Автор: Селиванова В.В.
Теги: прочность сопротивляемость механика прикладная механика разрушение деформируемого тела
ISBN: 5-7038-1376-Х
Год: 1999
Текст
Прикладная механика
сплошных сред
Т. 2
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
СПЛОШНЫХ СРЕД
В трех томах
Т. 2
Научный редактор д-р техн. наук,
проф. В. В. Селиванов
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
1999
В.В. Селиванов
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
Рекомендовано Министерством
образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших технических учебных заведений
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
1999
УДК 539.4
ББК 22.25
С 29
Рецензенты: зав. кафедрой газовой и волновой динамики
механико-математического ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова
академик Е.И. Шемякин; зав. лабораторией волновых
процессов д-р физ.-мат. наук, проф. Н.Н. Смирнов; зав.
кафедрой теоретической и экспериментальной механики
Технического университета (МИФИ-4, г. Саров) д-р техн. наук, проф.
С.А. Новиков; зав. кафедрой прикладной математики МГТУ
им. Н.Э. Баумана д-р техн. наук, проф. B.C. Зарубин.
С 29 Селиванов В.В. Механика разрушения деформируемого тела:
Учебник для втузов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.
— 420 с. (Прикладная механика сплошных сред; Т. 2).
ISBN 5-7038-1376-Х (Т. 2)
ISBN 5-7038-1348-4
Во втором томе учебника изложены современные представления
о процессе разрушения деформируемого тела в условиях
статического, динамического и ударноволнового нагружения.
Систематизированы основные феноменологические модели статического, динамического
и ударноволнового разрушения деформируемого тела — от
физического представления процесса деформирования и разрушения тела до
детального описания хрупкого и вязкого разрушения с позиций микро- и
макроразрушений.
Рассмотрены проблемы прочности тела при деформировании, а
также вопросы образования и распространения трещин в хрупких и
пластичных материалах. Даны основы механики рассеянных
повреждений и линейной механики разрушения.
Подробно описаны процессы распространения ударных волн и волн
разрежения в твердых телах, механика и морфология высокоскоростного
деформирования и разрушения материалов при ударноволновом нагру-
жении.
В основу учебника положен материал лекций, читаемых автором
студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов и вузов.
Ил. 135. Табл. 16. Библиогр. 3 назв.
УДК 539.4
ББК 22.22
Выпуск книги осуществлен
при финансовой поддержке АОЗТ "ДИАС"
© В.В. Селиванов, 1999
ISBN 5-7038-1376-Х (Т. 2) @ Издательство МГТу
ISBN 5-7038-1348-4 им. Н.Э. Баумана, 1999
ПРЕДИСЛОВИЕ
Механика разрушения деформируемого тела является
важнейшим и обширнейшим разделом механики предельных состояний.
Научной и методической базой для этой дисциплины служит не
только механика сплошных сред, но и физика твердого тела,
механика рассеянных повреждений, теория дислокаций, линейная механика
разрушения, материаловедение, статистическая механика
разрушения и т.д.
Второй том учебника посвящен описанию конкретных моделей
и теорий, широко применяемых в механике предельных состояний
твердых деформируемых сред. Отдельные модели и теории в
пределах одной главы я попытался изложить таким образом, чтобы
читатель получил всю необходимую первоначальную информацию,
не обращаясь к другим учебникам или монографиям. Такая
структура учебника по фундаментальному курсу, на мой взгляд, является
наиболее удобной для студентов технических университетов.
В учебнике наряду с экспериментальными результатами и
практическими рекомендациями изложены фундаментальные
проблемы механики разрушения твердых деформируемых сред.
Некоторые вопросы механики предельных состояний описаны на уровне
элементарных вводных понятий и теорем, так как существуют
специальные курсы, учебники и учебные пособия, где соответствующие
теории приведены максимально подробно. Прежде всего это
относится к теориям ползучести и усталости, дислокационным моделям
механики разрушения и задачам распространения множественных
трещин.
Основой для подготовки второго тома учебника послужили
записи моих лекций, которые в течение десяти лет я читал студентам
факультета "Специальное машиностроение" МГТУ им. Н.Э.
Баумана.
В заключение считаю своим долгом поблагодарить доцента
А.В. Бабкина за его вклад в научное редактирование ряда разделов
второй и седьмой глав учебника, что позволило существенно
улучшить как содержание этих глав, так и форму представления учебно-
го материала. Я признателен профессору B.C. Зарубину за
плодотворные обсуждения принципиальных проблем классификации
режимов нагружения твердых деформируемых сред, а также
профессору Б.А. Прусакову, оказавшему неоценимую помощь при
подготовке материалов, иллюстрирующих различные механизмы
разрушения металлов.
В.В. Селиванов
ВВЕДЕНИЕ
Современные конструкции представляют собой совокупность
пространственных элементов или, другими словами,
пространственную совокупность плоских и линейных элементов,
работающих в условиях статического, квазистатического или динамического
нагружения. Правильная оценка прочности и степени разрушения
отдельных элементов и конструкции в целом с учетом всех
характерных особенностей конфигурации элемента, свойств материала,
характера нагружения имеет первостепенное значение при
определении надежности работы конструкции. Во втором томе учебника
механизмы и критерии разрушения деформируемых твердых тел
рассмотрены главным образом применительно к основным
конструкционным материалам — металлам и их сплавам.
Под нагружением конструкций понимается процесс
приложения к телу внешних силовых факторов, например внешних
поверхностных или объемных сил, характеризуемых определенным
законом изменения во времени. Процесс нагружения количественно
описывается такими характерными параметрами, как время
возрастания нагрузки до максимального значения ?тах> интенсивность или
максимальное абсолютное значение внешних силовых факторов ртах
(например, внешних поверхностных сил), длительность действия
нагрузки t\.
Информация об изменении во времени внешних поверхностных
или объемных сил распространяется в теле с конечной скоростью
посредством звуковых или ударных волн. Следовательно,
классификация режимов нагружения твердых тел может быть основана на
сопоставлении временных характеристик закона нагружения (Jmax, h)
с характерным временем L/C распространения информации по
телу, а также на сопоставлении максимального значения ртах внешних
силовых факторов с некоторыми значениями огт, сгв и рг,
определяющими свойства пластичности и прочности материала. Здесь L —
характерный размер элемента конструкции; С — скорость звука
в материале твердого тела .(в зависимости от характера
деформирования это может быть скорость продольной упругой волны Се;
скорость объемной волны Су, скорость пластической волны Ср,
скорость волны сдвига С\ и т.д.); <7Т и ав — соответственно пределы
текучести и прочности (временное сопротивление) материала при
одноосном напряженном состоянии; рг - упругий предел на ударной
адиабате Гюгонио в ударной волне при одноосном деформированном
состоянии.
По времени возрастания и времени действия нагрузки нагруже-
ние условно можно разделить на статическое, квазистатическое
и динамическое.
Вне зависимости от интенсивности внешних поверхностных
сил Ртах нагружение будем называть статическим при бесконечно
медленном изменении нагрузки (?тах —¦ оо, t\ —> со). Довольно
часто под статическим нагружением понимается такое состояние
элементов конструкции, когда они нагружаются за некоторое конечное
время tmax, но затем находятся под действием практически
неизменной нагрузки достаточно длительное время t\. Очевидно, что в
буквальном смысле статическое нагружение мыслимо лишь
теоретически, а любое реальное нагружение является в той или иной
мере динамическим и осуществляется, как правило, за конечное время
при конечной длительности нагрузки. Поэтому на практике в
зависимости от временных характеристик процесса нагружение
разделяют на квазистатическое (близкое к статическому) и собственно
динамическое^ когда время является значимым фактором.
Квазистатическим будем называть нагружение с временем
возрастания нагрузки до максимального значения, превышающим
время двойного пробега звуковой волны по элементу
конструкции (fmax > 2L/C). Главным в определении понятия
квазистатического нагружения является то, что к моменту ?тах
достижения нагрузкой максимального значения весь элемент "откликнулся"
на процесс приложения нагрузки и полностью вовлечен в
движение. При этом весь элемент находится в определенном напряженно-
деформированном состоянии, зависящем как от закона изменения
нагрузки в месте ее приложения, так и от условий нагружения в
других областях тела.
Динамическим будем называть нагружение, для которого
характерно малое время возрастания нагрузки до максимального
значения (?тах < 2L/C). При этом для момента ?тах
характерно существование значительной пространственно-временной
неоднородности напряженно-деформированного состояния в теле, когда
одни части тела в процессе деформирования "не успевают"
получить информацию о характере внешних сил, условиях закрепления
или движения деформируемой среды на других участках тела.
8
В зависимости от интенсивности внешних силовых факторов
нагружение условно можно разделить на слабое и сильное. ,
Для слабого нагружения в статическом и квазистатическом
случаях (артах < 0"т Для пластичных материалов или артах < аь «
« ае для хрупких материалов) характерно отсутствие
пластических деформаций для пластичных материалов и разрушения для
хрупких материалов, а в динамическом случае (артах < рг) —
отсутствие пластического течения за фронтом волн напряжений, т.е.
возможны образование и распространение только упругих волн и
генерирование упругих осцилляции различной интенсивности. Здесь
а - коэффициент согласования, зависящий от особенностей
нагружения и вида напряженного состояния; ае — коэффициент
пропорциональности (предел упругости), который для хрупких материалов
практически совпадает с пределом прочности.
Условие сильного нагружения в статическом и
квазистатическом случаях (артах > ат или артах > <тв « ае) определяет
появление плоскостей сдвига, общего пластического течения и
деформационного упрочнения для пластичных материалов либо зарождение и
развитие трещин, образование одной или нескольких поверхностей
разрушения для хрупких материалов. В случае динамического
нагружения аналогичное условие (артах > рг) является необходимым
для возникновения ударных волн в твердых телах, за фронтами
которых, как правило, наблюдается значительное объемное сжатие,
высокоскоростное пластическое течение, сопровождаемое
изменением микроструктуры материала, и динамическое разрушение,
приводящее к образованию множественной поврежденности, отколов и
интенсивной фрагментации отдельных объемов материала.
Таким образом, можно условно выделить три основных режима
нагружения — статический, квазистатический и динамический (по
времени приложения и времени действия нагрузки), каждому из
которых могут соответствовать слабое и сильное (по интенсивности
нагрузки) нагружения, а также специфический характер реакции
материала на внешнее воздействие.
Достаточно часто в прикладных дисциплинах используются
особые наименования некоторых режимов нагружения. Например, в
физике взрывных и ударных процессов сильное динамическое
нагружение называют ударно волновым. При таком нагружении в теле
возникает ударная волна — резкий скачок параметров движения и
9
состояния, распространяющийся со сверхзвуковой скоростью и
подвергающий материал необратимым изменениям вследствие
высокоскоростного деформирования. Этот процесс характеризуется
образованием локальных областей напряжений и деформаций,
способствующих появлению разрушения в одной части тела независимо
от того, что происходит в другой его части.
В практических приложениях можно объединить статический
и квазистатический режимы нагружения и не разделять их на
слабое и сильное, определив это обобщение как статическое (или
квазистатическое) нагружение. Под динамическим нагружением
условимся понимать слабое динамическое нагружение, отличая его
от ударноволнового нагружения (или сильного динамического),
чтобы подчеркнуть принципиально иной характер процессов
деформирования и разрушения материала в случае формирования и
распространения ударных волн, т.е. будем считать ударноволновое
нагружение особым (предельным) случаем динамического нагружения.
Итак, в соответствии с приведенными определениями и
замечаниями при дальнейшем изложении будем пользоваться следующей
условной классификацией режимовов нагружения:
— статическое или квазистатическое
(со > *max > 2L / С, артах = var);
— динамическое (Jmax < 2L/C, артах < рг);
— ударноволновое (*тах < 2L/C, артлх > рГ).
Предложенная условная классификация режимов нагружения в
механике сплошных сред принципиально отличается от классификации,
принятой в строительной механике, где для расчета напряжений,
деформаций и прогибов нагруженных элементов конструкций также выделяют
характерные области состояния, соответствующие различным стадиям
деформирования. Однако классификация режимов нагружения в
строительной механике основана на анализе реакции линейной упругой
системы с одной степенью свободы на нагружение различной
продолжительности Т, а уровень максимальной нагрузки р = ртлх не входит в
качестве определяющего параметра в систему классификации. -Такая
простейшая динамическая система представляет собой упругую пружину,
один конец которой неподвижно закреплен, а на другом конце
находится груз массой 7П. Решение уравнения движения, описывающего
вынужденные неустановившиеся динамические колебания упругого
осциллятора с одной степенью свободы при воздействии на него
синусоидальной возмущающей силы или ударного импульса, дает зависимость
максимальной динамической деформации X = хк / р от комплекса иТ, где
х — перемещение; к — жесткость пружины; lj = (к / тпI'2 — собственная
10
частота осциллятора. При значениях иТ > 40 и иТ < 0,4 общее
решение весьма точно может быть аппроксимировано соответственно двумя
асимптотами, уравнения которых получаются из уравнений
энергетического баланса. Используя это обстоятельство, в строительной механике
выделяют три характерных режима нагружения конструкции.
Квазистатический режим нагружения конструкций реализуется
при иТ > 40, а уравнение асимптоты имеет вид X = 2, где 2 —
коэффициент динамичности нагрузки, используемый в строительной механике
для оценки динамического нагружения конструкций в квазистатическом
режиме. Название "квазистатический" обусловлено тем, что в
рассматриваемой области максимальный динамический прогиб нагруженного
элемента конструкции вдвое больше статического. Условие и>Т > 40
означает, что продолжительность нагрузки Т на два порядка превышает период
2тг/са/ собственных колебаний нагружаемой конструкции, т.е. в режиме
квазистатического приложения нагрузки деформация зависит только от
амплитуды нагрузки ртлх и коэффициента жесткости конструкции А:, но
не зависит от продолжительности Т нагрузки и массы m конструкции.
Так как особенностью квазистатического режима нагружения является
большая продолжительность нагружения, то до момента достижения
максимальной деформации конструкции лишь незначительная часть работы
внешних сил аккумулируется в виде потенциальной энергии
деформирования.
При ljT < 0, 4 (уравнение асимптоты X = шТ) максимальное
значение перемещения прямо пропорционально произведению рТ, которое
определяет площадь под кривой изменения нагрузки р во времени, т.е.
импульс /. Поэтому данный режим нагружения принято называть
импульсным режимом нагружения конструкций. Условие шТ < 0,4
означает, что нагрузка, воздействующая на конструкцию, исчезает еще до того,
как конструкция претерпит заметное деформирование, т.е. в режиме
импульсного приложения нагрузки продолжительность ее действия мала по
сравнению с характерным временем реакции конструкции.
В широком диапазоне значений 0,4 < иТ < 40 существует третий
режим нагружения, который является переходным от режима
квазистатического приложения нагрузки к импульсному режиму. Этот режим в
строительной механике называют динамическим режимом нагружения
конструкций. При этом деформация конструкции определяется законом
изменения нагрузки во времени.
Очевидно, что, несмотря на формальное подобие наименований трех
режимов нагружения в задачах строительной механики аналогичным
наименованиям, предложенным для условной классификации режимов
нагружения сплошных сред, они определяют различные физические и
механические явления. Это связано с тем, что в задачах механики
сплошных сред главным объектом исследований являются не элементы
конструкции, как единое целое, а твердые деформируемые среды, из
которых состоят эти элементы, и законы их деформирования и разрушения.
11
Проблема разрушения — центральная проблема механики
разрушения деформируемого тела. Границы этой научной дисциплины
достаточно широки, что продиктовано необходимостью
использовать для изложения не только достижения физики и механики, но
и основные понятия физической химии, металловедения, технологии
обработки металлов давлением и термообработки и т.д. Главная
цель механики разрушения деформируемого тела — определение и
формализованное описание условий разрушения твердых тел
различной формы, находящихся под действием заданных нагрузок в
определенных внешних условиях. Достижение этой цели может
осуществляться в рамках механики сплошных сред, если при
постановке и решении задач определения напряженно-деформированного
состояния при заданных начальных и граничных условиях
удается учесть процессы развивающегося разрушения, т.е.
сформулировать условия разрушения в терминах механики сплошных сред.
Континуальные модели разрушения в механике разрушения
деформируемого тела формулируются обычно на совокупной базе общих
теоретических соображений и многочисленных экспериментальных
данных, а затем с помощью этих моделей решаются практические
задачи прочностных расчетов при проектировании различных
конструкций, машин и механизмов.
Условимся понимать под разрушением тела исчерпание им
своей несущей способности, которое происходит либо вследствие
беспрепятственного пластического течения (неограниченного
изменения формы), либо вследствие накопления повреждений и развития
трещин, либо вследствие совокупности обоих процессов (смешанное
разрушение). Способность тела сопротивляться деформированию
без нарушения сплошности будем называть прочностью, а
способность тела сопротивляться возникновению и последующему
развитию трещин — трещиностойкостью (в дословном переводе с
английского — "вязкостью разрушения"). Процесс разрушения
тела зависит от структуры материала и ее несовершенств, внешних
условий (характера нагружения, температуры, химического
состава окружающей среды, радиационного фона), наличия в
материале повреждений различных размеров, времени и ряда других менее
значимых факторов.
Для решения проблем динамики разрушения деформируемого
тела большое значение имеют подробный анализ физического
механизма процесса деформирования и изучение структуры
поверхностей разрушения. Феноменологические аспекты квазистатического,
12
динамического и ударноволнового типов деформирования и
разрушения, а именно зарождение, рост и коалесценция
микроповреждений или трещин, одинаковы для всех скоростей нагружения.
Успешное предсказание характера деформирования и разрушения по
состоянию микроструктуры материала обычно связано с необходимостью
изучения основных закономерностей кинетики разрушения. Для
построения соответствующих физических концепций существуют три
возможных источника получения необходимой информации:
аналитические модели процессов деформирования, а также кинетики
образования и роста микропор и трещин; экспериментальные
исследования с контролируемыми параметрами нагружения и с
последующим количественным описанием процессов деформирования и
разрушения на микроструктурном уровне; алгоритмы и
программы, разрабатываемые на основе численного интегрирования
дифференциальных законов сохранения с учетом нелинейности физических
и механических экспериментальных соотношений. Во втором томе
учебника использованы в основном два* первых источника
получения информации о процессах деформирования и разрушения
твердого тела, а методы получения информации с помощью численного
решения задач механики деформируемого тела будут подробно
изложены в третьем томе ("Численные методы в задачах физики взрыва
и удара").
В настоящее время оценка прочности и надежности
конструкционных материалов, основанная на фундаментальных понятиях и
феноменологических моделях механики деформируемого твердого
тела, механики рассеянных повреждений и механики разрушения,
занимает важное место при разработке новых материалов или
способов и режимов их термомеханического упрочнения. Для описания
процессов деформирования и разрушения твердых тел применяют
три основных подхода.
Первый подход — традиционное использование критериев
прочности и пластичности для оценки предельных параметров
напряженно-деформированного состояния, вызывающих течение
пластичных материалов или (значительно реже) разрушение
хрупких материалов. Вообще говоря, не очевидно, что напряженное
состояние само по себе должно определять начало текучести или
разрушения. Существенным может быть влияние
микроструктуры материала, микро- и макродефектов, температуры окружающей
среды, времени приложения нагрузки и других факторов. Однако
есть широкий класс материалов и практически важный диапазон
условий, для которых указанные эффекты имеют второстепенное
13
значение. В этом случае правомерно использование критериев
прочности и пластичности, которые издавна находят широкое
применение в конструкторской практике. Критерии статической прочности
и пластичности не включают как время разрушения, так и
величины, имеющие размерность длины. Они широко используются в
статическом и квазистатическом приближении. При этом критерии
подобия (безразмерные определяющие параметры), построенные на
основе критериев прочности и пластичности, не зависят от
характерного размера тела, т.е. с помощью этих критериев в
принципе не может быть описано явление масштабного эффекта при
разрушении. В случае динамического или ударноволнового
характера внешних нагрузок необходимо учитывать существенное влияние
скорости деформаций на характеристики прочности и пластичности
(например, пределы текучести и прочности), входящие в структуру
критериев прочности и пластичности в виде постоянных величин,
характеризующих механические свойства среды.
Второй подход — использование критериев механики
разрушения при проектировании наиболее ответственных конструкций,
узлов и агрегатов, которые могут разрушаться путем быстрого ма-
крохрупкого распространения трещин, так как экспериментальные
методы испытаний на трещиностойкость материалов наиболее
адекватно моделируют условия функционирования конструкций
(систему трещин, вероятность существования различных дефектов,
внешние условия, в том числе и параметры окружающей среды, тип
напряженного состояния и т.д.). Квазистатические критерии
механики разрушения дают возможность оценить предельное состояние
нераспространения трещины в зависимости от ее размера и
конфигурации, а также от приложенной нагрузки. Динамические критерии
механики разрушения позволяют оценить условия зарождения
трещин и процессы их распространения. В случае нагружения твердого
тела взрывом и ударом образуется большое число трещин и
рассмотрение каждой из них в отдельности в рамках известных моделей
механики разрушения представляет собой практически
неразрешимую задачу. Поэтому при моделировании процессов
ударноволнового нагружения, сопровождающихся высокоскоростным
деформированием материала и его множественным разрушением, этот подход
применим лишь в частных случаях, например для моделирования
распространения магистральных трещин.
Третий подход, получивший название механики рассеянных
повреждений, связан с описанием развивающихся с течением времени
систем трещин через их изменяющиеся во времени характеристики:
14
число трещин на единицу объема или поверхности, средний размер
трещины, закон распределения трещин по размерам, распределение
трещин по направлениям и т.д. Этот подход представляется
наиболее перспективным при описании процессов разрушения при удар-
новолновом нагружении, вызывающем множественные разрушения
твердого тела. В то же время в некоторых случаях
динамического разрушения могут применяться и первые два подхода, а также
их сочетание (например, распространение магистральных трещин
может описываться с помощью критериев механики разрушения, а
процесс развития микроповреждений — с помощью моделей
механики рассеянных повреждений).
Следовательно, необходимо иметь ясное представление о
физической сути различных подходов к оценке прочности и трещино-
стойкости материалов, а также о возможностях применения
критериев прочности, критериев механики рассеянных повреждений и
механики разрушения в различных условиях и практических
ситуациях. Поэтому при анализе процесса разрушения в целом везде,
где это возможно, одновременно изучаются связи микромеханизма
разрушения с макроскопическими аспектами разрушения для
статических, динамических и ударноволновых нагрузок, обсуждаются
физические особенности явлений, сопровождающих процессы
деформирования и разрушения, а также даются пояснения
практического характера. При этом приводится по возможности минимальное
количество формальных математических выкладок — только тех,
без которых нарушилась бы целостность изложения и был бы
нанесен ущерб количественному описанию полей напряжений, во многом
определяющих характер и интенсивность процессов
деформирования и разрушения различных материалов.
15
Глава 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
1.1. Механические явления в твердых телах
Модель реального твердого тела может быть
представлена сплошной средой с определенными физико-механическими
свойствами, заключенной в области D объема V с площадью
поверхности S. Движение частиц тела, находящегося под
действием внешних сил, температуры и других факторов,
определяется в большой степени физическим и механическим
поведением среды.
Физическое поведение среды характеризуется
уравнением состояния
<7 = <7(?,ё,Т,...), A.1)
которое устанавливает связь между средним напряжением а
(давлением р) и средней деформацией е (плотностью р) в
зависимости от температуры Г, средней скорости деформации
? и других параметров. Выбор уравнения состояния во
многом зависит от характера объемного деформирования среды,
которое связано с одним из фундаментальных ее свойств —
16
сжимаемостью, означающей способность среды изменять свою
плотность в зависимости от действующего давления
р = р(р). A.2)
Механическое поведение сплошной среды определяется
способностью среды сопротивляться сдвиговым напряжениям,
что связано с ее основными свойствами (упругостью,
пластичностью, вязкостью), а также с изменением формы области,
занятой средой, и проявляется различно в реальных средах.
Механическое поведение среды при нагружении описывает
уравнение
*; = *,¦(?,¦,?,•, Г,...), A.3)
которое устанавливает связь между инвариантами —
интенсивностью напряжений а,- как основной характеристикой
касательных напряжений и интенсивностью деформаций Е{ как
основной характеристикой сдвиговых деформаций в
зависимости от температуры Т, интенсивностью скорости деформаций
ег и других параметров. Уравнение A.3) принято называть
уравнением механического поведения среды. Его
устанавливают экспериментально или теоретически для каждой среды
отдельно с учетом ее физико-механических свойств.
При статическом нагружении, фиксированных
температуре и других параметрах уравнение A.3) упрощается и
принимает вид
а{ = а{(е{). A.4)
Вид уравнения A.4) зависит от физико-механических свойств
среды и характера процесса деформирования.
Для упругопластической среды, подверженной
одноосному растяжению, уравнение A.4) можно представить в виде
диаграммы а\ — е\ (рис. 1.1), где а\ — максимальное
главное напряжение, а е\ — максимальная главная
растягивающая деформация. Здесь сила Р, растягивающая образец,
отнесена к первоначальной площади поперечного сечения 5о, а
удлинение образца Д/ — к первоначальной длине образца /о»
17
Рис. 1.1. Условная диаграмма одноосного
растяжения (ег > ?i)
т.е. о\ — P/Sq и ?1 = Д///о- В этом случае не
учитывается изменение площади поперечного сечения образца и
предполагается равномерное деформирование образца по всей его
длине. Поэтому график, приведенный на рис. 1.1, называется
условной диаграммой растяжения (иногда ее называют
просто диаграммой растяжения).
С помощью приведенной диаграммы, описывающей
простейший пример одноосного растяжения упругопластического
стержня, определим некоторые понятия и параметры
деформированного состояния твердого тела, которые будут
востребованы при дальнейшем изложении учебного материала. С
подробным физическим и математическим описанием
приведенных ниже определений можно ознакомиться в первом томе
учебника "Основы механики сплошных сред".
Упругой деформацией называется не зависящее от
времени относительное удлинение, исчезающее при снятии
нагрузки (деформации, соответствующие напряжениям а\ < ае
на рис. 1.1). Если снижение внешней нагрузки не приводит к
уменьшению деформации, то последняя называется неупругой.
В начальной стадии нагружения зависимость
напряжения от деформации является линейной. При некотором на-
18
пряжении Gi > <7е, называемом пределом упругости,
линейная зависимость нарушается, и при разгрузке исходная форма
растягиваемого образца не восстанавливается. Независящая
от времени деформация, которая сохраняется после
разгрузки, называется пластической деформацией (ер).
Рост деформации при постоянном напряжении
называется ползучестью. Если воздействием внешних сил вызвать
деформирование материала и поддерживать деформацию
постоянной, то с возникновением деформации появится
соответствующее напряжение, которое с течением времени может
уменьшаться. Снижение напряжения при постоянной
деформации называется релаксацией. Процесс релаксации
характеризуется временем релаксации. Время релаксации
существенно различается для разных материалов при разных уровнях
деформации: для земной коры — тысячелетия; для стекла —
столетия; для воды — 10~п с.
Пределом текучести аТ называется напряжение,
требуемое для создания некоторой заданной малой пластической
деформации, например ао,2? где остаточная деформация
стандартного образца е = 0,2 %. Предел прочности при
растяжении (временное сопротивление) ав есть значение
максимальной нагрузки, при которой начинается локализация
деформации — образование шейки.
Материалы, в которых перед разрушением происходит
значительное пластическое деформирование, называют
пластичными, или "вязкими". Если же заметная пластическая
деформация перед, разрушением отсутствует, то материалы
называют хрупкими. Вязкое разрушение принято связывать
с определенными реологическими моделями течения
деформируемых сред (идеальная пластичность, пластичность с
упрочнением, ползучесть и др.). Хрупкое разрушение принято
моделировать с помощью механизмов накопления рассеянных
повреждений и распространения магистральных трещин.
Непрерывное растяжение образца может привести к
постепенному уменьшению площади поперечного сечения до ис-
чезающе малой величины (рис. 1.2, а). Такой процесс,
характерный для материалов, обладающих высокими
пластическими свойствами, называется разрывом. Если разделение
образца на две части произойдет при меньшем удлинении, чем это
19
Рис. 1.2. Схемы разрыва (а) и разрушения (б) материала
при одноосном растяжении
необходимо для разрыва, то такой процесс называется раз-
рушением (рис. 1.2, б). Разрушение характерно для
большинства конструкционных материалов, в том числе для металлов
и их сплавов.
Отношение остаточного удлинения разрушенного образца
к его первоначальной длине называется остаточным
относительным удлинением при разрыве 6 (см. рис. 1.1).
Недостаток этого показателя, как меры пластичности, состоит в том,
что он характеризует условную, а не истинную деформацию,
а также зависит от длины и других размеров образца.
Мерой пластичности может служить относительное поперечное
сужение *ф, определяемое как отношение изменения площади
поперечного сечения образца к первоначальной площади, т.е.
ф = (So - S)/So.
Для характеристики сопротивления материала ударному
нагружению (стандартные динамические испытания)
используется метод испытаний на ударный изгиб надрезанных
образцов, подробно описанный в разделе 6.2. При этом
определяется значение ударной вязкости материала KCU = Лн/5, где
Ан — работа, затраченная на деформирование и разрушение
надрезанного образца материала при ударе по нему
маятникового копра; S — площадь поперечного сечения образца в месте
надреза до испытания.
Экспериментальные исследования показали, что
существуют два типа материалов, характеризуемых "поведением"
отношения деформационных параметров разрушения,
например относительного поперечного сужения фу к энергетическим
параметрам, например к ударной вязкости материала KCU:
? = i/j/KCU. Для материалов первого типа деформационные
20
характеристики и удельная работа разрушения с увеличением
скорости деформации ё изменяются эквидистантно, при этом
вид зависимостей ф{е) и KCU(e) не играет роли, а значение
f определяется по статическим значениям соответствующих
параметров. В качестве примера к материалам первого типа
можно отнести сталь 20 и сталь 50. Для материалов
второго типа отношение f является переменной величиной,
зависящей от скорости деформации, и динамическое поведение таких
материалов нуждается в дополнительных исследованиях.
Однако в настоящее время не имеется достаточно корректных
результатов, чтобы разделить материалы по типам с учетом
их склонности к изменению своих механических свойств в
зависимости от интенсивности динамической нагрузки.
В инженерной практике основными механическими
характеристиками металлов обычно считают предел текучести
сгт, предел прочности ав и относительное поперечное
сужение ф, отвечающее моменту разрушения. Высокий уровень
относительного сужения (реже относительного удлинения)
связывают с высоким уровнем пластичности материала,
гарантирующим высокую эксплуатационную работоспособность
конструкции.
Пределы упругости ае, текучести <тт и прочности аъ при
сжатии материалов, как правило, больше, чем при
растяжении, а различие между диаграммами растяжения и сжатия
для хрупких материалов значительнее, чем для пластичных.
С увеличением скорости деформации (в2 > ё\ на рис. 1.1)
пределы текучести и прочности повышаются, площадка
текучести практически исчезает, а деформация, соответствующая
пределу текучести, уменьшается. Первичное пластическое
деформирование материала снижает его сопротивление
пластическому деформированию при повторной нагрузке, имеющей
направление, противоположное первичному. Это явление
называется эффектом Баушингера. Например, пределы
упругости и текучести на диаграмме (рис. 1.3) при первоначальном
сжатии соответствуют точкам А\ и В\. После растяжения до
точки С (кривая ABC) с последующей разгрузкой до точки D
и сжатием до точек A<i и Вч пределы упругости и текучести на
21
в<
h
Рис. 1.3. Условная диаграмма одноосного
растяжения — сжатия для мягкой стали
сжатие на участке упругих деформаций CDB2 соответствуют
точкам Л2 и 2?2. Если материал подвержен действию
эффекта Баушингера, то значения пределов упругости и текучести
в точках ^2 и /?2 меньше соответствующих значений в точках
А\ и 2?i, которые характерны для материалов, не
подверженных действию эффекта Баушингера.
Механические свойства твердых деформируемых сред, их
способность к пластическому деформированию, типы их
разрушения, особенности этих процессов в основном
определяются фундаментальными свойствами твердых тел — их
внутренним строением и дефектами кристаллической структуры.
1.2. Строение кристаллических твердых тел
Твердые тела имеют кристаллическое или аморфное
строение. Кристаллическое твердое тело представляет собой
совокупность множества произвольно расположенных и
взаимно связанных кристаллов. Кристалл есть твердое
вещество (здесь не рассматривается класс жидких кристаллов),
обладающее трехмерной периодической атомной структурой
и при равновесных условиях образования имеющее
естественную форму правильных симметричных многогранников. Сле-
22
довательно, кристаллическое строение характеризуется
правильным, закономерным расположением частиц (атомов,
молекул) в пространстве.
Природные кристаллы, из которых сформированы
твердые тела, в первом приближении соответствуют идеальному
кристаллу, атомное строение которого характеризуется
трехмерным, периодически повторяющимся расположением в
пространстве составляющих элементов — кристаллической
решеткой. Вместе с тем в каждом отдельном реальном
кристалле могут существовать (и реально всегда существуют)
отклонения от идеальной решетки. Несмотря на то что
плотность этих отклонений большей частью весьма мала, они на
многие физические и механические свойства материала
оказывают значительное, а на некоторые из них — решающее
влияние.
Введем понятие свободной энергии термодинамической
системы: F = Е — Т5, где Е — внутренняя энергия
системы; Т — температура; 5 — энтропия; TS — связанная
энергия системы. Свободную энергию F твердого тела
можно представить в виде суммы двух слагаемых: F = Fx + FT,
где Fx — энергия колебательного движения атомов тела при
Т — О К, которая является функцией объема (так
называемая энергия нулевых колебаний, или "холодная"
составляющая энергии); FT — энергия колебательного движения
атомов тела при Т > О К, которая является функцией удельного
объема и температуры ("тепловая" составляющая энергии).
Равновесному состоянию вещества соответствует самый
низкий уровень свободной энергии F (ниже, чем при
хаотическом расположении атомов). Действительно, атомы
твердого тела прочно связаны один с другим межатомными силами
взаимодействия, но не могут сблизиться настолько, чтобы
наступило их взаимопроникновение и резко возросла плотность
тела. Таким образом, модель твердого тела должна
отображать возникновение сил притяжения между атомами при
значительном удалении их один от другого и сил отталкивания
при слишком тесном сближении атомов. Такая модель
соответствует взаимодействию упругих шаров, центры которых
23
а0
<э©
Рис. 1.4. Идеализированные схемы
двумерных плотноупакованных структур
соединены с помощью упругой пружины (рис. 1.4, а). Если с
помощью внешней силы попытаться сблизить шары,
возникают упругие силы, которые противодействуют сближению и
отодвигают шары на некоторое (равновесное) расстояние ао
между центрами шаров. При увеличении расстояния между
центрами шаров на величину а > clq возникают упругие силы
противоположного знака, препятствующие расхождению
шаров.
При столкновении двух шаров самый низкий
энергетический уровень соответствует их касанию. Для трех шаров
самый низкий уровень свободной энергии соответствует
расположению шаров в вершинах треугольника при их взаимном
касании (рис. 1.4, б). Для семи шаров, центры которых
находятся в одной плоскости, низший уровень энергии соответствует
гексагональному расположению, когда шесть шаров
окружают один центральный шар при взаимном касании (рис. 1.4, в).
N шаров, располагаясь вокруг центрального шара, будут
повторять определенное число раз симметрию исходной группы.
При таком идеальном порядке число взаимодействующих пар
максимально при минимальном значении свободной (или
потенциальной) энергии.
Действительно, кристалл конкретного вещества при своем
естественном росте от элементарной ячейки до некоторого объема в процессе
кристаллизации присоединяет к себе определенный сорт атомов только
потому, что вся система в целом стремится к наименьшему возможному
24
значению энергии. Как же кристаллическая система узнает, что
составляющие ее атомы, будучи поставлены в конкретные места, приведут к
наименьшему значению потенциальной энергии этой системы? Дело в
том, что каждый атом взаимодействует с соседними примерно 1013 раз
в секунду. Если атом "ударяется" о подходящее место в растущем
кристалле, то вероятность того, что он улетит обратно, будет меньше там,
где реализуется меньшая потенциальная энергия. В результате метода
проб и ошибок атомы остаются в положении, для которого характерно
наименьшее значение потенциальной энергии, что и приводит через
некоторое (довольно длительное) время к росту больших кристаллов,
составляющих твердые кристаллические тела.
Пусть симметрия плотноупакованной атомной плоскости
кристаллической решетки нарушена в результате изменения
положения только одного атома (например, центрального
атома на рис. 1.4, в). Перемещение атома из внутренней части
плоской структуры на край уменьшает общее число связей,
при этом восстанавливаются только две или три связи.
Атомы не могут перестроиться так, чтобы полностью
восстановить утерянные связи, т.е. расположение атомов с высокой
степенью симметрии и есть конфигурация, соответствующая
минимуму энергии. Следовательно, нарушение идеальной
симметрии плотноупакованных двумерных структур
сопровождается поглощением энергии. Аналогичное заключение можно
сделать и относительно трехмерных структур.
Если расположение атомов в кристалле многократно
повторяется в определенной последовательности, можно с
помощью простого переноса выделить элементарную ячейку, с
помощью которой построена вся структура кристалла путем
бесконечных перемещений ее на некоторые кратные
расстояния. Следовательно, элементарная кристаллическая ячейка
представляет собой объем, с помощью которого бесконечным
числом переносов (трансляций) в трех направлениях можно
построить весь кристалл.
Простейшим примером кристаллической ячейки
является кубическая ячейка, образующая простую кубическую
кристаллическую решетку. Стремление атомов занять
места, наиболее близкие друг к другу, приводит к
образованию ячеек других типов: объемноцентрированной кубической
25
Рис. 1.5. Элементарные кристаллические ячейки:
а — объемноцентрированная кубическая; б— гранецентрированная
кубическая; в — гексагональная плотноупакованная
(рис. 1.5, а), гранецентрированной кубической (рис. 1.5, б) и
гексагональной плотноу пакованной (рис. 1.5, в).
Число атомов, находящихся на наиболее близком и равном
расстоянии от данного атома, называют координационным
числом, которое наряду с условным обозначением характеризует
кристаллическую решетку (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Обозначение типов решеток
Тип решетки
Простая кубическая
Объемноцентрированная
кубическая
Гранецентрированная
кубическая
Гексагональная плотно-
упакованная
Обозначение
К
ОКЦ
ГКЦ
ГПУ
Координационное число
Кб
К8
К12
Г12
В каждой решетке можно выделить плоскости,
называемые кристаллографическими плоскостями. Для рассмотрен-
26
ных выше решеток кристаллографическими являются
плоскости, наиболее плотно усеянные ионами и атомами. Для
ОЦК-решетки кристаллографическими являются шесть
диагональных плоскостей, для ГЦК-решетки — четыре
плоскости, для ГПУ-решетки — две плоскости базиса (основания
шестигранной призмы).
Порядок расположения атомов в кристалле определяет его
наружную форму, что характерно для твердого тела и
отличает его от газообразных и жидких сред. Характерным
признаком идеального кристалла является симметрия его
построения, т.е. инвариантность его элементарной ячейки по
отношению к некоторым операциям симметрии.
Всем кристаллам присуща трансляционная симметрия,
заключающаяся в том, что при воображаемом параллельном
переносе (трансляции) кристаллической ячейки на некоторое
расстояние в определенном направлении решетка полностью
совмещается сама с собой. Минимальное расстояние, на
котором происходит такое совмещение, называют периодом
(длиной) трансляции. Например, для кубических решеток (см.
рис. 1.5, а} б) период трансляции равен периоду решетки а.
Для многих кристаллов характерна симметрия вращения
относительно некоторых осей. Такую ось называют
поворотной, если при повороте на угол ip относительно нее кристалл
полностью совмещается сам с собой; соответствующий
минимальный угол (^ называют элементарным углом поворотной
оси. При тр = 360° имеем п = 1, 2, 3, 4, 6, причем п
может принимать только указанные значения, а
соответствующие значения элементарных углов ср равны 360°, 180°, 120°,
90° и 60°. Число совмещений п при повороте на 360°
называется порядком оси. Например, для кубических решеток (см.
рис. 1.5, а, б) п = 4, a для ГПУ-решетки (см. рис. 1.5, в)
п = 6.
Кроме трансляций и поворотов, называемых
собственными операциями симметрии, так как они приводят к
совмещению объекта с самим собой, существуют несобственные
операции симметрии, приводящие объект к его зеркальному
отображению. К ним относят инверсию (зеркальное отражение
27
в центре инверсии или в центре симметрии), отражение в
плоскости (плоскость зеркального отражения) и
инверсионный поворот (сочетание инверсии и вращения). Под
инверсией в трехмерном пространстве будем подразумевать такую
операцию, когда некоторое пространственное смещение R
заменяется на —Д, т.е. точка решетки с координатами (ж, у, z)
переходит в точку с координатами (-х, -j/, -z).
Систематические исследования возможных комбинаций
элементов симметрии, существующих в кристалле независимо
друг от друга, показывают, что возможны 32 различные
комбинации, называемые кристаллическими классами. Эти
классы группируются в семь кристаллических сингоний: триклин-
ную, моноклинную, ромбическую, тригональную,
гексагональную, тетрагональную и кубическую, подробности построения
которых изложены в учебниках по кристаллографии. Синго-
ния (гр. syn вместе + дота угол) — это система,
объединяющая кристаллы с одинаковой совокупностью углов между
гранями. Семи сингониям, каждой из которых соответствует
своя система координат, отвечают семь элементарных
решеток, представленных на рис. 1.6, а, б} г, з, и, к, м. Для
описания всех возможных трансляционных решеток с точки
зрения их симметрии к семи указанным элементарным решеткам
нужно добавить еще семь решеток (рис. 1.6, в, д, е, ж, л, н} о),
которые в совокупности с ранее приведенными решетками
называются решетками {ячейками) Браве. Каждая из решеток
Браве является точечной, т.е. ни одна из точек решетки не
имеет собственной структуры. Если же каждую точку
решетки представить в виде элемента, застроенного молекулами,
то симметрия решетки понижается и появляется
дополнительный вид симметрии в каждом узле (каждой точке) решетки.
Конечное число различных комбинаций, учитывающих
симметрию точек решетки, определяется 230 пространственными
группами.
Решетка Браве с наименьшей симметрией называется простой три-
клинной (см. рис. 1.6, а). Ее элементарная ячейка представляет
собой параллелепипед, у которого базовые векторы имеют разную длину
28
м
Рис. 1.6. Точечные решетки Браве:
а — простая триклинная; б — простая моноклинная; в — ба-
зоцентрированная моноклинная; г — простая ромбическая; д —
базоцентрированная ромбическая; е — объемноцентрированная
ромбическая; ж — гранецентрированная ромбическая; з —
гексагональная; и — тригональная (ромбоэдрическая); к — простая
тетрагональная; л — объемноцентрированная тетрагональная;
м — простая кубическая; н — кубическая
объемноцентрированная; о — кубическая гранецентрированная
(а ф Ъ ф с) и между ними нет ни одной одинаковой пары углов.
Очевидно, что для триклинной решетки отсутствуют такие типы симметрии,
как вращение и зеркальное отражение, но имеют место трансляционная
симметрия и инверсия с центром симметрии. Бели же все базовые
векторы одинаковы, то образуется тригональная (ромбоэдрическая) решетка
(см. рис. 1.6, и). В этом случае появляется добавочный вид симметрии,
29
так как решетка не изменяется при вращении вокруг наибольшей
телесной диагонали. Бели один из векторов решетки, например а, направлен
под прямым углом к двум остальным, то формируется простая
моноклинная элементарная ячейка (см. рис. 1.6, б), которая имеет новый тип
симметрии — вращение вокруг оси а на 180°. Гексагональная решетка
(см. рис. 1.6, з) является частным случаем, при котором длины
базовых векторов равны между собой (а\ = аг), а вращение на 60°, 120° и
180° вокруг вертикальной оси приводит к той же самой решетке. Если
все три базовых вектора перпендикулярны друг к другу, но не равны по
длине, получается простая ромбическая ячейка (см. рис. 1.6, г),
симметричная относительно вращений на 180° вокруг трех осей. Еще более
высокими типами симметрии обладает простая тетрагональная ячейка
(см. рис. 1.6, к), все углы которой прямые и два базовых вектора
равны между собой. Самая симметричная из всех ячеек простая кубическая
(см. рис. 1.6, лс), имеющая все описанные выше типы симметрии. Итак,
построение элементарных кристаллических ячеек, основано на переходе
от конфигураций с низшей симметрией к конфигурациям, обладающим
более высокими степенями симметрии.
Необходимо отметить, что внутренняя симметрия кристалла всегда
проявляется в тех или иных макроскопических физических свойствах
кристалла, а типы симметрии конкретных кристаллов всегда можно связать
с различными физическими тензорами (тензором упругости, тензором
поляризуемости и др.) либо с помощью методов математической теории
групп, либо опираясь на здравый смысл.
Математическое описание решетки Браве можно осуществить с
помощью вектора элементарных трансляций, который определяет
положение точки решетки в пространстве координат, либо построением нормали
к кристаллографической плоскости решетки. Однако на практике
используют индексы Миллера. Для этого составляется вектор из величин,
обратных длинам отрезков, отсекаемых рассматриваемой плоскостью на
осях х, у, z, после чего эти величины приводятся к наименьшим целым.
Например, плоскость кубической решетки, отсекающая отрезки 1, 2 и 3 на
осях х, у и г, записывается символом {632}. Плоскости, пересекающиеся
с отрицательными полуосями, соответствуют отрицательным индексам,
а плоскости, параллельные одной из осей кристалла, имеют индекс "
для данного направления. Примеры кристаллографических плоскостей
кубической решетки представлены на рис. 1.7, где а — плоскости {100};
б— плоскости {ПО}; в — плоскости {Ш}.
Итак, каждому твердому кристаллическому телу
свойственны симметрия расположения атомов и их тесная
взаимосвязь. Расстояние а между центрами атомов, при котором
между атомами действуют значительные силы, имеет
порядок размера самих атомов. Следовательно, в общей
постановке необходимо учитывать взаимодействие ядер и электронов
30
fZa
a 6 8
Рис. 1.7. Примеры кристаллографических плоскостей
не только в каждом атоме, но и между ядрами и
электронами различных атомов. Таким образом, твердое тело
представляет собой сложную квантовомеханическую систему, полное
описание которой связано со значительными трудностями
математического характера. В связи с этим используют
приближенные модели, причем ограничения, определяющие тип
модели для рассматриваемой задачи, должны относиться к
второстепенным процессам, не изменяющим существенно
свойства твердого тела.
По характеру межатомных сил взаимодействия
кристаллические твердые тела подразделяют на ионные кристаллы
(кристаллы галогенидов щелочных и щелочноземельных
металлов, например NaCl, CsCl, CaF2; нитраты, сульфаты,
фосфаты и другие соли металлов; силикаты типа SiC>4 и др.),
молекулярные кристаллы (кристаллы органических соединений,
например парафин, нафталин и др.; металлоорганические
соединения и некоторые комплексные соединения; кристаллы
многих полимеров, в том числе белков и нуклеиновых кислот,
а также кристаллы отвердевших благородных газов),
валентные (ковалентные) кристаллы (например, кремний, углерод,
германий, алмаз, органические полупроводники) и
металлические кристаллы (металлы).
Все кристаллы образованы структурными элементами.
Структурные элементы — это частицы, образуемые
атомами и молекулами при объединении их в твердое тело: ионы,
газ свободных электронов в металлах и валентные
электроны, участвующие в образовании ковалентной связи. Характер
31
распределения электронов в структурных элементах,
образующих кристалл, определяет конкретный вид сил
взаимодействия, которые в твердых телах имеют в основном
электростатическую природу:
1) кулоновские силы, для которых энергия
взаимодействия обратно пропорциональна характерному размеру
решетки а, т.е. Fq ~ ад2/а, где q — наименьший заряд иона;
а — постоянная Маделунга, зависящая только от структуры
решетки (например, а = 1,7476 для NaCl; a = 4,1155 для
Си2О; а = 25,0312 для А12О3);
2) квантовые силы отталкивания, возникающие при
сближении атомов или ионов с соответствующим
перекрытием их электронных оболочек и обусловленные как эффектами
обмена между электронными оболочками соседних атомов, так
и силами отталкивания, являющимися следствием принципа
Паули, т.е. Fe ~ С\ ехр(-а/С2), где С\ и С2 — константы;
3) силы Ван-дер-Ваалъса, обусловленные поляризацией
атомов, возникающей при корреляции движения электронов в
электронных оболочках соседних атомов, т.е. Fw ~ S(a)C/aG,
где С = const, а вид функции 6(а) приведен на рис. 1.8;
П
Рис. 1.8. Функция 6(а)
4) валентные силы связи, характерной особенностью
которых является направленность ковалентной связи
(детальный анализ этих сил весьма сложен из-за большого числа
валентных электронов у атомов, образующих валентные
кристаллы);
5) силы связи Fk ~ Ка~2, обусловленные кинетической
энергией свободных электронов (здесь К = const).
32
Тип сил связи между атомами определяет многие
свойства кристаллов. Валентные кристаллы с локализованными
на прочных ковалентных связях электронами имеют большую
твердость, высокие показатели преломления, малую
электропроводность. У металлов основными структурными
элементами являются положительные ионы решетки и газ свободных
электронов. Силы взаимодействия обусловлены кулоновским
притяжением ионов и электронов, а также обменной энергией
между электронами. Металлические кристаллы пластичны,
не прозрачны, а большая концентрация электронов
проводимости является причиной высокой электропроводности.
Промежуточные характеристики имеют ионные кристаллы с
ионным (электростатическим) характером сил взаимодействия.
Наиболее слабые (ван-дер-ваальсовы) связи наблюдаются в
молекулярных кристаллах, поэтому они легкоплавкие и
обладают низкими механическими характеристиками.
Каждое кристаллическое твердое тело имеет
определенную кристаллическую решетку, которая у некоторых
кристаллов может изменяться в зависимости от внешних условий.
Существование одного вещества в нескольких кристаллических
формах носит название полиморфизма (аллотропии), а сами
формы называются аллотропическими модификациями.
Аллотропические формы принято обозначать греческими
буквами а, /?, 7 и т.д., которые в виде индексов добавляют к
символу, обозначающему химический элемент. Аллотропическая
форма, существующая при самой низкой температуре или
самом низком давлении, обозначается через а, следующая —
через р и т.д. Переход из одной кристаллической формы в
другую называется фазовым переходом.
Свойства отдельно взятого кристалла (монокристалла)
по данному направлению отличаются от свойств в другом
направлении и зависят от того, сколько атомов встречается в
заданном направлении. Это явление носит название
анизотропии и характерно для любого кристалла. Реальное твердое
тело состоит из множества кристаллов. Произвольность
ориентировки каждого кристалла приводит к тому, что в любом
направлении располагается примерно одинаковое количество
33
различно ориентированных кристаллов. В результате
свойства такого поликристаллического тела одинаковы во всех
направлениях, хотя свойства каждого кристалла,
составляющего это тело, зависят от направления. Это явление называют
квазиизотропией (ложной изотропией).
Методы, с помощью которых изучают кристаллическое строение
твердых тел, можно разделить на две группы: методы изучения
внутреннего строения кристаллов; методы изучения внешних форм кристаллов.
Внутреннее строение кристаллов (расположение атомов в
кристаллической решетке) изучают посредством рентгеноструктурного
анализа. При этом рентгеновское излучение возбуждает колебательное
движение электронов в кристаллической решетке изучаемого тела, которые
испускают рассеянные электромагнитные волны, взаимодействующие
между собой и фиксируемые на фотопластинке.
Размеры, форму и взаимное расположение кристаллов и их
агрегатов изучают металлографическими методами на специально
изготовляемых микрошлифах. Для этого образец материала разрезают по
интересующей плоскости, шлифуют, полируют, подвергают химическому
травлению и изучают с помощью металлографического оптического микроскопа
микроструктуру материала.
Грубые детали структуры изучают визуально (без увеличения) на
макрошлифах, получаемых путем глубокого химического травления
исследуемой поверхности. Выявленная таким образом структура
называется макроструктурой.
Так как разрешающая способность оптического микроскопа
примерно равна длине волны в видимой области спектра оптического излучения
(~ 10~7 м), то на нем изучают и фотографируют структуру при
увеличении не более A,0 ... 1,5) 103 раз. Для изучения дисперсных
структур, а также тонких деталей грубых структур в металлографии
применяют электронный микроскоп, полезное увеличение которого составляет
~2 • 104, т.е. в 20 раз больше, чем у оптического микроскопа. Принцип
формирования изображения на электронном микроскопе (просвечивание)
вынуждает помещать изучаемый объект в направлении прохождения
потока электронов в виде пленки разной толщины, которая по-разному
рассеивает лучи. Пленку [слепок, реплику) получают, нанося тонкий слой
кварца, углерода, лака или другого вещества на поверхность
микрошлифа. Образующийся слепок, с большой точностью воспроизводящий
рельеф поверхности микрошлифа, снимают с последнего и помещают в
электронный микроскоп.
Характер и тип разрушения устанавливают, изучая поверхности,
по которым разрушился образец твердого кристаллического тела. Этот
метод называется фрактографией. Она проводится непосредственно с
поверхностей разрушения на сканирующем (растровом) электронном
микроскопе.
34
Для изучения строения металлических и интерметаллических
сплавов применяют также метод радиографии. При этом в сплав во время
плавки вводят радиоактивный изотоп того элемента, распределение
которого необходимо проанализировать в получаемом сплаве. Затем на
микро- или макрошлиф полученного сплава накладывают
фотопластинку, которая фиксирует распределение изучаемого элемента в сплаве.
Средний состав изучаемого кристаллического тела определяют
методами химического анализа, состав отдельных фаз — методами
фазового химического анализа, а состав мельчайших участков в сплаве (от 0,5
до 2 мкм2 в сечении) — с помощью прибора, называемого микрозондом.
1.3. Теоретическая прочность идеального
кристалла
Напряженно-деформированное состояние кристаллов
описывается общими соотношениями механики. Частицы
твердого тела, находясь под действием внешних силовых факторов,
перемещаются относительно друг друга, что приводит к
изменению объема и формы тела, т.е. к его деформированию.
При этом нарушается равновесие сил взаимодействия частиц
и в твердом теле возникают напряжения (внутренние силы).
Теоретической (или идеальной) прочностью
материала называется напряжение ath, необходимое для
разрушения идеального кристалла по определенной
кристаллографической плоскости.
Пусть на кубическую решетку с периодом (расстоянием)
между атомами а$ действует растягивающее напряжение <т,
которое будем считать суммой сил F, действующих на
единицу площади между парой атомов А — А1 с каждой стороны
плоскости разрушения. В первом приближении атомы
считаются изолированными, т.е. расчетная модель не учитывает
взаимодействия между атомом А и другими атомами (кроме
А!): однако с помощью этой модели можно оценить порядок
значения идеальной прочности.
Для пары атомов А — А1 можно построить функцию
изменения удельной (на единицу площади) энергии их
взаимодействия (или энергии связи, или энергии разрушения) U в
зависимости от межатомного расстояния а. Для металлов эта
35
функция представляет собой кривую с минимумом в
равновесной точке решетки щ (рис. 1.9; здесь ?/q — работа,
необходимая для разведения пары атомов на бесконечное расстояние).
В кристаллическом твердом теле работу Uq можно
приравнять к удвоенной величине поверхностного натяжения j
единичной свободной поверхности, соответствующей плоскости
разрушения твердого тела, ибо
затраченная работа приводит
к созданию двух поверхностей,
каждая из которых обладает
энергией 7- Работу Uq = 27
называют также энергией
активации.
Дифференцирование
энергетической кривой приводит к
зависимости изменения силы
F = dU/da от межатомного
расстояния а (см. рис. 1.9).
Начальный наклон функции
F(a) характеризует жесткость
атомной "пружины" и связан
с модулем упругости
первого рода (модулем Юнга) ?",
т.е. модуль упругости зависит
от формы энергетической
кривой, которая служит основой
для вывода общих
соотношений между величиной модуля
Е и типом межатомной связи.
Обозначив а — uq = х и учитывая, что а = F/a^ получим
диаграмму напряжение — деформация, отображающую
взаимодействие между парой атомов А — А1 (рис. 1.10), причем
тангенс угла наклона полученной кривой в начале координат
равен модулю Юнга. Кривая <j(x) может быть
аппроксимирована синусоидой A.5)
Рис. 1.9. Зависимость
энергии связи U и силы
взаимодействия dU/da от расстояния
между парой атомов А — Л'
36
рис. 1.10. Кривая
напряжение — деформация между
атомами (площадь
заштрихованной области равна Uo =
а =
sin
О х=А/4 х=Х/2 х/а„
г- ™
где А — длина волны, т.е. а = <ттах при х = А/4.
А/2
Общая площадь под кривой A.5), равная / <т(х) dx, пред-
• О
ставляет собой работу разрушения по атомной плоскости, т.е.
Uo = 27, и
А Г 2,х1Л/2=27
ИЛИ
A<7
7Г
= 27.
A.6)
Для малых смещений уравнение A.5) можно записать в
виде
Ех
откуда
A.7)
Подставляя значение А из A.7) в соотношение A.6), получим
откуда разрушающее напряжение
A.8)
37
Соотношение A.8) носит название уравнения Орована и
определяет порядок величины теоретической прочности сг^д,
которая для среднеуглеродистой стали при одноосном
растяжении составляет величину с^д « JE/5, а при чистом сдвиге
т^ « Е/30. Эти значения получаются с учетом соотношения
7 « О,О4?'ао, справедливого для а-железа G и 2 Н/м для а-
железа). Отметим также в качестве примера, что отношение
теоретической прочности на отрыв к модулю Юнга (а^/Е)
составляет для а-железа в направлении {100} — 0,37, в
направлении {111} — 0,20; для кремния в направлении {111} —
0,17; для кварцевого стекла в том же направлении — 0,51.
1.4. Дефекты кристаллической решетки
Процессы деформирования и разрушения твердых
кристаллических тел при нагружении изучают с двух позиций:
макроскопической, связанной с представлением тела в виде
области, заполненной непрерывной сплошной средой, и
микроскопической, основанной на представлении о дискретном
строении тела (атомы, молекулы).
Анализ процессов деформирования и разрушения
твердого тела с микроскопической точки зрения основан на
изучении искажений и дефектов кристаллической решетки и
соответствующих им напряжений, вызванных действием на
тело внешних силовых факторов. Кристаллические тела
вследствие относительно небольших размеров кристаллов состоят
из множества кристаллов, а подобное строение называется
поликристаллическим. Часто говорят, что
поликристаллические материалы при отсутствии преимущественных
ориентировок (текстур) статистически изотропны.
В процессе кристаллизации, пока кристалл окружен
жидкостью, он часто имеет правильную форму, но при
столкновении и срастании кристаллов их правильная форма
нарушается, а внешняя форма кристалла оказывается зависимой от
условий соприкосновения растущих кристаллов. Кристаллы
неправильной формы в поликристаллическом агрегате
называются зернами, или кристаллитами. Различие отдельных
38
зерен состоит в разной пространственной ориентации
кристаллической решетки. Однако на практике это состояние не
является единственным. Пластическое деформирование
(прокатка, волочение, калибровка и т.д.) приводит к
преимущественной ориентировке зерен.
Чтобы классифицировать дефекты кристаллической
решетки, необходимо ввести некоторое понятие совершенного
кристалла, относительно которого можно определять
характерные признаки несовершенств кристаллической решетки.
Совершенным кристаллом называется полностью
симметричная бесконечная структура с атомами, размещенными строго
в узлах решетки, причем кристалл в целом находится в
своем основном квантовомеханическом состоянии (при Т = О К,
когда квантовомеханическая система имеет наименьший
энергетический уровень). При любых нарушениях в
расположении атомов или возбуждениях основного состояния говорят о
несовершенном кристалле. Характер и степень нарушения
правильности, или совершенства, кристаллического строения
в значительной мере определяют свойства кристаллических
тел.
Совокупность дефектов решетки и их пространственное
распределение в кристалле называют субструктурой
кристалла. Несмотря на незначительную концентрацию
дефектов решетки, они оказывают на многие
структурно-чувствительные свойства существенное, а на некоторые (например,
на пластичность) решающее влияние.
Условимся различать бездефектные и дефектные области.
Последние можно ограничить поверхностями, проходящими
полностью по бездефектным областям. Если такие замкнутые
объемы ни в одном из измерений не превышают атомарных
размеров, то говорят о нуль-мерных, или точечных,
дефектах. Это незанятые узлы решетки — вакансии, неправильно
занятые узлы решетки — примесные атомы, атомы,
разместившиеся в межатомных промежутках, — межузелъные
чужие внедренные атомы.
Если размеры дефектной области хотя бы в одном
направлении превышают атомарные, то говорят об одномерных, или
линейных, дефектах решетки, называемых дислокациями.
39
Имеются также двумерные дефекты решетки: границы
зерен, дефекты упаковки, границы двойников.
Дефектную трехмерную область с размерами,
превышающими атомарные, можно рассматривать как новую фазу.
В общем случае типы дефектов можно классифицировать
следующим образом.
1. Колебания решетки.
2. Вакансии и внедренные атомы. Незанятый узел
решетки называется вакансией (рис. 1.11, а), а атомы,
расположенные между узлами, называются внедренными
(рис. 1.11, в). Число вакансий при комнатной температуре
мало по сравнению с общим числом атомов (для металлов
примерно 1 вакансия на 1018 атомов), но сильно
увеличивается с повышением температуры, особенно вблизи температуры
плавления A вакансия на 104 атомов).
1/
h:
1 H
M
—1
*—<
M
<
а 5 в
Рис. 1.11. Схема точечных дефектов:
а — вакансия; б — замещенный атом; в —
внедренный атом
0 ® t? ® 0 ©
0 0 0 0 0 0 (•) 0 0 0 0 0 0
© t5^^0 0 Ш-*^^© © О 0 0 0 0
0 0 0 "©" 0 0 0 0 0 0 0 0
0*^
000000 0000GQ0
а 5
Рис. 1.12. Дефекты по Шотки (а) и по
Френкелю (б)
Различают вакансии по Шотки (рис. 1.12, а), когда атом
после отрыва от своего места в решетке попадает в конеч-
40
ном счете на поверхность кристалла (возможно, и на
внутреннюю), и вакансии по Френкелю (рис. 1.12, б), когда такой атом
остается внутри решетки. Это означает, что одновременно с
вакансией по Френкелю всегда образуется межузельный
внедренный атом.
3. Примеси. Инородные атомы называются примесью
замещения (рис. 1.11,6) или примесью внедрения (см.
рис. 1.11, в) в зависимости от того, занимают они место в
узлах решетки или между ними.
Примеси, вакансии и внедренные атомы — это точечные
дефекты.
ЭкстраплоскоС)
ккость
у
У
у
' / / / /
/ / / / / /
I—
JL
-
г
1
Ju
J...
'<'/ / /
s //
;
j
j
V
/
/
y1
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
у
Рис. 1.13. Краевая (а) и винтовая (б)
дислокации в кристаллической решетке
4. Дислокации. Линейные дефекты кристаллической
решетки называются дислокациями. Пусть в
кристаллической решетке по каким-либо причинам появилась
лишняя полуплоскость атомов, так называемая экстраплоскость
(рис. 1.13, а). Край 1—1 такой плоскости образует линейный
дефект решетки, который называется краевой дислокацией.
Краевая дислокация может иметь любую форму и в
пределе может перейти в спираль, образуя винтовую дислокацию
(рис. 1.13,6). Если окружить дислокацию трубкой радиусом,
примерно равным характерному размеру решетки а, то вне
этой трубки кристалл можно считать идеальным и
подвергнутым только упругим деформациям; внутри трубки атомы
41
существенно сместятся относительно своих положении
равновесия, характерных для идеального кристалла, и возникнет
структура, называемая ядром дислокации. Наличие
деформации вдали от оси дислокации обнаруживают при обходе по
узлам решетки вдоль замкнутого контура вокруг ядра
дислокации. Если ввести вектор смещения и каждого узла от
его положения в идеальном кристалле, то полное приращение
этого вектора при обходе по контуру будет отлично от нуля и
равно периоду решетки вдоль соответствующей оси.
Рис. 1.14. Контур Бюргерса в
несовершенном (а) и соответствующем
идеальном (б) кристаллах
Итак, дислокацией называют особую линию Х,
имеющую следующее свойство: при обходе по любому
замкнутому контуру Г, охватывающему линию L (рис. 1.14, а), вектор
смещения и получает определенное конечное приращение Ь,
при этом соответствующий контур Г; в идеальном
кристалле получается разомкнутым, и для его замыкания
необходимо ввести вектор Ь, соединяющий начало и конец контура Г'
(рис. 1.14, б). Объекты Г и Ъ называются соответственно
контуром и вектором Бюргерса. При согласованной ориентации
особой линии L и контура Г вектор Ь однозначно определяется
дефектом Z, равен одному из периодов решетки и не зависит от
выбора контура Г, причем вектор Ь перпендикулярен
экстраплоскости, а его длина пропорциональна числу этих
плоскостей. Указанное свойство можно записать в следующем виде:
42
для контура Г, связанного с линией X,
bi = Ф \7iUm dx^ i
J J l f
Г
для любого другого контура Г, не связанного с
ф VjU{ dxJ = 0.
Направление обхода контура принимают по правилу винта с
выбранным направлением вектора т, касательного к линии
дислокации L. При этом линия L является линией особых
точек полей напряжений и деформаций.
При макроскопическом рассмотрении линию дислокации
L можно считать гладкой кривой. Краевой дислокации
соответствует линия L, вдоль которой векторы тиб взаимно
перпендикулярны; для винтовой дислокации векторы т и Ь
параллельны. Если участок дислокации не перпендикулярен
и не параллелен вектору Ь, его называют сегментом
смешанного типа. Дислокационные сегменты краевого, винтового и
смешанного типов могут располагаться непрерывно вдоль
любой кривой, образуя единую дислокационную линию (петлю).
Линия дислокации не может оканчиваться внутри кристалла:
она должна выходить на его поверхность или представлять
собой замкнутую петлю, т.е. Ь = const вдоль линии L.
В чистых металлах объемная плотность дислокаций
(количество дислокаций, содержащихся в 1 см3) имеет порядок
Ю6см~3. Часто используется понятие линейной плотности
дислокаций: суммарная длина дислокаций (в см),
содержащихся в 1 см3. Для металлов эта величина имеет порядок
Ю8...1013см-2.
5. Беспорядок. Некоторые кристаллы состоят более чем
из одного типа атомов, например ионные кристаллы NaCl. В
совершенном (полностью симметричном) кристалле каждый
Узел решетки занят определенным химическим элементом.
43
Если же некоторый химический элемент занимает не
соответствующий ему узел решетки, то образуется дефект, который
называют беспорядком.
6. Поверхности. Любой реальный кристалл ограничен
в пространстве, поэтому структура идеальной решетки у
поверхности нарушается и атомы в окрестности поверхности
не могут находиться в полностью симметричном положении.
Кроме внешних поверхностей кристалл может иметь также
внутренние поверхности: границы зерен и дефекты
упаковки.
Граница зерна представляет собой разупорядоченную
область, отделяющую решетку с одной ориентацией от
решетки с другой ориентацией. Возможна межзеренная граница
особого типа, называемая двойником, относительно которой
атомы зеркально симметричны друг другу.
Дефект упаковки связан с нарушением
последовательности укладки кристаллических слоев, т.е. с отсутствием
какого-либо одного слоя атомов в кристалле. Дефект упаковки
представляет собой поверхность нерегулярности в кристалле,
в окрестности которого изменяется тип связи атомов.
7. Электронные дефекты. При выводе системы из
основного квантовомеханического состояния (возбуждении
каких-либо атомов кристалла) все атомы могут располагаться
так же, как в совершенном кристалле. Тем не менее
кристаллическая решетка не будет совершенной из-за электронного
возбуждения. Например, в кристалле-изоляторе такими
несовершенствами являются электроны проводимости.
Приведенная классификация дефектов кристаллической
решетки позволяет перейти к описанию строения зерен,
совокупность которых составляет макроструктуру любого
реального кристаллического тела. Зерно не является монолитным
кристаллом, построенным из строго параллельных атомных
слоев (рис. 1.15). В действительности оно состоит из мозаики
отдельных блоков размерами 10" ... 10~~5 м,
кристаллографические плоскости которых повернуты относительно друг
друга на небольшой угол, примерно равный нескольким
минутам. Такое строение зерна носит название мозаичной
структуры, а составляющие ее блоки называются блоками мозаики.
44
Рис. 1.15. Тонкая структура малоуглеродистой стали:
а — зерна феррита, X 250; б— блочная структура зерна феррита, х 16000;
1 — утолщенные границы зерен; 2 — тонкие границы фрагментов; 3 —
граница фрагментов (из левого верхнего угла в правый нижний угол);
4 — блоки (по Б.С. Касаткиной)
Так как разориентировка блоков невелика, то их сочленение
друг с другом с сохранением правильной, хотя и искаженной,
кристаллической структуры происходит посредством
дислокаций. Часто блоки объединяются в более крупные агрегаты
— фрагменты. Каждый фрагмент содержит большое
количество блоков. Фрагменты, в свою очередь, разориентирова-
ны относительно друг друга на угол в несколько градусов, а
промежутки между их границами содержат различные
точечные, линейные и поверхностные дефекты. Такая
трехступенчатая структура необязательна. В ряде случаев зерна могут
состоять из фрагментов без внутренней блочной структуры
или только из блоков.
Между зернами, угол разориентировки которых
составляет более 5°, имеется пограничный слой с сильно
искаженной структурой и высокой концентрацией атомно-кристалли-
ческих дефектов.
Таким образом, реальный кристалл содержит атомно-
кристаллические (вакансии, дислокации и др.) и
структурные (блоки, фрагменты) несовершенства.
45
1.5. Дислокации в теории пластического
деформирования
Дислокации в кристаллах, представляющие собой один
из наиболее важных типов дефектов, тесно связаны с
механическим поведением кристаллических твердых тел и
играют важную роль в понимании процессов деформирования и
разрушения твердых тел. Во-первых, существование
физических дислокаций в кристаллах дает возможность понять, как
может начинаться разрушение и каким образом идет процесс
пластической релаксации при наличии в теле трещин и
микродефектов различной природы. Во-вторых, понятие
дислокации позволяет описать пластическое деформирование
рассматриваемой среды и дать математическое представление для
формирующихся в ней трещин.
С макроскопической точки зрения пластическую
деформацию можно обнаружить по изменению размеров тела
после снятия нагрузки, а также по наличию линий скольжения
на поверхности монокристалла (линий Чернова — Людерса).
Тип, форма и величина деформации зависят от геометрии
тела, температуры и скорости деформации. Будет ли тело иметь
пластическую деформацию или нет, зависит от напряжений,
свойств материала и возможных ограничений движения,
налагаемых нагрузкой и поверхностью тела.
Среда может деформироваться однородно и неоднородно,
что сказывается на распределении напряжений, тогда как
поле напряжений определяется геометрией тела и способом
приложения нагрузки. В поликристаллической среде
неоднородная пластическая деформация также проявляется в виде линий
скольжения, которые видны на поверхности тела и
располагаются в плоскостях наибольших касательных напряжений.
В процессе деформирования локализованные области
пластической деформации увеличиваются, образуя новые области,
пока тело полностью не перейдет в пластическое состояние.
С микроскопической точки зрения пластическое
деформирование характеризуется возникновением деформации и
разрушением зерен, скольжением по кристаллографическим
46
плоскостям, образованием полос деформаций и двойниковани-
ем. Способность среды деформироваться путем течения зерен
увеличивается при высоких давлении и температуре и
уменьшается при низкой температуре и высокой скорости
деформации. Искажение формы зерен в определенном направлении
является следствием того, что отдельное зерно в
поликристаллической среде не может изменять своей формы произвольно,
так как оно ограничено со всех сторон соседними зернами.
Согласно условию сохранения сплошности среды, при
деформировании расхождение поверхностей зерен невозможно,
поэтому все зерна удлиняются на одну и ту же величину в одном и
том же направлении (ориентированное удлинение зерен).
а 5 6
Рис. 1.16. Схема перемещения краевой дислокации
Скольжение является наиболее часто встречающимся
типом деформирования. Вследствие искажения кристаллической
решетки в районе дислокации (рис. 1.16, а) последняя легко
смещается от нейтрального положения, а соседняя плоскость,
перейдя в промежуточное положение (рис. 1.16, б),
превратится в экстраплоскость (рис. 1.16, б), образуя дислокацию вдоль
краевых атомов, т.е. дислокация может перемещаться вдоль
некоторой плоскости скольжения, расположенной
перпендикулярно к экстраплоскости. Итак, скольжением, или
трансляцией, называется смещение одной части кристалла
относительно другой по кристаллографическим плоскостям,
определенным образом ориентированным в кристалле. В свою
очередь, в этих плоскостях направлениями скольжения
являются направления, наиболее плотно усеянные ионами и ато-
47
мами. Очевидно, что в каждой кристаллографической
плоскости для О ЦК-решетки имеются два направления
скольжения, а для ГЦК- и ГПУ-решеток — по три таких
направления. Как уже отмечалось, скольжение визуально проявляется
в возникновении параллельных полос на полированной
поверхности монокристалла. Соскальзывание отдельных
кристаллических плоскостей легко заметить, если взять кусок оловянной
проволоки, в которой содержатся большие кристаллы, и
растягивать ее, приложив к уху. При этом ясно различимы
щелчки, когда плоскости защелкиваются в новых положениях, одна
за другой.
Из соотношения A.8) следует, что теоретически
напряжения, необходимые для сдвига одного слоя ионов и атомов
относительно другого, в 103 раз больше действительных
(реальных) пределов текучести при сдвиге монокристаллов. Это
объясняется тем, что существование дислокации в кристалле
приводит к появлению области, где благодаря сохранению
порядка в расположении атомов в окружающем эту область
кристалле энергия, требуемая для разрыва группы связей,
получается за счет одновременного восстановления другой группы
связей. Таким образом, достаточно небольшого напряжения,
чтобы дислокация начала двигаться, образуя плоскость, а в
разрезе — линию скольжения (рис. 1.17). Аналогичные
рассуждения справедливы для объяснения процесса перемещения
винтовой дислокации (рис. 1.18).
В
с
Рис. 1.17. Плоскость сдвига (С) как след
движения дислокации (А—А); В —
экстраплоскость
48
Рис. 1.18. Результат перемещения
винтовой дислокации по кристаллу
Кроме сил, порождаемых полями напряжений,
индуцированными внешними силовыми факторами, на дислокации
в кристалле действуют силы, обусловленные дискретностью
структуры материала и атомным строением ядра
дислокации. Они характеризуют сопротивление кристалла
перемещению дислокации и зависят от типа дислокации и модели
ее ядра. Сила (действующая на единицу длины дислокации),
необходимая для смещения дислокации в плоскости
скольжения, была определена в рамках модели Пайерлса и
получила наименование силы Пайерлса — Набарро.
Максимальному значению этой силы Fmax соответствует предельное
касательное напряжение (сопротивление сдвигу) rs = FmiiX/a, при
котором дислокация перемещается в своей плоскости
скольжения (здесь а — характерный размер (период) решетки).
Оценка напряжения т3 дает для кубических решеток величину
т3 ~ A0~4 ... 10") G, где G — модуль сдвига. Следовательно,
сила Пайерлса — Набарро столь мала, что даже слабое
сопротивление сдвигу, связанное с пластическим деформированием
тела, объясняется другими причинами.
