/
Автор: Балаян Э.Н.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа математика учебные пособия и учебники по математике геометрия егэ задачи по геометрии гиа егэ по математике
ISBN: 978-5-222-21133-5
Год: 2013
Текст
Большая перемена
Э.Н. Балаян
ГЕОМЕТРИЯ
Лучшие задачи
на готовых чертежах
для подготовки
к ГИА и ЕГЭ
7–11 классы
Ростов-на-Дону
еникс
2013
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
КТК 444
Б20
Б20
Балаян Э.Н.
Геометрия : лучшие задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ : 7–11 классы / Э.Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2013. — 274 с. : ил. — (Большая перемена).
ISBN 978-5-222-21133-5
Предлагаемая вниманию читателя книга содержит более 1000 разноуровневых задач по основным темам программы геометрии 7–11 классов на готовых
чертежах.
Задачи 7–9 классов скомпонованы в 3 комплекта, содержащих 49 таблиц,
а 10–11 классы — 80 таблиц.
Эти задачи дают возможность учителю в течение минимума времени решить и повторить значительно больший объем материала, тем самым наращивать темп работы на уроках.
Кроме того, предлагаемые задачи не только помогут учащимся углубить
свои знания, проверить и закрепить практические навыки при систематическом изучении курса геометрии, но и представляют хорошую возможность
для самостоятельной эффективной подготовки к успешной сдаче ГИА и ЕГЭ.
Для удобства пользования книгой приводятся подробные решения к наиболее трудным задачам, а также краткие теоретические сведения, сопровождаемые определениями, рисунками и необходимыми справочными материалами. Ко всем задачам даны ответы.
Пособие является прекрасным дополнением к существующим учебникам
геометрии, адресовано прежде всего учащимся общеобразовательных школ,
лицеев, колледжей, учителям математики, студентам — будущим учителям,
а также репетиторам.
ISBN 978-5-222-21133-5
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
© Балаян Э.Н., 2013
© Оформление, ООО «Феникс», 2013
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ
Предисловие ............................................................................... 8
ПЛАНИМЕТРИЯ
Раздел I. Краткие теоретические сведения ....................................10
Раздел II. Задачи в таблицах .......................................................33
VII класс
Таблица 1. Смежные углы ....................................................................... 33
Таблица 2. Вертикальные углы ................................................................ 35
Таблица 3. Признаки равенства треугольников .......................................... 36
Таблица 4. Периметр равнобедренного треугольника .................................. 39
Таблица 5. Свойства равнобедренного треугольника.................................... 40
Таблица 6. Признаки параллельности прямых ........................................... 41
Таблица 7. Свойства углов при параллельных прямых ................................ 44
Таблица 8. Углы треугольника ................................................................. 45
Таблица 9. Углы треугольника ................................................................. 46
Таблица 10. Некоторые свойства прямоугольных треугольников .................. 49
Таблица 11. Признаки равенства прямоугольных треугольников .................. 51
Таблица 12. Расстояние от точки до прямой ............................................... 52
VIII класс
Таблица 1. Определение и признаки параллелограмма ................................ 53
Таблица 2. Свойства параллелограмма ...................................................... 55
Таблица 3. Свойства параллелограмма ...................................................... 57
Таблица 4. Параллелограмм..................................................................... 58
Таблица 5. Параллелограмм..................................................................... 59
Таблица 6. Трапеция ............................................................................... 60
Таблица 7. Трапеция ............................................................................... 61
Таблица 8. Площадь прямоугольника ....................................................... 62
Таблица 9. Площадь параллелограмма ...................................................... 63
Таблица 10. Площадь треугольника .......................................................... 65
Таблица 11. Площадь трапеции ................................................................ 67
Таблица 12. Теорема Пифагора................................................................. 69
Таблица 13. Определение подобных треугольников ..................................... 74
Таблица 14. Признаки подобия треугольников ........................................... 77
4
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Таблица 15. Признаки подобия треугольников ........................................... 79
Таблица 16. Средняя линия треугольника ................................................. 81
Таблица 17. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике ....... 82
Таблица 18. Соотношения между сторонами и углами
в прямоугольном треугольнике ................................................................ 83
Таблица 19. Соотношения между сторонами и углами
в прямоугольном треугольнике ................................................................ 84
Таблица 20. Касательная к окружности..................................................... 86
Таблица 21. Центральные и вписанные углы ............................................. 88
Таблица 22. Четыре замечательные точки треугольника.............................. 92
Таблица 23. Вписанная и описанная окружности ....................................... 94
Таблица 24. Векторы ............................................................................ 101
Таблица 25. Средняя линия трапеции ..................................................... 104
IX класс
Таблица 1. Координаты вектора ............................................................. 106
Таблица 2. Простейшие задачи в координатах .......................................... 107
Таблица 3. Применение метода координат к решению задач ...................... 109
Таблица 4. Уравнение окружности ......................................................... 110
Таблица 5. Уравнение прямой ................................................................ 112
Таблица 6. Решение треугольников. Площадь треугольника ...................... 113
Таблица 7. Решение треугольников. Теорема синусов................................ 115
Таблица 8. Решение треугольников. Теорема косинусов ............................ 117
Таблица 9. Скалярное произведение векторов .......................................... 119
Таблица 10. Длина окружности. Длина дуги ............................................ 121
Таблица 11. Площадь круга ................................................................... 123
Таблица 12. Площадь круга ................................................................... 125
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Раздел III. Краткие теоретические сведения по курсу стереометрии
X–XI классов ....................................................................... 126
Раздел IV. Задачи в таблицах .................................................... 135
X–XI классы
§ 1. Угол между двумя прямыми ...................................................... 135
Таблица 1. Куб ..................................................................................... 135
Таблица 2. Правильная треугольная призма ............................................ 138
Таблица 3. Правильная шестиугольная призма ........................................ 139
Таблица 4. Правильный тетраэдр ........................................................... 141
Таблица 5. Правильная четырехугольная пирамида .................................. 142
Таблица 6. Правильная шестиугольная пирамида..................................... 143
Ñîäåðæàíèå
5
§ 2. Угол между прямой и плоскостью ............................................... 144
Таблица 7. Куб ..................................................................................... 144
Таблица 8. Правильная треугольная призма ............................................ 146
Таблица 9. Правильная шестиугольная призма ........................................ 147
Таблица 10. Правильный тетраэдр .......................................................... 149
Таблица 11. Правильная четырехугольная пирамида ................................ 150
Таблица 12. Правильная шестиугольная пирамида ................................... 151
§ 3. Угол между двумя плоскостями .................................................. 152
Таблица 13. Куб ................................................................................... 152
Таблица 14. Правильная треугольная призма........................................... 153
Таблица 15. Правильная шестиугольная призма ...................................... 154
Таблица 16. Правильная четырехугольная пирамида ................................ 156
Таблица 17. Правильная шестиугольная пирамида ................................... 157
§ 4. Расстояние от точки до прямой ................................................... 158
Таблица 18. Куб ................................................................................... 158
Таблица 19. Правильная треугольная призма........................................... 160
Таблица 20. Правильная шестиугольная призма ...................................... 161
Таблица 21. Правильная шестиугольная пирамида ................................... 163
§ 5. Расстояние от точки до плоскости ............................................... 164
Таблица 22. Куб ................................................................................... 164
Таблица 23. Правильная треугольная призма........................................... 166
Таблица 24. Правильная шестиугольная призма ...................................... 168
Таблица 25. Правильная четырехугольная пирамида ................................ 170
Таблица 26. Правильная шестиугольная пирамида ................................... 171
§ 6. Расстояние между двумя прямыми ............................................. 172
Таблица 27. Куб ................................................................................... 172
Таблица 28. Правильная треугольная призма........................................... 174
Таблица 29. Правильная шестиугольная призма ...................................... 175
Таблица 30. Правильная четырехугольная пирамида ................................ 176
Таблица 31. Правильная шестиугольная пирамида ................................... 177
§ 7. Площади сечений многогранников .............................................. 178
Таблица 32. Куб ................................................................................... 178
Таблица 33. Прямоугольный параллелепипед .......................................... 180
Таблица 34. Правильная треугольная призма........................................... 181
Таблица 35. Правильная шестиугольная призма ...................................... 182
Таблица 36. Правильный тетраэдр .......................................................... 183
Таблица 37. Правильная четырехугольная пирамида ................................ 184
Таблица 38. Многогранники .................................................................. 185
§ 8. Площади поверхностей вращения плоских фигур ......................... 186
Таблица 39. Квадрат ............................................................................. 186
6
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Таблица 40. Прямоугольник .................................................................. 187
Таблица 41. Прямоугольный треугольник ............................................... 188
Таблица 42. Равнобедренный треугольник ............................................... 189
Таблица 43. Ромб ................................................................................. 190
Таблица 44. Круг и его части ................................................................. 191
Таблица 45. Правильный шестиугольник ................................................ 192
§ 9. Объемы тел вращения плоских фигур .......................................... 192
Таблица 46. Квадрат ............................................................................. 192
Таблица 47. Прямоугольник .................................................................. 193
Таблица 48. Прямоугольный треугольник ............................................... 194
Таблица 49. Равнобедренный треугольник ............................................... 195
Таблица 50. Трапеция ........................................................................... 196
Таблица 51. Ромб ................................................................................. 197
Таблица 52. Правильный шестиугольник ................................................ 198
Таблица 53. Многоугольник ................................................................... 198
Таблица 54. Круг и его части ................................................................. 199
§ 10. Объемы тел вращения многогранников ...................................... 200
Таблица 55. Куб ................................................................................... 200
Таблица 56. Правильная треугольная призма........................................... 200
Таблица 57. Правильная четырехугольная пирамида ................................ 201
Таблица 58. Правильная шестиугольная пирамида ................................... 201
Таблица 59. Многогранники .................................................................. 202
Раздел V. Разные задачи ........................................................... 203
§ 11. Многогранники ....................................................................... 203
Таблица 60. Куб ................................................................................... 203
Таблица 61. Прямоугольный и прямой параллелепипеды .......................... 205
Таблица 62. Правильная и прямая треугольная призмы ............................ 207
Таблица 63. Правильная четырехугольная призма.................................... 209
Таблица 64. Правильная шестиугольная призма ...................................... 210
Таблица 65. Правильная треугольная пирамида ....................................... 211
Таблица 66. Правильный тетраэдр .......................................................... 214
Таблица 67. Треугольная пирамида ........................................................ 215
Таблица 68. Треугольная усеченная пирамида ......................................... 216
Таблица 69. Правильная четырехугольная пирамида ................................ 217
Таблица 70. Четырехугольная пирамида ................................................. 219
Таблица 71. Правильная четырехугольная усеченная пирамида ................. 220
Таблица 72. Правильная шестиугольная пирамида ................................... 221
Таблица 73. Многогранники .................................................................. 222
§ 12. Фигуры вращения ..................................................................................223
Таблица 74. Цилиндр ............................................................................ 223
Ñîäåðæàíèå
7
Таблица 75. Конус ................................................................................ 225
Таблица 76. Усеченный конус ................................................................ 227
Таблица 77. Шар .................................................................................. 228
Таблица 78. Треугольник....................................................................... 229
Таблица 79. Прямоугольник .................................................................. 231
Таблица 80. Параллелограмм и трапеция ................................................ 232
Раздел VI. Решения наиболее трудных задач............................... 234
VII класс ............................................................................................. 234
VIII класс ............................................................................................ 235
IX класс .............................................................................................. 242
X–XI классы ........................................................................................ 247
Ответы .................................................................................... 258
Ïðåäèñëîâèå
На начальном этапе изучения геометрии основную трудность для
учащихся представляет выполнение чертежа. Кроме того, на его выполнение расходуется много времени.
Предлагаемое вниманию читателя пособие ставит целью устранить
этот пробел с помощью готовых чертежей.
Задачи на готовых чертежах оказывают неоценимую помощь в усвоении и закреплении новых понятий и теорем. Эти задачи дают возможность в течение минимума времени усвоить и повторить значительно
больший объем материала, тем самым наращивать темп работы на уроках.
Кроме того, эти задачи способствуют активизации мыслительной
деятельности учащихся, обучают умению грамотно рассуждать, находить в них общее и делать различия, сопоставлять и противопоставлять,
делать правильные выводы.
В книге на всех чертежах равные углы и отрезки отмечены одинаковыми знаками, прямые углы — квадратиками, что дает возможность
учащимся значительно быстрее ориентироваться в условиях задачи.
Предлагаемая методика проведения уроков с использованием задач на
готовых чертежах несомненно способствует повышению творческой активности учащихся, развитию логического мышления, является эффективным средством усвоения и закрепления теоретического материала.
Книга состоит из шести разделов.
В первом и третьем разделах, для удобства пользования книгой, приводятся краткие теоретические сведения по курсу геометрии (планиметрии и стереометрии), сопровождаемые необходимыми определениями,
свойствами и справочными материалами. Изложение материала сжатое, в конспективной форме, но достаточное, чтобы им мог пользоваться
не только школьник, но и тот, кто незнаком с каким-либо разделом,
и тот, кто окончил школу ранее и изрядно позабыл материал.
Во втором и четвертом разделах приводятся наиболее интересные задачи, составленные в виде таблиц с готовыми рисунками.
Количество задач в самих таблицах — различно, среди них есть
легкие, а более сложные расположены, как правило, в конце каждой
таблицы, что дает возможность учителю вести дифференцированное
обучение учащихся, а старшекласснику выбрать те или иные задачи в
зависимости от уровня своей подготовленности.
В пятом разделе автором собраны разные задачи на многогранники и
фигуры вращения.
В заключительном, шестом разделе приводятся подробные решения
к наиболее трудным задачам.
Ïðåäèñëîâèå
9
Ко всем задачам в конце книги даны ответы, что дает возможность
проверить правильность решенной задачи.
Отметим, что предлагаемые задачи не ставят целью заменить систему задач из существующих учебников по геометрии, а являются лишь
(как надеется автор) прекрасным дополнением к учебникам. Они дают
возможность учителю сэкономить значительную часть времени на изучение соответствующих тем и способствуют усилению практической
напрaвленности преподавания геометрии.
В дополнениие к этой книге и для основательной подготовки к урокам, ГИА и ЕГЭ, автор настоятельно рекомендует использовать вышедшие в издательстве «Феникс» книги автора «Репетитор по геометрии
для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7–11 классы», 2013 и книгу «Сборник
задач по геометрии с решениями для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7–11
классы», 2013.
10
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Ðàçäåë I
ÊÐÀÒÊÈÅ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß
Ïëàíèìåòðèÿ
1. Óãëû
Углом называется геометрическая фигура (рис. 1), образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Точка O — вершина угла, а лучи OA и OB — стороны угла.
Обозначение: AOB или ab.
Угол в 90 называется прямым (рис. 2).
Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 3).
Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым (рис. 4).
B
O
A
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
C
Два угла называются вертикальными,
если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (рис. 5).
AOC и DOB; BOC и AOD — вертикальные.
Вертикальные углы равны: AOC = DOB
и BOC = AOD.
Два угла называются смежными, если у
них одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию (рис. 6), AOC и
BOC — смежные.
B
O
D
A
Рис. 5
C
B
О
Рис. 6
A
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
11
Сумма смежных углов равна 180.
Биссектрисой угла называется луч, проходящий между сторонами угла и делящий его
пополам (рис. 7).
Биссектрисы вертикальных углов составляют продолжение друг друга (рис. 8).
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны (рис. 9).
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
При пересечении двух прямых a и b третьей c (секущей) образуется 8
углов (рис. 10):
c
соответственные углы:
1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7;
1 2
a
внутренние накрест лежащие:
4
3
4 и 6, 3 и 5;
внешние накрест лежащие:
1 и 7, 2 и 8;
b
внутренние односторонние:
6
4 и 5, 3 и 6;
5
внешние односторонние:
8 7
1 и 8, 2 и 7.
2. Ìíîãîóãîëüíèê
Рис. 10
C
D
B
E
A
Рис. 11
ABCDE — пятиугольник (рис. 11).
Точки A, B, C, D, E — вершины
многоуголь ника; A, B, C, D,
E — углы; AB, BC, CD и т. д. — стороны; отрезки AC, AD, BE, BD, CE —
диагонали; P = AB + BC + … + EA —
периметр многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым (рис. 11), если он целиком
расположен по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две
12
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется
невыпуклым (рис. 12).
Свойства:
1. Сумма внутренних углов произвольного
n-угольника равна 180 · (n – 2).
2. Сумма внешних углов выпуклого
n-угольника, взятых по одному при каждой
вершине, равна 360.
3. В выпуклом n-угольнике из каждой
вершины можно провести (n – 3) диагоналей, которые разбивают n-угольник на (n –
2) треугольников.
4. В выпуклом n-угольнике число диаго1
налей равно n(n – 3).
2
Рис. 12
3. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, называется правильным.
Свойства:
180(n 2)
.
1. Каждый угол правильного n-угольника равен n =
n
2. Около правильного n-угольника можно описать окружность, и притом только одну.
3. В правильный n-угольник можно вписать окружность, и притом
только одну.
4. Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается всех
сторон n-угольника в их серединах.
5. Центр окружности, описанной около правильного n-угольника,
совпадает с центром окружности, вписанной в тот же n-угольник.
6. Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окруж180
ность радиуса R, равна a = 2R sin
.
n
7. Длина стороны правильного n-угольника, описанного около
180
окружности радиуса r, равна a = 2r tg
.
n
4. Òðåóãîëüíèê
Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из
трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
Точки A, B, C — вершины ABC.
Отрезки AB, BC и AC — стороны, A,
B и C — углы.
Стороны треугольника часто обозначают малыми буквами (рис. 13):
AB = c, BC = a, AC = b.
P = a + b + c — периметр треугольника.
Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным (рис. 13).
Треугольник, у которого угол прямой,
называется прямоугольным (рис. 14).
Стороны, образующие прямой угол,
называются катетами (a и b), а сторона,
лежащая против прямого угла, — гипотенузой (c).
Треугольник с тупым углом называется
тупоугольным (рис. 15).
Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным (рис. 16).
C
a
b
A
B
c
Рис. 13
B
c
a
C
b
13
A
Рис. 14
C
b
a
B
c
Рис. 15
A
Рис. 16
Равные стороны называются боковыми,
а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 17).
Каждый угол равностороннего треугольника равен 60.
Рис. 17
Свойства равнобедренного треугольника:
1. Углы при основании равны.
2. Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно
медианой и высотой.
3. Высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой и биссектрисой.
14
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
4. Медиана, проведенная к основанию,
является одновре менно высотой и биссектрисой.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с ка ким-нибудь
углом этого треугольника (рис. 18).
CBD — внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен
сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (рис. 18): CBD = A + C.
Отрезок, соединяющий середины двух
сторон, называется средней линией треугольника (рис. 19).
C
A
D
B
Рис. 18
C
D
E
A
B
Рис. 19
5. Ïðèçíàêè ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ
I признак (признак равенства по двум сторонам и углу между
ними)
C
C1
Если две стороны и угол между
ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу
между ними другого треугольника, то
A
B A1
B1
такие треугольники равны (рис. 20).
Рис. 20
AB = A1B1, AC = A1C1, A = A1.
II признак (признак равенства по стороне и прилежащим к ней углам)
Если сторона и два прилежащих
C
C1
угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны A
B A1
B1
(рис. 21).
Рис. 21
AB = A1B1, A = A1, B = B 1.
III признак (признак равенства по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольC
C1
ника соответ ственно равны трем
сторонам другого треугольника, то
такие треугольники равны (рис. 22).
AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C1.
A
B A
B
1
Рис. 22
1
15
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
6. Íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон:
a < b + c, b < a + c, c < a + b.
7. Îïðåäåëåíèå âèäà òðåóãîëüíèêà ïî åãî ñòîðîíàì
Пусть c — наибольшая сторона, тогда:
а) если c2 < a2 + b2, то треугольник остроугольный;
б) если c2 > a2 + b2, то треугольник тупоугольный;
в) если c2 = a2 + b2, то треугольник прямоугольный.
8. Ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè (íåêîòîðûå ñâîéñòâà)
B
1) Сумма острых углов равна 90 (рис. 23).
A + B = 90.
2) Катет, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы (рис. 24).
1
a = c.
2
3) Если катет равен половине гипотенузы,
то угол, лежащий против этого катета, равен
30 (рис. 24).
C
A
Рис. 23
c
a
30
b
Рис. 24
9. Ïðèçíàêè ðàâåíñòâà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ
1. Если катеты одного прямоугольного треугольни ка соответственно
равны ка тетам другого, то такие
треугольники равны (рис. 25).
AC = A1C1, BC = B1C1.
2. Если катет и прилежа щий к
нему острый угол одного прямоугольного треуголь ника соответственно
равны катету и прилежащему к нему
углу другого, то такие треугольники
равны (рис. 26).
AC = A1C1, A = A1.
3. Если гипотенуза и острый угол
одного прямоугольного треугольника
B
C
B1
A C1
Рис. 25
B
C
A1
B1
A C1
Рис. 26
A1
16
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
соответ ственно равны гипотенузе и
острому углу другого, то такие треугольники равны (рис. 27).
AB = A1B 1, A = A1.
4. Если гипотенуза и катет одного
прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники
равны (рис. 28).
AB = A1B1, AC = A1C1.
B
B1
C
B
C
A C1
Рис. 27
B1
A1
A C1
Рис. 28
A1
10. ×åòûðå çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà
С каждым треугольником связаны 4 точки:
1) точка пересечения медиан;
2) точка пересечения биссектрис;
3) точка пересечения высот (или их продолжений);
4) точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.
Высотой треугольника называется длина перпендикуляра, опущенного из любой его вершины на противолежащую сторону или ее продолжение.
В тупоугольном треугольнике (рис. 29) две высоты падают на продолжение сторон и лежат вне треугольника, а третья внутри.
В остроугольном треугольнике (рис. 30) все три высоты лежат внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике катеты одновременно служат и высотами (рис. 31).
H
H
H
Рис. 29
Рис. 30
Рис. 31
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит
вне треугольника. В прямоугольном треугольнике он совпадает с вершиной прямого угла.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.
17
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
Три медианы треугольника пересекаются
в одной точке, которая является центром тяжести треугольника (рис. 32).
Эта точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1 (считая от соответствующей вершины).
Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла от вершины до пеРис. 32
ресечения с противолежащей стороной.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанного круга (рис. 33).
Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные через их середины (рис. 34,
35, 36), пересекаются в одной точке, которая
является центром описанной окружности.
В тупоугольном треугольнике (рис. 34) эта
точка лежит вне треугольника, в остроугольРис. 33
ном (рис. 35) — внутри, в прямоугольном —
на середине гипотенузы.
Ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и описанной окружностей совпадают друг с другом только в равностороннем треугольнике.
O
Рис. 34
O
O
Рис. 35
Рис. 36
11. Ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê
C
1) Свойство биссектрисы (рис. 37) внутреннего угла треугольника:
a
a
= 1.
b
b1
b
a
2) Длина биссектрисы:
lc = ab a1b1 ;
lc =
ab(a b c)(a b c)
.
ab
A
a1
b1
Рис. 37
B
18
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
3) Длина медианы:
mc =
1
2(a2 b2 ) c2 .
2
4) Длина высоты:
2
p( p a)( p b)( p c) ,
c
где a, b, c — стороны треугольника,
1
p = (a + b + c) — полупериметр,
2
hc — высота, проведенная к стороне c.
5) Зависимость между сторонами и высотами:
1 1 1
:
: .
ha : hb : hc =
a b c
6) Зависимость между высотами и радиусом вписанной окружности:
1
1
1
1
+
+
= .
r
ha
hb
hc
hc =
12. Òåîðåìà ×åâû
Для того чтобы прямые BE, AD и CF
(рис. 38) пересекались в одной точке,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
BD CE AF
= 1.
CD AE BF
C
D
B
E
A
F
Рис. 38
13. Òåîðåìà Ìåíåëàÿ
Если на сторонах BC, AB и продолжении стороны AC ABC за точку С отмечены соответственно точки A1, C1 и B1,
лежащие на одной прямой, то
C1
AC1 BA1 CB1
= 1.
C1 B A1C B1 A
B
A1
B1
C
A
Рис. 39
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
19
14. Òåîðåìà ñèíóñîâ
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
a
b
c
=
=
= 2R,
sin
sin
sin
где R — радиус окружности, описанной около треугольника.
15. Òåîðåìà êîñèíóñîâ
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух
других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos ,
b2 = c2 + a2 – 2ca cos ,
c2 = a2 + b2 – 2ab cos .
16. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà
1
aha;
2
1
2) S = ab sin ;
2
1) S =
3) S =
p( p a)( p b)( p c) (формула Герона);
4) S = p r, где p =
1
(a + b + c);
2
5) S =
abc
;
4R
6) S =
a2 sin B sin C
.
2sin A
17. Ðàâíîñòîðîííèé (ïðàâèëüíûé) òðåóãîëüíèê (рис. 40)
S=
a2 3
; a = R 3 = 2r 3 ;
4
R=
a 3
a
a
.
;r=
;h=
2
3
2 3
a
a
R
r
a
Рис. 40
20
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
18. Ïîäîáíûå òðåóãîëüíèêè
C
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно
равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным
сторонам другого (рис. 41).
A
B A1
AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 —
сходственные стороны.
Рис. 41
Из подобия треугольников следует:
A = A1, B = B1, C = C1.
AB
BC
CA
=
=
= k,
A1 B1
B1C1
C1 A1
C1
B1
где k — коэффициент подобия.
Обозначение: ABC ~ A1B1C1.
Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно k2,
т. е. SABC : SA1B1C1 = k2.
19. Ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ
I признак: если два угла одного
треугольника соответственно равны
двум углам другого, то такие треугольники подобны (рис. 42).
A = A1, B = B1.
A
II признак: если две стороны одного
треугольника пропорциональны двум
сторонам другого и углы, заключенные между ними, равны, то такие
треугольники подобны (рис. 43).
A = A1,
AB
AC
=
.
A
A1 B1
A1C1
III признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны
трем сторонам другого, то такие треугольники подобны (рис. 44).
AB
BC
AC
=
=
.
A1 B1
B1C1
A1C1
C
C1
B A1
B1
Рис. 42
C
C1
B A1
B1
Рис. 43
C
A
C1
B A1
Рис. 44
B1
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
21
Площади подобных фигур (в частности, многоугольников) пропорциональны квадратам их сходственных сторон.
В частности, площади кругов относятся как квадраты радиусов (или
диаметров).
20. ×åòûðåõóãîëüíèê
1. Произвольный выпуклый (d 1 и
d2 — диагонали, — угол между ними)
(рис. 45).
1
S = d1d2 sin .
2
2. Вписанный (рис. 46).
+ = + = 180.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна
180. Верно и обратное.
ac + bd = d1d2
(теорема Птолемея).
S ( p a)( p b)( p c)( p d),
d1
d2
Рис. 45
b
R
d1
a
c
d2
1
(a + b + c + d).
2
3. Описанный.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон
равны (рис. 47).
a + c = b + d, S = p · r.
d
где p =
Рис. 46
c
21. Ïàðàëëåëîãðàìì
b
d
r
a
Рис. 47
D
C
d1
d2
b
ha
O
A
E
a
Рис. 48
B
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные
стороны попарно параллельны (рис. 48).
AB || DC, AD || BC
(a и b — смежные стороны; — угол
между ними; ha — высота, проведенная
к стороне a).
d12 + d22 = 2(a2 + b2) — зависимость
между сторонами и диагоналями;
1
S = a · ha = ab sin = d1d2 sin —
2
площадь параллелограмма.
22
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Некоторые свойства:
1. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны (AB =
= DC; AD = BC; A = C; B = D).
2. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам
(AO = OC; BO = OD).
3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 (A + B = 180 и т. д.).
4. Диагональ параллелограмма делит его
на два равных треугольника (ADC = ABC,
ABD = BCD).
5. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
Рис. 49
(рис. 49).
Признаки параллелограмма (рис. 48)
1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (AB =
= DC, AB || CD), то такой четырехугольник — параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (AB = DC, AD = BC), то такой четырехугольник — параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны
(A = C; B = D), то такой четырехугольник — параллелограмм.
4. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.
22. Òðàïåöèÿ
D
a и b – основания; h — высота; d1 и
b
C
d2 — диагонали; — угол между ними
d2
(рис. 50).
m
Трапецией называется четырехугольl
ник, у которого две стороны параллельh
ны, а две не параллельны.
d1
AB || DC, AB и DC — основания трапеции, AD и BC — боковые стороны.
Отрезок l, соединяющий середины A E
a
боковых сторон, называется средней лиРис. 50
нией трапеции.
1
l = (a + b) — длина средней линии трапеции.
2
2ab
m || a || b, m =
.
ab
A + D = 180 ; B + C = 180.
1
1
S = l · h = (a + b) · h = d1 · d2 sin — площадь трапеции.
2
2
B
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
b
D
1. Ðàâíîáåäðåííàÿ òðàïåöèÿ
C
d
h
d
A
a
E
B
Рис. 51
b
D
C
r
r
h
O
r
A
a
B
Если у трапеции боковые стороны
равны, то такая трапеция называется
равнобедренной (рис. 51).
