Введение в комплексный анализ. Часть І. Функции одного переменного - Шабат Б.В.

7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретации
10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы
36. Принцип максимума модуля и лемма Шварца
§ 13. Соответствие границ и принцип симметрии
42. Эллиптический синус и модулярная функция
47. Связь роста функции с числом ее нулей
Добавление. Гармонические и субгармонические функции
Автор: Шабат Б.В.
Теги: анализ математика математический анализ теория функций комплексный анализ
Год: 1976
Похожие
Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных
Введение в комплексный анализ
Введение в комплексный анализ. Часть 2. Функции нескольких переменных
Целые функции многих комплексных переменных
Текст
                    Б. В. ШАБАТ
ВВЕДЕНИЕ
В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
ЧАСТЬ I
ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
механико-математических факультетов университетов
w
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1976

617.2
Ш 12
УДК Э17
Введение в комплексный анализ, ч. I, изд. 2-е, Ш а-
б а т Б. В., Главная редакция физико-математической
литературы изд-ва «Наука», 1976.
В книге дается единое изложение основных понятий
теории функций одного и нескольких комплексных
переменных. Она написана на основе лекций, в течение ряда
лет читаемых автором в Московском университете.
В конце глав приводятся задачи, призванные помочь
читателю активнее освоить основные принципиальные
положения курса.
Второе издание книги выпускается двумя
отдельными частями. В первой части добавлен пункт,
посвященный геометрии Лобачевского, а также изложение основ
теории роста целых функций, теорем Фрагмена — Лин-
делёфа и методов асимптотических оценок. Первая часть
книги является учебником по университетскому курсу
теории функций комплексного переменного для
математических, механических и физических специальностей.
Борис Владимирович Шабат
ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
часть I
ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
М., 1976 г., 320 стр. с илл.
Редактор А. С. Чистопольский
Техн. редактор В. Н. Кондакова
Корректор Е. А. Бвлицкая
Сдано в набор 8/XI 1975 г. Подписано к печати 27/V 1976 г.
Бумага 84Х108'/за. Физ. печ. л. 10. Условн. печ. л. 16,8.
Уч.-изд. л. 17,13. Тираж 20 000 экз. Цена книги 76 коп. Заказ
№ 358.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени
А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская
ул., 26. Отпечатано в тип. № 4 изд-ва «Наука».
ттт 20203—076 ([*) с изменениями, Главная редакция
лео/аг>\ 18-76 ^ физико-математической
053(02)-7о литературы изд-ва «Наука», 1976

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 5
Предисловие ко второму изданию 8
Глава I, Голоморфные функции 9
§ 1. Комплексная плоскость 9
1. Комплексные числа 9
2. Топология комплексной плоскости 14
3. Пути и кривые 18
4. Области 22
§ 2. Функции комплексного переменного 25
5. Понятие функции 25
6. Дифференцируемость 31
7. Геометрическая и гидродинамическая
интерпретации 37
§ 3. Свойства дробно-линейных функций 44
8. Дробно-линейные функции 44
9. Геометрические свойства 49
10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы , 53
11. Модель геометрии Лобачевского 57
§ 4. Элементарные функции 64
12. Некоторые рациональные функции 64
13. Показательная функция 69
14. Тригонометрические функции 72
Задачи ...... 76
Глава II. Свойства голоморфных функций 79
§ 5. Интеграл 79
15. Понятие интеграла 79
16. Первообразная 83
17. Теорема Коши 92
18. Обобщения теоремы Коши 98
19. Интегральная формула Коши 102
§ 6. Ряды Тейлора 106
20. Ряды Тейлора 107
21. Свойства голоморфных функций 113
22. Теорема единственности 117
23. Теоремы Вейерштрасса и Рунге 120
§ 7. Ряды Лорана и особые точки 127
24. Ряды Лорана 127
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
25. Изолированные особые точки 135
26. Вычеты 144
Задачи 151
Глава III. Аналитическое продолжение 154
§ 8. Понятие аналитического продолжения 154
27. Элементы аналитических функций 154
28. Продолжение вдоль пути 162
§ 9. Понятие аналитической функции 169
29. Аналитические функции 169
30. Элементарные функции 174
31. Особые точки 183
§ 10. Понятие римановой поверхности 190
32. Элементарный подход 190
33. Общий подход 195
Задачи 202
Глава IV. Основы геометрической теории 204
§ 11. Геометрические принципы 204
34. Принцип аргумента 204
35. Принцип сохранения области 209
36. Принцип максимума модуля и лемма Шварца . . 214
§ 12. Теорема Римана 217
37. Конформные изоморфизмы и автоморфизмы .... 218
38. Принцип компактности 221
39. Теорема Римана 225
§ 13. Соответствие границ и принцип симметрии 228
40. Соответствие границ 228
41. Принцип симметрии 234
42. Эллиптический синус и модулярная функция . . . 239
Задачи 245
Глава V. Аналитические методы 248
§ 14. Разложения целых и мероморфных функций 248
43. Теорема Миттаг-Леффлера 248
44. Теорема Вейерштрасса 255
§ 15. Рост целых функций 263
45. Порядок и тип целой функции 263
46. Принцип Фрагмена — Линделёфа 268
47. Связь роста функции с числом ее нулей 271
§ 16. Асимптотические оценки 278
48. Асимптотические разложения 278
49. Метод Лапласа 283
50. Метод перевала 288
Задачи 292
Добавление. Гармонические и субгармонические функции 295
1 Гармонические функции 295
2. Задача Дирихле 300
3. Субгармонические функции 307
Задачи 315
Предметный указатель 317

Моему учителю —
МИХАИЛУ АЛЕКСЕЕВИЧУ
ЛАВРЕНТЬЕВУ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Обстоятельный анализ свойств функций немыслим без
выхода в комплексную область. Вот простой пример:
функция /(*)=* t , g одинаково хороша (бесконечно
дифференцируема) во всех точках числовой оси, а ее ряд Тейлора
—! -* 1 — х2 4- х* —
перестает сходиться при |х|^1. Причину этого нельзя
понять, оставаясь в действительной области: ведь точки
х = ±1, разделяющие множества сходимости и
расходимости ряда, ничем не примечательны для нашей функции.
Но выход в комплексную область сразу разъясняет
явление: на окружности |#| = 1 лежат точки х~±\г—1, в
которых функция / обращается в бесконечность, из-за
них ряд и перестает сходиться.
Переход к рассмотрению функций комплексного
переменного необходим в целом ряде вопросов. Он столь же
естествен, как переход от поля действительных чисел
к алгебраически замкнутому полю комплексных чисел.
И удивительно — для функций от комплексных чисел, тех
самых, которые по знаменитой теореме Фробениуса дают
единственно возможное расширение поля действительных
чисел с сохранением алгебраических свойств, удается
построить и анализ, столь же полный и стройный, как
анализ функций действительного аргумента.
Переход к комплексному анализу дает возможность
глубже изучить элементарные функции и установить
интересные связи между ними. Так тригонометрические
функции оказываются простыми комбинациями показательных,
например,
cos x = у \е +е ).

6
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Вскрываются такие неожиданные и замечательные
соотношения между действительными и «мнимыми» величинами,
как скажем
(|A3T/=WT + ^ (A_o,±l,...).
В действительном анализе стройная теория развивается
лишь для однозначных функций, а многозначные часто
доставляют много неприятностей. В комплексном анализе
удается выяснить природу многозначности и построить
безупречную теорию многозначных функций.
Комплексный анализ дает эффективные методы
вычисления интегралов и получения асимптотических оценок,
способы исследования решений дифференциальных
уравнений и т. д. — перечень задач, которые решаются
средствами комплексного анализа, можно продолжать довольно
долго. К этому надо добавить, что функции комплексного
переменного описывают плоские векторные поля, причем
в комплексном анализе особо выделяются функции,
которым соответствуют поля, наиболее интересные для
приложений— одновременно потенциальные и соленоидальные.
Поэтому комплексный анализ находит многочисленные
применения в самых разных областях.
Одной из отличительных и привлекательных черт
комплексного анализа является его подлинная комплексность.
В нем сочетаются аналитические и геометрические, вполне
классические и самые новые методы. Наряду с очень
конкретными и прикладными в нем решаются весьма
общие и абстрактные задачи. В комплексном анализе
встречаются и разные разделы математики, и разные
прикладные науки. Его понятия служат основной моделью,
источником и отправным пунктом многих исследований
в функциональном анализе, алгебре, топологии,
алгебраической и дифференциальной геометрии, уравнениях с
частными производными и других разделах математики.
Начальные идеи комплексного анализа возникли во
второй половине 18-го века, и связаны они прежде всего
с именем Леонарда Эйлера. Основной массив теории был
создан в 19-м веке, главным образом трудами Огюстена
Коши, Бернарда Римана и Карла Вейерштрасса. В наши
дни более классическая часть комплексного анализа —
теория функций одного комплексного переменного —

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
7
приобрела уже вполне совершенный вид. Однако и здесь
постоянно возникают нерешенные проблемы как в связи
с новыми постановками математических задач, так и в связи
с приложениями. В более молодой части — теории функций
нескольких комплексных переменных — имеется еще
довольно много белых пятен. Но эта область, особенно
богатая связями со многими разделами современной
математики, все больше и больше привлекает к себе внимание.
По-видимому, наступило время, когда изучающие
комплексный анализ должны знакомиться с основами теории
функций не только одного, но и нескольких комплексных
переменных. Эти две части, однако, наряду с общими
(сравнительно элементарными) свойствами имеют ряд
свойств, принципиально отличающих их друг от друга.
Поэтому, по крайней мере на сегодняшнем уровне
развития науки, их лучше изучать последовательно, а не
параллельно. В Московском университете эта цель достигается
введением наряду с обязательным курсом так называемого
основного спецкурса, который должны прослушать
студенты, специализирующиеся в области теории функций.
В литературе имеется много превосходных курсов
теории функций одного комплексного переменного, в
последние десятилетия появился и ряд руководств по теории
функций нескольких комплексных переменных. Однако
единого изложения двух частей комплексного анализа
еще нет, и эта книга является первым опытом такого
изложения. Она возникла из лекций, читанных автором
в Московском университете, причем первая часть
относится к обязательному курсу, а вторая — к основному
спецкурсу. Книга задумана так, что многие ведущие идеи
второй части сначала появляются в первой части, где они
иллюстрируются на более простом материале функций
одного переменного х).
Каждая глава сопровождается некоторым количеством
задач. Среди них нет упражнений, призванных закрепить
навыки использования методов комплексного анализа,
поэтому их набор нисколько не заменяет задачника.
*) Несколько слов по поводу названия книги. Автор отдает себе
отчет в том, что термин «комплексный анализ» у нас не принят. Однако
в принятой терминологии книга должна была бы носить длинное и
неблагозвучное название «Введение в теорию функций одного и
нескольких комплексных переменных».

8 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Имеются задачи двух видов — сравнительно нетрудные,
иллюстрирующие изложенный в книге материал, и задачи,
в которых формулируются не вошедшие в книгу теоремы;
последние иногда снабжаются литературными указаниями.
Резкого разграничения между этими двумя видами задач
умышленно не делается.
Идею написать эту книгу мне подал А. О. Гельфонд,
которому, однако, не довелось увидеть ее готовой.
A. А. Гончар просмотрел рукопись и сделал много
конкретных замечаний. Ряд полезных советов дали мне
B. С. Владимиров, Б. Я. Левин и А. И. Маркушевич,
В. А. Зорич помог в подборе задач. Этим моим коллегам
я весьма признателен. Особенно многим я обязан
редактору книги Е. М. Чирке, который внимательно прочитал
рукопись и помог устранить ряд недочетов.
Сентябрь 1968 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В этом издании книга выпускается двумя отдельными
частями, посвященными соответственно функциям одного
и нескольких комплексных переменных. В первой части
добавлен п. 11, содержащий изложение основ геометрии
Лобачевского, и расширена последняя глава, в которую
включены элементы теории роста целых функций, теоремы
Фрагмена — Линделёфа, а также простейшие методы
асимптотических оценок.
Вторая часть подверглась значительной переработке,
связанной с развитием теории функций нескольких
комплексных переменных за последние годы и появившейся
за эти годы литературой.
Всем читателям книги, указавшим мне на огрехи в
первом издании, я приношу свою искреннюю благодарность.
Январь 1975 г.

Глава I
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Начнем с описания комплексных чисел и действий
над ними. Мы предполагаем, что читатель знает их,
и поэтому наше описание будет кратким, с упором на
особенности, нужные для дальнейшего изложения.
§ 1. Комплексная плоскость
1. Комплексные числа. Рассмотрим множество С
упорядоченных пар действительных чисел z=(x, у) или,
что то же самое, точек декартовой плоскости хОу или
(свободных) плоских векторов. Два вектора z1 = (x1, y±)
и г2 = (х2, у2) считаются равными (z1 = z2) в том и только
том случае, если х1 = х2 и */i = */2'» векторы z = (x, у)
и z = (x, —у), которые изображаются точками,
симметричными относительно оси х, назовем сопряженными.
Вектор (х, 0) отождествим с действительным числом х\
совокупность всех действительных чисел (ось х) обозначим
через R. Для действительных чисел и только для них l = z.
На множестве С введем совокупность алгебраических
операций, превращающих С в поле. Сложение и
умножение на действительное число (скаляр) % введем так же,
как в векторном исчислении. После этого мы сможем
представить каждый элемент гбС в так называемой
декартовой форме:
z = x- l+y-i = x + iy, (l)
где через 1 = (1, 0) и £=(0, 1) обозначены единичные
векторы (орты) соответственно осей х и у (обозначение
первого орта опускается).
Умножение в векторном исчислении вводят двумя
способами: паре векторов z1 = x1-\-iy1 и z2 = x2-\-iy2
ставят в соответствие скалярное произведение по формуле
(гь г^^х^ + у^о, (2)

10
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
а также векторное произведение по формуле
[zi, г2]^х1у2-х2у11). (3)
Но, как хорошо известно, ни одно из этих умножений
не удовлетворяет аксиомам поля. Поэтому мы введем в С
иное умножение. Именно, положим по определению
j./ = i2 =—1 и назовем произведением zxz2 вектор,
который получается, если перемножить *i + '*/i и х2 + 1у2
как двучлены по обычным законам алгебры и положить
j2 = —\t Иными словами, по определению положим
ziz2 = хгх2 - У1У2 + i (Х1У2 + Х2У1) (4)
(соотношение i2 = — 1 получается отсюда как частный
случай). Очевидно, что это произведение выражается
через скалярное и векторное по формуле
*iz2 = (zb z2) + i[2u г2], (5)
где Z1 = Xi — iyi — вектор, сопряженный гг.
Мы предполагаем известным, что введение описанных
операций сложения и умножения превращает множество
С в поле, которое называется полем комплексных чисел;
его элементы — векторы z = x-\-iy — называются
комплексными числами. Таким образом, комплексное число z =
= (х, у) представляет собой упорядоченную пару,
комплекс, составленный из действительных чисел х и уу
которые (в дань исторической традиции) соответственно
называются действительной и мнимой частью числа z
и обозначаются символами
* = Re£, y = lmz. (6)
Числа z = (0, у), действительная часть которых равна 0
(в дань той же традиции), называются мнимыми.
Введенная выше декартова форма (1) записи
комплексного числа удобна для выполнения операции
сложения (и обратной к ней операции вычитания). Однако,
как видно из (4), умножение (и деление) выполняется
в этой форме довольно громоздко. Для последних опера-
х) В общем случае векторное произведение двух векторов
является вектором, перпендикулярным к плоскости перемножаемых
векторов. Однако в случае плоского векторного поля, который только
и рассматривается здесь, все векторные произведения коллинеарны
и поэтому вполне описываются скаляром (3)

§ 1]
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
11
ций (а также для возведения в степень и извлечения
корня) удобнее полярная форма комплексного числа:
z = r (cos cp -f i sin ф), (7)
которая получается из (2) переходом к полярным
координатам (в такой форме можно представить любое
комплексное число z т^О). Полярные координаты
комплексного числа z = х + iy —-полярный радиус г = Ух2 + У2
и полярный угол ф, т. е. угол между положительным
направлением оси х и вектором z, соответственно
называются его модулем и аргументом и обозначаются
символами
r = |z|f cp=*Argz; (8)
модуль определяется однозначно, а аргумент— с
точностью до слагаемого, представляющего собой целое
кратное 2я. Для простоты письма введем сокращенное
обозначение:
cosy + ismy = ei(i> (9)
(мы пользуемся здесь тем, что действие возведения числа
в мнимую степень не определено1) и поэтому принятый
символ вакантен), тогда полярная форма (7) примет
компактный вид:
г = ге1*. (10)
Пользуясь элементарными формулами тригонометрии
и определением умножения (4), мы получим соотношение
r1eiv*r2eivt = r1r2eim + v»\ (11)
которое показывает естественность принятого
сокращенного обозначения (9). Соотношение (11) гласит, что при
умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы складываются. Так же просто выражается
в полярной форме и операция деления комплексных
чисел: 1ф1
£±? = ue*(<Pi-q>2> (\2\
(если, конечно, г2^ф0).
г) В п. 13 мы введем это действие и докажем, что формула (9),
в которой справа стоит мнимая степень числа е (основания
натуральных логарифмов), действительно имеет место.

12
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Ггл i
В некоторых вопросах удобно
компактифицировать множество комплексных чисел С Это делается
добавлением к нему идеального элемента, который
называется бесконечной точкой z = со. В отличие от конечных
точек (г=т^оо) бесконечная точка не участвует в
алгебраических действиях. Компактифицированную плоскость
комплексных чисел (т. е. плоскость С, пополненную
бесконечной точкой) мы будем называть замкнутой
плоскостью и обозначать символом С. Когда нужно
Рис. 1.
подчеркнуть различие, будем называть С открытой
плоскостью.
Описанную компактификацию можно сделать
наглядной, если вместо изображения комплексных чисел
точками плоскости воспользоваться их сферическим
изображением. Для этого выберем в трехмерном
евклидовом пространстве прямоугольную декартову систему
координат |, г), £, оси Е- и г] которой соответственно
совпадают с осями х и г/, и рассмотрим в этом
пространстве единичную сферу
5: £2 + туЧ£2=1 (13)
(рис. 1). Каждой точке z (х, у)еС поставим в
соответствие точку Z(g, т], Q пересечения с S луча,
соединяющего «северный полюс» N (0, 0, 1) сферы с точкой г.
Такое соответствие z -*■ Z называется стереографической
проекцией. Подставляя уравнение луча Nz (l = tx, v\ = ty,
£=1— t) в (13), мы найдем, что в точке пересечения

§ 1]
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
13
луча со сферой t (1 + \г \2) = 2, и получим уравнения
стереографической проекции
"1 + !*Г '■ 1 + |г
2 »
ц 1 + |*|2 ^ '
Из последнего уравнения находим, что r-r-j—^ == 1 — £,
1 -f- J Z
и тогда из первых двух получаем формулы для
обратного отображения:
Из (14) и (15) видно, что стереографическая проекция
z -> Z устанавливает взаимно однозначное соответствие
между точками & и S\N (очевидно, что точке N не
соответствует ни одной точки г). Условимся считать,
что N соответствует бесконечной точке г = оо, и тем
самым установим взаимно однозначное соответствие С
и S; обычно мы будем отождествлять С со сферой S,
которая называется сферой комплексных чисел или сферой
Римана. Открытую плоскость С можно отождествлять
с S\ N — сферой с выколотой точкой N (северным
полюсом).
В соответствии с двумя описанными способами
геометрического изображения комплексных чисел мы введем на
множестве С две метрики. Первая из них — обычная
евклидова метрика, в которой под расстоянием между
двумя точками z1 = x1 + iy1 и z2^x2-\-iy2 из С понимается
\z*-Zi\=V{x2-Xi? + {y2-yi)2. (16)
Во второй — сферической метрике — под расстоянием
между Zi и г2 понимается евклидово расстояние (в
пространстве |, г], £) между их сферическими изображениями.
После несложных выкладок с использованием формул (14)
мы найдем сферическое расстояние между двумя точками
?i, г2е=€:
Р(*1, г*)= г 2:г1~г1' (17)
Г11 г) Vl + \z1\*\f\ + \z,\* K }

14
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Ггл i
Эту формулу можно распространить и на множество
С, положив1)
2
р(г, оо) = -7= (18)
rV ' /l + |z|2 V ;
Очевидно, для любых гъ z2 e С имеем р(гь г2)^2.
Легко проверить, что введение каждой из этих двух метрик
превращает множество С в метрическое пространство,
т. е. что при этом удовлетворяются обычные аксиомы
расстояния2). В частности, аксиома треугольника для
метрики (16) равносильна известному неравенству
IZi + ZaK^I + IZal. (19)
В заключение отметим, что на ограниченных
множествах Мс=€, принадлежащих фиксированному кругу
{|z|==^#}, #<oo, евклидова и сферическая метрики
эквивалентны. В самом деле, если М cz {\z\^R\, то, как
видно из (17), для любых точек zu z2^M справедливо
двойное неравенство
2-^f^^p(z1> г2)^2\гг-г1\ (20)
(подробнее об этом см. в следующем пункте). Поэтому
сферическая метрика обычно применяется при
рассмотрении неограниченных множеств. Как правило, мы будем
рассматривать на множестве (D евклидову метрику, а на
С— сферическую.
2. Топология комплексной плоскости. Мы ввели на
множествах С и С метрики, превращающие эти множества
в метрические пространства. Теперь мы введем на
рассматриваемых множествах топологии, соответствующие
метрикам. Это делается указанием системы окрестностей.
Пусть е >0 —произвольное число; под г-окрестностью
UZo=U(z0l e) точки г0бС (в евклидовой метрике) будем
понимать круг радиуса е с центром в этой точке, т. е.
совокупность точек zg(C, удовлетворяющих неравенству
|г-г0|<в. (1)
х) Формула (18) получается из (17), если положить в ней z1 — zi
разделить числитель и знаменатель на г2 и устремить г2 к оо.
2) См. Г. Е. Шилов, Математический анализ, Физматгиз, М.,
1961, стр. 25.

§ 1]
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
15
Под е-окрестностью точки г0 е С будем понимать
совокупность точек геС, для которых
Р(г, г0)<е. (2)
Формула (18) из п. 1 показывает, что неравенство
р(г, ос)<е равносильно неравенству |2|>|/-^~1;
следовательно, е-окрестности бесконечной точки на
плоскости соответствует внешность круга с центром в начале
координат (пополненная точкой г = оо).
Мы назовем множество Й из С (или С) открытым,
если для любой его точки z0 найдется окрестность UZo,
принадлежащая этому множеству.
Легко проверить, что такое введение понятия
открытости превращает С и С в топологические пространства,
т. е. что при этом выполняются обычные аксиомы.
В некоторых вопросах удобно пользоваться так
называемыми проколотыми окрестностями, под которыми на
С и С соответственно понимаются множества точек г,
удовлетворяющих неравенствам
0<|z-zo!<e, 0<р(г, г0)<е. (З)
В этом пункте мы рассмотрим основные
топологические понятия, которыми будем постоянно пользоваться
в дальнейшем.
Определение 1. Точка г0еС (соответственно С)
называется предельной точкой множества М а С
(соответственно С), если в любой проколотой окрестности г0
в смысле топологии С (соответственно С) найдется по
крайней мере одна точка из М. Множество М называется
замкнутым, если оно содержит все свои предельные
точки. Множество, получающееся присоединением к М
всех его предельных точек, называется замыканием М
и обозначается символом М.
Пример. Множество М всех целых чисел {0, ±1, ±2, ...}
в С не имеет предельных точек (и, следовательно, замкнуто). В С
оно имеет одну предельную точку z = oo, не принадлежащую М
(М не является замкнутым в С).

16
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
В (D любое бесконечное множество имеет по крайней
мере одну предельную точку (принцип компакт-
н ости).
Этот принцип, выражающий полноту сферы
комплексных чисел, можно вывести из аксиомы полноты
действительных чисел; мы опускаем это доказательство. В С
принцип компактности не имеет места (это видно из
приведенного выше примера). Он верен, однако, для
бесконечных ограниченных множеств, т. е. множеств,
лежащих в каком-либо круге {| z\<C.R}, R <оо. Такие
множества мы будем называть компактными.
Из неравенств (20) п. 1 следует, очевидно, что точка
z0 ф оо является предельной точкой множества М в
топологии С тогда и только тогда, когда она является
предельной точкой М в топологии С Иными словами, при
определении конечных предельных точек мы можем
с равным успехом пользоваться как евклидовой, так
и сферической метрикой. Именно в этом смысле надо
понимать утверждение об эквивалентности этих метрик
в конце п. 1.
Определение 2. Последовательностью {ап} будем
называть отображение в С (или С) множества целых
неотрицательных чисел (иными словами — функцию целого
неотрицательного аргумента, принимающую комплексные
значения). Точку аеС (или С) будем называть
предельной точкой последовательности {ап}, если в любой
окрестности а в топологии С (или С) найдется бесконечно много
элементов этой последовательности. Последовательность
{ап}, имеющую в С единственную предельную точку а,
будем называть сходящейся к а\ это будем записывать
ТаК: 1- ,Л\
lim an = a. (4)
п-*со
Замечание. Между понятиями предельной точки
последовательности {ап} и множества значений {ап\ имеется различие.
Например, последовательность ал=1 (п — 0, 1, 2, ...) имеет предельную
точку а=1, а множество {ап\, состоящее из одной точки ая=1,
предельных точек не имеет.
Мы предлагаем читателю доказать следующие
утверждения:

§ 1]
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
17
1) последовательность {ап} сходится к а тогда и только
тогда, когда для любого е>0 найдется натуральное
число N такое, что для всех n^N выполняется
неравенство \ап — а|<е (если афоо) или р(ап, я)<е (если
я = оо);
2) точка а тогда и только тогда является предельной
для последовательности {ап}у когда существует
подпоследовательность ЫпА> сходящаяся к а.
Комплексное равенство (4), вообще говоря,
равносильно двум действительным равенствам. Пусть афоо,
тогда, не ограничивая общности, можно считать, что
и апфоо, и положить ал = ал + /рл, a = a-\-i$ (для
бесконечной точки понятия действительной и мнимой частей
не имеют смысла); легко доказать, что (4) равносильно
равенствам нт tt|| = a> Цщр^р1). (5)
л->оо п->оо
В случае афО, фоо можно считать, что и апфО,
Фоо, и положить ап = гпеЩп, a==rel(?; тогда (4) имеет
место, если Нт Г|| = г, Нт Фя = Ф, (6)
П-+СО П-+00
и обратно, если (4) имеет место, то имеют место и
соотношения (6), причем второе —при надлежащем выборе
значений cp„2). Если а = 0 или оо, то (4) равносильно
одному соотношению lim rn = 0 или lim r„ = oo (поведе-
П-+ОЭ П-+00
ние фл при этом несущественно).
Мы будем пользоваться иногда понятием расстояния
между множествами М и N, понимая под этим нижнюю
грань расстояний между любыми парами точек, одна из
которых принадлежит М, а другая N:
р(М, N)= inf р(г', z"); (7)
2"ЕЛ/
вместо сферической метрики здесь можно, конечно,
рассматривать и евклидову.
х) Для доказательства достаточно воспользоваться соотношением
тах(|ая —а|, | p^-ft |) ^ | ап — а [ =
= К(ая —а)* + (Ря —Э)»<|ая —а| + |рЛ —Э|.
2) Если значения фЛ выбирать произвольно, то {фЛ} может и не
сходиться при сходимости \ап}.

18
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ I
Теорема 1. Если замкнутые множества М, N а С
не пересекаются (М()Ы = ф), то расстояние между ними
положительно.
А Пусть, от противного, р(М, N) = 0. По
определению нижней грани существуют последовательности точек
Zn^M и z'n^N таких, что limp(z„, z"n) = Q. По прин-
ципу компактности последовательности z'n и z"n имеют
предельные точки z' и соответственно г", причем в силу
замкнутости множеств г'^УИ, z"^N. Переходя в
случае надобности к подпоследовательностям, можно считать,
что z'n-*~z\ z"n-+z\ По аксиоме треугольника для
сферической метрики имеем
р(г', г")<р(*\ г'п) + р(гп, z'n) + p(z"ni z").
Но правая часть стремится к 0 при п-*оэ\
следовательно, переходя к пределу, получаем, что p(z', z") = 0.
По аксиоме положительности для той же метрики
заключаем, что z' = z", а так как г'еМ, z"^N, то это
противоречит условию теоремы, по которому М (] N = ф ►
3. Пути и кривые. Определение 1. Путем у мы
будем называть непрерывное отображение отрезка [а, р]
действительной оси в (D (или С). Иными словами, путь —
это комплекснозначная функция z = y (t) действительного
аргумента t, непрерывная в каждой точке t0 e [а, р]
в следующем смысле: для любого е > 0 существует
окрестность {t е [а, р]: 11 —10 \ < б}, для всех точек t
которой | y(t) — у (t0) |<е (или p(y(0» Y(*o))<e, если
y(t0) = oo). Точки а = у(а) и Ь = Y (Р) называются концами
пути (если а<р, то а — началом, а Ъ — концом); путь
называется замкнутым^если v(a)=Y(P)- Будем говорить,
что путь у: [а, Р]->© лежит на множестве М, если
y(t)^M для всех *е[а, Р].
В некоторых вопросах удобно различать понятия пути
и кривой. Чтобы ввести последнее, условимся называть
два пути
Yi: К, Pi]->C и y2: [a2, p2]->©
эквивалентными (yi~?2)> если существует непрерывная
возрастающая функция
ъ [«1. PiJ^K Р2] (1)

§ 1]
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
19
такая, что yL (t) = у2 [т (t)] для всех t^[alt pj. Нетрудно
проверить, что это отношение удовлетворяет обычным
аксиомам эквивалентности: рефлексивности (y~y)>
симметричности (если у1 ~ у2у то у2 ~ 7i) и т р а н-
зитивности (если 7i~Y2 и 72^7з> то 71^7з)- Мы
будем говорить, что путь у2 получается из 7i заменой
параметра (1).
Пример. Рассмотрим пути yt (t) = t, t s [0, J]; y2 (t) = sin /,
fe[o, -Jj; 73 (0- cos/, t e= [o, -jj, y4(0 = sin/, f e [0, я].
Множество значений y.(/) во всех случаях одинаково —это отрезок
[0, 1]. Однако лишь 7i~72*> пУти 7з и 74 не эквивалентны этим
двум и не эквивалентны друг другу —в них
отрезок [0, 1] обходится иначе, чем в пер- О0 > о/
вых двух (рис. 2). Можно сказать, что уг и /1 ' /2
72 эквивалентны пути у~, который получает- /? п ,с у *
ся из у3 изменением ориентации (об этом у^
см. ниже в п. 15). '
ffu .» ^ и/
Определение 2. Кривой на- /^
зывается класс путей, эквивалентных
в приведенном выше смысле. Иногда, Рис- 2-
если это не вызовет недоразумений, _
мы будем понимать под кривой множество точек усС,
которое можно представить как образ отрезка [а, р] при
каком-либо непрерывном отображении z*=y(t).
В дальнейшем нам придется вводить на
рассматриваемые пути и кривые дополнительные ограничения. Будем
называть путь 7: [а> Р]->€ жордановым, если
отображение 7 непрерывно и взаимно однозначно.
Определение замкнутого жорданова пути предоставляется
читателю.
Путь 7: [а> Р]-*-^ называется непрерывно
дифференцируемым, если в каждой точке / е [а, р] существует
непрерывная производная у' (t) (под производной функции
y(t)=x (t) -\-itj (t) в точке /0 е (а, Р) понимается х' (/0) +
+ iy'(to)> & в концах отрезка —такая же комбинация
соответствующих односторонних производных). Непрерывно
дифференцируемый путь называется гладким, если 7' (0 Ф
9^0 при всех / е [а, р], —это условие вводится для
избежания особых точек. Путь называется кусочно гладким,
если функция 7 (0 непрерывна на [а, р] н [а, р] можно

20 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. I
разбить на конечное число (замкнутых) отрезков таких,
что сужение у (t) на каждый из этих отрезков определяет
гладкий путь. Путь называется спрямляемым1), если почти
всюду на [а, р] существует у' (/), абсолютно
интегрируемая по Лебегу (т. е. существует
о о
\\y'(t)\dt=\V[x'(t)Y + [y'(t)Ydt (2)
а а
— длина пути). Всякий кусочно гладкий путь спрямляем.
Рис. 3.
В дальнейшем мы будем также пользоваться
общепринятыми терминами для описания гладкости функций
(в частности, путей): непрерывную функцию будем
называть функцией класса С0, непрерывно
дифференцируемую—функцией класса С1 и вообще функцию, имеющую
в области ее рассмотрения непрерывные производные до
/г-го порядка включительно, будем называть функцией
класса Сп.
г) Всюду в дальнейшем, говоря о спрямляемых путях, мы будем
предполагать, что читатель знаком с соответствующими понятиями
теории функций действительного переменного. Читатели, не знающие
зтих понятий, вполне могут обойтись классом кусочно гладких путей

§ 1]
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
21
Пример. Пути уъ у2 и 7з из предыдущего примера жордановы,
Yi —нет. Окружность z — elt, / <= [0, 2я], — замкнутый жорданов путь
(гладкий); четырехлепестковая роза z — cos2teu, t <= [0, 2я] (рис. 3, а)—
замкнутый нежорданов (гладкий); полукубическая парабола
z = t2(t + i), t e [— 1, 1] (рис. 3, б), —жорданов (непрерывно
дифференцируемый, кусочно гладкий). Путь z — t ( 1 +i sin -Л ,
£е , — (рис. 3, в) —жорданов неспрямляемый (и,
следовательно, не кусочно гладкий).
Такие же ограничения можно ввести и на кривые.
Жорданова кривая — это класс путей, эквивалентных
некоторому жорданову пути (так как замены параметров (1)
взаимно однозначны, то из жордановости пути следует
жордановость всех эквивалентных ему путей).
Определение гладкой кривой требует некоторых
уточнений: мы должны ввести это понятие так, чтобы оно не
нарушалось при замене пути, представляющего эту
кривую, любым другим эквивалентным ему путем. Так как
непрерывная и возрастающая замена параметра (1) может
перевести гладкий путь в негладкий, то понятие
гладкости не инвариантно по отношению к таким заменам.
Поэтому мы должны наложить на преобразование (1)
дополнительные условия.
Именно, гладкой кривой мы будем называть класс
путей, получающихся из некоторого гладкого пути
всевозможными заменами параметра (1), где т —непрерывно
дифференцируемая функция с положительной производной.
Аналогично мы будем поступать при определении кусочно
гладкой и спрямляемой кривой. В первом случае мы
потребуем, чтобы допустимые замены параметров были
непрерывными и всюду, кроме, быть может, конечного числа
точек, имели непрерывную и положительную производную
(а в исключительных точках имели односторонние
производные). Во втором случае потребуем, чтобы замены
параметров осуществлялись возрастающими абсолютно
непрерывными функциями1).
х) Мы считаем известным, что для спрямляемости пути
необходимо и достаточно, чтобы функция у (t)—x (t)-\-iy (t) имела
ограниченное изменение (т. е. х (() и у (t) были с ограниченным
изменением), а также что суперпозиция у [t (т)], где у (t)— функция с
ограниченным изменением, а / (т) — абсолютно непрерывная функция, также
является функцией с ограниченным изменением. По этому поводу
см. Г. Е. Шилов, цит. на стр. 14.

22
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Ггл. г
Иногда мы будем пользоваться и другой,
геометрической, трактовкой понятия кривой и тогда понимать под
жордановой, гладкой, кусочно гладкой или спрямляемой
кривой множества точек у а С, которые можно представить
как образ отрезка [a, [J] при отображениях z = y(t),
определяющих соответственно жорданов, гладкий и т. д. путь.
4. Области. Определение 1. Областью D
называется множество точек С (или ©), обладающее следующими
двумя свойствами:
а) для любой точки a^D существует окрестность
этой точки, принадлежащая D (открытость);
б) для любых двух точек a, b^D существует
лежащий в D путь с концами а и Ъ (связность).
Точки С, не принадлежащие D, но являющиеся
предельными для ее точек (т. е. такие, что в любой их
окрестности существуют точки, принадлежащие D, и хотя
бы одна точка, не принадлежащая D), называются
граничными точками D. Совокупность всех граничных точек
D называется границей этой области и обозначается
символом 3D. Объединение области D и ее границы dD
совпадает с замыканием D. Точки С, не принадлежащие D
и не являющиеся ее граничными точками (т. е. точки
множества €\D —дополнения к D), называются
внешними точками\ для каждой из них существует
окрестность, не содержащая точек D.
Теорема 1. Граница dD любой области D является
замкнутым множеством.
А Пусть £0 — любая предельная точка множества dD\
надо доказать, что £0^dD. Возьмем произвольную
окрестность U точки t0. В U существует точка £^dD, и,
следовательно, найдется окрестность V точки £, V a U.
В У, а значит и в U, найдутся как точки из D, так и
точки, не принадлежащие D. Это означает, что ^ —
граничная точка D ►
В дальнейшем мы будем иногда вводить на границы
рассматриваемых областей некоторые дополнительные
условия. Чтобы их сформулировать, обобщим введенное
выше понятие связности.
Определение 2. Будем говорить, что множество
М связно, если его нельзя разбить на две непустые части

§ 1]
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
23
М1 и М2 так, что оба пересечения A?iDM2 и М±(]М2
пусты. В частности, замкнутое множество называется
связным, если его нельзя разбить на два непересекающихся
замкнутых (и непустых) подмножества. Замкнутое связное
множество называют континуумом.
Свойство множества, выражаемое условием б) из
определения 1 (возможность соединить любые две точки
множества путем, лежащим на этом множестве), называют
линейной связностью. Можно доказать, что любое
линейно связное множество является связным, но обратное,
вообще говоря, неверно. Однако для случая открытых
множеств эти понятия совпадают1).
Пусть множество М несвязно. Максимальные связные
подмножества М (т. е. не содержащиеся строго ни в
каком другом связном подмножестве М) называются
связными компонентами М. Можно доказать, что любое
множество является объединением связных компонент (в
конечном или бесконечном числе)2).
Мы будем называть область D cz С односвязной, если
ее граница 3D является связным множеством; в
противном случае D называется многосвязной областью. Если
число связных компонент 3D конечно, то это число
называется порядком связности области D\ если число таких
компонент бесконечно, D называется бесконечно связной
областью.
Пример. Множество на рис. 4, а —внутренность лемнискаты —
не является областью, ибо оно несвязно (но замыкание этого множества
связно). Множество точек, лежащих между соприкасающимися
окружностями (рис. 4, б), —односвязная область (ее граница —связное
множество). На рис 4, в изображена четырехсвязная область (ее граница
состоит из четырех связных компонент: окружности, окружности с
отрезком и двух точек). Область на рис. 4, г —квадрат {0<х<1,
0<#<1} с выброшенными отрезками \х = ^> ~q^#^~q|» n=s
= 1, 2, ..., —является бесконечно связной.
Иногда мы будем вводить условия иного рода. Мы
будем называть область D жордановой, если ее граница
дЪ состоит из замкнутых жордановых кривых (в геомет-
!) Доказательство см. С. Сто и л о в, Теория функций
комплексного переменного, т. 1, М., 1962, стр. 31.
2) См. Ф. X а усдорф, Теория множеств, ОНТИ, М. — Л., 1937,
стр. 120.

24
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
рической трактовке этого понятия). Назовем область D
компактной, если существует круг {| г | </?, R < сю},
содержащий D. Будем говорить, что множество М комг
пактно принадлежит области £>, если его замыкание М
(в топологии С, т. е. с учетом не только конечных, но
и бесконечной предельной точки М, если она есть)
принадлежит D.
Пример. Прямоугольник G1~ i | х [< 1, \у\<.~гг\ компактно
принадлежит полосе D= {I у | < 1}, а вдвое более узкая полоса G2 =
= \ l#i <"о4 принадлежит D, но не компактно.
Компактную принадлежность мы будем записывать
символом ш (так что M(^D, если MaD).
Компактность области D означает, что D & С.
Далее будет неоднократно использоваться следующая
Теорема 2. Пусть М а С—связное множество uN —
его непустое подмножество. Если N является
одновременно и замкнутым и открытым в относительной
топологии1) Му то M = N.
2) Относительной топологией множества М а С называется
топология, в которой окрестностями точек являются пересечения с М
окрестностей тех же точек в топологии €.

§ 21 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 25
<« Пусть, от противного, множество N' = M\N
непусто. Замыкание N множества N в топологии С,
очевидно, состоит из точек его замыкания {N)M в топологии
М и некоторого множества (быть может^ пустого), не
принадлежащего М. Поэтому N П N'j= (ЛО^П ЛГ, а так
как N замкнуто в топологии М, то {N)m = N и,
следовательно, N f)N' = N f\N' пусто.
Но так как N и открыто в топологии М, то его
дополнение N' замкнуто в той же топологии (предельные
точки N' не могут принадлежать N в силу открытости
последнего, следовательно, они принадлежат N'). Поэтому
к пересечению N' [\N можно применить_ то же
рассуждение, что и к N[\N\ следовательно, N'[\N пусто. Это
противоречит определению ев язности М ►
§ 2. Функции комплексного переменного
5. Понятие функции. Определение 1. Говорят,
что на множестве М cz С задана функция /, если задан
закон, по которому каждой точке геМ ставится в
соответствие комплексное число w (конечное или
бесконечное); обозначения
/: Af-*C или ш = /(г). (1)
Согласно этому определению всякая функция
однозначна (понятие многозначной функции мы введем
в гл. III). Иногда мы будем еще накладывать условие
взаимной однозначности. Функция /: М -»■ © называется
взаимно однозначной или однолистной, если она
преобразует различные точки гг, г2 е М в различные, иными
словами, если из равенства /(г1)=/(г2) следует
равенство г! = г2 (для zl9 г2еМ).
Задание f равносильно заданию двух
действительных функций
и = и(г), v = v(z), (2)
где и: M->R и v: M-+R (мы полагаем z = x + iy и
/ (г) = и + iv). Если еще / -ф О, Ф оо1), то, полагая
!) Так мы будем писать, если [(г)фО, фоо для всех zsiW.

26 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ I
f (z) = peiyb, мы можем записать эту функцию в виде
двух соотношений:
р-р(г), q = q(z)+2kn (fc = Ot ±1, ...) (3)
(в точках, где / = 0, =оо, функция р = 0 или =оо, а гр
не определена).
Мы постоянно будем пользоваться геометрической
иллюстрацией понятия функции. Задание (2) наводит на
мысль иллюстрировать / в виде двух поверхностей и =
= и(х,у) и v = v(x, у) в трехмерном пространстве;
однако этот способ неудобен, ибо он не иллюстрирует пару
(и, v) как комплексное число. Поэтому ограничимся
представлением о функции f: M -> С как об отображении
множества М в сферу С
Чтобы сделать это представление более наглядным,
будем рисовать множества, соответствующие друг другу
при рассматриваемом отображении. Чаще всего мы будем
рисовать координатные линии (декартовой или полярной
системы координат) и их образы на плоскостях z и w.
Снабдив эти множества числовыми отметками, мы в
простых случаях получим достаточно хорошее
геометрическое представление о функции.
Пример. Функцию
оу = г2 (4)
в верхней полуплоскости {1тг>0} удобно представить в
полярных координатах. Полагая z = rel4 (0 < ф < л) и ш = ре'Ф, мы можем
переписать равенство (4) в виде следующих двух:
Р = Л -ф«2ф (5)
(см. правило умножения комплексных чисел в полярных
координатах, п. 1).
Из (5) видно, что полуокружность {/• = /•(), 0<ф<зх} при
рассматриваемом отображении переходит в окружность с выколотой
точкой {р = г§, 0<я|)<2зх}, а луч {0</-<оо, ф = ф0}—в луч
{0<р<оо, *ф = 2ф0} (рис. 5). Верхняя полуплоскость Re г > О
переходит в плоскость w с выброшенной положительной полуосью.
Удобно представить полуплоскость в виде эластичной пленки,
натянутой на две полуоси (положительную и отрицательную, которые
шарнирно соединены в начале координат) так, что пленка может
свободно скользить по этим полуосям. Тогда преобразование (4)
можно интерпретировать как деформацию пленки, происходящую
оттого, что полуоси складываются друг с другом.
Отображение (4) можно представить и в декартовых
координатах в виде двух равенств:
U = x*-y*, v=*2xy (6)

§ 21 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Н
(полагаем z = x + iy и w^u + iv и в соотношении w = z2 разделяем
действительные и мнимые части). Положив в (6) у = у0, получим
кривую и = х2 — у1> v = 2xy0 (xeR), соответствующую прямой
Рис. 5.
Рис. 6.
у^уОУ-этопараболаи = ~-у1. Лучу {х = х0, 0<у<со}
соответствует дуга параболы
и=.х1-у*, v=^2x[)y ((/eRJ1)
(РИС- 6)' ^ ,л, л
Замечание. Мы рассматривали отображение (4) в верхней
полуплоскости (хотя оно определено всюду в С) потому, что оно
1) Через R+ обозначается совокупность положительных чисел.

28
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ I
однолистно в этой области. Во всей плоскости, или в любой области
D, которая содержит хотя бы одну пару точек г0 и — z0 (г0фО),
переходящих в одну точку ш0 = г§, отображение (4) неоднолистно и
описанные геометрические представления не столь наглядны.
Иногда пользуются другим способом геометрического
представления функции: в пространстве (х, у, р) рисуют
поверхность p = [/(z)j, которая называется поверхностью
модуля или рельефом функции /. На этой поверхности
иногда изображают множества уровня Arg/ = const.
Рис. 7.
В простых случаях эти множества представляют собой
линии, и, имея достаточно густую их сетку, можно
составить представление о распределении значений функции
/ в полярных координатах. На рис. 7 изображена
поверхность модуля для функции w= . а.
Перейдем теперь к основному для анализа понятию
предела функции.
Определение 2. Пусть функция / определена
в проколотой окрестности точки а е С; говорят, что
число ЛбС является ее пределом при г, стремящемся к а,
Шп/(г) = Л, (7)
если для любой окрестности UA точки А найдется такая

§ 21 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 29
проколотая окрестность 1)'а, что для всех z^U'a
значения f(z) принадлежат UА. Иначе, для любого е>0
найдется 6>0 такое, что из неравенства
0<р(г, а)<8 (8)
следует неравенство
р(/(г), Л)<е. (9)
Если я, А т^оо, то (8) и (9) можно заменить
неравенствами 0<|г — я!<6 и |/(г) — Л | <г. Если я = оо,
А Ф сю, то их можно переписать в виде б<|г|<оо,
|/(г) — Л | <е; читатель без труда распишет эти
неравенства и в оставшихся случаях #=^=оо, Л=оо и а =
= А = оо.
Для А Ф оо мы положим f = u-\-iv, A=A1 + iA2 и
легко убедимся в том, что равенство (7) равносильно
двум действительным равенствам
limu(z) = Al9 limv(z) = A2. (10)
z-*a z-+a
Если предположить еще, что А Ф 0, и выбрать
надлежащим образом значения arg/1), то (7) можно переписать
в полярных координатах:
lim |/(г) j = | Л !, Hmarg/(e) = argi4. (10')
Так как принятое определение предела функции
читается в точности так, как такое же определение в
действительном анализе, и алгебраические действия над
комплексными функциями проводятся по тем же законам,
как над действительными, то в комплексный анализ
автоматически переносятся элементарные теоремы о пределах
функции в точке (о пределе суммы и др.) —мы не
останавливаемся на их формулировках и доказательствах.
В некоторых случаях мы будем говорить о пределах
функций по множествам. Пусть дано множество М,
имеющее а своей предельной точкой, и функция /, множество
определения которой содержит М. Мы будем говорить,
х) Здесь и далее символом arg w обозначается одно из
множества Avgw значений комплексного числа w\ тот же символ
применяется и для обозначения функции arg/(z), zeM,

30
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
|ТЛ. I
что / стремится к А при г, стремящемся к а по
множеству УИ, и писать
Пт /(г) = Л, (11)
если для любого е>>0 найдется 6>>0, такое, что для
всех z е М, для которых 0 < р (г, а) < б, справедливо
неравенство р(/(г), Л)<е.
Определение 3. Пусть функция / определена
в некоторой окрестности точки а е С; будем называть ее
непрерывной в точке а, если существует
lim/(z)=/(a); (12)
Z-+CL
если f(a) 9^00, будем говорить о непрерывности в смысле
(D; если /(а) = оо — о непрерывности в смысле С (или
обобщенной непрерывности).
По соображениям, о которых мы только что говорили,
в комплексный анализ автоматически переносятся
элементарные теоремы о функциях, непрерывных в точке
(непрерывность суммы и др.),— непрерывность здесь надо
понимать в смысле С
Можно говорить также о непрерывности в точке а по
множеству М, если а является предельной точкой М и
предел в левой части (12) понимается как предел по
множеству. Функция, непрерывная в каждой точке
множества М (по М), называется непрерывной на М. В
частности, если / непрерывна в каждой точке области D, она
называется непрерывной в области (в этом случае она
непрерывна в каждой точке D в смысле определения 3,
ибо каждая точка z входит в D вместе с некоторой
окрестностью).
Отметим свойства функций, непрерывных (в смысле С)
на замкнутых (в смысле С) множествах К с: С.
1. Любая функция /, непрерывная на множестве /С,
ограничена (т. е. существует постоянная А такая, что
|/(г)|^Л для всех геК).
2. Любая функция /, непрерывная на множестве К,
достигает на К своей верхней и нижней грани (т. е.
существуют точки гь г2е/С такие, что |/ (г) | ^ !/ (г^ !,
I / (z) ! ^ I / fe) I Для всех z<=K).

§ 2] ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 31
3. Любая функция f, непрерывная на множестве /С,
равномерно непрерывна (т. е. для любого е>0
существует б > 0 такое, что | / (zx) — / (z2) | <С 8, коль скоро
гъ z2^K и р(гь г2)<б).
Эти свойства доказываются точно так же, как в
действительном анализе, и поэтому на доказательствах мы не
останавливаемся.
6. Дифференцируемость. Начнем с линейных функций.
Определение 1. Функция /: С->© называется,
соответственно, R-линейной или fc-линейной, если
а) / (zi + z2) = l (*i) +1 (*г) для всех zi» ^2gC
и для всех z e С:
б) l(Xz) = Xl(z) для всех ^eR, или, соответственно,
б') I (Xz) = XI (г) для всех А, е С.
Таким образом, R-линейные функции линейны над полем
действительных чисел, а С-линейные —над полем
комплексных; так как требование б') сильнее б), то С-линей-
ные функции составляют подмножество R-линейных.
Выясним общий вид R-линейных функций. Полагая
z = x-\-iy и пользуясь свойствами а) и б), для любой
R-линейной функции / найдем: / (г) = xl (1) -\-yl (i).
Обозначим /(1) =<х, l(i) = р и заменим а: = у (г + г), г/ = ^ (г —z);
после простых преобразований получим следующий
результат:
Теорема 1. Любая R-линейная функция имеет вид
l(z) = az + bz, (1)
где а = -~ (а — ф) и Ъ = у (а + Ф) — комплексные
постоянные.
Аналогично из равенства z=l-z на основании
свойства б') получается
Теорема 2. Любая ^-линейная функция имеет вид
Цг) = аг, (2)
где а = Z (1) — комплексная постоянная.
Теорема 3. Для того чтобы R-линейная функция
была С-линейнойу необходимо и достаточно выполнение
Условия l(iz) = il(z). (3)
<« Необходимость очевидна. По теореме 1 / (г) = az +
+ Ь2, следовательно, / (iz) = i [az — bz), a il (г) = i {az + ftz);

32 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
если (3) выполняется, то 2bz = 0, откуда Ь = 0, т. е. /
является С-линейной функцией ►
Полагая a = a1 + ia2y b = b1 + ib2, а также z = x + iy,
w — u-\-iv и разделяя действительные и мнимые части,
мы можем переписать R-линейную функцию w = az + bz
в виде двух действительных равенств
и = (аг + bi) х-(а2-Ь2)у, v = (a2 + b2) х + (ах -Ьг) у.
Таким образом, геометрически R-линейная функция
сводится к аффинному преобразованию плоскости с якобианом
j = a\-b\ + a\-b\ = \a\2-\b\2. (4)
При \а\Ф\Ь\ это преобразование невырожденно; оно
преобразует прямые в прямые, параллельные прямые в
параллельные, а квадраты —в параллелограммы. При |а|>|Ь|
оно сохраняет ориентацию, а при |а|<|&| меняет ее1).
Но ©-линейные отображения w = az не могут менять
ориентацию, ибо якобиан такого отображения / = |а|2^0;
они невырожденны при афО. Полагая a = \a\eia и
вспоминая геометрический смысл умножения комплексных
чисел, мы увидим, что невырожденное С-линейное
отображение
w = | а | eiaz (5)
геометрически сводится к растяжению плоскости в \а\
раз и повороту ее на угол a = argtf. Такие отображения
сохраняют углы и квадраты переводят в квадраты.
Иногда комплексной линейной функцией называют
функцию
w = az + b, (6)
где а и Ъ — комплексные постоянные. При я = 0 такая
функция постоянна, а при афО ее можно переписать
в виде w = alz-\—]. Отсюда видно, что отображение,
осуществляемое функцией (6) при афО, сводится к
композиции сдвига г->г-\— и поворота с растяжением
z->az.
х) Говорят, что невырожденное аффинное преобразование
сохраняет ориентацию, если оно сохраняет направление обхода вершин
треугольников.

§ 2] ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 33
Перейдем к понятию дифференцируемости.
Определение 2. Фиксируем точку геС и ее
окрестность U\ функция /: £/->С называется
^-дифференцируемой (соответственно ^-дифференцируемой) в точке г,
если она допускает представление вида
/(z + A)=/(z) + /(A)+o(A), (7)
где / — некоторая R-линейная (соответственно С-линейная)
функция, а о (А) —малая высшего порядка относительно А,
т. е. -^р->0 при А->0. Функция / называется
дифференциалом функции / в точке z и обозначается символом df.
Полагая h = h1 + ih2, мы получим в общем случае
R-дифференцируемости / (A) =Ai/ (1) +А2/ (i). Если в (7)
положить A = Ai, разделить обе части на Ах и перейти
к пределу при Ai->0, мы получим, что
— производной векторной функции f = u-\-iv по
скалярному аргументу х при фиксированном y=Imz (она равна
~ + г'-^-). Аналогично, полагая h = ih2y получим
f(* + ih2) — f(z) _ df _ да ] . dv
л2->о /г2
'(0-Hm^^FOa-g-f + ^.
Таким образом, дифференциал R-дифференцируемой
функции представляется в виде
d/(/0=J^i + f-/*2. (8)
Заменим здесь Ai = -o-(A + A), А2 = -^(А —А) и введем
обозначения
d±-l(*L-i*L\ _£_!/*/ , iJL\. (о)
dz ~ 2\дх ду)> dz ~ 2\дх~г1 ду)> W
тогда из (8) получим
df(h)=§h+§k (10)
2 Б. В. Шабат, ч. I

34
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Ггл. i
Теорема 4. Представление дифференциала R-диффе-
ренцируемой функции f в виде (10) единственно, т. е.
если df (h)=ah-\- bh, то a = -J-, b = -Jr.
< Полагая в равенстве df (h) = ah-{-bh, соответственно,
h=l и h = i9 найдем df (1) = -^ = a + b, df (i) ===-J-==
= i(a-b). Отсюда a = U§- i-g-), » = i(| + 4^-
2 \dx ' dyj' u~ 2 \<dx ^L ду,
Очевидна следующая
Теорема 5. ^.-дифференцируемая в точке z функцияf
является ^-дифференцируемой в том и только в том
случае, когда
!=°- . <">
Если f = u + iv, то по формуле (9) J = у (§ ~ J) +
+ -s- (-3^- + -з^-), поэтому комплексное равенство (И)
можно переписать в виде двух действительных равенств
ди __ dv да dv ,<~ч
дх ду ' ду ~ дх' ^ '
В таком виде условие комплексной дифференцируемости
впервые появилось в работах Ж- Даламбера и Л.
Эйлера и позднее (в более четкой форме) у О. Кош и и
Б. Рима на.
Большая ограничительное^ условия комплексной
дифференцируемости очевидна: в то время как примеры
функций непрерывных, но нигде не дифференцируемых
в действительном смысле строятся с некоторым трудом
(примеры Вейерштрасса или Пеано), нигде не
дифференцируемыми в комплексном смысле оказываются самые
простые функции. Например, функция f(z) =x + 2iy в
комплексном смысле нигде не дифференцируема: для нее
-^-=1, -/- = 2 и условия (12) не выполняются.
Рассмотрим теперь понятие производной, начав с
производной по направлению. Фиксируем опять точку г^С,
ее окрестность U и функцию /: £/->С Если положить
h = \h\eiQ, то из формул (7) и (10) мы получим
Af^f(z + h)-f(z) = -§-\h\e!4§\h\el^o(h),

§2]
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
35
где о (ft) —малая высшего порядка по сравнению с ft.
Деля обе части на ft и переходя к пределу при ft->0 и
argft = 0 = const, получим производную f в точке z по
направлению 0:
h Я? '
. = urn
d*Q a-+o
arg A = 0
dz
dz
-2/0
(13)
Из этой формулы видно, что при фиксированных f и
г и при изменении 0 от 0 до 2л точка -^- дваждых)
описывает окружность с цент-
ром ~ и радиусом
df
dz
годограф производных по
направлениям (рис. 8).
Таким образом, если
df _ZA
-^0, то производная по
dz
df
Рис. 8.
направлению •— зависит от
направления 0 и лишь при
-—- = 0, т. е. в случае С-диф-
ференцируемости функции / в точке г, производная по
всем направлениям одинакова.
Ясно, что в этом и только этом случае существует
производная функции / в точке г, по определению равная
Г(г) = \шЦ-,
А—О П
(14)
где предел берется в смысле топологии © (т. е. под
окрестностями в определении предела понимаются обычные
круговые окрестности — предел не зависит от способа
приближения ft к 0). Ясно также, что если /' (z) существует,
то она равна -j-. Доказана
Теорема 6. Для существования производной функции f
в точке z необходима и достаточна €-дифференцируе-
мостъ f в этой точке,
А Приведем прямое доказательство этого предложения,
независимое от формулы (13).
1) Очевидно, производные в направлениях б и fi-j-я одинаковы.
2*

36
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
а) Необходимость. Если f (г) существует, то по
определению предела -/ = /'(z) + a(A), где a(/i)->0 при
ft->0. Отсюда Af = f,(h)h + o(h)y где o(h) =ha(h) — малая
высшего порядка относительно /i, т. е. / дифференцируема
в точке z и df = f'(z)h. Согласно теореме 4 мы имеем
/' (z) = -J-, a -р = 0 —-это означает С-дифференцируемость
f в точке z.
б) Достаточность. С-дифференцируемость/в точке
z означает, что А/ = —■ h-\-o {h), так как --7Г^->0 при
/г->0, то существует lim ~~ = -/-, т. е. производная функ-
h-+o п ог
ции / в точке z ►
Мы видим, что определение производной функции
комплексного переменного такое же, как в
действительном анализе, правила арифметических действий и теоремы
о пределах также распространяются в комплексную
область. Поэтому в комплексный анализ без всяких
изменений переносятся элементарные правила
дифференцирования (производные суммы, произведения, частного,
сложной и обратной функции); мы не останавливаемся на их
формулировках и доказательствах.
Приведем еще замечание, полезное для вычислений.
Так как производная функции f = u-\-iv, если она
существует, не зависит от направления, то ее можно
вычислять в направлении оси х\ мы получаем
Мы убедились в естественности понятия С-дифферен-
цируемости. Однако, как будет видно из дальнейшего,
С-дифференцируемость в одной лишь точке недостаточна
для построения содержательной теории. Поэтому мы будем
требовать С-дифференцируемость не в одной точке, а во
всех близких точках и примем следующее
Определение 3. Функция / называется
голоморфной (или аналитической) в точке zgC, если она С-диф-
ференцируема в некоторой окрестности этой точки.
Пример. Функция f (г) = | г |2 = zz, очевидно, IR-дифференци-
руема во всех точках С. Но -ф- = г равна 0 лишь при г = 0, поэтому

§ 2] ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 37
наша функция С-дифференцируема лишь в точке г=0.
Следовательно, она не является голоморфной в этой точке.
Множество функций, голоморфных в точке z (каждая
из них С-дифференцируема в своей окрестности)
обозначается символом 0г. Сумма и произведение функций из
©г также принадлежит ©г, поэтому это множество можно
рассматривать как кольцо. Заметим, что частное f/g двух
функций из ©г может не принадлежать @гл если g(z) = 0.
Функции, С-дифференцируемые во всех точках
открытого множества DcC, будут, очевидно, и голоморфными
во всех точках D. Мы назовем эти функции голоморфными
в D и их совокупность обозначим символом © (£>);
множество © (D) также является кольцом. Под
голоморфностью функции на произвольном множестве М cz С мы
будем понимать возможность продолжить эту функцию
на некоторое открытое множество D =э М до голоморфной
в D функции.
Наконец, мы будем говорить, что функция / голоморфна
в бесконечной точке, если функция g(г) =«/(—] голоморфна
в точке z = 0. Это определение позволяет рассматривать
функции, голоморфные на множествах замкнутой
плоскости С Заметим, что определение производной в
бесконечной точке теряет смысл.
7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретации.
Дифференциалы R-дифференцируемой и, соответственно,
^-дифференцируемой в точке геС функции / имеют вид
df = §dz + §dz, df = f'{z)dz (1)
(см. предыдущий пункт; мы здесь обозначили h = dz).
Так как якобиан отображения определяется его
дифференциалом (т. е. аффинным преобразованием), то по
формуле (4) предыдущего пункта, якобианы R-дифференци-
руемого и, соответственно, С-дифференцируемого
отображения / в точке z равны
JfW = \w\ -\%\> '/(*) = !/'(*)!«. (2)
Предположим, что функция / является
R-дифференцируемой в окрестности точки z и что г не является
критической точкой /, т. е. Jf (г) Ф 0. По теореме о неявных

38
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Ггл. т
функциях из действительного анализа отсюда следует
локальная гомеоморфность отображения /, т. е.
существование окрестности (/эг, которую / взаимно однозначно
и взаимно непрерывно преобразует в окрестность точки
/(г). Как видно из формул (2), в общем случае R-диффе-
ренцируемости якобиан Jf может иметь любой знак, т. е.
/ может как сохранять, так и менять ориентацию. Для
отображений же (D-дифференцируемых критические точки
совпадают с точками, в которых производная обращается
в 0, а в некритических точках такие отображения всегда
сохраняют ориентацию: Jf (г) = | /' (г) |2 > 0.
Далее, R-дифференцируемое в точке z e С
отображение / называется конформным в точке г, если г
—некритическая точка / и дифференциал df в этой точке сводится
к растяжению с поворотом. Дифференциал конформного
отображения, следовательно, сохраняет ориентацию и
переводит фигуры в подобные им (в частности, сохраняет
углы). Если отображение /:£>->€ конформно в каждой
точке области DczC, то оно называется конформным ото-
бражением области D.
Теорема 1. Пусть z — некритическая точка
^-дифференцируемого отображения f. Для конформности f
в точке z необходима и достаточна его G-дифференцируе-
мостъ в этой точке.
< Достаточность очевидна: если / является С-диффе-
ренцируемым в некритической точке г, то df = ff (z)h
сводится к растяжению в |/'(г)| раз и повороту на угол
arg/'(z).
Для доказательства необходимости возьмем два
вектора h=l и h~i\ второй получается из первого
поворотом на прямой угол против часовой стрелки.
Дифференциал df(h) = -~h-\--~h преобразует эти векторы
соответственно в d/(l) = -|£ + |L и d/(O = i(^--|0.
В силу конформности df(i) также должен получаться из
df{\) поворотом на прямой угол против часовой стрелки,
следовательно, df (i) = i df (1), а согласно теореме 3
предыдущего пункта это означает С-линейность df ►
Итак, комплексная дифференцируемость отображения
в некритической точке геометрически означает его кон-
формность в этой точке. Для конформности отображе-

§ 21 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 39
ния f в области D необходима и достаточна
голоморфность f в области D и отсутствие в D критических точек
этого отображения.
Замечание. Если дифференциал R-дифференцируе-
мого отображения / в некритической точке z преобразует
фигуры в подобные, но меняет ориентацию, то /
называется конформным отображением второго рода, или
антиконформным в точке г, и условие антиконформности /
в некритической точке имеет вид -^- = 0. Функция /
называется антиголоморфной в точке г, если она R-диф-
ференцируема в некоторой окрестности точки г и во всех
точках этой окрестности -^- = 0. Очевидно, что функция
f = u-\-iv антиголоморфна в точке z в том и только в том
случае, когда f = u — iv голоморфна в этой точке.
До сих пор мы рассматривали дифференциалы
отображений. Изучим теперь, как влияет конформность на
свойства самого отображения. Предположим, что /
конформно в некоторой окрестности U точки z и что
производная f непрерывна в U1). Рассмотрим гладкий путь
у: / = [0, 1]->/У с началом в точке z (т. е. у' (/)=^=0 и
непрерывна для всех / е / и у (0) =г). Его образ y^=foy;
/->/(£/) также будет гладким путем, ибо по правилу
дифференцирования сложных функций
т;«=/'[т(0]-т'(0. 'е/, (3)
причем, по условию, f непрерывна и отлична от 0 всюду в U.
Геометрически у' (t) = х (/) + ij/ (t) представляет собой
касательный вектор к у в точке y(t), причем \у' (t)\dt =
= У х2 +j>2 dt = ds — дифференциал длины у в той же точке;
аналогично, | у* (t) \ dt = ds* — дифференциал длины у#
в точке у* (t). Поэтому из соотношения (3) при £ = 0 мы
заключаем, что \vf (ОМ d* 2\
I у (г\ | = 1 V» ^ I = ^* ) (Л\
I' 1 Л 1740)1 ds ' W
х) Скоро мы увидим, что второе условие выполняется
автоматически: из существования /' во всех точках U следует ее непрерывность.
Более того, из этого следует существование и непрерывность в U
частных производных / всех порядков!
2) Как известно, для гладких дуг -г^-— ^1т —г*-, где As —длина
CIS As —> 0 As
дуги у, a As^—длина соответствующей дуги у%.

40
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
|ТЛ. I
т. е. что модуль производной /' (z) геометрически означает
коэффициент растяжения длины дуг в точке z при
отображении /.
Здесь левая часть не зависит от выбора у, если у (0) = z\
следовательно, в наших условиях все дуги в точке z
растягиваются одинаково. Поэтому конформное
отображение f обладает так называемым круговым свойством:
оно переводит малые окружности с центром в точке z
в кривые, отличающиеся от окружности с центром в / (z)
на малые высшего порядка (рис. 9).
Рис. 9.
Далее, из того же соотношения (3) при t = 0 следует, что
*rgf' (z) = argy't(0)-argy' (0), (5)
т. е. что аргумент производной /' (z) геометрически означает
угол поворота касательных к дугам в точке z при
отображении f.
Левая часть здесь также не зависит от выбора у, если
Y(0) = z, т. е. все такие дуги поворачиваются на один
угол. Поэтому конформное отображение / обладает
свойством сохранения углов: угол между любыми двумя
дугамих) в точке z равен углу между их образами в точке
f (z) (см. рис. 9).
Замечание. Если отображение/ голоморфно в точке г,
но эта точка критическая, т. е. f'(z)=0, то круговое
свойство остается справедливым в вырожденной форме:
1) Под углом между гладкими дугами, пересекающимися в точке г,
понимается угол между касательными к ним в этой точке.

§ 21 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 41
коэффициент растяжения всех дуг в точке г равен 0.
Свойство сохранения углов нарушается вовсе: например,
при отображении z-+z2 угол между лучами argz = alf
argz = a2 в точке z = 0 удваивается! Более того, в
критической точке может нарушиться гладкость дуг: например,
гладкая кривая у (/)=/ + it2, t<=[— l, 1] при том же
отображении г->г2 переходит в кривую у% (t) = ^2 (1— /2) +
+ 2its с острием в точке у* (0) = 0 (мы воспользовались
формулами (6) п. 5).
Выясним теперь гидродинамический смысл комплексной
дифференцируемости и производной. Рассмотрим
установившееся плоско параллельное течение жидкости. Это означает,
что векторы скорости v этого течения не зависят от
времени и одинаковы во всех точках каждого перпендикуляра
к некоторой плоскости,
которую мы примем за
плоскость комплексного
переменного z=x + iy
(рис. 10). Таким образом,
наше поле полностью
описывается плоским
векторным полем
v = v±(x, y) + iv2{x, у).
(6)
Рис. 10.
Предположим, что в
окрестности U некоторой
точки г0 функции vx и v2 обладают непрерывными
частными производными. Кроме того, будем считать, что в
этой окрестности поле (9) потенциально, т. е.
rot v = -^г- — -а1 = 0 х),
дх ду ''
и соленоидально, т. е.
(7)
(8)
(равенства (7) и (8) справедливы для всех точек U).
Из условия потенциальности (7) следует, что в
окрестности U дифференциальная форма vx dx-\-v2 dy является
х) Для плоского векторного поля rot v можно считать скаляром,
ср. сноску на стр. 10.

