Во многих простых случаях такое выделение
гармонических колебаний из собственных колебаний системы по-
могает сразу определить соответствующую частоту.
Из общего решения C2.17) следует, что в качестве независи-
мых координат можно взять величины 0а (а=1,..., s). Действи-
тельно, это решение определяет линейное преобразование от коор-
динат 8 к координатам ?. Координаты 8 называются главными
(или нормальными) координатами. Соответственно гар-
монические колебания с собственными частотами системы называ-
ются главными (или нормальными) колебаниями.
Очевидно, что координаты 0 удовлетворяют уравнениям
ба-Ь «о бо = 0 (a=l,...,s). C2.19)
Эта система представляет собой уравнения Лагранжа в главных
координатах *. Каждое из этих уравнений является уравнением
относительно лишь одной главной координаты. Поэтому системе
C2.19) соответствует функция Лагранжа, равная сумме функций
J?a, каждая из которых зависит только от соответствующей глав-
ной координаты 0« и ее производной 0а, т. е. лагранжиан системы
в главных координатах должен иметь вид
— \
C2.20)
a=l
где
и — У a ¦
-'а,
1 а <г~
¦Эа-
Введение главных координат равносильно одновременному
приведению двух квадратичных форм Т и U к каноническому виду.
Действительно, Т и U в случае произвольных независимых коор-
динат задаются с помощью двух симметричных матоин
a Ik 1
"и
а21
ая1
2 •
а22 •
• • "Is
II С/* 11 =
¦•si
* Строгое преобразование от уравнений движения в произвольных незави-
симых координатах % к уравнениям движения в главных координатах 0 см. в
приложении 32.2.

§ 32]
Собственные н главные колебания системы
2S1
Если одна из двух квадратичных форм определенно положительна,
то некоторым линейным преобразованием обе формы всегда можно
привести к каноническому виду [43, гл. VI, §3, п. 95, теорема 2];.
при этом матрицы преобразуются к диагональным матрицам
аа\ =
«1
0
о"
0
«2
0
... 0
•¦•"а.
О
0
О 0 ... с.
Соответственно для систем с идеальными голономными связями и,
консервативными потенциальными силами всегда можно ввести
главные координаты.
В заключение остановимся на случаях кратных и нулевых кор-
ней характеристического уравнения. Если некоторый корень этого-
уравнения является кратным, то в качестве общего решения сле-
дует опять-таки взять решение вида C2.17). Однако в этом случае
коэффициенты А", соответствующие кратному корню, не явля-
ются алгебраическими дополнениями характеристического детерми-
нанта и должны быть определены из уравнений C2.8). Нужно
также иметь в виду, что кратному корню соответствуют главные
колебания, одинаковые по частоте, но различные в общем случае
по амплитуде и фазе (см. пример 32.4).
Если какая-нибудь собственная частота юа = 0, то, как видно из-
C2.19),
6с, =
C2.21):
«Нулевая частота» возникает, например, в том случае, когда по-
тенциальная энергия системы достигает минимума не в одной
«точке», а в некоторой области, т. е. в том случае, когда потенци-
альная энергия не обладает изолированным минимумом (см. при-
меры 32.5 и 32.6).
Пример 32.1. Плоские колебания материальной точки, подве-
шенной на пружине.
Положение устойчивого равновесия точки, подвешенной на
пружине, а именно положение
mg
Peq
Феа =
было определено в примере 31.1. Там же были найдены значения
вторых производных потенциальной энергии в рассматриваемом
положении. Используя эти результаты, найдем общее решение,,
описывающее линейные колебания точки в вертикальной плос-
кости.

282 Линейные колебания [Гл. VI
Разлагая кинетическую и потенциальную энергии точки в по-
ложении устойчивого равновесия, получим
Т = -f- (I2 -f PeV), U= -j№-mgM*), .
где 1=р—peg. Отсюда видно, что координаты | и ср являются глав-
ными координатами (см. C2.20)). Используя выражения Т и V,
получим уравнения колебаний (см. C2.19))
и значения квадратов двух собственных частот
Ю?=—, Сй2 = —^-.
/л peq
Общим решением уравнений будут функции
I = ах cos (со^ + рх), ф = а2 cos (oo8f i- Ps).
Таким образом, колебание точки слагается из гармонического ко-
лебания вдоль оси пружины с частотой, равной (xlmI'*, и гармо-
нического колебания математического маятника длины peq с час-
тотой, раВНОЙ (g/Peq)'/!-
Пример 32.2. Колебания системы двух точек на горизонталь-
ном стержне.
6)
в)
Рис. 32.1
Две точки одинаковой массы m находятся на неподвижном
гладком и горизонтальном стержне длины За. Эти точки соеди-
нены друг с другом и с концами стержня тремя пружинами, под-
чиненными закону Гука (жесткость каждой из пружин и длина в
ненапряженном состоянии соответственно равны и и а). Найти
закон движения системы вблизи ее положения устойчивого рав-
новесия.

§ 32] Собственные н главные колебания системы 283".
Направим ось Ох вдоль стержня и совместим начало отсчета,
с одним из концов стержня. Выбирая в качестве независимых
координат декартовы координаты точек Х\ и Х2 (рис. 32.1, а), для
кинетической энергии системы получим выражение
T = — (Xi + x2).
Потенциальная энергия U системы слагается из энергии упругой?
деформации всех пружин, т. е.
где Д/? (i = 1, 2, 3)—удлинения пружин, соответственно равные
А11 — х1 — а, А/а = х2 — хг — а, А/3 = 2а —х2,
В данном случае положение устойчивого равновесия очевидно и-
определяется координатами
Кинетическая и потенциальная энергии как функции отклонений
от этого положения и обобщенных скоростей будут соответствен-
но равны
2 ' '
где Si = *i —a, ga = *a —2а.
Соответственно уравнения движения C2.4) примут вид
!х + 2а*|х - (*% = 0, - <*% + 12 + 2со2|а = О,
где со2 = к/т.
Повторяя общую процедуру решения уравнений, запишем
уравнения для амплитуд (см. C2.6))
(Я,2 + 2(о2) Сх — со2Са = 0, — ©Ч?! + (А,2 + 2со2) С2 = 0
и характеристическое уравнение (см. C2.7))
А2 + 2со2 —и2 = 0
— со2 ;А,2 + 2со2
Последнее уравнение распадается на два квадратных уравнения,,
решение которых приводит к четырем собственным значениям X:

284 Линейные колебания [Гл. VI
где со? = —, ©1 = 3 —.
т т
Подставляя Я.х в первое из уравнений для амплитуд, найдем
(Л? -;- 2ю2) С!1' - ш2 С?» = 0, т. е. с?» = С}1».
.Аналогично получим, что
Используя эти соотношения, находим общее решение (см. C2.9))
?i = &i + в2» ?2 = ^1 — 6«|
6Г == аг cos (ш^ -f- р\), 82 = а2 cos {щг 4- р2).
Итак, колебания системы двух точек в общем случае харак-
теризуются двумя собственными частотами аи, «2 и слагаются из
двух главных колебаний. Главное колебание 0i осуществляется
(см. рис. 32.1, б), если в начальный момент времени средняя пру-
.жина не растянута, обе точки одинаково отклонены в одну сторону
и имеют одинаковые начальные скорости (по величине и направ-
лению). В этом случае средняя пружина в любой момент времени
не напряжена и, следовательно, не влияет на колебания точек;
•соответственно частота этого колебания равна (и/ягI/». Главное
колебание 02 осуществляется, если в начальный момент боковые
пружины одинаково сжаты (или растянуты), а скорости точек оди-
наковы по величине и противоположно направлены (рис. 32.1, в).
•Соответственно частота второго колебания больше частоты первого
гколебания и равна Cx/mI/a.
Пример 32.3. Маятник с кратными собственными частотами.
Две материальные точки /
и 2 с одинаковыми массами m
соединены невесомым стерж-
' нем длины 21. Центр этого ма-
>.// ятника движется по горизон-
у |\ тальному гладкому и непо-
' движному стержню длины 2а
(рис. 32.2). Каждая из точек /
и 2 соединена с двумя одина-
ковыми пружинами жесткости
х и длины а в ненапряженном
Рис. 32.2 состоянии. Неподвижные кон-
цы пружин закреплены на
¦расстоянии I от горизонтального стержня. Найти общее решение
для линейных колебаний маятника в вертикальной плоскости
<(плоскости рисунка).

<j 32] Собственные н главные колебания системы 285
Выберем систему координат так, как это показано на
рис. 32.2. В качестве независимых координат возьмем координату
у центра маятника и угол ср его наклона относительно вертикали.
Тогда координаты точек 1 и 2 будут соответственно равны
ух = у + I sin ф, у2 = у — I sin ф,
хх = / cos ф, хг = ¦— / cos ф.
Подставляя в общее выражение для потенциальной энергии маят-
ника
.приближенные значения удлинений пружин
A/i.2=±(y + /<p), Л/з,4= ±(У —
получим
Кинетическая энергия маятника в тех же обобщенных переменных
л с той же точностью будет равна
Т = ту* -г /л/2ф2.
Из выражений для Т и U следует, что у и ф являются глав-
ными координатами, удовлетворяющими уравнениям Лагранжа:
у + сА/ = 0, ф + ю2ф = 0,
где ш2 = 2х//л. Корни характеристического уравнения этой систе-
мы кратны, соответственно чему общее решение определяется дву-
мя главными колебаниями с одинаковыми частотами и с различ-
ными, вообще говоря, амплитудами и фазами;
у = ах cos (со!1 + Pi), ф = — а-г cos (mt -f P2).
Эти колебания можно осуществить, задавая «симметричные» и
«антисимметричные» начальные условия (см. предыдущий при-
мер) .
Пример 32.4. Продольные колебания невращающейся двух-
атомной молекулы.
Известно, что внутренняя энергия двухатомной молекулы с
хорошей степенью точности описывается потенциалом как функ-
дией расстояния г между атомами [39, стр. 225]:
?/ = ?> 1 —

286 Линейные колебания [Гл. VI
где D, у. и а — постоянные, характеризующие молекулу (напри-
мер, а является расстоянием между атомами, при котором потен-
циальная энергия минимальна).
Если отклонение т—а достаточно мало, то энергию взаимодей-
ствия атомов можно приближенно записать в виде
(здесь опущена несущественная постоянная). Поэтому двухатом-
ную молекулу можно представлять как систему двух материаль-
ных точек с массами nt\ и гп2, соединенных между собой пружи-
ной жесткости у. и длины а в ненапряженном состоянии. Предпола-
гая, что такая молекула движется только вдоль своей оси, т. е..
вдоль оси пружины, найти закон движения молекулы.
Совмещая декартову ось Ох с осью молекулы, получим выра-
жения для кинетической и потенциальной энергий молекулы:
Отсюда видно, что U обращается в нуль не только в некотором
фиксированном положении x2eq—Х{щ=а, но и в любом другом
положении, соответствующем требованию х2—х\ = а. Следователь-
но, U не имеет, изолированного минимума в положении
*2eq—Xieq=a. Несмотря на это, применим метод решения, изло-
женный в настоящем параграфе (оправданность этого шага будет
видна в дальнейшем).
Введем отклонения от положения равновесия
el = Х\ Xl eq> §2 = Х2 Х2 eq>
где xieq и x2eq связаны соотношением x2eq—Х{Щ = а.
Выражая Т и U через отклонения, получим
т CTi t2 i т.ч t2 //— х
Т = —— 6i -г — fe, U- —
Соответственно уравнения движения, уравнения для амплитуд и
частот будут иметь вид
m1 m1
m2 >n2 !jn2 \ m2
C1+(\*+ -*—)c2 = 0

§ 32] Собственные и главные колебания системы 287
(здесь ц — приведенная масса). Из этих уравнений находим ча-
стоты и отношение амплитуд
Используя эти результаты, получим общее решение
т т
г И-
ф
где 0 = С cos [ I / -2L ^ _|_ р ]; С, |3, Сх и С2 — действительные кон-
станты, а коэффициенты при в выбраны в соответствии с решением
задачи двух тел (см. A2.7)). Выражая Сг и С2 через начальные
значения х10, h20, х10, xi0, найдем общее решение для хх и хг:
Ч = *то + xmt ^- (а + в),
Ч = хто + Хт0 t + -^- (С + 6),
т
з-де
хт = — {/ПуХы + т2х20), хт0 =
m
Используя систему центра масс молекулы, ту же задачу мож-
но решить короче. В этой системе кинетическая и потенциальная
энергии молекулы выражаются формулами
T = -f'x\ U=f(x-a)\
где х = х'ч — х\ (см. A2.7)). Отсюда можно найти уравнение Лаг-
ранжа
где Q=x—а, а затем, используя соотношения задачи двух тел, по-
лучить решение
' __ „' т2 д „' _д. ./ i ml a
Х1 — х\еа «t Х2 =* -^2eq ~Г О,
т ¦ т
Из обоих решений видно, что движение молекулы слагается
из движения молекулы как целого со скоростью хт0 (с чем связа-

288 Линейные колебания [Гл. VI
на нулевая частота, появившаяся в первом решении) и колебаний
атомов с частотой (и/отI/», которые совершаются в системе цент-
ра масс около положения устойчивого равновесия
ttlt
Колебания первого и второго атомов совершаются в противофазе
с отношением амплитуд, равным m2/mi.
Пример 32.5. Продольные колебания линейной трехатомной
симметричной молекулы.
Рассмотрим трехатомную молекулу как систему, состоящую
из трех точек с массами тп,\, tn2 и гп\, расположенных на одной
прямой и соединенных между
собой одинаковыми пружина-
^х " ми (длина в ненапряженном
'*щ=+а состоянии и жесткость каждой
I из пружин соответственно
t б) равны а и х). Найти собствен-
¦*-{ . ные частоты колебаний невра-
щающейся молекулы и закон
^ ^ ^ ее движения.
~*~ г , Решая задачу в ппоиз-
Рис. 32.3 вольной инерциальной системе
отсчета, мы, так же как и в
предыдущем примере, получим нулевую частоту, связанную с по-
ступательным движением молекулы как целого. Однако проще с
самого начала исключить эту частоту и рассматривать колебания
молекулы в системе ее центра масс.
Направим декартову ось Ох по оси молекулы (рис. 32.3,а).
Тогда кинетическая и потенциальная энергии будут соответствен-
но равны
Т = —— (х\ -|- Хз) -f~ ¦ Х2,
и={(х2Х1аГ + (х3хгаП.
Здесь координаты точек связаны соотношением (см. B1.4))
/пл + пг2х2 + тгхй = О,
с помощью которого из выражений для Т и U можно исключить,
например, хч. В результате получим
т2
Т = -^-К + от,) (х\ + *з) + —- хх i,,

§ 32] Собственные и главные колебания системы 289
тг
—1-х1-{ ' 2 *, —а) \.
т2 т2 J )
Имея в виду, что положение устойчивого равновесия в системе 5„
определяется равенствами
-*1 eq ' "» Хч eq ' ^> •*3eq "f
и вводя в качестве переменных отклонения от этого положения
Si = Х1 ~Т а> §2 = X2i S3 = Х3 пг
в независимых координатах Ei и |3 найдем
= "V2- (mi + ma) (Ei + Ез) Л Si Ев.
2ma m2
+ /n2
Используя эти функции, придем к уравнениям движения,
уравнениям для амплитуд и характеристическому уравнению:
• , 2 ? j m1 ,-j. 2 р % q
—^— (li + «02 Si) + la + «oi E» = 0;
(л» ~j~ tO0l)^l ~1~ -¦-— .. ^ЛЛ -|- С0р2^Сд = Uj
^i /1 9 t 2 л л т /1 о т __2 \ /-* /\ф
I — и»
8
где
Ш01 = X
m2 (mj
Характеристическому уравнению удовлетворяют
и. И. Ольховский

29D Линейные колебания [Гл. VI
где
i и 2 m
0)! = — , QJ = И
a m = 2m! -f- щ — масса всей молекулы. Соответственно из уравне-
ний для амплитуд вытекают соотношения
СA,2) /~>A>2) /"'C,4) /~>C,4)
3 == —(-> 1 , 1-, з = v-> 1
Таким образом, общее решение будет иметь вид
где
01 = ai cos (Ш1^ "Т" Pi), 6а = й2 cos (oJ^ -4- Р2).
Возвращаясь к переменным Xi, Xz, Хз и учитывая соотношения
между ними, окончательно найдем
2т, п
Из этого решения видно, что продольные колебания трехатомной
симметричной молекулы сводятся к наложению двух главных коле-
баний. Главное колебание 9i совершается с частотой (я/пг-^1^
и осуществляется, если в начальный момент времени отклонения
и скорости двух крайних атомов одинаковы по величине и направ-
лены в разные стороны, средний атом в этом случае все время
находится в центре масс молекулы (рис. 32.3, б). Второе главное
колебание 62 с частотой Ы асимметрично; для его осу-
V тхтг I
ществления нужно задать одинаковые начальные условия для
крайних атомов; что касается атома 2, то его начальные откло-
нения и скорость должны относиться к отклонениям и скоростям
крайних атомов как —2mi/m2 (рис. 32.3, в).
Пример 32.6. Теплоемкость кристалла.
При сравнительно невысоких температурах атомы кристалла
совершают линейные колебания около узлов кристаллической ре-
шетки, т. е. около положений устойчивого равновесия. Поэтому
энергия атомов кристалла будет равна (см. C2.2) и C2.3))
3N
i,k=i

§ 32] Собственные и главные колебания системы 291
где |lf ?2t ?3 — проекции отклонения первого атома от «своего» узла
и т. д. Выражение A) в главных координатах 6 имеет вид
3N
а=1
где
?а= -jaaQl+ у с«Й. C)
Отсюда ясно, что полную энергию кристалла можно представить
как сумму энергий 3N независимых осцилляторов^
Согласно теореме о вириале сил (см. F.37)) Еа = 2Та- Пола-
гая далее, что энергия Е в среднем равнораспределена по всем
осцилляторам,из B) найдем
E = 6Nfa, D)
где 7V—средняя кинетическая энергия любого а-ого осциллятора.
Далее определим абсолютную температуру Т системы каквеличи-
ну, пропорциональную средней кинетической энергии Та, т. е.
положим Та = — Т (здесь множитель k — постоянная Больц-
мана — имеет размерность энергии, деленной на градус). Тогда
средняя энергия кристалла запишется в виде E = 3kNT, а теплоем-
кость с кристалла, т. е. отношение приращения средней энергии
к приращению температуры, будет равна c=3kN (закон Дюлон-
га — Пти).
Приложение 32.1. Общие соотношения, которым подчинены собственные
значения Я для систем с идеальными голономными стационарными связями
и потенциальными стационарными силами.
Умножая каждое из уравнений системы C2.8) на соответствующую ком-
плексно сопряженную амплитуду (С^)* и складывая все результаты умно-
жения, получим
«У* (Ф* С?) XI + ( ? c,k {(ф> С») = 0. A)
Входящие в это соотношение билинейные формы от амплитуд (С™)* н С® соответ-
ствуют квадратичным формам Г и U. Действительно, выполняя в C2.2) замену
найдем билинейную форму Г ((С")*, Са). Производя аналогичную [замену в C2.3),
получим билинейную форму {/((С*)*, С"). Используя эти обозначения, запишем
соотношение A) в виде*
Т ((С")*, Са) % + U ((С*)*, С") = 0. B)
* Соотношение B) не может служить уравнением для отыскания Яа, по-
скольку билинейные формы Т и U зависят от амплитуд, определение которых
требует знания Яа. Однако соотношение B) может быть полезным для общего
анализа корней характеристического уравнения C2.7).
10*

292 Линейные колебания [Гл. VI
Квадратичные формы Т и U являются положительно определенными фор-
мами с действительными симметричными коэффициентами. Следовательно,
билинейные формы Т ((Са)*, Са) и U ((С2)*, Са) являются действительными
положительными величинами при любом а. Чтобы убедиться в этом, предста-
вим амплитуды С в виде
Ck = «ft + iVk, С* = uj — ivj,
где коэффициенты и и v вещественны. Тогда для билинейной формы Т получим
q=—
~з~ 2-
/.ft i,k
Мнимая часть формы Т(С *, С) равна нулю в силу симметрии коэффициен-
тов а;ь и антисимметрии множителей UjVh — UuVj. Действительная часть той
же формы равна сумме билинейных форм от вещественных амплитуд
и и v, т. е.
Т(С*. С) = Г(и, u)+T(v,v).
Если хотя бы один из коэффициентов и или v отличен от нуля (а нас инте-
ресует именно такой случай нетривиального решения), то Т(С*, С) >0. Ана-
логично найдем, что U(C*, C)>0. Таким образом, из соотношения B) дейст-
вительно вытекает свойство C2.10).
Приложение 32.2. Уравнения Лагранжа в главных координатах.
Чтобы получить уравнения C2.19), найдем, исходя из C2.2) и C2.3),
кинетическую и потенциальную энергии в главных координатах. Например,
подставляя C2.17) и C2.3), получим
Эта форма зависит только от квадратов 8, поскольку коэффициенты при
произведениях ба 6о (а Ф Р) равны нулю:
Действительно, умножая каждое из уравнений C2.8) на амплитуду Су
и складывая все результаты умножения, найдем соотношения, аналогичные
соотношениям B) приложения 32Л:
Г (С13 Са) X2a + U (С15 Са) = 0. C)
Таким же образом получим соотношение для Аи."
Г {Са С13) Xl + U (Са С13) = 0. D)
Ввиду симметрии коэффициентов а^ и Cjh билинейные формы, входящие
в C) и D), также симметричны относительно индексов а и (}, т. е.
Т (С0 Са) = Т (Са Ср), U (Ср Са) = U (С" Ср). E)

§ 33] Колебания под действием потенциальных и др. сил 293
Используя это свойство, из соотношений C) и D) найдем
Т(&<?) (*?-*§) = О (а=*Р).
Отсюда, предполагая отсутствие кратных корней, получим
Т{С?С?) = 0 (а#р) ¦ F)
и, следоватетьно (см. C)),
t/(CaCp)=0 (a#p). G)
Представляя билинейную форму
/.ft
в виде (см. C2.12))
(здесь Са и Ср отличны от нуля) и используя соотношения G), убеждаем-
ся в справедливости B).
Учитывая эти соотношения, найдем потенциальную энергию в главных
координатах
2
где
Аналогично для кинетической энергии получим выражение
S
т LV, iJ
1 - 2 2ш1 а а'
где
/.ft
С помощью (8) и (9) нетрудно убедиться, что уравнения Лагранжа в глав-
ных координатах имеют вид C2.19).
§ 33. Собственные колебания системы под действием
потенциальных, гироскопических и диссипативных сил
Рассмотрим колебания системы при наличии потенциальных и
гироскопических сил, а также диссипативных сил, линейных отно-

294 Линейные колебания [Гл. VI
сительно скоростей точек. В остальном сохраним предположения
о силах и связях, сформулированные в предыдущем параграфе.
Тогда кинетическая энергия Т, обобщенный потенциал U и дисси-
пативная функция D будут иметь вид (см. C2.1), B7.21), B7.27))
/¦ =1
s
?*** (ЗЗЛ)
i,k=\
где все функции cijk, Uit ILM и bih зависят только от координат,
поскольку силы и связи стационарны; кроме того, коэффициенты
a-jh и bjk симметричны относительно перестановок индексов.
Разлагая Т, 11 и D в положении устойчивого равновесия с
точностью до членов второго порядка малости включительно,
можно получить линейные уравнения движения. Однако эти урав-
нения легче получить, проводя разложение обеих частей уравнений
Лагранжа B7.23) с точностью до членов первого порядка.
Запишем исходные уравнения B7.23) с учетом B7.26)
d / дТ \ дТ
dt \ dqj J dqj
_J^l__JD (/==lf2f _ jS)_ C3#2)
(
dt \ dqj
Используя выражение для кинетической энергии (см. C3.1)),
представим левые части системы C3.2) в виде
?т sIf**- <зз-з>
fc=i k,l=i M=i
Затем, учитывая, что производные от обобщенного потенциала
соответственно равны
d / д% \ dUj _ у dUj •
dt \ dq'j ) dt Zj dqk 4k'
dq, ?

§ 33] Колебания под действием потенциальных и др. сил 295
для обобщенно-потенциальной силы получим выражения
с'-1-2 ¦»• C3-4)
dt \ dq; J ?
dUk dUi ,,
где \ik — — — —- коэффициенты, антисимметричные по ин-
dqt dqk
дек сам. Для обобщенных диссипативных сил соответственно найдем
s
ЦМ (У= 1. 2 s). C3.5)
Теперь разложим все члены, входящие в уравнения Лагран-
жа, в положении устойчивого равновесия, т. е. в положении изоли-
рованного минимума обычной потенциальной энергии %@) (см.
достаточный признак устойчивости на стр. 268). Это положение
определяется из уравнений
^@) j е q_qse =0 (/=1,2 s). C3.6)
Разложение доведем до членов первого порядка малости включи-
тельно по степеням отклонений ?,- и обобщенных скоростей is
(/=1, 2, ..., s). В результате из C3.3), C3.4) и C3.5) с учетом
C3.6) получим
d / дТ \ ВТ = Y /а \ ё
dt \ dq/ J dq/ ?*
k=\
s
~ C/ftJeql», C3.7)
k=l
где cik =
Подставляя C3.7) в C3.2) и опуская для простоты записи
знак равновесия eq, найдем интересующие нас уравнения
? {aikik + (bik + у,к) tk + cjklk) = 0 (/ = 1, 2, ... , s). C3.8)
fe=i

296 Линейные колебания [Гл. VI
В этой системе уравнений коэффициенты а^, Ъ^, с^ симмет-
ричны, a Yjh антисимметричны относительно перестановки
индексов.
Общая процедура решения системы C3.8) аналогична методу
решения системы C2.4). Поэтому сразу приведем соответствующее
характеристическое уравнение и уравнения для амплитуд:
Ael(atkV + (blk Ь y/k)b + с1к) = 0, C3.9)
{ajk%i + {bik -f ylk) К + cjk) Ck = 0 (/=1,2 s). C3.10)
Общее решение системы C3.8) имеет вид C2.9), где ).а опреде-
ляются из C3.9), а отношения амплитуд — из C3.10).
Каждое из собственных значений а может быть либо комп-
лексным (и тогда сопряженное ему число также будет корнем
характеристического уравнения), либо вещественным. Таким обра-
зом, каждое из собственных значений к можно записать в одной
из форм
Х?'- = --Ца± "¦>«*, ^а'~=—На'", C3.11)
где соа, ца, Ц+'~~ — действительные величины. Это следует из
известной теоремы о корнях алгебраического уравнения с действи-
тельными коэффициентами [45, стр. 159—161]. Кроме того, можно
утверждать, что все коэффициенты затухания Ца, \Ь», Ра. положи-
тельны. Действительно, согласно закону B8.15), энергия системы
со стационарными силами и связями убывает за счет работы дис-
сипативных сил. Ввиду того, что в решении C2.9) имеются экспо-
ненциальные множители, это возможно только в случае положи-
тельности коэффициентов затухания.
Если диссипация энергии достаточно мала, то все корни к
можно разбить на пары комплексно сопряженных корней, а общее
решение имеет вид
Ik = ? e~»al Re{C+Ak(Я+) eia°-< + С"A,
a=l
(jfe=l, 2, ... ,s) C3.12)
и описывает затухающие колебания системы. Если диссипация
энергии отсутствует (т. е. все коэффициенты 6^ = 0), то корни
будут чисто мнимыми, коэффициенты затухания равны нулю, а
система совершает незатухающие колебания. Наконец, если все
коэффициенты Ь^ достаточно велики, то все корни к вещественны.

§ 33]
Колебания под действием потенциальных и др. сил
297
В этом случае система совершает апериодическое движение, кото-
рое описывается решением
%k = у {e'^Re (С+Ак(к+)) -f «"""'Re (C~Aft (^
(?=1,2 s).
C3.13)
Если среди всех корней характеристического уравнения часть кор-
ней является комплексной, а часть действительной, то соответ-
ствующую форму общего решения нетрудно получить из C2.9).
В общем случае при наличии диссипативных и гироскопиче-
ских сил алгебраические дополнения, определяющие отношение
амплитуд в решении C2.9), не удовлетворяют требованию C2.15),
т. е. имеют место неравенства
Ак(к+)фАк(къ) (k,a=--\,2,...,s). C3.14)
Однако в частных случаях и при наличии диссипативных сил воз-
можно выполнение требований C2.15) и введение «главных» ко-
ординат (в том смысле, что каждое из уравнений C3.8), записан-
ное в таких переменных, будет уравнением относительно какой-
либо одной переменной).
Пример 33.1. Движение маятников, соединенных пружиной, в
среде с сопротивлением.
Точки подвеса двух одинаковых математических маятников
длины / и массы пг находятся на расстоянии а друг от друга и
расположены на одной горизонтали.
Точки соединены между собой пру-
жиной жесткости х и длины а в не-
напряженном состоянии. Вся систе-
ма помещена в среду с сопротивле-
нием, пропорциональным первой
степени скорости тела (коэффици-
ент сопротивления k). Найти закон
движения маятников в вертикаль-
ной плоскости, проходящей через
точки подвеса, вблизи положе-
ния устойчивого равновесия систе-
мы *.
Рис. 33.1
Выберем систему координат так, как это показано на рис. 33.1,
а в качестве независимых координат возьмем q>i и фг — углы
* Метод решения данной задачи применим к решению ряда задач о коле-
баниях немеханических систем; например, задача об индуктивно связанных элек-
трических контурах решается в полной аналогии с данным примером.

298
Линейные колебания
[Гл. VI
отклонения каждого маятника от положения устойчивого равно-
весия: <pieq=<P2eq=0. Тогда удлинение пружины для малых откло-
нений и энергия ее упругой деформации с точностью до величин
второго порядка малости будут соответственно равны
Л Фа —Ф1 I, -уР0|>*—Я»»)*-
С той же точностью для потенциальной энергии обоих маятников
в поле тяжести получим выражение
— mgl (cos фх -j-- cos ф2) =*= — 2mgl --J-
mgl
(ф?+
Следовательно, потенциальная энергия системы будет равна
(здесь опущена несущественная постоянная). Выражения для ки-
нетической энергии и диссипативнои функции будут иметь вид
гт, ml2 , *2 , *2Ч ri *'2 / '2 | .
Т = — (Ф1 + Фг), D = — (ф1 + ф2).
Квадратичные формы Т, D и U могут быть заданы с помощью
матриц
О
1
О
0
О
сц
с21 сы\
где
Cll = C82 = Щ,1
Записывая линейные уравнения движения в форме C3.8)
С12ф2 = О,
+ а22ф2 + й22ф2 + с22ф2 = О,
найдем характеристическое уравнение
сп
с12
L-21
с22
= 0.
Учитывая, что ап = а22, Ь1г = bi2, с1± = с22 и с12 = с21, это уравне-
ние можно записать в виде

§ 33] Колебания под действием потенциальных и Др. сил 299
или в виде двух квадратных уравнений
^,а j — X -1—п ~ 12 = О
с коэффициентами
J_
Ьц __ J*_ Си ± Сц _ I '
аи т аи „ 2к
I m
Таким образом, решение характеристического уравнения приводит
к четырем собственным значениям X:
где
Общее решение уравнений движения запишем в виде C3.12)
Re{С+А, (Я+)e'"m^ + С« А,(?,«) е"'"»'} (ft = 1, 2).
а=1
Затем получим значения алгебраических дополнений
А2 = — с1а
характеристического детерминанта при различных корнях А, харак-
теристического уравнения. Нетрудно убедиться, что
A, (kf) = А, (Я.Г) = + с„,
а дополнение А2, как видно, не зависит от К. В связи с этим- общее
решение может быть записано в виде
Здесь Qx и 02 соответственно равны
{dyer-»* cos (Wjt + fij), если cog > |х2,
С^ + СМесли с
и = |i± о*» —

300
Линейные колебания
[Гл. VI
'¦ cos(co2/ 4- p2), если со2,-] > fi2,
2х
, если cog -f —- < ц
f
Таким образом, функция 8i описывает либо затухающее колеба-
ние с частотой coi и коэффициентом затухания ц, либо апериоди-
ческое движение с коэффициентами затухания ц\ и (.12. Функция 02
соответственно характеризуется частотой шг и затуханием ц или
двумя коэффициентами затухания цз и щ.
Величины 8i и 02 являются главными координатами системы.
Действительно, эти независимые координаты подчинены уравнени-
ям Лагранжа
= О,
со-
-О
~U'
каждое из которых является уравнением относительно одной из
этих координат. Соответственно Т, D и U, выраженные через
главные координаты, будут содержать только квадраты перемен-
ных, т. е. коэффициенты этих форм будут образовывать диаго-
нальные матрицы:
1KII =
2т/2 О
О 2т/2
\\ьа\\-
2kt2
0
0
Со. =
2mgt О
О 2mgl + 4х/2
У//////////////////.
г 00000000061
б)
Главное «колебание» 0i осуществляет-
ся, если начальные отклонения обоих
маятников и их скорости соответствен-
но равны между собой (рис. 33.2, а).
Если же начальные отклонения обоих
маятников и их скорости соответствен-
но равны по величине, но противопо-
ложны по знаку, то реализуется вто-
рое главное «колебание» 02 (рис
33.2, б).
В заключение отметим частные
случаи. Пусть, например, сопротив-
ление достаточно мало, т. е. со^^ц2.
Тогда функции 0i и 02 опи-
сывают затухающие гармонические
колебания. Если же маятники поме-
щены в достаточно вязкую среду

§ 33] Колебания под действием потенциальных и др. сил 301
( со2, п ^>ц2^ха^\ то 9i изменяется апериодически, а 82 со-
\ in /
вершает затухающее колебание. Наконец, в весьма вязкой среде,
когда fi'2> cog- , обе главные координаты описывают аперио-
дические движения.
Пример 33.2. Линейный заряженный осциллятор в магнитном
поле.
Точка массы m с зарядом е движется в постоянном однород-
ном магнитном поле напряженности Ж. На материальную точку
также действует сила притяжения, пропорциональная расстоянию
до центра силы О (коэффициент пропорциональности х). Найти
частоты колебаний осциллятора и закон его движения.
Выбирая систему декартовых координат с.началом в точке О
и осью Oz,направленной вдоль Ж, и проектируя правую и левую
части уравнения движения точки
mr = — кг h — [гЖ1
с
на координатные оси, получим систему дифференциальных урав-
нений
(Иу.Х — (
-ГУ +
2
4- шхг
X
m
йсу -
2
= 0,
'с
= о,
= о,
eSK
me
где
Эти же уравнения можно получить, используя уравнения Лагран-
жа. Действительно, обобщенный потенциал в рассматриваемой
задаче равен (см. B7.11) и B7.21))
?/. = — — Аг 4 — г2,
с 2
где А — вектор-потенциал магнитного поля. Выбор А диктуется
(хотя и неоднозначно) условиями задачи. Например, если поло-
жить
Ах ¦--. А2 = 0, Ау = Жх,
то мы сможем удовлетворить условию (см. B7.12))
Жп2 = rot A.

302 Линейные колебания [Гл. VI
Используя выражение для А, найдем функцию Лагранжа в декар-
товых координатах
<? = -J (* + У2 г #) + -^-ху-±- (х* -г г/2 + г2),
которая приведет к полученным выше линейным уравнениям дви-
жения.
Соответствующие им уравнения для амплитуд и характеристи-
ческое уравнение имеют вид
(Л2 + щ2)С1-соАС2 = 0,
соД^ + (А,« + coy С2 = 0,
А (К) = [(*,« + со2J + сос2^] (А,» + ю?) = 0.
Из последнего уравнения находим собственные значения Я:
h,2 — ± iffli, А.3,4 = ± ««а. ^5,6 = ± г«а,
где
«>i = К + а1У/г + aL>
С03 = Их,
а Ю1,= ларморова частота.
2тс
Последовательно подставляя собственные значения А, в урав-
нения для амплитуд, найдем соотношения между амплитудами:
ci6)=c|e)=-ci6) =
Используя эти соотношения, придем к общему решению в виде
х = Re{CFW + Ci2)e-ia-(} + Re{CfW + СD)е-'^'}.
г/ = Re i {C(V»«' — Ci2)^-to'(} -Rei
z = Re{Cf № + CPe-tv*},

§ 33] Колебания под действием потенциальных и др. сил 303
откуда окончательно находим
х == ах cos ((Ojt + рх) + а2 cos (co^ + р2),
у = в! cos (aj + Рх -f -|-) — aa cos
где все a и {5 — постоянные, определяемые начальными условиями.
Итак, колебание проекции заряженной точки на плоскость,
перпендикулярную Ж, характеризуется частотами аи и а>2 отлич-
ными от ши — собственной частоты, осциллятора в отсутствие
магнитного поля. Интересно отметить, что первое частное решение
описывает движение проекций точки по окружности с угловой ско-
ростью «и по часовой стрелке; второе частное решение описывает
аналогичное движение с угловой скоростью Ш2 против часовой
стрелки. Колебание заряда в направлении Ж происходит с собст-
венной частотой со*. В случае малой напряженности магнитного
поля частоты an и шг сводятся к сумме и разности собственной
частоты осциллятора и ларморовои частоты:
«1,2 ^ (Ox ± @L.
Пример 33.3. Линейные колебания вращающейся двухатомной
молекулы.
Исходя из той же модели молекулы, что и в примере 32.5, и
допуская, что внешние силы отсутствуют, определить частоту ли-
нейных колебаний вращающейся молекулы.
Применяя законы сохранения момента и энергии относитель-
но системы центра масс молекулы, получим два интеграла движе-
ния в полярных координатах в плоскости движения молекулы
(см. G.2) и A2.16))
fxp'cp = Мо, JL (р2 + pV) + JL (р _ af = Ео,
где A = mi/ , р и ф — полярные координаты вектора г = г2 — г^
а Мо и Ео — момент и энергия молекулы относительно Sm-системы.
Исключая из интеграла энергии с помощью интеграла момен-
та угловую скорость ср, найдем
где UeU = — (р — аJ ~\ —. Функция иец (р) имеет минимум
2 2цр2

304
Линейные колебания
[Гл. VI
(рис. 33.), причем если Ео = (?/eff)mm, то в 5т-системе каждый атом
будет двигаться по окружности, а расстояние р между ними будет
неизменным.
Обозначая расстояние между атомами, соответствующее
)in, символом peq и приравнивая нулю первую производную
t/ett(p), получим уравнение, определяющее peq:
1—¦
Peq
P4eq
Если Eq несколько превышает (^eff)min, то молекула будет вра-
щаться вокруг своего центра масс с переменной угловой скоростью
Ф, а атомы будут совершать колебания вдоль оси молекулы. Чтобы
найти частоту этих колебаний, разложим Uen в ее минимуме до
членов второго порядка малости включительно. Тогда с точностью
до несущественной постоянной получим
где Е=р—peg. Таким образом, интеграл энергии примет вид
...=Е0.
Дифференцируя правую и левую части этого интеграла по време-
ни, с точностью до линейных членов найдем

§ 34] Вынужденные колебания 305
Замечая, что величина Mjnplq равна угловой скорости ср в
«равновесии» (когда p = peq), приходим к выводу, что квадрат час-
тоты линейных колебаний вращающейся двухатомной молекулы
равен сумме квадрата частоты колебаний невращающейся моле-
кулы и утроенного квадрата угловой скорости вращения молекулы
в «равновесии», т. е.
где (fflrot)eq = М0/цр1ц, Влияние колебаний молекулы на ее угловую
скорость вращения можно определить, используя интеграл момен-
та. Тогда с точностью до членов первого порядка включительно
найдем, что
ф = «rot = («rot)eq f 1 — 2 —V
Ч Peq J
§ 34. Вынужденные колебания
Рассмотрим механическую систему, подчиненную требованиям,,
сформулированным в начале § 32, предполагая, что на систему
также действуют нестационарные силы, т. е. силы, явно зависящие
от времени. Ниже мы убедимся, что такая система наряду с соб-
ственными колебаниями будет совершать еще и вынужденные
колебания. Чтобы получить в этом случае уравнения движе-
ния, необходимо линеаризовать уравнения Лагранжа около поло-
жения устойчивого равновесия, как это было сделано в § 32 и 33.
Ввиду наличия нестационарных сил вместо уравнений C2.4) или
C3.8) здесь будут иметь место уравнения
aiklk + (bJk Jr У,к) I* + cjklk) = QUt) (/=1,2,..., s), C4.1)
где Qi(t)—заданные функции времени*.
Как известно, решение системы C4.1) слагается из общего
решения соответствующей однородной системы и частного решения
неоднородной системы. Решение однородной системы было рас-
* Система уравнений C4.1) является лишь одной из простейших систем,
описывающих движение под действием нестационарных сил. В ряде случаев
нестационарность сил приводит к более сложным уравнениям, например, к урав-
нениям с переменными коэффициентами.

306 Линейные колебания [Гл. VI
смотрено в предыдущих параграфах. Поэтому рассмотрим только
частное решение системы C4.1), которое и будет описывать вы-
нужденные колебания. Сначала исследуем систему с одной сте-
пенью свободы, на которую действует вынуждающая сила, гармо-
нически зависящая от времени. В этом случае уравнение движения
имеет вид
где Qe, ю, и р, — соответственно амплитуда, частота и фаза вынуж-
дающей силы. Представляя уравнение C4.2) в комплексной форме
ЬпЪ 4- cub = Qecos (<V + P.), C4.2)
ынуж-
форме
C4.3)
его частное решение будем искать в виде
61 = а,е'АЭ«е?(|В«|+э«). C4.4)
Подставляя C4.4) в C4.3) и сокращая на общий множитель, найдем
комплексную амплитуду
fl/AP« = Q _!—, C4.5)
*е A (to.) ;
где A(icoe) = an(i(x>ey -\- bn(ia>e) + cn. Далее, записывая C4.5) в виде
^ A*iiM] C4.6)
получим амплитуду ае и разность фаз А$е как функции частоты сое
вынуждающей силы:
C4.7)
где со!- = -^-, 2ц = —у-. Функции ае(ше) и Аре(сое) называются ампли-
«и оц
тудной и фазовой характеристиками соответственно.
Итак, C4.4) и C4.7) определяют частное решение уравнения
C4.2)
1г = ае(а,е)cos К* -f pe 4- Ар,(со,)]. C4.8)
Это решение описывает вынужденное колебание системы. Из
C4.8) и C4.7) видно, что амплитуда вынужденного колебания
зависит от амплитуды возмущающей силы Qe и частот сое и ojq.

§ 34]
Вынужденные колебания
307
Если (ое«о)о, а затухание достаточно мало (|А2<С^), то имеет
место резонанс, г. е."резкое возрастание амплитуды вынужден-
ных колебаний (рис. 34.1). Нетрудно также видеть, что вынуж-
о
Рис. 34.1
денное колебание по фазе всегда отстает от возмущающей силы,
т. е. Дре всегда отрицательна. Приведем выражения ае и Дре для
ряда случаев:
„ ^ «. .. 1
аи cog
¦¦ 0, если
(о0;
2^1 Ксо^—
tg (Дрв) = -
еСЛИ 0J=0J-2^;
C4.9)

308 Линейные колебания [Гл. VI
АО Л
АР,, = , если ые = соо;
Ом
tg (Ар,) s= -Л. если со„ > ш0.
Резонансные свойства амплитудных характеристик лежат в основе
устройства «усилителей» и «фильтров».
Отметим предельный случай, когда диссипацией энергии мож-
но пренебречь, т. е. р. можно устремить к нулю. Тогда из C4.7) и
C4.8) получим разрывное решение:
1* = — „ ' , cos («М + Р«). если ®«< wo;
flu с^-со^
C4.10)
S« = — г^-т cos (ш,/ -Ь ре — я), если сое > и0
"и (О2е — а1
(амплитудная и фазовая характеристики, соответствующие C4.10),
изображены на рис. 34.1 штриховыми линиями).
Полная энергия Е рассматриваемых одномерных колебаний,
т. е. функция
z = — si -}—— si = — (si•+ »osi),
после того как собственные колебания вследствие затухания ста-
нут исчезающе малыми, будет с большой степенью точности равна
Е =-^-(ё+¦ cogg). C4.11)
Изменение энергии Е со временем характеризуется производной
E = an(i^(ult/le. C4.12)
Это выражение с помощью уравнения C4.2) можно записать в
виде
E = —bug±Qe cos (©«* • I pr) %e. C4.13)
Если ше=мо, то мощность, вносимая в систему нестационарной
силой, компенсирует диссипацию энергии; в результате энергия

§ 34] Вынужденные колебания 309
остается постоянной. Действительно, учитывая, что функция ?е@
удовлетворяет уравнению
|е + и&-0, C4.14)
из C4.12) при ые=(оо получим ? = const.
При произвольном соотношении сое и шо энергия, усредненная
по периоду колебания Те=2п/ше, сохраняется (здесь опять-таки
предполагается, что собственными колебаниями системы можно
пренебречь).
В самом деле, имея в виду, что
2 2 2
из C4.11) найдем
E=^fa]^pL C4.15)
{черта над функциями означает усреднение по периоду Те).
Если нестационарная сила Qe(t) является произвольной функ-
цией времени, разложимой в ряд Фурье,
со
n=0
то интересующее нас решение можно представить в виде
оо
?* = ? aAQn, nae) cos 1лш,М-р'п)-и Аре(ше)]. C4.17)
Если же Qe(t) — произвольная функция, представимая интегралом
Фурье, то общим решением уравнения
i + 2j4 + w0l= Qe(t) C4.18)
например, в случае соо>и, является решение
g = |i0 cos at -i (|0 -r ц10) sin at 1 е-* +
L ш J
+ — \ Qe (t)e-»«-^ sin ®(t—z) dx, C4.19)
ЯцШ J
где со = ]Ло2 — ц2 (здесь пределы интеграла выбраны так, чтобы
удовлетворить начальным условиям).

310 Линейные колебания [Гл. VI
Частное решение системы уравнений C4.1) находится анало-
гично одномерному случаю. Например, если нестационарные силы
являются гармоническими функциями времени
Q*@ = QjcosKM-p\) (/ = 1,2, ...,s), C4.20)
то, заменяя эти функции соответствующими комплексными выра-
жениями и представляя решение полученной системы в виде
lk = aSe'^V+P.) (k = 1, 2 s), C4.21)
после соответствующих подстановок получим
(bik + yik) К + cik) atem* = Qf (/=1,2,.... s), C4.22)
где Ле = кое. Эта система линейных неоднородных уравнений имеет
решение
" ? 1?Ы {k=i s), C4.23)
где А(Ае) — характеристический детерминант системы C3.10),
взятый при значении Х=Хе, а Ай(Яе) — детерминант, полученный
из характеристического заменой элементов &-го столбца на стол-
бец, составленный из Qi, Qt, ¦ • ¦ , Qs. Так как характеристическое
уравнение имеет 2s корней Яа, то А(Яе) можно представить в виде
произведения
Д(У = «П(^-и C4.24)
где а — некоторая постоянная. Если все корни характеристиче-
ского уравнения комплексны, то детерминант А(Хе) целесообразно
свести к произведению s сомножителей вида
(Ке - Я+) (Я,, - Ха) = Х\ - №
Учитывая, что
где оJа = [х2 _|^ щ^ характеристический детерминант, C4.24) можно
представить в виде
д (м=«п {« - ^)
a=l

§ 34] Вынужденные колебания 311
Умножая числитель и знаменатель правых частей C4.23) на
А* (Яе), придем к выводу, что амплитуды at обратно пропорцио-
нальны произведению характерных резонансных сомножителей,
поскольку
а=1
Таким образом, если затухание достаточно мало, то каждая ампли-
туда а\ будет иметь s резонансных пиков на s частотах
<ов«@ов (а=1, 2, ..., s). Эти максимумы обращаются в бесконеч-
ность, если диссипация энергии отсутствует, т. е. все Ца-^0. В этом
случае
П (<-*>*)
(Л= 1.2 s).
Пример 34.1. Движение системы при наличии силы, действую-
щей на конечном интервале времени.
На систему с одной степенью свободы, собственной частотой
(о и коэффициентом а, играющим роль «массы», в течение проме-
жутка времени tx действует постоянная сила Qo. Найти отклонение
системы от начального положения (предполагается, что это поло-
жение является положением устойчивого равновесия), если в на-
чальный момент времени система покоилась.
Уравнением движения системы (см. C4.18)) является урав-
нение
С ~Ь <°2? = Q (О
где
0 (t)=\ Qo. о<'<'*.
1 о, *,</.
Его решение можно получить, воспользовавшись C4.19). Однако
более наглядным является непосредственное решение уравнений
движения на двух интервалах времени с последующим «сшива-
нием» этих решений. Учитывая, что

312
Линейные колебания
[Гл. VI
находим решение первого уравнения
(здесь использованы начальные условия so = O, go — 0), а также
общее решение второго урав-
нения Е = Сх cos (at + C2 sin ьй
= LiCoscot
постоянные С\ и
Сг должны быть выбраны и?
условия непрерывности коор-
динаты и скорости при t = t\.
Пользуясь этими условиями,
получаем
Рис. 34.2
С2=
aw'
Соответственно находим решение, справедливое для
2Q0
sin
—L cos (at ~ ].
2 V. 2 2 У
Отсюда видно, что если время действия силы ^ равно (или
кратно) собственному периоду системы 2л/со, то после действия
силы система останется в положении устойчивого равновесия
(рис. 34.2).
Пример 34.2. Вынужденные колебания под действием силы,
экспоненциально спадающей со временем.
Пусть система с одной степенью свободы, собственной часто-
той с», коэффициентом затухания ц и коэффициентом а, играющим
роль массы, в начальный момент времени ^=0 покоилась в поло-
жении устойчивого равновесия. Найти отклонение системы от по-
ложения равновесия под действием силы Q0^~lit.
Используя C4.18) и C4.19), напишем уравнение движения
системы
I Ь 2|4 -I- cofe =-- 3s-
и его решение в виде интеграла
= ©* -f
= -^2- е-* С sin со (^.— т) dx.

§ 341 Вынужденные колебания 313
Отсюда окончательно найдем
Пример 34.3. Гашение колебаний.
Исследуем колебания системы двух маятников, отличающихся
от тех, которые были рассмотрены в примере 33.1, только массами
точек (см. рис. 33.1), предполагая, что на первую точку массы т\,
кроме пружины, действует сила, направленная по горизонтали и
изменяющаяся по гармоническому закону с частотой о)е и ампли-
тудой Qo. Как выбрать массу второго маятника т2 и жесткость х
пружины, соединяющей оба маятника, чтобы амплитуда колебаний
первого маятника была исчезающе малой?
Учитывая некоторые результаты примера 33.1, запишем кине-
тическую и потенциальную энергии системы в виде
U = \{(т&1 + х/2) Фт -г (m2gl + хР) <р22 - 2хРф1ф,}
(здесь ф1 и ф2 — углы отклонения маятников от положения устой-
чивого равновесия). Обобщенные силы, соответствующие нестацио-
нарной силе, равны (см. B6.17))
Qle = Qo cos <М — = Qo1 C°S «Л Qie = °-
«¦•Ф1
Используя полученные функции, найдем уравнения движения
системы (см. C4.1))
где ©2 = g/i%
Фх -г- Фа -I" [%Ji )ф2 =
Уравнения для амплитуд и характеристическое уравнение этой
линейной системы имеют вид
+ а>2 f- -2-) с2 = О,
т2 J
А (Я.) = Я,4 + X,* f 2cog + —) f (eg Г(о2 + —) = О,

314 Линейные колебания [Гл. VI
где ц = —^^—. Отсюда получим собственные значения % и квад-
щ -\~т2.
раты собственных частот системы
а также соотношения амплитуд
Это дает возможность найти общее решение для собственных коле-
баний маятников (см. C2.9))
где
8Х = а1 cos (aj -j- р\), 82 == аг cos (co2f -)- C2).
Амплитуды частного решения уравнений движения (см. C4.20) и
C4.21)) определяются из уравнений
mL
m2 e \ w2
где л? = Ше. Отсюда
где
Общее решение исходных уравнений слагается из общего ре-
шения, описывающего собственные колебания системы, и частного
решения, описывающего вынужденные колебания:
фх= 0Х f 02 -f-Clecos©^,

§ 34] Вынужденные колебания 315
Если, например, оба маятника в начальный момент времени поко-
ятся в положении равновесия, т. е.
Фю = Фао = °> Фю = Фго = °т
тогда
фх = а1 cos со/ -j- a% cos щ1 -\- Cle cos coe/,
Ф2 = ах cos со^ — а2 cos a2t -f C2e cos со/,
где
П1о
1 i- —-
(C2i-Cle).
Это решение дает возможность ответить на вопрос, поставлен-
ный в условии примера. Действительно если со<.>соо, то можно так
подобрать массу второго маятника 1Щ и жесткость пружины х,
чтобы Cie=0. В этом случае решение принимает вид
ф = Ш*. Сге (COS (O2t — COS (Ojt),
mi j /n8
/Hi
Фг = Сге /cos со/ ^^^Ц - -Sl __^_ cos «^.
^ « J!!
Если при этом /Лг-Cmi, то амплитуда колебаний первого маятника
станет исчезающе малой по сравнению с амплитудой второго маят-
ника. Таким образом, чтобы второй маятник играл роль «гаси-
теля колебаний», должны выполняться требования:
Гашение колебаний первого маятника связано с тем, что воздей-
ствия вынуждающей силы и второго маятника на первый маятник
уравновешивают друг друга с точностью до величины порядка
/

Глава VII
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 35. Собственные колебания и метод Крылова — Боголюбова
Рассмотрим систему с одной степенью свободы, на которую
наложены голономные стационарные связи и действуют заданные
стационарные силы; при этом предположим, что у системы
имеется положение устойчивого равновесия. Разложение кинети-
ческой, потенциальной и диссипа-
тивной функций в окрестности этого
положения вплоть до членов второ-
го порядка малости включительно
приводит к линейному уравнению.
Однако во многих практически важ-
ных задачах возникает необходи-
мость исследования колебаний с до-
статочно большими амплитудами и
скоростями. В таких случаях линей-
ное приближение оказывается недо-
статочным и приходится учитывать
последующие члены разложений,
приводящие к нелинейным уравне-
ниям. Если при этом отклонения от
положения равновесия и скорости точек не слишком велики, то
соответствующие уравнения будут описывать малые нелинейные
колебания.
Изучим особенности таких колебаний на примере математичес-
кого маятника, помещенного в среду с «линейным» сопротивле-
нием (рис. 35.1). Его кинетическая и потенциальная энергия,
а также диссипативная функция соответственно равны
Рис. 35.1
Разлагая потенциальную энергию в положении устойчивого равно-

§ 35] Собственные колебания и метод Крылова — Боголюбова 317
весия фСA = 0 с точностью до членов четвертого порядка малости
включительно, получим
U = rngl! — — ],
ё V 2! 4! )'
а используя B7.23) и B7.26), найдем уравнение Лагранжа
Ф-: 2ц(р -j- о>5ф = -^- ф3,
где g)j> = g,7, 2\i=klm. Если в этом уравнении пренебречь нелиней-
ным членом, пропорциональным Ф3, то придем к линейному урав-
нению, решением которого в случае (оо>|л является функция
Ф = aoe-v-t cos (at -'r %),
где о2 = оJ — |д2. Если же не пренебрегать нелинейным членом, то,
учитывая его малость по сравнению с линейным членом, пропор-
циональным ф, можно предположить, что решение, описывающее
нелинейное колебание, по форме близко к решению линейного
уравнения, т. е.
Ф^асоэтр, C5.1)
где а и яр — неизвестные амплитуды и фаза нелинейного колеба-
ния.
Величина обобщенной силы, связанной с отклонением маят-
ника от вертикали и пропорциональной —ф + ф3/6, меньше величи-
ны той же силы в линейном приближении, причем различие в этих
значениях тем больше, чем больше отклонение маятника от верти-
кали (см., например, рис. 30.1). Следовательно, первая производ-
ная фазы 1|з по времени или частота ф нелинейных колебаний ма-
ятника будет меньше собственной частоты соо его линейных коле-
баний и будет зависеть от амплитуды колебаний. В связи с этим
можно допустить, что для собственных нелинейных колебаний,
вообще говоря, имеет место зависимость:
яр = со (а), C5.2)
где со (а) — неизвестная функция, вид которой определяется видом
обобщенной силы.
Предположение об изменении амплитуды нелинейного колеба-
ния, по существу, также связано с допущением C5.1) о «близости»
нелинейного и линейного колебаний в течение одного периода.
Действительно, в линейном приближении амплитуда математиче-
ского .маятника изменяется по закону
а = »1

318 Нелинейные колебания [Гл. VII
и удовлетворяет уравнению
а = — ца.
Поэтому будем считать, что и в общем случае производная от
амплитуды нелинейных колебаний является функцией амплитуды,
т. е.
а = / (а). C5.3)
Характерным для нелинейных колебаний является наличие
«обертонов», т. е. частот, кратных основной частоте. В частности,
это можно видеть на примере математического маятника, уравне-
ние которого содержит нелинейный член, приводящий к появле-
нию высшей гармоники (см. C5.1)):
Ф3 =5= a3 cos3 г|з = — C cos i|) -f cos Зг|з).
Наконец, в силу нелинейности уравнения движения его общее
решение не сводится к сумме частных решений, и, следовательно,
принцип суперпозиции не имеет места. Таковы особенности нели-
нейных малых колебаний или, как говорят, слабо нелиней-
ных колебаний.
Рассмотрим уравнение слабо нелинейных собственных одно-
мерных колебаний вида
f + «об = е<2 (?,?), C5.4)
где е — параметр, указывающий на малость функции eQ по срав-
нению с линейным членом (порядок малости членов в этом и по-
следующих уравнениях определяется так, чтобы при е-* О имел
место случай линейных гармонических колебаний). Одним из ме-
тодов решения этого уравнения является метод Крылова — Бого-
любова.
Учитывая C5.1), решение уравнения C5.4) будем искать в
виде ряда
! = acos<|> + e!1(a,i|>)+e2g2(a,T|>) + ..., C5.5)
где egi, e2g2 — неизвестные функции амплитуды а и периодические
функции фазы г|з. В свою очередь амплитуда а и фаза \|з являются
неизвестными функциями времени, подчиненными «своим» диф-
ференциальным уравнениям (см. C5.3) и C5.2))
а = е/1(а) + е»/,(а)+..., C5 6)
гр = соо + ее»! (а) + е2ш2 (а) + ...

