V^.|Vl.V^MDrA-\V^WL}A^ I Г1ик1ПС LJ,fi lr II/1
УПРАЖНЕНИЯ
ПЛАНИМЕТРИИ
ГОТОВЫХ
ЧЕРТЕЖАХ

С.М.САВРАСОВА Г.А.ЯСТРЕБИНЕЦКИЙ
УПРАЖНЕНИЯ
ПО ПЛАНИМЕТРИИ
НА ГОТОВЫХ
ЧЕРТЕЖАХ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
•
Рекомендовано
Главным управлением общего
среднего образования
Министерства просвещения
СССР
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 19В7

ББК 74.262
С13
Рецензенты:
учительница школы № 23 Москвы
Т. Л. Сытина;
учительница ФМШ № 18 при МГУ им. М. В. Ломоносова
Т.. Я. Ъруишнина
Саврасова С. JVL, Ястребинецкий Г. А.
С13 Упражнения по планиметрии на готовых чертежах:
Пособие для учителя.— М.: Просвещение, 1987.— 112 с: ил.
Пособие представляет собой три комплекта заданий для VI—VIII классов по готовым
чертежам, которые могут быть использованы при закреплении нового материала, повторении
пройденного, контроле усвоения той или иной темы.
„ 4306010000—601
С —юз(оз)—87— Ин*' пнсьмо ~~ 87» доп- № 1 ББК 74262
© Издательство «Просвещение». 1987

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое вниманию учителей пособие представляет собой
комплект индивидуальных заданий по геометрии для учащихся
VI—VIII классов, составленных в виде таблиц. Задания
соответствуют действующей программе по геометрии и могут быть
использованы как учителями, работающими по учебному пособию
А. В. Погорелова «Геометрия, 6—10», так и по другим учебным
пособиям.
В пособии 11 таблиц для VI класса, 18 таблиц для VII класса
и 12 таблиц для VIII класса. Таблицы, предназначенные для
VIII класса, содержат, кроме упражнений, также материал для
повторения всего курса планиметрии.
Каждая таблица включает от четырех до двадцати заданий,
составленных в порядке возрастающей трудности, что позволит
учителям дифференцированно проводить работу с учащимися
различных уровней знаний.
Названия таблиц соответствуют некоторым свойствам плоских
геометрических фигур. В каждой таблице сформулированы
вопросы, причем они могут быть либо общими для всех заданий
таблицы (в этом случае они помещены под названием таблицы),
либо— конкретными для каждого из заданий.
Таблицы призваны помочь учителю выделить главное при
изучении той или иной темы программы, а также способствовать
выработке навыков решения основных типов задач. Набор
заданий в таблицах не заменяет систему задач учебных пособий,
а является лишь дополнением к ней и помогает учителю усилить
практическую направленность преподавания геометрии.
Для удобства таблицы напечатаны с пустым оборотом,
некоторые из них расположены на нескольких страницах.
Не рекомендуем таблицы разрезать на отдельные задания,
что может нанести ущерб методической идее пособия.
В методических указаниях к работе с таблицами приведены
конкретные рекомендации для учителя по классам, а также
образцы решения некоторых задач, что позволит учителю
рационально использовать пособие.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ «УПРАЖНЕНИИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ»
Пособие призвано помочь учителю в решении следующих
дидактических задач.
1. Организация устных вычислений по готовому чертежу для
выработки навыков применения соответствующих теорем.
2. Организация обучающей самостоятельной работы учащихся
в процессе решения задач.
3. Организация самостоятельной работы, контролирующей
состояние знаний учащихся.
4. Отработка теоретических знаний по текущему материалу
и ранее пройденному.
5. Развитие устной и письменной математической речи
учащихся.
6. Организация повторения курса планиметрии в конце
учебного года и в начале следующего учебного года.
7. Организация заключительного повторения курса
планиметрии и подготовка учащихся к экзамену в VIII классе.
Таблицы данного пособия могут быть использованы учителем
как в начальный период изучения той или иной геометрической
темы, так и при ее повторении. Для работы с таблицами на уроке
они раздаются по одной на каждую парту, что позволяет
разобрать широкий круг упражнений при минимальной затрате
времени и активном участии всех учащихся. Они могут также быть
временно розданы учащимся для выполнения определенного
домашнего задания, например подготовить рассказ по какой-то
таблице, используя учебное пособие. Такое задание выполняется,
как правило, с большим интересом, порождает здоровую
атмосферу соревнования за лучшее обоснование решения той или
иной задачи или наиболее полный ответ по теоретическому
вопросу.
Особенно полезны домашние задания по таблицам VIII класса
с чисто теоретическим содержанием. В заключение заметим, что
использование таблиц не ограничивается рамками 8-летней
школы. Некоторые из них могут быть с успехом использованы и в
старших классах, например в процессе изучения стереометрии.
Так, при изучении параллельности прямых и плоскостей
встречаются упражнения, решаемые на основе подобия треугольников.
Устный разбор упражнений таблицы «Подобие треугольников»
позволит не только повторить определение и признаки подобия
4

треугольников, но и на конкретных несложных упражнениях
восстановить в памяти их применения, оформление записи. Такая
10-минутная работа с планиметрическим материалом в начале
урока, на котором предстоит решение соответствующих задач по
стереометрии, способствует формированию прочной базы для
решения этих задач. Таких примеров можно привести много.
Более подробные и полные рекомендации учителя найдут в
приведенных ниже рекомендациях к отдельным таблицам каждого
класса.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ТАБЛИЦАМ
ДЛЯ VI КЛАССА
Таблицы 1 и 3 могут быть использованы в процессе
изучения материала §2—§ 41, для отработки вычислительных
навыков учащихся, а также для выработки навыков
восстановления словесной формулировки задания по его краткой записи и,
что особенно важно в VI классе, для тренировки в выполнении
краткой записи условия и заключения какого-либо
математического предложения по его словесной формулировке. Так, например,
работая с таблицей 1, учащиеся по заданию учителя должны
прочесть задания примерно следующим образом.
1. Один из смежных углов на 20° больше другого. Найдите
эти углы.
2. Один из смежных углов в 3 раза больше другого. Найдите
эти углы.
. 3. Один из смежных углов составляет 0,8 (80%) другого.
Найдите эти углы.
4. Один из смежных углов относится к другому как 4:5,
Найдите эти углы.
При использовании таблицы с целью тренировки в
выполнении краткой записи задания учитель, сообщив учащимся его
словесную формулировку, предлагает выполнить запись, а затем
сравнить ее с записью в таблице.
Таблица 2 содержит 12 упражнений на применение
признаков равенства треугольников. В упражнениях 1, 4, 5, 8, 10,
12 используется признак равенства треугольников по двум
сторонам и углу между ними, упражнения 3, 6, 9, 11 рассчитаны на
использование признака равенства треугольников по стороне и
двум углам, а равенство треугольников в упражнениях 2 и 7
вытекает из третьего признака равенства — по трем сторонам.
Таким образом, таблица носит многоплановый характер и может
быть использована для закрепления каждого признака в
отдельности. Однако порядок упражнений в ней не соответствует порядку
1 Здесь и в дальнейшем мы ссылаемся на учебное пособие для средней школы
А. В. Погорелова «Геометрия» (М.: Просвещение, 1986.—304 с.)
5

изложения материала в учебном пособии, что создает условия
для использования таблицы в итоге изучения всех признаков, а
также при повторении курса в целом. Такой подход диктуется
тем, что учащиеся должны уметь не только пользоваться
конкретным признаком, но, что не менее важно^ уметь самостоятельно,
исходя из условий задачи, выбирать признак, на который
следует ссылаться.
Упражнения 10-—12 — несколько повышенной трудности, и для
их решения используются не только признаки равенства
треугольников, но и свойства смежных углов, свойства
равнобедренного треугольника и т. д.
Рассмотрим* например, решение задания, 10.
1. ААВК= АСВМ, так как АВ = ВС иАК=СМ по условию,
a Z.i4=Z.C, как углы при основании равнобедренного
треугольника.
% Д:ЛВЛ4==АСЯК, так как по условию АВ^ВС и АМ^КС
(АК—МСУ следовательно, АК+МК—МС+МК) и,как доказано
выше, Z-A—/LC.
Таблица 4 посвящена свойствам равнобедренного
треугольника. Решение заданий 1—3 основано, на свойстве углов
при основании равнобедренного треугольника ихвойстве смежных
углов.
Решение заданий. 4—7 опирается на:, свойство медианы,
проведенной, к основанию, равнобедренного треугольника,
являющейся и биссектрисой, а в задании 8 требуется знание того, что
медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию,
является также и высотой. Задания 9 и 10 — повышенной
трудности* Приведем их решения.
Задание 9.
1. А.СКВ—равнобедренный (КС = КВ по условию),,
следовательно, углы при основании СВ равны, т. е. Z^KBC=-Z_KCB~
=70°.
2. Z.KBA> и /LKBG — смежные, т. е. <LKBA+ /LKBC —
= 180°, значит, Z..KBA■= 110°.
3. A KB А — равнобедренный (КВ = АВ по условию):, BD—
медиана (по условию), следовательно, BD — биссектриса, и
поэтому Z. DBA Z. KB А = 55°.
Задание 10.
Так как дАКВ равнобедренный (АК=КВ по условию).,
то его углы при основании АВ равны, т. е. /1/(ВЛ—40°. В
треугольнике КВС КВ,=ВС по условию, BD — медиана,, следот
вательно, BD — биссектриса, т. е. ADBC=2Q?.
Таблица 5 содержит 10 заданий на применение признаков
параллельности прямых. Задания 1 и 2 — одношаговые.. По
рисунку учащиеся говорят, что так как отмеченные, углы
являются внутренними накрест лежащими при прямых а и Ъ и
секущей с и равны, то а\\Ь. По рисунку они замечают, что
6