42 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
точным дифференциалом некоторой функции ср, которая
называется потенциальной функцией поля. Таким образом,
в U имеем
„ _?Ф „ _?Ф (Q)
Vl-dx> V*~dy W
или, в векторной записи, u = gradq).
Из условия соленоидальности (8) следует, что и форма
— v2 dx + Vx dy является точным дифференциалом некоторой
функции я|э, так что в U имеем
—-& ».-!• <|0>
На линии уровня функции t|? имеем dty = — v2 dx-\-Vx dy = 0,
т. е. -~- = ~> откуда видно, что эта линия является
векторной линией поля v, т. е. линией тока (траекторией частиц
жидкости). Поэтому i|? называется функцией тока.
Построим теперь комплексную функцию
/ = Ф + ^, (И)
которая называется комплексным потенциалом поля.
Сравнивая соотношения (9) и (10), мы видим, что в U
выполняются условия
дх ~~~ ду ' ду ~~~ дх9 ^
Они совпадают с условиями комплексной
дифференцируемое™ (12) из п. 6 и, следовательно, показывают, что
комплексный потенциал / является функцией, голоморфной
в точке г0.
Обратно, пусть функция / = Ф + гф голоморфна в
окрестности U точки г, а функции ср и t|? имеют в U
непрерывные производные второго порядка1). Построим в U
векторное поле v = gvad(p = ~- + i^-. Оно потенциально
в /У, ибо rot v = gfl }Гдх~ 0» и соленоидально, ибо
d[YV = dx^ + ^ = dx^y-wk=0 <мы воспользовались
уравнениями (12)). Комплексным потенциалом этого поля
является, очевидно, заданная функция /.
х) Второг условие автоматически вытекает из первого, см. сноску
на стр. 39.

§21
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
43
Таким образом, голоморфность функции f означает,
что эту функцию можно трактовать как комплексный
потенциал плоскопараллельного установившегося течения
жидкости, потенциального и соленоидального.
Нетрудно выяснить и гидродинамический смысл
производной: из 9) и (10) имеем
(13)
т. е. производная комплексного потенциала представляет
собой вектор, комплексно сопряоюенный вектору скорости
течения. Критические точки f — это точки, в которых
скорость течения равна 0.
Пример. Найдем комплексный потенциал бесконечно глубокого
течения над плоским дном, обтекающего препятствие высотой h,
Рис. 11.
перпендикулярное к дну. Это плоскопараллельное течение
описывается течением в верхней полуплоскости, обтекающим отрезок длины /г,
который без ограничения общности можно считать лежащим на
мнимой оси.
Течение, таким образом, рассматривается в области D, граница 3D
которой состоит из действительной оси и отрезка [0, Иг] мнимой оси
(рис. 11). Эта граница должна быть линией тока; мы примем ее за
линию ф = 0 и будем считать, что всюду в D функция ф>0. Для
отыскания комплексного потенциала ф + гф достаточно, следовательно,
найти конформное отображение D на верхнюю полуплоскость {ф>0}.
Одну из функций, реализующих такое отображение, можно
получить следующим образом. Отображение z± = z2 переводит D в плоскость
с вырезанным лучом ReZi^z—/г2, 1тг1 = 0 (см. пример в п. 5).
Отображение г2 = г! + /г2 сдвигает этот луч в положительную полуось
Rez2^0, lmz2 = 0. Если мы возьмем теперь отображение, обратное
к возведению в квадрат:
t-arg22
которое однозначно определено условием 0 < arg г2 <2зх, то в качестве
образа плоскости г2 с вырезанной положительной полуосью мы

44 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
получим верхнюю полуплоскость. Остается взять композицию
рассмотренных отображений
ш = У> + /г2, (14)
и мы получим искомое отображение.
Уравнение линий тока при этом течении мы получим, отделяя
действительные и мнимые части в соотношении (ф + гф)2 = (х + iy)2 -f /г2;
для линии if=ifo будем иметь
"-*У1+-£щ (15)
соответствие линий тока изображено на рис. 11). Величина скорости
рассматриваемого течения
' ' ' \г\
v
dw
dz
V'\z2 + h2\
в бесконечности она равна 1; точка 2 = 0— критическая точка течения.
Можно доказать, что общий вид решений рассматриваемой задачи
f(z)^VooVzTT^1 (16)
где Уоо> 0 —скорость течения в бесконечности. Подробнее о
применении конформных отображений в гидродинамике см., например,
книги М. А. Лаврентьева и автора *).
§ 3. Свойства дробно-линейных функций
Переходим к изучению некоторых простейших классов
голоморфных функций комлексного переменного.
8. Дробно-линейные функции определяются
соотношением
w=^£2> ad-ЬсфО, (1)
где а, Ь, с, d — фиксированные комплексные числа, а г —
комплексное переменное; условие ad —be Ф 0
накладывается для того, чтобы исключить случай вырождения
в постоянную (при ad — bc = 0 числитель (1)
пропорционален знаменателю). При с = 0 непременно d=^=0 и
функция (1) принимает вид
т. е. обращается в линейную функцию (см. п. 6).
х) М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат, 1) Методы теории
функций комплексного переменного, «Наука», 1973; 2) Проблемы
гидродинамики и их математические модели, «Наука», 1973.

§ 3] СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ 45
Функция (1) определена для всех гф , оо (если
сфО; при с = 0 она определена для всех конечных z). Мы
определим ее в этих исключительных точках, положив
ш = оо при z = и w = ~- при z = oo (в случае с = 0
достаточно положить w=oo при г=оо). Теперь справедлива
Теорема 1. Дробно-линейная функция (1)
осуществляет гомеоморфное (т. е. взаимно однозначное и непрерывное)
отображение С на С.
^ Предполагаем, что с Ф 0, — упрощения в случае с=0
очевидны. Функция (1) определена (однозначно) всюду
в С; решая уравнение (1) относительно z:
мы видим, что каждому хюф—, со соответствует
определенное г, а в силу принятого выше условия точке w = —
отвечает г = оо и до = оо — точка г = -.Следовательно,
(1) взаимно однозначно отображает С на С, остается
доказать непрерывность. Но при гф , оо непрерывность
функции (1) очевидна; непрерывность в этих точках
следует из того, что
Vtm az + b v az + b a
lim —г—j = oo, lim—r-7 = —►
d cz + d z_^^cz + d с
с
Мы хотим теперь доказать, что отображение (1)
сохраняет углы во всех точках С Для гф , оо это следует
из того, что в этих точках существует производная
dw ad — be
dz (cz + rf)2
-Ф0
(см. п. 7). Чтобы установить то же свойство для
исключительных точек (из которых обе связаны с бесконечностью:
одна сама бесконечна, а у другой образ бесконечен), надо
ввести понятие угла в бесконечной точке.

46 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ I
Определение. Под углом в точке г = оо между
двумя путями Yx и у2 (проходящими через оо и такими,
что их сферические изображения имеют касательную
в северном полюсе) понимается угол между образами Тг
и Г2 этих путей при отображении
z^\ = Z (3)
в точке Z = 0.
Для тех читателей, которые не удовлетворены этим формальным
определением, мы сообщим геометрические соображения, приводящие
к нему. Прежде всего докажем, что стереографическая проекция
C->-S\N представляет собой конформное отображение1).
Рассмотрим в плоскости С гладкий путь y(t)=x(t)-\-iy(t),
t s [a, P] и по формулам (14) п. 1 найдем путь на S, соответствующий
ему при стереографической проекции:
_2*«_ _ 2y(Q |г«)Р-1
У ■ е- i + |z(0|* ' ч~1 + |г(/)|«' 6~1 + |г(012' l ' PJ" ()
Путь у*, очевидно, также гладкий, и для квадрата дис[
циала его длины da из (4) получаем
do* = dV + dq» + d?= 4((^ + ffl, (5)
ИЛИ
dff=T+FP (6)
где | dz | — Ydx2 -\-dy2 — соответствующий дифференциал длины у (ср.
с формулой (17) из п. 1).
Переменные х и у можно принять за координаты на сфере с
выколотым северным полюсом S\/V; тогда (5) будет служить первой
квадратичной формой на этой поверхности. При этом в стандартных
обозначениях (в которых do2 = Edx2-\-2Fdxdy-\-G dy2) мы будем иметь
£-°-(Т+1Трр f=°' (7)
откуда и следует конформность стереографической проекции2).
х) Под конформностью здесь понимается свойство сохранения углов.
2) В самом деле, угол а между гладкими путями Yi, Уъ е С
определ г г гея по формуле
C0S a = \dzj\dz2\ {dXl d4+dyi dyi)'
а угол между их образами на S — по известной из геометрии формуле
cos а* = ^~^— {В dxx dx2 + F (dx1 dy2 + jf^ d*2) + G dy, dy2};
из формул (7) и (6) видно, что в нашем случае cos a* = cos ос, т. е.

§ 3] СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ 47
Учитывая доказанное, определим угол между путями уи 72е^
в точке г = оо как угол между сферическими образами yf, у'£ этих путей
в северном полюсе TV (предполагается, что y'f и у'£ имеют в точке N
касательные). Этому определению можно придать более удобную форму.
Для этого заметим, что преобразованию (3) соответствует вращение
сферы. (В самом деле, как видно из формулы (17) п. 1, при этом
преобразовании сохраняются сферические расстояния:
p(Zb Z2) = p(elf z2),
а точки S, соответствующие г=± 1, —они диаметрально
противоположны—остаются неподвижными.) Поэтому угол в точке N между
путями yf и у% равен углу в точке О между путями Tf и Г|, в
которые переходят yf и у$ при этом вращении. Но в силу конформности
стереографической проекции этот угол равен углу в точке Z = 0 между
путями Г*! и Г2, в которые переходят уг и у2 при отображении (3).
Таким образом, мы приходим к принятому выше определению
Теорема 2. Дробно-линейное отображение (1)
конформно1) во всех точках С.
^ Для неисключительных точек теорема уже доказана.
^ " d
Пусть Yi и Т'2—Два пути, проходящие через точку г =
и пересекающиеся в этой точке под углом а
(предполагается, что пути имеют касательные в этой точке). Угол
между их образами у* и у* при отображении (1) в точке
d
w = co, соответствующей z = , по определению равен
углу между образами Г* и Г| путей у* и у.* ПРИ отобра-
ражении W=— в точке W = 0. Но
az + by
и, следовательно, Г* и Rf можно рассматривать как
образы Yi и 72 ПРИ этом отображении. Так как производная
dW be —ad
dz ~~ (az + b)2
в точке z = существует и отлична от нуля, то угол
между Г* и Г| в точке W = 0 равен а. Для точки г = ■
теорема доказана. Чтобы доказать ее для точки z = oo,
достаточно применить то же рассуждение к функции (2),
обратной к (1) ^
*) Под конформностью в бесконечной точке понимается свойство
сохранения углов.

43 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. I
Мы хотим теперь доказать, что совокупность дробно-
линейных отображений— мы обозначим эту совокупность
через Л —можно рассматривать как группу. Пусть даны
два дробно-линейных отображения:
Ll'' z^%l+dl' &А-Ь2с2фО;
их произведением мы назовем композицию отображений Lx
и L2, т. е. отображение
L: г-^Li-La (г).
Отображение L, очевидно, дробно-линейно,
L: w = —nS
(ибо подстановка в выражение Ьг вместо г дробно-линейной
функции снова приводит к дробно-линейной функции),
и притом ad — ЬсфО1) (ибо L преобразует С на С, а не
вырождается в постоянную).
Проверим выполнение групповых аксиом.
а) Ассоциативность: для любых трех отображений
Lj, L2, L3eA имеем
L1.(L2.Ls) = (L1.La).Ls. (8)
В самом деле, обе части (8) представляют собой дробно-
линейное отображение Ьг {L2 [L3 (г)]}.
!) Если ввести однородные координаты, положив г = — и до =
то преобразование (1) можно переписать в виде wl = az1-\-bz2,
w2 = cz1~\-dz2 или, матрично,
\wj~~\c d)\z2)'
Поэтому для композиции L = L1oL2 мы имеем
ad — bc = (а^± — b^) (a2d2 — b2c2),
что дает аналитическое доказательство утверждения.
Мы видим, что дробно-линейные преобразования являются
проективными преобразованиями комплексной проективной прямой СР1,
с которой можно отождествить расширенную плоскость С.

§ 3] СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ 49
б) Существование единицы. Единицей, очевидно,
служит тождественное отображение
Е: z->z. (9)
в) Существование обратного элемента: для
любого LgA существует отображение L-1eA такое, что
Lr1'L = LoLr1 = E. (10)
В самом деле, обратным элементом для отображения (1)
служит обратное к нему отображение (2).
Доказана
Теорема 3. Совокупность А всех дробно-линейных
отображений образует группу, если в качестве групповой
операции рассматривать композицию отображений.
Замечание. Группа Л не коммутативна: пусть,
например, L±: z-^z+1, L2: z-> —; тогда L±oL2: z->—\-l,
a L2oL1: z->- . ^ .
9. Геометрические свойства. Приведем два
элементарно-геометрических свойства дробно-линейных
отображений. Для формулировки первого из них условимся
называть окружностью на С любую окружность или прямую
на комплексной плоскости (при стереографической
проекции и тем и другим соответствуют окружности на сфере
Римана); окружности в собственном смысле будем
называть окружностями на С Имеет место
Теорема 1. Произвольное дробно-линейное
отображение преобразует любую окружность на С тоже в
окружность на С (круговое свойство дробно-линейных
отображений).
< Для случая линейных отображений (с = 0)
утверждение очевидно, ибо такие отображения сводятся к
растяжению с поворотом и сдвигу. Если сФ0, то
отображение можно переписать в виде
Г- г v a ad~bc -/11 В (\)
L' z~* с c(cz + d) "л+ z + C (l)
и, следовательно, представить как композицию трех
отображений:
L±: z-+A + Bzy L2: г->4". Ls' г-^z + C

50 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ |ТЛ. I
(L = L1°Lz°Lz). Отображения Lx (растяжение с
поворотом и сдвиг) и L3 (сдвиг), очевидно, сохраняют
окружности на С Остается доказать это свойство для
отображения 1
U. г-+\. (2)
Для доказательства заметим, что любую окружность
на С можно записать уравнением
Eix' + y^+F.x + F.y + G^O, (3)
где, быть может, £ = 0, и обратно, любое такое
уравнение изображает окружность на С, быть может,
вырождающуюся в точку или пустое множество1). Переходя
к комплексным переменным z = x-\-iy и z = x — iy> т. е.
полагая в (3) x = -^(z + z)t y = -^(z — z)i мы
переписываем это уравнение в виде
Ez2 + Fz + Fz + G = 0, (4)
где положено F = -^ (F± — iF2), F = у (F± -f iF2).
Чтобы получить уравнение образа окружности (4) при
отображении (2), достаточно положить в (4) z = ~; мы
получим
Е -f Fw -f Fw + Gww = 0, (5)
т. е. уравнение того же вида, что и (4). Случаи
вырождения в точку или пустое множество исключены
свойством взаимной однозначности дробно-линейных
отображений; следовательно, рассматриваемый образ является
окружностью на (D ►
Мы видели выше, что произвольная голоморфная
функция f в некритической точке z с точностью до малых
высшего порядка преобразует бесконечно малые
окружности с центром в точке z0 в окружности с центром f(z0).
Теорема 1 утверждает, что дробно-линейные функции
точно преобразуют любые окружности на С в окруж-
х) Мы исключаем случай Е •■= Гг = F2 = G = 0.

§ 3] СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ 51
ности. Легко, однако, видеть на самых простых
примерах, что центр окружности, вообще говоря, не переходит
в центр.
Для формулировки второго геометрического свойства
дробно-линейных отображений введем
Определение. Точки гиг* будем называть сим-
метричными относительно окружности Г на С, если они
лежат на одном луче с вершиной в центре Г так, что
произведение их расстояний до центра равно квадрату
радиуса Г.
Имеем arg (г* — г0) = arg (г — г0) и | г* — г011 г — z0 | = R2
(г0 —центр, R — радиус Г), и, следовательно,
симметричные относительно Г точки связаны
соотношением
Из рис. 12 ясен способ
построения симметричных точек: если г
лежит внутри Г, то достаточно
из z провести перпендикуляр к
лучу z0z до пересечения с Г в
точке £, а из £ — касательную к Г Рис. 12.
до пересечения с лучом в точке г*;
если г лежит вне Г, построение производится в обратном
порядке (доказательство следует из подобия
прямоугольных треугольников z0z£ и г0£г*).
Легко устанавливается также следующее свойство,
характеризующее симметричные точки:
(*) Для того чтобы точки z и г* были
симметричными относительно окружности Г, необходимо и
достаточно, чтобы любая окружность у на С, через них про-
ходяьцая, была ортогональной Г.
В самом деле, если z и 2* симметричны относительно Г,
а у — любая окружность, через них проходящая, то
квадрат длины касательной к у из точки г0 по известной
элементарно-геометрической теореме равен произведению
секущей |г0 —г* I на ее внешнюю часть |г0 — z\ (рис. 13),
т. е. равен R2\ таким образом, касательная к у из z0
является радиусом Г, и эти окружности ортогональны
(если у — прямая, то она проходит через z0 и,
следовательно, ортогональна к Г). Обратно, если любая окруж-

52
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
ность у на С, проходящая через гиг*, ортогональна
к Г (и, в частности, прямая гг*), то, во-первых, точки
г и' г* лежат на одном луче с вершиной г0 и, во-вторых,
произведение их расстояний до г0 (по той же
элементарно-геометрической теореме) равно R2; следовательно,
гиг* симметричны относительно Г.
Свойство (*) позволяет переформулировать
определение симметричных точек так, чтобы его можно было
применять к окружностям на С: точки гиг* называются
симметричными относительно
окружности Г на С, если
любая окружность 7> через них
проходящая, ортогональна
к Г. Очевидно, что в случае,
когда Г представляет собой
прямую, это определение
совпадает с обычным.
Отображение г -> г*,
переводящее каждую точку г е С
в точку г*, симметричную
с г относительно Г, называется симметрией относительно
этой окружности или инверсией.
Инверсия относительно окружности на С, как видно из
(6), осуществляется функцией, сопряженной к
дробно-линейной функции. На основании теоремы 2 предыдущего
пункта отсюда следует, что инверсия является
антиконформным отображением всюду в С.
(Для случая инверсии относительно прямой это
утверждение очевидно: сдвигом и поворотом переведем
эту прямую в действительную ось, а тогда инверсия
сведется к отображению г->г.)
Теперь желаемое свойство дробно-линейных
отображений получается совсем просто:
Теорема 2. Произвольное дробно-линейное
отображение L преобразует любые точки z и г*, симметричные
относительно какой-либо окружности Г на С, в точки w
и до*, симметричные относительно образа L(T) этой
окружности (свойство сохранения
симметричных точек).

§ 3] СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ 53
< Рассмотрим семейство {у} всех окружностей на С,
проходящих через точки z и 2*; эти окружности
ортогональны к Г. По теореме 1 окружности у преобразуются
также в окружности L (у) на С, причем в силу
конформности L все окружности L (у) ортогональны к L (Г). Отсюда
следует, что точки шиш*, через которые проходят все
L(y), симметричны относительно L (Г)х) ►
10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы.
В формулу дробно-линейного отображения
L: w = —-f-j- (l)
cz + d w
входят четыре комплексных коэффициента я, &, с и d.
Однако на самом деле отображение зависит от трех
комплексных параметров, ибо числитель и знаменатель
дроби можно поделить на один из не равных нулю
коэффициентов. Поэтому естественно ожидать, что при помощи
дробно-линейного отображения можно единственным
образом преобразовать три заданные точки в три заданные.
Имеет место
Теорема I. Каковы бы ни были три различные
точки г1у г2, г3еС и три различные точки wlt w2, w3 e
еС, существует^ и притом только одно,
дробно-линейное отображение L, L(zk) = wki &=1, 2, 3.
< Существование отображения L доказывается легко:
строим дробно-линейные отображения Lx и L2,
преобразующие zlt г2, z3 и wl9 до2> ^з соответственно в точки 0,
оо, 1 плоскости £:
z-
отображение
L - Г= z~zi . гз — z2 ^ u о __ до — Ш! ^ до3 — до2 . /o\
1# * г — z2 " z3 — zx ' 2* * до —до2' w3 — wl ' ^ '
L = L?°LU (3)
•но-
(4)
которое определяется как функция до = w (z) из
соотношения
z — Zi z3 —г2 ю —o^ до3—до2
г3 — zx до —до2
х) Заметим, что всякая окружность, проходящая через до и до*,
ортогональная L (Г), является образом некоторой окружности из
семейства, {у}.

54
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Ггл I
и есть искомое. В самом деле, оно, очевидно, дробно-
линейное и преобразует точки zk в wk (&=1, 2, 3).
Докажем единственность этого отображения. Пусть X,
X(zk) = wk (k=l, 2, 3), будет какое-либо
дробно-линейное отображение. Рассмотрим отображение \i = L2°X ^Г1,
где Li и L2 определяются по формулам (2); очевидно,
[х будет дробно-линейным отображением, оставляющим
точки 0, оо и 1 неподвижными. Из условия li(oc) = oo
следует, что (я —целая линейная функция: li (£) = а£-(-|3;
но из условия (я(0) = 0 получаем, что (3 = 0, а из ц (1) =
= 1 — что а = 1. Таким образом, li (£) = £, т. е. L2 ° ^° ^Г1 =
= £\ откуда по групповым законам получаем, что ^ =
= L2leLx или, согласно (3), Я = 1 ^
Замечание. Каждая точка zk и доА входит в
соотношение (4) дважды, один раз в числителе, другой —
в знаменателе. Читатель может убедиться в том, что это
соотношение сохраняет силу, когда одна из точек zk или
wk (или одна zk и одна wk) является бесконечной: нужно
только числитель и знаменатель дроби, где появляется
эта точка, заменить единицей. Например, в случае z1 =
— w3 = oo формула принимает вид
1 2з—*2 w — wi 1
__ . _ _ W—W2 " Т'
Таким образом, теорема 1 сохраняет силу для точек
замкнутой плоскости.
На основании доказанной теоремы и кругового
свойства (п. 9) можно утверждать, что любую окружность Г
на С можно преобразовать дробно-линейным
отображением в любую другую окружность Г* (достаточно
перевести три точки Г в три точки Г* и воспользоваться
круговым свойством). Из топологических соображений
ясно, что круг В, ограниченный Г, переходит при этом
в один из двух кругов, ограниченных Г* (чтобы узнать
в какой, достаточно выяснить, куда переходит какая-
либо точка 20g£), Отсюда легко вывести, что любой
круг В cz С можно дробно-линейным преобразованием
отобразить на любой другой круг В* cz С
Дробно-линейное отображение области D на D* мы
будем называть дробно-линейным изоморфизмом, а
области D и D*, для которых такой изоморфизм существует, —

§ 3] СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ 55
дробно-линейно изоморфными. Только что высказанное
утверждение можно сформулировать так.
Теорема 2. Любые два круга на замкнутой
плоскости дробно-линейно изоморфны.
Найдем для примера все такие изоморфизмы верхней
полуплоскости {1тг>0} на единичный круг {|до|<1}.
Использование теоремы 1 привело бы к некрасивой
формуле, поэтому будем поступать иначе. Фиксируем точку а,
1та>0, которая переходит в центр круга w = Q. Точка а,
симметричная а относительно действительной оси, по
теореме 2 предыдущего пункта должна переходить в точку
w = co, симметричную w = 0 относительно окружности
{| до | = 1}. Но точками, которые переходят в нуль и
бесконечность, дробно-линейная функция определяется с
точностью до постоянного множителя; поэтому искомое
отображение должно иметь такой вид: w = k "~~ _.
z — a
При действительных z = x имеем \z — a\ = \z — a\;
поэтому для того, чтобы ось х переходила в единичную
окружность, надо взять |&| = 1, т. е. k = eiQ. Таким
образом, все дробно-линейные изоморфизмы верхней
полуплоскости {1тг>0} на единичный круг {|ш|<1}
определяются формулой
w = eiQlH±f (5)
z — a
где а —произвольная точка верхней полуплоскости
(lma>0), a 0 —произвольное действительное число.
Отображения (5) зависят от трех действительных
параметров: 8 и двух координат точки а, переходящей
в центр круга. Геометрический смысл 8 ясен из
замечания, что точка z = oo при отображении (5) переходит
в w = eiQ. Изменение этого параметра сводится к
повороту круга. На рис. 14 изображены сетка декартовых
координат в плоскости г и ее образ при отображении (5).
Дробно-линейный изоморфизм области на себя мы будем
называть дробно-линейным автоморфизмом. Очевидно, что
совокупность всех дробно-линейных автоморфизмов какой-
либо области образует группу, которая является
подгруппой группы Л всех дробно-линейных отображений.
Совокупность всех дробно-линейных автоморфизмов
С->©, очевидно, совпадает с группой Л. Также очевидно,

56
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
что совокупность дробно-линейных автоморфизмов ©->©
совпадает с подгруппой (целых) линейных
преобразований z-^az + b. Вычислим в заключение группу
автоморфизмов единичного круга.
Фиксируем точку я, |я|<1, переходящую в центр
круга w = 0. Точка а* = 1/а, симметричная с а
относительно окружности {|г|=1}, должна переходить в точку
Рис. 14.
w = oo\ поэтому искомое отображение должно иметь вид
w = k-
■ki:
где k и kx — некоторые постоянные. Так как точка г=1
переходит в точку единичной окружности, то должно быть
\К\ It—'— =l*i|= Ь т- е- кг = е1В, где 8 — действитель-
1-
ное число. Следовательно, искомое отображение должно
иметь вид
w = eteJ=*.m (6)
1 — az
С другой стороны, очевидно, что любая функция вида
(6), где |а] <1 и 0 — действительное число, осуществляет
дробно-линейное отображение единичного круга {| z | < 1}
на единичный круг {|ш|<1}. На рис. 15 изображен
прообраз сетки полярных координат плоскости w. Он

СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
57
состоит из двух семейств: дуг окружностей, проходящих
через точки а и а* = — (прообраз лучей), и окружностей,
а
имеющих эти точки симметричными (прообраз
окружностей).
Таким образом, группа дробно-линейных
автоморфизмов единичного круга вычислена. Она зависит от трех
Рис. 15.
действительных параметров: двух координат точки а и
числа 0.
11. Модель геометрии Лобачевского. А. Пуанкаре
предложил модель геометрии Лобачевского, основанную
на свойствах дробно-линейных отображений. Мы опишем
здесь эту модель в общих чертах.
Точками Лобачевского, или, короче, А.-точкамиу будем
считать точки единичного круга U = {| z | < 1}, а Л-яря-
мыми — принадлежащие U дуги окружностей на (D,
ортогональных dU. Впрочем, иногда удобнее рассматривать
вместо U верхнюю полуплоскость Я={1тг>0} и тогда
Л-прямыми будут дуги окружностей, ортогональных
действительной оси д# — вторая модель получается из
первой дробно-линейным отображением U на Н (рис. 16).
Элементарно доказывается, что через две различные
Л-точки проходит одна и только одна Л-прямая (здесь
лучше воспользоваться моделью на полуплоскости; см.
рис. 16, б), а также проверяются остальные аксиомы
соединения. На Л-прямых естественно вводится линейный
порядок (он совпадает с евклидовым), выполняется и

58
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Ггл. i
аксиома Паша (всякая прямая, не проходящая через
вершины треугольника, но пересекающая одну из его
сторон, непременно пересекает и другую сторону) — аксиомы
порядка, таким образом, совпадают с евклидовыми.
Однако сразу видно (см. рис. 16, я), что евклидова
аксиома параллельности в наших моделях не имеет места:
через Л-точку г, не лежащую на Л-прямой /, можно
провести много Л-прямых, не пересекающих /. Такие
Л-прямые заполняют целый сектор, ограниченный Л-прямыми,
Рис. 16.
проходящими через г и касающимися (в евклидовом смысле)
в евклидовых точках ее пересечения с dU или дН\ эти
граничные Л-прямые называются А-параллельными I (на
рис. 16, а они изображены пунктиром). Таким образом,
в этих моделях действует аксиома параллельности
Лобачевского.
Не останавливаясь на проверке аксиом других групп
(все они совпадают с евклидовыми), укажем лишь, что
движениями в наших моделях являются
дробно-линейные автоморфизмы, соответственно, круга U или
полуплоскости Я. Движения сохраняют Л-прямые (круговое
свойство дробно-линейных отображений), а также
евклидовы углы между ними. Эти углы мы примем по
определению и за углы Лобачевского.
Опишем теперь введение метрики Лобачевского. Прежде
всего заметим, что так называемое двойное отношение
четырех точек
te|Zf;a,P)=.*=f.:ij5f О)

§ 3] СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ 59
также инвариантно при движениях (это следует из
формулы (4) предыдущего пункта). Оно действительно,
когда все четыре точки лежат на одной евклидовой
окружности (в силу инвариантности двойного отношения при
дробно-линейных отображениях окружность можно считать
евклидовой прямой, а для этого случая утверждение
очевидно). В частности, оно действительно и даже больше 1,
если а и р—точки пересечения Л-прямой / с границей U
или Ну a zx и г2 —точки, лежащие на / в порядке а, гь
г2, р. Так как различные Л-точки гг и г2 определяют
Л-прямую, через них проходящую, то точки аир
определяются выбором гг и г2 и мы можем обозначить
(гь z2; а, Р) = {гь г2}. (2)
Прямой подсчет показывает, что если Л-точки гь г2
и г3 лежат на Л-прямой в порядке а, гь г2, z3, Р (по-
прежнему а и р — «концы» Л-прямой), то {?!, г2} • {г2, г3} =
= {*1> гз} и, следовательно,
1п{гь г2} + 1п{г2, г3} = 1п{гь г3}. (3)
Поэтому величину In {zlt г2}, положительную (в силу того,
что {zlt г2}>1) и инвариантную относительно Л-движе-
ний, естественно принять за расстояние Лобачевского
между Л-точками гх и г2:
Р(*ь г2) = 1п{гь г2}. (4)
Вычислим эту величину для модели в круге U. Если
сначала Zi = 0, а г2 = г>0, то, очевидно, а = —I, р = 1
и по формуле (1)
{zi, г2/ = (г1> z2; —1> 1) = Г _ ^ • _ 1 ~ 1 _ Г' •
Так как поворот относительно г = 0 является
Л-движением, то для всех г е ^\{0}
р„(0, г) = 1п{0, г} = 1п-Ш77. (5)
Общий случай различных Л-точек гх и г2 сводится к этому
*ателы
2i —г2
Л-движеиием г-> ,2 _Zl и, следовательно,
1 — ^г
1 +
Р<у(*ь г2) = 1п
1-
-чч
1 — z^
(6)

60
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Ггл. i
Аналогично, для модели в верхней полуплоскости Я
Ря(*ь г) = \п
1 +
1-
-22
(7)
Расстояние Лобачевского удовлетворяет обычным
аксиомам; 1) положительности: р(гь г2)^0 и равенство
достигается лишь при Zi = z2, 2) симметричности:
Р (^ъ ^2) = p(^2> ^i) и 3) аксиоме треугольника:
P (^ъ ^)+р(г2> 2з)^р(гь 23). Первые две аксиомы
очевидны, а аксиому треугольника, например, в V',
достаточно проверить для случая Zi = 0; z2 = a>0 и z3 = z —
произвольна (к этому случаю общий сводится Л-движе-
нием), когда она выражается неравенством
In
1+а
1-
1 + 1*1
1 +
Z-
1-
Z-
1 1-
-а 1
az
~а 1
-аг
Потенцируя и прибавляя к обеим частям по 1, мы после
простых преобразований приведем это неравенство к
неравенству
(8)
\-a\z\
[ —az
При \z\^a оно тривиально, ибо его левая часть
неположительна, и остается рассмотреть случай | z | >я. Левая
часть (8) сохраняет постоянное значение К= !_~Л на
окружности Yi = {£: |£| = |z| }> а так как при
действительных г>а (8) обращается в равенство, то правая
часть (8) принимает то же значение X на окружности
Y3 = iS • i~\ r^H ' касаЮ1Дейся Yi в точке £ = | z |. Точка
z лежит вне ^2> и значит, в этой точке правая часть (8)
не меньше X —неравенство (8) доказано.
Если одна из точек zx и z2 фиксирована, а другая
стремится к границе U или Я, то, как видно из формул
(6) и (7), расстояние р(гь г2)-^оо. Поэтому точки dU и
дН можно рассматривать как бесконечные
(несобственные) точки плоскости Лобачевского; совокупность этих

§ 3] СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ 6i
точек, т. е. окружность 0U или действительную ось ОН,
называют абсолютом.
Далее, полагая гг = г, a z2 = z-\-dz близкой к z и
выделяя из р (гь г2) линейную относительно | dz \ часть
ds, мы получим из этих же формул (6) и (7) соответственно
dsr
2\dz\
1-
dsr-
\dz\
Imz
(9)
Отсюда видно, что в наших моделях геометрия
Лобачевского является римановой геометрией, конформно
эквивалентной евклидовой
(см. сноску2) на стр. 46),
и мы еще раз
убеждаемся в том, что углы
Лобачевского следует
считать равными
евклидовым.
В качестве примера
вычислим площадь
треугольника Лобачевского
в модели на
полуплоскости. Рассмотрим
сначала случай
прямоугольного треугольника; без
ограничения общности
мы можем считать, что две его вершины лежат на оси у,
и тогда в обозначениях, указанных на рис. 17, площадь
треугольника
У2(Х)
HMf=
и
Ух (х)
1
1
кУ1 (х) У2 (*).
dx
а а
4УП-* i
dx
Vr\-{x + bf
а . a-\-b
■■ arcsin arcsin —!—
- arcsin — = фх — ф2 + (
Но ф2 —Ф1 = а, а0 = у— р,следовательно, S = у — (а + Р).
Разбивая произвольный Л-треугольник на два
прямоугольных, мы получим, что в общем случае площадь

62 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
Л-треугольника выражается через его углы а, (3 и у
по формуле
5 = я-(а+р+?)1). (Ю)
Несколько фактов из элементарной геометрии
Лобачевского сформулировано в виде задач в конце главы.
Мы остановимся лишь на классификации движений
Лобачевского для модели в круге, т. е. преобразований вида
L: z-W<* *~_fl , |а|<1. (И)
1— аг
В основу классификации мы положим неподвижные точки
преобразования (11), которые определяются из
уравнения L (г) = г, т. е.
ice
^2 + 2/sin-|.^~^a = 02), (12)
и при а Ф 0 равны
4,2 :
.^sinf±j/W-sin-f). (13)
Произведение модулей корней уравнения (12) равно 1,
поэтому могут представиться три случая:
I. Одна неподвижная точка, zly лежит внутри £/, а
другая, г2, вне f|a|< siny П. Так как здесь argz1 = argz2,
а | гг; • | г21 = 1, то точки z± и г2 симметричны относительно
dll\ пусть г! = г0 и z2 = Zq. В плоскости £ = ^—^
Пресвят—20
разованию (И) соответствует преобразование с
неподвижными точками 0 и оо, т. е. преобразование вида £->££.
Но так как dU соответствует окружность с центром С = 0,
а она при движении должна сохраняться, то & = е'ф и
наше движение имеет вид
w"~2° =e«? z~~z° (U)
!) Как известно, утверждение о том, что сумма углов
треугольника равна я, при наличии остальных аксиом равносильно
евклидовой аксиоме параллельности.
.а . а_
оч ju ' 2" 1 2 о- • а
2) Мы воспользовались тем, что е — е =2i sin-у.

§ 3] СВОЙСТВА ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ 63
Это —так называемое вращение Лобачевского вокруг
Л-точки 20; его траекториями служат окружности
Лобачевского с Л-центром z0. Они же являются окружностями
в метрике Лобачевского с центром z0y и евклидовыми
окружностями, для которых 20 и г* — симметричные точки
(см. рис. 18, а). Сюда относится также случай а = 0,
когда 20 = 0, и вращение совпадает с евклидовым.
й)
5)
Рис. 18.
б)
П. Две различные неподвижные точки £i,2 = £'01,2
а
на
абсолюте
вид
sin
. В этом случае движение имеет
-?2
*-ь«
(15)
причем условие сохранения абсолюта 0U приводит к усло-
Зто дви-
растяжение в плоскости £ = -—^
жение сохраняет Л-прямую, пересекающую абсолют в
неподвижных точках ti и ?2» и называется сдвигом
Лобачевского вдоль этой Л-прямой. Его траекториями являются
так называемые эквидистанты (геометрические места
точек, равноудаленных в метрике Лобачевского от
Л-прямой, вдоль которой идет сдвиг). Эквидистанты, как
нетрудно видеть, —это дуги евклидовых окружностей,
проходящих через точки ti и £2> но не ортогональных к dU',
и потому не являющихся Л-прямыми; их называют также
гиперциклами (см. рис. 18, 5).

64
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Ггл. i
III. Одна неподвижная точка £о = £'е на абсолюте
а\= sin-5- ). Переходя к плоскости £ =—=-, мы убе-
димся, что движение имеет вид
где а — комплексное число, аргумент которого подобран
так, чтобы сохранялся абсолют (в плоскости £ движению
соответствует евклидов сдвиг вдоль прямой, в которую
переходит абсолют). Это —так называемый предельный сдвиг
Лобачевского. Его траекториями являются орициклы —
евклидовы окружности в (У, касающиеся абсолюта в
неподвижной точке £0 (см. рис. 18, в).
§ 4. Элементарные функции
12. Некоторые рациональные функции. 1.
Степенная функция
w = zn, (1)
где п — натуральное число, голоморфна во всей
плоскости С Ее производная — = /ггя~1 при п>1 отлична от
нуля всюду при г Ф О, следовательно, отображение (1)
при п>\ конформно в каждой точке г^С\{0}.
Записывая функцию (1) в полярных координатах z = rei(p, w =
р = г", я|) = яср, (2)
мы видим, что осуществляемое нашей функцией
отображение увеличивает в п раз углы с вершиной в точке г = 0
и поэтому при п > 1 не конформно в этой точке (она
критическая).
Из (2) видно также, что любые две точки гг и г2 с
одинаковыми модулями и с аргументами, отличающимися на
целое кратное 2п/п:
|zi| = |z2|, argz^argza + u— (3)
(и только такие точки), при отображении (1) «склеиваются»,
т. е. переходят в одну точку w. Следовательно, при п >1
это отображение неоднолистно в С Для однолистности
его в некоторой области D cz (D необходимо и достаточно,

§ 41
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
65
чтобы D не содержала никаких двух различных точек z1
и г2, связанных соотношениями (3)г).
Примером области, в которой отображение (1)
однолистно, может служить сектор
D = {o<argz<2-^}.
Этот сектор гомеоморфно преобразуется в область D* =
= {0<а^ш<2я}, т. е. в плоскость w с выброшенной
*=z*)
Рис. 19.
положительной полуосью. На рис. 19 показано
соответствие сеток полярных координат при этом отображении.
Если мы возьмем в плоскости z по-прежнему
полярные координаты г = гё®, а в плоскости w — декартовы,
w = u-{-iv, то отображение (1) перепишется в виде
следующих двух соотношений:
и = гп cosmp, v = rnsinnq>. (4)
На рис. 20 показан прообраз сетки декартовых
координат плоскости w при этом отображении. Он составлен из
Up
cos/гф
При п-
кривых с полярными уравнениями г = т/.
ные линии), г = у ^° (сплошные).
обычные гиперболы х2 — у2 = и0 (пунктир) и 2xy = v0
(пунктир
:2
это
х) Область однолистности функции (1) при п~>\ не может
содержать точку г = 0, ибо в любой окрестности г = 0 имеются
различные точки, связанные соотношениями (3).
3 Б. В. Шабат, ч. I

66 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
(сплошные линии). В силу конформности отображения
сетка ортогональна, т. е. пунктирные линии
ортогональны сплошным.
2. Функция Жуковского. Так называют
рациональную функцию
* = 4-(* + т). <5>
голоморфную в области С\{0}. Ее производная
dw__ _1_Л __ П
dz ~~ 2 у z*J
отлична от нуля всюду в этой области, кроме точек z =
= ±1, откуда видно, что отображение (5) конформно
в каждой конечной точке гфО, ±1. Точке z = 0
соответствует ш = оо, и конформность в этой точке согласно
определению угла в бесконечности, принятому в п. 6,
следует из того, что производная
d м\ 0 l-z»
dz\w) (1 + z2)2
отлична от нуля при z = 0. Согласно тому же
определению конформность отображения w = f(z) в точке г = оо
сводится к конформности w = f( — j в точке 2=0; но в
случае функции Жуковского f(z)===f(—)} и по только что
доказанному отображение (5) конформно в точке z = oo.

§ 4] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 67
Ниже мы увидим, что в критических точках z = ±l
отображение (5) не конформно.
Выясним условия однолистности нашей функции в
какой-либо области D. Пусть гх и г2 она переводит в одну
точку, тогда
^ + ^-(22 + ^ = (^-?2)(i-^L) = o,
и при ггфг2 мы получаем г1г2 = 1. Таким образом, для
однолистности функции Жуковского в какой-либо
области D необходимо и достаточно, чтобы она не содержала
никакой пары точек zx и г2, для которых1)
ZiZ2=l. (6)
Примером области, удовлетворяющей условию
однолистности, является внешность единичного круга D =
= {геС: |г|>1}. Чтобы наглядно представить
отображение (5), положим г = ге/ф, w = ii-\-iv и запишем (5)
в виде
и = y(r + -l)cosfp, 0 = 1 (/■- yjsinq). (7)
Из этих соотношений видно, что окружности {| г ! = /•()},
/*0>1, функция Жуковского преобразует в эллипсы с
полуосями аГо = у (го + 1) и ЬГа = у (/-о - ~)» с фокусами
в точках ±1 (ибо a}0 — b2rQ= 1 для любого /•<>)• Эти эллипсы
изображены на рис. 21 сплошными линиями; при /*0->-1
имеем 6Гв->0 и эллипсы стягиваются к отрезку [—1, ljczR;
при больших г0 разность аГо — ЬГо — — мала и они мало
отличаются от окружностей. Лучи {ф = ф0, 1</*<оо}
преобразуются в части гипербол —\ ——= 1стеми
же фокусами ±1 (пунктирные линии на рис. 21); в силу
конформности семейство этих гипербол ортогонально
описанному выше семейству эллипсов.
Из сказанного видно, что функция Жуковского
осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение
х) Область однолистности функции Жуковского не может
содержать точек ±1, ибо в любой окрестности этих точек существуют
различные точки, связанные соотношением (6).
3*

68
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
внешности единичного круга (включая бесконечную
точку) на внешность отрезка [—1, ^действительной оси.
Рис 21.
В точках z = ±l отображение (5) не конформно. В этом
лучше всего убедиться, представив функцию Жуковского
в виде
(тождественность этой формулы формуле (5) проверяется
простой выкладкой). Отображение (5), следовательно,
представляет собой композицию отображений
£ = £=1 (*> = £», w = \±2 (9)
* г+1 ' ъ 1 —со v '
(последнее отображение обратно к отображению ^-г=(.о).
\ l l W -J- 1 j
Первое и третье из отображений (9) дробно-линейны и по
доказанному в п. 8 конформны всюду в (D; отображение
со = £2 удваивает углы в точках ^ = 0 и £ = со, которым
соответствуют точки г = =Ы. Поэтому отображение
Жуковского удваивает углы в этих точках.
Используя разложение (9), читатель убедится в том,
что функция Жуковского осуществляет однолистное
конформное отображение внешности окружности у,
изображенной на рис. 22 (она проходит через точки ±1 и
составляет в них угол а с действительной осью), на
внешность дуги окружности (с концами в точках ±1,

§4]
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
69
составляющей в точке w = 1 угол 2а с действительной
осью)*).
Можно убедиться также в том, что окружности,
касающиеся у извне в одной из точек ±1, при этом
отображении переходят в замкнутые
кривые с характерным
острием, напоминающие
профиль крыла самолета (см.
рис. 22). Это замечание
позволило Н. Е.
Жуковскому создать
первый метод
аэродинамического расчета крыльев.
13. Показательная функция. Мы определим функцию ег
тем же предельным соотношением, которым она
определяется в действительном анализе:
Рис. 22.
ez= lim (1 + --
(1)
Докажем существование этого предела для любого
геС; для этого положим z = x-\-iy и заметим, что по
правилам возведения в степень
l + i-V
1 П
1 + 2Л+*±У2\*
1 п ' п2
arg (1 + ~Y = п arct£
1 + ^
п
Отсюда видно, что существуют
lim
п-*оо
1 + ^"
1 П
= ех, lim argil +
Z \n
-■у,
х) Случай сс = — уже разобран выше другим способом.
2
2) Для достаточно большого п точка \~\ лежит в правой
полуплоскости, и мы берем значения argfl-J—) и арктангенса из ин-
f 71 71
тервала [_ —, -

70 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
а значит, существует и предел (1), который записывается
в полярной форме так:
ex+ty = ex (C0S у + is[n у)ш (2)
Таким образом,
\ez\=eRez, argez ~lmz. (3)
Полагая в (2) * = 0, мы получим формулу Эйлера
ety = cosy + isiny, (4)
которой неоднократно пользовались. Однако до сих пор
символ eilJ мы употребляли для сокращенного обозначения
правой части, а теперь можем понимать его как мнимую
степень числа е.
Перечислим основные свойства показательной функции.
Г. Функция ez голоморфна во всей плоскости (D. В
самом деле, полагая ez = u-\-iv> находим из (2), что и =
= excosy, v = exs'my\ функции и и v дифференцируемы
в смысле действительного анализа всюду в С, и всюду в С
выполняются условия комплексной дифференцируем ости
да до v да до „ .
Таким образом, функция (2) определяет продолжение
действительной показательной функции ех с оси R1 на всю
плоскость С, причем продолженная функция оказывается
голоморфной. Ниже (в п. 22) мы покажем, что такое
продолжение определяется единственным образом.
2°. Для функции ez сохраняется обычная формула
дифференцирования. В самом деле, производную, когда она
существует, можно вычислять в направлении оси х.
Поэтому
(ezY = ^ (е* cosy + iexs'my)=ez. (5)
Показательная функция не обращается в нуль, ибо
\е*\ = е*>0\ поэтому (ег)'Ф0 и отображение w = ez
конформно в каждой точке С
3°. Для функции ег сохраняется обычная теорема ело-
оюения
ezlJrz2==zezi.ezK (g)
В самом деле, полагая zk = xk-{-iyk (k = 1, 2) и пользуясь

§ 4] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 71
формулами сложения действительных показательной и
тригонометрических функций, получаем
ех> (cos уг + isinуг) ех> (cos y2 + isiny2) =*
= &+** {cos (уг+ y2) + i sin (yx + y2)}.
Таким образом, сложению комплексных чисел zx и z2
соответствует умножение их образов eZi и е2*. Иными
словами, показательная функция ez преобразует аддитивную
группу поля комплексных чисел в мультипликативную
группу этого поля: при отображении z-+ez
z1 + z2-^ez^ez^t (7)
4°. Функция ez периодическая, с мнимым основным
периодом 2ni. В самом деле, так как по формуле Эйлера
e2ni — zos2n-\-is'm2n= 1, то по теореме сложения для
любого ^еС имеем
£* + 2Л/ __ qZ . e2fti __ gZ^
С другой стороны, пусть ez+T = ez\ умножая обе части
на e~zy получаем ет=1, откуда, полагая T = T1JriT2>
имеем eTi (cos T2 + i sin T2) = 1. Но тогда ет* = 1, т. е.
Т1 = 01 и cosT2=l, sinT,2 = 0, т. е. Т2 = 2пп, где п —
целое число. Таким образом, T = 2nni и 2ni
действительно является основным периодом.
Из этого рассуждения видно также, что для
однолистности отображения w = e* в какой-либо области D
необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала ни
одной пары точек, связанных соотношением
z1 — z2 = 2nm (и = ±1, ±2, ...). (8)
Примером области, удовлетворяющей этому условию,
является полоса {0<1тг<2я}. Полагая z = x-\-iy и
w^pe^j мы согласно (3) запишем отображение w = ez
в виде
р = е*, t|) = f/. (9)
Отсюда видно, что это отображение преобразует прямые
{у = Уо} в лучи [ф = #<>}> а отрезки {x = x0i 0<у<2л} —
в окружности с выколотой точкой {р = е*о, 0<1|)<2я}
(рис. 23). Полоса {0<.у<.2п} преобразуется, следова-

72 голоморфные функции [гл. I
тельно, в плоскость w с выброшенной положительной
полуосью. Вдвое более узкая полоса {0<г/<я}
преобразуется при этом в верхнюю полуплоскость lmw>0.
Рис. 23.
14. Тригонометрические функции. Из формулы Эйлера
для всех действительных х мы имеем eix = cosx-\-isinx,
e-iJC = cosx — isinx, откуда
eix i e~ix . eix __ e-ix
cosx = —Ln , shia:a= - .
Эти формулы можно использовать для голоморфного
продолжения косинуса и синуса в комплексную плоскость,
положив по определению для любого z e С
COSZ = -^ , Sin2 = 2] 0)
(голоморфность в С правых частей очевидна).
Все свойства этих функций вытекают из этого
определения и соответствующих свойств показательной
функции. Так, обе они периодические с основным периодом 2я
(показательная функция имеет период 2л/, но в
формулах (1) есть множитель при г, равный /), косинус
—четная, а синус —нечетная функция. Для этих функций
сохраняются обычные формулы дифференцирования
(Az Q-iz
(cos г)' = i ^ = — sinz,

§4]
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
73
аналогично (sin z)' = cos г. Сохраняются также
тригонометрические соотношения, такие, как
sin2 z + cos2 z = 1, cos г = sin f г + у ],
теоремы сложения и т. д.; читатель без труда выведет их
из формул (1).
Тригонометрические функции комплексного
переменного тесно связаны с гиперболическими, которые для
любого ze(C определяются обычными формулами
chz = ■
sh z =
ez — e
(2)
(3)
2 , — - 2 .
Эта связь выражается соотношениями
ch z = cos iz, sh z = — i sin iz,
cos г = ch iz, sin г = — i sh £z,
которые видны из сравнения формул (1) и (2).
Пользуясь теоремой сложения и формулами (3),
находим CQS ^_|_ iy^ __. cos X(±y — isin*sh #,
0ТКуДа | cos z I = ]/cos2x + sh2# (4)
(мы воспользовались тождествами sina* = 1 — cos2 л: и
Icoszl
Рис. 24.
ch2y — sh2 y= 1). Эта формула позволяет построить
поверхность модуля (рельеф) косинуса; она изображена на
рис. 24.
Для примера рассмотрим еще отображение
полуполосы ^ = \--|г<*<у> # > О} i которое осуществляется

74
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
функцией а; = sin г. Мы представим это отображение как
композицию уже известных нам отображений
го 1 / . 1 \
и тогда увидим, что w~s\x\z однолистно (и конформно)
отображает полуполосу D на верхнюю полуплоскость. На
рис. 25 изображено соответствие линий при этом
отображении: лучам {х = х0> О <у < со} соответствуют лежащие
в верхней полуплоскости части гипербол с фокусами ±1,
а отрезкам {— -5- < х < у, у = уЛ — такие же части
эллипсов с теми же фокусами. Из этого рисунка видно, что на
вертикальных границах полуполосы синус принимает
действительные значения, по модулю большие 1,
Тангенс и котангенс для комплексных значений
аргумента определяются формулами
tg0~cosz' Ctg0-sinz ^
и рационально выражаются через показательную функцию:
__ . ete — e-i* _ . eiz+e~iz ,fi*
g """ e'*+g-«* ' """ eiz — e-ie '
Эти функции голоморфны всюду в €, за исключением тех
точек, где знаменатели дробей в формулах (6) обращаются
в нуль (в этих точках числители отличны от нуля).
Найдем такие точки, например, для ctgz. В них имеем

§4]
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
75
sin z = 0, т. е. еи==е~и] отсюда в силу условия (8) п. 13
находим 2iz = 2inn, г = пл (п = 0, ±1, ..-)1)-
Тангенс и котангенс в комплексной плоскости остаются
периодическими с действительным периодом л, для них
сохраняются обычные формулы дифференцирования и
тригонометрические соотношения — все эти утверждения легко
получить из формул (6).
Рис. 26.
Из формулы (4) и аналогичной формулы для синуса
находим -./-sin^+shsy-
' У cos2*
ltg*l
(7)
r + sh2*/ '
На рис. 26 изображен рельеф тангенса. Он имеет резко
выраженные пики над точками г = ~+птс (я=0, ±1, ...),
в которых тангенс теряет голоморфность.
Отображения, осуществляемые функциями w = tgz и
w = ctgz, представляют собой композицию уже известных
х) Мы доказали сейчас, что при голоморфном продолжении
синуса в комплексную плоскость не появляется новых точек, где он
обращается в нуль.

76 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
отображений. Например, w=tgz сводится к таким
отображениям:
Полосу <— "4"<^<Т[ эта ФУнкВДя однолистно и
конформно отображает на внутренность единичного круга.
Рис. 27.
Прямые {х = х0} при этом преобразуются в дуги
окружностей, проходящих через точки ±i, а отрезки
{— -|-<*<-j, У = Уо\ — в дуги окружностей, для
которых эти точки симметричны (рис. 27).
ЗАДАЧИ
1. На множестве плоских векторов 2 = (х, у) введем обычным
образом сложение и умножение на скаляр (действительное число);
тогда, отождествляя действительные числа с векторами вида (л:, 0),
каждый вектор z — (x, у) можно записать в виде z = * + ii/, где по
определению i = (0, 1). Однако умножение двух векторов z1 — x1 + iyi
и г2 = х2 + 1у2 определим иначе, чем при определении комплексных
чисел: именно положим
*1 * *2 = XLX2 + уф, + I (Хху2 + Xtfi)
(мы перемножаем двучлены x1-\-iyi и x2 + iy2 по обычным правилам
алгебры с заменой /2=1). Такую систему будем называть системой
гиперболических комплексных чисел (Я).
а) Покажите, что (Я) является коммутативной алгеброй с
делителями нуля, и найдите геометрическое место делителей нуля.

ЗАДАЧИ
77
б) Пусть z — x — iy; тогда i|z|]= |/"| z * 2 | естественно назвать
модулем числа z. Найдите геометрическое место точек г, для которых
||г||=1. Покажите, что при умножении гиперболических комплексных
чисел их модули перемножаются. Покажите, что условие ||z|| = 0
необходимо и достаточно для того, чтобы z было делителем нуля.
в) Для г2, II^Uv^O, и любого гг определим частное формулой
Л Z± * 2*2
^1 Л ^2 == ~ «
покажите, что (г: £ г2) * г2 = zt.
г) Для функции w = f (г) = u + iv введем гиперболическую про-
изводную Пг)= Um ДюХДг>
Аг->0
IJA2[]^0
если этот предел существует. Покажите, что для существования
такой производной для функций класса С1 в некоторой области
необходимо и достаточно, чтобы в этой области
да __ dv да __ ди
дх ду1 ду ~~ дх"
д) Выясните геометрическую картину отображений w — z*z и
w—\%z (соответствие надлежащим образом выбранных координатных
сеток).
е) Положим по определению е?==е* (ch y + i sh у) и sin *z =
= sinAr cosy+ i cos* sin у. Выясните сходство и отличие этих
функций от обычной показательной функции и синуса, а также найдите
геометрическую картину отображений, ими осуществляемых.
2. Исследуйте на непрерывность в смысле С функции z, z и
Rez = ~(z + z).
3. Пусть и и а— действительные функции двух действительных
переменных, дифференцируемые в смысле R2, a Vm = ^—г"*д-> Vu =
^■-~-\-i~ их градиенты. Покажите, что из условий дифференци-
руемости в смысле С функции f=u-\-iv следуют равенства
(V//, Vy) = 0, |VM| = |Vt;|f
где (V//, Vy)—скалярное произведение в R2.
4. Пусть точка z движется по закону z — relt, где г —постоянная,
a t — время. Найдите скорость движения точки w~f(z), где
функция / голоморфна па окружности {|2| = а}.
(От вет: izf (z).)
5. Пусть / голоморфна на окружности у==\\г\ = г} и /' (г) Ф О
на у. Докажите, что условием выпуклости образа f (у) служит
неравенство Re ( f, v )+1 ^0- Указание: сначала рассмотрите
условие выпуклости в виде ^- (у + ф + arg/' {rei{V)\ ^ 0.

78
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. I
6. Найдите общий вид дробно-линейных отображений,
соответствующих вращению сферы Римана относительно двух ее диаметрально
противоположных точек.
' w — а ,д
Ответ: ■=—:—г— =еш:
1 + aw 1 +az ')
7. Докажите, что группа дробно-линейных автоморфизмов
верхней полуплоскости состоит из отображений
az + b
->
cz + d'
где а, Ь, с и d действительны и ad — boO.
8. Какие из следующих утверждений евклидовой геометрии
справедливы и для геометрии Лобачевского?
а) Биссектриса угла равноудалена от его сторон.
б) Около любого треугольника можно описать окружность.
в) В любой треугольник можно вписать окружность.
г) Три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
д) Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
9. Постоянно ли расстояние между двумя гиперциклами с общими
концами? А между двумя соприкасающимися орициклами?
10. Пусть даны Л-прямая /0 и параллельная ей Л-прямая /,
проходящая через точку z на Л-расстоянии р от /0; угол а между /
и перпендикуляром к /0 из точки z называется углом параллелизма.
Докажите, что ctga = shp.
11. Докажите для геометрии Лобачевского следующий аналог
теоремы Пифагора: cha- ch b — chc, где a, b —длины Лобачевского
катетов, а с —гипотенузы треугольника. Убедитесь, что для малых
треугольников эта теорема совпадает с евклидовой с точностью до
малых высших порядков (геометрия Лобачевского локально близка,
к евклидовой).
12. Докажите, что длина окружности и площадь круга радиуса г
в геометрии Лобачевского соответственно равны ул — 2пъЪ г и вл =»
== 4jishsy.
13. Докажите, что в геометрии Лобачевского треугольники с
равными углами конгруэнтны, а площадь между параллельными прямыми
конечна.
14. Докажите, что для любого условно сходящегося ряда с
комплексными членами существует такая прямая / с: С, что для любой
точки seI найдется перестановка членов этого ряда, после которой
он будет сходиться к s. (Обобщение теоремы Римана об условно
сходящихся рядах с действительными членами.)

Глава II
СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
В этой главе мы рассмотрим важнейшие методы
исследования голоморфных функций. Они основаны на
представлении таких функций в виде специальных интегралов
(интегралов Коши) или в виде сумм некоторых рядов
(рядов Тейлора и Лорана). Начнем с понятия интеграла
от функций комплексного переменного.
§ 5. Интеграл
15. Понятие интеграла. Определение. Пусть дан
кусочно гладкий путь у: /-^С, где / = [сс, Р] —отрезок
действительной оси, и на образе у (/) этого пути задана
комплексная функция / такая, что функция f*y
непрерывна на /. Интегралом от функции / вдоль пути у
называется
$/d* = J/.Y(0Y(0tf, (О
V а
где в правой части интеграл от комплексной функции
f • У (0 ' Y' (0 ^ Si (0 + 'Й2 (0 действительного аргумента t
понимается как $ gx (/) d/ + / § g2 (0 dt.
а а
Заметим, что в принятых условиях функции gx и g2
на / могут иметь лишь конечное число точек разрыва
1-го рода (см. определение кусочно гладкого пути на
стр. 19), так что интеграл (1) существует в смысле Ри-
мана. Если положить f = u + iv и dz = y' (t) dt = dx + i dy,
то интеграл (1) можно переписать в виде криволинейного
интеграла по координатам
J / dz = \judx — v dy + i^vdx + udy. (2)
V V V

80 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Можно было бы определить интеграл (1) и как
предел интегральных сумм: разбить у (/) на конечное
число отрезков точками z0 = y(a)9 z1 = y{t1)i . ..,гя = у(Р),
а</!<...<р, взять произвольно точки £a = Y(t*)»
ik <= [tki tk+1] и положить
л—1
где Аг^ = zh+1 — zk (k = 0t ..., л—1) и б = тах|Дгл|. Мы,
однако, будем пользоваться лишь первым определением и
на доказательстве его эквивалентности двум другим
не останавливаемся.
Если путь у лишь спрямляем, то даже для
непрерывных функций / из-за наличия в правой части (1)
множителя у' (/) интеграл Римана недостаточен. В этом случае
надо пользоваться интегралом Лебега (и тогда естественно
считать функцию / такой, что f°y суммируема на /).
Примеры. 1. Пусть у — окружность y(t)~a + reu,
*е[0, 2я] и /(г) = (г —а)л, где л = 0, ± 1, ... —
произвольное целое число. Имеем yr (t) = irelt, f°y(t) = rneint и
по формуле (1)
2л
5 (z — а)п dz = гп*Ч \ еПп+1) dt.
Следует отдельно рассмотреть два случая: при пф—1
имеем
С pi (Пм1) 2Л 1
yz-aydz = r^e д + 1 '=0
V
в силу периодичности показательной функции, а при
л = —1
2я
V 0
Таким образом, целые степени z — a обладают
свойством «ортогональности»
при пф—1,
(4)
2т при п =—1, ч '
которым мы неоднократно будем пользоваться.
S(z-a)»de = |2;r

§5]
ИНТЕГРАЛ
81
2. Этот пример — обобщение предыдущего. Пусть
у: I ->- С — произвольный кусочно гладкий путь и п -ф
Ф—1—произвольное целое число; при /г<0 мы
предположим еще, что y(t)z£0 на /, т. е. что путь у не
проходит через точку 2 = 0. По правилу дифференцирования
сложных функций jr 7"+1 (/) = (п + 1) уп (/) у' (/),
следовательно,
S2»dz = sV(0v'(0* = j4r It" (P)-r'(a)}- (5)
V ex
Мы видим, что интегралы от г", /г ^—1» не зависят
от вида пути, а определяются лишь его началом и
концом. По замкнутым путям (при /г<0 не проходящим
через z = 0) они равны нулю.
Перечислим основные свойства интеграла от
комплексных функций.
Г Линейность. Если fug непрерывны на
кусочно гладком пути у, то для любых комплексных
постоянных а и Ъ
l(af + bg)dz=a\fdz + b\gdz. (6)
Следует непосредственно из определения.
2°. Аддитивность. Пусть даны два кусочно
гладких пути 7i: 1аъ Pil->C и у2: [рь р2]->€, причем
Yi(Pi) =?2 (Pi)- Объединением y = YiI)Y2 этих путей
назовем путь у: [alf p2]->(D такой, что
v(ft = (7l^ ДЛЯ /€Etai» ^'
I 72 (0 Для / е= [plf p2].
Для любой непрерывной на Y==YiUY2 Функции /
непосредственно из определения интеграла следует, что
I fdz=lfdz+lfdz. (7)
vi U v2 vi у 2
Замечание. Можно отказаться от условия Yi (Pi) =
= 7г (Pi) B определении объединения YiUY2- Тогда Y1UY2
уже не будет непрерывным путем, но свойство (7)
сохранится.
3°. Инвариантность. Теорема 1. Если путь
Yi: tai» Pi]-*^ получается из кусочно гладкого пути

82 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
у: [а, (5]->€ допустимой заменой параметра, т. е.
Y = Yl0T) где т — возрастающее кусочно гладкое
отображение [а, Р] на [аг, pj, ma для л/обой функции /,
непрерывной на у (а следовательно, и на Yi)
$M* = S/dz. (8)
«ц По определению интеграла
а так как уг • т (/) = у (0 и vi [т (/)] dx (/) = у' (/) dt, то по
теореме о замене переменных в интеграле из
действительного анализа
$Vyi (т) -Yi (т) ^ = J/.Y (О Y (О Л«$/Л ►
ai a v
Из этой теоремы можно сделать важный вывод:
интеграл, введенный нами для пути, имеет смысл и для
кривой, под которой мы понимаем класс эквивалентных
путей (см. п. 3). Точнее, для любого пути,
определяющего некоторую кусочно гладкую кривую, интеграл
от функции, непрерывной вдоль этого пути, имеет одно
и то же значение.
В соответствии со сказанным в п. 3, мы будем часто
в дальнейшем понимать под кривой множество точек
комплексной плоскости —образ отрезка [а, р] для любого
пути, определяющего эту кривую. Тогда мы будем
говорить и об интеграле по этому множеству, понимая под
ним интеграл вдоль соответствующей кривой.
Замечание. Теорема 1 сохраняется и для функций,
суммируемых на спрямляемых путях, если допустимой считать
монотонную абсолютно непрерывную замену параметра (в самом деле, тогда
можно воспользоваться теоремой о замене переменных для интеграла
Лебега). Поэтому имеет смысл и понятие интеграла вдоль
спрямляемой кривой.
4°. Ориентированность. Обозначим через у~
путь, который получается из кусочно гладкого пути
Y: ta» Р]->© заменой переменных t-+a + $ — t (т. е.

§ 5] ИНТЕГРАЛ 83
путь у (t) = 7(а+р~ t)9 t e [ос, |5]), и пусть / — функция,
непрерывная на у, тогда
$/^ = -$/dz. (9)
у- у
Это утверждение доказывается так же, как теорема 1.
Мы будем говорить, что путь у~ получается из у
переменной ориентации.
5°. Оценка интеграла. Теорема 2. Для любой
функции /, непрерывной на кусочно гладком пути
у: [а, р]->€, справедливо неравенство
K/<fe|<$|/||dY|, (Ю)
IV I У
где \dy\ = | у' (t) 1 <# — дифференциал длины у и справа
стоит криволинейный интеграл по дуге.
< Обозначим через J величину интеграла от / по у,
и пусть J = \J\eiQ; имеем
\J\*=\(r*fdz = le-*f[y(l)]y' (t)dt
v a
(мы внесли постоянный множитель e~iQ под знак интеграла).
Так как интеграл справа— действительное число, то
\J\ = lRe{e-*f[y(t)]y (t)}dt^l\f[y(t)]\\y' (t)\dt =
а а
-Sinidvl ►
У
Следствие. Если в условиях предыдущей теоремы
]/ (г) | ^ М всюду на у, где М — некоторая постоянная, то
\\fdy\^M\y\ (И)
I v I
(через |yI мы обозначаем длину пути у).
Неравенство (11) получается из (10), если оценить
интеграл в правой части и заметить, что
l\dy\ = \y\.
У
16. Первообразная. Определение 1. Первообразной
функции f в области D называется такая голоморфная
в этой области функция F, что в каждой точке zgD
F'(z)=f(z). (1)

B4 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Если F — первообразная функции / в области D, то и
любая функция F(z)-\-C, где С —произвольная постоянная,
также является первообразной / в D. Обратно, пусть Fx
и F2 — две какие-либо первообразные функции / в области D
и <L> = F1 — F2. Функция Ф голоморфна в D, поэтому
-0Г-==О в D; но и ~ = ФГ =F[ — F^^0 в D, поэтому
-^==-г—==0 в и. Отсюда по теореме действительного
анализа (примененной к функциям Red) и 1тФ) мы
заключаем, что Ф = С, постоянная в D. Доказана
Теорема 1. Если F — какая-либо первообразная
функции f в области D, то совокупность всех первообразных f
дается формулой
F(z) + C, (2)
где С — произвольная постоянная.
Таким образом, первообразная функции / в области D,
если она существует, определяется с точностью до
постоянного слагаемого.
Перейдем к вопросам существования
первообразной. Сначала мы изучим вопрос о существовании
локальной первообразной, действующей в окрестности некоторой
точки. Начнем с теоремы, выражающей в простейшей
форме теорему Коши, которая лежит в основе всей
теории интегрирования голоморфных функций:
Т е о р е м а 2 (Коши). Если функция f е 0 (D), т. е.
голоморфна в области D, то интеграл от f no
ориентированной границег) любого треугольника А е D равен 0:
I f dz = 0. (3)
<4 Пусть теорема неверна и существует треугольник
A <^D такой, что
\ /tfz| = M>0. (4)
Разобьем А на четыре треугольника средними линиями
и предположим, что границы А и этих треугольников
1) Мы считаем, что граница д& (которую мы рассматриваем как
кусочно гладкую кривую) ориентирована так, что при ее обходе
треугольник Л остается все время с одной стороны.