§ 35] Собственные колебания и метод Крылова — Боголюбова 319
Правые части этих уравнений могут быть найдены, поскольку ряд
C5.5), в котором а и i|; как функции времен определяются уравне-
ниями вида C5.6), должен удовлетворять исходному уравнению
C5.4). Неизвестные функции egi, е2|г,.-., е/i, е2/г,..., ecoi, e2w2,...
определяются с некоторым произволом, который можно исключить,
если потребовать, чтобы а явилась полнгй амплитудой основной
гармоники. Тогда функции e|i, е2Ъ, • • - не будут содержать членов,
пропорциональных cos гр и sirup, и будут удовлетворять условиям:
2л 2Я
J е»Б„ (а, -ф) cos 4pdi|> = 0, f e«gn (а, -ф) sin ijxf* = 0 (« = 1,2,...).
о о
C5.7)
Общая схема решения исходного уравнения заключается в
отыскании функций e/i, ecai, e?i и т. д. по заданной функции eQ;
при этом амплитуда и фаза как функции времени будут опреде-
ляться по найденным функциям efi, ecoi и т. д. с помощью урав-
нений C5.6).
Найдем решение исходного уравнения в первом приближении.
Прежде чем подставить ряд C5.5) в уравнение C5.4), получим
величины I и ? как функции а и -ф с точностью до е включительно.
Дифференцируя первые два члена ряда C5.5) по времени, найдем
C5.8)
a+
да дг|)
Учитывая, что а и гр подчинены уравнениям C5.6), в результате их
подстановки с той же точностью получим
| = — wQa sin if> + e i/x cos i|j — o^a sin i|j -f coo-^-l. C5.9)
Дифференцируя C5.9) по времени, получим
1= —cooasin \|) — шоа cosij)•¦»()+ ei—^-a
^ sinip — ща sin гр — ^aeosi|j
^aa sinip ща sin гр ^aeosi|ji|> + g>0 fr
C5.10)
а подставляя сюда C5.6), найдем с точностью до е включительно
I = — cojja cos гр -f ei — гсОцй©! cos ij) — 2(aJl sin ф + &>§ -^"| • X35-l !>
Формулы C5.11) и C5.5) дают возможность определить левую
часть исходного уравнения как функцию а и ф. Для отыскания

320 Нелинейные колебания [Гл. VI
с точностью до е правой части C5.4) как функции а и я|з нужно
разложить eQ(g, ?) в «точке» acosi|), —o)o<2sini|):
eQ (I, i) = eQ (a cos \p, — co0a sin i|)). C5.12)
Подставляя C5.5), C5.11) и C5.12) в исходное уравнение
C5.4), с указанной точностью получим
+ -^) = 2@^6^ cos ф -j- ^„еД siH ^ + eQ0 (а, ф), C5.13)
где eQo(a, г|;) =eQ(acosip, —со0а sin if).
Соотношение C5.13) дает возможность определить неизвест-
ные функции egi, e/i и ecoi по заданной функции eQ0. Действи-
тельно, представим заданную функцию eQ0 и неизвестную функ-
цию egi (по предположению, она является периодической функ-
цией if) в виде рядов Фурье
eQ0 (a, if) = V (8Р,г (a) tos пф :- еага (а) sin пт|з}, C5.14)
где е|3„(а) и еаи(а) — известные коэффициенты Фурье, и
е!х(а, -ф) = ^ {evn(a)cosmH-8Yn(a)sinm|)}, C5.15)
где evn(a) и еуп(а) (п = 0, 2, 3, ...) — коэффициенты Фурье, под-
лежащие определению, а коэффициенты evi и е\1, согласно C5.7),
равны
8г1 = еу1 = 0. C5.16)
Подставляя C5.14) и C5.15) в C5.13) и приравнивая коэффици-
енты при одинаковых гармониках, находим e/i, eo)i и коэффициен-
ты evn и епу *:
Приведем промежуточные вычисления:
дг|;2
п=2
n=2
Dq ev0 -f V A — rt2)(evncosmj) + 8Y/jSin пЩ = 2(о0пё(о1 cos г|) + гсОибД sin if +
+ 8Po + 8Picos 'Ф + 8aisin ^ + V (8Pn cos /гг]> -(- ean sin лг]>).

§ 35] Собственные колебания и метод Крылова — Боголюбова 321
5Ё1_; C5.17)
х 2соа v '
2со0 '
0
a= ?^(я = 2,3,...). C5.18)
A22
Используя C5.17), получим дифференциальные уравнения
C5.6) для амплитуды и фазы
P^ C5.19)
2co0 u 2co0a
Таким образом, в первом приближении производная ампли-
туды по времени и частота определяются коэффициентами Фурье
заданной функции e,Qo(a, г|>), т. е. коэффициентами Фурье правой
(вообще говоря, нелинейной) части исходного уравнения, взятой с
точностью до е; производная амплитуды определяется коэффици-
ентом Фурье при sin г|>, а производная фазы определяется коэффи-
циентом Фурье при cos г|з.
Подстановка C5.18) в C5.15) приведет к определению функ-
ции
оо
{ер*„ (a) cos т|з 4- еа„ (а) sin /гг|з}. C5.20)
Решая систему уравнений C5.19), получим амплитуду а и
фазу г|з как функции времени и начальных значений ао, фо. Исполь-
зуя эти функции с помощью C5.5) и C5.20), найдем решение
исходного уравнения
Проводя аналогичные вычисления с точностью до е2, можно полу-
чить решение во втором приближении.
На достаточно большом интервале времени первому прибли-
жению для функций а и г|> соответствует нулевое приближение для
1, а второму приближению для а и г|з соответствует первое приб-
лижение для s и т. д. [19, стр. 42—43]. Действительно, возьмем за
меру большого временного интервала время ~1/е. Для таких ин-
тервалов конечные приращения амплитуды Да и фазы Л(г|>—сооО
можно записать в виде (см. уравнения C5.6) в первом приближе-
нии)
Да~-еД* —?, A(ip —а>0<)~еш1*~ю1, C5.21)
где /i и coi — средние значения Л и coi на рассматриваемом интер-
вале времени. Таким образом, погрешностям порядка е в значе-
11 И. И. Ольховский

322 Нелинейные колебания [Гл. VII
ниях производных а и г|) соответствуют погрешности нулевого по-
рядка в значениях самих амплитуды и фазы. Поэтому для доста-
точно больших интервалов времени в качестве первого и второго
приближений нужно брать приближения
g = acosi|), а~г^(а), ф = ©0 + 6©2(а); C5.22)
Б = a cos г|> + б|х (а, ф), а = в/х (а) + 82/2 (а),
я|э =¦ йH + eo>i (а) + е2©2 (а).
Пример 35.1. Нелинейные колебания математического маятни-
ка в среде с «линейной» силой сопротивления.
Пусть математический маятник совершает малые нелинейные
колебания в среде, сила сопротивления которой пропорциональна
первой степени скорости точки. Найти закон движения маятника.
Перепишем уравнение движения маятника (см. стр. 317) в ви-
де C5.4)
ф + ©оф = 6@(ф, ф),
«в
где eQ (ф, ф) = ф3 — 2цф. Затем в первом приближении определим
«3!
правую часть этого уравнения как функцию а и ф (см. 35.13)):
eQ0 (а, г|)) = a3 cos31|) + 2^©,^! sin ij).
3!
Разлагая эту функцию в ряд Фурье, что в данном случае сводится
к использованию формулы
найдем
з 1
cos31|5 = — cos г]) -| cos Зг|>,
b?as v&cfl
eQ0 (а, г])) = cos \|) + 2fi©0a sin г|) -\ cos Зг|>.
Отсюда получим коэффициенты Фурье
а&а3
ePi = ——, eoj. = 2ц©оа,
о
а следовательно, и уравнения для амплитуды и фазы (см. C5.22))
а = — ца, © = 4> = ©
Подставляя решение первого из этих уравнений
а

§ 35]
Собственные колебания и метод Крылова — Боголюбова
323
во второе уравнение, в результате интегрирования найдем угол
отклонения маятника как функцию времени
cos со
32ц
со
(постоянные интегрирования ао и \|зо связаны с
ВИЯМИ фо И фо).
Итак, в данном примере учет
нелинейной потенциальной силы
приводит к уменьшению частоты
со по сравнению с частотой шо ли-
нейных колебаний. С течением
времени благодаря сопротивле-
нию амплитуда становится исче-
зающе малой, поэтому со стремит-
ся к со о (рис. 35.2).
Пример 35.2. Автоколебания
математического маятника.
Подвес маятника жестко
скреплен с муфтой, которая на-
дета на вал, вращающийся с по-
стоянной угловой скоростью Q
(рис. 35.3). Сила сухого трения
Fd, действующая со стороны вала
на маятник, известна как функ-
ция их относительной угловой
скорости. Найти амплитуду уста-
новившихся колебаний маятника.
Уравнение движения маятни-
ка определяется кинетической и
потенциальной энергиями (см.
предыдущий пример), а также
диссипативной силой
начальными усло-
Рис. 35.2
где ф — угол отклонения маятника от вертикали. Используя
B7.23), получим
ф + Щ Sin ф =
ml
где cog = g/t.
Сила сухого трения как функция относительной угловой ско-
рости имеет «падающие» участки (рис. 35'.4), на которых F'<0.
11*

324
Нелинейные колебания
[Гл. VII
Выберем угловую скорость вращения вала так, чтобы она являлась
абсциссой точки перегиба на «падающем» участке функции F(Q),
тогда F"(Q) =0; кроме того, допустим, что F'"(Q)>0.
т
Рис. 35.3
j"(siho
Рис. 35.4
Учитывая, что положение <Peq равновесия маятника опреде-
ляется соотношением sin(peq = F(Q)/mgr, и разлагая обе части
исходного уравнения Лагранжа по степеням отклонения |=ф—<Peq
от положения равновесия и скорости ? = <р, получим уравнение для
слабо нелинейных колебаний
A)
где
(o:2=(o20cosifeq,
ml
dml
Знак обобщенной диссипативной силы, пропорциональной
(xi—хг|2)^, при s~ 0 совпадает со знаком скорости |; для доста-
точно больших значений'^ этот знак противоположен знаку |. Это
связано с тем, что в качестве «рабочего» участка выбран «падаю-
щий» участок функции F(Q—ср). Итак, для очень малых ? ампли-
туда колебаний маятника будет нарастать, а для достаточно боль-
ших ? — убывать, следовательно, возможно установление стацио-
нарной амплитуды, независимой от начального значения ампли-
туды.
Изучаемый маятник является типичным примером автоко-
лебательной системы. Такая система состоит из «колеба-
тельного контура» (маятника), «источника питания» (вращающе-
гося вала) и «нелинейного элемента» (силы сухого трения), регу-

§ 36] Вынужденные колебания и резонанс • 325
лирующего поступление энергии в колебательный контур. Автоко-
лебательные (механические и немеханические) системы часто
встречаются на практике (например, такой автоколебательной си-
стемой является простейший ламповый генератор).
В первом приближении правая часть уравнения A) как функ-
ция а и гр равна
со? sin (peQ tt>n2
е<2в(«. ^) = ——— a2cos2ijH — a3 cos3 if —
2 6
— (xj — Xaco'-a2 sin2 г|)) aco* sin г|).
Выделяя здесь первые гармоники, получим
*2
(а, ф) = "Y" a3 cos г|> — <*'оа f
sin
Отсюда, используя C5.14), C5.17) и C5.19), найдем уравнения
для амплитуды а и фазы ¦ф
Интегрируя первое из уравнений B), получим амплитуду как
фунцию времени
и ее значение ах при I -»- + оо:
— — 1 f ~ 2f' ^
" "" Ш0 (/ F"(Q)C0S<peq ' ( '
где cos(peq = 1/ 1 — [ '-Л . Из C) видно, что амплитуда устано-
вившихся колебаний не зависит от начального значения ампли-
туды: достаточно сколь угодно малого начального отклонения от
положения равновесия, чтобы амплитуда возросла вплоть до зна-
чения йоо.
§ 36. Вынужденные колебания и резонанс
Проанализируем физические особенности вынужденных нели-
нейных колебаний на примере системы с одной степенью свободы,
предполагая, что на систему действует малая нестационарная сила,

326 Нелинейные колебания [Гл. VII
гармонически изменяющаяся со временем: eQe0coscoe/. С этой
целью определим среднюю мощность силы
— eQeg cos <ajt-Idt C6.1)
на некотором интервале времени At, причем потребуем, чтобы этот
интервал был, с одной стороны, достаточно большим по сравнению
с периодом 2я/соо собственных линейных колебаний, а с другой сто-
роны, достаточно ограниченным с тем, чтобы форма колебаний не
успевала заметно измениться (такой выбор At возможен ввиду ма-
лости внешней силы и нелинейных членов). Учитывая, что на ин-
тервале At нелинейное колебание близко к линейному (см. C5.1))
т. е.
? =ь a cos т|з, | = — аю0 sin т|з,
где гр = соо^ + 9(^), и принимая во внимание, что изменения функций
a(t) и б(^) на интервале Д^ малы, для средней мощности получим
выражение
eQeo^o-7- @ { cos [(со,, -f Щр) t + 9 (<)] cos [(со. — соо) t — 6 (t)\ \ |'с+Д<
— соо
2)
Отсюда видно, что в нерезонансном случае, когда сое весьма отли-
чается от соо, мощность вынуждающей силы исчезающе мала,
поскольку Д/>2я/к»о. Если же имеет место резонанс, т. е. coe«coo,
то мощность становится порядка е. Действительно, подставляя в
C6.2) ше==соо + Дю и устремляя Дсо к нулю, за счет второго слагае-
мого в фигурных скобках для средней мощности получим
_eQeofi>0a(Ositie@. C6.3)
Таким образом, в случае резонанса средняя мощность является
функцией как амплитуды а, так и «расстройки фазы» 0.
Основываясь на этом примере, можно предположить, что в ре-
зонансном случае как изменение амплитуды, так и частота зависят
от значений амплитуды а и «расстройки фазы» 6. Что касается
нерезонансного случая, то изменение амплитуды и частота зависят
только от амплитуды, (так же как в случае собственных колеба-
ний).
Другая особенность вынужденных нелинейных колебаний за-
ключается в появлении резонанса на комбинационных ча-
стотах. Это можно видеть из того, что в решение уравнения
вынужденных нелинейных колебаний благодаря наличию нелиней-
ных членов войдут высшие гармоники с частотами, примерно рав-
ными мсоо. Рассматривая среднюю мощность, вносимую в систему
«с помощью» этих гармоник, т. е. подставляя в интеграл C6.1) не

§ 36] Вынужденные колебания и резонанс 327
sin(o)o/ + 6), a sin(ttcoo^+6n), придем к выводу о возможности резо-
нанса на частоте, примерно равной ясоо. В общем случае, когда
правая часть уравнения C5.4) более сложным образом зависит
от аргумента сое^, возможно возникновение резонанса на комби-
национных частотах вида ясоо + яше, где я и т ¦— целые числа.
Действительно, разложение функции eQ в ряд Фурье приводит к
появлению гармоник с указанными частотами. Итак, в общем
случае возможен резонанс вынужденных колебаний на частотах
а>е^-*-«>0, C6.4)
Р
где р и q — целые взаимно простые числа (если p—q, то резонанс
называется главным).
Изложим метод Крылова — Боголюбова применительно к
вынужденным нелинейным колебаниям. В качестве исходного урав-
нения рассмотрим уравнение вида
§ -f- coos = гЦ (g, g, coet), (ob.o)
где eQ — периодическая функция относительно u)et с периодом 2я.
В нерезонансном случае решение уравнения C6.5) будем
искать в виде ряда
? . . ь / . /. . /ОС С\
где а и i|) подчинены уравнениям C5.6). Подставляя C6.6) в
C6.5) и учитывая C5.6), найдем соотношение, определяющее пер-
вое приближение (ср. с C5.13)):
¦¦!- 2со„
= е Qo (a, ty, (j)J) + 2(o0 aeci^ cos i|? -f 2<aoe.f1 sin i|), C6.7)
где
e Qo (a, ty, aet) = eQ (a cos г|>, — tooa sin г|?, aet).
Разлагая известную функцию е Qo в двойной ряд Фурье по пере-
менным ij) и a>et
(а, ф, со/) = ? в алт (а) е'^+'™*> C6.8)
n, m
и представляя в виде ряда Фурье неизвестную функцию
вЬ (а, % шЛ = ? eYnm (а) ^^+"«. C6.9)
n,m

328 Нелинейные колебания , [Гл. VII
из C6.7) получим
п,т
i(t+V cos г)з + 2©,^ sin i|>. C6.10)
n, m
Из этого соотношения видно, что в решении могут появиться ко-
эффициенты гупт, обращающиеся в бесконечность. Чтобы исклю-
чить появление таких членов, потребуем выполнения условия, ана-
логичного условиям C5.7):
+ гсйцаесй! cos т|> + 2a>tlEfl sin ty = 0, C6.11)
п,т
если ©о — (пае 4- тоHJ = 0.
Требование C6.11) позволяет определить функции ecoi и е/ь
В самом деле, поскольку рассматривается нерезонансный случай,
условие
©о — (па>е + тоHJ = 0
будет выполняться, если
« = 0, т = ±1. C6.12)
Следовательно, сумма по п и т в C6.11) сводится к сумме двух
членов с коэффициентами ao,+i и ao,-i. Таким образом, используя
C6.12) и общее выражение для коэффициентов Фурье
2л 2Я
ъапт = I I 8Q0(a, г);, a>et)e na>e d {u>et) dty, C6.13)
о о
из условия C6.11) найдем
2Л 2Л
Qo (a, г)), со/) sin \p dty d (aJ), C6.14)
J
О О
2Я 2Я
= — —? f f Q0(a, г)), a>et) cos^d^d (aet). C6.15)
о о

§ 36] Вынужденные колебания и резонанс 329
В резонансном случае частота вынуждающей силы или равна
резонансной частоте или близка к ней. Следовательно, можно по-
ложить (см. C6.4)), что
'"-г б А, C6.16)
где еЛ — малая заданная расстройка между квадратом собствен-
ной частоты «о и квадратом резонансной частоты. Используя
C6.16), запишем исходное уравнение C6.5) в форме
1 + (-В- шеJ1 = 8 {Q (|, i, <aj) - Щ. C6.17)
\ q 1
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда C6.6), где а
и г|з подчинены «своим» уравнениям, имеющим более общий вид
по сравнению с C5.6), так как в резонансном случае изменения
амплитуды и фазы зависят не только от значения амплитуды а, но
и от фазовой расстройки 8:
, * (а, в)+..., C6.18)
Я
где г|) и 0 связаны соотношением
г|5 =-А 0^ + 9@. C6.19)
Я
Кроме того, потребуем, чтобы в решении отсутствовали члены,
обращающиеся в бесконечность.
Подставляя C6.19) в C6.6) и C6.18), найдем, что
I = a cos (-?- <s>et + Q) + elj (а, в, <aj) + ... , C6.20)
V q J
а уравнения, которым подчинены переменные а и 9, имеют вид
a = e/i (а, в) -Ь ... , в = гщ (а, 6) + ... C6.21)
С помощью C6.20) и C6.21) из C6.17) получим соотношение,
определяющее функции sgi, e/i и еам в резонансном случае (проме-
жуточные вычисления аналогичны C5.8) — C5.13)):
(f
f <»eJ six + -^ = ^о [a, j- <oet + в.
+ 2-Z- @,8^ sin C- <»et + в\ C6.22)
q \ я /

330 Нелинейные колебания [Гл. VII
здесь
"V. ' q e
= eQ (a cos ( — a» t + 6 ), ¦—— шс a sin ( — met + 6 ),
4V<7 J q \ q J
Разлагая e^ в ряд Фурье (см. C6.9)), получим
(р V ,. d^i,
; Г «о J+m(-2- 4>J+e\]
L \ Ч II
егУп'П
Принимая далее во внимание разложение функции eQ0 в ряд
Фурье (см. C6.8)) и требуя, чтобы коэффициенты гупт были ко-
нечны, из C6.22) найдем
> eanme L ^ « / J + ( 2-^-co^ecoj — еЛ ) а сое (-^-ю^+
^* n q / \ q
п,т
+ 2 -^- со^е Д sin (— <V+ 0^ = 0, C6.24)
где суммирование ведется по любым целым пит, для которых
f-^-Y —(п + яг —У = °. C6.25)
\ ? / \ fl /
причем это условие эквивалентно более простому:
nq + (т ± 1)р = 0. C6.26)
Приравнивая в C6.24) коэффициенты при cos гр и sin гр соот-
ветственно, можно будет найти функции e/i и ea»i. С этой целью,
используя C6.26), запишем показатели экспонент (см. C6.24))
в виде
Тогда двойную сумму в соотношении C6.24) можно будет предста-
вить как сумму только по п:
-to-^-er
a , е р
n,-n-S-+l J

§ 36] Вынужденные колебания и резонанс 331
= Удеа а +еа q )е " costbi
I *-^ \ п, —п -г- +1 п, — п -^- — 1 / J т
р р
" р р
где суммы и разности коэффициентов Фурье равны (см. C6.13))
еа +
-±-+1 n, -n -i- -1 [2я
p p 0 0
\ eQoe " co
C6.29)
2Я 2я . _1_ -
¦х — га, q J = —— f I e Qoe p sin tj)d(©,
p p 0 0
Используя C6.28), C6.29) и приравнивая соответствующие коэф-
фициенты при sin -ip и cosi|), из C6.24) получим
" eQo(a,
J J
oo
J J
oo
C6.30)
еД
2 —о)г
9
JJ
JJ
C6.31)
1 здесь 0 = я|? a>et,суммирование ведется по п = 0, +1, +2,...).
Эти соотношения позволяют получить решение задачи о резонансе
вынужденных нелинейных колебаний в первом приближении.
Пример 36.1. Резонанс нелинейных колебаний материальной
точки, подвешенной на пружине.
Точка массы пг совершает колебания в вертикальном направ-
лении в среде с сопротивлением под действием силы упругой де-
формации пружины и достаточно малой силы Qe, гармонически
зависящей от времени. Найти амплитудную характеристику ста-
ционарных колебаний точки вблизи резонанса.

332 Нелинейные колебания [Гл. VII
Помещая начало отсчета в точку подвеса и направляя ось Ох
вдоль оси пружины, получим выражения кинетической и потенци-
альной энергий точки, диссипативной функции и нестационарной
силы:
где UK — энергия упругой деформации пружины, k — коэффици-
ент сопротивления среды (предполагается, что сила сопротивления
пропорциональна скорости точки), Fe и сое — амплитуда и частота
нестационарной силы, ах — координата точки. Определяя поло-
жение Хщ равновесия точки из уравнения
dU
дх
= _ mg -
eq
дх
= о,
eq
разложим потенциальную энергию U в ряд по степеням отклоне-
ния \=х—xeq точки от положения равновесия с точностью до ве-
личин четвертого порядка малости включительно:
t2_ W^lN мл__!_Л*И*Л ?4
eq ' 3! V дхз Jeq ' 4! V дх* ЛЧ '
дх7
Тогда уравнение движения точки можно будет записать в виде C6.5)
g -(- оао g = eQ (g, |, «)et) = — Xjl2 — и2|3 — 2ц| + /e sin ИЛ A)
где
m \ дх2 Aq 2m
2 6m \ дх* ;eq
Рассматривая выражение средней мощности нестационарной
силы (см. C6.1) и C6.2)), придем к выводу о возможности глав-
ного резонанса, в связи с чем решение исходного уравнения A)
будем искать в виде (см. C6.20))
g = a cos if, B)
где if = G>gt + 0. Подставляя B) в eQ, с точностью до е найдем
(см. C6.22))
SQO = ^- a3 cos т|) + 2цюе а sin -ф + fe sin юе f —
4
_ 2hSL A а. cos 2г|з) — -^- а3 cos Зг|>.

§ 36] Вынужденные колебания и резонанс 333
Отсюда видно, что в первом приближении коэффициент к\ (или
третья производная функции Uy) не влияет на поведение системы.
Пользуясь выражением eQo, найдем необходимые для решения
коэффициенты Фурье этой функции (см. C6.30) и C6.31)). Напри-
мер, коэффициенты Фурье, соответствующие я=0, получим, учи-
тывая, что
cos у
J J 1
Аналогично коэффициенты Фурье, соответствующие п = ±1, най-
дем, вычисляя интегралы
2Я 2я
Г f eQo(cos0± isln0)sln^di|)d((neO,
о 6
о 6
где
Принимая во внимание, что величина этого интеграла определена
значениями
2я 2я
sQ0 cos г|з sin if» cos (coe t) dty d (u>et) = 0,
б
2я 2я
Г f eQ0 sin21|5 sin (we t) d^> d (we t) = n?fe,
о о
[2Я 2я
j j 8 Sill ll)COS CO,
2я
Г Г eQ0cosijjsin ijjsln (a>et)d^>d(a>et) — 0,
2Л 2я
о о
найдем
2л 2я
f eQ0 e±(9 sin tydtyd (coe ^) = n2fe.
о
Нетрудно убедиться, что соответствующие « = ±1 члены ряда
C6.31) пропорциональны значениям
2Я 2я
( Г eQ0e±l'9cos tydtyd(aet) = =F iit2/e,
о о

334 Нелинейные колебания [Гл. VII
а интегралы сй=±2, ±3, ... все равны нулю.
Далее, используя C6.30) и C6.31), найдем функции
еД 1
ей, =
Ъйе
определяющие уравнения для а и 9 (см. C6.21)):
а = — ца — cos 0,
2сое 8ше
здесь еА = ио —и« (см. C6.16)).
В случае стационарного режима а = 0 и 9 = 0; следовательно,
Возводя в квадрат обе части каждого из этих уравнений и склады-
вая результаты, найдем амплитудную характеристику а(сое) в виде
Это уравнение можно упростить, используя близость сое к соо и ма-
лость всех членов, входящих в правую часть уравнения A). Вводя
вместо еЛ разность частот Дсо = сое—соо, из C) получим
B<о + Ао)]2 = (-^-J. D)
Пренебрегая в этом уравнении членами, пропорциональными (АсоK и
(АиL, найдем
2со0 (yfi - JjJL о») Асо
E)
о
Уравнение E) также можно упростить, поскольку ©о ^ Ига2
too^>fi (ввиду малости всех членов eQ). Полагая далее, что все
члены, входящие в eQ, являются величинами одного порядка, и
сопоставляя второй и третий члены eQ, найдем, что

36]
Вынужденные колебания и резонанс
335
Учитывая все приведенные оценки, получим амплитудную характе-
ристику в виде
a» [(to»-
F)
где К =
8со0
Разрешая это квадратное относительно Дсо уравнение, найдем
функцию
Г / < ХО 1/
G)
-"Г-
леи* дыГ*
Рис. 36.1
с помощью которой нетрудно построить амплитудную характери-
стику (см. рис. 36.1, где изображен случай иг<0). Дифференци-
руя по Лео правую и левую части уравнения F), получим
&(&) 2а3(Я.а2—Лео)
—
d(Aco)
3 (>.a2J — 4Яо2 Дсо + [д,2 + (ЛеоK
(О)
Эти результаты позволяют исследовать амплитудную харак-
теристику. Сначала рассмотрим известный уже предельный случай
линейных колебаний. С этой целью устремим /е-*0 и а->0 в функ-
циях F) и (8) (см. C4.7) и кривую а на рис. 36.1); тогда
а- =
2соо
— 2Лсо
2со„
(ЛазJ]
2]»
Если нелинейным членом пренебречь нельзя, a |X|a2<fx, то ампли-
тудная характеристика близка к соответствующей характеристике
линейных колебаний: ее максимум смещен в сторону Аш<0, по-
скольку И2<0 (см. р на рис. 36.1). Действительно, амплитуда а
достигает максимума при Аш — Ха2, а ее значение
"max —
о
2СОО

336 Нелинейные колебания [Гл. VII
совпадает с соответствующим значением амплитуды линейных ко-
*B)
лебаний. В этом
не обращается.
<*(а)
лебаний. В этом случае производная ... нигде в бесконечность
а (асо)
Если |>.|аг>-ц, то производная ——— обращается в беско-
нечность при двух значениях
Аю = 2Яа2 ± [(Яа2J — ц»]1/.. (9)
При этом условии, как показывает анализ выражения F), зави-
симость амплитуды вынужденных колебаний в некоторой области
частот оказывается неоднозначной (см. у на рис. 36.1). Поэтому
становится возможным так называемый срыв амплитуды.
Это явление происходит следующим образом. Пусть частота а>е
вынуждающей силы сравнительно велика. Тогда при уменьшении
(ое до достаточно малых значений амплитуда вынужденных^коле-
баний будет плавно изменяться в областях (ог>юе и (ое<юе, а в
«точке»
со, = «; = ш0 -Ь 2Xa2 + [(to*)» -ц»]1/.,
которой соответствует бесконечное значение производной
da о -
произойдет скачкообразное изменение амплитуды от
()
величины яг до величины аз. Аналогично при увеличении сое от до-
статочно малых значений до сравнительно больших значений
амплитуда вынужденных колебаний изменяется скачкообразно в
точке (ое = ©Г = со0 + 2Ал2 — [(Ха2J — ц2]1/* от величины а4 до ве-
. . »» ^ **
личины а\, а в областях (ие<^щ и шер>(ое происходит плавное
изменение амплитуды. Скачкообразное изменение амплитуды и
представляет собой срыв амплитуды.
Заметим, что срыв может наблюдаться только в том случае,
если область ©« —©е частот, в которой зависимость амплитуды
от частоты неоднозначна, отлична от нуля. При юе —Щ -*0
явление срыва будет исчезать. Последнему условию соответствует
равенство нулю подкоренного выражения (9). Используя ампли-
тудную характеристику F) и введенные ранее обозначения, най-
дем, что в этом случае
If *M

Глава VIII
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Ранее .(например, в гл. I) отмечалась важная роль, которую
играет понятие абсолютно твердого тела как тела отсчета. С по-
нятием твердого тела связано также введение эталона длины. На-
ряду с этим большое значение имеет теория движения твердых тел
под действием внешних сил. Эта теория находит самое широкое
применение в практике, в частности на основе этой теории реша-
ются задачи о движении гироскопов, о вращении спутников и т. д.
§ 37. Уравнения движения твердого тела
Любое твердое тело можно представить как систему матери-
альных точек, жестко соединенных между собой стержнями посто-
янной длины и исчезающей массы (см. § 24, стр. 210). Иначе гово-
ря, твердое тело можно рассматривать как систему материальных
точек, на которые наложены внутренние идеальные связи. Поэто-
му число степеней свободы твердого тела меньше, чем число степе-
ней свободы соответствующей системы свободных точек.
Для того чтобы полностью охарактеризовать движение твер-
дого тела относительно некоторой системы отсчета S, достаточно
знать закон движения системы Sf, жестко связанной
с изучаемым твердым телом (см. рис. 16.1 и 16.2); напри-
мер, закон движения свободного твердого тела (тела, на ко-
торое не налагаются внешние связи) определяется шестью скаляр-
ными функциями: тремя проекциями радиуса-вектора го-@ начала
системы S' и тремя углами Эйлера ф@, 6@ и ty(t).
Заметим, что к свободному твердому телу как системе мате-
риальных точек применимы законы изменения импульса и кинети-
ческого момента (9.15) и (Ю.5), причем эти законы (в силу жест-
кой связи точек тела друг с другом) будут полностью описывать
движение тела, т. е. будут являться уравнениями движения *.
* Законы изменения импульса и кинетического момента в применении к
произвольной системе материальных точек не дают возможности получить пол-
ную информацию о движении системы.

338 Динамика твердого тела 1.1 л. VII*
В последнем можно убедиться, показав, что законы (9.15) и
A0.5) представляют собой систему шести дифференциальных
уравнений второго порядка относительно шести переменных: трех
проекций вектора г0' и углов <р, 9 и ф. В самом деле, радиусы-век-
торы всех точек твердого тела относительно системы S', жестка
связанной с этим телом, являются постоянными относительно S'
векторами, а скорости точек тела относительно S' равны нулю, т. е.
г\ = xlo iv -г ylo «V + zlo «V, V; = 0 (i = 1, 2, ... , N), C7.1)
где Ti и V{ — радиус-вектор и скорость t-той точки тела относи-
тельно S', iv, пг, пг> —декартовы орты этой системы, х'ю, ylo, z'm —
постоянные проекции вектора г,- на оси S', а N — число точек твер-
дого тела. Следовательно, радиусы-векторы и скорости точек твердого
тела относительно системы S соответственно равны (см. A.6),
A9.10))
г, = то- + г,', v, = vo- + 1юг,'] (» = 1, 2, ... , N), C7.2)
где vo'H to — соответственно скорость начала системы S' и ее
угловая скорость относительно S.
Используя эти выражения, нетрудно убедиться, что импульс
тела Р зависит от \о-, углов Эйлера и их производных (см. (9.6),
A7.11) и A7.12)), а кинетический момент М тела, сумма внешних
сил Fe и сумма моментов внешних сил Le, кроме указанных вели-
чин, могут содержать г0-(см. A0.2), (9.14) и A0.5). Таким обра-
зом, законы изменения импульса и кинетического момента твер-
дого тела
p = F% M = Le C7.3)
содержат в качестве неизвестных только функции iv, op, в, ty и,
следовательно, являются уравнениями движения свободного твер-
дого тела.
Если на твердое тело налагаются внешние связи, то уравнения
движения тела примут вид (см. B5.5) и B5.6))
P = Fe + Re, M= Ье~Ц, C7.4)
где Re и Ьд — соответственно сумма реакций всех внешних по
отношению к телу связей и сумма моментов реакций этих связей
(для решения уравнений C7.4) следует добавить уравнения свя-
зей, наложенных на тело).

§ 37]
Уравнения движения твердого тела
339
При составлении уравнений движения C7.3) и C7.4) удобно
использовать вытекающие из соотношений § 22 общие выражения
векторов
р = mv0' + т [wrm], М = [г0- Р] + т [r'm v0-] — М, C7.5)
где гт — радиус-вектор центра масс тела относительно S', а
N
М = у m([r|[Bri]]
является частью кинетического момента, обращающейся в нуль,
если св = О (в связи с этим вектор М можно назвать кинетиче-
ским моментом вращения твердого тела). Здесь следует
иметь в виду, что, согласно C7.1), в системе 5', жестко связанной
с телом,
v^ = 0, Р' = 0, М' = 0. C7.6)
Выражения векторов Fe и Le в теории твердого тела имеют такой
же вид, как и в общей теории (см. (9.14) и B2.4)):
Fe = V Fj, Le = [го- Fe] + ^е, C7.7)
где JZe=
Заметим, что при выводе C7.5) выбор системы S' произволен
и сказывается на значении момента 3е внешних сил*; лишь в
частном случае, когда сумма внешних сил равна нулю, момент=??е
внешних сил не зависит от выбора начала О' системы S', т. е.
Le = J?\ если Fe = 0. C7.8)
Например, это имеет место,
когда к телу приложена пара
сил, т. е. две силы, равные по
величине и противоположно
направленные по различным
линиям действия (рис. 37.1);
тогда Рнс. 37.1
* Не зависит от выбора О' только скалярное произведение J?eF°, равное,
согласно C7.7), произведению LeFe.

340 Динамика твердого тела [Гл. VIII
Fe = F, -f Fo = 0,
Le = Lr^] -r Lr2Fl] = [ruF?l = J?e,
поскольку Fl ='¦— Ft, a ral = r2i.
Подчеркнем, что выбор системы Sr, который отражает свой-
ства тела и другие условия задачи, может существенно упростить
ее решение. В частности, при решении задачи о движении свобод-
ного тела начало системы S'- целесообразно поместить в центр
масс тела, так как при этом
го> = гт, vO' = vm, r'm = 0, C7.9)
а выражения импульса и кинетического момента примут простой вид
р = щ\о', М = [г0- Р] + Л; C7.10)
здесь <ЛС является кинетическим моментом вращения тела отно-
сительно поступательно движущейся системы Sm центра масс (см.
B1.6)). В этом случае в качестве уравнений движения свободного
тела вместо уравнений C7.3) можно использовать уравнение дви-
жения центра масс тела относительно системы S и закон изменения
момента вращения тела относительно системы Sm (см. (9.14) и
B1.11)):
/nrm = Fe, М=3\ C7.11)
Если тело имеет одну неподвижную относительно S точку, то
начала систем S и S' целесообразно совместить с этой точкой.
Тогда
г0--0, vo. = 0, C7.12)
а векторы Р, Ми L'1, согласно C7.5) и C7.7), будут соответственно
равны
P = m[urm], M = M, Le = J?* C7.13)
(в этом случае импульс и кинетический момент полностью обус-
ловлены вращением тела относительно системы S).
Если тело движется в однородном поле тяжести, то сумма
внешних сил и их момент соответственно равны (см. определение
(9.1))
Fe = ? тЛ = mg, U = ? [iyn,g] = [rmFe]. C7.14)
1=1 (=i
Отсюда видно, что сумма моментов внешних сил, действующих на
тело в однородном поле тяжести, равна моменту суммы внешних

§ 37] Уравнения движения твердого тела 34Г
сил, «приложенных» к центру масс. Момент сил относительно
центра масс вследствие C7.14) равен нулю, а уравнения движения
свободного тела в рассматриваемом поле принимают вид
rm = g, М = 0. C7.15)
Таким образом, если свободное твердое тело движется в однород-
ном поле тяжести, то его кинетический момент относительно си-
стемы Sm сохраняется *.
В случае равновесия твердого тела Р = 0 и М = 0. Следователь-
но, силы, действующие на покоящееся тело, и их моменты должны
подчиняться уравнениям (см. C7.4))
I C7.16)
где R? — реакции связей на i'-ю точку (уравнения C7.16) должны1
быть дополнены уравнениями связей или некоторыми условиями,,
определяющими, например, направления реакций).
Все приведенные выше уравнения движения твердого тела
могут быть записаны и в форме уравнений Лагранжа. Чтобы со-
ставить уравнения Лагранжа второго рода, следует определить,
кинетическую энергию тела, обобщенный потенциал и диссипатив-
ные силы Qd как функции независимых переменных. Используя;
соотношения B2.5), C7.6) и учитывая, что Т' = 0, найдем
Т = -^~ + mwo' [юг;] + ZT, C7.17)
гии
N
поступательным движением тела, &~ = \ -^-[мг,]2 — часть ки-
i—l
нетической энергии, обусловленная только вращением твердого*
тела, a tnx<y [torm] — «смешанный» член, связанный как с посту-
пательным, так и с вращательным движением тела. Если начало'
О' совмещено с центром масс тела, то «смешанный» член в любом
случае равен нулю, а C7.17) принимает вид (см. B1.8))
2
Т=^+&; C7.18)
где mvo-12 — часть кинетической энергии, обусловленная только-
N
где &" равняется кинетической энергии вращения
твердого тела относительно системы Sm.
* Формулы C7.14) и уравнения C7.15) имеют место для любой свободной
механической системы, движущейся в однородном поле тяжести; однако для
такой системы уравнения C7.15) не являются уравнениями движения.

342
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
Обобщенный потенциал 11 твердого тела равен потенциалу %
этого тела во внешних полях, так как внутренняя энергия тела
лостоянна ввиду неизменности расстояний между точками тела,
т. е.
U = Ue.
C7.19)
Соотношения C7.17), C7.19) совместное B7.20) и A7.11) по-
зволяют составить лагранжиан твердого тела. Если в качестве
независимых координат свободного тела выбрать углы Эйлера и
проекции вектора го< на оси системы S и выразить Т, IIе и Qd
через эти переменные, то из B7.23) найдем
= Q? (/= 1 6), C7:20)
где Ц\, Q2, <7з являются проекциями вектора го>, ^4 = ф. <7s = 6, <7б='ф,
•а ??=Т—cile. Если же на тело наложены голономные идеальные
связи, то получим уравнения вида C7.20), но с меньшим числом
степеней свободы.
Пример 37.1. Заряженная двухатомная молекула в постоян-
ном однородном электрическом поле.
Две точки массы п%\ и пг2 с
зарядами е\ и е% соединены
стержнем исчезающей массы и
длины /. Эта «гантель» движется
в постоянном однородном элек-
трическом поле напряженности
<S. Начальные условия выбраны
так, что движение молекулы про-
исходит в неподвижной плоско-
сти, параллельной напряженно-
сти поля. Найти уравнения дви-
жения молекулы — «гантели» и
реакции стержня на материаль-
Рис. 37.2 ные точки как функции обобщен-
ных координат и скорости.
Сориентируем инерциальную систему 5 так, чтобы ее ось Ох
была направлена вдоль напряженности <§, а плоскость Оху совпа-
дала с плоскостью движения ( рис. 37.2). Начало системы S'',
жестко связанной с молекулой, поместим в центр масс молекулы,
ось О'х' направим по оси молекулы, а плоскость О'х'у' совместим
с плоскостью Оху. Проектируя на координатные оси левую и пра-
вую части уравнения движения центра масс молекулы (см.
C7.11))

§ 37] Уравнения движения твердого тела 343
получим уравнения
откуда найдем закон движения центра масс
Хт = т Л- т ~~2 ~ Хт0 Хто< Ут ~ У то * > Уто-
Изменение ориентации молекулы определяется законом изме-
нения кинетического момента вращения, равного
<М. = ц (ху — ух) пг,
где \х — приведенная масса. Учитывая, что х = /созф, y=ls[n<p
(здесь ф — угол между осями О'х и О'х'), преобразуем последнее:
выражение к виду
Принимая во внимание, что
i?e = [г[ех ё] + [г'2е2 ё] = — пч _^щ (т1е2 — т2ех) sin <р ¦ п2,
в результате подстановки выражений <№ и J?e в уравнение мо-
ментов (см. C7.11)) получим
(mie2 — «2^) sin ф = 0. A>
Отсюда видно: если начальная кинетическая энергия враще-
ния достаточно мала, a m\ei~>mie\, то молекула будет совершать
малые колебания около положения феч = 0 (вектор г = Гг—ri в по-
ложении равновесия молекулы направлен вдоль вектора <§); если
же mie2<m2ei, то молекула будет колебаться около положения
<Peq = :n; (вектор г в положении равновесия направлен противопо-
ложно <§); наконец, если mie2 = m2ei, то молекула будет равномер-
но вращаться с начальной угловой скоростью фо.
Реакцию Ri стержня на точку 1 определим из уравнения ее
движения
Используя соотношение между ускорениями точки 1 относитель-
но 5 и Sm (см. B1.2)) и уравнение движения центра масс, полу-
чим, что
ri — ; 6 + Г 1,

344
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
и, следовательно,
т1 -\-щ
B)
Разлагая ускорение rj, равное —(mjm)c, по ортам цилиндрических
координат, найдем
Г] = — ф2Г — /ф Пф (ttl = Ш\ + ^г)* C)
т т
Наконец, подставим C) в B) и исключим ф с помощью A); тогда
D)
Таким образом, реакция стержня связана не только с различием
в действии внешнего поля на заряды 1 и 2: при равных удельных
зарядах (ei/m1 = e2/m2), так же как и в отсутствие внешнего поля,
реакция Ri будет связана с вращением тела относительно инер-
циальной системы отсчета.
Пример 37.2. Заряженная трехатомная линейная молекула в
постоянном однородном электрическом поле.
Три точки одинаковой массы m
жестко скреплены с прямым
стержнем исчезающей массы и
длины /: первая и третья на кон-
цах стержня, а вторая — посере-
дине (рис. 37.3). Все точки обла-
дают одинаковым по величине
электрическим зарядом: первая
и третья — положительным, а
вторая — отрицательным. Эта
«молекула» движется в непо-
движной плоскости, параллель-
ной напряженности <§ постоян-
ного однородного электрического
поля. Найти уравнение движения
«молекулы» в независимых координатах и реакции стержня.
Выбирая системы 5 и 5' аналогично тому, как это было сде-
лано в предыдущем примере, для радиуса-вектора центра масс,
радиусов-векторов точек и угловой скорости молекулы получим
гш = Г2> Г1 = 7Г> Г2 — 0(
Рис. 37.3
Гз = т w=

§ 37] Уравнения движения твердого тела 345
где г = г3—1*1, а ф — угол между осью молекулы и осью Ох. Кине-
тическая энергия, ввиду того что начало О' совмещено с центром
масс молекулы, равна (см. C7.18))
Если за независимые координаты взять декартовы координаты хт
и ут центра масс и угол ф, а также учесть, что все векторы r't
перпендикулярны nz, то
Потенциальная энергия молекулы в силу однородности поля равна
где ei = e3=e, а е2=—е. Используя соотношения B1.2) для каж-
дой точки и имея в виду, что г2 = гот, а п -f гз = 0, найдем энер-
гию Ue в независимых координатах
Ue = — е$хт. B>
Наконец, учитывая A) и B), из уравнений Лагранжа получим
'^"" 3m ' Хт ~ 6т ~г Хт* ' Хт°'
Ут = Уто * ~- Уто, Ф = Фо' "Г Фо-
Отсюда видно, что центр масс молекулы движется равноускорен-
но в направлении вектора <§, а вся молекула равномерно вра-
щается.
Реакцию стержня Ri на точку / определим из уравнения
движения этой точки
тг\ = в <§ + Rj.
Действительно, используя соотношение
rl = rm Jr Г1
и исключая rm с помощью C), после вычисления г[ найдем
D)

346
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
(как видно, реакция Ri при наличии внешнего поля не параллель-
на стержню). Аналогично вычисляются реакции стержня на точки
2 и 3:
т • 2
Фг
2
Фог.
E)
Реакции D) и E) являются суммарными силами, действую-
щими на точки со стороны всего стержня, причем составляющие
реакций, перпендикулярные стер-
жню, связаны с исчезающе ма-
лым изгибом бесконечно жестко-
го стержня. Нетрудно проверить,
что сумма реакций и сумма их
моментов равняются нулю, так
как реакции стержня — это внут-
ренние силы механической систе-
мы (см. (9.13 )и A0.4)). Сумма
действительных и виртуальных
работ реакций также равна ну-
лю, поскольку стержень — абсо-
лютно твердое тело (см. A1.13),
B4.8) и C7.19)).
Пример 37.3. Равновесие тон-
х' кого неоднородного стержня.
Плотность • неоднородного
Рис. 37.4 тонкого стержня веса mg и дли-
ны / линейно зависит от расстоя-
ния до одного из его концов. Более легким концом стержень опи-
рается на гладкий выступ высоты h, а более тяжелым — на глад-
кую горизонтальную опору, причем нижний конец стержня удер-
живается нитью (рис. 37.4). Определить реакции опор и нити.
Напишем уравнения C7.16) с учетом C7.14):
mg
R2 + R3 = 0,
A)
[rm mg] + [гЛ] + [r2R2] + [r3R3] = 0.
Учитывая, что реакция Ri перпендикулярна стержню, R2 перпен-
дикулярна горизонтальной опоре, a R3 направлена по горизонтали,
выберем систему координат Оху так, чтобы большее число компо-
этент сил равнялось нулю. Тогда уравнения A) можно представить
-в виде
cos а — R3 = 0, — mgxm — yxRx cos a -! x2R2 = 0,
— mg -;- Rt sin а -г R2 = 0.
B)

§ 38] Тензор инерции 347
Используя систему О'х'у' (см. рис. 37.4), определим положение
центра масс стержня. С этой целью заменим в (9.1) суммирование
по точкам интегрированием по длине; тогда получим
"
\p(x')dx'
Jp ()
Ут = 0, %т = " = — I,
о
где р(х')=ах' — плотность массы стержня (здесь постоянная а.
выражается через массу стержня и равна 2т//2). Отсюда найдем
координату хт центра масс стержня относительно Оху:
хт = h tg а sin a. C)
О
Используя B) и C), окончательно получим
^ = _?5?_ 8}П 2а, i?2 = mg — Rx sin a, Ra = i?x cos a.
6Л
§ 38. Тензор инерции
Кинетический момент и энергия твердого тела содержат до-
статочно сложные выражения М и ?Г, связанные с вращением
тела (см. C7.5) и C7.17)). Изучим подробнее эти величины, яв-
ляющиеся соответственно линейной и квадратичной формами от
проекций угловой скорости (коэффициенты этих форм зависят от
распределения масс в теле). Принимая во внимание известное век-
торное соотношение
[r;[«r;i] = (ri)»«—riti»),
представим кинетический момент вращения в виде
М = ? tnt {(nf <o - г,- (г,- (»)}. C8.1)
?
Поскольку векторы г,- постоянны лишь относительно системы,
жестко связанной с твердым телом, целесообразно использовать
проекции момента М на оси системы 5'. Проектируя C8.1), на-
пример, на ось О'х', получим
tni \i)i "Г zi ) ®х' —¦ 2j т1Х1У1 ЫУ' — 2ш1 tniXLZi Ыг' ¦
? t i

348
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
Аналогично определяя оМу- и <Мг- убедимся, что все проекции мо-
мента можно записать в форме
~~ р; C8.2)
здесь индексы аир являются индексами координатных осей си-
стемы S', а совокупность величин /«р представляется матрицей
Щ
m{ (xf
'")
mt z- xi —
C8.3)
Вывод соотношения C8.2) полезно повторить, используя тен-
зорные обозначения. Тогда C8.1) будет иметь вид
C8-4)
где индекс t материальной точки опущен для сокращения записи, а
« и р пробегают значения 1, 2 и 3, являющиеся индексами осей
О'х', О'у', O'z' соответственно (например, символом х2 обозначена
проекция ус радиуса-вектора vi). Учтем далее, что проекцию угло-
вой скорости соа можно представить в виде
с помощью символа Кронекера по определению равного
1 при а = р,
О при а
C8.5)
Таким образом, действительно, выражению C8.4) можно придать
форму C8.2), в которой коэффициенты равны
Ху х'у) бар — Ха Хр'} •
C8.6)
Часть кинетической энергии &~, связанную только с враще-
нием тела (см. C7.17)), также можно выразить через величины
А. Действительно, учитывая, что

$ 38]
Тензор инерцнн
349
найдем
— — V
C8.7)
Рис.
Совокупность величин Уар называется тензором инер-
ции, а его отдельные компоненты — моментами инерции.
Кинетический момент вращения М и энергия вращения д" выра-
жаются через моменты инерции /ар и проекции угловой скорос-
ти (о. Заметим, что моменты инерции /ор, характеризующие дан-
ное твердое 'тело, являются по-
стоянными величинами, которые
зависят только от выбора систе-
мы S', жестко связанной с телом,
от распределения массы твердого
тела и его формы. Тензор инер-
ции является симметричным тен-
зором, т. е. является совокуп-
ностью шести моментов инерции:
трех «диагональных» моментов
Jx'x, Jyy, Jzr, которые называ-
ются осевыми моментами инерции, и трех «недиаго-
нальных» моментов. Jx'y', Jx'z-, Jy'z', которые называются
центробежными моментами инерции.
Вычислим, например, моменты инерции двухатомной молеку-
лы относительно систем отсчета Si и S2 с началами в точке 1 и
центре масс молекулы соответственно и с одной из координатных
осей, направленной по оси молекулы (рис. 38.1). В системе Si ко-
ординаты точек соответственно равны
х\ = у'\ = г[ = 0, х2 = у* = 0, z2 = I,
где / — расстояние между точками. Подставляя эти координаты
в C8.3), найдем моменты инерции молекулы в системе Si
Г I Т Г Л
Jx'y' — •>х'г' — Jy'z' — *z'z' •— ",
= Jyy —
-г m2z2 =
Вычисления в системе 5г также приводят к двум равным и от-
личным от нуля моментам инерции:
= Jyy =
+
l
= (д./2,

350
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
где
Zl = —
а ц—приведенная масса. Таким образом, тензор инерции молекулы в
системах S[ и S'2 соответственно имеет вид
II'«В 1 =
/2
0
0
/2
0
0
0
m2/2
0
0
(i/2
0
0
0
0
0
0
0
Оси системы S', жестко связанные с твердым телом, всегда
можно выбрать так, чтобы все центробежные моменты инерции об-
ратились в нуль. Действительно, часть &" кинетической энергии
является положительно определенной квадратичной формой про-
екций вектора о> с вещественными симметричными коэффициен-
тами /ар (см. C7.17) и C8.7)). И поэтому некоторым преобра-
зованием координат ее всегда можно привести к каноническому
виду
г-с4). C8.8)
JyWy
Этому процессу соответствует приведение симметричного тен-
зора с вещественными компонентами к диагональному виду
Jx- 0 О
^e 11 =
о
о
Jy
о
о
C8.9)
Оси, жестко связанные с твердым телом, относительно которых
тензор инерции диагоналей, называются главными осями
инерции. В этом случае «диагональные» моменты называются
главными моментами инерции и обозначаются JX',
Jy, Jzr- Для каждого начала системы S', жестко связанной с
телом, существуют свои направления главных осей и свои значе-
ния главных моментов.
В большинстве случаев при решении конкретных задач оси
системы 5' целесообразно направлять по главным осям; при таком
выборе осей выражение для энергии вращения 2Г упрощается
(ср. C8.8) и C8.7)), упрощается также выражение C8.2) для мо-
мента вращения:
<Мх' = Jx' °V, <*Му = Jy' Wy'i 0^2' = Jz' G>z'. C8.10)

§ 38]
Тензор инерции
351
Общей процедурой отыскания главных осей инерции является
известный алгебраический процесс приведения квадратичной фор-
мы ?Г к каноническому виду. Наиболее просто диагонализация &~
осуществляется в тех случаях, когда тело обладает симметрией в
распределении масс, или, как говорят, материальной сим-
метрией.
Пусть, например, тело обладает осью материальной симмет-
рии (это означает, что все точки тела можно разбить на пары
одинаковых по массе точек, расположенных симметрично относи-
тельно данной оси). Тогда, производя соответствующую перену-
мерацию точек, для каждой пары симметрично расположенных
точек получим
п= (х'и у\, zc)
=(— x't, —y'it z'i)
C8.11)
(здесь ось O'z' совмещена с осью симметрии). Подставляя C8.11)
в (9.1) и суммируя по указанным парам, придем к выводу, что
центр масс тела находится на оси материальной симметрии:
x'm = 0, y'm = Q, г'тф0; C8.12)
а суммируя по тем же парам выражения для моментов инерции
{см. C8.3)), убедимся, что JX'z- = Jy-z- = 0, и, следовательно, тен-
зор инерции имеет вид
C8.13)
Таким образом, ось материальной симметрии тела является глав-
ной осью инерции.
В предельном случае, когда все точки тела находятся на од-
ной прямой (такое тело называется ротатором), координаты
xi и ус точек равны нулю и, следовательно, Jx-y =0.' Поэтому
все оси, перпендикулярные оси ротатора, являются главными ося-
ми инерции, а главные моменты инерции равны
kizif C8.14)
Jx'x'
«у'х'
0
« х'у'
Jyy
0
0
0
Jz'
(ротатор имеет две вращательные степени свободы, поскольку
говорить о вращении ротатора вокруг своей оси бессмысленно).
Пусть теперь тело обладает плоскостью материальной сим-
метрии. Тогда, совмещая плоскость О'х'у' с плоскостью симмет-

352
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
рии, все точки (вне плоскости) можно разбить на пары, для ко-
торых
mt = mi+1, rl = (xl, yl, г]),
C8.15)
r't+i = (x'i, yl, —z\).
Подставляя C8.15) в (9.1), а затем в C8.3), убедимся, что в рас-
сматриваемом случае центр масс лежит в плоскости материальной
симметрии, а любая ось, перпендикулярная этой плоскости, будет
главной осью инерции. Если все точки твердого тела расположены
в некоторой плоскости, то наряду с отмеченными результатами
найдем, что
"г' — Jх' ~Г Jy>
C8.16)
где Jx. = ]? m{ y'i, Jy =
пгс х\ .
Если тело обладает не одним признаком симметрии, то отыска-
ние главных осей инерции еще более упрощается. Покажем это на
примере плоского диска с осью материальной симметрии, совпа-
У
Хгг'
Рис.
38.2
aV4-
а)
Рис.
38.3
дающей с одним из диаметров этого диска. Помещая начало О'
в любую точку оси симметрии (рис. 38.2), нетрудно убедиться, что
главными осями будут ось O'z', перпендикулярная плоскости
диска, ось О'у' — ось материальной симметрии диска и ось U'x',
перпендикулярная первым двум осям.
В заключение рассмотрим преобразования тензора инерции в
результате преобразований системы 5', жестко связанной с твер-
дым телом. Например, в результате параллельного переноса полу-
чим две системы, жестко связанные с твердым телом: систему

§ 38] Тензор инерции 353
O'x'y'z' и систему O"x'y'z' (оси этих систем параллельны, а на-
чала различны — см. рис. 38.3, а). Обозначая компоненты тензора
инерции относительно системы S" (т. е. системы O"x'y'z') симво-
лом Jq% согласно C8.6) будем иметь
{ {{r'if баР — (г!)а (г-)з}, C8.17)
i
где Г; — радиус-вектор t-й точки относительно системы S", а
(ъ)а— его проекция на ось с индексом а. Поскольку радиусы-
векторы любой точки тела относительно рассматриваемых систем
связаны соотношением (см. A.6))
¦ П=г;-гс, C8.18)
где с = Гсго-, то, подставляя C8.18) в C8.17) и используя определе-
ние центра масс (9.1), найдем
Ja.fi = j'a& + m (С2бар — СаС&) + Ш {2СГ^ баЭ — (Гот)а Ср — (rm)g Са},
C8.19)
где т — масса всего тела, a rm — радиус-вектор центра масс
тела относительно S'. Если начало О' поместить в центр масс те-
ла, то rm=0 и C8.19) сведется к более простому выражению
f*b = 4 + m (с2 беф - саср); C8.20)
здесь «/'ар — тензор инерции относительно системы S' с началом
в центре масс тела. Такой тензор называется центральным,
а главные оси инерции, проходящие через центр масс, называются
главными центральными осями.
Используя C8.20), можно найти соотношение между осевыми
моментами инерции относительно параллельных осей, одна из ко-
торых проходит через центр масс (теорема Штейнера). На-
пример, соотношение между моментами Jziz> и /?г- имеет вид
/г,г, = Jf,2, а- пиР, C8.21)
где d — (с~Х' -j- с2У'У!г—расстояние между параллельными осями О"г'
и О'г', проходящими через начало 0" и центр масс тела соответст-
венно (см. рис. 38.3, б).
Для того чтобы найти преобразование тензора при поворотах
системы координат, выберем жестко связанные с твердым телом
системы S' и S", имеющие общее начало (рис. 38.4). Выражая
какую-либо скалярную функцию, зависящую от компонент тензо-
12 и. И. Ольховский

354
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
ра, сначала через величины, отнесенные к системе S', а затем
через аналогичные величины, отнесенные к системе 5", можно по-
лучить закон преобразования тензора. В частности, выбирая в ка-
честве скалярной функции кинетическую энергию ?Г, получим
'(IV '
, (Ov =
C8.22)
H,V
os.fi
где
а /о
- компоненты тензора инерции относительно системы S",
компоненты тензора инерции относительно 5'. Пользуясь
законом преобразования векторов при
поворотах системы координат (см., на-
пример, A6.2) и A6.15)), найдем, что
проекции угловой скорости на оси си-
стем 5' и 5" связаны между собой со-
отношениями
C8.23)
где оад — косинус угла между осями
с индексами а и \л. Подставляя в пра-
вую часть равенства C8.221 выраже-
ния C8.23) и приравнивая коэффици-
енты при одинаковых произведениях
©ц ©v, получим
pv. C8.24)
Рис. 38.4
Такой же вид имеют формулы преобразования любого тензора
при поворотах системы координат.
Пример 38.1. Моменты инерции неоднородного тонкого стерж-
ня с плотностью массы, линейно зависящей от расстояния до одно-
го из концов стержня.
Найти моменты инерции указанного стержня массы m и дли-
ны I относительно главных центральных осей инерции.
Определим моменты инерции относительно главных осей с
началом в более легком конце и осью O'z', направленной по
стержню. Имея в виду, что плотность стержня определяется функ-
цией (см. пример 37.3)
получим значение для двух отличных от нуля моментов инерции:
f ml2
J 2
о

38]
Тензор инерции
355
Главные центральные оси могут быть найдены параллельным пе-
реносом уже рассмотренных осей. Применяя теорему C8.21), по-
лучаем
так как расстояние от более легкого конца стержня до его центра
масс равно 2//3 (см. пример 37.3). Отсюда
У
18
Пример 38.2. Главные оси инерции твердого тела, представ-
ляющего собой систему четырех точек, расположенных в углах
¦прямоугольника.
Определить направление главных осей инерции с началом в
одной из материальных точек
твердого тела (рис. 38.5), пред-
полагая, что масса каждой точки
равна гп, а стороны прямоуголь-
ника равны а и Ъ соответственно.
Ось О" г", перпендикулярная У
плоскости тела, будет главной
осью инерции. Поэтому остается
определить положение оси О"х"
•в плоскости тела, т. е. определить
угол ф, указанный на рис. 38.5.
Прежде чем найти моменты
инерции относительно системы с началом в О", вычислим главные
центральные моменты инерции*. Из соображений материальной
симметрии следует, что центр масс находится на пересечении диа-
гоналей прямоугольника, а оси О'х' и О'у' являются главными
центральными осями; используя C8.16), найдем моменты инерции
относительно этих осей:
J% = mb\ J$ = ma*, Jf. = m (a2 + b9-).
Затем, применяя преобразование C8.20), получим моменты Лф
относительно системы O"x'y'z'. Используя преобразование для
диагональных элементов
Jaa = J™ -- 4m (с2 — &)
* Такой путь решения не является кратчайшим, ио позволяет проиллю-
стрировать преобразование C8.20).
12*

356 Динамика твердого тела [Гл. VIII
и преобразование для недиагональных элементов
$ (а
найдем
Jx-x- = 2mb2, Jyy = 2та2, Jz- = 2m (a2 - 6s),
«/^'j' = — tnab, JX'z' = Jy'2' = 0.
Отсюда следует, что оси О"х' и О" у' не являются главньши.
Поэтому повернем систему O"x'y'z' вокруг оси O"zf так, чтобы
центробежный момент JX"y" относительно новой системы O"x"y"zr
обратился в нуль. При этом повороте интересующая нас компо-
нента преобразуется по закону (см. C8.24))
** Jf"i/" — *?х'х' (*х''х* *~х'и№ ~~Т~ ** х'ц' &х'хп ^и'уп Т ** x'z' **x'xtt *~z'и" "Т~
~~i~ ^их' *^у'хю @х'и" ~Т" "у'у' &и'xtt"*ы*ы" ~J^ **y'z****у'х1*&z'ya ~Т~
-Г Jz'x' O-z'x'O-ic'y" + Л'У CLz'x'Cty'y" "Г Л'*' а*Х" Яг'у'.
Учитывая, чго aZ'X» = аг-й" = 0, а остальные Оо> выражаются через
угол ф согласно формулам
^л'х" = Яуу" = COS ф, Ол:у = — Sin ф, fly^» = SiH ф,
и требуя обращения в нуль момента инерции /су, получим следую-
щее уравнение относительно угла ф:
— Jx-X' cos ф sin ф — Jyy sin фcos ф -f JX'y (cos2 ф — sin2 ф) = Q
и его решение в виде
= 2Jx-y _ ab
Jx-x'~Jyy я2 —б2
§ 39. Плоскопараллельное движение твердого тела
Инерционные свойства твердого тела зависят от массы тела и
ее распределения по объему тела. В связи с этим движение твер-
дого тела представляет собой достаточно сложное механическое
явление. Начнем его изучение с простейшего случая — плоско-
параллельного движения, когда все точки тела движут-
ся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости
(рис. 39.1).
Если движение твердого тела является плоскопараллельным,
то систему S', жестко связанную с телом, всегда можно выбрать
так, чтобы плоскость О'х'у' совпадала с неподвижной плоскостью
Оху некоторой инерциальной системы S. Тогда оси Oz и O'z' будут
оставаться параллельными, а положение тела будет определяться

§ 39]
Плоскопараллельное движение тела
357
двумя координатами точки О' и одним углом Эйлера ср (если на
тело не налагается каких-либо дополнительных связей). Угловая
Рис. 39.1
скорость тела и его момент вращения будут, вообще говоря, не-
коллинеарны и соответственно равны (см. A7.10), C8.1) и C8.2))
ю = фпг, C9.1)
оМ>х> = Jx,z, ф, еМ>у- = Jy'z' Ф1 o4Cz- = Iz'z' ф> C9.2)
а кинетическая энергия 3", связанная с вращением тела, имеет
вид (см. C8.7))
д- = _L /2,2, ф2. C9.3)
Помещая начало системы S' в центр масс несвободного тела,
получим уравнение движения его центра масс относительно систе-
мы 5 (см. C7.4))
mrm =» Fe -f Re
C9.4)
и закон изменения момента вращения тела относительно системы Sm
(см. C7.4) и C7.11))
к =<?*+<?%. C9.5)
Запишем уравнение C9.4) в декартовых координатах для слу-
чая плоскопараллельного движения:
C9.6)
Rl

358 Динамика твердого тела [Гл. VIII
При использовании же уравнения C9.5) нужно иметь в виду,
что производная момента вращения по времени берется при по-
стоянных ортах пх, пу, nz, а сам момент <М. задается в виде раз-
ложения C9.2) по ортам п*-, Щ>, пг>, движущимся вместе с
телом. Чтобы устранить эту трудность, воспользуемся соотноше-
нием A9.16), справедливым для любого вектора, заданного в виде
разложения по движущимся ортам. Тогда вместо C9.5) будем
иметь
?* [ыМ] = & + 3%, C9.7)
+ [ыМ] & + 3%,
dt
it
где производная по времени при фиксированных ортах пх-,
at
Пу, Пг-.
Отсюда, учитывая разложения C9.1) и C9.2), найдем уравне-
ния изменения момента в форме
C9.8)
Таким образом, уравнениями плоскопараллельного движения тела
являются уравнения C9.6) и C9.8). Что касается уравнений в не-
зависимых координатах, то они будут определяться^ функцией Ла-
гранжа вида
X = 4- [xl + у2т) - -%1 &-% C9.9)
(здесь также использованы декартовы координаты центра масс
тела).
Распространенным случаем плоскопараллельного движения
тела с внешними связями является движение физического
маятника (так называется твердое тело, жестко связанное с
неподвижной осью — осью маятника, вокруг которой оно может
совершать колебания). В предположении идеальности этой связи
задача легко решается в независимых координатах. Совместим
одну из осей инерциальной системы с осью маятника, предпола-
гая, что она горизонтальна. Другую ось системы координат напра-
вим вдоль напряженности поля тяготения g. В качестве начала О
возьмем точку пересечения оси маятника и перпендикулярной к
ней прямой, проходящей через центр масс маятника (рис. 39.2).
Далее с иллюстративной целью рассмотрим данную задачу
при разных выборах системы S', жестко связанной с твердым те-
лом. Пусть система Sf выбрана так, что О' совпадает с О, ось

§ 39]
Плоскопараллельное движение тела
359
O'z' — с осью Oz, а ось О'х' проходит через центр масс. Тогда, вы-
бирая в качестве независимой координаты угол ф между осями Ох
и Ох' (рис. 39.2,а), в соответствии с C7.12) и C7.17) найдем, что
a)
в)
вся кинетическая энергия маятника будет равна кинетической
энергии вращения &~, а в соответствии с C7.19) и первой из фор-
мул C7.14) для потенциальной энергии маятника получим
U = _ mgrm = — mgl cos ф,
где m — масса маятника, а / — расстояние от центра масс маят-
ника до его оси. Пользуясь выражениями &~ (см. C9.3)) и (/, с
помощью уравнения Лагранжа найдем
Ф + со| sin ф = О,
C9.10)
где cog = {mgl/Jz'z-I/2 — частота линейных колебаний маятника.
Если начало системы S' поместить в центр масс, а ось O'z'
направить параллельно оси Oz (рис. 39.2,6), то для кинетической
энергии получим выражение (см. C7.9) и C7.18))
Jz'z'
Ф2,
где Ут = /ф. Учитывая, что потенциальная энергия остается той же,
придем к уравнению движения маятника с квадратом частоты ли-
нейных колебаний, представленным в виде
mgl
ml2
C9.11)
Наконец, совместим начало системы S' с центром масс, а ее
оси направим по главным центральным осям инерции (рис. 39.2,в).