Дислокация при своем движении может остановиться,
встретив другой дефект кристалла, для прохождения
которого требуется много энергии. Это и есть тот механизм,
который сообщает прочность несовершенным кристаллам
металла. Кристаллы чистого железа совсем "мягкие", но небольшая
концентрация атомов примесей может вызвать достаточное
количество дефектов, чтобы противостоять движению
дислокаций, образованию развитых плоскостей скольжения и
интенсивному пластическому течению материала. Поэтому для
49
получения стали при плавке к железу добавляют немного
углерода, который при охлаждении образует в решетке множество
микроскопических нарушений. Дислокации уже не могут
свободно перемещаться, и металл становится более твердым и
прочным. Итак, механические свойства металлов зависят от
плотности дислокаций и особенно от их способности к
перемещению и размножению (рис. 1.19).
Теоретическая
* прочность
^Прочность чистых
" монокристаллов
I
Реальная прочность
металлов
Упрочненные
металлы
шеметаллы
Плотность /ис локаций
и других искажений
Рис. 1.19. Прочность кристалла в
зависимости от искажений решетки
Теперь объяснение низких значений критического
напряжения сдвига уже не вызывает трудностей, но вопрос
появления дислокаций в достаточном количестве для осуществления
скольжения в макромасштабе остается открытым до
выявления механизмов образования большого числа дислокаций из
одной (размножения дислокаций). В противном случае одна
линия дислокации дает только один шаг скольжения
величиной в межатомное расстояние, а затем выходит за пределы
кристалла.
Простая схема источника дислокаций непрерывного
действия предложена Франком и Ридом. Было установлено, что
точки, в которых встречаются по крайней мере три
дислокации, неподвижно закреплены в кристалле. Такая ситуация
50
возникает, когда плоскости скольжения отдельных
дислокаций пересекаются в одной точке. Дислокация между двумя
точками располагается прямолинейно, а при действии
внешних сил образуется кривизна г линии дислокации.
Напряжение сдвига, необходимое для поддержания определенного
радиуса кривизны, определяется соотношением
г =
К{ Gb
br ~ 27'
A.9)
где К\ « Gb2/2 — линейное натяжение дислокации,
аналогичное поверхностному натяжению жидкостей; G — модуль
сдвига; b — абсолютная величина вектора Бюргерса.
Пусть дислокация А имеет
две точки закрепления 1 и 2 на
расстоянии I (рис. 1.20).
Дислокация достигает критической
кривизны (полуокружность В) при
т = т+, где г — абсолютная
величина вектора внешнего
напряжения сдвига, параллельного
вектору Бюргерса 6 дислокации А\
г„ — рабочее (критическое)
напряжение источника дислокаций.
При дальнейшем увеличении
напряжения начинается
самопроизвольное расширение петли. В
положении С лежащие рядом
винтовые компоненты аннигилируют
и возникает дислокационная петля J9, а первоначальный
отрезок дислокации А служит источником образования новой
петли.
Рассмотренный механизм, наблюдаемый
экспериментально и называемый источником дислокаций Франка —
Рида, может действовать в том случае, если напряжение г
достаточно для получения наименьшего возможного радиуса
кривизны г — 1/2. Согласно A.9), рабочее напряжение источника
Рис. 1.20. Действие
источника дислокаций
Франка — Рида
51
Франка — Рида определяется выражением
Gb
г. =
I
A.10)
Так как наибольшее значение / имеет порядок 10 5 м, то из
A.10) следует значение тт « 10~~5G при характерной
величине b « 10~~10 м, т.е. источники Франка— Рида начинают
действовать уже при напряжениях, лежащих ниже критического
напряжения сдвига. Таким образом, количество дислокаций
всегда достаточно для осуществления пластического
деформирования.
Если дислокация зафиксирована только в одной точке
A или 2 на рис. 1.20), может существовать точечный источник
дислокаций.
Наиболее вероятный механизм формирования дислокации
за счет напряжений сдвига в неоднородном кристалле
показан на рис. 1.21, откуда следует, что перемещение дислокации
в плоскости скольжения приводит к результирующему
сдвигу кристаллических блоков на величину вектора Бюргерса Ь.
Достижение того же эффекта сдвигом без участия дислокаций
требует напряжений сдвига, на несколько порядков больших,
что еще раз указывает на исключительную роль дислокаций
в процессе пластического деформирования твердого тела.
Рис. 1.21. Формирование дислокации под
действием напряжений сдвига
Теперь можно рассмотреть обобщенный дислокационный
механизм процесса скольжения и соответствующего
пластического деформирования кристаллических тел. Сочетание
52
отдельных плоскостей скольжения с соответствующими
направлениями скольжения называется системой скольжения.
Когда напряжение, действующее в плоскости скольжения в
направлении скольжения, достигает определенного значения
т-A), начинается скольжение, связанное со сдвигом. В
процессе сдвига группа соседних эквивалентных атомных
плоскостей смещается относительно другой группы плоскостей на
расстояние, равное целому числу межатомных расстояний в
решетке, при сохранении симметрии кристалла. Критическое
касательное напряжение rj1) зависит от свойств материала,
степени его чистоты, температуры и величины
предшествующей деформации.
Термин "зона сдвига (скольжения)" характеризует то
обстоятельство, что сдвиг происходит не одновременно по всей
плоскости скольжения, а в отдельных зонах в соответствии
с количеством дислокаций, способных к скольжению.
Поэтому размер зоны скольжения в направлении вектора Бюргер-
са определяется пробегом L\ краевой дислокации, а размер в
перпендикулярном направлении — пробегом L2 винтовой
дислокации. Третий размер зоны скольжения определяется
средним расстоянием h между действующими плоскостями
скольжения. Значения Ь\, L2 и h можно определить с помощью
электронной микроскопии. Так как объем одной зоны
скольжения составляет L\L2h^ то в единице объема содержится
п = ll(LiL2h) A.11)
зон. Наличие такой зоны приводит к тому, что ступенька
скольжения возникает не по всему кристаллу, а лишь там,
где зона скольжения достигает поверхности кристалла.
Высота ступеньки скольжения составляет Н = Nb, где N — число
вышедших на поверхность дислокаций, которое легко
определить, измерив высоту Н на поверхности деформированного
кристалла.
Процесс скольжения описывается тремя стадиями.
Первая стадия характеризуется равномерным скольжением. При
этом электронная микроскопия позволяет визуализировать
53
равномерно распределенные по всей поверхности линии
скольжения (h — const), длина которых также не изменяется в
процессе сдвига. Следовательно, число зон скольжения на всей
первой стадии в соответствии с A.11) остается постоянным,
а сдвиг пропорционален числу дислокаций TV, приходящихся
на одну плоскость скольжения.
В течение второй стадии происходит
структурированное тонкое скольжение (микроскольжение), а число N
постоянно (например, для меди N « 20). Деформирование
продолжается, так как непрерывно происходит спонтанное
образование новых зон скольжения.
Наконец, на третьей стадии полосы скольжения
образуются путем слияния нескольких линий скольжения в полосу
скольжения. В этом случае смещение происходит за счет
участия новых зон скольжения. Полосы (линии) скольжения
соответствуют пересечению плоскостей скольжения с граничной
поверхностью.
Полоса скольжения
Линия скольжения
Ступенька
скольже,
Микро- ^j . -
скольжение^^г t /y\
Рис. 1.22. Схема следов скольжения
Схема следов скольжения на поверхности пластически
деформированного монокристалла приведена на рис. 1.22, где
А — угол скольжения. Сложное строение, которое имеют
следы скольжения, соответствует трем стадиям скольжения.
Следы скольжения состоят из пачек линий скольжения,
отстоящих друг от друга на B,0 ... 2,5) 10~~8 м, причем каждая
линия есть след элементарной ступеньки на плоскости
скольжения. Отдельные линии скольжения создают ступеньку
скольжения. Кроме того, на схеме указаны еще тонкие следы
54
скольжения, называемые микроскольжением, развивающимся
на второй стадии пластического деформирования.
На процесс скольжения сильное влияние оказывают
условия нагружения. Например, увеличение температуры в
процессе деформирования способствует росту ширины полосы
скольжения и расстояния между ними, т.е. наблюдается
концентрация деформаций. Влияние увеличения температуры на
вид полос скольжения эквивалентно уменьшению скорости
деформации.
Полосы деформации являются следствием деформации
скольжения, характерной для большинства материалов с
ОЦК- и ГЦК-решетками. Полосы образуются как в
монокристаллах, так и в зернах поликристаллических
материалов. Они формируются по кристаллографическим плоскостям
и состоят из слоистых областей, внутри которых с
увеличением деформации постепенно развиваются различные
ориентации. Образование полосы скольжения ведет к появлению
новой грани в зерне и может привести к расщеплению
исходного зерна. Внутри полосы наблюдается искривление
плоскостей кристаллической решетки, что способствует упрочнению
материала. Полосы деформации образуются в широком
диапазоне температур, причем полосы, возникающие при низких
температурах, расположены гораздо чаще, чем те, которые
появились при нормальной температуре.
Таким образом, процесс скольжения представляет собой
элементарный акт пластического деформирования,
поскольку скольжение по отдельным плоскостям всей системы
плоскостей скольжения происходит независимо. Соответственно
деформированную решетку нельзя отличить от недеформиро-
ванной (рис. 1.23, а), если исключить краевые атомы.
Представим, что наряду со скольжением по одной
определенной плоскости происходит скольжение с тем же шагом
по всем последующим плоскостям. Тогда возникает
деформация сдвига, вследствие чего при некотором значении смещения
образуется кристаллическая решетка, зеркально
симметричная по отношению к исходной решетке (рис. 1.23,6). В этом
55
а б
Рис. 1.23. Схема деформирования кристалла
при скольжении (а) и двойниковании (б):
ПС — плоскость скольжения; ПД — плоскость двой-
никования
случае говорят о механическом двойниковании. Итак,
двойников анием называется процесс смещения части решетки
кристалла, в результате которого обе части его
ориентируются симметрично относительно некоторой плоскости.
Двойник бесконечно малой толщины F —> 0) формально
эквивалентен дефекту упаковки кристаллической решетки.
Двойникование можно представить как однородный сдвиг
одной части кристалла по отношению к другой,
параллельной какой-либо рациональной кристаллографической
плоскости. При металлографических исследованиях на
микрофотографии по плоскости двойникования фиксируется характерная
двойная линия. Дислокационный механизм двойникования
достаточно сложен, и его описание можно найти в учебниках по
металлофизике и теории дислокаций.
Процесс двойникования происходит при определенных
критических касательных напряжениях двойникования тB).
Возрастание скорости деформации или понижение
температуры способствует образованию и распространению двойников.
По сравнению со скольжением при обычном статическом и
квазистатическом нагружении двойникование занимает
второстепенное положение: деформация за счет двойникования
всегда меньше деформации скольжения. Роль двойникования
возрастает, если скольжение невозможно или сильно
затруднено, например при высокоскоростном деформировании.
56
1.6. Классификация типов разрушения
Деформирование и разрушение твердых тел тесно
связаны ДРУГ с другом. Если тело подвергнуто действию нагрузки,
при которой нарушается сплошность среды и интенсивность
поля напряжений достигает предельного значения, то
наступает разрушение, т.е. необратимое разделение тела на части.
В зависимости от характера распределения напряжений в теле
разрушение бывает двух типов: отрывом и сдвигом
(скольжением).
Разрушение отрывом является, как правило, хрупким,
возникает в результате приложения растягивающих нагрузок,
происходит по определенным кристаллографическим
плоскостям, характерным для кристаллической решетки материала,
а поверхность разрушения нормальна к максимальному
главному напряжению.
Разрушение сдвигом является вязким, связано с
касательными напряжениями, происходит по направлению
максимального сдвига (по плоскости скольжения двух частей кристалла
относительно друг друга до полного их разделения), а
поверхность сдвига ориентирована под углом ~ 45° к главным
напряжениям.
Отметим, что разрушение отрывом может наступать как
при малой, так и при значительной пластической деформации,
а сдвиговое разрушение — только при наличии определенной
степени пластической деформации, так как оно является
заключительным актом скольжения. Вообще говоря, любому
типу разрушения всегда предшествует пластическое
деформирование материала; его интенсивность, а также величина
Деформации определяются характером пластического течения
(локальным или общим).
На разрушение влияют форма тела, тип нагрузки,
температура, скорость деформации, механические свойства среды и
наличие концентраторов напряжений. Местные
концентраторы напряжений действуют как очаги разрушения и приводят к
хРУпкому разрушению отрывом. Форма тела и нагрузка
определяют поле напряжений, которое, в свою очередь, определяет
57
Шаг
Отрыб
степень влияния напряженного состояния на процесс
разрушения. Типичным примером влияния напряженного
состояния на характер разрушения служит рассмотренное Бриджме-
ном разрушение при изменении гидростатического давления.
Установлено, что разрушение отрывом при высоком давлении
наступает с большим трудом, тогда как влияние давления на
наступление разрушения сдвигом относительно мало.
Следовательно, в условиях высокого гидростатического давления р
(сжимающего среднего напря-
4 I жения а = — р) более
вероятно сдвиговое разрушение. При
давлении р = 10 МПа
растягиваемый стальной образец
имеет разрушение с чашечкой и
конусом, которые
представляют собой комбинацию
отрывного и сдвигового разрушений
(рис. 1.24). По мере
возрастания давления чашечка и
конус разрушения изменяют вид:
вначале влияние давления
сказывается в уменьшении
отрывной зоны разрушения, а затем,
при высоком давлении, область
отрыва исчезает и давление
становится сдвиговым.
Многочисленные экспериментальные данные позволяют
дать некоторое представление о влиянии типа
напряженного состояния на характер разрушения материалов (рис. 1.25).
Некоторые металлические сплавы не укладываются в
приведенную схему, так как подвержены аномальным отклонениям,
которые возникают в результате физико-химических
процессов в сплавах при изменении температурных режимов нагру-
жения.
С микроскопической точки зрения существуют два
основных типа разрушения: хрупкое и вязкое. Тип разрушения во
Pi
Рг
Рис. 1.24. Разрушение
растягиваемого образца в
условиях гидростатического
давления (р2 > Pi)
58
Спосод
нагружения
Растяжение
Сжатие
Кручение
Изгиб
Типы разрушения
Хрупкое
'отрыв, скол)
?
а
Вязкое
(сдвиг, срез)
В
8
?
а
Рис. 1.25. Схемы типичных испытаний
механических свойств материалов и
сопутствующие типы разрушения (по Я.В. Фридману)
многом определяется температурой и скоростью нагружения:
хрупкое разрушение возникает при низких температурах или
резком приложении растягивающих нагрузок (или при
воздействии того и другого одновременно); вязкое разрушение
связано с высокими температурами, малой скоростью
деформации при сжимающих и растягивающих напряжениях или
высокими скоростями деформаций при сжимающих нагрузках
импульсного характера. Имеется также разновидность
хрупкого разрушения, которую называют сколом. Скол — это вид
хрупкого разрушения, при котором ориентация плоскости
трещины связана с ориентацией кристаллической структуры, а
именно с положением ее кристаллографических плоскостей.
59
Существует связь между температурой Т и энергией
разрушения (энергией активации) U (рис. 1.26): участку
кривой А—В (зона Г) соответствуют хрупкое разрушение,
малая энергия разрушения, низкая температура; участку С—D
(зона III) — вязкое разрушение, нормальная температура и
высокая поглощаемая энергия,
которая расходуется на рабо-
U ту пластического
формоизменения, предшествующего
началу разрушения; участку
В—С (зона II) — частично
хрупкое, частично вязкое
разрушение. Во II зоне
(переходной), вполне определенной для
каждой среды, энергия
разрушения сильно изменяется. При
повышении скорости
деформации переходная зона сдвигается
в сторону более высоких тем-
Ш
Рис. 1.26. Зависимость
энергии разрушения от
температуры:
/ — зона хрупкого
разрушения; // — переходная зона;
///— зона вязкого разрушения
ператур, т.е. с ударноволно-
вым (импульсным) нагружени-
ем в большей степени связано
хрупкое разрушение.
От температуры и скорости деформации зависит также
характер разрушения поликристаллической среды:
интергранулярное (межзеренное) разрушение, вызванное отделением
зерен одно от другого и протекающее при высоких
температурах и малой скорости деформации; трансгранулярное (вну-
тризеренное), связанное с фрагментацией (разрушением)
зерен и протекающее при низких температурах и больших
скоростях деформаций; в промежуточных случаях имеют место
оба вида разрушения. Температуру, при которой
трансгранулярное и межгранулярное разрушения равновероятны,
называют температурой равносвязностщ зависящей от скорости
деформации.
Начало и динамика дальнейшего развития разрушения
определяются типом разрушения. Хрупкое разрушение лред-
60
а 5
Рис. 1.27. Вид хрупкой (а) и вязкой (б) трещин
ставляет собой разрыв среды без заметного
предшествующего пластического деформирования. Для хрупкого разрушения
типична острая ветвящаяся трещина (рис. 1.27, а) с высокой
скоростью распространения, движущаяся за счет накопленной
в теле потенциальной энергии упругих деформаций. Хрупкое
разрушение требует малых затрат энергии,
распространяется перпендикулярно напряжению растяжения и продолжается
до тех пор, пока выделяющейся энергии достаточно для
образования новых поверхностей разрушения либо пока местные
напряжения, возникающие в вершине трещины, не окажутся
ниже предела прочности. Вязкое разрушение сопровождается
значительным пластическим деформированием и
относительным скольжением двух областей среды. Для вязкого
разрушения типична тупая раскрывающаяся трещина (рис. 1.27, б)
с малой скоростью распространения, зависящей от условий
нагружения. Вязкое разрушение требует для своего развития
значительных затрат энергии и распространяется в
направлениях, в которых возникает интенсивное пластическое течение
(прогрессирующее скольжение), когда касательное
напряжение превышает предельное значение. В этом случае тело
разделяется на части, ограниченные плоскостями сдвигового
разрушения.
Ударноволновое нагружение связано с распространением
в теле волн напряжений. При этом тело поглощает
значительное количество передаваемой энергии, большая часть
которой расходуется на неупругое деформирование, реализуемое
в форме пластического течения или множественного
разрушения. Существующие различия между процессами разрушения
61
деформируемого тела при статическом, динамическом и удар-
новолновом нагружениях объясняются локальным характером
полей напряжений и высокими скоростями деформаций.
Форма тела, подверженного воздействию ударных волн, и
наложенные на него связи во многом определяют местонахождение
и степень пластической деформации. Влияние геометрии тела
(форма, свободные поверхности) на пластическое
деформирование характеризуется тремя факторами: наличием неодно-
родностей напряженного состояния, вызванных отражением и
взаимодействием волн напряжений; отсутствием связи
объемного и пластического деформирования, в связи с чем
изменения конфигурации должны начинаться на свободной
поверхности; связью разрушения с пластическими деформациями,
которые являются результатом относительного движения
различных частей тела при разрушении. В импульсно
нагруженном теле эти эффекты возникают практически одновременно.
Вид макроскопических пластических деформаций тела
при ударноволновом нагружении во многом определяется
механическими свойствами материала, которые зависят от
температуры, условий затвердевания кристаллов при
охлаждении, истории деформирования, скорости и интенсивности на-
гружения и других факторов. Эти факторы имеют важное
значение на протяжении всего процесса пластического
деформирования и разрушения тела, причем некоторые
пластические деформации и очаги разрушения возникают сразу после
приложения ударной нагрузки, другие — постепенно, с
течением времени. Большинство твердых тел при
ударноволновом нагружении в той или иной мере утрачивают способность
к вязкому разрушению и становятся более хрупкими.
Проведенный анализ позволяет утверждать, что один и
тот же тип разрушения может иметь несколько названий в
зависимости от признаков, на которых базируется анализ:
1) если характер разрушения связан со степенью
пластичности, реализованной к моменту разрушения, то разрушение
разделяют на хрупкое, квазихрупкое и вязкое;
2) если характер разрушения приводят в соответствие с
напряженно-деформированным состоянием, то имеют в виду
разрушение отрывом и разрушение сдвигом;
62
3) если разрушение связывают со структурой, то
различают транскристаллитное, интеркристаллитное или
смешанное разрушение-,
4) если выделяют условия нагружения, то применяют
понятия усталостного разрушения^ разрушения при
ползучести и т.д.;
5) в зависимости от кинематики процесса различают
стабильное (задержанное) и нестабильное разрушение.
Существует еще целый ряд менее значимых параметров,
по которым можно классифицировать типы разрушения,
однако феноменология процесса разрушения позволяет выделить
два основных фактора, упрощающих классификацию. Во-
первых, существуют только два пути разрушения — сдвиг
и отрыв, причем любой процесс разрушения состоит из двух
стадий, включающих зарождение трещины и ее последующий
рост. Во-вторых, все твердые кристаллические среды можно
разделить на вязкие (или пластичные) и хрупкие. Вязкое
разрушение происходит при наличии больших, а хрупкое —
сравнительно малых деформаций. Поэтому в дальнейшем будем
использовать только два первых определения типа
разрушения: хрупкое, квазихрупкое и вязкое разрушение; разрушение
сдвигом и отрывом. В соответствии с условными типами
разрушения можно также выделить три типа тел:
1) хрупкие тела — это классический объект линейной
механики разрушения;
2) полухрупкие тела, которые могут быть пластичными,
но могут испытывать скол, — классический объект
дислокационной теории разрушения;
3) пластичные (вязкие) тела, о которых нельзя сказать,
что они разрушаются, но, сохраняя пластичность, они могут
при определенных условиях проявлять черты хрупкого
поведения.
Однозначно определить тип разрушения (вязкий или
хрупкий, т.е. деформировалась пластически поверхность
излома или нет) можно лишь при изучении поверхностей, по
которым разрушился образец материала, с помощью метода
63
Рис. 1.28. Веер скола, или "ручьистый излом" A), в
монокристалле молибдена при переходе от вязкой B)
зоны распространения усталостной трещины к
хрупкому долому A), х 200 (по В.Ф. Терентьеву)
Рис. 1.29. Ступеньки скола, или "речные узоры", х 300:
а — при усталостном разрушении монокристалла молибдена; б — при
низкотемпературном (Т = 77 К) разрушении железа (по В.Ф. Терентьеву
и В.М. Горицкому)
фрактографии. Хрупкое разрушение на фрактограмме
характеризуется так называемым ручьистым изломом (рис. 1.28)
или речным узором (рис. 1.29), а вязкое — чашечным изломом
(рис. 1.30) с наличием на поверхности разрушения ямок
(впадин отрыва). На рис. 1.31 приведен также пример хрупкого
интеркристаллитного (внутризеренного) и транскристаллит-
ного (межзеренного) разрушения.
64
Рис. 1.30. Вязкий (чашечный) излом:
а — сталь ЗОХГСА, х 1000 (по В.Ф. Терентьеву); б— жаростойкий
никелевый сплав, х 1500 (по В.Ф. Терентьеву, В.М. Блинову)
Рис. 1.31. Усталостное смешанное хрупкое межзе-
ренное и внутризеренное разрушение
поликристаллического молибдена, х 2000 (по В.Ф. Терентьеву)
65
В действительности у многих материалов, особенно у
металлов, отсутствует абсолютно вязкое или абсолютно
хрупкое разрушение. В первом случае имеются следы хрупкости
(рис. 1.32, а), так как вязкое разрушение происходит путем
образования пор, перемычки между которыми могут
разрушаться отрывом, т.е. хрупко. Во втором случае (рис. 1.32, б)
д
Рис. 1.32. Схематическое
представление вязкого (а) и хрупкого
(б) разрушения
имеются следы пластической деформации, характеризующие
переход с одной плоскости на другую. Поэтому, когда говорят
о вязком или хрупком разрушении, это означает, что явно
преобладает один из описанных механизмов. Разрушение может
быть вязким по механизму протекания процесса, но
распространяться при этом от какого-либо дефекта до наступления
развитого пластического течения, и результатом явится
хрупкость. Весьма часты случаи смешанных разрушений.
Методом фрактографии можно определить долю того и другого
вида разрушения. Например, если в изломе содержится 30 %
вязкого волокна (обозначается как ЗОВ), то это означает, что
30 % сечения разрушилось вязко, а 70 % — хрупко.
Характеристики разрушения связаны с кристаллической
структурой материалов. Например, металлы с ГЦК-решеткой
(алюминий, медь, никель и др.) при испытаниях на
растяжение даже при очень низких температурах проявляют
пластичность. Металлы с ОЦК-решеткой (железо, молибден,
вольфрам и др.), а также металлы с ГПУ-решеткой (цинк,
бериллий и др.) являются пластичными в диапазоне высоких
температур, но становятся хрупкими при низких температурах.
66
Вообще говоря, ОЦК-кристаллы склонны к разрушению
сколом (хрупкое разрушение по кристаллографическим
плоскостям), а ГЦК-кристаллы имеют практически неограниченную
деформируемость.
Температура Тс (в действительности диапазон
температур Тп.'.Тв), при которой происходит изменение
характера разрушения, называется температурой перехода от
вязкого разрушения к хрупкому, или порогом хладноломкости.
Эта температура зависит от материала, его микроструктуры
и геометрии образца. Порог хладноломкости
характеризуется температурным интервалом, в котором доля вязкого
излома % В (или работа распространения трещины ар)
смещается от 100% (или некоторого значения для ар) до нуля.
Порог хладноломкости характеризуется двумя температурами
(рис. 1.33): нижней Гн, ниже которой излом полностью
хрупкий (или ар = 0) и верхней Гв, выше которой излом полностью
Рис. 1.33. Функция % В(Г),
определяющая порог хладноломкости
вязкий (или пр = const > 0). Если порог хладноломкости
характеризуют одной цифрой, то указывают середину поро-
га ^50 — температуру, при которой имеется 50 % волокна в
изломе или величина ар уменьшилась вполовину. Положение
порога хладноломкости характеризует сопротивление
хрупкому разрушению, а величина работы распространения тре-
Щины ар характеризует сопротивление вязкому разрушению.
67
Разность между температурой эксплуатации и величиной Т50
называется запасом вязкости.
Тип разрушения материала тесно связан с его
механическими свойствами, причем особенно существенное влияние
оказывает такая характеристика, как вязкость разрушения.
Например, чугун в нормальных условиях при обычных
статических нагрузках разрушается хрупко, тогда как медь и
малоуглеродистая сталь разрушаются вязко. Влияние
механических свойств на характер разрушения металлов связано
с размерами зерен, составом сплава и типом предварительной
механической или химико-термической обработки.
Увеличение размеров зерна приводит к росту порога хладноломкости
Тс, а увеличение интенсивности предварительной
обработки увеличивает переходную область (В—С на рис. 1.26 или
Тн—Тв на рис. 1.33).
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение статического, динамического и
импульсного нагружения.
2. Сформулируйте понятие "разрушение".
3. Что такое "прочность" и что такое "надежность"
материала?
4. В чем состоит сущность релаксации напряжений?
5. Дайте определение хрупких и вязких материалов по
деформационному признаку.
6. В чем состоит различие процессов разрушения и разрыва?
7. Какова формулировка эффекта Баушингера?
8. Что такое кристалл и чем характеризуется
кристаллическое состояние вещества?
9. Сформулируйте определение "идеального" кристалла.
10. Запишите координационные числа ОЦК-, ГЦК- и ГПУ-
решеток.
11. Какие плоскости кристаллической решетки называются
кристаллографическими?
68
yi. Какие операции симметрии называются собственными? В
чем их физический смысл?
13. Что такое длина трансляции и порядок поворотной оси?
14. Поясните сущность несобственных операций симметрии.
15. Дайте определение сингонии.
16. Что представляют собой решетки Браве, сколько их?
17. Назовите четыре основных класса кристаллов в
соответствии с характером межатомных сил взаимодействия.
18. Классифицируйте межатомные силы взаимодействия в
кристаллических твердых телах.
19. Что такое полиморфизм кристалла и фазовый переход?
Как обозначаются аллотропические модификации?
20. В чем заключается сущность анизотропии и
квазиизотропии твердого тела?
21. Сформулируйте определение теоретической (идеальной)
прочности.
22. Какую энергию называют энергией активации?
23. Почему модуль упругости первого рода зависит от вида
функции энергии взаимодействия атомов, составляющих
кристаллическую решетку?
24. Выведите соотношение Орована для оценки теоретической
прочности кристалла.
25. Чему равен коэффициент пропорциональности к для стали
в равенстве at^ « кЕ?
26. Дайте определение зерна (кристаллита).
27. Что такое совершенный и несовершенный кристаллы?
28. Сформулируйте понятия точечных, линейных и
двумерных дефектов кристаллической решетки, приведите
соответствующие примеры.
29. Что представляет собой трехмерный дефект кристалла?
30. Приведите общую классификацию дефектов
кристаллической решетки, укажите семь типов дефектов в
соответствии с этой классификацией.
69
31. Чем отличаются вакансии по Шотки от вакансий по
Френкелю?
32. Какие два вида примесей вы знаете?
33. Как образуются краевая и винтовая дислокации? Что
такое экстраплоскость?
34. Почему вектор Бюргерса является одной из характеристик
дислокации?
35. Каковы характеристики объемной и линейной плотности
дислокакций?
36. Опишите строение зерна.
37. Какие несовершенства, содержащиеся в реальном
кристалле, называют атомно-кристаллическими, а какие
структурными?
38. Какова роль дислокаций в осуществлении механизма
пластического течения?
39. Что называют скольжением (трансляцией) и как
определяются направления скольжения в кристаллических телах?
40. Каким образом механизм скольжения связан с процессом
перемещения дислокации?
41. Почему теоретическая прочность кристаллического
твердого тела на несколько порядков больше измеренной?
42. Как влияет плотность дефектов кристаллической решетки
на механические свойства кристаллических твердых тел?
43. Опишите механизм размножения дислокаций (источники
дислокаций Франка — Рида).
44. Охарактеризуйте три стадии процесса скольжения.
45. Как влияют на процесс скольжения температура и
скорость деформации?
46. Сформулируйте понятие двойникования и поясните его
отличие от скольжения.
47. Что такое разрушение отрывом, разрушение сдвигом и
разрушение сколом?
48. Какие факторы и как влияют на процесс разрушения
твердых тел?
70
49. Дайте характеристику хрупкого и вязкого разрушения,
опишите вид хрупких и вязких трещин.
50. Чем объясняются различия процессов разрушения
твердого деформируемого тела при статическом, динамическом и
импульсном нагружении?
51. Приведите примеры классификации типов разрушения и
выполните анализ приведенных формулировок.
52. Определите три типа твердых тел в соответствии с тремя
условными типами разрушения (хрупким, квазихрупким и
вязким).
53. Как на фрактограммах выглядят поверхности хрупкого и
вязкого разрушения?
54. Каким образом определяется и как обозначается доля
вязкого излома на поверхности разрушения?
55. Как характеристики разрушения (хрупкость,
пластичность) связаны с типом кристаллической решетки твердого
тела? Приведите примеры.
56. Что такое порог хладноломкости, как он определяется и
что характеризует?
57. Как определяется запас вязкости конструкционного
материала?
58. Какие параметры металлов оказывают влияние на
характер их разрушения?
71
Глава 2
КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
2.1. Факторы, влияющие на прочность
и пластичность твердых тел
Поведение кристаллических твердых тел при
стационарных изотермических условиях можно охарактеризовать двумя
крайними ситуациями: пластическое течение и хрупкое
разрушение. В первом случае предельное состояние материала
соответствует значению предела текучести, а во втором —
значению предела прочности, В то же время один и тот же
материал может находиться в хрупком или пластичном
состоянии в зависимости от температуры, давления, скорости
деформации, условий нагружения и т.д. Следовательно,
можно говорить о хрупком или пластическом состоянии
материала, а не о хрупких или пластичных материалах. Поэтому
при дальнейшем использовании терминов "хрупкий
материал" или "пластичный материал" будем иметь в виду
преимущественно хрупкое или вязкое (пластическое) поведение
рассматриваемого тела.
Главной целью построения критериев прочности и
пластичности твердых тел является определение напряженно-
деформированных состояний, которые вызывают разрушение
72
хрупких и течение пластичных материалов. При этом в
зависимости от природы материала можно сформулировать либо
критерий разрушения, характеризующий наступление
хрупкого разрушения, либо критерий текучести
(пластичности), который устанавливает напряженно-деформированные
состояния, характеризующие начало пластического течения.
При объединении этих критериев используется понятие
критерия потери несущей способности.
При описании критериев прочности и пластичности
будет использована модель сплошной среды, т.е. наблюдаемые
явления не будут связываться с процессами на атомном или
молекулярном уровне, хотя для описания явлений
структурного и деформационного упрочнения будут привлечены основные
понятия физики твердого тела.
Пределы текучести и прочности изотропных материалов
зависят от многих факторов: размеров и формы образцов,
параметров внешней среды, условий нагружения, структуры
материала и т.д.
Обнаруживаемая в опытах зависимость характеристик
прочности от размеров образцов (масштабный эффект)
приводит к известной условности экспериментальных данных о
величине предела прочности. В материалах, подверженных
хрупкому разрушению, масштабный эффект особенно
заметен, так как с увеличением размера образца возрастает
вероятность нахождения в нем опасных микродефектов и
микротрещин, способных привести к быстрому неконтролируемому
разрушению. Природа масштабного эффекта подробно
описана в разделе 4.6.
Гидростатическое давление, накладываемое на другое
напряженное состояние (например, на растяжение), может
оказать значительное влияние на процесс разрушения.
Эффект гидростатического давления, экспериментально
обнаруженный Бриджменом, состоит в резком увеличении при
высоких давлениях пластичности материалов, даже очень хрупких
в обычных условиях. Например, при давлении 10 ГПа
истинные деформации в шейке стального образца при растяжении
Достигают ~106.
73
С ростом температуры (выше комнатной) предел
текучести уменьшается, а точка начала текучести выражена
менее отчетливо. С понижением температуры предел текучести
заметно увеличивается, пластические свойства материала
существенно снижаются, а склонность к хрупкости возрастает.
Отметим, что при гомологических температурах
(гомологической называется температура, занимающая одинаковое
относительное положение между абсолютным нулем и
температурой плавления) поведение различных металлов имеет
примерно одинаковый характер.
Скорость деформирования материала оказывает заметное
влияние на его свойства пластичности и прочности. С
увеличением скорости деформации растет сопротивление
материала пластическому деформированию, кривая
деформирования при высоких скоростях деформаций проходит выше, чем
при низких (см. рис. 1.1), а пределы текучести и прочности
возрастают. Для разных металлов эффект влияния скорости
деформирования различен, а интенсивность его воздействия
изменяется в очень широком диапазоне.
С уменьшением размера зерна, являющегося основным
элементом макроструктуры кристаллических твердых тел,
наблюдается весьма отчетливая тенденция к увеличению
предела текучести материала.
Прочность и пластичность являются
структурно-чувствительными свойствами. Это означает, что
макроскопические механические свойства многофазных материалов (предел
текучести и предел прочности) не соответствуют
усредненным значениям этих свойств, присущих составляющим
материал фазам (как это имеет место, например, для значения
плотности). Рассмотрим простейший случай, при котором
материал содержит две фазы: более прочную (или пластичную)
с объемной долей v\ и пределом прочности (или пределом
текучести) &\ и менее прочную с объемной долей г>2 и
пределом прочности (или пределом текучести) G2, причем обе фазы
взаимно когерентны. При заданной интенсивности
деформаций средний предел прочности (или предел текучести) (а)
возрастает при увеличении объемной доли более прочной фазы,
74
т.е. (&) = vi<ri + V2CF2- Если же считать, что каждая фаза
способна выдержать одно и то же заданное напряжение, то
средняя деформация возрастает с увеличением объемной
доли V2, т-е- (€) = ul?l + ^2^2- В действительности прочность
(или пластичность) материала, состоящего из двух фаз,
занимает промежуточное положение по отношению к значениям
среднего предела прочности (или предела пластичности),
рассчитанным в соответствии с каждой из двух рассмотренных
идеальных моделей. Средняя деформация двухфазного
материала зависит от объемных долей каждой фазы, равно как и
от величин деформаций, соответствующих этим фазам.
Облучение материалов в ядерных реакторах (главным
образом нейтронами) приводит к заметному повышению
предела текучести, такому, какое достигается в процессе
деформационного упрочнения материала.
Известно, что при постоянном значении деформации
материала напряжения со временем уменьшаются (релаксация),
а деформации при постоянном уровне напряжений со временем
увеличиваются (ползучесть). В условиях ползучести
прочность материала вообще характеризуется другими
параметрами. Это связано с тем, что разрушение в результате
ползучести наступает при любом напряженно-деформированном
состоянии одного и того же материала через разное
характерное время, определяемое температурой и уровнем напряжений.
При циклических нагрузках разрушение наступает при
достижении так называемого предела усталости, величина которого
связана с числом циклов нагружения. Оба механизма
разрушения (при ползучести и при усталости) так или иначе
связаны со временем и условиями приложения нагрузки. Однако
У металлов имеется довольно широкая область условий
нагружения, для которой временными эффектами с достаточной
степенью точности можно пренебречь и использовать
критерии прочности и пластичности, описанию которых посвящена
эта глава. В то же время у полимеров и органических
материалов в наиболее важных интервалах напряжений и
температур эксплуатации временные эффекты поведения выражаются
весьма отчетливо.
75
В этой главе приведены, главным образом, критерии
кратковременной прочности конструкционных материалов
при простых и мало изменяющихся во времени нагрузках,
действующих в обычных температурных условиях (в условиях
нормальной атмосферы), а критериям усталостной и
длительной прочности, учитывающим временные эффекты, уделено
небольшое внимание.
2.2. Основные принципы построения критериев
прочности и пластичности
В историческом плане долгое время знания о прочности
материалов накапливались случайно, передавались из
поколения в поколение как секреты мастерства и относились скорее к
области искусства, чем науки. Наука о прочности зародилась
тогда, когда впервые был осмыслен факт: всякий материал
сопротивляется деформированию и разрушению. Материал
может выдерживать как обратимые (упругие), так и
необратимые (пластические) деформации. Но когда наступит
разрушение? Желание дать наиболее точный ответ на этот вопрос
привело к формулировке критериев прочности, которые
устанавливают момент исчерпания несущей способности
материала в некоторой точке или всего тела в целом.
Соответствующие соотношения содержат некоторые постоянные материала,
определяемые экспериментально: ат, <тв, ф и др. Среди
критериев прочности есть такие, которые описывают как
условия зарождения трещины, так и условия ее распространения.
Первые из них устанавливают условия наступления опасного
состояния в некотором объеме материала и называются
классическими теориями прочности. Вторые исходят из наличия
в теле трещины и относятся к области механики разрушения.
Предельные условия прочности (пластичности) удобно
рассматривать в пространстве главных напряжений
(cri, G2, сг3). Каждая точка этого пространства, перемещаясь
в пространстве по произвольному направлению ОМ,
соответствует некоторому напряженному состоянию (рис. 2.1).
Определим предельную точку, которой соответствует предельное
76
рис. 2.1. Пространство
главных напряжений
/п — ось,
соответствующая среднему
напряжению <Г = (<Г1 + <*2 + ^/)
77
напряженное состояние (начало пластического течения
материала или потеря сплошности в результате разрушения).
Множество предельных точек в пространстве главных
напряжений образует предельную поверхность F(ai, o<i, °ъ) = О?
которая окружает начало координат, причем само начало
координат не может лежать на предельной поверхности, так
как соответствует ненапряженному состоянию, при котором
сплошность среды не нарушена.
Критерий прочности (пластичности) представляет собой
развернутую запись предельного условия прочности
(пластичности) в виде F(a\, сгг, <7з) = 0, в который входят
характеристики напряженно-деформированного состояния среды и
параметры, определяющие физико-механические свойства среды.
Рациональный критерий прочности (пластичности)
должен удовлетворять следующим требованиям:
1) определять условия разрушения или пластического
течения среды, находящейся в произвольном
напряженно-деформированном состоянии;
2) включать в свое аналитическое выражение наряду с
тензором напряжений скалярные или тензорные величины,
характеризующие прочностные или пластические свойства
среды;
3) учитывать такие особенности физико-механических
свойств, как различие пределов прочности и текучести при
растяжении и сжатии, зависимость пределов прочности и
текучести при сдвиге от направления касательных напряжений;
77
4) иметь форму инварианта, образованного из компонент
тензора напряжений и компонент тензоров, характеризующих
прочностные или пластические свойства среды;
5) учитывать в явном виде время, температуру,
масштабный эффект и их влияние на условия разрушения или
текучести при различных напряженных состояниях.
В основу построения критерия прочности (пластичности)
должны быть положены следующие принципы:
1) аналитическое выражение критерия должно
интерпретироваться в виде предельной поверхности в пространстве
главных напряжений;
2) согласно постулату Ильюшина — Друккера,
предельная поверхность должна быть выпуклой;
3) для сред с различными пределами прочности и
текучести при растяжении и сжатии в критерий наряду с
инвариантами четных степеней должны входить инварианты нечетных
степеней;
4) при увеличении пределов прочности или текучести для
сред данного типа предельная поверхность в пространстве
главных напряжений должна расширяться так, чтобы
прежняя предельная поверхность оказалась внутри новой, причем
обе предельные поверхности могут только касаться одна
другой, но не пересекаться;
5) при построении критерия прочности (пластичности)
среда считается сплошной и однородной.
Построение критерия прочности (пластичности),
удовлетворяющего всем перечисленным требованиям и
учитывающего все изложенные принципы, представляется далеким от
реальности. Поэтому подавляющее большинство известных
критериев прочности и пластичности удовлетворяют лишь
некоторым ключевым требованиям, связанным с
фундаментальными понятиями и постулатами механики твердого
деформируемого тела, и применимы для конкретных классов
материалов, обладающих схожими механическими свойствами.
78
2.3. Классические критерии прочности
Конкретный смысл термина "предельное (или опасное)
состояние" зависит от свойств материала и предъявляемых
к нему эксплуатационных требований. Для хрупких
материалов таким состоянием можно считать достижение предела
прочности, характеризующего границу разрушающих
напряжений. Для пластичных материалов опасным является
состояние, соответствующее достижению предела текучести,
который характеризует переход материала в состояние
пластического течения и потерю им несущей способности.
Классические критерии могут служить критериями
прочности для хрупких материалов и критериями пластичности
(текучести) для материалов, способных пластически
деформироваться. Вместе с тем наступление пластических
деформаций может определяться одним критерием, а разрушение
этого же материала — другим.
Все классические теории прочности (пластичности)
относятся лишь к изотропным средам с одинаковыми
пределами текучести на растяжение и сжатие, а следовательно, не
учитывают эффект Баушингера. Кроме того, для
рассматриваемых ниже критериев форма предельной поверхности
является выпуклой и не зависит от гидростатического давления
р = -а, где а — среднее напряжение. Поскольку форма
предельной поверхности определена на основании самых
общих соображений, экспериментальные исследования
необходимы лишь для того, чтобы определить ее размеры. Для этого
требуется установить предельное значение напряжения в
момент наступления текучести (сгт) испытуемого образца либо
потери им устойчивости (сгв) при одноосном растяжении, или
при одноосном сжатии, или при чистом сдвиге, или при
любом другом практически удобном испытании. Следовательно,
в критерий текучести должна входить одна постоянная
величина в виде предела текучести при растяжении ат или при
сдвиге гт, а критерий прочности должен содержать
постоянную в виде предела прочности сгв.
79
Таким образом, при построении критериев прочности
и пластичности изотропных материалов необходимо
осуществление перехода от характеристик прочности и
пластичности при одноосном напряженном состоянии к
соответствующим характеристикам при сложном напряженном
состоянии. Такой переход позволяет обобщать известные
экспериментальные данные, устанавливающие начало пластического
течения или момент разрушения простых образцов при
одноосном растяжении или сжатии, а затем использовать эти
результаты при анализе сложного напряженного состояния.
Критерий наибольших нормальных напряжений
(критерий Галилея, или первая теория прочности).
Пластическое деформирование пластичных материалов или
разрушение хрупких материалов наступает тогда, когда
наибольшее по абсолютной величине главное напряжение достигает
некоторого предельного значения аф, различного для разных
материалов:
'|^, 1 = 1,2,3. B.1)
\*i\
Условие текучести в соответствии с критерием B.1)
имеет вид |0"г(тах)| = сгТ, а условие разрушения запишется в
форме К(тах)| = <7В.
Предельная поверхность
(например, поверхность текучести
на рис. 2.2) для этого
критерия представляет собой куб
в пространстве главных
напряжений, взятых по моду-
/ лю. Условие прочности для
Vkj I хрупких материалов в
соответствии с критерием B.1)
имеет вид |at(max)| < сгв,
а для пластичных
материалов оно запишется в форме
ы
Рис. 2.2. Поверхность
текучести по критерию
наибольших нормальных
напряжений
80
Первая теория прочности не всегда соответствует
экспериментальным фактам. Так, при одноосном сжатии и
равномерном всестороннем сжатии граница прочности, согласно
этому критерию, будет одинакова. Однако известно, что
гидростатическое давление не приводит к разрушению
сплошного образца.
Для хрупких материалов при напряженных состояниях,
близких к одноосным, указанный критерий приводит к
более или менее правильным результатам. Переход материалов
в состояние пластического течения критерий B.1) описывает
неудовлетворительно.
Критерий наибольших линейных деформаций
(критерий Мариотта, или вторая теория прочности).
Разрушение или начало пластического деформирования
материала наступит тогда, когда наибольшая по абсолютной
величине линейная деформация удлинения достигнет некоторого
предельного значения е^, различного для разных материалов:
:i(max)
1 = 1,2,3. B.2)
Согласно критерию B.2), разрушение хрупкого
материала, подчиняющегося закону Гука (см. (П2.1)*),
записанного в главных напряжениях и деформациях, наступит, если
еф = <тв/Е, т.е.
-
<73)] = ^,
а пластическое течение начнется при выполнении условия
?«, = (ТТ/Е, т.е.
-
Критерий прочности B.2), записанный в главных
напряжениях, для хрупких материалов будет иметь вид
*в, B.3)
Здесь и далее буква "П", стоящая перед номером формулы или
таблицы, означает, что они приведены в приложении в конце книги.
81
а для пластичных материалов —
<стт.
B.4)
Рассмотрим порядок построения предельной поверхности
на примере поверхности текучести, определяемой критерием
B.4). Пусть элементарный параллелепипед находится под
действием трех главных нормальных напряжений агх, ату)
сггг, причем в данном случае для главных напряжений не
будем вводить обозначения aj, G2, Gз, чтобы не связывать себя
общепринятым условным соотношением о\ > o<i > G3. Дело в
том, что каждой оси можно приписать значения o"i, 02 или о^
в зависимости от того, в какой точке плоскости напряжений
проводится анализ напряженного состояния. Следовательно,
критерий B.4) для предельного состояния можно переписать
в форме
[ B.5)
Л
В случае двухосного напряженного состояния crTZ = 0 и
предельным контуром является ромб (рис. 2.3). При его
построении каждое из напряжений GГХ, ату, aTZ может играть
роль наибольшего (<7i), среднего @*2) или наименьшего (аз)
главного напряжения.
Например, в плоскости
первого квадранта (/ на рис. 2.3)
имеет место состояние
двухосного растяжения (атх > О,
ату > 0). Если атх > ату,
то атх = ах, ату = сг2,
aTZ = 0-3 = 0 и в
соответствии с критерием B.5)
получим уравнение прямой
о\ — 1/G2 = ^Т)
пересекающей ось атх в точке ат (см.
рис. 2.3). Если же атх < ату,
то агу = Gi, сггх = G2, aTZ =
= G3 = 0 и подстановка этих
W
Рис. 2.3. Контур текучести
для двухосного
напряженного состояния в соответствии
с критерием наибольших
линейных деформаций
82
значений в уравнение B.5) приводит к уравнению прямой
О2 - vo\ - сгт, пересекающей в точке ат ось стгу (см. рис. 2.3).
Обе прямые пересекаются в точке <тг = <тту = сгт/A - v).
В плоскости второго квадранта (//на рис. 2.3) имеет
место комбинация состояний растяжения (ату > 0) и сжатия
(аТх < 0)- В этом случае очевидно, что <тту = а\^ аТ2 — оъ — 0,
(Утх = аЗ и уравнение B.5) запишется в форме о^ — ^^ = ^т5
которая определяет прямую, пересекающую ось атх в точке
-сгт. Аналогичные выкладки можно выполнить для третьего
квадранта (/// на рис. 2.3), где существует состояние
двухосного сжатия (атх < 0, ату < 0), и для четвертого
квадранта (IV на, рис. 2.3), характеризующего комбинацию
растяжения (огтх > 0) и сжатия (сгту < 0). В результате образуется
предельный контур в форме ромба, являющийся графическим
представлением условия текучести B.4).
В общем случае трехосного напряженного состояния,
когда ни одно из главных напряжений не равно нулю,
предельная поверхность по критерию наибольших линейных
деформаций имеет форму четырехгранной призмы, равнонаклоненной
к осям координат в пространстве главных напряжений.
Вторая теория прочности получила применение в
инженерной практике лишь для весьма ограниченного круга
напряженных состояний и материалов, в частности при
проектировании стволов артиллерийских орудий (здесь в сечении,
ортогональном к оси симметрии, реализуется плоское
деформированное состояние).
Критерий наибольших касательных напряжений
(критерий Треска, или третья теория прочности).
Пластическое деформирование металлов и сплавов наступает
тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает
некоторого определенного значения, различного для разных
металлов и сплавов:
B.6)
Чтобы выразить постоянную ттах через механические
свойства материала, обратимся к состоянию одноосного
растяжения (<72 = сгз = 0), при котором пластическое течение
83
возникает при условии g\ = <тт. Подставляя эти значения
напряжений в соотношение B.6), находим, что тт = 0"т/2,
т.е. пластическое деформирование наступит при выполнении
условия
G1 - а3 = <7Т. B.7)
Следовательно, условие прочности имеет вид
сг\ - аз < ат.
Если рассмотреть испытания на чистый сдвиг, при
котором действуют только касательные напряжения г (а\ = г,
сгз = -г, аз = 0), то пластическое течение начнется при
выполнении условия г = гт, где гт — предел текучести при
сдвиге. Тогда, согласно B.6), тф = тт, а из сравнения с
испытаниями на чистое растяжение (г* = <тт/2) следует, что тт = сгт/2.
В системе координат (а\, сгз) предельное условие B.7)
имеет вид прямой //—//(рис. 2.4). Прямая /—/ограничивает
область возможных напряженных состояний,
удовлетворяющих условию (Ji > сгз- Заштрихованная полоса охватывает
область напряженных состояний, при которых пластические
деформации отсутствуют.
В случае двухосного напряженного состояния
предельный контур текучести строится аналогично тому, как это
было выполнено для второй теории прочности, и представляет
собой шестиугольник, называемый шестиугольником Треска
(рис. 2.5).
4
w
3
-dT
w
61
Л
Рис. 2.4. Геометрическая
интерпретация критерия
наибольших касательных
напряжений
Рис. 2.5. Контур
текучести для двухосного
напряженного состояния в
соответствии с критерием
наибольших касательных
напряжений
84
В общем случае трехосного напряженного состояния
предельная поверхность (поверхность текучести) имеет форму
шестигранной призмы, равнонаклоненной к осям координат
в пространстве главных напряжений.
Третья теория прочности в целом удовлетворительно
характеризует предельные условия перехода металлов в
состояние пластического деформирования, хотя и отмечаются
некоторые систематические отклонения. Критерий Треска B.7)
хорошо описывает разрушение пластичных материалов при
сдвиге, но не может быть рекомендован для расчета прочности
хрупких материалов или материалов, условия нагружения
которых исключают возможность заметного пластического
деформирования.
Критерий максимальной удельной энергии
формоизменения (критерий Мизеса, или четвертая теория
прочности). Пластическое состояние (или разрушение)
наступает тогда, когда удельная энергия формоизменения
достигнет некоторого предельного значения, различного для
разных материалов.
Полная удельная энергия деформирования может быть
представлена (в случае справедливости закона Гука) как
сумма удельной энергии изменения объема Uo и удельной энергии
формоизменения U$: U = Uo + #ф. Общий вид удельной
энергии формоизменения можно записать в виде
+(az - а) (ег - е) + rxyjxy + ryzjyz + txzjxz\ , B.8)
где (тх, ауу az — нормальные напряжения; ех, еу, ez —
линейные деформации; а — среднее напряжение; е — средняя
деформация; тху, ту2, rxz — касательные напряжения; jxy, jyz,
Ixz — угловые деформации.
Из уравнений П2.2 следует, что ах - о = 2Gex + Хв -
-Кв. Так как в = Зе и в соответствии с табл. П2.1
К = А + 2G/3, то ах - а = 2G(ex - e). Следовательно,
ех - е = (ах - cr)/BG) и по аналогии еу - е = (ау -
85
ez - e = {pz - <r)/BG). Подставляя полученные разности в
уравнение B.8) и учитывая, что jij = T{jjG, получим
следующее соотношение:
и*= h [{<Тх ~аJ+{<Ту ~аJ + {<7г ~
2 2]. B.9)
Подставляя в B.9) значение а = (ах + 0"y + 0"z)/3, проводя
замену G = Е/[2A + п)] и выполняя необходимые преобразования,
получим выражение удельной энергии формоизменения через
компоненты тензора напряжений:
Г/ \2 , / \2 | / \2 |
\{(тх ~ сгу) + {сгу - oz) + \pz - ах) +
}. B.10)
Очевидно, что в пространстве главных напряжений
(cri, G2, сгз) соотношение B.10) преобразуется к виду
[(J + (<Т2" азJ + (аз" aiJ} • BЛ1)
Критерий текучести Мизеса по определению
записывается в виде равенства
1/ф = и*, B.12)
где постоянную величину ?/* можно определить, используя
результаты испытаний материала при одноосном растяжении
(cry — oz — тху = ryz = rxz = 0), когда ах = ат:
и* = Чш~а2- BЛЗ)
Подставляя в равенство B.12) полученные выражения B.10)
и B.13), определим общий вид критерия Мизеса:
86
или с учетом понятия интенсивности напряжений <т, —
( J + ( J +
+6 (r|, + r? + rJ,) = aT> B.14)
а в пространстве главных напряжений —
at = j=\J(<n - <Ы2 + (*2 " *зJ + (<г3 - <пJ = aT. B.15)
Следовательно, условие прочности имеет вид
С{ < <7Т.
При испытаниях на чистый сдвиг {а\ = т, <7з = -г)
0-2 = 0) пластическое течение начинается при достижении
касательным напряжением т предела текучести при сдвиге тт.
В этом случае из выражения B.11) следует, что
и.= 1-^т2, B.16)
а сравнение предельных значений B.13) и B.16) приводит к
взаимосвязи между пределами текучести при одноосном
растяжении и при чистом сдвиге: тт = ат/у/3. Необходимо
напомнить, что, согласно третьей теории прочности, тт = ат/2,
однако с точки зрения практического приложения это
фундаментальное различие не имеет существенного значения. Это
означает, что для решения технических задач можно
использовать любой из критериев (Треска или Мизеса), не
задумываясь об абсолютной точности расчетов, а исходя из
соображений удобства численной реализации математической
постановки задачи.
Привлекательность условия текучести Мизеса состоит не
только в том, что оно получено на основании такой физически
ясной характеристики, как удельная энергия формоизменения,
но и в том, что это условие имеет простую математическую
87
форму, совместимую с общими постулатами, которым
должно удовлетворять любое условие текучести. Так как
удельная энергия формоизменения пропорциональна второму
инварианту девиатора напряжений T2(D<r), то условие текучести
Мизеса иногда называют Тг-критерием и записывают в виде
T2(Da) = const.
Для двухосного напряженного состояния предельная
кривая текучести по критерию B.15) имеет форму эллипса
(рис. 2.6), описываемого уравнением
'тх
2 2
ату - (тгхату = ат.
В случае трехосного напряженного состояния предельная
поверхность по критерию Мизеса B.15) в пространстве
главных напряжений (а\ > вч > <7з) имеет форму цилиндра, ось
которого является гидростатической осью (осью среднего
напряжения), равнонаклоненной к осям координат (рис. 2.7), т.е.
пластическое течение не зависит от гидростатического
давления р (среднего напряжения а = -р). Внутрь цилиндра
вписана шестигранная призма, характеризующая поверхность
текучести по критерию Треска B.7).
'6т
-4т
Рис. 2.6. Эллипс
текучести по критерию удельной
энергии формоизменения
Рис. 2.7. Геометрическая
интерпретация критерия Мизеса в
пространстве главных напряжений:
1 — круг текучести на цилиндре
Мизеса; 2 — шестиугольник текучести на
вписанной шестигранной призме
Треска; 3 — гидростатическая ось; 4 — Де-
виаторн&я плоскость
88
Критерии Мизеса и Треска, функционально
связывающие компоненты девиатора напряжений и не зависящие от
среднего напряжения, реализуются в девиаторной плоскости,
перпендикулярной к гидростатической оси (см. рис. 2.7), т.е.
условия выполнения этих критериев пластичности
оказывается не зависящими от гидростатического давления р. Это
легко установить с помощью записи критериев ^2.8) и B.15)
в главных напряжениях. С учетом известного
представления тензора напряжений в виде суммы C{j = agij + Daij
шарового тензора напряжений ag{j и девиатора напряжений
Dalj критерий пластичности Треска может быть
представлен как Dpi — Da3 = <7Т, а критерий Мизеса примет вид
2 22 2
— главные значения девиатора напряжений для данного
напряженного состояния. Приведенные соотношения
показывают, что предельные поверхности (поверхности
пластичности) по критериям Мизеса и Треска удобно рассматривать во
взаимосвязи с так называемой девиаторной плоскостью, а
выполнение критерия пластичности в пространстве главных
напряжений можно ассоциировать с выходом конца вектора,
соответствующего девиатору напряжений, на круг текучести по
критерию Мизеса или правильный шестиугольник текучести
по критерию Треска.
Сущность введенных понятий можно пояснить
следующим образом. Произвольное напряженное состояние в
пространстве главных напряжений может быть
охарактеризовано тремя значениями главных напряжений cri, 0*2, ^3 и
изображено в декартовой прямоугольной системе координат
пространства главных напряжений вектором а = a\i + o<i3 + °ък
(см. рис. 2.7), который далее будем условно называть
вектором напряженного состояния. В связи с представлением
тензора напряжений в виде суммы шарового тензора и
девиатора напряжений вектор напряженного состояния также может
быть записан в виде суммы двух векторов а = Da + Р, где
D(t = Dviг + D<r2] + Da3k — вектор, соответствующий
девиатору тензора напряжений (далее — вектор девиатора
напряжений); Р = а {г + j + k) = -p(i + j + к) — вектор,
89
соответствующий шаровому тензору (далее — вектор
среднего напряжения) с модулем \/3<т. Очевидно, что вектор
среднего напряжения Р направлен вдоль гидростатической
оси (ось 3 на рис. 2.7) с единичным направляющим вектором
п = (г + j + fc)/\/3, а вектор девиатора напряжений Da
перпендикулярен этой оси, так как Da • п = Da\ + Da2 + Da^ =
= T\{DG) = О, где T\{Da) — первый инвариант девиатора
напряжений. Плоскость 0"i + <72 + <тз ^ 0, проходящая
через начало координат перпендикулярно гидростатической оси,
называется девиаторной плоскостью. Все возможные
векторы девиатора напряжений Da, удовлетворяющие условию
DG\ + Da2 + ^о-з = 0? находятся в этой плоскости, и их выход
за ее пределы исключен. Девиаторная плоскость
пересекается с поверхностями пластичности: с цилиндром Мизеса — по
кругу текучести радиусом R = д/2/3 аТ , а с шестигранной
призмой Треска — по вписанному в круг текучести
правильному шестиугольнику с длиной стороны R (см. рис. 2.7).
Графическое представление поверхностей текучести и
девиаторной плоскости (см. рис. 2.7) наглядно подтверждает
полученный аналитически вывод: гидростатическое давление р
не оказывает влияния на выполнение критериев
пластичности Мизеса и Треска, Действительно, выполнение критериев
пластичности соответствует выходу на поверхность
пластичности конца вектора напряженного состояния а с
координатами GJ, ^2, 0*3- Очевидно, что вектор среднего напряжения
Р, кол линеарный гидростатической оси, не оказывает
влияния на процесс выхода вектора напряженного состояния а на
поверхность текучести. Этот процесс контролируется и
определяется только вектором девиатора напряжений Da, т.е.
выполнению критериев пластичности отвечает выход конца
вектора Da на круг текучести Мизеса (ортогональное сечение
цилиндра Мизеса) или шестиугольник текучести Треска
(ортогональное сечение призмы Треска).
Экспериментальные данные, определяющие начало
пластического течения конструкционных пластичных
материалов, расположены, как правило, между предельными
поверхностями Треска и Мизеса. Эти поверхности близки друг к
90
другу (см- Рис- 2.7): в случае одноосного напряженного
состояния (<Х1 ф О, а2 = сг3 = 0, или сг2 ф О, ai = <т3 = 0, или сг3 ^ О,
ffl = сг2 = 0) эти критерии совпадают, имея общие точки
круга текучести i радиусом R = у/2/Ъ от и шестиугольника
текучести 2, вписанного в этот круг; в других случаях
напряженного состояния наибольшее возможное различие в
предельно допустимых значениях модулей вектора девиатора
напряжений ?><7, т.е. максимальное отклонение окружности от
вписанного шестиугольника в плоскости сечения,
перпендикулярного оси цилиндра, равно 6 = R A - cos 30°) « 0,134 Д.
Столь малое отличие не имеет сколько-нибудь существенного
значения в области практических расчетов на прочность.
Критерий B.15) удовлетворительно описывает
разрушение пластичных материалов, происходящее путем сдвига
(среза), а также хорошо фиксирует переход металлов в
состояние пластического течения при различных напряженных
состояниях. Разрушение хрупких материалов четвертая теория
прочности описывает неудовлетворительно.
2.4. Критерии прочности для материалов,
неодинаково сопротивляющихся
растяжению и сжатию
Критерий Мора. Критерий Мора отличается от
других критериев прочности общностью. Он позволяет
предсказать как возможность перехода среды из упругого состояния
в пластическое, так и начало хрупкого разрушения, учитывая
при этом различное сопротивление материала растяжению и
сжатию.
Построение критерия Мора проводится с использованием
круговой диаграммы напряженного состояния (рис. 2.8). Эта
Диаграмма может быть получена с помощью условий
равновесия треугольной призмы (рис. 2.8, а), образованной путем
сечения элементарного параллелепипеда наклонной
площадкой 5, которая независимо от угла наклона а всегда
параллельна одной из главных осей (на рис. 2.8 таковой является
91
*$Ша
Рис. 2.8. Круговая диаграмма напряженного состояния
главная ось у). Проецируя силы, действующие на
отсеченную призму, на оси, образованные векторами нормального ап
и касательного тп напряжений, и используя полученные
компоненты для записи уравнений равновесия вдоль этих осей,
получим соотношения:
ап =
гп =
сг3
cos 2а;
sin 2а.
Возводя в квадрат левые и правые части этих уравнений и
исключая угол а, получим зависимость
2_
BЛ7)
Уравнение B.17) в системе координат (<7П, гта) определяет
окружность (рис. 2.8, б), построенную на диаметре {а\ -аз), с
центром, расположенным на оси ап на расстоянии (<7i + 0"з)/2
от начала координат. Полученная окружность носит
название круговой диаграммы напряженного состояния, или круга
Мора.
Угол а в исходных уравнениях играет роль параметра,
устанавливающего соответствие между точкой окружности и
углом наклона секущей площадки 51. Например, если а = О,
92
Для площадок, Для площадок, Для площадок,
rf , параллельных ^ .параллельных ^
Г\
61
параллельных
ocuz
а 5 в
Рис. 2.9. Круги Мора для площадок, параллельных
главным напряжениям (Т\ (а), сг2 (б), сгз (в)
то секущая площадка совпадает с главной площадкой
вектора наибольшего нормального напряжения о\ (точка С на
рис. 2.8, б), а при а = тг/2 секущая площадка совпадает с
главной площадкой вектора наименьшего нормального
напряжения аз (точка А на рис. 2.8, б).
Окружность B.17) на рис. 2.8, б построена для семейства
площадок, параллельных вектору главного напряжения <Т2-
Очевидно, что круги Мора могут быть построены также для
семейств площадок, параллельных векторам а\ и сгз (рис. 2.9),
причем во всех трех случаях обычно ограничиваются
построением только верхней половины окружности, так как знак
величины тп специально не оговаривается.
Приведенные на рис. 2.9 три круга Мора не исчерпывают
всего множества возможных секущих площадок, т.е.
площадки, не параллельные какому-либо из трех векторов главных
напряжений, не могут быть связаны с точками на
построенных круговых диаграммах. На плоскости (ап, тп)
произвольным площадкам соответствуют точки, расположенные внутри
93
, Al
\ ¦
С
Рис. 2.10. Круговая диаграмма напряжений для
произвольных секущих площадок
криволинейного треугольника ACD (рис. 2.10), заключенного
между тремя совмещенными кругами Мора. Так как ни одна
из точек не может находиться за пределами заштрихованной
плоскости, то наибольшее касательное напряжение равно
радиусу большого круга Мора (ттах = {о\ - <7з)/2), а
соответствующая площадка является равнонаклоненной к площадкам
максимального о\ и минимального аз главных напряжений.
Для определения напряжений в произвольных площадках
также имеются соответствующие соотношения, а сама круговая
диаграмма может быть построена не только при известных
главных напряжениях. Для этого достаточно знать
напряжения в любых двух площадках из рассматриваемого семейства
площадок, параллельных какой-либо главной оси.
Введем понятие предельных кругов Мора,
отображающих предельные напряженные состояния, при которых либо
начинается пластическое течение материала, либо
происходит его хрупкое разрушение. Будем считать, что предельное
состояние не зависит от промежуточного главного
напряжения сг2- Два предельных круга соответствуют простым
испытаниям материала на одноосное растяжение и одноосное
сжатие (рис. 2.11). Еще один предельный круг
(промежуточный) можно получить для состояния чистого сдвига, однако
в практическом плане он не несет дополнительной
необходимой информации для построения критериального
соотношения теории Мора и приведен на рис. 2.11 лишь с целью
иллюстрации своего положения относительно предельных круго-
94
/ Сжатие
(
' /№иг
0
ГРастяжение\ n^
Рис. 2.11. Предельные круги Мора:
ар — предел прочности или текучести при одноосном
растяжении; <тс — предел прочности или текучести при одноосном
сжатии
вых диаграмм чистого растяжения и чистого сжатия.
Аналогичным образом можно построить семейство предельных
кругов Мора, соответствующих другим напряженным
состояниям, и провести их предельную огибающую (линия ABC на
рис. 2.11), не зависимую от <Т2- Форма предельной огибающей
зависит от механических свойств материала, а
следовательно, является такой же его характеристикой, как, например,
диаграмма растяжения (см. рис. 1.1).
Критерий Мора основан на следующих положениях и
постулатах:
1)если нарушение прочности среды происходит
вследствие появления в ней скольжения, то предполагают, что
такое скольжение возникает на площадках, проходящих через
ось сг2 в пространстве главных напряжений;
2) промежуточное главное напряжение 0*2 не влияет на
возникновение скольжения, поэтому можно ограничиться
рассмотрением только одного большого круга Мора,
построенного на основе наибольшего и наименьшего главных напряжений
(см. рис. 2.8, б);
3) если на некоторой площадке возникает скольжение, то
в ней действуют нормальное ап и касательное тп
напряжения, являющиеся предельными, причем предельное значение
тп зависит от предельного значения ап\
95
4) для различных предельных напряженных состояний,
характеризуемых соответствующими большими кругами
Мора (см. рис. 2.11), предельные точки образуют предельную
огибающую ABC (см. рис. 2.11), характерную для данного
материала.
Функциональная запись критерия Мора имеет вид
тп = /W, B.18)
т.е. пластическое течение пластичного материала или раз-
рушение хрупкого материала наступает тогда, когда на
некоторой площадке с нормалью п касательное
напряжение тп достигает критического значения f(<rn),
зависящего от действующего на этой площадке нормального
напряжения ап. Другими словами, согласно критерию Мора,
предельное состояние наступает, когда касательное
напряжение в плоскостях скольжений увеличивается до
определенного значения, зависящего от нормального напряжения,
которое действует в тех же плоскостях.
Предельная огибающая должна быть всюду гладкой,
пересекать ось ап под прямым углом и в точке пересечения С
(см. рис. 2.11) иметь конечный радиус кривизны. Согласно
физическому смыслу критерия Мора, ордината этой
огибающей тп должна увеличиваться при уменьшении абсциссы ап,
так как сопротивление скольжению увеличивается при
переходе от состояния растяжения к состоянию сжатия и по мере
увеличения напряжения сжатия. Хрупкое разрушение
(разрушение отрывом) по критерию Мора можно предсказать, если
растягивающее напряжение ап велико, а касательное напряжение
тп мало и существует единая предельная огибающая больших
кругов Мора, предопределяющая разрушение как
скольжением, так и отрывом.
Для определения формы огибающей Мора в диапазоне
всех возможных напряженных состояний необходимо
определение положения точки С (см. рис. 2.11), которая
характеризует напряжение отрыва в состоянии всестороннего
растяжения. В настоящее время не существует метода проведения
испытаний, имитирующих напряженное состояние
всестороннего растяжения, поэтому отсутствует возможность построения
96
С Т
V
2
/ \
А
——
Рис. 2.12. Схема представления
критерия Мора в аналитической форме
предельного круга, расположенного правее предельного
круга одноосного растяжения. В результате указанных
ограничений экспериментального характера предельную огибающую
аппроксимируют касательной к предельным кругам Мора,
полученным для одноосного растяжения и одноосного сжатия
образцов данного материала.
Рассмотрим простейшую аналитическую форму
критерия Мора. На рис. 2.12 приведены большие круги Мора и
предельная огибающая в виде прямой, касательной к двум
предельным кругам Мора, которые соответствуют
предельным напряженным состояниям одноосного растяжения
(диаметр АО равен пределу прочности или текучести материала
при растяжении (я"р)) и одноосного сжатия (диаметр J90
равен пределу прочности или текучести материала при сжатии
(сгс)). Третий круг Мора является промежуточным и
характеризует предельное напряженное состояние с главными
напряжениями Gi и о"з. Согласно геометрической схеме на рис. 2.12,
Р
откуда следует аналитическая запись критерия Мора:
ар, B.19)
где к = сгр/сгс. В случае равенства пределов текучести
материала при растяжении и сжатии к = 1, а критерий Мора B.19)
97
тождествен критерию Треска B.8). Следовательно,
критерий наибольших касательных напряжений формально
является частным случаем критерия Мора: в этом случае площадка,
на которой достигается предельное состояние, всегда
совпадает с площадкой, на которой действует rmax, а предельная
огибающая вырождается в константу тф.
Соотношение B.19) используется в практических
расчетах по допустимым напряжениям в условиях сложного
напряженного состояния, причем наименьшая погрешность оценки
предельного состояния наблюдается для смешанных
напряженных состояний (а\ > 0, <7з < 0)з когда предельный круг
Мора расположен между предельными кругами одноосного
растяжения и одноосного сжатия. Основные ограничения
применимости критерия Мора связаны с невысокой точностью
определения предельной огибающей в области всестороннего
растяжения и отсутствием данных в области глубокого
всестороннего сжатия. В указанных случаях вследствие
принятых допущений о прямолинейном характере предельной
огибающей возможны существенные погрешности.
Критерий Баландина. Для изотропного,
однородного, упругого материала мерой прочности в пределах
упругости служит величина удельной потенциальной энергии,
связанной с изменением формы тела, причем предельное
значение ее не постоянно, а зависит от напряженного
состояния, а именно линейно зависит от среднего напряжения о,
при этом входящие в условие два параметра <тр и ас
определяются из простейших опытов на растяжение и сжатие
соответственно.
Аналитическое выражение критерия Баландина можно
получить, записав выражение для удельной потенциальной
энергии формоизменения аналогично четвертой теории
прочности B.12). Однако в этом случае величина U* не является
постоянной, а в соответствии с определением линейно зависит
от среднего напряжения <т, а именно
[/* = ас + b = - (ах + оу + az) + b.
о
98
3 случае одноосного растяжения (ах = ар; ау = az = тХу —
^ Tyz = rxz = 0) условие B.12) с учетом соотношения B.10) и
приведенной линейной зависимости принимает вид
2 aP
а в случае одноосного сжатия {—ах — <тс; ау — <тг = тху =
= Tyz = txz = 0) получим
l + v( Л2 *" к
ЪЕ
Совместное решение двух последних уравнений позволяет
определить коэффициенты а и 6:
а =
Е
а последующие элементарные алгебраические преобразования
приводят к записи критерия Баландина в развернутом виде:
) =
-(<тр -
(<тр - ac) (ax
B.20)
При сгр = ас = ат критерий B.20) приводится к
критерию удельной энергии формоизменения B.14). В пространстве
главных напряжений предельному условию B.19)
соответствует параболоид, пересекающий свою ось I в одной точке А,
которая соответствует
предельному значению
напряжения в случае
всестороннего равномерного растяжения
(рис. 2.13). В то же время в
условиях среднего
сжимающего напряжения
(гидростатического сжатия)
предельная поверхность разомкну-
та, т.е. при всестороннем рис 213 Поверхность
сжатии прочность материа- текучести по критерию
Ла не ограничена. Баландина
99
В результате экспериментов над твердозакаленными
инструментальными сталями (У12, Р18, 9ХС и др.), для
которых пределы текучести при растяжении и сжатии
различаются приблизительно в 2 раза, установлено, что критерий
Баландина дает удовлетворительные результаты и может быть
использован для инженерных оценок прочности подобных
материалов. Критерий показал свою применимость также при
расчете на прочность некоторых марок бетона для
ограниченного круга напряженных состояний, хотя достаточно
полного экспериментального обоснования приведенный критерий
не имеет.
Критерий Смирнова-Аляева. Разрушение материала
при пластическом деформировании наступит в том случае,
если величина интенсивности деформаций ?,- достигнет
некоторого критического значения ?|+, определяемого схемой
напряженного состояния Н и различного для разных
материалов:
B.21)
Рассмотрим основные предпосылки построения критерия
B.21) в виде, приемлемом для практического использования в
инженерных расчетах. Назовем отношение
н = <*\ + °2 + G3 _ За _ Зр
коэффициентом жесткости, определяющим схему
напряженного состояния. Здесь среднее напряжение а = (<ri +
+<Т2 + 0"з)/3, равное по абсолютному значению
гидростатическому давлению (а = —р), является инвариантным, т.е. не
зависит от выбора системы координат. Другой инвариантной
величиной, характеризующей напряженное состояние, в
соотношении B.22) является интенсивность напряжений о*,-.
Следовательно, коэффициент жесткости Н также является
инвариантной величиной.
Многочисленные экспериментальные исследования
показывают, что твердые тела становятся тем пластичнее, чем
алгебраически больше величина гидростатического давления.
100
Отсюда следует, что при отрицательных значениях ojci
твердые тела приобретают способность существенно изменять
свою форму без видимых нарушений сплошности. Назовем
такую схему напряженного состояния "мягкой". Это означает,
ЧТо разрушение данного материала вследствие
пластического течения наступит, при прочих равных условиях, при такой
схеме напряженного состояния, которая наиболее отличается
от самой "мягкой" схемы — схемы всестороннего
равномерного сжатия.
Таким образом, при положительных значениях
коэффициента жесткости Н схему напряженного состояния следует
считать "жесткой", и тем более "жесткой", чем больше
значение величины Н. При отрицательных значениях Н схему
напряженного состояния следует считать "мягкой", и тем
более "мягкой", чем больше абсолютное значение величины Н.