указанные углы являются внутренними односторонними и их
сумма равна 180°, следовательно, с]\d. Задание 3 допускает два
способа решения и требует рассмотрения вспомогательного угла
МСО или угла DCO. Задание 4 является частным случаем
задания 3, но имеет самостоятельное значение: учащимся
полезно запомнить, что два перпендикуляра к одной прямой
параллельны. Задания 5—10 являются подготовительными для
изучения в VII классе темы «Параллелограмм*.
Таблица 6 содержит 8 заданий. Задания 1 и 2— одно-
шаговые, задания 3—7 являются двухшаговыми, т. е. они
расположены по нарастающей степени сложности и их постепенный
разбор способствует выработке соответствующих навыков.
Задание 8 — повышенной трудности. Приведем его
решение.
1. Рассмотрим дВЯ/С и дс£/с. В них /LBDK — Z-CEK=
— 90°. BD=C£, В К— КС по условию, следовательно, дВВ*С =
= д СЕК (по гипотенузе и катету).
2. Так как &ВТУК= & СЕК> то DK — КЕ и ZLB=Z/C,
откуда следует, что АВ — ВС.
3. Рассмотрим дА-DK и дАЕ/С. В них Z_D=AE^$Q°.
ЕУК^КЕ, АК— общая, следовательно, &ADK= &АЕК (по
гипотенузе и катету).
4. дВАК — д'сй/С (по трем сторонам).
Таблицы 7 и 8 целесообразно использовать для
проведения письменных обучающих или контролирующих
самостоятельных работ.
Например, учащимся предлагается решить два задания из
таблицы, а два ученика записывают эти же решения на закрытой
части доски для последующей проверки и обсуждения. Можно
построить самостоятельную работу по этим таблицам несколько
иначе: учащимся предлагается разобрать устно решения 2—3
заданий, а затем обсудить их всем классом. Такую работу можно
завершить письменной самостоятельной работой с последующей
проверкой ее учителем. Слабым учащимся можно предложить
изложить решение заданий, предварительно разобранных в
классе. Такой дифференцированный подход способствует мобилизации
внимания и побуждает к активному участию в работе не только
сильных учащихся, но и слабых, невнимательных учеников.
Заметим, что таблицы 7 и 8, также как и таблицы 1 и 3, содержат
систему вычислительных задач на отыскание чисел по их сумме
или разности либо по отношению, заданному числом или в
процентах.
Таблица 9 содержит 20 заданий на вычисление
внутренних и внешних углов треугольника по готовому чертежу. В
задании 2 желательно использовать свойство острых углов
прямоугольного треугольника. Задания 3—6 требуют использования
свойства углов при основании равнобедренного треугольника.
В заданиях 7—10 применяется теорема о смежных углах или
7

теорема о внешнем угле треугольника. В заданиях II—12
используется свойство биссектрисы и медианы равнобедренного
треугольника, проведенных к основанию. В заданиях 16—18
предварительно следует доказать равенство треугольников, а в
заданиях 19—20 находит применение свойство углов при
параллельных прямых.
Таблица 10 используется на уроке, посвященном понятию
расстояния от точки до прямой. В заданиях 1—3 перпендикуляр
AM уже построен, и учащиеся, сославшись на это
обстоятельство, объясняют, что именно AM должно быть принято за
расстояние от точки А до прямой ВМ. Далее в заданиях 1—2
находим АМУ используя свойство катета, лежащего против угла
в 30°, а в задании 3, вычислив угол Л, утверждаем, что АМ =
=Л1В = 4 см. В заданиях 4—6 учащиеся должны мысленно или
в тетради дополнить рисунок, после чего эти задания сводятся
к заданиям 1—3. В задании 7 должно быть использовано
определение касательной как прямой, проведенной перпендикулярно
к радиусу, следовательно, за расстояние должно быть принято
АС=Ъ см. В задании 8, если учащимся известно свойство радиуса,
проведенного через середину хорды ВМ, они сразу утверждают,
что CA.LBM и, следовательно, СА — 5 см. Если же это свойство
неизвестно, то оно должно быть предварительно доказано: так
как ДАВМ равнобедренный, то медиана АС является и высотой,
следовательно, АСА-ВМ. Решение заданий 10, 11 основано на
свойстве вписанного угла. Соединив А и М, учащиеся
доказывают, что AM J_BAf.
Таблица 11 содержит задания на нахождение градусной
меры вписанного угла. Задания 1—4 — одношаговые. В задании 5
сначала надо найти угол АОС, а затем угол ABC. В заданиях 6—7
градусную меру искомого угла следует рассматривать как
сумму или разность градусных мер прямого угла и данного.
В задании 8 используется свойство медианы в равнобедренном
треугольнике. В задании 9 можно сначала найти угол ADCy как
угол при основании равнобедренного треугольника DAC, а затем
использовать свойство вписанных углов ADC и ABC. В задании 10
можно сначала найти угол D, как один из острых углов
прямоугольного треугольника ACD, а затем воспользоваться свойством
вписанных углов ADC и ABC. В задании 11 можно заметить,
что Z-CAB — ЪО0, а тогда Z-ABC = 60°. Задание 12 также может
быть решено несколькими способами. Например, из
равнобедренного треугольника DOE получим, что Z_DO£ = 40°,
следовательно, Z_i4OC = 40°, и поэтому Z.ABC=4--40° = 20°. Следует
иметь в виду, что задания 9—12 — повышенной трудности и
могут быть рекомендованы для внеклассной работы.
8

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ТАБЛИЦАМ
ДЛЯ VII КЛАССА
Методика работы с таблицами, в VII классе такая же, как и
в VI, поэтому ограничимся только краткими замечаниями к
отдельным таблицам.
Таблица 1 содержит 9 заданий на использование
определения параллелограмма (1—6) и признака параллелограмма
(7—9). Задания 1, 3, 5, 8, 9 полезно рассмотреть после решения
задачи 15 § 6, в которой сформулирован второй признак
параллелограмма: «если две стороны четырехугольника равны и
параллельны, то он является параллелограммом». Заметим, что
при решении задания 9 следует воспользоваться тем, что сумма
углов треугольника равна 180°.
Таблица 2 содержит упражнения на отработку свойств
сторон параллелограмма и его частных видов. Задания 5—8
требуют дополнительного использования свойства катета, лежащего
против угла в 30°, и свойства углов при основании
равнобедренного треугольника. В заданиях 9 и 10 используется свойство
средней линии треугольника, а в заданиях 11 —12 находит
применение теорема Фалеса. Так, в задании 11 в силу равенства
углов ВОК и OKL AO\\KL, и EA=AL, так как ОЕ^ОК, откуда
следует, что EL = 2EA. В задании 12 OK\\FEt как два
перпендикуляра к одной прямой, следовательно, DK=KE, т, е. ОК —
средняя линия треугольника FDE, из чего следует, что EF = § мм.
Таблица 3 содержит 12 заданий на вычисление углов
параллелограмма и его частных видов и является как бы
продолжением таблицы 2.
Таблицы 4—5 содержат задачи 1 и 2, которые решаются
с помощью уравнений. В остальных заданиях предполагается
сначала определить вид параллелограмма. Так, в заданиях 3
обеих таблиц ясно, что параллелограмм, у которого один угол
прямой, есть прямоугольник; в задании 4 таблицы 4 доказывается
или используется тот факт, что параллелограмм, у которого
диагонали равны, есть прямоугольник. В заданиях 5—7 таблицы
4 и 4—6 таблицы 5 доказываются или используются ранее
изученные признаки ромба (параллелограмм, у которого или
смежные стороны равны, или диагональ является биссектрисой
угла, или диагонали взаимно перпендикулярны). В заданиях
7—9 таблицы 5 из условия следует, что ABCD — квадрат.
Таблицы 6—8 являются итоговыми по теме
«Четырехугольники» и могут быть использованы для проведения различных
фронтальных, индивидуальных или коллективных устных и
письменных работ.
Таблица 9 включает задания на применение теоремы
Пифагора, в которых предварительно необходимо обосновать
возможность ее использования. Так, в задании 7 следует
использовать свойство биссектрисы, проведенной к основанию равно-
9