§ 5]
ИНТЕГРАЛ
85
ориентированы против часовой стрелки (рис. 28).
Очевидно, что интеграл от / по дА равен сумме интегралов
по границам маленьких треугольников, ибо интегралы по
средним линиям (пунктир на рис. 28)
берутся дважды в противоположных
направлениях и потому сокращаются,
а остальные части границ
составляют дА. Поэтому найдется хотя бы
один маленький треугольник — мы
обозначим его через AL — такой, что
М
\fdz
Треугольник А2 мы снова разобьем
средними линиями на четыре
треугольника и по тем же соображениям
найдем среди них хотя бы один —мы
обозначим его через
■такой, что
\fdz
дА*
42
Продолжая наше рассуждение, построим
последовательность вложенных друг в друга треугольников таких,
что для интеграла по границе /z-го треугольника
справедливо неравенство
\ fdz\^. (5)
П I
Треугольники Ап (мы считаем их замкнутыми) имеют
общую точку г0, которая принадлежит А, а следовательно,
и D. Так как функция / голоморфна в точке г0, то для
любого 8>0 найдется 6>0 такое, что в разложении
/ (z) - / (z0) = Г (z0) (г - г0) + а (z) (г - г0) (6)
для всех z из окрестности V = {\ z — z0 \ < 6} будет
| а (г) |< 8.
В V найдется хотя бы один треугольник построенной
последовательности, пусть это будет Ап. На основании (6)
\ fdz= \ f(z0)dz+ \ f'(z0)(z-z0)dz +
д&„
0Д„
дА„
+ $ a (z) (z - z0) dz,
^Д-

86 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
но первые два интеграла справа равны нулю, ибо
постоянные множители / (z0) и /' (z0) можно вынести за знак
интеграла, а интегралы от 1 и г — z0 по замкнутому
пути <ЭДЛ равны 0 (см. пример 2 предыдущего пункта).
Таким образом,
J fdz= \ a(z)(z-z0)dz,
П П
где | а (г) | < е для всех z e дДл. Кроме того, для всех
zedArt величина |г — гя| не превосходит периметра |дДя|
треугольника Д„, поэтому по теореме об оценке интеграла
^ ^ dz = \ а (г) (г — z0) dz
< е|дАп|
|дД!
Но по нашему построению \дАп\ = -^, где |5Д|
риметр треугольника Д, следовательно,
!дД Р
/■аг| <е
пе-
4^
Учитывая (5), мы получаем неравенство
М<е|дД|2,
откуда в силу произвольности числа е заключаем, что
М = 0 вопреки предположению (4) ►
Теорему Коши в ее общей форме мы рассмотрим
в следующем пункте, а сейчас выведем из доказанной
теоремы 2 локальную теорему
существования первообразной.
Теорема 3. Если функция
f <=l@ (D), то в любом круге V =
= {|г — a\<.r] czD она имеет
первообразную
F(z)= \ /(Q С (7)
[а, г]
рис 29 г^е интеграл берется по
прямолинейному отрезку [а, г] a U.
^ Фиксируем произвольную точку ze(/ и будем
считать |А| столь малым, что точка г + Л^^ (рис. 29).

§ 5] ИНТЕГРАЛ 87
Тогда треугольник А с вершинами а, г и г + h компактно
принадлежит D и по теореме 2
Первое слагаемое здесь равно /^(z), третье —интегралу
по отрезку [а, г + А] со знаком минус, т. е. — F (г + Л),
поэтому F(i + A)_f(2)= 5 Ш*Ь (8)
С другой стороны,
(мы вынесли постоянный множитель /(г) из-под знака
интеграла), и с учетом (8) можно написать
F(z+h)-F{z) _Пг)_\_ J {/(£)-/(г)} d£. (9)
Теперь воспользуемся непрерывностью функции f:
для любого е>0 можно найти 6>0 такое, что при
|й|<6 для всех £е[г, г + h] справедливо неравенство
|/(2)—/(г)|<е. На этом основании получаем из (9),
что при | А| <б
Г+Тт-П*)\<щ*-\ь\-*-
а это означает, что существует F'(z)=f(z) ►
Замечание. При доказательстве теоремы 3 мы пользовались
лишь двумя свойствами функции /: ее непрерывностью в области D
и тем, что интеграл от / по ориентированной границе любого
треугольника A <g D равен 0. Поэтому можно утверждать, что
функция F, определяемая по формуле (7), будет локальной первообразной
любой функции /, которая обладает этими двумя свойствами.
Вопрос о существовании глобальной первообразной,
действующей во всей области D, несколько сложнее.
Мы займемся им в следующем пункте, а сейчас лишь
покажем, как из локальных первообразных можно склеить
первообразную, действующую вдоль заданного пути.
Определение 2. Пусть в области D задана
функция [и у: / = [а, p]-*D — произвольный (непрерывный)
путь. Функцию Ф: /~>С мы будем называть
первообразной функции f вдоль пути у, если она: 1) непрерывна

88 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
на / и 2) для любой точки t0^I существует
окрестность UczD точки z0 = y(£0)i в которой / имеет
первообразную Fv такую, что
Fu-y(t) = <b(t) (10)
для всех t из некоторой окрестности ии al.
Заметим, что если / имеет первообразную F во всей
области D, то функция F*y(t) будет служить
первообразной вдоль пути у. Однако в определении не требуется
существования первообразной во всей D — достаточно,
чтобы она существовала
лишь локально, в
окрестности каждой
точки г0 е у. Более того,
если y(f) = y(f) = z'
при f Ф f, то две
первообразные /, из которых
одна соответствует
окрестности tir у а
другая — окрестности иг,
не обязаны совпадать:
они могут отличаться
постоянным слагаемым
(заметьте, что они
действуют в окрестности
одной и той же точки г' и по теореме 1 их разность
может быть только постоянной). Поэтому первообразная
вдоль пути, являясь функцией параметра t, может не быть
функцией точки г.
Теорема 4. Для любой функции f e © (D) и любого
{непрерывного) пути у: /->£> первообразная f вдоль у
существует и определяется с точностью до постоянного
слагаемого.
< Разобьем отрезок / = [a, f5] на п отрезков Ik = [tk} t'k]
так, чтобы два соседних пересекались по отрезку (tk<C
<4ц</ь ^ = а, /я = Р; рис. 30). Пользуясь
равномерной непрерывностью функции y(t), мы можем выбрать Ik
столь малыми, чтобы для любого &=1, ..., п образ у (Ik)
содержался в круге UkczDt в котором / имеет
первообразную (по теореме 2).
Среди совокупности первообразных, действующих в U1
(они отличаются друг от друга постоянным слагаемым),
cc=t

§5]
ИНТЕГРАЛ
89
выберем произвольно одну, которую обозначим через F^
Рассмотрим какую-либо первообразную, действующую
в U2\ в пересечении Ux П ^2 она может отличаться от F±
лишь постоянным слагаемым (ибо это —две
первообразные одной функции). Поэтому среди первообразных,
действующих в (72, существует одна, мы обозначим ее через F2,
которая совпадает с Fx в пересечении U1f\U2.
Продолжая это рассуждение, мы в каждой Uk
выберем первообразную Fk так, что Fk = Fk-i в пересечении
Vk-iWk (A=l, ..., п). Функция
0(t) = Fk*y(t)9 te=Ik (k=l9 ..., п),
будет первообразной функции / вдоль пути у. В самом
деле, она, очевидно, непрерывна на отрезке / и для
каждой точки t0 <= / найдется окрестность, в которой
ф (t) = FLi°y (t), где Fu — первообразная /, действующая
в окрестности у (t0).
Остается доказать вторую часть теоремы. Пусть Фх
и Ф2 —две первообразные / вдоль пути у. В окрестности
uio каждой точки t0^I мы имеем Ф1 = р{1) °y(t) и Ф2 =
= /7(2) °y(t), где F{1) и Я2) — две первообразные
функции /, действующие в некоторой окрестности точки у (/0).
Они могут отличаться лишь постоянным слагаемым,
поэтому (p(t) = Oi(t) — 02(t) постоянна в щ0. Но локально
постоянная в каждой точке связного множества функция
постоянна на всем множестве1). Поэтому Фг (t) — Ф2 (t) =
= const для всех t <= I >
Если известна первообразная функции / вдоль пути у,
то интеграл от / по у вычисляется по обычной формуле
Ньютона — Лейбница:
Теорема 5. Если у: [а, р] ->(D — кусочно гладкий
путь и функция f непрерывна на у и имеет
первообразную Ф (t) вдоль у, то
$Мг = Ф(Р)-Ф(я). (11)
v
х) В самом деле, пусть Ш — {1^1\ ф(0 = ф(^о)Ь Это множество
непусто, ибо содержит /0. Оно открыто, ибо ф локально постоянна
и вместе с каждой точкой t в % входит некоторая окрестность щ.
Но оно и замкнуто, ибо ср непрерывна (так как она локально
постоянна) и поэтому из условий ср(^Д=ф(?„) и tn->t" следует, что
ф (Г) = ф (^о)- По теореме 2 из п.4 <f ее/.

90 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
< Пусть сначала путь у гладкий и целиком лежит
в области, где функция f имеет первообразную F. Тогда
функция F°y, будучи первообразной / вдоль у,
отличается от Ф постоянным слагаемым, т. е. Ф (t) = F°y (t) + C.
Так как путь у —гладкий, a F'(z) = f(z), то для всех
t е [а, Р] существует непрерывная производная Ф' (t) =
~ f°V (0 • Y (0- Но по определению интеграла
$/dz = $/-Y(0-Yf (t)dt = \ay{t)dt = Q)($)-(b((x)
у а а
— в частном случае теорема доказана.
В общем случае мы можем разбить у на конечное
число путей Yv'- fav, «v-ril -> С (а0 = а < аг <... < ая = Р),
так, что каждый из них является гладким и лежит
в области, где / имеет первообразную. По только что
доказанному .
5/dz = 0(av+1)-(I>(av)f
и, складывая все эти равенства, получим (11) ►
Замечание 1. Если рассматривать вместо интеграла
Римана интеграл Лебега, то теорему 5 можно точно так
же доказать для спрямляемых путей. Однако можно
пойти и дальше. Пусть функция / голоморфна в
области D, тогда по теореме 4 существует ее первообразная Ф
вдоль произвольного непрерывного пути у: I ->D.
Учитывая теорему 5, мы определим интеграл от f по
произвольному непрерывному пути yaD как приращение
ее первообразной вдоль этого пути на отрезке [a, fi]
изменения параметра.
Очевидно, что правая часть (11) не меняется при
допустимых заменах параметра. Поэтому можно
рассматривать интеграл от голоморфных функций и по любым
(непрерывным) кривым.
Замечание 2. Теорема 5 позволяет убедиться
в справедливости сделанного в начале пункта
утверждения о том, что в многосвязной области не каждая
голоморфная функция имеет первообразную. Рассмотрим
область D = {0 < | г | < 2} и в ней голоморфную функцию
f(z) = —; эта функция не может иметь в D
первообразной. В самом деле, если бы первообразная F функции /

§ 5] ИНТЕГРАЛ 91
в D существовала, то для любого пути у: [а, |5]->■£>,
лежащего в D, первообразной вдоль этого пути служила
бы функция F*y(t) и, по теореме 5,
lfdz = F(b)-F(a),
Y
где а = у(а) и Ъ = у (|5) — концы у. В частности, интеграл
от f вдоль любого замкнутого пути yczD, для которого
Ь = а> равнялся бы нулю. Но мы знаем (см. пример 1
в п. 15), что интеграл от / вдоль единичной окружности
z — eu, /e[0, 2я], т. е. интеграл
|2| = 1
В заключение приведем несколько терминологических замечаний.
Вместо интегрирования функций часто говорят об интегрировании
дифференциальных форм. Для функций двух действительных
переменных х и у такие формы имеют вид
(o = Pdx + Qdyf (12)
где Р и Q — функции от х и у, заданные в плоской области D.
Форма (12) называется замкнутой в D, если Р и Q дифференцируемы и
всюду в этой области. Эта форма называется точной, если существует
дифференцируемая в D функция ф (х, у) такая, что всюду в D
Pdx + Qdy = dy.
Как и в п. 6, будем вместо х и у рассматривать комплексные
переменные z = x-\-iy и z = x — iy\ после перехода к этим
переменным форма (12) примет вид
(O = fidz + fodz,
где положено fi***-^ (P — iQ), /2 — -у (^ + 'Q)» Однако в комплексном
анализе обычно рассматривают частный вид дифференциальных форм,
для которых коэффициент при dz равен нулю:
(D = fdz. (14)
Положим /=« + /а и dz = dx-\-idy, тогда форма (14)
перепишется в виде линейной комбинации двух действительных форм
ю = юх +/со2 = и dx—-у dy-\-l (v dx-\-u dy).
Условия замкнутости форм щ и со2 в области D состоят в том,
что функции и и v дифференцируемы в D и всюду в D
ди _ dv ди __ dv
дх ~~ ду у ду ~дх

92 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
(ср. условие (13) замкнутости формы со). Но это-—условие
голоморфности функции / в области D. Учитывая сказанное, мы будем
называть форму (£> = fdz замкнутой в области D, если функция /
голоморфна в этой области.
Форма {H — fdz называется точной в области D, если существует
такая голоморфная в D функция F, что всюду в D
(£> = dF,
т. е. если f имеет в области D первообразную F.
В п. 21 мы докажем, что производная от голоморфной
функции также голоморфна. Отсюда следует, что всякая точная форма
fdz — dF непременно является замкнутой. Обратное утверждение
dz
неверно, вот пример: форма со = — замкнута в области D = {0<
<|г|<2}, но не точна в ней (см. замечание 2). Однако по
теореме 4 каждая замкнутая форма fdz локально точна (в
окрестности каждой точки г0 е D ее можно представить как
дифференциал функции f f (Q dt\.
[to, z] J
В следующем пункте мы убедимся в том, что в односвязнои
области у каждой голоморфной функции существует первообразная.
Поэтому в такой области каждая замкнутая форма точна.
Понятие дифференциальной формы особенно удобно для
функций нескольких комплексных переменных (см. часть II).
17. Теорема Коши. Здесь мы докажем в общей форме
теорему Коши — основную теорему теории
интегрирования голоморфных функций (в простейшей форме она
была доказана в предыдущем пункте). Эта теорема
утверждает, что для голоморфной в области функции интеграл
не изменяется, если путь интегрирования непрерывно
деформируется внутри области так, что его концы
остаются неподвижными или путь остается замкнутым.
Переходя к точным формулировкам, мы должны прежде всего
определить, что понимается под непрерывной деформацией
пути.
Для простоты предположим, что для всех
рассматриваемых путей параметр t меняется на одном и том же
отрезке / = [0, 1]. Это предположение не ограничивает
общности, ибо ему всегда можно удовлетворить при
помощи допустимой замены параметра, которая заменит
путь ему эквивалентным и сохранит значение интеграла
вдоль пути.
Определение 1. Два пути у0: I-+D и уг: I-+D
с общим и к онцами Yo(0) = Yi(0) = я и Yo (I) =Yi(l)-==^
называются гомотопными в области D, если существует
непрерывное отображение y(s, /): IxJ-^D (через /х/

§ 5]
ИНТЕГРАЛ
93
мы обозначаем произведение отрезков, т. е. квадрат
O^s^l, (X/^l) такое, что
Y(0, 0-YoW. TO. 0-YiW V^Ih (l)
Два замкнутых пути Yo(0: I->D и y±(t): I->D
называются гомотопными в области D, если существует
Рис. 31.
такое непрерывное отображение y(s, t): /x/->D, что
T(0f t)^y0(t), Y(l, 0-Yi(0 Ce/)
T(s, 0)=y(s, 1) (se/). j
При фиксированном s = s0 e / функция у (s0, /): / ->D
определяет путь в области D, причем такие пути
непрерывно меняются при изменении s0 и их семейство
«связывает» в D пути y0(t) и Yi (0 (на Рис. 31 эти
«промежуточные» пути изображены пунктиром). Таким образом,
гомотопность двух путей в области D означает
возможность непрерывно деформировать их друг в друга внутри D.
На рис. 31 пути уо и Yi гомотопны, а у не гомотопен им.
Гомотопность принято обозначать символом ~, так
что если путь Yo гомотопен пути уъ то мы будем писать
Yo~Yi-
Очевидно, что гомотопность удовлетворяет обычным
аксиомам эквивалентности (рефлективности,
симметричности и транзитивности). Поэтому в данной области все
пути с общими концами или все замкнутые пути можно
разбить на классы, каждый из которых объединяет все
гомотопные друг другу пути; такие классы называются
гомотопическими классами.

94 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Среди классов замкнутых путей выделяется класс
путей, гомотопных нулю. Говорят, что замкнутый путь у
гомотопен нулю в области D, если существует
непрерывное отображение y(s, t): /х/->£>, удовлетворяющее
условиям (2) и такое, что ух (^) == const (ЭТ0 означает,
что у непрерывной деформацией внутри D стягивается
в точку).
В односвязной области любой замкнутый путь
гомотопен нулю и, значит, любые два пути с общими
концами гомотопны друг другу (это свойство можно было
бы принять за определение односвязности). Поэтому
в односвязных областях разбиение на гомотопические
классы тривиально.
Так как гомотопность двух путей, очевидно, не
нарушается при допустимых заменах параметра, то это
понятие распространяется на кривые. Именно, две кривые
(с общими концами или замкнутые) называются
гомотопными в области D, если в D гомотопны пути уг и у2,
представляющие соответственно эти кривые.
В начале главы мы ввели понятие интеграла для
пути, а затем убедились в том, что фактически
интеграл определяется не путем, а кривой, т. е. классом
эквивалентных путей. Теорема Коши в общей форме
утверждает, что в случае голоморфных функций можно
пойти дальше: здесь интеграл определяется не кривой,
а гомотопическим классом, которому
принадлежит эта кривая. Иными словами, справедлива
Теорема 1 (Коши). Если функция /e^(D), а ух
и уо — два пути, гомотопные друг другу в D как пути
с общими концами или как замкнутые пути, то
\fdz=\fdz. (3)
Yo Yi
< Пусть у: /x/->-D —функция, определяющая гомо-
топию путей уо и Yi (см« определение 1). Построим систему
квадратиков Ктп (т, я=1, ..., N), покрывающих
квадрат К = 1x1 так, что каждый Ктп пересекается с
каждым соседним квадратиком (рис. 32). В силу
равномерной непрерывности функции у квадратики Ктп можно
выбрать столь мелкими, чтобы образ у (Ктп) содержался
в круге UfnnCiD, в котором функция / имеет
первообразную Fmn (мы пользуемся тем, что локально каждая

§ 5]
ИНТЕГРАЛ
95
голоморфная функция имеет первообразную). Фиксируем
индекс т и будем поступать, как при доказательстве
теоремы 4 из предыдущего пункта. Выберем произвольно
первообразную Fml, действующую в Umli а
первообразную Fm2, действующую в Um2i подберем так, чтобы Fml =
= Fm2 в пересечении Uml()Um (мы пользуемся тем, что
две первообразные f в этом пересечении могут отличаться
лишь постоянным слагаемым). Точно так же подбираем
первообразные Fm3i ..., FmN
(так, что Fmtn+1 = Fmn в
Um, /i+l П Umn) И СТрОИМ
ФУНКЦИЮ
Om(s, t) = Fmn*y(s, t) для
(S, t)^Kmn (/1=1, ..., N).
(4)
G 9B~S
Функция Фш, очевидно,
непрерывна в прямоугольни-
N
ке /Сот = (J /Сдал и определе-
п= 1
на с точностью до постоянного
слагаемого. Мы выбираем произвольно Фь а Ф2
подбираем так, чтобы ф1 = ф2 в пересечении ATiflKo1). Точно
так же подбираем функции Ф3, ..., Ф,у (так, что Фт =
= Фт+1 В /Ст П Кда+l) И СТрОИМ фуНКЦИЮ
Ф(5, /)-Фт(5, 0 для (s, О^/С, (т=1,...,#). (5)
При фиксированном se/ функция ®(s, /), очевидно,
является первообразной вдоль пути ys(t)=y (sj): /~>D,
поэтому по формуле Ньютона —Лейбница
(6)
\fdz = Q>(s, l)-0(sf 0).
Далее разберем отдельно два случая:
а) Пути Yi и ?2 имеют общие концы. В этом
случае по определению гомотопии для любого se/ имеем
y(s, 0) = a и y(s, l) = fr. Следовательно, функции Ф(б, 0)
и <D(s, 1) локально постоянны в каждой точке /, и,
*) Это мо:кно сделать, так как функция Ф2 — Ф1э будучи локально
постоянной и непрерывной на связном множестве КхП^г» постоянна.

96 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
значит, они постоянны на этом отрезке. Таким образом,
Ф(0, 0) = Ф(1, 0), Ф(0, 1) = ф (1, 1) и из формулы (6)
мы получаем (3).
б) Пути Yi и у2 замкнуты. Так как в этом случае
y(s, 0) = y(s, 1) для любого sg/, то (D(s, 1) —<D(s, 0)
локально постоянна в каждой точке / и, следовательно,
постоянна на всем этом отрезке. Поэтому из (6) опять
вытекает (3) ►
Из доказанной теоремы, в частности, вытекают
классические формулировки теоремы Коши.
Теорема 2. Если функция f ^@ (£>), то ее
интеграл по любому замкнутому пути у: /->D,
гомотопному нулю в этой области, равен нулю:
J / dz = 0, если у ~ 0. (7)
v
< Так как у~0, то этот путь можно в D гомотопно
деформировать в замкнутый путь уъ лежащий в
некотором круге U с: D. По теореме 3 предыдущего пункта
функция / имеет в U первообразную F, и, следовательно,
первообразной / вдоль уг будет функция F-yv Так как
Yi (0) = 7i (1) = а (путь Yi замкнут), то по формуле
Ньютона — Лейбница
\fdz = F(a)-F{a)=0.
Vi
Но по теореме 1 интегралы от / по у и Yi равны,
следовательно, интеграл от / по у равен нулю >
Так как в односвязной области каждый замкнутый
путь гомотопен нулю, то для таких областей теорема
Коши формулируется особенно просто:
Теорема 3. Если функция f голоморфна в одно-
связной области DczC, то ее интеграл вдоль любого
замкнутого пути у: I->D равен нулю.
Ввиду важности этой теоремы приведем еще ее элементарное
доказательство в двух дополнительных предположениях: 1)
производная /' непрерывна1) в D и 2) у — гладкий жорданов путь.
Из второго предположения следует, что у является границей
области G, принадлежащей области D в силу односвязности послед-
х) Скоро мы убедимся в том, что для голоморфных функций это
предположение выполняется автоматически.

ИНТЕГРАЛ
97
ней. Первое предположение позволяет применить известную из
анализа формулу Римана —Грина
дО в
(8)
при выводе которой требуется непрерывность в G частных
производных функций Р и Q (через dG здесь обозначается граница
области G, проходимая против часовой стрелки). Применяя эту формулу
к действительной и мнимой частям интеграла
^ fdz= ^ udx — vdy + i j vdx + udy,
dG dG dG
мы получим
S "■-$${-£-£+'(#-*)}**
dG G
Пользуясь символом комплексной производной дз (см. п. 6), мы
перепишем последнее соотношение в виде формулы
дв в
(9)
которую можно рассматривать как комплексную запись формулы
Римана — Грина.
Так как в силу голоморфности ч4 = 0, то теорема Коши
(в сделанных дополнительных предположениях) непосредственно
вытекает из этой формулы.
Из теоремы Коши
просто выводится глобальная
теорема о существовании
первообразной для одно-
связной области:
Теорема 4. Всякая
функция /, голоморфная в
односвязной области D,
имеет в этой области
первообразную.
< Покажем, что bD
интеграл от / по
незамкнутому пути не зависит от выбора этого пути и полностью
определяется его началом и концом. В самом деле, пусть
Yi и у2 —два пути, соединяющие в D точки а и b
(рис. 33). Без ограничения общности можно считать, что
4 Б. В. Шабат, ч. I
Рис. 33.

98 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
для уг параметр меняется на отрезке [a, PJ, a для у2—
на отрезке [(Зь (}] (а<рх <P). Обозначим через у
объединение путей Yi и Тз» это — замкнутый путь, лежащий
в области D. По свойствам интегралов
\ fdz- \ fdz = lfdz,
Yi Y2 Y
но по теореме 3 интеграл от / по любому замкнутому
п>ти yczD равен нулю, отсюда и следует наше
утверждение1).
Фиксируем теперь точку a^D и будем считать а
началом пути, лежащего в D, конец которого z будем
считать произвольным. Интеграл от / по этому пути
(который мы обозначим через az) является функцией точки z:
F(z) = $/(£)«. (10)
az
Повторяя в точности рассуждения, проведенные при
доказательстве теоремы 3 из предыдущего пункта, мы
убедимся в том, что F голоморфна в D и что F' = f
в каждой точке zgD, т. е. что F является
первообразной / в области D ►
Пример функции / = — в области {0<|z|<2} (см.
замечание 2 в предыдущем пункте) показывает, что условие
односвязности области в этой теореме существенно: для
многосвязных областей глобальная теорема существования
первообразной, вообще говоря, неверна.
18. Обобщения теоремы Коши. Тот же пример
показывает, что в многосвязной области интеграл от
голоморфной функции по замкнутому пути не обязательно
равен нулю, т. е. теорема Коши в том виде, как она
сформулирована в теореме 3 предыдущего пункта, на
многосвязные области не распространяется.
В формулировке теоремы 2 порядок связности
несуществен. Очевидно, что замкнутая кривая гомотопна нулю
в области D, если она является границей некоторой
области G(g=D (ее можно деформировать в точку, стяги-
х) Это утверждение можно получить непосредственно из теоремы
1, если воспользоваться утверждением, что в односвязной области
любые два пути с общими концами гомотопны друг другу.

§51
ИНТЕГРАЛ
99
вая в точку область G). Поэтому теорему Коши можно
формулировать еще и так: если функция / голоморфна
в области D, а область G(gD и ограничена непрерывной
кривой dG, то интеграл от / по dG равен нулю.
Для применений полезно иметь обобщение этой
теоремы на случай, когда область G не обязательно одно-
связна. Чтобы сформулировать это обобщение, введем
Определение. Пусть граница компактной1)
области G состоит из конечного числа замкнутых кривых yv
(v = 0, ..., п.— 1). Будем считать, что внешняя
граница уо» т. е. кривая,
отделяющая точки G от
бесконечной точки, ориентирована
против часовой стрелки, а
остальные граничные
кривые yv (v = 1, ..., it — 1) — по
часовой (иными словами,
граничные кривые
ориентированы так, что область во
время обхода границы всегда
остается слева (рис. 34). Рис.34.
Границу области G с такой
ориентацией мы будем называть ориентированной
границей и обозначать символом dG2).
Теперь мы можем сформулировать обобщение теоремы
Коши, о котором говорили выше:
Теорема 1. Пусть функция f <=© (D) и G — любая
компактно принадлежащая D область, ограниченная
конечным числом кривых. Тогда интеграл от f no
ориентированной границе области G равен нулю:
\fdz=0. (1)
dG
<4 Проведем в G конечное число разрезов А,±,
связывающих компоненты границы этой области (на рис. 35
мы для наглядности изобразили эти разрезы, состоящими
х) Напомним, что компактной называется область G, замыкание
которой в С не содержит бесконечной точки (G (с С).
2) Здесь мы пользуемся геометрическими представлениями
об ориентированной границе. Формальное ее определение см.
в п. 13 ч. II.
4*

100
СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
|ТЛ. II
из двух берегов). Очевидно, что замкнутая кривая Г,
состоящая из ориентированной границы 3G и совокупно-
^ ^ стей Л+= [}) + и Л-= U^.
гомотопна нулю в области D1).
\ В силу свойств интегралов
\fdz=\fdz +
Г dG
+ \fdz+ \fdz= \fdz,
л-
dG
^ ~~* а так как Г^О в D, то по
Рис 35 теореме 2 предыдущего пункта
мы получаем (1) ►
В некоторых вопросах полезно иметь более общий результат
о равенстве нулю интеграла по границе самой области D, а не только
областей, компактно ей принадлежащих. Ясно, что без
дополнительных условий такой результат получить нельзя, ибо функция может
не быть определенной на dD. Мы приведем естественные
дополнительные условия, в которых такое обобщение
теоремы Коши имеет место. Г ..' 1
Теорема 2. Пусть функция f голо-
морфна в компактной области D,
ограниченной конечным числом спрямляемых
кривых, и непрерывна в D. Тогда интеграл от
f no ориентированной границе этой области
равен нулю:
Udz = 0. (2)
dD
<4 Без ограничения общности можно
считать, что D — односвязная область (т. е.
dD состоит из одной кривой), ибо приемом,
примененным при доказательстве теоремы 1, общий случай сводится
к этому. Дальнейшее доказательство2) разобьем на три этапа.
1°. Пусть у — спрямляемая кривая и d(y) — ее диаметр3); пусть
плоскость С покрыта сеткой прямых, параллельных координатным
осям, причем сторона квадратов сетки
Рис. 36.
8<
31/2
d(y).
(3)
!) Это можно доказать индукцией по числу компонент 3D.
Заметим однако, что формальное доказательство всего проводимого здесь
построения достаточно громоздко.
2) Это доказательство нам сообщил Л. Д. Иванов.
3) Под диаметром d (М) множества М с: С понимается верхняя
грань расстояний \г' — г"\ между точками г', г" ^М.

$ 51 ИНТЕГРАЛ 101
Докажем, что сумма диаметров квадратов сетки, пересекающихся
су, не превосходит 9]^2 \у\, где \у | — длина кривой у.
В самом деле, пусть {Kj\, / е= J, — (конечная) совокупность
квадратов сетки, пересекающихся с у, и Kj — квадрат со стороной Зе
с тем же центром, что /Су, и так же расположенный (рис. 36). В силу
условия (3) у должна выходить на границу dKj, следовательно, длина
части у, лежащей в /С/,
hfl/C/l^e- (4)
Кроме того, мы имеем
2J ЬП/С/|^9|Т|, (5)
ибо ivl= 2 lYflK/l, а в сумме ^ Ivfl^C/l мы считаем каждую
из длин | у П /С/ | не более 9 раз. Из неравенств (4) и (5) получаем,
что
2 <*(*/)- 2 гГ2^Г2 ^ ЬПК/|^9]Л2|7!. (6)
2°. Пусть функция f определена на множестве М с: € и б
—положительное число. Модулем непрерывности / на М называется
величина
G>/(fi)=sup 1/(20 —/(z2)l для Zi, z2e=M, |Zi —z2|^6.
Известно, что если М— компактное замкнутое множество, то для
непрерывности f на нем необходимо и достаточно, чтобы coy (б) -> 0
при б -» 0.
Докажем, что б»сла / непрерывна на замкнутой спрямляемой
кривой у, то
\\fdz
где d (у)—диаметр кривой у.
В самом деле, в силу того, что интеграл от dz по у равен нулю,
для любой точки г0 е= 7 имеем
\fdz=\[f(z)-f(z,)]dz.
V V
Так как | / (z)—/(z0) ] ^ со/ (d (у)) для всех z <= у, то отсюда простой
оценкой получаем (7).
3°. Теперь будем доказывать утверждение теоремы. Покроем С
сеткой, как в 1°, и представим интеграл (2) в виде
Udzss 2 \ fdz + % $ fdz, (8)
dD j(=Jd(D()Kf) dKk
где первая сумма распространена на квадраты {К/}, / е J,
пересекающиеся с dD = y, а вторая —на квадраты, целиком состоящие
из внутренних точек D (она равна нулю по теореме Коши).
«£«/tf(Y))M. (7)

102
СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
Ггл. п
Для каждого /g/ пересечение D[\Kj состоит из конечного или
счетного множества компонент (на рис. 37 D[\K: состоит из одной
компоненты, a D[\Kj2 — из трех) К границе каждой компоненты
D{]Kj мы применим неравенство (7), в котором первый множитель
заменим^ величиной coy (е У 2} — модулем непрерывности / на D для
6 = е У 2 (мы учитываем, что диаметр границы каждой компоненты
не превосходит е]^2 и что со (б) —неубывающая функция от б).
Затем мы сложим все такие неравенства (при фиксированном /) и
учтем, что объединение границ всех компонент состоит из y[\Kj и
! у
1 _^_ /
st
Ур
h
и
г/
к< .
>*\—*"-
1
^,w
кк
^
Рис. 37.
некоторого множества точек на дК/, длина которого не превосходит
|сЖ7-| = 4е. Таким образом мы получим
$ /^1^со/(вК2)(|ТП/С/! + 4е).
d(D[)Kj) J
Подставляя это в (8), будем иметь
J/dzl^feyi) JJ (lYn/Cy| + 4e) = a)/(e/2)/|Yl+4 2 eV
Теперь воспользуемся неравенством (6), из которого следует, что
2 е=<:9 | у |, получим
K/dz|-c37JYi 03/(8/2).
I v I
Остается заметить, что в силу равномерной непрерывности /
на В величина coy (е ]Л2) стремится к 0 при е -» О, а так как 8
можно взять сколь угодно малым и оцениваемый интеграл не
зависит от е, то он равен нулю ►
19. Интегральная формула Коши. Здесь мы получим
представление функций, голоморфных в компактной
области, при помощи интеграла по границе этой области.
Такое представление, как мы увидим, находит важные при-

§51
ИНТЕГРАЛ
103
менения как в теоретических, так и практических
вопросах.
Теорема 1. Пусть f е © (D) и G — компактно
принадлежащая D область, ограниченная конечным числом
(непрерывных) кривых. Тогда в любой точке z e G
функция f представима в виде
где dG — ориентированная граница G (см. стр. 99).
Величина в правой части этой формулы называется
интегралом Коши.
< Возьмем р>0 таким, чтобы круг £/p=={z': \z' — z\<Z
<.p}<^G, и обозначим Gp = G\Up. Функция g(£) = p-^-
голоморфна в Gp, как частное двух голоморфных
функций со знаменателем, отличным от нуля. По теореме 1
предыдущего пункта (она применима, ибо g голоморфна
в некоторой области, компактно содержащей Gp) имеем
2m \gU^ 2ш J l-z 2ni J t,-z U'
d% dG du9
где окружность d£/p = {£: |£ — z\ = p} ориентирована
против часовой стрелки.
Таким образом,
ас ас/о
где число р>0 можно считать сколь угодно малым. Так
как функция / непрерывна в точке г, то для любого s > 0
можно выбрать число 6>0 столь малым, что при р<6
|/(С)—/(г)| <е для всех £edi/p.
Поэтому разность1)
1) Мы воспользовались тем, что -=-- \ *. == 1 (см пример 1
Ш <% ~Z
п. 15) и что постоянный множитель /(г) можно внести под знак
интеграла.

104 свойства голоморфных функций Ггл. и
по абсолютной величине не превосходит -^-&'^п==& и»
следовательно, стремится к нулю при р-^-0. Но, как
видно из (2), левая часть (3) не зависит от р,
следовательно, она равна нулю при всех достаточно малых р, т. е.
Отсюда и из (2) следует формула (1) ►
Замечание 1. Если в условиях теоремы 1 точка z
лежит вне G, то
,dC-0. (4)
1 f/J)
2ш J t-
.. С-
dG
Это утверждение следует непосредственно из теоремы
Коши, ибо здесь функция g(Q = i^L голоморфна в G.
Замечание 2. Если вместо теоремы 1 предыдущего пункта
мы используем теорему 2, то получим такую теорему:
Теорема Г. Если функция f голоморфна в компактной
области D, ограниченной конечным числом спрямляемых кривых, и
непрерывна в D, то
1 С /(£)<*£ = ( / (г) для всех г <= £>, (5)
2Ш dD ^~Z \ ° ^гя вш; 2eC\D,
где dD —ориентированная граница D.
Интегральная формула Коши выражает весьма
интересный факт: значения голоморфной в области G
функции полностью определяются ее значениями на границе.
(В самом деле, если значения / на dG известны, то
известна и вся правая часть формулы (1), т. е. известно
значение / в любой точке г <= G). Этот факт
принципиально отличает голоморфные функции от функций,
дифференцируемых в смысле действительного анализа.
Из теоремы 1 просто вытекает
Теорема 2 (о среднем). Значение функции f e © (D)
в каждой конечной точке z e D равно среднему
арифметическому ее значений на любой достаточно малой
окружности с центром в z:
2п
f{z)=i;\f(z + peu)dt. (6)

§5]
ИНТЕГРАЛ
105
< Возьмем круг Up = {z': \z'— z|<p} такой, что
U9eD, и примем его в качестве области G из теоремы 1.
По интегральной формуле Коши получим
а так как на dU9 имеем £ — г = реи, t е [0, 2я], d£ =
*=pieudt, то (7) сводится к (6) ►
Теорема о среднем показывает, что голоморфные
функции, описательно говоря, очень правильно устроены и
что их значения тесно связаны с соседними значениями.
Это объясняет наличие у таких функций целого ряда
специфических свойств, которых нет у функций,
дифференцируемых в смысле действительного анализа. Многие
такие свойства мы рассмотрим в дальнейшем.
В заключение приведем формулу интегрального
представления R-дифференцируемых функций, которая
обобщает интегральную формулу Коши.
Теорема 3. Пусть функция f принадлежит классу С1
в замыкании компактной области D, ограниченной
конечным числом спрямляемых кривых. Тогда в каждой точке
dD D ъ b
Эту формулу мы будем называть формулой Коши —
Грина] если /e^(D), то двойной интеграл в ней
исчезает, и мы получаем формулу Коши^
<« Исключим из D малый круг £/р = {£: |£ —z|<ip} и
к функции £(£)==тзг", принадлежащей классу С1 в обла-
сти D0=D\(/p, применим формулу Грина в комплексной
записи (см. формулу (9) п. 17):
х) Мы имеем -Mr = ~ • z , ибо функция голоморфно
зависит от £ и ее производная по £ равна нулю.

106 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. II
Так как f непрерывна в точке г, то f (£) = / (z) + О (р) для
5е(/р, где О(р)->0 при р-^0. Поэтому
\{^dt = f(z) jj^ + 5^M.dC=-2n//(z) + 0(p),
dU dU дЬ
р р р
и последняя формула при р->0 дает (8) *) ►
§ 6. Ряды Тейлора
В этом параграфе мы, отправляясь от интегральной
формулы Коши, получим представление голоморфных
функций в виде сумм степенных рядов (рядов Тейлора).
Напомним известные из анализа простейшие понятия,
оо
связанные с рядами. Ряд (из комплексных чисел) ^ ап
/2 = 0
называется сходящимся, если последовательность его
п
частичных сумм s„= ^ ak имеет конечный предел s; этот
А?=0
предел называется суммой ряда.
оо
Функциональный ряд 2 Мг)> гДе функции /л ОПре-
делены на некотором множестве МсС, называется /ш-
номерно сходящимся на М, если он сходится в каждой
точке z <= М и для любого s > 0 найдется номер N = N {е)
такой, что для всех nT^N остатки этого ряда
оо I
2 /* (г) < 8 Аля всех z <= М.
k=n+l \
Точно так же, как в анализе, доказывается, что ряд
оо
2 fn(z) сходится равномерно на множестве М9 если схо-
л=0
J) Наше рассуждение доказывает существование
1,т уу Д.^
но так как / е С1 (D), то двойной интеграл в (8) существует (в этом
можно убедиться, переходя к полярным координатам с центром
в точке г) и этот предел совпадает с ним.

§61
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
107
дится ряд с неотрицательными членами ^ ||/л||, где||/я|| =
м = 0
= sup \fn(z)\ (последнее условие равносильно тому, что
2GAI
рассматриваемый ряд мажорируется на М сходящимся
числовым рядом). Без всяких изменений переносятся и
доказательства того, что сумма равномерно сходящегося
ряда из функций, непрерывных на множестве М,
непрерывна на этом множестве и что равномерно сходящийся
на кривой (класса С1 или спрямляемой) ряд из
непрерывных функций можно почленно интегрировать по этой
кривой.
20. Ряды Тейлора. Одной из основных в теории
функций комплексного переменного является
Теорема 1. Если функция f ^& (D) и z0 —
произвольная точка D, то в любом круге U = {\ z — z0 | < R} с D
эту функцию можно представить в виде суммы
сходящегося степенного ряда
со
/(z)=21c»(z-Zo)". (1)
«=о
4 Пусть zet/-произвольная точка; выберем число г
так, чтобы |г — z0|<r</?, и обозначим через уг
окружность {£: |£ — z0\ = r). По интегральной формуле Коши
имеем
/w4Sffi*
Чтобы получить разложение f в степенной ряд,
разложим «ядро» этой формулы в геометрическую прогрессию
по степеням г — z0:
оо
1 1 VI (г-г0)"
"~г «-*>(!-тЕ|) Att-^' (2)
затем умножим обе части на уу/(£) и проинтегрируем
почленно по уг. Так как для всех ^Еу; имеем

108 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. II
то прогрессия (2) сходится абсолютно и равномерно по £
на уг. Равномерность сходимости не нарушится при
умножении на непрерывную на уг, и, следовательно,
ограниченную функцию -о-^/ЧО- Поэтому наше почленное
интегрирование законно, и, выполнив его, мы получим
оо оо
угп=0 п = 0
где
с-~зИЕ^1рт (" = 0, !,..•)► (3)
Определение. Степенной ряд (1), коэффициенты
которого определены формулами (3), называется рядом
Тейлора функции / с центром в точке z0.
Из теоремы Коши о гомотопии (п. 17) видно, что
коэффициенты сп ряда Тейлора, определяемые по формуле (3),
не зависят от радиуса г окружности уг (0<г </?).
Отметим простые следствия теоремы 1.
Неравенства Коши. Пусть функция f
голоморфна в замкнутом круге U ={\z — z0\^r\ и на
окружности yr = dU ее модуль не превосходит постоянной М,
Тогда коэффициенты ряда Тейлора f с центром в z0
удовлетворяют неравенствам
\ся\^ (я = 0, 1, ...)• (4)
4 Из формул (3), учитывая, что \f(Q\^M для всех
£ <= уп находим
Из неравенств Коши вытекает интересная
Теорема 2(Лиувилль). Если функция f голоморфна
во всей плоскости (D и ограничена, то она постоянна.
< По теореме 1 в любом замкнутом круге U = {\z\^
^R}, R<.oo, функция / представляется рядом Тейлора
оо
п = 0
коэффициенты которого не зависят от R. Так как /

§61
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
109
ограничена в € (пусть \f(z)\^M)i то по неравенствам
Коши для любого я = 0, 1, ... имеем
Здесь R можно взять сколь угодно большим, поэтому
при я=1, 2, ... правая часть стремится к нулю при
R-+oo. Но левая часть не зависит от /?, поэтому сп = 0
для п = 1, 2, ... и f (z)=c0 ►
Таким образом, два свойства функции —быть
голоморфной во всей плоскости € и быть ограниченной—могут
сосуществовать лишь на тривиальных функциях
(постоянных).
Теорему Лиувилля можно сформулировать еще и так:
Теорема 2\ Если функция f голоморфна во всей
замкнутой плоскости (D, то она постоянна.
4 Функция / голоморфна в бесконечности (см. конец
п. 6), значит, lim/(z) существует и конечен. Отсюда
Z->CXD
следует, что / ограничена в некоторой окрестности
{| z | >R\ бесконечной точки. В остальной части плоскости
{|г|^/?} она ограничена, как непрерывная функция
на замкнутом ограниченном множестве. Поэтому /
ограничена в €, а так как она голоморфна там, то по
теореме 2 / = const ►
Теорема 1 утверждает, что любую голоморфную
в круге функцию в этом круге можно представить как
сумму сходящегося степенного ряда. Мы хотим теперь
доказать, что, и обратно, сумма любого сходящегося
степенного ряда является голоморфной функцией. Для
этого напомним некоторые свойства степенных рядов,
известные из курса анализа.
Лемма. Если члены степенного ряда
со
2cn(z-a)" (5)
п = 0
в некоторой точке z0 е € ограничены, т. е.
\сп(г0-а)п\^М (п = 0, 1, ...), (6)
то этот ряд сходится в круге U = {z\ \ z — а\ < | z0 — a\}
и на каждом компактном подмножестве К <Ш U он
сходится абсолютно и равномерно,

ПО СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ ГГЛ. II
4 Можно предполагать, что г0 Ф а, т. е. \z0 — я| =
= р>0, иначе множество U пусто. Пусть множество
K<^U, тогда для любой точки ге/(
г-а\
\q<l
(рис. 38). Поэтому для любой точки z<=K и для любого
п = 0, 1, ... мы имеем
\cn(z-a)n\^\cn\pnqn.
Mono условию (6) \сп\рп^М, следовательно, для любой
z^lK ряд (5) мажорируется сходящейся геометрической
оо
прогрессией M^]qn и, значит,
п = 0
сходится равномерно на К.
Второе утверждение леммы
доказано, а первое следует из второго,
ибо любая точка z' e U содержится
в некотором круге {\z — я|<р'}»
\zr — а|<р'<р, компактно
принадлежащем U ►
Теорема 3 (Абель). Если
Рис. 38. степенной ряд (5) сходится в
некоторой точке z0<=(D, mi этот
ряд сходится в круге U = {z: | z — а | < | z0 — а |} и на
каждом компактном подмножестве U он сходится абсолютно
и равномерно.
< Так как ряд (5) сходится в точке z0, то общий
член cn(z0 — a)n соответствующего числового ряда
стремится к нулю. Но всякая сходящаяся последовательность
ограничена, поэтому выполняется условие леммы, а из
леммы следуют оба утверждения теоремы >
Формула Коши — Адамара. Пусть дан степенной
ряд (5) и п — !
\\ту \сп\ = ъ-> (7)
где O^R^oo [мы считаем
■■ оо
и -=0].
оо
Тогда в
любой точке z, в которой |z —а|</?, ряд (5) сходится,
а в любой точке г, в которой |z — а|>>/?, расходится.
< Верхним пределом последовательности
действительных чисел а,г называется число А такое, что: 1) суще-

§ 61 РЯДЫ ТЕЙЛОРА 111
ствует подпоследовательность ank-+A и 2) каково бы
ни было е>0, найдется такой номер N, что ап<.А + е
для всех n^N. При этом не исключаются случаи
Л=±оо, только при Д=+°° условие 2) отпадает,
а при А= — оо число Д + е в нем заменяется
произвольным числом (в последнем случае условие 1)
выполняется автоматически и существует lima„ = — оо). В ана-
п-+оо
лизе доказывается, что всякая последовательность айеК
имеет единственный (конечный или бесконечный) верхний
предел.
Пусть 0 < R < оо; для любого е > О можно найти
п j \
число N такое, что при n^N имеем у \сп | < ёг + £>
и, следовательно,
|^-я)л|<{(^ + е)|г-я|}\ (8)
Если | г — а | <С /?, то можно выбрать 8 столь малым, что
будет (b~+Bj\z — a\ = q<cl] тогда, как видно из (8), члены
ряда (5) при n^r-N мажорируются членами
геометрической прогрессии qn, и, следовательно, ряд (5) сходится
при | z — а | </?.
Из условия 1) в определении верхнего предела видно,
что для любого 8>0 найдется последовательность пк-+оэ
'V; i 1
такая, что у \сПк| >~п— £, и, следовательно,
|Слл(г_а)п»|>{(^-в)|г-а|}я*. (9)
Если \z — a\>R, то можно выбрать 8 столь малым, что
будет (-£—- е)! г — а\ > 1; тогда, как видно из (9),
\сп (г — а)Пк\>\, и, следовательно, общий член ряда (5)
не стремится к 0, т. е. ряд расходится при |г — a\>R.
Доказательство в случаях R=0 и R=oo
предоставляется читателям ►
Определение. Областью сходимости степенного
ряда (5) называется открытое ядро (т. е. совокупность
внутренних точек) Ш множества Ш тех точек 2еС,
в которых сходится этот ряд.

112 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Теорема 4. Областью сходимости степенного ряда
(5) является круг {\г — a\<.R), где R — число,
определяемое по формуле Коши — Адамара (7).
< Из предыдущего утверждения следует, что
множество Ш точек сходимости ряда (5) представляет собой
круг {\г — a\<cR}> дополненный некоторым множеством
точек окружности {| z — а | = R) (быть может, пустым).
Поэтому открытым ядром Ш является круг {\z — a\<R} ►
Круг (открытый), существование которого только что
доказано, называется кругом сходимости степенного ряда
(5), а число R —радиусом сходимости.
Примеры 1. Ряды
оо оо оо
а) 2 Ш"' б) 2 '"> в) 2(пг)п' (10)
п= 1 п = 1 /1 = 1
как видно из формулы Коши—Адамара, имеют соответственно
радиусы сходимости R = co, 1 и 0. Поэтому круг сходимости первого
из них есть С, второго —единичный круг {jz|<l}, а третьего —
пустое множество.
2. Из той же формулы видно, что кругом сходимости всех трех
рядов
оо оо оо
а) 2 гп> б) 2 т• в) 2 S <п>
П=1 /1=1 П = 1
является единичный круг {|г|<1}. Однако множества точек
сходимости всех трех рядов различны. Ряд а) расходится во всех точках
окружности {|z| = l}, ибо его общий член при jz| = l не стремится
к нулю. Ряд б) в некоторых точках окружности {|z| = l}
сходится (например, в 2 =—1), а в некоторых расходится (например,
в 2=1). Ряд в) сходится во всех точках этой окружности, ибо
для любого 2, jz| = l, он мажорируется сходящимся числовым
оо
рядом 2 «*•
rt=l
Переходим к доказательству голоморфности суммы
степенного ряда.
Теорема 5. Сумма степенного ряда
/(г)=|]св(2-а)в (12)
/г=?=0
голоморфна в круге его сходимости.

§ 6] РЯДЫ ТЕЙЛОРА ИЗ
4 Мы предполагаем, что радиус сходимости ряда
У?>0, ибо иначе нечего доказывать. Напишем формально
производный ряд
оо
Ц/Мг-аГ^яФ); (13)
оо
он сходится или расходится вместе с рядом ^ псп (г —я)л,
л = 1
а так как п „
]\туп\сп\ = limy \cn\,
п—*-со п—*-со
то радиус сходимости ряда (13) тоже равен R. На
компактных подмножествах круга U = {\ z — a\ <R\ ряд (13)
сходится равномерно, следовательно, функция ср
непрерывна в этом круге.
По той же причине ряд (13) можно почленно
интегрировать по границе любого треугольника А ш11:
со
^ Ф dz == 2 псп \ (z — я)"-1 dz = Q
дА /2=1 дА
(по теореме Коши все интегралы в правой части равны
нулю, значит, и интеграл в левой части также).
Следовательно, можно применить теорему 3 из п. 16 и
замечание вслед за ней, по которому функция
оо оо
[a, z] /2—1 [a, z] n=\
(мы снова воспользовались равномерной сходимостью)
в каждой точке г£(/ имеет производную, равную ф(г).
Но тогда и функция
f(z) = Co+ $ q>(£)dC
в каждой точке ге(/ имеет производную /'(z) = cp(z) ►
21. Свойства голоморфных функций. Отметим несколько
следствий теоремы о голоморфности суммы степенного
ряда.
Теорема 1. Производная любой функции f с: © (D)
голоморфна в области D.
4 Для любой точки г0£Й мы построим круг U =
= {| г — г0|<#}, принадлежащий D. По теореме 1 п. 20

114 свойства голоморфных функций [гл. и
функция / в этом круге представляется как сумма
степенного ряда. По теореме 5 п. 20 производная f' = cp
представляется рядом, сходящимся в том же круге.
Поэтому к ф можно снова применить теорему 5, и,
значит, ф дифференцируема в U в смысле комплексного
анализа >
Из этой теоремы непосредственно вытекает
необходимое условие существования первообразной, о котором
говорилось в п. 16:
Следствие. Если непрерывная функция f имеет
в области D первообразную F, то f голоморфна в D.
Повторным применением теоремы 1 получается
Теорема Г. Любая функция f ^0 (D) имеет в D
производные всех порядков, также принадлежащие © (D).
Следующая теорема утверждает единственность
разложения функции в степенной ряд с данным центром.
Теорема 2. Если функция f в круге {\г — г0|<^}
представима как сумма степенного ряда
оо
f(z)= 2с"(г-го)п, (1)
/2=0
то коэффициенты этого ряда определяются однозначно
по формулам
cn=f-^ (/i = 0, I,...)- (2)
< Подставляя в (1) г = г0, найдем f(z0)=c0.
Дифференцируя ряд (1) почленно:
f'(z) = c1 + 2c2(z-z0) + 3c3(z-z0)2 + ...y
и затем подставляя г = г0, найдем ff(z0) = c1.
Продифференцируем (1) п раз:
р> (г) = п\сп + с[ (г - г0) + ci (z - г0)2 +...
(мы не выписываем выражений для коэффициентов),
и снова подставим г = г0; получим n\cn = f{n) (г0) ►
Теорему 2 иногда формулируют так: всякий
сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора своей
суммы.

§ 6]
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
115
Формула (2) позволяет писать тейлоровские
разложения элементарных функций. Например, мы имеем
е^1+г + £ + ... + £ + ...,
1 г2 , г* . г3 , г5 * '
cos z=l -2T + 4J--..., sin г = г — -37 + 5Т — • •' ;
все три разложения справедливы всюду в (D (их радиус
сходимости R = oo).
Сравнивая только что найденные значения сп с
первоначальными их значениями, вычисленными по формуле
(3) п. 20, получим выражения для производных
голоморфных функций:
?Я)Ы = Ш11^ ("=1.2,...)- (4)
Если / голоморфна в области D и G<mD~ область,
ограниченная конечным числом непрерывных кривых
и такая, что z0eG, то, пользуясь неизменностью
интеграла при гомотопной деформации контура, мы можем
заменить в последней формуле уг ориентированной
границей dG. Получим формулы Коши для производных
голоморфных функций:
fW^-M\i^ (/1-1.2,...) (5)
(мы пишем z вместо z0 и предполагаем, что z e G).
Эти формулы получаются из интегральной формулы
dG
дифференцированием по параметру z под знаком
интеграла. Наше косвенное рассуждение позволило избежать
доказательства законности такого дифференцирования.
Теорема 3 (Морера). Если функция f непрерывна
в области D и интеграл от нее по границе <ЭД любого
треугольника A(^D равен нулю, то f^0(D).
•4 Для любой точки a^:D построим круг U={\z —
— a|<r}c:D. Функция
[a, z]

П6 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. II
голоморфна в U и F'(z) = f(z) в каждой точке зеУ
(см. замечание вслед за теоремой 3 п. 16). По теореме 1
отсюда следует, что и f голоморфна в U. Тем самым
доказана голоморфность / в каждой точке а е D ►
Замечание. Теорема Мореры является обратной к теореме
Коши в формулировке п. 16, по которой интеграл от голоморфной
в области D функции по границе любого треугольника A(cD равен
нулю. Однако в теореме Мореры вводится дополнительное условие
непрерывности функции /. Это условие существенно: например,
для функции, равной 0 всюду в С, кроме одной точки, где она
равна 1, интеграл по границе любого треугольника равен нулю,
однако эта функция не голоморфна, ибо она даже не непрерывна.
В заключение приведем сводку результатов об
эквивалентности различных определений голоморфности
функции в точке:
Теорема 4. Эквивалентны следующие три
утверждения:
(R) функция f является ^-дифференцируемой в
некоторой окрестности U точки а\
(С) функция f непрерывна в некоторой окрестности U
точки а, и интеграл от нее по границе любого
треугольника A<mU равен нулю;
(W) функция f разлагается в степенной ряд, сходящимся
в некоторой окрестности U точки а.
Эти три утверждения отражают три концепции
в построении теории голоморфных функций. Обычно
функцию, удовлетворяющую условию (R), называют
голоморфной в смысле Римана, условию (С) — голоморфной
в смысле Коши и условию (W) — голоморфной в смысле
Вейерштрасса.
Импликация (R) => (С) доказана в теореме Коши
(п. 16), (C)=>(W)-b теореме Тейлора, (W)=>(R) —
в теореме о голоморфности суммы степенного ряда.
И, наконец, сделаем еще одно
Замечание. Мы убедились в том, что
представимость функции/ в круге {\г — а \ <R) в виде суммы
сходящегося степенного ряда является необходимым
и достаточным условием ее голоморфности в этом круге.
Однако сходимость степенного ряда в точках границы
круга сходимости не связана с голоморфностью суммы
ряда в этих точках. В этом можно убедиться на простых
примерах.

§ 6] РЯДЫ ТЕЙЛОРА И7
В самом деле, напишем разложение в геометрическую прогрессию
оо
1
2 г\ (6)
1-2
л = 0
сходящееся в круге {| z \ < 1}. Во всех точках окружности {| z ! = 1}
ряд (6) расходится, ибо его общий член не стремится к 0. Однако
сумма этого ряда голоморфна во всех точках окружности, кроме
г=1. С другой стороны, ряд
оо
сходится во всех точках окружности круга сходимости {|г|=1},
ибо он мажорируется сходящимся числовым рядом У —. Однако
его сумма / не может быть голоморфной в точке z = 1, так как
просо
2zn-i
при стремлении к 1 по действительной оси
1
неограниченно возрастает.
22. Теорема единственности. Определение 1.
Нулем функции / называется любая точка agC, в которой
эта функция равна нулю, т. е. корень уравнения /(z) = 0.
В действительном анализе нули дифференцируемых
функций могут иметь предельные точки, в которых
функция остается дифференцируемой (такова, например, точка
х = 0 для функции f (х) = х2 sin—). В комплексном
анализе дело обстоит не так: нули голоморфной функции
непременно изолированы, они могут иметь предельные
точки лишь на границе области, в которой голоморфна
эта функция 1). Этот факт выражает
Теорема 1. Если точка а является нулем
голоморфной в этой точке функции /, не равной тождественно
х) Заметим, что функция /(z) = 22sin — перестает быть
голоморфной в точке г = 0, ибо при г->-0 по некоторым направлениям
(например, по направлению мнимой оси) sin — стремится к бесконечности
быстрее любой степени —.

118 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
нулю ни в какой окрестности а, то существует такое
натуральное число /г, что
/(г) = (г-а)«ф(г), (1)
где функция ф голоморфна в точке а а отлична от нуля
в некоторой окрестности этой точки.
«4 В самом деле, в некоторой окрестности точки а
функция / разлагается в степенной ряд. Свободный член
этого ряда равен нулю, ибо /(а) = 0, но все его
коэффициенты не могут быть равными нулю, ибо тогда f==0
в некоторой окрестности а. Поэтому найдется отличный
от нуля коэффициент с младшим номером, который мы
обозначим через я, и разложение имеет вид
/ (2) = сп (г - а)- + Cn+i (г - а)^ + ..., спфО, (2)
Обозначим через
4>(г) = сп + сп+1(г — а)+...
сумму ряда, сходящегося в некоторой окрестности а,
и поэтому голоморфную в этой окрестности. Так как
<р(а) = спфО, то в силу непрерывности этой функции
Ф^О в некоторой окрестности а ►
Теорема 2 (единственности). Если две
функции /ь /2<=^(D) совпадают на множестве &, которое
имеет хотя бы одну предельную точку а, принадлежа-
щую D, то /i = f2 всюду в D.
4 Функция f^fi — f2 ^0 (D); нужно доказать, что/^0
в D, т. е. что множество / = {геО: f(z) = 0} zdS
совпадает с D. Предельная точка а является нулем f (в силу
непрерывности последней). По теореме 1 функция / = 0
в некоторой окрестности а, ибо иначе эта точка не могла
быть предельной для множества нулей f.
Таким образом, открытое ядро еГ множества gF (т. е.
совокупность его внутренних точек) непусто —оно
содержит точку а. По построению qF открыто, но оно в то же
время и замкнуто (в относительной топологии области D).
В самом деле, если b <=D является предельной точкой ef,
то по той же теореме 1 о функция / = 0 в некоторой
окрестности Ь, т. е. be of. Так как D по определению
области связно, то по теореме 3 п. 4 имеем gF = D &►

§6]
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
119
Эта теорема также показывает существенное отличие
понятия голоморфности функции от понятия дифферен-
цируемости в смысле действительного анализа. В самом
деле, две даже бесконечно дифференцируемые функции
действительного переменного могут совпадать на части
области определения, не совпадая тождественно. Но по
доказанной теореме две голоморфные функции,
совпадающие на любом множестве, которое имеет предельную
точку в области, где они голоморфны (например, на
маленьком кружке или на дуге, принадлежащей области),
совпадают тождественно во всей области.
Заметим еще, что, пользуясь теоремой единственности,
можно несколько упростить формулировку теоремы 1.
Именно, условие, что функция / не равна тождественно
нулю ни в какой окрестности точки а, можно заменить
условием, что она вообще не равна нулю тождественно
(по теореме единственности эти условия совпадают).
Из теоремы 1 видно, что голоморфные функции
обращаются в нуль, как целая степень (г —а).
Определение 2. Порядком нуля аеС функции /,
голоморфной в этой точке, называется номер младшей
отличной от нуля производной f{b) (а). Иными словами,
точка а называется нулем / порядка п, если в этой точке
f (а) = .. . = /(«-!) (а) = 0, /("> (а) ф0 (п^ 1). (3)
fik) ta\
Из формул для коэффициентов ряда Тейлора ck = l ^
видно, что порядок нуля совпадает с номером младшего
отличного от нуля коэффициента тейлоровского разложения
функции в этой точке, т. е. с числом я, которое
участвует в формулировке теоремы 1. Теорема единственности
показывает, что голоморфные функции, не равные
тождественно нулю, не могут иметь нулей бесконечного порядка.
Подобно тому, как это делается для многочленов,
можно определить порядок нуля при помощи делимости.
Именно, справедлива
Теорема 3. Порядок нуля agC голоморфной
функции f совпадает с порядком наивысшей степени (z — a)k,
на которую f «делится» в том смысле, что частное ,J_L%
(после продолжения по непрерывности в точку а)
оказывается функцией, голоморфной в точке а.

120 свойства голоморфных функций [гл. п
«ц Обозначим через п порядок нуля а и через N
наивысший порядок степени бинома (г —а), на которую
делится /. Из формулы (1) видно, что / делится на любую
степень k^n: $(~\
(_Шг=(г_а)"-Ч(2),
поэтому N^n. Пусть / делится на {z — a)N, т. е. частное
(z-af
представляет собой функцию, голоморфную в точке а.
Разлагая г|) в ряд по степеням (г —а), мы найдем, что
тейлоровское разложение / с центром в точке а
начинается со степени не ниже N. Поэтому n^N, и,
объединяя это с полученным выше неравенством, найдем, что
N = n >
Пример. Функция f(z) = smz — z имеет в точке г = 0 нуль
третьего порядка. В самом деле, имеем / (0) = /' (0) = /" (0) = 0, но
Г"Ф)¥=0. Это видно также из разложения
f(z) = smz-z = -~ + -~ + ...
Замечание. Пусть / голоморфна в бесконечности и
равна там 0; порядком этого нуля естественно назвать
порядок нуля в точке г = 0 функции <р (г) = /(—). Дока-
занная теорема останется справедливой и для точки
а = оо, если вместо деления на (z — d)k рассматривать
умножение на zk {k=\, 2, ...).
Понятие порядка нуля можно распространить на Л-точ-
ки голоморфных функций. Точка а е € называется А-точ-
кой функции /, если f(a) = A. Порядком Д-точки а
функции /, голоморфной в этой точке, называется порядок а
как нуля функции /(г) — А.
23. Теоремы Вейерштрасса и Рунге. Как известно,
в действительном анализе почленное дифференцирование
рядов требует сходимости ряда в какой-либо точке и
равномерной сходимости ряда из производных. В
комплексном анализе ситуация упрощается. Имеет место
Теорема 1 (Вейерштрасс). Если ряд
оо
/(г) =2 /я (г) (1)
л = 0

§6]
РЯДЫ ТЕЙЛОРА
121
из функций, голоморфных в некоторой области D,
сходится равномерно на любом компактном подмножестве
этой области, то
1) сумма этого ряда f голоморфна в D\
2) ряд можно почленно дифференцировать в каждой
точке D любое число раз,
А Пусть а —произвольная точка D; построим круг
U = {\z — a\<.r} eD. Так как ряд (1) по условию
сходится на 0 равномерно, а его члены непрерывны в £/,
то его сумма f непрерывна в U. Обозначим через у
ориентированную границу любого треугольника Дс(/. Так
как ряд (1) сходится на у равномерно, мы можем
проинтегрировать его почленно вдоль у:
00
у /2 = 0 V
Но так как fn голоморфны в U', то по теореме Коши
все интегралы в правой части равны нулю. Следовательно,
равен нулю и интеграл от / по у. Мы можем применить
теорему Мореры, по которой f голоморфна в U.
Утверждение 1) доказано.
Для доказательства 2) опять возьмем произвольную
точку agD, построим круг U = {\z — a\<r] eD и
обозначим через yr=.dU окружность {\z — a\ = r}. По
формуле Коши для производных имеем
/•"W^S-^r (*=1.2....). (2)
В силу равномерной сходимости на уг ряда
оо
/(г) ^ V Гп(г) т
(Z_a)*+i £ (Z_a)ft+i \°)
п = 0
(он отличается от (1) множителем, модуль которого равен
—— для всех z е у г) мы можем подставить (3) в интег-
рал (2). Применяя формулы (2) к функциям fnt найдем
оо оо
/2 = 0 yr v ' л = 0
Утверждение 2) доказано ►

122 свойства голоморфных функций [гл. и
В анализе особую роль играют ряды, составленные
из полиномов. По теореме Вейерштрасса можно
утверждать, что если ряд из полиномов
f(z)=2p»(z)
/г = 0
(4)
сходится равномерно на каждом компактном
подмножестве некоторой области D, то его сумма / голоморфна в D.
Для практики важна обратная задача о приближении
произвольной функции, голоморфной в области D,
последовательностью полиномов, причем обычно требуется,
чтобы такое приближение было равномерным на каждом
компактном подмножестве D. Приведем точную
постановку задачи о равномерном приближении полиномами.
Пусть задана область DcC и функция f e ® (D).
Требуется для любого множества К е D и любого s > 0
построить такой полином P(z), чтобы
i/-*i
sup
\f(z)-P(z)\<e.
(5)
Эта задача равносильна задаче построения ряда из
оо
полиномов 2 Рп, который сходится к / равномерно
п = 0
на каждом компактном подмножестве области D. В самом
деле, если такой ряд построен,
то его частичные суммы с
достаточно большими номерами,
очевидно, удовлетворяют
условиям задачи. Для
доказательства обратного утверждения
воспользуемся леммой о
компактном исчерпывании:
Лемма. Для любой области
Oct) можно построить
компактное исчерпывание, т. е.
последовательность таких замкнутых (в топологии (D)
множеств Кп> что
Рис. 39.
Кг cz К% с: ... с: Кп <= ...,
(6)

§61
РЯДЫ ТЕПЛОРЛ
123
причем все /Сл с: D и каждая точка z gD принадлежит
всем КПу начиная с некоторого ш= (J К А.
< В качестве Кп можно взять множества
/Ся = {*€=£>: \г\^п, p(z,dD)^±\,
где р(г, 5D) — расстояние от точки z до границы области
и /г=1, 2, ... (рис. 39) ►
Замечание. Фиксируем точку г0 еD и обозначим
через Gw связную компоненту открытого ядра /<"я,
содержащую г0 (начиная с некоторого п = п0 все они непусты).
Тогда мы получим компактное исчерпывание D областями
G1eGae...eG,le...f (7)
со
причем все GnmD и D= \J G„.
Так как функция р(г, 5D) удовлетворяет условию
Липшица, т. е. для всех z', г" <=D имеем
|р(г', <3D)-p(z", Ж>)|<|г'-г"|,
то границы областей Ga состоят из конечного числа
спрямляемых кривых. Более того, покрывая Gn конечным
числом кругов достаточно малого радиуса, мы можем
построить последовательность областей G/2 с кусочно
гладкими границами, также компактно исчерпывающую D.
Наконец, заметим, что если область D односвязна, то
и области Gn ее компактного исчерпывания можно
считать односвязными.
Вернемся к прерванному рассуждению. Пользуясь
леммой, нетрудно доказать, что если для области D задача
о равномерном приближении полиномами разрешима, то
в ней любую функцию / <= © (D) можно представить рядом
из полиномов, равномерно сходящимся на каждом К Ш D.
В самом деле, построим компактное исчерпывание D =
со
— (J /С,?, как в лемме, и построим последовательность
/2=1
полиномов Рп таких, что
Wf-pn\K^ir (*=1, 2, ...). (8)

124 свойства голоморфных функций [гл. и
Тогда ряд
оо
Pi(z)+J][Pn+i(z)-Pn(z)} (9)
/1=1
будет искомым. В самом деле, его /z-я частичная сумма
равна Рп и поэтому в силу (8) он сходится к /
равномерно на каждом K^D (каждое KeD принадлежит
всем /Сл, начиная с некоторого номера, и, следовательно,
I/ — Рп\\к<С& для любого s>0, если п достаточно велико).
Если область D представляет собой круг U = {| г — а \ <
</?}, то поставленную задачу решают полиномы Тейлора
функции f с центром в точке а:
Pn(z)=f(a) + f'(a)(z-a) + ... + J^-(z-ay. (10)
Действительно, мы знаем, что / представляется в U рядом
Тейлора, причем этот ряд сходится равномерно на
компактных подмножествах U.
Однако степенные ряды сходятся лишь в кругах,
поэтому полиномы Тейлора непригодны для
приближения функций в областях более общего вида. Вопрос о
приближении функций в односвязных областях решает
Теорема 2 (Рунге). Пусть функция f голоморфна
в односвязной области D сС и К — произвольное
компактное подмножество D. Тогда для любого е>0 найдется
полином Р такой, что
4 Построим односвязную область G с кусочно
гладкой границей dG = y такую, что K^GeD (см.
замечание после леммы). Для любой точки ге/С по
интегральной формуле Коши имеем
V
Докажем сначала, что / можно приблизить на /С р а ци о-
нальными функциями. Для этого разобьем у на
участки точками £v (v = 1, ..., N), взятыми в порядке
обхода у, обозначим через yv участок у между £v и £v+i>

§ 6] РЯДЫ ТЕЙЛОРА 125
положим A£v = £v+1 — £v (мы считаем £w+i = £i) и
рассмотрим рациональную функцию
V=l
Имеем, очевидно,
/w-«w-irij{{s-^}«- <,4>
v=l 7V
Так как функция 1_ двух комплексных переменных z
и £ непрерывна на компактном множестве Кху
четырехмерного пространства (г, Q1), то она равномерно
непрерывна на нем. Поэтому для любого s>0 можно выбрать
yv столь мелкими, что
для всех £ е Yv и Для всех z e ^0 Подставляя эту оценку
в (14), найдем
l/-*lU<ie|Yi.
где |y| — Длина y- Возможность приближения
/рациональными функциями вида (13) доказана.
Остается показать, что любую функцию вида (13) можно
приблизить равномерно на К полиномами. Для этого
достаточно доказать, что на К равномерно приближается
полиномами любая функция j , где £vedG — произ-
вольная точка. Докажем большее: пусть G' — область такая,
что KeG'eG и дополнение Д = 0\б' связно2); тогда
множество
= {а<=Д: ——приближается равномерно на К полиномами!
совпадает с А.
г) Через Л X В обозначается произведение множеств Л и В,
т. е. совокупность всех пар (а, Ь), где йеА и Ь е В.
2) Такую область G' можно построить на основании
доказанной леммы и односвязности области G.