Например, для одноосного растяжения (а\ > 0, a<i = 0*3 = О,
О{ = а\) коэффициент жесткости Н = 1, для одноосного
сжатия (Gi < 0, G2 = сг3 = О, О{ = Gi) Н = -1, для чистого сдвига
[а\ = г, сг2 = 0, а3 = -т, G{ = \/Зт) Н = 0.
Аппроксимация экспериментальных результатов по
разрушению сталей (СтЗ, стали 50, 40Х, ЗОХГСА, 2X13, 7X3,
9ХС, У8, У10, 27СГ, ХВГ, 1Х18Н9Т) при кручении, изгибе,
растяжении и сжатии, позволила получить выражение для
предельной деформационной характеристики:
+ B.23)
где е+ — степень деформации материала к моменту разрыва
при одноосном растяжении, характеризующая хрупкость
материала. Это означает, что для получения предельного
значения интенсивности деформаций B.23) серия различных
испытаний может быть заменена одним из них — испытанием на
одноосное растяжение. Для определения величины ?+ можно
воспользоваться также экспериментальным значением
относительного сужения ф. Примерное соотношение между этими
величинами имеет вид
?+ *1пГ^' B'24)
101
причем при ^ < 1 зависимость B.24) упрощается, а именно
?+ « -1пA - ф) « ф.
С учетом уравнений B.21) и B.23) условие прочности
Смирнова-Аляева можно записать в форме
Si <2г+е-°'72Н B.25)
Критерий B.25), как и критерии Мора и Баландина,
учитывает тот факт, что прочность материала на сжатие должна
быть больше прочности на растяжение. Это обстоятельство
косвенно отображается через влияние коэффициента
жесткости Н на предельную интенсивность деформаций ?г* B.23).
Критерий B.25) так же, как критерий Мариотта,
относится к классу деформационных условий прочности, а диапазон
его практического применения связан в основном с
технологией холодного выдавливания и проверен для некоторых
других процессов обработки металлов давлением. Его
использование для материалов и конструкций, разрушающихся без
значительных пластических деформаций, не находит
экспериментального подтверждения.
Критерий Шлейхера—Надаи. По своей структуре
этот критерий аналогичен критерию Мора B.18), но в
отличие от соотношения Мора связывает интенсивность
касательных напряжений Т= J (oi —o^ + Cc^ —^З^ + С^З^) | /6 =
= 1/л/Зсгг с величиной среднего напряжения а\
Т = f(a), B.26)
а при /(сг) = сгт/\/3 переходит в критерий Мизеса B.15).
Иногда вместо зависимости f(<r) используется функциональная
связь /(<7тах), где <7тах — максимальное напряжение. В
частности, Г.С. Писаренко и А.А. Лебедевым предложен критерий
прочности, имеющий вид
3g2T2 + (l-9VLx = *.2, B-27)
где 0 < q < 1 — константа. При q = 0 из B.27) следует
критерий наибольшего нормального напряжения B.1), а при
102
0 = 1 и tf. = <7Т — критерий максимальной удельной энергии
формоизменения B.15).
Критерий Давиденкова—Фридмана. Этот
критерий позволяет различать разрушение отрывом и разрушение
сдвигом. При этом используются два экспериментальных
параметра, характеризующих материал: сопротивление отры-
ву as, которое для хрупких в обычных условиях материалов
может быть найдено как предел прочности при растяжении <тв,
и сопротивление сдвигу т3, которое можно найти из
опытов по скручиванию полых трубок и которое можно
отождествить с пределом текучести при чистом сдвиге тт.
"Жесткость" напряженного состояния здесь учитывается величиной
а = Ттах/(сг)? гДе гтах — максимальное касательное
напряжение; (а) = Eemdix — приведенное растягивающее напряжение,
подсчитываемое по закону Гука для наибольшего
положительного удлинения ?щах- Нагружение считается "мягким", если
а > 1, т.е. при малых удлинениях действуют высокие
касательные напряжения (например, осевое или всестороннее
равномерное сжатие). Нагружение считается "жестким", если
а <С 1, т.е. на фоне малых касательных напряжений
существуют значительные упругие удлинения (например, трехосное
растяжение). Критерий формируется следующим образом: при
пропорциональном нагружении (а = const) разрушение
произойдет отрывом при а < аф (здесь (а) = оу и rmax = &&f) и
разрушение произойдет сдвигом при а > а+, где (а) = т3/а\
rmax = ts; а = arctg(r5/ay). Например, при равномерном
всестороннем растяжении (ттах = 0) величина а = 0 и
разрушение произойдет отрывом при (а) = Gf.
Представим критерий Давиденкова — Фридмана в
плоскости переменных ттах - (а) (рис. 2.14), где (а) = aj — линия
отрыва, а ттах = т8 — линия сдвига (среза). Прямые (лучи),
проведенные из начала координат, характеризуют
напряженное состояние при пропорциональном нагружении:
равномерное всестороннее растяжение характеризуется лучом,
проходящим вдоль оси абсцисс (ттах = 0), чистый сдвиг — лучом,
проходящим вдоль оси ординат ((а) = 0), одноосное
растяжение (а = 0,5) — лучом i, одноосное сжатие (а = 0,5i/) —
юз
Рис. 2.14. Графическая
интерпретация критерия
Давиденкова — Фридмана
лучом 2. На диаграмме (см. рис. 2.14) луч 1 пересекает линию
отрыва (а) = оу, следовательно, при растяжении произойдет
разрушение отрывом (хрупкое разрушение). Если же
сопротивление отрыву Of достаточно велико, то линия отрыва
сместится вправо, а луч 1 пересечет уже линию сдвига и
произойдет разрушение сдвигом (вязкое разрушение). Отметим, что
критерий Давиденкова — Фридмана содержит два
существенных недостатка: во-первых, условный параметр а не является
инвариантной величиной, а во-вторых, применяется критерий
наибольшего удлинения, не являющийся универсальной
величиной.
Рассмотренные теории прочности не охватывают,
разумеется, все многообразие критериев разрушения, но
достаточны для того, чтобы представить основные физические и
механические предпосылки построения условий прочности
твердых деформируемых сред. Несмотря на то что приведенные
в разделах 2.3 и 2.4 критерии прочности при описании
разрушения во многих случаях дают удовлетворительные
результаты, иногда их применение в принципе не может дать
разумного результата. Во-первых, при циклических нагрузках,
вызывающих явление усталости материала, критерии
прочности не могут дать ответа на вопрос, в каком цикле
произойдет разрушение. Во-вторых, при относительно низких
нагрузках (например, при ползучести) разрушение при
заданной нагрузке происходит по прошествии достаточно
длительного интервала времени, зависящего от приложенной
нагрузки. В-третьих, при импульсном нагружении, когда
значительную роль при пластическом течении и разрушении играют
104
волновые процессы, вызывающие появление отколов и
областей откольно-разрывного разрушения, применение критериев
прочности также весьма затруднительно. Во всех этих
случаях необходимо учитывать последовательное накопление повре-
жденности структуры разрушаемого материала, зависящее от
истории нагружения, а в качестве критериев предельных
состояний использовать соответственно критерии
сопротивления усталости, критерии длительной прочности и критерии
откольной прочности.
Вместе с тем следует отметить, что вопрос о
применении того или иного критерия прочности в каждом
конкретном случае не так уж однозначен. Особенно это относится
к деформационным критериям прочности, поскольку
деформации в какой-то степени могут характеризовать поврежден-
ность структуры материала, так как они изменяются во
времени и зависят от истории нагружения.
Историческая справка. Первое известное научное издание, в
котором анализировалась прочность материалов, принадлежит Галилею. В
своих "Диалогах" A638 г.) он ввел понятие "абсолютное сопротивление
разрушению" (понятие критического напряжения), при достижении
которого происходит разрушение при растяжении и изгибе. Указанный
экспериментальный факт составил основу первой теории прочности и
определил современную формулировку критерия наибольшего нормального
напряжения. Иногда этот критерий европейскими авторами необоснованно
приписывается Ламе и Клапейрону, в работах которых имеется анализ
некоторых аспектов первой теории прочности, а английскими и
американскими авторами — Ренкину. На самом деле Ренкин в своем
знаменитом "Руководстве по прикладной механике" A858 г.) лишь рекомендовал
использовать критерий наибольшего нормального напряжения в
определенных частных случаях. Еще ранее положительную оценку этому
критерию дал Сен-Венан в своих "Лекциях" A837 г.).
Основные соображения, положившие начало второй теории
прочности, были опубликованы французским физиком Мариоттом A679 г.).
Предположения о деформационном характере построения критериальной
зависимости были постулированы в результате наблюдений за процессом
разрушения образцов при одноосном растяжении. В дальнейшем Сен-
Венан в уже упоминавшихся "Лекциях" A837 г.) дал полную
формулировку критерия наибольшей нормальной (линейной) деформации, поэтому
некоторые авторы отождествляют этот критерий с именем Сен-Венана.
105
В 1864 г. Треска на основании опытов по вдавливанию штампов и
экструзии предположил, что в процессе пластического течения матери,
алов максимальное касательное напряжение остается постоянной
величиной, т.е. практически сформулировал критерий максимального
касательного напряжения. Иногда в различных научных изданиях этот кри-
терий связывают с именами Кулона, Геста и Мора. Дело в том, что в
статье, опубликованной Кулоном в 1776 г., косое разрушение в сжатых
образцах каменной кладки объясняется тем, что касательные
напряжения в плоскости разрушения превосходят как трение \ктп, возникающее в
этой плоскости под действием нормального напряжения <т„, так и
"сцепление" материала а: т = а + дег„, где fi — коэффициент внутреннего
трения. Очевидно, что такая формулировка сводится к критерию
Треска при отсутствии трения, если под "сцеплением" материала понимать
предельное касательное напряжение (а = гт). Однако более справедливо
считать, что исследования Кулона в области механики предельных
состояний послужили предтечей известного критерия Кулона — Мора. (В
работах по механике грунтов критерий Кулона иногда называют
критерием Кулона — Навье, так как в своей известной книге по методам
решения инженерных задач A826 г.) Навье обосновал область
применения критерия Кулона и привел примеры его практического
использования.) Что касается исследований Геста, то в результате проведенных им в
1900 г. экспериментов на тонкостенных трубах из стали, меди и латуни
в условиях сложного напряженного состояния автор пришел к
следующему заключению: "... результаты этих экспериментов в практическом
отношении состоят в том, что условием начала текучести однородного
пластичного материала является существование определенного
касательного напряжения и что величина промежуточного главного напряжения
не играет никакой роли". Эта работа оказала существенное влияние на
практические приложения третьей теории прочности в инженерной
практике, т.е. ее значимость заключается в развитии сферы применимости
критерия максимального касательного напряжения на некоторые случаи
сложного напряженного состояния.
Появление четвертой теории прочности в истории науки связано с
именами Максвелла, Губера, Генки и Мизеса. Справедливости ради
следует отметить, что Мизес не был первым исследователем, предложившим
использовать в качестве критерия предельную величину второго
инварианта девиатора напряжений или удельной энергии формоизменения.
Впервые предположение о том, что пластическое течение "однородных
аморфных твердых тел" наступает при достижении работой
"формоизменения" некоторого критического значения, высказал Максвелл в своем
письме A856 г.) У. Томсону (лорду Кельвину). Эта гипотеза не
получила своевременной известности, так как письма Максвелла были
опубликованы лишь в 1937 г., поэтому критерий удельной энергии
формоизменения был "открыт" еще несколько раз. В частности, Губер A904 г.) и
106
Генки A924 г.) предлагали рассматривать энергию деформации в упру-
0Й области, как аддитивную величину, состоящую из энергии измене-
{ия объема и энергии изменения формы, которая связана с
деформациями сдвига (дисторсиями). При этом Губер предлагал использовать в
ачестве критериальной величину интенсивности касательных напряже-
1ИЙ Т = 0"*/>/3 для пластичных металлов в случае сжимающего среднего
напряжения (а < 0), а Генки — для предсказания начала текучести
независимо от знака среднего напряжения. Наиболее полная трактовка
четвертой теории прочности была представлена в статье Мизеса A913 г.),
где предлагалось связывать начало пластического течения материала не
с максимальным значением касательного напряжения, а с предельным
значением второго инварианта девиатора напряжений, который с
точностью до постоянной численно равен удельной энергии формоизменения.
В этой же работе дана оценка максимального расхождения поверхностей
текучести для третьей и четвертой теорий прочности. Отметим, что при
(jt = aT критерий Губера переходит в условие пластичности Мизеса, так
как Т = (Ti/y/З. Краткий экскурс в историю появления четвертой
теории прочности позволяет понять, почему ее связывают одновременно с
именами Максвелла, Губера, Мизеса и Генки.
Рассмотренные критерии наибольшего касательного напряжения и
максимальной удельной энергии формоизменения являются наиболее
популярными вплоть до настоящего времени, так как при проведении
практических расчетов на прочность конструкционных материалов оба
критерия дают приемлемые результаты. Гипотеза, положенная в основу
третьей теории прочности, весьма наглядна и привлекает своей простотой.
Четвертая теория прочности приводит к соотношениям, на которых
построена современная теория пластичности, хотя исходные предпосылки
этой теории не столь очевидны с феноменологической точки зрения.
Другое направление механики предельных состояний получило свое
развитие в статье Мора A900 г.), в которой он предложил обобщение
критерия Кулона для материалов, неодинаково сопротивляющихся
растяжению и сжатию. Вследствие этой работы впервые появились понятия
"круги Мора" и "предельная огибающая кругов Мора". В подходе
Мора к проблеме предельного состояния, в отличие от классических теорий
прочности, не содержится критериальных гипотез, т.е. общепризнанная
сегодня теория прочности Мора была основана лишь на логической
систематизации результатов экспериментальных исследований, проведенных в
соответствии со специально разработанной программой испытаний
материалов при различных типах простого напряженного состояния
(растяжение, сжатие, чистый сдвиг). Использованный Мором принцип
феноменологического подхода к явлению разрушения материалов является
главным достоинством его теории. И хотя в частном случае расчетная
формула Мора совпадает с расчетной формулой Треска, эти два подхода
107
к построению критерия прочности не являются равноценными, так как
подход Мора сохраняет возможности внесения в теорию уточнений, свя-
занных с проведением испытаний образцов при отличных от имеющихся
в настоящее время условиях.
Бще целый ряд критериев представляет лишь исторический
интерес. Из числа этих критериев можно выделить критерий Бельтрами
A885 г.), который предполагал, что начало пластического деформиро,
вания элементарного объема твердого тела наступает при достижении
полной энергией упругого деформирования некоторого предельного
значения. Поверхность текучести, построенная в пространстве главных
напряжений в соответствии с теорией Бельтрами, имеет вид эллипсоида
вращения, ось которого совпадает с гидростатической осью (среднего
напряжения). Следовательно, пластическое течение может начаться в точке
пересечения эллипсоида с его осью, т.е. при некотором значении среднего
сжимающего напряжения, что неприемлемо для пластичных материалов,
текучесть которых не зависит от давления. В дальнейшем Губер A904 г.)
более удачно использовал идею ограниченности поверхности текучести
вдоль гидростатической оси, предположив, что поверхность текучести
должна представлять собой пол у бесконечный круговой цилиндр с осью,
параллельной гидростатической. Этот цилиндр не имеет ограничений в
случае сжимающего среднего напряжения (а < 0), а для растягивающего
среднего напряжения (<т > 0) предельная поверхность должна быть
ограничена эллипсоидом Бельтрами. Окончательное развитие эта концепция
нашла в формулировке критерия Баландина, имеющего ясный
физический смысл.
Теоретическое содержание рассмотренных работ, посвященных
изложению различных теорий прочности, вообще говоря, не позволяет
установить, какой тип предельного состояния описывают полученные
критерии: начало хрупкого разрушения или пластического течения.
Экспериментальные результаты говорят о том, что большинство практических
приложений было связано все же с пластичными материалами. Первую
работу, положившую начало совершенно новому направлению механики
предельных состояний — линейной механике разрушения, опубликовал
Гриффите A920 г.). Он предположил, что в материале всегда
существуют дефекты, границы которых являются концентраторами напряжений и
приводят к возрастанию локальных напряжений до уровня, сравнимого с
теоретической прочностью материала. Условие (критерий) хрупкого
разрушения Гриффите получил на основе закона сохранения энергии,
предположив, что распространение хрупкой трещины возможно, если энергии
деформирования, освобождающейся при росте трещины, достаточно для
образования новых поверхностей разрушения, количественно
характеризуемых поверхностной энергией.
108
В связи с быстрым развитием материаловедения, появлением
анизотропных материалов и новых условий эксплуатации конструкций
критерии прочности Треска, Мора, Мизеса и критерий распространения
хрупких трещин Гриффитса усовершенствовались, комбинировались,
обобщались для получения предельных условий, отражающих многообразие
практических ситуаций, свойственных механике предельных состояний.
Краткая историческая справка не ставила своей целью изложить все
предложенные гипотезы предельных состояний материалов и
проанализировать огромное множество проведенных экспериментов. Внимание
в основном было сосредоточено на принципиальных аспектах
критериев прочности и критериев механики разрушения, их появлении и общей
сравнительной оценке.
2.5. Критерии сопротивления усталости
Проблема усталостных разрушений конструкций и их
элементов имеет огромное практическое значение. Это
связано с тем, что многие реальные конструкции, испытывая
действие переменных во времени напряжений, находятся в
условиях циклического нагружения, когда напряжения
изменяются во времени по закону
где ат — уровень средних действующих напряжений; av(i) —
функция, характеризующая изменение напряжения во
времени. Переменные тепловые поля также могут вызывать
изменение напряженно-деформированного состояния тела и
приводить к явлению термической усталости.
Обычно различают малоцикловую (статическую)
усталость, когда действующие нагрузки изменяются
относительно медленно, а напряжения сравнительно высоки, и
вибрационную усталость, определяемую воздействием быстро
изменяющихся нагрузок сравнительно невысокой интенсивности.
Циклом напряжений принято называть совокупность
последовательных значений напряжений за один период их
изменения при регулярном нагружении. Цикл напряжений
характеризуется: амплитудой аа = 0,5(а"тах — <7min), средним
109
напряжением ат = 0,5(amax + <Jmin), коэффициентом
асимметрии Ra '= crmin/<7max5 периодом Т или частотой / = 1/Г.
При симметричном цикле ат = 0, <7тах = -^min и R<r = — 1.
При знакопеременном асимметричном цикле <тт^0, 0>Д(Т>
> —1; при так называемом отнулевом цикле ат > 0 или
ат < О, 1 > Д<т > 0. Статической нагрузке соответствует
коэффициент асимметрии Ra = 1.
Усталостью называют процесс постепенного
накопления в материале повреждений, возникающих под
действием переменных напряжений, который приводит к изменению
свойств материала, образованию и развитию в нем трещин
и его разрушению. Из определения усталости следует, что для
данного процесса характерны две стадии: ранняя стадия
(иногда называемая инкубационной) формирования, роста и
слияния микродефектов с последующим образованием
макротрещин; поздняя стадия распространения макротрещин вплоть
до полного разрушения тела. Продолжительность
инкубационной стадии зависит от условий нагружения, конфигурации
образца и ряда других причин. Например, для гладких
образцов продолжительность инкубационного периода составляет
80... 90 % от общего числа циклов, а для образцов с
надрезами (концентраторами напряжений) этот период существенно
короче. Если концентрация напряжений в среде отсутствует, а
материал достаточно однороден, то длительность
инкубационного периода может значительно превышать длительность
периода распространения магистральных макротрещин. В этом
случае момент разрушения можно определять на основе
кривых усталости для стандартных гладких образцов. Наличие
начальных дефектов в виде трещин, надрезов, относительно
крупных фазовых включений уменьшает или практически
исключает инкубационную стадию разрушения.
При воздействии переменных напряжений сопротивление
усталости зависит от типа напряженного состояния и
изменения напряжений во времени, причем возможны различные
сочетания статических и циклических напряжений. Усталость
среды характеризуется пределом выносливости и кривой
усталости. Предел выносливости при симметричном цикле есть
но
максимальное по абсолютному значению напряжение цикла,
при котором еще не происходит усталостного разрушения.
Кривая усталости (рис. 2.15) устанавливается
экспериментально и описывается уравнением
N = exp[m(<7max-*_!
или уравнением Вейбулла
где N — циклическая долговечность; <гт&х — максимальное
напряжение или амплитуда цикла; <7_i — предел
выносливости при симметричном цикле] т,В, К — параметры кривой
усталости.
Поведение кривой
усталости показывает, что число
циклов до разрушения
уменьшается с увеличением <7max, a
при N —> оо кривая усталости
асимптотически приближается ,,
к прямой а — а_1, характери- ' • -—-^
зующей предел выносливости °
материала в данных услови- Рис. 2.15. Кривая уста-
лости
ях циклического нагружения.
Очевидно, что для построения кривой усталости необходима
достаточно полная статистическая информация, для
получения которой нужен очень обширный экспериментальный
материал. Поэтому за величину О-\ обычно принимают среднее
значение предела выносливости, а расчеты на прочность при
симметричном цикле проводят по формуле crmax < o-i/N в
соответствии с экспериментальной кривой усталости.
Кривая усталости (см. рис. 2.15) носит имя Вёлера,
который в 1870 г. опубликовал первые экспериментальные
данные по изучению усталостного разрушения стальных
образцов, причем в этом случае кривая усталости Вёлера имела
горизонтальную асимптоту а = (j_i при N > Nq ~ 107.
Асимптотический характер поведения кривой усталости показывает,
ill
что при напряжениях, близких к пределу выносливости,
число циклов до разрушения быстро увеличивается. Однако это
не относится к цветным металлам и конструкционным
полимерам, так как для них кривая усталости не имеет
асимптоты. Поэтому для таких материалов вводят понятие условного
предела выносливости как наибольшего напряжения, которое
выдерживает образец без усталостного разрушения в течение
заданного числа циклов.
При асимметричном
цикле нагружения предел
выносливости (асимптота
кривой Вёлера) или
максимальное напряжение,
соответствующее заданному числу
циклов до разрушения,
принято обозначать символом аТ.
В отличие от
симметричного цикла, результаты
определения предела
выносливости при асимметричном цикле
удобнее представлять в коор-
Е
6т
6т
Рис. 2.16. Диаграмма
определения предела
выносливости при
асимметричном цикле нагружения
динатах (а^, <тт) (рис. 2.16).
Проведенная предельная кривая отделяет область /
допустимых состояний (прочность материала сохраняется) от области
// усталостного разрушения. Точка пересечения предельной
кривой с осью av [аш = 0, а = 0y(t)) характеризует предел
выносливости при симметричном цикле <7_i, в то время как
на оси абсцисс ат {av = О, а = ат) кривая отсекает отрезок,
равный статическому пределу прочности сгв. Если значение
максимального напряжения цикла достигает значения
предела текучести, т.е. <7тах = ат + ov = <jt, то на диаграмме (см.
рис. 2.16) это условие имеет вид прямой (штриховой) линии.
Заштрихованная область ///, заключенная между указанной
прямой и предельной кривой, представляет собой зону
недопустимо больших пластических деформаций, приводящих к
потере прочности (несущей способности) материала.
112
Особенность усталостного разрушения среды
заключается в том, что оно может происходить в области упругих
деформаций, причем тела из пластичных материалов разрушаются
без искажения формы и изменения размеров. Неоднородность
строения реального материала и возникающее напряженное
состояние на ранней стадии деформирования порождают
пластическую деформацию отдельных зерен (кристаллитов),
связанную с перераспределением напряжений. На определенной
стадии деформирования в отдельных зернах возникают линии
скольжения, а локальное пластическое деформирование
вызывает блокировку плоскостей скольжения в зернах, т.е.
локальное упрочнение материала.
Развитие процесса деформирования и возникновение
разрушения обусловлены увеличением напряжений до уровня,
при котором в отдельных зернах полностью исчерпывается
способность к дальнейшему деформационному упрочнению и
нарушается локальная прочность, что приводит к
образованию трещин в области этих зерен. Исследования
монокристаллов металлов при регулярном нагружении показало, что
вначале возникают деформации сдвига и происходит
постепенное деформационное упрочнение кристалла, а когда
возможности упрочнения исчерпаны, то в данном локальном
объеме достигается местный предел прочности и появляются
трещины по одной из плоскостей скольжения. Развитие трещины
усталости по плоскости скольжения приводит к превращению
одной из линий скольжения в трещину, в вершине которой
образуются новые линии скольжения по плоскостям, в
которых преодолено сопротивление сдвигу. При переходе от
одного зерна к другому трещина меняет микроориентировку,
зависящую от распределения напряжений по деформируемому
объему. В средах со слабыми границами зерен зарождение и
развитие трещины происходит по этим границам.
Если возникновение трещины зависит от касательных
напряжений, то ее развитие связано с влиянием нормальных
напряжений. Внешний вид усталостных изломов (поверхностей
Усталостного разрушения) указывает на постепенное развитие
из
усталостной трещины. На
поверхности усталостного излома
наблюдается наличие двух,
иногда трех зон, типичных для
усталостного разрушения (рис. 2.17).
Зона А соответствует начальной
стадии развития трещины,
которая зародилась в некотором
микрообъеме на контуре и
медленно развивается в
макротрещину. Увеличение напряжений в
области трещины (за счет
концентрации напряжений в
вершине трещины) вызывает ее
ускоренный рост в зоне Б
сечения. И наконец, после распространения трещины на
определенную часть сечения мгновенно наступает хрупкое
разрушение в зоне В сечения, называемое усталостным доломом.
Типичная картина поверхности разрушения, образованной
медленным циклическим развитием усталостной трещины,
приведена на рис. 2.18.
Рис. 2.17. Зоны
усталостного разрушения
Рис. 2.18. Макроскопические усталостные бороздки
на поверхности разрушения монокристалла ниобия
при циклическом нагружении (по В.Ф.Терентьеву)
114
На сопротивление усталости оказывают влияние
различные факторы. Наиболее важный из них — концентрация
напряжений, характеризуемая коэффициентом концентрации,
который определяет местное увеличение напряжений: Ка =
= tfmax/^m- Для определения коэффициента концентрации Ка
необходимо решить весьма трудную пространственную
задачу механики деформируемого твердого тела. С целью
упрощения задачи используется прагматический подход,
подразумевающий введение величины эффективного коэффициента
концентрации Kf = 0\_i/<j_ij., где cr_i — предел выносливости
гладкого образца, а(т_ц — предел выносливости образца с
концентратором напряжений, причем оба предела взяты при
одинаковом числе циклов. Это означает, что эмпирический
коэффициент Kf не связан с полем напряжений.
Коэффициенты Ка и Kf связаны с коэффициентом
чувствительности материала к концентрации напряжений q =
= (Kf — l)/(Ka — 1), зависящим от свойств среды и характера
напряженного состояния. При увеличении предела прочности
<тв коэффициент q увеличивается. Если q = 0, то Kf = 1 и
среда не чувствительна к концентрации напряжений; если q = 1,
то Kf — Ка, что соответствует абсолютной
чувствительности среды к концентрации напряжений.
Усталостный процесс, решающая роль в котором
отводится концентрации: напряжений, заканчивается хрупким
разрушением, распространяющимся с большой скоростью.
Возникновение хрупкого разрушения в момент появления
усталостных трещин обусловлено увеличением интенсивности
трехосного растяжения в непосредственной близости от
основания трещины, а также повышением сопротивления среды
процессу пластического деформирования вблизи трещин.
Переход от усталостного разрушения к хрупкому наиболее
вероятен при следующих условиях:
— если глубина усталостной трещины достигает
размеров, при которых вблизи основания трещины создается
интенсивное трехосное растяжение;
115
— если усталостная трещина возникает в окрестности
концентратора напряжений и распространяется в зону с ин-
тенсивным трехосным растяжением, возникающим вблизи
концентратора до момента появления трещины;
— если ширина сечения увеличивается до критического
значения, при котором в основании возникающей трещины
может образоваться состояние трехосного растяжения;
— если в сочетании с предыдущими условиями действует
однократная перегрузка.
Сопротивлением усталости принято называть
свойство материала противостоять усталости. Иными
словами, это способность среды сохранять свою сплошность
при сложном напряженном состоянии в условиях
циклического (регулярного или периодического) нагружения.
Надежных критериев сопротивления усталости, позволяющих
перейти от предела выносливости при одноосном напряженном
состоянии к пределу выносливости при произвольном
напряженном состоянии (аналогично переходу, используемому для
построения критериев прочности и пластичности), не
существует, поскольку при переменных нагрузках возможно
бесконечное множество сочетаний компонент тензора напряжений,
различающихся как пределами изменения абсолютного значения,
так и частотой изменения, что приводит к смещению фаз
нагружения и изменению во времени направления главных осей
тензоров напряжений. В связи с этим большинство
критериев сопротивления усталости установлены применительно к
простым случаям нагружения и основаны на механическом
переносе критериев статической прочности на усталостную без
соответствующего физического обоснования. Однако
применение критериев статической прочности не приводит к
удовлетворительным результатам при оценке сопротивления
усталости для сложного напряженного состояния.
Для установления общих зависимостей необходимы
прямые экспериментальные исследования, в первую очередь для
случая одновременного изгиба и кручения. Эксперименты,
проведенные Гафом на сплошных и полых цилиндрических
116
образцах из конструкционных пластичных сталей, позволили
выявить эмпирическую зависимость
которая устанавливает связь номинальных напряжений о и
г при изгибе и кручении с пределами выносливости a_i и
г_! при изгибе и кручении соответственно. Для чугунов и
высокопрочных сталей экспериментальная зависимость имеет
вид
в с
Более полное
представление о сопротивлении
усталости конкретного материала
дает диаграмма предельных
напряжений цикла (рис. 2.19).
Здесь по оси ординат
отложены максимальное и
минимальное напряжения цикла сттах и
^mim по оси абсцисс — среднее
напряжение цикла сгт, а линия
AJDC соответствует пределам
выносливости при различных
асимметричных циклах. Луч,
проходящий через начало
координат диаграммы, является
геометрическим местом точек,
характеризующих циклы с одинаковым коэффициентом
асимметрии Я<г, Причем tg/З = (Тт&х/(Тт = 2/(Ra + 1).
Предельную кривую можно построить, если известны
механические характеристики материала (j_i и GВ. В результате
получим диаграмму Гудмана, описываемую уравнением
в
Рис. 2.19. Диаграмма
предельных напряжений цикла
Л
\
B.28)
117
при заданном ат (прямая АС), или диаграмму Гербера, опи~
сываемую уравнением
= <Т-\ (l - 5й) + am B.29)
(кривая AJDC). Из уравнений B.28) и B.29), записанных в
)
координатах сг^ах, <т^, а^, следует соотношение
B-30)
где <7^ах — наибольшее по абсолютному значению
напряжение; <т^ — среднее напряжение; а^ — обобщенный предел
выносливости при симметричном цикле.
Для материалов, чувствительных к концентрации
напряжений, зависимость B.30) принимает вид
(л Лл±Л ^о а-1
Приняв обобщенную гипотезу максимальных
касательных напряжений B.6), при сг^ах = rmax, a^ = rm, a^ =
= r_i = cr_i/2 приходим к условию Зольдерберга
TVnav = 1 -
Аналогичное условие (условие Марина) можно получить на
основе гипотезы максимальной удельной энергии
формоизменения. Существует еще ряд подходов к установлению
критериев сопротивления усталости, однако их описание не
имеет каких-либо важных качественных отличий от приведенных
методов получения уравнений предельных состояний
материалов при циклических нагрузках.
Испытания материалов на циклическую долговечность
характеризуются большим разбросом получаемых
результатов. Это объясняется индивидуальными особенностями
118
сТруктуры каждого образца, которые и определяют
статистический характер усталостных разрушений. Серии испытаний
номинально идентичных образцов обычно удовлетворительно
аппроксимируются с помощью нормальной кривой
распределения, причем основная масса получаемых данных
группируется в средней части этой кривой.
Общие соображения по использованию статистических
методов при описании процесса хрупкого разрушения
изложены в приложении 3. Рассмотрим частный случай и
обратимся к статистическому подходу к оценке прочности
конструкций при циклических нагрузках, вызывающих усталость
материала. Для усталости характерна зависимость
зарождения усталостных трещин от локализации свойств среды и
амплитуды напряжения, причем существенное влияние на
процесс разрушения имеет концентрация напряжений.
Локальность свойств связана с наличием разных отклонений от
средних значений характеристик кристаллографических свойств,
вызванных различной концентрацией дефектов
кристаллической решетки. Различия местных свойств проявляются в
экспериментально определенных значениях характеристик
усталостной прочности. Они носят случайный характер,
поэтому результаты измерений необходимо подвергать
статистической обработке. С этой целью вместо кривой усталости (см.
рис. 2.15) при симметричном цикле или предельной кривой
(см. рис. 2.16) при'асимметричном цикле строят кривую
распределения циклической долговечности, отображающую
зависимость между амплитудами напряжений цикла аа и
долговечностью 7V, соответствующей данной вероятности
разрушения Р.
Вероятностная диаграмма представляет собой семейство
кривых и может быть представлена в трех видах: а) кривыми
усталости в координатах (<та, iV), соответствующими
различным вероятностям разрушения Р; б) кривыми распределения
Долговечности в координатах (Р, TV), соответствующими
различным напряжениям ста\ в) кривыми в координатах (Р, аа)
с параметром долговечности TV, причем число циклов до раз-
РУШения рассматривается как случайная величина.
119
Статистическую обработку результатов испытаний на
усталость, основанную на законе логарифмически
нормального распределения
— ОО
где х — случайная величина; а — среднее значение случайной
величины; а — среднее квадратическое отклонение случайной
величины, проводят в следующем порядке.
Если при некотором напряжении а > о-\ испытано п
образцов, то вначале располагают значения циклической
долговечности в порядке возрастания N\ < N2 < ... < Nm(x) <
< ... < Nn. Затем определяют накопленную частоту т/п,
характеризующую долю образцов т, не разрушившихся при
числе циклов меньше Nm] вычисляют значения lgiVm, (lgiVmJ,
п п
/_] Nm, 2_\ lf=>Nm (причем по предложению Вейбулла для
771 = 1 Ш = 1
вычисления lg^Vm используют соотношение gNm = т(п+ 1),
после чего определяют математическое ожидание а = In N =
п
lgNm и среднее квадратическое отклонение слу-
чайной величины а = [1/(п —1)] \*\ (lg^m — я) ); по значениям
ш=1
а и а на вероятностной сетке строят прямую lg N = ира + а по
двум точкам lg N = а и lg N = а + а\ на вероятностную сетку,
содержащую построенную прямую, наносят
экспериментальные точки. Если экспериментальные точки располагаются
близко к прямой, то случайная величина подчиняется закону
логарифмически нормального распределения B.31).
Вероятностную координатную сетку (рис. 2.20) можно построить по
данным табл. 2.1.
120
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
3,5
3,0
2,5
2,0
. 99,9
- 99,5
¦ 97,5
90,0
' 80,0
r 60,0
- 20,0
. ф
¦ oj
in
A
/ r
•Ojrilo
'0 = 0
/
/
.'i /
' //
A
f -
f /
J t
J J
(-4
I f
/
^ f
¦ I
i S
Vlr
ul
jjl
1 II
1 III
- Ill
6a=L
ЩГПа
-0 i
%-
-
•0,21 ГПй
2 4
i i
H
l
*,0 4>4
S,2 5,6 f,0 6,4 6,8 7,2 7,6
Рис. 2.20. Кривые распределения циклической
долговечности
Таблица 2.1
Значения функции Ф(и) для
построения координатной сетки
N
1
2
3
4
5
6
и
0
-1
1,0
1,96 ,
-1,96
-2
50,0
15,9
84,1
97,5
2,5
2,28
N
7
8
9
10
11
и
2,0
-3
3,0
-4,0
4,0
Ф(«)
97,72
0,14
99,86
0,01
99,99
2.6. Критерии сопротивления ползучести
Практика эксплуатации различных конструкций, машин
и механизмов в условиях высоких температур показала, что
прочность материалов, из которых изготовлены данные
изделия, уменьшается с течением времени даже при нагрузках,
намного меньших, чем пределы прочности или пластичности.
Если при нормальной температуре зависимость прочности от
вРемени незначительна, то при повышении температуры эта
121
зависимость становится существенным фактором. Описан-
ный процесс относится к явлениям длительной прочности.
Один из механизмов разрушения, относящихся к
явлениям длительной прочности, — механизм вязкого
разрушения, реализуемый при быстром росте деформаций ползучести.
Ползучестью называется медленное непрерывное
пластическое деформирование твердого тела под воздействием
постоянной нагрузки или механического напряжения. В
результате процесса ползучести поперечное (по отношению к
растягивающей нагрузке) сечение нагружаемого тела уменьшается,
что ведет к возрастанию напряжений и соответственному
увеличению скорости ползучести. При ускоренном уменьшении
(ослаблении) сечения последнее становится исчезающе малым
за некоторое конечное время.
Эта простая геометрическая схема ползучести
удовлетворительно описывает вязкое разрушение многих пластичных
металлов при достаточно высоком уровне напряжений. В то
же время если в процессе ползучести происходит рост повре-
жденности материала, сопровождаемый естественным
изменением его прочностных свойств, то для оценки длительной
прочности необходимо применение принципиально иных
концепций, развиваемых в механике рассеянных повреждений (см.
главу 3).
Для сравнительной оценки конструкционных материалов
используют понятие предела ползучести, т.е. напряжения,
при котором за данное время достигается предельная
деформация. Рассмотрим элементарные модели теории
ползучести изотропных материалов, позволяющие установить
простейшие зависимости времени вязкого разрушения материала
от некоторой постоянной нагрузки, вызывающей процесс
ползучести.
Процесс ползучести по своей реологии подобен течению
вязкой жидкости. Например, склонность к ползучести
проявляется у легких алюминиевых и магниевых сплавов уже при
температурах 150...200°С, у углеродистых сталей при
температурах выше 350...400°С, а у легированных
жаропрочных сталей при температурах выше 500 °С. Процессам
ползучести подвержены также полимеры, дерево, горные породы,
122
бетон и другие конструкционные и строительные материалы.
При этом деформации ползучести могут достигать десятков
процентов.
Механизм разрушения, характерный для процесса
ползучести, не вписывается в рамки моделей, описанных в разделах
2.3 и 2.4. В этом случае неправомерно использование
представлений о предельной нагрузке, инициирующей
мгновенную потерю устойчивости, поскольку в процессе ползучести
напряженно-деформированное состояние тела в области
развития неустойчивости изменяется в течение длительного
времени вязкого разрушения, определяемого как нагрузкой, так
и конфигурацией нагружаемого элемента конструкции.
Поэтому вводится понятие предела длительной прочности (или
напряжения), приводящего к разрушению через заданное
время при определенной температуре.
Наиболее простая задача теории ползучести —
определение времени разрушения стержня, испытывающего
ползучесть под действием постоянной нагрузки. Отметим, что
схема вязкого разрушения в этой задаче реализуется только
тогда, когда происходят изменения конфигурации тела
(уменьшение поперечного сечения стержня до практически малого
значения).
О «0 t
Рис. 2.21. Кривая ползучести
Типичная кривая ползучести металлов при постоянной
нагрузке приведена на рис. 2.21. В момент приложения на-
гРузки стержень получает практически мгновенную упругую
123
или упругопластическую деформацию ?°. Затем наступает
первый (/) относительно кратковременный период ползучести
А 5, когда скорость деформации ё = de/dt убывает. Второй,
достаточно длительный, период (II) характеризуется
постоянной скоростью деформации на участке ВС и называется
периодом установившейся ползучести. В случае идеально
вязкого разрушения за точкой С следует период
возрастающей скорости деформации (///), где на участке CD
происходит значительное уменьшение площади поперечного сечения
стержня и образование шейки в области локализованной
деформации. Необходимо подчеркнуть, что экспериментально
наблюдаемый третий период ползучести не может быть
описан только с помощью модели уменьшения поперечного
сечения стержня. Для описания этого эффекта нужно учитывать
рост поврежденности материала на участке ползучести CD
(см. раздел 3.3).
Рассмотрим основные реологические модели процесса
ползучести (по мере их усложнения) цилиндрического
стержня начальной длиной /о и площадью поперечного сечения Sq
под действием растягивающей силы F. Будем считать, что
материал стержня несжимаемый (упругие деформации
отсутствуют), а деформации ползучести достаточно большие.
Если / и 5 — текущие значения длины и площади
поперечного сечения стержня, то <7о = F/Sq и а = F/S —
fdl I
начальное и текущее напряжения, а е = / — = In т- и
J I к
de I dl *o
е — — = у "Г — соответственно деформация и скорость
at I at
деформации стержня.
Обозначив I/Iq = А, получим соотношение для скорости
деформации в виде
а используя условие несжимаемости 5/ = SqIq, запишем
напряжение в форме
F F I
^ = -? = ^-r = t70A. B.33)
124
Модель установившегося течения. Период
установившейся ползучести (зона II на рис. 2.21) определяется по
аналогии с процессом течения вязкой жидкости, т.е.
простейшее уравнение установившейся ползучести имеет вид
ё = /(а). B.34)
Если /{&) = &а, где к = const, то уравнение B.34) описывает
ньютонову жидкость (линейно-вязкую среду). Для металлов
к ф const, а скорость ползучести (или скорость деформации)
е является нелинейной функцией напряжения (см. рис. 2.21),
которую чаще всего аппроксимируют степенной зависимостью
ё = Ват, B.35)
где i? > 0 и m > 1 — экспериментально определяемые
постоянные для заданной температуры испытаний.
Подставляя в уравнение ползучести B.35) соотношения
B.32) и B.33), получаем дифференциальное уравнение
Т ~Т~ = \&0*) » (Z.ob)
A at
интегрирование которого с учетом начального условия (А = 1
при t = 0)
t Л
Ia 1 f dx
JdT=B<J
0 1
приводит к соотношению
= -Л- (l - A~m), B.37)
t
где ?0 = В а™ — начальная скорость ползучести стержня.
Предельное удлинение стержня (А —» оо) приводит к потере
им несущей способности, а из B.37) следует время
разрушения
Д B.38)
125
Наблюдения за реальным процессом ползучести
стержня показывают, что процесс его равномерного вытягивания
прекращается после образования шейки в области
локализации деформации. Следовательно, разрушение при ползучести
происходит не при А —* оо, а при удлинениях, обычно не
превышающих нескольких десятков процентов. В соответствии с
B.37) и B.38)
1 = 1- А~т. B.39)
Так как степень т значительно больше единицы (для
процессов ползучести реальных конструкционных материалов т
достигает значений 10... 12), то уже при сравнительно
небольшом предельном удлинении А, правая часть уравнения B.39)
мало отличается от единицы, т.е. соответствующее время **
близко к времени вязкого разрушения tB. Следовательно,
вместо условия идеально вязкого разрушения А —> оо можно
использовать условие А —> А*, которое дает лучшее согласие
с экспериментальными данными, причем величину А„ можно
рассматривать как некоторую деформационную постоянную
материала.
Модель упрочняющейся среды. В соответствии с
этой моделью материал в процессе развития деформаций
ползучести упрочняется, а скорость ползучести замедляется,
поэтому уравнение ползучести принимает вид
ё = Ф(а, е). B.40)
Запишем уравнение B.40) в форме
ё - ^- B 41)
?"Ф2(?)' ( '
где Ф\(ст) > 0 и Фг(?) > 0 — монотонно возрастающие
функции. Если Фг(е) = const, то уравнение B.41)
преобразуется в уравнение ползучести B.34), принятое для модели
установившегося течения. Уравнение ползучести B.41), в
отличие от уравнения B.34), описывает всю кривую ползучести,
126
включая начальный период кратковременной ползучести (J на
рис. 2.21).
С учетом B.32) и B.33) уравнение B.41) записывается в
форме дифференциального уравнения
А Л " Ф2AпА)'
которое можно проинтегрировать аналогично уравнению
B.36) при известных функциях Ф1 и Ф2.
Модель ползучепластической среды. Эта модель
учитывает появление мгновенной пластической деформации,
сопровождающей процесс ползучести при высоком уровне
действующих напряжений. В рамках рассматриваемой модели
скорость полной деформации
ё = ёс = ёр, B.42)
где ёс — скорость деформации ползучести; ёр — скорость
пластической деформации. Скорость деформации ползучести
определяется уравнением B.34), либо уравнением B.40), а
скорость мгновенной пластической деформации
ёр = ф)^, B.43)
где ip(a) — неотрицательная монотонно возрастающая
функция.
Подставим в уравнение ползучести B.42) вместо
слагаемых ёс и ёр их выражения B.34) и B.43):
e = f(a) = <p(a)^. B.44)
С учетом соотношений B.32) и B.33) уравнение B.44) примет
вид
А Л = /(<70А) + ^(<Т°А) А
127
или
[l - <p(aQA) <70A] ^ = A /(<70A). B.45)
В соответствии с моделью ползучести <р > О, / > О,
dX/dt > О, тогда из уравнения B.45) следует условие
неотрицательности сомножителя
которое в случае выполнения равенства определяет
единственный корень Аф, т.е. величину предельного удлинения, которой
соответствует время разрушения tB.
При отсутствии пластической деформации (р = 0 и
уравнение B.45) сводится к уравнению ползучести по модели
установившегося течения. При отсутствии деформаций
ползучести / = 0 и при dX > О из уравнения B.45) следует условие
1 - ц>(сго А) аоХ = 0, определяющее на кривой упрочнения
максимальное истинное напряжение сгф = <тоХф или
соответствующее максимальное удлинение А,.
2.7. Структурное и деформационное
упрочнение деформируемых твердых
сред
В разделе 1.5 с позиций теории дислокаций было
показано, почему предел текучести кристаллических твердых тел
намного меньше значения теоретической прочности при
сдвиге. В то же время напряжение, необходимое для начала
движения дислокации и называемое силой Пайерлса — Набарро,
оказывается намного ниже предела текучести, определяемого
испытаниями образцов в условиях одноосного растяжения.
Положение предела текучести между значениями теоретической
прочности и силы Пайерлса — Набарро было связано с
плотностью дислокаций и других дефектов кристаллической
решетки, затрудняющих свободное перемещение дислокаций вдоль
плоскостей скольжения. Следовательно, повышение предела
128
текучести (и других характеристик прочности) материала мо-
жеТ быть достигнуто с помощью методов, создающих
препятствия движению дислокаций.
Назовем упрочнением материала повышение его
прочностных характеристик в результате определенного
внешнего воздействия.
Препятствия скольжению (перемещению дислокаций),
действующие эффективно с самого начала процесса
деформирования, называются источниками структурного
упрочнения. Их можно получить путем введения в
кристаллическую структуру частиц выделений, различных твердых фаз,
а также в результате облучения или термической обработки,
вызывающих искажения и повреждения кристаллической
решетки. При этом существенно возрастает плотность
дефектов кристаллической решетки и создаются препятствия
движению дислокаций еще до начала процесса деформирования
материала.
Процесс деформирования также приводит к упрочнению,
которое называется деформационным упрочнением.
Деформирование материала при напряжениях, превышающих его
предел текучести, приводит к повышению прочностных
характеристик, т.е. в результате пластического деформирования
происходит упрочнение, или наклеп, материала. Можно
привести простой пример деформационного упрочнения и
обратного ему процесса структурного разупрочнения. Чистая медь
является мягким материалом, но ее можно упрочнить
наклепом. Это делается отбиванием или сгибанием полоски меди
в одну и другую сторону, после чего медь становится
упрочненной и разогнуть ее очень трудно. Упрочненный металл
типа меди можно снова сделать мягким с помощью отжига
при высокой температуре. Тепловое движение атомов
"размораживает" дислокации и вновь создает отдельные большие
кристаллы.
Структурное упрочнение. Присутствие дислокаций в
кристалле позволяет деформировать его пластически при
напряжении, гораздо меньшем того, которое требуется для
пластического деформирования совершенного кристалла.
Возникает вопрос: почему сопротивление пластическому
деформированию ряда кристаллических материалов столь велико
129
по сравнению с напряжением, необходимым для перемещения
дислокаций в чистом и почти совершенном кристалле?
Экспериментальные исследования показывают, что это
объясняется тремя наиболее существенными причинами: влиянием
растворенных атомов, выделившихся фаз и сидячих
дислокационных петель. Если эти причины действуют в достаточной
степени, то дефекты кристаллической структуры,
вызывающие упрочнение, возникнут еще до начала массового
движения дислокаций (до начала пластического деформирования),
и в этом случае говорят о структурном упрочнении
материала. Рассмотрим примеры возникновения указанных причин
структурного упрочнения.
Упрочнение за счет твердого раствора
(влияние растворенных атомов). Известно, что металл можно
упрочнить, легируя его малыми добавками растворимых в нем
элементов. Растворимые добавки представляют собой
отдельные инородные атомы в кристалле и вызывают в их
окрестности искажения решетки. Примером является область
искажений, появляющаяся в окрестности атома углерода,
внедренного в ОЦК-решетку железа в результате процесса термической
обработки (закалки). Внедрение атомов углерода приводит
к локальному переходу от кубической симметрии к
тетрагональной (мартенситная структура), следствием чего является
образование препятствий движению дислокаций (рис. 2.22).
ОЦК-решетка ОЦТ-решетка
Рис. 2.22. Искажение ОЦК-решетки
а-железа при внедрении атомов углерода
в междоузлия и образование объемноцен-
трированной тетрагональной (ОЦТ)
решетки
130
Упрочнение за счет выделений (влияние
выделившихся фаз). Другим методом упрочнения, используемым в
технологической практике, является упрочнение в
результате распада пересыщенного твердого раствора, образующегося
при закалке с повышенных температур. Типичный пример
такого процесса — образование перлитно-цементитной
структуры в заэвтектоидных сталях вследствие выпадения
карбида железа, представляющего собой выделившуюся фазу. При
этом дислокации не смогут проходить сквозь частицы этой
фазы либо ввиду высокой твердости последней, либо вследствие
отсутствия когерентной связи частиц выделившейся фазы и
матрицы — кристаллической решетки материала (рис. 2.23).
Рис. 2.23. Когерентные (а) и
некогерентные (б, в) выделения
Упрочнение в результате закалки или облучения
(влияние сидячих дислокационных петель). Как
указывалось в разделе 1.4, при нагревании металла до
температуры, близкой к температуре плавления, концентрация
вакансий становится очень высокой (возрастает приблизительно на
14 порядков). После быстрого охлаждения металла в
результате закалки переохлажденные вакансии стремятся
конденсироваться в виде вакансионных дисков (колоний вакансий).
При достаточном размере этих дисков они сплющиваются и
образуют так называемые сидячие дислокационные петли. К
подобным явлениям приводит также облучение металлов
тяжелыми частицами, образующимися вследствие радиоактив-
н°го распада ядер урановых и трансурановых химических
элементов. Сидячие дислокационные петли, образующиеся из
вакансий, появление которых инициировано процессами закал-
131
ки или облучения, создают существенные препятствия пере-
мещению дислокаций, затрудняют скольжение и тем самым
упрочняют исходный материал.
В дополнение к указанным типам структурного
упрочнения следует добавить описание влияния на структурную
прочность материалов такого дефекта кристаллической решетки,
как граница зерна. В разделе 1.4 указывалось, что в
поликристалле отдельные зерна разделены границами. Наличие
пространственной разориентировки плоскостей скольжения по
разные стороны границы мешает дислокациям проходить
через нее. Поэтому становится понятно, почему на ранних
стадиях пластического деформирования предел текучести
поликристаллических материалов заметно выше, чем у
монокристаллических.
Деформационное упрочнение. Одной из наиболее
важных задач теории дислокаций, которая до сих пор не
имеет полного решения, является количественное описание
процесса деформационного упрочнения (наклепа). Хотя строгой
количественной теории деформационного упрочнения пока не
существует, качественно можно описать многие характерные
особенности этого явления.
Исследования поведения отдельных дислокаций в
кристаллах металлов показывают, что деформирующее
напряжение определяется различными видами взаимодействия
дислокаций. При возрастании напряжения приводятся в
действие новые источники дислокаций до тех пор, пока скорость
образования этих дислокаций не станет достаточной для
компенсации выхода из строя других дислокационных
источников. Если количество образующихся и количество
исчезающих дислокаций взаимно компенсированы, то достигается
предел текучести, при котором пластическое течение
происходит при кажущемся постоянстве напряжения без
дополнительного упругого растяжения, и образуется площадка текучести.
С увеличением плотности дислокаций взаимодействие между
ними становится все интенсивнее и все труднее идет процесс
образования новых дислокаций, т.е. наступает быстрое
упрочнение, количественно характеризующееся ростом напряжений
132
в области пластического течения. В соответствии с данными
Тэйлора деформирующее напряжение а должно быть
пропорционально плотности дислокаций Л, а именно о ~ Л1/2.
Пластическое деформирование кристаллического
твердого тела сопровождается повышением его температуры, так
как большая часть работы пластического формоизменения
превращается в теплоту, т.е. идет интенсивный процесс
диссипации механической энергии. Экспериментальные
исследования металлов показали, что при степени деформаций более
10 % лишь 10 % работы деформирования переходит в
потенциальную энергию деформирования, накапливаемую в металле,
а остальные 90 % затраченной механической энергии
переходят в теплоту. При этом почти всю потенциальную энергию,
запасенную в металле, составляет энергия деформирования,
вызванного движением дислокаций, которые образовались в
результате деформационного упрочнения. Для многих
металлов скорость накопления потенциальной энергии
деформирования уменьшается при увеличении интенсивности
пластической деформации, а при высоком уровне пластических
деформаций эта скорость может стать равной нулю, т.е. наступит
насыщение, соответствующее постоянству деформирующего
напряжения. С точки зрения дислокационного подхода
насыщение является, вероятно, результатом достижения
постоянной плотности дислокаций, которая соответствует
динамическому равновесию между процессами размножения
дислокаций и их аннигиляции, происходящей при встречах
дислокаций с противоположными знаками. В этих условиях работа
пластического деформирования преобразуется в теплоту,
выделяющуюся в результате процесса взаимного уничтожения
дислокаций.
Законы деформационного упрочнения для
пластичных материалов. На рис. 2.24 приведена типичная
Диаграмма растяжения упрочняющегося упругопластическо-
го материала в координатах интенсивностей напряжений и
^формаций (а,, ?,-). Точке А соответствует начальная
поверхность текучести, определяемая каким-либо из известных
133
Рис. 2.24. Диаграмма "чистого" растяжения упру-
гопластического материала (а) и ее идеализация (б)
условий текучести (см. раздел 2.3), т.е. начало пластического
течения характеризуется функцией текучести вида
fm{°ij\ Ck) = О,
B.46)
где га соответствует тому или иному критерию пластического
течения, а Ск определяет предельные параметры
механического поведения материала в условиях текучести.
Пусть нагружение продолжено за пределы начальной
поверхности текучести и затем снято. Если соотношение B.46)
сохраняет смысл и при развитии пластического течения, то
материал называется идеально пластическим, а его
поведение на диаграмме растяжения (рис. 2.24, б) отображается в
виде пунктирных линий: AD при нагрузке и DE при
разгрузке. Если материал упрочняется, а его поведение за
пределами упругости отображается в виде сплошной линии ABC
(см. рис. 2.24, б), то необходимо построить новую поверхность
текучести, которая определит начало пластического
деформирования при последующем повторном нагружении. Этой
поверхности при растяжении соответствует точка 2?, а функция
текучести B.46) изменяется по мере развития
пластического течения так, что соответствующие поверхности текучести
просто увеличиваются в размере, не изменяя своей формы. В
данном случае говорят об изотропном упрочнении,
поскольку если материал был изотропен до начала пластического
течения, то представление поверхности текучести в
пространстве главных напряжений сохраняется при ее равномерном
134
изотропном расширении. Это означает, что должно
существовать семейство поверхностей текучести, т.е. в процессе
наГружения поверхность текучести должна изменяться таким
образом, чтобы точка, изображающая мгновенное начальное
состояние, не могла выйти за ее пределы.
Деформационное упрочнение численно равно увеличению
напряжения (выше предела текучести), которое необходимо
для поддержания процесса пластического течения с
заданной скоростью, а наклон линии упрочнения (линия ABC на
рис. 2.24) называется коэффициентом упрочнения.
Для каждого уровня нагружения выше предела
текучести предельную поверхность, описываемую уравнением типа
B.46), принято называть мгновенной поверхностью
текучести. Иногда название поверхности текучести закрепляется за
начальной поверхностью текучести, а мгновенные
поверхности текучести называют поверхностями нагружения.
Одной из важнейших проблем теории пластического
деформирования является определение физической сущности
мгновенных поверхностей текучести для реальных
материалов. Хотя количество исследований, посвященных решению
этой проблемы, достаточно велико, однако детали развития
поверхностей текучести для конкретных материалов еще
далеко не выяснены. В этом разделе мы кратко рассмотрим
некоторые из наиболее распространенных (и принятых в
практических приложениях) теорий, предложенных для
математического описания мгновенных поверхностей текучести
упрочняющихся упругопластических материалов. При этом с целью
графической интерпретации излагаемого материала мы будем
использовать двумерные диаграммы (диаграммы для
двухосного напряженного состояния), учитывая, что наши
геометрические представления легко переносятся в трехмерное
пространство.
Изотропное упрочнение. Эта гипотеза деформационного
изотропного упрочнения устанавливает, что по мере развития
пластического течения поверхность текучести должна
расширяться равномерно. Так как интенсивность пластической
деформации не зависит от величины гидростатического давле-
ния (среднего напряжения), то семейство регулярных
поверхностей текучести для изотропного материала в пространстве
135
главных напряжений должно представлять собой семейство
поверхностей с общей осью, равнонаклоненной к осям коор,
динат. Условие текучести Мизеса в этом случае приведет к
образованию семейства вложенных друг в друга цилиндров с
радиусами, определяемыми изменяющейся величиной предела
текучести. В общем случае считают, что размер поверхности
текучести определяется количеством работы, диссипируемой
при пластическом деформировании.
Рис. 2.25. Изотропное расширение начальной
нерегулярной поверхности текучести Треска (а) и
регулярной поверхности текучести Мизеса (б)
Для двухосного напряженного состояния гипотеза
изотропного упрочнения представлена в плоскости главных
напряжений мгновенными контурами текучести для критерия
текучести Треска (рис. 2.25, а) и критерия текучести Мизеса
(рис. 2.25, б). Пусть точка, характеризующая мгновенное
напряженное состояние в плоскости главных напряжений,
выходит на начальную поверхность текучести (контур 1) в точке Л,
в процессе пластического течения в результате упрочнения
переходит в точку В (контур #), а затем происходит разгрузка
ВС и повторная нагрузка до точки Е, В соответствии с
данной теорией деформационное упрочнение происходит между
точками А и 2?, а на пути BCDEK пластическое
деформирование не начинается до тех пор, пока точка не достигнет
новой предельной поверхности текучести в точке К, а не ?",
136
как это было бы в случае идеальной пластичности. Очевид-
0 что гипотеза деформационного изотропного упрочнения не
может учесть эффект Баушингера, имеющийся у большинства
реальных металлов, так как в этом случае при обратном на-
гружении (кривая BE) текучесть должна была бы возникнуть
раньше, например в точке D. Аналитически гипотеза
изотропного упрочнения записывается в виде
= k(q),
B.47)
где величина k(q) принимает различные значения для разных
поверхностей нагружения.
Кинематическое (трансляционное) упрочнение. Этот
закон упрочнения, предложенный Прагером, предполагает
жесткое перемещение начальной поверхности текучести и
описывает поведение упрочняющегося материала с отчетливо
выраженным эффектом Баушингера, т.е. учитывает
возникающую в процессе пластического деформирования
анизотропию. Графическая интерпретация такой модели упрочнения
представлена в плоскости главных напряжений для контура
текучести Треска» (рис. 2.26, а) и контура текучести Мизеса
(рис. 2.26, б). В процессе нагружения материала точка,
характеризующая мгновенное напряженное состояние, выходит
а 5
Рис. 2.26. Графическая интерпретация
кинематического закона упрочнения для нерегулярной
поверхности текучести Треска (а) и регулярной поверхности
текучести Мизеса (б)
137
на начальную поверхность текучести (контур 1) в точке А.
Если эту точку считать жестким шариком, а начальный
контур текучести — жестким контуром, то при дальнейшем на-
гружении шарик будет сдвигать этот контур в плоскости
напряжений. Предполагается, что контур будет перемещаться
поступательно по нормали к контуру текучести в точке
контакта. Когда точка, отображающая напряженное состояние,
достигнет положения J9, контур текучести переместится в
положение, отмеченное цифрой 2 и отображающее новый
предельный контур текучести, образованный в результате
процесса трансляционного упрочнения. Отметим, что при
разгрузке материала от точки В по пути ВАСО материал ведет
себя упруго лишь между точками В и С, а затем вновь
начинается пластическое течение, которое прекращается только
при полном снятии напряжений. В общем случае мгновенный
контур (или мгновенная поверхность) текучести может как
охватывать, так и не охватывать начало отсчета в плоскости
(или в пространстве) напряжений.
Аналитическая запись кинематического закона
упрочнения имеет вид
}{(Jij - aij) = к = const, B.48)
где aij — параметр, определяющий смещение поверхности
текучести, или, другими словами, мгновенное положение точки
на подвижной поверхности текучести. Его компоненты
связаны с компонентами пластических деформаций ev- линейной
зависимостью а^ = с?? , где с — постоянная кинематического
упрочнения. Следует отметить, что если поверхность
текучести перемещается в пространстве главных напряжений так,
что гидростатическая ось остается осью симметрии, то
никакой анизотропии не возникает. Таким образом, закон
упрочнения Прагера не всегда приводит к анизотропии.
Комбинированное упрочнение. Обобщение гипотезы
кинематического упрочнения предполагает, что наряду с
жестким смещением предельной поверхности может происходить
также ее расширение. Совместное рассмотрение
аналитических зависимостей B.47) и B.48) определяет соотношение,
описывающее закон комбинированного упрочнения:
138
Вопросы для самоконтроля
]_. Какие процессы в твердом теле характеризуют критерий
разрушения и критерий текучести?
2. Какие факторы и каким образом влияют на прочность и
пластичность твердых деформируемых сред?
3. Каким требованиям должен удовлетворять рациональный
критерий прочности (пластичности)?
4. Какие принципы должны быть положены в основу
построения идеального критерия прочности (пластичности)?
5. Для каких сред получены классические теории прочности?
6. Сформулируйте критерий наибольших нормальных
напряжений, укажите диапазон его применимости.
7. Сформулируйте критерий наибольших линейных
деформаций, укажите диапазон его применимости.
8. Постройте контур текучести для двухосного напряженного
состояния в соответствии со второй теорией прочности.
9. Какова аналитическая запись третьей теории прочности,
каким образом она связана с пределом текучести при
одноосном растяжении?
10. Поясните физический смысл условия текучести Мизеса,
его соотношение с условием Треска и диапазон
применимости указанных, критериев.
П. Как выглядят в пространстве главных напряжений
поверхности текучести Треска и Мизеса?
12. Каковы основные недостатки и достоинства третьей и
четвертой теорий прочности?
13. Как связаны между собой пределы текучести на
растяжение и на сдвиг для третьей и четвертой теорий прочности?
14. Сформулируйте понятие круговой диаграммы
напряженного состояния.
15. Какое напряженное состояние характеризует большой
круг Мора?
16. Что характеризуют предельные круги Мора?
139
17. Какие свойства материала характеризует предельная
огибающая кругов Мора?
18. Перечислите постулаты, положенные в основу построения
критерия прочности Мора.
19. Сформулируйте критерий прочности Мора и приведите
его функциональную запись.
20. Почему предельная огибающая на практике ограничена
точками касания к двум предельным кругам Мора,
полученным для одноосного растяжения и одноосного сжатия?
21. Какова аналитическая запись критерия прочности Мора?
22. Как связана третья теория прочности с условием
прочности Мора?
23. Какова применимость и каковы ограничения теории Мора?
24. Изложите основную суть критерия прочности Баландина
и укажите область его возможного применения.
25. Как выглядит поверхность текучести по критерию
Баландина; какие экспериментальные факты отображает ее
форма?
26. Как связаны между собой критерии Мизеса и Баландина?
27. Что такое коэффициент жесткости по Смирнову-Аляеву и
как он связан со схемой напряженного состояния?
28. Определите численные значения коэффициента жесткости
для одноосного растяжения, одноосного сжатия, чистого
сдвига.
29. Запишите условие прочности Смирнова-Аляева и поясните
способ его применения в практических задачах.
30. Каковы ограничения применимости критериев прочности?
31. Назовите основные параметры, характерные для
циклического нагружения.
32. Что такое "усталость" материала? Какими показателями
она характеризуется?
33. Для каких материалов и почему вводят понятие "условный
предел выносливости"?
140
34. Опишите особенности процесса усталостного разрушения
твердых тел.
35. Какие характерные зоны можно выделить на поверхности
усталостного излома?
36. Что такое сопротивление усталости?
37. Каким образом концентрация напряжений влияет на
сопротивление материала усталости?
38. В каких координатах строится диаграмма предельных
напряжений цикла?
39. Изобразите вид кривой усталости. Поясните характер ее
поведения.
40. Сформулируйте понятие ползучести материала.
41. Что такое предел ползучести?
42. Опишите поведение типичной кривой ползучести.
43. Выведите зависимость для определения времени
разрушения стержня в соответствии с моделью установившегося
течения.
44. Каковы основные особенности реологических моделей
ползучести для упрочняющейся и ползучепластической сред?
45. Поясните дислокационный механизм упрочнения
кристаллических твердых тел.
46. Дайте определение понятия структурного упрочнения.
47. В чем состоит сущность процесса деформационного
упрочнения?
48. Опишите основные способы структурного упрочнения
материалов.
49. Что такое функция текучести и как она изменяется в
процессе деформационного упрочнения?
50. Определите понятия начальной и мгновенной поверхностей
текучести.
51. Поясните суть процесса изотропного упрочнения.
52. Дайте геометрическую интерпретацию процесса
изотропного упрочнения в плоскости главных напряжений.
141
53. Опишите процесс кинематического упрочнения и
проиллюстрируйте его графически в плоскости главных
напряжений.
54. Для чего вводится понятие постоянной кинематического
упрочнения?
55. Какова аналитическая запись закона комбинированного
деформационного упрочнения?
Глава 3
МЕХАНИКА РАССЕЯННЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ
3.1. Понятие поврежденности. Кинетическое
уравнение поврежденности
В механике твердого деформируемого тела используют
критерии механического разрушения двух типов. Критерии
первого типа проанализированы в разделах 2.2—2.4. Они
основаны на предположении, что при однократном или
малоцикловом нагружении макрочастица в момент времени t
остается прочной, если функции fm компонент тензоров
напряжений G{j и деформаций e{j остаются отрицательными:
/mtaj> €kh Cm) < О, C.1)
где т = 1,2,...,п — номер функции, определяющий
характер (сдвиг, отрыв) и тип (вязкий, хрупкий) разрушения;
Ст — постоянные, определяющие механические свойства сре-
Ды (например, пределы текучести или прочности). Если хотя
бы одна из функций C.1) обращается в нуль, т.е.
fm(*ij,ekhCm) = O, C.2)
то наступает разрушение, вид и характер которого
соответствуют номеру т функции /ш.
143
Результаты экспериментов показывают, что соотношения
C.1) и C.2) могут быть объединены и записаны в качестве
критерия прочности (знак неравенства) и разрушения (знак
равенства) в форме
fm(*ij, еы) < Ст C.3)
для сред с линейными и нелинейными склерономными (не
зависящими от времени) механическими свойствами Сш,
сохраняющимися вплоть до разрушения. Для таких сред функции
/т в соотношении C.3) могут быть выражены либо через atJ
(например, первая, третья и четвертая теории прочности),
либо через Ski (например, вторая теория прочности и критерий
Смирнова-Аляева). Следовательно, макроскопической
характеристикой микродефектов в частице, возникающих при
разрушении, является тензор напряжений или тензор деформаций
(за исключением критериев сопротивления усталости).
Критерии макроскопического разрушения второго
типа учитывают реономность (зависимость от времени)
механических свойств среды и связаны с понятиями длительной
прочности (долговечности) и кинетики разрушения тела.
Пределом длительной прочности называют напряжение,
вызывающее разрушение материала за определенное время
испытания при постоянной температуре. В ряде случаев (при
приемосдаточных и других контрольных испытаниях)
устанавливают контрольную характеристику — время до
разрушения при заданном напряжении tB, которое либо равно
норме времени, указанной в стандартах или технических
условиях на конструкцию из данного материала, либо превышает
эту норму. Под кинетикой разрушения понимают
изменение долговечности тела при нагружении в зависимости от
температуры и напряжения.
Необходимо отметить, что в случае динамического
характера нагружения для распространения волн напряжений
на определенное расстояние, развития и перемещения
областей пластического течения и разрушения материала
требуется некоторое конечное время. За это время под
действием критических значений макропараметров напряженно-
деформированного состояния среды происходит зарождение,
144
развитие и накопление повреждений, приводящих к
разрушению материала. Поэтому при динамическом характере нагру-
жения, как и при статическом, время необходимо вводить как
характеристику пластического течения и разрушения.
Поврежденность. Построение критериев длительной
прочности связано с понятиями поврежденности и
сплошности материала. Дело в том, что макро- и микроструктура
реального материала всегда содержит дефекты. В процессе
деформирования материала эти дефекты растут, а кроме того,
возникают новые дефекты, способствующие "разрыхлению"
материала, его несущая способность уменьшается и, наконец,
наступает полное разрушение.
Процессы деформирования и разрушения материала
формально можно разделить по времени на два этапа:
первый этап (процесс пластического деформирования)
характеризуется дроблением кристаллических блоков; второй этап
(пластически-деструкционный процесс) связан с развитием
нарушений сплошности в материале. Хотя процесс
накопления повреждений (второй этап) в разных материалах может
быть обусловлен совершенно различными физическими
механизмами, однако ему присущи и некоторые общие для всех
материалов свойства, связанные со стадийностью протекания
процесса деформирования как при статическом, так и при
динамическом нагружении:
1) зарождение микродефектов (микротрещин, микропор,
полос адиабатического сдвига) в результате воздействия
растягивающих или сдвиговых напряжений;
2) рост микропор или микротрещин под действием
напряжений, если последние превышают некоторое критическое
значение;
3) слияние соседних растущих дефектов;
4) разделение материала с образованием одной или более
свободных поверхностей (развитие магистральных трещин)
и«ли дробление материала с образованием густой сетки тре-
и многочисленных отдельных фрагментов.
145
В свою очередь, в зависимости от механических свойств
материала и условий нагружения процесс разрушения может
происходить либо вследствие зарождения, роста и слияния
пор (вязкое разрушение), либо вследствие зарождения, роста
и слияния микротрещин (хрупкое разрушение). Очевидно,
что многообразие и сложность имеющихся механизмов
разрушения твердых деформируемых тел не позволяет построить
обобщенную модель разрушения и дать ей соответствующее
математическое описание. Поэтому в настоящее время
наиболее предпочтительно развитие частных теорий и создание
частных критериев разрушения, удовлетворительно
описывающих поведение конкретных типов конструкционных
материалов в определенных условиях нагружения. Ряд таких
критериев был сформулирован и экспериментально проверен в
рамках механики рассеянных повреждений.
Повреждения можно разделить на рассеянные дефекты
(малые по размерам и встречающиеся в большом количестве)
и магистральные трещины, появляющиеся на
заключительной стадии катастрофического процесса разрушения.
Механика рассеянных повреждений рассматривает динамику
роста многочисленных, но малых по размеру дефектов, а
условия распространения магистральных трещин являются
предметом изучения линейной механики разрушения, оснозы
которой изложены в главе 4.
Наиболее перспективным способом описания
множественных повреждений является представление поля дефектов
через его средние величины или иные параметры. Простейший
способ — формальное введение величины, характеризующей
степень поврежденности материала в каждом его
индивидуальном объеме и называемой поврежденностъю. Эта
величина (скалярная или тензорная), называемая коэффициентом
поврежденности (коэффициентом деструкции) о;, может
изменяться от нуля до единицы, причем значение и = О
характеризует сплошной материал, а значение и = 1 соответствует
полному разрушению, т.е. с течением времени функция u(t)
146
возрастает. Иногда в механике рассеянных повреждений
вводят понятие сплошности (или добротности) материала, ко-
торая характеризуется коэффициентом сплошности
(добротности) ф. В начальном состоянии при отсутствии поврежден-
ности ф = 1, а с течением времени по мере развития
процесса разрушения, сопровождаемого ростом дефектов,
функция ф убывает. Коэффициенты поврежденности и
сплошности связаны между собой очевидной линейной зависимостью
•ф = 1 ~ <*>•
Результаты экспериментальных исследований
свидетельствуют о том, что процесс развития степени поврежденности
материала носит направленный характер, определяемый
напряженным состоянием, историей нагружения и анизотропией
материала. Эти факторы можно учесть, если вместо
скалярной величины и ввести более общую характеристику — тензор
поврежденности (П), характеризуемый в системе координат
хх в момент времени t компонентами Пд. (А; = 1, 2,...).
Однако мы будем рассматривать основы механики рассеянных
повреждений для случая простого (одноосного) нагружения,
когда можно не учитывать направленность процесса
накопления и развития повреждений, подобно тому, как в рамках
теории пластичности хорошим приближением при простом
нагружении является гипотеза изотропного упрочнения (см.
раздел 2.6).
Вообще говоря, накопление повреждений является
случайным процессом. Следовательно, уровень поврежденности
можно в принципе определить статистическими методами,
если известны условия зарождения и развития
микродефектов в конкретном материале (см. приложение 3). Однако
элементарные механизмы зарождения дефектов, а также
условия их роста можно описать весьма приблизительно. Еще
большие трудности представляет определение
количественных характеристик этих механизмов, функций распределения
поврежденностей, зависимостей между случайными
дефектами. Перечисленные проблемы не позволяют проводить
обоснованный статистический анализ, поэтому существенное
развитие получил подход, связанный с введением таких
априорных характеристик, как поврежденность и сплошность, и с их
147
определением на основе сравнения следствий теоретических
моделей с экспериментальными данными.
Принцип линейного суммирования повреждений.
Рассмотрим простейший случай хрупкого разрушения при
ступенчатом изменении нагрузки (рис. 3.1). В течение
промежутка времени Д/д. = t^ — tk-i действует постоянное
напряжение сг* (fc = 1, 2, ..., з). В момент времени t = О и = О,
а в момент времени t = t3 происходит разрушение, т.е. и = 1.
О
t
Рис. 3.1. Диаграмма
ступенчатого изменения нагрузки во времени
Будем считать, что для промежутка времени Д^ приращение
коэффициента поврежденности линейно зависит от времени
действия напряжения ст*:
Wfc - wjfc_i = -г-, C.4)
где t% — время хрупкого разрушения при постоянном
напряжении а^. Суммируя левые и правые части равенства C.4) и
учитывая, что и = 1 при t = t3, получаем соотношение
Atk
tk
= 1,
C.5)
выражающее принцип линейного суммирования повреждений,
впервые сформулированный в 1952г. Э.Робинсоном.
Подчеркнем, что в рассмотренной модели суммирования
повреждений каждому значению приложенной нагрузки сгд.
соответствует полное время разрушения tj, а время приложения этой
нагрузки равно
148
Если число ступенек неограниченно возрастает, т.е.
процесс нагружения a(t) является непрерывным, соотношение
C.5) записывается в виде
*в
ш
известном как интеграл накопления повреждений Бейли, где
г — переменная интегрирования; tB — полное время
разрушения при переменной нагрузке при условии, что известна
функция долговечности, т.е. зависимость времени разрушения от
приложенной нагрузки ^в[^@]? аналогичная зависимости при
^в(^) ступенчатом дискретном нагружении.