бедренного треугольника, а в задании 8 — свойство средней
линии и свойство углов при параллельных прямых и секущей.
В задании 11 можно использовать признак ромба
(четырехугольник, у которого все стороны равны, есть ромб),
сформулированный в задаче № 31 § 6, а затем воспользоваться свойством
диагоналей ромба. На рисунке 15 четырехугольник АВСК —
прямоугольник, следовательно, С/( = ЛЯ —4 дм и .ZA/CC = 90°.
В задании 16 ЛЛВС = 90°, значит, ОВ^^АС, так как О —
центр окружности.
Таблица 10 содержит упражнения на решение
прямоугольных треугольников по двум заданным линейным элементам1.
Каждое из предложенных упражнений может быть решено
несколькими способами, что создает хорошие условия для
.формирования инициативы и творческих возможностей учащихся.
Рассмотрим в качестве примера различные способы решения
задания 7.
Так как /LАСВ = 90° и CD±A£, то CD2 = AD-DB, т. е.
CD =12 см. Затем ученик может воспользоваться терремой
Пифагора или фррмулами AC2 = AD-AB, BC2~DB*AB. Если учащиеся
за'были свойства высоты прямоугольного треугольника, они могут
решить эту задачу другим способом; например, обозначив
Z^DGB^a, заметим, что и Z-A = a. Отсюда tga=^~ (из
&<CDB) ntga=^- (та дАСО),т. е^=-^£-; С£>2 = 9.:16, и т. д.
Учащиеся могут привести и другие решения. Особенно полезно
популяризировать метод введения вспомогательного угла. К этим
упражнениям полезно вернуться после изучения подобия
треугольников.
Таблица 11 носит специфический характер. Задания 1—5
предназначены для отработки методов решения задач типа № 16
§7 с конкретными числовыми данными. Они могут быть решены
двумя способами, один из которых приведен в учебном пособии.
Например, для решения задания вторым способом продолжим
высоту BD треугольника ABC до пересечения с окружностью в
точке £ и рассмотрим дАВ'Е '(рис. 1). sLBAE = 90°, AD±BEt
следовательно, AD=-^-AC= 2 см ■« BB=nj2l. AB2=.B£SD9
т. е. 25=2/? л/2Т- Отсюда R^-~r^=^~~ см.
2 л/51 42
Задания 6—10 вместе с предыдущими призваны
способствовать повторению сведений о центре описанной окружности,
полученных учащимися в VI классе при изучении темы
«Геометрические построения».
1 Линейными элементами прямоугольного -треугольника сбудем считать 'его
стороны, высоту, проведенную к гипотенузе, а * таклае проекции кадетов *йа
гипотенузу.
10

Таблица 12 содержит набор
упражнений для выработки навыков использования
соотношений между сторонами и углами в
прямоугольном треугольнике. Полезно обратить
внимание учащихся на то, что для полного
решения прямоугольного треугольника
достаточно знать два его элемента, среди которых
хотя бы один — линейный. В частности,
работая с этой таблицей и таблицей 10, можно
заметить, что по заданным элементам можно
вычислить не только линейные элементы, но и
углы:
Таблицы 13—18 посвящены изучению темы «Подобие
треугольников». Упражнения 1—6 таблицы L3 можно решать
устно, со ссылкой на общее определение понятия подобных фигур.
На вопросы задания учащиеся могут отвечать примерно
следующим образом.
Задание 1.
По условию задания коэффициент подобия равен 2,
следовательно, каждая сторона А ABC вдвое больше
соответствующей, стороны. AAiiJiCi. Получаем а: =12 см, (/=1Фсм, z =
= 16 см.
Задание 6, можно решить, например-, так: Рааво~%1 см,
—р. =-— = 5, следовательно, каждая сторона ДА\В\С\
в 5 раз больше соответствующей стороны А ABC и т. д.
Таблицы 14—16 способствуют выработке навыков
обоснования подобия треугольников и записи равенства отношений
сторон, что создает прочную базу для решения задач с
числовыми данными, содержащихся вг таблицах 17 и 18. Задачи 7 и 8
таблицы 18 — повышенной трудности. Они носят
принципиальный характер, и можно посоветовать учителям разобрать эти
упражнения на внеклассных занятиях. Учащимся, проявляющим
повышенный интерес к математике, полезно запомнить фактьц
вытекающие из обоснования решения этих задач.
Г. Если проведены две пересекающиеся хорды, то
произведение отрезков одной из них равно произведению отрезков
другой:
2. Если из точки А вне окружности проведены две
полупрямые, одна из которых пересекает окружность в точках С и D
(С— между А и D), а другая касается окружности в точке В,
то ABDC= jLCBA и AB2=AC-AD.
Приведем краткую запись решения указанных выше заданий.
Задание 7.
Проведем хорды АС и BD и рассмотрим ААКС и ADKB
Срис. 2). Z.CAK= ABDKy как вписанные, стороны которых
проходят через одни и те же точки С и В окружности и вершины

Рис- 2 Рис. 3
которых лежат по одну сторону от прямой1 СВ. ЛАКС=
— ABKD, как вертикальные. Значит, дЛД'Ссо &DKB, и потому
d£=££, т. е. AK-KB — DK'CK, или 8.6=Ctf.{l6-CA;), т. е.
С/С2— 16'С/С + 48 = 0. Отсюда С/С= 12 сми/Ж=4 см, или СК =
= 4 см и DK= 12 см.
Задание 8.
Соединим точки D и В и В и С, а также проведем радиусы
ОВ и ОС (рис. 3). Получим ABDC^-^-, ЛВОС=±~ 080° —
— 2 Z.CBO)=90°—Z.CBO. Из определения касательной и
аксиомы измерения углов получим, что Z^ABC = 90° — /LCBO.
Следовательно, Z-BDA = /.ABC. Если еще учесть, что /LBAD
общий для треугольников ABC и ADB, то дАВСоа &ADB, или
AD=/\jf- Отсюда следует: ЛВ =ЛО*ЛС, или 4 = 4«ЛС. Значит,
ЛС= 1 см и DC = 3 см.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ТАБЛИЦАМ
ДЛЯ VIII КЛАССА
Каждая из таблиц 1—6 содержит набор упражнений,
отвечающих требованиям программы по геометрии для VIII класса
к практическим умениям и навыкам учащихся.
Таблицы 1 и 2 посвящены теме «Векторы на плоскости» и
содержат два варианта: 1) действия над векторами, заданными
направленными отрезками; 2) действия над векторами в
координатной форме.
Таблица 1 состоит из шести заданий. Рассмотрим решение
некоторых из них.
Такое пространное пояснение соответствует изложению материала
программы VI класса в учебном пособии А. В. Погорелова. В итоге завершения
курса геометрии можно будет, ссылаясь на него, утверждать, что. jLCAF== /LBDC%
как плоские вписанные углы, содержащие одну и ту же дугу СВ.
12

М(5,11)
В(2,6)
Задание!. у£
а) ВС — AD. Для
доказательства этого факта
достаточно воспользоваться либо
определением: Два вектора
называются равными, если они
совмещаются параллельным
переносом, либо признаком
равенства двух векторов: Если
векторы одинаково направлены и
равны по абсолютной величине,
то они равны. Первый способ
приведен в учебном пособии
А. В. Погорелова (см. задача 9,
с. 132).
При решении задания
вторым способом следует заметить, Рис 4
что полупрямые ВС и AD
одинаково направлены1.
Действительно, ABCD — выпуклый четырехугольник, следовательно, точки С и
D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ и так как
при этом ВС\\АР3 то BC\\AD2. ABCD — параллелограмм,
следовательно, \BC\=\AD\. Так же можно доказать, что
ЛВ = ДС, ВА — CD и т. д.
А (-5,2)
-5-4-3-2-1
Для доказательства равенства АО = ОС заметим, что
параллельный перенос, заданный парой точек Л и О, переводит
полупрямую АО в полупрямую ОС. При этом точка А переходит
в точку О и точка О в точку С, следовательно, АО переходит в
ОС, т. е. АО = ОС. На приведенном рисунке можно указать еще
и другие равные векторы.
Задание 2.
а) ЛВ = (Щ ВЛ=(-Г^);
б) \АВ\ =д/49+ 16 = Уб5«
в) Пусть М (ху у) — конец вектора СМ, равного АВ.
В таком случае СМ =(х-\-2у у — 7). СМ = АВ, если
* + 2 = 7,
J/-7-4,
следовательно, * = 5, у=\\ (рис. 4).
{
1 Мы предпочитаем в данном случае воспользоваться не определением
одинаковой направленности полупрямых, а следствием из определения,
сформулированным в задаче 5 (§ 10).
2 Представляется целесообразным здесь и в дальнейшем пользоваться
ставшими традиционными символами одинаковой (ff) и противоположной (||)
направленности.
13