AD = BC.
В равнобедренной трапеции углы
при основаниях равны (A = B; C =
= D) и диагонали равны (AC = BD).
1
(a – b).
AE =
2
Если AC BD, то S = h2.
AB + CD = 2AD (рис. 52).
h = 2r, r — радиус вписан ной
окружности; h = ab .
R — радиус описанной окружности.
Точка O — центр окруж ности,
описанной около любого треугольника, вершины которого совпадают с
вершинами трапеции (рис. 53).
2. Ïðÿìîóãîëüíàÿ òðàïåöèÿ
Рис. 52
R
23
Если в трапеции один из углов прямой, то такая трапеция на зыва ется
прямоугольной (рис. 54).
D = C = 90.
R
BE = CD = h (высота трапеции).
R
AE = a – b.
R
O
23. Ïðÿìîóãîëüíèê
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы
прямые (рис. 55).
Рис. 53
C
b
B
C
h
B
d
h
b
d
D
E
a
Рис. 54
A
D
a
Рис. 55
A
24
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме
того, у прямоугольника диагонали равны.
Стороны прямоугольника одновременно являются и высотами.
d2 = a2 + b2.
1
S = ab = d2 sin .
2
24. Ðîìá
a
D
Ромбом называется параллелограмм,
d1
у которого все стороны равны (рис. 56).
Так как ромб является параллелоa
ha
граммом, то он обладает всеми его свойa
d2
ствами.
Кроме того, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются бисA
B
a
сектрисами его углов.
Рис. 56
AC BD.
AC — биссектриса углов A и C; BD — биссектриса углов B и D.
d12 + d22 = 4a2.
S = a · ha = a2 sin =
C
1
d · d — площадь ромба.
2 1 2
25. Êâàäðàò
Квадратом называется прямоугольник,
у которого все стороны равны (рис. 57).
Можно сказать, что квадрат — это ромб с
прямым углом.
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Основные свойства
1. У квадрата все углы прямые.
2. У квадрата диагонали равны, взаимно
перпендикулярны и являются биссектрисами
его углов.
a
d
a
a
d
a
Рис. 57
26. Îêðóæíîñòü
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости,
равноудаленных от одной ее точки (центра) (рис. 58).
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности,
называется радиусом.
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
25
Обозначение: r или R.
На рисунке OC = OE = OD = R.
Часть окружности (например, CmD) называется дугой.
Отрезок, соединяющий две точки окружO
ности, называется хордой, а хорда, проходяA
щая через центр, — диаметром.
AB, BC, CD и CE — хорды окружности.
CE
— наибольшая из хорд — диаметр.
C
D
Обозначение: d или D.
m
D = 2R.
Рис. 58
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой
(CD), называется сегментом.
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.
Угол, образованный двумя радиусами, называется централь ным
(COD на рис. 58).
Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются
хордами, называется вписанным (например, ABC).
B
E
27. Ñâîéñòâà êàñàòåëüíûõ ê îêðóæíîñòè
A
O
C
B
Рис. 59
Угол, образованный двумя касательными (CA и CB), исходящими из одной
точки, называется описанным (ACB
на рис. 59).
1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
2. Две касательные, проведенные к
окружности из одной точки, равны, и
центр окружности лежит на биссектрисе
угла между ними.
28. Îêðóæíîñòü è òðåóãîëüíèê
O
Рис. 60
1. Около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности является
точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины (рис. 60).
2. Во всякий треугольник можно вписать
окружность; центром окружности является
точка пересечения биссектрис (рис. 61).
26
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
O
Рис. 61
29. Îêðóæíîñòü è ÷åòûðåõóãîëüíèê
1. Для того чтобы около четырехугольника можно было опи сать
окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противоположных
углов была равна 180 (рис. 62).
+ = 180.
2. Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон
были равны (рис. 63).
a + c = b + d.
O
Рис. 62
c
d
b
O
a
Рис. 63
30. Óãëû è îêðóæíîñòü
B
Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается (рис. 64).
AOB = AmB.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается
(рис. 65).
1
ABC = AmC.
2
m
A
O
Рис. 64
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
Угол между хордой и касательной измеряется половиной дуги, заключенной внутри него (рис. 66).
1
ABC = BmC.
2
Угол между двумя касательными измеряется полуразностью дуг (рис. 67).
1
ABC = (AmC – AnC).
2
Угол между двумя хордами измеряется
полусуммой дуг, на которые он опирается
(рис. 68).
1
AEC = (AmC + BnD).
2
Угол между секущими измеряется полуразностью дуг между ними (рис. 69).
1
ABC = (AmC – EnD).
2
Угол между касательной и секущей измеряется полуразностью отсекаемых ими
дуг, прилежащих к касательной (рис. 70).
1
ABC = (AmC – CnD).
2
B
O
C
m
A
Рис. 65
A
B
m
C
O
Рис. 66
A
E
C
m
B
n
B
n
O
D
O
m
C
A
Рис. 67
Рис. 69
A
C
D
B
n
E
n
m
O
m
D
O
B
C
Рис. 68
27
A
Рис. 70
28
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
31. Ìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ â îêðóæíîñòè
Если хорды AB и CD пересека ются в
точке E, то произведение отрезков одной
хорды равно произведению отрезков другой (рис. 71).
AE · EB = CE · ED.
Если из точки B к окружности проведены две секущие BDA и BEC, то
DB · AB = EB · CB (рис. 72).
Если из точки B к окружности проведены секущая BDA и касательная BC, то произведение секущей на ее внешнюю часть
равно квадрату касательной (рис. 73).
AB · DB = BC2.
C
B
E
O
D
A
Рис. 71
C
C
E
O
O
B
D
Рис. 72
B
D
A
A
Рис. 73
32. Äëèíà îêðóæíîñòè. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé
C = 2R = D — длина окружности;
Rn
= R — длина дуги окружности;
l=
180
1
1
Sкр = R2 = D2 = CR — площадь круга;
4
2
C
=
3,14 — отношение длины окружD
ности к ее диаметру;
R 2n
Sсект.
— площадь сектора.
360
R
l
O
R
Рис. 74
29
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
33. Ïîíÿòèå âåêòîðà
Вектором называется направленный отрезок (рис. 75).
B
Всякий вектор характеризуется:
a
1) начальной точкой;
2) направлением;
A
Рис. 75
3) длиной (модулем).
Длиной (модулем) ненулевого вектора AB называется длина отрезка
AB и обозначается | AB | или |a|.
34. Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ
Если ненулевые векторы лежат на одной прямой или параллельных
прямых, то они называются коллинеарными (рис. 76).
Коллинеарные векторы:
A
a, m, CD, KP, AA 0.
a
C
Неколлинеарные векторы:
CD и ST, KP и ST.
Коллинеарные векторы называются сонаправленными, если они
имеют одинаковые направления.
Например, a m, a KP,
m KP.
D
m
P
K
S
T
Рис. 76
Коллинеарные векторы называются противоположно направленными, если они имеют разные направления.
Например, a и CD , m и CD , CD и KP .
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины
равны.
35. Êîîðäèíàòû âåêòîðà
Пусть A(x1; y1) — начало вектора a, B(x2; y2) — конец вектора a (рис. 75).
Координатами вектора a называют числа a1 = x2 – x1, a2 = y2 – y1
и обозначают a(a1; a2).
Тогда абсолютная величина (модуль) вектора с координатами a1, a2
2
2
равна | a | a1 a2 .
Если векторы равны, то у них равны соответствующие координаты.
И обратно, если у векторов равны соответствующие координаты, то векторы равны.
30
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
36. Äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè
1. Сумма двух векторов.
Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет
место векторное равенство (рис. 77):
AB BC AC (правило треугольника),
B
b
a
c
C
или a + b = c.
A
Рис. 77
2. Векторы складываются геометрически по правилу параллелограмма (рис. 78):
b
C
B
сумма двух векторов a и b, имеющих общее
начало, изображается диагональю параллеa
лограмма, построенного на этих векторах.
a
3. Для векторов справедливы переместиb
тельный и сочетательный законы сложения:
A
D
Рис. 78
a + b = b + a и a + (b + c) = (a + b) + c.
B
4. Разностью векторов a(a1; a2) и b(b1; b2)
называется такой вектор c(c1; c2), который в
c
сумме с вектором b дает вектор a, т. е.
a
b + c = a (рис. 79).
5. Умножение вектора на число.
b
Произведением вектора a(a1; a2) на число
C
A
k называется вектор ka(ka1; ka2).
Рис. 79
Из определения следует, что:
1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;
2) для любого числа k и любого вектора a векторы a и ka коллинеарны.
Основные свойства умножения вектора на число:
1) (kl)a = k(la) — сочетательный закон;
2) (k + l)a = ka + la — I распределительный закон;
3) k(a + b) = ka + kb — II распределительный закон.
37. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин (модулей) на косинус
угла между ними (рис. 80).
a · b = |a| · |b| · cos .
1) Если a b, то = 90°, cos = 0, тогда a · b = 0.
Верно и обратное: если a · b = 0, то a b.
2) Если < 90°, то a · b > 0; если > 90°, то a · b < 0.
a
b
Рис. 80
Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ
31
38. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â êîîðäèíàòàõ
Если a{x1; y1}, b{x2; y2}, то a · b = x1x2 + y1y2.
Следствие 1. a b тогда и только тогда, когда x1x2 + y1y2 = 0.
x1x2 y1y2
Следствие 2. cos
x y12 x22 y22
2
1
, где — угол между ненулевы-
ми векторами a{x1; y1}, b{x2; y2}.
39. Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ
1) a · a = |a|2;
2) a · b = b · a (переместительный закон);
3) (a + b) · c = a · c + b · c (распределительный закон);
4) (ka) · b = k(a · b) (сочетательный закон).
40. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè
y
Если центром окружности является начало
координат (рис. 81), то уравнение окружности
имеет вид
x2 + y2 = R2.
A(x, y)
R
0
x
y
A
R
Рис. 81
Если центр окружности M(x0; y0), то
уравнение окружности имеет вид (рис. 82)
(x – x0)2 + (y – y0)2 = R2.
y0
0
M
x0
x
Рис. 82
41. Óðàâíåíèå ïðÿìîé
1) Любая прямая в декартовых координатах x и y задается уравнением вида ax + by + c = 0, где a и b — коэффициенты при неизвестных,
c — свободный член.
32
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
c
— уравнение
b
прямой, параллельной оси Ox (рис. 83).
2) Если a = 0, b 0, то y
y
y
c
b
0
x
Рис. 83
c
— уравнение
a
прямой, параллельной оси Oy (рис. 84).
3) Если b = 0, a 0, то x
y
x
c
a
0
x
Рис. 84
4) Если c = 0, a 0, b 0, то ax + by = 0 —
уравнение прямой, проходящей через начало
координат (0; 0) (рис. 85).
y
ax + by = 0
0
x
Рис. 85
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VII êëàññ)
33
Ðàçäåë II
ÇÀÄÀ×È Â ÒÀÁËÈÖÀÕ
VII êëàññ
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
Таблица 1
1
R
RLS = 80% PLR
PLR, RLS — ?
4
SOQ — ?
T
S
Q
P
L
O
P
S
PKN = 40
MKS — ?
2
5
R
KLR = 40
TLN — ?
P
M
R
S
T
M
K
N
3
BCD = 120
BCE — ?
D
K
L
6
N
DOE — ?
C
D
E
E
30
A
C
B
A
O
B
34
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 1
7
MSP = NSK
MSP — ?
8
AMN, BMN — ?
N
P
C
D
K
M
S
N
A
M
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VII êëàññ)
35
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Таблица 2
1
1 – 2 = 120
3, 4 — ?
5
1 = 125
2, 3, 4 — ?
b
2
1
1
2
3
a
3
4
4
2
1 + 2 + 3 = 5 4
4 — ?
6
c
b
a
1 – 2 = 75
1, 2, 3 — ?
4
1
1
3
2
2 3
3
E
C
AB CD
AOE — ?
7
1 + 2 + 3 — ?
a
1
2
A
O
c
2
1
B
3
b
D
4
1 = 40
2, 3, 4 — ?
8
AOC — ?
F
A
D
30
1
O
4 2 3
C
E
40
B
36
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 3
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.
1
5
F
A
E
C
O
O
N
2
B
D
M
6
M
F
Q
M
K
K
P
P
3
N
7
M
A
N
D
C
P
E
4
B
F
8
R
K
S
T
O
P
M
S
P
37
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VII êëàññ)
Продолжение табл. 3
9
13
BC = AD
A
C
E
P
B
F
K
O
C
D
D
10
14
K
D
C
E
E
A
M
F
N
B
P
11
15
P
D
A
B
E
S
T
M
Q
R
12
C
16
B
D
L
C
K
E
A
M
O
P
38
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 3
17
21
D
CE = AF
A
D
E
B
A
C
F
E
F
B
18
22
A
C
L
K
B
N
P
S
M
D
C
M
19
E
A
23
D
K
N
R
S
P
M
N
O
C
20
B
F
D
C
C
24
D
C
F
O
E
А
B
A
E
F
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VII êëàññ)
39
ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 4
1
P = 35
EF : EM = 3 : 2
EF, EM, MF — ?
E
5
C
AC = BC
P1 – P2 = 2
AC, BC — ?
F
P1
D
P2
M
2
A
K
KM + MR = 25
P—?
B
8
6
AC = BC
P2 – P1 = 2
AC, BC — ?
C
P1
D
P2
M
3
N
R
F
A
DF + FM + DM = 28
P = 36
FM — ?
B
8
7
MK = KN = 12
P1 – P2 = 3
MN — ?
K
12
P1
S
P2
D
E
M
4
M
RT : RS = 4 : 7
P = 45
RT, TS, RS — ?
R
N
8
K
MK = KN = 12
P2 – P1 = 3
MN — ?
S
12
P1
S
P2
T
M
N
40
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 5
Найдите CBA.
1
5
E
D
A
A
M
B
70
C
60
D
E
2
B
C
6
B
B
150
12
0
A
A
C
C
D
3
D E
7
C
D
C
80
N
50
A
B
4
B
8
BC = AB
A
M
A
C
E
25
B
60
D
A
B
D
C
41
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VII êëàññ)
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Таблица 6
Укажите пары параллельных прямых (отрезков) и докажите
их параллельность.
1
S
R
5
B
D
E
M
T
A
P
2
C
6
p
d
c
p
m
14
0
e
n
40
3
7
k
l
N
m
M
S
144
F
36
4
Q
8
c
B
a
C
O
b
A
D
42
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 6
9
13
K
F
C
P
M
M
N
115
65
A
Q
10
B
14
B
C
K
P
A
60
D
M
11
M
15
R
N
E
M
S
P
F
E
Q
L
N
12
16
S
A
E
T
P
N
D
B
M
K
C
43
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VII êëàññ)
Окончание табл. 6
17
21
B
D
P
R
S
30
M
N
18
A
C
E
22
P
S
F M
K
E
T
O
M
Q
M
K
19
23
R
Q
N
F
R
D
F
N
P
20
M
R
D
F
24
N
30
20
E
P
K
R
P
E
M
30
45
Q
44
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
СВОЙСТВА УГЛОВ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Таблица 7
1
KP || NM
NKP = 120
N, M — ?
K
5
CE || BA
3 = 130
ACD — ?
C
D
E
P
3
2
1
N
M
2
AC || BK
A, ABC — ?
B
A
6
TF || RP
RPF, SFT — ?
C
F
P
30
S
T
B
A
60
R
K
3
KN || ME
EMN — ?
E
N
7
KFE — ?
N
1 2
P
M
68
F
25
37
M
K
4
AD || BE
DCB — ?
K
E
8
1 = 2 = 30
AB || DE
AEB — ?
E
B
A
C 25
E
B
F
43
1
D
A
25
2
D
C
45
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VII êëàññ)
УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 8
1
M = 2 K
M – N = 20
M, N, K — ?
N
5
STM = 2 S
S, STR — ?
S
70
M
K
2
R
P = 1,5 S
P, R, S — ?
P
T M
B = 2 C
BAC, B, C — ?
6
B
D
S
3
Q = 0,4 L
Q, M, L — ?
140
M, MNP, P — ?
7
N
M
P
C
A
R
11
0
Q
L
4
M
A : C = 2 : 5
A, C — ?
8
P
K
TSR : RSP = 3 : 5
P, TSP — ?
T
C
R
115
40
A
B
P
O
S
46
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 9
Найдите все неизвестные углы треугольника.
1
5
C
B
M
130
M
60
135
B
A
2
D
6
N
A
K
M
130
C
N
60
M
K
P
3
7
150
S
D
A
B
25
T
C
K
P
4
8
R
C
80
140
E
D
F
M
P
Q
47
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VII êëàññ)
Продолжение табл. 9
9
13
K
F
40
S
L
45
D
70
E
10
M
14
B
N
P
30
25
N
M
O
0
12
E
K
A
A
C
D
11
15
N
S
L
70
L
105
65
70
M
K
K
M
12
16
P
L
M
Q
0
Q
O
N
8
45
C
R
K
60
M
48
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 9
17
21
B
20
M
D
10
0
20
C
K
A
18
P
N
22
T
30
S
35
80
P
Q
M
K
S
19
25
23
N
P
ADC — ?
B
R
130
60
D
C
15
20
80
M
T
K
20
A
24
MON — ?
B
N
O
80
A
60
C
40
D
R
105
M
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VII êëàññ)
49
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 10
1
MN = 36
MP, PN — ?
5
A
AC = BC
CBE — ?
D
N
20
P
30
B
K
M
2
C
QS — ?
E
6
QRS — ?
Q
S
R
30
M
60
P
18
S
Q
3
OD — ?
R
7
N
B
MN = NK = MK
NR — ?
D
13
O
R
18
A
C
E
4
TF — ?
M
K
P
8
PR = RQ
PQ — ?
S
S
R
7
F
P
26 T
M
P
120
Q
50
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 10
9
PT = TS
T, TPS,
TSP — ?
T
13
KN = 26
PMKR = 32
MK — ?
K
R
M
N
130
O
P
M
S
10
B = 53
CMB — ?
C
E
N
14
AC = 24
PMCB — ?
C
M
E
20
M
65
A
11
B
D
SK = SP KNM, NKM,
KMN — ?
A
N
B
15
KNM = 90
PSM — ?
K
N
10
S
108
M
S
35
20
P
K
12
N
CB, CD — ?
P
16
BDE — ?
D
A
B
18
D
45
40
B
M
M
65
150
C
M
C
E
A
51
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VII êëàññ)
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 11
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.
1
5
P
N
M
T
K
S
R
S
R
2
6
R
L
K
R
F
E
N
M
S
3
7
R
C
D
P
S
T
M
4
F
K
A
E
B
M
8
C
D
F
E
A
C
D
B
A
B
52
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
Таблица 12
Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.
1
5
A
MC = 13
B
14
45
C
M
O
M
B
2
AM – MB = 7
A
K
6
ME = 13
M
A
E
K
M
30
C
B
A
D
B
3
A
AM = MB = AB
DE = 4
E
7
B
40
M
D
40
D
70
C
A
14
M
B
4
8
C
B
20
M
N
B
A
D
A
C
8
M
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
53
VIII êëàññ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 1
Докажите, что ABCD — параллелограмм.
1
4
D
D
C
C
1
2
O
3
4
A
2
B
B
C
A
5
B
C
B
O
A
3
6
D
A
D
A
D
D
C
C
B
A
B
54
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 1
7
8
A + D = 180
BC || AD
B
70
B
A
C
110
C
D
A
D
55
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 2
Найдите периметр параллелограмма.
1
5
K
15
30
L
B
A
2
C
F
E
7
2
C
AC = 15
A
D
6
B
S
L
60
E
8
8,5
60
D
3
C
T
K
M
S
7
7
R
K
D
6
M
60
O
3
F
E
N
4
Q
8
L
10
P
6
N
K
L
M
12
60
K
N
F
E
56
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 2
9
13
B
B
C
0
12
O
O
A
C
9
8
K
A
D
D
10
14
K
2
KM = 21
N
R
A
M
B
L
O
N
K
D
M
C
S
11
S
5
K
15
AC = BC = 30
B
D
E
12
M
N
F
E
C
A
F
16
MC = 18
D
C
60
30
60
N
E
13
M
L
M
A
B
57
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 3
Найдите неизвестные углы.
1
F
E
5
D
C
30
70
O
O
K
A
N
2
P
L
B
6
K
L
60
T
35
S
3
M
M
K
N
7
S
T
R
K
O
O
45
M
L
4
T
M
E
A
B
L
8
P
T
70
E
115
70
D
F
C
N
F
S
58
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Таблица 4
Найдите углы параллелограмма.
1
5
M + R = 140
P
D
C
R
60
O
M
A
N
2
6
B – A = 60
A
B
R
B
L
O
3
S
M
C
D
S : L = 2 : 1
L
K
7
1 – 2 = 10
F
1
2
S
T
O
R
M
M
1 : 2 = 2 : 1
1 – 2 = 30
4
P
1 : 2 = 1 : 4
8
C
D
K
2
2
1
O
O
T
1
S
A
B
59
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Таблица 5
Найдите стороны параллелограмма, если P = 36.
1
5
LO – LS = 1
L
RM + MQ = 10
R
O
S
M
2
Q
M
Q
T
S
6
T
MF – FK = 6
F
M
K
45
N
RM = 1,5 RN
R
M
3
Q
R
E
L
7
LM = 2
R
S
60
N
4
M
B
K
8
AB : BC = 2 : 3
M
L
B
C
C
E
4
30
A
D
A
D
60
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ТРАПЕЦИЯ
Таблица 6
Найдите углы трапеции.
1
T
5
M
E
F
60
75
60
T
K
R
F
2
6
K
11
5
F
x
O
E
45
R
x + 30
T
3
N
BE || CD
B
M
7
C
N
M
y
75
5
11
55
A
4
K y – 20
S
D
E
8
P
A
70
B
z
60
L
70
S
z + 45
M
T
N
M
61
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
Таблица 7
ТРАПЕЦИЯ
Найдите PABCD.
1
5
D
C
8
D
C
0
12
8
10
A
B
B
14
A
2
6
D
10
D
AB = DE
C
C
24
20
60
A
B
32
3
A
B
E
7
15
B
AB = 25
C
4
D
C
20
12
60
A
D
49
4
A
B
M
8
4
B
D
C
C
AB = 27,65
DC = 14,15
DK || CB
120
A
D
A
K
B
62
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Таблица 8
Найдите SABCD.
1
5
P = 30
AB = 4 BC
B
D
C
A
B
2
P = 36
AD : DC = 2 : 1
C
A
5
6
3
D
–
AE = 2,5 3
15
B
B
K
C
C
60
A
D
3
MC = 20
B
E
A
D
B
C
7
C
6
–
43
N
60
30
M
D
A
4
D
SAMD = 33
C
M
E
A
D
8
SACE = 64
B
C
K
A
B
A
D
E
63
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 9
Найдите SABCD.
1
AC = 48
BD = 36
B
A
5
B = 2 A
B
C
13
C
A
D
2
C
D
6
20
31
B
C
45
B
60
D
16
A
E
D
A
3
C
7
C
10
B
8
B
M
6
60
4
D
F
D
E
60
A
A
4
B
C
8
P = 84
B
C
45
10
8
N
A
8 K
24
D
A
M
D
64
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 9
9
P = 20
B
13
AB – BC = 4
C
D
C
12
O
9
6
4
A
L
F
D
E
A
10
B
K
14
B
BD = 12
AC = 16
C
B
C
45
60
N
A
10
M 4
11
D
A
BE : AD = 1 : 3
AD – BE = 8
B
D
15
D
C
C
10
150
A
A
P = 92
BC – AB = 4
B
16
C
AC = 16
BD = 12
C
B
30
30
A
F
D
E
12
B
D
A
D
65
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 10
Найдите SABC.
1
AB = 22
5
B
C
60
15
A
2
B
D
A
C
8
6
A
B
9
10
135
A
C
6
C
M
B
4
3
7
A
C
12
16
C
10
20
A
60
B
D
B
4
8
B
C
13
A
26
B
A
14
15
C
66
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 10
9
13
B
4
A
14
C
C
9
17
7
K
5
7
B
A
10
C
58
14
B
B
C
45
16
65
5
A
12
D
A
11
15
B
5
A
10
75
30
A
28
18
B
C
12
16
B
29
26
C
C
27
16
B
75
M
A
C
A
67
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ
Таблица 11
Найдите SABCD.
1
4
D
5
C
C
16
B
8
30
A
B
32
2
P = 64
B
D
A
6
B
10
C
A
14 4
5
8
A
C
E
D
3
P = 80
C
D
7
1
ED
2
AD – BC = 4
BC =
B
B
C
25
15
12
D
A
A
4
SACD = 60
B
16
D
E
8
B
4
13
C
A
C
20
25
A
20
D
D
68
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 11
9
B
SACD = 196
12
13
1
EF
2
AE = FB =
C
12
D
C
16
A
12
E
A
D
10
M
B
E
14
C
B
A
B
F
SACD = 32
SDCB = 13
C
D
AD : BC = 2 : 1
SAMD = 120
11
A
ABCD — трапеция
ABCD — трапеция
B
24
D
15
ABCD — трапеция
AD = DB
AB = 24
C
10
D
C
F
A
12
ABCD — трапеция
AC = BD = 8
D
A
D
32
16
ABCD — трапеция
B
12
C
O
10
C
A
A
B
E
B
30
30
20
D
69
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Таблица 12
Найдите x.
1
AB – BC = 3
P = 50
B
5
M
T
C
R
0
12
10
x
x
Q
A
S
20
D
2
6
SKMNS = 96
M
ABCD — трапеция
C
N
x
B
5
3
60
60
K
S
x
D
3
SMNRS = 99
N
7
MKLR — трапеция
K
R
A
4
L
135
x
M
4
15
9
x
S
Q
M
RLKM — параллелограмм
T
M
x
0
15
8
12
C
R
B
K
x
5
60
R
L
D
48
A
70
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 12
9
13
S = 55
5
Q
K
N
L
x
9
x
E
F
12
10
T
14
M
M
17
MNTQ — трапеция
SMNTQ = 50
N
x
T
13
x
M
S
8
T
5
R
6
Q
11
15
ABCD — трапеция
SABCD = 432
M
B
x
16
A
75
A
x
7
C
24
26
30
B
C
E
D
12
16
B
M x
K
L
x
8
A
10
C
S=4
R
T
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
71
Продолжение табл. 12
17
AKBL — квадрат
M
A
21
RN – MK = 4
SRMNK = 96
K
M
x
5
4
L
18
R
x
N
K
B
ABCD — квадрат
B
22
C
ABCD — параллелограмм
PABCD = 42, SABCD =
140
3
B
25
C
x
M
x
4
F
A
19
D
A
ABCD — прямоугольник
D
E
23
F
B
13
A
x
C
5
30
R
D
18
Q
x
M
S = 100
20
PMNK = 70
24
ABCD — ромб
SABCD = 480
BD = 20
N
B
17
x
25
A
C
x
M
Q
K
D
72
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 12
25
29
ABCD — параллелограмм
S = 900
B
C
R
O
x
A
26
LRQT — трапеция
SLRQT = 300
33
E
Q
25
L
D
12
MKLT — параллелограмм
SMKLT = 48, PMKLT = 40
M
30
T
RKQL — трапеция
S = 100
13
K
K
M
x
L
O
x
4
B
T
27
L
C
MLBT — трапеция
S = 243
18
L
R
31
SABCD = 60, AD || BC
8
A
T
E
28
SABC = 320
B
x
A
7,5
B
B
x
M
Q
x
F 5 C
x
D
17,5
ABCD — прямоугольник
M
B
E
35
32
C
24
A
26
x
C
40
D
73
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
Окончание табл. 12
33
MKLT — трапеция
S = 81
KE = x
K
L
36
ABCD — трапеция
S = 100
D
C
x
M
34
B
A
T
E
ABCD — трапеция
AC = 9
BD = 12
5
C
S = 54
37
B
24 E
ACBM — параллелограмм
24
C
B
60
16
A
x
35
Q
D
RQMN — трапеция
QN = 12
x
RM = 5
M
A
x
F
M
E
38
SABCD = 180
D
x
13
R
10
N
A
C
13
20
B
74
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 13
Найдите x, y, z.