Уравнение C.6) является критерием разрушения для
некоторого класса функций 0"(т), хотя исходная гипотеза
произвольна и не учитывает влияния истории нагружения на
приращение дефекта и в момент времени t в интервале 0 < г < t.
При известной зависимости tB(a) функцию поврежденно-
сти с учетом зависимости C.6) можно ввести в следующей
интегральной форме:
Кинетическое уравнение поврежденности. Из
определения C.7) следует принцип линейного суммирования
повреждений C.6) при t — 2В, а также элементарное кинетическое
уравнение поврежденности в виде
dt ~ tB(aY
По мере развития процесса деформирования материала
поврежденность с течением времени возрастает. Как уже
отмечалось выше, функции и можно дать статистическое
толкование, а изменение поврежденности du/dt можно описать,
149
используя представления статистической физики, некоторым
обобщенным кинетическим уравнением поврежденности
—
, T, t, A,-), C.9)
частным случаем которого является полученное из простых
соображений уравнение C.8). Изменение поврежденности
материала в соответствии с уравнением C.9) в общем случае
зависит не только от уровня напряженного состояния,
характеризуемого тензором напряжений 7V, но и от тензора
деформаций Тб, температуры Г, времени t и структурных
(внутренних) параметров состояния А,- (г = 1, 2,...),
характеризующих необратимые изменения в структуре материала,
например ориентированность упрочнения, диссипацию энергии
пластического деформирования и анизотропию, вызываемую
текстурой (преимущественным направлением волокон),
которая возникает при технологической обработке (прокатке,
ковке и т.д.) металлических сплавов и может существенно
повлиять на их длительную прочность. Влияние анизотропии на
показатели длительной прочности особенно заметно для легких
сплавов на основе алюминия или титана.
Выбор конкретного вида уравнения C.9) и входящих в
него переменных требует привлечения теоретических
соображений и анализа имеющихся экспериментальных результатов
испытаний материалов на длительную прочность. При
построении критерия длительной прочности, определяющего время до
разрушения образца при некоторых заданных условиях нагру-
жения, главное требование состоит в том, чтобы вид функций
и значения параметров, входящих в уравнение C.9), могли
быть найдены из простых опытов.
Рассмотрим наиболее простой вариант кинетического
уравнения поврежденности. Будем считать, что процесс
разрушения главным образом зависит от уровня напряженного
состояния (То-) и температуры Т. Кроме того, примем, что с
течением времени в материале не происходит никаких
структурных изменений (типа старения), т.е. время t в явном виде
150
не будет входить в правую часть уравнения C.9). Теперь
необходимо установить, какая именно характеристика
напряженного состояния влияет на длительную прочность. В качестве
такой характеристики обычно принимают некоторое
эквивалентное напряжение сгэ, о котором говорят, как о критерии
длительной прочности и которое определяет при постоянных
напряжениях время хрупкого разрушения tB(a3).
Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что это
напряжение наиболее существенно зависит от величины наибольшего
растягивающего напряжения &\, а также испытывает
некоторое влияние среднего напряжения а (гидростатического
давления р) и интенсивности напряжений сг,-, т.е. величин,
являющихся производными первого и второго инвариантов тензора
напряжений:
сгэ = аэ(сгь <т, Gi). C.10)
В пространстве главных напряжений уравнение C.10)
описывает семейство подобных поверхностей разрушения,
положение которых определяется величиной а3 = const.
В результате принятых упрощений кинетическое
уравнение поврежденности C.9) примет вид
^ = F(u,a3,T), C.11)
который будет являться предметом дальнейшего анализа.
3.2. Флуктуационная кинетическая теория
прочности
Флуктуационная кинетическая теория прочности,
предложенная С.Н. Журковым и его школой, построена на основе
принципа температурно-временной суперпозиции и
использования интегрального подхода к анализу получаемых
экспериментальных данных. Таким образом, вместо определения
конкретного вида кинетического уравнения поврежденности
задается функция долговечности *в = tB(a3, T), которая в об-
случае зависит не только от действующего напряжения,
151
но и от температуры и которую формально можно считать
интегральным аналогом усеченного кинетического уравнения
поврежденности C.11).
В результате анализа экспериментальных данных были
получены зависимости между долговечностью tB под
нагрузкой и разрушающим напряжением аэ при заданной
температуре Т = const:
*в = Лехр(-ааэ), C.12)
а также между долговечностью и температурой при заданном
напряжении аэ = const:
2Ы C.13)
где А и а — константы среды, зависящие от
температуры; Zg — константа среды, не зависящая от температуры;
U(a3) — энергия активации процесса разрушения; к —
постоянная Больцмана.
Учитывая линейную зависимость U = Uq - ja3 и
соотношения C.12) и C.13), получим функцию долговечности Жур-
кова (критерий Журкова)
C.14)
которая выражает принцип температурно-временной
суперпозиции и определяет полное время до разрушения при
заданном напряжении <тэ и некоторой температуре Т. В
уравнении C.14) энергия активации процесса разрушения при
отсутствии напряжений Щ является для каждой среды
физической константой, не зависящей от состояния этой среды, и
имеет порядок величины энергии межатомных связей в
твердом теле. Например, для сталей перлитного и ферритного
классов [/о ~ 3,3 • 105 кДж/кмоль, а для алюминиевых и
медных сплавов ?/о « 4,2 • 105 кДж/кмоль. Параметр ^, не
зависящий от природы среды, имеет порядок 10~~13 ... 10~~12 с,
что примерно соответствует периоду тепловых колебаний
атомов. Параметр 7> определяемый при испытаниях на
длительную прочность, служит показателем локальных повреждений,
152
которые возникают на фоне средних напряжений,
приложенных к телу: чем меньше 7> тем больше реальная прочность.
Обычно полагают, что параметр у характеризует наиболее
опасные дефекты структуры твердого тела —
микроконцентраторы напряжений, а величина 7> имеющая размерность
объема, может быть истолкована как произведение объема
дефекта V (порядка атомного) на коэффициент
концентрации напряжений Ка = сгтах/аэ, где сгтах — максимальное
напряжение на границе дефекта. Параметр 7 часто
приводится в зависимости от напряжения безактивационного
разрушения <7о = f/o/т; его значение для различных классов
сталей изменяется от 2-10~4 м3/моль при <7о > 2,5ГПа до
1210 м3/моль при <т0 « 0,4 ... 0,5 ГПа.
Таким образом, в соответствии с функцией долговечности
C.14) разрушение тела есть временной процесс, а критерий
длительной прочности определяется температурой Т и
энергией активации процесса разрушения U{a). Эксперимент,
положенный в основу статических испытаний на долговечность
(деформирование и разрушение образца при одноосном
растяжении), фактически является одним из методов испытаний на
ползучесть, когда скорость деформации ё под действием
напряжения аэ = о\ определяют по формуле Аррениуса
C.15)
где eg — постоянная материала. Экспериментально доказана
общность зависимостей C.14) и C.15), поэтому можно
предположить, что формула C.14) есть следствие совмещения
определяющего уравнения пластического течения среды и
деформационного критерия разрушения. Действительно, так как в
C.15) U = Uq - 7<7э> то перемножение формул C.14) и C.15)
приводит к равенству etB = Sot® = ?q = const,
свидетельствующему о том, что деформация, накопленная к моменту
Разрушения, постоянна для данной среды в широком
диапазоне изменения скорости нагружения и для многих твердых
Деформируемых сред имеет порядок 10".
153
По мнению С.Н. Журкова, основной причиной
разрушения является температурный фактор, а механическая нагруз.
ка лишь ускоряет самопроизвольный термический распад
кристаллической решетки. Однако следует иметь в виду, что
наряду с процессом разрыва связей происходит процесс их
восстановления. Вероятность обоих процессов одинакова, т.е.
вероятность разрушения равна нулю, пока к телу не
подведена дополнительная внешняя энергия. Иначе говоря, несмотря
на существование в самом теле потенциальной возможности
разрушения, уровень которой определяется температурой, эта
возможность реализуется только при внешнем воздействии.
При нагружении тела динамическое равновесие между
процессами разрыва и восстановления связей смещается в сторону
первых, что вызывает через определенное время разрушение
тела.
Таким образом, флуктуационная кинетическая теория
прочности описывает только образование очагов отрывного
разрушения, но не описывает ни распространение трещин
отрыва, ни зарождение и развитие сдвиговых трещин и трещин
скола. Если при квазистатическом нагружении время
зарождения и роста дефектов значительно больше времени
распространения трещин и полное время разрушения tB практически
определяется соотношением C.14), то при интенсивных
динамических нагрузках время зарождения и роста дефектов и
время распространения трещин сравнимы между собой. Этим
и объясняется тот факт, что рассмотренная теория приводит
к существенному расхождению с экспериментальными
данными и не пригодна для применения в диапазоне малых долго-
вечностей (tB < 10" с). Тем не менее структуру функции
долговечности Журкова естественно использовать для
описания процесса зарождения трещин отрыва, что и сделано при
построении модели процесса динамического разрушения. Эту
модель иногда называют NAG-моделъю (аббревиатура
происходит от слов Nucleation and Growth — зарождение и рост).
Уравнение зарождения трещин отрыва в соответствии с NAG-
моделью имеет вид
^ C.16)
154
где N — скорость зарождения числа дефектов на единицу
объема; No — частотный множитель; ctq — пороговое напряжение
зарождения очагов- Таким образом, предполагается, что
скорость зарождения числа дефектов обратно пропорциональна
долговечности:
кг - — - ^°*в
Кроме уравнения зарождения трещин C.16) NAG-модель
включает в себя эмпирическое уравнение роста дефекта, име-
юшего начальный размер До, в виде
(ЗЛ7)
где R — текущий размер дефекта; адо и 7/ — параметры
материала, устанавливаемые экспериментальным путем.
В совокупности уравнения C.16) и C.17) дают
возможность моделировать процесс динамического разрушения
отрывом, а формулировка некоторых дополнительных
предположений может позволить описать и процесс дробления твердого
тела с образованием отдельных множественных фрагментов.
В то же время применение модели динамического разрушения,
основанной на использовании уравнений NAG-модели C.16) и
C.17) для расчета дробления металлических изделий,
затруднено по двум основным причинам:
1) для расчета динамического процесса дробления с
помощью уравнений C.16) и C.17) необходимо определять
дополнительно большое количество специальных параметров
материала ([/о, 7э ^(Ь ag0i &0> 7]); еще несколько параметров,
имеющих характер подгоночных коэффициентов, используются
при расчете распределения числа образующихся фрагментов
по массовым группам;
2) при импульсном характере нагружения металлов (с
помощью высокоскоростного удара и взрыва) часто
преобладающую роль играет разрушение сдвигом, которое не
описывается уравнениями C.16) и C.17), поэтому данные уравнения
155
применяются без дополнительных предположений, например,
для расчета дробления скальных пород, а при расчете удар-
новолнового разрушения металлов необходимо использовать
информацию о процессе разрушения сдвигом.
3.3. Критерии механики рассеянных
повреждений
В результате обширных исследований процесса
разрушения самых различных материалов в условиях длительных
нагрузок было предложено и экспериментально подтверждено
немало критериев длительной прочности, основанных на
концепции накопления рассеянных повреждений. В этих
критериях за меру разрушения принят параметр поврежденности
материала П, который в процессе разрушения изменяется в
определенных пределах. Критическое значение этого
параметра П* в некотором индивидуальном объеме твердого
деформируемого тела считают критерием разрушения в этом
объеме, связывая время до разрушения tB с временем достижения
параметром поврежденности П некоторого критического
значения ГЦ. Параметр П может иметь определенный
физический смысл и, как указывалось в разделе 3.1, быть скалярной
или тензорной величиной. Рассмотрим критерии, в которых
поврежденность характеризуется скалярной величиной
коэффициента поврежденности и или коэффициента сплошности
ip = I — и.
Критерий Качанова. Этот критерий основан на
предположении, что хрупкий разрыв есть конечный результат
развития дефектов в деформируемом твердом теле, находящемся
под действием нагрузки. Рост дефектов вызывает постепенное
уменьшение площади эффективного сечения образца, а
следовательно, увеличение удельной нагрузки на единицу площади
этого сечения при постоянной нагрузке. Для
характеристики состояния поврежденности сплошной среды используется
скалярная величина 0 < ф < 1 (коэффициент сплошности): в
начальный момент времени при отсутствии поврежденности
156
^ = 1; с течением времени происходит зарождение и рост
дефектов, а сплошность среды уменьшается и характеризуется
величиной ф < 1. Функция ф описывает рассеянный характер
разрушения среды, т.е. при малых значениях ф < 1
рассеянный характер разрушения, обусловленный ростом дефектов,
становится неустойчивым, происходит взаимодействие и
слияние дефектов, а в наиболее ослабленных сечениях возникают
магистральные трещины. Моменту разрушения
соответствует значение ф > О, однако в рассматриваемой модели принято,
что в момент хрупкого разрушения ф = 0. Это означает
локализацию трещинообразования на заключительной стадии
разрушения, что допустимо вследствие кратковременности этой
стадии по сравнению с полным временем развития процесса
разрушения.
Пусть процесс разрушения происходит при постоянной
температуре Т = const, тогда кинетическое уравнение повре-
жденности C.11), записанное через коэффициент сплошности
ф, примет более простой вид:
^ = F&, <7Э). C.18)
Для определения эквивалентного напряжения,
определяющего зарождение и развитие дефектов во времени, выберем
наиболее простой критерий максимального растягивающего
напряжения, являющийся следствием критерия наибольших
нормальных напряжений B.1). В этом случае соотношение
(ЗЛО) примет вид
<тэ = 5й«, C.19)
где сгтах — истинное максимальное растягивающее
напряжение в рассматриваемом индивидуальном объеме.
Действительно, поскольку функция ф характеризует сплошность
материала, отношение (Тт&х/Ф можно интерпретировать как
некоторое приведенное {эффективное) напряжение: при
отсутствии повреждений ф = 1 и аэ = сгтах; при появлении
поврежденности площадь сечения, на которую действует
напряжение <7тах, уменьшается пропорционально уменьшению
^, величина ф < 1 и аэ > <ттах.
157
Если тензор напряжений 7V, характеризующий
напряженное состояние, содержит компоненты с отрицательным
знаком (сжимающие напряжения), будем полагать, что
абсолютное значение <7щах значительно превышает абсолютные
значения сжимающих напряжений.
В дальнейшем будем считать, что эффективное
напряжение не превосходит предела прочности материала, так как при
аэ = ав происходит мгновенное разрушение материала вне
зависимости от характера развития поврежденности. При
напряжениях, близких к пределу прочности, в рассматриваемую
ниже структуру критерия длительной прочности необходимо
внесение существенных изменений, т.е. мгновенные
характеристики — предел текучести ат и предел прочности ав — не
следует отождествлять или связывать с эффективным
напряжением сгтах/^.
Итак, в соответствии с принятыми допущениями
скорость роста поврежденности (уменьшения сплошности)
материала определяется эффективным напряжением,
следовательно, уравнение C.18) с учетом C.19) преобразуется к виду
= F^\ (з.2О)
dt \ ф )
Для определения вида функции F воспользуемся
результатами экспериментальных испытаний по растяжению
стержня при постоянной нагрузке Р = const. Пусть
разрушение происходит при малых деформациях, что позволяет
пренебречь изменением поперечного сечения стержня 5о, т.е.
0"max = P/So = его = const. Типичные экспериментальные
кривые зависимости длительной прочности tB от
действующего напряжения ctq приведены на рис. 3.2. Эти кривые имеют,
как правило, излом. Левая часть кривой (левее пунктирной
линии) описывает длительную прочность при вязком
разрушении, а правая часть (правее пунктирной линии)
соответствует процессу хрупкого разрушения, происходящему при
относительно низких напряжениях.
Так как нами была принята гипотеза хрупкого
разрушения, то необходимо рассмотреть характер поведения кривой
158
разрушение разрушение
Рис. 3.2. Зависимость
длительной прочности /в от
растягивающего напряжения сг0 для двух
марок низкоуглеродистой стали
A и 2) при температуре 500 °С
(по И.А. Одингу и др.)
Рис. 3.3. Зависимость
времени хрупкого
разрушения U от
растягивающего напряжения его
длительной прочности, расположенной правее точки излома
(j4i или Лз). Соответствующая идеализированная кривая
зависимости времени хрупкого разрушения tB от напряжения (Гц
приведена на рис. 3.3. Эту кривую можно аппроксимировать
с помощью степенной зависимости, следовательно,
кинетическое уравнение поврежденности C.20) в этом случае можно
записать в форме
C.21)
dt ~ А\ф
гдеЛ>0ип>0 — постоянные аппроксимации. Здесь
степенную зависимость не надо интерпретировать как
физическую закономерность, следующую из фундаментальных
законов механики деформируемого твердого тела и механики
предельных состояний. Ее нужно рассматривать лишь как
удобную аппроксимацию экспериментальных данных, ибо, вообще
159
говоря, возможно использование других аналитических
зависимостей, например показательной.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение C.21) с
учетом начального условия ф = 1 при t = 0:
Ф t
[ фпс1ф=-Аа% fdt.
1 о
В результате интегрирования получим соотношение
C.22)
Так как в соответствии с принятой гипотезой на
заключительной стадии разрушения (в момент разрушения t = tB)
коэффициент сплошности ф = 0, то из C.22) следует функция
долговечности в форме, которую иногда называют критерием
длительной прочности Качанова:
1 C.23)
где постоянные п к А определяются путем сопоставления
времени /в с экспериментальным временем разрушения данного
материала при заданной температуре.
Можно показать, что при степенной зависимости
кинетическое уравнение поврежденности C.21) эквивалентно
принципу линейного суммирования повреждений C.6).
Действительно, запишем уравнение C.21) как
или, обозначив ф71*1 = Ф, получим уравнение
-А(п+1К, C.24)
160
где параметр поврежденности Ф = 1 в начальный момент
времени, а в момент разрушения Ф = 0. Пусть t < tB, тогда с
учетом функции долговечности C.23) правую часть
уравнения C.24) можно записать в виде l/tB(t), если считать, что
функция tB(t) описывает время разрушения при условии
постоянства напряжения ао(<). В этом случае уравнение C.24)
записывается в форме
Л ~<в(<)
и имеет решение
t
dT = 1 - Ф, C.25)
I «.(г)
о
где г — переменная интегрирования. В момент разрушения
t = /в и Ф = 0, а подстановка этих значений в уравнение
C.25) приводит к интегралу накопления повреждений Бейли
C.6), который в математической форме характеризует
принцип линейного суммирования повреждений.
Критерий Работнова. Этот критерий является
обобщением критерия Качанова и учитывает взаимодействие
процессов ползучести и разрушения. В качестве
параметра поврежденности выбран коэффициент поврежденности и:
^ = 0в начальном состоянии (поврежденность материала
отсутствует), а затем коэффициент поврежденности возрастает
и в момент разрушения принимает значение и = 1. Тогда
кинетическое уравнение поврежденности C.11) при Т = const
можно записать в следующей функциональной форме:
— = ip(a3, и). C.26)
Согласно подходу Ю.Н. Работнова, существуют два
°сновных типа разрушения — вязкое и хрупкое, которые
могу т быть реализованы раздельно или совместно (смешанное
161
разрушение). Вязкое разрушение, описываемое соотношения-
ми теории ползучести, реализуется только при малой
продолжительности испытаний, а при большой длительности
разрушение происходит при меньших деформациях, причем
разрушению предшествует образование на границах зерен
микротрещин, направленных преимущественно
перпендикулярно растягивающему напряжению и инициирующих процесс
хрупкого разрушения. Необходимо отметить, что полностью
вязкое разрушение происходит только при деформировании
некоторых чистых металлов. Схематическое описание
процесса растрескивания и хрупкого разрушения, предложенное
Ю.Н. Работновым, сводится к следующему.
Предположим, что в поперечном сечении растягиваемого
стержня появляются круглые трещины, причем на единицу
площади сечения приходится одна трещина, площадь
которой численно равна коэффициенту поврежденности, а именно
и — -кг2, где г — радиус круглой трещины. Следовательно,
рост поврежденности материала описывается зависимостью
du dr
-^-= 27ГГ — ~ v^"/, C.27)
где Vf — скорость фронта трещины с точностью до
постоянного множителя. Предположив, что скорость трещины
связана с действующим напряжением степенной зависимостью
Vf — Ва™, соотношение C.27) можно записать в более общем
виде:
^ ~ В*?и*9 C.28)
где J9, n, q — некоторые постоянные. Аналогично
соображениям, принятым в модели Качанова, введем эквивалентное
эффективное напряжение, которое в случае малых деформаций
будет определяться как
<г, = ^-. C.29)
С учетом C.28), C.29) и с целью упрощения дальнейшего
анализа принимается степенная обобщенная зависимость
162
где Ь и ol — некоторые постоянные. Теперь в соответствии
с моделью Работнова необходимо включить параметр
поврежденности и в уравнение ползучести. Классическое
уравнение ползучести в простейшем случае одноосного растяжения
B.34) связывает скорость изменения деформаций е с уровнем
приложенного напряжения аэ: de/dt = Ф(<тэ). При этом
предполагается, что параметр поврежденности не входит в
уравнения ползучести. Как уже отмечалось в разделе 2.6,
наблюдаемый экспериментально третий период ползучести (кривая
CD на рис. 2.21) не может быть связан только с уменьшением
площади поперечного сечения стержня, а, по-видимому,
объясняется процессом образования пор (дефектов, представляемых
в модели Работнова круглыми трещинами) и последующего
растрескивания материала в окрестности растущих пор. Для
описания этого периода ползучести Ю.Н. Работнов
предположил, что уравнение ползучести можно записать в форме
^ = Ф!(*9,ы). C.31)
При описании процесса ползучести с помощью степенного
закона и с учетом выражения для эффективного напряжения
C.29) уравнение C.31) преобразуется к виду, эквивалентному
по своей структуре кинетическому уравнению
поврежденности C.30):
где т > п — показатель ползучести; си/? — некоторые
постоянные.
Согласно рассматриваемой схеме разрушения
существуют несколько зародышевых трещин, поэтому при t = 0 и ф 0.
В то же время, если трещины имеют форму окружностей,
в момент разрушения и ф 1: при некотором значении и =
= ^* < 1 происходит отрыв, поэтому верхний предел
интегрирования уравнений C.30) и C.32) должен быть равен о;*.
Однако в случае микротрещин радиус круглой трещины г
можно считать малой величиной и коэффициент поврежденности
163
и в момент абсолютно хрупкого разрушения tc будет
незначительно отличаться от единицы (и « 1), а в момент абсолютно
вязкого разрушения tp можно считать, что w«0.
Рассмотрим раздельно процессы хрупкого и вязкого
разрушения при ползучести. В соответствии с принятыми
допущениями в случае хрупкого разрушения деформации малы,
(Jq = const, и тогда интегрирование уравнения C.30) при
условии и — 1 приводит к зависимости
C.33)
"
Г I"
где tc = 6A + а)аЯ — время абсолютно хрупкого
разрушения. Подставим определяемое с помощью C.33) значение
параметра A - и) в уравнение ползучести C.32) и
проинтегрируем его по времени. Результатом интегрирования будет
уравнение, описывающее изменение деформации ползучести
во времени вплоть до хрупкого разрушения:
где tp = (ста™) — время абсолютно вязкого разрушения
при условии и = 0; 7 = (Q + l)/(a "/?+!)•
Кривая ползучести C.34), полученная в приближении
малых деформаций, удовлетворительно описывает третий
период ползучести, предшествующий разрушению (см. рис. 2.21),
однако не описывает первый период этого процесса, что,
вообще говоря, поддается корректировке.
Рассмотрим теперь разрушение смешанного типа. В этом
случае приближение малых деформаций неприемлемо и
поэтому необходимо совместное решение системы уравнений C.30)
и C.32). При достаточно больших удлинениях стержня
напряжение связано с деформацией экспоненциальной зависимостью
164
Оэ - сгоехр(б), поэтому в уравнениях C.30) и C.32) необходи-
Мо заменить величину его произведением CQexp(e). В
результате получим систему уравнений
Почленное деление второго уравнения на первое приводит
к дифференциальному уравнению
J- = !±^ J41 - «)"-'ехр[(т- п)*], C-36)
аи т tp
которое можно проинтегрировать, разделяя переменные, при
начальном условии е = 0 при и = 0:
^l тфп, C.37)
т — п
где
с
Относительное время разрушения можно вычислить,
если полученное решение C.37) подставить в первое
уравнение системы C.35) и выполнить процедуру интегрирования.
В результате получим следующее выражение:
где ?+ = 0 при х < 1 (разрушение хрупкое и условию раз-
РУшения и = 1 отвечает конечное удлинение стержня); ?+ =
= (х - 1)/х ПРИ X > 1 (разрушение вязкое, т.е. е —> оо, а
моменту разрушения соответствует значение поврежденности
^< 1).
165
В заключение рассмотрим частный случай, когда
показатели долговечности и ползучести равны между собой. Если
т — га, то уравнение C.36) преобразуется к виду
аи т tp
а с учетом выражений для tc и tp —
Интегрируя последнее соотношение и подставляя
полученное выражение A — cj) во второе уравнение системы C.35),
получаем уравнение кривой ползучести для рассматриваемого
частного случая:
е
t
mtp
1- — 1 exp(-me)de,
где
Критерий Москвитина. Этот критерий,
учитывающий историю нагружения материала, предложен В.В. Моск-
витиным. Введем функцию поврежденности u(t),
удовлетворяющую условиям ш@) = 0 и u(tB) = 1. Напряженное
состояние будем оценивать по эквивалентному напряжению аэ(г),
в качестве которого можно принять наибольшее главное
напряжение <7i, интенсивность напряжений о± или какую-либо
другую величину, характеризующую напряженное состояние.
Пусть экспериментально определена функция tB[cr3(t)], где
2В — время до разрушения при некотором эквивалентном
напряжении аъ — const. Для функции u(t) введем кинетическое
уравнение поврежденности
^ = Ф(«(О,А(О), C.38)
166
где функция A(t) определяется законом изменения
напряжения во времени. При этом предполагается, что на
производную duj/dt оказывает влияние не только напряжение a3(t) в
момент времени /, ной напряжения, которые существовали в
предыдущий промежуток времени 0 < т < /, что можно
отразить с помощью некоторой функции влияния F(t - г). В этом
случае функцию истории нагружения можно записать в форме
A(t) = j F{t-TL>[(T3{T)}dT, C.39)
о
где т — переменная интегрирования; ?>[сгэ(г)] — некоторая
неизвестная функция, определяемая экспериментальной
зависимостью /в[0"э(*)]-
Интегрируя C.38) с учетом вида функции C.39) и
начального условия о;@) = 0, а затем проводя соответствующие
преобразования (вывод опускаем), получаем искомое условие
длительной прочности Москвитина:
<3-40>
которое определяет время до разрушения /в при заданной
функции сгэ(О и известной экспериментальной функции
М°э@]' Постоянную га, входящую в C.40), определяют по
результатам дополнительных экспериментов. Например, пусть
известен предел прочности ав при одноосном растяжении
цилиндрического образца с постоянной скоростью изменения
напряжения Gi, где 0*1 — наибольшее главное напряжение. В
этом случае эквивалентное напряжение <гэ совпадает с
действующим по оси образца напряжением <т\. Следовательно,
°э(т) = Giт, а <7В = 0*в> поэтому из C.40) получаем
уравнение для определения постоянной га:
I U T) ti+m
dr
(от)
167
При га = 0 из C.40) следует известный критерий
длительной прочности, описываемый интегралом Бейли C.6).
Модель обобщенной теории длительной прочное-
ти. Рассмотренные критерии длительной прочности
относятся к одноосному процессу нагружения. Обобщение
результатов на случай сложного напряженного состояния и сложного
нагружения макрочастицы, предложенное А.А. Ильюшиным,
потребовало более полного и общего определения объекта,
который характеризует накопление повреждений в
макрочастице сплошной среды.
Нагружение макрочастицы сопровождается изменением
параметров микроструктуры элементарных составляющих,
возникновением и развитием некоторых дефектов, накопление
которых в определенный момент времени может привести к
нарушению сплошности (разрушению) макрочастицы. В
связи с этим, на основе ряда постулатов А.А. Ильюшин
предложил в общем случае ввести макрообъект П(х-7, *),
называемый повреждением (дефектом), зависящий от истории
нагружения данного элемента среды и характеризуемый в
системе координат х* в момент времени t компонентами П;, где
j = 1,2,..., п.
Предполагается также, что существуют некоторые
неотрицательные меры повреждений МДП), где j = 1, 2,..., га,
причем т < п. Разрушение происходит тогда, когда для
какого-нибудь j = к выполняется условие Мд.(П) = с*., где
с*. — константы материала.
Простейший вариант теории накопления повреждений в
макрочастице можно построить в предположении, что (П) —-
симметричный тензор второго ранга, причем не исключена
возможность построения скаляра на основе такого тензора.
Однако если в соответствии с опытом допустить возможность
хотя бы двух различных типов разрушения (путем отрыва и
путем сдвига), а следовательно, необходимость введения
хотя бы двух мер тензора, то уже недостаточно только
одного скаляра для построения критериев разрушения, которые
требуют пропорциональности тензоров (П) и (<т). Более
развернутое изложение модели А.А. Ильюшина можно найти в
168
монографии В.Н. Ионова и В.В. Селиванова (см. список
рекомендуемой литературы).
В заключение приведем критерий разрушения,
предложенный Н.Н. Давиденковым, А.Г.Ивановым и Л.С. Ливши-
J g(t)dV = J 7d5, C.41)
V S
где g(f) — плотность (на единицу объема) упругой
энергии, освобождаемой при разгрузке материала упругой
волной, образующейся в результате развития трещины; V —
объем части разрушаемого тела, с которого снята упругая
энергия, необходимая для разрушения; j — удельная
поверхностная энергия, затрачиваемая на образование новой поверхности
разрушения; S — площадь поверхности разрушения. Из
соотношения C.41) при dV = dS • dt следует
где С — скорость волны разгрузки, распространяющейся от
каждого берега трещины (отсюда коэффициент 2), или в
форме кинетического уравнения поврежденности
Так как g(t) = ае/2 = а[а/BЕ)] ~ GП, то C.42) с точностью
до постоянных эквивалентно уравнению C.28),
предложенному Ю.Н. Работновым. Ниже будет показана родственность
этой модели и моделей Гриффитса, Орована и Ирвина в
линейной механике разрушения.
Критерии сопротивления усталости. В разделе 2.5
было дано определение понятия усталости, которое связано с
процессом постепенного накопления и развития повреждений
под действием переменных напряжений. При этом
отмечалось, что одно и то же напряженное состояние после разного
169
числа циклов приводит к различным типам разрушения, т.е.
тензор напряжений в этом случае не может характеризовать
предельное состояние материала в отличие от процессов
однократного или малоциклового нагружения, для которых
приемлемо применение классических теорий прочности.
Поэтому для определения сопротивления материала усталости было
предложено экспериментальное построение либо кривой
усталости (см. рис. 2.15) и установление предела выносливости,
либо вероятностной кривой распределения циклической
долговечности (см. рис. 2.20). В обоих случаях в качестве
аргумента, определяющего момент разрушения, вместо времени до
разрушения /в фигурировало число циклов до разрушения JV,
а параметр поврежденности не входил ни в одно из
приведенных условий усталостной прочности.
Лб
пк-1 пк
п
Рис. 3.4. Диаграмма ступенчатого
изменения амплитуды циклической нагрузки в
зависимости от числа циклов
Однако концептуальные положения механики рассеянных
повреждений также могут быть положены в основу
построения критериев усталостного разрушения. Пусть материал
находится под действием переменного напряженного
состояния, характеризуемого, например, ступенчатым законом
изменения амплитуды напряжения Ас в зависимости от
соответствующих групп циклов нагружения An (рис. 3.4), причем
амплитуде Аа^ соответствует группа циклов Дпд., а полное
число циклов до разрушения при этой амплитуде равно N^,
170
где к = 1, 2,..., 5. В соответствии с принципом линейного
суммирования повреждений момент усталостного разрушения
при циклическом нагружении определится соотношением,
аналогичным по своей структуре соотношению C.5), а именно
где число s неявно характеризует время до разрушения ?в.
Если изменение амплитуды напряжений в зависимости от
числа циклов Аа(п) носит непрерывный и регулярный характер,
то сумма C.43) принимает форму интеграла Бейли
где NB — число циклов до разрушения; N{n) — число циклов
до разрушения при соответствующем значении амплитуды
напряжения Д<т(п).
Если число циклов нагружения п < iVB, то интеграл
Бейли C.44) преобразуется к виду
n
П(п) = I
где величина 0 < п < 1 характеризует уровень поврежден-
ности при циклических нагрузках. В соответствии с
соотношениями C.44) и C.45) условие разрушения будет определено
равенством
п = 1. C.46)
Из уравнения C.45) следует элементарное кинетическое
Уравнение поврежденности для циклических нагрузок:
f = W-Y <3
dn N(n)
171
Для описания процесса усталостного разрушения
В.В. Новожиловым предложен более общий вид кинетического
уравнения поврежденности C.47), учитывающего связь
параметра поврежденности П с направлением пластического
деформирования или разрушения:
^д=/(СьС2,...)> C.48)
гДе Сь С2> • • • — величины, влияющие на процесс разрушения
и зависящие от параметра А, характеризующего путь
процесса разрушения или пластического деформирования. Этим
параметром может быть число циклов п, параметр Одквис-
та / \l 2 de^y de^j ', характеризующий путь пластического де-
формирования, где de]j — приращения компонент
пластических деформаций, время t (например, в условиях ползучести)
и т.д.
Зависимости Ct(^) носят, вообще говоря,
дифференциальный характер, поэтому уравнение C.48) может быть
проинтегрировано, если задана история нагружения. Момент
разрушения определяется условием C.46), откуда следует
критическое значение параметра А = А*. Для случая
разрушения, инициируемого пластическими деформациями, уравнение
C.48) может быть записано в форме критерия усталостного
разрушения Новожилова:
Ар) - R Л _ ?Х
Здесь ef' — интенсивность пластических деформаций;
D = 2/zTg, где /2 — коэффициент внутреннего трения,
а тв — предельное значение деформации сдвига; п — объемная
поврежденность среды (степень "разрыхления"); а — среднее
нормальное растяжение; cry « ав — сопротивление среды
всестороннему растяжению; с — характеристика охрупчивания
172
материала при объемном напряженном состоянии
(постоянные D, (?f и с подлежат экспериментальному определению).
Для случая хрупкого разрушения в условиях ползучести
параметру А можно приписать значение времени, t. Если в
уравнении C.48) принять Ci = ormax/(l - Я), С2 = Сз = • • • = О,
то оно обращается в простое кинетическое уравнение повре-
жденности C.20). Если же ?i = <7max, a (д = ^> то из C.48)
следует уравнение C.26).
Теория усталостного разрушения при сложном нагруже-
нии. Эта теория предложена В.П. Тамужем и основана на следующих
предположениях и гипотезах:
1) реальная среда в евклидовом пространстве представляет собой
материальный континуум с определенными физическими свойствами;
2) при длительном периодическом нагружении внешние воздействия
вызывают в среде изменения (повреждения);
3) большие пластические деформации отсутствуют;
4) однородное напряженное состояние вызывает появление
однородного поля повреждений (магистральные трещины не рассматриваются);
5) поврежденность окрестности произвольной частицы
характеризуется скалярной функцией П*@, ip) на единичной сфере с центром в точке
расположения частицы.
Каждое значение функции П* будем трактовать как поврежденность
бесконечно малой окрестности точки на поверхности сферы площадью 5
в направлении z. Пусть разрушение начинается при достижении
инвариантами функции Пх на сфере критических напряжений. Тогда критерий
разрушения
г
П, dS = const C.49)
означает, что разрушение наступает в момент, когда плотность дефектов
(без учета их ориентации) достигает критического значения. В качестве
второго критерия можно принять условие
тахП, = const, C.50)
согласно которому разрушение наступает при критическом значении
плотности дефектов, ориентированных в одном направлении.
Мерой поврежденности среды в рассматриваемой точке будем
считать функцию П* на единичной сфере с центром в этой точке. Среда
Разрушается в этой точке, когда выполняются критерии C.49) или C.50).
Так как повреждения, вызванные напряжениями, характеризуются
функцией Пг, необходимо установить функциональную связь между тензором
173
напряжений (<т) и функцией П*. Требование того, чтобы функция П2 в
любом направлении z характеризовалась скаляром, накладывает
ограничение на вид комбинаций Sz((Tij) компонент тензора напряжений, от
которых зависит функция IIZ: во-первых, они должны быть
функциями не только аргументов ах, тг, но и сферических инвариантов тензора
напряжений /1@*), /2@*)) h(cr)] во-вторых, повреждения на плоскости с
нормалью z должны функционально зависеть от нормального az и
касательного тх напряжений, а также от основных инвариантов тензора
напряжений (а). При описании кинетики разрушения будем считать, что
скорость повреждения П2 есть функция сферических инвариантов
тензора напряжений в момент времени *, а также достигнутого уровня повре-
жденности, причем при обработке экспериментальных результатов эту
функцию принимают в виде
П, = П.[(а*1 +4Вт2х +СТ2 (
где А, В, С определяют по данным эксперимента, причем А = 0, если
<тг < 0; T2(D<t) — второй инвариант девиатора напряжений.
При простом нагружении и использовании критерия разрушения
C.50) уравнение предельной поверхности имеет вид
Бели при растяжении и сдвиге среда разрушается от действия
максимальных нормальных напряжений (отрыв), а при сжатии — от
действия максимальных касательных напряжений (сдвиг), то в этом случае
Л=2
а предельная поверхность в плоскости главных напряжений (рис. 3.5)
состоит из нескольких частей, характеризуемых уравнениями:
в зоне а —
А(т\ + С (<т\ + (т\
в зоне 0 —
В ((л - <г2J + С (<т\ + (т\ - (ткт2) = 1;
174
1
I
а
\
Рис. 3.5. Схемы разрушения (а) и контур предельной
поверхности сопротивления усталости (б)
в зоне 7 —
Границе зон а и /3 соответствует уравнение
3/(g+J-l/r2
Вопросы для самоконтроля
1. В чем основное различие между критериями
макроскопического разрушения первого и второго типов?
2. Дайте определение предела длительной прочности.
3. Каков смысл термина "кинетика разрушения"?
4. Назовите два основных этапа процесса деформирования и
разрушения твердого тела. Перечислите общие свойства,
характерные для второго этапа.
5. Сформулируйте понятия поврежденности и сплошности.
Какие скалярные величины характеризуют эти понятия?
6. В чем состоит физический смысл принципа линейного
суммирования повреждений? Какова его математическая
запись в случае ступенчатого (дискретного) характера
нагружения?
175
7. Дайте определение интеграла накопления повреждений
Бей ли и функции долговечности.
8. Получите элементарное кинетическое уравнение повреж-
денности на основе интеграла Бейли.
9. Сформулируйте и запишите в функциональном виде
обобщенное кинетическое уравнение поврежденности.
10. Какой принцип положен в основу построения флуктуаци-
онной кинетической теории прочности?
11. Запишите функцию долговечности Журкова и поясните
физический смысл входящих в нее компонент.
12. Докажите, что критерий Журкова является следствием
совмещения определяющего уравнения пластического
течения среды при ползучести и деформационного критерия
разрушения.
13. Поясните физический смысл флуктуационной
кинетической теории прочности и свойственные ей противоречия.
14. Каковы структура модели динамического разрушения
(NAG-модели), область ее возможного применения и
типичные недостатки?
15. Опишите основные феноменологические аспекты
построения кинетического уравнения поврежденности по Качанову
и определите функциональный вид этого уравнения.
16. Что представляет собой эффективное (приведенное)
напряжение в механике рассеянных повреждений?
17. В чем заключается особенность поведения
экспериментальной кривой зависимости длительной прочности от
действующего напряжения?
18. Выведите критерий длительной прочности Качанова и
покажите, что формально он эквивалентен критерию в форме
интеграла Бейли.
19. Какие механические процессы учитывает подход Работно-
ва к построению критерия длительной прочности?
20. Как связаны коэффициент поврежденности и его изменение
во времени с радиусом круглой трещины (поры)?
176
21. Какова функциональная запись кинетического уравнения
поврежденности по Работнову? Сформулируйте основные
допущения, позволяющие получить конкретный вид этого
уравнения в дифференциальной форме.
22. Запишите уравнение ползучести, включающее параметр
поврежденности материала.
23. Каковы особенности интегрирования системы уравнений
ползучести и поврежденности в случае хрупкого, вязкого и
смешанного характера разрушения?
24. Сформулируйте допущения, положенные в основу
построения критерия длительной прочности Москвитина.
25. Каков физический смысл функции влияния? Как она
связана с функцией истории нагружения?
26. Перечислите основные постулаты, на основе которых
возможно построение обобщенной теории длительной
прочности.
27. Сформулируйте и запишите принцип линейного
суммирования повреждений для процесса усталостного
разрушения.
28. Запишите общий вид критерия усталостного разрушения
на основе понятий механики рассеянных повреждений.
29. Как выглядит элементарное кинетическое уравнение
поврежденности для циклических нагрузок?
30. Сформулируйте принципы, положенные в основу
построения критерия усталостного разрушения Новожилова.
177
Глава 4
ЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
4.1. Концентрация напряжений
Основное требование, предъявляемое к конструкциям,
сводится к тому, чтобы при эксплуатации они не
разрушались или же разрушались в определенном месте и за
определенное время. При расчете конструкции с использованием
в качестве параметров материала предела текучести ат или
предела прочности ав предполагают применение материала с
повышенной прочностью при одноосном нагружении. Однако
опыт показал, что использование даже новых высокопрочных
материалов не исключает выхода из строя конструкции в
результате быстрого макрохрупкого разрушения. Хрупкое
разрушение твердого тела происходит при сравнительно малых
пластических деформациях, поэтому удельная работа,
совершаемая при пластическом течении материала, близка к нулю:
Ар
J c'dEij «0.
Такое разрушение характеризуется нестабильным
распространением трещины в конструкции. Другими словами, если
178
хрешина начала расти, то система напряжений способствует
ее ускоренному росту.
Существует ряд факторов, при воздействии которых
твердые деформируемые среды, например конструкционные
стали, показывающие высокие деформационные свойства при
обычном статическом нагружении, разрушаются хрупко.
Важнейшими из них являются:
— форма изделия (наличие надрезов, отверстий,
вырезов и других концентраторов напряжений), в зависимости от
которой материал может проявлять хрупкий или вязкий
характер разрушения;
— неравномерность механических свойств в объеме
материала, обусловленная технологическими особенностями
изготовления изделия (упрочненные участки и анизотропия
материала, возникшие в результате термической и механической
обработки, и т.д.);
— многоосное напряженное состояние;
— высокая скорость нагружения;
— воздействие низких температур;
— охрупчивание, вызванное структурными свойствами
(размер зерна, металлургические и технологические дефекты
микроструктуры, наличие твердых фаз) и химическим
составом материала;
— охрупчивание за счет облучения нейтронами или
тяжелыми частицами.
Хрупкое разрушение рассматривают с позиций
механизма накопления повреждений и распространения трещин в
результате преобразования накопленной упругой энергии
деформируемого тела. Процесс разрушения состоит из двух
последовательно протекающих стадий: зарождения и роста
трещины, которому способствует напряженное состояние тела.
Условие полного разрушения не тождественно условию
образования растущей трещины в одном структурном элементе
(зерне), оно включает условие распространения этой
зародившейся трещины на соседний элемент. Микротрещина
должна преодолеть границу структурного элемента материала, а
потому для начала разрушения необходимы гораздо большие
179
напряжения, чем для его распространения. Иначе говоря,
существует номинальное напряжение (барьер начала
разрушения), которое следует преодолеть, чтобы разрушение
началось. При статическом зарождении трещины этот барьер
явно выражен, при динамическом высокоскоростном нагруже-
нии — легко преодолим и не имеет явного выражения.
В главе 3 было показано, что при определенных условиях
для неоднородного поля напряжений нагруженного тела
функция поврежденности (коэффициент деструкции) и в некоторый
момент времени достигает критического значения о;*,
соответствующего образованию одной или нескольких
микротрещин (очагов разрушения), которые при определенных
условиях могут распространяться в среде. Напряжения в вершине
трещины в зависимости от пластических свойств среды могут
быть равны пределу текучести сгт, если среда пластичная, или
оцениваться величиной Каа, если среда хрупкая
(квазихрупкая). Здесь а — среднее напряжение, приложенное вдали от
трещины; Ка > 1 — эффективный коэффициент
концентрации напряжений.
Начало разрушения конструкций обусловлено высокими
локальными напряжениями и деформациями в местах
концентрации напряжений. Необходимые расчетные зависимости
для количественного описания
напряженно-деформированного состояния в окрестности различных разрезов получены для
статических и квазистатических задач линейной теории
упругости в случае малых деформаций (см. приложение 1).
Согласно анализу Инглиса (см. приложение 1), максимальные
напряжения в вершинах эллиптического выреза определены
формулой (П1.26):
*у = * 1 + 2J? , D.1)
где R — радиус кривизны в вершине главной оси
эллиптической трещины (рис. 4.1).
Если дефект имеет форму острой трещины, то R —> 0 и
1, тогда
^1 D.2)
180
рис. 4.1. Эпюры
напряжений при одноосном растя*
#сении пластины с
эллиптическим вырезом
inn
6
Приняв R = ао, где uq — межатомное расстояние, и ау =
= 0max> с учетом напряжения разрушения а^ A.8) получим
2ау/1 /uq = у/Е^/пЪ) откуда разрушающее напряжение
а = оу =
D.3)
В соответствии с D.2) максимальное напряжение в
вершине острой трещины <тта.х = &у = loyJljR и коэффициент
концентрации напряжений
D.4)
Радиус Д вблизи вершины трещины не может быть менее
порядка атомного размера 10~~10 м. Предположив, что
минимальный радиус имеет порядок размеров дислокаций 10~~8 м,
находим для острой микротрещины длиной 21 = 2-10" м
значение Ка = 63. Так как для стали теоретический предел
прочности при растяжении а^ « ?/5, то уже при а = 700 МПа
напряжение в вершине трещины длиной 21 = 2 • 10~~5 м
равно примерно теоретическому пределу прочности и разрушение
происходит путем отрыва одних слоев атомов от других при
Условии выполнения принятых допущений. Процесс идет до
полного разрушения, поскольку, согласно D.2), по мере
развития трещины для дальнейшего ее роста необходимо все
меньшее напряжение. Таким образом, концентрация напряжений
181
является источником хрупкого разрушения тела при его де,
формировании.
4.2. Напряженно-деформированное состояние
в вершине трещины
Наличие трещины в теле существенно изменяет его
напряженно-деформированное состояние и усложняет
математическое описание последнего. Именно математические
трудности ограничивают возможности решения задач о равновесии
идеально упругого тела с трещинами в основном плоскими
задачами (см. приложение 1). Трещины принято имитировать
идеальными бесконечно тонкими разрезами.
Основные геометрические модели трех типов задач
механики разрушения, соответствующие трем типам трещин,
приведены на рис. 4.2: I — растяжение плоскости с трещиной
(этому типу задач соответствует клиновая дислокация); II —
разрез в поле сдвига (этому типу задач соответствует краевая
дислокация); III — продольный сдвиг пространства с разрезом
— антиплоская деформация (этому типу задач соответствует
винтовая дислокация).
TunI
ТипП
ТипШ
а д 8
Рис. 4.2. Основные типы
.перемещений поверхности трещины:
а — нормальный отрыв; б — поперечный
сдвиг; в — продольный сдвиг
Подробное решение всех трех типов задач приведено в
приложении 1. Компоненты напряжений и деформаций
вблизи трещины типа I (рис. 4.2, а) определяются по формулам
182
Рис. 4.3. Компоненты напряжений
вблизи вершины трещины в декартовой и
полярной системах координат
(П1.34) и (П1.35) в соответствии со схемой, приведенной на
рис. 4.3. Для удобства дальнейшего изложения повторим
запись этих зависимостей в этом разделе. Для случая плоской
деформации:
0 Л . в . 30
cos — I 1 — sin т sin ¦—
. 30
К\ в . в Ъв
cos - sin - cos —:
2 2 2'
= v (ax + <Ту); axz = ayz = 0;
D-6)
Кл
ГГ в ( . о в
в
9
Здесь при у = 0, х > 0 <тх = &у = K\/\/2irr, axy = 0; при
2/ == 0, ж < 0 иу = KiB - 21/)у/г/2тг IG, их = 0.
183
нять оz
В случае плоского напряженного состояния нужно ри
= О, иг = —(и/Е) I ((тх+0у) dz и заменить в формулах
D.6) величину v величиной i//(l + и).
Для задач типа II (рис. 4.2, б) и типа III (рис. 4.2, б)
вычисление напряженно-деформированного состояния в
окрестности разрезов (трещин) проводится с помощью соотношений
(П1.36), (П1.37) и (П1.38), (П1.39) соответственно.
Обращение компонент тензора напряжений,
вычисляемых по приведенным формулам, в бесконечность на краю
разреза (трещины) при г = О является следствием линеаризации
и использования закона Гука, который в действительности
нарушается при высоких внутренних напряжениях в
материале. Поэтому асимптотические формулы не отвечают
действительности при г —> 0. Однако, как показывает опыт, при
достаточно малых г > 0 эти зависимости могут служить для
оценки параметров напряженно-деформированного состояния
в окрестности берегов трещины.
Трещина
и
Рис. 4.4. Упругое напряжение ау
вблизи вершины трещины
Обратимся к анализу коэффициента интенсивности
напряжений К\. Пусть для трещины типа 16 = 0. Тогда
нормальное напряжение ау в соответствии с D.6) стремится к
бесконечности при подходе к вершине трещины (рис. 4.4), а
перемещение иу стремится к нулю при г —> 0. Такое поведение
функций называют особенностью, а коэффициент К\ —
коэффициентом при особенности. Следовательно, напряжения
имеют во всех соотношениях D.6) особенность 1/\/г, а
перемещения имеют особенность у/т, т.е. коэффициенты К\, Кцу К\\\
184
еСть коэффициенты при особенностях. Преимущество
записи напряжений через единый параметр К заключается в том,
чхо зависимость от величины 1/у/27гг наблюдается во всех
системах приложенных напряжений. Единица измерения
параметра К [Н / м3'2] несколько необычна. Эта характеристика,
с одной стороны, не более чем удобное математическое
(формализованное) представление параметра G, имеющего ясный
физический смысл (см. раздел 4.3). С другой стороны,
коэффициент интенсивности напряжений К характеризует
интенсивность поля напряжений перед трещиной и учитывает
в единой удобной форме как геометрию трещины (в данном
случае длину и тип трещины), так и вклад приложенных к
телу с трещиной сил. Это связано с тем, что при любой длине
трещины и любом сочетании приложенных к телу сил
локальные напряжения пропорциональны величине 1/у/т. Величина
К играет в механике разрушения важную роль и
определяет трещиностойкость (вязкость разрушения) материала при
достижении критического значения интенсивности
напряжений К\с (плоское деформированное состояние) или Кс
(плоское напряженное состояние).
4.3. Классические условия хрупкого
разрушения и распространения
трещин
В основу простейшей модели разрушения могут быть
положены два альтернативных предположения: либо элемент
среды сплошной, либо он разрушен на части, прилегающие
к берегам трещины. Тело, обладающее такими свойствами,
называется идеально хрупким. Следовательно, модель
разрушения можно задавать независимо от реологической модели
сплошной среды и рассматривать идеально хрупкое тело со
всеми основными механическими свойствами — упругостью,
вязкостью, пластичностью и др. Критерии оценки
предельного состояния трещин основаны на модели идеально хрупкого
тела.
185
В механике разрушения трещину отличают от разреза;
трещину представляют в виде поверхности разрыва
смещений, размеры которой изменяются под действием
приложенных к телу внешних нагрузок. Тело, разрушение которого
происходит вследствие развития трещин, называют хрупким.
Из формулы D.4) следует, что концентрация напряжений в
устье дефекта пропорциональна квадратному корню из
отношения полудлины дефекта к радиусу его скругления в
вершине. В хрупком теле радиус кривизны острой трещины
измерить трудно, поэтому по формуле D.4) определить величину
0"max невозможно. Очевидно лишь одно утверждение: если
напряжение в вершине дефекта достигнет теоретического
предела прочности, произойдет хрупкое разрушение и длина
трещины увеличится. Местное разрушение в вершине трещины
может перейти в самопроизвольное при выполнении
определенного условия, сформулированного английским инженером
и ученым А. Гриффитсом в 1920 г.
Практически прочность кристаллических тел меньше
теоретической примерно на два порядка. В работах Гриффитса
впервые были выявлены возможные причины этого
несоответствия, которые явились основой современных методов оценки
трещиностойкости (вязкости разрушения) материалов.
Гриффите предположил, что макроскопически гомогенный образец
может содержать малые дефекты, способствующие
концентрации напряжений, достигающих в локальных областях
теоретической прочности.
В работе "Явление разрушения и течения твердого тела"
Гриффите из энергетических соображений вывел следующее
условие хрупкого разрушения для самопроизвольного
распространения одиночной трещины в линейно упругом теле:
разрушение произойдет, когда при бесконечно малом удлинении
трещины будет выделяться больше упругой энергии, чем это
требуется для удельной энергии образования новых
поверхностей (поверхностей трещины). Таким образом, поверхностная
энергия должна быть меньше освобождающейся упругой
энергии, что возможно при достижении трещиной критической
длины. Преимущество подхода Гриффитса состоит в том,
186
чТо искомое соотношение получается без детального
анализа процесса, из уравнения баланса энергии, составленного для
нагруженной пластины с трещиной, поэтому применимость
теории связана с существованием простого, независимого от
пути нагружения механизма разрушения и с отсутствием
барьеров для распространения трещины. Это означает
термодинамический характер теории Гриффитса, т.е. трещина будет
спонтанно (самопроизвольно) распространяться под
действием приложенной нагрузки только тогда, когда общая энергия
системы будет уменьшаться.
Пусть тонкая хрупкая
пластина (рис. 4.5) равномерно
растягивается в своей
плоскости в одном направлении у
напряжениями а (плоское
напряженное состояние). Толщина
пластины В <С а и В <С Ь.
Пластина содержит сквозную
трещину длиной 2/,
ориентированную перпендикулярно
нагрузке, причем а > / и b > /.
Область концентрации
напряжений вокруг трещины по
смыслу пропорциональна /2.
Упругая энергия деформации
определяется из закона Гука как
€ = сг/Е, а удельная (на единицу объема) упругая энергия
как ае/2 = а2/BЕ). Наличие в пластине трещины длиной
2/ уменьшает суммарную энергию пластины при увеличении
длины трещины. В частности, при прохождении трещины по
всей длине пластины трещина разгрузится и ее запасенная
(потенциальная) упругая энергия будет равна нулю.
Следовательно, величина изменения полной упругой энергии
пропорциональна произведению
Ue-Uec = AUe~l^-B, D.7)
ттттт
6
Рис. 4.5. Растяжение
тонкой пластины с
трещиной
187
где Ue и Uec — упругая (потенциальная) энергия пластины
соответственно без трещины и с трещиной. Коэффициент
пропорциональности, переводящий соотношение D.7) в
равенство, может быть получен лишь с помощью решения плоских
задач теории упругости (см. приложение 1).
При подсчете энергии возникает различие при плоском
напряженном (случай постоянных нагрузок) и плоском де.
формированном (случай постоянных деформаций) состояниях.
В первом случае рост трещины вызывает удлинение
образца (тонкой пластины) и дополнительная работа, совершаемая
при этом, покрывает прирост поверхностной энергии и
энергии деформирования. Во втором случае продвижение
трещины приводит к освобождению энергии упругого
деформирования и этим покрываются дополнительные затраты энергии на
образование новых поверхностей растущей трещины.
Гриффите исходил из решения задачи об эллиптическом
вырезе в упругой плоскости, равномерно растягиваемой на
бесконечности напряжением а (см. соотношения (П1.24) и
(П1.25)). Заменяя эллипс бесконечно тонким разрезом длиной
21 F —> О на рис. П1.2), можно определить работу, которую
произведут напряжения а на перемещениях иу при
раскрытии трещины, сопровождаемом перемещением ее берегов. С
учетом второго соотношения системы (П1.24) и принимая во
внимание, что при возникновении одной трещины образуются
два берега, перемещающихся в противоположных
направлениях, эту работу вычисляют с помощью определенного
интеграла:
A = 2B^aJuydxj =2B^-^aj2a l ~ X dxj =
-/ -/
2Ba2 1 Г /- т. ,9 . x}1 тг/V
Знак минус перед интегралом связан с тем, что при
возникновении трещины упругая энергия, запасенная в
пластине, уменьшается на величину работы, затраченной на
образование трещины, т.е. величина А D.8) по смыслу является
188
работой раскрытия трещины. Следовательно, AUe = А и
соотношение D.7) эквивалентно интегралу D.8) с точностью до
постоянного множителя тг. Тогда для плоского напряженного
состояния на основании теории упругости получаем выраже-
ние /2 2
Д^ = -^-В, D.9)
а для плоского деформированного состояния с учетом первого
соотношения системы (П1.24) —
AUe = -(l-u2)^-B. D.10)
Таким образом, образование трещины в тонкой пластине
(плоское напряженное состояние) вызывает выделение
упругой энергии ira2l2B/Ei Гриффите предположил, что эта
энергия идет на образование двух новых поверхностей — берегов
трещины. Для образования двух новых поверхностей
трещины площадью 25 = 41В необходима поверхностная энергия
2Us = 4lBj, где 7 — удельная поверхностная энергия. Чем
больше ,эта энергия, тем выше трещиностойкость
материала. Отметим, что термин "удельная поверхностная энергия"
применяется по традиции. На самом деле 7 есть
необратимая энергия на единицу площади, или удельная работа
образования поверхности разрушения, представляющая собой
произведение силы на перемещение в вершине растущей
трещины, так как трещины всегда необратимы (под
необратимостью понимается неспособность трещин к мгновенному
"залечиванию" после снятия нагрузки). Для обозначения 7
применяется еще целый ряд терминов: "удельная энергия
диссипации", "энергия разрушения", "эффективная поверхностная
энергия", а также для 27 — "скорость высвобождения упругой
энергии".
Итак, появление трещины изменяет энергию тонкой
пластины на величину
7г/2<72
U = 4lBj — Я. D.11)
189
Функция U имеет
максимум при критическом раз-
| мере трещины 2/с (рис. 4.6),
1 т.е. в этом случае пол-
^ z Z^T ная энеРгия пластины с тре-
\r~ ~ rfl щиной максимальна. Та-
^ ким образом, в пластине с
трещиной длиной 21 > 21С)
\ находящейся под действи-
v^^ ем напряжения а, рост
трещины является энергетиче-
0 Iq-Ic l ски выгодным (общая
энергия системы понижается).
Рис. 4.6. Графическая ин- Это означает, что критиче-
терпретация условия Гриф-
ским условием
распространения трещины является
равенство dU/dl = 0, с учетом которого из соотношения D.11)
следует критерий Гриффитса (для плоского напряженного
состояния):
В случае плоского деформированного состояния аналогичные
преобразования приводят к соотношению
Другими словами, трещина будет распространяться
перпендикулярно направлению растяжения, если при ее
распространении на величину dl вследствие изменения упругой
энергии, равного d(AUe)/dl = 2тг1а^В/Е (в соответствии с D.9))
или d(AUe)/dl = A - и2Jтг1а2В/Е (в соответствии с D.10)),
возникает поверхностная энергия, необходимая для
образования новой поверхности разрушения, равная dBUs)/dl =
= 4i?7> т.е.
190
2тг1а2В лп
4В или
откуда также следуют соотношения D.12) и D.13).
Выражения D.12) и D.13) по форме сходны с
соотношением D.3). Однако подход Гриффитса в корне отличен от
подхода, использованного при выводе соотношения D.3), так как
Гриффите рассматривал изменение энергии системы при
росте трещины и полностью игнорировал детали процесса
разрушения вблизи ее вершины. Тем не менее Гриффитсу
удалось получить столь фундаментальный результат, вообще не
рассматривая напряженное состояние материала в вершине
трещины и не привлекая представления о разрыве
межатомных связей.
Члены тг1а2/Е и 27, называемые иногда скоростью или
интенсивностью (освобождения) выделения упругой энергии,
по существующей терминологии обозначаются символом G.
Тогда
плоское напряженное состояние,
D.14)
Gl~ E - Е
плоское деформированное состояние.
Индекс " I" применяется для выделения случая плоской
Деформации и разрывающего типа нагрузки (см. рис. 4.2, а).
Под термином "скорость выделения упругой энергии" здесь
понимается изменение энергии с увеличением длины трещины
(а не скорость освобождения энергии во времени), поэтому во
избежание двоякого толкования понятия везде далее вместо
слова "скорость" употребляется слово "интенсивность".
Аналогично можно показать, что для задач типов II и III
интенсивность выделения упругой энергии связана с
коэффициентом интенсивности напряжений следующими
соотношениями:
191
Суммарная интенсивность выделения энергии при
распространении трещин смешанного типа является аддитивной
величиной:
Введем понятие сопротивления росту трещины R, под
которым понимается удельная энергия, расходуемая на
распространение трещины, т.е.
Д=^Г = 27. D.15)
Используя понятия интенсивности выделения энергии D.14) и
сопротивления росту трещины D.15), условие роста трещины
можно записать в виде
G = R. D.16)
Здесь величину G в соответствии с ее размерностью [Н / м]
можно назвать силой, необходимой для продвижения
трещины на единицу длины. Записав размерность величины G в
виде [Н • м/м2], можно также определить G как
энергетический параметр материала или как энергию, затрачиваемую
на образование двух единиц площади новой поверхности.
Соотношение D.12) представляет собой выражение для
разрушающей нагрузки в зависимости от начальной длины
трещины и является основным достижением теории Гриффит-
са. Согласно D.12), процесс происходит следующим образом
(см. рис. 4.6): с увеличением нагрузки а начальная длина
трещины не изменяется, пока а не достигнет предельного
значения сгс, соответствующего кривой D.12), после чего
начинается самопроизвольный процесс развития трещины. Трещины
большей длины B1 > 21С) при напряжении а = ас также
будут расти, причем из формулы Гриффитса D.12) следует, что
192
при увеличении длины трещины можно уменьшать
напряжете. Это фактически означает, что внешняя нагрузка уже не
лужна: для завершения процесса разрушения достаточно той
упругой энергии, которая была запасена в пластине к моменту
достижения трещиной критической длины.
Итак, состояние предельного равновесия характеризуется
тождеством
D.17)
при выполнении которого происходит лавинное разрушение.
Это является следствием большого запаса потенциальной
упругой энергии, интенсивность освобождения которой растет
вместе с увеличением длины трещины. Подобные
трещины называют равновесными. Критическая длина равновесной
трещины следует из тождества D.17):
21С =
4Е-у
7Г<7,
2 *
Трещины, длина которых возрастает вместе с
увеличением нагрузки, называются неравновесными.
6к
Рис. 4.7. Связь напряжений (<т) с
деформациями (А6/6) при наличии трещины в растягиваемой
пластине
Графическая интерпретация энергетического баланса,
соответствующего соотношениям D.12) и D.13), приведена на
Рис. 4.7. Образец без трещины деформируется до точки А
193
при напряжении а (случай постоянных нагрузок —
плоское напряженное состояние). Образование сквозной трещины
(см. рис. 4.5) приводит к удлинению образца до точки В при
а — const. Работа, совершаемая при образовании трещины
представлена площадью ABCD, а увеличение упругой
энергии — площадью ОВС - 0AD = 0CD = ABCD/2.
Следовательно, на покрытие поверхностной энергии также
затрачивается величина, равная площади ABCD/2.
При плоском деформированном состоянии (случай
постоянных деформаций) напряжение а после образования сквозной
трещины падает от точки D до точки Е. Приложенное
напряжение при постоянной деформации во время роста трещины
не совершает работу, что со временем может привести к
остановке движения трещины в результате падения напряжений.
Из анализа соотношений D.12) и D.13) также следует, что
при заданной длине трещины / = const предельное значение
разрушающего напряжения в случае плоского
деформированного состояния должно быть в A - V2) раз больше, чем в
случае плоского напряженного состояния.
Если в уравнение D.12) ввести обычное значение для
параметра 7 ~ Еа/30, где а — межатомное расстояние, и
рассчитать критическое напряжение для трещины, соизмеримой
с межатомным расстоянием B1 с = а), то получим величину
теоретической прочности при растяжении а^ « Е/Ь. Строго
говоря, приведенный расчет для микротрещины, размеры
которой имеют порядок межатомных, не правомерен, так как в
этом случае должен применяться квантовомеханический
подход. Тем не менее выполненная оценка дает вполне разумный
результат, что связано с универсальным и не противоречивым
характером интегрального баланса энергии.
Теория Гриффитса объяснила катастрофический
характер хрупкого разрушения, огромные ускорения при
движении трещин, невозможность остановить процесс роста
трещины, если он уже прошел критическую точку. Были
указаны те предельные размеры трещин, при которых материал
еще сохраняет несущую способность при заданном
напряжении. Собственные эксперименты Гриффитса со стеклянными
194
образцами (тонкостенными колбами), на которые он наносил
острые надрезы, имитирующие трещины, подтвердили
соотношение D.12), позволили доказать важную роль дефектов
в уменьшении прочности материалов и подтвердили
зависимость разрушающего напряжения от параметра Z/2. О
правильности теории Гриффитса свидетельствуют также
эксперименты с другими хрупкими материалами, которые
разрушаются фактически в упругой области. В силу особенностей
структуры этих материалов в них не происходит заметного
пластического течения, предшествующего разрушению.
Типичными примерами таких материалов являются:
— стекло, не содержащее плоскостей скольжения;
— цинк, разрушающийся сколом по базисной плоскости,
слюда и прочие слоистые силикаты, структуры которых
весьма анизотропны и легко разрушаются разделением плотно-
упакованных плоскостей вместо скольжения по другим
плоскостям;
— алмаз, вольфрам и хрупкие тугоплавкие металлы;
— материалы, обладающие высоким сопротивлением
решетки движению дислокаций.
В то же время практическая применимость теории
Гриффитса в ее первозданном виде ограничена рядом положений.
1. Критерий D.12) сформулирован для условий
"неподвижных захватов", когда внешние силы не перемещаются и
не производят работы на этих перемещениях.
2. Так как модель Гриффитса содержит только исходное
и конечное состояние системы и не учитывает детали
развития разрушения на длине d/, то критерий D.12) представляет
собой только необходимое условие разрушения, которое может
быть, а может и не быть достаточным. В общем случае
должно существовать дополнительное условие, например условие
Достижения критического напряжения, рассматриваемое как
энергетический барьер.
3. В энергетическом балансе не учтена величина
кинетической энергии, которую приобретают части образца,
движущиеся в противоположных направлениях по обоим берегам
195
образующейся трещины. В случае высокоскоростного дефор.
мирования материала составляющая кинетической энергии в
общем балансе может быть весьма существенной и оказывать
значительное влияние на процесс развития разрушения.
4. Противоречия возникают при попытках привлечь
теорию Гриффитса для объяснения прочности образцов из
пластичных материалов, содержащих трещины. Это актуальная
задача теории разрушения, так как указанные материалы
широко используются в инженерной практике. При анализе
пластичных материалов, разрушающихся после
предварительного пластического деформирования, возникает необходимость
учета части энергии, расходуемой на процесс пластического
деформирования вблизи вершины трещины. Невозможность
точного определения отдельных компонентов энергии
разрушения делает непригодным использование соотношения D.12)
для указанного процесса.
5. Критерий Гриффитса позволяет анализировать
поведение трещины только при выполнении автономности краевой
(прилегающей к берегам трещины) зоны для идеально
хрупких тел. Область действия сил сцепления в концевой зоне
(в вершине трещины) в большинстве практических случаев
мала по сравнению с размерами трещины, что позволяет в
таких случаях пользоваться моделью идеально хрупкого
тела, пренебрегая размером зоны ослабленных связей. Но и в
этом случае необходимо дополнительное обоснование
применимости критерия Гриффитса, чтобы избежать искаженных
результатов о поведении трещины.
6. Энергия поверхностного натяжения вводится в
уравнение D.11) как некоторая фундаментальная характеристика,
не относящаяся к упругому телу. В самом деле, величина 7
в данном случае есть энергия поверхностного слоя, свойства
которого в той или иной степени могут отличаться от свойств
остального материала. Поэтому, строго говоря, этот
поверхностный слой нужно как-то моделировать при решении
упругой задачи о деформировании пластины с бесконечно тонким
разрезом.
196
Тем не менее теория Гриффитса была широко
использована в механике разрушения и обеспечила развитие новых
методов оценки трещиностойкости материалов, так как в ней
была использована удачная концепция, позволившая
рассмотреть процесс разрушения с точки зрения изменения
энергии в областях, достаточно удаленных от вершины трещины.
Принцип Гриффитса, связывающий прирост трещины с
изменением энергии в удаленных от ее вершины областях,
прослеживается во всех методах определения трещиностойкости
материалов, хотя способы оценки энергии отличны от
построений Гриффитса.
В связи со многими из перечисленных ограничениями
соотношение Гриффитса не пригодно для практического
использования в форме D.12). Решение задачи о растяжении
упругой плоскости со щелью D.6) приводит к асимптотическому
выражению для напряжений оу ~ К/\/2тгг, где коэффициент
интенсивности напряжений в соответствии с D.14)
однозначно связан с приложенным напряжением и длиной трещины
соотношением
К = (тч/тг/. D.18)
Очевидно, что напряжения в окрестности вершины трещины
в упругом случае бесконечны при г —> О, однако их можно
характеризовать величиной К и считать, что трещина
начнет распространяться при К = Кс. Поэтому Ирвин
предложил записать критерий Гриффитса в следующем виде (случай
плоского напряженного состояния):
G = GC или К = Кс, D.19)
где параметр Ирвина Gc стал известен как "вязкость
разрушения" (трещиностойкость) материала, хотя в настоящее
время этот термин закреплен за критическим значением
коэффициента интенсивности напряжений Кс> определяемым из
соотношений D.14).
Действительно, приняв в критерии Гриффитса,
записанном в форме D.16), R = 27 и G = С К2, где величина
197
С = const и в соответствии с D.14) зависит только от упругих
постоянных, получим
К = к-± = КС = const. D.20)
V v>
При выполнении тождества D.20) трещина начнет
самопроизвольно распространяться, так как интенсивность
напряжений достигнет критического значения Кс. Величина ifc, с
одной стороны, характеризует способность материала
сопротивляться развитию трещины, а с другой — может входить в
условие разрушения D.20), устанавливающее значение К, при
котором наступает быстрый неконтролируемый рост
трещины. Постоянство Кс (или Gc) и, следовательно, его
использование как меры сопротивления материала разрушению
оказались зависящими от условий эксперимента, однако для
процессов "квазихрупкого разрушения", когда развитию
трещины предшествует малое пластическое течение, критическое
значение всегда может быть связано с напряжением
разрушения методами линейной упругости.
Критерий Ирвина D.19) заменяет энергетический
критерий Гриффитса силовым условием в вершине трещины. При
этом условие разрушения использует параметры напряженно-
деформированного состояния вблизи вершины трещины и
носит локальный характер. Отметим, что, несмотря на
внешне локальный характер критерия D.19), коэффициент
интенсивности К отражает влияние на состояние в вершине
трещины упругого поля всего тела. В статике критерии D.12)
и D.20) идентичны, так как в соответствии с соотношением
D.18) трещиностойкость можно выразить через критические
величины а с и 1С. Однако в динамике дело .обстоит не так
просто, поскольку при распространении трещины
освободившаяся энергия не только затрачивается на образование
пластической области в окрестности вершины трещины, но и
переходит в кинетическую энергию массы материала в окрестности
берегов трещины, а соотношение D.18) в приведенном виде не
учитывает "дополнительного потребителя" энергии.
198
Критерий Ирвина, широко используемый на практике,
более удобен для применения, хотя формально он эквивален-
тен условию Гриффитса.
4.4. Модели трещин с немалой
концевой зоной
Конфигурация вершины трещины связана со знаком
коэффициента интенсивности напряжений К. Рассмотрим
трещину типа I (см. рис. 4.2, а). Характер раскрытия трещины
для задачи типа I зависит от знака коэффициента
интенсивности напряжений (рис. 4.8). При Кj > О напряжения в вершине
трещины (в концевой зоне) в соответствии с D.6) бесконечны
при г —> 0, и тогда вершина трещины имеет гладкие
очертания (рис. 4.8, а). Случай К\ < О не имеет физического смысла
(рис. 4.8, б). Для #1 = 0 напряжения в вершине трещины
конечны, вследствие чего берега трещины, плавно смыкаясь в ее
й 5 в
Рис. 4.8. Конфигурация трещины в зависимости от
знака коэффициента интенсивности напряжений:
а — К\ > 0; б — К\ < 0; в — К\ = 0
вершине, образуют острие (рис. 4.8, в). Принципиальное
различие в очертании берегов трещины в ее вершине является
следствием применения методов линейной теории упругости
к исследованию напряженно-деформированного состояния
тела при наличии больших деформаций, что не соответствует
реальной картине напряженно-деформированного состояния в
вершине трещины. Указанное противоречие, отмеченное еще
Гриффитсом, привело к моделям, в которых берега трещины
под влиянием больших сил сцепления (порядка теоретической
прочности) должны смыкаться плавно (см. рис. 4.8, б). При
199
этом все известные модели неидеально хрупких тел основаны
на введении сил сцепления между берегами образующейся
трещины и различаются только предположениями относительно
этих сил, т.е. в этих моделях, в отличие от модели идеально
хрупкого тела Гриффитса, концевая зона не является
автономной.
Модель хрупкой трещины Леонова — Панасюка.
Эта модель основана на предположении, что в концевой зоне S
трещины ее берега притягиваются с постоянным
напряжением erg, если расстояние между ними не превышает некоторой
величины 6* (рис. 4.9). Если расстояние 6 > #*, то в
соответствии с моделью хрупкой трещины Леонова — Панасюка
взаимодействие между берегами трещины отсутствует.
МММ!
6
ШИК
Рис. 4.9. Модель хрупкой
трещины Леонова — Панасюка
Зону длиной S называют зоной ослабленных связей.
Следовательно, в окрестности каждой точки этой зоны
необходимо установить два параметра, характеризующих места
начала и конца разрушения. В соответствии с этим введены два
критерия разрушения:
— условие конечности напряжений в концевой зоне
трещины, т.е. К\ = 0, где К\ — коэффициент интенсивности
напряжений в вершине трещины;
— условие обращения в нуль сил сцепления в точке
перехода от зоны 5 ослабленных связей к зоне нарушенных связей
200
Величина <то считается равной пределу хрупкой
прочности, т.е. разрушающему напряжению, при отсутствии
пластических деформаций. Критическим условием распространения
хрешины служит равенство
где Ь* — критическое раскрытие трещины; Bиу) —
смещение берегов трещины в направлении оси у. Равенство D.21)
означает, что при некотором значении расхождения берегов
трещины ?*, являющемся характеристикой материала, силы
сцепления обращаются в нуль, что и приводит к условию
Bиу) = ?* в точке (х = I - 5) перехода от зоны ослабленных
связей к зоне нарушенных связей, где Bиу) — скачок
смещения между берегами трещины.