С С В D
Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7
Задание 3.
Предлагая такое упражнение, мы имеем в виду, что учащиеся
будут решать его письменно в тетрадях (и на доске, если учитель
посчитает это полезным). Опыт показал целесообразность
следующей методики решения таких упражнений:
а) обозначим начало и конец вектора х соответственно
буквами А и В (рис. 5). Чтобы построить вектор х-\-у методом
треугольника, нужно отложить от точки В вектор ВС = у.
Получим х-т-у=АВ + ВС = АС. (Можно было бы отложить вектор
х от конца вектора у — ответ будет тот же, так как y + x—x-j-y.)
Для построения вектора х—у отложим вектор АС —у. Получим
х—у=АВ — АС = СВ (рис, 6);
б) в данном случае естественно воспользоваться правилом
параллелограмма: х + у = АВ + AC = AD, х — у = АВ — АС=СВ
(рис. 7); _
в) отложив от точки В вектор ВС = у, получим х-\-у=АВ +
+ ВС=ЛС (рис. 8). Отложив вектор АС = у, получим х—у =
=^АВ—АС = СВ (рис. 9); _ _
г) отложив вектор ВС=у9 получим х + у=АВ'+ ВС—АС
(рис. 10). Отложив вектор АС = у, получим х—у = АВ—АС =
= СВ (рис. 11).
Для успешного решения такого рода упражнений всеми
учащимися полезно предварительно выработать навыки решения более
простых упражнений, например:
от данной точки отложить вектор, равный данному вектору,
заданному направленным отрезком. Эти построения широко
применяются в курсе физики VIII класса. Учащиеся должны
твердо усвоить следующие рекомендации: _
а) чтобы к данному вектору х прибавить вектор у, достаточно
от конца вектора х отложить вектор, равный у\
б) чтобы от вектора х отнять вектор уу достаточно от начала
вектора х отложить вектор, равный у. В том и другом случае
следует выполнить приведенные выше записи, обозначив концы
и начала векторов буквами, и воспользоваться
соответствующими векторными равенствами.
и

Использование векторных равенств А В у
позволяет избегать ошибок, допускаемых х
учащимися при сложении и вычитании = ^
коллинеарных векторов. Решение упраж- у
нений типа задания 4 сводится к нахож- Рис. 8
дению суммы и разности векторов,
заданных в координатной форме 1,4) + -
+ */(5, —7)=(4, — 3) и т. д.), и к по- ^
строениям, описанным при решении за- А/^ ^ХС
дания 2. Решение упражнений типа у '
заданий 5 и 6 способствует повторению ^
теоремы Фалеса, правила деления отрезка у
на п равных частей, правила умножения р^
вектора на число, понятия абсолютной ис'
величины вектора.
Таблица 2 призвана завершить с ^ х~
перечень умений и навыков, которыми А
учащиеся должны овладеть в итоге нзу-
чения темы «Векторы на плоскости». За- У
даладя 1, 2, 7 несколько выходят за рамки Рис 10
учебного пособия. Однако они вполне
доступны всем учащимся и польза от них
несомненна. Эта задания представляют А _
собой примеры применения векторного ^ ■ .
метода к решению геометрических задач.
Особенно следует выделить задания 1 и 7. —=
Они показывают учащимся, что некоторые
изучавшиеся ранее теоремы могут быть Рис п
доказаны проще на базе новых знаний.
Разумеется, при этом следует быть уверенным в том, что нет
порочного круга. Например, нельзя выводить теорему Пифагора
как следствие теоремы косинусов, если сама теорема косинусов
доказывается на базе теоремы Пифагора. В данном случае
никакого противоречия нет, так как мы ссылаемся только на
коллинеарность векторов, правила сложения и вычитания векторов.
Для подтверждения сказанного приведем решение этих заданий.
Задание 1.
Д£ = ~ВЕ — BDy Ш=^ВС, следовательно, ~DE =
^=^{ВС — ВА\ т. е. DE=*~AC, а это значит, что DE и АС
коллинеарны и \Ш.\=^\АС\9 т. е. DE\\AC, DE = ±-AC. Точно
так Ж£ можно решизъ задание 2.
Задание 7.
&D=AD — AB, AC = AD + AB9 следовательно, BD-AC =
^AD^AB2^\AD]2-\AB\2 и так как \AD\ = \AB\y то
ВО.ЛС=0, т. е. BD±AC.
15

e
C(0,8)
p
/6
/ £
J-
' М{хвув)/
2-
h
M2,2)
-4-3-2-1 0
12 3 4 x
Рис. 12
A (-3,4)
С(5,8)
D(2, b)
-J -2 -7 0
Рис. 13
Задания 3, 4, 5, 6, 8 имеются в учебном пособии, а нами
включены для того, чтобы показать полный перечень видов задач.
Задания 6, б и 8 следует считать упражнениями повышенной
трудности, т. с. необязательными для всех учащихся. Приведем
их решение.
Задание 6, б.
Оно сводится к доказательству двух утверждений: ABCD —
параллелограмм и /И BAD = 90°.
1) Пусть М (лг0, Уо) — середина диагонали АС. лг0=—^—»
2 + 8 1 с
Уо~—9— , т. е. Xo = 1, уо — о.
4 — 2
Пусть N (хо, уо) — середина диагонали BD. Тогда Xq= = 1,
6 + 4
Уо = —— = 5, т. е. точки М и N совпадают. Иными словами,
диагонали ABCD пересекаются и делятся взаимно пополам, т. е.
ABCD — параллелограмм (рис. 12).
2) ЛВАР = 90°. Действительно, ЛО=( —4, 2), ЛЯ = (2, 4),
AD'AB=— 8 + 8 = 0, т. е. ADJlAB.
Задание 8.
Как и в рассмотренном выше задании, заметим, что диагонали
АС и BD имеют общую середину в точке М (1, 6), т. е. ABCD —
параллелограмм и так как \АВ\ = |Л£>| — 5, то ABCD — ромб
(рис. 13).
Примечание. Из нашего доказательства не следует, что
точки Л, В, С, D не лежат на одной прямой, т. е. что ABCD —
четырехугольник. Для вполне строгого обоснования решения
заданий б и 8 следует еще показать, что АВ и AD не коллинеарны:
ЛВ = (3.4), ЛО=(5, 0), следовательно, нет такого числа X, при
котором AB = X-AD.
16

Таблица 3 содержит основные случаи решения
треугольников. Задания 1—4 решаются при помощи теоремы косинусов;
для решения задания 6 необходимо воспользоваться следствием
из теоремы косинусов о сумме квадратов диагоналей
параллелограмма; задания 5, 7 и 8 требуют знания теоремы синусов. Задания
9—12 рекомендуется решать с помощью теоремы косинусов.
Приведем в качестве примера решение задания 12.
Задание 12.
ВС2 = АВ2 + АС2 — 2АВ-Ac-cos А, 13 = 5+10 — 2 V&0 cos Л,
следовательно, cos Л =т^-
Отсюда sin А = ~ "^~~т~~ . и поэтому x = ^Jb-s'm А =
7 Vio
ю
Следует иметь в виду, что в дальнейшем некоторые задания
такого типа (например, 9 и 10 из таблицы 3) можно будет решать
при помощи формулы Герона.
Таблица 4 содержит задачи на вычисление площади
треугольника. Первые две-из них могут быть решены при помощи
формулы S=-^~ab sin С или S=-^~ah, третью удобно решать
по формуле Герона, а в заданиях 4 и 5 удобно предварительно
вычислить высоту при помощи теоремы косинусов. Задания 6—8
представляют различные случаи вычисления площади
прямоугольного треугольника, а в заданиях 9—11 требуется вычислить
площадь правильного треугольника по стороне, радиусу
описанной или вписанной окружности. Задания 12 и 13 направлены
на повторение свойства биссектрисы внутреннего угла
треугольника и попутно дают дополнительный материал на вычисление
площади треугольника. Таким образом, обзорная беседа по этой
таблице создает условия для повторения всех важнейших формул
для вычисления площади треугольника.
Рассмотрим, например, решение задания 13.
Задание 13.
/LBDA= /.DAE— A BAD, следовательно, АС — биссектриса
г>лс ВС АВ ВС 13
угла BAEt и поэтому ^£-=jg-. т- cF^TT* Отсюда следует,
ЧТО S^abc =
Saabe = л/21 -6-8-7 = 84, следовательно,
SA^c=£f-84 = 40-^- (кв. ед.).
Таблица 5 содержит задания на применение всех
известных учащимся формул для вычисления площади
четырехугольника, включая выражение площади произвольного
четырехугольника через его диагонали и угол между ними.
17