1
RTK ABC
SRTK = 16, SABC = x
5
ABC DEC
BC = 21
B
B
E
T
10
x
4
A
R
A
K
2
B
C
B1
4
9
C
ABC A1B1C1
SABC = 32
SA1B1C1 = 50
C
15
D
6
BC = 14
AB = 12
AC = 10
A
K
x
F
C1
A
C
y
x
P
B
А1
3
MNT M1N1T1
SMNT = 75
SM1N1T1 = 225
7
PMNK = 55
MN = x
MK = y
M
T
N1
N
S
K
T
T1
9
x
12
M1
M
4
N
FER NMC
MN : FE = 7 : 6
SMNC – SFER = 26
SFER = x
SMNC = y
N
F
8
8
R
L
SMEF = 8
SKLM = x
6
K
F
E
E
C
R
M
3
M
75
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
Продолжение табл. 13
9
ABC MNK
PABC : PMNK = 2 : 3
SABC + SMNK = 130
SABC = x
N
SMNK = y
B
13
PMNK = x
K
40
E
M
30
A
10
RMN ACB
SRMN = 18, SACB = 32
PRMN + PACB = 91
PRMN = x
C
PACB = y
A
R
N
K
C
M
F
14
PMNQ = x
Q
E
M
N
B
N
11
CO : OD = 5 : 6
SAOC = 5
SBOD = x
8
M
10
F
15
ABC ACD
BC || AD
12
B
C
B
C
x
O
D
A
12
A
M
A
SAMC : SMCB = 1 : 3
AB = x
BC = AM
AB MB
D
27
16
DE || AC
BD : AB = 1 : 3
SABC = 54
SADEC = x
B
D
E
B
20
C
C
A
76
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 13
17
DE || AC
BD : AB = 1 : 4
SADEC = 60
E SABC = x
B
D
21
B
9
D
x
15
A
A
C
18
MNK MKT
NK || MT
PMNKT = x
K
N
C
18
22
RM = 20
L
24
10,5
14
18
T
y
19
ABCD — параллелограмм
BC = AC, P
=x
AB OC ABCD
B
N
x
R
M
M
23
DC = x
B
C
15
8
O
10
A
D
20
10
A
NFE MNE
24
x
D
C
PTKL = 153
K
N
y
x
x
T
M
8
F 4,5
E
24
M
27
L
77
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 14
Найдите x, y.
1
K
ST || KL
5
C
x
S
y
x
5
A
B
M
4
2
2
T
A
16
18 D
L
ABD AEC
AB = 32
AC = 20
x
32
6
PK || MN
32
P
E
K
40
16
F
x
D
E
B
8
y M
N
C
3
ON = 12
7
CB || DA
M
C
x
16
8
B
16
F
y
O
4
x
y
K
BC = 24
B
E
N
10
8
8
12
4 D
A
4,8
A
AB || DC
AC = 7,5
B
x
E
O
D
x
A
D
C
12
C
78
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 14
9
13
K
12
BC || DE
AB : BD = 2 : 1
D
T
B
16
N
8
M
24
x
P
x
10
AB || DC, AB = 18
DC = 12, x + y = 20
M
D
A
C
14
MNPT — параллелограмм
K x:y=3:1
ML = 12
y
MK = 18
N
C
E
x
P
x
y
A
M
11
y
B
N
T
L
RKLN — параллелограмм
15
PTOE : PSOF = 2 : 3
x + y = 10, TE || SF
Q
T
14
E
x
K
L
O
y
10
R
12
N
x
M
S
12
ABCD — трапеция
BD = 32
F
16
3 = 1 + 2
E
8
8
B
x
14
C
3
6
O
L
x
10
y
1
2
A
D
M
F
79
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 15
Укажите пары подобных треугольников и докажите их подобие.
1
5
Q
C
T
E
L
K
B
A
D
2
M
R
6
E
F
S
M
O
M
N
3
F
7
E
M
K
Q
N
P
T
M
N
4
8
ABCD — трапеция
FDEB — параллелограмм
C
B
3
C
D
A
D
A
F
E
B
80
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 15
9
P
L
13
F
C
K
M
3,2
0
3 7
B
6,4
6
A
S
70
T
N
K
10
14
A
Q
R
K
45
75
T
8
R
S
30
45 60
B
M
8
C
M
11
L
M
4
30
N
4
15
130
B
30
80
K
45
45
30
30
A
N
12
45
C
16
B
B
60
N
C
B1
10
5
C
M
A
30
K
8
A
А1
C1
4
81
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
1
M
E
Дано:
KLM
PMEF = 31
PKLM — ?
5
Дано: ABCD — трапеция
AD = 2 BC, EF — ?
12
B
F
K
E
K
L
2
A
Дано: ABCD — параллелограмм, AC = 18, AK — ?,
KC — ?
B
Таблица 16
L
F
D
M
6
N
C
18
M
C
E
Дано: MNQ —
равносторонний
ET — ?
F
K
A
3
D
R
M
M
S
4
E
PRFS = 30
RS — ?
RF — ?
C
Дано: ABCD — параллелограмм, EO = 4, ED = 3,
A
8
PABCD — ?
O
N
30
B
E
Дано: ABC
BC = 6
PMEN — ?
B
F
4
N
7
Дано:
RFS
RF = SF
Q
T
Дано: ABCD — четырехугольник
E, F, M, N — сеB
редины сторон
EF, MN — ?
E
A
F
48
C
N
M
D
C
A
M
D
82
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Таблица 17
Найдите неизвестные линейные элементы MNK (K = 90).
1
MN = 26
5
MN = 25
M
K
E
10
10
N
M
T
K
2
MN = 25
N
6
MN = 50
KN : KM = 3 : 4
K
K
M
12
N
L
M
3
F
N
7
M
TN – MT = 11
KN : KM = 6 : 5
K
E
8
N
6
N
M
K
4
T
8
ME = EN
K
K
5
12
6
M
T
N
N
M
E
F
83
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Таблица 18
Найдите х.
1
5
B
C
60
D
x
x
20
12
45
C
B
A
2
6
LM = x — ?
K
30
K
A
20
6
45
L
45
M
E
M
3
7
x
N
E
S
P
60
x
T
x
S
R
18
4
B
AD = x — ?
4
R
60
6
8
A
45
F
E
SABC = 50
C
45
D
12
x
60
A
45
E
D
C
B
84
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Таблица 19
1
5
AC = BC
A
AN
?
CM
cos B =
M
B
AB = 5 BC
sin B — ?
cos B — ?
tg B — ?
ctg B — ?
C
A
C
N
B
2
6
NQ = MQ
ABCD — прямоугольник
sin — ? cos — ?
tg — ? ctg — ?
N
NE
?
QF
F
B
Q
C
8
O
75
E
A
M
3
ABCD — трапеция
SABCD — ?
8
B
7
KMTF — трапеция
sin K — ? cos K — ?
4
M
C
D
12
T
5
A
4
KL = 8
sin K, cos K
tg K, ctg K
K
E
L
D
40
12
K
F
10
8
F
sin R — ?
K tg R — ?
4
F
E
8
R
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
85
Окончание табл. 19
9
ACB = 90
cos — ?
ctg — ?
B
12
AMNK — трапеция
A = 40
M
sin — ?
tg — ?
N
18
D
12
15
C
A
10
B
A
K
SABCD =
sin A — ?
tg A — ?
A
13
CF — медиана
AB = 12
sin A — ?
cos A — ?
B
E
F
C
C
D
11
B
cos B — ?
ctg B — ?
A
14
MNEF — трапеция
ME = 8, sin — ?
F
15
A
13
E
K
18
C
M
10
6
N
86
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
1
MN — ?
Таблица 20
5
MA, NA — ?
M
M
A
20
15
30
O
O
K
N
N
2
OM = 30
AM, BM — ?
B
6
M
A 1,2
AB — ?
M
A
20
O
O
B
3
AO = 10
OE = 8
OF = 6
D AB, CD — ?
A
E
N
3,2
7
PMEF — ?
A
E
10
M
B
O
O
F
F
B
C
4
A
K
O
M
MB = 4
AM = 12
OMK = 30
OK — ?
8
ABCD — трапеция
AD, BC — ?
D
C
O
B
30
A
10
E
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
87
Окончание табл. 20
9
ABCD — ромб
BF — ?
B
13
OM = 24
AOB = 60
PAMB — ?
C
A
M
O
O
7
B
A
F
D
E
10
OM = ON = 10
MN = 16
M
OK — ?
O
14
EL || NK
MN — ?
M
L
20
K
O
8 T
K
N
11
N
PMAB = 48
MN, MK — ?
E
A
M
O
N
B
K
12
RS = 15
OS, OR — ?
15
B
D
14
OA = OB = 20
DC — ?
S
O
O
4
T
C
A
R
88
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ
Таблица 21
Найдите х.
1
B
AB = 8
5
A
90
K
O
x
A
O
0
14
B
x
D
C
A
2
M
72
x
6
A
45
B
75
O
N
K
O
M
x
B
3
7
K
B
M
x
60
10
O
134
O
x
A
C
D
N
4
8
N
O
M
BAC = 40
x
O
A
x
K
P
C
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
89
Продолжение табл. 21
9
OM = x
B
13
R
20
O
N
x
O
M
60
30
15
E
M
A
10
TK = x
14
M
17
T
O
B
O
10
MN = 30
AB = x
A
60
S
K
N
11
15
B
K
x
66
x
12
O
O
10
C
A
M
12
L
N
16
C
M
O
x
O
8
S
E
T
A
E x
120
B
90
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 21
17
60
21
B
B
A
x
16
A
D
100
O
O
D
C
x
18
SN = x
S
22
A
10
C
6
x
O
M
K
B
O
9
12
N
19
23
M
A
8
D
O
K
O
4
L
E
18
x
N
B
C
20
24
M
KE = 12
MN = x
35
30 O
M
A
x
N
x
25
AB || CD
B AB = 12
CD = 16
MN = 14
O
C
N
D
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
91
Продолжение табл. 21
25
29
A
C
x
x
C 6
E
O
D
55
O
M
B
B
CB – AD = 65 D
AB + CE = CD
26
30
C
N
O
O
x
A
A
8
x
B
KM
M
C
NMC = 75, NM : MC = 2 : 1
AK = OK = 10
27
31
A
140
M
8
8
D
x
E
K
O
x
O
T
C
60 6
B
KT : TM = 7 : 4
28
32
C
M
B
x
A
AC = BC
SABC = x
8
A
O
9
O
D
B
N
AMB : ANB = 5 : 11
92
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 22
1
5
NMK = 60,MO — ?
QM = 9,BT = 12, SBOQ — ?
B
N
10
M
O
O
M
Q
K
2
MKN = 66,FNO — ?
R
T
6
RO = 20,OK — ?
R
M
N
E
M
O
K
O
30
N
F
Q
K
P
3
MCB1 — ?
7
EF = 18,MK = 15, ON — ?
12
8
B
E
А1
K
O
M
A
4
C
B1
M
MK = 17,CK — ?
N
F
8
OC — ?
B
K
C
20
12
0
10
O
M
D
N
A
C
93
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
Окончание табл. 22
9
MON — ?
K
13
40
N
O
SMRN — ?
R
12
F
E
K
M
M
10
MEF = 60
EO = 8
OK — ?
E
N
20
14
BC = 20
SBOC — ?
B
8
N
K
8
O
А1
O
M
K
A
F
11
AA1 = 12
BB1 = 9
AB — ?
A
15
M
B1
C
MK = NK = 20
PMBN = 35, MN — ?
B
B1
K
A
B
А1
12
M
F
E
C
N
OK = 8
OF = 6
FP = 8
EO — ?
16
B
60
M
O
O
P
K
SOBC — ?
C
16
N
R
A
94
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ
1
F
KF = EF
PKFE — ?
5
Таблица 23
KE — ?
M
8
O
5
M
O
K
2
E
K
6
E
A
PABC — ?
6
AOC — ?
B
C
24
O
D
40
10
O
A
C
B
L, M, E — ?
3
E
7
B
AC = 10
OD — ?
24
O
O
L
M
108
C
A, B, ACB — ?
4
C
48
A
D
K
8
MN — ?
B
O
O
A
60
M
L
N
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
95
Продолжение табл. 23
9
MN = 8
QO — ?
M
13
C
AC = BC
OD = 0,4 CD
PABC = 40
AB — ?
12
Q
T
N
O
O
A
10
AO = 20
BC — ?
A
B
D
14
KO — ?
K
16
60
12
O
T
O
M
C
B
RO — ?
S
15
CO — ?
5
5
36
O
R
B
30
11
O
C
T
6
A
12
16
N
OK — ?
N — ?
N
12
O
8
120
O
20
L
M
K
E
M
96
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 23
17
R
SREF — ?
21
KE — ?
E
13
5
E
5
K
O
T
O
6
F
M
18
SABC — ?
C
22
AB = BC = AC, BD — ?
A
O
O
D
B
10
10
A
B
C
19
B
PABC — ?
23
10
E
MO — ?
K
60
M
4
O
M
O
A
F
E
6
20
Q
C
QN = 10
MN = 20
MQ = 24
TN — ?
24
L
K
30
T
R
O
S
O
M
T
N
OT — ?
97
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
Продолжение табл. 23
25
BC — ?
29
L
ML — ?
C
B
4
6
5
5
D
O
A
O
4
Q
26
N
MN = 24
MO — ?
30
M
C
A
O
F
4
5
O
M
30
E
27
K
AC — ?
KM = KL = 20
KO = 10
RO — ?
31
B
MK = 16, ME, EF — ?
E
M
10
O
K
R
O
F
M
28
L
B
SABC — ?
C
32
SABC — ?
B
4
O
10
M
O
C
60
A
A
98
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 23
33
AD = BC, AB, DC — ?
A
37
PABCD — ?
B
8
B
C
12
6
O
O
9
15
D
A
C
34
D
M, N — ?
M
38
MN : NK : KL = 2 : 6 : 7
N PMNKL = 54
MN, NK,
KL, LM — ?
M
N
E
O
75
O
53
K
L
K
35
ABCD — прямоугольник
AD = 10, AO — ?
A
39
ABCD — трапеция
MN = 20 — средняя линия
OK — ?
B
C
B
120
O
M
O
D
N
C
60
A
36
PABCD = 48, MN — ?
D
40
MNKP — трапеция
MP = NK, SMNKP — ?
C
P
M
O
D
K
K
O
N
5
B
M
45
A
N
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
99
Продолжение табл. 23
41
AD – BC = 6, PABCD — ?
C
45
EFMN — трапеция
NE = MF
EF + MN — ?
B
N
M
O
4
4
30
D
A
K
42
E
MNKP — трапеция
M, N, K, P — ?
P
46
F
K
LM || KT, KT = 16, OT — ?
12
L
K
M
2
48
K
M
T
O
N
O
43
SMNRK — ?
K
47
EQ || MT, SMTQE — ?
R
E
Q
30
6
8
O
O
M
8
M
T
N
44
AD = BC, SABCD — ?
D
48
BC || AD, AB = CD, AD — ?
C
B
1
C
12
O
O
1
16
A
B
A
M
D
100
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 23
49
MN || KL, KN = NM =
= ML = 10, MO — ?
10
N
53
BC || AD, AB = CD, EF = 8
OK = 5, SABCD — ?
M
B
60
K
A
L
KM || FE, MO — ?
K
O
E
O
50
C
10
54
ME || BK, MB = EK
SMEKB — ?
2
M
10
O
D
K
M
2
F
E
O
2
14
F
E
B
51
ABCD — трапеция
AD = BC, AB = 18
OK — ?
2
D
55
AD || BC, AB = CD
AD = 9, OF — ?
52
4
B
O
B
K
MP || NK, MN = PK
MP – NK = 6, SMPKN — ?
A
D
F
56
EF || TR, TR – EF = 14
STRFE — ?
E
M
C
C
O
A
K
T
F
5
N
13
O
O
15
K
P
5
T
R
101
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
ВЕКТОРЫ
1
F
Таблица 24
5
E
n
S
T
O
m
M
N
R
K
MFEN — параллелограмм.
Доказать, что
MO FE OF EN ME FM
RSTK — параллелограмм.
Выразите векторы RK, KT, SR через векторы m и n
2
6
E
Найдите X, если
CD X BC AB EF AE
F
m
B
M
N
n
MNFE — параллелограмм.
Выразите векторы EA и FB через
векторы FN = m и MN = n
3
7
T
N
E
b
R1
a
M
R
M
S
a
Выразите вектор SM через
SR = a и ST = b
4
K
O
A
N
Выразите вектор KO через векторы MK = a и MN = b
K
8
B
C
b
b
O
O
M
a
P
MNKP — параллелограмм.
Выразите векторы OM и MA через векторы MP = a и MN = b
A
a
K
D
ABCD — параллелограмм
DK : KC = 1 : 3.
Выразите векторы AK и KB через
векторы AD = a и AB = b
102
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 24
9
13
A
b
a
C
B
N
M
N
K
A
M
D
M — середина BD
N — середина AC
MK : KN = 3 : 2
Выразите вектор AM через вектоДоказать, что MN =
ры a = AK и b = AN
10
( AD + CB )
14
E
A
F
m
|m| = |n| = |k|
Доказать, что
m+n+k=0
m
11
AM = m, AN = n
BM, NC, MN, BN — ?
12
K
EA : AF = 2 : 5
Выразите вектор KE через векторы m = KA и n = KF
n
k
15
m
|n| = |k| = 1
|m| =
Доказать, что
m+n+k=0
C
N
n
n
B
12
M
m
135
A
k
16
N
K
A
Доказать, что
AM + AN + AK = 0
10
10
K
M
120
0
n
M
A
KA = 8
Найдите | AK – AN + KM |
N
103
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
Окончание табл. 24
17
21
S
P
C
24
N
B
16
p = AB + AC – BC
| p| — ?
KP = 12
Найдите | KP – KS + PT |
18
A
K
T
E
22
B
O
18
M
F
C
A
Найдите | MN + NE – MN – OF |
k = BC + BA – CA
|k| — ?
19
23
10
E
K
8
B
C
O
10
M
N
M
6
A
D
EN = 12
Найдите | MN + ME – EK – OE |
Найдите: | AB |, | BC |, | DC |, | MC |
20
24
K
N
B
45
C
5
M
Найдите | KE – KM + KN |
45
E
A
13
D
Найдите: | BD |, | CD |, | AC |
104
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ
Таблица 25
1
MN, DC — ?
D
AD – BC = 4, MN — ?
C
M
A
5
N
2 E
2
6
D
RE = EM = MQ, KL — ?
M
E
N
R
N
A
B
5
C
M
ML = 4, MNK = 135
RQ — ?
M
4
B
K
Q
L
60
L
K
3
AC = 16, MN — ?
B
R
Q
12
7
KE || NF, RS — ?
C
E
M
N
R
60
K
A
S
5 N
M
9
D
4
QN = 4, TE — ?
M
8
MN = 4, SCEFK = 8
tg — ?
Q
E
T
F
E
M
N
45
S
F
N
R
C
K
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (VIII êëàññ)
105
Окончание табл. 25
9
MN = 68, AB – DC = 64
OK — ?
D
13
AD = 2 BC, EF — ?
C
O
M
B
C
O
E
N
F
1
A
10
A
B
K
PQSRM = 48, EF — ?
14
D
K
SMNRQ = 20, sinM = 0,8
TE — ?
N
S
R
R
F
T
E
Q
M
18
11
AB = 8, EF — ?
M
15
Q
BC : CD = 1 : 2, EF = 20
BC — ?
C
C
10
E
O
B
B
E
E
F
F
60
D
12
A
OM = 6, ON = 8, EF — ?
L
D
A
16
KF = RN, KE = 10
TS — ?
K
M
R
M
E
T
F
S
O
K
N
F
E
N
106
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
IX êëàññ
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Таблица 1
1
n
L
K
4
M
N
b
m
a
M
N
MNKL — параллелограмм
Выразите векторы LN и KM через векторы m и n
2
D
T
TMNS — параллелограмм
Выразите векторы TM и ST через векторы a и b
5
C
S
M
K
m
T
b
F
A
a
B
E
n
ABCD — параллелограмм
Выразите векторы BD и CA через векторы a и b
MKEF — параллелограмм
FT : TK = 3 : 1
Разложите вектор FT по векторам m и n
3
6
K
M
n
F
m
E
FKME — прямоугольник
Выразите векторы EK и FM через векторы m и n
M
F
FENM —
параллелоA
грамм
Найдите (если
O
это возможно)
такое число k,
чтобы выполняN лось равенство:
а) FN = k · FO;
б) MO = k · ME;
в) ON = k · NF;
г) FM = k · NE;
д) MN = k · EF;
E
е) FA = k · NF;
ж) AN = k · FA;
з) FN = k · NA;
и) NE = k · EF;
к) FO = k · ME
Ðàçäåë II. Óïðàæíåíèÿ â òàáëèöàõ (IX êëàññ)
107
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
Таблица 2
1
Дано: OK = 3, OM = 2
Найдите координаты вершин MOK
5
Дано: M (3; 5), N (–2; 4)
Найдите координаты вектора MN
Y
N
M
M
O
2
X
K
Дано: TOCM — прямоугольник
Найдите координаты вершин O, T, M, C
Y
C
6
Дано: A (2; 6), B (6; 2)
Найдите координаты
точки M
B
M
M
3
A
6
O
3
T
X
Дано: MQPN — квадрат
M (–2; –2)
Найдите координаты вершин
Q, P, N Y
P
7
Дано: A (2; 4), B (0; 18)
Найдите координаты
точки C
A
Q
B
O
M
4
C
X
N
Дано: TQMR — параллелограмм
R (0; 0), M (10; 0), Q (24; 6)
Найдите координату вершины T
T
8
Дано: M (4; 6), N (x; 1)
Найдите: x
N
Q
13
M
R
M
108
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончение табл. 2
9
Дано: S (2x; –2), T (6; 4x)
Найдите: x
13
Дано: A (3; 3)
Найдите координаты
точки M
Y
T
A
S
14
O
X
M
10
Дано: A (1; 2), B (x; 0)
Найдите: x
Y
14
Дано: A (1; 2), B (7; 10)
AC : CB = 1 : 3
Найдите координаты
точки C
A
B
C
A
O
11
B
X
Дано: A (3; 0), B (2; 5)
Найдите: AB
Y
15
Дано: P (6; 3), M (14; 9)
PM : MK = 2 : 1
Найдите координаты
точки K
B
P
M
O
12
A
X
Дано: C (1; 4), D (0; 3)
Найдите: CD
Y
K
16
Y
F
C
E
D
O
Дано: E (2; 2), F (6; 10),
K (x; 0)
Найдите: x
X
O
K X
109
Ðàçäåë II. Óïðàæíåíèÿ â òàáëèöàõ (IX êëàññ)
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Таблица 3
1
4
Дано: MKN
KP = 80, MN = 40
Найдите: MF и NE
K
)
A
E
F
M
2
Дано: ABC
), A (4;
B (0; 0), C (6;
Найдите: A, B, C
N
P
C
5
Дано: TRS
RT = TS
TE = 8, RS = 24
Найдите: SK
B
Дано: ABC
BD = 12
Найдите: AE
B
T
45
E
K
R
3
S
E
A
6
Дано: MCN
CD = 20
Найдите: NF
D
16
C
Дано: MKF
KMF = 45
Найдите: ME
C
K
F
E
M
8
D
20
N
M
8
D
12
F
110
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Таблица 4
1
Дано: O1 (–4; 2), A (0; 5)
Составьте уравнение
окружности
4
Дано: K (–2; 6), M (2; 0)
Составьте уравнение
окружности
Y
Y
A
K
O1
O1
O
2
O
Какие из точек A (0; 4),
B (5; 0), C (3; –4), D (4; –3)
принадлежат окружности?
5
Y
M X
Дано: M (0; 2), H (6; –2)
Составьте уравнение
окружности
Y
M
O1
5
O
O
X
X
H
3
Дано: O1 (2; –4), M (5; 0)
Составьте уравнение
окружности
6
Дано: T (–2; 3)
Составьте уравнение
окружности
Y
Y
T
O
M
O1
X
O
X
Ðàçäåë II. Óïðàæíåíèÿ â òàáëèöàõ (IX êëàññ)
111
Окончание табл. 4
7
Дано: O1 (4; 5), O1M = 3
Составьте уравнение
окружности
10
На окружности найдите
точки:
а) с абсциссой x = 2;
б) с ординатой y = 4
Y
Y
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 9
M
O1
O
8
O1
O
X
Дано: OK = 5, A (4; –3),
B (3; 4)
Докажите, что AB — хорда
окружности
11
X
Дано: B (–2; 6)
Составьте уравнение окружности, проходящей через
точку B
Y
B
Y
K
O
9
Найдите точки:
а) с абсциссой x = 2;
б) с ординатой y = 3
Y
O
X
12
X
Дано: A (0; 2), B (–3; 1)
Составьте уравнение окружности, проходящей через
точку B
Y
x2 + y2 = 13
A
O
X
B
O
X
112
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Таблица 5
1
4
Найдите: SMON
+
2x
Y
Дано: A (1; 10), B (–1; –4)
Составьте уравнение прямой AB
y+
Y
A
4=
0
O
M
X
O
N
2
X
B
Дано: A (2; –10)
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки O и A
5
Найдите: SMEN
Y
y=3
M
E
Y
O
O
X
X
y – 3x + 6 = 0
N
A
6
Найдите: SBAC
Y
x = –1
3
B
A
Дано: ABC
A (8; 12), B (–8; 0), C (–2; –8)
Составьте уравнение медианы CM
B
O
X
M
C
C
2x + y + 4 = 0
A
113
Ðàçäåë II. Óïðàæíåíèÿ â òàáëèöàõ (IX êëàññ)
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 6
1
4
Дано: SEPF = 20
Найдите: EP
Дано: RMQ = 135
Найдите: STMQ
E
Q
T
30
P
R
10
5
F
2
M
5
Дано: SMBR = 90
Найдите: BR
B
Дано: EPM = 120
Найдите: SEKP
E
K
30
M
5
15
M
3
R
8
P
6
Дано: SEFQ =
Найдите: EQF
Дано: ABCD — параллелограмм
SABCD =
Найдите: PABCD
E
B
20
A
8
C
D
Q
4
F
60
114
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 6
7
Дано: MNEF — параллелограмм
SMNEF =
Найдите: PMNEF
M
10
Дано: ABCD — параллелограмм
cos B = –0,6
Найдите: SABCD
N
5
E
8
A
Дано: ABCD — параллелограмм
BD = 16, AC = 20
Найдите: SABCD
B
11
D
Дано: ABCD — прямоугольник
AC = 26
Найдите: SABCD
B
C
C
60
A
9
30
D
A
Дано: KEMR — параллелограмм
KM = 12, RE = 20
Найдите: SKEMR
K
12
D
Дано: MNKL — параллелограмм
Найдите: SEKF — ?
E
N
E
K
45
R
C
10
5
F
16
B
13
F
M
M
60
24
L
Ðàçäåë II. Óïðàæíåíèÿ â òàáëèöàõ (IX êëàññ)
115
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Таблица 7
Найдите х, y.
1
5
CD — биссектриса
N
C
8
x
y
45
M
2
30
y
A
15
x
K
D
B
6
Q
50
M
T
y
13
6
R
L
M
x
80
3
x
45
30
R
S
y
7
K : L : M = 4 : 2 : 3
M
K
16
x
20
60
45
L
T
y
y
M
4
x
K
8
S
B
12
y
x
45
60
K
0
P
15
x
M
A
105
10
C
y
116
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 7
9
13
MK =
M
, EF = x
MNEF — параллелограмм
MFE = 120
N
30
E
40
y
45
y
F
24
K
M
E
10
14
ABCD — параллелограмм
BD = x, AC = y
B
F
45 30
x
M
5
13
A
N
E
11
15
D
6
PNQR — параллелограмм
PQ = 20
y
N
B
Q
30
30
45
C
4
y
8
x
F
x
1
20
x
14
y
A
C
D
12
ME — биссектриса
M = 30
MK = KT = y
25
P
16
R
ABCD — параллелограмм
AC = x, BD = y
B
C
K
E
y
x
8
T
60
M
A
12
D
117
Ðàçäåë II. Óïðàæíåíèÿ â òàáëèöàõ (IX êëàññ)
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Таблица 8
Найдите х, y.
1
5
QN = 12
RM = x
Q
M
y
10
6
Q
13
0
N
y
K
2
M
11
x
R
ABCD — параллелограмм
8
T
6
C
9
B
C
20
15
x
6
x
B
y
60
3
ABCD — параллелограмм
AC = 8, BD = 6
x
B
4 D
A
D
A
7
M
60
C
y
x
70
y
A
R
D
4
M
MNEF — параллелограмм
FN = x, ME = y
13
8
x:y=3:8
N
42
13
x
0
F
y
60
10
11
E
T
118
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 8
9
M
MR = 14
13
13
M
T
y
y
7
P
x
24
K
L
15
x
N
R
10
AC = 44
14
ABCD — параллелограмм
x:y=2:3
BD = 17, AC = 19
C
37
y
D
B
C
x
15
x
D
14
A
A
11
ME || FT, MK = EK = 50
15
B
KN = 7
M
K
F
x
T
40
x
y
y
N
K
M
12
R
24
E
60
P
DM = x
P
16
ABCD — параллелограмм
BD = x, AC = y
x:y=2:3
42
D
11
A
D
40
M
26
y
C
23
C
B
119
Ðàçäåë II. Óïðàæíåíèÿ â òàáëèöàõ (IX êëàññ)
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Таблица 9
1
4
KML = 90, KL =
Найдите: MN · KL
ABC
AB = AC = BC
Найдите: AB · CD
K
C
N
9
M
2
L
A
A (–4; 8), B (2; 14), C (4; 0)
Найдите: cos C
5
D
MNKP — прямоугольник
Найдите: OP · OM
P
A
K
O
4
B
3
30
C
E
10
M
6
FEM
FE = EM = FM
Найдите: EF · EM
B
N
REFT — прямоугольник
Найдите: OF · FT
E
K
F
O
5
120
F
M
R
T
120
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 9
7
ABC — равносторонний
Найдите: BD · BC
10
A (2; 4), B (2; 8), C (6; 4)
Найдите: CAB
B
C
3
A
8
A
C
D
11
a·b=4
Найдите: SMKN
M (–1;
), N (1; –
)
K (0,5;
Найдите: M
M
a
)
K
45
b
K
9
B
N
M
ABCD — параллелограмм
a·b=
Найдите: SABCD
12
N
E (–1; 5), F (2; 8), T (3; 1)
Найдите: cos E
E
D
C
F
b
30
A
a
B
T
Ðàçäåë II. Óïðàæíåíèÿ â òàáëèöàõ (IX êëàññ)
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ДЛИНА ДУГИ
Таблица 10
С — длина окружности, l — длина дуги.