360
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
При таком выборе системы S' проекции угловой скорости w на
оси 5' равны:
ах> = соаМлГ', а>у. — а>аау, со*. = coaw, C9.12)
где ciwa — косинусы угла между осью вращения и главной централь-
ной осью с индексом а, а со — модуль угловой скорости. Подстав-
ляя C9.12) в C8.8), получим кинетическую энергию вращения
в виде
gT=—/„со2, C9.13)
где /и = Jf'O^x- + ^а\у + J™a%z— момент инерции тела относитель-
но оси вращения, а /™, /™, /™ — главные центральные моменты, В дан-
ном случае /ffl совпадает с /"г- и является постоянной величиной,
так как углы между осями 5 и 5' не изменяются*. Указанный вы-
бор системы 5' приводит нас к тому же уравнению движения с квад-
ратом частоты линейных колебаний, представленным в виде
—. C9.14)
Подчеркнем, что закон изменения координаты ф не зависит от
выбора системы S' и все полученные выражения для cog хотя и
имеют разный вид, равны друг другу (моменты инерции Jrr, Jf-z-
и У™, /™, J™ связаны между собой соотношениями C8.20) и
C8.24)).
Пример 39.1. Плоскопа-
раллельное движение одно-
родного шара.
Исследовать плоскопа-
раллельное движение шара
массы т радиуса R в посто-
янном однородном электри-
ческом поле напряженности
&, если одна из точек на
поверхности шара обладает
электрическим зарядом е
(изменением поля, обуслов-
ленным наличием тела, пре-
небречь).
Рис. 39.3
* Кинетическая энергия, связанная с вращением тела, всегда может быть
представлена в виде C9.13). Однако в общем случае Ja зависит от времени,
поскольку положение оси вращения относительно S' изменяется.

§ 39] Плоскопараллельное движение тела 361
Выберем инерциальную систему S так, чтобы плоскость Оху
проходила через це.нтр масс шара параллельно вектору 6, а ось
Ох была направлена вдоль этого вектора (рис. 39.3). Начало О'
системы, жестко связанной с шаром, поместим в его центр масс,
а ось О'х' совместим с прямой, проходящей через центр масс ша-
ра и заряд е.
Согласно C7.18) и C9.2) кинетическая энергия шара равна
гг т ,'2 . Ч . Jг "о
Т = — (Xm f- Ут) -Г — ф2,
где хт, ут — декартовы координаты центра масс шара, а ср —
угол между осями Ох и О'х'. Потенциальная энергия шара в
электрическом поле равна
где г — радиус-вектор заряда. Выражая U через независимые ко-
ординаты Хт, Ут И ф, ПОЛуЧИМ
U=— eg(xm+ Rcosq).
Затем из уравнений Лагранжа найдем
* + Хт. Ут=Ут* + Ут> Ф + ^~ sin Ф = °-
т 2 jm
Отсюда видно, что центр масс шара движется равноускоренно
вдоль напряженности поля и по инерции перпендикулярно к ней.
Одновременно шар совершает движение, подобное движению ма-
тематического маятника; при малых ф шар будет совершать линей-
ные колебания с частотой
7ГП
J2'
Момент инерции J™ ввиду симметрии шара равен (см. C8.3))
R Я2Я
где р — плотность массы на единицу объема, dV'= (r'Jsin 8'X
Xdr'dQ'ds' — элемент объема в системе 5' в сферических коорди-
натах г', 0' и г'. Учитывая однородность шара, получим

362
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
Наконец, принимая во внимание, что
т=
= \ pdV — —— Я3,
(V)'
найдем значение главного центрального момента инерции
а также квадрат частоты линейных колебаний шара
2 _ 5 еЩ
е 2~ ~mR'
Пример 39.2. Колебания диска.
Найти частоту линейных колебаний однородного диска массы
т радиуса R (рис. 39.4) в двух случаях: а) в случае шарнирного
Рис. 39.4
соединения диска со стержнем в центре масс диска, б) в случае
жесткого скрепления диска со стержнем (стержень невесомый дли-
ны /, трением в местах соединения пренебречь).
Выбирая в случае (а) системы S и S' так, как это показано
на рис. 39.4,а, и учитывая C7.18) и C9.2), получим кинетическую
энергию диска
Т=
ф2,
где ф1 — угол между Ох и 00', ф2 — угол между О'х и О'х'.
Учитывая, что потенциальная энергия диска равна
U = — mgl cos q>lt

39]
Плоскопараллельное движение тела
363
найдем уравнение Лагранжа, соответствующее координате qn, и
обобщенную скорость фг:
фх ~ «a Sin ф2 = 0, фа = ф20,
где ®\ = gll. Таким образом, в этом случае происходит колебание
центра диска и его вращение с постоянной угловой скоростью.
В случае (б) имеем физический маятник, кинетическая энер-
гия которого равна
Т =
ml2 -2
•Ф1.
где Л-' = mR2/2 — главный центральный момент инерции относи-
тельно оси, перпендикулярной диску. Отсюда в соответствии с
C9.4) найдем квадрат частоты линейных колебаний маятника,
жестко скрепленного с подвесом:
0 2Р + Яа
Пример 39.3. Колебания не-
однородного тонкого стержня,
опирающегося на обруч.
Найти частоту линейных ко-
лебаний неоднородного тонкого
стержня массы пг длины /, концы
которого скользят (рис. 39.5) по
расположенному в вертикальной
плоскости гладкому обручу ра-
диуса R (плотность массы стерж-
ня линейно зависит от расстоя-
ния до одного из его концов).
Выбирая системы координат
так, как это показано на
рис. 39.5, получим выражения
для кинетической и потенциальной энергий стержня:
Рнс. 39.5
та*
Ф2, U = — mga cos 6,
где а = Я2 - ^г
2.Р УI.
— расстояние от центра обруча до центра
масс стержня (здесь учтено, что центр масс находится на расстоя-
нии 2//3 от более легкого конца стержня — см. пример 37.3). Имея
в виду, что разность между углами 9 и ф постоянна, а главный

364
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
центральный момент стержня равен ml2/18 (см. пример 38.1),
найдем значение квадрата частоты линейных колебаний стержня
Я2—
Пример 39.4. Плоскопараллельное качение неоднородного ци-
линдра.
По горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости катается
неоднородный цилиндр массы т и радиуса а (расстояние от его
геометрической оси до центра масс равно /, а ось, проходящая че-
рез центр масс параллельно оси цилиндра, является главной осью
инерции — момент инерции относительно этой оси равен /). Най-
-У'
¦*</
х
Рис. 39.6
ти частоту линейных колебаний цилиндра и реакцию плоскости,
если движение цилиндра плоскопараллельно.
Выберем системы 5 и 5' (т. е. системы Оху н О'х'у') так, как
показано на рис. 39.6,а. Качение цилиндра по абсолютно шерохо-
ватой плоскости представляет собой движение системы, на кото-
рую наложена идеальная связь. Действительно, скорость точки
цилиндра, касающейся плоскости, будет в момент касания равна
нулю и, следовательно, виртуальное перемещение такой точки
равно нулю. Учитывая, что реакция плоскости приложена к точке
касания цилиндра, приходим к выводу, что эта реакция не совер-
шает виртуальной работы.
Уравнение рассматриваемой связи можно записать в виде
(см. C7.2))
v = \т +- fwr'l = 0, (\\
к т i i к* ' V»/

§ 39] . Плоскопараллельное движение тела 365
где \т, о — скорость центра масс и угловая скорость цилиндра,
vK, гк — скорость точки касания относительно 5 и ее радиус-век-
тор относительно 5'.
Условие A) в случае плоскопараллельного качения приводит
к двум уравнениям:
хп = щ'к, ут = — шк, B)
гдехт, Ут — декартовы координаты центра масс цилиндра, х'к,ук—
проекции радиуса-вектора г^ на оси Ох и Оу. Координаты х'к и у'к
выражаются через угол ф между осями О'х и О'х' с помощью
формул
А',' — а — / cos ф, и' = — / sin ф.
Таким образом, уравнения B) можно представить в виде
хт — — 'ф sin Ф1 Ут = — Ф (а — I с08 ф)> C)
а затем проинтегрировать и тем самым получить хт и ут как
функции ф:
(здесь постоянные интегрирования выбраны так, чтобы при ф = 0
центр масс цилиндра находился в наинизшем положении). Следо-
вательно, в случае плоскопараллельного качения связь A) яв-
ляется голономной.
Кинетическая и потенциальная энергии цилиндра как функции
•независимой координаты ф и обобщенной скорости ф соответст-
венно равны (см. формулы C) и D))
Т = — [m(a2-^t2 — 2a/cosф) + J] ф2, U = —mglcos(f.
Отсюда получим уравнение линейных колебаний цилиндра
Ф -f- со3ф = 0, E)
«где
s m(a — IJ -+- J
Чтобы найти реакцию плоскости, используем закон изменения
импульса цилиндра (см. C7.4) и рис. 39.6, б):
тхт = mg + Rx, mym = Ry.

366 Динамика твердого тела [Гл. УПБ
Подставим сюда проекции скорости центра масс из формулы C)
и пренебрежем членами второго порядка малости и выше по ве-
личинам ф и ф. Тогда, используя уравнение E), найдем
R = mg R= Л
т(а
ф-
Отсюда видно, что при малом отклонении ф>0 возникает состав-
ляющая реакции Ry>0, стремящаяся вернуть центр масс цилинд-
ра к положению устойчивого равновесия; момент всей реакции R
относительно центра масс стремится повернуть цилиндр по часовой
стрелке, т. е. опять-таки к положению устойчивого равновесия.
§ 40. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.
Уравнения Эйлера
Изменение ориентации тела с одной закрепленной точкой свя-
зано с изменением всех углов Эйлера, поэтому задача о движении
такого тела является более сложной по сравнению с задачей
о плоскопараллельном движении.
Для исследования рассматриваемой задачи поместим в непо-
движную точку тела как начало О инерциальной системы S, так и:
начало О' системы 5', жестко связанной с телом, а оси системы S'
направим по главным осям инерции относительно неподвижной
точки. Тогда векторные уравнения движения C7.4) с учетом.
C7.13) можно записать в виде
где Р = т [ч>г'т] — импульс тела, Re — реакция опоры в точке-
закрепления (момент реакции в силу выбора начала отсчета равен
нулю).
Так как оси системы S' направлены по главным осям инерции,,
то в уравнении моментов (см. D0.1)) необходимо использовать-
разложение вектора М. по этим осям (см. C8.10)). С этой целью
представим уравнение для момента в форме C9.7) и, таким обра-
зом, получим
[ыМ\=У\ D0.2)»
dt ' l J '
Проектируя правую и левую части уравнения D0.2) на оси
системы S', жестко связанной с темм, и учитывая, что проекции
производной на оси 5', согласно C8.10), соответственно
dt
равны

•§ 40] Движение тела с одной неподвижной точкой 367
найдем динамические уравнения Эйлера
Jx'U>X' + (Jz> — Jy) шушг. = <?%.,
Jy'dty - {Jx- — Jz') <"V<«V = %l't D0.3)
JZ'(oZ' + (Jy—Jx>)<ax.<ay. = <?\..
Для решения задачи методом Лагранжа необходимо найти
кинетическую энергию как функцию независимых координат <р, 8,
-ф и обобщенных скоростей ф, 8, г|). Учтем, что кинетическая энер-
гия Т равна энергии вращения ?7" (см. C7.17)), а оси системы S'
направлены по главным осям инерции (см. C8.8)). Тогда, исполь-
зуя кинематические формулы Эйлера A7.11), получим *
Т = —^- (ф sin i|> sin 8 +0 cos \j>J -r —^- (ф cos ij) sin 8 — 0 sin ij;J --
-i — (ф cos 0 -f ФJ. D0.4)
Выражение D0.4) заметно упрощается, если моменты инерции
-относительно двух главных осей равны друг другу (в этом случае
тело называется симметричным волчком). Действительно,
направляя по этим главным осям оси О'х' и О'у' и полагая
Jx' = Jy-, из D0.4) найдем
Т = —?- (ф2 sin2 6 + ё2) + isL- (ф cos 0 + ij>J. D0.5)
Отметим известные общие решения задачи о движении тела
¦с одной закрепленной точкой под действием однородного поля
тяжести, которые справедливы при произвольных начальных усло-
виях. Такими решениями являются решения: а) задачи Эйлера
(случай уравновешенного волчка), когда неподвижная точка и
центр масс тела совпадают, б) задачи Лагранжа (случай симмет-
ричного неуравновешенного волчка), когда Jx- = Jy=?JZ', а центр
масс находится на оси Oz', в) задачи Ковалевской (случай сим-
метричного неуравновешенного волчка), когда Jx- = Jy = 2J2',\ a
центр масс находится в плоскости О'х'у'**. Кроме этих случаев
существования общих интегралов известны также некоторые част-
* Подставляя D0.4) в B6.20), можно убедиться, что только третье урав-
нение системы D0.3) является уравнением Лагранжа относительно переменной
if, а два других уравнения не являются уравнениями Лагранжа относительно
<р и 8.
** Подробное изложение этих случаев приводится во многих книгах, напри-
мер см. i9].

368
Динамика твердого тела
[Гл. VIII
ные интегралы, т. е. интегралы, имеющие место при определенных
начальных условиях.
Пример 40.1. Изменение ориентации спутника (свободного
симметричного волчка).
Найти закон изменения ори-
ентации спутника Земли относи-
тельно гелиоцентрической систе-
мы отсчета.
В качестве инерциальной си-
стемы 5 выберем систему с на-
чалом в центре Земли и осями,
направленными на «неподвиж-
ные» звезды (см. пример 20.3).
Начало системы S\ жестко свя-
занной со спутником, поместим в
его центр масс, а ось O'z' напра-
вим по оси материальной сим-
метрии спутника (рис. 40.1).
Уравнения движения спут-
ника относительно 5 можно записать в виде C7.11)
A)
где m — масса спутника, g (rf) = — у -^- Г; — напряженность поля тя-
?
готения Земли в точке пространства, где находится i-тая доста-
точно малая часть спутника с радиусом-вектором г* относительно»
5 и радиусом-вектором rv относительно системы S'. Учитывая*
что размеры спутника исчезающе малы по сравнению с расстоя-
нием от центра Земли до любой точки спутника, т. е. полагая, что
g(r,)«g(rm), получим
Гт = g (Гт), Л = ГП [fmg (ГтI = 0, B)
где гт — радиус-вектор центра масс спутника относительно S,
a r'm =0 в силу выбора системы S'. Таким образом, задача о дви-
жении спутника распадается на две независимые задачи: задачу о
движении центра масс, которая была рассмотрена в § 8, и задачу
06 изменении ориентации спутника относительно поступательно
движущейся системы Sm центра масс.
Из B) видно, что кинетический момент вращения относитель-

§ 40] Движение тела с одной неподвижной точкой ЗбО
но Sm сохраняется. Кроме того, имеет место интеграл полной
энергии спутника относительно системы S (см. C7.18))
2
^--ёГ^-и=Еь> C)
где U=—mg(rm)rm. Пользуясь уравнением движения центра масс
(см. B)), нетрудно показать, что
2
^Y~ — mg (rOT) rOT = const. D>
Сопоставляя выражения (З) и D), видим, что кинетическая энер-
гия вращения '<Т также сохраняется и, следовательно, при реше-
нии задачи об изменении ориентации спутника (свободного волч-
ка) можно исходить из двух законов сохранения:
Направляя ось O'z по вектору М.о, достигаем того, что оМ>\ —
проекция момента на линию узлов — будет равна нулю (см.
рис. 16.2). С другой стороны, эта проекция равна выражению
tA\ = сЖх> cos т|>— оМу sin i|),
которое для симметричного волчка можно записать в виде (см.
C8.10) и A7.11))
Следовательно, в выбранной системе координат 6 = 6о, т. е. наклон
оси симметрии тела по отношению к <М.О, остается постоянным. Это
в свою очередь приводит к сохранению проекции угловой скорос-
ти (о на ось симметрии волчка, поскольку (см. рис. 40.1 и C8.10))
а?г, = е?0 COS 6„ = Л'«>г'.
Используя D0.5), запишем интеграл энергии в виде
J% (ф2 sin3 G + в2) + Jf. (
где J™, J™— главные центральные моменты инерции волчка. От-
сюда, учитывая постоянство 6 и gv, приходим к выводу о посто-
янстве ф, что обусловливает постоянство г|з (см. третью из формул
A7.11)).
Итак, симметрия волчка и законы сохранения его кинетиче-
ского момента и кинетической энергии приводят к решению

370 Динамика твердого тела [Гл. VIII
Следовательно, свободный симметричный волчок совершает регу-
лярную прецессию (см. пример 17.1). Для этого движения харак-
терно, что ось симметрии волчка и его ось вращения сами враща-
ются относительно инерциальной системы вокруг постоянного
вектора <М,0 с постоянной скоростью прецессии сро; наклоны этих
осей по отношению к вектору Мо различны, но постоянны, а угло-
вая скорость ы изменения ориентации волчка, оставаясь по вели-
чине постоянной, все время лежит во вращающейся плоскости,
образуемой осью симметрии и вектором <М.и.
Если в начальный момент ось симметрии совпадала по направ-
лению с вектором сМ,0, то из решения G) следует, что
9 = ео = О, ov = соу = <ах = <ау = 0, сс2. = сог = со,
т. е. в этом случае волчок все время будет вращаться вокруг
главной оси инерции, сохраняющей ориентацию относительно
лнерциальной системы; эта ось по направлению все время будет
совпадать с угловой скоростью ю и моментом <М.и.
Рассмотрим тот же пример методом независимых переменных,
в качестве которых возьмем углы Эйлера. Лагранжиан :1<о5одного
симметричного волчка относительно Sm равен кинетической энер-
гии вращения &~ (см. D0.5)), т. е.
у = — у™ (ф« sin2 Э ~- б2) - У? (<р cos Э + арJ. (8)
Отсюда, ввиду цикличности времени и углов ср и я|з, получим инте-
грал энергии F) и два интеграла для проекций момента вра-
.щения:
<жг = !Щ- = /?ф sin2 е + у? (фcos е +1) cos e =^го,
(9)
<мг. = Щ- = у? (ф cos е + 4) = <^г'о.
Направляя ось O'z по вектору <М,0 и используя интегралы F) и
(9), найдем решение задачи.
Если исходить из уравнений Эйлера D0.3), то, учитывая сим-
метрию волчка (Jx- = Jy) и равенство нулю момента внешних
сил относительно 5т, получим
где Q ¦= — — (й2.0. В результате решения этой системы найдем
проекции угловой скорости как функции^времени
GV = С cos (Qt -г а), Ыу = С sin (Qt -fa), юг'= w2-0,
откуда, используя A7.11), получим решение для углов Эйлера.

§ 40]
Движение тела с одной неподвижной точкой
371
Регулярная прецессия является сравнительно распространен-
ным видом движения твердого тела. Например, такое движение
совершают уравновешенный гироскоп и симметричная молекула
(как твердое тело); ось вращения
Земли прецессирует вокруг ее по-
люсов (это связано с тем, что Зем-
ля является не сферой, а слегка
сплющенным у полюсов эллипсои-
дом, симметричным относительно
оси).
Пример 40.2. Симметричный тя-
желый быстрый волчок.
Симметричный волчок с одной
закрепленной точкой и центром
масс, находящимся от нее на рас-
стоянии /, движется в однородном
поле тяжести. Найти закон движе-
ния волчка, если в начальный мо-
мент времени его кинетическая
энергия вращения вокруг оси сим-
метрии велика по сравнению с по-
тенциальной энергией.
Выберем системы координат 6'
и S' так, как это показано на
рис. 40.2, и рассмотрим сначала качественное решение задачи на
основе уравнения моментов (см. D0.1)). Поскольку в начальный
момент времени волчок быстро вращается вокруг оси симметрии,
допустим, что его угловая скорость в любой момент времени при-
мерно равна ю^Юг-Пг', т. е. wx> = (Оу =5= 0. Тогда момент враще-
ния волчка равен (см. C8.10))
М = У2'СОг'П2', A)
где JZ' — момент инерции относительно оси симметрии. Используя
A), а также представляя момент силы тяжести в виде
Рис. 40.2
= - mgl[nz.nz],
из уравнения моментов получим
Сопоставляя уравнение C) с соотношением A9.16), составленным
для пг', придем к выводу, что вектор nz- прецессирует вокруг
вертикали с угловой скоростью

372 Динамика твердого тела [Гл. VIII
малой по сравнению <в2' (по условию задачи).
Подставляя ш=со2<пг- в уравнение импульса (см. D0.1)>,
получим, что Р=т[(!»г'т] = 0 и соответственно реакция опоры
R=—mg. Если же принять, что й) = аJ'П2<-гШпрПг, тоР=/по)пр/[пгпг'],
•однако значение реакции будет отличаться от найденного лишь на
величину порядка ш„р.
Как видно из формулы C), ось волчка все время движется в
направлении, перпендикулярном силе тяжести, что в действитель-
ности возможно лишь при специальном выборе начальных условий.
Рассмотрим строгое решение поставленной задачи. Учитывая, что
кинетическая энергия волчка равна энергии вращения (см.
C7.17)), найдем функцию Лагранжа как функцию углов Эйлера
и их производных (см. D0.5)):
J? = -~- (ф2 sin26 + ё2) + —f- (ф cos G + ij;J — mgl cos 6, E)
тде JX', JZ' — главные моменты инерции относительно осей О'х'
.и O'z' с началом в неподвижной точке О'. Поскольку лагранжиан
E) явно не зависит от времени и углов р ф, имеют место три
¦первых интеграла:
е = ~- (ф2 sin2 е + е2) и—|— (ф cos e -f -фJ -f mgi cos e = е0,
<MZ. = -Щ- = Jz, (ф cos в + ф) = <М*о, F)
сМг = Щ- = jx,y sin2 e + j2. (ф cos e 4- ijj) cos e = сжго.
"Эти же интегралы можно получить и из других соображений.
Действительно, момент силы тяжести перпендикулярен как к вер-
тикали, так и к оси O'z', проходящей через центр масс. Следова-
тельно, проекция момента силы на ось O'z равна нулю, а проек-
ция сМг момента вращения сохраняется. Проекция момента силы
на ось O'z' также равна нулю, однако ввиду подвижности этой оси
проекция odiz- сохраняется только в случае симметричного тела
(см. третье уравнение Эйлера D0.3)).-
Из последних двух интегралов F) найдем ф и г|з как функ-
ции Э:
Мгъ — <^z,0cos9 . Мг,0 ¦
ib =^cos0. G)
Jx, sin2 9 ' Т J2.
Подставляя эти функции в интеграл энергии, получим дифферен-
циальное уравнение относительно угла Э

§ 40] Движение тела с одной неподвижной точкой 373
В частных случаях это уравнение имеет решение в виде эле-
ментарных функций. Например, пусть в начальный момент време-
яи наклоненный волчок закручен вокруг своей неподвижной оси
симметрии, т. е. пусть
= 0О = 0. (9)
Учитывая, что при этом
Ео = -~ $> + tngl cos e0, <Mr0 = Jz'%, <Мго = JZ'% cos 9Ol
сведем уравнение (8) к виду
D)а (cos e°~ cos e)a
(cos е0- cos е) - Dт) s e
«откуда вытекает, что угол 8 не может быть меньше 9о.
Так как Э2^0, а по условию задачи кинетическая энергия
•вращения %Г0 в начальный момент времени велика по сравнению
¦с потенциальной энергией Uo, т. е.
2mglcos90 „ . ,jjv
то из уравнения A0) будет следовать, что Э в любой момент вре-
мени близко к Эо (А9<1С Эо=^=0).
Разлагая правую часть уравнения A0) в «точке» во и прене-
брегая членами третьего и более высокого порядка малости,
.найдем
= 2,,zgZsin90 де_/'Л У(А9J A
dt ) Jx- \ Jx'
(здесь нельзя пренебречь членом, пропорциональным (ДЭJ, так
как он умножается на большую величину). Вводя обозначения
«nut = (да)
запишем уравнение A2) в виде

374 Динамика твердого тела [Гл. VIII
Решением этого уравнения, удовлетворяющим начальному усло-
вию 6о^=О, 6о = О, является функция
() (И)
Используя G) и A4), с той же степенью точности получим
2fflg'c°s9Q
A5)
откуда находим углы Эйлера как функции времени
, mgl Jx.mgl
ф Ф + '
2Jx,mgl sin 90 <Dnut
2 '
'. cos 90\ Jx, mgl cos 90
Приведем также выражения для угловых скоростей, усредненных;
по периоду 2jt/@nut:
, 6 = 0, ^ = ifl-
Как видно из решения, ось симметрии волчка медленно пре-
цессирует вокруг вертикали со средней угловой скоростью, рав-
ной ф (сравнить с формулой D)); эта скорость тем меньше, чем,
больше начальная скорость вращения вокруг оси симметрии. Зна-
чение скорости прецессии ср колеблется около своего среднего зна-
чения с малой амплитудой и большой частотой ©nut, прямо про-
порциональной tyo. Одновременно с этим ось симметрии совершает
колебания вокруг линии узлов с большой частотой (Omit и малой
амплитудой Абтах (см. рис. 40.2, на котором штриховой линией
изображена траектория конца орта iv). Таким образом, в сред-
нем получаем картину регулярной прецессии вокруг вертикали, а
на это усредненное движение налагается дрожание оси с малой

§ 40] Движение тела с одной неподвижной точкой 375
•амплитудой, т. е. нутация. Такое движение твердого тела назы-
вается псевдорегулярной прецессией.
Эта прецессия происходит следующим образом: в начальный
момент времени ось волчка опускается под действием тяжести,
соответственно потенциальная энергия волчка уменьшается, а ки-
нетическая возрастает; увеличение наклона оси, благодаря собст-
венному вращению тела, приводит к появлению прецессионной
скорости ф, пропорциональной А6. Угловая скорость и и момент
<Л1 тела в этом случае также прецессируют по сравнительно слож-
ному закону вокруг вертикали, отклоняясь друг от друга и от оси
волчка на малые величины, пропорциональные отношению
Заметим, что задачи, аналогичные рассмотренной, использу-
ются в теории гироскопических навигационных приборов, имеющей
^большое практическое значение.
Пример 40.3. Симметричный заряженный быстрый волчок в
однородном магнитном поле.
Симметричное заряженное тело с покоящимся центром масс
и одинаковыми удельными зарядами его точек (бг/т^ = const)
вращается в однородном постоянном магнитном поле напряжен-
ности Ж. Определить закон движения волчка, если в начальный
момент времени угловая скорость вращения вокруг оси симметрии
тела велика по сравнению с частотой Лармора.
Поместим начала систем S и S' в центр масс тела, ось Uz
направим по вектору Ж, а ось Oz' — по оси симметрии тела.
Представляя вектор-потенциал однородного магнитного поля
в виде
А = ±[Жг], A)
где г — радиус-вектор точки пространства, и учитывая, что элект-
ростатическая энергия твердого тела постоянна, с помощью B7.20)
получим
Здесь г,-, Vi — радиус-вектор и скорость г"-той точки тела, обла-
дающей зарядом е,. Так как по условию удельный заряд е^пг{ для
всех точек одинаков, положим его равным elm, тогда для обоб-
щенного потенциала найдем выражение:

376 Динамика твердого тела [Гл. VIII
где М— кинетический момент вращения тела. Используя разло-
жение момента вращения по осям S' (см. C8.10)), запишем ска-
лярное произведение М>Ж в виде
MX = Jx- (Шх-Жх- + ^ц'Жу) -f Зг'ЪгЖг;
затем выразим проекции напряженности Ж на оси 5' через углы
Эйлера:
Ж х- = Ж sin 6 sin f, Ж у = Ж sin 0 cos г|>, Жг-
В результате найдем лагранжиан волчка
+ «l (Л- sin2 0 -J- Jz> cos2 0) ф — col/2-^ cos 0, C)
где a>L = частота Лармора.
2mc
Отсюда видно, что обобщенная энергия, равная в данном случае
кинетической энергии вращения, и обобщенные импульсы рф и рф
сохраняются:
Jx- (ф2 sin2 0 + б2) + /,. (ф cos 0 +1?J =
(Jx- sin2 6 + ]г. cos2 0) ф + Jz.^ cos 6 + ©l {Jx- sin2 0 + Jr cos2 6) = рф0,
D)
J2-q> cos 0 + JZ'ty + (alJz- cos 0 = p^o.
Из последних двух интегралов получим ф и гр как функции 0:
i= Рфо-Р,осоз9 __ ф=^_Рф0-Р,0соз8
V /,,sin»9 T ¦/,, /,,sinae V ;
Л Л А
Подставляя эти функции в интеграл энергии, найдем уравнение для 0:
92 -f j -sin39 (рФо — Pw cos 0 — aUx- sin2 0J +
- ©l/«' cos 9J = -^2-. F)
лг Jx-
Это уравнение упрощается, если начальные условия заданы
так же, как в предыдущем примере. Действительно, выражая с
помощью D) постоянные рфо, руо, &"а через гро и 0о:
Jz>ty cos 0О + (aL {Jx- sin2 0O + Jr cos2 0O) = рф0,

§ 401 Движение тела с одной неподвижной точкой 377
h- (ф0 + <">*.cos 6о) = РФо, -—- 4>о = Э~о
и располагая члены в уравнении F) по степеням я{>0 и ю^, получим
— ©2 J \ [jt, cos 0o (cos eo _ cos 9) -f Jx- (sin2 Эо — sin2 9)]2
\ Ji29
G)
Из этого уравнения следует (см. стр. 373), что А0 = 9—-Во должно
быть малой величиной, поскольку скорость гро собственного вра-
щения велика по сравнению с частотой Лармора a>L. Полагая для
определенности е<0, a if>0>0, и оставляя в уравнении G) только
члены порядка А 9 и порядка (А8J, получим
где
%
Отсюда (см. стр. 373—374) найдем решение
(8)
9 = | col | sin 90 sin (a>mtt),
21 (Of
Следовательно, ось симметрии заряженного быстрого волчка мед-
ленно прецессирует вокруг направления напряженности однород-
ного магнитного поля со средней угловой скоростью, равной часто-
те Лармора. Кроме того, ось волчка быстро нутирует с малой
амплитудой и частотой порядка угловой скорости фо собственного
вращения волчка. Таким образом, рассматриваемое движение за-
ряженного тела в однородном магнитном поле аналогично псевдо-
регулярной прецессии волчка в поле тяжести.

378 Дпнамнка твердого тела [Гл. VIII
§ 41. Линейные неголономные связи
В заключение главы кратко рассмотрим уравнения движения
механической системы с неголономными связями. Пусть на систе-
му N точек наложено k\ голономных связей и k2 неголономных
связей, линейных относительно скоростей точек. Тогда движение
системы будет подчинено уравнениям Лагранжа (сравнить с урав-
нениями B3.6))
/n,f, = F,-f-R, (f = 1,2 N),
fa(rv...,TN,t) = O (a=l,2, ...,ki), D1.1)
p(v,^ap = 0 (p=l,2 K),
где все коэффициенты ар4 и ар могут быть функциями координат
и времени. Допустим, что число связей k = k]+k2<3N, а все связи
идеальны, тогда число уравнений и неизвестных в системе D1.1)
совпадает. Действительно, линейные неголономные связи налагают
на виртуальные перемещения точек ограничения вида
р?6г, = 0 (р = 1,2, ...,?2). D1.2)
Применяя метод неопределенных множителей Лагранжа к
условию идеальности связей B4.7) и к уравнениям для виртуаль-
ных перемещений B4.6) и D1.2), найдем соотношения между ре-
акциями связей и уравнениями связей (сравнить с выводом соот-
ношений B5.3))
Ri = 2 KVtfa -r ? ДОр, (i = 1. 2 Л'), D1.3)
где все Ха и цр — неизвестные скалярные функции. Подставляя
D1.3) в D1.1), получим систему 3N+ki + k2 уравнений с 3Ar+&i +
+ k2 неизвестными: rt (t = l, 2, ..., N), 1-х (a = l, 2, , ^i),
[Xp (P = l, 2, ..., k2). Как легко убедиться, эта система эквивалент-
на общему уравнению механики с уравнениями связей (см. B6.1) —
B6.3) и примечание на стр. 225):
= l, 2, ...,k1), D14)

41] Линейные неголономные связи 379
= 0 (P=l,2,...,ft.) •
Найдем эквивалентную системе D1.4) систему уравнений Ла-
гранжа в обобщенных координатах. С этой целью, используя голо-
номные связи, введем Si = 3jV—k\ обобщенных координат q (см.
B6.4) и B6.6)). Затем, выражая D1.4) через координаты q и
повторяя вычисления, проведенные на стр. 225—227, получим
q, = 0, D1.5)
?, 4, = 0 (P= 1,2,
где
Заметим, что выражения, стоящие в фигурных скобках, нельзя
приравнивать нулю, поскольку неголономные связи налагают на
вариации обобщенных координат условия
?4у6?, = 0 (р=1,2,...,*,), D1.6)
7=1
и, следовательно, координаты q в данном случае не являются не-
зависимыми.
Чтобы получить дифференциальные уравнения движения, при-
меним к первому из уравнений D1.5) и уравнениям D1.6) метод
неопределенных множителей Лагранжа. В результате придем
к уравнениям Лагранжа в обобщенных координатах для систем с
голономными и линейными неголономными связями
= О (Р=1,2
эти 3N—ki + k2 уравнений содержат ЗА'—k\ + k2 неизвестных:
Я}, Щ (/=1, 2, ..., si; p=l, 2, .... k2).

380 Динамика твердого тела [Гл. VIII
Одной из известных систем с неголономной связью является'
шар, катящийся по абсолютно шероховатой твердой плоскости.
Ввиду отсутствия скольжения скорость точки шара, касающейся
плоскости, равна нулю. В связи с этим условие качения можно
записать в виде (см. A9.10), C7.1) и формулу A) примера 39.4)..
vm+[«<] = 0, D1.8)
где vm — скорость центра масс шара, ю — его угловая скорость,.
Tk — радиус-вектор точки касания относительно системы S', жест-
ко связанной с шаром. Если шар однородный, то начало системы
S' лучше поместить в центр шара. Тогда, направляя ось Oz систе-
мы S, связанной с плоскостью, вверх перпендикулярно к ней, и
проектируя D1.8) на оси S, получим уравнения связи в виде
(см. A7.12))
хт = R @ sin ф — ij> sin 9 cos ф),
уА = — R @cosф + ijjsin 0 sin ф),
где R — радиус шара. В общем случае это, очевидно, неинтегри-
руемая (или неголомная) связь. Однако в частном случае плоско-
параллельного качения шара (ф=-ф = 0) эта связь становится
интегрируемой (т. е. голономной), так как при этом
4 = 0, ym = -RQ,
или
*т = хт0 • Ут = У то ~ R @ ~ 0о) •
Пример 41.1. Движение конька по горизонтальной плоскости.
Пусть однородный тонкий стержень (конек) массы m движет-
ся так, что скорость его центра масс все время направлена вдоль-
стержня. Найти закон движения стержня (конька) по горизонталь-
ной плоскости и ее реакцию.
Совместим координатную плоскость Оху с горизонтальной-
плоскостью, по которой движется стержень. Тогда положение
стержня определится двумя координатами хт, ут его центра масс
и углом ф между стержнем и осью Ох. Кинетическая энергия,
стержня в этих координатах равна
где Jf — центральный момент инерции относительно оси О'г„
Условие того, что скорость центра масс стержня в любой момент
времени направлена вдоль стержня, запишем в виде
-^- = tgq>. A)

§ 41] Линейные неголономные связи 381
Учитывая, что Si = 3, P=l, а все обобщенные силы Q равны
нулю, получим систему четырех уравнений (см. D1.7))
тхт = х sin
тут=— xcoscp, B)
ф = О,
J
с четырьмя неизвестными функциями времени: хт, ут, Ф и х.
Из третьего уравнения системы B) найдем
ф = Фо* + Фо- C)
Из уравнения неголономной связи следует, что проекции скорости
центра масс стержня (конька) имеют вид
хт = a cos ф, ут = а sin ф, D)
а из первых двух уравнений системы B) и уравнения связи A)
вытекает, что ускорение центра масс wm перпендикулярно его ско-
рости vm, в связи с чем величина а должна быть постоянной. Та-
ким образом, используя начальные условия, найдем
*т =>mo C0S Ф- Ут = Vm0 sitl Ф> E)
где 'Ото — величина скорости центра масс в начальный момент
времени, а угол ф определен формулой C).
Интегрируя E) по времени и определяя постоянные интегри-
рования, получим
Хт = -^2- (Sin ф — Sin ф0) -f Хт0,
F)
Ут = -Р*- (C0S Фо — COS ф) -f ym.
Фо
Отсюда следует, что центр масс стержня (конька) движется по
окружности
2
(хт-хсТ + (ут-УсГ= ~~ G)
Ф5
радиуса (vm0/ff0) с центром в точке
xt = хт -?*- sin ф0, уе = ут0 - -^- cos ф0,
Фо Фо

382 Динамика твердого тела [Гл. VIII
причем движение по окружности происходит с постоянной по ве-
личине скоростью.
Наконец, дифференцируя E), получим выражения тхт и
¦тут, определяющие реакцию плоскости; величина этой реакции
постоянна и равна
. «
R = mvm%. (8)

Глава IX
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа представляют собой
систему 5 дифференциальных уравнений второго порядка относи-
тельно s обобщенных координат q как функций времени. Этим
уравнениям можно сопоставить эквивалентную систему 2s уравне-
ний первого порядка, где в качестве неизвестных взяты 2s функ-
ций времени: s обобщенных координат q и s обобщенных импуль-
сов р. Переменные q, p называются каноническими, а соот-
ветствующая система 2s уравнений движения называется
каноническими уравнениями Гамильтона.
Исследование свойств уравнений Гамильтона привело к фор-
мулировке ряда эффективных методов решения динамических
задач. Кроме того, оказалось, что известная равноправность обоб-
щенных импульсов и координат, имеющая место в уравнениях
Гамильтона, является таким свойством, которое можно использо-
вать при построении статистической и квантовой механики.
§ 42. Канонические уравнения
Движение механической системы с голономными идеальными
связями, обобщенно-потенциальными и диссипативными заданны-
ми силами подчинено уравнениям Лагранжа B7.23). Конкретный
вид этих уравнений определяется лагранжианом как функцией
переменных q, q и t. Что касается уравнений Гамильтона, то, как
будет показано ниже, их конкретный вид определяется обобщен-
ной энергией Я (см. B8.10)) как функцией переменных q, p и t.
Эта функция, равная по определению
H(q,p,t)={YPiqi-J?). . , D2.1)
называется функцией Гамильтона (или гамильтониа-
ном); здесь обобщенные скорости q как функции канонических
переменных определяются из системы уравнений B8.4) (детерми-
нант этой системы отличен от нуля — см. B7.6)).
383

384 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
Например, функция Гамильтона свободной точки в потенциаль-
ном поле (в декартовых, цилиндрических и сферических коорди-
натах) (см. формулы A) и D) примера 26.4)
H=~^(pl + pl^pl)-^U(x,y,z), ' D2.2)
p>z)' D2-3)
Подставляя в D2.1) функцию Лагранжа (см. B7.11))
if = — о2 Av — ар
2 ' с
свободного заряда, движущегося в заданном электромагнитном
поле с потенциалами А и ф, и переходя к обобщенному импульсу,
равному
^ = mv+—А, D2.5)
с
p
¦получим гамильтониан такого заряда:
— AY + вф. D2.6)
с /
1m \ с
Функция Лагранжа свободной точки относительно произволь-
ной неинерциальной системы 5' определяется кинетической энер-
гией точки относительно S', обобщенным потенциалом сил инерции
B9.4) и потенциалом сил взаимодействия U:
J?=-OL (V')« + m [юг'] V - mwo>r' + — [»r']2 — U,
где г' и v' — радиус-вектор и скорость точки относительно S';
wo- и © — ускорение начала системы S' и ее угловая скорость
относительно инерциальной системы 5. Определяя обобщенный
импульс
^m(v'-H«or']) D2.7)
pm(
dv
и обобщенную энергию (см. B8.11))
Н = — (у')« -f otwo-г' — — [wr']2 -i- (У,

§ 42] Канонические уравнения 385
находим функцию Гамильтона
Н= — (р' — т[ыт']J + mv/o'V —— [m>f -_ \j\ D2.8)
Упрощая D2.8), окончательно получим
Н=-±- (p'J -f *» [P'r'] - mwo'T' -r U. D2.9)
2т
Теперь выведем уравнения Гамильтона. С этой целью возьмем
дифференциал от функции Н, одни раз как от известной функ-
ции q, p и t, а другой раз исходя из определения D2.1). Тогда
получим
dt D2.10)
dpi +
dpi at
Сопоставляя здесь отдельные члены и используя определение
обобщенного импульса (см. стр. 243), найдем соотношения
• _Ш_ JfL^^tKZi ™_ = _UL (i==i,2 s). D2.12)
dpi dqi oqi dt dt
Выражая далее с помощью уравнений движения B7.23) каждую
производную —— через производную соответствующего обобщен-
dqi
ного импульса р,- по времени, получим систему уравнений
^=-Г". Pi = --T- + Q$ (»= 1,2 s), D2.13)
dp dq
которые называются каноническими уравнениями Гамильтона.
Эти уравнения, как следует из вывода, эквивалентны урав-
нениям Лагранжа B7.23). Однако уравнения Гамильтона по срав-
нению с уравнениями Лагранжа имеют более симметричную
форму, что в особенности видно из сопоставления этих уравнений
в отсутствие диссипативных сил:
— (-^-) — — =0 (i = l,2 s), D2.14)
dt \ dgi J d(\i
= — (t = 1, 2, ... ,s). D2.15)
dm '
'3 и. И. Ольховский

386 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
Приведем в качестве примера уравнения Гамильтона свобод-
ной точки: в обычном потенциальном поле (в декартовых и цилин-
дрических координатах, см. D2.2) и D2.3)')
Л* г~^
У —
•
дН
дРх
дН
дру
дН
дрг
Р:
Ф
Z
т
_ Pf/
т
Рг
т
Рр
га
-А.
/пр2'
га
•
Рг
Рр-
Рч>
Рг
_ 5Я
~ ал;
ая
ду
дН
дг
0
Рф
/пр3
dU
dU
дг '
dU
Ф
ду
dU
дг
IIL^^^L, D2.16>
D2.17)
в обобщенно-потенциальном поле (в декартовых координатах,
см. D2.6))
е / е А\ дА да
тс \ с ) дх дх
P» = ^-(P--A)f— «|L, D2.18)
гас \ с ) ду дх
Рг = —(Р А)-
тс \ с у дг
дг
Закон сохранения обобщенного импульса в канонических пе-
ременных формулируется аналогично B8.2). Действительно, из
соотношений D2.12) видно, что частные производные J? и Н по
координатам обращаются в нуль только одновременно. Следова-
тельно, если какая-либо координата является циклической в отно-
шении функции Лагранжа, то она будет циклической и в отноше-
нии функции Гамильтона. Таким образом, уравнения D2.13)
приводят к следующей форме закона сохранения обобщенного им-
пульса:
Pj = руо, если -jL = 0 и qfj = 0. D2.19)

§ 42] Канонические уравнения 387
Частные производные от Я и if по времени обращаются в
нуль также одновременно (см. D2.12)). Эта «цикличность» време-
ни приводит к сохранению функции Н. Действительно, из уравне-
ния B8.9) и последнего из соотношений D2.12) получим закон
изменения функции Гамильтона
+ 1]^ D2-20)
из которого следует соответствующий закон сохранения
Н = Н0, если-^- = 0 и Qf =0 (/=1,2 s) D2.21)
at
(в этом случае система называется обобщенно-консерва-
тивной).
Пример 42.1. Функция Гамильтона и интегралы канонических
уравнений в задаче двух тел.
Функция Лагранжа двух материальных точек с потенциаль-
ной энергией взаимодействия U может быть представлена в виде
* v2 +
где пг — сумма масс обеих точек, ц —• их приведенная масса,
vm — скорость центра масс точек, y=|v2—Vi| — модуль разности
скоростей точек, а г — расстояние между ними. Выбирая в качест-
ве обобщенных импульсов проекции импульса системы Рт = ¦
и обобщенные импульсы рг, рв и рф, характеризующие движение
точек относительно центра масс, для функции Гамильтона получим
выражение
2ffl 2|l\ Z-2 r2Sin30 j
Отсюда видно, что проекции радиуса-вектора центра масс rm и
угол ср являются циклическими координатами. Это приводит к ин-
тегралам
Рт = ^Vm = Рт0, рф = |ХГ2 Sitl2 Э • ф = рф0.
Первый из этих интегралов соответствует сохранению импульса
системы, а второй — сохранению кинетического момента относи-
тельно полярной оси, проходящей через центр масс. В силу про-
извольности выбора оси ее можно направить вдоль вектора г0.
Тогда полярный угол Эо = О и, следовательно, /?фо = О. Рассматривая
13*

388 Уравнения Гамильтона - [Гл. IX
общий случай, когда в последующие моменты времени угол &
отличен от нуля, приходим к выводу, что ф = 0 в любой момент
времени, т. е. движение точки относительно центра масс, происхо-
дит в плоскости, сохраняющей свою ориентацию. Функция Гамиль-
тона, описывающая движение системы в этой плоскости, будет
иметь вид
Эта функция не зависит явно от времени и координаты 8, что при-
водит к двум интегралам
2ц
Получая с помощью найденного гамильтониана канонические
уравнения
;_ "' й- Рв
и используя приведенные выше интегралы движения, нетрудно
решение задачи двух тел привести к известным квадратурам
(см. A2.18)).
§ 43. Фазовое пространство и теорема Лиувилля
Одним из важнейших положений, на которых основывается
статистическая механика, является теорема Лиувилля о сохране-
нии фазового объема. Эта теорема связана с понятием о фазовом
пространстве. Фазовым пространством называется вооб-
ражаемое пространство 2s измерений, по координатным осям кото-
рого «откладываются» обобщенные координаты q^ и импульсы pj
механической системы (/=1, 2, ..., s; s — число степеней свобо-
ды). Состояние механической системы в данный момент времени
изображается в фазовом пространстве одной фазовой точкой.
С течением времени эта точка движется по фазовой траек-
тории.
Если заданы гамильтониан механической системы, диссипа-
тивные силы и начальные условия q,u, Pjo (/=1. 2, ..., s), то с по-
мощью уравнений Гамильтона можно определить скорости изме-
нения координат и импульсов в начальный момент времени /о".
дН
dp.
Pjo —
дН
idl
4o,Po,to
Ql
Юо.РоЛ
(/=1,2 s) D3.1)

§ 43]
Фазовое пространство и теорема Лиувилля
389
(здесь, как и ранее, под q и р понимается совокупность всех
координат и импульсов). Через каждую точку фазового простран-
ства проходит лишь одна фазовая траектория данной механиче-
ской системы (ввиду единственности решения уравнений Гамиль-
тона). Этим свойством не обладает, например, пространство
конфигураций, «точки» которого являются совокупностью
обобщенных координат q.
Рассмотрим бесконечную совокупность одинаковых механиче-
ских систем, отличающихся друг от друга только начальными
условиями [34, гл. 1]. Иначе говоря, рассмотрим бесконечное
множество точных копий данной реальной системы (для всех этих
систем задан одинаковый гамильтониан, одни и те же диссипатив-
ные силы, но начальные условия этих систем различны). Такая
виртуальная совокупность систем называется ансамблем
Г и б б с а. Пусть в произвольный момент времени to ансамбль
заполняет область (Го) фазового пространства, причем фазовый
объем этой области равен
Го = f ... f в?,,, ¦•• в?*вЛо. • • 8ps0. D3.2)
J (Г.) ''
В момент времени t=to~rAt ансамбль займет другую область (Г)
с фазовым объемом
Г = f .. . f 6ft ... 8qs8pt ...8ps D3.3)
J (D J
(см. рис. 43.1, на котором
изображено перемещение
некоторого ансамбля систем
в двумерном фазовом про-
странстве).
Найдем соотношение
между величинами Г и Го
или закон изменения фазо-
вого объема ансамбля Гибб-
са. Учитывая, что действи-
тельное перемещение каж-
дой системы ансамбля под-
чинено уравнениям движе-
ния, а следовательно, переменные q, p в момент t являются функ-
циями этих же переменных, взятых в начальный момент времени,
запишем фазовый объем Г в виде интеграла по области (Го):
Г = f . .. ( D8q10 ... 8qs08p10 ... 8ps0, D3.4)
J (Г.) J
Рис. 43.1

390 Уравнения Гамильтона {Гл. IX
где D = —\1lEL якобиан преобразования от переменных q, p к
0(<7о.Ро)
значениям этих переменных q0, p0 в момент времени t0, а функции
Я = Я (Чо, Ро. 9. Р = Р (<7о» Ро, 0
являются решениями уравнений движения.
Из сопоставления D3.4) и D3.2) видно, что задача об оты-
скании закона изменения Г сводится к отысканию закона изме-
нения якобиана D. В связи с этим найдем значение D и его про-
изводной по времени в произвольно выбранный момент време-
ни to, учитывая, что значения координат и импульсов в момент
времени tQ + At соответственно равны
Я1 = Ко + Яю &t, р.: = р10 + Рсо & (i = 1, 2, ... , S). D3.5)
(Несмотря на то, что эти соотношения верны лишь с точностью
до первой степени малого приращения Д? включительно, прибли-
женность D3.5) не налагает каких-либо ограничений на оконча-
тельный вывод, поскольку в процессе доказательства необходимо
перейти к пределу Д^->-0.) Используя D3.5), получим элементы
якобиана с той же точностью
dqi -fi -i Jk-A/ dqi -J3!2-\t
D3.6)
dP< d'P dPi = ; dp.o
• dpj0 l> dpja
(i, /=1,2, ... , s).
Подставляя D3.6) в выражение для якобиана D, находим точное
значение D(t0) и приближенное значение D(to+At)
(?)t D3.7)
(здесь члены порядка At появляются только за счет диагональ-
ных элементов якобиана). Отсюда, переходя к пределу, находим
производную якобиана при t = t0
Поскольку движение систем ансамбля подчинено уравнениям
Гамильтона D3.12), постольку каждое слагаемое в правой части
D3.8) будет равно (см. D3.1))

§ 43]
Фазовое пространство и теорема Лиувилля
391
dPio
s).
D3.9)
Используя D3.9) и имея в виду произвольность t0, получим
выражение для производной якобиана D, справедливое в любой
момент времени:
D3.10)
dpi
Следовательно, производная фазового объема Г равна (см. D3.4))
(Г.)
D3.11)
?=1
Отсюда вытекает закон сохранения фазового
объема (теорема Луивилля). Согласно этому закону
фазовый объем данного ансамбля механических систем с обоб-
щенно-потенциальными силами и голономными идеальными свя-
зями в отсутствие диссипативных сил сохраняется, т. е.
Г=Г0, если Qf = 0 (i= 1,2, ... ,s). D3.12)
В этом случае /) = 0 и, следовательно, величина якобиана в любой
момент времени равна (см. D3.7))
D=l. D3.13)
Соотношения D3.12) и
D3.13) справедливы при любом
числе точек в системе и поэтому
могут служить основой для изу-
чения систем с большим количе-
ством частиц, т. е. систем, кото-
рые изучаются статистической
механикой.
Пример 43.1. Сохранение фа-
зового объема ансамбля систем
с одной степенью свободы.
Рассмотрим движение точки
по линии пересечения неподвижной сферы и колеблющейся гори-
зонтальной плоскости (см. пример 25.3). В этом случае лагран-
жиан, обобщенный импульс и функция Гамильтона соответственно
равны
Рис. 43.2
COS2

392
Уравления Гамильтона
[Гл. IX
рф = та2 ф cos2 at,
Н = рф ф — J? —
2та2 cos2 at
(в выражениях J? и Я опущены, как несущественные, члены,
зависящие только от времени; см. E1.11'))-
Отсюда получаем канонические уравнения
дН
та2 cos2 at
и их решение
Фазовое пространство в данном случае двумерно, а фазовыми
траекториями являются прямые, параллельные оси ф (рис. 43.2).
Изучим движение воображаемой совокупности материальных
точек, отличающихся друг от друга только начальными усло-
виями Рфо и фо (в остальном точки, силы и связи тождественны).
Пусть в начальный момент времени фазовый объем этого ансамб-
ля равен Го = Афо-Арфо (область (Го) ограничивают прямые, соеди-
няющие точки )—4). С течением времени этот прямоугольник де-
формируется, но величина его фазового объема (в данном случае
фазовой «площади») сохраняется, о чем свидетельствует прямое
вычисление якобиана:
дф
дра
tgco/
та2 а
1
__ 1
Что касается деформации «прямоугольника», то ее можно
определить, рассматривая законы движения точек /—4 в фазо-
вом пространстве:
та2 ш
¦tgc^-гФо,
(P«p)l = РфО»
(Рф)г — Рфо.
Фа
ф4 =
ЭфK = РфО + Дрф
эфL = Рфо + АуЭф

§ 44] 'Скобки Пуассона 393
Тогда
Фа — <Pi= ДФо = Ф4 — Фв,
= ~Ж
и, следовательно, с течением времени «прямоугольник» деформи-
руется во все более косой «параллелограмм», «площадь» кото-
рого равна «площади» «прямоугольника».
§ 44. Скобки Пуассона
Движение механической системы с обобщенным потенциа-
лом il и голономными идеальными связями в отсутствие дисси-
пативных сил подчиняется уравнениям Гамильтона D2.15). Най-
дем необходимое и достаточное условие того, чтобы некоторая
функция f(q, p, t) сохраняла постоянное значение с течением вре-
мени:
/(</, p./) = const, D4.1)
т. е. представляла собой первый интеграл уравнений D2.15).
Пусть D4.1) имеет место; тогда полная производная по вре-
мени от функции / равна нулю, т. е.
Используя уравнения D2.15), получим интересующее нас необ-
ходимое условие в виде
-f--t-I/.tfJ=O, D4.2)
где
qj dPj dPj dqj
Обратные рассуждения убеждают в достаточности условия D4.2).
Это условие записано с помощью дифференциального выра-
жения, обозначенного символом [/, Н]. Вообще для двух функ-
ций канонических переменных можно составить выражение
11 ^J I dqj dp, dp, dqj (

394 Уравнения ГамильтЪна [Гл. IX.
которое называется скобками Пуассона. Оно обладает
свойством антисимметрии, так как
[А, А] = о, [/lt /2] = - [А, А1. D4.4)
и рядом других столь же очевидных свойств, вытекающих из опре-
деления D4.3):
[А, (А -г А)! = [А, А1 и- IA. A1. D4.5)
D4.6)
[Д. (/„ Ы] = U,. /,] /, т [Л. /.1 /•• D4-7)
Более громоздко доказательство тождества Пуассона*
[Д. [А. АН + [A. IA, All + IA, [А, АН = о. D4.8)
С помощью этого тождества нетрудно доказать теорему
Пуассона, в которой утверждается: если функции fi(q, р, t)
и h{4> P> t) являются первыми интегралами канонических урав-
нений D2.15), то и [fi, f2] также будет интегралом этих урав-
нений, т. е.
[А. А1 = С. D4.9)
Из условий теоремы и в силу D4.2) имеем
-^+[А,Я] = 0, -^- + [А.Я] = 0. D4.10)
Составляя далее тождество Пуассона для функций fu h и Н и
исключая из него с помощью D4.10) скобки [f\, Н] и [^, Н],
получим тождество
-['ь-*-] + [/. -а-] + [«.№./.11- о,
которое сводится (см. D4.4) и D4.6)) к условию D4.2) для функ-
ции [Д, Д]:
* Из определения D4.3) нетрудно видеть, что левая часть D4.8) должна
представлять собой сумму членов вида: вторая производная от одной из функ-
ций f\, f2 или /з, умноженная на некоторый коэффициент. Поэтому, чтобы убе-
диться в справедливости тождества, достаточно показать, что левая часть D4.8)
не содержит ни одной второй производной. Ввиду симметрии тождества отно-
сительно fi, Ь и U проверку можно сделать лишь для одной функции, например
для /з. Замечая, что вторые производные от /з могут входить лишь в сумму
[h, Ut. ДП + 1А. I/i./Jl.
непосредственно убедимся, что эти производные в данной сумме уничтожаются.