Таблица 6 преследует такую же цель обзорного
повторения через набор задач. Причем мы настоятельно рекомендуем
выработать навыки решения упражнений таблицы 6 не по
готовым, «зазубренным* формулам, а ссылаясь на чертеж в
каждом отдельном случае. Например, выполняя задание 1, б,
учащиеся должны рассуждать примерно так: рассмотрим
&AOF.—=tg—^— , /fo = sin"^— • Следовательно, OF —
AF ~ л AF „ - а ~ р. а
OA = —- и так как AF=~, то OF= —г и
180° ' . 180° 2 ' Л 180°
ОЛ= 2_ (где OF = r, AO = R).
2 sin —:—
л
Решение задания 1 можно записать, например, так: О —
центр правильного треугольника ABC. Проведем OA и OFJLAC.
Так как А€=а9 то AF=~. В &AOF £OFA=W\ Z0*4F = 30o,
Of AF
следовательно, — = tg30°, ^=cos30°. Отсюда r~OF —
По заданию 5 учащиеся могут, например, дааать следующие
ответы:
г Г80° S, о 180е
а) ^-=хо& , следовательно, cos^
/? л ' ~— 1 52 . п ■
б) -^-==~sin 30°, т. е. -~-==-1-, следоаательно, |г-=-^-;
в) —=sm 45° =—, следовательно, —
)г . лап "уЗ 5| 3
——sin 60Q=*V"t следовательно, т"=^г"-
Здесь Si и S2 соответственно площади вписанного и
описанного кругов.
Многолетний опыт говорит о том, что решение любого, даже
самого простого упражнения такого рода учащиеся должны
начинать с чертежа-наброска и, ориентируясь на конкретную
ситуацию, давать ответ на поставленный вопрос.
Готовые формулы быстро забываются, и учащиеся
оказываются беспомощными в самых простых ситуациях, так как
привычка искать нужную формулу лишает их самостоятельности
и свободы выбора пути решения. Например, выполняя задание 1, б,
учащиеся могли рассуждать следующим образом. Так как
2
<LOAF = 30°, то R = 2r, следовательно, ' 4г2 — г2=^-.. т. е.
г== , R=а^ и т. д. На конкретных примерах следует
убеждать учащихся в том, что, если они забыли формулу, беды
18

нет. Надо только умело воспользоваться условием конкретной
задачи.
Таблицы 7—12 являются опорными конспектами некоторых
тем курса и могут быть использованы для организации итогового
повторения материала в конце VIII класса.
Таблица 7 призвана способствовать организации
повторения почти всего материала о прямых и отрезках, который
учащиеся должны всегда помнить (в итоге завершения курса
планиметрии) без специального повторения. Некоторые рисунки
могут показаться чрезмерно усложненными из-за обилия
отрезков. Однако, как показал опыт, они полезны (и доступны),
так как в них использована взаимная связь различных
геометрических понятий. В частности, на рисунке 9 изображено
взаимное расположение высоты, биссектрисы, медианы
треугольника, проведенных из одной вершины, на рисунке 10 — высоты
тупоугольного треугольника и т. д.
Эту .таблицу, как и таблицы 8—10, L2, полезно иметь в классе
в обычном размере для индивидуального пользования (на каждой
парте.)., а .также -в увеличенном виде как настенную.
Пользуясь таблицей 7, можно провести беседу о прямых,
отрезках, полупрямых.
^Рассматривая рисунок 1, учащиеся вспоминают аксиомы I]
и Ь, а ^акже .теорему 1.1. По рисунку 2 можно повторить аксиому
разбиения плоскости и свойства разбиения, а по рисунку 4 —
определение параллельных прямых, аксиому параллельности,
признаки и свойства параллельных прямых, пересеченных
третьей, теорЕму о единственности прямой, проходящей через
данную точку, параллельно данной прямой.
эПо рисунку 5 учащиеся повторяют понятие
перпендикулярных прямых, а по рисункам 7—8 — определения касательной и
секущей к данной окружности. Таким образом, таблица
способствует комплексному повторению всего материала о прямой. По
этой же таблице можно провести беседу об отрезках, а именно:
по рисунку 3 учащиеся повторяют определение отрезка, аксиомы
измерения н откладывания отрезков. По рисункам 6 и 5 повторяют
понятия перпендикуляра и наклонной, а также проекции
наклонной.
С помощью рисунков 7 и 8 можно повторить определения
радиуса, диаметра, хорды окружности, по остальным рисункам —
понятия высоты, медианы, биссектрисы треугольника, высоты и
диагонали параллелограмма, трапеции, средней линии
треугольника и трапеции, расстояния от точки до прямой,
расстояния между параллельными прямыми.
Таблица 8 содержит рисунки, позволяющие в краткой
беседе повторить определение угла, понятие луча, проходящего
между 'сторонами угла, понятие развернутого угла и его традус-
ной меры, аксиомы измерения и откладывания углов
(рисунки >1, 2). 1П0 рисунку 3 можно повторить определение и свойства
19

Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16
вертикальных и смежных углов, а по рисунку 4 — теорему о
сумме внутренних углов треугольника и свойстве внешнего угла.
Рисунки 5—9 способствуют повторению понятия плоского угла,
центрального угла и плоского вписанного угла, угла между
векторами. Таблица завершается рисунками, иллюстрирующими
сохранение углов при движении и гомотетии. При составлении
таблицы авторы учитывали возможности использования ее в
работе по любому учебному пособию по геометрии,
соответствующему школьной программе. В этой связи следует обратить
внимание на рисунки 6—8. В пособии А. В. Погорелова
(издание 1983 г.) нет понятия плоского вписанного угла, как и
ничего не сказано о соотношениях между градусными мерами
плоского вписанного и центрального углов, содержащих одну
и ту же дугу, о равенстве дуг, соответствующих равным
центральным углам, и т. д. Однако из принятых в учебнике
определений все это совершенно четко и непосредственно вытекает.
Действительно, из курса VI класса учащиеся знают, что в случае,
соответствующем рисунку 14, /.АВС=-^-а, в случае,
представленном на рисунке 15, Z.ABC=180°—а =-^-(360° — а),
а в случае, если АС — диаметр, Z_4BC = 90° (рис. 16).
В каждом из этих случаев плоский вписанный угол ABC и
центральный угол АОС содержат одну и ту же дугу АМС и
градусная мера плоского вписанного угла равна половине
градусной меры центрального угла, содержащего' ту же дугу,
и ~- градусной меры этой дуги. Из определений центрального
угла и соответствующей ему дуги и равенства их градусных
мер следует, что равным центральным углам данной окружности
соответствуют равные дуги и равные стягивающие их хорды и
наоборот. Это легко может быть обосновано, ссылаясь на поворот
или на равенство треугольников.
Все сказанное выше следует сообщить учащимся, иначе они
20

не будут понимать, как практически строятся правильные
вписанные или описанные многоугольники, не будут в должной
мере пользоваться свойством вписанного угла и т. д.
Иллюстрацией всех изложенных фактов служат рисунки 6—8 на таблице 8.
Причем представляется возможным и целесообразным
употреблять общепринятое обозначение дуги (рис. 8 табл. 8).
Таблица 9 может быть использована для организации
итогового повторения признаков равенства треугольников,
свойства и признака равнобедренного треугольника, а также
свойства медианы (высоты, биссектрисы) равнобедренного
треугольника, проведенной из его вершины.
Расположение рисунков на таблице соответствует
последовательности и взаимной зависимости доказательств
соответствующих теорем. На рисунке 1 показан AMNP, переходящий в
AM\N\Pi при некотором повороте. Ссылаясь на него, можно
повторить ответы на следующие вопросы:
1. Что такое поворот около данной точки?
2. Какие вы еще знаете виды движений?
3. Какими свойствами обладает движение?
4. Какие две фигуры называются равными?
5. Какие треугольники называются равными?
Можно было бы вместо поворота выбрать любое другое
движение. Этот рисунок служит напоминанием о том, что «две
фигуры называются равными, если они движением переводятся
одна в другую». В частности, это относится к равенству
треугольников.
Проводя беседу, учитель может напомнить учащимся, что,
когда речь шла о равенстве треугольников, мы говорили, что
AMNP = /\M\N\P\, если MN = MxNu MP = MXPU NP=NlPu
Z.M=Z_Afi, AN = /-Nu Z-P= /..Pi. Это определение
равносильно приведенному (в качестве примера) на рисунке. Здесь
М->Л1|, N-*N{9 Р->Р\ и так как при движении отрезок
переходит в отрезок и сохраняются углы, то AMNP--*-AM\N\P\.
Учащиеся в итоге должны понимать, что равенство
непосредственно связано с движением, и если говорят, что AMNP =
= AM\N\P[7 то это значит, что существует движение, при
котором М^М\ и т. д., т. е. Z-M=Z-M\, AN=AN\, Z_P==/-Pi
и т. д. и пренебрежительное отношение к порядку следования
букв в записи может привести к ошибкам.
По рисункам 2 и 3 можно повторить формулировки и
доказательства первого и второго признаков равенства треугольников,
а по рисункам 4, 5, 6 — опирающиеся на них обоснования
сведений о равнобедренных треугольниках. Рисунок 7
иллюстрирует третий признак, обоснование которого опирается на весь
предыдущий материал темы.
Таблица 10 построена по этому же принципу.
Рассматривая ее, учащиеся понимают, например, что в ответ на
требования учителя перечислить свойства прямоугольника они должны
21