1
4
TmM = 120
Найдите: l
AmB – BA = 90
Найдите: AmB, BA
m
A
T
O
10
M
m
B
2
C = 24
Найдите: AmB
5
P — периметр
C–P=7
Найдите: C
A
O
O
12
m
B
3
MmN : NnM = 2 : 3
Найдите: MmN, NnM
6
Найдите: C
N
32
S
m
O
24
R
M
n
121
T
O
K
122
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 10
7
AB || MN, MN = 16, AB = 12
Найдите: C
A
11
ME = 7 5
Найдите: C
K
B
E
14
O
O
M
N
K
M
N
8
12
Найдите: C
K
F
E
O
M
O
20
R
9
KM = 6, RT = 14
Найдите: C
R
K
N
13
Найдите: C
T
M
Найдите: C
M
16
A
60
D
B
O
60
8
K
K
L
A
10
14
Найдите: C
Найдите: C
K
M
30
M
12
N
14
O
O
A
8
B
123
Ðàçäåë II. Óïðàæíåíèÿ â òàáëèöàõ (IX êëàññ)
ПЛОЩАДЬ КРУГА
Таблица 11
С — длина окружности, l — длина дуги. Найдите Sкр.
1
C= 4
5
8
F
C
O
4
O
E
M
2
AB = 8
K
B
6
A
60
O
O
B
60
C
3
K
MK = NK = 20
6
7
A
T
30
O
O
P
M
M
N
4
AB = BC = AC = 12
8
ENMF — трапеция
EN = FM
C
N
M
O
O
45
A
B
E
24
F
124
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 11
9
ABCD — трапеция
AD = BC = 6, S = 12
D
13
KTLP — трапеция
T
C
L
2
10
O
O
K
A
10
B
TMNK — трапеция
TM = KN, STMNK = 125
M
14
ABCD — трапеция
AD = 10
B
N
8
E
C
8
3
F
O
A
T
O
D
E
K
11
B
O
M
P
14
ABCD — трапеция
AB = CD,
C
AD = 2 BC,
3
MN =
2
15
A
N
A
B
O
SABCD = 121
C
D
D
12
SMFEN = 2 +
F
4
3
16
M
MNKT — квадрат
Sкв – Sкр = 86
N
E
O
O
60
M
N
T
K
125
Ðàçäåë II. Óïðàæíåíèÿ â òàáëèöàõ (IX êëàññ)
ПЛОЩАДЬ КРУГА
Таблица 12
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
1
5
A
12
3,5
O
O
1,5
B
2
MN = 12
6
M
20
O
O
10
A
N
3
7
A
O
10
O
8
60
M
B
60
N
4
8
K
E
3
ABCD — квадрат, AB = 8
D
C
A
B
F
13
O
Ðàçäåë III
ÊÐÀÒÊÈÅ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß
ÏÎ ÊÓÐÑÓ ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈÈ
X–XI ÊËÀÑÑÎÂ
При решении задач стереометрии возрастают требования к качеству
чертежа и его наглядности.
Освоение принципов и техники построения пространственного чертежа — необходимое условие для успешного решения задач.
Пространственные тела можно условно разделить на удобные для
пространственного изображения и неудобные. К первой категории относятся многогранники: параллелепипед, треугольная призма, треугольная и четырехугольная пирамида. Все остальные будем считать неудобными для изображения.
В некоторых случаях при решении задач можно вообще обойтись одним плоским чертежом или несколькими (в случае необходимости) и не
строить пространственное изображение.
Основным средством решения задач является аналитический метод.
Ìíîãîãðàííèêè
К этому разделу отнесем два основных типа задач:
1) задачи на вычисление;
2) задачи на сечения.
К задачам на вычисление относятся те, где требуется найти линейные
элементы правильных призм и пирамид, а именно: сторону основания,
боковое ребро, апофему и т. д., далее угловые элементы: двугранные углы
при основании, линейные углы при вершине; площади: боковой поверхности, полной поверхности, основания.
В основе второго типа задач — задач на построение — лежит умение
построить сечение данного многогранника плоскостью и определить вид
этого сечения. В задачах этого типа сечение задается точкой и прямой,
тремя точками, двумя точками и прямой, параллельной плоскостью сечения и т. д.
Ðàçäåë III. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî êóðñó ñòåðåîìåòðèè X–XI êëàññîâ
127
Многогранником называется тело, граница которого состоит из многоугольников.
Эти многоугольники называются гранями, их стороны — ребрами, а
вершины — вершинами многоугольника.
Отрезки, соединяющие две вершины, не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника.
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.
Если многогранник целиком расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани, то он называется выпуклым.
Например, тетраэдр, октаэдр, параллелепипед — выпуклые многогранники.
Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой
его вершине меньше 360°.
1. Ïðèçìà
Призмой (рис. 1) называется многогранник,
у которого две грани ABCDE и A1B1C1D1E1 (осD1
нования призмы) — равные многоугольники с
F1
соответственно параллельными сторонами, а все
A1
остальные грани (AA1B1B; BB1C1C и т. д.) — паH
C1 раллелограммы, плоскости которых параллельны одной прямой (AA1, BB1 и т. д.).
B1
Параллелограммы AA 1B 1B, BB 1C 1C и т. д.
l
называются боковыми гранями, а ребра AA1,
BB
1 и т. д. называются боковыми.
E
D
Перпендикуляр FF1, опущенный из любой
точки одного основания на плоскость другого,
A
называется высотой призмы.
F
C
Если в основании призмы лежит треугольник,
четырехугольник и т. д., то призма назыB
вается
соответственно треугольной, четырехРис. 1
угольной и т. д.
Призма называется прямой, если боковые ребра перпендикулярны к
основаниям, в противном случае призма называется наклонной.
Если в прямой призме основание — правильный многоугольник, то
призма называется правильной.
У правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники.
Сечение, которое образовано плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы, называется перпендикулярным сечением (см. рис. 1).
E1
128
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Произвольная призма
Sбок. = Pсеч. · l; V = Sосн. · H; V = Sсеч. · l;
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.
Прямая призма
Sбок. = P · H; Sполн. = Sбок. + 2Sосн.; V = Sосн. · H.
Замечание. Для произвольного параллелепипеда справедливы те же
формулы.
2. Ïàðàëëåëåïèïåä
Параллелепипедом называется призма, основание которой — параллелограмм (рис. 2).
У параллелепипеда 6 граней и все они параллелограммы.
Противоположные грани попарно равны и параллельны.
Параллелепипед имеет 4 диагонали, которые
пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Любая грань параллелепипеда может быть
принята за основание.
Параллелепипед, у которого боковые грани —
прямоугольники, называется прямым.
Прямой параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники, называется прямоугольным (рис. 3).
Прямоугольный параллелепипед, у которого
все грани квадраты, называется кубом.
Рис. 2
d
c
Прямоугольный параллелепипед (рис. 3):
Sбок. = P · H = 2(a + b)c;
V = abc;
Sполн. = 2(ab + bc + ac);
d2 = a2 + b2 + c2.
Куб
Если a — ребро куба, то
V = a3; d = a 3 ; Sполн. = 6a2.
b
a
Рис. 3
Ðàçäåë III. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî êóðñó ñòåðåîìåòðèè X–XI êëàññîâ
3. Ïèðàìèäà
M
D
E
C
O
A
B
Рис. 4
M
h
H
C
A
129
O
B
D
Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды —
произвольный многоугольник ABCDE (рис. 4),
а остальные боковые грани — треугольники с
общей вершиной M.
Перпендикуляр MO, опущенный из вершины
на основание, называется высотой пирамиды.
Если в основании пирамиды треугольник,
четырехугольник и т. д., то пирамида называется треугольной, четырехугольной и т. д.
Треугольная пирамида называется тетраэдром (четырехгранником).
Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, а высота проецируется в
центр основания, то пирамида называется правильной (рис. 5).
В правильной пирамиде все боковые ребра
равны, все боковые грани — равнобедренные
треугольники.
Высота боковой грани MD называется апофемой правильной пирамиды.
Рис. 5
Произвольная пирамида
Sполн. = Sбок. + Sосн.; V =
1
Sосн. · H.
3
Правильная пирамида (рис. 5)
Sбок. =
S
1
P · h; Sбок. = осн. ;
2
cos
1
Sосн. · H.
3
Если в пирамиде провести сечение, параллельное основанию, то часть
пирамиды, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой (рис. 6).
Параллельные грани усеченной пирамиды (ABC и A1B1C1) называются ее основаниями; расстояние между ними (OO1) — высотой.
Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она получена, была правильной.
Sполн. = Sбок. + Sосн.; V =
130
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобедренные трапеции.
Высота боковой грани называется апофемой правильной усеченной
пирамиды.
Произвольная усеченная пирамида
V=
H
(S1 S2 S1S2 ) .
3
C1
A1
O1
H h
B1
Правильная усеченная пирамида (рис. 6)
C
A
1
Sбок. = (P1 P2 ) , где P1, P2 — периметры
2
оснований.
Sполн. = Sбок. + S1 + S2, где S1, S2 — площади оснований.
O
B
Рис. 6
4. Äîïîëíèòåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè
ïðèçìû è ïèðàìèäû
1. Если в пирамиде MA1A2…An все бокоM
вые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (рис. 7), длины всех боковых ребер равны, то вершина M пирамиды
проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды (эта точка
O является также точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных
к сторонам основания пирамиды).
An
O
2. Если в пирамиде MA1A2…An все боковые грани образуют с основанием равные
A2
углы и длины всех апофем боковых граней
A1
Рис. 7
равны, то вершина M пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в
основание пирамиды. Эта точка является также точкой пересечения
биссектрис углов в основании пирамиды (рис. 8).
3. Если высота треугольной пирамиды MABC проходит через точку
пересечения высот ABC, лежащего в основании, то противоположные
ребра пирамиды перпендикулярны, т. е. AM BC, MC AB и MB AC.
Справедливо и обратное утверждение (рис. 9).
4. Если MO — высота пирамиды MABC и MA BC, то (MAO) BC
(рис. 9).
Ðàçäåë III. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî êóðñó ñòåðåîìåòðèè X–XI êëàññîâ
131
M
M
A2
C
Bn
B2
D
O
O
B1
A1
Рис. 8
B
A
Рис. 9
5. Если в наклонной призме A1A2…AnB1B2…Bn
боковое ребро A1B1 составляет равные углы со
сторонами основания, образующими вершину
A1, то точка O основания высоты B1O лежит
на биссектрисе A1 (рис. 10).
Bn
B1
B3
B2
Êðóãëûå òåëà
An
Заметим, что круглые тела по сравнению с
многогранниками
относительно трудно подO
A1
даются изображению. Это замечание прежде
всего относится к шару. По этой причине при
A3
решении стереометрических задач, как правиA2
ло, сам шар (а тем более шары) стараются не
Рис. 10
изображать, так как многие задачи на круглые
тела сводятся к задачам планиметрии.
При решении задач, связанных с цилиндром, используются такие
понятия, как высота, образующая, радиус основания, осевое сечение,
основание, поверхность (боковая и полная) и соответственно параметры:
площадь осевого сечения, площадь боковой и полной поверхностей, площадь основания, объем цилиндра, радиус основания.
Что касается прямого кругового конуса (или просто конуса), то здесь
добавляются угол при вершине осевого сечения и угол наклона образующей конуса к плоскости основания.
132
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
1. Öèëèíäð
L1
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L
O1
и L1, называется цилиндром (рис. 11).
Цилиндрическая поверхность называется
боковой поверхностью цилиндра, а круги —
основаниями цилиндра.
H
Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, а
длина образующей — высотой цилиндра.
Прямая OO1 называется осью цилиндра.
R
Всякое сечение цилиндра плоскостью,
O
проходящей через ось цилиндра, представL
ляет собой прямоугольник, у которого две
Рис. 11
стороны — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра, а само сечение называется осевым.
Всякое сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси, является кругом.
Sбок. = 2RH; Sполн. = Sбок. + 2Sосн.;
Sполн. = 2R(R + H); V = R2H.
2. Êîíóñ
Конусом называется тело, ограниченное коC
нической поверхностью и кругом с границей L
(рис. 12).
Коническая поверхность называется боковой
поверхностью конуса, а круг — основанием коl
нуса.
H
Точка C — вершина конуса, а образующие конической поверхности — образующие конуса.
Прямая OC называется осью конуса, а отреR
зок OC называется высотой конуса.
O
Заметим, что конус может быть получен враL
щением прямоугольного треугольника вокруг
Рис. 12
любого катета, при этом боковая поверхность
конуса образуется вращением гипотенузы, а основание — вращением
катета.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса, называется осевым.
Sбок. = Rl; Sполн. = Sбок. + Sосн.;
1 2
Sполн. = R(R + l); V = R H .
3
Ðàçäåë III. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî êóðñó ñòåðåîìåòðèè X–XI êëàññîâ
133
Если конус пересечь плоскостью, перпендикулярной к его оси, то та часть конуса, которая
заключена между секущей плоскостью и основанием, называется усеченным конусом (рис. 13).
l
Отрезок, соединяющий центры оснований,
H
называется высотой усеченного конуса.
Часть конической поверхности, ограничиваюR
щая усеченный конус, называется его боковой
O
поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаРис. 13
ниями, называются образующими усеченного
конуса.
Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной
трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям.
Sбок. = l(R + r); Sполн. = Sбок. + S1 + S2; S1 = R2;
H 2
(R + Rr + r2).
S2 = r2; V =
3
r
3. Øàð
Шаровой, или сферичес кой, поверхностью (или просто сферой) называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки — центра шара (точка
O, рис. 14).
Тело, ограниченное шаровой поверхносR
O
тью, называется шаром.
Шар можно получить вращением полукруга (или круга) около его диаметра.
Сечение шара плоскостью, проходящей
через центр O, представляет собой наибольший круг.
Рис. 14
Если плоскость имеет со сферой только одну
общую точку, то она называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка — точкой касания плоскости и сферы.
Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Верно и обратное.
Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера
касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.
Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины
лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника.
134
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Sшара = 4R2 = D2; Vшара =
1. Шаровой сегмент (рис. 15).
Если S — площадь сферической поверхности сегмента, h — высота, V — объем,
r — радиус основания, то
S = 2Rh = Dh = (r2 + h2);
Sполн. = (2Rh + r2) = (h2 + 2r2);
1
V = h2 (R h) .
3
2. Шаровой сектор (рис. 15).
S = R(2h + r);
2 2
1 2
V = R h d h .
3
6
3. Шаровой пояс (рис. 16).
Если h — высота шарового пояса, r1 и
r2 — радиусы оснований, то
Sбок. = 2Rh = Dh;
2
2
S = (2Rh + r1 r2 );
V=
1
h(3r12 3r22 h2 ) .
6
4 3 1
R D3 .
3
6
r
h
R
R
O
Рис. 15
r2
h
r1
O
Рис. 16
R
135
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
Ðàçäåë IV
ÇÀÄÀ×È Â ÒÀÁËÈÖÀÕ
X–XI êëàññû
§ 1. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè
КУБ
Таблица 1
1
В единичном кубе A…D 1 найдите угол между прямыми A1C
и DC1.
D1
D1
C
4
В единичном кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AD1
и BD.
D1
C1
A1
B1
D
C
B
C1
A1
B1
D
C
B
A
В единичном кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AD1
и A1B.
D1
B1
D
B
A
C1
A1
B1
D
A
В единичном кубе A…D1 найдите угол между прямыми DC1 и
D1B1.
C1
A1
2
3
A
C
B
136
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 1
5
В единичном кубе A…D1 найдите угол между прямыми A1C1 и
B1C.
D1
D1
C
9
C
B
A
В единичном кубе A…D 1 найдите угол между прямыми A1C
и AD.
В единичном кубе A…D 1 найдите угол между прямыми A1B
и CB1.
D1
D1
C1
C1
A1
A1
B1
B1
D
D
C
В единичном кубе A…D 1 найдите угол между прямыми A1B
и AC.
D1
10
В единичном кубе A…D 1 найдите угол между прямыми B1C
и BD1.
D1
C1
A1
C
B
C1
A1
B1
D
C
B
A
B
A
A
B1
D
B
A
C1
A1
B1
D
7
В единичном кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AC
и B1D1.
C1
A1
6
8
B1
D
A
C
B
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
137
Окончание табл. 1
11
В единичном кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB
и CA1.
D1
В единичном кубе A…D 1 найдите угол между прямыми BA1
и B1D1.
D1
C1
A1
C
B
C1
A1
B1
D
A
12
B1
D
A
C
B
138
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 2
1
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми AC и B1C1.
4
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми AC1 и A1B.
C1
C1
A1
A1
B1
C
C
B
A
2
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол
между прямыми AA1 и B1C.
5
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол
между прямыми A1C1 и B1C.
C1
A1
B1
C
3
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми AC и BC1.
6
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми AB1 и A1C.
C1
B1
A1
C
A
B
A
C1
A1
B1
C
B
A
B
A
C1
A1
B1
B1
C
B
A
B
139
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 3
1
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми BB1 и F1E1.
E1
4
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA1 и E1C.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
2
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA1 и D1E.
E1
5
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AE1 и EE1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
3
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми CC1 и FE1.
E1
6
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми CC1 и BE1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
A1
C1
B1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
B
C
A
B
140
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 3
7
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми A1B и E1C.
E1
10
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB1 и F1D.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
8
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB1 и D1C.
E1
11
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми F1C и AB1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
9
C
B
A
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AF1 и DE1.
E1
12
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми A1B и AD1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
A1
C1
B1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
B
C
A
B
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
141
ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР
Таблица 4
1
В правильном тетраэдре MABC найдите угол между прямыми AB и CM.
M
C
A
B
2
В правильном тетраэдре MABC найдите угол между высотой MO и медианой BD боковой грани MBC.
M
D
C
A
O
B
3
В правильном тетраэдре MABC точка D — середина ребра CM. Найдите угол между прямыми BC и AD.
M
D
C
A
B
142
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 5
1
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все ребра которой
равны 1, найдите угол между прямыми MO и BE, где E — середина
ребра AM.
M
E
D
C
O
A
2
B
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все ребра которой
равны 1, точка E — середина ребра MC. Найдите угол между прямыми
MA и BE.
M
E
D
A
C
B
143
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 6
1
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми MA и BD.
4
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а
боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми MC и AD.
M
M
D
E
D
E
F
C
F
A
C
B
A
2
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямыми MB и AD.
5
M
M
D
E
F
E
C
A
3
6
D
F
E
C
B
B
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми MF
и BE.
M
M
A
C
A
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми MC и BD.
D
F
B
E
B
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1, а
боковые ребра равны 2, найдите
угол между прямыми ME и CD.
D
F
C
A
B
144
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
§ 2. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ
КУБ
Таблица 7
1
В кубе A…D1 найдите угол между прямой A 1 B и плоскостью
BCC1.
D1
5
В кубе A…D1 найдите угол между прямой DD 1 и плоскостью
A1BC1.
D1
C1
C
A1
6
В кубе A…D1 найдите угол между прямой A 1 B и плоскостью
ACD1.
D1
C1
C
B
C1
A1
B1
D
C
B
A
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью
ACC1.
D1
B1
D
B
A
C1
A1
B1
D
C
B
A
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью
ABC1.
A1
B1
D
C
D1
C1
A1
B
A
A
D1
B1
D
3
В кубе A…D1 найдите угол между прямой BB 1 и плоскостью
A1BC.
C1
A1
2
4
B1
C
D
A
B
145
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
Окончание табл. 7
7
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AC 1 и плоскостью
BB1D1.
D1
D
A1
A1
11
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AB и плоскостью
CB1D1.
D1
C1
B
12
В кубе A…D1 найдите угол между прямой A1D1 и плоскостью
ACB1.
D1
C1
C
B
C1
A1
B1
D
C
B
A
В кубе A…D1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью
BC1D.
A1
B1
D
C
D1
C1
A1
B1
A
C
B
A
D
A
D
B
В кубе A…D1 найдите угол между прямой A 1 C и плоскостью
BCC1.
C1
B1
C
D1
9
D1
B1
A
В кубе A…D1 найдите угол между прямой BD 1 и плоскостью
BCC1.
C1
A1
8
10
B1
C
D
A
B
146
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 8
1
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой BB 1 и плоскостью AB1C1.
4
C1
A1
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой BC 1 и плоскостью ACC1.
C1
A1
B1
B1
C
C
B
A
2
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой AA 1 и плоскостью AB1C1.
5
C1
A1
B
A
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой AC и плоскостью
AB1C1.
C1
B1
A1
C
C
B
A
3
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой BC и плоскостью ACC1.
C1
A1
B1
B
A
6
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой CC 1 и плоскостью ACB1.
C1
A1
C
A
B1
B1
C
B
A
B
147
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 9
1
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой CC1 и плоскостью ABC.
E1
4
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой CF1 и плоскостью ABC.
E1
D1
D1
F1
F1
C1
C1
B1
A1
B1
A1
E
E
D
D
F
F
C
C
A
2
A
B
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой AF1 и плоскостью ABC.
E1
5
B
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой BB1 и плоскостью ABD1.
D1
E1
F1
F1
C1
A1
D1
C1
B1
B1
A1
E
E
D
F
D
F
C
A
3
C
B
A
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой A1C и плоскостью ABC.
E1
6
B
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой AB1 и плоскостью ABD1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
B
C
A
B
148
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 9
7
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой EE1 и плоскостью FCD1.
E1
10
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой AA1 и плоскостью BD1F.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
8
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой CC1 и плоскостью ACD1.
E1
11
B
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой AB1 и плоскостью ACE1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
9
C
B
A
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой AB1 и плоскостью ABC1.
12
В правильной шестиугольной
призме A...F1, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой BC1 и плоскостью BDE1.
E1
D1
E1
B
F1
D1
F1
C1
A1
C1
B1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
C
A
B
A
B
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
149
ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР
Таблица 10
1
В правильном тетраэдре MABC,
все ребра которого равны 1,
найдите угол между апофемой
MD и плоскостью ABC.
3
В правильном тетраэдре MABC,
все ребра которого равны 1,
точка D — середина ребра BM.
Найдите угол между прямой
AD и плоскостью ABC.
M
M
D
A
A
C
C
D
B
B
2
В правильном тетраэдре MABC,
все ребра которого равны 1,
найдите угол между ребром MC
и плоскостью ABC.
4
В правильном тетраэдре MABC,
все ребра которого равны 1, найдите угол между медианой BD
грани MBC и плоскостью MAB.
M
M
D
A
C
B
A
C
B
150
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 11
1
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой AE и плоскостью
MBC, где E — середина MD.
3
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно AC.
M
M
E
D
A
2
A
B
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между прямой BD и плоскостью MBC.
M
D
A
D
C
C
B
C
B
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
151
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 12
1
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой
AF и плоскостью MBC.
3
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой
MF и плоскостью MAB.
M
M
D
E
F
C
A
2
E
B
M
E
D
F
C
A
B
F
C
A
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой
BC и плоскостью MAB.
D
B
152
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
§ 3. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè
КУБ
Таблица 13
1
В кубе A…D1 найдите углы между плоскостями ABC и ACC1.
D1
D
D1
6
В кубе A…D1 найдите углы между плоскостями ABC и AB1D1.
D1
C1
C1
A1
B1
B1
D
C
B
C
B
A
В кубе A…D1 найдите углы между плоскостями ABC и CDD1.
D
B1
D
C
D1
C1
A1
B
A1
В кубе A…D1 найдите углы между плоскостями ABC и ACD1.
C1
B1
A
A
5
C
B
A
В кубе A…D1 найдите углы между плоскостями ACC1 и BDD1.
D
B1
D
B
A1
C1
A1
C
D1
3
D1
B1
A
В кубе A…D1 найдите углы между плоскостями ABC1 и ABC.
C1
A1
2
4
A
C
B
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
153
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 14
1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC1 и BCC1.
4
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AB1C и A1BC1.
C1
C1
A1
B1
A1
B1
C
C
B
A
2
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC1 и ABC.
C1
5
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A1CB1.
C1
A1
B1
A1
C
3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A1BC.
C1
A1
B1
C
A
B1
C
B
A
B
A
B
A
B
154
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 15
1
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AFF1 и DD1E1.
E1
4
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями BFF1 и BCC1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
A1
B1
A1
E
B1
E
D
F
D
F
C
A
2
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABB1 и AFF1.
E1
5
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC1 и AEE1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
3
C
B
A
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и DEE1.
E1
6
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями BFF1 и DEE1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
B
C
A
B
155
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
Окончание табл. 15
7
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ABD1.
E1
10
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
E1
D1
D1
F1
F1
C1
C1
A1
B1
A1
E
B1
E
D
D
F
F
C
C
A
8
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и AB1D1.
E1
11
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями BCD1 и FED1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
A1
B1
A1
E
B1
D
D
E
F
F
C
A
9
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD1.
E1
12
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и FBD1.
E1
D1
D1
F1
F1
C1
C1
B1
A1
E
D
E
B1
A1
D
F
F
C
C
A
B
A
B
156
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 16
1
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите угол
между плоскостями MAD и
MBC.
3
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите
угол между плоскостями ABC
и MCD.
M
M
D
B
A
2
D
C
C
B
A
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите двугранный угол между гранями
MAD и AMB.
4
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, точка E —
середина ребра MC. Найдите
угол между плоскостями ABC
и BDE.
M
M
E
D
A
D
C
B
A
C
B
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
157
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 17
1
В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла
между плоскостями MFE и MAB.
M
D
E
F
C
A
2
B
В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла
между плоскостями MAF и MCD.
M
D
E
F
C
A
3
B
В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла
между плоскостями ABC и MBC.
M
E
D
F
C
A
B
158
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
§ 4. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé
КУБ
Таблица 18
1
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
прямой BB1.
D1
D1
D
D1
5
D1
A1
B1
D
D
A
B
D1
6
D
D1
C
B
B
A1
B1
C
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки B до
прямой A1C1.
C1
A1
C1
B1
C
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
прямой BC.
A
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки B до
прямой AC.
C1
A1
C
B
A
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
прямой CC1.
A
B1
C
B
A
C1
A1
B1
D
3
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
прямой B1C1.
C1
A1
2
4
C1
B1
D
A
C
B
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
159
Окончание табл. 18
7
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки B до
прямой AD1.
D1
D
C
B
A
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
прямой B1C.
11
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
прямой BD1.
D1
C1
A1
B1
C
D
B
D1
12
D1
C1
A1
B1
B1
D
C
B
B
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки B до
прямой DA1.
C1
D
C
A
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
прямой A1C.
A1
C1
A1
B1
D
A
B1
D
B
A
C1
A1
C
D1
9
D1
B1
A
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки B до
прямой A1C.
C1
A1
8
10
A
C
B
160
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 19
1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CC1.
4
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки C до прямой A1B1.
C1
A1
C1
A1
B1
B1
C
B
A
2
C
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BC.
B
A
5
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AB1.
C1
A1
C1
B1
A1
C
3
C
B
A
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой A1C1.
B
A
6
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AC1.
C1
C1
A1
B1
A1
B1
C
C
A
B1
B
A
B
161
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 20
1
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой D1E1.
E1
4
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой BC1.
E1
D1
D1
F1
F1
C1
C1
B1
A1
B1
A1
E
E
D
D
F
F
C
C
A
2
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки C до прямой F1E1.
E1
5
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки C до прямой AF1.
E1
D1
D1
F1
F1
C1
C1
A1
B1
B1
A1
E
E
D
D
F
F
C
C
A
3
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой D1C1.
E1
6
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AB1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
B
C
A
B
162
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 20
7
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AE1.
E1
10
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CE1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
8
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CF1.
E1
11
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой D1F1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
9
C
B
A
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AD1.
E1
12
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой A1F1.
D1
E1
F1
C1
E
D1
F1
C1
B1
A1
B
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
B
C
A
B
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
163
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 21
1
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A до
прямой MB.