126 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ \ГЛ. II
Множество Ш непусто, ибо оно содержит внешность
круга {|z|</?}, в котором лежит /С В самом деле, для
любого я, \a\>R, функция _ голоморфна в {[ z | <; /?}
и, следовательно, равномерно приближается в этом круге
(а значит, и на К) своими полиномами Тейлора с
центром z = 0. Множество Ш замкнуто (в топологии А), ибо
если последовательность точек ап^% сходится в
некоторой точке асА, то и последовательность функций
равномерно на К сходится к _ (при а = сю последнюю
надо заменить тождественным нулем), а так как все
ап z
равномерно на К приближаются полиномами, то и—
также. Но в то же время Ш и открыто: пусть а0 <= Ш и
а —любая точка из круга
имеем
1
a — z
00
1 1 _ \1 (flo-fl)*
а0 — z , а0 — a L* (a0 — z)n+l
1—7, Т п = о
a0 — z
причем ряд сходится равномерно на /С, а так как
а0 — г
и, значит, -.—_ )п приближаются на К полиномами, то
частные суммы этого ряда —тоже, т. е. а <= Ш.
Таким образом, Ш является непустым и одновременно
замкнутым и открытым подмножеством связного
множества А; по теореме 2 п. 4 ё = А ^
Замечание. По существу тем же методом
доказывается, что любую функцию /, голоморфную на открытом
(не обязательно связном) множестве Q со связным
дополнением, можно приблизить полиномами
равномерно на каждом К Ш &. (Вторая часть доказательства
не меняется вовсе; в первой части нужно построить
открытое множество G, К(еСсй, с границей y = dG,
состоящей из конечного числа кусочно гладких кривых и
заметить, что формула (12) распространяется на этот
случай.)

§7]
РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
127
С другой стороны, для многосвязных областей задача
о приближении голоморфных функций полиномами, вообще
говоря, неразрешима. Причину этого мы выясним позже
(см. п. 36).
§ 7. Ряды Лорана и особые точки
Ряды Тейлора приспособлены для представления
голоморфных функций в кругах. Здесь мы рассмотрим более
общие ряды по положительным и отрицательным
степеням (г —а). Такие ряды представляют голоморфные
функции в концентрических кольцах
1/ = {ге(С: r<\z-a\<R}, r^O, Я^оо.
Особенно важны разложения в кольцах с нулевым
внутренним радиусом, т. е. проколотых окрестностях.
Эти разложения позволяют изучать функции в
окрестности точек, где они теряют голоморфность (особых точек).
24. Ряды Лорана. Теорема 1 (Лоран). Любую
функцию ft голоморфную в кольце V = {r <.\z — a\<iR},
можно в этом кольце представить как сумму сходящегося
ряда
со
f(z)= 2 с„(г-а)», (1)
коэффициенты которого определяются по формулам
^ = 4й J irS^r (»«0,±1,±2,...), (2)
{ \г — а| = р}
где г<р</?.
< Фиксируем произвольную точку z e V и построим
кольцо V' = {Z>: г' < | t, — a\ </?'} такое, что геГ^У.
По интегральной формуле Коши имеем
fM__L { /(£)^ = * С /(£)<% * С /(QrfC /оч
dV Г' v'
где окружности Г' = {| £ — а\ = /?'} и у' = {| £ — а | = /•'}
ориентированы против часовой стрелки.

128 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. II
Для всех £ е Г' имеем
метрическая прогрессия
1 1
Е-*
С-г
(C-fl) 1
C-fl
= 9 < 1, поэтому гео-
V (z~a)n
Ь (Е-а)я+1
А1 = 0
сходится абсолютно и равномерно по £ на Г'. Умножая
ее на ограниченную функцию «-г/(£) (что не нарушает
равномерной сходимости) и интегрируя почленно вдоль
Г', получаем
оо
Г' А1=0
c»=iS(F^ (« = о,1,...). (5)
Г'
Второй интеграл в формуле (3) придется разлагать
где
иначе. При всех ^Gy' имеем 1 b__" | = ?i< 1> поэтому
мы получаем абсолютно и равномерно сходящуюся на у'
геометрическую прогрессию так:
1
1
^~Z <*-a)(l_|F4j n-i
Снова умножая ее на ограниченную функцию -^"/(О и
интегрируя почленно вдоль у', получаем
00
А
(6)
где
2ш J £ —г ^ (г —а)" '
V' /г = 1
Заменим теперь в формулах (6) и (7) индекс /г,
пробегающий значения 1, 2, ..., индексом —/г, пробегающим

§ 7]
РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
129
значения —1, —2,... (это ничего не меняет), и обозначим1)
cn = d_n = -^^f{l){l-a)-^di (л 1, —2. ...);
v
(8)
тогда разложение (6) примет вид
V' п = — 1
Теперь подставим (4) и (6') в (3); получим нужное
разложение (1):
f(z)= 2 cn{z-a)\
п = — оо
где ряд определяется как объединение рядов (4) и
(6'). Остается заметить, что по теореме Коши о гомото-
пии (п. 17) в формулах (5) и (8) окружности Г' и у' можно
заменить любой окружностью {|£ —а| = р}, гдег<р<7?,
и тогда эти формулы примут вид (2) ►
Определение. Ряд (1), коэффициенты которого
вычисляются по формулам (2), называется рядом Лорана
функции / в кольце V. Совокупность членов этого ряда
с неотрицательными степенями называется его
правильной частью, а совокупность членов с отрицательными
степенями — главной частью (естественность названий
выяснится в следующем пункте).
Рассмотрим основные свойства рядов по целым
степеням г — а. Как и выше, мы определим такой ряд
оо
2 сп(г-аГ (9)
п = — оо
как объединение рядов
СО —00
(Si): 2c»(z-a)" и (v2): ^ cn(z-a)n. (10)
п=0 п=—1
*) Заметьте, что сп с отрицательными индексами до сих
пор не употреблялись.
5 Б. В. Шабат, ч. I

130 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. II
Ряд (Zi) представляет обычный степенной ряд; его
областью сходимости является круг {\z — a\<zR}, где
число R определяется по формуле Коши —Адамара
i=iS^ra. (id
Рад (2г) представляет степенной ряд относительно
переменного Z = :
(S.): S с-»2». (12)
Поэтому его областью сходимости является внешность
круга {|г —а|>г}, где по формуле Коши —Адамара,
примененной к ряду (12),
г^ШУ^Л. (13)
Я-ЮО
Число R не обязано быть большим г, поэтому область
сходимости ряда (9) может быть пустой. Однако если
r<R, то областью сходимости ряда (9) будет кольцо
V = {r <C\z — a\<.R}. Заметим, что множество точек
сходимости ряда (9) может отличаться от V на некоторую
совокупность точек, принадлежащих dV.
По теореме Абеля ряд (9) сходится равномерно на
любом компактном подмножестве кольца 1/, поэтому по
теореме Вейерштрасса его сумма голоморфна в V.
Из этих замечаний сразу вытекает теорема
единственности разложения функции в данном кольце в ряд по
положительным и отрицательным степеням:
Теорема 2. Если функция f в кольце V = {г<С\г — а\ <
<CR} представима рядом вида (1), то коэффициенты этого
ряда определяются по формулам (2).
« Возьмем окружность у = {|г — а|=р}, г<р<^.
РЯД оо
У) *А(г-а)*=:/(г)
k = — оо
сходится на ней равномерно, и это свойство сохранится
после умножения обеих частей на произвольную степень
(г_а)-я-1 (лг = 0, ±1, ±2, ...):
оо
2 ck(z~a)
k = — 00
k-n-i Дг)
(г-а)"+1

§ 7] РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ 131
Проинтегрируем полученный ряд почленно вдоль у:
k = — оо у у
и воспользуемся тем, что по свойству ортогональности
степеней (п. 15) все интегралы в левой части равны О,
кроме одного, для которого k = n и который равен 2ш".
Мы получим
2"'с„=$ ДУ+1 (л = 0, ±1, ...),
а это совпадает с (2) ►
Теорему 2 можно сформулировать так: всякий
сходящийся ряд по положительным и отрицательным степеням
г —а является рядом Лорана своей суммы.
Формулы (2) для коэффициентов ряда Лорана на
практике применяются сравнительно редко, ибо они
требуют вычисления интегралов. На основании доказанной
теоремы единственности для получения лорановских
разложений можно использовать любой законный прием:
все такие приемы приведут к одному нужному
результату.
Пример. Функция
/(г) '
г—1)(г —2)
голоморфна в кольцах Vi = {0 < | z [ < 1}, К2={1<|г|<2} и
J/3= {2 < [ г | <оо}. Для получения лорановских разложений
представим эту функцию в виде
В кольце Vi слагаемые представляются такими геометрическими
прогрессиями:
оо
= -— 2 (у) (сходится при |г|<2),
(14)
2-2 2 , г
1-у п = 0
1
2-1
п=0
= У гП (сходится при |г|<1).
5*

132 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. II
Поэтому в Vi функция / представляется рядом
оо
1
/М- 2
2л + 1
/1 = 0 '
гп,
который содержит лишь положительные степени (рядом Тейлора).
В кольце V2 первое разложение (14) продолжает сходиться, а
второе нужно заменить разложением
1 1
■г- = — У. гП (сходится при | г | > 1).
1-
(15)
В этом кольце, следовательно, / представляется рядом Лорана
— ОО 00
— 00
= —1
В кольце J/3 разложение (15) продолжает сходиться, а первое
разложение (14) нужно заменить таким:
— 00
,1 V
Z
~г=2"~~г~ 2 " 2 Ad \~2
1-у * = -i
(сходится при | г | > 2).
Следовательно, в V3
— со
/i = —1
Отметим, что коэффициенты ряда Лорана определяются
по формулам (2), которые при п^О совпадают с
интегральными формулами для коэффициентов ряда Тейлора1).
Повторяя в точности выкладки, проведенные в п. 20 при
выводе неравенств Коши для коэффициентов ряда
Тейлора, мы получим
Неравенства Коши (для коэффициентов ряда
Лорана). Пусть функция f голоморфна в кольце V =
= {г < | z — а | < R} и на окружности у9 = {| z — а | = р},
г < р < R, ее модуль не превосходит постоянной М. Тогда
*) Однако коэффициенты ряда Лорана нельзя представить по
(ференциальной формуле сп = -
говоря, не определена при z = a.
f{n) (a)
дифференциальной формуле сп = '- у*- хотя бы потому, что/, вообще

§ 7] РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ 133
коэффициенты ряда Лорана функции f в кольце V
удовлетворяют неравенствам
\сп\^^г (л = 0, ±1, ±2, ...). (16)
В заключение отметим связь между рядами Лорана и
рядами Фурье. Ряд Фурье функции ф, интегрируемой на
отрезке [0, 2я] cz R, определяется как ряд
2
+ У ап cos nt + bn sin nt, (17)
где
2я
1 I*
ап = —\ ф(0 cos ntdt,
б
2л
1 С
Ья = — \ Ф (/) sin я/ d/ (п = 0, 1, ...)
(18)
(мы считаем Ь0 = 0). Такой ряд можно переписать в
комплексной форме. Для этого воспользуемся формулами
Эйлера
gint \g-int Qint Q~int
cos nt = -^ , sin nt = 2/
и, подставив их в (17), найдем
00
int
/1=1 П-— ОО
где положено
2я
Cn = ^r* = -^\y{t)e-™dt (« = 0,1,...),
6
2я
Cn = a-n+ib-" = ^^(t)e-""dt- (я 1. -2, ...).
о
Ряд
VI •/ (19)

134 свойства голоморфных функций ггл. п
с коэффициентами 2я
cn = ~^p(t)e-^dt (20)
о
и представляет собой ряд Фурье функции ф, записанный
в комплексной форме.
Положим теперь eif = z и ф (t) = /(е'7) =/(2); тогда ряд
(19) примет вид оо
S сяг\ (21)
л=—оо
а его коэффициенты
2я
C-iJ/И^Л^ J f(z)^. (22)
О |2| = 1
Таким образом, ряд Фг/рбе функции ф(/), / е [0, 2я],
записанный в комплексной форме, является рядом Лорана
функции f(z) = <p(t), где z = elt, на единичной
окружности {|г | = 1}.
Очевидно, что и обратно, ряд Лорана функции f(z)
на единичной окружности является рядом Фурье
функции f (еа) = q> (t) на отрезке [0, 2л].
Отметим, что, вообще говоря, даже в случае
сходимости ряда Фурье к функции ф в каждой точке отрезка
[О, 2л] для соответствующего ряда Лорана может
получиться i? = r=l, так что область сходимости этого ряда
Лорана окажется пустой. Лишь при весьма
ограничительных условиях, наложенных на функцию ф,
соответствующий ряд имеет непустую область сходимости.
Пример, Пусть Ф(/)= ^VaTost + a* (lal<1)- Положив
eif = z, найдем соответствующую функцию
она голоморфна в кольце «! | а | <с | г | <;—г >. Как в предыдущем
примере, получим ее лорановское разложение в этом кольце
00

$ 71 РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ 135
Заменяя здесь снова 2=е^, получим разложение Фурье функции ф:
оо
ф(0= 2 аП sin ntm
п = \
25. Изолированные особые точки. Здесь мы начинаем
изучение точек, в которых нарушается голоморфность
функций. Рассмотрим сначала простейший тип таких точек.
Определение 1. Точка ааС называется
изолированной особой точкой функции f, если существует такая
проколотая окрестность этой точки (т. е. множество
{0< |г — а\<г}, если точка а конечна, или множество
{R <С\г\<оэ}, если а = оо), в которой функция f
голоморфна.
В зависимости от поведения / при приближении к
такой точке различают три типа особых точек.
Определение 2. Изолированная особая точка а
функции f называется
(I) устранимой точкой, если существует конечный
Нт/(г)==Л;
г-*а
(II) полюсом, если существует
lim/(z) = oo;
г-*а
(III) существенно особой точкой, если f не имеет ни
конечного, ни бесконечного предела при г->а.
Пример ы.
1. Все три типа изолированных особых точек реализуются.
Например, функции г и имеют 2 = 0 устранимой особой точкой (для
второй из них это видно из того, что при гфО справедливо
разложение
sin z __ 1 г2 ^_ __
г 31 "h 5!
.. sinz Д . 1
из которого следует, что существует lim = Ч' Функции —%,
где п — целое положительное число, имеют полюс в точке 2 = 0. Функ-
ция ег имеет 2 = 0 своей существенно особой точкой, ибо, например,
при стремлении z — x к нулю по действительной оси пределы справа
и слева различны (предел справа равен бесконечности, а слева —

136 свойства голоморфных функций ггл. н
1
нулю); при стремлении z = iy к нулю по мнимой оси функция ег =
= cos /sin— вообще не имеет предела.
Могут, конечно, существовать и неизолированные особые
точки. Например, функция имеет полюсы в точках z — —
.л п
sin —
Z
(п = ±.\, it 2, ...), следовательно, z = 0 является для нее
неизолированной особой точкой — предельной точкой полюсов.
2. Более сложный пример особых точек доставляет функция
оо
/(z) = 2] г2*=1+гЧ-24 + 28 + ... (1)
л = 0
По формуле Коши —Адамара ряд (1) сходится в круге {|г|<1}, и,
следовательно, f голоморфна в этом круге. При z -» 1 по направлению
действительной оси она стремится к бесконечности х), следовательно,
точка 2=1 является для нее особой. Но
/(*2) = l+** + z« + ... = /(z)-z2,
следовательно, f(z) — z2-\-f (z2) стремится к бесконечности и когда
z-> — 1 по радиусу круга. Аналогично / (z)=z2-}-z4 + /(z4),
следовательно, / -» оо и когда z -> ± i по радиусам круга. Вообще
f(2) = Z* + ...+Z* + f(z*1)
для любого натурального п, поэтому / -» оо, когда г стремится по
, 2я£
радиусу к любой «двоичной» точке z = e 2 (6 = 0, 1, ..., 2Л—1)
окружности. Так как множество «двоичных» точек всюду плотно на
окружности \\z\-\}, то каждая точка этой окружности является
особой для /. Таким образом, / имеет целую линию, составленную
из неизолированных особых точек (особую линию).
Характер изолированной особой точки z = a тесно
связан с характером лорановского разложения функции
в проколотой окрестности этой точки (мы будем коротко
называть его разложением в окрестности а). Для конеч-
х) Это утверждение не следует из расходимости ряда (1) при
z=l (вспомните замечание в конце п. 21) и требует особого
доказала
тельства: при z = *, 0<х<1, имеем /(*)> 2 *2*» где ^~~ПР0ИЗ"
/1=0
вольное натуральное число; предел при х -> 1 суммы в правой части
равен W + 1, следовательно, найдется 6 > 0 такое, что f(x)>N при
1— 6<х<1, следовательно, lim /(я) = оо.
*—1 —о

§7]
РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
137
ных точек а эта связь выражается следующими тремя
теоремами.
Теорема 1. Изолированная особая точка аЕ<С
функции f является устранимой в том и только том случае,
если лорановское разложение f в окрестности а не
содержит главной части:
со
f(z)^^cn(z-ar. (2)
/1 = 0
«Необходимость. Пусть а—устранимая точка;
тогда существует конечный limf(z) = A и, следовательно,
z-+ a
f ограничена (пусть \f\^M) в некоторой проколотой
окрестности {0<:|z — a\<R} точки а. Возьмем любое р,
0<р</?, и воспользуемся неравенствами Коши
\сп\<,$г (п = 0, ±1,...)-
Если Ж 0, то правая часть стремится к нулю при
р-*0, левая же часть от р не зависит. Следовательно,
сп = 0 при Ж0, и главная часть ряда Лорана отсутствует.
Достаточность. Пусть в проколотой окрестности
точки а функция / представляется лорановским
разложением (2) без главной части. Это разложение является
тейлоровским, и, следовательно, существует и конечен
lim/(z) = c0.
Поэтому а является устранимой точкой ►
Замечание. Теми же рассуждениями доказывается и
Теорема Г. Изолированная особая точка а функции f
в том и только том случае является устранимой, если f
ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а.
Продолжив функцию / в ее устранимую точку а по
непрерывности, т. е. положив f(a) = ]\mf(z), мы получим
z-*a
функцию, голоморфную в точке а (т. е. устраним
особенность). Этим и оправдывается термин «устранимая точка».
В дальнейшем мы будем считать такие точки
правильными, а не особыми точками функции.
Теорема 2. Изолированная особая точка а^€
функции f является полюсом в том и только том случае, если
главная часть лорановского разложения f в окрестности

138 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
точки а содержит лишь конечное (и положительное) число
отличных от нуля членов:
/(*)= S сп{*~а)\ /V>0. (3)
л = — N
А Необходимость. Пусть а —полюс; так как
lim / (z) = оо, то существует проколотая окрестность
г-+а
точки а, в которой f голоморфна и отлична от нуля.
В этой окрестности голоморфна функция <р(г)=-угТ' ПРИ"
чем существует limcp(z) = 0. Следовательно, а является
z-+a
устранимой точкой (нулем) функции ф ив нашей
окрестности справедливо разложение
y(z) = bN(z-a)N + bN+1{z-a)N+'+... (bN^0).
Но тогда в той же окрестности мы имеем
Ф(г) (г — аГ bN + bNJrl(z-a) + ...
причем второй множитель является функцией,
голоморфной в точке а, и, значит, допускает тейлоровское
разложение
Подставляя это разложение в (4), найдем
00
v ' п = 0
Это —лорановское разложение f в проколотой окрестности
точки а, и мы видим, что его главная часть содержит
конечное число членов.
Достаточность. Пусть f в проколотой окрестности
точки а представляется лорановским разложением (3),
главная часть которого содержит конечное число членов;
пусть еще c_N=£0. Тогда / голоморфна в этой
окрестности, так же как и функция ф(г) = (г — a)N f(z).
Последняя в нашей окрестности представляется разложением
Ф (г) = c-N + C-N+1 (г - а) +...,

§ 7] РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ 139
из которого видно, что а является устранимой точкой и
существует lim ф (г) = С-^фО. Но тогда функция / (г) =
г-*а
= ф дг стремится к бесконечности при z->a, т. е. а
(г-а)"
является полюсом / ►
Отметим еще один простой факт о связи полюсов
с нулями.
Теорема 2'. Точка а является полюсом функции f
в том и только том случае, если функция ф = -т, Ф^О,
голоморфна в окрестности а и ф (а) = 0.
< Необходимость условия доказана при доказательстве
теоремы 2. Докажем его достаточность. Если ф^ЁО
голоморфна в точке а и ф (а) = 0, то по теореме
единственности (п. 22) существует проколотая окрестность этой
точки, в которой Ц)ф0. В этой окрестности функция / = —
голоморфна, следовательно, а является изолированной
особой точкой /. Но lim / (г) = оо, следовательно, а яв-
z-*a
ляется полюсом / ►
Установленная связь позволяет сформулировать
Определение 3. Порядком полюса а функции /
называется порядок этой точки как нуля функции Ф= у.
Из доказательства теоремы 2 видно, что порядок
полюса совпадает с номером Af старшего члена главной
части лораиовского разложения функции в проколотой
окрестности полюса.
Теорема 3. Изолированная особая точка а функции f
является существенно особой в том и только том случае,
если главная часть лорановского разложения f в
окрестности точки а содержит бесконечно много отличных от
нуля членов.
4 Теорема, по существу, уже содержится в теоремах
1 и 2 (если главная часть содержит бесконечное число
членов, то а не может быть ни устранимой точкой, ни
полюсом; если а — существенно особая точка, то главная
часть не может ни отсутствовать, ни содержать конечное
число членов) ►
Поведение функции в окрестности существенно особой
точки характеризует следующая интересная

140 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. II
Теорема 3' (Ю. В. Сох оцкий). Если а является
существенно особой точкой функции f, то для любого числа
ЛеС можно найти последовательность точек zn-+a
такую, что
ttmf(zn) = A. (5)
«« Пусть Л=оо. Так как / по теореме Г в
проколотой окрестности {0<| z — а\<Сг}, не может быть
ограниченной, то в этой окрестности найдется точка zlt в
которой | f (2i) | > 1. Точно так же в JO < I z — а \ < |г*Г }
найдется точка г2, в которой |/(г2)|>2, и т. д., в
|0<|г — а !<-"""} найдется точка ztu в которой
f{zn)\>n. Очевидно, zn->a и
lim/(z„) = oo.
п—»-оо
Пусть теперь Афоо. Либо Л-точки функции / имеют
а своей предельной точкой, и тогда из них можно выбрать
последовательность z„->a, на которой f(zn) = A, либо
существует проколотая окрестность {0 < | z — а \ < г'\,
в которой /(г)#Л. В этой окрестности голоморфна
функция 1
для которой а также является существенно особой точкой
(ибо f(z) = A-\—т^г и если бы ср при z->a стремилась
к конечному или бесконечному пределу, то / — также]. По
доказанному существует последовательность zn->a, по
которой ф(г„)~^со; но по этой последовательности
Нт/(гя) = Л+Нт-1т = Л ►
л —оо я — оо 4>\zn)
Совокупность предельных значений функции f по
различным последовательностям точек zn->a называют
множеством неопределенности функции f в точке а. Если а
является устранимой точкой или полюсом функции /, то
ее множество неопределенности в этой точке состоит из
одной точки (конечной или бесконечной). Теорема Сохоц-

§ 7] РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ Hi
кого утверждает, что для существенно особой точки
реализуется другой крайний случай: множество
неопределенности в такой точке заполняет всю замкнутую плоскость (D.
Несколько слов об изолированных особых точках
в бесконечности. Классификация и теоремы Г —3'
переносятся на случай а = оо автоматически. Однако
теоремы 1—3, связанные с характером лорановских разложений,
нуждаются в изменениях. Дело в том, что в конечных
точках характер особенности определяют главные части
лорановских разложений, содержащие отрицательные
степени г — а, которые имеют особенность в этих точках
(отсюда и термин «главная часть»). В бесконечности же
отрицательные степени правильны и особенность
определяется совокупностью положительных степеней.
Поэтому естественно назвать главной частью лорановского
разложения функции в проколотой окрестности
бесконечной точки совокупность членов этого разложения с
положительными степенями. После такого изменения
теоремы 1—3 будут справедливыми и для случая а = оо.
Этот результат сразу получается при помощи замены
переменного г = —: если обозначить
/(г)=/(^) = фИ>
то, очевидно,
lim f(z)= lim q(w)9
г -* oo w ->• 0
и поэтому ф имеет в точке w — О ту же особенность, что
f в точке г = оо. Например, в случае полюса ср имеет
в {0<|ш|</-} разложение
/ ь °°
W W ^
заменяя здесь w = —, получим разложение f в кольце
{Я<|г|<оо}, Д = |:
— оо
f(z)= S cnz» + c0 + c1z + ... + cNz»1
л= —1
где cn = b-rn СмфО. Его главная часть содержит конеч-

142 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. II
ное число членов. Аналогично рассматриваются случаи
устранимой и существенно особой точек.
В заключение приведем классификацию простейших
голоморфных функций по их особым точкам. Согласно
теореме Лиувилля функции, совсем не имеющие
особенностей (т. е. голоморфные в С), являются константами.
Следующий по простоте класс составляют целые функции.
Определение 4. Целой называется функция,
голоморфная во всей плоскости С, т. е. не имеющая
конечных особых точек.
Точка а = оо является, следовательно, изолированной
особой точкой целой функции /. Если это — устранимая
точка, то / = const. Если это —полюс, то главная часть
лорановского разложения f в окрестности бесконечности
представляет собой полином g(z) = c1z + ...+ cNzN.
Вычитая из f эту главную часть, получим также целую
функцию f — g, но уже с устранимой точкой в бесконечности.
Она является константой, и следовательно, целая функция
с полюсом в бесконечности непременно является
полиномом.
Целые функции с существенной особенностью в
бесконечности называются целыми трансцендентными
функциями (таковы, например, функции ez, sin г, cos г).
Определение 5. Функция, не имеющая в открытой
плоскости С других особенностей, кроме полюсов,
называется мероморфной.
Целые функции составляют подкласс класса мероморф-
ных функций (они вовсе не имеют особенностей в С). Так
как каждый полюс —изолированная особая точка, то меро-
морфная функция не может иметь в С более чем счетное
множество полюсов. В самом деле, в каждом круге
{|г|<С/г}, п=1, 2, ..., полюсов может быть лишь
конечное число (иначе существовала бы их конечная предельная
точка, которая является неизолированной особой точкой
функции, а не полюсом) и все полюсы можно пересчитать.
Примерами мероморфных функций с бесконечным числом
полюсов являются tgz и ctgz.
Теорема 4. Если мероморфная функция f в
бесконечности имеет устранимую точку или полюс (т. е. если
она в С не имеет других особенностей, кроме полюсов), то
она является рациональной функцией.

§71
РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
143
А Число всех полюсов функции / конечно, ибо в
противном случае в силу компактности (D существовала бы
предельная точка полюсов, которая является
неизолированной особой точкой, а не полюсом. Обозначим через
av (v = 1, ..., п) конечные полюсы / и через
с% C(v)
*(*)=- V+... + т^г (6)
главную часть лорановского разложения / в окрестности
полюса av. Обозначим еще
g(z)=Clz + ... + cNzN (7)
главную часть лорановского разложения / в окрестности
а = со; если а = со является устранимой точкой /,
положим g = 0.
Рассмотрим функцию
Ф (*)=/(*)-*(*)- 2 *,(*);
v = l
она имеет все точки ze(D правильными, и по теореме
Лиувилля cp(z) = c0. Таким образом,
f(z) = Co + g(z)+%gv(z), (8)
v = l
т. е. является рациональной функцией ►
Замечание. Формула (8) представляет собой
разложение рациональной функции f на целую часть и
простейшие дроби. Наше рассуждение дает простое
доказательство существования такого разложения.
Иногда мы будем употреблять термин «мероморфная
функция» в более общем смысле. Именно, будем говорить,
что функция f мероморфна в области D, если она не имеет
в D других особенностей, кроме полюсов. И такая
функция не может иметь более чем счетное число полюсов.
В самом деле, мы построим компактное исчерпывание {Gn}
области D (см. лемму в п. 23) и увидим, что в каждой
Gn функция / может иметь лишь конечное число полюсов.
Если число полюсов функции /, мероморфной в области D,
бесконечно, то предельные точки множества полюсов
принадлежат границе dD.

144 свойства голоморфных функций [гл. и
Доказанную выше теорему 4 можно теперь
сформулировать так: любая функция, мероморфная в замкнутой
плоскости С, рациональна.
26. Вычеты. Это звучит парадоксально, но наиболее
интересными при изучении голоморфных функций
являются точки, в которых функции перестают быть
голоморфными—их особые точки. В дальнейшем мы будем
иметь много фактов, убеждающих в том, что в особых
точках и главных частях лорановских разложений в их
окрестностях содержится основная информация о
голоморфных функциях1).
Мы проиллюстрируем это утверждение задачей о
вычислении интегралов от голоморфных функций. Пусть
функция f голоморфна в области D
всюду, за исключением
изолированного и, следовательно, не
более чем счетного множества
особых точек. Пусть область
GeD и граница dG состоит из
конечного числа непрерывных
кривых и не содержит особых
точек; особые точки, попавшие
в G, мы обозначим аь ..., ап
(их конечное число). Построим
окружности _ у у = {! z — av \ == г}
столь малого радиуса г, что круги Uv, ими
ограниченные, не пересекаются друг с другом и содержатся в G.
Пусть Yv ориентированы против часовой стрелки (рис. 40).
п
Обозначим область G\ (J Uv через Gr\ функция f голо-
v=l
морфна в Gr, следовательно, по интегральной теореме
Коши для многосвязных областей
S fdz = 0. (1)
дсг
х) Это утверждение допускает физическую интерпретацию. Если
трактовать голоморфную функцию как комплексный потенциал
векторного поля, скажем поля скоростей течения жидкости (см. п. 7),
то особые точки будут интерпретироваться как источники, стоки,
вихри и другие элементы, определяющие это поле. Об этом см.
М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат, цит. на стр. 44.

§ 71
РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
145
Но ориентированная граница dGr состоит из dG и
ориентированных отрицательно окружностей yv(v=l, ..., л),
и по свойствам интегралов мы получаем
\fdz=JZ\fdz. (2)
dG v = 1 yv
Таким образом, вычисление интеграла от голоморфной
функции по границе области сводится к вычислению ее
интегралов по сколь угодно малым окружностям с
центрами в особых точках функции.
Определение 1. Интеграл от функции / по
достаточно малой окружности уг = {\г — а\ = г} с центром в
изолированной особой точке аеС этой функции, деленный
на 2ш, называется вычетом f в точке а и обозначается
символом
rff^\fdz. (3)
По теореме о неизменности интеграла при гомотопной
деформации контура вычет не зависит от величины г
(при г достаточно малых) и определяется локальным
поведением [ в ее особой точке.
Доказанное выше соотношение (2) выражает так
называемую теорему Кош и о вычетах.
Теорема 1. Пусть функция f голоморфна в области D
всюду, за исключением изолированного множества особых
точек, и область G(^D, а ее граница dG не содержит
особых точек, тогда
\ fdz = 2ni]>]resf, (4)
dG (G) flv
где сумма распространяется на все особые точки av
функции /, принадлежащие G.
Эта теорема имеет большое принципиальное значение,
ибо она сводит вычисление глобальной величины, какой
является интеграл от голоморфной функции по границе
области, к вычислению величин л ока ль ных —вычетов
функции в ее особых точках.
Как мы сейчас увидим, вычеты функции в ее особых
точках полностью определяются главными частями лора-
новских разложений в окрестностях этих точек. Тем самым

146 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
будет установлено, что в задаче о вычислении интегралов
от голоморфной функции достаточно иметь информацию
лишь об ее особых точках и главных частях в них.
Теорема 2. Вычет функции f в изолированной особой
точке ogC равен коэффициенту при минус первой
степени z — a в ее лорановском разложении в окрестности а:
res/ = c_!. (5)
а
<« В проколотой окрестности точки а функция /
представляется рядом Лорана
оо
/(2)= £ cn(z-ay,
п— — оо
причем на окружности yr= {\ z —a \ — г] при достаточно
малых г этот ряд сходится равномерно. Интегрируя ряд
почленно вдоль уг и пользуясь ортогональностью
степеней (п. 15), мы найдем
$ / dz = с_! • 2ш\
Вспоминая определение вычета, получим (5) ►
Следствие. В устранимой точке ае(С вычет
функции равен нулю.
Приведем формулы для вычисления вычета функции
в полюсе. Пусть сначала а —полюс первого порядка.
Лорановское разложение функции в его окрестности
имеет вид
оо
/(г) = "ёг+ 2Сп{г-а)"
п = 0
Отсюда сразу получается формула для вычисления
вычета в полюсе первого порядка:
d^lim (г-a)f(z). (6)
z-+a
Особенно удобна для вычислений небольшая
модификация этой формулы. Пусть в окрестности точки а
' W Цр (2) •
где ф и яр голоморфны в а, причем ф(а)=£0 и я|)(а) = 0,

§7]
РЯДЫ ЛОРАНА II ОСОБЫЕ ТОЧКИ
147
я|/(а):^=0 (отсюда следует, что а —полюс первого порядка
функции /). Тогда по формуле (6)
г-wz t>(z) 2.-*а ФФ-ФМ '
Z — CL
т. е.
__ <p(g) ,fi,.
Пусть теперь f имеет в точке а полюс п-то порядка;
тогда в проколотой окрестности а
со
Умножим обе части этого разложения на (г— а)п для
устранения отрицательных степеней в правой части, затем
продифференцируем п— 1 раз (чтобы выделить справа с_х)
и перейдем к пределу при г->а. Мы получим формулу
для вычисления вычета в полюсе /г-го порядка:
c-i=j^l}™e^r{(z-a)nf(z)}- (7)
Для вычисления вычетов в существенно особых точках
аналогичных формул не существует, и надо находить
главные части лорановского разложения.
Несколько слов о вычете в бесконечности.
Определение 2. Пусть функция f имеет со своей
изолированной особой точкой; ее вычетом в бесконечности
называется величина
^f~-^i\fdz' (8)
где 7^ — окружность {|^| = i?} достаточно большого
радиуса, проходимая по часовой стрелке.
Ориентация у^ выбрана так, чтобы во время ее обхода
окрестность бесконечной точки {R < | z | < оо} оставалась
слева. Напишем разложение Лорана функции f в этой
окрестности:
/(г)= 2 опг\

148 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. II
Интегрируя его почленно вдоль y~R и пользуясь
ортогональностью степеней, мы найдем
res/ = — £_!. (9)
оо
Члены с отрицательными степенями входят в
правильную, а не в главную часть лорановского разложения в
бесконечности. Поэтому, в отличие от конечных точек, вычет
в бесконечности может быть не равным нулю и в том
случае, когда z = oo является правильной точкой функции.
Приведем еще простую теорему о полной сумме
вычетов.
Теорема 3. Пусть функция f голоморфна всюду
в плоскости С, за исключением конечного числа точек av
(v=l, ..., п)\ тогда сумма ее вычетов во всех конечных
особых точках и вычета в бесконечности равна нулю;
п
2 resf + res/ = 0. (10)
«* Построим окружность yR=z{\z\ = R} столь большого
радиуса, что она содержит внутри все конечные особые
точки av] пусть yR ориентирована против часовой стрелки.
По теореме Коши о вычетах
п
а по теореме Коши из п. 17 величина в левой части
равенства не меняется при дальнейшем увеличении R\
следовательно, эта величина равна вычету f в бесконечности,
взятому со знаком минус (учтите направление обхода).
Таким образом, последнее равенство равносильно (10) ►
Пример. При вычислении интеграла
J (*8+l)2
|2| = 2
нет нужды вычислять вычеты подинтегральнои функции во всех ее
восьми полюсах второго порядка, лежащих внутри окружности
{|z| = 2}. К этой функции применима теорема о полной сумме
вычетов, по которой
оо
v=i v

§7]
РЯДЫ ЛОРАНА И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
149
Но функция имеет в бесконечности нуль шестнадцатого порядка,
поэтому ее лорановское разложение в окрестности г = со содержит
лишь отрицательные степени, начиная с г~16. Поэтому ее вычет в
бесконечности равен 0, следовательно, равна нулю и сумма вычетов
в конечных особых точках, т. е. / = 0.
В заключение приведем пример применения теоремы
Коши о вычетах к вычислению несобственных интегралов
от функций действительного переменного. Вычислим
интеграл вдоль действительной оси
ф(/):
eitx
dx,
(П)
где / — действительное число (он абсолютно сходится, ибо
мажорируется сходящимся
интегралом от функции { Л.
Методика применения вычетов
такова. Продолжаем подинтеграль-
ную функцию в комплексную
плоскость
Ш
oitz
1+г2
Рис. 41.
затем выбираем замкнутый
контур так, чтобы он содержал
отрезок [—R, R] прямой
интегрирования и какую-либо дугу, соединяющую концы отрезка.
К этому замкнутому контуру применяется теорема Коши
о вычетах, а затем делается предельный переход при
R-+oo. Если при этом удается вычислить предел
интеграла по дополнительной дуге, то задача будет решена.
Пусть z = x + iy\ учитывая, что \eizt\ = e~lJt, мы будем
различать два случая: t^O и /<0. В первом случае мы
замкнем отрезок [—R, R] верхней полуокружностью y'R,
проходимой против часовой стрелки (рис. 41). При i? > 1
внутри образовавшегося контура лежит один полюс f
первого порядка z = i, вычет в котором легко находится по
формуле (6'):
еШ e-t
res-
1+22
21

150 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. II
По теореме Коши о вычетах имеем, следовательно,
я
I f(x)dx+ I f(z)dz = ne-<. (12')
yR
Так как при /^0 на yR имеем \ еиг \ = e'yt ^ I и
| е2+ 1 \^R2 — 1, то для интеграла по у^ имеем оценку
,dz <ST=T» (13)
J 1+22 ^р~-^2
VR I
из которой видно, что этот интеграл стремится к нулю
при /?->оо. Поэтому, переходя в (12') к пределу при
/?-»-оо, мы получаем при t^O
со
$ f(x)dx = ner'. (14')
— СО
При /<0 оценка (13) несправедлива, ибо \е**е\ = е~у*
сильно возрастает при у-*~-\-оо. Поэтому мы заменим
дугу yR дугой yR нижней полуокружности (рис. 41). Пусть
она проходится по часовой стрелке, тогда по теореме Коши
о вычетах при R > 1
R
\ f(x)dx+\f (z) dz = —2ш res / = net. (12")
— Я
-i
Так как при t<c0 на y"R имеем \еш\ = е~у'^1 и
\z2jr 1 \^R2— 1, то интеграл от f no yR также стремится
к нулю при /?->оо, и из (12") в пределе получим
оо
\ f(x)dx = nef. (14")
— ОО
Объединяя формулы (14') и (14"), получаем
окончательный результат:
оо
eitx
ф(0= \
1+Х2
5-^ = л^-1'1. (15)
В дальнейшем мы не раз будем пользоваться вычетами
для вычисления различных интегралов. Приведем в
заключение лемму, полезную при таких вычислениях.

ЗАДАЧИ 151
Лемма (Жордан). Пусть функция f голоморфна в
{Im z ^ 0J всюду, за исключением изолированного множества
особых точек, и М (R) = max |/ (г) | на полуокружности
У^=={\г\==^^ Imz^O} стремится к нулю при R-^ сю
{или по последовательности /?„->• со такой, что уRfi не
содержат особых точек /). Тогда для любого %>0
\ f{z)eazdz (16)
стремится к нулю при R -> со {или по соответствующей
последовательности Rn -> со).
(Смысл леммы состоит в том, что М {R) может
стремиться к нулю сколь угодно медленно, так что интеграл
от f no yR не обязан стремиться к нулю, умножение на
экспоненту eiKz с Я>0 убыстряет стремление к нулю.)
А Обозначим через у' =-|2 = ReI'(p: О^ф^-^-} правую
половину у . В силу выпуклости синусоиды при ф е
у имеем зшф^ —ф, и, значит, на yR справедлива
2ЯЯф
оценка \eiKz\==e~'kRsin^^e я . Поэтому
it
2 2ЯЯф
N* I
и интеграл по y'R стремится к нулю при R-*co. Оценка
для Т^==То\'У^ проводится аналогично ►
Как видно из доказательства, условие голоморфности/
в этой теореме не существенно.
ЗАДАЧИ
1. Интегралом типа Коши называется интеграл вида
у
где у —гладкая (или спрямляемая) кривая, а / — непрерывная (или
суммируемая) на у функция. Доказать, что F является функцией,
голоморфной в C\y и равной нулю в бесконечности
И]

152 СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. II
2. Пусть у —гладкая замкнутая жорданова кривая, D —область
такая, что у — dD и f^C1(y). Показать, что при переходе через у
интеграл типа Коши испытывает скачок, равный значению / в точке
перехода. Точнее: если £0 е у, а г->£0, оставаясь соответственно
внутри D или вне D, то F (г) имеет предельные значения F+ (£0) и
F-fa), причем
/"•(EoWttoWtto)
(формула Ю. В. Сохоцкого). Указание: представить F (г) в виде
t{Z) 2ш ) г-г а^> + Ш ) Z-z'
V У
3. В предположениях предыдущей задачи доказать, что каждое
из следующих условий необходимо и достаточно для того, чтобы
интеграл типа Коши был интегралом Коши:
а) [ ^Я^=0 для всех геС\5;
у
б) $СЛ/(0^ = 0 Для всех « = 0. Ь 2> •••
4. Пусть / (г) = ^ апгП голоморфна в замкнутом круге £/=
/г = 0
= \\z\^R\ и а0 Ф 0. Доказать, что тогда / отлична от нуля в круге
5. Доказать, что степенной ряд не может абсолютно сходиться
ни в одной граничной точке круга сходимости, если там имеется хотя
бы один полюс разлагаемой в ряд функции.
6. Доказать, что функцию, голоморфную во внешности двух
непересекающихся компактов, можно представить в виде суммы двух
функций, одна из которых голоморфна во внешности одного
компакта, а другая —во внешности другого.
7. Доказать, что любая целая функция /, не принимающая
значений из правой полуплоскости, постоянна.
8. Вывести теорему Сохоцкого для целых функций из теоремы
Лиувилля.
9. Пусть а является существенно особой точкой функции /; чем
может служить а для функции -у?
(О т в е т: предельной точкой полюсов или существенно особой
точкой.)
10. Доказать теорему Сохоцкого для предельной точки полюсов.
11. Пусть / голоморфна в круге | z | < 1 и ряд
/(*) + /'(*) + /" (*) + -..
сходится в точке 2 = 0. Покажите, что / можно продолжить до целой

ЗАДАЧИ
153
функции, причем указанный ряд сходится равномерно на всяком
компактном подмножестве плоскости С.
12. Если / голоморфна и ограничена в правой полуплоскости и
если f(n) = 0 для любого целого /г>0, то / == 0.
13. (В. И. Га ври лов). Если /(z) = z-f- ^JTj апгП голоморфна
в круге {| z j < 1} и \ап\^п для всех /г, то / и все frt (г) = г +
п
+ ^ а£2^ однолистны в круге {!г|<т}, где т —действительный
k = 2
корень уравнения
2(1-т)3-(1+т) = 0.
Оценка т достигается для
/0 (г) = 2г- —i—^z-fc*-^-...
[Указание: воспользоваться тем, что
/(z2)-/(*i)
22 — 21
1-2 ^л_1=2-(Г^при '*i!'1гг|
Заметим, что знаменитая гипотеза Бибербаха, по которой для
функций /(г) = 2+ 2 апгП> голоморфных в {| z \ < 1} и однолистных
гс>2 -I
там, | аЛ I ^ n для всех я, до сих пор не доказана и не опровергнута.]

Глава III
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
В этой главе мы рассмотрим еще одно из самых
основных понятий комплексного анализа — понятие
аналитического продолжения. Оно позволит нам, в частности,
ввести так называемые многозначные аналитические
функции.
Самые простые задачи приводят к необходимости
рассматривать многозначные решения. Например, уравнение
z = w2 при любом фиксированном z Ф О имеет два решения,
отличающиеся знаком. Совокупность этих решений — мы
обозначим ее ]/z — нельзя рассматривать как функцию
от г, ибо функция по определению однозначна. Попытка
отказаться от условия однозначности в определении
функции сразу привела бы к значительным неудобствам. В
самом деле, какой смысл, например, надо вложить в сумму
У г -\-V~z1), если каждое слагаемое принимает два
значения? Самые простые действия анализа с такими
«многозначными функциями» оказались бы весьма
затрудненными. Понятие аналитического продолжения позволяет
снять такого рода затруднения.
§ 8. Понятие аналитического продолжения
27. Элементы аналитических функций. Мы начнем
с изучения понятия аналитического продолжения,
оставаясь в рамках теории однозначных (голоморфных)
функций. С этой точки зрения под аналитическим продолже-
г) Если складывать Уг-\-Уг как совокупности, то эта сумма
будет уже трехзначной (ее значения: 2wlt —2wL и 0, где wt — одно
из двух значений У г). Складывать лишь значения с «одинаковым»
знаком? Но это в комплексном анализе совсем бессмысленно: пусть
]/Vl = ± (1 +/), а )/г2 = ±(1—/); какие знаки слагаемых в сумме
Vzi + Уч одинаковы?

§ 8] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ ^5
нием функции /0, заданной первоначально на некотором
множестве МсС, мы будем понимать доопределение ее
до функции /, заданной в некоторой области D zd M, такое,
что / голоморфна в D, а ее сужение на множество М
совпадает с /0-
Такую задачу можно решать самыми различными способами.
В первой главе, например, мы аналитически продолжали функции ех>
sin л; и другие, заданные на действительной оси R, на всю
комплексную плоскость С. Функция задана в области С\{0} (она не
определена при 2 = 0); написав ее разложение в ряд по степеням г:
sin г_ з2 j_ ?i
мы при его помощи получим продолжение этой функции на всю
плоскость С (такое продолжение равносильно доопределению в точке
2 = 0 по непрерывности).
Напротив, сумма ряда
/0(z) = l+z + z« + ...
определена (и голоморфна) лишь в круге {| z | < 1}, ибо при | г | ^ 1
ряд расходится. Однако просуммировав эту геометрическую
прогрессию, мы найдем, что /0(г) = -: , и полученная формула дает
аналитическое продолжение функции /0 в область С\{1}.
Рассмотрим менее тривиальный пример.
Гамма-функция Эйлера при Re^>0 определяется интегралом по
положительной полуоси
Г (г) = $ e-H^dt, (1)
о
где под t*-1 для />0 понимается e(z~l)]nt. Функции
оо
Fn(z)= \ e-H^dt (я=1, 2, ...)
\_
п
— целые, ибо интеграл можно дифференцировать по
параметру в любой точке плоскости. Так как на любом
компактном подмножестве правой полуплоскости {Rez>0}
последовательность {Fn} равномерно по г сходится к Г (г),
то по теореме Вейерштрасса гамма-функция голоморфна
в правой полуплоскости.

156 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
Если * = Rez=^;0, то интеграл (1) перестает сходиться
из-за того, что подинтегральная функция слишком быстро
возрастает при / ->• 0 (у нас \t*!-1\ = eRe(z—l)lnt = t*-1t
а ег*-*\ при t-+0). Мы улучшим сходимость при / = 0,
если вычтем из е~( начальные члены ее тейлоровского
разложения в нуле и тем самым получим множитель,
стремящийся к нулю при /->0. При Ree> 0 мы получим на
этом пути
1 / П i
r(2)=jfe-'-2tir-H'*"1*+
п \ оо
+ 2 ТГ" \ /*+*~1 di+ \ e-H^dt
fc = 0 0 1
или, вычисляя элементарные интегралы,
п
(-П* 1
rw-2
/г! z + k
l
= We"'— 2 Чт" П t*'1 dt + J е~Ч*~1 dt-
о \ *=o / l
(2)
В этом равенстве второй интеграл справа—целая
функция (см. выше), первый интеграл сходится равномерно
по z на любом компактном подмножестве полуплоскости
(п оо
ибо ^_2^/*= 2 Цг-'*
стремится к нулю при /-^0 со скоростью tn+l) и, значит,
представляет собой функцию, голоморфную в этой
полуплоскости.
Таким образом, равенство (2) позволяет аналитически
п
продолжить разность Г (г)— У, ^-гр~тт в полуплоскость
{Re2> — (n-f 1)}, а сама Г (г) оказывается продолженной
до функции, мероморфной в этой полуплоскости. Так как
в качестве п можно взять любое натуральное число, мы
получаем мероморфное продолжение гамма-функции на
всю плоскость. Мы видим также, что продолженная функ-

§ 8] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 15?
ция имеет в нуле и отрицательных целых точках полюсы
первого порядка, причем вычет в полюсе z = — k равен
' (k = 0, 1, 2, ...). На рис. 42 приведена поверхность
модуля гамма-функции, на которой нанесены также линии
равного модуля и аргумента.
Метод улучшения сходимости, который здесь
продемонстрирован, называется методом 1{оши\ в гл. V мы еще
Рис. 42.
раз будем им пользоваться (см. п. 43). Заметим, что ме-
роморфное продолжение гамма-функции в левую
полуплоскость можно осуществить также, пользуясь
функциональным уравнением
Г(г+1) = *Г(г),
которому удовлетворяет эта функция при Rez>0. В
самом деле, при Rez>0 мы можем написать
а потом заметить, что правая часть этого равенства
определена при Re г > —1, г Ф 0. Повторяя этот прием
достаточное число раз, мы продолжим гамма-функцию в любую
точку z =£0, —1, —2, ...

158 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
Конечно, задача аналитического продолжения не всегда
разрешима. Вспомним пример из п. 25: функция
оо
/(2)=22а"
/г=0
голоморфна в единичном круге £/= {| г | < 1}, но
окружность {|г| = 1} является ее особой линией, и поэтому
аналитическое продолжение / ни в какую область, строго
содержащую U, невозможно.
Если функция f (как в этом примере) голоморфна
в некоторой области D и не продолжается аналитически
ни в какую область, строго содержащую D, то мы будем
называть D областью голоморфности функции f. В п. 44
мы докажем, что каждая область D а С является областью
голоморфности некоторой функции.
Сейчас мы рассмотрим пример, который заставит нас расширить
принятое понятие аналитического продолжения. Пусть область D
представляет собой плоскость С, разрезанную вдоль отрицательной
полуоси: D = {z — rei(P: —я < ф < я, г>0}. В этой области
определена функция
_ ^
w = f0(z) = Vre 2, — я<ф<я, (3)
взаимно однозначно отображающая D на правую полуплоскость D* =
= J w = ре'У>: —х- < if> < — I. Мы имеем w2 = relv = z (так что /0 (г) =
= Yz) и в силу того, что отображение /0: D-* D* взаимно
однозначно, можем воспользоваться правилом дифференцирования
обратных функций х), по которому в каждой точке z e D существует
}°{) dz_ 2ш 2/о(г)'
dw
Таким образом, функция /0 голоморфна в D.
х) В самом деле, в силу однолистности отображения z-*w при
Дг=т^0 имеем Aw Ф О и, следовательно,
Aw_ = 1
Дг AzjAw ' v ;
В силу непрерывности этого отображения Aw -> 0 при Дг->0, и если
Дг
существует lim -— = г' (w) ФО, то, переходя в (*) к пределу при
Доу^О AW
АЛ ..AW 1
Дг-*-0, получим, что существует lim -т—, равный w (г) = ■
дг^О д2 ' г' (w)

§ 8] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 159
Рассмотрим теперь сектор 5 = {л^ф <л + 6}, где б>0 (рис. 43).
Функция /0 непосредственно формулой (3) продолжается в этот сектор.
Так как при этом S взаимно однозначно отображается на сектор
5* = i-yr^i|;^ T" I плоскости w> то по тем же соображениям,
что и выше, продолженная функция
f(z) = V~re
:ф <я + б,
(4)
голоморфна в S. Однако / нельзя
продолжение f0 из D в область
D yS = {— л<ф< л + 6} по
той причине, что f не
является функцией в этой
области, ибо она неоднозначна
в D[)S. В самом деле, любой
точке г0 из пересечения D (]S
она сопоставляет два значения
w: если считать, что г0 е D, то
20 нужно сопоставить значение
рассматривать как аналитическое
Фо
Рис. 43.
/о (*о) =Vr0е 2 , где — л <
<Фо< — л + 6; если же
считать 20е5, то этой точке надо приписать аргумент ф = ф0 + 2л
л<ф<л + б) и, следовательно, значение функции
. фо + 2я
f(*o) = V7oe 2
= —/о(г0)
(5)
(в обоих случаях у нас r0=\z0\).
Между тем если рассматривать /0 только в верхней половине
области D, т. е. верхней полуплоскости О+={0<ф<л}, то функция
f(z)=Vre 2, 0<ф<л + б,
(6)
будет аналитическим продолжением /0, ибо она голоморфна в D"'rlJS
и jF|Z)+ = /0. Возникает настоятельная потребность обобщить понятие
аналитического продолжения так, чтобы оно содержало и
рассмотренное выше продолжение /0 из D в D[)S, но не требовало введения
многозначных функций.
Заметим, что при аналитическом продолжении
однозначность нарушается в тот момент, когда расширяющаяся
область определения функции начинает «налезать» на себя,
покрывать еще раз некоторую свою часть (подобно тому,
как в последнем примере сектор 5 покрывает часть
области D; см. рис. 43). Из этого наблюдения возникла
идея (восходящая еще к Б. Риману и К. В ей ер -
ш т р а с с у) относить появляющиеся при продолжении

160 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
новые значения функции не к старой области, где функция
уже определена, а к новой области, покрывающей старую1).
Так, в нашем примере значения / в пересечении D(]S, где уже
определена функция /0, мы будем относить не к области D, а к
сектору S (точнее, к 5, ибо S содержит граничный луч {ср = л} и не
является областью). Таким образом, на пересечении D(]S мы будем
рассматривать два объекта: 1) часть области D — сектор D0 =
= {—л<ф< — л+ 6} —с голоморфной в ней функцией /0 и 2)
сектор 5 = {я<ср<я + 6} с голоморфной в нем функцией /. Хотя
области D0 и S геометрически совпадают, но функции / и /0, им
отнесенные, различны (они, очевидно, отличаются знаком), поэтому
эти объекты следует считать различными.
Итак, идея заключается в том, что вместо функции
рассматривается новый объект —пара, составленная из области и заданной
в ней функции. Переходим к точным
определениям.
Определение 1.
Аналитическим элементом или, короче,
элементом, называется совокупность of =
== (D, f) области ОсСи
голоморфной в этой области функции f.
Определение 2. Говорят, что
два элемента Jr1 = (D11 ft) и /2 =
= (£*2» /г)» области которых имеют
Рис. 44. непустое пересечение D1(]D2,
являются непосредственным
аналитическим продолжением друг друга через область А — связную
компоненту D1(]D2 — если всюду в А
h(z) = h(z) (7)
(при этом значения f± и f2 в других компонентах
пересечения D1[\D2 не обязаны совпадать; см. рис. 44).
Так, в рассмотренном выше примере элемент JF0, который
состоит из области £> = {—л<ф<л} и голоморфной в ней функции
/0, определенной равенством (3), и элемент JFj, состоящий из области
[ я Зл)
Di= -1-jT- <ф< -=-> (левой полуплоскости) и голоморфной в ней функ-
ции fi(z)=V re 2f -у<Ф<-9", составляют непосредственное
аналитическое продолжение друг друга через второй квадрант
х) Геометрический аспект этой идеи мы рассмотрим в конце главы.

§ 8] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 161
Зя
_1
Д = •!-£- < ср < л , но не через третий квадрант Л' = -я < ф ■
бо в Л' значения /„ и /х различны (рис. 45).
Определение 3. Говорят, что элементы of = (D, f)
и ^ = (G, g) являются аналитическим продолжением 1) друг
друга через области Av (v = 0,__..., п— 1), если
существует такая цепочка элементов q?v =(DV1 Д,)," v = 0, ..., /j,
что: 1) qF0 = #, ^я = ^; 2) области Dv и Dv+1 имеют
непустое пересечение и Av является одной из его компонент
Рис. 45.
Рис. 46.
(v = 0, ..., п— 1); элемент ^v+i является
непосредственным аналитическим продолжением qFv (v = 0, ..., п— 1)
через Av (рис. 46).
Пример. Пусть D —верхняя полуплоскость {hnz>0} и в ней
заданы две функции
_ ^
w = f(z) = p~re 3,
_ 1±
w=g(z) = s/re 3,
О < ср < я,
2я <с Ф < Зя
(г — ге'Ф) Они взаимно однозначно и непрерывно отображают D
соответственно на секторы D* = ]0 < г|? < - 1 и G* = ] - < ф < л > (мы
полагаем t|) = argay). Обе функции обращают функцию ш] — z (так что
их можно считать значениями \fz ) и, по правилу дифференцирования
обратных функций, голоморфны в D. Таким образом, пары ^t =(D, /)
и ,^ = (D, g) являются аналитическими элементами.
Они являются аналитическим продолжением друг друга. В самом
деле, рассмотрим, например, области D, —{0<ср<2я} и D2 =
= {я < ф < Зя} и в них соответственно голоморфные функции /х (z) =
Ф
= Yre (0 < ф < 2я) и /2 (г) = /г е 3 (я < ф < Зя); элементы j^\
Фъ /i)> 02» /2)» & образуют цепочку, которая удовлетворяет всем
условиям, принятым в определении 3.
1) Уже без слова «непосредственное».
6 В. В. Шабат, ч- I

162 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
28. Продолжение вдоль пути. Для простоты
дальнейших рассуждений мы несколько конкретизируем понятие
элемента.
Определение 1. Каноническим элементом с центром
в точке gg(D называется eFa = (Ua, fa)> гДе /а—-сумма
сходящегося степенного ряда с центром в а и 0а — круг
сходимости этого ряда. Мы будем называть Ua кругом
сходимости элемента sfa и обозначать через Ra радиус этого
круга, если а Ф оо, или радиус его дополнения, если а = сю.
Если аеС, то круг сходимости элемента qF a имеет вид
Ua = {z:\z-a\<Ra}, где Ra^oo, а функция
со
/1 = 0
если же а = оо, то i/a = {г: \г \ >Ra\, где /?в^0, и
со
/1 = 0
Определения непосредственного аналитического
продолжения и аналитического продолжения для канонических
элементов несколько упрощаются,
ибо их области (крути) пересекаются
по связным множествам и поэтому
не надо оговаривать, через какие
компоненты пересечений Av
производится продолжение.
Если канонический элемент <F ь =
= {Ubi fb) является
непосредственным аналитическим продолжением
элемента QF„ = (Ua, fa) и, кроме то-
Рис. 47. го, b^Ua (рис. 47), то такое
продолжение сводится просто к
переразложению суммы степенного ряда fa в ряд по степеням
/2 = 0
Заметим еще, что если два канонических элемента oFa
и eFb являются непосредственным аналитическим
продолжением друг друга, то их круги сходимости Ua и Ub не
могут компактно принадлежать один другому (если, напри-

§ 8] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 163
мер, Ub(^Uai то fb голоморфна в большем, чем (Д, круге
с центром Ь и, следовательно, Ub не может быть кругом
сходимости). Поэтому окружности dUa и dUb должны иметь
хотя бы одну общую точку, и из треугольника,
изображенного на рис. 47 (только теперь не обязательно Ъ е 0а),
мы заключаем, что
\Ra-Rb\^\b-a\. (4)
Теперь мы займемся понятием аналитического
продолжения вдоль пути. Без ограничения общности будем
предполагать, что для всех рассматриваемых здесь путей
параметр меняется на отрезке
/ = [0, 1J.
Определение 2.
Говорят, что канонический элемент
в^'о = (^о» /о) продолжаем вдоль
пути у: /->-С, с началом в
центре а = у(0) этого элемента,
если существует семейство
элементов
^ = (i//, /,), *е/, (5)
с центрами at = y(t) и
ненулевыми радиусами сходимости, удовлетворяющее следующему
условию. Если и (t0) a I обозначает такую связную
окрестность точки t0^I, что y(t)^Uto для всех (е«(/0) (эта
окрестность существует в силу непрерывности пути), то
для любого t e и (t0) элемент oFt является
непосредственным аналитическим продолжением <& и (рис. 48).
Если элемент eF0 продолжаем вдоль у, то говорят, что
элемент # г семейства (5) (с центром в конце Ь = у(\) пути)
получается из о^0 аналитическим продолжением вдоль
пути у.
Прежде всего докажем единственность
продолжения вдоль пути. Для этого условимся считать два
канонических элемента qF = ((/, /) и 3 = (К, g) равными (*F = s),
если U = V и в этом круге f = g.
Теорема 1. Если канонический элемент of0 продолжаем
вдоль пути у, то в результате его аналитического
продолжения вдоль этого пути получается вполне определенный
элемент, не зависящий от выбора семейства,
осуществляющего продолжение.
6*
Рис. 48.

164 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ III
«3 Пусть элементы »?х и $г получаются продолжением -f0
вдоль у: первый при помощи семейства элементов J~u a
второй —семейства $t (^0 = ^0, /е/). Рассмотрим
множество » = {*€=/: ft = »t}\
оно непусто, ибо содержит точку / = 0.
Это множество открыто (в топологии /). В самом деле,
пусть /0 е^, т. е. qF/o = ^/о; в силу непрерывности пути у
найдется окрестность и (/0) cz / такая, что для всех / е и (t0)
точка y(t) принадлежит общему кругу сходимости
элементов gF/o и ^/о. По определению 2 для всех t^u(t0) и «Г,
и ^ получаются непосредственным аналитическим
продолжением равных элементов <э?и=$и и, следовательно,
совпадают (см. формулу (3)). Поэтому и (t0) с: 6.
Но <& в то же время и замкнуто. В самом деле, пусть
/0 е / — предельная точка £ и w (/0) — такая окрестность,
что для всех / ^ и (/0) точки у (0 принадлежат меньшему
из кругов сходимости элементов <Jrto и Э/о (обозначим его
через W). В « (/0) найдется точка /,еЬв ней ?/ ,t = 5/t.
Так как y(^i)^ W7, то ^ /0 и $t0 являются
непосредственными аналитическими продолжениями равных элементов
о/ л и $tl. Поэтому //о = g/o в пересечении W с кругом
сходимости oF 1х и Э/,, но тогда по теореме единственности п. 22
fh =g/o всюду в «7 и, следовательно, GF,o =^/о, т. е. /0 е £.
Итак, непустое подмножество % cz I является
одновременно открытым и замкнутым. Отсюда следует (п. 4), что
ё = 1 и, в частности, что оТл = $г ^
Теперь мы хотим доказать, что продолжение вдоль пути
всегда можно осуществить в конечное число приемов, т. е.
как аналитическое продолжение в смысле предыдущего
пункта.
Лемма. Радиус R (/) элемента зГ, из семейства (5),
осуществляющего аналитическое продолжение вдоль пути у,
является непрерывной функцией от t на отрезке /, если
круги сходимости всех <Ft компактны.
<4 Для любого /0 е / найдем окрестность u(t0) такую,
что при /ем(У элемент aFt является непосредственным
продолжением of (o (см. определение 2). Из неравенства (4)
получаем тогда, что
|/?(/)-/?(/o)I<Iy(0-t(W|.
Это неравенство доказывает непрерывность R в точке /0 ►

$ 8] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 165
Теорема 2. Если элемент & получается из ^У
аналитическим продолжением вдоль пути у, то 5 является
аналитическим продолжением У в смысле п. 27.
^ ПустьsFu t e /, —семейство элементов,
осуществляющих продолжение вдоль у. По лемме радиус R (/) элемента
oFt непрерывен на /, следовательно, существует г>0
такое, что R(t)^e для всех t <^ I. В силу равномерной
непрерывности функции у на / можно выбрать конечное
число точек tv: /0 = 0< tx <.. .< tn = 1 так, чтобы точки
2v — У (Ю Для v = 1, ..., п удовлетворяли неравенству
| zv — ev_! | <с е. По определению 2 отсюда следует, что
элемент Jr^ = yt является непосредственным
аналитическим продолжением
элемента aF{v~1)-^oJrt
(v=l_,..., /г). Но*Я0> = *?\
a oF(n) — Э,
следовательно, $ является
аналитическим продолжением
элемента о/ ►
Пример. Рассмотрим в
круге U = {\z — 1| <1} функцию
__ i^
я_\
2;"
z=re^t — — <ф<
л;
У
Рис. 49.
(6)
Как мы видели в
предыдущем пункте, в каждой точке
z е (У существует /' (г)=^- следовательно, / голоморфна в [/ и
f'(z)^- со при г->-0. Отсюда видно, что пара F=(U, /)
составляет канонический элемент.
Чтобы получить аналитическое продолжение & вдоль пути
у0: z = ei(, O^t^n (верхняя полуокружность {|г|==1}, рис 49),
нет необходимости, как сказано в определении, получать
тейлоровское разложение / в круге U и затем переразлагать его по степеням
z — eu при всевозможных / е [0, я] По теоремам 1 и 2 достаточно
рассмотреть^круг LP = {\z — i\ < 1} и построить аналитическое
продолжение У по цепочке кругов U, £/', I7, где К = {|г-}-1 | < 1} Но
такое продолжение можно осуществить, как в п. 27, непосредственно
по формуле (6), расширяя область изменения гр в этой формуле: для
W — на отрезок [0, л\ и для V— на отрезок —, — В круге V

166 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
мы получим голоморфную функцию
■ (*)=»>*
Зл^
:ф<т
(7)
и пара ^° = (Vt g0) составляет элемент, который и является искомым
продолжением & вдоль пути 7о- В частности, на отрицательном
диаметре круга V имеем ф = л, следовательно,
g„(z) = /~ Л-«Т—, (8)
где —х = \г\>0
Аналогично, при помощи цепочки кругов U, U"\ V, где U"—
= {\z-\-i\ < Ц, осуществляется аналитическое продолжение & вдоль
пути Yi: z=e'f} O^t^z — п (см. рис. 49). Это продолжение
заключается в том, что мы последовательно заменяем в формуле (6) область
г П1 Г Зл л
изменения ф отрезками [ —л, 0] и
получаем голоморфную в круге V функцию
. В результате мы
b(z) = Y~re 2
Зл
2
'Ф*
(9)
и пара ^1 = (Vy gx) составляет элемент, который является
продолжением ZF вдоль пути Yi*
Элемент &1 не равен элементу #°: хотя круги их сходимости
одинаковы, но функции отличаются, ибо, например, на отрицательном
диаметре V мы теперь имеем ф =— л и, следовательно, вместо (8)
получаем
. л
g,(z) = \r~e~~l°: = -i \"=i% (10)
где опять — ,y=|z|>0. Нетрудно видеть, что#,(г) = — g() (z) Для
всех геУ.
Заметим, что при построении наших продолжений мы не
пользовались тейлоровским разложением элемента .9Г. При желании его
можно получить, например, из следующих соображений На
положительном диаметре круга U имеем гр = 0, следовательно, /(г) = | х ,
где z = x>0. В анализе доказывается, что эта действительная
функция раскладывается в биномиальный ряд
1 *={1+(х-1)}2 = 1
- v
(-!)■
п = \
„(2я-3)Н
(2п)!1
(дг-:
(11)
сходящийся на всем диаметре (0, 2) (здесь п\\=п(п — 2) ... и
последний множитель равен 2, если п— четное, и 1, если п — нечетное).
По теореме Абеля (п. 20) ряд (11) сходится и для комплексных x = z
в круге U и, следовательно, представляет голоморфную в U функцию
(п. 21). На диаметре (0, 2) эта функция совпадает с /, а по теореме

§ 8] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 167
единственности (п. 22) отсюда следует, что она совпадаете/ всюду bU.
Таким образом, всюду в U
со
w=i-21 (-1)в^)?1)!!(г-1)'>- (12)
п=\
Можно написать и тейлоровские разложения функций g0 и gx
в круге К; они имеют вид
йГо(г) fifi(ar) —*/( —ar) = *Jl "^(2(Л27)И)!!(г+1)Д[' <13>
В заключение докажем теорему об инвариантности
аналитического продолжения вдоль пути относительно
гомотопных деформаций этого пути.
Теорема 3. Пусть пути yQ и Yi гомотопны, как пути
с общими концами, и элемент -Т продолжаем вдоль любого
пути ys (se/), осуществляющего гомотопию Yo~Yi-
Тогда результаты продолжения ^ вдоль путей у0 и уг
совпадают.
М Пусть у: I х /-*С — функция, осуществляющая
гомотопию Yo^Yi (см- п- ^)» так что ys(t) = v(si О-
Обозначим через 5s (s e /) результат аналитического
продолжения элемента qF вдоль пути Y* и рассмотрим
множество
^ = {sg/: £* = £°}.
Оно непусто, ибо содержит точку s = 0. Пусть s0 ^ Ш\ по
лемме существует е > 0 такое, что радиусы R (t)
элементов &*\ осуществляющих продолжение вдоль Ys0, не меньше е
для всех /е/. В силу равномерной непрерывности
функции y найдется окрестность u(s0)czl такая, что для всех
s е и (s0) и всех / е /
\y(s, t)-y(so, 0:<|. (14)
По теореме 2 выберем /v ^ / так, чтобы точки z% = y(s0, /v)
для всех v=l, ..., п удовлетворяли неравенству
|4-zS-, |<| (15)
и элементы $у-\ и ^° мы обозначаем ^ = ^Л являлись
непосредственными аналитическими продолжениями друг

168 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
друга. Обозначим еще zv = y(s, /Y)> Л> = ^, и заметим, что
при s^u(s0) в силу (14) и (15) |2Y--z£-i|<e для всех
v = 1, ..., п (рис. 50).
Элементы &" и &х являются непосредственными
аналитическими продолжениями элемента eF и, следовательно,
друг друга (мы пользуемся тем,
У
что
нас
\г\.
и
| А — ?11 < у )• Точно так же мы
докажем, что и элементы 3% и
&х являются аналитическими
продолжениями друг друга (v =
= 2, ..., п). Но элементы $п и
5Л имеют к тому же общий
центр (zn = zn = b) и поэтому
Рис. 50. совпадают. Так как s0 e <£, то
^« = ^/° = ^°» следовательно, и
>n = £5 = £°, т. е. s^e. Мы доказали, что u(s0)a%
вместе с s0, т. е. что ё — открытое множество.
Но в то же время Ш является и замкнутым множеством.
В самом деле, пусть s0 —предельная точка ?; построим
окрестность и (s0) такую же, как выше. В ней найдется
точка se£, так что продолжение
of вдоль ys приводит к элементу
£°. По тем же соображениям, что
и выше, продолжения вдоль путей
ys и 7so приводит к равным
элементам, следовательно, £so=£° и
Таким образом, ё = 1 (см. п. 4)
и, в частности, &l = 5° ^
Замечание Если хотя бы вдоль
одного из путей ys, осуществляющих
гомотопию Yo^Yi» элемент Т
непродолжаем, то результаты его продолжения
вдоль Yo и Yi могут оказаться
различными. В самом деле, рассмотрим полуокружности Yo и Yi из
разобранного выше примера. Они, очевидно, гомотопны и их гомотопию можно
осуществить при помощи дуг окружностей ys, 0 ^ s ^ 1, проходящих
через точки ± 1 (рис. 51). Пусть для определенности Yi обозначает
прямолинейный отрезок [1, — 1J.