§ 44] Скобки Пуассона ¦ 395
*li%M- + [[fi. /J. Я] = 0, D4.11)
что и доказывает теорему.
Пусть, например, функция Гамильтона явно от времени не
зависит, a f(q, p, t) является интегралом системы D2.15). Тогда
на основании условия D4.2) и теоремы Пуассона, примененной
к функциям f и Я, можно утверждать, что частные производные
df д2/
—*—, ——, ... являются интегралами канонических уравне-
ний, т. е.
-^- = С,, -^- = С„ ... D4.12)
Эти интегралы могут оказаться новыми интегралами, независи-
мыми от исходного. Однако если / явно от времени не зависит,
то вместо D4.12) придем к тривиальному тождеству [/Я]г=0.
Это обстоятельство нужно иметь в виду, применяя теорему Пуас-
сона *.
С помощью скобок Пуассона можно записать ряд соотноше-
ний, имеющих важные аналогии в квантовой механике. Напри-
мер, фундаментальные скобки Пуассона, т. е. скоб-
ки от самих канонических переменных:
\Чи 9/1 = 0, [Pi, Pj] = 0, [qh Pj] = 6Ф D4.13)
являются классическими аналогами перестановочных соотноше-
ний Гейзенберга [38, 39].
. Получим еще два легко проверяемых результата, имеющих
квантовомеханические аналоги. Используя определение момента
импульса одной точки, нетрудно показать, что между проекциями
момента импульса в декартовых координатах имеют место соот-
ношения
[Мх, М„) = Мг, [Му,Мг] = Мх, [Мг,Мх] = Му. D4.14)
Следовательно, две компоненты момента импульса не могут одно-
временно играть роль канонических переменных, так как канони-
ческие переменные должны удовлетворять фундаментальным
соотношениям D4.13) (этому утверждению, справедливому в
классической механике, соответствует квантовомеханическое ут-
верждение о том, что две компоненты момента не могут быть
одновременно точно вычислены). Вместе с тем квадрат момента
* Действительно, может случиться, что скобки Пуассона от функций /i н /г»
являющихся интегралами уравнений D2.15) либо тождественно равны нулю
(постоянной), либо представляют собой функцию от /i и fa. В этих случаях
метод Пуассона не приводит к новым независимым интегралам.

396 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
и любая компонента момента могут одновременно играть роль
обобщенных импульсов (в квантовомеханической теории этому
соответствует возможность одновременного точного вычисления
М2 и Ма, а = х, у, z). Действительно, используя тождества D4.5)
и D4.7), найдем
[Ма, МП = ? [Ма, М\\ = 2 ? \Ма, Мр] Мр (ее, C = х, у, z).
Отсюда, используя D4.14), получим для любой компоненты
] 0 (a = x,y,z). D4.15)
Наконед, покажем, как с помощью скобок Пуассона форму-
лируется одно из основных уравнений статистической механики.
Вероятность пребывания механической системы в элементарном
фазовом объеме 6Г определяется как отношение числа б«^ си-
стем ансамбля Гиббса, находящихся в 6Г, к постоянному чис-
лу JV всех систем этого ансамбля, наверняка находящихся в не-
котором фиксированном фазовом объеме АГ. Соответственно
плотность вероятности 3) определяется как отношение вероятно-
сти к соответствующему фазовому объему 6Г, т. е.
б^ D4.16)
(плотность вероятности является функцией 2s+ 1 переменных
q, p at).
Рассматривая бЛ^ определенных систем, занимающих в мо-
менты времени t0 и t фазовые объемы (бГ)г0 и (бГ)г, соответст-
венно, получим очевидное равенство F^)^ = (б^)(, которое,
согласно определению D4.16), можно записать в виде
здесь 2?<0 — плотность вероятности пребывания системы в мо-
мент времени tQ в фазовой точке, находящейся в объеме (бГ)г0,
а ?, — плотность вероятности в момент t в точке, находящейся
в объеме (бГ)г. Учитывая, что величины фазовых объемов (бГ)г„
и FГ)f равны между собой (см. D3.12)), получим 2^ = 25г0.
Таким образом, плотность вероятности оказывается интегралом
канонических уравнений и, следовательно, подчиняется урав-
нению
d® ^0 или -2®- + [2\ Я] = 0, D4.17)
dt dt
которое представляет собой одно из основных уравнений стати-
стической механики.

¦§ 44] Скобки Пуассона 397
Закон D4.17) изменения плотности вероятности в фазовом
пространстве аналогичен уравнению непрерывности несжимаемой
жидкости. Действительно, плотность р жидкости, являющаяся
функцией положения г частицы жидкости и времени, для данной
частицы несжимаемой жидкости сохраняет постоянное значение;
поэтому ее полная производная по времени равна нулю:
_*_ = 0 или ^L
dt dt
где v = r — скорость частицы жидкости. Сравнение этого уравне-
ния непрерывности с уравнением D4.17) показывает, что можно
провести аналогию между плотностью вероятности и плотностью
жидкости, между 25-мерным градиентом плотности вероятности
дЗ) дЗ)
с компонентами , (t=l, 2, ..., s) и градиентом VP
dqt dpi
плотности жидкости, между 2s-MepH0ft «скоростью» фазовой «ча-
стицы» с компонентами <7г, Р< ('=1. 2, ..., s) и скоростью v части-
цы жидкости. Следовательно, движение ансамбля систем, подчи-
ненных уравнениям D2.15), можно представить себе как движе-
ние «несжимаемой фазовой жидкости».
Пример 44.1. Скобки Пуассона для проекций радиуса-векто-
ра импульса и момента импульса точки.
Найти скобки Пуассона для проекций радиуса-вектора, им-
пульса, момента импульса точки и показать, что в центрально-
симметричном поле соответствующие скобки Пуассона приводят
, к интегралам момента.
Выберем в качестве независимых координат свободной мате-
риальной точки ее декартовы координаты. Обобщенными импуль-
сами при этом будут проекции импульса точки рх, рп и pz. Состав-
ляя скобки Пуассона для х и Mx — ypz—zpy, а затем для рх и Мх
и т. д., в случае произвольного потенциального внешнего поля
получим
[х, Мх] = [у, My] = [z, M,]=0,
[х, Му] = z, [у, Мг] = х, [г, Мх] = у,
[У, Мх] = —г, [г,МИ\ = —х, [х, Мг] = — у;
[рх, му] = Рг, [ру, мг\ = рх, [Рг, мх] = ру,
[Ру> Мх] = — Р«. [Рг. Му] = — рх, [рх, Мг] = —ру
{эти результаты полезно сравнить с соответствующими квантово-
механическими соотношениями).

398 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
Если точка движется в центрально-симметричном поле, то,,
вычисляя скобку
\м ил — дМ* дН дМх дН ¦ дМх дн
дх дрх дрх дх ду дру
дМх дН , дМх дН дМх дН
дру ду ' dz dpz дрг dz
где Я = -i- (pi -r pi ~- pi) -rU(r) и r = (x2 + г/2 -'- z2fl\ найдем
2m
[Mx, H\ = Pa?i. + z°?-J!—plfJ!L-yf~i-=O.
m dr r " m dr r
Последнее условие совпадает с условием D4.2), поскольку Мх
явно от времени не зависит. Следовательно, Мх является интегра-
лом движения канонических уравнений. Составляя скобку Пуас-
сона [Му, Я], аналогично убедимся, что и Му — Му0. Что касается
проекции Mz, то она, как нетрудно подсчитать, равна скобке
[Мх, Му] и, согласно теореме Пуассона, также сохраняется.
§ 45. Уравнение Гамильтона — Якоби
Наряду с уравнениями движения Лагранжа и Гамильтона,,
которые являются обыкновенными дифференциальными уравне-
ниями, существует уравнение в частных производных, описываю-
щее движение механической системы в поле обобщенно-потенци-
альных сил при наличии голономных идеальных связей. Этому
уравнению, называемому уравнением Гамильтона —
Якоби, подчиняется функция действия
5= \$(q, q, t)dt, D5.1 >
с помощью которой оказывается возможным находить решение1
канонических уравнений Гамильтона. Прежде чем убедиться в
этом, покажем, как по известному решению канонических уравне-
ний определяется функция действия, и изучим ее основные свой-
ства.
Пусть известны все независимые интегралы канонических
уравнений D2.15) или их решение:
Poi *о> 0. D5.2)
= р(<7о> Ро. t0, t). D5.3)

§ 45] Уравнение Гамильтона — Якоби ' 399
Дифференцируя D5.2) по времени, получим обобщенные скоро-
сти в виде
<7 = <7(<7о- Ро> 'о. 0- D5.4)
Подставляя D5.2) и D5.4) в D5.1), найдем действие S как
¦функцию начальных условий и времени:
S = S(<7o, р0, t0, t). D5.5)
Можно найти действие как функцию координат и времени,
•а также начального положения и начального момента времени.
Действительно, предполагая, что
и выражая начальные импульсы р0 с помощью D5.2) через q, t,
¦q0 и t0, получим
U <7о- U\ D5.7)
а подставляя эти функции в D5.5), найдем
S = S(q, t, qa, t0). D5.8
Пользуясь D5.7) и D5.3), можно найти обобщенные импульсы
как функции координат и времени, начального положения и на-
чального момента t0:
p = p(q, t, q0, g. D5.9)
Покажем, что «поле импульсов», определяемое функциями
D5.9), потенциально, а его потенциалом является функция дей-
ствия D5.8). С этой целью найдем вариацию действия при фикси-
рованных моментах времени t и t0 (эту вариацию удобно снача-
ла записать в виде вариации от интеграла D5.1)):
|{^^} <45Л0>
п /=i
Используя коммутативность операций дифференцирования по
времени и варьирования при фиксированном времени, т. е. исполь-
,зуя равенства
б^ = б "IT = "л" б<7/ (/=1. 2,..., s), D5.11)

400
Уравнения Гамильтона
[Гл. IX
часть членов D5.10) можно будет представить в виде
dqj
Тогда вместо D5.10) получим
s t
М
dqj
/=l
dqj dt \ dqj
dqj
dqj
D5.12)
D5.13)
Учитывая, что между измененными начальным и конечным поло-
жениями система движется по действительной траектории в соот-
ветствии с уравнениями движения D2.15) (или D2.14)), прирав-
няем нулю выражения в фигурных скобках и тем самым найдем,
что
I У г. t
D5.14)
Переходя в D5.14) к каноническим импульсам (см. B8.1)), оконча-
тельно найдем
D5.15)
откуда следует, что
dS
dS
dq]0
dS dS i . , о .
= —7, P» = — -7- (/ = 1, 2,..., s),
dq dq
D5.16)
где S = S(q, t, q0, t0). Таким образом, действие как функция на-
чального и конечного положений является потенциалом «поля
импульсов», а первая и вторая группы функций D5.16) представ-
ляют собой решение канонических уравнений, записанное в виде'
D5.9) и D5.7) соответственно.
Найдем функцию действия и определяемые ею импульсы для
твердого тела, вращающегося вокруг одной из главных осей
инерции. Лагранжиан такого тела равен кинетической энергии
—Ф2, где ф — угол поворота тела вокруг оси вращения, а / —
соответствующий момент инерции. Очевидно, что здесь обобщен-
ный импульс рф/ равный /ф, сохраняется, а решением уравнения,
движения является функция
- Ф =

§ 45] Уравнение Гамильтона — Якоби 401
Используя это решение, получим действие в виде D5.5)
а затем в виде D5.8)
2
2 t-
откуда следует, что
Р
t-t0
Итак, зная решение канонических уравнений, можно найти
функцию действия и с ее помощью записать решение в форме
D5.16). Более интересной и практически важной задачей являет-
ся отыскание функции действия в том случае, когда решение-
канонических уравнений заранее не известно. Для выполнения
этой задачи следует прежде всего найти уравнение, которому
должна удовлетворять функция действия. Учитывая, что, с одной
стороны, согласно D5.1)
— =.?, D5.17),
а, с другой стороны,
" — q), D5.18)
найдем, что функция 5 как функция координат и времени подчинена
уравнению
s
f V.S? = O. D5.19).
Это уравнение с помощью определения D2.1) и соотношений
D5.16) можно представить в виде
OS , и / / dS dS dS ,\ « /,г пл^
—-+H((q1, qt, ... , qs; —, —,¦••, —;t) = 0, D5.20)
dt \ aqL dq2 dqs J
q, —, /) — гамильтониан системы, куда вместо обобщен-
dq j
ных импульсов подставлены частные производные функции 5 по
соответствующим координатам. Полученное уравнение в частных
производных, которому удовлетворяет функция действия, назы-
вается уравнением Гамильтона—Якоби.

402 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
Рассмотрим полный интеграл уравнения Гамильтона—
Якоби, т. е. такое решение этого уравнения
S = S{qlt ... , щ„ t; «!, ... , as), D5.21)
которое зависит от s произвольных постоянных а и удовлетво-
ряет условию *
f^V0. D5.22)
detf^
\dqidaj
Из определения D5.21) и D5.22) видно, что функция дейст-
вия D5.8) является полным интегралом уравнения Гамильтона—
Якоби. В самом деле, эта функция удовлетворяет уравнению
D5.20), а ввиду допущения D5.6) и соотношений D5.16) обла-
дает свойством
f^Wo D5.23)
(поскольку к функции S всегда можно прибавить произвольную
постоянную, то некоторая комбинация из s+\ постоянных qo и
^о войдет в S аддитивным образом).. Так как функция действия
может быть определена по известному решению канонических
уравнений, то из вышесказанного следует, что с помощью этого
решения можно найти полный интеграл уравнения Гамильтона —
Якоби.
Большое практическое значение имеет обратное утвержде-
ние, основанное на теореме Якоби, которая дает возмож-
ность по известному полному интегралу уравнения Гамильтона —
Якоби находить независимые интегралы канонических уравнений
D2.15). Согласно этой теореме, если некоторая функция S(q, t, a)
является полным интегралом уравнения Гамильтона—Якоби, то
решение канонических уравнений Гамильтона D2.15) определяет-
ся соотношениями
а) P/ = -gL, б)Р/ = ^- (/ = 1.2 s). D5.24)
где аир — произвольные постоянные. Соотношения D5.24, а)
определяют функции вида p=p(q, t, а), т. е. определяют обобщен-
ные импульсы как функции координат и времени. Соотношения
D5.24, б) представляют собой вторые интегралы канонических
уравнений вида р = р(<7> t, а). Разрешая эти интегралы относи-
тельно q, найдем решение в виде q(t, a, |3), т. е. найдем коорди-
* Поскольку уравнение D5.20) не .содержит саму неизвестную функцию,
а только ее производные, (s+1)-h произвольная постоянная будет аддитивным
образом входить в полный интеграл.

§ 45] Уравнение Гамильтона — Якоби 403
наты системы как функции времени и 2s произвольных постоян-
ных.
Для доказательства теоремы Якоби нужно убедиться в том,.
что решение D5.24) тождественно удовлетворяет каноническим
уравнениям Гамильтона D2.15). С этой целью будем исходить
из очевидного тождества
,t,a) Л 0>
dq J
Я
dt V dq
дифференцируя которое можно получить ряд новых тождеств.
Например, дифференцируя D5.25) по всем-а, получим
?-™&±± = 0 (/=1,2 s), D5.26).
dpi dajdqi
t=l
a вычисляя полную производную по времени от каждого из ин-
тегралов D5.24,6), найдем
d / dS(q, t, a) \ d*S(q, t, a) , VI • d*S(q, t, a) ^Q ,._j ^
i=l
D5.27>
Системы D5.26) и D5.27) являются системами неоднород-
дН
ных линейных уравнении относительно величин и ^г- соот-
ветственно. Коэффициенты этих систем одинаковы, а определи-
тели равны и, согласно D5.22), отличны от нуля. Следовательно,
корни этих систем тождественно равны, т. е.
<jc = -y- (» = 1, 2 s), D5.28).
что означает тождественное удовлетворение первой группы кано-
нических уравнений D2.15).
Дифференцируя тождество D5.25) по всем q и вычисляя
полную производную по времени от обеих частей всех равенств.
D5.24, а), получим две системы уравнений:
a2S (q_, t, а) ^_ дН yi дН_ d°-S(q, t, a) _ „ / • i 9
D5.29)
dqjdt dqj ^J
dPj d*S(q, t,a) VI d*S(q, t,a)
dt dtdqj
Hi \1 — !»

404 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
первую из которых с помощью D5.28) можно записать в виде
oqj
dqjdt *-* dqjdqi oqj
D5.30)
Сравнивая между собой D5.29) и D5.30), убеждаемся в том, что
вторая группа уравнений D2.15) также тождественно удовлетво-
ряется:
Pl^-~ (/=1,2 s). D5.31)
dqi
Таким образом, теорема доказана.
Основываясь на теореме Якоби, можно применять следую-
щий метод решения задач о движении механических систем с
¦обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными
связями. Этот метод заключается в составлении уравнения Га-
мильтона—Якоби по известной функции Гамильтона и в отыска-
нии полного интеграла этого уравнения с последующим исполь-
зованием соотношений D5.24).
Например, составим уравнения Гамильтона—Якоби для сво-
бодной точки в потенциальном поле в декартовых, цилиндриче-
ских и сферических координатах (см. D2.2) —D2.4)):
D5.32)
D5.33)
D5.34)
и рассмотрим решение уравнения Гамильтона—Якоби для сво-
бодной точки, движущейся относительно инерциальной системы
в отсутствие силовых полей. В этом простейшем случае все пере-
менные в уравнении Гамильтона—Якоби
dS , 1 ( f dS \* . / dS V : f dS
dt
2т\[дх)
разделяются, а его полный интеграл имеет вид
5 = — Eot + ахх ~ а2у + ос3г -f a4.

§ 45] Уравнение Гамильтона—Якоби 405
Определяя с помощью подстановки этого выражения в уравне-
ние Гамильтона—Якоби связь между постоянными (число неза-
висимых неаддитивных постоянных должно равняться числу
независимых переменных), найдем полный интеграл
5 = — -— {<? -г а\ -г а§) t — <цх + агу -f а3г -f- а4.
1т
Отсюда на основании D5.24, а) убеждаемся, что все обобщенные
импульсы сохраняются:
3S _ OS ' dS
р*--?¦-*» py-~7i = a*' Рг = 17 = аз'
л приравнивая производные — произвольным постоянным В
За
. 45.24,6), находим вторые интегралы:
„ <5S о, ,
да2 т
Наконец, используя начальные условия и переобозначая постоян-
ные, получим решение канонических уравнений
Рх — Рхо> Ру = РуО> Рг = PzO'
0@) yyo(o) ,(9)
. tn m tn
В заключение подчеркнем, что физические допущения, лежа-
щие в основе канонических уравнений D2.15) и уравнения Га-
мильтона—Якоби D5.20), одинаковы*. Однако преимуществом
уравнения Гамильтона—Якоби является то, что основной метод
решения этого уравнения — метод разделения переменных —
включает в себя как частный случай метод циклических коорди-
нат Лагранжа (см. § 46). Кроме того, при рассмотрении уравне-
ния Гамильтона—Якоби наиболее естественно вскрывается глубо-
кая аналогия между механикой точки и волновым процессом,
которая играет важную роль при обсуждении волнового аспекта
квантовомеханических явлений.
* О математической эквивалентности уравнения в частных производных и
¦системы уравнений с обыкновенными производными см. D1, гл. IX, § 6, п. 1].

406 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
§ 46. Метод разделения переменных
В ряде случаев гамильтониан системы обладает свойствами,
которые приводят к разделению переменных в уравнении Гамиль-
тона—Якоби.
Рассмотрим обобщенно-консервативную систему, гамильто-
ниан которой явно от времени не зависит (см. 42.21)), а уравне-
ние Гамильтона—Якоби имеет вид
dS OS
Этому уравнению удовлетворяет полный интеграл
...,qs; а1? а2, ... , а_,, Яо), Dб.2>
линейно зависящий от времени; здесь роль s-той неаддитивной
постоянной играет постоянная обобщенной энергии Но, а «уко-
роченное» действие W удовлетворяет уравнению
HU, . . . , „• ^,...,f-)=H0. D6.3)
Ч dq1 dqs I
В последнем нетрудно убедиться, подставляя D6.2) в D6.1) и имея
в виду, что
-f = -H0, f-=df (У = 1. 2 Я). Dб.4>
dt dqj dqj
Если полный интеграл уравнения D6.3) известен, то, применяя
теорему Якоби, можно получить решение канонических урав-
нений. Действительно, учитывая последние s равенств D6.4), а
также равенства
^ = ^ (/=1, 2 s-1). J«=-^ + ^,
da.j да.} дпй дН0
D6.5)
согласно D5.24), найдем
а) Р/=™ (/=1, 2,..., s),
б) Р,=™ (/=1, 2,..., s-1), D6.6)
00. j
Поскольку W явно от времени не зависит, то «поле импульсов>
D6.6, а) стационарно, s—1 интегралов D6.6,6) определяют сово-

¦§ 46] Метод разделения переменных 407
купность «траекторий» системы в пространстве конфигураций, а
последний интеграл D6.6, в) определяет закон движения системы.
При наличии циклических координат также имеет место раз-
деление переменных в уравнении Гамильтона—Якоби. В самом
деле, если s—m независимых координат являются циклическими,
то уравнение D5.20) принимает вид
dq dq J
а его решение будет линейным, относительно всех циклических
¦координат:
S
5 = V(qu ¦. ¦ , qm\ alt ... , as; 0+2 °W' D6'8)
j=m + l
Подставляя D6.8) в D6.7) и учитывая, что
dS__dV_ dS__dV_ ... 2 ,
5/ dt dqj dqj
¦g- = a, (/ = /«т-1,...( s) D6.9)
(из последних s—т равенств следует постоянство импульсов,
соответствующих циклическим координатам), получим уравнение
для функции V
qm\ —- ,...,-—, am+i, ..., as; П = 0.
D6.10)
Зная полный интеграл этого уравнения и используя теорему
Якоби, можно найти решение канонических уравнений.
Наконец, рассмотрим такой случай разделяющихся перемен-
.ных, когда функция Гамильтона имеет форму
H='H{ql, ..., qm; px, . .. , рт; fm+l {qm+i, pm+i), ¦•¦ , fs(qs, ps), t},
D6.11)
где каждая из функций fj зависит только от соответствующей
¦одной пары канонических переменных qj, pj. Тогда решение урав-
дения Гамильтона—Якоби будет иметь вид
S
5 = V(qu ..., qn; ay,..., a,; t)~ ^ W,{q,\ alt . .. , а,),
D6.12)
где Wj — аддитивная часть действия, зависящая только от коор-

408 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
динаты <7j и постоянных а. Подставляя D6.12) в уравнение Га-
мильтона—Якоби, соответствующее гамильтониану D6.11), и
используя очевидные равенства
dS dV dS dV / • i
(;1m}
?p (/-яЦ-l.....s), D6.13>
dqj dqj
найдем уравнение для функций V и Wj (j = т -f 1, ¦. • , s):
dV dV f / dw
DW4>
Если D6.12) является решением исходного уравнения, то урав-
нение D6.14) должно обращаться в тождество при любых значе-
ниях координат qm+u —, Qs- Это возможно только в том случае,
когда все функции fj будут постоянными, так как при изменении
данной координаты qt изменяется лишь функция /\. Таким обра-
зом, уравнение D6.14) распадается на систему уравнений:
//(<?/,
V
'^;; ат+и¦ ¦ •'а$; }
D6:15)
Ц = т +1, ... , s), D6.16)
из которых s—т последних уравнений являются обыкновенными
дифференциальными уравнениями. Если полный интеграл V урав-
нения D6.15) и решения уравнений D6.16) могут быть найдены,,
то, используя D6.13) и теорему Якоби, получим решение исход-
ного уравнения в виде
Р/ = -г- (/=1.---. *)• D6-17>
дщ
Рассматриваемый случай разделяющихся переменных вклю-
чает в себя, в частности, случай циклических координат. Действи-
тельно, если в D6.11) положить fj=Pj, то система D6.16) при-
мет вид
^р = а, Ц = т+1 s) D6.18)

§ 46) Метод разделения переменных 409
и, таким образом, полный интеграл D6.12) совпадет с интегра-
лом D6.8).
Заметим, что в методе разделения переменных, как и в ме-
тоде циклических координат, очень большую роль играет выбор
переменных. Например, в задаче двух тел полярные координаты
допускают разделение, а декартовы не допускают. Может также
случиться, что в одной и той же задаче несколько систем пере-
менных допускают разделение, а может случиться, что разделе-
ние переменных вообще провести нельзя, как, например, в задаче
трех тел.
Пример 46.1. Движение заряда в поле электрического диполя.
Как известно [36, стр. 51; 35, стр. 68], потенциальная энергия
заряда е в поле неподвижного электрического диполя с момен-
том а равна
Найти общее решение уравнения движения заряда [14, гл. III].
Гамильтониан заряда в сферических координатах с началом
в диполе и полярной осью, направленной по вектору а, имеет вид
(см. D2.4))
2 2
о _1 / 2 , Рв P(f "\ . еа cos 9
~ ~2m~V ' ^ ~ ' г2sin2 0
Поскольку полная энергия заряда сохраняется, то «укороченное»
действие W, зависящее от координат т, 9 и ф, подчиняется урав-
нению (см. D6.3))
2m \\ дг ) г2 У, 39 / ~ г2 sin2 в \ бф / / ' г2 ~~ °'
Замечая, что ф является циклической координатой, а г и в раз-
деляются, полный интеграл последнего уравнения будем искать
в виде (см. D6.12))
W = Wr(r, аъ а2, E0)-rWe(Q, a1( о^, Щтад.
В результате уравнение для «укороченного» действия распа-
дается на обыкновенные дифференциальные уравнения
решения которых легко записать в квадратурах. Таким образом,
находим полный интеграл исходного уравнения

410 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
2
W = С BmE0 — -^- V/2 dr~ Г ^ax - ^ • 2mea cos 9Y/f dQ — а2ф,
A)
с помощью которого нетрудно получить вторые интегралы (см. D6.6))
о 1_ Г* d? '-—С —
' &¦ п1 * _ v 1 /« ' п I о п '
I / Щ \ 1г
1 ( ai — -— — 2теа cos 0 j
B)
Р2 = -«3 ( f +<Р, C)
. 2О/ «2 V/.
sm4ai-i^-2/7ieacoseJ
D)
Первые два из этих интегралов определяют траекторию заря-
да, а третий легко берется и представляет собой закон движения
заряда:
Производя в C) замену констант
a1-v2/w?,A -~-y-mg} F)
и учитывая, что a2=p<po = MzO, получим формулу D) примера 28.1.
Следовательно, проекция точки на сферу постоянного радиуса
(с центром в диполе) будет описывать траекторию, совпадающую
с траекторией подобранного соответствующим образом сфериче-
ского маятника.
Первые интегралы Якоби (см. D6.6, а)) представляют собой
обобщенные импульсы заряда как функции координат:
р3гг* = — в1 + 2тЕ0г\ G)
9 ML
ре = a, — -f 2т | е I a cos 0, (8)
sina9
рф = Af20 (9)
(здесь вместо постоянной а^ введена равная ей константа М20 и
для определенности выбран заряд е<0). Из соотношений G) и

§ 46] Метод разделения переменных 411
(8) вытекают неравенства, определяющие области изменения
координат г и 6:
2mE0r2>alt. A0)
2m\e\acosQ, A1)
2
sin2 в
а на основании интеграла (9) можно заключить, что при
заряд вращается вокруг полярной оси все время в одном направ-
лении (знак ф совпадает со знаком фо); если же Мг0 = 0, то заряд
либо совершает плоское движение (ф = 0), либо движется вдоль
полярной оси (9 = 0).
Рассмотрим различные частные случаи.
Пусть, например, ?о<О, тогда ai<0 (см. G)) и имеют место
неравенства (см. A0))
2m|?0! '
т. е. траектория финитна. Если при этом Mz0 = 0, а 9о=5^О, то из
A1) вытекает, что заряд будет двигаться в секторе меридиональ-
ной плоскости с углом раствора 29тах, где
9тах = arccos '* { .
тах 2т\с\а
Если же МгОфО, то траектория заряда будет расположена между
двумя конусами; соответственно в будет изменяться в пределах
(9тт и 9тах определяются из уравнения A1)). В рассматривае-
мом случае полной отрицательной энергии время движения за-
ряда от г = гтах до г=0 равно "xj. (см. E)).
Пусть ?о=О и ai = 0, тогда из интеграла G) вытекает, что
р2г = 0; следовательно, заряд движется по сфере конечного ра-
диуса r = r0 (pr=mr = 0). Если при этом Mz0 = 0, то из неравен-
ства A1) видно, что в изменяется от 0 до я/2, т. е. заряд описы-
вает полукруг в некоторой меридиональной плоскости. Если же
^го^О, то движение заряда будет аналогично соответствующему
движению сферического маятника.
Отметим специальный подбор начальных условий, при кото-
ром заряд совершает равномерное движение по окружности, пер-
пендикулярной полярной оси, что соответствует тому случаю дви-
жения сферического маятника, когда Е0= (Uett)min (см. при-

412 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
мер 28.1). Используя связь констант F) и условие E) примера
28.1, найдем соотношение
cos 0 т 1 е I a
с другой стороны, согласно A0)
2 О
sin29 ~~
Таким образом, получим
1 2 4
cos20= — , М,О = т\е\а,
з зУз
причем из последнего выражения нетрудно найти
Из этих результатов видно, что все круговые траектории лежат
на одном и том же конусе, раствор которого не зависит ни от
заряда и его массы, ни от момента диполя, а момент импульса
заряда относительно оси диполя не зависит от расстояния заряда
до диполя.
В случае ?о = О, a ai<0 движение инфинитно и будет проис-
ходить между конусами, растворы которых определяются соотно-
шением A1), при этом г2 будет линейно зависеть от времени.
В случае ?о>О движение инфинитно как при ai<0, так и пр»
cti>0, причем, если ai>0, то
2тЕ0
т. е. заряд не может упасть на диполь.
Пример 46.2. Обобщенно консервативная система с одной
степенью свободы.
Рассмотрим задачу о точке, движущейся по гладкому вра-
щающемуся стержню (см. пример 28.3), и ее решение методом
Гамильтона—Якоби.
По известной функции Лагранжа определим гамильтониан
точки
„2 а
Н=— — -22- ,-2 sln2 е + mgr cos 60
2m 2

§ 47] . Движение точки и волновой процесс 413
(здесь рг = тг)у а затем получим уравнение Гамильтона — Якоби
(см. D6.1))
dS . 1 / dS V mat3 ¦> , ,'п о л
Так как функция Н явно от времени не зависит и, следовательно,
обобщенная энергия сохраняется (Н = Но), то полный интеграл
этого уравнения имеет вид (см. D6.2))
S = -Hot + W(r; Нь),
а «укороченное действие W подчиняется уравнению (см. D6.3))
Достаточно привести решение этого обыкновенного дифференци-
ального уравнения в квадратуре
W = ± J BтН0 — 2m*gr cos 60 + /га2©2/-» sin2 80)V* drr
чтобы, используя теорему Якоби в форме D6.6), получить импульс
рг как функцию положения точки:
р, = -??- = ± BтН0 — Ittfgr cos 0О -г /n2coV2 sin2 %)ll;
дг
и закон движения точки в форме
t j- в =
- f
0 J @ g cos 60 0)
Вид этого закона будет несколько различным в зависимости от знака
величины
Д = 8mW sin2 90 ( Но - -2L
°V 2
2 со2 sin3 60
который в свою очередь зависит от соотношения постоянных Яо
и (Uett)msL-a (см. пример 28.3 и рис. 28.4).
§ 47. Движение материальной точки и волновой процесс
В § 45 (см. стр. 405) обращалось внимание на весьма инте-
ресную аналогию, которую можно провести между механикой
точки и теорией волнового процесса. Проанализируем эту анало-
гию на примере свободной материальной точки, движущейся в
стационарном потенциальном поле U(r), и монохроматической
волны, распространяющейся в оптически неоднородной среде.

414
Уравнения Гамильтона
[Гл. IX
Движение точки подчиняется уравнению Гамильтона—Якоби
D7.1)
где 5 — функция г и t. Так как функция Гамильтона Н в рас-
сматриваемом случае сохраняет постоянное значение, равное пол-
ной энергии Ео, то решение для S следует искать в виде
(см. D6.2))
5 = -?0/тГ(г). D7.2)
Подставляя D7.2) в D7.1), получим уравнение для «укорочен-
ного» действия
Заметим, что поверхности W = const стационарны, посколь-
ку W не зависит явно от времени, а поверхности равного действия
= —Eot -f W (г) = const
D7.4)
S(t)-C
Рис. 47.1
движутся, причем в любой мо-
мент времени любая поверх-
ность равного действия S сов-
падает с некоторой поверхно-
стью «укороченного» действия.
Например, поверхность S = C в
момент времени t совпадает с
поверхностью W = C\, если па-
раметр семейства этих поверх-
ностей С\ равен C+Eot
(рис. 47.1). Поверхность S = C
в момент t+dt будет совпа-
дать с другой поверхностью
W CEdt
Можно найти выражение для скорости и, с которой движет-
ся поверхность равного действия. В данной точке поверхности
о /о ds .
о = С эта скорость равна , где ds — расстояние, которое no-
di
верхность проходит за время dt в направлении, перпендикз'ляр-
ном к самой себе в рассматриваемой точке. Кроме того, измене-
ние dW при передвижении поверхности S — С за время dt равно
Eodt. С другой стороны, как известно, dW=\V W\ds. Следова-
тельно (см. также D7.3)),
F F F
и=-~—=—2— =——, D7.5)
mv
где v—модуль скорости материальной точки (следует иметь в

§ 47) Движение точки и волновой процесс 415
виду, что скорость и определена лишь с точностью до произволь-
ной постоянной).
Одновременно с движением поверхности равного действия S
материальная точка движется по траектории, перпендикулярной
как к поверхности S, так и к поверхности W, поскольку импульс р
точки, согласно D6.4) и D6.6, а), равен
р = VS = VW. D7.6).
Вид траектории точки определяется уравнением D7.3), которое
с формальной точки зрения совпадает с известным в геометри-
ческой оптике уравнением эйконала
n»(r), D7.7>
где / — так называемый эйконал, п — показатель преломления,
равный отношению скорости света с в вакууме к скорости света
в данной среде, а г — радиус-вектор точки пространства.
Уравнение эйконала может быть получено из волнового урав-
нения
у2ф_Л1^Ф=0, D7.8>
где ф является любой из компонент напряженности электриче-
ского или магнитного поля. Если считать п постоянным, то одним
из решений уравнения D7.8) будет функция
(p = aeUkr-ort)) D7.9),
где а — постоянная амплитуда, w — заданная частота, а к — вол-
, новой вектор, направленный по лучу, т. е. по нормали к волновой
/ . 2я та , ч
поверхности (по величине k= = , где к — длина волны)..
А С
Если же п является медленно меняющейся функции г, то реше-
ние уравнения D7/8) естественно искать в виде
q () D7.10).
где k0 = -1- = — — волновое число в вакууме, а I — эйконал.
Ао С
Подставляя D7.10) в D7.8) и приравнивая действительную
и мнимую части полученного выражения нулю, придем к уравне-
ниям для амплитуды а и эйконала /
V2a + a?o[rt2 — (V/)«] = 0, D7.11)
aV2M 2(Va)(V/) = 0. D7.12)
Используя предположение о том, что изменением показателя
преломления п на расстояниях порядка длины волны можно пре-
небречь (это предположение эквивалентно тому, что длина волны
исчезающе мала по сравнению с линейным размером неоднород-

416 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
ности среды), совершим в уравнении D7.11) предельный переход
¦ко= >-оо. Тогда получим основное уравнение геометриче-
•ской оптики D7.7) *. В этом предельном случае поверхности
V (г) — <0* = const D7.13)
являются поверхностями равной фазы и определяют фронт вол-
ны, а световые лучи ортогональны к фронту волны и направлены
по волновому вектору к, равному (см. определения величин, вхо-
дящих в формулы D7.9) и D7.10))
k=^L_vL_ = bV/. D7.14)
Сопоставляя D7.4) и D7.13), D7.6) и D7.14), D7.3) и D7.7),
лриходим к аналогии между величинами:
D7.15)
р-к, 2m(E0-U)~n*.
Итак, аналогом фронта волны является поверхность равного дей-
ствия; роль эйконала играет «укороченное» действие W; волновой
вектор можно сопоставить импульсу точки; роль лучей играют
траектории точки, а показатель преломления аналогичен вели-
чине [2m(E0—U)]'/***.
В связи с указанной аналогией возникает вопрос о механи-
ческом уравнении, соответствующем волновому уравнению не
только в области коротких волн, айв области длинных волн,
т. е. вопрос, на который отвечает квантовая механика.
Пример 47.1. Движение точки в однородном поле тяжести и
распространение светового луча.
Точка массы m движется в поле тяжести с напряженностью g.
Найти показатель преломления такой оптической среды, в кото-
рой луч света будет двигаться по кривым, совпадающим с траек-
торией материальной точки в поле тяжести.
Совмещая плоскость Оху с плоскостью движения точки и
* При этом в D7.11) следует пренебречь первым членом, что приводит к
требованию у2о < а Dя2Дц), характеризующему достаточно малое изме-
нение амплитуды на расстоянии порядка длины волны. Что касается уравнения
D7.12), то оно с точностью до постоянного множителя представляет собой
закон сохранения энергии, имеющий место при распространении рассматриваемой
волны. В этом нетрудно убедиться, записывая D7.12) в виде V(a2v0=0 и
учитывая, что поток энергии в волне направлен по вектору к~ у/, а величина
этого потока пропорциональна а2.
** Для системы точек можно указать на ту же аналогию, однако она бу-
дет иметь место уже не в трехмерном пространстве, а в s-мерном пространстве
конфигураций.

§ 47]
Движение точки и волновой процесс
417
направляя оси Ох и Оу соответственно по горизонтали и верти-
кали (рис. 47.2), найдем функцию Гамильтона точки
2m
Следовательно, решение уравнения Гамильтона — Якоби
dW \a
(уI-
нужно искать в виде
W = ax \-Wy(y).
Подставляя B) в A), найдем полный интеграл
A)
B)
а^затем интересующий нас геометрический интеграл (см. D6.6, б))
са g у- /га3 \. 2/и
Отсюда, используя начальные условия, получим уравнение семейства
траекторий точки (парабол)
2
а приравнивая W постоянной С, найдем уравнение семейства ор-
тогональных к траекториям кривых (полукубических парабол)
D)
2т
Полагая в C) и D) для простоты лго = О, руо=О, придем к
функциям
У-=Уо г- %г>
графики которых изображены на
рис. 47.2 (график кривой W = C
Рис. 47.2
II И. Ольховский

418 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
при различных значениях С может быть получен сдвигом вдоль
оси Ох полукубической параболы, соответствующей, например,
значению С=0).
Подбирая показатель преломления оптической среды в соот-
ветствии с уравнением A) (см. D7.15)):
~ у),
придем к выводу, что луч света в такой среде будет двигаться
по параболе, а фронт волны последовательно совпадать с поверх-
ностями семейства полукубических парабол.
§ 48. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана
Как неоднократно отмечалось, важную роль в теоретической
механике играют общие теоремы о сохранении и инвариантности
различных величин. Большое значение имеет инвариант Пуан-
каре — Картана.
Чтобы убедиться в существовании этого инварианта, восполь-
зуемся так называемой полной вариацией действия D5.8),
когда варьируются не только начальное и конечное положения
системы, но и начальный и конечный моменты времени. Исполь-
зуя определение D5.1), для полной вариации действия найдем
выражение (ср. с D5.10))
где ifj —значение функции if в момент tu J?o —значение J? в
момент to, a 8t\ и б^о — вариации конечного и начального момен-
тов времени. Повторяя вычисления, данные на стр. 399—400, и
учитывая, что между измененными положениями система движет-
ся по действительным траекториям в соответствии с уравнениями
Гамильтона D2.15) или уравнениями Лагранжа D2.14), вместо
D5.15) получим полную вариацию
65 = 2 РдЧ Vi) - 2 P'o^f{to) + X&i - -ЗД»; D8.2)
здесь pj\ и Pjo—импульсы в моменты времени t\ и t0 соответст-
венно, a 8qj(h) и 8qj(t0) являются вариациями функций qj(t) в мо-
менты времени tx и t0 (еще раз подчеркнем, что эти вариации
связаны только с изменением вида функций qj(t) и в отличие от
полных вариаций берутся при фиксированном времени t).
Найдем соотношения между вариациями функций 8qj(t0),
8qj(ti) и вариациями начального и конечного положений б^о и

§ 48]
Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана
419
6<7ji, причем для простоты ограничимся случаем системы с одной
степенью свободы (см. рис. 48.1, на котором изображены две
«траектории» системы в пространстве q, t; одна из этих «траек-
торий» проходит через «точку» q0, t0, а вторая — через <7о+б<7о,
О
Рис. 48.2
t0). Нетрудно видеть, что вариация начального положения
dq0 с точностью до бесконечно малых высшего порядка слагает-
ся из вариации 8q(t), взятой в момент времени ^о, и члена
q(toNto, т. е.
-q'{to)bto; D8.3)
аналогично вариация конечного положения равна
6^j •= bq (tj) + q (tx) 8/x D8.4)
(из выражений D8.3) и D8.4) следует, что полное варьирование,
связанное с изменением как вида функции, так и ее аргумента, не
коммутативно с операцией дифференцирования по времени). На-
конец, используя определение функции Гамильтона D2.1), а также
соотношения D8.3) и D8.4) для каждой координаты qit из D8.2)
найдем полную вариацию действия
- ? p]06qi0 + Hobto,
D8.5)
где Hi и Но — значения гамильтониана Н в моменты времени
^i и ^о соответственно.
Теперь введем понятие о «расширенном» фазовом
пространстве, по координатным осям которого «отклады-
ваются» величины q, p, t, и выберем ансамбль механических си-
14*

420 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
стем с начальными состояниями qQ, р0 и tQ, образующими в ука-
занном пространстве некоторый замкнутый контур Со; этот кон-
тур зададим с помощью функций
<7/о = <7/о («)> Р/о = Р/о («)» ^о = ^о (а) (j = 1, • • • , s; 0 < а < а0), D8.6)
где значениям а = 0 и а = ао соответствует одна и та же «точка»
контура Со (см. рис. 48.2, выполненный для случая s=l). Через
каждую «точку» контура Со проходит единственная действитель-
ная «траектория» системы, а совокупность этих «траекторий»
образует «трубку». Каждой образующей этой трубки соответст-
вует определенное значение а (только одной образующей соответ-
ствуют значения а = 0 и а = а0). Выберем на данной трубке замк-
нутый контур С\ так, чтобы каждая образующая трубки прохо-
дила только через одну точку контура С\\ контур С\ также мож-
но задать с помощью функций
Я И = <7/i (<*)> Рц = Рл (а), h = k (а)
(/= 1,... ,s; 0<а<а0). D8- }
Вычислим действие 5 на фазовой траектории, которая про-
ходит через соответствующие определенному значению парамет-
ра а точки контуров Со и С\. Ввиду D8.6) и D8.7) это значение
действия зависит от параметра а:
S(a)= \ J?dt.
Интегрируя полную вариацию функции 5 (а), найдем
(a) = S(a0) — S@) = 0, D8.8)
поскольку 5(a0) —5@). Используя D8.5), равенство D8.8) можно
записать в виде
pfiq,-НЫ] = <§>[? pfiq,~НЫ], D8.9)
с /i
с„ /=i
где в подынтегральные выражения подставлены функции D8.7) и
D8.6) соответственно, а контурными интегралами обозначены
интегралы по переменной а в пределах от 0 до а0.
Подчеркнем, что при выводе свойства D8.9) было использо-
вано выражение вариации 6S, справедливое для систем, движе-
ние которых подчинено уравнениям D2.14) или D2.15). Поэтому
можно утверждать, что для механической системы с обобщенно-

§ 48] Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана 421
потенциальными силами и голономными идеальными связями ве-
личина интеграла
} D8.10)
не зависит от выбора замкнутого контура, охватывающего дан-
ную трубку фазовых действительных траекторий в 2s + {-мер-
ном пространстве (q, p, t) (лишь бы каждая фазовая траектория
данной трубки проходила только через одну точку контура). Инте-
грал D8.10) называется интегральным инвариантом
Пуанкаре — Картана (или основным интегральным
инвариантом механики) (см. [12], гл. I; [23], гл. III).
Справедливо и обратное утверждение: пусть движение систе-
мы подчиняется уравнениям вида
Ъ = Ф,(Я, P.O. Pi = Vi(q,P,t) (/=l,--.,s) D8.11)
(в этом случае движение однозначно определяется по начальным
условиям), а интеграл Пуанкаре—Картана является инвариантом
относительно выбора замкнутого контура, охватывающего лю-
бую данную трубку действительных фазовых траекторий в про-
странстве (q, p, t); тогда уравнения D8.11) будут каноническими
уравнениями Гамильтона с функцией Н, входящей в интеграл
Пуанкаре—Картана.
С помощью дополнительного к системе D8.11) уравнения
± = у D8.12)
(здесь \— произвольная функция от q, p и t), введем вспомога-
тельный параметр \.i. Проинтегрировав систему уравнений D8.11)
и D8.12), найдем ее общее решение
<7j = <7/0*. <7о> Ро> 'о).
Р/ = Р;>.<7о> Ро. *о). D8.13)
t = t{y.,q0, po,t0) (/= 1 s).
Выберем из этого общего решения только те частные решения,
которые соответствуют фазовым траекториям, проходящим через
точки данного (произвольно выбранного) контура Со. Задавая
контур Со уравнениями D8.6) и подставляя D8.6) в D8.13), най-
дем уравнения действительных траекторий, проходящих через
точки контура Со:
ос), р/ = р;(ц, a), t = t(n,a)
l,...,s; 0<<х<ао). D8.14)

422 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
Здесь определенному значению а соответствует определенная
фазовая траектория (значениям а = 0 и а = а0 соответствует одна
траектория), а определенному значению ц соответствует опреде-
ленная точка каждой траектории и замкнутый контур, составлен-
ный из таких точек.
Подставляя D8.14) в интеграл D8.10), запишем условие ин-
вариантности этого интеграла в виде
dI = § Е dPi '8qi+Y, pidbqi ~~ dH ' bt ~ Hdbt] = 0> •
c /i ;i
где символом d обозначено бесконечно малое приращение, связан-
ное с изменением ц,, а символом б — приращение, связанное с из-
менением а. Поскольку параметры ц, и а независимы, то опера-
ции d и б коммутативны. Используя это свойство, из D8.15) по-
лучим
ф {J] dp, ¦ bq} + ? pfidqt — dH-Ы — Hbdt\ = 0. D8.16)
С„ у=1 у=1
Учитывая, что интеграл по замкнутому контуру Со является
интегралом по а в пределах от 0 до ао, а значения подынтеграль-
ной функции при а = 0 и а = а0 совпадают, найдем, что
f Hbdt ¦+• ф &ЯЛ = § б (ЯЛ) = ЯЛ |™° = 0, D8.17)
Се Со Со
и, следовательно,
& Hbdt = — & bHdt. D8.18)
Аналогично получим
s
%Ьр,. D8.19)
Со J—А ^0 J —1
Подставляя D8.18) и D8.19) в D8.16), найдем
S S
ф iV dpfiq, — Y dqfipj — ^Яб^ + bHdt\ = 0, D8.20)
с0 /=i /=i
а отсюда, используя вариацию 6Я, получим
с„ /=1 с0 i=i

48] Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана 423
/ = 0 D8.21)
(следует иметь в виду, что от а зависят все аргументы функ-
ции Н, см. D8.14)). Это условие инвариантности интеграла Пуан-
каре— Картана с учетом D8.11) и D8.12) принимает форму
0. D8.22)
Ввиду произвольности функции у, т. е. произвольности кон-
тура, охватывающего данную трубку действительных траекторий,
подынтегральное выражение в D8.22) должно равняться нулю, а
ввиду произвольного выбора, этих трубок (см. D8.14)) коэффи-
циенты при всех 8<7j, 8/?3- и bt также должны быть равны нулю, т. е.
Ф/=-7Г-. *, = --!?- (/=* ')> ^Г = ^Г' D8-23)
dpj dqj dt dt
и, следовательно, уравнения D8.11) будут каноническими урав-
нениями Гамильтона.
Таким образом, инвариантность интеграла Пуанкаре — Кар-
тана является необходимым и достаточным условием того,
чтобы механическая система подчинялась каноническим уравне-
ниям Гамильтона D2.15), т. е. была гамильтоновой си-
стемой.
Если в равенстве D8.9) интегрирование произвести по конту-
рам Ctl и Ct,, все точки которых будут представлять состояния
системы в фиксированные моменты времени tx и *0 соответственно,
то вместо D8.9) получим
S
§ Е D8.24)
контуры С(, и C^o можно задать с помощью функций D8.7) и D8.6)
с фиксированными tx и t0. Интеграл
взятый по контуру Си точки которого представляют собой раз-
личные состояния системы в один и тот же момент времени t, на-
зывается интегралом Пуанкаре. Утверждение D8.24)
удобнее интерпретировать в 2s-MepHOM фазовом пространстве

424 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
(q\ p), в котором «точки» данного контура Ct0 через интервал
времени t\ —10 занимают соответствующее положение на конту-
ре Ctt. На основании D8.24) можно утверждать, что для механи-
ческой системы с обобщенно-потенциальными силами и голоном-
ными идеальными связями значение интеграла Пуанкаре, взятого
по произвольному замкнутому контуру в пространстве (q, p),
с течением времени сохраняется.
Интеграл Пуанкаре является, как говорят, универсаль-
ным инвариантом, поскольку в вышеуказанном смысле он
сохраняет постоянное значение для любой гамильтоновой си-
стемы.
В заключение рассмотрим важную теорему об единст-
венности интегрального инварианта Пуанкаре,
согласно которой любой универсальный интегральный инвариант
вида
отличается от интеграла Пуанкаре лишь постоянным множите-
лем*. Полагая для простоты s = l, запишем условие сохранения/'
"л" = ~*~§[A{q< p't)bq + B{q' p't)bp] = °- D8-26)
в виде
Здесь в подынтегральное выражение вместо q и р следует под-
ставить решение канонических уравнений D2.15)
q— q(q0, po,t), p = p(q0, p0, t), D8.27)
куда в свою очередь вместо начальных условий <7о и р0 нужно
подставить функции, определяющие произвольный замкнутый
контур Ct0 в момент времени tQ, т. е. функции
V0 ^^ Qo \"/« Ро ~ гО l^V» ^O.ZOj
где параметр а изменяется в пределах O=sCa:?Cao, а его значениям
а = 0 и а = а0 соответствует одна и та же точка контура С „.
Заменяя порядок дифференцирования по времени и интегри-
рования по а, а также порядок дифференцирования по t и а, из
D8.26) получим
(Ь So -f- Лб—— J Ьр -'г ?б—— = 0. D8.29)
j[dt4 dt dt к Л J ;
* Теорема об единственности всех универсальных инвариантов в прост-
ранстве (q, р) доказана в работе Hwa — Chung Lee, см. Proc Roy Soc
Edinbourgh, ser. A, v. LXII, 1947, p. 237—247.