перечислить свойства параллелограмма (так как
прямоугольник— это особый вид параллелограмма), а также особые
свойства прямоугольника (равенство его диагоналей). Последний
рисунок напоминает, что квадрат обладает всеми свойствами
параллелограмма, прямоугольника, ромба.
В таблице в четкой последовательности представлены
определения, признаки и свойства параллелограмма,
прямоугольника, ромба; квадрата.
Таблица 11: призвана напомнить учащимся, что центром
окружности, описанной около многоугольника, служит точка
пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, т. е.
окружность можно описать около многоугольника1, если
серединные перпендикуляры к его сторонам имеют общую точку.
Окружность можно вписать в многоугольник, если все
биссектрисы его углов пересекаются в одной точке. Последние
два рисунка напоминают, что только у правяыгьных
многоугольников центры вписанной и описанной" окружностей
совпадают.
Таблица \2 посвящена обзору основных теоретических
положений темы «Векторы на плоскости»*.

VI КЛАСС
Таблица 1
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
0
Д а и о: Z.ABC и CBD — смежные,
/LABC— <LCBD = 20°.
Найдите: /.ABC и Z.CBD
D
©
Дано: /LKLM и /LMLN смежные,
/LKLM = 3 /MLN.
Найдите: Z.KLM и /LMLN
©
Q
Дано: /-PQR и /LRQS — смежные,
Найдите: Z. RQS и ^ PQ/?
©
Дано: /~{аЬ) и — смежные,
£{Ьс); Z.(afc)=4:5.
Найдите: (ab) и Z (6с)
23

Таблица 2
* 25
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.

Таблица 3
Дано: ДЛВС, АВ = ВС, АС—АВ
= 3 см, Р = 15,6 см.
Найдите: АС, ЛВ, ВС
©
Дано: ААВС, АВ = ВС, АВ — АС
= 3 дм, Р= 18,12 дм.
Найдите: ЛВ, ВС и Л С
©
Дано: A ABC, АВ=ВС, ЛВ= 1,6 Л С,
Р = 21 м.
Найдите: АС, АВ и ВС
©
Дано: л ЛВС, Z4 = ZC, ЛВ=0,8ЛС,
Р = 7,8 м.
Р£ Найдите: ЛВ, ЛС и ВС
©
Дано: ДЛВС, Z^ = ZC, ЛС:ЛВ = 3:4,
Я = 5,5 м.
Найдите: АВ, ВС и АС
©
Дано: Л ЛВС, /_А =/_С, АВ:АС
:13:11, ЛВ — ЛС = 2.1 см.
Найдите: ЛВ, ВС, ЛС
27
ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Таблица 4
29
СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Найдите A DBA.

Таблица 5
31
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Найдите пары параллельных прямых (отрезков) и докажите
* их параллельность.

Таблица 6
©
©
©
©
©
©
©
33
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.

Таблица 7
Дано: а||6. с — секущая, Z. 1 « 4 Z.2.
Найдите: Z.1 и Z.2
0
©
Дано: аЦ6, с — секущая. Z. 1 — Z.2 — 30'
Найдите: Z.I и Z.2
©
Дано: а||Ь, с—секущая, Z2 = 0,8Z.l.
Найдите: /L \ и Z.2
©
Дано: а\\Ь, с — секущая. £. 1: /.2 = 4:5.
Найдите: /. 1 и Z.2
©
Дано: a\[bt с — секущая, ZL2 составляет 80% от Л I
Найдите: Z. 1 и Z.2
2*
оо
СВОЙСТВА УГЛОВ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 8
Дано: дЛВС, г.А = 2 ЛВ, ЛС=г.А+№.
Найдите: Z./4, /.В и /.С
Дано: аАВС, а.А: /.В: ZC=2:3:4.
Найдите: AAt Z.B и Z.C
Дано: ААВС, АВ^ВС, ^Л = 1,5Лб.
Найдите: Z-Л, ZB и Z.C
4 С
Дано: ААВС, /.ABD=/LDBCt AD — DB,
Найдите: Z.B и Z.C
Дано: ААВС, /.А =0,6^5, Z.BCD —
внешний,. Z. BCD = 80°.
Найдите: Z-A7. Z.B, Z.C
4 CD
37

ТаЬлица У
©
в
©
l"4^ .
© к
/\
р
А с
к L
©
г
с
А '
В
с 1 £
© А
©
в
в с
Е
F АС
© с, 1-
d
Оо)^ ( л ^
7*0°(/а
ч
УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Вычислите все неизвестные углы треугольника.

Таблица 9
(продолжение)
41

Таблица 10
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
Найдите расстояние от точки А до прямой ВМ.
©
©
©
АМ^бсм
ВМ-касотельная ВточквС
ВМ=Юсм
0-центр окружности
®
0-центр окружности

Таблица 11
45
ВПИСАННЫЙ УГОЛ
Найдите градусную меру угла ABC (О — центр окружности).

VII КЛАСС.
©
в с
©
в с
© Д
A ЗДс
D
А Л
A D
©
е с
©
в с
©
В С
И
N
И
A D
A D
A D
ЛАВС= ACDA
©
В с
®
в с
©
в с
N
[HI
М
a d
a d
a d
47
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Таблица I

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Найдите периметр параллелограмма.
Таблица 2
Параллелограмм
Прямоугольник
Ромб
Квадрат
©
©
В Уем с
Кем
N 4дм М
©
F 8мм Е
©
N
М 1дм К
F К £
©
В
5см
М В К
А0=2дм 0В=4дм
®

Таблица 3
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Найдите все неизвестные углы.
Параллелограмм Прямоугольник Ромб Квадрат
© © © ©
© ® ® , ®
В С\ N Р A J С A D
D1

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ Таблица 4
Найдите углы параллелограмма ABCD.
г—
©
в
ЛЛ:^В = 1:3
©
в
/LA=90C
©
AO=BO = CO=DO
©
AB=AD
/_ОАВ = Ж
©
/_BAO=/.OAD
/.OAD\/.ODA=\:2
/.ВОС = 90°
<LOAD;AODC=\:2

Таблица 5
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Найдите стороны параллелограмма ABCD, зная, что его
периметр равен 24 см.
©^
в
AD-AB =Jcm
©
в
АВ:вс=1:2
©
в м
мс-мв=зсм
©
©
©
в
в
в
©
©
©
в
в
8

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 6
©
©
©
Дано:
дЛВС,
АК=КВ.
KZ\\AC.
ZM\\AB.
РД KZM = 15 см-
Найдите:
Р аавс
Дано: А ABC.
MA=MB = BN~=
= NC = MN^8 см
Н а й д и т е:
а) стороны а ABC.
б) углы а ABC
Дано: ABCD —
параллелограмм,
М. N. P. Q —
середины сторон,
АС =10 см, BD =
Q =6 СМ.
©
Укажите вид
MNPQ. Найдите
РMNPQ
В
\
\
S
1
\
У
~р
Дано: ABCD —
параллелограмм,
AB = BC = CD.
М. N. О. Р —
середины сторон.
Укажите вид
четырехугольника
MNQP
©
©
Дано: ABCD —
квадрат, М. N. Р.
0 — середины
сторон.
Укажите вид
четырехугольника
MNPQ
Дано: ABCD —
прямоугольник, М,
N. P. Q —
середины сторон.
Укажите вид
четырехугольника
MNPQ
К7