3
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки C до
прямой MF.
M
M
D
E
F
C
A
2
F
B
C
A
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки M до
прямой AC.
4
B
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки B до
прямой MF.
M
M
E
E
D
F
C
A
D
E
B
D
F
C
A
B
164
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
§ 5. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè
КУБ
Таблица 22
1
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
плоскости CDD1.
D1
5
D1
A1
B1
C
D1
A1
6
B
D1
C1
A1
B1
B1
D
C
B
C
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки B до
плоскости ACD1.
C1
D
B1
A
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки C до
плоскости ABC1.
C1
D
B
A
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки B до
плоскости ACC1.
C1
D
C
B
A
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки B до
плоскости ADD1.
A1
B1
D
C
D1
C1
A1
B
A
A
D1
B1
D
3
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
плоскости BCD1.
C1
A1
2
4
A
C
B
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
165
Окончание табл. 22
7
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
плоскости A1BC1.
D1
10
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до
плоскости BDA1.
D1
C1
C1
A1
A1
B1
B1
D
C
C
D
8
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки C до
плоскости BDC1.
D1
11
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки B до
плоскости DA1C1.
D1
C1
A1
C1
A1
B1
D
B
A
B
A
B1
C
C
D
B
A
9
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки С до
плоскости AB1D1.
D1
В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки B до
плоскости AB1D1.
D1
B1
D
C
B
C1
A1
B1
D
A
12
C1
A1
B
A
A
C
B
166
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 23
1
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости A1B1C1.
3
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости AB1C.
C1
C1
A1
A1
B1
B1
C
B
A
2
C
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BCC1.
4
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости A1BC1.
C1
C1
A1
B1
B1
A1
C
A
B
A
C
B
A
B
167
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
Окончание табл. 23
5
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости A1B1C.
7
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости AB1C1.
C1
C1
A1
A1
B1
C
C
B
A
6
B1
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BCA1.
8
В правильной треугольной
призме ABCA 1B 1C 1, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости A1B1C.
C1
C1
B1
A1
B
A
B1
A1
C
C
A
B
A
B
168
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 24
1
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки C до плоскости A1B1C1.
E1
4
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки B до плоскости AEE1.
E1
D1
D1
F1
F1
C1
C1
E
B1
A1
B1
A1
E
D
D
F
F
C
C
A
2
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки B до плоскости DEE1.
E1
5
B
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки B до плоскости ADD1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
3
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки C до плоскости EFF1.
E1
6
B
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки C до плоскости ABB1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
A1
C1
A1
B1
E
B1
E
D
F
D
F
C
A
B
C
A
B
169
Ðàçäåë IV. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
Окончание табл. 24
7
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки A до плоскости FCC1.
E1
10
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки B до плоскости AED1.
E1
D1
D1
F1
F1
C1
C1
E
B1
A1
B1
A1
D
E
D
F
F
C
C
A
8
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки B до плоскости ACC1.
E1
11
B
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки B до плоскости CFA1.
D1
E1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
A1
B1
E
E
D
F
D
F
C
A
9
C
B
A
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки B до плоскости FDD1.
E1
12
B
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от
точки A до плоскости DEA1.
E1
D1
D1
F1
F1
C1
C1
A1
B1
B1
A1
E
D
D
E
F
F
C
C
A
B
A
B
170
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 25
1
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости MCD.
2
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра
которой равны 1, точка E —
середина ребра BM. Найдите
расстояние от точки B до плоскости AEC.
M
M
E
D
A
D
C
B
A
C
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
171
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 26
1
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки B до
плоскости MED.
3
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A до
плоскости MBC.
M
M
E
E
D
F
F
C
A
2
D
C
A
B
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки B до
плоскости MDF.
4
B
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки B до
плоскости MAC.
M
M
E
E
D
D
F
C
A
B
F
C
A
B
172
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
§ 6. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè
КУБ
Таблица 27
1
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
BB1 и CC1.
D1
D
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
AC и BB1.
D1
C1
C
6
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
AA1 и BD1.
D1
C1
C
B
C1
A1
B1
D
C
B
A
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
BB1 и CD.
A1
B1
D
B
D1
C1
A1
B1
D
A
5
C
B
A
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
CC1 и AD.
A
B1
D
B
A1
C1
A1
C
D1
3
D1
B1
A
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
BB1 и DD1.
C1
A1
2
4
B1
D
A
C
B
173
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
Окончание табл. 27
7
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
BA1 и CC1.
D1
D
D1
12
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
A1B и CB1.
D1
C1
C1
A1
B1
B1
D
C
B
C
B
A
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
A1B и DC1.
D
B1
D
C
D1
C1
A1
B
A1
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
AB1 и BD1.
C1
B1
A
A
11
C
B
A
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
BB1 и AD1.
D
B1
D
B
A1
C1
A1
C
D1
9
D1
B1
A
В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми
A1B и B1D1.
C1
A1
8
10
A
C
B
174
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 28
1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и B1C1.
4
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB1 и BC.
C1
C1
A1
A1
B1
C
2
C
B
A
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB1 и AC.
5
C1
A1
B1
C
3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB1 и AC1.
6
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и CB1.
C1
B1
A1
B1
C
C
A
B
A
C1
A1
B1
C
B
A
B
A
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB1 и BC1.
C1
A1
B1
B
A
B
175
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 29
1
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB1 и AE1.
E1
4
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
2
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние
между прямыми AA1 и B1C1.
E1
5
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми FF1 и BC1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
3
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние
между прямыми BB1 и D1E1.
E1
6
B
В правильной шестиугольной
призме A…F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние
между прямыми BB1 и ED1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
A1
C1
E
B1
A1
B1
D
D
E
F
F
C
A
B
C
A
B
176
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 30
1
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MB и MC.
3
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MB и AC.
M
M
D
C
B
A
B
A
2
D
C
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC.
4
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BE.
M
M
E
D
A
D
C
B
A
C
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
177
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 31
1
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми MA и BD.
3
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми MA и CE.
M
M
D
E
F
C
B
A
2
E
M
E
D
F
C
A
B
F
C
A
В правильной шестиугольной
пирамиде MABCDEF, стороны
основания которой равны 1,
а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми MA и BC.
D
B
178
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
§ 7. Ïëîùàäè ñå÷åíèé ìíîãîãðàííèêîâ
КУБ
Таблица 32
1
Найдите площадь сечения единичного куба A…D 1 плоскостью, проходящей через середины ребер AA1, BB1, A1D1.
D1
D
5
A1
B
6
B
D1
A1
C
B
C
Найдите площадь сечения единичного куба A…D1 плоскостью,
проходящей через вершину C и
середины ребер AD, A1D1.
C1
D
B1
A
B1
C1
D
C
Найдите площадь сечения единичного куба A…D1 плоскостью,
проходящей через вершину C и
середины ребер BB1, DD1.
A
Найдите площадь сечения единичного куба A…D 1 плоскостью, проходящей через вершину B и середины A1D1, D1C1.
D1
B1
A1
B
C1
D1
D1
C
A
Найдите площадь сечения единичного куба A…D 1 плоскостью, проходящей через середины ребер BB1, CC1, AB.
A
B1
D
B
D
C1
A1
C
A
3
D1
B1
A1
Найдите площадь сечения единичного куба A…D 1 плоскостью, проходящей через вершину D и середины ребер AA1, CC1.
C1
A1
2
4
C1
B1
D
A
C
B
179
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
Окончание табл. 32
7
Найдите площадь сечения единичного куба A…D 1 плоскостью, проходящей через вершину B и середины CD, B1C1.
D1
D
A
Найдите площадь сечения единичного куба A…D 1 плоскостью, проходящей через середины ребер AD, AB, BB1.
D
12
C
B
Найдите площадь сечения единичного куба A…D 1 плоскостью, проходящей через вершины A, B, C1.
D1
C1
C1
A1
B1
C
B
B1
A
Найдите площадь сечения единичного куба A…D 1 плоскостью, проходящей через вершины A, C и середину A1D1.
D
C1
A1
B
A1
B
Найдите площадь сечения единичного куба A…D 1 плоскостью, проходящей через вершины A1, C1 и середину ребра DC.
C
D1
C
D1
B1
A
A
11
C1
D
B1
D
B
A1
C1
A1
C
D1
9
D1
B1
A
Найдите площадь сечения единичного куба A…D 1 плоскостью, проходящей через вершины A1, B и середину ребра C1D1.
C1
A1
8
10
B1
D
A
C
B
180
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Таблица 33
1
Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются вершины A, A1, C,
C1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с ребрами AB = 2, BC = 1, AA1 = 1.
D
4
Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются вершины A, A1,
середины ребер BC, B1C1 прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 с ребрами AB =
= 2, AD = 1, AA1 = 1.
C1
D1
B1
D
C1
D1
B1
A1
D
C
B
C
B
A
Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины
ребер AD, BC, DD 1 , CC 1 прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 с ребрами AB = 2,
AD = 1, AA1 = 1.
A
D
B
A1
B1
A1
C
A
C1
D1
B1
A1
Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины ребер
AD, A1D1, DC, D1C1 прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 с ребрами AB =
= 2, AD = 1, AA1 = 1.
C1
D1
2
3
A
C
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
181
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 34
1
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через середины ребер AC, BC, A1C1.
4
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой
равны 1, найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, A1 и середину ребра BC.
C1
A1
C1
B1
A1
C
A
2
C
A
B
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой
равны 1, найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, B и середину ребра B1C1.
5
C1
B1
A1
C
A
3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через середины ребер AA1, BB1 и B1C1.
A
6
B
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через вершины A, B1, C1.
C1
C1
B1
A1
C
A
B1
C
B
A1
B
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой
равны 1, найдите площадь сечения, проходящего через вершины A1, B1 и середину ребра AC.
C1
A1
B1
B1
C
B
A
B
182
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 35
1
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите площадь
четырехугольника, проходящего через вершины A, D, A1, D1.
E1
4
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через вершины F, B и C1.
E1
D1
F1
A1
F1
C1
B1
E
D1
A1
C1
B1
E
D
F
D
F
C
A
2
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через вершины B, F и C1.
E1
5
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через вершины A, D и E1.
E1
D1
F1
A1
F1
C1
B1
E
D1
A1
C1
B1
E
D
F
D
F
C
A
3
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через вершины B, C и E1.
E1
6
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через вершины F, C и D1.
D1
F1
A1
E1
C1
B1
E
B
D1
F1
A1
C1
B1
E
D
F
D
F
C
A
B
C
A
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
183
ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР
Таблица 36
1
В единичном тетраэдре MABC
найдите площадь сечения, вершинами которого являются середины ребер AB, BC, CM, AM.
3
В единичном тетраэдре MABC
найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, M
и середину ребра BC.
M
M
C
C
A
A
B
2
B
В единичном тетраэдре MABC
найдите площадь сечения, вершинами которого являются
середины ребер AB, BC и BM.
4
В единичном тетраэдре MABC
найдите площадь сечения, проходящего через вершину M и
середины ребер AB и BC.
M
M
C
A
C
A
B
B
184
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 37
1
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, вершинами которого
являются вершины M, A, C.
4
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через середины ребер AD, BC и MC.
M
M
A
2
D
C
D
A
B
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через вершины B, C и середину ребра MD.
5
B
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите
площадь сечения, вершинами
которого являются середины
ребер MA, MB, MC, MD.
M
M
D
3
B
A
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите площадь
сечения, проходящего через вершины A, B и середину ребра MD.
M
D
A
D
C
A
C
C
B
C
B
185
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
МНОГОГРАННИКИ
Таблица 38
1
Найдите площадь сечения многогранника, проходящего через
вершины A, B и D 2 . Все двугранные углы прямые.
2
D2
A2
4
Найдите площадь сечения многогранника, проходящего через
вершины A, A 2 и C 2. Все двугранные углы прямые.
2
D2
C2
A2
B2
D1
B2
C1
C2
D1
C1
2
2
4
4
B1
D A1
C
A
2
Найдите площадь сечения многогранника, проходящего через
вершины A, C и A 2 . Все двугранные углы прямые.
2
A2
B2
4
A
B
D2
5
B
Найдите площадь сечения многогранника, проходящего через
вершины A, A 1 и D 2. Все двугранные углы прямые.
2
D2
C2
D1
C
4
4
4
B1
D A1
A2
C1
B2
C2
D1
C1
2
4
B1
D A1
2
4
C
B1
D A1
4
4
A
3
4
2
A2
B2
4
A
B
Найдите площадь сечения многогранника, проходящего через
вершины B1, C1 и A2. Все двугранные углы прямые.
D2
6
B
Найдите площадь сечения многогранника, проходящего через
вершины A, A 1 и C 2. Все двугранные углы прямые.
C2
2
D2
D1
C
C1
A2
B2
C2
D1
C1
2
4
D A1
B1
C
2
4
D
A1
B1
4
A
4
B
C
4
A
4
B
186
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
§ 8. Ïëîùàäè ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ
ïëîñêèõ ôèãóð
КВАДРАТ
Таблица 39
1
2
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой BC.
D
C
A
B
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
единичного квадрата ABCD вокруг прямой BD.
D
C
A
B
3
4
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
единичного квадрата ABCD
вокруг перпендикуляра к диагонали, проведенного через ее
конец.
D
C
A
B
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
единичного квадрата ABCD вокруг внешней оси, параллельной его стороне и отстоящей от
нее на длину стороны.
D
C
A
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
187
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Таблица 40
1
2
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника ABCD со сторонами AB = 1,
BC = 2 вокруг прямой BC.
A
Найдите площадь поверхности вращения прямоугольника
ABCD со сторонами AB = 2,
BC = 1 вокруг оси, проходящей
через вершину C параллельно
диагонали BD.
D
C
A
D
A
B
B
C
Найдите площадь поверхности вращения прямоугольника
ABCD со сторонами AB = 2,
BC = 1 вокруг прямой, проходящей через середины AB и CD.
D
3
4
Найдите площадь поверхности вращения прямоугольника
ABCD со сторонами AB = 2,
BC = 1 вокруг перпендикуляра
к диагонали BD, проведенного
через ее конец B.
A
D
B
C
C
B
188
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Таблица 41
1
Найдите площадь боковой поверхности конуса, полученного
вращением прямоугольного
треугольника ABC с катетами
AC = BC = 1 вокруг прямой BC.
4
Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного
вращением прямоугольного
треугольника ABC с катетами
AC = 2, BC = 1 вокруг прямой AB.
B
B
A
2
C
A
C
Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного
вращением прямоугольного
треугольника ABC с катетами
AC = BC = 1 вокруг прямой AB.
5
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
прямоугольного треугольника
ABC с катетами 5 и 12 вокруг
внешней оси, параллельной
большему катету и отстоящему
от него на 3. B
B
A
3
A
C
Найдите площадь боковой поверхности конуса, полученного
вращением прямоугольного
треугольника ABC с катетами
AC = 2, BC = 1 вокруг прямой BC.
B
A
6
C
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
прямоугольного треугольника
ABC с катетами 15 и 20 вокруг
перпендикуляра к гипотенузе,
проведенного через вершину
большего острого угла B.
B
C
C
A
189
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Таблица 42
1
Найдите площадь полной поверхности конуса, полученного
вращением равнобедренного
треугольника ABC с основанием AC = 4 и боковой стороной,
равной 5, вокруг прямой, содержащей высоту BD этого треугольника.
4
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
равнобедренного треугольника
ABC, у которого боковые стороны равны по 5, а один из углов
120, вокруг основания AC.
B
B
A
A
2
D
C
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
равнобедренного треугольника ABC с основанием AC = 6 и
боковой стороной, равной 5,
вокруг прямой AB.
5
Найдите площадь полной поверхности конуса, полученного
вращением равностороннего
треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой, содержащей медиану BD.
B
B
A
C
A
3
C
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
равнобедренного треугольника ABC с основанием AC = 6 и
боковой стороной, равной 5,
вокруг прямой AC.
6
D
C
Найдите площадь поверхности
вращения равностороннего треугольника ABC со стороной 1
вокруг прямой AB.
B
B
A
C
A
C
190
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
РОМБ
Таблица 43
1
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
ромба ABCD с площадью, равной 1, вокруг стороны BC.
D
A
2
3
D
С
C
A
B
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
ромба ABCD со сторонами, равными 1, и острым углом 60,
вокруг прямой BD.
D
A
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
ромба ABCD со сторонами, равными 1, и острым углом 60,
вокруг прямой AC.
4
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
ромба ABCD со сторонами, равными 1, и острым углом в 60,
вокруг оси, проведенной через
вершину C перпендикулярно к
стороне DC.
C
B
B
D
C
60
A
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
191
КРУГ И ЕГО ЧАСТИ
Таблица 44
1
Найдите площадь поверхности
вращения круга радиуса 1 вокруг прямой, содержащей его
диаметр.
3
Найдите площадь поверхности
вращения четверти круга радиуса 1 вокруг прямой OB.
B
O
A
2
Найдите площадь поверхности
вращения полукруга радиуса 1
вокруг прямой OA, перпендикулярной диаметру MN.
A
M
O
N
O
192
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК
Таблица 45
1
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
правильного шестиугольника
ABCDEF со стороной, равной 1,
вокруг оси, проходящей через
его вершину C перпендикулярно к радиусу, проведенному в
эту вершину.
2
Найдите площадь поверхности
тела, полученного вращением
правильного шестиугольника
ABCDEF со стороной, равной 1,
вокруг внешней оси, которая
параллельна стороне и отстоит
от нее на длину апофемы.
E
D
E
D
F
C
F
O
O
C
A
A
B
B
§ 9. Îáúåìû òåë âðàùåíèÿ ïëîñêèõ ôèãóð
КВАДРАТ
Таблица 46
1
Найдите объем тела, полученного вращением единичного
квадрата ABCD вокруг перпендикуляра к диагонали, проведенного через ее конец.
D
A
2
Найдите объем тела, полученного вращением единичного
квадрата ABCD вокруг внешней оси, параллельной его стороне и отстоящей от нее на длину стороны.
C
D
C
A
B
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
193
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Таблица 47
1
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника ABCD со сторонами AB = 1,
BC = 2 вокруг прямой BC.
D
A
2
3
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника ABCD со сторонами AB = 2,
BC = 1 вокруг оси, проходящей
через вершину C параллельно
диагонали BD.
C
A
D
B
B
C
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника ABCD со сторонами AB = 2,
BC = 1 вокруг прямой, проходящей через середины AB и CD.
D
C
A
B
4
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника ABCD со сторонами AB = 2,
BC = 1 вокруг перпендикуляра
к диагонали BD, проведенного
через ее конец.
A
D
B
C
194
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Таблица 48
1
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного
треугольника ABC с катетами
AC = BC = 1 вокруг прямой BC.
3
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = BC = 1 вокруг прямой
CD, где D — середина AB.
B
B
D
C
C
A
2
A
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного
треугольника ABC с катетами
AC = BC = 1 вокруг прямой AB.
4
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = 2, BC = 1 вокруг
прямой BC.
B
B
C
A
A
C
195
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Таблица 49
1
Найдите объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника ABC, AB =
= BC = 1, B = 120, вокруг
прямой AC.
3
Найдите объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника ABC со сторонами AB = BC = 5, AC = 6 вокруг прямой AB.
B
B
A
C
A
2
Найдите объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника ABC со сторонами AB = BC = 5, AC = 6
вокруг прямой, содержащей
биссектрису BD этого треугольника.
4
C
Найдите объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника ABC со сторонами AB = BC = 5, AC = 6
вокруг прямой AC.
B
B
A
D
C
A
C
196
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ТРАПЕЦИЯ
Таблица 50
1
Найдите объем тела, полученного вращением трапеции ABCD,
у которой AD = DC = BC = 1,
AB = 2 вокруг прямой AB.
D
4
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольной
трапеции ABCD с основаниями
AD = 2, BC = 1 и меньшей боковой стороной CD = 1, вокруг
прямой CD.
C
C
B
B
A
A
D
2
Найдите объем тела, полученного вращением трапеции ABCD,
у которой AD = DC = BC = 1,
AB = 2 вокруг прямой CD.
D
5
C
C
A
B
3
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольной
трапеции ABCD с основаниями
AD = 2, BC = 1 и меньшей боковой стороной CD = 1, вокруг
прямой AD.
C
D
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD = 2, BC = 1 и острым
углом в 45, вокруг прямой CD.
B
D
6
A
Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольной
трапеции ABCD с основаниями
AD = 2, BC = 1 и меньшей боковой стороной CD = 1, вокруг
прямой BC.
C
A
B
D
B
A
197
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
РОМБ
Таблица 51
1
Найдите объем тела, полученного вращением ромба ABCD
со сторонами, равными 1, и
острым углом 30, вокруг стороны BC.
3
Найдите объем тела, полученного вращением ромба ABCD со
сторонами, равными 1, и острым углом в 60, вокруг прямой, содержащей большую диагональ AC.
D
C
D
C
B
A
A
B
2
Найдите объем тела, полученного вращением ромба ABCD со
сторонами, равными 1, и острым углом 60, вокруг прямой,
содержащей меньшую диагональ BD.
D
4
Найдите объем тела, полученного вращением ромба ABCD со
сторонами, равными 1, и острым углом в 60, вокруг оси,
проведенной через вершину C
перпендикулярно к стороне DC.
C
D
A
C
B
A
B
198
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК
Таблица 52
1
Найдите объем тела, полученного вращением правильного шестиугольника ABCDEF
со стороной, равной 1, вокруг
внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от нее
на длину апофемы.
2
Найдите объем тела, полученного вращением правильного
шестиугольника ABCDEF со
стороной, равной 1, вокруг оси,
проходящей через его вершину
C перпендикулярно к радиусу,
проведенному в эту вершину.
E
D
E
F
D
F
C
C
A
A
B
B
МНОГОУГОЛЬНИК
Таблица 53
1
Найдите объем тела, полученного вращением многоугольника ABCDEF, составленного
из трех единичных квадратов,
вокруг прямой AF.
D
F
A
2
Найдите объем тела, полученного вращением многоугольника ABCDEF, составленного
из трех единичных квадратов,
вокруг прямой BC.
D
C
E
F
B
A
C
E
B
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
199
КРУГ И ЕГО ЧАСТИ
Таблица 54
1
Найдите объем тела, полученного вращением круга радиуса 1 вокруг прямой, содержащей его диаметр.
3
Найдите объем тела, полученного вращением четверти круга
радиуса 1 вокруг прямой OB.
B
O
A
2
Найдите объем тела, полученного вращением полукруга радиуса 1 вокруг прямой OA, перпендикулярной диаметру MN.
A
M
O
N
O
200
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
§ 10. Îáúåìû òåë âðàùåíèÿ ìíîãîãðàííèêîâ
КУБ
Таблица 55
1
Найдите объем тела, полученного вращением единичного
куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , вокруг
прямой CC1.
D1
2
Найдите объем тела, полученного вращением единичного
куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , вокруг
прямой, проходящей через центры граней ADD1A1 и BCC1B1.
D1
C1
C1
A1
A1
B1
B1
D
D
C
B
A
B
A
C
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 56
1
Найдите объем тела, полученного вращением правильной
призмы ABCA1B1C1, все ребра
которой равны 1, вокруг прямой CC1.
2
Найдите объем тела, полученного вращением правильной
призмы ABCA1B1C1, все ребра
которой равны 1, вокруг прямой, проходящей через центры
оснований ABC и A1B1C1.
C1
C1
A1
B1
A1
C
C
A
B1
B
A
B
201
Ðàçäåë II. Çàäà÷è â òàáëèöàõ (X–XI êëàññû)
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 57
1
Найдите объем тела, полученного вращением правильной
четырехугольной пирамиды
MABCD, все ребра которой равны 1, вокруг прямой, содержащей высоту MO пирамиды.
2
Найдите объем тела, полученного вращением правильной
четырехугольной пирамиды
MABCD, все ребра которой равны 1, вокруг прямой, содержащей диагональ основания AC.
M
M
D
D
C
C
O
A
B
A
B
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 58
1
Найдите объем тела, полученного вращением правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, вокруг прямой, содержащей высоту MO.
M
D
E
O
F
A
C
B
202
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
МНОГОГРАННИКИ
Таблица 59
1
Найдите объем тела, полученного вращением многогранника вокруг прямой AD. Все двугранные углы прямые.
D2
2
2
Найдите объем тела, полученного вращением многогранника вокруг прямой AA 2. Все
двугранные углы прямые.
D2
C2
A2
A2
B2
A1
4
D1
2
B2
C1
2
B1
A1
4
D
C2
D
C
4
B
2
B1
C
4
A
C1
D1
4
A
4
B
Ðàçäåë V
ÐÀÇÍÛÅ ÇÀÄÀ×È
§ 11. Ìíîãîãðàííèêè
КУБ
Таблица 60
1
Площадь поверхности куба
равна 150. Найдите его объем.
3
Площадь полной поверхности
куба равна 48. Найдите длину
диагонали грани куба.
2
Площадь поверхности куба
равна 96. Найдите ребро куба.
4
Диагональ куба равна 18. Найдите площадь его одной грани.
204
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 60
5
6
Ребро куба равно 5 2. Найдите
расстояние от плоскости диагонального сечения до непересекающего его ребра.
Найдите площадь диагонального сечения куба, объем которого равен 4 4 2.
8
Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через три несмежные вершины, равна 18 3.
Найдите длину ребра куба.
9
В кубе A…D 1 через середины
ребер A1B1, D1C1 и вершину B
проведено сечение, площадь
которого равна 32 5. Найдите
объем куба.
C1
D1
A1
B1
D
A
7
Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через диагонали верхнего и нижнего оснований, равна 16 2. Найдите
длину ребра куба.
10
C
B
В кубе через сторону основания
проведено сечение под углом
30 к плоскости основания.
Найдите площадь сечения,
если ребро куба равно 7 4 3.
30
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
205
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ И ПРЯМОЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЫ
Таблица 61
1
Найдите квадрат расстояния между вершинами A1 и C прямоугольного параллелепипеда A…D1, если
AB = 6, BC = 3, AA1 = 4.
D
2
A1
B
A
A1
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из
одной вершины, равны 6 и 8.
Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 208. Найдите длину третьего ребра, выходящего из той же вершины.
6
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6
и 8. Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол, тангенс которого
равен 0,8. Определите полную
поверхность параллелепипеда.
C
B
A
В прямоугольном параллелепипеде A…D1 найдите DB1A1,
если известно, что AB = 13,
BC = 5, AA1 = 12.
C1
D1
A1
B1
D
A
B
B1
D
3
C
5
C1
D1
B1
D
C
Найдите расстояние между вершинами B и C1 прямоугольного
параллелепипеда A…D 1, если
AB = 6, AD = 3, AA1 = 4.
C1
D1
B1
A
В прямоугольном параллелепипеде A…D1 найдите DBD1,
если известно, что AB = 13,
BC = 5, AA1 = 12.
C1
D1
A1
4
C
B
206
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 61
7
В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2 и 1,
острый угол между ними равен
60. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найдите
объем параллелепипеда.
9
Основанием прямого параллелепипеда A…D1 является ромб
ABCD, сторона которого равна
4 3, а угол BAD равен 60.
Найдите расстояние от точки A
до прямой C1D1, если известно,
что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.
D1
C1
A1
B1
D
C
60
B
A
8
Основанием параллелепипеда
служит ромб с острым углом
30. Диагональ одной боковой
грани перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60. Найдите
сторону основания, если полная поверхность параллелепипеда равна 4 3.
10
Объем параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 равен 18. Найдите объем треугольной пирамиды D1ADC.
D1
C1
B1
A1
D
C
A
30
60
B
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
207
ПРАВИЛЬНАЯ И ПРЯМАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПРИЗМЫ
Таблица 62
1
Объем правильной треугольной
призмы равен 25 3. Радиус
окружности, описанной около
основания призмы, равен 5 / 3.
Найдите высоту призмы.
3
Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна 6. Найдите высоту призмы,
если прямая, проходящая через центр верхнего основания и
середину стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом 60.
60
2
Объем правильной треугольной
призмы равен 72 3, ее высота
равна 8. Найдите сторону основания.
4
Объем правильной треугольной
призмы равен 3. Найдите площадь сечения, проведенного
через боковое ребро и равного
ему высоту основания.
208
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 62
5
Основанием прямой призмы
ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AC =
= BC = 10, AB = 16. Высота призмы равна 6. Найдите угол между
прямой C1B и плоскостью ABB1.
C1
7
Основанием прямой призмы
служит равнобедренный треугольник с углом 45 при основании. Найдите основание треугольника, если объем призмы
равен 2 1, а боковая поверхность равна сумме площадей
оснований.
B1
A1
C
B
45
A
6
Основанием прямой призмы
ABCA 1 B 1 C 1 является прямоугольный треугольник ABC,
C = 90, AB = 10, BC = 2 5,
8
Основанием прямой призмы
ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна
8 3, а ACB = 120. Найдите
расстояние от точки A до прямой B 1C 1, если боковое ребро
AA1 = 5.