§ 47]
Канонические преобразования
425
Интегрируя здесь по частям второй и четвертый члены, найдем
0. D8.30)
dt
dt
dt
dt
Наконец, используя выражения полных производных и вариаций от
А и В как функций q, p и /, получим условие сохранения /' в виде
где
дА
dp
дВ
dq
<48-3"
D8.32)
Поскольку контур интегрирования в D8.31) произволен, то
подынтегральное выражение должно быть полным дифференциа-
лом относительно переменных q и р, т. е.
V dt J dq \ Ч dt J
D8.33)
Отсюда, используя уравнения Гамильтона D2.15), найдем
dZ dH , dZ dH f dZ ,~,
dp dq dq dp dt
Это требование ввиду универсальности исходного инвариан-
та должно удовлетворяться при любом Н. Поэтому все частные
производные функции Z будут равны нулю, а сама функция бу-
дет равна постоянной: Z = c. Таким образом,
дА dB d(A — cp) дВ
= С ИЛИ —; '-!— = .
dp dq dp dq
Из этого условия вытекает существование такой функции
Ф(<7, р, t), вариация которой равна
8Ф — (А — ср) bq + ВЬр. D8.34)
Интегрируя обе части этого равенства по замкнутому контуру,
окончательно найдем, что исходный инвариант равен
/' = cllt
D8.35)
где 1\ — инвариант Пуанкаре.
§ 49. Канонические преобразования
Каноническими преобразованиями называются
такие преобразования канонических переменных, которые не из-
меняют общей формы уравнений D2.15) для любой гамильтоно-

426 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
вой системы. Эти преобразования дают возможность свести за-
дачу о движении системы с данным гамильтонианом к задаче о
системе с более простым гамильтонианом, в связи с чем метод
канонических преобразований имеет большое значение. Итак,
преобразование
Qi = Qi(Qv ... .<7s. Pi. ••• .Р..0.
(/=l,...,s), D9.1)
&! = &№ <7i Pi Pi.0
J» ,«?»,) 0
)
d(<7i. ••• . w Pi
называется каноническим, если оно преобразует уравнения Гамильто-
на с любой функцией Н
q Р = -^~ 0=1.....») D9.2)
также в канонические уравнения с другой, вообще говоря, функцией
Гамильтона:
Найдем условие каноничности преобразования D9.1). Из оп-
ределения канонических преобразований следует, что как в
«старых» переменных q, р, так и в «новых» переменных Q, <Р
уравнения движения должны иметь каноническую форму. Следо-
вательно, и в «старых», и в «новых» переменных должны выпол-
няться условия инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана
D8.9)
0(?
С, ;=1
§ [Е
[ i1
где, согласно D9.1), контуры С; и Со преобразуются в контуры
(?i и ^о соответственно. Пользуясь произвольностью контура Со,
составим его из фазовых точек расширенного пространства
(q, p, t), соответствующих «одновременному состоянию» t=t0-
Тогда контур Со будет состоять из «точек» пространства (Q, ^*, /).
для которых также t=t0, поскольку канонические преобразования
не преобразуют время t. При таком выборе контура Со вместо
D9.4) получим

49] Канонические преобразования 427
D9'5)
Учитывая, что интеграл ф 2°^/^/» преобразованный к
% '
«старым» переменным, согласно теореме об единственности интег-
рального инварианта Пуанкаре (см. D8.35)), равен
из D9.5) найдем
{? FfiQt-9Z6t-c [?Р/6?,.-Ш]} = 0, D9.7)
/=1 /1
[
где «новые» переменные должны быть выражены через «старые»
с помощью D9.1). Ввиду произвольности контура Ci подынтег-
ральное выражение в D9.7) будет полным дифференциалом — 6Ф
некоторой функции 2s+1 переменных q, p и t, т. е.
fiQ,- - ШЫ\ - с (У pibql - НЫ\ = - 6Ф. D9.8)
Подчеркнем, что исходные равенства D9.4) являются необ-
ходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнения дви-
жения в переменных q, p и переменных Q, сР были канонически-
ми. Следовательно, тождественное удовлетворение равенства
D9.8) данным преобразованием D9.1) при некоторой функции Ф
и постоянной с является необходимым и достаточным условием
каноничности этого преобразования. Иначе говоря, если дано
каноническое преобразование, то оно обращает D9.8) в тожде-
ство при некоторой функции Ф п постоянной с; и, обратно, если
дана произвольная функция Ф и постоянная с, то преобразование
вида D9.1), обращающее D9.8) в тождество, является канони-
ческим.
В связи с отмеченной ролью функция Ф называется произ-
водящей функцией. Эта "функция является функцией
2s+1 независимых переменных, в число которых входит время t
и 2s координат и импульсов, причем они могут быть выбраны
произвольно из 4s «старых» и «новых» координат и импульсов,

428 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
связанных между собой соотношениями D9.1). Например, при
выводе условия D9.8) функция Ф считалась функцией q, р и t.
Допуская, что
f^W D9.9)
и выражая с помощью D9.1) «старые» импульсы через «старые» и
«новые» координаты
Pj = P/(q,Q,t) (/=1 s), D9.10)
представим производящую функцию в виде
Ф(<7, р(д, Q, t), t) = Фх(д, Q, t). D9.11)
Рассмотрим наиболее распространенный случай канониче-
ских преобразований, когда с—\, а в качестве аргументов произ-
водящей функции взят один из следующих наборов переменных*:
д, Q; д,&; p.Q; p,&. D9.12)
Если аргументами являются «старые» и «новые» координаты, то,
записывая основное тождество D9.8) в виде
D9.13)
получим формулы, определяющие каноническое преобразование:
а также соотношение между «новой» и «старой» функциями
Гамильтона
^ D9.15)
dt
Действительно, записывая D9.14) в виде (см. D9.11))
Pj = P,(g,Q,t), Pj = Pi(g,Q,t) (/=l,...,s) D9.16)
и выражая с помощью s первых соотношений «новые» координа-
ты Q через q и р, в результате подстановки Q (q, p, t) в функции
3* (q, Q, t) получим все формулы канонического преобразования
D9.1). При этом следует иметь в виду, что определение Q как
* Подробное изложение теории произвольных канонических преобразований
см. в [23, гл. IV].

§ 49] Канонические преобразования 429
функций q, p и t возможно лишь при отличном от нуля якобиане
с элементами
JgL °f (i,j=U... ,s). D9.17)
Если в качестве аргументов производящей функции выбрать
вторую группу переменных из D9.12), то вместо Ф] следует взять
производящую функцию (ср. с D2.1))
iiQl D9.18)
(преобразование от q, Q к q, §> является преобразованием Ле-
жандра). Тогда условие каноничности D9.13) перейдет в условие
6Фа(<7, Р, t) = ? Р/&7;. г ? Qfi^i-(H — ^Ntt D9.19)
а формулы, определяющие каноническое преобразование, и соот-
ношение между функциями Гамильтона Ж и Н примут вид
"-¦?• Q'-5r <'-' *»• D9-20)
т = Н + -^-; D9.21)
от
при этом функция Ф2(<7, оР, ^) должна удовлетворять требованию,
аналогичному D9.17): якобиан с элементами
= _^ (t-i/=i s) D9.22)
dq K J ' '
должен отличаться от нуля.
Переход к третьей группе переменных (см. D9.12)), выпол-
няемый с помощью функции
? D9.23)
приводит к основному тождеству
6Ф3(р, Q, t) = -? 9/6р/-J] &№,-W — W) Ы, D9.24)
а также к формулам канонического преобразования

430 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
и соотношению для функций Гамильтона
ffl = H + i5s.; D9.26)
6t
при этом якобиан с элементами
д^ ( , D927
должен отличаться от нуля. Заметим, что формулы канонического
преобразования в переменных q, 3* и Q, р по существу эквива-
лентны, так как наименования «старые» координаты и «новые»
импульсы или «новые» координаты и «старые» импульсы относи-
тельны.
Наконец, используя производящую функцию
D9.28)
получим основное тождество, формулы преобразования и соотно-
шение для функций Гамильтона в виде
6Ф4 (р, ^, t) = - ? <73.6р, + ? <Эуб^3. ~{Н — ЖN^; D9.29)
"—¦|Г- Q'=57 <'-' s)' <49-30)
gf = H-,^i- D9.3!)
при условии неравенства нулю якобиана с элементами
Теперь убедимся, что якобиан канонического преобразования
равен единице. В самом деле, используя известное свойство яко-
бианов, его можно записать, например, в виде такой дроби:
^ д(д,р) .
I
I

§ 49]
Канонические преобразования
431
здесь числитель и знаменатель соответственно равны
!2i-...i2L.io...o
dQs dQs
dq1
d<Ps d&s
0...0
1 ...0
0 ... 1
d(q)
D9.34)
{q,
1 ...0
0... 1
0...0
0...0
dqs dqs
dpi dpi
dps dps
d(p)
D9.35)
Отсюда, учитывая, что, согласно D9.22), последние два якобиана
равны между собой, получим (ср. с D3.13)) *
d(q,p)
1.
D9.36)
В качестве примера простейшего канонического преобразо-
вания приведем тождественное преобразование
р. = &>}, Q.j = q} (/ = 1,... , s), D9.37)
определяемое производящей функцией (см. D9.20))
S
ф2 = у q^jw D9.38)
Пример 49.1. Простейшие канонические преобразования.
1. Производящая функция
* Аналогично, используя D9.17), D9.27) или D9.32), придем к такому же
результату.

432 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
определяет (см. D9.14)) преобразование
которое по существу эквивалентно переобозначению импульсов и
координат.
2. Функция
определяет (см. D9.20)) преобразование инверсии в фа-
зовом пространстве
Q,= -<7,-, ^ = — р, (У=1 s).
3. Линейное преобразование переменных q, p
для системы с одной степенью свободы будет каноническим, если
постоянные а, р, у и v удовлетворяют условию (см. D9.36))
av—¦ Py = 1-
Пользуясь условием каноничности D9.13) в виде
найдем производящую функцию рассматриваемого преобразова-
ния. Подставляя сюда исходные функции и учитывая, что якобиан
преобразования равен единице, получим
6Ф = -
откуда
ф = — Qvpa avq2 — — 3vp2 (av
Если a = v, а р = — y. t0 преобразование, условие его каноничнос-
ти и производящая функция принимают вид

§ 49] Канонические преобразования 433
(например, преобразование этого типа используется при анализе
явления сверхпроводимости металлов).
Пример 49.2. Точечные преобразования.
1. Согласно формулам канонических преобразований «новые»
координаты, вообще говоря, зависят как от «старых» координат,
определяющих положение системы, так и от «старых» импуль-
сов. Поэтому с помощью «новых» координат нельзя задать поло-
жения системы, и только совокупность всех «новых» переменных
Q и <Р определяет положения и скорости точек механической си-
стемы. Однако в частном случае канонических преобразований с
производящей функцией
A)
(здесь ф-j — произвольные независимые функции) «новые» коорди-
наты будут определять положение системы. Действительно, ис-
пользуя A) и D9.20), получим точечные преобразования
(см. B9.1))
<Зу = Фу(<7,0 (j=\,...,s). B)
2. Если производящая функция имеет вид
Ф2 =
где ф,- = V a^qp а постоянные коэффициенты йц удовлетворяют ус-
ловию ортогональности
s
]? atfli-j = Ьи-,
то, используя формулы D9.20), найдем
'?l>lFt; A)
i'.i i'
(i=U...,s). B)
i
Умножая каждое из s уравнений A) на а^ и суммируя результа-
ты по /, получим
i.i

434 Уравнения Гамильтона ]Гл. IX
Следовательно, рассматриваемое каноническое преобразование
представляет собой совокупность точечного ортогонального пре-
образования B) и ортогонального преобразования обобщенных
импульсов
<П=1Хру (t=l,.-..s). C)
i
3. Преобразование от декартовых координат точки к ее цн-1
линдрическим координатам можно осуществить с помощью про-
изводящей функции
которая также приводит к точечным преобразованиям (см.
D9.25)). Положим, что «старые» координаты qly Цч и <7з соответ-
ственно равны декартовым координатам точки х, у и z, а «новые»
координаты Qb Q2, Q3 соответственно равны цилиндрическим
координатам точки р, ср, z. Тогда, используя функцию
Фа = — РхР cos ф — ру9 sin ф — рг • z
и D9.25), найдем формулы преобразования координат и обобщенных
импульсов
—-3- = р cos ф, рр=
Ф
дФч дФя , ,
х = — —-3- = р cos ф, рр= -г- = рх cos ф -f РУ sin ф,
дР Ф
У = — "IT8- = Р sln Ф' Рф = — "^ = — Prfsln Ф + Pi/P cos Ф'
Ф ^Ф
_ 5фз _ _ 5Ф3 _
г — г, рг — р2.
dpz dz
Замечая, что производящая функция Ф3 явно от времени не за-
висит, и преобразуя с помощью формул A) «старый» гамиль-
тониан
к новым переменным, получим
Используя производящую функцию
|-г2 f ^earct

*> 49] Канонические преобразования 435
перейдем от цилиндрических координат к сферическим координатам
г, 0, ф. Тогда, согласно D9.20), найдем
= arctg-2-, . B)
а, учитывая D9.21) и преобразование B), вместо «старого» га-
мильтониана получим гамильтониан в сферических переменных
1т. \ г2 /2 sin2 6
Пример 49.3. Неизотропный пространственный осциллятор.
Пусть на точку действует сила, проекции которой на декар-
товы оси равны
Гх = Xlx, * у = И2^> ^ г = Из^'
Найти общее решение уравнения движения точки методом кано-
нических преобразований.
Запишем гамильтониан рассматриваемого осциллятора в де-
картовых координатах:
н = ~t {Я + р2у+ ^ + Т{KlX2 + щу* "т Хзг2) A)
и совершим каноническое преобразование к «новым» перемен-
ным Q, ?Р с помощью функции
B)
i=\
где &j — постоянные, которые соответствующим образом подберем
ниже, a q\ = x, Ц2 = \), Цз = %. Каноническое преобразование будет
определяться формулами D9.14)
р, - 2kiqi ctg Q{, Ft = -^L (i = 1, 2, 3) C)
(здесь символами pi, p2, рз обозначены проекции импульса рх,
ру, рг соответственно).

436 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
Записывая C) в виде
VWx*Qi D)
и подставляя D) в A), найдем гамильтониан осциллятора в «новых»
переменных
з
(v"cos2 Qi ¦'¦ 5"s1 Q') ^ • E)
(=1
Полагая здесь 2&,- = l/xtm, сведем E) к функции
з
?=1
которая не зависит от координат Q. Составляя уравнения Га-
мильтона в «новых» переменных (см. D9.3)), получим
& = Щ, <^ = 0 (/=1,2,3), G)
откуда найдем решение
Qi = v>it + Qio, ^t = ^io (t= 1,2.3). (8)
Решение в «старых» (декартовых) переменных
— ski (coi -г Qio),
A=1,2,3) (9)
aiFut cos (©,/ -- Qi0)
можно получить, используя D) и (8).
§ 50. Переменные «действие — угол»
и адиабатические инварианты
При исследовании систем, совершающих движения, близкие
к периодическим, большую роль играет метод канонических пре-
образований, с помощью которого можно получить частоты, ха-
рактеризующие это движение, не отыскивая самого закона дви-
жения системы.
Пусть механическая система является обобщенно-консерва-
тивной, а хотя бы один набор канонических переменных разде-
ляется, причем либо каждая из соответствующих переменных
qi, pi является периодической функцией времени с одинаковым

§ 50] Переменные «действие — угол» 437
периодом, либо каждый импульс pi является периодической 'функ-
цией координаты qit в то время как сама координата не является
периодической функцией времени. Движение первого типа обыч-
но называется либрацией, а второго типа — вращением.
Примером либрации могут служить колебания неизотропного
осциллятора (см. пример 49.3), а примером вращения — движе-
ние математического маятника при достаточно большом значении
начальной энергии. В самом деле, получая из интеграла энергии
маятника обобщенный импульс
ре= j/2m/a (Ео + mgl cos 6)
как функцию угла 9 отклонения маятника от вертикали, убедим-
ся, что при E0>mgl (когда осуществляется вращение маятника)
импульс ре изменяется периодически, в то время как 8 неограни-
ченно растет.
Решение уравнения Гамильтона ¦—Якоби
Н« E0Л)'
для рассматриваемых систем (см, D6.3) и D6.11)) имеет вид (см. D6.12))
W (<7L qt\ alf • • • , о,) = 2 Wt (qr, %,..., а,). E0.2>
г=1
Подставляя E0.2) в E0.1), сведем решение задачи к решению
системы обыкновенных дифференциальных уравнений (см. D6.16))
| = о, (i=l,...,s), E0.3}
где постоянные а связаны соотношением
H(ai,...,as) = H0. E0.4)
Разрешая систему E0.3) относительно производных dWJdqi, най-
дем каждый импульс pi как функцию координаты qc
(по условию эти функции являются периодическими функциями
соответствующих координат).
* Идея излагаемого метода решения поставленной задачи за-
ключается в применении канонического преобразования от пере-
менных q, p к таким переменным, где роль новых импульсов,
играют специальным образом выбранные постоянные, являющие-
ся функциями постоянных а, а «новый» гамильтониан зависит

438
Уравнения Гамильтона
[Гл. IX
только от «новых» импульсов. В качестве таких импульсов вво-
дятся величины, равные
(i=l,...,s), E0.6)
¦где интегралы берутся по полным периодам изменения импульсов
pi как функций соответствующих координат Ц\. Эти величины
называются «переменными действия» и являются неза-
висимыми функциями постоянных а:
Л = /,(«!, ••-,«,) (i=l,...,s), E0.7)
что следует из независимости функций E0.5). Если обе соответ-
ствующие переменные pi и <7,- являются периодическими функ-
циями времени с одинаковым периодом, переменная действия U
равна «площади» фигуры, ограниченной проекцией фазовой тра-
ектории на плоскость pit q{ (эта проекция будет замкнутой
кривой). Если же функция Pi(qt) периодическая, а <7* неограничен-
но возрастает, то /* равна «площади» фигуры, ограниченной кривой
pi(qi), осью <7,- и двумя ординатами, соответствующими полному
.периоду этой функции (см. рис. 50.1 и рис. 50.2, на которых изо-
Рис. 50.1
Рис. 50.2
бражены проекции фазовых траекторий неизотропного осциллятора
на плоскость (рх, х) и математического маятника в случае враще-
ния на плоскость (рв, 6) соответственно).
Разрешая систему E0.7) относительно а, получим
а* =<!,(/! /s) (i = l,...,s), E0.8)
а подставляя эти функции в полный интеграл E0.2), определен^
ный с помощью уравнений E0.3), найдем W как функцию «ста-
рых» координат и «новых» импульсов — переменных действия:
W = W(qlt ...,qs; I и ...,/s). E0.9)
Используя это «укороченное» действие в качестве производящей

§ 50] Переменные «действие — угол» 439'
функции указанного выше канонического преобразования, найдем
(см. D9.20))
dW(q,I) dW(q,I) . . ,_„ ,„,
Pl= , ¦ Ф<= ,, U = 1, - - - , S), E0.10.
где величины ф,- являются «новыми» координатами и называются
угловыми переменными. Принимая во внимание, что W
явно от времени не зависит, в результате подстановки функций.
E0.8) в функцию Гамильтона (см. E0.4)) найдем
Ж = Ж{1г, ... Л). E0.11)
Поскольку гамильтониан в переменных «действие—угол» зависит
лишь от импульсов, канонические уравнения в новых переменных,
примут вид
^L, /| = _J»=o (i=l,...,s), E0.12)
откуда" следует, что угловые переменные являются линейными
функциями времени:
Ф< = -^-* + ф(о (*=l,2,...,s). E0.13)
Угловые переменные обладают еще одним важным свойст-
дЖ
вом, заключающимся в том, что величина является часто-
той изменения импульса р{. Чтобы убедиться в этом, найдем при-
ращение Афг за полный период изменения функции Pj(qj) при ус-
ловии постоянства всех координат, кроме <7j, т. е. найдем
5~^'- E0Л4)
Представляя это приращение в виде (см. E0.10))
^ E0Л5>
и учитывая, что переменной интегрирования является координа-
та qj, получим
Отсюда (см. E0.10) и E0.6)) следует, что приращение угловой
переменной равно
Дф 2Я^ = 12Я' i=l' E0.16)

440 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
С другой стороны, согласно E0.13), имеем
Аф^-ffT,, E0.17)
где Ti — полный период изменения импульса р(. Сопоставление
E0.16) и E0.17) показывает, что частота о* изменения импуль-
дН
са pi действительно равна —.
Итак, для вычисления частот wt нужно определить функции
Pi = Pi(in alf ... , as),
затем найти переменные действия как функции а (см. E0.7)),
определить гамильтониан как функцию переменных действия и,
наконец, с помощью уравнений E0.12) найти
...,/.) (. = 1 s)_ E0Л8)
Проиллюстрируем изложенный метод на примере неизотроп-
ного осциллятора, для которого уравнение Гамильтона—Якоби в
декартовых координатах имеет вид (см. формулу A) примера
49.3)
.Это уравнение, согласно E0.1) — E0.3), сводится к трем уравнениям
pi + тщх2 = ссх, pl+- тх2у2 = а2, р* -
где рх = —-, р = —- , р = —- , а постоянные а связаны с
dx dy dz
^постоянной Яо соотношением (см. E0.4))
ax + a2 J- a3 = 2тН0.
Переменная действия 1Х осциллятора будет равна
+а
1,= — (? pxdx = — 2 ]/т
поскольку рх совершает полный цикл изменения при изменении х
от —а до +а и обратно до —а (величину 1Х можно подсчитать
как площадь эллипса, по которому движется проекция фазовой

§ 50] Переменные «действие — угол» 441
точки на плоскость (рх, х)—см. рис. 50.1). Аналогично вычис-
ляются переменные действия 1У и /2:
/ = «2 / _ «3
У 2/тщ ' Z 2У~пт~3 '
Принимая во внимание E0.4) и E0.8), получим гамильтониан в
переменных действия (сравнить с формулой F) примера 49.3)
-^i/ - - / ill / ' 1 / хз г
1Х i I/ 'у ~~ I/ 'г'
т у т " у т
откуда, согласно E0,18), найдем частоты неизотропного осциллятора:
Mv = —= I/ — , 0),,=
Если эти частоты несоизмеримы, то траектория точки будет
незамкнутой и, следовательно, точка никогда не займет повторно
того положения, которое она уже занимала, хотя через достаточ-
но большой интервал времени точка как угодно близко подойдет
к этому положению (такое движение является примером услов-
н о - п е р и од и ч е ск ог о движения).
Если же частоты соизмеримы, т. е. подчиняются условиям
вида
2 "<«>< = 0 E0.19)
t=i
(здесь П{ — целые числа), то говорят, что движение вырожде-
но. В том случае, когда частоты подчиняются двум независимым
соотношениям вида E0.19), говорят, что движение полностью-
вырождено; при этом фазовая траектория системы становится
замкнутой, а движение строго периодическим.
Очень важным свойством переменных действия является их
адиабатическая инвариантность. Это свойство заклю-
чается в том, что переменные действия сохраняют постоянные-
значения при достаточно медленном изменении параметров си-
стемы (изменения параметров за время, сравнимое с периодами
системы Ti = 2n/(s>i, весьма малы). Для доказательства этого ут-
верждения рассмотрим систему, которая в каждый момент вре-
мени близка по свойствам к изученной выше обобщенно-консер-
вативной системе с разделяющимися и периодически изменяющи-
мися со временем переменными. Гамильтониан такой системы,
явно зависит от медленно меняющихся со временем парамет-
ров Я, т. е. имеет вид
Н = #{/i(?i, Pi, >.,), • • • , Ш, Р„ К)}, E0.20>

442 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
где каждый импульс pi является периодической функцией соот-
ветствующей координаты qi при постоянном Я,- Система с гамиль-
тонианом E0.20) неконсервативна, однако решение уравнения
Гамильтона — Якоби можно искать в виде, близком к D6.2):
5 = —H0(alt ..., as)t -г W(qlt . . . , qs\ a2 as; ku . . . , ls),
E0.21)
где параметры Я, а следовательно, и величины а и Но являются
медленно меняющимися функциями времени. Используя E0.21)
и пренебрегая в уравнении Гамильтона—Якоби (по сравнению
¦с Но) членами, пропорциональными Я, найдем уравнение «нуле-
вого приближения» рассматриваемого метода:
, -~. *i> - • Л (Я.. |?-, к)}=Н0Ы а.).
E0.22)
Это уравнение отличается от уравнения E0.1) зависимостью от /.,
но, согласно условию, его следует решать так, как будто бы все Я
постоянны, а в решении Я считать заданными функциями времени.
Поэтому формулы E0.3), E0.5) — E0.10) справедливы и для рас-
сматриваемой системы, однако во все эти соотношения войдут
параметры Я; например, обобщенные импульсы будут функциями
вида
pt = Pi (qr, a; I) (t = 1, ... , s). E0.23)
Подставляя E0.23) в E0.6) и интегрируя при постоянных К и а
(поскольку за период изменения импульса pi функции К и а
остаются практически неизменными), вместо E0.7) получим
/, = /,(«,*). E0.24)
Эти величины оказываются постоянными, несмотря на изме-
нение а и Я со временем. Чтобы убедиться в этом, выберем в ка-
честве «новых» импульсов переменные действия E0.24) и произ-
ведем соответствующее каноническое преобразование. Выражая
с помощью E0.24) а через / и Я, и исключая а из W (q, а, к), най-
дем производящую функцию интересующего нас преобразования:
W = W{qlt..., qs; A /,; ^ К). E0.25)
Эта функция определяет каноническое преобразование к переменным
действие — угол (см. D9.20) и E0.10))
__ дУ(д,1, к) _ dVjg. I, X)
Pt Фг = —
U— !>••-. s), (oU.Jo)
dqi ф dlt
новыми уравнениями движения при этом будут уравнения (ср. с E0.12))

§ 50] Переменные «действие — угол» 443;
/• 1 \ 1ГГ\ П71
(»=1 s), E0.27).
oli d<$i
где (см. D9.21))
5? = #-f—. E0.28)
dt
Используя E0.28), найдем выражение гамильтониана Ж в «но-
вых» переменных ф, / и t (см. E0.4), E0.24) и E0.26))
Ж =
при этом «новые» уравнения движения E0.27) примут вид
• _дНA,Х) , у d*W(gD>, /, к), /, Я) ^
E0.30)
Усредним вторую группу этих уравнений по интервалу вре-
мени, достаточно малому по сравнению со временем заметного
изменения параметров X и достаточно большому по сравнению с
периодами системы 7\-. Допущение о малости интервала усредне-
ния позволяет считать величины X и X постоянными при усредне-
нии; следовательно,
*' <is=1 s)- E0-31>
Функция W, входящая в уравнения E0.31), является неоднознач-
ной функцией координат. Действительно, эта функция, равная
сумме интегралов (см. E0.2) и E0.5))
су
E0.32)
за полный период изменения координаты qt (при прочих постоян-
ных координатах) получает приращение (см. E0.6))
qt = 2nIt. E0.33)
Однако частные производные будут однозначными функ-

444 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
циями координат, так как неоднозначность W вызывается добав-
лением величин, кратных 2nli и исчезающих при дифференциро-
вании по к. Производные — т—-— — являются перио-
дХ
дическими функциями угловых переменных <р, поскольку коорди-
наты q в свою очередь являются периодическими функциями ср
(при полном цикле изменения координаты q{ угловая перемен-
.ная ф, получает приращение, равное 2я — см. E0.16)). Так как
dW ,
производные являются однозначными периодическими функ-
иК
циями ф, то они могут быть разложены в ряды Фурье с коэффи-
циентами, зависящими от / и л. Поэтому ряды Фурье для произ-
д / dW \ ,
водных ( не будут содержать постоянных членов и,
д<р \ dk I
следовательно, при усреднении по достаточно большому интерва-
лу времени все производные обратятся в нуль, что и
доказывает адиабатическую инвариантность переменных действия:
7? = 0 (« = 1,..., s). E0.34)
Наконец, пренебрегая в уравнениях E0.30) членами, пропорцио-
.нальными kj, найдем приближенные выражения для частот
щц) = Ш±Ш. (,• = !,..., s)f E0.35)
01 i
•с которыми изменяются импульсы pi (в свою очередь сами часто-
ты являются медленно меняющимися функциями времени).
Пример 50.1. Адиабатическое изменение длины математиче-
ского маятника.
Определить изменение амплитуды линейных колебаний мате-
матического маятника при адиабатическом изменении длины его
подвеса.
Уравнение E0.22) для случая линейных колебаний маятника
.имеет вид
(Ж. V _;
где Е— медленно меняющаяся полная энергия маятника. Интег-
рируя это уравнение при постоянных / и Е, найдем полный ин-
теграл
w = у77^* ° ' 2E '¦• ¦ E
V
2 у mgl mgl
arcsin
V
е
IE
mgl

§ 50] Переменные «действие — угол» 445
который является неоднозначной функцией 8. Приращение функ-
ции W за полный цикл изменения 6 в пределах ± V 2E/mgl
(см. E0.6) и E0.33)) равно
AW = 2л — = 2л/,
со
где со= Vg/h a I — переменная действия. Поскольку / является
адиабатическим инвариантом, то полная энергия маятника будет
пропорциональна медленно изменяющейся частоте маятника:
E(t) = Ia>(t). A)
В соответствии с доказательством инвариантности действия /
энергия в формуле A) является энергией, усредненной по неко-
торому интервалу времени:
Е_^* + ^±. B,
(здесь мы пренебрегли членом, пропорциональным I2, и вынесли
адиабатически изменяющиеся функции за знак усреднения).
Учитывая, что маятник совершает гармоническое колебание с
медленно меняющейся амплитудой 6о@ и частотой a(t), в ре-
зультате усреднения получим
_ g2 _ q2
ё2 = —, в2 = —- ю2,
и, таким образом, вместо B) найдем
E^^fiel C)
Наконец, из формул A) и C) получим соотношение
/3/*60 = const, D)
согласно которому при бесконечно медленном удлинении подвеса
маятника его угловая амплитуда Во уменьшается, а линейная
амплитуда /8о увеличивается; при этом энергия маятника (соглас-
но A)) уменьшается обратно пропорционально V"l-
Пример 50.2. Переменные «действие — угол» в задаче двух
тел.
Найти переменные «действие — угол» в случае финитного
движения двух тел с приведенной массой jj, и энергией взаимо-
действия U= —а/г.

446 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
Гамильтониан двух точек относительно системы их центра
масс равен (см. пример 42.1)
г
Составляя уравнение Гамильтона — Якоби
а
1 / dW у | 1 /
2ц I dr / ' 2p,'-a \ <?ф J r
и отыскивая его решение в виде
W=Wr(r, Е, М) + Гф(<р, Е, М),
получим уравнения для функций Wr и 1^ф
Y 2f|?| + , M,
dr J Г> ' r r2 dcp
где |?j = —? в силу финитности движения. Эти уравнения (см.
E0.5)) определяют функции pr(r, E, М) и Рц,(М), которые необ-
ходимы для вычисления переменных действия:
/ф =
В силу очевидной периодичности движения первый интеграл
можно представить в виде удвоенного интеграла от rmln до rmax-
Тогда, используя формулы (8.5) и (8.2), а также учитывая заме-
ну A2.17), находим
откуда получаем гамильтониан в переменных действия
Отсюда следует, что частоты сог и ыф совпадают друг с другом
(см. E0.18), E0.19)):
ОН _ дН __
dlr~~ *I9 ~

§ 51] Интегральные вариационные принципы 447
т. е. имеет место вырождение (последние два соотношения при-
водят к третьему закону Кеплера, см. (8.12)). Наконец, исполь-
зуя формулы для параметра и эксцентриситета эллипса (см.
(8.2)), найдем
() C)
В классической механике непрерывному изменению началь-
ных условий соответствует непрерывное изменение постоянных
/,¦ и /ф, а также энергии Е и момента М; при таком изменении
эллиптические орбиты обеих точек будут изменяться непрерыв-
ным образом. Другая картина имеет место в квантовой механике.
В частности, в теории Бора, сыгравшей большую роль в станов-
лении квантовой механики, постулировалась дискретность посто-
янных /,¦ и /ф, т. е. постулировалось, что
1Г = пг%, /ф = пф %, D)
где h — «квант действия» (постоянная Планка), а пг и гаф — целые
числа. В этом случае энергия системы (см. A)) будет дискрет-
ной; например, для атома водорода (а = е2) было найдено
E)
2Л2л2
где л = лг + пф = 1, 2, ..., [13, § 45].
§ 51. Уравнения движения и интегральные
вариационные принципы
Как мы видели, движение механических систем можно опи-
сать с помощью различных дифференциальных уравнений: урав-
нений Ньютона, уравнений Лагранжа с реакциями связей, урав-
нений Лагранжа в обобщенных координатах, канонических
уравнений Гамильтона и уравнения Гамильтона — Якоби.
Уравнения движения определяют действительное изменение
механического состояния системы* за бесконечно малый элемент
времени и тем самым (если заданы начальные условия) опреде-
ляют изменение состояния системы на конечном интервале вре-
мени. В связи с этим становится возможным отыскание, как гово-
рят, интегральных принципов, характеризующих движе-
ние механической системы на таких конечных интервалах. Приме-
ром интегрального принципа может служить утверждение об
инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана; инвариантность
этого интеграла была установлена с помощью полной вариации
функции действия. При этом по существу производилось сопостав-
ление значений функции действия на различных действительных

448 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
траекториях механической системы. Однако возможно соответст-
вующее сопоставление значения какой-либо функции на действи-
тельной траектории с ее значениями на виртуальных траекто-
риях. Такое сопоставление (как будет видно) также приводит к
некоторому интегральному принципу.
Рассмотрим, например, в пространстве конфигураций близкие
друг к другу действительную и виртуальную траектории системы,
предполагая, что в начальный и конечный моменты времени обе
траектории пересекаются. Действительная траектория определяет-
ся функциями Ti{t), удовлетворяющими уравнениям движения и
уравнениям связей, в то время как виртуальные траектории опре-
деляются функциями Ti(t, e), подчиненными только уравнениям
связей. Полагая, что г<(?, е) |в=о = 1Ч@, зададим виртуальные
перемещения точек системы в виде
6r,(f, е) = г((*. е)-гД0 (i = 1, 2, ... , N). E1.1)
Действительное и виртуальное положения системы совпадут друг
с другом в начальный и конечный моменты времени, если потребо-
вать, чтобы
бГ; (/„) = 0, бГ; (tl) = О (» = 1 , 2, . . . , ЛО. E1 .2)
В каждой точке действительной траектории удовлетворяется
общее уравнение механики, являющееся необходимым и достаточ-
ным условием движения системы в соответствии с уравнениями
движения, а виртуальное «движение» отличается от действитель-
ного тем, что для него не удовлетворяется общее уравнение меха-
ники.
Преобразуем общее уравнение механики B6.3) к виду, более
удобному для дальнейшего исследования. Используя очевидные
соотношения
г,6г/ (,>,) ^jбг,
и коммутативность дифференцирования по времени и варьирова-
ния по параметру е (см. D5.11)), получим
N N N
V тпбъ = ~У. 'п,г>? - V /п?г>(. E1.3)
1=1 ( = 1 1 = 1
Л'
Учитывая, что V м^-бг; равна вариации 6Г кинетической энергии

§ 51] Интегральные вариационные принципы 449
системы, представим общее уравнение механики в форме:
E1.4)
где 6Л — виртуальная работа заданных сил.
Интегрируя обе части E1.4) по времени и учитывая E1.2),
получим интегральное условие
0 6r,(g = 6r,(*i) = 0, (i=l, 2, .... JV),
E1.5)
которое вместе с уравнениями связей (см., например, D1.4))
/а (rlt . .. , Глг, t) = 0 (а = 1, 2, . .. , k{),
ар,У, + ар = 0 (р = 1, 2, .... Л,) E1.6)
описывает движение механической системы. Действительно, если
имеют место уравнения движения D1.1) совместно с D1.3), то
удовлетворяется система D1.4), а следовательно, удовлетворяется
и E1.5) совместно с E1.6). Исходя из этих последних уравнений
и выполняя все вычисления в обратном порядке, нетрудно убе-
диться в справедливости уравнений D1.1) совместно с D1.3).
Таким образом, можно утверждать, что условие E1.5) (вместе с
уравнениями связей E1.6)) представляет собой интегральный ва-
риационный принцип для систем с любыми заданными силами и
идеальными (голономными и линейными неголономными) свя-
зями.
Используя обобщенные координаты (обращающие уравнения
голономных связей в тождества), этот принцип можно записать
в виде
и
О,- E1.7)
(р=1, 2,
bq, (*„) - &/, &) = 0 (/ = 1, 2, . .. , Sl; Sl = 3N - kx).
15 и п. Ольховский

450
Уравнения Гамильтона
[Гл. IX
Полагая здесь все Лр3- и Лр равными нулю, найдем интеграль-
ный вариационный принцип для механических систем с идеаль-
ными голономными связями:
U
E1.8)
где s — число степеней свободы.
Этому принципу можно придать еще более компактную фор-
му, если допустить, что заданными силами являются обобщенно-
потенциальные силы. Действительно, используя выражение для
виртуальной работы таких сил (см. B6.18) и B7.16))
и соотношения
d
dt
)
dt V dqj J dqj
7 = -— f ~~^- 6<7/ ] ¦ H- &7,- (/ = 1, . . . , S),
М
dqj
dqj dt
найдем
dt
./=1
dqj
— 611,
E1.10)
а подставляя E1.10) в интеграл E1.8), получим:
UbT —
Щ
dq)
и
Отсюда, учитывая определения функции Лагранжа ?? и дейст-
вия 5 и то, что б^(^о) =6<7(^i) =0, найдем интегральный вариаци-
онный принцип для систем с обобщенно-потенциальными силами
и идеальными голономными связями (принцип Гамильто-
на — Остроградского):
65 = 0, &7/Ю = &7/(/1) = 0 (/=1, 2,..., s). E1.11)
Согласно этому принципу функция действия на действительной
траектории имеет экстремальное значение по сравнению с ее
значениями на виртуальных траекториях, точки которых в началь-
ный и конечный моменты времени совпадают соответственно с
начальным и конечным положениями системы.
Из принципа E1.11) следует, что действие и лагранжиан дан-
ной механической системы определяются неоднозначно: к дейст-

§ 51] Интегральные вариационные принципы 451
вию можно прибавить любую постоянную, а к лагранжиану —
полную производную по времени от любой функции координат и
времени. Действительно, вычисляя действие с помощью функции
Лагранжа
J?'=J? r-^fiq, t), E1.11')
получим
lt tj-fiq» t0).
Таким образом, условие 6S' = 0 эквивалентно условию 8S = 0, и,
следовательно, уравнения движения в обоих случаях совпадают.
Можно убедиться в том, что для сравнительно малых интер-
валов времени t\—t0 вторая вариация 62S>0 и, следовательно, на
действительных траекториях имеет место минимум действия. В
самом деле, вторая вариация функции действия равна
E1.12)
'о
где
У-
2 LU dqjdqk Г" dqjdqk
i, k j, k i, k
Используя оценку вариаций координат [32, гл. 12]
I &7/ (О I = I [ bqtdt \<{t —10) max | dq, | E1.13)
(;=1, 2,..., s, to<t<ti) и пренебрегая в E1.12) всеми членами,
линейными и квадратичными относительно малого интервала
^i—'о. получим
Так как
^? = a/fc E1.15)
(см. B7.2) и B7.24)), то подынтегральное выражение в E1.14)
будет положительно определенной формой вариаций скоростей,
что и доказывает положительность 62S на сравнительно малых
интервалах времени. Таким образом, из принципа Гамильтона —
Остроградского следует, что разность между усредненными по
времени кинетической энергией и обобщенным потенциалом на
действительных траекториях достигает минимума min G"— %).
15*

452
Уравнения Гамильтона
[Гл. IX
Рассмотрим другую форму принципа наименьшего действия
для обобщенно-консервативных систем с идеальными голономны-
ми связями. С этой целью рассмотрим совокупность траекторий,
проходящих через фиксированную «точку» q0 в различные на-
9/
Чо
о)
О
Рис. 51.1
¦6t,
б)
чальные моменты времени и через фиксированную «точку» q\ в
различные конечные моменты времени (сравнение этого способа
варьирования с варьированием, применяемым в принципе Га-
мильтона—Остроградского см. на рис. 51.1). Для таких траекто-
рий полные вариации начального и конечного положения равны
8qf0 = б<7д — 0 (/ = 1, ... , s), E1.16)
и, следовательно, между вариациями координат в начальный и ко-
нечный моменты времени и вариациями начального и конечного
моментов времени будут иметь место соотношения (см. D8.3) и
D8.4))
SG/Ю = — <7/оК• S<7/(h) = — <7дв*1 (}=1, 2, ... , s). E1.17)
Пользуясь E1.16), для полной вариации действия (см. D8.5))
получим выражение
h
и
E1.18)
Далее, учитывая консервативность системы (Н=Н0), а также то,
что

§ 51] Интегральные вариационные принципы 453
из E1.18) найдем
б f (.? + H)dt = 0. E1.19)
I
Затем примем во внимание, что, согласно D2.1),
2
I
а, согласно D6.2), для обобщенно-консервативных систем имеет
место равенство
и
Таким образом, полная вариация «укороченного» действия
]jlfii E1-20)
U i
равна
8W = 0 E1.21)
при
Н = Н0, bq/o = 6qfl = O (/ = 1, 2, ... , s).
Требование E1.21) представляет собой принцип наимень-
шего действия Мопертюи.
Для систем с обычными потенциальными силами и стацио-
нарными связями этот принцип примет вид
E1.22)
при Е = Е0, 6qj0 = {)qn = 0 (/=1, 2, ..., s). Действительно, в этом
случае обобщенный потенциал II- сводится к потенциальной энер-
гии 1П°\ зависящей только от координат (см. B7.21)), а кинети-
ческая энергия равна однородной квадратичной форме Г<2>
(см. B7.1) — B7.3)); следовательно, «укороченное» действие ста-
новится равным
\Tdt E1.23)
а функция Гамильтона совпадает с полной энергией Е.

454 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
Если в E1.22) с помощью интеграла энергии
'" (dtf
/, k
исключить элемент времени dt, то можно получить принцип
наименьшего действия в форме Якоби
W.)
б Г УЕ0 — Uds = O, E1.24)
(?о>
где ds =
'TJ
Поскольку в E1.24) время исключено, принцип в форме Яко-
би дает возможность определять траекторию системы. Покажем
это на примере свободной материальной точки. В этом случае
E1.24) можно записать в виде
(rt)
\ 1 V -Со'— U""s — ds\ = и,
J I 2VEe-U I
(го)
где (dsJ= (drJ и, следовательйо, ds-б ds = dr-S dv (r — радиус-
вектор точки). Отсюда, заменяя б dv на dbv и учитывая, что бг в
начальном и конечном положениях точки обращается в нуль, пос-
ле интегрирования по частям получим
Ids L ° ds
Co)
Это интегральное условие ввиду произвольности вариации бг при-
водит к дифференциальному уравнению траектории
В уравнении E1.25) с помощью интеграла энергии
ds V 2 dt
можно перейти к дифференцированию по времени и тем самым
получить уравнение Ньютона
Итак, основываясь на дифференциальных уравнениях движе-
ния, можно получить соответствующие интегральные вариацион-

§ 51] Интегральные вариационные принципы 455
ные принципы, а полагая в основу эти принципы, можно прийти к
эквивалентным им уравнениям движения; те и другие основаны
на фундаментальных физических допущениях, изложенных в пер-
вой главе.
Приложение 51.1. Теорема Нетер.
Большое значение этой теоремы в развитии современной теоретической
физики обусловлено тем, что в ией устанавливается весьма общая связь между
преобразованиями, оставляющими действие инвариантным, и законами сохра-
нении.
Теорема Нетер в наиболее простом случае сводится к утверждению о том,
что любому непрерывному обратимому преобразованию координат, при котором
функция действия данной гамильтоновой системы остается инвариантной, соот-
ветствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой системы [31].
Пусть задано непрерывное обратимое преобразование
q'r=q'j(q, t, г) (/=1,2 s), A)
которое зависит от некоторого параметра е; причем если 8=0, то преобразо-
вание переходит в тождественное, т. е.
Я) |?=о = qt (/ = 1, 2, ... , s). B)
Следовательно, вариации координат q, соответствующие преобразованию A),
равны
де
) е (/=1,2 s)
/8=0
C)
(здесь е — бесконечно малая величина). Используя C) и выражение D5.14)
найдем вариацию действия на действительной траектории
6S = e > —¦=-
as /E=0
D)
Эта вариация должна равняться нулю, поскольку действие S по условию инва-
риантно относительно A). Поэтому
dqj \ де Л=0
t, " j dqi \ дг Je=O
E)
откуда ввиду произвольности to и *i вытекает, что преобразованию A) соответ-
ствует первый интеграл уравнений Лагранжа:
2-
dqj \ де.
-= const. F)
Теорема доказана.
В частности, получим законы сохранении дли замкнутой свободной систе-
мы, лагранжиан которой относительно инерциальной системы отсчета имеет вид
2>|г«-г,|). G)
С<!

456 Уравнения Гамильтона [Гл. IX
Этот лагранжиан (а следовательно, и функция действия) инвариантен относи-
тельно произвольного бесконечно малого параллельного переноса е механической
системы (в этом проявляется однородность пространства, см. стр. 114). Направ-
ляя в вдоль оси Ох, получим рассматриваемое преобразование координат точек
системы в виде:
x'( = Xi + e, y't = yi, z't=Zi (i=l,2 N) (8)
и соответствующий этому преобразованию интеграл движения
д х,
(9)
Используя произвольность вектора е, аналогично убедимся в сохранении проек-
ций импульса системы на оси Оу и Ог. Таким образом, импульс замкнутой
системы сохраняется (см. (9.18)).
Нетрудно убедиться в инвариантности лагранжиана G) относительно
бесконечно малого произвольного поворота е механической системы (в этом
проявляется изотропия пространства см. стр. 114). Направляя е вдоль оси Ог
(т. е. рассматривая поворот вокруг Ог), получим преобразование координат то-
чек системы в виде (см. A7.6))
x\^xi~&yi, A0)
y'i = т + едгь
г] ----г, ((=1,2 N)
н соответствующий интеграл движения
( —— -+ —-г- —— ) ¦= > т, (хцц - ум) - Мго. 11
\ бъ /г=о dyi \ де, /e=oj ^*
i ¦ i
Аналогично найдем остальные интегралы н тем самым убедимся в сохранении
кинетического момента системы (см. A0.8)).
Наконец, функция G), как не зависящая явно от времени, инвариантна
относительно бесконечно малого «смещения» системы во- времени, т. е. инва-
риантна относительно преобразования
t' = t + e A2)
(в этом проявляется однородность времени). Поскольку в данном случае вариа-
ция времени отлична от нуля и равна 8t—t'—t=z, постольку нужно воспользо-
ваться полной вариацией действия D8.5). Тогда, учитывая, что 8U=6ti = e,
5^0=б^!=0, а также то, что для рассматриваемой системы функция Гамильтона
н полная энергия совпадают, найдем
6S = (?0 — ?i)e = 0, A3)
откуда вытекает сохранение полной энергии системы:

ЧАСТЬ II
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
Глава X
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 52. Физически бесконечно малая частица
Одним из важнейших объектов механики являются системы с
очень большим (практически бесконечным) числом N молекул,,
которые располагаются в пространстве в известном смысле плот-
но, т. е. образуют континуум или сплошную среду *. Исходя из
классико-механических представлений о движении таких систем,
можно написать соответствующие уравнения движения, однако-
проинтегрировать их невозможно. Например, чтобы найти закон
движения молекул, находящихся в 1 см3 воздуха при атмосферном
давлении и комнатной температуре, потребовалось бы проинтегри-
ровать примерно 1019 уравнений движения. Поэтому естественно^
ограничиться приближенным (но практически весьма точным)
описанием движения сплошной среды. С этой целью рассматри-
вается не отдельная молекула, а физически бесконечно
малая частица, т. е. совокупность молекул, число AN кото-
рых, с одной стороны, достаточно велико (AN^$>1), а с другой
стороны, весьма мало по сравнению с числом N молекул во всей
системе или в ее какой-либо макроскопической части (Д.А/<СЛ/);
эта совокупность должна занимать физически бесконечно
малый объем AV, т. е. объем, который достаточно велик,,
чтобы содержать большое число молекул, и весьма мал по сравне-
нию с областью заметного изменения макроскопических парамет-
ров среды.
Положение данной физически бесконечно малой частицы н
момент времени t задают радиусом-вектором центра масс этой
частицы, усредненным по физически бесконечно малому
интервалу времени А^, который намного больше, чем не-
которое время, характерное для движения отдельной молекулы
под действием других молекул, и весьма мал по сравнению
* Молекулы, из которых состоит среда, в зависимости от их структуры
можно представлять как материальные точки илн другие более сложные меха-
нические модели.

458 Основные понятия и законы механики сплошных сред [Гл. X
со временем заметного изменения макроскопических пара-
метров среды (интервал А^ должен включать в себя момент вре-
мени /). Таким образом, если говорят, что физически бесконечно
малая частица в момент времени t находится в точке г простран-
ства, то следует иметь в виду, что в определениях этих величин
имеются неточности порядка А^ и (АУ)'/з_ в механике сплош-
ных сред указанными неточностями пренебрегают и в соответствии
с этим считают возможным рассматривать изменение состояния
частицы за бесконечно малый интервал времени dt, а также рас-
сматривать бесконечно малое перемещение rfr частицы из точки г
пространства в точку r+rfr*.
По аналогии с определением скорости центра масс (см. (9.2))
полагают, что скорость v данной частицы связана с ее радиусом-
иектором г соотношением
v-f-: E2.1)
а по аналогии с (9.3) ускорение w частицы считают равным
w = -^-. E2.2)
Обсудим теперь другое важное понятие механики сплошных
сред, а именно, понятие о поле. Напомним, что полем называет-
ся любая физическая величина, заданная как функция точки про-
странства и времени. Поля могут быть скалярными, векторными,
тензорными и др. Рассмотрим, например, скалярное поле плотно-
сти массы. Для этого усредним по физически бесконечно малому
интервалу времени А^ (включающему в себя данный момент t)
массу всех молекул, находящихся в физически бесконечно малом
объеме AV (включающем в себя конец данного вектора г). Затем
отнесем найденное таким образом среднее значение массы Am к
AV и определим плотность массы p = Am/AV той частицы, которая
в момент времени t находится в точке г. Повторяя эту процедуру
для любого АУ в любой момент t, найдем плотность массы
Р = Р (г, t) E2 3)
как функцию точки пространства и времени, т. е. найдем поле
плотности массы.
Бесконечно малое перемещение dr данной частицы, вообще
говоря, зависит от положения частицы до перемещения, т. е. от г,
а в общем случае и от времени t. Таким образом, перемещение
является векторной функцией координат и времени
rfr = u(r, 0; E2.4)
* Здесь и в дальнейшем под термином «частица» понимается «физически
бесконечно малая частица».

§ 53]
Деформация малой частицы
459
эта функция называется полем беконечно малых пере-
мещений. Отсюда, используя E2.1), можно определить поле
скоростей
v = v(r, /) E2.5)
в среде. Это поле можно также определить, усредняя по физиче-
ски бесконечно малому интервалу времени "At скорость центра
масс материальных точек, находящихся в объеме AV, и подсчиты-
вая эту величину для разных &V. Далее в этой главе будут рас-
смотрены другие поля, характеризующие сплошную среду.
Итак, в механике сплошных сред макроскопические движе-
ния дискретной системы, состоящей из бесконечно большого чис-
ла микроскопических объектов — молекул, описываются усред-
ненными величинами, а именно, полевыми («континуальными»)
функциями. Общие соотношения между этими функциями, т. е.
законы механики сплошных сред, были установлены в соответст-
вии с очень большим числом экспериментальных данных. Эти
законы являются основой весьма обширной области исследований
движения различных сред, а также основой многочисленных тех-
нических приложений. Подчеркнем также, что взаимосвязь мак-
роскопических движений среды, изучаемых в механике сплошных
сред, с движением и свойствами молекул, из которых состоит
среда, изучается в статистической физике. Поэтому статистиче-
ская теория дает теоретическое обоснование соотношений и зако-
нов, постулируемых в этой главе, см. [59].
§ 53. Деформация малой частицы
Изучим перемещение данной малой частицы среды и с этой
целью рассмотрим два ее бесконечно близких положения A) и
B) (рис. 53.1). Радиусы-векторы двух любых точек О' и Л этой
частицы связаны соотношени-
ем A.6), откуда следует, что
перемещение dx точки А равно (>)
E3.1)
С другой стороны, перемеще-
ния dr и dr0- представляют
собой значения одной и той
же функции и в точках про-
странства г и Го' (см. E2.4)):
= u(r,t),drO'=u(ro-, 0.E3.2)
Рис. 53.1

460 Основные понятия и законы механики сплошных сред [Гл. X
причем r = ro- + r'. Следовательно, перемещение dr' точки Л отно-
сительно поступательно движущейся системы отсчета с началом
в О' равно
Ж* =и(г, t) — u{r0; t).
Разложим u(r, t) в точке го> и учтем, что г' — достаточно
малая величина, поскольку достаточно мала вся рассматривае-
мая частица. В результате, пренебрегая членами разложения вто-
рого порядка малости по сравнению с членами первого порядка,
найдем, что
dr' = (r'grad)u E3.3)
(здесь и в дальнейшем, если частица называется малой, допу-
скается справедливость указанного пренебрежения).
Запишем выражение E3.3) в тензорной форме, вводя обозна-
чения
«x = "i. иу = и2, uz = ua E3.4)
и применяя известное правило записи, согласно которому сумми-
рование производится по всем возможным значениям повторяю-
щегося в произведении индекса, а знак суммы опускается. Тогда
получим
^ E3.5)
dxk
(в данном случае повторяющимся индексом является индекс k,
пробегающий значения 1, 2, 3). Приведем более подробную
запись* выражения E3.5), например, для г=1:
, ' ' ди, , ' ди, , - ди,
0Xi дх2 дх3
Теперь заметим, что производная —— всегда может быть
дхь
представлена в виде суммы компонент антисимметричного тензо-
ра
2 V. dxk dxi J
* Сопоставление этой формулы с E3.5) показывает преимущество тензор-
ной формы записи, которая далее будет применяться без соответствующих
оговорок.

§ 53] Деформация малой частицы 461
и симметричного тензора
4l = ±.(^L.+ °!±.\t E3.7)
т. е. в виде суммы
~- = 1н + 4i- E3.8)
dxk
Следовательно, относительное перемещение точки А можно запи-
сать в виде
dx't = x'k%kt-f-x'keki. E3.9)
Рассмотрим подробнее первую сумму правой части E3.9).
Тензор Хйг в силу своей антисимметричности определяется тремя
независимыми компонентами и может быть задан матрицей
Ukc\\ = — Х12 0 Хгз
v v О
li Ли Л23 "
При этом компоненты %ы имеют вид
Xkt = akbi — a{bk, E3.10)
т. е. такой же вид, как и компоненты векторного произведения
с= [а, Ь] двух любых векторов аи Ь:
Поэтому три независимые компоненты антисимметричного тензо-
ра образуют векторное произведение двух соответствующих векто-
ров. Для тензора E3.6) таким векторным произведением, очевид-
но, является —[vuli т- е- —го*и с компонентами
— (rot u)x = х23. — (rotu), = Хм,
(rotu)= xM. E3.11)
Поскольку rotu представляет собой бесконечно малый вектор (он
линеен относительно перемещения и), введем для вектора E3.11)
и его компонент обозначения
dx = Yrotu'
d-ti = Хм, ^Х2 = X»i. мз = In- E3.12)

462 Основные понятия и законы механики сплошных сред [Гл. X
Теперь, используя антисимметричность тензора хн и E3.12), най-
дем для интересующей нас суммы из E3.9) выражение (при t=l)
= [dz, r'},. E3.13)
Аналогично получим:
4 = №с, г']2, 4ы = №х, г']8. E3.13')
Таким образом, сумма xte %ft( представляет собой i-тую компоненту век-
торного произведения [d/, г'].
Что касается второй суммы из E3.9), то ее всегда можно запи-
сать в виде:
-7*г. E3.14)
где*
E3.140
Следовательно, вторая сумма из E3.9) равна t'-той компоненте гра-
диента функции Ч1" по переменной *,¦. Наконец, используя E3.1),
E3.3), E3.5), E3.9), а также E3.13), E3.13') и E3.14), найдем,
что перемещение dr точки А с точностью до величин первого по-
рядка малости равняется
dr = dr0' ~ [dx, г'] ~ grad,> ?. E3.15)
Сопоставляя E3.15) с выражениями для перемещений мате-
риальной точки и точки абсолютно твердого тела (такие выраже-
ния следуют из формулы A9.10) и второй формулы C7.2)), убеж-
даемся в том, что перемещение любой точки малой частицы с точ-
ностью до величин первого порядка малости слагается из пере-
мещения drO'+[dx, г7], которое точка совершает в результате дви-
жения всей частицы, как абсолютно твердого тела, и перемеще-
ния, равного grad,-''1? и связанного с деформацией частицы,
т. е. с изменением ее формы и объема. Таким образом, dro> пред-
ставляет собой поступательное перемещение частицы, d/ — вектор
Приведем подробную запись этой квадратичной формы
1 ,
У = — [бц (xxf -r e22 (x2f -+- в33 (*3)г —
— 2bj»Xj ^2 ¦— 2е13 Xj Хз -(- 2е23.<2 *з1-

§ 53] Деформация малой частицы 463
бесконечно малого поворота частицы, как абсолютно твердого те-
ла, а перемещение grad^-^F является, как его называют, векто-
ром деформации. Для данных точек О' и А все слагаемые
перемещения точки А определяются полем перемещений, при этом
вектор поворота определяется посредством тензора %м, а вектор
деформации посредством тензора ем- По этой причине тензор %м
называется тензором поворота, а тензор гм — тензором
деформаций за время dt.
Имея в виду, что перемещение ut = Vidt, запишем тензоры по-
ворота и деформаций в виде
tki = ®и dt, eM = vkt dt, E3.16)
где
fi,Ai = _L(fi5L_iEt>> E3.17)
*l 2 V dxk dxt ;' '
^-7^- <БЗЛ8>
d /
2 \oxk
Тензор (% onределяет угловую скорость частицы
<о = -^-= — rotv E3.19)
dt 2 \ г
(также, как тензор %** определяет поворот dx). Тензор vhi, кото-
рый называется тензором скоростей деформаций, оп-
ределяет скорость деформации, т. е. вектор vkixk.
Этот вектор может быть представлен в виде градиента
Ц- - vkixk E3.20)
i
от квадратичной формы
E3.200
Таким образом, учитывая формулы E3.16) — E3.20) и относя
перемещения dx, dxo-, поворот dx и вектор деформации к эле-
менту времени dt, из E3.15) придем к соотношению для скоростей
точек А и О':
v = vo- 4- [«г'] - grad,- Ф. E3.21)
Зная тензор деформаций, можно найти изменение длины ма-
лого материального «отрезка» сплошной среды, т. е. элемента
среды, состоящего из частиц, лежащих на малом отрезке прямой,
а зная тензор скоростей деформаций, можно определить скорость
такого изменения. Например, найдем относительное изменение

464
Основные понятия и законы механики сплошных сред
[Гл. X
длины материального отрезка О'А (рис. 53.1). В первом положе-
нии его длина равнялась г'=|г'|, а во втором получила прира-
щение dr''. Используя справедливое для любого вектора равенст-
во r'dr' = r'dr', а также выражение
dr' = [dx, r'] r grad,- ?
U
и учитывая E3.14), E3.14'), для относительного удлинения (сокра-
щения) отрезка получим
*?- = гкМ, E3.22)
где ас = Х(/г' — косинус угла между вектором г' и i-той координат-
ной осью.
Воспользовавшись E3.22) и E3.9), нетрудно выяснить смысл
компонент тензора деформаций в простейших случаях. Из E3.22)
видно, что компонента гц представляет собой относительное уд-
линение малого отрезка среды, пер-
воначально направленного парал-
лельно i-той координатной оси. На-
пример, для отрезка, первоначально
параллельного оси Х\, направляю-
щие косинусы равны ai = l.
д2 = а3 = 0 и, следовательно, относи-
тельное удлинение будет равно
dr'/dr' = eu. Отсюда ясно, что ком-
поненты тензора деформаций с оди-
наковыми индексами характеризу-
ют деформации растяжения (или
сжатия) в направлении соответст-
вующей оси.
Рассмотрим также деформацию
двух малых отрезков среды, перво-
начально направленных вдоль осей
Х\ и Х2 соответственно (рис. .53.2).
Полагая, что поступательное пере-
мещение, вращение и растяжение отсутствуют, а деформация про-
исходит только в плоскости Х\Х2, из E3.9) найдем компоненты
смещения точки А
Рис. 53.2
и компоненты смещения точки В
Н, = О, U.2 = Е12ДГ[.