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ
Таблица 7
©
©
Дано: AM =
= МВ, BN — ND.
Докажите,
что MP — средняя
линия ABCD
Дано: ВМ =
MN\\PQ\\RS\\AD,
ВС= 15 см, AD^
= 23 м.
Найдите: MNt
PQ, RS
Дано: MN —
средняя линия,
ЛШ=18 см.
^LBCD= 135°,
ABA-AD,
BC:AD = 1:8.
Найдите: АВ
©
Дано: AM =
= МВ, CN=ND,
MN=2\ см,
MK:KP:PN==
=2:3:2.
Найдите: Л£>
и ВС
©
©
Дано: ИЛ* =
= MB^=CN=ND,
BKA-AD, ЛК = 3,
ВС=7.
Найдите: MN
Дано: АМ =
= MB = CN=ND,
jLBAC^Z^CAD,
Af/C=3 дм. KN =
= 5 дм.
Найдите:
Pabcd

Таблица 8
©
Д а н о: М, Л/, Р.
Q — середины
сторон ABCD.
Докажите,
что MNPQ —
параллелограмм
©
Дано: MN и
NP — средние
линии &АВС.
Докажите,
что AMNP —
параллелограмм
©
В 2
Дано: ABCD
параллелограмм,
4
BZ=^r ВС.
4
CN=^ CD,
4
DK^^rAD.
Докажите,
что MZNK —
параллелограмм
©
Дано: ABCD —
трапеция» JLBEA =
^jLCDA.
Докажите,
что BCDE —
параллелограмм
£ В
©
Дано: AF^BC,
/LEAF•= /.ВСЕ.
Докажите,
что ABCF —
параллелограмм
©
Дано: ABCD —
трапеция, BC = ED.
Докажите,
что BCDE —
параллелограмм
Е D
U1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Таблица 9
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Найдите х.
©
А X см В
©
©
©
а дм
Р Хдм N
6дм Е F
С К
©
©
©
а\\Ь
5см
В
J" —
Юсм/
в см
А хсм к Ь

Таблица 9
(продолжение)
В 6см
ХСМу*
4см
A BCD -прямоуголь ник
Хсм
АС=6 см ВО=всм
©
хм
ABCD — квадрат
©
©
©
В
1
J90° /
Хм Л?
/
/
В С
!
л90*\
ZCMho*
\
1
ХСМ \
Ьдм
А 4м И D
АВСП-параллелограмм
К
ABCD - трапеция
И 2дм D
ABCD -трапеция
©
@
©
О—центр окружности
2см
А Хсм ~£
АВ - касательная
/Ьсм
D
Зсм
Хсм j
в
О-центр окружности

Таблица 10
АВ=25м
©
© Л
©
©
/6 см D 9 см В
©
©
АВ=10м
67
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Найдите неизвестные линейные элементы прямоугольного
треугольника ABC (zlC=90o).

Таблица 11
Найдите /?.
В
ЛВ==ВС=5 см, ЛС=4 см.
ЛВ=л/2. ВС=л/7.
ЛВ: ЛС= 13:10. РАвс=72 см
ЛВ=ВС=6 дм.
ЛВ-ЛС= 13 см. Я>1вс=98см'
^.Л = 30о. ЛВ=л/3 м.
ЛВ = ВС=ЛС=2л/3.
ВМ — медиана. ВМ==5 см.
/Т\ ЛВ=ВС=ЛС=а.
^/0^ ЛВ«2а. ВС=у.
69
РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО РАВНОБЕДРЕННОГО
И ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Таблица 12
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Найдите х.
8см/
©
Хл
1м
у
1
© у]
©
1
Хдм
® л
®п
2м
® л.
®
71

Таблица 13
СВОЙСТВА ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Дано: дАВСсо AAiBid.
Найдите: xt у, z
© д.
/ \ А, 2 С,
А. 6см С £%£=2
©
В
© A /v**
А А, ~АВ=2
0A Л
A b L /р=42см\
с:а:Ь=б:7:8 j- Vy
© /V
.../V- / \
@A Л
/ \л, Уем С,
А вен С
АЬС 1 \
c:a:b-6:7:8 ,Z—16cM \r
At
© л
ч-/ D 12см/ \
А / \*см
бс^^Х Г,
г
^ с:а:Ь=6:7:8 у—х=4см
® л Л
бел/ \Хсм 1 \
I \ 12смI \j4cm
А Всм С / \
Af Ycm с1
/4 Ai
A с:а:Ь=6:7:8 х+у=70м
73

Таблица 14
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Найдите пары подобных треугольников и докажите их
подобие. Запишите равенство отношений соответствующих
сторон.
©
©
©
©
A D
ABCD—трапеция
A D
ABCD ^трапеция
75

Таблица 15
©
©
© „А
©
а а р с
MNPQ -прямоугольник
АР С
AMNP-параллелограмм
©
©
©
О-центр окружности
А В -касательная
ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Найдите пары подобных треугольников и докажите их
подобие. Запишите равенство отношений соответствующих сторон.

Таблица t6
ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Найдите пары подобных треугольников.

^ Таблица 17
L ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Дано: А ЛВС, MN\\AC.
Найдите: х. i/
ХМ
М
А
^УКм
АВ=1бм
® А
—Юдм
А
АВ=20дм
® х
лг>Ц \ы
/ 4-см \
^ 12см С
АВ-Хсм
4см
М
-
: ■
—\л/
хсмХ
а// \"
J ХМ \5м
® /1°
му*~—Jn
/ бм /
/ /4м
А 15см С
• 1 АВ=12см
А 75м С
А Хм С
Св « 12 м
АТС
: АВ=16 см В
*■' -
Лч
16дм/ I
7 г \
®А
10см/ VА/
X 4гм/ \5гм
С N 5дм В
ВС=8дм
С Af в
Р у/ \j
1 AfZ A/v
г'г" / x \
to / \
® А
у/ \х
21 \j
® -Л
V \ V
• ■ • »
ЩгА Ю С
4/2 6
ейг заказ 33 81

ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 18
Дано:
ДЛВС, MP
\\NQ\\AC,
BM:MN:NA~
= т:л:р.
Найдите:
BP:PQ:QC
©
Дано: ДЛВС,
ADEF —
параллелограмм, Л5 =
= 20 см,ЛС = 25 см,
ЛД:£)£=6:5.
£ Найдите: AD
и DE
Дано:
ABCD —
параллелограмм,
ВЕ:ВС=7:5,
ЛВ = 105 см.
Найдите:
BF
©
Е С =
Дано:
ABCD —
параллелограмм, OF Л
±BCt АВ =
= 2 см, BF=
= 5 см, ВС=
9 см.
Найдите:
BE
N D
©
Дано:
АВ и CD —
хорды, Л/г=8 см,
/гВ=6см, С£> =
= 16 см.
Найдите:
CF и FD
Дано: ABCD —
параллелограмм,
Л£:£С=7:5,
ЛВ = 15 см.
Найдите: ВТ7
©
Дано: ABCD —
параллелограмм,
BNJ-AD, BF±CD,
BN:BF=2:3.
Найдите: АВ
и АО
А N
©
Дано: АВ —
касательная. Л/) —
секущая, АВ = 2 см,
AD = 4 см.
5
Найдите: АС
и С£>
4*
83

VIII КЛАСС
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
Таблица t
Равные векторы
A D
ABCD —параллелограмм
Укажите родные Векторы
©
Дано: точки А (— 5, 2) и
2 JB(2t 6).
а) Найдите координаты
векторов АВ и В А.
б) Найдите \АВ\.
в) Отложите вектор,
равный АВ: а) от точки С ( — 2,7),
6) от точки О (0, 0)
Сложение векторов
Найдите х-\-у и х—у.
©
су V / 6} /
б/
г)
Дя+ВС—АС АВ—вс=св
©
Дано:
а) *(-!. 4), у (5, -7);
б) *(0, 4), ^(5, -5);
в) *(4. 0), у(0, 7).
Отложите данные и
полученные векторы от начала
координат
Умножение вектора на число
©
Дано: векторы а и 6.
Постройте: 2а, — 36, —~ 6,
-уа, -|б, 2^-36,
®Д а н о: векторы а ( — 2, 5) и
Найдите: |2а — 361, |3а +
+ 61, 156-а|
85