§ 9] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 169
Элемент ^ — {JJ, f) из упомянутого примера можно описанным
выше приемом аналитически продолжить вдоль любой дуги ySt s^=-^-.
Продолжение вдоль у, невозможно, ибо, как мы видели, /'(z)-»-oo
при г->-(), а отрезок уг, содержит точку z — О. Этого оказывается
достаточным для того, чтобы продолжения вдоль у0 и Yi приводили
к различным элементам (см. упомянутый пример).
§ 9. Понятие аналитической функции
К понятию аналитической функции мы придем, если
будем рассматривать совокупности (аналитических)
элементов (Da, /a), где а пробегает произвольное множество
индексов А, причем предположим, что каждый из этих
элементов получается из любого другого аналитическим
продолжением. Голоморфные функции fa, aEA,
принадлежащие элементам, будем называть ветвями
рассматриваемой аналитической функции.
29. Аналитические функции. Для удобства работы
с этим понятием мы несколько конкретизируем его, заменив
произвольные элементы каноническими и продолжение —
продолжением вдоль путей.
Определение 1. Аналитической функцией
называется совокупность канонических элементов, которые
получаются из одного какого-либо элемента <2F = (U,f) анали
тическими продолжениями вдоль всех путей, начинающихся
в центре а элемента аГ, вдоль которых такое продолжение
возможно.
Очевидно, что это_ понятие не зависит от выбора
начального элемента <& . В самом деле, пусть £ = (1/, g) —
любой элемент, принадлежащий аналитической функции,
которая определяется начальным элементом У. Тогда Я
получается из ^Т продолжением вдоль пути у. Но и -У
получается из & продолжением вдоль пути у, а любой
другой элемент --ЗГ, который получается из У
продолжением вдоль пути Я, можно получить и из •> продолжением
вдоль пути у~ U X (определение объединения путей см.
в п. 15)"
Определение 2. Две аналитические функции
считаются равными, если они имеют хотя бы один общий
элемент. (По теореме единственности продолжения вдоль
пути тогда и все их соответствующие элементы равны
друг другу.)

170 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
Теорема 1. Объединение кругов сходимости элементов,
принадлежащих аналитической функции, образует область.
<4 Пусть D — это объединение; оно открыто, как
объединение открытых множеств (если z0 gD, to z0 принадлежит
и кругу сходимости U некоторого элемента, a U входит
в D). Но D и связно, ибо для любых точек a, b^D
можно найти принадлежащие функции элементы, которые
имеют эти точки центрами, а так как эти элементы
получаются друг из друга продолжением вдоль некоторого
пути у, соединяющего а и Ь, то и все точки у принадлежатD.
Таким образом, D —открытое связное множество, т. е.
область ►
Заметим, что аналитическая функция может не являться
в этой области функцией в обычном смысле слова.
В самом деле, пусть 5*" = ((/, /) где U — { [ г — 1 | < 1}, и
. ф
f{z)=^\rr в 2> --2-<Ф<-2-> (1)
— элемент из примера, рассмотренного в предыдущем пункте. Мы
видели, что его можно продолжить в круг V = { \ z-j-1 | < 1} двумя
способами, которые приводят к двум различным голоморфным в V
функциям g0 и gx: g1(z) = — £о(г) в У- Таким образом, аналитическая
функция с начальным элементом JF" каждой точке ге1/ ставит
в соответствие два различных значения (отличающихся знаком). Эта
(двузначная) аналитическая функция обозначается символом J г.
Ниже, в § 10, мы введем вместо плоских областей
такие объекты (римановы поверхности), на которых
аналитические функции можно будет рассматривать как
обычные (однозначные) функции.
Правда, в некоторых случаях аналитические функции
можно рассматривать как обычные функции и в плоских
областях. Например, справедлива такая
Теорема 2 (о монодромии). Если некоторый
элемент ef = (f/, /) аналитически продолжаем вдоль
любого пути у, принадлежащего односвязной области D, то
определяемая продолжениями <^ вдоль таких путей
аналитическая функция однозначна в этой области.
< Пусть аГ имеет центром точку a^D и г
—произвольная точка этой области. В силу односвязности D
любые два пути у0 и уъ ведущие в D из точки а в г,
гомотопны, а по условию элемент ©F продолжаем вдоль

§ 9| ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 171
любого пути, осуществляющего гомотопию. Следовательно,
по теореме об инвариантности аналитического
продолжения (п. 28) элементы аналитической функции с центром
в точке z совпадают. Их значение в точке z мы и
сопоставим этой точке. Таким образом, аналитическая
функция определяет (однозначную) функцию в области D ►
Если условие теоремы о монодромии не выполняется
(например, если область D неодносвязна или не все
элементы продолжаются вдоль всех путей yaD)y то
аналитическая функция может сопоставлять точкам z^D
несколько значений (они будут значениями различных
ветвей аналитической функции в точке z). Сколько же
значений может при этом сопоставляться фиксированной
точке? Ответ на этот вопрос дает
Теорема 3 (Пуанкаре —Вольтерр а).
Аналитическая функция может иметь не более чем счетное
множество различных элементов с центром в
фиксированной точке.
< Пусть аналитическая функция определяется
начальным элементом <F~ с центром в а и г — произвольная точка
области D, образованной кругами элементов, которые
получаются при продолжении gF (теорема 1). По
теореме 2 п. 28 любой принадлежащий функции элемент •>
с центром в точке z можно получить при помощи
конечной цепочки элементов с центрами a, zu ..., гл_!, г,
в которой каждый следующий элемент является
непосредственным аналитическим продолжением предыдущего.
Без ограничения общности можно считать, что точки гу
(v = 1, ..., п — 1) рациональны (т. е. Re zv и Im zY —
рациональные числа). В самом деле, пусть сначала центры z'v
элементов qF'v (v=1, ..., я—1) произвольны. В сколь
угодно малой окрестности каждой точки z'v возьмем
рациональную точку zv и заменим gF^ его непосредственным
аналитическим продолжением gFv с центром в zv. Ясно
(см. доказательство теоремы 3 из п. 28), что при
достаточно малых \z'v — zx\ результат продолжения по новой
цепочке будет совпадать со старым.
Остается заметить, что множество возможных
непосредственных аналитических продолжений & г с
рациональными центрами элемента eF счетно, так же как и
множества элементов /.,, . ..,eFw_!. Так как задание
<Уп-\ и точки z однозначно определяет элемент & (хотя

172 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
различные ^ п-\ могут привести к одинаковым ^), то
множество возможных элементов 5 не более чем счетно ►
Пример аналитической функции, которая сопоставляет
точкам области D бесконечное (счетное) множество
значений, мы приведем в следующем пункте.
При введении понятия аналитической функции можно
рассматривать произвольные элементы (D, /), не
обязательно канонические (см. начало этого параграфа). Чтобы
подчеркнуть независимость этого понятия от выбора
областей элементов, введем следующее
Определение 3. Два элемента (D, /) и (G, g),
области которых содержат точку ае©, называются
эквивалентными в точке а, если существует окрестность этой
точки, в которой f=gl). Совокупность элементов,
эквивалентных в точке a^D элементу (D, /), называют
ростком аналитической функции в точке а и обозначают
символом fa.
Смысл понятия ростка состоит в локализации
понятия элемента: рассматривая вместо фиксированного
элемента класс всех элементов, эквивалентных ему (в том
числе и тех, области которых сколь угодно малы), мы
выделяем то общее, что объединяет эквивалентные
элементы. Поэтому росток характеризует локальные
свойства функции в рассматриваемой точке. Очевидно, росток fa
можно отождествить с набором комплексных чисел /(/?)(а)>
характеризующим коэффициенты тейлоровского
разложения / в точке а.
По данному ростку ia аналитической функции можно
полностью определить эту функцию —достаточно взять
любой элемент (D, /), представляющий f„, и выполнить
все возможные его аналитические продолжения. Обратно,
каждой аналитической функции в любой точке z
объединения областей принадлежащих ей элементов можно
сопоставить множество ростков fz — классов эквивалентности
этих элементов в точке г (по теореме 3 это множество
не более, чем счетно). Таким образом, аналитическую
функцию можно рассматривать как совокупность
принадлежащих ей ростков (подробнее об этом см. в конце
главы).
г) Очевидно, это отношение удовлетворяет обычным аксиомам
эквивалентности.

§ 91
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
173
Над ростками аналитических функции в
фиксированной точке ^gC можно производить обычные для
анализа действия. Так, иод производной f^ ростка f~
понимается класс элементов, эквивалентных (Ь, /'), где (D, /) —
какой-либо представитель класса f^ (очевидно, f'2 не
зависит от выбора представителя). Аналогично определяются
сумма b + g^ и произведение fz-g2 (например, f. + gc —
это класс элементов, эквивалентных (U, f + g), где (D, /)
и (G, g) — представители f^ и g. такие, что D[\G содержит
окрестность Uзг). Частное\Jgz определено не всегда —оно
не определено для тех ростков g~, которые равны 0 в точке г.
Таким образом, совокупность ростков аналитических
функций в фиксированной точке z алгебраически
представляет собой кольцо. Мы обозначим его тем же
символом €z, что и кольцо функций, голоморфных в точке z
(см. п. 6) — но существу, это один и тот же объект.
Над аналитическими функциями (а не над их
ростками) действия определены не всегда; рассмотрим для
примера действие сложения двух аналитических
функций. Прежде всего нужно иметь возможность выбрать
элементы этих функций с общей областью определения,
пусть элементы (D, /) и (D, g). Голоморфные функции /
и g, принадлежащие этим элементам — ветви
рассматриваемых аналитических функций в области D — можно
сложить и образовать элемент (С, f-\-g). Совокупность
элементов, которые получаются из (D, f-\-g) при всех
возможных аналитических продолжениях, образует новую
аналитическую функцию, которую естественно считать
суммой первоначальных. Однако такое определение должно
быть корректны м, т. е. не зависеть от выбора
начальных элементов, а это условие выполняется не всегда.
Например, рассмотренная выше функция Vг по теореме о моно-
дромии допускает выделение двух ветвей в любой односвязпо"й
области D с С, не содержащей точки 2 = 0, и эти ветви /, и /•>
отличаются знаком При различном выборе ветвей в качестве элементов
суммы | z-\-\rz мы можем получить (D, 2/\), (D, 2/2) и (D, 0), и
если первые два элемента при продолжении да дуг одну и ту же
аналитическую функцию, которую можно обозначить символом 2 J г,
то третий элемент даст др\тую функцию —тождественный пуль.
Поэтому действие |'г+Гг корректно не определено.
Заметим, что требование корректности заведомо
выполняется, если аналитические функции складывать с голо-

174
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
[Г Л III
морфными или умножать на них. Корректны и
композиции голоморфных функций с аналитическими, например,
определены такие аналитические функции, как e]z или
cosy^e (последняя, как нетрудно видеть, оказывается
даже голоморфной).
30. Элементарные функции. Здесь мы рассмотрим
важнейшие примеры многозначных аналитических функций.
1. Корень. Под корнем /г-й степени (п -—
натуральное число) из z понимается аналитическая функция
w=|/"z, (1)
определяемая следующим образом. В плоскости С с
мт^ггир-
-/*
<>/;
исс
(Z)
J(w-W)
Рис. 52.
выброшенной отрицательной полуосью D0 = С\R_
рассмотрим функцию
/o(z) =y'V7r, — я<ср<я (2)
(мы полагаем z = reiq). Она непрерывна в D0 и взаимно
однозначно отображает D0 на сектор DJ = |— --<^<—|
плоскости комплексного переменного w = pe1^ (рис. 52).
Так как дога = 2, то по правилу дифференцирования
обратной функции для всех zeD0 существует производная
^(2)~ МЫ*)}"
(3)
(см. сноску на стр. 158). Поэтому пара cf0 = (D0i f0)
представляет собой аналитический элемент. Аналитическую
функцию, которая получается при аналитическом
продолжении этого элемента, и называют корнем п-й
степени из г.

$ О] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 175
Такое продолжение можно описать, например,
следующим образом. Рассмотрим область Da = {— я + а <
<Ф<я + а} и в ней голоморфную функцию
• ф
/a (z) = Vre п, — я + а < ср < я + а. (4)
Очевидно, что элементы oFa = (Da, /a) при всех aeR
будут представлять собой аналитическое продолжение
элемента (D0, /0) (при |a| < jc — непосредственное).
Совокупность этих элементов eFa и описывает нашу функцию.
Объединением областей этих элементов D = (J Da
служит, очевидно, плоскость С с исключенными точками
2 = 0 и г = оо (это — единственные точки из (D, которые
принадлежат границам всех Da и не принадлежат ни
одной Da).
Эту же функцию можно определить и при помощи
канонических элементов. Примем за начальный,
например, элемент Э0 с центром в точке г— 1, который состоит
из круга (/ = {jz—11 < 1} и голоморфной в нем функции
го(г) = |1 + (2-1)}л' =
со
-2iri(J-')-(i-*+1)"-'>' <5>
(мы, как и в примере на стр. 166, заметили, что при
rij—
положительных z = х функция g0(x)-=yx,
воспользовались биномиальным разложением этой действительной
функции и продолжили разложение с отрезка (0, 2)
в круг U).
Элемент ^0^#"0, ибо при г=*е(0, 2) мы имеем
г = х, ср = 0 и, следовательно, f0(x) = go(x) = yrx, а так
как обе функции /0 и g0 голоморфны в U, то по теореме
единственности /0 (z) = g0 (г) для всех z^U. По
определению 2 предыдущего пункта аналитические функции,
определяемые элементами qF0 и ^0> совпадают.
Каждой точке z0^D аналитическая функция w = yz
относит точно п различных значений. В самом деле,
значения всех голоморфных функций, принадлежащих

176 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ (ГЛ III
элементам ^а (ветвейшна ей аналитической функции),
определяются по формуле
. ф0 -г 2£л
где /'o^Uoi, фо —одно из возможных значений arg?0»
а л —произвольное целое число. Положив w0 = \ r0e n ,
мы видим, что все другие значения w отличаются от w0
i — k
множителями е п , а эти множители (корни я-й степени
из 1) получаются из
вектора 1 поворотами на угол, крат-
„ 2л
ныи — т. е. имеют п
различных значений. Таким образом,
0 Wf ff
z=0
N
(w=Vz)
Рис. 53.
среди значений (6) имеется лишь п различных
значений w0, w1% ..., wn-.x, которые получаются, если
положить в (6) /? = 0, 1, ..., п — 1. Эти значения располагаются
в вершинах правильного /г-угольника с центром в точке
w==6t одной из вершин которого служит точка w0 (см.
рис. 52).
В заключение несколько слов о ветвях аналитической
функции |/"г, т. е. голоморфных функциях,
принадлежащих ее элементам (не обязательно из числа aFa).
По теореме о моиодромии (п. 29) ветвь -\Гг можно
выделить в любой односвязной области G, не содержащей
точек 2 = 0 и z = со. Примером такой области служит
плоскость с любым разрезом, соединяющим эти точки
(граница области должна быть связной). На рис. 53

§ 91 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 177
изображена одна из таких областей G и ее образ G* при
отображении одной из ветвей у г, две другие ветви ото-
2 т 4 л*
бражают G соответственно на области е 3 G* и е 3 G*,
полученные из G* поворотом на углы -q~ и ~3~'
Вообще, ветвь y^z можно выделить в любой области,
которая не содержит ни одного замкнутого пути,
охватывающего точку z = 0. В самом деле, при обходе таких
и только таких путей величина arg2 меняется на целое
кратное 2л, и, следовательно, аналитическое
продолжение вдоль них какого-либо элемента может привести
к другому элементу. В областях, удовлетворяющих
указанному условию, можно выделить п различных ветвей
нашей аналитической функции. Каждая из таких ветвей
.2л.
t ~k
отличается от другой множителями е п и вполне
характеризуется указанием области, в которой она определена,
и значением в одной из точек этой области. (Например,
можно говорить о ветви -\гг, которая определена в
плоскости С с разрезом вдоль отрицательной полуоси и
которая равна 1 при 2=1; другие две ветви yrz в этой
области при 2=1 принимают соответственно значения
2.-ti Am 2л< \
е 3 и е з =е 3*j
Над корнями можно производить действия в том
смысле, о котором говорилось в конце предыдущего пункта.
В частности, корректно определена производная
'\Гг =__! = !_£. (7)
У г/ /п - \п-\ > ^/
П V\ 2 ) HZ
которая также является аналитической функцией.
2. Логарифм комплексного переменного z
w = Lnz (8)
можно определить аналитическим продолжением
начального элемента, который состоит из области D0 = {—л<:
<Ф<я} и заданной в ней функции
w== In z = 1п/- + кр, -я<ф<я, (9)
которая называется главной ветвью логарифма (как и

178 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ III
выше, мы полагаем г=ге'ц). Функция (9) гомеоморфно
отображает DQ на полосу D*=\w: -л<1тш<л[,
(рис. 54), а так как из свойств показательной функции
(п. 13) следует, что ew = e[n r -е{Ц) = z, т. е. что функция (9)
обратна к показательной, то по правилу
дифференцирования обратных функций в каждой точке z0^D0
существует
ioM=7L=;, (10)
Таким образом, элемент <=У0 = (D0, Inz) —
аналитический.
В0/^Л—^
i J)*+2ni
\vl,
I)n-27ii
(w=Lnz)
Рис. 54.
Аналитическое продолжение элемента $"о можно, как
и выше, определить при помощи семейства элементов
<Fa (a e R), которые состоят из области Da = {— я -f a <
< ф < я + а} и голоморфной в ней функции /а (г) =
= In г + /ф, — я -f а < ф < я -f а. Объединением областей
этих элементов по-прежнему служит С с исключенными
точками z = О и г = оо.
Можно определить Lnz также при помощи
канонических элементов. В качестве начального элемента можно
принять круг U = {| z — 1 [ < 1} и голоморфную в нем
функцию
1пг!у=У, (-1)-^
(П)
П=1
(которая получается аналитическим продолжением в
круг U с диаметра (0, 2) действительной функции

§ 0]
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
179
In л- = 1п{ 1 + (х- 1)} = У (— IJ^ifcil^j. Элементы
(D0, In г) и ((У, 1пг|67) эквивалентны.
Каждой точке г0 eD= UAx аналитическая функция
Ln г относит счетное множество значений, которые
определяются по формуле
до = In г0 + f (Фо + 2Ля), (12)
где r0 = |z0|, cp0—-одно из возможных значений Argz0 и
k — произвольное целое число. Все они различны и лежат
па вертикальной прямой Reoy = ln/*0 на расстоянии, целом
кратном 2л, друг от друга (см. рис. 54). Все эти
значения считаются логарифмами числа z0; таким образом,
каждое конечное комплексное число, кроме z = 0, имеет
бесконечно много логарифмов.
Ветви аналитической функции Lnz, так же как у' г,
можно выделять в любой области G, которая не
содержит ни одного замкнутого пути, охватывающего точку
г = 0. В самом деле, продолжение вдоль такого и только
такого пути может перевести канонический элемент в
другой элемент с тем же центром, не равный первому.
В каждой области G, удовлетворяющей указанному
условию, можно выделить бесконечно много ветвей Ьпг,
которые отличаются друг от друга постоянными слагаемыми —
целыми кратными 2ш. Поэтому ветви Lnz, как и -/"г,
однозначно определяются указанием области, в которой
рассматривается ветвь, и ее значения в одной из точек1).
Над логарифмом можно производить действия в смысле,
указанном в п. 29. В частности, производная логарифма
(Lnz)' = l (13)
оказывается функцией, голоморфной в области D (все
ветви логарифма имеют одну и ту же производную).
Голоморфна и функция
eLn*s=z\ (14)
!) Это справедливо не для всех аналитических функций.
Например, аналитическая функция е1 2 в точке z0 =—л2 имеет две
различные ветви, соответствующие двум значениям \ zQ= ± т;
однако значения е-т этил ветвей в точке г(. совпадают,

180 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ III
в этом смысле можно описательно говорить, что логарифм
является функцией, обратной к показательной ]).
Не так благополучно обстоит дело с алгебраическими
действиями над логарифмами. Например, «естественное»
равенство
Lne + Lnz = 2 Lnz
некорректно! В самом деле, левая часть этого равенства
не определена (см. п. 28).
Мы закончим раздет, пэсвя ценный логарифму, упоминанием
о споре, который разгорелся в 1712 — 1713 гг. в переписке между
двумя крупнейшими математиками того времени Иоганном Б е р -
н у л л и и Г Лейбницем -) о логарифмах отрицательных чисет.
Бернулли утверждал, что они действительны и что 1п (— .v) = In -v.
Вог один из его доводов в пользу этого утверждения: из равенства
(—*)з = А'2 следует, что 2 In (— х) =2 In х. Лейбниц же утверждал,
что логарифмы отрицательных чисел мнимы и что тождество In (— а') =
— In а; не имеет места, в частности, In (—1)^=0. Вог один из
доводов Лейбница в пользу последнего утверждения: если подставить
А'- Xs
х — —2 в разложение In (1+*) = * — -- +-Q—... , то получится
равенство In (— 1) = — 1 — -9 — ~ —... , в котором все члены справа
отрицательны, и, следовательно, 1п(—1)=^0.
В 1749 г. в спор вступил Л. Эйлер. Он опубликовал статью,
в которой утверждал, что ни один из спорщиков не прав В
частности, приведенный выше аргумент Бернулли он опровергал так.
Подобным же образом из равенства {х\ — 1) =х4 можно
заключить, что InA'-j-ln)7 — 1 = In х, т. е. что 1п У — 1=0. Но сам Бер-
1п | Л=Л л
нулли открыл, что — — --.-, а в последнем равенстве сомие-
|/ _ 1 2
ваться нельзя, ибо, писал Эйлер, «это открытие обосновано
наиболее надежными средствами анализа». Приведенный выше довод
Лейбница Эйлер также не считал убедительным Он привел
следующий пример: если положить в разложении -——-= 1 — х-\-х- — x:i-f- ...
один раз х = —3, а другой а;=1 и сложить результаты, то
получится равенство 0 = 2-[-2-f- 10-f-26-}-..., в котором левая часть
равна 0, хотя, как писал Эйлер, «правая часть представляется
отличной от нуля».
В упомянутой статье Эйлер предложил правильное решение
спора: логарифмы отрицательных (как и других комплексных чисел)
1) Точнее, в правой части (14) стоит сужение функции на
область D, ибо левая часть не определена при г = 0 и г —го.
-) Подробнее об этом можно прочитать в книге А. И. Мар-
кушевича, Очерки по истории теории аналитических функций,
Физматгиз, М. —Л., 1931; мы пользуемся здесь его изложением.

§9]
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
181
имеют бесконечное множество значений. Небезынтересна его
аргументация. Значение у--=\пх определяется из уравнения х = еУ =
(л U U
= [14--.-] , где / — «бесконечно большое число» (термин и обозна-
\ i J
' х ^ !-
чение Эйлера). Отсюда получается, что y = i х1 — I, а число х 1 —
«корень с бесконечно большим показателем» —имеет бесконечно
много значений, вообще говоря, комплексных.
Интересно также, что в 1761 г. Ж. Даламбср в этом споре
принял сторону Бернулли против Лейбница и Эйлера.
3. О б р а т н ы е т р и г о и о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и
просто выражаются через корни и логарифмы. Найдем
такое выражение, например, для арккосинуса. Решая
уравнение cos до = г, или 9 (eiw + e iw) = z, или, наконец,
e2iw-2zeiw+l=0
как квадратное уравнение относительно eiw, найдем
С'*'= г+М2- 1
(мы не пишем здесь обычный знак ± , ибо по нашему
определению квадратный корень и так имеет два
значения). Остается заметить, что из последнего равенства
до = Arccos г = i Ln (г 4- V z2 — 1) (15)
(мы ставим перед логарифмом /, а не -. , как должны
были бы, потому, что в силу соотношения === =
= г —У г2— 1 изменне знака перед логарифмом сводится
к изменению знака перед корнем, а последний все равно
имеет два значения).
Аналогичные выражения справедливы и для других
обратных тригонометрических функций, например
Arcsin* = —iLn(*2+|/T^), Arctg2 = 2|.-Ln[±g. (16)
Формулы (15) и (16) напоминают известные формулы для
обратных гиперболических функций, и это неудивительно,
ибо в комплексном анализе тригонометрические функции
просто связаны с гиперболическими (см. п. 14).
Обратные тригонометрические функции представляют
собой аналитические функции, и в формулах (15) и (16)

182 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
действия надо понимать так, как принято выше (при
помощи ветвей); они определены корректно.
4. Общая степенная функция w = za, где
а — произвольное комплексное число определяется
соотношением
w = za = eaLnz (17)
и представляет собой аналитическую функцию. Для
действительных показателей аеК будем различать
три случая:
а) а —целое число. В этом случае функция (17)
однозначна—многозначность логарифма погашается
периодичностью показательной функции. Поэтому функция
голоморфна при а>0 в (D (точка г = 0 устранимая),
а при а<0 в С \ {0} (точка г = оо устранимая).
б) а = -- — рациональное число (мы предполагаем, что
дробь несократима). Здесь многозначность логарифма
лишь частично погашается периодичностью показательной
функции, и функция (17) каждому гфО, фоо ставит
в соответствие q различных значений. Она совпадает
с аналитической функцией w = •]/'&.
в) а —иррациональное число. Здесь различным
значениям аЬпг, которые отличаются друг от друга на целое
кратное 2ши, соответствуют и различные значения eaLn2.
Погашения, наблюдавшегося в предыдущих случаях, не
происходит, и функция (17) каждому гфО, фоо ставит
в соответствие счетное множество значений.
Пусть теперь а = а + /р, Р^=0, не является
действительным числом. Простой подсчет
2а = £<а -г *3) Пп г +' (Ф + 2*л)] __ еа In /- — fl (ф + 2kn)ei [0 In r-\-а (ф + 2*я)]
(где положено г = л?|Чр и &—произвольное целое число)
показывает, что в этом случае каждому комплексному
числу г Ф 0, фоэ функция относит счетное множество
значений, модули которых rae~^e~2kn^ = р0е~2кл^ образуют
бесконечную в обе стороны геометрическую прогрессию
со знаменателем q = e~2li^t а аргументы (51n/- + aep + 2faia =
= г^о + 2£ла — бесконечную в обе стороны арифметическую
прогрессию с раяностью d ^ 2д«, если а ф 0; при а=0
аргументы одинаковы.

§ 9] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 183
Например 2),
11 = ечп, = е'{'1+»*') = е-[т + >*»)> k = 0, ±1, ... (18)
5. Общая показательная функция w = az,
где а — произвольное комплексное число афО, =£со,
определяется соотношением
w = cf = ezLna. (19)
Этот принятый термин неправомочен. В самом деле,
(19) не является функцией в обычном смысле слова, ибо
Lna = \n\a\ + iarga + 2kni (k = 0, ±1, ...) принимает
бесконечно много значений и поэтому az (при нецелых г)
многозначна. Но она не является и аналитической
функцией, ибо отдельные ее элементы, которые получаются,
если выбрать для логарифма какое-либо из его значений,
не являются аналитическим продолжением друг друга.
Таким образом, а2 следует рассматривать как
совокупность различных (целых) функций
ez(\n\a: + iarga)e2kniz (А = 0, ±1, ...).
31. Особые точки. В п. 25 мы рассмотрели
изолированные особые точки голоморфных функций (их называют
еще особыми точками однозначного характера). Но,
например, точка г = 0, являясь особой для аналитической
функции a/ = "j/"z, не входит в классификацию,
приведенную в п. 25. Поэтому мы ставим здесь своей задачей
обобщить эту классификацию, введя понятие особой точки
аналитической функции. Как и в п. 25, мы ограничимся
простейшим случаем изолированных особых точек.
Определение 1. Точка agC называется
изолированной особой точкой некоторой аналитической функции,
если существует проколотая окрестность V точки а
такая, что некоторый элемент вГ = ([У, /), принадлежащий
этой функции, продолжается аналитически вдоль любого
пути у а V.
1) Неискушенному этот пример должен показаться очень
удивительным: мнимое число i=*Y—1 мы возводим в мнимую степень
]—1 и получаем бесконечно много значений, да еще все они
действительны!

184 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ \ГЛ. Ш
Таковы, например, точки 2 = 0 и 2 = со для
аналитических функций -\rz и Lnz (в качестве V для обеих
точек можно взять кольцо {0< | г | < со}). Для функции
= особыми будут как точки 2 = 0 и 2 = со, обуслов-
1 + 1 г _
ленные особенностями Уг , так и точка 2=1,
обусловленная тем, что в ней одна из ветвей функции (для
которой Yz при z=l равен —1) имеет полюс (другая
ветвь, для которой ]/г при 2=1 равен 1, правильна
в этой точке).
Классификацию изолированных особых точек
аналитических функций мы будем проводить в зависимости от
поведения их элементов при про-
""" должении вдоль замкнутых путей
у а V.
Лемма. Пусть а
—изолированная особая точка некоторой
аналитической функции и V —
проколотая окрестность такая,
как в определении 1. Если какой-
либо принадлежащий функции
элемент ef0 при продолжении вдоль
некоторого замкнутого пути у0 а
aV не меняется1), то и любой
элемент <У > получаемый из <FQ
продолжением в V, не меняется при продолжении вдоль
любого пути у, гомотопного у0 в V.
< Пусть X — путь в V, переводящий <^0 в af, и у' =
= к-[)у0[)Х (проходится в порядке Аг, у0, Я; см. п. 15).
Очевидно, у' ~у в V (рис. 55) и имеет с у общие концы,
поэтому по теореме 3 п. 28 продолжения вдоль у и у'
совпадают. Но Х~ переводит <& в qF0, y0 не меняет ^"0»
а X переводит ^"0 в -У, т. е. продолжение вдоль у' не
меняет ef ►
Из этой леммы следует, что продолжение вдоль
замкнутых путей, гомотопных нулю в У, не меняет элементов
(ибо такие пути стягиваются в пути, лежащие в круге
какого-либо элемента, а продолжение вдоль последних
очевидно не меняет элементов). Поэтому в нашем иссле-
*) Или заменяется элементом, эквивалентным исходному (если
рассматриваемые элементы не канонические).
Рис. 55.

§ 9] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 185
довании представляет интерес лишь продолжение вдоль
путей, негомотопных нулю в V.
Определение 2. Пусть а —изолированная особая
точка некоторой аналитической функции, V — проколотая
окрестность такая, как в определении 1, и у0аУ —
замкнутый жорданов путь, содержащий точку а внутри.
Будем различать два случая:
(I) если обход 70 не меняет исходного элемента
функции, то а называется особой точкой однозначного
характера;
(II) если обход Yo приводит к элементу, отличному
от исходного, то а называется особой точкой
многозначного характера или точкой ветвления.
В случае (I) продолжение исходного элемента вдоль
любого пути XaV', ведущего в фиксированную точку
2^ ]/', приводит к одному и тому же элементу. В самом
деле, если бы существовали два таких пути \х и А2,
приводящие к различным элементам, то замкнутый путь
у = %- у Х2 а V менял бы элемент. Но путь у либо
гомотопен 0 и тогда не может менять элемента по сделанному
выше замечанию, либо гомотопен несколько раз
проходимому (в положительном или отрицательном направлении)
пути у0 и по лемме также не меняет элемента. Это
противоречие доказывает сделанное утверждение.
Из него следует, что в случае (I) продолжение
начального элемента по путям, принадлежащим V, приводит
к однозначной, т. е. голоморфной в V функции /,
которая является ветвью рассматриваемой аналитической
функции1). Точка а является изолированной особой
точкой f в смысле п. 25. В зависимости от поведения / при
приближении к а эта точка может быть устранимой,
!) Продолжение начального элемента по путям, не
принадлежащим V', может привести к другому элементу с тем же центром, так
что рассматриваемая аналитическая функция может быть
неоднозначной. Так, продолжение произвольного элемента аналитической
функции — по путям, принадлежащим V = {О < | г— 1 j < 1}, при-
\+\ г
водит к однозначной функции (одной из двух ветвей — , но
V 1 + I7 г I
продолжение вдоль замкнутого пути, обходящего точку г = 0,
переводит элемент, принадлежащий одной ветви, в элемент,
принадлежащий другой ветви.

186 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ III
полюсом или существенно особой. (Впрочем, если
начальный элемент канонический, то случай устранимой точки
исключен, ибо в этом случае круг сходимости элемента
содержал бы точку а.)
В случае (II) аналитическая функция, которая
получается продолжением начального элемента вдоль путей,
принадлежащих V\ не допускает выделения в V ветви1).
Случай (II) мы разобьем на два подкласса.
(Па) Существует целое число д^2 такое, что /г-крат-
ный обход Yo в одном направлении приводит к исходному
элементу. В этом случае а называется точкой ветвления
конечного порядка, а наименьшее из чисел /г, обладающих
описанным свойством, называется порядком ветвления.
Нетрудно видеть, что порядок ветвления не изменится,
если заменить у0 любым путем у, гомотопным у0 в V'.
В самом деле, обозначим через ky путь, который
получается ^-кратным обходом у в одном направлении
(совпадающим с направлением у, если k>0, и
противоположном ему, если &<0); если y~Yo> то и kyr^ky^ и по
доказанной выше лемме обходы ky и ky0 либо оба меняют,
либо оба не меняют исходного элемента. Читателю
предоставляется доказать, что если какой-либо замкнутый
путь усГ не меняет исходного элемента, то этот путь
гомотопен целому (положительному, отрицательному или
нулевому) кратному пути пу0, где /г —порядок ветвления
точки а.
(Пб) Такого целого числа /7, как в случае (Па), не
существует, т. е. обходы у0 в одном направлении
приводят все к новым и новым элементам. В этом случае а
называется точкой ветвления бесконечного порядка или
логарифмической точкой ветвления.
Примеры.
1. Функция |/"z имеет в точках 2 = 0 и z = oo точки ветвления
порядка п. Функция Ln г имеет в тех же точках логарифмические
точки ветвления
о ^ si" IГг л
2. Функция 7=г- в точке г = 0 имеет устранимую особую
1 г
точку, а в точке г = оо —существенно особую точку; она является
1) Хотя в V и может существовать ветвь рассматриваемой
функции, которая получается из начального элемента продолжением по
путям, выходящим за пределы V (см. ниже пример 5).

ч 9] ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 187
голоморфной целой функцией (это видно из разложения
Vz 3! 5!
справедливого в кольце J/' = {0< IzjO-}).
3. Функция } ez~-\-l во всех корнях уравнения е2' -\- 1 = 0, т. е.
точках Zk = V Ln (—1) = ± \ ni + 2km , имеет точки ветвления
второго порядка; точка z = co является ее неизолированной особой
точкой.
4. Функция имеет логарифмические точки ветвления при
z — 0 и z = oo; при z=l одна из ее ветвей в кольце {0<!z—1(<1}
(главная ветвь) имеет полюс первого порядка, остальные ветви
голоморфны в этой точке.
5. Разберем подробно пример аналитической функции
ai = Vl + |7.
В точке z = 0 внутренний корень имеет точку ветвления второго
порядка. Если в окрестности £У' = {0 < I z , < 1} мы выберем круг
U = {1 z — V2' <l/2b то в (7 можно выделить четыре различные ветви
/у этой функции, характеризуемые различными знаками обоих корней.
Пусть /х —одна из этих ветвей; элемент ^1 = (f/, /г) после
продолжения вдоль окружности у0: z = -„-f|7, 0<^/^2я, перейдет в
элемент ^2 = (L/, /о), где /2 — другая ветвь, ибо внутренний корень при
таком обходе^изменит знак. Повторный обход у0 снова приведет
к элементу >х, ибо обходы у() не меняют ветвей внешнего корня,
точкой ветвления которого является z=l. Точно в таком же
отношении находятся две остальные ветви: /3 =—fx и /4 =—/2. Таким
образом, в точке z = 0 рассматриваемая функция имеет две
различные точки ветвления второго порядка.
Перейдем к изучению точки z—\, в которой для одного из
значений внутреннего корня подкоренное выражение внешнего корня
обращается в нуль. Пусть V = {0 < \z— 1 ' < 1}, V = {,z— 1/2 , <
< 1/2} и gv — четыре ветви нашей функции в круге V. Пусть gl и
g2 {go = —gi) — ветви, для которых внутренний корень равен—1 при
2=1. Обход окружности yt: г = I -|— 9 e'Y, 0^/^2л, не изменит
ветви внутреннего корня, но изменит знак у внешнего корня (когда
z описывает окружность ylt точка £=l-f-J z, где рассматривается
выбранная ветвь внутреннего корпя, описывает в плоскости £
замкнутый жорданов путь, содержащий внутри точку £=0), поэтому при
таком обходе элемент {V, g{) перейдет в (К, g2)- Вторичный обход Yi
снова изменит знак внешнего корня и поэтому снова приведет к
элементу (V, gi). Оставшиеся две ветви g:i и gA (£4=»—£з)> Для которых
внутренний корень равен 1 при z = l, при обходе Yi не изменятся
(при этом точка £ = l + |'''z с выбранной ветвью корня опишет
замкнутый жорданов путь, охватывающий точку £ = 2 и не охватывающий

188 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
£ = 0), следовательно такой обход переведет каждый из элементов
(У> £я) и (V, £.,) в себя Таким образом, в точке 2=1
рассматриваемая функция имеет одну точку ветвления второго порядка и два
правильных, неразветвленных элемента1).
Для изучения функции в точке z — оэ надо взять проколотую
окрестность W = {1 < I г | < :о} и в ней, например, крут W —
= {1г —2(<1}. Пусть (IV7, /г,) —какой-либо из четырех элементов
функции в круге W. Обход окружности у3: z = 2eif, 0-с/<^2л,
приводит к изменению знака как у внутреннего, так и у внешнего корня
(при этом точка £—\-\-\'г при любом выборе ветви корня опишет
замкнутый путь вокруг точки
£ — 0), поэтому он приведет к
другому элементу (W, Ы).
Вторичный обход уз приведет к
третьему элементу (W, /z3),
трехкратный — к четвертому
(W, Л4), и лишь четырехкратный
обход у о приведет к исходному
элементу (W ч h{). Таким
образом, в точке z = 'o рассматриваемая функция имеет точку ветвления
четвертого порядка.
Остальные точки С являются правильными точками этой
аналитической функции.
На рис. 56 изображен схематически результат нашего
исследования.
В заключение приведем один результат, относящийся
к точкам ветвления конечного порядка. Мы покажем,
что в окрестности такой точки а аналитическую функцию
можно разложить в ряд по дробным степеням z — а,
являющийся обобщением ряда Лорана.
Теорема. В некоторой проколотой окрестности
у = [0 <С ' z — а | <СR\ точки ветвления конечного порядка
п аналитическую функцию 2) можно представить
разложением вида .
со к
w= У] ck(z-a)\ (1)
« Положим г —а = £я; когда точка £ описывает в
плоскости £ достаточно малую окружность X: £ = р?/т,
О ^ т ^ 2л, соответствующая точка z = а + £п описывает
1) Элементы (U, £3) и (U, gj не являются каноническими, ибо
их круг сходимости больше U.
2) Точнее, совокупность принадлежащих этой функции элементов,
которые получаются из какого-либо одного продолжением вдоль
всевозможных путей у cz V.

v Ul
ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
189
// раз окружность у0: z = а + pneif, 0^;/^2л. Так как
начальный элемент рассматриваемой аналитической
функции при таком обходе не меняется, то соответствующий
элемент функции w, рассматриваемой в зависимости от
переменной £, не меняется при однократном обходе Я.
Отсюда следует, что £ = 0 является особой точкой
однозначного характера этой функции и, значит, в
некоторой проколотой окрестности точки £ = 0 она
представляется рядом Лорана а
ш= V Ckt*. (2)
к = — ^
1
Подставляя сюда £= \^г — а = (г — а)п, получаем
разложение (1) ►
В зависимости от «главной части» разложения (1),
т. е. совокупности членов с отрицательными индексами ку
иетвн рассматриваемой аналитической функции непрерывны
и точке (как ]'z или ел 2 в точке г —0), стремятся
к бесконечности при z-+a \'как —- при г->0, или не
( ±
стремятся ни к какому пределу при z-+a как ел г при
г-**0). Зто различие считается не так уж существенным,
и во всех случаях а называют точкой ветвления
конечного порядка.
Пример. Пользуясь биномиальным рядом, нетрудно написать
обобщенные лорановские разложения аналитической функции из
разобранного выше примера 5 В кольце {]' = {0 < I z \ < 1} имеем
VTJT7 = ±(l+£ ГГ--1г+1г1 Г-...),
13 кольце W = {1 < I г I < со}
1
I "I Г" 4 — Л 1 л 9 4 -- /, 1 1 1 А
1+ г =i г И ,-=i2. Н = ! - — ...\
\ \ г/ к 2[ z 8г 16г| г /"
а в кольце V" = {0 < I г — 1 I < 1}
Эти разложения хорошо иллюстрируют проведенный выше
анализ точек ветвления рассматриваемой функции.

190 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. III
§ 10. Понятие римановой поверхности
Аналитическая функция может сопоставлять точкам
плоской области несколько (даже счетное множество)
значений. В этом параграфе мы рассмотрим вместо
плоских областей многолистные поверхности, которые можно
мыслить расположенными над этими областями и которые
имеют над точкой z столько «листов», сколько значений
приписывает аналитическая функция этой точке. Поэтому
на таких поверхностях аналитические функции можно
рассматривать как функции в обычном смысле слова
(т. е. как однозначные функции).
32. Элементарный подход. Начнем с простейшего
примера. Рассмотрим в области D, которая представляет
собой плоскость С с разрезом вдоль отрицательной
полуоси, две ветви f± и /2 аналитической функции
w = Vz. (1)
Пусть /i характеризуется условием Д(1) = 1, а /2
—условием Ml)^ — 1; мы имеем, очевидно, f2(z) = —fl(z) для
всех z^lD. Эти ветви однолистно и конформно
отображают D соответственно на правую и левую
полуплоскости wt которые мы обозначим через Df и D*.
Возьмем два экземпляра области D и расположим их
друг над другом, как указано на рис. 57, а. На рис. 57
указано также соответствие берегов разрезов в области D
и участков мнимой оси плоскости w — соответствующие
участки отмечены одинаковыми рисунками.
Склеим верхний берег разреза на первом экземпляре
области D с нижним берегом разреза на втором
экземпляре и в соответствии с этим склеим D* и D% вдоль
верхней полуоси (все эти участки отмечены рисунком
-;--!-). Затем склеим между собой оставшиеся свободными
берега разрезов на D, отмеченные рисунком -Ц-Ц-
(в трехмерном пространстве при второй склейке нельзя
избежать самопересечений, но мы условимся не
отождествлять точки луча, по которому происходит
самопересечение поверхности, отмеченные разными рисунками).
Полученная двулистная поверхность (она изображена
на рис. 57, в) называется римановой поверхностью
аналитической функции Vz. Этот корень можно рассматривать
на ней как функцию в обычном смысле слова, ибо два

§ 10] ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 191
значения, которые сопоставляет корень каждой точке
г0ф0, фоо, мы будем относить двум различным точкам
поверхности, лежащим над г0. Точки отрицательной
полуоси R_ = (—оо, 0) не составляют исключения, ибо над
каждой из них также лежит по две точки поверхности
(мы ведь условились не отождествлять точки различных
листов, принадлежащие линии самопересечения
поверхности). Лишь точкам г = 0 и z = oo корень сопоставляет
по одному значению, поэтому мы будем считать, что над
Рис. 57.
г=--0 и г = оо лежит по одной точке поверхности. В этих
точках листы нашей поверхности соединяются между
собой; они называются точками ветвления поверхности.
Вполне аналогично устроена риманова поверхность
аналитической функции
tt> = l/7. (2)
Она /г-листна; над каждой точкой гфО, Фоо лежит
по п различных точек поверхности (они называются
обыкновенными ее точками), над г = 0 и г = со —по одной
точке ветвления. На рис. 58, а, б изображены
соответственно части поверхности, лежащие над окрестностью
правильной и особой точки функции jfz . Точки
отрицательной полуоси не составляют исключения; часть
поверхности, лежащая над окрестностью такой точки,
изображена на рис. 58, в. Так как самопересечение поверхности

192 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ III
мы не принимаем в расчет, то топологически этот
рисунок не отличается от рис. 58, а —рассматриваемая часть
состоит из трех не связанных друг с другом кругов.
a) if) б)
Рис. 58.
Риманова поверхность логарифма
w = Ln г (3)
бесконечнолнстна. Ее устройство показано на рис. 59.
Рис. 59.
Мы опять берем область D — плоскость С с разрезом
вдоль отрицательной полуоси — и в ней главную ветвь
логарифма
&' = /о («?) = In , г , -f / arg г (— п < arg г < л).

§ 10] ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 193
Эта функция однолистно и конформно отображает D на
полосу __ . _ ,
Dq = {—я<1тш<я};
соответствие берегов разреза и границ полосы указано
на рис. 59.
Логарифм имеет в области D бесконечно много ветвей
w = fk(z) = fQ(2) + 2kni (Л = 0, ±1, ...),
отображающих D на полосы DI, сдвинутые по отношению
к Do на целое кратное 2ш. В соответствии с этим мы
берем счетное множество экземпляров области D и
склеиваем верхний берег разреза на 0-м экземпляре с нижним
берегом разреза на 1-м экземпляре, а нижний берег
нулевого разреза —с верхним берегом разреза на —1-м
экземпляре (рис. 59). К оставшимся свободным берегам
мы затем приклеиваем соответственно нижний берег
разреза на 2-м и верхний берег разреза на —2-м экземпляре
и т. д.
Над окрестностью каждой точки гфО, фоо лежит
часть поверхности, состоящая из счетного множества
отдельных кругов; каждому кругу мы отнесем ветвь
логарифма с соответствующим номером, действующую
в этой окрестности (точки отрицательной полуоси не
составляют исключения). Поэтому логарифм можно
рассматривать на построенной римановой поверхности как
функцию в обычном смысле слова. В точках г = 0 и г = оо
логарифм не определен, поэтому мы будем считать, что
его риманова поверхность не имеет точек над 2 = 0
и г = оо.
В качестве более сложного примера рассмотрим
иманову поверхность арксинуса
w = Arcs in z. (4)
В п. 14 мы видели, что функция г = sin до однолистно
и конформно отображает полуполосу <— у < Re до <у,
1тдо>0> на верхнюю полуплоскость г; ясно, что вся
полоса < — ~ <Reay<y> при этом отображается на
плоскость г с разрезами вдоль лучей (—со, —1] и [1, оо).
7 Б. В. Шабат, ч. I

194
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
[ГЛ III
Мы обозначим последнюю область через G и через
w = go{z) обозначим ту ветвь арксинуса, которая
отображает G на полосу Go = I — у < Re w < у > (эту ветвь
можно характеризовать также условием g0(0) = 0) Так
как арксинус имеет счетное множество ветвей, то для
построения римановой поверхности мы должны взять
е?\\\\е?\\\>£
/Z
=-/
17
/ " '2экз'.' /ё7
/ 1экз.
L
-1
Озкз.
V,-t-t-,-/
-——/Т7
*гЛ-\-\-\~у-/
/С|,-,.-'н-,у
Шш
&
5тС
1Г
*)
<<)
Рис. 60.
счетное множество экземпляров области G. К &-му
экземпляру (& = 0, ±1, ...) мы отнесем значения k-й ветви
арксинуса w = gk(z), которая отображает G на полосу
G% = \ — у + ^п < Re w < ~ + kn\ (ее можно
характеризовать также условием gk(0) = kn).
Остается склеить между собой отдельные экземпляры
области в соответствии с тем, как склеены их образы G%.
Как это сделать, видно из рис. 60.
В результате получится бесконечнолистная риманова
поверхность, которая имеет над точками z = ±l счетное
множество точек ветвления. В точке z = oo она имеет
две логарифмические точки ветвления (одну образуют
четные экземпляры области G, другую — нечетные). К этому

§ 10] ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 195
же выводу можно прийти, исследуя выражение арксинуса
через логарифм
Arcsinz = — i Ln (]/ 1 •—z2 + r'z).
33. Общий подход. Здесь мы введем общее понятие
римановой поверхности как некоторого абстрактного
хаусдорфова топологического пространства.1).
Рассмотрим множество 3ft, точками которого служат
ПарЫ _ A = {a,fa(z)}, (1)
где точка qgC и функция
fa®-
^сп(г — а)п, если аеС,
п = 0
оо
2 %> если а = оо,
п = 0
(2)
голоморфна в некотором круге Ua с центром в а; для
определенности будем считать Ua кругом сходимости
соответствующего ряда (2). Введем в Ш топологию следующим
образом: под ^-окрестностью 0(A) точки Лей будем
понимать совокупность точек B = {b, /&(г)} таких, что:
1) Ь принадлежит е-окрестности точки а (т. е. {| г — а\ <С е},
если аеС, и ||z|>—>, если а = оо), 2) элемент
(UbJ fb) является непосредственным аналитическим
продолжением элемента (Ua, fa).
Можно представлять себе точку А как точку
римановой поверхности в описанному п. 32 элементарном смысле,
лежащую над точкой agC. Дополнительное указание
функции fa (г) равносильно указанию листа, которому
эта точка принадлежит. Окрестность 0(A) состоит из
точек В того же листа, которые проектируются
в окрестность точки а (рис. 61); точки других листов,
проектирующиеся в ту же окрестность (как В' на рис. 61),
не считаются принадлежащими 0(A).
г) Топологическое пространство X называется хаусдорфовым9
если его окрестности удовлетворяют следующей аксиоме
отделимости: у любых двух различных точек из X существуют
непересекающиеся окрестности.
7*

196 Аналитическое продолжение [гл. ш
Нетрудно видеть, что описанная топология вводит на
SR структуру хаусдорфова пространства. Проверим
выполнение аксиомы отделимости: если АфВ, то либо афЪ,
либо а = Ь, но fa=£fb. Для построения непересекающихся
окрестностей 0(A) и 0(B) в первом случае достаточно
выбрать непересекающиеся окрестности точек а и Ь на (D,
а во втором —выбрать е столь малым, чтобы е-окрест-
ность точки а принадлежала кругам сходимости обоих
рядов fa и fb, и в 0(A) включить все точки (с, fc), где
(UCy fc) является непосредственным продолжением (£/а, /а),
а в 0(B) — все точки (с, /с), где (Uc, /^ —
непосредственное продолжение (Ub, fb) (окрестности 0(A) к О (В) не
пересекаются, ибо иначе
элемент (Ub> fb) совпадал бы с
("a, fa))-
Можно определить
проекцию пространства 3ft в С как
отображение
]>: {a, fa(z)}-+a. (3)
Глобально это
отображение не является взаимно одно-
Рис. 61. значным, ибо на 8R
существует бесконечно много точек
с одной и той же проекцией. Но локально оно взаимно
однозначно. В самом деле, если точка b принадлежит
кругу сходимости ряда fa, то непосредственное
аналитическое продолжение (Ub, fb) элемента (Uay fa) вполне
определено и, следовательно, в достаточно малой
окрестности U (А) существует лишь одна точка с проекцией Ь.
Очевидно также, что и (3), и обратное к нему
отображение непрерывны, поэтому проекция является локальным
гомеоморфизмом.
Проекция преобразует U (А) в некоторый круг
плоскости С; совершая дополнительное дробно-линейное
отображение этого круга на единичный круг {|£|<1},
можно считать, что в U (А) определен гомеоморфизм
Ти: U(A)-+{\t\<l]. (4)
Каждая точка B^U (А) однозначно характеризуется
своей проекцией b и, следовательно, точкой t, = Tu(B)

§ 10] ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 197
единичного круга. Поэтому £ можно рассматривать как
локальный параметр, действующий в окрестности U (А).
Если две окрестности £/, V cz 9ft пересекаются, то
возникает отображение друг на друга частей
параметрических кругов, соответствующих
этому пересечению:
<* = Vuv(Q = Tv*T-ul(Q\ (5)
оно называется соотношением
соседства (рис. 62). Так как
соотношение соседства является
композицией дробно-линейных
отображений, то оно также дробно-линейно,
т. е. конформно.
Определение 1. Хаусдор- Рис. 62.
фово пространство, которое можно
покрыть системой окрестностей, гомеоморфных кругам,
так, что все порождаемые этими гомеоморфизмами
соотношения соседства оказываются конформными
отображениями, называется комплексным многообразием
(размерности 1).
Таким образом доказана
Теорема 1. Пространство 9ft является комплексным
многообразием размерности 1.
Комплексные многообразия высших размерностей мы
рассмотрим во второй части книги.
Пространство 5R, очевидно, несвязно. Однако любое
подмножество 9ft0 его точек {a, fa(z)}i гДе fa являются
ветвями одной аналитической функции, связно. В самом
деле, если точки А = {а> fa(z)} и В = {&, fb(z)}
принадлежат 3ft0, то элементы (Ua, fa) и (Ub, fb) получаются
друг из друга продолжением вдоль некоторого пути
у: [а, Р]->©. Но тогда и точки At = \at, /а, (г)} е 9ft0 для
любого / е [а, р]. Тем самым определено непрерывное
отображение [а, P]->3ft0, т. е. путь в 9ft0, связывающий
точки А и В. Таким образом, Sft0 даже линейно связно
(см. п. 4). Кроме того, 3ft0 вместе с каждой точкой А
содержит и некоторую окрестность U(A), т. е. является
открытым множеством. Поэтому 9ft0 является областью
пространства 9ft.
Мы доказали, что каждой аналитической функции
соответствует некоторая область пространства 9ft. Очевидно,

198
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
[ГЛ. III
что и, обратно, каждой области на 3ft соответствует
некоторая аналитическая функция1). Таким образом, доказана
Теорема 2. Между аналитическими функциями
и областями пространства Ш имеется взаимно
однозначное соответствие.
Определение 2. Область 2R0 пространства М,
которая характеризуется условием, что голоморфные функции
fay принадлежащие ее точкам А = {a, fa(z)}, являются
ветвями некоторой аналитической функции, называется
римановой поверхностью этой функции.
Мы пришли к общему понятию римановой
поверхности. Смысл этого понятия состоит в том, что каждую
аналитическую функцию мы можем рассматривать на ее
римановой поверхности как функцию в обычном смысле
слова (т. е. однозначную функцию). В самом деле, по
построению риманова поверхность имеет столько точек А
с данной проекцией а, сколько различных элементов
(£Лм fa) с данным центром а имеет аналитическая
функция, т. е. сколько значений относит аналитическая
функция этой точке а.
Таким образом, аналитическая функция <У является
функцией точки на ее римановой поверхности*.
<Г: А = {а, fa (г)}-+fa (а) (6)
(а не функцией точки а на плоскости).
На комплексном многообразии, каким является
риманова поверхность, можно ввести понятие голоморфной
функции, и тогда окажется, что аналитическая функция
голоморфна на своей римановой поверхности (см. §5 ч. II).
Римановы поверхности в элементарном смысле,
рассмотренные в предыдущем пункте, можно рассматривать
как модели общих римановых поверхностей. Заметим,
что в теории функций рассматривают и другие модели.
Можно, например, отправляться не от многозначных,
а от однозначных функций и строить римановы
поверхности так, чтобы эти функции были на них взаимно
однозначными,— тогда (многозначные) обратные функции
будут (однозначно) отображать плоские области на
построенные поверхности.
х) При этом доказательстве мы пользуемся тем, что на Ш всякая
область является линейно связным множеством (докажите это).

§ 10] ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 199
Построим, например, поверхность, на которой взаимно
однозначна показательная функция w = ez. Мы знаем,
что она переводит в одну точку такие и только такие
точки, разность между которыми является целым кратным
2ш (п. 13). Поэтому для нашей цели естественно
отождествить точки a + 2kni9 где k = 0, dzl, ... —
произвольное целое число.
Иными словами, пусть G —совокупность сдвигов
плоскости С на векторы, целые кратные 2ш:
S: z-+z + 2kni (fc = 0, ±1, ...). (7)
Очевидно, что G образует группу (относительно
композиции, т. е. последовательного выполнения преобразований),
I W\ I
V
Рис. 63.
которая является подгруппой группы Л всех
дробно-линейных преобразований (см. п. 8). Обозначим через [a]Q
класс эквивалентности точки ggC по группе G, т. е.
совокупность всех точек S(a), где S^G (иначе говоря,
совокупность всех точек а + 2kni, k = 0, dz 1, ...).
Совокупность таких классов эквивалентности мы обозначим через
(D/G; элементы последнего множества можно
рассматривать как отождествленные точки a + 2kni (k = 0, dz 1, ...).
Введем теперь на множестве C/G топологию. Для этого
под окрестностью точки [а]0 мы условимся понимать
совокупность точек [г]0, где z e (D — произвольная точка
из окрестности (в топологии С) какого-либо
представителя а класса эквивалентности [a]Q. Таким образом, (D/G
превращается в топологическое пространство.
Это пространство можно представить наглядно
следующим образом. Будем выбирать представителей классов
эквивалентности [z]Q так, чтобы они лежали в полосе
{0^1тг<2я}. Достаточно малая окрестность точки z0,
для которой 0<1тг0<2я, изобразится тогда кругом
с центром в г0, а окрестность точки гъ для которой
Im zx = 0, — совокупностью двух полукругов (рис. 63).
\%2У
По

200 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ III
Если мы склеим из нашей полосы цилиндр так, как это
показано на рис. 63, то окрестности всех точек будут
естественными окрестностями на цилиндре.
Таким образом, рассматриваемое пространство C/G
с введенной в нем топологией является цилиндром
в трехмерном пространстве. Этот цилиндр можно
рассматривать как риманову поверхность показательной функции
(логарифм взаимно однозначно отображает на нее
плоскость С с выколотым началом координат).
Рассмотрим еще один пример. В п. 42 мы введем
мероморфную функцию — эллиптический синус w = snz,—
которая имеет два периода: действительный щ и чисто
Рис. 64.
мнимый ко2; в прямоугольнике {0<; Re г <<*>!, 0==^1тг<
<со2} она однолистна. Следовательно, для построения ее
римановой поверхности достаточно отождествить точки
a + k1co1-\-k2i(o2i гАе ^i и ^2 — целые числа. Иными
словами, надо рассмотреть группу Т движений г->г + А1со1 +
+ t£2co2 и рассмотреть пространство С/Т, точками
которого служат классы эквивалентности [а]т точек agC по
группе Т. Топология в этом пространстве вводится, как
в предыдущем примере: под окрестностью точки [а]т
понимается совокупность классов эквивалентности [z]T, где
2G<C-произвольная точка из окрестности (втопологии С)
какого-либо представителя класса [а]т. Введение этой
топологии превращает С/Т в обычный тор (рис. 64),
который и можно рассматривать как риманову поверхность
эллиптического синуса.
В заключение этой главы мы хотим описать другую
трактовку пространства Ы. Чтобы прийти к этой
трактовке, заметим прежде всего, что в определении точек 3t
как пар {a, fa(z)}, где /а — функция, голоморфная в
некоторой окрестности точки ае(С, выбор такой окрестности
несуществен. Поэтому можно считать, что точками Ш слу-

§ 10] ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 201
жат ростки fa аналитических функций. Совокупность
всех ростков в данной точке а выше мы обозначили
символом 0аш Множество 3ft, таким образом, можно
рассматривать как поэлементное (дизъюнктное) объединение
множеств ©а по всем аеС:
Далее, на множестве 9ft введена топология при помощи
окрестностей, которые можно описать в терминах ростков
следующим образом: окрестность 0 ростка fa состоит из
всех ростков fb, для которых Ъ принадлежит некоторой
окрестности Ua, и существует голоморфная в Vа функция f
такая, что элемент (Ua, f) является представителем обоих
ростков \а и fb. Как мы видели, эта топология
превращает Ы в хаусдорфово пространство. В этой топологии
отображение
р: 3ft->(D,
которое каждому ростку \а ставит в соответствие точку я,
является локальным гомеоморфизмом.
Пространство 3ft вместе с отображением р называют
пучком ростков аналитических функций. Это понятие
отражает локальный подход к понятию аналитической
функции. Однако оно допускает и глобальный подход.
В самом деле, рассмотрим произвольную область D cz С
и голоморфную в ней функцию /. Эта функция
определяет отображение /: D-^JKj которое каждой точке ^gD
ставит в соответствие росток fZi порождаемый этой
функцией в точке г. Отображение f, очевидно, непрерывно
в топологии 3ft, а композиция p*f является
тождественным в области D отображением.
Такое отображение / называется сечением пучка 3ft над
областью D. Множество всех сечений 3ft над областью D
образует кольцо, причем алгебраические операции в нем
согласуются с операциями над ростками в любой точке
2GD.
Мы ограничиваемся здесь этим описанием. Общее
определение понятия пучка будет приведено во второй части
книги (см. п. 24).

202 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. Ill
ЗАДАЧИ
I. Пусть функция / в единичном круге представляется рядом
Тейлора "ZfinZn c неотрицательными коэффициентами и радиусом
сходимости 1. Докажите, что тогда г=1 является особой точкой f
(теорема П р и н с х е й м а).
оо
-{— непрерывна в замкну-
/2 = 0
том единичном круге, но непродолжаема аналитически за его пределы.
оо
3. Рассмотрим ряд У —.—, где {ып} — множество всех
рациональных точек отрезка [0, 2л), а ^ — комплексные числа, для
оо
которых У | ап ! < оо. Докажите, что при | z | < 1 и при | г | > 1
я=1
он сходится соответственно к голоморфным функциям /г и /2,
которые не являются аналитическим продолжением друг друга.
4. Докажите: если / голоморфна в единичном круге (/ и в
каждой точке окружности dU, то она голоморфно продолжается в
некоторый круг { | z \ < р}, где р > 1.
5. Постройте пример функции /, голоморфной в круге U =
= { | z | < 1}, непрерывной в П и такой, что она голоморфно
продолжается до функции, имеющей существенную особенность в какой-
( -=-\
либо точке окружности {|г| = 1}. \0 т в е т: /(г) = (г — 1) ez x.j
6. Пусть D — область с гладкой жордановой границей у;
укажите условия голоморфной продолжаемости в D функции /,
заданной на у. [Указание: ср. с задачей 3 к гл. II.]
7. Пусть область D пересекается с действительной осью IR.
Докажите, что если функция / голоморфна и ограничена в D\R
и | / (г) — / (z) | -»- 0 при г -> D П к, то / голоморфно продолжается в D.
8. Пусть D — произвольная область, у a D —спрямляемая
кривая, а / — функция, непрерывная в D и голоморфная в D\y.
Докажите, что / голоморфна в D.
9. Покажите, что sin z является (однозначной) функцией от
t = z(n — г).
10. Докажите, что функция га (1 —г)Р, где а и (3
—действительные числа, допускает выделение голоморфных ветвей в С\[0, 1],
если а+Р —целое число.
1
II. Найдите вычеты ветвей функции el + * z в точке z=l.
12. Является ли функция g(z) = [Ln (г — /)]' / (г), где / —
функция из задачи 1, аналитической в единичном круге?
13. Пусть функция / голоморфна в некоторой области D;
обязана ли У f(z) иметь точку ветвления в любом нуле /? (Ответ:
нет.)

ЗАДАЧИ
203
14. Пусть функция / голоморфна и отлична от нуля в односвяз-
ной области D. Докажите, что для любого целого /г>0 найдется
голоморфная в D функция g такая, что gn = f всюду в D\ приведите
пример, из которого видно, что утверждение неверно для
многосвязных областей.
15. Опишите особые точки и риманову поверхность функцли
ш = Arctg г, обратной к w = igz. [Указание: найдите ее
выражение через логарифм.]
16. Постройте конформное отображение тора
х = (R + г cos яр) cos ф, г/= (Я + г cos if) sin ф, г — г sin if
на прямоугольник с отождествленными противоположными сторонами1).
[Указание: дифференциал дуги на торе
ds = V(R + rcosq))*dq>2 + гЧф;
•ф
положив I = ф, У] = \ тгг -., получим ds = (R + r cos ф) Vdl2 + dif.
о
Поэтому (ф, if) ->- (Е, т)) дает нужное отображение.]
*) В следующей главе мы увидим, что такой прямоугольник
можно конформно отобразить на двулистную поверхность над
плоскостью (см. задачу 19 к гл. IV), и тем самым убедимся в том, что
тор конформно эквивалентен римановой поверхности в элементарном
смысле.