высота призмы равна 2 3.
Найдите угол между прямой
BC1 и плоскостью ABB1.
C1
B1
A1
C1
B1
A1
C
A
C
B
B
A
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
209
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 63
1
В правильной четырехугольной
призме площадь основания
равна 144, а высота — 14. Определите диагональ этой призмы.
3
В правильной четырехугольной
призме A…D1, стороны основания которой равны 2, а боковые
ребра равны 4, найдите угол
между прямой AB 1 и плоскостью BDD1.
D1
A1
C1
B1
D
A
2
Определите диагональ правильной четырехугольной призмы,
если диагональ основания равна 8, а диагональ боковой грани
равна 7.
4
C
B
Объем правильной четырехугольной призмы равен 1, а
1
cos = , где — угол между
3
диагоналями двух смежных боковых граней. Найдите сторону
основания призмы.
210
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПРИЗМА
Таблица 64
1
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 13, найдите тангенс угла AD1D.
E1
3
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 13, найдите расстояние между точками C и E1.
E1
D1
F1
D1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
F
D
F
C
A
2
C
A
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 7, найдите угол
AC1C.
E1
4
B
В правильной шестиугольной
призме A…F 1, все ребра которой равны 2 5, найдите расстояние между точками B и E1.
E1
D1
D1
F1
F1
C1
C1
B1
A1
E
B1
A1
E
D
D
F
F
C
C
A
B
A
B
211
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 65
1
В правильной треугольной пирамиде MABC площадь основания равна 13, объем пирамиды
равен 91. Найдите длину высоты MO.
3
В правильной треугольной пирамиде MABC D — середина
ребра BC. Известно, что AB = 8,
а площадь боковой поверхности равна 96. Найдите длину
апофемы MD.
M
M
A
C
A
C
O
D
B
B
2
В правильной треугольной пирамиде MABC объем равен 72,
а высота MO равна 12. Найдите
площадь основания пирамиды.
4
В правильной треугольной пирамиде MABC D — середина
BC. Известно, что MD = 12,
а площадь боковой поверхности равна 90. Найдите длину
отрезка AB.
M
M
A
C
A
C
O
D
B
B
212
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Продолжение табл. 65
5
Определите объем правильной
треугольной пирамиды, если
высота треугольника в основании пирамиды равна 1, а апофема равна 2.
7
Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 3, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45. Найдите
объем пирамиды.
45
6
Определите высоту правильной
треугольной пирамиды, объем
которой равен 4 3, если все
плоские углы при вершине
прямые.
8
Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 3, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60. Найдите
объем пирамиды.
60
213
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
Окончание табл. 65
9
В правильной треугольной пирамиде MABC D — середина
AB, AB = 9, MD = 6. Найдите
площадь боковой поверхности
пирамиды.
11
Боковая грань правильной треугольной пирамиды составляет
с плоскостью основания угол,
тангенс которого равен 2. Найдите тангенс угла между боковым ребром и апофемой противолежащей грани.
12
В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием
ABC, точка D — середина ребра
MA, точка E — середина ребра MB. Найдите угол между
плоскостями CDE и ABC, если
MC = 18, AB = 12.
M
B
A
D
C
10
Двугранный угол при основании правильной треугольной
пирамиды равен 60. Найдите
боковую поверхность пирамиды, если расстояние от центра
основания до середины апофемы боковой грани равно 1.
M
D
A
E
60
B
C
214
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР
Таблица 66
1
Вычислить объем правильного
тетраэдра, если радиус окружности, описанной около его
грани, равен 1.
3
В правильном тетраэдре через
сторону основания проведена плоскость, делящая объем
пирамиды в отношении 2 : 3,
считая от основания. Найдите
угол между этой плоскостью и
плоскостью основания.
2
Полная поверхность правильного тетраэдра равна 24 3.
Определите высоту тетраэдра.
4
Площадь поверхности тетраэдра равна 6,8. Найдите площадь
поверхности многогранника,
вершинами которого являются
середины сторон данного тетраэдра.
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
215
ТРЕУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 67
1
Основанием пирамиды служит
равносторонний треугольник.
Две боковые грани пирамиды
перпендикулярны плоскости
основания. Найдите угол между третьей боковой гранью и
плоскостью основания, если
боковая поверхность пирамиды
относится к площади основания как 13 : 3.
3
Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник,
у которого основание равно 6 и
высота 9; боковые ребра равны
между собой, и каждое равно
13. Определите высоту пирамиды.
2
Основанием пирамиды служит
равносторонний треугольник.
Одна из боковых граней — также равносторонний треугольник и перпендикулярна плоскости основания. Определите
сторону основания пирамиды,
если полная поверхность пирамиды равна 5 2.
4
Основанием пирамиды служит
равнобедренный треугольник,
у которого основание равно 12,
а боковая сторона — 10. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы,
содержащие по 45. Определите
высоту пирамиды.
216
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ТРЕУГОЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Таблица 68
1
Основаниями усеченной пирамиды служат прямоугольные
треугольники с острым углом
30. Гипотенузы треугольников
равны соответственно 6 и 4.
Найдите объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 3.
3
Стороны оснований правильной
усеченной треугольной пирамиды равны 2 и 1, а боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом 60. Найдите
объем усеченной пирамиды.
60
30
2
Основаниями усеченной пирамиды служат равнобедренные
прямоугольные треугольники,
гипотенузы которых равны 7
и 5. Найдите объем усеченной
пирамиды, если ее высота равна 12.
4
Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 6 и 12, высота
равна 1. Найдите боковую поверхность.
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
217
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 69
1
В правильной четырехугольной
пирамиде MABCD боковое ребро MA = 5, сторона основания
равна 2. Найдите расстояние от
точки M до плоскости ABN, где
N — середина ребра MС.
3
В правильной четырехугольной
пирамиде косинус плоского
угла при вершине равен 16/25.
Найдите отношение площади
диагонального сечения к площади ее основания.
4
Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 10.
Тангенс двугранного угла при
основании равен 4/3. Найдите
площадь полной поверхности
пирамиды.
M
N
E
D
A
2
C
B
В правильной четырехугольной
пирамиде сторона основания
равна 1, а плоский угол при
вершине пирамиды равен 30.
Найдите расстояние от центра
основания пирамиды до ее бокового ребра.
30
218
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 69
5
Апофема боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 6 3, а угол между апофемой боковой грани и
плоскостью основания — 60.
Найдите объем пирамиды.
7
В правильной четырехугольной
пирамиде двугранный угол при
боковом ребре равен 120. Найдите площадь диагонального
сечения, если боковая поверхность равна 4.
8
В правильной четырехугольной
пирамиде расстояния от центра
основания до боковой грани и
до бокового ребра равны соответственно 2 и 3. Найдите
двугранный угол при основании пирамиды.
60
6
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 1 и наклонено к плоскости
основания под углом 60. Найдите объем пирамиды.
60
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
219
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 70
1
В основании пирамиды лежит
квадрат. Две боковые грани
перпендикулярны плоскости
основания, а две другие наклонены к нему под углом 45.
Найдите объем пирамиды, если
длина среднего по величине
ребра равна 1.
3
Основанием пирамиды служит
ромб с диагоналями, равными
6 и 8; высота пирамиды проходит через точку пересечения
диагоналей ромба, лежащего
в основании пирамиды, и равна 1. Определите боковую поверхность пирамиды.
4
Основанием пирамиды служит
параллелограмм, у которого
стороны равны 20 и 36, а площадь равна 360, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и
равна 12. Определите боковую
поверхность пирамиды.
45
45
2
В основании пирамиды лежит
прямоугольник. Две боковые
грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие
наклонены к ней под углами
30 и 60. Найдите площадь основания пирамиды, если объем
равен 9.
30
60
220
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Таблица 71
1
Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 3 и 5,
ребро усеченной пирамиды равно 17. Найдите площадь полной поверхности.
3
Определить объем правильной
четырехугольной усеченной
пирамиды, если ее диагональ
равна 18, а длины сторон оснований равны 14 и 10.
2
Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 3 и 1.
Найдите объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 3.
4
Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды
равна 3, сторона большего основания равна 9 2. Найдите объем пирамиды, если боковое
ребро составляет с основанием
угол 45.
45
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
221
ПРАВИЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Таблица 72
1
В правильной шестиугольной
пирамиде апофема равна 1,
а двугранный угол при основании равен 60. Найдите полную
поверхность пирамиды.
3
Объем треугольной пирамиды,
являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды,
равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
4
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды
равна 8, а угол между боковой
гранью и основанием равен 45.
Найдите объем пирамиды.
60
2
Найдите боковую поверхность
правильной шестиугольной
пирамиды, высота которой равна 1, а боковое ребро равно 2.
45
222
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
МНОГОГРАННИКИ
Таблица 73
1
Найдите объем многогранника
(все двугранные углы прямые).
4
Найдите квадрат расстояния
между вершинами B1 и D2 многогранника. Все двугранные
углы прямые.
D2
C2
2
1
A2
4
2
B2
D1
4
5
4
C1
B1
A1
D
C
1
7
2
B
A
Найдите объем многогранника
(все двугранные углы прямые).
5
Найдите tg ADB многогранника. Все двугранные углы
прямые.
D2
1
B2
A2
2
C2
2
1
7
C1
D1
3
B1
A1
4
D
C
7
7
A
B
3
3
Найдите квадрат расстояния
между вершинами A и С2 многогранника. Все двугранные
углы прямые.
2
D2
1
D2
C2
4
C1
D
A1
B
B1
4
D
C
6
C1
B2
D1
B1
A1
1
A2
2
D1
A
C2
2
1
B2
A2
Найдите tg D 1 B 1 C 1 многогранника. Все двугранные углы
прямые.
6
C
A
7
B
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
223
§ 12. Ôèãóðû âðàùåíèÿ
ЦИЛИНДР
Таблица 74
1
2
Площадь боковой поверхности
цилиндра равна 81, а диаметр
основания — 9. Найдите высоту цилиндра.
3
Площадь боковой поверхности
цилиндра равна 20, а высота — 4. Найдите диаметр основания.
4
Объем цилиндра равен 8 5,
а высота — 2 5. Найдите диагональ осевого сечения.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24, а его
объем равен 48. Найдите его
высоту.
224
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 74
5
Осевым сечением цилиндра является квадрат с диагональю
7
В основании прямой призмы
лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 7/. Найдите объем цилиндра, описанного
около этой призмы.
8
В основании прямой призмы
лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5.
Боковые ребра равны 16/.
Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
6 6 2 / 2 . Найдите объем цилиндра.
6
Осевым сечением цилиндра является квадрат с диагональю
3
72 2 / . Найдите объем ци-
линдра.
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
225
КОНУС
Таблица 75
1
Объем конуса равен 22/3, а боковая поверхность равна сумме
площадей основания и осевого
сечения. Найдите радиус основания конуса.
3
Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь его равна 9. Найдите объем конуса.
2
Разность между образующей и
высотой конуса равна 1, а угол
между ними равен 60. Найдите объем конуса.
4
Объем конуса равен 24. Через
середину высоты параллельно
основанию конуса проведено
сечение, которое является основанием меньшего конуса с
той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
226
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 75
5
Высота конуса 20, радиус его
основания 25. Найдите площадь сечения, проведенного
через вершину, если его расстояние от центра основания
конуса равно 12.
7
Найдите объем V части конуса.
В ответе укажите значение V/.
15
6
6
Через вершину конуса под углом в 45 к основанию проведена плоскость, отсекающая
четверть окружности основания. Высота конуса равна 10.
Определите площадь сечения.
8
60
Найдите объем V части конуса.
В ответе укажите значение V/.
18
45
90
7
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
227
УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
Таблица 76
1
В усеченном конусе диагональ
осевого сечения равна 10, радиус меньшего основания 3, высота 10. Найдите радиус большего основания.
3
Радиус одного основания усеченного конуса вдвое больше
другого; боковая поверхность
равна сумме площадей оснований; площадь осевого сечения
равна 36. Найдите объем.
2
В усеченном конусе диагональ
осевого сечения равна 10, радиусы оснований 2 и 4. Найдите высоту конуса.
4
Высота усеченного конуса равна 3. Радиус одного основания
вдвое больше другого, а образующая наклонена к основанию
под углом в 45. Найдите объем.
45
228
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ШАР
Таблица 77
1
Площадь поверхности шара 64.
На расстоянии 3 / 2 от центра шара проведена плоскость.
Найдите площадь полученного
сечения.
3
Дан шар радиуса R 8 / . Через конец радиуса проведена
плоскость под углом 60 к нему.
Найдите площадь сечения.
60
2
Площадь поверхности шара
равна 37/. На расстоянии 1/2
от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.
4
Дан шар радиуса R 12 / .
Через конец радиуса проведена
плоскость под углом 30 к нему.
Найдите площадь сечения.
30
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
229
ТРЕУГОЛЬНИК
Таблица 78
1
Прямоугольный треугольник с
гипотенузой 10 / 3 и острым
углом 30 вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем тела
вращения.
3
Прямоугольный треугольник
с острым углом 60 и гипотенузой, равной 1, вращается
вокруг биссектрисы внешнего
прямого угла. Найдите объем
тела вращения.
60
30
2
Прямоугольный треугольник с
катетами 5 / и 12 / вращается вокруг меньшего катета. Найдите площадь полной
поверхности тела вращения.
4
Прямоугольный треугольник с
острым углом 60 и противолежащим катетом длиной 1 вращается вокруг прямой, лежащей в плоскости треугольника,
проходящей через вершину
данного угла и перпендикулярной его биссектрисе. Найдите
объем тела вращения.
60
230
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Окончание табл. 78
5
Равнобедренный треугольник с
основанием 2 3 / и высотой
7
вокруг одной из сторон. Найдите объем полученной фигуры
вращения.
1
15 / вращается вокруг вы2
соты. Найдите площадь полной
поверхности тела вращения.
6
Равнобедренный треугольник с
основанием 6/ и высотой 5 2
вращается вокруг основания.
Найдите объем тела вращения.
Равносторонний треугольник
со стороной 3 16 / вращается
8
Равносторонний треугольник
со стороной a 6 / 3 вращается вокруг одной из сторон. Найдите объем полученной фигуры
вращения.
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
231
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Таблица 79
1
Прямоугольник со сторонами
5 / и 125 / вращается во-
3
круг меньшей стороны. Найдите площадь полной поверхности тела вращения.
Прямоугольник, площадь которого равна 1, а угол между диагоналями равен 15, вращается
вокруг оси, проходящей через
его вершину параллельно диагонали. Найдите поверхность
тела вращения.
15
2
Прямоугольник со сторонами
2 7 / и 2 1/7 вращается
вокруг прямой, проходящей
через середины бо льших сторон. Найдите площадь полной
поверхности тела вращения.
4
Прямоугольник со сторонами 5 и 12 вращается вокруг
перпендикуляра к диагонали,
проведенного через ее конец.
Найдите объем тела вращения.
232
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ
Таблица 80
1
Ромб, площадь которого равна
13, вращается вокруг стороны.
Определите поверхность полученного тела вращения.
3
2
Ромб со стороной 7 и острым
углом в 60 вращается вокруг
оси, проведенной через вершину этого угла перпендикулярно
к стороне. Определите поверхность тела вращения.
4
60
Ромб с диагоналями 15 и
120/ вращается вокруг большей диагонали. Найдите объем
полученного тела вращения.
Квадрат со стороной
6
81/ 22
вращается вокруг диагонали.
Найдите объем полученного
тела вращения.
Ðàçäåë V. Ðàçíûå çàäà÷è
233
Окончание табл. 80
5
В равнобедренной трапеции
с острым углом 75 большее
основание равно 1, а диагональ перпендикулярна боковой
стороне. Найдите объем тела,
полученного вращением трапеции вокруг ее большего основания.
75
6
Равнобедренная трапеция с
острым углом в 45 вращается
вокруг боковой стороны длиной
6, равной меньшему основанию. Найдите объем полученного тела вращения.
45
Ðàçäåë VI
ÐÅØÅÍÈß ÍÀÈÁÎËÅÅ ÒÐÓÄÍÛÕ ÇÀÄÀ×
VII êëàññ
Ê òàáëèöå 10
7. MKN — равносторонний (по условию), тогда K = 60; RK PR,
значит, PRK прямоугольный, тогда RPK = 90 – 60 = 30, т. е. RK =
1
1
1
13
= PK. Но PK = MK = MN = 6,5, т. е. PK =
= 3,25 и NR = 13 –
2
2
2
4
– 3,25 = 9,75.
Ответ: 9,75.
16. В AME MAE = 90 – 65 = 25. В BCE CEB = 90 – 40 = 50,
BEM = CBE = 40, тогда в AEB BEA = 90 + 40 = 130, значит,
EBA = 180 – (25 + 130) = 25, т. е. BE = AE.
В AED DEA = 90, EDA = 45, тогда DAE = 45, AE = DE. Следовательно, BE = DE, значит BED — равнобедренный, где BED = 40,
тогда BDE = (180 – 40) : 2 = 70.
Ответ: 70.
Ê òàáëèöå 11
7. Так как AD = BF, DC = CF (по условию), то ACB — равнобедренный, тогда A = B (по свойству). Значит, AED = BMF (по гипотенузе
и острому углу).
Ê òàáëèöå 12
8. MN — искомое расстояние. По условию BC = BM = MA = MC = 8,
значит, BCM — равносторонний, т. е. CMB = 60, тогда BMA =
= 180 – 60 = 120, и, так как MN — высота равнобедренного AMB, то
MN — биссектриса, т. е. AMN = 60, тогда A = 30, значит MN =
1
= MA = 4.
2
Замечание. Можно использовать теорему Фалеса и теорему о средней
линии треугольника.
Ответ: 4.
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
235
VIII êëàññ
Ê òàáëèöå 2
16. В параллелограмме ABCD D = B = 90, тогда A = DCB = 90,
т. е. ABCD — прямоугольник и, так как DC = CB, то ABCD — квадрат.
1
Поскольку MCB = 60 и B = 90, то CMB = 30, тогда CB = MC = 9
2
(по свойству катета, лежащего против угла в 30).
Cледовательно, P = 9 · 4 = 36.
Ответ: 36.
Ê òàáëèöå 4
7. Так как SFTM — параллелограмм и SF = SM (по условию), то
SFTM — ромб, тогда ST FM и диагонали ST и FM ромба являются
биссектрисами его углов. Пусть 2 = x, тогда 1 = 10 + x, значит, 1 +
+ 2 = 90, или 10 + x + x = 90, 2x = 80, x = 40, т. е. 2 = 40, 1 = 10 +
+ 40 = 50, тогда FSM = FTM = 80, SFT = SMT = 100.
Ответ: 80; 80; 100; 100.
Ê òàáëèöå 5
6. В параллелограмме R = 90, значит, EMKR — прямоугольник.
Так как EFM = 45 и R = M = 90, то EMF — равнобедренный и
ME = MF.
Пусть FK = x, тогда ME = MF = x + 6 и MK = 2x + 6. По условию
задачи P = 36, тогда имеем уравнение 2((x + 6) + (2x + 6)) = 36, откуда
находим x = 2, значит, ME = KR = x + 6 = 8, MK = ER = 2x + 6 = 10.
Ответ: 8; 8; 10; 10.
Ê òàáëèöå 6
8. Так как ABCD — трапеция, то AB || NM, тогда ANM = 70,
NAB = 180 – 70 = 110.
Поскольку NB — биссектриса ANM (по условию), то ANB =
= BNM = 35. Но BNM = z = 35 — как накрест лежащие углы при
параллельных прямых AB и NM и секущей BM, тогда NMB = z + 45 =
= 80 и ABM = 180 – 80 = 100.
Ответ: 110; 70; 100; 80.
Ê òàáëèöå 9
9. Указание. Обозначить AD = x, AB = y, тогда 2(x + y) = 20. Пусть
S — площадь параллелограмма, тогда x · 2 · 4 = y · 2 · 6. Далее решить
систему уравнений x + y = 10; 2x = 3y, и т. д.
14. Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC = d1 и BD = d2, где
AC = 16, BD = 12. Так как AO = OC и BO = OD, то AOB = COD (по I признаку равенства треугольников) и BOC = AOD (по той же причине). Но
236
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
равные многоугольники имеют равные площади, т. е. SAOB = SCOD и
SAOD = SBOC, значит, SABCD = 2SAOB + 2SBOC = 2(SAOB + SBOC).
1
1 1
1
1
Но SAOB = AO · BO · sin 60 = d1 d2 sin 60 = d1d2 sin 60;
2
2 2
2
8
SBOC =
1
1 1
1
1
BO · OC · sin (180 – 60) = d2 d1 sin 60 = d1d2 sin 60.
2
2 2
2
8
1
1
Следовательно, SABCD = 2 · d1d2 sin60 d1d2 sin60 =
8
8
=
1
d1d2sin 60.
2
Поскольку d1 = 16, d2 = 12, sin 60 =
3
, то
2
1
3
· 16 · 12 ·
48 3 .
2
2
Замечание 1. Фактически мы доказали, что площадь параллелограм1
ма S = d1d2 sin , где d1 и d2 — диагонали, — угол между ними.
2
Замечание 2. Полученная формула верна для любого выпуклого четырехугольника.
SABCD =
Ответ: 48 3 .
Ê òàáëèöå 10
11. Задачу можно решить по формуле Герона. Покажем другое реше1
ние, основанное на применении формулы S = a · h, которое приводит к
2
относительно более простым вычислениям.
Проведем высоту BD. Пусть DC = x. Из ADB BD2 = ( 5)2 ( 18 x)2 ;
из BDC BD2 = ( 10)2 x2. Сравнивая правые части полученных равенств, имеем 5 ( 18 x)2 = 10 – x2, откуда после упрощений находим
x 23 / 6 2, тогда BD2 = 10 – x2, или BD2 =
=
382 /12. Следовательно, S =
Ответ:
191 / 4.
1
AC · BD =
2
191 382
, откуда BD =
72 144
191 / 4.
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
237
12. Указание. Достроить ABC до параллелограмма ABCD, затем применить свойство d12 d22 = 2(a2 + b2), где d1 и d2 — диагонали, a и b —
смежные стороны параллелограмма.
1
Замечание. Задачу можно решить и по формуле S = a · h (см. № 11).
2
Ê òàáëèöå 11
10. Пусть BC = x, тогда AD = 2x. Проведем высоту MN. По условию
1
1
задачи SAMD = 120, или AD · MN = 120, или
· 2x · h = 120, xh = 120,
2
2
где h = MN — высота AMD (и трапеции). S ABCD =
1 1
BM h +
2 2
1 1
1
MC h = xh + 120.
2 2
2
Так как xh = 120, то SABCD = 180.
+ SAMD +
Замечание. Нетрудно заметить, что SABM = SMCD =
1
xh и SAMD = xh,
4
т. е. SAMD = 2(SABM + SMCD).
12. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции
ABCD, где AD = BC. Так как AC BD (по условию), то S = SDAC + SABC =
1
1
1
1
= AC · OD + AC · OB = AC · (OD + OB) = AC · BD.
2
2
2
2
1
· 82 = 32.
2
Замечание. Фактически мы доказали, что «если в трапеции диагона1
ли перпендикулярны, то площадь S = d1 d2 , где d1 и d2 — длины диа2
гоналей. В частности, если трапеция равнобедренная, то d1 = d2 = d, то1
гда S = d2».
2
Но AC = BD = 8, тогда S =
Ê òàáëèöå 12
26. Пусть TL = a, MT = b, тогда PMKLT = 2(a + b) = 40, или a + b = 20.
Заметим, что SMKLT = TL · 2CO = MT · 2BO, где BO = x, значит, 8a = 2bx =
12
= 48, a = 6, b = 20 – 6 = 14, тогда 2bx = 48, x .
7
Ответ:
12
.
7
238
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
29. Пусть LT = a, RQ = b, тогда MT =
=
1
(a – b). По условию SLRQT =
2
ab
ab
x, где QM = x — высота трапеции, SLRQT = 300, или
x 300,
2
2
(a + b)x = 600. LM = LT – MT = a –
1
1
(a – b) = (a + b)2.
2
2
2
600
300
300
x2 625,
Но a b
, тогда LM
. Из LMQ имеем
x
x
x
90000
x2 625.
x2
Решая полученное биквадратное уравнение, находим x1 = 15; x2 = 20.
Ответ: 15; 20.
34. Указание. Из точки C провести прямую, параллельную диагонали BD до пересечения с продолжением основания AD в точке E. Далее
доказать, что ACE — прямоугольный.
1
38. Указание. Провести высоту DE, обозначив AE = y, где y = (20 – x).
2
Для нахождения DC = x, составить систему уравнений
1
y 2 (20 x),
2
2
2
y h 13 ,
(20 x)h 360,
или
в результате чего получится уравнение (20 + x)2(6 + x)(46 – x) = 7202,
а после упрощений решить уравнение x4 – 1476 x2 – 27 040 x + 408 000 = 0.
Далее доказать, что x = 10 — единственный корень.
Ответ: 10.
Ê òàáëèöå 13
14. Пусть QN = a, QE = EF = b, EM = c. Так как QE = EF, то QEF —
равнобедренный, тогда FQE = QFE. Но EF NM и QN NM, значит,
QN || EF, тогда NQF = EFQ, т. е. QF — биссектриса NQM, следоваNF QN
a
4
тельно,
, или
.
FM QM
bc 5
Из подобия MFE и MNQ, имеем
bc
c
bc c
, или
.
8 10 10
9
5
Кроме того, из MFE c2 – b2 = 100.
b c c
,
50
40
находим c
Решая систему 9
, b
;
5
3
3
2
2
c b 100,
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
239
a
4
, то a = 24. Значит, PMNQ = x = a + b + c + 18 = 72.
bc 5
Ответ: 72.
так как
Ê òàáëèöå 14
16. Пусть E = 4, тогда в MEL 1 + 3 + 4 = 180; MLF = 5,
тогда 5 = 1 + 4 = 180 – 3; F = 180 – (2 + 5) = 180 – (2 +
+ 180 – 3) = 3 – 2.
Так как 3 = 1 + 2 (по условию), то F = 1, значит, EML
MEF (по I признаку), тогда EL : EM = EM : EF, или x2 = 8 · 18, x = 12.
Ответ: 12.
Ê òàáëèöå 23
7. Так как ABC — прямоугольный, то AB = 242 102 = 26. Пусть
OD = r — радиус вписанной окружности. Заметим, что BM = BN, AN =
= AD и MC = CD = OD = r. Пусть N — точка касания AB и окружности,
тогда AB = BN + AN = BM + AD = (BC – r) + (AC – r) = AC + BC – 2r,
1
откуда находим r = (AC + BC – AB) = 4.
2
Ответ: 4.
1
· 18 · EF = 9EF. Пусть RE = RF = x, ET
2
= 18y. Из ERT x 2 – y 2 = 18 2 . Кроме того,
17. RT = 13 + 5 = 18. SREF =
= TF = y, тогда S REF
abc
SREF =
, где a = b = RE = x, c = EF = 2y, R = 13 — радиус описанной
4R
x2 2y
= 18y, откуда x2 = 26 · 18.
4 13
Но x2 – y2 = 182, тогда y2 = 18 · (26 – 18) = 144, y = 12, тогда SREF =
= 18 · 12 = 216.
Ответ: 216.
окружности. Значит, SREF =
32. Пусть BC = a, AC = b, AB = c, r = 4, тогда r =
№ 11), или
1
(a + b – c) (см.
2
1
(a + b – 20) = 4, где c = AM + MB = 20. Значит, a + b = 28.
2
a2 b2 400,
Кроме того, a2 + b2 = 400. Имеем систему уравнений
a b 28,
2
(a + b) = 400 + 2ab, или 400 + 2ab = 784, откуда ab = 192.
1
Значит, SABC = ab = 96.
2
Ответ: 96.
240
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
39. I способ.
Проведем высоту трапеции BE. Так как A = 60, то ABE = 30.
Точка O — центр вписанной окружности, значит, AO — биссектриса
угла A, т. е. OAK = 30, тогда ABE AOK как прямоугольные, имеющие равные острые углы.
Пусть AD = 2x, BC = 2y, MN = 20, тогда (2x + 2y) : 2 = 20, или 2x +
+ 2y = 40.
Но AB + CD = BC + AD (по свойству описанного четырехугольника),
или 2AB = 2x + 2y = 40, AB = 20. Следовательно, AB : BE = AO : AK, или
1
10 : OK = AO : x. Из AOK, где OAK = 30 OK = AO, тогда AO =
2
= 2 · OK, т. е. 10 : OK = 2 · OK : x2.
x
10 2 OK
5
1
Но ctg 30 =
x = OK 3, тогда
, или
, отOK
OK OK 3
OK
3
куда OK = 5 3 .
II способ.
MN = 20, x + y = 10, 2AB = 40, AB = 20 (см. I способ).
Из BEA cos 30 =
BE 2 OK
3
, откуда OK = 5 3 .
AB
20
2
Ответ: 5 3 .