Длину концевой зоны определяют из условия компенсации
однородного поля напряжений а напряжением сто на отрезке 5,
т.е. К\ = Кца) + Кцао) = О- Заменив в D.5) <т(?) на а при
О < |?| < / - S и на а - ctq при / - S < |f | < /, получим
КЦа) + КЦа0) = J °ЦГ
v
-i+s
Вычислив интегралы, приходим к уравнению
- 2<70/arccos(l - у) = 0.
Так как К\ = ау/тП, то в соответствии с D.22)
D.22)
_ = 1_cos_
201
Используя уравнение (П1.24) для плоского напряженного
состояния совместно с соотношениями D.21) и D.23), находим
значение критического раскрытия в вершине трещины:
г 8/ сто ,
При относительно невысоких напряжениях а можно
воспользоваться первыми членами разложения функций In и sec
в соотношении D.24), что приводит к зависимости 6* -
= <72тг//(<70?) = К{/(*0Е), т.е.
ол/тг/ = у/Еаъб*. D.25)
Соотношение D.25) формально сводится к критерию
Ирвина D.19), так как в правой части равенства D.25) находятся
величины, постоянные для данного материала. В то же время
модель Леонова — Панасюка является более общей: размеры
трещины в рамках этой модели не ограничены, поэтому
можно рассматривать и микротрещины.
Отметим, что в модели Леонова — Панасюка удельная
работа разрушения отлична от удельной поверхностной
энергии 7? поэтому условие D.25) не эквивалентно критерию
Гриффитса D.12). Это объясняется тем, что часть
высвобождаемой упругой энергии расходуется на изменение
напряженно-деформированного состояния в зоне S ослабленных
связей, которая не является автономной.
С практической точки зрения следует обратить
внимание на то, что рассмотренная модель относится
исключительно к хрупким телам и не может учитывать пластических
деформаций, а использование в концевой зоне трещины трудно
определяемой и отсутствующей в технических справочниках
характеристики <7о является весьма условным.
Модель хрупкой трещины Баренблатта. Эта
модель, учитывающая силы сцепления в вершине трещины,
основана на следующих постулатах:
1) в малой зоне S (S < /) вблизи вершины трещины
действуют некоторые силы сцепления Р(х) (рис. 4.10);
202
¦ ним
Л 1
ш 1
S
¦ \\\
Рис. 4.10. Модель хрупкой
трещины Баренблатта
2) конфигурация вершины трещины в предельном
состоянии не зависит от заданных нагрузок и для данной среды в
определенных условиях всегда одна и та же;
3) берега трещины смыкаются плавно, следовательно,
напряжения в вершине трещины конечны.
Согласно третьему постулату, коэффициент
интенсивности напряжений в зоне S должен быть равен нулю:
= 0. D.26)
Силы сцепления в вершине трещины приводят к
изменению расцределения внешней нагрузки:
при 0<|?|</-5;
при /-S<|?|<
D.27)
Совместное рассмотрение соотношений D.5), D.26) и
D.27) приводит к уравнению
/-5
D-28)
203
Здесь первый интеграл равен у/к!К\, а второй после
подстановки I - f = 7] и упрощения / + f и 2/ принимает вид
где К — коэффициент сцепления.
Третий интеграл можно исключить, так как его порядок
малости больше, чем у двух первых интегралов. В результате
из D.28) находим
D.29)
к - *,,/§.
Модель Баренблатта содержит возможности детального
анализа напряженно-деформированного состояния вблизи
вершины трещины и может оказаться полезной при изучении
нестационарных процессов, однако наличие геометрической и
физической нелинейности в вершине трещины ограничивает
применение критерия D.29), полученного на основе
линеаризованных соотношений теории упругости. В этом смысле
предпочтение имеет критерий Ирвина D.19), так как он основан
на стабильной характеристике, а не на гипотезах о локальных
условиях в вершине трещины. Формально критерии
разрушения Баренблатта D.29) и Леонова— Панасюка D.25) с
точностью до обозначений совпадают с критерием Ирвина D.19),
поэтому с точки зрения постановки задачи о трещинах для
упругого тела эти модели подобны модели для идеально
хрупкого тела с критерием разрушения Ирвина.
4.5. Кинематика хрупких трещин отрыва
Хрупкое разрушение может развиваться с большой
скоростью при сравнительно малых затратах энергии. В отличие
от статических критериев предельного равновесия (см.
разделы 4.3 и 4.4) в динамике различные критерии приводят к
разным выводам, что связано со сложностью физических
процессов, происходящих в вершине быстро распространяющейся
204
трешины, а также с трудностями математического описания
процесса и его экспериментального изучения.
Рассмотренные задачи о нестабильности роста .хрупкой
трешины перед началом разрушения являются исходными для
решения задачи о поведении трещины после возникновения
нестабильности. При этом интенсивность выделения упругой
энергии (или, другими словами, энергии упругих деформаций)
С превышает сопротивление R росту трещины. Выделяемая
энергия (G — R) может перейти в кинетическую энергию
движения элементов среды по обоим берегам трещины. Скорость
распространения трещины будет связана с этой энергией,
значение которой определяется интегралом от разности (G — R)
на отрезке Д/ (рис. 4.11).
Рис. 4.11. Зависимость скорости
высвобождения упругой энергии и сопротивления
росту трещин от приращения длины
трещины (штрихпунктирная линия —
/2-кривая для материалов, свойства которых
зависят от скорости деформации)
Для решения задачи нахождения скорости движения
одиночной хрупкой трещины введем три упрощающих
предположения:
1) процесс распространения трещины происходит при
постоянном напряжении, что является ограничивающим
фактором и приводит к оценке верхней границы скорости
распространения трещины; в реальных условиях величина нагрузки
при росте трещины может уменьшаться с соответствующим
Уменьшением G и (G - Л), если R = const;
205
2) интенсивность выделения упругой энергии G не зави-
сит от скорости распространения трещины, т.е. решение
упругой задачи о статическом поле напряжений D.5), D.6)
применимо и в динамическом случае;
3) сопротивление росту трещины постоянно, т.е. R ^
= const.
Третье предположение исключает влияние скорости
деформаций. На практике скорость деформаций в вершине
трещины, распространяющейся с высокой скоростью,
достаточно велика. Это приводит к уменьшению деформаций, при
которых происходит разрушение, т.е. материал проявляет
возрастающую склонность к хрупкому разрушению.
Следовательно, материалы, свойства которых зависят от скорости
деформаций, должны иметь убывающую Д-кривую (штрих-
пунктирная линия на рис. 4.11).
Выполнение условий, при которых начинается
самопроизвольный рост трещины, приводит к тому, что выделяемая
упругая энергия превосходит энергию, потребляемую на
образование новых поверхностей трещины, а также расходуемую
на деформирование материала в случае постоянных нагрузок
(плоского напряженного состояния). Этот избыток может
переходить в кинетическую энергию частей, перемещающихся
при расширении хрупкой трещины, в результате чего
движение трещины ускоряется. Баланс энергии для данных условий
принимает вид, аналогичный энергетическому условию Гриф-
фитса, но с добавочным членом, учитывающим кинетическую
энергию расхождения берегов трещины:
_ dBUs) ,dW
dl " dl + dl' K }
где W — кинетическая энергия движущихся частей среды,
расположенной по обоим берегам трещины.
Значение W в энергетическом балансе D.30) удобнее
записать для малой зоны вблизи вершины трещины, движущейся
206
з с последней, поскольку процесс разрушения
локализуется в этой зоне. Частица (dx, dy) с координатами (ж, у)
относительно центра трещины в пластине единичной толщины
имеет кинетическую энергию
где р — плотность материала; и — перемещение.
Обозначим скорость распространения трещины vj =
- dl/dt и запишем выражение для суммарной кинетической
энергии в виде интеграла от произведения D.31):
оо оо 2
= \pvf J j {jTi)dxdy- D32)
—оо —оо
Анализ размерности соотношения D.32) позволяет
представить его в следующей форме:
W = kpvfl-), D.33)
где к = const. Действительно, величина перемещения и,
входящая в виде интегрируемой функции в уравнение D.32),
вблизи поверхности трещины имеет порядок crl/E, так как в
случае малых деформаций е = и/1, а в соответствии с
законом Гука е = а/Е. В соотношении D.33) размерность
2 Гкг-м2] Г кг 1
pvf —> —z—^ -+ г- . По смыслу размерность вели-
J LM •с J LM >с J
чины кинетической энергии пластины единичной толщины
ш Гкг-м2 1] Гкг-м]
W -¦ — . — —> \ —— . Для получения этой раз-
[ с2 mJ L с2 J
мерности интеграл D.32) должен быть кратным выражению
(я7/?J, которое имеет размерность [м2] и в совокупности с
размерностью сомножителя (pv?) дает размерность удельной
(на единицу толщины) кинетической энергии.
207
Получим другое выражение для кинетической энергии
используя функциональные зависимости, приведенные на
рис. 4.11, а именно
/
W = J(G-R)dl. D.34)
/с
Принимая R = const и G = wa2l/E (в соответствии со
статической задачей), получим выражение для кинетической
энергии:
/ТТЛ/
— d/. D.35)
/с
В самом начале возникновения нестабильности трещины
при а = ас справедливо условие R = G\c, а интегрирование
соотношения D.35) для двух вершин трещины приводит к
зависимости
.?. "*'-«¦»•¦ D.36)
hi
Приравняв два выражения D.33) и D.36), определим
скорость распространения трещины:
) D-37)
где Со = у/Е/р — скорость продольной упругой волны в
стержне.
Чтобы определить постоянную к в выражении D.37),
необходимо вычислить кинетическую энергию трещины с
мгновенной длиной 2/, вершины которой движутся со скоростью гу.
Если приближенно принять, что динамическое напряженное
состояние впереди движущихся вершин трещины
эквивалентно соответствующему напряженному состоянию в
статическом случае, то (без вывода)
ty = 0,38C0(l-y), D.38)
208
где значение у/27г/к = 0,38 было получено Робертсом и Уэлл-
сом Для материалов с коэффициентом Пуассона v = 0,25.
Уравнение D.38) можно выразить через скорость волны
сдвига Ct = y/G/p, если использовать связь между модулями
упругости первого и второго рода Е = 2G A + ^), приведенную
Б табл. П2.1:
vf = 0,
D.39)
Уравнение D.38), как и уравнение D.39), описывает
изменение скорости распространения хрупкой трещины от нуля
при I = 1с До *7(тах) = 0,38СЬ, когда / -» оо, а /с// -> 0
(рис. 4.12). Из уравнения D.39) при j/ = 0,25 следует значение
fl/Ymax) = 0,6С|. Соотношение D.34) можно проинтегрировать
также в том случае, когда R(l) ф const. Например,
аппроксимация R-кривой простой степенной функцией приводит к тому
же значению предельной скорости распространения трещины,
а именно 0,38Со-
OrJS
V
n
/
I
——
о
1 г з 4 s i/ic
Рис. 4.12. Увеличение скорости
распространения трещины при увеличении ее
размера
Зависимость D.38) получена для трещины, растущей
при напряжении а = <7С, определяемом формулой Гриффит-
с& D.12). Приведенный анализ можно обобщить на случай
Произвольной трещины, распространяющейся при
напряжении <Jf > ас. В этом случае напряжение ас является нижней
209
границей для напряжения aj и при о = aj в кинетическую
энергию переходит больше энергии, чем при а = ас.
Составление и анализ элементарного баланса энергии для этого слу.
чая при тех же допущениях, что и при выводе формулы D.38),
приводит к зависимости (вывод опущен)
Г //\211/2
гу = 0,38C0[l - (^yj J • D.40)
Таким образом, уравнения D.38) и D.40) охватывают
весь диапазон нагрузок, инициирующих распространение
хрупкой трещины, образуя систему
vf = v
/(max)
vf = v/(max) 1 - If) ПРИ <7С < <7 < 00,
/() = 0,38С0.
Можно физически обосновать тот факт, что скорость
распространения трещины не может превышать скорость
упругой продольной волны в рассматриваемой твердой среде. Это
связано с тем, что в области, расположенной впереди
трещины, информация о последней может появиться только через
некоторое время, определяемое скоростью волны и
расстоянием от вершины трещины до рассматриваемой области.
Следовательно, скорость, с которой может изменяться поле
напряжений, создающее возможность продвижения трещины,
ограничена скоростью упругой продольной волны Се. Но в то же
время для распространения трещины может быть необходима
некоторая комбинация растягивающих и сдвиговых
напряжений. В этом случае предельной скоростью распространения
трещины может являться скорость волны сдвига С\.
Экспериментальные исследования показали, что
измеренные предельные скорости распространения трещин для
обычных упругих материалов не превышают значение @,4 .. •
210
#.. 0,6) Ci, которое является весьма близким к полученному из
энергетического баланса значению 0,6 С% (табл. 4.1).
Таблица 4-1
Результаты измерения скорости распространения
трещин в различных материалах
Материал
Стекло
Сталь
Ацетат целлюлозы
Со, м/с
5200
5000
1100
v/, м/с
1500
100...1400
400
Vf/Co
0,29
0,20... 0,38
0,37
vf/Ct
0,46
0,32... 0,6
0,59
В настоящее время в соответствии с результатами
строгого теоретического анализа (Г.П. Черепанов) предельную
скорость самопроизвольного распространения трещин
нормального отрыва в динамическом случае принято
ограничивать скоростью поверхностных упругих волн (волн Рэлея) Сд,
значения которой связаны со скоростью волн сдвига (см.
раздел 7.3) и находятся в диапазоне 0,955 > Сц/Ct = Сд > 0,87
при изменении коэффициента Пуассона в пределах 0,5 > и > 0
(например, для v = 0,25 отношение ?д = Сц/Ct w 0,9).
Решение динамических задач о трещине связано с введением в
статические уравнения равновесия инерционных членов pd2ux/dt2 и
pd2uy/dt2. Учет сил инерции приводит к перераспределению напряжений
и деформаций в окрестности берега хрупкой трещины. Одним из
предельных случаев динамического решения является распространение трещины
в линейно-упругом теле с высокой скоростью, сравнимой со скоростью
звука, причем упругое поле стационарно в малой окрестности берега
трещины в движущейся системе координат, связанной с вершиной трещины.
В соответствии с этим решением можно вычислить поток энергии Ни
в произвольную точку контура идеально хрупкой трещины нормального
разрыва (Кц = Кц\ = 0) в направлении ее роста:
~ С2
С2A -
- 21/)
- С2A - 2«/)/B - 2и)] - A - С2/2J} '
где ( = Vf/Ct < Ся (в квазистатическом случае при V/
получается формула Гриффитса D.13)).
0 и С
211
Знаменатель правой части приведенного уравнения обращается в
нуль при С = Ся = Сд/Се. Поток энергии в вершину трещины Ни при
С —* Ся (v/ —* Cr) увеличивается, а при v/ = Cr обращается в
бесконечность. Если же С > Ся (v/ > Cr), то величина Пег меняет знак
т.е. распространение трещины с такой скоростью может быть
реализовано (в данной постановке и при заданных допущениях) лишь при
условии, что конец трещины излучает энергию. Поскольку это
противоречит реальному физическому процессу и второму началу термодинамики
то скорость волны Рэлея представляет собой границу скорости
самопроизвольного распространения трещины нормального разрыва. Заметим,
что в случае движения фронта нагрузки со скоростью, превышающей
предельную скорость самопроизвольного распространения трещины
нормального разрыва, возможно высокоскоростное образование зоны
локальных поврежденностей, которые в дальнейшем образуют микротрещины,
сливающиеся в магистральную трещину. В этом случае распространение
фронта трещин носит скачкообразный характер. Такие задачи
возникают, например, при высокоскоростном соударении твердых тел, нагруже-
нии продуктами детонации различных оболочек, лазерном возбуждении
трещины и не имеют аналитических решений, подобных решениям
статических и динамических задач линейной теории упругости.
Измеренные скорости распространения трещин в
различных твердых телах (см. табл. 4.1) в среднем не превышают
значение 0,5С/ « @,45.. .0,5) С#, т.е. vyvmax\ < Cr. Это
несоответствие может быть вызвано неполным удовлетворением
предположений, которые задаются при решении упругой
динамической задачи. Необходимо также отметить, что если в
самом начале развития трещины мимо нее проходит другая
развитая трещина, то последняя разгружает первую и
останавливает ее рост. Однако существует по крайней мере еще
одно привлекательное объяснение этого различия.
На снимках трещин, распространяющихся в хрупких
телах, часто обнаруживается разветвление трещин, причем
ветвление возникает при достижении некоторой предельной
скорости распространения трещины, что свидетельствует о
развитии динамической неустойчивости. Поверхности
хрупкого разрушения содержат ряд отчетливо различающихся
областей:
1) типичную зеркальную область вокруг места
зарождения трещины;
212
2) область параболических следов, указывающих на
место зарождения вторичных трещин, которые соединяются с
основной трещиной;
3) области ветвления трещины, т.е. некоторые участки
фронта одиночной трещины, где происходит спонтанное
образование двух трещин.
Ветвление трещины принято связывать с достижением
критической скорости распространения фронта трещины,
которая для трещин нормального отрыва в однородных
изотропных материалах ограничена значением ? = ?*, причем
С* < Ся- Это связано с тем, что при ? = ?+ происходит
ветвление трещины и вместо одного фронта трещины
появляются два или больше. Значение ?* определяют из анализа
напряжений (Jq(Q) вблизи вершины трещины, причем система
координат связана с вершиной трещины,
распространяющейся со скоростью ту. Исследование функции сгд(в) показывает,
что существует характерное значение С = С*: ПРИ С < С*
максимум ад достигается при в = 0; при ? > ?¦ существуют два
симметричных максимума при в = ±0*. Точка в = 0 в этом
случае является локальным минимумом. Точка ? = ?+,
соответствующая возникновению двух максимумов функции 0в(в),
является точкой нестабильности, следовательно, при
определенных условиях нагружения твердого тела и
распространения трещины возможно ветвление трещины, иногда
называемое бифуркацией. Угол в между ветвями трещины в этом
случае предсказывается довольно точно и должен быть порядка
20* = 15°. Очевидно, что с увеличением скорости vj
кинетическая энергия W увеличивается, но по мере приближения
Vf к своему предельному значению энергия W становится
почти постоянной. В то же время с развитием трещины
освобождаемая упругая энергия деформирования среды продолжает
увеличиваться, поэтому при W = const площадь поверхности
трещины в соответствии с уравнением D.30) будет
увеличиваться, что может привести к ее ветвлению (освобождаемой
энергии будет достаточно для распространения двух трещин).
Рассмотрим случай, когда R = const (рис. 4.13) и рост
трещины происходит при постоянном напряжении, т.е. G
линейно зависит от /. Согласно D.17), нестабильность трещины
213
Рис. 4.13. Схема ветвления трещины без
учета кинетической энергии
наступает при / = 1С (точка А). Если не учитывать
кинетическую энергию 1У, то трещина раздвоится в тот момент,
когда ее размер вдвое превышает начальный размер 1С (точка
В). В этот момент интенсивность выделения энергии вдвое
превышает сопротивление R росту трещины, что может
привести к ветвлению трещины, так как в соответствии с D.16)
освобождаемой упругой энергии G достаточно для роста двух
трещин. Если же G = ЗД, то одновременно могут расти три
трещины и т.д.
Ветвление оказывает влияние на скорость
распространения трещины по той причине, что в момент ветвления прирост
кинетической энергии резко замедляется и становится равным
сумме площадей Sj^qq и SbDF> но не площади Saqe.
Следовательно, ветвящаяся трещина должна двигаться медленнее,
чем одиночная, и уравнение D.38) справедливо только при
отсутствии ветвления, а учет кинетической энергии может
привести к ветвлению при скорости трещины, меньшей
минимальной. Ее значение можно оценить, подставив в уравнение
D.38) длину трещины в момент ветвления I = 1С + Д/ = 2/с
(см. рис. 4.13), что приводит к значению v/(min) = О,19Со.
Пусть ветвление возникает, когда Д/ = /с/2 и энергия,
необходимая для распространения ответвления, получается
путем преобразования кинетической энергии Wj^qj) (рис. 4.14).
214
Рис. 4.14. Схема ветвления трещины с
учетом кинетической энергии
Здесь и далее W^cD — энергия, которой соответствует
площадь треугольника ACD на рис. 4.14. При ветвлении
трещины энергия, необходимая для распространения обеих трещин
на расстояние Д/, равна 2R. Общее потребление энергии при
движении обеих ветвей от D к F численно равно площади
прямоугольника BEFH. Лишь часть этой энергии
получена за счет выделения энергии упругих деформаций (площадь
CEFG), а оставшаяся часть в момент ветвления имеется в
виде кинетической энергии W^qd (площадь ACD равна
площади BCF). В точке F приток энергии G для
преобразования ее в кинетическую энергию отсутствует, имеющаяся
кинетическая энергия Waqd полностью израсходована на
распространение ответвления трещины, а скорость
распространения трещины уменьшилась до нуля. Однако процесс
распространения трещин не прекращается, поскольку
интенсивность выделения упругой энергии G еще достаточна для
роста двух трещин. В связи с этим вновь возникает
неустойчивость, и процесс распространения системы двух трещин
возобновляется с увеличивающейся скоростью. Дальнейшее
ветвление осуществляется аналогично описанному процессу.
Минимальную скорость, при которой происходит ветвление,
можно, как и ранее, определить с помощью подстановки в
Уравнение D.38) значения I = 1С + А1 = 1С + /с/2, что приводит
к v
215
Рис. 4.15. Нераспространяющиеся ответвления
Очевидно, что в случае, когда образующееся ответвление
останавливается ввиду дефицита освобождающейся энергии,
скорость Vf(m[n) в момент такого ветвления может быть
гораздо меньшей. Пусть размер трещины в момент ветвления
Д/ < /с/2 (vftmin\ < ОДЗСо). При этом кинетическая энергия
Wacd также идет на образование и рост нового ответвления
(рис. 4.15), но полностью расходуется за короткий
промежуток времени (площадь ACD равна площади CBEF) и
скорость распространения обеих трещин уменьшается до нуля
на отрезке, определяемом абсциссами точек D и Н.
Освобождаемой упругой энергии в точке F не достаточно для
дальнейшего распространения обеих трещин, но достаточно для
роста одной из них. Следовательно, одна из ветвей
становится неустойчивой и продолжает расти, а другая прекращает
свой рост. Первое ответвление остается позади фронта
основной трещины, где напряжения уменьшаются, и дальнейший
рост этого ответвления маловероятен. Дальнейшие
построения аналогичны приведенному.
Итак, в соответствии с рассмотренной энергетической
моделью, ветвление может начинаться в диапазоне длин
трещины/с </< 2/с, однако стабильное распространение обеих
трещин происходит, если 1,5/с < / < 2/с. Хотя принято ветвление
трещины связывать с достижением критической скорости, но
измерения даже на таких хрупких материалах, как стекло,
показали, что ветвление происходит при скоростях Vf < Сд, т.е.
216
скорость трещины не обязательно является критическим
параметром. Оказалось, что для таких материалов, как стекло,
окись магния и другие полуддина трещины в момент
ветвления (/в) зависит от напряжения Oj, причем о$2 = const. Это
означает, что критерием ветвления трещины может являться
достижение критического значения коэффициента
интенсивности напряжений в ее вершине.
Другие расхождения между теорией и экспериментом
происходят вследствие влияния динамики процесса на
величины G и R (соотношение К2 = EG в динамическом случае
не выполняется), а также в результате изменения напряженно-
деформированного состояния в вершине трещины при ее
быстром распространении.
В кристаллических веществах с четко определенными
плоскостями скольжения ветвление трещин затруднено,
поэтому скорость их распространения достигает значения,
приближающегося к значению скорости волны напряжений Рэлея.
Например, если в стекле vj « 1580 м/с (vf/Cft « 0,5), то в
прокатанном поликристаллическом вольфраме vj « 2200 м/с
{vf/CR и 0,85).
Отметим также, что в ряде экспериментов на образцах
стали с остаточными напряжениями всегда образовывались
разветвляющиеся трещины, которые никогда не возникали в
таких же образцах без остаточных напряжений, т.е.
возможно, что наличие остаточных напряжений — важное условие
ветвления трещины.
4.6. Масштабный эффект статистической
и энергетической природы
Экспериментальные исследования показывают, что
характеристики прочности зависят от размеров образцов из
одного и того же материала. Чем больше образец (при
сохранении геометрического подобия), тем меньше его прочность. Это
явление называется масштабным эффектом при разрушении.
Вообще говоря, масштабные эффекты при пластическом
течении и при разрушении являются проявлением микропроцессов
на макроуровне.
217
Будем считать, что масштабный эффект при разрухи^
нии существует, если при сохранении геометрического по*
добия разрушаемой конструкции хотя бы один из безразмер-
ных параметров, характеризующих процесс, зависит от ее
характерного размера. Геометрическое подобие понимается
здесь как макроскопическое подобие. По определению, такие
размеры, как размер зерна, расстояние между включениями
или дефектами, и многие другие микропараметры в расчет не
принимаются.
Имеется несколько гипотез, объясняющих природу
масштабного эффекта. Наибольший интерес представляют
гипотезы о статистической природе масштабного эффекта и его
энергетической природе. Первая гипотеза [статистическая)
состоит в том, что при увеличении размеров тела
увеличивается вероятность нахождения в нем достаточно крупного
начального дефекта, который развивается в сквозную трещину
при меньших нагрузках, т.е. при увеличении размеров тела
(при сохранении геометрического подобия) оно разрушается
при меньших напряжениях. Здесь характерным
безразмерным параметром является отношение разрушающего
напряжения к какой-либо фиксированной величине, имеющей
размерность напряжения, например к пределу текучести
материала. Влияние упомянутой вероятности на процесс вязкого
разрушения незначительно, однако при хрупком разрушении
оно является весьма заметным, так как процесс неустойчивого
развития хрупкой трещины может быть инициирован любым
локализованным дефектом в виде микротрещины,
концентратора напряжений и т.д.
Вторая гипотеза [энергетическая) состоит в том, что при
разрушении тела энергия, расходуемая на разрушение
(например, потенциальная упругая энергия), черпается из всего
объема тела, а расходуется на поверхностях разрушения. Таким
образом, выделяемая энергия пропорциональна кубу
характерного размера, а затрачиваемая — площади поверхности
разрушения, т.е. квадрату характерного размера. Для
соблюдения баланса энергии необходимо, чтобы число поверхностей
218
разрушения (число сквозных трещин) росло пропорционально
характерному размеру.
Ни одна из гипотез о природе масштабного эффекта без
дополнительных предположений не объясняет
противоречивость имеющихся экспериментальных данных. Для описания
процесса разрушения важно сформулировать как необходи-
мое, так и достаточное условия разрушения. Достаточное
условие определяет критические параметры старта трещины.
Например, из соотношения D.17) при известной приложенной
нагрузке можно определить критический размер очага
разрушения. Однако после старта трещины ее движение может
прекратиться, тогда процесс разрушения не будет завершен
и конструкция сохранит свою целостность. На вопрос,
завершится ли процесс разрушения, отвечает необходимое условие,
имеющее, например, вид C.41), т.е. показывающее,
достаточно ли энергии запасено в конструкции для ее полного
разрушения.
Необходимое и достаточное условия разрушения не
обязательно выполняются одновременно. Например, если в
теле отсутствуют очаги разрушения критического размера (не
выполняется достаточное условие), а запасенной энергии
достаточно для сквозного разрушения конструкции (выполнено
необходимое условие), процесс разрушения не реализуется до
образования очагов, хотя угроза потери целостности
постоянно сохраняется. Если же выполняется достаточное условие,
но не выполняется необходимое, то трещина начнет
распространяться, но потери целостности не произойдет.
Из соотношения C.41) при g{t) = сг2/B?), V = L* и 5 =
= ?2, где L — характерный размер тела, необходимое условие
потери целостности запишется в виде
о\П = С, D.42)
где С — у/2Е~/. В сущности, соотношение D.42) с
точностью до постоянной аналогично формуле Гриффитса D.12) для
сквозной трещины, когда ее размер совпадает с характерным
Размером тела (/ = L).
219
Соотношение D.42) описывает масштабный эффект энер.
гетической природы, состоящий в том, что при увеличении
характерного размера тела для нарушения его целостности
необходимо прикладывать меньшее напряжение. Как
правило, имеет место корреляция между размером тела и
критическим размером дефекта (чем больше размер тела, тем больше
вероятность нахождения в нем большого дефекта), но не
прямая связь (можно принять специальные меры для того, чтобы
в массивном теле существовали только дефекты
минимального размера). Следовательно, если L — критический размер
дефекта, соотношение D.42) описывает масштабный эффект
статистической природы, когда для старта трещины
необходимо приложить тем меньшее напряжение, чем больше ее
критическая длина. Таким образом, статистическая и
энергетическая природа масштабного эффекта сходна, но масштабный
эффект статистической природы связан с достаточным
условием разрушения, а энергетической — с необходимым.
N
Рис. 4.16. Характерные области
механического состояния конструкции
(по А.Г. Иванову)
Анализ критерия D.42) позволяет выделить четыре
основные области, характеризующие состояние конструкции
(рис. 4.16). Запишем D.42) в виде
L = N, D.43)
где N = 2jE/a2. Пусть JVT = 2jE/a^ соответствует началу
пластического течения материала. Тогда при N > NTi L < N
220
зсе точки области безопасны для эксплуатации (область 1).
Область 2 (N > NT, L > N) характеризуется возможностью
хрупкого разрушения, если одновременно выполнено
достаточное условие при упругом деформировании материала. В
области 3 (N < NTj L > N) возможно вязкое разрушение при
пластическом деформировании материала, если выполняется
достаточное условие нелинейной механики разрушения, когда
размер пластической зоны в вершине трещины нельзя считать
малым по сравнению с размером самой трещины. В области 4
(N < NT, L < N) необходимое условие D.43) не
выполняется, т.е. потеря целостности (или наличие магистральных
трещин) невозможна, однако в условиях пластического
деформирования непременно происходят деструкционные процессы
(зарождение, рост и слияние пор).
Для процессов нагружения материалов с помощью
высокоскоростного удара и взрыва (импульсные процессы), как
правило, характерна область 3 при одновременном
выполнении необходимого и достаточного условий разрушения. Это
означает, что основная цель изучения таких процессов состоит
не в определении условий разрушения или сохранения
целостности материала, а в возможности моделирования процесса
во времени и в определении следующих параметров процесса:
типа разрушения (откол, сдвиг, отрыв); времени и
геометрических параметров разрушения (толщины откольного слоя,
геометрии образующихся фрагментов и т.д.); числа трещин,
их распределения по размерам и направлениям
распространения; числа образующихся фрагментов и их распределения по
массе. Однако ни одна из имеющихся в настоящее время
физических (и тем более эмпирических) моделей динамического
разрушения не является полной, т.е. не в состоянии ответить
одновременно на все поставленные вопросы.
Вопросы для самоконтроля
1. Что характеризует эффективный коэффициент
концентрации напряжений?
2. Запишите выражение для максимальных напряжений в
вершине эллиптического выреза.
221
3. Получите соотношение для эффективного коэффициента
концентрации напряжений в вершине острой трещины.
Поясните, в чем состоит трудность его практического
определения.
4. Назовите геометрические модели для трех типов задач
линейной механики разрушения.
5. Чем различаются зависимости, определяющие
компоненты напряжений и деформаций в окрестности трещины, для
случаев плоского напряженного и плоского
деформированного состояний?
6. Почему компоненты тензора напряжений, вычисляемые по
формулам, полученным в рамках модели линейной
механики разрушения, обращаются в бесконечность на краю
разреза (трещины)?
7. Почему коэффициент интенсивности напряжений
называется коэффициентом при особенности? Каковы значения
коэффициентов при особенности для напряжений и для
деформаций?
8. В чем преимущество записи напряжений в окрестности
трещины через единый параметр К (коэффициент
интенсивности напряжений)? Какова размерность этого
параметра?
9. Какой параметр и каким образом определяет трещиностой-
кость (вязкость разрушения) материала?
10. Поясните понятие "идеально хрупкое тело".
И. Какое тело принято называть хрупким в рамках линейной
механики разрушения?
12. Сформулируйте условие самопроизвольного
распространения одиночной хрупкой трещины в соответствии с моделью
Гриффитса.
13. В чем заключается термодинамический характер теории
Гриффитса?
14. Каковы основные допущения в постановке задачи
Гриффитса?
222
15. Приведите вывод зависимости для определения величины
изменения полной упругой энергии пластины при
появлении в ней сквозной трещины.
16. Какая поверхностная энергия требуется для образования
сквозной хрупкой трещины длиной 211
17. Поясните физический смысл понятия "удельная
поверхностная энергия". Какие еще термины применяются для
описания этой величины?
18. Запишите равенство, определяющее критическое условие
распространения одиночной хрупкой трещины.
19. Выведите соотношение Гриффитса для плоского
напряженного состояния.
20. Чем различаются записи критерия Гриффитса для
плоского напряженного и плоского деформированного состояний?
21. В чем принципиальное отличие подхода Гриффитса от
подхода Инглиса при анализе упругого тела,
содержащего разрез (трещину)?
22. Как обозначаются и как называются величины тг1а^/Е и
27 в линейной механике разрушения?
23. Поясните различие величин G и G\. Каков физический
смысл этих величин?
24. Какова аналитическая связь между скоростью выделения
упругой энергии G и коэффициентом интенсивности
напряжений К?
25. Запишите критерий Гриффитса с использованием понятия
"сопротивление росту трещины".
26. Дайте графическую интерпретацию критерию Гриффитса.
27. Как выглядит тождество, определяющее предельное
состояние равновесия для пластины, содержащей сквозную
трещину?
28. Какая трещина называется равновесной? Какова ее
критическая длина?
29. Какая трещина называется неравновесной?
30. В чем состоит основное достижение теории Гриффитса?
Для каких материалов она справедлива?
223
31. Каковы основные ограничения практической
применимости теории Гриффитса?
32. Сформулируйте и запишите критерий Ирвина. Поясните
практическую целесообразность данной модификации
критерия Гриффитса.
33. Какой параметр принято называть трещиностойкостью
(вязкостью разрушения) материала?
34. Почему запись критерия Ирвина в отличие от записи
критерия Гриффитса имеет локальный характер?
35. Как конфигурация вершины трещины связана со знаком
коэффициента интенсивности напряжений К?
36. Чем различаются понятия "идеально" и "неидеально"
хрупкого тела?
37. Сформулируйте основные допущения модели хрупкой
трещины Леонова — Панасюка. В чем преимущества и
недостатки данного подхода?
38. Какова структура соотношения Леонова—Панасюка при
относительно невысоких напряжениях?
39. Покажите, что соотношение Леонова— Панасюка с
точностью до обозначений совпадает с соотношением
Гриффитса?
40. Каковы основные постулаты модели хрупкой трещины Ба-
ренблатта? Каков вид критерия, полученного в рамках
данной модели, и почему он эквивалентен критерию
Ирвина?
41. Сформулируйте основные предположения при постановке
задачи определения скорости распространения одиночной
хрупкой трещины.
42. Запишите баланс энергии для пластины, содержащей
хрупкую трещину, с учетом кинетической энергии частей,
прилегающих к берегам распространяющейся трещины.
Получите соотношение для кинетической энергии.
43. Выполните вывод соотношения для скорости
распространения одиночной хрупкой трещины ty в случае приложения
критической нагрузки а = сгс.
224
44. Как выглядит зависимость, определяющая скорость
распространения одиночной хрупкой трещины, если
приложенная нагрузка а > ас1
45. Каковы физические предпосылки, ограничивающие
скорость распространения хрупкой трещины в случае
квазистатического и динамического процессов нагружения?
46. В каком диапазоне (относительно скорости продольной
упругой волны) заключены экспериментально измеренные
значения скорости распространения трещин при
квазистатическом нагружении?
47. Почему измеренные значения скорости распространения
трещин не достигают значения скорости упругой волны
Рэлея, которое является теоретическим пределом для
скорости движения хрупкой трещины?
48. Что такое бифуркация?
49. В чем заключается особенность поведения функции
напряжений <tq@) вблизи вершины распространяющейся
трещины в момент ее ветвления?
50. Выполните анализ процесса ветвления трещины без учета
кинетической энергии движения ее берегов и определите
минимальную скорость трещины в момент ее ветвления.
51. Опишите процесс ветвления трещины с учетом
кинетической энергии движения ее берегов и определите
минимальную скорость трещины в момент ее ветвления.
52. В чем причина остановки одного из фронтов ветвящейся
трещины?
53. В каких кристаллических веществах скорость
распространения трещин близка к скорости поверхностных упругих
волн?
54. Дайте определение масштабного эффекта при разрушении.
55. В чем физический смысл масштабного эффекта
статистической природы?
56. В чем физический смысл масштабного эффекта
энергетической природы?
225
57. Сформулируйте необходимое и достаточное условия раз,
рушения.
58. Как условия разрушения связаны с природой масштабного
эффекта?
59. Определите и проанализируйте четыре основные области
состояния конструкции в процессе ее деформирования и
разрушения.
60. Почему в случае импульсного характера нагружения
выполняются как необходимое, так и достаточное условия
разрушения?
Глава 5
МЕХАНИКА ВЯЗКОГО РАЗРУШЕНИЯ
И РАЗРУШЕНИЯ СКОЛОМ
5.1. Вязкое разрушение
Характерные особенности поверхностей хрупкого и
вязкого разрушения на микроуровне, описанные в разделе 1.6, во
многом подобны особенностям, наблюдаемым в
макромасштабе, т.е. невооруженным глазом. Например, такие
кардинально различные механизмы хрупкого и вязкого разрушения, как
скол и скольжение в кристаллических твердых телах,
образуют характерный рельеф независимо от того, с каким
увеличением рассматривать поверхность разрушения.
На рис. 5.1. приведена схема, иллюстрирующая три
основных типа разрушения в соответствии с механизмами
распространения трещин. Сектор А объединяет процессы
разрушения, сопровождаемые низким уровнем поглощения
энергии, т.е. процессы распространения трещин при малых
деформациях, когда каждая трещина автономна и при
распространении каждой образовавшейся трещины ее фронт
сохраняется в течение всего процесса разрушения. Такие трещины
обычно возникают на свободной поверхности или в ее
ближайшей окрестности в процессе скола, усталости,
коррозионного растрескивания под напряжением и распространяются
227
Рис. 5.1. Три основных типа
разрушения, различаемых по характеру
распространения трещин
внутрь материала. Модели хрупкого разрушения были
подробно рассмотрены в главе 4. Сектор В отображает
процессы, сопровождаемые чрезвычайно высоким уровнем
пластических деформаций и соответственно высоким уровнем
поглощения энергии. Несмотря на интенсивное пластическое течение,
здесь также можно выделить фронт разрушения,
движущийся внутрь от свободной поверхности. Сектор С объединяет
те механизмы роста трещин, основной особенностью
развития которых являются зарождение, рост и слияние
внутренних свободных поверхностей (микропор) в их вершине.
Микропоры в конечном итоге объединяются в макропоры, а
макроскопическое разрушение происходит тогда, когда
трещина скачкообразно распространяется от одной поры к другой.
Такие разрывы распределены в деформируемом теле
неравномерно, поэтому трещина может быстро проскочить некоторую
локальную область, а затем ее движение может прекратиться
до тех пор, пока не возрастут напряжения или не пройдет
некоторый период времени, связанный с механизмами длительной
прочности. Эти процессы (сектор С) обычно сопровождаются
средним уровнем поглощения энергии.
Анализ электронной фрактографии поверхностей
разрушения показывает, что в результате многих реальных
процессов разрушения образуются области разрушения, которые
228
либо содержат смежные участки, разрушенные по различным
механизмам, либо образованы совместным действием двух или
более механизмов. Факт существования смешанных
механизмов разрушения подчеркивают заштрихованные полосы на
рис. 5.1.
Рассмотрим особенности механизма вязкого разрушения
твердого тела, которое происходит при значительных
пластических деформациях, поэтому для распространения трещины
после ее зарождения необходимы затраты определенной
работы напряжений на пластических деформациях
Ар
J a%3d?ij
0
Вязкому разрушению уделяют меньше внимания, чем
хрупкому, что связано с меньшей его опасностью при
использовании конструкционных материалов, особенно
металлов. Напряжение вязкого разрушения превышает значение
макроскопического предела текучести материала,
используемого при расчетах на прочность, а скорость вязкого
разрушения значительно меньше скорости распространения хрупких
трещин. Вязкое разрушение — это обычный механизм
разрушения металлов с ГЦК-решеткой, а также металлов с ОЦК- и
ГПУ-решетками, деформирующихся при температурах,
существенно превышающих порог хладноломкости Тс. Идеальным
случаем вязкого разрушения является пластическое
деформирование, непрерывно сопровождающее процесс нагружения и
приводящее в итоге к разделению материала (см. рис. 1.2, а).
Однако это очевидно лишь в случае разрушения чистого
монокристалла, деформирование которого сопровождается
реализацией полного сужения (^=100%)в области шейки, но
не очевидно для процессов разрушения поликристаллов,
иногда протекающмх без большого сужения (см. рис. 1.2, б), хотя
при этом наблюдаются признаки вязкого разрушения.
Рассмотрим внешние проявления вязкого разрушения
металлов при испытаниях идентичных образцов на растяжение
229
V
л
w
12 3 4 5
Рис. 5.2. Возможные типы вязкого разрушения
(рис. 5.2). Монокристаллы металлов с ГПУ-решеткой
(например, цинк и бериллий) разрушаются по типу 1 скольжением в
плоскости базиса. По типу 2 с образованием шейки,
вырождающейся в линию, разделяются на две части монокристаллы
ряда металлов с ГЦК-решеткой (например, медь, серебро).
Другие металлы с такой же решеткой (например, сплав
меди с алюминием) разрушаются после интенсивного
скольжения по типу 3. Пластичные поликристаллические металлы
с ГЦК-решеткой могут полностью вырабатывать ресурс
пластичности, разделяясь после 100 %-ного сужения в шейке по
типу 4. Менее пластичные поликристаллы с ГЦК-решеткой
и поликристаллы с ОЦК-решеткой разрушаются по типу 5.
Последний тип разрушения, занимающий промежуточное
положение между хрупким разрушением и типами 1 — 4, на
практике является основным типом вязкого разрушения. При
разрушении по типу 5 происходит пластическое
деформирование и одновременно образуется трещина. Обычно под
термином "вязкое разрушение" на макроскопическом уровне
понимают именно этот тип разрушения.
Вязкое разрушение по типам 1 и 3 возникает при
относительно высокой температуре, когда число действующих
плоскостей скольжения мало, а вероятность их блокировки
невелика. При этом практически не образуются дислокационные
скопления, вызывающие концентрацию напряжений, и
скольжение легко выходит на поверхность образца, вследствие
чего происходит соскальзывание одной части кристалла
относительно другой.
230
Понижение температуры приводит к возрастанию
сопротивления движению дислокаций, скольжение уже не может
локализоваться в нескольких параллельных плоскостях, так как
одновременно начинают действовать другие системы
скольжения. В конечном итоге разрушение происходит по типам 2
и 4.
Начальной стадией разрушения по типу 5 является
образование трещины в районе шейки, которое происходит при
блокировке системы скольжения какими-либо препятствиями,
имеющимися в структуре поликристалла.
Итак, вязкое разрушение в наиболее чистой форме
представляет собой пластическое деформирование, приводящее к
разделению материала на части (разрыву), однако это не
очевидно для поликристаллов, разрушающихся, как правило, без
большого сужения (от 10 до 40 %).
Макроскопическое изучение внешнего вида поверхности
разрушения, происшедшего при температуре, превышающей
порог хладноломкости Гс, показывает, что для большинства
поликристаллических материалов преимущественным типом
разрушения при сдвиге является вязкое разрушение. При
этом внешний вид поверхности разрушения вязких
крупнозернистых материалов по своему характеру чаще бывает
более волокнистым, чем серый бархатистый внешний вид
поверхности, свойственный мелкозернистым вязким
материалам. Электронная фрактография поверхностей разрушения
показывает, что в обоих случаях на поверхности разрушения
имеются ямки (впадины), которые являются следствием роста
микропор вокруг частиц второй (хрупкой) фазы перед
движущейся вершиной трещины.
Действительно, промышленные металлы и сплавы могут
содержать три типа частиц второй фазы:
— малые частицы (до 5-Ю""8 м), например присадки,
необходимые для получения высокого предела текучести;
— частицы промежуточного размера E-Ю""8 ... 5-Ю" м),
служащие для увеличения твердости и предела текучести, а
также для задержки роста размеров зерен;
231
— большие частицы E • 10~ .. .5 • 10~~5 м и более),
которые в некоторых материалах могут служить для повышения
твердости и износоустойчивости.
Распространение трещин в таких металлах и сплавах
обычно сопровождается одновременным образованием и
ростом пор в окрестности включений и частиц второй фазы.
Несмотря на то что разрушение, инициированное
трещинами, сопряжено с малыми пластическими деформациями, т.е. с
инженерной точки зрения оно хрупкое, микромеханизм
разрушения является все-таки вязким. Феноменология такого
процесса учитывает различие свойств матрицы и твердых частиц
второй фазы, например цементита ГезС в сталях.
Несоответствие показателей упругости и пластичности матрицы
(основной фазы) и частиц второй фазы (или каких-либо включений)
приводит к разделению материала по границе между ними в
процессе деформирования. Вблизи включений и частиц
второй фазы возникают поры, развитие (вытягивание) которых
разделяет образец материала на ряд перетяжек, образующих
шейки (рис. 5.3). Эти перетяжки можно представить как
миниатюрные образцы для испытаний на разрыв, которые
деформируются либо путем образования шейки, либо просто
скольжением. Образующаяся поверхность разрушения
содержит небольшие "чашечки" (впадины, или ямки, травления),
появившиеся в результате разрастания маленьких смежных
пустот, происходящего до тех пор, пока материал между
ними не подвергнется пластическому течению и разрыву в
местах перетяжек. Интенсивность пластического
деформирования в результате слияния пор (микропустот) столь мала, что
не поддается измерению на макроуровне, но локально
пластическая деформация достигает уровня сотен и тысяч процентов
по удлинению растяжения перетяжек между растущими
порами.
Описанная идеальная модель вязкого разрушения в
некоторых случаях имеет более сложный механизм.
Например, разрушение может начинаться не с разделения по
границе между включением и матрицей, а с разрушения
самого включения вследствие скопления вокруг него дислокаций.
232
Рис. 5.3. Три основных наблюдаемых механизма слияния
пустот:
а — нормальный разрыв, слияние происходит вследствие
равномерного пластического деформирования в направлении приложенной
нагрузки; б — сдвиговой разрыв, слияние происходит вследствие
совместного пластического течения в направлении приложенной
нагрузки и сдвигового деформирования по плоскости максимального
напряжения сдвига; в — расклинивание, слияние происходит
вследствие неравномерного деформирования в направлении приложенной
нагрузки
Кроме того, в упрочненных монокристаллах некоторых
металлических сплавов вязкое разрушение может быть связано
с развитием полос скольжения: вследствие интенсивного
локализованного сдвига в этих полосах у подножия ступенек
сдвига возможно образование трещин вязкого разрушения,
распространяющихся затем через зону сдвига в результате слияния
пор перед их вершинами.
Итак, общая картина вязкого разрушения обычно
включает образование пор в некоторых микрообъемах с
последующим их ростом в продольном и поперечном направлениях
До полного слияния. Вообще говоря, поры разрастаются от
различных внутренних свободных поверхностей, либо
возникших в процессе литья, механической обработки или
термообработки, либо вызванных дефектами структуры,
появившимися в результате последующих нагрузок в процессе
эксплуатации изделия. Эти дефекты структуры возникают на
ослабленных границах между частицами выделений (частицами
233
второй фазы) и матрицей или между включениями и
матрицей, являясь одним из главных источников образования
внутренних свободных поверхностей при относительно низких на-
пряжениях. Аналогичное воздействие на структуру
деформируемого твердого тела могут оказывать интерметаллические
включения. При этом поры легче образуются вокруг крупных
включений, чем мелких. Внутренние поры сотнями и
тысячами возникают даже в небольших нагруженных образцах, а
их рост и слияние препятствуют интенсивному
пластическому макродеформированию и диссипации энергии
деформирования. В окрестности образующихся пор отсутствует
трехосное напряженное состояние, поэтому пластическое течение
возможно при относительно малых значениях приложенных
напряжений. Для возникновения пор необходимы большие
локальные пластические деформации, причем матрица должна
деформироваться более интенсивно, чем включения.
Последние должны быть некогерентны с матрицей, так как
когерентные частицы просто перерезаются линиями скольжения.
Процесс роста пор находится вне области
непосредственной применимости предельных условий пластического
течения и разрушения, подробно изложенных в главе 2, так как
этот рост приводит к существенному изменению геометрии
деформируемого объема. В то же время критерии прочности
и пластичности могут быть полезными для изучения
влияния пор на процессы деформирования и разрушения на любой
устойчивой стадии роста пор, ибо можно поры рассматривать
как заданную систему отверстий и определять предельные
нагрузки для материала, содержащего эту систему отверстий. В
соответствии с моделями механики рассеянных повреждений
малая объемная доля крупных включений не может заметно
повлиять на развитие процесса пластического
деформирования на начальной стадии и поэтому приводит лишь к
небольшому увеличению предельной нагрузки. На следующем этапе,
когда происходит рост и слияние пор, небольшое уменьшение
значения предельной нагрузки уравновешивается
упрочнением матрицы. И только тогда, когда поры занимают
достаточно большой относительный объем деформируемой области
234
материала, они будут вызывать существенное ослабление
материала. Именно поэтому разрушение материала в
центральной области шейки растягиваемого образца в большей степени
определяется неустойчивым слиянием растущих пор, нежели
локальным или общим скольжением. Экспериментальные
наблюдения показывают, что скольжение проявляется в области
внешней поверхности образца (тип 5 на рис. 5.2), где
свободное (нестесненное) деформирование достигает свободной
поверхности.
Построение типичных моделей роста и слияния пор
различной регулярной и нерегулярной конфигурации, как
правило, основано на описанной выше феноменологии процесса
вязкого разрушения и использовании уравнений
неразрывности, движения, физических соотношений, а также критериев
пластичности, являющихся следствиями известных
классических теорий прочности и пластичности. Рассмотрим (без
вывода) предельные условия слияния (коалесценции) пор
различной геометрии в случае двухосного напряженного состояния.
Модель слияния цилиндрических пор. Для
описания роста пор рассматривается среда, содержащая большое
количество цилиндрических пор, центры которых
расположены на расстоянии /о один от другого, и находящаяся в
пластическом состоянии. Пусть выполняется условие текучести
Мизеса (критерий удельной энергии формоизменения), а
влияние деформационного изотропного упрочнения учитывается
зависимостью сгг(е^). Продольные оси цилиндрических пор
с начальным радиусом г о параллельны оси г, а в плоскости
осей х и у реализуется плоское деформированное состояние
под действием напряжений а?° и <т?°, приложенных вдали от
области деформирования. Очевидно, что слияние пор
выполняется при условии 2rk = Jfc, где г д. и /д. — конечные значения
радиуса пор и расстояния между ними. Считая, что среда,
содержащая цилиндрические поры, находится в пластическом
состоянии, используя условие пластичности Мизеса и
ассоциированный закон пластического течения, из уравнений
равновесия и физических соотношений при ах/ау = const можно
235
получить зависимость для критической интенсивности дефор.
маций, вызывающей вязкое разрушение путем слияния пор:
A-яIп(О,5/о/го)
E.1)
Формула E.1) позволяет аналитически установить условия
при которых возможно разрушение среды при малых степенях
деформации:
— большие значения го и малые значения /о, т.е. большая
объемная доля пор;
— высокие напряжения <т?° и а?°;
— уменьшение показателя деформационного
упрочнения п.
Модель слияния квадратных пор. Эта модель
устанавливает условия слияния пор при плоском деформированном
состоянии жесткойластической матрицы, содержащей
равномерно распределенные квадратные поры. Растяжение
матрицы (рис. 5.4) приводит к вытягиванию пор в направлении
действующей нагрузки (ось ж) и их сближению в ортогональном
Рис. 5.4. Модель слияния квадратных пор и
последовательные стадии деформирования
направлении (ось у). При сближении пор между ними
образуются внутренние локальные шейки, после чего происходит
слияние пор. Использование условий равновесия и физических
соотношений позволяет получить общее условие слияния пор:
2т
т,
E.2)
236
где ((?х) — среднее растягивающее напряжение в направле-
нйи х, необходимое для начала текучести внутренней
перемычки между порами; Vn — объемная доля пор; р —
гидростатическое давление; ау — растягивающее напряжение,
действующее в направлении оси у; тт — предел текучести при
сдвиге. Элементарный анализ формулы E.2) показывает, что
слияния пор не произойдет, если р > 2тт + сту.
Модель учитывает влияние объемной доли пор на
пластичность как при одноосном растяжении, так и в поле
двухосного напряженного состояния. При этом изменение
размеров пор до их слияния определяется соотношением
где ех — однородная деформация в направлении оси х.
Модель вязкого разрушения при одноосном
растяжении. В рамках этой модели предлагается определять
разрушающее напряжение по уравнению Петча:
су = G0 + #/<П0'5, E.3)
где ао — напряжение внутреннего трения; Кf = const —
экспериментальный коэффициент; d —- диаметр зерна
поликристалла.
Напряжение трения <7о обусловлено удельным
сопротивлением решетки скольжению (сила Пайерлса — Набарро) и
упрочнением за счет частиц второй фазы, а также исходной
плотности дислокаций. Для металлов с ОЦК-решеткой
напряжение трения ао можно представить в виде суммы "холодной"
составляющей o"q , не зависящей от температуры, и "тепловой"
составляющей, зависящей от температуры Г,
<rJ = Aexp(-aT), E.4)
где А и а — постоянные. Если основным механизмом
релаксации напряжений является процесс двойникования, а не
скольжения, то значение ctq мало и его обычно принимают равным
нулю. Постоянная Kf определяется процессом размножения
237
подвижных дислокации в зернах, не подверженных пластиче-
скому течению.
Итак, рост вязкой трещины в пластичных материалах
может происходить одновременно вследствие разрыва
сплошного материала и образования пор перед движущейся верши,
ной трещины. Макропоры образуются при слиянии микро-
пор, а появление последних в поликристаллических
материалах обусловлено высокой концентрацией напряжений на
границах зерен или частиц второй фазы. Скорость
распространения вязкой трещины существенно меньше скорости
распространения хрупкой трещины в том же материале. Например,
при вязком разрушении стальных труб экспериментально
измеренная скорость распространения трещин составила
около 200 м/с, что в 5 — 7 раз ниже скорости распространения
в этом же материале хрупких трещин (см. табл. 4.1). Это
явление обусловлено высоким расходом энергии на работу
пластического формоизменения в вершине движущейся трещины,
в окрестности которой формируется заметная пластическая
область.
5.2. Пластичность тел с трещинами
Экспериментальные исследования показывают, что
процесс разрушения металлов на любой его стадии всегда
сопровождается пластическим деформированием и абсолютно
хрупкий отрыв невозможен. Различна лишь интенсивность
пластического течения. Предположение Н.Н. Давиденкова и
А.В. Степанова о том, что зарождение трещины в
кристаллических средах невозможно без участия пластического
деформирования, подтверждается многочисленными
экспериментальными данными. Распространение трещины в
пластических материалах начинается, когда порядок
пластической деформации в окрестности ее вершины достигает
десятков процентов. Вершина трещины, первоначально
заостренная, затупляется; берега трещины, которые вначале плавно
смыкались, расходятся на некоторое расстояние, а
дальнейшее разрушение наступает при некотором критическом
значении этого расстояния. В большинстве случаев пластическая
238
зона в области, прилегающей к берегам трещины, настолько
зелика, что для нее можно считать справедливыми соотноше-
ния макроскопической теории пластичности, принимая среду
сплошной и однородной.
В соответствии с критериями линейной механики
разрушения (см. раздел 4.3) увеличение длины трещины
происходит тогда, когда интенсивность выделения упругой энергии G
равна энергии, необходимой для роста трещины. В истинно
хрупких телах такой энергией является поверхностная
энергия Us = 27/, где 2*у = R — удельная энергия сопротивления
росту трещины.
Дж. Ирвин и Э. Орован заметили, что энергия,
необходимая для роста трещины в металле, намного превосходит
поверхностную энергию, требуемую для образования новых
свободных поверхностей. Этот факт был связан с расходом
энергии на образование пластической зоны при вершине
распространяющейся трещины. Если энергия пластического
формоизменения имеет одно и то же значение для одинаковых
приращений длины различных трещин, то сопротивление росту
трещины R = const, а следовательно, для выполнения
условия разрушения данного материала в определенных условиях
нагружения необходима одна и та же доля потребляемой
энергии G. Это критическое значение обозначают символом Gc в
случае плоского напряженного состояния и G\c в случае
плоского деформированного состояния. Если форма образца
фиксируемая, то потребляемая энергия Gc (или G\c) имеет самое
низкое значение при разрушении сколом, так как для
расщепления атомных плоскостей требуется малая энергия
формоизменения, но большое напряжение. При разрушении сдвигом
может происходить значительное пластическое течение, что
приводит к высокому значению энергии, потребляемой в
процессе разрушения (распространения трещины).
Подходы Ирвина и Орована к решению задачи
определения критерия разрушения при наличии в вершине трещины
зоны пластичности несколько различаются по форме. Орован
переписал уравнение Гриффитса D.12) следующим образом:
239
где 7р — энергия, затраченная на пластическое
деформирование материала, необходимое для начала нестабильного р0.
ста трещины. Данные экспериментов по развитию трещины
в образцах, испытывающих предварительное пластическое де.
формирование, показали, что (~fp + 2j) > 27, поэтому
а =
а значения 7р могут быть прямо определены по
напряжению разрушения образцов сгс, содержащих трещины известной
длины.
В подходе Ирвина также использована концепция Гриф-
фитса, видоизмененная с учетом того, что энергия
пластического формоизменения намного превосходит энергию,
необходимую для образования новых поверхностей. Формально
решение Ирвина аналогично решению Гриффитса:
где G — сила, необходимая для продвижения трещины на
единицу длины. По смыслу и своей размерности [Н • м/м2]
величина G также аналогична работе распространения трещины.
Если эта сила превысит критическое значение Gc в случае
плоского напряженного состояния или G\c в случае плоского
деформированного состояния, то трещина начнет
распространяться самопроизвольно. Следовательно, критерий
разрушения Ирвина — Орована будет иметь вид
G > Gc или G > GIc, E.5)
где
Gc = ~Б~ = Т
в случае плоского напряженного состояния и
240
в случае плоского деформированного состояния. Критерий
крушения E.5) формально эквивалентен критерию Ирвина
D.19) для хрупкого разрушения, однако величина
потребляемой энергии Gc в соотношении D.19) не включает в себя
затраты на работу пластического формоизменения и равна энергии,
необходимой для образования двух новых поверхностей
растущей трещины.
Введенные Ирвином обозначения Gc и G\c для работы
пластического деформирования, связанной с
самопроизвольным ростом трещины, используются в качестве меры трещи-
ностойкости и определяются критическим значением
комплекса /сг2. Их нельзя вычислить на основе общих теоретических
представлений — можно только определить экспериментально
на образцах с предварительно созданной трещиной.
Математической интерпретацией величины G является
коэффициент интенсивности напряжений К = y/GE = ay/id.
Нетрудно запомнить, что если коэффициент К
пропорционален напряжению, а величины (К/Е) или A - и2) (К/Е)
пропорциональны деформации, то величина высвобождаемой, а
затем потребляемой энергии пропорциональна произведению
напряжения на деформацию, т.е. К (К/Е) или К (I - v2) x
х(К/Е).
Итак, Ирвин и Орован распространили теорию Гриф-
фитса, применимую только к абсолютно хрупким
материалам, на случай хрупкого разрушения материалов,
обладающих свойством пластичности, заменив в формуле Гриффитса
поверхностную энергию работой пластического
формоизменения. Критерий Ирвина—Орована E.5) для случая
плоского деформированного состояния графически представлен на
рис. 5.5. При заданном напряжении Oj интенсивность
выделения энергии пропорциональна размеру трещины I (линия О Л),
а при напряжении сг* < Sj изменение выделяемой энергии
графически представлено линией ОС Если трещина имеет
размер /J5 то интенсивность выделения энергии при напряжении
ак представлена точкой В. При увеличении напряжения от а^
До gj величина G увеличивается (Gj± > Gq) и в точке А может
произойти увеличение размера трещины, так как выполняется
241
I
Рис. 5.5. Графическое представление
энергетического критерия Ирвина — Орована
условие G = R. Для более длинной трещины размером /д. эта
ситуация возникает при меньшем напряжении сгд. (точка С).
Зона пластичности в вершине трещины не может быть
сколь угодно малой, ее наименьший размер равен размеру
одного зерна. Эта зона имеет также различные размеры в случае
как плоского напряженного, так и плоского деформированного
состояния и в общем случае является пространственной.
Из решения упругих задач о распределении напряжений
в вершине трещины (см. приложение 1) следует, что
напряжения являются сингулярными функциями и в вершине
трещины теоретически могут обращаться в бесконечность.
Реальные среды, обладающие пластическими свойствами,
имеют предел текучести — напряжение, выше которого среда
пластически деформируется. Следовательно, в окрестности
вершины трещины всегда существует область, в которой
возникают пластические деформации, ограничивающие рост
напряжений. Ее называют зоной пластичности вблизи вершины
трещины. Грубую оценку зоны пластичности можно дать как
для плоского напряженного, так и для плоского
деформированного состояния, если определить расстояние г* на котором
растягивающее напряжение сгу превышает предел текучести
ат (рис. 5.6).
Например, для плоского напряженного состояния в
соответствии с зависимостью для напряжения ау D.6) при 0 = 0
242
Рис. 5.6. Зона пластичности
вблизи вершины трещины
Рис. 5.7. Размер зоны
пластичности по Ирвину
и г = г * получим ау = K\l yjbrr^ = GТ, откуда следует
выражение для оценки размера зоны пластичности:
&
Более строгий подход к анализу зоны пластичности
вблизи вершины трещины, предложенный Ирвином для случая
плоского напряженного состояния, показывает, что размер
этой зоны в действительности больше размера, определяемого
соотношением E.6). Введем понятие эффективной длины
трещины /э = / + А', где / — действительная длина трещины; Д/
— поправка на пластичность (рис. 5.7). Необходимость
подобного построения связана с тем, что зона протяженностью Д/ с
действующим напряжением ат должна компенсировать часть
нагрузки, которая не учтена в общем балансе энергии при
исключении зоны А из графика упругого распределения. Для
сохранения баланса должно выполняться условие равенства
площадей, занимаемых зонами А и 5, т.е. 5д = Sq. Так как
вершина эффективной трещины имеет координату /э = / + Д/,
а К\ = оу/Ч\, то в зоне А вдоль оси х выполняется равенство
о У = <тт =
= а
243
откуда
<J2A
а =
Поскольку Д/ <^С /, из сравнения E.6) и E.7) следует, что
a w г*. Площадь ?# = 0тД'> поэтому условие 5д = «?в
приводит к уравнению
E.8)
Интегрируя уравнение E.8) и учитывая, что Д/ < /
а « г* получаем
сгтА/ + атг* = <rJ2lr*
или с учетом E.6)
откуда Д/ = г* а гр = а + Д/ = 2г* т.е. размер зоны
пластичности вдвое превышает первоначальную оценку E.6) и
составляет
Величина гр называется поправкой Ирвина на
пластичность. Полагая, что зона пластичности имеет форму круга,
трещину с зоной пластического течения в ее вершине можно
представить в виде схемы (рис. 5.8). Здесь для
корректировки напряжения, учитывающей зону пластичности, необходимо
применять формулу а = K\Jir{l + ri). Аналогичную
зависимость для плоского деформированного состояния при в = О
можно получить только из общего решения (см. соотношение
244
6,
рис. 5.8. Зона пластичности,
построенная с учетом
поправки Ирвина на пластичность
(?, — критическое раскрытие
трещины)
¦ М
Рис. 5.9. Модель упругопла-
стической трещины Дагдей-
ла
E.17)), так как в этом случае необходимо учитывать
напряжение аж ф 0. Тогда решение запишется в форме
rn = 11 -
КСГ*
irai
E.10)
Структура зависимостей E.9) и E.10) для определения
размера зоны пластичности свидетельствует о прямой
зависимости гр от работы G, затрачиваемой на продвижение
трещины.
Более корректное соотношение между приложенным
напряжением, длиной трещины и размером зоны пластичности
было получено Дагдейлом на основе модели упругопласти-
ческой трещины, которая формально эквивалентна моделям
хрупких трещин Леонова — Панасюка и Баренблатта, хотя ее
механическое содержание иное. Рассматривается трещина
эффективной длиной /э> часть которой (зона 5) находится под
действием напряжений, равных пределу текучести (рис. 5.9).
Эти напряжения стремятся закрыть вершину трещины при ее
распространении внутрь зоны пластичности 5. Размер этой
зоны должен быть выбран так, чтобы выполнилось условие
Ка = 0. Последнее требование приводит к необходимости
компенсации напряжения, возникающего под действием
однородного поля напряжений сг, напряжением с коэффициентом
245
интенсивности К$> т.е. Ка = —К§- Методика решения
аналогичных задач была рассмотрена в разделе 4.4.
В формуле D.5) функцию сг(?) следует заменить на а при
О < |?| < I и на о - ат при I < |f | < /э. В результате получим
уравнение
h I -/ I
/ l* + tjc f l> +
интегрирование которого приводит к соотношению
K\\fid - 2ат1э arccos( 1 - ~) = О,
E.11)
определяющему длину зоны пластичности 5. Так как для
пластины с трещиной (см. рис. 5.9) К\ = <ту/тг1э, то из E.11)
следует зависимость
5
1э
5 л тгсг
—- = 1 - cos
2<тт
E.12)
Пренебрегая в разложении cos в ряд по степеням
аргумента членами высших порядков малости, можно записать
уравнение E.12) в виде
7ГV/ _ 7Г К\
| - 8 а% '
E.13)
который практически идентичен зависимости E.9). Однако
для больших значений относительного растягивающего
напряжения а/ат вместо уравнения E.13) следует использовать
соотношение E.12), так как в этом случае отличие размера
зоны 5 от размера зоны пластичности по Ирвину гр становится
более существенным.
246
Отметим также, что при а -+ ат в соответствии с E.12)
значение S/(/ + 5) —> 0, т.е. (/ + 5) —> оо, и пластическое
течение распространяется по всей пластине.
Существуют также другие соотношения, определяющие
степень коррекции зоны пластичности, однако применение
корректирующих членов не всегда приводит к
удовлетворительным результатам, так как выражение для коэффициента
интенсивности напряжений К, основанное на упругом
решении, имеет весьма приближенный характер в случае
пластического течения. Необходимость в коррекции напряжений
отпадает, если зона пластичности достаточно мала по сравнению
с размерами трещины.
Выполненные выше оценки размера зоны пластичности
были основаны на предположении о том, что ее граница имеет
форму окружности, радиус которой определяется с помощью
частного решения задачи о распределении напряжений вдоль
оси трещины (оси я), т.е. при в = 0. Более точные оценки
могут быть получены при совместном рассмотрении условия
пластичности и общего решения D.6) при в ф 0.
В пространстве главных напряжений условие
пластичности Мизеса имеет вид B.15), а главные напряжения в
произвольной точке пластины определены уравнениями
стх
Подстановка компонент напряжений D.6) в E.14) приводит к
выражениям
<7i = -== COS -
' О ДЛЯ ПЛОСКОГО
напряженного состояния;
2vKi в
: COS - ДЛЯ ПЛОСКОГО
деформированного состояния.
E.15)
247
Уравнения, описывающие конфигурацию зоны пластичности
получаются в результате подстановки E.15) в B.15):
для плоского напряженного состояния —
\
в) ;
для плоского деформированного состояния —
9
EЛ6)
$.17)
Формы зоны
пластичности в плоскости (я, у),
соответствующие
уравнениям E.16) и E.17),
приведены в безразмерном виде на
рис. 5.10. При 0 = 0
уравнения E.16) и E.17)
приводятся к частным решениям
E.9) и E.10)
соответственно. В этом случае для
коэффициента Пуассона v = 1/3
линейный размер зоны
пластичности в случае
плоского деформированного
состояния гр@) в 9 раз меньше
аналогичного размера для
плоского напряженного
состояния. Форма зоны
пластичности вблизи вершины
трещины типа I в
трехмерном пространстве
изображена на рис. 5.11.
Конфигурации зон пластичности для трещин типов II
(рис. 5.12) и III (рис. 5.13) при условии пластичности Мизе-
са получены с помощью решений, аналогичных приведенному
Рис. 5.10. Форма зоны
пластичности для
трещины типа I при условии
пластичности Мизеса:
1 — плоское
деформированное состояние; 2 — плоское
напряженное состояние
248
Рис. 5.11. Зона пластичности вблизи
вершины трещины
Рис. 5.12. Форма зоны
пластичности для трещины типа II:
1 — плоское напряженное состояние;
2 — плоское деформированное
состояние
Рис. 5.13. Форма зоны
пластичности для
трещины типа III
для трещины типа I. Экспериментальные измерения
показывают, что ни одно из теоретических построений не
описывает форму зоны пластичности достаточно удовлетворительно
вблизи вершины трещины, хотя удаленные точки границы
зоны пластичности (гр/1 > 0,2) вполне удовлетворительно
отображают реальную картину. Погрешность анализа
обусловлена тем, что при ограничении напряжения величиной предела
текучести не учитывается дополнительное нагружение среды
вдоль предполагаемой границы раздела упругой и
пластической областей.
249
Пластическая деформация слоя, прилегающего к
поверхности распространяющейся трещины, тесно связана со
скоростью ее движения, так как ускорение трещины
сопровождается резким уменьшением работы пластического
деформирования. Данную тенденцию можно описать с помощью
пропорциональности типа
где гр — толщина пластически деформированного слоя;
г — расстояние от вершины трещины до рассматриваемой
точки; Ct — скорость распространения волны сдвига.
Для статической трещины Vf = О и толщина
пластического слоя гр —> оо. Если же Vf -> С*, то гр -» О и
пластическая деформация в окрестности трещины практически
отсутствует, т.е. хрупкое разрушение наступает только при
достаточно высокой скорости распространения трещины. В
хрупком разрушении пластических сред определяющую роль
играет зависимость <7Т(?)> которая указывает на увеличение
предела текучести с увеличением скорости деформации. Это
означает, что разрушение остается вязким, пока не будет
достигнута критическая скорость распространения трещины, а
также ее критическая длина 2/с, при которых предел
текучести станет равным разрушающему напряжению в условиях
хрупкого разрушения. Выполнение данных условий приводит
к переходу от вязкого разрушения к хрупкому, дальнейшее
разрушение происходит с большой скоростью и носит
неконтролируемый характер.
5.3. Разрушение сколом
Разрушение сколом есть особая форма хрупкого
разрушения, реализуемого в кристаллических средах и
проходящего по некоторым плоскостям, именуемым плоскостями
скола. Такое разрушение характерно для хрупких
кристаллических сред. Полухрупкие среды, к которым относятся металлы
250
с ОЦК-решеткой и некоторые металлы с ГЦК-решеткой,
разрушаются сколом при низких температурах (ниже
температуры хладноломкости Тс), хотя в обычных условиях эти
металлы разрушаются в основном по вязкому механизму. В то
же время надрезанные образцы металлов могут разрушаться
сколом и при обычной температуре, близкой к комнатной.
Основная характерная особенность скола — это связь
ориентации трещины и кристаллической структуры, через
которую она проходит. В технически чистом железе, например,
скол происходит при температуре ниже 150 °С вдоль
плоскостей {001}, а иногда вдоль границ между матрицей и
механическими двойниками {112}. Взаимосвязь ориентации
приводит к характерным особенностям, наблюдаемым на
поверхностях разрушения сколом. Во-первых, это наличие плоских
граней, видимых как сильно отражающие участки в
оптическом микроскопе или как области постоянной плотности на
фрактограммах. Во-вторых, это наличие ступенек скола (см.
рис. 1.29), образующихся при переходе трещины из зерна
одной ориентации в зерно, имеющее другую ориентацию.
Процессы зарождения и распространения скола имеют
существенные различия. Вполне возможно, что зарождение
трещины скола не приведет к разрушению материала, так
как приложенное напряжение может оказаться недостаточным
для ее распространения, т.е. распространение трещины
скола в ряде случаев более затруднительно, чем ее образование.
Это особенно вероятно, если рост трещины сопровождается
движением дислокаций в поле напряжений вблизи вершины
трещины: эффективная поверхностная энергия,
определяющая сопротивление росту трещины, возрастает и
продолжение роста трещины становится более затруднительным.
Следовательно, чтобы произошел скол, образующаяся трещина
Должна иметь возможность расти в поле приложенных
напряжений, в противном случае перехода от вязкого разрушения к
сколу не произойдет.
251
Важным фактором перехода от вязкого разрушения к
сколу служит соотношение между временами релаксации
концентрации напряжений путем скола или путем пластического
деформирования. Преимущественный механизм релаксации
напряжений может определять дальнейший механизм
разрушения.
Заметное влияние на возможность образования скола
оказывает трехосное напряженное состояние вблизи трещины или
надреза. Если релаксация напряжений будет способствовать
переходу от трехосного напряженного состояния к двухосному,
то тенденция к разрушению сколом существенно уменьшится.
Условия перехода кристаллических твердых тел из
пластического состояния в хрупкое и обратно в результате
изменения свойств среды изучали многие исследователи.
Однако гораздо важнее установить условия хрупкого разрушения
поликристаллических пластичных материалов при
неизменных физико-механических свойствах в результате изменения
напряженно-деформированного состояния тела. Для этого
необходим совокупный анализ способности материала оказывать
сопротивление разрушению отрывом и разрушению сдвигом,
которые условно определяют сопротивление соответственно
хрупкому и вязкому разрушению.
Влияние напряженного состояния на разрушение
сколом. Существует ряд хорошо проверенных
результатов экспериментальных исследований напряженных
состояний, возникающих при разрушении сколом железа и
различных марок сталей:
— напряженное состояние при разрушении сколом
железа и стали не удовлетворяет известным классическим теориям
прочности (максимального растягивающего напряжения,
максимального касательного напряжения, максимальной
удельной энергии формоизменения);
— напряженное состояние при сколе определяется как
растягивающими, так и касательными напряжениями, что
должно учитываться при формулировке критерия разрушения
стали путем хрупкого скола;
252
— отношение разрушающего напряжения при кручении
(при сдвиге) т3 к разрушающему напряжению при
растяжении 0"/ существенно зависит от размера зерна, например, по
различным данным, при увеличении размера зерна в 4 раза
отношение тд/оу возрастает в 1,5 раза.
Таким образом, сопротивление хрупкому разрушению,
как и сопротивление вязкому разрушению, обусловлено
различным характером действия нормальных а и касательных
г напряжений. Для каждой точки деформируемого тела
характерно существование сопротивления разрушению сдвигом
т9 под действием касательных напряжений ттах и
сопротивления разрушению отрывом оу под действием нормальных
напряжений атах. Для выяснения возможного характера
разрушения, определяющего корректность применения того или
иного условия прочности, необходимо знать, какое из
указанных сопротивлений будет преодолено раньше. Это зависит от
абсолютных значений и соотношения напряжений <7щах и ''"max?
а также от значений сопротивлений Oj и т3 данного
материала. Очевидно, что пластическое деформирование и
разрушение сдвигом определяются условиями ттах = т3 и <гтах < оу, а
разрушение отрывом может произойти при условиях ттах < т3
и 0"тах = 0/- Эти условия можно представить в обобщенном
виде:
шах > — — вязкое разрушение (сдвигом);
т т EЛ8)
'max 'з / \
< — — хрупкое разрушение (отрывом).