§ 53] Деформация малой частицы 465
Отсюда следует, что
т. е. ei2 равняется половине угла 8, на который уменьшился перво-
начально прямой угол. Из этого примера ясно, что компоненты
тензора деформаций с различными индексами характеризуют де-
формации сдвига.
Тензор деформаций, как и всякий симметричный тензор, мож-
но привести к главным осям, т. е. в каждой данной точке О' мож-
но так выбрать систему координат, чтобы все «недиагональные»
компоненты тензора обратились бы в нуль. Следовательно, тен-
зор деформаций, вычисленный в такой системе координат, имеет
в общем случае три отличные от нуля главные компоненты
8ь 82, 83. Координатные оси указанной системы называются глав-
ными осями тензора деформаций. Отнесенные к глав-
ным осям выражения для квадратичной формы W, компонент век-
тора деформации и относительного удлинения заметно упроща-
ются:
^ = у [8i (x[f -;¦¦ еа (x2f + 83 (*з)а1, * E3.23)
ех 8X E3.24)
ил I ОХп uXo
—r— = zxa\ -f г%а\ + e.6at, E3.25)
Из E3.24), в частности, следует, что точка, первоначально нахо-
дившаяся на главной оси, после деформации останется на ней. В
самом деле, если х[фО, а л;2 = л;з = 0, то проекции вектора де-
формации будут равны: иг = 8xxi, «2 = и3 = 0. Из E3.24) также
следует, что произвольную дефор;иацию малой частицы всегда
можно рассматривать как совокупность трех деформаций растя-
жения (сжатия) вдоль главных осей.
Теперь найдем относительное изменение объема частицы.
Имея в виду, что изменение объема не связано с поступательным
движением и вращением частицы, будем рассматривать перемеще-
ния, связанные лишь с ее деформацией. В качестве координатных
осей с началом в данной частице среды возьмем главные оси тен-
зора деформаций. Объем AV частицы до деформации (предста-
вим ее в виде параллелепипеда со сторонами параллельными глав-
ным, осям) будет равен произведению x\X2Xz длин соответствую-
щих отрезков, направленных первоначально вдоль главных осей.
Однако после деформации отрезок длины xi, как было установ-
16 и, и. Ольховский

466
Основные понятия и законы механики сплошных сред
[Гл. X
лено, будет направлен так же, а его длина станет равной
Xi(\ + fif) (здесь суммирование по повторяющемуся индексу не
производится). Следовательно, объем AV4dAV частицы после
деформации равняется х\ х2'хъ'(\ + е{) A + е2) A +е3). Отсюда, пре-
небрегая членами высшего порядка малости, найдем относитель-
ное изменение объема
— в в ' р (^ 9fV\
Далее учтем, что сумма главных компонент симметричного тензо-
ра является инвариантом относительно поворота осей, т. е. при
любом направлении декартовых осей
e22
-f e
ss.
E3.27)
(это можно непосредственно установить, используя преобразова-
ние поворота C8.24)). Следовательно, при любом направлении
осей относительное изменение объема частицы равно дивергенции
поля перемещений:-
дх.
дх„
Соответственно скорость относительного
тицы равна дивергенции поля,скоростей:
1 dtw
&У dt
— divv.
E3.28)
изменения объема час-
E3.29)
Пример 53.1. Деформация «квадрата».
Рассмотрим перемещение малой частицы — «квадрата» — в
его плоскости, полагая, что сторона квадрата до деформации рав-
на /, поступательное движение отсутствует (drO'=0), а углы ска-
шивания сторон квадрата малы и соответственно равны 6i и 02
(рис. 53.3,а).
Рис. 53.3

§ 53] Деформация малой частицы 467
В случае перемещений в плоскости Х\Х2 проекции вектора и
любой точки квадрата и относительное удлинение любого отрез-
ка имеют вид (см. E3.9), E3.22)):
«2 = Xl2*l "I" 8l2*l - 822Л'2.
dr'/r' = 8uaf + Ч-Л + 2ei2«i«2- (*)
Отсюда для проекций перемещения точки А и относительного
удлинения отрезка О'А соответственно получим:
их = еа/, и2 = (х12 + е12) /, dr'jr' = ец.
Аналогично найдем для точки В и отрезка О'В
«1 = (Хг1 "Г 82i) h "г = е22^. dr'lr' = e22,
а также для точки С и отрезка О'С
«1 = (bi г eu -г е21) /, и2 = (Х12 — е12 + 822) /,
dr'/r'= ^±^- + г12.
Так как углы скашивания малы, то («2)a/^=9i и
С другой стороны
(«»W* = 5С12 -г е12 = —L. (
Следовательно, —— = Qlt ~^- = Э2; а
^0)
Таким образом, в рассматриваемом случае одновременно проис-
ходят повороты квадрата, как твердого тела, на угол <^Хз = Х12=
= @i—02)/2 (см. E3.12)), две деформации растяжения, опреде-
ляемые компонентами 8ц и 822, и деформация сдвига, определяе-
мая углом @1+02) /2. При построении фигуры после деформации
следует учесть, что любая прямая ввиду линейности преобразова-
ния A) преобразуется в некоторую другую прямую.
В частном случае, когда 9i = 02 = 0, 811 = 822 = 8, поворот от-
сутствует (%12=0), а перемещение сводится к чистой деформации
со следующими проекциями смещений точки А:
их = е/, ы2 = 0/,
16*

468 Основные понятия и законы механики сплошных сред [Гл. X
ТОЧКИ В
иг = 0/, иг = е/
и точки С
«1 = (е--8)/, ы, = (е-гв)Л
Отсюда видно, что С после деформации остается на диагонали
квадрата (Ui — u2) и, следовательно, диагональ является главной
осью тензора деформаций (рис. 53.36). Поворачивая оси Xi и х2
на угол я/4 и применяя преобразование C8.24), найдем главные
компоненты тензора ei = e-}--0, г2 = г—0, а также проекции на глав-
ные оси Х\, х2 перемещения точки А и относительное удлинение
отрезка О А
ui = eil/V2, «2 = —" tJ-'lVi, dr'/r' = e;
аналогично получим для точки В и отрезка О'В
ил = ех//1/2, м2 = е2//1/2, dr'/r' = e,
а также для точки С и отрезка О'С
vl, ы2 = О, dr'/r' = гх = е + 0.
§ 54. Законы сохранения массы, изменения импульса
и кинетического момента
Рассмотренные в § 52 поля плотности р(г, t) и скорости v(r, /)
связаны друг с другом уравнением, вытекающим из закона со-
хранения массы. Чтобы убедиться в этом, проследим за
движением данной частицы массы Am. Поскольку эта масса неиз-
менна, то
— Ат=--0. E4.1)
dt
Здесь использована полная производная по времени, так как эта
производная характеризует изменение во времени величины, свя-
занной с движущейся в пространстве частицей, в данном случае
изменение величины Am (полную производную по времени часто
называют субстанциональной производной). Напомним, что в от-
личие от полной производной частная производная по времени
характеризует изменение некоторой величины со временем в дан-
ной точке пространства (частную производную по времени назы-
вают также локальной производной).
Учитывая, что Am = pAV, из E4.1) получим соотношение
+ 0[ E4.1')

§ 54] Законы сохранения массы, изменения импульса и момента 469
в котором скорость относительного изменения объема частицы
определяется полем скоростей согласно E3.29). Таким образом,
найдем уравнение, связывающее поля плотности и скорости,
-^- + pdivv = 0. E4.2)
at
Оно называется уравнением непрерывности. Далее,• ис-
пользуя выражение для полной производной по времени от плот-
ности частицы
-i|.=Je--.-(rgrad)p, E4.3)
получим уравнение непрерывности в другой форме, чаще упот-
ребляемой в теоретической физике,
-^- + divpv = 0. E4.4)
dt
В тензорных обозначениях уравнение непрерывности приобретает
вид:
?Р М 0. E4.5)
at дх.;
Это дифференциальное уравнение связано с определенным
интегральным соотношением. Чтобы получить его, рассмотрим
фиксированный объем Vo пространства, для которого согласно
E4.4)
Теперь с помощью формулы Остроградского преобразуем объем-
ный интеграл от дивергенции в поверхностный интеграл [65,
стр. 188]:
Г div pvdV = (f> pvd<j, E4.6)
Vo <T0
здесь Сто — замкнутая поверхность, ограничивающая объем Vo, a
da — «элемент поверхности», т. е. вектор, равный по абсолютной
величине площади элемента поверхности и направленный по ор-
ту п, определяющему внешнюю нормаль этому элементу. В ре-
зультате придем к искомому интегральному соотношению
E4.7)

470 Основные понятия и законы механики сплошных сред [Гл. X
согласно которому скорость изменения массы среды в объеме VQ
пространства равна разности масс частиц среды, втекающих и
вытекающих за единицу времени через поверхность <х0, охваты-
вающую объем Vo (в соответствии с принятым определением нор-
мали п скорость изменения массы положительна, если поверх-
ностный интеграл отрицателен, т. е. массы втекающих частиц
больше, чем масса вытекающих; в противном случае скорость
изменения массы будет отрицательна). Вектор pv называется
плотностью потока среды.
Продолжая изучать движение данной частицы массы Am и
учитывая определение ее скорости v, как усредненной скорости
центра масс, напишем закон изменения импульса час-
тицы в виде:
Am- — = Fe. E4.8)
Здесь Fe — сумма внешних сил, приложенных к частице. Эта сила
зависит от положения частицы и времени, т. е. должна быть за-
дана-векторным полем. Силу Fe следует рассматривать как ре-
зультат усреднения правой части закона изменения импульса всех
молекул, из которых состоит данная частица среды (см. (9.15)).
Сила Fe обусловлена, во-первых, силами взаимодействия молекул
среды друг с другом и, во-вторых, включает в себя внешние по
отношению ко всей среде силовые поля. Будем рассматривать
среду с весьма малым радиусом действия межмолекулярных сил.
Тогда сила, с которой физически бесконечно малые частицы сре-
ды действуют на данную частицу, проявляется только в тонком
поверхностном слое этой частицы. Толщиной такого слоя в меха-
нике сплошных сред заведомо пренебрегают, а силы, с которыми
соседние частицы среды действуют друг на друга, считают по-
верхностными силами. Что касается внешних силовых
полей, то они практически одинаково действуют на все молекулы,
находящиеся в объеме AV. Поэтому эти силы называются объем-
ными силами (если эти силы пропорциональны массе части-
цы, то их называют массовыми силами). Такими силами яв-
ляются гравитационные и электромагнитные силы, а также силы
инерции, которые появляются при изучении движения среды отно-
сительно неинерциальных систем отсчета.
Итак, в механике сплошных сред предполагается, что сумма
всех сил, приложенных к данной частице массы А/и, может быть
представлена в виде
E4.9)
АО

§ 54]
Законы сохранения массы, изменения импульса и момента
471
где dFa— поверхностная сила, приложенная к элементарной пло-
щадке do поверхности частицы, Да — поверхность частицы, a f —
объемная сила, приходящаяся на единицу массы. Относительно
поверхностной силы dFa предполагается, что она зависит от
ориентации площадки, т. е. от направления вектора da=ndo, a
также пропорциональна величине do этой площадки (рис. 54.1).
Иначе говоря предполагается, что поверхностная сила имеет вид
E4.10)
т. е. определяется совокупностью величин
и зависит от ком-
понент вектора da, а именно, от dou = cosn, nhdo (здесь cosn, nk —
косинус угла между ортом п и координатной осью с ортом nft).
Совокупность величин Р^ называется тензором напря-
жений. Компоненты этого тензора являются функциями г, t и
определяют поле напряжений в среде. Компонента Pik тен-
Рис. 54.1
зора напряжений представляет собой t-тую компоненту силы, дей-
ствующую на единицу поверхности, перпендикулярной оси xk.
Например, на площадку, перпендикулярную к оси х (вектор da
такой площадки направлен вдоль х), действует сила dF° = Pixdox
(рис. 54.2). Проекции этой силы соответственно равны:
dF% = Рхх dox,
° = Рух dax>
= Р„ dox.
Отсюда видно, что Рхх — нормальная по отношению к рассматри-
ваемой площадке компонента плотности силы, а Рух и Pzx — ка-
сательные компоненты плотности силы.

472 Основные понятия и законы механики сплошных сред [Гл. X
Теперь преобразуем суммарную поверхностную силу, дейст-
вующую на данную частицу, используя E4.10), теорему Остро-
градского и учитывая малость частицы *:
Да Да AV
Наконец, используя E4.8), E4.9), E4.11) и сокращая все
члены полученного уравнения на AV, придем к уравнениям дви-
жения сплошной среды
Р -$¦ = -^ - рЛ (i = 1, 2, 3), E4.12)
dt дхк
где полная производная по времени
JEL = _*L + iSL v E4.13)
dt dt dxk k
Теперь убедимся в том, что закон изменения кинетического
момента частицы приводит к требованию симметрии тензора нап-
ряжений. По аналогии с B1.6) и B1.7) положим, что кинетиче-
ский момент частицы и момент сил, действующих на нее, соответ-
ственно равны
М = Am • [rv]-r M',
Le = ф [rdl*] + Am • И1 + (Le)\ E4.14)
Да
При этом момент центра масс частицы пропорционален Am и,
следовательно, является малой величиной порядка /3 (/ — харак-
терный размер частицы). В то же время момент М' относительно
поступательно движущейся системы центра масс частицы пропор-
ционален Am-/2, т. е. является величиной порядка I5. Момент сил
(Le)' относительно центра масс частицы также является величи-
ной более высокого порядка малости по сравнению с другими мо-
ментами сил в E4.14). Следовательно, слагаемыми М' и (Le)' в
E4.14) можно пренебречь. Тогда, учитывая E4.1) и E2.1), полу-
* Последнее равенство в E4.11) имеет место согласно теореме о среднем
значении, при этом дРц,1дхь берется в некоторой точке, принадлежащей ДУ.
Эта точка отличается от г на величину порядка (ЛК) . Так как величинами
такого порядка в механике сплошных сред пренебрегают, dPih/dxh можно брать
в точке г. В дальнейшем мы будем использовать равенства, аналогичные E4.11),
без соответствующих оговорок.

§ 54] Законы сохранения массы, изменения импульса и момента 4/3
чим закон изменения ки.нети ческ.о го момента час-
тицы в виде
Am • [rv] = ф[rdF<J] -- Aw • [rfj. E4.15)
Да
Далее спроектируем обе части E4.15) на координатные .оси,
для чего выразим компоненты векторных произведений через ком-
поненты векторов-сомножителей, т. е. запишем момент ускорения
и моменты сил в виде антисимметричного тензора второго ранга
(см., например, E3.10)). Тогда получим
° — x,dFf)+Am- (я,/,--*,-/,). E4.16)
Затем преобразуем первый поверхностный интеграл из E4.16),.
используя E4.10) и формулу Остроградского. В результате най-
дем, что
к
да
Но
f. р • dPjk
dxk dxk
где bik — символ Кронекера. Поэтому
tdrf = (Рп + х, -^*-) AV. E4.17)
Да
Наконец, получая аналогичное E4.17) выран<ение для второго
поверхностного интеграла из E4.16), вместо E4.16), найдем
Отсюда, ввиду уравнений движения E4.12), получим, что
Р,1 = Рц. E4.18)
Таким образом, тензор напряжений является симметричным тен-
зором, т. е. представляет собой совокупность шести независимых.
компонент.

474 Основные понятия и законы механики сплошных сред [Гл. X
§ 55. Уравнение изменения кинетической энергии.
Законы термодинамики
Кинетическая энергия частицы массы Am и полная производ-
ная по времени от кинетической энергии соответственно равны:
2 dt
Имея в виду эти выражения, умножим правую и левую части урав-
нений движения E4.12) с индексом i на проекцию о* скорости, а
затем сложим результаты умножения для i=\, 2, 3. Тогда полу-
чим уравнение изменения кинетической энергии
соответствующее уравнению B1.12) для системы точек.
Левая часть E5.2) равна полной производной кинетической
энергии по времени, отнесенной к единице объема, а последняя
сумма справа является мощностью объемных сил, затрачиваемой
при перемещении частицы (эта величина также отнесена к еди-
нице объема). Что касается двойной суммы по I и k, то она со-
держит члены двух различных типов. Чтобы выяснить их смысл,
представим эту сумму в виде
dPik __ d(VjPik) p dvj
Затем воспользуемся соотношением
dxk
Да
Следовательно,
1
°'р'^а* - р<*0*" E5-3)
Да
поскольку согласно E3.17) и E3.18)
dvi
dxk
причем Pik<ukt — 0, так как тензор Рш — симметричен, a (aki — анти-
симметричен.
Из E5.3) ясно, что выражение v{—— равно разности, отнесенной
к единице объема мощности

§ 55] Законы термодинамики 475
1 AviPikdak E5.4)
AV
до
поверхностных сил на перемещениях частицы и отнесенной к еди-
нице объема мощности
Pikvki E5.5)
напряжений, связанной с деформацией частицы.
Получим другую форму уравнения E5.2), справедливую для
случая потенциальных объемных сил, когда
/. = _ JffL. E5.6)
(здесь ие(г, t) — потенциальная энергия во внешнем поле, при-
ходящаяся на единицу массы). Для этого используем очевидные
выражения
dt dt dxi dt
и вместо E5.2) найдем
_/i0| E5.7)
pJ_(i!l + ue\= ifk + p^l. E5.8)
V dt \ 2 ) l dxk V dt
Первое и второе начала термодинамики. Из
уравнения E5.2) видно, что мощность объемных сил затрачивает-
ся на изменение скорости центра масс частицы, т. е. на изменение
кинетической энергии частицы как целого. Теперь рассмотрим
внутреннюю энергию частицы, т. е. усредненную по интер-
валу времени М сумму кинетической энергии молекул частицы
относительно ее центра масс и энергии взаимодействия между
молекулами частицы. Изменение внутренней энергии, как показы-
вает опыт, происходит за счет работы напряжений, а также за счет
теплообмена между частицами. Наличие тепловых явлений при-
водит к необходимости использовать в механике сплошных сред
законы термодинамики.
Напомним, что в термодинамике изучаются равновесные
состояния макроскопических систем, т. е. состояния, когда все
параметры, описывающие систему, не зависят от времени, а лю-
бые стационарные потоки, обусловленные каким-либо внешним по
отношению к системе источником, отсутствуют.
Важнейшей величиной, характеризующей состояние термоди-
намического равновесия системы и имеющей одно и то же зна-
чение у любой макроскопической части всей системы, является
температура Т (в частности, для одноатомного газа, атомы
которого движутся по законам классической механики, температу-

476 Основные понятия и законы механики сплошных сред [Гл. X
ра пропорциональна средней кинетической энергии газа).
Равновесные состояния сред, называемых простыми, опре-
деляются двумя независимыми параметрами, например, плотно-
стью и температурой; при этом внутренняя энергия и другие ве-
личины являются функциями этих параметров, т. е. являются, как
говорят, функциями состояния. Однако в механике сплош-
ных сред наряду с равновесными состояниями изучаются и нерав-
новесные состояния, для которых, вообще говоря, нельзя ввести
понятия температуры в указанном выше смысле. Тем не менее
применение законов термодинамики в механике сплошных сред
будет оправдано, если ограничиться сравнительно медленными
процессами, для которых в каждый момент времени любую части-
цу среды, являющуюся достаточно малой, но макроскопической
системой, можно считать находящейся в «своем» равновесном
состоянии, а состояния соседних частиц можно считать доста-
точно близкими друг к другу. Такие состояния называются ло-
'к а л ь н о равновесными.
Для среды, находящейся в локально равновесном состоянии,
функции состояния частицы являются теми же самыми, что и
функции состояния рассматриваемой среды в термодинамическом
равновесии, с той разницей, что независимые параметры, т. е. ар-
гументы этих функций, в случае термодинамического равновесия
неизменны, а в случае локального равновесия зависят от поло-
жения частицы и времени. Например, приходящаяся на единицу
массы внутренняя энергия е для простой среды, находящейся в
равновесном состоянии, определяется из опыта, как функция
е(р, Т), где р и Т — постоянны (при наличии внешнего поля
e—e(p(r), T). Для той же среды, находящейся в локально равно-
весном состоянии, внутренняя энергия будет иметь вид
е = е(р(г, Г), Г (г, *)). E5.9)
Итак, применим к данной частице массы Am и объема AV
первое начало термодинамики, т. е. закон изменения
энергии с учетом тепловых явлений. Согласно этому закону изме-
нение d(eAm) внутренней энергии частицы слагается из работы
напряжений PiktikAV, связанной с деформацией частицы, и коли-
чества теплоты dQ, получаемой при этом частицей от соседних
частиц, т. е.
d (eArn) = PikzlkAV -f dQ E5.10)
(работа напряжений и количество теплоты не являются полными
дифференциалами, поэтому для количества теплоты введено обоз-
начение dQ).
Теплообмен между частицами определяется плотностью
потока тепла q, т. е. плотностью среднего потока кинетиче-

§ 55] 'Законы термодинамики 477
ской энергии молекул относительно системы центра масс частицы
(положительным направлением этого потока считается направле-
ние внешней нормали п). Согласно определению вектора q, коли-
чество теплоты, получаемое частицей от соседних частиц за еди-
ницу времени, равно
^L=-§qkdok. E5.11)
до
Теперь преобразуем E5.10), относя все члены этого уравне-
ния к элементу времени dt и используя E4.1), E3.16), E5.11), а
также используя следующее выражение для потока тепла через
поверхность частицы:
§qkdok = ^W. E5.12)
Да
Тогда вместо E5.9) получим уравнение изменения внут-
ренней энергии
где PihVik — мощность напряжений, связанная с деформацией
даь
частицы, — —2=- — количество теплоты, получаемое частицей за
дхк
единицу времени на единицу объема.
Основываясь на уравнениях изменения кинетической и внут-
ренней энергий, нетрудно получить уравнение изменения полной
энергии частицы, равной
(?) E5.14)
Действительно, складывая почленно E5.2) с E5.13) и используя
E5.3), E5.12), найдем, что
E5.15)
Да да
т. е. полная производная по времени от полной энергии частицы
равна сумме мощностей объемных и поверхностных сил, дейст-
вующих на частицу, а также потока тепла через поверхность час-
тицы.

478 Основные понятия и законы механики сплошных сред [Гл. X
Напомним далее содержание второго начала термо-
динамики. Согласно этому закону любая макроскопическая
система в равновесном состоянии характеризуется функцией сос-
тояния — энтропией S; при этом изменение энтропии, в резуль-
тате передачи системе тепла dQ при температуре Т, равно
dS = -^-, E5.16)
а процесс передачи тепла должен происходить весьма медленно
по сравнению с процессом установления равновесия в системе.
Такие достаточно медленные процессы, называемые квазиста-
тическими, обладают свойством обратимости. Действи-
тельно, в этом случае любое промежуточное состояние между на-
чальным и конечным состояниями системы является равновесным,
поэтому система в обратном процессе проходит те же состояния,
что и в прямом процессе, и возвращается в начальное состояние
без каких-либо изменений в окружающих систему телах.
Второе начало термодинамики содержит еще одно утвержде-
ние: если в результате передачи тепла dQ с конечной скоростью
при температуре Т система перешла из одного равновесного сос-
тояния в другое близкое к нему равновесное состояние, то
dS>^-, E5.17)
где dS — разность значений энтропии в конечном и начальном
состояниях. Процессы, происходящие с конечной скоростью, назы-
ваются неравновесными (или нестатическими). Из
опыта известно, что практически все неравновесные процессы
необратимы. Напомним, что необратимыми называются такие
процессы, при которых невозможен возврат системы в первона-
чальное состояние без какого-либо изменения в окружающих те-
лах.
Из E5.17) следует, что в результате неравновесного процесса
энтропия изолированной системы (dQ = 0) возрастает. Следова-
тельно, изменение энтропии является мерой необратимости про-
цесса в изолированных системах. Такое истолкование физического
смысла энтропии подтверждается в статистической физике, где по-
казывается, что энтропия связана с вероятностью состояния сис-
темы, а возрастание энтропии для изолированной системы соот-
ветственно связано с переходом системы из менее вероятного в
более вероятное состояние.
Очевидно, что соотношения E5.16) и E5.17) можно объеди-
нить в одну формулу, вводя обозначение dQD для разности
TdS—dQ; aQD является частью механической энергии, необрати-

§ 55] Законы термодинамики 479
мо превращающейся в тепло. Тогда второй закон термодинамики
можно записать в виде
TdS=dQ+dQD, dQD^O; E5.18)
здесь dQD = 0 для обратимых процессов и dQD>Q — для необра-
тимых.
Теперь применим второй закон термодинамики к частице
сплошной среды. Относя все члены в E5.18) к элементу време-
ни dt, вводя энтропию s, приходящуюся на единицу массы, и учи-
тывая сохранение массы, из E5.18) найдем
.т JL = <*. ^ .
dt dt dt
Отсюда, используя E5.11) и E5.12) получим уравнение из-
менения энтропии:
*L l E5.19)
dt дхь
где D = — диссипативная функция, равная от-
несенной к единице объема и единице времени части механиче-
ской работы, которая необратимо переходит в тепло.
В заключение этой главы приведем все основные урав-
нения механики сплошных сред, а именно, уравнение непрерыв-
ности, уравнения изменения импульса, внутренней энергии и энт-
ропии:
_ЁР_..р _*!*_ = о, E5.20)
dt Oxk
Р-^Г= я -"-Р'< (t= 1.2,3), E5.21)
dt dxk
p^L = Pikvik °-3L.t E5.22)
dt дхь
рГ —= ^--i-Д D>0. E5.23)
dt dxk
Это — система шести дифференциальных уравнений в частных
производных с семнадцатью неизвестными функциями, зависящи-
ми от координат и времени: пятью скалярными величинами р, е,
Т, s, D, шестью компонентами векторов vit qt и шестью компонен-
тами тензора Pih- Таким образом, становится очевидный, что для
использования системы основных уравнений необходимы также
допущения о характере среды или движений среды, при которых
система уравнений стала бы замкнутой.

Г лава XI
ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ
§ 56. Уравнения движения идеальной жидкости
Идеальной жидкостью называется такая сплошная
среда, в которой при любой деформации и скорости деформации
.касательные напряжения пренебрежимо малы по сравнению с
-нормальными напряжениями, а все нормальные напряжения оди-
наковы (в данный момент времени, в данной точке пространства,
занимаемого средой). Таким образом, тензор напряжений иде-
¦альной жидкости имеет вид
Ptk=-P&ik< E6Л)
т. е. все его компоненты с различными индексами равны нулю, а
Бее компоненты с одинаковыми индексами равны друг другу. Под-
ставляя E6.1) в E4.10), получим выражение для поверхностной
силы
dF°l = —pdai. E6.2)
•Следовательно, абсолютная величина силы, действующей на еди-
ничную площадку в идеальной жидкости не зависит от ориента-
ции площадки.
Модель идеальной, жидкости применима ко многим задачам
о движении жидкостей и газов с пренебрежимо малой вязко-
стью *. Если в качестве «идеальной жидкости» рассматривают
газ, то р>0, а в случае жидкой среды давление р может быть как
положительным, так и отрицательным, поскольку возможны и
сжимающие, и растягивающие напряжения (давление в газе свя-
* Во избежании недоразумений отметим, что под термином «идеальный
газ» понимают газ с уравнением состояния р = р V (здесь k — посто-
янная Больцмана, am — масса молекулы газа), в то время как под «идеаль-
ной жидкостью» понимают среду (жидкость или газ) с изотропным тензором
напряжений.
480

§ 56] Уравнения движения идеальной жидкости 481
зано главным образом со средней кинетической энергией моле-
кул, а в жидкости — как с кинетической энергией^ так и с потен-
циальной энергией взаимодействия молекулы).
Учитывая изотропность тензора напряжений, пренебрегая
теплопроводностью среды (<7, = 0) и ограничиваясь изучением об-
ратимых течений (?> = 0), из основных уравнений сплошных сред
получим уравнения движения идеальной жидко-
сти:
-^~pdivv = 0, E6.3)
dt v
p^ = -gradp + pf, E6.4)
p —= —pdivv, E6.5)
dt
— = 0. E6.6)
dt
Поскольку в механике сплошных сред изучаются локально равно-
весные состояния, то эта система должна быть дополнена термо-
динамическими уравнениями состояния:
е = е(р,Т), р = р(р, Т); E6.7)
первая из этих функций называется калорическим уравнени-
ем состояния, а вторая — термическим (эти функции опре-
деляются из опытных данных для систем, находящихся в равно-
весных состояниях).
Уравнения идеальной жидкости совместно с уравнениями сос-
тояния представляют собой замкнутую систему уравнений; урав-
нение изменения импульса E6.4) называется у р а в н е н и ем Эй-
лера. Решение этой системы должно удовлетворять граничным
условиям на поверхностях, ограничивающих среду, а в случае не-
стационарных течений — и начальным условиям в некоторый мо-
мент времени ^0. Например, нормальная к поверхности неподвиж-
ной твердой стенки компонента скорости среды должна обращать-
ся в нуль
vn = 0, E6.8)
поскольку жидкость не может протекать через стенку.
Теперь получим общие выражения для силы Fa и момента
сил La, приложенных к твердому телу, движущемуся в идеаль-
ной жидкости. На элемент ndo поверхности тела действует сила
—pnda (орт п направлен от поверхности тела внутрь жидкости,
16'/4 И. И. Ольховский

482 Идеальная жидкость [Гл. XI
так как согласно определению этого вектора он должен- быть на-
правлен по внешней нормали к поверхности рассматриваемого
тела). Следовательно, суммарная сила, действующая на тело,
равна
F° = — & pd<j, E6.9)
о
а момент сил давления
E6.10)
(здесь а — поверхность тела). Подставляя в эти выражения дав-
ление, найденное из уравнений движения жидкости, и вычисляя
соответствующие интегралы по заданной поверхности тела, най-
дем векторы F° и LP.
Рассмотрим решения уравнений идеальной жидкости в част-
ном случае, когда жидкость покоится, т. е. v=0. Тогда система
E6.3) — E6.5) сводится к уравнению гидростатики
gradp = pf, E6.11)
которое описывает механическое равновесие среды.
Приведем несколько простых решений уравнения E6.11). Ес-
ли, например, объемными силами можно пренебречь (f=0), то
давление р одинаково во всех точках среды (закон Паскаля).
Если же жидкость несжимаема (р = const) и находится в одно-
родном поле тяжести (f=g), то, располагая начало координат на
поверхности жидкости и направляя ось z вниз по вертикали, из
E6.11) получим уравнения
дх ду dz V&
откуда следует, что
Р = Ро + Pgz,
где ро — внешнее давление на поверхности жидкости. Это реше-
ние определяет гидростатическое давление, равное давлению на
поверхности, сложенному с весом столба жидкости с единичной
площадью поперечного сечения и высотой z.
Наконец, рассмотрим равновесие идеального газа в однород-
ном поле тяжести, если тепловое равновесие (T=const) имеет
место во всех точках газа. В этом случае, используя уравнение
кт
состояния идеального газа р = р (здесь k — постоянная

§ 56] Уравнения движения идеальной жидкости 48$
Больцмана, т — масса молекулы газа) и направляя ось z вверх
но вертикали, из E6.11) получим уравнения
Ф _ аР =-Qt kT dp =
дх ду ' tn dz
Отсюда найдем выражение для распределения плотности с высотой
р = роехр |— -^(z— г„I,
которое называется барометрической формулой.
Пример 56.1. Закон Архимеда.
Определить силу, с которой тяжелая несжимаемая жидкость
действует на погруженное в нее неподвижное тело.
Сила, с которой жидкость действует на поверхность оо погру-
женного в жидкость тела, равна интегралу E6.9). Преобразуя
этот интеграл в объемный, используя E6.11) и то, что р = const, a
f = g, найдем
F° = — Г grad pdV = — mg;
v.
здесь Vo — объем тела, am — масса жидкости в этом объеме.
Следовательно, сила, с которой тяжелая несжимаемая жидкость
действует на погруженное в нее тело, по величине равна весу
жидкости в объеме тела и направлена противоположно силе тяже-
сти (закон Архимеда).
Пример 56.2. Равномерно вращающаяся несжимаемая жид-
кость.
Пусть несжимаемая жидкость плотности р вращается с пос-
тоянной угловой скоростью © вокруг неподвижной оси. Найти
форму свободной поверхности (р = 0) жидкости в состоянии рав-
новесия, если частицы жидкости притягиваются к центру, поме-
щенному на оси вращения, с силой, пропорциональной расстоя-
нию до центра (здесь под состоянием равновесия понимается
равновесие относительно системы отсчета, вращающейся с жидко-
стью). Найти также форму свободной поверхности жидкости в
однородном гравитационном поле g и определить силу, действую-
щую на однородное тело плотности рт, которое погружено в жид-
кость и вращается вместе с ней (точнее скорость тела относитель-
но жидкости предполагается пренебрежимо малой).
В указанной системе отсчета на частицу жидкости с радиу-
сом-вектором г (начало отсчета помещено в центре силы) дейст-
вует сила притяжения — mxr и центробежная сила инерции
рг' (г' — радиус-вектор точки, направленный по перпендикуляру

484 Идеальная жидкость [Гл. X!
от оси). Потенциал этого силового поля в расчете на единицу
массы в сферических координатах имеет вид
2 2
Учитывая, что f = — gradue, запишем уравнение E6.11) в форме
grad p = —p grad ие, B)
откуда следует
р + Р«е = С C)
Полагая здесь р = 0 и определяя С из условия r = R при 9 = 0, из
C) найдем уравнение свободной поверхности вращающейся жид-
кости.
г = ? D)
( «2 .Л'1'
1 — — sin2 9 1
V
(R — расстояние между центром силы и ближайшими к нему
точками поверхности). Эта фигура представляет собой сфероид,
т. е. сплющенную вдоль оси вращения сферу.
Если вращение жидкости происходит в однородном поле, то
потенциал на единицу массы в декартовых координатах
«е = ?? у(хг+У2). E)
Подставляя эту функцию в интеграл вида C), получим уравнение
свободной поверхности
где 2о — координата точки поверхности на оси вращения. Таким
образом, свободная поверхность жидкости представляет собой па-
раболоид вращения.
В рассматриваемом случае на единицу массы жидкости дей-
ствует сила
f = — у"е = g + ю2г' G)
(вектор г' направлен по перпендикуляру от оси вращения); а си-
ла, с которой жидкость действует на тело объема Vo, погруженное
в жидкость и вращающееся вместе с ней, равна (см. E6.9))
Fc = —фрпЛг--—р ("W. (8)
Со V'o

§ 57] Основные теоремы динамики идеальной жидкости 485
Используя выражения G) и (8), найдем
Fa = -p(g-bco2rm)Vo, (9)
где г'т --= Г r'dV/Vu — направленный по перпендикуляру от оси вра-
щения радиус-вектор центра масс однородного тела.
Теперь найдем результирующую силу F, приложенную к телу
(включая силы тяжести и инерции):
F - prVog - pr(o%rm -f F°.
Учитывая (9), эту силу можно представить в виде
Отсюда следует, что при рт>р сила F направлена вниз от оси
вращения, а при рт<р вверх к оси вращения.
§ 57. Основные теоремы динамики идеальной жидкости
Течения идеальной жидкости, подчиняющиеся уравнениям
E6.3) — E6.6), являются течениями, при которых сохраняется
энтропия данной частицы жидкости. Такие движения называются
изэнтропическими. Интеграл энтропии в рассматриваемом
случае сразу следует из уравнения E6.6):
s = s0. E7.1)
Отсюда можно получить соотношение между давлением и
плотностью, имеющее место вдоль траектории частицы. Напри-
мер, найдем такое соотношение для идеального газа, уравнения
состояния которого задаются функциями
ЬТ
е=стТ, р = р—, E7.2)
m
где сх — теплоемкость газа при постоянном объеме в расчете
па единицу массы. С этой целью получим прежде всего энтропию
идеального газа, как функцию температуры Т и удельного
объема т=1/р. Будем исходить из первого и второго начал
термодинамики, записанных в виде уравнения *
de + pd(l/p), E7. S)
* Начала термодинамики, взятые в виде E5.22) и E5.23), приводят к урав-
ds de
ds de
нению рТ = р — PikVik + D, из которого учитывая E6.1) и Г56.3) в слу-
dt dt
чае обратимых процессов нетрудно получить E7.3).
17'/г И. И. Ольховский

486 Идеальная жидкость [Гл. XI
Подставляя E7.2) в E7.3), получим
1 т
откуда с точностью до постоянной найдем
k
s^dlniT/p™*). E7.4)
Исключая отсюда Т с помощью термического уравнения состояния
E7.2), получим энтропию, как функцию р и р
s — cx In (p/p7), E7.5)
где показатель у = 1 + ~^~- Затем, используем извэстног соотно-
шение Майера*
cp-cx=-t- E7.6)
т
тлежду сх и ср — теплоемкостью при постоянном давлении в расчете
:На единицу массы. Тогда для показателя у найдем выражение
У = ср/сх. E7.7)
'Итак, интеграл E7.1) в случае идеального газа приводит к соот-
ношению
р/р7 = const, E7.8)
которое выполняется вдоль траектории данной частицы.
Напомним еще одну термодинамическую функцию, а именно,
тепловую функцию или энтальпию, приходящуюся на
единицу массы и равную по определению
h = е + -В- . E7.9)
Р
Используя эту функцию, представим E7.3) в виде соотношения
--^-, E7.10)
3Q
* Соотношение E7.6) вытекает из первого начала термодинамики = de -f-
Atn
l / dQ \
-\-pdX. Действительно, полагая по определению ср = — ( -—- 1 , из первого
начала и уравнений состояния E7 2) найдем, что ср = с%-\-р1 ~гг) =с%-\ .

§ 57] Основные теоремы динамики идеальной жидкости 487
из которого вытекает, что приращение энтальпии для изэнтропи-
ческих течений равно
<Й=-^-. E7.11)
Р
Теперь получим основные интегралы движения уравнений
идеальной жидкости. С этой целью используем прежде всего урав-
нение кинетической энергии E5.8) с учетом E6.1). Тогда, имея
в виду выражение для полной производной давления по времени
найдем, что
at dt дх^
dt [
= iffl i _LJ<L ' dP
dt p dt p dt
Отсюда следует один из важных интегралов движения идеаль-
ной жидкости. В самом деле, допуская, что гидродинамические и
силовые поля стационарны, т. е. явно не зависят от времени
= 0). и принимая во внимание E7.11), придем к интегралу
ct J
4+Л + «е = с> E7.13)
который называется интегралом Бернулли. Как видно из
вывода, этот интеграл имеет место для изэнтропических стацио-
нарных течений идеальной жидкости, если объемные силы потен-
циальны и стационарны. При этом фигурирующая в интеграле
Бернулли сумма кинетической энергии, энтальпии и потенциальной
энергии во внешнем поле сохраняется вдоль траектории данной
частицы среды.
Заметим, что при стационарном течении среды траектории ча-
стиц совпадают с линиями тока, т. е. с линиями, в каждой
точке которых скорость жидкости в данный момент времени на-
правлена по касательной к ним. Очевидно, что линии тока опреде-
ляются уравнениями
-*L = _*!_ = -?-. E7.14)
Vx Vy vz
В случае изэнтропических течений несжимаемой жидкости
ds = 0 и d(l/p)=O, поэтому согласно E7.3) имеет'место интеграл
движения e=const. Учитывая его, из E7.13) получим интеграл
Бернулли для несжимаемой жидкости:
_^_ + _?_+це = С< E7>15)
2 р

488 Идеальная жидкость [Гл. XI
Для иллюстрации рассмотрим простой пример. Пусть несжи-
маемая жидкость вытекает из достаточного широкого наполнен-
ного жидкостью резервуара высоты / через малое отверстие вбли-
зи дна. Тогда течение на заметном интервале времени можно счи-
тать стационарным, а скорость частиц, находящихся на поверх-
ности жидкости в сосуде, равной нулю. Направим ось z по вер-
тикали вверх с началом отсчета в отверстии и определим
постоянную интеграла Бернулли для любой частицы на поверх-
ности жидкости. В результате получим
(здесь v — скорость частицы, находящейся в отверстии, а р— ат-
мосферное давление, которое полагается одинаковым как на по-
верхности жидкости в сосуде, так и в струе, вытекающей из
отверстия). Отсюда для скорости истечения находим известную
формулу Т о р р и ч е л л и v = V2gl.
Важное свойство идеальной жидкости устанавливается в тео-
реме Томсона о сохранении циркуляции скорости.
Циркуляцией скорости вдоль замкнутого материаль-
ного контура (т. е. контура, состоящего из частиц жидкости) на-
зывается интеграл
& v6r;
E7.16)
здесь контур задан функцией r(t, e), где каждому значению пара-
метра е соответствует одна определенная частица среды за исклю-
чением двух значений е = 0, ео, которым соответствует одна и та
же частица, «замыкающая» контур (следовательно, параметр е
изменяется в пределах О^Се^ео); дифференциал бг связан с при-
ращением параметра е, а интегрирование ведется по е от нуля
до е0.
Согласно теореме Томсона при изэнтропическом движении
идеальной жидкости циркуляция скорости по замкнутому данному
материальному контуру сохраняется, если объемные силы потен-
циальны. Чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, нужно
показать, что полная производная по времени от циркуляции
E7.16) равна нулю. При дифференцировании циркуляции необхо-
димо учесть, что с течением времени изменяется не только скорость
частицы, но и форма контура, т. е. дифференцировать по времени
нужно как скорость, так и элемент бг длины контура. Таким обра-
зом, для производной от циркуляции получим выражение
-?-6r. E7.17)

§ 57] Основные теоремы динамики идеальной жидкости 489
Имея в виду очевидные преобразования
v or = v8v =
di
найдем, что второй интеграл в E7.17) равен
v or = v8v = б — \
di V2/
(как интеграл от полного дифференциала по замкнутому контуру).
Что касается первого интеграла из E7.17), то с помощью теоре-
мы Стокса его можно представить в виде
= j(rotvNe, E7.19)
где а — поверхность, которая опирается на рассматриваемый кон-
тур, а 8а— элемент этой поверхности. Теперь, учитывая изэнтро-
пичность движения среды (см. E7.11)) и потенциальность объем-
ной силы, представим уравнение Эйлера E6.4) в форме
v = — grad (Я и ые). E7.20)
Подставляя E7.20) в E7.19), убедимся в том, что циркуляция
ускорения равна нулю, поскольку rotgrad = 0. Следовательно,
имеет место интеграл движения
<Ev6r = C. E7.21)
Тем самым теорема Томсона доказана.
Из этой теоремы следует важное утверждение о сохранении
вихревого движения идеальной жидкости. Действительно, приме-
няя, формулу Стокса к левой части E7.21) и используя то, что
® = rotv/2, найдем интеграл движения в виде
j ыйа = С, E7.22)
а
согласно которому поток угловой скорости (или поток вихря ско-
рости) через данную материальную поверхность при ее движении
сохраняется. Если же в начальный момент времени rotv = 0 во
всей среде, то и в последующие моменты времени во всей среде
rotv = 0, т. е. имеет место движение идеальной жидкости, которое
называется безвихревым или потенциальным.
Заметим, что в случае, когда траектория частицы проходит
вдоль поверхности тела, обтекаемого средой, в среде нельзя про-
вести материальный контур, охватывающий такую траекторию.
Поэтому теорема Томсона и теорема о сохранении вихря, строго
17 И. И. Ольховский

490 Идеальная жидкость [Гл. XI
говоря, неприменима в тонком пристеночном (пограничном)
слое. Более того, в этом слое сама модель идеальной жидкости
становится неприменимой ввиду заметной роли вязкости среды.
Несмотря на это в ряде случаев, например, в случае хорошо обте-
каемых тел движение среды почти везде близко к потенциальному
течению.
Если изэнтропическое потенциальное течение идеальной жид-
кости совершается под действием потенциальных объемных сил,
то для таких течений имеет место интеграл движения, называемый
интегралом Кош и. Действительно, поскольку энтропия сохра-
няется, а заданные силы потенциальны, справедливо уравнение
E7.20), которое запишем в форме
J* ? u% E7.23)
dt dxk k dxt
Теперь учтем, что движение среды потенциально. Поэтому скорость
может быть представлена в виде градиента некоторой скалярной
функции
v = grad ср E7.24)
(функция <р называется потенциалом скорости). Подстав-
ляя E7.24) в E7.23) и выполняя преобразование
д д [ 2 V д Д
дхк \ дхь )\ дхк дх{ [ 2 V дхк Д дхк ) J dxi\2 J'
найдем
t 2
откуда следует интеграл Коши
E7.25)
где f(t) —произвольная функция времени.
В отличие от постоянной в интеграле Бернулли, которая имеет,
вообще говоря, различные значения для траекторий разных частиц
среды, произвольная функция f(t) в интеграле Коши одинакова
во всем объеме, занятом средой. Чтобы определить f(t), достаточ-
но найти левую часть интеграла Коши как функцию времени в
любой одной точке потока.
Отметим, что в случае стационарных течений ( —— — 0Л
функцию f(t) следует положить равной произвольной постоянной
С, которая в отличие от постоянной интеграла Бернулли имеет

§ 57] Основные теоремы динамики идеальной жидкости 491
одно и то же значение для всех частиц жидкости. Таким образом,
для стационарного потенциального течения интеграл Коши прини-
мает вид
--i-/ifue = С. E7.26)
Пример 57.1. Стационарное течение несжимаемой идеальной
жидкости в горизонтально расположенной трубке переменного по-
перечного сечения.
Найти в указанном случае соотношение между скоростями и
давлениями жидкости в поперечных сечениях о\ и 02.
Из уравнения непрерывности E4.7) в интегральной форме
ввиду стационарности потока будем иметь
= 0. A)
Применяя это уравнение к объему, ограниченному поверхностью
трубки и сечениями аг и 02, получим что
откуда
f.-^f-M B)
Поскольку потенциал ис поля тяжести постоянен вдоль течения»
интеграл E7.15) приводит к соотношению
р 2 р ' 2 '
которое с помощью B) можно записать в виде
Из B) и C) следует, что с уменьшением сечения
скорость потока увеличивается, а давление падает.
Пример 57.2. Стационарное течение сжимаемого идеального
газа.
Пусть изменение потенциала поля тяжести вдоль линий тока
пренебрежимо мало, а плотность, скорость и температура газа на
бесконечном расстоянии от обтекаемого газом неподвижного тела
соответственно равны рх, v^ и Тж. Найти значения температуры,
плотности и давления газа в критической точке (т. е. точке
поверхости обтекаемого тела, где скорость потока обращается в
нуль).
17*

492 Идеальная жидкость [Гл. XI
Согласно условию из интеграла E7.13) имеем
у+ *- *"• (!)
где hx и hc — значения энтальпии на бесконечности и в критиче-
ской точке соответственно (для других величин индексы <х> и с
будем относить к тем же состояниям).
Из определения E7.9) и соотношений E7.2), E7.6) следует,
что энтальпия идеального газа равна
h = с„Т. B)
Подставляя B) в A), получим соотношение для температур
= 1 +
о
V
0°
Затем, используя E7.4), E7.6) и E7.7), перепишем условие из-
энтропичности течения в виде
(у1ш D)
Тогда из C) и D) можно определить связь плотностей
Poo \
Наконец, привлекая соотношение лзежду давлением и плотностью
(см. E7.8))
Рс .
Роо
найдем
„2 V/V-1
§ 58. Потоки импульса и энергии
Уравнения импульса и энергии идеальной жидкости могут
быть представлены в виде уравнения непрерывности для соответ-
ствующей величины. Прежде всего убедимся, что для любой тен-
зорной величины Q в силу уравнения непрерывности E4.5) имеет
место равенство
JQ_= /^Q JQ_ Л JL (рф + _?<еЭ®.. E8.1)
V di Чй дхк V Ot КУ^' дхь '

§ 58] Потоки импульса и энергии 493
Полагая здесь Q = vt, найдем
dvi_ = д (pot) _^_ д (рад) ,58 2.
Л <?/ ' дхк V • /
С другой стороны, уравнение Эйлера можно записать в виде
*EL = _ai&L+ f (-
dr ¦ дхь
Сопоставляя E8,2) и E8.3), получим уравнение непрерывности для
компоненты импульса pvit приходящегося на единицу объема:
= p/t. E8.4)
здесь П1А = ро^ + p8ik.
Для выяснения смысла тензора Y\ik проинтегрируем каждый член
этого уравнения по фиксированному объему Vo пространства и при-
меним преобразование Остроградского. Тогда найдем интегральную
форму уравнения E8.4)
д- [pvidV=-j)nikdak E8.5)
(в этом соотношении мы опустили внешний источник изменения
импульса — силу f). Из сопоставления левой и правой частей
E8.5) видно, что поверхностный интеграл представляет собой раз-
ность i-тых компонент импульса частиц среды, вытекающих и вте-
кающих за единицу времени через поверхность ао, охватывающую
объем VQ. Таким образом, Л^йаи есть t-тая компонента импульса,
протекающая за единицу времени через площадку da, а П«—t-тая
компонента импульса среды, протекающей за единицу времени че-
рез единичную площадку, перпендикулярную оси xh. Поэтому тен-
зор Uih называется тензором плотности потока им-
пульса.
Теперь подставим в E8.1) величину Q, равную полной энер-
гии —- -f e, приходящейся на единицу массы. Тогда получим, что
р [ ;- е ) = р ( \-е)-\ pvt { \- е). E8.6)
v dt \2 ) dt v \ 2 J дх{ Ч 2 J '
С другой стороны, уравнение E5.15) в случае изэнтропических
течений идеальной жидкости принимает вид

494 Идеальная жидкость [Гл. XI
Из последних двух уравнений и определения E7.9) вытекает
уравнение непрерывности для энергии
Р (——Ь е ) 4 9vi(— + h\ =0 E8.8)
dt \ 2 J ' dxt \ 2 / '
(здесь опять-таки опущен член с силой f).
Для изменения энергии среды в заданном объеме Vo за еди-
ницу времени аналогично E8.5) получим
откуда видно, что величина
Pv(J7r+h) E8.10)
представляет собой плотность потока энергии (вектор
Умов а). Этот поток слагается из потока полной энергии
pv f J- e \ и мощности pv сил давления.
§ 59. Несжимаемая жидкость
Уравнения движения идеальной жидкости заметно упрощают-
ся, если жидкость можно считать несжимаемой, т. е. ее плот-
ность массы р (при изменении давления в широком диапазоне)
можно считать равной постоянной величине ро во всем объеме
жидкости в любой момент времени *. Поскольку плотность извест-
на, то движение среды определяется полями давления и скорости.
Действительно, в этом случае уравнение непрерывности и уравне-
ние Эйлера принимают вид
divv = 0, E9.1)
Ро-^-= gradp-hpof E9.2)
и являются системой уравнений, замкнутой относительно четырех
функций p(r, t), Vi(r, t) (t = l, 2, 3). Поэтому для решения задачи
о механическом движении несжимаемой идеальной жидкости не
требуется знания внутренней энергии и энтропии.
* Различают однородную и неоднородную несжимаемые жидкости. В пер-
вом случае плотность массы одинакова и постоянна для всех частиц, а во
втором случае различна для разных частиц, но постоянна для каждой данной
частицы. Мы ограничимся случаем несжимаемой однородной жидкости.

§ 59] Несжимаемая жидкость 495
Уравнения идеальной жидкости в особенности упрощаются,
если течение несжимаемой жидкости потенциально. Тогда уравне-
ние непрерывности E9.1) после подстановки E7.24) сводится к
уравнению Лапласа
Аф = 0 E9.3)
для потенциала <р скорости течения (как видно, потенциал скоро-
сти подчиняется тому же уравнению, что и потенциал электроста-
тического поля в отсутствие зарядов). В случае неподвижной твер-
дой стенки граничным условием для этого уравнения является
условие (см. E6.8)):
..-¦?=0. E9.4,
Бели же твердая стенка движется заданным образом, то ——
on
должна быть приравнена соответствующей известной функции вре-
мени и координат.
Что касается уравнения Эйлера, то оно для потенциальных
течений несжимаемой жидкости под действием потенциальных
объемных сил ввиду постоянства внутренней энергии (см. стр.487)
приводит к интегралу Коши вида
-J. + _L (grad ф)« + -?- + ие = / (t). E9.5)
Of А р
Отсюда вытекает, что в случае стационарного потенциального те-
чения несжимаемой идеальной жидкости имеет место интеграл
~- (grad фJ + ¦?¦ + ые = С, E9.6)
где постоянная С одинакова для всех частиц жидкости.
Пример 59.1. Движение сферы в неограниченной несжимаемой
жидкости.
Сфера радиуса а в отсутствие объемных сил движется посту-
пательно в неограниченной несжимаемой и безвихревой жидкости
со скоростью li(t), направление которой коллинеарно некоторой
неподвижной прямой. Найти реакцию жидкости на сферу.
Положим сначала скорость U постоянной и рассмотрим зада-
чу в системе отсчета 5', связанной со сферой. Поскольку необхо-
димо найти решение уравнения Лапласа для потенциала <р', удов-
летворяющего граничным условиям на поверхности сферы, вос-
пользуемся сферической системой координат с началом в центре

496 Идеальная жидкость [Гл. XI
сферы и полярной осью, направленной по вектору U. Тогда гра-
ничные условия задачи будут иметь вид
= 0, ф' |r=00 = — Ur cos 8. A)
дг
Учитывая, что течение обладает азимутальной симметрией,
решение уравнения Лапласа можно искать в виде функции
B)
где R (г) и Р (9) — функции, зависящие соответственно только от г
и 8. Подставляя B) в уравнение Лапласа
д V
!
дг V <Эг У ' г2 sin в dQ \ <Эв У с2 sin2 в дг2
получим
JL(>J«> ^i?LJL(^W C)
sine d&
Отсюда находим, что R и Р должны удовлетворять уравнениям
^-0. D)
dr \ dr J
^-^ = 0, E)
sin9 tie V dQ
где Я — постоянная разделения. Как известно, уравнение E) допу-
скает однозначные непрерывные решения при X=l(l+l) A = 0, 1,
2, ...). Такими решениями являются полиномы Лежандра /^(cos8)
(например, Po=l, />i = cos8). Далее из уравнения D) при
>. = /(/+ 1) для радиальной функции найдем
где А и В — произвольные постоянные. Следовательно, решение
уравнения Лапласа C) может быть записано в виде
Мсо8 9). F)
1=0
Используя граничное условие на бесконечности, найдем
A, = -Ubu; G)
затем из условия на сфере получим
ALlal~l — Bt (I + 1) а-'-2 = 0. (8)

§ 59] Несжимаемая жидкость 497
Из G) и (8) следует, что
В, = -^-а»б„. (9)
Таким образом, получим решение задачи об обтекании неподвиж-
ной сферы в виде
<p' = -t/(r:j---|^cose. A0)
Нетрудно найти отличные от нуля компоненты скорости v'
течения относительно системы S':
Скорость течения на сфере будет равна
V |,=а = v'e U, = -j- U sin 0, A2)
откуда видно, что точки6 = 0, л являются критическими (при6 = 0,я
v' = 0) а в точках 0 = я/2 скорость максимальна и в полтора раза
превышает скорость потока на бесконечности.
Поскольку поток при обтекании сферы стационарен, восполь-
зуемся интегралом E7.15) для определения давления жидкости
на сферу. Подставляя A2) в этот интеграл, получим
Р = Р~ -?^(l--J-sln*8). A3)
Отсюда ясно, что суммарная сила Fa давления жидкости на сферу
равна нулю. В этом можно убедиться, вычисляя интеграл E6.9).
Например, для проекции силы на полярную ось в результате под-
становки A3) в E6.9) найдем
Я 2Л
F1 = — Г f p cos 0 a2 sin &Шф = 0. A4)
6 о
6 о
Вывод об отсутствии сопротивления движущемуся телу назы-
вается парадоксом Д'Аламбера, поскольку из опыта из-
вестно, что такое сопротивление существует. Этот парадокс являет-
ся следствием неправомерного пренебрежения вязкими свойствами
жидкости в пограничном слое.
Теперь легко получить решение задачи о течении (покоящей-
ся на бесконечности) жидкости под действием движущейся сферы.

-498 Идеальная жидкость [Гл. XI
Для этого перейдем из системы S' с началом в центре сферы в
систему S, относительно которой скорость сферы равна U. При
этом относительно 5 скорость течения равна v=U + v', откуда сле-
дует, что потенциал ср скорости v связан с потенциалом q/ соот-
ношением
т. е.
a*U cos в
2 г*
Ясно также, что при движении сферы со скоростью U(t), завися-
щей от времени, потенциал имеет аналогичный вид
О3 j[/f\ COS 6
2 r-
Потенциал ф, описывающий нестационарное течение жидкости
относительно 5 выражен через переменные г и 9 подвижной си-
стемы S' с началом в центре сферы и имеет, следовательно, вид
<р(х, у, г—JU{t)dt, t). Учитывая это, из интеграла Коши E9.5)
найдем
A5)
Подставляя A5) при г = а в E6.9) и имея в виду, что отличный от
нуля вклад дает лишь член, пропорциональный ——, для реакции
жидкости получим выражение
2Л Л
Ft = (f) р Г-^ЕЛ dat = — SB-u[ fcos29 a2 sin ЫЩ =
J \ dt J 2 J )
dt )г=а 2 J ,)
о о
= ^-pa»f>. A6)
о з
Следовательно, реакция жидкости как бы увеличивает массу
сферы на величину, равную половине массы жидкости, вытеснен-
ной сферой. По этой причине величина — яра3 называется при-
О
соединенной массой.
Пример 59.2. Подъемная сила Жуковского.
Стационарный поток несжимаемой жидкости в отсутствие
внешних сил обтекает неподвижный бесконечный круговой цилиндр
радиуса а, причем скорость Voo потока на бесконечности перпен-
дикулярна оси цилиндра. Найти потенциал скорости течения, при
котором реакция жидкости на тело отлична от нуля.