43. По условию MNRK — прямоугольная трапеция. Заметим, что
N + R = 180 (как сумма односторонних углов). Но точка O — центр
вписанной окружности, OR и ON — соответственно биссектрисы углов R
и N, тогда ORN + ONR = 90, т. е. RON — прямоугольный, значит
RN = 62 82 = 10.
Высота RON равна радиусу вписанной в трапецию окружности, тогда высота трапеции равна диаметру этой окружности. Пусть OT — вы1
1
сота ORN, тогда SRON = OR · ON = RN · OT, или 6 · 8 = 10 · OT, от2
2
куда OT = 4,8, значит, RE = 2 · OT = 9,6, где RE — высота трапеции,
опущенная на основание MN.
Но MN + KR = KM + RN (по свойству описанного четырехугольника),
1
значит, KM + RN = RE + RN = 19,6, тогда SMNRK = (MN + KR) · RE =
2
=
1
19,6
(KM + RN) · RE =
9,6 = 94,08.
2
2
Ответ: 94,08.
47. Проведем высоты EF и QK на основание MT. Так как EQ || MT, то
MTQE — трапеция (равнобедренная). По условию MQ — биссектриса M.
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
241
Заметим, что QMT = MQE = 30 (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых MT и EQ и секущей MQ). Тогда
EMQ = MQE = 30, т. е. MQE — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника). Пусть EQ = 2x, MT = 2y, ME = EQ = 2x.
1
Из MEF MF = ME = x, EF = 4x2 x2 3x2 x 3.
2
Из MQK MQ = 2 · QK = 2 · EF = 2x 3.
SMQT =
1
1
MT · QK =
· 2y · x 3 xy 3; с другой стороны,
2
2
MQ QT MT
3 2
3 2
, или S MQT =
x y, значит, xy 3
x y,
4 QO
4
4
откуда x = 4.
1
Следовательно, SMTQE = (MT + QE) · EF = (x + y) · x 3.
2
Но MT = 2MF + FK = 2MF + EQ = 4x, или 2y = 4x, y = 8, значит,
S MQT =
SMTQE = (4 + 8) · 4 3 48 3 .
Ответ: 48 3 .
56. Так как EF || TR, то TRFE — трапеция. По свойству описанного
четырехугольника TR + EF = ET + FR, или TR + EF = 28. Но TR – EF =
= 14. Пусть TR = x, EF = y, где x > 0. Имеем систему уравнений
x y 28, 2x 42, x 21,
x y 14; 2y 14; y 7.
Итак, TR = 21, EF = 7.
Проведем высоты AE и FB трапеции. Пусть TA = z, тогда AB = EF = 7,
BR = 21 – (z + 7) = 14 – z.
Из TAE EA2 = 132 – z2; из FBR FB2 = 152 – (14 – z)2. Так как EA =
= FB, то 132 – z2 = 152 – (14 – z)2, или (14 – z)2 – z2 = 152 – 132, откуда
находим z = 5, тогда EA2 = 132 – 52, EA = 12.
1
1
Значит, STRFE = (TR + EF) · EA =
· 28 · 12 = 168.
2
2
Ответ: 168.
Ê òàáëèöå 24
10. Пусть EA = 2x, AF = 5x, тогда EF = 7x. По правилу треугольника
KE EF KF, или KE 7x n.
А н а л о г и ч н о KA AF KF, и л и m 5x n; KE EA KA, и л и
KE 2x m, откуда KE m 2x. Так как KE 7x n, то m 2x 7x n,
242
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
1 1
1 1
или 5x n m, откуда x m n, значит, KE m 2 m n =
5
5
5
5
7 2
= m n.
5
5
7 2
Ответ: KE m n.
5
5
13. Поскольку M — середина AC, то AM = MC; аналогично BN = ND.
1
1 1
MN MC CN = AC (CD DN) = ( AD DC) CD DB =
2
2
2
1 1 1
1 1 1 1
= AD DC CD (DC CB) = AD DC CD DC CB =
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
= AD CB (DC CD) = AD CB = ( AD CB), что и требовалось
2
2
2
2
2
доказать.
20. По условию MNKE — прямоугольная трапеция, где MK = 2 2 ,
MKN = 45 и MKE = 90.
Проведем высоту KF к основанию ME. Заметим, что MKN = KME =
= 45, как внутренние накрестлежащие углы при параллельных прямых NK и ME и секущей MK. Но тогда E = 45, т. е. MKE — равнобедренный, и MK = KE. Кроме того, NM = KF (как высоты трапеции) и
NM || KF, значит, | KE KM KN | = | KE MK KN | = | KE MN | =
= | KE FK || FE |.
Из MKE, где MKE = 90, MK = KE = 2 2 , ME2 = (2 2)2 (2 2)2 = 16,
откуда ME = 4. Тогда FE = 2, значит, | FE | = 2.
Ответ: 2.
IX êëàññ
Ê òàáëèöå 8
8. Указание. Применить теорему косинусов.
x2 y2 xy 1764,
Далее решить систему уравнений x 3
y 8.
Ответ: x = 18, y = 48.
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
243
10. Указание. Дважды применить теорему косинусов для ABC и
ABD для угла A.
Ответ: x = 13.
11. Так как ME || FT, то KFT KME (по двум углам), тогда
FK KM
50 y 50 50 y 5
, или
;
. Из MFE по теореме Пифагора
FT ME
x
60
x
6
FE2 = 602 – y2, а из KFE FE2 = 502 – (50 – y)2.
Сравнивая полученные равенства, имеем 602 – y2 = 502 – (50 – y)2,
50 y 5
14 5
откуда находим y = 36. Поскольку
и y = 36, то
, откуда
x
6
x 6
84
= 16,8.
5
Ответ: x = 16,8; y = 36.
x=
15. Пусть MK = a, NP = b. Из MPR MP = 402 242 = 32.
Пусть PMR = . Заметим, что MKN NPR (K = P = 90 и
32 4
. Из MNR по
KNM = PNR как вертикальные), тогда cos =
40 5
теореме косинусов y2 = x2 + 402 – 2 · x · 40 ·
Пусть KMN = NRP = , тогда cos =
4
, или y2 = x2 – 64x + 1600.
5
a 24
24x
, откуда a =
.
x y
y
2
24x
576x2
x2 49, или
=
– 49, значит,
x2 49.
Из MKN
2
y
y
2
2
2
Подставляя значение y , имеем (x – 64x + 1600)(x – 49) = 576x2.
Упрощая полученное уравнение, получим
x4 – 64x3 + 975x2 + 3136x – 78 400 = 0.
Можно проверить, что x = 25 — корень уравнения, тогда x3(x – 25) –
– 39x2(x – 25) + 3136(x – 25) = 0, или (x – 25)(x3 – 39x2 + 3136) = 0, откуда x1 = 25, тогда y2 = 252 – 64 · 25 + 1600, y2 = 252, y = 25.
Итак, x = 25, y = 25 одно из решений задачи. Остается решить уравнение x3 – 39x2 + 3136 = 0. Можно убедиться, что оно не имеет целых
a2
x2
2
56
корней. Запишем его в виде x2(39 – x) = 3136, или 39 – x = .
x
Графическое решение показывает, что полученное уравнение имеет
еще три корня, из которых один отрицательный, что не удовлетворяет
условию задачи, так как x > 0.
Два других корня можно вычислить приближенно: x2 10,5, x3 36,7,
тогда y22 = 10,52 – 64 · 10,5 + 1600, откуда находим y2 32,2.
244
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Аналогично y32 = 36,72 – 64 · 36,7 + 1600, y3 24,5. Как видим, задача
оказалась довольно сложной.
Ответ: x1 = 25, y1 = 25; x2 10,5, y2 32,2; x3 36,7, y3 24,5.
Ê òàáëèöå 9
CA CB
2. cos C = . Найдем координаты векторов CA и CB;
CA CB
CA {–4 – 4; 8 – 0) = {–8; 8}, CB {2 – 4; 14 – 0} = {–2; 14}, тогда
CA (8)2 82 8 2, CB (2)2 142 200 10 2. CA CB =
= –8 · (–2) + 8 · 14 = – 16 + 112 = 96.
96
12
Следовательно, cos C =
= 0,6.
8 2 10 2 2 10
Ответ: 0,6.
10. AB AC AB AC cos , где = CAB. По условию A(2; 4),
B(2; 8), C(6; 4), тогда AB {2 – 2; 8 – 4} = {0; 4}, AC = {6 – 2; 4 – 4} = {4; 0}.
AB 02 42 4; AC 42 02 4. AB AC = 0 · 4 + 4 · 0 = 0, cos =
=
0
= 0, т. е. CAB = 90.
44
Ответ: 90.
Ê òàáëèöå 10
1. Так как TmM = 120, то TOM = 120. В равнобедренном TOM
(TO = MO = R); OTM = OMT = 30.
5
10
Проведем высоту OK, тогда из OTK, где TK = 5, OT =
,
cos30
3
следовательно, l
R
10
20 20 3
120 =
.
180
9
180 3
3 3
20 3
.
9
7. I способ.
AM = BN — как дуги окружности, заключенные между параллельными хордами AB и MN (AB || MN — по условию).
Но тогда AM = BN, т. е. ABNM — равнобедренная трапеции.
Ответ:
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
245
Проведем диагональ AN. Так как MN = 16, AB = 12, то
1
MK = (16 – 12) = 2.
2
Из AMK AM =
22 142 10 2. KN = MN – MK = 14.
Из AKN, где AK = KN = 14, AN = 14 2.
Известно, что S =
abc
, где a, b, c — стороны, R — радиус описанной
4R
окружности. Но SAMN =
1
10 2 16 14 2
· 16 · 14 =
, откуда R = 10.
2
4R
Тогда C = 2R = 20.
II способ.
Соединим точки B и N с центром окружности, тогда OB = ON = R.
Проведем диаметр EF, перпендикулярный данным хордам. Пусть L и T
соответственно точки пересечения хорд AB и MN с диаметром EF, тогда
1
1
LT = AK = 14, LB = AB = 6 и TN = MN = 8. Пусть OT = x, тогда
2
2
62 (14 x)2 R 2 ,
OL = 14 – x. Из OLB и OTN имеем: 2
2
2
8 x R .
Сравнивая левые части системы, получим: 36 + 196 – 28x + x2 =
= 64 + x2, 28x = 168, откуда x = 6. Значит, R2 = 64 + 36 = 100, R = 10 и
C = 2R = 20.
III способ.
Пусть EL = x, TF = y, тогда получим систему:
TN 2 ET TF, y(14 x) 64,
2
x(14 y) 36.
BL EL LF;
Вычитая из I уравнения II, получим 14(y – x) = 28, y – x = 2, y = x + 2.
Подставим значение y в одно из уравнений системы (x + 2)(14 + x) = 64,
или x2 + 16x – 36 = 0, откуда x1 = 2, x2 = – 18 (не имеем смысла). Если
x = 2, то y = 4, тогда EF = 2R = x + y + LT = 20, откуда R = 10, значит,
C = 2R = 20.
Ответ: 20.
14. I способ.
По условию AM = BM = 14, т. е. AMB — равнобедренный. Проведем
высоту ME, тогда ME — медиана MAB; AE = BE = 4.
1
1
· 8 · ME = 4ME. Из AME ME2 = AM2 – AE2,
SAMB = AB · ME =
2
2
ME =
142 42 6 5. SAMB = 24 5.
246
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
С другой стороны, SAMB =
abc
, где a, b, c — стороны AMB, R — ра4R
диус описанной окружности.
14 14 8
49
Значит,
24 5, откуда R
, тогда
4R
3 5
C = 2R = 2 ·
49 98 5
.
15
3 5
II способ.
Соединим точку A с центром O окружности. ME = 6 5 (см. I способ),
AO = MO = R. Из AOE AO2 – OE2 = AE2, или R 2 (6 5 R )2 16, откуда
находим R
49
, и т. д. (см. I способ).
3 5
Ê òàáëèöå 11
8. Проведем высоту NK. Пусть EK = x. Так как E = 45, то ENK =
= 45, т. е. NK = EK = x. Пусть MN = y, тогда EF = 2x + y = 24. По условию EN = FM, тогда по свойству описанного четырехугольника, имеем:
2EN = EF + NM = 2x + 2y, или EN = x + y. Из ENK EN2 = EK2 + NK2,
или (x + y)2 = 2x2, x + y = x 2. Так как 2x + y = 24, то y = 24 – 2x, значит, x + 24 – 2x = x 2, x( 2 1) 24, откуда x
24
24( 2 1).
2 1
Но x = 2r, тогда r 12( 2 1).
Следовательно, Sкр. = r2 = 144 (3 2 2).
Ответ: 144(3 2 2).
10. Проведем диаметр окружности AB MN и AB TK, проходящий через центр O окружности. По условию TM = KN, STMNK = 125 и
EF = 8 — расстояние между точками касания ее боковых сторон.
Пусть EM = MA = m, TE = TB = b, EO = r — радиус вписанной окруж1
ности; AB = 2r, EC = EF = 4, где C — точка пересечения EF и AB.
2
Из EOC OC =
r 2 16, тогда AC = AO – OC = r r 2 16, BC = BO +
+ OC = r r 2 16; следовательно, ME : ET = AC : BC, или m : n =
= (r r 2 16) : (r r 2 16). Из MOT, где MOT = 90 (MO и TO —
биссектрисы углов TMN и MTK, где TMN + MTK = 180), имеем:
OE2 = ME · ET, или mn = r2.
247
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
1
(MN + TK) · AB = 125.
2
Но 2MT = MN + TK (по свойству описанного четырехугольника),
тогда 2(m + n) = MN + TK, или (m + n) · 2r = 125. Имеем систему уравm : n (r r 2 16) : (r r 2 16),
нений: mn r 2 ,
2(m n)r 125.
По условию STMNK = 125, или
Пусть для краткости r r 2 16 , r r 2 16 , тогда m
n и
2
n r 2 , следовательно, III уравне
II уравнение системы примет вид
ние преобразуется к виду 2 n n r 125, или 2nr 1 125.
Но
r
n r, n
, значит, 2r 2 1 125 .
/
Преобразуем выражения
1 и
.
r r 2 16
2r
1
1 =
;
2
r r 16
r r 2 16
=
4
r r 2 16
r 2 r 2 16
=
r r 2 16
.
Следовательно, 2r 2
2r
r r 16
2
= 125 ·
4
r r 2 16
, или r3 = 125, r = 5.
Тогда Sкр. = r2 = 25.
Ответ: 25.
X–XI êëàññû
Ê òàáëèöå 9
9. Обозначим точку M — пересечение прямых F1C1 и B1D1. Далее, из
точки B1 опустим перпендикуляр B1N на прямую BM. Тогда B1AN = —
искомый угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1. В прямоугольном
1
3
BB1M известно: BB1 = 1 (по условию), B1M = B1D1 =
(см. № 8,
2
2
248
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
D1
E1
F1
табл. 3), тогда BM =
C1
B1
A1
N
E
D
C
F
3
7
.
4
2
Заметим, что B 1NM BB 1M (как
прямоугольные, имеющие общий угол
21
B 1 MN), тогда имеем B 1 N =
(см.
7
=
1
№ 5). Так как AB 1 =
A
BB12 B1M 2 , BM =
1 1 2, то из
B
AB1N
sin = B1N:AB1 =
= arcsin
Ответ: arcsin
42
, тогда
14
3
.
42
3
.
42
Ê òàáëèöå 10
M
D
N
O
C
A
E
B
=
4. Пусть в правильном тетраэдре
MABC AB = 1, ME — апофема грани MAB,
O — центр правильного MAB. Так как BD =
= ME как высоты правильных треугольников, то DN — средняя линия MOC, тогда
CO (MAB), CO || DN, значит, DN (MAB) и
DBN = — искомый.
Поскольку OE = ON = NM (N — середина
2
MO), то EN = ME. Из AEM, где AM = 1,
3
AE =
1
, ME =
2
1
1
3
, тогда EN =
4
2
2 3
3
. Сторону BN найдем из прямоугольного BEN:
3 2
3
2
BN =
BE EN , BN =
2
2
2
7
1 3
2 3 12 .
Наконец, из BND найдем искомый угол:
BN
7
3
7 2 2 7
7
7
cos =
:
=
, откуда = arccos
.
BD
12 2
6
3
3
12 3
Ответ: = acrcos
7
.
3
249
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
Ê òàáëèöå 11
M
3. Пусть E — середина ребра AM. Так
как диагонали AC и BD квадрата перпендикулярны и MO AC, то плоскость
(MBD) AC. Значит, плоскость (MBD) и
есть плоскость, проходящая через точку
E
D
D перпендикулярно AC. Соединим точку
C
E с точками O и C. Поскольку MDC правильный, то AM CE. В AOM OE — меO
диана и высота, тогда OE AM. СледоваA
B
тельно, OEC = — искомый угол.
2
2
; из AOE, где AO = OC =
и
Из ABC AC = 2, тогда OC =
2
2
AE =
1
1
AM = , найдем OE =
2
2
1 1
1 1
; из
2 4
4 2
AO2 AE2 , или OE =
1
3
.
4
2
Наконец, из OEC по теореме косинусов имеем OC2 = OE2 + CE2 –
1 1 3
1 3
3
1
– 2 · OE · CE · cos , или 2
· cos ,
cos ,
2 4 4
2 2
2
2
1
1
cos =
, откуда = arccos
.
3
3
ECM CE =
1
Ответ: arccos
1
.
3
Ê òàáëèöå 30
2. Так как BC || AD, то BC || плоскости
AMD. Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми AM и BC равно расстоянию от прямой BC до плоскости AMD.
Соединим точки E и F соответственно середины ребер AD и BC. Тогда высота FK
MEF будет искомым расстоянием.
В MEF EF = AB = 1; ME найдем из AME,
1
3
1
.
где AE = , AM = 1, ME = 1
4
2
2
Высоту MO пирамиды найдем из MOE:
3 1
2
1
MO =
, где OE = EF.
4 4
2
2
M
K
D
C
E
F
O
A
B
250
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Из сравнения площадей MEF имеем:
откуда FK =
Ответ:
EF MO 1 2 / 2
=
ME
3 /2
1
1
· ME · FK =
· EF · MO,
2
2
2
6
.
3
3
6
.
3
Ê òàáëèöå 36
4. Так как по условию тетраэдр единичный, а точки D и E соответственно
середины ребер AB и BC, то сечение
MDE — равнобедренный треугольник,
1
тогда S сеч. =
DE · MK, где DE =
2
1
1
=
AC
— средняя линия ABC,
2
2
MK — высота сечения.
M
1
Из MDK MK =
C
A
DK =
1
2
E
K
D
1
2
=
B
1
MD2 DK 2 ,
1
1
DE , MD =
2
4
1
3
; MK =
4
2
Тогда Sсеч. =
Ответ:
AM 2 AD2 =
3 1
11
.
4 16
4
1 1 11
11
.
2 2 4
16
11
.
16
Ê òàáëèöå 37
M
P
K
D
C
L
E
A
F
B
4. По условию все ребра правильной
пирамиды равны 1. Так как E, F и P —
середины соответственно ребер AD, BC и
1
1
MC, то EF = AB = 1, KP = DC =
—
2
2
средняя линия MDC, аналогично KE =
1
1
= PF = MA = .
2
2
Следовательно, сечение, проходящее
через данные точки, — равнобедренная
трапеция. Проведем высоту трапеции
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
PL, тогда LF =
=
1
1 1
1
(EF – KP) = 1 ; из PLF PL =
2
2 4
2
251
PF 2 LF 2 =
1 1
3
.
4 16
4
Значит, Sсеч. = =
Ответ:
1
1 3 3 3
1
.
(EF + KP) · PL = 1
2
2 4
16
2
3 3
.
16
Ê òàáëèöå 45
1 (см. рис. к табл. 52, № 2).
При вращении правильного шестиугольника со стороной, равной 1,
вокруг оси, проходящей через его вершину C перпендикулярно радиусу,
проведенному в эту вершину, получим два равных усеченных конуса с
общим основанием и два «пустых» конуса.
Следовательно, S = 2(l(R + r) – r1l) = 2l(R + r – r1), где l = EF = 1;
3
1
R = EC = 2; r = EM = ; r1 = DM = , тогда
2
2
3 1
S = 2 · 1 · 2 = 2 · 3 = 6.
2 2
Ответ: 6.
Ê òàáëèöå 46
1. Заметим, что DOC =
= CMB и AOD = ABN. Равные треугольники имеют равные площади, следовательно,
квадрат ABCD можно заменить прямоугольником ACMN.
Тогда при вращении прямоугольника ACMN получим цилиндр с осевым сечением
ACC1A1. Значит, Vт.в. = R2H,
1
2
где R = OB =
, H = 2R =
.
2
2
2
C
.
2
C1
1
D
B
O
D1
1
1 2
1 2
=
.
Vт.в. = ·
2 2
2
2
2
Ответ:
M
A
N
A1
252
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Ê òàáëèöå 47
4. При вращении прямоугольника ABCD вокруг
r
C1
C
прямой, перпендикулярной диагонали BD, про2
веденной через точку B,
H
1
получим два усеченных
B
R
конуса с общим основаниD
D1 ем и два «пустых» конуса
с основаниями CC1 и AA1.
H
Введем обозначения, покаr1
занные на рисунке.
A1
A
Высоту H найдем из соотно1
1
шения: CD · CB = BD · H,
2
2
2
или 1 · 2 = R · H. Но R = CD2 BC2 5, тогда H
; r = 22 H 2 =
5
4
4
1
; r1 1 H 2
.
5
5
5
Следовательно, искомый объем будет равен:
H 2
1
V т.в. = V CDB – VCBC1 + V ADB – VABA1
(R + r 2 + Rr) – r 2 H +
3
3
H 2 2
1
H
+
(R r1 + Rr1) – r12 H =
(2R2 + r2 + r12 + R · r + R · r1 – r2 –
3
3
3
HR
– r12 )
· (2R + r + r1).
3
Подставляя числовые значения, находим:
2
2
2
4
1
Vт.в. =
5 2 5
= 3 (2 5 5) = 3 3 5 2 5.
3 5
5
5
=
4
Ответ: 2 5.
Ê òàáëèöå 56
2. При вращении правильной призмы,
все ребра которой равны 1, вокруг прямой, проходящей через центры оснований, получим цилиндр, у которого высоa
1
та H = 1, радиус основания R =
,
3
3
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
тогда Vт.в. = Vцил. = R2H = ·
Ответ:
253
1
·1= .
3
3
.
3
Ê òàáëèöå 57
M
2. При вращении правильной четырехугольной пирамиды MABCD, все
ребра которой равны 1, вокруг прямой
AC, образуются два равных конуса радиуса OC = R и высоты MO = H.
1
Тогда V т.в. = 2V кон. = 2 · R 2H =
3
D
C
1
2
2 2
1
2
.
R H, где R = AC =
2
2
3
2
Высоту H найдем из прямоугольного AOM, где AM = 1, тогда
1
1
1
2
H = 1
=
.
2
2
2
2
Следовательно,
2 1 2
2
Vт.в. =
.
3 2 2
6
=
Ответ:
O
A
B
M1
2
.
6
Ê òàáëèöå 58
1. При вращении правильного шестиугольника MABCDEF вокруг прямой, содержащей высоту MO, получим
конус, у которого радиус основания
AO = R, а высота MO = H. Тогда Vт.в. =
1
= Vкон. = R2H.
3
По условию AB = 1 — сторона основания, AM = 2 — длина бокового ребра. Известно, что в правильном шестиугольнике AB = a = R = AO = 1; из
AOM найдем MO = H =
или H =
AM 2 AO2 ,
22 12 3, тогда
M
E
D
C
O
F
A
B
254
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Vт.в. =
1
· 12 ·
3
Ответ:
3
3
.
3
3
.
3
Ê òàáëèöå 59
2. Тело,полученное вращением многогранника вокруг прямой AA2,
состоит из двух цилиндров, у которых радиусы оснований равны R1 и
R2, а высоты равны A1B2 = CC1 = H = 2.
2
D2
C2
R1
A2
B2
D1
C1
2
4
D
B1
A1
C
R2
4
A
4
B
Тогда Vт.в. = V1 + V2 = R12 H R22 H = H (R12 R22 ). Из A2B2C2, где
A2B2 = 2, B2C2 = BC = 4, имеем R1 =
22 42 =
20 2 5. Аналогично из
ABC R2 = 4 4 4 2. Значит, Vт.в. = · 2 · (20 + 32) = 104.
Ответ: 104.
2
2
Ê òàáëèöå 65
12. Из точки C проведем перпендикуляр CN к DE. Из точки N опустим перпендикуляр NF на плоскость основания. CK — медиана, биссектриса и высота ABC. NF DE и CN DE, значит, NCF — линейный угол между плоскостями CDE и ABC.
В ABC BC = OC · 3,
OC =
12
4 3.
3
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
Из MOC MO =
M
182 (4 3)2 =
324 48 = 276 2 69.
1
NF = MO 69 — средняя ли2
ния KOM. Из CKB, где BC = 12,
BK = 6, KC = 144 36 =
255
=
D
18
N
= 108 6 3.
Так как CO = 2 · OK и OF = FK, то
5
FC = KC 5 3.
6
Следовательно, tg NCF =
NF
69
23
=
=
, откуда
FC 5 3
5
NCF = arctg
E
A
C
K
O
F
12
B
23
.
5
Ответ: arctg
23
.
5
Ê òàáëèöå 78
l
3. Рассмотрим осевое сечение тела вращения. Из ABC BC = AB · cos 60 =
1
3
= ; AC = AB · sin 60 =
.
2
2
По условию l — биссектриса прямого
угла BCB 1 , значит, BD = DC = x =
BC AB cos60
1 1/ 2
1
=
=
;
2
2
2
2 2
AE = CE = y =
=
AC AB sin60
=
2
2
B
D
B1
60
C
1
A
E
A1
1 3 / 2
3
.
2
2 2
Следовательно, Vт.в. = Vус.к. – VBCB1 VACA1
1
(x + y)(x2 + xy + y2) –
3
1
– x3 y3 (x + y)(x2 + xy + y2) – (x + y)(x2 – xy + y2) =
3 3
3
3
256
=
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
2
13
xy(x + y) =
sin 120 · sin 105.
3
6
Но sin 120 = sin (90 + 30) = cos 30 =
= sin 60 · cos 45 + cos 60 · sin 45 =
Значит, Vт.в. =
Ответ:
3
; sin 105 = sin (60 + 45) =
2
3 2 1 2
2
( 3 1).
2 2 2 2
4
3 2
6
( 3 1) =
( 3 1).
6 2 4
48
6
( 3 1).
48
Ê òàáëèöå 79
2. Пусть a = 2 7 / и b = 2 1/7 соответственно длина и ширина
прямоугольника. При вращении его вокруг прямой, проходящей через
середины больших сторон, получим цилиндрическую поверхность.
1
Тогда Sполн. = 2R(R + H), где R = a 7 / , H = b = 2 1/7 , зна2
7
1
чит, Sполн. = 2 · 7 / ( 7 / 2 1/7 ) = 2 4 = 14 + 4 = 18.
Ответ: 18.
Ê òàáëèöå 80
6. Рассмотрим осевое сечение тела вращения, полученного вращением равнобедренной трапеции ABCD с острым углом в 45 вокруг боковой
стороны BC, длина которой равна DC. Так как A = 45, то CDE = 45,
тогда DE = CE = r.
A
6
45
D
D1
E
6
C
6
B
A1
Ðàçäåë VI. Ðåøåíèÿ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷
257
По условию AD = DC = CB = 6.
Тогда Vт.в. = VABA1 VDCD1 ; в DEC DE = CE =
=
6
1
3 2. VABA1 R2H =
3
2
1
1
1
(AD + DE)2 · BE = (6 3 2)2 (6 3 2) = 9(2 2)2 3(2 2) =
3
3
3
= 9 (2 2)3 = 9 (8 12 2 12 2 2) = 9 (20 14 2) = 18 (10 7 2);
1 2
1
1
r h = · DE2 · CE = (DE)3 =
3
3
3
1
1
=
(3 2)3 · 27 · 2 2 18 2.
3
3
VDCD1
Значит, Vт.в. = 18 (10 7 2) 18 2 =
= 18 (10 7 2 2) = 18 · (10 6 2) = 36 (5 3 2).
Ответ: 36(5 3 2).
ÎÒÂÅÒÛ
7 êëàññ
Òàáëèöà 1
1. PLR = 100; RLS = 80. 2. 160. 3. 150. 4. 90. 5. 160. 6. 105.
7. 135. 8. AMN = BMN = 90.
Òàáëèöà 2
1. 3 = 150; 4 = 30. 2. 60. 3. 135. 4. 2 = 50; 3 = 40; 4 = 140.
5. 2 = 3 = 55; 4 = 35. 6. 1 = 110; 2 = 3 = 35. 7. 180. 8. 110.
Òàáëèöà 4
1. EF = 15; EM = MF = 10. 2. 50. 3. 10. 4. RT = TS = 12, RS = 21. 5. 10;
10. 6. 6; 6. 7. 9. 8. 15.