Предельные условия E.18) позволяют сделать ряд
утверждений (Г.В.Ужик), не противоречащих известным
экспериментальным данным:
— нарушение прочности при неизменных свойствах
среды зависит не только от абсолютных значений наибольших
нормальных и касательных напряжений, но и от их
отношения;
253
— для обеспечения прочности материала важны не
только абсолютные значения сопротивления сдвигу и отрыву, но
и их отношение;
— условия E.18) не только указывают на возможность
инициирования двух различных по своей природе процессов
разрушения, но и позволяют установить, что каждый из них
может произойти по принципиально различным причинам.
Влияние надреза на разрушение сколом. С
целью объяснения влияния надреза на разрушение сколом
низкоуглеродистой стали Орованом был сделан расчет поля
линий скольжения при пластическом течении образца с двумя
глубокими внешними трещинами, а затем в соответствии с
критерием пластичности Треска B.7) было определено
максимальное напряжение растяжения <7тах = B + тг)гТ = 2,57сгт.
Если скол обусловлен напряжением растяжения на
поверхности текучести, то надрезанный образец можно считать более
хрупким, чем гладкий, так как, согласно приведенной
формуле, напряжение растяжения при данной температуре больше
для надрезанного образца.
Пусть критическое напряжение разрушения сколом
относительно независимо от температуры, а напряжения,
определяющие пластическое течение гладких (ат) и
надрезанных B,57<тт) образцов, растут с понижением температуры
(рис. 5.14). Тогда выше температуры ТС2 оба образца
пластичны, так как их пластическое течение происходит при
напряжениях, меньших разрушающих. Ниже температуры Тс\
оба образца обладают хрупкостью. В диапазоне температур
Тс\ • • • ТС2 гладкие образцы сохраняют свою пластичность, а
надрезанные образцы проявляют хрупкие свойства и
разрушаются до наступления пластического течения.
Обе модели, основанные на понятиях механики
сплошных сред и объясняющие возможность перехода от
вязкого разрушения к сколу, подчеркивают важную роль
растягивающих напряжений в развитии хрупкого разрушения, в
том числе разрушения сколом, однако не могут учитывать
возможного зарождения трещины скола на полосах
скольжения или двойниках даже в макроскопически хрупком образце.
254
Тс, Tci T
Рис. 5.14. Схема перехода от вязкого
разрушения к хрупкому для надрезанных и ненад-
резанных образцов:
1 — напряжение течения ненадрезанного образца; 2 —
напряжение течения надрезанного образца; 3 —
разрушающее напряжение
Это объясняется отсутствием различия между общей
текучестью образца и локальной текучестью в области образования
трещины скола или в области надреза.
Большинство металлов слишком пластичны, чтобы в них
при нормальных условиях появились поверхностные
трещины, позволяющие объяснить эффект хрупкого разрушения в
соответствии с теорией Гриффитса. Поэтому теория скола не
начинается с предположения о наличии случайно
появившихся микротрещин. Вместо этого были предложены различные
механизмы зарождения скола, причем все эти механизмы для
объяснения появления трещин скола используют модели
теории дислокаций.
Дислокационные модели зарождения скола.
Традиционная трактовка процесса зарождения трещины скола
заключается в следующем. В области скопления п краевых
дислокаций (рис. 5.15), сжатых касательным напряжением т,
возникает напряжение растяжения пт. Так как движению
дислокаций препятствует напряжение внутреннего трения го, то
результирующее напряжение равно п (г — то), а приближенное
условие начала разрушения имеет вид
п(т-то) = а<Л, E.19)
где ath — теоретическая прочность на отрыв A.8).
255
Рис. 5.15. Схема образования микротрещин при
слиянии дислокаций:
а — начало процесса; б — конец процесса (Т — трещина)
Модель Петча. Пусть пересечение полосой
скольжения зерна диаметром d уменьшает касательное напряжение
на площади, приблизительно равной d, от г до tq.
Очевидно, что напряжение трения tq является тем наименьшим
напряжением, при котором еще возможно движение дислокаций.
При движении дислокаций происходит релаксация
деформации сдвига, и упругое касательное перемещение (г - tq)<1/G
в момент релаксации равно пластическому смещению пЪ, где
пЪ — суммарный вектор Бюргерса дислокаций, образующих
трещину (см. рис. 5.15), а пЬ — абсолютная величина
соответствующего смещения. Тогда п = (т—то) d/(G6), а с учетом
условия E.19) критерий зарождения трещины скола
принимает вид
(^J. (мо,
Приняв в зависимости A.8) oq яз Ь, получим
ath « V -Г" =
E.21)
Так как величина поверхностной энергии для металлов 7 ~
~ ЕЬ/25 = 2GA + nN/25, то с учетом соотношения E.21)
уравнение E.20) преобразуется к виду
E.22)
256
Соотношение E.22) указывает на зависимость
критического напряжения начала разрушения ту от размера зерна в
степени —0,5 и принимается в качестве критерия зарождения
трешин скола. Отметим, что аналогичная зависимость от
размера зерна отмечена также для процессов вязкого разрушения
E.3).
Имеется еще ряд зависимостей, аналогичных E.22), в
которые не входит длина трещины, поэтому они справедливы в
рамках принятых допущений для трещин произвольной
длины. Кратко рассмотрим некоторые из них.
Модель Котрелла. Согласно этой модели разрушения
сколом, основным фактором, контролирующим скол, является
рост трещины при условии ее легкого зарождения. Пусть для
смещения пЬ, вызванного п парами скользящих дислокаций,
длина зародившейся трещины составляет величину Iq. Вклад
в общую энергию системы, отнесенную к единице толщины
пластины, растягиваемой напряжениями а, могут давать
четыре фактора: упругая энергия, высвобождаемая, согласно
теории Гриффитса, при появлении трещины, U\ = — Fi(a, Iq);
работа, произведенная напряжением а на смещении пЬ при
образовании начальной трещины /о, ?^2 = —-^M^» nb, IqM
поверхностная энергия Us = ^з(т> 'о); энергия поля
деформаций, возникающего в результате искажений
кристаллической решетки вокруг системы краевых дислокаций, И± —
= F±(a, пб, Iq). Записав конкретные выражения для
составляющих полной энергии системы и использовав условие
максимума полной энергии пластины с трещиной /о? а именно
d(U\ + t/2 + {/3 + U±)/dloi можно получить условие
разрушения сколом в виде
<7>^<Г0'5, E.23)
где Gj — растягивающее напряжение, вызывающее
разрушение сколом; В(аТ) = const. Аналитическая запись модели
Котрелла E.23) подчеркивает роль растягивающих
напряжений и объясняет влияние параметров пластичности и размеров
зерна металла на разрушение.
257
Модель Смита, Эта дислокационная модель
учитывает наличие твердых фаз (частиц карбида) в кристаллической
решетке сталей. Дело в том, что полоса скольжения может
быть блокирована твердой фазой, в которой затруднен
процесс пластической релаксации напряжений. В данном случае
рост трещины будет легче происходить в твердой фазе, чем в
матрице, а при достаточно массивных частицах твердой фазы
трещины скола могут прорасти в матрицу. Например,
наличие и морфология частиц карбида играют важную роль при
разрушении сколом углеродистых сталей. Критерии
разрушения, полученные Смитом, основаны на модели разрушения
сколом, который контролируется ростом трещины, с учетом
влияния карбидных частиц: если
то в карбидной прослойке возникает трещина; если
0>5
E.25)
то трещина распространяется в ферритную матрицу; если
значение ту при пластическом течении расположено между
значаниями, определяемыми уравнениями E.24) и E.25), то
^?w1 + (?)l>^, E.26)
d J J[ K\dJ Tf] 7r(l*/2)d v
где 7K и 7m — значения поверхностной энергии карбидной
частицы и ферритной матрицы соответственно; d — размер
зерна ферритной матрицы; dK — ширина карбидной прослойки.
Соотношения E.24)—E.26) указывают, что грубые
карбиды облегчают скол, а мелкодисперсные — способствуют
вязкому разрушению материала.
Модель зарождения трещин скола при
двойников ании. Такой механизм деформации, как двойникование,
258
_. важная причина зарождения трещин в металлах с ОЦК-
решеткой с крупнозернистой или монокристаллической струк-
турой, когда двойникование становится более
предпочтительным механизмом релаксации напряжений, чем скольжение.
Подобные явления наблюдаются в железе и его сплавах, хроме
и в других материалах при низких температурах, а также при
высокоскоростной деформации и ударноволновом нагружении.
Тонкий A0~6 м) блокированный препятствием двойник
представляет собой скопление ~ 104 дислокаций, что превышает
скопление дислокаций в полосах скольжения. В соответствии
с представлениями теории дислокаций блокированные
двойники должны порождать трещины скола. Двойники
блокируются либо границами зерен, либо другими двойниками, однако
далеко не каждое пересечение двойников приводит к
образованию трещин скола. Разрушающее напряжение при двойни-
ковании в поликристаллах связано со свойствами материала
типичной зависимостью типа E.22), т.е. ту = /(d"M).
Модель перехода от вязкого разрушения к
сколу. Зарождение вязкой или хрупкой трещины в общем случае
должно определяться критерием перехода от вязкого
разрушения к сколу (рис. 5.16) при напряжении, равном пределу
текучести. Пусть распространение трещины скола
представляется движением группы трещинообразующих дислокаций nb.
Движение будет происходить только в том случае, если в
соответствии с теорией Гриффитса работа, совершаемая
приложенным напряжением при увеличении длины трещины, равна
эффективной поверхностной энергии вновь образованной
трещины, т.е.
апЬ = 27, E.27)
где а — нормальное по отношению к оси трещины
растягивающее напряжение.
Если трещина скола образуется вблизи надреза, то
локализация пластической деформации приводит к поперечному
растяжению, поэтому только часть цо приложенного
напряжения дает вклад в касательное напряжение, вызывающее
слияние дислокаций. Для гладких образцов можно принять г/ = 1,
259
Рис. 5.16. Переход от вязкого роста усталостной
трещины к хрупкому сколу в монокристалле
молибдена, х 300 (по В.Ф. Терентьеву)
а для надрезанных — г/ « 1/3. Положив для поликристалла,
как и при выводе уравнения E.22), п = (rja - <tq) d/BG6), где
а и 2т и сто « 2го, а также учитывая равенство E.27),
получим выражение для определения напряжения, вызывающего
скол:
a(W-a0) = ^. E.28)
Нижнее значение предела текучести при одноосном
растяжении определяется формулой E.3) для вязкого разрушения.
Следовательно, в момент наступления текучести оу = г/а = сгт
и
7ia = ao + Kfd-°>5. E.29)
Подставив E.29) в E.28), получим, что критерий наступления
скола при напряжении, равном пределу текучести, имеет вид
^-o,5 E30)
Kf
В соответствии с E.30) скол будет распространяться, если
растягивающее напряжение в момент наступления текучести
260
больше выражения в правой части. Согласно этому
условию, увеличение размера зерна способствует сколу, а
увеличение эффективной поверхностной энергии 7 затрудняет
распространение трещины и препятствует сколу.
В материалах, склонных к сколу и имеющих
значительный энергетический барьер страгивания дислокаций,
постоянная Kf и поверхностная энергия j не зависят от температуры.
В то же время напряжение трения функционально связано с
температурой соотношением E.4), т.е.
1п<70 = In А-аТ. E.31)
Тогда, используя уравнения E.28) и E.30) совместно с
уравнением E.31), получаем выражение для температуры перехода
от вязкого разрушения к хрупкому:
аТс = 1пЛ- In(^^-#/) - In сГ0'5. E.32)
Соотношение E.32) позволяет сделать вывод о линейной
связи температуры перехода с размером зерна:
a'
E.33)
причем линейная зависимость E.33) имеет определенное
экспериментальное подтверждение.
В ограниченном температурном интервале можно
воспользоваться более простой зависимостью, которая
получается, если принять во внимание лишь первые два члена
разложения в ряд экспоненциальной функции в уравнении
сг0 = (Tq + Аехр(-аТ), т.е. сг0 = <т? + А - АаТ. E.34)
В соответствии с разложением E.34)
dTc 1
261
т.е. температура перехода Тс зависит от металлофизиче-
ских свойств материала, поскольку от них зависит
напряжение внутреннего трения <Tq . Напряжение трения
увеличивается за счет различных типов структурного и деформационного
упрочнения (см. раздел 2.7), что приводит к
соответствующему увеличению температуры перехода от вязкого разрушения
к хрупкому. Например, для сталей со средним размером зерна
при увеличении <7q на 16 МПа температура перехода
увеличивается примерно на 5°С.
Анализ характера разрушения твердых тел указывает на
определенную условность деления разрушения на хрупкое и
вязкое (см. раздел 1.6). Рассматривая разрушение как
процесс, следует учитывать, что в большинстве случаев оно
носит смешанный характер. В некоторых пластических средах
на стадии зарождения трещины происходит значительное
пластическое формоизменение, а рост трещины характеризуется
высокой скоростью распространения и относительно
небольшим поглощением энергии, т.е. результатом разрушения
будет хрупкий излом. По общим затратам энергии, диссипи-
руемой в среде при пластическом течении, этот тип
разрушения является вязким, а по микромеханизму разрушения —
хрупким, хотя проходит при напряжении а > ат. Возможно
также вязкое разрушение с интенсивной пластической
деформацией, локализованной в небольшой области. С
макроскопической точки зрения такое разрушение, характеризующееся
малой диссипируемой энергией, является хрупким, но
приводит к типичной картине вязкого разрушения, фиксируемой на
поверхности косого излома.
Таким образом, твердые кристаллические среды могут
разрушаться хрупко или вязко в зависимости от
структурного состояния, внешних условий и характера нагружения. При
этом хрупкое разрушение не обязательно связано со сколом.
Разрушение может быть вязким, хотя распространяется оно
от какого-либо дефекта, связанного с хрупкостью, до
наступления развитого пластического течения. В определенном
интервале изменения внешних условий можно наблюдать
переход от вязкого разрушения к хрупкому.
262
Вопросы для самоконтроля
\, Поясните характерные особенности трех основных типов
разрушения в соответствии с механизмами расцростране-
ния трещин.
2. Классифицируйте пять типов вязкого разрушения на
основании экспериментальных данных по растяжению
идентичных образцов.
3. Что представляют собой частицы второй фазы в
поликристаллах? Какова их роль в механизме вязкого разрушения?
4. Опишите идеальную модель вязкого разрушения.
5. Каковы особенности построения модели слияния
цилиндрических пор? Какие выводы можно сделать из
анализа конечного соотношения для критической интенсивности
деформаций, вызывающей слияние пор?
6. Какова связь между размером зерна и напряжением
вязкого разрушения?
7. Почему скорость распространения вязкой трещины в
несколько раз меньше скорости распространения хрупкой
трещины?
8. Каким образом можно учесть затраты энергии на
пластическое деформирование вблизи вершины трещины? Как в
этом случае будет выглядеть условие Гриффитса?
9. Запишите критерий Ирвина — Орована. Какая величина
в этом критерии принимается за меру трещиностойкости
материала?
10. Чему равен наименьший размер зоны пластичности вблизи
вершины трещины?
11. Каким образом можно получить грубую оценку размера
зоны пластичности?
12. Что такое эффективная длина трещины с зоной
пластичности вблизи вершины?
263
13. Запишите зависимость, определяющую поправку Ирвина
на пластичность.
14. Какова форма определяющего интегрального уравнения
для модели трещины в упругопластическом материале
(модели Дагдейла)?
15. Сформулируйте основные этапы решения задачи о
нахождении конфигурации зоны пластичности с
использованием критерия текучести Мизеса.
16. Каково соотношение между размерами зоны пластичности
вблизи вершины трещины типа I для плоского
напряженного и плоского деформированного состояний при v = 1/3?
17. Как скорость распространения трещины влияет на размер
зоны пластичности в ее окрестности?
18. Что представляет собой разрушение сколом? Для каких
материалов и каких внешних условий нагружения
характерен этот тип разрушения?
19. В чем состоит различие между процессами зарождения и
распространения скола?
20. Назовите основные факторы, оказывающие влияние на
процесс разрушения сколом?
21. Как и почему тип напряженного состояния влияет на
переход от вязкого разрушения к сколу?
22. Почему надрез на поверхности нагружаемого образца
способствует возникновению скола?
23. Какова традиционная трактовка дислокационных моделей
зарождения трещин скола?
24. Какова структура зависимости критического напряжения
скола от поверхностной энергии, модуля сдвига и размера
зерна для различных дислокационных моделей? Выведите
такую зависимость на основании модели трещины скола,
предложенной Петчем.
264
25. В чем особенности дислокационной модели скола,
учитывающей влияние твердых частиц (карбидов) на
критическое напряжение?
26. Сформулируйте основные положения дислокационной
модели перехода от вязкого разрушения к сколу. Поясните
структуру полученного критериального соотношения.
27. Докажите (на основе дислокационного подхода) линейную
связь между температурой перехода и размером зерна.
28. Почему разделение процесса разрушения на вязкое и
хрупкое является достаточно условным?
Глава 6
ХАРАКТЕРИСТИКИ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ХРУПКОМУ И ВЯЗКОМУ
РАЗРУШЕНИЮ
6.1. Интегральные и локальные критерии
разрушения
При оценке условий разрушения конструкционных
материалов к проблеме расчетов на прочность подходят
прагматически, пытаясь ответить на вопрос: какое наибольшее
напряжение или какая наибольшая трещина при заданном
расчетном напряжении допустимы, с тем чтобы не наступило
преждевременное разрушение конструкции или ее элемента?
Желание создать идеальные материалы и идеальные технологии
оказалось неосуществимым, поэтому перед конструкторами и
инженерами стоит вопрос о разрешающей способности и
надежности того или иного способа определения характеристик
пластичности, прочности и надежности для конкретных
условий применения.
Критерии линейной механики разрушения, в отличие
от общепринятых характеристик прочности и пластичности,
учитывающих усредненные свойства материала,
характеризуют локальные свойства материала вблизи вершины
трещины при определенном виде напряженного состояния.
Следовательно, эти критерии являются фундаментальными
характеристиками сопротивления материалов разрушению. При
266
определенных условиях удельная энергия разрушения
перестает зависеть от размеров образца, и тогда предельные
параметры линейной механики разрушения Кс или Gc,
характеризующие трещиностойкость (вязкость разрушения), можно
использовать для того, чтобы расположить материалы в
определенной последовательности по степени их сопротивления
разрушению.
Для целого ряда пластичных и полухрупких материалов
(малоуглеродистые и среднеуглеродистые стали, некоторые
алюминиевые сплавы и др.) существуют немалые
практические трудности экспериментального определения надежных
характеристик трещиностойкости. Это объясняется тем, что
обеспечение условий плоского деформированного состояния,
необходимых для определения минимальных значений
характеристик трещиностойкости, требует применять для
испытаний образцы больших размеров. Поэтому наряду с
определением локальных характеристик трещиностойкости остаются
в силе и широко используются интегральные методы
описания свойств материалов для оценки возможности и степени их
разрушения. Они включают ударные испытания надрезанных
образцов, испытания с падающим грузом, испытания на
медленные изгиб и двойное растяжение, а также выбор
материала по критериям прочности и пластичности и по отношению
предела текучести к прочности на отрыв. Такие испытания
полезны при разработке определенных типов конструкций и
материалов, просты в реализации и часто используются для
контроля качества материала. В то же время данные,
полученные с помощью многих из этих методов сравнительных
испытаний, служат лишь некоторым приблизительным
ориентиром при выборе материалов и не могут быть
использованы в расчетах при проектировании изделий, в отличие от
характеристик материала, применяемых в линейной механике
разрушения.
6.2. Ударная вязкость
Рассмотрим некоторые характерные методы испытаний
материалов, дающие интегральные сравнительные
характеристики их сопротивления разрушению.
267
Широкое применение получил метод определения ударной
вязкости на образцах, содержащих боковой надрез
определенной формы. Дело в том, что материалы с близкими
характеристиками прочности и пластичности, определяемыми при
статических испытаниях на растяжение, могут резко
отличаться по своим свойствам при ударном изгибе. Это связано
с влиянием скорости деформации на сопротивление
материалов (главным образом металлов) пластическому течению и
разрушению. Например, увеличение скорости нагружения в
локальном объеме и в условиях растяжения, как правило,
изменяет свойства металлов в том же направлении, что и
снижение температуры.
Рис. 6.1. Образец для испытаний на
ударную вязкость (по Шарпи)
Для учета изменения свойств металла при динамическом
ударе Шарпи предложил испытание на ударный изгиб
надрезанных образцов (рис. 6.1). Метод определения ударной
вязкости с теми или иными видоизменениями получил широкое
распространение и был стандартизован во всех технически
развитых странах. Основное назначение испытаний на
ударную вязкость при изгибе — оценка работоспособности
материала в сложных условиях нагружения и его
относительной склонности к хрупкому разрушению. Разрушение
образцов производится с помощью маятникового копра, падающего
на грань, противоположную надрезу, со скоростью 4... 7 м/с.
При этом работа, затрачиваемая на деформирование и
разрушение образца, определяется с точностью до 10 Дж либо по
268
заранее градуированной шкале, либо расчетом по значениям
углов подъема маятника до удара (а\) и после него (аг):
Ад = Р(Н - h) = PZ (cosаз - c
где Р — вес маятника; Huh — высота подъема маятника
до удара и после удара соответственно; L — длина маятника.
Тогда ударная вязкость KCU определяется по соотношению
кси = 4*.
где 5 — площадь поперечного сечения образца в месте надреза
до испытания.
Ударная вязкость является интегральной
характеристикой не только потому, что она зависит одновременно от
прочности и от пластичности материала, но и потому, что при
ее определении измеряется суммарное сопротивление
зарождению и развитию трещины. Во многих случаях ударная
вязкость более резко реагирует на изменение структурного
состояния материала, чем свойства прочности или пластичности
(сгв или <тт), что особенно проявляется при понижении
температуры испытаний. Чем меньше ударная вязкость, тем
больше материал склонен к хрупкому разрушению.
Другой метод динамических испытаний — определение
порога хладноломкости (Тс), т;е. выявление склонности стали
к переходу в хрупкое состояние при понижении температуры
(см. раздел 1.6). Испытания заключаются в построении
кривых температурной зависимости ударной вязкости KCU{T)
по результатам сериальных испытаний на ударный изгиб
надрезанных стандартных образцов материала.
Еще один метод динамических испытаний состоит в раз-
Делении ударной вязкости на две составляющие, которые
различным образом зависят от структурного состояния
материала и внешних факторов. Главное здесь заключается в том,
что переход металла при ударном нагружении к хрупкому раз-
Рушению в основном определяется поведением работы,
затрачиваемой на развитие трещины, ар, являющейся
составляющей ударной вязкости KCU = % + ар, где а^ — работа,
затрачиваемая на зарождение трещины. В принципе возможно
269
Рис. 6.2. Диаграммы нагрузка — прогиб для
различных материалов при одинаковой ударной вязкости
определение составляющих а^ и ар, так как диаграмма на-
гружения ударом во времени содержит характерный излом в
момент образования трещины. При испытаниях на ударный
изгиб можно провести осциллографическую запись диаграмм
нагрузка Р — прогиб Л, которая позволяет наглядно
представить соотношение между составляющими а3 и ар ударной
вязкости KCU (рис. 6.2). Ударная вязкость на четырех
представленных диаграммах имеет одну и ту же величину (площади
под кривыми P(h) равны).
На рис. 6.2, а основная часть затраченной работы
расходуется на упругое деформирование образца до начала его
разрушения, а на рис. 6.2, б— на пластическое деформирование
некоторого объема в окрестности надреза. Материал,
диаграмма которого приведена на рис. 6.2, 5, будет иметь
заметный остаточный прогиб, хотя ар = 0 в обоих случаях.
Материалы, диаграммы которых представлены на рис. 6.2, в, г,
гораздо лучше будут сопротивляться хрупкому разрушению,
270
йбо имеют значительную долю работы ар, расходуемую на
развитие трещины.
Так как изделия почти всегда содержат дефекты типа
микротрещин металлургического или технологического
происхождения, то их работоспособность должна лучше
коррелировать с величиной ар, чем с а^ или полной работой KCU.
работа ар слабо зависит от остроты надрезов и
характеризует сопротивление материала уже начавшемуся разрушению.
Поэтому параметр ар формально ближе к характеристикам
сопротивления хрупкому разрушению Кс и Gc.
Следовательно, из двух материалов с равными характеристиками ударной
вязкости КCU более надежен тот, у которого больше значение
составляющей ар.
Одной из наиболее обоснованных методик разделения
величины КCU на составляющие является методика Б.А. Дроз-
довского, которая предусматривает испытание образцов с
предварительно наведенной усталостной трещиной.
Ударная вязкость такого образца близка к величине ар, так как
работа удара практически целиком расходуется на развитие
уже готовой трещины. Показатель КСТ, определяемый
ударом по образцу с трещиной, можно записать в виде суммы
КСТ = ас + ар, которая включает работу, затрачиваемую на
старт трещины (начало ее движения), uq и работу,
затрачиваемую на развитие трещины, ар.
Важно отметить, что использование результатов
измерений ударной вязкости для обсуждения хрупкого характера
разрушения материала связано с большими практическими
трудностями, так как необходимо достаточно точно знать
напряженное состояние в исследуемом сечении. Ошибочной
может быть и оценка склонности к хрупкому разрушению
высокопрочных сталей по данным обычных опытов по определению
их ударной вязкости. Но самым главным является то, что ни
один из показателей ударной вязкости (KCU', КСТ, ар и др.)
не может быть прямо использован для расчета и оценки
способности материала сопротивляться быстрому
распространению трещины в условиях эксплуатации изделия, так как вид
271
разрушения или поглощенная энергия не могут быть
количественно связаны с системой приложенных напряжений (^
отличие от показателей трещиностойкости). Хотя известны
многочисленные попытки получения корреляционных
зависимостей между показателями ударной вязкости и показателями
трещиностойкости, однако эти зависимости настолько
различаются и настолько условны, что их применение не нашло
широкого распространения в практике расчетов на прочность.
Тем не менее для качественного сравнения сталей ударные
испытания имеют большое значение. Ударная вязкость
чутко реагирует на различные изменения в материале, поэтому
можно определять влияние структуры, различных выделений,
внешних условий и т.д. на склонность материала к хрупкому
разрушению
6.3. Динамическая твердость
Кроме понятия ударной вязкости при решении задач
проникания тела в различные среды (в основном в металлы) для
широкого диапазона скоростей соударения некоторые
исследователи используют понятие твердости материала при ударе
(динамической твердости).
В статике под твердостью тела понимают сопротивление
деформированию на его поверхности при заданном
механическом воздействии другого, более твердого тела заданных
формы и размера, не изменяемых во время испытания.
Разнообразие условий и способов воспроизведения деформации при
определении твердости привело к развитию большого числа
различных методов определения твердости металлов.
Наиболее распространены стандартные пробы определения
твердости по Бринелю (НВ), по Роквеллу (HRA, HRB, HRC, HRC3)
и по Виккерсу (HV), причем твердость в общем случае
определяется отношением нагрузки на индентор (шарик, конус или
пирамиду) к площади полученного отпечатка. В общем
случае микротвердость рассчитывают как отношение нагрузки
на вдавливаемое тело к площади поперечного сечения
отпечатка. Широкое распространение испытаний материалов на
272
твердость связано с простотой их реализации, отсутствием
разрушения материала при испытаниях, возможностью
определения твердости в сечениях микрообъемов, применимостью
в случаях, когда осуществить другие виды испытаний
невозможно. Особенность этого вида испытаний — неглубокое
внедрение тела в материал, т.е. в результате определяют
поверхностное сопротивление материала деформированию и с
помощью полученных данных делают основанный на большом
практическом опыте вывод о способности материала
противостоять деформированию и разрушению.
По аналогии с определением статической твердости
ф.Ф. Витманом, Н.Н. Златиным и Б.С. Иоффе было введено
понятие твердости при ударе и предложено определять ее при
ударном внедрении жесткого шарика или конуса в
исследуемый материал. Под твердостью при ударном внедрении в
материал шарика Нд понимают удельную работу
вдавливания шарика, определяемую как частное от деления работы
ударного вдавливания шарика на объем его отпечатка.
Измеряемая в тех же единицах, что и статическая твердость,
твердость при ударе Нд имеет иной физический смысл и
характеризует сопротивление деформированию не на
поверхности образца, а в некотором объеме материала.
Работу формоизменения Лф, диссипируемую в образце
при нормальном ударе наконечника с шариком и его
вдавливании, можно представить в виде
L
Аф= PdL, F.1)
о
где L — глубина вдавливания твердого шарика; Р —
сила пластического вдавливания твердого шарика, для которой
Майером экспериментально установлена зависимость
Р = adn. F.2)
Здесь а и п — константы материала, ad — диаметр
отпечатка, который можно выразить через диаметр шарика J9,
если ввести понятие угла вдавливания <р, как центрального
273
угла вдавливания шарика, определяемого контуром
отпечатка диаметром d:
d = Dsin|.
Экспериментально установлено, что при одном и том же
угле вдавливания aDn~2 = uq = const, тогда выражение F.2)
можно записать в виде
Р - aodn
Для шарового сегмента глубиной L и диаметром
основания d имеем d2 = 4L(D — d). Для неглубокого отпечатка
L < D и d < Z), поэтому, пренебрегая членами второго
порядка малости, получим d2 = 4J9Z, откуда'
i=^- F.4)
После подстановки F.3) и F.4) в F.1) и последующего
интегрирования получаем
. ар?>3 fd\n+2
Объем, вытесненный шариком, при глубине отпечатка L
составит V = ttZ/2A,5jD — L)/3 или с учетом F.4) и условия
Используя формулы F.5) и F.6), находим удельную
работу деформирования при вдавливании шарика:
n~2 .
• F}
В координатах AпАд, lnd) при D = const зависимости
F.7) соответствует прямая, что подтверждается
экспериментально, т.е. адекватность формулы F.7) и
экспериментальных зависимостей служит подтверждением приемлемости
допущения L < D. С увеличением скорости нагружения при
274
переходе от статического вдавливания к динамическому
значение ао увеличивается, а показатель п уменьшается.
Характер изменения величин а$ и п зависит от свойств материала.
Например, для сталей при динамическом вдавливании п « 2,
поэтому удельная работа деформирования при вдавливании
шарика не зависит от его диаметра или энергии удара, т.е.
Дд = Аф/V = Нд = 4ао/?г = const.
Другой метод определения твердости при ударе основан
на вдавливании конуса в исследуемый материал. Твердость
Нк представляет собой отношение работы, затрачиваемой
на внедрение конуса, к вытесненному им объему:
F.8)
где Аф — работа пластического формоизменения при
внедрении конуса в материал; d — диаметр отпечатка на уровне
наибольшей высоты S валика наплыва материала,
вытесненного при внедрении конуса.
Установка для определения Нк представляет собой
свободно подвешенный баллистический маятник массой М, в
хвостовой части которого закреплен образец. Удар конусом
выполняют с помощью свободно подвешенного дискового
рабочего маятника массой га, в центре которого находится вершина
конуса. Закон сохранения энергии рассматриваемой
механической системы характеризуется соотношением
mvk rnvi Mv$
-у^-^ + ^ + ^Ф, F.9)
где uq и vi — скорости рабочего маятника до и после удара;
Щ — скорость баллистического маятника после удара.
С учетом F.9) работу пластического формоизменения
предложено записывать в удобном для экспериментальных
исследований виде:
Аф = a [l - Ь sin2@,5a) ex2}, F.10)
275
где а, Ь и с — постоянные испытательной установки,
зависящие соответственно от массы и длины маятника, а также от
энергии рабочего маятника при ударе; а — угол отскока
рабочего маятника после удара; х — перемещение баллистического
маятника после удара. Подстановка F.10) в F.8) определяет
динамическую твердость Нк.
Твердость Нк как характеристику материала применяют
при определении силы сопротивления внедрению тела в
задачах о соударении твердых тел. Введем понятие критической
скорости удара v* = уОНВ/(хо/>о)> гДе НВ — твердость по
Бринелю; хо — коэффициент сопротивления головной части
внедряющегося тела; ро — плотность преграды. Критическая
скорость v* определяет нижнюю границу диапазона скоростей,
выше которой сопротивление преграды для заданных условий
внедрения в пределах погрешности эксперимента является
однозначной функцией скорости внедрения v, т.е. при v > v+
зависимость сопротивления от скорости одинакова во всех фазах
внедрения.
Сопротивление Ры материала внедрению тела диаметром
do в поверхностные слои L < do полубесконечной преграды
при скорости v = 102 ... 103 м/с и в глубинные слои L > 2do
при v > v* можно представить в виде
Ai = Нк+хо/>002, F.11)
где Нк — твердость, измеряемая при скорости внедрения
конуса 10 ... 100 м/с, у которого угол при вершине а (хо = sin2 а)>
причем значение Нк слабо зависит от угла конусности а.
При внедрении тела в глубинные слои полубесконечной
преграды при v < v* в первом приближении можно принять
Ры = НК + НВ, т.е. сопротивление Ры в данном случае не
зависит ни от скорости внедрения, ни от угла конусности.
Формула F.11) показывает, что сопротивление
деформируемой среды движению в ней жесткого тела при v > v*
определяется членом />ov2, имеющим гидродинамическое
происхождение. Если идеальная жидкость имеет только
инерционное сопротивление, то сопротивление деформируемых
276
твердых сред включает еще и собственное сопротивление
деформированию с характеристикой Нк, отражающее
внутренние связи в среде.
Выбор показателя динамической твердости Нк в
качестве характеристики собственного сопротивления
деформированию связан с тем, что при больших скоростях ударного на-
гружения материал преграды работает в условиях
локализованного смятия, близкого к условиям определения Нк. В
общем случае при строгой трактовке собственное сопротивление
твердой среды должно зависеть от скорости деформации или
скорости внедрения тела: Н = HK(v/t;o)m, где Нк —
динамическая твердость при ударе со скоростью vq . Для
большинства материалов, способных деформироваться в естественном
состоянии, показатель т = 0,02...0,04, что позволяет
пренебречь изменением показателя динамической твердости Нк
и считать его постоянной величиной. В качестве примера в
табл. 6.1 приведены сравнительные характеристики
твердости по Бринелю НВ и динамической твердости Нк при
скоростях внедрения ~ 10 ... 100 м/с.
Таблица 6.1
Твердость по Бринелю (НВ) и динамическая
твердость (Нк) для различных материалов
Показатель
Плотность,
кг/м3
Твердость
по Бринелю
НВ, МН/м2
Динамическая
твердость
Н„ МН/м2
Материал мишени
Железо
7850
300
2000
Дюралюминий
2800
1100
1400
Медь
8900
450
720
Алюминий
2700
300
560
Свинец
11340
~50
~80
277
6.4. Трещиностойкость
Рассмотренные в разделах 6.2 и 6.3 интегральные
динамические характеристики ударного нагружения материалов
игнорируют особенности локальных объемов, в которых
могут содержаться различного вида повреждения, трещины,
неоднородности и т.д. Строго говоря, необходимо использование
локальных критериев, учитывающих особенности нарушения
сплошности материала и формулируемых в рамках механики
сплошной среды.
Чувствительность материалов к различным
повреждениям, в том числе и к трещинам, играет большую роль в
инженерных расчетах. Способность материалов сопротивляться
развитию трещин называется вязкостью разрушения.
Некоторые авторы используют более удачный термин — тре-
щиностойкость. Эта характеристика, которая объединяет
в себе различные свойства материала, определяемые его
микроструктурой и способностью к пластическому
деформированию, является весьма важной в современной практике оценки
надежности материалов и конструкций. Необходимость
применения локальных критериев хрупкого разрушения
объясняется все более широким применением высокопрочных
материалов, конструкции из которых обычно имеют высокую
потенциальную энергию, которая может высвобождаться при
возникновении трещин и вызывать соответствующее лавинное
разрушение. К аналогичным проблемам приводит
применение композитных материалов.
Трещиностойкость, определяемая обычно по параметру
K\Ci является в настоящее время наиболее
дифференцированной и физически обоснованной, т.е. достаточно реально
характеризует сопротивление материала хрупкому разрушению.
На рис. 4.2 показаны три типа раскрытий трещины, наиболее
исследованным из которых является тип I. Так как указанные
типы раскрытия трещины имеют разные напряженные
состояния, то различна и критическая интенсивность напряжения
(#1С, Кцс или Кц\с). Наименьшее из значений, а именно K\Ci
было отмечено для раскрытия трещины типа I. Здесь индекс
278
«I" характеризует одновременно и тип раскрытия трещины
(I на рис. 4.2, а) и плоское деформированное состояние.
Очевидно, что практический интерес представляют трещины в
пластинах конечных размеров. Для этого можно использовать решения,
полученные для пластины бесконечных размеров (см. приложение 1), когда
исключено влияние краевых эффектов на поля напряжений и
деформаций. Указанные решения модифицируются с помощью алгебраической
или тригонометрической функции таким образом, чтобы свести
соответствующие поверхностные силы к нулю. Следовательно, возможно лишь
приближенное решение этих задач, что объясняется сложностью
граничных условий.
Например, для центральной трещины длиной 2/ в пластине конечной
ширины W такое решение имеет вид
F.12)
При l/W —* О, т.е. при W —¦ со, величина К\ будет приближаться к
величине К\ = 0"\/тг7, значение которой реализуется в случае бесконечной
пластины. Действительно, если уравнение F.12) разложить в ряд по
irl/Wy то
\0,5
* = «n/s(l + ^ + .-.).
а при 1/W -> О К\ =
Соотношения типа F.12), позволяющие проводить практические
расчеты коэффициента интенсивности напряжений для других геометрий
пластин и трещин, приведены во многих монографиях и справочниках
технического характера по механике разрушения.
С целью оценки диапазона практической применимости
показателей трещиностойкости материалов проведем
сравнительный анализ изменения этих показателей в зависимости от
толщины испытуемого образца, имеющего боковой надрез, в
устье которого предварительно наведена усталостная
трещина (рис. 6.3). Результаты, представленные на рис. 6.4,
свидетельствуют о существенном изменении показателя
трещиностойкости G* в зависимости от толщины h образца, что
279
Рис. 6.3. Образец с
боковой трещиной
A,Wf
Рис. 6.4. Зависимость показателя
трещиностойкости G» и доли
плоского излома х от толщины h
образца из алюминиевого сплава
вызывает сомнения относительно возможности
практического измерения единственного параметра, способного
характеризовать сопротивление любых материалов быстрому макро-
хрупкому разрушению (распространению трещин). Вид
диаграммы G*(h) связан с профилем излома образцов и
поведением функций нагружения (т{и) для трех характерных областей
А, В и С.
В области А (плоское напряженное состояние) толщина
образцов мала, ее увеличение приводит к увеличению
трещиностойкости, так как в тонких сечениях напряжения в
направлении толщины стремятся к нулю, напряженное состояние
плоское, а функция нагрузка — смещение линейна вплоть до
разрушения сдвигом, приводящего к полностью косому
вязкому излому.
В области С (плоское деформированное состояние) общая
нестабильность наступает при нагрузках, соответствующих
280
постоянной трещиностойкости, а поверхность излома
представляет собой плоскость, по краям которой имеются небольшие
зоны косого излома (губы среза h\ и Лг). Так как средняя
часть толстого образца деформируется в условиях, близких
к плоскому деформированному состоянию, то ег = 0,
поэтому вокруг вершины трещины наблюдается высокая степень
стесненности деформации, что приводит к трехосному
напряженному состоянию, которое способствует зарождению и
развитию хрупкого разрушения. При плоском деформированном
состоянии градиент деформации высок непосредственно перед
вершиной трещины, зона пластичности существенно меньше,
чем в случае плоского напряженного состояния, поэтому
хрупкая трещина развивается легче, так как изменение смещения
от значения, равного раскрытию трещины в ее вершине, до
нуля на границе упругой и пластической областей происходит
в меньшей области, чем на краях образца. Так как в центре
образца разрушение распространяется при постоянных
критических условиях вблизи вершины трещины, то любое
различие в поведении краев несущественно для определения
условий разрушения образца в целом. Нагрузка изменяется
линейно вплоть до критического значения, при котором происходит
разрушение.
В области В разрушение происходит более сложным
путем. Образец в промежуточной области не так тонок, чтобы
разрушение происходило по типу, характерному для области
Л, и не так толст, чтобы он мог разрушиться в условиях
плоского деформированного состояния по типу области С. Здесь
толщина образца такова, что центральная область хрупкого
отрыва и края, разрушаемые сдвигом, сравнимы по своим
размерам, а достижение нагрузки а*, при которой образующаяся
в центре трещина распространяется на некоторую длину, не
приведет к нестабильности всего образца ввиду значительной
Доли, занимаемой краевой зоной косого излома (h\ и /12)-
Последовательные этапы модели разрушения в области В
показаны на рис. 6.5. Пусть нагрузка, приложенная к
образцу с трещиной, вызывает напряжение растяжения сг*. При
281
b
с
г
й
f
у
/
3
Рис. 6.5. Развитие разрушения сдвигом в области В и
получающиеся при этом профили изломов в сечениях,
перпендикулярных оси (по Дж. Нотту):
1 — исходный надрез и усталостная трещина; 2 — плоский
излом отрывом; 3 — косой излом при сдвиге
этом в средней части образца напряженное состояние
близко к плоскому деформированному состоянию, т.е. К\ = К\с,
и трещина нормального отрыва распространяется на
некоторое расстояние в направлении х от надреза (зона 1) к центру
образца (зона 2) и частично в направлении у по его толщине.
При высокой скорости отрыва возникает
плоскодеформационный скачок трещины (конусообразная поверхность зоны 2 на
рис. 6.5). В области С такое явление привело бы к
разрушению всего образца, так как доля прямого излома занимает
большую часть сечения. В области В зона разрушения
сдвигом соизмерима с зоной разрушения отрывом (сечение зоны 2
на рис. 6.5), боковые перемычки могут быть разорваны
только путем сдвига при достижении достаточно больших
смещений вблизи вершины трещины, т.е. механизм
распространения трещины носит смешанный характер: распространение
трещины хрупкого отрыва в сочетании с торможением косым
изломом (губами среза). После начального скачка фронт
трещины хрупкого отрыва останавливается. При дальнейшем
росте трещины под действием возрастающей нагрузки зона
282
пластичности перед ее вершиной увеличивается, облегчая
релаксацию напряжения ау, часть поперечного сечения,
деформирующегося в условиях плоского деформированного
состояния, уменьшается и снижает тем самым долю прямого излома.
В промежуточной области В нет четкого критерия
окончательной нестабильности. По мере развития трещины
нормального отрыва, занимающей небольшую часть толщины
поперечного сечения, зона пластичности превращается в
большой по сравнению с толщиной образца участок релаксации
напряжения ау. Окончательная нестабильность наступает при
нагрузке оу > а*, достаточно большой для запуска механизма
скольжения, вызывающего разрыв перемычек, аналогичный
их разрыву в области А.
Приведенная феноменологическая модель
удовлетворительно согласуется с видом поверхности разрушенных
образцов и экспериментальными диаграммами нагрузка —
смещение. Напряжение разрушения образцов, находящихся в
промежуточной области J9, ниже, чем напряжение разрушения
тонких образцов (область Л), так как в первом случае в условиях
развития нестабильности трещина более длинная.
Анализ диаграммы (см. рис. 6.4) показывает, что при
достаточно большой толщине пластины коэффициент
интенсивности напряжений К* = y/G*E и толщина губ среза
становятся константами материала, т.е. наименьшее критическое
значение трещиностойкости, опасное для распространения
трещины, наступает только при возможно чистом разрушении
под действием нормальных напряжений в условиях плоского
деформированного состояния, не зависит от размеров образца
и его можно считать константой материала. При
уменьшении толщины h образца до значения суммарной толщины губ
среза h\ + h<i (зона А на рис. 6.4) вследствие значительного
пластического течения всего разрушаемого сечения образца и
его высокой стабильности достигается наибольшее значение
К* — Кс (G* = Gc на рис. 6.4), которое в 2—3 раза
превышает наименьшее значение К\с (G\c на рис. 6.4).
Итак, разрушение образцов в промежуточной области В
нельзя описать соотношениями Гриффитса — Ирвина. Если
283
окончательная нестабильность обусловлена механизмом
скольжения, приводящим к разрушению сдвигом, то доля
прямого излома зависит весьма сложным образом от длины
трещины и от толщины образца. В этой области
экспериментальные исследования не согласуются по напряжениям разрушения
с теорией Гриффитса — Ирвина. Следовательно, при
определении К\с для вязкого материала размеры образца
должны быть значительно больше зоны текучести. Критическое
значение трещиностойкости, инициирующее распространение
хрупкой трещины, наступает только при разрушении образца
под действием нормальных напряжений в условиях плоского
деформированного состояния, когда размеры образца не
оказывают влияния на величину энергии G\c, необходимую для
хрупкого разрушения. Только это значение
трещиностойкости не зависит от размеров образца, и его можно считать
константой материала. Минимальные размеры, гарантирующие
наименьшее значение К\с> в соответствии с уравнениями E.9)
и E.10) кратны величине
В соотношении F.13) принимают ат = G0,2) это значение
определяется при растяжении стандартного образца до
деформации е = 0,2 %.
В результате опытов (при одноосном растяжении
плоских образцов с односторонней трещиной) получены
соотношения, определяющие минимальные размеры образцов
высокопрочных сталей (см. рис. 6.3):
/>2,5.; В>2*и;
W > 5cj; 6 > 1,5а;. V J
При соблюдении условий F.14) значение К\с будет
наименьшим. Хотя соотношения F.14) получены для
высокопрочных сталей, они могут быть использованы также при
оценке минимальных размеров образцов из сталей с низким
пределом текучести. Однако размеры образцов
увеличиваются при этом настолько, что проведение опытов не всегда
284
возможно ввиду необходимости применения слишком больших
испытательных машин. Например, для типичной
малопрочной пластичной стали К\с w 150МН/м3/2 и ао,2 « 0,5ГПа,
поэтому ширина образца, обеспечивающего плоское
деформированное состояние, В « 0,22 м. Такой образец практически
невозможно подвергнуть испытаниям на разрушение при
одноосном растяжении на стандартном оборудовании. Это
свидетельствует о том, что данное испытание применимо лишь
для материалов, разрушающихся хрупко или полухрупко.
Поэтому значения К\с в случае реализации плоского
деформированного состояния при одноосном растяжении определены в
основном для относительно высокопрочных сталей и сплавов
(^0,2 > 1 ГПа), так как только для них образцы и
испытательные системы не являются непомерно громоздкими.
Трещиностойкость зависит от ряда внешних условий на-
гружения и структурных параметров материала. Влияние
температуры на трещиностойкость наиболее заметно
проявляется в низкопрочных конструкционных сталях. Для
цветных сплавов и высокопрочных сталей характерно
сравнительно малое изменение трещиностойкости при температуре до
100 °С. С повышением температуры трещиностойкость
сталей и других материалов увеличивается вплоть до
температуры, близкой к точке плавления, а затем она уменьшается.
Небольшое увеличение скорости деформации
высокопрочных сталей слабо влияет на коэффициент К\с: для
уменьшения К\с на 10 % необходимо увеличить скорость
деформации на порядок. С увеличением скорости нагружения
трещиностойкость низкоуглеродистых сталей уменьшается,
причем тем заметнее, чем меньше содержание углерода в стали
(это объясняется явлением задержки текучести в
малоуглеродистых сталях). Трещиностойкость некоторых материалов
изменяется в 1,5—2 раза при изменении скорости нагружения
на пять порядков, что равносильно переходу от
статического нагружения к ударноволновому. При очень высоких
скоростях нагружения деформирование происходит так быстро, что
выделяющаяся в процессе пластического течения теплота не
285
успевает полностью рассеяться в образце, и тогда перед
развивающейся трещиной возникает локальная зона с
повышенной температурой, в которой трещиностойкость значительно
возрастает.
Практическое значение параметра К\с состоит в том, что
с его помощью можно определить величину разрушающих
напряжений в зависимости от формы и размера дефекта (/ х т,
где I — длина дефекта; т — характеристика дефекта (для
трещин т = 0,5.. .2,0)), и, наоборот, зная рабочее
напряжение в образце, можно предсказать размер трещины, при
достижении которого произойдет разрушение. Типичные
значения трещиностойкости различных материалов приведены в
табл. 6.2—6.4.
Таблица 6.2
Диапазон трещиностойкости
различных материалов
Материал
Дерево
Стекло силикатное
Стекло органическое
Хрупкие горные породы
Полимеры
Стали и сплавы
KiC} МН/м3/2
0,15... 0,60
0,30... 0,60
0,70... 0,93
0,60... 1,20
0,60... 1,6
15... 180
Таблица 6.3
Трещиностойкость и механические характеристики
некоторых сталей и сплавов
Материал
Сталь:
20
60
45Х
45ХН
35ГС
65Г
У8
<тт, ГПа
0,25
0,50
0,85
1,42
0,90
0,44
—
<тв, ГПа
0,42
0,85
1,00
—
1,00
0,75
0,60
Ф,%
50
30
50
40
35
28
60
КCU, кДж/м2
500
200
350
500
450
—
—
Ки, МН/м3/2
37
75
126
68
55
126
18
286
Окончание табл. 6.3
Материал
Д20
В95
ВТ14
«Г..
0
1
ГПа
,51
,00
сгв, ГПа
0,40
0,58
1,15
35
—
—
KCU, кДж/м2
—
—
Таблица
Ки
S.J
., МН/м3'2
33
35
52
Трещиностойкость высокопрочных
сталей в зависимости от предела
текучести
Сталь
Улучшаемая
Закаливаемая
<го,2, ГПа
1.4
1,6
1,8
1,4
1,6
1,8
2,0
2,1
Ки, МН/м3'2
56
37
31
104
93
78
59
50
Совместное использование показателя трещиностойкости
К\с и предела прочности материала приводит к оценке
надежности материала по критерию остаточной прочности.
Допустимый размер трещины, при котором прочность
уменьшается вдвое по сравнению с ее исходным значением, можно
определить следующим образом:
2'
откуда
т2 '
F.15)
В качестве примера выберем три типичных
конструкционных материала с осредненными свойствами (табл. 6.5).
287
Таблица 6.5
Трещиностойкость типичных
конструкционных материалов
Материал
Среднеуглеродистая сталь
Легированная сталь
Алюминиевый сплав
<г„ ГПа
1,82
1,85
0,56
Kic, МН/м3'2
46
90
32
Очевидно, что в среднеуглеродистой стали допустимы
трещины размером 2/ = 2,6 мм. В то же время для
легированной стали устойчивые трещины могут иметь размеры
2/ = 6,4 мм, а для алюминиевого сплава 21 = 8,8 мм. Кривые
остаточной прочности рассматриваемых материалов в
зависимости от длины трещины F.15) представлены на рис. 6.6.
Видно, что материал с наибольшей трещиностойкостью имеет
наибольшую остаточную прочность.
0,5 \
0 10 го 30 4021,мм
Рис. 6.6. Зависимость остаточной
прочности <т от длины трещины 2/:
1 — легированная сталь (К\с = 90МН/м3/2);
2 — среднеуглеродистая сталь (К\с = 46 МН/м3'2);
3 — алюминиевый сплав (К\с = 32 МН/м3^2)
Если же нанести на график значения частного,
являющегося результатом деления предела прочности на исходную
прочность (до образования трещины), то получится
совершенно иная картина (рис. 6.7). При равных относительных поте-
288
рях прочности в алюминиевом сплаве допустимы более
длинные трещины, чем в других материалах. Это связано с тем,
что алюминиевый сплав имеет наибольшее значение
отношения трещиностойкости к пределу прочности на разрыв.
0,6
0,4
0,1
—1 —
О 10 20 30 40Я,мм
Рис. 6.7. Зависимость относительной
остаточной прочности (<г/(т») от длины
трещины:
1 — алюминиевый сплав (Kfjal = 3,3 мм);
2 — легированная сталь (Kfjal = 2,4 мм);
3 — среднеуглеродистая сталь (Kfc/al =
= 0,66 мм)
Итак, оценка прочности элементов конструкции с
трещинами при статическом нагружении с использованием подходов
линейной механики разрушения основана на сравнении
расчетного коэффициента интенсивности напряжений К\ в
вершине трещины или иного дефекта и трещиностойкости
материала К\с. Современные методы неразрушающего
контроля позволяют обнаружить и определить характерные размеры
и расположение дефектов и установить наиболее опасный из
них. Определение коэффициента интенсивности напряжений
проводится расчетным путем на основе аналитических или
численных решений, учитывающих форму и расположение тре-
Щиноподобного дефекта, геометрию и тип нагружения
элемента конструкции. Решающими факторами в оценке
прочности и направлении развития разрушения являются ориента-
289
ция трещины относительно направления действия
наибольших напряжений в исследуемом элементе конструкции и
размеры трещины. В конечном итоге, используя расчетное
значение коэффициента интенсивности напряжений К\ для
выявленного наиболее опасного дефекта и трещиностойкость
материала конструкции К\с> можно найти запас прочности
элемента конструкции, который вычисляют как отношение
критического напряжения ас к действующему напряжению а:
Для анализа прочности элементов конструкции,
содержащих дефекты типа трещин и имеющих возможность
смешанного (хрупковязкого) разрушения, разработан двухкритери-
альный подход, основу которого составляют соотношения
линейной механики разрушения и критериев пластичности для
изотропных материалов. В зависимости от степени развития
пластических деформаций в элементе конструкции под
действием предельных эксплуатационных нагрузок предлагается
использовать следующие критерии разрушения:
— критерий хрупкого разрушения в случае малой зоны
пластического течения в окрестности вершины трещины
Р/ Рс _ к1с _
РТ Рт
— критерий хрупковязкого разрушения при развитой зоне
пластического течения в окрестности вершины дефекта
Pf 2 ( \ **A_
п = ~~ arccos< ехр — — I —
Рт тг I L 8 \рт
— критерий вязкого (пластического) разрушения при
развитом пластическом течении в элементе конструкции
290
где Pf — разрушающая нагрузка; Рт — предельная нагрузка,
вызывающая пластическое течение (по критерию
пластичности); Рс — предельная нагрузка, вызывающая хрупкое
разрушение.
На базе двухкритериального подхода была предложена
также диаграмма оценки разрушения (рис. 6.8).
Практическое применение приведенной диаграммы включает четыре
элементарные последовательные операции:
0,5
В
О 0,5 1 Р
Рис. 6.8. Диаграмма оценки
смешанного разрушения
1) для рассматриваемого дефекта в нагруженном
элементе конструкции определяют значение К\ и рассчитывают
значение К = К\1 К\с\
2) определяют отношение разрушающей нагрузки на
элемент конструкции Pf к предельной нагрузке пластического
течения Рт, а именно Р = Pf/PT\
3) полученные значения К и Р умножают на требуемый
коэффициент запаса прочности элемента конструкции п > 1;
4) находят координаты определяющей точки (К n, P п) на
Диаграмме и сравнивают ее положение с положением кривой,
отображающей предельное состояние: если найденная точка
располагается на диаграмме в области Л, то состояние
дефекта устойчиво и разрушение не происходит; попадание
определяющей точки в область В приводит к разрушению
материала.
291
Следует отметить, что если анализ
напряженно-деформированного состояния конструкций с трещинами и оценка
их прочности с применением линейной механики разрушения
достаточно разработаны, то проблема оценки прочности
элементов конструкций, содержащих различные дефекты, в
случае, когда неприменимы методы линейной механики
разрушения (развитое пластическое течение, динамические нагрузки),
ещё требует дальнейшего развития.
6.5. Критерии разрушения при смешанном
разрушении и в области общей текучести
В разделе 6.4 было показано, что применение
стандартных методов испытаний позволяет получить значения
вязкости трещиностойкости К\с только в условиях плоского
деформированного состояния. На вопрос о том, каким образом
измерять трещиностойкость низкопрочных вязких материалов
на относительно небольших лабораторных образцах, пока не
дано исчерпывающего ответа, т.е. в настоящее время не
существует общепринятого стандартного метода исследований,
который был бы пригоден для любых пластичных
материалов с большой трещиностойкостью, ибо при испытании таких
материалов возникают трудности, обусловленные
требованиями к размерам образцов. Кроме того, для любого серийного
производства необходим входной контроль качества
материала в каждой поставляемой партии. Поэтому возник интерес
к развитию простых лабораторных методов определения
трещиностойкости на небольших образцах. Главное требование
состоит в том, что измеряемый параметр должен быть
количественно связан с показателями трещиностойкости материала,
чтобы для оценки прочности и надежности материала можно
было воспользоваться аппаратом линейной механики
разрушения.
Рассмотрим особенности измерения и использования двух
параметров: критического раскрытия трещины (КРТ) и
критического значения высвобождающейся энергии
деформирования (J-интеграл).
292
Критическое раскрытие трещины. Поле
напряжений или деформаций вблизи вершины трещины нельзя
охарактеризовать одним параметром, если в области вершины
существует заметная пластическая деформация. Для упруго-
пластических сред Уэллсом было введено понятие
критического раскрытия трещины, основанное на предположении о
том, что трещина может распространяться только тогда,
когда пластическая деформация вблизи вершины достигает
максимально допустимого значения. Деформацию при вершине
трещины в данном материале и при определенных условиях
испытаний можно выразить через величину раскрытия
трещины, которую можно измерить.
О
I ^
Рис. 6.9. Схема раскрытия трещины
Для трещины, изображенной на рис. 6.9, величина
раскрытия трещины 8 в соответствии с учетом второго
соотношения системы (П1.24) для плоского напряженного состояния
определяется через перемещение берегов трещины иу:
F.16)
Максимальное относительное перемещение берегов трещины
достигается в ее центре при х = 0: 6т&х = 4al/E.
Бели вблизи вершины трещины возникают пластические
деформации, то происходит притупление этой вершины и
критическое раскрытие трещины (КРТ) 6* при ее вершине может
быть отличным от нуля (см. рис. 5.8), тогда как из
соотношения F.16) следует, что 6+ = 0 при х = I. Значит,
необходимо применить коррекцию на зону пластичности к уравнению
F.16), что приводит к выражению
293
откуда при х = / с учетом соотношения E.9) получаем
Экспериментально было показано, что образцы
различных размеров с одинаковыми концентраторами напряжений
имеют при разрушении примерно постоянное значение КРТ
?*, хотя малые образцы разрушаются после наступления
общей текучести, а большие — до ее наступления.
Следовательно, можно измерить величину 6+ материала на малом образце,
а затем полученный результат использовать для расчета
напряжения разрушения большой детали до наступления общей
текучести по уравнению F.17). Действительно, для большого
образца разрушение происходит при напряжениях,
значительно меньших предела текучести, отношение величины
разрушающего напряжения crj к пределу текучести материала <тт
мало, а из уравнения F.17) получаем соотношение
оул/4/ = у/Еат6*> F.18)
с точностью до постоянного сомножителя аналогичное
критерию Ирвина D.19): aV*J = const = Кс. Зависимость F.18)
можно записать в виде, с одной стороны,
F.19)
а с другой стороны,
F.20)
где К* — критическое значение коэффициента интенсивности
напряжений.
Приравнивая левые части уравнений F.19) и F.20),
получаем
К* = л/-~Е(тт6^
V 4
294
или
G* = ^ = M*. F-21)
где G* — критическое значение величины высвобождаемой
энергии.
Связь между G* и 6+ еще недостаточно подтверждена
экспериментально, но даже в этом случае измерения КРТ
позволяют оценить относительную трещиностойкость
материалов при данной температуре эксплуатации. Достоинство
метода заключается также в возможности применения
показателя КРТ для серийного контроля, что является следствием
небольших размеров образцов, подвергаемых испытаниям на
трещиностойкость. Анализ, основанный на понятии
раскрытия трещины, показывает, что распространение трещины или
разрушение начинается в тот момент, когда раскрытие
трещины 6 превышает критическое значение 6+:
6 > «*. F.22)
В рамках механики разрушения критерий КРТ F.22)
формально эквивалентен критерию разрушения, связанному
с понятиями К\с и Gjc, что в какой-то мере служит
обоснованием его применимости. В то же время использование
показателя КРТ ограничено, так как он не дает возможности
вычислить разрушающие напряжения, а значение КРТ
относится только к началу движения трещины и (в отличие от
параметра К\с) не характеризует точку полной нестабильности
разрушения: различие между значениями 6* в момент начала
движения трещины и при наступлении полной
нестабильности может быть весьма существенным). Можно считать, что
для низкопрочных пластичных материалов КРТ является
относительным параметром трещиностойкости.
Критическое значение высвобождающейся
энергии деформирования. Второй критерий оценки
трещиностойкости материала в упругопластической области основан
295
на определении изменения энергии деформирования при
увеличении длины трещины на d/, аналогично определению
высвобождающейся энергии деформирования G в условиях
линейной упругости. Изменение этой энергии характеризует
./-интеграл, представляющий собой криволинейный интеграл,
взятый по контуру Г, который начинается у нижней
поверхности трещины, охватывает ее основание и заканчивается у
верхней поверхности трещины.
Величина интенсивности выделения энергии G
определяется упругим полем напряжений лишь тогда, когда зона
пластичности вблизи вершины трещины настолько мала, что
применима теория упругости. В противном случае влияние
пластических деформаций на интенсивность выделения
энергии G весьма существенно, поэтому для корректной оценки
этого влияния необходимо точное решение упругопластиче-
ской задачи для образца с трещиной. Аналитически такое
решение пока не получено, и это привело к необходимости
создания косвенного метода, основу которого составляет
понятие J-интеграла:
где Г — замкнутый контур, окаймляющий в упругопластиче-
ском теле некоторую напряженно-деформированную область
(рис. 6.10); U = / а%3 de^ — удельная энергия деформирова-
0
ния единицы объема; а — вектор напряжений, направленный
по нормали к контуру Г; и — вектор перемещений в
направлении оси х; dT — элемент контура Г с направлением обхода
против часовой стрелки.
В задаче о трещине в упругопластическом теле (рис. 6.11)
инвариантный J-интеграл, взятый по замкнутому контуру
Г1Г2, равен нулю, так как на берегах трещины, захваченных
контуром, а = 0 и dy = 0, поэтому их вклад в «7-интеграл
296
Трещина
Рис. 6.10. К определению
./-интеграла
Рис. 6.11. Контур обхода
вершины трещины
равен нулю, причем Jyx = Jr2- Действительно, переходя к
интегралу по площади 5(Fi, Г2), заключенной между
контурами, имеем
так как
дх ~ дх
дх
о
При решении конкретных задач «/-интеграл берется не
по замкнутому контуру и пределы интегрирования лежат на
берегах трещины. Например, для упругой среды J-интеграл
можно вычислить, используя решение задачи о поле
напряжений в линейно-упругом материале (см. приложение 1). В
полярных координатах J-интеграл приобретает вид
7Г
7Г
J = r [ \u(r, в) cos в - <т(г, в)
F.23)
— 7Г
Вычисление интеграла F.23) в условиях плоского
деформированного состояния приводит к соотношению
Jj = G\ = A - v2) -ф-, F.24)
297
т.е. для случая упругого решения «/-интеграл эквивалентен
интенсивности выделения энергии. В общем случае с учетом
знака
дП
J = —Ql> F.25)
где П — потенциальная энергия деформации.
Выражение F.25) указывает, что величина «/-интеграла
формально эквивалентна изменению потенциальной энергии
системы и характеризует скорость ее уменьшения при
увеличении длины трещины. В механике разрушения упругопла-
стического тела «/-интеграл играет ту же роль, что и
величина G в линейной упругой механике разрушения. Для линейно-
упругого тела уравнения F.24) и F.25) эквивалентны.
Итак, J-интеграл есть обобщенная функция выделения
энергии за счет распространения трещины. Эту функцию
используют в тех случаях, когда вблизи вершины трещины
имеются значительные пластические деформации, т.е. при упру-
гопластическом деформировании и даже в условиях общей
текучести. Поскольку значение «/-интеграла не зависит от
пути интегрирования, его можно определять достаточно просто,
выбирая путь интегрирования, вдоль которого
интегрирование не вызывает трудностей математического характера, т.е.
вдоль краев образца, или в соответствии с полями
напряжений вокруг трещины, или по границам ячеек разностной сетки
в случае численного решения. Для проведения практических
расчетов это наиболее полезное свойство «/-интеграла.
По аналогии с критериями линейной механики
разрушения можно ожидать, что существует некоторое критическое
значение «/-интеграла — Jjc, при котором может начинаться
рост трещины (для линейно-упругой среды J\c = G\c),
Следовательно, критерий разрушения, основанный на понятии
«/-интеграла, будет иметь вид
298
I* A
Рис. 6.12. Графическая интерпретация
экспериментального определения J-интеграла:
1 — упругие деформации; 2 — жесткопластические
деформации
где J\c — критическое значение J-интеграла, зависящее от
различных факторов — температуры, скорости деформаций,
вида напряженного состояния и др.
Согласно уравнению F.25), «/-интеграл можно
найти с помощью диаграммы нагрузка Р — перемещение иу
(рис. 6.12, а). Площадь между двумя кривыми, которые
связывают нагрузку с перемещением для трещин длиной I nl+dl,
равна tffl = В (dli/dl)dl = JBdl. Если полученные таким
образом значения «7 построить как функцию от иу или от I
(рис. 6.12, б), то, определяя значение иу для трещин разной
длины, можно установить, наступает ли разрушение во всех
случаях при одинаковом значении «/. Экспериментальные
исследования показали, что разрушение действительно
происходит при постоянном значении J = J\c. Например, измеренные
значения J\c для высокопрочной стали (легированной
добавками никеля, хрома, молибдена и ванадия) для различных
образцов при температуре 366 ... 394 К изменялись в
пределах 167 .. .187кДж/м2, что приблизительно равно значению
GjCJ определенному независимо при растяжении надрезанного
образца (см. рис. 6.3).
При определении трещиностойкости материала с
помощью метода «/-интеграла ограничениями на величину
пластических деформаций (по интенсивности и области воздействия)
299
можно пренебречь, что позволяет найти значение J\c путем
испытания образцов малых размеров. Следовательно, метод
«/-интеграла представляется наиболее многообещающим в
случае возникновения больших пластических деформаций как
для теоретических, так и для экспериментальных оценок
прочности конструкций, содержащих различные дефекты
естественного или искусственного происхождения.
Измерения величин 6+ и J\c предпринимаются с целью
охарактеризовать разрушение одним параметром, который
может быть связан с величиной G при разрушении массивных
образцов до наступления общей текучести. КРТ можно
прямо связать с микромеханизмами разрушения на площади
около 0,01 мм2, так как эта величина определяется в окрестности
вершины трещины. Соответственно «/-интеграл связан с
макроскопической работой. Критическое значение J-интеграла
легко измерить, но определение его значения на практике
связано с теми же погрешностями, с какими определяется
значение КРТ. В переходной области (от вязкого разрушения
к хрупкому) критерий J-интеграла не имеет преимуществ по
сравнению с критериями линейной механики разрушения.
6.6. Показатели динамической
трещиностойкости
Проектирование и эксплуатация конструкций,
испытывающих действие динамических нагрузок, требуют знания
закономерностей поведения материалов с учетом влияния
скорости нагружения и температуры. Многочисленные
исследования показали, что сопротивление хрупкому разрушению
большинства конструкционных сталей снижается при повышении
скорости нагружения.
В статической линейной механике разрушения модели
трещин, рассматривающие условия их страгивания (старта),
основаны на следующем постулате: неупругие и необратимые
процессы диссипации энергии при распространении трещины
300
локализованы в ее вершине и могут быть оценены одной
характеристикой материала — трещиностойкостью по
отношению к страгиванию трещины К\с. Эта величина может
зависеть от толщины образца и его температуры, но не зависит
от начальной длины трещины, приложенных сил и геометрии
тела. Для быстро распространяющихся трещин
принимается тот же постулат, но с дополнительным условием, что
скорость диссипации энергии зависит от скорости
распространения трещины. Следовательно, в динамической линейной
механике разрушения учитывается влияние скорости
деформирования, а трещиностойкость при быстром разрушении Кц)
связана со скоростью распространения трещины Vf (рис. 6.13).
Vf Vf Vf VmVi Vf
a S в
Рис. в.13. Зависимости динамической трещиностойкости Кю
от скорости распространения трещины «/:
а и б — минимальное сопротивление К\ш соответствует нулевой
скорости; в — Kim соответствует высокой скорости
В связи с существенной нелинейностью возможных
зависимостей, приведенных на рис. 6.13, при динамическом нагруже-
нии используют не одну, а несколько силовых характеристик
трещиностойкости: по страгиванию К\^ Кд,
распространению Кц), Kq и остановке К\а, Ка трещины. Ввиду
сложности полного динамического анализа процесса
распространения трещины в элементе конструкции определение
перечисленных характеристик трещиностойкости, по мнению ряда
исследователей, позволяет дать консервативную оценку
условий остановки трещины. Для этого принимается
минимальное К\т из значений К\^ Kid* К\а и считается, что снижение
301
интенсивности напряжений до уровня, меньшего К\т1
приводит к остановке трещины.
По своему физическому смыслу характеристики
динамической трещиностойкости А^, Кщ, К\а аналогичны
статической трещиностойкости при плоском деформированном
состоянии К\с. Если разрушение происходит при плоском
напряженном состоянии, то используются характеристики
динамической трещиностойкости К^ Kj), Ka, аналогичные
параметру Кс при квазистатическом нагружении.
Характеристики динамической трещиностойкости материалов по стра-
гиванию трещины определяют по результатам испытаний,
используя при этом соотношения линейной механики
разрушения, связывающие коэффициент интенсивности
напряжений с уровнем нагрузки в момент страгивания трещины
или с энергетическими характеристиками трещиностойкости:
G\d = A — ^2) К^д/ Е для плоского деформированного
состояния; Gd = К%/Е для плоского напряженного состояния.
В соответствии с изложенной моделью определения
трещиностойкости при динамическом нагружении элементов
конструкций остановка трещины происходит тогда, когда
min K\j)(vf) достигает некоторого характерного значения, т.е.
ВД, <т, t) < Klm или Gi(l,a,t)<Gim. F.26)
Минимальные значения К\т и G\m в критерии F.26)
определяются по зависимостям энергии разрушения G\j) или
трещиностойкости Кцу от скорости трещины. Минимальное
значение коэффициента интенсивности напряжений К\т не
обязательно соответствует трещиностойкости в начале
распространения трещины К\с, Величина К\т называется тре-
щиностойкостью по отношению к остановке трещины при
динамическом анализе.
Для оценки К\т практическое значение имеют методы
испытаний на трещиностойкость по отношению к страгиванию
трещины при быстром нагружении Кц) и к моменту
остановки трещины при статическом анализе К\а, где К\а —
коэффициент интенсивности напряжений спустя некоторое время
302
после остановки трещины. При этом свойство материала,
определяющее длину остановившейся трещины, не просто
тождественно К\т, а характеризуется некоторым отрезком
функции K\?)(vf), которая соответствует явлению "скачок —
остановка трещины".
При определении показателей динамической трещино-
стойкости в первую очередь возникают трудности
теоретического характера, так как поле напряжений (даже при
отсутствии на образцах боковых разрезов) вблизи фронта хрупкой
трещины, распространяющейся в пластине, имеет неизбежно
сложную структуру. Для приближения к плоскому
деформированному состоянию необходимо обеспечить минимальную
кривизну фронта трещины. При этом выбор конкретной
формы образцов определяется возможной длиной скачка трещины
и стабильностью траектории ее распространения. Для
исследуемого материала величина скачка зависит от вида
зависимости Kij)(vf) (см. рис. 6.13).
Анализ, основанный на изучении эволюции фронта
трещины и экспериментальных данных, показывает, что
минимальный размер скачка трещины должен быть равен 2В^, где
Вь — нетто-толщина образца в плоскости, проходящей через
фронт трещины. Реализация условий плоского
деформированного состояния для быстро бегущей трещины связана с
требованиями к толщине образца:
В> 0,3 3^1 «0,з(^У F.27)
\ аТ J \ ат )
Условие F.27), записанное через значения статического
предела текучести, получено путем экспериментальных
измерений. Оно отражает появление больших пластических
деформаций в образцах и ограничивает возможности для
измерения К\ш. Физический смысл условия F.27) заключается в
том, что размеры образцов должны превышать характерный
размер зоны пластичности вблизи вершины трещины.
Отметим, что аналогичные требования для квазистатического на-
гружения F.14) на порядок выше требований, определяемых
303
условием F.27). Например, при испытаниях на динамическую
трещиностойкость толщина образца из стали с пределом
текучести ат = 0,5 ГПа и значением К\т > 150 МН/м3/2 должна
составлять В > 0,027 м.
По мере увеличения температуры и трещиностойкости, а
также снижения предела текучести, контроль за
направлением распространения трещины может быть утерян. Этот факт
имеет экспериментальное подтверждение и является
следствием нарушения условия F.27) при изменении механических
характеристик материала. Увеличение размеров образца в этих
условиях является технологически дорогим средством.
Рис. 6.14. Схема процесса торможения
трещины в ДКБ-образце:
D — направление ударного воздействия на
клин; /о — начальная длина трещины; 1а —
длина трещины в момент остановки; Pq —
растягивающая нагрузка
Одним из часто применяемых методов оценки
трещиностойкости по распространению трещины Кц) является метод
оценки изменения потенциальной энергии упругой
деформации, вызванной распространением трещины в двухконсоль-
ной балке (ДКБ-образце) при изгибном нагружении консолей
с помощью клина (рис. 6.14). Трещины инициируются из
тупых надрезов, поэтому измеряемый коэффициент
интенсивности напряжений К\&, соответствующий моменту страгивания
трещины, больше трещиностойкости К\с. Взаимодействием
между образцом и системой нагружения вследствие ее
высокой жесткости в процессе движения трещины пренебрегают.
304
Напряженно-деформированное состояние для оценки трещи-
ностойкости принимают квазистатическим. Характеристику
К\а рассчитывают по нагрузке Р и длине трещины 1а в
момент ее остановки в ДКБ-образце. Необходимо отметить, что
квазистатическое напряженно-деформированное состояние в
образце устанавливается за время, примерно равное 1 мс, что
снижает надежность оценки величины К\п.
Строго говоря, для анализа напряженного состояния в
вершине трещины в процессе ее движения требуется
определение коэффициента интенсивности напряжений K\{i)^
изменяющегося во времени. Аналитическое решение такой задачи
существует только для весьма ограниченного круга
идеализированных постановок. Динамические задачи о воздействии
произвольных нагрузок на неподвижные трещины
рассматривают аналитически, применяя два основных подхода.
В первом случае ударный импульс <r(t) представляют
пакетом монохроматических волн, которому соответствует
комплексная спектральная функция
¦М-
Решая задачу об установившихся колебаниях, рассчитывают
коэффициент интенсивности напряжений К\{ш), отвечающий
волне частотой а;, а затем, применяя принцип суперпозиции,
находят величину K\{t) в вершине трещины при
произвольном динамическом ударе:
Ktf) =
Второй подход к решению динамических задач основан
на использовании интегральных преобразований в сочетании
с методом Винера — Хопфа.
При постановке динамических задач разрушения
реальных тел со стационарными трещинами конечных размеров
305
определение коэффициента интенсивности напряжений
возможно только с помощью численных методов анализа.
Итак, динамический анализ и измерения K\?)(vf)
существенно затруднены в связи со сложностью реальных
конструкций и большими значениями трещиностойкости.