Таблица 2
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
Коллинеариые векторы
/Т\ о Дан о: DE —
1 ' ) д средняя линия.
/\ Докажи-
/ \ те: a) DE\\AC.
Df V 6)DE=\AC
1 \
А С
а) Докажите, что век-
\£/торы о(2.4) и 6 (— К— 2)
коллинеарны.
б) Найдите т, если
известно, что а (2, 5) и 6 (т. 9)
коллннеарны. Запишите
соотношение между а и b в
виде а = Х6.
в) Даны точки Л ( — 2, 2).
В (5, 6). С (10. 5). D(3, 1).
Дане:ВС =
d/\* =iBC
/ \ Докажи-
/ \ те: DEW AC,
А С DE = -jAC
Докажите, что ABCD—
параллелограмм
Скалярное произведение векторов
/
A
Дано: АВ =
в =ВС = АС = 2.
Найдите:
/ \ а) АВ-ЛС,
/^Г\ а) Найдите угол между
Vfy e(I, 3) и 6(-1. 5).
б) Даны точки А (2, 2).
В (4, 6), С(0. 8). D(-2, 4).
/ \ б) АВВС
С
Докажите, что ABCD—
прямоугольник.
в) Даны точки А ( — 2, 2),
В (-8, -1). С ( — 8, -5).
©1
С
Найдите:
Ч а) АВ-АС,
N. б) АВ-СА,
>v в) СА-СВ
1 А
Найдите косинусы углов
длдс
/Т\ Даны точки i4(—3, 4).
{8)В(0, 8), С(5, 8), D& 4).
Докажите, что ABCD—
ромб
В I S Докажи-
\ZJ /\ У] т е. что AC±BD
KV
A D
87

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Четырехугольник ABCD — параллелограмм,
ния х и у.
Таблица 3
0
©
ВП=Х
©
в с
А 23 D
©
С D
©
В
\75
/ х
"1
1 J
АС=П
©
5
/
/
1 \
®
0
89
Найдите значе-

Таблица 4
©
В
©
А 15 С
© А
А 9 С
Л 5 С
© л.
Ms I \^
1
А Ш С
А 75 С
© С
В
А
4 ю с
© А
А 51 С
А С
А С
АВ=ВС=АС
©
J
°/ ^^^^ fif='5
1 ;з D
/1 ' /4 f
91
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Вычислите площадь треугольника ABC.

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
Найдите площадь ABCD.
Таблица 5
ABCD — прямоугольник
ABCD — параллелограмм
ABCD — трапеция
ABCD — произвольный четырехугольник
BD=78
АС=Г2

Таблица €
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Обозначения: а — сторона многоугольника, R (г) —
радиус описанной (вписанной) окружности, S — площадь
многоугольника.
На рисунках 1 найдите R, г, S. На рисунках 2 найдите а и S.
На рисунках 3 найдите а и S. На рисунках 4 найдите
На рисунках 5 найдите отношение площади вписанного
круга к площади описанного круга.
л-угольник
Треугольник
Четырехугольник
Шестиугольник
© „
180*
п
А а В
В
© .
то*
п
©
„ too*
О ~п
©.
160*
п
95

ПРЯМАЯ, ОТРЕЗОК. ПОЛУПРЯМАЯ
Таблица 7
0
В
А€а, сеа, В€а
©
м
N
Р а
А/€ос
©
А С В
АВ-отрезон> С€АВ, АС+СВ=АВ
а
©
а НЬ
СЖЬ
т
а-полупрямая ОК=т
т\\п
с
^ -—'—"л?
а
г
к
Ь
lJU>3
1
т
/
•
п
©
Q и Ь-прямыеt
a±b
В а
й-прямая,
АВ->отрезок7
АВ±а
АВ±а
BD1AC,
AF=FC, LABE~LEBC
®
BDLAC, СЕ1А8, AF1BC
А Е
BEXAD, BFUD
Е D
ВМ*АМ% CN=ND9
CE1AD
97

УГЛЫ
Таблица 8
99

РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ Таблица
A D С A D С A D С
AD=DC £ABD=£CBD 8D±AC
©
101

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Таблица 10
1)Если А0=ОС
и BO=>OD,
то АВСЛ-ларал-
лелограмм
2) Если BC=AD и
BC\\AD,mo
D ABCD-параллелогромм
Если ABCD-пароЛ'
лелограмм, то
t)A0=OCu0B=OD
2)BC=ADuAB=CD
3)LBAD =L8CD и
LABC=LADC
LBAD+lABC-160{
В
С
В
AB1AD
<
^►f AB=BC
A
D
D
ins

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
Таблица И
1
©
©
в
®
АВ=ВС
АВ=ВС=АС
®
F М €
АВ^ВСшСП =DE-EF~FA
LA*LB~LC=LD-LE-Lf
105

ВЕКТОРЫ
Таблица 12
©
Если |о| = |61 и а\\Ь% то а = 6.
©
Если а_— bL то |а|
= |6| и а\\Ъ.
©
Если jc2 — х\ —*2 — х\ и 1/2 —
-Ух=У2-Уи то ЛВ = СО.
4
Щ*'2,У2)
©
Если AB = CD, то
*2 —*1=*2 —*1 И 1/2-
— <Л = </2—irf.
B(x2ty2)
ВЫ)
A(x„yt)
©
АВ+ВС=АС AB+AD=AC
АВ-АС=С8 AB-AD-DB
©
у}а{аи o2)+6(6i. 62)=c(a,+6i,
^2+62)
а (аь a2) — 6 (6b 62)=c(ai—6i,
«2 — 62)
а+6=6+а
а-Н6 + с)=(а4-6) + с
©
(ai, a2)=c Xa2)
(Х+>л)а = Ал + ца
A,(a-|-6)==ta-f Я.6
107

Таблица 12
( продолжение)
fg\ a = kb(k>Q) а = П (Х<0)
\a\=X\b\ \a\=-l \b\
X/ 4N.
0 i
a
1
(at, a2), 6 62)
= kb
i bi
X
(f2^ a-b^= \a\-\b\ cos ф

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие , , 3
Общие методические рекомендации по использованию «Упражнений по
планиметрии на готовых чертежах» , . . 4
Методические указания к таблицам для VI класса .... . 5
Методические указания к таблицам для VII класса ... . 9
Методические указания к таблицам для VIII класса . . . 12
VI класс
Таблица 1. Смежные углы 23
Таблица 2. Признаки равенства треугольников 25
Таблица 3. Периметр равнобедренного треугольника 27
Таблица 4. Свойства равнобедренного треугольника 29
Таблица 5. Признаки параллельности прямых . . . 31
Таблица 6. Признаки равенства прямоугольных треугольников 33
Таблица 7. Свойства углов при параллельных прямых 35
Таблица 8. Углы треугольника . . 37
Таблица 9. Углы треугольника ... 39
Таблица 10. Расстояние от точки до прямой 43
Таблица 11. Вписанный угол 45
VII класс
Таблица 1. Определение и признак параллелограмма 47
Таблица 2. Свойства параллелограмма . 49
Таблица 3. Свойства параллелограмма . . 51
Таблица 4. Параллелограмм , 53
Таблица 5. Параллелограмм 55
Таблица 6. Средняя линия треугольника . . 57
Таблица 7. Средняя линия трапеции 59
Таблице 8. Определение и признак параллелограмма - 61
Таблица 9. Теорема Пифагора 63
Таблица 10. Теорема Пифагора. Пропорциональные отрезки в
прямоугольном треугольнике 67
Таблица 11. Радиус окружности, описанной около равнобедренного и
прямоугольного треугольников 69
Таблица 12. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном
треугольнике , 71
111

Таблица 13. Свойства подобных треугольников 73
Таблица 14. Первый признак подобия треугольников 75
Таблица 15. Подобие треугольников 77
Таблица 16. Второй и третий признаки подобия треугольников 79
Таблица 17. Подобные треугольники 81
Таблица 18. Подобие треугольников 83
VIII класс
Таблица 1. Векторы на плоскости 85
Таблица 2. Векторы на плоскости 87
Таблица 3. Решение треугольников 89
Таблица А. Площадь треугольника 91
Таблица 5. Площадь четырехугольника . 93
Таблица 6. Правильные многоугольники 95
Таблица 7. Прямая, отрезок, полупрямая 97
Таблица 8. Углы 99
Таблица 9. Равенство треугольников 101
Таблица 10. Параллелограмм 103
Таблица 11. Вписанные и описанные окружности 105
Таблица 12. Векторы 107
Светлана Михайловна Саврасова
Григорий Аронович Ястребинецкий
УПРАЖНЕНИЯ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ
Зав. редакцией Р. А. Хабиб
Редактор Т. В. Автономова
Младший редактор Л. £. Козырева
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор И. Е. Хилобок
Корректор Н. С. Соболева
ИБ № 10398
Сдано в набор 05.01.87. Подписано к печати 19.06.87. Формат 60 X 90(/i6<
Бумага типографская Hi 2. Гарнитура Литературная. Печать высокая. Усл. печ. л.
7Д Усл. кр.-отт. 7,25. Уч.-изд. л. 3,96. Тираж 196 000 экз. Заказ 33. Цена 10 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство сГ^росвещение»
Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат
Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств,
поляграфка а хнкжясй торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского. 59