Глава IV
ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Эта глава вводит читателя в геометрическую теорию
функций комплексного переменного. В ней будут
рассмотрены основные вопросы теории конформных
отображений, а также так называемые геометрические принципы,
которые касаются лишь самых общих, топологических
свойств голоморфных функций.
§ 11. Геометрические принципы
34. Принцип аргумента. Пусть функция f голоморфна
в проколотой окрестности {0<|z — a\<r] точки qgC
и не обращается там в нуль. Мы назовем
логарифмическим вычетом функции / в точке а вычет логарифмической
производной
этой функции в точке а.
Кроме изолированных особых точек (однозначного
характера) функция / может иметь отличный от нуля
логарифмический вычет в своих нулях Пусть agC-
нуль порядка п функции /, голоморфной в точке а\ тогда
в некоторой окрестности Ua имеем / (г) = (г — а)п ср (г),
где ф голоморфна в Ua и не равна там нулю. Поэтому в Ua
Г (г) _ п{г — а)п-1 y(z) + {z — a)n у' (г) __
f(z) ~ (2-a)*cp(z) ~
__ 1 mp(z) + (z —д)ф'(г)
г — а ф(г) '
где второй множитель голоморфен в Ua и, следовательно,
разлагается в Ua в ряд Тейлора, причем свободный член

§ 11]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ
205
этого разложения равен п (значению множителя при
г = а). Таким образом, в Ua имеем
Щ- = -^{п + с1(г-а) + с2(г-а)* + ...} =
= 1^Г + с1 + с2(г-а) + ..., (2)
откуда видно, что в нуле порядка п логарифмическая
производная голоморфной функции имеет полюс первого
порядка с вычетом п\ логарифмический вычет в нуле равен
порядку этого нуля.
Если а —полюс функции / порядка р, то у имеет
в этой точке нуль порядка р, а так как
/(z) dz ЬИ f{z) '
то с учетом (2) получим, что в полюсе порядка р
логарифмическая производная функции имеет полюс первого
порядка с вычетом —р: логарифмический вычет в полюсе
равен порядку этого полюса с обратным знаком.
Сделанные замечания позволяют дать метод подсчета
числа нулей и полюсов мероморфных функций. При
подсчете мы примем следующее соглашение, которого
будем всегда придерживаться и в дальнейшем: каждый
нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок.
Справедлива
Теорема 1. Пусть функция f мероморфнаг) в
области D cz (D и G mD — область, граница которой dG
является непрерывной кривой] пусть еще dG не содержит ни
нулей, ни полюсов f. В этих условиях пусть N и Р
соответственно обозначают общее число нулей и полюсов f
в области G, тогда
N-p=4«\-mdz' (3)
dG
где dG — ориентированная граница.
< Так как GeD, то / имеет в G лишь конечное
число нулей аъ ..., аь и конечное число полюсов Ьъ ..., bmt
х) Напомним, что функция f называется мероморфной в области
D, если она голоморфна всюду в D, за исключением, быть может,
некоторого множества полюсов.

206 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
а так как dG не содержит ни нулей, ни полюсов, то g =
== -у- голоморфна в окрестности dG. Применяя к этой
функции теорему Коши о вычетах, найдем
/ т
dG v=l v v=l
Но по сделанному выше замечанию
resg = /iv, resg = — pVy (5)
"v
где /гу и pv — соответственно порядок нуля av и полюса Ъх\
подставляя (5) в (4) и учитывая принятое соглашение
подсчета нулей и полюсов (по которому N = ^nv иР =
= 2/^)» получим (3) ►
Доказанной теореме можно придать геометрическую
формулировку. Представим dG путем z = z(t)9 a^ct^fi,
и обозначим через Ф (t) первообразную функции —- вдоль
этого пути; по формуле Ньютона —Лейбница будем иметь
^4-^=ф(р)-фи- (6)
dG T
Но, очевидно, Ф (/) = 1п/ [г (/)], где In обозначает любую
ветвь логарифма, непрерывно меняющуюся вдоль пути dG.
Так как Ln/ = In |/| + i Arg/ и функция In | / (е) |
однозначна, то для выделения этой ветви достаточно выделить
ветвь arg/, непрерывно меняющуюся вдоль 3G.
Приращение In |/| вдоль замкнутого пути dG равно нулю, поэтому
Ф (Р) - Ф (а) = i {arg / [z (р)] - arg / [г (а)]}.
Обозначая множитель при i в правой части
—приращение выделенной ветви аргумента —через Дае arg/, мы
перепишем (6) в виде
V t-dz = iAdGavgf.
dG
Таким образом, теореме 1 можно придать следующий вид:
Теорема 2 (принцип аргумента). В условиях
теоремы 1 разность между числом нулей N и числом полю-

§ 111
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ
207
сов Р функции f в области G равна деленному на 2я
приращению аргумента этой функции при обходе
ориентированной границы области:
N-P^-^Aocargf. (7)
Очевидно, правая часть (7) геометрически представляет
собой полное число оборотов вокруг точки до = 0,
которые сделает вектор w = f(z), когда г обходит путь dG.
Обозначим через dG* образ пути dG при отображении /,
т. е. путь w = f[z(t)]t а^/^р; тогда это число будет
Рис. 65.
равно числу оборотов вектора w при обходе пути dG*
(рис. 65). Последнее называют индексом пути dG*
относительно точки w = 0 и обозначают символом ind0 dG*.
Теперь принцип аргумента можно прочитать так:
N-P = -^ А ас* arg w = ind0 dG*. (8)
Замечание 1. Вместо нулей функции / можно
рассматривать ее а-точки, т. е. корни уравнения f(z) = a\
для этого достаточно заменить в наших рассуждениях /
функцией / (г) — а. Если dG не содержит а-точек (и по-
прежнему полюсов) функции /, то
N°-p = ^\jwbdz=ikA™a^V(z)-al (9)
dG
где Na — общее число а-точек / в области D. Переходя
к плоскости w = f(z) и вводя понятие индекса пути dG*
относительно точки а, можно переписать (9) в виде
Na-P==^--kdG*aTg{w--a)==mdadG*. (10)

208 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
Замечание 2. Правая часть формулы (7) —приращение
аргумента функции вдоль пути —имеет смысл для произвольных
непрерывных функций /, не равных нулю вдоль этого пути (хотя ее
первоначальное определение с интегралом и связано с производной /',
т. е. требует голоморфности функции). Эта величина, равная индексу
образа пути dG*, имеет топологический характер: она
инвариантна относительно топологических преобразований плоскостей z
и w. Оказывается, можно ввести и инвариантные относительно
топологических преобразований определения порядков нулей и
полюсов (не связанные с производными или разложениями в ряды). Тогда
и принцип аргумента примет топологический характер: он будет
справедлив для всех функций, топологически эквивалентных меро-
морфным (т. е. получающихся из последних топологическими
преобразованиями переменных). Читатели, интересующиеся этими
вопросами, могут найти их подробное изложение в книге С. Стоилова
«Лекции по топологической теории аналитических функций», М., 1964.
Приведем пример применения принципа аргумента:
ТеоремаЗ(Руш ^^Пусть функции fug голоморфны
в замкнутой области G с непрерывной границей dG, и
пусть
\f(z) \>\S(Z) \ для всех 2G3G, (11)
Тогда функции f и f + g имеют в G одинаковое число нулей.
< Из (11) видно, что / и f + g не равны нулю на dG1),
поэтому к ним применим принцип аргумента. Так как
/ Ф 0 на dG, то / + g = f (1 + у-j, следовательно, мы имеем
при надлежащем выборе значений аргументов
8
Aacarg(/ + £) = Adcarg/ + AdGargJl+!-J. (12)
Но так как
< 1 на dG, то при любом изменении z e
е dG точка со = -|- не выходит из круга {| со | < 1}. Поэтому
вектор ш = 1 +со не может повернуться вокруг точки
w = 0, и второе слагаемое в (12) равно нулю. Таким
образом,
AdGarg(f + g) = AdGargf,
откуда по принципу аргумента получаем заключение
теоремы ►
Теорема Руше полезна при подсчете числа нулей
голоморфных функций. В частности, из нее совсем просто
получается основное свойство многочленов:
1) В самом деле, |/|>|g|^0 и |/+g| ^ |/Ы# I > ° на dG.

§ 111
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ
209
Теорема 4. Любой многочлен Рп степени п имеет
в С ровно п корней.
А Так как Рп имеет полюс в бесконечности, то все
его корни лежат в некотором круге {\z\<.R}. Пусть
Pn = f + gy mef = aQzn (аоф0) и g = a1zn-1 + . .. + ап\
увеличивая в случае надобности R, можно считать, что на
окружности {|г| = #} имеем |/| > \g\, ибо |/| = | а0 \Rn,
a g — многочлен степени не выше п— 1. По теореме Руше
Рп имеет в круге {|г|</?} столько же нулей, сколько
f = a0zn, т. е. ровно п ►
35. Принцип сохранения области. Так называется
следующая важная
Теорема 1. Если f голоморфна в области D и не
равна тождественно постоянной, то и образ D* = f(D)
также является областью.
4 Нужно доказать, что множество D* связно и открыто.
Пусть w± и w2 — две произвольные точки D*; обозначим
через z-l один из прообразов w1 в D и соответственно
через г2 один из прообразов w2. Так как множество D
(линейно) связно, то существует путь у: [a, |3]->D,
связывающий точки 2i и г2. В силу непрерывности
функции / образ y*=f<>y будет путем, связывающим точки
w± и w2\ он, очевидно, состоит из точек D*. Таким
образом, множество D* связно.
Пусть до0 —произвольная точка D* и г0 —один из ее
прообразов в D. Так как D открыто, то существует круг
{| z — z01 <С г} т D. Уменьшая в случае надобности г,
можно считать, что {\z — z0\^r} не содержит других
&>о-точек, кроме zQ (так как \Ф const, то по теореме
единственности п.22 ее &>0-точки изолированы в D).
Обозначим через у = {| z — г01 = г} границу этого круга; пусть еще
[i = mm\f(z) — w0\. (1)
Очевидно, [х>0, ибо непрерывная функция f{z) — w0
достигает на у своего минимального по модулю значения,
и если бы было [1 = 0, то на у существовала бы &>0-точка
функции /, вопреки нашему построению круга.
Теперь мы докажем, что {\w — wQ\<.ix\ aD*. В самом
деле, пусть гюг — произвольная точка этого круга, т. е.
| w± — w01 < ji. Имеем
f(z) — w1 = f (z) — w0 + (w0 — Wi), (2)

2W ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ IV
причем на у в силу (1) |/(г) — w0\^\x. Так как у нас
! ^о — ^i | < [*>> то по теореме Руше функция f (г) — wt имеет
внутри у столько же нулей, сколько их имеет там
функция f(z) — w0l т. е. по крайней мере один нуль (точка г0
может быть кратным нулем функции f(z) — w0). Итак,
функция / внутри у принимает значение wlt т. е. ^gD*.
Но а^ —произвольная точка круга { | до —до01 <м|»
следовательно, весь этот круг принадлежит D*. Открытость
D* доказана ►
Замечание. Как мы видели, доказательство связности
множества D* требует лишь непрерывности функции f, при
доказательстве открытости использованы теорема единственности и теорема
Руше, которые установлены выше для голоморфных функций. Для
произвольных непрерывных функций утверждение об открытости
образа неверно, в чем убеждает следующий пример. Пусть f = x2-{-iy
и D = { | г | < 1}; тогда D* = f (D) не является открытым множеством,
ибо точки вертикального диаметра D (внутренние точки этого круга)
переходят в граничные точки D*.
Можно, однако, доказать, что принцип сохранения области (так
же как теорема единственности и теорема Руше, на которые он
опирается) имеет топологический характер, т. е. справедлив для всех
функций, топологически эквивалентных голоморфным.
Аналогичное, но несколько более внимательное
рассмотрение приводит к решению задачи о локальном
обращении голоморфных функций. Задача эта
ставится так.
Дана голоморфная в точке г0 функция w = f(z)\
требуется найти аналитическую в точке w0=f(z0) функцию
z = g(w) такую, что g(w0)=z0 и f°g(w) = w в некоторой
окрестности w0.
При решении этой задачи следует различать два случая:
I. Точка z0 — н е критическая: /' (г0) ф 0. Как при
доказательстве принципа сохранения области, выберем
круг {| z — z01 ^г}, не содержащий других &>0-точек, кроме
центра, и определим |i>0 по формуле (1). Пусть wx —
любая точка круга {\w — w1\<.ii}\ то же рассуждение
(с применением формулы (2) и теоремы Руше) показывает,
что функция / принимает в круге {\z — z0\<.r} значение
Wx столько же раз, сколько wQ. Но значение w0
принимается в этом круге лишь в точке г0 и притом, в силу
условия /' (г0) ф 0, однократно.
Таким образом, функция / принимает в круге {|г —г0|<
< г} любое значение из круга {\w — w0\<,\i} и притом

§ 11]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ
211
только одни раз. Иными словами, функция f локально
однолистна в точке z0.
В круге {| w — w01 < [д,} тем самым определена
функция z = g(w)> для которой g(w0) = г0 и f°g(w) = w. Из
однолистности / следует, что Аы)фО при АгфО, откуда,
очевидно, вытекает существование в любой точке круга
{\w — w0\<.\i} производной
*'W = fW' (3)
т. е. голоморфность g в этом круге1).
II. Точка z0 — критическая:/' (г0) =... = /(^1} (г0) =
= 0, /(^)(г0)=7^0 (р^2). Еще раз повторим те же
рассуждения, выбрав теперь круг {\z — z0\^r} так, чтобы
в нем, кроме центра, не было ни &>0-точек /, ни нулей
производной /' (мы снова пользуемся теоремой
единственности). Как и раньше, выберем |^>0, возьмем любую
точку w± из круга {| w — w0 | < \х\ и убедимся в том, что /
принимает в круге {\z — z0\<.r} значение тг столько же
раз, сколько w0. Из условий рассматриваемого случая
следует, что значение w0 принимается р-кратно в точке г0;
так как у нас еще /' (г) Ф О при 0 < | г — г01 < г, то любое
значение wly 0<.\w1 — w0\<.\i, принимается функцией/
в круге {\z — zQ\<.r} в р различных точках. Таким
образом, функция f является р-листной в круге {\z — z0 | <г}.
Выясним аналитический характер решения задачи о
локальном обращении в этом случае. В некоторой
окрестности точки z0 имеем
w = f(z) = wQ + (z-^zQ)Pcp(z)i (4)
где ф голоморфна и отлична от нуля. Отсюда следует,
что 1
>Лр~(г) (г - г0) = (w- w0)J, (5)
где -jAp обозначает какую-либо голоморфную в
рассматриваемой окрестности ветвь корня. Эта ветвь разлагается
в ряд Тейлора с центром z0 со свободным членом, отлич-
ным от нуля, следовательно, для я|) (г) = у ф (г) (г — z0)
х) Как видно из (3), для существования производной g' нужно
еще, чтобы было /' Ф 0. В силу непрерывности /' и того, что /' (г0) ф
Ф0, молено считать, что в круге {\z — г0 | </*} нет критических
точек, уменьшая г в случае надобности.

212 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ IV
имеем г|/ (г0) ф 0. Полагая еще (w — woy/p = со,
перепишем (5) в виде *ф(г) = со и, пользуясь
рассмотренным выше случаем I, найдем отсюда г как голоморфную
со
функцию от со: z = ^ <4сод. Заменяя в последнем разло-
о
жении (u = (w — w0)l/py получим разложение функции,
обращающей /, в обобщенный степенной ряд:
оо п
z = g{w) = 2 dn(w-w0)~P. (6)
/1 = 0
Из него видно, что g является аналитической функцией
в круге {| w — w01 <С |4 и что w0 является для нее точкой
ветвления порядка р (см. п. 31).
Из приведенного анализа, в частности, вытекает
Теорема 2. Условие f (г0) Ф 0 является необходимым
и достаточным условием локальной однолистности голо-
морфной функции f в точке г0.
Замечание 1. Достаточность этого условия следует
также из общей теоремы действительного анализа о
неявных функциях (якобиан Jf (г) = | /' (г) |2 отображения
(Ху у)-+(и, v) отличен от нуля в рассматриваемой точке).
Однако для произвольных дифференцируемых в смысле
действительного анализа отображений условие Jf (г) Ф 0
не является необходимым для однолистности. Это видно
из примера отображения / = *3 + н/, якобиан которого
равен нулю в точке г = 0 и которое тем не менее
однолистно.
Замечание 2. Условие локальной однолистности
f (г) ф 0 для всех z e D не является достаточным для
глобальной однолистности функции во всей области D.
Это видно, скажем, из примера функции f(z)=ez>
которая локально однолистна в каждой точке С, но
неоднолистна в любой области, содержащей хотя бы одну пару
точек гх и z2 таких, что z1 — z2 = 2kniy где кфО — целое
число.
Мы изложили выше качественное решение задачи о
локальном обращении. В заключение заметим, что методы
теории аналитических функций позволяют дать и
эффективное количественное решение этой задачи. Рассмотрим
для простоты случай /' (z0) Ф 0.

§ 11]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ
213
Построим, как и выше, круги {\z — z0\^r} и {\w — w0\<
<(i} и при любом фиксированном w из второго круга
рассмотрим функцию
Она голоморфна в первом круге всюду, за исключением
точки z = g(w), где g — обращение функции /, причем
вычет h в этой точке (полюсе первого порядка) равен г.
Следовательно, по теореме Коши о вычетах
г = ЛС СГ (С) dr (7)
у
где у = {|£-z0 ! = /-}.
Интеграл в правой части зависит от w, и мы
получили интегральное представление обращающей функции
g(w). Из него, действуя так же, как при получении
тейлоровского разложения из интеграла Коши, можно
получить и разложение g в степенной ряд. Имеем
со
1 __ 1 1 _ VI (W — W0)n
f(l)-w ~ Ш-«>о "j w-w* ~ Zi lf(l)-a>o]n+1'
причем это разложение сходится равномерно по £ на
окружности у (у нас \f(Q — w0\^z\x на у, a \w — w0\<.\i).
tf (t)
Умножая это разложение на ^ . и интегрируя почленно
вдоль Yi найдем
оо
* = гИ=2 4(«>-«'о)я. (8)
/2 = 0
где
dn~ 2т ]
[/(0-^о1я+1 1
V
Имеем, очевидно, d0 = z0l а при я^1 можно
преобразовать полученное выражение интегрированием по
частям:
4
1 Г dC
;/л j
п 2шл J [/«)-а>0]л '
v
Подинтегральная функция имеет внутри y полюс
/г-го порядка в точке г0; находя ее вычет по известной

214 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
формуле (п. 26), находим окончательное выражение
коэффициентов:
d0 = z0, 4 = -nT2lim^-r(7(ib^y . «=1,2,... (9)
Ряд (8) с коэффициентами (9) называется рядом
Бурмина— Лагранжа. Его можно использовать для
эффективного обращения голоморфных функций.
Пример. Пусть / (z) = ze~az; найдем обращение этой функции
в точке ш0 = 0, соответствующей z0 = 0 По формулам (9) получаем
при п^ 1
d =— lim аП~г ( г Y- W1"1
п п\ 2^0 dz"-i \f(z)J n\ '
и ряд Б урмана— Лагранжа имеет вид
оо
z=g(w)=,^SE^Lwnt (10)
Можно указать также обобщение ряда Бурмана —
Лагранжа на случай /' (z0) = ... = f{p~1] (zQ) = 0, f^ (z0)Ф0,
/7^2, но мы на этом не останавливаемся.
36. Принцип максимума модуля и лемма Шварца.
Принцип максимума модуля выражается следующей теоремой:
Теорема 1. Если функция / голоморфна в области D
и ее модуль \ / \ достигает (локального) максимума в
некоторой точке 20еД то / постоянна.
< Воспользуемся принципом сохранения области. Если
\ф const, то она преобразует г0 в точку w0 области D*.
Существует круг {\w — w0\<i\i}czD*> а в нем найдется
точка w-l такая, что | w± | > | w01. Значение w± принимается
функцией / в некоторой окрестности точки г0, а это
противоречит тому, что |/| достигает максимума в этой точке ►
Учитывая свойства функций, непрерывных на
замкнутых множествах, принцип максимума модуля можно
сформулировать еще и так:
Теорема 2. Если функция / голоморфна в области D
и непрерывна в Dt то \f\ достигает максимума на
границе dD.
< Если / = const (в D, а значит, в силу непрерывности
и в D), то утверждение тривиально. Если [Ф const, то
|/| не может достигать максимума в точках D, а так как

s< HI
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ
215
этот максимум должен достигаться в D, то он достигается
па 3D ►
Аналогичное утверждение для минимума модуля,
вообще говоря, несправедливо. Это видно из примера
функции f(z) = z в круге {| г | < 1 } (минимум \f\
достигается в точке г = 0). Однако справедлива такая
Теорема 3. Если функция f голоморфна в области D
и не обращается в нуль в этой области, то \f\ может
достигать (локального) минимума внутри D лишь в
случае f = const.
Для доказательства достаточно применить теорему 1
к функции g=— которая голоморфна в D, ибо [фО.
Полученные результаты показывают, что поверхность
модуля голоморфной функции, т. е. поверхность в
пространстве (х, у, р) с уравнением р = |/(г)| (см. п. 5),
имеет некоторые структурные особенности. Именно, она
не может иметь локальных максимумов и локальных
минимумов, если последние не находятся на уровне р = 0
(точки а и b на рис. 66). Касательная плоскость к этой
поверхности горизонтальна в тех и только тех точках,
d\f\ d\f[
где обращаются в нуль обе производные -^- и -—-1 или —
* d\f\ д!/| ,
что то же самое — обе производные ' ' и 'L'
(стационарные точки). Простой подсчет показывает, что1)
d\f\ _ 7 г,, v d\f\ _ /
откуда видно, что стационарными точками функции / могут
быть либо ее нули (минимумы | /| на уровне р = О, такие,
как точка с на рис. 66), либо нули ее производной /'
(точки перевала поверхности модуля, такие, как точка d
на рис. 66).
Принцип максимума модуля имеет важные применения
в теории функций. Например, при помощи этого принципа
легко объяснить, почему теорема Рунге (п. 23) несправед-
1) Формулы (1) получаются формальным дифференцированием по
znz функции \f\ = Vff; законность этого следует из очевидных
формул
d\f\ __ uux + uvx d\f\ __ uuy + vog
дх - \Г\ ' Ту"" |/| "

216 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИЙ [ГЛ IV
лива для многосвязных областей. В самом деле, в неодно-
связной области D существует замкнутая жорданова
кривая у» внутри которой есть хотя бы одна точка z0qkD.
Если некоторая функция приближается полиномами
равномерно на любом компакте K^D, то существует
последовательность полиномов Рп, равномерно сходящаяся к /
на у. По критерию Коши для любого е>0 найдется
номер N такой, что для
p=\f(z)\ Bcex m, n^zN в любой
■ точке 2G^
\Рт(г)-Рп(г)\<г.
По принципу максимума
модуля эти неравенства
справедливы и во всех
точках области G,
ограниченной кривой у, а
отсюда по тому же
критерию последовательность
Рп сходится
равномерно в G. По теореме
Вейерштрасса (п. 23)
lim Pn является функ-
п-+со
цией, голоморфной в G.
Но в точках G О D этот предел совпадает с/, следовательно,
/ голоморфно продолжается в G и, в частности, в точку z0.
Так как не любая функция из © (D) обладает этим
свойством (например, им не обладает), то и не все
\ 2~"20 /
функции из @ (D) можно равномерно приблизить
полиномами, вопреки тому, что утверждает теорема Рунге.
Простым следствием принципа максимума модуля
является также
Лемма Шварца. Пусть функция f голоморфна в круге
£/ = {|г|<1}, по модулю не превосходит там 1 (т. е.
|/(г) | ^ 1 для всех z^U) и f (0) = 0. Тогда для всех z<=U
I/WKM, (2)
причем если равенство достигается хотя в одной точке
гфОу то оно справедливо всюду в U, и в этом случае
f(z)=eiaz, где а — действительная постоянная.
Рис. 66.

§ I2J
ТЕОРЕМА РИМАНА
217
4 Рассмотрим функцию ср (z) ■■
/(*)
в силу условия
/■(()) = 0 она голоморфна в U. Рассмотрим произвольный
круг Ur = {\z\<.r}, г < 1; по теореме 2 функция | ф |
достигает максимума на его границе уГ = {| z | = г]. Но на Yr
имеем |ф|^ —, ибо по условию |/|^1, поэтому всюду в Uг
|ф(г)КТ.
(3)
Фиксируем z и устремим г к 1; в пределе из
неравенства (3) получим, что | ф (г) | ^ 1, т. е. что | / (г) | ^ | г | для
всех г е Ur. Так как
любую точку г е(/
можно погрузить в
некоторый круг Uг, г<1,
то неравенство (2)
доказано.
Если в какой-либо
точке 20е(/в (2) имеет
место знак равенства, то
| ф | достигает в ней
максимального значения, равного 1. Тогда ф является
постоянной, модуль которой, очевидно, равен 1, т. е. ф (г) = eia
и f(z)E=eincz. ►
Из леммы Шварца следует, что при голоморфном
отображении / круга {|г|<1} в круг {|ш|<1},
переводящем центр в центр, образ любой окружности {|г| = /*}
лежит внутри круга {|ш|<г} (рис. 67). При этом образ
{! z | = г} может иметь общие точки с {| w | = г} лишь в том
случае, когда / сводится к вращению вокруг точки z = 0.
Рис. 67.
§ 12. Теорема Римана
Любая голоморфная и однолистная в области D
функция / осуществляет конформное отображение этой области,
ибо по доказанному в п. 35 из однолистности следует,
что в D нет критических точек /. Отображения,
осуществляемые данными функциями, мы неоднократно
рассматривали выше. Здесь мы рассмотрим более трудную и более
важную для практических целей обратную задачу:
Даны две области D^uD^ требуется найти (однолистное)
конформное отображение f: Dx-+D% одной из них на другую.

218 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
37. Конформные изоморфизмы и автоморфизмы.
Определение. Конформное (однолистное) отображение /
области Di на D2 будем называть еще (конформным)
изоморфизмом, а области, допускающие такое отображение,—
изоморфными (или конформно эквивалентными).
Изоморфизм области на себя называется (конформным)
автоморфизмом.
Легко видеть, что совокупность автоморфизмов ср: D-+D
произвольной области D образует группу, которая
называется группой автоморфизмов этой области и обозначается
символом Aut D. В качестве групповой операции
принимается композиция ср2°Ф1, единицей служит тождественное
отображение е: z-+z, а обратным к ф элементом —
обратное к w = y(z) отображение z = (p~1(w).
Богатство группы автоморфизмов области позволяет
судить о богатстве конформных отображений на нее
другой области. Это показывает
Теорема 1. Если f0: Di ->-D2 — какой-либо
фиксированный изоморфизм, то совокупность всех изоморфизмов D1
на D2 дается формулой
/ = ф-/о, (1)
где ф <= Aut D2 — произвольный автоморфизм области D2.
< Каков бы ни был автоморфизм ф €Е Aut D2,
композиция ф°/0 будет, очевидно, конформным отображением
Di на Ь2. С другой стороны, пусть /: D1-^-D2 —
произвольный изоморфизм; тогда Ф = /°/о1 будет конформным
отображением D2 на себя, т. е. автоморфизмом D2, а из
этой формулы следует (1) ►
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением одно-
связных областей D. Выделим три из них, которые
будем называть каноническими] это замкнутая плоскость С,
открытая плоскость С и единичный круг U = {| z | < 1}.
В п. 10 мы вычислили группы дробно-линейных
автоморфизмов этих областей. Однако справедлива
Теорема 2. Всякий конформный автоморфизм
канонической области является дробно-линейным.
< Пусть ф — произвольный автоморфизм С; существует
единственная точка ^еС, соответствующая бесконечной
точке, поэтому функция ф голоморфна всюду в С, кроме

s 12] ТЕОРЕМА РИМАНА 219
точки z0, где она имеет полюс. В окрестности полюса
порядка п^2 функция неоднолистна, следовательно, ф
имеет в г0 полюс первого порядка. По теореме 4 п. 25
заключаем, что ф имеет вид ф (г) = \-В при г0=^=сю
Z Zq
или ф(г) = Лг + В при г0 = со (А и В — постоянные) и,
таким образом, ф является дробно-линейной функцией.
Случай открытой плоскости С рассматривается аналогично.
Пусть ф — произвольный автоморфизм единичного
круга U; обозначим ф (0) = w0 и построим дробно-линейный
автоморфизм
круга U, переводящий точку wQ в 0. Композиция/ = Я°ф
также является автоморфизмом U, причем /(0) = 0. Так
как, кроме того, |/(г)|<1 для всех ге£/, то к
функции / применима лемма Шварца из предыдущего пункта,
по которой
|/(г)|^|г| для всех z^U.
Но и обратное отображение z==f~1(w) удовлетворяет
условиям той же леммы, следовательно, | /_1 (w)\^\w\ для
всех w^U, откуда, полагая w = f(z), находим, что
I z I ^ I / (г) I Для всех z ^U.
Таким образом, имеем | / (г) | = | г | для всех zgU и
по лемме Шварца заключаем, что f(z) = eiaz. Но тогда
Ф = X'1 °/ = Я-1 (eiaz) является дробно-линейным
отображением ►
Учитывая результаты п. 10, мы получаем полное
описание всех (конформных) автоморфизмов канонических
областей.
(I) Замкнутая плоскость:
AutC-{z->^±^, ай-ЬсфЪ\. (2)
(II) Открытая плоскость:
Aut<D = {z->az + b, афО}. (3)
(III) Единичный круг:
Aut£/ = /z->efa-^=^, |д|<1, aeRJ. (4)
I l—az J

220 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
Легко видеть, что различные канонические области не
изоморфны друг другу. В самом деле, замкнутая плоскость
(сфера) С даже не гомеоморфна С и £/, а следовательно, ее
нельзя и конформно отобразить на эти области. Области С
и U гомеоморфны, но конформного отображения, скажем С
на Uу не существует, ибо такое отображение должно
осуществляться целой функцией /, для которой всюду |/ (г) | <С 1,
а тогда по теореме Лиувилля / = const.
Область, граница которой — пустое множество,
совпадает с С Области, границы которых состоят из одной
точки, представляют собой плоскость С с выброшенной
точкой и, очевидно, конформно (даже дробно-линейно)
изоморфны С. Основной результат этого параграфа — теорема
Римана состоит в том, что любая односвязная область D,
граница которой содержит более одной точки (и,
следовательно, бесконечно много точек, ибо она связна),
изоморфна единичному кругу U.
Эту теорему существования мы докажем позже, а здесь
приведем доказательство теоремы единственности
конформных отображений:
Теорема 3. Если область D изоморфна единичному
кругу U', то совокупность всех конформных отображений D
на U зависит от трех действительных параметров. В
частности, существует единственное конформное отображение f
области D на U, нормированное условиями:
f(*o) = 0, аг§Пг0) = б, (5)
где г0 — произвольная точка Dt а б — произвольное
действительное число.
А Первое утверждение следует из теоремы 1, ибо
группа Aut/7 зависит от трех действительных
параметров—двух координат точки а и числа а в формуле (4).
Для доказательства второго утверждения предположим,
что есть два отображения /i и /2 области D на(/,
нормированных условиями (5). Тогда q> = fi°fii будет
автоморфизмом /У, причем ф (0) = 0 и argq/ (0) = 0. Из формулы (4)
мы заключаем тогда, что а = 0 и а = 0, т. е. что ф(г) = г
или f1{z)=f2{z) >
Для доказательства теоремы Римана нужно развить
некоторый аппарат, полезный и в других вопросах
комплексного анализа.

§ 12] ТЕОРЕМА РИМАНА 221
38. Принцип компактности. Определение 1.
Семейство {/} функций, заданных в области D, называется
равномерно ограниченным внутри D, если для любого
множества K^D существует постоянная М = М(К) такая, что
\f(z)\^M для всех г^К и всех f^{f]. (1)
Семейство {/} называется равностепенно непрерывным
внутри D, если для любого е>0 и любого множества
K^D найдется 6 = 6(е, К) такое, что
|/(г')-/(г")|<е (2)
для всех г', г"е/С, для которых \z' — z"|<6, и всех
Теорема 1. Если семейство {f} функций,
голоморфных в области D, равномерно ограничено внутри D, то
оно и равностепенно непрерывно внутри D.
<« Пусть KeD\ обозначим через 2р расстояние между
непересекающимися замкнутыми множествами К и 3D,
т. е. inf | г —1\ по всем ге/С и всех fJedD1), и через
/С(р)= U 1г: |г-г0|<р}
Z0<=K
р-раздутие множества /С. Так как /С(р)(^£>, то найдется
постоянная М такая, что \f(z)\^M для всех 2Gi(('o) и
всех /е{/}. Пусть г', г"— произвольные точки /С, для
которых |г' —г"|<р. Так как круг (Ур== {|г — г'|<р}с:/С(р),
то для всех точек г этого круга (f (г) — /(г') |^ 2УИ.
Отображение £= — (г — г') преобразует £/р в круг {|£|<1},
а функция g (Q = 2M{f{z, + tip)—t (г')} удовлетворяет
условиям леммы Шварца.
По этой лемме |g(£)|<i|£| Для всех £, |£|<1, или
\f(z)-f(z')\^^f-\*-*'\ для всех zst/p. (3)
При заданном е>0 мы положим 6 = min(p, —-) и тогда
из (3) получим, что |/(z')—/(г") |<е для всех /е{/},
если \г' — г" |<б ►
х) Величина р положительна и конечна для всех случаев, кроме
D = C или С, для которых утверждение теоремы тривиально.

222 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ IV
Определение 2. Семейство функций {/}, заданных
в некоторой области D, называется компактнымг) в D,
если из каждой последовательности fn функций этого
семейства можно извлечь подпоследовательность fn 9
сходящуюся равномерно на любом /C(sD.
Теорема 2 (М о н т е л ь). Если семейство функций {/},
голоморфных в области D, равномерно ограничено внутри D,
то оно компактно в D.
<« а) Докажем сначала, что если последовательность
fn a \f} сходится в каждой точке некоторого множества
ШаЬ, всюду плотного в D, то она сходится равномерно
на каждом KmD. Фиксируем е>0 и множество К^D;
пользуясь равностепенной непрерывностью семейства {/},
выберем разбиение D на квадраты со сторонами,
параллельными координатным осям плоскости г, столь мелкие,
что для любых точек г', г"е/С, принадлежащих одному
квадрату, и любой / е {/} справедливо неравенство
\f(z')-f(z")\<^. (4)
Множество К покрыто конечным числом таких
квадратов qp (р=1, ..., Р); так как Ш всюду плотно в D,
то в каждом qp найдется точка zp e Ш. Так как
последовательность \fn} сходится на Ш, то найдется число N
такое, что
\fm{zp)-fn(2p)\<\ (5)
для всех m, n>N и всех zpy р=1, ..., Р.
Пусть теперь г —произвольная точка /С; найдется
точка гр, лежащая в том же квадрате, что и г, и для
всех m, n>N будем иметь
\fm(z)-fn(z)\^\fm(z)-fm(zp)\ + \ftn(zp)--\fn(zp)\ +
+ \fn(Zp)-fn{z)\<B
в силу неравенств (4) и (5). По критерию Коши отсюда
х) Будем рассматривать функции, определенные в области D, как
точки некоторого пространства A (D) В этом пространстве введем
топологию, назвав сходящейся любую последовательность fn,
равномерно сходящуюся на каждом компактном подмножестве К (§ D.
Тогда компактность семейства функций {/} сводится к компактности
соответствующего множества точек в пространстве A (D). Это
замечание оправдывает сделанный выбор термина.

§ 12]
ТЕОРЕМА PIIMAHA
223
заключаем, что последовательность {/«(-?)} сходится для
всех ге/С, причем сходимость равномерна на/С.
б) Теперь докажем, что из любой последовательности
fn cz {/} можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся
в каждой точке некоторого множества Ш czD, всюду
плотного в D. В качестве ё выберем множество точек z = x +
+ /yeD, обе координаты которых х и у рациональны;
оно, очевидно, счетно и всюду плотно в D; пусть Ш = {zv}™=l.
Числовая последовательность fn(zi) ограничена,
следовательно, из нее можно извлечь сходящуюся
последовательность fki = fnk(k=h 2, ...). Числовая
последовательность fnl (z2) также ограничена, следовательно, из нее
можно извлечь сходящуюся подпоследовательность fk2 = fnki
(k=l, 2,...); последовательность функций fn2 сходится,
следовательно, по крайней мере в двух точках: z1 и z2.
Из последовательности fn2 (z3) извлекаем сходящуюся
подпоследовательность fk3 = f„k2 (&=1, 2, ...)так, что fn3
сходится по крайней мере в точках гь г2 и г3. Аналогичное
построение можно продолжать неограниченно. Остается
выбрать так называемую диагональную
последовательность f £ £
/11» /22» • • • > //г/г»
Эта последовательность сходится в любой точке zp e <?,
ибо по построению все ее члены, начиная с р-ro, выбраны
из последовательности fnpt сходящейся в точке zp.
Объединяя доказанное в б) и а), получаем
утверждение теоремы ►
Теорему Монтеля часто называют принципом
компактности.
Определение 3. Функционалом на семействе
функций {/}, определенных в области D, называется
отображение J: {/}->С этого семейства в С (это означает, что
указан закон, по которому каждой функции / е {/}
ставится в соответствие комплексное число /(/)).
Функционал J на {/} называется непрерывным, если для любой
последовательности /,ге{/}, которая равномерно сходится
к /о е {/} на любом К ^D,
limJ(fn) = J(f0).
п ->оо
Пример. Пусть 0 (D) — семейство всех функций /,
голоморфных в области D, и а — произвольная точка!).

224 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
Рассмотрим р-й коэффициент тейлоровского разложения /
в точке а:
Это —функционал на семействе 0(D); покажем, что
он непрерывен. Если fn-+fo равномерно на каждом /((eD,
то, взяв в качестве К окружность y = {\z — a\ = r}czD,
мы для любого е > 0 найдем N такое, что | fn (г) — fQ (г) | < е
для всех n>N и всех z <= у. По неравенствам Коши
получим тогда, что для всех п> N
\Cp(fn)-Cp(f0)\^-^-y
а это и означает непрерывность функционала ср (/).
Определение 4. Компактное семейство функций {/}
называется компактным в себе*), если предел любой
последовательности fn e {/}, равномерно сходящейся на каждом
K^D, принадлежит семейству {/}.
Теорема 3. Всякий функционал «/, непрерывный на
компактном в себе семействе {/}, ограничен и достигает своей
верхней грани, т. е. существует функция f0 e {/} такая,
что для всех f e {/}
\J(fo)\^\J(f)\-
Ч Положим А = sup \J(f)\ — это некоторое число, быть
fe{f}
может, равное со. По определению верхней грани
найдется последовательность fn е {/} такая, что | J (/„) | ->- А.
Так как {/} компактно в себе, то существует
подпоследовательность /я , сходящаяся равномерно на каждом K^D
к некоторой функции /0 <= {/}. В силу непрерывности
функционала имеем
\J(fQ)\=lim \J(fn)\ = A;
отсюда заключаем, во-первых, что Л<со и, во-вторых,
что | J (/0) 15* | J (/) | для всех / е= {/} ►
В дальнейшем мы будем рассматривать семейства
функций, однолистных в некоторой области D. Для
доказательства компактности в себе таких семейств полезна
1) Компактные в себе множества называют также компактами.

§ 12]
ТЕОРЕМА РИМАНА
225
Теорема 4 (Гурвиц). Пусть последовательность
функций fn, голоморфных в области D, равномерно на
любом КшЬ сходится к функции f Ф const. Тогда, если
f (z0) = 0, то в любом круге {\ г — z0 | < /*} с= D все
функции fn, начиная с некоторой, также обращаются в нуль.
4 По теореме Вейерштрасса / голоморфна в D; по
теореме единственности существует множество {0<c|z — z0\^
<p}<eD, на котором f^O (можно считать, что р<г).
Обозначая у = {|г — z0| = p} и [x = min \f(z) |, имеем (л>0.
ZGV
Так как fn сходится на у равномерно, то найдется N
такое, что
\fn(z)-f(z)\<li
для всех геу и всех n>N. Для таких п по теореме
Руше функция fn = f+(fn — f) имеет внутри у столько же
нулей, сколько их имеет там /, т. е. по крайней мере
один нуль ►
Следствие. Если последовательность функций fn,
голоморфных и однолистных в области D, сходится
равномерно на каждом KcD, то предельная функция f этой
последовательности либо однолистна, либо постоянна.
< Пусть f(z1) = f(z2), но zx^z2 (zly z2(=D) и/^ const.
Рассмотрим последовательность функций gn(z)=fn(z) —
— fn(z2) и круг {|z-zi|<r}, где г^\г1 — г2\\
предельная функция g"(г) = /(г) — f(z2) обращается в нуль в точке zly
следовательно, по теореме Гурвица и все gn(z)9 начиная
с некоторого номера, обращаются в нуль в этом круге,
но это противоречит однолистности функций fn ►
39. Теорема Римана. Любая односвязная область D,
граница которой содержит более одной точки, конформно
эквивалентна единичному кругу U.
Идея доказательства такова. Рассмотрим семейство 5
голоморфных и однолистных в D функций f, по модулю ограниченных 1
(т. е. осуществляющих конформное отображение D в единичный
круг V). Фиксируем точку а е D и будем искать в семействе
функцию, для которой растяжение | /' (а) | в точке а максимально.
Выделив компактную в себе часть Sx семейства 5 и пользуясь
непрерывностью функционала J (/) = | f (а) |, мы можем утверждать, что
существует функция f0 с максимальным растяжением в точке а.
Наконец, мы убедимся в том, что /0 реализует отображение D на
круг [/ (а не только в U, как остальные функции семейства).
Такой вариационный метод, когда ищется функция, обладающая
тем или иным экстремальным свойством, часто применяется в теории
функций.
$ Б. В. Шабат. ч. I

226 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
4 а) Докажем, что в D существует хотя бы одна
голоморфная и однолистная функция, ограниченная 1 по
модулю. По условию граница 6D содержит две
различные точки аир; корень квадратный 1/ ^^
продолжается аналитически вдоль любого пути в области D, и
так как D односвязна, то по теореме о монодромии (п. 29)
этот корень допускает выделение в D двух однозначных
ветвей фх и ф2, отличающихся знаком.
Каждая из этих ветвей однолистна в D, ибо из
равенства 9V (2г) = cpv (г2) (v = 1 или 2) следует равенство
zi-р *2-р , l ;
а из него, в силу однолистности дробно-линейной
функции,—равенство zi = z2. Эти ветви отображают D
соответственно на области 0* = фх(0) и D$ = q>2(D), которые
не имеют общих точек, ибо в противном случае нашлись
бы точки zlf z2^D такие, что фх (гх) = ф2 (г2), но из
последнего равенства снова следует (1), а из него
—равенство e1 = z2, т. е. фх (гх) = — фг^г)»' мы пришли к
противоречию, ибо фд, Ф 0 в D.
Область D* содержит некоторый круг {| w — w0 | < р},
и, значит, фх не принимает в D значений из этого круга.
Поэтому функция
м=^Ы> (2)
очевидно, голоморфная и однолистная в D, ограничена:
для всех zgD имеем | Д (г) | ^ 1.
б) Обозначим через S семейство всех голоморфных и
однолистных в D функций, по модулю ограниченных 1. Это
семейство непусто, ибо содержит функцию /ь и по теореме
Монтеля компактно. Часть St семейства S, состоящая
из всех функций /gS, для которых
l/'(«)|SH/i'(a)l>0 (3)
в некоторой фиксированной точке agD, компактна
в себе. В самом деле, по следствию теоремы 4 из
предыдущего пункта предел последовательности функций fn^Sly
сходящейся на любом КшЭ, может быть лишь
однолистной функцией (и тогда принадлежать к Sx) либо
постоянной, но последний случай исключен неравенством (3).

§ 121 ТЕОРЕМА РИМ АН А 227
Рассмотрим на Sj функционал
•Ч/) = 1Пя)1-
По доказанному в предыдущем пункте он непрерывен, и,
следовательно, существует функция /0 ^ Sb реализующая
его максимум, т. е. такая, что
1/»К/о»| (4)
для всех /е Si.
в) Так как функция /0 е Slf то она конформно
отображает D в единичный круг U. Покажем, что /0(а) = 0,—
в противном случае в Si нашлась бы функция
s iz\ = /ofrWofo)
1-М«)/ой'
для которой
1^(«)1-1_|Ма)|,1/оН1>1/;И1,
попреки экстремальному свойству (4) функции /0.
Покажем, наконец, что /0 отображает D на весь
круг U. В самом деле, пусть /0 не принимает в D
некоторого значения b^U; так как /о(#) = 0, то b Ф 0. Но и
значение &* = — не принимается этой функцией в D (ибо
Ь
|/>*|>1), и, следовательно, по теореме о монодромии в D
можно выделить однозначную ветвь корня
которая принадлежит S (однолистность проверяется точно
так же, как в п. а), справедливость неравенства |я|) (г)| ^ 1
очевидна). Но тогда S принадлежит и функция
для которой
\h'(a)\ = ±p=^\f'0(a)\.
Но 1 + \Ь\>2У\Ь\, ибо |Ь|<1, т. е. Л е= Sx и |ft'(a) | >
>|/о(а)|, вопреки экстремальному свойству функции /0 ►
Из теоремы Римана следует, что любые односвязные
области D\ и D2 с границами, содержащими более одной
точки, конформно эквивалентны, В самом деле, по дока-
8*

228 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
занному существуют конформные изоморфизмы /у: Dj-*-
-+U(j=l, 2) этих областей на единичный круг, а тогда
f = f-lofL будет изоморфизмом Dx на D2. Из теоремы 3
п. 37 таким же образом доказывается, что этот
изоморфизм f: Di~>D2 однозначно определяется условиями
нормировки
f(z0) = w0y arg/'(^o) = 0, (6)
где z0^Dly w0^D2 и б —действительное число.
§ 13. Соответствие границ и принцип симметрии
40. Соответствие границ. Приведем без доказательства
так называемый принцип соответствия границ:
Теорема (Каратеодори). Пусть области D и
D* ограничены жордановыми кривыми dD и dD*; тогда
конформное отображение f: D-+D* можно продолжить на
границу D до гомеоморфизма замкнутых областей D и D*.
Для произвольных гомеоморфизмов теорема, конечно,
несправедлива. Например, отображение единичного
круга U на себя, которое в полярных координатах z = rei(p,
w = pe^ задается уравнениями
p = r, y = 4> + jzrr>
(1)
очевидно, гомеоморфно, но на граничную окружность
непрерывно не
продолжается.
Точно так же неверна
теорема и для
конформных отображений на
области, границы которых не-
жордановы. Рассмотрим,
например, конформное
отображение / круга U на
область D, изображенную на
рис. 68, в состав границы которой входит часть кривой
a = sin — с предельным сегментом y = {w: и = 0, — 1^
^^^1}. Можно доказать, что при этом отображении
дугам уп, отрезающим от D области Dn (я=1, 2, ...),
пересечение замыканий которых совпадает с у, в пло-
Рис. 68.

§ 13] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 229
скости z соответствуют дуги Хпу отрезающие от U обла-
оо
сти Un, причем Р| Un совпадает с некоторой граничной
п= 1
точкой е*ч (рис. 68). В этом смысле при отображении /
точке е/ф соответствует целый отрезок -у, такчто / нельзя
непрерывно продолжить в замкнутый круг V'.
К. Каратеодори ввел так называемые граничные элементы
области, понимая под ними классы в известном смысле эквивалентных
сечений этой области. Присоединение к области ее граничных
элементов называется компактификацией по Каратеодори. Он доказал,
что конформное отображение областей устанавливает взаимно
однозначное и в некотором смысле непрерывное соответствие граничных
элементов этих областей. Поэтому сформулированная выше теорема
распространяется и на нежордановы области, если пользоваться при
этом компактификацией по Каратеодори вместо обычных замыканий1).
Приведем, также без доказательства, несколько более
точных результатов о граничном поведении конформных
отображений областей с жордановыми границами при
дополнительных предположениях об этих кривых.
Через 3D и <3D* будем обозначать границы областей и через
/: D-+D* — конформное отображение.
I (Ф. Рисе, М. Рисе, И. И. Привалов). Если 3D
и 5D*—спрямляемые жордановы кривые, то /
продолжается на (3D как абсолютно непрерывная функция длины
дуги. Производная /' почти в каждой точке £ е 3D
(в смысле линейной меры) имеет угловое граничное
значение2) /'(£), конечное и отличное от нуля, и для любого
множества точек eczdD мера образа e*=f(e) равна
mese*=S|/'(*)||dt|; (2)
е
в частности, множествам eczdD меры 0 соответствуют
множества е* adD* меры 0.
II (Линделёф). Если 3D и (3D* —гладкие
жордановы кривые, то arg/'(z) продолжается до непрерывной
функции в D, причем для всех £e<3D
arg/'(C) = e*-ef (3)
*) Подробнее об этом см., например, в книге: А. И М а р
куше в и ч, Теория аналитических функций, т. II, «Наука», М., 1968.
2) Угловым граничным значением функции ф в точке £ е 3D,
где 3D имеет касательную, называется общее предельное значение ф
по всем некасательным путям у е D с концом в точке £.

230 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ IV
где 0 и соответственно б* — углы наклона касательных
к кривым dD и dD* в точках £ и £*=/(£)•
III (Келлог). Если в условиях и обозначениях
предыдущей теоремы, кроме того, углы б и б*, как функции
длины дуги s и s* соответственно на dD и dD*,
удовлетворяют условию Липшица
\4si)-4s2)\<k\s1-s2\^ |e*(sf)-e*(s})|<*|sf-s}f,
где k и а, 0 <С а =^ 1, — постоянные, то производная /'
продолжается до непрерывной и отличной от нуля
функции в D (отображение «конформно» на границе).
IV (Шварц). Если 3D и dD* — аналитические жср-
дановы кривые1), то / продолжается до голоморфной
функции в D.
Доказательство утверждений I —III можно найти
в книге Г. М. Голузина «Геометрическая теория функций
комплексного переменного» (М. —Л., 1967); утверждение IV
мы докажем в следующем пункте. Здесь приведем только
более простой обратный принцип соответствия границ:
Теорема. Пусть даны области D и D*, компактно
принадлежащие (D, с жордановыми границами у иу*\ если
функция f голоморфна в области D, непрерывна в D и
устанавливает взаимно однозначное отображение у на -у*»
то и отображение f: D-*D* взаимно однозначно (т. е.
f —конформный изоморфизм).
< Пусть w0 — произвольная точка D*; так как f на у
принимает лишь значения из -у*, то f Ф w0 на у и, в силу
непрерывности, f7^w0 в некоторой граничной полосе G
области D. Величина
N = ±Ayarg{f(z)-wQ} (4)
*) Дугу у называют аналитической, если ее можно задать путем
2 = 7(0» * s [a, PJ, где у—аналитическая функция действительного
переменного t на отрезке [а, Р] (т. е. функция, представимая в
некоторой окрестности каждой точки t0 e [a, P] в виде суммы ряда
по степеням / — tQ), причем у' У)ф0 на [а, Р]. Из теоремы Хейне —
Бореля вытекает, что такая функция у продолжается до
голоморфной функции комплексного переменного t в некоторой окрестности
отрезка [а, р]. Поэтому аналитическая дуга—это голоморфный образ
отрезка. Замкнутой аналитической кривой называют голоморфный
образ окружности {|£| = 1} в плоскости параметра, при котором
у'Ц)фЪ на окружности; если отображение 2=7(0 еш-е и взаимно
однозначно, то у называют аналитической жордановой кривой*

* 13] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 231
(где arg обозначает какую-либо непрерывную вдоль пути у
ветвь аргумента и AY — приращение этой ветви на у)»
очевидно, непрерывно меняется при гомотопной деформации
пути в полосе G. Но так как величина (4) может
принимать лишь целочисленные значения, то она остается
постоянной при такой деформации.
По условиям теоремы отображение /: у ->- -у* гомео-
морфно, следовательно,
N:=~2^A^ arg («> - Я>о) = 1.
ибо при однократном обходе у вектор w — w0 делает один
поворот (рис. 69). В силу сказанного выше следует, что
Рис. 69.
и для любого пути у, гомотопного у в полосе G, имеем
■^A;arg{/(z)-o;o} = l.
К области DmDt ограниченной кривой у, применим
принцип аргумента (п. 34), по которому уравнение / (г) =
= w0 имеет в D (а значит, и в D, ибо в полосе G нет
до0-точек) точно один корень.
Так же доказывается, что для любой точки шх^5*
число нулей функции f(z) — Wi в области D, равное
Nl=~Av*arg(w-w1)y
равно 0, ибо при обходе у* вектор w — w± не делает ни
одного полного оборота (рис. 69). Из принципа
сохранения области (п. 35) следует, далее, что f не может
принимать в D и значений из у*> ибо в этом случае она
должна была бы принимать значения из дополнения к D*.

232 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
Таким образом, / один и только один раз принимает
в области D любое значение w0 из D* и не принимает
никаких других значений, т. е. / взаимно однозначно
отображает D на D*. ►
Замечание. В доказанной теореме D может быть
произвольной областью на С (с жордановой границей),
но D* обязана быть компактной в С, ибо функция f
должна быть непрерывной в D в смысле С. Последнее
условие существенно: в самом деле, функция f(z) = z3
голоморфна в верхней полуплоскости D={lmz>0} и
взаимно однозначно отображает 3D (ось х) на ось и—
границу верхней полуплоскости D* = {1тш>0}, но в
области D отображение / не взаимно однозначно.
Пример. Изучим отображение верхней
полуплоскости D = {Im z > 0}, осуществляемое эллиптическим
интегралом первого рода
г
F (г, k) = [ dz =-, (5)
0
где ky 0 < k<. 1, — параметр и рассматривается
голоморфная в D ветвь корня, которая на отрезке / = [0, 1]оси*
принимает положительные значения.
Функция ^(г; k) непрерывно продолжается в D, и мы
выясним сначала, как она преобразует границу 3D, т. е.
ось х. Когда z = х описывает слева направо отрезок / =
= [0, 1], интеграл (5)
X
F (х, к)=? dx
1/(1—**)(1—#***)
принимает положительные (в силу сделанного выбора
ветви корня) значения, возрастающие от 0 до значения
о
(6)
V(l—x2)(l—kW)
т. е. F устанавливает гомеоморфизм отрезков [0, 1] оси х
и [0, К] оси и.
При переходе через точку z=l один из четырех
линейных множителей подкоренного выражения, именно

§ 13] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 233
1-х, меняет знак. Так как мы рассматриваем ветвь
корня, голоморфную в верхней полуплоскости D, то мы
должны считать, что такой переход происходит в
результате обхода точки г=1 по малой полуокружности yczD
(пунктир на рис. 70). В результате такого обхода arg (1 — г)
меняется от 0 до —я, а аргументы остальных множителей
не меняются. Поэтому на отрезке 77= 1, у оси х
аргумент корня равен —-о", а аргумент подинтегрального
D
ш'
!' I'
/А/
ж
-')к -10 1 i/k '
-кчк'
и' г
/'
/
&
" ш
1
I
кчк'
-к
о
Рис. 70.
выражения в (5) равен у» значения F на отрезке II можно,
следовательно, представить в виде
1 X
F(x> *)= Wn—Ж<\-кЪ*\ + \vW=>
dx
V(\ -x*)(l-kW)
-K+'Svm
dx
У(х*-\)(\-№х*)'
где в последнем интеграле корень опять принимает
положительные значения. Когда х описывает слева направо
отрезок //== 1, -г\ оси х, точка F (x, k) описывает снизу
вверх отрезок [/С, K + iK'] плоскости w, где
1/А

234 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
При переходе через точку г = -г еще один множитель
подкоренного выражения, (1—их), меняет знак. Как и
выше, мы убедимся в том, что рассматриваемая ветвь
корня на луче ///== -г-, оо] оси х должна иметь
аргумент — я, т. е. принимать отрицательные значения.
Значения F на этом луче представляются, следовательно,
в виде
1 \/k
dx
*(*.a)-S + S + $
/О—*a)(i — kv-)
X
dx
= K + iK'- $
1/лК(*2-1)(*2*я-1)'
где в последнем интеграле корень принимает
положительные значения. Замена переменных * = гу показывает, что
dx
1) 0 1/(1—Л»БЯ)(1 —£а)
iyJ V(x*-1) (kw-1) J ]/(l -^) (1-й
поэтому луч — -г-, со J функция F преобразует (и притом
гомеоморфно) в отрезок [K + iK', iK'] плоскости w
(см. рис. 70).
Совершенно аналогично проверяется, что функция F
гомеоморфно преобразует отрицательную полуось х в
левую половину контура прямоугольника, изображенного
на рис. 70 (совокупность отрезков /', //' и ///').
Применяя принцип соответствия границ, можно
утверждать, что эллиптический интеграл первого рода F (г, k)
реализует конформное отображение верхней
полуплоскости D на прямоугольник с вершинами ±К> dz/C + iTC',
где величины К и К' выражаются через параметр k no
формулам (6) и (7).
41. Принцип симметрии. Здесь мы рассмотрим один
специальный случай аналитического продолжения,
относящийся к конформным отображениям. Предварительно
докажем так называемую лемму о непрерывном
продолжении.

§ 13] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ II ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 235
Лемма. Пусть непересекающиеся области Dx и D2 имеют
общий прямолинейный участок границы у1), а функции f±
и f2 соответственно голоморфны в Di и D2 и непрерывны
на множествах Di[)y и D2[)y (рис. 71). Тогда, если
то функция
h (г) = /г(г) для всех геу,
/(*)
-Г1
1/2
(г) для всех z <= Dx (J у,
2 (г) для всех z е D2
(1)
(2)
голоморфна в области D1[]y\JD2 = D.
4 Из условий леммы видно, что / непрерывна в D\
для доказательства ее голоморфности по теореме Мореры
(п. 21) достаточно проверить, что интеграл от нее по
границе любого треугольника A<^D равен нулю. Если А
компактно принадлежит Dx
или D2, то это следует из
теоремы Коши. Остается
рассмотреть случай, когда
Пусть у делит А на две
части Ах и А2; по свойствам
интегралов
\fdz= \fdz+ I fdz,
дД dAt дД2
(3)
Рис. 71.
и достаточно показать, что
каждый из интегралов справа равен нулю. Рассмотрим
любую из частей Дх и Д2 и для простоты обозначим ее
снова через А. Обозначим через Th трапецию, которая
отсекается от А прямой, параллельной у и отстоящей от
у на расстоянии ft; пусть Ал = Д\7л (рис. 71). Без
ограничения общности можно считать, что у параллелен
действительной оси.
По теореме Коши интеграл от f no dAh равен нулю,
следовательно,
\ fdz = $ fdz + \ fdz = $ fdz.
(4)
ад
дТи
ад.
дТи
1) Отрезок у считается открытым (без концов).

236 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
Пусть у' и у" — основания трапеции Th (предположим,
что они ориентированы одинаково) и у'— меньшая из них.
Так как длина боковых сторон Th и разность длин у" и
у' стремятся к нулю при Л->0, а функция / ограничена
в А, то
J /d* = \f(z)dz- \f(z-ih)dz + 0(h) =
dth у у
= \{f(z)-f(z-ih)}dz + 0(h). (5)
V'
Так как / равномерно непрерывна в А, то подинтеграль-
ная функция в (5) равномерно стремится к нулю, а значит,
и интеграл от / по дТн стремится к нулю при Я->0. Но
из (4) видно, что он не зависит от Л, следовательно, он,
а значит, и интеграл от / по <ЭД равен нулю.
Если А пересекается с у лишь стороной или вершиной,
то доказательство очевидным образом упрощается ►
Замечание. Если воспользоваться усиленной формой теоремы
Коши (п. 18), в которой предполагается, что функция голоморфна
в области и лишь непрерывна в ее замыкании, то доказательство
леммы существенно упрощается: по этой теореме оба и-нтеграла
в правой части (3) равны нулю.
Функцию /, определенную формулой (2) в области D,
можно рассматривать как аналитическое продолжение
каждой из функций f± и f2 г). Лемму о непрерывном
продолжении поэтому можно читать так: если две области Dv
имеют общий прямолинейный участок границы у и
функции /v, голоморфные в Dv, непрерывно смыкаются на у,
то они и аналитически продолжают друг друга. Для
дифференцируемых функций действительного переменного
аналогичное утверждение, конечно, несправедливо (пример:
Dx и D2- отрезки (—1, 0) и (0, 1) и f (*) = И )•
Перейдем к доказательству принципа симметрии.
Теорема 1 (Риман —Шварц). Пусть области Dx
и D* имеют жордановы границы дОг и dDf, причем dDx
содержит отрезок прямой или дугу окружности у, a <3Df —
такой же отрезок или дугу у*. Пусть еще область D2
симметрична с D± относительно у> a D| симметрична с D'f
*) Точнее: элемент (D, /) является непосредственным
аналитическим продолжением каждого из элементов (Dlf fx) и (D2, /a).

§ 13] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 237
относительно у* и Dx П D2=D* f) Щ = ф. Тогда ес>ш
функция Д конформно отображает D± на £>*, причем
fi(y) = y*, tno она допускает аналитическое продолжение
в D2 и продолженная функция конформно отображает
область D± U Y U D2 на Df U Y* U Щ (рис. 72).
<4 а) Рассмотрим сначала частный случай, когда у и у*
представляют собой отрезки действительных осей.
Определим в области D2, симметричной с Dx относительно
отрезка у, функцию
M*)=/i(z). (6)
Так как при z^D2 точка 2еОь а функция Д
голоморфна в Db то функция Д (2) = Д (2) антиголоморфна
в D2 (см. п. 7) и, следова-
тельно, Д (z) голоморфна
в D2. По принципу
соответствия границ Д
непрерывна в Dlt причем по
условию теоремы Д на у
принимает действительные
значения (принадлежащие
отрезку у*). Поэтому,
когда точка z e D2
стремится к точке ^Еу, то
2 ->■ х и Д (z) -> Д (х) = Д (х). Таким образом, Д (х) = /2 (х)
для всех ^Еу, а так как по условию Dx {] £)2 = ф, то
функции Д и Д удовлетворяют условиям леммы о
непрерывном продолжении. По этой лемме функция
Рис. 72.
/(*)=
1/2
(г) в Dx U у,
(г) в D2
голоморфна в области £>х U 7 U D2. По построению /
конформно отображает эту область на D* U у* U Ц?« Для
частного случая у, у* с: R теорема доказана.
б) Общий случай приводится к этому частному дробно-
линейными отображениями. В самом деле, пусть Я и Я* —
дробно-линейные отображения, переводящие соответственно
у и у* в отрезки действительных осей (они существуют
по доказанному в п. 10). Функция gi = ^ «Д«Я-1 по
доказанному в а) продолжается аналитически в область % (D2),

238 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
симметричную с ^(Dx) относительно отрезка к(у)> причем
продолженная функция g2 отображает k(D2) на область
Х% (Df) (мы пользуемся тем, что дробно-линейные
отображения сохраняют симметричные точки, см. п. 9). Но тогда
функция f2 = X^1og2oX является аналитическим
продолжением функции f± в область D2 и отображает D2 на D* ►
Замечание. Отрезок у* в доказанной теореме может
содержать бесконечную точку; тогда продолжение f будет
мероморфным: функция f окажется голоморфной в D всюду,
кроме точки 20еу, соответствующей бесконечной точке,
где она имеет полюс. Этот полюс непременно первого
порядка, ибо f однолистна в области D (в окрестности
кратного полюса функция многолистна, см. п. 25).
Заметим еще, что если выполняются все условия
принципа симметрии, кроме Dx f) D2 = D* fl Df = 0, то
конструкция, описанная в его доказательстве, приведет к
аналитической (возможно, неоднозначной) функции, конформно
отображающей области на римановых поверхностях.
В качестве примера применения принципа симметрии
приведем доказательство теоремы о продолжении, из которой
следует сформулированное в предыдущем пункте
утверждение IV.
Теорема 2 (Шварц). Если граница области D
содержит аналитическую дугу у, tno конформное отображение f
этой области на единичный круг можно аналитически
продолжить через у.
<4 Для любой t0 е [а, р] найдется окрестность U =
= {/gC: \t — t0\<.r}> в которую y(t) продолжается, как
голоморфная функция комплексного переменного, причем
в силу условия yr (t0)^0 (см. определение аналитической
дуги в сноске на стр. 230) можно считать, что у
однолистна в U. Функция у отображает диаметр б а £/,
состоящий из точек действительной оси /, на дугу у0 с= у; мы
обозначим через £/+ тот из полукругов /У\6, который у
отображает в D. Функция g = f°y в £/+ удовлетворяет
условиям принципа симметрии (она преобразует б в дугу
единичной окружности) и, следовательно, аналитически
продолжается в U. Отсюда вытекает, что f (г)
аналитически продолжается через дугу уо ►
Принцип симметрии полезен для фактического
построения конформного отображения областей, обладающих
свойствами симметрии.

§ 13] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 239
Пример. Область D представляет собой внешность объединения
отрезков [—1, 1] и [—i, /]; обозначим через Dx ее верхнюю
половину (рис. 73). В £>х однолистна функция wt = z2 (в D эта функция
неоднолистна), которая отображает DL на плоскость с выброшенным
лучом — 1 ^Re^i^oo. Поэтому функция со == \/ г2 + 1, где выбрана
нужная ветвь корня, отображает D± на верхнюю полуплоскость D*.
Отрезок у, соединяющий через оо точки ± 1, переходит при этом
в отрезок у*, соединяющий через оо
точки ± У2. Следовательно, к последней
функции применим принцип симметрии,
по которому она продолжается
аналитически *) в область D2, симметричную с """
DL относительно у, и продолженная
функция (a = Yz2+ 1 (мы обозначаем ее тем же
символом) отображает D на внешность ™~ъ *
D* отрезка [ —1^2, K2l. Внешность -#/
отрезка уже совсем просто отображается -*ЛГ п у/¥
на каноническую область (например, ли- (со)
нейной функцией мы отображаем D* на р 7Ч
внешность отрезка [— 1, 1], а затем при- пс'
меняем одну из ветвей функции,
обратной к функции Жуковского из п. 12,— получим отображение на
внутренность или внешность единичного круга).
42. Эллиптический синус и модулярная функция.
Рассмотрим еще два примера более общего характера.
а) Эллиптический синус. В п. 40 мы убедились
в том, что эллиптический интеграл первого рода
dw (1)
V (\— w2)(\ — k2w2)
где k, 0<fe < 1,— параметр и рассматривается одна из
ветвей корня в верхней полуплоскости {lmar>0}, конформно
отображает эту полуплоскость на прямоугольник R0
с вершинами ±К, ±K+iK'* Обозначим через
w = sn(z, k) (2)
или, короче, w = snz обращение интеграла (1)—функцию,
голоморфную в прямоугольнике R0 и отображающую его
конформно на верхнюю полуплоскость {1тш>0};
функция (2) называется эллиптическим синусом.
*) Точнее, продолжается мероморфно, ибо в бесконечной
точке области D функция имеет полюс (первого порядка).