Òàáëèöà 5
1. 40. 2. 60. 3. 40. 4. 20. 5. 60. 6. 60. 7. 80. 8. 50.
Òàáëèöà 7
1. N = 60; M = 30. 2. A = 60; ABC = 30. 3. 43. 4. 68. 5. 65.
6. 30; 30. 7. 74. 8. 55.
Òàáëèöà 8
1. M = 80; N = 60; K = 40. 2. P = R = 6730; S = 45. 3. Q =
= M = 40; L = 100. 4. A = 40; C = 100. 5. S = 70; STR = 40.
6. BAC = B = 72; C = 36. 7. M = 75; MNP = 70; P = 35.
8. P = 25; TSP = 40.
Òàáëèöà 9
1. A = 50; C = 70. 2. M = K = 50; N = 80. 3. A = 30; B = 60;
C = 90. 4. D = 60; E = 40. 5. A = B = 45; D = 90. 6. 60; 60.
7. S = P = 65; SKP = 50. 8. P = R = 45; PRQ = 90. 9. D =
=F = 45; DEF = 90. 10. BAC = 60; ABC = 30; C = 90. 11. L =
= 65; MKN = KNL = 45; NKL = 70. 12. QOC = MOR = 55;
M = 45; R = 80. 13. KMN = 70; KML = LMN = 35; MLK =
=105; MLN = 75. 14. PMA = 50; APM = 60; A = 70. 15. MSL =
= 70; L = 40. 16. MPL = MLP = 60; PNL = MNL = 90; PKM =
= PKL = 90. 17. C = 90; B = 50; A = 40. 18. P = 40;
PTS = 60. 19. T = 40; MRK = 10; KPT = 50; RKT = 90.
20. ABD = 70; D = 30; ABC = 40; CBD = 30; BCD = 120. 21. P = 30;
KMP = 50; NMP = 30; MNP = 120. 22. MSN = 120; MSK =
= 35; PSN = 25; MKS = 110; SPN = 130; SKP = 70; SPK = 50;
KSP = 60. 31. 165. 32. 125.
Îòâåòû
259
Òàáëèöà 10
1. MP = 27; PN = 9. 2. 54. 3. 18. 4. 26. 5. 110. 6. 15. 7. 9,75. 8. 14.
9. T = 50; TPS = TSP = 65. 10. 115. 11. KNM = 90; NKM = 36;
KNM = 54. 12. CB = 27; CD = 9. 13. 6. 14. 44. 15. 45. 16. 70.
Òàáëèöà 12
1. 14. 2. 7. 3. 8. 4. 10. 5. 13. 6. 13. 7. 7. 8. 4.
8 êëàññ
Òàáëèöà 2
1. 22. 2. 32. 3. 40. 4. 52. 5. 60. 6. 32. 7. 48. 8. 48. 9. 64. 10. 16. 11. 20.
12. 112. 13. 72. 14. 28. 15. 60. 16. 36.
Òàáëèöà 3
1. KFE = KNE = FKN = FEN = 90. 2. S = L = 70; SPL =
= SML = 110. 3. LKN = LMN = KLM = KNM = 90. 4. B = D =
= DAB = DCB = 90. 5. ADC = DCB = CBA = DAB = 90. 6. M =
= 60; MKL = MSL = 120. 7. MRK = RKL = MLK = LMR = 90.
8. N = T = 70; S = NPT = 110.
Òàáëèöà 4
1. M = R = 70; P = N = 110. 2. A = C = 60; B = D =
= 120. 3. R = L = 60; S = M = 120. 4. TPK = PKS =
= KST = STK = 90. 5. DAB = DCB = 60; ADC = ABC = 120.
6. RMK = MKL = KLR = MRL = 90. 7. FSM FTM =
= 80; SFT = SMT = 100. 8. DAB = DCB = 36; ADC =
ABC = 144.
Òàáëèöà 5
1. 8,5; 8,5; 9,5; 9,5. 2. 6,75; 6,75; 11,25; 11,25. 3. Квадрат со стороной 9. 4. 7,2; 7,2; 10,8; 10,8. 5. 8; 8; 10; 10. 6. 8; 8; 10; 10. 7. 4; 4; 14; 14.
8. 8; 8; 10; 10.
Òàáëèöà 6
1. TKF = 90; TMF = 120. 2. KRT = 90; KFT = 135. 3. ABC =
= 105; C = 125; D = 55. 4. M = 70; T = 50; MLS = 110;
LST = 130. 5. T = TRF = 70; TEF = F = 120. 6. NOE = 65;
ONM = 115; OEM = 75; NME = 105. 7. MSK = 65; SMN = 115;
MNK = 100; SKN = 80. 8. NAB = 110; ANM = 70; ABM = 100;
NMB = 80.
Òàáëèöà 7
1. 44. 2. 84. 3. 132. 4. 20. 5. 34. 6. 84. 7. 62. 8. 68,8.
260
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Òàáëèöà 8
1. 36. 2. 72. 3. 100. 4. 33. 5. 40. 6. 75 3 . 7. 48 3 . 12. 64.
Òàáëèöà 9
1
1. 864. 2. 160. 3. 40. 4. 768. 5. 84,5 3 . 6. 480,5. 7. 48. 8. 373 . 9. 48.
3
10. 140. 11. 48. 12. 262,5. 13. 144. 14. 48 3 . 15. 200. 16. 48.
Òàáëèöà 10
1. 165. 2. 18. 3. 60. 4. 169. 5. 16 3 . 6. 80. 7. 96. 8. 84. 9. 8. 10. 18,5.
11. 191 /4. 12. 270. 13. 24 5 . 14. 168. 15. 196. 16. 64.
Òàáëèöà 11
1. 144. 2. 176. 3. 300. 4. 108. 5. 96. 6. 294. 7. 48. 8. 58 3 . 9. 292.
10. 180. 11. 784. 12. 32. 13. 216. 14. 45. 15. 204. 16. 160.
Òàáëèöà 12
1. 5 3 . 2. 8 2 . 3.
82 . 4. 10. 5. 5 3 . 6. 8. 7. 8. 8. 12 3 . 9. 7,2. 10. 10.
21. 16 2( 3 1) . 12. 4. 13. 13. 14. 8. 15. 937 . 16. 2. 17. 17 . 18. 5.
19. 6. 20. 15. 21. 10. 22. 15. 23. 20. 24. 120/13. 25. 29. 26. 12/7. 27. 9.
28. 34. 29. 15; 20. 30. 7. 31. 6. 32. 22. 33. 9. 34. 10. 35. 3. 36. 26.
37. 8 3 . 38. 10.
Òàáëèöà 13
1. 100. 2. 5. 3. 3 3 . 4. x = 72; y = 98. 5. 13,125. 6. x = 5; y = 7. 7. x = 14;
y = 21. 8. 48. 9. x = 40; y = 90. 10. x = 39; y = 52. 11. 6. 12. 60. 13. 168.
3
14. 72. 15. 18. 16. 48. 17. 64. 18. 92. 19. 60. 20. 7,5. 21. 10,8. 22. x = 11 ;
7
y=8
4
1
. 23. 5 . 24. x = 54; y = 48.
7
3
Òàáëèöà 14
1. 2,5. 2. 25,6. 3. x = 4; y = 8. 4. 4. 5. x = 24; y = 40. 6. x = 20; y = 16.
3
4
1
1
4
7. x = 11 ; y = 4 . 8. 2 . 9. 37 . 10. x = 8; y = 12. 11. 8 . 12. x = 9,6;
7
7
7
3
7
y = 22,4. 13. 16. 14. x = 12; y = 4. 15. x = 4; y = 6. 16. 12.
Òàáëèöà 16
1. 62. 2. AK = 6; KC = 12. 3. RS = 8; RF = 6. 4. 28. 5. 18. 6. 9 3 /2.
7. 3 3 ( 3 + 1). 8. EF = MN = 24.
Îòâåòû
261
Òàáëèöà 17
1. KN = 24; MT = 50/13; TN = 288/13. 2. NL = 9; LM = 16; NK = 15;
KM = 20. 3. ME = 4,5; MK = 7,5; KN = 10. 4. MT = 25/13; TN = 144/13.
5. KN = 5 21 ; ME = 4; EN = 21. 6. KN = 30; KM = 40; NF = 18; FM = 32.
7. KM = 5 61 ; KN = 6 61 ; MN = 61; MT = 25; TN = 36. 8. MN = 9;
ME = EN = 4,5; EF = 0,5; FN = 4.
Òàáëèöà 18
1. 12 2 . 2. 12. 3. 6 3 . 4. 4(4 + 3 ). 5. 10( 3 + 1). 6. 10 6 /3. 7. 6 6 .
8. 5 2 .
Òàáëèöà 19
2
( 3 – 1). 3. 192 6 . 4. sin K = 3/ 10 ; cos K = 1/ 10 ;
2
1. 2/3. 2.
tg K = 3; ctg K = 1/3. 5. sin B = 2 6 /5; cos B = 1/5; tg B = 2/ 6 ;
ctg B = 1/2 6 . 6. sin = 12/13; cos = 5/13; tg = 12/5; ctg = 5/12.
7. sin K = 0,8; cos K = 0,6. 8. sin R =
ctg = 2/ 21 . 10. sin A =
3 /2; tg R =
2 /6; tg A =
17 /17. 11. cos B = 7/25;
ctg B = 7/24. 12. sin 0,46; tg 0,52. 13. sin A =
=
2
4
3 . 9. cos = 0,4;
2
4
3 1 ; cos A=
3 1 . 14. 0,8.
Òàáëèöà 20
1. 15. 2. AM = 10; BM = 10 5 . 3. AB = 12; CD = 16. 4. 2. 5. 20; 20.
6. 1,2 6 . 7. 20. 8. 40; 40. 9. 14. 10. 6. 11. 24; 24. 12. 8,5; 8,5. 13. 12(2 +
3 ).
14. 70. 15. 2,8 51 .
Òàáëèöà 21
1. 4. 2. 18. 3. 157. 4. 45. 5. 100. 6. 75. 7. 5 3 . 8. 80. 9. 30. 10. 10.
11. 114. 12. 16. 13. 10. 14. 28,125. 15. 15. 16. 1. 17. 8 3 . 18. 14,4. 19. 12.
20. 30 3 . 21. 100. 22. 7,5. 23. 8 3 . 24. 10. 25. 15. 26. 8 5 . 27. 6. 28. 4 145 .
29. 15730. 30. 70. 31. 40. 32. 12345.
Òàáëèöà 22
1. 20. 2. 24. 3. 38. 4. 7. 5. 24. 6. 10. 7. 2 61 . 8. 20 3 . 9. 130. 10. 4.
11. 10. 12. 4,8. 13. 180. 14. 80. 15. 15. 16. 64 3 .
262
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Òàáëèöà 23
1. 40. 2. 80. 3. L = M = 63; E = 54. 4. A = 66; B = 24; ACB=
= 90. 5. 5 3 . 6. 100. 7. 4. 8. 6. 9. 9. 10. 20( 3 + 1). 11. 25/8. 12. 4.
13. 16. 14. 10. 15. 12 3 . 16. 60. 17. 216. 18. 128. 19. 40. 20. 3. 21. 8.
22. 15. 23. 4. 24. 6. 25. 8. 26. 13. 27. 6. 28. 48 3 (2 + 3 ). 29. 8.
30. 4( 3 + 1). 31. ME = 8 5 ; EF = 12. 32. 96. 33. AB = 24; DC = 30.
34. M = 127; N = 105. 35. 10. 36. 12. 37. 30. 38. MN = 6; NK = 18;
KL = 21; LM = 9. 39. 5 3 . 40. 100 2 . 41. 36. 42. 66; 66; 114; 14.
43. 94,08. 44. 384. 45. 16. 46. 10. 47. 48 3 . 48. 4. 49. 10. 50. 5 2 . 51. 3.
52. 20. 53. 80. 54. 20. 55. 3. 56. 168.
Òàáëèöà 24
1
1
1
1
1
2. DF . 3. a + b. 4. OM = – a – b; MA = a + b. 5. RK = –n;
2
4
2
2
2
1
1
1
KT = –m + n; SR = m – n. 6. EA = m + n; FB = m – n. 7. KO =
2
2
2
1
1
1
3
5
3
= a + b. 8. AK = a + b; KB = –a + b. 9. AM = a – b.
4
4
4
4
2
2
7
2
10. KE = m – n. 11. BM = – m; NC = n; MN = –m + n; BN = –2m + n.
5
5
16. 12. 17. 6. 18. 13. 19. 8. 20. 2. 21. 32. 22. 36. 23. 73 . 24. | BD | = 194 ;
| CD | = 5 2 ; | AC | = 89 .
Òàáëèöà 25
1. MN = 5; DC = 3. 2. 6. 3. 8. 4. 4. 5. 6. 6. 9. 7. 9,5. 8. 0,5. 9. 30. 10. 14.
11. 12. 12. 9,8. 13. 3 2 /2. 14. 5. 15. 8. 16. 10.
9 êëàññ
Òàáëèöà 1
1. LN = m – n; KM = m + n. 2. BD = –a – b; CA = –a + b. 3. EK =
3
3
= –m + n; FM = m + n. 4. TM = a – b; ST = –a – b. 5. FT = m + n.
4
4
6. а) 2; б)
вует.
1
1
1
4
; в) – ; г) –1; д) –1; е) – ; ж) 3; з) – ; и), к) число не сущест2
2
4
3
Îòâåòû
263
Òàáëèöà 2
1. O(0; 0), K(3; 0), M(0; 2). 2. O(0;
0), T(6; 0), M(6; 3), C(0; 3). 3. Q(–2; 2),
P(2; 2), N(2; –2). 4. T(14; –6). 5. MN {–5; –1}. 6. M(4; 4). 7. C(–2; 32).
8. 16 или –8. 9. 3 или –2,6. 10. 5 . 11.
4). 15. K(18; 12). 16. 16.
26 . 12.
2 . 13. M(–3; 3). 14. C(2,5;
Òàáëèöà 3
1. 50; 50. 2. 2 85 . 3. 26. 4. A = 60; B = 30; C = 90. 5. 2 109 .
6. 2 53 .
Òàáëèöà 4
+ (y –
= 25. 2. B, C, D. 3. (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25. 4. x2 +
1. (x +
2
+ (y – 3) = 13. 5. (x – 3)2 + y2 = 13. 6. x2 + y2 = 13. 7. (x – 4)2 + (y – 5)2 = 9.
9. а) (2; –3), (2; 3); б) (–2; 3), (2; 3). 10. а) (2; 7), (2; 1); б) (5; 4), (–1; 4).
11. x2 + y2 = 40. 12. x2 + (y – 2)2 = 10.
4)2
2)2
Òàáëèöà 5
1. 4. 2. y + 5x = 0. 3. 1. 4. 7x – y + 3 = 0. 5. 13,5. 6. 7x – y + 6 = 0.
Òàáëèöà 6
1. 4 5 . 2. 24. 3. 60. 4. 25 2 /4. 5. 5 3 . 6. 50. 7. 30. 8. 80 3 . 9. 60 2 .
10. 128. 11. 169. 12. 36 3 .
Òàáëèöà 7
1. x = 8 2 ; y = 4 2 (1 + 3 ). 2. x 19,9; y 25,6. 3. x 16,3; y 22,3.
4. x 13,9; y 9,8. 5. x 1,8; y 0,5. 6. x 8,8; y 12. 7. x 10,4;
y 14,1. 8. x 14,1; y 19,3. 9. x = 6,5; y 4,9. 10. x 8,3; y 14,3.
11. x 9,9; y 9,6. 12. x = 1; y =
6 /3. 13. x 27,3; y 17,8.
14. x = 52 24 2 4,2; y = 52 24 2 9,3. 15. x = y 11. 16. x = 4 19 ;
y= 4 7.
Òàáëèöà 8
1. x = 4 14 /3; y = 26/3. 2. 63 . 3. x 5,8; y 4,1. 4. x 15,5; y 18,4.
5. x 3,9; y 10,3. 6. x = 13; y = 21. 7. x = 7; y = 15. 8. x = 18; y = 48.
9. x = 9; y = 12. 10. 13. 11. x = 16,8; y = 36. 12. x = 8; y = 30. 13. x = 168 2 /5;
y = 25. 14. x = 10; y = 15. 15. x1 = 25; y1 = 25; x2 10,5; y2 32,2; x3 36,7;
y3 24,5. 16. x = 20; y = 30.
Òàáëèöà 9
1. 0. 2. 0,6. 3. 50. 4. 0. 5. 8. 6. –12,5. 7. 6,75. 8. 2. 9. 1. 10. 90. 11. 60.
12. 0.
264
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Òàáëèöà 10
1. 20 3 /9. 2. 60. 3. 144; 216. 4. 225; 135. 5.
7
. 6. 40. 7. 20.
3
85
. 13. 32/ 3 . 14. 98 5 /15.
6
Òàáëèöà 11
8. 40. 9. 32. 10. 8 3 . 11. 7 5 . 12.
1. 4. 2. 64. 3. 100/(2 + 2 3 )2 49,5. 4. 12. 5. 20. 6. 18 (2 – 3 ).
7. 4. 8. 144(3 – 2 2 ). 9. . 10. 25. 11.
15. 60,5. 16.
27
. 12. . 13. 50. 14. 25.
32
86
.
4
Òàáëèöà 12
1. 12(2 – 3 3 ). 2. 7,6. 3. 9. 4. 413,2. 5. 10. 6. 100( – 2). 7. 128/3.
8. 16(4 – ).
X–XI êëàññû
Òàáëèöà 1
1. 90. 2. 60. 3. 60. 4. 60 5. 60. 6. arccos
10. 90. 11. arccos
1
. . 7. 60. 8. 90. 9. 60.
3
1
. 12. 60.
3
Òàáëèöà 2
1. 60. 2. 45. 3. arccos
2
1
2
1
. 4. arccos . 5. arccos
. 6. arccos .
4
4
4
4
Òàáëèöà 3
1. 90. 2. 45. 3. 45. 4. 60. 5. 60. 6. arccos
1
5 2
1
. 7. arccos
. 8. arccos .
8
4
5
3
2
1
9. arccos . 10. arccos
. 11. arccos
. 12. 90.
4
8
10
Òàáëèöà 4
1. 90. 2. arccos
2
3
. 3. arccos
.
3
6
Îòâåòû
265
Òàáëèöà 5
1. arccos
1
. 2. arctg 2.
6
Òàáëèöà 6
1. 30. 2. 60. 3.
3
1
1
. 4. . 5. 60. 6. arccos .
4
4
4
Òàáëèöà 7
1
1
1. 45. 2. 30. 3. 30. 4. 45. 5. arctg
. 6. 0. 7. arctg 2. 8. arctg
.
2
2
1
1
1
9. 0. 10. arctg
. 11. arcsin
. 12. arcsin
.
2
3
3
Òàáëèöà 8
1. arctg
3
3
6
21
3
. 2. arctg
. 3. 60. 4. arcsin
. 5. arcsin
. 6. arctg
.
2
2
4
7
2
Òàáëèöà 9
1
6
3
1. 90. 2. 45. 3. 30. 4. arctg . 5. 60. 6. arcsin
. 7. arctg
. 8. 45.
2
4
2
3
4
3
9. arcsin
. 10. arctg 1,5. 11. arcsin
. 12. arcsin .
4
42
26
Òàáëèöà 10
1
1
2
7
1. arccos . 2. arccos
. 3. arcsin
. 4. arccos
.
3
3
3
3
Òàáëèöà 11
1. arcsin
2
1
1
. 2. arcsin
. 3. arccos
.
3
3
3
Òàáëèöà 12
1.
15
. 2.
5
3
15
. 3.
.
10
15
Òàáëèöà 13
1. 90. 2. 90. 3. 90. 4. 45. 5. arctg 2. 6. arctg 2.
266
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Òàáëèöà 14
2
1
2
1. 60. 2. 90. 3. arctg
. 4. arccos . 5. arctg
.
7
3
3
Òàáëèöà 15
1. 60. 2. 120. 3. 90. 4. 90. 5. 60. 6. 30. 7. 30. 8. 45. 9. arctg
10. arctg
2
.
3
2
1
2
. 11. arccos . 12. arctg .
7
3
3
Òàáëèöà 16
1
1
1
1. arccos . 2. arccos . 3. arccos
. 4. 45.
3
3
3
Òàáëèöà 17
1
1. 0,2. 2. 0,6. 3.
.
5
Òàáëèöà 18
1. 1. 2.
12.
2. 3. 1. 4.
2. 5.
1
6
. 6.
. 7. 1. 8.
2
2
2. 9.
6
6
6
. 10.
. 11.
.
3
3
3
6
.
2
Òàáëèöà 19
1. 1. 2.
3
7
7
2
. 3.
. 4.
. 5.
. 6.
2
2
2
2
14
.
4
Òàáëèöà 20
1. 2. 2. 2. 3.
11.
2. 12.
7
. 4.
2
14
. 5.
4
3. 6.
2
. 7. 1. 8.
2
30
2
. 9.
. 10.
5
5
39
.
4
7
.
2
Òàáëèöà 21
1.
15
. 2.
4
13
. 3.
2
3. 4.
39
.
4
Òàáëèöà 22
1
1
1
1
1
1
2
1
1. 1. 2. 1. 3.
. 4.
. 5.
. 6.
. 7.
. 8.
. 9.
. 10.
.
2
2
2
3
3
3
3
3
2
1
11.
. 12.
.
3
3
Îòâåòû
267
Òàáëèöà 23
1. 1. 2.
3
. 3.
2
21
. 4.
7
21
. 5.
7
21
. 6.
7
21
. 7.
7
21
. 8.
7
21
.
7
Òàáëèöà 24
1. 1. 2.
12.
3. 3.
3. 4. 1. 5.
3
3
3
1
3
1
1
. 6.
. 7.
. 8. . 9. . 10.
. 11.
.
2
2
2
2
2
2
5
3
.
2
Òàáëèöà 25
6
1
. 2. .
3
2
1.
Òàáëèöà 26
1.
2 15
. 2.
5
9
. 3.
39
1. 1. 2. 1. 3. 1. 4.
12.
15
. 4.
5
3
.
39
Òàáëèöà 27
1
1
1
1
2. 5.
. 6.
. 7. 1. 8. 1. 9. 1. 10.
. 11.
.
2
2
3
6
1
.
3
Òàáëèöà 28
1. 1. 2.
3
3
. 3.
. 4.
2
2
21
1
. 5.
. 6.
7
5
21
.
7
Òàáëèöà 29
1. 1. 2.
3
. 3.
2
3. 4.
3
. 5.
2
3. 6.
3.
Òàáëèöà 30
1.
6
6
1
. 2.
. 3. . 4. arctg 2.
3
3
2
Òàáëèöà 31
1.
6
3
3 3
. 2.
. 3.
.
2
4
39
268
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Òàáëèöà 32
1
. 2.
2
9
10. . 11.
8
1.
1.
5. 2.
1
6
6
7 17
5
3 21
3 3
9
. 3.
. 4.
. 5.
. 6.
. 7.
. 8.
. 9. .
2
2
24
2
16
4
8
2
9
. 12. 2.
8
Òàáëèöà 33
2. 3.
5
. 4.
2
17
.
2
Òàáëèöà 34
1. 0,5. 2.
3 19
3 7
3
3 19
7
. 3.
. 4.
. 5.
. 6.
.
16
16
2
16
4
Òàáëèöà 35
1. 2. 2.
6. 3. 3. 4.
6. 5.
3 7
3 7
. 6.
.
4
4
Òàáëèöà 36
1. 0,25. 2.
3
2
11
. 3.
. 4.
.
16
4
16
Òàáëèöà 37
1. 0,5. 2.
3 11
3 11
3 3
. 3.
. 4.
. 5. 0,5.
16
16
16
Òàáëèöà 38
1. 12 2. 2. 12 2. 3. 4 5. 4. 8 5. 5. 6 3. 6. 12.
Òàáëèöà 39
1. 2. 2.
2. 3. 4 2. 4. 12.
Òàáëèöà 40
1. 4. 2. 4. 3.
1.
2 . 2.
24
. 4. 6 5.
5
Òàáëèöà 41
6
2 . 3. 2 5 . 4.
. 5. 270. 6. 1440.
5
Òàáëèöà 42
3
1. 14. 2. 26,4. 3. 40. 4. 25. 5.
. 6. 3 .
4
Îòâåòû
Òàáëèöà 43
1. 4. 2.
3 . 3. . 4. 6.
Òàáëèöà 44
1. 4. 2. 3. 3. 3.
Òàáëèöà 45
1. 12. 2. 6.
Òàáëèöà 46
1.
. 2. 3.
2
Òàáëèöà 47
8
. 4. 2 5 .
1. 2. 2. . 3.
5
Òàáëèöà 48
1.
. 2.
3
2
2
4
. 3.
. 4.
.
6
12
3
Òàáëèöà 49
3
192
. 2. 12. 3.
. 4. 32.
12
5
Òàáëèöà 50
5
4
7
7
5
. 3.
. 4.
. 5.
. 6.
.
1. . 2.
4
3
3
3
3
1.
Òàáëèöà 51
1.
3
3 3
. 2. . 3.
. 4.
.
4
4
12
4
Òàáëèöà 52
1. 9. 2.
73 3
.
12
Òàáëèöà 53
1. 7. 2. 5.
Òàáëèöà 54
1.
5
4
4
. 3.
. 2.
.
3
3
3
Òàáëèöà 55
1. 2. 2.
.
2
269
270
Ãåîìåòðèÿ. Ëó÷øèå çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÃÈÀ è ÅÃÝ
Òàáëèöà 56
1. . 2.
.
3
Òàáëèöà 57
1.
2
. 2.
12
2
.
6
Òàáëèöà 58
1.
3
.
3
Òàáëèöà 59
1. 80. 2. 104.
Òàáëèöà 60
1. 125. 2. 4. 3. 4. 4. 108. 5. 5. 6. 4. 7. 4. 8. 6. 9. 512. 10. 98.
Òàáëèöà 61
1. 61. 2. 5. 3. 45. 4. 45. 5. 4. 6. 320. 7. 2 3. 8. 2. 9. 4. 10. 3.
Òàáëèöà 62
1. 4. 2. 4. 3. 1. 4. 3. 5. arctg 0,6. 6. 45. 7. 2. 8. 13.
Òàáëèöà 63
1. 22. 2. 9. 3. arcsin
1
. 4.
10
6
2.
Òàáëèöà 64
1. 2. 2. 60. 3. 26. 4. 10.
Òàáëèöà 65
1. 21. 2. 18. 3. 8. 4. 5. 5.
12. arctg
105
. 6. 2. 7. 144. 8. 192. 9. 81. 10. 6 3. 11. 3.
27
23
.
5
Òàáëèöà 66
6
4 2
. 2. 4. 3. arctg
. 4. 3,4.
4
11
Òàáëèöà 67
1
2
1. arctg . 2. 4 . 3. 12. 4. 3.
8
3
1.
Îòâåòû
Òàáëèöà 68
1. 9,5. 2. 109. 3.
7 3
. 4. 54.
12
Òàáëèöà 69
4
1. 1. 2.
3
3
2
. 3. . 4. 384. 5. 324. 6.
.
2
3
12
Òàáëèöà 70
1.
2
. 2. 9. 3. 26. 4. 768.
12
Òàáëèöà 71
1. 98. 2. 13. 3. 872. 4. 342.
Òàáëèöà 72
3 3
3 39
. 2.
. 3. 6. 4. 384,5.
2
2
Òàáëèöà 73
1. 298. 2. 294. 3. 66. 4. 116. 5. 31. 6. 129.
1.
Òàáëèöà 74
1. 9. 2. 5. 3. 6. 4. 3. 5. 27. 6. 9. 7. 175. 8. 5.
Òàáëèöà 75
1.
3
2 1. 2. . 3. 9. 4. 3. 5. 500. 6. 100 2. 7. 30. 8. 220,5.
Òàáëèöà 76
1. 5. 2. 8. 3. 84. 4. 63.
Òàáëèöà 77
1. 13,75. 2. 6. 3. 16. 4. 108.
Òàáëèöà 78
1. 12,5. 2. 300. 3.
6
3
( 3 1). 4.
. 5. 7,5. 6. 100. 7. 4. 8. 54.
48
6
Òàáëèöà 79
1. 72. 2. 18. 3. 2( 3 1). 4. 780.
Òàáëèöà 80
1. 52. 2. 294. 3. 150. 4. 1,5.
271
Серия «Б о л ь ш а я
п е р е м е н а»
Балаян Эдуард Николаевич
ГЕОМЕТРИЯ
Лучшие задачи на готовых чертежах
для подготовки к ГИА и ЕГЭ
7–11 классы
Ответственный редактор С. Осташов
Технический редактор Л. Багрянцева
Сдано в набор 25.12.2012. Подписано в печать 04.03.2013.
Формат 70 100/16. Бумага офсетная.
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
Сайт издательства: www.phoenixrostov.ru
Интернет-магазин: www.phoenixbooks.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов
в ООО «Кубаньпечать»
350059, г. Краснодар, ул. Уральская, 98/2