Именно поэтому Ирвин предложил упростить применение
концепции остановки трещины на практике и использовать для
инженерного анализа не всю кривую K\?)(vf), а величину
мгновенного коэффициента интенсивности напряжений при
остановке трещины К\т = К\а. Такая замена приводит к
занижению значения трещиностойкости, однако упрощение
вычислений и снижение числа испытаний для определения Кц) делает
приближенный подход практически целесообразным.
Следует отметить заметную зависимость К\СУ а значит и
К\т, от предела текучести для вязкого разрушения при
температурах, превышающих порог хладноломкости Тс.
Например, К\с = 100 ... 200 МН/м3/2 для сгт = 1 ГПа, а с
понижением предела текучести до 0,45 ГПа значение К\с возрастает до
200... 300 МН/м3/2.
Детальное исследование мягкой стали путем скола, где
образование губ среза было исключено азотированием
поверхностей образца, показало, что увеличение размера зерна ведет
к снижению динамического сопротивления разрушению.
Таким образом, в материале с большим размером зерна
распространение трещины облегчается, а остановка ее становится
более трудной. Динамическая трещиностойкость
обнаруживает также сильную зависимость от скорости деформации.
Рассмотренные подходы к определению характеристик
динамической трещиностойкости часто имеют
альтернативный характер. Это объясняется тем, что предлагаемые
методы пока не имеют широкой технологической базы.
Вопросы для самоконтроля
1. Почему критерии линейной механики разрушения
являются фундаментальными характеристиками сопротивления
материалов разрушению?
306
2. Какие характеристики ударной вязкости Вам известны?
Опишите способы их определения.
3. Какие феноменологические особенности разрушения
материалов формально связывают характеристики трещино-
стойкости и работу развития трещины?
4. Почему ни один из показателей ударной вязкости не может
быть использован для расчетов прочности и надежности
материала конструкций?
5. Дайте определение статической и динамической твердости
материала.
6. Как определяется динамическая твердость при
вдавливании шарика?
7. Как найти динамическую твердость при внедрении
конуса?
8. Охарактеризуйте понятие критической скорости удара.
9. Почему сопротивление материала внедрению тела в
динамическом случае описывается с помощью двучленного
закона сопротивления?
10. Что такое трещиностойкость материала? Какими
параметрами она характеризуется?
11. Опишите зависимость трещиностойкости от толщины
испытуемого образца.
12. Почему критическое значение трещиностойкости
выбирается исходя из условий плоского деформированного
состояния?
13. Каким соотношением определяются минимальные
размеры образца?
14. От каких параметров и как зависит трещиностойкость
материала?
15. В чем состоит практическое значение критического
значения коэффициента интенсивности напряжений?
16. Как определить надежность материала по критерию
остаточной прочности?
17. Каким образом определяется запас прочности материала в
рамках линейной механики разрушения?
307
18. В чем сущность двухкритериального подхода к оценке
смешанного разрушения?
19. Почему некорректно применение критериев линейной
механики разрушения для пластичных низкопрочных
материалов?
20. Поясните физический смысл показателя "критическое
раскрытие трещины".
21. Какова связь между критическим значением
высвобождающейся энергии деформирования и значением
критического раскрытия трещины?
22. Опишите физический смысл J-интеграла. Дайте его
математическую запись.
23. Чему равно значение J-интеграла для упругого тела?
24. Каким образом определяется критическое значение
«/-интеграла при экспериментальных испытаниях
образцов?
25. Каковы основные преимущества показателя J\c перед
другими показателями трещиностойкости?
26. Назовите основные показатели динамической
трещиностойкости.
27. Каким параметром на практике принято характеризовать
динамическую трещиностойкость? Почему?
28. Какие ограничения накладываются на образец при
испытаниях на динамическую трещиностойкость материала?
308
Глава 7
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
7.1. Соотношения Ренкина — Гюгонио.
Ударная адиабата
Ударные волны в твердых телах подвергают материал
давлению, значения которого могут быть на несколько
порядков больше, чем при обычных статических нагрузках.
Ударные волны возникают при физических взрывах, при детонации
различных взрывчатых веществ, при сверхзвуковом движении
тел, при мощных электрических разрядах, при
высокоскоростном соударении твердых тел и т.д. В инженерной практике
также применяются методы контролируемого взрывного
удара для штамповки, сварки, плакировки и упрочнения
металлов, где энергия изделиям передается через ударную волну
и продукты детонации. Эти работы требуют нового
подхода к получению и применению критериев прочности, к
изучению механизмов деформирования и разрушения материалов
при воздействии на них ударных волн, к исследованиям
микроструктурных изменений в ударных волнах.
Рассмотрим процессы деформирования и разрушения
твердых тел в условиях сильного динамического (ударновол-
нового) нагружения при давлениях ~10° ... 102 ГПа и
времени 10~4 .. . 10~6 с. Обычно ударноеолновой характер
нагружения связывают с воздействием на твердые тела ударных
волн.
309
О х 0
а 5
Рис. 7.1. Скачок давления в идеальной (а) и
реальной (б) ударной волне F — ширина фронта
ударной волны)
Ударная волна (скачок уплотнения) есть
распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью тонкая переходная область,
в которой происходит резкое увеличение плотности,
давления и скорости вещества. Хотя ударная волна
математически представляется в виде бесконечно тонкого разрыва
(рис. 7.1, а), однако в действительности вследствие
диссипации энергии ударный фронт в твердых телах имеет некую
конечную пространственную структуру (рис. 7.1,6), которая в
определении ударной волны названа "тонкой переходной
областью". Очевидно, что толщина фронта ударной волны
должна иметь порядок длины свободного пробега элементарных
.частиц: согласно оценкам толщина фронта ударной волны
в твердом теле измеряется величинами порядка 10~9 м.
Отметим, что при многих теоретических исследованиях и при
решении большинства практических задач столь малой
толщиной ударного фронта можно пренебречь и с большой
точностью заменить фронт ударной волны поверхностью разрыва,
при прохождении через которую параметры среды
изменяются скачком (отсюда название "скачок уплотнения").
Ударная волна характеризуется следующими
свойствами:
— скорость распространения ударной волны больше
скорости звука в невозмущенной среде;
310
— на фронте ударной волны параметры состояния и
движения среды изменяются скачкообразно;
— ударная волна сопровождается перемещением частиц
среды в направлении фронта волны;
— скорость распространения ударной волны зависит от
интенсивности возмущений;
— при образовании ударной волны энтропия среды
возрастает.
Наиболее простой моделью твердого тела, позволяющей
рассчитывать параметры ударных волн, является
гидродинамическое приближение, в рамках которого рассматривается
только физическое поведение сплошной среды A.1), а
механическое поведение A.3) полностью игнорируется. При этом
состояние материала описывается тремя скалярными
величинами — плотностью, давлением и температурой, а также
вектором скорости. Тогда в объеме, занятом твердым
деформируемым телом, выполняются законы сохранения массы, импульса
и энергии, записанные в гидродинамическом приближении. В
подвижной системе координат, связанной с движущимся
плоским фронтом ударной волны, эти законы записываются в
форме элементарных соотношений:
pV = POVQ] P + PV2 = PQ +
B+i+ = Bt+ + i
p 2 po 2
где /9, v, p и E — плотность, скорость, давление и
удельная внутренняя энергия среды за фронтом ударной волны,
а /9о, vo> PQ и Eq — те же параметры среды перед ударным
фронтом (в начальном, не подверженном ударному сжатию,
состоянии).
Экспериментальные данные показывают, что такое
приближение достаточно удовлетворительно описывает реальный
процесс ударного сжатия при давлениях свыше 10 ГПа для
большинства твердых тел (в том числе и для металлов), так
как при этом первый инвариант тензора напряжений (среднее
311
напряжение) значительно превышает предел прочности, а
амплитуда ударной волны существенно превышает амплитуду
предшествующей упругой волны (упругого предвестника).
Обозначим скорость ударной волны через Dy удельный
объем через V = 1/р и будем считать, что среда перед
фронтом ударной волны находится в покое. В результате
перехода от системы координат, связанной с движущимся ударным
фронтом, к неподвижной (эйлеровой) системе координат,
относительно которой фронт ударной волны движется со
скоростью 22, можно получить соотношения Ренкина—Гюгонио,
которые связывают параметры на обеих сторонах ударного
фронта с его скоростью и являются следствием полученных
выше законов сохранения массы, импульса и энергии:
D -
V =
P-Po
1
2
р,
Ру
Ро
\
1
1
Z
1 "¦"
1
1
Рис. 7.2. Адиабата
ударного сжатия, или
адиабата Гюгонио (кривая 1),
пересекающие ее адиабаты
Пуассона (кривые 3) и
линия Рэлея (прямая 2)
G.1)
G.2)
G.3)
Уравнение G.3)
определяет единственную кривую
в плоскости (р, V) (рис. 7.2),
которая является
геометрическим местом точек всех
(р—У)-состояний,
достижимых с помощью одной
ударной волны из заданного
начального состояния (ро—Vo)>
если известны
термодинамические свойства вещества,
т.е. функция Е = JE(p, V),
называемая уравнением
состояния. В этом случае из
уравнения G.3) следует
зависимость конечного давления
р\ от конечного объема V\
312
при ударном сжатии вещества из данного начального
состояния (ро—Vb) и называется ударной адиабатой (адиабатой
ударного сжатия), в отличие от обычных адиабат
неударного сжатия.
Для заданной скорости ударной волны D уравнение G.1)
определяет в плоскости (р, V) прямую линию (см. рис. 7.2)
с наклоном (pqDJ, которая является геометрическим местом
всех допустимых (р—У)-состояний, соответствующих этой
скорости ударной волны. Она называется линией Рэлея, и
ее пересечение с ударной адиабатой определяет конечное
состояние за фронтом ударной волны, соответствующее также
закону сохранения энергии.
В частном случае (в рамках гидродинамического
приближения) можно воспользоваться уравнением состояния
совершенного газа
G.4)
где к — показатель политропы. Используя приведенное
соотношение для совершенного газа, можно записать ударную
адиабату G.3) в форме
р_ _ (к+1)Ур-(к-1)У
ро (*+l)V-(*l)Vb' l ;
которая выражает закон сохранения энергии на фронте
ударной волны и в таком виде называется адиабатой Гюгонио.
Ударная адиабата G.5) принципиально отличается от
обычной адиабаты (адиабаты Пуассона), которая имеет вид
И?)*- G6)
Из уравнения G.5) следует, что плотность газа не
увеличивается беспредельно при р —> оо, а стремится к предельному
значению р/ро = Vq/V = (А; + 1)/(А;-1). Это отличает ударное
G.5) сжатие от адиабатического G.6), так как при обычном
313
адиабатическом сжатии возрастание плотности с
увеличением давления не ограничено. Адиабата Пуассона G.6),
проведенная через точку (руу Vy), проходит между линией Рэлея и
адиабатой Гюгонио (см. рис. 7.2). Отсюда следует
неравенство с+v > D > со (с и со — скорости звука в среде за фронтом
и перед фронтом ударной волны), выражающее тот факт, что
ударные волны являются сверхзвуковыми относительно среды
впереди них и дозвуковыми относительно вещества за ними.
Отметим, что при ударном сжатии вещества
необходимо большее изменение давления р, чем при адиабатическом
сжатии (см., например, пересечение ординаты Vy с
адиабатой Пуассона и адиабатой Гюгонио на рис. 7.2). Это является
следствием необратимости нагревания при ударном сжатии,
что связано с переходом в теплоту кинетической энергии
потока, набегающего на фронт ударной волны.
Из уравнения G.3) следует, что изменение внутренней
энергии на фронте ударной волны равно площади,
расположенной ниже линии Рэлея, в то время как изменение
кинетической энергии v2/2 в соответствии с уравнением G.2) равно
площади, расположенной ниже линии Рэлея, но выше
абсциссы pq. Для сильных волн, когда р > ро> °бе составляющие
энергии приблизительно равны.
Ударная адиабата G.3) имеет графическое отображение в
плоскости различных пар переменных, входящих в уравнения
(р, V) => и - ио+ D = ио+
+ л/(р - Po)(Vo - V),
(р, и) => V = VQ- d = uo+
- (и - щJ/(р - ро), + VQ(p - ро)/(и - и0);
(р, D) => V = Vb[l- и = ио+
- V0(p - Po)/(D - «оJ], + V0(p - Po)/(D - щ);
314
, и) => р =
+ (и - ^0J/(Vb - V), + VQ(u - ti
- V) (D - uoJ/Vo2, + (Vb - V) (jD - uq)/V0;
V= P = PQ+
ti - tio)/Vb.
7.2. Уравнения состояния твердых тел
Законы сохранения на фронте ударной волны G.1)—G.3)
получены для сплошных сред вне зависимости от их
физического поведения, определяемого уравнением состояния
E = E(p,V), G.7)
связывающим между собой любые три термодинамических
параметра среды. Уравнение состояния G.7) для конкретной
среды совместно с уравнениями G.1)—G.3) приводит к
системе из четырех уравнений, содержащих пять неизвестных:
D, р, У, v, E. Задаваясь значением какого-либо одного из
параметров ударной волны, можно определить значения всех
остальных ее параметров.
В наиболее простом случае распространения ударной
волны в совершенном газе, уравнение состояния которого задано
соотношением G.4), ударная адиабата G.5) элементарно
определяется путем исключения внутренней энергии из уравнений
G.3) и G.4). В отличие от газов для твердых сред (как и для
жидких) получить ударную адиабату подобным образом
нельзя, так как уравнения их состояния обычно не могут быть
получены теоретически в виде, пригодном для практического
использования. Поэтому в настоящее время ударные
адиабаты твердых сжимаемых сред определяют экспериментально,
315
а по известной адиабате удается построить уравнение
состояния. При этом эксперименты по динамическому нагружению
твердых сред проводятся с использованием следующих пред-
положений:
— измеренные величины р, V, Е относятся к состоянию
термодинамического равновесия;
— величина относительного сжатия для данного
давления такая же, какой она была бы при гидростатическом
давлении той же величины, что и давление ударного сжатия.
Выполнение первого условия будет удовлетворено в
полной мере только тогда, когда термодинамическое равновесие
установится за время прохождения ударной волны A0~7...
... 10"*6 с). Отметим, что определенные типы полиморфных
превращений требуют больших времен и измеренные
величины при ударных испытаниях соответствуют
квазиравновесному состоянию непосредственно за фронтом ударной волны.
Для получения уравнения состояния твердого тела по
известной из эксперимента ударной адиабате давление и полную
внутреннюю энергию среды необходимо представить в виде
сумм:
Р = Рх + Рт + Рэ и Е = ЕХ + ЕТ + ЕЭ, G.8)
где рх и ?х — упругие ("холодные") компоненты
давления, обусловленные взаимодействием частиц (атомов,
молекул) при Т = О К; рт к Ет — тепловые составляющие
давления и энергии, обусловленные тепловым движением частиц;
рэ к Еэ — электронные составляющие давления и энергии,
обусловленные тепловым возбуждением электронов при
температурах ~Ю4 К и давлениях ~102 ГПа. При температурах
Т < 104 К соотношения G.8) упрощаются:
Р = Рх + Рт и Е = ЕХ + ЕТ. G.9)
Так как составляющие рх и Ех связаны только с
силами взаимодействия между частицами и не зависят от
температуры, то они представляют собой изотермы при Т = О К:
316
рх = Px(V) и Ех = EX(V). При этом из первого начала
термодинамики следуют зависимости
ЛЕ
= J
где Vqk — удельный объем среды при Т = О К.
Введем для твердого тела соотношение
^ G.11)
аналогичное уравнению состояния совершенного газа G.4), в
котором произведена замена р = рт иГ = 7~1- Коэффициент
Грюнайзена T(V) равен отношению теплового давления рт к
плотности тепловой энергии ET/V, а его значение колеблется
в диапазоне 1... 3 при нормальных условиях. Коэффициент
Грюнайзена связан с величинами рхиУ формулой
Здесь слагаемое -2/3 связано с условием р —> с», когда
происходит полная ионизация атомов, среда превращается в газ
с показателем адиабаты 7 = 5/3, а предельное значение
коэффициента Грюнайзена Г* = у — 1 = 2/3.
В соответствии с уравнениями G.9) и G.11) формируется
зависимость
Т(Е-ЕХ)
Рт = Р~Рх = -^—у -,
дифференцирование которой приводит к соотношению
У(дР/дТ)у
dEjv ~ (dE/dT)v ~ cv
Используя термодинамическое равенство
дт)р\ду)т
р
317
и принимая в качестве начальных условий V = Vq и Т =
преобразуем соотношение G.13) к виду
Г = Г(У0) = ^, G-14)
Су
где /3 = (dV/dT)po/Vo — объемный коэффициент теплового
расширения; К = —Vb^p/flV)^ — модуль объемного
сжатия; cv — удельная теплоемкость материала при постоянном
объеме.
Пусть в диапазоне температур Т... Го приближенно
можно считать, что су{дЕ/дТ)у = (dET/dT)v = const.
Тогда
Ет - Яо = су(Т - То), G.15)
То
где Eq = / cv(T) dT — тепловая энергия при комнатной тем-
о
пературе, и уравнения G.9) с учетом G.10), G.11) и G.15)
принимают вид:
Vok
=cy(T-T0)+ I
а в совокупности с уравнением G.12) образуют систему трех
уравнений с тремя неизвестными рХ) Г, Г, если известна
ударная адиабата р(У), определенная экспериментальным путем.
В твердых сжимаемых средах величины давления и
энергии обусловлены как тепловым движением частиц, так и их
взаимодействием (тепловые и упругие составляющие
соответственно). Теоретически не удается построить функцию
Е(р, V) в широком диапазоне изменения термодинамических
параметров для разных жидких и твердых сред, поэтому их
318
ударные адиабаты определяются либо полуэмпирическим
путем, либо исходя целиком из результатов экспериментальных
исследований. Для типичных ударных волн с фронтальным
давлением ^1... 10 ГПа, которые развиваются при детонации
конденсированных взрывчатых веществ, физическом взрыве
и высокоскоростном ударе, повышение энтропии на фронте
ударной волны относительно невелико, и можно
воспользоваться аппроксимациями для ударных адиабат в следующих
формах:
G.17)
-?-) + В; p=i(
где а, Ь, A, J3, п, с, — константы, определяемые для каждого
материала экспериментально и, вообще говоря, зависящие от
изменения энтропии.
Для описания экспериментальных результатов наиболее
привлекательна пара переменных D — v. Это связано с тем,
что для многих металлов выполняется закон
D = a + 6v. G.18)
Итак, для каждой пары значений р и V с помощью
уравнений G.12), G.16) и G.17) можно получить значения рх, G и
Г, т.е. построить уравнение состояния вещества в табличной
форме. Табличные формы px(V) и Г(У) могут быть
аппроксимированы уравнениями типа
¦?'.(- В1-
319
на основании которых уравнения состояния жидких и твердых
тел принимают следующий вид:
где в соответствии с G.10)
й-1
7.3. Волны напряжений в твердых телах
При ударноволновом нагружении твердого тела в нем
возникают возмущения различной природы,
распространяющиеся с определенными конечными скоростями в виде ударных
волн, волн сжатия, волн разрежения, отраженных ударных
волн и волн сжатия, называемых волнами напряжений.
Возмущения, распространяясь в твердом теле, образуют области
возмущений, расширяющиеся с течением времени. Эти
области ограничены поверхностями тела и фронта волны
напряжений. Каждой области возмущений соответствует напряженно-
деформированное состояние, характеризуемое тензором
напряжений (а) и тензором деформаций (е) и определяемое
природой возмущения. В зависимости от природы волн
напряжений области возмущений подразделяют на первичные и
вторичные. Первичной является область возмущений волны
нагрузки, так как при ее отсутствии не могут возникнуть волны
разгрузки и отраженные волны, которые называют
вторичными. Они всегда находятся внутри области возмущений волны
нагрузки и являются областями с начальными напряжениями
и деформациями.
Волна напряжений зарождается в окрестности
непосредственного действия того или иного силового фактора и с
течением времени расширяется с некоторой конечной скоростью.
Начальные параметры ударных волн, возникающих при
высокоскоростном соударении твердых тел и при контактном
320
взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества на
поверхности твердого тела, определяются классическими
методами теории ударных волн, основанными на использовании
законов сохранения G.1)—G.3). Эта возможность
определяется тем, что в момент удара силы, действующие внутри
соударяющихся тел, еще не проявляются, т.е. фазовое состояние
среды не отражается на характере законов сохранения.
Pi
Рг
Граница раздела
\ ударника и мишени
Рис. 7.3. Схема соударения ударника 1 и мишени
2 (а) и образование ударных волн в ударнике 1 и
мишени 2 в момент удара (б)
Например, при прямом ударе плоского ударника по
неподвижной мишени (рис. 7.3) на границе раздела выполняется
граничное условие (условие "прилипания"):
= v2 = v0 -
G.19)
где v* — скорость перемещения границы раздела ударника и
мишени; v2 — массовая скорость за фронтом ударной волны в
мишени; vq — скорость соударения; vi — скорость за фронтом
ударной волны в ударнике.
Пренебрегая начальным давлением ро? из закона
сохранения импульса G.2) получаем:
~ Vi); v2 =
- V2),
G.20)
321
где Vqi и Vo2 — начальные удельные объемы материалов
ударника и мишени соответственно.
В соответствии с граничными условиями значения
давлений р\ и р2 в момент соударения должны быть одинаковыми
по обе стороны границы раздела: р\ = Р2 = р*. Тогда из
соотношений G.19) и G.20) получим
- Vi)
- V2) = vq.
G.21)
Для решения уравнения G.21), содержащего три
неизвестных величины — р*, V\ = 1//?ь ^2 = 1/^25 необходимо
знать уравнения состояния материалов ударника и мишени
или законы их ударной сжимаемости. В разделе 5.2 было
отмечено, что для различных металлов при ударноволновом на-
гружении в диапазоне давлений ^Ю1 ... 102 ГПа зависимость
между скоростью ударной волны D и массовой скоростью v
хорошо укладывается в линейную аппроксимацию G.18). К
настоящему времени константы а и Ь в уравнении G.18)
определены для многих металлов и сплавов. Часть этих данных
приведена в табл. 7.1.
Таблица 1.1
Значения коэффициентов а и 6 в соотношении G.18)
Материал
А1
Со
Сг
Си
Fe @,2 % С)
а, м/с
5250
4748
5217
3958
3800
b
1,39
1,33
1,465
2,497
1,58
Материал
Мо
Ni
РЬ
Ti
W
а, м/с
5157
4646
2028
4779
4065
b
1,238
1,445
1,517
1,088
1,268
Пусть ударные адиабаты материалов ударника и мишени
в соответствии с соотношением G.18) имеют вид:
= а\
G.22)
322
где ai, 61 и a2, 62 — константы в уравнении G.18) для
материалов ударника и мишени соответственно. Подставляя
уравнения G.22) в закон сохранения импульса G.2) и пренебрегая
начальным давлением ро < р, получаем ударную адиабату в
плоскости (р, v) для ударника (с учетом G.19)) в форме
Pi = P0l[a>l
- v2)] (v0 - v2),
G.23)
а для мишени —
Р2 =
G.24)
Совместное решение уравнений G.23) и G.24) с учетом
граничного условия pi = р2 = р* позволяет определить
начальные параметры ударных волн, возникающих при соударении
двух твердых тел. Графическое решение уравнений G.23) и
G.24) приведено на рис. 7.4. Если материал ударника и
мишени один и тот же, то их ударные адиабаты в плоскости (р, v)
симметричны и массовые скорости за фронтами
образующихся ударных волн тождественно равны, а их значение
составляет половину начальной скорости соударения, т.е. v = vq/2.
Рис. 7.4. Ударные адиабаты материала
ударника (кривая 1) и мишени (кривая 2)
в плоскости (р, v)
Твердые тела, как правило, обладают свойствами,
характеризующими механическое поведение материала:
упругостью, пластичностью, вязкостью и др. Фронт ударной волны,
образующейся в твердом теле, при определенных начальных
323
условиях не может распространяться в виде устойчивого
комплекса (см. рис. 7.1). В зависимости от реологических свойств
среды и ее способности к полиморфным превращениям
ударная волна может иметь различную структуру и разные
скорости перемещения ударного фронта.
Рассмотрим распространение плоской волны напряжений
в простейшем случае идеального упругопластического
полупространства, ограниченного только по оси я, вдоль которой
перемещается волна напряжений, инициированная ударом или
взрывом. В такой постановке направления осей я, у} z
являются главными, поэтому напряжения аХу ауу az также
главные, причем главные деформации еу = ez = 0 вследствие
стесненности деформаций в направлениях осей у и z.
Упругая область. В области упругих деформаций
справедливы соотношения обобщенного закона Гука (П2.1) и
(П2.2), приведенные в приложении 2. Из соотношений (П2.2)
при еу = е2 = 0 следует
у "~ z ~" 1 — 2v '
и тогда
ах - ау = 2Gex. G.25)
Поскольку ау = az, то из (П2.1) следует
1
(as2i/*v). G.26)
Подставляя G.26) в G.25), получаем
*х = ^-а9. G.27)
Так как при еу = ez = 0 средняя деформация е = (ех +
+?у + ?*)/3 = ?х/3, а относительная объемная деформация
в = Зе = ех, то из закона Гука (П2.2), записанного в форме
ах = 2Gex + А0, имеем
<rx = BG + \)ex. G.28)
324
С помощью соотношений, приведенных в табл. П2.1,
можно преобразовать сумму постоянных упругости в выражении
G.28) к виду 2G + А = 4G/3 + К, и тогда
- «Ь?х — <? + ьх> (/.^у;
где а — среднее напряжение; Sx — нормальная составляющая
девиатора напряжений в направлении оси х.
Кроме того, в соответствии с данными табл. П2.1
1
2G+A =
. + «/)(l-2i/)~ K'
где Ек — компрессионный модуль упругости, поэтому
G.30)
С учетом соотношений G.27) и G.29) напряжение оу в
упругой области примет следующий вид:
= (к - !<?) ех = ЛГе, - |се« = а - 5У, G.31)
где 5у — нормальная составляющая девиатора напряжений в
направлении оси у.
Используя соотношения G.29) и G.30), определим
скорость продольной упругой волны (скорость звука) в
направлении оси х:
ро дех
= \-Г- G-32)
Ро V Ро
Покажем, что определяемая уравнением G.32) величина
действительно есть скорость малых возмущений в упругой среде (скорость
звука). Так как в упругой области изменением плотности можно пренебречь,
325
то р = ро, а движение упругой среды в направлении оси для
рассматриваемой задачи описывается уравнением движения
dvx дах
где полная производная скорости по времени может быть представлена
как сумма локальной и конвективной составляющих:
dvx dvx dvx
at dt дх
Так как возмущения малы, то скорость движения среды vx также будем
считать малой величиной. В этом случае конвективной составляющей
vx (dvx/dx) полной производной можно пренебречь, а уравнение движения
среды вдоль оси записать в виде
dvx __ д2их __ 1 дах
~~дТ ~~ dt2 ~~ ро""дх"'
где их — перемещение вдоль оси х.
Учитывая, что напряжения являются сложной функцией координат
а = сг{б[мх(х)]}, и принимая во внимание геометрические соотношения,
уравнение движения можно преобразовать к виду
д2их __ 1 дах дех __ 1 дах д2их ~,2 д2их
dt2 ро дех дх ро дех дх2 е дх2
известному как волновое уравнение, где Се G.32) — продольная скорость
звука в идеально упругой среде.
Покажем, что определяемая в соответствии с G.32) величина,
входящая в волновое уравнение, действительно является продольной скоростью
звука, т.е. задает скорость распространения малых продольных
возмущений в упругой среде. Общее решение волнового уравнения имеет вид
пх = Fi(х + Cct) + F2(x - Get),
в чем можно легко убедиться, подставляя это решение в волновое
уравнение. Конкретный вид функций F\ и F2 зависит от задаваемых начальных
и граничных условий. Например, пусть в начальный момент времени
упругая среда свободна от возмущений, т.е. их(х, 0) = 0, а на
границе среды задано постоянное перемещение tzx(O, t) = ио. Этим условиям
соответствует частная форма общего решения
326
где Щу) — функция Хевисайда;
{1 при у > 0;
О при у < 0.
Нетрудно заметить, что частное решение описывает процесс передачи
информации по упругой среде о перемещении ее границы, причем
скорость передачи информации определяется скоростью звука Се. Для
произвольного момента времени частицы среды с координатами х > Cet не
возмущены и не имеют перемещений иХ) так как E(Cet — х) = 0 при
Cet — х < 0. В то же время частицы, заключенные между границей
полупространства и фронтом х = Cet волны возмущения, имеют одинаковые
перемещения uq.
В качестве еще одного примера рассмотрим частный случай
движения среды, когда перемещение границы полупространства изменяется во
времени по гармоническому закону
u*@, t) = но sin — t
с определенным периодом Т, причем в начальный момент времени
упругая среда не имеет перемещений их(х, 0) = 0. Такие граничные и
начальные условия приводят к следующей частной форме общего решения:
их = и0 sin \Ц (* - gr)l Е(С** ~ *) = "о sin Г^ (Cet - *I Н(С«« - х),
где Л = Cet — длина волны. И в этом случае очевидно, что приведенное
частное решение волнового уравнения описывает процесс
распространения по упругой среде продольной звуковой волны, которая
последовательно вовлекает в гармонические колебания различные частицы среды. При
х > Cet среда не возмущена и их = 0; при х < Cet частицы среды
совершают гармонические колебания в направлении распространения фронта
волны со сдвигом во времени относительно колебаний на границе,
определяемым временем х/Се начала колебаний данной частицы (временем
прихода к данной частице с координатой информации о начале
колебаний на границе полупространства).
Для тонкого стержня условие стесненности деформаций
отсутствует (еу ф 0, ez ф 0), связь между нормальным
напряжением ах и линейной деформацией ех в направлении
оси х стержня определена элементарным равенством ах =
= Еех, а скорость распространение упругой волны в
стержне ("стержневая" скорость звука)
G.33)
327
Очевидно, что Се > Со, так как в случае геометрической
модели полупространства эффективный модуль упругости Ек > Е
вследствие компрессии (невозможности разгрузки) материала
в направлениях оси у и оси z, в отличие от геометрической
модели стержня, имеющего свободные граничные поверхности в
указанных направлениях. Следовательно, в одном и том же
материале продольная упругая волна может
распространяться с различной скоростью в зависимости от пространственных
характеристик ударно нагружаемого тела.
Пластическая область. Соотношения G.29) и G.31)
являются справедливыми, пока не наступит пластическое
деформирование материала. Границе областей упругих и
пластических деформаций соответствует условие пластичности,
которое для рассматриваемой задачи имеет одинаковый вид
по Сен-Венану — Треска B.7) и по Мизесу B.15):
ах - ау = ат, G.34)
причем напряжение ау является главным с учетом знака
сжимающих напряжений {—оу > —ах). В соответствии с
равенством ау = az и критерием G.34) среднее напряжение
Ох + о у + °z °х + 2ау 3GХ - 2<тт ,7Q,x
о - з " —3"~ " 3 ' G'35)
В то же время среднее напряжение
<т = К0 = КеХу G.36)
поэтому, приравнивая правые части зависимостей G.35) и
G.36), получаем искомое выражение
ах = Кех + -от. G.37)
В соотношениях G.36) и G.37) в рамках рассматриваемой
задачи принято, что К = const во всем диапазоне давлений.
На самом деле сжимаемость материала ограничена, а
величина модуля объемного сжатия К медленно увеличивается с
ростом давления, т.е. в -» 0* = const при а -* -оо.
328
Совместное решение уравнений G.34) и G.37)
определяет вторую компоненту тензора напряжений в пластической
области:
оу = Кех-- <тт. G.38)
Давление рг, называемое упругим пределом Гюгонио, при
котором упругая область переходит в пластическую,
определяем из условия пластичности G.34) с учетом связи
напряжений в упругой области G.27):
(х) 1 -I/
\2и
G.39)
Используя формулу G.37), найдем предельную
(максимально возможную) скорость распространения
пластический волны, когда напряжение ах превышает упругий предел
Гюгонио рТ на бесконечно малую величину:
G.40)
Скорость распространения волны, на фронте которой
происходит изменение удельного объема (удельной
плотности) среды, называемой объемной скоростью звука,
определим дифференцированием зависимости G.36):
G.41)
т.е. в точке перехода упругой области в пластическую
скорости распространения объемной и пластической волн
принимают одинаковые значения.
Скорость распространения волны сдвига {поперечной
волны) связана с поперечным смещением в пластической
области (с касательными напряжениями т^ и деформациями
сдвига jij (см. приложение 2)) и задается соотношением
329
G.42)
у ги
где G — модуль сдвига.
Действительно, пусть в упругом полупространстве > 0 происходят
перемещения лишь в направлении оси у, т.е. иу(х} t) ф О, тогда как
перемещения в направлениях оси х и оси z отсутствуют: их(х, t) = uz(x} t) =
= 0. В этом случае в среде реализуется деформированное состояние
чистого сдвига, когда не равны нулю только два компонента тензора
деформаций еху = еух = (диу/дх)/2. Согласно физическим
соотношениям для упругой среды, в случае чистого сдвига отличны от нуля
лишь два компонента тензора деформаций — касательные напряжения
аху = аух = 2G диу/дх. Следовательно, уравнение движения среды в
направлении оси у приобретает вид
Ро —т^- = дахудх = Gd иудх .
at
При малых перемещениях и скоростях уравнение движения преобразуется
к волновому уравнению
д7иу _ iG д2иу _ 2 д2иу
dt2 ~ ро дх2 "" ' дх2 '
откуда следует выражение G.42) для скорости распространения по
упругой среде сдвиговых возмущений. Это выражение определяет сдвиговую
скорость звука, т.е. скорость распространения поперечной звуковой
волны, в которой направления движения частиц ортогональны направлению
распространения волны.
Так как определяемые зависимостями G.32), G.40) и
G.41) скорости Се, Су и С\ однозначно связаны с
взаимозависимыми постоянными упругости, то очевидно, что между
ними также существует зависимость:
г2 - г2 4 г2
°1/-°е ~ 3
Следует отметить, что если не учитывать механические
аспекты поведения сплошной среды (формоизменение,
описываемое девиаторами напряжений и деформаций, упругость,
пластичность и т.д.), то для такой среды существует
единственное значение скорости звука (например, для газов,
жидкостей и других сред, которые с высокой точностью можно
рассматривать в рамках гидродинамического приближения).
330
Таблица 7.2
Значения скорости звука для некоторых материалов
Материал
Алюминий
Железо
Медь
Титан
Резина
Вода
Воздух
ро, г/см3
2,7
7,8
8,9
4,5
0,9
1,0
0,0013
Се, м/с
6260
6000
4700
6000
1480
1490
335
Со, м/с
5060
5190
3700
5500
—
—
—
Ср, м/с
5150
4720
3920
4440
—
—
—
С,, м/с
3080
3220
2260
3500
—
—
—
В табл. 7.2 приведены значения скорости звука для
некоторых материалов при нормальной начальной температуре (для
резины, воды и воздуха Се = С).
Волны Рэлея. В неограниченном изотропном теле
могут распространяться только два типа упругих волн:
продольные со скоростью Се и поперечные со скоростью С%.
Однако при наличии поверхности, свободной от нагрузок,
возникают также поверхностные упругие волны, которые были
исследованы Рэлеем. Действие волн Рэлея быстро затухает с
увеличением глубины, а скорость их распространения меньше
скорости распространения упругих волн внутри тела.
Решение уравнений движения для случая
распространения плоской волны внутри упругой среды с плоской свободной
поверхностью позволяет получить уравнение, описывающее
возмущение, область действия которого ограничена
окрестностью границы и которое удовлетворяет условию, что граница
свободна от напряжений. Запишем это уравнение без вывода:
tf6 - 8г?4 + B4 - 16а2) т?2 + A6а2 - 16) = 0,
G.43)
где а2 = A - 2j/)/B - 2v)\ д = Cr/Ci, причем относительная
скорость волны т9 зависит только от коэффициента
Пуассона j/, и если значение v для среды задано, то возможно
решение уравнения G.43) и определение скорости распространения
поверхностной упругой волны (волны Рэлея) С л (табл. 7.3).
331
Значения
скорости
0
0,25
0,29
0,33
0,50
Таблица 1.3
относительной
волны Рэлея
cR/ct
0,8700
0,9190
0,9258
0,9300
0,9550
Так как поверхностные волны расходятся только в двух
измерениях, то они затухают с увеличением расстояния
медленнее продольных и поперечных упругих волн.
Действительно, экспериментальная запись колебаний на некотором
удалении от места взрыва обнаруживает три типа волн. Сначала
приходят волны, в которых колебания преимущественно
продольные, позже — сдвиговые (поперечные) волны, а затем —
поверхностные волны, амплитуда которых больше, чем у двух
других типов упругих волн. Кстати, именно измеряя разность
во времени прихода различных упругих волн от эпицентра
землетрясения, сейсмологи только по сигналам, принятым
одной станцией, способны установить расстояние до эпицентра.
Итак, по своей сути волна Рэлея есть возмущение,
движущееся по свободной от напряжений поверхности.
Диаграмма ударного нагружения (рис. 7.5).
Разрывное уменьшение наклона в точке перелома рТ диаграммы
ударного сжатия ах — ех нарушает условие устойчивости рас-
тт М
пространения ударной волны. Напряжение выше точки р?
(\сгх\ > |рг |) не может распространяться как один ударный
скачок, и в соответствии с уравнениями G.29) и G.37)
волна напряжений разделяется на упругий предвестник, несущий
напряжение pf со скоростью Се, и следующую за ним
пластическую ударную волну, несущую приращение напряжения
Дсгх = \ах\ — |рг | со скоростью Ср. Знак минус перед
символами, обозначающими напряжения и деформации (сг и s),
332
Рис. 7.5. Диаграмма ударного нагружения упругопластичес-
кого материала
означает сжимающий характер нагрузок на фронте ударной
волны.
Уравнения G.31) и G.38) на диаграмме (см. рис. 7.5)
отображаются в виде двух прямых, проходящих ниже прямой
всестороннего сжатия G.36) и имеющих общую точку, определя-
- (у)
емую ординатой Рг .
При разгрузке упругопластического материала
(штриховые линии на рис. 7.5) от фронтального напряжения -<т*
(или —0у) напряжения ах и <ту при высоком среднем
сжимающем напряжении (—<т) уменьшаются по упругому закону
(линии А—А и В—В, идущие параллельно линиям
начального упругого сжатия) до тех пор, пока не достигнут пределов
значений 2<7Т/3 и <тт/3, но с противоположной стороны
относительно линии всестороннего сжатия —а = —Кех-
Следовательно, и при разгрузке материал находится в состоянии
пластического течения, хотя в начальный момент разгрузки
(линии А—А и В—В на рис. 7.5) возможно только
всестороннее неравномерное сжатие, в области которого
касательные напряжения не достигают предельных значений,
вызывающих пластическое течение материала (существует
единственная точка пересечения линий А —А и В—В между собой
и с линией всестороннего сжатия, где имеет место состояние
всестороннего равномерного сжатия).
333
Баланс энергии для плоской ударной волны в
упругопластическом полупространстве. Полную
удельную энергию деформирования в случае справедливости
закона Гука можно представить в виде U = Uo + f/ф, где Uo —
удельная энергия объемного деформирования; t/ф — удельная
энергия формоизменения. Для рассмотренной выше модели
распространения ударной волны с учетом соотношения G.30)
полная удельная энергия деформирования
Удельная энергия объемного деформирования определена
выражением
Так как в соответствии с G.29) и G.36)
+ -Gex = e + lGj?,
то после преобразований с использованием зависимостей,
приведенных в табл. П2.1, получим
Кроме того, использование уравнения G.30) в форме ах =
= Екех = ЗЕке дает зависимость
С учетом выражений G.46) и G.47) удельная энергия
объемного деформирования G.45) определится зависимостью
334
Выражение для удельной энергии формоизменения в
упругой области при плоском деформированном состоянии
может быть получено с помощью следующих преобразований:
\
\
\ [(** - <т)(ех - е) - 2{ау - <т)е] =
- с) - 2(оу - а)е\ =
Сумма слагаемых С/о G.48) и f/ф G.49) приводит к
соотношению для полной удельной энергии деформирования G.44).
В точке перехода из упругой области в область
пластического течения (ах = Рт ) полная удельная энергия
деформирования равна
а ее составляющие принимают значения
1/0 " 6A-21/) 1? ф~ 3 Em
Дальнейшее увеличение нагрузки (ах > Рг М приводит
к появлению необратимой энергии пластического
формоизменения f/ф, которая, в отличие от обратимой энергии
формоизменения в упругой области С/ф, практически полностью
переходит в тепловую энергию. Графическое представление
перераспределения энергии, определяемое зависимостями G.44) и
G.48)—G.51), дано на рис. 7.6.
Тепловая энергия ударного сжатия. Полное
приращение внутренней энергии АЕ при ударноволновом нагру-
жении материала характеризуется площадью, ограниченной
335
и
Рг
Рис. 7.6. Кривые изменения
компонент энергии
деформирования при действии
плоской ударной волны
К
Рис. 7.7. Диаграмма
ударного сжатия:
рг — адиабата Гюгонио; рх —
кривая "холодного" сжатия при
Т=0К
кривой ab (рис. 7.7). Часть энергии АЕХ, которой в
координатах (р, V) (или (<т, е)) соответствует площадь, ограниченная
кривой "холодного" сжатия px(V), является упругой
составляющей и не связана с изменением температуры материала.
Разность АЕ - АЕХ = АЕТ определяет тепловую энергию,
которая расходуется на нагрев материала при адиабатическом
сжатии. При увеличении максимального давления на фронте
ударной волны эта энергия увеличивается.
Выделение теплоты в материале, сжатом ударной волной,
объясняется двумя причинами: сжатием материала до
состояния повышенной плотности (составляющая энергии Uo) и
пластическим деформированием материала в условиях, близких к
адиабатическим, вследствие кратковременности процесса
(составляющая энергии f/ф).
Исследования показали, что при давлении на фронте
ударной волны р < 30 ... 40 ГПа происходящий разогрев
стабильных металлических сплавов и простых металлов еще не
оказывает существенного влияния на их свойства (табл. 7.4).
Экспериментальные результаты, приведенные в третьей
графе табл. 7.4, имеют важное значение для построения физи-
336
Таблица 7.4
Тепловая составляющая давления на фронте ударной волны
Относительное
сжатие V/Vq
0,800
0,770
0,740
0,714
Давление на ударной
адиабате pt ГПа
48,4
64,5
84,0
100,7
Относительная доля
состав л яющей
0,04
0,07
0,09
0,12
тепловой
Рт/р
ческих моделей задач ударного нагружения различных
металлов. Очевидно, что при давлениях на фронте ударных волн в
металлических кристаллах, не превышающих 0,5 ... 0,6 ГПа,
относительная доля тепловой составляющей давления
невелика (менее 5 %), поэтому в качестве уравнения состояния
твердого тела можно выбрать простое соотношение, связывающее
только два термодинамических параметра, т.е. р = p(V).
Ориентировочные значения температуры в условиях
ударного нагружения конструкционных сталей приведены в
табл. 7.5.
Таблица 7.5
Значения температуры при ударном нагружении стали
Давление ударного
нагружения ру ГПа
13
35
50
75
Температура после
ударного сжатия, °С
60
350
550
1050
Температура после
разгрузки, °С
30
150
250
400
Необходимо отметить, что для многих метастабильных
сплавов повышение температуры при ударноволновом сжатии
может быть достаточным для форсирования фазовых
переходов.
337
7.4. Фазовые переходы в твердых телах
Классификация явления полиморфизма основана на
положении фазовой границы относительно изотерм и изоэнтроп
фазы низкого давления в координатах (р, V):
— для фазового перехода первого рода (полиморфные
переходы, аномальное плавление) фазовая граница идет более
полого, чем изотерма первой фазы;
— для фазового перехода второго рода (полиморфные
переходы, затвердевание, плавление) фазовая граница проходит
круче изотермы;
— для фазового перехода третьего рода (плавление)
наклон фазовой границы больше наклона изотермы и меньше
наклона изоэнтропы.
Многие твердые тела при разных условиях могут
пребывать в различных кристаллических модификациях. При
некоторых взаимно связанных значениях температуры и давления
возможны переходы из одной модификации в другую.
Подобные явления, сопровождающиеся изменением объема и
выделением (или поглощением) скрытой теплоты, представляют
собой фазовые переходы первого рода.
Например, при 911 °С а-железо с ОЦК-решеткой (Fea)
переходит в 7~желез° с ГЦК-решеткой (Fe7), которая при
1392 °С вновь превращается в ОЦК-решетку.
Высокотемпературную модификацию а-железа иногда обозначают буквой
6 (Fe$). Обратное превращение 7 —> <* сопровождается
уменьшением координационного числа кристаллической решетки и
уменьшением ее компактности, а объем решетки при этом
увеличивается на 1 %.
Фазовые превращения, вызываемые воздействием
ударных волн, имеют ряд особенностей, причем возможны
следующие явления:
1) переход материала в более плотную фазу, вызывающий
излом на адиабате Гюгонио;
2) увеличение объема материала под действием теплоты,
выделяемой при ударном сжатии, без аномалий на кривых
Гюгонио, например плавление во фронте ударной волны;
338
3) отсутствие заметного изменения объема и
соответственно структуры ударной волны, например при фазовых
переходах в сталях аустенитного класса.
Кроме того, под действием ударных волн процессы
образования новых фаз, как без диффузионные, так и
сопровождающиеся массопереносом, чаще всего завершаются за доли
микросекунд, что свидетельствует о весьма высокой скорости
протекания фазовых превращений. Однако объяснить
ускорение диффузионных процессов только высоким давлением
сжатия не удается, так как при сжатии происходит уменьшение
концентраций вакансий, а следовательно, снижение скорости
диффузии. Необходимо учитывать интенсивный
пластический сдвиг, приводящий в действие дислокационные
механизмы, которые, в свою очередь, резко увеличивают
концентрацию вакансий, ускоряющих диффузию.
Полиморфизм при ударноволновых нагрузках
экспериментально обнаружен у ряда металлов, окислов,
полупроводников, многих минералов и горных пород. Например,
аномальный характер (излом) адиабаты Гюгонио для железа
наблюдается при давлении около 13 ГПа. Результаты статических
измерений приводят к значениям давления 11,8... 13,0 ГПа,
соответствующим фазовому переходу в железе. При
давлениях, превышающих давление фазового перехода для
железа, возможно образование плотноупакованной е-фазы железа,
обладающей, по имеющимся данным, ГПУ-решеткой. Был
сделан вывод, что при давлении 13 ГПа в а-железе
образуется смесь 7-Фазы и е-фазы с промежуточной метастабильной
объемноцентрированной тетрагональной фазой, и
установлено, что при давлении 12,8 ГПа существует равновесие а-фазы
и ?-фазы, а обратный фазовый переход происходит при
давлении 9,8 ГПа.
Плотноупакованная гексагональная ?-фаза железа может
образоваться либо из а-фазы с ОЦК-решеткой, либо из 7-фазы
с ГЦК-решеткой. Тройной точке А (рис. 7.8) соответствуют
значения давления р « 13 ГПа и температуры Т « 527 °С, т.е.
до температуры 527 °С возможен (а —> ?)-переход, а выше
527 °С — (а -> 7 -> в)-переход.
339
s w 15 pfrna
Рис. 7.8. Диаграмма
фазового равновесия железа
Рис. 7.9. Зависимость
давления р фазового перехода от
содержания никеля или хрома
в сплавах Fe — Сг и Fe — Ni;
С — содержание углерода
Исследования микроструктуры образцов железа после
ударного нагружения не обнаружили наличия новых фаз, т.е.
фазовый переход является обратимым. В то же время в
структуре деформированного монокристаллического железа
после воздействия ударной волны с фронтальным
давлением 13 ... 23 ГПа наряду с двойникованием образуется
ленточный рельеф, напоминающий мартенситную структуру, а
прочность и твердость железа становятся существенно выше
исходных значений. Дальнейшее увеличение фронтального
давления не ведет к значительному изменению микроструктуры
и увеличению твердости. Следовательно, обратимое
превращение а —> е —> а приводит к образованию сильно
измельченной и интенсивно двойникованной тонкой структуры высокой
твердости внутри оставшихся неизменными по размерам
зерен. Однако вопрос о полном описании природы фазового
перехода в железе останется открытым до тех пор, пока не будет
получена информация о структуре металла непосредственно
за фронтом ударной волны.
Наличие в железе и его сплавах различных химических
элементов приводит к изменению давления фазового
перехода: при увеличении содержания ванадия, кремния, кобальта,
хрома давление фазового перехода увеличивается; при
увеличении содержания никеля и молибдена — снижается (рис. 7.9).
340
Анализ фазовых переходов основан либо на
равновесном термодинамическом анализе при установившихся
режимах распространения ударных волн, либо на кинетических
моделях превращения во фронте волн сжатия и разгрузки.
с
b
Рис. 7.10. Адиабата Гюгонио для
типичного фазового перехода, вызванного ударной
волной:
5 — область сосуществования фаз А и В\ Gа и
Gb — границы существования фаз А и В
На границе области S существования равновесной
фазовой смеси с однофазной средой (А или В) термодинамические
характеристики терпят разрыв (рис. 7.10). В координатах
(р, V) фазовая граница отмечена штриховыми линиями аа1 и
66': справа от аа1 фаза Л, слева от 66' фаза #, а между
ними могут быть как отдельные фазы, так и их совокупность.
Ударное сжатие материала в фазе А ограничено точкой а на
фазовой границе, где начинается фазовый переход. Фаза В
имеет меньший удельный объем, поэтому дальнейшее сжатие
продолжается вдоль линии аб, пока полиморфное превращение
не завершится в точке 6, после чего фаза В начнет
сжиматься вдоль линии 6с. Наклон адиабаты Гюгонио oabc в точке
а изменяется скачком, что формально аналогично упругопла-
стическому переходу в точке рт (см. рис. 7.5). Пусть линия
341
Рэлея od, которая связывает начальное состояние ударносжи-
маемого тела с конечным, пересекает адиабату Гюгонио в
точке к. Тогда ударная волна, соответствующая этому
состоянию, является неустойчивой и поэтому расщепляется на две
(линии Рэлея оа и ad): первая ударная волна сжимает
материал до состояния а в начале фазового перехода, а вторая,
имеющая меньшую скорость, — до состояния d в конце
перехода. Полиморфное превращение может происходить также
через одну устойчивую ударную волну, если точка d лежит
выше точки с в месте пересечения продолжения линии Рэлея
оа с верхней ветвью адиабаты Гюгонио be.
Нетрудно показать, что прямой ударный переход из
точки о в любую точку на ударной адиабате с фазовым
переходом, расположенную на отрезке абс, невозможен, так как при
этом будет нарушен второй закон термодинамики. Очевидно,
что особые точки а, Ь и с на адиабате Гюгонио (см. рис. 7.10)
разделяют ее на четыре ветви: адиабату первой фазы А с
исходным состоянием ро> ^Ь; адиабату сжатия фазовой смеси
с центром в точке с координатами (pa, Va)', адиабату второй
фазы В с исходным состоянием pa, Va при р < рс\ адиабату
второй фазы В с начальными параметрами ро> Vb при р > рс.
Отсюда следует невозможность прямого ударного перехода из
точки о в любую точку на ветви адиабаты, соответствующую
диапазону давлений ра < р < рс, так как при этом
нарушается второй закон термодинамики. Например, если из точки о
провести прямую в произвольную точку на отрезке 6с, то она
пересечет участки адиабаты оа и ab. Участок между точками
пересечения содержит адиабату с отрицательной кривизной
относительно линии Рэлея, что свидетельствует об
уменьшении энтропии и соответствующей нестабильности
виртуального процесса.
На основе дифференциального соотношения для адиабаты Гюгонио
G.3) dV/dp, термодинамического тождества
342
и разности
d?Js* \dPJSl \T)ldP \dPJSl\
можно получить критерий потери стабильности ударного фронта в виде
неравенства
favy
cJ±\dT_(dT\
а (dV
где 5 — энтропия; ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении;
индекс "ф" означает сжимаемость фазовой смеси по отношению к
примыкающим однофазным составам (индекс "). При dT/dp = (dT/dp)sx +?,
где е — малая величина, стабильность волны сохраняется, сомножитель
\dT/dp—(dT/dp)s1 мал и увеличением сжимаемости можно пренебречь.
Изменению температуры в координатах (р, Т) при этом соответствует
линия равновесия
dp
7.5. Структура ударных волн и волн
разгрузки в железе (стали)
Рассмотрим подробнее особенности структуры ударных
волн в твердом теле, обладающем свойствами упругости и
пластичности, а также способном к полиморфным
превращениям, на примере распространения ударного фронта в железе
(стали). При дальнейшем анализе структуры ударного
фронта в области фазового перехода будем использовать простую
идеализированную схему распада ударного фронта —
гидродинамическую односкоростную модель, в которой давления,
температуры и скорости частиц обеих фаз считаются
равными. В этом случае началу и концу образования новой фазы
соответствуют равновесные давления перехода, а единое
характерное время превращения t* определяет как релаксацию
напряжений, так и пространственно-временные характеристики
двух образующихся при фазовом переходе ударных волн. Хотя
343
экспериментальные исследования показывают, что время
релаксации не постоянно и термодинамическая модель
процесса является весьма приближенной, однако для многих
практических расчетов и теоретических оценок зону фазового
превращения можно локализовать и в геометрическом и в
термодинамическом смысле. Это связано с тем, что масштаб
рассматриваемых задач ударноволнового нагружения
намного больше масштаба фазового перехода, а имеющиеся методы
теоретического анализа не позволяют детально описывать
количественные характеристики фазового перехода в металлах.
Если на ударной адиабате нет перегиба, где терпит
разрыв первая производная, значит, по материалу
распространяется единственная ударная волна со стабильной структурой
ударного фронта. Перегиб на кривой сжимаемости означает
либо фазовый переход, либо обусловленную другими
явлениями нестабильность ударной волны в определенном интервале
давлений, тогда по материалу распространяются несколько
волн с различной скоростью и интенсивностью.
В разделах 7.3 и 7.4 было показано, что образование двух
ударных волн, имеющих разную скорость распространения,
может происходить как вследствие упругопластического
перехода, так и при фазовом переходе первого рода.
Действительно, при повышении давления до значения р > рТ (рис. 7.11) в
материале кроме упругой волны, распространяющейся со
скоростью Се, появляется первая пластическая волна, скорость
которой D\ < Се (здесь величина D\ соответствует величине
Ср на рис. 7.5). При достижении давления фазового
перехода р2 = Рф материал из одного кристаллического состояния
переходит в другое, что характеризуется изломом кривой в
точке 2. Вследствие фазового перехода в интервале давлений
Р2 • • • Рз пластическая волна разделяется на две пластические
волны (индексы "I" и "II") разной интенсивности,
движущиеся с разными скоростями:
344
Рис. 7.11. Структура ударной волны в зависимости от
максимального уровня нагружения
Вторая пластическая волна имеет меньшую скорость и
отстает от первой, а профиль давления растягивается во времени
по мере удаления от поверхности расщепления. При
максимальном давлении на фронте ударной волны рз в точке 3
происходит слияние пластических волн, причем
т/ /
V
Рз-4 - Pi
V\ - V3-4
= DU
max-
Точка 4 на ударной адиабате характеризует состояние
материала при давлении р4, при котором по материалу
распространяется единая упругопластическая волна.
Например, для железа, низко- и среднеуглеродистых сталей р\ и
« 1,75сгт « рт при v = 0,33; р2 « 13 ГПа; р3 ~ 36 ГПа;
Р4 ~ 67 ГПа. Так как относительное сжатие на фронте
упругой волны в стали невелико (AVt/Vq и 5 • 10~4), то при
моделировании волн сжатия большой амплитуды (более 101 ГПа)
можно пренебречь эффектами предварительного сжатия
материала A.. .2 ГПа) и считать, что пластическая волна
распространяется по неподвижной и невозмущенной среде.
345
Процесс разгрузки ударно-сжатого материала за
фронтом ударной волны при фронтальном давлении р < Рф
также приводит к расщеплению волны разгрузки на волну
упругой и волну пластической разгрузки. Пусть при разгрузке
напряжение уменьшается от -а* до —erj (см. рис. 7.5). Если
№1 -&х\ ^ 2рг> то по сжатому материалу распространяется со
скоростью Се одна упругая волна разгрузки, постепенно
догоняющая фронт движущейся впереди пластической волны Ср.
Если же |а* — а? | > 2рг, то впереди распространяется упругая
волна разгрузки, в которой напряжение уменьшается |<т*| от
до \а* — 2рг|, а вслед за ней с меньшей скоростью Ср движется
пластическая волна разгрузки, понижающая напряжение до
величины |а?|.
Рт
Рис. 7.12. Структура волн разгрузки:
1 — касательная к нижней ветви адиабаты; 2 — касательная к
двум ветвям адиабаты; 3 — ударные волны разрежения (Лвр —
максимальная амплитуда ударной волны разрежения)
Адиабатическое расширение материала после ударного
сжатия до давления р > Рф происходит следующим образом.
В волне разрежения, образующейся при расширении
материала, частицы в области высокого давления (выше точки а на
рис. 7.10) двигаются медленнее, чем частицы в области
низкого давления (ниже точки а), что приводит к формированию
ударной волны разрежения (рис. 7.12). Отметим, что
существование ударных волн разрежения допустимо только для
сред с аномальным поведением ударной адиабаты вследствие
фазовых переходов. Ударная волна разрежения, связывающая
346
различные кристаллические состояния материала, уменьшает
напряжение скачком, а ее максимальная амплитуда (для
железа АЪр « 18 ГПа) ограничена линией, касательной к двум
ветвям адиабаты разгрузки.
7.6. Механика и морфология высокоскоростного
деформирования
Многие задачи механики деформируемого тела и
динамики разрушения связаны с моделированием действия высоких
давлений (от 1 до 100 ГПа) в течение ограниченного
промежутка времени (от 10~3 до 10~8 с). Несмотря на обширные
экспериментальные исследования процессов деформирования
и разрушения материалов в указанном диапазоне нагрузок, их
результаты пока не позволяют получить однозначную
зависимость между параметрами нагружения, геометрией
конструкции и свойствами материала. Поэтому для решения задач о
динамическом разрушении имеет значение подробный анализ
физического механизма и поверхностей разрушения при удар-
новолновом нагружении. По-видимому, поверхности
разрушения в большинстве случаев образуются в результате
предварительного пластического течения, но его интенсивность и
вклад в процесс разрушения существенно зависят от
амплитуды и времени действия волн напряжений.
Воздействие ударной волны на металлы должно
вызывать процессы как упрочняющие, так и разупрочняющие
нагружаемый материал. Упрочнение может быть
обусловлено дополнительным наклепом зерен, дроблением
кристаллических блоков, обратимыми фазовыми переходами на
фронте ударной волны и некоторыми другими процессами,
характерными для конкретных металлов (например, в стали это
может быть дробление карбидной фазы). Разупрочнение
может вызываться влиянием нагрева, возникающего в ударно-
сжатом материале, так как малые времена делают процесс
близким к адиабатическому, т.е. за время прохождения
ударной волны практически не успевает происходить теплообмен
347
нагреваемой за счет интенсивного сжатия и
пластического течения областью и окружающей средой. На нагрев
материала в условиях адиабатического сжатия расходуется
тепловая энергия процесса АЕТ. При этом увеличение
давления (уменьшение величины относительного сжатия (объема)
f = V/Vo) влечет соответствующее увеличение температуры
сжатия (табл. 7.6).
Таблица 7.6
Значения температуры ударного сжатия
металлов в зависимости от ?
Металл
Железо
Медь
Алюминий
Свинец
Относительное
сжатие ? = V/Vo
0,94
0}83
0,78
0,76
0,91
0,71
0,59
0,91
0,71
0,55
0,91
0,71
0,55
0,48
Температура ударного
сжатия, К
333
623
823
1323
633
2473
12243
613
1673
9523
633
2193
11573
21973
Механизмы высокоскоростного деформирования.
Процесс деформирования твердого тела при нагружении
ударными волнами имеет ряд существенных особенностей по
сравнению с квазистатическим и динамическим режимами нагру-
жения. Расщепление пластической волны на две или слияние
их в одну волну заметно изменяет характер процессов,
происходящих в сжимаемом материале. Например, переход от
348
трехволновой структуры ударной волны к двухволновой
приводит к резкому изменению тонкой структуры закаленной
стали. В общем случае изменения, возникающие в структуре
материала, зависят от формы и величины импульса, времени его
действия, структуры ударного фронта, пути реализации
нагрузки и разгрузки. Для деформационных явлений в ударных
волнах при скоростях деформации 103 ... 106 с"
дислокационные модели, справедливые при низких скоростях деформаций
(квазистатическое и динамическое нагружение), становятся
неприемлемыми. Дело в том, что за фронтом ударной
волны с высокой скоростью движется большое число дислокаций,
в то время как при малых скоростях деформаций высокие
скорости перемещения дислокаций наблюдаются лишь при малой
плотности последних. Кроме того, эксперименты указывают
на возникновение поврежденности как в ударных волнах, так
и в волнах разрежения. Один из возможных механизмов
этого явления — увеличение интенсивности генерации точечных
дефектов при взаимном пересечении дислокаций, которые при
высоких скоростях движения обладают высокой собственной
энергией и большой плотностью (при давлениях 10 ... 100 ГПа
плотность дислокаций пропорциональна квадратному корню
из давления), причем скорость движения дислокаций,
вероятно, ограничена скоростью распространения волн сдвига С%.
Гомогенное зарождение дислокаций может происходить как во
фронте ударной волны, так и непосредственно за ним
вследствие высокого уровня компонент девиатора напряжений,
после чего дислокации ускоряются остаточными напряжениями
сдвига к фронту ударной волны или от него.
Связь между конечным состоянием материала при удар-
новолновом нагружении и микромеханизмами его
деформирования можно проследить по адиабате ударного нагружения
(см. рис. 7.11). Деформирование и разрушение есть
основные формы реакции материала на внешнюю нагрузку,
которые можно представить как различные способы релаксации
напряжений. Механизмы релаксации обычно
рассматриваются на микроуровне и определяют основные механизмы
деформирования.
349
Давление в точке 1 соответствует упругому пределу Гю-
гонио, и при нагрузках р < рг процесс деформирования идет
по обычному механизму размножения и перемещения
дислокаций, вызывающих скольжение материала по
кристаллографическим плоскостям, как в случае обычного квазистатического
деформирования. Время релаксации касательных напряжений
для механизма скольжения в железе (стали) имеет порядок
1(Г6 с.
Если давление на фронте ударной волны будет выше, чем
в точке i, но ниже, чем в точке ^, то нагружение
окажется двух- или трехволновым и деформирование будет
осуществляться с помощью двух механизмов — скольжения и двой-
никования. По мере увеличения фронтального давления и
скорости деформации роль двойникования растет, так как двой-
никование является более предпочтительным по времени
(более "быстрым") механизмом релаксации напряжений.
Время релаксации для механизма двойникования в железе
(стали) имеет порядок 10~8 с. Для начала процесса
двойникования нужны значительно большие напряжения, чем для
скольжения, но далее процесс будет идти при меньших
усилиях. Наиболее часто двойникование встречается в металлах
с ОЦК-решеткой, а его развитию способствует увеличение
скорости деформации. Значительное влияние на
интенсивность двойникования оказывает предварительное
деформирование материала, нагружаемого ударной волной: чем сильнее
деформирование зерен при прокатке или ином виде
термомеханической обработки металла, тем меньше количество двой-
никующихся зерен во фронте ударной волны (рис. 7.13).
Нагружение материала выше точки 4 является одновол-
новым, а время нагружения становится особенно малым, что
проявляется в резком изменении структуры материала. При
этом меняется механизм деформирования. Таким механизмом
могут являться вынужденное зарождение дислокаций при
реализации теоретической прочности материала, потеря
устойчивости кристаллической решетки и последующий
одновременный сдвиг кристалла относительно некоторой
кристаллографической плоскости (тотальный сдвиг). Формально этот
350
60
4/7
го
о
\
2» 40 SO 6,%
Рис. 7.13. Влияние степени деформации
(е) предварительной прокатки при t =
= 20° С на количество двойникующихся
зерен (Nd) железа при нагружении
взрывом; давление на фронте ударной волны:
1 — 65 ГПа; 5—50 ГПа; 5—30 ГПа; 4 —
4,5 ГПа
механизм может быть представлен как предельный случай
сверхзвукового перемещения дислокации А (рис. 7.14). Если
все атомы, расположенные справа от Л, переместятся
одновременно из своих неустойчивых позиций в устойчивые
(слева от Л), дислокация А будет перемещаться с бесконечно
высокой скоростью. При достижении теоретического
предела прочности зарождается предельное количество дислокаций
(~ 1012см~2), а время релаксации меньше, чем при
скольжении и двойниковании. Например, для железа (стали) это
время имеет порядок 10"1 с.
Плоскость
скольжения
дt тения дислокации
Рис. 7.14. Образование сверхзвуковой дислокации
Рассмотрим некоторые особенности высокоскоростного
деформирования железа (стали), опираясь на приведенную
классификацию механизмов релаксации напряжений при
нагружении материала ударными волнами. Очевидно, что при
351
образовании одноволновой структуры (для железа р > р± %
« 67 ГПа) двойникование становится невыгодным, так как
появляется механизм с меньшим временем релаксации.
Экспериментально показано, что двойниковая структура при этом
исчезает и наблюдается предельное упрочнение металла
вследствие зарождения предельного количества дислокаций,
которые "мешают" перемещению друг друга и существенно
затрудняют процессы скольжения и двойникования.
Следовательно, при увеличении фронтального давления переход от
многоволновой к одноволновой структуре ударной волны
влечет за собой переход от обычного механизма размножения
дислокаций к вынужденному их зарождению. При этом
появляются области сильно локализованной пластической
деформации (рис. 7.15), так называемые полосы
адиабатического сдвига (ПАС). Пластическая деформация в области
ПАС достигает ~ 102 %, а скорость деформации составляет
^^1
Рис. 7.15. Полоса адиабатического
сдвига в сред неуглерод истой стали,
подвергнутой взрывной нагрузке, х 520
Явление локализации деформации при высокоскоростном
нагружении в общем случае связано с нестабильностью и
негомогенностью пластического течения, что обусловлено
возникновением эффекта термического разупрочнения при адиабати-
352
ческом (или почти адиабатическом) пластическом
деформировании. Это явление играет важную роль при динамическом
пластическом деформировании, которое реализуется не
только при ударном и взрывном нагружении металлов и сплавов,
но и при механической или криогенной обработке металлов,
при обработке металлов давлением, при отколах,
сопровождающих ударноволновую обработку металлов и сплавов.
Подобная локализация пластического деформирования происходит и
при сравнительно невысоких давлениях в сталях, либо
содержащих значительное количество легирующих добавок, либо
предельно упрочненных. В последнем случае механизмы,
генерирующие развитие ПАС, необязательно связаны с
локализацией пластического течения и нагревом области ПАС (нагрев
может быть невелик, менее 100 °С), а могут быть
обусловлены задержкой локализации пластического течения вследствие
гетерогенности пластических деформаций в поликристаллах.
Очевидно, что теплота, выделяемая при пластическом
деформировании, концентрируется в окрестности полосы
сдвига только в том случае, когда выделение теплоты
происходит быстрее, чем ее отвод за счет механизма
теплопроводности. При этом адиабатический нагрев может вызвать
значительное повышение температуры в локализованном объеме и
снижение локального предела текучести, если величина
термического разупрочнения превысит величину
изотермического деформационного упрочнения. Так как степень локального
разупрочнения увеличивается с повышением температуры, то
деформации локализуются в ПАС и разрушение происходит
по плоскостям микроскопического скольжения. ПАС всегда
имеют конечную толщину, поэтому температура материала в
области сдвига зависит также от ширины полосы сдвига.
Твердость стали в области ПАС в 1,5 раза выше
твердости основного металла и соответствует твердости
мартенсита. Рентгеновская дифрактометрия ПАС зафиксировала
параметры решетки, хорошо совпадающие с параметрами ОЦТ-
решетки мартенсита (см. рис. 2.22), а электронный
микроанализ не обнаружил изменений химического состава стали в
353
области ПАС. Это означает, что время адиабатического
сдвига слишком мало для протекания диффузионных процессов. С
помощью электронной микроскопии реплик микроструктура
ПАС идентифицирована как мелкозернистый неотпущенный
мартенсит, в котором отсутствуют карбидные включения.
Теория адиабатического сдвига основана на
предположении, что адиабатический сдвиг наступает в области
локализованной пластической деформации, когда dr/dj = О, где г —
касательное напряжение; j — деформация в плоскости сдвига
(угловая деформация). Записав полную производную в форме
dfy """ ~dj + ~дТ rf^1
получим условие адиабатического сдвига в виде
о< tlh <i
- -(дт/дт) (лу d7) -
Так как нагрев области сдвига зависит от интенсивности
пластической деформации и скорости, с которой теплота
отводится от зоны сдвига, на температуру в бесконечно тонкой полосе
адиабатического сдвига влияют следующие параметры: гт и
7т — напряжение и деформация пластического течения; j —
скорость деформации в плоскости сдвига; /9, А и с —
соответственно плотность, коэффициент теплопроводности и
удельная теплоемкость материала. Опуская математические
выкладки, приведем без доказательства выражение для
температуры бесконечно тонкой ПАС, полученное Рехтом:
J L 7ГА/9С
где J — механический эквивалент теплоты.
Упрочнение при высокоскоростном
деформировании. Особенности процесса высокоскоростного
деформирования по сравнению с квазистатическими режимами нагруже-
ния вводят в действие дополнительные факторы, влияющие
на повышение прочности материала во фронте и за фронтом
ударной волны. Во-первых, при высокоскоростном
деформировании, характеризующемся высокими значениями
напряжений, резко увеличивается скорость перемещения дислокаций
354
в плоскости скольжения. При этом возрастает
сопротивление решетки перемещению дислокаций, что является одной из
важных причин дополнительного роста прочности при
высокоскоростном деформировании по сравнению с
квазистатическим деформационным упрочнением. Во-вторых, при высоких
давлениях во фронте ударной волны может происходить
вынужденное зарождение дислокаций и увеличение их плотности,
что также приводит к упрочнению. В-третьих, степень
упрочнения зависит от соотношения сдвиговой и нормальной
компонент деформации. Например, если пластину из закаленной
стали обработать плоской ударной волной, падающей
перпендикулярно к поверхности образца, то максимальное
увеличение твердости будет наблюдаться при давлении 20 ... 30 ГПа.
Если же образец нагрузить косой ударной волной,
падающей под углом к поверхности образца, то такой же
результат получится при давлении 2 ... 3 ГПа. Различие в характере
упрочнения вызвано резким увеличением сдвиговой
компоненты деформации при скользящем косом ударном нагружении.
В-четвертых, степень упрочнения зависит от относительного
содержания различных компонентов в сплавах. Например, для
сталей, имеющих одинаковый статический предел текучести,
степень упрочнения возрастает пропорционально содержанию
углерода. Границей между квазистатической и динамической
деформацией (квазистатическим и динамическим
упрочнением) служит порог скорости деформации, выше которого
происходит резкое увеличение предела текучести сгт данного
материала.
Динамический предел текучести. Давно было
известно, что прочность многих твердых тел заметно
увеличивается, когда уменьшается продолжительность действия
нагрузки. Однако степень упрочнения в общем случае
зависит не только от скорости деформации, но и от механических
свойств и структуры материала в исходном (не нагруженном)
состоянии. Экспериментальные данные показывают, что для
сталей динамический предел текучести Y является
функцией как скорости деформации ё (рис. 7.16), так и статического
355
6т, ГПа
1,2
0,8
0,Ь
о ,
•
•
д i
д 1
1 д
: г
•
о
•
•
10
~2
10°
10*
W4i9Cf
Рис. 7.16. Зависимость
предела текучести от скорости
деформации:
• — армко-железо; о и А — сред-
неуглеродистые стали
6т
Рис. 7.17. Зависимость
относительного динамического
предела текучести Y/aT от
статического предела текучести <тт и
от скорости деформации к
предела текучести сгт (рис. 7.17). В простейшей форме эта
зависимость представляется в виде
Y = атA + lit), G.52)
где /х — коэффициент вязкости, который сложным образом
зависит от скорости деформации ё.
В технической литературе имеется ряд
экспериментальных зависимостей для различных материалов, в частности
для сталей и армко-железа (технически чистого железа),
алюминиевых сплавов, меди, никеля, кобальта и др. В.В.
Селивановым предложена зависимость У(сгт, ё),
аппроксимирующая известные экспериментальные данные для сталей,
имеющих статический предел текучести 0,1... 2,0 ГПа и
деформируемых в диапазоне изменения скоростей деформаций
10~4 ... 106 с" (за исключением класса арматурных сталей).
Зависимость имеет вид
У =
G.53)
где
при ат < 1 ГПа;
при сгт > 1 ГПа.
356
Зависимость G.53) является частным случаем
зависимости G.52), а коэффициент /х может быть выражен из G.52)
через <7Т и ё. Сравнение зависимости G.53) с
экспериментальными данными для широкого класса сталей, статические
пределы текучести которых отличались в 1,5—6 раз, показало,
что среднее отклонение расчетных результатов от
экспериментальных данных не превышало 5 ... 20 %. Таким образом,
соотношение G.53) в целом удовлетворительно описывает
зависимость динамического предела текучести от скорости
деформации и статического предела текучести для сталей,
имеет относительно простой вид и применимо в широком
диапазоне изменения ат и ё.
7.7. Разрушение материалов в волнах
разрежения
В предыдущих разделах рассматривался процесс
распространения в твердом теле ударных волн с постоянными
условиями за фронтом. В действительности ударное давление
всегда разгружается волнами разрежения, которые следуют за
ударным фронтом и придают импульсу напряжений
определенную форму. При падении волны напряжений любой формы
на свободную поверхность образуется волна разрежения,
которая уменьшает давление на поверхности до нуля и отражается
обратно в материал. Построение профиля волны разрежения
можно выполнить в акустическом приближении (рис. 7.18).
Здесь падающий на свободную поверхность импульс сжатия
(рис. 7.18, а) по мере своего продвижения (II четверть)
фиктивно продлевается за границу свободной поверхности
(пунктирная линия в I четверти на рис. 7.18, б—<?), затем отрезок
из I четверти кососимметрично отображается в III четверть
(тонкая сплошная линия), после чего ординаты кривых во II
и III четвертях (тонкие сплошные линии) суммируются при
одинаковых значениях абсциссы х. В результате
формируется профиль волны разрежения (толстые сплошные линии на
рис. 7.18, б—д), которая окончательно принимает форму, косо-
симметричную относительно профиля падающего импульса, и
357
Рис. 7.18. Отражение импульса сжатия от
свободной поверхности (СП)
движется в противоположном направлении, растягивая
материал (рис. 7.18, е). Если при этом интенсивность напряжений
превышает предел прочности материала, происходит
разрушение, при котором часть материала отделяется (рис. 7.19 и
рис. 7.20). Такое явление называется отколом —
динамическим разрывом материала, который в соответствии с
принятой классификацией относится к разрушению отрывом.
Поверхность откольного разрушения обычно является
шероховатой и содержит как хрупкий, так и вязкий излом.
Следует отметить, что при отколе образуется новая
свободная поверхность, от которой может отразиться остаточный
импульс и вблизи которой опять может произойти разрушение
при растяжении, если амплитуда остаточного падающего
импульса достаточно велика. Таким образом можно получить
множественный откол.