§ 59]
Несжимаемая жидкость
499
• в
Рис. 59.1
Направим ось z по оси цилиндра, а ось х по вектору ую
(рис. 59.1,а). Ввиду двумерности задачи, запишем уравнение Лап-
ласа E9.3) в полярных координатах г, 0
). A)
ае2
Решение этого уравнения должно удовлетворять граничному условию
E9.4) на поверхности цилиндра
Эф
~~дГ
= 0
B)

500 Идеальная жидкость [Гл. XI
и условию на бесконечности
ф|г-»оо = vxx = vxr cos 8. C)
Будем искать решение уравнения A) в виде
Ф = R (г) Ф (9). D)
Подставляя D) в A), найдем уравнения для функций R(r) и Ф(б)
E)
drK dr ' - • F>
где Я2 — постоянная разделения. Уравнение E) допускает частные
решения вида
Поскольку значения угла 0 = 0 и б = 2л должны соответствовать
одной и той же точке поля скоростей, то Ф (9) = Ф @ + 2я). Это
условие приводит к требованию к=т, где т = 0, ± 1, ±2,....
Подставляя значения Х = т в уравнение F), найдем его частные ре-
шения
-{
при m = V,
при ш= ± 1, ±2
Таким образом, уравнение Лапласа A) имеет решение
ф= 2 ^(^(a^cosme-b^sin/nG). G)
m=0
Подставляя G) в граничные условия C) и B), найдем постоянные
Am = vxblm> Bm=vaaa%m,
и тем самым получим искомый потенциал
г -\ J cos 9.
Отсюда легко найти компоненты скорости в любой точке потока

§ 59] Несжимаемая жидкость 501
а также на поверхности цилиндра
?)г|г=в = 0, ие |г=а = — 2ом sin 9
/ „ я Зя
(как видно, в точках поверхности при 9=—, скорость по
абсолютной величине в два раза превышает значение скорости
на бесконечности). Далее, используя интеграл E9.6)
1 2 - I ,
найдем реакцию жидкости на единицу длины цилиндра
2я
т. е. снова придем к парадоксу д'Ала.мбера. Однако в действитель-
ности в пограничном слое около поверхности цилиндра вследствие
вязкости среды возникает движение с циркуляцией отличной от
нуля, т. е., вообще говоря, вихревое движение. Оставаясь в рам-
ках модели идеальной жидкости и не рассматривая вопрос об
образовании циркуляции, зададим такое движение (во всем про-
странстве за исключением области г=0) потенциалом
Ф= —0 (Г = const). (8)
Этот потенциал удовлетворяет уравнению A) и определяет поле
скорости (рис. 59.16)
причем
везде, кроме г=0. Таким образом, циркуляция скорости по любо-
му замкнутому контуру, не охватывающему точку г = 0, равна ну-
лю, а по любому замкнутому контуру, охватывающему точку г=0,
отлична от нуля. Например, циркуляция скорости по некоторой
линии тока, т. е. по окружности с центром в начале координат,
равна
2Я
& v6r = (' vGr8Q = Г
о
(заметим, что задача о магнитном поле бесконечного прямолиней-
ного постоянного тока аналогична задаче о рассматриваемом тече-

502 Идеальная жидкость [Гл. XI
нии с потенциалом (8)—см. пример 6.2; в частности, напряжен-
ность такого магнитного поля описывается формулами вида (9)).
Теперь рассмотрим течение, определяемое потенциалом, рав-
ным сумме
ф = Vx (г +—) cos e + — е.
\ г J 2я
Этот потенциал удовлетворяет условиям B), C) и определяет поле
скорости (рис. 59.1,б)
Отсюда
Vr \r=a — 0, VS \r=a = — — 2vx Sin 9.
Далее, используя интеграл E9.6), найдем реакцию жидкости на
единицу длины цилиндра
2Я
F°=— f {p)r=a cos Q-adQ = 0, A0)
о
2Я
Fy = — Г (p)r=a sin 8-add =
0
2Я
ОД С
= -*— I (b2),^ sin 9 a9 = —pTvx. A1)
2 J
о
Как видно, поток с циркуляцией действует на цилиндр с силой,
перпендикулярной направлению потока на бесконечности (знак
F°, конечно зависит от знака Г). Эта сила называется подъем-
ной силой Жуковского. Теоретический расчет величины
циркуляции Г может быть проведен на основе постулата Жуков-
ского—-Чаплыгина (см., например, [50]).
§ 60. Звуковые волны
Рассмотрим звуковые волны в жидкостях и газах, используя
модель идеальной жидкости. Пусть среда (в отсутствие объемных
сил) находится в равновесном состоянии, которое задано постоян-
ными плотностью ро и давлением ро. Пусть также по какой-либо-

§ 60] Звуковые волны 503
причине в среде возникают малые отклонения плотности р' и дав-
ления р' от равновесных значений этих величин. Таким образом,
плотность и давление среды в возмущенном состоянии будут соот-
ветственно равны
где р' и р' зависят от координат и времени и удовлетворяют усло-
виям: |р'|<ро, |р'|<р0.
Найдем уравнения, которым подчинены р' и р', ограничиваясь
линейным приближением. Для этого подставим F0.1) в уравнение
непрерывности и уравнение Эйлера и опустим члены второго по-
рядка малости, имея в виду, что величины р', р' и скорость частиц
v являются величинами первого порядка малости (ниже будет
показано, что скорость v должна быть малой по сравнению со ско-
ростью звука). Тогда полные производные по времени можно за-
менить частными производными, например,
*Jl F0.2)
t
dt dt
а из уравнений E6.3) и E6.4) в том же приближении найдем
F0.3)
_ЁЕ1 + р divv = O,
dt
= 0. F0.4)
Ввиду изэнтропичности движения идеальной жидкости между
приращениями давления и плотности данной частицы среды имеет
место соотношение
P = Po-b(-f^)s(P-Pe). F0-5)
/ dp \
где ( —— ) — означает производную, взятую при постоянной эн-
\ dp Js
тропии в равновесном состоянии. Это соотношение согласно F0.1)
можно записать в виде
где
Учитывая, что
dp' _.!
р' = сор',
! ^- , grad p' =
cogradp',
F0.6)
F0.7)
F0.8)

504 Идеальная жидкость [Гл. XI
и исключая р' из уравнения F0.4), получим
р0 —— -\- cogradp' = 0. F0.9)
dt
Наконец, продифференцируем F0.3) частным образом по времени
и применим операцию дивергенции к FС.9). Затем, исключая из
полученных выражений — div v и имея в виду, что лапласиан
dt
A = divgrad, найдем волновое уравнение
Ар' Lj^ = o F0.10)
г2 гЗ/2
с0 ai
для отклонения плотности от ее равновесного значения. Такому же
уравнению подчинено отклонение давления р' (поскольку р' про-
порционально р'), а также отклонение температуры Т' от ее рав-
новесного значения (поскольку Т пропорционально р'):
Теперь убедимся в том, что нестационарное поле скорости v,
подчиненное уравнениям F0.3) и F0.9) (или F0.4)), является по-
тенциальным полем, также удовлетворяющим волновому уравне-
нию. С этой целью воспользуемся теоремой Гельмгольца,
согласно которой векторное поле, в частности, поле скорости, мо-
жет быть представлено в виде суммы потенциального и солено-
идального полей. Поэтому положим
v = Vl-v2, F0.12)
где vx — потенциальное поле, т. е.
rotv1 = 0, F0.13)
a v2 — соленоидальное поле, т. е.
divv2- 0. F0.14)
Подставляя F0.12) в F0.3) и учитывая F0.14), получим
—— -l podiv vx = 0, F0.15)
а применяя оператор rot к F0.9) и используя F0.13), найдем
— rotv.2 = 0. F0.16)
dt '

§ 60] Звуковые волны 535
Из последнего уравнения ясно, что rot v2, а следовательно, и v2,
являются стационарными полями. Таким образом, чтобы рассмот-
реть нестационарный процесс распространения малых возмущений
в среде, можно положить v2 = 0, т. е.
v=grad(p. F0.17)
Далее подставим F0.17) в уравнения F0.3) и F0.9). Тогда по-
лучим
э0Аф = 0, F0.18)
at
Ро —— f СоР' = 0. F0.19)
Следует заметить, что уравнение F0.19), вообще говоря, имеет вид
где f(t)—произвольная функция времени; однако эту функцию
можно приравнять нулю, поскольку скорость определяется произ-
водными функции ф по координатам и, следовательно, без ограни-
чения общности ф можно заменить на ф Н \f(t)dt. Диффе-
ренцируя F0.19) по времени и исключая -^- из F0.18), найдем,
ot
что потенциал скорости подчинен волновому уравнению
Дф-Л-^- = 0 F0.20)
с0 ot
(применяя к F0.20) оператор grad, можно получить волновсе
уравнение для скорости v).
Итак, все малые возмущения равновесного состояния среды
подчиняются волновому уравнению с одной и той же постоянной
с0 и, следовательно, распространяются в виде волн со скоростью,
определяемой этой постоянной. Рассматриваемые волны являются
волнами с малыми амплитудами и связаны со сжимаемостью жид-
кости, т. е. с изменением объема частиц среды, поскольку
divv=^=0 (см. F0.3) и E3.29)). Такие волны называются звуко-
выми волнами, а постоянная с0 соответственно называется
скоростью звука. Ее можно вычислить, зная уравнение адиа-
баты для данной среды. Например, в случае идеального газа, ис-
пользуя E7.8) и E7.2), получим
V = Y-^ = Y ^ F0.21)
Ро "I

505 Идеальная жидкость [Гл. XI
Таким образом, скорость звука в идеальном газе примерно равна
средней тепловой скорости его молекул.
Если потенциал скорости в звуковой волне зависит от времени
и от одной из координат, например от х, то F0.20) сводится к
уравнению
^L 'i = Ol F0.22)
дх* с20 дР '
которое, как нетрудно убедиться, имеет решение
ф = Ф+ (х - cj) + ф- (х + cot), F0.23)
где ф+ и ф" — произвольные функции, зависящие от начальных и
граничных условий. Из вида решения Ф+(*—cot) ясно, что значе-
ния ф+ одинаковы при значениях аргументов, удовлетворяющих
условию х—cot — const. Следовательно, функция ф+(л;—cot) описы-
вает распространение некоторого возмущения в положительном
направлении оси х со скоростью с0 без искажения начальной фор-
мы этого возмущения. Функция f~(x+cot) описывает аналогичную
волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси х.
Такие волны называются бегущими плоскими волнами.
Если, возмущения, характеризующие звуковую волну, явля-
ются гармоническими функциями времени, то волна называется
монохроматической. Важным частным случаем таких волн
являются бегущие плоские монохроматические волны. Значение
этого класса волн весьма велико, поскольку любую волну можно
представить в виде совокупности различных монохроматических
плоских волн, т. е. в виде разложения в ряд или интеграл Фурье.
Решение волнового уравнения для случая бегущих плоских моно-
хроматических волн должно иметь вид
Ф = асов(кг — ю/ + а), F0.24)
где постоянные а, к, со и а называются соответственно амплиту-
дой, волновым вектором, частотой и начальной фа-
зой волны, а скалярная функция кг—со^ + а— фазой волны.
Приведем также более удобную для вычислений форму веществен-
ной функции F0.24), записанной в виде действительной части от
комплексной функции
у = Яе{Ае№-«>Ц}, F0.25)
где А = aeia — комплексная «амплитуда».
Подставляя F0.25) (или F0.24)) в F0.20), убедимся в том, что
ш2 = elk2. Следовательно, ш и k должны быть связаны между собой
соотношением
со = cok; F0.26)

§ 60] Звуковые волны 507
при этом волновой вектор полагается равным
к = — п, F0.26')
где п — единичный вектор в направлении распространения волны.
Таким образом, волновое уравнение имеет решение
ftc0«}) F0-.27)
где А — произвольная постоянная.
Решение F0.27) описывает плоскую монохроматическую волну,
фронт которой распространяется со скоростью Со в направле-
нии волнового вектора. Действительно, продифференцировав по
времени соотношение kr—kcot = const, определяющее данное значе-
ние фазы, найдем для скорости с распространения фронта вдоль к,
значение c = Cq, Скорость с называется фазовой скоростью.
Согласно F0.26) ее можно представить в виде
с = —. F0.28)
Отметим также, что соотношение F0.26), характеризующее моно-
хроматическую волну, справедливо в системе отсчета, связанной
со средой, в которой распространяется волна (конечно, система
связывается со средой в ее невозмущенном состоянии).
Итак, постоянная с0 в полученных выше волновых уравнениях
равна фазовой скорости распространения плоской монохроматиче-
ской звуковой волны или, кратко говоря, скорости звука. Что ка-
сается скорости v движения частиц жидкости, то она по направ-
лению колинеарна волновому вектору (в этом случае волна назы-
вается продольной), а по величине много меньше скорости
звука. Действительно, рассматривая волну с потенциалом
Ф = a cos (kr — kcot),
найдем, что
v = уф = ф'к, F0.29)
а
_|Р- = _АСоф'. F0.29')
С помощью этих выражений из F0.19) получим, что pov = c0p'. От-
сюда ввиду малости р' по сравнению с р0 следует
— = -^-«1. F0.30)
Си Ро
Таковы основные свойства плоской монохроматической звуковой
волны.

508 Идеальная жидкость [Гл. XI
В общем случае может иметь место дисперсия скорости
звука, т. е. зависимость фазовой скорости от частоты волны,
Л = с = с(ю). F0.31)
k
Дисперсия звука определяется законом дисперсии, т. е.
функцией вида
ш = о)(к) F0.32)
(см. пример 62.1, а также § 65). Этот закон определяет группо-
вую скорость
U = — F0.33)
с/к
т. е. скорость переноса энергии группой монохроматических волн
(«волновым пакетом»). Фазовая и групповая скорости монохрома-
тической волны F0.27) ввиду отсутствия дисперсии совпадают.
Пример 60.1. Эффект Допплера.
Найти частоту звука, воспринимаемого наблюдателем, дви-
жущимся относительно источника звука с постоянной скоростью.
Рассмотрим случай, когда источник звука частоты со покоится
относительно невозмущенной звуком среды, а наблюдатель дви-
жется относительно среды со скоростью V. В системе S, связанной
с источником и средой, фаза монохроматической волны равна
кг—-со/, причем a> = cok. Совершим преобразование r = \t+r' к си-
стеме S', связанной с наблюдателем, и учтем инвариантность фазы,
т. е. соотношение
кг —ш/ = к'г' —со'/, A)
где к' и со' — волновой вектор и частота звука в системе S'. Тогда
получим
k' = k, co' = co —Vk. B)
Используя соотношение F0.26) (которое выполняется в системе i",
связанной со средой) и вводя угол 0 между направлением распро-
странения волны и скоростью наблюдателя, из B) окончательно
находим
со'= со Л -coseV C>

§ 61] Ударные волны 509
Если же источник звука частоты со' движется относительно
неподвижной среды и наблюдателя со скоростью V, то для часто-
ты, наблюдаемой в системе S, получим
V
— cos0
D)
Из C) и D) видно, что частота звука, регистрируемая на-
блюдателем, движущимся относительно источника звука, отли-
чается от частоты источника (эффект Допплера). Например,
из формулы D) видно, что для удаляющегося источника (cos9<0
при к, направленном на наблюдателя) со<й)', а для приближаю-
щегося источника (cos 9>0) со>со'. Если же Vcos9>c0, то со<О;
следовательно, если источник посылает сначала один звуковой
сигнал, а затем другой, то более поздний сигнал дойдет до наблю-
дателя первым.
§ 61. Ударные волны
Рассмотрим стационарный однородный поток газа, движущий-
ся со скоростью V относительно неподвижной системы отсчета 5.
Если скорость V потока превышает скорость с звука в газе (отно-
сительно самого газа), то поток называется сверхзвуковым;
если же V меньше с, то поток называется дозвуковым. Свой-
ства сверхзвукового потока существенно отличаются от свойств
дозвукового течения. В связи с этим важной характеристикой по-
тока является отношение М скорости потока к скорости звука в
нем:
М = ^-. F1.1)
с
Это число называется числом Маха.
Одна из особенностей сверхзвукового потока заключается в
том, что малые возмущения плотности газа (и других величин)
не могут в таком потоке распространяться по любому направле-
нию. Действительно, скорость распространения возмущений отно-
сительно 5 равна сумме V+cn, где п — направление распростра-
нения возмущений относительно газа. Поэтому все возможные ско-
рости распространения возмущений относительно S могут быть
получены, если из неподвижной точки 0 (в которой возникают воз-
мущения) отложить вектор V+cn и при фиксированном V при-
давать вектору п все возможные направления. В результате такого
изменения вектора п конец вектора V+cn будет скользить по сфе-
ре радиуса с с центром в конце вектора V.
18 и. И. Ольховский

510 Идеальная жидкость [Гл. XI
Из сказанного ясно, что в дозвуковом потоке (V<c) вектор
V+cn может иметь любое направление, в то время как в сверх-
звуковом потоке (V>c) вектор V+cn (при любом направлении п)
будет лежать внутри конуса (или на его поверхности) с вершиной
в источнике возмущений 0 и с образующей, касающейся сферы ра-
диуса с с центром в конце вектора V. Угол а полураствора этого
конуса определяется равенством
sina = —=—. F1.2)
V М '
Итак, малые возмущения в сверхзвуковом потоке могут распро-
страняться лишь в указанном конусе.
Другой особенностью сверхзвукового потока является, как
известно из опыта, возможность возникновения ударной в о л-
н ы. Так называется волна значительного уплотнения среды, свя-
занного с резким повышением давления и температуры; при этом
практически скачкообразное изменение параметров происходит в
очень тонком слое среды и сопровождается потоком вещества че-
рез этот слой. Ударные волны возникают при обтекании тел сверх-
звуковым потоком газа, при взрывах и других сильных возмуще-
ниях среды.
Рассмотрим теорию ударной волны, отвлекаясь от процессов,
происходящих в весьма тонком слое среды, где ее параметры силь-
но изменяются. Это позволяет заменить такой слой поверхно-
стью разрыва, т. е. поверхностью, на которой параметры среды
терпят разрыв непрерывности.
Ограничимся случаем стационарного течения газа, когда
поверхность разрыва будет неподвижной относительно системы
отсчета, в которой рассматривается движение газа. Величины, ха-
рактеризующие состояние газа до прохождения поверхности раз-
рыва и после него, связаны между собой законами сохранения
массы, импульса и энергии. Следовательно, на поверхности разры-
ва должны быть непрерывными потоки вещества, импульса и
энергии.
Чтобы сформулировать эти условия, возьмем некоторый эле-
мент tide поверхности разрыва и свяжем с ним систему координат,
направляя ось х вдоль нормали п к элементу. Затем построим ци-
линдр с осью, направленной по х, поперечным сечением равным
do и с основаниями, лежащими по разные стороны от рассматри-
ваемого элемента поверхности разрыва бесконечно близко к этому
элементу. Тогда, применяя к среде, находящейся в указанном ци-
линдре, интегральные соотношения E4.7), E8.5) и E8.9) и учиты-
вая стационарность потока, получим условия

§ 61] Ударные волны 511
Pi -г Pitfd = Р2 + Р2*&, F1.4)
PAiV = Рг^А. F1.5)
F1.6)
F1.7)
где индекс 1 относится к газу до прохождения поверхности раз-
рыва, а индекс 2 — к газу после такого прохождения.
Из этих условий видно, что может существовать танген-
циальный разрыв, т. е. такой разрыв, при котором отсутст-
вует поток вещества через поверхность разрыва, тогда vx\ = vX2 = 0.
В этом случае Pi=P2, а скачки плотности и тангенциальных со-
ставляющих скорости vy и vz произвольны. Если же поток веще-
ства через поверхность разрыва отличен от нуля (т. е. vxiфО,
^Х2=Ф0), то имеет место ударная волна. В этом случае ввиду
F1.3) тангенциальные составляющие скорости непрерывны
а плотность, давление и нормальная составляющая скорости изме-
няются скачком. Эти изменения подчинены условиям F1.3), F1.4),
а также условию
2|l +/ij = 4. ч-*,, F1.9)
вытекающему из F1.7) с учетом F1.3) и F1.8).
Теперь рассмотрим неподвижную ударную волну, перпенди-
кулярную к направлению потока, т. е. рассмотрим прямой ска-
чок уплотнения. В этом случае тангенциальные составляю-
щие скорости равны нулю и, следовательно, vx = v. Поэтому усло-
вия F1.3), F1.4) и F1.9) можно записать в виде
РЛ = Р2У2> F1.10)
Pi ~ Pitf = р2 + рЛ F1.11)
¦y + fti = T + A»- F1Л2)
Полученные условия определяют конечные изменения всех
термодинамических величин при прохождении среды через удар-
ную волну, в том числе и изменение энтропии. Это связано с дис-
сипативными процессами, обусловленными вязкостью и теплопро-
водностью газа и происходящими в тех весьма тонких слоях газа,
толщиной которых в этой теории пренебрегают. Итак, движение.
18*

512 Идеальная жидкость [Гл. XI
идеальной жидкости через ударную волну является необратимым
течением, т. е. течением, для которого согласно второму закону
термодинамики
m F1.13)
Из формул F1.10) — F1.12) следует ряд соотношений. Напри-
мер, обозначая плотность потока среды через / = ру и учитывая
его непрерывность на поверхности разрыва, из F1.10) получим
Vl=-L, v2 = ±, F1.14)
Pl P2
а исключая из F1.11) с помощью F1.14) скорости vY и vit найдем
Р= P2~Pl . F1.15)
Pl P2
Отсюда следует, что либо p2>Pi и р2>рь либо p2<pi и p2<pi.
Однако, в действительности реализуется скачок уплотнения, так
как только условия p2>pi и р2>Р\ соответствуют требованию
F1.13) (см., например, E2]). Заметим также, что скачок уплотне-
ния ввиду непрерывности потока вещества сопровождается паде-
нием скорости газа после прохождения ударной волны (v2<v{).
Это уменьшение скорости газа означает также, что скорость и
стационарной ударной волны по отношению к газу впереди нее
(«i = —vi) и позади («2 =—Щ) различна (U2>«i)-
Наконец, исключая из F1.12) скорости »i и »2 с помощью
F1.14) и используя затем F1.15), найдем скачок энтальпии:
Pi
Это соотношение, называемое адиабатой Гюгонио (или
ударной адиабатой), определяет зависимость между р2 и
pi при заданных pi и р\.
Пример 61.1. Ударная волна в идеальном газе.
Найти отношение температуры Т2 идеального газа за фрон-
том ударной волны к температуре 7\ газа перед фронтом этой
волны, считая известными давления ри р2 и отношение y = cvlcx
для данного газа. Найти аналогичные отношения для плотностей
и скоростей.
Используя термическое уравнение состояния идеального газа,
выражение энтальпии (см. формулу B) примера 57.2), а также
E7.6) и E7.7), из уравнения адиабаты F1.16) найдем
Ft

§ 62] Магнитогидродинамика идеальной жидкости 513
Отсюда с помощью уравнения состояния и F1.10) получим, что
2
Pi (Y — l)Pi-r (Y— !)Рг '
Приведем также выражение для разности энтропии (см. E7.5))
В случае ударных волн весьма большей интенсивности, т. е.
в случае, когда
из A) — C) найдем
Pi у — I v,
^-). G)
Pi J
Из E) и F) следует, что скачок температуры и давления может
возрастать неограниченно*, в то время как скачки плотности и
скорости ограничены предельными значениями. Например, для од-
ноатомного газа у = ъ1г и, следовательно, в пределе D) имеют ме-
сто соотношения
р2 = 4рх, а, = vJ4; (8)
для двухатомных газов y = 7/5 и, таким образом,
р2 = 6р1; v2 = VJ6. (9)
§ 62. Магнитогидродинамика идеальной жидкости
Рассмотрим движение электропроводящей идеальной жидко-
сти, на которую действует внешнее магнитное поле. Электрические
токи, возникающие в такой жидкости, обусловливают механиче-
ское воздействие на жидкость со стороны магнитного поля и кро-
ме того изменяют само магнитное поле. Для описания этих про-
цессов следует использовать систему уравнений идеальной жидко-
сти совместно с уравнениями Максвелла (см., например, [38]).
* Большое повышение температуры приводит к диссоциации молекул газа
и другим явлениям, которые здесь не рассматриваются.

514 Идеальная жидкость [Гл. XI
Ограничимся случаем, когда частота ш колебания напряжен-
ностей полей сравнительно мала, а электропроводность среды к
весьма велика и постоянна, т. е. тем случаем, когда ео)<ёС2я?*
(е — диэлектрическая постоянная среды). Тогда можно пренебречь
1 <9D
током смещения по сравнению с током проводимости j.
4л at
Ввиду большой электропроводности можно также пренебречь кон-
векционным током, поскольку он связан с движением (вместе со.
средой) свободных объемных зарядов, которые рассасываются тем
быстрее, чем выше электропроводность. Кроме того будем рассмат-
ривать среду с магнитной проницаемостью ц=1, так как для всех
проводящих жидкостей и газов |х~1. Если все перечисленные до-
пущения выполняются, то из уравнений Максвелла следует систе-
ма *
rotE = - —, F2.1)
с dt ' v f
rotH = —j, F2.2)
с
divH = 0, F2.3)
F2.4)
(здесь с—скорость света в вакууме).
Эту систему можно свести к уравнениям, содержащим только
напряженность Н магнитного поля. Действительно, исключая иа
F2.1) с помощью F2.4) напряженность Е электрического поля„
получим
^- = —?-rotj-b.rot[vHl,
01 А
* Выражение F2.4) можно получить, если соотношение j=XE' справедли-
вое, вообще говоря, для неподвижного проводника, применить в системе отсчета
S', относительно которой данный проводящий элемент среды в данный момент
времени покоится. В самом деле; указанная система 5' в данный момент време-
ни движется со скоростью v проводящего элемента относительно системы 6',
в которой изучается движение жидкости и электромагнитного поля. Тогда
согласно принципу Галилея
i[H] E' + ['H']
где v' следует приравнять нулю, поскольку проводящий элемент покоится в Sr.
Таким образом, напряженность электрического поля в S' равна
—[vH],
С
откуда следует F2.4).

§ 62] Магнитогидродинамика идеальной жидкости 515
откуда с помощью F2.2) исключим j. Тогда найдем, что напря-
женность магнитного поля подчинена уравнению
— = rot [vH] ~ rot rot H, F2.5)
которое следует решать совместно с F2.3). Наконец, имея в виду,
что электропроводность среды весьма велика и, следовательно,
члены пропорциональные 1/Я весьма малы, получим исходные для
рассматриваемого случая уравнения электромагнитного поля:
¦^- = rot[vHl, F2.6)
divH = 0. F2.7)
Эту систему следует решать совместно с уравнениями E6.3) —
E6.6) для гидродинамических полей идеальной жидкости. Учиты-
вая, что сила Лоренца pft, действующая на ток j со стороны маг-
нитного поля, равна
_L[jH] = -L[rotH, H] F2.8)
С *т1Х
(здесь использовано уравнение F2.2)), запишем уравнения E6.3) —
E6.6) в виде
+ pdivv 0, F2.9)
at
-gradp-:-^[rotH, HJ, F2.10)
p— = — pdivv, F2.11)
где термодинамические уравнения состояния считаются известны-
ми (в уравнении F2.11) опущен член /2Д, пропорциональный ма-
лой величине 1Д и равный выделяемому джоулеву теплу). Итак,
уравнения F2.6), F2.7), F2.9) — F2.12) представляют собой си-
стему уравнений магнитогидродинамики идеальной жидкости.
Теперь убедимся, что рассматриваемая бесконечнопроводящая
среда обладает важным свойством, заключающимся в том, что
поток магнитной напряженности через данный материальный кон-
тур не изменяется со временем и, следовательно, магнитные сило-
вые линии «вморожены» в среду и движутся вместе с ней. Дей-

516 Идеальная жидкость [Гл. XI
ствительно, из F2.4) видно, что в рассматриваемом случае ток
проводимости создается напряженностью
' = Е-Г —[vH]. F2.13)
С
Следовательно, электродвижущая сила, возникающая в данном
замкнутом материальном контуре такой среды, будет равна инте-
гралу
F2.13')
где интегрирование определяется аналогично интегрированию в
E7.16). Согласно закону Фарадея электродвижущая сила опреде-
ляется изменением потока магнитной индукции через поверхность,
опирающуюся на проводящий контур, т. е.
F2.14)
где поток магнитной индукции Ф = /НЛх, поскольку ц=1. Под-
о
ставляя F2.13) в правую часть закона F2.14) и используя теоре-
му Стокса, получим
Г rot E da Ч- — TrotJvHlde.
о о
Наконец, используя уравнение Максвелла F2.1), найдем, что
F2Л5)
Отсюда сразу видно, что в бесконечно проводящей среде, где име-
ет место F2.6), поток магнитной напряженности через данный
материальный контур сохраняется. Следовательно, силовые линии
магнитного поля движутся вместе с находящимися на этих линиях
частицами жидкости. Поэтому говорят, что силовые линии «при-
клеены» к жидкости или «вморожены» в нее.
Пример 62.1. Магнитогидродинамические волны в несжимае-
мой идеальной жидкости.
Несжимаемая идеальная жидкость плотности р помещена во-
внешнее постоянное однородное магнитное поле напряженности
Но. Найти закон дисперсии магнитогидродинамических волн, соот-
ношения между возмущениями магнитного поля, скорости и дав-
ления, а также независимые направления поляризации волн.

§ 62] Магнитогидродинамика идеальной жидкости 517
Поскольку плотность жидкости неизменна, уравнения магни-
тогидродинамики F2.6) — F2.12) существенно упрощаются и при-
нимают вид
-EL = rot[vH]f A)
p-^- = -gradp-f -ЦгоШ, Н], B)
at Ал
divv = 0, divH = 0. C)
Линеаризуем эту систему, полагая, что
H = H0 + h, р = Ро + р', D)
где
а также считая v малой величиной. Тогда
-^- = rot[vH0], E)
Р -?Г = - §rad Р' ^ -J- [rot h, Ho], F)
at 4л
divv = 0, divh = O. G)
Теперь преобразуем E) и F), используя формулы векторного ана-
лиза, справедливые для двух произвольных векторов:
= (Av)v-(vv)A~v(vA)-A(vv), (8)
V (hA) - (hv) А + (AV) h + [h [VA]] + [A [vh]]. (9)
Полагая здесь A = Ho и учитывая уравнения G), найдем, что
rot[vH0] = (H0grad)v, (8')
grad(hH0) = (Ноgrad)h -f [H0) rot h] (9')
и тем самым вместо E) и F) придем к системе уравнений
-g- = (//ograd)v, A0)
, A1)
которые следует решать совместно с условиями G).

518 Идеальная жидкость [Гл. ХР
Будем искать решение системы G), A0), A1) в виде плоских
волн
v = ^
р> = роецъг-шу A2)
с волновым вектором к и частотой со. Подставляя A2) в G), A0) и
A1), получим
kv = 0, kh = O, A3)
-coh = (Hok)v, A4)
Из A3) и A4) следует, что возмущение h магнитного поля
и скорость v частиц среды перпендикулярны волновому вектору к,
а п коллинеарно v. Что касается соотношения A5), то умножая,
его скалярно на к и используя A3), найдем
Р' = -^, A6)
т. е. соотношение между возмущениями давления и магнитного
поля. Затем, учитывая A6), из A4) и A5) получим систему
coh - (Нок) v = 0,
(Нок)
h-cov = 0, A7)
4лр
с характеристическим уравнением
СО — — . A0)
4лр
Наконец, исключая из A4) частоту со с помощью A8), найдем
два возможных соотношения между скоростью и возмущением маг-
нитного поля
A9)
Полученное решение описывает поперечные плоские волны
магнитной напряженности h и скорости v, а также волну р' дав-
ления с законом дисперсии, вытекающим из A8):
ш= Н°к . B0)
У

§ 62] Магнитогидродинамика идеальной жидкости 519
Этот закон определяет групповую скорость (см. F0.33))
U= Д_ , B1)
У 4яр
направленную вдоль Но, т. е. по невозмущенным силовым линиям.
Рассматриваемые волны называются магнитогидродинами-
ч ее ким и волнами (или волнами Альфвена).
Теперь определим независимые направления поляризации маг-
нитогидродинамических волн. Для этого направим ось z вдоль
заданного вектора к, а плоскость xz совместим с плоскостью, оп-
ределяемой векторами к и Но. Тогда условия A3) поперечности
v и h сведутся к требованиям
vz = 0, A2. = 0, B2)
(здесь k — проекция волнового вектора на ось z). Таким образом,
система A7) сводится к следующим двум системам уравнений
2b cox = Q; B3)
xOzx , x x ;
4яр
chy,-HOzvy = O, Jbz-hy^cvy=0, B4)
IT
где с = ——2 фазовая скорость волн Альфвена.
/4лр
Из систем B3) и B4) ясно, что возмущения hx и vx распро-
страняются независимо от возмущений hy и vv. Следовательно,
существуют два независимых направления поляризации: вдоль
оси х и вдоль оси у, т. е. в плоскости векторов Но и к и перпенди-
кулярно к ней.
При указанном выборе системы координат возмущение дав-
ления определяется формулой
р' = — ??*., B5)
4я
Отсюда видно, что возмущение р' связано только с составляющи-
ми напряженностей Но и h вдоль одного из направлений поляри-
зации, лежащего в плоскости векторов Но и к.

Глава XII
вязкая жидкость
§ 63. Тензор напряжений и уравнения движения
Рассмотренная в § 56 модель идеальной жидкости предпола-
гает полное пренебрежение касательными напряжениями. Однако
в действительности такие напряжения имеют место при движении
жидкостей и газов. Изучим свойства среды, в которой напряжения
зависят от скоростей деформаций, при этом наряду с нормальными
напряжениями, вообще говоря, отличаются от нуля и касательные
напряжения. Такую среду называют вязкой жидкостью.
О наличии касательных напряжений свидетельствуют простей-
шие эксперименты. Например, возьмем две плоские твердые пла-
стинки, между которыми находится жидкость, и закрепив одну из
них, будем двигать вторую пластину параллельно первой с малой
постоянной скоростью. Опыт покажет: чтобы поддержать скорость
постоянной, к ней нужно приложить силу, пропорциональную пло-
щади пластины и отношению ее скорости к расстоянию между
обеими пластинами; из опыта также следует, что коэффициент
пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости, будет
зависеть от свойств среды (теория этого опыта подробно изложена
в примере 64.1).
Чтобы учесть касательные напряжения, представим тензор
напряжений в виде
где второй член определяет силу, пропорциональную производным
скорости по координатам, т. е. силу, зависящую от скорости дви-
жения частиц среды относительно друг друга. Это допущение, сде-
ланное еще Ньютоном, основано на экспериментах, подобных
рассмотренному.
Итак, «вязкий» тензор напряжений xih должен быть однород-
ной линейной формой относительно производных ——, причем
oxfi
520

§ 63] Тензор напряжений и уравнения движения 521
формой, симметричной относительно перестановки индексов в си-
лу требования E4.18).
Чтобы найти выражение тгй, заметим, что из компонент тен-
зора —- можно образовать два симметричных тензора, связан-
dxk
ных со скоростями деформаций различного характера, а именно,
со скоростями деформаций чистого сдвига и равномерного сжатия.
Такими тензорами являются
Sik = vik-Vik F3.2)
и
"••=Т^в- F3.3)
где vik—тензор скорости деформации E3.18). Действительно, симмет-
ричный тензор Slk связан только со сдвиговыми деформациями, по-
скольку Sik = 0 при равномерном1 сжатии (в этом случае все члены
—- ) = 0, —— = —— = —— ]. Компоненты симметричного
\ dxk Jijzk dXi дх2 дх3 J
тензора Vik пропорциональны дивергенции скорости, т. е. связаны
только со скоростью изменения объема частиц среды (см. E3.29)).
В самом деле, если —^-^=0 при i=?k, а при i =k —— =0, т. е.
dxk dxk
если имеют место только сдвиговые деформации, то Vik = 0. Таким
образом, используя тензоры Sik и Vlk, с которыми связаны две воз-
можные деформации различного характера, а также учитывая требо-
dvi
вание линейности xik относительно производных —-, найдем
dXk
т, = „ (f- +1* _ ± б,, *Л + ^ ^, F3.4)
\ dxk дх( 3 дха J дха
где скалярные величины ц и ?, соответственно называются пер-
вым и вторым коэффициентами вязкости (эти
коэффициенты, вообще говоря, зависят от плотности и темпера-
туры среды).
Среда, для которой «вязкий» тензор напряжений хш имеет
вид F3.4), называется линейной вязкой жидкостью
(обычно ее кратко называют вязкой жидкостью). Такая среда
является изотропной, поскольку ее свойства определяются скаляр-
ными величинами г\ и ?.
Используя E5.12), F3.1) и F3.4), нетрудно получить урав-
нения изменения импульса вязкой жидкости
dt dxt ' dxk
V dxk ' dxi 3 lk dxa J\

522 Вязкая жидкость [Гл. XII
(» = 1,2,3). F3.5)
Эти уравнения описывают необратимые процессы, причем не-
обратимость связана с тензором хш, поскольку при инверсии вре-
мени t-t—t (v->—v) изменяют знак только те члены F3.5),
которые связаны с хш, а остальные члены не меняют знака. По-
этому диссипация энергии (переход части механической энергии
в тепловую) будет определяться мощностью «вязких» напряжений,
выделяемой при деформациях частицы, т. е. диссипативной функ-
цией вида
о = ъ <636)
Для преобразования F3.6) используем выражение хт через
симметричные тензоры S^ и Vih, а также очевидное выражение
для тензора —-:
dxk
JL. = Sik - Vlk -'- щк F3.7)
(см. E3.17)). Тогда, имея в виду, что
SitPik - °. Vtk®ik = °. F3-8)
и учитывая, что bikbik = 3, а
<z V — 1 дх>а ( 1 dui \ dvk
lkVik ~т^г1т^:+т^г~
1 dvo \ 1 dv~ / яп- дх)о \ '
Q *« Л, I *« О Лу
(J ft / w L/ A^ \ vaj w*o /¦
найдем выражение для диссипативной функции вязкой жидкости
D = 2n]S(kS{k -f 3t,VtkVik. F3.10)
Теперь, используя E5.5), F3.1) и F3.6) получим мощность
всех напряжений, связанную с деформацией
ffc — = Р — + U. (ОО. 11)
Подставляя F3.11) в E5.22), придем к уравнению изменения
энергии вязкой жидкости
F3.12)

§ 64] Уравнение Навье — Стокса 523
Наконец, используя F3.10), из E5.23) найдем уравнение из-
менения энтропии вязкой жидкости
p7_EL = D — &L, D>0, F3.13)
dt dxi
где D определено в F3.6) или F3.10). Таким образом, из неравен-
ства в F3.13) и F3.10) вытекает неравенство
из которого ввиду положительной определенности форм SikSik и VikVik
следует, что коэффициенты вязкости всегда положительны
т]>0, ?>0. F3.14)
Уравнения F3.5), F3.12) и F3.13) совместно с уравнением
непрерывности являются системой уравнений движения вязкой
жидкости. Она становится замкнутой, если ее дополнить уравне-
ниями состояния
р = р(р, 7), е = е(р,Т), F3.15)
а также эмпирическим законом Фурье, согласно которому плот-
ность потока тепла пропорциональна, градиенту температуры:]
q = — xgradT, F3.16)
где х — коэффициент теплопроводности, который яв-
ляется заданной функцией плотности и температуры (х>0, по-
скольку поток q всегда направлен от частицы с большой темпера-
турой к частице с меньшей температурой). Отметим, что уравнения
F3.15) в данном случае используются для описания необратимых
процессов. Однако такое использование оправдано, если градиенты
скорости, температуры и других величин малы и представляется
возможным пренебречь степенями этих градиентов (начиная со
второй и выше), а также пренебречь производными высших поряд-
ков по координатам.
§ 64. Уравнение Навье— Стокса
Уравнения движения вязкой жидкости несколько упрощаются,
если коэффициенты вязкости можно считать постоянными для дан-
ной жидкости величинами. Действительно, в этом случае
(см. F3.4))
/ 9щ _,_ d"-vk _ 2 &»* \ ^
\ дхфхк ' dxtfXi 3 dxtdxa J
dxk
@Г' {64Л)

524
Вязкая жидкость
[Гл. XII
причем входящие сюда суммы вторых производных можно запи-
сать в форме
dxkdxk
-Av.
F4.2)
Таким образом, уравнения F3.5) приводят к уравнению На-
вье — Стоке а:
— = — gradp-fnAv-
^graddivv-i-pf. F4.3)
Если жидкость можно считать несжимаемой, то в силу уравне-
ния непрерывности div v = О и, следовательно, тензор Vlk = О
(см. F3.3)), а тензор напряжений F3.4) и диссипативная функция
F3.10) преобразуются соответственно к виду
2 -V dxk
dxk dxj
F4.5)
Поэтому системой уравнений движения несжимаемой вязкой жидко-
сти является следующая замкнутая относительно неизвестных v и р
система
divv = 0
-^- = — — gradр ---
dt p
f,
F4.6)
F4.7)
где v = r]/p удельная вязкость (v часто называют кинема-
тическим коэффициентом вязкости, а первый коэффициент
вязкости—динамическим коэффициентом вязкости). Если система
F4.6) — F4.7) решена, т. е. поля давления и скорости найдены, го
поле температуры может быть определено с помощью уравнений
F3.12) и F3.13) совместно с F3.15) и F3.16).
Граничным условием к уравнениям движения вязкой жидко-
сти является условие обращения в нуль скорости среды на непо-
движной твердой поверхности сг0:
v|«,. = 0. F4.8)
Это условие, связанное с представлением о молекулярном взаимо-
действии между молекулами среды и поверхности, подтверждается
на опыте в довольно большом интервале плотностей и температур.
Заметим, что на движущейся твердой поверхности скорость среды

§ 64] Уравнение Навье — Стокса 525
должна равняться скорости U соответствующего элемента поверх-
ности:
v(ra) = U(ra) F4.9)
(здесь г0 — радиус-вектор элемента поверхности).
Часто приходится вычислять силу, действующую на неподвиж-
ную твердую поверхность со стороны жидкости. В связи с этим
получим выражение для силы, действующей на элемент da по-
верхности. Эта сила должна равняться потоку импульса через
элемент da. Поэтому найдем тензор Пы плотности потока импуль-
са для вязкой жидкости. Для этого рассмотрим уравнение E5.17)
с тензором напряжений F3.1) и представим это уравнение в виде
E8.4). Тогда
П,-* = ро<оЛ-;-рв,Л — xtk. F4.10)
Отсюда, учитывая граничное условие F4.8), найдем силу dFf,
действующую со стороны вязкой жидкости на элемент da непо-
движной твердой поверхности:
dF°i = (— рщ + xiKnk) da F4.11)
{напомним, что орт п направлен по нормали, внешней к поверх-
ности твердого тела, т. е. внутрь жидкости).
Теперь рассмотрим вопрос о подобии стационарных
течений несжимаемой вязкой жидкости в отсутствие заданных
сил. Определим понятие подобия, для чего рассмотрим два раз-
личных стационарных потока. Если каждой точке г{ пространства
в случае одного потока можно поставить в соответствие точку г2
пространства в случае другого потока с помощью преобразования
га = *!!, F4.12)
где постоянная k одинакова для всех точек сравниваемых прост-
ранственных областей, и при этом окажется, что любая величина
Qi, характеризующая первый поток и взятая в любой точке п, свя-
зана с соответствующей величиной Q2, характеризующей второй
поток и взятой в точке г2 = йгь соотношением
r,) F4.13)
с постоянной kQ, то такие стационарные течения называются по-
добными, а постоянные k, kQ называются коэффициентами
подобия.
Чтобы выяснить интересующий нас критерий подобия, пред-
ставим уравнение Навье—Стокса F4.7) в безразмерной форме.
Для этого зададим постоянные величины, характеризующие тече-
ние несжимаемой вязкой жидкости, а именно: удельную вязкость

526 Вязкая жидкость [Гл. XII
v, размер / неоднородности и скорость U потока (например, в слу-
чае обтекания шара I и U будут соответственно равны радиусу
шара и скорости потока на бесконечности). Тогда, вводя безраз-
мерные функции и операторы
f=-L, v= —, p = -?-, F4.14)
из F4.7) для стационарных течений при f = 0 найдем
где
(vy)v = — VP + -^Av, F4.15)
/?=— F4.16)
V
— число Рейнольдса (это единственная безразмерная ком-
бинация размерных величин U, I, v, характеризующих течение).
Из уравнения F4.15) следует закон подобия Рейнольдса,
согласно которому два стационарных потока несжимаемой вязкой
жидкости, обтекающие геометрически подобные тела в отсутствие
заданных сил, являются подобными, если оба потока характери-
зуются одним и тем же числом Рейнольдса. Действительно, если
числа R и граничные условия для обоих течений одинаковы, то ре-
шениями уравнения F4.15) в этих двух случаях будут одни и те
же функции вида
v = v (г, /?), р~= p{r, R). F4.17)
Отсюда с учетом F4.14) для скоростей и радиусов-векторов двух
потоков, удовлетворяющих закону Рейнольдса, получим выраже-
ния
v = -^- = -^-, ?=-Ь- = Л F4.18)
которые указывают на подобие течений.
Решение уравнения Навье—Стокса в виде F4.17) позволяет
прийти и к другим практически важным заключениям. Например-
подставляя F4.17) в F4.11), учитывая F4.14) и интегрируя по
поверхности тела, найдем, что сила, действующая на тело со сто-
роны обтекающего его потока, должна иметь вид
F о = $У1 aW (R), F4.19)
где а — «эффективная» площадь, пропорциональная квадрату ха-
рактерного размера тела (а~/2).

§ 64]. Уравнение Навье — Стокса 527
В заключение отметим, что решения рассмотренных уравнений
вязкой жидкости лишь формально могут существовать при любых
числах R. В действительности же только то решение описывает
реальное течение, которое является устойчивым по отношению к
бесконечно малым возмущениям. Согласно экспериментальным
данным стационарное течение тела является устойчивым при ма-
лых числах Рейнольдса, а начиная с некоторого достаточно боль-
шого числа Рейнольдса такого обтекания не существует. В первом
случае траектории частиц среды имеют достаточно гладкий харак-
тер, среда движется как бы слоями, т. е. имеет место слоистое или
ламинарное течение. Во втором случае частицы движутся
гбеспорядочно, происходят хаотические пульсации скорости, т. е.
имеет место турбулентное движение. Поскольку мы, изу-
чая основы механики сплошных сред, не будем рассматривать во-
просы устойчивости и теорию турбулентности, все приведенные
далее решения описывают лишь ламинарные течения.
Пример 64.1. Течение между параллельными плоскостями,
движущимися относительно друг друга.
Пусть несжимаемая вязкая жидкость в отсутствие внешних
сил стационарно движется между двумя параллельными плоско-
стями, одна из которых покоится, а другая движется с постоянной
скоростью U, находясь на заданном расстоянии / от неподвижной
плоскости. Найти поля давления и скорости.
Поместим начало координат на неподвижной плоскости, ось х
направим вдоль скорости LJ, а ось у перпендикулярно плоскостям.
Тогда ввиду условия задачи все поля могут зависеть только от у,
т. е.
— = — = 0, A)
дх дг К '
а скорость жидкости v направлена вдоль х, т. е.
v - (vx, 0, 0). B)
Таким образом, нужно определить две неизвестных функции вида
*>х(У), Р(У)-
Уравнение непрерывности
dvx _ц_ дуу _ dvz __ q
дх ду дг
удовлетворяется, как видно, тождественно. Левая часть уравнения
F4.7) ввиду A) и B) равна
dv dv , д\ , dv dv n

528 Вязкая жидкость [Гл. ХП
а само уравнение преобразуется к виду
VP 1 , .
ду2
откуда
Ф = о d4* = о
dy ' dif
и, следовательно,
Используя условия «прилипания» жидкости к плоскостям (см. F4.8)
и F4.9))
vx |„=0 = 0, vx \y=t = U,
найдем поле скорости
« у C)
Теперь подсчитаем силу ia, действующую со стороны жидкости
на единичную площадку неподвижной плоскости. Орт п для такой
площадки имеет компоненты 0, 1, 0. Следовательно, из F4.11)
получим, что
С другой стороны, согласно F4.4) и C)
I
_ U __п
— Л — > гуу — и-
Таким образом,
га „ U (О
Н ¦= Л —. Ту = ~ Ро-
Аналогично для единичной площадки на движущейся плоскости
найдем
/?=— Л—• fy = Po-
Отметим, что рассмотренное ламинарное течение является вих-
ревым течением, поскольку
oj = — rot v = — —
2 2/

§ 64]
Уравнение Навье — Стокса
529
Пример 64.2. Течение между параллельными неподвижными
плоскостями при наличии перепада давления.
Рассмотрим стационарный по-
ток несжимаемой вязкой жидкости
между параллельными неподвижны-
ми плоскостями при наличии посто-
янного перепада давления.
Выберем систему координат,
как показано на рис. 64.1. В этой
системе скорость потока будет
иметь только одну составляющую
1>х=т^0. Тогда из уравнения непре-
рывности вытекает, что , * = О,
0
дх
т. е. vx=vx(y). Учитывая сказанное,
а также двумерность задачи, из
уравнения F4.7) получим
Рис. 64.1
дх
= Т)
d2vx
дуг
A)
Последнее из этих уравнений показывает, что р может быть
функцией только х. Поэтому первое из уравнений A) сводится к двум
уравнениям
dp
интегрируя которые находим
d2vx
dy2
Полагая, что давление на плоскостях х = 0 и x = L имеет зна-
чения р0 и рх, получим, что
Р — :— х "г Ро> У&)
L
где Ар — ро—р\ — перепад давления. Для определения С2 и С3
используем граничные условия F4.8) при у = ± — и, таким
образом, найдем поле скорости
C)
Итак, давление падает по линейному закону в сторону течения, а
скорость в любом поперечном сечении потока изменяется по

530 Вязкая жидкость [Гл. XII
параболическому закону, достигая максимального значения
/2 Ар ,
l'max — посредине между граничными плоскостями (на
8т] L
рис. 64.1 изображен профиль скоростей в сечении х = 0).
Применяя формулу F4.11), аналогично предыдущему примеру
найдем силу, с которой жидкость действует на единичную пло-
щадку плоскостей
ев _ I Др fa Лр
Наконец, определим объем Q жидкости, протекающей за еди-
ницу времени через сечение, ограниченное плоскостями 2 = 0 и
-г=а. Для этого, используя C), вычислим интеграл
l_
2
Отсюда видно, что протекающее количество жидкости пропорцио-
нально кубу расстояния между плоскими стенками, падению дав-
ления на единицу длины, и обратно пропорционально коэффи-
циенту вязкости.
Пример 64.3. Течение Пуазейля.
Пусть несжимаемая вязкая жидкость в отсутствие объемных
сил течет по цилиндрической трубе кругового сечения радиуса /.
Полагая, что течение стационарно, а перепад давления на едини^
цу длины трубы задан, найдем поля давления и скорости, а также
количество протекающей за единицу времени жидкости.
Выбирая начало координат на оси трубы и направляя ось z
вдоль этой оси, аналогично предыдущим двум примерам найдем,
что F4.6) и F4.7) приводят к уравнениям
др др « др / d2vz j d2vz \ /. -
дх ~~ ду ' dz \ дх* ду2 )'
Ввиду того, что p = p(z), а в силу симметрии течения
vz = vz{Y x2 + y2), второе из уравнений A) распадается на два
уравнения, которые запишем в цилиндрических координатах
(используя соответствующее выражение для оператора Лапласа)
dp ^> 1 d f dvz \ С
dz г dr \ dr J ц
Следовательно,
р = Cz - Ci, v, = — г2 -f С, In г + С3.
4х\

§ 64] Уравнение Навье — Стокса 531
Аналогично формуле B) примера 64.2 найдем поле давления
где Ap/L — перепад давления на единицу длины. Требуя затем огра-
ниченности скорости во всей области 0 -< г < / и используя гранич-
ное условие F4.8) при г = /, получим
Таким образом,
Отсюда нетрудно найти касательную силу, приложенную к еди-
нице поверхности трубы (см. формулы A0), A1) приложения к гл. XII)
Ч дг дг }r=i 2
а также секундный расход жидкости (формула Пуазейля)
Из этой формулы следует, что при ламинарном течении коли-
чество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени
радиуса трубки и падению давления на единицу длины и обратно
пропорционально коэффициенту вязкости.
Пример 64.4. Формула Стокса.
Неподвижную сферу радиуса / обтекает стационарный поток
вязкой несжимаемой жидкости со скоростью U на бесконечности.
Найти поле скорости и силу, с которой жидкость действует на
сферу, если число Рейнольдса весьма мало.
Для стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости.
уравнения движения имеют вид (см. F4.6) и F4.7))
divv = 0, A)
p(vV)v = — vp + TjAv. B)
Выберем начало координат в центре сферы и направим ось z по
вектору U. Далее обратим внимание, что левая часть уравнения
B) и его последний член справа имеют порядок величины, соот-
ветственно равный ——

532 Вязкая жидкость [Гл. XII
Таким образом, отношение рассматриваемых членов по поряд-
ку величины равно числу Рейнольдса.
Следовательно, при R < 1
Pl(vv)v|«il|Av|.
Поэтому вместо B) в качестве исходного примем уравнение
ур = r]Av C)
•с граничными условиями
v|,=, = 0, v|,=K>=U. D)
Применяя операцию rot к обеим частям C) и имея в виду, что
rotgrad = 0, исключим неизвестное р и тем самым найдем
rot Av = 0. E)
Теперь используем известное соотношение
А = grad div — rot rot E')
и учтем A). Тогда вместо E) получим уравнение
rot rot rot v = 0, F)
которое следует решать совместно с A). Учитывая граничные усло-
вия D) на бесконечности
vr\x = UcosQt t»eU = —t/sin 0 G)
и азимутальную симметрию течения, будем искать решение системы
F), A) в виде
cos 8, t)e = f/i|3(r)sin8, v4> = 0, (8)
где f(r) и г|э(г) — неизвестные функции.
Сделаем в уравнении F) подстановку rot v = 2w, т. е. подста-
новку
1 г д dva 1
(t)a,sln8) = 2о)г>
1 Г 1 dvr д , . 1 „ ._.
~~ ~~Т -1Г Г" (Г1'ф) = 2«в, 9)
г I sin 0 <Э<р дг J

§ 64] Уравнение Навье — Стокса 53i
которая после использования (8) сводится к формулам
м = ©а = 0, Шц, = sin 8, A0).
где
?(/¦) = /(г) +-|- И (О]. (П)
Далее, совершим подстановку rot w = e, используя формулы,,
аналогичные (9), и вычислим компоненты е с помощью A0)
er = U -^ cos 6, 89 = — — -^- sin 9, A2>
а также компоненты rot e с помощью A2)
rot, е = rote г = 0,
го1фВ = —1_ sine (g*--??¦). Aз>
Таким образом, F) сводится к уравнению rote = 0, т. е. к
уравнению
Решая это уравнение с помощью подстановки g = rk, убедимся в.
том, что его единственным решением, обращающимся на бесконеч-
ности в нуль, является решение
«¦ = 7". A5).
а имея в виду A1), представим A5) в виде уравнения относитель-
но ^ и f
* , A6>
Второе уравнение относительно этих функций получим, записы-
вая A) в сферических координатах (см. G) приложения к гл. XII)
— = U A/),
ае ч ' ' /-sine
и подставляя сюда (8):
— (г2/) -+- 2гг|з = 0.

¦534 Вязкая жидкость [Гл. XII
Нетрудно убедиться, что решением системы A6), A8) являются
функции
A9)
«ели С2=—С/2. При этом граничными условиями для функций / и
чр являются условия (см. D) и G))
/» = 1, *• = - 1, /г=* = *,-/ = 0. B0)
Используя B0), найдем постоянные интегрирования
С1 = -1, С2 = ^-( С, = -? B1)
и тем самым определим поле скорости (см. (8)):
Чтобы найти поле давления, представим C) в виде
grad р = —2т]е B3)
<здесь использованы E'), A) и подстановка rotrotv = 2e). Имея
в виду, что компоненты вектора в известны, из B3) получим урав-
нения
—P- = 3Uli\ ——, — = — Uln——, B4)
дг г3 г дВ 2 г3
•откуда
р=рх -Шу]-^-. B5)
Силу, действующую на единицу поверхности сферы, получим
из F4.11), учитывая, что в сферических координатах орт п, нор-
мальный к поверхности сферы, имеет компоненты 1, 0, 0. Таким
образом, плотность силы f° будет равна:

§ 65] Малые колебания 535
Подставляя сюда B5) и компоненты вязкого тензора (см. прило-
жение к гл. XII)
с учетом
B2)
" ' дг
получим
те, Л|
3 1!ц
2 ~Г
( 1 dvr
{ г дв
cosB, /e
. дуе
' дг
_ 3
г )
-sin
Суммарная сила F, действующая на сферу со стороны потока»
ввиду симметрии потока направлена по U. Поэтому спроектируем
слагаемые силы на направление U и проинтегрируем полученное
выражение по поверхности сферы:
Fz = j \{dF°r) cos 6 — (dFt) sin 6].
В результате вычислений найдем, что
я
Г /_ Рм _;,_ А Н± cos 6^ cos Qda = 2яС//т1, B6)
о
я
Г JL i^Lsiti2 Ыа = 4яС//т) B7>
о
(здесь da = 2я/2 sin 0d0) и, следовательно,
B8>
Формула B8), которая называется формулой Стоке а,
определяет силу, действующую со стороны потока жидкости на
неподвижную сферу при малых числах Рейнольдса (эта сила равна
силе сопротивления, действующей на сферу, движущуюся в жидко-
сти с постоянной скоростью). Заметим, что вклад B6) нормаль-
ных слагающих сил в Fz составляет третью часть, а две трети,
от Fz связаны с касательными напряжениями.
§ 65. Малые колебания
Рассмотрим плоскую звуковую волну, распространяющуюся
в вязкой жидкости в положительном направлении оси х. С целью-
упрощения задачи допустим, что коэффициенты вязкости постоян-
ны, а теплопроводностью жидкости можно пренебречь. Тогда ис-
ходными уравнениями для описания звуковой волны будут урав-
нения непрерывности и Навье—Стокса, а также уравнение для
энтропии и энергии. Вводя малые возмущения плотности, давления:

536 Вязкая жидкость [Гл. XII
и других величин аналогично тому, как они были введены в § 60
и интересуясь только линейным приближением, из уравнения
Навье—Стокса F4.3) найдем
р0—— = —— г(—Л -г ъ) • F5.1)
ru dt дх \ 3 J дхг '
Далее, из уравнения F3.13) следует, что течение жидкости в зву-
ковой волне можно считать приближенно изэнтропическим, по-
скольку диссипативная функция F3.10) содержит только квадра-
тичные относительно vx члены, а теплопроводностью жидкости
мы пренебрегли (уравнение энергии F3.12) и уравнение непре-
рывности с учетом указанных допущений приводят к тому же вы-
воду об изэнтропичности течения). В этом случае можно исполь-
зовать соотношение F0.6) между возмущениями давления р' и
плотности р'.
Итак, возьмем уравнение непрерывности F0.3) для одномер-
ных течений и .исключим р' из F5.1) с помощью F0.6). Тогда
получим систему уравнений
dp' dvx . п /сг. о\
—¦ 1~ Рл == U, IOO.Z)
S- = 0, F5.3)
решение которой будем искать в виде
р ~Lie ' F5.4)
vx = С2е'С«-и'>,
где Сх и С2— постоянные амплитуды, а волновое число, равное
А = Р + to F5.5)
является комплексным; здесь р — вещественное волновое число, а
коэффициент а>0, приводящий согласно F5.4) к появлению экс-
поненциального множителя ехр(—си) в решении уравнений, назы-
вается коэффициентом затухания звука.
Найдем фазовую скорость с звука (см. F0.28)) и коэффи-
циент затухания а, считая последний достаточно малым. С этой
целью подставим F5.4) в F5.2), F5.3) и после сокращения на
общий множитель найдем
— imCj -г iAp0C2 = 0,
, + [- t(oPo + & (~т] + ? j J С2 = 0.

-§ 65]
Малые колебания
537
Характеристическое уравнение этой системы
¦ id) ikp0
ike* — icopo - ( —- "Л -;-
= 0
определяет закон дисперсии (см. F0.32))
w2 I
где
Л 1 — ie
со / 4
(
F5.7)
F5.8)
Теперь подставим F5.5) в F5.8) и отделим вещественную и
.мнимую части. Тогда получим два уравнения относительно рисе:
а2 =
d A +
F5.9)
ci d+e«)
Допуская, что частота звука достаточна мала, т. е.
с== <»
F5.10)
и пренебрегая в F5.9) членами порядка е3 и выше, из F5.9) найдем
2с0
Приведем также более подробные выражения для фазовой ско-
рости звука
F5.12)
и для коэффициента затухания
a =
Как видно, скорость звука зависит от частоты, т. е. имеет место
дисперсия скорости (см. F0.31)). Также заметим, что разность
?—с0 и коэффициент поглощения звука пропорциональны квадра-
ту его частоты.