240
основы геометрической теории [гл. iv
Так как функция sn переводит отрезок [К, K + iK']
в отрезок [l, -r-1, то к ней применим принцип симметрии,
по которому она аналитически продолжается в
прямоугольник /?ь симметричный с R0 относительно [К, K + iK'],
причем продолженная функция (мы снова обозначаем ее
через sn) отображает Яг на нижнюю полуплоскость {1тш<0}
(рис. 74). Продолженная функция также удовлетворяет
условию принципа симметрии и по этому принципу
аналитически продолжается в прямоугольник R2, симметричный
с /?! относительно отрезка 2/С, 2/C + i/C'. Прямоугольник R2
отображается снова на
верхнюю полуплоскость, и притом
по построению для всех z^R0
Т,
2К\
W *'
^ л;
-<tz
sn(z + 4K) = snz (3)
*< z4
Z2 R<
1
-4K-
(см. рис. 74; точка zly
симметричная с z относительно
отрезка [К, K + iK'], nepe-
snz ходит в точку sne, а точка
j0. о о , » z2=z+4K, симметричная с zx
-'А ¥_ 0 / 'Л относительно [2K,2K + iKf],
snz —снова в точку snz).
рис 74. Точно так же мы можем
продолжитьфункциюэп в
прямоугольник R'u симметричный с R0 относительно отрезка
[—K + iK\ K + iK'], только это продолжение будет меро-
морфным —в точке 1К', отмеченной звездочкой на рpic. 74,
функция sn имеет полюс первого порядка (см. замечание
после принципа симметрии). Продолженная функция sn
отображает R[ на нижнюю полуплоскость и, по тому же
принципу симметрии, аналитически продолжается в
прямоугольник /?£, симметричный с R[ относительно отрезка
\—K+2iK\ К + 21К'], и этот прямоугольник она
отображает снова на верхнюю полуплоскость. Как и выше, мы
получим, что для всех z^R0
sn(z + 2iK') = snz (4)
(см. рис. 74).
Рассуждая точно таким же образом, мы можем
продолжить эллиптический синус sn на всю плоскость С.
Продолженная функция окажется мероморфнои: в точках

§ 13] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 241
iK' JrAKm-\-2iK,n, где m, лг = 0, ±1, ... — произвольные
целые числа (эти точки отмечены звездочками на рис. 74),
она имеет полюсы первого порядка, а в остальных точках (D
голоморфна. Эта функция обладает также интересным
свойством двоякопериодичности — как видно из соотношений
(3) и (4) и аналогичных им, она имеет два независимых
периода Тг = 4/С и Т2 = 2i7C': для любых целых т, /г = ± 1,
± 2,... справедливо соотношение
sn (г + 4/Ст + 2f/C'/z) = sn z. (5)
Таким образом, функция sn инвариантна относительно
некоторой группы движений плоскости С, т. е. линейных
преобразований вида
z-+z + 4Km + 2iK'n (m, /i = 0, ±1, ...).
Функции, обладающие свойством инвариантности
относительно некоторой
группы
дробно-линейных преобразований,
называются автоморф-
ными функциями.
Красивой теории автоморф-
ных функций посвящена
обширная литература г).
В п. 33 мы
говорили о римановой
поверхности эллиптического
синуса.
б) Модулярная
функция. Рассмотрим
круговой треугольник
Т0 = ABC,
образованный дугами
окружностей, ортогональных к
единичной окружности (рис. 75). По теореме Римана
существует единственное конформное отображение w = \i (г)
этого треугольника на верхнюю полуплоскость,
переводящее точки Л, В и С соответственно в точки до = 0, 1 и оо.
По принципу симметрии функцию [х можно аналитически
1936.
См., например, Л. Р. Форд, Автоморфные функции, ОНТИ,

242 основы геометрической теории [гл. iv
продолжить в треугольники T[k), k=l, 2, 3,
симметричные с Т0 относительно его сторон. Точки, симметричные
вершинам Т0 относительно сторон, противоположных этим
вершинам, также лежат на единичной окружности. (В
самом деле, при инверсии, скажем относительно дуги ВС,
дуга скружности {|г| = 1}, содержащая точку Л,
перейдет в дополнительную дугу этой окружности и образ Ai
точки Л попадет на эту дополнительную дугу.) По
свойствам инверсии (п. 9) стсроны треугольников T[k) снова
будут дугами окружностей, ортогональных единичной
окружности.
Продолженная функция [х конформно отображает каждый
из T[k) на нижнюю полуплоскость так, что стороны
переходят в один из отрезков (0, 1), (1, оо), (—оо, 0). Поэтому
к \л снова можно применить принцип симметрии, и,
следовательно, |я аналитически продолжается в треугольники Tf\
которые получаются из T[k) отражением относительно их
сторон (заштрихованы на рис. 75).
Повторяя описанный процесс аналитического
продолжения неограниченно, мы построим голоморфную в
единичном круге U функцию (л, которая и называется
модулярной функцией. Модулярная функция непродолжаема
аналитически за пределы U, т. е. U является ее областью
голоморфности. В самом деле, на окружности dU = {\z\ = 1}
всюду плотны множества точек, получающихся
отражениями каждой из вершин треугольника Т0; но когда z
стремится по соответствующему треугольнику к точке Апу
получающейся отражениями вершины Л, то \х(г)->0,
а когда z так же стремится к Вп или Сп (получающихся
отражениями В или С), то \x(z) стремится к 1 или оо.
Итак, [г нельзя продолжить в V даже непрерывно.
Из построения ясно также, что модулярная функция [х
не принимает в U трех значений: 0, 1 и оо. Этим свойством
мы воспользуемся в дальнейшем.
Заметим, далее, что четное число отражений относительно
дуг окружностей (инверсий) сводится к дробно-линейному
преобразованию. Дробно-линейные преобразования,
которые получаются четным числом отражений, описанных при
определении модулярной функции, к тому же переводят
окружность dU в себя, т. е. являются автоморфизмами U.
Они, очевидно, составляют группу Л0, которая является
подгруппой группы всех автоморфизмов U.

§ 13] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ И ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 243
Легко видеть, что модулярная функция является
инвариантной относительно преобразований группы Л0 (т. е.
азтоморфной функцией). В самом деле, пустьЛеЛ0 —
произвольное отображение и z e U — произвольная точка;
г принадлежит некоторому треугольнику Т из описанных
выше (точнее, его замыканию в U), и функция (л конформно
отображает его на верхнюю или нижнюю полуплоскость
так, что вершины треугольника переходят в точки 0, 1 и со.
По построению функция \ь отображает треугольник К(Т)
на ту же полуплоскость, причем соответствующие точки
снова переходят в точки 0, 1 и оо, Поэтому (л и [х°Х
конформно отображают Т на одну полуплоскость с
одинаковым соответствием трех граничных точек, и,
следовательно,
li(z)==iioX(z) (6)
(см. п. 37).
Опишем аналитическую функцию, обратную к
модулярной. Для построения этой функции рассмотрим ее ветвь
z = иг1 (до), голоморфную в верхней полуплоскости и
отображающую эту полуплоскость на треугольник Т0. По
принципу симметрии эта ветвь аналитически продолжается
в нижнюю полуплоскость через каждый из (открытых)
отрезков (0, 1), (1, оо) и (—со, 0). Каждую из
продолженных ветвей можно снова продолжить в верхнюю
полуплоскость через любой из этих отрезков. При этом, если
второе продолжение происходит через другой отрезок, чем
первое, то полученная ветвь отличается от начальной (она
отображает верхнюю полуплоскость на один из
треугольников T^k)). Этот процесс продолжения можно вести
неограниченно; он и определяет аналитическую функцию,
обратную к модулярной.
Нетрудно видеть, что аналитическая функция, обратная
к модулярной, бесконечнозначна; точки 0, 1 и со являются
ее логарифмическими точками ветвления. Все значения
этой функции лежат в единичном круге U.
На существовании функции, обратной к модулярной,
основано простое доказательство следующей теоремы,
которая представляет собой далеко идущее обобщение
основного свойства многочленов.
Теорема 1 (Пикар). Любая целая функция,
отличная от постоянной, принимает все (конечные) комплексные
значения, за исключением, быть может, одного.

244 основы геометрической теории [гл iv
А Пусть целая функция / не принимает двух
различных значений a, 6g(D. Функция
/ \ f(z) — a
g (г) = '-г2 ■
также целая и не принимает значений 0 и 1. В окрестности
произвольной точки г0 е С голоморфна функция ср = fi~log,
где [дг1 —какая-либо ветвь функции, обратной к
модулярной, голоморфная в окрестности точки w0 = g(z0). Так как
функция g не принимает значений 0, 1 и оо — особых для
аналитической функции [лг1, то функция ф продолжаема
вдоль любого пути ус: С. Так как С односвязна, то по
теореме о монодромии (п. 29) функция ср однозначна и
голоморфна в С, т. е. является целой функцией. Но все
значения рт1 лежат в единичном круге, следовательно, ср
ограничена и, по теореме Лиувилля (п. 21), постоянна.
Но тогда и g, а следовательно и /, постоянна ►
Целая функция—это мероморфная (в С) функция, не
принимающая значения со. Теорема Пикара обобщается
и на произвольные мероморфные функции:
Теорема 2 (Пикар). Любая мероморфная в С функция,
отличная от постоянной, принимает все комплексные
значения аз С, за исключением, быть может, двух.
А Пусть / — мероморфная функция, не принимающая
трех различных значений а, Ъ, сеС. Эти значения можно
считать конечными, ибо если бы какое-либо из них было
бесконечным, то f была бы целой функцией, не
принимающей двух значений, т. е., по теореме 1, постоянной.
Рассмотрим функцию
она, очевидно, целая (ибо }фс) и не принимает значений
—^- и т-——. ^° теоРеме 1 функция g постоянна, но тогда
и f постоянна ►
Замечание. Целая функция егфО, мероморфная
функция tgz=7L±i, следовательно, теоремы Пикара не могут
быть усилены в отношении числа непринимаемых значений
(такие значения называются пикаровскими исключительными
значениями).

8АДАЧИ 245
Можно доказать, что свойство мероморфных функций
принимать все значения, за исключением, быть может,
двух, на самом деле является локальным свойством их
поведения в бесконечности. Имеет место так называемая
большая теорема Пикара, по которой любая функция
в любой сколь угодно малой окрестности предельной точки
ее полюсов принимает все значения, за исключением, быть
может, двух. Точно так же в любой окрестности
существенно особой точки любая функция принимает все конечные
значения, за исключением, быть может, одного. В этой
формулировке большая теорема Пикара является
существенным усилением теоремы Сохоцкого1).
ЗАДАЧИ
1. Докажите следующее обобщение принципа аргумента: если
функция/мероморфна в замкнутой области D, ограниченной конечным
числом непрерывных кривых, причем на 3D нет ни нулей, ни
полюсов /, то для любой функции ф, голоморфной в D,
I m
dD k=l k = l
где первая сумма распространяется на все нули, а вторая —на все
полюсы функции / в D. При ф=1 получаем принцип аргумента.
[Указание: примените к интегралу в левой части теорему Коши
о вычетах.]
2. Пусть / (г) мероморфна в единичном круге U и непрерывна
в окрестности 3U. Доказать, что для любого числа А такого, что
|Л|>тах[/|, число Л-точек в круге U равно числу полюсов.
ди _
3. Пусть / (г) непрерывна всюду на С и голоморфна вне
некоторого компакта К с: С. Доказать, что f (К) гэ / ( С\Д). [Указание:
пусть г0еС\/С и /=И=/ (г0) на К\ тогда нужно рассмотреть функцию
g(z) — LLl—I °' t доказать, что она имеет конечное число нулей,
г — го
устранить их и применить принцип аргумента для непрерывных
функций.]
4. а) Найти радиус сходимости ряда (10) из примера в п. 35,
который обращает целую функцию w = ze~az в окрестности точки w — 0.
б) Объяснить, почему этот ряд имеет конечный радиус сходимости.
в) Вывести из б) асимптотическую формулу для п\
!) Доказательство большой теоремы Пикара (для голоморфных
функций) можно найти в книге А. И. Маркушевича, цит. на стр. 229;
см. также п. 54 второй части этой книги.

246 ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
5. Пусть flt ..., fn голоморфны в замкнутой области D. Доказать,
что функция ф(г) = | /i(z) | + ... + |М2) | достигает максимума на ее
границе dD.
6. Пусть D — полоса |—=- < Im г <-«-} в С. Покажите, что целая
функция e?z ограничена на границе области D в С, но не
ограничена в D. Однако всякая ограниченная в D голоморфная функция /
по модулю не превосходит
sup | / (аг) |.
dD
7. Пусть /(г) —голоморфная функция в единичном круге Uтакая,
что /(0)=1 и |/(z)|<M в (/. Покажите, что в круге |lzl^-irf
выполняется неравенство | / (?) — 1 | ^ М - | г |.
8. Докажите, что на поверхности модуля голоморфной функции
/^ const внутри всякой замкнутой линии уровня {|/| = с} число
минимумов на единицу больше числа точек перевала.
9. Докажите, что всякое голоморфное отображение замкнутого
круга U в себя имеет неподвижную точку. Приведите пример такого
отображения, все неподвижные точки которого находятся на границе
круга U. _
10. Если / голоморфна в единичном круге U, непрерывна в (/ и
|f (z) | = 1 для всех z&dU, то / — рациональная функция.
11. Пусть / голоморфна в единичном круге U, непрерывна в U и
ее граничные значения являются в то же время граничными
значениями функции, антиголоморфной в U. Доказать, что тогда
/—рациональная функция.
12. (Н. Г. Чеботарев). Пусть /(г) голоморфна в верхней
полуплоскости V = {lmz>0}, непрерывна в Vf|C и f(V)czV, a
/(iR)czR. Доказать, что в этих условиях f —линейная функция.
[Указание: по принципу симметрии / — целая; докажите, что она
возрастает на оси х, затем рассмотрите функцию g(z)= ' ' , где
Z — Х0
х0 — единственный нуль /, и докажите, что lng = const.]
13. Пусть /(z) голоморфна в круге U и постоянна по модулю
на его границе dU. Докажите, что arg/ при обходе dU меняется
монотонно.
14. Пусть функции /v в круге U голоморфны, отличны от нуля
и все по модулю меньше единицы. Тогда, если fv (0) -» 0, то fv(z) ~» 0
равномерно во всяком внутреннем круге.
15. Докажите, что любой конформный изоморфизм кольца {гх <
<|z|<r2} на кольцо {Pi < | ш | <р2} линеен. [Указание: при-
мените принцип симметрии.]
16. Докажите, что любой конформный изоморфизм прямоугольника
на прямоугольник, переводящий все 4 вершины в вершины, линеен.
17. Приведите пример голоморфного (но, конечно, неоднолистного)
отображения кругового кольца на круг и пример такого же
отображения круга на кольцо.

ЗАДАЧИ
247
18. Пусть для функции f:_C -» С множество прообразов {z: f (z) =
= w0} для любой точки ш0еС дискретно, т. е. не имеет предельных
точек в С. Докажите, что такая функция не может быть более чем
двоякопериодической, т. е. существуют периоды сох и со2 такие, что
любой период f имеет вид co = /i1co1-f-n2co2» гДе ^i и Щ — целые числа.
19. Проверьте, что функция o> = sn(z, k) взаимно однозначно
(и конформно) отображает прямоугольник {—2/f < Re z < 2/С, — /f'<
<Imz</('} с отождествленными противоположными сторонами на
поверхность, которая получится, если взять два экземпляра
плоскости w с разрезами по отрезкам (— 1//г, — 1), (1, \jk) и склеить
берега разрезов крест-накрест.
20. Доказать, что тождество gM2)_|_eM2) = ^ где ^ и д., —целые
функции, невозможно, если fx и f2 не постоянны.
21. Доказать, что если три целые функции fj удовлетворяют
тождеству е^+^8 + ^8 = 0, то по крайней мере одна из разностей
fj — fkf \ФЬ>* постоянна. (Эго утверждение верно и для любого числа
целых функций; оно известно как теорема Бореля.)
22. Доказать, что целая функция f(z)~zez не имеет пикаровских
исключительных значений.

Глава V
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В этой последней главе мы рассмотрим основные
понятия и методы, которыми часто пользуются в анализе и
в прикладных задачах для изучения свойств функций и
их приближенного вычисления.
§ 14. Разложения целых и мероморфных функций
43. Теорема Миттаг-Леффлера. В п. 25 было доказано,
что любая рациональная функция разлагается на сумму
некоторого многочлена (своей главной части в
бесконечности) и главных частей в конечных особых точках. Здесь
мы хотим получить аналогичное разложение для
произвольных мероморфных функций. Через ап (я =1,2, ...) мы
будем обозначать полюсы1) мероморфной функции f, а через
*»<*> = 2 (т=ё* (1)
v = l
главную часть ее лорановского разложения в полюсе ан.
Если мероморфная функция / имеет лишь конечное
число полюсов, то, вычитая из f сумму ее главных частей
в этих полюсах, мы получим, очевидно, целую функцию /г.
В этом случае поставленная задача решается тривиально:
функция / разлагается в сумму целой функции h и своих
главных частей. Таким образом, представляет интерес
лишь случай бесконечного числа полюсов. Здесь вместо
конечной суммы мы имеем ряд из главных частей, и
возникает вопрос о его сходимости. Этот ряд, вообще
х) Напомним, что мероморфная функция не может иметь более
чем счетное множество полюсов: в каждом круге {|z|</V}, N = \,
2, ..., полюсов лишь конечное число, ибо в противном случае
существовала бы их конечная предельная точка, которая была бы
неизолированной особой точкой, а не полюсом.

§ 14] РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ II МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ 249
говоря, расходится, и для получения сходящегося ряда
к главным частям приходится вводить поправки, которые,
как мы увидим, можно брать в виде многочленов —
отрезков тейлоровских разложений главных частей.
Переходя к точным формулировкам и доказательствам,
прежде всего условимся, что понимать под сходимостью
ряда из мероморфных функций, которые могут обращаться
в бесконечность в некоторых точках.
Определение. Ряд из мероморфных функций
называется сходящимся (соотв. равномерно сходящимся) на
множестве М, если лишь конечное число его членов имеет
полюсы на М и после удаления этих членов ряд сходится
(соотв. равномерно сходится) на М.
Задачу о разложении решает следующая теорема
существования мероморфной функции с заданными
полюсами и главными частями:
Теорема 1 (Миттаг-Леффлер). Каковы бы ни
были последовательность точек a„gC, lim an = oo и после-
Я->00
довательность функций gn вида (1), существует мероморф-
ная функция f, которая имеет полюсы во всех точках ап
и только этих точках, причем главная часть f в каждом
полюсе ап совпадает с gn.
«« Без ограничения общности можно считать, что ап Ф
фО (ибо вместо / можно рассматривать функцию f — g0,
где g0— главная часть f в точке г = 0) и что точки ап
занумерованы в порядке неубывающих модулей: | ап | ^
^|e*+il (я=1, 2, ...). Фиксируем число q, 0<^<1, и
обозначим Кп= {*'- I ^ I < QI я»!}- Так как функция gn
голоморфна в круге {| z | <С | ап \} и Кп компактно принадлежит
этому кругу, то gn можно в Кп равномерно приблизить
полиномом Тейлора т
степень тп мы выберем так, чтобы для всех г^Кп было
\gn®-Pn(z)\<ii (/1=1,2,...). (3)
При таком выборе Рп ряд
оо
2 (gn~Pn)=f

250 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
сходится равномерно на любом компакте К из С в смысле
определения 1. В самом деле, для любого К найдется
номер N такой, что KczKn Для всех n^N\ члены ряда
fN= 2 ign-Pn) (4)
n = N
голоморфны на /С, ив силу (3) этот ряд мажорируется
на К сходящейся геометрической прогрессией.
Следовательно, ряд (4) сходится на К равномерно и его сумма
/тупо теореме Вейерштрасса (п. 23) голоморфна в Kn-
Функция / отличается от fN на рациональную функ-
N — 1
цию 2 (Sn — Pn) с полюсами ап и главными частями gn
(п= 1, ..., N — 1) и, следовательно, имеет в К заданные
полюсы и главные части. Так как К — произвольный
компакт, то / мероморфна и имеет в С заданные полюсы и
главные части ►
Следствие. Любую мероморфную функцию f можно
разложить в ряд оо
/ = А+Е fe.-'P»). (5)
равномерно сходящийся на любом компакте, где h —целая
функция, gn —главные части f и Рп —некоторые полиномы.
< Занумеруем полюсы f в порядке неубывающих
модулей (точку г = 0 можно считать правильной, если вместо
/ рассмотреть функцию f — g0, где ^ — главная часть /
в этой точке) и по теореме 1 построим ряд
00
/о =2 ign-Pn),
л = 1
равномерно сходящийся на любом компакте. Функция
/ — fo — h, очевидно, целая ►
Примеры. 1. Мероморфная функция . имеет полюсы
второго порядка в точках ап = пл (/г = 0, ± 1,...), причем ее главная
часть в полюсе ап равна gn = ^. Ряд из главных частей
М*)= 2
1
(z — /гя)а •
п=— оо

§ 14] РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ И МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 251
сходится равномерно на любом компакте (в смысле определения 1),
ибо в любом круге {|z|<C^} мажорируется сходящимся рядом
/ т 5Т2- Поэтому поправочные многочлены Рп в разложении (5)
ЛшА {птс — Ц)
не нужны, и остается найти целую функцию
оо
(z — пп)2'
Эта функция периодическая с периодом я, поэтому ее достаточно
изучить в полосе {0<Rez^ji}. В этой полосе | г — пп | ^п (п — 1)
для я=1, 2, ..., следовательно,
m со
IM*)!*£f7^r+ 2i |г-пя|2 + 2 Zi (n-lfn*
п = —m n^ m-{- 1
стремится к 0 при г->оов этой полосе. Так как | sin2z| = sin2* + sh2#
при этом стремится к бесконечности, то и h (г) стремится к нулю
при z -> оо, 0 < Re z^ п. Поэтому h ограничена в полосе, а в силу
периодичности и в С; по теореме Лиувилля h постоянна и,
следовательно, равна нулю. Таким образом, разложение Миттаг-Леффлера
имеет вид ^
sin2z Ai (z —ял)2' '
/? =— оо
2. Мероморфная функция ctgz имеет простые полюсы в тех же
точках ап = пп (я = 0, ±. 1,...) с главными частями gn — . Ряд
п v ' 6П z — nn
из главных частей расходится, но легко видеть, что можно взять
поправочные многочлены нулевой степени: ряд
оо оо
У (—+-4= У
А^ \г— пп пп) jLd
(z — nn) пп
(штрих у суммы означает, что при суммировании выпускается индекс
/1 = 0) сходится равномерно на каждом компакте. Остается найти
целую функцию h в разложении (5), что можно сделать так же, как
в предыдущем примере; мы убедимся, что h = 0.
Проще, однако, проинтегрировать -г-^ ^ по любому пути,
соединяющему точки z=0 и z и не проходящему через полюсы апФ0.
Пользуясь формулой (6), мы получим нужное разложение
Миттаг-Леффлера
Z jLd \Z — ПП ПП] '
п=—оо
(почленное интегрирование (6) законно в силу равномерной
сходимости).

252
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Теорема Миттаг-Леффлера и ее следствие являются
теоремами существования и не дают информации о том,
как фактически выбирать многочлены Рп и целую
функцию к. Для практических целей полезнее не столь общая,
но более конструктивная теорема, при доказательстве
которой используется метод Коши улучшения сходимости.
Теорема 2. Если на некоторой системе окружностей
уп = {| г | = гп}, гх < г2 <С..., гп->- со, мероморфная
функция f растет не быстрее, чем гт, т. е. существует
постоянная А такая, что для всех г е уп (п — 1, 2, ...)
|/(г)|<Д|г|» (8)
то в разложении (5) в качестве Рп и h можно принять
многочлены степени не выше т.
< Фиксируем любую точку геС, отличную от
полюсов /, и предположим, что yN содержит г внутри. Функ-
f (£)
ция F (Q =у^- внутри yN голоморфна всюду, кроме точки
£ = z и полюсов функции /. Вычет ее в точке z равен
/(г), сумму вычетов в полюсах /, лежащих внутри улг»
обозначим через s.
Для подсчета s заметим, что в каждом таком полюсе
вычет функции F совпадает с вычетом функции FN (£) =
= Л_ , где Флг(0= 2 8п(£) означает сумму всех
главен)
ных частей / в полюсах, лежащих внутри yN. Функция FN
рациональна и кроме упомянутых полюсов она имеет полюс
в точке £ = z с вычетом фту(г), а ее вычет в бесконечности
равен нулю, ибо FN имеет там нуль не ниже второго
порядка1). По теореме о полной сумме вычетов (п. 26)
сумма всех вычетов функции FNy т. е. 5 + Флг(г) = 0,
откуда s = — ФлФ)-— 2 #«(*)•
Применяя к F теорему Коши о вычетах, найдэм
SE? 5^« = /(г)-2«Гп(г). (9)
Если бы интеграл в левой части стремился к нулю
при #->оо, то сходился бы ряд из главных частей / и
) Если, конечно, внутри yN есть хотя бы один полюс /»

§ 14] РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ И МЕРОМОРФИЫХ ФУНКЦИЙ 253
поправки на сходимость были бы ненужными. Однако
у нас этого, вообще говоря, нет, и для получения
стремящегося к нулю интеграла нужно под знаком интеграла
вычесть из о—^ начальные члены ее лорановского
разломе
жения в бесконечности, т. е. сумму членов вида -^. Это
удобно сделать так: положим г = 0 в равенстве (9) и тех
равенствах, которые получаются из него последовательным
дифференцированием по г (мы считаем, что z = О —
правильная точка /); получим
1 С /(О 1Г flk)W X ^)(0) iu п 1 ч
^ (М
Умножим это равенство на гк и затем вычтем сумму
полученных равенств из (9):
= /(г)-А(г)-2 {*„(*)-М*)Ь (10)
Ы
где
Наша цель достигнута; в самом деле, оценим левую часть
(10), т. е. величину
(мы просуммировали геометрическую прогрессию под
знаком интеграла). Пользуясь неравенствами (8), получаем
оценку
, _ , л I г \m+l
из которой видно, что RN(z)-+0 при N-+co и притом
равномерно на любом компакте ►

254 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ V
Пример. Нетрудно видеть, что ctgz ограничен на
окружностях U z\=n( n + -iy)\, л = 0, 1,..., поэтому к функции / (г) = ctg z ■
применима теорема 2, в которой можно положить т = 0. Мы снова
получаем разложение (7).
В заключение приведем обобщение теоремы Миттаг-Леф-
флера на случай произвольной области D а (D. Без
ограничения общности будем считать, что D содержит
бесконечную точку (этого можно достичь дробно-линейным
преобразованием) и что дБФфу т. е. что D^=(D (в этом
случае теорема тривиальна).
Теорема 3. Каковы бы ни были последовательность
точек an^D, не имеющая предельных точек eD, и
последовательность функций gn вида (1), существует мероморф-
ная в D функция /, которая имеет полюсы во всех точках
ап, и только в них, причем главная часть f в каждом
полюсе ап совпадает с gn.
А В случае конечного числа точек ап теорема
тривиальна, поэтому последовательность ап нужно считать
бесконечной. Для каждой ап найдем точку ап е dD,
ближайшую к ап (такая точка существует, ибо непрерывная
функция р(£) = |£ — ап\ достигает минимума на компакте
dD); очевидно, гп = \ап — ап\ ->0 при л->оо. Для всех
z ^ {\z — an\>rn\ величину (z — an)~l можно разложить
в сходящуюся геометрическую прогрессию
оо
1 1 V ifln-O-nf
— <*/i— («я —«я) " ** (2 —ая
z—ап z-an—(an-an) jU (z^an)k^
k = oy
откуда видно, что при |г — ап\^2гп функцию (г—ап)-г,
а значит, и gn (z) можно с любой степенью точности
приблизить многочленом от переменного (г — а„)-1. Мы
подберем многочлены Pn\z ) = Qn(z) так» чтобы при
\z ая /
j 2 — ая | ^ 2гя выполнялись неравенства
\gn(z)-Qn(z)\<-~, я=1, 2, ... (11)
(здесь Qn — рациональные функции, голоморфные в D).
При сделанном выборе Qn ряд,
f=Z(gn~Qn) (12)
П=1

§ 14] РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ И МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИИ 255
сходится равномерно (в смысле определения 1) на каждом
KeD. В самом деле, для любого такого К найдется
число N такое, что |г — ап\^2гп для всех n^N и всех
г е К. Ряд из голоморфных на К функций
оо
/*=2 (gn-Qn)
n = N
мажорируется на К сходящейся геометрической
прогрессией, и поэтому функция fN голоморфна на /С. Функция /
N-1
отличается от fN на рациональную функцию 2 (gn — Qn),
которая в D имеет лишь полюсы ап с главными частями
gn (п= 1, ..., N — 1)х). Так как /( — произвольный компакт
из D, то / удовлетворяет условиям теоремы ►
Замечание. Пусть дана произвольная
последовательность точек адеС и соответствующих функций gn
вида (1) (если некоторое ап = оо, то соответствующая
функция gn является многочленом относительно г без
свободного члена). Пусть £ —множество всех предельных точек
последовательности ап (это множество, как легко видеть,
замкнуто). Если в доказательстве теоремы 3 выбирать
в качестве ап точку Ш, ближайшую к апу то ряд (12)
определит функцию /, мероморфную в дополнении к Ш (которое
является открытым множеством и, следовательно, состоит
из не более чем счетного множества областей).
44. Теорема Вейерштрасса. Здесь мы рассмотрим
разложения целых функций на линейные множители,
соответствующие их нулям, аналогичные такому же
разложению многочленов:
/ z
Р(г)=аг»Ц(г-ая) = Лг»Ц(1-^) (1)
(через ап мы обозначаем корни многочлена, отличные от
нуля; каждый повторяется столько раз, какова его
кратность; через т обозначена кратность корня г = 0).
Целые функции в общем случае имеют бесконечное
(счетное) множество нулей, и мы приходим к необходимо-
L) Точки ап> в которых эта рациональная функция также имеет
полюсы, не принадлежат D.

256 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
сти вместо конечного произведения (1) рассматривать
бесконечные произведения. Напомним определения и
простейшие факты, относящиеся к таким произведениям.
Бесконечное произведение с комплексными членами
оо
ПО+'Л (2)
п=\
называется сходящимся, если все его множители отличны
п
от нуля и частичные произведения Un= JJ {l-\-ck) имеют
предел П= lim П„, также отличный от нуля1); число П
Л-+00
называется величиной произведения (2).
Так как 1+сп= и п , то условие сп->0 является не-
обходимым для сходимости произведения (2); оно, конечно,
оо
недостаточно: пример I I (Н—)■ Для сходимости
ПРОНЗЯТ
ведения (2) необходима и достаточна сходимость ряда
i>(i+c„) (3)
гг = 1
при надлежащем выборе значений логарифмов. В самом
деле, пусть ряд (3) сходится, т. е. частичные суммы 2Л =
п
= 2 1п(1+сл) сходятся к конечному пределу 2; тогда
частичные произведения Ип = е*п стремятся к пределу
и = е*фО, т. е. (2) сходится. Пусть сходится (2), т. е.
существует lim ПЛ = П =^=0; выберем значения логариф-
мов 1пП„ так, чтобы 1пП/г~>1пП, а затем положим
In (1 +с1) = 1пП1, значение 1п(1+с2) подберем так, чтобы
In (1 -j-c^ + ln (1 + с2) = 1пП2 и т. д. (считая выбранными
значения 1п(1+сА) для А=1, ..., п— 1, мы подбираем
п
1п(1+с„) так, чтобы 2 1п(1+с/г) = 1пП„). При таком
г) Условие П^О вводится для сохранения свойства произведем
ний обращаться в нуль, лишь когда один из множителей р авен нулю.

§ 14] РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ И МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 257
выборе значений логарифмов 2„ = 1пП„-> In П, т. е. ряд
(3) сходится.
Наконец, бесконечное произведение, множителями
которого служат функции, голоморфные на множестве М,
мы будем называть сходящимся на этом множестве, если
среди множителей есть лишь конечное число
обращающихся на М в нуль и после вычеркивания таких
множителей произведение оказывается сходящимся в каждой
точке М.
Основной для дальнейшего является следующая
теорема существования целых функций с заданными
нулями:
Теорема 1 (К. Вейерштрасс). Какова бы ни была
последовательность точек ап <= (D, И m an = oo, существует
п-юэ
целая функция f, которая имеет нули во всех точках ап
и только этих точках, причем порядок нуля f в точке ап
таков, сколько членов, равных ап, имеет данная
последовательность.
< Без ограничения общности можно считать, что апФ§
f (z)
(ибо вместо f можно рассматривать целую функцию '-—,
где т — порядок нуля f в точке г = 0) и что точки ап
занумерованы в порядке неубывающих модулей. Подберем
натуральные числа рп так, чтобы ряд
абсолютно и равномерно сходился в любом круге {|z|^#};
для этого достаточно, например, положить рп-\- 1 = /г
(примените критерий Коши и воспользуйтесь тем, что ал->оо).
При таком выборе рп бесконечное произведение
00 JL-lI/JLVj- A.±fJL\pn
Пг)=11[1-£-Уя p*w (5)
«=з1
сходится на любом компакте К из С Для доказательства
рассмотрим функцию
grff, р) = (1-0вС+»+ +"
9 Б. В. Шабат, ч. I

258 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
и заметим, что ее логарифм
р р + 1 р + 2 •'•
при | £ | ^ q < 1 допускает оценку
|1п«(С, Р)К1СГ1(1 + 1С1 + --)<1^-. (6)
Если теперь обозначить Кп = {\ г | ^ q \ ап |}, то для
любого /C<sC найдется номер N такой, что KczKn для
всех n^N. Для всех таких п в силу (6)
, (г \\ \ \ 9 1^/г+1
1-9
и, следовательно, ряд
2 М^*
n = N
на К мажорируется равномерно сходящимся рядом (4),
т. е. представляет голоморфную на К функцию gtf(z).
Поэтому произведение
ДыЮ
n=N
сходится и представляет голоморфную и отличную от нуля
функцию на /С. Произведение (5) отличается от fN
МНОЖИМА
телем II g(£-, Pn), который обращается в нуль в точ-
ках аъ ..., адг-i и только в этих точках.
Так как К — произвольный компакт, то/ —целая
функция и имеет заданные нули ►
Следствие. Любую целую функцию f можно
разложить в бесконечное произведение, соответствующее ее нулям:
/(г) = гдае*<*>Д(1-^)ев« '" pn\aJ , (7)
/г = 1
где т —порядок нуля f в точке z = 0, g —некоторая целая
функция и числа рп выбраны так, чтобы сходился ряд (4).
< Будем считать т = 0 (для чего достаточно вместо /
рассмотреть функцию ЩЛ и расположим нули/ в порядке

§ 14] РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ И МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 259
неубывающих модулей, повторив каждый нуль столько
раз, какова его кратность. По этим нулям построим по
теореме 1 целую функцию
СО 2 , 1 / 2 \РП
fcw-nO-sK M ■
Отношение ~ является, очевидно, целой функцией без
/о
нулей, поэтому функция g (z) — In уут- неограниченно
продолжаема в С и по теореме о монодромии (п. 29) является
целой функцией. Таким образом, f = egf0 ►
Примеры:
1. Целая функция имеет простые нули в точках ап — пп
(п = ±1, ±2, ...). Так как ряд У1 —) сходится равномерно на
любом компакте, то можно положить все рл=1, и разложение Вейер-
штрасса примет вид
со 2
Ч1-"" 1Г('-=)'=.
п = —оо
где g—некоторая целая функция (штрих у произведения означает,
что нужно пропустить индекс п = 0). Остается найти g, а это проще
, 1
всего сделать, проинтегрировав разложение ctg г , полученное
в предыдущем пункте. Мы найдем, что g=0, и разложение примет
окончательный вид
sin г
г
П'('-=Р-П('-») «
П=1
(при переходе ко второй форме разложения мы объединили
множители с индексами пи — п, что законно в силу абсолютной
сходимости соответствующего ряда).
« тт , sin У г п п
2. Целая функция —-^г- имеет простые нули в точках ал = п2я2
У г
(п=\, 2, ...). Очевидно, можно положить все рп = 0, и разложение
Вейерштрасса примет вид
^Л = еёш
Ш1-^)- (9>
Целая функция g = 0, в чем проще всего убедиться, подставив У г
вместо z во второе разложение (8).

260
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Приведем теперь обобщение теоремы Вейерштрасса на
случай произвольной области D. Без ограничения
общности считаем, что D содержит бесконечную точку и что
граница дБфф.
Теорема 2. Какова бы ни была последовательность
точек an^D, не имеющая предельных точек вD,
существует голоморфная в D функция /, которая имеет нули во
всех точках ап и только в этих точках1),
<« Последовательность ап считаем бесконечной. Для
каждой точки ап найдем точку ал<=д£), ближайшую к ап\
величина rn = \ an — an | ->0 при п->-со. Для всех г^
<= {| г — ап | > гп] справедливо разложение
t an-an\ у (an — an)k
z-an \ г — ап/ ^k(z — an)k
а при \г — ап\>2гп оно сходится равномерно по г.
Поэтому при |г — ап\>2гп можно выбрать
натуральное число рп так, чтобы было
In
<L (/г=1,2, ...). (10)
При таком выборе рп бесконечное произведение
п= 1
сходится на каждом K^D. В самом деле, для любого
такого К найдется число /V такое, что \z — ап \ >2гп для
всех n^N и всех z e К. Ряд из голоморфных на К
функций
х) Порядок нуля / в точке ал таков, сколько членов, равных ап,
имеет данная последовательность.

§ 14] РАЗЛОЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ И МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ 261
в силу 40) сходится на К равномерно, следовательно,
gN голоморфна на /С, а произведение
г-
голоморфно и не обращается в нуль на К. Поэтому и
функция /, определяемая произведением (11), голоморфна
на К и обращается на К в нуль лишь в точках ап <= К.
Так как К — произвольный компакт из D, то /
удовлетворяет условиям теоремы ►
Замечание. Если предположить, что область D
содержит точку z = 0, которая не является нулем искомой
функции /, то формуле (11) можно придать несколько
иной вид. Заменим в правой части (11) z на —, ап на —
1
и ап на —; получим
/to = Ц —^t\e X n/ • (12)
В частности, если D = (D, то надо положить все ал = оо,
и тогда (12) перейдет в формулу Вейерштрасса (5).
Мы закончим параграф двумя важными следствиями
теоремы Вейерштрасса. Первое из них выражает связь
между мероморфными и голоморфными функциями. Именно,
мероморфная в области D функция / в окрестности каждой
точки a^D представляется как отношение двух
голоморфных в этой окрестности функций: /(2)==^L7^ ^в окРест"
ности правильной точки можно принять i|5a(z)srl,
а в окрестности полюса г|за(г) = (г —а)р, где р — порядок
полюса). Оказывается, что можно построить и глобальное
представление такого рода, действующее во всей областиD.
Теорема 3. Любую функцию /, мероморфную в
области D, можно представить как отношение двух
голоморфных в D функций (в частностиу если D = (D, как
отношение двух целых функций).

262
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
< Множество полюсов мероморфной в области D
функции не может иметь предельных точек в этой области
(отсюда следует, что оно не более чем счетно). Пусть ап —
последовательность полюсов / в D, причем каждый член
повторяется в ней столько раз, какова кратность полюса.
По теореме 2 построим голоморфную в D функцию г|з,
которая имеет нули во всех точках ап и только этих
точках. Произведение / • яр = ф, очевидно, голоморфно в D
(каждый полюс погашается нулем ty соответствующего
порядка), поэтому f = ~— нужное представление ►
яр
Замечание. Очевидно, что и, обратно, отношение
голоморфных в области D функций является мероморфной
в D функцией. Поэтому эквивалентны следующие два
определения:
1) функция называется мероморфной в D, если она не
имеет в D других особых точек, кроме полюсов;
2) функция называется мероморфной в D, если она
представима как отношение функций, голоморфных в D.
Второе следствие теоремы 2 выражает результат,
объявленный в п. 27. Мы назвали там область D областью
голоморфности функции /, если f голоморфна в D и не
продолжается аналитически ни через одну точку
границы 3D.
Теорема 4. Любая область D a (D является областью
голоморфности некоторой функции.
-«Построим последовательность точек an^D так,
чтобы она не имела предельных точек bD, но чтобы
каждая точка 3D была предельной точкой этой
последовательности1). По теореме 2 строим голоморфную в D
функцию /, имеющую точки ап и только эти точки своими
нулями (и, следовательно, не тождественно равную нулю).
Функцию / нельзя аналитически продолжить ни через
одну точку 3D, ибо если бы было возможно такое
продолжение в точку ocedD, то а была бы внутренней
точкой области голоморфности функции f, а так как а —
предельная точка нулей /, то по теореме единственности
тогда fs=0 ►
х) Доказательство существования такой последовательности
предоставляется читателю.

§ 15] РОСТ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 263
§ 15. Рост целых функций
45. Порядок и тип целой функции. Пусть дана целая
функция /; обозначим
Mf(r)=max\f(z)\. (1)
\z\ = r
По принципу максимума Mf(r) есть также max|/(z)|
в круге {| г | <;/•}, следовательно, /^(/^ — возрастающая
функция. Если по некоторой последовательности rk-+oo
величина Mf (r) растет не быстрее какой-либо степени /-,
скажем, Mf (rk) ^ Л/-/Г, где А = const и т ^ 1 — целое
число, то / — полином степени <;т. Это следует из
неравенств Коши для коэффициентов разложения / (г) = £ спгп\
имеем ., , .
откуда, устремляя k к со, находим, что сп = 0 при п> т.
Если отбросить этот случай как тривиальный, то для
оценки скорости роста Mf(r) надо взять функции,
растущие быстрее любой степени г. Понятие порядка возникает
при сравнении Mf(r) с функциями ег1Х.
Определение 1. Порядком целой функции f
называют нижнюю грань р чисел \х таких, что Mf (/*) <егД для
всех г, начиная с некоторого г0 = г0 (|ы). Если таких чисел
jli нет, то полагают р = оо и / называют функцией
бесконечного порядка.
Этому определению можно придать более удобную
форму. По определению нижней грани для любого е>0
существует г0 (е) и последовательность rk / oo такие, что
Mf(r)<e^+e для г>г0(е)
и
гР-е
Mf(rk)>e k для 6=1, 2, ...
Логарифмируя два раза эти неравенства, найдем
In In Mf (r)
^-r— <р + е для г>/о(е)
и
In In Mf (rk)
j^ >p-8 ДЛЯ £=1, 2, .,.

264
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Построим такие последовательности r{kn) для е = — и
выберем диагональную последовательность гп = г%)ш, для
In In Mf (rn)
нее ; у о, и, следовательно,
in гд *
— In In Mf (r)
P=lim m/ - (2)
Пример. Порядки целых функций ezTlt sin 2, cos Vz и eeZ
равны, соответственно, я, 1, -д- и оо.
Для сравнения скорости роста целых функций одного
порядка вводят понятие типа.
Определение 2. Типом целой функции f порядка р
называют нижнюю грань а чисел v таких, что Mf (г) <evrP,
начиная с некоторого r0 = r0(v). Если таких чисел нет,
полагают а = оо и f называют функцией максимального
типа; при 0<а<со говорят, что / среднего типа, a при
а = 0 — минимального типа.
Повторяя рассуждения, проведенные выше для порядка,
можно получить формулу для типа
— In Mf (г)
a^hm—l~. (3)
Порядок и тип целой функции можно выразить также
через коэффициенты ее тейлоровского разложения
!(г)=%спгп. (4)
Заметим, что для целых функций и только для них
уТ^л"!"*^ пРи ^->-сю (формула Коши —Адамара из п. 20).
Нам понадобятся две леммы; для сокращения
формулировок условимся говорить, что фх асимптотически меньше
ф2 и писать фх (г) <ф2 (/•)• если существует число г0 такое,
as
что это неравенство справедливо для всех г^г0\ такое
же сокращение примем для функций целого аргумента.
Лемма 1. Если для целой функции f
Mf(r)<e^, (5)

§ 15] РОСТ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 265
то для коэффициентов ее тейлоровского разложения
M<(ff. (6,
< Из неравенств Коши и (5)
|с„|<^=^1-'""'; (7)
аз '
для получения наилучшей оценки возьмем минимум
правой части по г. Производная логарифма правой части
равна 0 при r = (—f — эта единственная критическая
точка, очевидно, и есть точка минимума, причем при
больших п она попадает в область действия асимптотического
неравенства (5). Подставляя это значение г в правую
часть (7), получим (6) ►
Следующая лемма почти обратна к первой.
Лемма 2. Если для коэффициентов тейлоровского
разложения (4) функции f
то f — целая и для любого е > О
Mf{r)<e{v+e)rlx.
4 Функция/ — целая, ибо из (6) следует, что у\сп\-*0
при п-+оо. Далее, если \г\ = г, то
1^1<(?):'-(ат1):
Величина справа меньше ^, если ^-<2jr, т. е. я>
>2Н\мг]>'\ если обозначить N = Е (2^е\\,чг^) (Е — целая
часть), то будем, следовательно, иметь
N N
Обозначим через m (/*) = max | с„ | гп максимальный член

266 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
разложения (4) при |г| = г, максимум всегда достигается,
ибо |сл|/*"->• 0 при /г-^-оо и фиксированном г. Из
предыдущего неравенства получим тогда
Mf (/•) < (%le\ivrv + 1) т (г) + 2~N. (8)
as
Отсюда видно, что т(г)-+оо быстрее любой степени,
значит, номер максимального члена стремится к
бесконечности при г->оо и при больших г мы можем
воспользоваться асимптотической оценкой (6):
V as п \ п 1
Вычислим этот максимум; обозначив <р (п) = — In e^vr ,
найдем, что <р' (/г) = 0 при /г == jliv/-^, это —точка максимума
и, следовательно, m(r)<:evrlx. Подставляя это в (8), най-
as
дем, что
Mf (г) < (2^vr^ + 2) eVrli < e(v+8) ^
as as
при любом е>0 ►
Теорема 1. Для любой целой функции f(z) = £ спгп
порядок
р=ТШ—^—. (9)
«-оо 1п [
V\Cn\
А Обозначим правую часть (9) через р. По
определению порядка для любого \х>р справедливо (5) с v=l,
а по лемме 1, значит, и (6) с v= 1. Логарифмируя это
неравенство, мы получим, что
ml
as Inr-^ In^
V\ On | V\ С,
а так как для целых функций 1/|сл|->0, то \i^z
^ lim j = р. Так как ji>p —любое, то мы за-
ключаем, что р^р.

§ 15] РОСТ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 267
Пусть р<оо; тогда для любого ]ы>р будем иметь
п
^— < (х, откуда | сп | < (—)д . По лемме 2 с pjuv = 1
In as as Vn J
мы получим, что
Af/(r)<efer + e)'4i
as
с любым 8>0. Отсюда следует, что порядок p^ju, а так
как ju>>p —любое, то мы заключаем, что р<;р ►
Аналогично доказывается
Теорема 2. Для любой целой функции / (z) = 2 cnzn
порядка р (0<р<оо) тип
о=±Ш(пУмУ\ (10)
сг гс-юо
Примеры. Теоремы 1 и 2 позволяют строить примеры целых
функций любого порядка и типа.
1) f(z) = У (—-yzn. Функция целая, ибо >/гсд->0; по
дуле (9) ее порядок равен р, а тип по формуле (10) равен а.
оо п
2) f(z) = 2, ( )Р 2Л —целая функция порядка р максималь-
/i=i
типа.
оо п
3) f(z) = У (—: ]р z" —целая функция порядка р минималь-
/1=2
ного типа.
х) Для быстрого восстановления в памяти формул (9) и (10)
можно применить следующий эвристический прием. Согласно
леммам 1 и 2 модули коэффициентов функции / порядка р и типа а
п
примерно равны I с„ I % (—-)р . Отсюда In я«— In — и для
п больших р==^ = это приводит к (9). Формула (10) восста-
1п
навливается еще легче: имеем —~^у\сп\Р иа^;—пу\сп\Р.

268
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
2Zn
j-——-— целая функция бесконечного порядка.
\\П fl)
/1=1
оо
5) /(г)== 2 2~rtVl — целая функция нулевого порядка
/г=0
46. Принцип Фрагмена — Линделёфа. Если функция f
голоморфна в области D и непрерывна в D, то согласно
принципу максимума (п. 36) из того, что \f(z)\<:M
на dD, следует выполнение этого неравенства и во всей
области D. Однако если условие непрерывности не
выполняется хотя бы в одной точке 5D, то этот вывод сделать
уже нельзя. Рассмотрим, например, круг D = {х2 + у2 <Сх]
и голоморфную в нем функцию f(z)=ez; она непрерывна
в D\{0} и всюду на <3D\{0} ее модуль
1
= е*2+^ = е, однако внутри D эта функция принимает
сколь угодно большие значения. Тем не менее вывод,
оказывается, можно сохранить, если сделать
дополнительное предположение о том, что функция / не слишком
быстро растет при приближении к исключительной точке
границы. Утверждение этого рода называется принципом
Фрагмена —Линделёфа и имеет важные применения в
анализе; мы приведем его точную формулировку и
доказательство для некоторых типов областей.
Рассмотрим сначала угол; без ограничения общности
можно считать, что его вершина расположена в точке
z — 0 и что он симметричен относительно оси х, т. е.
имеет вид
Sa = {2e=(D:|arg2|<^}. (1)
Исключительной точкой границы dSa будем считать
бесконечную точку и рост функции / при приближении
к ней условимся характеризовать так называемыми
угловым порядком р и угловым типом о: если Mf (r) =
= max |/(г) |, то
z^Sa
rr.— In In Mr (г) тт~ In Mf (г) /оч
p=Um—j-/!i, a=Hm yP/w. (2)

§ 15] РОСТ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 269
Теорема 1 (Э. Фрагмен, Э. Линделёф). Пусть
функция f голоморфна в угле Sa, непрерывна в конечных
точках его границы dSa и всюду в этих точках \f (г)\^М.
Если еще угловой порядок этой функции р<а, то
| / (г) | ^ М всюду в Sa.
< Выберем числа е>0 и р', p<p'<a, и рассмотрим
функцию fe(z)=f (г)е~ег9\ где ветвь е~гг9' задана
условием | arg 2:| <С 2~. Если положить г = ге1ц>, то
\fs(z)\ = \f (г) \е-"р'«>**'*,
следовательно, на сторонах Sa, где ф = ±^ и [р'ср| =
= т^ < -у, имеем | /8 (г) | ^ М, а по определению
углового порядка для любого |ы, р < ju < р', при всех
достаточно больших г на дуге J2GSa: |z| = r}
|/8(z)l<^-8rP'cosp,(P.
as
Так как на этой дуге cos р'ф ^ cos Ц- > 0 и |^<рг,
то при любом е>0 правая часть стремится к 0 при
г->-оо и, значит, при достаточно больших г на ней
I/e (*) I ^ Ml. Применяя к сектору, ограниченному dSa
и такими дугами, принцип максимума, мы найдем, что
| /8 (г) | ^ М в любой точке z e Sa. Так как е > О
любое, то, устремляя е к 0 получим, что и \f(z)\^M в
любой точке г е Sa ►
Замечание. Чем меньше раствор угла (больше а),
тем для функций большего роста в угле сохраняется
принцип максимума. Оценка роста р<а в теореме
точна: при р = а принцип перестает быть верным. Это
видно из примера голоморфной в Sa функции f(z)=eza
(рассматривается ветвь, для которой |arg2|<<p); на dSa
имеем |/(г) | =^асо5аф| я=1, а/ неограничена в Sa.
Тем не менее теорему можно уточнить: принцип
сохраняется и для функций углового порядка а,
если дополнительно предположить, что угловой тип
равен 0.

270
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
Теорема 2. Пусть функция f углового порядка а
голоморфна в угле Sa, непрерывна в конечных точках dSa
и всюду в этих точках \f(z)\^M. Если еще f имеет
минимальный угловой тип, то \f(z)\^M всюду в Sa.
<« Возьмем е>0и рассмотрим функцию fe(z) =f(z) £-82<\
На сторонах угла имеем \fe(z)\^ M, а на действительной
оси | /8 (х) | < ez'x^-^ для любого е' > 0 (определение
as
углового типа 0). Выбирая е'<е, мы получим, что fe
ограничена на действительной оси; пусть \}в(х)\<гМв.
Применяя к каждому из углов Sa== J0<argz<pp}> и
5а = {—^-<argz<0J теорему 1 (она применима, ибо
раствор 5а и Sa в два раза меньше раствора Sa), мы
получим, что |Мг)1 (в каждом из 5а и S», а значит,
и в Sa) не превосходит тах(М, /Ие). Таким образом, fe
ограничена в Sa, а так как |/8(г)|^М на dSa, то по
той же теореме 1 |/е(г)|^М всюду в 5а. Устремляя е
к 0, найдем, что \f(z)\^M для всех z e Sa ►
Следствие. Если f —целая функция порядка,
меньшего 1, или порядка 1, но минимального типа, то из
ограниченности f на какой-либо прямой следует, что f = const.
<« Достаточно применить теорему 1 или 2 к каждой
из полуплоскостей, ограниченной данной прямой (здесь
а=1) и мы получим, что / ограничена в С По теореме
Лиувилля / S3 const ►
Любопытно отметить, что ограниченность синуса на
действительной оси достигается, так сказать, на пределе:
если бы порядок целой функции sin г был меньше 1, или
равен 1, но ее тип был бы минимальным, то эта функция
(раз она не постоянна) уже не могла бы быть
ограниченной ни на какой прямой!
При доказательстве теорем 1 и 2 основную роль
играла функция ez°*, ограниченная на сторонах угла Sa
и неограниченная внутри. Это свойство обеспечивается
тем, что z->za отображает Sa на правую полуплоскость
(функция ez ограничена на мнимой оси, но не ограничена
в правой полуплоскости). Сделанное замечание позволяет
распространить принцип Фрагмена — Линделёфа на
произвольную односвязную область D с кусочно гладкой
границей.

§ 15]
РОСТ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
271
Так как нам важен рост функций лишь вблизи
отмеченной точки £0^dD, то достаточно построить функцию
Ф, ф(£о) = °о, которая конформно отображает часть
области D, примыкающую к £0> на часть верхней
полуплоскости, примыкающую к бесконечной точке, а остальную
часть D переводит в ограниченную область. Тогда
функция £ф будет ограниченной на 3D \ {£0} и неограниченной
в D. Заменяя этой функцией функцию е2^ в
доказательстве теоремы 1, мы получим принцип Фрагмена —Линде-
лёфа в такой формулировке:
Теорема 3. Пусть функция f голоморфна в области D
с кусочно гладкой границей dD, непрерывна в D всюду,
кроме точки £0edD, а в окрестности этой точки
| / (г) | ^ еЯе ф <2), где <р — построенное выше конформное
отображение. Тогда, если \f(z)\^M для всех zedD\{£0b
то \f(z)\^M для всех z^D.
Например, для полуполосы Ta = {Rez;>0, |Imz|<a}
JIZ
можно взять ф(г)=е2а. Мы получим, что если f
голоморфна в Та, непрерывна в конечных точках дТа и во
всех этих точка х | / (г) | ^ М, а кроме того, | / (# + iy) \ <.
пх
<ее2а для всех х^х0 и |r/|<a, то \f(z)\^M и всюду
в Та. Опять, чем уже полуполоса, тем для функций
большего роста сохраняется принцип максимума.
47. Связь роста функции с числом ее нулей. Можно
указать примеры сколь угодно быстро растущих целых
функций без нулей (ez, e°z и т. д.). С другой стороны,
существует ряд утверждений, которые показывают, что
если целую функцию, не равную тождественно нулю,
заставить очень часто обращаться в 0, то она будет очень
сильно возрастать. Иными словами, можно получать
оценки сверху для числа нулей через порядок целой
функции. Мы приведем здесь несколько таких оценок.
Теорема 1 (неравенство Иенсена). Если f —
целая функция такая, что \f (Qi)\ = \1) и п^ (г)—-число ее
х) Это предположение не ограничивает общности, ибо вместо
целой функции / с нулем кратности т в точке 2 = 0 можно рассмат-
ривать функцию m ;(m) /m 1 также целую и имеющую тот же
порядок, что /, и те же нули, отличные от z = 0.

272
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
(I)
нулей в круге {| z | < г) с учетом их кратности, a Mf (/*)
= max | / (г) \, то
|2|=Г
Г
J ^P-dt^lnMf(r)
о
< Обозначим n = rif(r) и через аи ..., ап — нули /
в круге {|z|<r}, расположенные в порядке неубывания
модулей (каждый нуль повторяется столько раз, какова
его кратность). Устраним эти нули, не меняя модуля f
на окружности {|г| = г}, для чего разделим / на
произведение дробно-линейных функций r^z~la^ t &=1, ..., п>
г2 — akz
обращающихся в 0 при z = ak и равных по модулю
единице на окружности. По принципу максимума модуля мы
получим для всех z из круга {|z|<r}:
/(*)
п
Г (2— А*)
;AL(r).
Полагая здесь z = 0, получим неравенство гп/ Y[ \ аь
:Mf(r)y которое можно переписать так:
02_
•
«2
2
<*п
л-1 /-л
■М,(г).
Логарифмируя это неравенство, мы можем записать его
левую часть в виде интеграла:
In ^ +21пР + ... + (я-1)1п
I al I I a2 I I
I ЯаI I Аз!
+ я In-
an-i
(n—\)dt
С dt . ? 2dt . , f (n-l)d/ , f nd/
Л
(мы учли, что на интервале (\ak\> \ak+1\) значение tif(t) = k
и что rif(t) = Q на интервале (0, |fli|)). Это и приводит
к (1) ►

§ 15] РОСТ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 273
Следствие. Если f —целая функция, для которой
| f (0) | = 1, то в обозначениях теоремы 1 для всех г
nf(r)<:lnMf(er). (2)
< В силу неубывания функции rif и неравенства Иен-
сена (1)
ег ег
nf (г> < S "Т^ dt^ $ ~Т^ л ^1п М/ ^ *
г 0
Для формулировки другого результата того же рода введем
Определение. Показателем сходимости
последовательности отличных от нуля комплексных чисел ап, модули
которых монотонно стремятся к бесконечности (\ап\/ со),
называется число x = infiaeR: / -:—йг<°°Ь
Лемма 1. Показатель сходимости последовательности
{ап}, ая^=0, \ап\/оо9
г-— In п /0\
т= lim -г-,—г- (3)
<« Обозначим через т правую часть (3). Для любого
а>т имеем — <а, откуда t <—ту-. По теореме
1п]Ал| as \ an\ as Пча
сравнения для рядов с положительными членами отсюда
следует, что для любого а'>а ряд \. ^<°°» т* е-
а ^т. В силу произвольности а и а' заключаем, что и
т^т.
С другой стороны, для любого а>т ряд / ,—^<оо.
Но если ряд 2 рл с монотонно убывающими членами
(Рл\0) сходится, то яРл<1 (в самом деле, по критерию
Коши Рл+1 + ... + Р2/1<-о-, откуда np2/i<^-» а это равно-
as z as ^
сильно n§n<\\ Поэтому мы можем заключить, что
as /
-—щ-< 1 или ."" , <а, а тогда ит<а, В силу произ-
I ап I as 1П I an I as
вольности а получаем, что т^т ►

274 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
Далее, обозначим через у (г) число точек ап в круге
{| г | < г} и назовем порядком последовательности {ап}
число , , .
Рх-ПЖ^. (4)
Лемма 2. Порядок последовательности {ап}, апфО>
\ап l/^oo, рявен показателю сходимости т этой
последовательности.
4 Для любого а > 0 интеграл Стильтьеса
00 СО
О /1 = 1
(в самом деле, у (t) постоянна на (0, \аг\) и всех
интервалах (\ak\, \ak+i\), поэтому регулярная часть интеграла
равна 0, а скачок -~- в точке t = \an\ равен . m|ct , где
т —число точек #у с модулем, равным |ял|), причем обе
части (5) могут одновременно обращаться в бесконечность.
По формуле интегрирования по частям для любого г>0
dv(t) __ у (г) , „ f v (О
о б
г
Возьмем любое а>т; так как интеграл слева схо-
v(r) ^ , In у (г) _ , In с
дится, то —V~^c = const, откуда . ' <;а-П—, и по
(4) порядок последовательности pi^oc. В силу
произвольности а заключаем, что Pi^x.
Пусть теперь а > рх; тогда v (t) < /a и для любого
as
г* *? v(t)dt
Отсюда следует, что сходится интеграл \ ^ ' 1, а значит,
т. е. а'^т. В силу произвольности а и
и ряд 2;
Ая!а#
а заключаем, что Pi^t ►
Теорема 2 (Ж. Адама р). Показатель сходимости
последовательности нулей целой функции не превосходит
ее порядка.

§ 15] РОСТ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 275
<« Без нарушения общности считаем, что / (0) = 1 (см.
сноску на стр. 271). По лемме 2 показатель сходимости
р— In nf (г)
т= Jim —: , а по следствию теоремы 1
r->oo in г
-— 1п1пМ/(е/-) \п\пМЛег)
т^ lim г- = lim -.— = р ►
Эта теорема имеет важные применения к вейерштрас-
совским разложениям. В п. 43 было доказано, что в
вейерштрассовском разложении целой функции
f(z)=zmeZ^'Y\{\- j-)ean '" рп\ап) (7)
п — \
целые числа рп можно выбирать так, чтобы ряд
(8)
т
г \Рп+*
■\
сходился абсолютно и равномерно в любом круге {|2|^#}.
Теорема 2 позволяет конкретизировать это утверждение
для функций конечного порядка.
Теорема 3 (Ж. А д а м а р). Для целой функции f
конечного порядка р степени многочленов
p^=t. + - + fAtT <9>
в вейерштрассовском разложении (7) можно выбирать
равными целой части р: рп = Е(р) для всех п.
4 По теореме 2 показатель сходимости т
последовательности нулей {ап} не превосходит р, следовательно,
если р=£(р), то ряд У-:—^ заведомо сходится. Но
Ami J O'ji у
тогда и ряд (8) при рп = р сходится абсолютно и
равномерно в любом круге {\z\^R} ►
Теорема 4 (Ж. А д а м а р). В вейерштрассовском
разложении (7) целой функции конечного порядка р
функция g является многочленом степени не выше Е (р).
4 Без ограничения общности считаем / (0) = 1 и
переписываем разложение (7) в виде
N
fw-U(i-£).'+--''* П ('-IK-. <■»)

276 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
где N — любое натуральное число и Рп — многочлены (9)
(при рп*=*р). Для фиксированного R>0 выберем число
N = N(R) в формуле (10) так, чтобы было \an\^R для
n^N и \aN+1\>R\ обозначим еще для кратности
•'+'"''' П (■-£).-"/.«•
я = ЛГ+1
На окружности {| г | = 27?} имеем 1 ^ 1—Г —
I ап \ \ап\
— 1^1, поэтому из (10) мы получаем Mf (2R) =
= max \f (z)\^\fR(z)\'> по принципу максимума модуля
неравенство
|Ыз)|</14,(2/?) (11)
справедливо и в круге {|e|<2JR}. Далее, функция fR не
имеет нулей в некотором круге {| z | </?'}, R'>R, значит,
по теореме о монодромии в этом круге голоморфна ветвь
Вк(г) = 1пЬ(г) = 8(г)+ %Рп(г) +
/1 = 1
оо
+ 2 Ml-£) + *«(*)} (12)
А2 = ЛГ+1
(ряд в правой части сходится равномерно внутри круга,
что было доказано в п. 44).
Здесь нам придется воспользоваться модификацией
неравенств Коши, которая будет доказана ниже (см.
формулу (14) на стр. 306); эти неравенства оценивают
коэффициенты тейлоровского разложения с центром г = 0
функции, голоморфной в круге {|z|</?'}, R'>R, через
максимум действительной части этой функции на
окружности {|г|=/?}. Для функции gR на окружности {|г| = /?}
в силу (11) мы имеем
RegR(z) = \n\fR(z)\^lnMf(2R),
откуда по формуле (14) на стр. 306 коэффициенты
тейлоровского разложения gR в точке z = 0
\nMf(2R)
lfrl<2 # (13)

§ 15]
РОСТ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
277
(мы учли, что у нас gR(0) = In/^(0) = 0, ибо мы
условились принять f(0)=\).
С другой стороны, так как степени многочленов Рп
равны £(р), то при k>E(p)
ck =
откуда с учетом (13)
£<*> (0) у _1
л = ЛГ +
k\ 4* . kak
п
1г'*'(0)| ^ in MfczR) , i
Устремим здесь R к бесконечности; так как у нас &>р,
^Mf(2R) ^ 1
то >-0, а так как по теореме 2 ряд /
сходится и N = N (/?)->-оо, то и второе слагаемое справа
стремится к 0. Но левая часть не зависит от /?,
следовательно, £(/г)(0) = 0 при &>£(р), т. е. g —многочлен
степени не выше Е (р) ►
Теоремы 3 и 4 Адамара содержат важную
информацию о вейерштрассовских разложениях целых функций
конечного порядка. Особенно ценна вторая из них —ведь
целая функция g в разложении (7) эффективно не
определяется (доказано лишь ее существование), а для
функций конечного порядка на основании этой теоремы вместо
бесконечного числа неизвестных тейлоровских
коэффициентов g мы имеем лишь конечное число, не большее порядка
разлагаемой функции.
Пример. Так как порядок целой функции равен 1; то
все многочлены Рп и функция g линейны; следовательно, ее вейер-
штрассовское разложение имеет вид
со
sin z _„VJUh TT' Л г
- = eaz+b IT П
кп j
П — — СО
и нам остается найти лишь две постоянные а и Ъ. Устремляя г к 0,
находим, что 0 = 0, а пользуясь четностью функции и заменяя
г на —г, получаем а = 0. Таким образом, мы снова приходим к
известному разложению (см. формулу (8) п. 44):
оо 2 оо
sinz = z II (1—-Ь^ = г 1171 ZM
П'('-£)*-П
я2/г2У'
1

278
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
§ 16. Асимптотические оценки
Здесь мы рассмотрим простейшие приемы получения
приближенных выражений интегралов, зависящих от
параметра, при больших значениях этого параметра. Эти
приемы очень важны в практических приложениях.
48. Асимптотические разложения. Начнем с описания
оригинального приема, который Л. Эйлер в 1754 г.
применил для вычисления интеграла
-Ut
z+f
(1)
Интеграл элементарно не вычисляется, и Эйлер разложил
оо
—-j-т в геометрическую прогрессию > (—1)л-7грг> а затем,
невзирая на то, что эта прогрессия равномерно сходится
лишь внутри интервала (—|г|, |г|), проинтегрировал
разложение почленно по всей полуоси (0, оо):
оо оо оо
(— 1)"и1
(2)
(интегралы в средней части при целых /г^О легко
вычисляются по частям; можно вспомнить также, что это
Т(п+1) = п\; см. п. 27).
Прием этот, конечно, незаконный, и нарушение
стандартных правил анализа не осталось безнаказанным: ряд
в правой части (2) расходится при любом г. Тем не менее
прием Эйлера имеет смысл. В самом деле, разность между
значением интеграла и частичной суммой ряда (2)
п — 1 оо оо оо
№>-21^-тк2(-4Гл=^Ч-<*.
/е = 0 0 k = n О
t + Z
а так как при Rez>0 и/^0 мы имеем |г + /|^|г|,
то для всех z из правой полуплоскости {Rez>>0}
справедлива оценка
-1
т-1
(—!)*£!
k = o
7k+i
l*i'm J

§ 16]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
279
При любом фиксированном п и больших \z\ эта
разность—малая высшего порядка по сравнению с членами
частичной суммы (последний из них имеет порядок-j—-А.
Таким образом, частичные суммы ряда (2), хотя он и
расходится, хорошо приближают интегралы в полуплоскости
{Ree>0} при больших |г|. Это был первый пример так
называемого асимптотического разложения.
Определение. Пусть М с: С — множество с
предельной точкой в бесконечности и / — комплексная функция,
оо
определенная на М. Ряд \ ^, возможно расходящийся,
называют асимптотическим разложением функции / на
множестве М и записывают это в виде
оо
я = 0
если для любого целого п^О
П_тЛ(г)-2 4 = 0. (4)
Z€=M I k==0 )
Смысл этого определения состоит в том, что при любом
фиксированном п частичные суммы ряда приближают / на
М при z-+oo с погрешностью, которая является малой
высшего порядка по сравнению с последним членом
частичной суммы.
Теорема. Если асимптотическое разложение
функции f на множестве М существует, то его коэффициенты
однозначно определяются по формулам
c0 = lim/(z),
c1 = limz{f(z) — c{)},
»-i" V (5)
Ся-Итг-|/(г)-2о5}'
где пределы берутся при г->оо, геМ,

280 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
<« Формулы (5) следуют непосредственно из (4) >
Обратное, очевидно, неверно: асимптотические
разложения не определяют функции. (Например, функции е~г
и / (г) == 0 имеют на положительной полуоси одинаковые
асимптотические разложения —с нулевыми
коэффициентами).
Легко доказывается, что асимптотические разложения
можно почленно складывать и перемножать: если / (?) ~
оо со
~2%и§^~2^>то
n=xQ rt=0
CO 00
/г = 0 п = 0
Пусть функция g(z)=^=0 на М\ обобщая (3), будем писать
со
f(z)~g(z)2%> (6)
л = 0
f (г)
если -^г-у имеет на М асимптотическое разложение
оо
г»'
л = 0
Пример. В теории вероятностей встречается интеграл
00
Erf* = -4=C e-i2dt.
Уя J
х
Для получения его асимптотического разложения воспользуемся
интегрированием по частям:
и повторяя этот прием, найдем
i<f-*dt=.±- L+ +(_!),-! Ь3..-(2п-3)
+(-■)■ ■•'-г—>S^a
2"

§ 16] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 281
Нетрудно видеть, что последнее слагаемое имеет порядок не выше
1
— и мы получаем искомое асимптотическое разложение на
положительной полуоси х в виде
1 , 1-3 ЬЗ-5 , \
Erf х = ~т=г е
Vn \2х 22хэ 24* 2W "')'
Заметим, что иногда асимптотические разложения
понимают в еще более широком смысле: вместо
отрицательных степеней г берут произвольную систему функций
Фл(г), стремящихся к нулю при 2->оо по М и таких,
что ф/1+1 = 0(фя) для всех п, и пишут
со
f(*)~2 слфя(г), (7)
п
если /(г)— 2 ck4>k (г) = о (фл (г)) для всех л при г->оо,
/г = 1
2GM.
Пример. Дифференциальное уравнение для
бесселевой функции нулевого порядка имеет вид
tf + ^yr + y = 0 (8)
и после замены переменной у = —т= преобразуется к виду
п , 1
и +и== — -№и-
Считая правую часть известной, мы можем применить
формулу Коши из курса дифференциальных уравнений,
по которой
х
u~a cos (х — а) — -j- \ sin (x — t) -^—-dt,
Xq
где а и а — произвольные постоянные. Из этой формулы
видно, что функция и остается ограниченной при *->оо
(в самом деле, если М(х)= max \u(t)\, то М(х)^
\ t <= (х0, х)
^.\а\ + -т-М(х) —, откуда М (х) ^—L^-L—\, и поэтому
4 #0 - _j j
4*о

282 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
можно принять лг0 = оо:
со
u(x) = acos(x-a) + j\ sin (х -1) ^jp-dt. (9)
X
Так как и(х) ограничена, то интеграл в формуле (9)
стремится к 0 при х -> + оо, и положив и(х) = а cos (x — а) +
+ и1(х), мы получим, что и1(х) = о(\)> а для иг будем
иметь уравнение
иг (х) =
со со
= iL$sin(*-*)cos(*-a)-^- + j\sm(x-t)^ dt. (10)
X X
Заменяя
sin (л: — f) cos (t — a) = -=- [sin (jc — a) + sin(*— 2/ + a)J,
мы выделяем элементарный интеграл и замечаем, что
остальные два интеграла имеют порядок о (—1; таким
образом,
Ul M ^ ~hsin (*"""a) + "а (*)»
где W2W = 0(y)- Подставляя это в (10), аналогично най-
дем 9а ( 1 \
«2 (*) = — -32^5 cos (х-а) + о [-^),
и этот прием можно продолжать сколь угодно далеко,
получая все более точные приближения.
Возвращаясь к переменной у = -^г-у мы найдем асимп-
V х
тотическое разложение решений уравнения Бесселя (8):
a (7i з2 ,32.52.72 \
г/ =-тИ 1 ...cos (л: —а) +
К* \\ 82.2U2 84-4!х4 J }
При а = 1/- иа = | получим, в частности,
асимптотическое разложение стандартного решения уравнения (8),
так называемой функции Бесселя J0 (х).