Основная цель исследований разрушения откольного
типа — установление функциональной связи разрушающих
напряжений в плоскости откола с параметрами нагрузки, т.е.
358
Рис. 7.19. Схема отражения
ударного импульса от
свободной поверхности с
образованием откола:
Р — разрежение; ПВ —
падающая волна; ОВР — отраженная
волна разрежения; Т — трещина;
СП — свободная поверхность
Рис. 7.20. Поперечное
сечение пластины из
малоуглеродистой стали,
показывающее множественные отколы
(по Райнхарту и Пирсону)
определение характеристик откольной прочности материала.
При этом главным образом применяются экспериментальные
методы изучения процесса образования отколов при
воздействии ударных волн в условиях одноосного деформирования.
Интенсивный поиск путей построения зависимости
амплитуды волны растяжения ар от длительности импульса
растяжения tp в плоскости откола, а также определение
величины откольной прочности материала <т+ и времени разрушения
Z* объясняются тем, что знание указанных параметров
дает наиболее полную информацию о сопротивлении материала
действию растягивающих напряжений при длительности их
воздействия до 10~8 с, что недостижимо другими
экспериментальными методами. Пример зависимости сг+ от t* для трех
различных металлов приведен на рис. 7.21, откуда следует,
359
Рис. 7.21.
Экспериментальная зависимость
максимальных напряжений растяжения
при откольном разрушении
от времени (по Г.В.
Степанову):
1 — сталь; 2 — сплав В-95; 3 —
медь
что откольная прочность материалов, склонных к хрупкому
разрушению (в данном случае стали), существенно
увеличивается с уменьшением времени нагружения.
При описании и объяснении явления откола естественно
использовать понятия флуктуационной кинетической теории
прочности в форме NAG-модели (см. раздел 4.2), хотя вопрос
о количестве и характеристиках стадий разрушения, а также
об условиях перехода от одной стадии к другой пока не
имеет однозначного ответа. Прочность материалов на
динамический отрыв (откольная прочность) зависит от физических
и механических свойств твердого тела, структуры
материала, формы и длительности импульса растягивающих
напряжений, напряженно-деформированного состояния, параметров
окружающей среды, т.е. представляет собой функцию
многих переменных и постоянных параметров. Это существенно
усложняет количественное описание процесса откольного
разрушения, поэтому практикуется развитие упрощенных
подходов к моделированию откола.
Наиболее простые критерии откольного разрушения
учитывают характеристики импульса растяжения (волны
разрежения), связанные со временем их действия tfp. Например,
в соответствии с первой теорией прочности можно
постулировать (по аналогии с критерием B.1)) следующий критерий
360
откольной прочности: разрушение в некотором сечении
образца происходит в том случае, если наибольшее по
абсолютной величине главное растягивающее напряжение равно (или
превосходит) критическому значению <т+, зависящему от
некоторой характеристики tp, связанной со временем действия
импульса. Если волна разрежения имеет прямоугольную
форму, то в качестве параметра tp наиболее естественно выбрать
значение длительности импульса растяжения.
Экспериментально полученные зависимости, аналогичные приведенным
на рис. 7.21, позволяют устанавливать сечения нагружаемого
образца, в которых ранее, чем в других сечениях,
реализуются критические условия (<7+ и t*) и происходит откольное
разрушение.
Импульс треугольной формы можно охарактеризовать
его амплитудой и градиентом напряжения или амплитудой и
производной напряжения от времени; если импульсы
растяжения (волны разрежения) имеют другие формы, можно либо
привести их к известным формам (прямоугольной и
треугольной), либо искать для них свои характеристики, связанные с
временем.
Возможен еще один вполне очевидный подход к
построению критерия откольной прочности, связанный с
использованием такой инвариантной величины, как энергия
деформирования. Энергетический критерий можно получить в
предположении, что работа, затрачиваемая на разрыв материала при
откольном разрушении, совершается за счет упругой энергии,
запасенной в волне разрежения. Следовательно, откол
произойдет тогда, когда накопленной упругой энергии станет
достаточно для совершения работы отрыва в плоскости
откола. Для растягивающего импульса (волны разрежения)
произвольной формы это условие в соответствии с G.44) имеет
вид
о
2ЕК
О
G.54)
где 6 и сгр — длина и амплитуда волны разрежения; Ек —
компрессионный модуль упругости; Л7+ — удельная (на единицу
361
поверхности) работа, затрачиваемая на отрыв материала.
Величина 6 при наличии откола представляет собой его
толщину <5*, поэтому для волны разрежения прямоугольной формы
?/* = <7р#*/B?к), а для волны разрежения треугольной формы
Преимущество энергетического критерия G.54) перед
другими критериями откольной прочности заключается в том,
что он определяется одним инвариантным критическим
параметром [/* — удельной упругой энергией откольного
разрушения. Толщина откольного слоя определяется координатами
сечения, в котором раньше всего выполняется условие G.54).
Вообще говоря, ?/* ф const и зависит от фронтального
давления, интенсивности деформаций, скорости деформаций и
температуры, однако в первом приближении возможны
количественные оценки откола с помощью энергетического
критерия G.54).
Описанные критерии откольного разрушения не
раскрывают физической природы механизма откола и являются
эмпирическими. Однако они вполне приемлемы в практических
целях прогнозирования возможностей откольного разрушения
при ударноволновом нагружении, если параметры нагрузки не
очень существенно отличаются от тех, при которых получены
используемые критерии.
Фазовые отколы. Формирование ударных волн
разрежения оказывает значительное влияние на процесс откола и
характер разрушения в зоне откола. Если откольный слой
однофазного материала (рис. 7.22, а) имеет толщину порядка
миллиметров и грубую кристаллическую поверхность
разрыва, то отколы в полиморфных материалах (рис. 7.22, б) могут
иметь весьма тонкую область с гладкой поверхностью
разрыва, шероховатость которой не превышает шероховатости
материала при чистовой токарной обработке.
В однофазном веществе отраженная волна разрежения
является достаточно "размазанной" и относительно медленно
362
ЗР
ВР
г
Рис. 7.22. Схема процессов откола в латуни
(слева) и в стали (справа):
а — профили падающего импульса; б —
распределение напряжений после отражения от свободной
поверхности; 5/ — толщина откольного слоя; 6f —
зона напряжений разрыва; ЗР — зона разрыва; Г —
поверхность гладкого откола в плоскости
взаимодействия ударной волны разрежения (УВР) и
отраженной волны разрежения (ВР); СП — свободная
поверхность; У В — ударная волна сжатия
растягивает материал. При этом напряжение разрыва
представляет собой не одно значение, а некоторый диапазон
значений (см. рис. 7.22, а) вследствие хаотической ориентации
зерен в поликристаллическом материале. Благоприятно
ориентированные зерна разрываются при более низких
напряжениях и на более близких расстояниях от свободной поверхности,
чем неблагоприятно ориентированные, поэтому зона разрыва
имеет конечную толщину и является грубой и весьма
шероховатой.
В стали вследствие фазового перехода возможно
образование двух ударных волн сжатия (I и II) и ударной волны
разрежения (см. рис. 7.22, а (справа)). При отражении первой
ударной (первой пластической) волны от свободной
поверхности образуется волна разрежения, которая взаимодействует
363
со второй (второй пластической) волной (см. рис. 7.22, б), и в
результате образуется идущая назад отраженная волна
разрежения. Затем происходит взаимодействие отраженной волны
разрежения с падающей ударной волной разрежения и резкий
переход материала в состояние растяжения с растягивающим
напряжением, на порядок превышающим напряжение разрыва
даже для неблагоприятно ориентированных зерен, что
является причиной гладкой поверхности разрыва. Фазовые
отколы обнаружены экспериментально для ряда материалов как в
случае нагружения взрывом и ударом плоского образца, так
и при нагружении ударом внутренней поверхности
цилиндрической оболочки.
Степень поврежденности в зоне шероховатых отколов
можно охарактеризовать уровнем поврежденности материала
(по мере убывания интенсивности разрушения):
— полное откольное разрушение, для которого
характерно прохождение магистральной трещины отрыва через все
сечение образца;
— частичное макроскопическое разрушение, имеющее
отдельные макротрещины в том же сечении;
— интенсивное микроразрушение при наличии в области
откола значительного количества изолированных либо
слившихся микроповреждений;
— слабое микроразрушение, характеризующееся
отдельными микроповреждениями;
— сохранение микроскопической целостности образца,
т.е. отсутствие в его сечении микроповреждений размером
1(Г5...1(Г4м.
Металлографические особенности откольных
поверхностей разрушения сводятся к следующим положениям:
— шероховатые откольные изломы в сталях образуются
за счет межзеренного и внутризеренного расщепления;
— при повышении уровня нагрузки наблюдается
постепенный переход к транскристаллитному сколу, а также
появляются ямки — признаки вязкого разрушения;
364
— при переходе от грубой шероховатой поверхности
излома к гладкой уменьшаются размеры зоны откольной повре-
жденности и высота микронеровностей, а также наблюдается
переход от хрупкого к вязкому микромеханизму разрушения;
— при гладком отколе происходит сквозное разделение
материала по поверхности взаимодействия ударных волн
разрежения, магистральное направление разрушения
сохраняется на уровне микроструктуры, а транскристаллитное
разрушение является вязким.
Отражение ударной волны под углом. При
падении ударной волны на свободную поверхность под некоторым
углом процесс отражения является более сложным, чем при
нормальном падении, когда обращается в нуль только
нормальная составляющая напряжения. При наклонном падении
ударной волны в нуль должны обращаться нормальная и
касательная составляющие напряжения, поэтому возникают два
отраженных импульса: импульс разрежения (волна дилата-
ции) и импульс сдвига (эквиволюминальная волна), который
отсутствует при нормальном отражении и при скользящей
волне и достигает максимального значения при
промежуточном значении угла падения. Угол а взаимодействия падающей
волны и угол р преломления волны сдвига связаны
соотношением
*™?С± / G
/
sina~ Се у K + AG/3' (
Пусть волна сжатия амплитудой А\ взаимодействует со
свободной поверхностью под углом а. Часть этой волны
зеркально отразится под углом а, образуя отраженную волну
разрежения (импульс расширения) с амплитудой A*i-
Другая часть превратится в отраженную волну сдвига с
амплитудой Лз, которая преломляется под углом E. Можно показать,
что будут справедливы следующие равенства, связывающие
амплитуды падающей и отраженных волн:
2{А\ - А2) cos a sin/?- A3cos2/J = 0;
(Ai + А2) cos 2/3 sin a- A3 sin/? sin 2/? = 0. '
365
Рис. 7.23. Амплитуды отраженных от
свободной поверхности продольной волны сжатия и
волны сдвига при двух значениях
коэффициента Пуассона v
Уравнения G.55) и G.56) позволяют установить
соотношение между амплитудами падающей и отраженных волн при
различных углах и для разных материалов (рис. 7.23). Для
углов падения, отличных от нуля, амплитуду отраженной
волны разрежения нельзя считать равной амплитуде падающей
золны; наличие волны сдвига, перемещающейся с иной
скоростью, усложняет процесс отражения. Следует отметить,
что импульс сдвига играет очень малую роль в образовании
откола, поэтому при откольном разрушении рассматривается
только влияние отраженной волны разрежения.
Механизмы процессов разгрузки от трещин при
их зарождении и распространении. Появление в среде,
нагружаемой ударными волнами, новых свободных
поверхностей, которыми являются откольные поверхности и
поверхности образующихся трещин, инициирует возникновение волн
разрежения (разгрузки), распространяющихся в материал от
этих поверхностей. Процесс разгрузки от очагов зарождения
366
трещин и от распространяющихся трещин имеет волновую
природу, причем это справедливо как для трещин отрыва, так
и для трещин сдвига. Хотя во втором случае свободные
поверхности не образуются, однако появляется полоса
локализации деформаций (полоса адиабатического сдвига), от берегов
которой осуществляется разгрузка от деформаций сдвига в
поперечной волне, распространяющейся со скоростью С*. За
фронтом поперечной волны разгрузки материал в общем
случае остается нагруженным, но нагруженным равноосно при
отсутствии напряжений сдвига. От свободных берегов
трещин отрыва разгрузка осуществляется посредством
продольных волн, распространяющихся со скоростью Се и
разгружающих материал полностью. Таким образом, в отличие от
разрушения сдвигом, разрушение отрывом реализует всю
энергию, запасенную в теле (части тела), и в этом смысле является
более эффективным.
Второй механизм разгрузки — разгрузка за счет
взаимного пересечения трещин. Этот тип разгрузки характерен
для разрушения сдвигом, когда трещины распространяются
в направлении главных сдвигов и могут пересекаться. Этот
механизм действительно имеет место, например при взрывном
нагружении оболочек, когда значительная часть фрагментов
имеет треугольное сечение, так как они образуются в
результате пересечения трещин сдвига. Очевидно, при разрушении
сдвигом волновая разгрузка с увеличением скорости
деформации должна перейти в разгрузку в результате взаимного
пересечения трещин сдвига, которая определяет
минимальное расстояние между трещинами в зависимости от их
размера. Таким образом, разгрузка пересечением трещин
(контактная или близкодействующая) является предельным
механизмом разгрузки, не зависящим от скорости деформации.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение понятия "ударная волна".
2. Назовите порядок толщины ударного фронта.
3. Сформулируйте основные свойства ударной волны.
367
4. Запишите законы сохранения массы, импульса и энергии
на фронте ударной волны в гидродинамическом
приближении в системе координат, связанной с движущимся
ударным фронтом.
5. Что характеризуют соотношения Ренкина — Гюгонио?
Какова их математическая запись?
6. Дайте определение адиабаты Гюгонио. В чем ее отличие
от адиабаты Пуассона?
7. Что характеризует линия Рэлея?
8. Почему ударная волна является сверхзвуковой
относительно вещества перед фронтом и дозвуковой относительно
вещества за фронтом (поясните с помощью адиабаты
Гюгонио)?
9. Почему при ударном сжатии вещества до заданной
плотности необходимо большее давление, чем при
адиабатическом сжатии?
10. Какие параметры связывает уравнение состояния
вещества?
11. Какие предположения вводятся при экспериментальном
определении ударной адиабаты твердой сжимаемой среды?
12. Что характеризуют упругие, тепловые и электронные
составляющие давления и энергии?
13. Каков физический смысл коэффициента Грюнайзена?
14. Как записать ударную адиабату (по результатам
экспериментов) в координатах (?), v)?
15. Выведите зависимости для определения начальных
параметров ударной волны, образующейся при соударении двух
пластин в плоском приближении.
16. Каким образом определяются напряжения на фронте
упругой волны напряжений в плоском случае?
17. Что такое компрессионный модуль упругости? Чем он
отличается от модуля Юнга?
18. Почему скорость продольной упругой волны в
полупространстве больше скорости продольной упругой волны в
стержне?
368
19. Каким образом определяются напряжения на фронте
пластической волны напряжений в плоском случае?
20. Что характеризует упругий предел Гюгонио?
21. Какое соотношение определяет предельную скорость
распространения пластической волны?
22. Определите понятие объемной скорости звука и свяжите
ее со скоростями поперечной и продольной упругих волн.
23. Дайте определение волны Рэлея. Поясните ее физический
смысл.
24. Почему поверхностные волны с увеличением расстояния
затухают медленнее, чем продольные и поперечные
упругие волны?
25. Изобразите графически диаграмму ударного нагружения
упругопластической среды плоской ударной волной.
Охарактеризуйте особые точки диаграммы.
26. Как происходит процесс разгрузки упругопластической
среды после ее нагружения плоской ударной волной
(поясните с помощью диаграммы ах — sx).
27. Запишите соотношения для удельной энергии объемного
деформирования и удельной энергии формоизменения на
фронте плоской ударной волны.
28. Чем объясняется выделение теплоты в материале, сжатом
ударной волной?
29. Какой уровень давлений на фронте ударной волны не
оказывает существенного влияния на физические свойства
простых металлов и стабильных сплавов?
30. Охарактеризуйте основные различия между фазовыми
переходами первого, второго и третьего рода.
31. Какие физические явления сопровождают процесс
фазового перехода первого рода?
32. Назовите основные составляющие процесса
температурного фазового перехода в железе.
33. Назовите особенности полиморфных превращений,
вызываемых ударными волнами.
369
34. Каким образом отображается ударный фазовый переход на
адиабате Гюгонио?
35. Как выглядит диаграмма фазового равновесия железа?
36. Как изменяется кристаллическая решетка железа при
ударном и температурном фазовых переходах?
37. Какие особенности экспериментально обнаруживаются в
микроструктуре образцов железа (стали) после их ударно-
волнового нагружения, вызывающего обратимый фазовый
переход?
38. Какое влияние оказывают легирующие добавки в сталях
на величину давления фазового перехода?
39. Проведите анализ фазового перехода первого рода с
помощью адиабаты Гюгонио.
40. Почему в случае фазового перехода линия Рэлея имеет
излом?
41. Постройте ударный фронт для упругопластического
материала, подверженного полиморфному превращению при
различных уровнях давления. Выделите особые точки на
диаграмме р — V'.
42. В чем причина образования ударной волны разрежения?
Какова ее максимальная амплитуда?
43. Какие факторы вызывают упрочнение и разупрочнение
материала при воздействии на него ударной волны?
44. Каковы основные механизмы релаксации напряжений при
ударноволновом нагружении материалов?
45. Как механизм релаксации связан с максимальным
давлением на фронте ударной волны и со структурой ее фронта?
46. Каков физический механизм процесса тотального сдвига?
47. Что представляют собой полосы адиабатического сдвига?
Каков физический механизм их образования?
48. Назовите факторы, определяющие особенности
упрочнения металлов при высокоскоростном деформировании.
49. От каких параметров зависит величина динамического
предела текучести?
370
50. Постройте в акустическом приближении профиль
волны разрежения при отражении от свободной поверхности
ударной волны произвольной конфигурации.
51. Дайте определение явлению откола и описание его.
52. Что такое откольная прочность материала?
53. Как ведет себя величина откольной прочности с
уменьшением времени нагружения материала?
54. Какие подходы существуют для определения откольной
прочности материала?
55. В чем преимущество энергетического критерия по
сравнению с другими критериями откольной прочности?
56. В чем причина образования фазовых отколов?
57. Как и почему отличаются поверхности откольного
разрушения для однофазного материала и полиморфного
материала, претерпевшего обратимое полиморфное превращение?
58. Каковы особенности формирования волн разрежения,
образующихся при падении ударной волны на свободную
поверхность под некоторым углом а < тг/2?
59. Как связаны угол а падающей волны и угол /3 преломления
волны сдвига?
60. Определите понятия эквиволюминальной волны и волны
дилатации?
61. Опишите механизмы процессов разгрузки от трещин.
371
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Плоские задачи линейной теории упругости
Обратимся к плоским задачам линейной теории
упругости, которые включают в себя задачи плоского
деформированного, плоского напряженного и обобщенного плоского
напряженного состояния. Решение статических и квазистатических
задач теории упругости позволяет определить напряженно-
деформированное состояние в упругих телах, содержащих
разрезы, отверстия и вырезы различной конфигурации в
линеаризованной постановке для малых деформаций.
Основной метод решения таких задач заключается в
выборе функции напряжений U. Функция напряжений может
быть алгебраической или тригонометрической функцией двух
переменных (ж, у или г, 0), удовлетворяющей уравнениям
равновесия и условию совместности деформаций
V2[v2(tf)] =0, (П1.1)
где V2 — оператор Лапласа. Рассматривая двумерную
деформацию в плоскости х, у, где уравнение (П1.1) имеет вид
%2 " Qy2 т ^Х2 " 0Д.2 к ^ J дхду'
можно показать, что составляющие тензора напряжений
связаны с функцией напряжений следующим образом:
д2и д2и д2и
В уравнении (П1.2) v — коэффициент Пуассона.
372
Функция U(x, у) называется функцией напряжений Эри.
Функция Эри является однозначной функцией, если
некоторый контур С ограничивает односвязную область сплошной
среды и если система внешних поверхностных сил
статически эквивалентна нулю. Физический смысл функции Эри
заключается в том, что ее значение в произвольной точке
контура С с точностью до аддитивной линейной функции от х
и у представляет собой главный момент внешних
поверхностных сил, приложенных к участку контура С между некоторой
начальной точкой О и рассматриваемой точкой 0\,
вычисленный относительно точки 0\.
Формулы (П1.3) являются следствием универсальности
уравнений равновесия, следовательно, они верны в случае
плоских задач механики сплошной среды с произвольными
свойствами (упругой, вязкой, пластической и др.).
Функция напряжений дает возможность получить решение,
удовлетворяющее граничным условиям, при расчете напряжений в
упругом теле с различными разрезами и трещинами. Однако
с целью упрощения математических выкладок функцию
напряжений удобно записать в виде комплексной функции двух
переменных.
Рассмотрим определение напряжений и перемещений
методом комплексных потенциалов. Комплексное число z можно
записать как в полярных (z = гехр(г#)), так и в декартовых
(z = х + iy, где г = у/^Т) координатах.
Функция /(г), производные которой зависят только от г
и одинаковы для всех направлений d в точке г, называется
аналитической и имеет частные производные:
Записав f(z) через тип, являющиеся действительными
функциями х и у (f(z) = га + гп), и учитывая (П1.4), получим
df(z)_dm дп_ ,
ох ох ох ,П1 -ч
373
Тривиальные преобразования уравнений (П1.5) приводят
к соотношению
. (дт ,.дп\ дт дп
Приравнивая в (П1.6) действительные и мнимые части,
получаем уравнения Коши — Римана:
дт __ дп дт __ дп
~д^ = ~ду] 0y" = ~fo' ( }
Дифференцирование первого уравнения системы (П1.7)
по х и второго по у с последующим сложением приводит к
уравнению Лапласа
= 0 или V2m = 0.
Аналогичным образом, исключив из (П1.7) функцию т,
получим уравнение
^ = 0 или V2n = 0.
дуг
Решением уравнений Лапласа являются Гармонические
функции, поэтому функции тип, являющиеся в
отдельности решениями уравнений (П1.8) и (П1.9), называются
сопряженными гармоническими функциями. Введем функцию
tp = (р(х, у). Тогда
V2(xip) = xS72(tp) + 2 |^. (П1.10)
Пусть (р — гармоническая функция, т.е. V2(y>) = 0. Тогда
dip/дх — также гармоническая функция, так как V2(dip/dx) =
Взяв лапласиан уравнения (П1.10), получим
V2 [V2(z?>)] = V2 @+2 ^ J = 0 или V4(xvp) = 0. (П1.11)
374
Из сравнения уравнений (П1.1) и (П1.11) следует, что
произведение xip может быть использовано как функция
напряжения, если if — гармоническая функция. Аналогичные
построения показывают, что в качестве функции напряжения
могут быть использованы также функции yip, (z2 + y2)v? = г^?>
и (р.
В общем виде любую функцию напряжений можно
представить следующим образом:
где Re — действительная часть, a tp(z) и x(z) — некоторые
аналитические функции, называемые комплексными
потенциалами.
Введем понятие комплексной сопряженной функции,
которая образуется из аналитической функции f(z) заменой i на
—г, т.е. f(z) = т — m, z = х — %у.
Нетрудно заметить, что
= Ш
(Шлз)
Так как f(z) + f(z) = 2т = 2Re f(z), а уравнение (П1.12)
можно представить в виде U = Re ~z<p(z) + x(z)\> то
2f/ = 2Re ztp(z) + 2Re х(-г) =
z<p{z) + x(*) + X(z).
Зависимость (П1.14) представляет собой вещественное
решение бигармонического уравнения в форме Гурса.
Учитывая (П1.4) и (П1.13), с помощью формулы Гурса (П1.14)
получим следующие соотношения:
375
dU_ Ф) + V(*) + Ф) + z <p'(z) + x'(z) + x'(z)
dx~ 2 J
01
dy
(П1.15)
Напряжения можно определить после повторного
дифференцирования (П1.15) с учетом (П1.3) и соответствующего
сложения:
<тх + ay = 4Re
г
y- стх + 2iaxy = 2 \zip"(z)
Раздельное определение (ау - ax) и сг^у во втором уравнении
системы (П1.16) достигается отделением действительной
части от мнимой.
Используя потенциалы (p(z) и x(z)> a также закон Гу-
ка, определим перемещение их вдоль оси х и перемещение иу
вдоль оси у:
2G(ux = гиу) = vip(z) — zipf{z) - x'{z)i (П1.17)
где v = 3 — 4i/ в случае плоского деформированного состояния
[е2 = 0); v = C — &0/A + &0 в случае плоского напряженного
состояния (<7Z = 0).
Значения их и г/у можно определить, приравняв
действительные и мнимые части в уравнении (П1.17).
Функцию напряжений часто представляют в следующем
виде:
= Re
Ji/;(z)dz],
где ip(z) = x'B)- При этом напряжения (П1.16) и перемещения
(П1.17) записываются в виде соотношений:
376
ах + ау = 4Re L>'(z) ;
г 1 (П1Л8)
оу - ах + 2гаху - 2 [z<p"(z) + ф\г)\;
2G (их + iuy) = vip(z) - z ip'(z) - ф{г).
Зависимости (П1.18) и (П1.19) были получены
Г.В.Колосовым.
Иногда вводят функции Ф(г) и Ф(г), связанные с
функциями <p(z), psi(z) и x(z) соотношениями
и называемые потенциалами Колосова— Мусхелишвили.
Итак, определение функции Эри и решение
соответствующих плоских задач теории упругости сводится к определению
двух функций комплексного переменного Ф(г) и Ф(г) или tp(z)
и ф(г), регулярных в области jD, занятой упругим телом, при
двух типах граничных условий — в напряжениях и в
перемещениях.
Решение плоских задач, поставленных для некоторой
известной области J5, ограниченной контуром С в плоскости
z = х + iy, проводится с использованием конформного
отображения С = А(г) области D на некоторую простую
вспомогательную область D1 в плоскости ? = ? + irj. При этом
решение получается в параметрической форме с помощью
переменной ?. Формула Гурса (П1.14) позволяет простым
образом определять вид функций в плоскости z после конформного
преобразования:
и& v) = Ж) v(C) + № Ш+х(О + Ш,
где (р(() и х(С) — аналитические функции <p(z) и x(z) после
замены в них переменной z на ?•
Пусть теперь конформное соответствие области D в
плоскости z и внешности или внутренности единичного круга D1 в
377
8= const
D'
Рис. П1.1. Конформное отображение,
переводящее эллипсы в окружности, и криволинейная
система координат р(х, у) и 9(х} у)
плоскости С однозначно установлено с помощью функции
комплексного переменного: z = /(С); z = х + iy; ( = f + г 77.
Будем считать, что внутренняя точка, выбранная за
начало координат, z = 0 соответствует точке ? = 0, а кривые
^(ж, у) = const в плоскости z, соответствующие окружностям
/? = const в плоскости ?, будут замкнутыми линиями,
окружающими точку z = 0 (рис. П1.1). Кривые 0(ж, у) = const
в плоскости г, соответствующие лучам в = const в
плоскости ?, выходят из точки z = 0 и кончаются на С. Контур С
соответствует окружности Т(р =1).
Через каждую точку А области D в плоскости z проходят
две ортогональные линии р(х, у) = const и 0(а;, г/) = const,
которые можно принять за координатные линии. Тогда
9
cos a
9
a + 2axyaa cos а;
9 «9
0-0 = а у cos а + сгх sin а —
<7р0 = (tfy "~ ах) sin а cos а +
г*р = их cos а + иу sin а; u
sin а cos а;
аХу
= —их sin а + % cos а.
Комбинации компонент тензора напряжений и вектора
перемещений в рассматриваемой криволинейной системе
координат имеют вид
.00 - crp
= е га{&у — &х + 2гад;у);
(П1.20)
ир + iue = е ш(их + iuy).
378
Здесь ега — коэффициент, на который необходимо умножить
комплексное число в плоскости z, чтобы получить
соответствующее комплексное число в комплексной плоскости,
определяемой векторами х\ и г/j. Очевидно, что
еш =
dz /'(СК /'(С)С
И*Г 1/'@10СГ 1/40110f
так как отрезок d?, соответствующий в плоскости ?
отрезку cb, лежит вдоль луча в = const, откуда d(/\d?\ = C/lCI-
Величина 2ега определяется теперь следующим образом:
е
2ia
^ /ЧО/ЧОС2 <^= С
I'M2 /'(С)/'(С) СС Р2 /'(С)
Заменив во всех функциях комплексного переменного
переменную z = /(С) и сохранив прежние обозначения для новых
функций, с помощью соотношений (П1.18)—(П1.20) нетрудно
получить следующие уравнения:
<тр + <тв= 4Re Ф(С);
ав - ар + 2iap9 = -^= [ Ж) *'(С) + /'
р ДО L
/'(С)
(П1-22)
где ^B) =
() = Ф(С);
= Ф@; ^@ = Ф'@//'@ = t@-
Рассмотрим упругую плоскость с эллиптическим
отверстием, растягиваемую на бесконечности усилиями а
(рис. П1.2). Конформное отображение внешности эллипса в
379
Рис. П1.2. Одноосное растяжение
неограниченной пластины с эллиптическим вырезом:
эпюры напряжений о"е, <гх, <ту при 1/Ь = 3, т = 0,5
плоскости z на внешность единичного круга в плоскости ?
определяется известными соотношениями:
^); С =
где 0< m = (/-&)/(/ +6) <1.
Декартовы (х, у) и криволинейные (р, в) координаты в
плоскости z связаны уравнениями:
1 + Ь f т\ „ / + 6
(+7;со ; y=~2~
Координаты />, в называются эллиптическими. При этом
кривые р = const в плоскости z соответствуют эллипсам
J1 „2 /; i ь\2
(р + т/рJ {р-т/рJ
=№'¦
а кривые в = const — гиперболам
cos2 в sin2 б
380
Нетрудно проверить, что комплексные потенциалы,
составляющие функцию напряжений, имеют вид
- ГО2) (е'* _ та)
^ _
2 2 |/ тС го С2 -
т\
Теперь с помощью формул (П1.21) можно найти поле
напряжений. На контуре эллипса при р = 1 имеем ар = apQ = О
и
_ 1 - т2 - 2т + 2 cos 20
а'-а l-2mcos20 + m2
Максимальное напряжение достигается на контуре эллипса в
точках р = 1, 0 = 0, тг; я = ±/, у = 0:
max
(П1.23)
В декартовых координатах при Ь —> 0 перемещения Wy
вдоль оси ж, согласно (П1.20) и (П1.22), определяются
выражениями:
(П1.24)
иу = —¦ = для плоского
деформированного состояния*,
иу = для плоского
напряженного состояния,
а напряжение ау записывается в следующей форме:
== . (П1.25)
Согласно анализу Инглиса, максимальные напряжения на
концах эллиптической трещины можно записать в виде зави-
381
симости
ау = аA + 2у/ТЩ), (П1.26)
где R — радиус кривизны в вершине главной оси
эллиптической трещины. Действительно, обозначив радиус кривизны
вершины эллипса, т.е. радиус окружности, проходящей
через вершину и две соседние точки, через .й, получим R2 =
= (dx2 + dy2) j(dxd2y - dyd2x) , где х2//2 + y2/b2 = 1.
Положив х = Icost, у = 6sin*, получим
В вершине эллипса у = О, х = ±/, т.е. sin/ = 0, cost = 1,
тогда г = Ь2/1. Подставив это значение в уравнение (П1.23),
получим (П1.26).
Рассмотрим другой тип плоских задач линейной теории
упругости, широко используемый в теории трещин.
Предположим, что нагрузка о и величина большой оси эллипса
/ фиксированы, а величина Ь убывает (Ь —> 0). В этом случае
имеет место постановка задачи об определении напряженно-
деформированного состояния в некотором упругом теле,
содержащем прямолинейный разрез (щель), под действием
заданной системы внешних нагрузок, когда на берегах
разреза действуют произвольные поверхностные силы с главным
моментом и главным вектором, равными нулю (статическая
задача). Для изучения особенностей решения вблизи вершин
разреза вместо пластины конечных размеров с разрезом
можно рассмотреть бесконечную плоскость, ослабленную
прямолинейным разрезом |ж| < Z, у = 0, причем берега разреза
свободны от внешних нагрузок.
Предположим, что на берегах разреза |х| < /, у = 0
действует некоторая нормальная нагрузка, симметрично
распределенная относительно оси х. На практике это соответствует
растяжению плоскости с трещиной, что может приводить к
явлению нормального отрыва (см. рис. 4.2, а). Рассмотрим
решение этой задачи (присвоим ей индекс "I") в условиях
382
плоской деформации. Напряжения и перемещения
определяются соотношениями (П1.18) и (П1.19). Граничные условия
на краях разреза |х| < / имеют вид
аху = 0; ау = -<т(ж), (П1.27)
где а(х) — растягивающая нагрузка. На бесконечности
—оо > х > оо граничными условиями являются следующие
соотношения:
о%у = <*х = 0у = 0; их = иу = 0. (П1.28)
Условия симметрии и граничные условия (П1.27) и
(П1.28) показывают, что напряжение аХу = 0 при у = 0 и
нечетно относительно оси у, а нормальные напряжения ах и
оу — четные функции относительно у. Тогда потенциалы
Колосова— Мусхелишвили ФB:) и Ф(г) зависят от одной
неизвестной аналитической функции F(z):
Ф(г) = F{z)/2; 9 (г) = -zF'(z)/2, (П1.29)
где F'(z) = dF(z)/dz.
Подставляя (П1.29) в уравнения (П1.18) и (П1.19), имеем:
ах = Re F(z)- у Im F'{z);
ay = ReF(z) + ylmF^z); (П1.30)
(jxy = -yReF'(z);
ux= \(l-2u)ReF(z)-ylmF(z)}/BGy,
(П1.31)
% = [2A - u) Im F (z) - у Re F(z)] /BG),
где F(z) — первообразная функция F(z), определяемая
условием F(z) = dF(z)/dz.
Теперь необходимо найти функцию F(z) по граничным
условиям (П1.27) и (П1.28), согласно которым
ReF(z) = -а(х) при |х| < I, у = 0. (П1.32)
383
Так как на бесконечности перемещения стремятся к нулю,
то из (П1.31) следует, что при \z\ —> оо функция F(z)
должна убывать не медленнее, чем функция z"~2. Следовательно,
задача сводится к построению убывающей при \z\ —> оо,
голоморфной вне разреза функции F(z) по заданным на
берегах-разреза одинаковым значениям ее действительной части
(П1.32). Это является частным случаем краевой задачи
Гильберта о нахождении голоморфной функции по разрывным
предельным условиям, заданным на замкнутых или разомкнутых
контурах (голоморфной, или регулярной, называется функция,
имеющая производные любого порядка и разлагающаяся в ряд
Тэйлора в окрестности любой точки). Эффективное
построение функции F(z) дано Л.И. Седовым:
4?bS (П1.зз)
где f — переменная интегрирования.
Напряжения вблизи разреза определяются в
асимптотическом приближении. Если г = |z — /| < /, аг-/ = re1*, то
из (П1.33) следует асимптотическая формула
п*) = Kl
где
i г /7Т~7
(П1.34)
Величина К\ носит название коэффициента
интенсивности напряжений. Коэффициент К\ зависит от вида нагрузки
а(?), например: если <т(?) = const = а, то К\ = ay/id.
По формулам (П1.30), (П1.31) и (П1.34) определяются
искомые асимптотические выражения для напряжений и
перемещений вблизи вершины разреза (см. рис. 4.3):
384
Ki ял . о . зв
ах =
Кл 9 Л . . 9
Су =
Ki в . в 30
ах« = . cos - sin - cos —;
y sfWr 2 2 2' (П1.35)
аг = v (ax + сту); ахг - ауг = 0;
К\ ГГ в
?
Кл ГГ . в ( 2в\
% = "GV2^Sm2V ~ 2У' иг = 0<
Здесь при у = 0, х > 0 сгх = сгу = К\1у/2жг, аху = 0; при
у = 0, i < 0 % = #1B - 2i/)y/r/2ir/G, их - 0.
Рассмотрим теперь задачу, когда по берегам
прямолинейного разреза |г| < /, у = 0 распределена антисимметричная
касательная нагрузка. На практике это соответствует
случаю поперечного сдвига (см. рис. 4.2, б). Решение этой задачи
(присвоим ей индекс " II") по форме аналогично решению
рассмотренной выше задачи типа I, что приводит к следующим
соотношениям:
Кц . в / в 30
а = ™ 2 + COSCOS
. в в зе
в ( . в . зв\
xv — . cos - I 1 - sin - sin —- I;
xy у/ъГт 2\ 2 2)'
ц
axv — . cos ;
xy /ъГ 2\ 2 2)' (Ш.36)
az = v {ax + ay); axz = ayz = 0;
в / n 2в
f); Uz =
385
Здесь при у = 0, х > О ах = ау = О, сгху = Кц1 \/2-кт\ при
у = О, х < О tty = О, их = ^11B - 2v^JtIA'k\ JG.
Коэффициинтнсивности напряжни случае поперечного сдвига
ент интенсивности напряжении в случае поперечного сдвига
определяется выражением
1Ш (ПО7)
При r(?) = const = г имеем Кц = ту/тГ1.
Решение задачи типа III о продольном сдвиге
пространства с разрезом (см. рис. 4.2, в) приводит к зависимостям:
_ Km в
ayz~ v^7C°S2; (П1.38)
ах — cry = az = Gху = 0;
111 /
U2 = -T^A/^T
Здесь при у = 0, х > О етху = О, ау2 = Кщ1у/2жг.
Коэффициент интенсивности напряжений
lir^ (nL39)
зависит от заданного касательного напряжения. Например
при т(х) = const = г зависимость (П1.39) имеет вид: К\\\ =
Формулы (П1.35) и (П1.36) были получены для случая
плоского деформированного состояния. В случае
плоского напряженного состояния нужно принять az = 0, uz =
= —{уIE) (ax + (Ту) dz и заменить в них величину v на
величину *//A + у). Приведенные формулы можно получить
также из решения частных задач, разлагая решение по г в малой
окрестности берега разреза и ограничиваясь наибольшим
членом разложения.
386
2. Основные соотношения линейной
теории упругости
Механическое поведение идеально упругой среды
описывается с помощью обобщенного закона упругости (закона Гу-
ка):
6х = а
Е
_ ту _ yz __
1ху — "Т7 lyz — "рг! Ixz —
_ тху
Здесь ех, ?у, ?z — линейные деформации; <тх, cry, oz —
нормальные напряжения; jxy, jyz, jxz — угловые деформации
(деформации сдвига); тху, ryz, rxz — касательные
напряжения; Е — модуль упругости первого рода (модуль Юнга);
G — модуль упругости второго рода (модуль сдвига, или
постоянная упругости Лямэ); v — коэффициент поперечной
деформации (коэффициент Пуассона).
Физический смысл коэффициента Пуассона и
устанавливается исходя из анализа процесса одноосной деформации
растягиваемого стержня, когда ау = az = 0, и в соответствии с
первым соотношением системы уравнений (П2.1) ех = (тх/Е.
Удлинение стержня в направлении оси х сопровождается его
сужением в поперечном направлении, так как в соответствии
со вторым и третьим соотношениями системы уравнений
(П2.1) еу = —voxjE и ez = —vcrx/E^ т.е. коэффициент
Пуассона 0 < v < 0,5 характеризует указанное поперечное сужение,
причем для идеально пластичного тела и = i/max = 0,5, а для
идеально хрупкого тела v — vm[n = 0.
Складывая почленно первые три уравнения системы
(П2.1) и учитывая, что а = К0, получаем запись
обобщенного закона Гука в следующей форме:
387
= 2G
г = 2G (ez + j-^j e J =
\0;
2Gez + A0;
TXy =
где a = #0 — среднее напряжение; К — модуль
объемного сжатия; в = Зе — относительное изменение объема; е —
средняя деформация; А — постоянная упругости Лямэ.
Для характеристики механических свойств линейно
упругого тела достаточно знать любые две упругие постоянные
из имеющихся пяти: A, G, ?, К, v, т.е. известные упругие
константы связаны между собой простыми соотношениями
(табл. П2.1). Величина, записанная в первой графе табл. П2.1,
может быть выражена через любую пару постоян-
ТаблицаП2.1
Соотношения между постоянными упругости
Постоянные
А
G
Е
К
V
•Д. О
А
G
GCA + 2G)
A + G
Л+|С
А
2 (Л + G)
G, i/
2Gi/
l-2i/
G
2G(i+,)
2G(l + i/)
3 A — 2i/)
V
K,G
G
9KG
3tf+ G
К
ЪК-G
6K + 2G
в,*
uE
A +1/) (l-2i/)
2A+1/)
3A - 2*/)
i/
G(E- 2G)
3G-E
G
E
EG
3 CG - E)
E
2G
388
ных упругости с помощью соотношений, приведенных в
соответствующей строке. Например, А = 2Gv/(l - 2v) или
А = К - 2G/3 и т.д.
Зависимость между модулем объемного сжатия и
коэффициентом Пуассона К = ?/[3A - 2и)] указывает на
формальный признак существования верхнего предела для
коэффициента Пуассона v < 0,5. В противном случае величина К была
бы отрицательной и материал расширялся бы при
увеличении давления, что противоречит как реальному процессу, так
и второму началу термодинамики.
В качестве примера в табл. П2.2 приведены значения
постоянных упругости для некоторых металлов.
Таблица П2.2
Значения постоянных упругости для металлов
Металл
Алюминий
Железо
Медь
Никель
?, ГПа
69
210
122,5
137
#,ГПа
71,9
175
137,5
88,7
G, ГПа
25,6
81
45,4
55
Л, ГПа
54,8
121
107,2
52
I/
0,35
0,3
0,35
0,25
3. Основы статистической Механики
хрупкого разрушения
Результаты испытаний материалов, подверженных
хрупкому разрушению, имеют, как правило, довольно
существенный разброс фиксируемых критических параметров нагруже-
ния в момент разрушения. Низкая воспроизводимость
измеряемых величин объясняется, во-первых, неоднородностью
микроструктуры реальных материалов, а во-вторых,
высокой степенью локализации начала хрупкого или
квазихрупкого разрушения, которому не предшествует заметное
пластическое деформирование. Экспериментальные исследования
показали, что измеряемые параметры хрупкого разрушения
идентичных образцов при идентичных условиях нагружения
389
могут колебаться в диапазоне @,3 .. .3,0)(Е!), где (Е) —
среднее значение измеряемого параметра. Например, для
некоторых сплавов, обладающих высокой средней длительной
прочностью, дисперсия столь значительна, что их невозможно
использовать в ответственных конструкциях. При таком
разбросе экспериментальных данных (в пределах одного порядка)
возникает практическая проблема использования средних
значений для оценки прочности и надежности материала в
конструкторской практике. Поэтому необходимо как
усовершенствование экспериментальных методов испытаний
материалов на хрупкую прочность, так и изучение природы явления
разброса результатов испытаний на основе некоторых
статистических концепций. Приложение статистических методов к
проблеме разрушения составляет отдельное направление в
механике предельных состояний со своим математическим
аппаратом и своими трудностями построения моделей, адекватно
описывающих статистический характер разрушения.
Математическое моделирование наблюдаемого явления с
применением статистических методов может проводиться с
помощью двух принципиально различных подходов. Первый
подход связан с аппроксимацией результатов испытаний
известными статистическими функциями распределения.
Однако в этом случае для получения надежных параметров
аппроксимации нужно располагать результатами испытаний,
количество которых имеет порядок 103 в воспроизводимых
условиях, что, вообще говоря, неприемлемо для большинства
практических приложений. Кроме того, нельзя использовать
полученные аппроксимации для начальных условий,
отличных от принятых в проведенных испытаниях. Второй подход
предполагает детальное изучение явления на основе
физических процессов, сопровождающих хрупкое разрушение. В
этом случае формулируются вероятностные модели, имеющие
физический смысл, а потому пригодные для экстраполяции за
пределы диапазона экспериментальных испытаний.
Рассмотрим основные модели статистического подхода к
хрупкому разрушению, включающего в себя основы механики
рассеянных повреждений и линейной механики разрушения.
390
Этот подход базируется на четырех положениях механики
предельных состояний, характерных для хрупкого разрушения.
1. В реальном материале всегда имеются некоторые
области, которые содержат различные дефекты в виде примесей,
вакансий, выделений посторонних частиц на границах зерен,
некогерентностей кристаллической решетки и др. (природа
дефектов подробно описана в разделе 1.4).
2. Процесс хрупкого разрушения начинается в локальных
объемах материала, содержащих врожденные дефекты
микроструктуры или дефекты, возникающие в процессе
деформирования. На границах дефектов, являющихся концентраторами
напряжений, происходит интенсивный рост растягивающих
напряжений, которые вызывают увеличение абсолютных
размеров некоторых дефектов, и последние превращаются в
повреждения, нарушающие сплошность материала.
3. Под термином "хрупкое разрушение" подразумевается
процесс разрушения, который не предваряется и не
сопровождается пластическим деформированием. Это связано с тем,
что либо нагружаемый материал не обладает действенным
механизмом скольжения (или другим механизмом диссипации
энергии формоизменения), либо эти механизмы блокированы
вследствие внешних или внутренних условий
деформирования. При таких условиях вся энергия деформирования
представляет собой потенциальную упругую энергию, которая в
соответствии с концепцией хрупкого разрушения Гриффитса
может быть диссипирована только в результате образования
и развития новых поверхностей разрушения.
4. Хрупкая прочность материала в условиях
однородного напряженного состояния связана с концентрацией и
степенью опасности дефектов структуры образца испытуемого
материала. Начало хрупкого разрушения определяется
статистическим ожиданием возникновения критического числа
или критической степени опасности имеющихся повреждений.
Это ожидание связано с масштабным эффектом
статистической природы (см. раздел 4.6): чем больше размер образца,
тем более вероятно достижение критических условий,
инициирующих хрупкое разрушение. Очевидно, что теория
масштабного эффекта статистической природы составляет часть
391
общего статистического подхода к механике хрупкого
разрушения, так как его проявление отражает действие случайного
процесса.
Основу статистической механики хрупкого разрушения
составляют четыре статистические концепции, описывающие
случайный характер распределения дефектов структуры
материала и прочности, а также модели наислабейшего звена и
"классического пучка".
Статистическая концепция распределения
дефектов. Характерное свойство реальных металлов —
неоднородность микроструктуры. Закономерная неоднородность,
являющаяся следствием специальных мер технологического
характера, направленных на получение заданных свойств
материала в заданных областях или направлениях, может быть учтена
в рамках известных моделей механики разрушения и поэтому
не нуждается в статистическом анализе. Случайная
неоднородность — это результат локальных случайных отклонений
характеристик материала от средних значений на различных
уровнях:
— на субмикроскопическом уровне случайная
неоднородность связана с атомно-кристаллическими дефектами
кристаллической решетки (вакансиями, примесями, дефектами
упаковки и дислокациями);
— на микроскопическом уровне случайная
неоднородность определяется структурными неоднородностями
материала (блоками, фрагментами, кристаллитами);
— на макроскопическом уровне случайная
неоднородность выражается в форме статистической дисперсии
(разброса) экспериментально наблюдаемых характеристик
(прочность, твердость, трещиностойкость) и является следствием
как субмикроскопических дефектов, так и микроскопических
случайных неоднородностей структуры.
Все известные модели, описывающие корреляцию между
макроскопическими характеристиками и микроскопическими
(субмикроскопическими) дефектами, построены на
предположении, что характерный (микроскопический) параметр
структурной модели распределен случайным образом, а
результирующее макроскопическое соотношение содержит в себе этот
392
статистический разброс. Пусть, например, неоднородности
критической интенсивности равномерно распределены по
объему (площади или длине) V. Если символом P*(V)
обозначить вероятность отсутствия критической неоднородности в
данном объеме, то вероятность разрушения можно выразить
в виде функции, экспоненциально зависящей от объема
(площади или длины):
Pf{V) = 1 - P*(V) = 1 - e~cV,
где с = (V) — средняя концентрация неоднородностей;
(V) — средний объем, приходящийся на неоднородность.
Так как уравнение (П3.1) получено на основе только
вероятностных соображений, то оно имеет общий характер и не
зависит от физической природы неоднородностей, но связано с
их объемом. Действительно, при одной и той же концентрации
неоднородностей с вероятность разрушения Pf быстро
возрастает с увеличением объема. Если же необходимо обеспечить
равную вероятность разрушения различных объемов, средняя
концентрация неоднородностей должна резко снижаться с
увеличением объема (площади или длины).
Уравнение (П3.1) получено на основании допущения о
том, что к разрушению приводит появление всего одной
неоднородности в объеме V. Границы этого допущения
можно расширить, если считать, что для некоторого объема
существует критическое минимальное число неоднородностей
п > 1, при достижении которого происходит разрушение
материала в этом локальном объеме. В этом случае
W) = С* ? Щг> (П3.2)
А;=п
где 0 < к < п — количество неоднородностей в объеме V.
Дифференцирование уравнения (П3.2) приводит к выражению
для определения плотности вероятности
±(cV)ne-cV, (ПЗ.З)
393
известному как гамма-распределение. При п = 0 уравнение
(ПЗ.З) сводится к простой экспоненциальной форме
(распределению Пуассона)
pf(V) = ce~cV,
которую можно получить также дифференцированием
уравнения (П3.1).
Итак, в соответствии с рассмотренной моделью
распределения дефектов вероятность разрушения возрастает
пропорционально объему (площади или длине) нагружаемого
образца и оно обусловлено достижением критического числа неод-
нородностей микроструктуры. Если допустить, что
критическое число неоднородностей, необходимых для инициирования
разрушения, возрастает с уменьшением напряжения, то
можно задать соотношение па = щао, где по и <7о —
постоянные материала. Выражая отсюда число п и подставляя его
в уравнения (П3.2) или (ПЗ.З), можно записать вероятность
разрушения или плотность этой вероятности через величины
объема и напряжения.
Статистическая концепция распределения
прочности. В механике рассеянных повреждений (см. главу 3)
уменьшение прочности однородной изотропной среды,
подверженной хрупкому разрушению, объяснялось наличием
повреждений, превращающих сплошное однородное твердое тело в
некоторую "перфорированную" среду. Физическая природа,
происхождение этих микроповреждений и их влияние на
прочность материала обсуждались в главе 1. Рост дефектов,
характеризуемый каким-либо из принятых интегральных
усредненных показателей (коэффициенты сплошности или повре-
жденности), предлагалось описывать кинетическим
уравнением поврежденности, которое определяло время разрушения
нагружаемого образца.
К аналогичному эффекту (уменьшение прочности) в
макромасштабе приводят различные полости, надрезы и
трещины. Напряженно-деформированное состояние среды в
окрестности геометрически идеализированных моделей
макроповреждений типа разрезов и трещин описывается
соотношениями, полученными в линейной теории упругости (см.
приложение 1).
394
Предлагаемые в рамках механики рассеянных
повреждений и линейной механики разрушения модели превращают
однородную среду с однородной прочностью в среду с
неоднородной прочностью с помощью некоторых общих допущений:
— повреждения различной степени опасности определяют
прочность того элемента объема среды, в котором каждое из
них содержится;
— взаимодействие между повреждениями отсутствует,
т.е. эффект снижения прочности от повреждения в каждом
элементе объема не зависит от наличия повреждений в
других элементах среды и может рассматриваться автономно, как
будто это единственное повреждение, содержащееся в среде;
— прочность элемента объема связана с
характеристиками содержащегося повреждения в соответствии с концепцией
хрупкого разрушения Гриффитса, устанавливающей условия
неустойчивости трещины;
— прочность всего макроскопического образца
определена прочностью элемента объема, содержащего наиболее
опасное повреждение.
Три первых допущения связывают распределение
локальной прочности материала с распределением повреждений, а
последнее допущение относится непосредственно к
формулировке критерия прочности.
Выберем зависимость между размером трещины и
локальной прочностью в форме D.18), полученной Гриффитсом:
сн/тг/ = const = К, (П3.4)
где в соответствии с D.12) и D.13) коэффициент
интенсивности напряжений К = а\гк1 = y/2jE для плоского
напряженного состояния и К = ay/id = у/2^Е/{1 — и2) для плоского
деформированного состояния.
Пусть локальная прочность на хрупкий отрыв а и
полудлина трещины / являются случайными величинами. Если
для распределения размеров наибольших повреждений в
395
каждом из элементов объема материала принять функцию
Фреше
где L и а — параметры распределения, то функция
распределения локальной прочности элементов объема будет иметь
вид
-(?f], (П3.5)
где gl = KJs/'kL — прочность, соответствующая квантили
?а{рь) = 1 — е, для полудлины трещины I = X,
соответствующей квантили i*/(?) = e.
Уравнение (П3.5) определяет функцию распределения
наименьших значений локальной прочности, причем это
распределение описывает распределение локальной прочности в
таких малых объемах материала, которые реально не
могут быть предметом испытаний. Поэтому необходимы
дополнительные предположения, позволяющие связать
локальную прочность элемента объема с прочностью стандартного
образца материала. Такие предположения составляют основу
концепции наислабейшего звена.
Концепция наислабейшего звена. Пусть прочность
образца материала определяется локальной прочностью
наиболее слабого элемента объема. Физический смысл этого
допущения заключается в том, что разрушение образца
отождествляется с распространением наиболее опасной трещины,
содержащейся в данном элементе, через весь образец независимо
от локальной прочности совокупности других элементов,
через которые проходит траектория растущей трещины. Если
элементы объема представить в виде звеньев единой цепи, то
в соответствии с принятой концепцией прочность этой цепи в
целом будет определяться прочностью ее наислабейшего
звена.
В рамках принятой концепции статистическое
распределение прочности всего образца описывается распределением
396
наименьших локальных прочностей в некоторых
макрообъемах, содержащих п элементов объема. Это означает, что
статистическая задача о наислабейшем звене эквивалентна
задаче о распределении наименьших значений в выборке
размера п, а раздел теории вероятностей, в котором изучаются
подобные распределения, относится к теории упорядоченных
статистик. Согласно этой теории, вероятность того, что
определенное значение / представляет собой наибольшее значение,
определяется функцией
•.<!) = ехр [-„ (I)"" ] = ехр [- (J^f ], (П3.6)
причем эта вероятность уменьшается с ростом размера
выборки п, так как функции Фп@ при возрастании п смещаются в
сторону больших значений / без взаимного пересечения. Пусть
параметр распределения L обозначает длину наибольшей
трещины, отвечающей моде в элементах объема Vq. Тогда вели-
/ \1/а
чина L ( V/Vq ) равна длине трещины, отвечающей моде во
/ \ 1/а
всем объеме V = nVo> где сомножитель f V/Vq ) учитывает
влияние возрастания объема на модальную длину трещины.
Распределение общей прочности в зависимости от объема
следует из уравнения (П3.6), преобразованного с учетом
соотношения Гриффитса (П3.4):
,2а
i / гт
— 1 - ехр
•К
у / _ \ 2а
-^(f-) I- (П3.7)
Полученное уравнение по форме совпадает с
соотношением (П3.5), однако модальная прочность снижается от
локального значения а^ до зависящего от объема значения прочности
/ \-1/Bа)
для всего образца aL ( V/VqJ
397
Уравнение (П3.7) часто называют распределением Вей-
булла, который первым предложил его применение в
теории прочности A939 г.). Еще раньше распределение в
форме (П3.7) использовалось в задачах о распределении размеров
фрагментов, образуемых в процессах дробления, и получило
известность как эмпирическое соотношение Розина — Рамле-
ра A927 г.). Справедливости ради необходимо отметить, что
еще раньше предложение использовать распределение в форме
(П3.7) для задач дробления твердых тел было
сформулировано Гейтсом A915 г.).
Можно показать, что параметр 2а в распределении (П3.7)
не является мерой плотности повреждений (как в теории Вей-
булла), а определяет дисперсию повреждений. Влияние
плотности повреждений убывает с увеличением значения а, а
распределение размеров повреждений стремится при этом к
однородному, причем для полностью однородного распределения
размеров повреждений влияние плотности повреждений
исчезает полностью, что является результатом принятия
концепции наислабейшего звена.
Концепция классического пучка. Пусть
наислабейший элемент объема, содержащий опасную трещину, окружен
элементами, локальная прочность которых достаточна для
того, чтобы принять на себя дополнительную нагрузку и
предотвратить разрушение всего образца в результате разрушения
наислабейшего элемента. Очевидно, что эта гипотеза
снижает предельные условия разрушения всего образца и составляет
основу концепции классического пучка, который заменяет
собой нагружаемый образец материала и состоит из большого
количества параллельных волокон одинаковой длины с
одинаковым поперечным сечением 5. В соответствии с моделью
классического пучка прочность образца определяется силой F,
которая может инициировать цепную реакцию
последовательных разрывов волокон пучка в результате поочередной
перегрузки соседних (целых) волокон до тех пор, пока не
произойдет окончательное разрушение всех п волокон. Так же как в
модели наислабейшего звена, процесс разрушения начинается
398
в наименее прочном элементе пучка, однако дальнейшее
развитие процесса, в отличие от концепции наислабейшего звена,
происходит не обязательно, а лишь при выполнении некоторой
совокупности условий, определяющих вероятность событий:
О < оп < а*п\
<т2 < о\ < (jj,
где ап — значения прочности в пучке из п волокон,
расположенных в порядке их последовательного разрушения; <т* =
= F/(nS) — удельная прочность волокон.
Вероятность разрушения волокна при воздействии
напряжения <т* при условиях (П3.8) можно записать в виде
Рп(а*) = п\ f p(a)da I p(a)da• • • Ip(a)da, (П3.9)
где п! — множитель, учитывающий все возможные способы
расположения волокон; р(а) — плотность вероятности
значений прочности волокон.
Математический анализ уравнения (П3.9) показал, что
распределение вероятностей для удельной прочности при
возрастании числа волокон п стремится к нормальному
распределению с математическим ожиданием
и дисперсией
= а2 ——L к—±, (пз.ю)
п
где д — значение напряжения, при котором выражение
a [1 - Р((т)] достигает максимального значения, т.е.
399
Из уравнения (П3.10) следует, что дисперсия прочности
пучка убывает с ростом числа волокон и стремится к нулю при
п —> оо, поэтому она существенно меньше дисперсии
прочности отдельных волокон.
Для определения вероятности Р(&) можно использовать
экстремальное распределение в форме (П3.5). Тогда решение
имеет вид
а = о
а математическое ожидание —
/ 1 \1/B«)
Общие замечания к статистическим моделям.
Феноменологические особенности процесса хрупкого разрушения
могут быть более или менее верно описаны с помощью
статистического подхода лишь при достаточно удовлетворительном
соответствии выбранной модели реальному механизму
разрушения. Экспериментальные исследования показывают, что
даже в случае неплохого соответствия модели наислабейшего
звена реальному процессу разрушения, описание получаемых
результатов функцией распределения с единственным
набором определяющих параметров aL и а (унимодальная
плотность распределения) представляет собой скорее исключение,
чем правило. Результаты наблюдений приводят к выводу о
том, что процесс разрушения, как правило, характеризуется
двумя различными механизмами разрушения.
Следовательно, результаты измерений необходимо объединять в две
группы, каждая из которых имеет свой набор параметров
распределения, т.е. данная ситуация характеризуется бимодальной
плотностью распределения. В то же время наличие двух (или
более) групп повреждений различного характера, каждое из
которых играет определяющую роль в своем диапазоне
напряжений (это свойственно композитным материалам),
удовлетворительно описывается с помощью модели наислабейшего
звена.
400
Описание процесса хрупкого разрушения с помощью
статистических моделей приводит к необходимости решения двух
взаимосвязанных задач:
— нахождение функции распределения хрупкой
прочности идентичных образцов при идентичных условиях;
— оценка влияния на хрупкую прочность размера
образца, распределения напряжений и напряженного состояния.
Для решения этих задач в рамках статистической
механики хрупкого разрушения можно предложить три модели:
1) модель с однородным распределением дефектов,
описываемая гамма-распределением (ПЗ.З);
2) модель наислабейшего звена, описываемая
асимптотическим распределением наименьших значений (П3.5) и (П3.7),
дающая наиболее удовлетворительное описание результатов
испытаний истинно хрупких материалов;
3) модель классического пучка, приводящая к
нормальному (гауссовому) распределению.
Вообще говоря, при оценке прочности материала
необходимо учитывать не только разброс механических свойств
материала, но и случайные отклонения в нагрузках,
температурах и т.д. Статистический подход имеет значение и при
вязком разрушении, которое является результатом
ползучести тел в условиях высокой температуры и значительной
длительности приложения нагрузки, так как при этом возможны
немалые случайные изменения параметров теплового поля.
В инженерной практике статистический характер
разрушения принято учитывать назначением такого запаса
прочности, который гарантирует надежность функционирования
конструкции при ожидаемом уровне отклонений свойств
материала и условий нагружения.
401
4. Основные формулы
Глава 1
Глава 2
= <тв, г = 1, 2, 3;
= сг
Тз
|сгга; — v 1(тТу + arzj I = crBr i = 1, 2, 3;
= -^ у (°х -
72 + _2 , Л.
+3
z) -
'О-
? ' = S ' ==
ст;
402
f((Jij - aij) = к = const;
Глава 3
У <.(r) " '
о
t
о
du 1
tB —
= 6Gq A ~ CJj .
Глава 4
403
л/2тгг
в Л . о . гв
cos -
в
Ту
а„ = , cos — I I + sin
в . в 30
m-smyj;
az-v (ax + o-y); axz = ayz = 0;
0
a =
; * =
2-yE
E
— L*
7г/ = у/Ео^б*;
vf = u/(max)
»/ = u/(max)
2-, 1/2
при ст < ст < оо.
404
Глава 5
(l-n)ln(O,5/o/ro)
sh [A - n) (<r°° + of) / Bа,/л/з)]'
(l - y/Vj) + P < oy + 2tt;
af = (то + Kfd-°>5;
а =
> Gc -
— - —,
A _ 2vJ^L = A - 2v)l"-± = A -
5 _ 5 _ та
( * + 2 Sin2 " + COS V'
|sin2 ^ + (! - 2l/JA +cos
405
0,5
Глава 6
ac =
2'
pr- PT-
Pf 2
-=*- = — arccos <
Рт 7Г
^ = ZL = 1;
Глава 7
П2 _ т/2 Р - РО .
V =
= V(P-P0)(V0-V);
1
2
p
PQ
1)FO - (к -
406
D = a + bv;
= [к - |
ex = a - Sy;
K+tG_ IK.
V '
Po
Po
= Ke
ту = Кех - - <тт;
1 -1/
Cy = a — = max Cp\
Po
С = Л;
^2 _ r2 4 Г2.
>1
y
-Г2 4Г2-
407
У = <7ТA+ /!?);
где
А = 1 + 0,1 (З0-221-); п=
),8 при ат < 1 ГПа;
J,0 при <тт > 1 ГПа;
sina Ce VK + 4G/3'
cos a sin )9 — A3 cos 2^9 = 0;
(А\ + Лг) cos 2>0 sin q — Лз sin /? sin 2/3 = 0.
5. Примеры билетов теоретических
коллоквиумов для контроля
освоения материала
(три коллоквиума, максимальная сумма баллов — 100)
Коллоквиум 1. Физические особенности процессов
деформирования и разрушения твердых тел.
Критерии прочности и пластичности изотропных
материалов — 30 баллов
Билет 1
№. п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Содержание задания
Понятие разрушения
Идеальный кристалл
Полиморфизм (определение и примеры)
Краевые и винтовые дислокации
Силы взаимодействия в твердых телах
Физический механизм структурного упрочнения
Первая теория прочности
Классификация методов изучения строения
металлов
Вывод соотношения Орована для теоретической
прочности
Строение реального металлического поликристалла
(структурные элементы, разориентировка
элементов и связи между ними)
Балл
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Билет 2
№. п/п
1
2
3
4
5
6
7
Содержание задания
Понятие прочности
Совершенный кристалл
Энергия активации
Упрочнение за счет твердого раствора
Классификация типов симметрии кристаллов
Физический механизм деформационного упрочнения
Изобразите зависимость В(Г) и поясните ее
особенности
Балл
1
1
2
2
3
3
4
409
Продолжение билета 2
№ п/п
8
9
10
Содержание задания
Объясните, почему &th > о-Т
Вторая теория прочности, построение предельной
поверхности
Полная классификация дефектов кристаллической
решетки
Балл
4
5
5
Билет 3
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Содержание задания
Запас вязкости
Что означает запись ЗОВ?
Точечные дефекты кристаллической решетки
Силы взаимодействия в металлических кристаллах
Собственные операции симметрии
Строение зерна (кристаллита)
Дислокационный механизм пластичности металлов
Феноменология и морфология вязкого и хрупкого
разрушения
Третья теория прочности, построение предельной
поверхности
Упрочнение (классификация)
Балл
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Билет 4
№ п/п
1
2
3
4
5
6
Содержание задания
Фазовый переход
Сингония
Скольжение и двойникование
Порог хладноломкости, его характеристика
Как влияет плотность дефектов кристаллической
решетки на механические свойства
кристаллических твердых тел?
Кинематическое упрочнение и его графическая
иллюстрация в плоскости главных напряжений
Балл
1
1
2
2
3
3
410
Продолжение билета 4
Na п/п
7
8
9
10
Содержание задания
Какие факторы и каким образом влияют на
прочность и пластичность твердых
деформируемых сред?
Атомно-кристаллические и структурные
несовершенства реального кристалла
Критерии Мизеса и Баландина, связь между ними
Условие прочности Смирнова-Аляева и
его практическое применение
Балл
4
4
5
5
Коллоквиум 2. Механика разрушения — 40 баллов
Билет 1
№. п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Содержание задания
Понятие идеально хрупкого тела
В чем состоит практическое значение
характеристики трещиностойкости К\?
Концентрация напряжений в вершине острой
трещины
Понятия сплошности и поврежденности,
их характеристики
Как конфигурация трещины связана со знаком
коэффициента интенсивности напряжений?
Опишите механизм роста трещины в пластичных
материалах
Грубая оценка размера зоны пластичности
Принцип линейного суммирования повреждений,
интеграл накопления повреждений Бейли
Разрушение сколом, основные дислокационные
модели
Условие хрупкого разрушения по Гриффитсу,
постановка задачи и ее решение
Балл
1
2
3
3
4
4
5
5
6
7
411
Билет 2
№. п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Содержание задания
В чем главное отличие критериев механики
разрушения от критериев прочности?
В чем основной недостаток показателей
ударной вязкости?
Перечислите факторы, влияющие на величину
трещиностойкости
Физический смысл, основные достоинства
и недостатки показателя КРТ
Обобщенное кинетическое уравнение
поврежден ности
Почему соотношение Леонова — Панасюка
формально эквивалентно критерию Ирвина?
Дислокационная модель перехода от вязкого
разрушения к сколу
Механика бифуркации (причины и условия)
Зависимость показателей трещиностойкости
от размеров образца (причины и следствия)
Скорость распространения одиночной хрупкой
трещины
Балл
1
2
3
3
4
4
5
5
6
7
Билет 3
N° п/п
1
2
3
4
5
6
Содержание задания
Почему критерии линейной механики разрушения
являются фундаментальными характеристиками
сопротивления материалов разрушению?
Какова связь между характеристиками
трещиностойкости К и G?
Критическая длина трещины по условию
Гриффитса
Критерий зарождения трещины скола по
дислокационной модели Петча
Критерии разрушения Ирвина и Орована
для пластичных материалов
Ограничения применимости теории Гриффитса
Балл
1
2
3
3
4
4
412
Продолжение билета 3
Na п/п
7
8
9
10
Содержание задания
Понятие ./-интеграла, его основные свойства,
применение в механике разрушения
Поясните по диаграмме процесс ветвления
трещины с учетом кинетической энергии
движения ее берегов
Модель упругопластической трещины Дагдейла
Основы флуктуационной кинетической теории
прочности
Балл
5
5
6
7
Билет 4
№. п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Содержание задания
Для чего в экспериментальной механике
разрушения используют величину и = (Aic/сгтJ?
Почему в кристаллических веществах с четко
выраженными плоскостями скольжения vj —> CrI
Проиллюстрируйте графически процесс хрупкого
разрушения в соответствии с условием Гриффитса
Каково соотношение между размерами зон
пластичности при вершине трещины для плоского
деформированного и плоского напряженного
состояний при v = 1/3 и в = 0?
Поясните по диаграмме процесс ветвления
трещины без учета кинетической энергии
движения ее берегов
Какова связь между величинами 6*
(критическое раскрытие трещины) и G
(интенсивность высвобождаемой упругой энергии)
для плоского напряженного состояния?
Модели слияния цилиндрических и квадратных пор
Двухкритериальный подход для смешанного
(хрупковязкого) разрушения
Получите уравнения, описывающие конфигурацию
зоны пластичности при вершине трещины типа I
Критерий длительной прочности Качанова
Балл
1
2
3
3
4
4
5
5
6
7
413
Коллоквиум 3. Ударные волны в твердых телах — 30 баллов
Билет 1
No п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Содержание задания
Определение ударной волны
Что такое фазовый переход первого рода?
Адиабата Гюгонио
Скорость волны сдвига
В чем причина образования ударной волны
разрежения?
Механизм динамической сверхпластичности
Начальные параметры при соударении твердых тел
Фазовая диаграмма состояния железа (стали)
в координатах (р, Т)
Напряженно-деформированное состояние
на фронте плоской ударной волны (вывод
соотношений для упругой и пластической областей)
Упрочнение при высокоскоростной деформации
Балл
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Билет 2
№. п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Содержание задания
Закон сохранения массы на фронте ударной волны
Релаксация
Структура ударного фронта в твердых телах
Почему происходит разрывное уменьшение
наклона в точке рг диаграммы нагружения
упругопластического материала?
Влияние различных элементов на давление
фазового перехода
Механизм образования откола
Напряженно-деформированное состояние
на фронте плоской ударной волны в упругой области
Двухволновые структуры при фазовых переходах
Баланс энергии для плоской ударной волны
в упругопластической среде
Структура волн разгрузки
Балл
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
414
Билет 3
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Содержание задания
Закон сохранения импульса на фронте
ударной волны
Время релаксации при скольжении, двойниковании
и тотальном сдвиге
Линия Рэлея
Почему волна Рэлея при своем распространении
затухает медленнее продольных и поперечных
упругих волн?
Ударный фазовый переход железа
Коэффициент Грюнайзена, его физический смысл
и практическое применение
Напряженно-деформированное состояние
на фронте плоской ударной волны в пластической
области
Тепловая энергия ударного сжатия материала
Трехволновые структуры
Фазовый откол, его механизм
Балл
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Билет 4
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
Содержание задания
Закон сохранения энергии на фронте ударной волны
Ударная адиабата металлов в форме D(u)
Почему для одинакового изменения объема
сжимаемого тела при ударном сжатии необходимо
большее изменение объема, чем при обычном
сжатии?
Температурный фазовый переход железа
Волна Рэлея
При каких значениях давления на фронте
ударной волны ударный разогрев стабильного
металлического сплава не оказывает существенного
влияния на его механические свойства?
Скорость упругой продольной волны (вывод
соотношения)
Балл
1
1
2
2
3
3
4
415
Продолжение билета 4
№. п/п
8
9
10
Содержание задания
Классификация механизмов релаксации при
высокоскоростном деформировании, полоса
адиабатического сдвига
Структура волн разгрузки в упругопластических
материалах с фазовым переходом
Уравнения состояния твердых тел (основные
принципы построения, возможные формы)
Балл
4
5
5
Список рекомендуемой литературы
Ионов В.Н., Селиванов В. В. Динамика разрушения деформируемого
тела. М.: Машиностроение, 1987. 272 с.
Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2 т. М.: Наука, 1973. Т. 1.
536 с. Т. 2. 584 с.
Селиванов В.В., Соловьев B.C., Сысоев Н.Н. Ударные и детонационные
волны: Методы исследования. М.: Изд-во МГУ, 1990. 256 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Глава 1. Физические особенности процессов деформирования
и разрушения твердых тел 16
1.1. Механические явления в твердых телах 16
1.2. Строение кристаллических твердых тел 22
1.3. Теоретическая прочность идеального кристалла 35
1.4. Дефекты кристаллической решетки 38
1.5. Дислокации в теории пластического деформирования 46
1.6. Классификация типов разрушения 57
Вопросы для самоконтроля 68
Глава 2. Критерии прочности и пластичности изотропных
материалов 72
2.1. Факторы, влияющие на прочность и пластичность
твердых тел 72
2.2. Основные принципы построения критериев прочности
и пластичности 76
2.3. Классические критерии прочности 79
2.4. Критерии прочности для материалов, неодинаково
сопротивляющихся растяжению и сжатию 91
2.5. Критерии сопротивления усталости 109
2.6. Критерии сопротивления ползучести 121
2.7. Структурное и деформационное упрочнение
деформируемых твердых сред 128
Вопросы для самоконтроля 139
417
Глава 3. Механика рассеянных повреждений 143
3.1. Понятие поврежденности. Кинетическое уравнение
поврежденности 143
3.2. Флуктуационная кинетическая теория прочности 151
3.3. Критерии механики рассеянных повреждений 156
Вопросы для самоконтроля 175
Глава 4- Линейная механика разрушения 178
4.1. Концентрация напряжений 178
4.2. Напряженно-деформированное состояние в вершине
трещины 182
4.3. Классические условия хрупкого разрушения
и распространения трещин 185
4.4. Модели трещин с немалой концевой зоной 199
4.5. Кинематика хрупких трещин отрыва 204
4.6. Масштабный эффект статистической и энергетической
природы 217
Вопросы для самоконтроля 221
Глава 5. Механика вязкого разрушения и разрушения сколом .... 227
5.1. Вязкое разрушение 227
5.2. Пластичность тел с трещинами 238
5.3. Разрушение сколом 250
Вопросы для самоконтроля 263
Глава 6. Характеристики сопротивления хрупкому и вязкому
разрушению 266
6.1. Интегральные и локальные критерии разрушения 266
6.2. Ударная вязкость 267
6.3. Динамическая твердость 272
6.4. Трещиностойкость 278
6.5. Критерии разрушения при смешанном разрушении
и в области общей текучести 292
6.6. Показатели динамической трещиностойкости 300
Вопросы для самоконтроля 306
418
Глава 7. Ударные волны в твердых телах 309
7.1. Соотношения Ренкина — Гюгонио. Ударная адиабата .... 309
7.2. Уравнения состояния твердых тел 315
7.3. Волны напряжений в твердых телах 320
7.4. Фазовые переходы в твердых телах 338
7.5. Структура ударных волн и волн разгрузки
в железе (стали) 343
7.6. Механика и морфология высокоскоростного
деформирования 347
7.7. Разрушение материалов в волнах разрежения 357
Вопросы для самоконтроля 367
Приложения 372
1. Плоские задачи линейной теории упругости 372
2. Основные соотношения линейной теории упругости 387
3. Основы статистической механики хрупкого разрушения .... 389
4. Основные формулы 402
5. Примеры билетов теоретических коллоквиумов
для контроля освоения материала 409
Список рекомендуемой литературы 416
Учебное издание
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Т-2
Селиванов Виктор Валентинович
Механика разрушения деформируемого тела
Редактор Е.В. Авилова
Художник С.С. Водчиц
Компьютерная верстка В.А. Товстонога
Оригинал-макет подготовлен в издательстве
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Изд. лиц. №020523 от 25.04.97. Подписано в печать 20.06.99.
Формат 60 х 90/16. Печать офсетная. Бумага офсетная №.1.
Усл. печ. л. 26,25. Уч.-изд. л. 26,02
Тираж 1000 экз. Изд. №109. Заказ № 2833
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 107005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ,
140010, г. Люберцы, Московской обл., Октябрьский пр-т, 403.
Тел. 554-21-86