538 Вязкая жидкость [Гл. XII
Наряду с изученными сейчас продольными волнами, в вязкой
жидкости могут распространяться поперечные возмущения (по-
скольку сдвиговые напряжения в такой среде отличны от нуля).
В этом можно убедиться, показав, что уравнения движения вязкой
жидкости имеют решение в виде плоской волны, распространяю-
щейся вдоль некоторого направления, с полем скоростей, перпен-
дикулярных этому направлению. Такие возмущения возникают а
жидкости, соприкасающейся с плоскостью, 'колеблющейся парал-
лельно самой себе. Направим ось х перпендикулярно к такой
плоскости, а ось у коллинеарно прямой, вдоль которой происходят
колебания плоскости. И будем искать решение для скорости в виде
vv = Vy(x, t) (другие величины также пусть зависят только от
X И /)•
Положим для простоты, что жидкость несжимаема. Тогда
уравнение F4.6) удовлетворяется тождественно Idiv v = —?-=
а F4.7) приводит к двум уравнениям: во-первых, к уравнению-
dp п
= U, откуда следует, что давление постоянно, и, во-вторых,
к уравнению
J^L = vi^. F5.13)
dt дх2
Будем искать решение уравнения F5.13) в виде
Тогда придем к закону дисперсии
v
откуда, имея в виду F5.5), получим
F5.14)
Следовательно, фазовая скорость и коэффициент затухания рас-
сматриваемой волны соответственно равны
<О 1 /п , / Ы
= y=l/2vco, *=y — ¦
F5.15)
Таким образом, в вязкой жидкости действительно могут воз-
никать малые поперечные возмущения, которые очень быстро за-
тухают; амплитуда волны падает в е раз на расстоянии
х ^= 1 / ——, а на расстоянии, равном длине волны 2я/р, падает
У ш
в е2я раз, причем отношение коэффициента затухания звука к
коэффициенту затухания поперечной волны пропорционально со'/».

§ 66] Магнитогидродинамика вязкой жидкости 539
§ 66. Магнитогидродинамика вязкой жидкости
Рассмотрим уравнения движения вязкой проводящей жидкости,
предполагая, что выполнены условия, сформулированные в начале
$ 62. Допустим также, что электропроводность жидкости доста-
точно велика, но конечна, а плотность жидкости постоянна. Тогда
движение жидкости может быть описано уравнениями F2.5),
F2.7), F4.6) и F4.7) (в последнем уравнении объемная сила в
этом случае является силой Лоренца, равной F2.8)).
Преобразуем F2.5), используя соотношения (см. формулу (8)
примера 62.1)
rot rot H = grad div H — ЛН = — ЛН,
rot[vH] = (HV)v — (vv)H
(здесь учтено, что div Н = 0 и div v = 0). Тогда вместо F2.5) и
F2.7) получим систему
4^- = (HV) v-(vV)H -f -fr- АН, F6.1)
at 4яА
divH = 0. F6.2)
Затем преобразуем силу Лоренца из уравнения F4.7) с помощью
соотношения (см. формулу (9) примера 62.1)
В результате получим гидродинамические уравнения в виде
div v = 0, F6.3)
,F6.4)
С помощью системы уравнений F6.1) — F6.4) можно описать
изменение гидродинамических полей и магнитного поля в несжи-
маемой вязкой достаточно проводящей жидкости.
Пример 66.1. Стационарное течение несжимаемой вязкой про-
водящей жидкости между параллельными плоскостями в однород-
ном постоянном магнитном поле.
Пусть напряженность Но внешнего магнитного поля перпен-
дикулярна неподвижным параллельным плоскостям, расстояние
между которыми равно /; пусть также вдоль некоторого направ-
ления, параллельного плоскостям, задан постоянный перепад
давления на единицу длины. Учитывая, что при стационарном те-
чении скорость жидкости направлена вдоль перепада давления,
выберем систему координат с осью х, направленной вдоль скорое-

540 Вязкая жидкость [Гл. XII
ти, и осью у — вдоль вектора Но (начало координат поместим
посредине между плоскостями).
Очевидно, что скорость потока зависит только от координа-
ты у и посередине потока больше, чем у стенок; это приводит
к растяжению силовых линий в направлении движения и появле-
нию составляющей hx напряженности магнитного поля. В соответ-
ствии с этими качественными соображениями будем искать реше-
ние в виде:
v = v(y)nx, р = р(х,у),
H = H0^-h, Но = Яоп,, h = h(y)nx. A)
Используя A), из уравнений F6.1) — F6.4) получим
. 0==Hj!L + -*-J!!Lt B)
0 ду 4я>, dif ' '
dp = дгух _j__ _Н^_ dhx /gv
дх ду2 ' 4я ду '
fUf) 0. D)
ду \ 8я /
Уравнение D) сразу приводит к интегралу
p+lL = C(x), E)
од
который связывает давление и возмущение магнитного поля.
Теперь упростим B) и C), имея в виду форму решения A)
и постоянство градиента давления вдоль оси х:
dy3
dv
dy
i
¦ |"
I
1
Яо
4пт)
с2
dh
dy
d'h
dif
(
1
Л
}
Ар
L
где Ap/L — перепад давления на единицу длины (вдоль течения).
Нетрудно проверить, что решением этой системы, удовлетво-
ряющим граничным условиям
2
являются функции
cl f Ар \ 1 i , /• ui \ ,, ,\ i ,,,.
& = =( —— ) ch ( ) — ch (ay)) , F)

§ 66] Магнитогидродинамика вязкой жидкости 541
Яо
где
с V ц
Влияние магнитного поля на характер движения жидкости
характеризуется значением параметра а/. При а/<^1 (т. е. при
небольших значениях напряженности Но магнитного поля) из фор-
мулы F) получим предельный случай, который был рассмотрен
в примере 64.2. Если же Яо велико, т. е. а/»1, то из F) и G)
следует
--*-]• (9)
Сопоставляя формулы (8) настоящего примера и C) приме-
ра 64.2 при у=0, убедимся в том, что отношение максимальной
скорости течения при включенном магнитном поле большой напря-
женности к максимальной скорости в отсутствие магнитного поля
равно 4сг\Ч'/Н01%Ч*. Таким образом, включение магнитного поля
уменьшает максимальную скорость течения (в связи с этим и
средняя скорость течения становится меньше).
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ XII
Во многих случаях, когда поля обладают некоторой симметрией, удобно
использовать соответствующие криволинейные координаты q^ (A=l, 2, 3), кото-
рые связаны с декартовыми координатами Xi (i—l, 2, 3) с помощью функций
*i = *i(9i. 4i. <7з) (» = 1, 2, 3). A)
В каждой точке пространства можно задать локальный базис, состоящий из
ортов nh (k=l, 2, 3), касательных к соответствующим координатным линиям
<7i = const. Напомним также, что элемент ds длины дуги между двумя близкими
точками в координатах q определяется квадратичной дифференциальной формой
B)
с коэффициентами
И. И. Ольховский
a* axi( (

542
Вязкая жидкость
[Гл. XII
которые образуют тензор, называемый метрическим; при этом в случае
ортогональных криволинейных координат фор»1Д B) имеет вид
= а„
+ fl33 (dqs
D)
Вместо коэффициентов этой формы часто используют более удобные ко-
эффициенты Ламэ, равные
Hi = Van-
E)
Теперь приведем выражения основных операторов векторного анализа, а
именно, градиента, дивергенции и ротора (в правой системе ортогональных
координат)
grad ф =
-nx
1 <?ф
Я2 dq<i
д
°Яа
Оф
dq3
rot v = ¦
Н
Н3п3
д
dq3
H3v3
F)
G)
(8)
здесь Я = ЯхЯ2Я3(см. [65/гл. 6])..
Приведем также выражение для двух компонент тензора скоростей де-
формаций E3.18) в тех же координатах:
1 [ до,
! Нг \ дЦ1
I dv2
Я2 dq2
1 dvi v2
Я2 dq% Н]Н*
v3 dHj
H3 dq._
'з J
M
(9)
A0)
(остальные компоненты vih можно получить из этих формул соответствующей
заменой индексов). Наконец, напомним, что в цилиндрических и сферических
координатах коэффициенты Ламэ соответственно равны
Яр=1,
(И)
A2)

Глава XIII
ИДЕАЛЬНО УПРУГОЕ ТЕЛО
§ 67. Закон Гука и уравнения изменения импульса
Важную роль в механике сплошных сред занимает раздел, по-
священный изучению твердых тел, т. е. сред, у которых сопро-
тивление сдвигу при данных (не зависящих от времени) деформа-
циях сколь угодно долго остается конечной (отличной от нуля)
величиной *. Ограничимся изучением таких твердых тел, напря-
жения которых в любой точке в любой момент времени зависят от
деформаций в той же точке в тот же момент времени (кроме того
напряжения могут зависеть от температуры Т). Такие тела назы-
ваются идеально упругими. Принимается также, что состоя-
ния идеально упругих тел являются локально равновесными, а
процессы, происходящие в них, термодинамически обратимыми.
Одной из основных величин, характеризующих идеально упру-
гое тело является тензор деформации, который вводится путем
сравнения двух состояний среды (см. § 53). Выберем в качестве
начального состояния тела его недеформированное состояние в от-
сутствии внешних сил при некоторой заданной температуре То и
плотности ро, а в качестве второго состояния возьмем деформиро-
ванное состояние тела при температуре Т и плотности р (переход
в это состояние может происходить как в результате воздействия
внешних сил, так и за счет передачи тепла из внешнего источ-
ника).
Рассмотрим случай, когда деформации тела и изменение его
температуры достаточно малы, а напряжения линейно зависят от
деформаций и разности температур, т. е. случай, когда тензор на-
пряжений имеет вид
-a[k(T-T0), F7.1)
* В отличие от данной главы термин «твердое тело» употреблялся до сих
пор как краткий термин, обозначающий, «абсолютно твердое тело», т. е. такое
тело, которое не может быть деформировано.
19* 543

544 Идеально упругое тело [Гл. XIII
где Cik,im и o.ik — постоянные, называемые соответственно моду-
лями упругости и коэффициентами термоупруго-
сти. Соотношение F7.1) представляет собой закон Гуна в
самом общем виде, справедливом как для изотропных тел,
у которых свойства упругости и термоупругости в любой точке
одинаковы во всех направлениях, так и для анизотропных
тел, свойства которых различны в различных направлениях.
С другой стороны, учитывая только линейную зависимость напря-
жений от деформаций и изменений температуры и пренебрегая
зависимостью напряжений от скорости деформаций, мы заведомо
отказываемся" от рассмотрения нелинейных упругих эффектов, а
также от изучения вязких свойств твердых тел.
Получим уравнения идеально упругого твердого тела, исходя
из системы E5.20) — E5.23). Поскольку тензор напряжений F7.1)
выражается через тензор деформаций, а тензор деформаций через
вектор смещения u (r, t), выберем этот вектор в качестве неизвест-
ной функции в уравнениях движения E5.21). Смещение и данной
частицы всегда можно определить, как
и = г(г0, 0-г0, F7.2)
где г —радиус-вектор частицы в момент времени t, а г0 — радиус-
вектор той же частицы в начальный момент времени. Тогда ско-
рость рассматриваемой частицы будет равна
v = au(r°' *>. F7.3)
Здесь в отличие от E2.1), где были использованы переменные
г, t, применяются переменные r0, t, т. е. такие переменные, которые
позволяют следить за изменением величин, характеризующих дан-
ную частицу (например, фиксируя г0 в F7.3), мы получим значе-
ние скорости в любой момент времени для той частицы, которая
в момент to была в точке пространства г0). Переменные г, t назы-
ваются эйлеровыми, а переменные r0, t — лагранжевыми.
Теперь допустим малость смещений на любом интервале вре-
мени, тогда вместо F7.3) можно написать
ои(г, t) ,с~ ..
v=— . F7.4)
dt
Отсюда, полагая скорости малыми и используя E4.13), найдем
ускорение частицы в виде
¦ *!=-?L. F7.5)
dt dt* v '

§ 67] Закон Гука н уравнения изменения импульса 545
Далее, допуская малость ускорений и отклонений плотности, из
E5.21) получим уравнения изменения импульса
Ро^№ = "а^Г+ РоА" {i = l' 2> 3)- F7-6)
Уравнение непрерывности, представленное в виде (см. E4.1'),
E3.28))
-?и?^ = — divu, F7.7)
Ро
дает возможность определить плотность массы по известному полю
смещений.
Наконец, уравнения E5.22) и E5.23) приводят к важным
термодинамическим соотношениям. В самом деле, исключая из
этих уравнений тепловой поток и полагая ввиду обратимости де-
формаций D = 0, найдем уравнение
Далее тензор скорости деформаций с помощью F7.4) можно пред-
ставить в виде *
»*ft =
2 [ dxk \ dt ) ' dxi\ dt /J dt
den, _,
откуда в случае малых скоростей следует, чтоу,й = . 1аким
at
образом, вместо F7.8) получим
pde = Pikdeik J- pTds. F7.10)
Наконец, вводя более удобные для рассматриваемой теории энер-
гию §=ро<? и энтропию У ==pos, приходящиеся на единицу нёде-
формированного объема и учитывая малость отклонений плотно-
сти, найдем термодинамическое уравнение
d§ = P[kdBtk + Td*. F7.11)
Система уравнений F7.6), F7.7) и F7.11) представляет собой
систему уравнений движения идеально упругого
тела.
Приведем ряд соотношений, вытекающих из термодинамиче-
ского уравнения. Например, из него следует, что
F7.12)
* В силу F7.4) соотношение F7.9) является приближенным. Можно убе-
диться в справедливости точного соотношения, согласно которому скорость
тензора деформации для данной частицы равна тензору скоростей деформации
[59, гл. II, § 9].

546 Идеально упругое тело [Гл. XIII
ю
(здесь и далее символ ( —— ) означает частную производну
V о? /v
по р при постоянной у). Эти формулы дают возможность, зная
энергию, как функцию деформаций и энтропии, получить напря-
жения и температуру. Если же выразить F7.11) через другую
термодинамическую функцию, а именно, через свободную
энергию
F7.13)
то F7.11) примет форму
dF = Pikd?ik — ifdT, F7.14)
откуда вытекают соотношения
Л^Л F7.15)
дт)*ш'
определяющие напряжения и энтропию, как функции деформаций
и температуры.
Из сопоставления F7.1) с первой формулой F7.15) следует,
что свободная энергия упругого тела должна иметь вид
F = у СШЛтг1кг1т -f адЛ (Г- То) -;- Fo (П- F7.16)
где модули упругости и термоупругости не зависят от темпера-
туры (можно показать, что неопределенная здесь функция ^о(^)
связана с теплоемкостью тела при постоянных деформациях).
Действительно, в этом случае из F7.16) и первой формулы F7.15)
получим закон Гука F7.1), который при изотермической дефор-
мации (Т—То) принимает обычную форму
Pik = Clk,tneln. F7.17)
Как видно, упругие свойства тела определяются тензором чет-
вертого ранга Ciktim, который будем называть тензором упру-
гости. В общем случае тензор четвертого ранга имеет 34 = 81
независимую компоненту. Однако максимальное число независи-
мых компонент тензора упругости равно 21. Действительно, по-
скольку тензоры Pih и гш симметричны, т. е. каждый из них имеет
по 6 независимых компонент, то число независимых компонент тен-
зора упругости снижается до 36. Это связано с симметрией Cik,im
относительно перестановок индексов, как внутри первой, так я
внутри второй пары индексов (ввиду симметричности Рш и )
Cik.lm = Cki.tm = Cik,ml- F7.18)
Кроме того, имеются еще 15 соотношений, связанных с симметрией

§ 67] Закон Гука и уравнения изменения импульса 547
модулей упругости относительно перестановки первой пары индек-
сов со второй,
Cik,lm = Ctm,ik\ F7.19)
эта симметрия вытекает из существования свободной энергии, как
скалярной функции вида F7.16). Итак, благодаря наличию соот-
ношений F7.18) и F7.19) упругие свойства твердых тел в общем
случае характеризуются 21 независимым модулем упругости.
Можно непосредственно убедиться, что в число этих модулей
входят по 3 модуля каждого из видов Сц, и, Сц, hh, Cih, л,
Cii.kh, Cihih (}ФК 1ф\, \фЩ и 6 модулей вида Ciitih Aфк).
Если анизотропное тело обладает какой-либо присущей ему
симметрией, то появляются дополнительные соотношения между
модулями упругости и тем самым уменьшается число незави-
симых модулей. Например, возьмем монокристалл кубической
системы. Направляя координатные оси по ребрам элементарного
куба и имея в виду симметрию кубического кристалла при отра-
жении относительно координатных плоскостей, придем к выводу,
что все ^модули, у которых одинаковые значения индексов встре-
чаются нечетное число раз, равны нулю (если, например, заменить
у на —г/, то еху изменит знак; поэтому следует положить CXXiXy = 0,
в противном случае свободная энергия изменится, что будет про-
тиворечить указанной симметрии кристалла). Таким образом,
остаются отличными от нуля 9 модулей: по 3 модуля каждого из
видов: Сц,и, Cu.kk, Qfc,%k Ц.фк). Кроме того, в выбранной систе-
ме координат все координатные оси равноправны (например, за-
мена оси х на ось у не должна изменять свободную энергию).
Поэтому кубический кристалл характеризуется лишь тремя неза-
висимыми модулями упругости CXXiXX, CXXjyy, CXVtXy.
У изотропного тела симметрия еще выше: тензор упругости
вообще не зависит от выбора направления осей координат, что
приводит еще к одному соотношению, а именно
^хх,хх = ^хх.уу ~Ь ^ху,ху- (D/.2U)
В самом деле, учитывая, что модули изотропного тела должны
быть скалярными величинами, а из компонент &ц можно составить
единственный линейный скаляр 8ц+ 822 + 633 (см. E3.27)), заклю-
чаем, что закон Гука F7.17) для изотропного тела должен иметь
вид
Р„-= ЯеАД7 + 2це17, F7.21)
где К и ц — постоянные, которые называются модулями Ламэ
(здесь и в дальнейшем е^ означает сумму 811 + 822 + 833). Сопостав-
ляя F7.21) с F7.17) видим, что
*-'хх,хх = А. +- 2|i, Схх,уу = Л, Сху,ху — 2A,

548 Идеально упругое тело [Гл. XIII
откуда следует F7.20). Итак, упругие свойства изотропного тела
характеризуются двумя постоянными.
Тензор напряжений F7.21) можно представить в виде, анало-
гичном тензору F3.4) напряжений вязкой жидкости, т. е. в виде
Рч = 2ц (гч L гккЬч J -Ь Kekk8ti, F7.22)
2
где K=k-\ \i; здесь первый член (с коэффициентом ц) свя-
* 3
зан с деформацией сдвига, а второй член, пропорциональный е^,
связан с изменением объема (см. E3.28)). Поэтому модуль ц на-
зывается модулем сдвига, а Д = л-| \i — модулем
О
объемного сжатия.
Заметим, что тензору F7.22) соответствует свободная энер-
гия
F = р (г„ - ± 8,Л;.J + -f- &, F7.23)
которая в состоянии термодинамического равновесия должна об-
ладать минимумом. В отсутствии внешних сил минимум свободной
энергии будет иметь место при &ц = 0, в связи с чем F должна быть
положительно определенной формой деформаций. Это доказывает,
что модули сдвига и объемного сжатия являются положительны-
ми величинами:
\i>0, К>0. F7.24)
Получим практически полезное соотношение, обратное соотно-
шению F7.22). Для этого «свернем» тензор F7.22) с б,-,, т. е. най-
дем сумму
Заметим, что
р«А,"=р„, 6,а,- = з.
Тогда получим (здесь и в дальнейшем Рц означает сумму
P Р Р)
F7.25)
а используя F7.25), из F7.22) придем к искомому соотношению
"йГР4А/ F7'26)
(обратим внимание на формулу F7.25), согласно которой сумма
диагональных компонент тензора напряжений пропорциональна
относительному изменению объема гц). ¦'

§ 67] Закон Гука и уравнения изменения импульса 549
Тензор термоупругости atj является симметричным тензором,
что следует из F7.1) ввиду симметрии тензора напряжений. Число
независимых компонент ац уменьшается, если тело обладает сим-
метрией. Например, для кубических кристаллов и изотропных сред
тензор си, сводится к одной величине а. Таким образом, закон
Гука для изотропных упругих тел с учетом изменения температуры
можно представить в форме
Рц = ЧА + ^^le<7 - /Са (Г - То) 8ф F7.27)
где а —• коэффициент теплового расширения. В этом
легко убедиться, сворачивая F7.27) с 6*j при Рц = 0 (поскольку
при тепловом расширении в отсутствии внешних сил напряжения
должны отсутствовать). Тогда, используя E3.28), получим соот-
ношение
*^ = а(Т-Т0), F7.28)
из которого становится понятным смысл постоянной а, как коэф-
фициента теплового расширения.
Свободная энергия, соответствующая тензору напряжений
F7.27), должна иметь вид
F = \ (е«бй)« + |ie,ftett - Ка (Т - То) &lk8ik -
2 То
где А, р,, К, а, се, У о — постоянные величины. Действительно, та-
кая функция деформаций и температуры согласно первой формуле
F7.15) приводит к правильному выражению F7.27) для тензора
напряжений, а согласно второй формуле F7.15) определяет энтро-
пию
-' ce - ^ + &0 F7.30)
и тем самым отличную от нуля теплоемкость се тела при постоян-
ных деформациях. Такая теплоемкость по определению и согласно
первому и второму законам термодинамики равна
В заключение параграфа получим уравнение изменения им-
пульса для изотропного упругого тела, аналогичное уравнению
Навье—Стокса. Предполагая, что модули упругости к и ц постоян-
ны, и пренебрегая изменением температуры (что справедливо при
достаточно малых значениях а), подставим F7.27) в F7.6) и

550 Идеально упругое тело [Гл. XIII
совершим преобразования типа F4.1) и F4.2). Тогда найдем
уравнение изменения импульса изотропного
упругого тела
Po-^f = (Я + |*)graddivu + цЛи + Pof, F7.31)
которое называется уравнением Ламэ. Если же пренебречь
изменением температуры нельзя, то правую часть уравнения Ламэ
следует дополнить членом —KaVT и рассматривать полученное
уравнение совместно с уравнением теплопроводности, вытекающим
из E5.23).
§ 68. Равновесие изотропных тел
Рассмотрим деформированное изотропное тело, находящееся
в стационарном состоянии. Деформации такого тела подчинены
уравнению (см. F7.6))
7г + рЛ = 0 (»=1, 2, 3), F8.1)
дхк
где fi — заданная стационарная объемная сила, приходящаяся на
единицу массы, а тензор напряжений Pik определен в F7.27); при
этом уравнение F8.1) должно быть дополнено уравнением тепло-
проводности в стационарном случае. Если же модуль упругости
и температура тела постоянны, то уравнение F8.1) приобретает
вид (см. F7.31)):
(к + (i)graddivu -;- цДи + pof = 0 F8.2)
(внешней объемной силой, обычно рассматриваемой в теории упру-
гости, является однородная сила тяжести).
Весьма важным для приложений оказывается случай равно-
весия тел, деформации которых вызываются силами, приложенны-
ми к поверхности этих тел. Тогда уравнением равновесия является
уравнение
A ' ц) grad div u -\- цДи = 0, F8.3)
а внешние поверхностные силы будут учитываться в граничных
условиях. Если fa —заданная внешняя сила, приходящаяся на еди-
ницу поверхности тела, то к площадке da — nda (n направлен по
внешней нормали к поверхности тела) будет приложена сила
/f do, которая должна уравновешиваться силой Pi^doh, вызванной
напряжениями тела. Таким образом, при равновесии должно вы-
полняться условие
Рфк = П F8.4)
для всех элементов поверхности тела.

§ 68]
Равновесие изотропных тел
551
Наиболее простым случаем деформированного равновесного
состояния изотропного тела является однородная деформа-
ция, при которой компоненты тензора деформации можно считать
постоянными вдоль всего тела. Рассмотрим ряд простых примеров.
Пусть тело подвергается всестороннему равномерному
сжатию. Это значит, что сила dFa, приложенная к любой пло-
щадке da поверхности тела, равна —pda, где р — давление по-
стоянной величины. Следовательно, на поверхности тела согласно
F8.4) должно выполняться условие Р^Пк=—РЩ, которое удовле-
творяется, если тензор напряжений равен
Отсюда, а также из F7.26) следует, что
Jlk-
F8.5)
F8.6)
Таким образом, всестороннее равномерное сжатие приводит только
к изменению объема ец — —р/К, которое определяется давлением р
и модулем объемного сжатия К; при этом все деформации сдвига
отсутствуют: 6^ = 0 Aфк).
Далее изучим деформацию чистого сдвига кубика с гра-
нями единичной площади (см. рис. 68.1, на котором изображен
кубик до деформации). Пусть к
граням кубика 1—4 приложены
равные по величине касательные
силы f", так как это показано на
рисунке. Нормаль к грани 1 име-
ет составляющие 1, 0, 0 и, сле-
довательно, условие F8.4) для
этой грани сводится к условию
Pix—fi' ОТКуДа P.m = Pj/3c = 0,
Pzx = fa- Для грани 2 с нормалью
п=@, 0, 1) найдем PxZ=f°,
PyZ = Pzz~0. Для граней 3 и 4
получим те же результаты, а ус-
ловия на гранях 5 и 6 дадут, что
Pxy~Pyy=Pzy = 0- Таким обра- Рис. 68.1
зом, единственной отличной от
нуля компонентой тензора напряжений будет Ржг, которая со-
гласно F7.26) определяет деформацию сдвига и угол скашивания
(см. стр. 465):
2ц
F8.7)

552 Идеально упругое тело [Гл. XIII
Как видно, эти величины зависят только от внешней силы и моду-
ля сдвига. Объем же тела при чистом сдвиге остается неизменным,
поскольку Рц — Q, и следовательно, егг=0.
Теперь рассмотрим растяжение (сжатие) стержня —
прямоугольного параллелепипеда, к торцам которого приложены
противоположно направленные, равные по величине, постоянные
силы с равномерным распределением по площади каждого торца.
Направляя ось г вдоль стержня и используя условия F8.4) на бо-
ковых гранях и торцах стержня, найдем единственную отличную
от нуля компоненту тензора напряжения Pzz, равную fa — плотно-
сти растягивающей силы. Подставляя PZz=fa в F7.27), получим
значения компонент тензора деформации
•«-»—¦Ki—йО* F8-8>
() F8'9)
Как видно, растяжение стержня вдоль направления внешней силы
происходит одновременно с его поперечным сжатием, при этом
отношение поперечного сжатия к продольному растяжению равно
iL W2? F8.10)
ггг 2 ЗК+2
и называется коэффициентом Пуассона. Поскольку К>0
и ц>0 (см. F7.24)), значения v заключены в пределах
— l<v<— F8.11)
(хотя в действительности неизвестны тела, для которых v<0).
Заметим, что относительное удлинение стержня удобно пред-
ставить в форме
8« = -]Г. F8Л2>
где
Е= 9fC|t F8.13)
ЗК 4- ц
— постоянная, которая называется модулем Юнга. Так как
постоянные Е и v употребляются очень часто, приведем формулы,
обратные формулам F8.10) и F8.13):
/С = , ц = . F8.14)
3A —2v) 2(l + v) '

§ 68]
Равновесие изотропных тел
553
Пример 68.1. Чистый изгиб стержня.
Пусть к обоим торцам цилиндрического стержня произволь-
ного поперечного сечения приложены поверхностные силы с плот-
ностью
f° = — <ххп,
A)
и моментом сил, равным по абсолютной величине L0; при этом
начало координат находится в центре масс торца /, а ось z про-
ходит через центры масс тооцов
недеформированного стержня
(здесь под центром масс торца
следует понимать центо масс
однородного плоского диска по
форме совпадающего с торцом).
Предполагая, что деформация
происходит изотермически в от-
сутствии объемных сил, а центр
масс торца / не смещается в
процессе деформации, найти по-
ля деформаций и смещений
стержня (рис. 68.2).
Согласно A) суммарная си-
ла F0, действующая на торец 2,
равна
Рис. 68.2
Г fa do = — апг Г xda,
где интеграл справа пропорционален координате хт центра масс
этого торца. Таким образом, в силу выбора начала координат,
получим
Момент L° сил, действующих на торец 2, равен
j {rf°I da = ati;, J x2da — an, j *#to.
Появившиеся справа интегралы можно определить как моменты
инерции торца (в отличие от обычных моментов инерции здесь вме-
сто элемента массы стоит элемент площади). Центробежный мо-
мент инерции
xyda = О,
так как оси х и у совпадают с главными осями инерции торца 2.

554 Идеально упругое тело [Гл. XIII
Поэтому для момента сил, приложенных к 2, получим выражение
где / = Г x2da — момент инерции относительно оси у. Отсюда сле-
дует, что
<*=—. B)
На торце / аналогично получим
f fada = О, Г Frf"] da = — Lc.
J J
Итак, суммарные силы и моменты сил, приложенные ко всему
стрежню равны нулю, причем ввиду A), B) и условия F8.4), на-
пряжения на торце 2 равны
Р = , ^ г Рк — Р=:Р=Р=Р=0 C)
1 гг I уУ у yz
Более того, эти напряжения удовлетворяют уравнению равновесия
F8.1) и условию F8.4) на боковых поверхностях стержня (по-
скольку на них ff = 0).
Подставляя C) в закон Гука F7.26), найдем тензор дефор-
маций
EJ
IP
гг ^ Х> гху — 8А-г = гуг ~ 0- D)
Отсюда видно, что частицы стержня, лежащие в плоскости х=0
не испытывают деформаций. Все «отрезки» стержня, параллель-
ные оси г при х>0 сжимаются вдоль г, а при х<0 растягивают-
ся; «отрезки» же, параллельные оси х при х>0 удлиняются, а при
л:<0 сокращаются вдоль оси х (аналогичные деформации испыты-
вают «отрезки», параллельные оси у).
Запишем D) в виде системы уравнений относительно смеще-
ния
dUv- дии ди,
2 г = vax, —— = — ах,
д
дх ду дг
„„у __ дих , диг дии , диг
ду дх дг дх дг ду

§ 68] Равновесие изотропных тел 555
где a —LPIEJ. Эта система имеет решение
(здесь постоянные интегрирования опущены, поскольку перемеще-
ние центра масс торца 1 равно нулю). Таким образом, точка г0
недеформированного стержня после деформации переходит в точ-
ку r=ro + u, причем компоненты ее радиуса-вектора равны:
Y — Y ¦ п f-72 L. „/'V2 „2M
Л — Лп —|— I /l,q f~" V ! л0 */0 / J >
2
У = Уо + vaxoyo,
Отсюда, например, видно, что точки оси стержня х0 = у0 = О
после деформации лежат на параболе
x=-^-zl^-±—z\
2EJ 2EJ
а точки, лежащие до деформации в плоском сечении z = z0, после
деформации образуют плоское поперечное сечение
деформированного стержня (форма сечения при этом изменится,
что связано с различием знаков ехх и еуу при х>0 и х<0). Из
решения также видно, что жесткость стрежня EJ зависит не толь-
ко от материала стержня, т. е. от модуля Е, но и от момента /,
а следовательно, от формы поперечного сечения.
Пример 68.2. Кручение цилиндрического стержня.
Найти деформации и напряжения цилиндрического стержня
радиуса R и высоты h в случае чистого кручения, а также найти
поверхностные силы, приложенные к торцам стержня (торцы пер-
пендикулярны оси цилиндра, объемные силы отсутствуют, а темпе-
ратура при деформации не изменяется).
Направим ось z через центры инерции торцов, помещая на-
чало координат на закрепленном торце /. Чистое кручение
представляет собой такую деформацию; при которой смещение
каждой частицы представляет собой поворот в плоскости перпен-
дикулярной к оси z на угол

556 Идеально упругое тело [Гл. XIII
без изменения расстояния г от оси z (здесь Дф — угол поворота
второго торца). В этом случае координаты смещенной частицы
будут равны
Х= ГСО$(ф + бф) = Г СОЭф — Г ЭШф-бф,
у = г sin (ф + бф) = г sin ф + г cos ф • бф,
z=z.
Отсюда используя F7.2), определение ец и F7.23), найдем
поле смещений
Аф
их = х — г cos ф = — yz,
h
Аф
uv — у — г sitl ф = —— xz,
тензор деформаций
е =—--^ы е — А(р х
хг Ш уг 2/i
и тензор напряжений
Р = Р = Р = Р =0
' хх Гуу г zz гху и>
Уравнения равновесия F8.1), очевидно, удовлетворяются, а гра-
ничное условие на торце 2 сводится к требованию Р(г = /?, откуда
К—vis-у, П = *¦**¦*. П = о.
Суммарная поверхностная сила, приложенная к торцу 2, равна
интегралу по поверхности 02 этого торца, причем
поскольку
[ xda = Г yda = 0.
о, с,
Момент сил, приложенных к торцу 2, будет отличен от нуля
пг. A)
о.

§ 68] Равновесие изотропных тел 557
здесь J = С {х2 + у2) da — момент инерции торца 2 относительно оси г.
Поскольку / = nR*/2, выражение A) приводит к основному резуль-
тату этого примера — к зависимости угла кручения от материала и
размеров цилиндра, а также от момента внешних сил:
Нетрудно убедиться в том, что на торце / суммарная сила равна
нулю, момент этих сил равен —LCT, а на боковой поверхности ци-
линдра fCT=0.
Пример 68.3. Гравитационное сжатие шара.
Найти поле смещений и деформаций сплошного шара радиу-
са R под действием собственного гравитационного поля.
Сила тяготения, приходящаяся на единицу массы, в указан-
ном случае равна
f = -fr, A)
где g— напряженность поля тяжести на поверхности шара. Учиты-
вая A) и преобразуя уравнение равновесия F8.2) с помощью соот-
ношения
grad div u = Аи -j- rot rot и,
получим
(X + 2ц) grad div u — ц rot rot u -;-pof = 0. • B)
По соображениям симметрии смещение должно иметь вид
u = u(r)n, C)
и, следовательно, (см. формулы (8) и G) приложения к гл. XII):
rot u = О, divu = —— (г2ы). D)
г3 dr
Поэтому B) сводится к уравнению
dr [ r= dr
которое легко интегрируется:
и= М г»-!--^Гт-^ F)
Ш (к + 2ц.) 3 г2 v ;
Это решение будет конечным в области O^r^i?, если поло-
жить С2 = 0. Постоянную Ci можно определить из условия .Ргг = 0

55S Идеально упругое тело [Гл. ХШ
при r = R. С этой целью найдем зависимость Р„ от координат.
Используем связь Р„ с компонентами тензора деформаций (см.
F7.22))
а также выражения компонент гм в сферических координатах
(см. формулу (9) в приложении к гл. XII). Тогда с помощью F)
получим
откуда определяется Сь Таким образом, найдем смещения и де-
формации
/г2 3 — у \
и = а[ )г,
\ R2 1+v/
(-Х г2 % 3—у \
V R2 1 + v/
)^а( ?'г 3-у
V Л2 1 + v
где а = —— , v — коэффициент Пуассона. Компонента е,.г об-
10 (Л + 2ц)
ращается в нуль при r1~R[ ~~ ) *• Следовательно, внутри этой
\ 3 A -г V) /
сферы вещество в радиальном направлении сжато, а вне сферы рас-
тянуто. Аналогичное заключение можно сделать и о «поперечном»
сжатии, поскольку еее и ефф обращаются 6 нуль на сфере г% =
§ 69. Упругие волны
Изменение положения частицы упругого тела со временем,
связано, вообще говоря, с изменением ее температуры. Однако
распространение колебаний частиц вдоль тела (т. е. упругие вол-
ны) происходит достаточно быстро по сравнению с передачей теп-
ла от частицы к частице. Поэтому эти волны можно считать из-
энтропическим процессом. Тогда изменение температуры данной
частицы тела будет определенным образом связано с изменением
деформации этой частицы, что в свою очередь скажется на на-
пряжениях.
Вычислим тензор напряжений, учитывая изэнтропичность упру-
гой волны. С этой целью используем F7.30), т. е. выражение для

§ 69] Упругие волны 559
энтропии, как функции деформаций и температуры, и положим в
нем У = ?0. Тогда найдем изменение температуры
Т-Т0 = -^еи F9.1)
и тензор напряжений с учетом этого изменения (см. F7.27)):
F9.2)
Полученный тензор отличается от тензора напряжений F7.21)
тем, что вместо изотермического модуля упругости л здесь появил-
ся адиабатический модуль
^D--f-|iJ7'e F9.3)
(при этом модуль сдвига не изменился).
Уравнение для смещений в упругой волне в отсутствии объем-
ных сил получим аналогично уравнению F7.31), используя F9.2)
и F7.6). В результате найдем, что
Ро = (^ad + Ц) 8га^ div u 4- цАи F9.4)
ИЛИ
-^- = {с\ — с|) grad div и 4- с|Аи, F9.5)
где
С- = , СА = . (ЬУ.Ь)
Ро Ро
Теперь покажем, что уравнение движения F9.4) (или F9.5))
может быть сведено к системе двух уравнений, из которых одно
описывает распространение продольной упругой волны со ско-
ростью Си а другое — распространение поперечной упругой волны
со скоростью Сг. Согласно теореме Гельмгольца о представлении
векторного поля в виде суммы потенциального и соленоидального
нолей (см. F0.12) — F0.14)), положим
u = Ul -f Щ, F9.7)
где
rotuJl = 0> F9.8)
а
div u2 = 0. F9.9)

560 Идеально упругое тело [Гл. XIII
Подставляя F9.7) в F9.5) и учитывая F9.8), F9.9), а также то,
что
Аи = grad div uL — rot rot u2,
найдем исходное уравнение в виде
i!HL i!Hi. = C2 grad div ut — c% rot rot u2. F9.10)
dp дР ' 2
Исключим отсюда u2. С этой целью применим к членам урав-
нения F9.10) операцию div, имея в виду F9.9) и то, что
div grad=Д, a divrot=0. Тогда получим, что
V
при этом
- С?ДиЛ=-0;
так как и, — потенциальный вектор. Если же во всем простран-
стве div и rot вектора равны нулю, то и сам вектор должен рав-
няться нулю. Следовательно, потенциальная часть . смещения —
вектор U] —подчинен волновому уравнению
= 0, F9.11)
которое описывает волны, распространяющиеся со скоростью сх =
= [(A,ad -f- 2ц)/р0]'/*; эти волны являются волнами сжатий и растя-
жений, поскольку div щФ0.
Применяя к обеим частям F9.10) операцию rot, учитывая F9.8)
и то, что rot grad = 0, исключим из уравнения вектор щ и найдем,
что
rot f-^- + c\ rot rot иЛ = 0. F9 12)
Л
Но для соленоидального вектора
rot rot u2 = — Au2.
Поэтому из F9.12) получим
причем согласно F9.9)

Приложение 56 Г
Следовательно, вектор u2 подчиняется уравнению
i!Hl_ С2дио = о F9.13).
которое описывает волны, распространяющиеся со скоростью
с2 = (ц/роI''2. Эти волны являются волнами сдвига, поскольку сме-
щения частиц в такой волне представляют собой повороты
(rot U2=7^0), не сопровождающиеся изменением объема частиц,
(divu2 = 0).
Наконец, рассматривая плоские монохроматические волны
смещений
подставляя эти смещения в соответствующие волновые уравнения:
и условия F9.8), F9.9), получим для первой волны
0)
= clt [kaJ=O F9.14>
k
и для второй волны
(О
с2, ka.2 = 0. F9.15>
k
Отсюда ясно, что волны сжатия и расширения являются продоль-
ными, поскольку к || аь а волны сдвига — поперечными, так как
kj_a2.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ XIII
К статистической теории стационарного кристалла. Изучение ряда мето-
дов, изложенных в этой книге, показывает плодотворность метода усред-
нения в классической механике (см., например, теорему о вириале сил, а
также метод Крылова — Боголюбова, который является по существу методом
усреднения). Что касается основных уравнений механики сплошных сред, то>
(как было отмечено в § 52) их теоретическое обоснование можно осуществить
лишь статистическим методом. Изложим кратко основы такого метода для случая
равновесных систем и в качестве примера рассмотрим вопрос об определении,
кристаллической структуры иа основе статистико-механических представлений.
Основой метода является закон сохранения фазового объема D3.12) и
уравнение D4.17) для плотности вероятности {36, гл. 1]. В стационарном случае
( = 0 ) это уравнение имеет вид
\ at J
где
А_ + {/ U')
2т;
i
гамильтониан изучаемой системы, состоящей из молекул —материальных то-
чек— с энергией взаимодействия U= > Ф;;, где Фи = Ф(|п—г,|)^—энергия

562 Идеально упругое тело [Гл. XIII
взаимодействия t'-той и /-той молекул. К уравнению A) следует добавить усло-
вие нормировки
= 1. B)
дг
которое соответствует определению D4.16) плотности вероятности и означает,
что изучаемая система наверняка находится в заданном фазовом простран-
стве ДГ.
Система A) — B) имеет решение, описывающее макроскопическую систему,
находящуюся в равновесии с термостатом, т. е. с другой механической
системой, имеющей значительно большее число степеней свободы по сравне-
нию с изучаемой системой. Такое решение называется каноническим рас-
пределением Гиббса и имеет вид
& = Ае \ C)
где 9 — абсолютная температура, измеряемая в единицах энергии, а постоян-
ная А определяется из условия нормировки
1 е 9 6Г
дг
Вычисляя интеграл от 2S но всевозможным значениям импульсов всех молекул,
получим плотность вероятности D(t"i, Гг rjv) того, что молекулы системы на-
ходятся соответственно в точках пространства гь г2, ..., rN. Эта функция рав-
няется
и
D = Се 8 , D)
•где постоянная С определяется нз условия нормировки
j Ddr^ ...drN = l E)
(здесь Aq — «объем» пространства конфигураций, где наверняка находится си-
стема, см. стр. 396). Функция D является симметричной функцией относительно
перестановок радиусов-векторов всех молекул.
Зная функцию D, можно найти средние значения любых функций коорди-
нат молекул; при этом наиболее важными являются функции от координат одной
или двух молекул (такого вида функции приводят, например, к определению
плотности массы и энергии). В связи с этим введем вероятность того, что поло-
жения данной группы s молекул лежат соответственно в бесконечно малых
объемах drb dr2, ..., rfrs вблизи точек ги г2, ..., rs пространства. Эта вероятность
согласно Боголюбову определяется в виде
1
-— Fs (rlt r2, ... , rs) diidrj, ... drs, F)
и следовательно,
- FS = VS |О(Г,, г2, ... ,rN)drs+l ...drN; G)

Приложение 563
причем также, как и D, функция Fs является симметричной относительно пере-
становок молекул*. Функция Fx(t\) распределения одной частицы называется
унарной, а функция Ft(ti, r2) распределения двух частиц называется б н-
н а р н о и функцией.
Найдем уравнения для функций Fs, замечая, что функция D) удовлетво-
ряет соотношению
0D 1 8U
—~ ^7D=0 (а= 1,2,3), (8).
dxf н дх%
где через х\, xj, x^ — обозначены декартовы координаты вектора Гь Умно--
жая (8) на Vs и интегрируя его по переменным rs+i, ..., тк, согласно G) по-
лучим
Поскольку интегрирование здесь ведется по координатам молекул, начиная с
(s+1)-bou молекулы, разобьем потенциальную энергию на следующие части:
ii+..., A0)
где Us - 2j ®ii — часть энергии, не зависящая от переменных интегриро--
вания, а вторая сумма состоит из членов, зависящих от переменных интегри-
рования и Г]. Подставляя A0) в (9), найдем, что
*1*-¦¦¦**¦ m
Ввиду симметрии D последняя сумма состоит из равных между собой членов.
Поэтому эта сумма равна
С дФ, ,, ¦
(N-s)\ gJ Ddrs+I ...driV. A2)
Теперь, учитывая A1), A2) и определение Fs+i (согласно G)), из (9) получим.
о, азу
s+'
дх<\ в ах* в
N
где п — — — плотность числа молекул.
Однако для макросистем число .V н объем V велики, а порядок s практически
используемых функций распределения мал. Следовательно, N^>s, причем n—N/V
* См. Н. Н. Боголюбов. Проблемы динамической теории в статисти-
ческой физике. М. — Л., Гостехиздат, 1946.

564
Идеально упругое тело
[Гл. XIII
•остается конечной величиной. С учетом сказанного из A3) приходим к урав-
нениям для функций распределения
1 dUs n Г дФ1 s+1
(s=l, 2, ...;
а -= 1, 2, 3).
A4)
Система A4) является системой «зацепляющихся» интегродифференциаль-
ных уравнений, поскольку уравнение для Fi содержит функцию F2, а уравне-
ние для F2 содержит Fa и т. д. Поэтому "A4) называют «цепочкой» Боголюбова.
¦Кроме уравнений A4) все функции F, подчинены условиям нормировки (см. E)
и G))
lim —
V->oo V"
а также условиям ослабления корреляции*
Л (Гг. ••• . Г,)-. П ^ifo).
A5)
A6)
если все расстояния |г,-—rj|->¦<». Последнее условие вытекает нз теоремы умно-
жения вероятностей, поскольку силы взаимодействия молекул на бесконечных
расстояниях друг от друга исчезают и, следовательно, состояния молекул ста-
новятся статистически независимыми.
Известны некоторые приближенные
решения «цепочки» A4), которые были по-
лучены с помощью разложения функций
F, в ряды по малому параметру. В случае
разреженного газа малым является отно-
шение плотности п газа к плотности
По = 1/о3 в том случае когда одна молекула
газа приходится на объем а3 (а — посто-
янная, характеризующая короткодействую-
щие силы взаимодействия молекул). В не-
которых случаях использовалась также
малость средней потенциальной энергии Ф
взаимодействия молекул по сравнению с
температурой 0. Однако в случае кристал-
лического состояния указанные параметры
не являются малыми. Поэтому для иссле-
дования статистическими методами класси-
ческо-механической модели кристалла сле-
дует рассмотреть возможность выбора но-
Рис. 69.!
вого малого параметра .
Пусть молекулы кристалла взаимодействуют по закону Леннарда — Джон-
са (см. рнс. 69.1)
A7)
где е и а — постоянные.
* В данном случае «корреляция» — соотношение, взаимозависимость функ-
адий распределения различного числа молекул.
** См. И. И. О л ь х о в с к и й. ДАН СССР, 208, № 4, 1973.

Приложение 565
Исходя из представления о кристалле, как о совокупности частиц, находя-
щихся при 9->-0 в некоторых положениях равновесия в потенциальных «ямках»
глубины е, можно допустить, что малым параметром в данном случае являете»
отношение
_е_ ,
8
Отсюда очевидна возможность решения A4) с помощью разложения в ряд па
параметру О/в или по 0 (при no«l):
F = F^ + Of'1' -1- 02F'2' + ... (s = 1, 2, . .). A9V
Подстановка A9) в A4)—A6) приводит к уравнениям последовательных
приближений, причем уравнение нулевого приближения при s—l представляет
собой уравнение для бинарной функции распределения (так как Ui—О (см. A0)).
Рассмотрим уравиение и условия для бинарной функции распределения в нуле-
вом приближении:
-0 (п=1, 2, 3), B0>
lim
(Vf dMr.^l, . B2>
где
F\o) , lim A/V) ('^0)rfr2. B3>
В соответствии с качественным представлением о кристаллической струк-
туре будем искать решение этой системы в виде суммы «произведений» дель-
та-функций Дирака б (г). Напомним, что дельта-функция определяется!
как функционал, который задан соотношением
j"/(r)8(r-R)dr = /(R), B4>
где /(г) —любая непрерывная при r=R функция, а область интегрирования
включает в себя точку r=R. Приведем также менее строгое, но более наглядное-
определение «функции» Дирака:
( оо при г = R
8(r-R)- ' Р _ B4'>
I 0 при гфЯ,
причем
J в (г — R) dr = 1. B4">
если область интегрирования включает в себя точку особенности r=R.
Итак, будем искать решение системы B0) — B3) в виде шестимерных
б-функций Дирака, симметричных относительно перестановки п и г2:
R*), B5>
t.fc .

.566 Идеально упругое тело [Гл. XIII
где Ri ¦— радиус-вектор узла кристаллической решетки с номером i; проекции
этого вектора на декартовы оси для бесконечного кристалла равны
где аа0—^постоянные, определяющие тип решетки, a ftg — целочисленные компо-
яенты вектора h', определяющего положение данного узла решетки! причем
-det \аа$\Ф 0. Подстановка B5) в B0) приводит к уравнениям
{
i ft
(а=1, 2, 3), B7)
где ф (г) = Ф' (г)/г. Поскольку для любых данных целочисленных /ijj и ftp в силу
B3) можно найти таксе целое h^, что
у/ у' (yft; yt \
ла ла— "¦ а ла>'
и поскольку ф@) = оо, уравнение B7) сводится к требованию h*^=h'.
Таким образом, функция
2(ri~RtN(r2"~Rft) B8)
¦с произвольной матрицей ||«apll (det |.аар | Ф 0) представляет собой решение
уравнения B0). Подставляя B8) в B2) и учитывая B4") и то, что JV»1,
получим
С-—, B9)
Л?
тде ге = — — плотность числа молекул, которая является заданным макроско-
пическим параметром.
Далее ограничимся изучением решетки, находящейся под равномерным дав-
.лением, и рассмотрим такие матрицы 1Ьар||, которые задают структуры, допу-
скающие выбор трех взаимно перпендикулярных эквивалентных направлений.
-Это известные матрицы, определяющие кубические решетки ПКР, ОЦКР и
ГЦКР *
1 0 0 || | 1 1 -1 | || 1 1 0
И ю ||, ~ -1 1 1 jj, -*-1| oi i[. C0)
0 0 11! || 1—1 1 || II 1 0 1
хде а—постоянная решетки. Для этих решеток объем AV = det aaa элементарных
•ячеек соответственно равен:
АУ = а3, а3/2, а3/4. C1)
* ПКР — простая кубическая решетка, ОЦКР — объемноцентрированная
кубическая решетка, ГЦКР — гранецентрированиая кубическая решетка.

Приложение 567
Итак, решением уравнения B0) с условием B2) является бинарная функ-
ция
где компоненты R определяются одной из трех матриц C0), а постоянная а
является соответствующей функцией плотности (поскольку ДК=1/я):
• C3>
Наконец, используя B3) и C2), получим унарную функцию
C4)
с постоянной решетки а(п), определенной в C3). Затем, с помощью C2) и C4)
можно убедиться, что условие B1) также выполняется. Распределение C4) с
произвольной постоянной а впервые было получено А. А. Власовым из других
соображений; А. А. Власов также поставил вопрос о выводе из статистической
теории самого факта существования кристаллических структур *.
Бинарная функция C2) дает возможность получить в нулевом приближе-
нии термодинамические функции. Например, получим среднюю потенциальную
энергию
2...Адг. C5)
В силу симметрии D эта энергия равна
Отсюда, имея в виду, что Л'>1, найдем выражение U через бинарную функцию
^="у- I Ф(|г1-г2|M2(г1, r2)rfrltir2. C6>
Подставляя C2) в C6) и учитывая B4), получим среднюю потенциаль-
ную энергию в нулевом приближении
V J] DU/'R1!) C7>
(здесь в качестве молекулы / может быть взята любая молекула). Сопостав-
ляя значения ?/@> для решеток C0), придем к выводу о том, что из трех воз-
можных кубических решеток, должна осуществляться граиецентрированиая, что.
имеет место в действительности. Например, учтем взаимодействие лишь с бли-
жайшими к данной молекуле соседями. Нетрудно непосредственно подсчитать,,
что число таких соседей для рассматриваемых типов решеток C0) соответ-
* См. А. А. Власов. Теория многих частиц. М. — Л., ГИТТЛ, 1950.

S68 Идеально упругое тело [Гл. ХШ
ственно равно 6, 8 и 12. Учитывая это, из C7) в расчете на одну молекулу по-
лучим для ПКР, ОЦКР и ГЦКР соответственно
U<0)/Nxs ЗФ(/?!>, 4Ф(ЯХ), бФ^), C8)
где Ri — радиус сферы, на которой располагаются ближайшие соседи. Если
плотность такова, что Ri удовлетворяет условию <D'(Ri)~0, то из C8) найдем
(см. A7)):
U@)/N =s — Зе, — 4е, — бе.
Отсюда видно, что ГЦКР обладает наименьшей энергией.
ЛИТЕРАТУРА
Часть I
1. Галилей Г. Диалог о двух главнейших системах мира. М. — Л., Гостех-
издат, 1948.
.2 Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух
новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению.
М.—Л., Гостехиздат, 1934.
3. Ньютон И. Математические начала натуральной философии (русский пере-
вод). В собр. соч. акад. А. Н. Крылова. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1936.
4. Эйлер Л. Основы динамики точки. М.—Л., ОНТИ, 1938.
5. Д'Аламбер Ж. Динамика. М. — Л., Гостехиздат, 1950.
>6. Л а гран ж Ж. Аналитическая механика, т. 1—2. М.—Л., Гостехиздат,
1950.
7. Я к о б и К. Лекции по динамике. М.—Л.. ГОНТИ, 1936.
8. Аппель П. Теоретическая механика, т. I и II. М., Физматгиз, 1960.
9. Суслов Г. К- Теоретическая механика. М.—Л., Гостехиздат, 1946.
.10. П л а н к М. Введение в общую механику. М.—Л., Госиздат, 1927.
.11. Жуковский Н. Е. Теоретическая механика. М.—Л., Гостехиздат, 1952.
12. К а р т а н Э. Интегральные инварианты. М.—Л., Гостехиздат, 1940.
13. ЗоммерфельдА. Механика. М., ИЛ, 1947.
14. Богуславский С. А. Избранные труды по физике. М., Физматгиз, 1961.
15. Френкель Я. И. Аналитическая механика. Ленинградский индустриальный
ин-т, Кубуч, 1935.
.16. Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И. Курс теоретической механики,
т. I—П. М., 1955—1957.
.17 Стрелков С. П. Механика. М., «Наука», 1965.
18. Хайкин С. Э. Физические основы механики. М., «Наука», 1971.
.19. Боголюбов Н. Н. и Митропольский Ю. А. Асимптотические методы
в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1963.
.20. Голдстейн Г. Классическая механика. М., Гостехиздат, 1957.
21. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. Механика. М., Физматгиз, 1955.
22. Не взглядов В. Г. Теоретическая механика, ч. I. M., Физматгиз, 1959.
23. Г а н т м а х е р Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М., «Наука», 1966.
:24. Лич Дж. У. Классическая механика М., ИЛ, 1961.
25. Синг Дж. Л. Классическая динамика. М., Физматгиз, 1963.
.26; Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмаиовские лекции по физике,
вып. 1—2. М., «Мир», 1967.
27. Greenwood D. Principler of Dynamics, Prentice-Hall, Engleusd Cliffr, New-
Zersey, 1965.
:28. Добронравов В. Д., Никитин Н. Н., Дворников А. Л. Курс тео-
ретической механики. М., «Высшая школа», 1968.

Литература 569
29. Б у х г о л ь ц Н. Н. Основной курс теоретической механики, ч. I и II. М.,
«Наука», 1972.
30. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механи-
ке. М., «Наука», 1965.
31. Нет ер Э. Инвариантные вариационные задачи. В сб.: «Вариационные прин-
ципы механики». М., Физматгиз, 1959.
32. Л у р ь е А. И. Аналитическая механика. М, Физматгиз, 1961.
33. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Механика (Берклеевский курс
физики, т. I). M., «Наука», 1971.
34. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М., «Нау-
ка», 1972.
35. Ко тки и Г. Л., Сербо В. Г. Сборник задач по классической механике. М.,
«Наука», 1969.
36. Г и б б с Дж. В. Основные принципы статистической механики. М.—Л., Гос-
техиздат, 1946.
37. Власов А. А. Макроскопическая электродинамика. М., Гостехнздат, 1955.
38. Та мм И. Е. Основы теории электричества. М., «Наука», 1966.
39. Куликов К. А. Курс сферической астрономии. М., Фнзматгнз, 1969.
40. Д а в ы д о в А. С. Квантовая механика. М, Физматгнз, 1965.
41. Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М. Квантовая механика.
М., «Просвещение», 1965.
42. Ильин В. А., Поз и як Э. Г. Основы математического анализа, ч. I. M.,
«Наука», 1971.
43. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., «Наука», 1959.
44. Э л ь с г о л ь ц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчис-
ление. М., «Наука», 1969.
45. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М., «Наука», 1970.
46. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., «Наука», 1971.
47. К у р ош А. Г. Курс высшей алгебры. М., «Наука», 1971.
Часть II
48. Л а м б Г. Гидродинамика. М.—Л., ГИТТЛ, 1947.
49. Жуковский Н. Е. Теоретическая механика. М.—Л., Гостехиздат, 1952.
50. К оч и и Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидродинамика,
ч. I и II. М., Физматгиз, 1963.
51. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М., ИЛ, 1954.
52. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика сплошных сред. М., Гостех-
издат, 1953.
53. Ш и р о к о в М. Ф. Физические основы газодинамики. М., Физматгиз, 1958.
54. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. М., ИЛ, 1959.
55. Н е в з г л я д о в В. Р. Теоретическая механика, ч. II. М., Физматгиз, 1969.
56. Л а и д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория упругости. М., «Наука», 1965.
57. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановскне лекции по физике,
вып. 7. М., «Мнр», 1967.
58. С е д о в Л. И. Механика сплошной среды, т. 1 н 2. М., «Наука», 1970.
59. И лью ш и н А. А. Механика сплошной среды. Изд-во МГУ, 1971.
60. Л ой ця некий Л. Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1970.
61. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М., «Мир», 1973.
62. Ильюшин А. А., Ломакин В. А., Шмаков А. П. Задачи и упраж-
нения по механике сплошной среды. Изд-во МГУ, 1973.
63. Леонтовнч М. А. Введение в термодинамику. М. — Л., ГИТТЛ, 1952.
64. Базаров И. П. Термодинамика. М., «Наука», 1961.
65. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч. II.
М„ «Наука», 1973.
66. Амензаде Ю. А. Теория упругости. М., «Высшая школа», 1971.

Замеченные опечатки
Страница
18
53
117
248
342
Строка
И снизу
3 сверху
13 снизу
10 снизу
1 сверху
Напечатано
г = рПр^Р"Р + ^
dx
(см. стр. 47)
6-0eq
Следует читать
г = р„р+р^р+гп2
"х- —
Х~~ dt
(см. стр. 43)
9 = 9eq
и*
ИГОРЬ ИВАНОВИЧ ОЛЬХОВСКИЙ
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
ДЛЯ ФИЗИКОВ
Тематический план 1974 г. № 140
Редактор Ф. И. Горобец
Переплет художника В. В. Воронина
Технический редактор Н. А. Лебедева
Корректоры Н. В. Тютина, И. С. Хлыстова, С. Ф. Будаева
Сдано в набор 21/XI 1973 г. Подписано к печати 2/IV 1974 г.
Л-49124 Формат 60x90'/ie Бумага тип. № 1
Физ. печ. л. 35,75 Уч.-изд. л. 34,65 Изд. № 2258
Зак. 329 Тираж 15250 экз. Цена 1 р. 31 к.
Издательство
Московского университета.
хНосква, К-9, ул. Герцена, 5/7.
Типография Изд-ва МГУ.
Москва, Ленинские горы