§ 16}
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
283
49. Метод Лапласа. Этот метод относится к функциям
действительного переменного и дает асимптотическую
оценку при больших положительных значениях
параметра X интегралов вида
ъ
F(X) = \q>(t)exfWdt, (1)
а
где отрезок [a, b] cz R. Идея метода очень проста: если
функция / на отрезке [а, Ь] достигает абсолютного
максимума в одной точке t0, то при больших значениях X
этот максимум становится все более резким. Поэтому при
больших X основной вклад в значение интеграла дает
окрестность точки t0i а остальная часть отрезка
интегрирования несущественна1).
В основе метода лежит лемма, в которой функция /
имеет специальный вид f(t) = — ta и максимум
достигается в конце отрезка интегрирования —точке / = 0.
Лемма. Пусть
FM-lvWe-^dt, (2)
о
где 0<а^оо, а>0, функция ср на некотором отрезке
{|/|<2б} представляется сходящимся степенным рядом
Ф(0=2 cnt» (3)
п = 0
и интеграл абсолютно сходится при некотором Х = Х0.
Тогда на положительной полуоси справедливо
асимптотическое разложение
оо
где Г (х) = $ е~Чх~г dt — гамма-функция Эйлера,
о
4 При Я>Я0 имеем
а I а
$ Ф (t) e-^dt < e-(*-*o)fia$ | <р (/) | e-^ta dt = 0 (e~™a)
г) Этим же соображением объясняется успех незаконного приема
Эйлера, о котором говорилось в предыдущем пункте.

284 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
при Я->- + аэ; значит, эта часть интеграла для
асимптотического разложения несущественна.
При вычислении интеграла по отрезку (0, б) можно
пользоваться равномерно сходящимся рядом (3) и поэтому
б
\y{t)e-^dt =
о
А+1 t / п+
= 2^Я а ^т а ег*йт + о\к aJ (5)
ft —О О
(в интеграле мы сделали замену переменной, положив
Ма = т). Но для любого (х>0 и фиксированного (3>0
оо оо
\ fie-' dt = е-» \ (т + (х)р е~х d% ^
|Х О
^е~» к (2(х)р e~r d% + $ (2т)р *-* л! <в^ (Л^ + В) = о \ё~*)
(мы опять заменили £ = |л + т, а потом оба интеграла —
интегралами от 0 до оо, так что А и В не зависят от ju).
Поэтому в (5) с принятой степенью точности можно
заменить отрезок интегрирования (0, Яба) полуосью (0, оо) и
тогда интегралы в правой части будут равны W-i_].
Объединяя наши наблюдения, получим искомый
результат: при Я-> + оо
а
F(X) = \(p(t)e-^adt =
Перейдем к общему случаю оценки интеграла (1),
предположив дополнительно, что выполняются следующие
условия:
1° интеграл (1) сходится абсолютно при некотором
к — Я0;
2° функция / в точке t0 e [a, b] достигает
максимума, причем существует А>0 такое, что f{t0)—f{t)^
^h вне некоторой окрестности точки максимума,
т. е. на множестве {^efa, b]\ \t — /0|>5};

16}
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
285
3° в окрестности {\t — /0|<5} функции / и <р
представляются равномерно сходящимися рядами Тейлора
с центром /о-
Прежде всего покажем, что в соответствии с
высказанной в начале пункта общей идеей, поведение
функций / и ф вне окрестности точки максимума не
сказывается на асимптотическом разложении интеграла. Пусть
/0>я + 5; обозначив для сокращения письма f(t0)=f0,
получим при Я>Я0
и—б
$ <pe-Mfo-f)dt
•ег
^о/о
/о--б
\ фе*о/е-(А.-а,оМ/о-/) dt
t0 — £
а
(мы воспользовались условием 2°), а так как в силу
условия 1Q интеграл справа существует, то
$ Ф*-* <*»-/> d/== о (<r**). (6)
Тот же порядок имеет и интеграл по отрезку (/0 + 5, b),
если t0<Cb — б.
Дальнейшую оценку мы проведем по-разному в двух
случаях, ограничиваясь в каждом из них простейшей
ситуацией.
Случай I. Точка максимума t0 лежит внутри отрезка
интегрирования и в ней /" (/0) ф 0. В этом случае
тейлоровское разложение / в окрестности t0 (оно существует
по условию 3°) имеет вид
f(t) = fo + c2(t-t0)* + ..., с2-
f" (to)
:о.
Заметив, что fo — f(t)^0 в некоторой окрестности t0,
мы полагаем /0 — f(t) = T2, откуда
% = (t -10) V— c2 — c3(t —10) —
2>я('-'о)я.
(7)
ГУо)
2
Так как у нас аг ф 0, этот ряд можно локально
обратить (например, по формулам Б урмана — Лагранжа из

286 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
п. 35) и мы получим ряд по степеням т, который
представляет функцию t = t(%), обратную к (7); очевидно,
Оцениваемый интеграл (1)
ъ
F (X) = № $ ф {f) е~ь <Ь - f W) dt,
a
причем согласно соотношению (6) и аналогичному ему
для отрезка (/0 + 5, b) при вычислении асимптотического
разложения можно ограничиться сколь угодно малой
окрестностью (/0 — б, ^0 + 5)- В этой окрестности мы
сделаем замену переменного f0 — f(t) = %2 и тогда получим
б
F(X)^eV° \ <p*t(T).f (т)е-^2йт, (8)
-б'
где / (т) —функция, обратная (7), а 6' и б" —малые
положительные числа, которые, не меняя асимптотического
разложения, можно положить равными б. Пусть
ф(т) = Ф.*(тК(т)=|] апт», А0 = ф(/0)|/"-_|-. (9)
(мы снова воспользовались условием 3°); тогда вместо (8)
можно написать
б б
F [К) <** eV° \ ф (т) er** d% = е1** \ [ф (т) + ф (— т)] ег** d%.
-б о
Остается воспользоваться леммой, в которой надо
положить а = 2, сп = 2а2п, и будет доказана
Теорема 1. Если выполняются условия 1Q — 3° и
функция f достигает максимума в точке t0 e (а, 6),
причем f" (t0) <0, то справедливо асимптотическое разложение
Ь ОО I V\
jj 4(t)<HMd%~WV*) J a2jV"+yU v+^ (Ю)
a n = 0
с коэффициентами, определяемыми из ряда (9).

§ 16] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 287
Замечание. Как известно из анализа,
о о
а коэффициент а0 подсчитан выше. Поэтому главный член
разложения (10) имеет вид
Заметим еще, что по свойствам гамма-функции
г(„ + iW„- ■)(,»). ■r(.i)-!i#=V5.
2/\ " 2)'" 2 \2/ 2п
Пример. Асимптотическая формула Стирлинга для
гамма-функции. Имеем
ОО 00 ОО
Г {К + 1) = $ х%е-х dx = к7*1$ th~u dt = ДО*1 J g-M<-m о #
0 0 0
(мы положили x = kt). Здесь ф(£) = 1, /(£) = 1п^ —^,
максимум достигается в точке ^0=1 и f"{to) = — 1. Теорема 1
применима, и по формуле (11)
Г(Я+1)^1/2ЙХ(А.)\ (12)
Если чуть больше потрудиться со степенными рядами,
]/~2
можно найти, что а^—г- и получить следующий член
асимптотики:
Т(К+1)^уЩ^)х(\+~У (13)
В принципе теорема 1 дает все асимптотическое
разложение.
Случай II. Точка максимума t0 совпадаете концом
отрезка интегрирования и в ней f (/0) ^ 0. Пусть t0 = a\
мы положим / (а) — / (t) = т и вместо (7) будем иметь
т = —^(/-^-^(/-а)2-..., сх = ?(а)фЪ, (14)

288 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
откуда обращением ряда найдем функцию, t (т). Если
положить
ф(т) = ф./(тК(т) = 2^т», ft0 — iWf (15)
то по тем же соображениям, что и в случае I,
о
Мы снова пришли к лемме, в которой на этот раз а=1
и, значит, т(-^~-)==Г(п+ 1) = п\. Доказана
Теорема 2. Если выполняются условия Г —3° и
функция f достигает максимума в конце а отрезка
интегрирования, причем ¥ (а) Ф 0, то справедливо
асимптотическое разложение
Ь оо
$ф(0е*/(,,Л~<Л'<«»>2! iSr (16)
а я=0
с коэффициентами, определяемыми из ряда (15). Главный
член асимптотики имеет вид
$ФЮ^>Лл,-.*м*£1. (17)
Отметим в заключение, что методом Лапласа можно
пользоваться и в случае, когда в точке максимума
обращаются в нуль все производные / порядка ниже т,
a f{m) (t0) Ф 0. Здесь замена f (t0) — f (t) — %m снова
приводит к лемме, в которой надо положить а = т.
Дополнительные затруднения в случае /п>2 имеют лишь
технический характер.
50. Метод перевала. Этот метод представляет собой
комплексный вариант метода Лапласа и дает асимптотику
при больших положительных значениях параметра \
интегралов вида
F (Л) = J <p(z) **'<*> dz, (1)
v
где путь интегрирования у лежит в области
голоморфности функций / и ф.

§ 16]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
289
По теореме Коши путь у можно гомотопно
деформировать в области голоморфности — этим обстоятельством
следует воспользоваться и выбрать путь наиболее
выгодным образом. Модуль множителя подинтегральной
функции, содержащего параметр,
|^/(ж) |eeXRefWf (2)
и чтобы достичь большей точности при больших X,
следует выбирать в качестве у линию, на которой Re/ имеет
наиболее крутой максимум, т. е.
Re/ меняется быстрее всего.
В некритических точках /
направление быстрейшего
изменения Re/ ортогонально к
линии Re/ = const и,
следовательно, совпадает с направлением
линии уровня Im/. To же
справедливо и для критических
точек, т. е. нулей производной /'.
В самом деле, без ограничения
общности можно считать, что
критическая точка г0 = 0 и что
в ее окрестности / (z) = zm-{-
+ о (zm), где т ^ 2 — целое
число (это достигается линейным
преобразованием г).
Полагая г = ге'ф, получим
Re / = rm cos mcp + о (гт), откуда
видно, что критический уровень Re/ = 0 локально
состоит из т гладких кривых, касающихся в точке z0 = 0
прямых, на которых cos mcp = 0. Эти кривые делят
окрестность z0 на 2т секторов, в которых Re/ попеременно
принимает положительные и отрицательные значения
(см. рис. 76, где изображена поверхность a = Re/ в
окрестности критической точки с т = 3; эта поверхность
называется обезьяньим седлом, она имеет три впадины —
две для ног и одну для хвоста). Направления
быстрейшего изменения Re/ дают биссектрисы этих секторов,
они определяются уравнением sin mcp = 0 и совпадают с
направлением линии уровня Im/ = 0 (пунктир на рис. 76).
По счастливому стечению обстоятельств выбор в
качестве у линии уровня Im/ = const существенно упрощает
Ю Б. В. Шабат, ч. I

290
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
асимптотическую оценку интеграла (1). Действительно,
при таком выборе множитель el>Klmf постоянен и его можно
вынести за знак интеграла:
F (г) = е*lm f{2) $ ф (г) ех Re' & dz. (2)
v
Если г = г(/), / е [а, Ь] — уравнение у> то задача свелась
к асимптотической оценке интеграла
ъ
$ф.г(/)-аГ (0^Re/ea(/)&, (3)
а
которую можно делать по методу Лапласа (то, что здесь
множитель при eKRef — комплексный, не мешает
применимости метода).
Следуя методу Лапласа, нужно выбирать в качестве у
такие линии уровня Im/ = const, на которых есть
максимумы Re/. В точке максимума Re/ на у должно
выполняться равенство -^ Re/°z (t) \to = 0, а так как
-,-.-lmf'Z(t) = 0t то в точке максимума
{/.г(0!(,=гыг'(4) = 0. (4)
Если z (/0) ^ 0 (что мы и предположим), то /'(г0)=0,
т. е. точка максимума Re/ на линии Im/ = const
совпадает с критической точкой /.
Таким образом, мы приходим к следующему правилу
выбора контура у для асимптотической оценки интеграла
(1): контур должен проходить через критические точки
функции /ив окрестности каждой такой точки г0 идти
по направлениям тех участков линии уровня Im/ = const,
на которых Re/ имеет в точке г0 максимум. Каждая
критическая точка г0 дает свой вклад в асимптотику
интеграла, причем основной вклад, очевидно,
принадлежит той из них, в которой Re/ имеет наибольшее
значение (если таких точек несколько, то нужно взять
каждую из них).
Рассмотрим подробнее случай критической точки г0,
для которой т = 2. Такая точка является точкой
перевала поверхности w = Re/, что и привело к названию

16]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
291
метода1). Здесь линия Im/ = const состоит из двух ветвей,
на одной из которых Re/ в точке г0 имеет максимум,
а на другой —минимум, так что
выбор направления у делается
однозначно: это —линия
наибыстрейшего спуска с перевала
(рис. 77). Обозначим выбранное
направление через eiQ.
Вычислим главный член
вклада в асимптотику
интеграла (1) от этой точки. По
формуле (11) предыдущего пункта,
в который согласно (3) надо
заменить <р (t) на ср • г (/) • г'(/) и f (t) на Re/-z(/), мы
получаем
Рис. 77.
Ф (г0) г (t0)
V
2л
d2 I
жНе/аг(Ы
?fcRef(z0)
(5)
Так как Im/ = const на уу то вдоль нее -AR^f^it) =
d2
■^wf^{t)=f,,(z){z,(t))2 + f(z)z,,(t), а в критической
dt
точке /' (г0) = 0, поэтому
d'2
dt2
^-Ref*z(t)\ =-!Г(г0)Цг'(/о)
ибо это число должно быть действительным и
отрицательным. Кроме того, у нас z' (t0) = \ z (t0
выражение (5) принимает вид
piQ
так что
Ф (г0) е»
' 1Г(*о
J.Re/(z0)
(г0)! VI
Вспоминая формулу (2), получаем окончательный
результат:
Теорема. Если среди критических точек функции f
наибольшее значение Re/ достигается в точке г0,
х) В окрестности такой точки поверхность « = Re/ имеет вид
(обычного) седла и иногда метод называют методом седловой точки.
Иногда этот метод (или его небольшую модификацию) называют
также методом стационарной фазы (название станет понятным, если
учесть, что в старину аргумент комплексного числа называли фазой).
10*

292
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. V
которая является точкой перевала (/"(г0)^0), то
главный член асимптотики интеграла (1) дается формулой
\ Ф (г) eW <«> dz ъ Ф (г0) ^. ^ <*»> j/^,^,,
(6)
где ет — направление быстрейшего спуска с перевала.
, Пример. Бесселева функция по-
0—Л рядка п определяется интегралом
-7) dz
zn+l
1*1 = 1
(7)
Здесь /(г) = "2"(г~"у) и критическими
^~^Г точками являются z = ±i\ уровень Re/
+ в этих точках одинаков (равен 0), по-
Рис. 78. этому следует учесть обе. Линия
критического уровня Re/ = 0 состоит из
окружности {|г| = 1} и мнимой оси, а направлениями
быстрейшего спуска являются 8 = — — в точке z = i и
В=~ в точке —i (рис. 78). По формуле (6) мы получаем
in
in
Jn (Я):
1
2ш
/
2 Л я я
_cos(X-nT-T
(8)
(при м = 0 ср. с формулой (11) п. 48).
ЗАДАЧИ
1. Пусть дана произвольная последовательность точек алЕС,
сходящаяся к бесконечности. Доказать, что для любой
последовательности чисел ^gC можно найти целую функцию / такую, что
f(an) = bn для всех /г = 1, 2, ...
2. (Теорема Адамара о трех кругах.) Доказать, что если /
голоморфна в {Ai^|2[^r2} и M^(r) = max | f (z) |, то In Mj (r) — выпук-
лая функция от р = 1пг, т. е. для любого г ^ (rlt г2)
In Mf (r)
V^^ In УИ, (гя) + JB»=£. In My (Г1).
P2-Pl
P2—Pi

ЗАДАЧИ
293
(Указание: подобрать а так, чтобы r?Mf (гх) = rfMf (r2), и к
многозначной функции zaf (г) с однозначным модулем применить принцип
максимума.)
3. Доказать, что если / — полином степени п, то
т* ^ гп
для любых 0 < гх < г2. Равенство имеет место лишь для f(z) = c0zn.
4. Пусть / — целая функция и ее е (0, 1) —фиксированное число.
М,(аг)
Доказать, что lim — равен 0, если / трансцендентна, и равен аЛ,
г —оо Mf(r)
если /—полином степени п.
5. Доказать, что порядок и тип целой функции / равны,
соответственно, порядку и типу ее производной /'.
6. Решить задачу 22 к гл. IV при помощи теоремы Адамара из
п. 47.
7. Доказать, что уравнение sin г = 2 имеет бесконечно много
корней.
8. Доказать, что а) не существует голоморфной на IR1 функции,
отображающей 1R1 на множество с внутренними точками; б) существует
целая функция, отображающая R1 на всюду плотное подмножество С
9. Пусть D — область в С и последовательность ее точек ап не
имеет предельных точек внутри D. Доказать, что для любых
последовательностей комплексных чисел Ьп и целых чисел kn>0 найдется
функция /, голоморфная в D и такая, что для каждого п функция
f{z) — bn в точке ап имеет нуль порядка kn.
10. а) Доказать, что
И'-тГ
t^dt- nl
tf x .., г(г+1) ... (z + лГ
(Указание: сделать замену переменного / = лт и интегрировать
по частям.)
б) Доказать, что О^е 1— 1 —•—) ^~к~ при O^i^n и
вывести отсюда, что интегралы из а) при п -» оо сходятся в
полуплоскости {Rez>0} к гамма-функции Г (г).
в) Доказать, что
ОО 2
' „,,гтл , *\.--
Ш'+
Г (г) 11 \ ' п
П — 1
где Y=lim м _|_ _ _| _| 1П п) — постоянная Эйлера (отсюда
п-юо \ 2 П )
следует, что —целая функция и это —ее вейерштрассовское
разложение).
л
г) Доказать тождество Г (г) Г (1 — г)=— .

294 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. V
11. а) Доказать, что бесселева функция Jn(k), определенная
формулой (7) п. 50, при любом целом п^О является целой.
б) Проверить, что при я = 0 эта функция удовлетворяет
уравнению (8) п. 48
12. Пусть функция g голоморфна и ограничена в области, содер-
оо
жащей ось х и g(z)= V cnzn — ee тейлоровское разложение в окрест-
ности начала. Доказать, что на положительной полуоси К
справедливо асимптотическое разложение
ОЭ }J2 ОО
— со л = 0
13. Найти асимптотическую формулу при больших положительных
X для интеграла
п
/(Х)= \e*costcos4dt.

Добавление
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
Здесь мы опишем два класса действительных функций,
тесно связанных с голоморфными функциями. Теория,
которая здесь излагается, будет использоваться во второй
части курса.
1. Гармонические функции. Определение.
Действительная функция и класса С2 называется гармонической
в области DczC, если всюду в D удовлетворяется
уравнение Лапласа
Дифференциальный оператор в левой части (1)
называется оператором Лапласа и обозначается символом Д;
нетрудно видеть, что
*-(£-'£)(£+'£)-4 WW- »
Связь гармонических и голоморфных функций
выражается следующими двумя теоремами.
Теорема 1. Действительная и мнимая части любой
функции /, голоморфной в области D, являются гармони-
ческими в этой области.
<« Имеем
« = Re/ = i(/ + 7), n = Im/ = 4-(/-?),
откуда видно, что и, уеС2. Далее, -g—^- = у-^ ф = О
(у нас ~ = 0 в силу голоморфности /, а функция —
антиголоморфна) и аналогично = 0 ►
Теорема 2. Для любой функции и, гармонической
в области D, локально, в окрестности каждой точки z0 ^ D,
можно построить голоморфную в этой окрестности

296
ДОБАВЛЕНИЕ
функцию /, для которой и является действительной (или
мнимой) частью
4 Пусть U = {|г — г01 < г] czD\ в силу (1) форма
со =— -^- dx + -Д Л/ является точной в (У (см. п. 16),
поэтому интеграл от со в (У не зависит от пути и в U
определена функция
v(z)-\-%dx + £dy. (3)
Обычным для действительного анализа способом
доказывается, что v дифференцируема в U (в смысле R2) и что
ее частные производные соответственно равны
~дх я ~ду' ~ду "" Ж' ^
Но это — условия комплексной дифференцируемости
функции f = u + iv, a u = Ref. Функция if =— v + ius&(U)
имеет и своей мнимой частью ►
Замечание. Если область D односвязна, то это же
рассуждение доказывает существование функции f ^0 (D),
для которой u = Ref глобально, во всей области D. Для
многосвязных областей теорема неверна.
Пример: в области D = {0<| г\ < 1} функция и =
= ln| z| = у 1пг2 гармонична, но условиям (4) вместе с и
удовлетворяет только функция u = Argz, определенная
в D лишь локально, во всей D эта функция не определена
(она многозначна!).
Установленная связь позволяет распространить на
гармонические функции некоторые свойства голоморфных
функций.
1. Бесконечная дифференцируемость. Любая
гармоническая в области D функция и(х, у) обладает
в каждой точке частными производными всех порядков,
которые также являются гармоническими в D.
< По теореме 2 строим голоморфную в окрестности U
точки z = x + iy функцию /, для которой w = Re/, и
замечаем, что ~ = Re/'(z), -—- = —Im/'(z). По теореме 1
эти частные производные гармоничны в (У. Применяя к ним

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 297
уже доказанное, получим существование и гармоничность
вторых частных производных и т. д. ►
2. Теорема о среднем. Если функция и
гармонична в круге £/ = {£: |£ —z !<#}, то для любого r<cR
значение и в центре круга равно среднему ее значений на
окружности {| £ — z | = г}:
2л
»(*) = i\ u(z+re»)dt. (5)
Доказательство получается отделением действительных
частей в формуле
2л
f& = H f(z + re")dt,
О
выражающей теорему о среднем для голоморфных функций.
Заметим, что в этой теореме вместо среднего по
окружности можно брать среднее по кругу U:
"(2)=i$ \u(Q do, (6)
и
где do = r dr dt — элемент площади. Для доказательства
достаточно помножить обе части (5) на г и
проинтегрировать по г в пределах от 0 до R.
3. Теорема единственности. Если две
функции их и u2j гармонические в области D, совпадают на
множестве SczD, имеющем хотя бы одну внутреннюю
точку, то и1^и2 в D.
< Обозначим и = и1 — и2 и рассмотрим множество JF =
= \г ^D: и (г) = 0}. Открытое ядро аГ по условию непусто;
оно замкнуто в D, ибо если z0^.D является предельной
точкой eF, то существует последовательность zn e of,
lim zn = z0, и функция f=u-\-ivt голоморфная в окрест-
п-+оо
ности г0, является мнимой постоянной1), т. е. w = 0b этой
окрестности и z0^^. Поэтому aF==D ►
х) В рассматриваемой окрестности U найдется точка zn e ^*,
в окрестности V a U которой и = 0; по уравнениям Коши — Римана
в V имеем -^— = -^— = 0, т. е. u = c = const; тогда f=*ic всюду в U.

298
ДОБАВЛЕНИЕ
Для гармонических функций теорема единственности
формулируется в более слабой форме, чем для
голоморфных: требуется, чтобы множество Ш имело не предельную,
а внутреннюю точку в D. В такой сильной форме
теорема и неверна: гармоническая в С функция и = х равна
нулю на мнимой оси, не будучи тождественно равной
нулю.
4. Принцип экстремума. Если гармоническая
в области D функция и достигает (локального)
максимума или минимума в какой-либо точке z0^D, то она
постоянна в D.
< Рассмотрим голоморфную в окрестности U точки г0
функцию /, для которой w = Re/; если и достигает в г0
максимума, то и модуль голоморфной в U функции е1 —
также (| е1 \ = ё')\ поэтому /, а следовательно и и, постоянна
в U. По теореме единственности и постоянна и в D.
Случай минимума сводится к случаю максимума, если вместо и
рассмотреть функцию — и ►
5. Теорема Лиувилля. Если функция и
гармонична в € и ограничена хотя бы с одной стороны,
например: и(г)<М для всех z ^ С, то и = const.
4 Так как С односвязна, то существует целая
функция / такая, что w = Re/ в С. По условию все значения /
лежат в полуплоскости {Re/<M}; пусть X — дробно-
линейное отображение этой полуплоскости на единичный
круг, тогда X°f является целой ограниченной функцией,
т. е. константой. Отсюда следует, что /, а следовательно,
и и = const ►
6. Инвариантность относительно
конформных отображений. Если функция и гармонична
в области D и z = z (£) — конформное отображение D* на D,
то сложная функция u°z(t,) гармонична в D*.
< Рассмотрим произвольную точку t0^D* и ее образ
?о = z (£о)> в окрестности г0 строим голоморфную функцию /
такую, что u = Ref; тогда u°z (£) = Re/°e (£), а так как
функция f°z(Q голоморфна в окрестности £0, то w°e(£)
гармонична в этой окрестности ►
В следующем пункте мы покажем, что теорема о
среднем характеризует гармонические функции, т. е. что
справедлива
Теорема 3. Если конечная в области D функция и,
локально интегрируемая по площади в каждой точке eeD,

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 299
для всех г ^г0 (г) совпадает со своим средним по кругу
& 1£-*|<г}:
u(z)=!^ jj jj MEMS. (7)
{i;-2i<a}
mo она гармонична в D.
Сейчас мы воспользуемся этой теоремой для
доказательства одного утверждения о пределе последовательности
гармонических функций, которое понадобится в
дальнейшем изложении.
Теорема 4 (Харнак). Предел убывающей
последовательности гармонических в области D функций uk
(k=l, 2, ...) является либо гармонической в D функцией,
либо тождественно равен — оо.
4 Пусть сначала и всюду конечна в D; по теореме
о среднем для гармонических функций uk в любой точке
М*)=-^ ]) "k(Qdo (8)
{ 11 - z\< /-}
для всех r<Cr0(z), где r0 (г) — расстояние от г до dD.
В силу монотонности последовательности uk в (8) можно
перейти к пределу при &->оо, и мы получим
u(z)--^r § J "(£)rf<rf
{\X>-Z\<r}
причем функция и локально интегрируема по площади.
По теореме 3 отсюда следует, что функция и гармонична bD.
Пусть теперь и = — сю в какой-либо точке z0^D.
Обозначим ?=J2gD:« (г) = — оо}; это множество непусто,
ибо содержит г0. Оно открыто: пусть гг <= Ш и расстояние
от z1 до dD равно 2р; мы имеем
•^г ^ \ и (£) Лт = и (гО = — оо,
{lC-*l<f}
и, следовательно, для любого г & |г — ^i|<|-}
"(г)="^ \ \ u{Qdo = —со,
{|;-гГ<р>
ибо круг {|£ — г!<о} содержит круг ||£ — 2i| <-£ };

300
ДОБАВЛЕНИЕ
таким образом, 11 ? — гг\ < -£-1 с: ё. Точно так же
доказывается и замкнутость ё (в топологии D). Поэтому Ш = D,
т. е. и== — со в D ►
В заключение этого пункта укажем, что понятие
гармоничности распространяется на функции любого числа
действительных переменных. Пусть D —область в я-мерном
евклидовом пространстве Rn. Функциям: D-*R класса С2
называется гармонической в D, если в каждой точке
х={хи .,.,4)gD удовлетворяется уравнение Лапласа
Для таких функций остаются справедливыми свойства
1—5 гармонических функций двух переменных. Эти
свойства нуждаются в специальных доказательствах (ибо
приведенные нами доказательства основаны на свойствах
голоморфных функций), но мы на них не будем
останавливаться.
2. Задача Дирихле. В ряде вопросов анализа
используется задача о гармоническом продолжении функций; мы
рассмотрим эту задачу в простейшей постановке.
Задача Дирихле. Задана односвязная область
DcC с жордановой границей 3D и на 3D задана
непрерывная функция и. Требуется гармонически продолжить
и в область Д т. е. построить непрерывную в D и
гармоническую в D функцию, которая на dD совпадает с заданной.
а) Единственность. Покажем, что задача Дирихле
не может иметь двух различных решений. В самом деле,
пусть существуют два решения их и и2. Тогда их разность
v = u1 — u2 гармонична в D, непрерывна вО и равна нулю
на dD. Если максимум или минимум v в D достигается
в D, то по принципу экстремума v = const в D, а в силу
непрерывности и в D; так как у===0 на dD, то в этом
случае v = 0 в D. Если же обе эти величины достигаются
на dD, то они равны 0 и опять у = 0 вО.
б) Редукция к кругу. Предположим, что задача
Дирихле разрешима для единичного круга U = {\z\<.l\,
и покажем, что тогда она разрешима и для любой одно-
связной области D с жордановой границей 3D. В самом

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 301
деле, по теореме Римана существует конформное отобра-
жение /: D-+-U, непрерывно продолжаемое вО по
принципу соответствия границ (п. 40). Пусть на 3D задана
непрерывная функция и; зададим на дЬ значения v = u°f-1
и обозначим через v гармоническое продолжение этих
значений в U (оно по предположению существует). Тогда
функция u = v°f по свойству 6 предыдущего пункта будет
гармонической в D; она непрерывна в D, а на 3D равна
u°f~lof = u, т. е. решает задачу Дирихле для D.
в) Решение для круга U = {\z\<cR\. Начнем
с эвристических соображений. Пусть задача Дирихле для
круга U и граничных значений и решена. Построим
голоморфную в U функцию /, имеющую решение этой задачи
своей действительной частью._Предположим еще, что /
непрерывно продолжается в f/1), тогда в любой точке
ге(/ по формуле Коши
dU 0
(мы положили £ = /?е'7; тогда dt> = i£idt). Преобразуем
правую часть (1) так, чтобы ее действительная часть
содержала лишь известные значения Re/ = w па dU. Для
D2
этого возьмем точку г* = -^, симметричную с г
относительно dU, воспользуемся теоремой Коши, по которой
и вычтем (2) из (1). Если учесть, что
_L_ _ Сг _ _L _L_ _ #!Ч±12
l-г Lz-R* -£-z + l-z ~ 1С — * J* '
то будем иметь
J) Это предположение относится к Im/, так как Re/ решает
задачу Дирихле и, значит, непрерывна в U •

302 ДОБАВЛЕНИЕ
Мы достигли поставленной цели: отделяя здесь
действительные части, получим так называемую формулу
Пуассона
"(*)-^5«(9т£г£л. (3)
Перейдем к точному решению.
Правая часть формулы Пуассона известна, если заданы
значения и на dU\ покажем, что функция и, определенная
в U по этой формуле, решает задачу Дирихле для круга.
Прежде всего заметим, что ядро интеграла Пуассона
можно представить в виде
Поэтому функция м, определяемая интегралом Пуассона,
является в U действительной частью функции
f(2) = l-jjU(£)|±f^, (5)
'о
голоморфной в t/1), и, следовательно, гармонична в U.
Остается показать, что при г, стремящейся по точкам U
к произвольной точке £0^<3(/, значение и (г) стремится
к и (&,).
Для доказательства заметим, что для любой точки ze(/
2я
$/>(£, г) Л=1. (6)
о
Это следует из доказанного выше: функция
и=1—единственное решение задачи Дирихле с граничными данными
г) Голоморфность функции (5) можно доказать
дифференцированием под знаком интеграла: для любой z e U имеем
2я 2я
f(z + Az)-f(z)
1С ,wn-I^_-^ С СцО^
Я .} lW (С-2)2 " Я J (С —Z)*(C —Z —Z
Az jt J vt>/ (£ — z)2 я J (£ — z)*(£ — z-Az) »
о о
откуда видно, что при Дг -> 0 левая часть* стремится к нулю, т. е.
существует /' (г).

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 303
и=1, и она удовлетворяет условиям, в которых выведена
формула Пуассона. Далее,
НтР(£,г) = 0 при £=^£0, zeeU, (7)
причем сходимость равномерна по £ на любой дуге у cz <Э6\
не содержащей какой-либо окрестности точки £0> — эта
видно из формулы (4).
На основании (6) разность между значением w и ее
предполагаемым пределом при г->£о = #£|7° равна
2я 2я
Д= \ u(QP(t, z)dt-u{U)= \ [u(Q-u(Zo)}P&, z)dt.
о о
(8)
Фиксируем е>0 и, пользуясь непрерывностью и (£)
в точке ^о, выберем б > 0 так, чтобы при | / — tQ | ^ 26 было
| и (£) — и (Со) I < е; (9)
обозначим y1 = {t)(=dU: |/ —?0|=sc26} и y2 = dif\yi и
разобьем интеграл в (8) на интегралы по дугам уг и у2.
Для первого из них в силу (9) у
при любом ze(/ имеем ~~**~^^ъ>^
I {и(0 - итр «, *)dt\< il^L
<г\ P£,z)dt<e f Я (С, г)Л=е T^^^V
(10) ^
(мы воспользовались положитель- Рис 79
ностью ядра Я и равенством (6)).
Теперь положим г = /*е/ф и будем считать, что [ср — /0|<б»'
в силу (7) найдется р, 0<ср</?, такое, что
Я(£, г)<е
для всех С ^ 7г и всех г» Для которых |ф — /0!<6,
R — p<Cr <CR (мы воспользовались равномерностью
предельного перехода (7)). Поэтому для всех z из области G,
заштрихованной на рис. 79, имеем
\ {и (С) - и (Ь,)} Р (С, г)М\
< 2М$ Р(£, z)dt^2Me-2n, (11)
Ya
Ya

304
ДОБАВЛЕНИЕ
где Л1 = max |и(£) |. Объединяя (10) и (11), получим, что
для всех z^G справедливо неравенство | Д | < (1 +4яМ) е,
а это нам и нужно.
Доказана
Теорема 1. Любую функцию и, непрерывную на
границе 3D односвязной жордановой области D, можно
единственным образом гармонически продолжить в D. В
частности, для круга 0 = {\ z | < R} эта задана решается
интегралом Пуассона (3).
В качестве примера применения гармонического
продолжения приведем доказательство теоремы 3,
сформулированной в предыдущем пункте. Пусть конечная1) в
области D функция и в каждой точке гей совпадает со
своими усреднениями по кругам достаточно малых радиусов
r<r0(z):
u(z)=^2 (j jj u(Q do. (12)
{\1-г\<г}
Отсюда прежде всего вытекает, что и непрерывна в
каждой точке 20£Д ибо при бесконечно малых z — z0
разность и (г) — и (20) представляется интегралом по области
бесконечно малой площади (от интегрируемой функции)
и, следовательно, эта разность бесконечно мала.
Фиксируем произвольную точку z0^D и круг U =
= {| 2 — 2о \<CR} <^D\ по теореме 1 построим функцию Л,
гармоническую в £/, непрерывную в U и равную и на дИ'.
Нам достаточно показать, что u = h в U. Так как h по
теореме о среднем также удовлетворяет соотношению (12)
при любом ге(/ и {| £ — z\ </*} cz £/, то и функция v =
= u — h удовлетворяет ему. Из этого следует, что если v
достигает локального максимума или минимума в какой-
либо точке 2хе£/, то она постоянна в некоторой
окрестности гх. Докажем это утверждение для максимума (в случае
минимума доказательство аналогично). Пусть это не так,
т. е. v (z) < v (2х) в круге V = {\ z — zx | < /*}, V czU, причем
существует точка 22 е V, в которой v (z2) < v (zi). В силу (12)
v(zl}=±\\v{Qdo,
1) Разумеется, что функция и предполагается локально интегри
руемой по площади.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 305
но в силу непрерывности v существует окрестность точки
г2, в которой v<v(z1) — г для достаточно малого
положительного е, а так как v^v(zx) всюду в V, то правая
часть последнего равенства строго меньше величины
v
полученное противоречие доказывает утверждение.
Непрерывная функция v достигает в U своего
максимума М и минимума т. Если оба экстремума достигаются
на 0U, где и = 0, то М=т~0 ио = 0в U — теорема
доказана. Пусть один из экстремумов, скажем максимум,
достигается в £/, тогда множество S = {z^U: v(z)=M}
непусто. По доказанному оно открыто, а так как v
непрерывна в [/, то оно в то же время и замкнуто (в
топологии (У). Отсюда следует, что <S = U, т. e._v = M в U;
из непрерывности заключаем, что v = M в U, а так как
v = 0 на dU, то опять v = 0 в (У, и теорема доказагна
полностью.
Интеграл в правой части (5) называется интегралом
Шварца. Из теоремы 1 следует, что он решает следующую
задачу: найти голоморфную в единичном круге U функцию
/, действительная часть которой непрерывна в f/ и
принимает на 0U заданные значения u(Q. Эта задача, очевидно,
решается с точностью до чисто мнимого постоянного
слагаемого, и общее ее решение имеет вид
2л
f(z) = ±\u(Q%t?dt + iC, (13)
О
где С —произвольная действительная постоянная (равная
Im/(0), ибо первое слагаемое справа по теореме о среднем
равно и (0)=Re/(0)).
В качестве примера применения интеграла Шварца
получим модификацию неравенств Коши, которой мы
пользовались в п. 47. Пусть функция f = u-\-iv голоморфна
в круге {| г !</?'} и на окружности {|г| = /?}, R<cR\
ее действительная часть и^А. По формуле (13) для |г|<
<R и |£| = Я
2Л J i _ оо
f (г) = ± jj и Q \ dt + iv (0) = ^ V.
0 * — у п = 0

306 ДОБАВЛЕНИЕ
а так как при \г | <С| £ |
i+f)(i-r =
-(i+f)(i+-| + -+F+5+-)-
= 1+ УА^.
п = \
то, подставляя это в предыдущую формулу и интегрируя
почленно, мы найдем
2л
c-Hfx (Л>1).
о
Но, очевидно, при целых п^\
2л
о
и вычитая из этого равенства предыдущее, будем иметь
2л
Учтем, что по условию А — и(£)^0 для всех £, |£|=/?,
и перейдем к модулям; мы получим нужные неравенства
2л
\ca\^^UA-u^}dt^n-^, n^\ (14)
о
(мы воспользовались еще теоремой о среднем для
гармонической функции и).
В заключение заметим, что задача Дирихле разрешима
и для пространственных областей при некоторых
условиях, наложенных на ее границу1). В частности, дляя-мер-
!) По этому поводу см.: М. В. Келдыш, О разрешимости и
устойчивости задачи Дирихле, Успехи матем. наук, вып. 8 (1941),
171-292.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 307
ного шара В = {х ^Rn: \x\<R} эта задача решается при
помощи интеграла Пуассона
«(*) = £$ u{y)Rn~\f^-\:^ do, (15)
дВ
ппп/2
где ап = —. г Я"-1 — площадь /г-мерной сферы дВ,
r(|+i)
a da —элемент поверхности дБ в точке г/ (Г обозначает
гамма-функцию Эйлера; Г (2) = 1, поэтому а2 = 2л/?, и
при п = 2 эта формула совпадает с (3), если еще заменить
do = Rdt). Формула (15) выводится из формулы Грина1).
3. Субгармонические функции. Логарифм модуля
голоморфной функции / является гармонической функцией
лишь в окрестности точек, где f Ф 0, а в нулях In | f |
обращается в — оо, т. е. теряет гармоничность. Сейчас мы
введем более общий класс субгармонических функций,
который, в частности, будет содержать и логарифмы модулей
голоморфных функций.
Одномерным аналогом гармонических функций являются
линейные функции h(x)=kx-\-b, для которых ^-2- = 0.
При помощи линейных функций можно определить
выпуклые функции следующим образом: функция и {х)
называется выпуклой (вниз), если для любого отрезка [а, [3]
из области ее определения и любой линейной функции
h (х) из неравенств h (a) ^ и (a), h (P) ^ и ф) следует
неравенство h(x)^u {х) для всех х е [а, р].
Субгармонические функции являются двумерным
аналогом выпуклых функций. Они не обязаны быть всюду
непрерывными — можно ограничиться лишь требованием
полунепрерывности.
Определение 1. Действительная функция и, — со<
^w<oo, определенная в окрестности точки г0, называется
полунепрерывной сверху в этой точке, если для любого
е>0 найдется б>0 такое, что
и {г) —и (г0) < е, если и (г0) Ф — оо,
|г-г0|<б=><| 1 (1)
1 и(г)<-т, если и{г0)= — оо,
г) См. книги: И. И. Привалов, Субгармонические функции,
ОНТИ, М., 1937 и B.C. Владимиров, Методы теории функций
многих комплексных переменных, «Наука», М., 19G4.

308
ДОБАВЛЕНИЕ
или, чго эквивалентно,
lim и (г) <« (г0). (2)
Если D — область, то функция и: D->[—оо, ос),
полунепрерывная сверху в каждой точке zeD,
называется полунепрерывной сверху в этой области. Нетрудно
видеть, что для полунепрерывности сверху функции и
в области D необходимо и достаточно, чтобы для любого
ае(—оо, ос) множество меньших значений jzeD:
u{z)<ia\ было открытым.
Обычным образом определяется полу непрерывность
функции на множестве и доказывается, что функция,
полунепрерывная сверху на компакте /С, ограничена
сверху и достигает на К своего наибольшего значения.
Определение 2. Функция и: D->[—оо, оо)
называется субгармонической в области D, если 1) она
полунепрерывна сверху в D и 2) для любого достаточно малого
круга U и любой гармонической в (У и непрерывной
в и функции h
h^u на dU =e> h^u в U. (3)
Такую функцию h будем называть гармонической
мажорантой функции и для круга U.
Отметим несколько простых свойств субгармонических
функций1), которые подчеркивают их аналогию с
выпуклыми функциями.
Теорема 1. Если субгармоническая в области D
функция и достигает локального максимума в некоторой
точке г0£О, то она постоянна в некоторой окрестности г0.
<4 Пусть и не постоянна ни в какой окрестности г0.
Тогда найдется достаточно малый круг U a D такой,
что u(z)-^u(z0) для всех ге(/, а в некоторой точке £х
окружности dU = у справедливо строгое неравенство и (d)<
<Cu{z0). В силу полунепрерывности сверху функции и
для достаточно малого е>0 найдется дуга у' cz 7, на
которой и (Q < и (г0) — е.
Возьмем дугу у" <$= у' и построим непрерывную на у
функцию /*(£), положив ее равной u(z0) — e на у", равной
х) Подробнее см. книгу И. И. Привалова, цит. на стр. 307.

ГАРЛЮНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 309
и (г0) на y\y\ а на дугах у'\Т" пусть она линейно
зависит от arg(£ — z0)=t. Тогда на у будет и^А, и по
определению субгармоничности
и(*о)<й(го) = й J Л (С) Л, (4)
Y
где Л (г) — гармоническое продолжение А (С) в (У (см.
предыдущий пункт). Но правая часть (4) строго меньше
и (г0) — противоречие доказывает теорему ►
Следующая теорема показывает, что локальное
свойство субгармоничности, выражаемое определением 2,
влечет за собой соответствующее свойство в целом.
Теорема 2. Если функция и субгармонична в D и
область GeD, то для любой функции А, гармонической
в G и непрерывной в G,
h^u на dG г=е> h^u в G. (5)
^ Положим v = u — h\ так как эта функция
полунепрерывна сверху в G, то она достигает в G своего
наибольшего значения М\ требуется доказать, что УИ^О.
Обозначим ^ = {геС: v(z)=M\\ по теореме 1 этэ
множество открыто, а в силу пол у непрерывности v оно также
и замкнуто в G. Если оно пусто, то М достигается на
3G, где v^O, поэтому М^О. Если ё непусто, то £ = G,
и тогда о===Л1 в G, а в силу полунепрерывности v = M
и в G; опять Л1^0, ибо v^O на 3G ►
Функцию А, удовлетворяющую условию (5), будем
называть гармонической мажорантой функции и для
области G.
Теорема 3. Если субгармоническая в области D
функция и в некоторой точке z0 области G^D совпадает
со своей гармонической мажорантой А для G, то u = h в G.
<4 Функция v = u — h субгармонична и неотрицательна
в G; поэтому в каждой точке геС, где v = 09 она
достигает локального максимума. Множество § = {геС: v(г) = 0}
непусто (оно содержит г0), по теореме 1 оно открыто,
а в силу полунепрерывности v в то же время и замкнуто
в G. Поэтому £ = G ►
Следствие. В условиях теоремы 1 функция и
постоянна во всей области D.

310
ДОБАВЛЕНИЕ
Теорема 4. Пусть иа, где индекс а пробегает
некоторое множество А, — семейство функций,
субгармонических в области D. Если верхняя огибающая семейства,
u(z)=sup ua(z) полунепрерывна сверху1), то она субгар-
монична в D.
Ч Нужно проверить лишь условие 2) в определении
субгармонической функции. Пусть круг UmD, а
гармоническая в U и непрерывная в П функция А^й на dU.
Тогда h^ua на dU для всех аеД а так как иа
субгармоничны, то h^ua и в U для всех aei Отсюда
следует, что и А^й в (/ ►
В предыдущем пункте мы доказали, что гармонические
функции характеризуются тем, что их значение в каждой
точке равно их среднему значению по окружности (или
кругу) с центром в этой точке. Приведем аналогичное
свойство и для субгармонических функций, конечно,
с заменой равенства соответствующим неравенством.
Теорема 5 (критерий субгармоничности).
Для того чтобы полунепрерывная сверху в области D
функция и была субгармонической в D, необходимо и
достаточно существование для каждой точки z^D такого
числа го(г)>0, что для всех г<Сг0
а^^^\ u{z + reu)dt. (6)
о
«« а) Необходимость. Пусть и субгармонична
в D, г —произвольная точка D и /*0 — расстояние от г
до дЬ. Так как и полунепрерывна сверху, то для любого
/*</"о существует сходящаяся к и на окружности у ==
= {£• \t> — z\==r) убывающая последовательность
непрерывных на у функций и}{2). Обозначим через hk
гармоническое продолжение ии в круг U = {£,: |£—-г|</*}. Так
как на dU = y имеем uk + 1(t)^uk(Q, то по принципу
максимума такое же неравенство имеет место и для гар-
2) Если множество А конечно, то это условие выполняется
автоматически.
-) В качестве таких функции можно, например, взять
"л (£) = max fM (С) — * I С —CI}. *=L 2, ...,
представляем читателю показать, что и/, непрерывны на у и что и^\и.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 311
монических функций hk в U, т. е. последовательность hk
убывает в U. Поэтому в U определена функция
h(z)=limhk(z), (7)
fc-+co
которая по теореме Харнака (п. 1, Добавление) либо
гармонична в (/, либо тождественно равна —со.
По теореме о среднем для гармонических функций
2л
hk (г) = ~ \uk(z + re»)dt;
О
переходя к пределу под знаком интеграла (что законно
в силу монотонности), получим, что
2л
h(z)^~^u(z+re")dt.
о
Если А =5 — со в (/, то там и и = — со, т. е. (6)
выполняется тривиально. В противном случае из
субгармоничности и и неравенств u^hk на 0U заключаем, что
u{z)^hk{z) для всех &=1, 2, ..., и в пределе при
£->оо получаем, что
2л
О
Необходимость критерия доказана.
б) Достаточность. Пусть и полунепрерывна сверху
в D и удовлетворяет условию (6). Обозначим через h
функцию, гармоническую в круге U cD, непрерывную
в U и такую, что h^u на dU. Функция v~u — h
полунепрерывна сверху в U, причем по условию (6) и теореме
о среднем для гармонических функций для любой точки
z e U и достаточно малых г
2л
и (г) - h (г) < 1 J {и (г + ге«) - Л (г + re")} d/,
о
или
2л
о

312
ДОБАВЛЕНИЕ
Полунепрерывности и этого свойства достаточно для
того, чтобы для v в круге U было справедливо
утверждение теоремы 1. Поэтому если М — наибольшее
значение v в U, то множество ^=(ге(/: v(z) = M\ открыто;
в силу полунепрерывности оно и замкнуто в U'.
Дальнейшее доказательство идет, как в теореме 2: если Ш
пусто, то М достигается на dU и, следовательно М^0\
если Ш непусто, то £==(/ и опять М^О ►
Функция А, определяемая в круге £/ формулой (7),
называется наилучшей гармонической мажорантой
функции и для этого круга.
При помощи этого критерия легко доказывается
утверждение, сделанное в начале пункта:
Следствие. Если функция f голоморфна в области
D, то функция u = \n\f\ субгармонична в этой области.
А Полунепрерывность функции и очевидна. Если
?0gD не является нулем /, то Ln/допускает
выделение голоморфной ветви в некоторой окрестности г0;
функция и = In |/| является действительной частью этой
ветви и, следовательно, гармонична в этой окрестности.
Критерий (6) выполняется в точке zQ тогда (со знаком
равенства) по теореме о среднем. Если f (г0) = 0, то и (г0) = — оо
и критерий (6) выполняется в точке г0 тривиально ►
В части II нам понадобится
Теорема 6. Если функция и субгармонична в
области D и не равна тождественно — оо, то множество
£ = J2gD: и (г) = — оо} не имеет внутренних точек.
4 Пусть множество Е имеет внутреннюю точку, так
что открытое ядро Е Ф ф. Пусть a^D — предельная
точка Ё\ тогда существует круг П = {\z — a\^r] такой,
что на y = dil есть дуга, принадлежащая Ё. Как и
в доказательстве предыдущей теоремы, построим
последовательность функций hki непрерывных в П и
гармонических в (/, которая на у, убывая, стремится к и. Для
всех z е £7 имеем и (г) ^ hk (г), a lim hk (a) = —со, ибо
Аг-юо
и= —оо на целой дуге у. По теореме Харнака (п. 1,
Добавление) lim hk (г) = — оо для всех ze(/, а зна-
чит, ии(г)Е — оо в Uу т. е. а^Е. Таким образом, Е —
непустое открытое и замкнутое подмножество D, т. е.
Е = D и и (г) == — оо ъ D ►

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 313
При помощи этой теоремы доказывается следующая
теорема о стирании особенностей непрерывных
субгармонических функций.
Теорема 7. Пусть Е czD — множество, на котором
обращается в — оо субгармоническая в D функция v щё
щё — оо. Если функция и непрерывна в области D и
субгармонична в D\E, то она субгармонична в D.
«« Достаточно доказать субгармоничность и в любом
круге U = {\ z — a\^r} czD. Так как v ограничена сверху
на компактных подмножествах D, то, заменяя ее на
v — с, можно считать, что у<0 в ?7.
Пусть Л— любая гармоническая мажоранта и в U.
При любом е>0 на y = dU имеем u + ev^h, а так как
u + EV субгармонична в U (в точках U\E по условию,
а в точках Uf\E — по критерию (6), ибо она равна там
— оо), то u + ev^h и всюду в U. Для точек г е £/\£;
устремляя е к 0, мы найдем отсюда, что u(z)^h(z). Но
так как по теореме 6 множество U\E плотно в (/, а обе
функции и и h непрерывны в £/, то неравенство u*^h
справедливо всюду в U ►
Следствие. Если множество Е такое, как в теореме
7, a h — непрерывная в D и гармоническая в D\E функция,
то h гармонична в D.
< Достаточно применить теорему 7 к функциям h
и—Л ►
В заключение докажем одну теорему о верхнем
пределе последовательности субгармонических функций,
которая также будет нам нужна во второй части и которая
выражает свойство равномерности предельного
перехода при условии равномерной ограниченности функций
последовательности.
Теорема 6 (Хартогс). Если функции uk
субгармоничны в области D, равномерно ограничены на каждом
компактном подмножестве Due каждой точке z gD
Um uk (z) <Л, (8)
k —*■ CO
то для любого множества К ^D и любого г> 0 найдется
номер k0l такой, что
uk(z)<A + z (9)
для всех z&K и всех k^kQ.

314 ДОБАВЛЕНИЕ
< Без ограничения общности можно считать, что
функции равномерно ограничены в D, ибо К погружается
в область D'eD, на которой uk равномерно ограничены
по условию. Можно также считать, что uk^0 в D, ибо
вместо uk можно рассматривать функции uk — М> где М —
верхняя грань всех uk в D.
Пусть KeD и расстояние от К до 0D равно 3/*. Для
любой точки г0 е К из критерия субгармоничности uk мы
заключаем, что
nr*uk(z0)^ \\ uk(Qdo*). (10)
{ic-^:<r}
Воспользуемся теперь леммой Фату2), по которой
для любой ограниченной последовательности измеримых
на множестве Е функций uk\ —оэ^ик^с<аэ
lim jj \ uk do ^ ^ lim uk da.
По этой лемме в силу (8)
Tim $$ uk{l)do^A7ir2\
k^co {1С-г0'<г}
следовательно, для любого е>0 найдется £0 такое, что
при всех k^k0
ukg)da^U+~)nr\ (И)
{!£-Zol<r>
Пусть теперь г —любая точка круга {|г —г0|<б}, где
S < /*. Так как круг {| £ — г | < г + 8} е D, то по свойству
субгармоничности
{IS-2|<r+6>
а так как этот круг содержит {|£ — г0|<г} и у нас uk ^
<:0, то в силу (И)
л (г + б)2 и* (г)< $ § и* (Q da < ЯГ2 (л +1).
{i:-2oi<r}
х) Для получения неравенства (10) достаточно умножить обе
части (6) на г dr и проинтегрировать по г от 0 до г0 (см. п. 1. Доб.).
2) См., например, В. С. Владимиров, цит. на стр. 307.

ЗАДАЧИ
315
Выбирая б (при фиксированных А, г и е) достаточно
малым, получим, что для всех ге{|г-г0|<6} и всех
uk(z)^A + e.
Пользуясь леммой Хейне —Бореля, получаем утверждение
теоремы ►
Заметим, наконец, что наряду с субгармоническими
рассматривают также супергармонические функции —
двумерные аналоги функций, выпуклых вверх. Это —
полунепрерывные снизу1) в области D функции и: D->(—оо, ее],
для которых для любого-круга UmD и любой функции
Л, гармонической в U и непрерывной в U, неравенство
u^zh на dil влечет за собой такое же неравенство в U.
Изучение таких функций сводится к изучению
субгармонических функций, ибо для супергармоничности функции
и необходимо и достаточно, чтобы функция — и была
субгармонической.
Если всюду заменить гармонические функции двух
(действительных) переменных такими же функциями п
переменных, то можно рассматривать субгармонические и
супергармонические функции в областях пространства Rn.
ЗАДАЧИ
1. Привести пример функции ф, гармонической в круге [/={*2-(-
~{-#2<л:}, непрерывной в £/\{0}, равной нулю всюду на dU\{0\ и
не равной нулю тождественно. (Пример показывает, что освобождение
одной только точки границы от условий может привести к
неединственности решения задачи Дирихле. Ответ: <р=г 1 — Re —.]
2. Если у — гладкая кривая, а функция |Л непрерывна на у, то
действительная функция
я> (*)=5 и (С) in | Е—г || ^с I
у
называется логарифмическим потенциалом с плотностью ц. Доказать,
что а) (р гармонична вне у; б) если у — окружность {| г \ = г} и ц = 1,
то ср постоянна в круге {|г|<г}.
3. Пусть ф гармонична в верхней полуплоскости {lmz>0} и
равна нулю всюду на оси х. Доказать, что <р = а#, где а
—неотрицательная константа (ср. с задачей 12 гл. IV).
х) Функция и называется полунепрерывной снизу в точке г0, если
функция — и полунепрерывна сверху в этой точке.

316
ДОБАВЛЕНИЕ
4. Пусть функция и гармонична в области D, симметричной
относительно действительной оси IR. Доказать, что если и = 0 на D f) №,
то и {г) = —w (z).
5. Дано, что f (z) и zf (z) — комплексные гармонические функции
(т. е. комплекснозначные функции, удовлетворяющие уравнению
Лапласа). Доказать, что /—голоморфная функция.
6. Если гармонические функции фу положительны в области D и
ряд 2 фу сходится хотя бы в одной точке а е= Dt то он сходится
равномерно на компактах из D.
7. Пусть ф —действительная функция, гармоническая в
замкнутой области Z), за исключением конечного числа точек из D, в
которых она равна —оо. Доказать, что зирф = 5ирф.
D 6D
8. Доказать, что необходимое и достаточное условие
субгармоничности функции ф£С2 выражается неравенством
д2ю , д2ф л
т дх2 ^ ду1
9. Если функция ф субгармонична, а функция и на (R1 выпукла,
то их суперпозиция и°(р является субгармонической функцией.
10. Доказать, что предел убывающей последовательности
субгармонических функций является субгармонической функцией.
П. Пусть /—комплексная гармоническая в области D функция.
Доказать, чю если | / (= const в D, то и / = const.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля теорема 110
Автоморфизм дробно-линейный 55
— конформный 218
Автоморфные функции 241
Адамара теорема о трех кругах
292
— теоремы о целых функциях 274, 275
Аксиома отделимости 195
— Паша 58
Аналитическая дуга 230
— жорданова кривая 230
— функция 36, 169
— — действительного аргумента 230
Аналитический элемент 160
Аналитическое продолжение 154, 161
— — вдоль пути 163
— — непосредственное 160
Антиголоморфная функция 39
Антиконформность 38
Аргумент 11
Асимптотически меньше /<\ 264
Асимптотическое разложение 279
Бесконечная точка 12
Бесконечно связная область 23
Бесселева функция 282
— — порядка п 292
Бореля теорема 247
Вариационный метод 225
Вейерштрасса теорема 120, 257
Векторное произведение 10
Векторы равные 9
— сопряженные 9
Ветви аналитической функции 169,
173
Внешние точки 22
Вращение Лобачевского 63
Выпуклая функция 307
Вычет 145
— в бесконечности 147
Гамма-функция Эйлера 155
Гармоническая мажоранта 308, 309
— — наилучшая 312
— функция 295
Гиперболическая производная 77
Гиперболические комплексные числа
76
— функции 73
Гиперциклы 63
Главная ветвь логарифма 177
— часть (ряда Лорана) 129, 141
Гладкая кривая 21
Гладкий путь 19
Годограф 35
Голоморфная функция 36, 37
— — в смысле Вейерштрасса 116
— — — — Коши 116
— — — — Римана 116
Голоморфности область 158
Гомотопические классы 93
Гомотопность нулю 94
Гомотопные кривые 94
— пути 92, 93
Граница 22
— ориентированная 99
Граничные точки 22
— элементы 229
Группа А 48
Гурвица теорема 225
Движения в модели Лобачевского 58
Двоякопериодичность 241
Действительная часть числа 10
Декартова форма комплексного
числа 9
Диаметр множества 100
Дирихле задача 300
Дифференциал 33
Дифференциальная форма 91
— — замкнутая 91, 92
— — точная 91, 92
— — — локально 92
Длина пути 20
Дробно-линейный автоморфизм 55
— — изоморфизм 54
Жордана лемма 151
Жорданов путь 19
Жорданова кривая 21
— область 23
Жуковского функция 66
Задача Дирихле 300
Замкнутая плоскость С 12
Замкнутое множество 15
Замкнутый путь 18
Замыкание 15
Иенсена неравенство 271
Изолированная особая точка 135

318
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Изоморфные области 218
Инвариантность аналитического
продолжения вдоль пути относительно
гомотопных деформаций 167
— относительно конформных
отображений 298
Инверсия 52
Индекс пути 207
Интеграл 79, 90
— Коши 103
— Пуассона 302, 304
— типа Коши 151
— Шварца 305
Интегральная формула Коши 103
Канонические области 218
Канонический элемент 162
Каратеодори теорема 228
Кольца 0г% 0(D) 37
Компакт 224
Компактнфикация 12
— по Каратеодори 229
Компактная область 24
— принадлежность ((с:) 24
Компактное в себе семейство 224
—- множество 16
— семейство 222
Компактности принцип 16
Комплексное многообразие 197
Комплексные числа 10
— — гиперболические 76
Комплексный потенциал поля 42
Континуум 23
Конформно эквивалентные области
218
Конформность 38
— второго рода (антиконформнооть)
39
Конформный автоморфизм 218
— изоморфизм 218
Концы пути 18
Корень п-а степени 174
Коши метод 157
— неравенства 108, 132, 276, 305
— теорема 84, 94, 96, 99, 100
— — о вычетах 145
— — — гомотопии 94
— формулы для производных 115
Коши — Грина формула 105
Кривая 19, 82
— гладкая 21
— жорданова 21
— кусочно гладкая 21
— спрямляемая 21
Критерий субгармоничности 310
Критическая точка 37
Круг сходимости ряда 112
— — элемента 162
Круговое свойство 40
— — дробно-линейных отображений
49
Кусочно гладкая кривая 21
— гладкий путь 19
Лапласа оператор 295
Лемма о непрерывном продолжении
234, 235
Линейная связность 23
Лиувилля теорема 108, 109, 298
Лобачевского вращение 63
— расстояние 59
— сдвиг 63
— — предельный 64
Логарифм 177
Логарифмическая точка ветвления
186
Логарифмический вычет 204
— потенциал 315
Локальное обращение (голоморфных
функций) 210
Локальный гомеоморфизм 196, 201
— параметр 197
Лорана ряд 129
— теорема 127
Мероморфная функция 142, 143, 262
Метод Коши 157
— перевала 288
— седловой точки 291
— стационарной фазы 291
Метрика евклидова 13
— сферическая 13
Метрическое пространство 14
Миттаг-Леффлера теорема 249
Мнимая часть числа 10
Мнимые числа 10
Многосвязная область 23
Множество замкнутое 15
— компактное 16
— неопределенности 140
— ограниченное 16
— открытое 15
— связное 22
Модификация неравенств Коши 276,
305
Модуль И, 77
— непрерывности 101
Мореры теорема 115
Наилучшая гармоническая
мажоранта 312
Непосредственное аналитическое
продолжение 160
Непрерывность 30
— обобщенная 30
Неравенства Коши 108, 132, 276,
305
Неравенство Иенсена 271
Нуль порядка п 119
— функции 117
Область 22
— бесконечносвязная 23
— голоморфности 158, 262
— жорданова 23
— компактная 24
— многосвязпая 23
— односвязная 23
— сходимости 111
Обратные тригонометрические
функции 181
Общая показательная функция 183
— степенная функция 182
Обыкновенные точки римановой
поверхности 191

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
319
Объединение путей 81
Однолистная функция 25
Однолистность локальная 212
Односвязная область 23
Окружность на С 49
С 49
Оператор Лапласа 295
Ориентированная граница 99
Орициклы 64
Ортогональность степеней 80
Особая линия 136
— точка 127, 135, 183
— — изолированная 135, 183
— — — устранимая 135
— — многозначного характера 185
— — неизолированная 136
— — однозначного характера 183,
185
Открытая плоскость С 12
Открытое множество 15
— ядро 111
Открытость 22
Паша аксиома 58
Первообразная 83
Перемена ориентации 83
Пикара теоремы 243, 244, 245
Пикаровские исключительные
значения 244
Плоскость замкнутая С 12
— открытая С 12
Поверхность модуля 28
Показатель сходимости 273
Показательная функция 69
Поле комплексных чисел 10
Полунепрерывная сверху функция
307, 308
— снизу функция 315
Полюс 135
Полярная форма комплексного числа
11
Порядок нуля 119, 120
— полюса 139
— последовательности 274
— связности 23
— целой функции 263
— Л-точки 120
Последовательность 16
Потенциал поля комплексный 42
Потенциальная функция поля 42
Потенциальное поле 41
Правильная точка 137
— часть ряда Лорана 127
Предел функции 28
Предельная точка 15
— — последовательности 16
Предельный сдвиг Лобачевского 64
Принцип аргумента 206
— компактности 16, 223
— максимума модуля 214
— симметрии 234, 236
— соответствия границ 228
— сохранения области 209
— Фрагмена — Линделёфа 268, 271
— экстремума 298
Проекция 196
Произведение 10
Произведение векторное 10
— множеств 125
— скалярное 9
Производная 35
— гиперболическая 77
— по направлению 35
Проколотая окрестность 15
Пуанкаре — Вольтерра теорема 171
Путь 18
— гладкий 119
— жорданов 19
— замкнутый 18
— кусочно гладкий 19
— непрерывно дифференцируемый 19
— спрямляемый 20
Пучок ростков 201
Равенство аналитических функций
169
— векторов 9
Равномерно ограниченное семейство
221
— сходящийся ряд 106, 249
Равностепенно непрерывное семейство
221
Радиус сходимости 112
Расстояние Лобачевского 59
— между множествами 17
Рельеф 28
Римана теорема 225
Римана — Грина формула 97
Римана — Шварца теорема 236
Риманова поверхность 190, 198
Росток аналитической функции 172,
201
Рунге теорема 124, 208
Ряд Бурмана — Лагранжа 214
— Фурье 133
Свойство круговое 40
— ортогональности степеней 80
— сохранения симметричных точек
52
— — углов 40
Связное множество 22
Связность 22
— линейная 23
Связные компоненты 23
Сдвиг Лобачевского 63
— — предельный 64
Сечение пучка 201
Симметричные точки 51, 52
Симметрия 52
Скалярное произведение 9
Соленоидальное поле 41
Соотношение соседства 197
Сопряженные векторы 9
Сохоцкого теорема 140
— формула 152
Спрямляемая кривая 21
Спрямляемый путь 20
Степенная функция 64
Стереографическая проекция 12
Субгармоническая функция 308
Супергармоническая функция 315
Сумма ряда 106
Существенно особая точка 135
Сфера (комплексных чисел) Римана 13

320
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Сферическое изображение 12
Сходящаяся последовательность 16
Сходящееся произведение 256, 257
Сходящийся ряд 106, 249
Тейлора ряд 108
Теорема единственности 118, 297
— — конформных отображений 220
— о монодромии 170
— — полной сумме вычетов 148
— — среднем 104, 297
— существования мероморфной
функции 249
Тип целой функции 264
Тока функция 42
Топологическое пространство 15
Точка ветвления 185
— — бесконечного порядка 186
— — конечного порядка 186, 189
— — логарифмическая 186
— — римановой поверхности 191
Тригонометрические функции 72
Углойое граничное значение 229
Угловой порядок 268
— тип 268
Угол в точке со 46, 47
— параллелизма 78
Установившееся плоскопараллельное
течение жидкости 41
Устранимая точка 135
Фату лемма 3U
Формула Коши — Адамара 110
— Коши — Грина 105
— Римана — Грина 97
— Сохоцкого 152
— Эйлера 70
Формулы Коши для производных 115
Фрагмена — Линделёфа принцип 268,
271
— — теорема 269
Функции гиперболические 73
— тригонометрические 72
— элементарные 174
Функционал 223
— непрерывный 223
Функция 25
— автоморфная 241
— аналитическая 36, 169
— антиголоморфная 39
— Бесселя 282
— — порядка л 292
— выпуклая 307
— гармоническая 295
— голоморфная 36, 37
— — в смысле Вейерштрасса 116
— — — — Коши 116
— — — — Римана 116
— дробно-линейная 44
— Жуковского 66
— линейная 32, 44
Функция мероморфная 142, 143, 262
— модулярная 242
— общая показательная 183
— — степенная 182
— однолистная 25
— показательная 69
— полунепрерывная сверху 307
— — снизу 315
— потенциальная 42
— степенная 64
— субгармоническая 308
— супергармоническая 315
— целая 142
— — трансцендентная 142
— СгДифференцируемая 33
— (D-линейная 31
— [R-дифференцируемая 33
— [R-линейная 31
Фурье ряд 133
Харнака теорема 299
Хартогса теорема 313
Хаусдорфово пространство 195
Целая функция 142
— — бесконечного порядка 263
— — максимального типа 264
— — минимального типа 264
— — среднего типа 264
— — трансцендентная 142
Шварца интеграл 305
— лемма 216
— теорема 238
Эйлера гамма-функция 155
— формула 70
Эквивалентные метрики 14
— пути 18
— элементы 172
Эквидистанты 63
Элемент 160
Элементарные функции 174
Эллиптический интеграл первого рода
232
— синус 239
Л-точка 120
С-дифференцируемая функция 33
(D-линейная функция 31
R-дифференцируемая функция 33
R-линейная функция 31
Л-параллельность 58
Л-прямые 57
Л-точки 57
е-окрестность 14

Б. В. ШАБАТ
ВВЕДЕНИЕ
В КОМПЛЕКСНЫЙ
АНАЛИЗ
ЧАСТЬ